Bài tập VD – VDC tiếp tuyến của đồ thị hàm số có đáp án và lời giải Toán 12
Bài tập VD – VDC tiếp tuyến của đồ thị hàm số có đáp án và lời giải được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com BÀI TẬP VD - VDC
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
- Strong Team Toán VD – VDC - I. ĐỀ BÀI 2
(3m 1)x m m
Câu 1. Cho hàm số y
trong đó m là tham số khác 0 . Gọi S là tập hợp các giá trị thực x m
của m để tại giao điểm của đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến sẽ vuông góc với đường thẳng
x y 2020 0 . Khi đó tổng giá trị các phần tử thuộc S bằng: 6 1 6 A. . B. . C. 1 . D. . 5 5 5 Câu 2. Cho hàm số 3 2
y 2x 3ax b có đồ thị C . Gọi ,
A B lần lượt là hai điểm phân biệt thuộc C sao
cho tiếp tuyến của C tại ,
A B có cùng hệ số góc bằng 6 . Biết khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
đường thẳng AB bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2a a b bằng: A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 . x 2 Câu 3. Cho hàm số y
có đồ thị là C và I(1;1) . Tiếp tuyến của C cắt hai đường tiệm cận của x 1
đồ thị hàm số C lần lượt tại A; B sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó chu vi
nhỏ nhất của tam giác IAB là: A. 2 3 4 6 . B. 4 3 2 6 . C. 2 3 2 6 . D. 6 3 . x 2
Câu 4. Cho hàm số y
có đồ thị là C . Có bao nhiêu điểm thuộc C sao cho tiếp tuyến tại đó tạo x 1
với hai đường tiệm cận của C một tam giác nhận gốc toạ độ làm tâm đường tròn nội tiếp? A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . f x
Câu 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0; thỏa mãn f x 1 1 3x 2 và x f
1 6 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 3 là: A. y 9 x 7 .
B. y 9x 7 .
C. y 9x 7 .
D. y 9x 7 .
Câu 6. Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; , đồng thời thỏa mãn f x 2 3 f
x x 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x 1 là: 1 4 1 6
A. y 5x 4.
B. y x . C. y 5 x 9.
D. y x . 5 5 5 5 TOANMATH.com Trang 1/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Câu 7. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho parabol 2 ( )
P : y 4x m 2 x 3m cắt đồ thị C 3 2
: y 2x 3x 3 tại ba điểm phân biệt A, B, C3;30 mà tiếp tuyến với C tại A và tại B vuông
góc với nhau. Tính tổng các phần tử của S. A. 1 . B. 1. C. 2. D. 5. 2x 1
Câu 8. Cho hàm số y
có đồ thị C . Điểm M a;b với a 0 sao cho khoảng cách từ điểm I 1 ;2 x 1
tới tiếp tuyến của C tại M là lớn nhất. Khi đó a b bằng: A. 1 . B. 1. C. 3 . D. 2 3 . x 2
Câu 9. Cho hàm số y
có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm M thuộc trục Oy, có tung độ là số nguyên âm x 1
và thỏa mãn từ điểm M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị C sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm cùng
một phía của trục Ox ? A. 1.
B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 10. Cho hàm số y f x 3 2
x 3mx 2mx 16m 7 có đồ thị là C . Gọi M là điểm cố định có tung m
độ nguyên của C và là tiếp tuyến của C tại điểm M . Gọi S là tập các giá trị của tham số m m
m để tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Tính tổng các phần tử của S . 12 11 A. 1. B. 0 . C. . D. . 7 7 x 1
Câu 11. Cho hàm số y
có đồ thị (C) . Gọi M là điểm nằm trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) x 2
tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường thẳng
:3x y 0. Tính độ dài đoạn thẳng OM , biết điểm M có tung độ dương. A. OM 34 . B. OM 5 . C. OM 7 . D. OM 5. 5x 1
Câu 12. Tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số y
cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện x 3 tích bằng: A. 35. B. 39. C. 32. D. 33.
Câu 13. Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên thỏa mãn f x 2 f x 5 8 1 1 x . Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1. 1 20 1 20 1 15 1 20 A. y x . B. y x . C. y x . D. y x . 21 21 21 21 21 21 21 21
Câu 14. Cho các hàm số f x , g x có đạo hàm trên f x
g x x x với mọi và thỏa mãn 2 3 10 5
x . Biết f (4) f 4 5 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y g(x) tại điểm có hoành
độ x 1 là: TOANMATH.com Trang 2/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
A. y 13x 4.
B. y 13x 4. C. y 13 x 4.
D. y 13x 4.
Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và thỏa mãn phương trình 2 f x 3 2
x 1 f x, x
. Gọi d :y a x b là tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số y f x tại x 1. Khi đó a b bằng: A. 5 . B. 5 . C. 1 . D. 1 . 1 1
Câu 16. Cho đường cong C 4 3
: y x x . Có bao nhiêu đường thẳng d tiếp xúc (C) tại ít nhất hai điểm? 4 3 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 1 Câu 17. Cho hàm số 3 2 2
y x (2m 1)x (m 3)x 1 có đồ thị là (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m 3
sao cho tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C) song song với đường thẳng y 5x 3. Tổng các
phần tử của S là: 7 4 A. 1. B. 2 . C. . D. . 3 3 3x 2
Câu 18. Cho hàm số y
có đồ thị C . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để x 1
đường thẳng d : y x m cắt C tại hai điểm phân biệt A , B sao cho tiếp tuyến với C tại A và 1 1
B lần lượt có hệ số góc là k , k thỏa mãn 201k k 2020k .k . Tổng giá trị của 1 2 2020 2020 1 2 1 2 k k 1 2
tất cả các phần tử của S thuộc khoảng nào dưới đây? A. 10;0 . B. 1;10 . C. 11; 20 . D. 21;30 . Câu 19. Cho hàm số
f x liên tục trên và có đồ thị C. Biết x 1 1 2 3 f 2 f 1 , x \{0;1}
. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại 2 x x x x x 2 là:
A. y x 1.
B. y 2x 2 . C. y 2 x 2.
D. y 4x 4 .
Câu 20. Gọi C là đồ thị hàm số 3 2
y x m x 5. Gọi M là điểm thuộc C có hoành độ bằng 1. Tìm tổng m m
các giá trị của m để tiếp tuyến của C tại M vuông góc với đường thẳng x 7y 0 . m A 2 . B. 0 . C. 2 . D. 4. x 1
Câu 21. Cho hàm số y
. Giả sử M có hoành độ m, m 0 thuộc đồ thị C sao cho tiếp tuyến của C x
tại M cắt trục tung và hoành lần lượt tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho S
12 trong đó I là giao IAB
điểm của 2 đường tiệm cận. Khi đó giá trị m thuộc khoảng nào sau đây? A. 8;25 . B. 23 ;2. C. 6; 9. D. 15;27 . TOANMATH.com Trang 3/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Câu 22. Cho hàm số đa thức f x là hàm số chẵn. Gọi Δ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x có hệ số
góc nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Δ vuông góc với trục tung. B. Δ qua . O
C. Δ song song với đường thẳng y . x
D. Δ song song với đường thẳng y . x x + m
Câu 23. Cho đồ thị (C ) hàm số y = . Gọi A , B
C với trục Ox m x + 2
lần lượt là giao điểm của đồ thị ( ) m
và Oy . Gọi k , k lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của (C ) tại A và B . Giá trị nhỏ nhất của 1 2 m k + k là: 1 2 1 1 A. . B. 2 . C. . D. 1. 4 2 x 7
Câu 24. Hàm số y
có đồ thị (C), gọi I là tâm đối xứng của (C). Đường thẳng d : y ax b là tiếp x 2
tuyến của (C), biết d cắt 2 đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của (C) lần lượt tại M và N sao cho
IMN cân tại I. Khi đó b có giá trị bằng: éb = 9 b 13 A. b = 9 . B. b = 13 . C. êê . D. . b = -3 ë b 7
Câu 25. Biết đồ thị hàm số y f x có dạng là một parabol thỏa mãn điều kiện y 2 y và f 1 0.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có tung độ bằng 4 là: A. y 4 x, y 4 x 8.
