Bài Tập Vật Lý Thống Kê: Phân Tích và Tính Toán | Vật lý thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

BTVN 04 - Vật Lý Thống Kê Phan Thị Kim Huệ 22260013 Ngày 25 tháng 12 năm 2024
1 a) Hệ nhiều hạt đồng nhất của từng loại hạt sau tuân theo phân
bố thống kê Fermi-Dirac hay Bose-Einstein, giải thích lý do tại
sao? Những hệ nào có thể xảy ra ngưng tụ Bose-Einstein?
Higgs, positron, neutron, photon, electron, gluon, pion, quark, deutron, 13C, 6Li.
* Higgs, pion: hạt Boson (spin=0)
* Photon, gluon, deuteron: hạt Boson (spin=1)
⇒ Tuân theo phân bố Bose-Einstein
* Positron, neutron, electron, quark, 13C, 6Li: hạt Fermion (spin=1/2)
⇒ Tuân theo phân bố Fermi-Dirac
Các hệ chứa Boson: Higgs, photon, gluon, pion, deuteron có thể xảy ra ngưng tụ Bose-Einstein.
b) Dẫn ra biểu thức tính tổng thống kê, số hạt trung bình, và xác suất
của hệ P = ({nk}) có trạng thái tập hợp số chiếm đóng {nk} trong một
trạng thái năng lượng εk cho phân bố Fermi-Dirac của khí lý tưởng.
Tổng thống kê của hệ chính tắc lớn: ∞ X Z(T, V, µ) = T r(e−β ˆ H+βµN ) = eβµN ZN (β) N =0 ∞ ∞ ∞ X X X X X = exp[−β nk(ϵk − µ)] sử dụng X = N =0 {n n=0 k }′ k=1 {nk} {nk}′ ∞ X X = g{nk}exp[ − β nk(ϵk − µ)] (∗) {nk} k=1
Trọng số thống kê của tập hợp chiếm đóng: (1 n gF D{n k = 0, 1 k } = 0 nk = 0, 1 (0, 1 F ermion nk = ⇒ gF D{nk} = 1 0, 1, 2, 3... Boson 1 X (∗) ⇒ ZF D(T, V, µ) =
(exp{−β(ϵ1 − µ)})n1(exp{−β(ϵ2 − µ)})n2 n1,n2...=0 1
Vì các trạng thái k độc lập, ta có thể viết tổng trên tất cả các trạng thía nk thành tích của các tổng riêng lẻ ∞ 1 Y X ⇒ ZF D(T, V, µ) = (exp{−β(ϵ nk k − µ)}) k=1 nk=0
Tính tổng cho mỗi trạng thái k: * Khi n 0
k = 0 ⇒ (exp{−β(ϵk − µ)}) = 1 * Khi n 1
k = 1 ⇒ (exp{−β(ϵk − µ)}) = exp{−β(ϵk − µ)} Do đó 1 X (exp{−β(ϵ nk k − µ)}) = 1 + exp{−β(ϵk − µ)} nk=0 ∞
⇒ ZF D(T, V, µ) = Y(1 + exp{−β(ϵk − µ)}) mà hệ số z = eβµ k=1 ∞ = Y (1 + ze−βϵk ) k=1 Ta có: ∞ ∞ ln Y X fk = ln fk k=1 k=1 ∞ ∞ ⇒ ln ZF D = X ln[1 + X z.exp(−βϵk)] = ln[1 + exp{−β(ϵk − µ)}] k=1 k=1 ∂
Ta có số hạt trung bình: N (T, V, µ) = ⟨N ⟩ = kT ln Z ∂µ (1) T ,V u′
Sử dụng các phép tính đạo hàm: (ln u)′ = (eu) = u′.eu u ∞ ∂(ln Z) [1 + exp{−β(ϵ X k − µ)}]′ = µ ∂µ 1 + exp[−β(ϵk − µ] k=1 ∞ β.exp[−β(ϵ = X k − µ)] 1 + exp[−β(ϵk − µ)] k=1 ∞ β.z.exp(−βϵ = X k ) 1 + z.exp(−βϵk) k=1 ∂
(1) ⇒ N (T, V, µ) = ⟨N ⟩ = kT ln Z ∂µ T ,V ∞ z.exp(−βϵ 1 = X k ) kT β mà β = 1 + z.exp(−βϵk) kT k=1 ∞ ∞ X 1 X 1 = = (2) 1 z−1 exp(βϵk) + 1 k=1 + 1 k=1 z.exp(−βϵk) 2
Xác suất để hệ ở trong một trạng thái {n1, n2, ...} P {nk} =S,A ⟨n1, n2, ... ˆ ρn1, n2, ...⟩S,A 1 ∞ = X g{nk}exp[−β nk(ϵk − µ)] Z k=1 exp[−β P∞ n = k=1 k (ϵk − µ)] Q [1 + exp{−β(ϵ k k − µ)}] ∞ ! ∞ mà exp X Y fk = exp(fk) k=1 k=1 ∞ Y exp[−βnk(ϵk − µ)] ⇒ P {nk} = (3) 1 + exp[−β(ϵk − µ)] k=1
Điều kiện của các số chiếm đóng: * ∞ + ∞ D ˆE X X N = ˆ nk = ⟨ ˆ nk⟩ k=1 k=1 1 1 (2) ⇒nk = ⟨nk⟩ = = z−1 exp(βϵk) + 1 exp[β(ϵk − µ)] + 1 ⇒eβ(ϵk−µ).nk + nk = 1 1 − n ⇒eβ(ϵ k k −µ) = nk n ⇒e−β(ϵ k k −µ) = 1 − nk 1
1 + e−β(ϵk−µ) = 1 − nk Xác suất của hệ:  n nk k ∞ ∞ 1 − n  n nk (3) ⇒ Y Y P ({n k k k }) = = (1 − n 1 k ) 1 − nk k=1 k=1 1 − nk ∞ Y = n nk k (1 − nk)1−nk  k=1 3