43 trang 23 lượt tải

Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số Toán 12

45

Tài liệu gồm 43 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 1.

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 375 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/43
CHỦ ĐỀ 8: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Phương pháp giải:
Cho hàm số
( )( )
=y fxC
. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
( )
( )
00
; ∈Ax f x C
là
( )( ) ( )
00 0
′
= −+y f x x x fx
.
Trong đó
0
x
được gọi là hoành độ tiếp điểm:
(
)
00
=y fx
là tung độ tiếp điểm và
( )
0
′
=k fx
là hệ số góc
của tiếp tuyến. Điểm
( )
00
;Ax y
được gọi là tiếp điểm.
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
3
3x= +yx C
tại:
a) Điểm
.
b) Điểm có hoành độ
0
1= −x
c) Điểm có tung độ
0
14
=y
.
d) Giao điểm của
( )
C
với đường thẳng
: 38= −dy x
.
Lời giải
a) Ta có:
( ) (
)
2
3x 3 1 6
′′
= +⇒ =
fx f
.
Do vậy phương trình tiếp tuyến tại
( )
1; 4A
là
( )
6 1 4 6x 2= −+= −yx
b) Với
( ) ( )
00 0
1 46
′
= =−⇒ =−⇒ =x x fx f x
Do vậy phương trình tiếp tuyến là
( )
6 1 46 2= + −= +yx x
c) Với
(
)
3
00
14 3 14 2; 2 15
′
=⇒+=⇔= =
y xx x f
Do vậy phương trình tiếp tuyến là:
( )
15 2 14 15 16= −+= −yx x
d) Hoành độ giao điểm của
( )
C
và
d
là
3
3x 3 8 2+ = −⇔ =−
x xx
Với
( )
2 14 2 15
′
=−⇒ =− ⇒ − =xy f
. Do đó phương trình tiếp tuyến là
( )
15 2 14 15 16
= +−= +yx x
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
2
21
−
=
+
x
yC
x
.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có tung độ
0
3
=y
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại giao điểm của
( )
C
với đường thẳng
:2= −dy x
.
Lời giải
Ta có:
( )
2
5
21
′
=
+
y
x
a) Ta có:
( )
00
2
3 3 5x 5 1 1 5
21
−
′
= ⇒ = ⇔ =−⇔ =−⇒ − =
+
x
y xy
x
.
Do vậy phương trình tiếp tuyến là:
( )
5 13= ++yx
hay
58= +yx
.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và
( )
C
là:
2
2
2
0
21
=
−
=−⇔
=
+
x
x
x
x
x
Với
( )
00
1
2 0; 2
5
′
=⇒= =x yy
suy ra phương trình tiếp tuyến là:
( )
1
2
5
= −yx
.
Với
( )
00
0 2; 0 5
′
=⇒=− =x yy
suy ra phương trình tiếp tuyến là:
52
= −yx
.
Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
42=−+yx x
tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
A.
2=−−yx
B.
2= −
yx
C.
= −yx
D.
1=−+yx
Lời giải
Ta có
(
) ( )
2
00
1 1; 3 4 1 1
′′
=⇒ =− = −⇒ =−x y fx x f
Do vậy PTTT là:
(
)
11
=− − −=−
yx x
. Chọn C.
Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
21
1
+
=
−
x
yC
x
tại giao điểm của
( )
C
với trục tung là:
A.
31=−−
yx
B.
33=−−yx
C.
3= −yx
D.
33=−+yx
Lời giải
(
) ( )
0; 1
∩= −C Oy A
. Lại có
( )
( )
2
3
03
1
−
′′
= ⇒=−
−
yy
x
Do vậy phương trình tiếp tuyến là:
31=−−yx
. Chọn A.
Ví dụ 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
23= +− −yx x
tại điểm có hoành độ
2−x
là:
A.
33
42
= +
yx
B.
31
42
= −yx
C.
33
42
= −yx
D.
31
22
= +yx
Lời giải
Với
21=⇒=
xy
. Lại có
( ) ( )
11 3
2
4
2 2 23
′′
= + ⇒=
+−
fx f
xx
Do đó phương trình tiếp tuyến là:
( )
3 31
21
4 42
= − += −yx x
. Chọn B.
Ví dụ 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
41=−+yx x
tại điểm
0
x
thỏa mãn
( )
0
4
′′
=fx
là:
A.
31=−+yx
B.
41=−−yx
C.
41
= −yx
D.
41=−+yx
Lời giải
Ta có:
( )
( )
2
3 8 68
′ ′′
= −⇒ =−fx x x f x x
.
Giải
( ) ( )
00
4 2 7; 2 4
′′ ′
=⇔=⇒=− =−fx x y f
Do đó phương trình tiếp tuyến là:
( )
4 27 41=− − −=− +yx x
. Chọn D.
Ví dụ 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
42
42=−+
yx x
tại điểm
0
1= −x
là:
A.
41
= +yx
B.
41=−−yx
C.
42= +yx
D.
43= +yx
Lời giải
Ta có:
00
11=−⇒ =−xy
. Mặt khác
( )
3
4 8 14
′′
= − ⇒ −=y x xy
Khi đó phương trình tiếp tuyến là:
( )
4 1 14 3= + −= +yx x
. Chọn D.
Ví dụ 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
2
21
−
=
+
x
yC
x
tại giao điểm của
( )
C
với trục hoành là:
A.
( )
1
2
5
= −
yx
B.
( )
1
2
25
= −yx
C.
( )
2
2
5
= −yx
D.
(
)
3
2
25
−
= −yx
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
2; 0∩=C Ox A
. Mặt khác
(
)
( )
( )
2
51
2
5
21
′′
= ⇒=
+
fx f
x
Do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
2; 0A
là:
( )
1
2
5
= −yx
. Chọn A.
Ví dụ 9: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
3
2 31= −+yx xC
tại điểm có hoành độ
1=x
cắt đồ thị
( )
C
tại
điểm thứ 2 có hoành độ là:
A. 0 B.
2−
C. 3 D.
1
−
Lời giải
Ta có:
( )
( )
2
1 0; 6 3 1 3
′′
=⇒ = = −⇒ =x y fx x f
.
Phương trình tiếp tuyến là:
( )( )
31= −yxd
Xét
( ) ( )
3
1
2 3 13 1
2
=
∩ ⇒ − += − ⇔
= −
x
dC x x x
x
. Chọn B.
Ví dụ 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
21
2
−
=
+
x
y
x
tại điểm có tung độ bằng
3
−
là:
A.
32= +
yx
B.
( )
51= +
yx
C.
35= +yx
D.
52= +yx
Lời giải
Giải
2
21
31
21 36
2
≠−
−
=−⇔ ⇔ =−
−=− −
+
x
x
x
xx
x
. Lại có
( )
( )
( )
2
5
15
2
′′
= ⇒ −=
+
fx f
x
Phương trình tiếp tuyến là:
( )
5 1 35 2= + −= +yx x
. Chọn D.
Ví dụ 11: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4
2= +yx
tại thời điểm có hoành độ
1
= −x
cắt trục hoành tại
điểm.
A.
( )
0; 1−A
B.
7
;0
2

−


A
C.
7
;0
4

−


A
D.
1
;0
4

−


A
Lời giải
Ta có:
( )
1; 3; 1 4
′
=− = −=−x yy
. Do đó phương trình tiếp tuyến là:
( ) ( )
4 13 4 1=− + +=− −y x xd
.
Do đó
1
;0
4
−

∩=


d Ox A
. Chọn D.
Ví dụ 12: Cho hàm số
(
)
42
231
=−+yx x C
. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
có hoành độ
1=x
là:
A.
2
5
=d
B.
25
5
=d
C.
1
5
=
d
D.
2=d
Lời giải
Ta có
( )
1 0; 1 8 6 2
′
=⇒= =−=x yf
. Do đó phương trình tiếp tuyến là
( )( )
21= −yxd
.
Do đó
:2 2 0−−=d xy
suy ra
( )
2
0;
5
−
=dd
. Chọn A.
Chú ý: Bài toán này yêu cầu các em ghi nhớ công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Khoảng cách từ điểm
( )
00
;Mx y
đến đường thẳng
:0+ +=
d ax by c
là:
00
22
++
=
+
ax by c
d
ab
.
Ví dụ 13: Cho hàm số
( )
3
= +y x mx C
. Tìm giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp
tuyến tại điểm có hoành độ
1=x
của
( )
C
bằng
2
là:
A.
4
1
= −
= −
m
m
B.
5
3
= −
= −
m
m
C.
4
2
= −
= −
m
m
D.
2
0
= −
=
m
m
Lời giải
Với
( )
00
1 1 ; 13
′
=⇒=+ =+x y mf m
. Phương trình tiếp tuyến là:
( )( ) (
)
31 1= + −++ym x m d
( )
( )
(
)
2
2
4
31
; 2 3 12
2
31
= −
− −+ +
= = ⇔ + += ⇔
= −
++
m
mm
d Od m
m
m
. Chọn C.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
Phương pháp giải:
Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )( )
=y fxC
khi biết hệ số góc là k
Giải phương trình
( ) ( )
01
02
..........
=
=
′
=⇒ ⇒⇒
=
i
i
xx
xx
k f x yx
xx
Phương trình tiếp tuyến.
Chú ý: Cho 2 đường thẳng
1 11
:y k= +d xb
và
2 22
: = +
d y kx b
Khi đó
12
,kk
lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng
1
d
và
2
d
.
▪ Nếu
12
12
12
//
=
⇔
≠
kk
dd
bb
▪ Nếu
1 2 12
.1⊥⇔ =−d d kk
▪ Đường thẳng
: = +d y kx b
tạo với trục hoành một góc α thì
tan= ±
k
α
.
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
2
−
=
−
x
y
x
biết:
a) Tiếp tuyến có hệ số góc là
1= −k
.
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng
45=−+yx
.
c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
92= +yx
.
Lời giải
Ta có:
( )
2
1
2
−
′
=
−
y
x
a) Do tiếp tuyến có hệ số góc
1= −k
nên ta có:
( )
2
3
1
1
1
2
=
−
=−⇔
=
−
x
x
x
.
Với
00
32
=⇒=⇒xy
phương trình tiếp tuyến là:
( )
1 32 5
=− − + =−+yx x
.
Với
00
10
=⇒=⇒xy
phương trình tiếp tuyến là:
( )
11=− − =−+yx x
.
b) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng
( )
2
1
42 4 4
2
u
yx k
x
−
=− + ⇒ =−⇔ =−
−
( )
2
5
1
2
2
3
4
2
=
⇔− =⇔
=
x
x
x
Với
00
5
3
2
=⇒=⇒xy
phương trình tiếp tuyến là:
5
4 3 4 13
2

=− − +=− +


yx x
Với
00
3
1
2
= ⇒ =−⇒xy
phương trình tiếp tuyến là:
3
4 145
2

=− − −=− +


yx x
(loại vì trùng với đường
thẳng đã cho)
Vậy phương trình tiếp tuyến là
4 13=−+yx
.
c) Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
92= +yx
suy ra
( )
2
1 11
.1
9
2
− −−
=−⇔ = =
−
ud
d
kk
k
x
( )
2
5
29
1
=
⇔− =⇔
= −
x
x
x
.
Với
00
4
5
3
=⇒=⇒
xy
phương trình tiếp tuyến là:
( )
1 4 1 17
5
9 39 9
−
=− −+= +yx x
Với
00
2
1
3
=−⇒ = ⇒xy
phương trình tiếp tuyến là
( )
1 215
1
9 39 9
−
=− ++= +yx x
.
Ví dụ 2: Cho hàm số:
( )
1
1
−
=
+
x
yC
x
a) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: 2 10
+ +=dx y
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
1
: 2 10− −=dx y
.
Lời giải
Gọi
( ) ( )
00
; ∈Mxy C
là tiếp điểm.
a) Ta có:
11 1
:y 2
22 2
−
= −⇒ =−⇒ =
du
d xk k
. Khi đó
( )
(
)
0
0
2
0
0
0
2
2
2
1
x
yx
x
x
=
′
= = ⇔
= −
+
Với
00
01= ⇒ =−⇒xy
Phương trình tiếp tuyến là:
21= −yx
Với
00
23=−⇒ = ⇒xy
Phương trình tiếp tuyến là:
( )
2 2 32 7yx x= + += +
b) Ta có:
1
11
:
22
= −dy x
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng
( )
( )
0
0
2
0
0
1
21
20 1
3
2
1
=
′
= +⇒ = = = ⇔
= −
+
n
x
y x k yx
x
x
.
Với
00
10=⇒=⇒xy
Phương trình tiếp tuyến là:
(
)
1
1
2
= −≡yx d
(loại)
Với
00
32=−⇒ = ⇒xy
Phương trình tiếp tuyến là:
( )
1 17
32
2 22
= + += +yx x
.
Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
32=−+
yx x
có hệ số góc
3= −k
là:
A.
33=−+yx
B.
32=−+yx
C.
3= −yx
D.
33=−−yx
Lời giải
Ta có:
2
36
′
= −
yxx
. Giải
( )
2
2
3 6 33 1 0 1− =−⇔ − = ⇔ =xx x x
.
Với
10=⇒=⇒xy
Phương trình tiếp tuyến:
( )
31=−−yx
. Chọn A.
Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
1
+
=
−
x
y
x
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
:2 7 0+−=d xy
là:
A.
23
=−−yx
B.
23=−+yx
C.
21=−+yx
D.
21=−−yx
Lời giải
Ta có:
( )
2
2
2
: 2 7; 2
0
1
=
−
′
=− + = =−⇔
=
−
x
dy x y
x
x
.
Với
23
=⇒=⇒xy
Phương trình tiếp tuyến:
( )
2 23 2 7=− − +=− +≡y x xd
(loại).
Với
01= ⇒ =−⇒xy
Phương trình tiếp tuyến:
21=−−yx
. Chọn D.
Ví dụ 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
42
5=+−yx x
mà vuông góc với đường thẳng
6 1999 0++ =
xy
là:
A.
69
= −yx
B.
66
= −yx
C.
69=−+yx
D.
66=−+
yx
Lời giải
Ta có:
( )
1 1999
66
−
= −yx d
. Do tiếp tuyến vuông góc với d nên
1
.1 6
−
=−⇒ = =
du u
d
kk k
k
.
Giải
3
64 26 1 3
′
= ⇔ + = ⇔ =⇒ =−⇒y xx x y
Phương trình tiếp tuyến là:
( )
6 1 36 9
= − −= −yx x
.
Chọn A.
Ví dụ 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
23
2
−
=
−
x
y
x
tại điểm có hoành độ
1= −x
có hệ số góc là:
A. 1 B. 7 C.
7
9
D.
1
9
Lời giải
Ta có:
( )
(
)
2
77
1
9
2
′′
= ⇒ −==
−
y yk
x
. Chọn C.
Ví dụ 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
−
=
+
xm
y
x
tại điểm có hoành độ
2= −x
có hệ số góc là
3=k
. Giá trị
của tham số m là:
A.
4=m
B.
C.
D.
2=
m
Lời giải
Ta có:
( )
( )
2
1
21 3 2
1
+
′′
= ⇒ −=+=⇔=
+
m
y y mm
x
. Chọn D.
Ví dụ 8:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
4 32=− ++y x mx x
tại điểm có hoành độ
1=x
có hệ số góc
2= −k
. Giá trị của tham số m là:
A.
1=
m
B.
1= −
m
C.
D.
2=m
Lời giải
Ta có:
( )
1 38 3 2 1
′
=− + =−⇔ =ym m
. Chọn A.
Ví dụ 9: Cho hàm số
42
23=−−yx x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng
24 1= −yx
.
A.
24 48= −yx
B.
24 21= −yx
C.
24 45= −yx
D.
24 43= −yx
Lời giải
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng
24 1= −yx
suy ra
24=
n
k
Khi đó
3
4 4 24 2 5
′
= − = ⇔=⇒=yxx x y
.
Phương trình tiếp tuyến là:
( )
24 2 5 24 43= − += −yx x
. Chọn D.
Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
33=+−
yx x
biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng
1
9
−
= +
x
y
.
A.
98= −yx
B.
9 24
= +
yx
C.
9 10
= +yx
D.
98
9 24
= −
= +
yx
yx
Lời giải
Do tiếp tuyến vuông góc với
1
9
−
= +
x
y
nên
1
9
−
= =
u
d
k
k
Giải
2
1
3 69
3
=
′
= +=⇔
= −
x
yx x
x
Với
11
=⇒=⇒xy
Phương trình tiếp tuyến là:
( )
9 1 19 8= − += −
yx x
Với
33
=−⇒ =−⇒xy
Phương trình tiếp tuyến là:
( )
9 3 3 9 24= + −= +yx x
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là
9 8; 9 24
=−=+yx yx
. Chọn D.
Ví dụ 11: Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
32
:
1
+
=
−
x
Cy
x
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
5 20++=xy
.
A.
52=−−yx
B.
5 18=−+
yx
C.
5 10=−+
yx
D.
5 12=−+yx
Lời giải
Ta có:
: 52 5=− −⇒ =−
u
dy x k
. Giải
( )
2
0
5
5
2
1
=
−
′
= =−⇔
=
−
x
y
x
x
Với
02= ⇒ =−⇒xy
Phương trình tiếp tuyến là:
52=−−yx
(loại).
Với
28=⇒=⇒xy
Phương trình tiếp tuyến là:
( )
5 2 8 5 18=− − +=− +yx x
. Chọn B.
Ví dụ 12:
Cho hàm số
( )
3
22=++y x mx C
. Tìm giá trị của tham số m biết tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có
hoành độ
1= −x
vuông góc với đường thẳng
1
3
2
= +yx
.
A.
5= −m
B.
5
2
−
C.
5
2
D. 5
Lời giải
Ta có:
( )
1 32
′
= −=+
u
ky m
. Từ gt
( )
15
32 . 1 32 2
22
−
⇒ + =−⇔ + =−⇔ =
m mm
. Chọn B.
Ví dụ 13: Cho hàm số
( )
32
2=−+ +y x mx n C
. Tìm tổng
+mn
biết tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
( )
1; 3A
có
hệ số góc là
1=k
.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Lời giải
Ta có:
( )
2
3 4 1 34 1 1
′′
=− + ⇒ =−+ = ⇔ =y x mx y m m
Mặt khác điểm
( ) ( )
1; 3 ∈AC
nên
3 12 1 2
=−+ + = +⇔ =
mnn n
. Vậy
3
+=
mn
. Chọn B.
Ví dụ 14: Cho hàm số
( )
+
=
+
xm
yC
xn
. Biết tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
( )
2; 4−A
song song với đường
thẳng
5 2017yx=−+
. Vậy giá trị của
2 −mn
là:
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
Lời giải
Giải hệ
(
)
(
)
( )
2
2
2
4 10
4
4 10
2
3
5 10
27
1
5
2
1
25
2
2
2
m
mn
mn
n
n
n
mn
nm
m
y
n
n
n
+
=−−
−=
=−−
+
= −

+
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ −=

−
= −
=
= −
′

= = −
+
+
+
.
Chọn D.
Ví dụ 15: Cho hàm số
( )
2
+
=
−
mx n
yC
x
. Biết
( )
C
đi qua điểm
( )
1; 3−A
và tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có
hoành độ
3=x
có hệ số góc
5= −k
. Giá trị của biểu thức
22
+mn
bằng:
A. 5 B. 10 C. 13 D. 25
Lời giải
Giải hệ
( )
(
)
22
2
3
12
32
5
2
25 1
35
32
+
−=
−
+= =

⇔ ⇔ ⇒ +=

−−
+= =

′
= = −
−
mn
mn m
mn
mn
mn n
y
.
Chọn A.
Ví dụ 16: Cho hàm số
( )
32
=++
y x mx nx C
. Tìm giá trị của
22
+mn
để đồ thị hàm số đi qua điểm
( )
1; 5−A
và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
1=x
vuông góc với đường thẳng
1
2
3
−
= +yx
.
A. 5 B. 10 C. 20 D. 25
Lời giải
Giải hệ
(
)
( )
22
51
6
2
20
1
32 3
4
1. 1
3
=−+ −
−=
=

⇔ ⇔ ⇒ +=
−

′
+ +=
= −
= −
mn
mn
m
mn
mn
n
y
. Chọn C.
Ví dụ 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
32=++
y x mx
có
cùng hệ số góc
3= −
k
.
A.
11
−< <m
B.
11−≤ ≤m
C.
1
1
>
<−
m
m
D.
1
= ±m
Lời giải
Để có 2 tiếp tuyến thì phải có 2 tiếp điểm phân biệt. Giả sử hoành độ tiếp điểm là
=xa
.
Khi đó ta có:
( )
22
3 6 3 2 10
′
= + =−⇔ + +=y a a ma a ma
.
Đk có 2 tiếp tuyến có cùng hệ số góc
3
= −k
là:
( )
2
1
1
10
1
>
∆ = −> ⇔
<−
m
m
m
. Chọn C.
Ví dụ 18: Gọi d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số
32
2
4 9 11
3
= − +−yxxx
. Đường
thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?
A.
2
5;
3

−


M
B.
2
5;
3

−


P
C.
5
2;
3

−


N
D.
5
2;
3

−


Q
Lời giải
Ta có
32 2
2
4 9 11 2 8 9,
3
′
= − + − → = − + ∀ ∈
yxxx yxx x
.
Hệ số góc của tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại
( )
00
;Mx y
là
(
)
2
0 00
289
′
= = −+k yx x x
.
Mặt khác
( )
( )
2
22
0 0 0 0 0 min
2 8 9 2 4 4 1 2 2 11 1− + = − + += − +≥⇒ =xx xx x k
.
Dấu bằng xảy ra khi
( )
2
0 00
11
20 2
3
− =⇔=⇒=−x xy
.
Vậy phương trình d là
11 17 2
2 5;
3 33

+ =−⇔ =− ⇒ − ∈


y x yx P d
. Chọn B.
Ví dụ 19: Cho hàm số
(
)
1
+
=
−
ax b
yC
cx
có bảng biến thiên như hình vẽ. Biết tiếp tuyến của
( )
C
tại giao
điểm của
( )
C
với trục tung song song với đường thẳng
2 2018= +yx
.
x
−∞
1
+∞
′
y
+
+
y
+∞
3−
3−
−∞
Giá trị của biể thức
23=++
Ta b c
là:
A.
3=T
B.
1=T
C.
3=T
D.
2=T
Lời giải
Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1=
x
và tiệm cận ngang
3
= −y
Do đó hàm số có dạng:
( )
( )
2
33
03
1
1
−+ −
′′
= ⇒= ⇒ =−
−
−
xb b
y y yb
x
x
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng
2 2018 3 2 1= + ⇒−=⇔ =yx b b
.
Vậy
3; 1; 1 2=− = =⇒=a bc T
. Chọn D.
Ví dụ 20: Cho hàm số
( )
4
3
+
=
−
x
yC
x
. Điểm
( )
00
;Mx y
(với
0
0>y
) thuộc sao
( )
C
cho tiếp tuyến tại M cắt
các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho
5. 2=AB OA
. Giá trị của
00
2
+xy
là:
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
Lời giải
Ta có:
∆OAB
vuông tại O ta có:
22
tan 7
−
= = =
OB AB OA
BAO
OA OA
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có:
7= ±k
.
Gọi
( )
( )
( )
2
0
0
00 0
2
0
0
0
4
4
7
; 7 31
2
3
3
=

