Bài toán VD – VDC cực trị của hàm số – Nguyễn Công Định Toán 12
Bài toán VD – VDC cực trị của hàm số – Nguyễn Công Định Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 375 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
CHỦ ĐỀ: CỰC TRỊ
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG 1
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 1.
Biết M (0; 2) , N(2; 2
) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d . Tính
giá trị của hàm số tại x 3
A. y(3) 2 .
B. y(3) 11.
C. y(3) 0 . D. y(3) 3 Câu 2. Đồ thị hàm số 3 2
y x 3x 9x 1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dƣới đây I
thuộc đƣờng thẳng AB ? Ơ
A. M 0; 1 . B. Q 1 ;10 .
C. P 1;0 .
D. N 1;10 .
M D Câu 3. Hàm số f x 0 1 2 2 2019 2019 C
C x C x ... C x
có bao nhiêu điểm cực trị? Ầ 2019 2019 2019 2019 Đ A. 0 . B. 2018 . C. 1. D. 2019 . NHỊĐ Câu 4. Cho hàm số 1 2 2 10 10
f (x) 1 C x C x ... C x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng 10 10 10 G THPT N.C.Đ A.10 . B. 0 . C. 9 . D.1 . N
NG Câu 5. Giá trị cực đại của hàm số y x sin 2x trên 0; là: CÔ Ờ N 3 3 2 3 2 3 A. . B. . C. . D. . YỄ TRƢ 3 2 6 2 3 2 3 2 GU
N Câu 6. Gọi A , B , C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 4 2
y x 2x 4 . Bán kính đƣờng N
tròn nội tiếp tam giác ABC bằng A. 2 1. B. 2 . C. . D. 1. ÁO VIÊ 2 1
GI Câu 7. Cho hàm số 4 2
y x 2x 1 có đồ thị C . Biết rằng đồ thị C có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác, gọi là . ABC Tính diện tích . ABC 1 A. S 2 .
B. S 1. C. S . D. S 4 . 2 Câu 8.
Cho hàm số y f (x) có đúng ba điểm cực trị là 2
; 1; 0 và có đạo hàm liên tục trên . Khi đó hàm số 2
y f (x 2x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6. B. 4. C. 5. D. 3. Câu 9. Cho hàm số 2 3 ( ) ( 1) x f x x x
e có một nguyên hàm là hàm số F(x) . Số điểm cực trị của
hàm số F(x) là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . x
Câu 10. Số điểm cực trị của hàm số y sin x , x ; là 4 A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 .
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 11. Biết phƣơng trình 3 2
ax bx cx d 0 a 0 có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 3 . Câu 12. Cho hàm số 3 2
f (x) ax bx cx d có đồ thị nhƣ hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số 2 y f ( 2
x 4x) là. A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 5 . 1 1
Câu 13. Biết rằng đồ thị hàm số 2 y x 3x
có ba điểm cực trị thuộc một đƣờng tròn C . 2 x
Bán kính của C gần đúng với giá trị nào dƣới đây? A. 12, 4 . B. 6, 4 . C. 4, 4 . D. 27 .
Câu 14. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 3 x 1 2x, x . Hỏi hàm số
y f x 2
x 1 có bao nhiêu điểm cực tiểu. I Ơ A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Câu 15. Cho hàm số 4 2
f x ax bx c với a 0 , c 2018 và a b c 2018. Số điểm cực trị M D Ầ
của hàm số y f x là Đ 2018 NHỊ A. 1. B. 3 . C. 5 . D. 7 . Đ x G THPT N.C.Đ
Câu 16. Hàm số f x
m (với m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực 2 N x 1 NG CÔ trị? Ờ N A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . YỄ
TRƢ Câu 17. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 2 x
1 x 4 với mọi x . Hàm số GU N N
g x f 3 x có bao nhiêu điểm cực đại? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
ÁO VIÊ Câu 18. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên và bảng xét dấu đạo hàm GI Hàm số 4 2 6 4 2
y 3 f (x 4x 6) 2x 3x 12x có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 19. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên nhƣ sau
Số điểm cực trị của hàm số y f (x) là A. 7 . B. 5 . C. 6 . D. 8 .
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 2
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 20. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của f x x
Hỏi hàm số g x f x 3 2 1
x 3x đạt cực tiểu tại điểm nào dƣới đây? 3 A. x 1 .
B. x 3.
C. x 2 . D. x 3 .
Câu 21. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị hàm số y f ( x) nhƣ hình vẽ sau: I Ơ M D Ầ Đ NHỊ
Số điểm cực trị của hàm số y f (x) 5x là Đ G A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 . THPT N.C.Đ N
Câu 22. Cho hàm số y f x là hàm số bậc bốn. Hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình bên. Số NG CÔ Ờ 2 N
điểm cực trị của hàm số f x 2x 2019 là YỄ TRƢ y GU N N ÁO VIÊ -1 O 1 3 x GI A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 23. Cho hàm số y f (x) có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới đây:
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 f x 1 f x
Tìm số điểm cực đại của hàm số y 2019 2018 A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. 3 2
Câu 24. Cho hàm số y
f (x) có đạo hàm tại x
, hàm số f (x) x ax bx c
Có đồ thị ( nhƣ hình vẽ )
Số điểm cực trị của hàm số y f f x là A. 7 . B. 11. C. 9 . D. 8 .
Câu 25. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có đồ thị là đƣờng cong nhƣ hình vẽ. Đặt I Ơ
g x 3 f f x 4 . Tìm số điểm cực trị của hàm số g x? y M D Ầ 3 Đ NHỊĐ 1 1 2 3 4 G THPT N O .C.Đ x N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N A. 2 . B. 8 . C. 10 . D. 6 . N
Câu 26. Cho hàm số y f (
x 1) có đồ thị nhƣ hình vẽ. ÁO VIÊ GI 2 f x Hàm số 4 x y
đạt cực tiểu tại điểm nào? A. x 1. B. x 0 . C. x 2 . D. x 1 .
Câu 27. Cho hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số
y 2 f x 5 3 là
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 4
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 7 .
Câu 28. Cho hàm số y f x , hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ. Hàm số g x 5sin x 1 x 2 5sin 1 I 2 f 3
có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0; 2 ? Ơ 2 4 M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N A. 9 . B. 7 . C. 6 . D. 8 . N 3
Câu 29. Cho hàm số y f x biết f x 2
x x 2 1
x 2mx m 6 . Số giá trị nguyên của tham ÁO VIÊ
số m để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị là GI A. 7 . B. 5 . C. 6 . D. 4 . Vậy m 2 ; 3
7 , mà m m 2 ; 1 ;0;1;2;3; 7 .
Câu 30. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên nhƣ sau: 3 2
Số điểm cực tiểu của hàm số g x 2 f x 4 f x 1 là A. 4 . B. 9 . C. 5 . D. 3
Câu 31. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và đồ thị của hàm số y f x nhƣ hình bên.
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 5
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Khẳng định nào dƣới đây đúng ?
A. Hàm số y f x 2
x x 2019 đạt cực đại tại x 0 .
B. Hàm số y f x 2
x x 2019 đạt cực tiểu tại x 0 .
C. Hàm số y f x 2
x x 2019 không có cực trị.
D. Hàm số y f x 2
x x 2019 không có cực trị tại x 0 . I Ơ 1
Câu 32. Cho hàm số y f (x) liên tục trên tập số thực và hàm số 2
g(x) f (x)
x x 1. Biết 2 M D
đồ thị của hàm số y f (
x) nhƣ hình vẽ dƣới đây Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ
Khẳng định nào sau đây đúng ? GI
A. Đồ thị hàm số y
g(x) có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.
B. Đồ thị hàm số y g(x) có 2 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
C. Đồ thị hàm số y g(x) có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.
D. Đồ thị hàm số y g(x) có 3 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.
Câu 33. Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên 0;6 . Đồ thị của hàm số y f x
trên đoạn 0;6 đƣợc cho bởi hình bên dƣới. Hỏi hàm số y f x 2 2019 có tối đa
bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn 0;6 .
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 6
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 7 . B. 6 . C. 4 . D. 3 .
Câu 34. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên nhƣ hình vẽ
Xét hàm số y g x f x 2019 ( ) 4 2018
. Số điểm cực trị của hàm số g(x) bằng A. 5 . B. 1. C. 9 . D. 2 .
Câu 35. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Biết hàm số có đồ thị y f ' x nhƣ hình vẽ.
Hàm số g x f x x đạt cực tiểu tại điểm. I Ơ M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N
A. x 1.
B. x 2.
C. không có điểm cực tiểu. D. x 0. NG
y f x
y f x CÔ Câu 36. Cho hàm số có đạo hàm trên và hàm số
có đồ thị là đƣờng cong Ờ N trong YỄ TRƢ hình vẽ dƣới đây GU N N ÁO VIÊ GI
Số điểm cực đại của hàm số g x f 3
x 3x là A. 5. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 37. Cho hàm số y f (x) là một hàm đa thức có đồ thị nhƣ hình vẽ
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 7
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Số điểm cực trị của hàm số y f 2
x 2 x là A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 38. Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên 0;6. Đồ thị của hàm số y f x
trên đoạn 0;6 đƣợc cho bởi hình bên dƣới. Hỏi hàm số 2 y f x có tối đa bao I Ơ nhiêu cực trị? M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ A. 7. B. 5. C. 4. D. 6. N
Câu 39. Cho hàm số 4 3 2 y
f x ax bx cx dx e . Biết rằng hàm số y f x liên tục trên YỄ TRƢ 2 GU N
và có đồ thị nhƣ hình vẽ bên. Hỏi hàm số y f 2x x có bao nhiêu điểm cực đại? N ÁO VIÊ GI A. 5 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 40. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên nhƣ hình vẽ bên. Hàm số y f (x 3) đạt cực đại tại x -∞ -1 0 2 +∞ 1 1 f(x) -2 A. x 1
B. x 2 . C. x 0 . D. x 3 .
Câu 41. Cho hàm số y f x liên tục trên
và có đồ thị nhƣ hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
y f x
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 8
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 6 . B. 8 . C. 7. D. 9.
Câu 42. Cho hàm số f x có đồ thị hàm số y f ' x đƣợc cho nhƣ hình vẽ bên. Hàm số
y f x 1 2
x f 0 có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng 2 ;3? I 2 Ơ M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N A. 6 . B. 8 . C. 3. D. 5.
Câu 43. Cho hàm số đa thức y f x có đạo hàm trên
, f 0 0 và đồ thị hình bên dƣới là ÁO VIÊ
đồ thị của đạo hàm f x . Hỏi hàm số g x f x 3x có bao nhiêu điểm cực trị ? GI A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 6 .
Câu 44. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên nhƣ sau:
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 9
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Số điểm cực tiểu của hàm số 3 2
g(x) 2 f (x) 4 f ( ) x 1 là A. 4 . B. 9 . C. 5 . D. 3 .
Câu 45. Cho hàm số đa thức 5 4 3 2
f x mx nx px qx hx r , , m , n , p , q ,
h r . Đồ thị hàm
số y f x (nhƣ hình vẽ bên dƣới) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lƣợt là 3 5 11 1 ; ; ; . 2 2 3 I Ơ M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ
Số điểm cực trị của hàm số g x f x m n p q h r là GU N N A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.
Câu 46. Cho hàm số y f (x) có đồ thị nhƣ hình bên dƣới ÁO VIÊ GI
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m 1 00;100 để hàm số 2 (
h x) f (x 2) 4 f (x 2) 3m có đúng 3 điểm cực trị. Tổng giá trị của tất cả các phần
tử thuộc S bằng A. 5047 . B. 5049 . C. 5050 . D. 5043 .
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 10
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 47. Cho f (x) là một hàm đa thức và có đồ thị của hàm số f '(x) nhƣ hình vẽ bên. Hàm số 2
y 2 f (x) (x 1) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ? A. 9. B. 3. C. 7. D. 5.
Câu 48. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên
và đồ thị hàm số y f (x) nhƣ hình vẽ I
bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số 1 2019f f x y . Ơ M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N A. 13. B. 11. C. 10. D. 12. YỄ
TRƢ Câu 49. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số nhƣ hình vẽ bên dƣới. GU N N ÁO VIÊ GI
Số điểm cực tiểu của hàm số g x 2 f x 2 x 1 x 3 là A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 .
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 11
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.
Biết M (0; 2) , N(2; 2
) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d . Tính
giá trị của hàm số tại x 3
A. y(3) 2 .
B. y(3) 11.
C. y(3) 0 . D. y(3) 3 Lời giải Chọn A Đạo hàm 2
y ' 3ax 2bx c y(0) 2 d 2 a 1 y(2) 2 8
a 4b 2c d 2 b 3
Từ giả thiết ta có y '(0) 0 c 0 c 0 y'(2) 0 1
2a 4b c 0 d 2 3 2
y x 3x 2 y(3) 2 I
Ơ Câu 2. Đồ thị hàm số 3 2
y x 3x 9x 1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dƣới đây
thuộc đƣờng thẳng AB ? M D Ầ
A. M 0; 1 . B. Q 1 ;10 .
C. P 1;0 .
D. N 1;10 . Đ NHỊ Lời giải Đ Chọn D G THPT N.C.Đ N
Cách 1: Xét hàm số y f x 3 2
x 3x 9x 1, f x 2
3x 6x 9. NG CÔ Ờ 1 1
Ta có f x x . f
x8x 2. N 3 3 YỄ TRƢ
Đồ thị hàm số f x có hai điểm cực trị A và B nên f x f x 0 . A B GU N N
y f x x A A 8 2 Suy ra A
y f x x B B 8 2 B ÁO VIÊ
Do đó phƣơng trình đƣờng thẳng AB là y 8 x 2 . GI
Khi đó ta có N 1;10 thuộc đƣờng thẳng AB . Chọn D
Cách 2: Xét hàm số y f x 3 2
x 3x 9x 1, f x 2
3x 6x 9. x f x 2
0 3x 6x 9 3 0 . x 1
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A3; 26 và B 1 ;6 . Ta có AB 4
;32 cùng phƣơng với u 1 ;8 .
Phƣơng trình đƣờng thẳng AB đi qua B 1
;6 và nhận u 1
;8 làm vecto chỉ phƣơng x 1 t là t
y 6 8t
Khi đó ta có N 1;10 thuộc đƣờng thẳng AB . Chọn D
Câu 3. Hàm số f x 0 1 2 2 2019 2019 C
C x C x ... C x
có bao nhiêu điểm cực trị? 2019 2019 2019 2019
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 12
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 0 . B. 2018 . C. 1. D. 2019 . Lời giải Chọn A
Ta có: f x C C x C x ... C x 1 x2019 0 1 2 2 2019 2019 2019 2019 2019 2019 f x 2018 ' 2019.(1 x)
f 'x 0 x 1 Vì x 1
là nghiệm bội chẵn nên x 1
không phải là điểm cực trị của hàm số. Câu 4. Cho hàm số 1 2 2 10 10
f (x) 1 C x C x ... C x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng 10 10 10 A.10 . B. 0 . C. 9 . D.1 . Lời giải Chọn D
Áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn, ta có: I 1 2 2 10 10 10
f (x) 1 C x C x ... C x (1 x) Ơ 10 10 10
f '(x) 101 x9 M D Ầ Bảng biến thiên Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N
Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x 1 . YỄ
TRƢ Câu 5. Giá trị cực đại của hàm số y x sin2x trên 0; là: GU N N 3 3 2 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 6 2 3 2 3 2 ÁO VIÊ Lời giải GI Chọn A Ta có: y 1 1
2cos2x y 0 cos2x 2 2x
k2 x k . 2 3 3 2
Xét trên 0; ta có x và x . 3 3 Ta có y 4 sin 2x . y 2 3 0 nên x là điểm cực đại. 3 3 2 2 y 2 3 0 nên x là điểm cực tiểu. 3 3 3
Vậy giá trị cực đại là y . 3 3 2
Câu 6. Gọi A , B , C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 4 2
y x 2x 4 . Bán kính đƣờng
tròn nội tiếp tam giác ABC bằng
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 13
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 2 1. B. 2 . C. 2 1. D. 1. Lời giải Chọn C Cách 1: x 0 Ta có 3
y ' 4x 4x . Khi đó y 0 . x 1 Suy ra đồ thị hàm số 4 2
y x 2x 4 có ba điểm cực trị là A0;4 , B 1;3 và C 1 ; 3 .
Gọi I là tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác ABC , ta có BC.IA A . C IB A . B IC 0 . 4 3 2
Mà AB AC 2 và BC 2 nên suy ra I 0; . 1 2
Phƣơng trình đƣờng thẳng BC là y 3 .
Bán kính đƣờng tròn nội tiếp tam giác ABC là r d(I , BC) 2 1. I Cách 2: Ơ
Áp dụng công thức tính bán kính đƣờng tròn nội tiếp tam giác ABC ta có: M D S
( p a)( p b)( p c) ABC Ầ r 2 1 Đ p p NHỊ
a b c Đ
trong đó a BC 2; b c AB AC 2 ; p G 2 THPT N.C.Đ N Cách 3: NG CÔ Ờ
Áp dụng công thức tính bán kính đƣờng tròn nội tiếp tam giác ABC ta có: N A 3 ( 2 ) 8.1
r ( p a) tan 2 1 0 cosA 0 A 90 YỄ với . TRƢ 2 3 ( 2 ) 8 1 GU
N Câu 7. Cho hàm số 4 2
y x 2x 1 có đồ thị C . Biết rằng đồ thị C có ba điểm cực trị tạo N
thành ba đỉnh của một tam giác, gọi là . ABC Tính diện tích . ABC ÁO VIÊ 1 A. S 2 .
B. S 1. C. S . D. S 4 . GI 2 Lời giải Chọn B x 0 Ta có 3
y 4x 4 ; x y 0 x 1
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A0; 1 , B 1
;0 , C 1;0 A . B AC 0 AB 1 ; 1 ; AC 1; 1 .
AB AC 2 1 Suy ra ABC
vuông cân tại A do đó S A . B AC 1. 2 Câu 8.
Cho hàm số y f (x) có đúng ba điểm cực trị là 2
; 1; 0 và có đạo hàm liên tục trên . Khi đó hàm số 2
y f (x 2x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6. B. 4. C. 5. D. 3.
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 14
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Lời giải Chọn D
Do hàm số y f (x) có đúng ba điểm cực trị là 2
; 1; 0 và có đạo hàm liên tục trên nên f (
x) 0có ba nghiệm ( đơn hoặc bội lẻ) là x 2
; x 1; x 0.
Đặt g x 2
f x x gx x 2 ( 2 ) 2 2 . f (
x 2x) . Vì f (x) liên tục trên nên g (x) cũng liên tục trên
. Do đó những điểm g (
x) có thể đổi dấu thuộc tập các điểm thỏa mãn 2x 2 0 x 1 2 x 2x 2
x 0 . Ba nghiệm trên đều là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên hàm số g(x) 2 x 2x 1 x 2 2
x 2x 0 có ba điểm cực trị.
I Câu 9. Cho hàm số 2 3 ( ) ( 1) x f x x x
e có một nguyên hàm là hàm số F(x) . Số điểm cực trị của Ơ
hàm số F(x) là M D A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Ầ Đ Lời giải NHỊ Chọn A Đ f x F x F x f x G
Hàm số có TXĐ là , có một nguyên hàm là hàm số '( ) ( ) , THPT N.C.Đ N x NG x nên 2 3 (
) 0 ( ) 0 ( 1) x F x f x x x e 0 0 . CÔ Ờ x 1 N
Ta có bảng xét dấu F ( x) nhƣ sau YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ
Dựa vào bảng trên, ta thấy hàm số F(x) có một điểm cực trị. GI x
Câu 10. Số điểm cực trị của hàm số y sin x , x ; là 4 A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . Lời giải Chọn D x
Xét hàm số y f x sin x với x ; . 4 x x ; 0 1 1 2
Ta có f x 1
cos x . f x 0 cos x . 4 4 x x 0; 2 2 f x x 15 x 15 1 1 sin x 0 . 1 1 4 4 4 4 8
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 15
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 f x x 15 x 15 2 2 sin x 0. 2 2 4 4 4 4 8 BBT
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục I hoành tại Ơ x
ba điểm phân biệt khác x , x . Suy ra hàm số y sin x , với x
; có 5 điểm cực 1 2 M D 4 Ầ Đ trị. NHỊ
Câu 11. Biết phƣơng trình 3 2
ax bx cx d 0 a 0 có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị ĐG hàm số 3 2
y ax bx cx d có bao nhiêu điểm cực trị? THPT N.C.Đ N A. NG 4 . B. 5 . C. 2 . D. 3 . CÔ Ờ Lời giải N Chọn D YỄ TRƢ Phƣơng trình 3 2
ax bx cx d 0 , a 0 là sự tƣơng giao của đồ thị hàm số GU N N 3 2
ax bx cx d 0 , a 0 và trục hoành. Do phƣơng trình 3 2
ax bx cx d 0 , a 0 có đúng hai nghiệm thực nên phƣơng ÁO VIÊ trình 3 2 2
ax bx cx d 0 có thể viết dƣới dạng a x x x x
0 với x , x là hai 1 2 GI 1 2
nghiệm thực của phƣơng trình (giả sử x x ). Khi đó đồ thị hàm số 1 2 3 2
y ax bx cx d a 0 tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ x và cắt trục 1
hoành tại điểm có hoành độ x . 2 Đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d a 0 ứng với từng trƣờng hợp a 0 và a 0 :
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 16
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d a 0 tƣơng ứng là I Ơ M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ 3 2
y ax bx cx d a 0 GU N Vậy đồ thị hàm số
có tất cả 3 điểm cực trị. N Câu 12. Cho hàm số 3 2
f (x) ax bx cx d có đồ thị nhƣ hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số 2 y f ( 2
x 4x) là. ÁO VIÊ GI A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 5 . Lời giải Chọn D
Quan sát đồ thị f (x) , ta thấy hàm số có hai điểm cực trị x 2
; x 0 vì vậy 2
f '(x) 3ax 2bx c có hai nghiệm x 2
; x 0 nên f '(x) 3a(x 2)x . Ta có : 2 2 2
y ' f ( 2
x 4x) ' ( 4
x 4) f '( 2
x 2x) ( 4 x 4)( 2 x 4x) . 2 2 3a( 4 x 4)( 2 x 4x)( 2
x 4x 2) 2 y ' 4
8ax(x 2)(x 1)(x 2x 1) .
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 17
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 x 0 x 1
y ' 0 x 2
và dấu của y ' đổi khi x qua mỗi nghiệm trên. Vậy hàm số đã cho có x 1 2 x 1 2 5 điểm cực trị. 1 1
Câu 13. Biết rằng đồ thị hàm số 2 y x 3x
có ba điểm cực trị thuộc một đƣờng tròn C . 2 x
Bán kính của C gần đúng với giá trị nào dƣới đây? A. 12, 4 . B. 6, 4 . C. 4, 4 . D. 27 . Lời giải Chọn B I
TXĐ: D ;0 0; Ơ 3 2 1 x 3x 1
y x 3 2 2 M D x x Ầ x 2,8794 Đ 1 3 2 NH Ị y 0 x 3x 1 0 x 0, 6527 . 2 Đ x 0 ,5321 3 G THPT N.C.Đ N
Tọa độ các điểm cực trị: A 2,879; 4,84, B 0,653;3,277,C 0 ,532;3,617 . NG CÔ Ờ Gọi C 2 2
: x y 2ax 2by c 0
1 là đƣờng tròn đi qua ba điểm cực trị . N Thay tọa độ ba điểm , A , B C vào
1 ta đƣợc hệ phƣơng trình 3 ẩn sau: YỄ TRƢ GU N 5
,758a 9,68b c 31,71 a 5,374 N 1
,306a 6,554b c 11,17 b 1,0833 1
,064a 7,234b c 13,37 c 11 , 25 ÁO VIÊ 2 2 GI
R a b c 41,3 6,4 Chọn B
Câu 14. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 3 x 1 2x, x . Hỏi hàm số
y f x 2
x 1 có bao nhiêu điểm cực tiểu. A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn D
Ta có f x 3 2
x 3x 3x 3 y f x 2 2x 3
x 4x 3 . 2 13
y 0 x ; 3 2 13 2 13 y 6
x 4 ; y 2 13 0 ; y 2 13 0 3 3
Suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 18
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Câu 15. Cho hàm số 4 2
f x ax bx c với a 0 , c 2018 và a b c 2018. Số điểm cực trị
của hàm số y f x 2018 là A. 1. B. 3 . C. 5 . D. 7 . Lời giải Chọn D
Xét hàm số g x f x 4 2
2018 ax bx c 2018 . a 0 a 0 Ta có c 2018 b 0 .
a b 0 hàm số y g x là hàm trùng phƣơng
a b c 2018 c 2018 có 3 điểm cực trị.
Mà g 0 c 2018 g 0 0 , g
1 a b c 2018 0 g x g 1 0 đồ thị CT I hàm số y
g x cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Ơ
Đồ thị hàm số y g x có dáng điệu nhƣ sau M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N
Từ đồ thị y g x , ta giữ nguyên phần phía trên trục Ox , phần dƣới trục Ox ta lấy YỄ TRƢ
đối xứng qua trục Ox , ta đƣợc đồ thị hàm số y g x . GU N N ÁO VIÊ GI
Từ đó ta nhận thấy đồ thị y g x có 7 điểm cực trị. x
Câu 16. Hàm số f x
m (với m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực 2 x 1 trị? A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn D x
Xét hàm số g x m 2 x , TXĐ: . 1
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 19
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 2 1 x x
Ta có g x ; g x 1 0 . 1 x 2 2 x 1 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có hàm số y g x luôn có hai điểm cực trị. x
Xét phƣơng trình g x 0 2
m 0 mx x m 0 2 x , phƣơng trình này có 1 nhiều nhất hai nghiệm. I
Vậy hàm số f x có nhiều nhất bốn điểm cực trị.
Ơ Câu 17. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 2x 1x4 với mọi x . Hàm số M D
g x f 3 x có bao nhiêu điểm cực đại? Ầ Đ A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. NHỊĐ Lời giải G THPT N.C.Đ Chọn B N NG
Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số f x CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ
Ta có g x f 3 x g x f 3 x . GI
Từ bảng biến thiên của hàm số f x ta có 3 x 1 x 4
g x 0 f 3 x 0 . 1 3 x 4 1 x 2
Nhƣ thế ta có bảng biến thiên của hàm số g x
Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g x có một điểm cực đại.
Câu 18. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên
và bảng xét dấu đạo hàm
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 20
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Hàm số 4 2 6 4 2
y 3 f (x 4x 6) 2x 3x 12x có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn D Có 3 4 2 5 3 y (
12x 24x). f (x 4x 6) 12x 12x 24x 2 4 2 x x
f x x x 4 2 12 ( 2). ( 4 6) 12
x x 2 2 x x 4 2
f x x 2 12 ( 2). ( 4 6) x 1 . x 0 x 0 Khi đó 4 2 2
y ' 0 f (
x 4x 6) (x 1) 0 x 2 . 2 I x 2 0 4 2 2 f (
x 4x 6) x 1 Ơ Ta có 4 2 2 2
x 4x 6 (
x 2) 2 2 , x . M D Do đó 4 2 f (
x 4x 6) f 2 0, x . Ầ Đ Mà 2 x 1 1, x . NHỊ Do đó phƣơng trình 4 2 2
f '(x 4x 6) x 1vô nghiệm. Đ 2 G THPT Hàm số 4 2 6 4
y 3 f (x 4x 6) 2x 3x N .C 1 .Đ
2x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ sau N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N Vậy hàm số 4 2 6 4 2 y 3 f ( x 4x 6) 2x 3x
12x có 2 điểm cực tiểu.
Câu 19. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên nhƣ sau ÁO VIÊ GI
Số điểm cực trị của hàm số y f (x) là A. 7 . B. 5 . C. 6 . D. 8 . Lời giải Chọn B
Gọi đồ thị của hàm số y f x là C .
Đặt g x f x và gọi C là đồ thị của hàm số y g x . Đồ thị C đƣợc suy ra
từ đồ thị C nhƣ sau:
+) Giữ nguyên phần đồ thị của C phía trên Ox ta đƣợc phần I.
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 21
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
+) Với phần đồ thị của C phía dƣới Ox ta lấy đối xứng qua Ox , ta đƣợc phần II.
Hợp của phần I và phần II ta đƣợc C .
Từ cách suy ra đồ thị của C từ C , kết hợp với bảng biến thiên của hàm số
y f x ta có bảng biến thiên của hàm số y g x f x nhƣ sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f (x) có 5 điểm cực trị.
Câu 20. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của f x I Ơ M D Ầ x Đ
Hỏi hàm số g x f x 3 2 1
x 3x đạt cực tiểu tại điểm nào dƣới đây? NH 3 Ị Đ A. x 1 .
B. x 3.
C. x 2 . D. x 3 . G THPT N.C.Đ Lời giải N NG Chọn B CÔ Ờ N f 2 0 YỄ y f x x x x f 2 TRƢ Ta có:
đạt cực tiểu tại 2,
5 và đạt cực đại tại 2 , nên : 0 . GU N f 5 0 N g
1 f 2 0 0 g3 ÁO VIÊ 0
+ g x f x 2 1
x 2x 3 . GI g
2 f 1 3 0 g 3
f 4 12 0 g '
1 f ' 2 4 0
Mặt khác: g ' x f ' 1 x 2x 2 g
f . ' 3 ' 2 4 0
Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 3.
Câu 21. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị hàm số y f ( x) nhƣ hình vẽ sau:
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 22
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Số điểm cực trị của hàm số y f (x) 5x là A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn C I Ơ
Ta có y f (x) 5x . Suy ra y f ( x) 5 .
Số điểm cực trị của hàm số y f (x) 5x là số nghiệm bội lẻ của phƣơng trình y 0 . M D Ầ
Ta có y f (
x) 5 0 f (x) 5. Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
Dựa vào đồ thị ta có y f (
x) cắt đƣờng thẳng y 5 tại duy nhất một điểm. Suy ra số
điểm cực trị của hàm số y f (x) 5x là 1.
Câu 22. Cho hàm số y f x là hàm số bậc bốn. Hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình bên. Số
điểm cực trị của hàm số f 2
x 2x 2019 là y -1 O 1 3 x
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 23
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn C x 1
Từ đồ thị hàm số y f x ta thấy f x 0 x 1 . x 3 Bảng biến thiên I Ơ
Xét hàm số g x f 2
x 2x 2019 . M D Ầ x 1
g x f 2x 2 2
x 2x 2019 .
f 2x 2x 2019. . Đ 2
2 x 2x 2019 2
x 2x 2019 NHỊ x 1 Đ
g x 0 f 2
x 2x 2019 . 0 2 G THPT x 2 N x .C .Đ 20 19 N 2 2 NG
x 2x 2019 1vn x 2x 2019 1 2 CÔ f
x 2x 2019 Ờ 0 2 2 N
x 2x 2018 0vn x 2x 2019 1 x 1 YỄ TRƢ 0 2 2
x 2x 2019 3
x 2x 2010 0vn 2
x 2x 2019 GU N x 1 x 1 N x 1 .
Từ đồ thị hàm số y f x ta có: x 3 thì f x 0. ÁO VIÊ GI Mà 2
x 2x 2019 2018 3 nên f 2
x 2x 2019 0 với x . Bảng biến thiên
Vậy g x chỉ đổi dấu qua nghiệm x 1
. Số điểm cực trị của hàm số là 1.
Câu 23. Cho hàm số y f (x) có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới đây:
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 24
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 f x 1 f x
Tìm số điểm cực đại của hàm số y 2019 2018 A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. Lời giải Chọn D I f x 1 f x Ơ
Xét hàm số y g x 2019 . 2018 M D f x 1 1 f x Ầ
Ta có: g' x f ' x ln f ' x 2019 ln 2019 Đ 2018 2018 NHỊ f x 1 1 Đ f 'x f x ln 2019 ln 2019 1 G THPT 2018 2018 N.C.Đ N f x NG 1 1 f x CÔ Ờ Ta có: ln 2019 ln 2019 0; x 2 . N 2018 2018 YỄ TRƢ Xét phƣơng trình: GU N f x 1 1 N
g' x 0 f ' x f x ln 2019 ln 2019
0 f 'x 0 . 2018 2018 ÁO VIÊ
Dựa vào đồ thị hàm số y f (x) ta thấy hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực GI tiểu. Mà từ
1 và 2 ta thấy g ' x trái dấu với f ' x .
Vậy hàm số y g x có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. 3 2
Câu 24. Cho hàm số y
f (x) có đạo hàm tại x
, hàm số f (x) x ax bx c
Có đồ thị ( nhƣ hình vẽ )
Số điểm cực trị của hàm số y f f x là A. 7 . B. 11. C. 9 . D. 8 .
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 25
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Lời giải Chọn A
Quan sát đồ thị, nhận thấy đồ thị hàm số 3 2 f (
x) x ax bx c đi qua các điểm
O 0;0; A 1
;0; B1;0. Khi đó ta có hệ phƣơng trình: c 0 a 0 a b 1 b 1
f x 3
x x f x 2 3x 1. a b 1 c 0
Đặt: g x f f x 3
Ta có: g x f f x f f x f x 3
x x 3 x x 2 . 3x 1
xx x 3
x x 3
x x 2 1 1 1 1 3x 1 x 0 x 0 I x 1 Ơ x 1 x 1 x 1 M D
g x 0
x a ( 0,76) 3 Ầ
x x 1 0 Đ x b b 1 ,32 3
x x 1 0 NH Ị 1 2 Đ 3x 1 0 x 3 G THPT N.C.Đ N Ta có bảng biến thiên: NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
* Cách xét dấu g x : chọn x 21; ta có: g2 0 g x 0 x
1; , từ đó
suy ra dấu của g x trên các khoảng còn lại.
Dựa vào BBT suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.
* Trắc nghiệm: Số điểm cực trị bằng số nghiệm đơn ( nghiệm bội lẻ) của phƣơng trình
đa thức g x 0. PT g x 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho có 7 điểm cực trị.
Câu 25. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có đồ thị là đƣờng cong nhƣ hình vẽ. Đặt
g x 3 f f x 4 . Tìm số điểm cực trị của hàm số g x?
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 26
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 y 3 1 1 2 3 4 O x A. 2 . B. 8 . C. 10 . D. 6 . Lời giải Chọn B I Ơ M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N
g x 3 f f x. f x . N
f x 0
f f x ÁO VIÊ 0
f x a
g x 0 3 f f x. f x 0
, 2 a 3 . GI f x 0 x 0 x a
f x 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt x , x , x khác 0 và a . 1 2 3
Vì 2 a 3 nên f x a có 3 nghiệm đơn phân biệt x , x , x khác x , x , x , 0 , a . 4 5 6 1 2 3
Suy ra g x 0 có 8 nghiệm đơn phân biệt. Do đó hàm số g x 3 f f x 4 có 8 điểm cực trị.
Câu 26. Cho hàm số y f (
x 1) có đồ thị nhƣ hình vẽ.
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 27
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Hàm số
2 f x 4x y
đạt cực tiểu tại điểm nào? A. x 1. B. x 0 . C. x 2 . D. x 1 . Lời giải: Chọn B 2 f x 4 x I Ta có: y 2 f x 4 ln . Ơ
y 0 2 f x 4 0 f x 2 . M D
Đồ thị hàm số y f x nhận đƣợc từ việc tịnh tiến đồ thị hàm số y f x 1 sang Ầ Đ trái 1 đơn vị NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ x 2 GI
nên f x 2 x 0 . x 1 Do x 2
và x 1 là nghiệm bội chẵn nên ta có bảng biến thiên sau: x 2 0 1 y 0 0 0 y
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại x 0 .
Câu 27. Cho hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số
y 2 f x 5 3 là
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 28
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 7 . Lời giải Chọn C I
2 2 f x 5 f ' x
y 2 f x 5 3 2 f x 52 Ơ Ta có 3. Khi đó y' .
2 f x 52 M D Ầ
Xét f ' x 0 dựa vào đồ thị có hai nghiệm x 0; x 2 . Đ NHỊ Xét f x f x 5 2 5 0 ( )
dựa vào đồ thị có ba nghiệm x , x , x thỏa mãn 1 2 3 Đ 2 G THPT x x x N.C.Đ 0 2 . 1 2 3 N NG
Khi đó hàm số y 2 f x 5 3 có bảng biến thiên: CÔ Ờ N x x x x 1 0 2 2 3 YỄ TRƢ y ' - + 0 - + 0 - + GU N N y ÁO VIÊ
Do đó hàm số y 2 f x 5 3 có 5 điểm cực trị. GI
Câu 28. Cho hàm số y f x , hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ. Hàm số g x 5sin x 1 x 2 5sin 1 2 f 3
có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0; 2 ? 2 4
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 29
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 9 . B. 7 . C. 6 . D. 8 . I Lời giải Ơ Chọn B M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI 2
5sin x 1 5sin x 1
Ta có g x 2 f 3 2 2 cos x 0
g x 5cos x 5sin x 1 5sin x 1 2 f 2. 0 5sin x 1 5sin x 1 2 2 2 2 f 2. 0 2 2 5sin x 1 Đặt t
vì x 0;2 t 3 ;2 2 t 1 1 5sin x 1 5sin x 1 t Khi đó : 2 f 2. 0
thành f t t 3 2 2 t 1 t 3
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 30
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 5sin x 1 3
x 0;2 1 t 1
1 sin x 2 5 x 0; 2 2 Với . 1 5sin x 1 1 1 x 0;2 3 t
sin x 3 2 3 3 x 0; 2 4 Với . 5sin x 1 1 x 0;2 5 t 1 1
sin x 2 5 x 0; 2 6 Với . 5sin x 1 3 t 3 3 sin x 1 x 0;2 Với 2 2 . x 0;2 2 cos x 0 3 x 0;2 2 . I Ơ 3 Vì x
là nghiệm kép nên không là điểm cực trị của hàm số y g x . 2 M D
Vậy hàm số y g x có 7 điểm cực trị trên khoảng 0; 2 . Ầ Đ 3 2 2 NH
Câu 29. Cho hàm số y f x biết f x x x
1 x 2mx m 6 . Số giá trị nguyên của tham ỊĐ
số m để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị là G THPT N.C.Đ N A. 7 . B. 5 . C. 6 . D. 4 . NG Lời giải CÔ Ờ N Chọn A YỄ TRƢ x 0 GU N
Cho f x 0 x 1 . N g x 2
x 2mx m 6 0 ÁO VIÊ
Trong đó x 0 là nghiệm bội chẵn và x 1 là nghiệm bội lẻ. GI
Hàm số đã có một cực trị khi và chỉ khi f x đổi dấu một lần khi và chỉ khi f x 0
có một nghiệm bội lẻ.
+ Trƣờng hợp 1: Phƣơng trình g x 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép: Khi đó: 2
0 m m6 0 2 m 3.
+ Trƣờng hợp 2: g x 0 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm x 1 1
Với x 1, ta có: g
1 1 2m m 6 0 m 7 . 1 x 1
Với m 7 g x 2
x 14x 13 0 (thỏa mãn) x 13 Vậy m 2 ; 3
7 , mà m m 2 ; 1 ;0;1;2;3; 7 .
Câu 30. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên nhƣ sau:
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 31
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 3 2
Số điểm cực tiểu của hàm số g x 2 f x 4 f x 1 là A. 4 . B. 9 . C. 5 . D. 3 Lời giải Chọn C 2
Đạo hàm: g x 6 f x f x 8 f x f x . x 1 x 0 I x 1 Ơ
f x 0 x x 1 1 M D
g x 0 f x 0 x x 1 . 2 Ầ Đ f x 4 x x ( 1 x x ) 3 3 1 NHỊ 3 x x 1 x 0 4 4 Đ
x x 0 x 1 5 5 G THPT N.C.Đ N
x x 1 x x 6 6 2 NG CÔ Ờ Bảng biến thiên: N YỄ TRƢ x x x 1
x 0 x 1 x x 1 3 4 5 6 2 GU N / N g x
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số g x có 5 điểm cực tiểu.
ÁO VIÊ Câu 31. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và đồ thị của hàm số y f x nhƣ hình bên. GI
Khẳng định nào dƣới đây đúng ?
A. Hàm số y f x 2
x x 2019 đạt cực đại tại x 0 .
B. Hàm số y f x 2
x x 2019 đạt cực tiểu tại x 0 .
C. Hàm số y f x 2
x x 2019 không có cực trị.
D. Hàm số y f x 2
x x 2019 không có cực trị tại x 0 .
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 32
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Lời giải Chọn D
Ta có y f x 2x 1.
Cho y 0 f x 2x 1 1 .
Dựa vào đồ thị của hàm số y f x và đƣờng thẳng y 2x 1 ta có thể nhận thấy phƣơng trình
1 có ít nhất 2 nghiệm là x 0 và x 2 . I Ơ
Xét dấu x 10;2 , ta có y 1 f
1 5 0 từ đó ta nhận định hàm số
y f x 2 M D x
x 2019 đạt cực đại tại x 0 . Ta chọn đáp án A. Ầ Đ 1
Câu 32. Cho hàm số y f (x) liên tục trên tập số thực và hàm số 2
g(x) f (x)
x x 1. Biết NH 2 Ị Đ
đồ thị của hàm số y f (
x) nhƣ hình vẽ dƣới đây G THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Đồ thị hàm số y g(x) có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.
B. Đồ thị hàm số y g(x) có 2 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
C. Đồ thị hàm số y g(x) có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.
D. Đồ thị hàm số y g(x) có 3 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại. Lời giải Chọn A Ta có g (
x) f (x) x 1 . g (
x) 0 f (x) x 1 đây là phƣơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f (
x) và đƣờng thẳng y x 1.
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 33
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Từ đồ thị hàm số y f (
x) và đƣờng thẳng y x 1 ta có g ( )
x 0 x 1
, x 1, x 3 Bảng biến thiên - ∞ x -1 1 3 +∞ I Ơ g'(x) - 0 + 0 - 0 + M D g(1) g(x) Ầ Đ g(-1) g(3) NH Ị Đ
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y g(x) có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại. G THPT N.C.Đ y f x 0;6
y f x N Câu 33. Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên . Đồ thị của hàm số NG CÔ Ờ
trên đoạn 0;6 đƣợc cho bởi hình bên dƣới. Hỏi hàm số y f x 2 2019 có tối đa N
bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn 0;6 . YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI A. 7 . B. 6 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn A
f x 0
Ta có y 2 f x f x ; y 0 . f x 0 x 1
Từ đồ thị của hàm số y f x trên đoạn 0;6 suy ra f x 0 x 3 . x 5
Bảng biến thiên của hàm số y f x trên đoạn 0;6 :
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 34
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Từ bảng biến thiên suy ra phƣơng trình f x 0 có tối đa 4 nghiệm phân biệt trong
0;6 là x 0;1 , x 1;3 , x 3;5 , x 5;6 . 4 3 2 1
Vậy hàm số y f x 2 2019
có tối đa 7 điểm cực trị trên đoạn 0; 6 .
Câu 34. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên nhƣ hình vẽ I Ơ M D
Xét hàm số y g x f x 2019 ( ) 4 2018
. Số điểm cực trị của hàm số g(x) bằng Ầ Đ A. 5 . B. 1. C. 9 . D. 2 . NHỊĐ Lời giải G THPT N.C.Đ Chọn A N C y f x NG
Gọi ( ) là đồ thị của hàm số ( ) . CÔ Ờ N Khi đó hàm số y
f x 4 có đồ thị (C ') với (C ') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến YỄ TRƢ sang phải 4 đơn vị. GU N
Từ bảng biến thiên của hàm y f (x) suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x 4 N là : ÁO VIÊ GI
Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x 4 là
Vậy hàm số y f x 4 cho có 5 cực trị.
Do đó hàm số y g x f x 2019 ( ) 4 2018 có 5 cực trị.
Câu 35. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Biết hàm số có đồ thị y f ' x nhƣ hình vẽ.
Hàm số g x f x x đạt cực tiểu tại điểm.
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 35
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
A. x 1.
B. x 2.
C. không có điểm cực tiểu. D. x 0. Lời giải Chọn A
Ta có g ' x f ' x 1. Khi đó g ' x 0 f ' x 1 (1).
Nghiệm của (1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f ' x và đƣờng thẳng y 1 . I
Dựa vào đồ thị hàm số y f ' x , ta thấy đồ thị hàm số y f ' x và đƣờng thẳng Ơ y 1 có M D x 0 Ầ Đ
ba điểm chung có hoành độ là 0;1; 2 . Do đó f ' x 1 x 1 . NHỊ x 2 Đ G THPT x 0 N.C.Đ N
Suy ra g ' x 0 x 1 . NG CÔ Ờ x 2 N Trên ;1
đƣờng thẳng y 1
tiếp xúc hoặc nằm trên đồ thị hàm số y f 'x . YỄ TRƢ GU N
Trên 1;2 đƣờng thẳng y 1 nằm dƣới đồ thị hàm số y f ' x . N
Trên 2; đƣờng thẳng y 1
nằm trên đồ thị hàm số y f 'x. Ta có bảng biến thiên ÁO VIÊ GI
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g x đạt cực tiểu tại điểm x 1.
Câu 36. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên
và hàm số y f x có đồ thị là đƣờng cong trong hình vẽ dƣới đây
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 36
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Số điểm cực đại của hàm số g x f 3
x 3x là A. 5. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải I Chọn B Ơ 3 3x 3 0 (1)
Ta có: g x 2
x f 3 3 3
x 3x, g x 0 M D f ' 3
x 3x 0 (2) Ầ Đ (1) x 1 . NHỊ 3 Đ
x 3x 2
Dựa vào đồ thị đã cho thì (2) G THPT 3 N.C.Đ x 3x 1 N NG x 1 CÔ Ờ Trong đó phƣơng trình 3 x 3x 2 . N x 2 YỄ TRƢ Còn phƣơng trình: 3
x 3x 1 có 3 nghiệm phân biệt: 2 x 1 , 1 x 0 và 1 2 GU N 1 x 2 N 3
Ta có bảng biến thiên của hàm số g x ÁO VIÊ GI
Vậy hàm số g x có 2 điểm cực đại
Câu 37. Cho hàm số y f (x) là một hàm đa thức có đồ thị nhƣ hình vẽ
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 37
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Số điểm cực trị của hàm số y f 2
x 2 x là A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải I Ơ Chọn C ' 2 2 ' 2 f M D
Xét hàm số f x 2x có x 2x 2x 1 f x 2x Ầ Đ ' x 1 2 NH
Cho f x 2x 0 Ị ' f 2 x 2x 0 Đ G THPT N.C.Đ
Dựa theo đồ thị hàm số f (x) , ta thấy f (x) có 2 cực trị tại x 1 ;x 1. Do đó N NG x 1 2 CÔ Ờ x 2x 1 ' N f x 2x 2 2 0 x 1 2 2 x 2x 1 YỄ TRƢ x 1 GU N ' 2 N
+ Với 1 2 x 1 2 thì 2 2 0 x 1 2 1
x 2x 1. Khi đó, f x 2 x 0
(theo đồ thị hàm số f (x) ) ÁO VIÊ
+ Với x 1 2 hay x 1 2 thì 2 2 x 1
2 x 2x 1. Khi đó, 'f 2
x 2 x 0 (theo GI
đồ thị hàm số f (x) ) '
Từ đó, ta có bảng xét dấu của f 2
x 2 x
Bảng biến thiên của y f 2
x 2 x nhƣ sau
Vậy hàm số y f 2
x 2 x có 5 cực trị.
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 38
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 38. Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên 0;6. Đồ thị của hàm số y f x
trên đoạn 0;6 đƣợc cho bởi hình bên dƣới. Hỏi hàm số 2 y f x có tối đa bao nhiêu cực trị? A. 7. B. 5. C. 4. D. 6. Lời giải Chọn A I Ta có 2 y f x
y 2 f x. f x. Ơ
f x 0 y 0 M D f x 0 Ầ Đ
f x 0 x 1;3; 5 . NHỊĐ
Dựa vào đồ thị hàm số của y f x ta có bảng biến thiên của hàm số y f x trên G THPT N.C.Đ N đoạn 0;6 là NG CÔ Ờ
Từ bảng biến thiên, ta thấy phƣơng trình f x 0 có tối đa bốn nghiệm phân biệt với N
0 x 1 x 3 x 5 x 6 . 1 2 3 4 YỄ TRƢ
Do đó, phƣơng trình y 0 có tối đa 7 nghiệm phân biệt và đều là nghiệm đơn. GU N N
Vậy hàm số 2 y f x
có tối đa 7 cực trị.
Câu 39. Cho hàm số 4 3 2 y
f x ax bx cx dx e . Biết rằng hàm số y f x liên tục trên ÁO VIÊ GI
và có đồ thị nhƣ hình vẽ bên. Hỏi hàm số y f 2
2x x có bao nhiêu điểm cực đại? A. 5 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn C x 1 2 2x x 4 x 1
Ta có: y x f 2 2 2 .
2x x 0 . 2
2x x 1 x 1 5 2
2x x 4
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 39
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Suy ra hàm số có 1 cực đại.
Lưu ý: Ở bài toán này, vấn đề mấu chốt là chúng ta phải xét dấu đƣợc lƣợng f 2 2x x .
Câu 40. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên nhƣ hình vẽ bên. Hàm số y f (x 3) đạt cực đại tại x -∞ -1 0 2 +∞ 1 1 I f(x) Ơ M D -2 Ầ Đ A. x 1
B. x 2 . C. x 0 . D. x 3 . NHỊ Lời giải Đ G Chọn D THPT N.C.Đ N
Đặt x 3 t . NG CÔ Ờ Ta thấy f
x 3 f (x 3) f (t) nên để hàm số y f x đạt cực đại thì N ( 3) YỄ TRƢ hàm số y
f (t) phải đạt cực tiểu GU N
Theo bảng biến thiên thì hàm số y f (t) đạt cực tiểu tại t 0 N
Suy ra hàm số y f (x 3) đạt cực đại tại x 3 0 hay x 3
Câu 41. Cho hàm số y f x liên tục trên
và có đồ thị nhƣ hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số ÁO VIÊ GI
y f x
có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 6 . B. 8 . C. 7. D. 9.
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 40
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Lời giải Chọn C
Gọi các nghiệm của phƣơng trình f x 0 lần lƣợt là x ; x ; x trong đó 1 2 3
x 0 x 1 x . 1 2 3
f x, x
0; x x ; 2 3 f
x khi f x 0
f x, x x ; x 2 3 y . f
x khi f x 0 f
x, x ;
x x ;0 3 2 f x, x
x ;x 3 2
f x, x
0; x x ; 2 3
f x, x x ; x 2 3 y f x, x ;
x x ;0 3 2 f
x, x
x ;x 3 2 I Ơ
y 0 x 1 x 0 M D Ầ
y không xác định tại x x 2 Đ x x NH 3 Ị Đ
Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số y f x nhƣ sau: G THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N
Nên hàm số có 7 cực trị. Cách 2: ÁO VIÊ
Hàm số y f x có một cực trị dƣơng là x 1và phƣơng trình f x 0 có 2 nghiệm GI
dƣơng nên hàm số y f x có 3 cực trị và phƣơng trình f x 0 có 4 nghiệm nên
hàm số y f x có 7 cực trị.
Cách khác: Từ đồ thị của hàm số y f x
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 41
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Ta có đồ thị hàm số y f x là: I Ơ M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N
Và đồ thị hàm số y f x là: N ÁO VIÊ GI
Từ đồ thị suy ra hàm số y f x có 7 điểm cực trị.
Câu 42. Cho hàm số f x có đồ thị hàm số y f ' x đƣợc cho nhƣ hình vẽ bên. Hàm số
y f x 1 2
x f 0 có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng 2 ;3? 2
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 42
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 6 . B. 8 . C. 3. D. 5. Bài giải 2 x
Đặt g x f x f 0 2 I Ơ x 2 (L)
Ta có: g ' x f ' x x , g ' x 0 x 0 M D Ầ x 2 Đ NH
( Nhận xét: x 2 là nghiệm bội lẻ, x 0 có thể nghiệm bội lẻ hoặc nghiệm bội chẳn tuy nhiên ỊĐ
không ảnh hưởng đáp số bài toán) G THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N
Suy ra hàm số y g x có nhiều nhất 3 điểm cực trị trong khoảng 2 ;3 ÁO VIÊ
GI Câu 43. Cho hàm số đa thức y f x có đạo hàm trên , f 0 0 và đồ thị hình bên dƣới là
đồ thị của đạo hàm f x . Hỏi hàm số g x f x 3x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 6 . Lời giải Chọn B
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 43
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Xét hàm số h x f x 3x , x .
h x f x 3 , x . x 1
h x f x x 0 0 3 . x 1 x 2
Với x 2 là nghiệm kép vì qua nghiệm x 2 thì h x không đổi dấu. f x 3 x ; 1 0 ;1
Dựa vào đồ thị hàm số của f x , ta có: . f x 3 x 1
;0 1;2 2;
Mặt khác h0 f 0 3.0 0 .
Bảng biến thiên của hàm h x f x 3x : I Ơ M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N
Từ đó ta suy ra bảng biến thiên của hàm số g x f x 3x h x : YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
Hàm số g x f x 3x hx có 5 điểm cực trị.
Câu 44. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên nhƣ sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số 3 2
g(x) 2 f (x) 4 f ( ) x 1 là
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 44
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 4 . B. 9 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn C 2
g '(x) 6 f '( ) x f ( ) x 8 f '( ) x f ( ) x 2 f '( ) x f ( ) x 3 f ( ) x 4 . f '(x) 0 g '(x) 0 f (x) 0 . 4
f (x) 3
Từ bảng biến thiên của hàm số y f (x) ta có: x 1
+ f '(x) 0 x 1 . x 0 I Ơ
+ Phƣơng trình f (x) 0 có 2 nghiệm x và x (giả sử x < x ). Suy ra x < 1 và 1< x . 1 2 1 2 1 2 . 4 M D
+ Phƣơng trình f (x) có 4 nghiệm x , x , x x (giả sử x < x < x < x ). Và 4 giá 3 4 5 6 3 4 5 6 Ầ 3 Đ
trị thỏa mãn yêu cầu sau: x x 1 ; 1
x 0; 0 x 1;1 x x . NH 1 3 4 5 6 2 Ị Đ
Bảng biến thiên của hàm số y g(x) G THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
Suy ra hàm số y g(x) có 5 điểm cực tiểu.
Câu 45. Cho hàm số đa thức 5 4 3 2
f x mx nx px qx hx r , , m , n , p , q ,
h r . Đồ thị hàm
số y f x (nhƣ hình vẽ bên dƣới) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lƣợt là 3 5 11 1 ; ; ; . 2 2 3
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 45
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Số điểm cực trị của hàm số g x f x m n p q h r là A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. Lời giải I Ơ Chọn B 3 5 11 Vì 1, , ,
là nghiệm của phƣơng trình f x 0 nên: M D 2 2 3 Ầ Đ f x 3 5 11 4 4 2
5mx 4nx 3px 2qx h 5mx 1 x x x . NH Ị 2 2 3 Đ 20 43 14 55 G 4 3 2 THPT Suy ra 4 4 2
5mx 4nx 3 px 2qx h 5m N x .C.Đ x x x . N 3 4 3 4 NG 2 5 215 35 2 75 CÔ Ờ
Đồng nhất hệ số, ta đƣợc n ; m p ; m q ; m h m . N 3 12 3 4 YỄ TRƢ
Suy ra g x f x 93 m r GU N 2 N
h x f x 93 m r Xét 2 . ÁO VIÊ
hx f x 0 có bốn nghiệm phân biệt, nên hx có bốn cực trị. GI h x 25 215 35 274 93 5 4 3 2 0 mx mx mx mx mx r m r Xét 4 12 3 4 2 25 215 35 274 93 5 4 3 2 x x x x x 0. 4 12 3 4 2 25 215 35 274 93
Đặt k x 5 4 3 2 x x x x x . 4 12 3 4 2
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 46
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Từ bảng biến thiên, suy ra phƣơng trình h x 0 k x 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số g x có 7 cực trị.
Câu 46. Cho hàm số y f (x) có đồ thị nhƣ hình bên dƣới I Ơ
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m 1 00;100 để hàm số 2 M D (
h x) f (x 2) 4 f (x 2) 3m có đúng 3 điểm cực trị. Tổng giá trị của tất cả các phần Ầ Đ
tử thuộc S bằng NHỊ A. 5047 . B. 5049 . C. 5050 . D. 5043 . Đ Lời giải G THPT N.C.Đ N Chọn B NG CÔ Đặt 2 ' ' ' Ờ g(x) f (x 2) 4 f (x 2) 3m g (x) 2 f (x 2). f (x 2) 4 f (x 2) N x 2 1 YỄ TRƢ f x
g (x) 2 f (x 2). f (x 2) 2 ' ( 2) 0 ' ' 0 x 2 3 GU N
f (x 2) 2
x 2 a ( 1 ;0) N x 1 ÁO VIÊ x 1 là 3 nghiệm đơn của ' g (x) 0 . GI
x a 2 3 ; 2
Suy ra hàm số y g(x) có 3 điểm cực trị.
Đặt t f (x 2) t R và mỗi giá trị t R thì phƣơng trình t f (x 2) luôn có nghiệm. 2 2
g(x) f (x 2) 4 f (x 2) 3m (
h t) t 4t 3m
Vì hàm số g(x) có 3 cực trị nên để hàm số y g(x) có 3 điểm cực trị thì. 4 2
t 4t 3m 0,t R 4 3m 0 m .( Vì hàm y (
h t) là hàm bậc hai có hệ số 3 a 0 ) Do m 1 00;10
0 ; m Z m2,3, 4,...,10 0 .
Vậy tổng các giá trị của m là 2 3 4 ...100 5049 .
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 47
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 47. Cho f (x) là một hàm đa thức và có đồ thị của hàm số f '(x) nhƣ hình vẽ bên. Hàm số 2
y 2 f (x) (x 1) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ? A. 9. B. 3. C. 7. D. 5. Lời giải I Chọn D Ơ Xét hàm số 2
g(x) 2 f ( )
x (x 1) . M D
Tìm số điểm cực trị của g x Ầ Đ x 0 NHỊ x 1 Đ
Ta có : g '(x) 0 2 f '(x) 2(x 1) 0 f '(x) x 1 . G x 2 THPT N.C.Đ N x 3 NG CÔ Ờ
Kẻ đƣờng thẳng y x 1cắt đồ thị f x tại bốn điểm phân biệt có hoành độ N
x 0; x 1; x 2; x 3 x x YỄ
trong đó tại các điểm có hoành độ 2; 3 là các điểm tiếp TRƢ g GU N xúc, do đó
x chỉ đổi dấu khi qua các điểm x 0; x 1. Vì vậy hàm số gxcó hai N
điểm cực trị x 0; x 1
Ta tìm số nghiệm của phƣơng trình g x 0. ÁO VIÊ GI Bảng biến thiên: x 0 1 2 3
g '(x) - 0 + 0 - 0 - 0 - g(x) g(1) y = 0 g(0)
Suy ra phƣơng trình có tối đa ba nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số y g(x) có tối đa 2 + 3 = 5 điểm cực trị.
Câu 48. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên
và đồ thị hàm số y f (x) nhƣ hình vẽ
bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số 1 2019f f x y .
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 48
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 13. B. 11. C. 10. D. 12. Lời giải Chọn D I Ơ M D Ầ Đ NHỊĐ
f f x 1 G
y ' f ' x f ' f x THPT Ta có 1 2019 lN n .C 2 .Đ 01 9 N NG
f 'x 0 (1) CÔ Ờ y ' 0 N f '
f x 1 0 (2) YỄ TRƢ x 1 1 GU N x 1 2 N Giải (1) :
f ' x 0 x 3 3 x 6 ÁO VIÊ 4 GI
f (x) 1 1 f (x) 0 f (x) 1 1 f (x) 2
Giải (2) : f ' f (x) 1 0 f (x) 1 3 f (x) 4
f (x) 1 6 f (x) 7 Dựa vào đồ thị ta có
+) f (x) 0 có 1 nghiệm x 6 là nghiệm bội l, 5
+) f (x) 2 có 5 nghiệm x 1 ; 1
x 1;1 x 3;3 x 6;6 x x là các nghiệm bội 6 7 8 9 10 5 1,
+) f (x) 4 có 1 nghiệm x x là nghiệm bội 1, 11 6
+) f (x) 7 có 1 nghiệm x x là nghiệm bội 1, 12 11
Suy ra y ' 0 có 12 nghiệm phân biệt mà qua đó y ' đổi dấu. Vậy hàm số 1 2019f f x y có 12 điểm cực trị.
Câu 49. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số nhƣ hình vẽ bên dƣới.
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 49
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Số điểm cực tiểu của hàm số g x 2 f x 2 x 1 x 3 là A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn A I
Ta có g x 2 f x 2 2x 4 . Ơ
g x 0 f x 2 x 2. M D
Đặt t x 2 ta đƣợc f t t . 1 Ầ Đ
1 là phƣơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị f t và đƣờng thẳng d : y t NHỊĐ (hình vẽ) G THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ
Dựa vào đồ thị của f t và đƣờng thẳng y t ta có GI t 1 x 3 t 0 x 2
ta có f t t hay . t 1 x 1 t 2 x 0
Bảng biến thiên của hàm số g x .
Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 50
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 I Ơ M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 51
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
CHỦ ĐỀ: CỰC TRỊ HÀM SỐ
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG 2
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 1 Câu 1.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm 3 y
x m 3 2
x 4m 3 3
x m m đạt 3
cực trị tại x ,x thỏa mãn 1
x x . 1 2 1 2 7 m 3 7 A. 3 m 1 .
B. m 3 . C. .
D. m 2 . 2 m 1 2 I 3 1
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 3 y x mx m có hai Ơ 2 2
điểm cực trị đối xứng nhau qua đƣờng thẳng y x ? M D Ầ A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 0 . Đ NH
Câu 3. Tập hợp tất cả các giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số ỊĐ 3 2
y x mx 2 m 3 3 3
1 x m có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành là a ;b . G THPT N.C.Đ N
Khi đó giá trị a 2b bằng NG 3 4 2 CÔ Ờ A. . B. . C. 1. D. . N 2 3 3 YỄ
TRƢ Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên dƣơng của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đƣờng GU N
thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số 3
y x 3x m nhỏ hơn hoặc bằng 5 . N A. 5 . B. 2 . C. 11. D. 4 . 1
ÁO VIÊ Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3 2 y
x mx (m 2)x có cực trị và giá trị của 3 GI
hàm số tại các điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dƣơng. 2 2 7 2 2 7 A. m 2 . B. m 2; . C. m 1 . D. m 1 . 3 3
Câu 6. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y x 3(m 1)x 12mx 2019 có 2
điểm cực trị x , x thỏa mãn x x 2x x 8 . 1 2 1 2 1 2 A. m 1.
B. m 2.
C. m 1. D. m 2. 1 1 Câu 7.
Gọi x , x là hai điểm cực trị của hàm số 3 2 y x
mx 4x 10 . Tìm giá trị lớn nhất 1 2 3 2
của biểu thức S 2 x 1 2 x 1 . 1 2 A. 9 . B. 4 . C. 0 . D. 8 .
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 1
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Câu 8. Cho hàm số 3 2 2 3
y x 3mx 3(m 1)x m với m là tham số, gọi C là đồ thị của hàm
số đã cho. Biết rằng, khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị C luôn nằm trên một
đƣờng thẳng d cố định. Xác định hệ số góc k của đƣờng thẳng d . 1 1 A. k 3 .
B. k .
C. k 3. D. k . 3 3 Câu 9. Cho hàm số 3
y x m 2 2
1 x m
1 x m 1. Có bao nhiêu giá trị của số tự nhiên
m 20 để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành? A. 18. B. 19 . C. 21 . D. 20 .
Câu 10. Tìm tất các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 2
y x 3mx 3m có hai điểm
cực trị là A, B mà OAB có diện tích bằng 24 ( O là gốc tọa độ ).
A. m 2 . B. m 1. C. m 2 . D. m 1 .
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 2 2 I
y x (m 1)x (m 2)x m 3 có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về Ơ
cùng một phía đối với trục hoành? M D A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Ầ 3 5 3
Đ Câu 12. Cho hàm số f x xác định trên , có đạo hàm f x x
1 x 2 x 3 . Số điểm NHỊ
cực trị của hàm số f x là Đ G THPT N.C.Đ A. 3 . B. 5 . C. 1. D. 2 . N
NG Câu 13. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số 3 2 y x 3x mx
4 có hai điểm cực trị thuộc CÔ Ờ N khoảng 3;3 ? YỄ TRƢ A. 12 . B. 11. C. 13 . D. 10 . GU N 1 Câu 14. Cho hàm số 3 2 y
x 2mx m 2
1 x 2m 1 ( m là tham số). Xác định khoảng cách lớn N 3
nhất từ gốc tọa độ O 0;0 đến đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ÁO VIÊ trên. GI 2 10 A. . B. 3 . C. 2 3 . D. . 9 3
Câu 15. Xét các số thực với a 0,b 0 sao cho phƣơng trình 3 2 ax x b 0 có ít nhất hai
nghiệm thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 a b bằng: 15 27 4 4 A. . B. . C. . D. . 4 4 27 15 1 3
Câu 16. Các giá trị của m để đồ thị hàm số 2 y
x mx m 6 x 2019 có 5 điểm cực trị là 3 A. m 2 . B. 2
m 0 . C. 0 m 3. D. m 3 . Câu 17. Cho hàm số 3
y x m 2 2
2 x 5x 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho
hàm số có hai điểm cực trị x , x x x thỏa mãn x x 2 . 1 2 1 2 1 2 7 1 A. . B. 1 . C. . D. 5 . 2 2
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 2
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2
y x 3x m có 5 điểm cực trị? A. 3 . B. 6 . C. 4 . D. 5 .
Câu 19. Xét các hàm số f x có đạo hàm 2 3 f x x x x
3x với mọi x . Hàm số y f 1
2019x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị? A. 9 . B. 7 . C. 8 . D. 6 . Câu 20. Cho hàm số 3 2
y x 3mx 3m 1 với m là tham số thực. Giá trị của m thuộc tập hợp
nào để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đƣờng thẳng
d : x 8y 74 0 . A. m 1 ; 1 . B. m 3 ; 1 . C. m3; 5 . D. m1; 3 .
Câu 21. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị hàm số y f ' x nhƣ hình vẽ I sau: Ơ M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ . N NG
Số điểm cực trị của hàm số y f x 2018 2019x 1 là CÔ Ờ N A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. YỄ
TRƢ Câu 22. Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y x 3x m có hai điểm cực trị A , GU N
B thỏa mãn OA OB ( O là gốc tọa độ)? N 3 1 5
A. m .
B. m 3 . C. m . D. m . 2 2 2
ÁO VIÊ Câu 23. Cho hàm số 3
y x 6mx 4 có đồ thị C
. Gọi m là giá trị của m để đƣờng thẳng đi m GI 0
qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của C cắt đƣờng tròn tâm I 1;0 , bán kính 2 tại m hai điểm phân biệt ,
A B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. Chọn khẳng định đúng
A. m 3; 4 . B. m 1; 2 .
C. m 0;1 . D. m 2;3 . 0 0 0 0
Câu 24. Có bao nhiêu số nguyên m 7
;7 để đồ thị hàm số 4 2
y x 3mx 4 có đúng ba điểm cực trị , A ,
B C và diện tích tam giác ABC lớn hơn 4. A. 4. B. 2. C. 1. D. 3
Câu 25. Biết hai hàm số f x 3 2
x ax 2x 1 và g x 3 2
x bx 3x 1 có chung ít nhất một
điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b A. 30 . B. 2 6 . C. 3 6 . D. 3 3 .
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 3
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 26. Tìm tất cả các giá trị của m để đƣờng thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số 3
y x 3mx 2 cắt đƣờng tròn tâm I 1
;1 , bán kính R 1 tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất? 1 3 2 3 2 5 2 3 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 3
Câu 27. Các giá trị của m để đƣờng thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số 3
y x 3mx 2 cắt đƣờng tròn C x 2 2 :
1 y 2 có tâm I tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. 1 3 3 m m 3 8 A. m . B. 2 . C. m . D. 2 . 8 1 3 3 1 m m 2 2 3 2
I Câu 28. Cho hàm số f x m 1 x 5x
m 3x 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của Ơ
tham số m để hàm số y f x có đúng 3 điểm cực trị ? M D A. 1. B. 4 . C. 5 . D. 3 . Ầ
Đ Câu 29. Gọi S là tập giá trị nguyên m0 1
; 00 để hàm số 3 2 3
y x 3mx 4m 12m 8 có 5 NHỊĐ
cực trị. Tính tổng các phần tử của S. G THPT N.C.Đ A.10096. B.10094. C. 4048 . D. 5047 . N 4 2
NG Câu 30. Cho hàm số y x 2mx 1
1 . Tổng lập phƣơng các giá trị của tham số m để đồ thị CÔ Ờ N hàm số
1 có ba điểm cực trị và đƣờng tròn đi qua 3 điểm này có bán kính R 1 bằng YỄ TRƢ 5 5 1 5 GU N A. . B . . C. 2 5 . D. 1 5 . 2 2 N
Câu 31. Tìm số thực k để đồ thị hàm số 4 2
y x 2kx k có ba điểm cực trị tạo thành một tam ÁO VIÊ 1
giác nhận điểm G 0; làm trọng tâm. GI 3 A. 1 k 1 ;k . B. 1 k 1; k . 2 3 C. 1 k 1; k . D. 1 1 k ; k . 2 3 2
Câu 32. Cho hàm số 4
y x 2
m m 2 2
1 x m 1. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị và
khoảng cách gi a hai điểm cực tiểu là nhỏ nhất. 1
A. m 1.
B. m 1. C. m=1.
D. m = 2 Câu 33. Cho hàm số 4 2 4
y x 2mx m 2 .
m Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của
đồ thị hàm số lập thành một tam giác đều.
A. m 2 2. B. m 1. C. 3 m 3. D. 3 m 4.
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 4
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 34. Cho hàm số f x có đạo hàm là f x . Đồ thị của hàm số y f x nhƣ hình vẽ bên.
Tính số điểm cực trị của hàm số 2 y
f x trên khoảng 5; 5 . A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . Câu 35. Cho hàm số 4 2
y x 2mx 3m 2 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của tham số
m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ? A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. I
Ơ Câu 36. Biết m m ; m là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 y x 2mx 1 có ba 0 0
điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. Khẳng định nào sau đây đúng? M D Ầ
A. m 0;3 . B. m 5; 3 . C. m 3;0 . D. m 3;7 . 0 0 0 0 Đ NH Câu 37. Cho hàm số 4 2 2
y x 2(m m 1)x m có đồ thị C . Tìm m để đồ thị hàm số C có 3 ỊĐ
điểm cực trị và khoảng cách gi a hai điểm cực tiểu nhỏ nhất. G THPT N.C.Đ N 1 1
A. m .
B. m .
C. m 3.
D. m 0. NG 2 2 CÔ Ờ N
Câu 38. Để đồ thị hàm số 4 2
y x 2mx m 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có YỄ TRƢ
diện tích bằng 2, giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? GU N A. (2;3). B. ( 1 ;0). C. (0;1). D. (1;2). N
Câu 39. Cho hàm số f x 4 2 2
x 2mx 4 2m . Có tất cả bao nhiêu số nguyên m 1 0;10 để ÁO VIÊ hàm số y
f x có đúng 3 điểm cực trị? GI A. 6 . B. 8 . C. 9 . D. 7 . Câu 40. Cho hàm số 4 2 y x 2 m 1 x 2m
3 . Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m
để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị là 3 3 3 A. 1; . B. ; \ 2 . C. 1; \ 2 . D. 1; . 2 2 2
Câu 41. Cho hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số
y f x là 2 ; 0; 2; ;
a 6 với 4 a 6 .
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 5
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 y -2 O 2 a 6 x y = f(x)
Số điểm cực trị của hàm số y f 6 2
x 3x là: A. 8 .
B.11 .C.9. D. 7 . Câu 42. Cho hàm số 4 2
y x 2mx m , với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị I
của m để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị và đƣờng tròn đi qua 3 điểm cực trị Ơ
này có bán kính bằng 1. Tổng giá trị của các phần tử của S bằng M D 1 5 1 5 A. 1. B. 0 . C. . D. . Ầ 2 2 Đ NH Ị Đ G THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 6
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI 1 Câu 1.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm 3 y
x m 3 2
x 4m 3 3
x m m đạt 3
cực trị tại x ,x thỏa mãn 1
x x . 1 2 1 2 7 m 3 7 A. 3 m 1 .
B. m 3 . C. .
D. m 2 . 2 m 1 2 Lời giải Chọn B Ta có 2
y x 2m 3 x 4m 3
Đặt t x 1 x t 1. Khi đó 2
y t 2m 2t 2m 7
Hàm số đạt cực trị tại x ,x thỏa mãn 1 x x 2
x 2m 3 x 4m 3 0 có hai 1 2 1 2
nghiệm phân biệt x ,x thỏa mãn 1 x x 2
t 2m 2t 2m 7 0 có hai nghiệm 1 2 1 2 I
phân biệt dƣơng. Điều này tƣơng đƣơng với Ơ m 3 M D 2
m 2m 3 0 m 1 Ầ S 2 m 2 7 Đ 0 m 2
m 3 . 2 NH Ị
P 2m 7 0 7 m Đ 2 G THPT N.C.Đ N Cách 2 NG 2 CÔ Ờ
Ta có y f (x) x 2m 3 x 4m 3 N
Hàm số đạt cực trị tại x ,x thỏa mãn 1 x x 2
x 2m 3 x 4m 3 0 có hai YỄ TRƢ 1 2 1 2 x , x 1 x x GU N nghiệm phân biệt thỏa mãn
. Điều này tƣơng đƣơng với 1 2 1 2 N m 3 m 1 2 ÁO VIÊ 0
m 2m 3 0 7 7 GI . a f ( 1 ) 0 1
2(m 3) 4(m 3) 0 m m 3 . 2 2 S 2(m 3) 1 1 m 3 2 2 3 1
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 3 y x mx m có hai 2 2
điểm cực trị đối xứng nhau qua đƣờng thẳng y x ? A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn C x 0 Ta có 2
y' 3x 3mx ; y ' 0 x m
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y' 0 có hai nghiệm phân biệt m 0 .
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 7
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 1
Với điều kiện m 0 , giả sử hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 3 A 0; m , B ;0 m . 2 1 3 m m 3 AB ; m m và I ;
là trung điểm của đoạn thẳng AB . 2 2 4 1 3 m m 0 A . B u 0 m d 2 2 Yêu cầu bài toán 3 I d m m m 0 2 4
Đối chiếu điều kiện ta đƣợc m 2 .
Câu 3. Tập hợp tất cả các giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số 3 2
y x mx 2 m 3 3 3
1 x m có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành là a ;b .
Khi đó giá trị a 2b bằng 3 4 2 I A. . B. . C. 1. D. . 2 3 3 Ơ Lời giải M D Chọn D Ầ Đ Ta có 2 2
y ' 3x 6mx 3(m 1) . NHỊ
x m 1 Đ Xét 2 2
3x 6mx 3(m 1) 0 . G
x m 1 THPT N.C.Đ N
Hai nghiệm trên phân biệt với mọi m . NG CÔ Ờ
Đƣờng thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị là y 2 x m . N
Vậy nên các giá trị cực trị y(m 1) 3m 2 , y(m 1) 3m 2 . YỄ TRƢ GU N
Theo yêu cầu bài toán ta phải có m m 2 2 3 2 3 2 0 m . N 3 3 2
Vậy a 2b . ÁO VIÊ 3
GI Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên dƣơng của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đƣờng
thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số 3
y x 3x m nhỏ hơn hoặc bằng 5 . A. 5 . B. 2 . C. 11. D. 4 . Lời giải Chọn A Ta có 2
y 3x 3 x 1 2
y 0 3x 3 0 x 1
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A1;m 2 , B 1 ;m 2
Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là y 2 x m
hay 2x y m 0 m
Theo giả thiết d ; O AB 5
5 m 5 5 m 5 . 5
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 8
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Mà m nguyên dƣơng nên có 5 giá trị. 1
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3 2 y
x mx (m 2)x có cực trị và giá trị của 3
hàm số tại các điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dƣơng. 2 2 7 A. m 2 . B. m 2;
. C. 2 2 7 m 1 . D. m 1 . 3 3 Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có: 2
y x 2mx m 2 . 2
y 0 x 2mx m 2 0 1 .
Để hàm số có hai điểm cực trị thì phƣơng trình
1 có hai nghiệm phân biệt. m 1 2
0 m m 2 0 * I m 2 Ơ
Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm CĐ, CT của hàm số là: M D 2 2 4 1 2 y m m x m m 2 Ầ . 3 3 3 3 Đ NHỊ
Gọi Ax ; y , B x ; y là hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số, khi đó để hàm số 1 1 2 2 Đ G
có giá trị cực đại, và giá trị cực tiểu dƣơng thì y y 0 và đồ thị hàm số THPT N.C.Đ 1 2 N 1 3 2 NG y
x mx (m 2)x cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất. CÔ Ờ 3 N
Theo định lý vi-et ta có x x 2m 1 2 YỄ TRƢ 2 2 4 2 2 GU N Nên y y 0 m m x x m m 2 0 1 2 1 2 3 3 3 3 N 2 2 4 2 2
m m
2m mm 2 0 ÁO VIÊ 3 3 3 3 GI m 2 2 2
m 3m 6 0 3 57 3 57 m ; 0; * * . 4 4 1 Để đồ thị hàm số 3 2 y
x mx (m 2)x cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì phƣơng 3 1 trình y 0 có 3 2
1 nghiệm đơn duy nhất, khi đó
x mx (m 2)x 02 có 1 nghiệm 3 đơn duy nhất. 1 x 0 Ta có: 3 2
x mx (m 2)x 0 x 2
x 3mx 3m 6 0 . 3 2
x 3mx 3m 6 0 3 Để phƣơng trình
1 có 1 nghiệm đơn duy nhất thì phƣơng trình 3 vô nghiệm, khi 2 2 7 2 2 7 đó điều kiện là 2
9m 12m 24 0 m *** . 3 3
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 9
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 2 2 7 Kết hợp * ,* * ,**
* ta đƣợc tập các giá trị của m thỏa mãn là 2 m . 3 Cách 2: Ta có: 2
y x 2mx m 2 . 2
y 0 x 2mx m 2 0 1 .
Để hàm số có hai điểm cực trị thì phƣơng trình
1 có hai nghiệm phân biệt, khi đó m 1 2
0 m m 2 0 * m 2 1
Để hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu dƣơng thì đồ thị hàm số 3 2 y
x mx (m 2)x 3
cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất và giá trị của hàm số tại điểm uốn luôn dƣơng. 1 Để đồ thị hàm số 3 2 y
x mx (m 2)x cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì phƣơng 3 1 3 2 I
trình y 0 có nghiệm duy nhất, khi đó x mx (m 2)x 02 có 1 nghiệm đơn duy Ơ 3 nhất. M D 1 3 2 2 Ầ
Ta có: x mx (m 2)x 0 x x 3mx 3m 6 0 Đ 3 NHỊ x 0 Đ . 2
x 3mx 3m 6 0 3 G THPT N.C.Đ N Để phƣơng trình
1 có nghiệm đơn duy nhất thì phƣơng trình 3 vô nghiệm, khi đó NG CÔ Ờ N 2 2 7 2 2 7 điều kiện : 2
9m 12m 24 0 m ** . YỄ 3 3 TRƢ
Để giá trị của hàm số tại điểm uốn luôn dƣơng: GU N N 2
y x 2mx m 2, y 2x 2m
y 0 2x 2m 0 x m ÁO VIÊ 3 m 3 GI
Ta có: y m 0
m mm 2 0 3 m 2 2
m 3m 6 0 3 57 3 57 m ; 0; ** * 4 4 2 2 7 Kết hợp * ,* * ,**
* ta đƣợc tập các giá trị của m thỏa mãn là 2 m 3
Câu 6. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y x 3(m 1)x 12mx 2019 có 2
điểm cực trị x , x thỏa mãn x x 2x x 8 . 1 2 1 2 1 2 A. m 1.
B. m 2.
C. m 1. D. m 2. Lời giải Chọn A
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 10
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 2
y ' 3x 6(m 1)x 12m ; 2 2
y ' 0 3x 6(m 1)x 12m 0 x 2(m 1)x 4m 0 (1) .
Để hàm số có 2 cực trị x , x Phƣơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. 1 2 2
' 0 (m 1) 0 m 1.
x x 2(m 1)
Với điều kiện m 1 ta có 1 2 . x x 4m 1 2
Do đó x x 2x x 8
2m 2 8m 8 m 1 . 1 2 1 2 Vậy m 1
thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 1 1 Câu 7.
Gọi x , x là hai điểm cực trị của hàm số 3 2 y x
mx 4x 10 . Tìm giá trị lớn nhất 1 2 3 2
của biểu thức S 2 x 1 2 x 1 . 1 2 A. 9 . B. 4 . C. 0 . D. 8 . I Lời giải Ơ Chọn A M D 1 1 y x
mx 4x 10 y ' x mx 4 Ầ Ta có: 3 2 2 . Đ 3 2 2 NH Ị y ' 0 x mx 4 0 . Đ 2
m 16 0, m
nên phƣơng trình y ' 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x , x . 1 2 G THPT N.C.Đ N b NG x x m 1 2 CÔ a Ờ
Áp dụng định lí viet: . N c
x .x 4 1 2 YỄ TRƢ a 2 2 2 2 2 2 GU N
S (x 1)(x 1) (x x ) [(x x ) 2x .x ] 1 16 (m 8) 1 9 m 9 . 1 2 1 2 1 2 1 2 N Câu 8. Cho hàm số 3 2 2 3
y x 3mx 3(m 1)x m với m là tham số, gọi C là đồ thị của hàm ÁO VIÊ
số đã cho. Biết rằng, khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị C luôn nằm trên một GI
đƣờng thẳng d cố định. Xác định hệ số góc k của đƣờng thẳng d . 1 1 A. k 3 .
B. k .
C. k 3. D. k . 3 3 Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 2 2
y 3x 6mx 3(m 1) 3(x 2mx m 1) x m 1 2 2
y 0 x 2mx m 1 x m 1 Bảng biến thiên:
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 11
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại của đồ thị C là điểm M m 1; 3 m 2 . Nhận xét: y 3 m 2 3 (m 1) 1 3
x 1 M d : y 3 x 1, . m M M
Vậy: khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị C luôn nằm trên một đƣờng thẳng d cố
định có phƣơng trình: y 3 x 1.
Vậy đƣờng thẳng d có hệ số góc k 3 . Câu 9. Cho hàm số 3
y x m 2 2
1 x m
1 x m 1. Có bao nhiêu giá trị của số tự nhiên
m 20 để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành? I A. 18. B. 19 . C. 21 . D. 20 . Ơ Lời giải M D Chọn B Ầ Đ
+ Ta có: y x 2
1 x 2mx 1 m . NHỊĐ
+ Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi đồ thị y cắt trục G THPT N.C.Đ2
hoành tại ba điểm phân biệt. y x
1 x 2mx 1 m 0 có ba nghiệm phân biệt. N NG 2
x 2mx 1 m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. CÔ Ờ N 1 5 YỄ m TRƢ 2 2 GU N
m m 1 0 1 5 N m . 2 3m 0 2 2 ÁO VIÊ m 3 GI
+ Do m N,m 20 nên 1 m 20 . Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn bài toán.
Câu 10. Tìm tất các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 2
y x 3mx 3m có hai điểm
cực trị là A, B mà OAB có diện tích bằng 24 ( O là gốc tọa độ ).
A. m 2 . B. m 1. C. m 2 . D. m 1 . Lời giải Chọn C Xét 2
y 3x 6mx 3x x 2m .
y x x m x 0 0 3 2 0 . x 2m
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị m 0 .
Tọa độ hai điểm cực trị là A 2 m B 2 3 0;3 ,
2m;3m 4m .
Phƣơng trình đƣờng thẳng OA : x 0 .
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 12
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 1 1 Ta có: S O . A d B OA m m 2
m m 8 m 2 . OAB ; 2 3 . 2 24 2 2
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 2 2
y x (m 1)x (m 2)x m 3 có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về
cùng một phía đối với trục hoành? A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn C
Tập xác định của hàm số đã cho là . 2
y x m 2 3 2
1 x m 2 có 2 2
m 2m 7 . Để đồ thị hàm số 3 2 2 2
y x (m 1)x (m 2)x m 3 có hai điểm cực trị thì y đổi dấu
hai lần, tức là y có hai nghiệm phân biệt, tƣơng đƣơng 1 15 1 15 I 2 0 2
m 2m 7 0 m , Ơ 2 2
Vì m nên đƣợc m 1 ; 0;1; 2 . M D Ầ
Lúc này, hai nghiệm x , x của y lần lƣợt là hoành độ các điểm cực trị của hàm số. 1 2 Đ NH
Hai điểm cực trị đó nằm về cùng một phía đối với trục hoành khi và chỉ khi ỊĐ
f x . f x 0 , tƣơng đƣơng đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm 1 2 G THPT N.C.Đ N
(hình vẽ minh họa bên dƣới), tức là, phƣơng trình 3 2 2 2
x (m 1)x (m 2)x m 3 0 (*) NG CÔ Ờ
có duy nhất một nghiệm thực. N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI Xét m 1
thì phƣơng trình (*) là 3
x x 2 0 : phƣơng trình này có đúng một nghiệm
thực (dùng MTCT) nên chọn m 1 .
Xét m 0 thì phƣơng trình (*) là 3 2
x x 2x 3 0 : phƣơng trình này có đúng một
nghiệm thực (dùng MTCT) nên chọn m 0 .
Xét m 1 thì phƣơng trình (*) là 3 2
x 2x x 2 0 : phƣơng trình này có ba nghiệm
thực phân biệt (dùng MTCT) nên không chọn m 1.
Xét m 2 thì phƣơng trình (*) là 3 2
x 3x 2x 1 0 : phƣơng trình này có đúng một
nghiệm thực (dùng MTCT) nên chọn m 2 . Đáp số: m 1 ; 0; 2 . Câu 12. Cho hàm số 3 5 3
f x xác định trên
, có đạo hàm f x x
1 x 2 x 3 . Số điểm
cực trị của hàm số f x là
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 13
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 3 . B. 5 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn A
+ Hàm số y f x là hàm chẵn nên đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
+ Gọi n là số điểm cực trị của hàm số y f x trên miền x 0 . Khi đó số điểm cực trị
của hàm số y f x là 2n 1. x 1
+ Ta có f x x 3 x 5 x 3 0 1 2 3 0 x 2 ( nghiệm bội lẻ ) x 3
Số điểm cực trị của hàm số y f x trên miền x 0 là 1.
Số điểm cực trị của hàm số y f x là 2.11 3. I
Ơ Câu 13. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số 3 2
y x 3x mx 4 có hai điểm cực trị thuộc M D khoảng 3;3 ? Ầ Đ A. 12 . B. 11. C. 13 . D. 10 . NHỊ Lời giải Đ Chọn B G THPT N.C.Đ N Ta có: 2
y ' 3x 6x m NG CÔ Ờ Để hàm số 3 2 y x 3x mx
4 có hai điểm cực trị thuộc khoảng 3;3 thì phƣơng N trình y ' 0 hay 2
3x 6x m 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng 3 ;3 . YỄ TRƢ Cách 1: GU N N
Khi đó, đặt f x 2
3x 6x m thì ' 0 ÁO VIÊ a f 9 3m 0 . 3 0 GI a f 45 m 0 3 m 9 . 3 0 9 m 0 S 3 1 3 3 3 2
Do đó có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách 2:
Khi đó, đặt f x 2
3x 6x m thì 9 3m 0 ' 0 3 m 9 3 9 3m 3 9 3m 3
x x 3 1 2 3 3 3 3
Do đó có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách 3: Ta có: 2
y 3x 6x m
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 14
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Hàm số 3 2
y x 3x mx 4 có hai điểm cực trị thuộc khoảng 3 ;3 Phƣơng trình y 0 hay 2
3x 6x m có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng 3 ;3 .
Đặt f x 2 3x 6 , x x 3 ; 3 . Ta có:
f x 6x 6 ; f x 0 x 1. Bảng biến thiên: Yêu cầu bài toán 3 m 9 .
Vậy có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. I Ơ 1 Câu 14. Cho hàm số 3 2 y
x 2mx m 2
1 x 2m 1 ( m là tham số). Xác định khoảng cách lớn 3 M D
nhất từ gốc tọa độ O 0;0 đến đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Ầ Đ trên. NHỊĐ 2 10 A. . B. 3 . C. 2 3 . D. . G THPT N.C.Đ 9 3 N NG Lời giải CÔ Ờ Chọn D N
y x mx m y YỄ Ta có 2 4
1. Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì phƣơng trình 0 TRƢ GU N có hai nghiệm phân biệt 2 4m m 1 0 m . N 1 2m 8 2 2 8 2
Mà y x y x 2 2 . x m m x m m 1 . 3 3 3 3 3 3 3 ÁO VIÊ
Suy ra đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là đƣờng thẳng : GI 8 2 2 8 2 2 2 y m m x m m 1 . 3 3 3 3 3 1
Ta thấy đƣờng thẳng luôn qua điểm cố định A 1; . 3
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên . Khi đó ta có d ;
O OH OA (Hình vẽ) O A H
Do đó khoảng cách lớn nhất khi H A hay OA . 10
Vậy khoảng cách lớn nhất là OA . 3
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 15
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 15. Xét các số thực với a 0,b 0 sao cho phƣơng trình 3 2 ax x b 0 có ít nhất hai
nghiệm thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 a b bằng: 15 27 4 4 A. . B. . C. . D. . 4 4 27 15 Lời giải Chọn C Xét hàm số 3 2
f x ax x b x .
x 0 y b f x 2
3ax 2x 0 2 4 . x y b 2 3a 27a Để phƣơng trình 3 2
ax x b 0 có ít nhất 2 nghiệm thực khi và chỉ khi 4 4 4 4 2 2 y .y 0 b b 0 b 0 a b 0 a b . CD CT 2 2 27a 27a 27 27 I Ơ 4
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức 2 a b bằng . 27 M D 1 3 2
Ầ Câu 16. Các giá trị của m để đồ thị hàm số y x mx
m 6 x 2019 có 5 điểm cực trị là Đ 3 NH Ị
A. m 2 . B. 2 m 0 . C. 0 m 3. D. m 3 . Đ Lời giải G THPT N.C.Đ N Chọn D NG 1 3 2 CÔ Ờ
Xét hàm số : y x mx m 6 x 2019 . N 3 YỄ TRƢ TXĐ : D . 2 GU N
Ta có : y x 2mx m 6 . N 1 3 Để đồ thị hàm số 2 y
x mx m 6 x 2019 có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số 3 ÁO VIÊ 1 3 2 y
x mx m 6 GI
x 2019 có 2 điểm cực trị nằm bên phải trục tung 3 phƣơng trình 2
y x 2mx m 6 0 có hai nghiệm dƣơng phân biệt 2 0
m m 6 0
S 0 2m 0 m 3. P 0 m 6 0 Câu 17. Cho hàm số 3
y x m 2 2
2 x 5x 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho
hàm số có hai điểm cực trị x , x x x thỏa mãn x x 2 . 1 2 1 2 1 2 7 1 A. . B. 1 . C. . D. 5 . 2 2 Lời giải Chọn C Tính đƣợc: 2
y 3x 4m 2 x 5.
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 16
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Khi đó m 2 4 2
15 0 nên hàm số luôn có hai điểm cực trị x , x x x . 1 2 1 2 Nhận xét .
a c 0 nên x 0 x 1 2 Suy ra: b 4m 2 x x 2
x x 2 2 2 1 m . 1 2 1 2 a 3 2
Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2
y x 3x m có 5 điểm cực trị? A. 3 . B. 6 . C. 4 . D. 5 . Lời giải Chọn A x 0 Đặt 3 2
f (x) x 3x m . Ta có 2
f '(x) 3x 6x ;
f '(x) 0 x 2 I Bảng biến thiên: Ơ M D Ầ Đ NHỊĐ G THPT N.C.Đ N NG y f x CÔ Suy ra hàm số y
f (x) có 2 điểm cực trị. Do đó hàm số ( ) Ờ
có 5 điểm cực trị khi N
và chỉ khi đồ thị hàm số y f (x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. YỄ TRƢ
Từ bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là m 4 0 m 4 m 0. GU N N
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 19. Xét các hàm số f x có đạo hàm 2 3 f x x x x
3x với mọi x . Hàm số ÁO VIÊ y f 1
2019x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị? GI A. 9 . B. 7 . C. 8 . D. 6 . Lời giải Chọn B
● Nhận xét: Số cực trị của hàm số y f 1
2019x bằng tổng số nghiệm của phƣơng trình f 1 2019x
0 và số cực trị (không phải là nghiệm phƣơng trình f 1 2019x 0 ) của hàm số y f 1 2019x . Ta có 2 f x x x 1 x 3 x 3 . f 1 2019x
2019 f 1 2019x . Do đó 2 f 1 2019x 0 1 2019x
1 2019x 1 1 2019x 3 1 2019x 3 0
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 17
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 1 x 2019 x 0 1 3 . x 2019 1 3 x 2019
Bảng biến thiên của y f 1 2019x I Ơ M D Ầ
Do đó phƣơng trình f 1 2019x
0 có tối đa 4 nghiệm và hàm số y f 1 2019x có Đ NH ba điểm cực trị. Ị Đ Vậy hàm số y f 1
2019x có tối đa 7 điểm cực trị. G THPT N.C.Đ N Câu 20. Cho hàm số 3 2
y x 3mx 3m 1 với m là tham số thực. Giá trị của m thuộc tập hợp NG CÔ
nào để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đƣờng thẳng Ờ N
d : x 8y 74 0 . YỄ TRƢ A. m 1 ; 1 . B. m 3 ; 1 . C. m3; 5 . D. m1; 3 . GU N N Lời giải Chọn D ÁO VIÊ 2 y 3
x 6mx ; y 0 x 0 x 2m. GI
Hàm số có CĐ, CT khi và chỉ khi PT y 0 có 2 nghiệm phân biệt m 0 .
Khi đó 2 điểm cực trị là: A0; 3 m 1 ; B 3 2 ;
m 4m 3m 1 AB 3 2 ; m 4m .
Trung điểm I của AB có toạ độ: I 3 ;
m 2m 3m 1 .
Đƣờng thẳng d : x 8y 74 0 có một VTCP u 8; 1 . I d
và B đối xứng với nhau qua d AB d m m m 8
2m 3m 3 16 23 82 0 3 3 1 74 0 1
6m 23m 82 0 m 0 3 1
6m 4m 0 A . B u 0 m 2
m 2( thỏa mãn điều kiện m 0). Suy ra m1; 3 .
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 18
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 21. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị hàm số y f ' x nhƣ hình vẽ sau: .
Số điểm cực trị của hàm số y f x 2018 2019x 1 là A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B
y f x 2018 2019x 1 y ' f ' x 2018 2019 I . Ơ
Do đó y ' 0 f ' x 2018 2019 (1). M D
Số nghiệm của phƣơng trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f ' x với Ầ Đ
đƣờng thẳng y 2019 . NHỊ y Đ Từ đồ thị hàm số
f ' x ta thấy (1) chỉ có 1 nghiệm đơn. Vậy hàm số G THPT N.C.Đ
y f x 2018 2019x 1 N
chỉ có 1 điểm cực trị.
NG Câu 22. Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y x 3x m có hai điểm cực trị A , CÔ Ờ N
B thỏa mãn OA OB ( O là gốc tọa độ)? YỄ TRƢ 3 1 5
A. m .
B. m 3 . C. m . D. m . GU N 2 2 2 N Lời giải Chọn D ÁO VIÊ
Tập xác định: D . GI x 0 2
y 3x 6x , 2
y 0 3x 6x 0 . x 2
Do đó đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị lần lƣợt có tọa độ là A0;m và 2 2 B 2; 4 m Ta có 2 2 2 OA OB m m 2 0 2 4
m 4 4 m 5
20 8m 0 m . 2 Câu 23. Cho hàm số 3
y x 6mx 4 có đồ thị C
. Gọi m là giá trị của m để đƣờng thẳng đi m 0
qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của C cắt đƣờng tròn tâm I 1;0 , bán kính 2 tại m hai điểm phân biệt ,
A B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. Chọn khẳng định đúng
A. m 3; 4 . B. m 1; 2 .
C. m 0;1 . D. m 2;3 . 0 0 0 0 Lời giải.
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 19
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Chọn C Xét hàm số 3
y x 6mx 4 có tập xác định . 2 2
y 3x 6m; y ' 0 x 2m .
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị y đổi dấu 2 lần
y 0 có hai nghiệm phân biệt m 0 . 1 Ta có y
y '.x 4mx 4 . 3
Gọi M x ; y , N x ; y là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. 1 1 2 2
yx y x 0 1 2 1 y 4 mx 4
Ta có y y x y x 1 1
.x 4mx 4 . 1 1 1 1 1 3 y 4 mx 4 2 2 1 y y x
y x .x 4mx 4 2 2 2 2 2 I 3 Ơ
Suy ra M , N thuộc đƣờng thẳng d có phƣơng trình y 4 mx 4. M D
Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng qua hai điểm cực trị của C là: y 4 mx 4. m Ầ Đ
Gọi T là đƣờng tròn có tâm I 1;0 và bán kính R 2 . NHỊ
Đƣờng thẳng d cắt đƣờng tròn tại hai điểm phân biệt ,
A B và tạo thành tam giác IAB Đ G THPT N .C m .Đ 1 N
0 d I,d R 0 d I,d 2 4 m 4 (*). NG 2 CÔ Ờ 2 N 16m 1 YỄ Cách 1: TRƢ GU N
Do đƣờng thẳng d luôn đi qua điểm K 0;4 , IK 17 R K nằm ngoài đƣờng N
tròn nên tồn tại hai điểm ,
A B là giao điểm của d với đƣờng tròn để tam giác IAB vuông tại I . ÁO VIÊ 1 1 GI Do đó: S I . A I . B sin AIB I . A IB . IAB 2 2 R
Dấu bằng xảy ra IA IB d I, d 1 (thỏa mãn (*)). 2 4 m 4 15 1 m . 2 32 16m 1 R
Bình luận: Nếu đƣờng thẳng d luôn đi qua điểm K cố định mà IK thì sẽ không 2
có vị trí của đƣờng thẳng d để tam giác IAB vuông tại I . Khi đó, nếu làm nhƣ trên sẽ
bị sai. Trong trƣờng hợp đó thì ta phải đặt d I, d t 0 t l , với l là độ dài đoạn
thẳng IK , rồi tính S
f t và tìm giá trị lớn nhất của f t trên nửa khoảng 0;l. I AB
Cách 2: Phƣơng trình đƣờng tròn là: x 2 2
1 y 2 C
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 20
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 x 2 2 1 y 2 Xét hệ 2 16m 2
1 x 216m 1 x 15 0 1 . y 4 mx 4
d cắt C tại hai điểm phân biệt , A B
1 có 2 nghiệm phân biệt a,b m 2 16 1 1516m 1 0 .
IA a 1; 4 ma 4 Khi đó A ; a 4
ma 4, B ; b 4 mb 4 IB b 1; 4 mb 4
IA IB ab a b 2 .
16m ab ma b 1 1 0
ab a b 2
16m ab 16ma b 17 0 2 16m
1 ab 16m
1 a b 17 0 216m 2 1 16m 2 1 15 15 17 0 16 m 2 2 16m 1 16m . 1 32
Câu 24. Có bao nhiêu số nguyên m 7
;7 để đồ thị hàm số 4 2
y x 3mx 4 có đúng ba I Ơ điểm cực trị , A ,
B C và diện tích tam giác ABC lớn hơn 4. A. 4. B. 2. C. 1. D. 3 M D Ầ Lời giải Đ Chọn D NHỊĐ Xét 4 2
y x 3mx 4 . G THPT N.C.Đ x 0 N 3 NG y 4x 6mx 0 3m 2 CÔ x Ờ 2 N 3m YỄ TRƢ Trƣờng hợp 1: 0 m 0 . 2 GU N N m m m m Hàm số 4 2
y x 3mx 4 có 3 cực trị: A 2 2 3 9 3 9 0; 4 , B ; 4,C ; 4 2 4 2 4 ÁO VIÊ Suy ra 4 2
y x 3mx 4 có 5 cực trị. GI 3m Trƣờng hợp 2:
0 m 0 (1) suy ra hàm số 4 2
y x 3mx 4 có 1 cực tiểu là: 2 A0; 4 Suy ra hàm số 4 2
y x 3mx 4 có 3 điểm cực trị là: A0; 4, B x ;0 ,C x ;0 , trong 1 1
đó x là nghiệm của phƣơng trình 4 2
x 3mx 4 0 . x 0 (do ac 4 nên phƣơng 1 1 trình 4 2
x 3mx 4 0 luôn có nghiệm) (2) 1 1
Diện tích tam giác ABC bằng: S .d ;
A BC .BC .4.2 x 4 x . 1 1 2 2 4 2 x 4 x 4
Do S 4 x 1. Từ phƣơng trình (2) suy ra 1 1 m với x 1. 1 2 2 3x 3 3x 1 1 1
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 21
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 2 x 4 Do 2 1
x 1 x 1 m 1
kết hợp với (1) suy ra 1
m 0 suy ra chỉ có 1 1 2 3 3x1
m 0 thỏa mãn đề bài.
Câu 25. Biết hai hàm số f x 3 2
x ax 2x 1 và g x 3 2
x bx 3x 1 có chung ít nhất một
điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b A. 30 . B. 2 6 . C. 3 6 . D. 3 3 . Lời giải Chọn A
Ta có f x 2
3x 2ax 2 . Hàm số y f x có cực trị khi: 2
a 6 0 a 6 a 6 1 . g x 2 3
x 2bx 3. Hàm số y g x có cực trị khi 2
b 9 0 b 3
b 3 2 .
Giả sử x là điểm cực trị của cả hai hàm số y f x và y g x I 0 Ơ 1 1 3 a b a x 0 2 3
x 2ax 2 0 2x x 2 M D 0 0 0 0 Ầ 2 3
x 2bx 3 0 3 1 3 1 Đ 0 0 b x b x 0 0 NH 2 x 2 x Ị 0 0 Đ G 1 3 3 1 5 THPT N.C.Đ
P a b
x x 3x 0 0 0 N x 2 2 x 2x 0 0 0 NG CÔ Ờ 25 25 2 2 2 N P 9x 15 2
.9x 15 30 P 30 2 0 2 0 4x 4x 0 0 YỄ TRƢ Dấu “=” xảy ra khi: GU N N 1 3 1 1 3 1
x x 0
x x 0 0 0 0 0 x 2 x x 2 x 5 0 0 0 0 x . ÁO VIÊ 0 25 6 2 5 GI 9x 2 0 x 0 4x 0 6
Với hai giá trị x , ta tìm đƣợc hai cặp giá trị a,b thoả (1) và (2). Vậy min P 30 . 0
Câu 26. Tìm tất cả các giá trị của m để đƣờng thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số 3
y x 3mx 2 cắt đƣờng tròn tâm I 1
;1 , bán kính R 1 tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất? 1 3 2 3 2 5 2 3 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 3 Lời giải Chọn B Ta có 3 2
y x 3mx 2 y 3x 3m Hàm số 3
y x 3mx 2 có 2 điểm cực trị phƣơng trình 2
y 3x 3m 0 có hai nghiệm phân biệt m 0 1
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 22
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 1 Ta có y .
x y 2mx 2 . 3
Suy ra phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y 2
mx 2 2mx y 2 0
Đƣờng thẳng cắt đƣờng tròn tâm I 1
;1 , bán kính R 1 tại hai điểm phân biệt , A B I Ơ
d I 2m 1 ; R 1 2
2m 1 4m 1 4
m 0 luôn đúng do m 0 2 4m 1 M D 1 1 1 Ầ Ta có S .I . A IB.sin AIB .sin AIB Đ IAB 2 2 2 NHỊ
Dấu bằng xảy ra sin AIB 1 AIB 90. Đ G THPT
Khi đó tam giác IAB vuông cân tại I c N ó .C.Đ IA 1 nên N 2m 1 2 2 3 NG d I 2 ; 2
4m 8m 1 0 m thỏa mãn đk 1 CÔ Ờ 2 2 2 4m 1 2 N 2 3 YỄ TRƢ
Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất khi m . 2 GU N N
Câu 27. Các giá trị của m để đƣờng thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số 3
y x 3mx 2 cắt đƣờng tròn C x 2 2 :
1 y 2 có tâm I tại hai điểm phân biệt ÁO VIÊ ,
A B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. GI 1 3 3 m m 3 8 A. m . B. 2 . C. m . D. 2 . 8 1 3 3 1 m m 2 2 Lời giải Chọn A
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 23
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Ta có 2
y x m 2 3 3 3 x m , 2
y 0 x m .
Suy ra hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m 0. 1
Ta có y y . x 2mx 2
nên đƣờng thẳng đi qua hai điểm cựa trị của đồ thị hàm số 3 là : y 2
mx 2 hay : 2mx y 2 0.
Đƣờng tròn C có tâm I (1;0) , bán kính R 2 .
Đƣờng thẳng d cắt đƣờng tròn C tại hai điểm phân biệt , A B khi I 2m 2 d , 2 2 2
4m 8m 4 8m 2 2
4m 8m 2 0. 2 4m 1 1
Khi đó, diện tích tam giác IAB là S I . A I . B sin AIB . IAB 2 1 1 1 Mà I . A I . B sin AIB I . A IB 2 R 1. I 2 2 2 Ơ
Nhƣ thế diện tích tam giác
IAB đạt giá trị lớn nhất khi sin AIB 1 AIB 90 . M D 1 2m 2
Từ đó d I, 1 AB .R 2 1 1 2 2
4m 8m 4 4m 3 1 m . Ầ 2 2 2 8 Đ 4m 1 NHỊ 3
Vậy giá trị m cần tìm là m . Đ 8 G THPT N.C.Đ 3 2 N
Câu 28. Cho hàm số f x m
1 x 5x m 3 x 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của NG CÔ Ờ
tham số m để hàm số y
f x có đúng 3 điểm cực trị ? N A. 1. B. 4 . C. 5 . D. 3 . YỄ TRƢ Lời giải GU N N Chọn B
Tập xác định D . ÁO VIÊ
f x m 2 3
1 x 10x m 3 . GI
* Trƣờng hợp 1: m 1.
Lúc đó f x 1
0x 4. Ta có f x 2
0 x . Suy ra hàm số y f x có một điểm 5
cực trị dƣơng. Suy ra hàm số y f x có đúng 3 điểm cực trị.
* Trƣờng hợp 2: m 1.
Lúc này hàm số y f x là hàm bậc ba. Hàm số y f x có đúng ba điểm cực trị khi
và chỉ khi phƣơng trình f x 0 có hai nghiệm phân biệt x , x thoả mãn x 0 x 1 2 1 2
hoặc x 0 x . 1 2
Phƣơng trình f x 0 có hai nghiệm trái dấu m
1 .m 3 0 3 m 1.
Phƣơng trình f x 0 có nghiệm x 0 x 1 2
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 24
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 m 3 0 P 0 m 3 10
. Hệ phƣơng trình này vô nghiệm. S 0 m 0 m 1 3 1
Kết hợp các trƣờng hợp, ta có 3
m 1. Vì m nên m 2 ; 1 ;0; 1 .
Vậy có 4 giá trị nguyên của m để hàm số y f x có đúng 3 điểm cực trị.
Câu 29. Gọi S là tập giá trị nguyên m0 1
; 00 để hàm số 3 2 3
y x 3mx 4m 12m 8 có 5
cực trị. Tính tổng các phần tử của S. A.10096. B.10094. C. 4048 . D. 5047 . Lời giải Chọn D Để hàm số 3 2 3
y x 3mx 4m 12m 8 có 5 cực trị khi và chỉ khi hàm số 3 2 3 I y x 3mx 4m
12m 8 có 2 cực trị nằm về hai phía đối với trục Ox Ơ
Xét hàm số: y f x 3 2 3
x 3mx 4m 12m 8 M D 3 2 x 0 y 4m 12m 8 Ầ
Có: y' 3x 6mx 0 Đ
x 2m y 1 2m 8 NHỊ 3 Đ
Hai cực trị của hàm số y
f x là: A0;4m 12m 8,B2m; 1 2m 8 G THPT N.C.Đ N
Để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục Ox khi và chỉ khi NG 3 2 CÔ
4m 12m8 12m80 m; 1 1; 2; Ờ N 3 YỄ TRƢ Mà: m0 1
; 00 m3;4;5;6;... 1 ; 0 0 GU N 310098 N
Vậy tổng các giá trị của m là: 5047 . 2 Câu 30. Cho hàm số 4 2
y x 2mx 1
1 . Tổng lập phƣơng các giá trị của tham số m để đồ thị ÁO VIÊ GI hàm số
1 có ba điểm cực trị và đƣờng tròn đi qua 3 điểm này có bán kính R 1 bằng 5 5 1 5 A. . B . . C. 2 5 . D. 1 5 . 2 2 Lời giải Chọn D 3
y x mx x 2 ' 4 4 4
x m; y ' 0 x 0; x m với m 0 Gọi A B 2
m m C 2 0;1 , ; 1 ,
m;m
1 là 3 điểm cực trị của hàm số (1); khi đó tam giác ABC cân tại ,
A I là tâm đƣờng tròn đi qua , A ,
B C nên I Oy , gọi I 0;b
Ta có: IA R 1 1 b 1 b 0
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 25
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 4 2 4 2
IB R 1 m m 2m 1 1 m 2m m 0
mm 1 1 5 2 m m
1 0 m 0; m 1; m 1 2 3,4 2
Kết hợp điều kiện m 0 nên loại m và m 4 1 Ta có 3 3 m m 1
5 . Vậy chọn đáp án D. 2 3
Câu 31. Tìm số thực k để đồ thị hàm số 4 2
y x 2kx k có ba điểm cực trị tạo thành một tam 1
giác nhận điểm G 0; làm trọng tâm. 3 A. 1 k 1 ;k . B. 1 k 1; k . 2 3 C. 1 k 1; k . D. 1 1 k ; k . 2 3 2 Lời giải I Chọn C Ơ Ta có: 3
y x kx x 2 4 4 4 x k . M D Ầ x 0 Đ y ' 0 . 2 NH x k 1 Ị Đ
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị y 0 có ba nghiệm phân biệt và y đổi dấu khi x G THPT N.C.Đ N
đi qua 3 nghiệm đó PT
1 có hai nghiệm phân biệt khác không k 0. Khi đó ba NG CÔ Ờ
điểm cực trị của đồ thị hàm số là N
A0; k , B 2
k ;k k , C 2
k ; k k . YỄ TRƢ 2 2 GU N 1
k k k k k y y y A B C N
Từ yêu cầu bài toán ta có: y G 3 3 3 k 1 ÁO VIÊ 2 2k 3k 1 0 1 . GI k 2
Câu 32. Cho hàm số 4
y x 2
m m 2 2
1 x m 1. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị và
khoảng cách gi a hai điểm cực tiểu là nhỏ nhất. 1
A. m 1.
B. m 1. C. m=1.
D. m = 2 Lời giải Chọn D 3
y' x 2
m m x = x 2 2 4 4 1 4
x m + m 1 . x
y ' 0 4x 0 2 2
x m + m 1 0 2 2
x m m+1
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 26
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phƣơng trình y' 0 có ba nghiệm phân biệt hay phƣơng trình 2 2
x m +m 1 0 có hai nghiệm phân biệt khác không 2 1 3 2
m m+1 0 m 0 luôn đúng m . 2 4
Khi đó phƣơng trình y' 0 có ba nghiệm phân biệt 2 2
x m m 1, x m m 1, x 0. 1 2 3 Bảng biến thiên. x x 0 x 1 2 y' 0 0 0 I y 2 Ơ y y y 1 1 M D Ầ Đ
Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là B 2
m m 1; y và C 2
m m 1; y . 1 1 NHỊĐ 2 1 3 2 G THPT
Khoảng cách gi a hai điểm cực tiểu là N B .C C .Đ
= 2 m m 1 2 m 3. N 2 4 NG 1 CÔ Ờ
Dấu " " xảy ra khi m = N 2 YỄ
TRƢ Câu 33. Cho hàm số 4 2 4
y x 2mx m 2 .
m Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của GU N
đồ thị hàm số lập thành một tam giác đều. N
A. m 2 2. B. m 1. C. 3 m 3. D. 3 m 4. Lời giải ÁO VIÊ GI Chọn C x 0
Tập xác định của hàm số: D . Ta có 3
y 4x 4mx 4x 2
x m y ' 0 2 x . m
Hàm số trùng phƣơng có 3 cực trị y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt m 0 1 .
Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là , A ,
B C với A là điểm thuộc trục tung. Khi đó, 4 4 2 4 2 ( A 0; m 2 ) m , ( B
m; m m 2 )
m , C( m; m m 2 ) m .
Vì đồ thị hàm số trùng phƣơng nhận trục tung làm trục đối xứng. Ở bài này, hai điểm
cực tiểu đối xứng nhau qua trục tung và điểm cực đại nằm trên trục tung nên ABC
cân tại A . Do đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành một tam giác đều m 0 ABC có AB BC 4 4 4
m m 4m m m 4m m 3m 0 . 3 m 3 3
Từ điều kiện (1) kết luận m 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 27
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 34. Cho hàm số f x có đạo hàm là f x . Đồ thị của hàm số y f x nhƣ hình vẽ bên.
Tính số điểm cực trị của hàm số 2 y
f x trên khoảng 5; 5 . A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . Lời giải Chọn C 2 2 I
Xét hàm số g x f x gx 2xf x . Ơ x 0 x 0 x 0 M D
g x 0 2 x 0 . 2 Ầ f x 0 x 2 Đ 2 x 2 NHỊ Ta có bảng xét dấu : Đ G THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N Từ đó suy ra hàm số 2 y
f x có 3 điểm cực trị. YỄ TRƢ GU
N Câu 35. Cho hàm số 4 2
y x 2mx 3m 2 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của tham số N
m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ? A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. ÁO VIÊ Lời giải GI Chọn A Ta có 4 2 3
y x 2mx 3m 2 y 4x 4mx . x 0 Khi y 0 . x m
Với m 0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị là A0;3m 2 , B 2
m ; m 3m 2 và C 2
m ; m 3m 2.
Điểm A đã nằm trên trục tung, vậy để các điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ thì m 2
hai điểm B và C phải nằm trên trục hoành, suy ra 2
m 3m 2 0 . m 1
Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 36. Biết m m ; m là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 4 2
y x 2mx 1 có ba 0 0
điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. Khẳng định nào sau đây đúng?
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 28
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
A. m 0;3 . B. m 5 ;3 . C. m 3 ;0 . D. m 3;7 . 0 0 0 0 Lời giải Chọn C
Cách 1. Ta có 3
y 4x 4mx . x 0 Xét phƣơng trình 3
y 0 4x 4mx 0 . 2 x m
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m 0 . Khi đó 3 điểm cực trị là A0 ; 1 , B 2
m ;1 m , C 2
m ;1 m .
Ta thấy ABC cân tại A . Nên ABC vuông khi và chỉ khi ABC vuông cân tại A . m 0 Do đó 4 A .
B AC 0 m m 0 m 3
1 m 0
. Kết hợp m 0 ta có m 1 . m 1 I Ơ
Cách 2. ( Dùng công thức tính nhanh ). Gọi , A ,
B C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. M D Ầ
ABC vuông cân b a m3 3 3 8 2 8 m 1 m 1 . Đ NH Ị Câu 37. Cho hàm số 4 2 2 y x 2(m m 1)x
m có đồ thị C . Tìm m để đồ thị hàm số C có 3 Đ
điểm cực trị và khoảng cách gi a hai điểm cực tiểu nhỏ nhất. G THPT N.C.Đ N 1 1
A. m .
B. m .
C. m 3.
D. m 0. NG 2 2 CÔ Ờ N Lời giải YỄ TRƢ Chọn B GU N 2
x m m 1 N 1 Ta có: 3
y x 2 4
4 m m 1 x 2 x x 2 4 m m 1 0 x 0 . 2 2 ÁO VIÊ
x m m 1 3 GI 2 1 3
Khoảng cách gi a 2 điểm cực tiểu: 2
d x x 2 m m 1 2 m 3 . 3 1 2 4 1
Dấu bằng xảy ra khi m . 2
Câu 38. Để đồ thị hàm số 4 2
y x 2mx m 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có
diện tích bằng 2, giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? A. (2;3). B. ( 1 ;0). C. (0;1). D. (1;2).
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 29
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Lời giải Chọn D 3
y x mx x 2 ' 4 4 4 x m x 0 Xét y ' 0
x m,(m 0)
Tọa độ ba điểm cực trị là: A m B 2
m m m C 2 (0; 1), ; 1 ,
m; m m 1 2 AH m
Gọi H là trung điểm của cạnh BC , ta có BC 2 m 1 2 5 S
AH BC m m 2 m 4. ABC 2
Câu 39. Cho hàm số f x 4 2 2
x 2mx 4 2m . Có tất cả bao nhiêu số nguyên m 1 0;10 để I
hàm số y f x có đúng 3 điểm cực trị? Ơ A. 6 . B. 8 . C. 9 . D. 7 . M D Ầ Lời giải Đ Chọn C NHỊ Đ m 0 G m 2 THPT N.C.Đ 2 4 2m 0 N
Để hàm số y f x có đúng ba điểm cực trị thì: 2 3 . NG m 0 0 m CÔ Ờ 3 2 N 4 3m 0 YỄ TRƢ
Vậy các số nguyên m thỏa mãn bài toán là 9
;8; 7; 6;5; 4;3; 2; 1 . GU
N Câu 40. Cho hàm số 4 2 y x 2 m 1 x 2m
3 . Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m N
để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị là ÁO VIÊ 3 3 3 A. 1; . B. ; \ 2 . C. 1; \ 2 . D. 1; . GI 2 2 2 Lời giải Chọn D Đặt: 4 2 f (x) x 2 m 1 x 2m 3 3 f ' x 4x 4 m 1 x x 0 f ' x 0 2 x m 1
Vì hàm số f (x) có a 1 0 nên hàm số y
f x có đúng 5 cực trị Hàm số f (x) m 1 0 m 1 3
phải có 3 cực trị thỏa y 0 m 1; cd f 0 0 2m 3 0 2 Vậy chọn D
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 30
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 41. Cho hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số
y f x là 2 ; 0; 2; ;
a 6 với 4 a 6 . y -2 O 2 a 6 x y = f(x)
Số điểm cực trị của hàm số y f 6 2
x 3x là: I Ơ A. 8 .
B.11 .C.9. D. 7 . Lời giải M D Ầ Chọn C Đ 6 2 NH
g(x) f x 3x . Ị Đ g ' x 6 2 6 2 6 2 5 6 2 f x 3x ' x 3x
'. f ' x 3x
6x 6x f ' x 3x . G THPT N.C.Đ N NG x 0 CÔ Ờ N x 1 6 2 YỄ x 3x 2 TRƢ 1 5
6x 6x 0 5 6 2 6 2 GU N
y ' 0 6x 6x f ' x 3x 0
x 3x 0 2 . 6 2 N f '
x 3x 0 6 2
x 3x 2 3 6 2
x 3x a 4 ÁO VIÊ GI 6 2
x 3x 6 5 6 2
x x 6 2 2 3
2 1 x 3x 2 0 x 1 x 1 . 2 x 0 * x 0 6 2
x 3x 02 . 4 4 x 3 x 3 6 2
x x 6 2 2 3
2 3 x 3x 2 0 x 2 x 2 .
Ta xét bảng biến thiên của hàm số:
y h x 6 2 x 3x
x 0 h0 0
y ' h ' x 5
6x 6x 0 x 1 h 1 2 x 1 h 1 2
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 31
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Từ bảng biến thiên ta suy ra phƣơng trình 6 2
x 3x a
4 có một nghiệm biệt khác 0; 1 ;
1 và khác nghiệm của phƣơng trình 2;3 Phƣơng trình 6 2 x 3x 6
5 có hai nghiệm phân biệt khác 0; 1 ; 1 và khác nghiệm
của phƣơng trình 2;3;4 . Ta có thể lấy nghiệm gần đúng nhƣ sau: x m x 2,355 6 2
x 3x 65 6 2 2
x 3x 6 0 x ,
m m 5,547, m 5;6 x 2 ,355 x m I 2 Ơ
n x m 6 2
x 3x a4 4
m x n 6 2
4 x 3x 6 n 2,195 M D 4 4 a 6
n x m m 2, 355 Ầ Đ NH Ị Đ
Vậy y ' g ' x 0 có: G THPT N.C.Đ
+) 2 nghiệm bằng x 1 x 1 không là điểm cực trị. N NG
+) 2 nghiệm bằng x 1 x 1
không là điểm cực trị. CÔ Ờ N
+) 3 nghiệm bằng x 0 x 0 là 1 điểm cực trị. YỄ TRƢ +) 1 nghiệm bằng 4 4 x 3 x 3 là 1 điểm cực trị. GU N +) 1 nghiệm bằng 4 4
x 3 x 3 là 1 điểm cực trị. N
+) 1 nghiệm bằng x m x m là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng x m x m là 1 điểm cực trị. ÁO VIÊ GI
+) 1 nghiệm bằng x 2 x 2 là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng x 2 x 2 là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm x và x m; n x là 1 điểm cực trị. 1 1 1
+) 1 nghiệm x và x
n; m x là 1 điểm cực trị. 2 2 2
Vậy có tất cả 9 điểm cực trị . Câu 42. Cho hàm số 4 2
y x 2mx m , với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
của m để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị và đƣờng tròn đi qua 3 điểm cực trị
này có bán kính bằng 1. Tổng giá trị của các phần tử của S bằng 1 5 1 5 A. 1. B. 0 . C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn C
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 32
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 3
y x mx x 2 4 4 4 x m
Hàm số có 3 cực trị khi y 0 có 3 nghiệm phân biệt m 0 x 0 Xét y 0 m 0 x m
Tọa độ ba điểm cực trị: A0;m, B 2
m ; m m, C 2
m ; m m .
Gọi H là trung điểm của cạnh BC . Ta có H 2
0; m m 1 A . B AC.BC S AH.BC (do ABC cân tại A ) ABC 2 4R 2 AH m 2
AB 2AH.R trong đó 4
AB m m Suy ra 4 2
m m 2m m 3
m m mm 2 2 1 0
1 m m 1 0 I m 0 Ơ m 1 M D 1 5 1 5
. Đối chiếu điều kiện ta đƣợc S 1; . Ầ m 2 Đ 2 NH Ị 1 5 m Đ 2 G THPT N.C.Đ N 1 5
Do đó tổng giá trị các phần tử thuộc S bằng . NG 2 CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG 33
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
CHUÛ ÑEÀ: CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG 3
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC Câu 1.
Cho S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm cực trị của đồ thị hàm số 2
y x 2mx 8 cũng là điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 m y x
m 1 x m m 2 3 3 2 x
. Tính tổng bình phƣơng tất cả các phần tử của tập 3 3 hợp S . A. 8 . B. 10 . C. 18 . D. 16 .
I Câu 2. Cho hàm số 2
y f x liên tục trên
và có f x x 2 2
x 3x 4 . Gọi S là tập các Ơ số nguyên m 1 0;1
0 để hàm số y f 2
x 4x m có đúng 3 điểm cực trị. Số phần tử M D Ầ của S bằng: Đ NHỊ A. 10. B. 5. C. 14. D. 4. Đ
Câu 3. Cho hàm số f x có đạo hàm f x 2
x x 2
1 x 2mx 5 . Gọi S là tập hợp tất cả các G THPT N.C.Đ N
giá trị nguyên của m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị, tìm số tập con khác NG CÔ Ờ
rỗng của S ? N A. 127 . B. 15 . C. 63 . D. 31. YỄ
TRƢ Câu 4. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số GU N 3 N
y x m 2 2
1 x 3m x 5 có 3 điểm cực trị. 1 1
A. 1;. B. ; . C. ; 0. D. 0; 1; . ÁO VIÊ 4 4
GI Câu 5. Cho hàm số f x x 2 2 ' 2 x 4x
3 với mọi x . Có bao nhiêu giá trị nguyên
dƣơng của tham số m để hàm số y f 2
x 10x m 9 có 5 điểm cực trị? A. 18 . B. 17 . C. 16 . D. 15 . Câu 6.
Cho hàm số f x 4 mx 2 m 2 2001
4 x 2019 , với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để hàm số y f x có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu? A. 0 . B.vô số. C. 2 . D. 1 . Câu 7.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4 3 2
y 3x 4x 12x m có 7 điểm cực trị? A. 3. B. 6. C. 5. D. 4. Câu 8.
Gọi S là tập hợp tất cả các số thực m thỏa mãn đồ thị hàm số 4 2
y x 10x m có
đúng 7 điểm cực trị. Số phần tử của tập hợp S là
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 1
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 24. B. 23. C. 26. D. 25. 3 Câu 9.
Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 2
1 3m x 1 2 có
hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ. 1 1 A. m . B. m . C. m 5 . D. m 5. 3 2
Câu 10. vẽ bên là đồ thị của hàm số y f (x) . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dƣơng của
tham số m để hàm số y f (x 1) m có 7 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng I Ơ A. 6. B. 9. C. 12. D. 3.
M D Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên dƣơng của tham số m không vƣợt quá 2019 để hàm số Ầ Đ 2 x y
x m 2 không có điểm cực trị? NHỊ 8 Đ A. 0. B. 1. C. 2018. D. 2019. G THPT N.C.Đ N 4 5 3
Câu 12. ho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x
1 x m x 3 với mọi x . ó bao NG CÔ Ờ
nhiêu giá trị nguyên của tham số m 5 ;
5 để hàm số g x f x có 3 điểm cực trị N YỄ A. TRƢ 3. B. 6. C. 5. D. 4. GU
N Câu 13. Cho hàm số y f x xác định trên có f 3 8 ; f 9 4 ; f 1 2 . Biết rằng hàm N 2 2
số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số y
f x x 2 2 1 có bao ÁO VIÊ GI nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 6. D. 5.
Câu 14. Cho hàm số y f x xác định trên và hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình bên dƣới.
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 2
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 y 2 1 O x -3 -1 2 5 - 1 - 2 - 3
Đặt g x f x m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x có đúng 7 điểm cực trị? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. vô số.
Câu 15. Cho hàm số f x có đạo hàm 2 f (
x) (x 1) 2
x 4x .Có bao nhiêu giá trị nguyên
dƣơng của tham số m để hàm số g x f 2 ( )
2x 12x m có đúng 5 điểm cực trị ? I A. 18. B. 17. C. 16. D. 19. Ơ 3
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x m 2 2
1 x 3m x 5 có M D ba điểm cực trị? Ầ Đ A. Vô số. B. 3. C. 2. D. 1. NHỊ x Đ
Câu 17. Hàm số f x
m (với m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực 2 x 1 G THPT N.C.Đ N trị? NG CÔ Ờ A. 2 . B.. C. 5 . D. 4 . N
Câu 18. Cho hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới. Tập các giá trị của tham số m để hàm YỄ
TRƢ số gx f xm có 7 điểm cực trị là ;ab. Tính T 2b .a GU N N A. 2 . B. 2 . C. 0 . D. 6 . ÁO VIÊ GI
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 3 2
y x 6x m có 5 điểm cực trị. A. 32 . B. 31. C. 31. D. 34 .
Câu 20. Cho hàm số y f x có đồ thị y f ' x nhƣ hình vẽ sau. Đồ thị hàm số
g x f x 2 2
x có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 7 . C. 5 . D. 6 .
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 3
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 21. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số m 3 2
y x 3x 9x 5
có 5 điểm cực trị? 2 A. 62 . B. 63 . C. 64 . D. 65 . I Ơ 1
Câu 22. Cho hàm số y f x 3
x 2m 2
1 x 8 m x 2 với m . Tập hợp tất cả các giá 3 M D Ầ
trị của m để hàm số y f x có 5 cực trị là khoảng ; a b . Tích . a b bằng Đ NH A. 12. B. 16. C. 10. D. 14. Ị 3 Đ
Câu 23. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2
x m 2 1 4
5 x m 7m 6, x . Có G THPT N.C.Đ N
bao nhiêu số nguyên m để hàm số g x f x có 5 điểm cực trị? NG CÔ Ờ A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . N 4 3 f x 2 2
f x x x 2
x 4 x 2 m 3 x 6m 18. YỄ
Câu 24. Cho hàm số có đạo hàm TRƢ Có tất GU N
cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị? N A. 7 . B. 5 . C. 8 . D. 6 .
Câu 25. Cho hàm số bậc bốn y f (x) . Hàm số y f (
x) có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới đây. Số ÁO VIÊ GI
điểm cực đại của hàm số y f 2
x 2x 2 là: A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 4
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 2
Câu 26. Cho hàm số f x x 2 1
mx 4mx m n 2 với , m n . Biết trên khoảng 7 7 5 ; 0
hàm số đạt cực đại tại x 1 . Trên đoạn ;
hàm số đã cho đạt cực tiểu 6 2 4 tại 7 3 5 5 A. x .
B. x .
C. x . D. x . 2 2 2 4
Câu 27. Cho hàm số f x m 3 2
1 x 5x m 3 x 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để hàm số y f x có đúng 3 điểm cực trị? A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 1.
Câu 28. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số 4 3 2
y 3x 8x 6x 24x m có
7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của S . A. 42 . B. 50 . C. 30 . D. 63 .
I Câu 29. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ. Hỏi hàm số 2 g x
f x x có bao Ơ nhiêu điểm cực trị? M D Ầ y Đ NHỊĐ 2 G THPT N.C.Đ N NG 2 O x CÔ Ờ N 2 YỄ TRƢ GU N N A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . 2
x px q
Câu 30. Cho hàm số f (x) p
p q . Có bao nhiêu cặp p; q sao 2 ÁO VIÊ x , trong đó 2 2 0, 1 1 GI
cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên bằng 10 ? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 31. Gọi m0 là giá trị của tham số m để đƣờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 3
y x 6mx 4 cắt đƣờng tròn tâm I 1;0 , bán kính bằng 2 tại hai điểm
phân biệt A , B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. m 2;3 . B. m 3; 4 .
C. m 0;1 . D. m 1; 2 . 0 0 0 0 2 x mx 5
Câu 32. Gọi m là giá trị của m thỏa mãn đồ thị hàm số y
có hai điểm cực trị A , 0 2 x 1
B sao cho đƣờng thẳng AB đi qua điểm I 1; 3
. Khẳng định nào sau đây là đúng
A. 0 m 3 . B. 5 m 3 . C. 3
m 0.
D. 3 m 5 . 0 0 0 0
Câu 33. ó bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 9 7 2 6
y x (m 2)x (m 4)x 7
đạt cực tiểu tại x 0 ?
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 5
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 3 . B. 4 . C. Vô số. D. 5 . 5 x m Câu 34. Cho hàm số 4 3 y 2m 1 x x
2019 . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để 5 3
hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ? A.Vô số . B.1 . C.2 . D.0 .
Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 2019; 2019 để hàm số m 1 m 2 5 4 y x
x m 5 đạt cực đại tại x 0? 5 4 A. 110 . B. 2016 . C. 100 . D. 10 .
Câu 36. Cho hàm số f x có đạo hàm trên thỏa mãn 2 f x h f x h h , 2019 29m x , h
0 . Đặt g x x f
x x f x 4 2 m m 2 29
100 sin x 1, m
là tham số nguyên và m 27 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho I
hàm số g x đạt cực tiểu tại x 0 . Tính tổng bình phƣơng các phần tử của S . Ơ A. 100 . B. 50 . C. 108 . D. 58 . M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 6
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.
Cho S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm cực trị của đồ thị hàm số 2
y x 2mx 8 cũng là điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 m y x
m 1 x m m 2 3 3 2 x
. Tính tổng bình phƣơng tất cả các phần tử của tập 3 3 hợp S . A. 8 . B. 10 . C. 18 . D. 16 . Lời giải Chọn A b Vì 2
y x 2mx 8 là một parabol nên có đỉnh là I 2 ; ;
m m 8 là một 2a 4a
cực trị của đồ thị hàm số. 1 m
Xét hàm số y x m
1 x m m 2 3 3 2 x . I 3 3 Ơ 2
y x 2m
1 x mm 2 . M D
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điểm I là cực trị của đồ thị hàm số Ầ Đ 1 m NH y
x m
1 x m m 2 3 3 2 x . Ị 3 3 Đ 2 G m
1 m m 2 THPT 0 N.C.Đ 0 y N m 2 2
m 2mm
1 m m 2 NG y m 0 0 . CÔ m 2 Ờ 2 N y m 2 m 8 2m 8 YỄ TRƢ S 2 ; 2 . GU N N
Vậy tổng bình phƣơng các phần tử của tập hợp S là : 2 2 2 2 8 . Câu 2. Cho hàm số 2
y f x liên tục trên
và có f x x 2 2
x 3x 4 . Gọi S là tập các ÁO VIÊ 2 GI số nguyên m 1 0;1
0 để hàm số y f x 4x m có đúng 3 điểm cực trị. Số phần tử của S bằng: A. 10. B. 5. C. 14. D. 4. Lời giải Chọn B x 22 0 Ta có: f ( x) 0 2
x 3x 4 0
Đặt y g x f 2 ( )
x 4x m
g x x 2 ( ) 2 4 f (
x 4x m)
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 7
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 x 2 2x 4 0
x 4x m 22 2 0 g ( x) 0 2
f (x 4x m) 0 h x 2 1 x 4x m 1 0(1) 2 2 h (x) x 4x m 4 0(2)
Hàm số có 3 cực trị khi một trong 2 phƣơng trình (1) và (2) có 2 nghiêm phân biệt khác
2 và phƣơng trình có lại có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm. 1 h (2) 0 1 0 0 m 5 2 0
m 3 0 m 5 2 h (2) 0 m 0 1 0 2 0 I Ơ mà m 1 0;1
0 do đó m 0;1;2;3; 4 có 5 phần tử. 2 2
M D Câu 3. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 x
2mx 5 . Gọi S là tập hợp tất cả các Ầ Đ
giá trị nguyên của m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị, tìm số tập con khác NHỊ
rỗng của S ? Đ G THPT A. 127 . B. 15 . N.C.Đ C. 63 . D. 31. N Lời giải NG CÔ Ờ Chọn C N
Hàm số f x có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi: YỄ TRƢ
Trường hợp 1: Phƣơng trình 2
x 2mx 5 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. GU N N
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi 2
m 5 0 5 m 5 * .
Trường hợp 2: Phƣơng trình 2
x 2mx 5 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một ÁO VIÊ nghiệm là 1
. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi: GI m 5 2 m 5 0
m 3 ** . 2 m 5 1 2m 5 0 m 3 Từ * ,*
* suy ra m 5; 5 3 .
Do m m 2 ; 1 ;0;1;2; 3 hay S 2 ; 1 ;0;1;2; 3 .
Suy ra số tập con khác rỗng của S bằng 1 2 3 4 5 6
C C C C C C 63 . 6 6 6 6 6 6 Câu 4.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3
y x m 2 2
1 x 3m x 5 có 3 điểm cực trị. 1 1
A. 1;. B. ; . C. ; 0. D. 0; 1; . 4 4 Lời giải Chọn C
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 8
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Xét hàm số f x 3
x m 2 2
1 x 3mx 5 , có f x 2
3x 22m 1 x 3m . 3
Hàm số y f x x m 2 2
1 x 3m x 5 có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số
y f x có hai điểm cực trị x , x thỏa mãn x 0 x
phƣơng trình f x 0 có hai 1 2 1 2
nghiệm x , x sao cho x 0 x . 1 2 1 2
Ta có phƣơng trình f x 0 có hai nghiệm x , x thoả mãn x 0 x thì 1 2 1 2 1 2 0
4m 5m 1 0
m 1 m 4 m 0 . P 0 m 0 m 0 Thử lại: +) với m
0 thì phƣơng trình f x 2
3x 22m
1 x 3m có hai nghiệm x 0 x (thỏa mãn). 1 2 x 0
+) với m 0 thì f x 2
3x 6x 0 (thỏa mãn). x 2 I Ơ Vậy m ;0
thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 2
M D Câu 5. Cho hàm số f 'x x 2 x 4x
3 với mọi x . Có bao nhiêu giá trị nguyên Ầ Đ
dƣơng của tham số m để hàm số y f 2
x 10x m 9 có 5 điểm cực trị? NHỊĐ A. 18 . B. 17 . C. 16 . D. 15 . G THPT N.C.Đ Lời giải N NG Chọn C CÔ Ờ Dấu của: N YỄ TRƢ GU N N
Vì y x f 2 ' 2
10 . ' x 10x m 9 . ÁO VIÊ x 5 GI 2
x 10x m 9 1 y ' 0 . 2
x 10x m 9 2(L) 2
x 10x m 9 3 x 5
Vậy hàm số đã cho có 5 cực trị 2
x 10x m 9 1 (1)
có 5 nghiệm phân biệt khác 5. 2
x 10x m 9 3 (2)
Mỗi pt (1) và (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 5.
25 m 8 0 25 m 6 0 m 17 . m 17 m 19
Vậy các giá trị m nguyên dƣơng thõa mãn: m 1; 2; 3....; 1 6 .
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 9
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Câu 6.
Cho hàm số f x 4 mx 2 m 2 2001
4 x 2019 , với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để hàm số y f x có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu? A. 0 . B.vô số. C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn B f x 3 mx 2
m x x 2 2 ' 8004 2 4 2
4002mx m 4
+ TH1: m 0 thì f ' x 8
x 0 x 0 , f "0 8
0 . Hàm số chỉ có một cực đại tại
x 0 nên không thỏa mãn đề bài. x 0 + TH2: m 0 thì f ' x 2 0 4 m 2 x 4002m
Để hàm số có 3 cực trị thì f ' x 0 có 3 nghiệm phân biệt , khi đó I 2 Ơ 4 m m 2 0 4002m 0 m 2 M D 2 Ầ 4 m Đ
Phƣơng trình f ' x 0 có 3 nghiệm phân biệt x 0; x . 1,2 4002m NHỊ Đ
Nếu 0 m 2 ta có bảng biến thiên G THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N
Hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại nên 0 m 2 không thỏa mãn đề bài. Nếu m 2
ta có bảng biến thiên ÁO VIÊ GI
Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu nên m 2 thỏa mãn đề bài.
Chú ý: Khi làm trắc nghiệm ta làm nhƣ sau f x 3 mx 2
m x x 2 2 ' 8004 2 4 2
4002mx m 4
+ Xét m 0 thì f ' x 8
x 0 x 0 , f "0 8
0 . Hàm số chỉ có một cực đại tại
x 0 nên không thỏa mãn đề bài. 2001m 0
+ Để hàm số y f x có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu thì 2 2001 ( m m 4) 0
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 10
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 m 0 m 0 m 0 m 2 m 2 . 2 2
m(m 4) 0 m 4 0 m 2 Câu 7.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4 3 2
y 3x 4x 12x m có 7 điểm cực trị? A. 3. B. 6. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn D x 0
Xét hàm số f x 4 3 2
3x 4x 12x m . Ta có f x 3 2
12x 12x 24x 0 x 1 . x 2 Bảng biến thiên: I Ơ M D Ầ Đ NH y f x y f x Ị Để hàm số
có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số
phải cắt trục Ox tại 4 Đ m 0 G THPT N.C.Đ điểm phân biệt 0 m 5 . N m 5 0 NG CÔ Ờ Mà m m1;2;3;
4 . Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. N Câu 8.
Gọi S là tập hợp tất cả các số thực m thỏa mãn đồ thị hàm số 4 2
y x 10x m có YỄ TRƢ GU N
đúng 7 điểm cực trị. Số phần tử của tập hợp S là N A. 24. B. 23. C. 26. D. 25. Lời giải ÁO VIÊ Chọn A GI x 0 Gọi f x 4 2
x 10x m . Ta có f x 3
4x 20x 0 x 5
Bảng biến thiên của hàm số f x 4 2
x 10x m:
Ta có số điểm cực trị của hàm số y f (x) bằng tổng số điểm cực trị của hàm số
y f (x) và số nghiệm của phƣơng trình f (x) 0 (không trùng với các điểm cực trị
của hàm số). Do đó để hàm số 4 2
y x 10x m có đúng 7 điểm cực trị thì f (x) 0 có 4
nghiệm phân biệt 0 m 25 . Vậy S 1;2;...;2 4 .
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 11
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 3 Câu 9.
Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 2
1 3m x 1 2 có
hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ. 1 1 A. m . B. m . C. m 5 . D. m 5. 3 2 Lời giải Chọn B
Ta có y x 2 2 ' 3 1 3m . x m x m y 0 3 x 2
1 3m 0 x 2 1 1 2 2 1 m .
x 1 m x 1 m
Để hàm số có 2 cực trị thì m 0 .
Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ lần lƣợt là
x 1 m; x 1 m . Khi đó A 3
m m B 3 1 ;2 2 ;
1 m; 2m 2 . I A B Ơ
Hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ nên 2 2
OA OB OA OB M D
m 0ktm 2 2 Ầ
m2 m m2 3 3 1 2 2 1 2 m 2 3
4m m 0 . Đ 1
m tm NHỊ 2 Đ 1 G THPT Vậy m . N.C.Đ N 2 NG y f x CÔ
Câu 10. vẽ bên là đồ thị của hàm số
( ) . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dƣơng của Ờ N
tham số m để hàm số y f (x 1) m có 7 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử YỄ TRƢ của S bằng GU N N ÁO VIÊ GI A. 6. B. 9. C. 12. D. 3. Lời giải Chọn D
Xét hàm số g(x) f (x 1) m . Ta có g (
x) f (x 1) .
Vì hàm số f x có 3 điểm cực trị do đó hàm số g(x) f (x 1) m có 3 điểm cực trị.
Để hàm số y f (x 1) m có 7 điểm cực trị thì phƣơng trình f (x 1) m phải có có 4
nghiệm đơn phân biệt hay 3 m 2 2 m 3.
Vì m nguyên dƣơng nên m1, 2 , chọn D.
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên dƣơng của tham số m không vƣợt quá 2019 để hàm số 2 x y
x m 2 không có điểm cực trị? 8
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 12
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 0. B. 1. C. 2018. D. 2019. Lời giải Chọn B
Tập xác định: D m 2; x 1
x x m 2 2 Ta có y y 4 2 x m 2 4 x m 2
y 0 x x m 2 2 0 x x m 2 2 1 2 x Hàm số y
x m 2 không có điểm cực trị phƣơng trình y 0 vô nghiệm 8
hoặc có nghiệm kép
1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
Vì m nguyên dƣơng nên m 2 0
m 2 x 0
m 2 x 0
m 2 x 0 I Ta có: 1 2 4 x
x m 2 3 x m 2 2
m 2 x g x 2 Ơ 4 x 4 x M D g x 3 8 x 8 1 0 x 2 Ầ 3 3 x x Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N
Từ bảng biến thiên của g x suy ra ÁO VIÊ
1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép m 2 3 m 1 GI
Kết hợp với điều kiện m nguyên dƣơng nên suy ra m 1. 4 5 3
Câu 12. ho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x
1 x m x 3 với mọi x . ó bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m 5 ;
5 để hàm số g x f x có 3 điểm cực trị A. 3. B. 6. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn C
Đồ thị hàm f x đƣợc suy ra từ đồ thị hàm số f x bằng cách.
- ỏ phần bên trái trục . Oy
- Giữ và lấy đối x ng phần đồ thị nằm bên phải trục Oy qua trục . Oy
Ta thấy x 0 là một điểm cực trị của hàm số f x .
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 13
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Do đó hàm số g x f x có 3 điểm cực trị khi phần đồ thị bên phải trục Oy có một
điểm cực trị f ' x đổi dấu 1 lần với x 0 m 0 . Mà m 5 ;
5 và m m1;2;3;4; 5 .
Câu 13. Cho hàm số y f x xác định trên có f 3 8 ; f 9 4 ; f 1 2 . Biết rằng hàm 2 2
số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số y
f x x 2 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị? I Ơ M D Ầ Đ NH Ị Đ A. 2. B. 3. C. 6. D. 5. G THPT N.C.Đ Lời giải N NG Chọn D CÔ Ờ N
Nhận xét: Số cực trị của hàm số y f x bằng số cực trị của hàm số y
f x cộng YỄ TRƢ
với số giao điểm của đồ thị hàm số y f x với trục hoành. GU N N Đặt g x
f x x 2 ( ) 2 1 , x và h x
f x x 2 2 1 , x .
Ta có: h ' x 2 f ' x 2 x
1 h ' x 0 f ' x x 1 (*) ÁO VIÊ
Dự vào đồ thị, nghiệm của phƣơng trình (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị y f x GI x 1 x 1
và đƣờng thẳng y x 1, ta có: * x 2 x 3
Ta có bảng biến thiên của hàm số h x nhƣ sau: Ta có: 1
h f 2 2 2 2 2 1 0 vì f (2) 2
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 14
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
h f 2 3 2 3 3 1 0 vì f 3 8
h f 2 4 2 4 4 1 0 vì f 9 4 2
Suy ra h x 0 có đúng hai nghiệm phân biệt x 3
;1 và x 3;4 . 2 1
Suy ra g x h x có đúng 5 điểm cực trị.
Câu 14. Cho hàm số y f x xác định trên và hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình bên dƣới. y 2 1 O x -3 -1 2 5 - 1 - 2 I Ơ - 3 M D
Đặt g x f x m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x có Ầ Đ đúng 7 điểm cực trị? NHỊ A. 2 . B. 3 . C. 1. D. vô số. Đ G Lời giải THPT N.C.Đ N Chọn A NG CÔ Ờ
Từ đồ thị của hàm số y
f x ta có bảng biến thiên của hàm số y
f x nhƣ sau: N YỄ TRƢ x ∞ 3 1 2 5 + ∞ GU N N f'(x) + 0 0 + 0 0 + ÁO VIÊ f(x) GI
Hàm số y f x xác định trên
Hàm số g x f x m là hàm số chẵn trên
Đồ thị của hàm số y g x nhận trục tung làm trục đối x ng.
Để g x có đúng 7 điểm cực trị thì hàm số y f x m phải có đúng 3 điểm cực trị m 3
phía bên phải trục tung 3 m 1
, do m nguyên nên . m 2
Câu 15. Cho hàm số f x có đạo hàm 2 f (
x) (x 1) 2
x 4x .Có bao nhiêu giá trị nguyên
dƣơng của tham số m để hàm số g x f 2 ( )
2x 12x m có đúng 5 điểm cực trị ? A. 18. B. 17. C. 16. D. 19. Lời giải.
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 15
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Chọn B Ta có : x 1 2 f (
x) 0 (x 1) 2
x 4x 0 x 0 , trong đó x 1 là nghiệm kép. x 4 g x f 2 x
x m gx x f 2 ( ) 2 12 4 12
2x 12x m
Xét g x 0 x f 2 4 12
2x 12x m 0 (*) x 3 x 3 2 2
2x 12x m 1
2x 12x m 1 (l) 2 2
2x 12x m 0
2x 12x m 1 2 2
2x 12x m 4
2x 12x 4 m 2
( Điểm cực trị của hàm số g x là nghiệm bội lẻ của phƣơng trình (*) nên ta loại I Ơ phƣơng trình 2
2x 12x m 1 ) Xét hàm số 2
y 2x 12x có đồ thị (C): y ' 4x 12 M D Ầ Ta có bảng biến thiên Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ – N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N
Để g x có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phƣơng trình
1 ;2 đều có hai nghiệm phân ÁO VIÊ biệt khác 3 . GI
Do đó, mỗi đƣờng thẳng y 4 m và y m phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ khác 3. Nhận xét: đƣờng thẳng y 4 m luôn nằm trên đƣờng thẳng y m . Ta có: 18
m m 18. Vậy có 17 giá trị m nguyên dƣơng . 3
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x m 2 2
1 x 3m x 5 có ba điểm cực trị? A. Vô số. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A 3
Hàm số y x m 2 2
1 x 3m x 5 có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số 3
y x m 2 2
1 x 3mx 5 có hai điểm cực trị x , x thỏa mãn x 0 x . 1 2 1 2 Ta có 2
y 3x 22m 1 x 3m .
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 16
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 2
Δ 4m 5m 1 0
m 0. Vậy có vô số m thỏa mãn đề bài. P m 0 x
Câu 17. Hàm số f x
m (với m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực 2 x 1 trị? A. 2 . B.. C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn D x
Đặt g x m 2 x 1 x x
Số cực trị của hàm số f x
m bằng tổng số cực trị của hàm g x m 2 x 1 2 x 1
và số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phƣơng trình g x 0 . I Ơ 1 x
Ta có g ' x 2 0 x 1 2 x 1 M D Bảng biến thiên Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N x
Hàm số g x
m có 2 cực trị và phƣơng trình g x 0 có tối đa 2 nghiệm đơn 2 x 1 ÁO VIÊ x GI
(hoặc bội lẻ). Do đó hàm số f x
m có nhiều nhất 4 điểm cực trị. 2 x 1
Bài toán tổng quát: Tìm số cực trị của hàm số y f x
+ ơ sở lý thuyết: Số cực trị của hàm số y f x bằng tổng số cực trị của hàm
y f x và số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phƣơng trình f x 0 .
+ Khi giải bài toán học sinh đƣa về hai bài toán cơ bản: tìm số cực trị của hàm số
y f x và số nghiệm của phƣơng trình f x 0 . Do đó học sinh có thể lập bảng biến
thiên để xét đồng thời 2 bài toán đơn đó.
Câu 18. Cho hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới. Tập các giá trị của tham số m để hàm
số g x f x m có 7 điểm cực trị là ;
a b . Tính T 2b . a A. 2 . B. 2 . C. 0 . D. 6 .
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 17
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Lời giải Chọn B
Số cực trị của hàm số g x bằng tổng số cực trị của hàm y f x m và số nghiệm
đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phƣơng trình f x 0 .
Hàm số y f x m có 3 điểm cực trị. Do đó hàm số g x f x m có 7 điểm cực trị
khi và chỉ khi phƣơng trình f x m có 4 nghiệm phân biệt 2
m 0 T 2.
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 3 2
y x 6x m có 5 điểm cực trị. I Ơ A. 32 . B. 31. C. 31. D. 34 . Lời giải M D Ầ Chọn C Đ
Đặt f x 3 2
x 6x m NHỊĐ
Số cực trị của hàm số y f x bằng tổng số cực trị của hàm y f x và số nghiệm G THPT N.C.Đ N
đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phƣơng trình f x 0 . NG CÔ Ờ x 0 N
Ta có f ' x 2
3x 12x 0 x 4 YỄ TRƢ Bảng biến thiên GU N N ÁO VIÊ GI
Hàm số y f x có 3 điểm cực trị. Do đó hàm số y f x có 5 điểm cực trị khi và chỉ
khi phƣơng trình f x 0 có 3 nghiệm phân biệt m 32 0 m 0 m 32
Mà m có 31 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Câu 20. Cho hàm số y f x có đồ thị y f ' x nhƣ hình vẽ sau. Đồ thị hàm số
g x f x 2 2
x có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 7 . C. 5 . D. 6 .
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 18
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Lời giải Chọn B
Đặt h x f x 2 2 x I
Số cực trị của hàm số g x h x bằng tổng số cực trị của hàm y h x và số nghiệm Ơ
đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phƣơng trình h x 0 . M D
h ' x 2 f ' x 2x 0 f ' x x Ầ Ta có Đ NH
Nghiệm của phƣơng trình h ' x 0 là hoành độ giao điểm của hai đồ thị y f ' x và Ị Đ y x . G THPT N.C.Đ N
Do đó phƣơng trình có nghiệm 2 ; 2; 4. NG CÔ Ta có bảng biến thiên Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y h x có 3 điểm cực trị và phƣơng trình
h x 0 có tối đa 4 nghiệm phân biệt
hàm số g x hx có tối đa 7 điểm cực trị.
Câu 21. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số m 3 2
y x 3x 9x 5
có 5 điểm cực trị? 2 A. 62 . B. 63 . C. 64 . D. 65 . Lời giải Chọn B m Xét hàm số 3 2
g(x) x 3x 9x 5 . 2
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 19
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 x 1 Ta có: 2 g (
x) 3x 6x 9; g (x) 0 . x 3 m m Ta có: g( 1 ) ; g(3) 32 . 2 2
Bảng biến thiên của hàm số g(x) : m m Hàm số g(x)
có giá trị cực tiểu là g(3)
32 và giá trị cực đại là g( 1) . I 2 2 Ơ m Hàm số 3 2
y x 3x 9x 5 có 5 điểm cực trị 2 M D Ầ m Đ Đồ thị hàm số 3 2 g(x) x 3x 9x 5
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 2 NHỊ m m Đ g( 1 ).g(3) 0
32 0 0 m 64 . G THPT 2 2 N.C.Đ N
Vì m là số nguyên nên có NG
63 giá trị m thỏa mãn bài toán. CÔ Ờ 1 3 2 N
Câu 22. Cho hàm số y f x x 2m
1 x 8 m x 2 với m . Tập hợp tất cả các giá 3 YỄ TRƢ
trị của m để hàm số y f x có 5 cực trị là khoảng ; a b . Tích . a b bằng GU N N A. 12. B. 16. C. 10. D. 14. Lời giải ÁO VIÊ Chọn D GI Ta có 2
y x 22m
1 x 8 m .
Vì f x là hàm chẵn do f x f x , nên đồ thị hàm f x đối x ng qua trục Oy .
Do đó, khi hàm f x có hai cực trị dƣơng thì hàm f x sẽ có thêm hai cực trị đối x ng
qua trục Oy và một cực trị còn lại chính là giao điểm của đồ thị hàm f x và trục Oy .
Yêu cầu bài toán tƣơng đƣơng với phƣơng trình y 0 có 2 nghiệm dƣơng phân biệt.
m m 0
m m 2 2 4 3 7 0 2 1 8 0 1
Điều kiện tƣơng đƣơng là S 0 2m 1 0 m 2 P 0 8 m 0 m 8
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 20
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 7 m 1 m 4 1 7 m m ;8 . 2 4 m 8 7 Vậy a , b 8 và . a b 14 . 4 3
Câu 23. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2
x m 2 1 4
5 x m 7m 6, x . Có
bao nhiêu số nguyên m để hàm số g x f x có 5 điểm cực trị? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Lời giải Chọn B I Nhận xét: Ơ
+) x 1 là nghiệm bội ba của phƣơng trình x 3 1 0 . M D Ầ
+) Hàm g x f x là hàm chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối x ng. Đ NH g x f x y f x Ị Do đó hàm
có 5 điểm cực trị Hàm số
chỉ có hai điểm cực trị Đ 2
x m x 2 4 5
m 7m 6 0 G dƣơng Phƣơng trình
có nghiệm kép dƣơng khác 1 * THPT N.C.Đ N 2
x m x 2 4 5
m 7m 6 0 NG hoặc phƣơng trình
có hai nghiệm trái dấu khác 1 ** . CÔ Ờ 2 N
m 2 4 5
4 m 7m 6 0 3 6 YỄ TRƢ Giải * 4 5 m m (loại). 6 0 1 GU N 2 N m1;6 2
m 7m 6 0 ÁO VIÊ Giải ** m 1 . 1 4m 5 2
m 7m 6 0 GI m 2
Mà m nên m3;4; 5 .
Vậy có 3 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 3
Câu 24. Cho hàm số f x có đạo hàm f x 2
x x x 2 2
4 x 2m 3 x 6m 18. Có tất
cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị? A. 7 . B. 5 . C. 8 . D. 6 . Lời giải Chọn C 2 x 0 x 0 x 24 0 x 2
Ta có f x 0 x 3 x 4 4 0
x m x m x 2 m3 2 2 2 3 6 18 0 * x 6m 18 0
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 21
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Để hàm số f x có đúng một điểm cực trị Phƣơng trình * vô nghiệm, có nghiệm
kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm là 4.
Trường hợp 1. Phƣơng trình * vô nghiệm 2 2
4m 24m 36 24m 72 4m 36 0 3 m 3 m 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 m 3
Trường hợp 2. Phƣơng trình * có nghiệm kép 2
4m 36 0 . m 3
Trường hợp 3. Phƣơng trình * có hai nghiệm phân biệt x , x . Trong đó x 4. 1 2 1 m 3
Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt 2
x , x 4m 36 0 . 1 2 m 3
S x x 4 x 2 m 6 I
Theo định lí Viète ta có 1 2 2
P x .x 4
.x 6m 18 Ơ 1 2 2 x 2 m 2 2 M D 3 9 2
m 2 m m 5 3 9 . Ầ x m 2 2 Đ 2 2 2 NHỊ Vậy m 3
; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;
5 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Đ G THPT y f x N.C.Đ y
Câu 25. Cho hàm số bậc bốn ( ) . Hàm số
f (x) có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới đây. Số N NG
điểm cực đại của hàm số y f 2
x 2x 2 là: CÔ Ờ N A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI Lời giải: Chọn A
Đặt y g x f 2 ( )
x 2x 2 có tập xác định D . x 1
Ta có: y g ( x) f 2
x 2x 2 . 2 x 2x 2 x 1 x 1 y 0 2
x 2x 2 1 f 2
x 2x 2 0 2
x 2x 2 3
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 22
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 x 1 x 1 x 1 2 2 . 2
x 2x 7 0 x 1 2 2 Bảng xét dấu: x 1 2 2 -1 1 2 2 g ( x) - 0 + 0 - 0 +
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị, trong đó có 1 điểm cực đại. 2
Câu 26. Cho hàm số f x x 2 1
mx 4mx m n 2 với , m n . Biết trên khoảng 7 7 5 ; 0
hàm số đạt cực đại tại x 1 . Trên đoạn ;
hàm số đã cho đạt cực tiểu 6 2 4 tại I Ơ 7 3 5 5 A. x .
B. x .
C. x . D. x . 2 2 2 4 M D Lời giải Ầ Đ Chọn B NHỊ
Ta có f x x 2
1 4mx 10mx 6m 2n 4 . Đ G THPT 2 N.C.Đ
Cho f x 0 x
1 4mx 10mx 6m 2n 4 0 N NG x 1 CÔ Ờ . 2 N
4mx 10mx 6m 2n 4 0 1 YỄ TRƢ 7 Trên khoảng ;0
hàm số đạt cực đại tại x 1
nên phƣơng trình 1 có hai nghiệm GU N 6 N
phân biệt trong đó có một nghiệm x 1 . 1 3 5 ÁO VIÊ
m 0 và x (vì theo Vi – ét x x và x 1 ). 2 1 2 1 GI 2 2 Bảng biến thiên: 7 5 3 Vậy trên đoạn ;
hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x . 2 4 2
Câu 27. Cho hàm số f x m 3 2
1 x 5x m 3 x 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để hàm số y f x có đúng 3 điểm cực trị? A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 1.
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 23
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 Lời giải Chọn A
+) Tập xác định: D .
+) f x m 2 3
1 x 10x m 3 .
+) Trƣờng hợp 1: a 0 m 1 2
Khi đó hàm số trở thành f x 2 5
x 4x 3. Hàm số có một điểm cực đại là x 5 khi 2 2
đó hàm số y f x có 3 điểm cực trị: x ; x 0; x nên nhận m 1. 5 5
+) Trƣờng hợp 2: a 0 m 1. Hàm số y f x m 3 2
1 x 5x m 3 x 3 có 2 cực
trị thỏa 0 x x . 1 2
Khi đó x 0 là nghiệm của phƣơng trình: f x 0 m 3 khi m 3 đồ thị hàm số 5 I
y f x có 2 cực trị: x 0; x . Ơ 6
Khi đó hàm số y f x có 1 điểm cực trị: x 0 . Loại m 3 . M D 3 2 Ầ
+) Trƣờng hợp 3: a 0 m 1 Hàm số y f x m
1 x 5x m 3 x 3 có 2 cực Đ NH
trị thỏa x 0 x . Khi đó phƣơng trình f x 0 có 2 nghiệm trái dấu Ị 1 2 Đ m
1 m 3 0 3 m 1. G THPT N.C.Đ N
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m . NG CÔ
Ờ Câu 28. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số 4 3 2
y 3x 8x 6x 24x m có N 7 YỄ
điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của S . TRƢ A. 42 . B. 50 . C. 30 . D. 63 . GU N N Lời giải Chọn A ÁO VIÊ
Xét hàm số f x 4 3 2
3x 8x 6x 24x m trên . GI
Ta có f x 3 2
12x 24x 12x 24 . x 1
f x 0 x 2 . x 1
Bảng biến thiên của hàm số
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 24
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Dựa vào T suy ra đồ thị hàm số 4 3 2
y 3x 8x 6x 24x m có 7 điểm cực trị khi và
chỉ khi đồ thị của hàm số f x 4 3 2
3x 8x 6x 24x m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt 1 3 m 0 8 m 13. 8 m 0
Mà m nguyên nên m9;10;11;1
2 S . Suy ra tổng tất cả các phần tử của tập S là 42 .
Câu 29. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ. Hỏi hàm số 2 g x
f x x có bao nhiêu điểm cực trị? y 2 I Ơ 2 O x M D 2 Ầ Đ NHỊ A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Đ G Lời giải THPT N.C.Đ N Chọn C NG CÔ Ờ 1 2 x 1 0 x N
Ta có: g x x f 2 2 1
x x gx 0 2 . 2 YỄ f
x x 0 TRƢ f 2
x x 0 1 GU N N
Mà y f x có các điểm cực trị là x 2
và x 0 suy ra f 2
0 , f 0 0 2. x 1 ÁO VIÊ 2
x x 2 2
x x 2 0 x 2 GI Từ 1 , 2 có: . 2
x x 0 2
x x 0 x 0 x 1 1 x 2 x 1 Nên g0 0 x 2 . x 0 x 1
g x 0 có 5 nghiệm đơn nên 2 g x
f x x có 5 điểm cực trị. 2
x px q
Câu 30. Cho hàm số f (x) p
p q . Có bao nhiêu cặp p; q sao 2 x , trong đó 2 2 0, 1 1
cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên bằng 10 ?
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 25
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải Chọn A D .
2x p. 2x 12 .x 2x px q 2
px 2.1 q x p y . 2 x 2 2 1 2x 1 2
y 0 px 2.1 q x p 0 1 .
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị phƣơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Do p 0 nên 2
ac p 0 phƣơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. p
Ta có phƣơng trình đƣờng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y 1 . 2x
Gọi 2 nghiệm của phƣơng trình 1 là x , x . 1 2 I p p Ơ
Khi đó hai điểm cực trị là A x ;1
, B x ;1 . 2 1 2x 2x 2 1 M D 2 Ầ p p x x 10 . 1 2 2 Đ Theo bài ra: 2
AB 10 AB 10 2x 2x NH 1 2 Ị 2 Đ 2 2 p x x p 2 1 G x x
10 x x .1 10. 1 2 2 2 1 2 THPT N.C.Đ 2 2 N 4 x x 4x x 1 2 1 2 NG 2 CÔ p Ờ
x x 2 4x x 1 10 2 . 1 2 1 2 2 2 N 4x x 1 2 YỄ TRƢ 2 1 q GU N x x Theo định lý Viet ta có: 1 2 p . N x x 1 1 2 ÁO VIÊ
Thay vào phƣơng trình (2) ta có GI 2 2 1 q p 1 q2 2 p 4 4 1 10 4 11 10 . p 4 2 p 4 2 2 (1 q) p 4 11 10 (do 2 2 p 1 q ). 2 1 q 4 2 1 q 1 q 2 2 5 q 4 1 1 10 4 10. 1 q 4 1 q 4 q 2
q q 2 5 5 1 q 5q 5 0 . q 0 Với 2 q 5 p 2 4 ( vô nghiệm ). Với 2
q 0 p 1 p 1.
Vậy có 2 cặp số p;q thỏa mãn là 1
;0 ;1;0 . Chọn A
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 26
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 31. Gọi m0 là giá trị của tham số m để đƣờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 3
y x 6mx 4 cắt đƣờng tròn tâm I 1;0 , bán kính bằng 2 tại hai điểm
phân biệt A , B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. m 2;3 . B. m 3; 4 .
C. m 0;1 . D. m 1; 2 . 0 0 0 0 Lời giải Chọn C Ta có 2
y 3x 6m , 2
y 0 x 2m . Đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu khi
và chỉ khi y 0 có hai nghiệm phân biệt. Do đó m 0 . x Ta có y 2
. 3x 6m 4mx 4 phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm cực đại 3 I Ơ M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ
và cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là: y 4
mx 4 4mx y 4 0. Ờ N YỄ TRƢ
Đƣờng thẳng cắt đƣờng tròn đã cho tại hai điểm phân biệt A , B sao cho I , A , B GU N N 4m 4
là ba đỉnh của một tam giác 0 d I; 2 0 2 . 2 16m 1 ÁO VIÊ 1
Gọi H là trung điểm đoạn AB S
IH.AB IH.AH 2 2
IH. R IH 2
IH. 2 IH GI IAB 2 IH IH
IH .2 IH 2 2 2 2 2 1 S 1. 2 IAB
Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất bằng 1 2 2
IH 2 IH IH 1 15 2
4m 4 16m 1 m 2 2 4 4
16m 1 m
(thỏa mãn điều kiện ). 32 15 Vậy m nên m 0;1 . 0 0 32 2 x mx 5
Câu 32. Gọi m là giá trị của m thỏa mãn đồ thị hàm số y
có hai điểm cực trị A , 0 2 x 1
B sao cho đƣờng thẳng AB đi qua điểm I 1; 3
. Khẳng định nào sau đây là đúng
A. 0 m 3 . B. 5 m 3 . C. 3
m 0.
D. 3 m 5 . 0 0 0 0 Lời giải Chọn D
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 27
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 2
mx 12x m TXĐ: D ; y . x 2 2 1
Hàm số có hai điểm cực trị y 0 có hai nghiệm phân biệt m 0 2
mx 12x m 0 có hai nghiệm phân biệt m 0 1 . 2
36 m 0
Gọi x ; y là điểm cực trị của đồ thị hàm số 2
mx 12x m 0. 0 0 0 0 u x
u x .v x u x .v x
Với y f x f x
v x vx 2 u x u x 0 0
Ta có f x 0 u x .v x u x .v x 0 v x
0, vx 0 ). 0 0 0 0 0 0 v x v ( 0 x 0 0 u x 2x m x m 2 mx 12 2 x m 0 0 0 m 0 0 y x 5 . 0 v x 2x 2x 2 0 0 I 0 0 Ơ m
Do đó đƣờng thẳng qua hai điểm cực trị A , B có phƣơng trình y x 5 . 2 M D Ầ m I 1; 3
AB 3
.1 5 m 4 (thỏa ĐK 1 ). Đ 2 NHỊ
Vậy m 4 . Chọn D Đ 0 G THPT N.C.Đ
Câu 33. ó bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 9 7 2 6
y x (m 2)x (m 4)x 7 N NG
đạt cực tiểu tại x 0 ? CÔ Ờ N A. 3 . B. 4 . C. Vô số. D. 5 . YỄ Lời giải TRƢ Chọn A GU N N 8
y x m 6 x 2 m 5 9 7 2 6
4 x y0 0, m . 7 y x
m 5x 2 m 4 9.8 7.6 2 6.5
4 x y 0 0, m . ÁO VIÊ GI
Ta nhận thấy y0 4 y 0 5
y 0 0, m Ta có (6) 3 y x m x 2 9.8.7.6.5.4 7.6.5.4.3.2 2 6.5.4.3.2.1 m 4 (6) y 2 0
6.5.4.3.2.1 m 4 . m 2 *TH1: (6) y 0 0 thì: m 2 + 8
m 2 y 9x 0, x
nên hàm số đồng biến trên nên không đạt cực trị tại x 0 . + 6
m y x 2 2
9x 28 không đổi dấu khi qua x 0 nên không đạt cực trị tại x 0 . *TH2: (6) y
0 0 m 2
Khi đó để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 thì cần thêm (6) y 2 m 2 0 0 6.5.4.3.2.1
4 0 m 4 0 2
m 2 m 1 ;0; 1 .
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m .
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 28
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 5 x m Câu 34. Cho hàm số 4 3 y 2m 1 x x
2019 . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để 5 3
hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ? A.Vô số . B.1 . C.2 . D.0 . Lời giải Chọn B Ta có 4 3 2 y x 4 2m 1 x mx 2 2 x x 4 2m 1 x m . Dễ thấy x
0 là một nghiệm của đạo hàm y . Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x 0 khi
và chỉ khi y đổi dấu từ âm sang dƣơng khi đi qua nghiệm x
0 . Ta thấy dấu của y là dấu của hàm số 2 g x x 4 2m 1 x
m . Hàm số g x đổi dấu khi đi qua giá trị x 0 khi x
0 là nghiệm của g x . Khi đó g 0 0 m 0 . Thử lại, với m 0 thì 2 g x x
4x đổi dấu từ âm sang dƣơng khi đi qua giá trị x 0 I Ơ .
Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
M D Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 2019; 2019 để hàm số Ầ Đ m 1 m 2 5 4 NH Ị y x x
m 5 đạt cực đại tại x 0? 5 4 Đ G THPT A. 110 . B. 2016 . N.C.Đ C. 100. D. 10 . N Lời giải NG CÔ Ờ Chọn B N Ta có 4
y m x m 3 ( 1) 2 x . YỄ TRƢ 3 GU N
+ TH1: m 1. Khi đó 4 3 y
x 6 y 3x . Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 0 (loại). N 4 x 0 1 ÁO VIÊ
+ TH2: m 1. Khi đó y 0 m 2 . x GI 2 m 1 Nhận thấy nếu 4
x x 0 m 2 y 3 x 0 x
Hàm số luôn nghịch biến 2 1 trên
nên hàm số không có cực trị ( loại) m 1 m 1 0 2 m 1 x x 1 2
Vì vậy yêu cầu bài toán tƣơng đƣơng với m 1 m 2 . m 1 0 m 2 x x 1 2 m 1
Suy ra số giá trị m nguyên thuộc khoảng 2019; 2019 là 2016.
Câu 36. Cho hàm số f x có đạo hàm trên thỏa mãn 2 f x h f x h h , 2019 29m x , h
0 . Đặt g x x f
x x f x 4 2 m m 2 29
100 sin x 1, m
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 29
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
là tham số nguyên và m 27 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho
hàm số g x đạt cực tiểu tại x 0 . Tính tổng bình phƣơng các phần tử của S . A. 100 . B. 50 . C. 108 . D. 58 . Lời giải. Chọn A Từ giả thiết ta có
f x 2h f x h
f x h f x 2 2 h , h 0 . x h , h 0 2 x 2
f x 2h f x h 0 lim
lim 0 f x 0, x
f x C , với C là hằng h 0 x 2h h 0 x 2 số. Ta có m
g x 2019 x f x 2018
1 f x29mx f x 28
1 f x I 4 2
m 29m 100sin 2x Ơ 2018 28m x m x 4 2 2019 29
m 29m 100sin 2x . M D Ầ 2017
27m g x x m m x 4 2 2019.2018 29 28
2 m 29m 100 Đ cos 2x . NHỊ
Khi đó g0 0 ; g 4 2 0
2 m 29m 100 . Đ G THPT 4 2 N 2 .C .Đ g 0 0 m 29m 100 0 4 m 25 m 5 ; 2 2; 5 . N NG
Trƣờng hợp m 2 , ta có g x 2018 26 26 x x x 1992 2019 27 2019x 27. CÔ Ờ N
Vì x 0 là nghiệm bội chẵn của phƣơng trình g x 0 nên trƣờng hợp này loại. YỄ TRƢ
Trƣờng hợp m 5, ta có g x 2018 23 23 x x x 1995 2019 24 2019x 24. GU N N Trƣờng hợp m 2
, ta có gx 2018 30 30 x x x 1988 2019 31 2019x 3 1 .
Vì x 0 là nghiệm bội chẵn của phƣơng trình g x 0 nên trƣờng hợp này loại. ÁO VIÊ GI
Trƣờng hợp m 5, ta có g x 2018 23 23 x x x 1995 2019 24 2019x 24.
Dễ thấy g x đổi dấu từ âm sang dƣơng khi qua x 0 nên hàm số g x đạt cực tiểu tại x 0 . Trƣờng hợp m 5
, ta có gx 2018 33 33 x x x 1985 2019 34 2019x 34 .
Dễ thấy g x đổi dấu từ âm sang dƣơng khi qua x 0 nên hàm số g x đạt cực tiểu tại x 0 .
Vậy m S 5 ; 4; 3;3;4;
5 nên tổng các bình phƣơng của các phần tử của S là 100 .
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 30
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019 I Ơ M D Ầ Đ NHỊĐG THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N YỄ TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC 31