B. y 4x, y 4x 8. C. y 4
x, y 4x 8.
D. y 4x, y 4x 8.
Câu 26. Cho hàm số y f x liên tục và nhận giá trị dương trên khoảng 0; . Biết f x 1 ; f 1 3 2 và f x 2 1 9x 9 .
x f x . Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 4 của đồ thị C
hàm số: g x f x x là: A. k 9 . B. 81. C. k 54 . D. 27 . Câu 27. Cho hàm số 3 2
y f (x) x 6x 9x m có đồ thị C . Biết đồ thị C cắt trục hoành tại ba điểm m m ,
A B,C có hoành độ lần lượt là x , x , x x x x , đồng thời tiếp tuyến tại A và C song song 1 2 3 1 2 3
với nhau. Viết phương trình tiếp tuyến tại B .
A. y 3x 6 .
B. y 3x 30. C. y 3 x 6 . D. y 3 x 30 . TOANMATH.com Trang 4/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 2x 1
Câu 28. Cho hàm số y
C , gọi I là tâm đối xứng của đồ thị C và M ;
a b là một điểm thuộc đồ x 1
thị C . Tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm M cắt hai đường tiệm cận của đồ thị C lần lượt tại hai
điểm A và B . Để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất thì tổng 2a b gần nhất với số nào sau đây? A. 0. B. 3. C. 5. D. 3. x 1
Câu 29. Cho hàm số y
có đồ thị (H ) . Gọi M , N là 2 điểm thuộc (H ) sao cho khoảng cách từ x 1 I ( 1
;1) đến tiếp tuyến tại M , N bằng 2. Khi đó x x bằng: M N A. 2. B. 2 . C. 0. D. 1. x
Câu 30. Cho hàm số f x 2
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số g x f f x tại điểm x 1 x 3. 1 9 1 12 1 21 1 27
A. y x .
B. y x . C. y x . D. y x . 8 8 5 5 16 16 25 25
Câu 31. Cho hàm số y f x có đồ thị là (C). Giả sử tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 0 là đường 2x
thẳng y x 1 . Khi đó A lim bằng:
x0 f x 3 f 3x 2 f 2x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3
Câu 32. Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x 2 . Gọi d ,d lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 2
y f x và y g x xf 4x 6 tại x 2 . Mệnh đề nào sau đây là điều kiện cần và đủ để hai
đường thẳng d , d ? 1
2 có tích hệ số góc bằng 2
A. f 2 4 2 .
B. 8 f 2 8 .
C. f 2 8 .
D. f 2 8.
Câu 33. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn f x f x 2 3 3 1 3 9x 3 . x Gọi
d : y ax b (với ,ab là phân số tối giản) là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại
điểm có hoành độ bằng 0. Khi đó a 3b bằng: 1 1 A. 1 . B. 1 . C. . D. . 2 2 Câu 34. Cho hàm số 3 2
y x 6x 28 có đồ thị C . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
m sao cho từ M m; 4 kẻ được đúng một tiếp tuyến tới C. Số các phần tử của tập S là: A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 2 . TOANMATH.com Trang 5/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Câu 35. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Gọi d , d lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 2 2
y x f 2x
1 và y xf 2x
1 tại điểm có hoành độ bằng 1. Biết hai đường thẳng d , d có hệ 1 2
số góc lần lượt là 2020 và 2021. Giá trị của f 1 bằng: A. 2020 . B. 2021. C.1. D. 1 . 1 Câu 36. Cho hàm số 3
y x 3x có đồ thị C . Tiếp tuyến của C tại điểm x và hai tiếp tuyến 4 3
khác tại điểm A và B tạo thành tam giác đều. Biết tung độ tại 3 tiếp điểm đó đều không âm, khi đó
tổng hoành độ của A và B thuộc khoảng nào sau đây? A. 1; 2 . B. 0;1 . C. 1;0 . D. 2;1 . x 1
Câu 37. Cho hàm số y
có đồ thị C. Trên đồ thị C có bao nhiêu cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai x 3
điểm đó song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa cặp điểm đó bằng 4 2 ? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . 2x 3
Câu 38. Cho hàm số y
có đồ thị C . Trên đồ thị (C) có bao nhiêu điểm M mà khoảng cách từ x 2 A6; 4
đến tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm M gấp hai lần khoảng cách từ điểm B5; 1 đến tiếp
tuyến của đồ thị C tại điểm M ? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 39. Cho hàm số 3 2
y f (x) ax bx cx d có bảng biến thiên như hình vẽ:
Gọi (C) là đồ thị của hàm số y f (x) . Hỏi có bao nhiêu điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại điểm M cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B thỏa mãn tam giác OAB vuông cân? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 40. Cho hàm số 4 2
y x 2x 5
có đồ thị S . Gọi ,
A B,C là các điểm phân biệt trên S có tiếp tuyến
với S tại các điểm đó song song với nhau. Biết ,
A B,C cùng nằm trên một parabol P có đỉnh I 1
; y . Tìm y . 0 0 TOANMATH.com Trang 6/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 1 1 A. 4. B. 4 . C. . D. . 4 4 II. BẢNG ĐÁP ÁN
1.A 2.A 3.B 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B 9.A 10.C
11.D 12.C 13.B 14.A 15.D 16.A 17.D 18.B 19.D 20.B
21.A 22.B 23.D 24.C 25.C 26.C 27.C 28.A 29.B 30.D
31.B 32.D 33.A 34.B 35.D 36.D 37.B 38.C 39.D 40.A
III. LỜI GIẢI CHI TIẾT 2
(3m 1)x m m
Câu 1. Cho hàm số y
trong đó m là tham số khác 0 . Gọi S là tập hợp các giá trị thực x m
của m để tại giao điểm của đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến sẽ vuông góc với đường thẳng
x y 2020 0 . Khi đó tổng giá trị các phần tử thuộc S bằng: 6 1 6 A. . B. . C. 1 . D. . 5 5 5 Lời giải
Điều kiện xác định: x m .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là: 2 m m 2 2
(3m 1)x m m
(3m 1)x m m 0 x (3m 1 0) 0 3m 1 x m x m 0 x m 2 m m Ta có: x
m m 0 . Nên điều kiện x m luôn thỏa mãn. 3m 1 2 m m
Vậy hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là x (3m 1 0) . 3m 1 2 2
(3m 1)m (m m) 4m Ta có y ' . 2 2 (x m) (x m)
Vì tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với trục hoành vuông góc với đường thẳng
x y 2020 0 nên ta có 2 2 2 2 m m y 4m 4m (3m 1) ' . 1 1 1 1 2 4 2 3m 1 16m m m m 3m 1 m 1 2 (3m 1)
3m 1 2m 2 2 1 (3m 1) 4m 2 1 4m 3m 1 2 m m 5 TOANMATH.com Trang 7/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 6
Vậy tổng giá trị các phần tử thuộc S bằng . 5 Câu 2. Cho hàm số 3 2
y 2x 3ax b có đồ thị C. Gọi ,
A B lần lượt là hai điểm phân biệt thuộc C sao
cho tiếp tuyến của C tại ,
A B có cùng hệ số góc bằng 6 . Biết khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
đường thẳng AB bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2a a b bằng: A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 . Lời giải Ta có 2
y ' 6x 6a . x
Do tiếp tuyến của C tại ,
A B có cùng hệ số góc là 6 nên x , x là nghiệm phương trình A B 2 2
y 6 6x 6ax 6 x ax 1 0 .
Ta lại có y 2
x ax x a 2 1 2
2 a x a b . Khi đó, phương trình đường thẳng AB là 2
2 a x y a b 0 . a b
Theo giả thiết d ; O AB 1
1 a b2 2 2 a 2 1 2a 2 2 1 2 4 2
2ab b a 5a 5. (*)
Từ (*) ta có P a a b a ab b a a a 2 2 2 2 2 4 2 2 2 3 2 2 5 1 4 4.
Dấu “=” xảy ra khi a 1
. Vậy GTNN cần tìm là 4. x 2 Câu 3. Cho hàm số y
có đồ thị là C và I( 1
;1) . Tiếp tuyến của C cắt hai đường tiệm cận của x 1
đồ thị hàm số C lần lượt tại A; B sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó chu vi
nhỏ nhất của tam giác IAB là: A. 2 3 4 6 . B. 4 3 2 6 . C. 2 3 2 6 . D. 6 3 . Lời giải
TXĐ: D \ 1 TCĐ: x 1 ; TCN: y 1. x 2 Suy ra I( 1
;1) là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số y . x 1 a M C 2 M ( ; a ) . a 1 3 a 2
PTTT của C tại M là: y x a . 2 a 1 a 1 a 5
giao với TCĐ tại điểm A 1;
, giao với TCN tại điểm B2a 1; 1 . a 1 TOANMATH.com Trang 8/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 2 a a
Ta có: IA 2 5 5 6 1 1 1 1 . a 1 a 1 a 1
IB a 2 2 2 1 1 1 1 2 a 1 .
Do tam giác IAB vuông tại I nên 2 2
AB IA IB
Ta có chu vi tam giác IAB là 2 2
IA IB AB IA IB IA IB 2 . IA IB 2 .
IA IB 2 12 24 4 3 2 6 . x 2
Câu 4. Cho hàm số y
có đồ thị là C . Có bao nhiêu điểm thuộc C sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với x 1
hai đường tiệm cận của C một tam giác nhận gốc toạ độ làm tâm đường tròn nội tiếp? A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Lời giải 3 Ta có: y . x 12
Đồ thị hàm số C có đường tiệm cận đứng là x 1 và đường tiệm cận ngang là y 1. a 2 Gọi M a;
C ,a 1 a 1
Phương trình tiếp tuyến của C tại M là:
y ya x a a 2 a 1 2 3x a 4a 2 2 2 a 1 a 1
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của với đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của C , I là
giao điểm của hai đường tiệm cận. a 5 Khi đó A 1; , B 2a 1; 1 , I 1; 1 . a 1
Phương trình đường thẳng IA : x 1 x 1 0 d O, IA 1 .
Phương trình đường thẳng IB : y 1 y 1 0 d O, IB 1.
Vì d O; IA d O; IB 1 nên O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IAB khi O nằm trong tam
giác IAB và d O; AB 1. Ta có: 2 a 4a 2
d O; AB 1 d O, 1
1 a 4a 2 9 a 14 2 9 a 14 TOANMATH.com Trang 9/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
a 4a 22 9 a 14 2 3 2
12a 6a 12a 6 0 a 1 6 2 a 1 2a
1 0 a 1l . 1 a 2 1
Với a 1 M 1; , A
1;2, B3;
1 O nằm trong tam giác IAB O là tâm đường 2
tròn nội tiếp IAB . 1 1 Với a M ; 1 , A
1;3, B2;
1 O nằm trong tam giác IAB O là tâm 2 2
đường tròn nội tiếp IAB .
Vậy có hai điểm thoả mãn yêu cầu bài toán. f x
Câu 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0; thỏa mãn f x 1 1 3x 2 và x f
1 6 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 3 là: A. y 9 x 7 .
B. y 9x 7 .
C. y 9x 7 . D. y 9 x 7 . Lời giải f x
Ta có f x 1 1
3x 2 f x xf x 2 1
1 3x 2x . x
xf x 2 1
3x 2x xf x 2 1
3x 2xdx xf x 3 2
1 x x C * .
Thay x 2 vào * ta được: 2 f
1 12 C 2.6 12 C C 0 .
Suy ra xf x 3 2
1 x x f x x x x 2 2 1 1 3x 1 2 . f x 2
x 3x 2 f x 2x 3 f 3 9 và f 3 20 .
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x 3 là
y 9 x 3 20 y 9x 7 .
Câu 6. Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; , đồng thời thỏa mãn f x 2 3 f
x x 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x 1 là: 1 4 1 6
A. y 5x 4.
B. y x . C. y 5 x 9 .
D. y x . 5 5 5 5 Lời giải
Thay x 1 vào đẳng thức f x 2 3 f
x x 3 1 ta được: TOANMATH.com Trang 10/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com f 2 1 3 f 1 4 f 1 1; f 1 4 (loại).
Đạo hàm hai vế của
1 ta được: 2 f x. f x 3 f x 1 2 .
Thay x 1 vào 2 : 2 f 1 f 1 3 f 1 1. Với f
1 1 ta có: f f f 1 2 1 3 1 1 1 . 5
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm 1;
1 có hệ số góc k f 1 1 là 5 1 4 y x . 5 5
Câu 7. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho parabol 2
(P) : y 4x m 2 x 3m cắt đồ thị C 3 2
: y 2x 3x 3 tại ba điểm phân biệt A, B, C 3;30 mà tiếp tuyến với C tại A và tại B vuông
góc với nhau. Tính tổng các phần tử của S. A. 1 . B. 1. C. 2. D. 5. Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là: 3 2 2
2x 3x 3 4x m 2 x 3m 3 2
x x x mx m x 2 2 7 2 3 3 0
3 2x x
1 m x 3 0
x y x 3 3 30 2
2x x 1 m 0 g x 2
2x x 1 m 0
Để d cắt C tại 3 điểm phân biệt thì phương trình g x 0 có 2 nghiệm khác 3 1 8 1 m 0 (*) g
3 14 m 0 1 x x 1 2 Gọi A 3 2
x ;2x 3x 3 và B 3 2
x ;2x 3x 3 theo Vi-ét ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 m x x 1 2 2
Để tiếp tuyến tại A và B của C vuông góc với nhau thì y x .y x 1 1 2 1 2
6x 6x 2 6x 6x 1
x x x 1 x 1 1 1 2 2 1 2 1 2 36 1 1 m 1 m 1 1
x x x x x x 1 1 1 2 1 2 1 2 36 2 2 2 36 2
m 2m 1 1 m 1 1 3 5 2
m m 0 m
t / m * 4 4 36 9 6
Suy ra tổng các phần tử của S bằng 1 . TOANMATH.com Trang 11/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 2x 1
Câu 8. Cho hàm số y
có đồ thị C . Điểm M a;b với a 0 sao cho khoảng cách từ điểm I 1 ; 2 x 1
tới tiếp tuyến của C tại M là lớn nhất. Khi đó a b bằng: A. 1 . B. 1. C. 3 . D. 2 3 . Lời giải 3
Gọi M x ;2
C . Khi đó tiếp tuyến tại M có phương trình: 0 x 1 0 3 3 : y
x x 2
3 x x x 1
y 2 3 x 1 0 . 2 2 0 0 0 0 x 1 x 1 0 0
Khoảng cách từ I 1 ; 2 đến là: 3 1
x 3 x 1 6 x 1 0 0 0 6 d . x 4 x 4 9 9 1 9 1 x 1 2 0 2 0 0 x 1 0 9 9
Theo bất đẳng thức Cô-si: x 1 2
. x 1 6 . Khi đó d 6 . 2 0 2 2 0 2 x 1 x 1 0 0 9 x 1 3
Khoảng cách đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi
x 1 x 1 3 . 2 0 2 0 2 0 x 1 x 1 3 0 0
Do điểm M có hoành độ dương nên M 1 3;2 3. Khi đó a b 1. x 2
Câu 9. Cho hàm số y
có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm M thuộc trục Oy, có tung độ là số nguyên x 1
âm và thỏa mãn từ điểm M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị C sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm
cùng một phía của trục Ox ? A. 1.
B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải x 2 3 y y 1
. Gọi M 0;mOy, m 0 . x 1 x 1
Gọi tiếp tuyến của C đi qua M là đường thẳng d : y kx m. 3
kx m 1 (1) x 1
Yêu cầu của đề bài, điều kiện là hệ phương trình 3 . k (2) x 2 1 TOANMATH.com Trang 12/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com y x 0 1 có 2 nghiệm x , x 1 và thỏa mãn . 1 2 y x 0 2 3 1 1 1 0 y x 0 1 x 1 x 1 3 Xét điều kiện 1 1 . y x 0 3 1 1 2 1 0 x 1 x 1 3 2 2 3 x 3 3 6 Từ (1) và (2) suy ra m 1 1 m 0 (3). x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 1 Đặt
t t 0 , phương trình (3) trở thành 2
3t 6t 1 m 0 (4) x 1 1
Bài toán trở thành tìm m để phương trình (4) có 2 nghiệm t , t thỏa mãn: t t (Đặt 1 2 1 2 3 f t 2
3t 6t 1 m ). 0 0 9
31 m 0 m 2 2 1 1 . a f 0 3 . f 0 2
2 2 m . 3 3 m m 3 3 3 b 1 1 1 2a 3 3 Do
m nguyên âm nên m 1.
Câu 10. Cho hàm số y f x 3 2
x 3mx 2mx 16m 7 có đồ thị là C . Gọi M là điểm cố định có tung m
độ nguyên của C và là tiếp tuyến của C tại điểm M . Gọi S là tập các giá trị của tham số m m
m để tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Tính tổng các phần tử của S . 12 11 A. 1. B. 0 . C. . D. . 7 7 Lời giải
Ta thấy điểm M x ; y là điểm cố định của C y f x với mọi m 0 0 m 0 0 3 2
y x 3mx 2mx 16m 7 , m 0 0 0 0 m 2 3
x 2x 16 3
x y 7 0 , m 0 0 0 0 x 2 0 2 3
x 2x 16 0 x 2 8 0 0 x 0
(do điểm M có tung độ nguyên). 3
x y 7 0 0 3 y 1 0 0 0 3 y x 7 0 0 TOANMATH.com Trang 13/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Lại có y f x 2
3x 6mx 2m f 2 1214m.
Ta có phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M 2;
1 là y f 2 x 2 1 m
Hay y 12 14m x 28m 23 .
tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân thì sẽ song song với đường thẳng y x hoặc y x 12 14m 1 11 m 14 12
14m 1 . 13 28m 23 0 m 14 11 13 12
Suy ra tập S ; và tổng các phần tử của S là . 14 14 7 x 1
Câu 11. Cho hàm số y
có đồ thị (C) . Gọi M là điểm nằm trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) x 2
tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường thẳng
:3x y 0. Tính độ dài đoạn thẳng OM , biết điểm M có tung độ dương. A. OM 34 . B. OM 5 . C. OM 7 . D. OM 5. Lời giải x 1 x 1 Gọi 0 M x ; (với 0
0 ) là điểm thuộc đồ thị (C) . 0 x 2 x 2 0 0 3 3
Vì f x
nên tiếp tuyến d tại M có hệ số góc là k f x . 0 x 22 x 22 0 3 x 1
Phương trình tiếp tuyến d là y x x 2 0 0 x 2 x 2 0 0 3 x 3x x 2 x 1 2 3 x x 2x 2 0 0 0 y 0 0 y .
x 22 x 22 x 22 x 2 x 2 0 2 0 2 0 0 0 2
x 2x 2 2 x 2x 2 Khi đó 0 0
d Ox A ;0 ; 0 0
d Oy B 0; . 3 x 22 0
I là tâm đường tròn ngoại tiếp OAB khi và chỉ khi I là trung điểm AB hay 2 2 x 2x 2 x 2x 2 0 0 0 0 I ; . 6 2 x 22 0 2 2 x 2x 2 x 2x 2 2 x 2x 2 Vì I nên 0 0 0 0 0
. x 2 1 0 . 2 0 2 0 0 2 2 x 22 2 x 2 0 0 TOANMATH.com Trang 14/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com x 3
Vì các điểm d không đi qua O nên 2
x 2x 2 0 . Suy ra x 2 1 0 0 . 0 2 0 0 x 1 0
Kết hợp M có tung độ dương ta được M 3;4 . Vậy OM 9 16 5. 5x 1
Câu 12. Tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số y
cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện x 3 tích bằng: A. 35. B. 39. C. 32. D. 33. Lời giải 5x 1
Đồ thị hàm số y
C có hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là x 3, y 5, x 3
giao điểm của hai đường tiệp cận là I 3;5 . 5x 1
Lấy M x ; y 0 (C) y x 3 0 0 0 0 x 3 0 16 5x 1
Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M là y x x d 2 0 0 x 3 x 3 0 0 16 5x 1 16 5x 1 5x 17 Cho x 3 y 3 x 2 0 0 0 0 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 0 0 0 0 0 5x 17
Suy ra giao điểm của d và TCĐ của C là 0 A 3; x 3 0 5x 17 32 0 IA 5 x 3 x 3 0 0 16 5x 1 16 16 Cho y 5 5 x x x x 2 0 0 2 0 x 3 x 3 x 3 x 3 0 0 0 0
x x x 3 x 2x 3 0 0 0
Suy ra giao điểm của d và TCN của C là B 2x 3;5 0
IB 2x 3 3 2x 6 0 0 1 1 32
Diện tích tam giác cần tìm là S .I .
A IB . 2x 6 . 32 . 0 2 2 x 3 0
Câu 13. Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên thỏa mãn f x 2 f x 5 8 1 1 x . Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1. 1 20 1 20 1 15 1 20 A. y x . B. y x . C. y x . D. y x . 21 21 21 21 21 21 21 21 Lời giải f 1 0 Từ f 2 5 x 2 f x 5 8 1 1 x
(*), cho x 0 ta có f 1 f 1 0 f 1 1 TOANMATH.com Trang 15/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Đạo hàm hai vế của (*) ta được
f x f x f x 4 2.8. 8 1 . 8 1 5 1 . f 1 x 1.
Cho x 0 ta được
f f f 4 16 1 . 1 5. 1 . f 1 1
f f f 3 1 . 1 . 16 5 1 1 (**). Nếu f
1 0 thì (**) vô lý, do đó f 1 1
, khi đó (**) trở thành f
1 .16 5 1 f 1 1 21 1
Vậy tọa độ tiếp điểm là (1 A ; 1
) và hệ số góc k 21 1 1 20
Phương trình tiếp tuyến y x 1 1 y x . 21 21 21
Câu 14. Cho các hàm số f x , g x có đạo hàm trên f x
g x x x với và thỏa mãn 2 3 10 5
mọi x . Biết f (4) f 4 5 . Tiếp tuyến của hàm số y g(x) tại điểm có hoành độ x 1 là:
A. y 13x 4.
B. y 13x 4. C. y 13 x 4.
D. y 13x 4. Lời giải
Ta có f x g x 2 3
x 10x 5 f x
3 g x 2x 10. ta chọn x 1
f 4 g 1 2.110 g
1 f 4 8 5 8 13 . 2
f (4) g(1) 1 10.15
g(1) f (4) 10 51 9
Từ đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y g(x) tại x 1
là y g '(1).(x 1) g(1) 13(x 1) 9 13x 4
Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và thỏa mãn phương trình 2 f x 3 2
x 1 f x, x
. Gọi d :y a x b là tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số y f x tại x 1. Khi đó a b bằng: A. 5 . B. 5 . C. 1 . D. 1 . Lời giải
Gọi M 1; f
1 C khi đó hoành độ của M thỏa mãn phương trình 2 f x 3 2
x 1 f x, x (*). f 1 0
Thay hoành độ M vào (*) ta được 2 f 3 1 f 1 . f 1 1
Đạo hàm hai vế của (*) ta được f x f x 2 2 2 2
13 f x. f x (1). TOANMATH.com Trang 16/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Thay x 1 ta được f f 2 2 1 1 13 f 1 . f 1 (2). Nhận thấy f
1 0 không thỏa mãn (2) suy ra f 1 1 . Thay f 1 1 vào (2) ta được
f f f f 1 2 1 1 3. 1 5 1 1 1 . 5 1 1 6
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có phương trình là y x
1 1 hay y x . 5 5 5
Suy ra a b 1 . 1 1
Câu 16. Cho đường cong C 4 3
: y x x . Có bao nhiêu đường thẳng d tiếp xúc (C) tại ít nhất hai điểm? 4 3 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải 1 1 Hàm số 4 3
y x x có đạo hàm 3 2
y x x trên . 4 3
Do đường thẳng d tiếp xúc với C tại 2 điểm có hoành độ ,
a b , ở đó a b , nên có hệ số góc là k và thỏa mãn
y a yb
ya 1 a b y
a y b y b 2 a b
Lấy (1)-(2) và rút gọn cả 2 vế cho a b ta được 2 2
a b ab a b 0 hay 2
a b a b ab (3) Lấy (1)+(2) ta được 1 2 3 3 2 2
a b a b ab 2 2
a b ab 3 3 2 2
a b a b 2 3 a b3 1 4 Hay
2aba b a b2 ab 0 (4) 2 3 3 3 4
Thế (3) vào (4) được a b3 a b 0 (5) 2 3 2 4
Từ (5) suy ra a b 0 hoặc a b hoặc a b . 3 3
Với a b 0, kết hợp với (3) suy ra a b 0 (vô lí). 2
Với a b , kết hợp với (3) suy ra mâu thuẫn. 3 TOANMATH.com Trang 17/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 4 2
Với a b , kết hợp với (3) suy ra a b (vô lí). 3 3
Vậy không tồn tại tiếp tuyến d tiếp xúc C tại ít nhất 2 điểm. 1 Câu 17. Cho hàm số 3 2 2
y x (2m 1)x (m 3)x 1có đồ thị là (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị 3
m sao cho tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C) song song với đường thẳng y 5x 3 . Tổng các phần tử của S là: 7 4 A. 1. B. 2 . C. . D. . 3 3 Lời giải Ta có 2 2
y ' x 2(2m 1)x m 3 2 2 2 2
x 2(2m 1)x (2m 1) (2m 1) m 3 2 2 2
(x 2m 1) 3m 4m 2 3
m 4m 2
Vì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C) song song với đường thẳng y 5x 3 m 1 nên ta có 2 3m 4m 2 5 7 m 3 4
Vậy tổng phần tử của S là . 3 3x 2
Câu 18. Cho hàm số y
có đồ thị C . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để x 1
đường thẳng d : y x m cắt C tại hai điểm phân biệt A , B sao cho tiếp tuyến với C . tại A và 1 1
B lần lượt có hệ số góc là k , k thỏa mãn 201k k 2020k .k . Tổng giá trị của 1 2 2020 2020 1 2 1 2 k k 1 2
tất cả các phần tử của S thuộc khoảng nào dưới đây? A. 10;0 . B. 1;10 . C. 11; 20 . D. 21;30 . Lời giải
TXĐ: D \ 1 . 1 Có y ' . x 2 1
Gọi hoành độ của A và B lần lượt là x , x . Khi đó x , x là nghiệm của phương trình: 1 2 1 2 TOANMATH.com Trang 18/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 3x 2 2
x m 2 x m 2 0 *
x m . x 1 x 1
Để đường thẳng d cắt C tại hai điểm phân biệt thì phương trình * phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 0 m 2
2 4m 2 m 2 4 m 6 0 . 2
1 m 2 1 m 2 0 1 0 m 2 0 m 2
x x 2 m Khi đó ta có: 1 2 . x x m 2 1 2 1 1 Có k , k nên: 1 x 2 1 2 x 1 2 2 1 1 1 1 1 k k . 1 1 2 x 2 1 x 2 1
x x x x 2 1
m 2 2m 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1
x x 2 2x x 2 x x 2 1 2 1 2 1 2 và k k 1 2 x 2 1 x 2 1
x x x x 1 1 2 1 2 2 1 2 m2 2
2m 2 22 m 2 2
m 8m 14 . 1 1 k k
Có 201k k 2020 2020 2020k .k
201k k 2020 k k 1 2 1 2 2020 1 2 1 2 1 2 k k k k 1 2 1 2
201k k k k 2020 202k k 2020 k k 10 2
m 8m 14 10 1 2 1 2 1 2 1 2
m 4 2 3 tm 2
m 8m 4 0 . m 4 2 3 tm
Vậy S 4 2 3;4 2 3. Câu 19. Cho hàm số
f x liên tục trên và có đồ thị C. Biết x 1 1 2 3 f 2 f 1 , x \{0;1}
. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại 2 x x x x x 2 là:
A. y x 1.
B. y 2x 2 . C. y 2 x 2.
D. y 4x 4 . Lời giải x 1 1 t Đặt x x t t 1 TOANMATH.com Trang 19/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com x 1 1 2 3 Khi đó: f 2 f 1 trở thành: 2 x x x x 1 t 1 2t 1 3t 2 1 f 2 f 1 2 t t t t 1 t 1 4 3 f 2 f 2 2 t t t t x 1 1 2 3 f 2 f 1 2 x x x x 1 1 Ta có hệ: f f x 2 x 2 1 x 1 4 3 x x f 2 f 2 2 x x x x Thử lại ta thấy 2
f (x) x liên tục trên và thỏa đề.
Vậy f x 2x . Khi đó: f 2 4, f 2 4, nên phương trình tiếp tuyến tại x 2 là y 4x 4
Câu 20. Gọi C là đồ thị hàm số 3 2
y x m x 5. Gọi M là điểm thuộc C có hoành độ bằng 1. Tìm tổng m m
các giá trị của m để tiếp tuyến của C tại M vuông góc với đường thẳng x 7y 0 . m A 2 . B. 0 . C. 2 . D. 4. Lời giải Ta có 2 2
y ' 3x m .
Tiếp tuyến của C tại M có hệ số góc a y m . tt 2 ' 1 3 m 1 1
Đường thẳng x 7 y 0 y
x . Do đó hệ số góc của đường thẳng này là . 7 7
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 7 y 0 khi và chỉ khi 1 2 2
.a 1 a 7 3 m 7 m 4 m 2 . 7 tt tt
Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn ycbt là 2 2 0 . x 1
Câu 21. Cho hàm số y
. Giả sử M có hoành độ m, m 0 thuộc đồ thị C sao cho tiếp tuyến của C x
tại M cắt trục tung và hoành lần lượt tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho S
12 trong đó I là giao IAB
điểm của 2 đường tiệm cận. Khi đó giá trị m thuộc khoảng nào sau đây? A. 8;25 . B. 23 ;2. C. 6; 9. D. 15;27 . Lời giải TOANMATH.com Trang 20/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com m 1
Giả sử điểm M có hoành độ là m 0 , vì M C nên M ; m . m 1
Ta có: f m . 2 m
Từ đó ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm M có dạng:
y f m x m f m 1 1 y x m 1 . 2 m m 2
Phương trình tiếp tuyến tại M cắt trục tung tại điểm B 0;1 . m
Phương trình tiếp tuyến tại M cắt trục hoành tại điểm A 2 m 2 ; m 0.
Mặt khác ta có giao điểm của 2 đường tiệm cận I 0; 1 . 1 1 Theo đề ta có S
12. Suy ra d I, AB.AB 12 d I, AB. AB 12 1 . IAB 2 2 m m 1 1 2 m m 2 m
Trong đó d I, AB . 2 4 2 1 m 1 1 2 m Và AB m 2 2 m 2m; m 2 2 2 m m m m m AB m 2m 4 2 2 2 2 2 2 4 m 1. 2 m m m 1 m 2 2 m m 10 Thay vào 1 ta được 4 . m 1. .
12 m 2 12 . 4 2 m m 1 m 14
Vì m 0 nên m 10 .
Câu 22. Cho hàm số đa thức f x là hàm số chẵn. Gọi Δ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x có hệ số
góc nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Δ vuông góc với trục tung. B. Δ qua . O
C. Δ song song với đường thẳng y . x
D. Δ song song với đường thẳng y . x Lời giải TOANMATH.com Trang 21/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com n
Theo giả thiết ta có f x 2i
a x a, trong đó ,
a a là các hệ số thực. i i i 1 n n
Khi đó f x 2i 1
2ia x , f x i i a x a i 2 2 2i 2 1 2 . i 1 i 1 i2
Xét hàm số g x f x có đồ thị là C .
Gọi M x ; y là tiếp điểm của Δ và C . 0 0 n
Khi đó Δ có hệ số góc là f x 2i2i 2i2 1 a x
2a 2a , x . 0 i 0 1 1 0 i2
Dấu " " xảy ra x 0.
Do đó Δ tiếp xúc với C tại điểm M 0; f (0), với f 0 0. Hay Δ qua . O x + m
Câu 23. Cho đồ thị (C ) hàm số y = . Gọi A , B
C với trục Ox m x + 2
lần lượt là giao điểm của đồ thị ( ) m và
Oy . Gọi k , k lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của (C ) tại A và B . Giá trị nhỏ nhất của k + k 1 2 m 1 2 là: 1 1 A. . B. 2 . C. . D. 1. 4 2 Lời giải 2-m Ta có y¢ = , "x ¹ 2 - . (x + )2 2
Do A là giao điểm của (C ) và trục Ox nên tọa độ điểm A( m - ;0). m 2-m 1
Hệ số góc tiếp tuyến của (C ) tại A là k = y¢ m - = = , m ¹ 2 . 1 ( ) ( ) m ( m - + )2 2 2-m 2-m 2-m
Hệ số góc tiếp tuyến của (C ) tại B là k = y¢ 0 = = . 2 ( ) m (0+ )2 2 4 1 2- m 1 2- m
Khi đó, k + k = + = + ³1. 1 2 2- m 4 2- m 4 1 2- m ém =
Dấu đẳng thức xảy ra khi = (2-m)2 0 = 4 ê . 2- m 4 êm = 4 ë Vậy k + k =1. 1 2 min TOANMATH.com Trang 22/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com x 7
Câu 24. Hàm số y
có đồ thị (C), gọi I là tâm đối xứng của (C). Đường thẳng d : y ax b là tiếp x 2
tuyến của (C), biết d cắt 2 đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của (C) lần lượt tại M và N sao cho
IMN cân tại I. Khi đó b có giá trị bằng: b 9 b 13 A. b 9 . B. b 13 . C. . D. . b 3 b 7 Lời giải
TXĐ: D \ 2 9 9 Ta có: y
0; D . Gọi M x ; y là tiếp điểm, suy ra a 0 . o o o x 22 x 2 o 2 a 0
Từ giả thiết suy ra 2ab 1
TCĐ của (C): x 2 M 2;2a b 1 b TCN
của (C): y 1 N ;1 a Tâm
đối xứng của (C): I 2; 1 1 b b 1 b 1 Vì
IMN cân tại I nên ta có: IM IN 2a b 1 2 a 2 2 a a a b 1 b 1 a 2 2 a a a 1 a 1 b 1 b 1 a 1 a 2 2 a a 9 x 5 Với a 1 1 o x 22 x 1 o o
Với x 5 y 4 d : y x 9 b 9 o o Với x 1 y 2
d : y x 3 b 3 o o b 9 Vậy . b 3
Câu 25. Biết đồ thị hàm số y f x có dạng là một parabol thỏa mãn điều kiện y 2 y và f 1 0.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có tung độ bằng 4 là: A. y 4 x, y 4 x 8.
B. y 4x, y 4x 8. TOANMATH.com Trang 23/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com C. y 4
x, y 4x 8.
D. y 4x, y 4x 8. Lời giải
Nhận thấy y 0 là một nghiệm của phương trình y 2 y loại vì đồ thị có dạng là một parabol. dy dy y 2 y 2 y
dx y x C y x C 2 dx 2 y
Thử lại ta được nghiệm y x C2 . Mà f
1 0 nên C 1. Ta có
y f x x 2
1 , y 2 x 1
Gọi M x ; y là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. 0 0 x 1 2 x 3 Theo
đề bài, ta có x 2 0 0 1 4 0 x 1 2 x 1 0 0
Khi x 3 phương trình tiếp tuyến là y 4 x 3 4 4x 8. 0 Khi x 1
phương trình tiếp tuyến là y 4x 1 4 4x. 0
Câu 26. Cho hàm số y f x liên tục và nhận giá trị dương trên khoảng 0; . Biết f x 1 ; f 1 3 và f x 2 2 1 9x 9 .
x f x . Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 4 của đồ thị C
hàm số: g x f x x là: A. k 9 . B. 81. C. k 54 . D. 27 . Lời giải
Ta có: g x f x x g x f x 1 và g 1 f 1 1 4 . Khi đó: f x 2 x
x f x g x 2 2 1 9 9 . 9 .
x g x 1
Do f x 1
nên gx f x 1 0 . Khi đó: 3 g x g x
gx x g x x x x x g x 2 1 3 . 3 d 3 d 2 2x C 2 g x g x TOANMATH.com Trang 24/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Với x 1: 2 2 g
1 2 C 4 2 C C 2 . 2 3 3 3 Khi đó: g x 2
x g x 2
x g x 2 2 2 2 1 x 1 .
Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng 4 : k g4 54 . Câu 27. Cho hàm số 3 2
y f (x) x 6x 9x m có đồ thị C . Biết đồ thị C cắt trục hoành tại ba điểm m m ,
A B,C có hoành độ lần lượt là x , x , x x x x , đồng thời tiếp tuyến tại A và C song song 1 2 3 1 2 3
với nhau. Viết phương trình tiếp tuyến tại B .
A. y 3x 6 .
B. y 3x 30. C. y 3 x 6 . D. y 3 x 30 . Lời giải
* Tập xác định: D . x 1 * 2
y 3x 12x 9; y 0 x 3.
Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi
y .y 0 f (1). f (3) 0 (m 4).m 0 4 m 0 (*) C§ CT
* Vì tiếp tuyến tại A và C song song với nhau nên 2 2 f (
x ) f (x ) 3x 12x 9 3x 12x 9 1 3 1 1 3 3
(x x )(x x 4) 0 x x 4 . 1 3 1 3 1 3
* Vì x x x 6 (định lí Viet) nên x 2. 1 2 3 2
Vì f (2) 0 nên 2 m 0 hay m 2 (thoả mãn điều kiện (*)). Vì f (2 ) 3
nên phương trình tiếp tuyến tại B(2;0) là y 3(
x 2) hay y 3 x 6 . 2x 1
Câu 28. Cho hàm số y
C , gọi I là tâm đối xứng của đồ thị C và M ;
a b là một điểm thuộc đồ x 1
thị C . Tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm M cắt hai đường tiệm cận của đồ thị C lần lượt tại hai
điểm A và B . Để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất thì tổng 2a b gần nhất với số nào sau đây? A. 0. B. 3. C. 5. D. 3. Lời giải
Vì I là tâm đối xứng của đồ thị C nên I 1 ;2 . 1 1 Ta có y ' y x . x 2 a 1 a 2 1 TOANMATH.com Trang 25/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com a
Vì M a bC 2 1 ; M a; . a 1 1 2a 1
Phương trình tiếp tuyến tại M là đường thẳng : y . x a . 2 a 1 a 1 2a
Đường thẳng cắt tiệm cận đứng tại A 1; . a 1
Đường thẳng cắt tiệm cận ngang tại B2a 1; 2 . 2 Suy ra IA
; IB 2 a 1 và chu vi tam giác IAB là C
IA IB AB. a 1 IAB Ta có 2 2 C
IA IB IA IB 2 I . A IB 2I .
A IB 2 4 2.4 4 2 2. IAB a 0 M 0;1 2
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi IA IB 1 a 1 a M . 2 2;3
Vậy 2a b 1. x 1
Câu 29. Cho hàm số y
có đồ thị (H) . Gọi M , N là 2 điểm thuộc (H) sao cho khoảng cách từ x 1 I( 1
;1) đến tiếp tuyến tại M , N bằng 2. Khi đó x x bằng: M N B. 2. B. 2 . C. 0. D. 1. Lời giải
Gọi M (x ; y ) là điểm thuộc (H) . 0 0 2 x 1 y '(x ) ; 0 y(x ) . 0 2 (x 1) 0 x 1 0 0 2 x 1
Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M là 0 y (x x ) 2 0 (x 1) x 1 0 0 2 2 x 2x 1 0 0 x y 0 . 2 2 (x 1) (x 1) 0 0
Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bằng 2, tức là 2 2 x 2x 1 0 0 1 2 2 (x 1) (x 1) 0 0
2 4(x 1) 2 4 x 1 0 0 4 4 1 4 (x 1) 0 TOANMATH.com Trang 26/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com x 2 1 4 2
4(x 1) 16(x 1) 16 0 2 (x 1) 2 0 . 0 0 0 x 2 1 0
Vậy x 2 1 ; x 2 1 x x 2 . M N M N x
Câu 30. Cho hàm số f x 2
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số g x f f x tại điểm x 1 x 3. 1 9 1 12 1 21 1 27
A. y x .
B. y x . C. y x . D. y x . 8 8 5 5 16 16 25 25 Lời giải 2 Có f ' x . x 2 1 +)
g f f 3 6 3 3 f . 2 5 3 8 1 1 +)
g ' x f ' f x. f ' x g '3 f ' f 3. f '3 f ' . f '3 . . 2 25 8 25
Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số g x tại điểm x 3 là 1 6 1 27 y
x 3 hay y x . 25 5 25 25
Câu 31. Cho hàm số y f x có đồ thị là (C). Giả sử tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 0 là đường 2x
thẳng y x 1 . Khi đó : A lim bằng:
x0 f x 3 f 3x 2 f 2x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 Lời giải
Ta có được f 0 f '0 1. Khi đó: 2x A lim
x0 f x f 0 3 f 3x 3 f 0 2 f 2x f 0 2 2 1
f x f 0
f 3x f 0
f 2x f 0 1 9 4 2 lim 9.lim 4.lim x0 x0 x0 x 3x 2x TOANMATH.com Trang 27/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Câu 32. Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x 2 . Gọi d ,d lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 2
y f x và y g x xf 4x 6 tại x 2 . Mệnh đề nào sau đây là điều kiện cần và đủ để hai
đường thẳng d , d 1
2 có tích hệ số góc bằng 2 ?
A. f 2 4 2 .
B. 8 f 2 8 .
C. f 2 8 .
D. f 2 8 . Lời giải Ta có '
g x f x ' 4
6 4x f 4x 6 .
Hệ số góc của d là '
k f 2 ; của d là k f 2 ' 8 f 2 2 1 1 2
Theo yêu cầu bài toán ta có
k k 2 f 2 f 2 8 f 2 2 8 f 2 2 ' ' ' f 2 ' . f 2 2 0 1 2 Để tồn tại '
f 2 thì f 2
2 64 0 f 2 8
Câu 33. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn f x f x 2 3 3 1 3 9x 3 . x Gọi
d : y ax b (với ,ab là phân số tối giản) là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại
điểm có hoành độ bằng 0. Khi đó a 3b bằng: 1 1 A. 1. B. 1 . C. . D. . 2 2 Lời giải 1
f 0 3f 1 0
Từ đẳng thức f x f x 2 3
3 1 3 9x 3x , với x 0 và x ta có 3 f 1 3 f 0 2 f 3 0 4 . f 1 1 4
Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức ta được 3 f '3x 9 f '13x 18x 3 * . f 5 ' 0 1 3
f '0 9 f ' 1 3
f '0 3f ' 1 1 4
Thay x 0 và x vào (*) ta được . 3 3 f '
19f '0 9 3 f '
0 f ' 1 3 f 3 ' 1 4
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 0 là 5 3
y f '0x 0 f 0 y x 0 5 3
y x . 4 4 4 4 TOANMATH.com Trang 28/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 5 3
Khi đó a 3b 3. 1. 4 4 Câu 34. Cho hàm số 3 2
y x 6x 28 có đồ thị C . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
m sao cho từ M m; 4 kẻ được đúng một tiếp tuyến tới C . Số các phần tử của tập S là: A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 2 . Lời giải
Đường thẳng d đi qua điểm M m; 4 và có hệ số góc k có phương trình là: y k x m 4
Từ M kẻ được đúng một tiếp tuyến với đồ thị C khi hệ phương trình 3 2
x 6x 28 k x m 4 (1) (*) có đúng 1 nghiệm. 2 3
x 12x k (2)
Thế (2) vào (1) ta được: 3 2 x x 2
x xx m 3 2
x x 2 6 28 3 12 4 6 32
3x 12xx m (3)
Hệ phương trình (*) có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (3) có đúng 1 nghiệm. x 4
Ta có (3) x 2
4 x 2x 8 3xx 4x m . 2 2x
23m x 8 0 (4) Ta xét 2 trường hợp:
TH1: Phương trình (4) có đúng 1 nghiệm x 4 . Khi đó 2 3m 1 0 2 2.4
23m.48 0
2 3m 8 (vô nghiệm).
23m2 4.2.8 0 2 3m 8 10
TH2: Phương trình (4) vô nghiệm hay 0 m2 2 3 4.2.8 0 2 m . 3
Vì m nên m 1;0;1; 2; 3 .
Câu 35. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Gọi d , d lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 2 2
y x f 2x
1 và y xf 2x
1 tại điểm có hoành độ bằng 1. Biết hai đường thẳng d , d có hệ 1 2
số góc lần lượt là 2020 và 2021. Giá trị của f 1 bằng: A. 2020 . B. 2021 . C.1. D. 1 . Lời giải Ta có: 2 2
x f (2x 1)' 2xf (2x 1) 2x f '(2x 1)
d có hệ số góc là 2020 nên 2 f (1) 2 f '(1) 2020 1 1
Mặt khác: xf (2x 1)' f (2x 1) 2xf '(2x 1)
d có hệ số góc là 2021nên f (1) 2 f '(1) 2021 2 2 TOANMATH.com Trang 29/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com Từ
1 và 2 ta được f 1 1 . 1 Câu 36. Cho hàm số 3
y x 3x có đồ thị C . Tiếp tuyến của C tại điểm x và hai tiếp tuyến 4 3
khác tại điểm A và B tạo thành tam giác đều. Biết tung độ tại 3 tiếp điểm đó đều không âm, khi đó
tổng hoành độ của A và B thuộc khoảng nào sau đây? A. 1; 2 . B. 0;1 . C. 1;0 . D. 2; 1 . Lời giải Ta có: 2
y 3x 3 và y 6x . 1 1 6 1 Vì y 0 và y 0 nên x
là điểm cực đại của hàm số đã cho. 4 3 4 4 3 3 4 3 1 Khi
đó tiếp tuyến của C tại điểm x
là đường thẳng song song với trục hoành. 4 3 1
Vì ba tiếp tuyến đó tạo thành tam giác đều và tiếp tuyến tại điểm x
song song với trục hoành 4 3
nên hai tiếp tuyến còn lại tạo với tia Ox theo chiều dương các góc lần lượt là 60 và 120 . Khi đó hệ
số góc của hai tiếp tuyến đó lần lượt là tan 60 3 và tan120 3 .
Giả sử tiếp tuyến tại A có hệ số góc là 3 , khi đó y x 2
3 3x 3 3 x 0 . A A A 2 x B 3
Giả sử tiếp tuyến tại B có hệ số góc là 3 , khi đó y x x B 4 2 3 3 3 3 B 2 x B 4 3 2 Vì tung
độ các tiếp điểm đều không âm nên x . B 4 3 2
Vậy x x . A B 2; 1 4 3 x 1
Câu 37. Cho hàm số y
có đồ thị C. Trên đồ thị C có bao nhiêu cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai x 3
điểm đó song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa cặp điểm đó bằng 4 2 ? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải
+) Tập xác định D \ 3 . TOANMATH.com Trang 30/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 4 +) y . x 32
+) Gọi A và B là cặp điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do tiếp tuyến tại A và B song song với nhau nên 4 4 x x
y x y x
x 3 x 3 A B . 2 2
A 2 B 2 A B x 3 x 3 x x 6 A B A B
+) x x thì A B (loại) A B +) 6
x x . A B x 1 x 1
Gọi A x ; A
; B x ; B . A x 3 B x 3 A B 2 2
x 1 x 1 4 x x
Ta có AB x x 2 B A x x B A B A2 2 B A x 3 x 3
x x 3 x x B A A B A B 9 2 2 x x x x x A 2 4 2 6 A 2 8 3 2 A 64 2 6 x . x A 6 A 4 3 A 4 3 2 A 9 x 3 x A 3 A 2 64
Đặt t x 2 3 . Do AB 4 2 nên 2 4t
32 t 8t 16 0 t 4 A t x 2 x 3 2 x 5 3 4 A A A x 3 2 x 1 A A Với x 5
y 3 A 5 ;3, B 1 ; 1 . A A Với 1
x y 1 A 1 ; 1 , B 5 ;3 . A A
Vậy tồn tại một cặp điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2x 3
Câu 38. Cho hàm số y
có đồ thị C . Trên đồ thị (C) có bao nhiêu điểm M mà khoảng cách từ x 2 A6; 4
đến tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm M gấp hai lần khoảng cách từ điểm B5; 1 đến tiếp
tuyến của đồ thị C tại điểm M ? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải
+) Tập xác định D \ 2 . TOANMATH.com Trang 31/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 1 +) Ta có y . x 22
+) Gọi M x ; y . 0 0 1 2x 3
+) Phương trình tiếp tuyến tại điểm M : y x x 2 0 0 x 2 x 2 0 0
x x 22 2
y 2x 6x 6 0 0 0 0
+) Theo giả thiết ta có: d ,
A 2d B,
6 4 x 22 2x 6x 6
2 5 x 2 2x 6x 6 0 0 2 2 2 0 0 0 0 1 x 24 1 x 24 0 0 2 2
6x 22x 28 x 2x 7 0 0 0 0 2 2 2
6x 22x 28 2 x 2x 7 0 0 1 x 24 1 x 24 0 0 0 0 2 2 2 x 1 0 6x 22x 28 2x 4x 14
2x 9x 7 0 0 0 0 0 0 0 7 2 2 2
6x 22x 28 2x 4x 14
4x 13x 21 0 x 0 0 0 0 0 0 0 2 Với x 1 y 1 0 0 7 8
Với x y . 0 0 2 3
Vậy tồn tại hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 39. Cho hàm số 3 2
y f (x) ax bx cx d có bảng biến thiên như hình vẽ:
Gọi (C) là đồ thị của hàm số y f (x) . Hỏi có bao nhiêu điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại điểm M cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B thỏa mãn tam giác OAB vuông cân? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải TOANMATH.com Trang 32/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com Ta có 2
y ' f '(x) 3ax 2bx . c
Dựa vào bảng biến thiên ta có hệ f '(1) 0 3
a 2b c 0 1 '(5) 0 75 10 0 a f a b c 3 8 8 b 3 f (1) a b c d 3 3 c 5 40 40 f (5) 1
25a 25b 5c d d 5 3 3 1 Khi đó 3 2
y x 3x 5x 5 3 Ta có 2
y ' x 6x 5.
Vì tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B thỏa mãn tam giác OAB vuông cân nên
tiếp tuyến phải có hệ số góc là 1 hoặc -1. 2 24 7 5
x 6x 5 1
x 3 5 y Vì vậy 3 . 2 x 6x 5 1
x 3 3 y 8 3 3
Ta thấy trong 4 điểm tìm được không có điểm nào nằm trên đường thẳng y x hoặc y x nên ta nhận cả 4 điểm trên. Vậy có 4 điểm M. Câu 40. Cho hàm số 4 2
y x 2x 5
có đồ thị S . Gọi , A ,
B C là các điểm phân biệt trên S có tiếp tuyến
với S tại các điểm đó song song với nhau. Biết , A ,
B C cùng nằm trên một parabol P có đỉnh I 1
; y . Tìm y . 0 0 1 1 A. 4. B. 4 . C. . D. . 4 4 Lời giải 4 2 3
y x 2x 5 y ' 4x 4x .
Giả sử các tiếp tuyến tại , A ,
B C có cùng hệ số góc 3
k 4x 4x k ( ) 1 . 1 1 Ta có: 4 2 3 2 2
x 2x 5 x(4x 4x) x 5 x kx 5 . 4 4 1 Do đó ba điểm , A ,
B C thuộc đồ thị hàm số 2
y x kx 5 (P . ) 4 1
Theo giả thiết thì P có đỉnh I 1
; y nên k 1 k 8. 0 8 Khi đó P 2
: y x 2x 5 . Vậy y y 1 4 . 0 TOANMATH.com Trang 33/34 Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
____________________ HẾT ____________________ TOANMATH.com Trang 34/34