+
−
′
⇒ = =±⇔ − =⇔

=
−
−

x
x
Mx yx x
x
x
x
Suy ra
( )
4;8 16⇒=MT
. Chọn A.
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua một điểm
Phương pháp giải:
Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua
( )
;B
αβ
Gọi
(
)
(
)
( )
00
; ∈
Ax f x C
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm A của
( )
C
là
( )( )
( )( )
00 0
′
= −+y f x x x fx d
.
Mặt khác d đi qua
( )
;B
αβ
nên
( )( ) ( )
000
′
= −+f x x fx
βα
từ đó giải phương trình tìm
0
x
.
Ví dụ 1: Cho hàm số:
( )
2
1
+
=
−
x
yC
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
biết tiếp tuyến qua
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
0
0
2
0
0
2
3
1
1
+
−
= −+
−
−
x
y xx
x
x
. Tiếp tuyến qua
.
Do vậy
(
)
(
)
( )
00
0 00 0
2
00
0
25
3
7 1 71 5 2
11
1
xx
x xx x
xx
x
++
−
= − + = ⇔ − = +⇔ =
−−
−
.
Phương trình tiếp tuyến là:
( )
3 24=− −+yx
hay
3 10=−+yx
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
42
25=++yx x C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến đi qua gốc
tọa độ.
A.
4=yx
hoặc
4= −yx
B.
2= −yx
hoặc
2=yx
C.
8
=yx
hoặc
8= −
yx
D.
44= −yx
hoặc
44= +yx
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
(
)
42
00 0
;2
+
Mxx x
là
( )
( ) ( )
3 42
0 0 00 0
44 25
= + − ++ +
y x x xx x x d
Do
( )
0; 0 ∈Od
nên
0
42
00
0
1
03 2 5
1
=
=− − +⇔ ⇒
= −
x
xx
x
phương trình tiếp tuyến:
8
8
=
= −
yx
yx
. Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số
(
)
21
2
+
=
−
x
yC
x
. Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm
( )
2; 8−A
đến đồ thị
( )
C
.
A.
52=−+yx
B.
58
=−+
yx
C.
32=−+yx
D.
38=−+yx
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
0
0
0
21
;
2

+

−

x
Mx
x
là
(
)
( ) (
)
0
0
00
21
5
22
+
−
= −+
−−
x
y xx d
xx
Do
(
)
2; 8−∈
Ad
nên ta có:
( )
( )
0
00
0
2
00
0
52
2 12 6
81
22
2
−−
++
−= + = ⇔ =
−−
−
x
xx
x
xx
x
Do vậy phương trình tiếp tuyến là:
( )
5 13 5 2=− − −=− +yx x
. Chọn A.
Ví dụ 4:
Cho hàm số
( )
3
3= −y x xC
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến đi qua điểm
( )
2; 2
A
.
A.
9 16= −
yx
B.
2=y
C.
2=y
hoặc
9 16= −
yx
D.
9 18= −yx
Lời giải
Gọi
( )
3
00 0
;3−Mxx x
là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến là
(
)
( )
23
0 00 0
33 3= − − +−y x xx x x
Do tiếp tuyến đi qua
( )
2; 2A
nên
( )
( )
00
23
0 00 0
00
12
2 3 32 3
22
=−⇒ =
= − − +− ⇔
=⇒=
xy
x xxx
xy
Do vậy phương trình tiếp tuyến là:
( )
2
9 2 2 9 16
=
= − += −
y
yx x
. Chọn C.
Ví dụ 5: Cho hàm số
(
)
32
461=−+
yx x C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến
đi qua điểm
(
)
1; 9−−
M
.
A.
24 15= +yx
B.
15 21
44
= +
yx
C.
24 15= +yx
hoặc
15 21
44
= +
yx
D.
15 21
44
= +
yx
hoặc
24 11= +
yx
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
32
00 0
;4 6 1−+Ax x x
là:
( )
( ) (
)
2 32
0 0 0 00
12 12 4 6 1= − −+ − +y x x xx x x d
Cho
( )
1; 9−− ∈Md
ta có:
(
)
(
)
0
2 32
0 0 0 00
0
5
9 12 12 1 4 6 1
4
1
=
−= − −− + − +⇔
= −
x
x x x xx
x
.
Với
0
1=−⇒x
Phương trình tiếp tuyến là:
24 15= +yx
Với
0
5
4
−
= ⇒x
Phương trình tiếp tuyến là:
15 21
44
= −
yx
. Chọn C.
Ví dụ 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
3
41=−+yx x C
biết tiếp tuyến đi qua điểm
( )
2;1−A
là:
A.
1=−−yx
hoặc
8 17
= −yx
B.
1=−+yx
hoặc
8 17= −yx
C.
1=−+yx
hoặc
8 17=−−
yx
D.
1=−−yx
hoặc
8 17= +yx
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
3
00 0
; 41−+Mxx x
là:
( )
( )
23
0 00 0
3 4 41= − − +− +y x xx x x
Cho tiếp tuyến qua
( )
2;1−A
ta có:
( )
( )
0
2 3 32
0 00 0 0 0
0
1
1342 41 2680
2
=
= − − − + − + ⇔− − + = ⇔
= −
x
x xx x x x
x
.
Do vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là:
1=−−yx
,
8 17= +yx
. Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hàm số
( )
2
23=−+yx x C
. Phương trình tiếp tuyến tại điểm
2=x
của
( )
C
đi qua điểm
(
)
;2+Aaa
. Giá trị của a là:
A.
1=a
B.
1= −a
C.
3=a
D.
3= −a
Lời giải
Ta có:
( )
2; 3; 2 2
′
= = =xyf
. Tiếp tuyến tại điểm
( )
2;3M
là:
( ) ( )
2 2 32 1= − += −y x xd
.
Do
∈Ad
nên
22 1 3+ = −⇔ =a aa
. Chọn C.
Ví dụ 8: Cho đồ thị
( )
32
:3= −Cyx x
. Có bao nhiêu số nguyên
(
)
10;10
∈−
b
để có đúng một tiếp tuyến của
( )
C
đi qua điểm
( )
0;Bb
?
A. 15 B. 9 C. 16 D. 17
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại
(
)
32
00 0
;3
−
Mxx x
có dạng:
(
)
(
)
2 32
0 0 00 0
36 3
= − − +−y x x xx x x
Do tiếp tuyến đi qua điểm
(
)
( )
( )
2 32 32
0 0 00 0 0 0
0; 3 6 3 2 3
⇒= − − + − =− +
bb x x xxx x x
Để có đúng một tiếp tuyến của
( )
C
đi qua
( )
0;Bb
thì phương trình
32
00
23=−+b xx
có duy nhất một
nghiệm. Xét hàm số
32 2
00
2 3 6 60
11
=⇒=
′
=− + ⇒=− + =⇔
=⇒=
xy
y xx y xx
xy
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi
1
0
>
<
b
b
Vậy
( )
10;10∈−b
có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
Ví dụ 9: Cho hàm số
2
1
−+
=
−
x
y
x
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
;1Aa
. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của a để
có đúng một tiếp tuyến của
( )
C
kẻ qua A. Tổng giá trị các phần tử của S là:
A. 1 B.
3
2
C.
5
2
D.
1
2
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
0
0
0
2
;
1

−+

−

x
Mx
x
là:
( )
( )
( )
( )
00
00 0
2
00
0
22
1
11
1
+ −+
′
= −+ = −+
−−
−
xx
y fx xx xx
xx
x
Do tiếp tuyến đi qua điểm
nên
( )( )
( )
0 00
2
0
21
1
1
−+ − −
=
−
xa xx
x
( ) ( )
2
22
0 00 00
1 4 2 2 6 3 0*⇔ − =− + −− ⇔ − ++ =x xx a xx a
Để có đúng một tiếp tuyến đi qua A thì (*) có nghiệm kép hoặc (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một
nghiệm
0
32 0
3
1
32 0
2
1
2.1 6 3 0
′
∆= − =
=
′
=⇔⇔
∆= − >
=
−++ =
a
a
x
a
a
a
. Chọn C.
Ví dụ 10: Cho hàm số
( )
32
62= =−+ +y fx x x
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
;2Mm
. Gọi
S
là tập hợp các giá
trị thực của m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
. Tổng các phần tử của S là
A.
20
3
B.
13
2
C.
12
3
D.
16
3
Lời giải
Gọi
( )
( )
32
; 62−+ +∈Aa a a C
Phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại A là:
( )
( )
2 32
3 12 6 2=− + −−+ +y a axa a a
Do tiếp tuyến đi qua
(
)
;2
Mm
nên
( )
( )
2 32
2 3 12 6 2=− + −−+ +
a axa a a
( )
( )
( )( ) ( )
2 32
2
0
3 12 6
3 12 6 *
=
⇔− + − = − ⇔
−+ −= −
a
a ma a a
a ma a a
( ) ( ) ( )
22 2
* 3 12 12 3 6 2 3 2 12 0⇔− − + + = − ⇔ =− + + − =maamaaaga a mam
Để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị
(
)
C
ta có 2 trường hợp.
TH1:
(
)
0
=
ga
có nghiệm kép khác 0
( )
( )
2
2
0 12 0
3
9 2 96 0
6
=−≠
=
⇔⇔
∆= + − =
=
gm
m
mm
m
TH2:
( )
0=ga
có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm bằng 0 (vô nghiệm)
Vậy
2 20
;6
33
==⇒=
∑
mm m
. Chọn A.
Ví dụ 11: Cho hàm số
1
1
+
=
−
x
y
x
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
0;Am
. Gọi S là tập hơp tất cả các giá trị thực của
m để có đúng một tiếp tuyến từ
( )
C
đi qua A. Tổng tất cả giá trị của phần từ S bằng
A. 1 B.
1
−
C. 0 D.
1
2
−
Lời giải
Gọi
( )
1
;
1
+

∈

−

a
Ma C
a
, phương trình tiếp tuyến tại M là:
( )
( )
2
21
1
1
−+
= −+
−
−
a
y xa
a
a
Tiếp tuyến đi qua điểm
( )
( )
2
21
0; m
1
1
+
⇒= +
−
−
aa
Am
a
a
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
1
1
*
1 2 1 10
12 1
≠
≠

⇔⇔

= − − + + +=
− = +−
a
a
ga m a m a m
ma a a
Để có đúng một tiếp tuyến từ
( )
C
đi qua A ta xét các trường hợp sau:
TH1: Với
1
1 4 20
2
= ⇒− + = ⇔ =ma a
TH2: Do
( )
12= −g
nên để có đúng một tiếp tuyến từ
( )
C
đi qua A thì
( )
ga
có nghiệm kép
( )
(
)(
)
2
1
1
1 1 10
≠
⇔ ⇔=−
′
∆= + − + − =
m
m
m mm
. Vậy
0=
∑
m
. Chọn C.
Ví dụ 12: Cho hàm số
3
12 12=−+yx x
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
;4−Am
. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
thực của m nguyên thuộc khoảng
( )
2;5
để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
. Tổng tất cả các phần
tử nguyên của tập S bằng
A. 7 B. 9 C. 3 D. 4
Lời giải
Gọi
( )
( )
3
; 12 12− +∈M aa a C
, phương trình tiếp tuyến tại M là:
( )
( )
23
3 12 12 12= − −+− +y a xa a a
Tiếp tuyến đi qua điểm
( )
;4−Am
khi
( )
( )
23
4 3 12 12 12−= − − + − +a ma a a
(
)( )
(
) (
) ( )(
) (
)
( )
3
12 16 3 2 2 0 2 4 2 3 6 0⇔− ++ − + −=⇔− + −+ + − =


a a a a ma a a a a ma
(
)
(
)
2
2 2 2 3 6 86 0⇔ − − + + − −+ =
a a a ma a m
(
) ( )
2
2
2 3 4 6 80
=
⇔
=− + − + −=
a
ga a m a m
Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
khi
( )
0=ga
có 2 nghiệm phân biệt khác 2
( )
( ) ( )
( )
; 2;5
2
4
2 86 86 8 0
3
3; 4 7
4
3 4 86 8 0
2
∈∈
>
=−+−+−≠

⇔ ⇔ → = ⇒ =

<−
∆= − + − >

≠
∑
mm
m
g mm
mm
m
mm
m
. Chọn A.
Ví dụ 13: Cho
3
1
+
=
−
x
y
x
có đồ thị
( )
C
. Gọi A là điểm trên
: 21= +dy x
có hoành độ a mà từ A kẻ được
hai tiếp tuyến tới
( )
C
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( ) { }
1; 2 \ 0;1∈−a
B.
( ) { }
1; 2 \ 0
∈−a
C.
( ) { }
2; 2 \ 1∈−a
D.
( ) { }
2; 2 \ 0∈−a
Lời giải
Gọi
( )
;2 1+Aa a
, gọi
( )
0
0
0
3
;
1

+
∈

−

x
Mx C
x
Phương trình tiếp tuyến tại M là:
( )
(
)
0
0
2
0
0
3
4
1
1
+
−
= −+
−
−
x
y xx
x
x
Do tiếp tuyến đi qua điểm
( )
;2 1+Aa a
nên
( )
( )
0
0
2
0
0
3
4
21
1
1
+
−
+= − +
−
−
x
a ax
x
x
( )( )
( ) ( )
0
0
2
2
2
00 0
0 00 0
1
1
2 2 3 20
21 1 44 2 3
≠
≠

⇔⇔

= − + + +=
+ −=−+++−
x
x
g x ax a x a
a x a xx x
Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới
( )
C
thì phương trình
( )
0
0=gx
có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
( )
(
)
(
) {
}
2
2
2
0
0; 1
1 4 4 0 1; 2 \ 0;1
2 2 40
2 3 20
≠
≠≠
⇔ =− + ≠ ⇔ ⇔ ∈−

− + +>
′
∆= + − − >
a
aa
ga a
aa
a aa
. Chọn A.
Dạng 4: Tiếp tuyến với bài toán tương giao
Phương pháp giải:
Viết phương trình hoành độ giữa đồ thị hàm số
(
)(
)
=y fxC
và đường thẳng
: = +d y ax b
. Gọi
( )
; +
ii
A x ax b
là tọa độ giao điểm khi đó
( )
′
=
ii
k fx
là hệ số góc của tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm A.
Ví dụ 1: Cho hàm số
(
)
1
21
−+
=
−
x
yC
x
. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng
:
= +
dy x m
luôn cắt đồ
thị
( )
C
tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi
12
,kk
lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với
( )
C
tại A và B. Tìm
m để tổng
12
+
kk
đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là:
( )
( )
1
21 1
21
−+
= + ⇔ + − =−+
−
x
xm xm x x
x
(Do
1
2
=x
không phải là
nghiệm)
(
)
2
2 2 1 0*⇔ + − −=x xm
.
Ta có:
( )
2
2 20
′
∆= + + > ∀∈ ⇒mm x d
luôn cắt
( )
C
tại 2 điểm phân biệt.
Gọi
12
,xx
là nghiệm của phương trình (*) theo định lý Vi-ét ta có:
12
12
1
1
2
+=−
−−
=
xx
m
xx
Khi đó
( ) (
)
( )
( )
( )
2
12 12 12
12
22 2
12
12 1 2
4 84 2
11
21 21
42 1
+ − − ++
−
+= − =−
−−
− ++


xx xx xx
kx
xx
xx x x
( )
2
2
4 864 122=− − −=− + −≤−mm m
.
Do đó
12
+
kk
đạt giá trị lớn nhất
1⇔=−m
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
32
43=++yx x C
. Viết phương trình đường thẳng d qua
( )
0;3A
và cắt
( )
C
tại 3
điểm phân biệt A, B, C sao cho các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau.
Lời giải
Phương trình đường thẳng d là:
3
= +y kx
Phương trình hoành độ giao điểm là:
(
)
(
)
3
32
2
0 0; 3
43 3
40
= ⇒
+ += +⇔
= + −=
xA
x x kx
gx x x k
Để d cắt
( )
C
tại 3 điểm phân biệt
( )
0⇔=gx
có 2 nghiệm phân biệt khác 0
40
04
0
′
∆= + >
⇔ ⇔ ≠ >−
≠
k
k
k
Khi đó gọi,
( )
11
;3+B x kx
,
(
)
22
;3+
C x kx
( )
22
1 1 112 22
38, 38
′
⇒= = + = +kyx xxkxx
Để các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau
12
.1⇔=−kk
( )
(
)
( )
(
)
12 1 2 12 12 1 2
. 3 8 3 8 1 . 9 24 64 1
⇔ + + =−⇔ + + + =−xx x x xx xx x x
(
)
2
16 247
9 32 1 9 32 1 0
9
−±
⇔− − − =− ⇔ + + = ⇔ =kk k k k
(thỏa mãn)
Vậy
16 247 16 247
:3
99
−± −±
= ⇒= +k dy x
.
Ví dụ 3: Gọi
1
k
và
2
k
lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại các giao điểm của
( )
1
:
2
−
=
−
x
Cy
x
và đường
thẳng
: 21= +dy x
. Giá trị của
12
+
kk
là:
A. 5 B. 10 C. 20 D. 30
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là
2
2
1 26
21
22
2 4 10
≠
−±
= +⇔ ⇔ =
−
− −=
x
x
xx
x
xx
Mặt khác ta có:
( )
12
2
1 26 26
20
22
2

− +−
′ ′′
= ⇒+= + =


−

y kk y y
x
. Chọn C.
Ví dụ 4: Tìm giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
2
2
= −y x mx
cắt đường thẳng
1
= −y
tại 2 điểm phân
biệt A, B sao cho tổng hệ số góc tiếp tuyến của
(
)
C
tại A và B bằng 4.
A.
2
=m
B.
C.
D.
3=
m
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là
2
2 10− +=x mx
Đk cắt tại 2 điểm phân biệt là:
2
10
′
∆= − >m
. Khi đó
12
;xx
là hoành độ giao điểm thì
12
12
2
1
+=
=
xx m
xx
Lại có
(
) ( )
1 21 2
2 2 2 22 24 44 2
′ ′′
= −⇒ + = −+ −= −=⇔ =y x yx yx x x m m
. Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hàm số
( ) ( )
32
31 32=−+++y x m x mx C
. Số các giá trị của m để
( )
C
cắt trục Ox tại 3 điểm
phân biệt
( )
1; 0A
, B, C sao cho tiếp tuyến tại B và C của
( )
C
song song với nhau.
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là:
( )
32
3 1 3 20− + + +=x m x mx
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
2
2
1
1 3 2 20
3 2 20
=
⇔− − + −=⇔
= − + −=
x
x x mx
gx x m x
+) Để
( )
C
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
(
)
0⇔=
gx
có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
( )
( )
( )
2
3 2 80
*
1 3 30
∆= + + >
⇔
=− −≠
m
gm
Khi đó gọi,
( )
(
) ( )
12
1 2 12
12
32
;0 , ;0
2
+= +
⇒≠
= −
xx m
Bx Cx x x
xx
Ta có:
( ) (
) (
)
( )
22
11112222
36 1 3, 36 1 3
′′
= =−++ = =−++k yx x m x mk yx x m x m
Do tiếp tuyến tại B và C song song nên ta có:
( ) ( )
22
121122
21 21=⇔−+=−+kk x mxx mx
( )( )
1212 12
220 223222 0⇔ − + − − =⇔ + = +⇔ += +⇔ =xxxx m xx m m m m
(t/m). Chọn A.
Ví dụ 6 [Đề thi THPT QG năm 2018]: Cho hàm số
42
17
42
= −yx x
có đồ thị
( )
C
. Có bao nhiêu điểm
( )
∈AC
sao cho tiếp tuyến của
( )
C
tại A cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
( )
( )
11 2 2
;y , ;Mx Nx y
(M, N khác
A) thỏa mãn
( )
12 12
6−= −yy xx
?
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
Lời giải
Từ giả thiết ta được đường thẳng MN có một vectơ chỉ phương
( )
1; 6
u
.
Suy ra hệ số góc của đường thẳng MN bằng 6.
Gọi
(
)
00
;Ax y
ta có:
( )
0
3
0 00 0
0
3
6 76 1
2
=
′
=⇔− =⇔ =−
= −
x
fx x x x
x
.
Ta được các phương trình tiếp tuyến tương ứng là
117
6
4
= −yx
,
11
6
4
= +yx
,
62= +
yx
.
Kiểm tra điều kiện cắt tại 3 điểm
Ta xét phương trình
( )
( )
42 42
17 17
6 6*
42 42
− = +⇔ = − − =xxxmgxxxxm
.
Khi đó
( )
3
3
0 7 60 1
2
=
′
=⇔ − −=⇔ =−
= −
x
gx x x x
x
. Ta được bảng biến thiên sau:
x
−∞
2−
1−
3
+∞
( )
′
yx
−
0 + 0
−
0 +
(
)
yx
+∞
11
4
+∞
2
117
4
−
Dựa vào BBT suy ra
11
4
=m
,
2=m
thì phương trình (*) có ba nghiệm.
Vậy có hai điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Ví dụ 7: Cho hàm số
( )
32
32
=++y x mx x C
. Biết tiếp tuyến của
( )
C
tại các điểm có hoành độ
1
x
và
2
x
có
cùng hệ số góc
5=k
. Biết
22
12
10
+=
xx
giá trị của m là:
A.
1
= ±m
B.
2
= ±m
C.
D.
3
= ±
m
Lời giải
Ta có
( )
(
)
2
11
12
2
21
3 6 25
5
3 6 25
+ +=
′′
= = ⇔
+ +=
x mx
yx yx
x mx
. Khi đó
12
;xx
là nghiệm của phương trình
2
3 6 25+ +=x mx
hay
( )
22
2 10 10+ −= +>x mx m
. Theo Vi-ét ta có:
12
12
2
1
+=−
= −
xx m
xx
Lại có
( )
2
22 2
1 2 1 2 12
2 4 2 10 2+ = + − = += ⇔ =±x x x x xx m m
. Chọn B.
Ví dụ 8: Cho hàm số
( )
( )
32
3 31=− ++y x mx m x C
. Số các giá trị nguyên của
m
để trên
( )
C
tồn tại 2 điểm
( ) ( )
11 2 2
;, ;Mxy Nx y
phân biệt sao cho tiếp tuyến tại M và N cùng vuông góc với đường thẳng
: 3 20− +=dx y
và
12
25+=xx
.
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
Lời giải
Viết lại
12
:
33
= +dy x
.
( )
2
36 3 1
′
=−++y x mx m
Ta có:
(
)
1
1
.1
3
′
= −yx
,
( )
2
1
.1
3
′
= −yx
nên
12
;xx
là nghiệm của PT:
2
2 11− + +=−x mx m
( )
2
2 2 01⇔ − + +=x mx m
Để tồn tại 2 điểm M, N thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt dương
2
20
20 2
20
′
∆= − − >
⇔ > ⇔>
+>
mm
mm
m
.
Khi đó ta có:
(
)
2
12
1 2 1 2 12
12
2
2 2 2 2 20
2
+=
⇒ + = + + = + +=
= +
xx m
x x x x xx m m
xx m
(
)
2
10
7
2 10
<
⇔ ⇔=
+= −
m
m
mm
(tm). Chọn A.
Dạng 5: Tiếp tuyến của hàm số hợp
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
( )
=y fxC
xác định trên ℝ và thỏa mãn
( )
( )
32
11 1
−+ − =+
f xf x x
. Viết phương
trình tiếp tuyến của
( )
C
tại giao điểm của
( )
C
với trục tung.
A.
1
5
= −yx
B.
1
1
5
=−+yx
C.
1= −yx
D.
1
=−+
yx
Lời giải
Ta có:
( )
∩C Oy
tại điểm có hoành độ
0=x
.
Đặt
( )
( )
0
0
=
′
=
fa
fb
, thay
1=x
vào giả thiết ta có:
( ) ( )
33
0 02 2 1+ =⇔ +=⇔=f f aa a
Đạo hàm 2 vế biểu thức
( )
( )
32
11 1−+ − =+f xf x x
ta được:
( ) ( )
( )
( )
22
3 1 1 2. 1 1*
′′
− − −− − =f x f x xf x
Thay
1
=x
vào biểu thức (*) ta có:
1
2
1
3 21 321
5
=
− −=→−−=⇔=−
a
abb bb b
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
1
1
5
=−+yx
. Chọn B.
Ví dụ 2:
Cho hàm số
( )( )
=y fxC
xác định trên ℝ và thỏa mãn
( )
( )
3
2 3 3.− +=+f x x xf x
. Viết phương
trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có hoành độ
1=x
.
A.
21
33
17
33
= −
=−+
yx
yx
B.
21
33
15
33
= −
=−−
yx
yx
C.
25
33
17
33
= −
=−+
yx
yx
D.
25
33
17
33
= −
=−+
yx
yx
Lời giải
Đặt
( )
(
)
1
1
=
′
=
fa
fb
, thay
1=x
vào giả thiết ta có:
33
1
133 3 2 0
2
= −
+=+ ⇔ − − = ⇔
=
a
a aa a
a
Đạo hàm 2 vế biểu thức
( ) ( )
3
2 3 3.− +=+f x x xf x
ta được:
( ) ( ) ( ) ( )(
)
2
3 2 2 1 3 3. *
′′
− − − += +f x f x f x xf x
Thay
1
=x
vào biểu thức (*) ta có:
2
3 13 3
− += +
ab a b
TH1: Với
2
1 3 1 33
3
=− ⇒− + =− + ⇔ =a b bb
Phương trình tiếp tuyến là:
( )
2 25
11
3 33
= − −= −
yx x
.
TH2: Với
1
2 12 1 6 3
3
= ⇒− + = + ⇔ =−a b bb
Phương trình tiếp tuyến là:
( )
1 17
12
3 33
−
=− −+= +yx x
. Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hàm số
(
)(
)
=
y fxC
xác định trên ℝ và thỏa mãn
( ) ( )
2
22 1 2−+ += +f x fx x x
. Tiếp
tuyến của
( )
C
tại điểm có hoành độ
2=
x
đi qua điểm nào trong các điểm sau:
A.
( )
2;1
B.
5
1;
3



