Thông tin
Quiz

Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông Toán 12

Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề:

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn:

Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:

96 trang 1 năm trước

Tác giả:

Mai Nguyệt

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông Toán 12

58 29 lượt tải Tải xuống

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

MỤC LỤC

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM

DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

BÀI TẬP

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM

Câu 1: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 1



thỏa mãn

 

f x











0 2017

f 





2 2018

f 

. Tính









3 1

S f f

  



. B.

ln2



. C.

ln4035



. D.



Câu 2: Cho hàm số





f x

xác định trên

 

 

 

 thỏa mãn

 

2 1

f x







và





0 1



. Giá trị của

biểu thức









1 3

f f 

bằng

4 ln15



. B.

3 ln15



. C.

2 ln15



. D.

ln15

Câu 3: Cho hàm số

( )

f x

xác định trên

 

 

 

 thỏa mãn

( )

2 1

f x







(0) 1



và

(1) 2



. Giá

trị của biểu thức

( 1) (3)

f f

 

bằng

4 ln5



. B.

2 ln15



. C.

3 ln15



. D.

ln15.

Câu 4: Cho hàm số





f x

xác định trên



thỏa mãn





2 1

f x x



 

và





1 5



. Phương trình





f x



có hai nghiệm

. Tính tổng

2 1 2 2

log log

S x x

 



. B.



. C.



. D.



Câu 5: Cho hàm số

( )

f x

xác định trên

 

 

 

 thỏa mãn

   

, 0 1

3 1

f x f



 



và

 



 

 

Giá trị của biểu thức









1 3

f f 

bằng

3 5ln2



. B.

2 5ln2

 

. C.

4 5ln2



. D.

2 5ln2



Câu 6: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 2;2





và thỏa mãn

   

; 3 0

f x f



  



;





0 1



và





3 2



. Tính giá trị biểu thức













4 1 4

P f f f    

3 ln

P   . B.

3 ln3

 

. C.

2 ln

P   . D.

2 ln

P   .

Câu 7: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 2;1





thỏa mãn

 

f x

x x





 

;









3 3 0

f f

  

và

 



. Giá trị của biểu thức













4 1 4

f f f   

bằng

1 1

ln2

3 3

 . B.

1 ln80



. C.

1 4

1 ln 2 ln

3 5

  . D.

1 8

1 ln

3 5

 .

Câu 8: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 1;1





và thỏa mãn

 

f x







;









3 3 0

f f

  

và

1 1

2 2

f f

   

  

   

   

. Tính giá trị của biểu thức









0 4

P f f 

2 ln

P   . B.

1 ln

P   . C.

1 3

1 ln

2 5

P   . D.

1 3

2 5

P  .

Câu 9: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 1





thỏa mãn

 

f x







. Biết









3 3 0

f f

  

và

1 1

2 2

f f

   

  

   

   

. Giá trị













2 0 4

T f f f   

bằng:

1 5

2 ln

2 9

T   . B.

1 9

1 ln

2 5

T   . C.

1 9

3 ln

2 5

T   . D.

1 9

2 5

T  .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 10: Cho hàm số





f x

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên







thỏa mãn

 



và













2 4 0

f x x f x



  

. Tính













1 2 3

f f f

 

. B.

. C.

. D.

Câu 11: Cho hàm số





f x

xác định và liên tục trên



. Biết









. 12 13

f x f x x



 

và





0 2



Khi đó phương trình





f x



có bao nhiêu nghiệm?

. B.

. C.

. D.

Câu 12: Cho hàm số





f x

xác định trên



thỏa mãn

 

e e 2

x x

f x





  





0 5



và

ln 0

 



 

 

. Giá trị của biểu thức









ln16 ln 4

S f f  

bằng

S  . B.



. C.



. D.









0 . 2 1

f f



Câu 13: Cho hàm số





f x

liên tục, không âm trên đoạn



 

 

 

, thỏa mãn





0 3

f  và

     

. cos . 1

f x f x x f x



  ,



 

 

 

 

. Tìm giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất

của hàm số





f x

trên đoạn

;

6 2

 

 

 

 

m 

2 2

M 

. B.



m 

M  . D.

m  ,

2 2

M 

Câu 14: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn





f x



, x

 



. Biết





0 1



và





 

2 2

f x

 

. Tìm các giá trị thực của tham số

để phương trình





f x m



có hai

nghiệm thực phân biệt.

m e



. B.

0 1

 

. C. 0

m e

 

. D. 1

m e

 

Câu 15: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





f x



với mọi x

















2 1

f x x f x



 

và





1 0,5

f  

. Biết rằng tổng

       

1 2 3 ... 2017

f f f f

    

;





,a b 

 

với

tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a b

  

. B.





2017;2017

a  

. C.

 

. D.

4035

b a

 

Câu 16: Cho hàm số





f x



thỏa mãn điều kiện













' 2

2 3 .

f x x f x

 

và

 



 . Biết tổng

       

1 2 ... 2017 2018

f f f f

    

với

,a b

 

 

và

là phân số tối giản. Mệnh

đề nào sau đây đúng?

 

. B.



1010

a b

 

. D.

3029

b a

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 17: Cho hàm số





y f x



 

, thỏa mãn

       

   

. 2 0

0 0; 0 1

f x f x f x xf x

f f



 

  

 



 





 





. Tính





. B.

. C.

. D.

Câu 18: Giả sử hàm số

( )

f x

liên tục, dương trên



; thỏa mãn





0 1



và





 

f x

f x x







. Khi đó

hiệu





 

2 2 2 1

T f f

 

thuộc khoảng





2;3

. B.





7;9

. C.





0;1

. D.





9;12

Câu 19: Khi đó

 

0 0

tan

d d

cos

f t

t f x x





 

. Vậy

 

d 6

f x x





.Cho hàm số





y f x



đồng biến trên







;





y f x



liên tục, nhận giá trị dương trên







và thỏa mãn

 



và

     

' 1 .

f x x f x

  

 

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?





2613 8 2614

f 

. B.





2614 8 2615

f 





2618 8 2619

f 

. D.





2616 8 2617

f 

Câu 20: Giả sử hàm số





y f x



liên tục, nhận giá trị dương trên





 



và thỏa mãn





1 1











3 1

f x f x x

  

, với mọi



. Mệnh đề nào sau đây đúng?





4 5 5

 

. B.





2 5 3

 





3 5 4

 

. D.





1 5 2

 

Câu 21: Cho hàm số





f x

thỏa mãn

     

. 15 12

f x f x f x x x

 

   

 

, x

 



và









0 0 1

f f



 

. Giá trị của





bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 22: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và thỏa mãn









1 2 1 3

f x x

x C

  

 





. Nguyên

hàm của hàm số





f x

trên tập





là:

 

2 4



. B.



. C.

 

2 3

4 1



. D.

 

2 3

8 1



DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN

Câu 23: Cho

 

d 10

f x x





. Kết quả

 

2 4 d

f x x



 

 



bằng:

. B.

. C.

. D.

Câu 24: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





F x

là nguyên hàm của





f x

, biết

 

d 9

f x x





và





0 3



. Tính





F .





9 6

 

. B.





9 6



. C.





9 12



. D.





9 12

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 25: Cho

 

d 3

I f x x

 



. Khi đó

 

4 3 d

J f x x

 

 

 



bằng:

. B.

. C.

. D.

Câu 26: Cho

 

d 10

f x x





và

 

d 5

g x x





. Tính

   

3 5 d

I f x g x x

 

 

 





. B.



. C.

 

. D.



Câu 27: Giả sử

 

d 37

f x x





và

 

d 16

g x x





. Khi đó,

 

2 3 ( ) d

I f x g x x

 

 

 



bằng:



. B.



. C.

143



. D.

122



Câu 28: Nếu

 

d 3

f x x





 

d 1

f x x

 



thì

 

f x x



bằng



. B.

. C.

. D.

Câu 29: Cho

 

d 1

f x x





và

 

d 2

f x x

 



. Giá trị của

 

f x x



bằng

. B.



. C.



. D.

Câu 30: Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





0;10

và

 

d 7

f x x





và

 

d 3

f x x





. Tính

   

2 10

0 6

d d

P f x x f x x

 

 



. B.

 

. C.



. D.



Câu 31: Cho

 

d 2

f x x





 

d 4

f x x





, khi đó

 

f x x





. B.

. C.

. D.

Câu 32: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và có

 

d 2

f x x





;

 

d 6

f x x





. Tính

 

I f x x







. B.



. C.



. D.



Câu 33: Cho

 

d 2

f x x







và

 

d 1

g x x



 



. Tính

   

2 3 d

I x f x g x x



  

 

 



bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 34: Biết

 

d 2

f x x

 



;

 

d 3

f x x





;

 

d 7

g x x





. Mệnh đề nào sau đây sai?

 

d 1

f x x





. B.

   

d 10

f x g x x

 

 

 

 

d 5

f x x

 



. D.

   

4 2 d 2

f x g x x

  

 

 

Câu 35: Cho hàm số





f x

có





f x



liên tục trên đoạn





1;3







1 3

 

và

( )d 10

f x x









giá trị

của





bằng



. B.



. C.

. D.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 36: Cho

 

d 3

f x x





. Tính

 

1 d

f x x





. B.

. C.

. D.

Câu 37: Cho





y f x







y g x



là các hàm số có đạo hàm liên tục trên





0;2

và

   

. d 2

g x f x x

 



   

. d 3

g x f x x

 



. Tính tích phân

   

. d

I f x g x x





 

 



 

. B.



. C.



. D.



Câu 38: Cho hai tích phân

 

d 8

f x x







và

 

d 3

g x x







. Tính

   

4 1 d

I f x g x x



  

 

 



 

. B.



. C.



. D.



Câu 39: Cho hàm số





4 3 2

4 2 1

f x x x x x

    

, x

 



. Tính

   

. d

f x f x x





. B.

. C.



. D.



Câu 40: Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn

 

f x dx





và

 

f x dx





. Tính

giá trị của biểu thức

   

2 6

0 4

P f x dx f x dx

 

 



.` B.



. C.



. D.



Câu 41: Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn [0; 1] và có

 

3 2 5

f x dx

 

 

 



. Tính

 

f x dx





. B. 2. C. 1. D.



Câu 42: Cho hai hàm số





f x

và





g x

liên tục trên đoạn [0; 1], có

 

f x dx





và

 

g x dx

 



. Tính tích phân

   

I f x g x dx

 

 

 





. B.

. C. 2. D.



Câu 43: Cho hàm số

 

ln 1

f x x x

  

. Tính tích phân

 

I f x dx





ln 2

I 

. B.





ln 1 2

I  

. C.

ln2



2ln2



Câu 44: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn





f e



 

ln3

' 9

f x dx e

 



. Tính





ln3

I f

9 2

I e

 

. B.



. C.

 

. D.

2 9

I e

 

Câu 45: Cho hai hàm số





y f x



và





y g x



có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn

   

' . 1

f x g x dx





   

. ' 1

f x g x dx

 



. Tính

   

I f x g x dx



 

 



 

. B.



. C.



. D.



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 46: Cho hàm số





f x

liên tục trên







và thỏa

 

.cos

f t dt x x







. Tính









4 123

f 

. B.

 



. C.

 



. D.

 



Câu 47: Cho hàm số





f x

thỏa mãn





. .cos

f x

t dt x x







. Tính









4 2 3

f  . B.





4 1

 

. C.

 



. D.





4 12

f  .

Câu 48: Cho hàm số

   

.cos .

G x t x t dt

 



. Tính '



 

 

 

' 1



 

 

 

 

. B.

' 1



 



 

 

. C.

' 0



 



 

 

. D.

' 2



 



 

 

Câu 49: Cho hàm số

 

cos .

G x t dt





(



). Tính





G x





' .cos

G x x x



. B.





' 2 .cos

G x x x



. C.





' cos

G x x



. D.





' cos 1

G x x

 

Câu 50: Cho hàm số

 

G x t dt

 



. Tính





G x



. B.



. C.



. D.





2 2

1 1

x x

 

Câu 51: Cho hàm số

 

sin .

F x t dt





(



). Tính





F x

sin

. B.

sin

. C.

2sin

. D. sin

Câu 52: Tính đạo hàm của





f x

, biết





f x

thỏa

   

f t f x

t e dt e









f x x



. B.





' 1

f x x

 

. C.

 

'f x



. D.

 

f x





Câu 53: Cho hàm số





y f x



liên tục trên





 

và

   

d .sin

f t t x x







. Tính





 





 . B.

 





. C.

 





. D.

 





Câu 54: Cho hàm số





f x

liên tục trên khoảng





2; 3



. Gọi





F x

là một nguyên hàm của





f x

trên

khoảng





2; 3



. Tính

 

2 d

I f x x x



 

 

 



, biết





1 1

 

và





2 4



. B.



. C.



. D.



Câu 55: Cho

 

d 2

f x x







và

 

d 1

g x x



 



. Tính

   

2 3 d

I x f x g x x



  

 

 





. B.



. C.



. D.



Câu 56: Cho

   

3 2 d 1

f x g x x

 

 

 

   

2 d 3

f x g x x

  

 

 

. Khi đó,

 

f x x



bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

. B.



. C.

. D.

Câu 57: Cho





f x





g x

là hai hàm số liên tục trên đoạn





1;1



và





f x

là hàm số chẵn,





g x

là

hàm số lẻ. Biết

 

d 5

f x x





;

 

d 7

g x x





. Mệnh đề nào sau đây là sai?

 

d 10

f x x







. B.

   

d 10

f x g x x



 

 

 

   

d 10

f x g x x



 

 

 

. D.

 

d 14

g x x







Câu 58: Cho





f x





g x

là hai hàm số liên tục trên đoạn





1;1



và





f x

là hàm số chẵn,





g x

là

hàm số lẻ. Biết

 

d 5

f x x





;

 

d 7

g x x





. Mệnh đề nào sau đây là sai?

 

d 10

f x x







. B.

   

d 10

f x g x x



 

 

 

   

d 10

f x g x x



 

 

 

. D.

 

d 14

g x x







Câu 59: Nếu

 

d 17

f z z





và

 

d 12

f t t





thì

 

3 d

f x x





bằng



. B.

. C.

. D.

Câu 60: Cho

 

d 2

f x x







 

d 9

f t t







. Giá trị của

 

f z z



là

. B.

. C.

. D.

Câu 61: Cho hàm số





y f x



liên tục, luôn dương trên





0;3

và thỏa mãn

 

d 4

I f x x

 



. Khi đó

giá trị của tích phân

 

1 ln

4 d

f x

K e x



 



là:

4 12e



. B.

12 4e



. C.

3e 14



. D.

14 3e



Câu 62: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm trên



thỏa









       

0 0 1;

3 1, x,y

f f

f x y f x f y xy x y



 





       







Tính

 

1 d

f x x





. B.



. C.

. D.

Câu 63: Cho hàm số





f x

là hàm bậc nhất thỏa mãn

   

1 d 10

x f x x



 



và









2 1 0 2

f f

 

Tính

 

I f x x







. B.



. C.

 

. D.

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 64: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 0



, thỏa mãn

 

3 5

f x

x x











f a



và





f b

 

. Tính









1 2

f f 









1 2

f f a b

    

. B.









1 2

f f a b

   









1 2

f f a b

   

. D.









1 2

f f b a

   

Câu 65: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 0



và thỏa mãn

 

2 4

f x

x x











f a







f b

 

. Giá trị của biểu thức









1 2

f f 

bằng

b a



. B.

a b



. C.

a b



. D.

a b

 

Câu 66: Cho hàm số





y f x



xác định và liên tục trên



thỏa mãn đồng thời các điều kiện





f x



, x

 



;









f x e f x



 

, x

 



và

 



. Tính giá trị của





ln 2

 

ln2



. B.

 

ln2

 

. C.

 

ln2



. D.

 

ln2



Câu 67: Cho hàm số





y f x



có đồ thị





, xác định và liên tục trên



thỏa mãn đồng thời các

điều kiện





0f x x

  



   





. ,f x x f x x



  



và





0 2



. Phương trình tiếp

tuyến tại điểm có hoành độ



của đồ thị





là.

6 30

y x

 

. B.

6 30

y x

  

. C.

36 30

y x

 

. D.

36 42

y x

  

Câu 68: Cho hàm số





y f x

 

xác định, có đạo hàm trên đoạn





0;1

và thỏa mãn:

   

1 2018 dt

g x f t

 











g x f x



. Tính

 

g x x



1011

. B.

1009

. C.

2019

. D.

505

Câu 69: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm và liên tục trên đoạn





1;1



, thỏa mãn





0,f x x

  



và









' 2 0

f x f x

 

. Biết





1 1



, tính











f e



 

. B.





f e

 

. C.





f e

 

. D.





1 3

 

Câu 70: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

đồng thời thỏa mãn





0 9





và

   

9 9

f x f x x

 

  

 

 

. Tính









1 0

T f f 

2 9ln2

 

. B.



. C.

9ln 2

T   . D.

2 9ln2

 

Câu 71: Cho hàm số





y f x



thỏa mãn









4 2

' .

f x f x x x

 

. Biết





0 2



. Tính





 

313

f  . B.

 

332

f  . C.

 

324

f  . D.

 

323

f  .

Câu 72: Cho

( )

f x

xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên





1;4

thỏa mãn

   

 

 

2 , 1;4 , 1

x xf x f x x f



    

 

 

. Giá trị





bằng:

391

361

381

371

Câu 73: Cho hàm số





y f x



có





f x



liên tục trên nửa khoảng







thỏa mãn

   

3 1 3.e

f x f x





  

. Khi đó:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

   

1 1

e 1 0

e 3

f f

  



. B.

   

1 1

e 1 0

2 e 3

f f

  



   





2 2

e 3 e 3 8

e 1 0

f f

  

  . D.

   





3 2 2

e 1 0 e 3 e 3 8

f f

    

Câu 74: Cho hàm số

liên tục,





f x

 





0 0



và thỏa

   

1 2 1

f x x x f x



  

. Tính





. B.

. C.

. D.

Câu 75: Cho hàm số





f x



thỏa mãn điều kiện













2 3

f x x f x



 

và

 

 

. Biết rằng

tổng

         

1 2 3 ... 2017 2018

f f f f f

     

với





,a b 

 

và

là phân số

tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

. B.



. C.

1010

a b

 

. D.

3029

b a

 

Câu 76: Biết luôn có hai số

và

để

 

ax b

F x











4 0

a b

 

là nguyên hàm của hàm số





f x

và thỏa mãn:













2 1

f x F x f x



  

 

Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?



. B.



 

. C.







\ 4

b 



. D. a





, b





Câu 77: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên





1;2

thỏa mãn





1 4



và









3 2

2 3

f x xf x x x



  

. Tính





. B.

. C.

. D.

Câu 78: Cho

 

cos

f x

 trên

;

2 2

 

 



 

 

và





F x

là một nguyên hàm của





xf x



thỏa mãn





0 0



. Biết

;

2 2

 

 

 

 

 

thỏa mãn

tan 3



. Tính





10 3

F a a a

 

ln10

 . B.

ln10

 . C.

ln10

. D.

ln10

Câu 79: Cho hàm số





y f x



xác định và liên tục trên



thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau





f x



, x

 











e .

f x f x



 

 



và

 



. Phương trình tiếp tuyến của

đồ thị tại điểm có hoành độ

ln2

x 

là

2 9 2ln 2 3 0

x y

   

. B.

2 9 2ln 2 3 0

x y

   

2 9 2ln 2 3 0

x y

   

. D.

2 9 2ln 2 3 0

x y

   

Câu 80: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1





f x

và





f x



đều nhận giá trị

dương trên đoạn





0;1

và thỏa mãn





0 2



       

1 1

0 0

. 1 d 2 . d

f x f x x f x f x x

 

 

 

 

 

 

. Tính

 

f x x

 

 



. B.

. C.

. D.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 81: Cho

( )

f x

không âm thỏa mãn điều kiện

( ). '( ) 2 ( ) 1

f x f x x f x

 

và

(0) 0



. Tổng giá trị

lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

( )

y f x



trên





1;3

là

4 11 3

 C.

20 2



3 11 3



Câu 82: Cho hàm số





f x

có đạo hàm và đồng biến trên



thỏa mãn





0 1



và

 





 

f x e f x x



  



. Tính tích phân

 

f x dx



bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 83: Cho hàm số





y f x



xác định và liên tục trên





\ 0



thỏa mãn

















2 2

2 1 1

x f x x f x xf x



   

với





\ 0

x 



và





1 2

 

. Tính

 

f x dx



ln2

  . B.

ln2

  . C.

ln2

  . D.

3 ln2

2 2

  .

Câu 84: Cho hàm số





y f x



. Có đạo hàm liên tục trên



. Biết





1 e



và













x f x xf x x



  

, x

 



. Tính





4e 4e 4

 

. B.

4e 2e 1

 

. C.

2e 2e 2

 

. D.

4e 4e 4

 

Câu 85: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và thỏa mãn





0 0



. Biết

 

f x x





và

 

cos d

2 4

f x x

 







. Tích phân

 

f x x



bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 86: Cho hàm số





y f x



liên tục trên đoạn





0; 1

, thỏa mãn

   

1 1

0 0

d d 1

f x x xf x x

 

 

và

 

d 4

f x x



 

 



. Giá trị của tích phân

 

f x x

 

 



bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 87: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn





f x



khi





1,2

x 

Biết

 

' 10

f x dx





và





 

ln2

f x





. Tính









2 10

 

. B.





2 20



. C.





2 10



. D.





2 20

 

Câu 88: Cho hàm số





f x

có đạo hàm và liên tục trên đoạn





4;8

và





0 0



với





4;8

x 

. Biết

rằng

 

f x



 

 



 

 



và

   

1 1

4 , 8

4 2

f f

 

. Tính





. B.

. C.

. D.

Câu 89: Cho hàm số





f x

có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn





0;1

đồng thời thỏa mãn các điều

kiện





0 1



 

và

   

f x f x

 

 

 

. Đặt









1 0

T f f 

, hãy chọn khẳng định đúng?

2 1

   

. B.

1 0

  

. C.

0 1

 

. D.

1 2

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 90: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm cấp

liên tục trên



thoả





   

2 2

0, ,

0 0 1,

, .

f x x

f f

xy y yy x

  





 





 

   





Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

ln 1 1

 

. B.

 

0 ln 1

 

. C.

 

ln 1 2

 

. D.

 

1 ln 1

 

Câu 91: Cho

f g

là hai hàm liên tục trên





1;3

thỏa mãn điều kiện

   

3 d 10

f x g x x

 

 

 

đồng

thời

   

2 d 6

f x g x x

 

 

 

. Tính

   

f x g x x



 

 



. B.

. C.

. D.

Câu 92: Cho hàm số





y f x



liên tục trên





;

a b

, nếu

 

d 5

f x x





và

 

d 2

f x x





(với

a d b

 

) thì

 

f x x



bằng.

. B.

. C.

. D.

Câu 93: Cho





f x

và





g x

là hai hàm số liên tục trên đoạn





1;3

, thỏa mãn:

   

3 d 10

f x g x x

 

 

 

và

   

2 d 6

f x g x x

 

 

 

. Tính

   

I f x g x x

 

 

 





. B.



. C.



. D.



Câu 94: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm





f x



liên tục trên đoạn





0;5

và đồ thị hàm số





y f x





trên đoạn





0;5

được cho như hình bên.

Tìm mệnh đề đúng













0 5 3

f f f

 

. B.













3 0 5

f f f

 













3 0 5

f f f 

. D.













3 5 0

f f f 

Câu 95: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm tại mọi đồng thời thỏa mãn điều kiện:

và Khi đó, nằm trong khoảng

nào?

A. . B. . C. . D. .





f x





0;x

 













sin ' cos

f x x x f x x

  

 

sin d 4.

f x x x



 













6;7





5;6





12;13





11;12



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 96: Cho hàm số





f x

xác định trên



 

 

 

thỏa mãn

   

2 2 sin d

4 2

f x f x x x



 

  

 

  

 

 

 

 



. Tích phân

 

f x x





bằng



. B.

. C.

. D.



Câu 97: Cho hàm số

( )

y f x



liên tục trên  thỏa mãn

     

2 1

3 2 2 1 e 4

x x

f x f x x

 

    

. Tính

tích phân

 

I f x x





ta được kết quả:

e 4

 

. B.



. C.



. D.

e 2

 

Câu 98: Suy ra

   

2 2

0 0

4 d 8 d 2

f x x f x x

  

 

. Cho hàm số





y f x



liên tục trên





\ 0; 1





thỏa

mãn điều kiện





1 2ln 2

f  

và













1 .

x x f x f x x x



   

. Giá trị





2 ln 3

f a b 

, với

,a b





. Tính

2 2

a b



. B.

. C.

. D.

Câu 99: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm trên



và

 

f x x x



  

 

và





1 1

 

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Phương trình





f x



có

nghiệm trên





0;1

B. Phương trình





f x



có đúng

nghiệm trên







C. Phương trình





f x



có

nghiệm trên





1;2

C. Phương trình





f x



có

nghiệm trên





2;5

Hươngd dẫn giải

Chọn C

 

f x x x



  

6 3

2 2

x x

 







1 1

 

 

 





y f x

 

đồng biến trên











f x



có nhiều nhất

nghiệm trên khoảng











Mặt khác ta có:

 

2 0

f x x x



   

 

 

2 2

1 1

2 21

d 2 d

f x x x x x

 



    

 

 

 

   

2 1

f f  

 

f  .

Kết hợp giả thiết ta có





y f x



liên tục trên





1;2

và









2 . 1 0

f f







Từ





và





suy ra phương trình





f x



có đúng

nghiệm trên khoảng





1;2 .

Câu 100: Cho hàm số





f x

có đạo hàm





f x



liên tục trên



và thỏa mãn









1;1

f x



 

với





0;2

x 

. Biết









0 2 1

f f

 

. Đặt

 

I f x x





, phát biểu nào dưới đây đúng?





I  

. B.





0;1

I 

. C.





1;I

 

. D.





0;1

I 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 101: Cho hàm số





y f x



liên tục trên





0; 1

thỏa mãn

 

d 0

xf x x





và





[0;1]

max 1.

f x



Tích

phân

 

e d

I f x x





thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

; .

 

 

 

 

; e 1 .

 



 

 

5 3

; .

4 2

 



 

 





e 1; .

  

Câu 102: Cho hàm số





f x

có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





0 1



và

       

1 1

0 0

3 d 2 d

f x f x x f x f x x

 

 

 

 

 

 

 

 

. Tính tích phân

 

f x x

 

 



. B.

. C.

. D.

Câu 103: Cho hai hàm số





f x

và





g x

có đạo hàm trên đoạn





1;4

và thỏa mãn hệ thức









       

1 1 4

. ; .

f g

g x x f x f x x g x

 





 

   





. Tính

   

I f x g x x

 

 

 



8ln2

. B.

3ln 2

. C.

6ln2

. D.

4ln2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM

Câu 1: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 1



thỏa mãn

 

f x











0 2017

f 





2 2018

f 

. Tính









3 1

S f f

  



. B.

ln2



. C.

ln4035



. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn A

Cách 1: Ta có

 

d d ln 1

f x x x x C

   



 

Theo giả thiết





0 2017

f 





2 2018

f 

nên









 

ln 1 2017 khi 1

ln 1 2018 khi 1

f x x x



   





   





Do đó









3 1

S f f

  

ln2 2018 ln2 2017 1

    

Cách 2:

Ta có:

0 0

1 1

3 3

2 2

(0) ( 1) '( ) ln 1 | ln (1)

1 2

(3) (2) '( ) ln 1 | ln2 (2)

f f f x dx x



 



      











     







 

Lấy (1)+(2), ta được

(3) (2) (0) ( 1) 0 S 1

f f f f

      

Câu 2: Cho hàm số





f x

xác định trên

 

 

 

 thỏa mãn

 

2 1

f x







và





0 1



. Giá trị của

biểu thức









1 3

f f 

bằng

4 ln15



. B.

3 ln15



. C.

2 ln15



. D.

ln15

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có

   

 

2. 2 1

ln 2 1

2 1 2 1

d x

f x f x dx dx x c

x x





     

 

  





0 1



 





ln 2 1 1

f x x

   





 

1 ln3 1

3 ln5 1

  







 













1 3 2 ln15

f f    

Câu 3: Cho hàm số

( )

f x

xác định trên

 

 

 

 thỏa mãn

( )

2 1

f x







(0) 1



và

(1) 2



Giá trị của biểu thức

( 1) (3)

f f

 

bằng

4 ln5



. B.

2 ln15



. C.

3 ln15



. D.

ln15.

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Cách 1: • Trên khoảng

;

 



 

 

( ) ln(2 1) .

2 1

f x dx x C

   





Lại có

(1) 2 2.

f C

  

• Trên khoảng

;

 



 

 

( ) ln(1 2 ) .

2 1

f x dx x C

   





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Lại có

(0) 1 1.

f C

  

Vậy

ln(2 1) 2

( )

ln(1 2 ) 1

x khi x

f x

x khi x



  









  





Suy ra

( 1) (3) 3 ln15.

f f

   

Cách 2:

Ta có:

0 0

1 1

3 3

1 1

2 1

(0) ( 1) '( ) ln 2 1 | ln (1)

2 1 3

(3) (1) '( ) ln 2 1 | ln5 (2)

2 1

f f f x dx x



 



      











     







 

Lấy (2)-(1), ta được

(3) (1) (0) ( 1) ln15 ( 1) (3) 3 ln15

f f f f f f

         

Câu 4: Cho hàm số





f x

xác định trên



thỏa mãn





2 1

f x x



 

và





1 5



. Phương trình





f x



có hai nghiệm

. Tính tổng

2 1 2 2

log log

S x x

 



. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:













d 2 1 d

f x f x x x x x x C



     

 

Mà









1 5 1 1 5 3 3

f C C f x x x

          

Xét phương trình:

 

2 2

5 3 5 2 0

f x x x x x





         



 



2 1 2 2 2 2

log log log 1 log 2 1

S x x

     

Câu 5: Cho hàm số

( )

f x

xác định trên

 

 

 

 thỏa mãn

   

, 0 1

3 1

f x f



 



và

 



 

 

Giá trị của biểu thức









1 3

f f 

bằng

3 5ln2



. B.

2 5ln2

 

. C.

4 5ln2



. D.

2 5ln2



Hươngd dẫn giải

Chọn A

Cách 1: Từ

   

ln 3 1 khi x ;

3 3

dx=

3 1 3 1

ln 3 1 khi x ;

x C

f x f x

x x

x C



 

   

 



  



  



 

 



   

 



 





Ta có:





1 1

2 2

0 1

0 1 1

0 2 2

C C



  

 



 

  

 

  



 

 



 



 

ln 3 1 1 khi x ;

ln 3 1 2 khi x ;

f x



 

   

 



  

 



 



   

 



 



Khi đó:









1 3 ln 4 1 ln 8 2 3 ln 32 3 5ln 2

f f         

Cách 2: Ta có

         

       

0 0

1 1

3 3

2 2

3 3

2 2

3 3

3 1

0 1 dx dx ln 3 1 ln 1

3 1 4

2 3

3 dx dx ln 3 1 ln8 2

3 3 1

f f f x f x x

 





       









 





      

 





 



 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Lấy









2 1



, ta được:

         

3 1 0 ln32 1 3 3 5ln 2

f f f f f f

 

         

 

 

Câu 6: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 2;2





và thỏa mãn

   

; 3 0

f x f



  



;





0 1



và





3 2



. Tính giá trị biểu thức













4 1 4

P f f f    

3 ln

P   . B.

3 ln3

 

. C.

2 ln

P   . D.

2 ln

P   .

Hươngd dẫn giải

Chọn B

Từ

 

f x







 

f x

 





  

2 2

x x



 



 

ln ; 2

ln 2;2

ln 2;

C khi x

 

   









   









  







Ta có





 

3 0

0 1

2 2

 















ln5 0

0 1

ln 2





 



  





 



ln5

2 ln5

 





 





 







f x



 

ln -ln5 ; 2

ln 1 2;2

ln 2 ln5 2;

khi x

 

  









   









   







Khi đó













4 1 4

P f f f    

ln3 ln5 ln3 1 ln 2 ln5

      

3 ln3

 

Câu 7: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 2;1





thỏa mãn

 

f x

x x





 

;









3 3 0

f f

  

và

 



. Giá trị của biểu thức













4 1 4

f f f   

bằng

1 1

ln2

3 3

 . B.

1 ln80



. C.

1 4

1 ln 2 ln

3 5

  . D.

1 8

1 ln

3 5

 .

Hươngd dẫn giải

Chọn A

 

f x

x x





 

 

  

 

1 1

ln ; 2

3 2

d d 1 1

ln 2;1

2 1 2 3 2

1 1

ln 1;

3 2

C khi x

x x x

f x C khi x

x x x x x

C khi x

 

   









      



    





  







 

Do đó

   

1 3 3 1

1 1 2 1

3 3 0 ln 4 ln ln10

3 3 5 3

f f C C C C          .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Và

 

2 2

1 1 1 1 1 1

0 ln ln2

3 3 2 3 3 3

f C C       .

 

1 1

ln ; 2

3 2

1 1 1 1

ln ln 2 2;1

3 2 3 3

1 1 1

ln ln10 1;

3 2 3

C khi x

f x khi x

C khi x

 

   









     









   







Khi đó:

     

1 1

1 5 1 1 1 1 1 1 1 1

4 1 4 ln ln 2 ln 2 ln ln10 ln 2

3 2 3 3 3 3 2 3 3 3

f f f C C

     

             

     

     

Câu 8: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 1;1





và thỏa mãn

 

f x







;









3 3 0

f f

  

và

1 1

2 2

f f

   

  

   

   

. Tính giá trị của biểu thức









0 4

P f f 

2 ln

P   . B.

1 ln

P   . C.

1 3

1 ln

2 5

P   . D.

1 3

2 5

P  .

Hươngd dẫn giải

Chọn C

 

  

   

 

2 2

1 1

ln ; 1 1;

2 1

1 d d

1 1 1 1

1 1

ln 1;1

2 1

C khi x

x x

f x

x x x x

C khi x

 

     









   



   





  







 

Ta có

   

1 1 1

3 3 0 ln 2 ln 0 0

2 2 2

f f C C C

         

Và

2 2 2

1 1 1 1 1

2 ln3 ln 2 1

2 2 2 2 3

f f C C C

   

         

   

   

Suy ra

 

   

 

1 1

ln ; 1 1;

2 1

1 1

ln 1 1;1

2 1

khi x

f x

khi x

 

    















  







Vậy









0 4

P f f 

1 3

1 ln

2 5

 .

Câu 9: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 1





thỏa mãn

 

f x







. Biết









3 3 0

f f

  

và

1 1

2 2

f f

   

  

   

   

. Giá trị













2 0 4

T f f f   

bằng:

1 5

2 ln

2 9

T   . B.

1 9

1 ln

2 5

T   . C.

1 9

3 ln

2 5

T   . D.

1 9

2 5

T  .

Hươngd dẫn giải

Chọn B

Ta có

 

d d

f x x x







 

1 1 1

2 1 1

x x

 

 

 

 

 



1 1

2 1



 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Do đó

 

1 1

ln khi 1, 1

2 1

1 1

ln khi 1 1

2 1

C x x

C x



   





 









 















3 3 0

f f

  

nên



1 1

2 2

f f

   

  

   

   

nên



Nên

 

1 1

ln khi 1, 1

2 1

1 1

ln 1 khi 1 1

2 1

x x



  















  



















2 0 4

T f f f   

1 9

1 ln

2 5

  .

Câu 10: Cho hàm số





f x

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên







thỏa mãn

 



và













2 4 0

f x x f x



  

. Tính













1 2 3

f f f

 

. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn D

Vì













2 4 0

f x x f x



  

và





f x



, với mọi





0;x

 

nên ta có





 

2 4

f x



  

Suy ra

 

x x C

f x

  

. Mặt khác

 



nên



hay

 

4 3

f x

x x



 

Do đó













1 2 3

f f f

 

1 1 1

8 15 24

  

 .

Câu 11: Cho hàm số





f x

xác định và liên tục trên



. Biết









. 12 13

f x f x x



 

và





0 2



Khi đó phương trình





f x



có bao nhiêu nghiệm?

. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn A

Từ









. 12 13

f x f x x



 













. 12 13

f x f x dx x dx



  

 









6 2

6 13

f x df x x x C

   







6 13

f x

x x C

   

 

0 2



 

Suy ra:





7 2

42 91 2

f x x x

  

Từ





f x







2187

f x 

42 91 2 2187

x x   





42 91 2185 0 *

x x   

Phương trình





có

nghiệm trái dầu do



Câu 12: Cho hàm số





f x

xác định trên



thỏa mãn

 

e e 2

x x

f x





  





0 5



và

ln 0

 



 

 

. Giá trị của biểu thức









ln16 ln 4

S f f  

bằng

S  . B.



. C.



. D.









0 . 2 1

f f



Hươngd dẫn giải

Chọn C

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Ta có

 

e e 2

x x

f x





  

e 1





2 2

e e khi 0

x x





 









 



Do đó

 

2 2

2e 2e khi 0

x x

C x

f x

C x





  









   



Theo đề bài ta có





0 5



nên

0 0

2e 2e 5

  

 

 

ln 4 ln4

2 2

ln 4 2e 2e 1



   



Tương tự

ln 0

 



 

 

nên

1 1

ln ln

4 4

2 2

2e 2e 0

   

   

   



   

 

 









ln16 ln16

2 2

ln16 2e 2e 5

 



     

 

Vậy

   

ln16 ln4

S f f

   

Câu 13: Cho hàm số





f x

liên tục, không âm trên đoạn



 

 

 

, thỏa mãn





0 3

f  và

     

. cos . 1

f x f x x f x



  ,



 

 

 

 

. Tìm giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất

của hàm số





f x

trên đoạn

;

6 2

 

 

 

 

m 

2 2

M 

. B.



m 

M  . D.

m  ,

2 2

M 

Hươngd dẫn giải

Chọn A

Từ giả thiết

     

. cos . 1

f x f x x f x



 









 

d sin

f x f x

x x C

f x



  





Đặt

   

2 2 2

1 1

t f x t f x

    









d d

t t f x f x x



 

Thay vào ta được d sin sin

t x C t x C

    



 

1 sin

f x x C

   





0 3

f 

 

Vậy

   

2 2 2

1 sin 2 sin 4sin 3

f x x f x x x

      

 

sin 4sin 3

f x x x

   

, vì hàm số





f x

liên tục, không âm trên đoạn



 

 

 

Ta có

sin 1

6 2 2

x x

 

    

, xét hàm số





4 3

g t t t

  

có hoành độ đỉnh

 

loại.

Suy ra









1 8

max g t g

 

 

 

 

 

1 21

min

2 4

g t g

 

 

 

 

 

 

 









 

cos



 



f x f x

f x

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Suy ra

 

;

6 2

2 2

max f x f

 



 

 

 

 

 

 

 

 

;

6 2

min

6 2

f x g

 



 

 

 

 

 

 

 

Câu 14: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn





f x



, x

 



. Biết





0 1



và





 

2 2

f x

 

. Tìm các giá trị thực của tham số

để phương trình





f x m



có hai nghiệm thực phân biệt.

m e



. B.

0 1

 

. C. 0

m e

 

. D. 1

m e

 

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có





 

2 2

f x



 





 

d 2 2 d

f x

x x x

f x



  

 





ln 2

f x x x C

   

 

x x

f x Ae



  . Mà





0 1



suy ra

 

x x

f x e



 .

Ta có





2 2

2 1 2 1

x x x x

    

 

1 1 1

   

. Suy ra

x x

e e



 

và ứng với một giá trị thực



thì phương trình

x x t

 

sẽ có hai nghiệm phân biệt.

Vậy để phương trình





f x m



có

nghiệm phân biệt khi

m e e

  

Câu 15: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





f x



với mọi x

















2 1

f x x f x



 

và





1 0,5

f  

. Biết rằng tổng

       

1 2 3 ... 2017

f f f f

    

;





,a b 

 

với

tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a b

  

. B.





2017;2017

a  

. C.

 

. D.

4035

b a

 

Hươngd dẫn giải

Chọn D

Ta có













2 1

f x x f x



 





 

2 1

f x



  





 

d 2 1 d

f x

x x x

f x



  

 

 

x x C

f x

    

Mà

 

 

nên



 

1 1 1

f x

x x x x

    

 

Mặt khác

       

1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 ... 2017 1 ...

2 3 2 4 3 2018 2017

f f f f

       

            

       

       

       

1 2017

1 2 3 ... 2017 1

2018 2018

f f f f



        

2017

  

;

2018



Khi đó

4035

b a

 

Câu 16: Cho hàm số





f x



thỏa mãn điều kiện













' 2

2 3 .

f x x f x

 

và

 



 . Biết tổng

       

1 2 ... 2017 2018

f f f f

    

với

,a b

 

 

và

là phân số tối giản.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

. B.



1010

a b

 

. D.

3029

b a

 

Hươngd dẫn giải

Chọn D

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Biến đổi













' 2

2 3 .

f x x f x

 





 

2 3

f x

  





 

2 3

f x

dx x dx

f x

  

 

 

1 1

x x C f x

f x x x C

       

 

. Mà

 



 nên



Do đó

 

  

1 1

3 2 1 2

f x

x x x x

   

   

Khi đó

       

1 2 ... 2017 2018

f f f f

    

1 1 1 1

.....

2.3 3.4 2018.2019 2019.2020

 

     

 

 

1 1 1 1 1 1 1

.....

2 3 3 4 2018 2019 2020

 

        

 

 

1 1

2 2020

 

  

 

 

1009

2020



 .

Với điều kiện

a b

thỏa mãn bài toán, suy ra:

1009

2020

 









3029

b a

  

Câu 17: Cho hàm số





y f x



 

, thỏa mãn

       

   

. 2 0

0 0; 0 1

f x f x f x xf x

f f



 

  

 



 





 





. Tính





. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có:

       

. 2 0

f x f x f x xf x

 

  

 

 

     

 

. 2f x f x f x

f x

 

  

 

  

 

f x



 

  

 

 





 

f x



   





 

0 2



   

 

Do đó





 

f x



 





 

1 1

0 0

d d

f x

x x

f x



  

 

 

f x

 

   

 

 

   

1 1 1

1 0 6

f f

    

 

 

Câu 18: Giả sử hàm số

( )

f x

liên tục, dương trên



; thỏa mãn





0 1



và





 

f x

f x x







. Khi đó

hiệu





 

2 2 2 1

T f f

 

thuộc khoảng





2;3

. B.





7;9

. C.





0;1

. D.





9;12

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có





 

f x





















 





d 1

2 1

f x

f x x







 

Vậy

 

ln ln 1

f x x C

  

, mà





0 1 0

f C

  

. Do đó

 

f x x

 

Nên





2 2 3;







2 1 2 2

f 





   

2 2 2 1 3 2 2 0;1

f f    

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 19: Khi đó

 

0 0

tan

d d

cos

f t

t f x x





 

. Vậy

 

d 6

f x x





.Cho hàm số





y f x



đồng biến trên







;





y f x



liên tục, nhận giá trị dương trên







và thỏa mãn

 



và

     

' 1 .

f x x f x

  

 

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?





2613 8 2614

f 

. B.





2614 8 2615

f 





2618 8 2619

f 

. D.





2616 8 2617

f 

Hươngd dẫn giải

Chọn A

Hàm số





y f x



đồng biến trên







nên suy ra









0, 0;f x x



   

Mặt khác





y f x



liên tục, nhận giá trị dương trên







nên

           

1 1

f x x f x f x x f x

 

     

 





0;x

  





 

f x



  





0;x

  

;





 

f x

dx x dx

f x



  

 

   

f x x C

   

;

Từ

 



suy ra

2 8

3 3

 

Như vậy

   

1 2 8

3 3 3

f x x

 

   

 

 

Bởi thế:

   

2 2

1 2 8 2 8

8 8 1 9

3 3 3 3 3

   

      

   

   

 

2 8

8 9 2613,26

3 3

 

    

 

 

Câu 20: Giả sử hàm số





y f x



liên tục, nhận giá trị dương trên





 



và thỏa mãn





1 1











3 1

f x f x x

  

, với mọi



. Mệnh đề nào sau đây đúng?





4 5 5

 

. B.





2 5 3

 





3 5 4

 

. D.





1 5 2

 

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Cách 1:

Với điều kiện bài toán ta có









3 1

f x f x x

  





 





 

1 1

d d

3 1 3 1

f x f x

x x

f x f x

x x

 

   

 

 









 

   

3 1 d 3 1

f x

x x

f x





   

 

 

ln 3 1

f x x C

   

 

3 1

x C

f x

 

  .

Khi đó

 

1 1 e 1

f C



     

 

2 4

3 1

3 3

f x

 

 

   

5 e 3,79 3; 4

f   



Vậy





3 5 4

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Chú ý: Các bạn có thể tính

3 1





bằng cách đặt

3 1

t x

 

Cách 2:

Với điều kiện bài toán ta có









3 1

f x f x x

  





 

3 1

f x



 







 

5 5

1 1

d d

3 1

f x

x x

f x



 



 









 

f x

 



 

f x

 





 

1 3

 

     

5 1 .e 3,79 3; 4

f f   



Câu 21: Cho hàm số





f x

thỏa mãn

     

. 15 12

f x f x f x x x

 

   

 

, x

 



và









0 0 1

f f



 

. Giá trị của





bằng

. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn D

Ta có:

 





   

. 15 12

f x f x f x x x

 

  

, x

 



   

. 15 12

f x f x x x



   

 

, x

 











5 2

. 3 6

f x f x x x C



   









0 0 1

f f



 

nên ta có



Do đó:









5 2

. 3 6 1

f x f x x x



  

 

2 5 2

3 6 1

f x x x



 

   

 

 





2 6 3

4 2 .

f x x x x C

    

Mà





0 1



nên ta có



Do đó





2 6 3

4 2 1

f x x x x

   

Vậy





1 8.



Câu 22: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và thỏa mãn









1 2 1 3

f x x

x C

  

 





. Nguyên

hàm của hàm số





f x

trên tập





là:

 

2 4



. B.



. C.

 

2 3

4 1



. D.

 

2 3

8 1



Hươngd dẫn giải

Chọn D

Theo đề ra ta có:









   





 

1 2 1 3 2 1 3

d 2 1 d 1

1 4

f x x x

x C f x x C

    

      



 

 

Hay

 





 

2 2

2 3

2 d d

4 4

f t t C f t t C

t t





    

 

 

Suy ra

     

 

1 1 2 3 2 3

2 d 2 d 2

2 2 8 8

2 4

x x

f x x f x x C C

 

 

    

 



 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN

Câu 23: Cho

 

d 10

f x x





. Kết quả

 

2 4 d

f x x



 

 



bằng:

. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn A

Tacó

   

2 2 2

5 5 5

2 4 d 2 d 4 d

f x x x f x x

  

 

 

  

   

2 4 d 2. 5 2 4.10 34

x f x x

       



Câu 24: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





F x

là nguyên hàm của





f x

, biết

 

d 9

f x x





và





0 3



. Tính









9 6

 

. B.





9 6



. C.





9 12



. D.





9 12

 

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có:

   

I f x x F x

 











9 0 9

F F

  





9 12

 

Câu 25: Cho

 

d 3

I f x x

 



. Khi đó

 

4 3 d

J f x x

 

 

 



bằng:

. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn B

Ta có

   

2 2 2

0 0 0

4 3 d 4 d 3 d 4.3 3 6

J f x x f x x x x

      

 

 

  

Câu 26: Cho

 

d 10

f x x





và

 

d 5

g x x





. Tính

   

3 5 d

I f x g x x

 

 

 





. B.



. C.

 

. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn A

Có:

   

3 5 d

I f x g x x

 

 

 



   

4 4

2 2

3 d 5 d 5

f x x g x x

  

 

Câu 27: Giả sử

 

d 37

f x x





và

 

d 16

g x x





. Khi đó,

 

2 3 ( ) d

I f x g x x

 

 

 



bằng:



. B.



. C.

143



. D.

122



Hươngd dẫn giải

Chọn A

Ta có:

         

9 9 9 9 0

0 0 0 0 9

2 3 ( ) d 2 d 3 d 2 d 3 d 26

I f x g x x f x x g x x f x x g x x

      

 

 

    

Câu 28: Nếu

 

d 3

f x x





 

d 1

f x x

 



thì

 

f x x



bằng



. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn B

Ta có

     

5 2 5

1 1 2

3 1 2

f x dx f x dx f x dx

    

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 29: Cho

 

d 1

f x x





và

 

d 2

f x x

 



. Giá trị của

 

f x x



bằng

. B.



. C.



. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn C

 

f x x





   

2 3

1 2

d d

f x x f x x



 

 

Câu 30: Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





0;10

và

 

d 7

f x x





và

 

d 3

f x x





. Tính

   

2 10

0 6

d d

P f x x f x x

 

 



. B.

 

. C.



. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có

 

d 7

f x x





     

2 6 10

0 2 6

d d d 7

f x x f x x f x x

   

  

   

2 10

0 6

d d 7 3 4

f x x f x x

    

 

Vậy



Câu 31: Cho

 

d 2

f x x





 

d 4

f x x





, khi đó

 

f x x





. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn A

     

2 1 2

0 0 1

d d d 6

f x x f x x f x x

  

  

Câu 32: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và có

 

d 2

f x x





;

 

d 6

f x x





. Tính

 

I f x x







. B.



. C.



. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn A

 

I f x x





   

1 3

0 1

d d

f x x f x x

 

 

2 6 8

  

Câu 33: Cho

 

d 2

f x x







và

 

d 1

g x x



 



. Tính

   

2 3 d

I x f x g x x



  

 

 



bằng



. B.



. C.



. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn D

Ta có:

   

2 2

1 1

3 5

2 d 3 d 4 3

2 2 2

I f x x g x x

 

      



 

Câu 34: Biết

 

d 2

f x x

 



;

 

d 3

f x x





;

 

d 7

g x x





. Mệnh đề nào sau đây sai?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 

d 1

f x x





. B.

   

d 10

f x g x x

 

 

 

 

d 5

f x x

 



. D.

   

4 2 d 2

f x g x x

  

 

 

Hươngd dẫn giải

Chọn A

Ta có

     

8 8 4

4 1 1

d d d 2 3 5

f x x f x x f x x

      

  

Câu 35: Cho hàm số





f x

có





f x



liên tục trên đoạn





1;3







1 3

 

và

( )d 10

f x x









giá trị

của





bằng



. B.



. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có

( )d 10

f x x









 

f x



 









3 1 10

f f

   









3 1 10 13

f f

    

Câu 36: Cho

 

d 3

f x x





. Tính

 

1 d

f x x





. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải.

Chọn B

Ta có

 

2 2 2

0 0 0

1 d d d 3 2 5

f x x f x x x

     

  

Câu 37: Cho





y f x







y g x



là các hàm số có đạo hàm liên tục trên





0;2

và

   

. d 2

g x f x x

 



   

. d 3

g x f x x

 



. Tính tích phân

   

. d

I f x g x x





 

 



 

. B.



. C.



. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn C

Xét tích phân

           

2 2

0 0

. d . . d

I f x g x x f x g x f x g x x



 

  

   

   

 

       

2 2

0 0

. d . d 5

g x f x x g x f x x

    

 

Câu 38: Cho hai tích phân

 

d 8

f x x







và

 

d 3

g x x







. Tính

   

4 1 d

I f x g x x



  

 

 



 

. B.



. C.



. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn B

Ta có:

   

4 1 d

I f x g x x



  

 

 



   

5 2

2 5

d 4 d

f x x g x x x



  

 





8 4.3 5 2 13

    

Câu 39: Cho hàm số





4 3 2

4 2 1

f x x x x x

    

, x

 



. Tính

   

. d

f x f x x





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

. B.

. C.



. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có

       

1 1

2 2

0 0

. d .d

f x f x x f x f x





 

 

 

 

f x











3 3

1 0

f f



 

Câu 40: Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn

 

f x dx





và

 

f x dx





. Tính

giá trị của biểu thức

   

2 6

0 4

P f x dx f x dx

 

 



.` B.



. C.



. D.



Hươngd dẫn giải:

Ta có:

         

2 6 6 2 6

0 4 0 6 4

P f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

 

    

 

 

    

           

6 4 2 6 6 2

0 6 4 4 0 4

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

 

     

 

 

     

10 6 4

  

Chọn A

Câu 41: Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn [0; 1] và có

 

3 2 5

f x dx

 

 

 



. Tính

 

f x dx





. B. 2. C. 1. D.



Hươngd dẫn giải:

Ta có:

 

3 2 5

f x dx

 

 

 



   

1 1 1

0 0 0

3 2 5 3 2 5

dx f x dx x f x dx

     

  

   

1 1

0 0

2 5 3 2 1

f x dx f x dx

       

 

Chọn A

Câu 42: Cho hai hàm số





f x

và





g x

liên tục trên đoạn [0; 1], có

 

f x dx





và

 

g x dx

 



. Tính tích phân

   

I f x g x dx

 

 

 





. B.

. C. 2. D.



Hươngd dẫn giải:

         

1 1 1

0 0 0

3 3 4 3 2 10

I f x g x dx f x dx g x dx

       

 

 

  

Chọn B

Câu 43: Cho hàm số

 

ln 1

f x x x

  

. Tính tích phân

 

I f x dx





ln 2

I 

. B.





ln 1 2

I  

. C.

ln2



2ln2



Hươngd dẫn giải:

Ta có:

   

 

' ln 1 ln 1 2

I f x dx f x x x      



Chọn B

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 44: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn





f e



 

ln3

' 9

f x dx e

 



. Tính





ln3

I f

9 2

I e

 

. B.



. C.

 

. D.

2 9

I e

 

Hươngd dẫn giải:

Ta có:

       

ln3

' ln3 1 9

f x dx f x f f e

    



(gt)









2 2

ln3 9 ln 3 9

f e e f

     

Chọn B

Câu 45: Cho hai hàm số





y f x



và





y g x



có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn

   

' . 1

f x g x dx





   

. ' 1

f x g x dx

 



. Tính

   

I f x g x dx



 

 



 

. B.



. C.



. D.



Hươngd dẫn giải:

           

1 1

0 0

.g . ' ' .g

I f x x dx f x g x f x x dx

  

   

   

 

       

1 1

0 0

. ' ' . 1 1 0

f x g x dx f x g x dx

    

 

Chọn B

Câu 46: Cho hàm số





f x

liên tục trên







và thỏa

 

.cos

f t dt x x







. Tính









4 123

f 

. B.

 



. C.

 



. D.

 



Hươngd dẫn giải:

Ta có:

















F t f t dt F t f t

  



Đặt

   

 

G x f t dt F x F  



 









2 2

' 2 .

G x F x x f x

 

  

 

(Tính chất đạo hàm hợp:













' ' . '

f u x f u u x

 

 

)

Mặt khác, từ gt:

   

.cos

G x f t dt x x



 











' .cos ' sin cos

G x x x x x x

   

    





2 . sin cos

x f x x x x

  

    (1)

Tính





 ứng với



Thay



vào (1)





4. 4 2 sin 2 cos2 1

  

    

 

 

Chọn D

Câu 47: Cho hàm số





f x

thỏa mãn





. .cos

f x

t dt x x







. Tính









4 2 3

f  . B.





4 1

 

. C.

 



. D.





4 12

f  .

Hươngd dẫn giải:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 

cos 3 .cos

3 3

f x

t dt x x f x x x

 

 

 

     

 











3 cos 4 12

f x x x f



   

Chọn D

Câu 48: Cho hàm số

   

.cos .

G x t x t dt

 



. Tính '



 

 

 

' 1



 

 

 

 

. B.

' 1



 



 

 

. C.

' 0



 



 

 

. D.

' 2



 



 

 

Hươngd dẫn giải:

Cách 1: Ta có:

















.cos ' .cos

F t t x t dt F x t x t

    



Đặt

       

.cos 0

G x t x t dt F x F   



           

/ /

' 0 ' ' 0 cos 0 ' 1

G x F x F F x F x x x x

         

   

   

' 1



 

 

 

 

Chọn B

Cách 2: Ta có

   

.cos

G x t x t dt

 



. Đặt

u t du dt

  





cos

dv x t dx

 

chọn





sin

v x t

  

         

0 0

.sin sin sin cos cos0 cos 1 cos

x x

G x t x t x t dt x t dt x t x x

             

 

 

' sin ' sin 1

2 2

G x x G

 

 

    

 

 

Chọn B

Câu 49: Cho hàm số

 

cos .

G x t dt





(



). Tính





G x





' .cos

G x x x



. B.





' 2 .cos

G x x x



. C.





' cos

G x x



. D.





' cos 1

G x x

 

Hươngd dẫn giải:

Ta có









cos ' cos

F t tdt F t t

  



 

cos 0

G x tdt F x F   



 





 





 









/ / /

2 2 2 2

' 0 0 2 .F'

G x F x F F x F F x x x

     

       

 

     

2 .cos 2 .cos

x x x x

 

Chọn B

Câu 50: Cho hàm số

 

G x t dt

 



. Tính





G x



. B.



. C.



. D.





2 2

1 1

x x

 

Hươngd dẫn giải:

Đặt

   

2 2

1 ' 1

F t t dt F t t

    



             

1 1 ' ' ' 1 '

G x t dt F x F G x F x F F x

        





Chọn A

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 51: Cho hàm số

 

sin .

F x t dt





(



). Tính





F x

sin

. B.

sin

. C.

2sin

. D. sin

Hươngd dẫn giải:

Đặt





sin

F t t dt





 

sin 1

G x t dt F x F  



 





 













sin

' ' ' 1 ' '.sin

G x F x F F x x x

     

Chọn B

Câu 52: Tính đạo hàm của





f x

, biết





f x

thỏa

   

f t f x

t e dt e









f x x



. B.





' 1

f x x

 

. C.

 

'f x



. D.

 

f x





Hươngd dẫn giải:

Đặt

















. ' .

f t f t

F t t e dt F t t e

  



 

   

. 0

f t

G x t e dt F x F   















' '

f x

G x F x e

   (gt)









f x f x

x e e

 

   

f x f x

x e e

   

 

   





















. ' .e ' .

f x f x f x

e x f x f x e

  

     

1 . ' ' '

x f x f x f x

    



Chọn D

Câu 53: Cho hàm số





y f x



liên tục trên





 

và

   

d .sin

f t t x x







. Tính





 





 . B.

 





. C.

 





. D.

 





Hươngd dẫn giải

Chọn B

Ta có









f t t F t













F t f t



 

Khi đó

   

d .sin

f t t x x







   

.sin

F t x x



 













0 .sin

F x F x x



  













.2 sin .cos

F x x x x x

  



  













.2 sin .cos

f x x x x x

  

  

 



 

Câu 54: Cho hàm số





f x

liên tục trên khoảng





2; 3



. Gọi





F x

là một nguyên hàm của





f x

trên khoảng





2; 3



. Tính

 

2 d

I f x x x



 

 

 



, biết





1 1

 

và





2 4



. B.



. C.



. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn A

 

2 d

I f x x x



 

 

 



 

F x x



 













2 1 4 1

F F

    

4 1 3 6

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 55: Cho

 

d 2

f x x







và

 

d 1

g x x



 



. Tính

   

2 3 d

I x f x g x x



  

 

 





. B.



. C.



. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có:

   

2 3 d

I x f x g x x



  

 

 



   

2 2 2

1 1 1

xd 2 f d 3 g d

x x x x x

  

  

  

4 3

2 2



    .

Câu 56: Cho

   

3 2 d 1

f x g x x

 

 

 

   

2 d 3

f x g x x

  

 

 

. Khi đó,

 

f x x



bằng

. B.



. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn B

Đặt

 

a f x x





 

b f x x





, ta có hệ phương trình

3 2 1

2 3

a b

 





  





 















Vậy

 

f x x

 



Câu 57: Cho





f x





g x

là hai hàm số liên tục trên đoạn





1;1



và





f x

là hàm số chẵn,





g x

là

hàm số lẻ. Biết

 

d 5

f x x





;

 

d 7

g x x





. Mệnh đề nào sau đây là sai?

 

d 10

f x x







. B.

   

d 10

f x g x x



 

 

 

   

d 10

f x g x x



 

 

 

. D.

 

d 14

g x x







Hươngd dẫn giải

Chọn D

Vì





f x

là hàm số chẵn nên

   

1 1

1 0

d 2 d

f x x f x x





 

2.5



Vì





g x

là hàm số lẻ nên

 

d 0

g x x









   

d 10

f x g x x



 

 

 

và

   

d 10

f x g x x



 

 

 

Vậy đáp án D sai.

Câu 58: Cho





f x





g x

là hai hàm số liên tục trên đoạn





1;1



và





f x

là hàm số chẵn,





g x

là

hàm số lẻ. Biết

 

d 5

f x x





;

 

d 7

g x x





. Mệnh đề nào sau đây là sai?

 

d 10

f x x







. B.

   

d 10

f x g x x



 

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

   

d 10

f x g x x



 

 

 

. D.

 

d 14

g x x







Hươngd dẫn giải

Chọn D

Vì





f x

là hàm số chẵn nên

   

1 1

1 0

d 2 d 2.5 10

f x x f x x



  

 

Vì





g x

là hàm số lẻ nên

 

d 0

g x x









   

d 10

f x g x x



 

 

 

và

   

d 10

f x g x x



 

 

 

Câu 59: Nếu

 

d 17

f z z





và

 

d 12

f t t





thì

 

3 d

f x x





bằng



. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn A

       

10 0 10

8 8 0

3 d 3 d d 3 12 17 15

I f x x f x x f x x

 

          

 

 

  

Câu 60: Cho

 

d 2

f x x







 

d 9

f t t







. Giá trị của

 

f z z



là

. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có

   

7 7

1 1

d d

f t t f x x

 



 

và

   

7 7

2 2

d d

f z z f x x



 

nên

     

7 2 7

1 1 2

d d d

f x x f x x f x x

 

 

  

Vậy

 

d 7

f z z





Câu 61: Cho hàm số





y f x



liên tục, luôn dương trên





0;3

và thỏa mãn

 

d 4

I f x x

 



. Khi

đó giá trị của tích phân

 

1 ln

4 d

f x

K e x



 



là:

4 12e



. B.

12 4e



. C.

3e 14



. D.

14 3e



Hươngd dẫn giải

Chọn B

Ta có

 

3 3 3 3 3

1 ln 1 ln

0 0 0 0 0

e 4 d e d 4d e. d 4d 4e 4 4e 12

f x f x

K x x x f x x x x

 

         

    

Vậy

4e 12

 

Câu 62: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm trên



thỏa









       

0 0 1;

3 1, x,y

f f

f x y f x f y xy x y



 





       







Tính

 

1 d

f x x





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

. B.



. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Lấy đạo hàm theo hàm số









3 6

f x y f y x xy

 

   

, x

 



Cho









0 0 3

y f x f x

 

   





1 3

f x x



  

Vậy









f x f x dx x x C



   



mà





0 1



 

suy ra





f x x x

  

 

1 d

f x x

 



 

f x dx







 

x x dx



 



4 2

x x



 

  

 

 

1 1

4 2

   



Câu 63: Cho hàm số





f x

là hàm bậc nhất thỏa mãn

   

1 d 10

x f x x



 



và









2 1 0 2

f f

 

Tính

 

I f x x







. B.



. C.

 

. D.

 

Hươngd dẫn giải

Chọn D

Gọi





f x ax b

 











f x a



 

Theo giả thiết ta có:

   

1 d 10

x f x x



 



 

1 d 10

a x x

  



 

1 dx x

  



3 10 20

2 3

    .









2 1 0 2

f f

 

2. 2

b b

 

   

 

 

  

Do đó,

 

20 34

3 3

f x x  .

Vậy

 

I f x x





20 34

d 8

3 3

x x

 

   

 

 



Câu 64: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 0



, thỏa mãn

 

3 5

f x

x x











f a



và





f b

 

. Tính









1 2

f f 









1 2

f f a b

    

. B.









1 2

f f a b

   









1 2

f f a b

   

. D.









1 2

f f b a

   

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có

 

   

3 5

f x

x x



 

  

3 5

x x

 







f x



 

nên





f x



là hàm lẻ.

Do đó

     

2 1 2

2 2 1

d 0 d d

f x x f x x f x x



 

  

   

  

Suy ra

































1 2 2 1 1 2 2 1

f f f f f f f f a b

             

Câu 65: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 0



và thỏa mãn

 

2 4

f x

x x











f a







f b

 

. Giá trị của biểu thức









1 2

f f 

bằng

b a



. B.

a b



. C.

a b



. D.

a b

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Hươngd dẫn giải

Chọn A

Ta có

 

   

2 4

f x

x x



 

  

2 4

x x









f x





nên





f x



là hàm chẵn.

Do đó

   

1 2

2 1

d d

f x x f x x



 



 

Suy ra

































1 2 1 2 2 1 1 2

f f f f f f f f          

   

1 2

2 1

d d

f x x b a f x x



 

   

 

b a

 

Câu 66: Cho hàm số





y f x



xác định và liên tục trên



thỏa mãn đồng thời các điều kiện





f x



, x

 



;









f x e f x



 

, x

 



và

 



. Tính giá trị của





ln 2

 

ln2



. B.

 

ln2

 

. C.

 

ln2



. D.

 

ln2



Hươngd dẫn giải

Chọn D









f x e f x



 





 

f x



  





 

ln2 1

0 0

d e d

f x

x x

f x



  

 





 

ln2

f x

  



 

ln2

f x

   

   

1 1

ln2 0f f

  

 

ln2f

 

 

ln2

 

Câu 67: Cho hàm số





y f x



có đồ thị





, xác định và liên tục trên



thỏa mãn đồng thời các

điều kiện





0f x x

  



   





. ,f x x f x x



  



và





0 2



. Phương trình tiếp

tuyến tại điểm có hoành độ



của đồ thị





là.

6 30

y x

 

. B.

6 30

y x

  

. C.

36 30

y x

 

. D.

36 42

y x

  

Hươngd dẫn giải

Chọn C

   





f x x f x









 

f x



 





 

1 1

0 0

d d

f x

x x x

f x



 

 

 

f x

 



 

1 1

f x

  

   

1 1 1

1 0 3

f f

   

 

1 1

1 6

 





1 6

 

   





1 1. 1 36

f f



 

Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là

36 30

y x

 

Câu 68: Cho hàm số





y f x

 

xác định, có đạo hàm trên đoạn





0;1

và thỏa mãn:

   

1 2018 dt

g x f t

 











g x f x



. Tính

 

g x x



1011

. B.

1009

. C.

2019

. D.

505

Hươngd dẫn giải

Chọn A

Ta có

   

1 2018 dt

g x f t

 



     

2018 2018

g x f x g x



  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay





 

2018

g x



 





 

0 0

d 2018 d

t t

g x

x x

g x



 

 

 





2 2018

g x x

 

 





2 1 2018

g t t

   (do





0 1



)

 

1009 1

g t t

  

 

1009 1011

2 2

g t t t

 

   

 

 



Câu 69: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm và liên tục trên đoạn





1;1



, thỏa mãn





0,f x x

  



và









' 2 0

f x f x

 

. Biết





1 1



, tính











f e



 

. B.





f e

 

. C.





f e

 

. D.





1 3

 

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Biến đổi:

   





 





 





 

1 1 1

' '

' 2 0 2 2 4 ln 4

f x f x df x

f x f x dx dx f x

f x f x f x



  

             

  





 





 

   

4 4 4

1 1

ln 4 1 1 .

1 1

f f

e f f e e

f f



       

 

Câu 70: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

đồng thời thỏa mãn





0 9





và

   

9 9

f x f x x

 

  

 

 

. Tính









1 0

T f f 

2 9ln2

 

. B.



. C.

9ln 2

T   . D.

2 9ln2

 

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có

   

9 9

f x f x x

 

  

 

 

 





 

9 1

f x f x x

 

    

 

 





 

f x

f x x





  



 

 

Lấy nguyên hàm hai vế





 

d d

f x

x x

f x x





 

 

 

 

 

f x x

  









0 9





nên



suy ra

 

f x x



 



 

f x x



  



Vậy

   

1 0 d

T f f x x

 

   

 



 



9ln 1

 

  

 

 

9ln 2

 

Câu 71: Cho hàm số





y f x



thỏa mãn









4 2

' .

f x f x x x

 

. Biết





0 2



. Tính





 

313

f  . B.

 

332

f  . C.

 

324

f  . D.

 

323

f  .

Hươngd dẫn giải

Chọn B

Ta có

       

 

   





2 2 2

4 2 4 2 2

0 0 0

136 136

' . ' .

15 2 15

f x

f x f x x x f x f x dx x x dx f x df x        

  





 

2 4

136 332

2 15 15



  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 72: Cho

( )

f x

xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên





1;4

thỏa mãn

   

 

 

2 , 1;4 , 1

x xf x f x x f



    

 

 

. Giá trị





bằng:

391

361

381

371

Hươngd dẫn giải

Chọn A

Biến đổi:

   

x xf x f x



 

 

 

 





 

1 2

x f x f x



  

 

 

 

1 2

f x

x x

f x



 



 

   







 

4 4

1 1

1 2

f x

dx xdx

f x



 



 

 

1 2

f x

  

   

14 391

1 2 4 2 4

3 18

f f      .

Chọn A

Chú ý: Nếu không nhìn được ra luôn





 

1 2

f x

I dx f x

f x



  





 

1 2 4 2

  

thì ta có

thể sử dụng kỹ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một).

+ Vi phân:





 





 

4 4

1 1

1 2 1 2

f x df x

f x f x



 

 

 

1 2 1 2 1 2

f x d f x f x



    



+ Đổi biến: Đặt

 

1 2

t f x

 





1 2

t f x

  





tdt f x dx



 

với

   

1 1 2 1 2; 4 1 2 4

x t f x t f        

Khi đó

 

1 2 4

tdt



 



 

1 2 4

dt t







 

1 2 4 2

  

Câu 73: Cho hàm số





y f x



có





f x



liên tục trên nửa khoảng







thỏa mãn

   

3 1 3.e

f x f x





  

. Khi đó:

   

1 1

e 1 0

e 3

f f

  



. B.

   

1 1

e 1 0

2 e 3

f f

  



   





2 2

e 3 e 3 8

e 1 0

f f

  

  . D.

   





3 2 2

e 1 0 e 3 e 3 8

f f

    

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có:

   

e 3

3 1 3.e

f x f x







   

   

3 3 2 2

3e e e e 3

x x x x

f x f x



   

 

3 2 2

e e e 3

x x x

f x



 

  

 

Lấy tích phân từ

đến

hai vế ta được

 

1 1

3 2 2

0 0

e d e e 3 d

x x x

f x x x



 

 

 

 

 

3 2

e e 3

x x

f x

 

  

 

   





2 2

e 3 e 3 8

e 1 0

f f

  

   .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 74: Cho hàm số

liên tục,





f x

 





0 0



và thỏa

   

1 2 1

f x x x f x



  

. Tính





. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn B

Ta có

   





 

1 2 1

f x

f x x x f x

f x



    







 

   

3 3

0 0

d d 1 1 1 1

f x

x x f x x f x

f x



        



 





 









3 1 0 1 1 3 1 2 3 3

f f f f

         

Câu 75: Cho hàm số





f x



thỏa mãn điều kiện













2 3

f x x f x



 

và

 

 

. Biết rằng

tổng

         

1 2 3 ... 2017 2018

f f f f f

     

với





,a b 

 

và

là phân

số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

. B.



. C.

1010

a b

 

. D.

3029

b a

 

Hươngd dẫn giải

Chọn D

Ta có













2 3

f x x f x



 





 

2 3

f x



  





 

d 2 3 d

f x

x x x

f x



  

 

 

x x C

f x

    

Vì

 

0 2

f C

   

Vậy

 

  

1 1 1

1 2 2 1

f x

x x x x

   

   

Do đó

         

1 1 1009

1 2 3 ... 2017 2018

2020 2 2020

f f f f f         .

Vậy

1009

 

;

2020



. Do đó

3029

b a

 

Câu 76: Biết luôn có hai số

và

để

 

ax b

F x











4 0

a b

 

là nguyên hàm của hàm số





f x

và thỏa mãn:













2 1

f x F x f x



  

 

Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?



. B.



 

. C.







\ 4

b 



. D. a





, b





Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có

 

ax b

F x







là nguyên hàm của





f x

nên

   

 

a b

f x F x





 



và

 

2 8

b a

f x









Do đó:

















2 1

f x F x f x



 

 

   

4 3

2 4

2 8

4 4

a b

ax b b a

x x



 

 

  

 



 

 





4 4

a b ax b x

      









4 1 0 1

x a a

     

(do

4 0

 

)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Với



mà

4 0

a b

 

nên



Vậy







\ 4

b 



Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau:

+ Vì

4 0

a b

 

nên loại được ngay phương án A:



và phương án D: a





, b





+ Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy



. Khi đó, ta có

 

F x





 

f x





 

f x



 



Thay vào

















2 1

f x F x f x



 

thấy đúng nên

Chọn C

Câu 77: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên





1;2

thỏa mãn





1 4



và









3 2

2 3

f x xf x x x



  

. Tính





. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn B





1;2

x 

nên

   

     

3 2

2 3 2 3 2 3

xf x f x f x

f x xf x x x x x

x x



  



        

 

 





f x

x x C

   





1 4



nên









3 2

f x x x

 

Vậy





2 20



Câu 78: Cho

 

cos

f x

 trên

;

2 2

 

 



 

 

và





F x

là một nguyên hàm của





xf x



thỏa mãn





0 0



. Biết

;

2 2

 

 

 

 

 

thỏa mãn

tan 3



. Tính





10 3

F a a a

 

ln10

 . B.

ln10

 . C.

ln10

. D.

ln10

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có:









F x xf x x











x f x













xf x f x x

 



Ta lại có:

 

d d

cos

f x x x



 





= d tan

x x



tan tan d

x x x x

 



sin

tan d

cos

x x x

 



 

tan d cos

cos

x x x

 



tan ln cos

x x x C

  









tan ln cos

F x xf x x x x C

    

Lại có:





0 0



 

, do đó:









tan ln cos

F x xf x x x x

  









tan ln cos

F a af a a a a

   

Khi đó

 

cos

f a







1 tan

a a

 



và

1 tan

cos

 



cos

 

cos

a 

Vậy





10 3

F a a a

 

2 2

10 3 ln 10 3

a a a a

    

ln10

 .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 79: Cho hàm số





y f x



xác định và liên tục trên



thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau





f x



, x

 











e .

f x f x



 

 



và

 



. Phương trình tiếp tuyến của

đồ thị tại điểm có hoành độ

ln2

x 

là

2 9 2ln 2 3 0

x y

   

. B.

2 9 2ln 2 3 0

x y

   

2 9 2ln 2 3 0

x y

   

. D.

2 9 2ln 2 3 0

x y

   

Hươngd dẫn giải

Chọn A

Ta có









e .

f x f x



 





 

f x



  





 

ln2 ln 2

0 0

d e d

f x

x x

f x

 



  

 

 

 

 

ln2

f x

 

 

 

 

   

1 1

ln2 0f f

  

 

ln2

 

Từ đó ta có









ln 2 2

ln 2 e ln 2

f f



 

 

 

 

 

 

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là

 

2 1

ln2

9 3

y x

   

2 9 2ln2 3 0

x y

    

Câu 80: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1





f x

và





f x



đều nhận giá trị

dương trên đoạn





0;1

và thỏa mãn





0 2



       

1 1

0 0

. 1 d 2 . d

f x f x x f x f x x

 

 

 

 

 

 

. Tính

 

f x x

 

 



. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn D

Theo giả thiết, ta có

       

1 1

0 0

. 1 d 2 . d

f x f x x f x f x x

 

 

 

 

 

 

       

1 1

0 0

. 1 d 2 . d 0

f x f x x f x f x x

 

 

   

 

 

 

       

. 2 . 1 d 0

f x f x f x f x x

 

 

   

 

 



   

. 1 d 0

f x f x x

 



  

 



   

. 1 0

f x f x



  









. 1

f x f x



 





f x

x C

  

. Mà

 

0 2

f C

  

Vậy





3 8

f x x

 

Vậy

   

1 1

0 0

3 19

d 3 8 d 8

2 2

f x x x x x

 

    

 

 

 

 

 

Câu 81: Cho

( )

f x

không âm thỏa mãn điều kiện

( ). '( ) 2 ( ) 1

f x f x x f x

 

và

(0) 0



. Tổng giá

trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

( )

y f x



trên





1;3

là

4 11 3

 C.

20 2



3 11 3



Hươngd dẫn giải

Chọn D

Biến đổi:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

2 2

( ). '( ) ( ). '( )

( ). '( ) 2 ( ) 1 2 2

( ) 1 ( ) 1

f x f x f x f x

f x f x x f x x dx xdx

f x f x

     

 

 

2 2

( ) 1

f x x C

   

Với

2 2 2 4 2

(0) 0 1 ( ) 1 1 ( ) 2 ( )

f C f x x f x x x g x

          

Ta có:





'( ) 4 4 0, 1;3

g x x x x    

. Suy ra

( )

g x

đồng biến trên





1;3

Suy ra:





( ) 02 2

(1) ( ) ( ) 3 3 ( ) 99 3 ( ) 3 11

f x

g g x f x g f x f x



        

 

1;3

min ( ) 3

( ) 3 11

f x

Max f x

















Chú ý: Nếu không tìm được ra luôn

( ). '( )

( ) 1

f x f x

dx f x C

f x

  





thì ta có thể sử dụng kĩ thuật

vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một)

+) Vi phân:

 

   

2 2 2

2 2

( ). '( ) ( ) 1

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

( ) 1 ( ) 1

f x f x f x

dx d f x f x d f x f x C

f x f x



      

 

  

+ Đổi biến: Đặt

2 2 2

( ) 1 ( ) 1 ( ) '( )

t f x t f x tdt f x f x dx

      

Suy ra:

( ). '( )

( ) 1

f x f x tdt

dx dt t C f x C

f x

      



  

Câu 82: Cho hàm số





f x

có đạo hàm và đồng biến trên



thỏa mãn





0 1



và

 





 

f x e f x x



  



. Tính tích phân

 

f x dx



bằng



. B.



. C.



. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn B

Biến đổi

 





 

f x e f x





 





 

f x



 





 

f x



 





 

f x

dx e dx

f x



 

 

 

f x df x e dx



 

 

 

2 2

f x e C

  

Vì





0 1 0

f C

  

 

f x e

 





f x e

 

Suy ra

 

1 1

0 0

f x dx edx e e

   

 

Câu 83: Cho hàm số





y f x



xác định và liên tục trên





\ 0



thỏa mãn

















2 2

2 1 1

x f x x f x xf x



   

với





\ 0

x 



và





1 2

 

. Tính

 

f x dx



ln2

  . B.

ln2

  . C.

ln2

  . D.

3 ln2

2 2

  .

Hươngd dẫn giải

Chọn A

Ta có

















2 2

2 1 1

x f x x f x xf x



   

 





    

1 *

xf x f x xf x



   

Đặt













h x f x xf x



 













h x f x xf x

 

  

, khi đó





có dạng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay









h x h x









 

h x



 





 

h x

dx dx

h x



 

 





 

dh x

x C

h x

  



 

x C

h x

   

 

h x

x C

  



 

1xf x

x C

   



Vì





1 2

 

nên

2 1

   



 

Khi đó

 

1xf x

  

 

1 1

f x

x x

   

Suy ra:

 

2 2

1 1

f x dx dx

x x

 

  

 

 

 

 

 

 

 

ln2

  

Câu 84: Cho hàm số





y f x



. Có đạo hàm liên tục trên



. Biết





1 e



và













x f x xf x x



  

, x

 



. Tính





4e 4e 4

 

. B.

4e 2e 1

 

. C.

2e 2e 2

 

. D.

4e 4e 4

 

Hươngd dẫn giải

Chọn D

Ta có:













x f x xf x x



  













xf x x f x



 

 

 

f x





 

 

 

 

Suy ra

 

2 2

1 1

d e d

f x

x x





 



 

 

 









2 1

2 2

e 2 e 1

e e

2 1

f f

 

 

    

 









2 1

1 2

e 2 e 1

e e

4 1

f f

 

   









2 4 e 1 e 1

f f

   

 

 

4e 4e 4

  

Câu 85: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và thỏa mãn





0 0



. Biết

 

f x x





và

 

cos d

2 4

f x x

 







. Tích phân

 

f x x



bằng



. B.



. C.



. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có

   

 

1 1

0 0

cos d cos d

2 2

x x

f x x f x

 





 

   

cos . sin . d

2 2 2

x x

f x f x x

  

 



 

sin . d

2 2

f x x

 





Suy ra

 

sin . d

2 2

f x x







Mặt khác

 

1 1

0 0

1 1

sin d 1-cos d

2 2 2

x x x



 

 

 

 

 

Do đó

   

1 1 1

0 0 0

d 2 3sin d 3sin d 0

2 2

x x

f x x f x x x

 

 

  

 

 

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

hay

 

3sin d 0

f x x



 

 

 

 



suy ra

 

3sin

f x



 .

Vậy

 

1 1

0 0

6 6

d 3sin d cos

2 2

x x

f x x x

 

   

 

Câu 86: Cho hàm số





y f x



liên tục trên đoạn





0; 1

, thỏa mãn

   

1 1

0 0

d d 1

f x x xf x x

 

 

và

 

d 4

f x x



 

 



. Giá trị của tích phân

 

f x x

 

 



bằng

. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Xét

   

f x ax b x

 

 

 



       

1 1 1

0 0 0

d 2 . d d

f x x f x ax b x ax b x

    

   

   

  

     

1 1

0 0

4 2 d 2 d

a xf x x b f x x ax b

    

 

 

4 2

a b ab b

     

Cần xác định

a b

để

 

2 2 4 0

b a b b

     

Ta có:

 

2 2

4 4 2 4

b b b b

      

 

b 

 

2 6

b a

    

Khi đó:

   

6 2 d 0

f x x x

   

 

 







6 2

f x x

  

Suy ra

   

1 1

0 0

d 6 2 d

f x x x x

 

 

 

 

 

6 2 10

  

Câu 87: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn





f x



khi





1,2

x 

Biết

 

' 10

f x dx





và





 

ln2

f x





. Tính









2 10

 

. B.





2 20



. C.





2 10



. D.





2 20

 

Hươngd dẫn giải:

Ta có:

       

' 2 1 10

f x dx f x f f

   



(gt)





 

     





 

' 2

ln ln 2 ln 1 ln ln 2

f x f

dx f x f f

f x f

    

     

     



(gt)

Vậy ta có hệ:









 

2 1 10

2 20

1 10

f f

  









 







Chọn B

Câu 88: Cho hàm số





f x

có đạo hàm và liên tục trên đoạn





4;8

và





0 0



với





4;8

x 

. Biết

rằng

 

f x



 

 



 

 



và

   

1 1

4 , 8

4 2

f f

 

. Tính





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn D

+) Xét





 





       

 

8 8

2 2

4 4

1 1 1

2 4 2

8 4

f x df x

f x f x f x f f

 



         

 

 

 

+) Gọi

là một hằng số thực, ta sẽ tìm

để

 

f x

k dx

f x

 

 

 

 



Ta có:

 

8 8 8 8

2 2

4 4 4 4

2 1 4 4 2 1

f x

f x f x

k dx dx k dx k dx k k k

f x f x

f x



 

  

 

        

 

 

 

 

   

Suy ra:

 

thì

 

8 6 6

2 2 2

4 4 4

1 1 1

2 2 2

f x f x f x

dx dx dx

f x f x f x

   

     

 

 

  





         

 

1 1 1 1 1

1 1 1 4 1 6

4 6 6 3

df x

f x f x f f f

            



Chú ý:

 

f x dx





không được phép suy ra





f x



, nhưng

   

0 0

f x dx f x

  



Câu 89: Cho hàm số





f x

có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn





0;1

đồng thời thỏa mãn các

điều kiện





0 1



 

và

   

f x f x

 

 

 

. Đặt









1 0

T f f 

, hãy chọn khẳng định

đúng?

2 1

   

. B.

1 0

  

. C.

0 1

 

. D.

1 2

 

Hươngd dẫn giải

Chọn A

Ta có:









1 0

T f f 

 

f x x







Lại có:

   

f x f x

 

 

 





 

f x



   



 

 

 

f x



 

  

 



 

 

x c

f x

   



 

f x

x c



 

 

Mà





0 1



 

nên

 

Vậy

 

T f x x









 



ln 1

   

ln2

 

Câu 90: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm cấp

liên tục trên



thoả





   

2 2

0, ,

0 0 1,

, .

f x x

f f

xy y yy x

  





 





 

   





Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

ln 1 1

 

. B.

 

0 ln 1

 

. C.

 

ln 1 2

 

. D.

 

1 ln 1

 

Hươngd dẫn giải

Chọn D

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Ta có

2 2

xy y yy

 

 

y y y

 



 



 

 

 

 

y x



  

hay





 

f x



 

Lại có









0 0 1

f f



 

 

Ta có





 

f x



 





 

1 1

0 0

d 1 d

f x

x x

f x



 

  

 

 

 

 

f x

 

 

ln 1

 

 

1 ln 1

  

Câu 91: Cho

f g

là hai hàm liên tục trên





1;3

thỏa mãn điều kiện

   

3 d 10

f x g x x

 

 

 

đồng

thời

   

2 d 6

f x g x x

 

 

 

. Tính

   

f x g x x



 

 



. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn B

Đặt

 

a f x x





 

b g x x





. Khi đó

   

3 d 10

f x g x x

 

 

 

3 10

a b

  

   

2 d 6

f x g x x

 

 

 

2 6

a b

  

Do đó:

3 10

2 6

a b

 





 















. Vậy

   

f x g x x



 

 



a b

  

Câu 92: Cho hàm số





y f x



liên tục trên





;

a b

, nếu

 

d 5

f x x





và

 

d 2

f x x





(với

a d b

 

) thì

 

f x x



bằng.

. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn A

 

d 5

d 2

f x x



























   

F d F a

F d F b

 









 





     

3 d

F b F a f x x

   



Câu 93: Cho





f x

và





g x

là hai hàm số liên tục trên đoạn





1;3

, thỏa mãn:

   

3 d 10

f x g x x

 

 

 

và

   

2 d 6

f x g x x

 

 

 

. Tính

   

I f x g x x

 

 

 





. B.



. C.



. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn C

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Ta có:

   

3 d 10

2 d 6

f x g x x



 

 



 







 

 

 







 

d 4

d 2

f x x

g x x





















   

d 6

I f x g x x

   

 

 

Câu 94: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm





f x



liên tục trên đoạn





0;5

và đồ thị hàm số





y f x





trên đoạn





0;5

được cho như hình bên.

Tìm mệnh đề đúng













0 5 3

f f f

 

. B.













3 0 5

f f f

 













3 0 5

f f f 

. D.













3 5 0

f f f 

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có

     

d 5 3 0

f x x f f



  



, do đó









5 3

f f

     

d 3 0 0

f x x f f



  



, do đó









3 0

f f

     

d 5 0 0

f x x f f



  



, do đó









5 0

f f

Câu 95: Cho hàm số





f x

liên tục và có đạo hàm tại mọi





0;x

 

đồng thời thỏa mãn điều kiện:













sin ' cos

f x x x f x x

  

và

 

sin d 4.

f x x x



 



Khi đó,







nằm trong khoảng

nào?





6;7

. B.





5;6

. C.





12;13

. D.





11;12

Hươngd dẫn giải

Chọn B

Ta có:













sin cos

f x x x f x x



  









2 2

sin cos

f x xf x

x x

x x x





  

   

1 1

cos cos

f x f x

x x c

x x x x



 

    

 

 





cos

f x x cx

  

Khi đó:

 

sin d 4

f x x x



 



 

cos sin d 4

x cx x x



   





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

3 3

2 2

cos sin d sin d 4

x x x c x x x

 

   

 





0 2 4

    

 





cos 2

f x x x

  









2 1 5;6

 

   

Câu 96: Cho hàm số





f x

xác định trên



 

 

 

thỏa mãn

   

2 2 sin d

4 2

f x f x x x



 

  

 

  

 

 

 

 



. Tích phân

 

f x x





bằng



. B.

. C.

. D.



Hươngd dẫn giải

Chọn B

Ta có:

2sin d

x x



 



 

 



1 cos 2 d

x x



 

 

  

 

 

 

 



 

1 sin 2 d

x x



 



cos2

x x



 

 

 

 





 .

Do đó:

   

2 2 sin d

f x f x x x



 

 

 

 

 

 

 



2sin d

x x



 

 

 

 



2 2

 

 

  

   

2 2

2 2 sin 2sin d 0

4 4

f x f x x x x



 

 

   

     

   

 

   

 



 

2 sin d 0

f x x x



 

 

   

 

 

 

 



Suy ra

 

2 sin 0

f x x



 

  

 

 

, hay

 

2 sin

f x x



 

 

 

 

Bởi vậy:

 

2 2

0 0

d 2sin d

f x x x x

 



 

 

 

 

 

2 cos 0



 

   

 

 

Câu 97: Cho hàm số

( )

y f x



liên tục trên  thỏa mãn

     

2 1

3 2 2 1 e 4

x x

f x f x x

 

    

. Tính

tích phân

 

I f x x





ta được kết quả:

e 4

 

. B.



. C.



. D.

e 2

 

Đề ban đầu bị sai vì khi thay



và



vào ta thấy mâu thuẫn nên tôi đã sửa lại đề

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Theo giả thuyết ta có

       

2 2

2 1

0 0

3 2 d 2 1 e 4 d *

x x

f x f x x x x

 

 

    

 

 

 

Ta tính

       

2 2 2

0 0 0

2 d 2 d 2 d

f x x f x x f x x

     

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Vì vậy

     

2 2

0 0

3 2 d 4 d

f x f x x f x x

  

 

 

 

Hơn nữa

 

2 2 2

2 2

2 1 2 1 2 2 1

0 0

2 1 d e d 2 1 e 0

x x x x x x

x e x x x

     

     

 

và

4d 8





Câu 98: Suy ra

   

2 2

0 0

4 d 8 d 2

f x x f x x

  

 

. Cho hàm số





y f x



liên tục trên





\ 0; 1





thỏa

mãn điều kiện





1 2ln 2

f  

và













1 .

x x f x f x x x



   

. Giá trị





2 ln 3

f a b 

với ,a b





. Tính

2 2

a b



. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn B

Từ giả thiết, ta có













1 .

x x f x f x x x



   



 

1 1

x x

f x f x

x x



 

 



 

1 1

x x

f x

x x



 

 

 

 

 

, với





\ 0; 1

  



Suy ra

 

f x









hay

 

f x



ln 1

x x C

   

Mặt khác, ta có





1 2ln 2

f  

nên

 

. Do đó

 

f x



ln 1 1

x x

   

Với



thì

 

. 2 1 ln3

f  



 

3 3

2 ln3

2 2

f   . Suy ra



và

 

Vậy

2 2

a b

 

Câu 99: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm trên



và

 

f x x x



  

 

và





1 1

 

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Phương trình





f x



có

nghiệm trên





0;1

B. Phương trình





f x



có đúng

nghiệm trên







C. Phương trình





f x



có

nghiệm trên





1;2

C. Phương trình





f x



có

nghiệm trên





2;5

Hươngd dẫn giải

Chọn C

 

f x x x



  

6 3

2 2

x x

 







1 1

 

 

 





y f x

 

đồng biến trên











f x



có nhiều nhất

nghiệm trên khoảng











Mặt khác ta có:

 

2 0

f x x x



   

 

 

2 2

1 1

2 21

d 2 d

f x x x x x

 



    

 

 

 

   

2 1

f f  

 

f  .

Kết hợp giả thiết ta có





y f x



liên tục trên





1;2

và









2 . 1 0

f f







ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Từ





và





suy ra phương trình





f x



có đúng

nghiệm trên khoảng





1;2 .

Câu 100: Cho hàm số





f x

có đạo hàm





f x



liên tục trên



và thỏa mãn









1;1

f x



 

với





0;2

x 

. Biết









0 2 1

f f

 

. Đặt

 

I f x x





, phát biểu nào dưới đây đúng?





I  

. B.





0;1

I 

. C.





1;I

 

. D.





0;1

I 

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có

     

2 1 2

0 0 1

d d d

I f x x f x x f x x

  

  



               

1 1 1 1

0 0 0 0

d 1 1 d 1 1 d 1 1 d

f x x x f x x f x x x f x x x x

 

          

   







             

2 2 2

1 1 1

d 1 1 d 1 1 d

f x x x f x x f x x x f x x

 

      

  

 

1 1 d

x x

   







Từ





và





suy ra

1 1

2 2

  

Câu 101: Cho hàm số





y f x



liên tục trên





0; 1

thỏa mãn

 

d 0

xf x x





và





[0;1]

max 1.

f x



Tích

phân

 

e d

I f x x





thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

; .

 

 

 

 

; e 1 .

 



 

 

5 3

; .

4 2

 



 

 





e 1; .

  

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Với mọi





0;1

a

, ta có

 

0 d

xf x x





 

a xf x x





 

axf x x





Kí hiệu

 

e d

I a ax x

 



Khi đó, với mọi





0;1

a

ta có

 

e d

f x x



   

1 1

0 0

e d d

f x x axf x x

 

 

 

e d

ax f x x

 



 

e . d

ax f x x

 



 

 

0;1

e .max d

ax f x x



 



 

e d

ax x I a

  



Suy ra

 

 

 

0;1

e d min

f x x I a







Mặt khác

Với mọi





0;1

a

ta có

 

1 1

0 0

e d e d

x x

I a ax x ax x

   

 

 

 

 

 

e 1

  

 

 

0;1

min e

I a



 

 

e d e 1,22

f x x   



Vậy

5 3

;

4 2

 

 

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 102: Cho hàm số





f x

có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





0 1



và

       

1 1

0 0

3 d 2 d

f x f x x f x f x x

 

 

 

 

 

 

 

 

. Tính tích phân

 

f x x

 

 



. B.

. C.

. D.

Hươngd dẫn giải

Chọn D

Từ giả thiết suy ra:

   

 

   

3 2.3 1 d 0

f x f x f x f x x

 

 

  

 

 



   

3 1 d 0

f x f x x

 



  

 



Suy ra

   

3 1 0

f x f x



 

   

f x f x



 

   

f x f x



 

Vì

     

3 2

f x f x f x



 



 

nên suy ra

 

f x



 



 

 

f x x C

  

Vì





0 1



nên





0 1



 

Vậy

 

f x x

  

. Suy ra

 

f x x

 

 



1 7

1 d

3 6

x x

 

  

 

 



Câu 103: Cho hai hàm số





f x

và





g x

có đạo hàm trên đoạn





1;4

và thỏa mãn hệ thức









       

1 1 4

. ; .

f g

g x x f x f x x g x

 





 

   





. Tính

   

I f x g x x

 

 

 



8ln2

. B.

3ln 2

. C.

6ln2

. D.

4ln2

Hươngd dẫn giải

Chọn A

Cách 1: Ta có

















f x g x x f x g x

 

   

 

 









   

f x g x

f x g x x



  

 











   

d d

f x g x

x x

f x g x x



  

 



 









f x g x

 

x C

  

Theo giả thiết ta có









ln 1 ln 1 1

C f g  

ln4

 

Suy ra

   

f x g x



 



  





, vì









1 1 4

f g

 

nên

   

f x g x

 

   

d 8ln2

I f x g x x    

 

Cách 2: Ta có

















f x g x x f x g x

 

   

 

 

















d d

f x g x x x f x g x x

 

    

   

   

 

























d d

f x g x x x f x g x f x g x x

      

     

     

 

       

x f x g x C f x g x

       

 

 

. Vì









1 1 4

f g C C

     

Do đó

   

f x g x

 

. Vậy

   

d 8ln 2

I f x g x x   

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 102

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

BÀI TẬP

Câu 188. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm





f x



liên tục trên





0;2

và





2 3



 

d 3

f x x





Tính

 

. d

x f x x







. B.

. C.

. D.

Câu 189. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm là





f x

liên tục trên đoạn [0; 1] và





1 2



. Biết

 

f x dx





, tính tích phân

 

. '

I x f x dx







. B.

 

. C.



. D.

 

Câu 190. Cho hàm số





f x

thỏa mãn

   

1 ' 10

x f x dx

 



và









2 1 0 2

f f

 

. Tính

 

I f x dx







. B.

 

. C.



. D.

 

Câu 191. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;2

và thỏa mãn





2 16



 

d 4

f x x





. Tính tích phân

 

. 2 d

I x f x x









. B.



. C.



. D.



Câu 192. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn ,

. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 193. Cho hàm số





y f x



thỏa mãn





3 1 3 2, .

f x x x x

     



Tính

 

I x f x dx







. B.

. C.

. D.

1761



Câu 194. Cho hàm số





f x

liên tục trong đoạn





1;e

, biết





d 1

f x









e 1



. Khi đó

 

.ln d

I f x x x







bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 195. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên



thỏa mãn

 

sin .cos

f x f x x x

 

  

 

 

, với mọi x





và





0 0



. Giá trị của tích phân

 

. d

x f x x





bằng



. B.

. C.

. D.







y f x









2 1

 

 

2 4 d 1

f x x

 



 

xf x x









 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 103

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 196. Cho hàm số





f x

thỏa









0 1 1

f f

 

. Biết

   

e f x f x dx ae b

  

 

 



. Tính biểu

thức

2018 2018

Q a b

  .



. B.



. C.



. D.



Câu 197. Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên



thỏa mãn









2017 2018

2018 2018. .e

f x f x x



  với

mọi x





và





0 2018.

f  Tính giá trị





1 .





2018

1 2019e

f  . B.





2018

1 2018.ef



 . C.





2018

1 2018.e

f  . D.





2018

1 2017.e

f 

Câu 198. Cho hàm số





y f x

 với









0 1 1

f f

 

. Biết rằng:

   

e d e

f x f x x a b



  

 

 



Tính

2017 2017

Q a b

  .

2017

2 1

 

. B.



. C.



. D.

2017

2 1

 

Câu 199. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;5

và





5 10



 

d 30

xf x x







. Tính

 

f x x



. B.



. C.



. D.

Câu 200. Cho hai hàm số liên tục

và

có nguyên hàm lần lượt là

và

trên đoạn





1;2

. Biết

rằng





1 1







2 4



 







2 2



và

   

f x G x x 



. Tính

   

F x g x x



. B.

145

 . C.



. D.

145

Câu 201. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên





0;1

thỏa mãn

   

2 d 1

x f x x f



 

 

 

. Giá

trị của

 

I f x x





bằng



. B.

. C.



. D.

Câu 202. Cho hàm số





y f x

 liên tục trên đoạn





1;2

và

   

1 d

x f x x a



 



. Tính

 

f x x



theo

và





b f .

b a



. B.

a b



. C.

a b



. D.

a b

 

Câu 203. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





2 16



 

d 4

f x x





. Tính tích phân

 

. 2 d

I x f x x









. B.



. C.



. D.



Câu 204. Cho





y f x

 là hàm số chẵn, liên tục trên



biết đồ thị hàm số





y f x

 đi qua điểm

 



 

 

và

 

dt 3

f t





, tính

 

sin 2 . sin d

I x f x x













. B.

 

. C.



. D.

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 104

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 205. Cho hàm số





y f x

 thỏa mãn

   

sin . d 0

x f x x f









. Tính

 

cos . d

I x f x x











. B.



. C.



. D.

 

Câu 206. Cho hàm số





y f x

 liên tục trên



và thỏa mãn









2018 2 sin

f x f x x x

   . Tính

 

I f x x









2019

. B.

2018

. C.

1009

. D.

2019

Câu 207. Cho hàm số





f x

và





g x

liên tục, có đạo hàm trên



và thỏa mãn









0 . 2 0

f f

 



và













2 e

g x f x x x



  . Tính giá trị của tích phân

   

. d

I f x g x x









. B.

e 2



. C.

. D.

2 e



Câu 208. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm và liên tục trên



 

 

 

thỏa mãn



 



 

 

 

d 1

cos

f x







và

 

sin .tan . d 2

x x f x x



 



 

. Tích phân

 

sin . d

x f x x







bằng:

. B.

2 3 2



. C.

1 3 2



. D.

Câu 209. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





2 16



 

d 4

f x x





. Tính

I xf x

 





 

 





. B.

112



. C.



. D.

144



Câu 210. Cho hàm số





f x

có đạo hàm cấp hai





f x



liên tục trên đoạn





0;1

thoả

mãn









1 0 1

f f

 





0 2018



 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  

1 2018

f x x x



  



  

1 1

f x x x

 







  

1 2018

f x x x 





. D.

  

1 1

f x x x









Câu 211. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục thỏa mãn



 



 

 

 

f x x







 

 



và

 

cos d

x f x x







. Tính





2018





. B.

. C.

. D.

Câu 212. Cho hàm số





f x

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn





0; 2



. Biết





0 1



và

   

2 4

. 2 e

x x

f x f x



 

, với mọi





0; 2

x 



. Tính tích phân









 

3 2

x x f x

I x

f x

 





 

. B.

 

. C.

 

. D.

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 105

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 213. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0



và

     

1 1

0 0

e 1

d 1 e d

f x x x f x x





   

  

. Tính tích phân

 

I f x x





2 e

 

. B.

e 2

 

. C.



. D.

e 1



 .

Câu 214. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;2

thỏa mãn

   

1 d

x f x x

  







2 0



và

 

d 7

f x x





 

 



. Tính tích phân

 

I f x x







. B.

 

. C.

I   . D.

I  .

Câu 215. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 1



 

d 9

f x x





 

 



và

 

x f x x





. Tích phân

 

f x x



bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 216. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn



 

 

 

và



 



 

 

. Biết

 

f x x







 

sin 2 d

f x x x





 



. Tính tích phân

 

2 d

I f x x









. B.



. C.



. D.



Câu 217. . Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và









0 1 0

f f

 

. Biết

 

f x x





   

cos d

f x x x









. Tính

 

f x x





. B.



. C.



. D.



Câu 218. Cho hàm số





f x

có đạo hàm





f x



liên tục trên đoạn





0;1

thỏa





1 0



 

f x









và

 

cos d

2 2

x f x x



 



 

 



. Tính

 

f x x





. B.



. C.



. D.



Câu 219. Xét hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn điều kiện





1 1



và





2 4



. Tính









2 1

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 



1 ln 4

 

. B.

4 ln2

 

. C.

ln2

 

. D.

ln4

J   .

Câu 220. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn

     

1 1

0 0

e 1

d 1 e d

f x x x f x x





   

  

và





1 0



. Tính

 

f x x



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 106

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

e 1



. B.

. C.

e 2



. D.

Câu 221. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0



 

d 7

f x x





 

 

và

 

x f x x





. Tích phân

 

f x x



bằng

. B.

. C.

. D.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 107

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 188. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm





f x



liên tục trên





0;2

và





2 3



 

d 3

f x x





Tính

 

. d

x f x x







. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

 

. d

x f x x





 

x f x





   

0 0

. d

x f x f x x

 







2 2 3 3

  

Câu 189. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm là





f x

liên tục trên đoạn [0; 1] và





1 2



. Biết

 

f x dx





, tính tích phân

 

. '

I x f x dx







. B.

 

. C.



. D.

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

 

. '

I x f x dx





Đặt

u x du dx

  





dv f x dx

 chọn









v f x dx f x

 



         

1 1

0 0

. 1. 1 0. 0 2 1 1

I x f x f x dx f f f x dx

        

 

Chọn A

Câu 190. Cho hàm số





f x

thỏa mãn

   

1 ' 10

x f x dx

 



và









2 1 0 2

f f

 

. Tính

 

I f x dx







. B.

 

. C.



. D.

 

Hướng dẫn giải

   

1 '

A x f x dx

 



Đặt 1

u x du dx

   





dv f x dx

 chọn





v f x



           

1 1 1 1

0 0 0 0

1 . 2 (1) (0) 2 10 8

A x f x f x dx f f f x dx f x dx f x dx

            

   

Chọn B

Câu 191. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;2

và thỏa mãn





2 16



 

d 4

f x x





. Tính tích phân

 

. 2 d

I x f x x









. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt

 

d d

d 2 d

u x

f x

v f x x









 



 













ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 108

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Khi đó:





 





 

1 2

0 0

. 2 2

1 1 16 1

2 d d .4 7

2 2 2 4 2 4

x f x f

I f x x f t t

      

 

Câu 192. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn ,

. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt , đổi cận , .

Đặt , .

Vậy .

Câu 193. Cho hàm số





y f x



thỏa mãn





3 1 3 2, .

f x x x x

     



Tính

 

I x f x dx







. B.

. C.

. D.

1761



Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt

   

u x du dx

I xf x f x dx

dv f x dx v f x

 

 

 

   

 

 

 

 

 



Từ

 









   

5 5 1

3 1 3 2

1 2 0

f x

f x x x

f x



 



    





 





, suy ra

 

23 .

I f x dx

 



Đặt









3 3

3 1

3 2

dt x dx

t x x

f t x





 



   





 





Đổi cận: Với

1 1 3 1 0

t x x x

      

và

5 3 1 5 1

t x x x

      

Khi đó

   

 

5 1

1 0

23 23 3 2 3 3

Casio

I f x dx x x dx      

 

Chọn C

Câu 194. Cho hàm số





f x

liên tục trong đoạn





1;e

, biết





d 1

f x









e 1



. Khi đó

 

.ln d

I f x x x







bằng



. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D

Cách 1: Ta có

       

e e

1 1

.ln d .ln . d e 1 1 1 0

I f x x x f x x f x x f



       

 





y f x









2 1

 

 

2 4 d 1

f x x

 



 

xf x x









 



2 4 d 2d

t x t x

   

1 2

x t

   

2 0

x t

  

   

2 0

1 2

1 2 4 d d

f x x f t t



  

 

 

d 2

f t t



 



 

d 2

f x x



 



d d

u x u x

  









d d

v f x x v f x



  

 

xf x x







   

xf x f x x



 







2 2 2

  

2.1 2 0

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 109

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Cách 2: Đặt

 

d d

u x

v f x x

v f x







 



 















Suy ra

   





 

e e

1 1

.ln d ln d e 1 1 1 0

f x

I f x x x f x x x f



       

 

Câu 195. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên



thỏa mãn

 

sin .cos

f x f x x x

 

  

 

 

, với mọi x





và





0 0



. Giá trị của tích phân

 

. d

x f x x





bằng



. B.

. C.

. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D

Theo giả thiết,





0 0



và

 

sin .cos

f x f x x x

 

  

 

 

nên

 

0 0

f f

 

 

 

 

 

 

 

 

Ta có:

 

. d

I x f x x







 

x f x



 

 



   

xf x f x x

  

 



Suy ra:

 

I f x x

 



Mặt khác, ta có:

 

sin .cos

f x f x x x

 

   

 

 

 

2 2 2

0 0 0

d d sin .cos d

2 2

f x x f x x x x x

  



 

   

 

 

  

Suy ra:

   

2 2

0 0

1 1

d d d

2 2 4

f x x f x x f x x

 



 

    

 

 

  

Vậy

 

I f x x

   



Câu 196. Cho hàm số





f x

thỏa









0 1 1

f f

 

. Biết

   

e f x f x dx ae b

  

 

 



. Tính biểu

thức

2018 2018

Q a b

  .



. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

       

1 2

1 1 1

0 0 0

' '

x x x

A A

A e f x f x dx e f x dx e f x dx

    

 

  

 

 

A e f x dx





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 110

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đặt









u f x du f x dx

   ,

dv e dx



chọn

v e



   

. '

x x

A e f x e f x dx

  





Vậy

       

1 1

2 2

0 0

. 1 0 1

x x

A e f x A A e f x e f f e

       

2018 2018

1 1 2

a b





     



 



Chọn D

Câu 197. Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên



thỏa mãn









2017 2018

2018 2018. .e

f x f x x



  với

mọi x





và





0 2018.

f  Tính giá trị





1 .





2018

1 2019e

f  . B.





2018

1 2018.ef



 . C.





2018

1 2018.e

f  . D.





2018

1 2017.e

f 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:









2017 2018

2018 2018. .e

f x f x x



 









2017

2018

2018.

f x f x





 









1 1

2017

2018

0 0

2018.

d 2018. d

f x f x

x x x





 

 





Xets









2018

2018.

f x f x

I x









   

1 1

2018 2018

0 0

.e d 2018. .e d

x x

f x x f x x

 



 

 

Xét

 

2018

2018. .e d

I f x x







. Đặt









2018 2018

d d

d 2018.e d e

x x

u f x u f x x

v x v

 



   

 



 

  

 

 

Do đó

 

   

2018 1 2018 2018

1 0

. e .e d 1 .e 2018

x x x

I f x f x x I f

  



     



Khi đó









2018 2018 1

1 .e 2018

f x



  





2018

1 2019.e

f  .

Câu 198. Cho hàm số





y f x

 với









0 1 1

f f

 

. Biết rằng:

   

e d e

f x f x x a b



  

 

 



Tính

2017 2017

Q a b

  .

2017

2 1

 

. B.



. C.



. D.

2017

2 1

 

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt









d d

d e d e

x x

u f x u f x x

v x v



   

 



 

 

 

 

         

1 1 1

0 0 0

e d e e d e d

x x x x

f x f x x f x f x x f x x

  

   

 

 

  









e 1 0

f f 

e 1

 

Do đó



 

Suy ra

2017 2017

Q a b

 

 

2017

1 1 0

   

Vậy



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 111

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 199. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;5

và





5 10



 

d 30

xf x x







. Tính

 

f x x



. B.



. C.



. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt

   

d d

u x u x

v f x x v f x

  









  





   

 

5 5

0 0

. d . d

x f x x x f x f x x



 

 

   

30 5 5 d

f f x x

  



   

d 5 5 30 20

f x x f

   



Câu 200. Cho hai hàm số liên tục

và

có nguyên hàm lần lượt là

và

trên đoạn





1;2

. Biết

rằng





1 1







2 4



 







2 2



và

   

f x G x x 



. Tính

   

F x g x x



. B.

145

 . C.



. D.

145

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt





 

u F x

dv g x x

















 

d d

u f x x

v G x















   

F x g x x



   

 

   

F x G x f x G x x

 



           

2 2 1 1 d

F G F G f x G x x

  



3 67

4.2 1.

2 12

  

 .

Câu 201. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên





0;1

thỏa mãn

   

2 d 1

x f x x f



 

 

 

. Giá

trị của

 

I f x x





bằng



. B.

. C.



. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

 

2 d

x f x x



 



 



 

1 1

0 0

. d 2 d

x f x x x x



 

 

 

x f x x

 

 

 

   

0 0

. d 1

x f x f x x

  







1 1

f I

  

Theo đề bài

   

2 d 1

x f x x f



 

 

 

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 112

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 202. Cho hàm số





y f x

 liên tục trên đoạn





1;2

và

   

1 d

x f x x a



 



. Tính

 

f x x



theo

và





b f .

b a



. B.

a b



. C.

a b



. D.

a b

 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt

1 d d

u x u x

   

;





d d

v f x x



 chọn





v f x

 .

   

1 d

x f x x







     

1 d

x f x f x x

  



   

2 d

f f x x

 



 

b f x

 



Ta có

   

1 d

x f x x a



 



 

b f x x a

  



 

f x x b a

  



Câu 203. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





2 16



 

d 4

f x x





. Tính tích phân

 

. 2 d

I x f x x









. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt

 

d d

d 2 d

u x

v f x x

v f x









 



 













Khi đó,

         

1 1 1

0 0 0

1 1 1 1 1

. 2 2 d 2 2 d 8 2 d

2 2 2 2 2

I x f x f x x f f x x f x x

     

  

Đặt

2 d 2d

t x t x

  

Với

0 0

x t

  

;

1 2

x t

  

Suy ra

 

8 d 8 1 7

I f t t

    



Câu 204. Cho





y f x

 là hàm số chẵn, liên tục trên



biết đồ thị hàm số





y f x

 đi qua điểm

 



 

 

và

 

dt 3

f t





, tính

 

sin 2 . sin d

I x f x x













. B.

 

. C.



. D.

 

Hướng dẫn giải

Chọn B

Xét tích phân

   

0 0

6 6

sin 2 . sin d 2sin . sin .cos d

I x f x x x f x x x

 

 

 

 

 

Đặt:

sin d cos d

t x t x x

  

. Đổi cận:

6 2

0 0

x t





    







  



 

2 . d

I t f t t





 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 113

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đăt:

   

2 d 2d

d d

u t u t

v f t t v f t

 

 

 



 



 

 

 

     

0 0

1 1

2 2

2 . 2 d 2 d

I t f t f t t f f t t

 

 

     

 



 

 

 Đồ thị hàm số





y f x

 đi qua điểm

 



 

 

 

  

 

 

 Hàm số





y f x

 là hàm số chẵn, liên tục trên





     

1 1

2 2

0 0

d d d 3

f t t f t t f x x



  

  

Vậy

4 2.3 2

   

Câu 205. Cho hàm số





y f x

 thỏa mãn

   

sin . d 0

x f x x f









. Tính

 

cos . d

I x f x x











. B.



. C.



. D.

 

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt





d ( )d

d sin d cos



  





   





u f x u f x x

v x x v x

   

 

2 2

0 0

sin . d cos . cos . d

x f x x x f x x f x x

 





   

 

 

cos . d

I x f x x





 



   

sin . d cos .x f x x x f x



 



1 1

 



Câu 206. Cho hàm số





y f x

 liên tục trên



và thỏa mãn









2018 2 sin

f x f x x x

   . Tính

 

I f x x









2019

. B.

2018

. C.

1009

. D.

2019

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

   

 

2 2

2018 d 2 sin d

f x f x x x x x

 

 

  

 

   

2 2 2

d 2018 d 2 sin d

f x x f x x x x x

  

  

   

  

 

2 2

2019 d 2 sin d

f x x x x x

 

 

 

 





+ Xét

2 sin d

P x x x









ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 114

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đặt

d sin d

u x

v x x











d 2d

cos

u x

v x









 



 

2 2

2 . cos sin 4

P x x x

 

 

   

Từ





suy ra

 

I f x x









2019

 .

Câu 207. Cho hàm số





f x

và





g x

liên tục, có đạo hàm trên



và thỏa mãn









0 . 2 0

f f

 



và













2 e

g x f x x x



  . Tính giá trị của tích phân

   

. d

I f x g x x









. B.

e 2



. C.

. D.

2 e



Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có













2 e

g x f x x x



 









0 2 0

g g

  

(vì









0 . 2 0

f f

 



)

   

. d

I f x g x x







   

f x g x





   

 

f x g x



   

. d

g x f x x







 

2 e d 4

x x x

   



Câu 208. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm và liên tục trên



 

 

 

thỏa mãn



 



 

 

 

d 1

cos

f x







và

 

sin .tan . d 2

x x f x x



 



 

. Tích phân

 

sin . d

x f x x







bằng:

. B.

2 3 2



. C.

1 3 2



. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

 

sin . d

I x f x x









. Đặt

   

sin d cos d

d d

u x u x x

v f x x v f x

 

 

 



 



 

 

 

   

sin . cos . d

I x f x x f x x



 



3 2

 

 

2 sin .tan . d

x x f x x



 



 



 

sin . d

cos

f x

x x



 



 

 



 

1 cos . d

cos

f x

x x



 

 

 

 



 

4 4

0 0

d cos . d

cos

f x

x x f x x

 

 

 

 

 

 

 

  

3 2

  

3 2 2





Câu 209. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





2 16



 

d 4

f x x





. Tính

I xf x

 





 

 





. B.

112



. C.



. D.

144



Hướng dẫn giải

Chọn B

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 115

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đặt

d d

u x

v f x









 





 



 



d d

u x

v f











 



 



 



Khi đó

I xf x

 





 

 



2 2 d

2 2

x x

xf f x

   

 

   

   



128 2

 

với

I f x

 



 

 



Đặt

d 2d

u x u

   , khi đó

I f x

 



 

 



 

2 d

f u u





 

2 d 8

f x x

 



Vậy

128 2

I I

 

128 16 112

  

Câu 210. Cho hàm số





f x

có đạo hàm cấp hai





f x



liên tục trên đoạn





0;1

thoả

mãn









1 0 1

f f

 





0 2018



 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  

1 2018

f x x x



  



  

1 1

f x x x

 







  

1 2018

f x x x 





. D.

  

1 1

f x x x









Hướng dẫn giải

Chọn A

Xét

  

I f x x x



 



   

 

1 d

x f x







Đặt

 

d d

u x

v f x

 















 

d d

u x

v f x

 

















     

I x f x

f x x







  



       

1 1 1 0

f f f x

 

    

 













0 1 0

f f f



   

 

 





2018 1 1 2018

      .

Câu 211. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục thỏa mãn



 



 

 

 

f x x







 

 



và

 

cos d

x f x x







. Tính





2018





. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Bằng công thức tích phân từng phần ta có

     

2 2

cos d sin sin d

xf x x xf x xf x x

 



 



  

 

 

. Suy ra

 

sin d

xf x x





 



Hơn nữa ta tính được

2 2

1 cos2 2 sin 2

sin d d

2 4 4

x x x



 



 



 

 

  

 

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 116

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Do đó:

     

2 2 2 2

2 2

0 0 0 0

d 2 sin d sin d 0 sin d 0

f x x xf x x x x f x x x

   

  

     

   

   

   

Suy ra





sin

f x x



 

. Do đó





cos

f x x C

 

. Vì



 



 

 

nên



C .

Ta được





cos

f x x











2018 cos 2018 1

 

  

Câu 212. Cho hàm số





f x

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn





0; 2



. Biết





0 1



và

   

2 4

. 2 e

x x

f x f x



 

, với mọi





0; 2

x 



. Tính tích phân









 

3 2

x x f x

I x

f x

 





 

. B.

 

. C.

 

. D.

 

Hướng dẫn giải

Chọn B

Cách 1: Theo giả thiết, ta có

   

2 4

. 2 e

x x

f x f x



 

và





f x

nhận giá trị dương nên

   

2 4

ln . 2 lne

x x

f x f x



  

 











ln ln 2 2 4

f x f x x x

   

Mặt khác, với



, ta có









0 . 2 1

f f



và





0 1



nên





2 1



Xét









 

3 2

x x f x

I x

f x

 





, ta có

 





 

3 2

3 . d

f x

I x x x

f x



 



Đặt

 

3 2

d d

u x x

f x

v x

f x



 

















 

d 3 6 d

u x x x

v f x



 













Suy ra

 

3 2 2

3 ln 3 6 .ln d

I x x f x x x f x x

 

   

 



 

3 6 .ln d

x x f x x

  







Đến đây, đổi biến

x t

 

d d

x t

  

. Khi

0 2

x t

  

và

2 0

x t

  

Ta có

 

  

3 6 .ln 2 d

I t t f t t

    



 

3 6 .ln 2 d

t t f t t

   



Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên

 

3 6 .ln 2 d

I x x f x x

   







Từ





và





ta cộng vế theo vế, ta được

 

   

2 3 6 . ln ln 2 d

I x x f x f x x

    

 

 



Hay

   

2 2

3 6 . 2 4 d

I x x x x x

   



 

Cách 2 (Trắc nghiệm)

Chọn hàm số

 

x x

f x





, khi đó:





 

3 2 2

2 2

3 2

0 0

3 .e . 2 2

d 3 . 2 2 d

x x

x x x

I x x x x x



 



    

 

Câu 213. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0



và

     

1 1

0 0

e 1

d 1 e d

f x x x f x x





   

  

. Tính tích phân

 

I f x x





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 117

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

2 e

 

. B.

e 2

 

. C.



. D.

e 1



 .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Xét

   

1 e d

A x f x x

 



. Đặt





 

d 1 e d

u f x

v x x









 









d d

u f x x

v x



 













Suy ra

   

e e d

x x

A x f x x f x x



 



 

e d

x f x x



 



 

1 e

e d

x f x x





 



Xét

2 2 2 2

1 1 1 e 1

e d e

2 2 4 4

x x

x x x x



 

   

 

 



Ta có

   

1 1 1

2 2

0 0 0

d 2 e d e d 0

x x

f x x x f x x x x

 

  

 

   

 

e d 0

f x x x



  



Suy ra





e 0

f x x



 





0;1

x 

(do

 





e 0

f x x



 





0;1

x 

)





f x x



  









1 e

f x x C

   





1 0



nên









1 e

f x x

 

Vậy

     

1 1

0 0

d 1 e d 2 e e 2

x x

I f x x x x x

      

 

Câu 214. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;2

thỏa mãn

   

1 d

x f x x

  







2 0



và

 

d 7

f x x





 

 



. Tính tích phân

 

I f x x







. B.

 

. C.

I   . D.

I  .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt









d d

u f x u f x x



  

 

d 1 d

v x x v



   

Ta có

   

1 d

x f x x

  



 

3 3

1 1

. d

3 3

x x

f x f x x

 



 



   

1 1

1 d

3 3

x f x x



    



   

1 d 1

x f x x



  



   

2.7 1 d 14

x f x x



    



Tính được

 

49 1 d 7

x x

 



 

f x x



  

 



   

2.7 1 d

x f x x



 



 

49 1 d 0

x x

  



   

7 1 d 0

x f x x

 



   

 



   

7 1

f x x



  

 

7 1

f x C



  





2 0



 

7 1

4 4

f x



  

Vậy

 

I f x x





 

7 1

4 4

 



 

 

 



 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 118

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 215. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 1



 

d 9

f x x





 

 



và

 

x f x x





. Tích phân

 

f x x



bằng

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

 

d 9

f x x





 

 







- Tính

 

d .

x f x x





Đặt





d .d

u f x

v x x

 















d d

u f x x



 













 

x f x x

 



 

f x

 



 

 

 

. d

x f x x







 

1 1

. d

4 4

x f x x



 



 

. d 1

x f x x



  



 

18 . d 18

x f x x



  







- Lại có:

9 9

x x

 



81 d 9

x x

 







- Cộng vế với vế các đẳng thức









và





ta được:

   

4 8

18 . 81 d 0

f x x f x x x

 

 

  

 

 



 

9 d 0

f x x x

 

  

 



 

. 9 d 0

f x x x



 

  

 



Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x x



  , trục

hoành

, các đường thẳng



khi quay quanh

bằng





9 0

f x x



  





f x x



  









f x f x x



 



x C

  

Lại do





1 1



 

 

9 14

5 5

f x x

   

 

f x x

 



9 14

5 5

x x

 

 

 

 



3 14 5

10 5 2

x x

 

   

 

 

Câu 216. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn



 

 

 

và



 



 

 

. Biết

 

f x x







 

sin 2 d

f x x x





 



. Tính tích phân

 

2 d

I f x x









. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 119

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Tính

 

sin 2 d

f x x x





 



. Đặt

   

sin2 2cos2 d d

d d

x u x x u

f x x v f x v

 

 

 



 



 

 

 

, khi đó

     

4 4

0 0

sin 2 d sin 2 . 2 cos2 d

f x x x x f x f x x x

 





 

 

   

sin . sin0. 0 2 cos2 d

2 4

f f f x x x



 

 

  

 

 



 

2 cos2 d

f x x x



 



Theo đề bài ta có

 

sin 2 d

f x x x





 





 

cos2 d

f x x x







Mặt khác ta lại có

cos 2 d

x x







     

4 4

2 2

0 0

cos2 d 2 .cos2 cos 2 d

f x x x f x f x x x x

 

 

    

 

 

2 0

8 8 8

  

 

   

 

 

nên





cos 2

f x x



Ta có

1 1

cos4 d sin 4

4 4

I x x x



  



Câu 217. . Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và









0 1 0

f f

 

. Biết

 

f x x





   

cos d

f x x x









. Tính

 

f x x





. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt





 

cos

d d

u x

v f x x





















 

d sin d

u x x

v f x

 

 













Khi đó:

           

1 1

0 0

cos d cos sin d

f x x x x f x f x x x

   



 

 

   

 

       

1 1

0 0

1 0 sin d sin d

f f f x x x f x x x

   

    

 

   

sin d

f x x x



 



Cách 1: Ta có

Tìm

sao cho

   

sin d 0

f x k x x



 

 

 

Ta có:

           

1 1 1 1

2 2 2

0 0 0 0

sin d d 2 sin d sin d

f x k x x f x x k f x x x k x x

  

    

    

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 120

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

0 1

2 2

k k

     

Do đó

   

sin d 0

f x x x



 

 

 









sin

f x x



 

(do

   

sin 0

f x x



 

 

 

 



Vậy

   

1 1

0 0

d sin df x x x x



 

 

Cách 2: Sử dụng BĐT Holder.

       

2 2

d d . d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 



 

 

  

Dấu “



” xảy ra









f x k g x

 





;

x a b

 

Áp dụng vào bài ta có

       

1 1 1

2 2

0 0 0

1 1

sin d d . sin d

4 4

f x x x f x x x x

 

 

  

 

 

  

suy ra









.sin

f x k x





, k





Mà

     

1 1

0 0

1 1

sin d sin d 1

2 2

f x x x k x x k

 

    

 









sin

f x x



 

Vậy

   

1 1

0 0

d sin df x x x x



 

 

Câu 218. Cho hàm số





f x

có đạo hàm





f x



liên tục trên đoạn





0;1

thỏa





1 0



 

f x









và

 

cos d

2 2

x f x x



 



 

 



. Tính

 

f x x





. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt









d d

sind cos d

u f x x

u f x

vv x







 



 



 

 

Do đó

 

cos d

2 2

x f x x



 



 

 



   

2 2 1

sin sin d

2 2 2

f x x f x x

 

 



  

 

 



 

sin d

2 4

x f x x

 

 



  

 

 



Lại có:

sin d

2 2

x x



 



 

 



   

1 1 1

0 0 0

2 2

. d 2 sin d sin d

2 2

I f x x x f x x x x

 

       

 

     

       

       

  

 

2 4 2 1

sin d . 0

2 8 2 2

f x x x

  

 



      

  

 



Vì

 

sin 0

f x x



 



  

 

 

trên đoạn





0;1

nên

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 121

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 

sin d 0

f x x x



 



  

  

 



 

=sin

f x x



 



 

 

 

 

= sin

2 2

f x x

 

 



 

 

 

Suy ra

 

=cos

f x x C



 



 

 

mà





1 0



do đó

 

=cos

f x x



 

 

 

Vậy

 

1 1

0 0

d cos d

f x x x x



 

 

 

 

 

Câu 219. Xét hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn điều kiện





1 1



và





2 4



. Tính









2 1

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 



1 ln 4

 

. B.

4 ln2

 

. C.

ln2

 

. D.

ln4

J   .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Cách 1: Ta có









2 1

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 











2 2 2

2 2

1 1 1

2 1

d d d

f x f x

x x x

x x x x



 

   

 

 

  

Đặt

   

1 1

d d

u u x

x x

v f x x v f x

 

  

 



 

 



 

 









2 1

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 



 









2 2 2

1 1 1

1 2 1

. d d d

f x f x

f x x x x

x x x x x

 

    

 

 

  

   

1 1 1

2 1 2ln ln 4

2 2

f f x

 

     

 

 

Cách 2:









2 1

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 











2 2

2 1

xf x f x

x x x





 

  

 

 



 

2 2

1 1

2 1

d d

f x

x x

x x x



 

  

 

 

 

 

1 1

2ln ln4

f x

x x

 

    

 

 

Cách 3: ( Trắc nghiệm)

Chọn hàm số





f x ax b

 

. Vì





 

1 1

2 4











 

 









, suy ra





3 2

f x x

 

Vậy

5 3 1 1 1

d 2ln ln 4

J x x

x x x



   

     

   

   



Câu 220. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn

     

1 1

0 0

e 1

d 1 e d

f x x x f x x





   

  

và





1 0



. Tính

 

f x x



e 1



. B.

. C.

e 2



. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

- Tính:

   

1 e d

I x f x x

  



   

1 1

0 0

e d e d

x x

x f x x f x x J K

  

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 122

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Tính

 

e d

K f x x





Đặt

 

   

d e e d

d d

x x

u f x f x x

u f x

v x





 



 



 

 



 











 

   

e e e d

x x x

K x f x x f x x f x x



 

   

 



   

1 1

0 0

e d e d

x x

x f x x x f x x



  

 









do 1 0



 

e d

K J x f x x



   



 

e d

I J K x f x x



    



- Kết hợp giả thiết ta được:

 

e 1

f x x

xe f x x







 



 











 







 

e 1

d (1)

e 1

2 e d (2)

f x x

x f x x







 



 













 







- Mặt khác, ta tính được:

2 2

e 1

e d (3)

x x







- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

   





2 2

2 e e d 0

x x

f x x f x x x

 

  

 

 

 

e d 0

f x x x



  



 

e d 0

f x x x





  



hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x x



 

, trục

, các đường thẳng



khi quay quanh trục

bằng





e 0

f x x



  





f x x



  









e d 1 e C

x x

f x x x x

     



- Lại do













1 0 C 0 1 e

f f x x

     

   

1 1

0 0

d 1 e d

f x x x x

  

 

 

1 e e d

x x

  



1 e e 2

    

Vậy

 

d e 2

f x x

 



Câu 221. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0



 

d 7

f x x





 

 

và

 

x f x x





. Tích phân

 

f x x



bằng

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Cách 1: Tính:

 

x f x x



. Đặt

 





d d

u f x x

u f x

v x x



 

 



 







Ta có:

 

1 1

2 3

0 0

d . d

3 3

x f x

x f x x x f x x



 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 123

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay









   

1 1

3 3

0 0

1. 1 0. 0

1 1

. d . d

3 3 3

f f

x f x x x f x x



 

   

 

Mà

 

x f x x





   

1 1

3 3

0 0

1 1

. d . d 1

3 3

x f x x x f x x

 

     

 

Ta có

 

d 7

f x x





 

 

(1).

7 7

x x

 



49 d .49 7

x x

  



(2).

   

1 1

3 3

0 0

. d 1 14 . d 14

x f x x x f x x

 

    

 

(3).

Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra

   

1 1 1

6 3

0 0 0

d 49 d 14 . d 7 7 14 0

f x x x x x f x x

 

     

 

   

   





3 6

14 49 d 0

f x x f x x x

 

   

 

 

 

7 d 0

f x x x



 

  

 



 

7 0

f x x

 

 

 

 

7 d 0

f x x x



 

  

 



. Mà

 

7 d 0

f x x x



 

 

 







f x x



  

 

f x C

  

. Mà

 

7 7

1 0 0

4 4

f C C

      

Do đó

 

7 7

4 4

f x

  

Vậy

 

1 1

4 5

0 0

7 7 7 7 7

d d

4 4 20 4 5

x x

f x x x x

   

      

   

   

 

Cách 2: Tương tự như trên ta có:

 

. d 1

x f x x



 



Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

 

     

1 1 1 1 1

2 2 2

3 3

0 0 0 0 0

7 7 d 7 d d 7 d d

x f x x x x f x x f x x f x x

     

   

           

     

     

     

    

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi





f x ax





, với a





Ta có

 

1 1

3 3 3

0 0

. d 1 . d 1 1 7

x f x x x ax x a



          

 

Suy ra

   

f x x f x C



     

, mà





1 0



nên



Do đó

 

f x x x

   



Vậy

 

1 1

4 5

0 0

7 7 7 7 7

d d

4 4 20 4 5

x x

f x x x x

   

      

   

   

 

Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Cho hàm số





f x

và





g x

liên tục trên đoạn





;

a b

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 124

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Khi đó, ta có

       

2 2

d d d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

     

 

     

     

  

Chứng minh:

Trước hết ta có tính chất:

Nếu hàm số





h x

liên tục và không âm trên đoạn





;

a b

thì

 

d 0

h x x





Xét tam thức bậc hai

           

2 2 2

2 0

f x g x f x f x g x g x

  

    

 

 

, với mọi







Lấy tích phân hai vế trên đoạn





;

a b

ta được

       

2 2 2

d 2 g d d 0

b b b

a a a

f x x f x x x g x x

 

  

  

, với mọi











Coi





là tam thức bậc hai theo biến



nên ta có



 

     

2 2 2

d d d 0

b b b

a a a

f x x f x x g x x

    

  

    

    

  

     

2 2 2

d d d

b b b

a a a

f x x f x x g x x

    

 

    

    

  

(đpcm)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 102

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

BÀI TẬP

Câu 188. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm





f x



liên tục trên





0;2

và





2 3



 

d 3

f x x





Tính

 

. d

x f x x







. B.

. C.

. D.

Câu 189. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm là





f x

liên tục trên đoạn [0; 1] và





1 2



. Biết

 

f x dx





, tính tích phân

 

. '

I x f x dx







. B.

 

. C.



. D.

 

Câu 190. Cho hàm số





f x

thỏa mãn

   

1 ' 10

x f x dx

 



và









2 1 0 2

f f

 

. Tính

 

I f x dx







. B.

 

. C.



. D.

 

Câu 191. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;2

và thỏa mãn





2 16



 

d 4

f x x





. Tính tích phân

 

. 2 d

I x f x x









. B.



. C.



. D.



Câu 192. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn ,

. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 193. Cho hàm số





y f x



thỏa mãn





3 1 3 2, .

f x x x x

     



Tính

 

I x f x dx







. B.

. C.

. D.

1761



Câu 194. Cho hàm số





f x

liên tục trong đoạn





1;e

, biết





d 1

f x









e 1



. Khi đó

 

.ln d

I f x x x







bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 195. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên



thỏa mãn

 

sin .cos

f x f x x x

 

  

 

 

, với mọi x





và





0 0



. Giá trị của tích phân

 

. d

x f x x





bằng



. B.

. C.

. D.







y f x









2 1

 

 

2 4 d 1

f x x

 



 

xf x x









 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 103

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 196. Cho hàm số





f x

thỏa









0 1 1

f f

 

. Biết

   

e f x f x dx ae b

  

 

 



. Tính biểu

thức

2018 2018

Q a b

  .



. B.



. C.



. D.



Câu 197. Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên



thỏa mãn









2017 2018

2018 2018. .e

f x f x x



  với

mọi x





và





0 2018.

f  Tính giá trị





1 .





2018

1 2019e

f  . B.





2018

1 2018.ef



 . C.





2018

1 2018.e

f  . D.





2018

1 2017.e

f 

Câu 198. Cho hàm số





y f x

 với









0 1 1

f f

 

. Biết rằng:

   

e d e

f x f x x a b



  

 

 



Tính

2017 2017

Q a b

  .

2017

2 1

 

. B.



. C.



. D.

2017

2 1

 

Câu 199. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;5

và





5 10



 

d 30

xf x x







. Tính

 

f x x



. B.



. C.



. D.

Câu 200. Cho hai hàm số liên tục

và

có nguyên hàm lần lượt là

và

trên đoạn





1;2

. Biết

rằng





1 1







2 4



 







2 2



và

   

f x G x x 



. Tính

   

F x g x x



. B.

145

 . C.



. D.

145

Câu 201. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên





0;1

thỏa mãn

   

2 d 1

x f x x f



 

 

 

. Giá

trị của

 

I f x x





bằng



. B.

. C.



. D.

Câu 202. Cho hàm số





y f x

 liên tục trên đoạn





1;2

và

   

1 d

x f x x a



 



. Tính

 

f x x



theo

và





b f .

b a



. B.

a b



. C.

a b



. D.

a b

 

Câu 203. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





2 16



 

d 4

f x x





. Tính tích phân

 

. 2 d

I x f x x









. B.



. C.



. D.



Câu 204. Cho





y f x

 là hàm số chẵn, liên tục trên



biết đồ thị hàm số





y f x

 đi qua điểm

 



 

 

và

 

dt 3

f t





, tính

 

sin 2 . sin d

I x f x x













. B.

 

. C.



. D.

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 104

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 205. Cho hàm số





y f x

 thỏa mãn

   

sin . d 0

x f x x f









. Tính

 

cos . d

I x f x x











. B.



. C.



. D.

 

Câu 206. Cho hàm số





y f x

 liên tục trên



và thỏa mãn









2018 2 sin

f x f x x x

   . Tính

 

I f x x









2019

. B.

2018

. C.

1009

. D.

2019

Câu 207. Cho hàm số





f x

và





g x

liên tục, có đạo hàm trên



và thỏa mãn









0 . 2 0

f f

 



và













2 e

g x f x x x



  . Tính giá trị của tích phân

   

. d

I f x g x x









. B.

e 2



. C.

. D.

2 e



Câu 208. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm và liên tục trên



 

 

 

thỏa mãn



 



 

 

 

d 1

cos

f x







và

 

sin .tan . d 2

x x f x x



 



 

. Tích phân

 

sin . d

x f x x







bằng:

. B.

2 3 2



. C.

1 3 2



. D.

Câu 209. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





2 16



 

d 4

f x x





. Tính

I xf x

 





 

 





. B.

112



. C.



. D.

144



Câu 210. Cho hàm số





f x

có đạo hàm cấp hai





f x



liên tục trên đoạn





0;1

thoả

mãn









1 0 1

f f

 





0 2018



 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  

1 2018

f x x x



  



  

1 1

f x x x

 







  

1 2018

f x x x 





. D.

  

1 1

f x x x









Câu 211. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục thỏa mãn



 



 

 

 

f x x







 

 



và

 

cos d

x f x x







. Tính





2018





. B.

. C.

. D.

Câu 212. Cho hàm số





f x

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn





0; 2



. Biết





0 1



và

   

2 4

. 2 e

x x

f x f x



 

, với mọi





0; 2

x 



. Tính tích phân









 

3 2

x x f x

I x

f x

 





 

. B.

 

. C.

 

. D.

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 105

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 213. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0



và

     

1 1

0 0

e 1

d 1 e d

f x x x f x x





   

  

. Tính tích phân

 

I f x x





2 e

 

. B.

e 2

 

. C.



. D.

e 1



 .

Câu 214. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;2

thỏa mãn

   

1 d

x f x x

  







2 0



và

 

d 7

f x x





 

 



. Tính tích phân

 

I f x x







. B.

 

. C.

I   . D.

I  .

Câu 215. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 1



 

d 9

f x x





 

 



và

 

x f x x





. Tích phân

 

f x x



bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 216. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn



 

 

 

và



 



 

 

. Biết

 

f x x







 

sin 2 d

f x x x





 



. Tính tích phân

 

2 d

I f x x









. B.



. C.



. D.



Câu 217. . Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và









0 1 0

f f

 

. Biết

 

f x x





   

cos d

f x x x









. Tính

 

f x x





. B.



. C.



. D.



Câu 218. Cho hàm số





f x

có đạo hàm





f x



liên tục trên đoạn





0;1

thỏa





1 0



 

f x









và

 

cos d

2 2

x f x x



 



 

 



. Tính

 

f x x





. B.



. C.



. D.



Câu 219. Xét hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn điều kiện





1 1



và





2 4



. Tính









2 1

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 



1 ln 4

 

. B.

4 ln2

 

. C.

ln2

 

. D.

ln4

J   .

Câu 220. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn

     

1 1

0 0

e 1

d 1 e d

f x x x f x x





   

  

và





1 0



. Tính

 

f x x



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 106

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

e 1



. B.

. C.

e 2



. D.

Câu 221. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0



 

d 7

f x x





 

 

và

 

x f x x





. Tích phân

 

f x x



bằng

. B.

. C.

. D.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 107

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 188. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm





f x



liên tục trên





0;2

và





2 3



 

d 3

f x x





Tính

 

. d

x f x x







. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

 

. d

x f x x





 

x f x





   

0 0

. d

x f x f x x

 







2 2 3 3

  

Câu 189. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm là





f x

liên tục trên đoạn [0; 1] và





1 2



. Biết

 

f x dx





, tính tích phân

 

. '

I x f x dx







. B.

 

. C.



. D.

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

 

. '

I x f x dx





Đặt

u x du dx

  





dv f x dx

 chọn









v f x dx f x

 



         

1 1

0 0

. 1. 1 0. 0 2 1 1

I x f x f x dx f f f x dx

        

 

Chọn A

Câu 190. Cho hàm số





f x

thỏa mãn

   

1 ' 10

x f x dx

 



và









2 1 0 2

f f

 

. Tính

 

I f x dx







. B.

 

. C.



. D.

 

Hướng dẫn giải

   

1 '

A x f x dx

 



Đặt 1

u x du dx

   





dv f x dx

 chọn





v f x



           

1 1 1 1

0 0 0 0

1 . 2 (1) (0) 2 10 8

A x f x f x dx f f f x dx f x dx f x dx

            

   

Chọn B

Câu 191. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;2

và thỏa mãn





2 16



 

d 4

f x x





. Tính tích phân

 

. 2 d

I x f x x









. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt

 

d d

d 2 d

u x

f x

v f x x









 



 













ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 108

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Khi đó:





 





 

1 2

0 0

. 2 2

1 1 16 1

2 d d .4 7

2 2 2 4 2 4

x f x f

I f x x f t t

      

 

Câu 192. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn ,

. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt , đổi cận , .

Đặt , .

Vậy .

Câu 193. Cho hàm số





y f x



thỏa mãn





3 1 3 2, .

f x x x x

     



Tính

 

I x f x dx







. B.

. C.

. D.

1761



Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt

   

u x du dx

I xf x f x dx

dv f x dx v f x

 

 

 

   

 

 

 

 

 



Từ

 









   

5 5 1

3 1 3 2

1 2 0

f x

f x x x

f x



 



    





 





, suy ra

 

23 .

I f x dx

 



Đặt









3 3

3 1

3 2

dt x dx

t x x

f t x





 



   





 





Đổi cận: Với

1 1 3 1 0

t x x x

      

và

5 3 1 5 1

t x x x

      

Khi đó

   

 

5 1

1 0

23 23 3 2 3 3

Casio

I f x dx x x dx      

 

Chọn C

Câu 194. Cho hàm số





f x

liên tục trong đoạn





1;e

, biết





d 1

f x









e 1



. Khi đó

 

.ln d

I f x x x







bằng



. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D

Cách 1: Ta có

       

e e

1 1

.ln d .ln . d e 1 1 1 0

I f x x x f x x f x x f



       

 





y f x









2 1

 

 

2 4 d 1

f x x

 



 

xf x x









 



2 4 d 2d

t x t x

   

1 2

x t

   

2 0

x t

  

   

2 0

1 2

1 2 4 d d

f x x f t t



  

 

 

d 2

f t t



 



 

d 2

f x x



 



d d

u x u x

  









d d

v f x x v f x



  

 

xf x x







   

xf x f x x



 







2 2 2

  

2.1 2 0

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 109

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Cách 2: Đặt

 

d d

u x

v f x x

v f x







 



 















Suy ra

   





 

e e

1 1

.ln d ln d e 1 1 1 0

f x

I f x x x f x x x f



       

 

Câu 195. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên



thỏa mãn

 

sin .cos

f x f x x x

 

  

 

 

, với mọi x





và





0 0



. Giá trị của tích phân

 

. d

x f x x





bằng



. B.

. C.

. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D

Theo giả thiết,





0 0



và

 

sin .cos

f x f x x x

 

  

 

 

nên

 

0 0

f f

 

 

 

 

 

 

 

 

Ta có:

 

. d

I x f x x







 

x f x



 

 



   

xf x f x x

  

 



Suy ra:

 

I f x x

 



Mặt khác, ta có:

 

sin .cos

f x f x x x

 

   

 

 

 

2 2 2

0 0 0

d d sin .cos d

2 2

f x x f x x x x x

  



 

   

 

 

  

Suy ra:

   

2 2

0 0

1 1

d d d

2 2 4

f x x f x x f x x

 



 

    

 

 

  

Vậy

 

I f x x

   



Câu 196. Cho hàm số





f x

thỏa









0 1 1

f f

 

. Biết

   

e f x f x dx ae b

  

 

 



. Tính biểu

thức

2018 2018

Q a b

  .



. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

       

1 2

1 1 1

0 0 0

' '

x x x

A A

A e f x f x dx e f x dx e f x dx

    

 

  

 

 

A e f x dx





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 110

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đặt









u f x du f x dx

   ,

dv e dx



chọn

v e



   

. '

x x

A e f x e f x dx

  





Vậy

       

1 1

2 2

0 0

. 1 0 1

x x

A e f x A A e f x e f f e

       

2018 2018

1 1 2

a b





     



 



Chọn D

Câu 197. Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên



thỏa mãn









2017 2018

2018 2018. .e

f x f x x



  với

mọi x





và





0 2018.

f  Tính giá trị





1 .





2018

1 2019e

f  . B.





2018

1 2018.ef



 . C.





2018

1 2018.e

f  . D.





2018

1 2017.e

f 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:









2017 2018

2018 2018. .e

f x f x x



 









2017

2018

2018.

f x f x





 









1 1

2017

2018

0 0

2018.

d 2018. d

f x f x

x x x





 

 





Xets









2018

2018.

f x f x

I x









   

1 1

2018 2018

0 0

.e d 2018. .e d

x x

f x x f x x

 



 

 

Xét

 

2018

2018. .e d

I f x x







. Đặt









2018 2018

d d

d 2018.e d e

x x

u f x u f x x

v x v

 



   

 



 

  

 

 

Do đó

 

   

2018 1 2018 2018

1 0

. e .e d 1 .e 2018

x x x

I f x f x x I f

  



     



Khi đó









2018 2018 1

1 .e 2018

f x



  





2018

1 2019.e

f  .

Câu 198. Cho hàm số





y f x

 với









0 1 1

f f

 

. Biết rằng:

   

e d e

f x f x x a b



  

 

 



Tính

2017 2017

Q a b

  .

2017

2 1

 

. B.



. C.



. D.

2017

2 1

 

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt









d d

d e d e

x x

u f x u f x x

v x v



   

 



 

 

 

 

         

1 1 1

0 0 0

e d e e d e d

x x x x

f x f x x f x f x x f x x

  

   

 

 

  









e 1 0

f f 

e 1

 

Do đó



 

Suy ra

2017 2017

Q a b

 

 

2017

1 1 0

   

Vậy



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 111

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 199. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;5

và





5 10



 

d 30

xf x x







. Tính

 

f x x



. B.



. C.



. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt

   

d d

u x u x

v f x x v f x

  









  





   

 

5 5

0 0

. d . d

x f x x x f x f x x



 

 

   

30 5 5 d

f f x x

  



   

d 5 5 30 20

f x x f

   



Câu 200. Cho hai hàm số liên tục

và

có nguyên hàm lần lượt là

và

trên đoạn





1;2

. Biết

rằng





1 1







2 4



 







2 2



và

   

f x G x x 



. Tính

   

F x g x x



. B.

145

 . C.



. D.

145

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt





 

u F x

dv g x x

















 

d d

u f x x

v G x















   

F x g x x



   

 

   

F x G x f x G x x

 



           

2 2 1 1 d

F G F G f x G x x

  



3 67

4.2 1.

2 12

  

 .

Câu 201. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên





0;1

thỏa mãn

   

2 d 1

x f x x f



 

 

 

. Giá

trị của

 

I f x x





bằng



. B.

. C.



. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

 

2 d

x f x x



 



 



 

1 1

0 0

. d 2 d

x f x x x x



 

 

 

x f x x

 

 

 

   

0 0

. d 1

x f x f x x

  







1 1

f I

  

Theo đề bài

   

2 d 1

x f x x f



 

 

 

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 112

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 202. Cho hàm số





y f x

 liên tục trên đoạn





1;2

và

   

1 d

x f x x a



 



. Tính

 

f x x



theo

và





b f .

b a



. B.

a b



. C.

a b



. D.

a b

 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt

1 d d

u x u x

   

;





d d

v f x x



 chọn





v f x

 .

   

1 d

x f x x







     

1 d

x f x f x x

  



   

2 d

f f x x

 



 

b f x

 



Ta có

   

1 d

x f x x a



 



 

b f x x a

  



 

f x x b a

  



Câu 203. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





2 16



 

d 4

f x x





. Tính tích phân

 

. 2 d

I x f x x









. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt

 

d d

d 2 d

u x

v f x x

v f x









 



 













Khi đó,

         

1 1 1

0 0 0

1 1 1 1 1

. 2 2 d 2 2 d 8 2 d

2 2 2 2 2

I x f x f x x f f x x f x x

     

  

Đặt

2 d 2d

t x t x

  

Với

0 0

x t

  

;

1 2

x t

  

Suy ra

 

8 d 8 1 7

I f t t

    



Câu 204. Cho





y f x

 là hàm số chẵn, liên tục trên



biết đồ thị hàm số





y f x

 đi qua điểm

 



 

 

và

 

dt 3

f t





, tính

 

sin 2 . sin d

I x f x x













. B.

 

. C.



. D.

 

Hướng dẫn giải

Chọn B

Xét tích phân

   

0 0

6 6

sin 2 . sin d 2sin . sin .cos d

I x f x x x f x x x

 

 

 

 

 

Đặt:

sin d cos d

t x t x x

  

. Đổi cận:

6 2

0 0

x t





    







  



 

2 . d

I t f t t





 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 113

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đăt:

   

2 d 2d

d d

u t u t

v f t t v f t

 

 

 



 



 

 

 

     

0 0

1 1

2 2

2 . 2 d 2 d

I t f t f t t f f t t

 

 

     

 



 

 

 Đồ thị hàm số





y f x

 đi qua điểm

 



 

 

 

  

 

 

 Hàm số





y f x

 là hàm số chẵn, liên tục trên





     

1 1

2 2

0 0

d d d 3

f t t f t t f x x



  

  

Vậy

4 2.3 2

   

Câu 205. Cho hàm số





y f x

 thỏa mãn

   

sin . d 0

x f x x f









. Tính

 

cos . d

I x f x x











. B.



. C.



. D.

 

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt





d ( )d

d sin d cos



  





   





u f x u f x x

v x x v x

   

 

2 2

0 0

sin . d cos . cos . d

x f x x x f x x f x x

 





   

 

 

cos . d

I x f x x





 



   

sin . d cos .x f x x x f x



 



1 1

 



Câu 206. Cho hàm số





y f x

 liên tục trên



và thỏa mãn









2018 2 sin

f x f x x x

   . Tính

 

I f x x









2019

. B.

2018

. C.

1009

. D.

2019

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

   

 

2 2

2018 d 2 sin d

f x f x x x x x

 

 

  

 

   

2 2 2

d 2018 d 2 sin d

f x x f x x x x x

  

  

   

  

 

2 2

2019 d 2 sin d

f x x x x x

 

 

 

 





+ Xét

2 sin d

P x x x









ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 114

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đặt

d sin d

u x

v x x











d 2d

cos

u x

v x









 



 

2 2

2 . cos sin 4

P x x x

 

 

   

Từ





suy ra

 

I f x x









2019

 .

Câu 207. Cho hàm số





f x

và





g x

liên tục, có đạo hàm trên



và thỏa mãn









0 . 2 0

f f

 



và













2 e

g x f x x x



  . Tính giá trị của tích phân

   

. d

I f x g x x









. B.

e 2



. C.

. D.

2 e



Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có













2 e

g x f x x x



 









0 2 0

g g

  

(vì









0 . 2 0

f f

 



)

   

. d

I f x g x x







   

f x g x





   

 

f x g x



   

. d

g x f x x







 

2 e d 4

x x x

   



Câu 208. Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm và liên tục trên



 

 

 

thỏa mãn



 



 

 

 

d 1

cos

f x







và

 

sin .tan . d 2

x x f x x



 



 

. Tích phân

 

sin . d

x f x x







bằng:

. B.

2 3 2



. C.

1 3 2



. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

 

sin . d

I x f x x









. Đặt

   

sin d cos d

d d

u x u x x

v f x x v f x

 

 

 



 



 

 

 

   

sin . cos . d

I x f x x f x x



 



3 2

 

 

2 sin .tan . d

x x f x x



 



 



 

sin . d

cos

f x

x x



 



 

 



 

1 cos . d

cos

f x

x x



 

 

 

 



 

4 4

0 0

d cos . d

cos

f x

x x f x x

 

 

 

 

 

 

 

  

3 2

  

3 2 2





Câu 209. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





2 16



 

d 4

f x x





. Tính

I xf x

 





 

 





. B.

112



. C.



. D.

144



Hướng dẫn giải

Chọn B

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 115

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đặt

d d

u x

v f x









 





 



 



d d

u x

v f











 



 



 



Khi đó

I xf x

 





 

 



2 2 d

2 2

x x

xf f x

   

 

   

   



128 2

 

với

I f x

 



 

 



Đặt

d 2d

u x u

   , khi đó

I f x

 



 

 



 

2 d

f u u





 

2 d 8

f x x

 



Vậy

128 2

I I

 

128 16 112

  

Câu 210. Cho hàm số





f x

có đạo hàm cấp hai





f x



liên tục trên đoạn





0;1

thoả

mãn









1 0 1

f f

 





0 2018



 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  

1 2018

f x x x



  



  

1 1

f x x x

 







  

1 2018

f x x x 





. D.

  

1 1

f x x x









Hướng dẫn giải

Chọn A

Xét

  

I f x x x



 



   

 

1 d

x f x







Đặt

 

d d

u x

v f x

 















 

d d

u x

v f x

 

















     

I x f x

f x x







  



       

1 1 1 0

f f f x

 

    

 













0 1 0

f f f



   

 

 





2018 1 1 2018

      .

Câu 211. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục thỏa mãn



 



 

 

 

f x x







 

 



và

 

cos d

x f x x







. Tính





2018





. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Bằng công thức tích phân từng phần ta có

     

2 2

cos d sin sin d

xf x x xf x xf x x

 



 



  

 

 

. Suy ra

 

sin d

xf x x





 



Hơn nữa ta tính được

2 2

1 cos2 2 sin 2

sin d d

2 4 4

x x x



 



 



 

 

  

 

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 116

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Do đó:

     

2 2 2 2

2 2

0 0 0 0

d 2 sin d sin d 0 sin d 0

f x x xf x x x x f x x x

   

  

     

   

   

   

Suy ra





sin

f x x



 

. Do đó





cos

f x x C

 

. Vì



 



 

 

nên



C .

Ta được





cos

f x x











2018 cos 2018 1

 

  

Câu 212. Cho hàm số





f x

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn





0; 2



. Biết





0 1



và

   

2 4

. 2 e

x x

f x f x



 

, với mọi





0; 2

x 



. Tính tích phân









 

3 2

x x f x

I x

f x

 





 

. B.

 

. C.

 

. D.

 

Hướng dẫn giải

Chọn B

Cách 1: Theo giả thiết, ta có

   

2 4

. 2 e

x x

f x f x



 

và





f x

nhận giá trị dương nên

   

2 4

ln . 2 lne

x x

f x f x



  

 











ln ln 2 2 4

f x f x x x

   

Mặt khác, với



, ta có









0 . 2 1

f f



và





0 1



nên





2 1



Xét









 

3 2

x x f x

I x

f x

 





, ta có

 





 

3 2

3 . d

f x

I x x x

f x



 



Đặt

 

3 2

d d

u x x

f x

v x

f x



 

















 

d 3 6 d

u x x x

v f x



 













Suy ra

 

3 2 2

3 ln 3 6 .ln d

I x x f x x x f x x

 

   

 



 

3 6 .ln d

x x f x x

  







Đến đây, đổi biến

x t

 

d d

x t

  

. Khi

0 2

x t

  

và

2 0

x t

  

Ta có

 

  

3 6 .ln 2 d

I t t f t t

    



 

3 6 .ln 2 d

t t f t t

   



Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên

 

3 6 .ln 2 d

I x x f x x

   







Từ





và





ta cộng vế theo vế, ta được

 

   

2 3 6 . ln ln 2 d

I x x f x f x x

    

 

 



Hay

   

2 2

3 6 . 2 4 d

I x x x x x

   



 

Cách 2 (Trắc nghiệm)

Chọn hàm số

 

x x

f x





, khi đó:





 

3 2 2

2 2

3 2

0 0

3 .e . 2 2

d 3 . 2 2 d

x x

x x x

I x x x x x



 



    

 

Câu 213. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0



và

     

1 1

0 0

e 1

d 1 e d

f x x x f x x





   

  

. Tính tích phân

 

I f x x





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 117

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

2 e

 

. B.

e 2

 

. C.



. D.

e 1



 .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Xét

   

1 e d

A x f x x

 



. Đặt





 

d 1 e d

u f x

v x x









 









d d

u f x x

v x



 













Suy ra

   

e e d

x x

A x f x x f x x



 



 

e d

x f x x



 



 

1 e

e d

x f x x





 



Xét

2 2 2 2

1 1 1 e 1

e d e

2 2 4 4

x x

x x x x



 

   

 

 



Ta có

   

1 1 1

2 2

0 0 0

d 2 e d e d 0

x x

f x x x f x x x x

 

  

 

   

 

e d 0

f x x x



  



Suy ra





e 0

f x x



 





0;1

x 

(do

 





e 0

f x x



 





0;1

x 

)





f x x



  









1 e

f x x C

   





1 0



nên









1 e

f x x

 

Vậy

     

1 1

0 0

d 1 e d 2 e e 2

x x

I f x x x x x

      

 

Câu 214. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;2

thỏa mãn

   

1 d

x f x x

  







2 0



và

 

d 7

f x x





 

 



. Tính tích phân

 

I f x x







. B.

 

. C.

I   . D.

I  .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt









d d

u f x u f x x



  

 

d 1 d

v x x v



   

Ta có

   

1 d

x f x x

  



 

3 3

1 1

. d

3 3

x x

f x f x x

 



 



   

1 1

1 d

3 3

x f x x



    



   

1 d 1

x f x x



  



   

2.7 1 d 14

x f x x



    



Tính được

 

49 1 d 7

x x

 



 

f x x



  

 



   

2.7 1 d

x f x x



 



 

49 1 d 0

x x

  



   

7 1 d 0

x f x x

 



   

 



   

7 1

f x x



  

 

7 1

f x C



  





2 0



 

7 1

4 4

f x



  

Vậy

 

I f x x





 

7 1

4 4

 



 

 

 



 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 118

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 215. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 1



 

d 9

f x x





 

 



và

 

x f x x





. Tích phân

 

f x x



bằng

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

 

d 9

f x x





 

 







- Tính

 

d .

x f x x





Đặt





d .d

u f x

v x x

 















d d

u f x x



 













 

x f x x

 



 

f x

 



 

 

 

. d

x f x x







 

1 1

. d

4 4

x f x x



 



 

. d 1

x f x x



  



 

18 . d 18

x f x x



  







- Lại có:

9 9

x x

 



81 d 9

x x

 







- Cộng vế với vế các đẳng thức









và





ta được:

   

4 8

18 . 81 d 0

f x x f x x x

 

 

  

 

 



 

9 d 0

f x x x

 

  

 



 

. 9 d 0

f x x x



 

  

 



Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x x



  , trục

hoành

, các đường thẳng



khi quay quanh

bằng





9 0

f x x



  





f x x



  









f x f x x



 



x C

  

Lại do





1 1



 

 

9 14

5 5

f x x

   

 

f x x

 



9 14

5 5

x x

 

 

 

 



3 14 5

10 5 2

x x

 

   

 

 

Câu 216. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn



 

 

 

và



 



 

 

. Biết

 

f x x







 

sin 2 d

f x x x





 



. Tính tích phân

 

2 d

I f x x









. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 119

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Tính

 

sin 2 d

f x x x





 



. Đặt

   

sin2 2cos2 d d

d d

x u x x u

f x x v f x v

 

 

 



 



 

 

 

, khi đó

     

4 4

0 0

sin 2 d sin 2 . 2 cos2 d

f x x x x f x f x x x

 





 

 

   

sin . sin0. 0 2 cos2 d

2 4

f f f x x x



 

 

  

 

 



 

2 cos2 d

f x x x



 



Theo đề bài ta có

 

sin 2 d

f x x x





 





 

cos2 d

f x x x







Mặt khác ta lại có

cos 2 d

x x







     

4 4

2 2

0 0

cos2 d 2 .cos2 cos 2 d

f x x x f x f x x x x

 

 

    

 

 

2 0

8 8 8

  

 

   

 

 

nên





cos 2

f x x



Ta có

1 1

cos4 d sin 4

4 4

I x x x



  



Câu 217. . Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và









0 1 0

f f

 

. Biết

 

f x x





   

cos d

f x x x









. Tính

 

f x x





. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt





 

cos

d d

u x

v f x x





















 

d sin d

u x x

v f x

 

 













Khi đó:

           

1 1

0 0

cos d cos sin d

f x x x x f x f x x x

   



 

 

   

 

       

1 1

0 0

1 0 sin d sin d

f f f x x x f x x x

   

    

 

   

sin d

f x x x



 



Cách 1: Ta có

Tìm

sao cho

   

sin d 0

f x k x x



 

 

 

Ta có:

           

1 1 1 1

2 2 2

0 0 0 0

sin d d 2 sin d sin d

f x k x x f x x k f x x x k x x

  

    

    

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 120

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

0 1

2 2

k k

     

Do đó

   

sin d 0

f x x x



 

 

 









sin

f x x



 

(do

   

sin 0

f x x



 

 

 

 



Vậy

   

1 1

0 0

d sin df x x x x



 

 

Cách 2: Sử dụng BĐT Holder.

       

2 2

d d . d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 



 

 

  

Dấu “



” xảy ra









f x k g x

 





;

x a b

 

Áp dụng vào bài ta có

       

1 1 1

2 2

0 0 0

1 1

sin d d . sin d

4 4

f x x x f x x x x

 

 

  

 

 

  

suy ra









.sin

f x k x





, k





Mà

     

1 1

0 0

1 1

sin d sin d 1

2 2

f x x x k x x k

 

    

 









sin

f x x



 

Vậy

   

1 1

0 0

d sin df x x x x



 

 

Câu 218. Cho hàm số





f x

có đạo hàm





f x



liên tục trên đoạn





0;1

thỏa





1 0



 

f x









và

 

cos d

2 2

x f x x



 



 

 



. Tính

 

f x x





. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt









d d

sind cos d

u f x x

u f x

vv x







 



 



 

 

Do đó

 

cos d

2 2

x f x x



 



 

 



   

2 2 1

sin sin d

2 2 2

f x x f x x

 

 



  

 

 



 

sin d

2 4

x f x x

 

 



  

 

 



Lại có:

sin d

2 2

x x



 



 

 



   

1 1 1

0 0 0

2 2

. d 2 sin d sin d

2 2

I f x x x f x x x x

 

       

 

     

       

       

  

 

2 4 2 1

sin d . 0

2 8 2 2

f x x x

  

 



      

  

 



Vì

 

sin 0

f x x



 



  

 

 

trên đoạn





0;1

nên

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 121

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 

sin d 0

f x x x



 



  

  

 



 

=sin

f x x



 



 

 

 

 

= sin

2 2

f x x

 

 



 

 

 

Suy ra

 

=cos

f x x C



 



 

 

mà





1 0



do đó

 

=cos

f x x



 

 

 

Vậy

 

1 1

0 0

d cos d

f x x x x



 

 

 

 

 

Câu 219. Xét hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn điều kiện





1 1



và





2 4



. Tính









2 1

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 



1 ln 4

 

. B.

4 ln2

 

. C.

ln2

 

. D.

ln4

J   .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Cách 1: Ta có









2 1

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 











2 2 2

2 2

1 1 1

2 1

d d d

f x f x

x x x

x x x x



 

   

 

 

  

Đặt

   

1 1

d d

u u x

x x

v f x x v f x

 

  

 



 

 



 

 









2 1

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 



 









2 2 2

1 1 1

1 2 1

. d d d

f x f x

f x x x x

x x x x x

 

    

 

 

  

   

1 1 1

2 1 2ln ln 4

2 2

f f x

 

     

 

 

Cách 2:









2 1

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 











2 2

2 1

xf x f x

x x x





 

  

 

 



 

2 2

1 1

2 1

d d

f x

x x

x x x



 

  

 

 

 

 

1 1

2ln ln4

f x

x x

 

    

 

 

Cách 3: ( Trắc nghiệm)

Chọn hàm số





f x ax b

 

. Vì





 

1 1

2 4











 

 









, suy ra





3 2

f x x

 

Vậy

5 3 1 1 1

d 2ln ln 4

J x x

x x x



   

     

   

   



Câu 220. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn

     

1 1

0 0

e 1

d 1 e d

f x x x f x x





   

  

và





1 0



. Tính

 

f x x



e 1



. B.

. C.

e 2



. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

- Tính:

   

1 e d

I x f x x

  



   

1 1

0 0

e d e d

x x

x f x x f x x J K

  

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 122

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Tính

 

e d

K f x x





Đặt

 

   

d e e d

d d

x x

u f x f x x

u f x

v x





 



 



 

 



 











 

   

e e e d

x x x

K x f x x f x x f x x



 

   

 



   

1 1

0 0

e d e d

x x

x f x x x f x x



  

 









do 1 0



 

e d

K J x f x x



   



 

e d

I J K x f x x



    



- Kết hợp giả thiết ta được:

 

e 1

f x x

xe f x x







 



 











 







 

e 1

d (1)

e 1

2 e d (2)

f x x

x f x x







 



 













 







- Mặt khác, ta tính được:

2 2

e 1

e d (3)

x x







- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

   





2 2

2 e e d 0

x x

f x x f x x x

 

  

 

 

 

e d 0

f x x x



  



 

e d 0

f x x x





  



hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x x



 

, trục

, các đường thẳng



khi quay quanh trục

bằng





e 0

f x x



  





f x x



  









e d 1 e C

x x

f x x x x

     



- Lại do













1 0 C 0 1 e

f f x x

     

   

1 1

0 0

d 1 e d

f x x x x

  

 

 

1 e e d

x x

  



1 e e 2

    

Vậy

 

d e 2

f x x

 



Câu 221. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0



 

d 7

f x x





 

 

và

 

x f x x





. Tích phân

 

f x x



bằng

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Cách 1: Tính:

 

x f x x



. Đặt

 





d d

u f x x

u f x

v x x



 

 



 







Ta có:

 

1 1

2 3

0 0

d . d

3 3

x f x

x f x x x f x x



 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 123

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay









   

1 1

3 3

0 0

1. 1 0. 0

1 1

. d . d

3 3 3

f f

x f x x x f x x



 

   

 

Mà

 

x f x x





   

1 1

3 3

0 0

1 1

. d . d 1

3 3

x f x x x f x x

 

     

 

Ta có

 

d 7

f x x





 

 

(1).

7 7

x x

 



49 d .49 7

x x

  



(2).

   

1 1

3 3

0 0

. d 1 14 . d 14

x f x x x f x x

 

    

 

(3).

Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra

   

1 1 1

6 3

0 0 0

d 49 d 14 . d 7 7 14 0

f x x x x x f x x

 

     

 

   

   





3 6

14 49 d 0

f x x f x x x

 

   

 

 

 

7 d 0

f x x x



 

  

 



 

7 0

f x x

 

 

 

 

7 d 0

f x x x



 

  

 



. Mà

 

7 d 0

f x x x



 

 

 







f x x



  

 

f x C

  

. Mà

 

7 7

1 0 0

4 4

f C C

      

Do đó

 

7 7

4 4

f x

  

Vậy

 

1 1

4 5

0 0

7 7 7 7 7

d d

4 4 20 4 5

x x

f x x x x

   

      

   

   

 

Cách 2: Tương tự như trên ta có:

 

. d 1

x f x x



 



Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

 

     

1 1 1 1 1

2 2 2

3 3

0 0 0 0 0

7 7 d 7 d d 7 d d

x f x x x x f x x f x x f x x

     

   

           

     

     

     

    

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi





f x ax





, với a





Ta có

 

1 1

3 3 3

0 0

. d 1 . d 1 1 7

x f x x x ax x a



          

 

Suy ra

   

f x x f x C



     

, mà





1 0



nên



Do đó

 

f x x x

   



Vậy

 

1 1

4 5

0 0

7 7 7 7 7

d d

4 4 20 4 5

x x

f x x x x

   

      

   

   

 

Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Cho hàm số





f x

và





g x

liên tục trên đoạn





;

a b

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 124

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Khi đó, ta có

       

2 2

d d d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

     

 

     

     

  

Chứng minh:

Trước hết ta có tính chất:

Nếu hàm số





h x

liên tục và không âm trên đoạn





;

a b

thì

 

d 0

h x x





Xét tam thức bậc hai

           

2 2 2

2 0

f x g x f x f x g x g x

  

    

 

 

, với mọi







Lấy tích phân hai vế trên đoạn





;

a b

ta được

       

2 2 2

d 2 g d d 0

b b b

a a a

f x x f x x x g x x

 

  

  

, với mọi











Coi





là tam thức bậc hai theo biến



nên ta có



 

     

2 2 2

d d d 0

b b b

a a a

f x x f x x g x x

    

  

    

    

  

     

2 2 2

d d d

b b b

a a a

f x x f x x g x x

    

 

    

    

  

(đpcm)

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/96

| | Tải xuống

Preview text:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng MỤC LỤC
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM
DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng BÀI TẬP
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM f  x  \   1 1
f 0  2017 f 2  2018 Câu 1: Cho hàm số xác định trên
thỏa mãn f   x  , , x 1
S  f 3  f   1 . Tính .
A. S  1 .
B. S  ln 2 .
C. S  ln 4035 . D. S  4 .  1  2 Câu 2:
Cho hàm số f  x xác định trên  \   thỏa mãn f  x 
và f 0  1. Giá trị của  2  2x 1
biểu thức f 1  f 3 bằng A. 4  ln15 . B. 3  ln15 . C. 2  ln15 . D. ln15 .  1  2 Câu 3:
Cho hàm số f (x) xác định trên  \   thỏa mãn f (  x) 
, f (0)  1 và f (1)  2 . Giá  2  2x 1
trị của biểu thức f ( 1
 )  f (3) bằng A. 4  ln 5 . B. 2  ln15 . C. 3  ln15 . D. ln15. Câu 4:
Cho hàm số f  x xác định trên  thỏa mãn f  x  2x  1 và f 1  5 . Phương trình
f  x  5 có hai nghiệm x , x . Tính tổng S  log x  log x . 1 2 2 1 2 2
A. S  1 .
B. S  2 .
C. S  0 . D. S  4 . 1  3  2  Câu 5:
Cho hàm số f (x) xác định trên  \   thỏa mãn f  x 
, f 0  1 và f  2   . 3  3x 1  3 
Giá trị của biểu thức f 1  f 3 bằng A. 3  5ln 2 . B. 2   5 ln 2 .
C. 4  5ln 2 . D. 2  5ln 2 . f  x  \ 2;  2 4 f 0  1 Câu 6: Cho hàm số xác định trên
và thỏa mãn f  x  ; f 3   0 ; 2   x  4 f 3  2
P  f 4  f 1  f 4 và
. Tính giá trị biểu thức . 3 5 5
A. P  3  ln .
B. P  3  ln 3 .
C. P  2  ln .
D. P  2  ln . 25 3 3 1 Câu 7:
Cho hàm số f  x xác định trên  \ 2; 
1 thỏa mãn f   x 
; f 3  f 3  0 2 x  x  2 1
và f 0  . Giá trị của biểu thức f 4  f 1  f 4 bằng 3 1 1 1 4 1 8 A.  ln 2 . B. 1 ln 80 . C. 1 ln 2  ln . D. 1 ln . 3 3 3 5 3 5 1 Câu 8:
Cho hàm số f  x xác định trên  \ 1; 
1 và thỏa mãn f  x 
; f 3  f 3  0 2 x 1  1   1  và f   f  2    
. Tính giá trị của biểu thức P  f 0  f 4 .  2   2  3 3 1 3 1 3
A. P  2  ln . B. P  1 ln . C. P  1 ln . D. P  ln . 5 5 2 5 2 5 1 Câu 9:
Cho hàm số f  x xác định trên  \  
1 thỏa mãn f  x 
. Biết f 3  f 3  0 2 x 1  1   1  và f   f  2    
. Giá trị T  f 2  f 0  f 4 bằng:  2   2  1 5 1 9 1 9 1 9 A. T  2  ln . B. T  1 ln . C. T  3  ln . D. T  ln . 2 9 2 5 2 5 2 5
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1
Câu 10: Cho hàm số f  x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;   thỏa mãn f 2  15
và f  x   x   2 2
4 f  x  0 . Tính f 1  f 2  f 3 . 7 11 11 7 A. . B. . C. . D. . 15 15 30 30
Câu 11: Cho hàm số f  x xác định và liên tục trên  . Biết 6
f  x. f  x  12x 13 và f 0  2 .
Khi đó phương trình f  x  3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3. C. 7 . D. 1.
Câu 12: Cho hàm số f  x xác định trên  thỏa mãn   ex e x f x    
 2 , f 0  5 và  1  f ln  0  
. Giá trị của biểu thức S  f  ln16  f ln 4 bằng  4  31 9 5 A. S  . B. S  . C. S  .
D. f 0. f 2  1. 2 2 2   
Câu 13: Cho hàm số f  x liên tục, không âm trên đoạn 0; 
, thỏa mãn f 0  3 và 2      
f  x f  x  2 .  cos .
x 1  f  x , x   0; 
. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M 2      
của hàm số f  x trên đoạn ;  . 6 2    21 5 A. m 
, M  2 2 . B. m  , M  3 . 2 2 5 C. m  , M  3 .
D. m  3 , M  2 2 . 2
Câu 14: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x  0 , x
   . Biết f 0  1 f ' x và
 2  2x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x  m có hai f  x
nghiệm thực phân biệt.
A. m  e .
B. 0  m  1 .
C. 0  m  e .
D. 1  m  e .
Câu 15: Cho hàm số f  x liên tục trên  và f  x  0 với mọi x   . f  x   x   2 2
1 f  x và a a f  
1  0, 5 . Biết rằng tổng f  
1  f 2  f 3  ...  f 2017 
; a  ,b    với b b
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a
A. a  b  1.
B. a  2017; 2017 . C.  1.
D. b  a  4035 . b 1 
Câu 16: Cho hàm số f  x  0 thỏa mãn điều kiện '
f  x   x   2 2
3 . f  x và f 0  . Biết tổng 2 a a f  
1  f 2  ...  f 2017  f 2018  với * a  ,
 b  và là phân số tối giản. Mệnh b b
đề nào sau đây đúng? a a A.  1. B.  1 . b b
C. a  b  1010 .
D. b  a  3029 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 
 f  x f  x   f   x 2 3 . 2
  xf  x  0
Câu 17: Cho hàm số y  f  x , x   0 , thỏa mãn    . Tính
 f 0  0; f 0  1  f 1 . 2 3 6 7 A. . B. . C. . D. . 3 2 7 6 f  x x
Câu 18: Giả sử hàm số f (x) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f 0  1 và  . Khi đó f  x 2 x  1
hiệu T  f 2 2   2 f   1 thuộc khoảng A. 2;3 . B. 7;9 . C. 0;1 . D. 9;12 .  4 f  tan t 1 1 Câu 19: Khi đó dt  f x dx  f x dx  6
y  f x đồng biến trên 2    . Vậy    .Cho hàm số   cos t 0 0 0 2
0;   ; y  f  x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;   và thỏa mãn f 3  và 3  f  x 2 '    x   1 . f  x  
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2
2613  f 8  2614 . B. 2
2614  f 8  2615 . C. 2
2618  f 8  2619 . D. 2
2616  f 8  2617 .
Câu 20: Giả sử hàm số y  f  x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  và thỏa mãn f 1  1,
f  x  f  x 3x 1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4  f 5  5 .
B. 2  f 5  3 .
C. 3  f 5  4 .
D. 1  f 5  2 . 2 Câu 21: Cho hàm số
f  x thỏa mãn  f  x  f  x f  x 4 .  15x 12x   , x    và
f 0  f 0  1 . Giá trị của 2
f 1 bằng 9 5 A. . B. . C. 10 . D. 8 . 2 2 f  x 1 2  x 1  3
Câu 22: Cho hàm số f  x liên tục trên  và thỏa mãn dx   C  . Nguyên x 1 x  5
hàm của hàm số f 2x trên tập   là: x  3 x  3 2x  3 2x  3 A.  C . B.  C . C.  C . D.  C . 2  2 x  4 2 x  4 4  2 x   1 8 2 x   1
DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN 5 2 Câu 23: Cho
f  x dx  10 
. Kết quả 2  4 f  x dx    bằng: 2 5 A. 34 . B. 36 . C. 40 . D. 32 . 9
Câu 24: Cho hàm số f  x liên tục trên  và F  x là nguyên hàm của f  x , biết f  x dx  9  và 0
F 0  3. Tính F 9 .
A. F 9  6 .
B. F 9  6 .
C. F 9  12 .
D. F 9  12 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 2
Câu 25: Cho I 
f  x dx  3 
. Khi đó J  4 f  x  3 dx    bằng: 0 0 A. 2 . B. 6 . C. 8 . D. 4 . 4 4 4
f  x dx  10 
g  x dx  5 
I  3 f  x  5g  x dx    Câu 26: Cho 2 và 2 . Tính 2
A. I  5 .
B. I  15 . C. I  5  . D. I  10 . 9 0 9
f  x dx  37 
g  x dx  16 
I  2 f  x  3g(x) dx    Câu 27: Giả sử 0 và 9 . Khi đó, 0 bằng:
A. I  26 .
B. I  58 .
C. I  143 . D. I  122 . 2 5 5
f  x dx  3 
f  x dx  1  
f  x dx  Câu 28: Nếu 1 , 2 thì 1 bằng A. 2  . B. 2 . C. 3. D. 4 . 2 3 3
f  x dx  1 
f  x dx  2  
f  x dx  Câu 29: Cho 1 và 2 . Giá trị của 1 bằng A. 1. B. 3  . C. 1  . D. 3. 10 6
Câu 30: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 0;10 và
f  x dx  7  và
f  x dx  3  . Tính 0 2 2 10 P 
f  x dx  f  x dx   . 0 6
A. P  7 . B. P  4  .
C. P  4 .
D. P  10 . 1 2
f  x dx  2 
f  x dx  2  Câu 31: Cho 0 ,
f  x dx  4  , khi đó 0 ? 1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 3. 1 3 3
Câu 32: Cho hàm số f  x liên tục trên  và có f  x dx  2  ;
f  x dx  6  . Tính I 
f  x dx  . 0 1 0
A. I  8 .
B. I  12 .
C. I  36 . D. I  4 . 2 2 2
f  x dx  2 
g  x dx  1  I 
 x  2 f  x  3g  x dx    Câu 33: Cho 1 và 1 . Tính 1 bằng 11 7 17 5 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 2 8 4 4
f  x dx  2  
f  x dx  3 
g  x dx  7  Câu 34: Biết 1 ; 1 ; 1
. Mệnh đề nào sau đây sai? 8 4 A.
f  x dx  1  .
B.  f  x  g  x dx  10    . 4 1 8 4 C.
f  x dx  5   .
D. 4 f  x  2g  x dx  2    . 4 1 3 f  x f  x
1;3 f 1  3 Câu 35: Cho hàm số có liên tục trên đoạn , và f (  x) dx  10  giá trị 1 f 3 của bằng A. 1  3 . B. 7  . C. 13 . D. 7 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 2
f  x dx  3 
 f x    1 dx Câu 36: Cho 0 . Tính 0 ? A. 4 . B. 5. C. 7 . D. 1. 2
Câu 37: Cho y  f  x , y  g  x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0; 2 và g  x. f  x dx  2 0 2 2
, g  x. f  x dx  3  . Tính tích phân I
f  x.g  x     dx    . 0 0 A. I  1  .
B. I  6 .
C. I  5 . D. I  1. 5 2
f  x dx  8 
g  x dx  3  5
Câu 38: Cho hai tích phân 2 và 5 . Tính I 
 f  x  4g  x 1 dx    . 2  A. I  1  1.
B. I  13 .
C. I  27 . D. I  3 . 1
Câu 39: Cho hàm số f  x 4 3 2
 x  4x  2x  x  1, x    . Tính 2
f  x. f  x dx  . 0 2 2 A. . B. 2 . C.  . D. 2  . 3 3 6 4
Câu 40: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn f  x dx  10  và
f  x dx  6  . Tính 0 2 2 6
giá trị của biểu thức P 
f  x dx  f  x dx   . 0 4
A. P  4 .`
B. P  16 .
C. P  8 . D. P  10 . 1 1
Câu 41: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn [0; 1] và có 3
  2 f  x dx  5    . Tính
f  x dx  . 0 0 A. 1  . B. 2. C. 1. D. 2  . 1 1
Câu 42: Cho hai hàm số f  x và g  x liên tục trên đoạn [0; 1], có f  x dx  4 
và g  x dx  2   0 0
. Tính tích phân I   f  x  3g  x dx    . A. 1  0 . B. 10 . C. 2. D. 2  . 1
Câu 43: Cho hàm số f  x 2  ln x 
x 1 . Tính tích phân I 
f ' x dx  . 0
A. I  ln 2 .
B. I  ln 1 2  .
C. I  ln 2 D. I  2ln 2
Câu 44: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f   2 1  e , ln 3 f ' x 2 dx  9  e 
. Tính I  f ln 3 . 1 A. 2
I  9  2e .
B. I  9 . C. I  9  . D. 2
I  2e  9 .
Câu 45: Cho hai hàm số y  f  x và y  g  x có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 1 1 1 /
f ' x.g  x dx  1  ,
f  x.g ' x dx  1  
. Tính I   f  x.g  x dx    . 0 0 0 A. I  2  .
B. I  0 .
C. I  3 . D. I  2 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 x
Câu 46: Cho hàm số f  x liên tục trên 0;   và thỏa
f t  dt  . x cos x 
. Tính f 4 . 0 2 3 1
A. f 4  123 . B. f 4  . C. f 4  . D. f 4  . 3 4 4 f  x
Câu 47: Cho hàm số f  x thỏa mãn 2 t .dt  . x cos  x 
. Tính f 4 . 0 1
A. f 4  2 3 .
B. f 4  1. C. f 4  . D. f   3 4  12 . 2 x   
Câu 48: Cho hàm số G  x  t.cos  x  t .dt 
. Tính G '  .  2  0             A. G '  1   . B. G '  1   . C. G '  0   . D. G '  2   .  2   2   2   2  2 x
Câu 49: Cho hàm số G  x  cos t.dt 
( x  0 ). Tính G ' x . 0
A. G  x 2 '
 x .cos x .
B. G ' x  2 .
x cos x . C. G ' x  cos x .
D. G ' x  cos x 1. x
Câu 50: Cho hàm số G  x 2  1  t dt 
. Tính G ' x . 1 x 1 A. . B. 2 1  x . C. . D.  2 x   2 1 x 1 . 2 1 x 2 1 x x
Câu 51: Cho hàm số F  x 2  sin t .dt 
( x  0 ). Tính F ' x . 1 sin x 2sin x
A. sin x . B. . C. . D. sin x . 2 x x x
Câu 52: Tính đạo hàm của f  x , biết f  x thỏa f t f  x t.e dt  e  . 0 1 1
A. f ' x  x .
B. f  x 2 '  x  1 .
C. f ' x  .
D. f ' x  . x 1 x 2 x
y  f  x 0;  f 4 Câu 53: Cho hàm số liên tục trên và
f t  dt  .
x sin  x  . Tính 0     1
A. f    .
B. f    .
C. f    .
D. f    . 4 2 4 2 f  x 2; 3 F  x  f  x Câu 54: Cho hàm số liên tục trên khoảng . Gọi là một nguyên hàm của trên 2 I 
 f  x  2x dx   2; 3   F 1  1 F 2  4 khoảng . Tính 1 , biết và .
A. I  6 .
B. I  10 .
C. I  3 . D. I  9 . 2 2 2
f  x dx  2 
g  x dx  1  I 
 x  2 f  x  3g  x dx    Câu 55: Cho 1 và 1 . Tính 1 11 7 17 5 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 2 2 2 2
3 f  x  2g  x dx  1   
2 f  x  g  x dx  3   
f  x dx  Câu 56: Cho 1 , 1 . Khi đó, 1 bằng
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 11 5 6 16 A. . B.  . C. . D. . 7 7 7 7
Câu 57: Cho f  x , g  x là hai hàm số liên tục trên đoạn 1; 
1 và f  x là hàm số chẵn, g  x là 1 1 hàm số lẻ. Biết
f  x dx  5 
; g  x dx  7 
. Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 1 A.
f  x dx  10  .
B.  f  x  g  x dx  10    . 1 1 1 1
C.  f  x  g  x dx  10    .
D. g  x dx  14  . 1 1
Câu 58: Cho f  x , g  x là hai hàm số liên tục trên đoạn 1; 
1 và f  x là hàm số chẵn, g  x là 1 1 hàm số lẻ. Biết
f  x dx  5 
; g  x dx  7 
. Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 1 A.
f  x dx  10  .
B.  f  x  g  x dx  10    . 1 1 1 1
C.  f  x  g  x dx  10    .
D. g  x dx  14  . 1 1 10 8 10
f  z dz  17 
f t dt  12  3
 f  x dx  Câu 59: Nếu 0 và 0 thì 8 bằng A. 1  5 . B. 29 . C. 15 . D. 5. 2 7 7
f  x dx  2 
f t  dt  9 
f  z dz  Câu 60: Cho 1 , 1 . Giá trị của 2 là A. 11. B. 5. C. 7 . D. 9. 3
Câu 61: Cho hàm số y  f  x liên tục, luôn dương trên 0;  3 và thỏa mãn I 
f  x dx  4  . Khi đó 0 3 1ln f x  giá trị của tích phân   K  e
 4dx là: 0 A. 4 12e . B. 12  4e . C. 3e 14 . D. 14  3e .
Câu 62: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  thỏa  f
 0  f  0  1;  .
f  x  y  f  x  f  y  3xy  x  y 1, x  ,y     1 Tính f  x   1 dx  . 0 1 1 1 7 A. . B.  . C. . D. . 2 4 4 4 1
Câu 63: Cho hàm số f  x là hàm bậc nhất thỏa mãn  x  
1 f  xdx  10  và 2 f  
1  f 0  2 . 0 1 Tính I 
f  x dx  . 0
A. I  1.
B. I  8 . C. I  1  2 . D. I  8  .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng f  x  \   0 1 f 1  a
f 2  b Câu 64: Cho hàm số xác định trên
, thỏa mãn f  x  , và 3 5 x  x
f 1  f 2 . Tính .
A. f 1  f 2  a  b .
B. f 1  f 2  a  b .
C. f 1  f 2  a  b .
D. f 1  f 2  b  a . f  x  \   0 1 f 1  a
f 2  b Câu 65: Cho hàm số xác định trên
và thỏa mãn f  x  , , 2 4 x  x
f 1  f 2
. Giá trị của biểu thức bằng
A. b  a .
B. a  b .
C. a  b .
D. a  b .
Câu 66: Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f  x  0 1 , x
   ; f  x x 2
 e . f  x  , x
   và f 0 
. Tính giá trị của f ln 2 . 2 2 2 2 1
A. f ln 2  .
B. f ln 2   .
C. f ln 2  .
D. f ln 2  . 9 9 3 3
Câu 67: Cho hàm số y  f  x có đồ thị C  , xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các
điều kiện f  x  0 x   , f  x   x f  x2 . , x
   và f 0  2 . Phương trình tiếp
tuyến tại điểm có hoành độ x  1 của đồ thị C  là.
A. y  6x  30 . B. y  6  x  30 .
C. y  36x  30 . D. y  3  6x  42 .
Câu 68: Cho hàm số y  f  x  0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;  1 và thỏa mãn: x 1
g  x  1 2018 f t  dt  ,   2
g x  f  x . Tính
g  xdx  . 0 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505 . 2 2 2
y  f  x 1;  1
f  x  0, x   Câu 69: Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên đoạn , thỏa mãn
f '  x  2 f  x  0 f 1  1 f 1 và . Biết , tính . A. f   2 1 e   . B. f   3 1  e . C. f   4 1  e .
D. f 1  3 .
Câu 70: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 đồng thời thỏa mãn f 0  9 và
f   x   f  x 2 9  x  9  
. Tính T  f 1  f 0 . 1
A. T  2  9 ln 2 .
B. T  9 . C. T   9 ln 2 .
D. T  2  9 ln 2 . 2
y  f  x
f  x f  x  4 2 ' .  x  x f 0  2 2 f 2 Câu 71: Cho hàm số thỏa mãn . Biết . Tính . 313 332 324 323 A. 2 f 2  . B. 2 f 2  . C. 2 f 2  . D. 2 f 2  . 15 15 15 15
Câu 72: Cho f (x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên 1; 4 thỏa mãn 3
x  2xf  x   f  x 2  , x
 1;4, f   1   
. Giá trị f 4 bằng: 2 391 361 381 371 A. B. C. D. 18 18 18 18
y  f  x f  x 0; Câu 73: Cho hàm số có
liên tục trên nửa khoảng thỏa mãn      2 3  1 3.e x f x f x   . Khi đó:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 1 1 A. 3 e f   1  f 0   . B. 3 e f   1  f 0   . 2 2 e  3 2 4 2 e  3 e  3 e  3  8 3  2  2 C. e f   1  f 0  .
D. 3 f    f     2   2 e 1 0 e 3 e  3  8 . 3
Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f  x  1 , f 0  0 và thỏa f  x 2 x 1  2x
f  x 1 . Tính f  3 . A. 0 . B. 3. C. 7 . D. 9. 1
Câu 75: Cho hàm số f  x  0 thỏa mãn điều kiện f  x   x   2 2
3 f  x và f 0   . Biết rằng 2 a a tổng f  
1  f 2  f 3  ...  f 2017  f 2018  với  *
a  , b    và là phân số b b
tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1. B.  1 .
C. a  b  1010 .
D. b  a  3029 . b b ax  b
Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để F  x 
4a  b  0 là nguyên hàm của hàm số f  x x  4 và thỏa mãn: 2
2 f  x  F  x 1 f  x   .
Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?
A. a  1 , b  4 .
B. a  1 , b  1.
C. a  1 , b   \  
4 . D. a   , b   .
y  f  x 1; 2 f 1  4 Câu 77: Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và
f  x  xf   x 3 2  2 x  3x f 2 . Tính A. 5. B. 20 . C. 10 . D. 15 . x    
Câu 78: Cho f  x  trên  ;
và F  x  là một nguyên hàm của xf  x thỏa mãn 2   cos x  2 2     
F 0  0 . Biết a   ; 
 thỏa mãn tan a  3 . Tính F a  2
10a  3a .  2 2  1 1 1 A.  ln10 . B.  ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 4 2
Câu 79: Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau 1
f  x  0 , x
   , f  x x 2
 e . f  x  x
   và f 0 
. Phương trình tiếp tuyến của 2
đồ thị tại điểm có hoành độ x  ln 2 là 0
A. 2x  9 y  2 ln 2  3  0 .
B. 2x  9 y  2 ln 2  3  0 .
C. 2x  9 y  2 ln 2  3  0 .
D. 2x  9 y  2 ln 2  3  0 .
Câu 80: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 , f  x và f  x đều nhận giá trị 1 1 2
dương trên đoạn 0; 
1 và thỏa mãn f 0  2 ,  f  x. f  x 1  dx  2
f   x. f  x dx       0 0 1 3
. Tính  f  x dx    . 0 15 15 17 19 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
Câu 81: Cho f (x) không âm thỏa mãn điều kiện 2
f (x). f '(x)  2x
f (x) 1 và f (0)  0 . Tổng giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f (x) trên 1;3 là A. 22 B. 4 11  3 C. 20  2 D. 3 11  3
Câu 82: Cho hàm số f  x có đạo hàm và đồng biến trên  thỏa mãn f 0  1 và 1   2 x f x
 e f  x, x
   . Tính tích phân f  x dx  bằng 0
A. e  2 .
B. e 1. C. 2 e  2 . D. 2 e 1.
y  f  x  \   0 Câu 83: Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn 2 2 2
x f  x  2x 1 f  x  xf  x 1 x   \   0 f 1  2 với và . Tính
f  x dx  . 1 1 3 ln 2 3 ln 2 A.   ln 2 . B.   ln 2 . C. 1   . D.   . 2 2 2 2 2 Câu 84: Cho hàm số
y  f  x . Có đạo hàm liên tục trên  . Biết f 1  e và
 x   f  x  xf  x 3 2  x , x
   . Tính f 2 . A. 2 4e  4e  4 . B. 2 4e  2e  1 . C. 3 2e  2e  2 . D. 2 4e  4e  4 .
Câu 85: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 và thỏa mãn f 0  0 . Biết 1 9 1  x 3 1 2
f  x dx   và
f   x cos dx   . Tích phân
f  x dx  bằng 2 2 4 0 0 0 1 4 6 2 A. . B. . C. . D. .     1 1
Câu 86: Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 0;  1 , thỏa mãn
f  x dx  xf  x dx  1   và 0 0 1 1 3  f  x 2  dx  4   
. Giá trị của tích phân  f  x dx    bằng 0 0 A. 1. B. 8 . C. 10 . D. 80 .
Câu 87: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f  x  0 khi x 1, 2 . 2 2 f ' x Biết
f ' x dx  10  và dx  ln 2 
. Tính f 2 . f x 1   1
A. f 2  10 .
B. f 2  20 .
C. f 2  10 .
D. f 2  20 .
Câu 88: Cho hàm số f  x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 4;8 và f 0  0 với x  4;8 . Biết
 f  x 2 8  1 1 rằng   dx 1 
và f 4  , f 8 
. Tính f 6 .  f  x 4 4 2 4    5 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 8 3 8 3
Câu 89: Cho hàm số f  x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0; 
1 đồng thời thỏa mãn các điều 2
kiện f  0  1 và  f  x  f  x  
. Đặt T  f 1  f 0 , hãy chọn khẳng định đúng? A. 2   T  1  . B. 1
  T  0 .
C. 0  T  1.
D. 1  T  2 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
 f  x  0, x , 
Câu 90: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  thoả  f 0  f 0  1, .  2 2
xy  y  yy ,   x  .  
Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 3 3 A.  ln f   1  1.
B. 0  ln f   1  . C.  ln f   1  2 .
D. 1  ln f   1  . 2 2 2 2 3
Câu 91: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện  f  x  3g  x dx  10    đồng 1 3 3
thời 2 f  x  g  x dx  6   
. Tính  f  x  g  x dx    . 1 1 A. 9. B. 6 . C. 7 . D. 8 . d d
Câu 92: Cho hàm số y  f  x liên tục trên a;b , nếu f  x dx  5  và
f  x dx  2 
(với a  d  b a b b ) thì
f  x dx  bằng. a 5 A. 3. B. 7 . C. . D. 10 . 2
Câu 93: Cho f  x và g  x là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;3 , thỏa mãn: 3 3 3
 f  x  3g  x dx  10   
và 2 f  x  g  x dx  6   
. Tính I   f  x  g  x dx    1 1 1
A. I  8 .
B. I  9 .
C. I  6 . D. I  7 .
Câu 94: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x liên tục trên đoạn 0;5 và đồ thị hàm số y  f  x
trên đoạn 0;5 được cho như hình bên. y 1 O 3 5 x 5 
Tìm mệnh đề đúng
A. f 0  f 5  f 3 . B. f 3  f 0  f 5 .
C. f 3  f 0  f 5 . D. f 3  f 5  f 0 .
Câu 95: Cho hàm số f  x liên tục và có đạo hàm tại mọi x  0;   đồng thời thỏa mãn điều kiện: 3 2
f  x   x sin x  f ' x   cos x và f  xsin d x x  4
 . Khi đó, f  nằm trong khoảng     2 nào? A. 6;7 . B. 5;6.
C. 12;13 .
D. 11;12 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng    Câu 96: Cho hàm số f  x xác định trên 0;  thỏa mãn 2      2     2   2 2
f  x  2 2 f  x sin x  d x      . Tích phân
f  x d x  bằng 4     2 0  0   A. . B. 0 . C. 1. D. . 4 2
Câu 97: Cho hàm số y  f (x) liên tục trên  thỏa mãn f  x f  x  x  2x2x 1 3 2 2 1 e       4 . Tính 2 tích phân I 
f  x dx 
ta được kết quả: 0
A. I  e  4 .
B. I  8 .
C. I  2 .
D. I  e  2 . 2 2
Câu 98: Suy ra 4 f  x dx  8  f  x dx  2  
. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  \ 0;   1 thỏa 0 0
mãn điều kiện f 1  2 ln 2 và x  x   f  x  f  x 2 1 .
 x  x . Giá trị f 2  a  b ln 3 , với
a, b   . Tính 2 2
a  b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 2
Câu 99: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  và f  x 4  x   2x x
  0 và f 1  1. 2 x
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Phương trình f  x  0 có 1 nghiệm trên 0;1 .
B. Phương trình f  x  0 có đúng 3 nghiệm trên 0;   .
C. Phương trình f  x  0 có 1 nghiệm trên 1; 2 .
C. Phương trình f  x  0 có 1 nghiệm trên 2;5 . Hươngd dẫn giải Chọn C 2 6 3 x  2x  2 x  2 3 1  1 f   x 4  x   2x    0 , x   0 . 2 x 2 x 2 x
 y  f  x đồng biến trên 0;   .
 f  x  0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng 0;     1 . Mặt khác ta có: 2 2 2  2  21 f  x 4  x   2x  0 , x   0  f  x 4 dx  x   2x dx  2    x 2  x  5 1 1 21 17
 f 2  f   1   f 2  . 5 5
Kết hợp giả thiết ta có y  f  x liên tục trên 1; 2 và f 2. f 1  0 2 . Từ  
1 và 2 suy ra phương trình f  x  0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 1; 2.
Câu 100: Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x liên tục trên  và thỏa mãn f  x 1;  1 với 2
x  0; 2 . Biết f 0  f 2  1 . Đặt I  f  x dx 
, phát biểu nào dưới đây đúng? 0
A. I  ;0 .
B. I  0;  1 .
C. I  1;   .
D. I  0;1 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1
Câu 101: Cho hàm số y  f  x liên tục trên 0; 
1 thỏa mãn xf  x dx  0 
và max f  x  1. Tích [0; 1] 0 1 phân  ex I
f  x dx 
thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0  5   3   5 3  A.  ;   .   B. ; e 1 .   C.  ; .  
D. e 1;  .  4   2   4 2 
Câu 102: Cho hàm số f  x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 0  1 và 1 1 1  1  3 3
f   x  f  x 2   dx  2
f  x f  x dx     
. Tính tích phân  f  x dx  : 9      0 0 0 3 5 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 6
Câu 103: Cho hai hàm số f  x và g  x có đạo hàm trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn hệ thức  f 4    1  g   1  4 
. Tính I   f  x  g  x dx    . g   x   . x f  x;
f  x   . x g  x  1 A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6 ln 2 . D. 4 ln 2 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM f  x  \   1 1 f 0  2017 Câu 1: Cho hàm số xác định trên
thỏa mãn f   x  , , x 1 f 2  2018
S  f 3  f   1 . Tính .
A. S  1 .
B. S  ln 2 .
C. S  ln 4035 . D. S  4 . Hươngd dẫn giải Chọn A 1 Cách 1: Ta có
f  x dx  dx  ln  
 x 1   C . x 1
 f  x  ln 
 x 1   2017 khi x 1
Theo giả thiết f 0  2017 , f 2  2018 nên  . f
  x  ln  x 1   2018 khi x  1 
Do đó S  f 3  f  
1  ln 2  2018  ln 2  2017  1 . Cách 2: 0 0  dx 1 0
f (0)  f (1) 
f '(x)dx   ln x 1 |  ln (1)  1   x 1  2  Ta có: 1 1  3 3  dx 3
f (3)  f (2) 
f '(x)dx 
 ln x 1 |  ln 2 (2) 2    x 1  2 2
Lấy (1)+(2), ta được f (3)  f (2)  f (0)  f ( 1  )  0  S  1 .  1  2
Câu 2: Cho hàm số f  x xác định trên  \   thỏa mãn f  x 
và f 0  1. Giá trị của  2  2x 1
biểu thức f 1  f 3 bằng A. 4  ln15 . B. 3  ln15 . C. 2  ln15 . D. ln15 . Hươngd dẫn giải Chọn C 1
2. d 2x   1 2
Ta có f  x  f  x 2 dx  dx 
 ln 2x 1  c    . 2x 1 2x 1
f 0  1  c  1  f  x  ln 2x 1 1 .  f     1  ln 3 1 
 f 1  f 3  2  ln15 . f  3  ln 5 1   1  2
Câu 3: Cho hàm số f (x) xác định trên  \   thỏa mãn f (  x) 
, f (0)  1 và f (1)  2 .  2  2x 1
Giá trị của biểu thức f ( 1
 )  f (3) bằng A. 4  ln 5 . B. 2  ln15 . C. 3  ln15 . D. ln15. Hươngd dẫn giải Chọn C  1  2
Cách 1: • Trên khoảng ;    : f (x) 
dx  ln(2x 1)  C . 1   2  2x 1
Lại có f (1)  2  C  2. 1  1  2 • Trên khoảng  ;    : f (x) 
dx  ln(1 2x)  C . 2   2  2x 1
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
Lại có f (0)  1 C  1. 2  1
ln(2x 1)  2 khi x    2
Vậy f (x)   . 1
ln(1 2x) 1 khi x    2 Suy ra f ( 1
 )  f (3)  3  ln15. Cách 2: 0 0  2dx 1 0 f (0)  f ( 1  ) 
f '(x)dx   ln 2x 1 |  ln (1)  1   2x 1 3  Ta có: 1 1  3 3  2dx 3
f (3)  f (1) 
f '(x)dx 
 ln 2x 1 |  ln 5 (2) 1    2x 1  1 1
Lấy (2)-(1), ta được f (3)  f (1)  f (0)  f (1)  ln15  f ( 1
 )  f (3)  3  ln15 .
Câu 4: Cho hàm số f  x xác định trên  thỏa mãn f  x  2x  1 và f 1  5 . Phương trình
f  x  5 có hai nghiệm x , x . Tính tổng S  log x  log x . 1 2 2 1 2 2
A. S  1 .
B. S  2 .
C. S  0 . D. S  4 . Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có: f  x  f  x x   x   2 d 2
1 dx  x  x  C   .
Mà f       C   C   f  x 2 1 5 1 1 5 3
 x  x  3 .  x  1
Xét phương trình: f  x 2 2
 5  x  x  3  5  x  x  2  0   . x  2 
S  log x  log x  log 1  log 2  1 . 2 1 2 2 2 2 1  3  2 
Câu 5: Cho hàm số f (x) xác định trên  \   thỏa mãn f  x 
, f 0  1 và f  2   . 3  3x 1  3 
Giá trị của biểu thức f 1  f 3 bằng
A. 3  5ln 2 . B. 2   5 ln 2 .
C. 4  5ln 2 . D. 2  5ln 2 . Hươngd dẫn giải Chọn A   1 
ln 3x 1  C khi x   ;   1   3 3   3 
Cách 1: Từ f  x 
 f  x  dx=   . 3x 1 3x 1  1 
ln 3x 1  C khi x  ;  1      3    1   f 0  1
ln 3x 1 1 khi x   ;      0  C  1 C   1   3  Ta có: 1 1   2     
 f  x   . f  2 0  C  2 C  2     2  2  1     3 
ln 3x 1  2 khi x  ;       3 
Khi đó: f 1  f 3  ln 4 1 ln 8  2  3  ln 32  3  5ln 2 . 0 0  3 1 f
 0  f  
1  f  x 0  f   x 0 dx  dx  ln 3x 1  ln   1   1 1 3x 1 4 1 1  Cách 2: Ta có 3 3   2  3
 f 3  f  f    x 3   2 f  x 3 dx 
dx  ln 3x 1 2  ln 8 2     3  3 3x 1 2 2 3  3 3
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  2  Lấy 2   
1 , ta được: f 3  f  
1  f 0  f  ln 32  f    
1  f 3  3  5 ln 2 .  3  f  x  \ 2;  2 4 Câu 6: Cho hàm số xác định trên
và thỏa mãn f  x  ; f 3   0 ; 2   x  4 f 0  1 f 3  2
P  f 4  f 1  f 4 và
. Tính giá trị biểu thức . 3 5 5
A. P  3  ln .
B. P  3  ln 3 .
C. P  2  ln .
D. P  2  ln . 25 3 3 Hươngd dẫn giải Chọn B  x  2 ln
 C khi x   ;  2   1   x  2  4 4dx 4dx  x  2
Từ f  x 
 f  x    ln
 C khi x  2  ; 2 2   2   x  4 2 x  4
 x  2 x  2 x  2   x  2 ln
 C khi x  2;  3   x  2    f 3  0 ln 5  C  0 C   ln 5 1 1   
Ta có  f 0  1  0  C  1  C  1 2 2    f 2  2 1 C  2  ln 5  ln  C  2  3 3  5  x  2 ln -ln5
khi x   ;  2  x  2   x  2
 f  x  ln 1 khi x   2  ; 2 . x  2   x  2 ln
 2  ln 5 khi x  2;  x  2  1
Khi đó P  f 4  f 1  f 4  ln 3  ln 5  ln 3 1 ln  2  ln 5  3  ln 3. 3 1
Câu 7: Cho hàm số f  x xác định trên  \ 2; 
1 thỏa mãn f   x 
; f 3  f 3  0 2 x  x  2 1
và f 0  . Giá trị của biểu thức f 4  f 1  f 4 bằng 3 1 1 1 4 1 8 A.  ln 2 . B. 1 ln 80 . C. 1 ln 2  ln . D. 1 ln . 3 3 3 5 3 5 Hươngd dẫn giải Chọn A  1 x 1 ln  C khi x   ;  2   1   3 x  2  1 dx dx 1 x 1
f   x 
 f  x     ln  C khi x  2  ;1  2 2   2  x  x  2 x  x  2  x   1  x  2 3 x  2  1 x 1  ln  C khi x  1;  3   3 x  2  1 1 2 1
Do đó f 3  f 3  0  ln 4  C  ln  C  C  C  ln10 . 1 3 3 1 3 3 5 3
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 1 1 1 1
Và f 0   ln  C   C   ln 2 . 2 2 3 3 2 3 3 3  1 x 1 ln  C khi x   ;  2   1   3 x  2   1 x 1 1 1
 f  x   ln   ln 2 khi x  2;  1 . 3 x  2 3 3  1 x 1 1  ln  C  ln10 khi x  1;  1   3 x  2 3  Khi đó:  1 5   1 1 1   1 1 1  1 1
f 4  f   1  f 4  ln  C  ln 2   ln 2  ln  C  ln10   ln 2  . 1     1   3 2   3 3 3   3 2 3  3 3 1
Câu 8: Cho hàm số f  x xác định trên  \ 1; 
1 và thỏa mãn f  x 
; f 3  f 3  0 2 x 1  1   1  và f   f  2    
. Tính giá trị của biểu thức P  f 0  f 4 .  2   2  3 3 1 3 1 3
A. P  2  ln . B. P  1 ln . C. P  1 ln . D. P  ln . 5 5 2 5 2 5 Hươngd dẫn giải Chọn C 1 x 1 ln  C khi x   ;  1   1;   1     1 dx dx  2 x 1
f  x      2  2  . x 1 x 1  x   1  x   1 1 x 1  ln  C khi x  1  ;1 2    2 x 1  1 1 1 Ta có f  3
   f 3  0  ln 2  C  ln  C  0  C  0 . 1 1 1 2 2 2  1   1  1 1 1 Và f   f  2  ln 3  C  ln
 C  2  C  1     . 2 2 2  2   2  2 2 3 1 x 1 ln khi x  ;    1  1;   2 x 1
Suy ra f  x   . 1 x 1  ln 1 khi x  1  ;  1 2 x 1  1 3
Vậy P  f 0  f 4 =1 ln . 2 5 1
Câu 9: Cho hàm số f  x xác định trên  \  
1 thỏa mãn f  x 
. Biết f 3  f 3  0 2 x 1  1   1  và f   f  2    
. Giá trị T  f 2  f 0  f 4 bằng:  2   2  1 5 1 9 1 9 1 9 A. T  2  ln . B. T  1 ln . C. T  3  ln . D. T  ln . 2 9 2 5 2 5 2 5 Hươngd dẫn giải Chọn B 1 1  1 1  1 x 1 Ta có
f  x dx  dx     dx  ln  C . 2   x 1
2  x 1 x 1  2 x 1
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 x 1 ln
 C khi x  1  , x  1 1   2 x 1
Do đó f  x   . 1 1 x  ln
 C khi 1  x  1 2   2 x 1  1   1 
Do f 3  f 3  0 nên C  0 , f   f  2 nên C  1. 1     2  2   2  1 x 1 ln khi x  1  , x  1   2 x 1 1 9
Nên f  x  
. T  f 2  f 0  f 4  1 ln . 1 1 x  2 5 ln
1 khi 1  x  1   2 x 1
Câu 10: Cho hàm số f  x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;   thỏa mãn 1 f 2 
và f  x   x   2 2
4 f  x  0 . Tính f 1  f 2  f 3 . 15 7 11 11 7 A. . B. . C. . D. . 15 15 30 30 Hươngd dẫn giải Chọn D f  x
Vì f  x   x   2 2
4 f  x  0 và f  x  0 , với mọi x  0;   nên ta có   2x  4 . 2 f  x 1 1 1 Suy ra 2
 x  4x  C . Mặt khác f 2 
nên C  3 hay f  x  . f  x 15 2 x  4x  3 1 1 1 7
Do đó f 1  f 2  f 3     . 8 15 24 30
Câu 11: Cho hàm số f  x xác định và liên tục trên  . Biết 6
f  x. f  x  12x 13 và f 0  2 .
Khi đó phương trình f  x  3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3. C. 7 . D. 1. Hươngd dẫn giải Chọn A Từ 6
f  x. f  x  12x 13 6 
f  x. f  x dx  12x 13 dx   6 
f  x df  x 2
 6x 13x  C  7 f  x 2 
 6x  13x  C f 02 2  C  . 7 7 Suy ra: 7 f  x 2
 42 x  91x  2 .
Từ f  x  3 7
 f  x  2187 2
 42x  91x  2  2187 2
 42x  91x  2185  0 * .
Phương trình * có 2 nghiệm trái dầu do ac  0 .
Câu 12: Cho hàm số f  x xác định trên  thỏa mãn   ex e x f x    
 2 , f 0  5 và  1  f ln  0  
. Giá trị của biểu thức S  f  ln16  f ln 4 bằng  4  31 9 5 A. S  . B. S  . C. S  .
D. f 0. f 2  1. 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn C
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng x x   ex 1 2 2 e  e khi x  0 Ta có   ex e x f x      2    . x x ex   2 2 e  e khi x  0  x x   2 2  2e  2e  C khi x  0
Do đó f  x 1   . x x   2 2 2e  2e  C khi x  0  2
Theo đề bài ta có f 0  5 nên 0 0
2e  2e  C  5  C  1. 1 1 ln 4 ln 4   f   2 2 ln 4  2e  2e  1  6  1   1  ln ln      1   4   4   Tương tự f ln  0 2 2   nên 2e   2e
 C  0  C  5 . 2 2  4  ln16 ln16  7  f   2 2 ln16  2  e  2e  5   . 2 5
Vậy S  f  ln16  f ln 4  . 2   
Câu 13: Cho hàm số f  x liên tục, không âm trên đoạn 0; 
, thỏa mãn f 0  3 và 2      
f  x f  x  2 .  cos .
x 1  f  x , x   0; 
. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M 2      
của hàm số f  x trên đoạn ;  . 6 2    21 5 A. m 
, M  2 2 . B. m  , M  3 . 2 2 5 C. m  , M  3 .
D. m  3 , M  2 2 . 2 Hươngd dẫn giải Chọn A
Từ giả thiết f  x f  x  2 .  cos .
x 1  f  x
f  x. f  x
f  x. f  x   cos x 
dx  sin x  C 2  2 1 f  x 1 f  x Đặt 2 t   f  x  2 2 1
 t  1 f  x  tdt  f  x f  x dx .
Thay vào ta được dt  sin x  C  t  sin x  C  2
 1 f  x  sin x  C .
Do f 0  3  C  2 . Vậy 2  f  x 2 
x   f  x 2 1 sin 2
 sin x  4 sin x  3     f  x 2
 sin x  4sin x  3 , vì hàm số f  x liên tục, không âm trên đoạn 0;  . 2      1 Ta có  x  
 sin x  1 , xét hàm số g t  2
 t  4t  3 có hoành độ đỉnh t  2 loại. 6 2 2  1  21
Suy ra max g t   g  
1  8 , min g t   g    .  1   1  ;1  2  4  ;1 2       2 
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng       21
Suy ra max f  x  f  2 2  
, min f  x  g    .       ;  2   6  2  ; 6 2       6 2 
Câu 14: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x  0 , x    . Biết f ' x f 0  1 và
 2  2x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x  m f  x
có hai nghiệm thực phân biệt.
A. m  e .
B. 0  m  1 .
C. 0  m  e .
D. 1  m  e . Hươngd dẫn giải Chọn C f  x f  x Ta có  2  2x 
dx  2  2x dx   . f  x f  x  f  x 2 ln
 2x  x  C   2 2 . x x f x A e   
. Mà f 0  1 suy ra   2 2 x x f x e   . 2 Ta có 2
x  x    2 2 1 x  2x  
1    x  2 1 1  1 . Suy ra 2 0 xx  e
 e và ứng với một giá trị thực
t  1 thì phương trình 2
2x  x  t sẽ có hai nghiệm phân biệt.
Vậy để phương trình f  x  m có 2 nghiệm phân biệt khi 1
0  m  e  e .
Câu 15: Cho hàm số f  x liên tục trên  và f  x  0 với mọi x   . f  x   x   2 2
1 f  x và a a f  
1  0, 5 . Biết rằng tổng f  
1  f 2  f 3  ...  f 2017 
; a  ,b    với b b
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a
A. a  b  1.
B. a  2017; 2017 . C.  1.
D. b  a  4035 . b Hươngd dẫn giải Chọn D f   x f  x
Ta có f   x   x   2 2 1 f  x   2x  1  dx  2x  1 dx  2   2    f  x f  x 1 2  
 x  x  C f  x 1 1 1 1 Mà f   1  
nên C  0  f  x     . 2 2 x  x x 1 x  1   1 1   1 1   1 1  Mặt khác f  
1  f 2  f 3  ...  f 2017  1      ...            2   3 2   4 3   2018 2017  1 2017  f  
1  f 2  f 3  ...  f 2017  1   
 a  2017 ; b  2018 . 2018 2018
Khi đó b  a  4035 . 1 
Câu 16: Cho hàm số f  x  0 thỏa mãn điều kiện '
f  x   x   2 2
3 . f  x và f 0  . Biết tổng 2 a a f  
1  f 2  ...  f 2017  f 2018  với * a  ,
 b  và là phân số tối giản. b b
Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1. B.  1 . b b
C. a  b  1010 .
D. b  a  3029 . Hươngd dẫn giải Chọn D
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng f ' x f ' x Biến đổi '
f  x   x   2 2
3 . f  x   2x  3 
dx  2x  3 dx 2   f  x 2 f  x 1 1 1  2  
 x  3x  C  f  x   . Mà f 0  nên  2 . f  x 2
x  3x  C 2 1 1
Do đó f  x     . 2 x  3x  2  x   1  x  2 a  1 1 1 1  Khi đó  f  
1  f 2  ...  f 2017  f 2018     .....     b  2.3 3.4 2018.2019 2019.2020   1 1 1 1 1 1 1   1 1  1009        .....            .  2 3 3 4 2018 2019 2020   2 2020  2020 a  1009
Với điều kiện a, b thỏa mãn bài toán, suy ra: 
 b  a  3029 . b  2020  
 f  x f  x   f   x 2 3 . 2
  xf  x  0
Câu 17: Cho hàm số y  f  x , x   0 , thỏa mãn    . Tính
 f 0  0; f 0  1  f 1 . 2 3 6 7 A. . B. . C. . D. . 3 2 7 6 Hươngd dẫn giải Chọn C 2     2
f  x. f  x 2 f  x Ta có:  
f   x f  x   f  x 3 . 2
  xf  x  0     x 3 f  x 
 f  x  f   x 2 x f  0 2 0     x     C   
 C  C  0 . 2 f  x 2 2   f  x 2 f 0 2 f   x 2 x Do đó   2 f  x 2 1 1 1 f  x 1 2 x 3 1  x  1 1 1 6  dx   dx            f   1  . 2    f x 2 f  x 6 f 1 f 0 6 7 0   0       0 0 f  x x
Câu 18: Giả sử hàm số f (x) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f 0  1 và  . Khi đó f  x 2 x  1
hiệu T  f 2 2   2 f   1 thuộc khoảng A. 2;3 . B. 7;9 . C. 0;1 . D. 9;12 . Hươngd dẫn giải Chọn C 2 f  x x
d  f  x d 1 x   1 Ta có dx   dx      . f  x 2 x 1 f  x 2 2 x 1 1
Vậy ln  f  x  ln  2 x  
1  C , mà f 0  1  C  0 . Do đó f  x 2  x 1 . 2
Nên f 2 2   3; 2 f  
1  2 2  f 2 2   2 f   1  3  2 2  0;  1 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  4 f  tan t 1 1 Câu 19: Khi đó dt  f x dx  f x dx  6
y  f x đồng biến trên 2    . Vậy    .Cho hàm số   cos t 0 0 0 2
0;   ; y  f  x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;   và thỏa mãn f 3  và 3  f  x 2 '    x   1 . f  x  
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2
2613  f 8  2614 . B. 2
2614  f 8  2615 . C. 2
2618  f 8  2619 . D. 2
2616  f 8  2617 . Hươngd dẫn giải Chọn A
Hàm số y  f  x đồng biến trên 0;   nên suy ra f  x  0,x  0;  .
Mặt khác y  f  x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;   nên
 f   x 2    x  
1 f  x  f  x   x   1 f  x  
, x  0;  f   x    x  
1 , x  0;  ; f  x f  x 1  dx   x   1 dx    f  x   x  3 1  C ; f  x 3 3 2 8 Từ f 3  suy ra C   2 3 3 2  1  3 2 8
Như vậy f  x    x   1     3 3 3    Bởi thế: 2 2 4  1 2 8   2 8   2 8  f 8  2  8  3 1     9 
   f 8  9     2613, 26 .  3 3 3   3 3        3 3  
Câu 20: Giả sử hàm số y  f  x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  và thỏa mãn f 1  1,
f  x  f  x 3x 1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4  f 5  5 .
B. 2  f 5  3 .
C. 3  f 5  4 .
D. 1  f 5  2 . Hươngd dẫn giải Chọn C Cách 1:
Với điều kiện bài toán ta có f  x 1 f  x 1
f  x  f  x 3x 1    dx  dx   f  x 3x 1 f  x 3x 1
d  f  x 1 1 2 2 3x 1  C     3x   2 1 d 3x   1  
 ln f  x 
3x 1  C  f  x 3  e . f  x 3 3 4 2 4 4 C 4 3 x 1   Khi đó f   3 1  1  e  1  C    f  x 3 3  e  f   3 5  e  3, 79  3; 4   . 3
Vậy 3  f 5  4 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng dx
Chú ý: Các bạn có thể tính 
bằng cách đặt t  3x 1 . 3x 1 Cách 2:
Với điều kiện bài toán ta có f  x 1 5 f  x 5 1
5 d  f  x 4
f  x  f  x 3x 1    dx  dx      f  x 3x 1 f x 3x 1 f x 3 1   1   1 5 4 f 5 4 4
 ln f  x   ln 
 f    f   3 5 1 .e  3, 79  3; 4   . 1 3 f   1 3 2
Câu 21: Cho hàm số f  x thỏa mãn  f  x  f  x f  x 4 .  15x 12x   , x    và
f 0  f 0  1 . Giá trị của 2
f 1 bằng 9 5 A. . B. . C. 10 . D. 8 . 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn D 2
Ta có:  f  x  f  x f   x 4 .
 15x 12x , x    .
  f   x f  x  4 .
  15x 12x   , x
    f   x. f  x 5 2
 3x  6x  C 1
Do f 0  f 0  1 nên ta có C  1. Do đó: f  x f  x 5 2 .
 3x  6x  1 1 1   2   f 2 6 3   x 5 2
 3x  6x 1 
 f  x  x  4x  2x  C . 2  2 
Mà f 0  1 nên ta có C 1. Do đó 2 f  x 6 3
 x  4x  2x  1 . 2 Vậy 2 f 1  8. f  x 1 2  x 1  3
Câu 22: Cho hàm số f  x liên tục trên  và thỏa mãn dx   C  . Nguyên x 1 x  5
hàm của hàm số f 2x trên tập   là: x  3 x  3 2x  3 2x  3 A.  C . B.  C . C.  C . D.  C . 2  2 x  4 2 x  4 4  2 x   1 8 2 x   1 Hươngd dẫn giải Chọn D Theo đề ra ta có: f  x 1 2  x 1  3 2 x 1  3 dx   C  2 f 
  x 1d x 1   C . x 1 x  5  x 12  4 2t  3 t  3
Hay 2 f t  dt   C  f t dt   C  2    . 2 t  4 t  4 1 1  2x 3   2x  3 Suy ra
f 2x dx 
f 2x d 2x    C    C   2 2  2x2 1 2  4  8x  8  
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN 5 2 Câu 23: Cho
f  x dx  10 
. Kết quả 2  4 f  x dx    bằng: 2 5 A. 34 . B. 36 . C. 40 . D. 32 . Hươngd dẫn giải Chọn A 2 2 2 5 5
Tacó 2  4 f  x dx  2 dx  4 f  x dx       2
 x  4 f  x dx  2.
 5  2  4.10  34  . 2 5 5 5 2 9
Câu 24: Cho hàm số f  x liên tục trên  và F  x  là nguyên hàm của f  x , biết f  x dx  9  0
và F 0  3. Tính F 9 .
A. F 9  6 .
B. F 9  6 .
C. F 9  12 .
D. F 9  12 . Hươngd dẫn giải Chọn C 9 9 Ta có: I 
f  x dx  F  x 
 F 9  F 0  9  F 9  12 . 0 0 2 2
Câu 25: Cho I 
f  x dx  3 
. Khi đó J  4 f  x  3 dx    bằng: 0 0 A. 2 . B. 6 . C. 8 . D. 4 . Hươngd dẫn giải Chọn B 2 2 2 2
Ta có J  4 f  x  3 dx  4 f  x dx  3 dx  4.3  3x  6      . 0 0 0 0 4 4 4 Câu 26: Cho
f  x dx  10 
và g  x dx  5 
. Tính I  3 f  x  5g  x dx    2 2 2
A. I  5 .
B. I  15 . C. I  5  . D. I  10 . Hươngd dẫn giải Chọn A 4 4 4
Có: I  3 f  x  5g  x dx   
 3 f  x dx  5 g  x dx  5   . 2 2 2 9 0 9 Câu 27: Giả sử
f  x dx  37 
và g  x dx  16 
. Khi đó, I  2 f  x  3g(x) dx    bằng: 0 9 0
A. I  26 .
B. I  58 .
C. I  143 . D. I  122 . Hươngd dẫn giải Chọn A 9 9 9 9 0
Ta có: I  2 f  x  3g(x) dx  2 f  x dx  3g  x dx  2 f  x dx  3 g  x dx  26        . 0 0 0 0 9 2 5 5 Câu 28: Nếu
f  x dx  3  ,
f  x dx  1   thì
f  x dx  bằng 1 2 1 A. 2  . B. 2 . C. 3. D. 4 . Hươngd dẫn giải Chọn B 5 2 5 Ta có
f  x dx  f  x dx  f  x dx  3 1  2    . 1 1 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 3 3 Câu 29: Cho
f  x dx  1  và
f  x dx  2   . Giá trị của
f  x dx  bằng 1 2 1 A. 1. B. 3  . C. 1  . D. 3. Hươngd dẫn giải Chọn C 3 2 3
f  x dx  
f  x dx  f  x dx    1  . 1 1 2 10 6
Câu 30: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 0;10 và f  x dx  7  và
f  x dx  3  . Tính 0 2 2 10 P 
f  x dx  f  x dx   . 0 6
A. P  7 . B. P  4  .
C. P  4 .
D. P  10 . Hươngd dẫn giải Chọn C 10 2 6 10 Ta có
f  x dx  7  
f  x dx  f  x dx  f  x dx  7    0 0 2 6 2 10 
f  x dx 
f  x dx  7  3  4   . 0 6 Vậy P  4 . 1 2 2 Câu 31: Cho
f  x dx  2  ,
f  x dx  4  , khi đó
f  x dx   ? 0 1 0 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 3. Hươngd dẫn giải Chọn A 2 1 2
f  x dx  f  x dx  f  x dx  6    . 0 0 1 1 3 3
Câu 32: Cho hàm số f  x liên tục trên  và có f  x dx  2  ;
f  x dx  6  . Tính I 
f  x dx  . 0 1 0
A. I  8 .
B. I  12 .
C. I  36 . D. I  4 . Hươngd dẫn giải Chọn A 3 1 3 I 
f  x dx  
f  x dx  f  x dx    2  6  8 . 0 0 1 2 2 2 Câu 33: Cho
f  x dx  2  và
g  x dx  1  . Tính I 
 x  2 f  x  3g  x dx    bằng 1 1 1 11 7 17 5 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn D 2 2 2 x 2 3 5 Ta có: I 
 2 f  x dx  3 g  x dx   4  3    . 2 1  2 2 1  1  8 4 4 Câu 34: Biết
f  x dx  2   ;
f  x dx  3 
; g  x dx  7 
. Mệnh đề nào sau đây sai? 1 1 1
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 8 4 A.
f  x dx  1  .
B.  f  x  g  x dx  10    . 4 1 8 4 C.
f  x dx  5   .
D. 4 f  x  2g  x dx  2    . 4 1 Hươngd dẫn giải Chọn A 8 8 4 Ta có
f  x dx  f  x dx  f  x dx  2  3  5    4 1 1 3
Câu 35: Cho hàm số f  x có f  x liên tục trên đoạn 1;3 , f 1  3 và f (  x) dx  10  giá trị 1
của f 3 bằng A. 1  3 . B. 7  . C. 13 . D. 7 . Hươngd dẫn giải Chọn C 3 Ta có f (  x) dx  10 
 f  x  3  10  f 3  f  
1  10  f 3  f 1 10  13 . 1 1 2 2 Câu 36: Cho
f  x dx  3 
. Tính  f  x    1 dx ? 0 0 A. 4 . B. 5. C. 7 . D. 1. Hươngd dẫn giải. Chọn B 2 2 2
Ta có  f x   1 dx 
f  x dx  dx  3  2  5   . 0 0 0
Câu 37: Cho y  f  x , y  g  x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0; 2 và 2 2 2
g  x. f  x dx  2 
, g  x. f  x dx  3  . Tính tích phân I
f  x.g  x     dx    . 0 0 0 A. I  1  .
B. I  6 .
C. I  5 . D. I  1. Hươngd dẫn giải Chọn C 2 2
Xét tích phân I   f  x.g  x 
 dx   f   x.g  x  f  x.g x dx       0 0 2 2
 g x. f  x dx  g  x. f  x dx  5   . 0 0 5 2 5
Câu 38: Cho hai tích phân
f  x dx  8  và
g  x dx  3  . Tính I 
 f  x  4g  x 1 dx    . 2 5 2  A. I  1  1.
B. I  13 .
C. I  27 . D. I  3 . Hươngd dẫn giải Chọn B 5 5 2 5 Ta có: I 
 f  x  4g  x 1 dx    
f  x dx  4 g  x dx  x  
 8  4.3  5  2  13 . 2 2  2 5 1
Câu 39: Cho hàm số f  x 4 3 2
 x  4x  2x  x  1, x    . Tính 2
f  x. f  x dx  . 0
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 2 A. . B. 2 . C.  . D. 2  . 3 3 Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 1 3 f  x 3 f   3 1  f 0 2 Ta có 2
f  x. f  x 2 dx 
f  x.d  f  x         . 3 3 3 0 0 0 6 4
Câu 40: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn f  x dx  10  và
f  x dx  6  . Tính 0 2 2 6
giá trị của biểu thức P 
f  x dx  f  x dx   . 0 4
A. P  4 .`
B. P  16 .
C. P  8 . D. P  10 . Hươngd dẫn giải: 2 6 6 2 6   Ta có: P 
f  x dx  f  x dx   f  x dx  f  xdx   f  x dx      0 4  0 6  4 6 4 2 6 6 2   
f  x dx   f  x dx  f  x dx   f  x dx  f  x dx  f  xdx        10  6  4 0  6 4  4 0 4 Chọn A 1 1
Câu 41: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn [0; 1] và có 3
  2 f  x dx  5    . Tính
f  x dx  . 0 0 A. 1  . B. 2. C. 1. D. 2  . Hươngd dẫn giải: 1 1 1 1 1 Ta có: 3
  2 f  x dx  5   
 3dx  2 f  x dx  5  3x  2 f  x dx  5    0 0 0 0 0 1 1  2 
f  x dx  5  3  2  f  x dx  1   0 0 Chọn A 1 1
Câu 42: Cho hai hàm số f  x và g  x liên tục trên đoạn [0; 1], có f  x dx  4 
và g  x dx  2   0 0
. Tính tích phân I   f  x  3g  x dx    . A. 1  0 . B. 10 . C. 2. D. 2  . Hươngd dẫn giải: 1 1 1
I   f  x  3g  x dx  f  x dx  3 g  x dx  4  32  10      0 0 0 Chọn B 1
Câu 43: Cho hàm số f  x 2  ln x 
x 1 . Tính tích phân I 
f ' x dx  . 0
A. I  ln 2 .
B. I  ln 1 2  .
C. I  ln 2 D. I  2ln 2 Hươngd dẫn giải: 1 1 1 Ta có: I 
f ' x dx  f  x 2
 ln x  x  1  ln 1 2  0   0 0 Chọn B
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
Câu 44: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f   2 1  e , ln 3 f ' x 2 dx  9  e 
. Tính I  f ln 3 . 1 A. 2
I  9  2e .
B. I  9 . C. I  9  . D. 2
I  2e  9 . Hươngd dẫn giải: ln 3 ln 3 Ta có:
f ' x dx  f  x
 f ln 3  f   2 1  9  e  (gt) 1 1  f   2 2
ln 3  e  9  e  f ln 3  9 Chọn B
Câu 45: Cho hai hàm số y  f  x và y  g  x có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 1 1 1 /
f ' x.g  x dx  1  ,
f  x.g ' x dx  1  
. Tính I   f  x.g  x dx    . 0 0 0 A. I  2  .
B. I  0 .
C. I  3 . D. I  2 . Hươngd dẫn giải: 1 1
I   f  x.g  x /
 dx   f  x.g ' x  f ' x.g  x dx       0 0 1 1 
f  x.g ' x dx  f ' x.g  x dx  11  0   0 0 Chọn B 2 x
Câu 46: Cho hàm số f  x liên tục trên 0;   và thỏa
f t  dt  . x cos x 
. Tính f 4 . 0 2 3 1
A. f 4  123 . B. f 4  . C. f 4  . D. f 4  . 3 4 4 Hươngd dẫn giải:
Ta có: F t   f t  dt  F 't   f t   2 x
Đặt G  x 
f t  dt  F   2
x   F 0 0 /
 G  x  F  2
x   x f  2 ' 2 .
x  (Tính chất đạo hàm hợp: f ' u  x  f 'u.u ' x     ) 2 x
Mặt khác, từ gt: G  x 
f t  dt  . x cos x  0
 G ' x    x.cos x '  x sin  x  cos x  x f  2 2 .
x   x sin x  cos x (1)
Tính f 4  ứng với x  2 1
Thay x  2 vào (1)  4. f 4  2 sin 2  cos 2  1  f 4  4 Chọn D f  x
Câu 47: Cho hàm số f  x thỏa mãn 2 t .dt  . x cos  x 
. Tính f 4 . 0 1
A. f 4  2 3 .
B. f 4  1. C. f 4  . D. f   3 4  12 . 2 Hươngd dẫn giải:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng f  x f  x t  f  x 3 3  t dt    
 x cos x   f  x 3 2   3 . x cos  x  3 3   0 0  f  x 3
 3x cos  x  f 4 3  12 Chọn D x   
Câu 48: Cho hàm số G  x  t.cos  x  t .dt 
. Tính G '  .  2  0             A. G '  1   . B. G '  1   . C. G '  0   . D. G '  2   .  2   2   2   2  Hươngd dẫn giải:
Cách 1: Ta có: F t   t.cos  x  t  dt  F ' x  t.cos  x  t   x
Đặt G  x  t.cos  x  t  dt  F  x  F 0  0   
 G  x  F  x  F   /
  F  x  F    x  x  x / ' 0 ' ' 0 cos  0  x '  1      G '  1    2  Chọn B x
Cách 2: Ta có G  x  t.cos  x  t  dt 
. Đặt u  t  du  dt , dv  cos  x  t  dx chọn 0
v   sin  x  t  x x    x x
G x  t.sin  x  t   sin  x  t  dt  sin  x  t  dt  cos  x  t   cos 0  cos x  1 cos x   0 0 0 0    
 G ' x  sin x  G '  sin  1    2  2 Chọn B 2 x
Câu 49: Cho hàm số G  x  cos t.dt 
( x  0 ). Tính G ' x . 0
A. G  x 2 '
 x .cos x .
B. G ' x  2 .
x cos x .
C. G ' x  cos x .
D. G ' x  cos x 1. Hươngd dẫn giải: 2 x
Ta có F t   cos tdt  F 't   cos t 
 G  x  cos tdt  F   2
x   F 0 0 / / /
 G  x  F  x   F    F  x   F   / 2 2   F        2
x   x  2 ' 0 0 2 . F' x    2  2 . x cos x  2 . x cos x Chọn B x
Câu 50: Cho hàm số G  x 2  1  t dt 
. Tính G ' x . 1 x 1 A. . B. 2 1  x . C. . D.  2 x   2 1 x 1 . 2 1 x 2 1 x Hươngd dẫn giải:
Đặt F t  2 
 t dt  F t  2 1 '  1 t  x x G  x 2 
1 t dt  F  x  F  
1  G ' x  F ' x  F ' 
1  F ' x   2 1 1 x Chọn A
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng x
Câu 51: Cho hàm số F  x 2  sin t .dt 
( x  0 ). Tính F ' x . 1 sin x 2sin x
A. sin x . B. . C. . D. sin x . 2 x x Hươngd dẫn giải: x
Đặt F t  2  sin t dt  , G  x 2  sin t dt  F 
 x F  1 1 x
 G  x  F  x   F    F  x    x   x2 sin ' ' ' 1 ' '.sin  2 x Chọn B x
Câu 52: Tính đạo hàm của f  x , biết f  x thỏa f t f  x t.e dt  e  . 0 1 1
A. f ' x  x .
B. f  x 2 '  x  1 .
C. f ' x  .
D. f ' x  . x 1 x Hươngd dẫn giải: x
Đặt F t  f t   t e
dt  F t  f t  . '  t.e   G  x f t  t.e
dt  F  x  F 0  0 /         ' ' f x G x F x  e (gt)      . f x f x x e  e       . f x f x x e   e      f  x 1  e
 x f  x f x  f  x f x . ' .e ' .e  1 .
x f ' x  f ' x  f ' x  1 x Chọn D 2 x
y  f  x 0;  f 4 Câu 53: Cho hàm số liên tục trên và
f t  dt  .
x sin  x  . Tính 0     1
A. f    .
B. f    .
C. f    .
D. f    . 4 2 4 2 Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có
f t  dt  F t  
 F  t   f t  2 x 2 x Khi đó
f t  dt  .
x sin  x   F t   .
x sin  x  F  2
x   F 0  .
x sin  x 0 0  F  2
x .2x  sin  x   .
x cos  x  f  2
x .2x  sin  x   .
x cos  x   f 4  . 2 f  x 2; 3 F  x  f  x Câu 54: Cho hàm số liên tục trên khoảng . Gọi là một nguyên hàm của 2 I 
 f  x  2x dx   2; 3   F 1  1 F 2  4 trên khoảng . Tính 1 , biết và .
A. I  6 .
B. I  10 .
C. I  3 . D. I  9 . Hươngd dẫn giải Chọn A 2 2 2
 F 2  F 1  4   1 I 
 f  x  2x dx  2  4 1 3  6  
 F  x  x . 1  1  1
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 2 2
f  x dx  2 
g  x dx  1  I 
 x  2 f  x  3g  x dx    Câu 55: Cho 1 và 1 . Tính 1 11 7 17 5 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn C 2 2 2 2 2 2 x 17 Ta có: I 
 x  2 f  x  3g  x dx    
xdx  2 f  xdx  3 g  x dx      4  3  . 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2
3 f  x  2g  x dx  1   
2 f  x  g  x dx  3   
f  x dx  Câu 56: Cho 1 , 1 . Khi đó, 1 bằng 11 5 6 16 A. . B.  . C. . D. . 7 7 7 7 Hươngd dẫn giải Chọn B  5 a   2 2 3
 a  2b  1   7 Đặt a 
f  x dx  , b 
f  x dx 
, ta có hệ phương trình   
2a  b  3 11 1 1  b     7 2 5 Vậy
f  x dx    . 7 1
Câu 57: Cho f  x , g  x là hai hàm số liên tục trên đoạn 1; 
1 và f  x là hàm số chẵn, g  x là 1 1 hàm số lẻ. Biết
f  x dx  5 
; g  x dx  7 
. Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 1 A.
f  x dx  10  .
B.  f  x  g  x dx  10    . 1 1 1 1
C.  f  x  g  x dx  10    .
D. g  x dx  14  . 1 1 Hươngd dẫn giải Chọn D 1 1
Vì f  x là hàm số chẵn nên
f  x dx  2 f  x dx    2.5  10 . 1 0 1
Vì g  x là hàm số lẻ nên g  x dx  0  . 1 1 1 
 f  x  g  x dx  10   
và  f  x  g  x dx  10    . 1 1 Vậy đáp án D sai.
Câu 58: Cho f  x , g  x là hai hàm số liên tục trên đoạn 1; 
1 và f  x là hàm số chẵn, g  x là 1 1 hàm số lẻ. Biết
f  x dx  5 
; g  x dx  7 
. Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 1 A.
f  x dx  10  .
B.  f  x  g  x dx  10    . 1 1
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1
C.  f  x  g  x dx  10    .
D. g  x dx  14  . 1 1 Hươngd dẫn giải Chọn D 1 1
Vì f  x là hàm số chẵn nên
f  x dx  2 f  x dx  2.5  10   . 1 0 1
Vì g  x là hàm số lẻ nên g  x dx  0  . 1 1 1 
 f  x  g  x dx  10   
và  f  x  g  x dx  10    . 1 1 10 8 10
f  z dz  17 
f t dt  12  3
 f  x dx  Câu 59: Nếu 0 và 0 thì 8 bằng A. 1  5 . B. 29 . C. 15 . D. 5. Hươngd dẫn giải Chọn A 10 0 10   I  3 
f  x dx  3
  f  x dx  f  x dx   3   1  2 17  15    . 8  8 0  2 7 7
f  x dx  2 
f t  dt  9 
f  z dz  Câu 60: Cho 1 , 1 . Giá trị của 2 là A. 11. B. 5. C. 7 . D. 9. Hươngd dẫn giải Chọn C 7 7 7 7 7 2 7 Ta có
f t  dt 
f  x dx   và
f  z dz  f  x dx   nên
f  x dx 
f  x dx  f  x dx    . 1 1 2 2 1 1 2 7 Vậy
f  z  dz  7  . 2 3
Câu 61: Cho hàm số y  f  x liên tục, luôn dương trên 0;  3 và thỏa mãn I 
f  x dx  4  . Khi 0 3 đó giá trị 1ln f x  của tích phân   K  e
 4dx là: 0 A. 4 12e . B. 12  4e . C. 3e 14 . D. 14  3e . Hươngd dẫn giải Chọn B 3 3 3 3 3 1ln f x  1ln f x  3 Ta có   K  e  4   dx  e
dx  4dx  e. f  x dx  4dx  4e  4x  4e 12     | . 0 0 0 0 0 0 Vậy K  4e 12 .
Câu 62: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  thỏa  f
 0  f  0  1;  .
f  x  y  f  x  f  y  3xy  x  y 1, x  ,y     1 Tính f  x   1 dx  . 0
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 1 7 A. . B.  . C. . D. . 2 4 4 4 Hươngd dẫn giải Chọn C
Lấy đạo hàm theo hàm số y
f  x  y  f   y  2
 3x  6xy , x    . Cho y 
 f   x  f   2 0
0  3x  f   x 2  1  3x Vậy       3 f x f
x dx  x  x  C 
mà f 0  1  C  1 suy ra f  x 3
 x  x  1. 0 1 0 0 4 2  x x  1 1 1 f  x   1 dx  
f  xdx    3 x  x    1 dx    x      1  . 4 2 4 2 4 0 1 1   1  1
Câu 63: Cho hàm số f  x là hàm bậc nhất thỏa mãn  x  
1 f  xdx  10  và 2 f  
1  f 0  2 . 0 1 Tính I 
f  x dx  . 0
A. I  1.
B. I  8 . C. I  1  2 . D. I  8  . Hươngd dẫn giải Chọn D
Gọi f  x  ax  b , a  0  f  x  a . Theo giả thiết ta có: 1 1 1 10 3 10 20 +)  x  
1 f  xdx  10 
 a  x   1 dx  10    x   1 dx      a  . a 2 a 3 0 0 0  20  34 +) 2 f  
1  f 0  2  2.
 b  b  2    b   .  3  3 20 34
Do đó, f  x  x  . 3 3 1 1  20 34  Vậy I 
f  x dx   x  dx  8    . 0 0  3 3  f  x  \   0 1 f 1  a Câu 64: Cho hàm số xác định trên
, thỏa mãn f  x  , và 3 5 x  x
f 2  b
f 1  f 2 . Tính .
A. f 1  f 2  a  b .
B. f 1  f 2  a  b .
C. f 1  f 2  a  b . D. f 1  f 2  b  a . Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1
Ta có f x   
  f   x nên f  x là hàm lẻ.  3 5
x 3  x5 x  x 2 1 2 Do đó
f  x dx  0 
f  x dx   f  x dx    . 2 2 1
Suy ra f 1  f 2   f 2  f 1  f  
1  f 2  f 2  f 1  a  b . f  x  \   0 1 f 1  a Câu 65: Cho hàm số xác định trên
và thỏa mãn f  x  , , 2 4 x  x
f 2  b
f 1  f 2
. Giá trị của biểu thức bằng
A. b  a .
B. a  b .
C. a  b .
D. a  b .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hươngd dẫn giải Chọn A 1 1
Ta có f x  
 f   x nên f  x là hàm chẵn.  2 4
x2  x4 x  x 1 2 Do đó
f  x dx  f  x dx   . 2 1 Suy ra f  
1  f 2  f 1  f 2  f 2  f  
1  f 1  f 2 1 2 
f  x dx  b  a  f  x dx    b  a . 2 1
Câu 66: Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện 1
f  x  0 , x
   ; f  x x 2
 e . f  x  , x
   và f 0 
. Tính giá trị của f ln 2 . 2 2 2 2 1
A. f ln 2  .
B. f ln 2   .
C. f ln 2  .
D. f ln 2  . 9 9 3 3 Hươngd dẫn giải Chọn D f   x
ln 2 f  x 1 ln 2 df  x ln 2 f  x x 2
 e . f  x  x   e 
dx   exdx x   e 2    f  x 2 f x 2 f x 0   0 0   0 ln 2 1 1 1 1 1    1     1 
 3  f ln 2  . f  x f ln 2 f 0 f ln 2 3 0
Câu 67: Cho hàm số y  f  x có đồ thị C  , xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các
điều kiện f  x  0 x   , f  x   x f  x2 . , x
   và f 0  2 . Phương trình tiếp
tuyến tại điểm có hoành độ x  1 của đồ thị C  là.
A. y  6x  30 . B. y  6  x  30 .
C. y  36x  30 . D. y  3  6x  42 . Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 f   x 1 f   x 1 1 df  x 3 x 1 1
f  x   x f  x2 . 2   x 2 
dx  x dx      2    f  x 2 f x 2 f x 3 f  x 3 0   0   0 0 0 1 1 1 1 1        f 1  6 . f   1 f 0 3 f   1 6
f     f  2 1 1. 1  36 .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là y  36x  30 .
Câu 68: Cho hàm số y  f  x  0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;  1 và thỏa mãn: x 1
g  x  1 2018 f t  dt  ,   2
g x  f  x . Tính
g  xdx  . 0 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505 . 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn A x
Ta có g  x  1 2018 f t  dt 
 g x  2018 f  x  2018 g  x 0
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng g  x t   t g x t   t 2018  dx  2018 dx  
 2  g  x   2018x g  x 0 0 0 g  x 0
 2  g t  
1  2018t (do g 0  1) 
g t   1009t 1 1 1  1009  1011  g t  2 dt  t  t     .  2  2 0 0
y  f  x 1;  1
f  x  0, x   Câu 69: Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên đoạn , thỏa mãn
f '  x  2 f  x  0 f 1  1 f 1 và . Biết , tính . A. f   2 1 e   . B. f   3 1  e . C. f   4 1  e .
D. f 1  3 . Hươngd dẫn giải Chọn C Biến đổi: f ' x 1 f ' x 1 1 df  x
f ' x  2 f  x  0   2  dx  2  dx   4
  ln f  x 1  4    f  x f   x f    x 1 1 1 1 f   1 f   1 4 ln  4    e  f   1  f   4 4 1 .e  e . f   1 f   1
Câu 70: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 đồng thời thỏa mãn f 0  9 và
f   x   f  x 2 9  x  9  
. Tính T  f 1  f 0 . 1
A. T  2  9 ln 2 .
B. T  9 . C. T   9 ln 2 .
D. T  2  9 ln 2 . 2 Hươngd dẫn giải Chọn C
f  x 1 1
Ta có f   x   f  x 2 9  x  9  
  f  x      f  x 2 9 1  x      .
 f  x 2 9  x  
f   x 1 1 1 x
Lấy nguyên hàm hai vế  dx  dx      C .  f  x 2 9 '  x
f   x  x 9   1 9 9
Do f 0  9 nên C  suy ra f  x  x 
 f  x   x 9 x  1 x  1 1 1  9  2  x  1
Vậy T  f   1  f 0   x dx    9 ln x 1     9 ln 2  .  x  1  2 2 0   0
y  f  x
f  x f  x  4 2 ' .  x  x f 0  2 2 f 2 Câu 71: Cho hàm số thỏa mãn . Biết . Tính . 313 332 324 323 A. 2 f 2  . B. 2 f 2  . C. 2 f 2  . D. 2 f 2  . 15 15 15 15 Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 2 2 136 f x 136 4 2 4 2  
f ' x. f  x  x  x  f ' x. f  x dx  
x  x dx  f xdf x 2    0  15 2 15 0 0 0 2 f 2  4 136 332 2   f 2  . 2 15 15
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
Câu 72: Cho f (x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên 1; 4 thỏa mãn 3
x  2xf  x   f  x 2  , x
 1;4, f   1   
. Giá trị f 4 bằng: 2 391 361 381 371 A. B. C. D. 18 18 18 18 Hươngd dẫn giải Chọn A Biến đổi:
 f  x 2  f     x
x  xf  x    f  x 2 2     x  
f  x   f  x 2 1 2      x   x .
1 2 f  x
1 2 f  x 4 f  x 4 4 14 14 391  dx  xdx  
 1 2 f  x 
 1 2 f 4  2   f 4  .  1 3 3 18 1 1 2 f  x 1 Chọn A 4 f   x 4
Chú ý: Nếu không nhìn được ra luôn I 
dx  1 2 f  x 
 1 2 f 4  2 thì ta có
1 2 f  x 1 1
thể sử dụng kỹ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một). 4 f ' x 4 df  x 4 1 4 1  + Vi phân: dx    
1 2 f x 2 d 1 2 f x  1 2 f  x .   1 2 1 1 2 f  x 1 1 2 f  x 1
+ Đổi biến: Đặt t  1 2 f  x 2
 t  1  2 f  x  tdt  f  x dx
với x  1 t  1 2 f  
1  2; x  4  t  1 2 f 4 . 12 f 4 12 f 4 tdt 12 f 4 Khi đó I    dt  t 
 1 2 f 4  2 . t 2 2 2
y  f  x f  x 0; Câu 73: Cho hàm số có
liên tục trên nửa khoảng thỏa mãn      2 3  1 3.e x f x f x   . Khi đó: 1 1 1 1 A. 3 e f   1  f 0   . B. 3 e f   1  f 0   . 2 2 e  3 2 4 2 e  3 e  3 e  3  8 3  2  2 C. e f   1  f 0  .
D. 3 f    f     2   2 e 1 0 e 3 e  3  8 . 3 Hươngd dẫn giải Chọn C 2 e x  3
Ta có: 3 f  x  f  x 2  1 3.e x  3x    3x    2 x 2 3e e  e e x f x f x  3 . ex 3 x      2 x 2 e   e e x f x  3   . 1 1 
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được 3 e x   2x 2  d  e e x f x x  3 dx     0 0 1 2 2 3 1 e  3 e  3  8 3   x 1 3  e       2ex f x  3  e f   1  f 0  . 0  3 3 0
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f  x  1 , f 0  0 và thỏa f  x 2 x 1  2x
f  x 1 . Tính f  3 . A. 0 . B. 3. C. 7 . D. 9. Hươngd dẫn giải Chọn B f  x 2x 2  
Ta có f  x x 1  2x f  x 1   f  x 2 1 x 1 3 f  x 3 3 3 3 2x  dx  dx  f  x 2 1  x  1  f  x 1  1   0 f  x 2 0 0 0 1 0 x 1 
f  3 1  f 0 1 1  f  3 1  2  f  3  3 . 1
Câu 75: Cho hàm số f  x  0 thỏa mãn điều kiện f  x   x   2 2
3 f  x và f 0   . Biết rằng 2 a a tổng f  
1  f 2  f 3  ...  f 2017  f 2018  với  *
a  , b    và là phân b b
số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1. B.  1 .
C. a  b  1010 .
D. b  a  3029 . b b Hươngd dẫn giải Chọn D f  x
Ta có f  x   x   2 2 3 f  x   2x  3 2 f  x f  x 1 
dx  2x  3 dx   2  
 x  3x  C . f  x f  x 1
Vì f 0    C  2 . 2 1 1 1
Vậy f  x     .  x   1  x  2 x  2 x 1 1 1 1009 Do đó f  
1  f 2  f 3  ...  f 2017  f 2018     . 2020 2 2020
Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 . ax  b
Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để F  x 
4a  b  0 là nguyên hàm của hàm số f  x x  4 và thỏa mãn: 2
2 f  x  F  x 1 f  x   .
Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?
A. a  1 , b  4 .
B. a  1 , b  1.
C. a  1 , b   \   4 .
D. a   , b   . Hươngd dẫn giải Chọn C ax  b 4a  b 2b  8a
Ta có F  x 
là nguyên hàm của f  x nên f  x  F x 
và f  x  . x  4  x  42  x  43
2 4a  b2  ax  b  2b  8a Do đó: 2
2 f  x   F  x 1 f  x   1    x  44  x  4   x  43
 4a  b   ax  b  x  4   x  4 1 a  0  a  1 (do x  4  0 )
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
Với a  1 mà 4a  b  0 nên b  4 .
Vậy a  1 , b   \   4 .
Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau:
+ Vì 4a  b  0 nên loại được ngay phương án A: a  1 , b  4 và phương án D: a   , b   .
+ Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy b  0 , a  1 . Khi đó, ta có x 4 8 F  x  , f  x 
, f  x   . x  4  x  42 x  43 Thay vào 2
2 f  x   F  x 1 f  x thấy đúng nên Chọn C
y  f  x 1; 2 f 1  4 Câu 77: Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và
f  x  xf   x 3 2  2 x  3x f 2 . Tính A. 5. B. 20 . C. 10 . D. 15 . Hươngd dẫn giải Chọn B xf x f x f x      3 2      
Do x 1; 2 nên f  x  xf  x  2x  3x   2x  3   2x  3 2   x x   f  x 2 
 x  3x  C . x
Do f 1  4 nên C  0  f  x 3 2  x  3x .
Vậy f 2  20 . x    
Câu 78: Cho f  x  trên  ;
và F  x  là một nguyên hàm của xf  x thỏa mãn 2   cos x  2 2     
F 0  0 . Biết a   ; 
 thỏa mãn tan a  3 . Tính F a  2
10a  3a .  2 2  1 1 1 A.  ln10 . B.  ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 4 2 Hươngd dẫn giải Chọn C
Ta có: F  x  xf  x dx   d x f  x 
 xf  x  f  x dx  x sin x Ta lại có:
f  x dx  dx   = d
x tan x  x x 
x x  x tan x  dx 2  tan tan d   cos x cos x 1  x tan x  d cos x 
 x tan x  ln cos x  C  F  x   xf  x  x tan x  ln cos x  C cos x
Lại có: F 0  0  C  0 , do đó: F  x  xf  x  x tan x  ln cos x .
 F a  af a   a tan a  ln cos a a 1 1
Khi đó f a   a  2
1 tan a  10a và 2  1 tan a  10 2  cos a  2 cos a 2 cos a 10 1  cos a  . 10 1 1 Vậy F a 2 10a  3a 2 2
 10a  3a  ln
10a  3a  ln10 . 10 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
Câu 79: Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau 1
f  x  0 , x
   , f  x x 2
 e . f  x  x
   và f 0 
. Phương trình tiếp tuyến của 2
đồ thị tại điểm có hoành độ x  ln 2 là 0
A. 2x  9 y  2 ln 2  3  0 .
B. 2x  9 y  2 ln 2  3  0 .
C. 2x  9 y  2 ln 2  3  0 .
D. 2x  9 y  2 ln 2  3  0 . Hươngd dẫn giải Chọn A ln 2 f  x ln 2  f   x ln 2    ln 2 1
Ta có f  x x 2
 e . f  x     ex    dx  exdx     ex  2   f  x 2 f x
 f x  0 0     0   0 1 1 1  
 1  f ln 2  . f ln 2 f 0 3 2  1  2
Từ đó ta có f   ln 2 2 ln 2  e
f ln 2  2.    .  3  9 2 1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y    x  ln 2 
 2x  9 y  2 ln 2  3  0 . 9 3
Câu 80: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 , f  x và f  x đều nhận giá trị
dương trên đoạn 0; 
1 và thỏa mãn f 0  2 , 1 1 1  3
f  x. f  x 2  1  dx  2
f   x. f  x dx   
 f x  dx .    . Tính      0 0 0 15 15 17 19 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn D 1 1 2
Theo giả thiết, ta có  f  x. f  x 1  dx  2
f   x. f  x dx       0 0 1 1  
f  x.  f  x 2   1  dx  2
f  x. f  x dx  0       0 0 1 2 1  
f  x. f  x 2
  2 f  x. f  x 1   dx  0       
f  x. f  x 1 dx  0      0 0 3 f  x 8 
f  x. f  x 1  0 2
 f  x. f   x  1 
 x  C . Mà f 0  2  C  . 3 3 Vậy 3
f  x  3x  8 . 1 1 1 2 3  3x  19
Vậy  f  x dx  3x  8dx   8x        . 2 2 0 0   0
Câu 81: Cho f (x) không âm thỏa mãn điều kiện 2
f (x). f '(x)  2x
f (x) 1 và f (0)  0 . Tổng giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f (x) trên 1;3 là A. 22 B. 4 11  3 C. 20  2 D. 3 11  3 Hươngd dẫn giải Chọn D Biến đổi:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
f (x). f '(x)
f (x). f '(x) 2
f (x). f '(x)  2x f (x) 1   2x  dx  2xdx   2 2 
f (x) 1  x  C 2 2 f (x) 1 f (x) 1 Với 2 2 2 4 2
f (0)  0  C  1 
f (x) 1  x  1  f (x)  x  2x  g(x) Ta có: 3
g '( x)  4x  4x  0, x  1;3 . Suy ra g(x) đồng biến trên 1;3 Suy ra: 2
g(1)  g(x)  f (x)  g 3 2 f ( x)0
 3  f (x)  99  3  f (x)  3 11
min f (x)  3  1;  3  
Max f (x)  3 11  3
f (x). f '(x)
Chú ý: Nếu không tìm được ra luôn 2 dx 
f (x) 1  C 
thì ta có thể sử dụng kĩ thuật 2 f (x) 1
vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một) 1
f (x). f '(x) f ( x) 1 +) Vi phân: dx 
d  f (x)      2 f (x)   1 d  2 f (x)   2 2 1 
f ( x) 1  C 2 2 2 f (x) 1 f (x) 1
+ Đổi biến: Đặt 2 2 2 t 
f (x) 1  t  f (x)  1  tdt  f (x) f '(x)dx
f (x). f '(x) tdt Suy ra: 2 dx 
 dt  t  C 
f (x) 1  C    2 ( ) 1 t f x
Câu 82: Cho hàm số f  x có đạo hàm và đồng biến trên  thỏa mãn f 0  1 và 1   2 x f x
 e f  x, x
   . Tính tích phân f  x dx  bằng 0
A. e  2 .
B. e 1. C. 2 e  2 . D. 2 e 1. Hươngd dẫn giải Chọn B 2 2
 f x f   x f  x
Biến đổi    x f x  e f  x x   e x   e x  dx  e dx   f  x f  x f  x 1 x x   
f  x 2df  x 2  e dx   f  x 2 2  2e  C x
Vì f 0  1  C  0  f  x 2  e    x f x  e 1 1 1 Suy ra   x
f x dx  edx  e  e 1   0 0 0
y  f  x  \   0 Câu 83: Cho hàm số
xác định và liên tục trên thỏa mãn 2 2 2
x f  x  2x 1 f  x  xf  x 1 x   \   0 f 1  2 với và . Tính
f  x dx  . 1 1 3 ln 2 3 ln 2 A.   ln 2 . B.   ln 2 . C. 1   . D.   . 2 2 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn A 2 Ta có 2 2
x f  x  2x 1 f  x  xf  x 1   xf  x   1
 f  x  xf  x   *
Đặt h  x  f  x  xf  x  h x  f  x  xf  x , khi đó * có dạng
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng h  x h  x dh  x 1 2
h  x  h x    1  dx  1dx 
 x  C    x  C 2    h  x 2 h  x 2 h  x h  x 1 1
 h  x  
 xf  x 1   x  C x  C 1
Vì f 1  2 nên 2  1    C  0 1 C 1 1 1
Khi đó xf  x 1    f  x    x 2 x x 2 2 2  1 1   1  1 Suy ra:
f  x dx    dx     ln x    ln 2 2     x x   x  2 1 1 1
Câu 84: Cho hàm số y  f  x . Có đạo hàm liên tục trên  . Biết f 1  e và
 x   f  x  xf  x 3 2  x , x
   . Tính f 2 . A. 2 4e  4e  4 . B. 2 4e  2e  1 . C. 3 2e  2e  2 . D. 2 4e  4e  4 . Hươngd dẫn giải Chọn D 
xf  x   x  2 f  x
 ex f  x 
Ta có:  x   f  x  xf  x 3 2  x   1   ex 3   x 2 x   2 
 ex f  x 2  Suy ra
dx  exdx   2   x 1   1 2 e f 2 1 e f   1 2  1     e  e  2 2 2 1   2 e f 2 1 e f   1 1  2    e  e 4 1
 f 2  4 ef   1  e 1 2    4e  4e  4 .
Câu 85: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 và thỏa mãn f 0  0 . Biết 1 9 1  x 3 1 2
f  x dx   và
f   x cos dx   . Tích phân
f  x dx  bằng 2 2 4 0 0 0 1 4 6 2 A. . B. . C. . D. .     Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 1  x  x 1  x   x Ta có
f   x cos dx  cos d  
 f x  cos . f  x  sin
.f  x  dx  2 2 2 2 2 0 0 0 0 1   x  sin
.f  x dx  . 2 2 0 1  x 3 Suy ra sin
.f  x dx   2 2 0 1 2 1   x  1 1 Mặt khác sin dx 
1- cos xdx      .  2  2 2 0 0 1 1 1 2  x   x  Do đó 2
f  x dx  2 3sin
f  x dx  3sin dx  0    . 2  2    0 0 0
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 2   x   x hay
f  x  3sin dx  0  
suy ra f  x  3sin . 2    2 0 1 1 1  x 6  x 6 Vậy
f  x dx  3sin dx   cos    . 2  2  0 0 0 1 1
Câu 86: Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 0;  1 , thỏa mãn
f  x dx  xf  x dx  1   và 0 0 1 1 3  f  x 2  dx  4   
. Giá trị của tích phân  f  x dx    bằng 0 0 A. 1. B. 8 . C. 10 . D. 80 . Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 1 1 2 2 2
Xét  f  x  ax  b dx   
  f  x dx  2  f  x.ax  b dx  ax  b dx        0 0 0 0 1 1 1 1 2 a
 4  2a xf  x dx  2b f  x dx  ax  b3  
  a  b 2 4 2   ab  b . 3a 3 0 0 0 2 a
Cần xác định a, b để    b 2 2
a  b  2b  4  0 3 4  b  2 2 Ta có: 2
  b  4b  4   2
b  2b  4 
 0  b  2  a  6  . 3 3 1 2
Khi đó:  f  x   6
 x  2 dx  0   
 f  x  6x  2 0 1 1 1 3 3 1 4
Suy ra  f  x dx  6x  2 dx      6x  2  10 . 24 0 0 0
Câu 87: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f  x  0 khi x 1, 2 . 2 2 f ' x Biết
f ' x dx  10  và dx  ln 2 
. Tính f 2 . f x 1   1
A. f 2  10 .
B. f 2  20 .
C. f 2  10 .
D. f 2  20 . Hươngd dẫn giải: 2 2 Ta có:
f ' x dx  f  x  f 2  f   1  10  (gt) 1 1 2 f ' x 2 f 2
dx  ln  f  x  ln  f 2  ln  f   1   ln  ln 2  (gt) f  x       1 f 1 1  
 f 2  f   1  10  f    2  20
Vậy ta có hệ:  f 2    2 f     1  10 f   1   Chọn B
Câu 88: Cho hàm số f  x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 4;8 và f 0  0 với x  4;8 . Biết
 f  x 2 8  1 1 rằng   dx 1 
và f 4  , f 8 
. Tính f 6 .  f  x 4 4 2 4   
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 5 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 8 3 8 3 Hươngd dẫn giải Chọn D 8 f   x 8 df  x 1 8  1 1  +) Xét dx           2  4  2  2  . 2   f x f x f x 4  f 8 f 4  4   4           2
8  f  x 
+) Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để 
 k  dx  0  . 2  f x  4     2 2
8  f  x 8 
 f   x 8  f     x 8 2 Ta có: 2 2   k  dx  dx  2k dx  k
dx  1 4k  4k  2k 1  2  4      . f  x     f  x 2 f x 4 4  4   4   2 1
8  f  x 1  f  x 6 1 f   x 6 1 Suy ra: k   thì    dx  0    dx  dx    2 2  f x 2 2  f  x 2 2 f x 2 4   4   4 6 df  x 1 6 1 1 1 1   1    1    1  4   1  f 6   . 2   f x f x 4 f 4 f 6 f 6 3 4           b b Chú ý:
f  x dx  0 
không được phép suy ra f  x  0 , nhưng 2k f
 x dx  0  f  x  0  . a a
Câu 89: Cho hàm số f  x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0; 
1 đồng thời thỏa mãn các 2
điều kiện f  0  1 và  f  x  f  x  
. Đặt T  f 1  f 0 , hãy chọn khẳng định đúng? A. 2   T  1  . B. 1
  T  0 .
C. 0  T  1.
D. 1  T  2 . Hươngd dẫn giải Chọn A 1
Ta có: T  f 1  f 0  f  x dx  0  2 f  x  1 
Lại có:  f   x  f  x    1     1    
 f  x 2  f  x     1 1
 x  c 
 f   x  . f   x x  c
Mà f  0  1 nên c  1. 1 1 1 1 Vậy T 
f  x dx   dx 
  ln  x 1   ln 2 . x 1 0 0 0
 f  x  0, x , 
Câu 90: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  thoả  f 0  f 0  1, .  2 2
xy  y  yy ,   x  .  
Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 3 3 A.  ln f   1  1.
B. 0  ln f   1  . C.  ln f   1  2 .
D. 1  ln f   1  . 2 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn D
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 y y   y   y  2 y x f  x 2 x Ta có 2 2
xy  y  yy   x   x    C hay   C . 2   y y   y 2 f  x 2
Lại có f 0  f 0  1  C  1. f  x 2 x 1 f  x 1 2  x  7 7 Ta có   1  dx  1 dx   
 ln  f  x 1   ln f   1  . f  x 2 f x 2 0 6 6 0   0      f   3 1 ln 1  . 2 3
Câu 91: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện  f  x  3g  x dx  10    đồng 1 3 3
thời 2 f  x  g  x dx  6   
. Tính  f  x  g  x dx    . 1 1 A. 9. B. 6 . C. 7 . D. 8 . Hươngd dẫn giải Chọn B 3 3 3 Đặt a 
f  x dx 
, b  g  x dx 
. Khi đó  f  x  3g  x dx  10   
 a  3b  10 , 1 1 1 3
2 f  x  g  x dx  6   
 2a  b  6 . 1
a  3b  10 a  4 3 Do đó:   
. Vậy  f  x  g  x dx 
 a  b  6 . 2a  b  6    b  2  1 d d
Câu 92: Cho hàm số y  f  x liên tục trên a;b , nếu f  x dx  5  và
f  x dx  2  (với a b b
a  d  b ) thì
f  x dx  bằng. a 5 A. 3. B. 7 . C. . D. 10 . 2 Hươngd dẫn giải Chọn A d  f   xdx  5   F b
 d   F a  5 a   
 F b  F a  3  f  x dx  . d  F
 d   F b  2
f  x dx  2  a  b
Câu 93: Cho f  x và g  x là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;3 , thỏa mãn: 3 3 3
 f  x  3g  x dx  10   
và 2 f  x  g  x dx  6   
. Tính I   f  x  g  x dx    1 1 1
A. I  8 .
B. I  9 .
C. I  6 . D. I  7 . Hươngd dẫn giải Chọn C
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 3  3   f 
 x  3g  x dx  10    f   xdx  4    3 Ta có: 1 1   
 I   f  x  g  x dx  6  . 3 3    
2 f  x  g  x dx  6
g  x dx  2 1     1 1
Câu 94: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x liên tục trên đoạn 0;5 và đồ thị hàm số
y  f   x trên đoạn 0;5 được cho như hình bên. y 1 O 3 5 x 5  Tìm mệnh đề đúng
A. f 0  f 5  f 3 .
B. f 3  f 0  f 5 .
C. f 3  f 0  f 5 .
D. f 3  f 5  f 0 . Hươngd dẫn giải Chọn C 5 Ta có
f  x dx  f 5  f 3  0 
, do đó f 5  f 3 . 3 3
f  x dx  f 3  f 0  0 
, do đó f 3  f 0 0 5
f  x dx  f 5  f 0  0 
, do đó f 5  f 0 0
Câu 95: Cho hàm số f  x liên tục và có đạo hàm tại mọi x  0;   đồng thời thỏa mãn điều kiện: 3 2
f  x   x sin x  f ' x   cos x và f  xsin d x x  4  . 
Khi đó, f   nằm trong khoảng  2 nào? A. 6;7 . B. 5; 6 .
C. 12;13 .
D. 11;12 . Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có:
f  x   x sin x  f  x   cos x 
f  x  xf  x sin x cos x f  x 1      f  x 1      cos x   cos x  c   2 2   x x x x    x  x x
 f  x   cos x  cx Khi đó: 3 3 2 2 f  xsin d x x  4   
cos x  cxsin d x x  4     2 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 3 3 2 2  cos x sin d x x  c x sin d x x  4  
 0  c 2   4  c  2   2 2
 f  x   cos x  2 x  f    2  1 5; 6  .   
Câu 96: Cho hàm số f  x xác định trên 0;  thỏa mãn 2      2     2   2 2
f  x  2 2 f  x sin x  d x      . Tích phân
f  x d x  bằng 4     2 0  0   A. . B. 0 . C. 1. D. . 4 2 Hươngd dẫn giải Chọn B    2    2     2 Ta có: 2 2 sin x  d x     1 cos 2x  d x    
 1 sin 2x d x   4    2  0 0  0  2  1    2  x  cos 2x    .  2  2 0   2     2    2     2 Do đó: 2
f  x  2 2 f  xsin x  d x  2     2 sin x  d x       0 4      4  2 2 0  0  2        2 
f  x  2 2 f  x 2 sin x   2 sin x  d x  0       4 4       0   2 2     
f  x  2 sin x  d x  0     4     0       
Suy ra f  x  2 sin x   0  
, hay f  x  2 sin x    .  4   4     2 2    2    Bởi vậy:
f  x d x  2 sin x  d x       2 cos x   0   .  4   4  0 0 0
Câu 97: Cho hàm số y  f (x) liên tục trên  thỏa mãn f  x f  x  x  2x2x 1 3 2 2 1 e       4 . Tính 2 tích phân I 
f  x dx 
ta được kết quả: 0
A. I  e  4 .
B. I  8 .
C. I  2 .
D. I  e  2 .
Đề ban đầu bị sai vì khi thay x  0 và x  2 vào ta thấy mâu thuẫn nên tôi đã sửa lại đề Hươngd dẫn giải Chọn C 2 2 2 Theo giả thuyết ta có 3
 f  x  f 2  x dx 
2  x   x 2x 1 1 e    4 dx *     .   0 0 2 2 2 Ta tính
f 2  x dx   f 2  x d 2  x  f  x dx    . 0 0 0
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 2 Vì vậy 3
 f  x  f 2  x dx  4 f  x dx     . 0 0 2 2 2 2 2 2 2 Hơn nữa 2  x  x 2x 1 x 2 x 1 1 e dx e  d    2 x 2x  x 2 x 1 1 e        0 và 4dx  8  . 0 0 0 0 2 2
Câu 98: Suy ra 4 f  x dx  8  f  x dx  2  
. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  \ 0;   1 thỏa 0 0
mãn điều kiện f 1  2 ln 2 và x  x   f  x  f  x 2 1 .
 x  x . Giá trị f 2  a  b ln 3 ,
với a, b   . Tính 2 2
a  b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Hươngd dẫn giải Chọn B x 1 x
Từ giả thiết, ta có x  x   f  x  f  x 2 1 .  x  x 
. f   x  f x  2   x 1  x   1 x 1 x    x  . f  x    , với x  \ 0;   1 .  x 1    x  1 x x x Suy ra . f  x  dx  hay
. f  x  x  ln x  1  C . x  1 x 1 x  1 x
Mặt khác, ta có f 1  2 ln 2 nên C  1  . Do đó
. f  x  x  ln x 1 1 . x  1 2 3 3 3 3
Với x  2 thì . f 2  1 ln 3  f 2   ln 3 . Suy ra a  và b   . 3 2 2 2 2 9 Vậy 2 2 a  b  . 2 2
Câu 99: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  và f  x 4  x   2x x
  0 và f 1  1. 2 x
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Phương trình f  x  0 có 1 nghiệm trên 0;1 .
B. Phương trình f  x  0 có đúng 3 nghiệm trên 0;   .
C. Phương trình f  x  0 có 1 nghiệm trên 1; 2 .
C. Phương trình f  x  0 có 1 nghiệm trên 2;5 . Hươngd dẫn giải Chọn C 2 6 3 x  2x  2 x  2 3 1  1 f   x 4  x   2x    0 , x   0 . 2 x 2 x 2 x
 y  f  x đồng biến trên 0;   .
 f  x  0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng 0;     1 . Mặt khác ta có: 2 2 2  2  21 f  x 4  x   2x  0 , x   0  f  x 4 dx  x   2x dx  2    x 2  x  5 1 1 21 17
 f 2  f   1   f 2  . 5 5
Kết hợp giả thiết ta có y  f  x liên tục trên 1; 2 và f 2. f 1  0 2 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Từ  
1 và 2 suy ra phương trình f  x  0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 1; 2.
Câu 100: Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x liên tục trên  và thỏa mãn f  x 1;  1 với 2
x  0; 2 . Biết f 0  f 2  1 . Đặt I  f  x dx 
, phát biểu nào dưới đây đúng? 0
A. I  ;0 .
B. I  0;  1 .
C. I  1;   .
D. I  0;1 . Hươngd dẫn giải Chọn C 2 1 2 Ta có I 
f  x dx  f  x dx  f  x dx    . 0 0 1 1 1 1 1 1 1
f  x dx   x  
1 f  x   x  
1 f   x dx  1 1 x f  x dx  1 1 x dx        1 . 0 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 1
f  x dx   x  
1 f  x   x  
1 f  x dx  1  x  
1 f   x dx   
 1 1 x dx   2 . 1 2 1 1 1 1 1 1 Từ  
1 và 2 suy ra I    1 . 2 2 1
Câu 101: Cho hàm số y  f  x liên tục trên 0; 
1 thỏa mãn xf  x dx  0 
và max f  x  1. Tích [0; 1] 0 1 phân  ex I
f  x dx 
thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0  5   3   5 3  A.  ;   .   B. ; e 1 .   C.  ; .  
D. e 1;  .  4   2   4 2  Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 1
Với mọi a  0;  1 , ta có 0 
xf  x dx 
 a xf  x dx 
 axf  x dx  0 0 0 1
Kí hiệu    ex I a  axdx . 0 1 1 1 1
Khi đó, với mọi a  0;  1 ta có
ex f  x dx  
ex f  x dx  axf  x dx  
 ex  ax f  xdx 0 0 0 0 1 1 1 
ex  ax . f  x dx  
ex  ax .max f  x dx  
ex  ax dx  I a  . x   0;  1 0 0 0 1
Suy ra ex f  x dx  min I a  a   0;  1 0 Mặt khác 1 1 1  a  a
Với mọi a  0; 
1 ta có    ex  d   ex I a ax x  axdx x 2  e  x    e  1  2  2 0 0 0 3 1 x 3
min I a  e  
e f  x dx  e   1, 22  . a   0  ;1 2 2 0  5 3  Vậy I   ;   .  4 2 
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
Câu 102: Cho hàm số f  x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 0  1 và 1 1 1  1  3 3
f   x  f  x 2   dx  2
f  x f  x dx     
. Tính tích phân  f  x dx  : 9      0 0 0 3 5 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 6 Hươngd dẫn giải Chọn D Từ giả thiết suy ra: 1 1 2   2  
3 f   x f  x  3 
f  x f x 1 dx  0 
 2.3 f x f x1 dx  0       .     0 0 1 1
Suy ra 3 f  x f  x 1  0 
f   x f  x 
 f   x 2 . f  x  . 3 9   1 1 Vì 3  f  x 2
  3. f  x f  x 3 3  
nên suy ra  f  x   
 f  x  x  C . 3 3
Vì f 0  1 nên 3
f 0  1  C  1. 1 1 1 3  1  7 Vậy 3
 f  x  x 1. Suy ra  f  x dx   x 1 dx    . 3    3  6 0 0
Câu 103: Cho hai hàm số f  x và g  x có đạo hàm trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn hệ thức  f 4    1  g   1  4 
. Tính I   f  x  g  x dx    . g   x   . x f  x;
f  x   . x g  x  1 A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6 ln 2 . D. 4 ln 2 . Hươngd dẫn giải Chọn A
f  x  g  x 1
Cách 1: Ta có f  x  g  x  x  f  x  g x     
f   x  g x x
f  x  g  x 1  dx   dx  
 ln f  x  g  x   ln x  C
f  x  g x x
Theo giả thiết ta có C  ln 1  ln f   1  g   1  C  ln 4 .  4
f  x  g  x   x 4 Suy ra  , vì f   1  g  
1  4 nên f  x  g  x  4  x
f  x  g  x    x 4
 I   f  x  g  x dx  8ln 2    . 1
Cách 2: Ta có f  x  g  x  x  f  x  g x  
  f  x  g  x dx   x  f  x  g x dx       .
  f  x  g  x dx  x  f  x  g  x   f  x  g  x dx         . C
 x  f  x  g  x  C  f  x  g  x    
. Vì f 1  g 1  C  C  4 x 4 4
Do đó f  x  g  x  . Vậy I   f  x  g  x dx  8ln 2  . x   1
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN BÀI TẬP 2
Câu 188. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x liên tục trên 0;2 và f 2  3 , f  x dx  3  . 0 2 Tính .
x f   x dx  . 0 A. 3  . B. 3. C. 0. D. 6.
Câu 189. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm là f ' x liên tục trên đoạn [0; 1] và f   1  2 . Biết 1 1
f  x dx  1 
, tính tích phân I  .
x f ' x dx  . 0 0
A. I  1. B. I  1  .
C. I  3 . D. I  3  . 1
Câu 190. Cho hàm số f  x thỏa mãn  x  
1 f ' x dx  10  và 2 f  
1  f 0  2 . Tính 0 1 I 
f  x dx  . 0
A. I  8 . B. I  8  .
C. I  4 . D. I  4  .
Câu 191. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 và thỏa mãn f 2  16 , 2 1
f  x dx  4 
. Tính tích phân I  .
x f 2x dx  . 0 0
A. I  12 .
B. I  7 .
C. I  13 . D. I  20 .
Câu 192. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  2    1, 2 0
f 2x  4 dx  1. Tính xf  x dx .     1 2
A. I  1 .
B. I  0 .
C. I  4 . D. I  4 . 5
Câu 193. Cho hàm số y  f x thỏa mãn f  3 x  3x  
1  3x  2, x  . Tính I  .
x f xdx  . 1 5 17 33 A. . B. . C. . D. 1761. 4 4 4 e f  x
Câu 194. Cho hàm số f  x liên tục trong đoạn 1;  e , biết dx  1 
, f e  1. Khi đó x 1 e I 
f  x.ln d x x  bằng 1
A. I  4 .
B. I  3 .
C. I  1. D. I  0 .
Câu 195. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn π  π  2
f  x  f  x  sin . x cos x  
, với mọi x   và f 0  0 . Giá trị của tích phân .
x f   x dx  bằng  2  0 π 1 π 1 A.  . B. . C. . D.  . 4 4 4 4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 102
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1
Câu 196. Cho hàm số f  x thỏa f 0  f   1  1. Biết x
e  f  x  f ' x dx  ae  b    . Tính biểu 0 thức 2018 2018 Q  a  b .
A. Q  8 .
B. Q  6 .
C. Q  4 . D. Q  2 .
Câu 197. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên  thỏa mãn      2017 2018 2018  2018. .e x f x f x x với
mọi x   và f 0  2018. Tính giá trị f   1 . A. f   2018 1  2019e . B. f   2018 1  2018.e . C. f   2018 1  2018.e . D. f   2018 1  2017.e . 1
Câu 198. Cho hàm số y  f  x với f 0  f  
1  1. Biết rằng: ex  f  x  f  x dx  e a  b    Tính 0 2017 2017 Q  a  b . A. 2017 Q  2 1.
B. Q  2 .
C. Q  0 . D. 2017 Q  2 1. 5
Câu 199. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
5 và f 5  10 , xf  x dx  30  0 5 . Tính
f  x dx  . 0 A. 20 . B. 3  0 . C. 2  0 . D. 70 .
Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;  2 . Biết 2 2 3 67 rằng F  
1  1, F 2  4 , G 1 
, G 2  2 và f  xG  x dx  
. Tính F  x g  x dx  2 12 1 1 11 145 11 145 A. . B.  . C.  . D. . 12 12 12 12 1
Câu 201. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 thỏa mãn x  f  x  2 dx  f   1    . Giá 0 1 trị của I 
f  x dx  bằng 0 A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 1. 2 2
Câu 202. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 1;  2 và  x  
1 f  x dx  a  . Tính
f  x dx  1 1
theo a và b  f 2 .
A. b  a .
B. a  b .
C. a  b .
D. a  b . 2
Câu 203. Cho hàm số f  x liên tục trên  và f 2  16 , f  x dx  4  . Tính tích phân 0 1 I  .
x f  2x dx  . 0
A. I  13 .
B. I  12 .
C. I  20 . D. I  7 .
Câu 204. Cho y  f  x là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số y  f  x đi qua điểm 1 0  1  2 M  ; 4   và
f t dt  3  , tính I  sin 2 .
x f  sin x dx  .  2  0   6
A. I  10 .
B. I  2 .
C. I  1. D. I  1 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 103
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng   2 2
Câu 205. Cho hàm số y  f  x thỏa mãn sin .
x f  x dx  f 0 
 1. Tính I  cos .
x f   x dx  . 0 0
A. I  1.
B. I  0 .
C. I  2 . D. I  1 .
Câu 206. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và thỏa mãn f x  2018 f  x  2x sin x . Tính  2 I 
f  x dx  ?   2 2 2 2 4 A. . B. . C. . D. . 2019 2018 1009 2019
Câu 207. Cho hàm số f  x và g  x liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f 0. f 2  0 và 2
       2ex g x f x x x
. Tính giá trị của tích phân I 
f  x.g xdx  ? 0 A. 4 . B. e  2. C. 4 . D. 2  e .      
Câu 208. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm và liên tục trên 0;  thỏa mãn f  3   , 4     4     4 f  x 4 4 dx  1  và sin . x tan .
x f  x dx  2  . Tích phân sin .
x f  x dx  bằng: cos x   0 0 0 2  3 2 1 3 2 A. 4 . B. . C. . D. 6. 2 2 2 4  x 
Câu 209. Cho hàm số f  x liên tục trên  và f 2  16 , f  x dx  4 
. Tính I  xf  dx     2  0 0
A. I  12 .
B. I  112 .
C. I  28 . D. I  144 .
Câu 210. Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai f   x liên tục trên đoạn 0;  1 thoả mãn f  
1  f 0  1, f 0  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1
A. f   x1 x x  2018  d .
B. f   x1 x x  1   d . 0 0 1 1
C. f   x1 x x  2018  d .
D. f   x1 x x  1  d . 0 0     
Câu 211. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f  0  
,  f   x 2  dx     và  2  4  2  
cos x f  xdx  
. Tính f 2018  . 4  2 1 A. 1. B. 0 . C. . D. 1. 2
Câu 212. Cho hàm số f  x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2
 . Biết f 0  1  3 2 2
x  3x  f  x và     2 2 4 . 2 e x x f x f x   
, với mọi x  0; 2
  . Tính tích phân I  dx  . f x 0   16 16 14 32 A. I   . B. I   . C. I   . D. I   . 3 5 3 5
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 104
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
Câu 213. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 1  0 và 1 1 2  1 x e 1
 f  x 2
 dx   x  
1 e f  x dx     
. Tính tích phân I 
f  x dx  . 4 0 0 0 e e 1
A. I  2  e .
B. I  e  2 . C. I  . D. I  . 2 2 2 2 1
Câu 214. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn  x   1
f  x dx    , 3 1 2 2 2
f 2  0 và  f  x dx  7   
. Tính tích phân I 
f  x dx  . 1 1 7 7 7 7 A. I  . B. I   . C. I   . D. I  . 5 5 20 20
Câu 215. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  1, 1 1 1 1
 f  x 2  dx  9  3  
và x f  x dx   . Tích phân
f  x dx  bằng 2 0 0 0 2 5 7 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 5      
Câu 216. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f  0   . Biết 4     4     4  4  8 2
f  x dx   ,
f  xsin 2 d x x   
. Tính tích phân I 
f 2x dx  8 4 0 0 0 1 1
A. I  1. B. I  .
C. I  2 . D. I  . 2 4
Câu 217. . Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 và f 0  f 1  0 . Biết 1 1 1  1 2
f  x dx   ,
f  x cos x dx   . Tính
f  x dx  . 2 2 0 0 0 1 2 3 A.  . B. . C. . D. .   2
Câu 218. Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa f 1  0 , 1 2 1 1      1
f  x2 dx   và cos
x f  x dx     . Tính
f  x dx  . 8  2  2 0 0 0  1 2 A. . B.  . C. . D. . 2  
Câu 219. Xét hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f 2  4
2  f  x  2
f  x 1 . Tính J   dx  . 2  x x 1   1 1
A. J  1  ln 4 .
B. J  4  ln 2 .
C. J  ln 2  . D. J   ln 4 . 2 2
Câu 220. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn 1 1 2  1 x e 1
 f  x 2
 dx   x  
1 e f  x dx     
và f 1  0 . Tính f  x dx  4 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 105
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng e 1 2 e e A. . B. . C. e  2 . D. . 2 4 2
Câu 221. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 1  0 , 1 1 1 1
 f  x 2  dx  7  2  
và x f  x dx   . Tích phân
f  x dx  bằng 3 0 0 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 106
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI 2
Câu 188. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x liên tục trên 0;2 và f 2  3 , f  x dx  3  . 0 2 Tính .
x f   x dx  . 0 A. 3  . B. 3. C. 0. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 2 2 Ta có .
x f   x dx   d x
  f x  .
x f  x  f  x dx 
 2 f 2  3  3. 0 0 0 0
Câu 189. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm là f ' x liên tục trên đoạn [0; 1] và f   1  2 . Biết 1 1
f  x dx  1 
, tính tích phân I  .
x f ' x dx  . 0 0
A. I  1. B. I  1  .
C. I  3 . D. I  3  . Hướng dẫn giải 1 Ta có: I  .
x f ' x dx  0
Đặt u  x  du  dx , dv  f ' x dx chọn v  f ' x dx  f  x  1 1  I  .
x f  x 1  f  x dx  1. f  
1  0. f 0  f  x dx  2 1  1   0 0 0 Chọn A 1
Câu 190. Cho hàm số f  x thỏa mãn  x  
1 f ' x dx  10  và 2 f  
1  f 0  2 . Tính 0 1 I 
f  x dx  . 0
A. I  8 . B. I  8  .
C. I  4 . D. I  4  . Hướng dẫn giải 1
A   x  
1 f ' x dx 
Đặt u  x 1  du  dx , dv  f ' x dx chọn v  f  x 0 1 1 1 1
 A   x  
1 . f  x 1  f  x dx  2 f (1)  f (0)  f  x dx  2  f  x dx  10  f  x dx  8     0 0 0 0 0 Chọn B
Câu 191. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 và thỏa mãn f 2  16 , 2 1
f  x dx  4 
. Tính tích phân I  .
x f 2x dx  . 0 0
A. I  12 .
B. I  7 .
C. I  13 . D. I  20 . Hướng dẫn giải Chọn B du  dx u   x   Đặt    f x . dv  f   2x 2  dx v     2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 107
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng . x f 2x 1 1 f 2 2 1 1 16 1 Khi đó: I  
f 2x dx  
f t dt   .4  7   . 2 0 2 2 4 2 4 0 0
Câu 192. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  2    1, 2 0
f 2x  4 dx  1. Tính xf  x dx .     1 2
A. I  1 .
B. I  0 .
C. I  4 . D. I  4 . Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt t  2x  4  dt  2dx , đổi cận x  1  t  2
 , x  2  t  0 . 2 0 1 0 0 1 
f 2x  4 dx 
f t  dt  f t dt  2  f x dx  2 .         2 1 2 2 2 
Đặt u  x  du  dx , dv  f   x dx  v  f  x . 0 0 0 Vậy
xf  x dx  xf x 
f x dx  2 f 2  2  2.1 2  0 .         2 2 2 5
Câu 193. Cho hàm số y  f x thỏa mãn f  3 x  3x  
1  3x  2, x  . Tính I  .
x f xdx  . 1 5 17 33 A. . B. . C. . D. 1761. 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C 5 u   x du  dx 5 Đặt     
 I  xf x  f x   .
dv  f xdx
v  f x dx 1   1
 f 5  5 x 1 5  Từ f  3 x  3x       1  3x  2      , suy ra I 23
f xd . x  f    1  2 x  0  1 dt  2 3x    3 dx  Đặt 3
t  x  3x 1  
 f t 3x  2  Đổi cận: Với 3
t  1  1  x  3x 1  x  0 và 3
t  5  x  3x 1  5  x  1 . 5 1 Casio 33 Khi đó I  23
f xdx  23 3x   2  2 3x   3 dx    4 1 0 Chọn C e f  x
Câu 194. Cho hàm số f  x liên tục trong đoạn 1;  e , biết dx  1 
, f e  1. Khi đó x 1 e I 
f  x.ln d x x  bằng 1
A. I  4 .
B. I  3 .
C. I  1. D. I  0 . Hướng dẫn giải Chọn D e e e 1 Cách 1: Ta có I 
f  x.ln d
x x  f  x.ln x  f  x. dx  f e 1  11  0   . 1 x 1 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 108
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  dx u   ln x du    Cách 2: Đặt    x . dv  f    xdx 
v  f  x  e e e f  x Suy ra I 
f  x.ln d
x x  f  x ln x 
dx  f e 1 11  0   . 1 x 1 1
Câu 195. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn π  π  2
f  x  f  x  sin . x cos x  
, với mọi x   và f 0  0 . Giá trị của tích phân .
x f   x dx  bằng  2  0 π 1 π 1 A.  . B. . C. . D.  . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D  π 
Theo giả thiết, f 0  0 và f  x  f  x  sin . x cos x   nên  2   π   π  f 0  f  0    f  0   .  2   2  Ta có: π π π 2 2 π 2 I  .
x f  x dx 
 xd  f  x  2 
   xf  x 
f  x dx    0 0 0 0 π 2
Suy ra: I   f  x dx  . 0 Mặt khác, ta có:  π        1
f  x  f  x  sin . x cos x  2 2 2  
f  xdx  f  x dx  sin .
x cos x dx        2  0 0 0  2  2   0    1 1
Suy ra: 2 f  x  2 dx       f x dx f      x dx  0 0  2  2 4 2 π 2 1
Vậy I   f  x dx    . 4 0 1
Câu 196. Cho hàm số f  x thỏa f 0  f   1  1. Biết x
e  f  x  f ' x dx  ae  b    . Tính biểu 0 thức 2018 2018 Q  a  b .
A. Q  8 .
B. Q  6 .
C. Q  4 . D. Q  2 . Hướng dẫn giải 1 1 1 x
A  e  f  x  f ' x x
 dx  e f  x x
dx  e f ' x dx      0 0 0
  A A 1 2 1 x A  e f x dx 1    0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 109
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1
Đặt u  f  x  du  f ' x dx , x
dv  e dx chọn x v  e x  A  e . x f x  e f ' x dx 1      0 0  A2 1 1 Vậy x    x A e f x
 A  A  e f x  .
e f 1  f 0  e 1 2 2       0 0 a  1 2018 2018    a  b  11  2 b  1   Chọn D
Câu 197. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên  thỏa mãn      2017 2018 2018  2018. .e x f x f x x với
mọi x   và f 0  2018. Tính giá trị f   1 . A. f   2018 1  2019e . B. f   2018 1  2018.e . C. f   2018 1  2018.e . D. f   2018 1  2017.e . Hướng dẫn giải Chọn A
f  x  2018. f  x Ta có:      2017 2018 2018  2018. .e x f x f x x 2017   2018.x 2018 e x
1 f  x  2018. f  x 1 2017  dx  2018.x dx  2018    1 e x 0 0
1 f  x  2018. f  x 1 1 Xets I  dx     2018 .e
xd  2018.   2018 .e x f x x f x dx 2018   e x 0 0 0 1 u   f   x d  u  f    xdx Xét  2018.   2  018 .e x I f x dx   . 1  . Đặt  2  018x 2  018 d  v  2018.e dx v    e x  0  1 Do đó   . 2018 e x  1    2018 .e
xd     2018 1 .e x I f x f x x I f  2018 1 0  0 Khi đó  
1  f   2018x 2018 1 1 .e  2018  x  f   2018 1  2019.e . 0 1
Câu 198. Cho hàm số y  f  x với f 0  f  
1  1. Biết rằng: ex  f  x  f  x dx  e a  b    Tính 0 2017 2017 Q  a  b . A. 2017 Q  2 1.
B. Q  2 .
C. Q  0 . D. 2017 Q  2 1. Hướng dẫn giải Chọn C u   f   x d  u  f    xdx Đặt    . d
 v  exdx v    ex  1 1 1 2
ex       d  ex    ex   d  ex f x f x x f x f x x
f  x dx       ef  
1  f 0  e 1 . 1 0 0 0
Do đó a  1 , b  1. Suy ra 2017 2017 Q  a  b    2017 2017 1 1  0 . Vậy Q  0 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 110
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 5
Câu 199. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
5 và f 5  10 , xf  x dx  30  0 5 . Tính
f  x dx  . 0 A. 20 . B. 3  0 . C. 2  0 . D. 70 . Hướng dẫn giải Chọn A u
  x  du  dx  Đặt  dv  f  
 xdx  v  f  x  5 5 5 5 .
x f   x dx    .
x f  x  f  xdx 
 30  5 f 5  f  x dx  0 0 0 0 5 
f  x dx  5 f 5  30  20  . 0
Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;  2 . Biết 2 2 3 67 rằng F  
1  1, F 2  4 , G 1 
, G 2  2 và f  xG  x dx  
. Tính F  x g  x dx  2 12 1 1 11 145 11 145 A. . B.  . C.  . D. . 12 12 12 12 Hướng dẫn giải Chọn A u   F   x du  f   x dx Đặt    dv  g   x dx  v  G   x  2 2 2 2
F  x g  x dx 
 F  xG  x  f  xG  x dx 
 F 2G 2  F   1 G   1 
f  xG  x dx  1 1 1 1 3 67 11  4.2 1.   . 2 12 12 1
Câu 201. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 thỏa mãn x  f  x  2 dx  f   1    . Giá 0 1 trị của I 
f  x dx  bằng 0 A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1
Ta có x  f  x  2 dx     .
x f  x dx  2 d x x   0 0 0 1 1 1 1  d
x  f  x 2   x     .
x f  x  f  x dx 1   f   1  I 1. 0 0 0 0 1
Theo đề bài x  f  x  2 dx  f   1     I  1. 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 111
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 2
Câu 202. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 1;  2 và  x  
1 f  x dx  a  . Tính
f  x dx  1 1
theo a và b  f 2 .
A. b  a .
B. a  b .
C. a  b .
D. a  b . Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt u  x 1  du  dx ; dv  f  x dx chọn v  f  x . 2 2 b 2  2 x  
1 f  x dx    x  
1 f  x  f  x dx 
 f 2  f  xdx 
 b  f  x  . 1 1 1 a 1 2 2 2 Ta có  x  
1 f  x dx  a   b 
f  x dx  a  
f  x dx  b  a  . 1 1 1 2
Câu 203. Cho hàm số f  x liên tục trên  và f 2  16 , f  x dx  4  . Tính tích phân 0 1 I  .
x f  2x dx  . 0
A. I  13 .
B. I  12 .
C. I  20 . D. I  7 . Hướng dẫn giải Chọn D du  dx u   x   Đặt    .
 v  f  x 1 d 2 dx v  f  2x   2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó, I  . x f 2x 
f 2x dx  f 2 
f 2x dx  8 
f 2x dx    . 2 2 2 2 2 0 0 0 0
Đặt t  2x  dt  2dx .
Với x  0  t  0 ; x  1  t  2 . 2 1 Suy ra I  8 
f t  dt  8 1  7  . 4 0
Câu 204. Cho y  f  x là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số y  f  x đi qua điểm 1 0  1  2 M  ; 4   và
f t dt  3  , tính I  sin 2 .
x f  sin x dx  .  2  0   6
A. I  10 .
B. I  2 .
C. I  1. D. I  1 . Hướng dẫn giải Chọn B 0 0 Xét tích phân I  sin 2 .
x f  sin x dx  2 sin .
x f sin x.cos d x x   .     6 6   1 x    t  
Đặt: t  sin x  dt  cos d x x . Đổi cận:  6 2 .
x  0  t  0  0
 I  2 t. f  t  dt  . 1  2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 112
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u   2t d  u  2dt   Đăt:    . dv  f   tdt v  f   t  0 0 0  1 
 I  2t. f t  1  2 f t dt  f   2 f    t dt  .   2 1  1 2   2 2  1   1 
Đồ thị hàm số y  f  x đi qua điểm M  ; 4    f   4   .  2   2  1 1 0 2 2
Hàm số y  f  x là hàm số chẵn, liên tục trên  
f t  dt  f t  dt  f  x dx  3    . 1 0 0  2
Vậy I  4  2.3  2  .   2 2
Câu 205. Cho hàm số y  f  x thỏa mãn sin .
x f  x dx  f 0 
 1. Tính I  cos .
x f   x dx  . 0 0
A. I  1.
B. I  0 .
C. I  2 . D. I  1 . Hướng dẫn giải Chọn C 
u  f  x  du  f (  x)dx Đặt  d  v  sin d
x x  v   cos  x   2  2  sin .
x f  x dx  
cos .x f x 2  cos .
x f  x dx  . 0 0 0   2 2   I  cos .
x f   x dx   sin .
x f  x dx  cos . x f  x 2   1 1  0 . 0 0 0
Câu 206. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và thỏa mãn f x  2018 f  x  2x sin x . Tính  2 I 
f  x dx  ?   2 2 2 2 4 A. . B. . C. . D. . 2019 2018 1009 2019 Hướng dẫn giải Chọn D   2 2
Ta có   f x  2018 f xdx  2xsin d x x      2 2      2 2 2 2 2 
f x dx  2018
f  x dx  2x sin d x x     2019
f  x dx  2x sin d x x     1           2 2 2 2 2  2 + Xét P  2x sin d x x    2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 113
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u   2x du  2dx Đặt    dv  sin d x x  v   cos x    P  2 .
x  cos x 2 2  sin x  4     2 2  2 4 Từ   1 suy ra I 
f  x dx   . 2019   2
Câu 207. Cho hàm số f  x và g  x liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f 0. f 2  0 và 2
       2ex g x f x x x
. Tính giá trị của tích phân I 
f  x.g xdx  ? 0 A. 4 . B. e  2. C. 4 . D. 2  e . Hướng dẫn giải Chọn C
Ta có        2 ex g x f x x x
 g 0  g 2  0 (vì f 0. f 2  0 ) 2 2 2 2 I 
f  x.g xdx  
f  x dg  x 
  f  x.g  x 2  g  x. f  x dx 
  2  2 ex x x dx  4 . 0 0 0 0 0      
Câu 208. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm và liên tục trên 0;  thỏa mãn f  3   , 4     4     4 f  x 4 4 dx  1  và sin . x tan .
x f  x dx  2  . Tích phân sin .
x f  x dx  bằng: cos x   0 0 0 2  3 2 1 3 2 A. 4 . B. . C. . D. 6. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B  4 u   sin x d  u  cos d x x   Ta có: I  sin .
x f  x dx  . Đặt    . dv  f    xdx v  f    x 0    4 3 2 I  sin .
x f  x 4  cos .
x f  xdx    I . 0 1 2 0    4 4  f x  4  f x  2   2   2  sin . x tan .
x f  x dx     sin . x dx      1 cos x  . dx  . cos x cos x 0 0   0     4  f  x 4   dx  cos . x f     xdx   1 I . cos x 1 0   0 3 2 3 2  2  I  1   I  1  . 1 2 2 2 4  x 
Câu 209. Cho hàm số f  x liên tục trên  và f 2  16 , f  x dx  4 
. Tính I  xf  dx     2  0 0
A. I  12 .
B. I  112 .
C. I  28 . D. I  144 . Hướng dẫn giải Chọn B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 114
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u   x du  dx   Đặt   x     x  . dv  f  dx    v  2 f      2    2  Khi đó 4 4 4  x   x  4  x   x  I  xf  dx     2xf  2 f dx  
   128 2I với I  f dx . 1 1     2  0  2   2   2  0 0 0 x 4 2 2  x  Đặt u 
 dx  2du , khi đó I  f dx   
 2 f u du 
 2 f  xdx  8  . 2 1  2  0 0 0
Vậy I  128  2I  128 16  112 . 1
Câu 210. Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai f   x liên tục trên đoạn 0;  1 thoả mãn f  
1  f 0  1, f 0  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1
A. f   x1 x x  2018  d .
B. f   x1 x x  1   d . 0 0 1 1
C. f   x1 x x  2018  d .
D. f   x1 x x  1  d . 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1
Xét I  f   x1 x x  d  1 xd 
 f x 0 0 u   1 x  du  d  x  Đặt    dv  d 
 f x    v f   x  1
 I  1 x f  x 1  f  x dx   1  1 f   
1  f  0  f  x 1   f  0   f 1  f 0  0         0   0  2  018  1  1  2  018 .     
Câu 211. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f  0  
,  f   x 2  dx     và  2  4  2  
cos x f  xdx  
. Tính f 2018  . 4  2 1 A. 1. B. 0 . C. . D. 1. 2 Hướng dẫn giải Chọn D
Bằng công thức tích phân từng phần ta có     
cos xf  x dx  sin xf  x    
sin xf  x dx    
. Suy ra sin xf  x dx    . 4  2   2 2 2    1 cos 2x
 2x  sin 2x   Hơn nữa ta tính được 2 sin d x x  dx     . 2   4    4   2 2 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 115
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng     2 2 2 2 2 2
Do đó:  f  x dx  2 sin xf  x 2 dx  sin d
x x  0   f  x  sin x dx  0         . 0 0 0 0   
Suy ra f  x   sin x . Do đó f  x  cos x  C . Vì f  0   nên C  0 .  2 
Ta được f  x  cos x  f 2018   cos 2018   1 .
Câu 212. Cho hàm số f  x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2
 . Biết f 0  1  3 2 2
x  3x  f  x và     2 2 4 . 2 e x x f x f x   
, với mọi x  0; 2
  . Tính tích phân I  dx  . f x 0   16 16 14 32 A. I   . B. I   . C. I   . D. I   . 3 5 3 5 Hướng dẫn giải Chọn B
Cách 1: Theo giả thiết, ta có     2 2 4 . 2 e x x f x f x   
và f  x nhận giá trị dương nên      2 2 4 ln . 2  ln e x x f x f x       f  x  f   x 2 ln ln 2  2x  4x .
Mặt khác, với x  0 , ta có f 0. f 2  1 và f 0  1 nên f 2  1 .  3 2 2
x  3x  f  x 2 f  x 3 2   Xét I  dx 
, ta có I  x  3x . dx f x f x 0   0   3 2 u   x  3x 2  du  
3x  6xdx Đặt  f   x   dv  dx 
v  ln f  x f  x   2 2 2 Suy ra I   3 2
 x  3x ln f x   2
3x  6x.ln f  xdx 2  
3x  6x .ln f x dx          1 . 0 0 0
Đến đây, đổi biến x  2  t  dx  dt . Khi x  0  t  2 và x  2  t  0 . 0 2
Ta có I   2
3t  6t .ln f 2 t  d
 t    2
3t  6t .ln f 2  tdt 2 0 2
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I   2
3x  6x.ln f 2  xdx 2 . 0 2 Từ  
1 và 2 ta cộng vế theo vế, ta được 2I   2
3x  6x.ln f  x  ln f 2  x dx   0 2 1 16 Hay I    2
3x  6x. 2
2x  4xdx   . 2 5 0
Cách 2 (Trắc nghiệm) Chọn hàm số   2 2 ex x f x   , khi đó:  3 2
x  3x  2x2 2 .e
x .2x  2 2 16  3 2 I  dx 
x  3x . 2x  2 dx  2   .      x 2 e x 5 0 0
Câu 213. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 1  0 và 1 1 2  1 x e 1
 f  x 2
 dx   x  
1 e f  x dx     
. Tính tích phân I 
f  x dx  . 4 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 116
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng e e 1
A. I  2  e .
B. I  e  2 . C. I  . D. I  . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 u   f   x d  u  f    xdx Xét     1 ex A x
f  x dx  . Đặt    dv   x    1 exdx   0  v ex x  1 1 1 2 1  x 1 e Suy ra  ex    ex A x f x x
f  x dx    ex x
f  x dx   e x
f  x dx   0 4 0 0 0 1 1 2    x x 1 1 1 e 1 Xét 2 2 2 2 x e dx  e x  x      .  2 2 4  4 0 0 1 1 1 1 2 2
Ta có    d  2 ex   2 2 d  e x f x x x f x x x dx  0  x    
   f x  e x  dx  0 0 0 0 0
Suy ra    ex f x x
 0 x  0;  1 (do    x f x  x 2 e
 0 x  0;  1 )      ex f x x 
   1  ex f x x  C
Do f 1  0 nên    1  ex f x x 1 1 1 Vậy 
 d  1 exd  2  ex I f x x x x x  e  2   . 0 0 0 2 2 1
Câu 214. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn  x   1
f  x dx    , 3 1 2 2 2
f 2  0 và  f  x dx  7   
. Tính tích phân I 
f  x dx  . 1 1 7 7 7 7 A. I  . B. I   . C. I   . D. I  . 5 5 20 20 Hướng dẫn giải Chọn B  x  3 2 1
Đặt u  f  x  du  f  x dx , dv   x   1 dx  v  3 2 2 3 3 1 2 2  x   1  x   1 Ta có    x   1
f  x dx   . f  x 
f  x dx  3 3 3 1 1 1 2 1 1 2 2 3 3      x  3 1
f  x dx    x   1
f  x dx  1 
  2.7  x   1
f  x dx  1  4  3 3 1 1 1 2 2 2 2 6 2 3 6
Tính được 49 x   1 dx  7 
  f  x dx     2.7 x   1
f  x dx   49 x   1 dx  0  1 1 1 1 2 2  x  4 7 1   7 x  3
1  f  x dx  0 
 f  x   x  3 7
1  f  x   C .   4 1  x  4 7 1 7
Do f 2  0  f  x   . 4 4 2  7 x 4 2 1 7   7 Vậy I 
f  x dx      dx    . 4 4 5 1 1    
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 117
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
Câu 215. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  1, 1 1 1 1
 f  x 2  dx  9  3  
và x f  x dx   . Tích phân
f  x dx  bằng 2 0 0 0 2 5 7 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 5 Hướng dẫn giải Chọn B 1 2
Ta có:  f  x dx  9      1 0 1 1 - Tính 3
x f  xdx  .  2 0
du  f  x dx u   f   x  Đặt  4   3 x d
 v  x .dx  v   4 1 1 1 4  x  1 1 1 1 1 3 
 x f  x dx   . f 4 4   x 
x . f  x dx   
x . f  x dx  2 4 4 4 4 0   0 0 0 1 1 4
 x . f   x dx  1   4
 18 x . f   x dx  18  2 0 0 1 1 9 x 1 1 - Lại có: 8 x dx    8
 81 x dx  9  3 9 9 0 0 0
- Cộng vế với vế các đẳng thức  
1 , 2 và 3 ta được: 1 1 1
 f x 2 4
  18x . f  x 8  81x    dx  0  4 4  
  f  x  9x  dx  0   .  f  x  9x  dx  0         0 0 0
Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x 4  9x , trục
hoành Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh Ox bằng 0 9
 f  x 4
 9x  0  f  x 4  9
 x  f  x  f  x.dx  4   x  C . 5 14 9 14 Lại do f   1  1  C   f  x 5   x  5 5 5 1 1 1  9 14   3 14  5 
f  x dx   5  x  dx  6     x  x    .  5 5   10 5  2 0 0 0      
Câu 216. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f  0   . Biết 4     4     4  4  8 2
f  x dx   ,
f  xsin 2 d x x   
. Tính tích phân I 
f 2x dx  8 4 0 0 0 1 1
A. I  1. B. I  .
C. I  2 . D. I  . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 118
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  4  si  n 2x  u  2cos 2 d x x  du  Tính
f  xsin 2 d x x    . Đặt    , khi đó 4 f  
 xdx  dv f 
  x  v 0     4  4 4    
f   xsin 2 d x x  sin 2 .
x f  x 4  2 f  x cos2 d x x    sin . f  sin 0. f  
0  2 f  xcos2 d x x  0 2  4  0 0 0  4  2 
f  x cos2 d x x  . 0   4  4  Theo đề bài ta có
f  xsin 2 d x x    
f  x cos2 d x x   . 4 8 0 0  4  Mặt khác ta lại có 2 cos 2 d x x   . 8 0   4 4 2      Do  f  x 2
 cos2x dx   f  x  2f  x 2
.cos2x  cos 2x dx         2   0   nên  8 8 8  0 0
f  x  cos 2x .   8 8 1 1 Ta có I  cos 4 d x x  sin 4x   . 4 4 0 0
Câu 217. . Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 và f 0  f 1  0 . Biết 1 1 1  1 2
f  x dx   ,
f  x cos x dx   . Tính
f  x dx  . 2 2 0 0 0 1 2 3 A.  . B. . C. . D. .   2 Hướng dẫn giải Chọn C u   cos   x du    sin   xdx Đặt    . dv  f    xdx  v  f   x  1 1 1 Khi đó:
f  x cos x dx  cos x f  x   f  xsin  x dx   0 0 0 1 1    f  
1  f 0  f  xsin  x dx   f  xsin  xdx   0 0 1 1 
f  x sin  x dx   . 2 0 Cách 1: Ta có 1 2
Tìm k sao cho  f  x  k sin  x dx  0    0 1 1 1 1 2
Ta có:  f  x  k sin  x 2  dx 
f  x dx  2k f  xsin  x 2 2 dx  k
sin  x dx       0 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 119
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 1 k   k   0  k  1. 2 2 1 2
Do đó  f  x  sin  x dx  0   
 f  x  sin  x (do  f  x    x 2 sin   0   x    ). 0 1 1 2 Vậy
f  x dx  sin  x dx    .  0 0
Cách 2: Sử dụng BĐT Holder. 2 b b b   f 
 x g  x 2 x  f    x 2 d d .
x g  x dx   .  a  a a
Dấu “  ” xảy ra  f  x  k.g  x , x a;b . 2 1 1 1 1   1 Áp dụng vào bài ta có 
f  xsin  x 2 dx  f  x 2 d .
x sin  x dx      , 4 4  0  0 0
suy ra f  x  k.sin  x , k   . 1 1 1 1 Mà
f  xsin  x 2 dx 
 k sin  x dx   k  1  
 f  x  sin  x 2 2 0 0 1 1 2 Vậy
f  x dx  sin  x dx    .  0 0
Câu 218. Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa f 1  0 , 1 2 1 1      1
f  x2 dx   và cos
x f  x dx     . Tính
f  x dx  . 8  2  2 0 0 0  1 2 A. . B.  . C. . D. . 2   Hướng dẫn giải Chọn D u
  f  x
du  f  x dx   Đặt   x   2  x dv  cos dx v  sin  2     2 1    1 Do đó cos
x f  x dx      2  2 0 1 1 1 2  x 2    1      sin f  x  sin
x f   x dx      sin
x f  x dx      .  2   2  2  2  4 0 0 0 1    1 Lại có: 2 sin x dx      2  2 0 1 2 1 1  2   2         I   . f   
 x dx  2  sin x f         x 2 dx  sin x dx           2   2  0 0 0 2 1 2  2     4  2  1   f     x  sin x dx   .   0    2    2    8  2 2 0 2  2     Vì  f    x  sin x  0    trên đoạn 0;  1 nên    2  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 120
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 1  2     2         f     x  sin x dx  0     
f   x =sin x 
  f   x =  sin x   .    2    2  2  2  0       
Suy ra f  x =cos x  C  
mà f 1  0 do đó f  x =cos x   .  2   2  1 1    2 Vậy
f  x dx  cos x dx      .  2   0 0
Câu 219. Xét hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f 2  4
2  f  x  2
f  x 1 . Tính J   dx  . 2  x x 1   1 1
A. J  1  ln 4 .
B. J  4  ln 2 .
C. J  ln 2  . D. J   ln 4 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D
2  f  x  2
f  x 1 2 f  x 2 f  x 2  2 1 
Cách 1: Ta có J   dx   dx  dx   dx . 2      x x 2 2 x x  x x  1   1 1 1  1  1 u  du   dx   Đặt 2  x   x
dv  f  xdx
v  f x  
2  f  x  2
f  x 1 2 2 1 f  x 2 f  x 2  2 1  J   dx   . f  x  dx  dx   dx 2      x x 2 2 2 x x x  x x  1   1 1 1 1 2 1  1  1 
f 2  f   1  2 ln x    ln 4   . 2  x  2 1
2  f  x  2
f  x 1
2  xf  x  f  x 2 1 
Cách 2: J   dx     dx 2    x x 2 2 x x x 1   1   2
2  f  x  2   2 1   f  x 1  1  dx   dx      2 ln x    ln 4 . 2    x    x x  x x 2 1 1   1
Cách 3: ( Trắc nghiệm)  f    1  1 a  3
Chọn hàm số f  x  ax  b . Vì   
, suy ra f  x  3x  2 . f   2  4 b  2   2 2  5 3x 1  1  1 Vậy J  
dx  2 ln x   ln 4    . 2     x x   x  2 1 1
Câu 220. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn 1 1 2  1 x e 1
 f  x 2
 dx   x  
1 e f  x dx     
và f 1  0 . Tính f  x dx  4 0 0 0 e 1 2 e e A. . B. . C. e  2 . D. . 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 - Tính:     1 ex I x
f  x dx  
ex   d  ex x f x x
f  x dx  J  K   . 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 121
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 Tính  ex K
f  x dx  0 u 
  ex f  x 
du  ex f  x  ex f  x dx Đặt      dv  dx  v  x  1 1 1    1
ex     ex    ex K x f x x f x x
f  x dx  x x     e x
f  x dx  e x
f  x dx  
do f 1  0 0 0 0 0 1 1     ex K J x
f  x dx       ex I J K x
f  x dx  . 0 0
- Kết hợp giả thiết ta được: 1 2  e 1 1 2  2 e 1  f    x 2  dx      f  
 x dx  (1)  4    4 0  0    1 2 1 2  e 1  e 1 x
 xe f  xdx  2 ex x
f   x dx   (2)    4   2 0  0 1 2  x e 1
- Mặt khác, ta tính được: 2 2 x e dx  (3)  . 4 0
- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 1 1 1 2 2    2   2 ex   2 2  e x f x x f x x x x  
dx  0   f x ex  dx  0  f x ex  dx  0 0 o o
hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số     ex y f x x
, trục Ox , các đường thẳng x  0
, x  1 khi quay quanh trục Ox bằng 0     ex f x x  0      ex f x x 
    exd  1 ex f x x x x  C  . - Lại do
1  0  C  0     1 ex f f x x 1 1 1 1 1 
 d  1 ex f x x x dx  
 1 ex   ex x dx  1 ex     e  2 . 0 0 0 0 0 1 Vậy
f  xdx  e  2  . 0
Câu 221. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 1  0 , 1 1 1 1
 f  x 2  dx  7  2  
và x f  x dx   . Tích phân
f  x dx  bằng 3 0 0 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4 Hướng dẫn giải Chọn A
du  f  x dx 1 u   f   x    Cách 1: Tính: 2
x f  x dx  . Đặt 3    . 2 x 0
dv  x dx  v   3 1 1 3 x f x 1 2   1
Ta có: x f  x 3 dx  
x . f   x dx   3 3 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 122
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1. f   1  0. f 0 1 1 1 1 3  
x . f  x 3 dx  
x . f  x dx   . 3 3 3 0 0 1 1 1 1 1 1 Mà 2
x f  x dx   3  
x . f  x 3 dx 
 x . f  x dx  1    . 3 3 3 0 0 0 1 2
Ta có  f  x dx  7    (1). 0 1 1 7 x 1 1 1 6 x dx    6  49x dx  .49  7  (2). 7 7 7 0 0 0 1 1 3
x . f  x 3 dx  1
  14x . f  xdx  1  4   (3). 0 0 1 1 1 2
Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra  f  x 6 3
 dx  49x dx  14x . f  x dx  7  7 14  0      . 0 0 0 1 1 2
  f x 2 3
 14x f  x 6  49x 3  
dx  0   f x7x  dx  0    . 0 0 1 1 2 2 2
Do  f  x 3  7x   0 3      3      
f  x 7x dx  0    . Mà
f  x 7x dx  0   
 f  x 3  7x . 0 0 4 7x 7 7
f  x  
 C . Mà f   1  0  
 C  0  C  . 4 4 4 4 7x 7
Do đó f  x    . 4 4 1 1 1 4 5  7x 7   7x 7  7 Vậy
f  x dx    dx    x       . 4 4 20 4 5 0 0     0 1
Cách 2: Tương tự như trên ta có: 3
x . f  x dx  1   0
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 2 1 1 1 1 1    2    1
7  7  x f  x dx   7 
x  dx  f x 2  dx   
  7    f   x 2
 dx   f  x 2 3 3  dx   7      0   0   0  0 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi    3 f
x  ax , với a   . 1 1 1 7 ax Ta có 3
x . f  x 3 3 dx  1
  x .ax dx  1    1   a  7    . 7 0 0 0 4 7x 7
Suy ra f  x 3
 7x  f  x  
 C , mà f 1  0 nên C  4 4 7
Do đó f  x   4 1 x  x    . 4 1 1 4 5  7x 7   7x 7  1 7 Vậy
f  x dx    dx    x       . 4 4 20 4 0 5 0 0    
Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Cho hàm số f  x và g  x liên tục trên đoạn a;b .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 123
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 b b b      
Khi đó, ta có  f  x g  x 2
x    f  x 2 d
dx   g  x dx     .  a   a   a  Chứng minh:
Trước hết ta có tính chất: b
Nếu hàm số h  x liên tục và không âm trên đoạn a;b thì h x dx  0  a 2
Xét tam thức bậc hai  f  x  g  x 2 2
   f  x    f  x g  x 2 2
 g  x  0  
, với mọi   
Lấy tích phân hai vế trên đoạn a;b ta được b b b 2 2 
f  x x   f  x  x 2 d 2 g
dx  g  x dx  0   
, với mọi    * a a a
Coi * là tam thức bậc hai theo biến  nên ta có   0 2 b b b       2
  f  x 2
x    f  x 2 d
dx  g  x dx   0     a   a   a  2 b b b       2
  f  x 2
x    f  x 2 d
dx  g  x dx     (đpcm)  a   a   a 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 124
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN BÀI TẬP 2
Câu 188. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x liên tục trên 0;2 và f 2  3 , f  x dx  3  . 0 2 Tính .
x f   x dx  . 0 A. 3  . B. 3. C. 0. D. 6.
Câu 189. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm là f ' x liên tục trên đoạn [0; 1] và f   1  2 . Biết 1 1
f  x dx  1 
, tính tích phân I  .
x f ' x dx  . 0 0
A. I  1. B. I  1  .
C. I  3 . D. I  3  . 1
Câu 190. Cho hàm số f  x thỏa mãn  x  
1 f ' x dx  10  và 2 f  
1  f 0  2 . Tính 0 1 I 
f  x dx  . 0
A. I  8 . B. I  8  .
C. I  4 . D. I  4  .
Câu 191. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 và thỏa mãn f 2  16 , 2 1
f  x dx  4 
. Tính tích phân I  .
x f 2x dx  . 0 0
A. I  12 .
B. I  7 .
C. I  13 . D. I  20 .
Câu 192. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  2    1, 2 0
f 2x  4 dx  1. Tính xf  x dx .     1 2
A. I  1 .
B. I  0 .
C. I  4 . D. I  4 . 5
Câu 193. Cho hàm số y  f x thỏa mãn f  3 x  3x  
1  3x  2, x  . Tính I  .
x f xdx  . 1 5 17 33 A. . B. . C. . D. 1761. 4 4 4 e f  x
Câu 194. Cho hàm số f  x liên tục trong đoạn 1;  e , biết dx  1 
, f e  1. Khi đó x 1 e I 
f  x.ln d x x  bằng 1
A. I  4 .
B. I  3 .
C. I  1. D. I  0 .
Câu 195. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn π  π  2
f  x  f  x  sin . x cos x  
, với mọi x   và f 0  0 . Giá trị của tích phân .
x f   x dx  bằng  2  0 π 1 π 1 A.  . B. . C. . D.  . 4 4 4 4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 102
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1
Câu 196. Cho hàm số f  x thỏa f 0  f   1  1. Biết x
e  f  x  f ' x dx  ae  b    . Tính biểu 0 thức 2018 2018 Q  a  b .
A. Q  8 .
B. Q  6 .
C. Q  4 . D. Q  2 .
Câu 197. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên  thỏa mãn      2017 2018 2018  2018. .e x f x f x x với
mọi x   và f 0  2018. Tính giá trị f   1 . A. f   2018 1  2019e . B. f   2018 1  2018.e . C. f   2018 1  2018.e . D. f   2018 1  2017.e . 1
Câu 198. Cho hàm số y  f  x với f 0  f  
1  1. Biết rằng: ex  f  x  f  x dx  e a  b    Tính 0 2017 2017 Q  a  b . A. 2017 Q  2 1.
B. Q  2 .
C. Q  0 . D. 2017 Q  2 1. 5
Câu 199. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
5 và f 5  10 , xf  x dx  30  0 5 . Tính
f  x dx  . 0 A. 20 . B. 3  0 . C. 2  0 . D. 70 .
Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;  2 . Biết 2 2 3 67 rằng F  
1  1, F 2  4 , G 1 
, G 2  2 và f  xG  x dx  
. Tính F  x g  x dx  2 12 1 1 11 145 11 145 A. . B.  . C.  . D. . 12 12 12 12 1
Câu 201. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 thỏa mãn x  f  x  2 dx  f   1    . Giá 0 1 trị của I 
f  x dx  bằng 0 A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 1. 2 2
Câu 202. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 1;  2 và  x  
1 f  x dx  a  . Tính
f  x dx  1 1
theo a và b  f 2 .
A. b  a .
B. a  b .
C. a  b .
D. a  b . 2
Câu 203. Cho hàm số f  x liên tục trên  và f 2  16 , f  x dx  4  . Tính tích phân 0 1 I  .
x f  2x dx  . 0
A. I  13 .
B. I  12 .
C. I  20 . D. I  7 .
Câu 204. Cho y  f  x là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số y  f  x đi qua điểm 1 0  1  2 M  ; 4   và
f t dt  3  , tính I  sin 2 .
x f  sin x dx  .  2  0   6
A. I  10 .
B. I  2 .
C. I  1. D. I  1 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 103
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng   2 2
Câu 205. Cho hàm số y  f  x thỏa mãn sin .
x f  x dx  f 0 
 1. Tính I  cos .
x f   x dx  . 0 0
A. I  1.
B. I  0 .
C. I  2 . D. I  1 .
Câu 206. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và thỏa mãn f x  2018 f  x  2x sin x . Tính  2 I 
f  x dx  ?   2 2 2 2 4 A. . B. . C. . D. . 2019 2018 1009 2019
Câu 207. Cho hàm số f  x và g  x liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f 0. f 2  0 và 2
       2ex g x f x x x
. Tính giá trị của tích phân I 
f  x.g xdx  ? 0 A. 4 . B. e  2. C. 4 . D. 2  e .      
Câu 208. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm và liên tục trên 0;  thỏa mãn f  3   , 4     4     4 f  x 4 4 dx  1  và sin . x tan .
x f  x dx  2  . Tích phân sin .
x f  x dx  bằng: cos x   0 0 0 2  3 2 1 3 2 A. 4 . B. . C. . D. 6. 2 2 2 4  x 
Câu 209. Cho hàm số f  x liên tục trên  và f 2  16 , f  x dx  4 
. Tính I  xf  dx     2  0 0
A. I  12 .
B. I  112 .
C. I  28 . D. I  144 .
Câu 210. Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai f   x liên tục trên đoạn 0;  1 thoả mãn f  
1  f 0  1, f 0  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1
A. f   x1 x x  2018  d .
B. f   x1 x x  1   d . 0 0 1 1
C. f   x1 x x  2018  d .
D. f   x1 x x  1  d . 0 0     
Câu 211. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f  0  
,  f   x 2  dx     và  2  4  2  
cos x f  xdx  
. Tính f 2018  . 4  2 1 A. 1. B. 0 . C. . D. 1. 2
Câu 212. Cho hàm số f  x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2
 . Biết f 0  1  3 2 2
x  3x  f  x và     2 2 4 . 2 e x x f x f x   
, với mọi x  0; 2
  . Tính tích phân I  dx  . f x 0   16 16 14 32 A. I   . B. I   . C. I   . D. I   . 3 5 3 5
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 104
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
Câu 213. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 1  0 và 1 1 2  1 x e 1
 f  x 2
 dx   x  
1 e f  x dx     
. Tính tích phân I 
f  x dx  . 4 0 0 0 e e 1
A. I  2  e .
B. I  e  2 . C. I  . D. I  . 2 2 2 2 1
Câu 214. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn  x   1
f  x dx    , 3 1 2 2 2
f 2  0 và  f  x dx  7   
. Tính tích phân I 
f  x dx  . 1 1 7 7 7 7 A. I  . B. I   . C. I   . D. I  . 5 5 20 20
Câu 215. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  1, 1 1 1 1
 f  x 2  dx  9  3  
và x f  x dx   . Tích phân
f  x dx  bằng 2 0 0 0 2 5 7 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 5      
Câu 216. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f  0   . Biết 4     4     4  4  8 2
f  x dx   ,
f  xsin 2 d x x   
. Tính tích phân I 
f 2x dx  8 4 0 0 0 1 1
A. I  1. B. I  .
C. I  2 . D. I  . 2 4
Câu 217. . Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 và f 0  f 1  0 . Biết 1 1 1  1 2
f  x dx   ,
f  x cos x dx   . Tính
f  x dx  . 2 2 0 0 0 1 2 3 A.  . B. . C. . D. .   2
Câu 218. Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa f 1  0 , 1 2 1 1      1
f  x2 dx   và cos
x f  x dx     . Tính
f  x dx  . 8  2  2 0 0 0  1 2 A. . B.  . C. . D. . 2  
Câu 219. Xét hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f 2  4
2  f  x  2
f  x 1 . Tính J   dx  . 2  x x 1   1 1
A. J  1  ln 4 .
B. J  4  ln 2 .
C. J  ln 2  . D. J   ln 4 . 2 2
Câu 220. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn 1 1 2  1 x e 1
 f  x 2
 dx   x  
1 e f  x dx     
và f 1  0 . Tính f  x dx  4 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 105
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng e 1 2 e e A. . B. . C. e  2 . D. . 2 4 2
Câu 221. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 1  0 , 1 1 1 1
 f  x 2  dx  7  2  
và x f  x dx   . Tích phân
f  x dx  bằng 3 0 0 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 106
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI 2
Câu 188. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x liên tục trên 0;2 và f 2  3 , f  x dx  3  . 0 2 Tính .
x f   x dx  . 0 A. 3  . B. 3. C. 0. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 2 2 Ta có .
x f   x dx   d x
  f x  .
x f  x  f  x dx 
 2 f 2  3  3. 0 0 0 0
Câu 189. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm là f ' x liên tục trên đoạn [0; 1] và f   1  2 . Biết 1 1
f  x dx  1 
, tính tích phân I  .
x f ' x dx  . 0 0
A. I  1. B. I  1  .
C. I  3 . D. I  3  . Hướng dẫn giải 1 Ta có: I  .
x f ' x dx  0
Đặt u  x  du  dx , dv  f ' x dx chọn v  f ' x dx  f  x  1 1  I  .
x f  x 1  f  x dx  1. f  
1  0. f 0  f  x dx  2 1  1   0 0 0 Chọn A 1
Câu 190. Cho hàm số f  x thỏa mãn  x  
1 f ' x dx  10  và 2 f  
1  f 0  2 . Tính 0 1 I 
f  x dx  . 0
A. I  8 . B. I  8  .
C. I  4 . D. I  4  . Hướng dẫn giải 1
A   x  
1 f ' x dx 
Đặt u  x 1  du  dx , dv  f ' x dx chọn v  f  x 0 1 1 1 1
 A   x  
1 . f  x 1  f  x dx  2 f (1)  f (0)  f  x dx  2  f  x dx  10  f  x dx  8     0 0 0 0 0 Chọn B
Câu 191. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 và thỏa mãn f 2  16 , 2 1
f  x dx  4 
. Tính tích phân I  .
x f 2x dx  . 0 0
A. I  12 .
B. I  7 .
C. I  13 . D. I  20 . Hướng dẫn giải Chọn B du  dx u   x   Đặt    f x . dv  f   2x 2  dx v     2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 107
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng . x f 2x 1 1 f 2 2 1 1 16 1 Khi đó: I  
f 2x dx  
f t dt   .4  7   . 2 0 2 2 4 2 4 0 0
Câu 192. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  2    1, 2 0
f 2x  4 dx  1. Tính xf  x dx .     1 2
A. I  1 .
B. I  0 .
C. I  4 . D. I  4 . Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt t  2x  4  dt  2dx , đổi cận x  1  t  2
 , x  2  t  0 . 2 0 1 0 0 1 
f 2x  4 dx 
f t  dt  f t dt  2  f x dx  2 .         2 1 2 2 2 
Đặt u  x  du  dx , dv  f   x dx  v  f  x . 0 0 0 Vậy
xf  x dx  xf x 
f x dx  2 f 2  2  2.1 2  0 .         2 2 2 5
Câu 193. Cho hàm số y  f x thỏa mãn f  3 x  3x  
1  3x  2, x  . Tính I  .
x f xdx  . 1 5 17 33 A. . B. . C. . D. 1761. 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C 5 u   x du  dx 5 Đặt     
 I  xf x  f x   .
dv  f xdx
v  f x dx 1   1
 f 5  5 x 1 5  Từ f  3 x  3x       1  3x  2      , suy ra I 23
f xd . x  f    1  2 x  0  1 dt  2 3x    3 dx  Đặt 3
t  x  3x 1  
 f t 3x  2  Đổi cận: Với 3
t  1  1  x  3x 1  x  0 và 3
t  5  x  3x 1  5  x  1 . 5 1 Casio 33 Khi đó I  23
f xdx  23 3x   2  2 3x   3 dx    4 1 0 Chọn C e f  x
Câu 194. Cho hàm số f  x liên tục trong đoạn 1;  e , biết dx  1 
, f e  1. Khi đó x 1 e I 
f  x.ln d x x  bằng 1
A. I  4 .
B. I  3 .
C. I  1. D. I  0 . Hướng dẫn giải Chọn D e e e 1 Cách 1: Ta có I 
f  x.ln d
x x  f  x.ln x  f  x. dx  f e 1  11  0   . 1 x 1 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 108
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  dx u   ln x du    Cách 2: Đặt    x . dv  f    xdx 
v  f  x  e e e f  x Suy ra I 
f  x.ln d
x x  f  x ln x 
dx  f e 1 11  0   . 1 x 1 1
Câu 195. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn π  π  2
f  x  f  x  sin . x cos x  
, với mọi x   và f 0  0 . Giá trị của tích phân .
x f   x dx  bằng  2  0 π 1 π 1 A.  . B. . C. . D.  . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D  π 
Theo giả thiết, f 0  0 và f  x  f  x  sin . x cos x   nên  2   π   π  f 0  f  0    f  0   .  2   2  Ta có: π π π 2 2 π 2 I  .
x f  x dx 
 xd  f  x  2 
   xf  x 
f  x dx    0 0 0 0 π 2
Suy ra: I   f  x dx  . 0 Mặt khác, ta có:  π        1
f  x  f  x  sin . x cos x  2 2 2  
f  xdx  f  x dx  sin .
x cos x dx        2  0 0 0  2  2   0    1 1
Suy ra: 2 f  x  2 dx       f x dx f      x dx  0 0  2  2 4 2 π 2 1
Vậy I   f  x dx    . 4 0 1
Câu 196. Cho hàm số f  x thỏa f 0  f   1  1. Biết x
e  f  x  f ' x dx  ae  b    . Tính biểu 0 thức 2018 2018 Q  a  b .
A. Q  8 .
B. Q  6 .
C. Q  4 . D. Q  2 . Hướng dẫn giải 1 1 1 x
A  e  f  x  f ' x x
 dx  e f  x x
dx  e f ' x dx      0 0 0
  A A 1 2 1 x A  e f x dx 1    0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 109
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1
Đặt u  f  x  du  f ' x dx , x
dv  e dx chọn x v  e x  A  e . x f x  e f ' x dx 1      0 0  A2 1 1 Vậy x    x A e f x
 A  A  e f x  .
e f 1  f 0  e 1 2 2       0 0 a  1 2018 2018    a  b  11  2 b  1   Chọn D
Câu 197. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên  thỏa mãn      2017 2018 2018  2018. .e x f x f x x với
mọi x   và f 0  2018. Tính giá trị f   1 . A. f   2018 1  2019e . B. f   2018 1  2018.e . C. f   2018 1  2018.e . D. f   2018 1  2017.e . Hướng dẫn giải Chọn A
f  x  2018. f  x Ta có:      2017 2018 2018  2018. .e x f x f x x 2017   2018.x 2018 e x
1 f  x  2018. f  x 1 2017  dx  2018.x dx  2018    1 e x 0 0
1 f  x  2018. f  x 1 1 Xets I  dx     2018 .e
xd  2018.   2018 .e x f x x f x dx 2018   e x 0 0 0 1 u   f   x d  u  f    xdx Xét  2018.   2  018 .e x I f x dx   . 1  . Đặt  2  018x 2  018 d  v  2018.e dx v    e x  0  1 Do đó   . 2018 e x  1    2018 .e
xd     2018 1 .e x I f x f x x I f  2018 1 0  0 Khi đó  
1  f   2018x 2018 1 1 .e  2018  x  f   2018 1  2019.e . 0 1
Câu 198. Cho hàm số y  f  x với f 0  f  
1  1. Biết rằng: ex  f  x  f  x dx  e a  b    Tính 0 2017 2017 Q  a  b . A. 2017 Q  2 1.
B. Q  2 .
C. Q  0 . D. 2017 Q  2 1. Hướng dẫn giải Chọn C u   f   x d  u  f    xdx Đặt    . d
 v  exdx v    ex  1 1 1 2
ex       d  ex    ex   d  ex f x f x x f x f x x
f  x dx       ef  
1  f 0  e 1 . 1 0 0 0
Do đó a  1 , b  1. Suy ra 2017 2017 Q  a  b    2017 2017 1 1  0 . Vậy Q  0 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 110
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 5
Câu 199. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
5 và f 5  10 , xf  x dx  30  0 5 . Tính
f  x dx  . 0 A. 20 . B. 3  0 . C. 2  0 . D. 70 . Hướng dẫn giải Chọn A u
  x  du  dx  Đặt  dv  f  
 xdx  v  f  x  5 5 5 5 .
x f   x dx    .
x f  x  f  xdx 
 30  5 f 5  f  x dx  0 0 0 0 5 
f  x dx  5 f 5  30  20  . 0
Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;  2 . Biết 2 2 3 67 rằng F  
1  1, F 2  4 , G 1 
, G 2  2 và f  xG  x dx  
. Tính F  x g  x dx  2 12 1 1 11 145 11 145 A. . B.  . C.  . D. . 12 12 12 12 Hướng dẫn giải Chọn A u   F   x du  f   x dx Đặt    dv  g   x dx  v  G   x  2 2 2 2
F  x g  x dx 
 F  xG  x  f  xG  x dx 
 F 2G 2  F   1 G   1 
f  xG  x dx  1 1 1 1 3 67 11  4.2 1.   . 2 12 12 1
Câu 201. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 thỏa mãn x  f  x  2 dx  f   1    . Giá 0 1 trị của I 
f  x dx  bằng 0 A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1
Ta có x  f  x  2 dx     .
x f  x dx  2 d x x   0 0 0 1 1 1 1  d
x  f  x 2   x     .
x f  x  f  x dx 1   f   1  I 1. 0 0 0 0 1
Theo đề bài x  f  x  2 dx  f   1     I  1. 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 111
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 2
Câu 202. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 1;  2 và  x  
1 f  x dx  a  . Tính
f  x dx  1 1
theo a và b  f 2 .
A. b  a .
B. a  b .
C. a  b .
D. a  b . Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt u  x 1  du  dx ; dv  f  x dx chọn v  f  x . 2 2 b 2  2 x  
1 f  x dx    x  
1 f  x  f  x dx 
 f 2  f  xdx 
 b  f  x  . 1 1 1 a 1 2 2 2 Ta có  x  
1 f  x dx  a   b 
f  x dx  a  
f  x dx  b  a  . 1 1 1 2
Câu 203. Cho hàm số f  x liên tục trên  và f 2  16 , f  x dx  4  . Tính tích phân 0 1 I  .
x f  2x dx  . 0
A. I  13 .
B. I  12 .
C. I  20 . D. I  7 . Hướng dẫn giải Chọn D du  dx u   x   Đặt    .
 v  f  x 1 d 2 dx v  f  2x   2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó, I  . x f 2x 
f 2x dx  f 2 
f 2x dx  8 
f 2x dx    . 2 2 2 2 2 0 0 0 0
Đặt t  2x  dt  2dx .
Với x  0  t  0 ; x  1  t  2 . 2 1 Suy ra I  8 
f t  dt  8 1  7  . 4 0
Câu 204. Cho y  f  x là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số y  f  x đi qua điểm 1 0  1  2 M  ; 4   và
f t dt  3  , tính I  sin 2 .
x f  sin x dx  .  2  0   6
A. I  10 .
B. I  2 .
C. I  1. D. I  1 . Hướng dẫn giải Chọn B 0 0 Xét tích phân I  sin 2 .
x f  sin x dx  2 sin .
x f sin x.cos d x x   .     6 6   1 x    t  
Đặt: t  sin x  dt  cos d x x . Đổi cận:  6 2 .
x  0  t  0  0
 I  2 t. f  t  dt  . 1  2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 112
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u   2t d  u  2dt   Đăt:    . dv  f   tdt v  f   t  0 0 0  1 
 I  2t. f t  1  2 f t dt  f   2 f    t dt  .   2 1  1 2   2 2  1   1 
Đồ thị hàm số y  f  x đi qua điểm M  ; 4    f   4   .  2   2  1 1 0 2 2
Hàm số y  f  x là hàm số chẵn, liên tục trên  
f t  dt  f t  dt  f  x dx  3    . 1 0 0  2
Vậy I  4  2.3  2  .   2 2
Câu 205. Cho hàm số y  f  x thỏa mãn sin .
x f  x dx  f 0 
 1. Tính I  cos .
x f   x dx  . 0 0
A. I  1.
B. I  0 .
C. I  2 . D. I  1 . Hướng dẫn giải Chọn C 
u  f  x  du  f (  x)dx Đặt  d  v  sin d
x x  v   cos  x   2  2  sin .
x f  x dx  
cos .x f x 2  cos .
x f  x dx  . 0 0 0   2 2   I  cos .
x f   x dx   sin .
x f  x dx  cos . x f  x 2   1 1  0 . 0 0 0
Câu 206. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và thỏa mãn f x  2018 f  x  2x sin x . Tính  2 I 
f  x dx  ?   2 2 2 2 4 A. . B. . C. . D. . 2019 2018 1009 2019 Hướng dẫn giải Chọn D   2 2
Ta có   f x  2018 f xdx  2xsin d x x      2 2      2 2 2 2 2 
f x dx  2018
f  x dx  2x sin d x x     2019
f  x dx  2x sin d x x     1           2 2 2 2 2  2 + Xét P  2x sin d x x    2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 113
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u   2x du  2dx Đặt    dv  sin d x x  v   cos x    P  2 .
x  cos x 2 2  sin x  4     2 2  2 4 Từ   1 suy ra I 
f  x dx   . 2019   2
Câu 207. Cho hàm số f  x và g  x liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f 0. f 2  0 và 2
       2ex g x f x x x
. Tính giá trị của tích phân I 
f  x.g xdx  ? 0 A. 4 . B. e  2. C. 4 . D. 2  e . Hướng dẫn giải Chọn C
Ta có        2 ex g x f x x x
 g 0  g 2  0 (vì f 0. f 2  0 ) 2 2 2 2 I 
f  x.g xdx  
f  x dg  x 
  f  x.g  x 2  g  x. f  x dx 
  2  2 ex x x dx  4 . 0 0 0 0 0      
Câu 208. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm và liên tục trên 0;  thỏa mãn f  3   , 4     4     4 f  x 4 4 dx  1  và sin . x tan .
x f  x dx  2  . Tích phân sin .
x f  x dx  bằng: cos x   0 0 0 2  3 2 1 3 2 A. 4 . B. . C. . D. 6. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B  4 u   sin x d  u  cos d x x   Ta có: I  sin .
x f  x dx  . Đặt    . dv  f    xdx v  f    x 0    4 3 2 I  sin .
x f  x 4  cos .
x f  xdx    I . 0 1 2 0    4 4  f x  4  f x  2   2   2  sin . x tan .
x f  x dx     sin . x dx      1 cos x  . dx  . cos x cos x 0 0   0     4  f  x 4   dx  cos . x f     xdx   1 I . cos x 1 0   0 3 2 3 2  2  I  1   I  1  . 1 2 2 2 4  x 
Câu 209. Cho hàm số f  x liên tục trên  và f 2  16 , f  x dx  4 
. Tính I  xf  dx     2  0 0
A. I  12 .
B. I  112 .
C. I  28 . D. I  144 . Hướng dẫn giải Chọn B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 114
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u   x du  dx   Đặt   x     x  . dv  f  dx    v  2 f      2    2  Khi đó 4 4 4  x   x  4  x   x  I  xf  dx     2xf  2 f dx  
   128 2I với I  f dx . 1 1     2  0  2   2   2  0 0 0 x 4 2 2  x  Đặt u 
 dx  2du , khi đó I  f dx   
 2 f u du 
 2 f  xdx  8  . 2 1  2  0 0 0
Vậy I  128  2I  128 16  112 . 1
Câu 210. Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai f   x liên tục trên đoạn 0;  1 thoả mãn f  
1  f 0  1, f 0  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1
A. f   x1 x x  2018  d .
B. f   x1 x x  1   d . 0 0 1 1
C. f   x1 x x  2018  d .
D. f   x1 x x  1  d . 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1
Xét I  f   x1 x x  d  1 xd 
 f x 0 0 u   1 x  du  d  x  Đặt    dv  d 
 f x    v f   x  1
 I  1 x f  x 1  f  x dx   1  1 f   
1  f  0  f  x 1   f  0   f 1  f 0  0         0   0  2  018  1  1  2  018 .     
Câu 211. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f  0  
,  f   x 2  dx     và  2  4  2  
cos x f  xdx  
. Tính f 2018  . 4  2 1 A. 1. B. 0 . C. . D. 1. 2 Hướng dẫn giải Chọn D
Bằng công thức tích phân từng phần ta có     
cos xf  x dx  sin xf  x    
sin xf  x dx    
. Suy ra sin xf  x dx    . 4  2   2 2 2    1 cos 2x
 2x  sin 2x   Hơn nữa ta tính được 2 sin d x x  dx     . 2   4    4   2 2 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 115
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng     2 2 2 2 2 2
Do đó:  f  x dx  2 sin xf  x 2 dx  sin d
x x  0   f  x  sin x dx  0         . 0 0 0 0   
Suy ra f  x   sin x . Do đó f  x  cos x  C . Vì f  0   nên C  0 .  2 
Ta được f  x  cos x  f 2018   cos 2018   1 .
Câu 212. Cho hàm số f  x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2
 . Biết f 0  1  3 2 2
x  3x  f  x và     2 2 4 . 2 e x x f x f x   
, với mọi x  0; 2
  . Tính tích phân I  dx  . f x 0   16 16 14 32 A. I   . B. I   . C. I   . D. I   . 3 5 3 5 Hướng dẫn giải Chọn B
Cách 1: Theo giả thiết, ta có     2 2 4 . 2 e x x f x f x   
và f  x nhận giá trị dương nên      2 2 4 ln . 2  ln e x x f x f x       f  x  f   x 2 ln ln 2  2x  4x .
Mặt khác, với x  0 , ta có f 0. f 2  1 và f 0  1 nên f 2  1 .  3 2 2
x  3x  f  x 2 f  x 3 2   Xét I  dx 
, ta có I  x  3x . dx f x f x 0   0   3 2 u   x  3x 2  du  
3x  6xdx Đặt  f   x   dv  dx 
v  ln f  x f  x   2 2 2 Suy ra I   3 2
 x  3x ln f x   2
3x  6x.ln f  xdx 2  
3x  6x .ln f x dx          1 . 0 0 0
Đến đây, đổi biến x  2  t  dx  dt . Khi x  0  t  2 và x  2  t  0 . 0 2
Ta có I   2
3t  6t .ln f 2 t  d
 t    2
3t  6t .ln f 2  tdt 2 0 2
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I   2
3x  6x.ln f 2  xdx 2 . 0 2 Từ  
1 và 2 ta cộng vế theo vế, ta được 2I   2
3x  6x.ln f  x  ln f 2  x dx   0 2 1 16 Hay I    2
3x  6x. 2
2x  4xdx   . 2 5 0
Cách 2 (Trắc nghiệm) Chọn hàm số   2 2 ex x f x   , khi đó:  3 2
x  3x  2x2 2 .e
x .2x  2 2 16  3 2 I  dx 
x  3x . 2x  2 dx  2   .      x 2 e x 5 0 0
Câu 213. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 1  0 và 1 1 2  1 x e 1
 f  x 2
 dx   x  
1 e f  x dx     
. Tính tích phân I 
f  x dx  . 4 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 116
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng e e 1
A. I  2  e .
B. I  e  2 . C. I  . D. I  . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 u   f   x d  u  f    xdx Xét     1 ex A x
f  x dx  . Đặt    dv   x    1 exdx   0  v ex x  1 1 1 2 1  x 1 e Suy ra  ex    ex A x f x x
f  x dx    ex x
f  x dx   e x
f  x dx   0 4 0 0 0 1 1 2    x x 1 1 1 e 1 Xét 2 2 2 2 x e dx  e x  x      .  2 2 4  4 0 0 1 1 1 1 2 2
Ta có    d  2 ex   2 2 d  e x f x x x f x x x dx  0  x    
   f x  e x  dx  0 0 0 0 0
Suy ra    ex f x x
 0 x  0;  1 (do    x f x  x 2 e
 0 x  0;  1 )      ex f x x 
   1  ex f x x  C
Do f 1  0 nên    1  ex f x x 1 1 1 Vậy 
 d  1 exd  2  ex I f x x x x x  e  2   . 0 0 0 2 2 1
Câu 214. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn  x   1
f  x dx    , 3 1 2 2 2
f 2  0 và  f  x dx  7   
. Tính tích phân I 
f  x dx  . 1 1 7 7 7 7 A. I  . B. I   . C. I   . D. I  . 5 5 20 20 Hướng dẫn giải Chọn B  x  3 2 1
Đặt u  f  x  du  f  x dx , dv   x   1 dx  v  3 2 2 3 3 1 2 2  x   1  x   1 Ta có    x   1
f  x dx   . f  x 
f  x dx  3 3 3 1 1 1 2 1 1 2 2 3 3      x  3 1
f  x dx    x   1
f  x dx  1 
  2.7  x   1
f  x dx  1  4  3 3 1 1 1 2 2 2 2 6 2 3 6
Tính được 49 x   1 dx  7 
  f  x dx     2.7 x   1
f  x dx   49 x   1 dx  0  1 1 1 1 2 2  x  4 7 1   7 x  3
1  f  x dx  0 
 f  x   x  3 7
1  f  x   C .   4 1  x  4 7 1 7
Do f 2  0  f  x   . 4 4 2  7 x 4 2 1 7   7 Vậy I 
f  x dx      dx    . 4 4 5 1 1    
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 117
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng
Câu 215. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  1, 1 1 1 1
 f  x 2  dx  9  3  
và x f  x dx   . Tích phân
f  x dx  bằng 2 0 0 0 2 5 7 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 5 Hướng dẫn giải Chọn B 1 2
Ta có:  f  x dx  9      1 0 1 1 - Tính 3
x f  xdx  .  2 0
du  f  x dx u   f   x  Đặt  4   3 x d
 v  x .dx  v   4 1 1 1 4  x  1 1 1 1 1 3 
 x f  x dx   . f 4 4   x 
x . f  x dx   
x . f  x dx  2 4 4 4 4 0   0 0 0 1 1 4
 x . f   x dx  1   4
 18 x . f   x dx  18  2 0 0 1 1 9 x 1 1 - Lại có: 8 x dx    8
 81 x dx  9  3 9 9 0 0 0
- Cộng vế với vế các đẳng thức  
1 , 2 và 3 ta được: 1 1 1
 f x 2 4
  18x . f  x 8  81x    dx  0  4 4  
  f  x  9x  dx  0   .  f  x  9x  dx  0         0 0 0
Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x 4  9x , trục
hoành Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh Ox bằng 0 9
 f  x 4
 9x  0  f  x 4  9
 x  f  x  f  x.dx  4   x  C . 5 14 9 14 Lại do f   1  1  C   f  x 5   x  5 5 5 1 1 1  9 14   3 14  5 
f  x dx   5  x  dx  6     x  x    .  5 5   10 5  2 0 0 0      
Câu 216. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f  0   . Biết 4     4     4  4  8 2
f  x dx   ,
f  xsin 2 d x x   
. Tính tích phân I 
f 2x dx  8 4 0 0 0 1 1
A. I  1. B. I  .
C. I  2 . D. I  . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 118
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  4  si  n 2x  u  2cos 2 d x x  du  Tính
f  xsin 2 d x x    . Đặt    , khi đó 4 f  
 xdx  dv f 
  x  v 0     4  4 4    
f   xsin 2 d x x  sin 2 .
x f  x 4  2 f  x cos2 d x x    sin . f  sin 0. f  
0  2 f  xcos2 d x x  0 2  4  0 0 0  4  2 
f  x cos2 d x x  . 0   4  4  Theo đề bài ta có
f  xsin 2 d x x    
f  x cos2 d x x   . 4 8 0 0  4  Mặt khác ta lại có 2 cos 2 d x x   . 8 0   4 4 2      Do  f  x 2
 cos2x dx   f  x  2f  x 2
.cos2x  cos 2x dx         2   0   nên  8 8 8  0 0
f  x  cos 2x .   8 8 1 1 Ta có I  cos 4 d x x  sin 4x   . 4 4 0 0
Câu 217. . Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 và f 0  f 1  0 . Biết 1 1 1  1 2
f  x dx   ,
f  x cos x dx   . Tính
f  x dx  . 2 2 0 0 0 1 2 3 A.  . B. . C. . D. .   2 Hướng dẫn giải Chọn C u   cos   x du    sin   xdx Đặt    . dv  f    xdx  v  f   x  1 1 1 Khi đó:
f  x cos x dx  cos x f  x   f  xsin  x dx   0 0 0 1 1    f  
1  f 0  f  xsin  x dx   f  xsin  xdx   0 0 1 1 
f  x sin  x dx   . 2 0 Cách 1: Ta có 1 2
Tìm k sao cho  f  x  k sin  x dx  0    0 1 1 1 1 2
Ta có:  f  x  k sin  x 2  dx 
f  x dx  2k f  xsin  x 2 2 dx  k
sin  x dx       0 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 119
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 1 k   k   0  k  1. 2 2 1 2
Do đó  f  x  sin  x dx  0   
 f  x  sin  x (do  f  x    x 2 sin   0   x    ). 0 1 1 2 Vậy
f  x dx  sin  x dx    .  0 0
Cách 2: Sử dụng BĐT Holder. 2 b b b   f 
 x g  x 2 x  f    x 2 d d .
x g  x dx   .  a  a a
Dấu “  ” xảy ra  f  x  k.g  x , x a;b . 2 1 1 1 1   1 Áp dụng vào bài ta có 
f  xsin  x 2 dx  f  x 2 d .
x sin  x dx      , 4 4  0  0 0
suy ra f  x  k.sin  x , k   . 1 1 1 1 Mà
f  xsin  x 2 dx 
 k sin  x dx   k  1  
 f  x  sin  x 2 2 0 0 1 1 2 Vậy
f  x dx  sin  x dx    .  0 0
Câu 218. Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa f 1  0 , 1 2 1 1      1
f  x2 dx   và cos
x f  x dx     . Tính
f  x dx  . 8  2  2 0 0 0  1 2 A. . B.  . C. . D. . 2   Hướng dẫn giải Chọn D u
  f  x
du  f  x dx   Đặt   x   2  x dv  cos dx v  sin  2     2 1    1 Do đó cos
x f  x dx      2  2 0 1 1 1 2  x 2    1      sin f  x  sin
x f   x dx      sin
x f  x dx      .  2   2  2  2  4 0 0 0 1    1 Lại có: 2 sin x dx      2  2 0 1 2 1 1  2   2         I   . f   
 x dx  2  sin x f         x 2 dx  sin x dx           2   2  0 0 0 2 1 2  2     4  2  1   f     x  sin x dx   .   0    2    2    8  2 2 0 2  2     Vì  f    x  sin x  0    trên đoạn 0;  1 nên    2  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 120
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 1  2     2         f     x  sin x dx  0     
f   x =sin x 
  f   x =  sin x   .    2    2  2  2  0       
Suy ra f  x =cos x  C  
mà f 1  0 do đó f  x =cos x   .  2   2  1 1    2 Vậy
f  x dx  cos x dx      .  2   0 0
Câu 219. Xét hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f 2  4
2  f  x  2
f  x 1 . Tính J   dx  . 2  x x 1   1 1
A. J  1  ln 4 .
B. J  4  ln 2 .
C. J  ln 2  . D. J   ln 4 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D
2  f  x  2
f  x 1 2 f  x 2 f  x 2  2 1 
Cách 1: Ta có J   dx   dx  dx   dx . 2      x x 2 2 x x  x x  1   1 1 1  1  1 u  du   dx   Đặt 2  x   x
dv  f  xdx
v  f x  
2  f  x  2
f  x 1 2 2 1 f  x 2 f  x 2  2 1  J   dx   . f  x  dx  dx   dx 2      x x 2 2 2 x x x  x x  1   1 1 1 1 2 1  1  1 
f 2  f   1  2 ln x    ln 4   . 2  x  2 1
2  f  x  2
f  x 1
2  xf  x  f  x 2 1 
Cách 2: J   dx     dx 2    x x 2 2 x x x 1   1   2
2  f  x  2   2 1   f  x 1  1  dx   dx      2 ln x    ln 4 . 2    x    x x  x x 2 1 1   1
Cách 3: ( Trắc nghiệm)  f    1  1 a  3
Chọn hàm số f  x  ax  b . Vì   
, suy ra f  x  3x  2 . f   2  4 b  2   2 2  5 3x 1  1  1 Vậy J  
dx  2 ln x   ln 4    . 2     x x   x  2 1 1
Câu 220. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn 1 1 2  1 x e 1
 f  x 2
 dx   x  
1 e f  x dx     
và f 1  0 . Tính f  x dx  4 0 0 0 e 1 2 e e A. . B. . C. e  2 . D. . 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 - Tính:     1 ex I x
f  x dx  
ex   d  ex x f x x
f  x dx  J  K   . 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 121
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 Tính  ex K
f  x dx  0 u 
  ex f  x 
du  ex f  x  ex f  x dx Đặt      dv  dx  v  x  1 1 1    1
ex     ex    ex K x f x x f x x
f  x dx  x x     e x
f  x dx  e x
f  x dx  
do f 1  0 0 0 0 0 1 1     ex K J x
f  x dx       ex I J K x
f  x dx  . 0 0
- Kết hợp giả thiết ta được: 1 2  e 1 1 2  2 e 1  f    x 2  dx      f  
 x dx  (1)  4    4 0  0    1 2 1 2  e 1  e 1 x
 xe f  xdx  2 ex x
f   x dx   (2)    4   2 0  0 1 2  x e 1
- Mặt khác, ta tính được: 2 2 x e dx  (3)  . 4 0
- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 1 1 1 2 2    2   2 ex   2 2  e x f x x f x x x x  
dx  0   f x ex  dx  0  f x ex  dx  0 0 o o
hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số     ex y f x x
, trục Ox , các đường thẳng x  0
, x  1 khi quay quanh trục Ox bằng 0     ex f x x  0      ex f x x 
    exd  1 ex f x x x x  C  . - Lại do
1  0  C  0     1 ex f f x x 1 1 1 1 1 
 d  1 ex f x x x dx  
 1 ex   ex x dx  1 ex     e  2 . 0 0 0 0 0 1 Vậy
f  xdx  e  2  . 0
Câu 221. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 1  0 , 1 1 1 1
 f  x 2  dx  7  2  
và x f  x dx   . Tích phân
f  x dx  bằng 3 0 0 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4 Hướng dẫn giải Chọn A
du  f  x dx 1 u   f   x    Cách 1: Tính: 2
x f  x dx  . Đặt 3    . 2 x 0
dv  x dx  v   3 1 1 3 x f x 1 2   1
Ta có: x f  x 3 dx  
x . f   x dx   3 3 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 122
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1. f   1  0. f 0 1 1 1 1 3  
x . f  x 3 dx  
x . f  x dx   . 3 3 3 0 0 1 1 1 1 1 1 Mà 2
x f  x dx   3  
x . f  x 3 dx 
 x . f  x dx  1    . 3 3 3 0 0 0 1 2
Ta có  f  x dx  7    (1). 0 1 1 7 x 1 1 1 6 x dx    6  49x dx  .49  7  (2). 7 7 7 0 0 0 1 1 3
x . f  x 3 dx  1
  14x . f  xdx  1  4   (3). 0 0 1 1 1 2
Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra  f  x 6 3
 dx  49x dx  14x . f  x dx  7  7 14  0      . 0 0 0 1 1 2
  f x 2 3
 14x f  x 6  49x 3  
dx  0   f x7x  dx  0    . 0 0 1 1 2 2 2
Do  f  x 3  7x   0 3      3      
f  x 7x dx  0    . Mà
f  x 7x dx  0   
 f  x 3  7x . 0 0 4 7x 7 7
f  x  
 C . Mà f   1  0  
 C  0  C  . 4 4 4 4 7x 7
Do đó f  x    . 4 4 1 1 1 4 5  7x 7   7x 7  7 Vậy
f  x dx    dx    x       . 4 4 20 4 5 0 0     0 1
Cách 2: Tương tự như trên ta có: 3
x . f  x dx  1   0
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 2 1 1 1 1 1    2    1
7  7  x f  x dx   7 
x  dx  f x 2  dx   
  7    f   x 2
 dx   f  x 2 3 3  dx   7      0   0   0  0 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi    3 f
x  ax , với a   . 1 1 1 7 ax Ta có 3
x . f  x 3 3 dx  1
  x .ax dx  1    1   a  7    . 7 0 0 0 4 7x 7
Suy ra f  x 3
 7x  f  x  
 C , mà f 1  0 nên C  4 4 7
Do đó f  x   4 1 x  x    . 4 1 1 4 5  7x 7   7x 7  1 7 Vậy
f  x dx    dx    x       . 4 4 20 4 0 5 0 0    
Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Cho hàm số f  x và g  x liên tục trên đoạn a;b .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 123
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 b b b      
Khi đó, ta có  f  x g  x 2
x    f  x 2 d
dx   g  x dx     .  a   a   a  Chứng minh:
Trước hết ta có tính chất: b
Nếu hàm số h  x liên tục và không âm trên đoạn a;b thì h x dx  0  a 2
Xét tam thức bậc hai  f  x  g  x 2 2
   f  x    f  x g  x 2 2
 g  x  0  
, với mọi   
Lấy tích phân hai vế trên đoạn a;b ta được b b b 2 2 
f  x x   f  x  x 2 d 2 g
dx  g  x dx  0   
, với mọi    * a a a
Coi * là tam thức bậc hai theo biến  nên ta có   0 2 b b b       2
  f  x 2
x    f  x 2 d
dx  g  x dx   0     a   a   a  2 b b b       2
  f  x 2
x    f  x 2 d
dx  g  x dx     (đpcm)  a   a   a 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 124
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay