Bộ đề kiểm tra giữa học kỳ 2 môn Toán 11 năm 2022 (có đáp án)
Bộ đề kiểm tra giữa học kỳ 2 môn Toán 11 năm 2022 có đáp án rất hay được soạn dưới dạng file PDF gồm 24 trang giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Preview text:
ĐỀ 1
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 2 - NĂM HỌC 2021 –2022 MÔN TOÁN 11
Phần I. TRẮC NGHIỆM : 7 điểm (Học sinh trả lời bằng cách khoanh tròn vào đáp án đúng.)
Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là đúng ? 1 A. lim = +¥ 1 . B. lim = +¥ 1 C. lim = -¥ 1 . D. lim = 0. n k n k n k n Câu 2: Tính ( 2 lim n - 4)? A. +¥ . B. -¥ . C. 1 - . D. 4 . u
Câu 3: Cho các dãy số (u ), v
limu = a, limv = +¥ lim n n ( n ) và thì bằng n n vn A. 1. B. 0 . C. -¥ . D. +¥ . 2n + 3 Câu 4: Tính lim
được kết quả là 3 + n 1 A. . B. 0 . C. 2 . D. 1. 2
Câu 5: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? 1 n æ ö 4 n æ ö æ 5 n - ö 5 n æ ö A. . B. . C. . D. . ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 5 ø è 3 ø è 3 ø è 3 ø
Câu 6: Cho hai dãy số (u ), v limu = 7 limv = 4 lim(u .v n n ) n ( n) thỏa mãn và Giá trị của bằng n n A. 7 . B. 28 . C. 11 D. 7 -
Câu 7: Cho dãy số (u limu =15. lim(u +5 n ) n ) thỏa mãn Giá trị của bằng n A.10. B. 30. C. 20. D. 30. -
Câu 8: Cho hai hàm số f (x), g (x) thỏa mãn lim f (x) = 5 và lim g (x) = 2. Giá trị của x 1 ® x 1 ® lim é f
ë ( x).g ( x)ù bằng û x 1 ® A. 3. B. 7. C. 3. - D. 10.
Câu 9: Cho hàm số f (x) thỏa mãn lim f ( )
x = 2022 và lim f ( )
x = 2022. Giá trị của lim f ( ) x x 1+ ® x 1- ® x 1 ® bằng A. 2022 . B. 1. C. 4044 . D. 2021.
Câu 10: Giá trị của lim ( 2 3x - 2x - ) 1 bằng x 1 ® A. 2 . B. 1. C. +¥ . D. 0 .
Câu 11: lim x +16 bằng x®9 A. 25 . B. 4 . C. 5 . D. 9 . Câu 12: 2021 lim x bằng x®+¥ A. . -¥ B. + . ¥ C. 0. D. 1.
Câu 13: Cho hai hàm số f (x), g (x) thỏa mãn lim f (x) = 2022 và lim g (x) = + . ¥ Giá trị của x 1 ® x 1 ® lim é f
ë ( x).g ( x)ù bằng û x 1 ® A. + . ¥ B. . -¥ C. 2. D. 2. - 1
Câu 14: Hàm số y =
gián đoạn tại điểm nào dưới đây? x - 2022 A. x = 2022 . B. x = 2020 . C. x = 2023 . D. x = 2022 - . 2022
Câu 15: Hàm số y =
liên tục tại điểm nào dưới đây?
(x - )1(x -2)(x -3) Trang 1 A. x = 2 - . B. x = 3. C. x = 1. D. x = 2 .
Câu 16: Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình thang B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D. Hình thoi
Câu 17: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khẳng định nào sau đây sai? !!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!"
A. AB +CD = CB + AD.
B. 2MN = AB + DC . !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!"
C. AD + 2MN = AB + AC.
D. 2MN = AB + AC + AD. !!!" !!!" !!!"
Câu 18: Cho hình hộp ABC . D A¢B C ¢ D ¢ .¢ Ta có '
BA + BC + BB bằng !!!!" !!!" !!!" !!!!"
A. BD ' . B. BD. C. BA '. D. BC '. ! ! ! !
Câu 19: Với hai vectơ u, v khác vectơ - không tùy ý, tích vô hướng u.v bằng ! ! ! ! ! ! ! !
A. u . v .cos(u,v). B. - ! ! ! !
u . v .cos(u,v). C. u . v .cot (u,v). D. - ! ! ! !
u . v .cot (u,v).
Câu 20: Cho hình lập phương ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ . Số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và DD¢ là A. 90° . B. 60° . C. 45°. D. 120° . 3n - 2 Câu 21: lim bằng n + 3 2 - A. 3 B. 1 C. 3 D. 2 -
Câu 22: Cho cấp số nhân lùi vô hạn có u = 1
1 và công bội q = - . Tổng S của cấp số nhân lùi vô 1 2 hạn đã cho bằng A. S = 3 2 . B. S = . C. S = 2 1. D. S = . 2 3 3.2n - 3n Câu 23: lim bằng n 1 + n 1 2 + 3 + 1 A. - . B. -¥ . C. 2. D. 1 . 3 Câu 24: ( 3 2
lim -x + x + 2022) bằng x®+¥ A. 0 . B. -¥ . C. +¥ . D. 2 . x + 2022 Câu 25: lim bằng x 1- ® x -1 A. 0 . B. +¥ . C. 1. D. -¥ . 2 2x + 3x - 2 Câu 26: lim bằng 2 x 2 ®- x - 4 5 5 A. . B. - 1 . C. . D. 2 . 4 4 4 2 x +1
Câu 27: Hàm số f (x) =
liên tục trên khoảng nào dưới đây? 2 x + 5x + 6 A. ( 3; - 2). B. ( 2; - +¥). C. ( ;3 -¥ ). D. (2;3). Trang 2 ì 3x +1 - 2 ï khi x ¹ 1
Câu 28: Cho hàm số f ( x) = í -
. Giá trị của tham số m để hàm số f (x ) liên x 1 ïîm khi x = 1
tục tại điểm x = 1 bằng A. m = 3 . B. m = 3 1. C. m = 1 . D. m = . 4 2
Câu 29: Hàm số nào dưới đây liên tục trên khoảng (0;202 ) 1 ? x - 2 2x +1 x +1 1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x + 2020 x - 25 x - 2022 2 x - 4
Câu 30: Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên ( ; -¥ +¥)? 2 x + 3
A. f (x) = tan x +5.
B. f (x) = .
C. f (x) = x - 6 . D. 5 - x + f ( x) x 5 = . 2 x + 4
Câu 31: Cho hình lập phương ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ . Tính góc giữa hai đường thẳng B D
¢ ¢ và A¢A. A. 90° . B. 45°. C. 60° . D. 30° .
Câu 32: Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng: A. 60° . B. 30° . C. 90° . D. 45°. ! ! ! ! ! ! ! !
Câu 33: Cho hai vectơ a,b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a - b = 4. Gọi a là góc giữa hai vectơ a,b.
Chọn khẳng định đúng? 3 1 A. cosa = . B. a = 30° . C. cosa = . D. a = 60°. 8 3
Câu 34: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai. !!!" 2 !!!" !!!" !!!" !!!" 1 !!!" !!!" !!!"
A. AG = ( AB + AC + AD).
B. AG = ( AB + AC + AD). 3 4 !!!" 1 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" "
C. OG = (OA+OB +OC +OD).
D. GA+GB +GC +GD = 0. 4
Câu 35: Cho tứ diện ABCD Gọi E là trung điểm AD , F là trung điểm BC và G là trọng tâm
của tam giác BCD .Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" "
A. EB + EC + ED = 3EG .
B. GA+GB +GC +GD = 0. !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
C. AB + AC + AD = 3AG.
D. 2EF = AB + DC .
Phần II. TỰ LUẬN: 3 điểm
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: 3x2 - 2x -1 x + 3 a) lim b) lim x® x3 1 -1 x 3- ® x - 3
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 2: 0 ì x2 2 - 3x - 2 ï khi x ¹ 2 ï f (x) = 2x - 4 í 3 ï khi x = 2 ïî2
Câu 3: (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân
đường cao vẽ từ A của tam giác ACD. a) Chứng minh: CD ^ BH.
b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK ^ (BCD). ĐÁP ÁN I.PHẦN TRẮC NGHIỆM Trang 3 1.D 2.A 3.B 4.A 5.A 6.A 7.A 8.A 9.A 10.D 11.A 12.A 13.A 14.A 15.A 16.A 17.D 18.A 19.A 20.A 21.C 22.D 23.A 24.B 25.D 26.A 27.B 28.C 29.A 30.D 31.A 32.C 33.A 34.A 35.B
* Mỗi câu trắc nghiệm đúng được 0,2 điểm.
II. PHẦN TỰ LUẬN Câu Ý Nội dung Điểm 1 a) 3x2 - 2x -1 (x -1)(3x +1) lim = lim 0,50 x 3 ® x x -1 ® (x -1)(x2 1 1 + x +1) 3x +1 4 = lim = 0,50 x® x2 1 + x +1 3 b) ìlim(x - 3) = 0 x®3- ïï
Viết được ba ý íx ® 3- Û x - 3 < 0 0,75 ïlim(x +3) = 6 > 0 ïx®3- î x + 3 Kết luận được lim = -¥ 0,25 x 3- ® x - 3 2 ì x2 2 - 3x - 2 ï khi x ¹ 2 ï f (x) = 2x - 4 í 3 ï khi x = 2 0,25 ïî2 3
Tập xác định D = R. Tính được f(2) = 2 2x2 - 3x - 2 (x - 2)(2x +1) 2x +1 5 lim f (x) = lim = lim = lim = 0,50 x®2 x®2 2x - 4 x®2 2(x - 2) x®2 2 2
Kết luận hàm số không liên tục tại x = 2. 0,25 3 a) 0,25
a) AB ^ AC, AB ^ AD ÞAB ^ (ACD) Þ AB ^ CD (1) 0,25 AH ^ CD
(2). Từ (1) và (2) Þ CD ^ (AHB) Þ CD ^ BH 0,50
b) AK^ BH, AK ^ CD (do CD ^ (AHB) (cmt) 0,50 Þ AK^ (BCD) 0,50
c) Ta có AH ^ CD, BH ^ CD Þ (( ),( )) ∑ BCD ACD = AHB 0,25 Trang 4 CD a 2
Khi AB = AC = AD = a thì AH = = 0,25 2 2 a2 2 2 2 a 6
BH = AB + AH = a + = 0,25 2 2 ∑ AH 1 cos AHB = = 0,25 BH 3 ĐỀ 2
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 2 - NĂM HỌC 2021 –2022 Thuvienhoclieu.com MÔN TOÁN 11 A. Trắc nghiệm:
Câu 1: Cho cấp số cộng 1, 8, 15, 22, 29,….Công sai của cấp số cộng này là A. 7. B. 8. C. 10. D. 9.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I. SA ^ (ABCD). Góc giữa
SC và mặt phẳng đáy là A. góc ∑ SBA. B. góc ∑ ACB.
C. góc ∑ ASB . D. góc ∑ SCA. 2 + Câu 3: Giới hạn 5 3n n a 3 lim =
(a/b tối giản) khi đó tổng a+b bằng 2(3n + 2) b A. 11. B. 19. C. 51. D. 21. -
Câu 4: Cho hàm số f (x) x 2 =
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 x - 3x + 2
A. f ( x) liên tục trên các khoảng ( ;2 -¥ ) và (2;+ ¥).
B. f ( x) liên tục trên các khoảng ( ) ;1 -¥ và (1;+ ¥).
C. f ( x) liên tục trên ! .
D. f ( x) liên tục trên các khoảng ( ) ;1 -¥ , (1;2) và (2;+ ¥). 2
x + ax + b
Câu 5: Cho a và b là các số thực khác 0. Nếu lim = 6 thì a + b bằng x®2 x - 2 A. 8. B. -4. C. -6. D. 2. 1 1 1
Câu 6: Tổng S = + + ... +
+ ... Có giá trị bằng 3 32 3n 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 9
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, góc giữa đường thẳng A’C’ và A’D bằng A. 300 . B. 900 . C. 600 . D. 1200 .
Câu 8: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1 - ? 2 2 3 2 A. 2n - 3 2n - 3 2n - 3 2n - 3 lim . B. lim . C. lim . D. lim . 3 2 2 - n + 2n 2 2 - n -1 2 2 - n -1 3 2 - n - 4 3 ì x -8 ï ¹
Câu 9: Cho hàm số f (x) khi x 2 = í x - 2
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để ïî mx +1 khi x=2
hàm số liên tục tại x = 2 . Trang 5 A. 13 15 17 11 m = . B. m = . C. m = . D. m = . 2 2 2 2
Câu 10: Giới hạn 2 lim
x + ax + 2022 + x = 6 . Giá trị của a bằng x®+¥ ( ) A. -12. B. 12. C. -6. D. 6. 3 Câu 11: 100n + 7n - 9 lim là 2 1000n - n +1
A. +¥ . B. -9. C. -¥ . D. .
Câu 12: Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B
ta có một vectơ, được kí hiệu là !!!" !!!" !!!" !!!" A. AA. B. BB. C. AB . D. BA. Câu 13: 2
lim ( 4x - x - 2x) bằng x®+¥ - A. 1 . B. 1. C. 0. D. +¥ . 2 4
Câu 14: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B và SA ^ (ABC). Hỏi tứ diện
SABC có mấy mặt là tam giác vuông? S A C B A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = a 3.
Cạnh bên SA ^ (ABCD) và SA = a.
Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) bằng
A. 900 B. 600 . C. 450 . D. 300 .
Câu 16: Số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un) với u = 27;u = 59 lần lượt là 7 15 A. -4 và -3. B. 3 và 4. C. -3 và -4 D. 4 và 3.
Câu 17: Mệnh đề nào sau đây là đúng: - + A. n 1 2n 1 lim = -¥. B. lim = -¥ .
C. lim(3n 9n - ) = -¥. D. n +1 2 n + 3 3 n lim = -¥. 2 n +1 2 Câu 18: x - 6 lim bằng x 3- ®- 9 + 3x 1 A. . B. -¥ 1 . C. . D. +¥ . 6 3 u
Câu 19: Cho lim u = a > 0, limv = 0, (v > 0," )
n . Giới hạn lim n bằng n n n vn A. 0. B. -¥ . C. ±¥ . D. +¥ .
Câu 20: Cho Cấp số nhân có
= - ,q = 2 . Tính u5 1 u 3 3 Trang 6 - - A. 16 . B. 16 . C. 27 . D. 27 . 27 27 16 16
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC . Các khẳng
định sau, khẳng định nào đúng? A. AC ^ (SBD). B. SO ^ (ABCD). C. AB ^ (SAD). D. BD ^ (SAC). 2
ìx +1 khi x > 0
Câu 22: Cho hàm số f (x) = í
. Chọn kết quả đúng của lim f (x) îx khi x £ 0 x 0+ ®
A. .0. B. -1. C. Không tồn tại. D. 1. 2
Câu 23: Kết quả đúng của x -12x + 35 lim bằng x 5 ® 5x - 25 2 1 2 A. . B. . C. - . D. +¥ . 5 5 5
Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc
với đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. BC ^ (SAM ).
B. BC ^ (SAB).
C. BC ^ (SAJ).
D. BC ^ (SAC).
Câu 25: Công thức nào sau đây đúng với số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu , công sai d≠0 1 u A. un = 1 u - (n - ) 1 d. B. u = u + d. C. un = 1 u + (n + ) 1 d D. n 1 un = 1 u + (n - ) 1 d,n ³ 2. 3 Câu 26: n + 4n - 5 lim bằng 3 2 3n + n + 7 1 1 1 A. . B. 1. C. . D. . 3 2 4
Câu 27: Hàm số y = f (x) có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
Câu 28: Cho phương trình 1 4 3
x - 3x + x - = 0
( )1. Chọn khẳng định đúng: 8 A. Phương trình ( )
1 có đúng một nghiệm trên khoảng ( 1 - ;3). B. Phương trình ( )
1 có đúng ba nghiệm trên khoảng ( 1 - ;3). C. Phương trình ( )
1 có đúng bốn nghiệm trên khoảng ( 1 - ;3). D. Phương trình ( )
1 có đúng hai nghiệm trên khoảng ( 1 - ;3). Câu 29: Tính 2 2
lim ( x + x - 4 + x ) x®-¥ 1 1 A. . B. - . C. -2. D. 2. 2 2 Trang 7
Câu 30: Với k là số nguyên dương. Kết quả của giới hạn lim k x là x®+¥ A. +¥ . B. x. C. 0. D. -¥ . B. Tự luận:
Câu 31: (1.5 đ) Tính các giới hạn sau: 3 2
3n + 2n + n 2 x + 2x -15 x + 5 - 3 a) lim b) lim c) lim 3 n + 4 x 3 ® x - 3 x®4 4 - x 2 ì x - 25
Câu 32: (1,0 đ) Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ï
khi x ¹ 5 tại x0 = 5 í x - 5 9 ïî khi x = 5
Câu 33: (1.5 đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Biết SA ^ (ABCD) 6 và SA = a . 3
a) Chứng minh BC ^ (SAB). b) Tính góc giữa AC và (SBC).
------ HẾT ------ ĐÁP ÁN
Phần đáp án câu trắc nghiệm: 1 A 6 B 11 A 16 B 21 A 26 A 2 D 7 C 12 C 17 C 22 D 27 A 3 A 8 B 13 B 18 B 23 C 28 C 4 D 9 D 14 B 19 D 24 A 29 B 5 C 10 A 15 B 20 B 25 D 30 A Tự luận: câu Đáp án Điểm 3𝑛! + 2𝑛" + 𝑛 lim 𝑛! + 4 0.25 1a 2 1 3 + 0.25 𝑛 + 𝑛" = lim 4 = 3 1 + 𝑛! 𝑥" + 2𝑥 − 15 (𝑥 − 3)(𝑥 + 5) 0.25 lim = lim #→! 𝑥 − 3 #→! 𝑥 − 3 1b =lim(𝑥 + 5) = 8 0.25 #→! √𝑥 + 5 − 3
2√𝑥 + 5 − 332√𝑥 + 5 + 33 0.25 lim = lim #→% 4 − 𝑥 #→% (4 − 𝑥)2√𝑥 + 5 + 33 1c Trang 8 𝑥 − 4 = lim
#→% (4 − 𝑥)2√𝑥 + 5 + 33 0.25 −1 −1 = lim = #→% √𝑥 + 5 + 3 6 2 TXĐ: D= ℝ 𝑓(5) = 9 0.25 𝑥" − 25 lim 𝑓(𝑥) = lim #→& #→& 𝑥 − 5 0.25 =lim(𝑥 + 5) = 10 0.25 #→&
Do 𝑓(5) ≠ lim 𝑓(𝑥) nên hàm số đã cho không liên tục tại x=5. #→& 0.25 3a S H 6 a 3 3b D A 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐵 B a C 0.25 @ 𝐵𝐶 ⊥ 𝑆𝐴 0.25
⟹ 𝐵𝐶 ⊥ (𝑆𝐴𝐵) 0.25
Trong mp(SAB) kẻ 𝐴𝐻 ⊥ 𝑆𝐵 ⟹ 𝐴𝐻 ⊥ (𝑆𝐵𝐶) ⟹ 2𝐴𝐶, (𝑆𝐵𝐶 D )3 = 𝐴𝐶𝐻 D 0.25 1 1 1 𝑎√10 = + ⟹ 𝐴𝐻 = 0.25 𝐴𝐻" 𝑆𝐴" 𝐴𝐵" 5 AH 5
Xét tam giác AHC vuông tại H: sin ACH = = AC 5 0.25 0 Þ ACH » 26 33' ĐỀ 3
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 2 - NĂM HỌC 2021 –2022 Thuvienhoclieu.com MÔN TOÁN 11
Phần 1: Trắc nghiệm.
Câu 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0. 1 1 4 n æ ö (- ) 1 n A. B. . C. . D. . ç ÷ 2n n è 3 ø n Câu 2: Giới hạn ( 4 lim n - -50n + ) 11 có kết quả là: A. 1 B. 0. C. 2. D. . -¥ Trang 9 4n + 2022
Câu 3: Tính giới hạn lim . 2n +1 1 A. . B. 4. C. 2. D. 2018. 2 ( 2 n sin n)
Câu 4: Giới hạn của dãy số u = - bằng n 2n +1 A. 1. B. 2. C. 0. D. 4. Câu 5: 2 lim
n - n +1 - n bằng ( ) A. -¥ 1 B. 1 C. 0. D. - 2 (- )n 2 1 cos (n - ) 1
Câu 6: Giới hạn của dãy số lim bằng 2 n 1 A. B. 2. C. 0. D. 3. 3 1 Câu 7: lim bằng 2 n + n - n A. 0. B. +¥ C. 2 - D. 2 Câu 8: Giới hạn 2 lim
n + n - n có kết quả bằng: ( ) A. 0. B. +¥ . C. . -¥ 1 D. . 2 + 1 1 (- )n 1 1
Câu 9: Gọi S = - + ...+ .lim S bằng: 3 9 3n 3 1 1 A. B. C. D. 1. 4 4 2
Câu 10: Cho cấp số nhân u ,u ,... với công bội q thỏa điều kiện q <1. Lúc đó, ta nói cấp số nhân 1 2
đã cho là lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân đã cho là u n u q -1 1 ( ) u u A. 1 . B. . C. 1 . D. 1 . q -1 q -1 1+ q 1- q 2 x + 2x -15 Câu 11: Tính lim . x 3 ® x - 3 A. ¥ 1 B. 2 C. D. 8 8
Câu 12: Giới hạn của hàm số nào dưới đây có kết quả bằng 1? Trang 10 2 x + 3x + 2 2 x + 3x + 2 2 x + 3x + 2 A. lim B. lim C. lim D. x 1 ®- 2 x +1 x 2 ®- x + 2 x 1 ®- 1- x x + 4x + 3 lim x 1 ®- x +1
Câu 13: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai 3 3x + 2 A. 2 lim
x - x +1 + x - 2 = - B. lim = - . ¥ x®-¥ ( ) 2 x 1- ®- x +1 3x + 2 C. 2 lim
x - x +1 + x - 2 = + . ¥ D. lim = - . ¥ x®+¥ ( ) x 1+ ®- x +1
Câu 14: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 1 1 1 A. lim = + . ¥ B. lim = - . ¥ C. lim = + . ¥ D. x 0+ ® x x 0+ ® x + 5 x®0 x 1 lim = + . ¥ x 0+ ® x ì2 - x + 3 ï khi x ¹ 1 ï
Câu 15: Cho hàm số y = f ( x) 2 x -1 = í
. Tính lim f (x). 1 ï x 1- ® khi x = 1 ïî8 1 1 A. B. +¥ C. 0 D. - 8 8 x
Câu 16: Xác định lim . 2 x®0 x A. 0. B. -¥
C. Không tồn tại. D. + . ¥ 2
x +1 - x + x +1
Câu 17: Giới hạn lim có kết quả bằng: x 0 ® x A. 0 B. 1 C. +¥ D. 2 Câu 18: Tính 2 I = lim
4x + 3x +1 - 2x ? x®+¥ ( ) 1 A. I = .
B. I = +¥ C. I = 3 0. D. I = . 2 4
Câu 19: Cho hàm số y = f (x) như hình bên. Xét các mệnh đề sau Trang 11
(I). lim f (x) = 2 . x®+¥
(II). lim f (x) = -¥ x®-¥
(III). lim f (x) = 2 x 1- ®
(IV). lim f (x) = +¥ x 1+ ®
Có bao nhiêu mệnh đề đúng A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 2
ì3- x khi x <1 ïï
Câu 20: Cho hàm số f (x) 2 = í
. Khẳng định nào dưới đây là sai? 1 ï khi x ³1 ïî x
A. Hàm số f (x) liên tục tại x =1.
B. Hàm số f (x) có đạo hàm tại x =1.
C. Hàm số f (x) liên tục tại x =1 và hàm số f (x) cũng có đạo hàm tại x =1.
D. Hàm số f (x) không có đạo hàm tại x =1. 3 ì x + 7 - 3x +1 ï , x ¹ 1
Câu 21: Cho hàm số f ( x) = í x -1
. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1. 0 ïîax,x =1 A. 3. - 3 B. 2. C. - . D. 2. - 2 2 ì x + x - 2 ï khi x ¹ 1
Câu 22: Cho hàm số f ( x) = í x -1
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để 3 ïî m khi x =1
hàm số gián đoạn tại x = 1.
A. m ¹ 2.
B. m ¹ 1.
C. m ¹ 2.
D. m ¹ 3. 2 ì x - 4 ï khi x ¹ 2
Câu 23: Cho hàm số f ( x) = í x - 2
. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2. 0 ï 2
îm + 3m khi x = 2
A. m = 0 hoặc m = 1.
B. m = 1 hoặc m = 4. - C. m = 4 - hoặc m = 1. -
D. m = 0 hoặc m = 4. - ì 2x +1 - x + 5 ï khi x > 4 ï
Câu 24: Tìm a để hàm số f ( x) x - 4 = í
liên tục trên tập xác định.
ï(a + 2) x khi x £ 4 ïî 4 Trang 12 A. a = 5 3
B. a = . C. a = 2 D. 2 11 a = - 6
ì 2x - 4+3 khi x ³ 2 ï
Câu 25: Cho hàm số f ( x) = í
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực x +1 ï khi x < 2 2
î x - 2mx + 3m + 2
m để hàm số liên tục trên ! .
A. m = 3
B. m = 4
C. m = 5
D. m = 6
Câu 26: Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng a và b có hình chiếu là
hai đường thẳng song song a ' và b '. Khi đó:
A. a và b phải song song với nhau.
B. a và b phải cắt nhau.
C. a và b có thể chéo nhau hoặc song song với nhau.
D. a và b không thể song song. ! ! ! Câu 27: Cho ba vectơ a,b, c không đồng phẳng xét các vectơ ! ! ! "! ! ! ! ! ! x = 2a - ; b y = 4 - a + 2 ; b z = 3 - a - 2 .
c Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: !" "
A. Hai vectơ y, z cùng phương. ! "!
B. Hai vectơ x, y cùng phương. ! !
C. Hai vectơ x, z cùng phương. ! "! !
D. Ba vectơ x, y, z đồng phẳng.
Câu 28: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A. Nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đôi một thì 3 vectơ đồng phẳng ! ! ! !
B. Nếu ba vectơ a,b, c có một vectơ 0 thì ba vectơ đồng phẳng. ! ! !
C. Nếu giá của ba vectơ a,b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vec tơ đó đồng phẳng ! ! !
D. Nếu trong ba vectơ a,b, c có hai vec tơ cùng phương thì ba
vectơ đó đồng phẳng
Câu 29: Cho hình lập phương ABC .
D A B C D . Gọi M là trung điểm của .
AD Chọn khẳng định 1 1 1 1 đúng: !!!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" 1 !!!!"
A. B M = B B + B A + B C
B. C M = C C + C D + C B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 !!!!" !!!!" 1 !!!!" 1 !!!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!"
C. C M = C C + C D + C B
D. BB + B A + B C = 2B D 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1
Câu 30: Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' . Bộ ba vectơ nào sau đây đồng phẳng? !!!" !!!" !!!!!" !!!!!" !!!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!"
A. BC, AD, A' B '
B. D 'C ', D ' D, AC
C. CB,CD,CC ' D. !!!" !!!" !!!"
AB, AD, AA' Trang 13
Câu 31: Trong không gian, mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. !!!" !!!"
Câu 32: Cho hình lập phương ABC .
D EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG ? A. 90o B. 60o C. 0 45 D. 0 120
Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng .
a Gọi I và J lần lượt là trung điểm
của SC và BC. Số đo của góc (IJ,CD) bằng A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90
Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông
góc với đáy và SA = a 3. Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng 2 2 3 3 A. . B. C. D. 2 4 2 4
Câu 35: Tứ diện OABC có các cạnh ,
OA OB,OC đôi một vuông góc và đều có độ dài là 1. Gọi M !!!" !!!!" là trung điểm cạnh .
AB Góc giữa hai vec tơ BC và OM bằng A. 0 0 B. 0 45 C. 0 90 D. 0 120 . Phần 2: Tự luận. 2 5 3n + n a 3 a
Câu 1: Giới hạn lim =
(với a,b là các số nguyên dương và là phân số tối giản). 2(3n + 2) b b Tính T = a + . b æ ö
Câu 2: Cho hàm số f (x) xác định với mọi x ¹ 0 thỏa mãn f ( x) 1 + 2 f
= 3x, x ¹ 0. Tính ç ÷ è x ø f (x) lim . x® 2 x - 2 Trang 14 Câu 3: Chứng 3
minh rằng 2phương trình sau luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị thực của
m : x + (2m - )
1 x -(m + 2) x - 2m = 0. tham số
Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3 .
a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và
BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN.
---------------- HẾT ----------------- BẢNG ĐÁP ÁN 1-C 2-D 3-C 4-C 5-D 6-C 7-D 8-D 9-B 10-D 11-D 12-A 13-B 14 15-B 16-C 17-A 18-D 19-D 20-D 21-C 22-B 23-B 24-D 25 26-C 27-B 28-A 29-B 30-A 31-A 32-C 33-C 34-B 35-D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Phần 1. Trắc nghiệm Câu 1: Chọn B. Câu 2: Chọn D. æ 50 11 ö Ta có lim( 4 -n - 50n +1 ) 4 1 = lim n 1 - - + = - . ¥ ç 2 ÷ è n n ø Câu 3: Chọn C. 2018 4 + 4n + 2018 Ta có: lim = lim n = 2. 2n +1 1 2 + n Câu 4: Chọn C.
( 2 n)n ( 2 n)n ( 2 n)n 2 sin sin sin n æ sin n ö Ta có: - = £ = ç ÷ 2n +1 2n +1 2n 2 è ø 2 n sin n 2 æ sin n ö Vì £ 1 (do 2
1 £ sin n £1) nên limç
÷ = 0 .Suy ra: lim u = 0 . 2 2 è ø n Vậy limu = 0. n Câu 5: Chọn C. 2 2
n - n +1 - n
n - n +1 + n Ta có: 2 lim
n - n +1 - n = lim ( ) ( )( ) 2
n - n +1 + n -n +1 1 = lim = - 1 1 2 n 1- + + n 2 n n Trang 15 Câu 6: Chọn C. n 2 n 1 - 1 - cos n -1 1 Ta có: 1 - £ (- ) 2 1 cos (n - ) ( ) ( ) 1 £1Þ £ £ 2 2 2 n n n 1 - 1 (- )n 2 1 cos (n - ) 1 Mà lim = 0,lim = 0 nên lim = 0. 2 2 n n 2 n Câu 7: Chọn D. 2 1 n + n + n Ta có: lim = lim 2 n + n - n
( 2n +n-n)( 2n +n+n) 1 n 1+ + n n æ 1 ö = lim = limç 1+ +1÷ = 2. n ç n ÷ è ø Câu 8: Chọn D. 2 2 n + n - n n + n + n 2 2 + - 2 n n n n lim
n + n + n = lim = lim = lim ( ) ( )( )
( 2n +n-n)
( 2n +n+n) 2 n + n + n 1 1 = lim = 1 2 1+ +1 n Câu 9: Chọn B. + 1 1 (- )n 1 1 Ta có: S = - + ...+ . 3 9 3n + 1 1 1 (- )n 1 1 Þ 3S =1- + - +...+ n 1 3 9 27 3 - ( )n 1+ + - 1 (- )n 1 1 1 æ 1 n ö Þ 4S =1+ Þ S = + . ç ÷ 3n 4 4 è 3 ø Câu 10: Chọn D.
Theo định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn ta chứng minh được - u 1 2 n 1 1
S = u + u + u +...+ u +... = u + u q + u q +...+ u q = . 1 2 3 n 1 1 1 1 1- q Câu 11: Chọn D. 2 x + 2x -15 (x -3)(x +5) lim = lim = lim(x +5) = 8. x 3 ® x 3 ® x 3 x - 3 x - 3 ® Câu 12: Chọn B. 2 x + 3x + 2 (x + )1(x + 2) lim = lim = lim (x + 2) =1. x 1 ®- x 1 ®- x 1 x +1 x +1 ®- Trang 16 Câu 13: Chọn D. Ta có: 2 2
x - x +1- x - 2 3x - 3 2 lim
x - x +1 + x - 2 = lim = lim x®-¥ ( ) ( ) x®-¥ 2
x - x +1 - ( x - 2) x®-¥ 2
x - x +1 - x + 2 3 3 - 3 = lim x
= - Þ đáp án A đúng. x®-¥ 1 1 2 2 - 1- + -1+ 2 x x x æ ö 2 1 1 2 lim
x - x +1 + x - 2 = lim xç 1- + +1- ÷. x®+¥ ( ) 2 x®+¥ ç x x x ÷ è ø æ 1 1 2 ö æ 1 1 2 ö
Do lim x = +¥ và lim ç 1- +
+1- ÷ = 2 > 0 nên lim xç 1- + +1- ÷ = +¥ Þ đáp x®+¥ 2 x®+¥ ç x x x ÷ ç ÷ è ø 2 x®+¥ x x x è ø án C đúng. 3x + 2 Do lim (3x + 2) = 1
- < 0 và x +1< 0 với x " < 1 - nên lim
= +¥ Þ đáp án B sai. x 1- ®- x 1- ®- x +1 3x + 2 Do lim (3x + 2) = 1
- < 0 và x +1 > 0 với x " > 1 - nên lim
= -¥ Þ đáp án D đúng. x 1+ ®- x 1- ®- x +1 Câu 14: Chọn B. 1 Ta có: lim
= +¥ và lim x = 0 và x > 0. Vậy đáp án A đúng. x 0+ ® x x 0+ ® Suy ra đáp án B sai.
Các đáp án C và D đúng. Giải thích tương tự đáp án A. Câu 15: Chọn B. 2 - x + 3 4 - x - 3 1 -
Ta có lim f (x) = lim = lim = lim = +¥ - - 2 x 1 x 1 - x 1 x 1 - (x - ) 1 (x + ) 1 (2+ x +3) x 1- ® ® ® ® (x + ) 1 (2+ x +3) Câu 16: Chọn C. x x 1 Ta có lim = lim = lim = +¥ + 2 + 2 x 0 x 0 x 0 x x + ® ® ® x x -x 1 - lim = lim = lim = +¥ - 2 - 2 x 0 x 0 x 0 x x - ® ® ® x x Vậy không tồn tại lim . 2 x®0 x Câu 17: Chọn A.
x +1 - x + x +1 ( 2 2
x +1- x - x - ) 2 1 x lim = lim = lim x®0 x®0 x x( 2
x +1 + x + x +1) x®0 x( 2
x +1 + x + x +1) Trang 17 x = lim = 0 x®0 ( 2
x +1 + x + x +1) Câu 18: Chọn D.
Phương pháp: Khử dạng vô định: ¥ - ¥ 3x +1
- Trục căn thức f (x) 2
= 4x + 3x +1 - 2x = 2
4x + 3x +1 + 2x
- Chia cả tử và mẫu của f (x) cho x rồi cho x ® +¥ Cách giải: 2 2
4x + 3x +1 - 2x 4x + 3x +1 + 2x 2
lim 4x + 3x +1 - 2x = lim x®+¥ x®+¥ 2
4x + 3x +1 + 2x 1 2 2 3 +
4x + 3x +1- 2x 3x +1 3 3 lim = lim = lim x = = . x®+¥ 2 x®+¥ 2
4x + 3x +1 - 2x 4x + 3x +1 + 2 x x ®+¥ 3 1 4 + 2 4 4 + + + 2 2 x x Câu 19: Chọn D.
Mệnh đề lim f (x) = 2 đúng. Mệnh đề lim f (x) = -¥ sai x®+¥ x®-¥
Mệnh đề lim f (x) = 2 sai. Mệnh đề lim f (x) = +¥ đúng x 1- ®- x 1+ ®-
Vậy có 2 mệnh đề đúng. Câu 20: Chọn D. 2 3 - x 1
+) lim f (x) = lim =
1 và lim f ( x) = lim =1. Do đó, hàm số f (x) liên tục tại x =1. x 1- x 1- ® ® 2 x 1+ x 1+ ® ® x Vậy A đúng.
f ( x) - f ( ) 2 1 1- x 1+ x +) lim = lim = lim = 1 - và x 1- - x 1 x 1 - 2( x - ) x 1 1 - ® ® ® 2 -
f ( x) - f ( ) 1 1- x 1 - lim = lim = lim = 1.
- Do đó, hàm số f (x) có đạo hàm tại x =1. x 1+ - x 1 x 1
+ x ( x - ) x 1 1 + ® ® ® x Vậy B đúng.
Từ đó thấy C đúng và D sai. Câu 21: Chọn C. + - + æ + - - + ö f (x) 3 3 x 7 3x 1 x 7 2 2 3x 1 lim = lim = limç + ÷ x 1 ® x 1 ® x 1 x 1 ® ç x 1 x 1 ÷ - - - è ø æ ö ç x -1 3 - (x - ) 1 ÷ = limç + ÷
x® çç (x - )é( x + )2 1 3 3 + x ù + + (x - )1(2+ 3x+1 1 7 2. 7 4 )÷÷ ê è ë úû ø Trang 18 æ ö ç 1 3 ÷ 3 = lim - = - . x® ç ç è ( ÷ x + 7 )2 1 3 3 2 + 3x +1 2 + 2. x + 7 + 4 ÷ ø Câu 22: Chọn B.
Tập xác định của hàm số là ! . 2 x + x - 2
Hàm số gián đoạn tại x = 1 khi lim f (x) ¹ f ( ) 1 Û lim ¹ 3m x 1 ® x 1 ® x -1 (x - )1(x + 2) Û lim
¹ 3m Û lim(x + 2) ¹ 3m Û 3 ¹ 3m Û m ¹1. x 1 ® x 1 x -1 ® Câu 23: Chọn B.
Tập xác định: D = ! 2 x - 4
Ta có lim f (x) = lim
= lim(x + 2) = 2+ 2 = 4. x®2 x®2 x®2 x - 2
Hàm số đã cho liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi lim f (x) = f (2) 0 x®2 ém =1 2 2
Û 4 = m + 3m Û m + 3m - 4 = 0 Û . ê ëm = 4 - Câu 24: Chọn D. TXĐ: D = ! .
NX: Hàm số f (x) liên tục trên các khoảng ( ;4 -¥ ) và (4;+¥).
Do đó, để hàm số liên tục trên ! ta cần tìm a để hàm số liên tục tại x = 4
ĐK: lim f (x) = lim f (x) = f (4). x 4+ x 4- ® ®
( 2x+1- x+5)( 2x+1+ x+5) f (x) 1 1 lim = lim = lim = x 4+ x 4+
(x -4)( 2x+1+ x+5) x 4+ ® ® ® 2x +1 + x + 5 6 a + x lim f (x) ( 2) = lim = a + 2 = f (4) x 4- x 4- ® ® 4 1 11
Cần có: a + 2 = Û a = - . 6 6 Câu 25: Chọn C.
Cách 1: Hàm số xác định trên ! , liên tục trên khoảng (2;+¥).
Ta có, f (2) = 3; lim f (x) = lim - + = + + ( 2x 4 3) 3 x®2 x®2 x +1
Nếu m = 6 thì lim f (x) = lim
= -¥ nên hàm số không liên tục tại x = 2. - - 2 x®2
x®2 x -12x + 20 x +1 3
Nếu m ¹ 6 thì ta có lim f (x) = lim = - - 2 x®2
x®2 x - 2mx + 3m + 2 6 - m Trang 19
Để hàm số liên tục tại x = 3 2 thì
= 3 Û 6 - m =1 Û m = 5. 6 - m x +1
Với m = 5 thì khi x < 2 f (x) = liên tục trên ( ;2 -¥ ). 2 x -10x +17
Tóm lại với m = 5 thì hàm số đã cho liên tục trên ! . Câu 26: Chọn C.
Nếu a '/ /b ' Þ mặt phẳng ( ,
a a') / / mặt phẳng ( , b b')
Khi đó a và b có thể song song hoặc chéo nhau. Câu 27: Chọn B. !" " ! "!
Ta thấy y = 2x nên x, y cùng phương. Câu 28: Chọn A. Câu 29: Chọn B.
!!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" 1 !!!!"
Ta có C M = C D + D D + DM = C D + C C + C B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Câu 30: Chọn A.
Từ hình vẽ bên, ta thấy !!!" !!!" !!!!!"
A' B'/ / ( ABCD) và BC, AD Ì ( ABCD) nên BC, AD, A' B ' đồng phẳng. !!!!!" !!!!!" !!!"
AC Ì ( ABCD), D'C '/ / ( ABCD), DD' ^ ( ABCD) Þ D'C ', D' ,
D AC không đồng phẳng. !!!" !!!" !!!!" ,
CB CD Ì ( ABCD),CC ' ^ ( ABCD) Þ , CB ,
CD CC ' không đồng phẳng. !!!" !!!" !!!" ,
AB AD Ì ( ABCD), AA' ^ ( ABCD) Þ , AB ,
AD AA' không đồng phẳng. Trang 20 Câu 31: Chọn A. Câu 32: Chọn C.
Ta có: EG / / AC (do ACGE là hình chữ nhật) !!!" !!!" !!!" !!!"
Þ (AB EG) = (AB AC) ∑ 0 , , = BAC = 45 Câu 33: Chọn C.
Vì IJ / /SB nên (IJ SC) = (SB SC) 0 , ,
= 60 (do tSBC đều). Câu 34: Chọn B.
Gọi I là trung điểm của SD
Þ OI là đường trung bình của SB D D OI ì / /SB ï Þ 2 2 2 2 í SB SA + AB 3a + a OI ï = = = = a î 2 2 2 Vì OI SB Þ (∑ SB AC) = (∑ OI AC) ∑ / / , , = AOI Trang 21 2 2 2 2 SD SA + AD 3a + a Ta có: AI = = = = a 2 2 2
Þ AI = OI Þ AO D
I cân tại I.
Gọi H là trung điểm của OA Þ IH ^ OA OA AC a 2 Và OH = = = 2 4 4 a 2 OH 2 Xét OHI D , ta có: ∑ 4 cos HOI = = = OI a 4 Vậy (∑ SB AC ) ∑ 2 cos , = cos HOI = . 4
Chọn đáp án B. Câu 35: Chọn D. !!!!" !!!"
Loại phương án A vì hai véc tơ OM và BC không cùng phương; !!!!" !!!"
Loại phương án B vì góc giữa hai véc tơ OM và BC không thể nhọn. !!!!" !!!"
Loại đáp án C vì hai véc tơ OM và BC không vuông góc với nhau. !!!!" !!!" !!!!" !!!" OM BC !!!!" !!!"
Vậy phương án D đúng vì: (OM BC) . cos , = = OM.BC 2 . 2 2
!!!!" !!!" 1 !!!" !!!" !!!" !!!" 1
Mà: OM.BC = (OA+OB)(OC -OB) = - 2 2 !!!!" !!!" Suy ra: (OM BC) 0 , = 120 . Phần 2. Tự luận Câu 1. Trang 22 æ 1 ö nç5 3+ ÷ 2 5 3n + n n è ø 5 3 ìa = 5 lim = lim = Þ í 2(3n + 2) æ 4 ö 6 b î = 6 n 6 + ç ÷ è n ø
Khi đó T = a + b = 11. Câu 2. æ 1 ö
Ta có f ( x) + 2 f = 3x, x ¹ 0 ç ÷ ( )1 è x ø æ 1 ö Þ f + f ç ÷ (x) 3 2 = , x ¹ 0 (2) è x ø x ì æ ö ì æ ö f ï ( x) 1 + f = x f ç ÷ ï (x) 1 2 3 + 2 f = 3x ç ÷ ( ) ( ) ï è x ø ï è x ø Þ í Û í Þ f (x) 2 1 , 2 = -x + ï æ 1 ö ï æ ö + f (x) 3 1 = f + f (x) 6 x f 2 2 4 = ç ÷ ç ÷ ïî x x ï è ø î è x ø x 2 f ( x) -x + - - + - + x (x 2)(x 2) (x 2) Do đó lim = lim = lim = lim = 2 - . x® 2 x® 2 x® 2 x - 2 x - 2 x (x - 2) x® 2 x Câu 3. Đặt f (x) 3 = x +( m- ) 2 2
1 x -(m+ 2) x - 2 . m éx = 0
Với m = 0 thì f (x) 3 2 x x 2x f (x) 3 2 0 x x 2x 0 ê = - - Þ = Û - - = Û x = -1. ê êx = 2 ë
Khi này, phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu là x = 1,
- x = 2 với m = 0( ) 1 .
Với m ¹ 0, ta thấy f (0) = 2 - ; m f (- ) 1 = ; m f (2) = 4 . m
Nhận thấy f (- ) f ( ) 2 1 . 0 = 2
- m < 0 với mọi m ¹ 0 và f ( ) f ( ) 2 0 . 2 = 8
- m < 0 với mọi m ¹ 0.
Mà f (x) là hàm đa thức bậc ba nên f (x) liên tục trên ! . Suy ra f (x) liên tục trên các đoạn [ 1 - ;0] và [0;2].
Khi đó luôn tồn tại x Î 1 - ;0 x Î 0;2
f (x = 0, f x = 0. 1 ) ( 2) 2 ( ) 1 ( ) và sao cho Hay phương trình
f (x) = 0 luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m ¹ 0(2). Từ ( )
1 và (2) suy ra phương trình f (x) = 0 luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi số thực . m
Suy ra điều phải chúng minh: Câu 4. Trang 23
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và . CD ìEN / / AC Ta có: í
Þ ( AC, BD) = (NE, NF ) 0
= 90 Þ NE ^ NF ( ) 1 . îNF / /BD ì 1
NE = FM = AC ïï Mà: 2 í (2). 1
ïNF = ME = BD ïî 2 Từ ( )
1 ,(2) Þ MENF là hình chữ nhật. 2 2 2 2 æ AC ö æ BD ö æ a ö æ 3a ö a 10 Từ đó ta có: 2 2
MN = NE + NF = + = + = . ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø è 2 ø è 2 ø 2 Trang 24