C.
2
2;
3
−



D.
13
1;
3



Lời giải
Thay
0; 1= =
xx
vào đề bài ta có:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
22 10 2 1
21 2 3 1 2
+= =−


⇔

+= =


ff f
ff f
Đạo hàm 2 vế biểu thức:
( )
( )
2
22 1 2−+ += +f x fx x x
ta được:
( )
( ) ( )
2 2 1 2 2*
′′
− −+ += +f x fx x
Thay
0; 1= =xx
vào (*) ta được:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
8
2
2 2 12
3
10
21 24
1
3
′
= −
′′
− +=

⇔

−
′′
−+=
′
=
f
ff
ff
f
Suy ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
2=x
có phương trình là:
( )
8 8 13
21
3 33
−
=− − −= +yx x
Do đó tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có hoành độ
2−x
đi qua điểm
5
1;
3



. Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số
( )( )
=y fxC
xác định trên ℝ và thỏa mãn
( ) ( )
( )
2
2 1 1 32 1−+ += +
f xf x x
. Tiếp
tuyến của
( )
C
tại thời điểm có hoành độ
3=x
cắt trục tọa độ tại 2 điểm A và B. Diện tích tam giác OAB là
OAB
S
thỏa mãn:
A.
05<<
OAB
S
B.
5 15<<
OAB
S
C.
15 30
<<
OAB
S
D.
30>
OAB
S
Lời giải
Thay
2; 2=−=xx
vào đề bài ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 3 1 27 3 9
2 1 3 27 1 9
+ −= =


⇔

−+ = −=


ff f
ff f
Đạo hàm 2 vế biểu thức:
(
)
(
)
(
)
2
2 1 1 32 1−+ += +
f xf x x
ta được:
( ) ( ) ( )
2 1 1 12 *− −+ +=f xf x x
Thay
2; 2=−=xx
vào (*) ta được:
(
)
( )
( ) ( )
(
)
( )
2 3 1 24 3 8
2 1 3 24 1 8
′′ ′
− + −=− =


⇔

′′ ′
− −+ = −=−


ff f
ff f
Suy ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
3
=x
có phương trình là:
(
)
8 3 9 8 15= − += −
yx x
Khi đó
1 15
.15. 14,0625
28
= =
OAB
S
. Chọn B.
Ví dụ 5: Cho các hàm số
(
) (
)
( )
2
, ,4= = = +


yfxyffx yfx
có đồ thị lần lượt là
( ) (
) ( )
123
,,CC C
.
Đường thẳng
1=x
cắt
( ) ( ) ( )
123
,,CC C
lần lượt tại M, N, P. Biết phương trình tiếp tuyến của
( )
1
C
tại M và
của
( )
2
C
tại N lần lượt là
32= +yx
và
12 5
= −
yx
. Phương trình tiếp tuyến của
( )
3
C
tại P bằng:
A.
81= −yx
B.
43= +
yx
C.
25= +yx
D.
34= +yx
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
13
3 2 1 1. 1 1 1 1
15
′
=
′ ′′
= +⇔= = −⇔= − + ⇒
=
f
y x yf f x yf xf f
f
Tiếp tuyến của
( )
2
C
tại N là
(
) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
)
1 1. 1.1 535.1
′′ ′
− = −⇔− = −
 
 
yff f ff x yf f x
( )
( ) (
)
3 . 5 3. 5
′′
⇔= + −y f xx f f
mà
( )
( ) ( )
( )
( )
3 12 5 4
12 5
5 3. 5 5 5 7
′′
= =


= − → ⇔

′
−=− =


fx f
yx
ff f
Lại có
(
) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 22 2
4 4.42.4125
′
′′ ′ ′
= +⇒= + += +⇒ =y fx y x fx xfx y f
.
Do đó, tiếp tuyến của
( )
3
C
tại P là
( )
( )( )
( )
5 2 5 1 78 1 8 1
′
= = −⇔−= −⇔= −yffxy xyx
.
Chọn A.
Dạng 6: Tìm điều kiện để 2 đồ thị tiếp xúc với nhau
Cho 2 hàm số
( )
=y fx
và
( )
=y gx
. Đồ thị 2 hàm số trên tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi
( ) ( )
( ) ( )
=
′′
=
f x gx
f x gx
và nghiệm của hệ phương trình này chính là hoành độ của tiếp điểm.
Ví dụ 1: Biết rằng hai đường cong
3
5
2
4
=+−
x
yx
và
2
2= +−yx x
tiếp xúc với nhau tại một điểm duy
nhất
( )
00
;Mx y
. Tính OM.
A.
1
2
=OM
B.
29
2
=OM
C.
29
4
=OM
D.
29
3
=OM
Lời giải
Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình:
32
2
5
22
1
4
5
2
3 21
4
+ −= +−
⇔=
+= +
x
x xx
x
xx
Khi đó
1 5 29
;
24 4

−⇒ =


M OM
.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
3
31= − ++y x mx m
tiếp xúc với trục hoành.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình
3
2
3 10
330
− + +=
−=
x mx m
xm
( )
3
2
3 1 01
− + +=
=
x mx m
mx
có nghiệm.
Thế
2
=
mx
vào phương trình (1) ta có:
3 32
3 10 1 1
− + += ⇔ =⇒ =
x xx x m
. Chọn A.
Ví dụ 3: Số các giá trị của tham số m để hai đồ thị
( )
3
31=−+fx x x
và đường thẳng
( )
: 11= −−d y mx
tiếp xúc với nhau là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình:
( )
3
2
3 1 11
33
− += − −
−=
x x mx
xm
có nghiệm.
Suy ra
( )
( )
3 2 32
19
3 1 3 3 1 1 2 3 10
24
10
=−⇒ =−
− += − − −⇔ − += ⇔
=⇒=
xm
xx x x xx
xm
. Chọn B.
Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
(
)
32
:8=+−C y x mx x
tiếp xúc với
đường thẳng
9= +yx m
. Tổng các phần tử của tập hợp S là:
A. 0 B. 3 C.
3−
D. 4
Lời giải
Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình:
( )
( )
32
2
8 91
3 2 8 12
+ −=+
+ −−
x mx x x m
x mx
có nghiệm.
Ta có:
( ) ( ) (
)
( )
( )
32 2 2
1 99 0 9 0 9 0⇔+ −−=⇔ +− +=⇔ − +=x mx x m xxm xm x xm
3= ±
⇔
= −
x
xm
Với
33=⇒=−xm
Với
33
=−⇒ =xm
Với
= −xm
ta có:
22
32 9 3
− =⇔=±
mm m
.
Vậy
là các giá trị cần tìm. Vậy tổng các phần tử của tập S là 0. Chọn A.
Ví dụ 5: Gọi
S
là tập hợp các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
( )
32
2 3 3 18 8=−+ + −y x m x mx
tiếp
xúc với trục hoành. Tổng các phần tử của tập hợp S là:
A. 9 B.
278
27
C. 8 D.
208
27
Lời giải
Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình:
(
)
( )
32
2
2 3 3 18 8 0
6 6 3 18 0
− + + −=
− ++ =
x m x mx
x mxm
( ) ( )
( ) ( )
32
2
2 3 3 18 8 0 1
3 3 02
− + + −=
⇔
−+ + =
x m x mx
x m xm
có nghiệm.
Ta có:
(
) ( ) ( ) ( )( )
3
2 3 03 0
=
⇔ −− −=⇔− −=⇔
=
x
xxm xm x xm
xm
Với
3
=x
thế vào (1) ta có:
( )
35
54 27 3 54 8 0
27
− + + −=⇔ =
mm m
.
Với
=xm
thế vào (1) ta có:
( )
( )
( )
32 2 32 2
2 3 3 18 80 9 80 1 8 8 0
− + + −=⇔− + −=⇔ − − − =
m mm m m m m m m
Ta được tổng các giá trị của tập hợp S là:
35 278
18
27 27
++ =
. Chọn B.
Ví dụ 6: Tính tổng S tất cả các giá trị tham số m để đồ thị
( )
3 2 23
33 2=− + +−
f x x mx mx m m
tiếp xúc với
trục hoành.
A.
4
3
=S
B.
1
=S
C.
0=S
D.
2
3
=S
Lời giải
Đồ thị đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
( )
( ) ( )
3 2 23
3 2 23
2
2
3 3 20
3 3 20
2 01
36 30
=− + +− =
− + +− =

⇔

′
= − +=
= − +=
f x x mx mx m m
x mx mx m m
g x x mx m
f x x mx m
Lấy
( )
( )
fx
gx
ta được
( )
( ) ( )
( )
2 23
. 22 2 2= −+ − + −f x gx x m m m x m m
Suy ra
( ) ( )
( )
2 23 2
0
22 2 2 0 22 0 1
=
− + − =⇔ − +=⇔=
= −
m
mmxm m mmxm m
xm
Với
( )
22
0
120
1
3
=
=−⇒ ⇔ + + =⇔
= −
m
x m m mm
m
Vậy
1
0, 1,
3
= = = −m mm
. Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho đồ thị hàm số
(
)
1
:
2
−+
=
−
x
Cy
x
. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm
( )
2; 1−A
là
A. 1 B. 3 C. 2 D. 0
Câu 2: Cho hàm số
21
1
+
=
−
x
y
x
có đồ thị là
( )
C
. Số tiếp tuyến của đồ thị
(
)
C
mà đi qua điểm
( )
1; 2M
là
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
Câu 3: Biết trên đồ thị
( )
1
:
2
−
=
+
x
Cy
x
có hai điểm mà tiếp tuyến tại các điểm đó đều song song với đường
thẳng
: 3 15 0−+ =d xy
. Tìm tổng S các tung độ tiếp điểm.
A.
3
=S
B.
6=S
C.
4= −S
D.
2
=S
Câu 4: Cho hàm số
32
32
=−+ +yx x
có đồ thị
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
mà có hệ số góc lớn
nhất là:
A.
31= +yx
B.
31=−−yx
C.
31=−+yx
D.
31= −
yx
Câu 5: Đường thẳng
2+=
xy m
là tiếp tuyến của đường cong
3
34=−+ +yx x
khi m bằng
A.
3
−
hoặc 1 B. 1 hoặc 3 C.
1
−
hoặc 3 D.
3−
hoặc
1
−
Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(
)
32
11
46
32
= − −+
fx x x x
tại điểm có hoành độ là nghiệm của
phương trình
( )
0
′′
=fx
có hệ số góc bằng
A.
4
−
B.
47
12
C.
13
4
−
D.
17
4
−
Câu 7: Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
32
1
2 35
3
= − +−
yxxx
.
A. Có hệ số góc dương. B. Song song với trục hoành.
C. Có hệ số góc bằng
1−
. D. Song song với đường thẳng
1=x
.
Câu 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
2
+
=
−
x
y
x
tại điểm có hoành độ bằng 3 là
A.
3 13= +yx
B.
35= −yx
C.
35
=−−yx
D.
3 13
=−+yx
Câu 9: Cho hàm số
2
1
+
=
+
x
y
x
có đồ thị
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ
thị
( )
C
với trục tung là:
A.
2=−+yx
B.
1=−+yx
C.
2= −yx
D.
2=−−yx
Câu 10: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
32=−+yx x
vuông góc với đường thẳng
1
9
= −yx
là
A.
11
18, 5
99
=−+ =−+yxyx
B.
11
18, 14
99
=+=−
yx yx
C.
9 18, 9 14=+=−yx yx
D.
9 18, 9 5=+=+yx yx
Câu 11: Cho hàm số
2
1
=
−
y
x
có đồ thị hàm số
( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại giao điểm
của
( )
C và trục tung.
A.
22
= +
yx
B.
2
= +
yx
C.
22=−+yx
D.
22= −yx
Câu 12: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
31=−+yx x
tại điểm
( )
3;1A
là:
A.
9 26=−−yx
B.
9 26
= −yx
C.
93
=−−yx
D.
92
= +yx
Câu 13: Cho đồ thị hàm số
32
1
23
3
= −+yxxx
. Phương trình nào dưới đây là phương trình tiếp tuyến hệ số
góc nhỏ nhất của đồ thị trên.
A.
8
3
=−+
yx
B.
8
3
= +
yx
C.
8
3
=−−yx
D.
8
3
= −yx
Câu 14: Đường thẳng
=ym
tiếp xúc với đồ thị
( )
42
: 2 41
=−+ −Cy x x
tại hai điểm phân biệt. Tìm tung độ
tiếp điểm.
A. 1 B.
1−
C. 0 D. 3
Câu 15: Cho hàm số
( )
32
2 12
=− +− +yx x m x m
có đồ thị là
( )
m
C
. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất của đồ thị
( )
m
C
vuông góc với đường thẳng
: 3 2018∆=+yx
.
A.
7
3
=m
B.
1=m
C.
2=
m
D.
1
3
= −m
Câu 16: Cho hàm số
23
2
−
=
−
x
y
x
có đồ thị
( )
C
. Một tiếp tuyến của
( )
C
cắt hai tiệm cận của
( )
C
tại hai
điểm A, B và
22=AB
. Hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng.
A.
2−
B.
2−
C.
1
2
−
D.
1−
Câu 17: Cho hàm số
( )
=y fx
xác định và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn
( ) ( )
23
12 1+ =−−


f x xf x
.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
=y fx
tại điểm có hoành độ bằng 1.
A.
16
77
=−−yx
B.
18
77
=−−yx
C.
18
77
=−+yx
D.
6
7
=−+yx
Câu 18: Gọi S là tập hợp các giá trị của hàm số m để đồ thị hàm số
42
22
= − +−yx x m
có đúng một tiếp
tuyến song song với trục Ox. Tính tổng các phần tử của S.
A.
2−
B. 5 C.
5−
D. 3
Câu 19: Gọi S là tập hợp các giá trị của hàm số m sao cho đường thẳng
:3= −−
d y mx m
cắt đồ thị
( )
32
:232=−−Cy x x
tại ba điểm phân biệt A, B,
( )
1; 3−I
mà tiếp tuyến với
( )
C
tại A và tại B vuông góc
với nhau. Tính tổng các phần tử của S.
A.
1−
B. 1 C. 2 D. 5
Câu 20: Cho hàm số
2
1
−
=
−
x
y
x
có đồ thị
( )
C
và điểm
(
)
;1Am
. Gọi S là tập các giá trị của m để có đúng một
tiếp tuyến của
( )
C
đi qua A. Tính tổng bình phương các phần tử của tập S.
A.
13
4
B.
5
2
C.
9
4
D.
25
4
Câu 21: Cho đồ thị
( )
1
:
2
−
=
x
Cy
x
và
12
,dd
là hai tiếp tuyến của
( )
C
song song với nhau. Khoảng cách lớn
nhất giữa
1
d
và
2
d
là
A. 3 B.
23
C. 2 D.
22
Câu 22: Cho hàm số
3
31=−+yx x
có đồ thị
( )
C
. Gọi
( ) ( )
;, ;
AA BB
Axy Bxy
với
<
AB
xx
là các điểm thuộc
( )
C
sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và
42=AB
. Tính
35
= −
AB
Sx x
.
A.
16= −S
B.
16=S
C.
15=S
D.
9= −S
Câu 23: Cho hàm số
( )
=y fx
xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
( )
2
0, , '() . ()
x
fx x fx ef x x> ∀∈ =− ∀∈
và
( )
1
0
2
=f
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có
hoành độ
0
ln 2=
x
là
A.
2 9 2 ln 2 3 0+ − −=xy
B.
2 9 2 ln 2 3 0− − +=xy
C.
2 9 2 ln 2 3 0− + −=xy
D.
2 9 2 ln 2 3 0+ + −=xy
Câu 24: Cho hàm số
4
2
5
3
22
=−+
x
yx
, có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
∈MC
có hoành độ
=
M
xa
. Có bao nhiêu
giá trị nguyên của a để tiếp tuyến của
( )
C
tại M cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt khác M.
A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 25: Cho hàm số
( ) ( )
, , , ; 0, 0
+
= = ∈≠≠
+
ax b
y f x abcd c d
cx d
có đồ thị
( )
C
. Đồ thị của hàm số
( )
′
=y fx
như hình vẽ dưới đây.
Biết
( )
C
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tiếp tuyến của
( )
C
tại giao điểm của
(
)
C
với trục hoành
có phương trình là:
A.
3 20+ −=xy
B.
3 20+ +=xy
C.
3 20− −=xy
D.
3 20
− +=
xy
Câu 26: Cho hàm số
42
17
42
= −yx x
có đồ thị
( )
C
. Có bao nhiêu điểm A thuộc
( )
C
sao cho tiếp tuyến của
( )
C
tại A cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
( ) ( )
11 2 2
;, ;Mxy Nx y
(M, N khác A) thỏa mãn
(
)
12 12
6−= −
yy xx
?
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
Câu 27: Cho hàm số
42
1 14
33
= −yx x
có đồ thị
( )
C
. Có bao nhiêu điểm A thuộc
( )
C
sao cho tiếp tuyến của
( )
C
tại A cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
( ) (
)
11 2 2
;, ;Mxy Nx y
(M, N khác A) thỏa mãn
( )
12 12
8−= −yy xx
?
A. 2 B. 1 C. 3 D. 0
Câu 28: Cho hàm số
42
13
3
22
= −+yxx
có đồ thị là
( )
C
và điểm
27 15
;
16 4

−−


A
. Biết có ba điểm
( ) ( ) ( )
1 11 2 2 2 3 3 3
;, ;, ;M xy M x y M xy
thuộc
( )
C
sao cho tiếp tuyến của
( )
C
tại mỗi điểm đó đều đi qua A.
Tính
123
=++Sxx x
.
A.
7
4
= −S
B.
3
= −S
C.
5
4
= −S
D.
5
4
=S
Câu 29: Cho hàm số
( )
2
1
=
+
x
yC
x
. Các điểm
( )
∈MC
sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai
trục tọa độ tại A, B với diện tích tam giác OAB bằng
1
4
có dạng
( ) ( )
12
;, ;M ab M cd
. Khi đó tổng
+++abcd
là
A.
1
5
−
B.
1
4
−
C.
1
3
−
D.
1
2
−
Câu 30: Cho hàm số
32
31=+++yx x x
có đồ thị là
( )
C
. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để từ điểm
(
)
0;
Mm
kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị
( )
C
mà hoành độ tiếp điểm thuộc đoạn
[ ]
1; 3
.
A. Vô số B. 0 C. 61 D. 60
Câu 31: Cho hàm số
23
2
+
=
−
x
y
x
có đồ thị
( )
C
. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để
( )
:2= +
m
d y xm
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến của
( )
C
tại hai điểm đó song song với nhau?
A. Vô số B. 1 C. 0 D. 2
Câu 32: Cho hàm số
1
2
−
=
+
x
y
x
, gọi d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng
2−m
. Biết
đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm
( )
11
;Ax y
và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số tại điểm
( )
22
;
Bx y
. Gọi S là tập hợp các số m sao cho
21
5+=−xy
. Tính tổng bình phương các phần từ
của S.
A. 0 B. 4 C. 10 D. 9
Câu 33: Cho hàm số
3
2009= −yx x
có đồ thị là
( )
C
.
1
M
là điểm trên
( )
C
có hoành độ
1
1=
x
. Tiếp tuyến
của
( )
C
tại
1
M
cắt
( )
C
tại điểm
2
M
khác
1
M
, tiếp tuyến của
( )
C
tại
2
M
cắt
( )
C
tại điểm
3
M
khác
2
M
… tiếp tuyến của
( )
C
tại
1−n
M
cắt
( )
C
tại
n
M
khác
1−n
M
(n = 4;5;…), gọi
( )
;
nn
xy
là tọa độ điểm
n
M
.
Tìm n để:
2013
2009 2 0++ =
nn
xy
.
A. n = 685 B. n = 679 C. n = 672 D. n = 675
Câu 34: Cho hàm số
3
3= +yx x
có đồ thị là
( )
C
.
1
M
là điểm trên
( )
C
có hoành độ bằng 1. Tiếp tuyến tại
điểm
1
M
cắt
( )
C
tại điểm
2
M
khác
1
M
. Tiếp tuyến tại điểm
2
M
cắt
( )
C
tại điểm
3
M
khác
2
M
. Tiếp
tuyến tại
1−n
M
cắt
( )
C
tại điểm
n
M
khác
1−n
M
( )
4,≥∈nn
? Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện
21
3 20−+=
nn
yx
.
A.
7=
n
B.
8=n
C.
22=n
D.
21=n
Câu 35: Cho hàm số
42
17
84
= −yx x
có đồ thị
( )
C
. Có bao nhiêu điểm A thuộc đồ thị
( )
C
sao cho tiếp
tuyến của
(
)
C
tại A cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
( ) (
)
11 2 2
;; ;Mxy Nx y
(M, N khác A) thỏa mãn
( )
12 12
3−= −yy xx
.
A. 0 B. 2 C. 3 D. 1
Câu 36: Giả sử đường thẳng
= +y ax b
là tiếp tuyến chung của đồ thị hàm số
2
56=−+yx x
và
2
3 10=+−yx x
. Tính
2= +M ab
.
A.
16=M
B.
4= −M
C.
4=M
D.
7=M
Câu 37: Cho hàm số
( )
32
1
2 8 12
3
= − + −+y x mx m x
, (m là tham số) có đồ thị là
( )
m
C
tồn tại hai điểm phân
biệt
( ) ( )
;, ;
AA BB
Axy Bxy
sao cho mỗi tiếp tuyến của
( )
m
C
tại A, B vuông góc với đường thẳng
: 4 40∆ − +=xy
đồng thời
22+≤
AB
xx
là
[
)
;=S uv
. Tính
+uv
.
A.
3
2
B. 5 C. 3 D.
5
2
Câu 38: Qua điểm
( )
1; 4
−
A
kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị
( )
1
:
1
=
+
Cy
x
tại hai tiếp điểm
( )
11
;
Mxy
và
(
)
22
;Nx y
. Khẳng định đúng là
A.
12
1
=xx
B.
12
1
= −xx
C.
12
5
= −
xx
D.
12
5
=xx
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Ta có
( )
2
1
2
′
=
−
y
x
. Giả sử
1
;
2
−+


−

a
Ma
a
là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến tại M là
( )
( )
2
11
2
2
−+
= −+
−
−
a
y xa
a
a
Mà tiếp tuyến qua
( )
2; 1−A
nên
(
)
(
)
2
11
2 1 12
22
2
−+ −
− + =−⇔ =−⇔− = −
−−
−
aa
a aa
aa
a
Do đó không có giá trị a thỏa mãn. Chọn D.
Câu 2: Ta có
( )
2
3
1
−
′
=
−
y
x
. Giả sử
21
;
1
+


−

a
Ma
a
là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến tại M là
( )
( )
2
3 21
1
1
−+
= −+
−
−
a
y xa
a
a
Mà tiếp tuyến qua
(
)
1; 2
M
nên
(
)
( )
2
3 21 24
1 2 2 2 42 2
11
1
− ++
− + =⇔ =⇔ += −
−−
−
aa
a aa
aa
a
Do đó không có giá trị a thỏa mãn. Chọn A.
Câu 3: Ta có
(
)
2
3
2
′
=
+
y
x
. Giả sử
1
;
2
−


+

a
Ma
a
là tọa độ tiếp điểm
Hệ số góc là
( )
( )
( )
2
1 1; 2
3
3 242
3 3; 4
2
=−⇒ − −
= ⇔ ⇒ =−+ =
=−⇒ −
+
aM
S
aM
a
. Chọn D.
Câu 4: Ta có
( )
2
2
3 6 3 1 33
′
=− + =− − +≤y xx x
khi
14=⇒=xy
Do đó phương trình tiếp tuyến là
( )
3 1 43 1= −+= +
yx x
. Chọn A.
Câu 5: Ta có
2
32
′
=−+yx
. Giả sử
( )
3
; 24−+ +Ma a a
Ta có
( )
( )
( )
22
1 1; 5 3
3 21 1
1 1; 3 1
=⇒ ⇒=
′
= =− + =−⇔ =⇔
=−⇒ − ⇒ =
aM m
k ya a a
aM m
. Chọn B.
Câu 6: Ta có
( ) ( ) ( )
2
1
4 2 1; 0
2
′ ′′ ′′
= −−⇒ = − =⇔ =fx x x fx x fx x
Hệ số góc là
1 17
24

′
= −


f
. Chọn D.
Câu 7: Ta có
2
11
1
4 3; 0
3
35
=⇒=−
′′
=−+ =⇔ ⇒
=⇒=−
xy
yx x y
xy
cực tiểu là
( )
3; 5−
Hệ số góc của cực tiểu là
( )
30
′
= ⇒y
song song trục hoành. Chọn B.
Câu 8: Ta có
( )
2
3
2
−
′
=
−
y
x
. Tại
34=⇒=xy
. Hệ số góc là
( )
33
′
= −y
Phương trình tiếp tuyến là
(
)
3 3 4 3 13=− − +=− +yx x
. Chọn D.
Câu 9: Ta có
( )
2
1
1
−
′
=
+
y
x
. Giao điểm với trục tung là
( )
0; 2
. Hệ số góc
( )
01
′
= −y
Phương trình tiếp tuyến là
2=−+yx
. Chọn A.
Câu 10: Ta có
2
33
′
= −yx
. Giả sử
( )
3
; 32−+M aa a
là tọa độ tiếp điểm
Hệ số góc là
( )
( )
( )
22
2 2; 4 9 14
3 39 4
2 2; 0 9 18
=⇒ ⇒= −
′
= = −=⇔ = ⇔
=−⇒ − ⇒ = +
a M yx
k ya a a
a M yx
. Chọn C.
Câu 11: Ta có
( )
2
2
1
′
=
−
y
x
. Giao điểm với trục tung là
( )
0; 2
. Hệ số góc
( )
02
′
=
y
Phương trình tiếp tuyến là
22= +yx
. Chọn A.
Câu 12:
2
36
′
= −
yxx
. Hệ số góc là
( )
39
′
= ⇒y
tiếp tuyến
9 26= −yx
. Chọn B.
Câu 13:
( )
2
2
43 2 11
′
= − + = − − ≥−yx x x
khi
2
2
3
=⇒=xy
Phương trình tiếp tuyến là
( )
28
2
33
=− − + =−+
yx x
. Chọn A.
Câu 14:
3
01
8 8; 0
11
=⇒=−
′′
=−+ =⇔
=±⇒ =
xy
y x xy
xy
Do đó tung độ tiếp điểm là 1. Chọn A.
Câu 15: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
0
=xx
là
( )
2
0 00
34 1
′
= = − +−k yx x x m
Ta có
2
2
00 0
2 11 4
3 4 13
3 33 3

− + = − − ≥− ⇒ ≥ −


x x x km
. Do đó
min
4
3
= −km
Theo bài ra, ta có
min
4 41
3 13 1 1
3 33

=−⇔ − =−⇔ − =− ⇔ =


k m mm
. Chọn B.
Câu 16: Gọi
( )
( )
0
00
2
0
0
23
1
;
2
2

−
′
⇒=−

−
−

x
Mx yx
x
x
nên phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại M là
( ) ( )
( )
( )
0
00 0 0
2
0
0
23
1
..
2
2
−
′
− = − ⇔− =− −
−
−
x
yy yx xx y xx
x
x
( )
d
Tiếp tuyến d cắt TCĐ:
2=x
tại
0
00
22
2
2; 0;
22

−
⇒=

−−

x
A IA
xx
Tiếp tuyến d cắt TCN:
2=y
tại
( ) ( )
00
2 2; 2 2 4; 0− ⇒= −B x IB x
Suy ra
0
0
2
. .2 4 4
2
= −=
−
IA IB x
x
mà
22 2
82
+ = =⇒==
IA IB AB IA IB
Do đó
(
)
2
00
2 42 2 1 1− = ⇔ − = → = −
xx k
. Chọn D.
Câu 17: Thay
0
=x
vào giả thiết, ta được
(
) (
)
(
)
(
)
23
10
11
11
=
=−⇔
= −
f
ff
f
Đạo hàm 2 vế giả thiết, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 12 . 12 13 1 . 1
′′
+ +=+ − −f xf x f xf x
(*)
Thay
0=x
vào (*), ta được
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 1. 1 1 3 1. 1
′′
= +ff ff
(I)
TH1. Với
( )
10=f
thay vào (I), ta có
01
=
(vô lý)
TH2. Với
( )
11= −f
thay vào (I), ta có
( ) ( ) ( )
1
4 1 13 1 1
7
′ ′′
− =+ ⇒=−f ff
(vô lý)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
( )
1 16
11
7 77
+=− − ⇔ =− −
y x yx
. Chọn A.
Câu 18: Tiếp tuyến song song với trục
( )
0
0
′
⇒= =Ox k y x
Giải phương trình
3
02
4 40
13
=⇒=−
′
= −=⇔
=±⇒ = −
x ym
yxx
x ym
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
0; 2−
m
là:
2= −
ym
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
1; m 3±−
là:
3= −ym
Để có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox thì
20 2
30 3
−= =

⇔

−= =

mm
mm
.
Vậy
{ }
2;3 5
= ⇒=ST
. Chọn B.
Câu 19: Phương trình hoành độ giao điểm là:
32
232 3
− −= − −x x mx m
( ) ( )
(
)
( )
32 2
2 3 1 10 12 1 10⇔ − +− −=⇔ − −−− −=
x x mx x x x mx
( )
( )
( )
2
2
13
12 1 0
2 10
=⇒=−
⇔ − − −− = ⇔
= − −− =
xy
x xx m
gx x x m
Để d cắt
( )
C
tại 3 điểm phân biệt thì
( )
0=gx
có 2 nghiệm khác 1
( )
( )
1 81 0
10
∆= + + >
⇔
=−≠
m
gm
(*)
Gọi
( )
11
;3−−A x mx m
và
( )
22
;3−−B x mx m
theo Vi-ét ta có:
12
12
1
2
1
2
+=
−−
=
xx
m
xx
Để tiếp tuyến tại A và B của
( )
C
vuông góc với nhau thì
( ) ( )
12
.1
′′
= −yx yx
( )( )
(
)
( )
22
1122 121 2
1
6666 1 1 1
36
⇔ − − =−⇔ − − =−xxxx xxx x
( )
12 12 1 2
11 11 1
11
36 2 2 2 36
−− −−

⇔ −− +=− ⇔ −+ =−


mm
xx xx x x
( )
( )
2
2
2 11 1 1 3 5
0 /*
4 4 36 9 6
+ + + −±
⇔ − =− ⇔ ++=⇔ =
mm m
m m m tm
Suy ra tổng các phần tử của S bằng
1−
. Chọn A.
Câu 20: Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
0
0
0
2
;
1

−

−+

x
Mx
x
là:
( )( )
( )
( )
00
00 0
2
00
0
22
1
11
1
−−
−
′
= −+ = −+
−+ −+
−
xx
y fx xx xx
xx
x
Do tiếp tuyến đi qua điểm
( )
;1Am
nên
( )( )
(
)
0 00
2
0
21
1
1
−+ − −
=
−
xa xx
x
( ) ( )
2
22
0 00 00
1 4 2 2 6 3 0*⇔ − =− + −− ⇔ − ++ =x xx m xx m
Để có đúng một tiếp tuyến đi qua A thì (*) có nghiệm kép hoặc (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một
nghiệm
0
32 0
3
1
32 0
2
1
2.1 6 3 0
′
∆= − =
=
′
=⇔⇔
∆= − >
=
−++ =
m
m
x
m
m
m
.
Vậy
3
;1
2

= ⇒


S
Tổng bình phương trình tập hợp S bằng
9 13
1
44
+=
. Chọn A.
Câu 21:
( )
2
11
:
22
−
′
= ⇒=
x
Cy y
xx
. Ta có:
11
22
= −y
x
.
Gọi
( )
11 11
; ,; , 0
22 22

− − ≠≠


A a B b a b ab
ab
là hai điểm thuộc đồ thị
( )
C
.
Gọi
12
,dd
là hai tiếp tuyến của
( )
C
tại A và B song song với nhau.
Theo giả thiết ta có:
( ) (
) (
)( )
22
22
11
0
22
≠
′′
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = → = −
ab
ya yb a b a b a b a b
ab
.
Suy ra
11
;
22

−+


Ba
a
Phương trình tiếp tuyến tại A là:
( )
1
22
1 1 1 11
:
2 22 2 2
= − +− = +−
x
dy xa
a aa a
Khi đó
( ) ( )
2
12 1
2
4 42
111 1
2
2 2 22 2
;;
1 11
11
4 44
aa
aaa
d d d d Bd
a
a aa
−
+−−−
= = = =
+ ++
Mặt khác
22
max
22
11 2
2 .1 2 2
44 1
+ ≥ =⇒≤=⇒ =a ad d
aa
. Chọn C.
Câu 22: Gọi
( ) ( )
33
; 3 1, ; 3 1
−+ −+A aa a B bb b
với
<
ab
.
Tiếp tuyến tại A, B song song với nhau
( ) ( )
2 2 22
3 33 3
′′
⇒ = ⇔ −= −⇔ =ya yb a b a b
( )( )
0
≠
⇔ − + = → = −
ab
abab a b
.
Khi đó:
( ) ( )
( )
2
2
3 22 3
; 3 1 4 2 6 42−− + + ⇒ = + − =B a a a AB a a a
2
6 4 2 32
4 24 40 32 4 24 40 32 0 4 2
=
⇔ − + = → − + − = ⇔ = ⇒ = ±
ta
aaa ttt t a
.
Do
( )
2, 2 3. 2 5.2 16<⇒=− =⇒ = − − =−ab a b S
. Chọn A.
Câu 23: Ta có:
( ) (
)
( )
(
)
( )
( )
( )
2
2
11
.
′

′
−
′
′
=− ⇒ =−⇒ =− ⇒ = +


x x xx
fx
f x ef x e e e C
f x fx fx
Mặt khác
( )
( )
( )
( )
( )
0
2
11 1
01
20 1
1
−
′
=⇒ = +⇒=⇒ = ⇒ =
+
+
x
x
x
e
f e C C fx f x
fe
e
Ta có:
( )
(
)
2
ln 2
9
1
ln 2
3
−
′
=
⇒
=
f
f
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ
0
ln 2=x
là:
( )
21
ln 2 9 2 2ln 2 3 2 9 2ln 2 3 0
93
−
= − + ⇔ =− + +⇔ + − −=y x y x xy
. Chọn A.
Câu 24: Gọi
4
23
5
; 3 , 26
22

′
−+ =−


a
Ma a y x x
Phương trình tiếp tuyến tại M là:
( )
( )
( )
4
32
5
26 3
22
= − −+ − +
a
y a axa a d
.
Phương trình hoành độ giao điểm của d và
( )
C
là:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
44
3 2 2 3 44 22
55 1
26 3 3 26 3 0
2 22 2 2
− − + − += − +⇔ − − + − − − =
ax
a axa a x a axa a x a x
(
)
( )
( )
( )
3 22
1
26 3 0
2

⇔− −− + ++ + =


xa a a a x ax xa
( )
3 3223
11 1 1
2 6 33 0
22 2 2

⇔− −− − − − ++ =


x a a a a ax a x x x a
( )
( )
3223
3 33 0⇔− − − −+− =x a a ax a x x x a
( ) ( )
( )
( )
22
23 3 0

⇔ − − −− − + − =

xa xa x ax a xa
(
)
( )
(
)
(
)
2
22
22
;
2 3 30
2 3 30
= ⇒
⇔− + + −=⇔
= + + −=
M
x a M ay
x a x ax a
g x x ax a
Để d cắt
( )
C
tại 2 điểm phân biệt khác M thì phương trình
( )
0=gx
phải có 2 nghiệm phân biệt khác
( )
2
22
2
2
23
3 30
1
6 30
2
<
′
∆= − + >

⇔⇔

= −≠
≠
a
aa
a
ga a
a
.
Kết hợp
{ }
0; 1∈⇒= ±aa
. Vậy có 3 giá trị của a. Chọn B.
Câu 25:
( )
C
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên
(
)
02 2 2=⇒ =⇒=
b
f bd
d
Đồ thị của hàm số
(
)
′
=
y fx
có tiệm cận đứng là
1
2
=− =−⇒=⇒= =
db
x cd cd
c
.
Ta có:
( ) (
)
(
) (
)
( )
(
)
2
2
22 2
2
2
2
2
1
1

−
−

+ −−

′
== ⇒= = = =
++
++ +
a
a
c
ax b ad bc ac c
c
c
y fx f x
cx d c x
cx d cx c x
Lại có:
(
) ( )
2 0 3 23
′′
− = =−⇒ − =−⇒ =−
a
f f ac
c
.
Vậy
( )
( ) ( )
2
22 3
, , 2;0
1
1
+ − + −+ −
′
= = = = ∩=
+ ++
+
ax b cx c x
y y C Ox A
cx d cx c x
x
.
Ta có:
( )
1
2
3
′
=−⇒y
Phương trình tiếp tuyến tại A là:
(
)
1
2
3
=−−
yx
hay
3 20+ −=xy
. Chọn A.
Câu 26: Gọi
( )
42
17
;
42

−∈


Aa a a C
nên phương trình tiếp tuyến d của
( )
C
tại A là
(
)( )
( )
(
)
3 42
17
7
42
′
− = − ⇔= − − + −
AAA
y y yx x x y a a xa a a
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và d là
( )
( )
4 23 4 2
17 17
7
42 42
− = − −+ −x x a axa a a
(
)
( )
423 42
14 4 28 14 0
⇔− − − −−+ =x x a axa a a
( )
(
)
( )
2
22
22
2 3 14 0
2 3 14 0 1
=
⇔− + + − =⇔
+ + −=
xa
x a x ax a
x ax a
Ta tìm điều kiện để (1) có 2 nghiệm phân biệt khác
2
7
7
3
⇔≠ <aa
Theo bài ra, hệ số góc của tiếp tuyến là
{ }
3
6 7 6 2; 1; 3
=⇒ − =⇒=−−k aa a
Vậy có tất cả hai giá trị a cần tìm. Chọn B.
Câu 27: Gọi
( )
42
1 14
;
33

−∈


Aa a a C
nên phương trình tiếp tuyến d của
( )
C
tại A là
( )
(
)
( )
3 42
4 28 1 14
33 33

′
− = − ⇔= − − + −


AAA
y y yx x x y a a xa a a
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và d là
( )
42 3 42
1 14 4 28 1 14
33 33 33

− = − −+ −


x x a a xa a a
(
)
(
)
423 42
14 4 28 14 0⇔− − − −−+ =
x x a axa a a
( )
( )
( )
2
22
22
2 3 14 0
2 3 14 0 1
=
⇔− + + − =⇔
+ + −=
xa
x a x ax a
x ax a
Ta tìm điều kiện để (1) có 2 nghiệm phân biệt khác
2
7
7
3
⇔≠ <
aa
Theo bài ra, hệ số góc của tiếp tuyến là
{ }
3
4 28
8 8 2; 1; 3
33
=⇒ − =⇒ =−−k aa a
Vậy có tất cả hai giá trị a cần tìm. Chọn A.
Câu 28: Gọi tiếp tuyến d đi qua A có phương trình là
15 27 27 15
4 16 16 4

+ = + ⇔= + −


y k x y kx k
Vì
( )
C
và d tiếp xúc nhau
3
42
26
1 3 27 15
3
2 2 16 4
−=
⇒
− += + −
x xk
x x kx k
Suy ra
( )
42 3
2; 1
1 3 27 15
3 26
7
2 2 16 4
4
=−=−

− += + − − ⇔

=

xx
xx x xx
x
. Vậy
5
4
= −
S
. Chọn C.
Câu 29: Gọi
(
)
( )
0
00
2
0
0
2
2
;
1
1

′
⇒=

+
+

x
Mx yx
x
x
nên phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại M là
(
) (
)
( )
(
)
00
00 0
2
00
0
22
2
..
11
1
′
−= −⇔−= −
++
+
xx
y yx xx y xx
xx
x
(d)
Tiếp tuyến d cắt Ox tại
( )
22
00
;0− ⇒=A x OA x
Tiếp tuyến d cắt Oy tại
( ) ( )
22
00
22
00
22
0;
11

⇒=


++

xx
B OB
xx
.
Do đó
( )
4
00
0
2
0
00
1
2
11
.OB
2
24
1
11
∆
=−⇒ =−
= = = ⇔
+
=⇒=
OAB
xy
x
S OA
x
xy
Vậy
1
2
+++ =−abcd
. Chọn D.
Câu 30: Phương trình tiếp tuyến d của
( )
C
đi qua M là
( )
.0−= − ⇔= +ymkx y kxm
Vì
( )
C
tiếp xúc với d nên suy ra
2
32
32
3 23
21
31
+ +=
⇔=− −+
+ + += +
xx k
m xx
x x x kx m
Yêu cầu bài toán
( )
32
21⇔= =− −+m gx x x
có ít nhất 1 nghiệm thuộc
[ ]
1; 3
Xét hàm số
( )
32
21=− −+
gx x x
trên
[ ]
1; 3
, có
( )
[ ]
2
6 2 0; 1; 3
′
=− − < ∀∈gx x x x
Suy ra
( )
gx
là hàm số nghịch biến trên
( ) ( ) ( )
1; 3 3 1 6 2 2⇒ ≤≤ ⇔−≤≤−g mg m
.
Vậy có tất cả
( )
2 62 1 61−−− + =
giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.
Câu 31: Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và d là
23
2
2
+
= +
−
x
xm
x
( )( )
(
)
( )
2
2
20
2 6 2 30
2 3 22
≠
−≠

⇔⇔

+ − − −=
+= − +
fx
x
x
x m xm
x x xm

Để
( )
C
cắt d tại 2 điểm phân biệt khi
( )
0
⇔=
fx
có 2 nghiệm phân biệt khác 2
( )
( )
(
)
2
2
20
6 8 2 3 0 4 60 0;
0
≠
⇔ ⇔ − + + >⇔ + + >∀
∆>
f
m m mm m
Khi đó, gọi
12
,xx
là hoành độ các giao điểm
12
12
6
2
23
2
−
+=
⇒
+
= −
m
xx
m
xx
(1)
Theo bài ra, ta có
( ) ( )
( )
( )
12
12
22
12
12
77
4
22
=
′′
− ⇔− =− ⇔
+=
−−
xx
yx yx
xx
xx
(2)
Từ (1), (2) suy ra
6
42
2
−
=⇔=−
m
m
. Chọn B.
Câu 32: Gọi
( )
( )
0
00
2
0
0
1
3
;
2
2

−
′
⇒=

+
+

x
Mx yx
x
x
nên phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại M là
( )
( )
(
)
( )
00
00 0
2
00
0
11
3
..
22
2
−−
′
−= −⇔−= −
++
+
xx
y yx xx y xx
xx
x
(d)
Tiếp tuyến d cắt TCĐ:
2=x
tại
00
1
00
44
2;
22

−−
− ⇒=

++

xx
Ay
xx
Tiếp tuyến d cắt TCN:
1=y
tại
( )
0 20
22;2 22+ ⇒= +Bx x x
Theo bài ra, ta có
0
0
21 0
0
0
5
3
4
52 2 5
11
2
= −
= −
−
+ =−⇔ ++ =−⇔ ⇒
=−=
+
x
m
x
xy x
xm
x
. Chọn C.
Câu 33: Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại
( )
;
k kk
M xy
là
( )( )
′
−= −
kkk
y y yx x x
( )
(
)
(
)
(
)
23
. 3 2009 2009
′
⇔= −+= − −+−
k kk k kk k
y yx xx y x xx x x
(d)
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và d là
(
)
( )
( ) ( )
2
32 3
2009 3 2009 2009 2 0
2
=
− = − − +− ⇔− + =⇔
= −
k
k kk k k k
k
xx
x x xx x x xx x x
xx
Do đó
1
2
+
= −
kk
xx
suy ra
( )
n
x
là cấp số nhân với
(
)
1
1
1; 2 2
−
= =−⇒ =−
n
n
xq x
Vậy
( )
33
2013 3 2013 2013
2009 2 0 2 0 2 2 0 672
−
++=⇔+=⇔− +=⇔=
n
nn n
xy x n
. Chọn C.
Câu 34: Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại
( )
;
k kk
M xy
là
( )( )
′
−= −
kkk
y y yx x x
( ) ( )
( )
(
)
23
. 33 3
′
⇔= −+= + −++
k kk k kkk
y yx xx y x xx x x
(d)
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và d là
( )
( ) ( ) ( )
2
32 3
333 3 2 0
2
=
+= + − ++ ⇔− + =⇔
= −
k
k kk k k k
k
xx
x x x xx x x xx x x
xx
Do đó
1
2
+
= −
kk
xx
suy ra
(
)
n
x
là cấp số nhân với
( )
1
1
1; 2 2
−
= =−⇒ =−
n
n
xq x
Vậy
( )
33
21 3 21 21
3 20 20 2 20 8
−
−+=⇔+=⇔− +=⇔=
n
nn n
yx x n
. Chọn B.
Câu 35: Từ giả thiết ta suy ra được đường thẳng MN có một vectơ chỉ phương
( )
1; 3u
.
Gọi
( )
00
;
Ax y
ta có:
( )
00
3
0 00 0 0
00
45
3
8
1 7 13
3 31
22 8
25
−
=⇒=
−
′
= ⇔ − = ⇔ =−⇒ =
=−⇒ =−
xy
fx x x x y
xy
Ta được các phương trình tiếp tuyến tương ứng là
117 11
3 ,3 ,31
88
=− =+=+yx yx yx
Kiểm tra điều kiện cắt tại 3 điểm.
Ta xét phương trình
( )
( )
42 42
17 17
3 3*
84 84
− = +⇔ = − − =xxxmgxxxxm
.
Khi đó
( )
3
3
17
0 30 1
22
2
=
′
=⇔ − −=⇔ =−
= −
x
gx x x x
x
. Ta được bảng biến thiên sau:
x
−∞
2−
1−
3
+∞
( )
′
gx
+ 0
−
0 + 0
−
( )
gx
+∞
14
8
+∞
1
117
8
−
Dựa vào BBT suy ra
11
,1
8
= =mm
thì phương trình (*) có ba nghiệm.
Vậy có hai điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Câu 36: Đường thẳng
= +y ax b
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
56=−+yx x
khi phương trình
( )
22
56 5 6− += +⇔ − + +−x x ax b x a x b
có nghiệm kép
( ) ( )
2
5 46 0⇔∆= + − − =ab
(1).
Tương tự đường thẳng
= +y ax b
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
3 10=+−yx x
khi phương trình
( )
22
3 10 3 10 0+ − = +⇔ + − − −=x x ax b x a x b
có nghiệm kép
( ) ( )
2
3 4 10 0⇔− + + =ab
(2).
Từ (1) và (2)
2
2
2
16 48 0
10 4 1 0 3
10
6 4 49 0
6 4 49 0
−=
+ + += =
⇒⇒⇔

= −
−++=
−++=
a
a ab a
b
a ab
a ab
Vậy
24= +=−
M ab
. Chọn B.
Câu 37: Viết lại:
( )
2
1
: 1, 4 8 1
4
′
=+=− + −d y x y x mx m
.
Ta có:
( )
( )
12
11
.1, .1
44
′′
=−=−
yx yx
nên
12
;xx
là nghiệm của phương trình:
( )
4
′
= −yx
( )
( ) ( )( )
22
2
4 8 40 4 4 2 0 2 24 0
42
=
⇔ − + −=⇔ − − − =⇔ − +− =⇔
= −
x
x mx m x m x x x m
xm
(1)
Để tồn tại 2 điểm A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt không âm
1
4 20
2
4 22
1
−≥
≥
⇔⇔

−≠
≠
m
m
m
m
.
Khi đó ta có:
22 4 2 2 22 4 2 2 1+≤⇔−+≤⇔−≤⇔≤
AB
xx m m m
Kết hợp điều kiện suy ra
13
;1
22

= ⇒+=

S uv
. Chọn A.
Câu 38: Gọi
(
)
1
;1
1

≠

+

Ka a
a
thuộc
( )
C
.
Phương trình tiếp tuyến tại K là:
( )
( )
2
11
1
1
−
= −+
+
+
y xa
a
a
Tiếp tuyến đi qua điểm
( )
( )
(
)
( )
22
1 1 11
1; 4 4 1 4
1
11
− −+ +
− ⇔− = − + ⇔− =
+
++
aa
Aa
a
aa
(
)
2
2
12 12
1
2 1 2 5 20 1
2
1
= −
⇔− + = ⇔ + + = ⇔ ⇒ = =
= −
a
a a a a xx aa
a
. Chọn A.

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

CHỦ ĐỀ 8: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Phương pháp giải:
Cho hàm số y = f (x)(C) . Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm A(x ; f x ∈ C là 0 ( 0)) ( )
y = f ′(x x − x + f x . 0 ) ( 0 ) ( 0)
Trong đó x được gọi là hoành độ tiếp điểm: y = f x là tung độ tiếp điểm và k = f ′(x là hệ số góc 0 ) 0 ( 0) 0
của tiếp tuyến. Điểm A(x ; y được gọi là tiếp điểm. 0 0 )
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = x + 3x (C) tại: a) Điểm A(1;4) .
b) Điểm có hoành độ x = 1 − 0
c) Điểm có tung độ y =14 . 0
d) Giao điểm của (C) với đường thẳng d : y = 3x −8. Lời giải
a) Ta có: f ′(x) 2 = 3x + 3 ⇒ f ′( ) 1 = 6 .
Do vậy phương trình tiếp tuyến tại A(1;4) là y = 6(x − ) 1 + 4 = 6x − 2
b) Với x = x = 1 − ⇒ f x = 4
− ⇒ f ′ x = 6 0 ( 0) ( 0)
Do vậy phương trình tiếp tuyến là y = 6(x + ) 1 − 4 = 6x + 2 c) Với 3
y =14 ⇒ x + 3x =14 ⇔ x = 2; f ′ 2 =15 0 0 ( )
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y =15(x − 2) +14 =15x −16
d) Hoành độ giao điểm của (C) và d là 3
x + 3x = 3x −8 ⇔ x = 2 − Với x = 2 − ⇒ y = 14 − ⇒ f ′( 2
− ) =15 . Do đó phương trình tiếp tuyến là y =15(x + 2) −14 =15x +16 .
Ví dụ 2: Cho hàm số x − 2 y = (C). 2x +1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 3. 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng d : y = x − 2 . Lời giải Ta có: 5 y′ = (2x + )2 1 a) Ta có: x − 2 y = 3 ⇒ = 3 ⇔ 5x = 5 − ⇔ x = 1 − ⇒ y′ 1 − = 5. 0 0 ( ) 2x +1
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 5(x + )
1 + 3 hay y = 5x + 8. x − 2 x = 2
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: = x − 2 ⇔ 2x +1  x = 0 Với 1
x = 2 ⇒ y = 0; y′ 2 = suy ra phương trình tiếp tuyến là: 1 y = (x − 2). 0 0 ( ) 5 5
Với x = 0 ⇒ y = 2;
− y′ 0 = 5 suy ra phương trình tiếp tuyến là: y = 5x − 2 . 0 0 ( )
Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = x − 4x + 2 tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
A. y = −x − 2
B. y = x − 2
C. y = −x
D. y = −x +1 Lời giải
Ta có x =1⇒ y = 1; − f ′(x) 2
= 3x − 4 ⇒ f ′ 1 = 1 − 0 0 ( )
Do vậy PTTT là: y = −(x − )
1 −1 = −x . Chọn C.
Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x +1 y =
(C) tại giao điểm của (C) với trục tung là: x −1 A. y = 3 − x −1 B. y = 3 − x − 3 C. y = 3 − x D. y = 3 − x + 3 Lời giải (C) −
∩Oy = A(0;− ) 1 . Lại có 3 y′ = ⇒ y′ 0 = 3 − 2 ( ) (x − ) 1
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 3
− x −1. Chọn A.
Ví dụ 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x + 2 − 3− x tại điểm có hoành độ x − 2 là: A. 3 3 y = x + B. 3 1 y = x − C. 3 3 y = x − D. 3 1 y = x + 4 2 4 2 4 2 2 2 Lời giải
Với x = 2 ⇒ y =1. Lại có f ′(x) 1 1 = + ⇒ f ′( ) 3 2 = 2 x + 2 2 3− x 4
Do đó phương trình tiếp tuyến là: 3 y = (x − ) 3 1
2 +1 = x − . Chọn B. 4 4 2
Ví dụ 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x − 4x +1 tại điểm x thỏa mãn f ′′(x = 4 là: 0 ) 0 A. y = 3 − x +1 B. y = 4 − x −1
C. y = 4x −1 D. y = 4 − x +1 Lời giải Ta có: f ′(x) 2
= 3x −8x ⇒ f ′′(x) = 6x −8 .
Giải f ′′(x) = 4 ⇔ x = 2 ⇒ y = 7; − f ′ 2 = 4 − 0 0 ( )
Do đó phương trình tiếp tuyến là: y = 4 − (x − 2) − 7 = 4
− x +1. Chọn D.
Ví dụ 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y = x − 4x + 2 tại điểm x = 1 − là: 0
A. y = 4x +1 B. y = 4 − x −1
C. y = 4x + 2
D. y = 4x + 3 Lời giải Ta có: x = 1 − ⇒ y = 1 − . Mặt khác 3
y′ = 4x −8x ⇒ y′(− ) 1 = 4 0 0
Khi đó phương trình tiếp tuyến là: y = 4(x + )
1 −1 = 4x + 3 . Chọn D.
Ví dụ 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x − 2 y =
(C) tại giao điểm của (C) với trục hoành là: 2x +1 A. 1 y − = (x − 2) B. 1 y = (x − 2) C. 2 y = (x − 2) D. 3 y = (x − 2) 5 25 5 25 Lời giải
Ta có: (C) ∩Ox = A(2;0) . Mặt khác f ′(x) 5 1 = ⇒ f ′ 2 = 2 ( ) (2x + )1 5
Do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2;0) là: 1
y = (x − 2). Chọn A. 5
Ví dụ 9: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = 2x − 3x +1(C) tại điểm có hoành độ x =1 cắt đồ thị (C) tại
điểm thứ 2 có hoành độ là: A. 0 B. 2 − C. 3 D. 1 − Lời giải
Ta có: x = ⇒ y = f ′(x) 2 1 0;
= 6x − 3 ⇒ f ′( ) 1 = 3.
Phương trình tiếp tuyến là: y = 3(x − ) 1 (d ) x =1 Xét d ∩(C) 3
⇒ 2x − 3x +1 = 3(x − ) 1 ⇔  . Chọn B. x = 2 −
Ví dụ 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x −1 y =
tại điểm có tung độ bằng 3 − là: x + 2
A. y = 3x + 2
B. y = 5(x + ) 1
C. y = 3x + 5
D. y = 5x + 2 Lời giải 2x −1 x ≠ 2 − Giải = 3 − ⇔ 5  ⇔ x = 1
− . Lại có f ′(x) = ⇒ f ′ 1 − = 5 2 ( ) x + 2 2x −1 = 3 − x − 6 (x + 2)
Phương trình tiếp tuyến là: y = 5(x + )
1 − 3 = 5x + 2 . Chọn D.
Ví dụ 11: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4
y = x + 2 tại thời điểm có hoành độ x = 1 − cắt trục hoành tại điểm. A. A(0; ) 1 − B.  7 A ;0 −      C. 7 A −  ;0 D. 1 A −  ;0 2       4   4  Lời giải Ta có: x = 1;
− y = 3; y′(− ) 1 = 4
− . Do đó phương trình tiếp tuyến là: y = 4 − (x + ) 1 + 3 = 4
− x −1(d ) . Do đó  1 − d Ox A ;0 ∩ =  . Chọn D. 4   
Ví dụ 12: Cho hàm số 4 2
y = 2x − 3x +1(C) . Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến của (C) tại điểm
có hoành độ x =1 là: A. 2 d = B. 2 5 d = C. 1 d = D. d = 2 5 5 5 Lời giải
Ta có x =1⇒ y = 0; f ′( )
1 = 8 − 6 = 2 . Do đó phương trình tiếp tuyến là y = 2(x − ) 1 (d ) . −
Do đó d : 2x − y − 2 = 0 suy ra d ( d ) 2 0; = . Chọn A. 5
Chú ý: Bài toán này yêu cầu các em ghi nhớ công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
ax + by + c
Khoảng cách từ điểm M (x ; y đến đường thẳng d : ax + by + c = 0 là: 0 0 d = . 0 0 ) 2 2 a + b
Ví dụ 13: Cho hàm số 3
y = x + mx(C) . Tìm giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp
tuyến tại điểm có hoành độ x =1 của (C) bằng 2 là: m = 4 − m = 5 − m = 4 − m = 2 − A.B.C.D.  m = 1 − m = 3 − m = 2 − m = 0 Lời giải
Với x =1⇒ y =1+ ;
m f ′ 1 = 3+ m . Phương trình tiếp tuyến là: y = (m + 3)(x − ) 1 + m +1(d ) 0 0 ( )
d (O d ) −m − 3+ m +1 m = − ; = = 2 ⇔ (m + 3)2 4 +1 = 2 ⇔ . Chọn C. (m + )  2 + m = 2 3 1 −
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
Phương pháp giải:
Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x)(C) khi biết hệ số góc là kx = x01 x = x
Giải phương trình k = f ′(x) 02  ⇒ ⇒ y (x
Phương trình tiếp tuyến. i ) ⇒ ..........  x =  xi
Chú ý: Cho 2 đường thẳng d : y = k x + b và d : y = k x + b 1 1 1 2 2 2
Khi đó k ,k lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng d và d . 1 2 1 2 k = k ▪ Nếu 1 2 d / /d ⇔ 1 2 b ≠  b 1 2
▪ Nếu d ⊥ d ⇔ k .k = 1 − 1 2 1 2
▪ Đường thẳng d : y = kx + b tạo với trục hoành một góc α thì k = ± tanα .
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x −1 y = biết: x − 2
a) Tiếp tuyến có hệ số góc là k = 1 − .
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 4 − x + 5 .
c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 9x + 2. Lời giải Ta có: 1 − y′ = (x − 2)2 1 − x = 3
a) Do tiếp tuyến có hệ số góc k = 1 − nên ta có: = 1 − ⇔ . (x − 2)2  x = 1
Với x = 3 ⇒ y = 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = 1
− (x − 3) + 2 = −x + 5 . 0 0
Với x =1⇒ y = 0 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = −(x − ) 1 = −x +1. 0 0
b) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 1 y 4x 2 k − = − + ⇒ = − ⇔ = − u 4 4 (x − 2)2  5 x =  ⇔ (x − )2 1 2 2 = ⇔  4  3 x =  2 Với 5
x = ⇒ y = 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là:  5 y 4  = − x − + 3 = 4 − x +   13 0 0 2  2  Với 3 x = ⇒ y = 1
− ⇒ phương trình tiếp tuyến là:  3 y 4  = − x − −1 = 4 − x +  
5 (loại vì trùng với đường 0 0 2  2  thẳng đã cho)
Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 4 − x +13 .
c) Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng − − −
y = 9x + 2 suy ra 1 1 1 k k u . = d 1 − ⇔ = = (x − 2)2 kd 9 x ⇔ (x − )2  = 5 2 = 9 ⇔  . x = 1 − Với 4 x −
= 5 ⇒ y = ⇒ phương trình tiếp tuyến là: 1
y = − (x − ) 4 1 17 5 + = x + 0 0 3 9 3 9 9 Với 2 x − = 1
− ⇒ y = ⇒ phương trình tiếp tuyến là 1 y = − (x + ) 2 1 5 1 + = x + . 0 0 3 9 3 9 9
Ví dụ 2: Cho hàm số: x −1 y = (C) x +1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x + 2y +1 = 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x − 2y −1 = 0 . 1 Lời giải
Gọi M (x ; y ∈ C là tiếp điểm. 0 0 ) ( ) 2 x = 0 a) Ta có: 1 − 1 1 d : y =
x − ⇒ k = − ⇒ k = . Khi đó y′(x = = 2 ⇔ 0 ) 0 d u 2 2 2 2 (  x +1 x = 2 − 0 )2 0
Với x = 0 ⇒ y = 1
− ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = 2x −1 0 0 Với x = 2
− ⇒ y = 3 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = 2(x + 2) + 3 = 2x + 7 0 0 b) Ta có: 1 1
d : y = x − 1 2 2 2 1 x =1
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 20x +1⇒ k = y′ x . n ( ) 0 = = ⇔ 0 (x +1 2 x =  3 − 0 )2 0
Với x =1⇒ y = 0 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: 1 y = (x − ) 1 ≡ d (loại) 0 0 2 Với x = 3
− ⇒ y = 2 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: 1 y = (x + ) 1 7 3 + 2 = x + . 0 0 2 2 2
Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 có hệ số góc k = 3 − là: A. y = 3 − x + 3 B. y = 3 − x + 2 C. y = 3 − x D. y = 3 − x − 3 Lời giải Ta có: 2
y′ = 3x − 6x . Giải 2 3x − 6x = 3 − ⇔ 3(x − )2 1 = 0 ⇔ x =1.
Với x =1⇒ y = 0 ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 3 − (x − ) 1 . Chọn A.
Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x +1 y =
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x −1
d : 2x + y − 7 = 0 là: A. y = 2 − x − 3 B. y = 2 − x + 3 C. y = 2 − x +1 D. y = 2 − x −1 Lời giải 2 − x = 2
Ta có: d : y = 2
− x + 7; y′ = = 2 − ⇔ . (x − )2 1  x = 0
Với x = 2 ⇒ y = 3 ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 2 − (x − 2) + 3 = 2
− x + 7 ≡ d (loại).
Với x = 0 ⇒ y = 1
− ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 2
− x −1. Chọn D.
Ví dụ 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y = x + x − 5 mà vuông góc với đường thẳng x + 6y +1999 = 0 là:
A. y = 6x − 9
B. y = 6x − 6 C. y = 6 − x + 9 D. y = 6 − x + 6 Lời giải Ta có: 1 − 1999 y − = x −
(d ) . Do tiếp tuyến vuông góc với d nên 1 k .k = 1 − ⇒ k = = . d u u 6 6 6 kd Giải 3
y′ = 6 ⇔ 4x + 2x = 6 ⇔ x =1⇒ y = 3
− ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = 6(x − ) 1 − 3 = 6x − 9 . Chọn A.
Ví dụ 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x − 3 y =
tại điểm có hoành độ x = 1 − có hệ số góc là: 2 − x A. 1 B. 7 C. 7 D. 1 9 9 Lời giải Ta có: 7 7 y′ = ⇒ y′ 1
− = = k . Chọn C. 2 ( ) (2− x) 9
Ví dụ 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số x − = m y
tại điểm có hoành độ x = 2
− có hệ số góc là k = 3. Giá trị x +1 của tham số m là: A. m = 4 B. m = 4 − C. m = 2 − D. m = 2 Lời giải Ta có: 1+ ′ = m y ⇒ y′ 2
− = 1+ m = 3 ⇔ m = 2 . Chọn D. 2 ( ) (x + ) 1
Ví dụ 8: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x − 4mx + 3x + 2 tại điểm có hoành độ x =1 có hệ số góc k = 2
− . Giá trị của tham số m là: A. m =1 B. m = 1 − C. m = 2 − D. m = 2 Lời giải Ta có: y′( ) 1 = 3−8m + 3 = 2
− ⇔ m =1. Chọn A.
Ví dụ 9: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x − 3 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng y = 24x −1.
A. y = 24x − 48
B. y = 24x − 21
C. y = 24x − 45
D. y = 24x − 43 Lời giải
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x −1 suy ra k = n 24 Khi đó 3
y′ = 4x − 4x = 24 ⇔ x = 2 ⇒ y = 5 .
Phương trình tiếp tuyến là: y = 24(x − 2) + 5 = 24x − 43 . Chọn D.
Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x + 3x − 3 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng − = x y +1. 9  y = 9x −8
A. y = 9x −8
B. y = 9x + 24
C. y = 9x +10 D.   y = 9x + 24 Lời giải
Do tiếp tuyến vuông góc với − − = x y +1 nên 1 k = = u 9 9 kdx =1 Giải 2
y′ = 3x + 6x = 9 ⇔  x = 3 −
Với x =1⇒ y =1⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = 9(x − ) 1 +1 = 9x −8 Với x = 3 − ⇒ y = 3
− ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = 9(x + 3) − 3 = 9x + 24
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là y = 9x −8; y = 9x + 24. Chọn D.
Ví dụ 11: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 3x + 2 : y =
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x −1
5x + y + 2 = 0 . A. y = 5 − x − 2 B. y = 5 − x +18 C. y = 5 − x +10 D. y = 5 − x +12 Lời giải 5 − x = 0
Ta có: d : y = 5
− x − 2 ⇒ k = 5 − . Giải y′ = = 5 − ⇔ u (x − )2 1  x = 2
Với x = 0 ⇒ y = 2
− ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = 5 − x − 2 (loại).
Với x = 2 ⇒ y = 8 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = 5 − (x − 2) + 8 = 5
− x +18. Chọn B.
Ví dụ 12: Cho hàm số 3
y = x + 2mx + 2(C). Tìm giá trị của tham số m biết tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 1
− vuông góc với đường thẳng 1 y = x + 3. 2 A. − m = 5 − B. 5 C. 5 D. 5 2 2 Lời giải Ta có: k − = y′(− )
1 = 3+ m . Từ gt ⇒ ( + m) 1 5 3 2 . = 1 − ⇔ 3+ 2m = 2 − ⇔ m = . Chọn B. u 2 2 2
Ví dụ 13: Cho hàm số 3 2
y = −x + 2mx + n(C) . Tìm tổng m + n biết tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1;3) có
hệ số góc là k =1. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giải Ta có: 2 y′ = 3
− x + 4mx ⇒ y′( ) 1 = 3
− + 4m =1 ⇔ m =1
Mặt khác điểm A(1;3)∈(C) nên 3 = 1
− + 2m + n = n +1 ⇔ n = 2 . Vậy m + n = 3 . Chọn B.
Ví dụ 14: Cho hàm số x + = m y
(C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; 4
− ) song song với đường x + n thẳng y = 5
− x + 2017 . Vậy giá trị của 2m − n là: A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 Lời giảim + 2 4 − = m = 4 − n −10  m = 4 − n −10  n + 2   n = 3 − Giải hệ  ⇔  5n +10 ⇔  1 ⇔ 
⇒ 2m − n = 7 . y′(2) n − m = 5 − = = = −   1 − m = 2 5  (n + ) (n + 2)2 2 n + 2 2 Chọn D.
Ví dụ 15: Cho hàm số mx + = n y
(C) . Biết (C) đi qua điểm A(1; 3
− ) và tiếp tuyến của (C) tại điểm có x − 2
hoành độ x = 3 có hệ số góc k = 5
− . Giá trị của biểu thức 2 2 m + n bằng: A. 5 B. 10 C. 13 D. 25 Lời giải  3 m+ − = n  1− 2 m + n = 3 m = 2 Giải hệ 2 2  ⇔  ⇔  ⇒ m + n = 5. y′( ) 2 − m − = n = − 2m + n = 5 n = 1 3 5  (3− 2)2 Chọn A.
Ví dụ 16: Cho hàm số 3 2
y = x + mx + nx(C) . Tìm giá trị của 2 2
m + n để đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; −
− 5) và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x =1 vuông góc với đường thẳng 1 y = x + 2 . 3 A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 Lời giải 5  = 1 − + m − n  m − n =  6 m = 2 Giải hệ 2 2  m n . Chọn C. y′  ( ) 1 − ⇔  ⇔  ⇒ + = 1 . = 1 − (  3 + 2m +  n) 20 = 3 n = 4 −  3
Ví dụ 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x + 3mx + 2 có
cùng hệ số góc k = 3 − . m >1 A. 1 − < m <1 B. 1 − ≤ m ≤1 C.D. m = 1 ± m < 1 − Lời giải
Để có 2 tiếp tuyến thì phải có 2 tiếp điểm phân biệt. Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = a .
Khi đó ta có: y′(a) 2 2 = 3a + 6ma = 3
− ⇔ a + 2ma +1 = 0 . m >1
Đk có 2 tiếp tuyến có cùng hệ số góc k = 3 − là: 2
∆( ) = m −1> 0 ⇔ . Chọn C. 1  m < 1 −
Ví dụ 18: Gọi d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số 2 3 2
y = x − 4x + 9x −11. Đường 3
thẳng d đi qua điểm nào dưới đây? A.  2 M 5;  −        B. 2 P5;− C. 5 N 2;− D. 5 Q 2; − 3        3   3   3  Lời giải Ta có 2 3 2 2
y = x − 4x + 9x −11
→ y′ = 2x −8x + 9,∀x ∈  . 3
Hệ số góc của tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại M (x ; y là k = y′(x = 2x −8x + 9 . 0 ) 2 0 0 ) 0 0 Mặt khác 2
2x −8x + 9 = 2( 2
x − 4x + 4 +1 = 2 x − 2 +1≥1⇒ k =1. 0 0 0 0 ) ( 0 )2 min
Dấu bằng xảy ra khi (x − )2 11
2 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = − . 0 0 0 3
Vậy phương trình d là 11 17  2 y x 2 y x P5;  + = − ⇔ = − ⇒ −
∈ d . Chọn B. 3 3 3   
Ví dụ 19: Cho hàm số ax + = b y
(C) có bảng biến thiên như hình vẽ. Biết tiếp tuyến của (C) tại giao cx −1
điểm của (C) với trục tung song song với đường thẳng y = 2x + 2018 . x −∞ 1 +∞ y′ + + +∞ 3 − y 3 − −∞
Giá trị của biể thức T = a + 2b + 3c là: A. T = 3 B. T =1 C. T = 3 D. T = 2 Lời giải
Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1 và tiệm cận ngang y = 3 − Do đó hàm số có dạng: 3 − x + b 3− = ⇒ ′ = b y y
⇒ y′ 0 = 3− b 2 ( ) x −1 (x − ) 1
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x + 2018 ⇒ 3− b = 2 ⇔ b =1. Vậy a = 3
− ;b =1;c =1⇒ T = 2 . Chọn D.
Ví dụ 20: Cho hàm số x + 4 y =
(C) . Điểm M (x ; y (với y > 0 ) thuộc sao (C) cho tiếp tuyến tại M cắt 0 0 ) x − 3 0
các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho AB = 5.OA 2 . Giá trị của 2x + y là: 0 0 A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 Lời giải Ta có: OB AB −
∆OAB vuông tại O ta có:  2 2 tan = = OA BAO = 7 OA OA
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có: k = 7 ± .  x + 4  7 − x = 4 Gọi 0 M x ;  ⇒ y′ x = = 7 ± ⇔ x − 3 =1 ⇔ 0 ( 0) 2 ( 0 )2 0 x −  3  x − 3 x =  2 0 ( 0 ) 0
Suy ra M (4;8) ⇒ T =16. Chọn A.
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua một điểm
Phương pháp giải:
Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua B(α;β )
Gọi A(x ; f x ∈ C . 0 ( 0)) ( )
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (C) là y = f ′(x x − x + f x d . 0 ) ( 0 ) ( 0)( )
Mặt khác d đi qua B(α;β ) nên β = f ′(x α − x + f x từ đó giải phương trình tìm x . 0 ) ( 0 ) ( 0) 0
Ví dụ 1: Cho hàm số: x + 2 y =
(C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến qua A(1;7) . x −1 Lời giải Ta có: 3 − x + 2 y = x − x +
. Tiếp tuyến qua A(1;7) . 2 ( 0 ) 0 (x −1 x −1 0 ) 0 Do vậy 3 − x + 2 x + 5 7 = 1− x + =
⇔ 7 x −1 = x + 5 ⇔ x = 2 . 2 ( ) 0 0 0 ( 0 ) (x −1 x −1 x −1 0 ) 0 0 0 0
Phương trình tiếp tuyến là: y = 3
− (x − 2) + 4 hay y = 3 − x +10 .
Ví dụ 2: Cho hàm số 4 2
y = x + 2x + 5(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.
A. y = 4x hoặc y = 4 − x B. y = 2
− x hoặc y = 2x
C. y = 8x hoặc y = 8 − x
D. y = 4x − 4 hoặc y = 4x + 4 Lời giải
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( 4 2
x ; x + 2x là y = ( 3
4x + 4x )(x − x ) 4 2
+ x + 2x + 5 d 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 ) x =1  y = 8x
Do O(0;0)∈d nên 4 2 0 0 = 3
− x − 2x + 5 ⇔
⇒ phương trình tiếp tuyến: . Chọn C. 0 0 x = 1 −    y = 8 − x 0
Ví dụ 3: Cho hàm số 2x +1 y =
(C). Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm A(2; 8
− ) đến đồ thị (C). x − 2 A. y = 5 − x + 2 B. y = 5 − x + 8 C. y = 3 − x + 2 D. y = 3 − x + 8 Lời giảix + 
Phương trình tiếp tuyến tại điểm 2 1 5 − 2x +1 0 M x ; là 0 y = x − x + d 0 x 2  −  (x − 2 x − 2 0 ) ( 0 ) ( ) 0  0 5 − (2 − x0 ) Do x + x + A(2; 8 − )∈d nên ta có: 2 1 2 6 0 0 8 − = + = ⇔ x =1 (x − 2 x − 2 x − 2 0 )2 0 0 0
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 5 − (x − ) 1 − 3 = 5
− x + 2. Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hàm số 3
y = x − 3x(C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;2) .
A. y = 9x −16 B. y = 2
C. y = 2 hoặc y = 9x −16
D. y = 9x −18 Lời giải Gọi M ( 3
x ; x − 3x là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến là y = ( 2
3x − 3 x − x + x − 3x 0 )( 0 ) 3 0 0 0 ) 0 0 x = 1 − ⇒ y = 2
Do tiếp tuyến đi qua A(2;2) nên 2 = ( 2
3x − 3 2 − x + x − 3x ⇔ 0 )( 0) 3 0 0 0 0 x = 2 ⇒ y =  2 0 0  y = 2
Do vậy phương trình tiếp tuyến là:  . Chọn C. y = 9 
(x − 2)+ 2 = 9x −16
Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2
y = 4x − 6x +1(C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm M ( 1; − 9 − ) .
A. y = 24x +15 B. 15 21 y = x + 4 4
C. y = 24x +15 hoặc 15 21 y = x + D. 15 21 y = x +
hoặc y = 24x +11 4 4 4 4 Lời giải
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A( 3 2
x ;4x − 6x +1 là: 0 0 0 ) y = ( 2
12x −12x )(x − x ) 3 2
+ 4x − 6x +1 d 0 0 0 0 0 ( )  5 x = Cho M ( 1; − 9 − )∈d ta có: 9 ( 2 12x 12x 1 x 4x 6x 1  − = − − − + − + ⇔ . 0 0 ) ( 0 ) 3 2 0 0 0 4 x = 1 −  0 Với x = 1
− ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = 24x +15 0 Với 5 − x =
⇒ Phương trình tiếp tuyến là: 15 21 y = x − . Chọn C. 0 4 4 4
Ví dụ 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = x − 4x +1(C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 2; − ) 1 là:
A. y = −x −1 hoặc y = 8x −17
B. y = −x +1 hoặc y = 8x −17
C. y = −x +1 hoặc y = 8 − x −17
D. y = −x −1 hoặc y = 8x +17 Lời giải
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( 3
x ; x − 4x +1 là: y = ( 2
3x − 4 x − x + x − 4x +1 0 )( 0 ) 3 0 0 0 ) 0 0
Cho tiếp tuyến qua A( 2; − ) 1 ta có: x = 1 = ( 1 2 3x − 4 2
− − x + x − 4x +1 ⇔ 2
− x − 6x + 8 = 0 ⇔ . 0 )( 0 ) 3 3 2 0 0 0 0 0 x = 2 −  0
Do vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: y = −x −1, y = 8x +17 . Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hàm số 2
y = x − 2x + 3(C) . Phương trình tiếp tuyến tại điểm x = 2 của (C) đi qua điểm A( ;
a a + 2). Giá trị của a là: A. a =1 B. a = 1 − C. a = 3 D. a = 3 − Lời giải
Ta có: x = 2; y = 3; f ′(2) = 2. Tiếp tuyến tại điểm M (2;3) là: y = 2(x − 2) + 3 = 2x −1(d ) .
Do A∈d nên a + 2 = 2a −1 ⇔ a = 3. Chọn C.
Ví dụ 8: Cho đồ thị (C) 3 2
: y = x − 3x . Có bao nhiêu số nguyên b∈( 10
− ;10) để có đúng một tiếp tuyến của
(C) đi qua điểm B(0;b)? A. 15 B. 9 C. 16 D. 17 Lời giải
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M ( 3 2
x ; x − 3x có dạng: y = ( 2
3x − 6x x − x + x − 3x 0 0 ) ( 0 ) 3 2 0 0 0 ) 0 0
Do tiếp tuyến đi qua điểm (0;b) ⇒ b = ( 2
3x − 6x )(−x ) 3 2 3 2 + x − 3x = 2 − x + 3x 0 0 0 0 0 0 0
Để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua B(0;b) thì phương trình 3 2 b = 2
− x + 3x có duy nhất một 0 0
x = 0 ⇒ y = 0 nghiệm. Xét hàm số 3 2 2 y = 2
− x + 3x ⇒ y′ = 6
− x + 6x = 0 ⇔ 
x = 1⇒ y = 1 b >1
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi  b < 0 Vậy b∈( 10
− ;10) có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
Ví dụ 9: Cho hàm số −x + 2 y =
có đồ thị (C) và điểm A(a )
;1 . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của a để x −1
có đúng một tiếp tuyến của (C) kẻ qua A. Tổng giá trị các phần tử của S là: A. 1 B. 3 C. 5 D. 1 2 2 2 Lời giải  −x + 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 2 0 M x ; là: 0 x 1  −  0 
y = f ′(x )(x − x ) x + 2 1 −x + 2 0 + = x − x + 2 ( 0 ) 0 0 0 x −1 x −1 x −1 0 ( 0 ) 0
x − a + 2 − x x −1 0 ( 0 ) ( 0 )
Do tiếp tuyến đi qua điểm A(a ) ;1 nên 1 = (x − )2 1 0 ⇔ (x − )2 2 2
1 = −x + 4x − 2 − a ⇔ 2x − 6x + 3+ a = 0 * 0 0 0 0 0 ( )
Để có đúng một tiếp tuyến đi qua A thì (*) có nghiệm kép hoặc (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một
∆′ = 3 − 2a = 0  3  a =
nghiệm x =1 ⇔ ∆ = 3− 2a > 0  ′ ⇔ . Chọn C. 0 2   
2.1−6+3+ a = 0 a =1
Ví dụ 10: Cho hàm số y = f (x) 3 2
= −x + 6x + 2 có đồ thị (C) và điểm M ( ;2
m ) . Gọi S là tập hợp các giá
trị thực của m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị (C). Tổng các phần tử của S là A. 20 B. 13 C. 12 D. 16 3 2 3 3 Lời giải Gọi A( 3 2 ;
a −a + 6a + 2)∈(C)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là: y = ( 2
− a + a)(x − a) 3 2 3 12 − a + 6a + 2
Do tiếp tuyến đi qua M ( ;2 m ) nên = ( 2
− a + a)(x − a) 3 2 2 3 12 − a + 6a + 2 a ⇔ (  = 0 2 3
− a +12)(m − a) 3 2
= a − 6a ⇔  ( 3
− a +12)(m − a) 2 = a − 6a(*) ( ) 2 2
⇔ − ma − a + m + a = a − a ⇔ g (a) 2 * 3 12 12 3 6 = 2
− a + 3(m + 2)a −12m = 0
Để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có 2 trường hợp. g ( )  2 0 = 12 − m ≠ 0 m =
TH1: g (a) = 0 có nghiệm kép khác 0  ⇔  ⇔  9  (m 2) 3 2 96m 0  ∆ = + − = m = 6
TH2: g (a) = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm bằng 0 (vô nghiệm) Vậy 2 20
m = ;m = 6 ⇒ ∑m = . Chọn A. 3 3
Ví dụ 11: Cho hàm số x +1 y =
có đồ thị (C) và điểm A(0;m). Gọi S là tập hơp tất cả các giá trị thực của x −1
m để có đúng một tiếp tuyến từ (C) đi qua A. Tổng tất cả giá trị của phần từ S bằng A. 1 B. 1 − C. 0 D. 1 − 2 Lời giải Gọi  a +1 − a + M ;  a ∈ 2 1 
 (C) , phương trình tiếp tuyến tại M là: y = x − a + 2 ( )  a −1 (a − ) 1 a −1
Tiếp tuyến đi qua điểm A( ) 2a a +1 0;m ⇒ m = + (a − )2 1 a −1 a ≠ 1  a ≠  1 ⇔  m(a − ) ⇔  * 2 2 1 = 2a + a −1
g (a) = (m − ) 2 1 a − 2(m + ) ( ) 1 a + m +1 = 0
Để có đúng một tiếp tuyến từ (C) đi qua A ta xét các trường hợp sau: TH1: Với 1 m =1⇒ 4
− a + 2 = 0 ⇔ a = 2 TH2: Do g ( ) 1 = 2
− nên để có đúng một tiếp tuyến từ (C) đi qua A thì g (a) có nghiệm kép m ≠ 1  ⇔  m
. Vậy ∑m = 0 . Chọn C. ∆′ =  (m + ) ⇔ = 1 − 2 1 − (m + ) 1 (m − ) 1 = 0
Ví dụ 12: Cho hàm số 3
y = x −12x +12 có đồ thị (C) và điểm A( ; m 4
− ) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
thực của m nguyên thuộc khoảng (2;5) để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị (C). Tổng tất cả các phần
tử nguyên của tập S bằng A. 7 B. 9 C. 3 D. 4 Lời giải Gọi M ( 3
a;a −12a +12)∈(C), phương trình tiếp tuyến tại M là: y = ( 2
a − )(x − a) 3 3 12 + a −12a +12
Tiếp tuyến đi qua điểm A( ; m 4 − ) khi − = ( 2
a − )(m − a) 3 4 3 12 + a −12a +12 3
⇔ a −12a +16 + 3(a − 2)(a + 2)(m − a) = 0 ⇔ (a − 2) (a + 4)(a − 2) +(3a + 6)(m − a) = 0  ⇔ (a − )( 2 2 2
− a + 2a + 3ma − 6a −8 + 6m) = 0 a = 2 ⇔  g (a) 2 = 2
− a + (3m − 4)a + 6m −8 = 0
Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị (C) khi g (a) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2  4  mg (2) = 8
− + 6m −8 + 6m −8 ≠ 0 >   3 ∈ m ;m ( ∈ 2;5) ⇔  ⇔   
→ m = 3;4 ⇒ ∑m = 7 . Chọn A. ∆ = m
( m − )2 + ( m − ) >  < 4 3 4 8 6 8 0 −  m ≠ 2 Ví dụ 13: Cho x + 3 y =
có đồ thị (C). Gọi A là điểm trên d : y = 2x +1 có hoành độ a mà từ A kẻ được x −1
hai tiếp tuyến tới (C). Khẳng định nào sau đây đúng? A. a ∈( 1; − 2) \{0; } 1 B. a ∈( 1; − 2) \{ } 0 C. a ∈( 2; − 2) \{ } 1 D. a ∈( 2; − 2) \{ } 0 Lời giảix +  Gọi A( ;2 a a 3 + ) 1 , gọi 0 M x ; ∈ C 0 ( ) x −  1 0 
Phương trình tiếp tuyến tại − x + M là: 4 3 y = x − x + 2 ( 0 ) 0 (x −1 x −1 0 ) 0
Do tiếp tuyến đi qua điểm − x + A( ;2 a a + ) 1 nên 4 3 2a +1 = a − x + 2 ( 0 ) 0 (x −1 x −1 0 ) 0 x ≠ 1  0 x ≠  1 0 ⇔  ⇔ (   2a +  ) 1 (x −1 = 4
− a + 4x + x + 2x − 3
g x = ax − 2 a + 2 x + 3a + 2 = 0 0 )2 2 0 0 0  ( 0 ) 20 ( ) 0
Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) thì phương trình g (x = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1. 0 ) a ≠ 0  a a ⇔ g ( )  ≠ 0; ≠ 1 1 = 4 − a + 4 ≠ 0 ⇔  ⇔ a ∈( 1; − 2) \{0; } 1 . Chọn A. 2   2
− a + 2a + 4 > 0 ∆′ =  (a + 2)2 2
− 3a − 2a > 0
Dạng 4: Tiếp tuyến với bài toán tương giao
Phương pháp giải:
Viết phương trình hoành độ giữa đồ thị hàm số y = f (x)(C) và đường thẳng d : y = ax + b . Gọi
A(x ;ax + b là tọa độ giao điểm khi đó k = f ′ x là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm A. i ( i ) i i )
Ví dụ 1: Cho hàm số −x +1 y =
(C). Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d : y = x + m luôn cắt đồ 2x −1
thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi k ,k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm 1 2
m để tổng k + k đạt giá trị lớn nhất. 1 2 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là: −x +1 = x + m ⇔ (x + m)(2x − ) 1 = −x +1 (Do 1 x = không phải là 2x −1 2 nghiệm) 2
⇔ 2x + 2x − m −1 = 0(*) . Ta có: 2
∆′ = m + 2m + 2 > 0(∀x∈ ) ⇒ d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. x + x = 1 − 1 2
Gọi x , x là nghiệm của phương trình (*) theo định lý Vi-ét ta có:  1 2  −m −1 x x =  1 2  2 1 − 1
4(x + x )2 −8x x − 4 x + x + 2 1 2 1 2 ( 1 2) Khi đó k + x = − = − 1 2 (2x − )2 1 (2x − )2 1
4x x − 2(x + x ) 2 1 2 +1  1 2 1 2  2 = 4
− m −8m − 6 = 4 − (m + )2 1 − 2 ≤ 2 − .
Do đó k + k đạt giá trị lớn nhất ⇔ m = 1 − . 1 2
Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2
y = x + 4x + 3(C) . Viết phương trình đường thẳng d qua A(0;3) và cắt (C) tại 3
điểm phân biệt A, B, C sao cho các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau. Lời giải
Phương trình đường thẳng d là: y = kx + 3
x = 0 ⇒ A 0;3 3 ( )
Phương trình hoành độ giao điểm là: 3 2
x + 4x + 3 = kx + 3 ⇔  g (x) 2
= x + 4x − k = 0
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ g (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0
∆′ = 4 + k > 0 ⇔  ⇔ 0 ≠ k > 4 − k ≠ 0
Khi đó gọi, B(x ;kx + 3 , C (x ;kx + 3 ⇒ k = y′ x = 3x +8x ,k = 3x +8x 1 ( 1) 2 2 2 2 ) 1 1 ) 1 1 2 2 2
Để các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau ⇔ k .k = 1 − 1 2
⇔ x .x 3x + 8 3x + 8 = 1
− ⇔ x .x 9x x + 24 x + x + 64 = 1 − 1 2 ( 1 )( 2 ) 1 2 ( 1 2 ( 1 2) )
⇔ −k (− k − ) 2 16 − ± 247 9 32 = 1
− ⇔ 9k + 32k +1 = 0 ⇔ k = (thỏa mãn) 9 Vậy 16 − ± 247 16 − ± 247 k = ⇒ d : y = x + 3 . 9 9
Ví dụ 3: Gọi k và k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại các giao điểm của (C) x −1 : y = và đường 1 2 x − 2
thẳng d : y = 2x +1. Giá trị của k + k là: 1 2 A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 Lời giải x −1 x ≠ 2
Phương trình hoành độ giao điểm là 2 ± 6 = 2x +1 ⇔  ⇔ x = 2 x − 2
2x − 4x −1 = 0 2 −  +   −  Mặt khác ta có: 1 2 6 2 6 y′ =
⇒ k + k = y′  + y′  = 20 . Chọn C. (x 2)2 1 2  2   2  −    
Ví dụ 4: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 2
y = x − 2mx cắt đường thẳng y = 1 − tại 2 điểm phân
biệt A, B sao cho tổng hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B bằng 4. A. m = 2 B. m = 2 − C. m = 3 − D. m = 3 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là 2
x − 2mx +1 = 0
x + x = 2m
Đk cắt tại 2 điểm phân biệt là: 2
∆′ = m −1 > 0 . Khi đó x ; x là hoành độ giao điểm thì 1 2 1 2 x x =  1 1 2
Lại có y′ = 2x − 2 ⇒ y′(x + y′ x = 2x − 2 + 2x − 2 = 4m − 4 = 4 ⇔ m = 2 . Chọn A. 1 ) ( 2) 1 2
Ví dụ 5: Cho hàm số 3
y = x − (m + ) 2 3
1 x + 3mx + 2(C) . Số các giá trị của m để (C) cắt trục Ox tại 3 điểm
phân biệt A(1;0), B, C sao cho tiếp tuyến tại B và C của (C) song song với nhau. A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là: 3 x − (m + ) 2 3
1 x + 3mx + 2 = 0 x ⇔ (x − )  = 1 (  1 2
x − (3m + 2) x − 2) = 0 ⇔  g (x) 2
= x − (3m + 2) x − 2 = 0
+) Để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ g (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1. ∆ = ( m + )2 3 2 + 8 > 0 ⇔  (*) g ( ) 1 = 3 − m − 3 ≠ 0
x + x = 3m + 2
Khi đó gọi, B(x ;0),C (x ;0) 1 2 ⇒  x ≠ x 1 2 ( 1 2) x x = 2 −  1 2
Ta có: k = y′(x ) 2 = 3x − 6(m + ) 1 x + 3 ,
m k = y′(x ) 2
= 3x − 6 m +1 x + 3m 1 1 1 1 2 2 2 ( ) 2
Do tiếp tuyến tại B và C song song nên ta có: 2
k = k ⇔ x − 2(m + ) 2
1 x = x − 2 m +1 x 1 2 1 1 2 ( ) 2
⇔ (x − x x + x − 2m − 2 = 0 ⇔ x + x = 2m + 2 ⇔ 3m + 2 = 2m + 2 ⇔ m = 0 (t/m). Chọn A. 1 2 ) ( 1 2 ) 1 2
Ví dụ 6 [Đề thi THPT QG năm 2018]: Cho hàm số 1 4 7 2
y = x − x có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm 4 2
A∈(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt M (x ; y , N x ; y (M, N khác 1 1 ) ( 2 2)
A) thỏa mãn y − y = 6 x − x ? 1 2 ( 1 2) A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Lời giải
Từ giả thiết ta được đường thẳng MN có một vectơ chỉ phương u (1;6).
Suy ra hệ số góc của đường thẳng MN bằng 6. x = 3 0
Gọi A(x ; y ta có: f (x 6 x 7x 6  ′ = ⇔ − = ⇔ x = 1 − . 0 ) 3 0 0 ) 0 0 0  x = 2 −  0
Ta được các phương trình tiếp tuyến tương ứng là 117 y = 6x − , 11
y = 6x + , y = 6x + 2 . 4 4
Kiểm tra điều kiện cắt tại 3 điểm
Ta xét phương trình 1 4 7 2
x − x = 6x + m ⇔ g (x) 1 4 7 2
= x − x − 6x = m(*). 4 2 4 2 x = 3 Khi đó g (x) 3 0 x 7x 6 0  ′ = ⇔ − − = ⇔ x = 1 − 
. Ta được bảng biến thiên sau: x = 2 −  x −∞ 2 − 1 − 3 +∞ y′(x) − 0 + 0 − 0 + +∞ 11 +∞ 4 y (x) 2 117 − 4 Dựa vào BBT suy ra 11 m =
, m = 2 thì phương trình (*) có ba nghiệm. 4
Vậy có hai điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Ví dụ 7: Cho hàm số 3 2
y = x + 3mx + 2x(C) . Biết tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ x và x có 1 2
cùng hệ số góc k = 5 . Biết 2 2
x + x =10 giá trị của m là: 1 2 A. m = 1 ± B. m = ± 2 C. m = 2 ± D. m = ± 3 Lời giải 2
3x + 6mx + 2 = 5
Ta có y′(x ) = y′(x ) 1 1 = 5 ⇔
. Khi đó x ; x là nghiệm của phương trình 1 2  2  1 2
3x + 6mx + 2 = 5 2 1 x + x = 2 − m 2
3x + 6mx + 2 = 5 hay 2 x + mx − = ( 2 2
1 0 m +1 > 0) . Theo Vi-ét ta có: 1 2  x x = 1 −  1 2 Lại có 2 2
x + x = (x + x )2 2
− 2x x = 4m + 2 =10 ⇔ m = ± 2 . Chọn B. 1 2 1 2 1 2
Ví dụ 8: Cho hàm số 3 2
y = x − 3mx + 3(m + )
1 x(C). Số các giá trị nguyên của m để trên (C) tồn tại 2 điểm
M (x ; y , N x ; y phân biệt sao cho tiếp tuyến tại M và N cùng vuông góc với đường thẳng 1 1 ) ( 2 2)
d : x − 3y + 2 = 0 và x + x = 2 5 . 1 2 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Lời giải Viết lại 1 2
d : y = x + . 2
y′ = 3x − 6mx + 3(m + ) 1 3 3 Ta có: y′( 1 x . = 1 − , y′( 1 x . = 1
− nên x ; x là nghiệm của PT: 2
x − 2mx + m +1 = 1 − 2 ) 1 ) 3 3 1 2 2
⇔ x − 2mx + m + 2 = 0( ) 1
Để tồn tại 2 điểm M, N thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt dương 2
∆′ = m − m − 2 > 0  ⇔ 2m > 0 ⇔ m > 2. m + 2 > 0 
x + x = 2m Khi đó ta có:  ⇒ ( x + x )2 1 2
= x + x + 2 x x = 2m + 2 m + 2 = 20 1 2 1 2 1 2 x x = m +  2 1 2 m <10  ⇔ 
⇔ m = (tm). Chọn A. m + 2 =  (10− m) 7 2
Dạng 5: Tiếp tuyến của hàm số hợp
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f (x)(C) xác định trên ℝ và thỏa mãn 3
f ( − x) + f ( 2 1
1− x ) = x +1. Viết phương
trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. A. 1 y = x − B. 1 y = − x +1
C. y = x −1
D. y = −x +1 5 5 Lời giải
Ta có: (C) ∩Oy tại điểm có hoành độ x = 0 .  f (0) = a Đặt 
, thay x =1 vào giả thiết ta có: 3 f ( ) + f ( ) 3 0
0 = 2 ⇔ a + a = 2 ⇔ a =1 f ′  (0) = b
Đạo hàm 2 vế biểu thức 3
f ( − x) + f ( 2 1
1− x ) = x +1 ta được: 2
− f ( − x) f ′( − x) − x f ′( 2 3 1 1 2 . 1− x ) =1(*)
Thay x =1 vào biểu thức (*) ta có: 2 a 1 = 1 3
− a b − 2b =1→ 3
− b − 2b =1 ⇔ b = − 5
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 1
y = − x +1. Chọn B. 5
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x)(C) xác định trên ℝ và thỏa mãn 3
f (2 − x) + x = 3+ 3 .x f (x) . Viết phương
trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x =1.  2 1 y = x −  2 1  2 5  2 5  y = x −  y = x −  y = x −  A. 3 3  B. 3 3  C. 3 3  D. 3 3   1 7 y = − x +  1 5  1 7  1 7  y = − x − y = − x + y = − x +  3 3  3 3  3 3  3 3 Lời giải  f ( ) 1 = aa = 1 − Đặt 
, thay x =1 vào giả thiết ta có: 3 3
a +1 = 3+ 3a ⇔ a − 3a − 2 = 0 ⇔ f ′   ( ) 1 = ba = 2
Đạo hàm 2 vế biểu thức 3
f (2 − x) + x = 3+ 3 .x f (x) ta được: 2 3
− f (2 − x) f ′(2 − x) +1 = 3 f (x) + 3 .x f ′(x)(*)
Thay x =1 vào biểu thức (*) ta có: 2 3
− a b +1 = 3a + 3b TH1: Với 2 a = 1 − ⇒ 3 − b +1 = 3
− + 3b ⇔ b = 3
Phương trình tiếp tuyến là: 2 y = (x − ) 2 5 1 −1 = x − . 3 3 3 TH2: Với 1 a = 2 ⇒ 12
− b +1 = 6 + 3b ⇔ b = − 3
Phương trình tiếp tuyến là: 1 y = − (x − ) 1 − 7 1 + 2 = x + . Chọn D. 3 3 3
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f (x)(C) xác định trên ℝ và thỏa mãn f ( − x) + f (x + ) 2 2 2
1 = x + 2x . Tiếp
tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 đi qua điểm nào trong các điểm sau: A. (2; ) 1 B.  5 1;   −     C. 2  2; D. 13 1; 3       3   3  Lời giải
2 f (2) + f ( ) 1 = 0    f (2) = 1 −
Thay x = 0; x =1 vào đề bài ta có:  ⇔  2  f ( ) 1 + f (2) = 3  f ( ) 1 = 2
Đạo hàm 2 vế biểu thức: f ( − x) + f (x + ) 2 2 2
1 = x + 2x ta được: 2
− f ′(2 − x) + f ′(x + ) 1 = 2x + 2(*)  8  f  2
− f (2) + f ( ) ′(2) 1 = 2 = − ′ ′ 
Thay x = 0; x =1 vào (*) ta được:  3  ⇔   2 − f ′ 
( )1+ f ′(2) = 4  f ′( ) 10 1 − =  3
Suy ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 2 có phương trình là: 8 y = − (x − ) 8 − 13 2 −1 = x + 3 3 3
Do đó tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x − 2 đi qua điểm  5 1;   . Chọn B. 3   
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f (x)(C) xác định trên ℝ và thỏa mãn f ( − x) + f ( + x) = ( 2 2 1 1 3 2x + ) 1 . Tiếp
tuyến của (C) tại thời điểm có hoành độ x = 3 cắt trục tọa độ tại 2 điểm A và B. Diện tích tam giác OAB là S thỏa mãn: OAB A. 0 < S < B. 5 < S < C. 15 < S < D. S > OAB 30 OAB 30 OAB 15 OAB 5 Lời giải
2 f (3) + f (− ) 1 = 27    f (3) = 9 Thay x = 2;
− x = 2 vào đề bài ta có:  ⇔  2  f (− ) 1 + f (3) = 27  f (− ) 1 = 9
Đạo hàm 2 vế biểu thức: f ( − x) + f ( + x) = ( 2 2 1 1 3 2x + ) 1 ta được: 2
− f (1− x) + f (1+ x) =12x(*)  2
− f ′(3) + f ′(− ) 1 = 24 −  f ′  (3) = 8 Thay x = 2;
− x = 2 vào (*) ta được:  ⇔   2 − f ′  (− ) 1 + f ′(3) = 24 f ′  (− ) 1 = 8 −
Suy ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 3có phương trình là: y = 8(x −3) + 9 = 8x −15 Khi đó 1 15 S = .15. = . Chọn B. OAB 14,0625 2 8
Ví dụ 5: Cho các hàm số y = f (x) y = f  f (x) y =  f ( 2 , ,
x + 4) có đồ thị lần lượt là (C , C , C . 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Đường thẳng x =1 cắt (C , C , C lần lượt tại M, N, P. Biết phương trình tiếp tuyến của (C tại M và 1 ) 1 ) ( 2 ) ( 3 )
của (C tại N lần lượt là y = 3x + 2 và y =12x −5 . Phương trình tiếp tuyến của (C tại P bằng: 3 ) 2 )
A. y = 8x −1
B. y = 4x + 3
C. y = 2x + 5
D. y = 3x + 4 Lời giảif ′  ( ) 1 = 3
Ta có y = 3x + 2 ⇔ y = f ( ) 1 = f ′( ) 1 .(x − )
1 ⇔ y = f ′( ) 1 x − f ′( ) 1 + f ( ) 1 ⇒   f ( ) 1 = 5
Tiếp tuyến của (C tại N là y − f  f ( )1 = f ′  ( )
1 . f ′ f ( ) 1 .  ( x − )
1 ⇔ y − f (5) = 3 f ′(5).(x − ) 1 2 ) 3  f ′  (x) =12  f ′  (5) = 4
⇔ y = 3 f ′(x).x + f (5) − 3. f ′(5) mà y =12x − 5  →  f ( ⇔  5) −3. f ′(5) = 5 −  f (5) = 7
Lại có y = f ( 2
x + ) ⇒ y = ( 2 x + )′ ′ f ′( 2
x + ) = x f ′( 2 4 4 . 4 2 . x + 4) ⇒ y( ) 1 = 2 f ′(5) .
Do đó, tiếp tuyến của (C tại P là y = f (5) = 2 f ′(5)(x − )
1 ⇔ y − 7 = 8(x − )
1 ⇔ y = 8x −1. 3 ) Chọn A.
Dạng 6: Tìm điều kiện để 2 đồ thị tiếp xúc với nhau
Cho 2 hàm số y = f (x) và y = g (x) . Đồ thị 2 hàm số trên tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi
 f (x) = g (x) 
và nghiệm của hệ phương trình này chính là hoành độ của tiếp điểm. f ′
 (x) = g′(x)
Ví dụ 1: Biết rằng hai đường cong 3 5 = + x y x − 2 và 2
y = x + x − 2 tiếp xúc với nhau tại một điểm duy 4
nhất M (x ; y . Tính OM. 0 0 ) A. 1 OM = B. 29 OM = C. 29 OM = D. 29 OM = 2 2 4 3 Lời giải  3 5x 2 x +
− 2 = x + x − 2 
Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình:  4 1  ⇔ x =  2 5 2 3x + = 2x +1  4 Khi đó  1 5  29 M ;− ⇒ OM =  . 2 4    4
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3
y = x − 3mx + m +1 tiếp xúc với trục hoành. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải 3
x −3mx + m +1= 0
Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình  2 3
 x − 3m = 0 3
x −3mx + m +1= 0( ) 1  có nghiệm. 2 m = x Thế 2
m = x vào phương trình (1) ta có: 3 3 2
x − 3x + x +1 = 0 ⇔ x =1⇒ m =1. Chọn A.
Ví dụ 3: Số các giá trị của tham số m để hai đồ thị f (x) 3
= x − 3x +1 và đường thẳng d : y = m(x − ) 1 −1 tiếp xúc với nhau là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải 3
x −3x +1= m(x − ) 1 −1
Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình:  có nghiệm. 2 3
 x − 3 = m  1 9
x = − ⇒ m = − Suy ra 3 x 3x 1 ( 2 3x 3)(x ) 3 2 1 1 2x 3x 1 0  − + = − − − ⇔ − + = ⇔ 2 4 . Chọn B.
x = 1⇒ m = 0
Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (C) 3 2
: y = x + mx −8x tiếp xúc với
đường thẳng y = x + 9m . Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 0 B. 3 C. 3 − D. 4 Lời giải 3 2
x + mx −8x = x +  9m( ) 1
Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình:  có nghiệm. 2 3
x + 2mx − 8 −1  (2) Ta có: ( ) 3 2 2
⇔ x + mx − x − m = ⇔ x (x + m) − (x + m) = ⇔ ( 2 1 9 9 0 9 0
x − 9)(x + m) = 0 x = 3 ± ⇔  x = −m
Với x = 3 ⇒ m = 3 − Với x = 3 − ⇒ m = 3
Với x = −m ta có: 2 2
3m − 2m = 9 ⇔ m = 3 ± . Vậy m = 3
± là các giá trị cần tìm. Vậy tổng các phần tử của tập S là 0. Chọn A.
Ví dụ 5: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3
y = x − (m + ) 2 2 3
3 x +18mx −8 tiếp
xúc với trục hoành. Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 9 B. 278 C. 8 D. 208 27 27 Lời giải 3
2x − 3(m + 3) 2 x +18mx −8 =  0
Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình:  2 6x − 6 
(m +3) x +18m = 0 3
2x − 3(m + 3) 2 x +18mx −8 =  0( ) 1 ⇔  có nghiệm. 2 x − 
(m +3) x +3m = 0(2) x =
Ta có: ( ) ⇔ x(x − m) − (x − m) = ⇔ (x − )(x − m) 3 2 3 0 3 = 0 ⇔  x = m
Với x = 3 thế vào (1) ta có: − (m + ) 35 54 27
3 + 54m −8 = 0 ⇔ m = . 27
Với x = m thế vào (1) ta có: 3 2
m − m (m + ) 2 3 2
+ m − = ⇔ −m + m − = ⇔ (m − )( 2 2 3 3 18 8 0 9 8 0
1 m −8m −8) = 0
Ta được tổng các giá trị của tập hợp S là: 35 278 +1+ 8 = . Chọn B. 27 27
Ví dụ 6: Tính tổng S tất cả các giá trị tham số m để đồ thị f (x) 3 2 2 3
= x − 3mx + 3mx + m − 2m tiếp xúc với trục hoành. A. 4 S = B. S =1 C. S = 0 D. 2 S = 3 3 Lời giải
Đồ thị đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình sau có nghiệm:  f (x) 3 2 2 3 3 2 2 3
= x − 3mx + 3mx + m − 2m = 0
x −3mx + 3mx + m − 2m = 0  ⇔ f ′  (x)  2
= 3x − 6mx + 3m = 0 g (x) 2
= x − 2mx + m = 0( ) 1 f (x) Lấy
ta được f (x) = g (x) (x − m) + ( 2 m − m ) 2 3 . 2 2
x + 2m − 2m g (x) m = 0 Suy ra ( 2 2m 2m ) 2 3 x 2m 2m 0 ( 2
2m 2m )(x m) 0  − + − = ⇔ − + = ⇔ m =1  x = −  mm = 0 Với x m ( ) 2 2 1 m 2m m 0  = − ⇒ ⇔ + + = ⇔ 1 m = −  3 Vậy 1
m = 0,m =1,m = − . Chọn D. 3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho đồ thị hàm số (C) −x +1 : y =
. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; ) 1 − là x − 2 A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 Câu 2: Cho hàm số 2x +1 y =
có đồ thị là (C). Số tiếp tuyến của đồ thị (C) mà đi qua điểm M (1;2) là x −1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
Câu 3: Biết trên đồ thị (C) x −1 : y =
có hai điểm mà tiếp tuyến tại các điểm đó đều song song với đường x + 2
thẳng d :3x − y +15 = 0 . Tìm tổng S các tung độ tiếp điểm. A. S = 3 B. S = 6 C. S = 4 − D. S = 2 Câu 4: Cho hàm số 3 2
y = −x + 3x + 2 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) mà có hệ số góc lớn nhất là:
A. y = 3x +1 B. y = 3 − x −1 C. y = 3 − x +1
D. y = 3x −1
Câu 5: Đường thẳng x + y = 2m là tiếp tuyến của đường cong 3
y = −x + 3x + 4 khi m bằng A. 3 − hoặc 1 B. 1 hoặc 3 C. 1 − hoặc 3 D. 3 − hoặc 1 −
Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) 1 3 1 2
= x − x − 4x + 6 tại điểm có hoành độ là nghiệm của 3 2
phương trình f ′′(x) = 0 có hệ số góc bằng A. 4 − − B. 47 C. 13 D. 17 − 12 4 4
Câu 7: Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 1 3 2
y = x − 2x + 3x − 5. 3
A. Có hệ số góc dương.
B. Song song với trục hoành.
C. Có hệ số góc bằng 1 − .
D. Song song với đường thẳng x =1.
Câu 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x +1 y =
tại điểm có hoành độ bằng 3 là x − 2
A. y = 3x +13
B. y = 3x − 5 C. y = 3 − x − 5 D. y = 3 − x +13 Câu 9: Cho hàm số x + 2 y =
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ x +1
thị (C) với trục tung là:
A. y = −x + 2
B. y = −x +1
C. y = x − 2
D. y = −x − 2
Câu 10: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = x − 3x + 2 vuông góc với đường thẳng 1 y = − x là 9 A. 1 1
y = − x +18, y = − x + 5 B. 1 1
y = x +18, y = x −14 9 9 9 9
C. y = 9x +18, y = 9x −14
D. y = 9x +18, y = 9x + 5 Câu 11: Cho hàm số 2 y =
có đồ thị hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm 1− x
của (C) và trục tung.
A. y = 2x + 2
B. y = x + 2 C. y = 2 − x + 2
D. y = 2x − 2
Câu 12: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x +1 tại điểm A(3; ) 1 là: A. y = 9 − x − 26
B. y = 9x − 26 C. y = 9 − x − 3
D. y = 9x + 2
Câu 13: Cho đồ thị hàm số 1 3 2
y = x − 2x + 3x . Phương trình nào dưới đây là phương trình tiếp tuyến hệ số 3
góc nhỏ nhất của đồ thị trên. A. 8 y = −x + B. 8 y = x + C. 8 y = −x − D. 8 y = x − 3 3 3 3
Câu 14: Đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị (C) 4 2 : y = 2
− x + 4x −1 tại hai điểm phân biệt. Tìm tung độ tiếp điểm. A. 1 B. 1 − C. 0 D. 3 Câu 15: Cho hàm số 3 2
y = x − 2x + (m − )
1 x + 2m có đồ thị là (C . Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ m )
nhất của đồ thị (C vuông góc với đường thẳng ∆ : y = 3x + 2018. m ) A. 7 m = B. m =1 C. m = 2 D. 1 m = − 3 3 Câu 16: Cho hàm số 2x − 3 y =
có đồ thị (C). Một tiếp tuyến của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai x − 2
điểm A, B và AB = 2 2 . Hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng. A. − 2 B. 2 − C. 1 − D. 1 − 2
Câu 17: Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn  f ( + x) 2
 = x −  f ( − x) 3 1 2 1      .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ bằng 1. A. 1 6 y = − x − B. 1 8 y = − x − C. 1 8 y = − x + D. 6 y = −x + 7 7 7 7 7 7 7
Câu 18: Gọi S là tập hợp các giá trị của hàm số m để đồ thị hàm số 4 2
y = x − 2x + m − 2 có đúng một tiếp
tuyến song song với trục Ox. Tính tổng các phần tử của S. A. 2 − B. 5 C. 5 − D. 3
Câu 19: Gọi S là tập hợp các giá trị của hàm số m sao cho đường thẳng d : y = mx − m − 3 cắt đồ thị (C) 3 2
: y = 2x − 3x − 2 tại ba điểm phân biệt A, B, I (1; 3
− ) mà tiếp tuyến với (C) tại A và tại B vuông góc
với nhau. Tính tổng các phần tử của S. A. 1 − B. 1 C. 2 D. 5 Câu 20: Cho hàm số x − 2 y =
có đồ thị (C) và điểm A(m )
;1 . Gọi S là tập các giá trị của m để có đúng một 1− x
tiếp tuyến của (C) đi qua A. Tính tổng bình phương các phần tử của tập S. A. 13 B. 5 C. 9 D. 25 4 2 4 4
Câu 21: Cho đồ thị ( ) −1 : = x C y
và d ,d là hai tiếp tuyến của (C) song song với nhau. Khoảng cách lớn 2x 1 2
nhất giữa d và d là 1 2 A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 2 2 Câu 22: Cho hàm số 3
y = x − 3x +1 có đồ thị (C). Gọi A(x y
B x y với x < x là các điểm thuộc A; A ) , ( B; B ) A B
(C) sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và AB = 4 2 . Tính S = 3x − x . A 5 B A. S = 16 − B. S =16 C. S =15 D. S = 9 −
Câu 23: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau f (x) x 2 > 0, x
∀ ∈ , f '(x) = −e . f (x) x ∀ ∈  và f ( ) 1
0 = . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có 2
hoành độ x = ln 2 là 0
A. 2x + 9y − 2ln 2 − 3 = 0 B. 2x − 9y − 2ln 2 + 3 = 0 C. 2x − 9y + 2ln 2 − 3 = 0 D. 2x + 9y + 2ln 2 − 3 = 0 4 Câu 24: Cho hàm số x 2 5 y =
− 3x + , có đồ thị (C) và điểm M ∈(C) có hoành độ x = a . Có bao nhiêu 2 2 M
giá trị nguyên của a để tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M. A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 Câu 25: Cho hàm số ( ) ax + = = b y f x
(a,b,c,d ∈;c ≠ 0,d ≠ 0) có đồ thị (C). Đồ thị của hàm số cx + d
y = f ′(x) như hình vẽ dưới đây.
Biết (C) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành có phương trình là:
A. x + 3y − 2 = 0
B. x + 3y + 2 = 0
C. x − 3y − 2 = 0
D. x − 3y + 2 = 0 Câu 26: Cho hàm số 1 4 7 2
y = x − x có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của 4 2
(C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt M (x ; y , N x ; y (M, N khác A) thỏa mãn y − y = 6 x − x ? 1 2 ( 1 2) 1 1 ) ( 2 2) A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Câu 27: Cho hàm số 1 4 14 2 y = x −
x có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của 3 3
(C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt M (x ; y , N x ; y (M, N khác A) thỏa mãn y − y = 8 x − x ? 1 2 ( 1 2) 1 1 ) ( 2 2) A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 Câu 28: Cho hàm số 1 4 2 3
y = x − 3x + có đồ thị là (C) và điểm  27 15 A ;  − − . Biết có ba điểm 2 2 16 4   
M x ; y , M x ; y , M x ; y thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm đó đều đi qua A. 1 ( 1 1 ) 2 ( 2 2 ) 3 ( 3 3 )
Tính S = x + x + x . 1 2 3 A. 7 S = − B. S = 3 − C. 5 S = − D. 5 S = 4 4 4 Câu 29: Cho hàm số 2 = x y
(C). Các điểm M ∈(C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai x +1
trục tọa độ tại A, B với diện tích tam giác OAB bằng 1 có dạng M ; a b , M ; c d . Khi đó tổng 1 ( ) 2 ( ) 4
a + b + c + d là A. 1 − B. 1 − C. 1 − D. 1 − 5 4 3 2 Câu 30: Cho hàm số 3 2
y = x + x + 3x +1 có đồ thị là (C). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để từ điểm M (0;m) kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C) mà hoành độ tiếp điểm thuộc đoạn [1; ] 3 . A. Vô số B. 0 C. 61 D. 60 Câu 31: Cho hàm số 2x + 3 y =
có đồ thị (C). Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để x − 2
(d ): y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau? m A. Vô số B. 1 C. 0 D. 2 Câu 32: Cho hàm số x −1 y =
, gọi d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng m − 2 . Biết x + 2
đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm A(x ; y và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm 1 1 )
số tại điểm B(x ; y . Gọi S là tập hợp các số m sao cho x + y = 5
− . Tính tổng bình phương các phần từ 2 2 ) 2 1 của S. A. 0 B. 4 C. 10 D. 9 Câu 33: Cho hàm số 3
y = x − 2009x có đồ thị là (C). M là điểm trên (C) có hoành độ x =1. Tiếp tuyến 1 1
của (C) tại M cắt (C) tại điểm M khác M , tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm M khác 1 2 1 2 3
M … tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại M khác M (n = 4;5;…), gọi (x y là tọa độ điểm M . n ; n ) 2 n 1 − n n 1 − n Tìm n để: 2013 2009x + y + 2 = . n n 0 A. n = 685 B. n = 679 C. n = 672 D. n = 675 Câu 34: Cho hàm số 3
y = x + 3x có đồ thị là (C). M là điểm trên (C) có hoành độ bằng 1. Tiếp tuyến tại 1
điểm M cắt (C) tại điểm M khác M . Tiếp tuyến tại điểm M cắt (C) tại điểm M khác M . Tiếp 1 2 1 2 3 2
tuyến tại M cắt (C) tại điểm M khác M (n ≥ 4,n∈) ? Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện n 1 − n n 1 − 21
y − 3x + 2 = . n n 0 A. n = 7 B. n = 8 C. n = 22 D. n = 21 Câu 35: Cho hàm số 1 4 7 2
y = x − x có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp 8 4
tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt M (x ; y ; N x ; y (M, N khác A) thỏa mãn 1 1 ) ( 2 2)
y − y = 3 x − x . 1 2 ( 1 2) A. 0 B. 2 C. 3 D. 1
Câu 36: Giả sử đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến chung của đồ thị hàm số 2
y = x − 5x + 6 và 2
y = x + 3x −10. Tính M = 2a + b . A. M =16 B. M = 4 − C. M = 4 D. M = 7 Câu 37: Cho hàm số 1 3 2
y = x − 2mx + 8(m − )
1 x + 2 , (m là tham số) có đồ thị là (C tồn tại hai điểm phân m ) 3
biệt A(x y B x y sao cho mỗi tiếp tuyến của (C tại A, B vuông góc với đường thẳng m ) A; A ) , ( B; B )
∆ : x − 4y + 4 = 0 đồng thời x + x ≤
là S = [u;v). Tính u + v . A B 2 2 A. 3 B. 5 C. 3 D. 5 2 2
Câu 38: Qua điểm A(1; 4
− ) kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị (C) 1 : y =
tại hai tiếp điểm M (x ; y và 1 1 ) x +1
N (x ; y . Khẳng định đúng là 2 2 ) A. x x =1 B. x x = 1 − C. x x = 5 − D. x x = 5 1 2 1 2 1 2 1 2
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có 1 y′  −a + = . Giả sử 1 M  ;  a
là tọa độ tiếp điểm (  x − 2)2  a − 2 
Phương trình tiếp tuyến tại M là 1 −a +1 y = x − a + 2 ( ) (a − 2) a − 2
Mà tiếp tuyến qua A(2; ) 1 −a + − − nên 1 1 2 − + = 1 − ⇔ a a = 1
− ⇔ −a = 2 − a 2 ( ) (a − 2) a − 2 a − 2
Do đó không có giá trị a thỏa mãn. Chọn D. Câu 2: Ta có 3 − y′  a + = . Giả sử 2 1 M  ;  a
là tọa độ tiếp điểm (  x − )2 1  a −1 
Phương trình tiếp tuyến tại M là 3 − 2a +1 y = x − a + 2 ( ) (a − )1 a −1
Mà tiếp tuyến qua M (1;2) nên 3 − 2a +1 2a + 4 1− a + = 2 ⇔
= 2 ⇔ 2a + 4 = 2a − 2 2 ( ) (a − ) 1 a −1 a −1
Do đó không có giá trị a thỏa mãn. Chọn A. Câu 3: Ta có 3 y′  a − = . Giả sử 1 M  ;  a
là tọa độ tiếp điểm (  x + 2)2  a + 2  3 a = 1 − ⇒ M ( 1; − 2 − ) Hệ số góc là = 3 ⇔  ⇒ S = 2 − + 4 = 2. Chọn D. (a + 2)2 a = 3 − ⇒  M ( 3 − ;4) Câu 4: Ta có 2 y′ = 3 − x + 6x = 3 − (x − )2
1 + 3 ≤ 3 khi x =1⇒ y = 4
Do đó phương trình tiếp tuyến là y = 3(x − )
1 + 4 = 3x +1. Chọn A. Câu 5: Ta có 2 y′ = 3
− x + 2 . Giả sử M ( 3
a;−a + 2a + 4)
a =1⇒ M (1;5) ⇒ m = 3
Ta có k = y′(a) 2 2 = 3 − a + 2 = 1 − ⇔ a =1 ⇔  . Chọn B. a = 1 − ⇒  M ( 1; − 3) ⇒ m =1
Câu 6: Ta có f ′(x) 2
= x − x − ⇒ f ′′(x) = x − f ′′(x) 1 4 2 1; = 0 ⇔ x = 2 Hệ số góc là  1  17 f ′ = −  . Chọn D. 2    4  11 x =1⇒ y = − Câu 7: Ta có 2
y′ = x − 4x + 3; y′ = 0  ⇔ 3 ⇒ cực tiểu là (3; 5 − ) 
x = 3 ⇒ y = 5 −
Hệ số góc của cực tiểu là y′(3) = 0 ⇒ song song trục hoành. Chọn B. Câu 8: Ta có 3 − y′ =
. Tại x = 3 ⇒ y = 4 . Hệ số góc là y′(3) = 3 − (x − 2)2
Phương trình tiếp tuyến là y = 3 − (x − 3) + 4 = 3
− x +13 . Chọn D. Câu 9: Ta có 1 − y′ =
. Giao điểm với trục tung là (0;2) . Hệ số góc y′(0) = 1 − (x + )2 1
Phương trình tiếp tuyến là y = −x + 2. Chọn A. Câu 10: Ta có 2
y′ = 3x − 3 . Giả sử M ( 3
a;a − 3a + 2) là tọa độ tiếp điểm
a = 2 ⇒ M (2;4) ⇒ y = 9x −14
Hệ số góc là k = y′(a) 2 2
= 3a − 3 = 9 ⇔ a = 4 ⇔  . Chọn C. a = 2 − ⇒  M ( 2;
− 0) ⇒ y = 9x +18 Câu 11: Ta có 2 y′ =
. Giao điểm với trục tung là (0;2) . Hệ số góc y′(0) = 2 (1− x)2
Phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 2 . Chọn A. Câu 12: 2
y′ = 3x − 6x . Hệ số góc là y′(3) = 9 ⇒ tiếp tuyến y = 9x − 26 . Chọn B. Câu 13: 2
y′ = x − 4x + 3 = (x − 2)2 −1≥ 1 − khi 2 x = 2 ⇒ y = 3
Phương trình tiếp tuyến là y = −(x − ) 2 8
2 + = −x + . Chọn A. 3 3
x = 0 ⇒ y = 1 − Câu 14: 3 y′ = 8 − x + 8 ; x y′ = 0 ⇔  x = 1 ± ⇒ y =1
Do đó tung độ tiếp điểm là 1. Chọn A.
Câu 15: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x = x là k = y′(x = 3x − 4x + m −1 0 ) 2 0 0 0 2 Ta có 2  2  1 1 4
3x − 4x +1 = 3 x −
− ≥ − ⇒ k ≥ m − . Do đó 4 k = m − 0 0  0 3   3 3 3 min 3 Theo bài ra, ta có  4  4 1 3k = 1 − ⇔ 3 m − = 1
− ⇔ m − = − ⇔ m =   1. Chọn B. min  3  3 3  x −  Câu 16: Gọi 2 3 1 0 M x ;
 ⇒ y′ x = −
nên phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là 0 ( 0) x −  2  (x − 2)2 0 0
y − y = y′(x ).(x − x ) 2x − 3 1 0 ⇔ y − = − . x − x (d ) 0 0 0 2 ( 0 ) x − 2 0 (x − 2 0 )  2x − 2   2 
 Tiếp tuyến d cắt TCĐ: x = 2 tại 0 A2;  ⇒ IA = 0; x 2   x 2  − −  0 0 
 Tiếp tuyến d cắt TCN: y = 2 tại B (2x − 2;2 ⇒ IB = 2x − 4;0 0 ) ( 0 ) Suy ra 2 . IA IB = . 2x − 4 = 4 mà 2 2 2
IA + IB = AB = 8 ⇒ IA = IB = 2 0 x − 2 0
Do đó 2x − 4 = 2 ⇔ (x − 2)2 =1 → k = 1 − . Chọn D. 0 0  f ( ) 1 = 0
Câu 17: Thay x = 0 vào giả thiết, ta được 2 f ( ) 3 1 = − f ( ) 1 ⇔   f ( ) 1 = 1 −
Đạo hàm 2 vế giả thiết, ta có f ′( + x) f ( + x) = + f ′( − x) 2 4 1 2 . 1 2 1 3 1
. f (1− x) (*)
Thay x = 0 vào (*), ta được f ′( ) f ( ) = + f ′( ) 2 4 1 . 1 1 3 1 . f ( ) 1 (I) TH1. Với f ( )
1 = 0 thay vào (I), ta có 0 =1 (vô lý) TH2. Với f ( ) 1 = 1
− thay vào (I), ta có − f ′( ) = + f ′( ) ⇒ f ′( ) 1 4 1 1 3 1 1 = − (vô lý) 7
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1
y + = − (x − ) 1 6 1
1 ⇔ y = − x − . Chọn A. 7 7 7
Câu 18: Tiếp tuyến song song với trục Ox ⇒ k = y′(x = 0 0 )
x = 0 ⇒ y = m − 2 Giải phương trình 3
y′ = 4x − 4x = 0 ⇔  x = 1
± ⇒ y = m − 3
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (0;m − 2) là: y = m − 2
Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( 1;
± m− 3) là: y = m − 3 m − 2 = 0 m = 2
Để có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox thì ⇔  . m 3 0  − = m = 3 Vậy S = {2; }
3 ⇒ T = 5 . Chọn B.
Câu 19: Phương trình hoành độ giao điểm là: 3 2
2x − 3x − 2 = mx − m − 3 3 2
⇔ x − x + − m(x − ) = ⇔ (x − )( 2 2 3 1 1 0 1 2x − x − ) 1 − m(x − ) 1 = 0 x y ⇔ (x − )  = ⇒ = − 1 ( 1 3 2
2x − x −1− m) = 0 ⇔  g ( x) 2
= 2x − x −1− m = 0 ∆ =  1+ 8(1+ m) > 0
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì g (x) = 0 có 2 nghiệm khác 1 ⇔  (*) g ( ) 1 = −m ≠ 0  1 x + x =  1 2
Gọi A(x ;mx − m −3 và B(x ;mx − m −3 theo Vi-ét ta có:  2 2 2 ) 1 1 )  1 − −  = m x x 1 2  2
Để tiếp tuyến tại A và B của (C) vuông góc với nhau thì y′(x .y′ x = 1 − 1 ) ( 2) ⇔ ( 2 x − x )( 2 1 6 6 6x − 6x = 1
− ⇔ x x x −1 x −1 = − 1 1 2 2 ) 1 2 ( 1 )( 2 ) 36 1 1 − − m  1 − − m 1  1
⇔ x x x x − x − x +1 = − ⇔ − +  1 = − 1 2 ( 1 2 1 2 ) 36 2 2 2    36 2
m + 2m +1 1+ m 1 2 1 3 − ± 5 ⇔ − = −
⇔ m + m + = 0 ⇔ m = (t / m(*)) 4 4 36 9 6
Suy ra tổng các phần tử của S bằng 1 − . Chọn A. x − 
Câu 20: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 2 0 M x ; là: 0 x 1 − +  0 
y = f ′(x )(x − x ) x − 2 1 − x − 2 0 + = x − x + 2 ( 0 ) 0 0 0 −x +1 x −1 −x +1 0 ( 0 ) 0
x − a + 2 − x x −1 0 ( 0 ) ( 0 )
Do tiếp tuyến đi qua điểm A(m ) ;1 nên 1 = (x − )2 1 0 ⇔ (x − )2 2 2
1 = −x + 4x − 2 − m ⇔ 2x − 6x + 3+ m = 0 * 0 0 0 0 0 ( )
Để có đúng một tiếp tuyến đi qua A thì (*) có nghiệm kép hoặc (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một
∆′ = 3 − 2m = 0  3  m =
nghiệm x =1 ⇔ ∆′ = 3− 2m > 0  ⇔ . 0 2   
2.1−6+3+ m = 0 m =1 Vậy 3 S  ;1 =
 ⇒ Tổng bình phương trình tập hợp S bằng 9 13 +1 = . Chọn A. 2  4 4 Câu 21: (C) x −1 1 : y = ⇒ y′ = . Ta có: 1 1 y = − . 2 2x 2x 2 2x Gọi  1 1   1 1 A a; , B ;  − b −
(a ≠ b,ab ≠    
0) là hai điểm thuộc đồ thị (C).  2 2a   2 2b
Gọi d ,d là hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. 1 2
Theo giả thiết ta có: ( ) = ( ) 1 1 2 2 ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = 0 a≠ ′ ′ → b y a y b a b a b a b a = −b . 2 2 ( )( ) 2a 2b Suy ra  1 1 B ;  −a +  2 2   a
Phương trình tiếp tuyến tại A là: 1 1 1 x 1 1 d : y = x − a + − = + − 1 2 ( ) 2 2a 2 2a 2a 2 a −a 1 1 1 1 a + − − −
Khi đó d (d ;d ) = d ( ; B d ) 2 2a 2 a 2 2a 2 2 = = = 1 2 1 1 1 1 2 +1 +1 + a 4 4 2 4a 4a 4a Mặt khác 1 2 1 2 2 + a ≥ 2
.a =1⇒ d ≤ = 2 ⇒ d = 2. Chọn C. 2 2 max 4a 4a 1
Câu 22: Gọi A( 3
a a − a + ) B( 3 ; 3 1 , ; b b − 3b + )
1 với a < b .
Tiếp tuyến tại A, B song song với nhau ⇒ y′(a) = y′(b) 2 2 2 2
⇔ 3a − 3 = 3b − 3 ⇔ a = b ( )( ) 0 a≠ ⇔ − + = → b a b a b a = −b .
Khi đó: B(−a −a + a + ) ⇒ AB = a + ( a − a)2 3 2 2 3 ; 3 1 4 2 6 = (4 2)2 2 6 4 2 t=a 3 2
⇔ 4a − 24a + 40a = 32 
→ 4t − 24t + 40t − 32 = 0 ⇔ t = 4 ⇒ a = 2 ± .
Do a < b ⇒ a = 2
− ,b = 2 ⇒ S = 3.( 2 − ) − 5.2 = 16 − . Chọn A. ′ f ′ xx x − 
Câu 23: Ta có: f ′(x) 2 = −e f (x) ( ) 1 x ′ 1 . ⇒ = −e ⇒   = −e ⇒ = x e + C 2 ( ) f (x)  f ( x) f (x) x Mặt khác ( ) 1 1 0 1 0 − = ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ ′ = e f e C C f x f x 2 f (0) 1 ( ) x ( ) e +1 ( xe + )2 1  f ′( ) 2 ln 2 − =  Ta có:  9 
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x = ln 2 là: 0  f ( ) 1 ln 2 =  3 2 − y = (x − ) 1 ln 2 + ⇔ 9y = 2
− x + 2ln 2 + 3 ⇔ 2x + 9y − 2ln 2 − 3 = 0 . Chọn A. 9 3 4  aCâu 24: Gọi 2 5 3 M  ; a
− 3a + , y′ = 2x − 6x  2 2  4
Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = ( 3
a − a)(x − a) a 2 5 2 6 + − 3a + (d ) . 2 2
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: ( a − a) 4 4 3
(x − a) a 2 5 x 2 5 + − a + = − x + ⇔ ( 3
a − a)(x − a) 1 2 6 3 3 2 6 + ( 4 4
a − x ) −3( 2 2 a − x ) = 0 2 2 2 2 2 (x a) 3 1 2a 6a ( 2 2 a
x )(a x) 3(x a) ⇔ − − − + + + + =   0  2  (x a) 3 1 3 1 2 1 2 1 3 2a 6a a ax a x x 3x 3  ⇔ − − − − − − + + a =   0  2 2 2 2  ⇔ (x − a)( 3 2 2 3
3a − ax − a x − x + 3x − 3a) = 0
⇔ (x − a) (x − a)  ( 2 2
−x − 2ax − 3a ) + 3(x − a) = 0 
x = a ⇒ M a y ⇔ (x − a) ; 2 ( 2 2
x + 2ax + 3a − 3) ( M ) = 0 ⇔  g (x) 2 2
= x + 2ax + 3a − 3 = 0
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khác M thì phương trình g (x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2 2 2 2a < 3
∆′ = a −3a + 3 > 0  a ⇔  . g (a) ⇔  2 2 1 = 6a − 3 ≠ 0 a ≠  2
Kết hợp a ∈ ⇒ a = {0;± }
1 . Vậy có 3 giá trị của a. Chọn B.
Câu 25: (C) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên (0) = 2 ⇒ b f = 2 ⇒ b = 2d d
Đồ thị của hàm số y = f ′(x) có tiệm cận đứng là = − d = 1 − ⇒ = ⇒ = = b x c d c d . c 2 2  a a c  2 − 2  − 2 Ta có: = ( ) ax + =
b ⇒ ( ) ad −bc ac−2cc  ′ = = = = c y f x f x cx + d
(cx + d )2 (cx + c)2 2 c (x + ) 1 (x + )2 1 Lại có: ′( 2 − ) = ′(0) = 3 − ⇒ a f f − 2 = 3
− ⇒ a = −c . c Vậy
ax + b −cx + 2c −x + 2 3 y = = = , − y′ =
, C ∩Ox = A 2;0 . 2 ( ) ( ) cx + d cx + c x +1 (x + ) 1 Ta có: y′( ) 1
2 = − ⇒ Phương trình tiếp tuyến tại A là: 1
y = − (x − 2) hay x + 3y − 2 = 0. Chọn A. 3 3
Câu 26: Gọi  1 4 7 2 A ;  a a − a ∈ 
 (C) nên phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là  4 2 
y − y = y′(x )(x − x ) ⇔ y = ( 3
a − 7a)(x − a) 1 4 7 2 + a − a A A A 4 2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là 1 4 7 2 x − x = ( 3
a − 7a)(x − a) 1 4 7 2 + a − a 4 2 4 2 4 2
⇔ x − x − ( 3
a − a)(x − a) 4 2 14 4 28 − a +14a = 0 x a ⇔ (x − a)  = 2 ( 2 2
x + 2ax + 3a −14) = 0 ⇔  2 2
x + 2ax + 3a −14 = 0  ( ) 1
Ta tìm điều kiện để (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 7 2
a ⇔ ≠ a < 7 3
Theo bài ra, hệ số góc của tiếp tuyến là 3
k = 6 ⇒ a − 7a = 6 ⇒ a = { 2 − ; 1; − } 3
Vậy có tất cả hai giá trị a cần tìm. Chọn B.
Câu 27: Gọi  1 4 14 2 A a;  a − a ∈ 
 (C) nên phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là  3 3 
y − y = y x x x y a a x a a a A ( A)( − A)  4 3 28  ′ ⇔ = − ( − ) 1 4 14 2 + −   3 3  3 3
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là 1 4 14 2  4 3 28  x − x = a − 
a(x − a) 1 4 14 2 + a − a 3 3  3 3  3 3 4 2
⇔ x − x − ( 3
a − a)(x − a) 4 2 14 4 28 − a +14a = 0 x a ⇔ (x − a)  = 2 ( 2 2
x + 2ax + 3a −14) = 0 ⇔  2 2
x + 2ax + 3a −14 = 0  ( ) 1
Ta tìm điều kiện để (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 7 2
a ⇔ ≠ a < 7 3
Theo bài ra, hệ số góc của tiếp tuyến là 4 3 28 k = 8 ⇒ a −
a = 8 ⇒ a = { 2 − ; 1; − } 3 3 3
Vậy có tất cả hai giá trị a cần tìm. Chọn A.
Câu 28: Gọi tiếp tuyến d đi qua A có phương trình là 15  27  27 15 y + = k x + ⇔ y = kx + k − 4  16    16 4 3
2x − 6x = k
Vì (C) và d tiếp xúc nhau  ⇒ 1 4 2 3 27 15
x − 3x + = kx + k − 2 2 16 4 x = 2; − x = 1 − Suy ra 1 4 2 3  27  x x x ( 3x x) 15 3 2 6  − + = + − − ⇔   7 . Vậy 5
S = − . Chọn C. 2 2  16  4 x = 4  4  x Câu 29: Gọi 2 2 0 M x ;  ⇒ y′ x =
nên phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là 0 ( 0) x +  1 (x + )2 0 1 0 2x 2x 2 0 y −
= y′(x ).(x − x ) 0 ⇔ y − =
. x − x (d) 0 0 2 ( 0 ) x +1 x +1 0 0 (x +1 0 )
 Tiếp tuyến d cắt Ox tại A( 2 −x ;0) 2 ⇒ OA = x 0 0  2  2 2x 2x
 Tiếp tuyến d cắt Oy tại 0 0 B0;  ⇒ OB =  . (x )2 1  + (x +   )2 1 0 0  1 4 1 x 1
x = − ⇒ y = 2 − Do đó 0  0 0 S = OA = = ⇔ ∆OAB .OB 2 (x ) 2 2 1 4  + 0 x =1⇒ y =  1 0 0 Vậy 1
a + b + c + d = − . Chọn D. 2
Câu 30: Phương trình tiếp tuyến d của (C) đi qua M là y − m = k.(x − 0) ⇔ y = kx + m 2 3
 x + 2x + 3 = k
Vì (C) tiếp xúc với d nên suy ra 3 2  ⇔ m = 2 − x − x +1 3 2
x + x + 3x +1 = kx + m
Yêu cầu bài toán ⇔ m = g (x) 3 2 = 2
− x − x +1 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [1; ] 3
Xét hàm số g (x) 3 2 = 2
− x − x +1 trên [1; ] 3 , có g′(x) 2 = 6
− x − 2x < 0;∀x ∈[1; ] 3
Suy ra g (x) là hàm số nghịch biến trên (1;3) ⇒ g (3) ≤ m ≤ g ( ) 1 ⇔ 6 − 2 ≤ m ≤ 2 − . Vậy có tất cả 2 − − ( 62
− ) +1 = 61 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.
Câu 31: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là 2x + 3 = 2x + m x − 2 x ≠ 2 x −  2 ≠ 0  ⇔  x m x mx + = 
(x − )( x + m) 2
⇔ 2 + ( −6) − 2 −3 = 0 2 3 2 2
  f (x)
Để (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt khi ⇔ f (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2  f (2) ≠ 0 ⇔ 
⇔ (m − 6)2 + 8(2m + 3) 2
> 0 ⇔ m + 4m + 60 > 0;∀m ∆ > 0  6 − x + x = m  1 2
Khi đó, gọi x , x là hoành độ các giao điểm  2 ⇒ (1) 1 2  2m + 3 x x = − 1 2  2 x = x
Theo bài ra, ta có y′(x ) − y′(x ) 7 7 1 2 ⇔ − = − ⇔ (2) 1 2 (x − 2 x − 2 x + x =  4 1 )2 ( 2 )2 1 2
Từ (1), (2) suy ra 6 − m = 4 ⇔ m = 2 − . Chọn B. 2  x −  Câu 32: Gọi 1 3 0 M x ;  ⇒ y′ x =
nên phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là 0 ( 0) x +  2  (x + 2)2 0 0 x −1 x −1 3 0 y −
= y′(x ).(x − x ) 0 ⇔ y − =
. x − x (d) 0 0 2 ( 0 ) x + 2 x + 2 0 0 (x + 2 0 )  x − 4  x − 4
 Tiếp tuyến d cắt TCĐ: x = 2 tại 0 0 A 2; −  ⇒ y = 1 x + 2 x +   2 0 0
 Tiếp tuyến d cắt TCN: y = 1 tại B (2x + 2;2 ⇒ x = 2x + 2 0 ) 2 0 x − 4 x = 5 − m = 3 − Theo bài ra, ta có 0 0 x + y = 5 − ⇔ 2x + 2 + = 5 − ⇔ ⇒ . Chọn C. 2 1 0 x + 2  x 1  = − m =1 0 0
Câu 33: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M x y là y − y = y′(x )(x − x k k k )
k ( k ; k )
⇔ y = y′(x ) (x − x ) + y = ( 2 x − )(x− x ) 3 . 3 2009 + x − x (d) k k k k k k 2009 k
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là x = x 3 x − x = ( 2 − )(x− x ) 3 2009 3 2009
+ x − 2009x ⇔ (x − x )2 (x + 2x ) = 0 ⇔  k k k k k k k x = 2 −  xk
Do đó x = − x suy ra (x là cấp số nhân với x 1;q 2 x n 2 − = = − ⇒ = − n 1 ( ) 1 n ) k+ 2 1 k Vậy 2013 3 2013 x + y + = ⇔ x + = ⇔ n . Chọn C. n n n (− )3n−3 2013 2009 2 0 2 0 2 + 2 = 0 ⇔ = 672
Câu 34: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M x y là y − y = y′(x )(x − x k k k )
k ( k ; k )
⇔ y = y′(x ) (x − x ) + y = ( 2
x + )(x − x ) 3 . 3 3 + x + x (d) k k k k k k 3 k
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là x = x 3 x + x = ( 2
x + )(x − x ) 3 3 3 3
+ x + 3x ⇔ (x − x )2 (x + 2x ) = 0 ⇔  k k k k k k k x = 2 −  xk
Do đó x = − x suy ra (x là cấp số nhân với x 1;q 2 x n 2 − = = − ⇒ = − n 1 ( ) 1 n ) k+ 2 1 k Vậy 21 3 21 y − x + = ⇔ x + = ⇔ n . Chọn B. n n n (− )3n−3 21 3 2 0 2 0 2 + 2 = 0 ⇔ = 8 
Câu 35: Từ giả thiết ta suy ra được đường thẳng MN có một vectơ chỉ phương u (1;3) .  45 x = 3 − ⇒ y =  0 0 8 
Gọi A(x ; y ta có: f ( 1 7 13 x 3 x x 3 x 1 −  ′ = ⇔ − = ⇔ = − ⇒ y = 0 ) 3 0 0 ) 0 0 0 0 2 2  8 x = 2 − ⇒ y = 5 −  0 0 
Ta được các phương trình tiếp tuyến tương ứng là 117 11 y = 3x −
, y = 3x + , y = 3x +1 8 8
Kiểm tra điều kiện cắt tại 3 điểm.
Ta xét phương trình 1 4 7 2
x − x = 3x + m ⇔ g (x) 1 4 7 2
= x − x − 3x = m(*) . 8 4 8 4 x = 3 Khi đó g (x) 1 3 7 0 x x 3 0  ′ = ⇔ − − = ⇔ x = 1
− . Ta được bảng biến thiên sau: 2 2  x = 2 −  x −∞ 2 − 1 − 3 +∞ g′(x) + 0 − 0 + 0 − +∞ 14 +∞ 8 g (x) 1 117 − 8 Dựa vào BBT suy ra 11
m = ,m =1 thì phương trình (*) có ba nghiệm. 8
Vậy có hai điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Câu 36: Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
y = x − 5x + 6 khi phương trình 2 2
x − 5x + 6 = ax + b ⇔ x − (a + 5) x + 6 −b có nghiệm kép ⇔ ∆ = (a + )2
5 − 4(6 −b) = 0 (1).
Tương tự đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
y = x + 3x −10 khi phương trình 2 2
x + 3x −10 = ax + b ⇔ x + (3− a) x −10 − b = 0 có nghiệm kép ⇔ (a − )2 3 + 4(b +10) = 0 (2). 2
a +10a + 4b +1= 0 16  a − 48 = 0 a = 3 Từ (1) và (2) ⇒  ⇒  ⇔  2 2
a − 6a + 4b + 49 = 0
a − 6a + 4b + 49 = 0 b = 10 −
Vậy M = 2a + b = 4 − . Chọn B. Câu 37: Viết lại: 1 2
d : y = x +1, y′ = x − 4mx + 8(m − ) 1 . 4 Ta có: y′( 1 1 x . = 1
− , y′ x . = 1
− nên x ; x là nghiệm của phương trình: y′(x) = 4 − 1 ) ( 2) 4 4 1 2 x = 2 2
⇔ x − 4mx + 8m − 4 = 0 ⇔ ( 2
x − 4) − 4m(x − 2) = 0 ⇔ (x − 2)(x + 2 − 4m) = 0 ⇔  (1) x = 4m − 2
Để tồn tại 2 điểm A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt không âm  1 4m − 2 ≥ 0 m ≥ ⇔  ⇔  2 . 4m − 2 ≠ 2 m ≠1
Khi đó ta có: x + x ≤ 2 2 ⇔ 4m − 2 + 2 ≤ 2 2 ⇔ 4m − 2 ≤ 2 ⇔ m ≤ A B 1
Kết hợp điều kiện suy ra 1  3 S = ;1 ⇒ u + v =  . Chọn A. 2  2 Câu 38: Gọi  1 K ;  a (a ≠   ) 1 thuộc (C).  a +1
Phương trình tiếp tuyến tại K là: 1 − 1 y = x − a + 2 ( ) (a + ) 1 a +1
Tiếp tuyến đi qua điểm A( − ) 1 − 1 a −1+ a +1 1; 4 ⇔ 4 − = 1− a + ⇔ 4 − = 2 ( ) (a + ) 1 a +1 (a + )2 1  1 a = − 2(a )2 2 1 a 2a 5a 2 0  ⇔ − + = ⇔ + + = ⇔
2 ⇒ x x = a a =1. Chọn A. 1 2 1 2  a = 1 −
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1

Tài liệu liên quan: