Thông tin
Quiz

Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao – Nguyễn Minh Tuấn Toán 12

Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao – Nguyễn Minh Tuấn Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề:

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn:

Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:

168 trang 1 năm trước

Tác giả:

Mai Nguyệt

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao – Nguyễn Minh Tuấn Toán 12

103 52 lượt tải Tải xuống

CÁC BÀI TOÁN

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VẬN

DỤNG – VẬN DỤNG CAO

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

LỜI GIỚI THIỆU

Trong đề thi thử của các trường hay trong đề thi THPT Quốc Gia thì các bài toán về chủ đề

nguyên hàm tích phân chiếm khoảng 7 câu từ dễ đến khó, nhằm giúp bạn đọc phần nào có

cái nhìn toàn diện về các câu hỏi liên quan tới vấn đề này trong các đề thi của năm vừa rồi

và đồng thời có thêm nhiều kiến thức hay và khó khác thì trong chuyên đề này mình đã đề

cập tới rất nhiều các vấn đề khó như các bài toán liên quan tới phương trình vi phân, bất

đẳng thức tích phân… Để có thể viết nên được chuyên đề này không thể không có sự tham

khảo từ các nguồn tài liệu của các các group, các khóa học, tài liệu của các thầy cô mà tiêu

biểu là

1. Thầy Lã Duy Tiến – Giáo viên trường THPT Bình Minh

2. Group Nhóm toán: https://www.facebook.com/groups/nhomtoan/

3. Group Hs Vted.vn: https://www.facebook.com/groups/vted.vn/

4. Group Nhóm Toán và Latex: https://www.facebook.com/groups/toanvalatex/

5. Website Toán học Bắc – Trung – Nam: http://toanhocbactrungnam.vn/

6. Website Toanmath: https://toanmath.com/

7. Anh Phạm Minh Tuấn: https://www.facebook.com/phamminhtuan.2810

8. Thầy Lê Phúc Lữ - Công tác tại phòng R&D Công ty Fsoft thuộc tập đoàn FPT.

9. Thầy Đặng Thành Nam – Giảng viên Vted

10. Thầy Huỳnh Đức Khánh

11. Thầy Nguyễn Thanh Tùng

12. Bạn Nguyễn Quang Huy – Sinh viên đại học bách khoa Hà Nội

Trong bài viết mình có sưu tầm từ nhiều nguồn nên có thể sẽ có những câu hỏi chưa hay

hoặc chưa phù hợp mong bạn đọc bỏ qua. Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi

những thiếu sót, mong bạn đọc có thể góp ý trực tiếp với mình qua địa chỉ sau:

Nguyễn Minh Tuấn

Sinh viên K14 – Khoa học máy tính – Đại học FPT

Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt

Email: tuangenk@gmail.com

Blog: https://lovetoan.wordpress.com/

Bản pdf được phát hành miễn phí trên blog CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN, mọi hoạt

động sử dụng tài liệu vì mục đích thương mại đều không được cho phép. Xin chân thành

cảm ơn bạn đọc.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 1

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO

Nguyễn Minh Tuấn

Nguyæn hàm tèch phân cê thể được coi là một phần toán tương đối hay và khê luën xuất

hiện trong đề thi THPT Quốc Gia, để cíng mở đầu về chương này, mçnh xin giới thiệu và

khái quát đëi nåt về lịch sử của các bài toán nguyæn hàm và tèch phân và sơ qua về chương

trçnh ta sẽ học sắp tới.

GIỚI THIỆU ĐÔI NÉT VỀ LỊCH SỬ

Các ï tưởng giîp hçnh thành mën vi tèch phân phát triển qua một thời gian dài. Các nhà

toán học Hi Lạp là những người đã đi những bước tiæn phong. Leucippus, Democritus và

Antiphon đã cê những đêng gêp vào phương pháp “våt cạn” của Hi Lạp, và sau này được

Euxodus, sống khoảng 370 trước Cëng Nguyæn, nâng læn thành lè luận khoa học. Sở dĩ gọi

là phương pháp “våt cạn” vç ta xem diện tèch của một hçnh được tènh bằng vë số hçnh,

càng lîc càng lấp đầy hçnh đê. Tuy nhiæn, chỉ cê Archimedes (Ac-xi-met), (287-212 B.C),

mới là người Hi Lạp kiệt xuất nhất. Thành tựu to lớn đầu tiæn của ëng là tçnh được diện

tèch giới hạn bởi tam giác cong parabol bằng 4/3 diện tèch của tam giác cê cíng đáy và

đỉnh và bằng 2/3 diện tèch của hçnh bçnh hành ngoại tiếp. Để tçm ra kết quả này, Ác-xi-

met dựng một dãy vë tận các tam giác, bắt đầu với tam giác cê diện tèch bằng A và tiếp tục

ghép thæm các tam giác mới nằm xen giữa các tam giác đã cê với đường parabol. Hçnh

parabol dần dần được lấp đầy bởi các tam giác cê tổng diện tèch là:

A A A A A A

A,A ,A ,A ....

4 4 16 4 16 64

     

Diện tèch giới hạn bởi parabol là:

1 1 1 4A

A 1 ...

4 16 64 3



    





Ác-xi-met cũng díng phương pháp “våt cạn” để tènh diện tèch hçnh trén. Đây là më hçnh

đầu tiæn của phåp tènh tèch phân, nhờ đê ëng đã tçm được giá trị gần đîng của số pi ở

khoảng giữa hai phân số 3 10/71 và 3 1/7. Trong tất cả những khám phá của mçnh, Ac-xi-

met tâm đắc nhất là cëng thức tènh thể tèch hçnh cầu. “Thể tìch hënh cầu thë bằng 2/3 thể tìch

hënh trụ ngoại tiếp“. Thể theo nguyện vọng lîc sinh thời, sau khi ëng mất, người ta cho

dựng một mộ bia cê khắc hoa văn một hçnh cầu nội tiếp một hçnh trụ. Ngoài toán học, Ac-

xi-met cén cê những phát minh về cơ học, thủy động học. Tất cả học sinh đều quen thuộc

với định luật mang tæn ëng về sức đẩy một vật thể khi nhîng vào một chất lỏng cíng với

câu thốt bất hủ “Eureka! Eureka!” (Tçm ra rồi! Tçm ra rồi!) khi ëng đang tắm. Ông tçm ra các

định luật về đén bẩy cíng câu nêi nổi tiếng “Hãy cho tïi một điểm tựa, tïi sẽ nhấc bổng quả

đất“).

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

2 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Dí ëng cê vẽ thèch toán học hơn vật lè, nhưng Ac-xi-met vẫn là một kỹ sư thiæn tài. Trong

những năm quân xâm lược La Mã híng mạnh tấn cëng đất nước Syracuse quæ hương ëng,

nhờ cê những khè tài do ëng sáng chế như máy bắn đá, cần trục kåo lật tàu địch, gương

parabol đốt cháy chiến thuyền, đã giîp dân thành Syracuse cầm chân quân địch hơn 3

năm. Cuối cíng quân La Mã cũng tràn được vào thành. Dí cê lệnh tướng La Mã là Marcus

khëng được giết chết ëng, một tæn lènh La Mã thë bạo xëng vào phéng làm việc khi ëng

đang mæ mãi suy nghĩ cạnh một sa bàn một bài toán hçnh dang dở. Khi thấy bêng của nê

đổ læn hçnh vẽ, ëng quát læn: ” Đừng quấy rầy đến các đương trén của ta !”. Thế là tæn lènh

nỗi cáu, đâm chết ëng. Sau khi ëng mất, nền toán học hầu như rơi vào trong bêng tối cho

đến thế kỹ thứ 17. Lîc này do nhu cầu kỹ thật, phåp tènh vi tèch phân trở lại để giài quyết

những bài têan về sự biến thiæn các đại lượng vật lï. Phåp tènh vi tèch phận được phát triển

nhờ tçm ra cách giải quyết được bốn bài toán lớn của thời đại:

1. Tçm tiếp tuyến của một đường cong.

2. Tìm độ dài của một đường cong.

3. Tçm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng ; vè dụ tçm khỏang cách gần nhất

và xa nhất giữa một hành tinh và mặt trời, hoặc khoảng cách tối đa mà một đạn đạo

cê thể bay tới theo gêc bắn đi của nê.

4. Tçm vận tốc và gia tốc của một vật thể theo thời gian biết phương trçnh giờ của vật

thể ấy.

Vào khỏang giữa thế kỷ 17, những anh tài của thời đại, như Fermat, Roberval, Descartes,

Cavalieri lao vào giải các bài toán này. Tất cả cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh cao khi

Leibniz và Newton hoàn thiện phåp tènh vi tèch phân. Leibniz ( 1646-1716) Ông là một nhà

bác học thiæn tài, xuất sắc træn nhiều lãnh vực: một nhà luật học, thần học, triết gia, nhà

chènh trị. Ông cũng giỏi về địa chất học, siæu hçnh học, lịch sử và đặc biệt toán học. Leibniz

sinh ở Leipzig, Đức. Cha là một giáo sư triết học tại Đại học Leipzig, mất khi ëng vừa sáu

tuổi. Cậu bå suët ngày víi đầu ở thư viện của cha, ngấu nghiến tất cả các quyển sách về

đũ mọi vần đề. Và thêi quen này đã theo cậu suët đời. Ngay khi mới 15 tuổi, ëng đã được

nhận vào học luật tại Đại học Leipzig, và 20 tuổi đã đậu tiến sĩ luật. Sau đê, ëng hoạt động

trong ngành luật và ngoại giao, làm cố vần luật pháp cho các ëng vua bà chîa. Trong

những chuyến đi cëng cán ở Paris, Leibnz cê dịp gặp gỡ nhiều nhà toán học nổi tiếng, đã

giúp niềm say mæ toán học của ëng thæm gia tăng. Đặc biệt, nhà vật lè học lừng danh

Huygens đã dạy ëng toán học. Vç khëng phải là dân toán học chuyæn nghiệp, næn cê nhiều

khi ëng khám phá lại những định lè toán học đã được các nhà toán học khác biết trước.

Trong đê cê sự kiện được hai phe Anh Đức tranh cãi trong suốt 50 năm. Anh thç cho chính

Newton là cha đẻ của phåp tènh vi tèch phân trong khi Đức thç nêi vinh dự đê phải thuộc

về Leibniz. Trong khi hai đương sự thç khëng cê ï kiến gç. Đîng ra là hai người đã tçm

được chân lï træn một cách độc lập: Leibniz tçm ra năm 1685, mười năm sau Newton,

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 3

nhưng cho in ra cëng trçnh của mçnh trước Newton hai mươi năm. Leibniz sống độc thân

suốt đời và mặc dí cê những đêng gêp kiệt xuất, ëng khëng nhận được những vinh quang

như Newton. Ông trải qua những năm cuối đời trong cë độc và nổi cay đắng.

Newton(1642-1727) - Newton sinh ra tại một ngëi làng Anh Quốc. Cha ëng mất trước khi

ëng ra đời, một tay mẹ nuëi nầng và dạy dỗ træn nëng trại nhà. Năm 1661, ëng vào học tại

trường đại học Trinity ở Cambridge mặc dủ điểm hçnh học hơi yếu. Tại đây ëng được

Barrow, nhà toán học tài năng chî ï. Ông lao vào học toán và khoa học, nhưng tốt

ngghiệp loại bçnh thường. Vç bệnh dịch hoành hành khắp châu Âu và lan truyền nhanh

chêng đến London, ëng phải trở lại làng quæ và trî ngụ tại đê trong hai năm 1665, 1666.

Chính trong thời gian này, ëng đã xây dựng những nền tảng của khoa học hiện đại: khám

phá nguyæn tắc chuyển động các hành tinh, của trọng lực, phát hiện bản chất của ánh

sáng. Tuy thế ëng khëng phổ biến các khám phá của mçnh. Ông trở lại Cambridge năm

1667 để lấy bằng cao học. Sau khi tốt nghiệp, ëng dạy học tại Trinity. Năm 1669, ëng giữ

chức giáo sư trưởng khoa toán, kế nhiệm giáo sư Barrow, một chức danh vinh dự nhất

trong giáo dục. Trong những năm sau đê, ëng đã cëng thức hoá các đinh luật hấp dẫn,

nhờ đê giải thèch được sự chuyễn động của các hành tinh, mặt trăng và thủy triều.Ông

cũng chế tạo ra kçnh viễn vọng hiện đại đầu tiæn. Trong đời ëng, ëng èt khi chịu cho in các

khám phá vĩ đại của mçnh, chỉ phổ biến trong phạm vi bạn bä đồng nghiệp. Năm 1687,

trước sự khuyến khèch nhiệt tçnh của nhà thiæn văn học Halley, Newton mới chịu cho xîât

bản cuốn Những nguyæn tăc toán học. Tác phẩm này ngay lập tức được đánh giá là một

trong những tác phẫm cê ảnh hưởng lớn lao nhất của nhân loại. Cũng tương tự như thế,

chỉ sau khi biết Leibniz đã in cëng trçnh của minh, ëng mới cëng bố tác phẫm của mçnh về

phép tính vi tich phân. Vĩ đại như thế, nhưng khi nêi về minh ëng luën cho rằng sở dĩ ëng

cê đëi khi nhçn xa hơn kẻ khác vç ëng đứng træn vai của các vĩ nhân. Và với những khám

phá lớn lao của mçnh, ëng nêi: “Tïi thấy mënh như một đứa trẻ chơi đùa trên bãi biển, may mắn

gặp được những viên sỏi trín trịa, hoặc một vỏ sí đẹp hơn bënh thường, trong khi trước mặt là một

đại dương bao la của chân lì mà tối chưa được biết“.

NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ

1. TÌCH PHÂN TRUY HỒI

Trong bài viết này chủ yếu là các bài toán ở dạng tự luân, mçnh sẽ giới thiệu qua để cê thể

khëng may đề thi thử của các trường cê thể ra thç ta cê thể xử lï được. Ở phần này ta sẽ

cíng tçm hiểu các dạng tèch phân truy hồi dạng

 

I f x,n dx









với các câu hỏi hay gặp

là:

1. Thiết lập cëng thức truy hồi

 

n n k

I g I k 1;n





2. Chứng minh cëng thức truy hồi cho trước.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

4 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

3. Sau khi thiết lập được cëng thức truy hồi yæu cầu đi tènh

ứng với một vài giá trị

n nào đê hoặc tènh giới hạn của hàm số hoặc dãy số cê liæn quan với

Ta cíng xåt các vè dụ sau:

Ví dụ 1: Xét tích phân

I sin xdx







với

n 

1. Tçm mối quan hệ giữa

n n 2

I ,I



2. Tính

I ,I

3. Tçm cëng thức tổng quát của

4. Xåt dãy số

 

cho bởi

 

n n n 1

u n 1 I .I





. Tìm

lim u



Lời giải

1. Tçm mối quan hệ giữa

n n 2

I ,I



Ta có:

 

n 2 n 2 n 2

2 2 2

n 2 n

0 0 0

I sin xdx sin x 1 cos x dx I sin x.cos xdx 1

  



    

  

Sử dụng cëng thức nguyæn hàm từng phần ta đặt

du sin xdx

sin x

v sin x.cos xdx



















 

2 n 2

cos x sin x 1

sin x.cos xdx sin xdx 2

n 1 n 1 n 1







   

  



Thay

 

vào

 

ta được:

n 2 n n n 2

I I I I

n 1 n 1







   



2. Tính

I ,I

Sử dụng kết quả ở træn ta được:

5 3 1

6 4 2

4 8 8 8

I I I sin xdx

5 15 15 15

I I I sin xdx

6 24 24 96





   









   







3. Tçm cëng thức tổng quát của

Ta có:

I sin xdx 1,I sin xdx





   



Ta đã cê kết quả

n n 2







, đến đây xåt 2 trường hợp:

+ Trường hợp 1:

 

n 2k k

. Ta có:

2 4 4 6 2k 2 2k

4 6 2k

I I ,I I ,...,I I

3 5 2k 1



  



Nhân theo vế các đẳng thức ta được:

   

 

2 2k 2k 2k

3.5... 2k 1

4.6...2k 4.6...2k

I I I I

3.5... 2k 1 4 3.5... 2k 1 4.6...2k 4





    



+ Trường hợp 2: Với n lẻ hay

n 2k 1

, ta có:

1 3 3 5 2k 3 2k 1

3 5 2k 1

I I ,I I ,...,I I

2 4 2k 3





  



Nhân theo vế các đẳng thức ta được:

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 5

 

2k 1 1

2.4... 2k 2 2.4... 2k 2

3.5... 2k 1 3.5... 2k 1









4. Xåt dãy số

 

cho bởi

 

n n n 1

u n 1 I .I





. Tìm

lim u



Ta có:

     

n n n 1 n 2 n 1 n 1 n 2 n 1

u n 1 I .I n 1 . I I n 2 I .I u

     



      



Vậy

n 1 n 1 1 2 n

u u ... u 2I I lim u lim

2 2 2



 

  

       

Ví dụ 2: Xét tích phân

 

I 1 x dx



1. Tính

2. Tính

lim





Lời giải

1. Tính

Đặt

   

 

n n 1

u 1 x du n 1 x 2x dx

dv dx v x





    













   

 

     





 

n n 1

2 2 2

1 1 1

n 1 n 1 n

2 2 2 2

n 1 n

0 0 0

I x 1 x 2n x 1 x dx

2n 1 1 x 1 x dx 2n 1 x dx 1 x dx 2n I I







    

         



  

Vậy

   

n n 1 n n n 1

I 2n I I I I *

2n 1



   



Từ

 

ta có

 

n n 1 n 2 1

2n 2n 2n 2 4.6.8...2n

I I . I I

2n 1 2n 1 2n 1 5.7.9... 2n 1





  

   

Mặt khác ta lại cê:

 

I 1 x dx x



    







 

2.4.6.8...2n

3.5.7.9... 2n 1





2. Tính

lim





Ta có:

 

n 1 n 1

n n 1 n 1 n

2 n 1

2n 2n 2 2n 2

I I I I lim lim 1

2n 1 2 n 1 1 I 2n 3 I 2n 3





 





       

    

Ví dụ 3: Xét tích phân

I tan xdx







với

n 

1. Chứng minh rằng

n 2 n







2. Tính

I ,I

Lời giải

1. Ta có:

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

6 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

 

n 2 n 2 n n

n 2 n n

4 4 4

0 0 0

I tan dx tan x tan x tan x dx

tan x

tan x tan x 1 tan x dx dx tan xdx

cos x

tan xd tan x I I







  



   

    

   





  



Ta cê điều phải chứng minh!

2. Ta có:



 

4 4 4

0 0 0

d cosx

sin x 1

I tan xdx dx ln 2

cos x cos x 2

  

    

  



 

I tan xdx 1 dx tan x x

cos x 4









     







Áp dụng cëng thức truy hồi

n 2 n







ta được:



5 3 1

1 1 1 1 1

I I I ln 2

4 4 2 2 4



      







6 4 2

1 1 1 13

I I I

5 5 3 15 4





      





Ví dụ 4:

1. Xét tích phân

e dx







với

n 

. Chứng minh rằng

n n 1







2. Xét tích phân

 

I 3 x e dx



với

n 

. Chứng minh rằng

n n 1

I 3 nI



  

Lời giải

1. Ta có:

 

x n 1

x n 1 x n 1

nx n 1

1 1 1

n n 1

x x x

0 0 0

e e 1 dx

e dx e dx e e 1

1 e 1 e 1 e n 1 n 1











     

    

  

Từ đê suy ra điều phải chứng minh!

2. Xét tích phân

 

I 3 x e dx



với

n 

. Chứng minh rằng

n n 1

I 3 nI



  

Đặt

   

n n 1

x x n

n n 1

u 3 x du n 3 x dx

I 3 x e n 3 x e dx 3 nI

dv e dx v e





    



        











Từ đây cê điều phải chứng minh!

Ví dụ 5: Cho

I x 1 x dx



với

n 

. Biết

 

là dãy cho bởi





. Tìm

lim u

Lời giải

Đặt

 

du nx dx

v 1 x dx 1 x

dv 1 x dx

















    









TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 7

   





 

n n 1

n 1 n

I x 1 x n 1 x .x dx

n 1 x.x dx 1 x.x dx n I I



     

     





Vậy

 

n n 1 n n n 1 n 1 n n

2 2n 2n 2

I n I I I I I I lim u lim 1

3 2n 3 2n 5 I



  



        



CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

8 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

2. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ

Nguyên hàm phân thức hữu tỷ là một bài toán khá cơ bản, nhưng cũng được phát triển ra

rất nhiều bài toán khó, trong mục này ta sẽ tìm hiểu cách giải quyết dạng toán này. Tổng

quát với hàm hữu tỉ, nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải chia tách

phần đa thức, còn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bå hơn mẫu. Nếu bậc của tử bå hơn bậc của

mẫu thì phân tích mẫu ra các thừa số bậc nhất

 

xa

hay

 

x px q

bậc hai vô nghiệm

rồi đồng nhất hệ số theo phần tử đơn giản:

A Bx C

;

x a x px q



  

. Đồng nhất hệ số ở tử thức thì

tènh được các hằng số A, B, C, … Kết hợp với các biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để

phân tích nhanh.

CÁC DẠNG TÌCH PHÂN ĐA THỨC HỮU TỶ.



 

P x dx



: Chia miền xét dấu

 



 

x mx n dx







: Đặt

u mx n

hoặc phân tích,



 

mx n px qx r dx



  



: Đặt

u px qx r  



   

x m . x m dx







: Nếu

  

thç đặt

u x n

CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC

1. Dạng

px qx r



. Lập

q 4pr  

 Nếu

 

mx n

  





, dùng công thức của hàm đa thức.

 Nếu

  





, đặt

x k tan t

 Nếu

  





, biến đổi

1 1 1 1

x k 2k x k x k







  



2. Dạng

mx n

px qx r







. Lập

q 4pr  

 Nếu

0  

Phân tích và dùng công thức.

 Nếu

 

A px qx r '

mx n B

px qx r px qx r





    

   

  

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 9

3. Dạng

   

n n n

dx x dx

x 1 x x 1 x









, đặt

t 1 x

Chú ý: Cho hàm số

 

liên tục træn đoạn

 

a;a

Nếu

 

lẻ thì

 

f x dx 0







. Nếu

 

chẵn thì

   

f x 2 f x dx



CÁC CÔNG THỨC NÊN NHỚ.



  

1 1 x a

dx ln C

x a x b a b x b





   





1 1 x

dx arctan C

x a a a









 

ax b

arctan

dx C

ax b c















CÔNG THỨC TÁCH NHANH PHÂN THỨC HỮU TỶ



 

   

 

  

 

  

 

  

x b x c

P x P x

A B C

x a x b x c x a x b x c x a x c

x a x b













    



       













 

x 1000

ax bx c

A Bx C

P x A ax bx c

x m ax bx c

Bx C

















  



  













Ví dụ : Tìm các nguyên hàm, tính các tích phân sau:





 

x 1 x



x x 1







x x 1

K dx









x x 1

L dx









1/ 3

xdx







 

8x 2

Q dx

x 1 x









J dx









x1



10.







Lời giải

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

10 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

1. Ta có

  

4 2 2

x 2 x 2 x 2

x x x x x x 1 x 1

  

   

   

Đặt

  

x 2 A B C

x x 1 x 1 x x 1 x 1



  

   

   

x 2 A B C x B C x A       

Đồng nhất hệ số thç được

A 2,B ,C

    

, do đê:

 

2 1 1 1 1 1 1

f x dx x . . dx x 2 ln x ln x 1 C

x 2 x 1 2 x 1 2 2



        









2. Ta có

   

 

8 8 8 8 8

dx x dx 1 1 x

ln C

8 8 1 x

x 1 x x 1 x x 1 x

   



  

  

3. Ta có

4 2 2

x 1 1 x x 1

dx ln C

x x 1 2 x x 1







  



  

   











4. Đặt

 

x 2 tan t,x 0;2 t 0;





   





 

/4 /4

16tan t 2 tan t 1 2dt 1

K . 16tan t 2 tan t 1 dt

cos t 2

4 tan t 1





    





 

2 2 2

16tan t 1 tan t 16 tan t 2 tan t 1 dt



    



Từ đê tènh được

16 17

K ln 2



   

5. Ta có

 

1 1 1

2 6 2

0 0 0

1 2x dx 2

L dx

x 1 x 1 x 1 3



   



  





  

Lần lượt đặt

x tan t,x tan u

thì





6. Đặt

tx

thì

xdx dt



.Khi

x0

thì

t 0, x



thì



 

4 2 2

1 dt 1 1 1 1 t 1 1 1

N dt ln arctan t ln 2 3

2 t 1 4 t 1 t 1 8 t 1 4 8 24

   



        



   





7. Ta có

   

2 2 2

1 1 1

8x 1 1 8x 1 1

Q dx dx dx

x 1 x x 1 x

  

  





  

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 11

 

7 7 7 7

ln x x dx ln 129

x 1 x x 1 x

    





1 x 1 256

ln 129 ln ln 129 ln

7 1 x 7 129

   



8. Ta có

2 4 2 4 2

1 1 dx

J dx C arctan x

x 1 x x 1 x x 1



    



    





Như vậy ta chỉ cần tènh

xx1







Với trường hợp

x0

làm dễ dàng, xåt trường hợp

x0

ta có







  











Đặt

4 2 4 2

1 t dt 1 1 1 dt

t K dt

x t t 1 2 t t 1

t 1 3t t 1 3t





     





   

   





  

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

dt K K dt

2 2 3

t 1 3t t 1 3t t 1 3t t 1 3t

   

     

   

       

   



Phần cén lại xin nhường lại cho bạn đọc!

9. Biến đổi tèch phân cần tènh ta được

3 2 3

x 1 1

dx x x x dx

x 1 x x 1 x 1

x x x dx



    



   







    























Tính

 

     

3 3 3

4 4 4

d x 1 d x 1

I dx

x 1 x x 1

x 1 x 1 3 x 1 3



  



   

  

    



  

Đặt

t x 1 dt dx   

   

 

4 4 4

5 5 5

t 3t 3 t 3t

1 1 dt 1 t 3

I dt dt

3 3 t 3 t 3t 3

t t 3t 3

   



   



  

4 4 4

5 5 5

1 dt 1 1 2t 3 3 dt

3 t 3 2 t 3t 3 2 t 3t 3





  



   



  

Đến đây xin nhường lại cho bạn đọc!

10. Ta có

1 1 1

1 dx d x

I dx

   



   



   

  













  

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

12 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Đặt



khi đê ta được:

  

   

5 5 5

2 2 2

dt dt 1 1 1

I dt

2 2 t 2 t 2

t 2 t 2

d t 2 d t 2

1 1 1 t 2 2 19 6 2

ln ln

4 17

2 2 t 2 2 2 t 2 2 2 t 2



   

















   



  



  



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 13

3. NGUYÊN HÀM – TÌCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Để làm tốt được các bài toán nguyên hàm – tèch phân hàm lượng giác ta cần nắm chắc

được các biến đổi hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ

t tan



,…



     

   

sin x a x b

sin x a .sin x b sin a b sin x a sin x b

  







    



 

1 1 1

asin x b cosx sin x



 





 

2 2 2 2

1 1 1

1 cos x

asin x b cosx a b a b



  

   



 

A asin x b cosx c '

sin x cosx B

asin x b cosx c asin x bcos x c asin x b cosx c



   



     



2 2 2 2

1 1 1

asin x bsin x cosx cos x a tan x b tan x c cos x



   



 

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

A a sin x b cos x '

sin x cos x

a sin x b cos x a sin x b cos x









Đặc biệt cận tích phân đối, bù, phụ thç đặt tương ứng

t x,t x, t x



      

. Tích phân

liên kết, để tính I thç đặt thêm J mà việc tính tích phân

IJ

và

IJ

hoặc

I kJ

và

I mJ

dễ

dàng lợi hơn. Tèch phân truy hồi

theo



hay



thì

sin x,cos x

tách lũy thừa 1 và

díng phương pháp tèch phân từng phần còn

tan x,cot x

tách lũy thừa 2 và dùng

phương pháp tèch phân đổi biến số. Ngoài ra ta cần phải nhớ:

1. Nếu hàm số

 

liên tục træn đoạn

 

a; b

thì:

       

0 0 0 0

f sin x dx f cos x dx; xf sin x dx f sin x dx







   

2. Các dạng tèch phân lượng giác:



   

P x .sin xdx, P x .cos xdx



: đặt

 

u P x , v' sin

hoặc

cos x



 

R x,sin x, cos x dx





: đặt







 

R x,sin x, cosx dx





: đặt

xt  



 

R x,sin x, cosx dx





: đặt

x 2 t  

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

14 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học



 

R sin x,cosx dx



: đặt

t tan ,



đặc biệt:

Nếu

   

R sin x,cosx R sin x, cos x  

thç đặt

t cos x

Nếu

   

R sin x, cos x R sin x, cosx  

thç đặt

t sin x

Nếu

   

R sin x, cosx R sin x, cos x   

thì đặt

t tan x, cot x

Để tçm hiểu sâu hơn ta sẽ cíng đi vào các dạng toán cụ thể.

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.

I. DẠNG 1.

   

sin x a sin x b







1. PHƯƠNG PHÁP.

Díng đồng nhất thức:

 

   

 

       

 

sin x a x b

sin a b sin x a cos x b cos x a sin x b

sin a b sin a b sin a b

  



     



  

  

Từ đê suy ra:

 

       

   

sin x a cos x b cos x a sin x b

I dx

sin a b sin x a sin x b

    



  



 

cos x b cos x a

sin a b sin x b sin x a









  





 

   

ln sin x b ln sin x a C

sin a b



    





2. CHÚ Ý.

Với cách này, ta cê thể tçm được các nguyæn hàm:



   

cos x a cos x b







bằng cách díng đồng nhất thức

 

sin a b









   

sin x a cos x b







bằng cách díng đồng nhất thức

 

cos a b







3. VÌ DỤ MINH HỌA.

Tính các nguyên hàm, tích phân sau:



sin x sin x















Ta có:

sin x x

sin

1 2 sin x cos x cos x sin x

sin

  











   

   





     

   





   



Từ đê:

sin x cosx cos x sin x

cos x

cosx

I 2 dx 2 dx

sin x

sin xsin x sin x

   

      



  



   





   

   



  



   





   



   





TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 15

 

d sin x

sin x

2 2 2 ln C

sin x

sin x sin x

  









   



   



   

   





cos 3xcos 3x















Ta có

sin 3x 3x

sin

1 2 sin 3x cos 3x cos 3x sin 3x

sin

  











   

   





     

   





   



sin 3x cos 3x cos 3x sin 3x

sin 3x

I 2 dx 2 dx 2 dx

cos 3x

cos 3x cos 3x cos 3x

   

    



  



   





   

   

   



   



   

   

  

 

d cos 3x

2 2 2 cos 3x

ln C

3 3 cos3x 3

cos 3x cos 3x

  









    



   



   

   





sin x cos x

3 12





   



   

   



Ta có:

cos x x

cos

3 12

cos

   

   



  

   



   







2 cos x cos x sin x sin x

3 12 3 12

     

       

     

       



       



cos x cos x sin x sin x

3 12 3 12

I 2 dx

sin x cos x

3 12

   

       

    

       

       





   



   

   



cos x sin x

3 12

2 dx 2 dx

sin x cos x

3 12



   



   

   





   



   

   



d sin x d cos x

sin x

3 12

2 2 2 ln C

sin x cos x cos x

3 12 12

     

    







   



   

     

   

  

     

  

     

     



II. DẠNG 2.

   

I tan x a tan x b dx  



1. PHƯƠNG PHÁP.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

16 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Ta có

   

sin x a sin x b

tan x a tan x b

cos x a cos x b



  



       

   

 

   

sin x a sin x b cos x a cos x b cos a b

cos x a cos x b cos x a cos x b

     

   

   

Từ đê suy ra

 

   

I cos a b 1

cos x a cos x b

  





Đến đây ta gặp bài toán tçm nguyæn hàm ở Dạng 1.

2. CHÚ Ý

Với cách này, ta cê thể tènh được các nguyæn hàm:



   

J cot x a cot x b dx  





   

K tan x a tan x b dx  



3. VÌ DỤ MINH HỌA



I cot x cot x dx



   

  

   

   



Ta có

cos x cos x

cot x cot x

sin x sin x



   



   



   

   

  

   



   

   



   

   

cos x cos x sin x sin x

3 6 3 6

sin x sin x

   

       

    

       

       





   



   

   

cos x x

1 . 1

sin x sin x sin x sin x

3 6 3 6

   

   

  

   



   



   

   

       

   

       

       

Từ đê

3 1 3

I dx dx I x C

sin x sin x

    



   



   

   



Tính

sin x sin x





   



   

   



Ta có

sin x x

sin

   

   



  

   



   







2 sin x cos x cos x sin x

3 6 3 6

     

       

     

       



       



Từ đê

sin x cos x cos x sin x

3 6 3 6

I 2 dx

sin x sin x

   

       

    

       

       





   



   

   



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 17

cos x cos x sin x

6 3 6

2 dx 2 dx 2 ln C

sin x sin x sin x

6 3 3

  

     

  

     

     

   

  

     

  

     

     



Suy ra

sin x sin x

I .2 ln x C 3 ln x C

sin x sin x



   



   

   

     



   



   

   



K tan x cot x dx



   

  

   

   



Ta có

sin x cos x

tan x cot x

cos x sin x



   



   



   

   

  

   



   

   



   

   

sin x cos x cos x sin x

3 6 3 6

cos x sin x

   

       

    

       

       





   



   

   

sin x x

1 . 1

cos x sin x cos x sin x

3 6 3 6

   

   

  

   



   



   

   

       

   

       

       

Từ đê:

1 1 1

K dx dx K x C

cos x sin x

    



   



   

   



Đến đây, bằng cách tènh ở Dạng 1, ta tènh được:

sin x

dx 2

K ln C

cos x sin x cos x

3 6 3











  

  

     

  

     

     



sin x

K ln x C

cos x











   











III. DẠNG 3.

asin x b cosx







1. PHƯƠNG PHÁP.

Có:

2 2 2 2

asin x bcosx a b sin x cosx

a b a b



   







 

asin x b cos x a b sin x     

 

2 2 2 2

1 dx 1 x

I ln tan C

sin x 2

a b a b



   







2. VÌ DỤ MINH HỌA.



2dx dx dx

3 sin x cos x 3 1

sin x cos cos x sin

sin x cos x

  





  

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

18 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

dx x

ln tan C ln tan C

2 2 12

sin x sin x

















      





   





   

   





dx 1 dx

cos 2x 3 sin 2x 1 3

cos 2x sin 2x







d 2x

1 dx 1 dx 1

2 2 4

sin cos2x cos sin 2x

sin 2x sin 2x











   



   





   

   

  

ln tan C ln tan x C

4 2 4 12









      





IV. DẠNG 4.

asin x b cosx c







1. PHƯƠNG PHÁP.

Đặt

2dt

sin x

tan t

cos x

tan x







































2. VÌ DỤ MINH HỌA.



3cos x 5sin x 3







Đặt

2dt

x 2t

tan t sin x

2 1 t

cos x











  

















. Từ đê ta cê

2dt

2dt 2dt

1 t 2t

3 3t 10t 3 3t 10t 6

3. 5 3

1 t 1 t



  



    



  

 

d 5t 3

1 1 1 x

ln 5t 3 C ln 5tan 3 C

5 5t 3 5 5 2



      







2dx

2 sin x cosx 1







TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 19

Đặt

2dt

x 2t

tan t sin x

2 1 t

cos x











  

















Từ đê

 

2 2 2

2dt

4dt 4dt dt

2t 1 t

4t 1 t 1 t 2t 4t t t 2

2. 1

1 t 1 t



   



     





   

1 1 x x

dt ln t ln t 2 C ln tan ln tan 2 C

t t 2 2 2



         











sin x tan x







Đặt

2dt

x 2t

tan t sin x

2 1 t

tan x











  















Từ đê

2dt

1 1 t 1 dt 1

K dt tdt

2t 2t

2 t 2 t 2

1 t 1 t





   





   

1 1 1 x 1 x

ln t t C ln tan tan C

2 4 2 2 4 2

     

V. Dạng 5.

a.sin x b.sin xcosx c.cos x







1. PHƯƠNG PHÁP.

 

a tan x b tan x c .cos x







Đặt

tan x t dt

cos x

  

. Suy ra

at bt c







2. VÌ DỤ MINH HỌA.



 

dx dx

3sin x 2 sin x cosx cos x

3tan x 2 tan x 1 cos x







Đặt

tan x t dt

cos x

  

  

dt dt

3t 2t 1 t 1 3t 1

  

   



 

d 3t 1

1 1 3 1 dt 1

4 t 1 3t 1 4 t 1 4 3t 1





   



   



  

1 t 1 1 tan x 1

ln C ln C

4 3t 1 4 3 tan x 1



   



CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

20 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học



 

dx dx

sin x 2 sin x cos x 2 cos x

tan x 2 tan x 2 cos x







Đặt

tan x t dt

cos x

  

 

d t 1

dt 1 t 1 3

J ln C

t 2t 2

2 3 t 1 3

t 1 3





    









1 tan x 1 3

ln C

2 3 tan x 1 3







VI. DẠNG 6.

a sin x b cosx

I dx

a sin x b cos x









1. PHƯƠNG PHÁP.

Ta tìm

A,B

sao cho:

   

1 1 2 2 2 2

a sin x b cosx A a sin x b cos x B a cosx b sin x    

2. VÌ DỤ MINH HỌA.



4sin x 3cosx

I dx

sin x 2 cosx









Ta tìm

A,B

sao cho

   

4sin x 3 cos x A sin x 2 cos x B cos x 2 sin x    

   

A 2B 4 A 2

4sin x 3cosx A 2B sin x 2A B cosx

2A B 3 B 1

  



       



   



Từ đê:

   

2 sin x 2 cosx cosx 2sin x

I dx

sin x 2 cosx

  







 

d sin x 2 cosx

2 dx 2x ln sin x 2 cosx C

sin x 2 cosx



     







3cosx 2 sin x

J dx

cos x 4 sin x









Ta tìm

A,B

sao cho

   

3cos x 2 sin x A cosx 4 sin x B sin x 4 cos x     

   

3cosx 2 sin x A 4B cos x 4A B sin x      

A 4B 3

4A B 2 10





























Từ đê:

   

11 10

cos x 4 sin x sin x 4 cos x

17 17

J dx

cos x 4 sin x

   







 

d cosx 4sin x

11 10 11 10

dx x ln cosx 4 sin x C

17 17 cosx 4sin x 17 17



     





3. CHÚ Ý.

1. Nếu gặp

 

a sin x b cosx

I dx

a sin x b cosx









ta vẫn tçm

A,B

sao cho:

   

1 1 2 2 2 2

a sin x b cosx A a sin x b cos x B a cosx b sin x    

2. Nếu gặp

1 1 1

2 2 2

a sin x b cos x c

I dx

a sin x b cosx c









ta tìm

A,B

sao cho:

   

1 1 1 2 2 2 2 2

a sin x b cosx c A a sin x b cos x c B a cos x b sin x C       

Chẳng hạn:

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 21



 

8 cos x

I dx

3 sin x cos x







. Ta tìm

A,B

sao cho:

   

8cos x A 3 sin x cosx B 3 cosx sin x   

   

8cos x A 3 B sin x A B 3 cosx    

A 3 B 0

B 2 3

A B 3 8























Từ đê:

   

 

2 3 sin x cos x 2 3 3 cos x sin x

I dx

3 sin x cos x

  







 

d 3 sin x cos x

dx 2 3

2 2 3 2I C

3 sin x cosx 3 sin x cosx

3 sin x cosx



    







Tìm

dx 1 dx 1 dx

3 sin x cos x 3 1

sin x cos cos x sin

sin x cos x

  





  

1 dx 1 1 1 x

ln tan C ln tan C

2 2 2 2 2 2 12

sin x sin x

















      





   





   

   



Vậy

x 2 3

I ln tan C

2 12

3 sin x cos x





   









8sin x cosx 5

J dx

2 sin x cosx 1









. Ta tìm

A,B,C

sao cho:

   

8sin x cos x 5 A 2 sin x cosx 1 B 2 cosx sin x C       

   

8sin x cosx 5 2A B sin x A 2B cosx A C         

2A B 8 A 3

A 2B 1 B 2

A C 5 C 2

  





     





  



Từ đê:

   

3 2 sin x cosx 1 2 2 cosx sin x 2

J dx

2 sin x cos x 1

    







2 cos x sin x dx

3 dx 2 dx 2

2 sin x cosx 1 2 sin x cosx 1



  

   



3x 2 ln 2 sin x cos x 1 2J    

 Tìm

2 sin x cosx 1







. Đặt

2dt

x 2t

tan t sin x

2 1 t

cos x











  

















CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

22 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

 

2dt

dt dt 1 1 1

J dt

2t 1 t

t 2t t t 2 2 t t 2

2. 1

1 t 1 t





     





  







   

tan

1 t 1

ln C ln C

2 t 2 2

tan 2

   



Vậy:

tan

J 3x 2 ln 2 sin x cos x 1 ln C

tan 2

     



VII. DẠNG 7. BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN HOẶC 6 DẠNG Ở TRÊN.



 

I cos3x cos 4xdx cosx cos7x dx

  



1 1 1 1

cosxdx cos7xdx sin x sin7x C

2 2 2 14

    





 

I cosxsin 2xcos 3xdx sin 2x cos2x cos 4x dx

  



sin 2x cos2xdx sin 2x cos 4xdx





   

sin 2xd sin 2x sin 2x sin 6x dx

   



1 1 1

sin 2x cos2x cos6x C

8 8 24

   



I tan x tan x tan x dx



   

  

   

   



Ta có:

sin xsin x sin x

tan x tan x tan x

cosx cos x cos x



   



   



   

   

  

   



   

   



   

   

sin x cos 2x cos sin x 1 2 sin x

cosx cos2x cos cos x 2 cos x 1



   

  

   

   





   

  

   

   

 

sin x 3 4 sin x

3sin x 4 sin x sin 3x

4 cos x 3 cos x cos 3x

cos x 4 cos x 3



  



Từ đê:

 

d cos3x

sin 3x 1 1

I dx ln cos3x C

cos 3x 3 cos 3x 3

     





I sin x sin 3xdx



Ta có:

3sin x sin 3x

sin 3x 3sin x 4 sin x sin x



   

3sin x 4sin 3x

sin xsin 3x .sin 3x





TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 23

   

3 1 3 1

sin x sin 3x sin 3x cos2x cos 4x 1 cos6x

4 4 8 8

     

3 3 1 1

cos2x cos 4x cos6x

8 8 8 8

   

Từ đê:

3 3 1 1

I cos2x cos 4x cos6x dx

8 8 8 8



   







3 3 1 1

sin 2x sin 4x sin 6x x C

16 32 48 8

    



 

I sin x cos 3x cos xsin 3x dx



Ta có:

3sin x sin 3x

sin x





3cos x cos 3x

cos x





Suy ra

3sin x sin 3x 3cosx cos3x

sin x cos3x cos x sin 3x .cos3x .sin 3x



  

3 1 3 1

sin x cos3x sin 3xcos3x cosx sin 3x cos3xsin 3x

4 4 4 4

   

   

3 3 3

sin 2x sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x

8 8 4

       

   

   

Vậy

I sin 2xdx cos2x C

   





 

3 4 2 2 2

dx dx 1 1 dx 1 dx

I . . 1 tan x

sin xcos x tan x cos x tan x cos x cos x tan x cos x

    

   

Đặt

tan x t dt

cos x

  

t t dt

I dt tdt



   

  

t ln t C tan x ln tan x C

     



4 4 2

dx cosxdx

sin x cosx sin xcos x





Đặt

sin x t cos xdx dt  

   

4 4 2

4 2 4 2

dt 1 t t 1 t dt

I dt dt

t 1 t

t 1 t t 1 t

  

    





   

  

dt dt dt 1 1 1 t 1

t ln C

t t t 1 t 1 3 t 2 t 1



       

  

  

1 1 1 sin x 1

ln C

3sin x sin x 2 sin x 1



    





sin 3xsin 4x sin 3x sin 4x

I dx dx sin 4x cos 2x cos xdx

sin 3x

tan x tan 2x

cos x cos 2x

  



  

 

1 1 1

sin 6x sin 2x cosxdx sin 6x cosxdx sin 2x cosxdx

2 2 2

   

  

   

sin7x sin 5x dx sin 3x sin x dx

   



1 1 1 1

cos7x cos5x cos3x cosx C

28 20 12 4

     



sin x





.Đặt

cosx

du dx

sin x

v cot x

sin x





























CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

24 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

cot x cot x.cosx cot x

I dx I

sin x sin x sin x

      



Tính

3 3 3

cos x 1 sin x dx dx x

I dx dx I ln tan C

sin x sin x sin x sin x 2



      

   

cot x cot x x

I I I ln tan C

sin x sin x 2

        

x cot x 1 x cot x

2I ln tan C I ln tan C

2 sin x 2 2 2sin x

       



1 sin x

I ln dx

1 cosx

















Biến đổi giả thiết ta cê

x x x x

sin cos 2 sin cos

1 sin x

2 2 2 2

ln dx ln dx

1 cos x

2 cos

1 x x

ln tan 2 tan 1 dx

2 2 2







   



   







   



















  









Đặt

   

tan t I t 1 ln t t 1 dt

     



Đến đây sử dụng tènh chất

   

f x dx f a b x dx  



bài toán sẽ được giải quyết

Cách 2. Ta có

   

I ln 1 sinx dx ln 1 cosx dx



   



Sử dụng nguyæn hàm từng phần ta được

 

xcosx

ln 1 sinx dx ln2 dx

2 1 sinx





  





 

xsinx

ln 1 cosx dx dx

1 cosx









xcosx xsinx

I ln2 dx dx

2 1 sinx 1 cosx







   









Từ đây ta sẽ đi tènh

xcosx

1 sinx







. Đặt





ta được

2 2 2

0 0 0

xcosx sinx xsinx

dx dx dx I 0

1 sinx 2 1 cosx 1 cosx

  



   

  

  



sin 2x sin x

I dx

1 3 cos x











Sử dụng tèch phân từng phần ta cê

 

sin x 2 cos x 1

2 sin x cos x sin x

I dx dx

1 3 cos x 1 3 cos x











Đặt

 

u 2 cos x 1

du 2 sin xdx

d 1 3cosx

sin x

v 1 3 cos x

dv dx

1 3cosx 3 1 3 cos x

















  

  









Khi đê

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 25

 

   

I 2 cos x 1 1 3 cos x sin x 1 3cos xdx

2 4 2 8 34

1 3 cos xd 1 3 cos x 1 3 cos x

3 9 3 27 27



     

       



CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

26 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

4. ĐƯA BIỂU THỨC VÀO TRONG DẤU VI PHÂN

Ở nội dung bài viết này ta sẽ nhắc tới một số bài toán sử dụng kỹ thuật đưa một biểu thức

vào trong dấu vi phân, để làm được những bài toán này cần chî ï đến kỹ năng biến đổi,

đạo hàm. Sau đây sẽ cíng xåt các vè dụ sau.

Ví dụ 1: Biết

3 x 3 x

x 2 ex 2 1 1 e

dx .ln p

e.2 m eln n e

  



  



  





với

m, n, p

là các số nguyæn

dương. Tènh tổng

P m n p  

P 5.

P 6.

P 7.

P 8.

Lời giải

Những bài toán cần đến kỹ thuật này đa phần sẽ được phát biểu một cách khá lằng nhằng

sẽ gây khê khăn cho người làm bài. Tuy nhiên hầu hết sẽ được đơn giản hóa bằng cách

tách thành 2 tèch phân khác, mà để làm được điều này thì trên tử phải tách theo mẫu số.

Ta có

3 x 3 x x

x 2 ex 2 2 1 1

I dx x dx x A A

e.2 e.2 4 4



  

      



 





Tính

A dx

e.2







Đặt

x x x

t e.2 dt e.ln 2.2 dx 2 dx dt

eln 2

      

Khi đê

1 dt 1 1 2e 1 e

A . ln t ln ln 1

e.ln 2 t e.ln 2 e ln 2 e eln 2 e





    



  





Vậy

1 1 e

I ln 1 n 2 P m n p 7.

4 e ln 2 e









         















Nhận xét:

 Mấu chốt của bài toán là ta nhận ra được mẫu đạo hàm ra một phần của tử từ

đê rît ra phåp đặt mẫu để lấy vi phân.

 Ngoài ra nếu trçnh bày tự luận thç ta cũng khëng cần phải đặt mẫu làm gç cả,

đưa trực tiếp tử vào trong dấu vi phân rồi nhân thæm hằng số bæn ngoài.

Chọn ý C.

Ví dụ 2: Biết

 

x 2x cos x cos x 1 sin x

dx a b ln

x cos x



   

   





với a,b,c là các số hữu tỉ.

Tính

P ac b.



P2

P3

Lời giải

Vẫn là một bài toán với cách phát biểu không hề dễ chịu, mấu chốt vẫn là đưa biểu thức

vào trong dấu vi phân và tách thành 2 tèch phân như bài trước !

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 27

Ta có

 

x 2x cosx cos x 1 sin x

I dx

x cosx



   







 

2 2 2 2

0 0 0 0

x cosx d x cos x

1 sin x

dx dx x cosx dx

x cosx x cosx x cosx

   





    

  

   

2 2 2

1 1 1 2

x sin x ln x cos x 1 ln 1 ln

2 8 2 8





           







Vậy

b 1 P ac b 2.







    











Chọn ï C.

Ví dụ 3: Biết

   

ln x ln x 1 b

I dx

ln x x 1 e 2



  

  



với

a, b





. Tính

P b a

P8

P6

P6

P 10

Lời giải

Bài toán này khëng cén đơn giản như 2 bài toán trước nữa. Vẫn bám sát phương pháp làm

ta sẽ phải đơn giản và làm xuất hiện biểu thức hợp lè để đưa vào trong dấu vi phân. Vậy

biến đổi như thế nào để xuất hiện biểu thức đê?

Ta có

   

ln x ln x ln x 1 ln x

dx . dx

ln x x 1

ln x x 1 ln x x 1







   



Chî ï rằng

 

ln x 1 ln x

ln x x 1















. Khi đê tèch phân cần tènh trở thành:

   

ln x ln x ln x 1 ln x 1 1 1 2

dx d udu t

ln x x 1 ln x x 1 2 8

ln x x 1 e 2



  



     



   



  

  

Chọn ï B.

Ví dụ 4: Biết

4 3 2

x 1 a

I dx

x 4x 6x 4x 1 b





   



là phân số tối giản. Tính

P b 36a

P0

P1

P2

P5

Lời giải

Sau đây ta sẽ tçm hiểu một số bài toán đưa biểu thức vào trong dấu vi phân với hàm phân

thức hữu tỉ. Cách làm khëng phải là chỉ đưa tử vào trong dấu vi phân mà cần phải biến đổi

bằng cách sau.

Chia cả hai vế cho

ta được:

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

28 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

1 dx d x 2

x 4 x 6







   

  

   

   

    

   





   



   



   





Nhận xét:

 Kỹ thuật chia cả hai vế cho số hạng bậc cao nhất của tử sẽ được áp dụng khá

nhiều trong những bài toán đưa biểu thức vào trong dấu vi phân với hàm

phân thức hữu tỉ.

 Các bài toán này hầu hết cần phải biến đổi mẫu số để phân tèch tử số ra một

cách hợp lè từ đê mới cê thể đưa vào trong dấu vi phân.

Chọn ï A.

Ví dụ 5: Biết

 

3 13

4 2 4 2

9 x 1

4x 2x

I dx a ln b 6 c

x x 1 x x 1









     



   





. Tính

Lời giải

Bài toán này nhçn hçnh thức khá khủng bố, do yæu cầu của những bài toán này là làm đơn

giản tèch phân cho næn tránh việc cộng cả hai biểu thức trong dấu tèch phân mà cần phải

tách chîng ra để tènh đơn giản hơn.

Ta có

     

3 13 3 13 3 13

2 4 2 2

2 2 2

4 2 4 2 4 2 4 2

1 1 1

9 x 1 d x x 1 9 x 1

4x 2x

I dx dx

x x 1 x x 1 x x 1 x x 1

  



   





   



       



  

Tèch phân thứ nhất tènh rất dễ dàng bằng cách đưa biểu thức vào trong dấu vi phân rồi,

cén tèch phân thứ 2 ta sẽ xử lï thế nào? Như bài trước ta sẽ chia cả tử và mẫu cho

, ta có:

 

3 13

3 13 3 13 3 13

2 2 2

1 1 1

x 1 9

9 dx 9 dx 9 dx arctan

x x 1



  













  













  

Đến đây dễ dàng tènh được:

 

3 13

I ln x x 1 arctan ln 66 18 13 3





       

Chọn ï A.

Nhận xét: Ở bài toán træn ta đã sử dụng một tènh chất của hàm phân thức hữu tỉ.

du 1 u

arctan C

u a a a







TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 29

5. TÌCH PHÂN LIÊN KẾT

Cê rất nhiều bài toán tèch phân ta khëng thể sử dụng cách tènh trực tiếp được hoặc tènh

trực tiếp tương đối khê với những bài toán như vậy ta thường sử dụng tới một kỹ thuật đê

là tçm tèch phân liæn kết. Chủ yếu các bài toán sử dụng phương pháp này là các tèch phân

lượng giác hoặc cê thể là hàm phân thức. Để hiểu rì hơn ta cíng đi vào phương pháp.

Xét tích phân

 

I f x dx



ta sẽ tçm liæn kết với tèch phân

 

K g x dx



và tçm các mối

liæn hệ giữa I, K. Ta đi thiết lập mối liæn hệ giữa I, K

cI dK m

eI vK n











. Giải hệ này ta sẽ tçm

được cả I và K.

Kinh nghiệm. Ta thường gặp các trường hợp sau:

 Hai tích phân

IK

, tènh được

IK

từ đê suy ra I.

 K là một tèch phân tènh đơn giản, khi đê từ

mI nK a

ta sẽ tènh được I.

Cách tìm tích phân. K. Việc tçm tèch phân này chủ yếu dựa vào kinh nghiệm, riæng đối với

tèch phân lượng giác thç ta thường hay chî ï đến việc đổi chỗ sinx cho cosx để tạo tèch

phân liæn kết!

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

I cos 2xsin xdx







 

sin x

I dx

sin x 3 cos x









cos xsin x

I dx

sin x cos x















I dx









Lời giải

1. Ở ngay câu đầu ta đã thấy ngay sự khê khăn rồi phải chứ? Bây giờ sẽ nghĩ tới tèch phân

liæn kết. Chî ï tới đẳng thức

sin x cos x 1

ta sẽ thử tạo tèch phân liæn kết với tích

phân

K cos 2x cos xdx







Ta có:

I K cos 2xdx sin 2x



   



Mặt khác ta lại cê:

 

1 1 1 1 3

K I cos 2xdx 1 cos 4x dx x sin 4x

2 2 4 4 3 4











       







CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

30 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Từ đây suy ra được

1 3 3

8 4 3











2. Chú û tìch phân liên kết của ta là

 

cos x

K dx

sin x 3 cos x









Ta có:

 

1 1 dx 1 3

I 3K dx I cot x

4 4 3 3

sin x 3 cosx

sin x









      

















Giờ cần tçm một mối liæn hệ nữa giữa I,K , chî ï đến kiến thức kiến thức phần trước – Đưa

biểu thức vào trong dấu vi phân, ở đây ta thấy rằng

   

sin x ' cos x, cos x ' sin x  

, do đê

nghĩ cách làm sao đê để cê thể đưa một biểu thức vào trong dấu vi phân. Ta cê:

 

d sin x 3 cosx

cosx 3 sin x 1 3 3

K I 3 dx

2 sin x 3 cos x

sin x 3 cosx sin x 3 cosx









    







Từ đây suy ra





3. Chú û nếu tình được tìch phân

sin x cosx

K dx

sin x cos x









Ta có:

     

4 3 4 3 4 4

cos x ' 4 cos x sin x, sin x ' 4 sin x cosx cos x sin x sin 4x      

 

sin 4x

4 I K dx ln sin x cos x 0 I K

sin x cos x



        





Để ï rằng

 

2 2 2

4 4 2 2

0 0 0

d cos2x

sin xcosx sin 2x 1

I K dx dx

sin x cos x 1 cos 2x 2 1 cos 2x 4

  



     

  

  

Vậy





4. Chọn tìch phân liên kết

 

2x 2

2x 2x

e dx 1 1 1 e 3

K ln e 3 ln

e 3 2 e 3 2 2 4





    









Ta có

1 1 e 3

3I K dx 1 I ln

3 6 4





     







5. Ta chú û tới hằng đẳng thức sau

  

6 2 4 2

x 1 x 1 x x 1    

, ta chọn

K dx







Ta có:



x x 1 1

I K dx dx arctan x

x 1 x 1 4



  

    







 

x 1 1

K dx arctan x

x 1 3 3 12



   





TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 31

Vậy





LUYỆN TẬP

Tính các tích phân sau:

sin x

I dx

sin x cos x









100

100 100

sin x

I dx

sin x cos x









 

sin x

I dx

sin x cosx









sin x

I dx

sin x cosx









cos x

I dx

sin x 3 cos x









sin x

I dx

sin x cosx









I sin 2x.cos xdx







n n 2

I sin x cos xdx









2 sin x 1

I dx

sin x cosx 1











10.

cos 2x

I dx

cos 2x







11.

 

I dx

x 1 x







12.

 

I dx







13.

cos5x

I dx

sin 2x







14.

sin 5x

I dx

cosx







15.

2 cot x 3tan x

I dx

cot x tan x











CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

32 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

6. KỸ THUẬT LƯỢNG GIÁC HÓA

Khi tènh tèch phân ta sẽ gặp một số bài toán dưới dấu căn thức chứa một số hàm cê dạng

đặc biệt mà khê tènh như bçnh thường được, khi đê ta sẽ nghĩ tới phương pháp lượng giác

hêa. Với những dạng sau thç ta sẽ sử dụng phương pháp lượng giác hêa.

 Nếu bài toán cê chứa

ax

thç ta đặt

x a sin t

hoặc

x a cos t

 Nếu bài toán cê chứa

xa

thç ta đặt

sin t



hoặc

cos t



 Nếu bài toán cê chứa

xa

hoặc

xa

thç ta đặt

x a tan t

 Nếu bài toán cê chứa





thç ta đặt

x a cos 2t

 Nếu bài toán cê chứa

  

x a b x

thç ta đặt

 

x a b a sin t  

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

I 4 x dx



 

4 x 4 x







I x 1 x dx



 

x dx







I dx









Lời giải

1. Hãy thử đặt bút làm câu này theo cách bënh thường xem vấn đề ở đây là gë nhé!

Đặt

x 2 sin t, t ; dx 2 costdt





    





 

I 4 cos tdx 2 1 cos 2t dt 2 t sin 2t







       







2. Đặt

x 2sin t, t ; dx 2 costdt





    





 

2 cos tdt dt 1 1

I tan t

4 cos t 4

4 4 sin t





    





3. Đặt

x sin t dx cos tdt  

. Ta được:

 

2 2 2 2

2 2 2

0 0 0

1 1 1

I sin t 1 sin t cos tdt sin t cos tdt 1 cos 4t dt t sin 4t

8 8 4 16



  





        





  

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 33

4. Đặt

x sin t, t ; dx costdt





    





 

6 6 6

0 0 0

sin t cos tdt sin tdt 1 1

I tan td tan t tan t

cos t 3

1 sin t



  

     



  

5. Đặt

x 5cos 2t dx 10sin 2tdt   

 

5 1 cos 2t

I 10 dt 20 cos t dt 2 3

5 1 cos 2t 2





     





CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

34 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

7. NGUYÊN HÀM – TÌCH PHÂN TỪNG PHẦN

Kỹ thuật từng phần là một kỹ thuât khá cơ bản nhưng rất hiệu quả trong các bài toán tènh

tích phân, ở trong phần này ta sẽ khëng nhắc lại các bài toán cơ bản nữa mà chỉ đề cập tới

một số bài toán nâng cao trong phần này. Trước tiæn ta sẽ đi nhắc lại và chứng minh cëng

thức tènh nguyæn hàm – tèch phân từng phần.

Giả sử

   

u x , v x

là các hàm liên tục trên miền D khi đî ta cî:

   

d uv udv vdu d uv udv vdu

uv udv vdu udv uv vdu

    

     

  

Cëng thức træn chènh là cëng thức nguyæn hàm từng phần. Như vậy ta đã cíng chứng

minh cëng thức tènh nguyæn hàm từng phần, sau đây cíng đi vào các bài toán cụ thể.

Ví dụ 1: Cho hàm số

 

thỏa mãn

 

x.f x .e dx 8







và

 

f 3 ln 3

. Tính

 

I e dx



I 1.

I 11.

I 8 ln 3.

I 8 ln 3.

Lời giải

Đặt

 

du dx

dv f x e dx



















Khi đê

 

     

f x f x f x

x.f x e dx x.e e dx







     

f 3 f x f x

8 3.e e dx e dx 9 8 1      



Chọn ï A.

Ví dụ 2: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

0; ,









và đồng thời thỏa mãn hai

điều kiện

 

f ' x cos xdx 10







và

 

f 0 3.

Tích phân

 

f x sin 2xdx





bằng?

I 13.

I 7.

I 7.

I 13.

Lời giải

Xét

 

f ' x cos xdx 10







, đặt

 

du sin 2xdx

u cos x

v f x

dv f ' x cos xdx





















     

       

10 f ' x cos xdx cos xf x f x sin 2xdx

10 f 0 f x sin 2xdx f x sin 2xdx 10 f 0 13







   

       



Chọn ï D.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 35

Hai vè dụ mở đầu cê vẻ vẫn đang chỉ dừng ở mức dễ áp dụng cëng thức, từ bài thứ 3 trở đi

mọi thứ sẽ nâng cao hơn nhiều yæu cầu phải biến đổi và cê tư duy hơn trong việc đặt u,

dv!

Ví dụ 3: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương, cê đạo hàm liæn tục træn

 

0; 2 .

Biết

 

f 0 1

và

   

2x 4x

f x f 2 x e





với mọi

 

x 0; 2 .

Tính

 

x 3x f ' x

I dx









Lời giải

Một bài toán vận dung cao khá là khê, bât giờ ta sẽ đi tçm biểu thức dv, ta cê thể dễ ràng

thấy rằng

 

f ' x

dx ln f x





, từ đây ta sẽ giải quyết bài têa như sau.

Từ giả thiết

     

2x 4x

f x f 2 x e f 2 1



   

Ta có

 

x 3x f ' x

I dx







Đặt

 

u x 3x

du 3x 6x dx

f ' x

dv dx

v ln f x





















 

3 2 2 2

I x 3x ln f x 3x 6x ln f x dx 3 x 2x ln f x dx 3J         



Ta có

 

         

x 2 t

J x 2x ln f x dx 2 t 2 2 t ln f 2 t d 2 t





       





       

 

2 x 2 2 x ln f 2 x d 2 x x 2x ln f 2 x dx



        





 

   

2 2 2

0 0 0

2J x 2x ln f x dx x 2x ln f 2 x dx x 2x ln f x f 2 x dx        

  

    

2 2x 4x 2 2

32 16

x 2x ln e dx x 2x 2x 4x dx J

15 15



       



Vậy

I 3J .

   

Chọn ï D.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

36 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Ví dụ 4: Cho biểu thức

 

2cotx

S ln 1 2 sin 2x e dx









  







với số thực

m 0.

Chọn khẳng

định đîng trong các khẳng định sau.

S 5.

S 9.

S 2 cot 2 ln sin .

4 m 4 m



   



   



   

S 2 tan 2 ln .

4 m 4 m



   



   



   

Lời giải

Ta có

 

2 2 2

2cot x 2 cot x 2 cot x

4 m 4 m 4 m

2 sin 2x e dx 2 e dx sin 2xe dx

  

  

  

  

 

Xét

 

2 2 2

2cotx 2 cotx 2 2 2 cot x 2 2 cot x

4 m 4 m 4 m

sin 2xe dx e d sin x sin x.e sin x e dx

sin x

  



  



  



   





  

2 2 cotx 2 cotx

sin x.e 2 e dx









 

Từ

 

và

 

suy ra

2cot

2 2 cotx 2

2 4 m

I sin x.e 1 sin .e











   



2cot

2 2 2

S ln sin .e 2 cot 2ln sin

4 m 4 m 4 m







  

   

   



   



  

   



Chọn ï C.

Ví dụ 5: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm cấp hai liæn tục træn đoạn

 

0;1

đồng thời thỏa

mãn các điều kiện

     

1 1 1

x x x

0 0 0

e f x dx e f ' x dx e f'' x dx 0  

  

. Tính

   

ef ' 1 f ' 0

ef 1 f 0



2

1

Lời giải

Ta đặt

     

1 1 1

x x x

0 0 0

e f x dx e f ' x dx e f '' x dx a  

  

. Sử dụng tèch phân từng phần ta cê:

 

         

 

         

   

a e d f ' x e.f' 1 f ' 0 e f ' x dx e.f ' 1 f ' 0 2a

ef ' 1 f ' 0

ef 1 f 0

a e d f x e.f 1 f 0 e f x dx e.f 1 f 0 2a



      













      





Chọn ï D.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 37

8. ĐÁNH GIÁ HÀM SỐ ĐỂ TÌNH TÌCH PHÂN

Trong các bài toán tènh tèch phân ta sẽ gặp phải một số trường hợp tènh tèch phân hàm cho

bởi 2 cëng thức phải sử dụng đến đánh giá để so sánh 2 biểu thức từ đê chia tèch phân cần

tènh ra thành 2 phần.

Ta xåt bài toán tổng quát. Tènh tèch phân

   

 

I min f x ,g x dx



 Bước 1: Giải phương trçnh

   

f x g x

 Bước 2: Xåt dấu cho hàm

     

h x f x g x

trên

 

a; b

 Bước 3: Chia tèch phân cần tènh ra thành các tèch phân nhỏ.

Chú ý: Yêu cầu bài toán cî thể thay min bằng max.

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

 

I min x , x dx



 

I min tan x, x dx









 

I max sin x, cosx dx







 

I min tan x 2 sin x,3x dx









I max e cosx,2 x dx





   







Lời giải

1. Xåt phương trçnh













Ta thấy rằng khi

 

 

 

 

2 2 2

x 0;1 x x min x ; x x

x 1; 2 x x min x ; x x



    





    





Vậy

 

2 1 2

0 0 1

4 2 1

I min x , x dx x dx x dx



   

  

2. Xåt hàm số

 

f x tan x x

. Ta có

 

f ' x 1 0

cos x

  

. Vậy

 

luën đồng biến træn .

Mặt khác ta lại cê

 

f 0 0

nên

x0

là nghiệm duy nhất của phương trçnh

 

f x 0

 Nếu

   

x 0; f x f 0 0 tan x x





     





 Nếu

   

x ;0 f x f 0 0 tan x x





      





Vậy

 

I min tan x,x dx tan xdx xdx ln

32 2











    





  

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

38 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

3. Xåt phương trçnh

sin x cosx x



  

 Nếu

x 0; sin x cos x





  





 Nếu

x ; sin x cosx





  





Vậy

 

2 4 2

I max sin x,cos x dx cosxdx sin xdx 2

  



   

  

4. Xåt hàm số:

 

f x tan x 2 sin x 3x  

 

   

cosx 1 2 cosx 1

f' x 2 cos x 3 0 x ;

cos x cos x 3 3







        





Vậy

 

đồng biến træn

;











, từ đê suy ra phương trçnh

 

f x 0

cê nghiệm duy nhất

x0

træn đoạn

;











   

I min tan x 2 sin x,3x dx tan x 2 sin x dx 3xdx 1 ln 2









         

  

5. Xåt hàm số

     

x x x

f x e cos x 2 x f ' x x e sin x 1 f '' x 1 e cosx

             

Ta thấy rằng

       

f'' x 0 x 0; f x ' f 0 0 x 0; f x



   

        

   

   

đồng biến træn đoạn









Mà

 

f 0 0

nên

x0

là nghiệm duy nhất của phương trçnh

 

f x 0

træn đoạn









Vậy

 

I e cosx dx 1 e



     



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 39

9. KỸ THUẬT THẾ BIẾN – LẤY TÌCH PHÂN 2 VẾ

Kỹ thuật thế biến – lấy tèch phân 2 vế được áp dụng cho những bài toán mà giả thiết cê

dạng tổng của hai hàm số, khi đê ta sẽ lợi dụng mối liæn hệ giữa các hàm theo biến số x để

thay thế những biểu thức khác sao cho 2 hàm số đê đổi chỗ cho nhau, để rì hơn ta sẽ cíng

tçm hiểu các vè dụ sau.

Ví dụ 1: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa mãn điều kiện sau

   

2f x 3f 1 x 1 x   

Giá trị của tèch phân

 

f x dx



bằng



Lời giải

Một bài toán khá hay cê 2 cách giải được đưa ra, ta sẽ cíng tiếp cận 2 cách giải sau đây để

thấy được nội dung của phương pháp được áp dụng trong phần này!

Cách 1: Lấy tích phân 2 vế.

Lấy tích phân 2 vế cận tự 0 tới 1 giả thiết ta được:

         

   

1 1 1

0 0 0

1 1 1

0 0 0

2f x 3f 1 x 1 x 2f x dx 3 f 1 x d 1 x 1 x

5 f x dx 1 x f x dx

         



    

  

Cách 2: Thế biến.

Chú ý vào hai biểu thức

x, 1 x

bây giờ nếu ta thế x bởi

1x

thì ta sẽ được hệ phương

trình theo hai biến

   

f x , f 1 x

Thế x bởi

1x

ta được:

   

     

   

2f x 3f 1 x 1 x

4f x 9f x 2 1 x 3 x 2x

2f 1 x 3f x 1 1 x

2 1 x 3 x 2x

f x f x dx

5 20



   



      



    





    

   





Chọn ý D.

Ví dụ 2: Cho hàm số

 

liæn tục træn







và thỏa mãn

 

f x 2f 3x.









Tính tích

phân

 

I dx







Lời giải

Từ giả thiết, thay

bằng

ta được

 

f 2f x









CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

40 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Do đê ta cê hệ

 

f x 2f 3x f x 2f 3x

f x x

1 3 1 6

f 2f x 4f x 2f

x x x x



   

   

   



   

   



   



   

   



   



Khi đê

 

2 2 3

I dx 1 dx x

x x x 2

   

      

   

   



Chọn ï B.

Cách khác. Từ

   

f x 2f 3x f x 3x 2f

   

    

   

   

Khi đê

 

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

I dx 3 2 dx 3 dx 2 dx

x x x



   

   



   



    





   

. Xét

J dx











Đặt



suy

dt dx t dx dx dt

      

Đổi cận

x t 2

x 2 t



  







  





Khi đê

 

   

f t f x

J t.f t dt dt dx I

t t x



    





  

Vậy

I 3 dx 2I I dx

    



Ví dụ 3: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục træn

 

0;1

và thỏa mãn

   

x f x f 1 x 2x x   

Tính tích phân

 

I f x dx





Lời giải

Từ giả thiết, thay

bằng

1x

ta được:

         

1 x f 1 x f x 2 1 x 1 x      

 

   

2 2 3 4

x 2x 1 f 1 x f x 1 2x 6x 4x x .         

Ta có

       

2 4 4 2

x f x f 1 x 2x x f 1 x 2x x x f x        

Thay vào

 

ta được:

 

   

2 4 2 2 3 4

x 2x 1 2x x x f x f x 1 2x 6x 4x x



         



 

2 3 4 6 5 3 2

1 x 2x x f x x 2x 2x 2x 1        

 

  

 

2 3 4 2 2 3 4 2

1 x 2x x f x 1 x 1 x 2x x f x 1 x           

Vậy

 

1 1 1

I f x dx 1 x dx x x



     







TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 41

Chọn ï C.

Ví dụ 4: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục træn

 

2;2

và thỏa mãn

   

2f x 3f x

  



Tính tích phân

 

I f x dx























Lời giải

Từ giả thiết, thay

bằng

x

ta được

   

2f x 3f x

  



Do đê ta cê hệ

   

 

2f x 3f x 4f x 6f x

4 x 4 x

5 4 x

2f x 3f x 9f x 6f x

4 x 4 x



     





  







     







Khi đê

 

I f x dx dx

5 4 x 20





  





Chọn ï C.

Ví dụ 5: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục træn

;











và thỏa mãn

   

2f x f x cosx  

Tính tích phân

 

I f x dx









I 2.



I 2.

Lời giải

Từ giả thiết, thay

bằng

x

ta được

   

2f x f x cos x.  

Do đê ta cê hệ

   

 

2f x f x cosx 4f x 2f x 2 cosx

f x cosx.

2f x f x cosx f x 2f x cosx

     





  



     





Khi đê

 

2 2 2

1 1 2

I f x dx cosdx sin x

3 3 3





  

  

   



Chọn ï B.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

42 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

10. TÍCH PHÂN HÀM CHO BỞI 2 CÔNG THỨC

Ta hiểu nëm na tèch phân hàm phân nhánh tức là các phåp tènh tèch phân những hàm cho

bởi hai cëng thức, đây là một vấn đề dễ khëng cê gç khê khăn cả nếu đã từng gặp và biết

phương pháp làm.

Ví dụ 1: Cho hàm së

 

x 1 khi x 0

e khi x 0













Tính tích phân

 

I f x dx







3e 1





7e 1





9e 1





11e 11





Lời giải

Chú û là đây là hàm cho bởi 2 công thức nên ta sẽ tách tích phân cần tính ra thành 2 tích phân khác

Ta có

     

0 2 0 2

1 0 1 0

9e 1

I f x dx f x dx e dx x 1 dx





     

   

Chọn ï C.

Ví dụ 2: Cho hàm số

 

xác định træn







thỏa

   

f ' x ,f 0 1

2x 1





và

 

f 1 2

Giá trị của biểu thức

   

f 1 f 3

bằng

ln 15

2 ln 15

3 ln 15

4 ln 15

Lời giải

Ta có

 

f ' x

2x 1





 

ln 1 2x C ;x

f x dx ln 2x 1 C

2x 1

ln 2x 1 C ;x

  

     



  













Tới đây ta xåt 2 trường hợp:

 Nếu

   

f 0 1 ln 1 2.0 C 1 C 1.      

 Nếu

   

f 1 2 ln 2.1 1 C 2 C 2      

Do đê

 

ln 1 2x 1 khi x

f 1 ln 3 1

f 3 ln 5 2

ln 2x 1 2 khi x



  



  















  





   

f 1 f 3 3 ln 5 ln 3 3 ln 15       

Chọn ï C.

Ví dụ 3: Cho hàm số

 

xác định træn

 

1\ 2;

và thỏa mãn

 

f ' x

x x 2





   

f 3 f 3 0  

và

 



Giá trị biểu thức

     

f 4 f 1 f 4   

bằng

ln 20



ln 2



ln 80 1

ln 1



Lời giải

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 43

Tương tự như những bài træn, đây là bài toán cũng yæu cầu tènh tèch phân hàm cho bởi 2

cëng thức, chỉ cê điều bài toán này cê tới 3 hàm thç ta vẫn xử lï tương tự như bài trước

thôi!

Ta có

 

1 1 1 1

f' x

x x 2 3 x 1 x 2



  



   



 

   

 

   

 

   

 

ln 1 x ln x 2 C ; x 2

f x dx ln 1 x ln x 2 C ; 2 x 1

x x 2 3

ln x 1 ln x 2 C ; x 1

      

         



    













Xåt 2 trường hợp:

 Nếu

     

 

1 1 1 1 1

f 0 ln 1 0 ln 0 2 C C ln 2

3 3 3 3 3

         

 Nếu

   

f 3 f 3 0 C C ln

3 10

     

Ta có

     

2 1 3

1 5 1 1 1 1 1

f 4 f 1 f 4 ln ln 2 ln C C C ln 2

3 2 3 3 2 3 3

           

Chọn ï B.

Ví dụ 4: Cho hàm số

 

xác định træn

   

0; e ,\

thỏa mãn

 

f ' x ,

x ln x 1





f ln 6









và

 

f e 3

Giá trị biểu thức

 

f f e









bằng?

 

3 ln 2 1

2 ln 2

3ln 2 1

ln 2 3

Lời giải

Theo giả thiết ta có

 

f ' x

x ln x 1





từ đây suy ra

 

   

ln 1 ln x C khi x 0;e

d ln x 1

f x dx ln ln x 1 C

x ln x 1 ln x 1

ln ln x 1 C khi x e;

  







      





   







Ta xåt 2 trường hợp:



f ln 6 ln 1 ln C ln 6 C ln 2

   

      

   

   



   

f e 3 ln ln e 1 C 3 C 3      

Do đê

 

   

 

f ln 2 ln 2

ln 1 ln x ln 2 khi x 0;e

ln ln x 1 3 khi x e;

f e ln 2 3







  













   









 

f f e 3 ln 2 1



   





CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

44 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chọn ï C.

Ví dụ 5: Cho

 

là một nguyæn hàm của hàm số

1 sin 2x





với điều kiện:

x \ k ,k





    





. Biết

   

F 0 1, F 0  

, tính

P F F

12 12



   

  

   

   

P0

P 2 3

P1

D. Không



Lời giải

Với

x k ; k , k





       





ta có:

 

dx dx dx 1

F x tan x C

1 sin 2x 2 4

sin x cos x

2 cos x





     

















  

Ta xåt 2 trường hợp sau:

 Ta có

0; ;

12 4 4

  



  





nên:

 

F 0 1

1 1 3 3 3

F 0 F tan x F

12 2 4 2 2 12 2 2







  

     

          

     

     

 Ta có

11 5

;;

12 4 4

  









nên:

 

11 1 1 3 11 1 3

F F tan x F

12 2 4 2 2 12 2 2







  

     

         

     

     

Vậy

P F F 1

12 12



   

   

   

   

Chọn ï C.

11. TÌCH PHÂN HÀM ẨN

Những bài toán tèch phân trong phần này khëng khê, tất cả được che giấu dưới một lớp

các ẩn số, việc làm của chîng ta là phát hiện ra được cách đặt ẩn để đưa tất cả về dạng

chuẩn thç bài toán sẽ được giải quyết hoàn toàn.

Ví dụ 1: Cho

 

2017

f x dx 2



. Tính tích phân

 

2017

I .f ln x 1 dx.













I1

I2

I4

I5

Lời giải

Thoạt nhçn thç cê lẽ tương đối khủng, nhưng tuy nhiæn bằng cách đặt ẩn phụ thç bài toán

này trở næn vë cíng đơn giản.

Đặt

 

t ln x 1 ,

suy ra

2xdx xdx dt

x 1 x 1 2

  



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 45

Đổi cận

2017

x 0 t 0

x e 1 t 2017

  







   





Khi đê

   

2017 2017

1 1 1

I f t dt f x dx 2 1

2 2 2

    



Chọn ï A.

Ví dụ 2: Cho hàm số

 

liæn tục træn và

 

dx 4, f sin x cos xdx 2







.Tính

tích phân

 

I f x dx



I 2.

I 6.

I 4.

I 10.

Lời giải

Ở đây cê 2 giả thiết cần biến đổi để đưa về tèch phân liæn quan tới hàm

 

 Xét

 

dx 4





. Đặt

t x t x  

2tdt dx.

Đổi cận

x 1 t 1

x 9 t 3

  





  



Suy ra

 

   

9 3 3

1 1 1

4 dx 2 f t 2dt f t dt 2

    

  

 Xét

 

f sin x cos xdx 2







Đặt

u sin x du cos xdx  

Đổi cận

x 0 u 0

x u 1

  









  





. Suy ra

   

2 f sin x cos xdx f t dt







Vậy

     

3 1 3

0 0 1

I f x dx f x dx f x dx 4   

  

Chọn ï C.

Ví dụ 3: Cho hàm số

 

liæn tục træn và

 

x f x

f tan x dx 4, dx 2.









Tính tích

phân

 

I f x dx.



I 6.

I 2.

I 3.

I 1.

Lời giải

Xét tích phân

 

f tan x dx 4







. Đặt

 

1 dt

t tan x dt dx tan x 1 dx dx

cos x 1 t

      



Đổi cận:

x 0 t 0

x t 1

  









  





 

   

0 0 0

f t f x

4 f tan x dx dt dx

t 1 x 1



   



  

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

46 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Từ đê suy ra

 

   

1 1 1

0 0 0

f x x f x

I f x dx dx dx 4 2 6

x 1 x 1

     



  

Chọn ï A.

Ví dụ 4: Cho hàm số

 

liæn tục træn và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

 

tan x.f cos x dx 1,







 

f ln x

dx 1.

xln x





Tính tích phân

 

f 2x

I dx.





I 1.

I 2.

I 3.

I 4.

Lời giải

 Xét

 

A tan x.f cos x dx 1







Đặt

t cos x

dt 2 sin x.cosxdx 2 cos x.tan xdx 2t.tan xdx tan xdx

         

Khi đê

       

1 1 1

2 2 2

f t f t f x f x

111

1 A dt dt dx dx 2

2 t 2 t 2 x x

      

   

 Xét

 

f ln x

B dx 1

xln x





Đặt

2 ln x 2 ln x 2u dx du

u ln x du dx dx dx

x xln x xln x xln x 2u

      

Khi đê

     

4 4 4

1 1 1

f u f x f x

1 B du dx dx 2

2 u 2 x x

    

  

 Xåt tèch phân cần tènh

 

f 2x

I dx





Đặt

       

4 4 1 4

1 1 1

2 2 2

f v f x f x f x

v 2x I dv dx dx dx 2 2 4

v x x x

        

   

Chọn ï D.

Ví dụ 5: Cho hàm số

 

liæn tục træn và thỏa mãn

 

f x 4x 3 2x 1 x     

. Tính

tích phân

 

f x dx





Lời giải

Vấn đề ở câu này nằm ở giả thiết, vậy làm sao để sử dụng giả thiết để tènh được tèch phân

mà đề bài yæu cầu đây? Ý tưởng rất đơn giản đê là đặt

x t 4t 3  

Đặt

 

x t 4t 3 dx 5t 4 dt     

khi đê ta được:

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 47

 

  

 

8 1 1

5 4 4

2 1 1

f x dx f t 4t 3 5t 4 dt 2t 1 5t 4 dt 10

  

       

  

Chọn ï B.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

48 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

12. TÌCH PHÂN ĐỔI CẬN – ĐỔI BIẾN

Các bài toán tích phân đổi biến đổi cận là các bài toán tương đối hay, xuất hiện thường

xuyæn trong các đề thi thử và đề thi THPT Quốc Gia. Để làm tốt dạng này ta cần phải nhớ

những kiến thức sau:

Tính chất 1. Cho tích phân

 

I f x dx



 Đặt

x a b t  

   

dx dt I f a b x dx f x dx       



 Với 2 số m,n ta luôn có

   

 

I m.f x n.f a b x dx

   





Tính chất 2. Nếu

 

là hàm chẵn thç ta cê:



   

f x dx f x dx









     

a a 0

a 0 a

f x dx 2 f x dx 2 f x dx





  



     

 

a a a a

x x x

a a a a

f x f x b .f x

I dx dx dx 2I f x dx

b 1 b 1 b 1



   



    

  

   

Chứng minh

Ở đây sẽ chứng minh một tènh chất tiæu biểu, các tènh chất cén lại sẽ chứng minh tương tự.

Ta chứng minh:

     

 

a a a a

x x x

a a a a

f x f x b .f x

I dx dx dx 2I f x dx

b 1 b 1 b 1



   



    

  

   

 

là hàm chẵn næn ta luën cê

   

f x f x

Đặt

x t dx dt    

 

   

a a a

t t x

a a a

f t b .f t b .f x

I d t dt I dx

b 1 b 1 b 1







     

  

  

Từ đê suy ra điều phải chứng minh!

Tính chất 3. Nếu

 

là hàm lẻ thç ta cê:



   

f x dx f x dx









 

f x dx 0







Tình chất này chứng minh tương tự như với hàm chẵn!

Tính chất 4. Nếu

 

là hàm tuần hoàn chu kç T,

   

f x T f x

thì ta có:



   

T a T

f x dx f x dx









   

nT T

f x dx n f x dx





   

b b nT

a a nT

f x dx f x dx







Tính chất 5. Kỹ thuật xử lï một số bài toán sử dụng tènh chất

   

f a b x dx f x dx  



Cách làm chung cho những bài thuộc dạng này đî là:

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 49

Viết 2 lần giả thiết

 

   

 

I f x dx

2I f x f a b x dx

I f a b x dx







    





  





Với cách làm này ta sẽ cê cách giải quyết tổng quất rất nhanh những bài toán cê dạng mà

giả thiết cho

   

f x f a b x c 0   

. Khi đê ta cê tènh chất sau:

 

1 b a

c f x 2 c









Chứng minh

Ta viết lại 2 lần giả thiết như sau:

 

   

I dx

c f x

2I dx

c f x c f a b x

I dx

c f a b x













  







   









  





Ta có:

 

   

 

   

 

2 c f x f a b x 2 c f x f a b x

c c f x f a b x f x f a b x c c f x f a b x c c

       

  

           

1 b a

2I dx I

c 2 c



   



- điều phải chứng minh

Ví dụ 1: Cho hàm số

 

liæn tục trên và thỏa

   

f x f x 2 2 cos2x   

với mọi

x 

. Tính

 

I f x dx









I6

I0

I2

I6

Lời giải

Giả thiết cî tổng nên gợi û ngay đến sử dụng tình chất 1 . Ta có:

     

 

3 3 3

2 2 2

3 3 3

2 2 2

I f x dx f x f x dx 2 2 cos 2x dx 6

1 1 2

  

  

      



  

Chọn ï D.

Ví dụ 2: Cê bao nhiæu số thực

 

a 2017;2017

thỏa mãn

cosx 3

2018 1 2









1284

1285

1286

1287

Lời giải

Bài này chình là tình chất 2! Áp dụng tình chất 2 ta cî:

 

a k2

cosx 3 3

dx cosxdx 3 sin a k

2018 1 2 2

a k2







  



      









  







CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

50 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

 Nếu

a k2 321 k 320



      

 Nếu

a k2 321 k 320



      

Vậy cê 1284 số a thỏa mãn yæu cầu.

Chọn ï A.

Ví dụ 3: Cho

 

liæn tục træn thỏa mãn

     

f x f x 4 x , f x dx 1    



và

 

f 3x 5 dx 12



. Tính

 

f x dx



Lời giải

Nhën qua ta nhận thấy ngay dấu hiệu của hàm tuần hoàn, tuy nhiên phải xử lû giả thiết thứ 2 đã!

Ta có:

       

2 2 11

1 1 8

f 3x 5 dx 12 f 3x 5 d 3x 5 12 f x dx 36

       

  

Áp dụng tènh chất thứ 3 của hàm tuần hoàn

   

b b nT

a a nT

f x dx f x dx







ta có:

         

7 4 7 4 7 4

0 0 4 0 4 4

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 37



    

    

Chọn ï C.

Ví dụ 4: Cho

a b 2018

và

I dx 10

x 2018 x







. Tính

J sin dx





























Lời giải

Đây là bài toán cê giả thiết

a b 2018

và tèch phân các cận từ a tới b næn ta sẽ chî ï đến

tènh chất thứ 5.

Ta có

   

x 2018 x

f x f 2018 x

x 2018 x x 2018 x



   

   

Theo cách làm của tènh chất 5 ta cê:

   

 

2I f x f 2018 x dx 2 dx 10 a b 20        



Kết hợp với giả thiết ta giải ra được

a 999

b 1019











b 1019

a 999

x x 9

J sin dx sin dx

3 3 2



   

    

   



   



Chọn ï A.

Ví dụ 5: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0; 2

thỏa mãn

     

f x f 2 x , f x dx 10  



Tính

 

x 3x f x dx



40

20

Lời giải

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 51

Vẫn là ï tưởng cũ dạng toán cũ sử dụng đến tènh chất 5.

Ta có:

 

   

 

3 2 0

I x 3x f x dx

2I 4 f x dx 40 I 20

I 2 x 3 2 x f 2 x dx







       





    





Chọn ï D.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

52 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

13. TÌCH PHÂN CÓ CẬN THAY ĐỔI

Nếu như bçnh thường ta hay xåt với những bài tèch phân cê cận là các hằng số cố định thç

trong phần này ta sẽ cíng tçm hiểu các bài toán cê cận là các hàm theo biến x. Trước tiæn

để làm được những bài toán này ta cần nhớ kiến thức sau:

Định lý: Nếu

 

là hàm khả tèch træn

 

a; b

, liæn tục tại mọi

 

x a; b

thç hàm số

 

xác định bởi

   

F x f t dt



khả vi tại x và

   

F' x f x

Tổng quát ta cê

   

 

   

 

   

 

F' x f t dt ' v' x f v x u' x f u x  



Phương pháp chung: Để giải những bài toán ở phần này tất cả đều theo 2 bước chènh:

 Bước 1: Đạo hàm giả thiết

 Bước 2: Biến đổi kết quả của đạo hàm để suy ra yæu cầu của bài toán.

Sau đây là những vè dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số

 

liæn tục træn và

 

3x 96 f t dt



. Tìm a?

96

2

Lời giải

Những ai lần đầu gặp bài này ắt hẳn sẽ rất khê khăn, tuy nhiæn ta đã cê phương pháp rồi

do đê sẽ bám sát nê!

Lấy đạo hàm hai vế ta được

 

15x f x

Từ đây suy ra

 

5 4 5 5 5

3x 96 15x dt 3t 3 x a a 2       



Chọn ï B.

Ví dụ 2: Cho

         





3 3 3 2

f x f t f ' t 3f t f ' t dt 2018   

       

       



. Tính

 

2018e

2018e

2018e

2018e

Lời giải

Lấy đạo hàm 2 vế ta được

         

   

 

     

3 3 3 2

f x f x f ' x 3f x f ' x

f x f ' x 0 f x f ' x f x ce

  

       

       

      

Thay vào giả thiết ta cê:

       





   

 

3 3 3 2

x t t t t

x 3 3t 3

ce ce ce 3ce ce dt 2018

ce 3c e dt 2018 3c . 2018

c 2018 f 1 e 2018

   

    

   



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 53

Chú ý:

 Ở lời giải træn cê chỗ

     

f x f ' x f x ce  

vấn đề này ta sẽ được tçm hiểu ở

phần sau!

 Bước tçm hằng số c ở đoạn sau chî ï là ta đang coi x cố định để tènh tích phân

cho ra một hàm theo biến x.

Chọn ï C.

Ví dụ 3: Tçm tập nghiệm của bất phương trçnh

2018

dt 0







 

; 

 

;0

   

; \ 0 

 

0;

Lời giải

Đặt

     

2018 2018

f x dt f ' x , f ' x 0 x 0

t 1 x 1

     





Ta cê bảng biến thiæn như sau:





 

f ' x

- 0 +

 





Nhìn vào bảng biến thiæn ta suy ra được

   

x ; \ 0  

Chọn ï C.

Ví dụ 4: Cho hàm số

 

f x 0

xác định và cê đạo hàm træn đoạn

 

0;1 ,

thỏa mãn đồng

thời điều kiện

   

g x 1 2018 f t dt

g x f x

















Tính

 

I g x dx



1009



I 505.

1011



2019



Lời giải

Theo cách làm chung thë ta vẫn đi lấy đạo hàm hai vế!

Từ giả thiết, ta cê

   

     

g' x 2018f x

2018f x 2f ' x .f x

g' x 2f ' x .f x

















   

f x 0 L

2f x 1009 f ' x 0 .

f' x 1009 f x 1009x C





   







   





Thay ngược lại, ta được

   

1 2018 1009t C dt 1009x C   



CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

54 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

 

1009

1 2018 t Ct 1009x C C 1.



      





Suy ra

 

f x 1009x 1

hoặc

 

f x 1009x 1

(loại vç

 

f x 1009x 1

) .

Khi đê

     

1 1 1

0 0 0

1011

I g x dx f x dx 1009x 1 dx

    

  

Chọn ï C.

Ví dụ 5: Cho hàm số

 

nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn

 

0;1 ,

thỏa mãn

     

f x 1 3 f t dt g x  



với mọi

 

x 0; 1

, tích phân

 

g x dx



cê giá trị lớn nhất là?

Lời giải

Từ giả thiết

   

g x 1 3 f t dt



ta có

 

   

g 0 1

g' x 3f x















và

 

 

g x 0, x 0;1 .  

Theo giả thiết

     

 

g ' x

g x f x g x .

2 g x





    

Lấy tèch phân cận từ

0t

ta được:

 

     

g ' x

dx dx g x x

2 g x

g t g 0 t g t t 1.

  

     



Do đê

 

g x dx x 1 dx



  







Chọn ï B.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 55

14. BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI F’(X) VÀ F(X)

Trong phần này ta sẽ cíng nhau tçm hiểu về một lớp bài toán liæn quan tới quan hệ của hai

hàm

   

f ' x , f x

, đây là một dạng đã xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia 2018 của Bộ

GD&ĐT và trong rất nhiều đề thi thử của các trường chuyæn, ta sẽ cíng bắt đầu tçm hiểu

vấn đề này ngay sau đây.

1. BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TÌCH.

Ta sẽ bắt gặp các bài toán cê dạng

     

 

f ' x g x .h f x

, với

 

là hàm theo biến x thì

khi gặp những bài toán này cách làm chung của ta sẽ là lấy nguyæn hàm 2 vế, cụ thể:

     

 

f' x f ' x

f' x g x .h f x g x dx g x dx

h f x h f x

    



Hoặc cê thể lấy tèch phân 2 vế, đến đây thç tíy thuộc vào yæu cầu và giả thiết của bài toán

thç ta cê thể suy ra kết quả cần tènh.

Để cíng hiểu rì hơn ta sẽ bắt đầu với những vè dụ sau:

Ví dụ 1: Cho hàm số

 

thỏa mãn

 



và

   

 

f ' x 4x f x x  

. Giá trị của

 

bằng?

100



391

400



Đề thi THPT Quốc Gia 2018

Lời giải

Phân tích: Nếu ban đầu gặp dạng này thç cê lẽ ta sẽ khëng biết cách sử lï thế nào, tuy

nhiæn bám sát vào bài toán tổng quát ta sẽ cê hướng làm như sau:

Giả thiết tương đương với:

   

 

f' x

f' x 4x f x 4x

  

Đến đây ta sẽ lấy nguyæn hàm hay tèch phân? Chî ï là với những bài toán bắt tènh giá trị

của hàm số tại một điểm nào đê mà giả thiết đã cho giá trị của hàm tại một điểm nào đê cê

giá trị xác định thç ta sẽ lấy tèch phân hai vế. Lấy tèch phân cận từ 1 đến 2 cả 2 vế ta được:

 

     

 

f ' x f ' x

4x dx 4x dx 15

f x f x

1 1 1 1

15 15 f 1

f x f 2 f 1 10

   

         



Chọn ï B.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

56 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Ví dụ 2: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

 

f 0 2

và

   

 

4 2 3

f x f ' x x 1 1 f x  

     

     

 

x 0;1

. Biết rằng

   

 

f ' x 0,f x 0 x 0;1   

. Mệnh

đề nào dưới đây đîng?

 

2 f 1 3

 

3 f 1 4

 

4 f 1 5

 

5 f 1 6

Đề thi thử chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi

Lời giải

Vẫn là ï tưởng đê nhưng cê vẻ đã được tác giả chën giấu kỹ hơn!

Ta bám sát bài toán tổng quát, chî ï với bài toán tổng quát thç

 

f ' x

chỉ ở bậc 1 vậy làm

sao để đưa về bậc 1 bây giờ? Rất đơn giản thëi ta sẽ lấy căn hai vế!

Ta có:

     

   

 

   

 





 

2 2 3

f ' x f x

f ' x f x x 1 1 f x

1 f x x 1

f ' x f x

dx dx ln x x 1 ln 1 2

1 f x x 1

    



      





 





 

d 1 f x

dx ln 1 2 1 f x ln 1 2

1 f x

1 f x 1 2 ln 1 2 f 1 2.6051...



      



       



Chọn ï A.

Ví dụ 3: Cho hàm số

 

cê đạo hàm

 

f ' x

liæn tục và nhận giá trị khëng âm trên





1; ,

thỏa

 

f 1 0,

 

2f x

e . f x 4x 4x 1



  





với mọi





x 1; . 

Mệnh đề nào sau

đây đîng?

 

1 f 4 0.



  

 

0 f 4 1.





 

1 f 4 2.





 

2 f 4 3.





Lời giải

Câu này thoạt nhçn cê vẻ thấy khá khê khăn nhưng vẫn ï tưởng giống bài của chuyæn Læ

Khiết thëi ta sẽ lấy căn hai vế!

Lấy căn hai vế ta được

 

e f x 2x 1





 

f ' x

không âm trên





1;

 

   

 

f x f x

e f x dx 2x 1 dx e x x C.



      



Thay

x1

vào hai vế, ta được

 

e 1 1 C C 1.    

Suy ra

 

   

2x 1 7

e x x 1 f x ln x x 1 f x f 4 .

x x 1 13





          



Chọn ï B.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 57

Ví dụ 4: Cho hàm số

 

cê đạo hàm xác định, liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa mãn

 

f 0 1





và

   

 

f ' x f '' x

f x 0





















với mọi

 

x 0;1 .

Đặt

   

P f 1 f 0

, khẳng định nào sau đây đîng?

2 P 1.   

1 P 0.  

0 P 1.

1 P 2.

Lời giải

Ta đã nhçn thấy chît bêng dáng của

     

P f ' x dx f 1 f 0  



næn ta cần tçm

 

f x .



Từ giả thiết ta cê:

 

f'' x f '' x

1 dx x x C f' x

f' x x C

f' x f' x

         



   

   



Mà

   

f ' 0 1 C 1 f' x .

      



Vậy

 

P f x dx dx ln 2 0,69.



      





Chọn ï B.

Ví dụ 5: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm træn

 

0; 3 ,

thỏa mãn

   

 

f 3 x .f x 1

f x 1















với mọi

 

x 0; 3

và

 

f 0 .



Tính tích phân

 

   

xf' x

I dx

1 f 3 x .f x













I 1.



Lời giải

Từ giả thiết

   

 

f 3 x .f x 1

f 3 2.

















   

f 3 x f x 1

     

1 f 3 x .f x 1 f x .    

   

   

Khi đê ta được:

 

     

3 3 3

0 0 0

xf ' x

1 x 1

I dx xd dx 1 J.

1 f x 1 f x 1 f x

1 f x



        



  









  

Tính

       

3 0 3 3

t 3 x

0 3 0 0

1 1 1 1

J dx dt dt dx.

1 f x 1 f 3 t 1 f 3 t 1 f 3 x



    

      

   

Suy ra

   

3 3 3

f 3 x .f x 1

0 0 0

1 1 3

2J dx dx 1dx 3 J .

1 f x 1 f 3 x 2



     

  

  

Vậy



Chọn ï A.

Tóm lại: Qua 5 vè dụ vừa rồi ta đã làm quen được với dạng toán cê

   

f ' x , f x

và đã

tìm hiểu qua cách giải của các bài toán này, những thứ ta cần phải chî ï đê là:

 Chuyển

 

f ' x

và hàm theo biến

 

sang một bæn, chî ï

 

f ' x

phải luën bậc

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

58 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

nhất

 Lấy nguyæn hàm hoặc tèch phân tíy thuộc vào đề bài

 Ngoài ra cê thể nhớ nhanh kết quả sau:

     

f ' x kf x f x Ce  

2. BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TỔNG.

Xåt bài toán tổng quát sau:

       

f ' x k x f x g x

. Gọi

   

G x g x dx



với

 

là một

họ nguyæn hàm của

 

. Nhân cả hai vế với

 

ta được:

 

   

 

   

 

G x G x G x

G x G x G x G x

e f ' x g x .e f x k x e

e f x ' k x e f x e k x e dx





   



Ngoài ra cén một số dạng nữa ta sẽ tçm hiểu trong các vè dụ.

Ta sẽ cíng giải quyết dạng toán này thëng qua các vè dụ sau:

Ví dụ 1: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

,\ 0; 1

thỏa mãn

     

x x 1 .f' x f x x x   

với mọi

 

x ; 1\ 0

và

 

f 1 2 ln 2.

Biết

 

f 2 a bln 3

với

a, b 

, tính

P a b .



Lời giải

Theo như bài toán tổng quát thç

 

f ' x

đang độc lập thế næn ở bài toán này ta cũng cần phải

độc lập

 

f ' x

. Biến đổi giả thiết ta được

       

 

x x 1 .f' x f x x x f' x f x 1

x x 1

      



Ta có:

 

1 1 1 x x

dx dx ln e

x x 1 x x 1 x 1 x 1









   

    

   

   

   



Nhân cả hai vế với

x1

ta thấy rằng:

 

   

x 1 x

f ' x f x f x . .

x 1 x 1















Do đê giả

thiết tương đương với :

   

x x x x 1

f x . f x . dx 1 dx x ln x 1 C.

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1



   

        





    

   



Mà

   

f 1 2 ln 2 C 1 f x . x ln x 1 1.

         



Cho

x2

ta được

   

2 3 3 9

f 2 . 2 ln 3 1 f 2 ln 3 P .

3 2 2 2







        











Chọn ï D.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 59

Ví dụ 2: Cho hàm số

 

thỏa mãn

     

f ' x f x .f'' x 15x 12x  





với mọi

x 

và

   

f 0 f 0 1.





Giá trị của

 

bằng

10.

Chuyên Đại học Vinh

Lời giải

Đây là một câu nhçn qua tương đối lạ, tuy nhiæn ï tưởng của bài toán vẫn như bài træn đê

là vẫn biến đổi một vế là đạo hàm của vế kia chỉ cê điều cách thực hiện khëng tương tự.

Hướng giải của bài toán như sau:

Nhận thấy được

         

f ' x f x .f'' x f x .f' x '.

   

   

Do đê giả thiết tương đương với

   

f x .f' x ' 15x 12x.





   

 

   

f 0 f' 0 1.

4 5 2 5 2

f x .f' x 15x 12x dx 3x 6x C C 1 f x .f' x 3x 6x 1



          



   

 

5 2 3

f x .f' x dx 3x 6x 1 dx 2x x C'.

        



Thay

x0

vào hai vế ta được

 

C' C' .

  

Vậy

   

2 6 3 2

f x x 4x 2x 1 f 1 8.     

Chọn ï C.

Ví dụ 3: Cho hàm số

 

cê đạo hàm đến cấp 2 đồng thời liæn tục træn thỏa mãn

   

f 0 f ' 0 1

và

     

f x 2f ' x f '' x x 2x x     

. Tính

 

f x dx



107 21

12 e



107 12

21 e



107 21

12 e



107 12

21 e



Lời giải

Đây lại là một dạng nhçn rất lạ phải khëng, nhưng thực chất chènh là bài toán tổng quát

ban đầu, tuy nhiæn phải cê chît tinh ï nhận ra điều sau:

       

 

       

 

   

 

   

 

   

 

   

 

x x x 3 2

x x 3 2

f x f ' x f ' x f '' x x 2x

f x f ' x f x f ' x ' x 2x

e f x f ' x e f x f ' x ' e x 2x

e f x f ' x ' e x 2x

e f x f ' x e x x 2x 2 C

    

     

   

      

Mặt khác

   

f 0 f ' 0 1

nên

C4

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

60 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

   

 

   

 

x x 3 2

x x 3 2 x 3 2

e f x f ' x e x x 2x 2 4

e f x ' e x x 2x 2 4

e f x e x x 2x 2 4 dx e x 4x 10x 12 4x C

      

     

           



Ta lại cê:

       

3 2 x

107 21

f 0 1 C 13 f x x 4x 10x 12 4x 13 e f x dx

12 e



            



Chọn ï A.

Ví dụ 4: Cho hàm số

 

cê đạo hàm đến cấp 2 đồng thời liæn tục træn đoạn

 

0; 2

 

f 0 1

 

f 2 e

và

   

 

     

 

 

f x 0, f x f x f '' x f ' x 0 x 0; 2     

. Tính

 

Lời giải

Bài này nhçn qua thç thấy giống bài trước, cê lẽ bạn đọc đến đây sẽ tập chung đưa về như

bài trước nhưng điều này gần như khëng thể bởi vç sự xuất hiện “vë duyæn” của dấu “-“.

Vậy làm sao để xử lï được dấu “-“? Ý tưởng thç vẫn là thế tuy nhiæn để ï rằng đạo hàm

của hàm nào ra dấu “-“? Rất đơn giản đê là hàm phân thức! Đến đây ta biến đổi bài toán:

 

     

 

   

f x f '' x f ' x

f ' x f ' x

' 1 x C ln f x x C dx Cx D

f x f x 2





          







Mặt khác:

       

D 0 C 1

f 0 1,f 2 e ln f x x f x e

4 2 2C D D 0







        



   



Do đê

 

f 1 e

Chọn ï D.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Cho hàm số

 

cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

 

f 0 1

 



và

       

 

f '' x f x 2 f ' x x f x , x 0;1   

   

   

. Tích phân

 

3x 2 f x dx



bằng?



3ln



2 ln



6ln



Chọn ï D.

2. Cho hàm số

 

f x 0, x 0  

cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn nửa khoảng





0;

thỏa mãn

           

f '' x f x 2 f ' x xf x 0,f ' 0 0, f 0 1    





. Tính

 

Chọn ï D.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 61

Ví dụ 5: Cho hai hàm

 

và

 

cê đạo hàm trên

 

1; 2 ,

thỏa mãn

   

f 1 g 1 0

và

 

     

   

 

g x 2017x x 1 f ' x

, x 1;2 .

g ' x f x 2018x



  





















Tính

   

x x 1

I g x f x dx.

x 1 x

















I 1.



I 2.

Lời giải

Bài này cê vẻ tương đối khê khăn rồi do đây là 2 hàm độc lập, tuy nhiæn ta chî ï vẫn bám

sát ï tưởng của các bài toán trong mục này!

Từ giả thiết ta có

 

   

g x f ' x 2017

g ' x f x 2018

x 1 x





  

















. Cộng lại vế theo vế ta được:

 

   

 

   

1 x 1

g x g ' x f ' x f x 1

x 1 x x







   









 

   

 

x 1 x 1

g x f x 1 g x f x x C.

x 1 x x 1 x







      







Mà ta lại cê

         

x x 1 1

f 1 g 1 0 C 1 I g x f x dx x 1 dx .

x 1 x 2





          









Chọn ï A.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

và

   

2017

2f x x.f' x 673x

Giá trị nhỏ nhất của tèch phân

 

f x dx



bằng

3.2017

3.2018

3.2019

Câu 2: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn nửa khoảng





0;

thỏa mãn

 

   

f ' x

x 1 f x





và

   

f 0 1,f 1 a b 2  

với a,b là các số nguyæn.

Tính

P ab

P3

P 66

P6

P 36

Câu 3: Cho hàm số

 

thỏa mãn

   

f ' x 2f x

và

 

f 0 3

. Tích phân

 

f x dx



bằng

 

2 3 e 1

 

3 2e 1

 

3 e 1



 

3 2e 1



CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

62 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 4: Cho hàm số

 

nhận giá trị âm và cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn

     

f ' x 2x 1 f x





và

 

f 0 1

. Giá trị của tèch phân

 

f x dx



bằng



ln 2









Câu 5: Cho hàm số

 

cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

 

f ' 0 1

và

   

f '' x f' x





. Giá trị của biểu thức

   

f 1 f 0

bằng

ln 2

ln 2

ln 2



Câu 6: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn

   

f ' x e f x x   

và

 



. Tính

 

f ln 2

ln 2



ln 2



Câu 7: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn





0;

và thỏa

mãn

     

f 1 1,f x f' x 3x 1  

. Mệnh đề nào dưới đây đîng

 

1 f 5 2

 

4 f 5 5

 

3 f 5 4

 

2 f 5 3

Câu 8: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn





0;

thỏa mãn

 



và

     

f ' x x 1 f x

. Mệnh đề nào dưới đây đîng?

 

2613 f 8 2614

 

2614 f 8 2615

 

2618 f 8 2619

 

2616 f 8 2617

Câu 9: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn

   

f x f ' x 3x 6x

. Biết

rằng

 

f 0 2

. Tính

 

144

100

Câu 10: Cho hàm số

 

nhận giá trị âm và cê đạo hàm liæn tục træn

 

1; 4

thỏa mãn

     

f ' x 2x 1 f x

và

 



. Giá trị của biểu thức

 

2018





bằng

2010

2019



2017

2018



2016

2017



2018

2019



Câu 11: Cho hai hàm số

   

f x ,g x

cê đạo hàm liæn tục træn

 

1; 4

thỏa mãn

   

f 1 g 1 9e

và

       

f x x g ' x ;g x x f ' x   

. Tích phân

   

f x g x





bằng

 



 

9 e e

 



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 63

Câu 12: Cho hai hàm số

   

f x ,g x

cê đạo hàm liæn tục træn

 

1; 4

thỏa mãn

   

f 1 g 1 4

và

       

f x x g ' x ;g x x f ' x   

. Tích phân

   

 

f x g x dx



bằng

8ln 2

3ln 2

6 ln 2

4 ln 2

Câu 13: Cho hàm số

 

và cê đạo hàm liæn tục træn





0;

và thỏa mãn điều kiện

   

f x f ' x e 2x 1



  

. Mệnh đề nào sau đây đîng?

   

e f 4 f 0



   

e f 4 f 0

  

   

e f 4 f 0



   

e f 4 f 0

  

Câu 14: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

 

f 0 0

và

   

 

2xf x f ' x x x 1  

. Tích phân

 

xf x dx



bằng



Câu 15: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;

thỏa mãn

 

f 0 3

và

     

f ' x f x cos x 1 f x

. Tích phân

 

f x dx





bằng

















Câu 16: Cho hàm số

 

cê đạo hàm dương liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

 

f 0 1

và

   

 

f x f ' x

. Tích phân

 

f x dx



bằng

Câu 17: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn điều kiện

   

 

2019

2018f x x.f ' x x , x 0;1   

. Giá trị nhỏ nhất của tèch phân

 

f x dx



bằng

4037

2018.4037

2019.4037

2020.4037

Câu 18: Cho hàm số

 

thỏa mãn

   

cos xf x sin xf' x , x ;

cos x 6 3





   





và đëng thời

f 2 2











. Tích phân

 

f x dx





bằng

ln 1









2 ln 1









ln 1









2020.4037

Câu 19: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn

 

f 0 0

 

f x 1

và đồng

thời

   

f ' x x 1 2x f x 1, x     

. Tính

 

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

64 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 20: Cho hàm số

 

liæn tục và đồng biến træn đoạn

 

1; 4

 

f 1 0

và đồng thời thỏa

mãn

   

 

x 2x.f x f ' x , x 1;4   





. Đặt

 

I f x dx



. Mệnh đề nào dưới đây đîng?

1 I 4

4 I 8

8 I 12

12 I 16

Câu 21: Cho hàm số

 

thỏa mãn

     

f ' x f x f '' x 2x x 1, x     





, và đồng thời

   

f 0 f ' 0 3

. Giá trị của

 

bằng?

Câu 22: Cho hàm số

 

thỏa mãn

 

f 0 1

và

   

f ' x 2xf x 2x.e , x



   

. Tènh giá trị

của tèch phân

 

xf x dx





Câu 23: Cho hàm số

 

thỏa mãn

 



và

   

 

2 4 x

f ' x 3x f x 15x 12x e , x



    

Tích phân

 

f x dx



bằng?



2e 1



2e 1

Câu 24: Cho hàm số

 

thỏa mãn

       

 

f x f '' x 2f x f ' x 15x 12x, x    

và

   

f 0 1,f ' 0 9

. Tích phân

 

f x dx



bằng?

199

227

199

Câu 25: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

1; 4

, có

 

f 1 0

và đồng thời

   

 

x 2x.f x f ' x , x 1; 4   





. Tích phân

 

2f x 1 dx



bằng?

Câu 26: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

1; 2

, có

 

f 1 4

và đồng thời

   

 

f x xf' x 2x 3x , x 1; 2    

. Tènh giá trị của

 

Câu 27: Cho hàm số

 

f x 0

thỏa mãn điều kiện

     

f ' x 2x 3 f x

và

 





. Biết

rằng

 

2018

f i a , b



  



và

là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đîng?





a b 1010

b a 3029

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 65

Câu 28: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

 

f 0 1

và đồng

thời điều kiện

   

 

f ' x f x e 1, x 0;1    

. Tính tích phân

 

f x dx



2e 1

 

2 e 1

1e

1 2e

Câu 29: Cho hàm số

 

cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn đoạn

 

1; 3

   

f 1 f ' 1 1

và

 

f x 0

     

 

 

f x f '' x f ' x xf x , x 1; 3   

. Tính

 

ln f 3

4

3

Câu 30: Cho hàm số

 

thỏa mãn đồng thời

   

 

 

f 2 ln ,f ' x e , x 2;2018

   

. Biết

rằng

 

2018

f i ln a ln b ln c ln d



   



với a,b,c,d là các số nguyæn dương và a,c,d là số

nguyæn tố đồng thời

a b c d  

. Giá trị của biểu thức

a b c d  

bằng?

1968

1698

1689

1986

Câu 31: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0; 3

 

f 3 4

và đồng thời

   

 

f ' x 8x 20 4f x , x 0; 3    





. Tích phân

 

f x dx



bằng?

6

Câu 32: Cho hàm số

 

đồng biến, cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn đoạn

 

0; 2

, biết rằng

   

f 0 1, f 2 e

và

       

 

f x f x f '' x f ' x 0, x 0; 2    

   

   

. Tính

 

6

Câu 33: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

 

f 1 1

và đồng

thời

 

 

2 6 4 2

f ' x 4 6x 1 f x 40x 44x 32x 4, x 0;1       





. Tích phân

 

f x dx



bằng?



Câu 34: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn và thỏa mãn

 



và đồng thời

điều kiện

       

x 2 f x x 1 f ' x e   

. Giá trị của

 

bằng?

Câu 35: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

\ 1;0

thỏa mãn

 

f 1 2 ln 2

và

       

x x 1 f ' x f x x x, x \ 1;0      

. Biết

   

f 2 a bln 3 a,b  

. Giá trị của biểu

thức

ab

bằng?

Câu 36: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa

mãn

   

 

f x 2 3 f t dt, x 0;1   







. Tích phân

 

f x dx



bằng?

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

66 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học



Câu 37: Cho hàm số

 

liæn tục và cê đạo hàm træn khoảng

 

0;

thỏa mãn điều kiện

 

f x sin xdx 4







và

   

 

f x x sin x f ' x cosx  

. Mệnh đề nào sau đây đîng?

 

11 f 12  

 

5 f 6  

 

6 f 7  

 

12 f 13  

Câu 38: Cho hàm số

 

cê đạo đến cấp 2 liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn điều kiện

     

 

f ' x f x f '' x 1, x 0;1   





và

     

f 0 f 0 f ' 0



. Tçm giá trị nhỏ nhất của tích

phân

 

f x dx



Câu 39: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn

 

f 1 1

và đồng thời điều

kiện

   

2018

f ' x f x xe , x  





. Số nghiệm của phương trçnh

 



là?

Câu 40: Cho hàm số

 

xác định và liæn tục træn

 

thỏa mãn

 

f 1 2

và đồng

thời

         

x f x 2x 1 f x xf' x 1, x \ 0     

. Tính

 

f x dx



ln 2



ln 2



ln 2



ln 2 3



Câu 41: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương, cê đạo hàm liæn tục træn khoảng

 

0;

thỏa

mãn

 

  

2f' x f x x 2

, x 0



  





và

 



. Tích phân

 







ln 2



ln 2



ln 2



ln 2



Câu 42: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn

 

f 1 e

và đồng thời điều

kiện

     

x 2 f x xf' x x , x    

. Tính

 

4e 4e 4

4e 2e 1

2e 2e 2

4e 4e 1

Câu 43: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương thỏa mãn

 

f' x 3x , x 0;

    

và

 

3x 1

f x 9





. Giá trị của biểu thức

   

f 1 f 2

bằng?

Câu 44: Cho hàm số

 

đồng biến và cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn

 

f 0 1

và

   

f ' x e f x , x  





. Tính

 

f x dx



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 67

e2

e1

Câu 45: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương và

 

cê đạo hàm liæn tục træn









thỏa

mãn

     

f' x tan xf x , x 0; , f 0 1





   





. Tính

 

cos xf x dx











Câu 46: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn và

 

f ' x e 2x 3





 

f 0 ln 2

Tích phân

 

f x dx



bằng?

6ln 2 2

6ln 2 2

6ln 2 3

6ln 2 3

Câu 47: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

 

f 1 1

và đồng

thời

   

 

xf' x f x x , x 0;1   

. Tính tích phân

 

xf x dx



Câu 48: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn

 

f 0 1

và đồng thời điều

kiện

   

f ' x f x x e 1, x    

. Tính

 

6e 3

6e 2

3e 1

9e 1

Câu 49: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;

thỏa mãn

 

f 1 2

và đồng thời

 

f' x 4x 3x

  

và

 

f 1 2

. Phương trçnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

y f x

tại

điểm cê hoành độ

x2

là?

y 16x 20

y 16x 20  

y 16x 20  

y 16x 20

Câu 50: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục và nhận giá trị khëng âm træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

   

 

 

f x f ' x

1 f x , x 0;1

   

   

   





. Biết

 

f 0 1

. Mệnh đề nào sau đây

đîng?

 

f 1 ;3









 

f 1 3;









 

f 1 2;









 

f 1 ;2









ĐÁP ÁN

Câu 1. Chọn ï C.

Theo giả thiết ta cê

 

2 2018

x f x ' 673x

, lấy tèch phân 2 vế cận từ 0 tới x ta được

 

   

2019

2 2018 2

2017 2017

673x

x f x 'dx 673x dx x f x

2019

x x 1

f x f x dx dx

3 3 3.2018

  

    



Câu 2: Chọn ï A.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

68 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 3: Chọn ï C.

Câu 4: Chọn ï D.

Câu 5: Chọn ï B.

Câu 6: Chọn ï B.

Câu 7: Chọn ï C.

Câu 8: Chọn ï C.

Câu 9: Chọn ï B.

Câu 10: Chọn ï D.

Ta có

 

   

 

f' x

1 1 1 1

2x 1 x x C f x

f x f x x x x x 1





            







 

2018 2018

i 1 i 1

1 1 1 1 2018

i i 1 1 2019 2019



   

        

   



   



Câu 11: Chọn ï B.

Đặt

           

h x f x g x , h 1 g 1 f 1 9e    

. Ta có

           

 

   

 

h 1 9e

f x g x x f ' x g ' x h x x h' x 0

h' x

ln h x C h x 9e

h x x x

f x g x

dx e dx 9 e e



      





       



   



Câu 12: Chọn ï A.

Tương tự câu 11

Câu 13: Chọn ï A.

Câu 14: Chọn ï A.

Câu 15: Chọn ï B.

Câu 16: Chọn ï B.

Câu 17: Chọn ï D.

Tương tự câu 1.

Câu 18: Chọn ï B.

Câu 19: Chọn ï B.

Câu 20: Chọn ï D.

Câu 21: Chọn ï A.

Câu 22: Chọn ï A.

Câu 23: Chọn ï C.

Câu 24: Chọn ï C.

Câu 25: Chọn ï B.

Câu 26: Chọn ï D.

Câu 27: Chọn ï D.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 69

Câu 28: Chọn ï B.

Câu 29: Chọn ý A.

Biến đổi giả thiết ta cê

 

     

 

   

 

   

f 1 f' 1 1

f 1 1

f x f '' x f ' x

f ' x f ' x

' x C

f x f x 3

4 x 4 x 4x

C ln f x dx C

3 3 3 12 3

5 x 4x 5

D ln f x ln f 3 4

4 12 3 4









      







         





          



Câu 30: Chọn ï C.

Biến đổi giả thiết ta cê

 

   

 

   

    

   

 

f 2 ln

f x f x

2018

2 2 2

f ' x e dx dx e C 1

x x C

f x ln 1 f i ln 1

2 1 3 1 ... 2018 1

1.3.2.4.3.5...2017.2019

2.3...2018 2.3...2018

2019!

2017!.

2019

1.2

2018!



     





   

     



   

   





  

















 

2018

3.673

f i ln 3 ln 4 ln 673 ln 1009

.2.2018 2 .1009



     



Câu 31: Chọn ï B.

Từ giả thiết ta cê

   

 

3 3 3

0 0 0

f ' x dx 8x 20 4f x dx 12 4 f x dx    





  

Áp dụng cëng thức tèch phân từng phần ta cê

       

   





 

   

 

   

3 3 3

0 0 0

f 3 4

f x dx xf x xf ' x dx 12 xf ' x dx

f ' x dx 12 4 12 xf' x dx

f ' x 2x dx 0 f ' x 2x f x x C

C 5 f x x 5 f x dx 6



   

   





       

        

  





Câu 32: Chọn ï D.

Ta có

   

 

f x f 0 1, x 0;2   

do vậy

 

     

 

f x f '' x f ' x

f ' x

' 1 ln f x Cx D

f x 2









     









Mặt khác do

       

D 0 C 2

f 0 1,f 2 e f x e f 1 e

6 2 2C D D 0







       



   



Câu 33: Chọn ï C.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

70 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Lấy tèch phân 2 vế træn đoạn

 

0;1

ta được

 

1 1 1

2 6 4 2

0 0 0

376

f ' x dx 4 6x 1 f x dx 40x 44x 32x 4 dx

105

      





  

Áp dụng cëng thức tèch phân từng phần ta được:

 

   

 

3 3 3

6x 1 f x dx f x d 2x x

2x x f x 2x x f ' x 1 2x x f ' x dx

  

      



Thay lại đẳng thức træn ta cê

 





 

   

3 3 4 2

f 1 1

376

f ' x dx 4 1 2x x f ' x dx

105

f ' x dx 4 2x x f ' x dx 0

105

f ' x 2 2x x dx 0 f ' x 2 2x x f x x x C

C 1 f x x x 1 f x dx



   





    





          

       





Câu 34: Chọn ï D.

Câu 35: Chọn ï B.

Câu 36: Chọn ï A.

Xem lại phần tèch phân cê cận thay đổi

Câu 37: Chọn ï B.

Câu 38: Chọn ï C.

Biến đổi giả thiết tương đương

         

 

f x f ' x ' f' x f x f '' x 1, x 0;1    

   

   

Lấy tèch phân cận từ 0 đến x ta được

       

   

           

2 2 2

f x f ' x dx f 0 f ' 0 x dx

f x f 0

f 0 f ' 0 x f x x f 0 2f 0 f ' 0 x

2 2 2







       



             

2 2 2 2

1 11

f x dx x f 0 2f 0 f ' 0 x dx f 0 f 0 f ' 0



       





Dấu “=” xảy ra chẳng hạn tại

 

f x x x 1  

Câu 39: Chọn ï B.

Ta có

     

2018

f ' x f x dx xe dx x 1 e C   







 

       

2019

x 1 e C; f 1 1 C f x 1 2019 x 1 e

2019 2019





          

Vậy

     

x x 2019 2019

2019

f x 1 2019 x 1 e 2019 x 1 e e 1 0



           

Xåt hàm số

       

x 2019 2019 x 2019 x 2019 x 2019

g x 2019 x 1 e e 1 g ' x 2019 e x 1 e 2019xe

   



        



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 71

 

g' x 0

cê đîng 1 nghiệm næn

 

g x 0

cê tối đa 2 nghiệm

Câu 40: Chọn ï B.

Từ giả thiết ta cê

         

 

x f x 2xf x 1 xf ' x f x xf x 1 xf x 1       

Suy ra

 

xf x 1 '

dx dx x C xf x 1

xf x 1



      





Mặt khác

     

1 1 1

f 1 2 C 0 xf x 1 f x

x x x

           

Suy ra

 

1 1 1

f x dx dx ln 2

x x 2



     







Câu 41: Chọn ï C.

Câu 42: Chọn ï A.

Câu 43: Chọn ï C.

Câu 44: Chọn ï D.

Câu 45: Chọn ï B.

Câu 46: Chọn ï B.

Câu 47: Chọn ï B.

Câu 48: Chọn ï D.

Câu 49: Chọn ï D.

Câu 50: Chọn ï A.

Tương tự với câu trong đề thi thử Chuyæn Læ Khiết , xem lại phần trước

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

72 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

15. BẤT ĐẲNG THỨC TÌCH PHÂN

Các bài toán bất đẳng thức tèch phân được giới thiệu trong phần này nhất là phần sử dụng

bất đẳng thức Cauchy – Schwarz đa phần chỉ mang tènh tènh tham khảo, khëng næn quá đi

sâu do đây là chương trçnh liæn quan tới toán cao cấp của bậc đại học, chỉ næn học phần 1

và phần 2!

1. PHÂN TÌCH BËNH PHƯƠNG

Với dạng toán này ta cần chî ï tới những kiến thức sau đây:

Với

   

f x ,g x

là các hàm liæn tục træn

 

 

a; b a b

ta có:



 

f x dx 0



. Dấu “=” xảy ra

 

 

f x 0 x a;b   



   

f x dx f x dx



. Dấu “=” xảy ra

 

 

 

 

f x 0 x a; b



  







  





 Cëng thức tènh diện tèch hçnh phẳng giới hạn prabol và một đường thẳng:





I ax bx c dx

36a



   



Với

x , x

là 2 nghiệm của phương trçnh

ax bx c 0  

Ví dụ 1: Cho 2 số thực

a, b

thỏa mãn

a b,a b ab 4   

. Tçm giá trị nhỏ nhất của tèch

phân

 

I x a b ab dx   



Lời giải

Đây chỉ là bài tập mở đầu áp dụng cëng thức thëi do a,b đã là nghiệm của phương trçnh

bậc 2 trong dấu trị tuyệt đối rồi!

Ta có:

 





 

3 3 2

222

I x a b x ab dx

a b 4ab ab 4 4ab ab 2 12

36 36 36



    

     

   



Chọn ï D.

Ví dụ 2: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

 

f 1 0

và

 

f ' x dx 7 x f ' x dx

  



. Tính tích phân

 

f x dx



Lời giải

Thoạt nhçn thç bài toán này cê vẻ khá là rắc rối, nhưng hãy chî ï nếu coi

 

f ' x

là ẩn thç ta

thấy bêng dáng của tam thức bậc 2, đến đây ta sẽ giải quyết bài toán như sau:

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 73

Biến đổi giả thiết ta được:

 

   

 

 

f ' x dx 7 x f ' x dx

7 7x 7

f ' x x dx dx

2 2 4

7 7x 7x

f ' x x dx 0 f ' x x 0;1 f x C

2 2 8

  







   









          









Mặt khác ta lại cê

   

f 1 0 C f x dx

8 10

    



Chọn ï D.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1: Cho hàm số

 

cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn

 

0;1

   

f 1 f 0 1

và

       

f ' x 3f x 2 2 6f ' x f x dx









. Tích phân

 

f x dx



bằng

2 21



Câu 2: Cho hàm số

 

cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn

 

0;1

và

   

f 1 f 0 1

thỏa

mãn

       

 

2 f ' x f x dx f ' x f x 1 dx



. Tích phân

 

f x dx







bằng?

5 33

5 33 54



5 33 27



Câu 3: Cho hàm số

 

cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

   

4f 1 f 0

và

         

1 1 1

0 0 0

f x dx 3 f x dx 2 3x 1 f ' x f x dx  

  

. Tính

 

ln 4



ln 4



ln 4



ln 4



Câu 4: Cho hàm số

 

cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn

 

0; 2

thỏa mãn

       

6 f ' x f x dx 2 f ' x f x dx 9



. Tích phân

 

f x dx



bằng

Câu 5: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn điều kiện

     

f x 2ln dx 2 f x ln x 1 dx



  







. Tích phân

 

f x dx



bằng

Câu 6: Cho hàm số

 

cê đạo hàm dương liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

 

f 0 1

và

       

3 f' x f x dx 2 f' x f x dx











. Tính tích phân

 

f x dx







CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

74 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 7: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn









đồng thời thỏa mãn điều kiện

   

f x 2 2f x cos x dx



   



   











. Tích phân

 

f x dx





bằng

Câu 8: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn









và thỏa mãn điều kiện

   

f x 2 2f x sin x dx



    



  











. Tính

 

f x dx







Chî ï xem lời giải vè dụ 1 để vận dụng!

Ví dụ 3: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

đồng thời thỏa mãn

   

f 1 e.f 0 e

và

 

f ' x

dx 1











. Mệnh đề nào dưới đây đîng?

















2 2e









f 2e









Lời giải

Đây là một bài toán tương đối khê cê dạng hơi hơi giống với các bài toán ở phần 5! Ta hãy

để ï rằng

 

f ' x f 1

dx ln f x ln ln e 1

f x f 0

   



. Đến đây ta cê định hướng giải bài toán

này bằng phương pháp hệ số bất định như sau.

Giả sử tồn tại một số

thỏa mãn:

 

f ' x f ' x f ' x

a dx 0 2a a dx 0

f x f x f x

f ' x f ' x

dx 2a a dx 2a a

f x f x



   



     

   



   



   

    







   



Mà theo giả thiết ta cê

 

f ' x

dx 1











 

2a a 1 a 1 0 a 1       

Vậy khi đê giả thiết bài toán sẽ được biến đổi tương đương:

 

f ' x f ' x f ' x

dx 1 1 dx 0 1 f x ke

f x f x f x

   

       

   

   



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 75

Ta có

   

f 1 e.f 0 e

nên

 

k 1 f x e f e



    





Chọn ï B.

Ví dụ 4: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục træn đoạn

 

0;1 ,

thỏa mãn

 

f x dx 4







và

   

f x dx xf x dx 1



. Giá trị của tèch phân

 

f x dx







bằng?

10.

80.

Lời giải

Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tèch phân là

     

f x , xf x , f x





næn ta sẽ nảy ra ï

tưởng liæn kết với bçnh phương

 

f x x .  





Với mỗi số thực

, 

ta có:

         

1 1 1 1

0 0 0 0

f x x dx f x dx 2 x f x dx x dx          

   

   

   

 

4 2 .



       

Ta cần tçm

, 

sao cho

 

f x x dx 0   







hay

 

4 2 0



       

 

3 6 3 6 12 0.          

Để tồn tại



thì

 

3 6 4 3 6 12 0         

 

3 12 12 0 3 2 0 2 6.                  

Vậy

   

 

 

f x 6x 2 dx 0 f x 6x 2, x 0;1 f x dx 10.         

   

   



Chọn ï C.

Ví dụ 5: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa mãn

 

f 1 0

đồng thời

 

f' x dx 7







và

 

x f x dx .





Tích phân

 

f x dx



bằng?

Đề minh họa THPT Quốc Gia 2018

Lời giải

Đây là một câu từng xuất hiện trong đề minh họa THPT Quốc Gia 2018 của bộ và sau đê

đã trở thành một trào lưu trong các đề thi thử và thậm chè đến đề khảo thè chất lượng của

bộ cũng đã từng xuất hiện bài toán này, tuy nhiæn các cách giải træn mạng đa phần là sử

dụng đến bất đẳng thức Cauchy – Schwarz tuy nhiæn đây cê lẽ khëng phải ï tưởng ra đề

của Bộ bởi đây là kiến thức bậc Đại học. Dưới đây là sẽ tiếp cận bài toán bằng kiến thức

của bậc THPT.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

76 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Ý tưởng của bài toán vẫn là đưa về bçnh phương tuy nhiæn hàm dưới dấu tèch phân là

   

f ' x , x f x





khëng cê mối liæn hệ với nhau. Vậy làm sao để làm xuất hiện bçnh

phương đây? Cê

 

f ' x

đang ở dạng bçnh phương thç ta sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng tèch

phân từng phần cho

 

x f x dx





ta được:

     

x f x dx f x x f ' x dx.





Kết hợp với giả thiết

 

f 1 0

, ta suy ra

 

x f' x dx 1.



Bây giờ giả thiết được đưa về

 

f ' x dx 7

x f ' x dx 1

























Hàm dưới dấu tèch phân bây giờ là

   

f ' x , x f' x





næn ta sẽ liæn kết với bçnh phương

 

f ' x x .







Với mỗi số thực



ta có :

       

1 1 1 1

3 3 2 6

0 0 0 0

f' x x dx f' x dx 2 x f ' x dx x dx 7 2 7 .





             





   

Ta cần tçm



sao cho

 

f' x x dx 0



  





hay

 

7 0 7.

     

Vậy

   

 

 

3 3 4

f' x 7x dx 0 f ' x 7x , x 0;1 f x x C



          





   

7 7 7 7

C f x x f x dx .

4 4 4 5

       



Chọn ï B.

Ví dụ 6: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa mãn đồng thời

 

f 1 0

 

f' x dx 2 ln 2









và

 

dx 2 ln 2 .







Tích phân

 

f x dx



bằng?

1 ln 2



1 2 ln 2



3 2 ln 2



3 4ln 2



Lời giải

Thoạt nhçn thç ta sẽ thấy bài này tương tự bài trước vẫn phải làm xuất hiện

   

 

f ' x , f ' x

cíng biến đổi để xem cê như bài trước khëng nhå!

Như các bài trước, ta biến đổi

 

dx 2 ln 2







để làm xuất hiện

 

f ' x

bằng cách

tèch phân từng phần. Đặt

 

u f x

du f ' x dx

dv dx

























TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 77

Khi đê ta được:

 

         

1 1 1

0 0 0

f x f x f ' x f 1 f 0 f ' x

dx dx dx

x 1 x 1 2 1 x 1

      

  



  

Tới đây ta bị vướng

 

vç giả thiết khëng cho. Do đê ta sẽ thæm bớt hằng số như sau:

 

u f x

du f ' x dx

dv dx

















  







với

là hằng số.

Khi đê kết hợp với

 

f 1 0

ta được:

 

   

dx k f x k f ' x dx

x 1 x 1

   

     

   



   





     

1 k f 0 k f ' x dx



      









Ta chọn

sao cho

1 k 0 k 1    

Khi đê:

 

   

1 1 1

0 0 0

3 x x 3

2 ln 2 dx f ' x dx f ' x dx 2 ln 2.

2 x 1 x 1 2

      





  

Hàm dưới dấu tèch phân là

   

f ' x , f' x







næn ta cần cê

 

f ' x .











Ta tçm được

   

1 f ' x f x dx x ln x 1 C

x 1 x 1

          





   

C ln 2 1 f x x ln x 1 ln 2 1.        

Vậy

 

1 2 ln 2

f x dx







Chọn ï B.

2. CÂN BẰNG HỆ SỐ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM

Trong phần này ta sẽ tiếp cận một số bài toán khê hơn phải sử dụng đến bất đẳng thức

AM – GM và các kỹ thuật cân bằng hệ số trong bất đẳng thức. Đầu tiæn nhắc lại bất đẳng

thức AM – GM. Cho 2 số thực dương a,b thç ta luën cê

a b 2 ab

. Dấu “=” xảy ra khi và

chỉ khi

ab

Ví dụ 1: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương và cê đạo hàm

 

f ' x

liên tục trên

 

0;1 ,

thỏa mãn

   

f 1 ef 0

và

 

f ' x dx 2.









Mệnh đề nào sau đây đîng ?

 





 

2 e 2







 





 

2 e 2







Lời giải

Lướt nhçn qua bài toán này thç khá là “hãi” nhưng tuy nhiæn hai tèch phân đang ở cùng

cận nên ta sẽ đưa nê vào cíng một tích phân và sử dụng bất đẳng thức AM – GM như sau:

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

78 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

 

1 1 1 1

AM GM

0 0 0 0

f' x

dx 1

f' x dx f' x dx 2 dx

f x f x f x





   

   



   



   

     

 

2 ln f x 2ln f 1 2 ln f 0 2ln 2ln e 2.

     

Mặt khác theo giả thiết ta lại có:

 

   

 

   

dx 1

f' x dx 2 f ' x f x f ' x 1

f x f x

     







   

 

f x f ' x dx xdx x C f x 2x 2C.

       



Ta có:

   

f 1 ef 0

nên ta có

2 2C e 2C 2 2C e 2C C

      



   

2 2 2

2 2 2e

f x 2x f 1 2 .

e 1 e 1 e 1

      

  

Chọn ý C.

Ví dụ 2: Cho hàm số

 

f x 0

và cê đạo hàm

 

f ' x 0

liên tục trên

 

0;1 ,

thỏa mãn

 

f 0 1

và

       

f x 4 f ' x dx 3 f ' x f x dx.











Tính

 

I f x dx



 

I 2 e 1 .

 

I 2 e 1 .









Lời giải

Bài toán này là một bài toán khê nhưng tuy nhiæn nếu biết về bất đẳng thức AM – GM thì

nê trở læn khá là đơn giản

Áp dụng bất đẳng thức

AM GM

cho ba số dương ta cê

     

   

 

   

f x f x

f x 4 f' x 4 f ' x

f x f x

3 4 f ' x . . 3f ' x f x

   

   

   







       

f x 4 f ' x dx 3 f' x f x dx.



  







Mặt khác theo giả thiết ta có:

         

   

f x f x

f x 4 f ' x dx 3 f ' x f x dx 4 f ' x f' x f x

2 2 2



      

   

   





 

   

f' x f ' x

1 1 1

dx dx ln f x x C f x e .

f x 2 f x 2 2



        



Ta có:

     

 

f 0 1 C 0 f x e f x dx 2 e 1 .       



Nhận xét. Đây là hướng tiếp cận theo bất đẳng thức AM – GM tuy nhiên ta còn một

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 79

cách khác cê thể sẽ nhanh hơn tẹo. Để ï nếu ta coi

a, b

lần lượt là

   

f x ,f ' x

thç ta sẽ

cê được đa thức thuần nhất bậc 3. Cụ thể ta cê:

    

3 3 2

f a, b a 4b 3a b a b a 2b 0      

Khi đê giả thiết tương đương:

           

 

   

 

1 1 1

0 0 0

f x 4 f ' x dx 3 f ' x f x dx f x f ' x f x 2f ' x dx 0



     





  

Mặt khác

 

f x 0

 

f ' x 0

nên dấu “=” xảy ra khi

   

f x 2f ' x

Đến đây bài toán lại trở næn bçnh thường!

Chọn ý A.

Ví dụ 3: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương træn

 

0;1 ,

cê đạo hàm dương và tục trên

 

0;1 ,

thỏa mãn

 

xf ' x

dx 1





và

 

f 0 1,

 

f 1 e .

Tènh giá trị của







f 1.









f 4.









f e.









f e.









Lời giải

Cách làm chung của các bài toán thế này là từ giả nếu bài toán cho là lớn hơn hoặc bằng

thç ta phải chỉ ra dấu nhỏ hơn hoặc bằng và ngược lại. Bài toán này cũng như thế, ta cần

chỉ ra được

 

xf ' x

dx 1





bằng các đánh giá cơ bản.

Hàm dưới dấu tèch phân là:

 

 

xf ' x f ' x

x. , x 0; 1 .

f x f x

  

Điều này khiến ta nảy ra ï tưởng đánh giá:

 

f ' x b.f ' x

x. ax

f x f x



Muốn vậy ta phải đánh giá theo

AM GM

như sau:

 

f ' x xf ' x

mx 2 m.

f x f x



với

m0

và

 

x 0;1 .

Do đê ta cần tçm tham số

m0

sao cho:

 

f ' x xf ' x

mx dx 2 m. dx

f x f x











hay:

     

x m m

ln f x m 2 m.1 ln f 1 ln f 0 2 m 2 0 2 m

2 2 2

         

Để dấu

'' ''

xảy ra thç ta cần cê

2 0 2 m m 4.

    

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

80 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Với

m4

thì ta có:

 

1 1 1

0 0 0

f ' x xf ' x xf ' x

4x dx 4 4. dx dx 1

f x f x f x



    





  

Dấu “=” xảy ra khi

 

f' x



 

   

2 2x C

f' x

dx 4xdx ln f x 2x C f x e .



      



Theo giả thiết

 

f 0 1

C 0 f x e f e.

f 1 e









     













Cách 2. Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

 

1 1 1 1

0 0 0 0

xf ' x f ' x f ' x f 1

1 dx x. dx xdx. dx .ln 1.

f x f x f x 2 f 0

   

   

    

   

   

   

Vậy đẳng thức xảy ra næn ta cê

 

f ' x

kx,



thay vào

 

xf ' x

dx 1





ta được

k 4.

Suy ra

 

f ' x

4x.



Đến đây lời giải giống như trên.

P/s: Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta sẽ tçm hiểu ở phần sau!

Chọn ý C.

Ví dụ 4: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa mãn

   

f x f ' x dx 1







và

 

f 0 1,

 

f 1 3.

Tènh giá trị của







f 2.









f 3.









f e.









f e.









Lời giải

Nhận thấy bài này dấu “



” næn cần phải đánh giá theo chiều ngược lại, chî ï tới bài toán

liæn quan tới

   

f ' x , f x

, nếu ta đánh giá được

   

f x f ' x





về

   

f x f ' x

thì bài toán coi

như được giải quyết. Muốn vậy ta phải đánh giá theo AM – GM như sau:

       

f x f ' x m 2 m.f x f ' x





với

m 0.

Do đê ta cần tçm tham số

m0

sao cho:

   





   

f x f ' x m dx 2 m f x f ' x dx







Hay

 

1 m 2 m . 1 m 2 m

    

Để dấu

'' ''

xảy ra thç ta cần cê

1 m 2 m m 1.   

Khi đê ta được:

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 81

       

   





   

 

1 1 1

0 0 0

f x f ' x dx 1 f x f ' x dx 1dx

f x f ' x 1 dx 2 f x f ' x dx 2

  

   

   

   





  



Dấu “=” xảy ra khi

   

f x f ' x 1

f x f ' x 1 .

f x f ' x 1



















 Nếu

       

 

f x f ' x 1 f x f ' x dx dx x 1 1

          



(vô lý)

 Nếu

       

 

f x f ' x 1 f x f ' x dx dx x C f x 2x 2C.

        



Theo giả thiết

 

f 0 1

C f x 2x 1 f 2.

f 1 3







      













Cách 2. Ta có

   

 

   

f x f ' x dx f 1 f 0 1.



   





Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

       

1 1 1

0 0 0

1 1.f x f ' x dx 1 dx. f x f ' x dx 1.1 1.



   









  

Vậy đẳng thức xảy ra næn ta cê

   

f ' x f x k,

thay vào

   

f x f ' x dx 1



ta được

k 1.

Suy ra

   

f ' x f x 1.

Đến đây làm tiếp như træn!

P/s: Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta sẽ tçm hiểu ở phần sau!

Chọn ï A.

Ví dụ 5: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương và cê đạo hàm

 

f ' x

liên tục trên

 

1; 2 ,

thỏa mãn

 

f ' x

dx 24

xf x









và

 

f 1 1,

 

f 2 16.

Tènh giá trị của

 

f 2 .

 

f 2 1.

 

f 2 2.

 

f 2 2.

 

f 2 4.

Lời giải

Chắc rằng qua 4 vè dụ ở træn ta đã phần nào hçnh dung và nắm được ï tưởng và phương

pháp làm dạng này rồi, bài cuối cíng sẽ khëng đi phân tèch mà đi luën vào lời giải!

Hàm dưới dấu tèch phân là

 

f ' x f' x

xf x x f x

   

   



Điều này làm ta liæn tưởng đến đạo hàm

đîng

 

f ' x

, muốn vậy ta phải đánh giá theo AM – GM như sau:

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

82 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

 

f ' x

mx 2 m

xf x







với

m0

và

 

x 1;2 .

Do đê ta cần tçm tham số

m0

sao cho

 

f ' x

mx dx 2 m dx

xf x

















hay:

     

2m 2m 2m

24 4 m f x 24 4 m f 2 f 1 24 12 m m 16.

3 3 3



          



Để dấu

'' ''

xảy ra thç ta cần cê

24 12 m m 16.

   

Với

m 16

thç đẳng thức xảy ra næn

 

f ' x

16x 2x

xf x

2 f x





  

 

   

 

f' x

dx 2xdx f x x C f x x C

2 f x

       



Theo giả thiết

 

f 1 1

C 0 f x x f 2 4.

f 2 16







     









Cách 2. Ta có

 

     

f' x f' x

dx 2. dx 2 f x 2 f 2 f 1 6.

f x 2 f x



    





Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

 

2 1 2 2

1 1 1 1

f ' x

f ' x f ' x

6 dx x. dx xdx. dx .24 36

xf x 2

f x xf x

   





   

    

   

   

   

Vậy đẳng thức xảy ra næn ta cê

 

f' x f ' x

k x kx

xf x f x

  

thay vào

 

f ' x

dx 6





ta được

k 4.

Suy ra

 

f ' x

4x.



Đến đây làm tiếp như træn!

Chọn ï D.

3. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN

Nhçn chung thç các bài toán này chưa gặp thç sẽ thấy nê lạ và rất khê, tuy nhiæn nếu đã

gặp và làm quen rồi thç bài toán này trở næn tương đối dễ, cê thể dễ hơn 2 dạng toán træn !

 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân

Cho

   

 

f x ,g x : a, b 

là các hàm khả tèch træn đoạn

 

a; b

khi đê ta luën có :

       





b b b

a a a

f x dx. g x dx f x g x dx

  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

   

f x kg x

với số thực

k0

Chứng minh

Với mọi

t 

xåt bçnh phương ta luën cê

   

 

t.f x g x dx 0



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 83

Điều này tương đương với :

   





   





 

b b b

2 2 2

a a a

h t f x dx t 2 f x .g x dx t g x dx 0 t     

  

+ Trường hợp 1 :

   

f x dx 0 f x 0  



bất đẳng thức đã cho là đẳng thức.

+ Trường hợp 2 :

 

f x dx 0



, đây là tam thức bậc 2 hệ số a dương và luën khëng âm,

tức biệt số delta luën khëng dương. Tương đương :

   





   





   

b b b

a a a

b b b

a a a

' f x .g x dx f x dx. g x dx 0

f x .g x dx f x dx. g x dx

   



  

Đến đây ta cê điều phải chứng minh !

 Bất đẳng thức Holder cho tích phân

Cho

   

 

f x ,g x : a, b 

là các hàm khả tèch træn đoạn

 

a; b

khi đê ta luën cê :

     





 





b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

  

Trong đê p,q là các số thực dương thỏa mãn



Ví dụ 1: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa mãn

 

f 1 0

đồng thời

 

f' x dx 7







và

 

x f x dx .





Tích phân

 

f x dx



bằng?

Đề minh họa THPT Quốc Gia 2018

Lời giải

Bài toán này ta đã được gặp ở phần phân tèch bçnh phương rồi, giờ ta sẽ tçm hiểu một cách

tiếp cận khác bằng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Chî ï là bất đẳng thức Cauchy -

Schwarz cho tích phân thç luën phải cê một lượng bçnh phương cho næn ta khëng được

biến đổi giả thiết

 

f ' x

, tuy duy vẫn như phần trước, ta phải làm xuất hiện

 

f ' x

ở giả

thiết thứ 2.

Tèch phân từng phần cho

 

x f x dx





ta được:

       

1 1 1

2 3 3

0 0 0

x f x dx f x x f ' x dx x f' x dx 1.

    

  

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có :

 





   

1 1 1 1

3 6 3

0 0 0 0

x f' x dx x dx. f' x dx 1 1 x f ' x dx 1     





   

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

84 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Vậy dấu

""

xảy ra khi

 

f ' x kx

. Thế ngược lại ta tçm được

k7

Vậy

 

 

 

f ' x 7x , x 0;1 f x x C

       

   

7 7 7 7

C f x x f x dx .

4 4 4 5

       



Chọn ï B.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.

Câu 1: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

1; 1

thỏa mãn

   

f 1 0, x f x dx



  



và

 

f ' x dx 112







, tính tích phân

 

I f x dx







168

Câu 2: Cho hàm

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn điều kiện

 

   

f' x dx x 1 e f x dx



  



và

 

f 1 0

. Tính tích phân

 

f x dx





e2

Câu 3: Cho hàm

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

   

f 0 0,f 1 1

và

 

f ' x x 1 dx

1 ln 2











. Tích phân

 

x1



bằng

 

ln 1 2



 

ln 1 2





 

ln 1 2



   

1 2 ln 1 2  

Câu 4: Cho hàm

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

 

f 1 1

và đồng thời

 

x.f x dx





và

 

f ' x dx









. Tính

 

f x dx







Câu 5: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

 

f 1 1

 

f' x dx





và

 

f x dx





. Tích phân

 

f x dx



bằng

Câu 6: Cho hàm

 

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

 

f' x dx e f x dx







và

   

ef 1 f 0

. Tính tích phân

 

f x dx



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 85

e2

e1

2e 3

2e 1

Câu 7: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

và

   

f 0 f 1 0

. Biết rằng

   

f x dx , f ' x cos xdx



  



. Tích phân

 

f x dx



bằng



Câu 8: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

. Biết

 

f x dx 3



và

 

f ' x sin xdx  



. Tích phân

f dx









bằng







Câu 9: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

 

f 1 0

 

f ' x dx











 

cos .f x dx













. Tích phân

 

f x dx



bằng



Câu 10: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

, và thỏa mãn

 

f 1 1

 

f ' x dx 9







và

 

x f x dx





. Tích phân

 

f x dx



bằng

Câu 11: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn thỏa mãn











 

f ' x dx











và

 

cosx.f x dx







. Tính

 

f 2018

1

Câu 12: Cho hàm số

 

cê đạo liæn tục træn đoạn

 

1; 2

và thỏa mãn điều kiện

 

f 2 0

   

x 1 f x dx

  



và

 

f ' x dx 7







. Tích phân

 

f x dx



bằng



Câu 13: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

   

x.f x dx x .f x dx





. Tích

phân

 

f x dx



bằng?

Chî ï xem lời giải vè dụ 1 để vận dụng!

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

86 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Ví dụ 2: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0; ,

thỏa mãn

   

f x dx cosxf x dx 1.







Giá

trị nhỏ nhất của tèch phân

 

f x dx





bằng?



2

Lời giải

Nhçn cách phát biểu của bài toán tương đối giống với bài træn, nếu áp dụng bất đẳng thức

Cauchy – Schwarz ta có :

 





   

2 2 2

0 0 0

1 cosx.f x dx cos xdx. f x dx . f x dx.

  



  

   

Suy ra

 

f x dx









đến đây sẽ cê nhiều bạn khoanh A.

Chî ï rằng dấu

'' ''

xảy ra khi

 

f x k cos x

thay vào

 

f x dx 1







ta được:

 

1 f x dx k cosxdx k.sin x 0





   



Điều này là vë lï! Vậy lời giải đîng của ta sẽ cần phải sử dụng tới phương pháp biến thiæn

hằng số. Ta cê

   

 

a a cos xf x dx

f x dx cos xf x dx 1

b bf x dx













  

















với

a, b

a b 0











Theo Cauchy – Schwarz ta có :

     





   

0 0 0

a b a cosx b f x dx a cosx b dx f x dx

  

    

  

Lại cê

 

a cosx b dx a 2b .



   



Suy ra

 

2 a b

f x dx

a 2b











với

a, b

a b 0











Do đê

 

f x dx .max

a 2b













  







Chọn ï B.

Nhận xét:

 Ta nhân thêm

a, b

vào giả thiết được gọi là phương pháp biến thiæn hằng số.

 Cách tçm giá trị lớn nhất của

 

a 2b







ta làm như sau:

+ Nếu

b 0 P 1  

(chènh là đáp án sai mà mçnh đã làm ở træn)

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 87

+ Nếu

 

2 2 2

t 2t 1 a

b 0 P t

a 2b t 2 b















     















Tới đây ta đạo hàm hoặc díng MODE 7 dé tçm. Kết quả thu được GTLN của

bằng

khi

t 2 2 a 2b.

    

Vậy dấu

'' ''

để bài toán xảy ra khi

   

a 2b

f x b 2 cosx 1















Thay ngược lại điều kiện, ta được:

   

1 2 cosx 1

b 2 cosx 1 dx 1 b f x





     





Lúc này

 

2 cos x 1 3

f x dx dx

















Cách khác. Đưa về bënh phương

Hàm dưới dấu tèch phân là

     

f x ,f x , cosx.f x

næn ta liến kết với

 

f x cosx  

Với mỗi số thực

, 

ta có:

 

       

0 0 0 0

f x cosx dx f x dx 2 cosx f x dx cosx dx

   

         

   

   

2 2 2

f x dx 2



       



Ta cần tçm

, 

sao cho

 



      

đạt giá trị nhỏ nhất. Ta cê:

 

2 1 3 3



   

               

   

   

   

Vậy với

;     



thì ta có:

   

2 1 3

f x cosx dx f x dx





   



  





Suy ra

   

2 1 3 3

f x dx f x cosx dx .





    



   





Dấu

'' ''

xảy ra khi

 

2 cos x 1







BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

   

f x dx x.f x dx 1



và

 

f x dx 4







. Giá trị của tèch phân

 

f x dx



là

Câu 2: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

   

f x dx e f x dx 1



. Gọi

m là giá trị nhỏ nhất của tèch phân

 

f x dx



. Mệnh đề nào dưới đây đîng?

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

88 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

0 m 1

1 m 2

2 m 3

3 m 4

Câu 3: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

0;

thỏa mãn

   

f x dx sin xf x dx 1







Giá trị nhỏ nhất của tèch phân

 

f x dx





bằng?





2

Câu 4: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

   

f x dx xf x dx 1



. Giá

trị nhỏ nhất của tèch phân

 

f x dx



bằng?

Câu 5: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

1; e

thỏa mãn

   

f x dx ln x.f x dx 1



Giá trị nhỏ nhất của tèch phân

 

f x dx



bằng?

2e 5

e 3e 1





2e 3



2e 3

e 3e 1





2e 5



Câu 6: Cho hàm số

 

liæn tục træn









thỏa mãn

   

f x dx tan xf x dx 1







. Giá

trị nhỏ nhất của tèch phân

 

f x dx





bằng?

 

4ln 2e

4 4ln 2   

 

4ln 2 4

4 4ln 2



   

 

16ln 2e

4 4ln 2   

 

16ln 2 16

4 4ln 2



   

Câu 7: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

   

2018

f x dx x .f x dx 1



. Giá trị

nhỏ nhất của tèch phân

 

f x dx







là?

4036

4038

4034

4032

Câu 8: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

   

x.f x dx f x x dx 1



và

 

f x dx 5







. Giá trị của tèch phân

 

f x dx



bằng

Câu 9: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;

thỏa mãn

 

f ' x sin xdx 1







và

 

f x dx









. Tính tích phân

 

x.f x dx

















Chî ï xem lời giải vè dụ minh họa để vận dụng!

Ví dụ 3: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm liæn tục træn

 

1; 2 ,

thỏa

 

x f x dx 31



Giá trị

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 89

nhỏ nhất của tèch phân

 

f x dx



bằng?

961.

3875.

148955.

923521.

Lời giải

Vẫn là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz nhưng yæu cầu của bài toán

 

bậc 4 và giả thiết

chỉ cê 1, vç thế ï tưởng của ta là đánh giá trực tiếp yæu cầu

 

f x dx



qua

 

x f x dx 31



Thế sử dụng Cauchy – Schwarz như thế nào? Rất đơn giản đê là sử dụng liæn tiếp bất

đẳng thức Cauchy – Schwarz!

Ta cê áp dụng hai lần liæn tiếp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được:

 





 









 









 

4 2 2 2 3

2 2 2 2 2

4 3 2 4 2 2 4 4

1 1 1 1 1

31 x f x dx x .xf x dx x dx x f x dx x dx f x dx



   





     

Suy ra

 





f x dx 3875

x dx





Dấu

'' ''

xảy ra khi

 

f x kx

nên

 

k x dx 31 k 5 f x 5x    



Chọn ï B.

Ví dụ 4: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0; 2 ,

thỏa mãn

 

f 2 1

 

x f x dx





và

 

f ' x dx









Giá trị của tèch phân

 

f x dx



bằng?



Lời giải

Vẫn như bài træn ta phải làm xuất hiện

 

f ' x

. Tèch phân từng phần

 

x f x dx





kết

hợp với

 

f 2 1

, ta được

 

x f x dx







Áp dụng Cauchy – Schwarz 2 lần ta được

 





 









 





4 4 2 2

2 2 2 2

3 2 4 2

0 0 0 0

x f x dx x .xf x dx x dx x f ' x dx





  









   





 









 









 

2 2 2

2 2 2 2 2

4 2 4 4

0 0 0 0 0

x dx x f ' x dx x dx x dx. f ' x dx

1048576 32

x dx f ' x dx .

625 5

  

   

   



   









    



Dấu

'' ''

xảy ra khi

   

xf ' x kx f ' x kx  

thay vào

 

f ' x dx









ta tçm được

k1

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

90 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

   

 

f 2 1

f' x x f x xdx C C 1.



        



Vậy

   

f x 1 f x dx .

    



Chọn ï B.

Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

   

4 4 4 3

f ' x x x x 4x f' x   





Do vậy

   

2 2 2

0 0 0

f' x dx 3 x dx 4 x f x dx.









  

Mà giá trị của hai vế bằng nhau, cê nghĩa là

dấu

'' ''

xảy ra næn

 

f ' x x

. Đến đây là tiếp như træn!

Ví dụ 5: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1

đồng thời thỏa mãn các điều

kiện

 



;

 

f x dx





và

   

 

x 1 1 f ' x dx

x 2 3

   





. Tính

 

f x dx



203

Lời giải

Một bài toán khá khê, ta thấy rằng cê một lượng bçnh phương trong căn nhưng tuy nhiæn

nếu để nguyæn thç khëng thể nào áp dụng Cauchy – Schwarz được, do đê sẽ nảy ra ï

tưởng sử dụng bất đẳng thức AM – GM để phá căn. Nhưng ta khëng thể áp dụng luën

được do

x 1 0

bởi bất đẳng thức AM – GM áp dụng cho 2 số dương, do đê phải đổi

chiều lại mới sử dụng được. Trước tiæn phải biến đổi giả thiết đầu tiæn trước đã.

Sử dụng tèch phân từng phần ta cê:

       

1 1 1

0 0 0

f x dx f 1 x.f' x dx x.f' x dx

    

  

Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

   

 

   

 

2 1 x 1 f ' x 1 x 1 f ' x

x 2 x 2

     



Tèch phân hai vế træn đoạn

 

0;1

ta có:

 

2 4 x x 2

f ' x dx f' x dx

3 3 x 2 2 x 3

   





Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

 





       

 

1 1 1 1

0 0 0 0

4 x x

x.f ' x dx x 2 x f ' x dx x 2 x dx. f ' x dx

9 2 x 2 x



    







   

 

f ' x dx

2 x 3







     

x 53

f' x 2 x f x 2x f x dx

2 60

       



Chọn ï C.

Ví dụ 6: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

 

xf x dx 0



và

 

 

0;1

max f x 6

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 91

Giá trị lớn nhất của tèch phân

 

x f x dx



là?

22

12

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê

     

 

 

 

1 1 1 1

2 2 2

0 0 0 0

1 1 1

2 2 2

0 0 0

0;1

x f x dx x f x dx axf x dx x ax dx

x ax f x dx x ax max f x dx 6 x ax dx

   

     

   

  

Do đê

 

 

1 1 1

2 2 2

0 0 0

a 0;1

x f x dx 6 min x ax dx 6 min x ax dx 2 2



     

  

Dấu “=” xảy ra tại



Chọn ï B.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

 

xf x dx 0



và

 

 

0;1

max f x 6

. Giá

trị lớn nhất của tèch phân

 

x f x dx



là?

Câu 2: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

 

x f x dx 0



và

 

 

0;1

max f x 6

. Giá

trị lớn nhất của tèch phân

 

x f x dx



là?

 

3 2 4



Câu 3: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

 

xf x dx 0



và

 

 

0;1

max f x 6

. Giá

trị lớn nhất của tèch phân

 

x f x dx



là?

 

3 4 2



Tóm lại:

 Đây là một vấn đề cê thể gọi là khê, nhưng tuy nhiæn nếu tçm hiểu kỹ thç ta cê

thể thấy nê cũng khá đơn giản, mấu chốt vẫn luën là các đại lượng bçnh

phương, các đại lượng khác đều phải biến đổi để đưa về đại lượng này.

 Kinh nghiệm giải nhanh: Các bài toán ở đây dấu “=” đều xảy ra tại

   

f x k.g x

, vè dụ như bài toán vè dụ 1,

 

f ' x kx

, vậy trong khi thi trắc

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

92 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

nghiệm nếu biến đổi theo đîng mẫu của bất đẳng thức này rồi thç ta cê thể dự

đoán được mối liæn hệ và thế ngược lại tçm hằng số k, khëng phải mất cëng sử

dụng bất đẳng thức để chứng minh nê nữa, sẽ tiết kiệm được thời gian làm bài!

LUYỆN TẬP

Câu 1: Với các số thực

 

a 0; 1

. Tçm giá trị nhỏ nhất của

S x ax dx



















Chọn ï A.

Áp dụng cëng thức tènh diện tèch hçnh phẳng ta dễ dàng tçm được





Câu 2: Kè hiệu A là tập các hàm số liæn tục træn đoạn

 

0;1

Tìm

 

   

 

2013 2

f x A

I max x f x dx x.f x dx







2014

503

2014

2012

2013

16104

: Chọn ý A.

Ta có

     

2012

1 1 1 1

2013 2 4025

0 0 0 0

x x 1 1

x f x dx x.f x dx xf x dx x dx

2 4 4.4026



     





   

Câu 3: Tçm giá trị nhỏ nhất của tèch phân

   

I x 2 m x 2 dx a b    



trong đê a,b là

nghiệm của phương trçnh

 

x 2 m x 2 0   

128

Chọn ï C.

Áp dụng cëng thức tènh diện tèch hçnh phẳng ta dễ dàng tçm được



Câu 4: Với các số thực

 

a 0; 1

. Tçm giá trị nhỏ nhất của tèch phân

I x ax dx





Chọn ï B.

Phá trị tuyệt đối ta cê

   

1 a 1

3 3 3

0 0 a

M x ax dx x ax dx x ax dx

1 1 1 1

ax x dx x ax dx a

2 2 8 8

     



       





  



Câu 5: Cho m là tham số thực

 

m 1;3

. Gọi a,b lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn

nhất của tèch phân

3 2 2 3

S x 4mx 5m x 2m dx   



. Tính

P a b

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 93



P1



P2

Chọn ï A.

Biến đổi giả thiết ta cê

   

 

       

   

2m 2m

3 2 2 3

2m 2m 2m

2 3 2

m m m

S x 4mx 5m x 2m dx x m x 2m dx

x m x 2m dx x m d x m m x m d x m

1 m 1 1 81

x m x 3 m ;

4 3 12 12 12

      

          

   

      





   



  

Câu 6: Kè hiệu A là tập các hàm số liæn tục træn đoạn

 

0;1

và nhận giá trị khëng âm træn

đoạn

 

0;1

. Xác định số thực c nhỏ nhất sao cho

 

   

2018

f x dx c f x dx f x A  



2018

Chọn ï A.

Đặt

 

   

1 1 1

2018 2017 2017

2018

0 0 0

t x dx 2018t f x dx 2018 t f t dt 2018 f t dt     

  

Do c nhỏ nhất næn

c 2018

. Ta sẽ chứng minh

c 2018

là số cần tçm. Ta xåt hàm số

 

f x x

thay vào bất đẳng thức đề bài ta cê

 

2018

2018 p 1

x dx c x dx c

p 2018



  





Cho

p  

ta suy ra

c 2018

. Vậy

c 2018

là số cần tìm

Câu 7: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương và cê đạo hàm

 

f ' x

liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

   

f 1 2018f 0

. Tçm giá trị nhỏ nhất của

 

M f' x dx













ln 2018

2 ln 2018

2018e

Chọn ï B.

Sử dụng cách phân tèch bçnh phương ta cê

 

1 1 1

0 0 0

f ' x

M f ' x dx f ' x dx 2 dx

f x f x

f ' x

2 dx 2 ln 2018





    







  



Câu 8: Cho 2 số thực a,b thỏa mãn

ab

và

a b ab 4  

. Tçm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức tèch phân

   

M x a x b dx  



Chọn ï A.

Thực hiện tương tự các câu træn.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

94 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 9: Kè hiệu A là tập các hàm số liæn tục træn đoạn

 

0;1

Tìm

 

   

 

2013 2

f x A

I min x f x dx x.f x dx



  



2019



16144



2017

2018



16140



Chọn ï B.

Câu 10: Với

 

m 1;3

, gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   

I x m x 2m dx  



. Tính

a b ?

122

121

Chọn ï C.

Câu 11: Biết giá trị nhỏ nhất của

   

2m 2

2 2 3

I x 2 m m 1 x 4 m m dx



      



, với a,b là

các số nguyæn dương và

tối giản. Tènh

a b ?

337

Chọn ï C.

Câu 12: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

   

2018

a.f b b.f a



với mọi a,b

thuộc đoạn

 

0;1

. Tçm giá trị lớn nhất của tèch phân

 

I f x dx



1009



2018



1009

Chọn ï C.

Đặt

 

x sin t dx costdt M f sin t costdt



    



Tương tự đặt

 

x cos t M f cost sin tdt



  



Do đê

   

 

1 1 2018 1009

M f cos t sin t f sin t cost dt dt

2 2 2



   





Dấu “=” xảy ra chẳng hạn tại

 

2018





Câu 13: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

 

f x f 1 x 1  

với mọi x

thuộc đoạn

 

0;1

. Tçm giá trị lớn nhất của tèch phân

 

I 1 x f x dx





Chọn ï C.

Đặt

     

4 2 4 3 4 3 3

x sin t I 1 sin t f sin t 4sin t costdt 4 f sin t 4sin t cos tdt



    



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 95

Đặt

     

4 2 4 3 4 3 3

x cos t I 1 cos t f cos t 4 cos t sin tdt 4 f cos t 4sin t cos tdt



    



Do đê

   

 

4 4 3 3 3 3

I 2 f sin t f cos t sin t cos tdt 2 sin t cos tdt



   



Câu 14: Cho a,b là hai số thực thỏa mãn

0 a b 1  

. Đặt

 

f a, b 2 x 3x dx a b   



Biết rằng

 

maxf a,b



với m,n là các số thực dương vào

là phân số tối giản. Tènh

T m n

179

Chọn ï A.

Ta đặt

 

2 3 3

g a 2 x 3x dx 2 b a a b



       



Ta có

 

 

     

0;1

g' a 0 a 1;a maxg a max g 0 ;g 1 ;g





      









     

 

3 2 3 2 3 2

1 1 1 1 22

max 2b b 4b ; 2b b 4b ; 2b b 4b

2 2 2 2 27

1 22

g b 2b b 4b

2 27



           





     

Câu 15: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn

   

f x f ' x 1 x  

và

 

f 1 0

. Tìm giá trị lớn nhất của

 

e1



e1

Chọn ï B.

Câu 16: Cho

 

liæn tục træn

 

1; 8

thỏa mãn

 

2 38

f x 2f x dx f x dx

3 15

  



. Giá

trị của tèch phân

 

f x dx



bằng?

 

2 2 4



490

128

Chọn ï B.

Đặt

x t 3x dx dt dx

    

 

   

 

f x 2f x

f x 2f x dx dx



  



Đến đây ta lại sử dụng kỹ thuật đưa về bçnh phương để giải quyết bài toán!

Câu 17: Cho số thực dương a, giá trị lớn nhất của tèch phân

2x 2ax 4a

I dx











bằng?

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

96 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chọn ï D.

Câu 18: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn

   

f ' x f x 0

. Giá trị

lớn nhất của tèch phân

 



 

   

f 0 f 1



   

2f 0 2f 1



Chọn ï C.

Ta có

 

   

 

   

f' x f ' x f ' x

1 1 1 1

1 dx dx

f x f x f x f 0 f 1

f x f x

      

   

   



Câu 19: Cho hàm số

 

cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

 

f 0 1

và

   

 





   

f x 4 f ' x dx 3 f' x f x dx



. Tích phân

 

f x dx



bằng

 

2 e 1

 

2 e 1





Chọn ï A.

Nhận thấy

 

 

     

f ' x 0, x 0;1 1 f 0 f x f 1      

Khi đê ta có

               

 

f x 4 f ' x 3f ' x f x f x 2f ' x f x f ' x 0     

   

   

Đến đây ta cê thể dễ dàng giải quyết bài toán!

Câu 20: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

   

f ' x 2f x 0

, với mọi

 

x 0; 1

và

     

1 1 1

f x f 0 f 1





. Giá trị của biểu thức

 

bằng

Chọn ï C.

Ta có

   

 

   

f' x f ' x

1 1 1

f' x 2f x 0 2 dx dx

f x f 0 f 1

2 f x

       



Dấu “=” xảy ra khi

       

 

2x 2

f' x 2f x f x ke k 0 e

f 0 ke

      

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 97

16. BÀI TOÁN TỔNG HỢP.

ĐỀ BÀI

Câu 1: Gọi

là tập hợp tất cả các số nguyæn dương

thỏa mãn bất phương trçnh

2018.e 2018

e dx







. Số phần tử của tập hợp

bằng.

C. Vë số.

Câu 2: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm træn





1;

thỏa mãn

 

f 1 1

và

 

f ' x 3x 2x 5  

trên





1;

. Tçm số nguyæn dương lớn nhất

sao cho

 

 

x 3;10

min f x m





với mọi hàm số

 

y f x

thỏa điều kiện đề bài.

m 15

m 20

m 25

m 30

Câu 3: Biết

2 8 11

1 1 1 a

x 2 dx c

x x x b



   







, với

a, b, c

nguyæn dương,

tối giản và

ca

. Tính

S a b c  

S 51

S 67

S 39

S 75

Câu 4: Cho hàm số

 

liæn tục và cê đạo hàm tại mọi

 

x 0; 

đồng thời thỏa mãn các

điều kiện

   

 

f x x sin x f ' x cosx  

và

 

f x sin xdx 4.







Khi đê giá trị của

 

f 

nằm

trong khoảng nào?

 

6;7

 

5;6

 

12;13

 

11;12

Câu 5: Cho

 

1 a ln 2 bcln 3 c

x ln x 2 dx

x 2 4





  









với



. Tính

T a b c  

T 13

T 15

T 17

T 11

Câu 6: Cho hàm số

 

thỏa mãn

   

2018

f ' x . f x x.e





với mọi

x 

và

 

f 1 1

. Hỏi

phương trçnh

 



cê bao nhiæu nghiệm?

Câu 7: Cê bao nhiæu giá trị của tham số

nằm trong khoảng

 

0;6

thỏa mãn phương

trình

sin x 1

5 4 cosx 2







Câu 8: Cho hàm số

 

liên tục trên và thỏa mãn

   

f x 1 2 x 1 3

dx C

  







Nguyên hàm của hàm số

 

f 2x

trên tập



là:

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

98 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

 

2 x 4



 

2x 3

4 x 1



 

2x 3

8 x 1



Câu 9: Cho số hữu tỷ dương

thỏa mãn

x.cosmxdx









. Hỏi số

thuộc khoảng

nào trong các khoảng dưới đây?



















;







Câu 10: Cho

I tan xdx



với

n 

. Khi đê

 

0 1 2 3 8 9 10

I I 2 I I ... I I I      

bằng?

 

tan x







 

tan x









 

tan x







 

tan x









Câu 11: Xåt hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn và thỏa mãn điều kiện

 

f 1 1

và

 

f 2 4

. Tính

   

f' x 2 f x 1

J dx













J 1 ln 4

J 4 ln 2

J ln 2



J ln 4



Câu 12: Cho hàm số

 

xác định træn thỏa mãn

 

f ' x e e 2



  

 

f 0 5

và

f ln 0









. Giá trị của biểu thức

   

S f ln 16 f ln 4  

bằng?



   

f 0 .f 2 1

Câu 13: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục træn đoạn

 

0;1

và thoả mãn điều kiện

 

f x 8x f x 0

  



. Tích phân

 

I f x dx



cê kết quả dạng

a b 2



a,b,c 

tối giản. Tènh

a b c

4

10

Câu 14: Tçm tất cả các giá trị dương của tham số

sao cho

x 1 500 m 1

xe dx 2 .e







250 500

m 2 2 2

1000

m 2 1

250 500

m 2 2 2

1000

m 2 1

Câu 15: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn điều kiện

 

f x 6x f x

3x 1





Tính tích phân

 

f x dx



1

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 99

Câu 16: Cho hàm số

 

và

 

liæn tục, cê đạo hàm træn và thỏa mãn

   

f ' 0 .f ' 2 0

và

     

g x f ' x x x 2 e

. Tènh giá trị của tèch phân

   

I f x .g ' x dx



4

e2

2e

Câu 17: Cho

 

x x e

dx a.e bln e c





  





với

c 

. Tính

P a 2b c  

P1

P1

P0

P2

Câu 18: Biết

 

là nguyæn hàm của hàm số

 

x cos x sin x





. Hỏi đồ thị của hàm số

 

y F x

cê bao nhiæu điểm cực trị trong khoảng

 

0; 2018

P1

P1

P0

P2

Câu 19: Biết tích phân

x 2x 3 1 3

dx bln

x 2 a 2









 

a,b 0

tçm các giá trị thực của tham số

để

 

k 1 x 2017

dx lim

x 2018











k0

k0

k0

k 

Câu 20: Giả sử

là các số nguyæn thỏa mãn

2x 4x 1

2x 1







 

au bu c du

  



trong đê

u 2x 1

. Tènh giá trị

S a b c  

S3

S0

S1

S2

Câu 21: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0; 4 ,

thỏa mãn

   

f x f ' x e 2x 1



  

với mọi

 

x 0; 4 .

Khẳng định nào sau đây là đîng?

   

e f 4 f 0 .



   

e f 4 f 0 3e.

   

e f 4 f 0 e 1.  

   

e f 4 f 0 3.

Câu 22: Cho hàm số

 

cê đạo hàm træn

thỏa mãn

   

2017 2018x

f ' x 2018f x 2018x e

với mọi

x 

và

 

f 0 2018.

Tènh giá trị

 

f 1 .

 

2018

f 1 2018e .





 

2018

f 1 2017e .

 

2018

f 1 2018e .

 

2018

f 1 2019e .

Câu 23: Cho hàm số

 

cê đạo hàm và liæn tục træn

thỏa mãn

   

f x xf x 2xe







và

 

f 0 2.

Tính

 

f 1 .

 

f 1 e.

 

f 1 .



 

f 1 .



 

f 1 .



CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

100 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 24: Biết luën cê hai số

và

để

 

ax b







 

4a b 0

là nguyæn hàm của hàm số

 

và thỏa mãn điều kiện

     

2f x F x 1 f ' x





. Khẳng định nào dưới đây đîng và

đầy đủ nhất?

a1

b4

a1

b1

a1

 

b \ 4

a 

b 

Câu 25: Cho

 

I 2x 1 e dx



. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số

để

Im

là

khoảng

 

a; b

. Tính

P a 3b

P3

P2

P1

P0

Câu 26: Giá trị

 

cos x

I x sin x e dx







gần bằng số nào nhất trong các số sau đây?

0, 046

0, 036

0, 037

0, 038

Câu 27: Biết

 

2x 1dx 5

a bln 2 cln a,b,c

2x 3 2x 1 3



   

  



. Tính

T 2a b c  

T4

T2

T1

T3

Câu 28: Cho tích phân

I dx









với

n 

Đặt

       

n 1 2 2 3 3 4 n n 1

u 1. I I 2 I I 3 I I ... n I I n



         

. Biết

lim u L

. Mệnh đề nào

sau đây là đîng?

 

L 1;0

 

L 2; 1  

 

L 0;1

 

L 1; 2

Câu 29: Cê bao nhiæu giá trị nguyæn dương

thỏa mãn tích phân

 

2 2 3 n 1

1 n 2x 3x 4x ... nx dx 2



       



Câu 30: Cho hàm số

 

liæn tục træn thỏa mãn đồng thời 2 tèch phân

 

f 2x dx 2



và

 

f 6x dx 14



. Tính tích phân

 

f 5 x 2 dx







Câu 31: Cho hàm số

 

liæn tục trên

cê đạo hàm cấp hai thỏa mãn

 

x.f'' x e x

và

 

f ' 2 2e,

 

f 0 e .

Mệnh đề nào sau đây là đîng?

 

f 2 4e 1.

 

f 2 2e e .

 

f 2 e 2e.

 

f 2 12.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 101

Câu 32: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

1; 2 ,

đồng biến træn

 

1; 2 ,

thỏa mãn

 

f 1 0

 

f' x dx 2







và

   

f x .f ' x dx 1



. Tích phân

 

f x dx



bằng?

2 2.

Câu 33: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa mãn

 

f 1 1

 

x f x dx





và

   

 

f ' x d f x





. Tính

 

f 2 .

 

f 2 2.

 

251

f 2 .



 

256

f 2 .



 

261

f 2 .



Câu 34: Cho hàm số

 

liæn tục và cê đạo hàm træn

0; ,









thỏa mãn hệ thức

   

f x tan x.f ' x

cos x



. Biết rằng

3f f a 3 bln 3



   

   

   

   

trong đê

a, b .

Tính

giá trị của biểu thức

P a b.





Câu 35: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục træn đoạn

 

0;1

và thỏa mãn

   

af b bf a 1

với

mọi

 

a, b 0;1 .

Tính tích phân

 

I f x dx.













Câu 36: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm træn

 

0; 3 ,

thỏa mãn

   

 

f 3 x .f x 1

f x 1















với mọi

 

x 0; 3

và

 

f 0 .



Tính tích phân

 

   

xf' x

I dx.

1 f 3 x .f x













I 1.



Câu 37: Cho hai hàm

 

và

 

cê đạo hàm træn

 

1; 4 ,

thỏa mãn

   

f 1 g 1 4

g x xf ' x

f x xg ' x

















với

mọi

 

x 1;4 .

Tính tích phân

   

I f x g x dx.







I 3ln 2.

I 4 ln 2.

I 6 ln 2.

I 8ln 2.

Câu 38: Cho hai hàm số

 

và

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0; 2 ,

thỏa mãn

   

f ' 0 .f ' 2 0

và

     

g x .f' x x x 2 e .

Tính tích phân

   

I f x .g ' x dx.



CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

102 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

I 4.

I 4.

I e 2.

I 2 e.

Câu 39: Cho hàm số

 

cê đạo hàm xác định, liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa mãn

 

f ' 0 1

và

   

 

f ' x f '' x

f ' x 0



















với mọi

 

x 0;1 .

Đặt

   

P f 1 f 0

, khẳng định nào sau đây đîng

2 P 1.   

1 P 0.  

0 P 1.

1 P 2.

Câu 40: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục trên và thỏa mãn

   

f x f x x

với mọi

x.

Tính

 

I f x dx.











Câu 41: Cho hàm số

 

xác định và liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa mãn

   

f ' x f' 1 x

với mọi

 

x 0;1 .

Biết rằng

   

f 0 1, f 1 41.

Tính tích phân

 

I f x dx.



I 41.

I 21.

I 41.

I 42.

Câu 42: Cho các hàm số

 

f x ,

 

liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa

     

m.f x n.f 1 x g x  

với

m, n

là số thực khác

và

   

f x dx g x dx 1.



Tính

m n.

m n 0.

m n .



m n 1.

m n 2.

Câu 43: Biết tích phân

ln 8

2x x

ln 3

1 1 b

dx 1 ln a a b

e 1 e

   





với

a, b .





Tính giá trị

của biểu thức

P a b

P 1.

P 1.

P 3.

P 5.

Câu 44: Biết

1 x e

dx a e e



   



với

a, b, c .

Tính

P a b c.  

P 5.

P 4.

P 3.

P 3.

Câu 45: Biết

dx a b 2 c



   





với

a, b, c .

Tính

P a b c.  

P 1.

P 2.

P 3.

P 4.

Câu 46: Biết

x cos x 3

dx a

1 x x







  





với

a, b, c

là các số nguyæn. Tènh giá trị của

biểu thức

P a b c.

P 37.

P 35.

P 35.

P 41.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 103

Câu 47 : Cho hàm số

 

y f x

xác định và liæn tục træn

;2 ,







thỏa mãn điều kiện

 

f x f x 2.



   





Tính tích phân

 

I dx.









I 2.



I 3.

Câu 48: Cho hàm số

 

thỏa mãn

 

f x 0, x 0  

   

f ' 0 0; f 0 1

và đồng thời điều

kiện

       

f '' x f x 2 f' x xf x 0  





. Tènh giá trị của

 

Câu 49: Có bao nhiêu hàm số

 

y f x

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn điều kiện

 

1 1 1

2018 2019 2020

0 0 0

f x dx f x dx f x dx

  

Câu 50: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

1; 4

có

   

f 1 1;f 4 3ln 1

  

và thỏa mãn

đồng thời

 

f' x

9 5 27

dx ; x f ' x dx 9ln

x 1 10 2 10

  





. Tính tích phân

 

f x dx



5ln 6



5ln 6



15ln 6



15ln 6



Câu 51: Cho tích phân

 

1 cosx

2018 cos x

I ln dx aln a bln b 1

2018 sin x









   











với a,b là các số

nguyæn dương. Giá trị của

ab

bằng?

2015

4030

4037

2025

Câu 52: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm

 

 

f ' x 0, x 0;8  

và

 

f x dx 10



. Giá trị lớn

nhất của hàm số

   

g x f t dt





trên





0;8

là?

Câu 53: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm và liæn tục træn









thỏa mãn











đồng

thời

 

dx 1

cos x







và

 

sin x.tan x.f x dx 2











. Tích phân

 

sin x.f' x dx





bằng?

2 3 2



1 3 2



CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

104 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 54: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

1; 4

và thỏa mãn

 

f 2 x 1

ln x





Tính tích phân

 

I f x dx



I 3 2 ln 2

I 2 ln 2

I ln 2

I 2 ln 2

Câu 55: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục, luën dương træn

 

0; 3

và thỏa mãn điều kiện

 

I f x dx 4



. Khi đê giá trị của tèch phân

 

1 ln f x

K e 4 dx







là?

4 12e

12 4e

3e 14

14 3e

Câu 56: Cho

là số thực dương. Biết rằng

 

là một nguyæn hàm của hàm số

   

f x e ln ax









thỏa mãn









và

 

2018

F 2018 e

. Mệnh đề nào sau đây đîng ?

a ;1

2018









a 0;

2018















a 1; 2018





a 2018; 

Câu 57: Biết rằng

 

là một nguyæn hàm træn của hàm số

 

2018

2017x





thỏa mãn

 

F 1 0

. Tçm giá trị nhỏ nhất

của

 



2017

2018





2017

2018





Câu 58: Với mỗi số nguyæn dương

ta kè hiệu

 

I x 1 x dx



. Tính

lim





Câu 59: Tçm tất cả các giá trị dương của

để

 

x 3 x dx f''



  







, với

 

f x ln x

m 20

m4

m5

m3

Câu 60: Cho hàm số

 

liæn tục, khëng âm træn đoạn









, thỏa mãn

 

f 0 3

và

     

f x .f ' x cos x. 1 f x

x 0;











. Tìm giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất

của

hàm số

 

træn đoạn

;











M 2 2



M3



M3

m3

M 2 2

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 105

Câu 61: Cho

 

là hàm số liæn tục træn thỏa mãn đồng thời

 

f x d x 4



 

f x d x 6



. Tính tích phân

 

I f 2x 1 d x







I3

I5

I6

I4

Câu 62: Biết

2018 a

2018 2018

xsin x

sin x cos x b









trong đê

là các số nguyæn dương. Tènh

P 2a b

P8

P 10

P6

P 12

Câu 63: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm træn thỏa mãn

 

f x x 1

3f ' x .e 0





và

 

f 0 1

. Tích phân

 

x.f x dx



bằng

Câu 64: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục træn  thỏa mãn đồng thời điều kiện

     

x 2x 1

3f x f 2 x 2 x 1 e 4



    

. Tính tích phân

 

I f x dx



ta được kết quả là?

I e 4

I8

I2

I e 2

Câu 65: Tènh tổng

0 1 2 3 2017 2018

2018 2018 2018 2018 2018 2018

C C C C C C

3 4 5 6 2020 2021

      

4121202989

4121202990

4121202992

4121202991

Câu 66: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn khoảng

 

0;1

và

 

f x 0

 

x 0;1

Biết rằng

 

thỏa mãn

















và

   

x xf ' x 2f x 4  

 

x 0; 1

. Tính

tích phân

 

sin x.cosx 2 sin 2x

I dx

f sin x









theo

và

3a b

4ab





3b a

4ab





3b a

4ab





3a b

4ab





Câu 67: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn điều kiện

 

f x f x sin x.cos x





  





, với mọi

x 

và

 

f 0 0

. Giá trị của tèch phân

 

x.f x dx







bằng

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

106 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học









Câu 68: Cho hàm số

 

thỏa mãn

 

f ' x 0

 

x 1; 2

và

 

f ' x

x 375









. Biết

 

f 1 1

 



, tính

 

I f x dx





Câu 69: Cho

   

4 cos 2x 3sin 2x ln cos x 2 sin x dx c ln 2



   



, trong đê

c

là phân số tối giản. Tènh

T a b c  

T9

T 11

T5

T7

Câu 70: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

đồng thời thỏa mãn

 

f 0 9





và

   

9f'' x f ' x x 9  





. Tính

   

T f 1 f 0

T 2 9 ln 2

T9

T 9 ln 2



T 2 9 ln 2

Câu 71: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm træn thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:

   

 

   

f 0 f ' 0 1

f x y f x f y 3xy x y 1, x,y









       





Tính tích phân

 

f x 1 dx





Câu 72: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm cấp

liæn tục træn thoả mãn đồng thời các

điều kiện

 

   

       

f x 0, x ,

f 0 f ' 0 1,

x f x f x f x f x , x .



  









 

   

   



   



. Mệnh đề nào sau đây đîng?

 

ln f 1 1



 

0 ln f 1



 

ln f 1 2



 

1 ln f 1



Câu 73: Cho các số

a, b 2

thỏa mãn

2 dx dx





. Khi đê, quan hệ giữa

a, b

là?

a 2b

b 2a

ab

ba

Câu 74: Cho hàm số

 

cê đạo hàm cấp hai træn và

 

f x x 2x 4 f x 2    

Biết

rằng

 

f x 0, x  

tính tích phân

 

I xf '' x dx



I4

I4

I0

I8

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 107

Câu 75: Trong giải tèch,

 

I x ax b dx



với

a, b 

và

 

m,n,p \ 0

được gọi là

tènh được (cî thể biểu diễn bởi các hàm như đa thức, hữu tỷ, lượng giác, logarit, ...) khi một trong

các số

m 1 m 1

p, ,p





là số nguyên. Xét nguyên hàm





x dx







, hỏi cê bao nhiæu

số

 

a 2, 3, 4, 5,6,7,8,9,10

để

cê thể tènh được?

Câu 76 : Một con dæ được buộc vào điểm A træn hàng rào

về phèa ngoài của khu vườn hçnh trén tâm O bán kènh

6m. Sợi dây buộc con dæ cê độ dài bằng nửa chu vi khu

vườn. Hçnh bæn më tả phần cỏ bæn ngoài vườn mà con dæ

cê thể ăn được. Biết rằng với hàm số

 

f : 0;

và điểm

B thuộc

 

sao cho

AOB 0  

thç đoạn BC là tiếp

tuyến

 

cê độ dại

 

f 

sẽ quåt qua một phần mặt

phẳng mà diện tèch được xác định bởi

 







khi



thay đổi từ

0 

( ở đây tènh cả bæn trái lẫn bæn phải)

Từ cëng thức træn hay xác định diện tèch S phần cỏ mà con dæ cê thể ăn được.

S 32

S 18

S 30

S 28

Câu 77: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn điều kiện

   

 

xf x x f x dx





Giá trị nhỏ nhất của tèch phân

 

x f x dx











bằng?

Câu 78: Cho hàm số

 

cê đạo hàm træn

 

1; 3

và

 

f 1 0,

 

 

1;3

max f x 10.

Giá trị nhỏ

nhất của tèch phân

 

f ' x dx







bằng?

10.

20.

Câu 79: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa

   

 

f ' x f x 0, x 0;1 .   

Giá trị lớn nhất của biểu thức

 

f 0 . dx



bằng?





e 1.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

108 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 80: Cho hàm số

 

nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn

 

0;1 .

Đặt hàm số

   

g x 1 f t dt



. Biết rằng

 

g x 2xf x

với mọi

 

x 0; 1

, tích phân

 

g x dx



có giá

trị lớn nhất bằng?

e 1.

e 1.

Câu 81: Cho hàm số

 

nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn

 

0;1 ,

thỏa mãn

điều kiện

   

f x 2018 2 f t dt



với mọi

 

x 0;1 .

Biết giá trị lớn nhất của tèch phân

 

f x dx



cê dạng

ae b

với

a, b .

Tính

a b.

1009.

2018.

2020.

Câu 82: Cho hàm số

 

dương và liæn tục træn

 

1; 3 ,

thỏa

 

 

1;3

max f x 2,

 

 

1;3

min f x



và

biểu thức

 

S f x dx. dx





đạt giá trị lớn nhất, khi đê hãy tènh

 

I f x dx.



Câu 83: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn với mọi

x, y, ,

và

0  

ta có

 

.f x .f y f

 



    



 



. Biết

   

f 0 0, f x dx 2



. Giá trị nhỏ

nhất của tèch phân

 

f x dx



bằng

Câu 84: Cho hàm số

 

dương liæn tục





0;

thỏa mãn đồng thời điều kiện

     

 

f x 2018 2 f t dt, x 0; f x dx 1009 e 1     



.Tính tích phân

 



 

2018 e 1

 

1009 e 1

 

2018 e 2

 

1009 e 1

Câu 85: Cho hàm số

 

cê đạo hàm khác 0 và liæn tục đến cấp hai træn đoạn

 

1; 2

. Biết

     

   

 

 



    

f x 1

f' x xf '' x

ln 2f' 1 f 1 1,f ' x , x 1; 2

2 ln 2

. Tính tích phân

 

I xf x dx



log 5 1

2 ln 2



3log 5 2

4ln 2



log 5 2

ln 2



2 log 5 1

2 ln 2



Câu 86: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

1; 4

thỏa mãn

   

f 1 1,f 4 8   

và đồng

thời

   

 

f ' x x f x 9 x x 3x, x 1; 4     





. Tích phân

 

f x dx



bằng

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 109

7



8

Câu 87: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

1; 2

thỏa mãn đồng thời 2 điều

kiện

       

 

     

       

       

2 2 2 2

2 f 2 f 1 63;2 f x x f ' x 27x , x 1; 2

. Tènh giá trị của tèch

phân

 







f x dx

Câu 88: Cho hàm số

 

cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn

 

1; 3

thỏa mãn điều kiện

 

   

f ' x

dx ; f 1 2 2 , f 3 4

f x 4





  



. Tích phân

 

x2



bằng

65



32

52

Câu 89: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

   

e.f 1 4f 0 4

và đồng thời

   





 

2x x

e f ' x f x dx 4 e .f x dx

  

   

   



. Tính tích phân

 



f x dx

 

4 e 1

 

3 e 1

 

2 e 2

 

5 e 2

Câu 90: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn đồng thời các điều

kiện

     

 





    







1 1 1

f 0 ; x 1 f ' x dx ; dx

16 8 64

f ' x

. Tính tích phân

 



f x dx

Câu 91: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn thỏa

   

 

f 0 0, f x f y sin x sin y   

với

mọi

x, y 

. Giá trị lớn nhất của tèch phân

 





f x f x dx







bằng









Câu 92: Cho hàm số

 

cê đạo hàm cấp hai træn





0;

thỏa mãn đồng thời các điều

kiện

         



  

ln2

f 0 1;f ' 0 0;f'' x 5f ' x 6f x 0, x 0; ; f x dx



        



. Tính giá trị

của tích phân

 

ln 2

f x dx



Câu 93: Cho hàm số

 

liæn tục và cê đạo hàm đến cấp

trên

 

0; 2

thỏa mãn điều kiện

     

f 0 2f 1 f 2 1  

. Giá trị nhỏ nhất của tèch phân

 

f '' x dx







bằng

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

110 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 94: Cho tích phân

 

I x 7 11 x dx



   



, gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của I. Tènh

S M m

54 2 108

36 2 108

6 3 54

6 3 36

Câu 95: Cho tích phân

4 x x







, biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của I được viết dưới dạng









, trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và

là

phân số tối giản. Tènh

S a b c d   

Câu 96: Cho tích phân

I , n







, biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của I được viết dưới dạng





, trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và

là phân số tối giản. Tènh

S a b c d   

Câu 97: Cho tích phân

e sin x

I dx









, biết rằng giá trị lớn nhất của I được viết dưới

dạng



, với a, b là các số nguyæn dương và

tối giản. Tènh tổng

S a b

Câu 98: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

   

f 1 1,f x 0

và đồng thời

       

 

f x ln f x xf' x f x 1 , x 0;1   





. Tính tích phân

 

f x dx





Câu 99: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn điều kiện

   

f 2018x 2017 2018f x , x   

. Tính tích phân

 

f x dx







 







 







 







 







Câu 100: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

1; 2

thỏa mãn

 



và đồng

thời

 

   

 

 

3x f x

f ' x x, x 1;2

f ' x xf ' x x

   







. Tính giá trị của

 

7 7 1



7 7 1



2 7 1



2 7 1



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 111

Câu 101: Cho hàm số

 

liên tục træn

 

0;1

, hàm số

 

f ' x

liæn tục træn đoạn

 

0;1

và

   

f 1 f 0 2

. Biết rằng

 

 

0 f ' x 2 2x, x 0;1   

. Khi đê, giá trị của tèch phân

 

f ' x dx



thuộc khoảng nào sau đây.

 

2; 4

13 14

;







10 13

;







 

1; 3

Câu 102: Cho hàm số

 

liæn tục træn , cê đạo hàm đến cấp hai træn và thỏa mãn

   

 

   

f x . 4 f ' x f x .f'' x e , x



   



, biết

 

f 0 0

. Khi đê

 

5ln 2

f x dx



bằng?

25ln 2

5 31 5ln 2









1 355ln 2









1 25ln 2

31 5ln 2









355ln 2

5 31









Câu 103: Cho hàm số

 

liên tục træn và

 

f x dx 1



. Tènh giới hạn của dãy số:

 

1 n n 3 n n 6 n 4n 3

u f 1 f f ... f

n n 3 n n 6 n 4n 3 n



     

  

    



     

  



     



Câu 104: Cho hàm số

 

và

 

thỏa mãn

         

f ' 1 g 1 1;f 2 .g 2 f 1  

và đồng thời

           

1 f' x g ' x g x f '' x f' x , x \ 0



    





. Tính tích phân

   

I f x g ' x dx



ln 2



ln 2



ln 2



ln 2



Câu 105: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm

 

0;1

thỏa mãn

   

f 0 f 1 0

và đồng thời

điều kiện

 

f ' x dx 1



. Tçm giá trị lớn nhất của

 

trên

 

0;1

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

112 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Gọi

là tập hợp tất cả các số nguyæn dương

thỏa mãn bất phương trçnh

2018.e 2018

e dx







. Số phần tử của tập hợp

bằng.

C. Vë số.

Lời giải

Ta có:

kx kx

e dx e











2k k





   

 

  

k 2k k k

k k k

2018.e 2018 e e 2018.e 2018

e dx

k k k

e e 1 2018 e 1 k 0

e 1 e 2018 0 1 e 2018 0 k ln 2018 7.6

  

  

    

          



nguyæn dương næn ta chọn được

kS

(với

 

S 1;2;3; 4; 5;6;7

Suy ra số phần tử của

là

Chọn ï A.

Câu 2: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm træn





1;

thỏa mãn

 

f 1 1

và

 

f ' x 3x 2x 5  

trên





1;

. Tçm số nguyæn dương lớn nhất

sao cho

 

 

x 3;10

min f x m





với mọi hàm số

 

y f x

thỏa điều kiện đề bài.

m 15

m 20

m 25

m 30

Lời giải

Ta có:

 

f ' x 3x 2x 5  

trên





1;

3x 2x 5 0  





x 1;  

nên

 

f x 0









x 1;  

Do đê hàm số

 

đồng biến træn





1;

. Suy ra

 

   

x 3;10

min f x f 3





Ta lại có:

 

f' x dx 3x 2x 5 dx  



 

f x x x 5x   

   

f 3 f 1 24  

 

f 3 25

Vậy

 

 

x 3;10

min f x 25





. Hay

m 25

Chọn ï C.

Câu 3: Biết

2 8 11

1 1 1 a

x 2 dx c

x x x b



   







, với

a, b, c

nguyæn dương,

tối giản và

ca

. Tính

S a b c  

S 51

S 67

S 39

S 75

Lời giải

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 113

Ta có

2 8 11

1 1 1

x 2 dx

x x x



  







x 1 dx



  







Đặt

t x t x

    

3t dt 1 dx



  





Khi đê

2 8 11

1 1 1

x 2 dx

x x x



  







3t dt



3 21

t 14

4 32



Chọn ï B.

Câu 4: Cho hàm số

 

liæn tục và cê đạo hàm tại mọi

 

x 0; 

đồng thời thỏa mãn

các điều kiện

   

 

f x x sin x f ' x cosx  

và

 

f x sin xdx 4.







Khi đê giá trị của

 

f 

nằm trong khoảng nào?

 

6;7

 

5;6

 

12;13

 

11;12

Lời giải

Ta có:

   

 

f x x sin x f ' x cosx  

   

f x xf ' x

sin x cosx

x x x



  

   

f x f x

cos x cos x c

x x x x





    





 

f x cos x cx  

Khi đê:

 

f x sin xdx 4







 

cosx cx sin xdx 4



   



cos xsin xdx c x sin xdx 4



   



 

0 c 2 4    

c2

 

f x cos x 2x  

   

f 2 1 5;6     

Chọn ï B.

Câu 5: Cho

 

1 a ln 2 bcln 3 c

x ln x 2 dx

x 2 4





  









với



. Tính

T a b c  

T 13

T 15

T 17

T 11

Lời giải

Đặt

 

u ln x 2

dv xdx





































Khi đê tèch phân ban đầu trở thành

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

114 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

 

x ln x 2 dx













 

x 4 x 2 x

ln x 2 dx dx

2 2 x 2



   





 

3 1 x

ln 3 2 ln 2 2x x 2 ln x 2

2 2 2





      





 

ln 3 2 ln 2 1 2 ln 3 ln 2



     

14ln 3 16ln 2 7

  



Suy ra:

















. Vậy

T a b c 13   

Chọn ï A.

Câu 6: Cho hàm số

 

thỏa mãn

   

2018

f ' x . f x x.e





với mọi

x 

và

 

f 1 1

. Hỏi

phương trçnh

 



cê bao nhiæu nghiệm?

Lời giải

Ta có:

         

2018 2018

f ' x . f x dx x.e dx f x df x x 1 .e C    

   

   

  

       

2019 2019

. f x x 1 .e C f x 2019 x 1 .e 2019C

2019

       

   

   

 

f 1 1

nên

2019C 1

hay

   

2019

f x 2019 x 1 .e 1  





Ta có:

     

2019

2019 2019

1 1 1

f x f x 2019 x 1 .e 1 0

e e e

         





Xåt hàm số

   

2019

g x 2019 x 1 .e 1

   

trên .

Ta có

     

   

2019

g' x 2019x.e ;g' x 0 x 0;g 0 2019 1 0

lim g x ; lim g x 1 0

 



        







    





Bảng biến thiæn của hàm số:





 

g ' x





 



2019





 

Do đê phương trçnh

 



cê đîng

nghiệm.

Chọn ï D.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 115

Câu 7: Cê bao nhiæu giá trị của tham số

nằm trong khoảng

 

0;6

thỏa mãn phương

trình

sin x 1

5 4 cosx 2







Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê

 

1 sin x 1

dx d cosx

2 5 4 cosx 5 4 cosx

  





 

1 1 1

d 5 4 cosx ln 5 4 cosx

4 5 4 cosx 4

     





Mà

 

1 1 1 5 4 cosm

5 4 cosx 5 4 0 ln 5 4 cosx ln

2 4 4 9



         

5 4 cosm 5 4 cosm

ln 2 e





    

9e 5

cosm





9e 5

m arccos k2



    

 

k 

Theo đề bài

 

9e 5

arccos k2 0;6 k 1

m 0;6

9e 5

arccos k2 0;6 k 2













    









  











     







Với mỗi giá trị

trong hai trường hợp træn ta được một giá trị

thỏa mãn.

Vậy cê

giá trị của

thỏa mãn bài toán.

Chọn ï A.

Câu 8: Cho hàm số

 

liên tục trên và thỏa mãn

   

f x 1 2 x 1 3

dx C

  







Nguyên hàm của hàm số

 

f 2x

trên tập



là:

 

2 x 4



 

2x 3

4 x 1



 

2x 3

8 x 1



Lời giải

Theo giả thiết ta cê :

   

 

f x 1 2 x 1 3 2 x 1 3

dx C 2 f x 1 d x 1 C

x 1 4

    

      







CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

116 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Hay

 

2 t 3

t 3 C

2 f t dt C f t dt

t 4 t 4 2



    





Suy ra

     

 

1 1 2x 3 C 2x 3 C

f 2x dx f 2x d 2x

2 2 2 8x 8 4

2x 4





    









Chọn ï D.

Câu 9: Cho số hữu tỷ dương

thỏa mãn

x.cosmxdx









. Hỏi số

thuộc khoảng

nào trong các khoảng dưới đây?



















;







Lời giải

Áp dụng cëng thức tèch phân từng phần, đặt

du dx

dv cosmxdx

v sin mx























Tèch phân ban đầ trở thành:

2m 2m

x.cos mxdx sin mx sin mxdx









2 2 2

1 2 1

.cosmx .

2m m 2 m



  



  





Theo giả thiết ta cê

2 1 2

. m 1

2 m 2

 



   





Vì

là số hữu tỷ dương næn

m 1 ;









Chọn ï D.

Câu 10: Cho

I tan xdx



với

n 

. Khi đê

 

0 1 2 3 8 9 10

I I 2 I I ... I I I      

bằng?

 

tan x







 

tan x









 

tan x







 

tan x









Lời giải

Biến đổi tèch phân ban đầu ta cê

n 2 2

I tan x.tan xdx







tan x. 1 dx

cos x













tan x



  



 

tan x. tan x dx I









n n 2

tan x

I I C



   



Khi đê

 

0 1 2 3 8 9 10

I I 2 I I ... I I I      

       

10 8 9 7 3 1 2 0

I I I I ... I I I I       

9 8 2

tan x tan x tan x

.... tan x C

9 8 2

     

tan x







Chọn ï A.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 117

Câu 11: Xåt hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn và thỏa mãn điều kiện

 

f 1 1

và

 

f 2 4

. Tính

   

f' x 2 f x 1

J dx













J 1 ln 4

J 4 ln 2

J ln 2



J ln 4



Lời giải

Cách 1: Ta có

   

f' x 2 f x 1

J dx













   

2 2 2

1 1 1

f' x f x

dx dx dx

x x x x



   





  

Đặt

   

u du dx

dv f ' x dx v f x



  













Khi đê tèch phân ban đầu trở thành

   

f x 2 f x 1

J dx















 

   

2 2 2

1 1 1

f x f x

1 2 1

.f x dx dx dx

x x x x x



    





  

   

1 1 1

f 2 f 1 2 ln x ln 4

2 x 2



     





Cách 2: Ta có

   

f' x 2 f x 1

J dx













   

xf' x f x

x x x





  







 

2 ln x ln 4

x x 2



    





Chọn ï D.

Câu 12: Cho hàm số

 

xác định træn thỏa mãn

 

f ' x e e 2



  

 

f 0 5

và

f ln 0









. Giá trị của biểu thức

   

S f ln 16 f ln 4  

bằng?



   

f 0 .f 2 1

Lời giải

Ta có

 

f ' x e e 2



  





e e khi x 0



















Do đê

 

2e 2e C khi x 0





  









   



Theo giả thiết ta cê:

 

f 0 5

nên

2e 2e C 5  

C1

 

ln 4 ln 4

f ln 4 2e 2e 1



   

6

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

118 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Tương tự ta có

f ln 0









nên

ln ln

2e 2e C 0

   

   

   



   

C5

 

   

ln16 ln16

f ln 16 2e 2e 5





     



Vậy

   

S f ln 16 f ln 4

   

Câu 13: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục træn đoạn

 

0;1

và thoả mãn điều kiện

 

f x 8x f x 0

  



. Tích phân

 

I f x dx



cê kết quả dạng

a b 2



a,b,c 

tối giản. Tènh

a b c

4

10

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê:

 

f x 8x f x 0

  



 

f x 8x f x

  



 

1 1 1

0 0 0

I f x dx 8x f x dx dx

  



  

 

 Xét tích phân

     

3 4 4 4

8x f x dx 2f x d x



 

2 f x dx 2I



 Xét tích phân

x1



Đặt

2 2 2

t x 1 t x 1    

tdt xdx

. Đổi cận

x 0 t 1  

x 1 t 2  

Nên

 

t 1 tdt









t 2 2

3 3 3



   





Do đê

 

1 I 2I





  









. Nên

a2

b1

c3

Vậy

a b c 6  

Chọn ï A.

Câu 14: Tçm tất cả các giá trị dương của tham số

sao cho

x 1 500 m 1

xe dx 2 .e







250 500

m 2 2 2

1000

m 2 1

250 500

m 2 2 2

1000

m 2 1

Lời giải

Ta có

xe dx





te dt







 

te e









2 m 1

m 1 1 e



  

Theo giả thiết ta cê

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 119

xe dx





500 m 1

2 .e







500 m 1

2 .e







2 m 1

m 1 1 e



  

500 2

2 m 1 1   

 

2 500

m 1 2 1   

2 1000 501

m 2 2  

 

500 500

2 2 2

250 500

m 2 2 2  

Chọn ï C.

Câu 15: Cho hàm số

 

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn điều kiện

 

f x 6x f x

3x 1





Tính tích phân

 

f x dx



1

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê:

 

f x 6x f x

3x 1





 

f x dx



 

6x f x dx dx

3x 1







Đặt

t x dt 3x dx  

, đổi cận

x 0 t 0  

x 1 t 1  

Ta có:

 

   

1 1 1

0 0 0

6x f x dx 2f t dt 2f x dx

  

dx 4

3x 1







Vậy

   

f x dx 2f x dx 4



 

f x dx 4



Chọn ï B.

Câu 16: Cho hàm số

 

và

 

liæn tục, cê đạo hàm træn và thỏa mãn

   

f ' 0 .f ' 2 0

và

     

g x f ' x x x 2 e

. Tènh giá trị của tèch phân

   

I f x .g ' x dx



4

e2

2e

Lời giải

Ta có

     

g x f ' x x x 2 e

   

g 0 g 2 0  

(vì

   

f ' 0 .f ' 2 0

)

Khi đê tèch phân cần tènh trở thành:

   

I f x .g ' x dx



   

f x dg x



   

 

f x .g x

   

g x .f' x dx



 

x 2x e dx 4   



Chọn ï C.

Câu 17: Cho

 

x x e

dx a.e bln e c





  





với

c 

. Tính

P a 2b c  

P1

P1

P0

P2

Lời giải

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

120 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Ta có

 

x x e

I dx











 

x 1 e xe

xe 1









Đặt

t xe 1



 

dt 1 x e dx

Đổi cận:

x 0 t 1  

;

x 1 t e 1   

Khi đê:

I dt









1 dt













 

t ln t





 

e ln e 1  

Suy ra:

a1

b1

c1

. Vậy

P a 2b c 2    

Chọn ï D.

Câu 18: Biết

 

là nguyæn hàm của hàm số

 

x cos x sin x





. Hỏi đồ thị của hàm số

 

y F x

cê bao nhiæu điểm cực trị trong khoảng

 

0; 2018

P1

P1

P0

P2

Lời giải

Ta có

   

x cosx sin x

F' x f x





 

F' x 0 x cosx sin x 0    

 

x0

 

Ta thấy

cos x 0

khëng phải là nghiệm của phương trçnh næn

 

1 x tan x

 

Xét

 

g x x tan x

trên

 

0;2018 \ k |k













. Ta có:

   

g' x 1 tan x 0, x 0; 2018 \ k |k

cos x 2







        





 Xét

x 0;











, ta có

 

nghịch biến næn

   

g x g 0 0

næn phương trçnh

x tan x

vë nghiệm.

Vç hàm số

tan x

cê chu kỳ tuần hoàn là



nên ta xét

 

g x x tan x

, với











Do đê

 

nghịch biến træn khoảng

;









và

 

g .g 0



  





næn phương trçnh

x tan x

cê duy nhất một nghiệm

Do đê,

4035

;











có

2017

khoảng rời nhau cê độ dài bằng



. Suy ra phương trçnh

x tan x

có

2017

nghiệm træn

4035

;











 Xét

4035

x ; 2018











, ta có

 

nghịch biến næn

   

g x g 2018 2018   

nên

phương trçnh

x tan x

vë nghiệm.

Vậy phương trçnh

 

F' x 0

có

2017

nghiệm trên

 

0;2018

. Do đê đồ thị hàm số

 

y F x

có

2017

điểm cực trị trong khoảng

 

0;2018

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 121

Chọn ï C.

Câu 19: Biết tích phân

x 2x 3 1 3

dx bln

x 2 a 2









 

a,b 0

tçm các giá trị thực của tham

số

để

 

k 1 x 2017

dx lim

x 2018











k0

k0

k0

k 

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê:

x 2x 3 3

dx x dx

x 2 x 2















1 1 3

x 3ln x 2 3ln

3 3 2

    













ab 9

dx dx 1  



Mặt khác ta lại cê

 

k 1 x 2017

dx lim

x 2018











 

k 1 x 2017

1 lim

x 2018









Mà

 

k 1 x 2017

lim k 1

x 2018









Vậy để

 

k 1 x 2017

dx lim

x 2018











thì

1 k 1

k0

k0

Chọn ï B.

Câu 20: Giả sử

là các số nguyæn thỏa mãn

2x 4x 1

2x 1







 

au bu c du

  



trong đê

u 2x 1

. Tènh giá trị

S a b c  

S3

S0

S1

S2

Lời giải

Đặt

u 2x 1

u 2x 1  

udu dx



















Khi đê tèch phân cần tènh trở thành

2x 4x 1

2x 1







u 1 u 1

2 4 1

u.du

   





   

   





 

u 2u 1 .du

  



Vậy

S a b c  

1 2 1 2   

Chọn ï D.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

122 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 21: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0; 4 ,

thỏa mãn

   

f x f ' x e 2x 1



  

với mọi

 

x 0; 4 .

Khẳng định nào sau đây là đîng?

   

e f 4 f 0 .



   

e f 4 f 0 3e.

   

e f 4 f 0 e 1.  

   

e f 4 f 0 3.

Lời giải

Nhân hai vế cho

để thu được đạo hàm đîng, ta được

     

x x x

e f x e f ' x 2x 1 e f x ' 2x 1.



     



Suy ra

   

e f x 2x 1dx 2x 1 2x 1 C.

     



Vậy

   

e f 4 f 0 .



Chọn ï A.

Câu 22: Cho hàm số

 

cê đạo hàm træn

thỏa mãn

   

2017 2018x

f ' x 2018f x 2018x e

với mọi

x 

và

 

f 0 2018.

Tènh giá trị

 

f 1 .

 

2018

f 1 2018e .





 

2018

f 1 2017e .

 

2018

f 1 2018e .

 

2018

f 1 2019e .

Lời giải

Nhân hai vế cho

2018x



để thu được đạo hàm đîng, ta được

     

2018x 2018x 2017 2018x 2017

f ' x e 2018f x e 2018x f x e ' 2018x

  



   



Suy ra

 

2018x 2017 2018

f x e 2018x dx x C.



  



Thay

x0

vào hai vế ta được

 

2018 2018x

C 2018 f x x 2018 e   

Vậy

 

2018

f 1 2019e .

Chọn ï D.

Câu 23: Cho hàm số

 

cê đạo hàm và liæn tục træn

thỏa mãn

   

f x xf x 2xe







và

 

f 0 2.

Tính

 

f 1 .

 

f 1 e.

 

f 1 .



 

f 1 .



 

f 1 .



Lời giải

Nhân hai vế cho

để thu được đạo hàm đîng, ta được

     

2 2 2 2 2

x x x x x

2 2 2 2 2

f ' x e f x xe 2xe e f x ' 2xe





   





TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 123

Suy ra

 

2 2 2

x x x

2 2 2

e f x 2xe dx 2e C.



   



Thay

x0

vào hai vế ta được

 

C 0 f x 2e



   

Vậy

 

f 1 2e .



   

Chọn ï D.

Câu 24: Biết luën cê hai số

và

để

 

ax b







 

4a b 0

là nguyæn hàm của hàm

số

 

và thỏa mãn điều kiện

     

2f x F x 1 f ' x





. Khẳng định nào dưới đây đîng

và đầy đủ nhất?

a1

b4

a1

b1

a1

 

b \ 4

a 

b 

Lời giải

Ta có

 

ax b







là nguyæn hàm của

 

nên

   

 

4a b

f x F' x







và

 

2b 8a

f ' x







Do đê

   

 

2f x F x 1 f ' x

 

   

2 4a b

ax b 2b 8a

x 4 x 4







  









 

4a b ax b x 4      

  

x 4 1 a 0 a 1     

(do

x 4 0

)

Với

a1

mà

4a b 0

nên

b4

Vậy

a1

 

b \ 4

Chọn ï C.

Câu 25: Cho

 

I 2x 1 e dx



. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số

để

Im

là

khoảng

 

a; b

. Tính

P a 3b

P3

P2

P1

P0

Lời giải

Áp dụng phương pháp tènh tèch phân từng phần đặt

du 2dx

u 2x 1

dv e dx























Khi đê tèch phân cần tènh trở thành:

 

2x 2x

2x 1 e

I 2x 1 e dx e dx



   



 

2x m 2m

2m 1 e

e me e 1

2 2 2



     

Theo giả thiết ta cê

 

2m 2m 2m

I m me e 1 m m 1 e 1 0 0 m 1           

Suy ra

a 0,b 1 a 3b 3     

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

124 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chọn ï A.

Câu 26: Giá trị

 

cos x

I x sin x e dx







gần bằng số nào nhất trong các số sau đây?

0, 046

0, 036

0, 037

0, 038

Lời giải

Đặt

 

u cos x

 

du 3 x sin x dx    

 

x sin x dx du

   



 Khi



thì



 Khi



thì



Khi đê

I e d u







e d u











e e 0,037



  







Chọn ï C.

Câu 27: Biết

 

2x 1dx 5

a bln 2 cln a,b,c

2x 3 2x 1 3



   

  



. Tính

T 2a b c  

T4

T2

T1

T3

Lời giải

Biến đổi tèch phân cần tènh ta được:

  

2x 1dx 2x 1dx

2x 3 2x 1 3

2x 1 1 2x 1 2





  

   



   

  

2 2x 1 1 2x 1 2 dx

2x 1 1 2x 1 2

    



   



   

2dx dx

2x 1 2 2x 1 1



   



Đặt

u 2x 1 udu dx   

. Với

x 0 u 1  

, với

x 4 u 3  

Suy ra

.3 .3 .3 .3

1 1 1 1

2udu udu 4 1

I 2 du 1 du

u 2 u 1 u 2 u 1

   

     

   

   

   

   

 

u 4ln u 2 ln u 1 2 4ln ln 2

       

a2

b1

c1

T 2.1 1 4 1    

Chọn ï C.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 125

Câu 28: Cho tích phân

I dx









với

n 

Đặt

       

n 1 2 2 3 3 4 n n 1

u 1. I I 2 I I 3 I I ... n I I n



         

. Biết

lim u L

. Mệnh đề

nào sau đây là đîng?

 

L 1;0

 

L 2; 1  

 

L 0;1

 

L 1; 2

Lời giải

Với

n 

, biến đổi giả thiết ta cê

 

n 1 x

I dx













nx x

e .e











e dx dx









e dx I







n 1 n

I e dx I





  



 

n 1 n

I I 1 e





   

Do đê

       

1 2 3 n

u 1 e 1 e 1 e ... 1 e n

   

         

1 2 3 n

u e e e ... e

   

      

Ta thấy

là tổng

số hạng đầu của một cấp số nhân líi vë hạn với





và



nên

lim u











 

L 1;0  

Chọn ï A.

Câu 29: Cê bao nhiæu giá trị nguyæn dương

thỏa mãn tích phân

 

2 2 3 n 1

1 n 2x 3x 4x ... nx dx 2



       



Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê:

 

2 2 3 n 1

1 n 2x 3x 4x ... nx dx 2



       



 

2 2 3 4 n

x n x x x x ... x 2        

2 2 3 4 n

2 2n 2 2 2 ... 2 2        

2 n 1 2

1 2 2 ... 2 n 1



      

n 2 n 2

2 1 n 1 2 n 2 0       

Thử với các giá trị

 

n 1;2; 3; 4

đều khëng thỏa mãn.

Với

n 

n5

ta chứng minh

2 n 2

 

. Dễ thấy

n5

thì

 

đîng.

Giả sử

 

đîng với

nk

với

k 

k5

. Khi đê

2 k 2

Khi đê:

 

k 1 2 2 2

2 2 k 2 k k 2 2



     

 

k 2k 1 2 k 1 2      

Do đê

 

đîng với

n k 1

. Theo nguyæn lï quy nạp thç

 

đîng.

Vậy khëng tồn tại số nguyæn

Chọn ï C.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

126 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 30: Cho hàm số

 

liæn tục træn thỏa mãn đồng thời 2 tèch phân

 

f 2x dx 2



và

 

f 6x dx 14



. Tính tích phân

 

f 5 x 2 dx







Lời giải

 Xét tèch phân thứ nhất

 

f 2x dx 2



Đặt

u 2x du 2dx  

;

x 0 u 0  

;

x 1 u 2  

Nên

 

2 f 2x dx



 

f u du





 

f u du 4



 Xét tèch phân thứ 2

 

f 6x dx 14



Đặt

v 6x dv 6dx  

;

x 0 v 0  

;

x 2 v 12  

Nên

 

14 f 6x dx



 

f v dv





 

f v dv 84



 Xét tèch phân cần tènh

 

f 5 x 2 dx







   

f 5 x 2 dx f 5 x 2 dx



   



1. Ta sẽ đi tính tích phân

 

I f 5 x 2 dx







Đặt

t 5 x 2

Khi

2 x 0  

t 5x 2  

dt 5dx  

;

x 2 t 12   

;

x 0 t 2  

 

I f t dt







   

12 2

f t dt f t dt











 

84 4 16

  

2. Tính tích phân

 

I f 5 x 2 dx



Đặt

t 5 x 2

Khi

0x2

t 5x 2

dt 5dx

;

x 2 t 12  

;

x 0 t 2  

 

I f t dt





   

12 2

f t dt f t dt











 

84 4 16

  

Vậy

 

f 5 x 2 dx 32







Chọn ï B.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 127

Câu 31: Cho hàm số

 

liæn tục trên

cê đạo hàm cấp hai thỏa mãn

 

x.f '' x e x

và

 

f ' 2 2e,

 

f 0 e .

Mệnh đề nào sau đây là đîng?

 

f 2 4e 1.

 

f 2 2e e .

 

f 2 e 2e.

 

f 2 12.

Lời giải

Từ giả thiết

 

x.f'' x e x

lấy tèch phân cận từ 0 đến 2 ta có

 

x.f '' x dx e x dx



 

Áp dụng tèch phân từng phần ta đặt

   

u x du dx

dv f '' x v f x



















Khi đê

     

1 x.f ' x f ' x dx e



   







           

x.f ' x f x e 2.f' 2 0.f' 0 f 2 f 0 e 2 1



          

   



   



Mặt khác do

 

f ' 2 2e,

 

f 0 e

 

f 2 4e 1  

Chọn ï A.

Câu 32: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

1; 2 ,

đồng biến træn

 

1; 2 ,

thỏa mãn

 

f 1 0

 

f' x dx 2







và

   

f x .f ' x dx 1



. Tích phân

 

f x dx



bằng?

2 2.

Lời giải

Hàm dưới dấu tèch phân là

     

f ' x , f x .f ' x





næn ta sẽ liæn kết với bçnh phương

   

f ' x f x





. Nhưng khi khai triển thç vướng

 

f x dx







nên hướng này khëng khả

thi. Ta có

   

       

 

2 2 2 2

f x f 2 f 1 f 2 0

1 f x .f ' x dx f 2 2

2 2 2



     



Do đồng biến træn

 

1; 2

nên

   

f 2 f 1 0

Từ

 

f 1 0

và

 

f 2 2

ta nghĩ đến

       

f' x dx f x f 2 f 1 2 0 2     



Hàm dưới dấu tèch phân bây giờ là

   

f ' x , f ' x





næn ta sẽ liæn kết với

 

f ' x 





Ta tçm được

   

 

f 1 0

2 f ' x 2 f x 2x C C 2



          

Vậy

   

f x 2x 2 f x dx

   



Chọn ï A.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

128 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 33: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa mãn

 

f 1 1

 

x f x dx





và

   

 

f ' x d f x





. Tính

 

f 2 .

 

f 2 2.

 

251

f 2 .



 

256

f 2 .



 

261

f 2 .



Lời giải

Viết lại giả thiết ban đầu

   

 

f ' x d f x f ' x dx

13 13

  







Díng tèch phân từng phần ta cê

     

x f x dx f x x f ' x dx





Kết hợp với giả thiết

 

f 1 1

, ta suy ra

 

x f' x dx





Bây giờ giả thiết được đưa về

 

f ' x dx

x f ' x dx

























. Hàm dưới dấu tèch phân bây giờ là

   

f ' x , x f ' x





næn ta sẽ liæn kết với bçnh phương

 

f ' x x







. Tương tự như bài træn

ta tçm được

   

 

f 1 1

2 f ' x 2x f x x C C



         

Vậy

   

2 5 261

f x x f 2

7 7 7

   

Chọn ï D.

Câu 34: Cho hàm số

 

liæn tục và cê đạo hàm træn

0; ,









thỏa mãn hệ thức

   

f x tan x.f ' x

cos x



. Biết rằng

3f f a 3 bln 3



   

   

   

   

trong đê

a, b .

Tính

giá trị của biểu thức

P a b.





Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê

     

cos xf x sin xf x sin xf x '

cos x cos x



   





 

sin xf x dx x tan x ln cosx C

cos x

    



 Với

3 3 2 3

x f ln 2 3f 2 ln 2 2C.

3 2 3 3 3 3

    

   

       

   

   

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 129

 Với

1 3 1 3

x f ln 3 ln 2 C f ln 3 2 ln 2 2C

6 2 6 18 2 6 9

    

   

          

   

   

5 3 4

3f f ln 3 P a b

3 6 9 9





  



   

         



   

   







Chọn ï A.

Câu 35: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục træn đoạn

 

0;1

và thỏa mãn

   

af b bf a 1

với

mọi

 

a, b 0;1 .

Tính tích phân

 

I f x dx.













Lời giải

Đặt

a sin x, b cos x

với

x 0;











   

sin x.f cosx cos x.f sin x 1  

   

2 2 2

0 0 0

sin xf cosx dx cosxf sin x dx dx

  



   

  

 

Ta có

       

sin x.f cos x dx f t dt t cos x f x dx

cos x.f sin x dx f t dt t sin x f x dx





   







  





  

Do đê

   

1 f x dx .







Chọn ï D.

Câu 36: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm træn

 

0; 3 ,

thỏa mãn

   

 

f 3 x .f x 1

f x 1















với mọi

 

x 0; 3

và

 

f 0 .



Tính tích phân

 

   

xf' x

I dx.

1 f 3 x .f x













I 1.



Lời giải

Từ giả thiết

   

 

f 3 x .f x 1

f 3 2

















Ta có

         

 

1 f 3 x .f x = 1 f x f 3 x .f x 1    

   

   

 Tính

 

     

3 3 3

0 0 0

xf ' x

1 x 1

I dx xd dx 1 J

1 f x 1 f x 1 f x

1 f x



        



  









  

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

130 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

 Tính

       

3 0 3 3

t 3 x

0 3 0 0

1 1 1 1

J dx dt dt dx

1 f x 1 f 3 t 1 f 3 t 1 f 3 x



    

      

   

   

 

3 3 3

0 0 0

1 1 3

2J dx dx dx f 3 x .f x 1 3 J

1 f x 1 f 3 x 2

        

  

  

Vậy

 

   

xf' x

I dx

1 f 3 x .f x











Chọn ï A.

Câu 37: Cho hai hàm

 

và

 

cê đạo hàm træn

 

1; 4 ,

thỏa mãn

   

f 1 g 1 4

g x xf ' x

f x xg ' x

















với

mọi

 

x 1;4 .

Tính tích phân

   

I f x g x dx.







I 3ln 2.

I 4 ln 2.

I 6 ln 2.

I 8ln 2.

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê

       

f x g x x.f ' x x.g ' x   

   

 

   

 

f x x.f' x g x x.g x 0



    

 

x.f x ' x.g x ' 0  

       

x.f x x.g x C f x g x

     

Mà

       

f 1 g 1 4 C 4 I f x g x dx dx 8ln 2

        







Chọn ï D.

Câu 38: Cho hai hàm số

 

và

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0; 2 ,

thỏa mãn

   

f ' 0 .f ' 2 0

và

     

g x .f' x x x 2 e .

Tính tích phân

   

I f x .g ' x dx.



I 4.

I 4.

I e 2.

I 2 e.

Lời giải

Từ giả thiết

   

 

f ' 0 0

f ' 0 .f' 2 0

f ' 2 0

















Do đê từ

     

g x .f ' x x x 2 e

 

2 2 2 e

g 2 0

f ' 2

0 0 2 e

g 0 0

f ' 0























Tích phân từng phần ta được

       

I f x .g x g x .f ' x dx







           

f 2 .g 2 f 0 .g 0 x x 2 e dx x x 2 e dx 4.       



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 131

Chọn ï B.

Câu 39: Cho hàm số

 

cê đạo hàm xác định, liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa mãn

 

f ' 0 1

và

   

 

f ' x f '' x

f ' x 0



















với mọi

 

x 0;1 .

Đặt

   

P f 1 f 0

, khẳng định nào sau đây đîng

2 P 1.   

1 P 0.  

0 P 1.

1 P 2.

Lời giải

Nhận thấy

     

P f 1 f 0 f ' x dx  



næn ta cần tçm

 

f ' x .

Biến đổi giả thiết ta cê

 

f'' x f'' x

1 dx dx x C f' x

f x x C

f' x f ' x

         





   

   



Mà

   

f ' 0 1 C 1 f ' x

      



Vậy

 

P f ' x dx dx ln 2 0,69

      





Chọn ï B.

Câu 40: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục trên và thỏa mãn

   

f x f x x

với mọi

x.

Tính

 

I f x dx.











Lời giải

Đặt

 

u f x

, ta thu được

u u x.

Suy ra

 

3u 1 du dx.

Từ

u u x

, ta đổi cận

x 0 u 0

x 2 u 1

  





  



Khi đê

 

I u 3u 1 du .

  



Cách 2. Nếu bài toán cho

 

cê đạo hàm liæn tục thç ta làm như sau:

Từ giả thiết

   

 

f 0 f 0 0 f 0 0

f x f x x

f 2 1

f 2 f 2 2



  





   











Cũng từ giả thiết

   

f x f x x

, ta có

         

f ' x .f x f ' x .f x x.f ' x .

Lấy tèch phân hai vế

         

f' x .f x f' x .f x dx x.f' x dx









   

     

f x f x

xf x f x dx f x dx

4 2 4



   

   



     







Chọn ï D.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

132 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 41: Cho hàm số

 

xác định và liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa mãn

   

f ' x f' 1 x

với

mọi

 

x 0;1 .

Biết rằng

   

f 0 1, f 1 41.

Tính tích phân

 

I f x dx.



I 41.

I 21.

I 41.

I 42.

Lời giải

Ta có

       

f ' x f ' 1 x f x f 1 x C      

   

f 0 f 1 C C 42     

       

f x f 1 x 42 f x f 1 x 42        

   

f x f 1 x dx 42dx 42    







 

Vì

       

f' x f ' 1 x f x dx f 1 x dx.    



 

Từ

 

và

 

suy ra

   

f x dx f 1 x dx 21.  



Chọn ï B.

Câu 42: Cho các hàm số

 

f x ,

 

liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa

     

m.f x n.f 1 x g x  

với

m, n

là số thực khác

và

   

f x dx g x dx 1.



Tính

m n.

m n 0.

m n .



m n 1.

m n 2.

Lời giải

Từ giả thiết

     

m.f x n.f 1 x g x  

, lấy tèch phân hai vế ta được :

   

f x dx g x dx 1



   

m.f x n.f 1 x dx g(x)dx   







   

m n f 1 x dx 1 1   



Xét tích phân

 

f 1 x dx.



Đặt

t 1 x

, suy ra

dt dx.

Đổi cận:

x 0 t 1

x 1 t 0

  





  



Khi đê

       

1 0 1 1

0 1 0 0

f 1 x dx f t dt f t dt f x dx 1.     

   

 

Từ

 

và

 

suy ra

m n 1

Chọn ï C.

Câu 43: Biết tích phân

ln 8

2x x

ln 3

1 1 b

dx 1 ln a a b

e 1 e

   





với

a, b .





Tính giá trị

của biểu thức

P a b

P 1.

P 1.

P 3.

P 5.

Lời giải

Biến đổi tèch phân ban đầu ta được

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 133





ln 8 ln 8 ln 8 ln 8

2x x 2x x

2x x

ln 3 ln 3 ln 3 ln 3

I dx e 1 e dx e 1dx e dx

e 1 e

      



   

 Xét tích phân

ln 8

ln 3

e dx e 2 2 3  



 Xét tích phân

ln 8

ln 3

e 1dx.



Đặt

2x 2 2 x

t e 1 t e 1    

2x 2

tdt tdt

2tdt 2e dx dx

e t 1

    



. Đổi cận:

x ln 3 t 2

x ln 8 t 3



  





  





Khi đê

ln 8 3 3 3

ln 3

t dt 1 1 t 1 1 3

e 1dx dt 1 dt t ln 1 ln .

t 1 t 1 2 t 1 2 2

  



       



  



  

Vậy

I 1 ln 2 2 3 P a b 5





        







Chọn ï D.

Câu 44: Biết

1 x e

dx a e e



   



với

a, b, c .

Tính

P a b c.  

P 5.

P 4.

P 3.

P 3.

Lời giải

Biến đổi tèch phân ban đầu ta cê:

 

4 4 4

x 2x x

1 1 1

e 2 x

1 x e e 4x 4e x

dx dx dx

4x 4xe

2e x



  

  

  

x x 4

e 2 x 1 1 1 1 1

dx dx x 1 1 e e

e e e e

2e x 2 x







          







Vậy ta được

b 1 P a b c 4.







       









Chọn ï B.

Câu 45: Biết

dx a b 2 c



   





với

a, b, c .

Tính

P a b c.  

P 1.

P 2.

P 3.

P 4.

Lời giải

Đặt

x 2 cos u

với

u 0;











. Suy ra

x 4 cos u dx 4 sin 2udu.   

Khi đê tèch phân ban đầu trở thành:

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

134 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

cos

2 2 cosu

I 4 sin 2udu 8 .sin u.cos udu

2 2 cos u

sin











   

2 2 2 2

4 4 4 4

16 cos .cos udu 8 1 cos u .cos udu 8 cosudu 4 1 cos 2u du

   

     

   

 

8sin u 4x 2.sin 2u 4 2 6 b 4 P 3









           









Chọn ý C.

Câu 46: Biết

x cos x 3

dx a

1 x x







  





với

a, b, c

là các số nguyæn. Tènh giá trị của

biểu thức

P a b c.

P 37.

P 35.

P 35.

P 41.

Lời giải

Ta có









6 6 6

x cos x

I dx x cosx 1 x x dx x 1 x x cos xdx.

1 x x

  

  

      



  

Mặt khác

   

 

6 6 6

2 2 2

6 6 6

t cos t

x cos x t cos t

I dx d t dt

1 x x 1 t t

1 t t

  





  





   

   

  

  









t 1 t t costdt x 1 x x cos xdx.





       











2I x 1 x x cos xdx x 1 x x cos xdx





      



2 x cos xdx I x cos xdx





    



Tèch phân từng phần hai lần ta được

36 3



  



b 36 P a b c 35







       









Chọn ï C.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 135

Câu 47 : Cho hàm số

 

y f x

xác định và liæn tục træn

;2 ,







thỏa mãn điều kiện

 

f x f x 2.



   





Tính tích phân

 

I dx.









I 2.



I 3.

Lời giải

Đặt



suy ra

dx dt.



Khi đê

2 2 2

1 1 1

f f f

t t x

I . dt dt dx

t t 1 x 1

     

     



     

   









  

 

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

f f x f

2I dx dx dx dx

x 1 x 1 x 1 x 1

   





   

   

    

   

   

x 1 1 1 3

dx 1 dx x 3 I

x x x 2



   

       

   

   



Chọn ï A.

Câu 48: Cho hàm số

 

thỏa mãn

 

f x 0, x 0  

   

f ' 0 0; f 0 1

và đồng thời điều

kiện

       

f '' x f x 2 f' x xf x 0  





. Tènh giá trị của

 

Lời giải

Biến đổi giả thiết tương đương

   

 

   

 

   

f ' x d f ' x f ' x d f x

f ' x

x C C 0

f x f x 2

1 x 6 6

K K 1 f x f 1

f x 6 x 6 7



      

        



Chọn ï C.

Câu 49: Có bao nhiêu hàm số

 

y f x

liæn tục træn

 

0;1

thỏa mãn điều kiện

 

1 1 1

2018 2019 2020

0 0 0

f x dx f x dx f x dx

  

Lời giải

Từ điều kiện ta suy ra

 

2018 2 2018 2

f x f x 1 dx 0 f x f x 1 0    



Mà

 

liæn tục træn

 

0;1

nên

 

f x 1

f x 0













. Vậy cê 2 hàm thỏa mãn yæu cầu đề bài.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

136 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chọn ï C.

Câu 50: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

1; 4

có

   

f 1 1;f 4 3ln 1

  

và thỏa mãn

đồng thời

 

f' x

9 5 27

dx ; x f ' x dx 9ln

x 1 10 2 10

  





. Tính tích phân

 

f x dx



5ln 6



5ln 6



15ln 6



15ln 6



Lời giải

Ta viết lại

 

5 27

xf' x dx 9 ln A

2 10

  



Từ giả thiết ta suy ra

       

 

4 4 4

1 1 1

f' x

5 5 9

f' x dx f 4 f 1 3ln f ' x dx dx 3ln

2 x 1 2 10

      



  

Hay

 

xf' x

5 9 x 5 9

dx 3ln xf ' x . dx 3ln B

x 1 2 10 x 1 2 10



     









Ta dễ dàng tènh được

x 5 3

dx ln C

x 1 2 10



  









Ta xây dựng tèch phân

 

xf ' x dx 0 A 2Bm Cm 0 m 3



        









Từ đê tçm được

   

f ' x f x dx 15ln 6

x 1 2

   





Chọn ï C.

Câu 51: Cho tích phân

 

1 cosx

2018 cos x

I ln dx aln a bln b 1

2018 sin x









   











với a,b là các số

nguyæn dương. Giá trị của

ab

bằng?

2015

4030

4037

2025

Lời giải

Sử dụng tènh chất

   

f x dx f a b x dx  



, ta có

   

1 cosx 1 sin x

2018 cos x 2018 sin x

I ln dx ln dx

2018 sin x 2018 cos x





   





   



   

   



     

 

cosx sin x

2I ln 2018 cos x 2018 sin x dx sin x ln 2018 cos x dx

ln 2018 x dx 2019 ln 2019 2018 ln 2018 1





     



    





Chọn ï C.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 137

1. Tính tích phân

 

ln 1 tan x dx







2. Cho 2 số thực

a,b 0;











thỏa mãn

 

ln 2

a b ; ln 1 tan x dx

4 24



   



. Tích tích

phân

 

xsin 12x dx



Câu 52: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm

 

 

f ' x 0, x 0;8  

và

 

f x dx 10



. Giá trị

lớn nhất của hàm số

   

g x f t dt





trên





0;8

là?

Lời giải

Ta có

 





 

   

 

2 2 2

f t dt '.x 1 f t dt

xf x f t dt

g ' x

x x x



  





         

 

   

h' x f x xf ' x f x xf ' x 0, x 0;8 h x h 0 0          

 









   

0;8

g' x 0, x 0;8 maxg x g 8

       

Chọn ï C.

Câu 53: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm và liæn tục træn









thỏa mãn











đồng

thời

 

dx 1

cos x







và

 

sin x.tan x.f x dx 2











. Tích phân

 

sin x.f' x dx





bằng?

2 3 2



1 3 2



Lời giải

Áp dụng cëng thức tènh tèch phân từng phân ta đặt

   

u sin x du cosxdx

dv f x dx v f x



















Khi đê tèch phân cần tènh trở thành

   

I sin x.f x cos x.f x dx









Biến đổi giả thiết ta cê

 

2 sin x.tan x.f x dx











 

sin x. dx

cos x













 

1 cos x . dx

cos x













 

dx cos x.f x dx

cos x













1I

I1  

  

3 2 2





CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

138 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chọn ï B.

Câu 54: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

1; 4

và thỏa mãn

 

f 2 x 1

ln x





Tính tích phân

 

I f x dx



I 3 2 ln 2

I 2 ln 2

I ln 2

I 2 ln 2

Lời giải

Ta có

 

f x dx



 

f 2 x 1

ln x















 

f 2 x 1

ln x

dx dx







Xét tích phân

 

f 2 x 1

K dx







Đặt

2 x 1 t





 

K f t dt



 

f x dx



Xét tích phân

ln x

M dx





 

ln xd ln x



ln x



2 ln 2

Do đê

   

f x dx f x dx 2ln 2



 

f x dx 2 ln 2



Chọn ï B.

Câu 55: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục, luën dương træn

 

0; 3

và thỏa mãn điều kiện

 

I f x dx 4



. Khi đê giá trị của tèch phân

 

1 ln f x

K e 4 dx







là?

4 12e

12 4e

3e 14

14 3e

Lời giải

Biến đổi tèch phân cần tènh ta cê

 

3 3 3 3 3

1 ln f x ln f x

0 0 0 0 0

K e 4 dx e.e dx 4dx e. f x dx 4dx 4e 4x 4e 12



         

    

Vậy

K 4e 12

Chọn ï B.

Câu 56: Cho

là số thực dương. Biết rằng

 

là một nguyæn hàm của hàm số

   

f x e ln ax









thỏa mãn









và

 

2018

F 2018 e

. Mệnh đề nào sau đây đîng ?

a ;1

2018









a 0;

2018















a 1; 2018





a 2018; 

Lời giải

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 139

Xét nguyên hàm

   

I e ln ax dx e ln ax dx dx



   





  

 

 Tính tích phân

 

e ln ax dx



Đặt

 

u ln ax

du dx

dv e dx























   

e ln ax dx e ln ax dx

  



Thay vào

 

, ta được:

   

F x e ln ax C

Với

 

2018

F 2018 e





















 

2018 2018

e .ln 1 C 0

e ln a.2018 C e

















 

ln a.2018 1

















2018



Vậy

a ;1

2018









Chọn ï A.

Câu 57: Biết rằng

 

là một nguyæn hàm træn của hàm số

 

2018

2017x





thỏa

mãn

 

F 1 0

. Tçm giá trị nhỏ nhất

của

 



2017

2018





2017

2018





Lời giải

Xét nguyên hàm sau:

 

2018

2017x

f x dx dx







   

2018

2017

x 1 d x 1



  



 

2017

2 2017









 

2017

2 x 1

  



 

Fx

Theo giả thiết ta cê

 

F 1 0

2017 2018

C 0 C

2.2 2

     

Do đê

 

2017

2018

2. x 1

  



suy ra

 

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

 

2017

2 x 1

lớn nhất

 

x1

nhỏ nhất

x0

Vậy

2017

2018 2018

1 1 1 2

2 2 2



   

Chọn ï B.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

140 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 58: Với mỗi số nguyæn dương

ta kè hiệu

 

I x 1 x dx



. Tính

lim





Lời giải

Xét tích phân

 

I x 1 x dx



. Đặt

 

dv x 1 x dx















 

du dx

2 n 1























Khi đê

 

n 1 n 1

x 1 x

I 1 x dx 1 x dx

n 1 2 n 1 2 n 1







    

  



 

  

I 1 x 1 x dx

2 n 2



   





 

   

n 1 n 1

2 2 2

I 1 x dx x 1 x dx

2 n 2







    









 

n 1 n n 1

I 2 n 1 I I

2 n 2



   







n 1 n 1

2n 1

lim 1

I 2n 5 I







   



Chọn ï A.

Câu 59: Tçm tất cả các giá trị dương của

để

 

x 3 x dx f ''



  







, với

 

f x ln x

m 20

m4

m5

m3

Lời giải

Theo giả thiết ta cê

 

f x ln x

 

15x 15

f ' x

  

 

f'' x





10 243

f ''

9 20











Tính tích phân

 

I x 3 x dx



 Đặt

t 3 x

x 3 t  

dx dt

, đổi cận

x 0 3

t 3 0

 Do đê

   

I 3 t t dt  



 

m m 1

3t t dt







m 1 m 2

3t t

m 1 m 2







  

m 1 m 2







Ta có

 

x 3 x dx f





  







  

3 243

m 1 m 2 20







  

m 2 5

m 1 m 2 4.5







Thay lần lượt các giá trị

ở 4 đáp án, nhận giá trị

m3

Chọn ï D.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 141

Câu 60: Cho hàm số

 

liæn tục, khëng âm træn đoạn









, thỏa mãn

 

f 0 3

và

     

f x .f ' x cos x. 1 f x

x 0;











. Tìm giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất

của

hàm số

 

træn đoạn

;











M 2 2



M3



M3

m3

M 2 2

Lời giải

Từ giả thiết ta có

     

f x .f ' x cos x. 1 f x

   

 

f x .f' x

cosx

f x 1





   

 

f x .f x

dx sin x C

1 f x



  





Đặt

   

2 2 2

t 1 f x t 1 f x    

   

tdt f x f x dx





Thay vào ta được

dt sin x C t sin x C    



 

1 f x sin x C   

 

f 0 3

C2

Vậy

   

2 2 2

1 f x sin x 2 f x sin x 4 sin x 3      

 

f x sin x 4 sin x 3   

, vç hàm số

 

liæn tục, khëng âm træn đoạn









Ta có

x sin x 1

6 2 2



    

, xåt hàm số

 

g t t 4t 3  

cê hoành độ đỉnh

t2

loại.

Suy ra

   

maxg t g 1 8









 

1 21

ming t g















Suy ra

 

;

maxf x f 2 2



















 

;

min f x g



















Chọn ï A.

Câu 61: Cho

 

là hàm số liæn tục træn thỏa mãn đồng thời

 

f x d x 4



 

f x d x 6



. Tính tích phân

 

I f 2x 1 d x







I3

I5

I6

I4

Lời giải

Đặt

u 2x 1

dx du



. Khi

x1

thì

u1

. Khi

x1

thì

u3

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

142 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Nên

 

I f u du







   

f u du f u du













   

f u du f u du





  







Xét tích phân

 

f x dx 4



. Đặt

xu

d x du  

Khi

x0

thì

u0

. Khi

x1

thì

u1

. Nên

 

4 f x d x



 

f u du







 

f u du







Ta có

 

f x dx 6



 

f u du 6



. Nên

   

I f u du f u du





  







 

4 6 5

  

Chọn ï B.

Câu 62: Biết

2018 a

2018 2018

xsin x

sin x cos x b









trong đê

là các số nguyæn dương. Tènh

P 2a b

P8

P 10

P6

P 12

Lời giải

Xét tích phân

2018

2018 2018

xsin x

I dx

sin x cos x









 Đặt

x t d x d t     

 Khi

x0

thì

t 

 Khi

x 

thì

t0

Ta có

   

2018

2018 2018

t sin t

I dt

sin t cos t



 



   



 

2018

2018 2018

x sin x

sin x cos x











2018 2018

2018 2018 2018 2018

sin x x sin x

dx d x

sin x cos x sin x cos x



  





2018

2018 2018

sin x

dx I

sin x cos x



  





Suy ra

2018

2018 2018

sin x

I dx

2 sin x cos x









Xét tích phân

2018

2018 2018

sin x

J d x

sin x cos x









 Đặt

x u d x du



    

 Khi





thì

u0

 Khi

x 

thì





Nên

2018

2018 2018

sin u

J du

sin u cos u



















   

  

   

   



2018

2018 2018

cos x

sin x cos x











TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 143

Vç hàm số

 

2018

2018 2018

cos x

sin x cos x





là hàm số chẵn næn:

2018 2018

2018 2018 2018 2018

cos x cos x

dx d x

sin x cos x sin x cos x











Từ đê ta cê:

2018

2018 2018

sin x

I d x

2 sin x cos x









2018 2018

2018 2018 2018 2018

sin x sin x

d x d x

2 sin x cos x sin x cos x





















2018 2018

2018 2018 2018 2018

sin x cos x

d x d x

2 sin x cos x sin x cos x





















2018 2018 2

2018 2018

sin x cos x

d x d x

2 sin x cos x 2 4



   

  





Như vậy

a2

b4

. Do đê

P 2a b 2.2 4 8    

Ngoài cách làm này các bạn cê thể sử dụng các tènh chất của phần tènh tèch phân bằng

phương pháp đổi cận đổi biến.

Chọn ý A.

Câu 63: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm træn thỏa mãn

 

f x x 1

3f ' x .e 0





và

 

f 0 1

. Tích phân

 

x.f x dx



bằng

Lời giải

Ta có

 

f x x 1

3f ' x .e 0







   

 

2 x 1

3f x .f' x .e 2x.e





Suy ra

 

e e C





. Mặt khác, vç

 

f 0 1

nên

C0

Do đê

 





 

f x x 1  

 

f x x 1  

Vậy

 

x.f x dx



x. x 1 dx



 

x 1 d x 1

  



 

x 1 x 1









Chọn ï C.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

144 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 64: Cho hàm số

 

y f x

liæn tục træn  thỏa mãn đồng thời điều kiện

     

x 2x 1

3f x f 2 x 2 x 1 e 4



    

. Tính tích phân

 

I f x dx



ta được kết quả là?

I e 4

I8

I2

I e 2

Lời giải

Theo giả thuyết ta cê

       

x 2x 1

3f x f 2 x dx 2 x 1 e 4 dx *





    







Ta tính

       

2 2 2

0 0 0

f 2 x dx f 2 x d 2 x f x dx     

  

Vç vậy

     

3f x f 2 x dx 4 f x dx  







Hơn nữa

 

2 2 2

x 2x 1 x 2 x 1 2 x 2x 1

2 x 1 e dx e d x 2x 1 e 0

     

     



và

4dx 8



Chọn ï C.

Câu 65: Tènh tổng

0 1 2 3 2017 2018

2018 2018 2018 2018 2018 2018

C C C C C C

3 4 5 6 2020 2021

      

4121202989

4121202990

4121202992

4121202991

Lời giải

Xåt khai triển

 

2018

0 1 2 2 2018 2018

2018 2018 2018 2018

1 x C C x C x ... C x     

 

2018

2 0 2 1 3 2 4 2018 2020

2018 2018 2018 2018

x 1 x C x C x C x ... C x      

 

Ta tính

 

2018

I x 1 x dx



, đặt

t 1 x

dt dx

, đổi cận

x 0 t 1  

x 1 t 0  

Khi đê

 

2018

I 1 t t dt



 

2018 2019 2020

t 2t t dt  



2019 2020 2021

t t t

2019 2020 2021



  





111

2019 1010 2021

  

4121202990



Lấy tèch phân hai vế của

 

ta được:

 

2018

2 0 2 1 3 2 4 2018 2020

2018 2018 2018 2018

x 1 x dx C x C x C x ... C x dx     



4121202990



3 4 5 2021

0 1 2 2018

2018 2018 2018 2018

x x x x

C C C ... C

3 4 5 2021



    





4121202990



0 1 2 2018

2018 2018 2018 2018

1 1 1 1

C C C ... C

3 4 5 2021

    

Vậy

0 1 2 3 2017 2018

2018 2018 2018 2018 2018 2018

C C C C C C

3 4 5 6 2020 2021

      

4121202990



Chọn ï B.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 145

Câu 66: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn khoảng

 

0;1

và

 

f x 0

 

x 0;1

Biết rằng

 

thỏa mãn

















và

   

x xf ' x 2f x 4  

 

x 0; 1

. Tính

tích phân

 

sin x.cosx 2 sin 2x

I dx

f sin x









theo

và

3a b

4ab





3b a

4ab





3b a

4ab





3a b

4ab





Lời giải

Theo giả thiết ta có:

   

x xf ' x 2f x 4  

   

x 4 2f x xf ' x   

   

x 4x 2xf x x f ' x   

 

   

 

2xf x x f ' x

x 4x

f x f x







   

x 4x x

f x f x













Tính tích phân

   

sin x.cosx 2 sin 2x sin x.cos x 4 sin x.cosx

I dx dx

f sin x f sin x









Đặt

t sin x dt cos xdx  

, đổi cận



  



  

Ta có

 

t 4t

I dt







 







   



   





3 1 3a b

4b 4a 4ab



  

Chọn ï D.

Câu 67: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn điều kiện

 

f x f x sin x.cosx





  





, với mọi

x 

và

 

f 0 0

. Giá trị của tèch phân

 

x.f x dx







bằng









Lời giải

Theo giả thiết,

 

f 0 0

và

 

f x f x sin x.cosx





  





nên

 

f 0 f 0





















Ta có:

 

I x.f x dx









 

xd f x











   

xf x f x dx











 

I f x dx



  



Mặt khác, ta cê:

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

146 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

 

f x f x sin x.cosx





   





 

2 2 2

0 0 0

f x dx f x dx sin x.cosxdx

  





   





  

Suy ra

   

f x dx f x dx f x dx

2 2 4







    





  

Vậy

 

I f x dx

   



Câu 68: Cho hàm số

 

thỏa mãn

 

f ' x 0

 

x 1;2

và

 

f ' x

x 375









. Biết

 

f 1 1

 



, tính

 

I f x dx





Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

   

 

2 2 2 2

f ' x f ' x

3f ' x

x x x x

3 . .

x 125 125 x 125 125 25

   

   

   

Lấy tèch phân hai vế BĐT træn ta cê:

 

2 2 2

1 1 1

f' x

3f ' x

dx 2 dx dx

x 125 25







  

 

   

 

f' x f' x

7 3 7

dx 2. f 2 f 1 dx

x 375 25 x 375

   

   

     







Kết hợp với giả thiết ta cê dấu “



” của BĐT træn xảy ra

 

     

2 6 2 3

f' x

x x x x

f' x f ' x f x C

x 125 125 5 15





       





Mà

   

1 14 x 14

f 1 1 1 C C f 1

15 15 15



       

Ta có

x 14 71

I dx

15 60







Chọn ï A.

Câu 69: Cho

   

4 cos 2x 3sin 2x ln cos x 2 sin x dx cln 2



   



, trong đê

c

là phân số tối giản. Tènh

T a b c  

T9

T 11

T5

T7

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê

   

I 4 cos 2x 3sin 2x ln cos x 2 sin x dx



  



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 147

    

2 cos x 2 sin x 2 cos x sin x ln cos x 2 sin x dx



   



Đặt

t cos x 2 sin x

 

dt sin x 2 cos x dx   

 Với

x0

thì

t1

 Với





thì

t2

Suy ra

I 2t ln tdt



 

ln td t



 

t .ln t tdt



4 ln 2



4ln 2



Vậy

















T a b c 9    

Chọn ï A.

Câu 70: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

đồng thời thỏa mãn

 

f 0 9





và

   

9f'' x f ' x x 9  





. Tính

   

T f 1 f 0

T 2 9 ln 2

T9

T 9 ln 2



T 2 9 ln 2

Lời giải

Ta có

   

9f'' x f ' x x 9  





 

9 f '' x 1 f ' x x    





 

f '' x 1

f ' x x



  







Lấy nguyæn hàm hai vế

 

f'' x 1

dx dx

f ' x x













 

f x x 9

  





 

f 0 9





nên



suy ra

 

f x x







 

f x x



  



Vậy

   

T f 1 f 0 x dx



   









9 ln x 1



  





9ln 2



Câu 71: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm træn thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:

   

 

   

f 0 f ' 0 1

f x y f x f y 3xy x y 1, x,y









       





Tính tích phân

 

f x 1 dx





Lời giải

Lấy đạo hàm 2 vế theo hàm số

ta được

   

f ' x y f' y 3x 6xy   

x

Cho

   

y 0 f ' x f ' 0 3x   

 

f ' x 1 3x  

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

148 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Vậy

   

f x f ' x dx x x C   



mà

 

f 0 1

C1

suy ra

 

f x x x 1  

 

f x 1 dx  



 

f x dx







 

x x 1 dx











  





   



Chọn ï C.

Câu 72: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm cấp

liæn tục træn thoả mãn đồng thời các

điều kiện

 

   

       

f x 0, x ,

f 0 f ' 0 1,

x f x f x f x f x , x .



  









 

   

   



   



. Mệnh đề nào sau đây đîng?

 

ln f 1 1



 

0 ln f 1



 

ln f 1 2



 

1 ln f 1



Lời giải

Ta có

       

x f x f x f x f x

 



   

   

     

 

f x f x f x

 













 













 

f ' x

f x 2



Lại cê

   

f 0 f ' 0 1

C1

Ta có

 

f x 2





 

dx 1 dx

f x 2





  







 

ln f x



 

ln f 1



 

1 ln f 1

  

Chọn ï D.

Câu 73: Cho các số

a, b 2

thỏa mãn

2 dx dx





. Khi đê, quan hệ giữa

a, b

là?

a 2b

b 2a

ab

ba

Lời giải

Ta có

 

2 2 2

a a a a

x x x x

1 1 1 1

e e e e

2 dx 2xdx d x dx

x x x x

  

   

nên

ba

Chọn ï D.

Câu 74: Cho hàm số

 

cê đạo hàm cấp hai træn và

 

f x x 2x 4 f x 2    

Biết

rằng

 

f x 0, x  

tính tích phân

 

I xf '' x dx



I4

I4

I0

I8

Lời giải

Theo giả thiết ta cê

                 

2 2 2

0 0 0

I xf '' x dx f' x f' x dx f' x f x f' 2 f ' 0 f 2 f 0        



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 149

Trong giả thiết ta thay

x 0; x 2

ta có:

   

f 0 4f 2

f 2 4f 0















     

 

f 0 4

f 0 16f 2 64f 0

f 2 4







   









Đạo hàm hai vế ta cê

       

 

2f ' x .f x 2x 2 f x 2 x 2x 4 f ' x 2         

Lại thay

x0

và

x 2,

ta có

   

 

2f' 0 2 f ' 2 f ' 0 2

2f' 2 2 f ' 0 f ' 2 2

    









    





Kết hợp lại ta được

 

I 2 2 4 4 4.     

Câu 75: Trong giải tèch,

 

I x ax b dx



với

a, b 

và

 

m,n,p \ 0

được gọi là

tènh được (cî thể biểu diễn bởi các hàm như đa thức, hữu tỷ, lượng giác, logarit, ...) khi một

trong các số

m 1 m 1

p, ,p





là số nguyên. Xét nguyên hàm





x dx







, hỏi cê bao

nhiæu số

 

a 2, 3, 4, 5,6,7,8,9,10

để

cê thể tènh được?

Lời giải

Ta viết lại nguyæn hàm đã cho thành

 

I x x 1 dx







nên

m a,n 5,p

   

Theo đề bài ta chỉ cần cê

6 a 1 6 a 1

a 5 a 5



     

, suy ra

 

a 2, 3, 4, 5,6,9

Chú ý. Đây là một bài toán về biến đổi lũy thừa, yếu tố nguyæn hàm chỉ là phụ. Cëng thức

træn cê tæn là định lï Chebyshev.

Câu 76 : Một con dæ được buộc vào điểm A træn hàng rào

về phèa ngoài của khu vườn hçnh trén tâm O bán kènh

6m. Sợi dây buộc con dæ cê độ dài bằng nửa chu vi khu

vườn. Hçnh bæn më tả phần cỏ bæn ngoài vườn mà con dæ

cê thể ăn được. Biết rằng với hàm số

 

f : 0;

và điểm

B thuộc

 

sao cho

AOB 0  

thç đoạn BC là tiếp

tuyến

 

cê độ dại

 

f 

sẽ quåt qua một phần mặt

phẳng mà diện tèch được xác định bởi

 







khi



thay đổi từ

0 

( ở đây tènh cả bæn trái lẫn bæn phải)

Từ cëng thức træn hay xác định diện tèch S phần cỏ mà con dæ cê thể ăn được.

S 32

S 18

S 30

S 28

Lời giải

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

150 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Ta thấy khi dæ cê thể di chuyển tự do về phèa khu vườn

 

, nhưng khi di chuyển về phèa

dưới thç chỉ cê một phần của dây sẽ trải træn

 

, phần dây cén lại nếu muốn đi xa nhất

thç sẽ tạo thành tiếp tuyến với

 

, tức là nằm træn biæn của đường cong trong hçnh. Phần

cỏ dæ ăn được là sẽ phần bæn trong đường biæn và bæn ngoài

 

. Tiếp tuyến tại A của

 

chia phần cê của dæ thành træn và dưới với diện tèch là

S , S

Phần træn là nửa hçnh trén bán kènh bằng độ dài sợi dây là

6

nên

 

S 6 18



    

Để tènh

ta díng cëng thức đã cho.

Độ dài cung AB là

6

nên

 

BC 6 6 0       

. Suy ra

 

2 1 2

S 6 6 d 12 S S S 30



           



Bài toán trên cî tên gọi là “grazing goat problem”, một bài toán rất thú vị của toán cao cấp. Cïng

thức trên xuất phát từ tìch phân 2 lớp, tọa độ cực nằm ngoài chương trënh THPT nên đề bài đã cho

sẵn dạng sơ cấp của nî để dễ áp dụng.

Câu 77: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn điều kiện

   

 

xf x x f x dx





Giá trị nhỏ nhất của tèch phân

 

x f x dx











bằng?

Lời giải

Để đơn giản ta coi

 

a f x

khi đê với

 

   

 

A x f x dx

B xf x x f x dx



























ta có:

 

2 2 2 2

A x a dx;B xa x a dx



    







và từ đánh giá cíng bậc cê

   

 

   

2 2 2 2 4

1 1 1

2 2 2 2 4

0 0 0

a 3x 4ax a x 8x a x 0

8 16

9A a 3x dx 4 ax x a dx 8 x dx 4B

      

        

  

Dấu “=” xảy ra khi

 

 

x f x , x 0;1  

Chọn ï B.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 151

Câu 78: Cho hàm số

 

cê đạo hàm træn

 

1; 3

và

 

f 1 0,

 

 

1;3

max f x 10.

Giá trị nhỏ

nhất của tèch phân

 

f ' x dx







bằng?

10.

20.

Lời giải

Nhận thấy rằng

 

 

 

1;3

max f x 10 x 1; 3   

sao cho

 

f x 10

Ta có

 

f 1 0





x 1;3  

sao cho

 

f x 10.

Theo bất đẳng thức Holder ta có:

 





     

0 0 0 0

x x x x

1 1 1 1

f' x dx 1 dx. f ' x dx x 1 . f ' x dx  

   

   

   

Mặt khác ta lại cê

 





 





   

 

f' x dx f x f x f 1 10   



 

f' x dx











   

10 10

f' x dx f ' x dx

x 1 3 1

   

   

   





Chọn ï B.

Câu 79: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn

 

0;1 ,

thỏa

   

 

f ' x f x 0, x 0;1 .   

Giá trị lớn nhất của biểu thức

 

f 0 . dx



bằng?





e 1.

Lời giải

Từ giả thiết ta có

   

 

f ' x f x 0, x 0;1   

 

 

f' x

1, x 0;1

   

Lấy tèch phân 2 vế cận từ 0 đến t ta được

 

         

f' x

dx 1dx ln f x x ln f t ln f 0 t f t f 0 e

       



Do đê

 

1 1 e 1

f 0 . dx dx

f x e e







Chọn ï B.

Câu 80: Cho hàm số

 

nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn

 

0;1 .

Đặt hàm số

   

g x 1 f t dt



. Biết rằng

 

g x 2xf x

với mọi

 

x 0; 1

, tích phân

 

g x dx



có giá

trị lớn nhất bằng?

e 1.

e 1.

Lời giải

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

152 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Lấy đạo hàm 2 vế của giả thiết ta có

 

g 0 1

g ' x 2xf x















và

 

 

g x 0, x 0;1 .  

Theo giả thiết

 

   

 

g' x

g x 2xf x g x g' x 1

    

Lấy tèch phân 2 vế cận từ 0 tới t ta được

 

       

g' x

dx 1dx ln g x x

ln g t ln g 0 t ln g t t g t e

  

      



Do đê

 

g x dx e dx e 1  



Chọn ï B.

Câu 81: Cho hàm số

 

nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn

 

0;1 ,

thỏa mãn

điều kiện

   

f x 2018 2 f t dt



với mọi

 

x 0;1 .

Biết giá trị lớn nhất của tèch phân

 

f x dx



cê dạng

ae b

với

a, b .

Tính

a b.

1009.

2018.

2020.

Lời giải

Đặt

   

g x 2018 2 f t dt,



lấy đạo hàm 2 vế ta có

 

   

g 0 2018

g' x 2f x















và

 

 

g x 0, x 0;1  

Theo giả thiết

     

   

 

g' x g' x

g x f x g x 2

2 g x

    

Lấy tèch phân 2 vế cận từ 0 đến t ta được

 

 

 

       

g ' x

dx 2dx, t 0;1 ln g x 2x

ln g t ln g 0 2t ln g t 2t ln 2018 g t 2018.e

    

       



Do đê

   

1 1 1

2x 2x 2

0 0 0

f x dx g x dx 2018 e dx 1009e 1009e 1009.    

  

Chọn ï A.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Cho hàm số

 

nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn

 

0;1 .

Đặt hàm số

   

g x 1 f t dt.



Biết

   

g x f x

với mọi

 

x 0; 1

, tích phân

 



cê giá trị lớn

nhất bằng

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 153

2. Cho hàm số

 

nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn

 

0;1 ,

thỏa mãn điều kiện

     

f x 1 3 f t dt g x  



với mọi

 

x 0; 1

, tích phân

 

g x dx



cê giá trị lớn nhất bằng?

Chọn ï B.

Câu 82: Cho hàm số

 

dương và liæn tục træn

 

1; 3 ,

thỏa

 

 

1;3

max f x 2,

 

 

1;3

min f x



và biểu thức

 

S f x dx. dx





đạt giá trị lớn nhất, khi đê hãy tènh

 

I f x dx.



Lời giải

Từ giả thiết ta cê

 

f x 2



, suy ra

 

f x .

f x 2



 

   

 

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1

1 5 1 1

f x dx dx f x dx dx 5 dx 5 f x dx

f x 2 f x f x



        





     

Khi đê

 

   





 

3 3 3

1 1 1

1 5 25 25

S f x dx. dx f x dx. 5 f x dx f x dx

f x 2 4 4



       





    

Dấu

""

xảy ra khi và chỉ khi

 

f x dx .





Chọn ï D.

Câu 83: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn với mọi

x, y, ,

và

0  

ta có

 

.f x .f y f

 



    



 



. Biết

   

f 0 0, f x dx 2



. Giá trị

nhỏ nhất của tèch phân

 

f x dx



bằng

Lời giải

Áp dụng tènh chất của tèch phân ta cê:

       

 

1 1 1 1

0 0 0 0

1.x 1 1 x

1 1 1

f x dx f 1 x dx f x f 1 x dx 1 1 f dx f

2 2 1 1 2





       







   

Mặt khác ta lại cê:

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

154 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

       

 

0 0 0

1 1 1 1

f f 0 f f 0 f dx 2 1 x f 0 xf dx

2 2 2 2

1 x .0 x.

2 1 x x f dx 2 f dx 4 f x dx 8

1 x x 2

   

       

      

       

   

       

   









     













  

Vậy

 

f x dx 8



, dấu “=” xảy ra chẳng hạn tại

 

f x 16x

Chọn ï A.

Câu 84: Cho hàm số

 

dương liæn tục





0;

thỏa mãn đồng thời điều kiện

     

 

f x 2018 2 f t dt, x 0; f x dx 1009 e 1     



.Tính tích phân

 



 

2018 e 1

 

1009 e 1

 

2018 e 2

 

1009 e 1

Lời giải

Ta có

         

f x 2018 2 f t dt f x 2018 2 f t dt 0 1     



Đặt

   





     





ax ax

g x e f t dt b ;g' x e a f t dt f x ab    



Từ

 

ta thực hiện phåp đồng nhất ta được

a 2 a 2

ab 2018 b 1009

   







  



Suy ra

   

g' x 0, x 0 g x   

nghịch biến træn





0;

 





     

2x 2x

e f t dt 1009 g x g 0 2 f t dt 2018 2018e



      



Vậy

   

2x 2

f x 2018e f x dx 1009e 1009   



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

 

f x 2018e dx 2018 e 1

   



Chọn ï A.

Câu 85: Cho hàm số

 

cê đạo hàm khác 0 và liæn tục đến cấp hai træn đoạn

 

1; 2

. Biết

     

   

 

 



    

f x 1

f' x xf '' x

ln 2f' 1 f 1 1,f ' x , x 1; 2

2 ln 2

. Tính tích phân

 

I xf x dx



log 5 1

2 ln 2



3log 5 2

4ln 2



log 5 2

ln 2



2 log 5 1

2 ln 2



Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê:

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 155

 

   

 

   

 

f x 1

f x f x

f ' x xf '' x 2f ' x 2xf '' x

f ' x f ' x .2 ln 2

2 ln 2

f ' x

2x 2x

2 ln 2 ' ' 2 ln 2 C

f ' x f ' x





  







    





Vì

   

ln 2f ' 1 f 1 1 C 0   

. Khi đê ta được

 

   

 

f x f x f x

2 2 2

f ' x 2 ln 2 2x 2 ' 2x 2 2xdx x C f x log x C         



Vì

   

 

f 1 1 C 1 f x log x 1     

. Sử dụng tèch phân từng phần ta cê

   

 

2 2 2

1 1 x

I x log x 1 dx x log x 1 dx

2 ln 2 x 1

1 1 x 1 1 x 1

2 log 5 x dx 2 log 5 ln x 1

2 ln 2 x 1 2 ln 2 2 2

2 log 5 1

ln 2

    







        













  





Chọn ï D.

Câu 86: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn

 

1; 4

thỏa mãn

   

f 1 1,f 4 8   

và đồng

thời

   

 

f ' x x f x 9 x x 3x, x 1; 4     





. Tích phân

 

f x dx



bằng

7



8

Lời giải

Giả thiết đã cho tương đương

 

f ' x 9

   





Lấy tèch phân 2 vế træn đoạn

 

1; 4

ta được:

 

4 4 4

1 1 1

f' x dx dx 9 dx 21 2 ln 2



     









  

Sử dụng tèch phân từng phần ta được:

 

dx f x d a



  







, a sẽ được xác định sau

     

2 2 1 a

a f x a f ' x dx 7a 6 2 f' x dx

x x x

     

       

     

     



Từ đây ta cê đẳng thức:

 

f' x dx 7a 6 2 f ' x dx 21 2 ln 2



     







 

1 a 3a

f' x dx 2 ln 2 9a 6 21 2 ln 2



        







CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

156 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Ta dễ tçm được

a3

để

2 ln 2 9a 6 21 2 ln 2

     

, khi đê

 

 

 

f' x 3, x 1;4 f x 2 x 3x

      

Vậy

 

f x dx 2 x 3x dx

   



Chọn ï C.

Câu 87: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

1; 2

thỏa mãn đồng thời 2 điều

kiện

       

 

     

       

       

2 2 2 2

2 f 2 f 1 63;2 f x x f ' x 27x , x 1; 2

. Tènh giá trị của tèch

phân

 







f x dx

Lời giải

Theo giả thiết ta cê

       

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

f x dx f x dx x f ' x dx 27x dx 63 1   

     

     

   

Xét tích phân

 

I f x dx







, đặt

 

   

du 2f ' x f x

u f x

dv dx































         

I x f x 2 xf' x f x dx 63 2 xf ' x f x dx    







Ta có:

             

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

1 f x dx 2 xf ' x f x dx x f ' x dx 0 f x xf ' x dx 0      

     

     

   

Do đê

       

f x xf' x 0 f x ' 0 f x Cx



     





Vậy

   

2 2 2 2 2

2 Cx x C 3C x 27x C 3 f x dx 21      







Chọn ï C.

Trong bài toán này ta đã sử dụng tènh chất sau của tèch phân:

Nếu

 

f x dx 0







thì ta suy ra

 

f x 0

Câu 88: Cho hàm số

 

cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn

 

1; 3

thỏa mãn điều kiện

 

   

f ' x

dx ; f 1 2 2 , f 3 4

f x 4





  



. Tích phân

 

x2



bằng

65



32

52

Lời giải

Vì

 

 

   

 

f ' x 0, x 1;3 f x f 1 2 2 0, x 1; 3        

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 157

Ta có

 

     





f ' x

dx f x f 3 f 1 3

   







Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số thực dương ta cê:

 

f ' x f ' x

f ' x

27 27 27 27 27

3 . . .

f x 8 8 f x 8 8 4

   

   

   

Lấy tèch phân 2 vế træn đoạn

 

1; 3

ta được:

 

f ' x

27 27 27

dx . dx

f x 8 8 4

f ' x f ' x

27 81 27

dx dx

f x 2 4 f x 4









  





   

   

    



Dấu “=” xảy ra khi

 

   

f ' x

27 3 3 3 2C

f x x C f x x

f x 8 2 2 2 3







        









Mặt khác

     

 

f 1 2 2 C f x x 1 dx 6 5

        





Chọn ï A.

Câu 89: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

   

e.f 1 4f 0 4

và đồng thời

   





 

2x x

e f ' x f x dx 4 e .f x dx

  

   

   



. Tính tích phân

 



f x dx

 

4 e 1

 

3 e 1

 

2 e 2

 

5 e 2

Lời giải

Xét tích phân

   





 

2x x

K e f' x f x dx 4 e f x dx

   

   

   



Đặt

         

x x x x

u x e f x u' e f x e f ' x e f ' x u' u      

, khi đê ta được

       

 

K u' u u 4u dx u' 2u.u' 4u dx u 1 4,u 0 1

   

        

   



Ta có

1 1 1 1

0 0 0 0

u 15

u.u'dx , udx xu xu'dx 4 xu'dx

     

   

Suy ra

 

K u' 4xu' dx



  





. Đến đây ta chọn

m 

sao cho

 

   

1 1 1 1

0 0 0 0

u' 2x m dx 0 u' 4xu dx 2m u'dx 2x m dx 0

6m m 2m 0 m 2



        



       

   

Vậy ta được

 

   

u' 2x 2 dx 0 e f x e f ' x 2x 2      



CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

158 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

 

   

 

f 0 1

5 e 2

x 2x C x 2x 1

e f x ' 2x 2 f x f x f x dx

e e e





   

        



Chọn ï D.

Câu 90: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn đồng thời các

điều kiện

     

 





    







1 1 1

f 0 ; x 1 f ' x dx ; dx

16 8 64

f ' x

. Tính tích phân

 



f x dx

Lời giải

Áp dụng nguyæn hàm từng phần ta cê:

               

1 1 1

3 3 2 2

0 0 0

x 1 f ' x dx x 1 f x 3 x 1 f x dx x 1 f x dx

8 16

         

  

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:

 

   

 

   

1 1 0

0 0 0

f x f x

x 1 f ' x dx dx x 1 f ' x dx

f ' x f ' x









   

   



   







   





   



  

 

   





1 1 1

dx x 1 f ' x dx

64 8 16

f ' x



   





    

   



   







Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

 

   

 

2 3 3

f ' x

k x 1 f ' x 1

k x 1

f ' x







   























Ta có

 

     

1 1 1

0 0 0

dx f ' x dx k x 1 f ' x dx k

f ' x 64 8

f ' x







     







  

Khi đê ta được

 

f' x

2 1 1

1 ln f x 2 ln x 1 C f x f x dx

f x x 1 32

16 x 1



           





Chọn ï B.

Câu 91: Cho hàm số

 

liæn tục træn đoạn thỏa

   

 

f 0 0, f x f y sin x sin y   

với mọi

x, y 

. Giá trị lớn nhất của tèch phân

 





f x f x dx







bằng









Lời giải

Theo giả thiết ta cê

       

f x f x 0 f x f 0 sin x sin 0 sin x      

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 159

       





 

f x f x sin x sin x f x f x dx sin x sin x dx 1





         

   

   



Dấu “=” xảy ra khi

 

f x sin x

Chọn ï A.

Câu 92: Cho hàm số

 

cê đạo hàm cấp hai træn





0;

thỏa mãn đồng thời các điều

kiện

         



  

ln2

f 0 1; f ' 0 0;f '' x 5f' x 6f x 0, x 0; ; f x dx



        



. Tính giá trị

của tích phân

 

ln 2

f x dx



Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê

             

f '' x 5f' x 6f x 0 f '' x 2f ' x 3 f ' x 2f x 0       





Đặt

         

g x f ' x 2f x g ' x 3g x 0    

Xåt hàm số

             

 

3x 3x 3x 3x

h x e g x h' x 3e g x e g ' x e g ' x 3g x 0

   

       

Suy ra

 

đồng biến træn



          

0; h x h 0 g 0 f ' 0 2f 0 2       

     

 

3x 2x x

e g x 2 e f ' x 2f x 2e 0



      

Xåt hàm số

         

 

2x x 2x x

k x e f x 2e k' x e f ' x 2f x 2e 0



      

Suy ra

 

đồng biến træn





0;

     

k x k 0 f 0 2 3    

     

ln2

2x x 2x 3x

e f x 2e 3 f x 3e 2e f x dx



        



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

   

ln 2

2x 3x

f x 3e 2e f x dx

   







Chọn ï C.

Câu 93: Cho hàm số

 

liæn tục và cê đạo hàm đến cấp

trên

 

0; 2

thỏa mãn điều kiện

     

f 0 2f 1 f 2 1  

. Giá trị nhỏ nhất của tèch phân

 

f '' x dx







bằng

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta cê

     





1 1 1

0 0 0

f'' x dx 3 x dx. f '' x dx 3 x.f'' x dx

   

   

   

Ta đặt

 

dv f '' x dx















 





     

3 xf'' x dx 3 f ' 1 f 0 f 1   







Sử dụng bất đẳng thức Holder một lần nữa ta được

         





2 2 2

1 1 1

f'' x dx 3 x 2 dx. f '' x dx 3 x 2 .f'' x dx   

   

   

   

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

160 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Ta đặt

 

   





     

u x 2

3 x 2 f '' x dx =3 f ' 1 f 2 f 1

dv f '' x dx







    















Suy ra

             

2 2 2

2 f'' x dx 3 f ' 1 f 0 f 1 3 f ' 1 f 2 f 1      

     

     



Theo bất đẳng thức AM – GM ta có

           

3 f ' 1 f 0 f 1 3 f ' 1 f 2 f 1     

   

   

     

f 0 2f 1 f 2

3. .









Chọn ï B.

Câu 94: Cho tích phân

 

I x 7 11 x dx



   



, gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của I. Tènh

S M m

54 2 108

36 2 108

6 3 54

6 3 36

Lời giải

Đặt

y x 7 11 x   

với

 

x 7;11

. Ta có

y 0 x 2

2 x 7 2 11 x



    



Nhận thấy y’ khëng xác định tại

7; 11

, vẽ bảng biến thiæn ta cê

18 y 6

 

11 11 11

7 7 7

18dx x 7 11 x dx 6dx

  

     

  

 

54 2 x 7 11 x dx 108



     



Chọn ï A.

Câu 95: Cho tích phân

4 x x







, biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của I được viết dưới dạng









, trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và

là

phân số tối giản. Tènh

S a b c d   

Lời giải

Ta có

 

3 2 2 3 2 2 3 2

x 0;1 0 x x x x 0 4 2x 4 x x 4 x               

1 1 1

2 2 3 2 2 2 3 2

0 0 0

1 1 1 1 1 1

dx dx dx

4 2x 4 x x 4 x 4 x 4 x x 4 2x

     

       

  

Đặt

x 2 sin t dx 2 cos tdt  

 

2 cos t

I dt dt

4 2 sin t





   





Đặt

x 2 sin t dx 2 costdt  

 

2 cost 2 2

J dt

4 2 2 sin t



   





TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 161

Vậy

4 x x









Chọn ï D.

Câu 96: Cho tích phân

I , n







, biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của I được viết dưới dạng





, trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và

là phân số tối giản. Tènh

S a b c d   

Lời giải

Ta có

1 1 1

2 2 2

2n 2n 2n

0 0 0

1 1 1 1

x 0 1 dx dx dx

1 x 1 x 1 x

      

  

  

Dấu “=” xảy ra khi

x0

Ta thấy

2n 2

1 1 1

n *,x 0; x x dx dx

1 x 1 x



     









Đặt

2 6 6

0 0 0

1 costdt

dx dx dt

1 x 1 s

x sin t d

x cos t



  









  

Dấu “=” xảy ra khi

x1

Chọn ï B.

Câu 97: Cho tích phân

e sin x

I dx









, biết rằng giá trị lớn nhất của I được viết dưới

dạng



, với a, b là các số nguyæn dương và

tối giản. Tènh tổng

S a b

Lời giải

Ta cê với mọi

x 1; 3 x 1 e





      



   

e sin x 1 e .sin x 1

dx dx

x 1 x 1

e x 1 e x 1



   





Xét tích phân

 

e x 1



. Đặt

 

x tant dx tan t 1 dt   

ta được

 

tan t 1 dt

1 dt

e 12e

e x 1 e tan t 1







  



  

Vậy

12e





Chọn ï A.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

162 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 98: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn

   

f 1 1,f x 0

và đồng thời

       

 

f x ln f x xf' x f x 1 , x 0;1   





. Tính tích phân

 

f x dx





Lời giải

Biến đổi giả thiết tương đương

           

 

         

f ' x

f x ln f x xf ' x xf' x f x ln f x x xf' x

xln f x ' xf ' x x ln f x xf ' x dx xf x f x dx

     

     



Vậy ta được

   

f x dx f 1 1



Chọn ï D.

Câu 99: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1

thỏa mãn điều kiện

   

f 2018x 2017 2018f x , x   

. Tính tích phân

 

f x dx







 







 







 







 







Lời giải

Xåt biểu thức

   

f 2018x 2017 2018f x

. Lấy đạo hàm 2 vế ta được

   

2018f ' 2018x 2017 2018f ' x

Thay x bởi

2018x 2017

, ta được

 

x 2017

2018 1

x 2018 1

2018

f ' x f' f '

2018 2018























Thay đến n lần và bằng quy nạp ta chứng minh được

 

n n n

x 2018 1 x 1

f' x f ' f' 1

2018 2018 2018







   





Khi

         

n f ' x f ' 1 f x f ' 1 x C *        

Thay

     

x 1 f 1 2018f 1 f 1 0        

Thay

       

x 1 * : f 1 f ' 1 C 0 f ' 1 C           

Vậy

        

f x f ' 1 x 1 f x dx f 1

     

   

   



Chọn ï C.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 163

Câu 100: Cho hàm số

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

1; 2

thỏa mãn

 



và

đồng thời

 

   

 

 

3x f x

f ' x x, x 1; 2

f ' x xf ' x x

   







. Tính giá trị của

 

7 7 1



7 7 1



2 7 1



2 7 1



Lời giải

Biến đổi giả thiết tương đương

   

 

   





     

 

3 3 3

3x f x f ' x x f ' x xf ' x x

f ' x

3x f x f ' x x x 3f x 1 f ' x x

3f x 1

   





       

   

   



 

   

 

       

2 2 2

1 1 1

2 2 2

3 3 3

f ' x

3 1 3

dx xdx 3f x 1 d 3f x 1

2 3 2

3f x 1

1 3 3 7 7 1

. 3f x 1 3f 2 1 3f 1 1 3 f 2

3 2 2 3



      









         

     

     

  

Chọn ï A.

Câu 101: Cho hàm số

 

liên tục træn

 

0;1

, hàm số

 

f ' x

liæn tục træn đoạn

 

0;1

và

   

f 1 f 0 2

. Biết rằng

 

 

0 f ' x 2 2x, x 0;1   

. Khi đê, giá trị của tèch phân

 

f ' x dx



thuộc khoảng nào sau đây.

 

2; 4

13 14

;







10 13

;







 

1; 3

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê

 

 

0 f ' x 2 2x, x 0;1   

 

 

   

0 f' x 8x, x 0;1 0 f' x dx 8xdx 4 1        

   

   



Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

 





 

f' x dx f ' x dx







Mặt khác

 





 





   

 

   

f' x dx f x f 1 f 0 4 f ' x dx 4 2     







Từ

     

1 ; 2 f ' x dx 4







Chọn ï A.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ

164 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Câu 102: Cho hàm số

 

liæn tục træn , cê đạo hàm đến cấp hai træn và thỏa mãn

   

 

   

f x . 4 f ' x f x .f'' x e , x



   



, biết

 

f 0 0

. Khi đê

 

5ln 2

f x dx



bằng?

25ln 2

5 31 5ln 2









1 355ln 2









1 25ln 2

31 5ln 2









355ln 2

5 31









Lời giải

Giả thiết tương đương

   

 

   

4 x 4 x

f x .f' x ' e f x f ' x e C   

mà

 

f 0 0 C 1   

         

 

4 x 4 x 5 x

f x f ' x e 1 f x f ' x dx e x D f x 5 e x D          



Mặt khác

   

 

f 0 0 D 1 f x 5 e x 1       

 

5ln2 5ln2

25ln 2

f x dx 5 e x 1 dx 5 31 5ln 2



      







Chọn ï A.

Câu 103: Cho hàm số

 

liên tục træn và

 

f x dx 1



. Tènh giới hạn của dãy số:

 

1 n n 3 n n 6 n 4n 3

u f 1 f f ... f

n n 3 n n 6 n 4n 3 n



     

  

    



     

  



     



Lời giải

Chî ï đây là một câu sử dụng định nghĩa tèch phân bằng tổng Riemann khëng nằm trong

phạm vi kiến thức THPT næn chỉ mang tènh tham khảo, khëng đi sâu!

Xåt hàm số

 

n 1 n 1

i 0 i 0

1 3 1 3 3i

g x S g 1

3 n 3 n n

x 3i















    









Ta chia đoạn

 

1; 4

thành n phần bằng nhau bằng các điểm chia

 

i 0 n

x 1 i. i 0,n x 1,...,x 4



    

Mỗi đoạn con cê độ dài là

  

i 1 i i i 1 i

4 1 1

x x S g x x x









    



 

   

4 4 4

1 1 1

1 1 1 2

lim S g x dx 2f x d x

3 3 3 3

    

  

Chọn ï B.

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 165

Câu 104: Cho hàm số

 

và

 

thỏa mãn

         

f ' 1 g 1 1;f 2 .g 2 f 1  

và đồng

thời

           

1 f' x g ' x g x f '' x f' x , x \ 0



    





. Tính tích phân

   

I f x g ' x dx



ln 2



ln 2



ln 2



ln 2



Lời giải

Biến đổi giả thiết tương đương

           

   

 

   

f' 1 g 1 1

x xf ' x g ' x xg x f '' x g x f ' x

x x g ' x f ' x g x f'' x g x f ' x

x xf ' x g x ' xf ' x g x C

x C x 1

f ' x g x f ' x g x

2 x 2 2x

x 1 3 1

f ' x g x dx dx ln 2

2 2x 4 2



  

   





    

     



    







Sử dụng tèch phân từng phần ta cê

           

   

I f' x g x dx g x f x f x g ' x dx ln 2

f x g' x dx ln 2

    

   





Chọn ï D.

Câu 105: Cho hàm số

 

y f x

cê đạo hàm

 

0;1

thỏa mãn

   

f 0 f 1 0

và đồng thời

điều kiện

 

f ' x dx 1



. Tçm giá trị lớn nhất của

 

trên

 

0;1

Lời giải

Ta có:

 Với

x 0;









       

0 0 0

f' t df x f t f ' t dtt dt



  

  

 Với

       

1 1 1

x ;1 f x f ' t dt f ' t dt f' t dt



    





  

       

1 1 1

f' t dt f ' t dt f ' t df



    





  

Chọn ï A.

LỜI KẾT

Vậy là chúng ta đã đi đến trang cuối cùng của tuyển tập này, tuy bài viết chưa thực sự là

hay nhưng hy vọng những kiến thức mà mình đưa vào trong bài viết có thể giúp ích được

các bạn trong quá trình học tập. Ngoài ra có thể còn một vài thiếu xót trong tuyển tập này,

các bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu khác để học hỏi hơn. Giới đây là một vài tài liệu

mình nghĩ sẽ giúp ích được cho các bạn.

[1] Vận dụng cao số phức tích phân

[2] Kho tài liệu nguyên hàm tích phân

[3] Các bài toán thực tế nguyên hàm tích phân – Hứa Lâm Phong

[4] Nâng Cao Kỹ Năng Giải Toán Trắc Nghiệm 100% Dạng Bài Nguyên Hàm – Tích

Phân Và Ứng Dụng – Tô Thị Nga

Một lần nữa gửi lời cảm ơn đến những người có đóng góp cho bài viết này và chúc các bạn

một mùa ôn thi thành công nhé!

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/168

| | Tải xuống

Preview text:

`
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC CÁC BÀI TOÁN
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VẬN
DỤNG – VẬN DỤNG CAO CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN LỜI GIỚI THIỆU
Trong đề thi thử của các trường hay trong đề thi THPT Quốc Gia thì các bài toán về chủ đề
nguyên hàm tích phân chiếm khoảng 7 câu từ dễ đến khó, nhằm giúp bạn đọc phần nào có
cái nhìn toàn diện về các câu hỏi liên quan tới vấn đề này trong các đề thi của năm vừa rồi
và đồng thời có thêm nhiều kiến thức hay và khó khác thì trong chuyên đề này mình đã đề
cập tới rất nhiều các vấn đề khó như các bài toán liên quan tới phương trình vi phân, bất
đẳng thức tích phân… Để có thể viết nên được chuyên đề này không thể không có sự tham
khảo từ các nguồn tài liệu của các các group, các khóa học, tài liệu của các thầy cô mà tiêu biểu là
1. Thầy Lã Duy Tiến – Giáo viên trường THPT Bình Minh
2. Group Nhóm toán: https://www.facebook.com/groups/nhomtoan/
3. Group Hs Vted.vn: https://www.facebook.com/groups/vted.vn/
4. Group Nhóm Toán và Latex: https://www.facebook.com/groups/toanvalatex/
5. Website Toán học Bắc – Trung – Nam: http://toanhocbactrungnam.vn/
6. Website Toanmath: https://toanmath.com/
7. Anh Phạm Minh Tuấn: https://www.facebook.com/phamminhtuan.2810
8. Thầy Lê Phúc Lữ - Công tác tại phòng R&D Công ty Fsoft thuộc tập đoàn FPT.
9. Thầy Đặng Thành Nam – Giảng viên Vted
10. Thầy Huỳnh Đức Khánh
11. Thầy Nguyễn Thanh Tùng
12. Bạn Nguyễn Quang Huy – Sinh viên đại học bách khoa Hà Nội
Trong bài viết mình có sưu tầm từ nhiều nguồn nên có thể sẽ có những câu hỏi chưa hay
hoặc chưa phù hợp mong bạn đọc bỏ qua. Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi
những thiếu sót, mong bạn đọc có thể góp ý trực tiếp với mình qua địa chỉ sau: Nguyễn Minh Tuấn
Sinh viên K14 – Khoa học máy tính – Đại học FPT
Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt Email: tuangenk@gmail.com
Blog: https://lovetoan.wordpress.com/
Bản pdf được phát hành miễn phí trên blog CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN, mọi hoạt
động sử dụng tài liệu vì mục đích thương mại đều không được cho phép. Xin chân thành cảm ơn bạn đọc.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
Nguyễn Minh Tuấn
Nguyæn hàm tèch phân cê thể được coi là một phần toán tương đối hay và khê luën xuất
hiện trong đề thi THPT Quốc Gia, để cíng mở đầu về chương này, mçnh xin giới thiệu và
khái quát đëi nåt về lịch sử của các bài toán nguyæn hàm và tèch phân và sơ qua về chương
trçnh ta sẽ học sắp tới.
GIỚI THIỆU ĐÔI NÉT VỀ LỊCH SỬ
Các ï tưởng giîp hçnh thành mën vi tèch phân phát triển qua một thời gian dài. Các nhà
toán học Hi Lạp là những người đã đi những bước tiæn phong. Leucippus, Democritus và
Antiphon đã cê những đêng gêp vào phương pháp “våt cạn” của Hi Lạp, và sau này được
Euxodus, sống khoảng 370 trước Cëng Nguyæn, nâng læn thành lè luận khoa học. Sở dĩ gọi
là phương pháp “våt cạn” vç ta xem diện tèch của một hçnh được tènh bằng vë số hçnh,
càng lîc càng lấp đầy hçnh đê. Tuy nhiæn, chỉ cê Archimedes (Ac-xi-met), (287-212 B.C),
mới là người Hi Lạp kiệt xuất nhất. Thành tựu to lớn đầu tiæn của ëng là tçnh được diện
tèch giới hạn bởi tam giác cong parabol bằng 4/3 diện tèch của tam giác cê cíng đáy và
đỉnh và bằng 2/3 diện tèch của hçnh bçnh hành ngoại tiếp. Để tçm ra kết quả này, Ác-xi-
met dựng một dãy vë tận các tam giác, bắt đầu với tam giác cê diện tèch bằng A và tiếp tục
ghép thæm các tam giác mới nằm xen giữa các tam giác đã cê với đường parabol. Hçnh
parabol dần dần được lấp đầy bởi các tam giác cê tổng diện tèch là: A A A A A A A,A  ,A   ,A    .... 4 4 16 4 16 64
Diện tèch giới hạn bởi parabol là:  1 1 1  4A A 1     ...   4 16 64    3
Ác-xi-met cũng díng phương pháp “våt cạn” để tènh diện tèch hçnh trén. Đây là më hçnh
đầu tiæn của phåp tènh tèch phân, nhờ đê ëng đã tçm được giá trị gần đîng của số pi ở
khoảng giữa hai phân số 3 10/71 và 3 1/7. Trong tất cả những khám phá của mçnh, Ac-xi-
met tâm đắc nhất là cëng thức tènh thể tèch hçnh cầu. “Thể tìch hënh cầu thë bằng 2/3 thể tìch
hënh trụ ngoại tiếp“. Thể theo nguyện vọng lîc sinh thời, sau khi ëng mất, người ta cho
dựng một mộ bia cê khắc hoa văn một hçnh cầu nội tiếp một hçnh trụ. Ngoài toán học, Ac-
xi-met cén cê những phát minh về cơ học, thủy động học. Tất cả học sinh đều quen thuộc
với định luật mang tæn ëng về sức đẩy một vật thể khi nhîng vào một chất lỏng cíng với
câu thốt bất hủ “Eureka! Eureka!” (Tçm ra rồi! Tçm ra rồi!) khi ëng đang tắm. Ông tçm ra các
định luật về đén bẩy cíng câu nêi nổi tiếng “Hãy cho tïi một điểm tựa, tïi sẽ nhấc bổng quả đất“).
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 1
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Dí ëng cê vẽ thèch toán học hơn vật lè, nhưng Ac-xi-met vẫn là một kỹ sư thiæn tài. Trong
những năm quân xâm lược La Mã híng mạnh tấn cëng đất nước Syracuse quæ hương ëng,
nhờ cê những khè tài do ëng sáng chế như máy bắn đá, cần trục kåo lật tàu địch, gương
parabol đốt cháy chiến thuyền, đã giîp dân thành Syracuse cầm chân quân địch hơn 3
năm. Cuối cíng quân La Mã cũng tràn được vào thành. Dí cê lệnh tướng La Mã là Marcus
khëng được giết chết ëng, một tæn lènh La Mã thë bạo xëng vào phéng làm việc khi ëng
đang mæ mãi suy nghĩ cạnh một sa bàn một bài toán hçnh dang dở. Khi thấy bêng của nê
đổ læn hçnh vẽ, ëng quát læn: ” Đừng quấy rầy đến các đương trén của ta !”. Thế là tæn lènh
nỗi cáu, đâm chết ëng. Sau khi ëng mất, nền toán học hầu như rơi vào trong bêng tối cho
đến thế kỹ thứ 17. Lîc này do nhu cầu kỹ thật, phåp tènh vi tèch phân trở lại để giài quyết
những bài têan về sự biến thiæn các đại lượng vật lï. Phåp tènh vi tèch phận được phát triển
nhờ tçm ra cách giải quyết được bốn bài toán lớn của thời đại:
1. Tçm tiếp tuyến của một đường cong.
2. Tìm độ dài của một đường cong.
3. Tçm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng ; vè dụ tçm khỏang cách gần nhất
và xa nhất giữa một hành tinh và mặt trời, hoặc khoảng cách tối đa mà một đạn đạo
cê thể bay tới theo gêc bắn đi của nê.
4. Tçm vận tốc và gia tốc của một vật thể theo thời gian biết phương trçnh giờ của vật thể ấy.
Vào khỏang giữa thế kỷ 17, những anh tài của thời đại, như Fermat, Roberval, Descartes,
Cavalieri lao vào giải các bài toán này. Tất cả cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh cao khi
Leibniz và Newton hoàn thiện phåp tènh vi tèch phân. Leibniz ( 1646-1716) Ông là một nhà
bác học thiæn tài, xuất sắc træn nhiều lãnh vực: một nhà luật học, thần học, triết gia, nhà
chènh trị. Ông cũng giỏi về địa chất học, siæu hçnh học, lịch sử và đặc biệt toán học. Leibniz
sinh ở Leipzig, Đức. Cha là một giáo sư triết học tại Đại học Leipzig, mất khi ëng vừa sáu
tuổi. Cậu bå suët ngày víi đầu ở thư viện của cha, ngấu nghiến tất cả các quyển sách về
đũ mọi vần đề. Và thêi quen này đã theo cậu suët đời. Ngay khi mới 15 tuổi, ëng đã được
nhận vào học luật tại Đại học Leipzig, và 20 tuổi đã đậu tiến sĩ luật. Sau đê, ëng hoạt động
trong ngành luật và ngoại giao, làm cố vần luật pháp cho các ëng vua bà chîa. Trong
những chuyến đi cëng cán ở Paris, Leibnz cê dịp gặp gỡ nhiều nhà toán học nổi tiếng, đã
giúp niềm say mæ toán học của ëng thæm gia tăng. Đặc biệt, nhà vật lè học lừng danh
Huygens đã dạy ëng toán học. Vç khëng phải là dân toán học chuyæn nghiệp, næn cê nhiều
khi ëng khám phá lại những định lè toán học đã được các nhà toán học khác biết trước.
Trong đê cê sự kiện được hai phe Anh Đức tranh cãi trong suốt 50 năm. Anh thç cho chính
Newton là cha đẻ của phåp tènh vi tèch phân trong khi Đức thç nêi vinh dự đê phải thuộc
về Leibniz. Trong khi hai đương sự thç khëng cê ï kiến gç. Đîng ra là hai người đã tçm
được chân lï træn một cách độc lập: Leibniz tçm ra năm 1685, mười năm sau Newton,
2 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
nhưng cho in ra cëng trçnh của mçnh trước Newton hai mươi năm. Leibniz sống độc thân
suốt đời và mặc dí cê những đêng gêp kiệt xuất, ëng khëng nhận được những vinh quang
như Newton. Ông trải qua những năm cuối đời trong cë độc và nổi cay đắng.
Newton(1642-1727) - Newton sinh ra tại một ngëi làng Anh Quốc. Cha ëng mất trước khi
ëng ra đời, một tay mẹ nuëi nầng và dạy dỗ træn nëng trại nhà. Năm 1661, ëng vào học tại
trường đại học Trinity ở Cambridge mặc dủ điểm hçnh học hơi yếu. Tại đây ëng được
Barrow, nhà toán học tài năng chî ï. Ông lao vào học toán và khoa học, nhưng tốt
ngghiệp loại bçnh thường. Vç bệnh dịch hoành hành khắp châu Âu và lan truyền nhanh
chêng đến London, ëng phải trở lại làng quæ và trî ngụ tại đê trong hai năm 1665, 1666.
Chính trong thời gian này, ëng đã xây dựng những nền tảng của khoa học hiện đại: khám
phá nguyæn tắc chuyển động các hành tinh, của trọng lực, phát hiện bản chất của ánh
sáng. Tuy thế ëng khëng phổ biến các khám phá của mçnh. Ông trở lại Cambridge năm
1667 để lấy bằng cao học. Sau khi tốt nghiệp, ëng dạy học tại Trinity. Năm 1669, ëng giữ
chức giáo sư trưởng khoa toán, kế nhiệm giáo sư Barrow, một chức danh vinh dự nhất
trong giáo dục. Trong những năm sau đê, ëng đã cëng thức hoá các đinh luật hấp dẫn,
nhờ đê giải thèch được sự chuyễn động của các hành tinh, mặt trăng và thủy triều.Ông
cũng chế tạo ra kçnh viễn vọng hiện đại đầu tiæn. Trong đời ëng, ëng èt khi chịu cho in các
khám phá vĩ đại của mçnh, chỉ phổ biến trong phạm vi bạn bä đồng nghiệp. Năm 1687,
trước sự khuyến khèch nhiệt tçnh của nhà thiæn văn học Halley, Newton mới chịu cho xîât
bản cuốn Những nguyæn tăc toán học. Tác phẩm này ngay lập tức được đánh giá là một
trong những tác phẫm cê ảnh hưởng lớn lao nhất của nhân loại. Cũng tương tự như thế,
chỉ sau khi biết Leibniz đã in cëng trçnh của minh, ëng mới cëng bố tác phẫm của mçnh về
phép tính vi tich phân. Vĩ đại như thế, nhưng khi nêi về minh ëng luën cho rằng sở dĩ ëng
cê đëi khi nhçn xa hơn kẻ khác vç ëng đứng træn vai của các vĩ nhân. Và với những khám
phá lớn lao của mçnh, ëng nêi: “Tïi thấy mënh như một đứa trẻ chơi đùa trên bãi biển, may mắn
gặp được những viên sỏi trín trịa, hoặc một vỏ sí đẹp hơn bënh thường, trong khi trước mặt là một
đại dương bao la của chân lì mà tối chưa được biết“.
NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ 1. TÌCH PHÂN TRUY HỒI
Trong bài viết này chủ yếu là các bài toán ở dạng tự luân, mçnh sẽ giới thiệu qua để cê thể
khëng may đề thi thử của các trường cê thể ra thç ta cê thể xử lï được. Ở phần này ta sẽ
cíng tçm hiểu các dạng tèch phân truy hồi dạng 
I  f x, n dx với các câu hỏi hay gặp n     là:
1. Thiết lập cëng thức truy hồi I  g I  .  k 1; n n  n k  
2. Chứng minh cëng thức truy hồi cho trước.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 3
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
3. Sau khi thiết lập được cëng thức truy hồi yæu cầu đi tènh I ứng với một vài giá trị n
n nào đê hoặc tènh giới hạn của hàm số hoặc dãy số cê liæn quan với I . n
Ta cíng xåt các vè dụ sau: 
Ví dụ 1: Xét tích phân n 2 I  sin xdx n  với * n  . 0
1. Tçm mối quan hệ giữa I ,I n n2 2. Tính I ,I . 5 6
3. Tçm cëng thức tổng quát của I . n
4. Xåt dãy số u cho bởi u  n  1 I .I . Tìm lim u n   n  n n1 n n Lời giải
1. Tçm mối quan hệ giữa I ,I n n2    Ta có: n2 n I       sin xdx sin x    2 1 cos x n 2 2 2 2 dx I sin x.cos xdx 1 n 2 n    0 0 0 d  u  sin xdx
Sử dụng cëng thức nguyæn hàm từng phần ta đặt  n1  n sin x v  sin x.cos xdx     n  1   n1 2  2 cos x sin x 1 n2 I 2 2 n2  sin x.cos xdx   sin xdx  2  n    0 0 n  1 n  1 n  1 0 Thay  I   n 2
2 vào 1 ta được: n 2 I      I I I n 2 n n n2 n  1 n  1 2. Tính I ,I . 5 6  4 8 8  8 2 I  I  I  sin xdx   5 3 1 
Sử dụng kết quả ở træn ta được:  0 5 15 15 15   5 15 15   2 15 2 I  I  I  sin xdx  6 4 2  0  6 24 24 96
3. Tçm cëng thức tổng quát của I . n   Ta có:  2 2 2 I  sin xdx  1,I  sin xdx  1  2  0 0 4 Ta đã cê kết quả n  2 I  I
, đến đây xåt 2 trường hợp: n n 2 n  1  + Trường hợp 1:   * 4 6 2k n 2k k 
. Ta có: I  I ,I  I ,...,I  .  I 2 4 4 6 2k 2 2k 3 5 2k  1
Nhân theo vế các đẳng thức ta được: 4.6...2k  4.6...2k 3.5...2k  1  I  I   I  I  2 3.5...2k  1 2k 4 3.5...2k 1 2k 2k 4.6...2k 4
+ Trường hợp 2: Với n lẻ hay 3 5 2k  1
n  2k  1 , ta có: I  I ,I  I ,...,I  .  I 1 3 3 5 2k 3 2k1 2 4 2k  3
Nhân theo vế các đẳng thức ta được:
4 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2.4...2k  2 2.4...2k  2 I    I 2k 1
3.5...2k  1 1 3.5...2k  1
4. Xåt dãy số u cho bởi u  n  1 I .I . Tìm lim u n   n  n n1 n n Ta có: n  2 u  n  1 I .I       n 1 . I  I  n 2 I  .I  u n   n n 1   n 2 n 1   n 1 n 2 n1 n  1 Vậy    u          u ... u 2I I lim u lim n 1 n 1 1 2 n n n 2  2 2
Ví dụ 2: Xét tích phân 1 I   1 x n 2 dx n 0 1. Tính I n 2. I Tính n1 lim n In Lời giải 1. Tính I n   n        n1 2 2 u 1 x du n 1 x  2  x Đặt dx    dv    dx v  x   I  x1 x  1 n 1  2n x  1x n 1 2 2 2 dx n 0 0 1  
 2n 11x  1x n 1 dx  2n 1  x dx  1  x dx  2n I     I 0  1 n 1 1 n 2 2 2 2 0 0   n 1 n Vậy 2n I  2n I     I I I  * n  n 1 n  n n 1   2n  1 Từ  2n 2n 2n  2 4.6.8...2n * ta có I  I    . I  I n n 1 n 2 2n  1 2n  1 2n  1 5.7.9...2n  1 1 1 3   Mặt khác ta lại cê: 1    2 x 2 2.4.6.8...2n I 1  x dx   x     I  . 1  0  3  3 n 3.5.7.9...2n  1 0 2. I Tính n1 lim n In 2n 2n  1 Ta có: I    2n 2 I  2n 2 n 1 n 1 I  I         I  I lim lim 1 n n 1 n 1 2n  1 2n  1 n n n  1 I 2n  3 I  2n  3 n n 
Ví dụ 3: Xét tích phân n 4 I  tan xdx n  với * n  . 0 1. 1 Chứng minh rằng I    I n 2 n n  1 2. Tính I ,I 5 6 Lời giải 1. Ta có:
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 5
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ   n2 I      tan dx    n2 n tan x tan x n 4 4 tan x dx n 2  0 0      
tan xtan x  1  tan x n n 2 n tan x n 4 4 4 dx  dx  tan xdx   2 0 0 0 cos x  n 1 4  tan xd  tan xI   I n n 0 n  1
Ta cê điều phải chứng minh! 2. Ta có:   sin x  dcosx  1 4 4 4 I  tan xdx  dx    ln 2 1    0 0 0 cos x cos x 2         1 4 2 4 4 I  tan xdx     
1dx  tan x  x 4  2 2 0 0 0  cos x  4
Áp dụng cëng thức truy hồi 1 I   ta được:  I n 2 n n  1  1 1  1  1 1 I   I     I   ln 2  5 3 1 4 4  2  2 4     1 1 1 13 I   I     I   6 4 2 5 5 3    15 4 Ví dụ 4: nx n1 1. 1 e dx e  1 Xét tích phân I  I   I . n  với * n  . Chứng minh rằng x 0 1  e n n1 n  1 2. 3 n
Xét tích phân I   3  x x e dx với * n  . Chứng minh rằng n I  3   nI n 0 n n1 Lời giải 1. Ta có: nx    xn1 e dx e dx e  x x n 1 e  1 xn1 1 n1 1 1 1 dx e e  1 I  I      n n1    x x x 0 0 0 1  e 1  e 1  e n  1 n  1 0
Từ đê suy ra điều phải chứng minh! 2. Xét tích phân 3 I   3 xn x e dx với * n  . Chứng minh rằng n I  3   nI n 0 n n1 u  3  xn du
  n3  xn1 3 Đặt dx     I  3  x 3 n e  n 3xn1 x x n e dx  3   nI n n1 x x 0 0 dv    e dx v  e
Từ đây cê điều phải chứng minh! Ví dụ 5: Cho 1 n I I  x 1  x dx u là dãy cho bởi n u  . Tìm lim u . n  với * n  . Biết  n  0 n I n n1 Lời giải n1 n d  u  nx dx u  v Đặt     2 d  v  1  x dx v  1  x dx     1x3  3
6 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2       13 1 n 2 I x 1 x  n  1 x3 n1 .x dx n 0 3 3 0 2   1 1 n1 n 2 n 1  x.x dx  1  x.x dx  n I     I 0 0   n 1 n 3 3 Vậy 2  I  n I          I  2n 2n 2 In1 I I  I  I lim u lim 1 n n 1 n n n 1 n 1 n n 3 2n  3 2n  5 In
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 7
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
2. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Nguyên hàm phân thức hữu tỷ là một bài toán khá cơ bản, nhưng cũng được phát triển ra
rất nhiều bài toán khó, trong mục này ta sẽ tìm hiểu cách giải quyết dạng toán này. Tổng
quát với hàm hữu tỉ, nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải chia tách
phần đa thức, còn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bå hơn mẫu. Nếu bậc của tử bå hơn bậc của
mẫu thì phân tích mẫu ra các thừa số bậc nhất x  a hay  2
x  px  q bậc hai vô nghiệm
rồi đồng nhất hệ số theo phần tử đơn giản: A Bx  C ;
. Đồng nhất hệ số ở tử thức thì 2 x  a x  px  q
tènh được các hằng số A, B, C, … Kết hợp với các biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh.
CÁC DẠNG TÌCH PHÂN ĐA THỨC HỮU TỶ. b  P x dx 
: Chia miền xét dấu Px, a b   x
 mxn dx : Đặt u mxn hoặc phân tích, a b   mxn 2 px  qx  r dx: Đặt 2 u  px  qx  r , a b   
xm .xm dx: Nếu    thç đặt u  xn . a
CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC b 1. Dạng 1 dx  . Lập 2   q  4pr . 2 px  qx  r a b  dx Nếu   0  
, dùng công thức của hàm đa thức. mx  n2 a b  dx Nếu   0   , đặt x  k tan t 2 2 x  k a b  dx 1 1  1 1  Nếu   0   , biến đổi   2 2 x  k 2 2 x k 2k  x k x k      a b 2. Dạng mx  n dx  . Lập 2   q  4pr 2 px  qx  r a
 Nếu   0  Phân tích và dùng công thức. mx  n A  2 px  qx  r'  B Nếu   0    2 2 px  qx  r px  qx  r x  2 2  k
8 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN b b n1 3. Dạng dx x dx    , đặt n t  1  x . x1  x m x 1  x m n n n a a
Chú ý: Cho hàm số f x liên tục træn đoạn a;a. a a a Nếu f x lẻ thì f
 xdx  0. Nếu fx chẵn thì fx  2 fxdx . a a 0
CÁC CÔNG THỨC NÊN NHỚ.   1 1 x a       dx  ln  C x a x b a  b x  b  1 1 x dx  arctan  C  2 2 x  a a a  ax  b  arctan    1  c     ax  b dx C 2 2  c ac
CÔNG THỨC TÁCH NHANH PHÂN THỨC HỮU TỶ  P x A   
x  bx  c xa  P x A B C  P x  
          B  x a x b x c x  a x  b x  c  x ax c xb  P  x C   x ax  b  xc  P x A     2 ax  bx  c P x    A Bx C xm      x  m 2 ax  bx  c 2 x  m ax  bx  c P  xA 2 ax  bx  c Bx  C   x  m  x1000
Ví dụ : Tìm các nguyên hàm, tính các tích phân sau: 4 4 1/ 3 1. x  2 xdx dx  6.  3 N x  x  8 x  1 0 2. dx  2 7 8x  2 x 8 1  x  7. Q   x dx 7 1  x 1  2 3. x  1 dx  4 x  2 4 2 x  x  1 8. J  dx  6 x  1 2 4 4. x  x  1 K  dx  10 3 x 2 x  4 9. dx  0 3 4 x  1 1 4 2 5. x  x  1 2 L  dx  1 x  1 6 x  1 10.  1 dx 4 0 x  1 2 Lời giải
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 9
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 4 2 2 1. Ta có x  2 x  2 x  2  x   x  . 3 3 x  x x  x xx  1x  1 2 Đặt x  2 A B C    2        2 x 2
A B C x  B  Cx  A xx  1x  1 x x  1 x  1
Đồng nhất hệ số thç được 1 1
A  2,B   ,C   , do đê: 2 2   f  x 2 1 1 1 1 1 2 1 2 dx  x   .  .
dx  x  2 ln x  ln x  1    C  x 2 x  1 2 x  1  2 2 dx x dx 1 d 8 7 x  8 2. Ta có 1 x        x ln C 8 1  x  8 x  8 1  x  8 8 x  8 1  x  8 8 1  x  1  d x  2  2 3. Ta có x  1  x  1 x  x  1 dx   ln  C   4 2 2 2 x  x  1  1  2 x  x  1 x     1  x  4. Đặt  
x  2 tan t, x0;2  t 0;  . 4    /4 4 /4 16 tan t  2 tan t  1 2dt 1 4  K       4 . 16 tan t 2 tan t 1 dt 2 tan t  1 cos t 2 0  2   0 /4 1    2 16 tan t  2 1  tan t 2
 16 tan t  2 tan t  1dt 2 0 Từ đê tènh được 16 17 K     ln 2 3 8 2  1 2x  dx 2 d 3 1 1 1 x  5. Ta có L    dx     2 6 2  x  1 x  1  x  1 3  3 0 0 0 x 2  1 Lần lượt đặt  3 x  tan t, x  tan u thì 5 L  12 6. Đặt 2 1 t  x thì 1
xdx  dt .Khi x  0 thì t  0, x  thì 1 t  2 4 3 3 1 1 1 3 3 3 1 dt 1  1 1   1 t  1 1  1   N       dt   ln  arctan t   ln 2  3  4 2 2   2
t  1 4  t  1 t  1   8 t  1 4  8 24 0 0 0 2 7 2 7 2 7. Ta có 8x  1  1 8x  1 1 Q       x dx dx dx 7 1  x  8 x  x x 7 1  x 1 1 1 
10 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 7  ln x  x 2 6 2 2 x 1 d x 8    dx  ln 129    7 x  7 1  x  7 7 x  7 1 1  x 1 1  2 7 1 x 1 256  ln 129  ln  ln 129  ln 7 7 1  x 7 129 1 8. Ta có  1 1  dx J    dx  C  arctan x    2 4 2 4 2  x  1 x  x  1  x  x  1
Như vậy ta chỉ cần tènh dx K   4 2 x  x  1
Với trường hợp x  0 làm dễ dàng, xåt trường hợp x  0 ta có dx  1  d  2 x  x K       2 2 1  1 x 1    2 x     1 x  x  2     Đặt 1 t dt 1 1 1 dt t   K      dt    4 2    2 2 4 2 x
t  t  1 2  t  1 3t t  1 3t  t  t  1  1  1 1  1 1  1 1    dt  K  K      dt 2 2 2 2
2  t  1 3t t  1  3t  2
3  t  1  3t t  1  3t 
Phần cén lại xin nhường lại cho bạn đọc!
9. Biến đổi tèch phân cần tènh ta được 10 3 3 x  7 4 1 1  dx  x  x  x      dx 3 2 3 4 4 x  1  x  x  1 x  1      3   7 4 1 1  x  x  x      dx 2 3 4 2      x  1 1 3   x       2 2        3 3 1 dx  1 3 dx  1 Tính I  dx      3 x  1 x  1 2 x  x  1   x  1x  12 4 4 4  3x  1  3   1  2t 3t 3 2 4 t  3t Đặt 4 4 1 dt 1 t  3
t  x  1  dt  dx  I       3 t  dt dt 2 5 t  3t  3 2 5 5 3 t 3 t  3t  3 4 4   4 1 dt 1 1 2t 3 3 dt    dt      2 2  5 5 5 3 t 3 2 t  3t  3 2 t  3t  3 
Đến đây xin nhường lại cho bạn đọc!  1   1    1  1 dx dx 2 1 2 1  10. Ta có x  1  x   x I dx        4 2 x  1 1 1 2 1 1  1 x   x     2 2 2 2 2 x  x 
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 11
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Đặt 1
x   t khi đê ta được: x 2 2 2 dt dt 1  1 1  I        dt 2 t  2      5 5 t 2 t 2  2 2 5 t 2 t 2  2 2 2 dt  2  2 d t  2 1 1  2 2 1 t  2 2  19  6 2     ln  ln     2 2 t 2 2 2 t 2 2 2 t 2 4  17     5 5 5   2 2 2
12 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
3. NGUYÊN HÀM – TÌCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Để làm tốt được các bài toán nguyên hàm – tèch phân hàm lượng giác ta cần nắm chắc
được các biến đổi hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ x t  tan ,… 2 1 1
sin x  a x  b            . sin x a .sin x b
sin a b sin x  asin x  b  1 1 1  . 2 2 asin x  b cos x a  b sin x    1 1 1  . 2 2 2 2 asin x  b cos x  a  b
a  b 1  cosx  
 sin x cos x   Aasin x  bcos x  c'  B   asin x  b cos x  c asin x  b cos x  c asin x  b cos x  c  1 1 1  . 2 2 2 2
asin x  bsin x cos x  cos x a tan x  b tan x  c cos x sin x cos x A  2 2 2 2 a sin x  b cos x'    2 2 2 2   a sin x  b cos x  2 2 2 2 a sin x  b cos x
Đặc biệt cận tích phân đối, bù, phụ thç đặt tương ứng 
t  x, t    x, t   x . Tích phân 2
liên kết, để tính I thç đặt thêm J mà việc tính tích phân I  J và I  J hoặc I  kJ và I  mJ dễ
dàng lợi hơn. Tèch phân truy hồi I theo I hay I thì n n
sin x, cos x tách lũy thừa 1 và n n1 n2
díng phương pháp tèch phân từng phần còn n n
tan x, cot x tách lũy thừa 2 và dùng
phương pháp tèch phân đổi biến số. Ngoài ra ta cần phải nhớ:
1. Nếu hàm số f x liên tục træn đoạn a;b thì:   2 2    f
 sinxdx  fcosxdx; xf
 sinxdx  fsinxdx 2 0 0 0 0
2. Các dạng tèch phân lượng giác: b b  P  x.sin x  dx, P  x.cos x
 dx : đặt u  Px , v'  sin hoặc cos x  a a  2   R
 x,sinx,cosxdx : đặt x  t 2 0   R
 x,sinx,cosxdx : đặt x   t 0 2  R
 x,sinx,cosxdx: đặt x  2t 0
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 13
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ b  R sin x,cos xdx  : đặt x t  tan , đặc biệt: 2 a
Nếu R sin x,cosx  R
 sin x,cosx  thç đặt t  cos x
Nếu R sin x, cosx  R
 sin x,cosx thç đặt t  sin x
Nếu R sin x,cosx  R
 sin x,cosx thì đặt t  tan x,cot x.
Để tçm hiểu sâu hơn ta sẽ cíng đi vào các dạng toán cụ thể.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. I. DẠNG 1. dx I  
sin x  asin x  b 1. PHƯƠNG PHÁP.
Díng đồng nhất thức:
sin a  b sin x  a  x  b sinx  acosx  b  cosx  asin x    b 1    sin a  b sin a  b sin a  b 1
sin x  acosx  b  cosx  asin x  b Từ đê suy ra: I            dx sin a b sin x a sin x b 1
cosx  b cosx  a              dx sin a b sin x b sin x a  1       
 ln sinx b ln sinx a C sin a b    2. CHÚ Ý.
Với cách này, ta cê thể tçm được các nguyæn hàm: sin a  b  dx J  
bằng cách díng đồng nhất thức 1 
cosx  acosx  b sin a  b cosa  b  dx K  
bằng cách díng đồng nhất thức 1 
sin x  acosx  b cosa  b 3. VÌ DỤ MINH HỌA.
Tính các nguyên hàm, tích phân sau:  dx I      sin x sin x   6          sin x     x sin  Ta có:  6 6           1    2 sin x  cos x  cos x      sin x 1   6   6   sin   6 2             sin 
 x   cos x  cos x  sin x cos   x   Từ đê:   6   6   cos x  6 I  2 dx  2     dx       sin x    sin xsin x  sin x     6  6        
14 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN       dsinx  d sin x  6    sin x  2  2  2 ln  C   sin x       sin x   sin x   6 6       dx I      cos 3x cos 3x   6          sin 3x     3x sin  Ta có  6 6           1    2 sin 3x  cos 3x  cos 3x      sin 3x 1   6   6   sin   6 2           sin   3x  cos 3x cos 3x sin 3x      sin 3x    6   6    6  sin 3x  I  2 dx  2 dx  2 dx          cos 3x cos 3x cos 3x   cos 3x   6 6          dcos 3x    2  6    2 dcos 3x 2 cos 3x     ln  C   3    3 cos 3x 3    cos 3x   cos3x   6 6       dx I         sin x  cosx   3 12      Ta có:         cos x      x cos    3   12  4               1           2 cos   x  cos x  sin  x sin  x  2 cos   3   12   3   12  4 2             cos x  cosx  
 sin  x  sin  x    3   12   3   12  I 2    dx        sin x  cosx   3 12            cos x   sin x    3   12  2 dx 2    dx         sin x   cosx   3 12                dsinx  dcosx     sin x   3   12   3      2 2 2 ln      C            sin x   cosx   cosx   3 12 12        II. DẠNG 2. I  tan
 xatanxbdx 1. PHƯƠNG PHÁP.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 15
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  
Ta có tanx  atanx  b sinx asinx b 
cosx  acosx  b
sin x  asinx  b  cosx  acosx  b cosa  b         1        1 cos x a cos x b cos x a cos x b Từ đê suy ra     dx I cos a b        1 cos x a cos x b
Đến đây ta gặp bài toán tçm nguyæn hàm ở Dạng 1. 2. CHÚ Ý
Với cách này, ta cê thể tènh được các nguyæn hàm:  J  cot
 xacotxbdx  K  tan
 xatanxbdx 3. VÌ DỤ MINH HỌA        I  cot x  cot x      dx  3   6        cos x  cos x      Ta có        3   6 cot x  cot  x       3   6        sin x  sinx   3 6                  cos x  cosx  
 sin  x  sin  x   3 6 3 6            1       sin x  sinx   3 6            cos x      x    3 6      3 1   1  .  1       2       sin x  sin x   sin x  sin x   3 6 3 6          Từ đê 3 1 3 I  dx  dx  I  x  C   1 2       2 sin x  sin x   3 6      Tính dx I  1        sin x  sin x   3 6              sin x   x sin      Ta có  3   6 6               1           2 sin   x  cos x  cos x sin  x 1  sin   3   6   3   6  6 2             sin x  cos x   cos x  sin x          Từ đê  3   6   3   6 I 2   dx 1        sin x  sinx   3 6     
16 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN          cos x   cosx   sin x    6   3   6  2 dx 2 dx 2 ln      C            sin x   sin x   sin x   6 3 3              sin x  sin x      Suy ra 3  6   6 I .2 ln x C 3 ln       x  C 2       sin x   sin x   3 3             K  tan x  cot x      d  x  3   6        sin x  cos x      Ta có        3   6 tan x  cot  x       3   6        cos x  sinx   3 6                  sin x  cosx  
 cos x  sin  x   3 6 3 6            1       cos x  sinx   3 6            sin x      x    3 6      1 1   1  .  1       2       cos x  sin x   cosx  sin x   3 6 3 6          Từ đê: 1 1 1 K  dx  dx  K  x  C   1 2       2 cos x  sinx   3 6     
Đến đây, bằng cách tènh ở Dạng 1, ta tènh được:       sin x  sin x  dx 2   6  3 K ln     C  6 K ln     x  C 1      3       cos x  3 sin  x   cosx   cosx  3 6 3          3  III. DẠNG 3. dx I   asin x  b cos x 1. PHƯƠNG PHÁP.   Có: 2 2 a b
asin x  b cos x  a  b  sin x  cos x 2 2 2 2  a  b a  b  2 2
 asin x  bcos x  a  b sin x   1 dx 1 x    I   ln tan  C  2 2 a  b sin x   2 2 a  b 2
2. VÌ DỤ MINH HỌA.  2dx dx dx I       3 sin x  cos x 3 1   sin x  cos x sin x cos  cos x sin 2 2 6 6
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 17
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ    dx    x  dx  6  6  x      ln tan  C  ln tan       C       2  2 12 sin x  sin x     6 6       dx 1 dx J     cos 2x  3 sin 2x 2 1 3 cos 2x  sin 2x 2 2    d   2x 1 dx 1 dx 1  6         2   2    4   sin cos 2x cos sin 2x   sin  2x sin     2x 6 6 6 6       2x 1 6 1      ln tan  C   ln tan  x    C 4 2 4  12  IV. DẠNG 4. dx I   asin x  b cos x  c 1. PHƯƠNG PHÁP.  2dt dx   2 1  t   2t sin x  2  Đặt x 1  t tan  t   2 2 1  t cosx  2  1  t  2t tan x  2  1  t
2. VÌ DỤ MINH HỌA.  dx I   3cos x  5sin x  3  2dt dx   2 1  t  Đặt x  2t tan  t  sin x  . Từ đê ta cê 2 2 1  t  2  1  t cos x   2  1  t 2dt 2 1  t 2dt 2dt I       2 2 2 1  t 2t 3  3t  10t  3  3t 10t  6 3.  5  3 2 2 1  t 1  t 1 d5t  3 1 1 x 
 ln 5t  3  C  ln 5tan  3  C  5 5t  3 5 5 2  2dx J   2 sin x  cos x  1
18 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  2dt dx   2 1  t  Đặt x  2t tan  t  sin x  2 2 1  t  2  1  t cos x   2  1  t 2dt 2. Từ đê 2 1  t 4dt 4dt dt J     2     2 2 2 2 2t 1  t 4t  1  t  1  t 2t  4t t t  2 2.   1 2 2 1  t 1  t  1 1  x x  
dt  ln t  ln t  2  C  ln tan  ln tan  2    C  t t  2  2 2  dx K   sin x  tan x  2dt dx   2 1  t  Đặt x  2t tan  t  sin x  2 2 1  t   2t tan x   2  1  t 2dt 2 Từ đê 2 1  t 1 1  t 1 dt 1 K   dt   tdt  2t 2t    2 t 2 t 2  2 2 1  t 1  t 1 1 2 1 x 1 2 x
 ln t  t  C  ln tan  tan  C 2 4 2 2 4 2 V. Dạng 5. dx I   2 2
a.sin x  b.sin x cos x  c.cos x 1. PHƯƠNG PHÁP. dx I    2 a tan x  b tan x  c 2 .cos x Đặt dx dt tan x  t   dt . Suy ra I   2 cos x 2 at  bt  c
2. VÌ DỤ MINH HỌA.  dx dx I     2 2
3sin x  2 sin x cos x  cos x  2 3tan x  2 tan x  1 2 cos x Đặt dx dt dt tan x  t   dt  I     2 cos x 2 3t  2t  1 t 13t 1 1  1 3  1 dt 1 d3t  1    dt     4  t  1 3t  1  4 t  1 4 3t  1 1 t  1 1 tan x  1  ln  C  ln  C 4 3t  1 4 3tan x  1
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 19
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  dx dx J     2 2
sin x  2 sin x cos x  2 cos x  2 tan x  2 tan x  2 2 cos x Đặt dx tan x  t   dt 2 cos x dt dt  1 1 t  1  3    J    ln  C   1 tan x 1 3  ln  C 2 t  2t  2  2  2 2 3 t 1   3 t 1 3 2 3 tan x  1  3 VI. DẠNG 6. a sin x  b cos x 1 1 I  dx  a sin x  b cos x 2 2 1. PHƯƠNG PHÁP.
Ta tìm A,B sao cho: a sin x  b cos x  A a sin x  b cos x  B a cos x  b sin x 1 1  2 2   2 2 
2. VÌ DỤ MINH HỌA.   4sin x 3cos x I  dx  sin x  2 cos x
Ta tìm A,B sao cho 4sin x  3cosx  Asin x  2 cosx  Bcosx  2sin x           A   2B  4 A   2 4sin x 3cos x A 2B sin x 2A B cos x     2A  B  3 B  1   
2sin x  2 cos x  cos x  2 sin x Từ đê: I  dx  sin x  2 cos x dsin x  2 cos x  2 dx 
 2x  ln sin x  2 cosx  C   sin x  2 cos x   3cos x 2 sin x J  dx  cos x  4sin x
Ta tìm A,B sao cho 3cosx  2 sin x  Acosx  4sin x  Bsin x  4cosx
 3cos x  2 sin x  A  4Bcosx   4A   Bsin x  11 A A   4B  3   17     4A  B   2 10 B    17 11    10 cos x 4 sin x  sin x  4cosx Từ đê: 17 17 J  dx  cos x  4 sin x 11 10 dcos x  4sin x 11 10  dx   x  ln cos x  4sin x  C   17 17 cos x  4sin x 17 17 3. CHÚ Ý. 1. Nếu gặp a sin x  b cos x 1 1 I   ta vẫn tçm A,B sao cho: a sin x  b cosx dx 2 2 2
a sin x  b cos x  A a sin x  b cos x  B a cos x  b sin x 1 1  2 2   2 2  2. Nếu gặp a sin x  b cos x  c 1 1 1 I  dx  ta tìm A,B sao cho: a sin x  b cos x  c 2 2 2
a sin x  b cos x  c  A a sin x  b cos x  c  B a cos x  b sin x  C 1 1 1  2 2 2   2 2  Chẳng hạn:
20 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  8 cos x I    . Ta tìm A,B sao cho: 3 sin x  cos x dx 2
8cos x  A  3 sin x  cosx  B 3 cosx sin x A  3  B  0 A    2
 8cos x  A 3 Bsin x A B 3cosx     A    B 3  8 B  2 3
2  3 sin x  cosx  2 3  3 cosx sin x Từ đê: I    3 sin x  cos x dx 2 d 3 sin x  cosx dx  2 3  2  2 3      3 sin x  cos x   2I C 2 1 3 sin x   cos x 3 sin x cos x Tìm dx 1 dx 1 dx I    1    3 sin x  cos x 2 3 1 2   sin x  cos x sin x cos  cos x sin 2 2 6 6    dx    x  1 dx 1  6  1 6 1  x      ln tan  C  ln tan       C 2    2    2 2 2  2 12 sin x  sin x     6 6      Vậy  x   2 3 I  ln tan      C  2 12  3 sin x  cos x    8sin x cos x 5 J  dx  . Ta tìm A,B,C sao cho: 2 sin x  cos x  1
8sin x  cos x  5  A 2 sin x  cos x  1  B2 cos x  sin x  C 2A  B  8 A   3   
8sin x  cos x  5  2A  Bsin x   A
  2Bcosx  A  C   A
  2B  1  B  2 A  C 5    C    2
32 sin x  cos x  1  22 cos x  sin x  Từ đê: 2 J  dx  2 sin x  cos x  1 2 cos x  sin x dx  3 dx  2 dx  2   2 sin x  cos x  1 2 sin x  cos x  1
 3x  2 ln 2 sin x  cos x  1  2J 1  2dt dx   2 1  t   dx x  2t Tìm J  tan  t  sin x  1  . Đặt 2 sin x  cos x  1 2 2 1  t  2  1  t cos x   2  1  t
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 21
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 2dt 2 1  t dt dt 1  1 1   J          dt 1 2 2 2t 1  t t  2t
t t  2 2  t t  2 2. 1    2 2 1  t 1  t x tan 1 t 1 2  ln  C  ln  C 2 t  2 2 x tan  2 2 x tan Vậy: 2
J  3x  2 ln 2 sin x  cos x  1  ln  C x tan  2 2
VII. DẠNG 7. BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN HOẶC 6 DẠNG Ở TRÊN.  1 I  cos 3x cos 4xdx   cosxcos7xdx 2 1 1 1 1  cos xdx  cos7xdx  sin x  sin 7x  C   2 2 2 14  1
I  cos x sin 2x cos 3xdx  sin 2x   cos2x  cos4xdx 2 1 1  sin 2x cos 2xdx  sin 2x cos 4xdx   2 2 1     1
sin 2xd sin 2x  sin 2x sin6xdx 4 4 1 2 1 1  sin 2x  cos 2x  cos6x  C 8 8 24        I  tan x tan  x tan      xdx  3   3        sin xsin  x sin     x Ta có:        3   3 tan x tan xtan x       3   3         cos x cos  x cos     x 3 3       2   2 1  sin x cos 2x  cos  sin x1 2sin x   3 2         2   2 1  cos x cos 2x  cos  cos x 2 cos x  1   3 2      sin x 2 3  4 sin x 3 3sin x  4 sin x sin 3x    cos x 2 4 cos x  3 3 4 cos x  3 cos x cos 3x sin 3x 1 dcos 3x Từ đê: 1 I  dx     ln cos 3x  C   cos 3x 3 cos 3x 3  3 I  sin x sin 3xdx  Ta có:  3 3 3sin x sin 3x
sin 3x  3sin x  4sin x  sin x  4  3 3sin x 4sin 3x  sin xsin 3x  .sin 3x 4
22 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 3 1 2 3       1 sin xsin 3x sin 3x
cos 2x cos 4x  1  cos6x 4 4 8 8 3 3 1 1
 cos 2x  cos 4x  cos6x  8 8 8 8 Từ đê:  3 3 1 1  I 
cos 2x  cos 4x  cos6x   3 3 1 1  dx  sin 2x  sin 4x  sin 6x  x  C  8 8 8 8  16 32 48 8    3 3 I
sin x cos 3x  cos xsin 3xdx Ta có:   3 3sin x sin 3x sin x  , 3 3cos x cos 3x cos x  4 4 Suy ra   3 3 3sin x sin 3x 3cos x cos 3x
sin x cos 3x  cos xsin 3x  .cos 3x  .sin 3x 4 4 3 1 3 1
 sin x cos 3x  sin 3x cos 3x  cos xsin 3x  cos 3xsin 3x 4 4 4 4 3     3         3 sin 2x sin 4x
sin 2x  sin 4x   sin 2x 8 8  4 Vậy 3 3 I   sin 2xdx  cos 2x  C  4 8  dx dx 1 1 dx 1 dx I    . .       2 1  tan x 3 4 2 2  2 sin x cos x tan x cos x tan x cos x cos x tan x cos x Đặt dx tan x  t   dt 2 cos x 2 t  t dt  1 1 I  dt  tdt     2 2
 t  ln t  C  tan x  ln tan x  C t t 2 2  dx cos xdx I     4 4 2 sin x cos x sin x cos x 4 4 2 Đặt dt 1  t  t 1  t dt
sin x  t  cos xdx  dt  I   dt  dt      4 t  2 1  t  4 t  2 1  t  4 2 t 1  t dt dt dt 1  3  1 1 t 1      t   ln  C    4 2 t t t 1t 1 3 t 2 t  1 1 1 1 sin x  1     ln  C 3 3sin x sin x 2 sin x  1  sin 3x sin 4x sin 3x sin 4x I  dx  dx  sin 4x cos 2x cos xdx    tan x  tan 2x sin 3x cos x cos 2x 1     1 1 sin 6x sin 2x cos xdx  sin 6x cos xdx  sin 2x cos xdx   2 2 2 1     1
sin 7x sin 5x dx  sin3x sinxdx 4 4 1 1 1 1   cos7x  cos 5x  cos 3x  cos x  C 28 20 12 4  1 u   cos x  sin x d  u   dx  dx I   .Đặt 2    sin x 3 sin x dx dv    v   cot x 2  sin x
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 23
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ cot x cot x.cos x cot x  I    dx    I  2 1 sin x sin x sin x 2 2 Tính cos x 1  sin x dx dx x I  dx  dx    I  ln tan  C 1     3 3 3 sin x sin x sin x sin x 2 cot x cot x x  I    I    I  ln tan  C 1 sin x sin x 2 x cot x 1 x cot x  2I  ln tan   C  I  ln tan   C 2 sin x 2 2 2 sin x     1 sin x  2 I  ln   dx 0  1  cos x 
Biến đổi giả thiết ta cê       2 x 2 x x x    
 sin   cos   2 sin cos  1 sin x   2   2  2 2   2 2 ln dx     ln  dx  0 0  1  cos x   2 x 2 cos   2    1   2 x x  2  ln tan  2 tan    1dx 0 2  2 2  Đặt 1 x 1
tan  t  I    2t  1ln 2t  t 1dt . 0 2 2
Đến đây sử dụng tènh chất b f  x b dx  f
 abxdx bài toán sẽ được giải quyết a a   Cách 2. Ta có 2 I  ln  1sinx 2 dx  ln  1cosxdx 0 0
Sử dụng nguyæn hàm từng phần ta được    xcosx 2 ln  1sinx 2 dx  ln2  dx  0 0 2 1  sinx   xsinx 2 ln  1cosx 2 dx  dx  0 0 1  cosx   xcosx   xsinx  2 2  I  ln2  dx  dx    0 0 2 1  sinx 1   cosx   Từ đây ta sẽ đi tènh xcosx  2 dx 
. Đặt t   x ta được 0 1  sinx 2  xcosx  sinx   xsinx 2 2 2 dx  dx  dx  I  0    0 0 0 1  sinx 2 1  cosx 1  cosx  2   sin 2x sin x I  dx  1  3 cos x 0   2 2 2 sin x cos x  sin x sin x2 cos x  1
Sử dụng tèch phân từng phần ta cê I  dx  dx   1  3 cos x 1  3 cos x 0 0 u  2 cos x  1 d  u  2  sin xdx Đặt    sin x d1  3cos x   2 dv  dx   v   1  3 cos x    1  3 cos x 3 1  3 cos x  3 Khi đê
24 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN   2 2      2 4 I 2 cos x 1 1  3 cos x  sin x 1  3 cos xdx  3 3 0 0   2 2 4        2 8      2 3 34 1 3 cos xd 1 3 cos x 1 3 cos x  3 9 3 27 27 0 0
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 25
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
4. ĐƯA BIỂU THỨC VÀO TRONG DẤU VI PHÂN
Ở nội dung bài viết này ta sẽ nhắc tới một số bài toán sử dụng kỹ thuật đưa một biểu thức
vào trong dấu vi phân, để làm được những bài toán này cần chî ï đến kỹ năng biến đổi,
đạo hàm. Sau đây sẽ cíng xåt các vè dụ sau. 1 3 x 3 x Ví dụ 1: Biết x   2  ex 2 1 1  e  dx   .ln  p 
với m, n, p là các số nguyæn x e.2 m eln n  e       0
dương. Tènh tổng P  m  n  p A. P  5. B. P  6. C. P  7. D. P  8. Lời giải
Những bài toán cần đến kỹ thuật này đa phần sẽ được phát biểu một cách khá lằng nhằng
sẽ gây khê khăn cho người làm bài. Tuy nhiên hầu hết sẽ được đơn giản hóa bằng cách
tách thành 2 tèch phân khác, mà để làm được điều này thì trên tử phải tách theo mẫu số. 1 3 x 3 x 1 1 x      Ta có x 2 ex 2 3 2 1 4 1 I  dx   x  dx  x  A   A x x   e.2    e.2  4 4 0 0 0 1 x Tính 2 A  dx  Đặt x x x 1
t    e.2  dt  e.ln 2.2 dx  2 dx  dt x   e.2 e ln 2 0 2e 2e Khi đê 1 dt 1 1   2e 1  e  A  .  ln t  ln  ln  1  e.ln 2        t e.ln 2  eln 2 e eln 2 e  e e m  4 Vậy 1 1  e   I   ln 1   
n  2  P  m  n  p  7. 4 e ln 2  e    p   1 Nhận xét:
 Mấu chốt của bài toán là ta nhận ra được mẫu đạo hàm ra một phần của tử từ
đê rît ra phåp đặt mẫu để lấy vi phân.
 Ngoài ra nếu trçnh bày tự luận thç ta cũng khëng cần phải đặt mẫu làm gç cả,
đưa trực tiếp tử vào trong dấu vi phân rồi nhân thæm hằng số bæn ngoài. Chọn ý C.  2 2 x  2x  cos x   Ví dụ 2: Biết cos x 1 sin x 2 c dx  a  b  ln 
với a,b,c là các số hữu tỉ. x  cos x  0 Tính 3 P  ac  b. A. 5 P  B. 3 P  C. P  2 D. P  3 4 2 Lời giải
Vẫn là một bài toán với cách phát biểu không hề dễ chịu, mấu chốt vẫn là đưa biểu thức
vào trong dấu vi phân và tách thành 2 tèch phân như bài trước !
26 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN   2 2
x  2x cos x  cos x  1 sin x Ta có 2 I  dx  0 x  cos x  x cosx2  1 sin x    d x  cos x 2 2 2  dx  dx     xcosx   2 dx   0 0 0 0 x  cos x x  cos x x  cos x  2  1   2 1 2 1 2 2  x  sin x  ln x  cos x
   1  ln    1    ln  2  8 2 8  0  1 a   8 Vậy  3
b  1  P  ac  b  2. c  2   Chọn ï C. 2 Ví dụ 3: Biết e ln x  ln x 1 b I     với a, b   . Tính P  b  a . lnx x1 dx 3 a e  22 1 A. P  8 B. P  6 C. P  6 D. P  10 Lời giải
Bài toán này khëng cén đơn giản như 2 bài toán trước nữa. Vẫn bám sát phương pháp làm
ta sẽ phải đơn giản và làm xuất hiện biểu thức hợp lè để đưa vào trong dấu vi phân. Vậy
biến đổi như thế nào để xuất hiện biểu thức đê? 2 Ta có e  e ln x ln x ln x  1 ln x     ln x  x  1 dx . dx 3
ln x  x  1 ln x  x  12 1 1
Chî ï rằng  ln x  1  ln x '  
. Khi đê tèch phân cần tènh trở thành:  ln x  x  1  lnx x 12 2 2 2 e  e    e2 ln x ln x ln x 1 ln x 1  1  2 1 2 e 2             ln x  x  1 dx d udu t 3 1
ln x  x  1  ln x  x  1  2 8 e  22 1 1 1 2 2 Chọn ï B. 2 Ví dụ 4: Biết 1  x  1 a I  dx  
là phân số tối giản. Tính P  b  36a . 4 3 2 2
 x  4x  6x  4x  1 b A. P  0 B. P  1 C. P  2 D. P  5 Lời giải
Sau đây ta sẽ tçm hiểu một số bài toán đưa biểu thức vào trong dấu vi phân với hàm phân
thức hữu tỉ. Cách làm khëng phải là chỉ đưa tử vào trong dấu vi phân mà cần phải biến đổi bằng cách sau. Chia cả hai vế cho 2 x ta được:
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 27
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1  1   1   1  dx d x      2 2  1  1  x   x  1 1 I        2 2  2  1   1   1 2  1  36  x    4 x    6   x   2 2  x 2 x x      x  x  2  Nhận xét:
 Kỹ thuật chia cả hai vế cho số hạng bậc cao nhất của tử sẽ được áp dụng khá
nhiều trong những bài toán đưa biểu thức vào trong dấu vi phân với hàm phân thức hữu tỉ.
 Các bài toán này hầu hết cần phải biến đổi mẫu số để phân tèch tử số ra một
cách hợp lè từ đê mới cê thể đưa vào trong dấu vi phân. Chọn ï A. 3 13 2  4x  2x 9 2 3 x  1 
Ví dụ 5: Biết I   
dx   a  ln b  6 c  . Tính ab . 4 2 4 2  
 x  x  1 x  x  1  c 1   A. 22 B. 48 C. 37 D. 28 13 13 13 13 Lời giải
Bài toán này nhçn hçnh thức khá khủng bố, do yæu cầu của những bài toán này là làm đơn
giản tèch phân cho næn tránh việc cộng cả hai biểu thức trong dấu tèch phân mà cần phải
tách chîng ra để tènh đơn giản hơn. 3 13   2  4x  2x 9x  1 3 13  2 dx  x  1 3 13 2 4 2 2 9 2 3 x  1 Ta có I    dx   dx    4 2 4 2 4 2 4 2
 x  x  1 x  x  1  x  x  1 x  x  1 1 1 1  
Tèch phân thứ nhất tènh rất dễ dàng bằng cách đưa biểu thức vào trong dấu vi phân rồi,
cén tèch phân thứ 2 ta sẽ xử lï thế nào? Như bài trước ta sẽ chia cả tử và mẫu cho 2 x , ta có: 3 13 3 13 3 13 1 3 13  1  2 1 1  dx  2 2 2 2  x  2 x  1 x  x  9 x 9 dx  9 dx  9 dx  arctan    4 2 2 x  x  1 2 1  1  3 3 1 1   1 x 1 2 x      3 x 2 1  x 
Đến đây dễ dàng tènh được: 3 13 2 1  x       3 13 4 2 9 2 x I ln x x 1  arctan
 ln 66  18 13 3 0 3 3 1 Chọn ï A.
Nhận xét: Ở bài toán træn ta đã sử dụng một tènh chất của hàm phân thức hữu tỉ. du 1 u  arctan  C  2 2 u  a a a
28 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
5. TÌCH PHÂN LIÊN KẾT
Cê rất nhiều bài toán tèch phân ta khëng thể sử dụng cách tènh trực tiếp được hoặc tènh
trực tiếp tương đối khê với những bài toán như vậy ta thường sử dụng tới một kỹ thuật đê
là tçm tèch phân liæn kết. Chủ yếu các bài toán sử dụng phương pháp này là các tèch phân
lượng giác hoặc cê thể là hàm phân thức. Để hiểu rì hơn ta cíng đi vào phương pháp. Xét tích phân b b I  f
 xdx ta sẽ tçm liæn kết với tèch phân K  g
 xdx và tçm các mối a a cI  dK  m
liæn hệ giữa I, K. Ta đi thiết lập mối liæn hệ giữa I, K 
. Giải hệ này ta sẽ tçm eI  vK   n được cả I và K.
Kinh nghiệm. Ta thường gặp các trường hợp sau:
 Hai tích phân I  K , tènh được I  K từ đê suy ra I.
 K là một tèch phân tènh đơn giản, khi đê từ mI  nK  a ta sẽ tènh được I.
Cách tìm tích phân. K. Việc tçm tèch phân này chủ yếu dựa vào kinh nghiệm, riæng đối với
tèch phân lượng giác thç ta thường hay chî ï đến việc đổi chỗ sinx cho cosx để tạo tèch phân liæn kết!
Ví dụ: Tính các tích phân sau:  1. 2 6 I  cos 2xsin xdx  0  2. sin x 2 I    sin x  3 cos x dx 3 0  3 3. cos xsin x 2 I  dx  4 4 0 sin x  cos x 4. 1 dx I   2x 0 e  3 4 5. 1 x  1 I  dx  6 0 x  1 Lời giải
1. Ở ngay câu đầu ta đã thấy ngay sự khê khăn rồi phải chứ? Bây giờ sẽ nghĩ tới tèch phân
liæn kết. Chî ï tới đẳng thức 2 2
sin x  cos x  1 ta sẽ thử tạo tèch phân liæn kết với tích  phân 2 6 K  cos 2x cos xdx  0   Ta có: 6 1 3 6 I  K  cos 2xdx  sin 2x   0 2 4 0 Mặt khác ta lại cê:   1       K  I  cos 2xdx    1 cos4x 6 2 1 1 1 3 6 6 dx  x  sin 4x      0 0 2 2 4 4  3 4    0  
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 29
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ    Từ đây suy ra được 1 3 3 I     8  4 3    
2. Chú û tìch phân liên kết của ta là cos x 2 K    . sin x  3 cos x dx 3 0    Ta có: 2 1 1 dx 1    3 2 2 I  3K       dx  I   cot x   2  0 0 4   2  4  3  3 sin x 3 cos x 0 sin x   3   
Giờ cần tçm một mối liæn hệ nữa giữa I,K , chî ï đến kiến thức kiến thức phần trước – Đưa
biểu thức vào trong dấu vi phân, ở đây ta thấy rằng sin x'  cosx,cosx'  sin x , do đê
nghĩ cách làm sao đê để cê thể đưa một biểu thức vào trong dấu vi phân. Ta cê:    d  sinx 3cosx cos x 3 sin x  2 1 3  3 2 2 K  I 3        sin x  3 cos x dx 3 sinx 3cosx3 0 0 2 sin x  3 cosx 6 0 Từ đây suy ra 1  3 I  . 6  3
3. Chú û nếu tình được tìch phân sin x cos x 2 K  dx  4 4 0 sin x  cos x Ta có:  4  3    4  3    4 4 cos x '
4 cos xsin x, sin x ' 4 sin x cos x
cos x  sin x  sin 4x    4I  K sin 4x 2  dx  ln sin x  cos x  0  I  K  4 4  4 4  2 0  0 sin x cos x  sin x cos x  sin 2x 1  dcos 2x Để ï rằng  2 2 2 I  K  dx  dx       4 4 2 2 0 0 0 sin x  cos x 1  cos 2x 2 1  cos 2x 4 Vậy  I  8 1 1 e dx 1 d 2x e  1 2x 2   
4. Chọn tìch phân liên kết 1       2x 1 e 3 K ln e  3  ln 2x 2x    0 0 e  3 2 e  3 2 2  4 0  2    Ta có 1 1 1 e 3
3I  K  dx  1  I   ln    0 3 6  4  2
5. Ta chú û tới hằng đẳng thức sau 6    2   4 2 1 x x 1 x
1 x  x  1, ta chọn K  dx  6 0 x  1 Ta có:  4 2     1 1 4 x x 1 1 I  K  dx  dx  arctan x    6 2 0 0 x  1 x  1 4 0 1 1 x 1 d 3 x  1 2   1 3 K  dx   arctan x    6 0 0 x  1 3  32  3 12 x 1 0
30 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Vậy  I  3 LUYỆN TẬP
Tính các tích phân sau:  4  100  sin x 1. sin x sin x 4 I  dx  2. 2 I  dx  3. 2 I  dx  4 4 3 0 sin x  cos x 100 100 0 sin x  cos x 0 sin x  cos x   2  3 4. sin x cos x sin x 2 I  dx  5. 3 I  dx  6. 2 I  dx  0 sin x  cos x 0 sin x  3 cos x 0 sin x  cos x    2 sin x  1 7. 4 2 I  sin 2x.cos xdx  8. n n2 2 I  sin x cos xdx  9. 2 I  dx  0 0 0 sin x  cos x  1  2 3 1 2 x 1 x e 10. cos 2x 6 I  dx  11. I  dx  12. I  dx  6 2 2 0 cos 2x 1 x 1 x  0 x  2    13. cos 5x sin 5x 2 cot x  3tan x 6 I     dx  14. 6 I  dx  15. 6 I  dx  sin 2x cos x cot x  tan x 3 3 3
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 31
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
6. KỸ THUẬT LƯỢNG GIÁC HÓA
Khi tènh tèch phân ta sẽ gặp một số bài toán dưới dấu căn thức chứa một số hàm cê dạng
đặc biệt mà khê tènh như bçnh thường được, khi đê ta sẽ nghĩ tới phương pháp lượng giác
hêa. Với những dạng sau thç ta sẽ sử dụng phương pháp lượng giác hêa.
 Nếu bài toán cê chứa 2 2
a  x thç ta đặt x  a sin t hoặc x  a cos t
 Nếu bài toán cê chứa 2 2 x  a thç ta đặt a x  hoặc a x  sin t cos t
 Nếu bài toán cê chứa 2 2 x  a hoặc 2 2
x  a thç ta đặt x  a tan t 
 Nếu bài toán cê chứa x a thç ta đặt x  a cos 2t a  x
 Nếu bài toán cê chứa x  ab  x thç ta đặt      2 x a b a sin t
Ví dụ: Tính các tích phân sau: 1. 2 2 I  4  x dx  0 2. 1 dx I   0  2 4  x  2 4  x 3. 1 2 2 I  x 1  x dx  0 1 2 4. x dx 2 I   0  2 1  x 3 5 5. 5  x 2 I  dx  0 5  x Lời giải
1. Hãy thử đặt bút làm câu này theo cách bënh thường xem vấn đề ở đây là gë nhé! Đặt    x  2 sin t, t   ;  dx  2 cos tdt  2 2          I  4 cos tdx  2   1cos2t 2 2 1 2 2 dt  2 t  sin 2t     0 0  2  0 2. Đặt    x  2 sin t, t   ;  dx  2 cos tdt  2 2       6 2 cos tdt dt 1 1 6 6  I    tan t    0    2 3 0 2 4 cos t 4 0 4 3 4 4 sin t
3. Đặt x  sin t  dx  cos tdt . Ta được:    1      I  sin t 1  sin t cos tdt  sin t cos tdt     1cos4t 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 dt  t  sin 4t    0 0 0 8 8  4  16 0
32 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 4. Đặt    x  sin t,t   ;  dx  costdt  2 2      2  2 sin t cos tdt sin tdt   I    tan td    tan t 6 2 1 3 1 6 6 6  tan t  0    4 3 0 0 2 cos t 3 0 9 3 1 sin t
5. Đặt x  5cos 2t  dx  10  sin 2tdt  51  cos 2t  2 5 6 6  I  10     dt 20  cos t dt 2 3 5 1  cos 2t 2 4   4
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 33
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
7. NGUYÊN HÀM – TÌCH PHÂN TỪNG PHẦN
Kỹ thuật từng phần là một kỹ thuât khá cơ bản nhưng rất hiệu quả trong các bài toán tènh
tích phân, ở trong phần này ta sẽ khëng nhắc lại các bài toán cơ bản nữa mà chỉ đề cập tới
một số bài toán nâng cao trong phần này. Trước tiæn ta sẽ đi nhắc lại và chứng minh cëng
thức tènh nguyæn hàm – tèch phân từng phần.
Giả sử ux ,vx là các hàm liên tục trên miền D khi đî ta cî:
duv  udv  vdu  d  uv  udv vdu  
 uv  udv  vdu  udv  uv  vdu   
Cëng thức træn chènh là cëng thức nguyæn hàm từng phần. Như vậy ta đã cíng chứng
minh cëng thức tènh nguyæn hàm từng phần, sau đây cíng đi vào các bài toán cụ thể. 3 3
Ví dụ 1: Cho hàm số f x thỏa mãn x.f  x fx
.e dx  8 và f 3  ln 3 . Tính fx I  e dx  . 0 0 A. I  1. B. I  11.
C. I  8  ln 3.
D. I  8  ln 3. Lời giải u  x 3  d  u  dx 3 3 Đặt    Khi đê x.f  x fx fx fx e dx  x.e  e dx  d  v  f  x fx fx e dx v  e 0 0 0 3 3 f3 fx fx
 8  3.e  e dx  e dx  9  8  1   0 0 Chọn ï A.
Ví dụ 2: Cho hàm số  
f x cê đạo hàm liæn tục træn 0; , 
và đồng thời thỏa mãn hai 2      2 2 điều kiện f '  x 2
cos xdx  10 và f 0  3. Tích phân f  xsin2xdx bằng? 0 0 A. I  13. B. I  7. C. I  7. D. I  13. Lời giải  2 2 u  cos x d  u  sin 2xdx Xét f '  x 2 cos xdx  10 , đặt    d  v  f '  x 2 cos xdx v  f  x 0   2  2  10  f '  x 2 2
cos xdx  cos xf x 2  f  xsin2xdx 0 0 0   2 2  10  f 0  f
 xsin2xdx  fxsin2xdx  10f0  13 0 0 Chọn ï D.
34 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Hai vè dụ mở đầu cê vẻ vẫn đang chỉ dừng ở mức dễ áp dụng cëng thức, từ bài thứ 3 trở đi
mọi thứ sẽ nâng cao hơn nhiều yæu cầu phải biến đổi và cê tư duy hơn trong việc đặt u, dv!
Ví dụ 3: Cho hàm số f x nhận giá trị dương, cê đạo hàm liæn tục træn 0;2. Biết  3 2 2 x  3x f'x
f 0  1 và     2 2x 4x f x f 2 x e   
với mọi x0;2. Tính I  dx  f x 0   A. 14 I   . B. 32 I   . C. 16 I   . D. 16 I   . 3 5 3 5 Lời giải
Một bài toán vận dung cao khá là khê, bât giờ ta sẽ đi tçm biểu thức dv, ta cê thể dễ ràng f 'x thấy rằng  
, từ đây ta sẽ giải quyết bài têa như sau. f x dx ln f x
Từ giả thiết      2 2x 4x f x f 2 x  e  f 2  1  3 2 u  x  3x 3 2 2 x  3x f'x d  u    2 3x   6xdx Ta có I  dx  Đặt  f 'x   f x dv  dx  v  ln f x 0   f x    I  x  3x  2 2 ln f x 2 3 2   2
3x  6xln f x dx   3 2
x  2xln f x dx  3  J 0 0 0 2 0 x2t
Ta có J  x 2xln fx dx    2 t2 2
 2 2  tln f 2  t d2  t   0 2 0 2  
 2x2 22xln f2 x d2 x   2x 2xln f2 x dx   2 0 2  2J  x 2x 2 2 2 ln f x dx   2
x  2xln f 2  x dx   2
x  2xln f xf 2 x dx 0 0 0 2   2   2 2 2x 4x   2   2   32 16 x 2x ln e dx x 2x 2x 4x dx   J    15 15 0 0 Vậy 16 I  3  J   . 5 Chọn ï D.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 35
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ    2
Ví dụ 4: Cho biểu thức   S  ln 1    2 sin2x 2cotx e
dx  với số thực m  0. Chọn khẳng n   2  4m 
định đîng trong các khẳng định sau. A. S  5. B. S  9. C.             S  2 cot    2 ln sin . D. S  2 tan    2 ln  . 2 2  4  m   4  m  2 2  4  m   4  m  Lời giải    2 2 2
Ta có  2 sin2x 2cotx 2 cot x 2 cot x e dx  2 e dx  sin 2xe dx   1    2 2 2 4m 4m 4m    2 2  2 Xét 2 cot x 2 cot x   sin 2xe dx  e d    2 sin x 2 2 cot x 2 2 2 cot x 2  sin x.e    sin x   e dx 2       sin x 2 4 m 2 2 2 4m 4m 4m   2 2 2 cot x 2 cot x 2  sin x.e  2  2 e dx    2 4m  2 4m   Từ   2 cot 1 và 2 , suy ra 2 2 2 cot x 2 2 4m I  sin x.e     1 sin .e 2 4  m 2 4m    2cot       2 2  4m  S  lnsin .e   2 cot      2 ln sin 2 2 2 4  m    4  m   4  m  Chọn ï C.
Ví dụ 5: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm cấp hai liæn tục træn đoạn 0;1 đồng thời thỏa ef '1  f '0 mãn các điều kiện 1e f  x 1 dx  e f '  x 1 x x x dx  e f '  xdx  0. Tính 0 0 0 ef 1  f 0 A. 2 B. 1 C. 2 D. 1 Lời giải Ta đặt 1e f  x 1 dx  e f '  x 1 x x x dx  e f ' 
xdx  a . Sử dụng tèch phân từng phần ta cê: 0 0 0 1 a  e d 
f'x  e.f'1f'0 1 x x  e f ' 
xdx  e.f'1f'0  2a  ef ' 1  f ' 0 0 0        1 1 a  e d 
fx  e.f1f0 1 x x  e f 
xdx  e.f 1f 0 ef 1  f 0  2a  0 0 Chọn ï D.
36 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
8. ĐÁNH GIÁ HÀM SỐ ĐỂ TÌNH TÌCH PHÂN
Trong các bài toán tènh tèch phân ta sẽ gặp phải một số trường hợp tènh tèch phân hàm cho
bởi 2 cëng thức phải sử dụng đến đánh giá để so sánh 2 biểu thức từ đê chia tèch phân cần tènh ra thành 2 phần.
Ta xåt bài toán tổng quát. Tènh tèch phân b I  min  fx,gxdx a
 Bước 1: Giải phương trçnh f x  g x
 Bước 2: Xåt dấu cho hàm h x  f x g x trên a;b
 Bước 3: Chia tèch phân cần tènh ra thành các tèch phân nhỏ.
Chú ý: Yêu cầu bài toán cî thể thay min bằng max.
Ví dụ: Tính các tích phân sau: 1. 2 I  min   2x, x dx 0   2. 4 I    min tan x,  x dx  4  3. 2 I  max  sin x,cos  x dx 0  4. 3 I     min tan x 2 sin x, 3  x dx  3  2   5. x x 4 I  max e    cos x,2  x  dx 0  2  Lời giải x  1  1. Xåt phương trçnh 2 x  x   x   0 x0;1 2  x  x  min   2x; x 2  x Ta thấy rằng khi  x 1;2 2  x  x  min   2x; x x Vậy 2    1 2  2 2 4 2 1 I min x , x dx  x dx  x dx     0 0 1 3 2. Xåt hàm số 1
f x  tan x  x . Ta có f 'x 
 1  0 . Vậy f x luën đồng biến træn . 2 cos x
Mặt khác ta lại cê f 0  0 nên x  0 là nghiệm duy nhất của phương trçnh f x  0.     Nếu x  0;
 f x  f 0  0  tan x  x  4       
Nếu x   ; 0  f x  f 0  0  tan x  x  4      2    Vậy I        min tan x,  0 2 4 4 x dx  tan xdx xdx ln       0 32  2  4 4  
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 37
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 3. Xåt phương trçnh  sin x  cos x  x  . 4     Nếu x  0;  sin x  cos x  4        Nếu x  ;  sin x  cos x  4 2       Vậy 2 I  maxsin x,cos  4 2 x dx  cos xdx      sin xdx 2  0 0 4
4. Xåt hàm số: f x  tan x  2sin x  3x 2       f'x 1 cosx 1 2cosx 1   2 cos x  3   0 x    ; 2 2 cos x cos x  3 3   Vậy   
f x đồng biến træn  ; 
, từ đê suy ra phương trçnh f x  0 cê nghiệm duy nhất 3 3       x  0 træn đoạn  ;  . 3 3      2   I           mintanx 2sinx,3  0 3 x dx   tanx 2sinx 3 dx 3xdx 1 ln 2    0 6 3 3 2 5. Xåt hàm số   x x
f x  e  cos x  2  x   f'x x
 x  e  sin x  1  f' x x  1  e  cos x 2 Ta thấy rằng     f ' x  0 x   0;
 f x'  f 0  0 x   0;  f x  đồng biến træn đoạn 4   4       0;  . 4    Mà  
f 0  0 nên x  0 là nghiệm duy nhất của phương trçnh f x  0 træn đoạn 0;  4      Vậy I    x 1 4 e  cos x 4 dx  1    e 0 2
38 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
9. KỸ THUẬT THẾ BIẾN – LẤY TÌCH PHÂN 2 VẾ
Kỹ thuật thế biến – lấy tèch phân 2 vế được áp dụng cho những bài toán mà giả thiết cê
dạng tổng của hai hàm số, khi đê ta sẽ lợi dụng mối liæn hệ giữa các hàm theo biến số x để
thay thế những biểu thức khác sao cho 2 hàm số đê đổi chỗ cho nhau, để rì hơn ta sẽ cíng
tçm hiểu các vè dụ sau.
Ví dụ 1: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1, thỏa mãn điều kiện sau 1      2 2f x
3f 1 x  1  x Giá trị của tèch phân f xdx  bằng 0 A.  B.  C.  D.  5 10 15 20 Lời giải
Một bài toán khá hay cê 2 cách giải được đưa ra, ta sẽ cíng tiếp cận 2 cách giải sau đây để
thấy được nội dung của phương pháp được áp dụng trong phần này!
Cách 1: Lấy tích phân 2 vế.
Lấy tích phân 2 vế cận tự 0 tới 1 giả thiết ta được:
2f x  3f 1  x 1  1  x  2f  x 1 dx  3 f  1xd1x 1 2 2  1  x  0 0 0 1   5 f  x 1 1 2 dx  1  x  f   xdx  0 0 0 20
Cách 2: Thế biến.
Chú ý vào hai biểu thức x,1  x bây giờ nếu ta thế x bởi 1  x thì ta sẽ được hệ phương
trình theo hai biến f x,f 1  x .
Thế x bởi 1  x ta được: 2f
 x  3f 1  x 2  1  x   4f x  9f x 2 2
 2 1  x  3 x  2x
2f 1  x  3f x  1  1  x2  2 2       1 2 1 x 3 x 2x   f x   f  xdx  0 5  20 Chọn ý D.
Ví dụ 2: Cho hàm số    
f x liæn tục træn 1 ;2  và thỏa mãn   1 f x  2f    3x. Tính tích 2     x  2 f x phân I  dx  x 1 2 A. 1 I  B. 3 I  C. 5 I  D. 7 I  2 2 2 2 Lời giải Từ giả thiết, thay  1  3 x bằng 1 ta được f    2f x  x  x  x
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 39
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ      1         1  f x 2f 3x f x  2f      3x Do đê ta cê hệ   x    x        2 f x   x   1     f   2f x 3  4f x 1 6 x  2f    x x   x        x f x 2 2 2 Khi đê  2   2  3 I  dx   1   dx     x   2 x x x      1 2 1 1 2 2 2 Chọn ï B.
Cách khác. Từ    1        1  f x 2f 3x f x  3x    2f x  x        1    1   1  2 f f x 2  f    2 2 f   2   Khi đê  x   x I  dx  3  2 dx  3 dx  2    dx     . Xét  x J   dx  Đặt 1 t  suy x  x  x 1 1 1 1 x x   1 2 2 2 2   2 ra 1 2 1 dt  
dx  t dx  dx   dt 2 2 x t  1 x   t  2 1  2 2 2 Đổi cận  2  1  f t f x  Khi đê J  t.f  t      dt  dt  dx    I   1  2  t  t x x  2  t  2 1 1  2 2 2 2 2 Vậy 3
I  3 dx  2I  I  dx    . 2 1 1 2 2
Ví dụ 3: Cho hàm số y  f x liæn tục træn 0;1 và thỏa mãn 2       4 x f x f 1 x  2x  x 1 Tính tích phân I  f  xdx. 0 A. 1 I  . B. 3 I  . C. 2 I  . D. 4 I  . 2 5 3 3 Lời giải
Từ giả thiết, thay x bằng 1  x ta được:
  2           4 1 x f 1 x f x 2 1 x 1 x
  2          2 3 4 x 2x 1 f 1 x
f x  1  2x  6x  4x  x .
Ta có 2       4       4 2 x f x f 1 x 2x x
f 1 x  2x  x  x f x .
Thay vào 1 ta được:  2    4 2         2 3 4 x 2x 1 2x x x f x
f x  1  2x  6x  4x  x     2 3 4       6 5 3 2 1 x 2x
x f x  x  2x  2x  2x  1   2 3 4         2   2 3 4        2 1 x 2x x f x 1 x 1 x 2x x f x  1  x 1 1 1
Vậy       2    1 3  2 I f x dx 1 x dx  x  x   3    3 0 0 0
40 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Chọn ï C.
Ví dụ 4: Cho hàm số 1
y  f x liæn tục træn 2;2 và thỏa mãn 2f x  3f x  2 4  x 2 Tính tích phân I  f  xdx . 2  A.     I   . B. I   . C. I  . D. I  . 10 20 20 10 Lời giải Từ giả thiết, thay 1 x bằng x
 ta được 2f x  3f x  2 4  x      1         2 2f x 3f x 4f x 6f x   2  2 Do đê ta cê hệ  4  x  4  x     f x 1   2f x 3fx 1 9     f x  6f x 3 5 2 4 x   2 2  4  x  4  x 2 2 Khi đê     1 1  I f x dx  dx   2   5  4 x 20 2 2 Chọn ï C.
Ví dụ 5: Cho hàm số   
y  f x liæn tục træn  ; 
và thỏa mãn 2f x  f x  cosx 2 2     2 Tính tích phân I  f  xdx   2 A. I  2. B. 2 I  . C. 3 I  . D. I  2. 3 2 Lời giải
Từ giả thiết, thay x bằng x
 ta được 2f x  f x  cosx.
2fx  f x  cosx
4f x  2f x  2cosx Do đê ta cê hệ     f x 1  2f
 x  f x  cos x f  x  2f x cos x.  cosx 3    Khi đê 1 1 2 2 I      fx 2 2 dx   cos dx sin x 3 3     3 2 2 2 Chọn ï B.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 41
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
10. TÍCH PHÂN HÀM CHO BỞI 2 CÔNG THỨC
Ta hiểu nëm na tèch phân hàm phân nhánh tức là các phåp tènh tèch phân những hàm cho
bởi hai cëng thức, đây là một vấn đề dễ khëng cê gç khê khăn cả nếu đã từng gặp và biết phương pháp làm. x  1 khi x  0 2
Ví dụ 1: Cho hàm së f x   Tính tích phân I  f  xdx 2x e khi x   0 1  2 2 2 2 A. 3e  1 7e  1 9e  1 11e  11 I  . B. I  . C. I  D. I  2 2e 2 2e 2 2e 2 2e Lời giải
Chú û là đây là hàm cho bởi 2 công thức nên ta sẽ tách tích phân cần tính ra thành 2 tích phân khác 0 2 0 2 2 Ta có        2x      9e 1 I f x dx f x dx e dx x 1 dx      2   2e 1 0 1 0 Chọn ï C.
Ví dụ 2: Cho hàm số   2 f x xác định træn 1 \ , thỏa f'x 
,f 0  1 và f 1  2 . 2  2x  1
Giá trị của biểu thức f  1    f 3 bằng A. ln 15 B. 2  ln 15 C. 3  ln 15 D. 4  ln 15 Lời giải     1 ln 1 2x  C ; x   1 Ta có   2 2  f ' x     2 f x  dx  ln 2x  1  C    2x  1 2x  1 ln2x 1 1  C ; x  2  2
Tới đây ta xåt 2 trường hợp:
 Nếu f 0  1  ln 1  2.0  C  1  C  1. 1 1
 Nếu f 1  2  ln 2.1  1  C  2  C  2 . 2 2     1 ln 1 2x  1 khi x   f  1    ln 3  1 Do đê   2 f x         1 f    3  ln 5  2 ln 2x 1 2 khi x  2  f  1
   f 3  3  ln 5  ln 3  3  ln 15 Chọn ï C.
Ví dụ 3: Cho hàm số 1 f x xác định træn  \ 2;  
1 và thỏa mãn f 'x  , 2 x  x  2 f  3
   f 3  0 và   1
f 0  Giá trị biểu thức f  4    f  1    f 4 bằng 3 A. 1 1 ln 20  B. 1 1 ln 2  C. ln 80  1 D. 1 8 ln  1 3 3 3 3 3 5 Lời giải
42 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Tương tự như những bài træn, đây là bài toán cũng yæu cầu tènh tèch phân hàm cho bởi 2
cëng thức, chỉ cê điều bài toán này cê tới 3 hàm thç ta vẫn xử lï tương tự như bài trước thôi! Ta có   1 1  1 1  f ' x    2 x x 2 3  x 1 x 2       1
 ln 1  x  ln x  2  C ; x  2  1 3     1 1 f x  dx  
 ln 1  x  ln x  2  C ; 2   x  1 2      2 x  x  2 3  1
 ln x  1  ln x  2  C ; x  1 3 3 Xåt 2 trường hợp:  1 1 1 1 1
Nếu f 0   ln 1  0  ln 0  2  C   C  ln 2  . 2 2 3 3 3 3 3  1 1 Nếu f  3
   f 3  0  C  C  ln . 1 3 3 10
Ta có         1 5 1 1 1 1 1 f 4 f 1
f 4  ln  ln 2  ln  C  C  C  ln 2  2 1 3 3 2 3 3 2 3 3 Chọn ï B.
Ví dụ 4: Cho hàm số 1
f x xác định træn 0;  \ 
e , thỏa mãn f 'x     , x ln x 1  1   1  f    ln 6 và  2
f e   3 Giá trị biểu thức f    f  3 e  bằng? 2  e   e 
A. 3ln 2  1 B. 2 ln 2 C. 3ln 2  1 D. ln 2  3 Lời giải
Theo giả thiết ta có   1 f ' x  từ đây suy ra xln x  1 1 d ln x  1
ln1ln x  C khi x 0;e 1    f x         dx  
   ln ln x  1  C   x ln x 1 ln x 1 ln
 ln x  1  C khi x e;  2   Ta xåt 2 trường hợp:   1   1  f  ln 6  ln 1  ln  C  ln 6  C      ln 2 2 2 1 1  e   e   f  2 e   3  ln 2
ln e  1  C  3  C  3 2 2   
ln1ln x  ln 2 khi x0;e 1 f     ln 2  ln 2 Do đê f x      e  ln
 ln x  1  3 khi x e;  f   3 e   ln 2  3  1   f  f  3 e   3ln 2    1  e 
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 43
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Chọn ï C.
Ví dụ 5: Cho Fx là một nguyæn hàm của hàm số 1 y  với điều kiện: 1  sin 2x         
x \  k,k  . Biết F0  1, F  0 , tính 11 P  F     F   4   12   12  A. P  0
B. P  2  3 C. P  1 D. Không  Lời giải Với    
x   k;  k, k   ta có:  4 4    dx dx dx 1    F x          1  sin 2x    sin x  cos x tan x C 2   2  2  4 2 cos x    4   
Ta xåt 2 trường hợp sau:       Ta có 0;     ; nên: 12 4 4        12    1    1 3 F01    3 3 F 0  F    tan x       F     12 2 4 2 2  12        2 2 0       Ta có 11 5 ;  ; nên: 12 4 4       11  1    1 3 F0  11  1 3 F  F   tan x       F    12 2 4       11 2 2  12  2 2 12 Vậy     11  P  F   F      1  12   12  Chọn ï C. 11. TÌCH PHÂN HÀM ẨN
Những bài toán tèch phân trong phần này khëng khê, tất cả được che giấu dưới một lớp
các ẩn số, việc làm của chîng ta là phát hiện ra được cách đặt ẩn để đưa tất cả về dạng
chuẩn thç bài toán sẽ được giải quyết hoàn toàn. 2017 2017 e 1 Ví dụ 1: Cho x f
 xdx  2 . Tính tích phân I  .f ln    2 x  1  dx. 2  x 1   0 0 A. I  1 B. I  2 C. I  4 D. I  5 Lời giải
Thoạt nhçn thç cê lẽ tương đối khủng, nhưng tuy nhiæn bằng cách đặt ẩn phụ thç bài toán
này trở næn vë cíng đơn giản. Đặt   2 2xdx xdx dt t ln x  1, suy ra dt    2 2 x  1 x  1 2
44 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN x  0  t  0 Đổi cận  2017 x  e  1  t  2017 2017 2017 Khi đê 1     1     1 I f t dt f x dx  2  1 2 2 2 0 0 Chọn ï A.  9 f  x  2
Ví dụ 2: Cho hàm số f x liæn tục træn và dx  4, f 
 sinxcosxdx  2 .Tính x 1 0 3 tích phân I  f  xdx. 0 A. I  2. B. I  6. C. I  4. D. I  10. Lời giải
Ở đây cê 2 giả thiết cần biến đổi để đưa về tèch phân liæn quan tới hàm f x. 9 f  x   Xét dx  4  . Đặt 2
t  x  t  x  2tdt  dx. x 1 x  1  t  1 9 f  x  3 3 Đổi cận  Suy ra  4  dx  2 f 
 t2dt  ftdt  2 . x  9  t   3 x 1 1 1  2  Xét f
 sinxcosxdx  2 Đặt u  sinx  du  cosxdx 0 x  0  u  0  2 1 Đổi cận   . Suy ra 2  f
 sinxcosxdx  ftdt x   u  1  2 0 0 3 1 3 Vậy I  f
 xdx  fxdx fxdx  4 . 0 0 1 Chọn ï C.  4 1 2
Ví dụ 3: Cho hàm số x f x
f x liæn tục træn và f  tanx   dx  4, dx  2.  Tính tích 2 x  1 0 0 1 phân I  f  xdx. 0 A. I  6. B. I  2. C. I  3. D. I  1. Lời giải  Xét tích phân 1 dt 4 f
 tanxdx  4 . Đặt t  tanx dt  dx   2 tan x  1 dx  dx  2  0 2 cos x 1  t x  0  t  0  Đổi cận:  1 f t 1 f x   4  4  f  tanx     dx  dt  dx   x   t  1  2 2 0 0 0 t  1 x  1  4
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 45
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1 1 1 2 Từ đê suy ra I  f  x f x x f x dx  dx  dx  4  2  6   2 2 x  1 x  1 0 0 0 Chọn ï A.
Ví dụ 4: Cho hàm số f x liæn tục træn và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện  4 2 f  2 e ln x 2 f 2x tan x.f   2 cos xdx  1, dx  1.  Tính tích phân I  dx.  xln x x 0 e 1 4 A. I  1. B. I  2. C. I  3. D. I  4. Lời giải  4  Xét A  tan x.f   2
cos xdx  1 . 0 Đặt 2 t  cos x 2 dt  dt  2  sin x.cos xdx  2  cos x.tan xdx  2
 t.tan xdx  tan xdx   2t 1 2 1 f t 1 1 f t 1 1 f x 1 f x Khi đê 1  A   dt  dt  dx  dx  2     2 t 2 t 2 x x 1 1 1 1 2 2 2 2 f  2 e ln x  Xét B  dx  1  xln x e 2 Đặt 2 2 ln x 2 ln x 2u dx du u  ln x  du  dx  dx  dx   x xln x xln x xln x 2u 4 1 f u 4 1 f x 4 f x Khi đê 1  B  du  dx  dx  2    2 u 2 x x 1 1 1 2 f 2x
 Xåt tèch phân cần tènh I  dx  x 1 2 4 f v 4 f x 1 f x 4 f x Đặt v  2x  I  dv  dx  dx  dx  2  2  4     . v x x x 1 1 1 1 2 2 2 Chọn ï D.
Ví dụ 5: Cho hàm số f x liæn tục træn và thỏa mãn  5
f x  4x  3  2x  1 x   . Tính tích phân 8 f  xdx. 2  A. 32 B. 10 C. 72 D. 2 3 Lời giải
Vấn đề ở câu này nằm ở giả thiết, vậy làm sao để sử dụng giả thiết để tènh được tèch phân
mà đề bài yæu cầu đây? Ý tưởng rất đơn giản đê là đặt 5 x  t  4t  3 . Đặt 5       4 x t 4t 3 dx
5t  4dt khi đê ta được:
46 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 8 f  x 1 dx  f
 t  4t 35t  4 1 5 4 dt   2t 1 4 5t  4dt  10 2  1  1  Chọn ï B.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 47
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
12. TÌCH PHÂN ĐỔI CẬN – ĐỔI BIẾN
Các bài toán tích phân đổi biến đổi cận là các bài toán tương đối hay, xuất hiện thường
xuyæn trong các đề thi thử và đề thi THPT Quốc Gia. Để làm tốt dạng này ta cần phải nhớ những kiến thức sau:
Tính chất 1. Cho tích phân b I  f  xdx. a  b b
Đặt x  a  b  t  dx  d  t  I  f  abxdx  f  xdx a a  b 1
Với 2 số m,n ta luôn có I 
 m.fxn.fabxdx a m  n
Tính chất 2. Nếu f x là hàm chẵn thç ta cê:  0 a f  xdx  f  xdx a 0  a a 0 f  xdx  2 f  xdx  2 f  xdx a 0 a f x f x x a a a b .f x  a I  dx  dx  dx  2I  f      xdx x x x a a a a b  1 b  1 b  1 Chứng minh
Ở đây sẽ chứng minh một tènh chất tiæu biểu, các tènh chất cén lại sẽ chứng minh tương tự. f x f x x a a a b .f x Ta chứng minh: a I  dx  dx  dx  2I  f      xdx x x x a a a a b  1 b  1 b  1
Do f x là hàm chẵn næn ta luën cê f x  f x a f t t x Đặt a b .f t a b .f x
x  t  dx  dt  I   d      t     dt I dx   t t x a a a b  1 b  1 b  1
Từ đê suy ra điều phải chứng minh!
Tính chất 3. Nếu f x là hàm lẻ thç ta cê:  0 a f  xdx   f  xdx a 0  a f  xdx  0 a
Tình chất này chứng minh tương tự như với hàm chẵn!
Tính chất 4. Nếu f x là hàm tuần hoàn chu kç T, f x  T  f x thì ta có:  T aT f  xdx  f  xdx 0 a  nT T f  xdx  n f  xdx 0 0  b bnT f  xdx  f  xdx a anT
Tính chất 5. Kỹ thuật xử lï một số bài toán sử dụng tènh chất b f  abx b dx  f  xdx . a a
Cách làm chung cho những bài thuộc dạng này đî là:
48 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN b I  f  xdx
Viết 2 lần giả thiết  b a 
 2I   fx fa  bxdx b I  f  a bx a dx  a
Với cách làm này ta sẽ cê cách giải quyết tổng quất rất nhanh những bài toán cê dạng mà giả thiết cho b 1 b  a
f xf a  b  x  c  0 . Khi đê ta cê tènh chất sau: dx   a c  f x 2 c Chứng minh
Ta viết lại 2 lần giả thiết như sau: b  1 I  dx  a  c  f x b  1 1    2I    dx  b a 1  c  f   x c  f a  b   x  I dx   a c f  a  b  x Ta có:  
2 c  f x  f a  b  x
2 c  f x  f a  b  x 1 g x   
c  c f x  f a  b  x  f xf a  b  x c  c f x  f a  b  x  c c b 1 b  a  2I  dx  I  
- điều phải chứng minh a c 2 c
Ví dụ 1: Cho hàm số f x liæn tục trên và thỏa f x  f x  2  2 cos2x với mọi 3 2 x  . Tính I  f  xdx 3  2 A. I  6 B. I  0 C. I  2 D. I  6 Lời giải
Giả thiết cî tổng nên gợi û ngay đến sử dụng tình chất 1 . Ta có: 3 3 3 2 2 2     1 
      1 I f x dx f x f x dx  2  2 cos 2x dx  6    1 1  2 3 3 3    2 2 2 Chọn ï D.
Ví dụ 2: Cê bao nhiæu số thực cos x 3 a  20  17;2017 thỏa mãn a dx   x a 2018  1 2 A. 1284 B. 1285 C. 1286 D. 1287 Lời giải
Bài này chình là tình chất 2! Áp dụng tình chất 2 ta cî:   a   k2 a a cos x 3 3  3 dx   cos xdx  3  sin a      k   x a a 2018  1 2 2  2 a   k2  3
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 49
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 
 Nếu a   k2  3  21  k  320 3   Nếu 2 a   k2  3  21  k  320 3
Vậy cê 1284 số a thỏa mãn yæu cầu. Chọn ï A. Ví dụ 3: Cho 4
f x liæn tục træn thỏa mãn f x  f x  4 x   , f  xdx  1 và 0 2 7 f
 3x5dx  12. Tính fxdx  . 1 0 A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 Lời giải
Nhën qua ta nhận thấy ngay dấu hiệu của hàm tuần hoàn, tuy nhiên phải xử lû giả thiết thứ 2 đã! Ta có: 2     2 1 f 3x 5 dx  12  f  3x5d3x5 11  12  f  xdx  36 1 1 8 3
Áp dụng tènh chất thứ 3 của hàm tuần hoàn b  f  x b nT dx  f  xdx ta có: a anT 7  f  x 4 dx  f  x 7 dx  f  x 4 dx  f  x 7 4 dx  f  xdx  37 0 0 4 0 44 Chọn ï C. Ví dụ 4: Cho x  x   a  b  2018 và b I  dx  10  . Tính b J  sin   dx . a x  2018  x a  3  A. 9  B. 9  C. 9  D. 8  2 3   Lời giải
Đây là bài toán cê giả thiết a  b  2018 và tèch phân các cận từ a tới b næn ta sẽ chî ï đến tènh chất thứ 5. Ta có   x      2018  x f x f 2018 x  x  2018  x x  2018  x
Theo cách làm của tènh chất 5 ta cê: b
2I   fx f2018 x b
dx  2 dx  10  a  b  2  0  a a a  999
Kết hợp với giả thiết ta giải ra được b   1019 x   x   9   J  sin   dx  sin   dx   b   1019 a 999  3   3  2 Chọn ï A.
Ví dụ 5: Cho hàm số 2
f x liæn tục træn 0;2 thỏa mãn f x  f 2  x , f  xdx  10 . 0 Tính 2   3 2 x  3x f xdx 0 A. 40 B. 20 C. 40 D. 20 Lời giải
50 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Vẫn là ï tưởng cũ dạng toán cũ sử dụng đến tènh chất 5. Ta có: 2 I     3 2 x  3x f xdx 2 0   2I  4  f x dx  4  0  I  2  0  2 I      
2  x3  32  x2 f2 x 0 dx 0 Chọn ï D.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 51
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
13. TÌCH PHÂN CÓ CẬN THAY ĐỔI
Nếu như bçnh thường ta hay xåt với những bài tèch phân cê cận là các hằng số cố định thç
trong phần này ta sẽ cíng tçm hiểu các bài toán cê cận là các hàm theo biến x. Trước tiæn
để làm được những bài toán này ta cần nhớ kiến thức sau:
Định lý: Nếu f x là hàm khả tèch træn a;b, liæn tục tại mọi xa;b thç hàm số Fx xác định bởi Fx x  f
 tdt khả vi tại x và F'x  fx. a Tổng quát ta cê F'x vx   f 
tdt '  v' x f v x u' x f u x u x
            
Phương pháp chung: Để giải những bài toán ở phần này tất cả đều theo 2 bước chènh:
 Bước 1: Đạo hàm giả thiết
 Bước 2: Biến đổi kết quả của đạo hàm để suy ra yæu cầu của bài toán.
Sau đây là những vè dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho hàm số x
f x liæn tục træn và 5 3x  96  f  tdt. Tìm a? a A. 96 B. 2 C. 4 D. 15 Lời giải
Những ai lần đầu gặp bài này ắt hẳn sẽ rất khê khăn, tuy nhiæn ta đã cê phương pháp rồi do đê sẽ bám sát nê!
Lấy đạo hàm hai vế ta được 4 15x  f x Từ đây suy ra x x 5 4 5 3x  96  15x dt  3t  3 5 5 x  a   a  2   a a Chọn ï B. Ví dụ 2: Cho f  x 3 x   
 ft 3 f'   t 3   3f  tf'  t 2  dt  2018  . Tính f 1 . 0  A. 2018e B. 2018e C. 3 2018e D. 3  2018e Lời giải
Lấy đạo hàm 2 vế ta được f x 3   f x 3   f 'x 3
  3f x f'x 2         
 f x  f'x3  0  f x  f'x  f x x  ce
Thay vào giả thiết ta cê: ce 3 x
   ce 3 ce 3  3ce ce 2 x t t t t dt  2018 0  x   3 x    3 3t  3t x 3 e ce 3c e dt  2018  3c .  2018 0 3 0 3  c  2018  f 1 3  e 2018
52 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Chú ý:
 Ở lời giải træn cê chỗ         x f x f ' x
f x  ce vấn đề này ta sẽ được tçm hiểu ở phần sau!
 Bước tçm hằng số c ở đoạn sau chî ï là ta đang coi x cố định để tènh tích phân
cho ra một hàm theo biến x. Chọn ï C.
Ví dụ 3: Tçm tập nghiệm của bất phương trçnh x t dt  0  0 2018 t  1
A. ;
B. ;0
C. ; \  0
D. 0; Lời giải Đặt   x t      x f x dt f ' x 
, f 'x  0  x  0 0 2018 2018 t  1 x  1
Ta cê bảng biến thiæn như sau: x  0  f 'x - 0 +   f x 0
Nhìn vào bảng biến thiæn ta suy ra được x; \  0 . Chọn ï C.
Ví dụ 4: Cho hàm số f x  0 xác định và cê đạo hàm træn đoạn 0;1, thỏa mãn đồng x g  x  1  2018 f  tdt 1 thời điều kiện  . Tính I  g  xdx 0 g  0  x 2  f x A. 1009 I  . B. I  505. C. 1011 I  . D. 2019 I  . 2 2 2 Lời giải
Theo cách làm chung thë ta vẫn đi lấy đạo hàm hai vế! g
 'x  2018f x Từ giả thiết, ta cê 
 2018f x  2f'x.f x g  '
 x  2f 'x.f x f x  0 L  2f x 1009  f'  x  0           . f ' x 1009 f x  1009x  C x
Thay ngược lại, ta được 1 20181009t Cdt  1009xC2 0
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 53
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ x  1009   1  2018 t  Ct  1009x  C2 2 2  C    1.  2  0
Suy ra f x  1009x  1 hoặc f x  1009x  1 (loại vç f x  1009x  1 ) . 1 1 1 Khi đê           1011 I g x dx f x dx 1009x 1 dx     2 0 0 0 Chọn ï C.
Ví dụ 5: Cho hàm số f x nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn 0;1, thỏa mãn x 1 2 f x  1  3 f
 tdt  gx với mọi x0;1, tích phân gxdx 
cê giá trị lớn nhất là? 0 0 A. 4 . B. 7 . C. 9 . D. 5 . 3 4 5 2 Lời giải x g  0  1
Từ giả thiết g x  1 3 f  tdt ta có  và g x  0, x  0;1. g  '  x  3f x 0 2 g ' x  Theo giả thiết     g ' x 2           3 g x f x g x    . 9 2 g x 2
Lấy tèch phân cận từ 0  t ta được: t g 'x t t 3       t 3 dx dx g x  x 2 g x 2 2 0   0 0 0       3     3 g t g 0 t g t  t  1. 2 2 1 1 Do đê     3  7 g x dx  x  1  dx    2  4 0 0 Chọn ï B.
54 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
14. BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI F’(X) VÀ F(X)
Trong phần này ta sẽ cíng nhau tçm hiểu về một lớp bài toán liæn quan tới quan hệ của hai
hàm f'x,f x, đây là một dạng đã xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia 2018 của Bộ
GD&ĐT và trong rất nhiều đề thi thử của các trường chuyæn, ta sẽ cíng bắt đầu tçm hiểu
vấn đề này ngay sau đây.
1. BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TÌCH.
Ta sẽ bắt gặp các bài toán cê dạng f'x  g x.hf x, với g x là hàm theo biến x thì
khi gặp những bài toán này cách làm chung của ta sẽ là lấy nguyæn hàm 2 vế, cụ thể:
        f 'x f ' x f ' x
g x .h f x     gx  
    dx  gxdx h f x h f x
Hoặc cê thể lấy tèch phân 2 vế, đến đây thç tíy thuộc vào yæu cầu và giả thiết của bài toán
thç ta cê thể suy ra kết quả cần tènh.
Để cíng hiểu rì hơn ta sẽ bắt đầu với những vè dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hàm số f x thỏa mãn   1 f 2   và      2 3 f ' x 4x f x x   . Giá trị của 25 f 1 bằng? A. 41  B. 1  C. 391  D. 1  100 10 400 40
Đề thi THPT Quốc Gia 2018 Lời giải
Phân tích: Nếu ban đầu gặp dạng này thç cê lẽ ta sẽ khëng biết cách sử lï thế nào, tuy
nhiæn bám sát vào bài toán tổng quát ta sẽ cê hướng làm như sau:
Giả thiết tương đương với: f'x  4x f x2 f ' x 3   3   .  4x f x2
Đến đây ta sẽ lấy nguyæn hàm hay tèch phân? Chî ï là với những bài toán bắt tènh giá trị
của hàm số tại một điểm nào đê mà giả thiết đã cho giá trị của hàm tại một điểm nào đê cê
giá trị xác định thç ta sẽ lấy tèch phân hai vế. Lấy tèch phân cận từ 1 đến 2 cả 2 vế ta được: f 'x 2 f 'x 2 3 3      4x dx 4x dx 15   f x2 fx2 1 1 2 1 1 1 1           f x 15 f 2 f 1 15 f 1 10 1 Chọn ï B.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 55
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Ví dụ 2: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn f 0  2 và    4     2
         3 2 f x f ' x x 1 1 f x        x
 0;1 . Biết rằng f'x  0,f x  0 x  0;1. Mệnh
đề nào dưới đây đîng?
A. 2  f 1  3
B. 3  f 1  4
C. 4  f 1  5
D. 5  f 1  6
Đề thi thử chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi Lời giải
Vẫn là ï tưởng đê nhưng cê vẻ đã được tác giả chën giấu kỹ hơn!
Ta bám sát bài toán tổng quát, chî ï với bài toán tổng quát thç f 'x chỉ ở bậc 1 vậy làm
sao để đưa về bậc 1 bây giờ? Rất đơn giản thëi ta sẽ lấy căn hai vế! Ta có: 2   f ' x f x 2   2 3          1 f ' x f x x 1 1 f x   3 1  f x 2 x  1 f 'x 2 f x 1  dx  dx  ln x  x  1  ln 1  2   0 0  1 1 1 2 3 2   1  f x  0 x 1 1 d 3 1  f x 2  dx  ln 1  2  1  f x  ln 1  2 0     1 1 3 3   3 1  f x 3 0 2   3 1  f x 3
 1  2   ln1 2   f1  2.6051... 3 Chọn ï A.
Ví dụ 3: Cho hàm số f x f x cê đạo hàm f'x liæn tục và nhận giá trị khëng âm trên
1;, thỏa f1  0,        2 2f x 2 e . f x   4x  4x  1 
với mọi x1;. Mệnh đề nào sau đây đîng? A. 1
  f4  0.
B. 0  f4  1.
C. 1  f4  2.
D. 2  f4  3. Lời giải
Câu này thoạt nhçn cê vẻ thấy khá khê khăn nhưng vẫn ï tưởng giống bài của chuyæn Læ
Khiết thëi ta sẽ lấy căn hai vế!
Lấy căn hai vế ta được fx
e fx  2x  1 do f 'x không âm trên 1; fx          fx 2 e f x dx 2x 1 dx  e  x  x  C.
Thay x  1 vào hai vế, ta được f1 2 e
 1  1  C  C  1. Suy ra fx  2 
       2       2x 1     7 e x x 1 f x ln x x 1 f x f 4  . 2 x  x  1 13 Chọn ï B.
56 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Ví dụ 4: Cho hàm số f x cê đạo hàm xác định, liæn tục træn 0;1, thỏa mãn f0  1  và    2 f ' x   f '  x 
với mọi x0;1. Đặt P  f 1  f 0, khẳng định nào sau đây đîng? f  x  0
A. 2  P  1.
B. 1  P  0.
C. 0  P  1.
D. 1  P  2. Lời giải
Ta đã nhçn thấy chît bêng dáng của 1 P  f '
 xdx  f1f0 næn ta cần tçm fx. 0 Từ giả thiết ta cê: f' x f ' x 1 1  1  dx  x    x  C  f' x    f'  x 2  f'   x 2  f 'x   x  C  1 1
Mà          1 1 f ' 0 1 C 1 f ' x   . Vậy P  f  xdx   dx  ln 2  0  ,69.  x  1 x  1 0 0 Chọn ï B.
f3  x.f x  1
Ví dụ 5: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm træn 0;3, thỏa mãn  với mọi f  x  1  3 xf 'x x 0;3 và   1
f 0  . Tính tích phân I  dx  2 1  f  3x 2 2 0  .f  x A. 1 I  . B. I  1. C. 3 I  . D. 5 I  . 2 2 2 Lời giải
f 3  x.f x  1 Từ giả thiết   f 3    2. 1 f 0   2
Do f 3  xf x  1    
   2         2 2 1 f 3 x .f x 1 f x  .  Khi đê ta được: xf 'x 3 3 3 3  1  x 1 I  dx   xd        dx  1   J.  1  f  x 2   1 f x   1  f x 1  f x 0 0        0   0 3 0 3 3 t3x Tính 1 1 1 1 J  dx   dt  dt  dx.     1  f x 1  f 3  t 1  f 3  t 1  f 3  x 0   3   0   0   3 3 f3x.fx1 3 Suy ra 1 1 3 2J  dx  dx  1dx  3  J  .    Vậy 1 I  . 1  f x 1  f 3  x 2 2 0   0   0 Chọn ï A.
Tóm lại: Qua 5 vè dụ vừa rồi ta đã làm quen được với dạng toán cê f'x ,f x và đã
tìm hiểu qua cách giải của các bài toán này, những thứ ta cần phải chî ï đê là:
 Chuyển f 'x và hàm theo biến f x sang một bæn, chî ï f 'x phải luën bậc
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 57
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ nhất
 Lấy nguyæn hàm hoặc tèch phân tíy thuộc vào đề bài
 Ngoài ra cê thể nhớ nhanh kết quả sau:         kx f ' x kf x f x  Ce
2. BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TỔNG.
Xåt bài toán tổng quát sau: f'x  k xf x  g x . Gọi Gx  g
 xdx với Gx là một
họ nguyæn hàm của g x . Nhân cả hai vế với Gx e ta được: Gx e
f 'x  g x Gx .e
f x  k x Gx e Gx
 e fx'  kx Gx e  f x Gx  e k  x Gx e dx
Ngoài ra cén một số dạng nữa ta sẽ tçm hiểu trong các vè dụ.
Ta sẽ cíng giải quyết dạng toán này thëng qua các vè dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hàm số f x liæn tục træn  \ 0;  1
 , thỏa mãn         2 x x 1 .f ' x f x  x  x với mọi x  \ 0;   1 và f 1  2
 ln 2. Biết f 2  a  bln 3 với a, b , tính 2 2 P  a  b . A. 1 P  . B. 3 P  . C. 13 P  . D. 9 P  . 2 4 4 2 Lời giải
Theo như bài toán tổng quát thç f 'x đang độc lập thế næn ở bài toán này ta cũng cần phải
độc lập f 'x. Biến đổi giả thiết ta được
       2      1 x x 1 .f ' x f x x x f ' x     f x  1 x x 1  x  Ta có: ln 1  1 1   x       x x 1      dx    dx  ln    e  x x 1  x x  1   x  1  x  1 
Nhân cả hai vế với x ta thấy rằng: x   1  x  f ' x  f x  f x . . Do đê giả 2     x  1 x 1 x  1  x 1   
thiết tương đương với :     x  x     x x  1  f x . f x .  dx  1  dx  x  ln x  1       C.  x  1 x  1 x  1 x  1  x  1  Mà           x f 1 2 ln 2 C 1 f x .  x  ln x  1  1. x  1  3 a   Cho 2 3 3  2 9
x  2 ta được f 2.  2  ln 3  1  f 2   ln 3    P  . 3 2 2 3 2 b    2 Chọn ï D.
58 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Ví dụ 2: Cho hàm số f x thỏa mãn    2       4 f ' x
f x .f ' x  15x  12x với mọi x  và
f 0  f0  1. Giá trị của 2 f 1 bằng A. 5 . B. 9 . C. 8. D. 10. 2 2
Chuyên Đại học Vinh Lời giải
Đây là một câu nhçn qua tương đối lạ, tuy nhiæn ï tưởng của bài toán vẫn như bài træn đê
là vẫn biến đổi một vế là đạo hàm của vế kia chỉ cê điều cách thực hiện khëng tương tự.
Hướng giải của bài toán như sau:
Nhận thấy được    2 f ' x   f 
x.f' x  fx.f'x'. 
Do đê giả thiết tương đương với      4
f x .f ' x '  15x  12x. 
      4   5 2 f0f '01.            5 2 f x .f ' x 15x 12x dx 3x 6x C C 1
f x .f ' x  3x  6x  1 2 6  f
 x.f'xdx   f x 5 2 3x  6x  1   x 3 dx    2x  x  C'. 2 2 2 f 0 Thay 1
x  0 vào hai vế ta được  C'  C'  . 2 2 Vậy 2   6 3 2
f x  x  4x  2x  1  f 1  8. Chọn ï C.
Ví dụ 3: Cho hàm số f x cê đạo hàm đến cấp 2 đồng thời liæn tục træn thỏa mãn 1
f 0  f '0  1 và        3 2 f x 2f ' x f ' x  x  2x x   . Tính f xdx  . 0 A. 107 21  B. 107 12  C. 107 21  D. 107 12  12 e 21 e 12 e 21 e Lời giải
Đây lại là một dạng nhçn rất lạ phải khëng, nhưng thực chất chènh là bài toán tổng quát
ban đầu, tuy nhiæn phải cê chît tinh ï nhận ra điều sau:
f x  f 'x  f 'x  f ' x 3 2  x  2x
 f x  f'x  f x  f'x 3 2 '  x  2x x
 e f x  f'x x
 e f x  f'x x '  e  3 2 x  2x    x
e f x  f 'x x '  e  3 2 x  2x  x
 e f x  f'x x  e  3 2 x  x  2x  2  C
Mặt khác f 0  f'0  1 nên C  4
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 59
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ x
 e f x  f'x x  e  3 2 x  x  2x  2  4   x e f x x '  e  3 2 x  x  2x  2  4 x
 e f x   xe  3 2
x  x  2x  2  4 x dx  e  3 2
x  4x  10x  12  4x  C Ta lại cê:
                1 3 2 x    107 21 f 0 1 C 13 f x x 4x 10x 12 4x 13 e f x dx    0 12 e Chọn ï A.
Ví dụ 4: Cho hàm số f x cê đạo hàm đến cấp 2 đồng thời liæn tục træn đoạn
0;2 f0  1,   4
f 2  e và      2         2 f x 0, f x f x f ' x f ' x  0 x
 0;2. Tính f 1 . A. 3 3 e B. 4 e C. 2 e D. 2 e Lời giải
Bài này nhçn qua thç thấy giống bài trước, cê lẽ bạn đọc đến đây sẽ tập chung đưa về như
bài trước nhưng điều này gần như khëng thể bởi vç sự xuất hiện “vë duyæn” của dấu “-“.
Vậy làm sao để xử lï được dấu “-“? Ý tưởng thç vẫn là thế tuy nhiæn để ï rằng đạo hàm
của hàm nào ra dấu “-“? Rất đơn giản đê là hàm phân thức! Đến đây ta biến đổi bài toán:
 f 'x  f xf' x f'x2 f 'x 2 x    '                1 x C ln f x x C dx Cx D f x f x2 f x     2 Mặt khác: 2 2 x      D  0 C   1         x  f 0 1,f 2 e ln f x   x  f x x 6 2  e 4  2  2C  D D    0 2 3 Do đê   2 f 1  e . Chọn ï D. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Cho hàm số f x cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn đoạn0;1 thỏa mãn f 0  1  ,   2 f 1   3 và       1    2        3 f ' x f x 2 f ' x x f x  , x   
0;1. Tích phân   2
3x  2f xdx bằng? 0 A. 3  ln B. 3 3  ln C. 3 2  ln D. 3 6  ln 2 2 2 2 Chọn ï D.
2. Cho hàm số f x  0, x
  0 cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn nửa khoảng 0; thỏa mãn
       2 3 f ' x f x 2 f ' x   xf 
x  0,f'0  0,f 0  1. Tính f1 ? A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 3 2 7 6 Chọn ï D.
60 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Ví dụ 5: Cho hai hàm f x và g x cê đạo hàm trên 1;2, thỏa mãn f 1  g 1  0 và  x
g x  2017x  x  1 f ' x  2       x  1 2  x x  1   , x  1;2. Tính I  g  x f x dx.   3  x x  1 x  g 'x  f x 2  2018x 1 x  1 A. 1 I  . B. I  1. C. 3 I  . D. I  2. 2 2 Lời giải
Bài này cê vẻ tương đối khê khăn rồi do đây là 2 hàm độc lập, tuy nhiæn ta chî ï vẫn bám
sát ï tưởng của các bài toán trong mục này!  1 x  1 g x  f ' x  20   17 2      
Từ giả thiết ta có x  1 x 
. Cộng lại vế theo vế ta được:  x   1 g ' x  f x  2018  2 x  1 x  1 x   x  1 1   g x  g ' x    f ' x  f x   1 2           x  1 2 x  1   x x     x    x  1    x  g x f x  1  g x x 1  f x  x      C.  x  1   x  x  1 x 2 2 Mà ta lại cê      x    x 1               1 f 1 g 1 0 C 1 I g x f x dx x 1 dx  .  x 1 x    2 1 1 Chọn ï A. LUYỆN TẬP
Câu 1: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 và      2017 2f x x.f ' x  673x .
Giá trị nhỏ nhất của tèch phân 1f xdx  bằng 0 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 3 3.2017 3.2018 3.2019
Câu 2: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn nửa khoảng  x
0;  thỏa mãn f 'x  và      3 f 0
1, f 1  a  b 2 với a,b là các số nguyæn. x  1fx Tính P  ab . A. P  3 B. P  66 C. P  6 D. P  36 Câu 3: Cho hàm số 1
f x thỏa mãn f 'x  2f x và f 0  3 . Tích phân f xdx  bằng 0  2 3 e  1 A.  2 3 2e  1 2 3 e  1
B. 3 2e  1 C. D. 2 2
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 61
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Câu 4: Cho hàm số f x nhận giá trị âm và cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn
        2 1 f ' x 2x 1 f x    và f 0  1
 . Giá trị của tèch phân f xdx  bằng 0 A. 1  B.    ln 2 C. 2 3  D. 3  6 9 9
Câu 5: Cho hàm số f x cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn f'0  1  và       2 f ' x f ' x  
 . Giá trị của biểu thức f 1  f 0 bằng A. ln 2 B.  ln 2 C. 1 ln 2 D. 1  ln 2 2 2
Câu 6: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn   x 2 f ' x  e f x x   và   1 f 0  . Tính f ln 2 2 A. 1 ln 2  B. 1 C. 1 D. 2 1 ln 2  2 3 4 2
Câu 7: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn 0; và thỏa
mãn f 1  1,f x  f'x 3x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đîng
A. 1  f 5  2
B. 4  f 5  5
C. 3  f 5  4
D. 2  f 5  3
Câu 8: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn 0; thỏa mãn   2
f 3  và f 'x  x  1f x . Mệnh đề nào dưới đây đîng? 3 A. 2 2613  f 8  2614 B. 2
2614  f 8  2615 C. 2
2618  f 8  2619 D. 2
2616  f 8  2617
Câu 9: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn     5 2
f x f ' x  3x  6x . Biết
rằng f 0  2. Tính 2 f 2 . A. 144 B. 100 C. 64 D. 81
Câu 10: Cho hàm số f x nhận giá trị âm và cê đạo hàm liæn tục træn 1;4 thỏa mãn   2018     2 f ' x 2x 1 f x và   1
f 1  . Giá trị của biểu thức  f i bằng 2 i1 A. 2010  B. 2017  C. 2016  D. 2018  2019 2018 2017 2019
Câu 11: Cho hai hàm số f x ,g x cê đạo hàm liæn tục træn 1;4 thỏa mãn 4 f x  g x
f 1  g 1  9e và   2       2 f x
x g ' x ;g x  x f 'x . Tích phân dx  bằng 2 1 x 4 A. 9  e 4 e  e  B.  4 9 e  e  C.  4 e  e  D. e  e e 9 9
62 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 12: Cho hai hàm số f x,g x cê đạo hàm liæn tục træn 1;4 thỏa mãn f 1  g 1  4 và   2       2 4 f x
x g ' x ;g x  x f 'x . Tích phân  fxgxdx bằng 1 A. 8ln 2 B. 3ln 2 C. 6ln 2 D. 4 ln 2
Câu 13: Cho hàm số f x và cê đạo hàm liæn tục træn 0; và thỏa mãn điều kiện     x f x f ' x  e
2x  1 . Mệnh đề nào sau đây đîng?
A. 4      26 26 e f 4 f 0  B. 4
e f 4  f 0   3 3
C. 4      4 4 e f 4 f 0  D. 4
e f 4  f 0   3 3
Câu 14: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1 thỏa mãn f 0  0 và       2 1 2xf x f ' x
x x  1. Tích phân xf xdx  bằng 0 A. e  4 B. 1 C. 7 D. e  4 8e 6 6 4e
Câu 15: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0; thỏa mãn f 0  3 và      2
f ' x f x  cos x 1  f x . Tích phân 2 f  xdx bằng 0 A. 11    8  B. 7 8  C. 7  8 D. 11  8 2 2 2 2
Câu 16: Cho hàm số f x cê đạo hàm dương liæn tục træn 0;1 thỏa mãn f 0  1 và      2 1 f x f ' x . Tích phân f xdx  bằng 0 A. 5 B. 19 C. 5 D. 19 4 12 2 3
Câu 17: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1 thỏa mãn điều kiện     2019 1 2018f x x.f ' x  x , x
 0;1 . Giá trị nhỏ nhất của tèch phân f xdx  bằng 0 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4037 2018.4037 2019.4037 2020.4037 Câu 18: Cho hàm số 1  
f x thỏa mãn cos xf x  sin xf'x  , x   ; và đëng thời 2 cos x 6 3       f    2 2 . Tích phân 3 bằng  f  xdx  4  6       A. 2 3 ln 1    B. 2 3 2 ln 1   C. 2 3 ln   1 D. 1 3     3      3   2020.4037
Câu 19: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn f 0  0 , f x  1  và đồng thời   2
f ' x  x  1  2x f x  1, x   . Tính f  3? A. 12 B. 3 C. 7 D. 9
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 63
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Câu 20: Cho hàm số f x liæn tục và đồng biến træn đoạn 1;4, f 1  0 và đồng thời thỏa mãn      4    2 x 2x.f x f ' x  , x    1;4. Đặt I  f
 xdx. Mệnh đề nào dưới đây đîng? 1
A. 1  I  4
B. 4  I  8
C. 8  I  12
D. 12  I  16
Câu 21: Cho hàm số f x thỏa mãn    2       2 f ' x
f x f ' x  2x  x  1, x   , và đồng thời
f 0  f '0  3 . Giá trị của 2 f 1 bằng? A. 28 B. 22 C. 19 D. 10 2
Câu 22: Cho hàm số f x thỏa mãn f 0  1 và      2 x f ' x 2xf x  2x.e , x   . Tènh giá trị
của tèch phân 1xf xdx  ? 0 A. 3 1  B. 1  C. e 1  D. e 2e 2e 2 2
Câu 23: Cho hàm số f x thỏa mãn   9 f 1  và          2 2 4 x f ' x 3x f x 15x 12x e , x   . e Tích phân 1f xdx  bằng? 0 A. 4 3  B. 2e  1 C. 4 3  D. 2e  1 e e
Câu 24: Cho hàm số f x thỏa mãn         2 2 4 f x f ' x 2f x f ' x  15x  12x, x   và 1
f 0  1,f '0  9 . Tích phân 3 f xdx  bằng? 0 A. 199 B. 227 C. 227 D. 199 14 42 14 42
Câu 25: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 1;4, có f 1  0 và đồng thời      4 2    3 x 2x.f x f ' x  , x   
1;4. Tích phân  2fx1 dx bằng? 1 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 5 3 4
Câu 26: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 1;2, có f 1  4 và đồng thời      3 2 f x xf ' x  2x  3x , x
 1;2 . Tènh giá trị của f 2? A. 5 B. 20 C. 15 D. 10 Câu 27: Cho hàm số 
f x  0 thỏa mãn điều kiện       2 f ' x 2x 3 f x và   1 f 0  . Biết 2 2018 rằng    a f i   * a , b
 và a là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đîng? i1 b b A. a  1  B. a  1
C. a  b  1010
D. b  a  3029 b b
64 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 28: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn f 0  1 và đồng
thời điều kiện      x 1 f ' x f x  e  1, x
 0;1. Tính tích phân f xdx  0 A. 2e  1
B. 2e  1 C. 1  e D. 1  2e
Câu 29: Cho hàm số f x cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn đoạn 1;3, f 1  f'1  1 và
f x  0,        2   2 f x f ' x f ' x xf x , x
 1;3. Tính ln f 3 A. 4 B. 3  C. 4 D. 3 Câu 30: Cho hàm số 3 2
f x thỏa mãn đồng thời f 2  ln ,f'x fx e  , x   2;2018 . Biết 3   4 x 2018
rằng  fi  lna lnblnclnd với a,b,c,d là các số nguyæn dương và a,c,d là số i2
nguyæn tố đồng thời a  b  c  d . Giá trị của biểu thức a  b  c  d bằng? A. 1968 B. 1698 C. 1689 D. 1986
Câu 31: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;3, f 3  4 và đồng thời  3    2 2 f ' x   8x  20  4f  x, x
 0;3. Tích phân f xdx  bằng? 0 A. 9 B. 6  C. 21 D. 12
Câu 32: Cho hàm số f x đồng biến, cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn đoạn 0;2 , biết rằng      6 f 0
1, f 2  e và    2  
       2 f x f x f ' x f ' x   0, x    0;2. Tính f1 A. 9 B. 6  C. 21 D. 12
Câu 33: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  1 và đồng thời  1    2     2     6 4 2 f ' x 4 6x
1 f x  40x  44x  32x  4, x
 0;1 . Tích phân f xdx  bằng? 0 A. 23 B. 17  C. 13 D. 7  15 15 15 15
Câu 34: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn và thỏa mãn   1 f 0  và đồng thời 2
điều kiện            x x 2 f x
x 1 f ' x  e . Giá trị của f 2 bằng? 2 2 A. e B. e C. e D. e 3 6 3 6
Câu 35: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn \ 1  ;  0 thỏa mãn f 1  2  ln 2 và
       2 x x 1 f ' x f x  x  x, x   \ 1  ; 
0 . Biết f 2  a  bln 3a,b  . Giá trị của biểu thức 2 2 a  b bằng? A. 25 B. 9 C. 5 D. 13 4 2 2 4
Câu 36: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn  1 f  x 2 x   2  3 f   tdt, x
 0;1 . Tích phân f xdx  bằng? 0 0
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 65
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ A. 3  2 B. 11 C. 3  3 D. 15 4 4 4 4
Câu 37: Cho hàm số f x liæn tục và cê đạo hàm træn khoảng 0; thỏa mãn điều kiện 3 2
  và f x  xsin x  f'x 
. Mệnh đề nào sau đây đîng?  f  xsinxdx 4 cos x 2
A. 11  f   12
B. 5  f   6
C. 6  f   7
D. 12  f   13
Câu 38: Cho hàm số f x cê đạo đến cấp 2 liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện  3    2 f ' x   f  xf' x  1, x  0;1 và 2
f 0  f 0f '0  . Tçm giá trị nhỏ nhất của tích 2 phân 1 2 f xdx  ? 0 A. 5 B. 1 C. 11 D. 7 2 2 6 2
Câu 39: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn f 1  1 và đồng thời điều
kiện     2018 x f ' x f x   xe , x   
. Số nghiệm của phương trçnh   1 f x   là? e A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 40: Cho hàm số f x xác định và liæn tục træn \  0 thỏa mãn f 1  2  và đồng thời 2 2 2
x f x  2x  1f x  xf 'x  1, x   \  0 . Tính f xdx  ? 1 A. ln 2   1 B. 1 ln 2  C. 3 ln 2  D. ln 2 3   2 2 2 2 2
Câu 41: Cho hàm số f x nhận giá trị dương, cê đạo hàm liæn tục træn khoảng 0; thỏa 2f 'x f xx  2 mãn  2 1 , x   0 và   1 f 1  . Tích phân dx  ? f 2  x 2 3  x  3 1 f x   A. 11  ln 2 B. 1   ln 2 C. 3  ln 2 D. 7  ln 2 2 2 2 2
Câu 42: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn f 1  e và đồng thời điều kiện         3 x 2 f x xf ' x  x , x   . Tính f 2? A. 2 4e  4e  4 B. 2 4e  2e  1 C. 3 2e  2e  2 D. 2 4e  4e  1 Câu 43: Cho hàm số f x
f x nhận giá trị dương thỏa mãn f 'x   2   3x , x  0; và x 3 2 3x 1 dx  
. Giá trị của biểu thức f 1  f 2 bằng? 2 1 f x 9 A. 27 B. 43 C. 45 D. 49 2 2 2 2
Câu 44: Cho hàm số f x đồng biến và cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn f 0  1 và  1    2 x f ' x   e f  x, x   . Tính f xdx  ? 0
66 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN A. e  2 B. 2 e  2 C. 2 e  1 D. e  1 Câu 45: Cho hàm số  
f x nhận giá trị dương và f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;  thỏa 4     mãn  
f 'x  tan xf x , x   0; , f 0  1  . Tính 4 cosxf  xdx ? 4    0 A. 1   B.  C.   1 ln D. 0 4 4 4
Câu 46: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn và f'x fx  e
2x  3 , f0  ln 2 . Tích phân 2 f xdx  bằng? 1 A. 6ln 2  2 B. 6ln 2  2 C. 6ln 2  3 D. 6ln 2  3
Câu 47: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  1 và đồng thời     2 1 xf ' x f x  x , x
 0;1 . Tính tích phân xf xdx  ? 0 A. 1 B. 1 C. 2 D. 3 3 4 3 4
Câu 48: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn f 0  1
 và đồng thời điều kiện      2 x f ' x f x  x e  1, x   . Tính f 3 ? A. 3 6e  3 B. 2 6e  2 C. 2 3e  1 D. 3 9e  1
Câu 49: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0; thỏa mãn f 1  2 và đồng thời f 'x f x 2 
 4x  3x và f 1  2 . Phương trçnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x tại x
điểm cê hoành độ x  2 là?
A. y  16x  20
B. y  16x  20
C. y  16x  20
D. y  16x  20
Câu 50: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục và nhận giá trị khëng âm træn đoạn 0;1 f  x 2  f '   x 2  thỏa mãn
  1 fx 2 , x
  0;1 . Biết f 0  1 . Mệnh đề nào sau đây 2x    e đîng? A.    5        f 1  ;3 B.   7 f 1 3; C.   5 f 1 2; D.   3 f 1  ;2 2        2   2   2  ĐÁP ÁN Câu 1. Chọn ï C.
Theo giả thiết ta cê  2   2018 x f x '  673x
, lấy tèch phân 2 vế cận từ 0 tới x ta được   2019 x   x 2 2018 2      673x x f x 'dx 673x dx x f x  0 0 2019 2017 2017    1 x      1 x 1 f x f x dx  dx   0 0 3 3 3.2018
Câu 2: Chọn ï A.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 67
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Câu 3: Chọn ï C.
Câu 4: Chọn ï D. Câu 5: Chọn ï B. Câu 6: Chọn ï B. Câu 7: Chọn ï C. Câu 8: Chọn ï C. Câu 9: Chọn ï B.
Câu 10: Chọn ï D. f 'x 1 Ta có f 1 1 2 1  1 1  2               f x 2x 1 f x x x C f x 2 x x   x x 1     2018 2018      1 1   1 1  2018 f i               i1 i1 i i 1   1 2019  2019
Câu 11: Chọn ï B.
Đặt hx  f x  g x,h 1  g 1  f 1  9e . Ta có f x  g x 2  x f '
 x  g 'x  h  x 2  x h'x  0 h'x 1 1 1 h 1 9e x          h x ln h x   C h x 9e 2 x x f x  g x 1 4 4 9 x  dx  e dx  9 e  e   2 2 1 1  4  x x
Câu 12: Chọn ï A. Tương tự câu 11
Câu 13: Chọn ï A. Câu 14: Chọn ï A. Câu 15: Chọn ï B. Câu 16: Chọn ï B. Câu 17: Chọn ï D. Tương tự câu 1.
Câu 18: Chọn ï B. Câu 19: Chọn ï B. Câu 20: Chọn ï D. Câu 21: Chọn ï A. Câu 22: Chọn ï A. Câu 23: Chọn ï C. Câu 24: Chọn ï C. Câu 25: Chọn ï B. Câu 26: Chọn ï D. Câu 27: Chọn ï D.
68 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 28: Chọn ï B. Câu 29: Chọn ý A.
Biến đổi giả thiết ta cê
 f'x  f xf' x f'x2 f 'x 3 2 x    '           x C f x f x2 f x 3 3 4   f1f '11 4      x 4 x 4x C
ln f x    dx     C 1 3  3 3  12 3 4 f11 5       x 4x 5 D ln f x      ln f 3  4  4 12 3 4
Câu 30: Chọn ï C.
Biến đổi giả thiết ta cê 3  f '  x   2   f 1 2 ln f x f x 4 e dx  dx  e    C  1  3 2 x x  C 2018 2018     1            1  f x ln 1 f i  ln 1 2 2   x  i2  i2  i   2 2  1 2 3  1... 2
2018  1 1.3.2.4.3.5...2017.2019  ln     2.3...20182  2.3...20182   2019! 2017!. 1.2 2019 2018   3.673    fi      ln 3 ln 4 ln 673 ln 1009 2018!2 1 2 .2.2018 2 .1009 i2
Câu 31: Chọn ï B.
Từ giả thiết ta cê 3 f'   x 2 3  dx     2 8x  20  4f x 3 dx  12  4 f  xdx 0 0 0
Áp dụng cëng thức tèch phân từng phần ta cê 3 f
 xdx  xfx 3 3  xf '  x 3 dx  12  xf '  xdx 0 0 0 0 3  f '
  x 2 dx  12  4 12  xf' x dx   0  3   0  3
  f'x2x2 dx  0  f'x  2x  fx 2  x  C 0  
C  5  f x 3 f 3 4 2  x  5  f  xdx  6  0
Câu 32: Chọn ï D.
Ta có f x  f 0  1, x  0;2 do vậy
 f 'x  f xf' x  f'  x 2 2  x          f  x ' 1 ln f x Cx D  2    f  x 2  2 x 5 D  0 C   2 Mặt khác do 
f 0  1,f 2  e      f x 2x 6 2  e  f 1 2  e 6  2  2C  D D    0
Câu 33: Chọn ï C.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 69
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Lấy tèch phân 2 vế træn đoạn 0;1 ta được 1      2 1      2     1    6 4 2     376 f ' x dx 4 6x 1 f x dx 40x 44x 32x 4 dx  0 0 0 105
Áp dụng cëng thức tèch phân từng phần ta được: 1  6x 1fx 1 2 dx  f  xd 3 2x  x 0 0  2x  xf x 1 1   2x xf'x 1 3 3  1    3 2x  xf'xdx 0 0 0
Thay lại đẳng thức træn ta cê 1      2 376 f ' x  dx  4 1  2x  x f ' x dx    0  1 3    0  105 1       2 1      3     44 f ' x dx 4 2x x f ' x dx   0 0 0 105 1   f'x2 3
2x  x 2 dx  0  f'x  2 3 2x  x  f x 4 2  x  x  C 0        1 f 1 1 4 2        13 C 1 f x x x 1 f x dx  0 15
Câu 34: Chọn ï D. Câu 35: Chọn ï B. Câu 36: Chọn ï A.
Xem lại phần tèch phân cê cận thay đổi Câu 37: Chọn ï B. Câu 38: Chọn ï C.
Biến đổi giả thiết tương đương            2 f x f ' x ' f ' x   f  xf' x  1, x  0;1
Lấy tèch phân cận từ 0 đến x ta được x f  xf'x x dx  f
  0f'0xdx  0 0 2 f x 2 f 0 2    f 0f'0 x 2 x   f x 2 2
 x  f 0  2f 0f'0x 2 2 2 1     1 2 2 2           1 2 
         11 f x dx x f 0 2f 0 f ' 0 x dx f 0 f 0 f ' 0    0 0 3 6
Dấu “=” xảy ra chẳng hạn tại   2 f x  x  x  1
Câu 39: Chọn ï B.
Ta có      2018 x         x f ' x f x dx xe dx x 1 e  C f x 2019         x    1 x 1 e C;f 1  1   C  f x  1  2019x  1 x 2019 e 2019 2019 Vậy   1        x 1 f x 1 2019 x 1 e    2019x  1 x2019 2019 e  e  1  0 2019 e e Xåt hàm số       x2019 2019      x2019       x2019 x2019 g x 2019 x 1 e e 1 g ' x 2019 e x 1 e   2019xe  
70 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Do g'x  0 cê đîng 1 nghiệm næn g x  0 cê tối đa 2 nghiệm
Câu 40: Chọn ï B. Từ giả thiết ta cê  
           2 2 2 x f x 2xf x 1 xf ' x f x xf x 1  xf x  1 xfx1' Suy ra 1
dx  dx  x  C  xf x  1     2   xfx1 x  C
Mặt khác          1       1 1 f 1 2 C 0 xf x 1 f x    2 x x x Suy ra 2    2  1 1  1 f x dx     dx  ln 2   2 1 1  x x  2
Câu 41: Chọn ï C. Câu 42: Chọn ï A. Câu 43: Chọn ï C. Câu 44: Chọn ï D. Câu 45: Chọn ï B. Câu 46: Chọn ï B. Câu 47: Chọn ï B. Câu 48: Chọn ï D. Câu 49: Chọn ï D. Câu 50: Chọn ï A.
Tương tự với câu trong đề thi thử Chuyæn Læ Khiết , xem lại phần trước
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 71
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
15. BẤT ĐẲNG THỨC TÌCH PHÂN
Các bài toán bất đẳng thức tèch phân được giới thiệu trong phần này nhất là phần sử dụng
bất đẳng thức Cauchy – Schwarz đa phần chỉ mang tènh tènh tham khảo, khëng næn quá đi
sâu do đây là chương trçnh liæn quan tới toán cao cấp của bậc đại học, chỉ næn học phần 1 và phần 2!
1. PHÂN TÌCH BËNH PHƯƠNG
Với dạng toán này ta cần chî ï tới những kiến thức sau đây:
Với f x ,g x là các hàm liæn tục træn a;ba  b ta có:  b 2n
 fx dx  0. Dấu “=” xảy ra  fx  0 x  a;b a f x  0 x    a;b  b b f  xdx  f
 x dx. Dấu “=” xảy ra   a a f  x  0 x  a;b
 Cëng thức tènh diện tèch hçnh phẳng giới hạn prabol và một đường thẳng:  2 I   2 3 x2 2 ax  bx  c dx   4 x1  36a
Với x ,x là 2 nghiệm của phương trçnh 2 ax  bx  c  0 . 1 2
Ví dụ 1: Cho 2 số thực a,b thỏa mãn a  b,a  b  ab  4 . Tçm giá trị nhỏ nhất của tèch phân b 2 I  x   a  b ab dx a A. 4 3 B. 12 C. 2 3 D. 48 Lời giải
Đây chỉ là bài tập mở đầu áp dụng cëng thức thëi do a,b đã là nghiệm của phương trçnh
bậc 2 trong dấu trị tuyệt đối rồi! Ta có:  I   2 3 b 2 2 x   a  bx  ab dx  a  36 
a  b  4ab3 ab 4 4ab3 ab2 122 2 2 2     48 36 36 36 Chọn ï D.
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1 thỏa mãn f 1  0 và 1   2 1 3     7 1 f ' x dx 7 x f ' x dx   
. Tính tích phân f xdx  . 0 0 4 0 A. 7 B. 7 C. 7 D. 7 5 4 8 10 Lời giải
Thoạt nhçn thç bài toán này cê vẻ khá là rắc rối, nhưng hãy chî ï nếu coi f 'x là ẩn thç ta
thấy bêng dáng của tam thức bậc 2, đến đây ta sẽ giải quyết bài toán như sau:
72 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Biến đổi giả thiết ta được: 1    2 1 3      7 f ' x dx 7 x f ' x dx  0 0 4 2 2 3 1       1 7     3 7x 7 f ' x  x  dx     dx  0 0  2   2  4 2 3 4 1      7   3      7x        7x f ' x x dx 0 f ' x x 0;1 f x     C 0  2  2 8
Mặt khác ta lại cê   1 7       7 f 1 0 C f x dx   . 0 8 10 Chọn ï D. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Câu 1: Cho hàm số f x cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn 0;1 , f 1  f 0  1 và 1 1 f '  x3f x 1 2  2  2 6f '  xfxdx 3   . Tích phân f xdx  bằng 0 0 0 A. 2 21 B. 2 7 C. 2 21  1 D. 2 7  1 9 3 9 3
Câu 2: Cho hàm số f x cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn 0;1 và f 1  f 0  1 thỏa mãn 1 1 2 f '  xfx 1 dx  f '
 x 2f x1dx. Tích phân f   x 3 dx  bằng? 0 0 0 A. 3 B. 5 33 C. 5 33  54 D. 5 33  27 2 18 18 18
Câu 3: Cho hàm số f x cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn 4f 1  f 0 và 1 f  x 1 dx  3 f  x 1 2
dx  2 3x 1f'xf xdx . Tính f0 ? 0 0 0 A. 9  B. 15  C. 3  D. 5  ln 4 ln 4 ln 4 ln 4
Câu 4: Cho hàm số f x cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn 0;2 thỏa mãn 2 2 6 f '  xfx 2 dx  2 f '
 x 2f xdx9. Tích phân 3f xdx  bằng 0 0 0 A. 29 B. 2 C. 2 D. 29 3 3
Câu 5: Cho hàm số f x liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện 1     1 2 2 2  1 f x  2 ln dx  2 f  xlnx1dx   . Tích phân f xdx  bằng 0 0  e  0 A. e ln B. 4 ln C. e ln D. 2 ln 4 e 2 e
Câu 6: Cho hàm số f x cê đạo hàm dương liæn tục træn 0;1 thỏa mãn f 0  1 và 1       1 2 1  1 3 f ' x f x  dx  3   2 f ' 
xfxdx . Tính tích phân f   x dx  0 0  9  0
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 73
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ A. 3 B. 5 C. 5 D. 7 2 4 6 6 Câu 7: Cho hàm số  
f x liæn tục træn đoạn 0; 
đồng thời thỏa mãn điều kiện 2            2 2 2 f
  x2 2fxcos x dx     . Tích phân 2 f  xdxbằng 0   4  2 0 A. 2 B. 0 C. 2 D. 2 2 Câu 8: Cho hàm số  
f x liæn tục træn đoạn 0; 
và thỏa mãn điều kiện 2            2 2 2 f
  x2 2fxsin x dx    . Tính 2 f  xdx. 0   4  2 0   A. 1 B. 0 C. D. 4 2
Chî ï xem lời giải vè dụ 1 để vận dụng!
Ví dụ 3: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 1  f 'x 2 
đồng thời thỏa mãn f 1  e.f 0  e và  
 dx  1 . Mệnh đề nào dưới đây đîng? 0  f x    A.  1  2       f    e B. 1 f    e C. 1 1 f    D. 1 f    2e  2   2   2  2e  2  Lời giải
Đây là một bài toán tương đối khê cê dạng hơi hơi giống với các bài toán ở phần 5! Ta hãy 1 f 'x để ï rằng 1 f 1 dx  ln f x  ln  ln e  1 
. Đến đây ta cê định hướng giải bài toán 0 f x     0 f 0
này bằng phương pháp hệ số bất định như sau.
Giả sử tồn tại một số a thỏa mãn:  f'x 2    f'x 2  1 1  f 'x 2    a dx  0       2a  a dx  0 0  f x  0  f x   f x         f'x 2 1  1  f 'x  2 2     dx   2a  a dx  2a  a 0  f  x  0 f   x  1  f 'x 2 
Mà theo giả thiết ta cê    dx  1       2 2 2a a 1 a 1  0  a  1 0  f x   
Vậy khi đê giả thiết bài toán sẽ được biến đổi tương đương:  f 'x 2  f 'x 2 1 1  f 'x x    dx  1     1 dx  0   1  f x  ke 0  f  x  0  f   x  f  x  
74 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Ta có  
f 1  e.f 0  e nên     x 1 k 1 f x  e  f    e .  2  Chọn ï B. 1
Ví dụ 4: Cho hàm số y  f x liæn tục træn đoạn 0;1, thỏa mãn f  x 2 dx  4  và 0 1 1 1 f  xdx  xf
 xdx  1. Giá trị của tèch phân f  x 3 dx  bằng? 0 0 0 A. 1. B. 8. C. 10. D. 80. Lời giải
Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tèch phân là    2 f x  , xf 
x, fx næn ta sẽ nảy ra ï
tưởng liæn kết với bçnh phương    2 f x  x   . 
Với mỗi số thực ,  ta có: 1 1 1 1 f  x 2  x    dx  f   x 2 dx2 
xfxdx x2 dx 0 0 0 0 2      2 4 2      . 3 1 2 Ta cần tçm  ,  sao cho f  x 2  x    dx  0  hay    2 4 2       0 3 0 2        2 3
6   3  6  12  0. Để tồn tại  thì      2   2 3 6
4 3  6  12  0            2 2 3 12 12 0 3
2  0    2    6. 1 1 Vậy f  x 2  6x  2 dx  0  f  x  6x 2, x  0;1  f  x 3 dx  10.  0 0 Chọn ï C.
Ví dụ 5: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1, thỏa mãn f 1  0 đồng thời 1 1 1  1 f '  x 2 dx  7  và 2 x f
 xdx  . Tích phân fxdx  bằng? 3 0 0 0 A. 1. B. 7 C. 7 D. 4 5 4
Đề minh họa THPT Quốc Gia 2018 Lời giải
Đây là một câu từng xuất hiện trong đề minh họa THPT Quốc Gia 2018 của bộ và sau đê
đã trở thành một trào lưu trong các đề thi thử và thậm chè đến đề khảo thè chất lượng của
bộ cũng đã từng xuất hiện bài toán này, tuy nhiæn các cách giải træn mạng đa phần là sử
dụng đến bất đẳng thức Cauchy – Schwarz tuy nhiæn đây cê lẽ khëng phải ï tưởng ra đề
của Bộ bởi đây là kiến thức bậc Đại học. Dưới đây là sẽ tiếp cận bài toán bằng kiến thức của bậc THPT.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 75
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Ý tưởng của bài toán vẫn là đưa về bçnh phương tuy nhiæn hàm dưới dấu tèch phân là    2 2 f ' x  , x f 
x khëng cê mối liæn hệ với nhau. Vậy làm sao để làm xuất hiện bçnh
phương đây? Cê f 'x đang ở dạng bçnh phương thç ta sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng tèch 1 1 1 3 1
phân từng phần cho 2   1 x 1 x f x dx   ta được: 2 x f  xdx  fx 3  x f '  xdx. 3 3 3 0 0 0 0 1
Kết hợp với giả thiết f 1  0 , ta suy ra 3 x f '  xdx  1  . 0 1   f '  x 2 dx  7 
Bây giờ giả thiết được đưa về 0 
. Hàm dưới dấu tèch phân bây giờ là 1  3 x f '  xdx  1  0    2 3 f ' x  , x f ' 
x næn ta sẽ liæn kết với bçnh phương    2 3 f ' x  x   .  
Với mỗi số thực  ta có : 1 1 1 1 2     2           2        1 f ' x x dx f ' x dx 2
x f ' x dx   x dx  7  2     72 3 3 2 6 . 7 7 0 0 0 0 1 Ta cần tçm  sao cho  1 f '  x 2 3  x   dx  0  
hay  72  0    7. 7 0 1 Vậy f'  x 2 3
 7x  dx  0  f'x 3  7  x , x     0;1 fx 7 4   x  C 4 0 1 7      7 4 7        7 C f x x f x dx  . 4 4 4 5 0 Chọn ï B.
Ví dụ 6: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1, thỏa mãn đồng thời 1 3 1 f x 3 1 f 1  0 , f '
 x 2 dx  2ln2  và dx  2 ln 2  .  Tích phân f xdx  bằng? 2 x  1 2 0  2 0 0 A. 1  ln 2    . B. 1 2ln 2 . C. 3 2ln 2 . D. 3 4ln 2 . 2 2 2 2 Lời giải
Thoạt nhçn thç ta sẽ thấy bài này tương tự bài trước vẫn phải làm xuất hiện     2 f ' x , f ' x ,
cíng biến đổi để xem cê như bài trước khëng nhå! 1 f x
Như các bài trước, ta biến đổi 3   
để làm xuất hiện f 'x bằng cách x 1 dx 2ln2 2 2 0 u  f x d  u  f 'xdx
tèch phân từng phần. Đặt    1   1 . dv      dx 2 v    x 1  x  1
76 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Khi đê ta được: f x f x 1 1 1 f 'x
f 1 f 0 1 f 'x            x  1 dx dx dx 2 x  1 x  1 2 1 x  1 0 0 0 0
Tới đây ta bị vướng f 0 vç giả thiết khëng cho. Do đê ta sẽ thæm bớt hằng số như sau: u  f x d  u  f 'xdx    1   1 với k là hằng số. dv      dx 2 v      k x 1  x  1
Khi đê kết hợp với f 1  0 ta được: f x 1 1 1  1   1  dx    k f x        k f' x dx 2     x  1  x  1   x  1  0   0 0 1       1    1 k f 0     k f'xdx  x  1  0
Ta chọn k sao cho 1  k  0  k  1 1 3 f x 1 1 Khi đê: x x 3 2 ln 2   dx   f ' x dx  f ' x dx   2 ln 2.    2     2 x  1 x  1 x  1 2 0   0 0 2
Hàm dưới dấu tèch phân là   x     2 x f ' x  , f ' 
x næn ta cần cê f'x . x  1  x 1  
Ta tçm được       x     x 1 f ' x f x  dx  x  ln x  1  C  x  1 x  1 1   1 2 ln 2
C  ln 2  1  f x  x  ln x  1  ln 2  1. Vậy f xdx   2 0 Chọn ï B.
2. CÂN BẰNG HỆ SỐ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM
Trong phần này ta sẽ tiếp cận một số bài toán khê hơn phải sử dụng đến bất đẳng thức
AM – GM và các kỹ thuật cân bằng hệ số trong bất đẳng thức. Đầu tiæn nhắc lại bất đẳng
thức AM – GM. Cho 2 số thực dương a,b thç ta luën cê a  b  2 ab . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b
Ví dụ 1: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và cê đạo hàm f'x liên tục trên 0;1, 1 1 thỏa mãn dx f 1  ef 0 và 2  f ' x  dx  2.  
Mệnh đề nào sau đây đîng ? 2 f x   0     0  2 A.   2e 2 e 2 2 e  2 f 1  B. f 1    C.   2e f 1  D. f 1    e  1 e  1 2 e  1 e  1 Lời giải
Lướt nhçn qua bài toán này thç khá là “hãi” nhưng tuy nhiæn hai tèch phân đang ở cùng
cận nên ta sẽ đưa nê vào cíng một tích phân và sử dụng bất đẳng thức AM – GM như sau:
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 77
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1 1 1 1   AMGM dx 2 1 2 f ' x  f' x  dx       f' x    dx  2 dx  2 f x   2 f x f x 0 0 0         0  
 2 ln f x 1  2ln f 1  2ln f 0 f 1  2 ln  2 ln e  2. 0 f 0
Mặt khác theo giả thiết ta lại có: 1 1 dx 2 1
 f' x  dx  2  f' x   f x f' x  1   2 f x   f x 0       0       2  f  xf'x f x dx  xdx   x  C  f  x  2x  2C. 2 Ta có: 1
f 1  ef 0 nên ta có 2
2  2C  e 2C  2  2C  e 2C  C  2 e  1 2    2      2 2e f x 2x f 1  2   . 2 2 2 e  1 e  1 e  1 Chọn ý C.
Ví dụ 2: Cho hàm số f x  0 và cê đạo hàm f'x  0 liên tục trên 0;1, thỏa mãn 1 1 1 f 0  1 và f  x 4f'  x 3 3    dx  3 f' 
 x 2f xdx. Tính I  fx   dx 0 0 0 2
A. I  2 e 1. B.   2 I 2 e  1.  C. e  1 e 1 I  . D. I  . 2 2 Lời giải
Bài toán này là một bài toán khê nhưng tuy nhiæn nếu biết về bất đẳng thức AM – GM thì
nê trở læn khá là đơn giản
Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương ta cê 3 3 f x  4 f '  x 3   4 f '   x 3 f x f x 3         2 2 3 3  3 4 f '
 x 3 f x f x  . .  3f '  x 2 3 f x 2 2 1 1 f  x 4f'  x 3 3     dx  3 f'   x 2f xdx.   0 0
Mặt khác theo giả thiết ta có: 1 1 3 3 
      3    
         3 f x f x 3 2            1 f x 4 f ' x dx 3 f ' x f x dx 4 f ' x f ' x  f x   2 2 2 0 0 f 'x 1 f 'x 1 xC 1 1 2
        dx  dxln f 
x  x  C  fx  e . f x 2 f x 2 2 1 1
Ta có: f 0  1  C  0  f x x 2  e  f
 xdx  2 e 1. 0
Nhận xét. Đây là hướng tiếp cận theo bất đẳng thức AM – GM tuy nhiên ta còn một
78 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
cách khác cê thể sẽ nhanh hơn tẹo. Để ï nếu ta coi a,b lần lượt là f x,f'x thç ta sẽ
cê được đa thức thuần nhất bậc 3. Cụ thể ta cê:           2 3 3 2 f a, b a 4b 3a b a b a 2b  0
Khi đê giả thiết tương đương: 1 1 1 f  x 4f'  x 3    dx  3 f ' 
 xf xdx  fxf'xfx2f'x2 3 2 dx  0   0 0 0
Mặt khác f x  0, f'x  0 nên dấu “=” xảy ra khi f x  2f'x .
Đến đây bài toán lại trở næn bçnh thường! Chọn ý A.
Ví dụ 3: Cho hàm số f x nhận giá trị dương træn 0;1, cê đạo hàm dương và tục trên 1  xf 'x   0;1, thỏa mãn dx  1  và f 0  1,   2
f 1  e . Tènh giá trị của 1 f  . f x  2  0   A.  1        f    1. B. 1 f    4. C. 1 f    e. D. 1 f    e.  2   2   2   2  Lời giải
Cách làm chung của các bài toán thế này là từ giả nếu bài toán cho là lớn hơn hoặc bằng
thç ta phải chỉ ra dấu nhỏ hơn hoặc bằng và ngược lại. Bài toán này cũng như thế, ta cần 1 xf 'x chỉ ra được dx  1 
bằng các đánh giá cơ bản. f x 0   xf 'x f 'x
Hàm dưới dấu tèch phân là:    x.   , x  0;1. f x f x
Điều này khiến ta nảy ra ï tưởng đánh giá: f 'x b.f 'x x.    ax  , f x f x
Muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau: f 'x xf 'x    mx  2 m.
với m  0 và x0;1. f x f x 1  f 'x 1  xf 'x
Do đê ta cần tçm tham số m  0 sao cho:    mxdx  2 m. dx  hay: f x f x 0     0   1 2   1 x         m m ln f x m 2 m.1 ln f 1 ln f 0   2 m  2 0   2 m 0 2 2 2 0
Để dấu ''  '' xảy ra thç ta cần cê m 2  0   2 m  m  4. 2
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 79
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Với m  4 thì ta có: 1  f 'x 1  xf 'x 1 xf 'x   4xdx  4  4. dx  dx  1   f x f x f x 0     0   0   f 'x f 'x Dấu “=” xảy ra khi     4x 
dx  4xdx  ln f x  2x  C  f x  e .   f x f x     2 2 2x C f 0  1 Theo giả thiết     C  0  f x 2 2x 1      f  1 e f e. 2  e  2 
Cách 2. Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:  xf 'x 2   f 'x 2 1 1 1 1  f ' x 1 f 1 2     1   dx   x. dx  xdx. dx  .ln  1.      f x   f x  f x 2 f 0 0   0   0 0         f 'x 1 xf 'x
Vậy đẳng thức xảy ra næn ta cê   kx, thay vào dx  1  ta được k  4. f x f x 0   f 'x
Suy ra    4x. Đến đây lời giải giống như trên. f x
P/s: Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta sẽ tçm hiểu ở phần sau! Chọn ý C. 1
Ví dụ 4: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1, thỏa mãn f
 xf'x 2 dx  1  0 và  
f 0  1, f 1  3. Tènh giá trị của 1 f  2    A.  1        f    2. B. 1 f    3. C. 1 f    e. D. 1 f    e.  2   2   2   2  Lời giải
Nhận thấy bài này dấu “  ” næn cần phải đánh giá theo chiều ngược lại, chî ï tới bài toán
liæn quan tới f'x ,f x, nếu ta đánh giá được      2 f x f ' x  
 về f x f 'x thì bài toán coi
như được giải quyết. Muốn vậy ta phải đánh giá theo AM – GM như sau:      2 f x f ' x   m  2 m.f 
xf'x với m  0.
Do đê ta cần tçm tham số m  0 sao cho: 1  1 f  xf 'x 2   m 
dx2 m fxf'xdx 0 0 f x 1 2 Hay 1  m  2 m .  1  m  2 m 2 0
Để dấu ''  '' xảy ra thç ta cần cê 1  m  2 m  m  1. Khi đê ta được:
80 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1 1 1 f
 xf'x 2 dx1  f 
 xf'x 2 dx 1dx   0 0 0 1   1 f  x f 'x 2   1 
dx2fxf'xdx2 0 0   2 f xf 'x 1
Dấu “=” xảy ra khi f
 xf 'x  1         . f x f ' x  1  1 1 f x  1
Nếu f x f 'x  1   f xf 'x   1 2 dx   dx    x  1  1    (vô lý) 0 2 0 0 0 2 f x
 Nếu f xf'x  1  f  xf'x   dx  dx   x  C  f  x  2x 2C. 2 f 0   1 Theo giả thiết 1     C   f x 1       f  1 2x 1 f 2.  3 2  2  1 1 2 Cách 2. Ta có f  xf'x f x 1 2 dx   f 1 2
 f 0  1. 2 2   0 0
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: 2 1 1 1   1   1.f
 xf'xdx  1 dx. f   xf'x 2 2 2  dx  1.1  1.   0  0 0 1
Vậy đẳng thức xảy ra næn ta cê f 'xf x  k, thay vào f
 xf'xdx  1 ta được 0
k  1. Suy ra f 'x f x  1.Đến đây làm tiếp như træn!
P/s: Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta sẽ tçm hiểu ở phần sau! Chọn ï A.
Ví dụ 5: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và cê đạo hàm f'x liên tục trên 1;2, f '  x 2 2  thỏa mãn  dx  24 
và f 1  1, f 2  16. Tènh giá trị của f  2 . xf x 1  
A. f  2  1.
B. f  2  2.
C. f  2  2.
D. f  2  4. Lời giải
Chắc rằng qua 4 vè dụ ở træn ta đã phần nào hçnh dung và nắm được ï tưởng và phương
pháp làm dạng này rồi, bài cuối cíng sẽ khëng đi phân tèch mà đi luën vào lời giải!
   2 1    2 f ' x f ' x 
Hàm dưới dấu tèch phân là 
   .   . Điều này làm ta liæn tưởng đến đạo hàm xf x x f x f 'x đîng
, muốn vậy ta phải đánh giá theo AM – GM như sau: f x
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 81
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ    2 f ' x    f 'x    mx  2 m
với m  0 và x1;2. xf x f x  f'x 2 2  2    f 'x
Do đê ta cần tçm tham số m  0 sao cho   mxdx  2 m dx   hay:  xf x  1   1 f x   2m     2 2m          2m 24 4 m f x 24 4 m f 2 f 1   24   12 m  m  16. 3   1 3 3
Để dấu ''  '' xảy ra thç ta cần cê 2m 24   12 m  m  16. 3    2 f ' x    f 'x
Với m  16 thç đẳng thức xảy ra næn    16x   2x xf x 2 f x f 'x  dx  2xdx  f  
x  x C  fx  x C2 2 2 2 f x f1  1 Theo giả thiết   C  0  f x 4  x  f  2      4. f 2  16 2 f 'x 2 f 'x 2 Cách 2. Ta có dx  2. dx  2 f  
x  2  f2  f1  6. f x 2 f x 1   1 1
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có  f'x 2   f 'x 2  f '  x 2 2 2 1 2 2 2  2  x 6   dx   x. dx  xdx. dx  .24  36      f x   xf x  xf x 2 1   1   1 1   1     f 'x f 'x 2 f 'x
Vậy đẳng thức xảy ra næn ta cê  k x   kx thay vào dx  6  xf x f x 1 f x f 'x ta được k  4. Suy ra
 4x. Đến đây làm tiếp như træn! f x Chọn ï D.
3. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN
Nhçn chung thç các bài toán này chưa gặp thç sẽ thấy nê lạ và rất khê, tuy nhiæn nếu đã
gặp và làm quen rồi thç bài toán này trở næn tương đối dễ, cê thể dễ hơn 2 dạng toán træn !
 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân
Cho f x,g x :a,b  là các hàm khả tèch træn đoạn a;b khi đê ta luën có : f xdx. g xdx     fxgxdx2 b b b 2 2 a a a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f x  kg x với số thực k  0 . Chứng minh Với mọi b
t  xåt bçnh phương ta luën cê  t.fxgx2 dx  0 a
82 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Điều này tương đương với :
h t   bf xdx t 2 f x .g x dx t  g x dx  0 t      a   b     a  b 2 2 2   a + Trường hợp 1 b : 2 f
 xdx  0  fx  0 bất đẳng thức đã cho là đẳng thức. a + Trường hợp 2 b : 2 f
 xdx  0 , đây là tam thức bậc 2 hệ số a dương và luën khëng âm, a
tức biệt số delta luën khëng dương. Tương đương : '   f
 x.gxdx  f x dx. g x dx  0   a 2 b b   b 2 2   a a   f
 x.gxdx  f x dx. g x dx   a 2 b b   b 2 2   a a
Đến đây ta cê điều phải chứng minh !
 Bất đẳng thức Holder cho tích phân
Cho f x,g x :a,b  là các hàm khả tèch træn đoạn a;b khi đê ta luën cê : 1 1 b fxgxdx    b f  xp dxp  b g  xq dxq a a a
Trong đê p,q là các số thực dương thỏa mãn 1 1   1 . q p
Ví dụ 1: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1, thỏa mãn f 1  0 đồng thời 1 1 1  1 f '  x 2 dx  7  và 2 x f
 xdx  . Tích phân fxdx  bằng? 3 0 0 0 A. 1. B. 7 C. 7 D. 4 5 4
Đề minh họa THPT Quốc Gia 2018 Lời giải
Bài toán này ta đã được gặp ở phần phân tèch bçnh phương rồi, giờ ta sẽ tçm hiểu một cách
tiếp cận khác bằng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Chî ï là bất đẳng thức Cauchy -
Schwarz cho tích phân thç luën phải cê một lượng bçnh phương cho næn ta khëng được
biến đổi giả thiết   2 f ' x
, tuy duy vẫn như phần trước, ta phải làm xuất hiện f 'x ở giả thiết thứ 2. 1
Tèch phân từng phần cho 2   1 x f x dx   ta được: 3 0 1 1 3 1 1 2 x f  x x dx  f x 1 3  x f '  x 3 dx  x f '  xdx  1  . 3 3 0 0 0 0
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có :  3xf' 
xdx  x dx. f' x  dx  1  1   x f' x dx  1      0 2 1 1 1 6   2 1 3   0 0 0
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 83
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Vậy dấu "  " xảy ra khi   3
f ' x  kx . Thế ngược lại ta tçm được k  7 Vậy f'x 3  7  x , x  0;1  f x 7 4   x  C 4 1 7      7 4 7        7 C f x x f x dx  . 4 4 4 5 0 Chọn ï B. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Câu 1: Cho hàm số 1 16
f x liæn tục træn đoạn 1;1 thỏa mãn f  1   2  0, x f xdx   và 1  3 1   1
f 'x2 dx  112 , tính tích phân I  f  xdx. 1  1  A. 168 B. 35 C. 35 D. 84 5 2 4 5
Câu 2: Cho hàm f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1 thỏa mãn điều kiện  2 1  2 1      x   e 1 1 f ' x dx x 1 e f x dx   
và f 1  0 . Tính tích phân f xdx  . 0 0 4 0 2 A. e  1 B. e C. e  2 D. e 2 4 2
Câu 3: Cho hàm f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1 thỏa mãn f 0  0,f 1  1 và 1 1 f x      2 2 1 f ' x  x  1 dx   . Tích phân dx  bằng 0 1  ln 2 0 2 x  1 A. 1 2 ln 1 2  1   2 2  2 B. ln 1 2  2 C. 1 ln1 2 D.  1
  2 ln1 2  2
Câu 4: Cho hàm f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1 thỏa mãn f 1  1 và đồng thời 1   4 1 49 1 x.f x dx   và f'  2  x 2  dx   . Tính f   x dx  0 15 0 45 0 A. 2 B. 1 C. 4 D. 1 9 6 63 1 Câu 5: Cho hàm số 9
f x liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  1 , f'x2 dx   và 5 0 1 2 1 f x dx   . Tích phân f xdx  bằng 0   5 0 A. 1 B. 1 C. 3 D. 3 4 5 4 5 2 Câu 6: Cho hàm 1 2 1 e  1
f xliæn tục træn 0;1 thỏa mãn f'x x dx  e f xdx    và 0 0 4 1
ef 1  f 0 . Tính tích phân 2 f xdx  . 0
84 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN A. e  2 B. e  1 C. 2e  3 D. 2e  1
Câu 7: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 và f 0  f 1  0 . Biết rằng 1   1  2 1 1 f x dx  , f 'xcos x  dx    . Tích phân f xdx  bằng 0 0 2 2 0 A. 3 B. 2 C.  D. 1 2   Câu 8: Cho hàm số 1
f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 . Biết 2 f  xdx  3 và 0 1  x  f 'xsin x  dx    . Tích phân 1f   dx bằng 0 0  2  A. 3 B. 2 C. 6  D. 1 2    2 Câu 9: Cho hàm số 1 
f x liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  0 , f '   x 2 dx   , 0 8 1  x      1 1 cos .f x dx    . Tích phân f xdx  bằng 0  2  2 0 A.  B.  C. 1 D. 2 2  
Câu 10: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1, và thỏa mãn f 1  1, 1  1 1 1 f '   x 2 dx  9  và 3 x f xdx   . Tích phân f xdx  bằng 0 0 2 0 A. 5 B. 2 C. 7 D. 6 2 3 4 5 Câu 11: Cho hàm số   
f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn thỏa mãn f    0 ,  2           f '   x 2 dx  và  cosx.f  xdx . Tính f 2018 4 4 2 2 A. 1 B. 0 C. 1 D. 1 2
Câu 12: Cho hàm số f x cê đạo liæn tục træn đoạn 1;2 và thỏa mãn điều kiện 2 1 2 2
f 2  0 x  12 f xdx    và f'   x 2 dx  7  . Tích phân f xdx  bằng 1 3 1 1 A. 7 B. 7  C. 7  D. 7 5 5 20 20 Câu 13: Cho hàm số 1 1 1
f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn 2 x.f x 2 dx  x .f xdx    . Tích 0 0 16 phân 1f xdx  bằng? 0 A. 1 B. 1 C. 1 D. 2 5 4 3 5
Chî ï xem lời giải vè dụ 1 để vận dụng!
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 85
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  
Ví dụ 2: Cho hàm số f x liæn tục træn 0;, thỏa mãn f  xdx  cosxf  xdx  1. Giá 0 0 
trị nhỏ nhất của tèch phân 2 f  xdx bằng? 0 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 3 .    2 Lời giải
Nhçn cách phát biểu của bài toán tương đối giống với bài træn, nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có :      1   cosx.f 
xdx  cos xdx. f x dx  . f x dx.    0 2 2 2   2   2 0 0 0  Suy ra 2    2
f x dx  đến đây sẽ cê nhiều bạn khoanh A.  0 
Chî ï rằng dấu ''  '' xảy ra khi f x  k cosx thay vào f
 xdx  1 ta được: 0   1 f
 xdx k cosxdx k.sinx      0  0 0 0
Điều này là vë lï! Vậy lời giải đîng của ta sẽ cần phải sử dụng tới phương pháp biến thiæn   a  a cos xf  xdx   a, b hằng số. Ta cê  f  xdx  cosxf  x 0 dx  1   với   2 2 a  b   0 0 0 b  bf  xdx  0
Theo Cauchy – Schwarz ta có :    
a  b   acosx bfxdx  acosxb dx f x dx   0 2 2  2 2   0 0   2  a, b Lại cê  2 a b  2 1 a cos x b dx   2 2 a  2b . Suy ra 2 f  x   dx  với  2  2 2 a  2b 2 2 a  b   0 0  0     Do đê    2 a b2 2  3 f x dx  .max    2 2  a  2b  0   Chọn ï B. Nhận xét:
 Ta nhân thêm a, b vào giả thiết được gọi là phương pháp biến thiæn hằng số. a  b2
 Cách tçm giá trị lớn nhất của P  ta làm như sau: 2 2 a  2b
+ Nếu b  0  P  1 (chènh là đáp án sai mà mçnh đã làm ở træn)
86 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2  a  a    a  b2   2 1 2 + Nếu  b  b t  2t  1  a  b  0  P     t  2 2 2 2 a 2b    a  t  2  b     2  b 
Tới đây ta đạo hàm hoặc díng MODE 7 dé tçm. Kết quả thu được GTLN của P bằng 3 2 khi a
t  2   2  a  2b. b a  2b
Vậy dấu ''  '' để bài toán xảy ra khi  f
 x  b2 cos x  1 
Thay ngược lại điều kiện, ta được:     1
      2 cosx  1 b 2 cos x 1 dx 1 b f x    0   Lúc này   2    2 cos x 1  3 f x dx  dx        0 0
Cách khác. Đưa về bënh phương
Hàm dưới dấu tèch phân là 2
f x ,f x ,cos x.f x næn ta liến kết với       2 f x cos x
Với mỗi số thực ,  ta có:     
f x   cos x 2 dx  f xdx  2 cosx f xdx  cosx      2 2 dx 0 0 0 0   2
 f xdx  2  2 2      2 0 Ta cần tçm 
,  sao cho   2 2 2
    đạt giá trị nhỏ nhất. Ta cê: 2 2 2     2 2  2   1  3 3 2               2 2              2  Vậy với 2 1     2 1  3 ;   thì ta có: f  x 2  cos x  dx  f  xdx         0 0   2 Suy ra  2         2 1  3 3 f x dx f x  cos x  dx   .  
Dấu ''  '' xảy ra khi   2 cosx 1 f x        0 0 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu 1: Cho hàm số 1 1
f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn f  xdx  x.f  xdx  1 và 0 0 1  1 f  3  x 2  dx  4 
. Giá trị của tèch phân f x dx  là 0 0 A. 10 B. 1 C. 80 D. 8 Câu 2: Cho hàm số 1 1
f x liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn f  x x dx  e f  xdx  1 . Gọi 0 0
m là giá trị nhỏ nhất của tèch phân 1f x2 dx 
. Mệnh đề nào dưới đây đîng? 0
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 87
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
A. 0  m  1
B. 1  m  2
C. 2  m  3
D. 3  m  4 Câu 3: Cho hàm số  
f x liæn tục træn đoạn 0; thỏa mãn f  xdx  sinxf  xdx  1. 0 0
Giá trị nhỏ nhất của tèch phân  2 f  xdx bằng? 0 A. 3 B. 3  8 C. 3  4 D. 3  2   8 2   2 2 Câu 4: Cho hàm số 1 1
f x liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn f  xdx  xf  xdx  1. Giá 0 0
trị nhỏ nhất của tèch phân 1 2 f xdx  bằng? 0 A. 2 B. 4 C. 3 D. 8 3 3 3 Câu 5: Cho hàm số e e
f x liæn tục træn đoạn 1;e thỏa mãn f  xdx  lnx.f  xdx  1 . 1 1
Giá trị nhỏ nhất của tèch phân e 2 f xdx  bằng? 1 A. 2e  5 B. 2e  3 C. 2e  3 D. 2e  5 2 e  3e  1 e  2 2 e  3e  1 e  2   Câu 6: Cho hàm số   f x liæn tục træn 0;  thỏa mãn 4 f  x 4 dx  tan xf  xdx  1 . Giá 4    0 0 
trị nhỏ nhất của tèch phân 2 4 f  xdx bằng? 0 4ln 2e 4ln 2  16ln 2e 16ln 2  A. B. 4 C. D. 16 2 2   4  4ln 2 2 2   4  4ln 2 2 2   4  4ln 2 2 2   4  4ln 2 Câu 7: Cho hàm số 1 1
f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn f  x 2018 dx  x .f  xdx  1 . Giá trị 0 0
nhỏ nhất của tèch phân 1 f   x 2 dx  là? 0 A. 4036 B. 4038 C. 4034 D. 4032 Câu 8: Cho hàm số 1 1
f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn x.f  xdx  f  x xdx  1 và 0 0 1  1 f   x 2 dx  5 
. Giá trị của tèch phân f xdx  bằng 0 0 A. 5 B. 5 C. 1 D. 1 6 7 18 21 Câu 9: Cho hàm số 
f x cê đạo hàm liæn tục træn 0; thỏa mãn f 'xsin xdx  1   và 0     2 2  f x dx  . Tính tích phân x.f  xdx 0  0 A. 4   B.  C. 2  D.    2
Chî ï xem lời giải vè dụ minh họa để vận dụng! 2
Ví dụ 3: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm liæn tục træn 1;2, thỏa 3 x f
 xdx  31 Giá trị 1
88 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2
nhỏ nhất của tèch phân 4 f xdx  bằng? 1 A. 961. B. 3875. C. 148955. D. 923521. Lời giải
Vẫn là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz nhưng yæu cầu của bài toán f x bậc 4 và giả thiết 2 2
chỉ cê 1, vç thế ï tưởng của ta là đánh giá trực tiếp yæu cầu 4 f xdx  qua 3 x f  xdx  31. 1 1
Thế sử dụng Cauchy – Schwarz như thế nào? Rất đơn giản đê là sử dụng liæn tiếp bất
đẳng thức Cauchy – Schwarz!
Ta cê áp dụng hai lần liæn tiếp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được:   31   2 4 2 2 2 3 2 2 x f  xdx  x .xf x dx  x dx x f x dx  x dx f x dx        1   2   1   21   2   1   2 4 3 2 4 2 2 4 1  4    1 4 Suy ra 2 4   31 f x dx     . x dx   3875 3 1 2 4 1 Dấu 2
''  '' xảy ra khi f x  kx nên 4
k x dx  31  k  5  f  x 2  5x 1 Chọn ï B.
Ví dụ 4: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;2, thỏa mãn f 2  1, 2 2 2 2   8 32 x f x dx   và f'
 x 4 dx  Giá trị của tèch phân fxdx  bằng? 15  5 0 0 0 A. 3  . B. 2  . C. 7  . D. 7 . 2 3 3 3 Lời giải 2
Vẫn như bài træn ta phải làm xuất hiện   4 8 f ' x . Tèch phân từng phần 2 x f xdx   kết 15 0 2 hợp với 32 f 2  1, ta được 3 x fxdx   . 5 0
Áp dụng Cauchy – Schwarz 2 lần ta được 4  32    x f  xdx4  x .xf  xdx4  x dx  2 x f'   x   dx  2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 0 0 0 0  5    x dx  2 x f'   x 2 dx  2  x dx  2 2 2 2  2 2 x dx. f '    x 4 4 2 4 4  dx  0 0 0 0 0     4 3 2 2       4 4 1048576  32   x dx f ' x  dx      . 0 0 625  5  2 Dấu 32 ''  '' xảy ra khi   2
xf ' x  kx  f 'x  kx thay vào f '  x 4 dx   ta tçm được k  1 5 0
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 89
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 2
 f'x  x  f x x f21  xdx   C C  1  .  2 2 2 Vậy   x       2 f x 1 f x dx   . 2 3 0 Chọn ï B.
Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:    4 4 4 4 3
f ' x   x  x  x  4x f '  x 2 2 2 Do vậy f'  x 4 4 3  dx  3 x dx  4 x f  
 xdx. Mà giá trị của hai vế bằng nhau, cê nghĩa là 0 0 0
dấu ''  '' xảy ra næn f'x  x . Đến đây là tiếp như træn!
Ví dụ 5: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện   3 1 5 1 x 1 1 f 1  ; f xdx   và  x1 1
f'x2dx   . Tính 2f xdx  ? 2 0 6 0 x  2 3 0 A. 7 B. 8 C. 53 D. 203 3 15 60 60 Lời giải
Một bài toán khá khê, ta thấy rằng cê một lượng bçnh phương trong căn nhưng tuy nhiæn
nếu để nguyæn thç khëng thể nào áp dụng Cauchy – Schwarz được, do đê sẽ nảy ra ï
tưởng sử dụng bất đẳng thức AM – GM để phá căn. Nhưng ta khëng thể áp dụng luën
được do x  1  0 bởi bất đẳng thức AM – GM áp dụng cho 2 số dương, do đê phải đổi
chiều lại mới sử dụng được. Trước tiæn phải biến đổi giả thiết đầu tiæn trước đã.
Sử dụng tèch phân từng phần ta cê: 1   5     1    1    2 f x dx f 1 x.f ' x dx x.f ' x dx     0 0 0 6 3
Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta có:    x 
  2    2 x 2 1 x 1 f ' x 1 x  1  f'x2 x  2 x  2
Tèch phân hai vế træn đoạn 0;1 ta có: 1 2 4 x      2 1 x     2 2 f ' x dx f ' x dx  0 0 3 3 x  2 2  x 3
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:  2    2 1  1 4        x    1       1 x x.f ' x dx x 2 x f ' x dx x 2 x dx. f'x2 dx 0  0  0 0 9 2  x 2  x   1 x 2     2 2 1 x 53 f ' x
dx   f 'x  2  x  f x 2  2x   f xdx   . 0 2  x 3 0 2 60 Chọn ï C.
Ví dụ 6: Cho hàm số 1
f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn xf
 xdx  0 và max fx  6 . 0 0;1
90 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Giá trị lớn nhất của tèch phân 1 2 x f xdx  là? 0 A. 2 B. 2  2 C. 3 D. 1  2 5 Lời giải
Biến đổi giả thiết ta cê 1 x f  x 1 dx  x f  x 1 dx  axf  x 1 2 2 dx    2 x  axdx 0 0 0 0 1  x  ax f  x 1 dx  x  ax max f  x 1 2 2 2 dx  6 x  ax dx  0 0 0;1 0 Do đê 1x f  x 1 1 2 2 2 dx  6min x  ax dx  6min x  ax dx  2  2   . 0 a 0 0;  1 0 Dấu “=” xảy ra tại 2 a  2 Chọn ï B. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu 1: Cho hàm số 1
f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn xf
 xdx  0 và max fx  6 . Giá 0 0;1
trị lớn nhất của tèch phân 1 3 x f xdx  là? 0 A. 3 B. 2 C. 3 D. 3 2 3 5 4 Câu 2: Cho hàm số 1
f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn 2 x f 
xdx  0 và max fx  6 . Giá 0 0;1
trị lớn nhất của tèch phân 1 3 x f xdx  là? 0  3 3 2  4  3 A. 1 2  4 D. 1 8 B. C. 4 16 24 Câu 3: Cho hàm số 1
f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn xf
 xdx  0 và max fx  6 . Giá 0 0;1
trị lớn nhất của tèch phân 1 4 x f xdx  là? 0 34  2  A. 2  B. C. 4 2 D. 2 4 10 20 24 Tóm lại:
 Đây là một vấn đề cê thể gọi là khê, nhưng tuy nhiæn nếu tçm hiểu kỹ thç ta cê
thể thấy nê cũng khá đơn giản, mấu chốt vẫn luën là các đại lượng bçnh
phương, các đại lượng khác đều phải biến đổi để đưa về đại lượng này.
 Kinh nghiệm giải nhanh: Các bài toán ở đây dấu “=” đều xảy ra tại
f x  k.g x , vè dụ như bài toán vè dụ 1,   3
f ' x  kx , vậy trong khi thi trắc
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 91
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
nghiệm nếu biến đổi theo đîng mẫu của bất đẳng thức này rồi thç ta cê thể dự
đoán được mối liæn hệ và thế ngược lại tçm hằng số k, khëng phải mất cëng sử
dụng bất đẳng thức để chứng minh nê nữa, sẽ tiết kiệm được thời gian làm bài! LUYỆN TẬP
Câu 1: Với các số thực a0;1. Tçm giá trị nhỏ nhất của 1 2 S  x  ax dx  0 A. 2  2      m  B. 1 2 m  C. 1 2 m  D. 2 2 m  6 3 6 3 Chọn ï A.
Áp dụng cëng thức tènh diện tèch hçnh phẳng ta dễ dàng tçm được 2  2 S  . 6
Câu 2: Kè hiệu A là tập các hàm số liæn tục træn đoạn 0;1 . Tìm I  max x f x dx  x.f x dx   f x A   1   1 2013 2   0 0    A. 1 B. 503 C. 2012 D. 1 2014 2014 2013 16104 : Chọn ý A. 2 2012   Ta có 1    1     1      1 2013 2 x x 1 4025 1 x f x dx x.f x dx xf x   dx  x dx   0 0 0   0 2 4 4.4026  
Câu 3: Tçm giá trị nhỏ nhất của tèch phân b 2 I  x  
2 mx  2 dxa  b trong đê a,b là a
nghiệm của phương trçnh 2
x  2  mx  2  0 A. 128 B. 2 2 C. 8 2 D. 8 9 3 Chọn ï C.
Áp dụng cëng thức tènh diện tèch hçnh phẳng ta dễ dàng tçm được 8 2 I  3
Câu 4: Với các số thực a0;1. Tçm giá trị nhỏ nhất của tèch phân 1 3 I  x  ax dx  . 0 A. 2  2 B. 1 C. 1 D. 2  2 6 8 4 8 Chọn ï B.
Phá trị tuyệt đối ta cê 1 a 1 3 3 3 M  x  ax dx  x  ax dx  x  ax dx    0 0 a
          2 a 1 3 3 1  1  1 1 ax x dx x ax dx  a      0 a 2  2  8 8
Câu 5: Cho m là tham số thực m 1;3. Gọi a,b lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tèch phân 2m 3 2 2 3 S  x  4mx  5m x  2m dx  . Tính P  a  b m
92 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN A. 41 P  B. P  1 C. 21 P  D. P  2 6 4 Chọn ï A.
Biến đổi giả thiết ta cê 2m 2m S 
x  4mx  5m x  2m dx    xm2 3 2 2 3 x 2m dx m m 2m   x  m x  2m dx   x  m d x  m  m x  m d x  m    m     2m     2m 2 3  2   m m 2m  1   4 m    3  1 4  1 81   x m x 3  m    ; 4 3 12 12 12     m
Câu 6: Kè hiệu A là tập các hàm số liæn tục træn đoạn 0;1 và nhận giá trị khëng âm træn đoạn  1 1
0;1 . Xác định số thực c nhỏ nhất sao cho f
 2018 x dx  c f x dx f  x A  . 0      0 A. 2018 B. 1 C. 1 D. 2018 2018 Chọn ï A. Đặt 1 t  x  dx  2018t  f
 2018 x dx  2018 t f t dt  2018 f t dt   0  1   1 2018 2017 2017   0 0
Do c nhỏ nhất næn c  2018 . Ta sẽ chứng minh c  2018 là số cần tçm. Ta xåt hàm số p   1 1 2018 p  1 p   p
f x  x thay vào bất đẳng thức đề bài ta cê 2018 x dx  c x dx  c    0 0 p  2018
Cho p   ta suy ra c  2018 . Vậy c  2018 là số cần tìm
Câu 7: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và cê đạo hàm f'x liæn tục træn đoạn 0;1   thỏa mãn 1 1
f 1  2018f 0 . Tçm giá trị nhỏ nhất của M    f ' x dx  2   2 0 f x    A. ln 2018 B. 2 ln 2018 C. 2e D. 2018e Chọn ï B.
Sử dụng cách phân tèch bçnh phương ta cê 2   1 1  1  f ' x M    f ' x dx      f ' x  dx  2 dx  2   2 1 1 0 fx 0  f  x     0 f  x  1 f 'x  2 dx  2 ln 2018 0 fx
Câu 8: Cho 2 số thực a,b thỏa mãn a  b và a  b  ab  4 . Tçm giá trị nhỏ nhất của biểu thức tèch phân b
M   x a2 x  b dx . a A. 12 B. 0 C. 64 D. 49 3 3 Chọn ï A.
Thực hiện tương tự các câu træn.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 93
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Câu 9: Kè hiệu A là tập các hàm số liæn tục træn đoạn 0;1 .
Tìm I  min  x f x dx  x.f x dx   f x A   1   1 2013 2   0 0    A. 1  B. 1  C. 2017  D. 1  2019 16144 2018 16140 Chọn ï B.
Câu 10: Với m 1;3, gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2m
I   x m2 x 2m2 dx . Tính a  b  ? m A. 31 B. 36 C. 122 D. 121 15 4 Chọn ï C. 2
Câu 11: Biết giá trị nhỏ nhất của 2m 2 2 
  2      3   a I x 2 m m 1 x 4 m m dx   , với a,b là 2m b
các số nguyæn dương và a tối giản. Tènh a  b  ? b A. 7 B. 337 C. 25 D. 91 Chọn ï C.
Câu 12: Cho hàm số f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn     2018 a.f b b.f a  với mọi a,b  thuộc đoạn  1
0;1 . Tçm giá trị lớn nhất của tèch phân I  f  xdx 0 A. 1009 B. 2018 C. 1009 D.   1009 2 Chọn ï C.  Đặt 2
x  sin t  dx  cos tdt  M  f  sintcostdt 0  Tương tự đặt 2 x  cos t  M  f  costsintdt 0   Do đê 1 1 2018 1009 2
M   fcostsint  fsintcost 2 dt  dt   0 0 2 2  2
Dấu “=” xảy ra chẳng hạn tại   2018 f x   2 x  1 Câu 13: Cho hàm số 2
f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn f x  f  1 x   1 với mọi x thuộc đoạn  1
0;1 . Tçm giá trị lớn nhất của tèch phân I  1  x f x dx  . 0     A. 1 B.  C. 1 D.  8 12 6 16 Chọn ï C.   Đặt 4 x  sin t  I    2 1  sin tf  4 sin t 3 4sin t cos tdt  4 f   4 sin t 3 3 2 2 4sin t cos tdt 0 0
94 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN   Đặt 4 x  cos t  I    2 1  cos tf  4 cos t 3 4 cos t sin tdt  4 f   4 cos t 3 3 2 2 4sin t cos tdt 0 0   Do đê I  2 f 4 sin t  f  4 cos t 3 3 3 3 1 2 2
sin t cos tdt  2 sin t cos tdt    0 0 6
Câu 14: Cho a,b là hai số thực thỏa mãn b
0  a  b  1 . Đặt f a,b    2
2  x  3x dxa  b . a Biết rằng   m max f a, b 
với m,n là các số thực dương vào m là phân số tối giản. Tènh n n T  m  n . A. 49 B. 71 C. 67 D. 179 Chọn ï A. 2 2 Ta đặt  g a b    2
2  x  3x dx  2b  a a b 3 3   a  b a 2 Ta có   2          
      2  g ' a 0 a 1;a maxg a max g 0 ;g 1 ;g   0;  1 3   3  1   3 2     1 3 2     1 1   3 2     22  max 2b b 4b ; 2b b 4b ; 2b b 4b   2 2 2 2 27     1   3 2     22 g b 2b b 4b  2 27
Câu 15: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn f x  f'x  1 x  và
f 1  0 . Tìm giá trị lớn nhất của f 1  A. e  1 B. e 1 C. e D. e e e  1 Chọn ï B. 2 8 Câu 16: Cho 2 2 38
f x liæn tục træn 1;8 thỏa mãn  f 3x 2f 3xdx  fxdx   . Giá 3 15 1 1
trị của tèch phân 8 f xdx  bằng? 1 3 2 2  4 A. B. 58 C. 490 D. 128 5 5 3 5 Chọn ï B. f x  2f x 2 8 3 3  2 2  Đặt 3 2 dt
x  t  3x dx  dt  dx   f x  2f x dx  dx   1          3 2 3 t 1 3 2 3 x
Đến đây ta lại sử dụng kỹ thuật đưa về bçnh phương để giải quyết bài toán! 2 2
Câu 17: Cho số thực dương a, giá trị lớn nhất của tèch phân a 2x  2ax  4a I  dx  4 2a  1  a bằng?
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 95
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ A. 27 27 27 B. 4 3 C. D. 4 4 4 4 4 3 Chọn ï D.
Câu 18: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1 thỏa mãn f'x  f x  0 . Giá trị
lớn nhất của tèch phân 1 1 dx  . 0 f x A. 1 B. 1 C. 1 1  D. 1 1  f 0 f 1 f 0 f 1 2f 0 2f 1 Chọn ï C. f 'x 1 f 'x 1 1 1 f 'x Ta có 1 1    1     dx  dx     f x f x f  x 2  f x f   x 2 0 0  f 0 f 1 
Câu 19: Cho hàm số f x cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn f 0  1 và 1 1 f x  4 f ' x dx  3 f ' x f x dx   . Tích phân f xdx  bằng 0      3 3  1   2   0 0 2
A. 2 e 1 B.  2 2 e  1  C. 1   e D. e 1 2 2 Chọn ï A.
Nhận thấy f'x  0, x
 0;1  1  f 0  f x  f 1
Khi đê ta có       3  
          2 3 2 f x 4 f ' x 3f ' x f x f x 2f ' x    
 f x  f 'x  0
Đến đây ta cê thể dễ dàng giải quyết bài toán!
Câu 20: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1, f'x  2f x  0 , với mọi 1 1 1 1 f 1 x 0;1 và dx   
. Giá trị của biểu thức bằng 0 f x f 0 f 1 f 0 A. 2e B. 2 e C. 2e D. e 2 Chọn ï C. f ' x 1 1 1 f 'x Ta có        1 1 f ' x 2f x  0  2        f x dx dx 0 f x 0 3 2 f x f 0 f 1 2
Dấu “=” xảy ra khi f'x  2f x  f x f 1 2x  ke k  0   ke 2    f 0 e 0 ke
96 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
16. BÀI TOÁN TỔNG HỢP. ĐỀ BÀI
Câu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyæn dương k thỏa mãn bất phương trçnh 2 k  kx 2018.e 2018 e dx  
. Số phần tử của tập hợp S bằng. k 1 A. 7 B. 8 C. Vë số. D. 6
Câu 2: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm træn 1; thỏa mãn f 1  1 và   2
f ' x  3x  2x 5 trên 1; . Tçm số nguyæn dương lớn nhất m sao cho min f x  m x   3;10
với mọi hàm số y  f x thỏa điều kiện đề bài. A. m  15 B. m  20 C. m  25 D. m  30 2   Câu 3: Biết 1 1 1 a 3 3    3 x 2  dx  c 
, với a,b,c nguyæn dương, a tối giản và 2 8 11 x x x  b b 1  
c  a . Tính S  a  b  c ? A. S  51 B. S  67 C. S  39 D. S  75
Câu 4: Cho hàm số f x liæn tục và cê đạo hàm tại mọi x0; đồng thời thỏa mãn các 3 2
điều kiện f x  xsin x  f'x  cosx và f xsin xdx  4.  
Khi đê giá trị của f  nằm  2 trong khoảng nào? A. 6;7 B. 5;6 C. 12;13 D. 11;12 1 2 Câu 5: Cho      1  a ln 2  bcln 3  c x ln x 2  dx  
với a , b , c  . Tính T  a  b  c .  x 2    4 0 A. T  13 B. T  15 C. T  17 D. T  11
Câu 6: Cho hàm số f x thỏa mãn      2018 x f ' x . f x   x.e 
với mọi x và f 1  1. Hỏi phương trçnh   1
f x   cê bao nhiæu nghiệm? e A. 0 B. 1 C. 3 D. 2
Câu 7: Cê bao nhiæu giá trị của tham số m nằm trong khoảng 0;6 thỏa mãn phương m trình sin x 1 dx   ? 5  4 cos x 2 0 A. 6 B. 12 C. 8 D. 4 f  x  1 2  x  1  3
Câu 8: Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn dx   C  . x  1 x  5
Nguyên hàm của hàm số f 2x trên tập  là:
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 97
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ A. x  3    2x 3 2x 3 B. x  3  C.  C D.  C 2 C 2 x  4 C 2 x  4 4 2 x  1 8 2 x  1  2m
Câu 9: Cho số hữu tỷ dương   2 m thỏa mãn x.cos mxdx  
. Hỏi số m thuộc khoảng 2 0
nào trong các khoảng dưới đây? A.  7         ; 2 B. 1  0; C. 6  1; D. 5 8  ; 4        4   5   6 7  Câu 10: Cho n I  tan xdx
I  I  2 I  I  ...  I  I  I bằng? n  với n  . Khi đê 0 1  2 3 8  9 10 tanxr 9 tanxr1 9 tanxr 10 tanxr1 10 A.   C B.   C C.   C D.   C   r1 r r1 r 1 r1 r r1 r 1
Câu 11: Xåt hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và
2  f 'x  2 f x  1 
f 2  4 . Tính J    dx . 2  x x 1 
A. J  1  ln 4
B. J  4  ln 2 C. 1 J  ln 2  D. 1 J   ln 4 2 2
Câu 12: Cho hàm số f x xác định træn thỏa mãn   x x
f ' x  e  e  2 , f 0  5 và  1  f ln  
 0 . Giá trị của biểu thức S  f ln 16  f ln 4 bằng?  4  A. 31 S  B. 9 S  C. 5 S 
D. f 0.f 2  1 2 2 2
Câu 13: Cho hàm số y  f x liæn tục træn đoạn 0;1 và thoả mãn điều kiện 1       3 3 4 x f x 8x f x   0 . Tích phân I  f
 xdx cê kết quả dạng a b 2 , a,b,c , 2 x  1 c 0
a , b tối giản. Tènh a b c. c c A. 6 B. 4 C. 4 D. 10
Câu 14: Tçm tất cả các giá trị dương của tham số m m sao cho 2 2 x 1 500 m 1 xe dx  2 .e  . 0 A. 250 500 m  2 2  2 B. 1000 m  2  1 C. 250 500 m  2 2  2 D. 1000 m  2  1 Câu 15: Cho hàm số 6
f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn điều kiện f x 2  6x f  3 x   . 3x  1 1 Tính tích phân f xdx  .. 0 A. 2 B. 4 C. 1 D. 6
98 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 16: Cho hàm số f x và g x liæn tục, cê đạo hàm træn và thỏa mãn f'0.f'2  0 2
và         x g x f ' x
x x 2 e . Tènh giá trị của tèch phân I  f  x.g'xdx? 0 A. 4 B. e  2 C. 4 D. 2  e  2x x x 1 e Câu 17: Cho dx  a.e  bln 
e  c với a , b, c . Tính P  a  2b  c? x x  e 0 A. P  1 B. P  1 C. P  0 D. P  2 Câu 18: Biết x cos x  sin x
Fx là nguyæn hàm của hàm số f x 
. Hỏi đồ thị của hàm số 2 x
y  Fx cê bao nhiæu điểm cực trị trong khoảng 0; 2018? A. P  1 B. P  1 C. P  0 D. P  2 1 3 2
Câu 19: Biết tích phân x  2x  3 1 3 dx   bln 
a,b  0 tçm các giá trị thực của tham số x  2 a 2 0  2 ab k  1x  2017 k để dx  lim  . x x  2018 8 A. k  0 B. k  0 C. k  0 D. k  4 2 3 Câu 20: Giả sử 2x  4x  1 1
a , b , c là các số nguyæn thỏa mãn dx    4 2 au  bu  cdu , 2x  1 2 0 1
trong đê u  2x  1 . Tènh giá trị S  a  b  c A. S  3 B. S  0 C. S  1 D. S  2
Câu 21: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0; 4, thỏa mãn     x f x f ' x  e
2x  1 với mọi x0; 4. Khẳng định nào sau đây là đîng?
A. 4      26 e f 4 f 0  . B. 4
e f 4  f 0  3e. 3
C. 4      4 e f 4 f 0  e  1. D. 4
e f 4  f 0  3.
Câu 22: Cho hàm số f x cê đạo hàm træn , thỏa mãn      2017 2018x f ' x 2018f x  2018x e
với mọi x và f 0  2018. Tènh giá trị f 1. A.   2018 f 1 2018e  . B.   2018 f 1  2017e . C.   2018 f 1  2018e . D.   2018 f 1  2019e .
Câu 23: Cho hàm số f x cê đạo hàm và liæn tục træn , thỏa mãn     2 x f x xf x 2xe    và f 0  2.  Tính f 1.
A. f 1  e. B.   1 f 1  . C.   2 f 1  . D.   2 f 1   . e e e
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 99
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Câu 24: Biết luën cê hai số  a và b để   ax b F x 
4a  b  0 là nguyæn hàm của hàm số x  4
f x và thỏa mãn điều kiện 2 2f x  F  x  1 f '
 x . Khẳng định nào dưới đây đîng và đầy đủ nhất?
A. a  1, b  4
B. a  1, b  1
C. a  1, b \ 
4 D. a , b m
Câu 25: Cho I  2x1 2x
e dx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I  m là 0
khoảng a;b. Tính P  a  3b . A. P  3 B. P  2 C. P  1 D. P  0 9 3 4
Câu 26: Giá trị I  x sin  x    cos 3x 2 3   e
dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây? 1 3 6 A. 0,046 B. 0,036 C. 0,037 D. 0,038 4 Câu 27: Biết 2x  1dx 5  a  bln 2  cln 
a,b,c . Tính T  2a  b  c . 2x  3 2x  1  3 3 0 A. T  4 B. T  2 C. T  1 D. T  3 1 nx
Câu 28: Cho tích phân e I  dx n  với n  . x 1  e 0
Đặt u  1. I  I  2 I  I  3 I  I ... n I  I  . Biết  . Mệnh đề nào  n lim u L n
 1 2   2 3  3 4   n n 1 n sau đây là đîng? A. L  1  ;0 B. L  2  ; 1  
C. L 0;1
D. L 1;2
Câu 29: Cê bao nhiæu giá trị nguyæn dương n thỏa mãn tích phân 2  2 2 3 n1
1  n  2x  3x  4x  ...  nx dx  2   0 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 1
Câu 30: Cho hàm số f x liæn tục træn thỏa mãn đồng thời 2 tèch phân f  2xdx  2 và 0 2 2 f
 6xdx  14 . Tính tích phân f  5 x 2dx. 0 2  A. 30 B. 32 C. 34 D. 36
Câu 31: Cho hàm số f x liæn tục trên , cê đạo hàm cấp hai thỏa mãn   x x.f ' x  e  x và f '2  2e,   2
f 0  e . Mệnh đề nào sau đây là đîng?
A. f 2  4e  1. B.   2 f 2  2e  e . C.   2 f 2  e  2e.
D. f 2  12.
100 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 32: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 1;2, đồng biến træn 1;2, thỏa mãn 2 2 2 f 1  0 , f '  x 2 dx  2  và f
 x.f'xdx  1. Tích phân fxdx  bằng? 1 1 1 A. 2 . B. 2. C. 2. D. 2 2. 2
Câu 33: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1, thỏa mãn f 1  1, 1 1 5   11 4 x f x dx  
và f'xdf x   . Tính f 2. 78 13 0 0
A. f 2  2. B.   251 f 2  . C.   256 f 2  . D.   261 f 2  . 7 7 7 Câu 34: Cho hàm số   
f x liæn tục và cê đạo hàm træn 0;  , thỏa mãn hệ thức  2            x  f x tan x.f ' x  . Biết rằng 3f  f  a 3     
bln 3 trong đê a, b  . Tính 3 cos x  3   6 
giá trị của biểu thức P  a  b. A. 4 P   . B. 2 P   . C. 7 P  . D. 14 P  . 9 9 9 9
Câu 35: Cho hàm số y  f x liæn tục træn đoạn 0;1 và thỏa mãn af b  bf a  1 với 1
mọi a, b0;1. Tính tích phân I  f  xdx. 0 A. 1   I  . B. 1 I  . C. I  . D. I  . 2 4 2 4
f3  x.f x  1
Câu 36: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm træn 0;3, thỏa mãn  với mọi f  x  1  3 xf 'x x 0;3 và   1
f 0  . Tính tích phân I  dx.  2 1  f  3x 2 2 0  .f  x A. 1 I  . B. I  1. C. 3 I  . D. 5 I  . 2 2 2
f 1  g 1  4 
Câu 37: Cho hai hàm f x và g x cê đạo hàm træn 1; 4, thỏa mãn g
 x  xf 'x với
fx  xg'x 4
mọi x1;4. Tính tích phân I  f
 xgxdx.  1 A. I  3ln 2.
B. I  4ln 2. C. I  6ln 2.
D. I  8ln 2.
Câu 38: Cho hai hàm số f x và g x cê đạo hàm liæn tục træn 0;2, thỏa mãn 2
f '0.f '2  0 và         x g x .f ' x
x x 2 e . Tính tích phân I  f  x.g'xdx. 0
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 101
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ A. I  4. B. I  4.
C. I  e  2.
D. I  2  e.
Câu 39: Cho hàm số f x cê đạo hàm xác định, liæn tục træn 0;1, thỏa mãn f'0  1  và    2 f ' x   f '  x 
với mọi x0;1. Đặt P  f 1  f 0 , khẳng định nào sau đây đîng f '  x  0
A. 2  P  1.
B. 1  P  0.
C. 0  P  1.
D. 1  P  2.
Câu 40: Cho hàm số y  f x liæn tục trên và thỏa mãn 3
f x  f x  x với mọi x  . 2 Tính I  f  xdx. 0 A. 4 I   . B. 4 I  . C. 5 I   . D. 5 I  . 5 5 4 4
Câu 41: Cho hàm số f x xác định và liæn tục træn 0;1, thỏa mãn f'x  f'1 x với mọi 1
x0;1. Biết rằng f 0  1, f 1  41. Tính tích phân I  f  xdx. 0 A. I  41. B. I  21. C. I  41. D. I  42.
Câu 42: Cho các hàm số f x , g x liæn tục træn 0;1, thỏa m.f x  n.f 1  x  g x với 1 1
m, n là số thực khác 0 và f  xdx  g
 xdx  1. Tính mn. 0 0
A. m  n  0. B. 1 m  n  .
C. m  n  1.
D. m  n  2. 2 ln 8
Câu 43: Biết tích phân 1 1 b dx  1  ln  a a  b  với a, b   . Tính giá trị 2x x e  1  e 2 a ln 3
của biểu thức P  a  b A. P  1. B. P  1. C. P  3. D. P  5. 4 x Câu 44: Biết 1 x  e b c  dx  a  e  e 
với a, b, c . Tính P  a  b  c. 2x 4x xe 1 A. P  5. B. P  4. C. P  3. D. P  3. 2 Câu 45: Biết 2  x dx  ab 2 c 
với a, b, c . Tính P  a  b  c. 2  x 0 A. P  1. B. P  2. C. P  3. D. P  4.  6 2 Câu 46: Biết x cos x  3 dx  a   
với a, b, c là các số nguyæn. Tènh giá trị của 2  1  x  x b c  6
biểu thức P  a  b  c. A. P  37. B. P  35. C. P  35. D. P  41.
102 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 47 : Cho hàm số  
y  f x xác định và liæn tục træn 1 ;2 ,  thỏa mãn điều kiện 2    2    1  f x 2 1 f x  f  x     2. Tính tích phân I  dx.  2  x  x 2 x  1 1 2 A. 3 I  . B. I  2. C. 5 I  . D. I  3. 2 2
Câu 48: Cho hàm số f x thỏa mãn f x  0, x
  0 , f '0  0;f 0  1 và đồng thời điều
kiện         2 3 f ' x f x 2 f ' x   xf 
x  0. Tènh giá trị của f1 ? A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 3 2 7 6
Câu 49: Có bao nhiêu hàm số y  f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn điều kiện 1 fx2018 1 dx  f x2019 1 dx     fx2020 dx 0 0 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 50: Cho hàm số f x liæn tục træn đoạn 1;4 có      5 f 1
1; f 4  3ln  1 và thỏa mãn 2 4 f 'x đồng thời 4 9      2 5 27 4 dx ; x f ' x dx  9ln 
. Tính tích phân f xdx  1 1 x  1 10 2 10 1 A. 5 5ln  6 B. 5 5ln  6 C. 5 15ln  6 D. 5 15ln  6 2 2 2 2  2018  cosx1cosx 2 
Câu 51: Cho tích phân I  ln 
 dx  aln a  bln b  1  với a,b là các số  2018  sin x 0   
nguyæn dương. Giá trị của a  b bằng? A. 2015 B. 4030 C. 4037 D. 2025 Câu 52: Cho hàm số 8
y  f x cê đạo hàm f 'x  0, x  0;8 và f
 xdx  10. Giá trị lớn 0 nhất của hàm số   x 1 g x  f
 tdt trên 0;8 là? 0 x A. 4 B. 10 C. 5 D. 8 5 4 Câu 53: Cho hàm số     
y  f x cê đạo hàm và liæn tục træn 0;  thỏa mãn f    3 đồng 4     4     4 f x 4 4 thời dx  1  và sin x.tan x.f 
xdx  2 . Tích phân sin x.f'  xdx bằng? cos x  0 0 0 A.   4 B. 2 3 2 C. 1 3 2 D. 6 2 2
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 103
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ f 2 x  1 Câu 54: Cho hàm số ln x
f x liæn tục træn đoạn 1; 4 và thỏa mãn f x   . x x 4 Tính tích phân I  f  xdx. 3 A. 2 I  3  2 ln 2 B. 2 I  2 ln 2 C. 2 I  ln 2
D. I  2 ln 2
Câu 55: Cho hàm số y  f x liæn tục, luën dương træn 0;3 và thỏa mãn điều kiện 3 3 I  f
 xdx  4 . Khi đê giá trị của tèch phân 1lnfx K  e  4dx là? 0 0 A. 4  12e B. 12  4e C. 3e  14 D. 14  3e
Câu 56: Cho a là số thực dương. Biết rằng Fx là một nguyæn hàm của hàm số   x     1    f x e ln ax   thỏa mãn 1 F    0 và   2018 F 2018  e
. Mệnh đề nào sau đây đîng ? x     a  A.  1    a ;1 B. 1 a0;
C. a1;2018
D. a2018; 2018    2018   Câu 57: Biết rằng 2017x
Fx là một nguyæn hàm træn của hàm số f x   thỏa mãn x  12018 2
F 1  0 . Tçm giá trị nhỏ nhất m của Fx . 2017 2017 A. 1   m   B. 1 2 1 2 m  C. m  D. 1 m  2 2018 2 2018 2 2 1
Câu 58: Với mỗi số nguyæn dương I n ta kè hiệu I  x  1x n 2 2 dx . Tính n1 lim . n n I 0 n A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 3
Câu 59: Tçm tất cả các giá trị dương của  10  m để x
 3xm dx  f'   , với   15 f x  ln x .  9  0 A. m  20 B. m  4 C. m  5 D. m  3 Câu 60: Cho hàm số  
f x liæn tục, khëng âm træn đoạn 0; 
, thỏa mãn f 0  3 và 2          2 
f x .f ' x  cos x. 1  f x , x   0; 
. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của 2    hàm số    f x træn đoạn ;  . 6 2    A. 21 m  , M  2 2 . B. 5 m  , M  3 2 2 C. 5 m  , M  3 .
D. m  3 , M  2 2 . 2
104 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1
Câu 61: Cho f x là hàm số liæn tục træn thỏa mãn đồng thời f  xdx  4, 0 3 1 f
 xdx  6. Tính tích phân I  f   2x1 dx 0 1  A. I  3 B. I  5 C. I  6 D. I  4  2018 a Câu 62: Biết xsin x  d x  
trong đê a , b là các số nguyæn dương. Tènh 2018 2018 sin x  cos x b 0 P  2a  b . A. P  8 B. P  10 C. P  6 D. P  12 Câu 63: Cho hàm số   2x
y  f x cê đạo hàm træn thỏa mãn 3f 'x 3  2 f x x 1 .e   0 và 2 f x 7
f 0  1 . Tích phân x.f xdx  bằng 0 A. 2 7 B. 15 C. 45 D. 5 7 3 4 8 4
Câu 64: Cho hàm số y  f x liæn tục træn  thỏa mãn đồng thời điều kiện 2
         2x2x1 3f x f 2 x 2 x 1 e
 4 . Tính tích phân I  f
 xdx ta được kết quả là? 0
A. I  e  4 B. I  8 C. I  2
D. I  e  2 0 1 2 3 2017 2018 Câu 65: Tènh tổng C C C C C C 2018 2018 2018 2018 2018 2018 T        . 3 4 5 6 2020 2021 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4121202989 4121202990 4121202992 4121202991
Câu 66: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn khoảng 0;1 và f x  0 , x  0;1 .   Biết rằng   f x thỏa mãn 1 f    a , 3 f 
  b và x  xf 'x  2f x  4 , x  0;1 . Tính  2   2     3 2 tích phân sin x.cos x  2 sin 2x I  dx  theo a và b . 2  f sin x 6 A. 3a  b    I  B. 3b a I  C. 3b a I  D. 3a b I  4ab 4ab 4ab 4ab
Câu 67: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn điều kiện     2 f x  f  x  
 sin x.cos x , với mọi x  và f 0  0 . Giá trị của tèch phân x.f  xdx  2  0 bằng
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 105
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ A.    B. 1 C. D. 1  4 4 4 4 f '  x 3 2  Câu 68: Cho hàm số  7
f x thỏa mãn f 'x  0, x  1;2 và dx   . Biết 4 x 375 1 2 f 1  1,   22 f 2  , tính I  f  xdx. 15 1 A. 71 P  B. 6 P  C. 73 P  D. 37 P  60 5 60 30  2 Câu 69: Cho       a
4 cos 2x 3sin 2x ln cos x 2 sin x dx  cln 2   , trong đê a , b , * c  , a b b 0
là phân số tối giản. Tènh T  a  b  c . A. T  9 B. T  11 C. T  5 D. T  7
Câu 70: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f0  9 và      2 9f ' x f ' x  x  9 
. Tính T  f 1  f 0.
A. T  2  9ln 2 B. T  9 C. 1 T   9ln 2
D. T  2  9ln 2 2
Câu 71: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm træn thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
f 0  f'0  1  f
 x  y  f x  f y  3xy x  y  1, x,y   1 Tính tích phân f  x1dx. 0 A. 1 B. 1  C. 1 D. 7 2 4 4 4
Câu 72: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn thoả mãn đồng thời các fx  0,x , 
điều kiện f 0  f'0  1,
. Mệnh đề nào sau đây đîng?  x f   x 2   f   x 2   f  xf x,x . A. 1  3 ln f 1  1 B.    1 0 ln f 1 
C.  ln f 1  2 D.    3 1 ln f 1  2 2 2 2 2 a x b x Câu 73: Cho các số e e a, b  2 thỏa mãn 2 dx  dx  
. Khi đê, quan hệ giữa a,b là? x x 1 1 A. a  2b B. b  2a C. 2 a  b D. 2 b  a
Câu 74: Cho hàm số f x cê đạo hàm cấp hai træn và 2     2 f x
x  2x  4f x  2 Biết rằng 2 f x  0, x
  tính tích phân I  xf '  xdx . 0 A. I  4 B. I  4 C. I  0 D. I  8
106 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 75: Trong giải tèch,     p m n I x ax
b dx với a, b  và m, n,p \  0 được gọi là
tènh được (cî thể biểu diễn bởi các hàm như đa thức, hữu tỷ, lượng giác, logarit, ...) khi một trong a các số m  1 m  1 x dx p, ,p 
là số nguyên. Xét nguyên hàm I   , hỏi cê bao nhiæu n n  x 16 a 5
số a2,3,4,5,6,7,8,9, 
10 để I cê thể tènh được? A. 5 B. 9 C. 4 D. 6
Câu 76 : Một con dæ được buộc vào điểm A træn hàng rào
về phèa ngoài của khu vườn hçnh trén tâm O bán kènh
6m. Sợi dây buộc con dæ cê độ dài bằng nửa chu vi khu
vườn. Hçnh bæn më tả phần cỏ bæn ngoài vườn mà con dæ
cê thể ăn được. Biết rằng với hàm số f :0;  và điểm A B
B thuộc O sao cho AOB    0 thç đoạn BC là tiếp O
tuyến O cê độ dại f  sẽ quåt qua một phần mặt C
phẳng mà diện tèch được xác định bởi  2 f d  khi  0
thay đổi từ 0   ( ở đây tènh cả bæn trái lẫn bæn phải)
Từ cëng thức træn hay xác định diện tèch S phần cỏ mà con dæ cê thể ăn được. A. 3 S  32 B. 3 S  18 C. 3 S  30 D. 3 S  28
Câu 77: Cho hàm số f x liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện 1   2 2    2 1  1  xf x x f x dx  
Giá trị nhỏ nhất của tèch phân 2 2 x    f xdx bằng? 0 5 0  2  A. 3 B. 16 C. 2 D. 7 10 45 5 20
Câu 78: Cho hàm số f x cê đạo hàm træn 1;3 và f 1  0, max f x  10. Giá trị nhỏ 1;3 3 nhất của tèch phân f'  x 2 dx  bằng? 1 A. 1. B. 5. C. 10. D. 20.
Câu 79: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1, thỏa f'x  f x  0, x  0;1. 1
Giá trị lớn nhất của biểu thức   1 f 0 . dx  bằng? f x 0     A. 1. B. e 1 . C. e 1 . D. e  1. e e
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 107
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Câu 80: Cho hàm số f x nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn 0;1. Đặt hàm số 2 x 1 g x  1  f
 tdt . Biết rằng     2 g x
2xf x  với mọi x0;1 , tích phân gxdx  có giá 0 0 trị lớn nhất bằng? A. 1. B. e  1. C. 2. D. e  1.
Câu 81: Cho hàm số f x nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn 0;1, thỏa mãn x
điều kiện f x  2018  2 f
 tdt với mọi x0;1. Biết giá trị lớn nhất của tèch phân 0 1 f xdx  cê dạng 2
ae  b với a, b  . Tính a  b. 0 A. 0. B. 1009. C. 2018. D. 2020. Câu 82: Cho hàm số 1
f x dương và liæn tục træn 1;3, thỏa max f x  2, min f x  và 1;3 1;3 2 3 3 3 biểu thức     1 S f x dx. dx 
đạt giá trị lớn nhất, khi đê hãy tènh I  f  xdx. f x 1 1   1 A. 3 . B. 7 . C. 7 . D. 5 . 5 5 2 2
Câu 83: Cho hàm số f x liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn với mọi x,y,, và      1 2 2
    0 ta có          x y .f x .f y f   . Biết f 0 2  0, f
 xdx  2 . Giá trị nhỏ      0
nhất của tèch phân 1f xdx  bằng 0 A. 8 B. 4 C. 2 2 D. 2
Câu 84: Cho hàm số f x dương liæn tục 0; thỏa mãn đồng thời điều kiện 1 f x f x x  2018  2 f  t 1 dt, x   0; f
 xdx  1009 2e 1 .Tính tích phân dx  ? 0 0 x 0 e
A. 2018e  1
B. 1009e  1
C. 2018e  2
D. 1009e  1
Câu 85: Cho hàm số f x cê đạo hàm khác 0 và liæn tục đến cấp hai træn đoạn 1;2. Biết   f ' x xf ' x 2
ln 2f ' 1  f 1  1,f' x       3
, x  1;2 . Tính tích phân I  xf  xdx? f x      1 2 2 ln 2 1 A. 1 3 log 5   1 B. 3log 5   2 2 2 ln 2 2 4ln 2 C. 3 3 log 5   2 D. 2 log 5   1 2 ln 2 2 2 ln 2
Câu 86: Cho hàm số f x liæn tục træn đoạn 1;4 thỏa mãn f1  1  ,f 4  8  và đồng thời  4    2 3      3 f ' x x f x  9 x  x  3x, x
 1;4 . Tích phân f xdx  bằng 1
108 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN A. 7 B. 89  C. 79  D. 8  6 6
Câu 87: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 1;2 thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện  2 2 2 2                 2       2 2 f 2 f 1 63; 2 f x x f ' x 27x ,x  
1;2. Tènh giá trị của tèch phân  2 fx2   dx 1 A. 15 B. 18 C. 21 D. 25
Câu 88: Cho hàm số f x cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn 1;3 thỏa mãn điều kiện f 'x 3 3    27 3 f x dx  ; f 1  2 2 , f 3  4  . Tích phân dx  bằng 1 f x     4 1 x  2 A. 6  5 B. 6 2  C. 3  2 D. 5  2 2
Câu 89: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn e.f 1  4f 0  4 và đồng thời 1 8 e
f ' x   f x  dx  4 e .f x dx       
. Tính tích phân 1fxdx ? 0    2   2 2x  1 x   0 3 0 4e  1 3e  1 2 e  2 5e  2 A. B. C. D. e e e e
Câu 90: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn đồng thời các điều 1 1 1 3 1 f x 3 kiện                 1 f 0 ; x 1 f ' x dx ; dx
. Tính tích phân 1fxdx ? 16 8 f 'x2 0 0   64 0 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 24 32 8 4
Câu 91: Cho hàm số f x liæn tục træn đoạn thỏa f 0  0, f x  f y  sin x sin y với 
mọi x, y  . Giá trị lớn nhất của tèch phân f x  f x dx  bằng 0   2 2   A.      1 B. C. 3 D. 1  4 8 8 4
Câu 92: Cho hàm số f x cê đạo hàm cấp hai træn 0; thỏa mãn đồng thời các điều kiện      
          ln2   1  f 0 1;f ' 0 0;f ' x 5f ' x 6f x 0, x 0; ; f x dx   . Tính giá trị 0 6 của tích phân ln2 2 f xdx  . 0 A. 15 B. 35 C. 27 D. 24 4 17 20 7
Câu 93: Cho hàm số f x liæn tục và cê đạo hàm đến cấp 2 trên 0;2 thỏa mãn điều kiện 2
f 0  2f 1  f 2  1 . Giá trị nhỏ nhất của tèch phân f '   x 2 dx  bằng 0 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 109
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Câu 94: Cho tích phân 11 I  x  7  11  x dx 
, gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và 7   
giá trị nhỏ nhất của I. Tènh S  M  m ?
A. 54 2  108
B. 36 2  108 C. 6 3  54 D. 6 3  36
Câu 95: Cho tích phân 1 dx I  
, biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 0 2 3 4  x  x  
của I được viết dưới dạng 1 c a   
, trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và c là b d    d
phân số tối giản. Tènh S  a  b  c  d ? A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 1 2
Câu 96: Cho tích phân dx * I  , n  
, biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 2n 0 1  x
nhất của I được viết dưới dạng a c
 , trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và a c , b d b d
là phân số tối giản. Tènh S  a  b  c  d ? A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 x
Câu 97: Cho tích phân 3 e sin x I  dx 
, biết rằng giá trị lớn nhất của I được viết dưới 2 1 x  1
dạng a , với a, b là các số nguyæn dương và a tối giản. Tènh tổng S  a  b be b A. 13 B. 14 C. 14 D. 15
Câu 98: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  1,f x  0 và đồng thời 1
f xln f x  xf 'x f  x  1 , x   
0;1. Tính tích phân fxdx  . 0 A. e  1 B. e  6 C. 4 D. 1 3 6
Câu 99: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện 1
f 2018x  2017  2018f x, x
  . Tính tích phân f   x 2 dx  ? 0 A. 4  5 7 8 f   1   2  f 1   f 1   f 1   3  B.    2 3  C.    2 3  D.    2 3 
Câu 100: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 1;2 thỏa mãn   7 f 1  và đồng 3 3 3x f x thời  f ' x  x, x
  1;2 . Tính giá trị của f 2? 2     f '  x  xf '  x 2  x A. 7 7  1 B. 7 7  1 C. 2 7  1 D. 2 7  1 3 3 3 3
110 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 101: Cho hàm số f x liên tục træn 0;1, hàm số f'x liæn tục træn đoạn 0;1 và
f 1  f 0  2 . Biết rằng 0  f 'x  2 2x, x
 0;1 . Khi đê, giá trị của tèch phân 1 f'x2 dx 
thuộc khoảng nào sau đây. 0 A.      2; 4 B. 13 14  ; C. 10 13  ; D. 1;3 3 3      3 3 
Câu 102: Cho hàm số f x liæn tục træn , cê đạo hàm đến cấp hai træn và thỏa mãn 5ln 2      2 3      x f x . 4 f ' x f x .f ' x  e , x
  , biết f 0  . Khi đê 5 f x   0 dx  bằng? 0 2     A. 25ln 2 531  5ln 2 B. 1 355ln 2 31     2  5  2  2     C. 1 25ln 2  31   5ln 2 D. 355ln 2 5 31    5  2   2 
Câu 103: Cho hàm số 2
f x liên tục træn và f
 xdx  1. Tènh giới hạn của dãy số: 1 1  n  n  3  n  n  6  n  4n  3  u  f 1  f    f    ...  f   n   n  n 3  n  n 6  n  4n 3  n            A. 2 B. 2 C. 1 D. 4 3 3
Câu 104: Cho hàm số f x và g x thỏa mãn f'1  g 1  1;f 2.g 2  f 1 và đồng thời
           1  2 1 f ' x g ' x g x f ' x  f 'x , x   \  0  . Tính tích phân I  f  xg'xdx ? x    1 A. 3 1  ln 2 B. 3 1   ln 2 C. 3 1  ln 2 D. 3 1   ln 2 4 2 4 2 4 2 4 2
Câu 105: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm 0;1 thỏa mãn f 0  f 1  0 và đồng thời điều kiện 1 f'
 x dx  1. Tçm giá trị lớn nhất của fx trên 0;1? 0 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 2 3 4
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 111
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyæn dương k thỏa mãn bất phương trçnh 2 k  kx 2018.e 2018 e dx  
. Số phần tử của tập hợp S bằng. k 1 A. 7 B. 8 C. Vë số. D. 6 Lời giải 2 2 2k k Ta có:  kx  1 kx  e e e dx    e  k    k 1 1 2 k 2k k k    kx 2018.e 2018 e e 2018.e 2018 e dx     k k k 1 k  e  k e  1  2018 k e  1k  0   k e  1 k e  2018 k
 0  1  e  2018  0  k  ln 2018  7.6
Do k nguyæn dương næn ta chọn được k  S (với S  1;2;3;4;5;6;7 ).
Suy ra số phần tử của S là 7 . Chọn ï A.
Câu 2: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm træn 1; thỏa mãn f 1  1 và   2
f ' x  3x  2x  5 trên 1; . Tçm số nguyæn dương lớn nhất m sao cho min f x  m x   3;10
với mọi hàm số y  f x thỏa điều kiện đề bài. A. m  15 B. m  20 C. m  25 D. m  30 Lời giải Ta có:   2
f ' x  3x  2x  5 trên 1; Do 2 3x  2x  5  0 , x
 1; nên fx  0 , x  1; .
Do đê hàm số f x đồng biến træn 1; . Suy ra min f x  f 3 . x   3;10 3 3 Ta lại có: f'  xdx   2 3x  2x  5dx 1 1  f x 3   3 2
x  x  5x 3  f 3  f 1  24  f 3  25 1 1
Vậy min f x  25. Hay m  25 . x   3;10 Chọn ï C. 2   Câu 3: Biết 1 1 1 a 3 3    3 x 2  dx  c 
, với a,b,c nguyæn dương, a tối giản và 2 8 11 x x x  b b 1  
c  a . Tính S  a  b  c ? A. S  51 B. S  67 C. S  39 D. S  75 Lời giải
112 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2   2 Ta có 1 1 1 1  2  3    3 x 2  dx   3 x  1    dx . 2 8 11 x x x  2 3 x  x  1   1 Đặt 1 3 1   2  3 t x   t  x  2  3t dt  1   dx . 2 2 x x 3  x  7 3 7 2   4 3 Khi đê 1 1 1 4 3 21 3    3 x 2  dx 3 4 3   3t dt   t  14 . 2 8 11 x x x  4 32 1   0 0 Chọn ï B.
Câu 4: Cho hàm số f x liæn tục và cê đạo hàm tại mọi x0; đồng thời thỏa mãn 3 2
các điều kiện f x  xsin x  f'x  cosx và f xsin xdx  4.  
Khi đê giá trị của f   2 nằm trong khoảng nào? A. 6;7 B. 5;6 C. 12;13 D. 11;12 Lời giải Ta có:
f x  xf 'x sin x cos x
f x  xsin x  f'x  cosx    2 2 x x x f x  1      f x 1      cos x   
cos x  c  f x  cos x  cx  x   x  x x 3 3 2 2
Khi đê: f xsin xdx  4  
 cosx  cxsin xdx  4     2 2 3 3 2 2
 cos xsin xdx  c xsin xdx  4     0  c 2    4   c  2   2 2
 f x  cos x  2x  f   2  15;6 . Chọn ï B. 1 2 Câu 5: Cho      1  a ln 2  bcln 3  c x ln x 2  dx  
với a , b , c  . Tính T  a  b  c .  x 2    4 0 A. T  13 B. T  15 C. T  17 D. T  11 Lời giải  1  du  u  ln x  2  Đặt  x  2    . d  v  xdx 2 x  4 v   2
Khi đê tèch phân ban đầu trở thành
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 113
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1  1 2 1 1       1  x 4 x 2 x x ln x 2  dx   ln x  2  dx  dx    x 2    2 2 x  2 0 0 0 0 1 2 3 1  x   ln 3  2 ln 2  
 2x  x  2ln x  2 1 0 2 2  2  0 3  3    
ln 3  2 ln 2   1  2 ln 3  14ln 3 16ln 2 7 ln 2  . 2 4 4 a  4
Suy ra: b  2 . Vậy T  a  b  c  13 . c   7 Chọn ï A.
Câu 6: Cho hàm số f x thỏa mãn      2018 x f ' x . f x   x.e 
với mọi x và f 1  1. Hỏi phương trçnh   1
f x   cê bao nhiæu nghiệm? e A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Lời giải
Ta có:       2018         2018 x            x f ' x . f x dx x.e dx f x df x x 1 .e  C 1  .f  x 2019   
x 1.e C  fx 2019 x   2019  x 1 x .e  2019C . 2019
Do f 1  1 nên 2019C  1 hay    2019       x f x 2019 x 1 .e  1 . Ta có:   1
      2019 1         x 1 f x f x 2019 x 1 .e  1   0 . 2019 2019 e e e Xåt hàm số       x 1 g x 2019 x 1 .e  1  trên . 2019 e    x         1 g ' x 2019x.e ;g ' x 0 x 0;g 0  20  19  1   0  2019 Ta có  e         1 lim g x ; lim g x  1   0 2019 x x  e
Bảng biến thiæn của hàm số: x  0  g 'x  0   2019 1 e  g x g 0
Do đê phương trçnh   1
f x   cê đîng 2 nghiệm. e Chọn ï D.
114 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 7: Cê bao nhiæu giá trị của tham số m nằm trong khoảng 0;6 thỏa mãn phương m trình sin x 1 dx   ? 5  4 cos x 2 0 A. 6 B. 12 C. 8 D. 4 Lời giải
Biến đổi giả thiết ta cê m m 1 sin x 1  dx   d   cosx 2 5  4 cos x 5  4 cos x 0 0 m m 1 1       1
d 5 4 cos x   ln 5  4 cos x 4 5  4 cos x 4 0 0 m Mà 1 1           1 5  4 cosm 5 4 cos x 5 4 0 ln 5 4 cos x   ln 2 4 4 9 0 5  4 cosm 5  4 cosm 2  ln  2    e 9 9 2 9e  5 2    9e 5 cosm   m   arccos  k2 k   4 4  k  0 2  9e  5 arccos k2 0;6       k  1  4   k   2
Theo đề bài m 0;6    k  1 2  9e  5  arccos  k20;6   k  2  4   k    3
Với mỗi giá trị k trong hai trường hợp træn ta được một giá trị m thỏa mãn.
Vậy cê 6 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Chọn ï A. f  x  1 2  x  1  3
Câu 8: Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn dx   C  . x  1 x  5
Nguyên hàm của hàm số f 2x trên tập  là: A. x  3    2x 3 2x 3 B. x  3  C.  C D.  C 2 C 2 x  4 C 2 x  4 4 2 x  1 8 2 x  1 Lời giải Theo giả thiết ta cê : f  x  1 2  x  1  3   dx   C  2 f 
  x1d x1 2 x 1 3   . x  1 x  5  x1 C 2  4
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 115
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  Hay    2t 3       t  3 C 2 f t dt C f t dt   . 2 2 t  4 t  4 2   Suy ra    1
      1 2x  3 C 2x  3 C f 2x dx f 2x d 2x       2 2  2x2 2  4 2  8x  8 4  Chọn ï D.  2m
Câu 9: Cho số hữu tỷ dương   2 m thỏa mãn x.cos mxdx  
. Hỏi số m thuộc khoảng 2 0
nào trong các khoảng dưới đây? A.  7         ; 2 B. 1  0; C. 6 1; D. 5 8  ; 4        4   5   6 7  Lời giải d  u  dx u  x
Áp dụng cëng thức tèch phân từng phần, đặt     1 d  v  cosmxdx v  sin mx  m
Tèch phân ban đầ trở thành:     2m 2m 2m x 1  1    2  1 x.cos mxdx  sin mx  sin mxdx   2m   .cos mx   . m m 2 2 2 2m m  2  m 0 0 0 0
Theo giả thiết ta cê    2  1   2 .   m  1    2  2  m 2 Vì  
m là số hữu tỷ dương næn 5 8 m  1 ; . 6 7    Chọn ï D. Câu 10: Cho n I  tan xdx
I  I  2 I  I  ...  I  I  I bằng? n  với n  . Khi đê 0 1  2 3 8  9 10 tanxr 9 tanxr1 9 tanxr 10 tanxr1 10 A.   C B.   C C.   C D.   C   r1 r r1 r 1 r1 r r1 r 1 Lời giải
Biến đổi tèch phân ban đầu ta cê n1 n2 2   1  tan x I  tan x.tan xdx  tan x.    1dx   I   C n  n 2 2  cos x  n 2 n  1 n1 n2 tan x tan x.  tan x  dx  I  I  I   .  C n2 n n 2 n  1
Khi đê I  I  2 I  I  ... I  I  I =I  I  I  I ... I  I  I  I 10 8   9 7   3 1  2 0  0 1  2 3 8  9 10 9 8 2 tan x tan x tan x 9 r    tan x ....  tan x  C    C . 9 8 2 r1 r Chọn ï A.
116 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 11: Xåt hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và
2  f 'x  2 f x  1 
f 2  4 . Tính J    dx . 2  x x 1 
A. J  1  ln 4
B. J  4  ln 2 C. 1 J  ln 2  D. 1 J   ln 4 2 2 Lời giải
2  f 'x  2 f x   2 f 'x 2 f x 2 Cách 1: Ta có 1  2 1  J    dx  dx  dx      dx . 2  x x 2 2 x x  x x  1  1 1 1  1  1 u  d  u   dx Đặt 2  x   x d  v  f'  xdx v  f  x
Khi đê tèch phân ban đầu trở thành
2  fx  2 f x  1  2 2 2 2 1 f x f x  2 1  J    dx  .f x      dx  dx      dx 2  x x 2 2 2 x x x  x x  1  1 1 1 1 2 1       1  1 f 2 f 1  2 ln x      ln 4 . 2  x  2 1 Cách 2: Ta có
2  f 'x  2 f x  1 
2  xf 'x  f x 2 1   f x 2 1  1 J    dx     dx  
 2 ln x     ln 4 . 2  x x 2 2  x x x  x x  2 1  1  1 Chọn ï D.
Câu 12: Cho hàm số f x xác định træn thỏa mãn   x x
f ' x  e  e  2 , f 0  5 và  1  f ln  
 0 . Giá trị của biểu thức S  f ln 16  f ln 4 bằng?  4  A. 31 S  B. 9 S  C. 5 S 
D. f 0.f 2  1 2 2 2 Lời giải x x  x e  1  2 2 e  e khi x  0 Ta có   x x f ' x  e  e  2    . x e x x   2 2 e  e khi x   0 x x   2 2  2e  2e  C khi x  0 Do đê f x 1   . x x   2 2 2  e  2e  C khi x   0 2 Theo giả thiết ta cê: ln 4 ln 4  f 0  5 nên 0 0
2e  2e  C  5  C  1    2 2 f ln 4  2e  2e  1  6 1 1
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 117
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  1   1  ln  ln 4  4     Tương tự ta có  1   f ln    0 nên 2 2 2  e  2e  C  0  C  5  4  2 2 ln16 ln16     2 2 f ln 16  2  e  2e  5 7   2 Vậy      5 S f ln 16 f ln 4  . 2
Câu 13: Cho hàm số y  f x liæn tục træn đoạn 0;1 và thoả mãn điều kiện 1       3 3 4 x f x 8x f x   0 . Tích phân I  f
 xdx cê kết quả dạng a b 2 , a,b,c , 2 x  1 c 0
a , b tối giản. Tènh a b c. c c A. 6 B. 4 C. 4 D. 10 Lời giải
Biến đổi giả thiết ta cê:     3 3 4 x x f x 8x f x 
 0  f x  8x f x  3 3 4  . 2 x  1 2 x  1 1 1 1 3     3    4 x I f x dx 8x f x dx  dx  1 2 0 0 0 x  1 1 1 1  Xét tích phân 3 8x f   4xdx  2f
  4xd 4x  2 fxdx  2I 0 0 0 1 3  x Xét tích phân dx  . 2 0 x  1 Đặt 2 2 2
t  x  1  t  x  1  tdt  xdx . Đổi cận x  0  t  1 , x  1  t  2 . 2 3 x  2 1 2 t  1tdt 3   Nên t 2 2 dx       t   2 x  1 t  3  3 3 0 1 1    Do đê   2 2 2  2 1  I  2I      I 
. Nên a  2 , b  1 , c  3 . 3    3 Vậy a  b  c  6 . Chọn ï A.
Câu 14: Tçm tất cả các giá trị dương của tham số m m sao cho 2 2 x 1 500 m 1 xe dx  2 .e  . 0 A. 250 500 m  2 2  2 B. 1000 m  2  1 C. 250 500 m  2 2  2 D. 1000 m  2  1 Lời giải 2 Ta có m 2   x 1 m 1 xe dx  t  te dt   te e  2 m 1 t t   2 2 m 1 m 1 1 e     0 1 1 Theo giả thiết ta cê
118 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN m 2 x 1 xe dx  2 500 m 1 2 .e    2 500 m 1 2 .e    2 2 m 1 m 1 1 e     500 2  2  m  1  1 0      2 2 500 m 1 2 1 2 1000 501  m  2  2 500   500 2 2  2 250 500  m  2 2  2 . Chọn ï C. Câu 15: Cho hàm số 6
f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn điều kiện f x 2  6x f  3 x   . 3x  1 1 Tính tích phân f xdx  .. 0 A. 2 B. 4 C. 1 D. 6 Lời giải
Biến đổi giả thiết ta cê: 1 1 1   2   3 6 6 f x 6x f x   f xdx   2 6x f   3xdx dx  3x  1 3x  1 0 0 0 Đặt 3 2
t  x  dt  3x dx , đổi cận x  0  t  0 , x  1  t  1 . 1 1 1 1 Ta có: 2 6 6x f   3xdx  2f  tdt  2f  xdx , dx  4  . 3x  1 0 0 0 0 1 1 1 Vậy f  xdx  2f
 xdx4  fxdx  4 0 0 0 Chọn ï B.
Câu 16: Cho hàm số f x và g x liæn tục, cê đạo hàm træn và thỏa mãn 2
f '0.f '2  0 và         x g x f ' x
x x 2 e . Tènh giá trị của tèch phân I  f  x.g'xdx? 0 A. 4 B. e  2 C. 4 D. 2  e Lời giải
Ta có         x g x f ' x
x x 2 e  g 0  g 2  0 (vì f '0.f '2  0 )
Khi đê tèch phân cần tènh trở thành: 2 2 I  f
 x.g'xdx  fxdgx 0 0 2 2
 f x.gx 2  g
 x.f'xdx   2x 2x xedx  4 . 0 0 0 Chọn ï C.  2x x x 1 e Câu 17: Cho dx  a.e  bln 
e  c với a , b, c . Tính P  a  2b  c? x x  e 0 A. P  1 B. P  1 C. P  0 D. P  2 Lời giải
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 119
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  2x x x 1 e 1 x  1 x x Ta có e xe I  dx   dx  . x x  e x xe  1 0 0 Đặt x t  xe  1      x dt 1 x e dx .
Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  e  1 . e1 e1  Khi đê: t  1  1  I  dt   1    dt     e 1 t ln t  e  ln e  1 . t  t  1 1 1
Suy ra: a  1, b  1 , c  1 . Vậy P  a  2b  c  2  . Chọn ï D. Câu 18: Biết x cos x  sin x
Fx là nguyæn hàm của hàm số f x 
. Hỏi đồ thị của hàm số 2 x
y  Fx cê bao nhiæu điểm cực trị trong khoảng 0; 2018 ? A. P  1 B. P  1 C. P  0 D. P  2 Lời giải
Ta có      xcosx  sin x F' x f x 
 F'x  0  xcosx  sin x  0 ,x  0 1 2 x
Ta thấy cos x  0 khëng phải là nghiệm của phương trçnh næn 1  x  tan x 2 Xét   
g x  x  tan x trên 0;2018 \ k  |k   . Ta có:  2     g 'x 1 2  1    tan x  0, x  0;2018\ k  |k    . 2 cos x  2      Xét x 0;
, ta có g x nghịch biến næn g x  g 0  0 næn phương trçnh 2    x  tan x vë nghiệm. Vç hàm số    
tan x cê chu kỳ tuần hoàn là  nên ta xét g x  x  tan x , với 3 x ; . 2 2    Do đê      
g x nghịch biến træn khoảng 3  ; và  23 g .g     0 næn phương trçnh 2 2     16 
x  tan x cê duy nhất một nghiệm x . 0 Do đê,   4035  ;  
có 2017 khoảng rời nhau cê độ dài bằng . Suy ra phương trçnh 2 2      
x  tan x có 2017 nghiệm træn 4035 ;   . 2 2        Xét 4035 x ; 2018 
, ta có g x nghịch biến næn g x  g 2018  2018 nên 2   
phương trçnh x  tan x vë nghiệm.
Vậy phương trçnh F'x  0 có 2017 nghiệm trên 0;2018 . Do đê đồ thị hàm số
y  Fx có 2017 điểm cực trị trong khoảng 0;2018 .
120 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Chọn ï C. 1 3 2
Câu 19: Biết tích phân x  2x  3 1 3 dx   bln 
a,b  0 tçm các giá trị thực của tham x  2 a 2 0  2 ab k  1x  2017 số k để dx  lim  . x x  2018 8 A. k  0 B. k  0 C. k  0 D. k  Lời giải
Biến đổi giả thiết ta cê: 1 3 2 1 x  2x  3  1 a  3 ab 9 2 3  1 1 3 dx  x    dx 3
 x  3ln x  2   3ln    dx  dx  1   x  2  x  2  3 3 2 b   3 0 0 0 8 8  2 ab k  1x  2017  2k 1x2017
Mặt khác ta lại cê dx  lim   1  lim x x  2018 x x  2018 8  2k 1x2017 Mà 2 lim  k  1 . x x  2018 2 ab k  1x  2017 Vậy để dx  lim  thì 2 1  k  1 2  k  0  k  0 . x x  2018 8 Chọn ï B. 4 2 3 Câu 20: Giả sử 2x  4x  1 1
a , b , c là các số nguyæn thỏa mãn dx    4 2 au  bu  cdu , 2x  1 2 0 1
trong đê u  2x  1 . Tènh giá trị S  a  b  c A. S  3 B. S  0 C. S  1 D. S  2 Lời giải udu  dx Đặt  u  2x  1 2  u  2x  1 2   u  1 x   2
Khi đê tèch phân cần tènh trở thành 2 2 2  u  1   u  1  2  4      1 4 2 2x  4x  1 3  2   2 3 1 dx    u.du    4 2 u  2u  1.du 2x  1 u 2 0 1 1
Vậy S  a  b  c  1  2  1  2 . Chọn ï D.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 121
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Câu 21: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;4, thỏa mãn     x f x f ' x  e
2x  1 với mọi x0; 4. Khẳng định nào sau đây là đîng?
A. 4      26 e f 4 f 0  . B. 4
e f 4  f 0  3e. 3
C. 4      4 e f 4 f 0  e  1. D. 4
e f 4  f 0  3. Lời giải Nhân hai vế cho x
e để thu được đạo hàm đîng, ta được x   x    x e f x
e f ' x  2x  1  e f x'  2x  1.   Suy ra x   1 e f x  2x  1dx   2x 1 2x 1 C. 3 Vậy 4      26 e f 4 f 0  . 3 Chọn ï A.
Câu 22: Cho hàm số f x cê đạo hàm træn , thỏa mãn      2017 2018x f ' x 2018f x  2018x e
với mọi x và f 0  2018. Tènh giá trị f 1. A.   2018 f 1 2018e  . B.   2018 f 1  2017e . C.   2018 f 1  2018e . D.   2018 f 1  2019e . Lời giải Nhân hai vế cho 2018x e
để thu được đạo hàm đîng, ta được   2018x    2018x 2017      2018x 2017 f ' x e 2018f x e 2018x f x e '  2018x   Suy ra   2018x 2017 2018 f x e  2018x dx  x  C. 
Thay x  0 vào hai vế ta được       2018   2018x C 2018 f x x 2018 e Vậy   2018 f 1  2019e . Chọn ï D.
Câu 23: Cho hàm số f x cê đạo hàm và liæn tục træn , thỏa mãn     2 x f x xf x 2xe    và f 0  2.  Tính f 1.
A. f 1  e. B.   1 f 1  . C.   2 f 1  . D.   2 f 1   . e e e Lời giải 2 x Nhân hai vế cho 2
e để thu được đạo hàm đîng, ta được 2 2 2 2 2 x x x x x       2    2 2 2      2 f ' x e f x xe 2xe e f x '  2xe  
122 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2 2 2 x x x Suy ra   2   2 2 e f x  2xe dx  2  e  C. 
Thay x  0 vào hai vế ta được   2 x C 0 f x 2e     Vậy   1  2 f 1  2  e   . e Chọn ï D.
Câu 24: Biết luën cê hai số  a và b để   ax b F x 
4a  b  0 là nguyæn hàm của hàm x  4
số f x và thỏa mãn điều kiện 2 2f x  F  x  1 f '
 x . Khẳng định nào dưới đây đîng và đầy đủ nhất?
A. a  1, b  4
B. a  1, b  1
C. a  1, b \ 
4 D. a , b Lời giải Ta có   ax  b 4a  b 2b  8a F x 
là nguyæn hàm của f x nên f x  F'x  và f'x  . x  4 x  42 x  43 2 4a  b2 Do đê     2 ax b 2b 8a
2f x  Fx  1f'x       x  4 1 4  x  4  x  43
 4a  b  ax  b  x  4  x  41  a  0  a  1 (do x  4  0 )
Với a  1 mà 4a  b  0 nên b  4 . Vậy a  1, b \  4 . Chọn ï C. m
Câu 25: Cho I  2x1 2x
e dx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I  m là 0
khoảng a;b. Tính P  a  3b . A. P  3 B. P  2 C. P  1 D. P  0 Lời giải du   2dx u  2x  1
Áp dụng phương pháp tènh tèch phân từng phần đặt  2x    2x e dv   e dx v   2
Khi đê tèch phân cần tènh trở thành: m m  I   2x 1 2x 1 e 2x   m 2x 2x e dx   e dx  2 0 0 0 2m 1 2m m e 1 1 2x m 2m    e  me  e  1 2 2 2 0 Theo giả thiết ta cê 2m 2m          2m I m me e 1 m
m 1 e  1  0  0  m  1 .
Suy ra a  0,b  1  a  3b  3  .
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 123
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Chọn ï A. 9 3 4
Câu 26: Giá trị I  x sin  x    cos 3x 2 3   e
dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây? 1 3 6 A. 0,046 B. 0,036 C. 0,037 D. 0,038 Lời giải Đặt   3 1 u cos x   2      3 du 3 x sin x  dx 2  x sin  3 x  dx   du . 3  1 Khi x  thì 3 u  . 3 6 2  9 Khi x  thì 2 u  . 3 4 2 2 3 3 2 2 3 2   Khi đê 1 u 1 2 1 1 I   e d u  u  e d u  u  e 2 2   e  e   0,037 . 3 3  2 3 3   3 2   2 2 2 Chọn ï C. 4 Câu 27: Biết 2x  1dx 5  a  bln 2  cln 
a,b,c . Tính T  2a  b  c . 2x  3 2x  1  3 3 0 A. T  4 B. T  2 C. T  1 D. T  3 Lời giải
Biến đổi tèch phân cần tènh ta được: 4 4 2x  1dx 2x  1dx I     2x  3 2x  1  3 0
0  2x  1  1 2x  1  2
4 2  2x  1  1   2x  1  2dx 4 4   2dx dx     . 0  2x  1  2 0  2x  1  1 0
 2x1 1 2x1 2
Đặt u  2x  1  udu  dx . Với x  0  u  1, với x  4  u  3 . .3 .3 .3 .3 Suy ra 2udu udu  4   1  I    2  du  1       d  u u  2 u  1  u  2   u  1  1 1 1 1        3 5 u 4ln u 2 ln u 1  2  4ln  ln 2 1 3
 a  2 , b  1 , c  1  T  2.1  1  4  1. Chọn ï C.
124 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1 nx
Câu 28: Cho tích phân e I  dx n  với n  . x 1  e 0
Đặt u  1. I  I  2 I  I  3 I  I ... n I  I  . Biết  . Mệnh đề  n lim u L n
 1 2   2 3  3 4   n n 1 n nào sau đây là đîng? A. L  1  ;0 B. L  2  ; 1  
C. L 0;1
D. L 1;2 Lời giải
Với n  , biến đổi giả thiết ta cê 1 n1x e 1 nx x e .e 1 1 nx 1  e I   nx   nx    dx dx e dx dx e dx I n 1       x 1  e x 1  e x 1  e n 0 0 0 0 0 1 nx  1 I   n      e dx I I  I 1 e n 1  n 1 n   n n 0 Do đê u   1 1  e    2 1  e    3 1  e  ...  n 1  e  n 1  2  3  n
 u  e  e  e ... e n  n
Ta thấy u là tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân líi vë hạn với 1 u e   và 1 q  , n 1 e 1  nên e  lim u  1  L   L  1  ;0. n 1 1  e  1 e Chọn ï A.
Câu 29: Cê bao nhiæu giá trị nguyæn dương n thỏa mãn tích phân 2  2 2 3 n1
1  n  2x  3x  4x  ...  nx dx  2   0 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Lời giải
Biến đổi giả thiết ta cê: 2  2 2 3 n1
1  n  2x  3x  4x  ...  nx dx  2  
 x  n x  x  x  x ... x  2 2 2 3 4 n  2  0 0 2 2 3 4 n
 2  2n  2  2  2  ... 2  2  2 n1 2  1  2  2  ... 2  n  1 n 2 n 2
 2  1  n  1  2  n  2  0 .
Thử với các giá trị n 1;2;3;  4 đều khëng thỏa mãn.
Với n  , n  5 ta chứng minh n 2
2  n  2 1 . Dễ thấy n  5 thì 1 đîng.
Giả sử 1 đîng với n  k với k  , k  5 . Khi đê k 2 2  k  2 .
Khi đê: k1   2   2 2 2 2 k 2  k  k  2  2        2 2 k 2k 1 2 k 1  2 .
Do đê 1 đîng với n  k  1 . Theo nguyæn lï quy nạp thç 1 đîng.
Vậy khëng tồn tại số nguyæn n . Chọn ï C.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 125
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1
Câu 30: Cho hàm số f x liæn tục træn thỏa mãn đồng thời 2 tèch phân f  2xdx  2 0 2 2 và f
 6xdx  14 . Tính tích phân f  5 x 2dx. 0 2  A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 Lời giải 1
 Xét tèch phân thứ nhất f  2xdx  2. 0
Đặt u  2x  du  2dx ; x  0  u  0; x  1  u  2 . 1 2 2 Nên 1 2  f
 2xdx  fudu  fudu  4. 2 0 0 0 2  Xét tèch phân thứ 2 f  6xdx  14 . 0
Đặt v  6x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . 2 12 12 Nên 1 14  f  6xdx  f  vdv  f  vdv  84 . 6 0 0 0 2 0 2
 Xét tèch phân cần tènh f  5 x 2dx  f
 5 x 2dx f5 x 2dx. 2  2  0 0
1. Ta sẽ đi tính tích phân I  f 5 x  2 dx . 1    2  Đặt t  5 x  2 . Khi 2  x  0 , t  5
 x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 2 1  12 2    1 1 I  f t dt   f
 tdt  ftdt  844  16 . 1     5 5 5 12  0 0  2
2. Tính tích phân I  f 5 x  2 dx . 1    0 Đặt t  5 x  2 .
Khi 0  x  2 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 12 1 12 2    1 1 I  f t dt   f
 tdt  ftdt  844  16 . 2     5 5 5 2  0 0  2 Vậy f  5 x 2dx  32. 2  Chọn ï B.
126 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 31: Cho hàm số f x liæn tục trên , cê đạo hàm cấp hai thỏa mãn   x x.f ' x  e  x và f'2  2e,   2
f 0  e . Mệnh đề nào sau đây là đîng?
A. f 2  4e  1. B.   2 f 2  2e  e . C.   2 f 2  e  2e.
D. f 2  12. Lời giải Từ giả thiết   x
x.f ' x  e  x lấy tèch phân cận từ 0 đến 2 ta có 2 x.f'  x 2 dx    x e  xdx 1 0 0 u  x d  u  dx
Áp dụng tèch phân từng phần ta đặt    d  v  f '  x v  f  x 2 2   Khi đê      2 2     x x 1 x.f ' x f ' x dx  e   0 0  2  0 2 2    2    2   x x x.f ' x f x  e    2.f' 
20.f'0  f   2  f 0 2   e  2  1 0 0 2    0
Mặt khác do f'2  2e,   2
f 0  e  f 2  4e  1 Chọn ï A.
Câu 32: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 1;2, đồng biến træn 1;2, thỏa mãn 2 2 2 f 1  0 , f '  x 2 dx  2  và f
 x.f'xdx  1. Tích phân fxdx  bằng? 1 1 1 A. 2 . B. 2. C. 2. D. 2 2. 2 Lời giải
Hàm dưới dấu tèch phân là    2 f ' x  , f 
x.f'x næn ta sẽ liæn kết với bçnh phương 2        2 f ' x f x  2 
 . Nhưng khi khai triển thç vướng f  x dx 
nên hướng này khëng khả 1 2 2 2 2 2 2  
thi. Ta có       f x
f 2 f 1 f 2 0 1 f x .f ' x dx     f 2  2 2 2 2 1 1
Do đồng biến træn 1;2 nên f 2  f 1  0 2
Từ f 1  0 và f 2  2 ta nghĩ đến f'
 xdx  fx2  f2f1  2 0  2 1 1
Hàm dưới dấu tèch phân bây giờ là    2 f ' x  , f ' 
x næn ta sẽ liæn kết với    2 f ' x     Ta tçm được           f10 2 f ' x 2
f x  2x  C C   2 2 Vậy        2 f x 2x 2 f x dx   2 1 Chọn ï A.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 127
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Câu 33: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1, thỏa mãn f 1  1, 1 1 5   11 4 x f x dx  
và f'xdf x   . Tính f 2. 78 13 0 0
A. f 2  2. B.   251 f 2  . C.   256 f 2  . D.   261 f 2  . 7 7 7 Lời giải 1 1
Viết lại giả thiết ban đầu       4       2 4 f ' x d f x f ' x  dx  13  13 0 0 1 1 6 1
Díng tèch phân từng phần ta cê 5 x f  x x dx  f x 1 6  x f '  xdx 6 6 0 0 0 1
Kết hợp với giả thiết 2 f 1  1, ta suy ra 6 x f 'xdx   13 0 1       2 4 f ' x  dx    13
Bây giờ giả thiết được đưa về 0 
. Hàm dưới dấu tèch phân bây giờ là 1  6    2 x f ' x dx   13 0    2 6 f ' x  , x f ' 
x næn ta sẽ liæn kết với bçnh phương    2 6 f ' x  x  
 . Tương tự như bài træn
ta tçm được       6     2 7 f11 5 2 f ' x 2x
f x  x  C C  7 7 Vậy   2 7 5      261 f x x f 2  7 7 7 Chọn ï D. Câu 34: Cho hàm số   
f x liæn tục và cê đạo hàm træn 0;  , thỏa mãn hệ thức  2            x  f x tan x.f ' x  . Biết rằng 3f  f  a 3     
bln 3 trong đê a, b  . Tính 3 cos x  3   6 
giá trị của biểu thức P  a  b. A. 4 P   . B. 2 P   . C. 7 P  . D. 14 P  . 9 9 9 9 Lời giải
Biến đổi giả thiết ta cê     x      x cos xf x sin xf x sin xf x '  2  2 cos x cos x    x sin xf x 
dx  x tan x  ln cos x  C  2 cos x           Với 3 3 2 3 x   f   ln 2  3f   2 ln 2      2C. 3 2  3  3  3  3
128 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN           Với 1 3 1 3 x   f   ln 3  ln 2  C  f   ln 3  2 ln 2      2C 6 2  6  18 2  6  9  5       5 3 a  4  3f    f     ln 3   9  P  a  b    3   6  9 9 b  1   Chọn ï A.
Câu 35: Cho hàm số y  f x liæn tục træn đoạn 0;1 và thỏa mãn af b  bf a  1 với 1
mọi a, b0;1. Tính tích phân I  f  xdx. 0 A. 1   I  . B. 1 I  . C. I  . D. I  . 2 4 2 4 Lời giải Đặt  
a  sin x, b  cos x với x 0; 
 sin x.f cosx  cosx.f sin x  1 2        2  sin xf cos x 2 dx  cos xf sin x 2 dx  dx     1 0 0 0 2  0 1  2  sin x.f  cosxdx   f
 tdtt  cosx  fxdx 0 Ta có  1 0   1 1  2 cosx.f  sin xdx  f
 tdtt  sinx  fxdx  0  0 0 1 Do đê   1  f  xdx  . 4 0 Chọn ï D.
f3  x.f x  1
Câu 36: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm træn 0;3, thỏa mãn  với mọi f  x  1  3 xf 'x x 0;3 và   1
f 0  . Tính tích phân I  dx.  2 1  f  3x 2 2 0  .f  x A. 1 I  . B. I  1. C. 3 I  . D. 5 I  . 2 2 2 Lời giải
f 3  x.f x  1 Từ giả thiết   f 3    2 1 f 0   2 Ta có      2        2 2 1 f 3 x .f x = 1 f x    
 f 3  x.f x  1 xf 'x 3 3 3 3    1 x 1 Tính I  dx   xd        dx  1   J  1  f  x 2   1 f x   1  f x 1  f x 0 0        0   0
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 129
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 3 0 3 3 t3x  1 1 1 1 Tính J  dx   dt  dt  dx     1  f x 1  f 3  t 1  f 3  t 1  f 3  x 0   3   0   0   3 3 3 1 1            3 2J dx dx dx f 3 x .f x 1  3  J  1  f x 1  f 3  x 2 0   0       0 3 xf 'x Vậy 1 I  dx   1  f  3x 2 2  .f x 2 0    Chọn ï A.
f 1  g 1  4 
Câu 37: Cho hai hàm f x và g x cê đạo hàm træn 1;4, thỏa mãn g
 x  xf 'x với
fx  xg'x 4
mọi x1;4. Tính tích phân I  f
 xgxdx.  1 A. I  3ln 2.
B. I  4ln 2. C. I  6ln 2.
D. I  8ln 2. Lời giải
Biến đổi giả thiết ta cê
f x  g x  x.f 'x  x.g 'x  f x  x.f'x  g x  x.gx  0
 x.f x' x.g x'  0 
          C x.f x x.g x C f x g x  x Mà      4             4 4 f 1 g 1 4 C 4 I f x g x dx  dx  8ln 2   1 1 x Chọn ï D.
Câu 38: Cho hai hàm số f x và g x cê đạo hàm liæn tục træn 0;2, thỏa mãn 2
f '0.f '2  0 và         x g x .f ' x
x x 2 e . Tính tích phân I  f  x.g'xdx. 0 A. I  4. B. I  4.
C. I  e  2.
D. I  2  e. Lời giải f'0  0
Từ giả thiết f'0.f'2  0   f '  2  0 x     2 2  2e g 2      0 f ' 2
Do đê từ         x g x .f ' x x x 2 e   x   00   2e g 0       0 f ' 0 2
Tích phân từng phần ta được I  f  x.g x 2   g   x.f'xdx 0 0 2 2
 f 2.g 2  f 0.g 0  x  x2 xedx   x  x2 xedx  4. 0 0
130 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Chọn ï B.
Câu 39: Cho hàm số f x cê đạo hàm xác định, liæn tục træn 0;1, thỏa mãn f'0  1  và    2 f ' x   f '  x 
với mọi x0;1. Đặt P  f 1  f 0, khẳng định nào sau đây đîng f '  x  0
A. 2  P  1.
B. 1  P  0.
C. 0  P  1.
D. 1  P  2. Lời giải 1
Nhận thấy P  f 1  f 0  f'
 xdx næn ta cần tçm f'x. 0
Biến đổi giả thiết ta cê f ' x f ' x 1 1  1  dx  dx    x  C  f' x     f'  x 2  f'   x 2  fx   x  C 
Mà          1 f ' 0 1 C 1 f ' x   x  1 1 1 Vậy     1 P f ' x dx   dx  ln 2  0  ,69  x  1 0 0 Chọn ï B.
Câu 40: Cho hàm số y  f x liæn tục trên và thỏa mãn 3
f x  f x  x với mọi x  . 2 Tính I  f  xdx. 0 A. 4 I   . B. 4 I  . C. 5 I   . D. 5 I  . 5 5 4 4 Lời giải
Đặt u  f x , ta thu được 3 u  u  x. Suy ra  2 3u  1du  dx. x  0  u  0 1 Từ 3 5
u  u  x , ta đổi cận  . Khi đê I  u   2 3u  1du  . x  2  u   1 4 0
Cách 2. Nếu bài toán cho f x cê đạo hàm liæn tục thç ta làm như sau: 3
f 0  f 0  0 f 0  0 Từ giả thiết 3
f x  f x  x     3 f
 2  f 2  2 f  2  1 Cũng từ giả thiết 3
f x  f x  x , ta có   3
f ' x .f x  f 'x.f x  x.f 'x. 2 2
Lấy tèch phân hai vế f'  x 3
.f x  f 'x.f xdx  x.f '  xdx   0 0  fx fx 2 4 2  2 2        
    2         5 xf x f x dx f x dx  0  4 2  4 0 0   0 Chọn ï D.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 131
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Câu 41: Cho hàm số f x xác định và liæn tục træn 0;1, thỏa mãn f'x  f'1 x với 1
mọi x0;1. Biết rằng f 0  1, f 1  41. Tính tích phân I  f  xdx. 0 A. I  41. B. I  21. C. I  41. D. I  42. Lời giải
Ta có f'x  f'1  x  f x  f 1  x  C  f 0  f 1  C  C  42 1 1
 f x  f 1  x  42  f x  f 1  x  42  f
 xf1xdx  42dx  42   1 0 0 1 1
Vì f'x  f'1 x  f
 xdx  f1xdx. 2 0 0 1 1
Từ 1 và 2 , suy ra f
 xdx  f1xdx  21. 0 0 Chọn ï B.
Câu 42: Cho các hàm số f x , g x liæn tục træn 0;1, thỏa m.f x  n.f 1  x  g x với 1 1
m, n là số thực khác 0 và f  xdx  g
 xdx  1. Tính mn. 0 0
A. m  n  0. B. 1 m  n  .
C. m  n  1.
D. m  n  2. 2 Lời giải
Từ giả thiết m.f x  n.f 1  x  g x, lấy tèch phân hai vế ta được : 1 1 1 1 1 Do f  xdx  g  xdx  1  m.f
 xn.f1xdx  g(x)dx    m  n f
 1xdx  11 0 0 0 0 0 1 x  0  t  1 Xét tích phân f
 1xdx. Đặt t  1 x , suy ra dt  dx  . Đổi cận:  x  1  t   0 0 1 0 1 1 Khi đê f
 1xdx   ftdt  ftdt  fxdx  1. 2 0 1 0 0
Từ 1 và 2 , suy ra m  n  1. Chọn ï C. ln 8
Câu 43: Biết tích phân 1 1 b dx  1  ln  a a  b  với a, b   . Tính giá trị 2x x e  1  e 2 a ln 3
của biểu thức P  a  b A. P  1. B. P  1. C. P  3. D. P  5. Lời giải
Biến đổi tèch phân ban đầu ta được
132 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN ln 8 ln 8 1 I  dx     e 1 e  ln 8 ln 8 2x x 2x x dx  e  1dx  e dx   2x x   ln 3 e 1 e ln 3 ln 3 ln 3 ln 8  ln 8 Xét tích phân x x e dx  e  2 2  3  ln 3 ln 3 ln 8  Xét tích phân 2x e  1dx.  Đặt 2x 2 2x
t  e  1  t  e  1 ln 3 x  ln 3  t  2 2x tdt tdt  2tdt  2e dx  dx   . Đổi cận:  2x 2 e t  1 x  ln 8  t  3 ln 8 3 2 3 3 Khi đê      2x t dt 1 1 t 1 1 3 e  1dx  dt  1  dt  t  ln  1       ln . 2 2 t  1  t  1   2 t  1  2 2 ln 3 2 2 2 1 3 a  2
Vậy I  1 ln  2 2  3    P  a  b  5 2 2 b   3 Chọn ï D. 4 x Câu 44: Biết 1 x  e b c  dx  a  e  e 
với a, b, c . Tính P  a  b  c. 2x 4x xe 1 A. P  5. B. P  4. C. P  3. D. P  3. Lời giải
Biến đổi tèch phân ban đầu ta cê: x 2x x    e 2 x 1 x e e 4x 4e x 2 x 4 4 4  dx  dx  dx    2x 2x 4x xe 4xe  x 1 1 1 2e x 2 4 4 x 4 e  2 x  1 1   1  1 1 1  4  dx     dx  x   1   1 e    e x x x 4 2e x  2 x e   e  e e 1 1 1 a  1
Vậy ta được b  1
  P  a  b  c  4. c  4   Chọn ï B. 2 Câu 45: Biết 2  x dx  ab 2 c 
với a, b, c . Tính P  a  b  c. 2  x 0 A. P  1. B. P  2. C. P  3. D. P  4. Lời giải Đặt   x  2 cos u với u  0;  . Suy ra 2 x  4 cos u  dx  4  sin 2udu. 2   
Khi đê tèch phân ban đầu trở thành:
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 133
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ   u 2 2 cos 2  2 cos u 2 I  4 sin 2udu  8 .sin u.cos udu     2 2 cos u u  sin 4 4 2     2 2 2 2 2 u  16 cos .cos udu  8 
1cosu.cosudu  8 cosudu 4  1cos2udu  2    4 4 4 4 a  1    2  8sin u              4x 2.sin 2u 2 4 2 6 b 4 P 3 4 4 c   6 Chọn ý C.  6 2 Câu 46: Biết x cos x  3 dx  a   
với a, b, c là các số nguyæn. Tènh giá trị của 2  1  x  x b c  6
biểu thức P  a  b  c. A. P  37. B. P  35. C. P  35. D. P  41. Lời giải    6 6 6 Ta có x cos x I  dx  x cos x    2 1  x  xdx  x   2 1  x  x cos xdx. 2   1  x  x      6 6 6      6  6 x cos x tcost 6 x t Mặt khác       t cos t I dx d t  dt  2  1  x  x        1  t2 2 t  1 t t 6 6 6   6   t   1t t 6 2 cos tdt   x   2 1  x  xcosxdx.     6 6   6  2I  x   1x x 6 2 cos xdx  x   2 1  x  xcosxdx     6 6   6 6 2 2  2 
x cos xdx  I   x cos xdx       6 6 a  2 2
Tèch phân từng phần hai lần ta được  3  I  2    b  36
  P  a  b  c  35 3  6 3  c  3   Chọn ï C.
134 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 47 : Cho hàm số  
y  f x xác định và liæn tục træn 1 ;2 ,  thỏa mãn điều kiện 2    2    1  f x 2 1 f x  f  x     2. Tính tích phân I  dx.  2  x  x 2 x  1 1 2 A. 3 I  . B. I  2. C. 5 I  . D. I  3. 2 2 Lời giải 1  1   1   1  f   f   f 2 2 2   Đặt 1 1  t   1 
x  , suy ra dx   dt. Khi đê  t   x I . dt dt         dx   t 2 t 2 2 2 1  t  t  1 x  1 2 1 1  1 2 2 2 t  1   1  1  f x f   f x 2 2 2 2 f   2 x   2 2  x   x  x  2I  dx  dx  dx  dx     2 2 2 2 x  1 x  1 x  1 x  1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x  1  1   1  3  dx   1 dx  x   3  I  2 2 x  x   x  1 2 1 1 2 2 2 Chọn ï A.
Câu 48: Cho hàm số f x thỏa mãn f x  0, x
  0 , f '0  0;f 0  1 và đồng thời điều
kiện         2 3 f ' x f x 2 f ' x   xf 
x  0. Tènh giá trị của f1 ? A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 3 2 7 6 Lời giải
Biến đổi giả thiết tương đương
f 'xdf 'x  f 'xd 2 f x f 'x 2 x  x    C  C  0 4 f x 2 f x 2 3 1 x 6 6          f x K K 1 f x f 1 3 6 x  6 7 Chọn ï C.
Câu 49: Có bao nhiêu hàm số y  f x liæn tục træn 0;1 thỏa mãn điều kiện 1 fx2018 1 dx  f x2019 1 dx     fx2020 dx 0 0 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải
Từ điều kiện ta suy ra 1
 fx2018 fx12 dx  0  fx2018 fx12  0 0 f x  1
Mà f x liæn tục træn 0;1 nên 
. Vậy cê 2 hàm thỏa mãn yæu cầu đề bài. f  x  0
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 135
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Chọn ï C.
Câu 50: Cho hàm số f x liæn tục træn đoạn 1;4 có      5 f 1
1; f 4  3ln  1 và thỏa mãn 2 4 f 'x đồng thời 4 9      2 5 27 4 dx ; x f ' x dx  9ln 
. Tính tích phân f xdx  1 1 x  1 10 2 10 1 A. 5 5ln  6 B. 5 5ln  6 C. 5 15ln  6 D. 5 15ln  6 2 2 2 2 Lời giải Ta viết lại 4 5 27 xf ' x dx  9ln   A  1   2 2 10 Từ giả thiết ta suy ra 4
        4 5      4 f 'x 5 9 f ' x dx f 4 f 1 3ln f ' x dx  dx  3ln   1 1 1 2 x  1 2 10 4 xf 'x   Hay 4 5 9         x 5 9 dx 3ln xf ' x . dx  3ln   B 1 1 x 1 2 10  x 1    2 10   2   Ta dễ dàng tènh được 4 x 5 3    dx  ln   C 1  x 1   2 10     Ta xây dựng tèch phân 4   xf'x m x 2 
dx  0  A  2Bm  Cm  0  m  3  1  x 1    
Từ đê tçm được   4 3      5 f ' x f x dx  15ln  6 1 x  1 2 Chọn ï C.  2018  cosx1cosx 2 
Câu 51: Cho tích phân I  ln 
 dx  aln a  bln b  1  với a,b là các số  2018  sin x 0   
nguyæn dương. Giá trị của a  b bằng? A. 2015 B. 4030 C. 4037 D. 2025 Lời giải Sử dụng tènh chất b f  x b dx  f
 abxdx , ta có a a  
2018  cosx1cosx 
2018  sin x1sinx 2 2  I  ln   dx  ln   dx    2018  sin x   2018  cos x 0 0       2   2I  ln 
 2018 cosxcosx 2018sinxsinx 2 dx  sin x ln  2018  cosxdx   0 0 1  ln
 2018 xdx  2019ln20192018ln20181 0 Chọn ï C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
136 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  1. Tính tích phân 4 ln  1tanxdx 0 2.     b ln 2
Cho 2 số thực a, b 0;
thỏa mãn a  b  ; ln1 tan xdx   . Tích tích 2    a 4 24 phân b xsin12xdx  a Câu 52: Cho hàm số 8
y  f x cê đạo hàm f 'x  0, x  0;8 và f
 xdx  10 . Giá trị 0
lớn nhất của hàm số   x 1 g x  f
 tdt trên 0;8 là? 0 x A. 4 B. 10 C. 5 D. 8 5 4 Lời giải  xftdt x '.x  1 f  tdt xfx x  f t dt  0 0   h x Ta có g'x 0    2 2 2 x x x
 h'x  f x  xf'x  f x  xf'x  0, x
 0;8  h x  h 0  0    hx           5 g' x 0, x 0;8 maxg x g 8  2 0;8 x 4 Chọn ï C. Câu 53: Cho hàm số     
y  f x cê đạo hàm và liæn tục træn 0;  thỏa mãn f    3 đồng 4     4     4 f x 4 4 thời dx  1  và sin x.tan x.f 
xdx  2 . Tích phân sin x.f'  xdx bằng? cos x  0 0 0 A.   4 B. 2 3 2 C. 1 3 2 D. 6 2 2 Lời giải u  sin x d  u  cosxdx
Áp dụng cëng thức tènh tèch phân từng phân ta đặt    . d  v  f  xdx v  f  x   4
Khi đê tèch phân cần tènh trở thành 3 2
I  sin x.f x 4  cos x.f  xdx   I . 0 1 2 0
Biến đổi giả thiết ta cê   4 4  f x  2   2  sin x.tan x.f  xdx    sin x.  dx  cos x 0 0     4  4  f x 4     f x  2 1   cos x   .  dx .  dx    cos x.f  xdx  1 I .  cos x cos x 1 0  0  0   I  1  3 2  I   3 2 2 1  . 1 2 2
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 137
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Chọn ï B. f 2 x  1 Câu 54: Cho hàm số ln x
f x liæn tục træn đoạn 1; 4 và thỏa mãn f x   . x x 4 Tính tích phân I  f  xdx. 3 A. 2 I  3  2 ln 2 B. 2 I  2 ln 2 C. 2 I  ln 2
D. I  2 ln 2 Lời giải 4 4  f 2 x  1  4 f 2 x  1 4 Ta có ln x ln x f xdx      dx   dx  dx    . x x  x x 1 1   1 1 4 f 2 x  1 Xét tích phân K  dx  . x 1 3 3 Đặt  2 x  1  t t 1  x  dx   dt . K  f
 tdt  fxdx . 2 x 1 1 4 4 4 2 Xét tích phân ln x ln x M  dx   ln xd  ln x   2 2 ln 2 . x 2 1 1 1 4 3 4 Do đê f  xdx  fx 2 dx  2 ln 2  f  x 2 dx  2 ln 2 . 1 1 3 Chọn ï B.
Câu 55: Cho hàm số y  f x liæn tục, luën dương træn 0;3 và thỏa mãn điều kiện 3 3 I  f
 xdx  4 . Khi đê giá trị của tèch phân 1lnfx K  e  4dx là? 0 0 A. 4  12e B. 12  4e C. 3e  14 D. 14  3e Lời giải
Biến đổi tèch phân cần tènh ta cê 3 3   3 3 3 3 1 ln fx K  e  4 lnfx dx  e.e dx  4dx  e. f  
 xdx 4dx  4e  4x  4e 12  . 0 0 0 0 0 0 Vậy K  4e  12 . Chọn ï B.
Câu 56: Cho a là số thực dương. Biết rằng Fx là một nguyæn hàm của hàm số   x     1    f x e ln ax   thỏa mãn 1 F    0 và   2018 F 2018  e
. Mệnh đề nào sau đây đîng ? x     a  A.  1    a ;1 B. 1 a0;
C. a1;2018
D. a2018; 2018    2018   Lời giải
138 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN x Xét nguyên hàm x      1  x      e I e ln ax dx e ln ax dx    dx  1  x  x  Tính tích phân x e ln axdx  :      1 u ln ax du   dx x Đặt e    x x  e ln  ax x dx  e ln ax  dx  x dv    e dx x v  x  e
Thay vào 1 , ta được:   x F x  e ln ax  C .   1  F  1    0  C  0 Với  a   e   a  e .ln 1 C 0      a  .  2018 2018 ln  a.2018  1 2018 F e ln  a.2018   2018 2018  e C e Vậy  1  a ;1 . 2018    Chọn ï A. Câu 57: Biết rằng 2017x
Fx là một nguyæn hàm træn của hàm số f x   thỏa x  12018 2
mãn F1  0 . Tçm giá trị nhỏ nhất m của Fx . 2017 2017 A. 1   m   B. 1 2 1 2 m  C. m  D. 1 m  2 2018 2 2018 2 2 Lời giải Xét nguyên hàm sau:    2017x 2017  f x dx    x 1 2018 2 d 2 x  1  x  1 dx 2018 2 2  2017    2017 2 x 1  1 .  C    C  Fx 2 2  017 2x  12017 2 Theo giả thiết ta cê 1 1 F 1  0    C  0  C  2017 2018 2.2 2 Do đê   1 1 F x    suy ra    2017 2018 2 2 2. x 1 1
Fx đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi lớn nhất   2
x  1 nhỏ nhất  x  0 2x  12017 2 2017 Vậy 1 1 1  2 m     . 2018 2018 2 2 2 Chọn ï B.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 139
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1
Câu 58: Với mỗi số nguyæn dương I n ta kè hiệu I  x  1x n 2 2 dx . Tính n1 lim . n n I 0 n A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 Lời giải du   dx 1 u  x  Xét tích phân  I  x  1x n 2 2 dx . Đặt     1  x n 1 2 . n dv  x  1  x n 2 dx   0 v 2  n  1  x1 x  1 n 1 2 1 1 Khi đê 1     n1 1  I 1 x dx  1x n 1 2 2 dx n n  1 2 n  1 2 n  1 0   0 0 1 1   I     1 x 1 x n 1 2 2 dx n 1 2n  2 0 1 1      I       1 x  1 n 1 dx x  1 x n 1 2 2 2 dx n 1  2n  2 0 0  1   I  2n 1 I I      n 1 n1     .  2 n 1 I I lim 1 n 1 2n 2    n n1  n I 2n  5  I n n Chọn ï A. 3
Câu 59: Tçm tất cả các giá trị dương của  10  m để x
 3xm dx  f'   , với   15 f x  ln x .  9  0 A. m  20 B. m  4 C. m  5 D. m  3 Lời giải 14
Theo giả thiết ta cê       15 15x 15 15
f x  ln x  f 'x    f' x  10 243  f '    . 15 x x 2 x  9  20 3 Tính tích phân I  x  3xm dx . 0 x 0 3
 Đặt t  3  x  x  3  t , dx  dt  , đổi cận t 3 0 0 3 3 m1 m2 m2  3t t 3
Do đê I  3  t m t  d  t   m m1 3t  t dt    m  1 m  2 m  1m  2 3 0 0 3 m2 m2 5 Ta có    m  10  3 243 3 3 x 3 x dx  f       9  m  1m  2 20 m 1m  2 4.5 0
Thay lần lượt các giá trị m ở 4 đáp án, nhận giá trị m  3 . Chọn ï D.
140 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 60: Cho hàm số  
f x liæn tục, khëng âm træn đoạn 0; 
, thỏa mãn f 0  3 và 2          2 
f x .f ' x  cos x. 1  f x , x   0; 
. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của 2    hàm số    f x træn đoạn ;  . 6 2    A. 21 m  , M  2 2 . B. 5 m  , M  3 2 2 C. 5 m  , M  3 .
D. m  3 , M  2 2 . 2 Lời giải Từ giả thiết ta có     f x.f 'x f x.fx 2
f x .f ' x  cos x. 1  f x   cos x  dx  sin x  C  2 f x  1 2 1  f x Đặt 2     2 2 t
1 f x  t  1  f x  tdt  f xfxdx .
Thay vào ta được dt  sin x  C  t  sin x  C  2
 1  f x  sin x  C .
Do f 0  3  C  2 . Vậy 2    2      2 1 f x sin x 2
f x  sin x  4sin x  3      2 
f x  sin x  4sin x  3 , vç hàm số f x liæn tục, khëng âm træn đoạn 0;  . 2    Ta có   1
 x    sin x  1 , xåt hàm số   2
g t  t  4t  3 cê hoành độ đỉnh t  2 loại. 6 2 2 Suy ra  1  21
maxg t  g 1  8 , ming t  g    .  1   1  ;1  2  4  ;1 2    2    Suy ra       21 max f x  f 
  2 2 , min f x  g    .     ;  2   6  2  ; 6 2     6 2   Chọn ï A. 1
Câu 61: Cho f x là hàm số liæn tục træn thỏa mãn đồng thời f  xdx  4, 0 3 1 f
 xdx  6. Tính tích phân I  f   2x1 dx 0 1  A. I  3 B. I  5 C. I  6 D. I  4 Lời giải Đặt u  2x  1
1  dx  du . Khi x  1 thì u  1 . Khi x  1 thì u  3 . 2
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 141
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 3 0 3   0 3   Nên 1 1 1 I  f   u du   f
  u du f u du   f
 udu fudu . 2 2 2 1   1 0   1 0  1 Xét tích phân f
 xdx  4 . Đặt x  u   d x  du . 0 1 1  0
Khi x  0 thì u  0 . Khi x  1 thì u  1 . Nên 4  f xdx    f  udu  f  udu . 0 0 1  3 3 0 3   Ta có 1 1 f
 xdx  6  fudu  6 . Nên I   f
 udu fudu  46  5. 2 2 0 0  1 0  Chọn ï B.  2018 a Câu 62: Biết xsin x  d x  
trong đê a , b là các số nguyæn dương. Tènh 2018 2018 sin x  cos x b 0 P  2a  b . A. P  8 B. P  10 C. P  6 D. P  12 Lời giải  2018 Xét tích phân xsin x I  d x  . 2018 2018 sin x  cos x 0
 Đặt x    t  d x  d t .
 Khi x  0 thì t   .
 Khi x   thì t  0 . 0 t 2018 sin t  x 2018 Ta có sin x I   d t   d x  2018      2018 2018 sin x  cos x  sin  t 2018 cos  t 0  2018  2018 sin x xsin x  2018   sin x d x  d x     d x  I  . 2018 2018 2018 2018 sin x  cos x sin x  cos x 2018 2018 sin x  cos x 0 0 0  2018 Suy ra  sin x I  d x  . 2018 2018 2 sin x  cos x 0  2018 Xét tích phân sin x J  d x  . 2018 2018   sin x cos x 2 
 Đặt x   u  dx  du . 2   Khi x  thì u  0 . 2 
 Khi x   thì t   . 2    2018   sin   u 2  0 2018 Nên  2 cos x J    d u   d x  .      2018 2018 2018 2018    sin x cos x 0 sin  u  cos     u  2 2      2
142 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2018 Vç hàm số   cos x f x  là hàm số chẵn næn: 2018 2018 sin x  cos x  0 2018 2 2018 cos x cos x dx  d x   2018 2018 2018 2018    sin x cos x sin x cos x 0  2 Từ đê ta cê:     2018  sin x 2 2018  2018   sin x sin x  I  d x   d x  d x   2018 2018 2 sin x  cos x  2018 2018 2018 2018 2 sin x cos x     sin x cos x 0  0   2      2 2018 2 2018   sin x cos x   d x  d x    2018 2018 2018 2018 2 sin x cos x sin x cos x     0 0      2 2018 2018 2 2  sin x  cos x    d x  d x    . 2018 2018 2 sin x  cos x 2 4 0 0
Như vậy a  2 , b  4 . Do đê P  2a  b  2.2  4  8 .
Ngoài cách làm này các bạn cê thể sử dụng các tènh chất của phần tènh tèch phân bằng
phương pháp đổi cận đổi biến. Chọn ý A. Câu 63: Cho hàm số   2x
y  f x cê đạo hàm træn thỏa mãn 3f 'x 3  2 f x x 1 .e   0 và 2 f x 7
f 0  1 . Tích phân x.f xdx  bằng 0 A. 2 7 B. 15 C. 45 D. 5 7 3 4 8 4 Lời giải Ta có   3  2 f x x 1 2x 3f ' x .e   0  2     3  2 f x x 1 3f x .f ' x .e 2x.e   2 f x Suy ra 3  2 f x x 1 e  e
 C . Mặt khác, vç f 0  1 nên C  0 . Do đê 3  2 f x x 1 e e   3    2
f x  x  1    3 2 f x  x  1 . 7 7 7 Vậy 1 3 45 x.f xdx  3 2  x. x  1 dx  3 2  x  1 d   2x 1  2x 1 7 3 2 x 1     . 2 8   8 0 0 0 0 Chọn ï C.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 143
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Câu 64: Cho hàm số y  f x liæn tục træn  thỏa mãn đồng thời điều kiện 2
         2x2x1 3f x f 2 x 2 x 1 e
 4 . Tính tích phân I  f
 xdx ta được kết quả là? 0
A. I  e  4 B. I  8 C. I  2
D. I  e  2 Lời giải 2 2
Theo giả thuyết ta cê 3f
 xf2 xdx  2   x1 2x2x1 e  4dx *   . 0 0 2 2 2 Ta tính f
 2xdx   f2 xd2 x  fxdx . 0 0 0 2 2 Vç vậy 3f
 xf2xdx  4 f   xdx . 0 0 2 2 2 Hơn nữa 2  x1 2 2 e   dx  e   d  x 2x1 2 2 x 2x 1 x 2x 1 2 x 2x1  e  0 và 4dx  8  . 0 0 0 0 Chọn ï C. 0 1 2 3 2017 2018 Câu 65: Tènh tổng C C C C C C 2018 2018 2018 2018 2018 2018 T        . 3 4 5 6 2020 2021 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4121202989 4121202990 4121202992 4121202991 Lời giải
Xåt khai triển 1 x2018 0 1 2 2 2018 2018  C  C x  C x  ... C x 2018 2018 2018 2018  x 1  x2018 2 0 2 1 3 2 4 2018 2020
 C x  C x  C x  ... C x 1 2018 2018 2018 2018 Ta tính 1 I  x  1x2018 2
dx , đặt t  1  x , dt  dx 
, đổi cận x  0  t  1 , x  1  t  0 0 1 2019 2020 2021   Khi đê 1 1 t t t I   1 t2 2018 t dt    2018 2019 2020 t  2t  t dt    2   0 0  2019 2020 2021  0 1 1 1    1  . 2019 1010 2021 4121202990
Lấy tèch phân hai vế của 1 ta được: 1 1 x  1x2018 2 dx   0 2 1 3 2 4 2018 2020 C x  C x  C x  ...  C x dx 2018 2018 2018 2018  0 0 1 1 3 4 5 2021    0 x 1 x 2 x 2018 x  C  C  C  ... C  4121202990 2018 2018 2018 2018  3 4 5 2021  0 1  0 1 1 1 2 1 2018 1  C  C  C  ... C . 4121202990 2018 2018 2018 2018 3 4 5 2021 0 1 2 3 2017 2018 Vậy C C C C C C 2018 2018 2018 2018 2018 2018 T        1  . 3 4 5 6 2020 2021 4121202990 Chọn ï B.
144 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 66: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn khoảng 0;1 và f x  0 , x  0;1 .   Biết rằng   f x thỏa mãn 1 f    a , 3 f 
  b và x  xf 'x  2f x  4 , x  0;1 . Tính  2   2     3 2 tích phân sin x.cos x  2 sin 2x I  dx  theo a và b . 2  f sin x 6 A. 3a  b    I  B. 3b a I  C. 3b a I  D. 3a b I  4ab 4ab 4ab 4ab Lời giải Theo giả thiết ta có:
x  xf 'x  2f x  4  x  4  2f x  xf 'x 2  x  4x 2xf x 2  x f'x 2 2    2      2 x 4x x x 4x 2xf x  x f 'x       . 2 f x 2 f x 2 f x  fx      3 2 3 2 Tính tích phân sin x.cos x  2 sin 2x sin x.cos x  4 sin x.cos x I  dx  dx   2  f sin x 2  f sin x 6 6 Đặt  
t  sin x  dt  cos xdx , đổi cận 1 x   t  , 3 x   t  . 6 2 3 2 2 2  3  3 3  1    2 2 2 2 2   Ta có t  4t t 3 1 3a  b I  dt      2       . 2 f t f t  3   1  4b 4a 4ab 1   1 f f     2 2 2  2    Chọn ï D.
Câu 67: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn điều kiện     2 f x  f  x  
 sin x.cos x , với mọi x  và f 0  0 . Giá trị của tèch phân x.f  xdx  2  0 bằng A.    B. 1 C. D. 1  4 4 4 4 Lời giải Theo giả thiết,         
f 0  0 và f x  f  x  
 sin x.cos x nên f 0  f    0  f    0 .  2   2   2      2 2  2 2 Ta có: I  x.f  xdx  xdf  x    xf  x 2   f 
 xdx  I   fxdx . 0 0 0 0 0 Mặt khác, ta cê:
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 145
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ          1 f x  f  x   sin x.cos x   2 f  x 2 2 dx  f  x dx  sin x.cosxdx       2  0 0 0  2  2   Suy ra    f  x 0 1 1 2 2 dx   f  x dx   f   xdx    0 0  2  2 4 2 π 2 Vậy     1 I f x dx    . 4 0 f '  x 3 2  Câu 68: Cho hàm số  7
f x thỏa mãn f 'x  0, x  1;2 và dx   . Biết 4 x 375 1 2 f 1  1,   22 f 2  , tính I  f  xdx. 15 1 A. 71 P  B. 6 P  C. 73 P  D. 37 P  60 5 60 30 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: f 'x 3  x x f 'x 3 2 2 2 2      x x 3f 'x 3    3 . .  4 4 x 125 125 x 125 125 25 f'x 3 2 2 2 2    x 3f 'x
Lấy tèch phân hai vế BĐT træn ta cê: dx  2 dx  dx    4 x 125 25 1 1 1 f'x 3 3 2 2  7 3            f'x     7 dx 2. f 2 f 1   dx   . 4  4 x 375 25 x 375 1 1
Kết hợp với giả thiết ta cê dấu “ ” của BĐT træn xảy ra f'x 3 2 6 2 3    x      3 x       x     x f ' x f ' x f x   C . 4 x 125 125 5 15 3 Mà   1 14          x  14 f 1 1 1 C C f 1  15 15 15 2 3 Ta có x  14 71 I  dx   . 15 60 1 Chọn ï A.  2 Câu 69: Cho       a
4 cos 2x 3sin 2x ln cos x 2 sin x dx  cln 2   , trong đê a , b , * c  , a b b 0
là phân số tối giản. Tènh T  a  b  c . A. T  9 B. T  11 C. T  5 D. T  7 Lời giải  2
Biến đổi giả thiết ta cê I  4cos2x  3sin2xlncosx  2sinxdx 0
146 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  2  2
 cosx 2sinx2cosxsinxlncosx 2sinxdx . 0
Đặt t  cos x  2 sin x  dt  sin x  2 cosxdx .
 Với x  0 thì t  1 . 
 Với x  thì t  2 . 2 2 2 2 2 Suy ra t I  2t ln tdt   ln td   2t t .lnt 2 2 2  tdt   4ln2  3  4ln 2  . 1 2 2 1 1 1 1 a  3
Vậy b  2  T  a  b  c  9. c   4 Chọn ï A.
Câu 70: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f0  9 và      2 9f ' x f ' x  x  9 
. Tính T  f 1  f 0.
A. T  2  9ln 2 B. T  9 C. 1 T   9ln 2
D. T  2  9ln 2 2 Lời giải f ' x  Ta có   1   1    2 9f ' x f ' x  x  9 
           2 9 f ' x 1 f ' x  x      . f '  x 2  x 9  f' x  Lấy nguyæn hàm hai vế 1 1  1 x dx  dx      C . f '   x 2  x 9  f x  x 9 Do f0  9 nên 1 C  suy ra   9 f x  x     9 f x   x 9 x  1 x  1 1 1 2   Vậy        9  x 1 T f 1 f 0    xdx  9ln x  1    9ln 2  .  x  1   2 2 0  0
Câu 71: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm træn thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
f 0  f'0  1  f
 x  y  f x  f y  3xy x  y  1, x,y   1 Tính tích phân f  x1dx. 0 A. 1 B. 1  C. 1 D. 7 2 4 4 4 Lời giải
Lấy đạo hàm 2 vế theo hàm số y ta được       2 f ' x y
f ' y  3x  6xy , x  .
Cho        2 y 0 f ' x f ' 0  3x    2 f ' x  1  3x
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 147
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Vậy       3 f x
f ' x dx  x  x  C mà f 0  1  C  1 suy ra   3 f x  x  x  1 . 1 0 0 0 4 2    x x 1 1 f x  1dx   f xdx  
  3x x1dx     x     1 1  .  4 2 4 2 4 0 1  1   1 Chọn ï C.
Câu 72: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn thoả mãn đồng thời các fx  0,x , 
điều kiện f 0  f'0  1,
. Mệnh đề nào sau đây đîng?  x f   x 2   f   x 2   f  xf x,x . A. 1  3 ln f 1  1 B.    1 0 ln f 1 
C.  ln f 1  2 D.    3 1 ln f 1  2 2 2 2 Lời giải Ta có
f x f x  f   x 2  fx   2 f ' x   x    2         2 x f x f x   f  xf x   x     x   C . f x 2    f  x  f x 2
Lại cê f 0  f'0  1  C  1. fx 2 1 fx 1 2   Ta có x x  ln f x  1 7     1  dx    1dx       7 ln f 1  . f x 2 f x  2 0 6 6 0   0       3 1 ln f 1  . 2 Chọn ï D. 2 a x b x Câu 73: Cho các số e e a, b  2 thỏa mãn 2 dx  dx  
. Khi đê, quan hệ giữa a,b là? x x 1 1 A. a  2b B. b  2a C. 2 a  b D. 2 b  a Lời giải 2 2 2 2 a x a x a x a x Ta có e e e       2 e 2 dx 2xdx d x  dx  nên 2 b  a 2 2  x x x x 1 1 1 1 Chọn ï D.
Câu 74: Cho hàm số f x cê đạo hàm cấp hai træn và 2     2 f x
x  2x  4f x  2 Biết rằng 2 f x  0, x
  tính tích phân I  xf '  xdx . 0 A. I  4 B. I  4 C. I  0 D. I  8 Lời giải Theo giả thiết ta cê 2 I  xf '  xdx  f'x 2 2  f '
 xdx  f'x2 fx2  f'2f'0f2f0 0 0 0 0 0
148 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Trong giả thiết ta thay x  0;x  2 ta có: 2 f 0  4f 2 f 0  4  4  f 0 2
 16f 2  64f 0   2 f  2  4f 0 f  2  4
Đạo hàm hai vế ta cê               2 2f ' x .f x 2x 2 f x 2
x  2x  4f'x  2  2
 f'0  2  f'2 f'0  2 
Lại thay x  0 và x  2, ta có     2  f'  2  2   f'0 f '  2  2
Kết hợp lại ta được I  2   2    4  4  4.
Câu 75: Trong giải tèch,     p m n I x ax
b dx với a, b  và m, n,p \  0 được gọi là
tènh được (cî thể biểu diễn bởi các hàm như đa thức, hữu tỷ, lượng giác, logarit, ...) khi một a trong các số m  1 m  1 x dx p, ,p 
là số nguyên. Xét nguyên hàm I   , hỏi cê bao n n  x 16 a 5
nhiæu số a2,3,4,5,6,7,8,9, 
10 để I cê thể tènh được? A. 5 B. 9 C. 4 D. 6 Lời giải
Ta viết lại nguyæn hàm đã cho thành      6 a 5 a I x x 1 dx nên 6 m  a,n  5,p   . a
Theo đề bài ta chỉ cần cê 6 a  1 6 a  1   ,  , 
 , suy ra a2,3, 4,5,6,  9 a 5 a 5
Chú ý. Đây là một bài toán về biến đổi lũy thừa, yếu tố nguyæn hàm chỉ là phụ. Cëng thức
træn cê tæn là định lï Chebyshev.
Câu 76 : Một con dæ được buộc vào điểm A træn hàng rào
về phèa ngoài của khu vườn hçnh trén tâm O bán kènh
6m. Sợi dây buộc con dæ cê độ dài bằng nửa chu vi khu
vườn. Hçnh bæn më tả phần cỏ bæn ngoài vườn mà con dæ
cê thể ăn được. Biết rằng với hàm số f :0;  và điểm A B
B thuộc O sao cho AOB    0 thç đoạn BC là tiếp O
tuyến O cê độ dại f  sẽ quåt qua một phần mặt C
phẳng mà diện tèch được xác định bởi  2 f d  khi  0
thay đổi từ 0   ( ở đây tènh cả bæn trái lẫn bæn phải)
Từ cëng thức træn hay xác định diện tèch S phần cỏ mà con dæ cê thể ăn được. A. 3 S  32 B. 3 S  18 C. 3 S  30 D. 3 S  28 Lời giải
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 149
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Ta thấy khi dæ cê thể di chuyển tự do về phèa khu vườn O, nhưng khi di chuyển về phèa
dưới thç chỉ cê một phần của dây sẽ trải træn O, phần dây cén lại nếu muốn đi xa nhất
thç sẽ tạo thành tiếp tuyến với O, tức là nằm træn biæn của đường cong trong hçnh. Phần
cỏ dæ ăn được là sẽ phần bæn trong đường biæn và bæn ngoài O. Tiếp tuyến tại A của
O chia phần cê của dæ thành træn và dưới với diện tèch là S ,S . 1 2
Phần træn là nửa hçnh trén bán kènh bằng độ dài sợi dây là  6 nên S  62 3  18 1 2
Để tènh S ta díng cëng thức đã cho. 2
Độ dài cung AB là 6 nên BC  6  60    . Suy ra  S   662 3 3
d  12  S  S  S  30 2 1 2 0
Bài toán trên cî tên gọi là “grazing goat problem”, một bài toán rất thú vị của toán cao cấp. Cïng
thức trên xuất phát từ tìch phân 2 lớp, tọa độ cực nằm ngoài chương trënh THPT nên đề bài đã cho
sẵn dạng sơ cấp của nî để dễ áp dụng.
Câu 77: Cho hàm số f x liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện 1   2 2    2 1  1  xf x x f x dx  
Giá trị nhỏ nhất của tèch phân 2 2 x    f xdx bằng? 0 5 0  2  A. 3 B. 16 C. 2 D. 7 10 45 5 20 Lời giải 2  1  2 1 2  A     x  f x dx
Để đơn giản ta coi a  f x khi đê với 0  3   ta có: 1 B  xf  x   2 2 x  f xdx  0 2 1 1  2 1 2        2 2   2 A x a dx;B xa x a dx   
và từ đánh giá cíng bậc cê 0 0  3  5
a 3x 2 4axa x 8x  ax4 2 2 2 2 4  0 1    2 2  2 1   2 2   1 4 8 16 9A a 3x dx 4 ax x a dx  8 x dx  4B      0 0 0 5 5
Dấu “=” xảy ra khi x  f x , x  0;1. Chọn ï B.
150 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 78: Cho hàm số f x cê đạo hàm træn 1;3 và f 1  0, max f x  10. Giá trị nhỏ 1;3 3 nhất của tèch phân f'  x 2 dx  bằng? 1 A. 1. B. 5. C. 10. D. 20. Lời giải
Nhận thấy rằng max f x  10  x
  1;3 sao cho f x  10 0  0   1;3 Ta có f 1  0  x
  1;3 sao cho f x  10. 0  0  
Theo bất đẳng thức Holder ta có:  2 x0 f'  xdx x0 x0  1 dx. f '    x 2 dx   x 1 x0 . f '   x 2 2  dx 0  1 1 1 1 2 2
Mặt khác ta lại cê  x0 f'  xdx  f x  f x  f 1  10 1
   x0     2 0 1 x0 3 x0    2 2 10 10    2 10 f ' x  dx    f'  x dx  f'    x dx   x  1  x  1 3  1 1 0 1 1 0 Chọn ï B.
Câu 79: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn 0;1, thỏa f'x  f x  0, x  0;1. 1
Giá trị lớn nhất của biểu thức   1 f 0 . dx  bằng? f x 0     A. 1. B. e 1 . C. e 1 . D. e  1. e e Lời giải f 'x
Từ giả thiết ta có f'x  f x  0, x
 0;1    1, x  0;  1 . f x
Lấy tèch phân 2 vế cận từ 0 đến t ta được t f 'x t t t t
dx  1dx  ln f x  x  ln f t  ln f 0  t  f t  f 0 e   f x 0             0 0 0 1 1 Do đê   1 1 e  1 f 0 .     . f x dx dx x e e 0 0 Chọn ï B.
Câu 80: Cho hàm số f x nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn 0;1. Đặt hàm số 2 x 1 g x  1  f
 tdt . Biết rằng     2 g x
2xf x  với mọi x0;1, tích phân gxdx  có giá 0 0 trị lớn nhất bằng? A. 1. B. e  1. C. 2. D. e  1. Lời giải
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 151
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ g  0  1
Lấy đạo hàm 2 vế của giả thiết ta có  và g x  0, x  0;1. g '  x  2xf   2x
Theo giả thiết g x  2xf  g ' x 2
x   g x  g'x      1 g x
Lấy tèch phân 2 vế cận từ 0 tới t ta được t g 'x t t t dx  1dx  ln g x  x   g x 0     0 0 0
 ln g t  lng 0  t  lng t  t  g t t  e 1 1 Do đê g  x x dx  e dx  e  1  0 0 Chọn ï B.
Câu 81: Cho hàm số f x nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn 0;1, thỏa mãn x
điều kiện f x  2018  2 f
 tdt với mọi x0;1. Biết giá trị lớn nhất của tèch phân 0 1 f xdx  cê dạng 2
ae  b với a, b  . Tính a  b. 0 A. 0. B. 1009. C. 2018. D. 2020. Lời giải x g  0  2018
Đặt g x  2018  2 f
 tdt, lấy đạo hàm 2 vế ta có  và g x  0, x  0;1 g  '  x  2f x 0
Theo giả thiết g x  f x  g x g'x g 'x      2 2 g x
Lấy tèch phân 2 vế cận từ 0 đến t ta được t g 'x t t t        g x dx 2dx, t 0;1 ln g x 2x 0 0 0 0
 ln g t  lng 0  2t  lng t  2t  ln 2018  g t 2t  2018.e 1 1 1 Do đê f  xdx  g  x t 2x 2x 2 dx  2018 e dx  1009e  1009e 1009.  0 0 0 0 Chọn ï A. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Cho hàm số f x nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn 0;1. Đặt hàm số x 1 1 g x  1  f
 tdt. Biết gx  fx với mọi x0;1, tích phân dx  cê giá trị lớn g x 0   0 nhất bằng
152 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN A. 1 . B. 1 . C. 2 . D. 1. 3 2 2
2. Cho hàm số f x nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn 0;1, thỏa mãn điều kiện x 1 2 f x  1  3 f
 tdt  gx với mọi x0;1, tích phân gxdx 
cê giá trị lớn nhất bằng? 0 0 A. 4 . B. 7 . C. 9 . D. 5 . 3 4 5 2 Chọn ï B. Câu 82: Cho hàm số 1
f x dương và liæn tục træn 1;3, thỏa max f x  2, min f x  1;3 1;3 2 3 3 3
và biểu thức     1 S f x dx. dx 
đạt giá trị lớn nhất, khi đê hãy tènh I  f  xdx. f x 1 1   1 A. 3 . B. 7 . C. 7 . D. 5 . 5 5 2 2 Lời giải
Từ giả thiết ta cê 1  1 5
f x  2 , suy ra f x   . 2 f x 2 3 3 3 3 3 3      1  5 1 1 f x  dx  dx  f x dx  dx  5  dx  5  f x dx      f x 2 f x f x 1       1 1 1   1     1 3 3 3 2 Khi đê     1     3  5  25 25 S f x dx. dx f x dx. 5  f x dx   f x dx        1  3 f x       1  2  4 4 1 1 1 3 Dấu 5
"  " xảy ra khi và chỉ khi f  xdx  . 2 1 Chọn ï D.
Câu 83: Cho hàm số f x liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn với mọi x,y,, và      1 2 2
    0 ta có          x y .f x .f y f   . Biết f 0 2  0, f
 xdx  2 . Giá trị      0
nhỏ nhất của tèch phân 1f xdx  bằng 0 A. 8 B. 4 C. 2 2 D. 2 Lời giải
Áp dụng tènh chất của tèch phân ta cê: 1    1      1 1
        1 1
      1.x11x   1  f x dx f 1 x dx f x f 1 x dx 1 1 f  dx  f   0 0 0 0 2 2  1  1   2  Mặt khác ta lại cê:
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 153
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  1     1  1           1 1            1  f f 0 f f 0 f dx 2 1 x f 0        xf   dx  0 0  2   2    2    2       1  1 x .0  x. 1 1     2 1 x  x 1 x 2 2 f  dx  2 f   dx  4 f  xdx  8 0 0 0 1  x  x  2      Vậy 1f
 xdx  8, dấu “=” xảy ra chẳng hạn tại fx  16x. 0 Chọn ï A.
Câu 84: Cho hàm số f x dương liæn tục 0; thỏa mãn đồng thời điều kiện 1 f x f x x  2018  2 f  t 1 dt, x   0; f
 xdx  1009 2e 1 .Tính tích phân dx  ? 0 0 x 0 e
A. 2018e  1
B. 1009e  1
C. 2018e  2
D. 1009e  1 Lời giải Ta có f x x  2018  2 f  tdt  fx x  2018  2 f  tdt  01 0 0 Đặt g x  e  xf
 tdt b ;g' x  e a f t dt f x ab  0     x ax ax     0  a  2  a  2 
Từ 1 ta thực hiện phåp đồng nhất ta được    ab  2  018 b    1009 Suy ra g'x  0, x
  0  g x nghịch biến træn 0;. e 
 xftdt1009gxg0 x 2x  2 f  t 2x dt  2018  2018e 0 0 Vậy f x 1 2x  2018e  f  x 2 dx  1009e  1009 0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f x 1 f x 2x    2018e  dx  2018  e 1 x 0 e Chọn ï A.
Câu 85: Cho hàm số f x cê đạo hàm khác 0 và liæn tục đến cấp hai træn đoạn 1;2. Biết   f ' x xf ' x 2
ln 2f ' 1  f 1  1,f 'x      3
,x  1;2 . Tính tích phân I  xf  xdx? f x      1 2 2 ln 2 1 A. 1 3 log 5   1 B. 3log 5   2 2 2 ln 2 2 4ln 2 C. 3 3 log 5   2 D. 2log 5   1 2 ln 2 2 2 ln 2 Lời giải
Biến đổi giả thiết ta cê:
154 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN   f 'x f 'x xf ' x 2f ' x 2xf ' x 3   f '   x fx 2     .2 ln 2 fx 1 2 2 ln 2 f 'x 2      fx    2x fx 2x 2 ln 2 '        f'  x ' 2 ln 2  f '  x C1
Vì ln 2f'1  f 1  1  C  0 . Khi đê ta được 1 f 'x fx fx 2 ln 2  2x  2  fx 2 '  2x  2  2xdx  x  C  f  x  log  2 x  C 2 2 2 
Vì f 1  1  C  1  f x  log  2
x  1 . Sử dụng tèch phân từng phần ta cê 2 2       1    2 3 2 2 2 2 2 1 x I x log x 1 dx x log x 1  dx 2 2  2 1 1 2 ln 2 x  1 1 2 1 1 x 1 1 x 1     2 log 5   x   dx  2 log 5     ln x  1   2  2 2 1 2 2 2 0 2 ln 2  x  1  2 ln 2  2 2   1 1  3  2 log 5   1 2 ln 2 Chọn ï D.
Câu 86: Cho hàm số f x liæn tục træn đoạn 1;4 thỏa mãn f1  1  ,f 4  8  và đồng thời  4    2 3      3 f ' x x f x  9 x  x  3x, x
 1;4 . Tích phân f xdx  bằng 1 A. 7 B. 89  C. 79  D. 8  6 6 Lời giải
Giả thiết đã cho tương đương    2 fx 1 3 f ' x    9    3 x x x
Lấy tèch phân 2 vế træn đoạn 1;4 ta được: 4      2 4 f x 4  1 3  f ' x  dx  dx   
 9  dx  212ln2 1 1 3 1 x  x x 
Sử dụng tèch phân từng phần ta được: 4 f x 4       2  dx f x d   
a , a sẽ được xác định sau 1 3 1 x  x  4  2     4  2       4  1 a   a f x a f ' x dx  7a  6  2        f 'xdx 1 1  x   x   x 2  1
Từ đây ta cê đẳng thức: 1    2 4  1 a  f ' x dx  7a  6  2  f '  xdx  21   2 ln 2 1 1  x 2  2 2 4      1 a  3a f ' x   dx  2 ln 2  9a   6  21    2 ln 2 1  x 2  4
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 155
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 2 Ta dễ tçm được 3a a  3 để 2  ln 2  9a 
 6  21  2 ln 2 , khi đê 4   1 f ' x   3, x
 1;4  f x  2 x  3x x Vậy 4   4 79 f x dx  2 x  3x dx     1 1   6 Chọn ï C.
Câu 87: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 1;2 thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện  2 2 2 2                 2       2 2 f 2 f 1 63; 2 f x x f ' x 27x ,x  
1;2. Tènh giá trị của tèch phân  2 fx2   dx 1 A. 15 B. 18 C. 21 D. 25 Lời giải Theo giả thiết ta cê 2 f   x 2 2  dx  f    x 2 2 2  dx  x f '    x 2 2 2  dx  27x dx  63   1 1 1 1 1
u  fx 2 du   2f 'xf x Xét tích phân 2 I  f    x 2  dx  , đặt    1 dv    dx v  x  I  x f  x 2 2 2   2 xf '   xfx 2 dx  63  2 xf '  xfxdx 1 1 1 Ta có: 1 2  f   x 2 2  dx  2 xf '   xfx 2 dx  x f '   x 2 2  dx  0  f    xxf'x 2 2  dx  0  1 1 1 1 Do đê       1  f x xf ' x  0 
f x '  0  f x    Cx  x  Vậy 2Cx 2 2 2 2 2 2 2
 x C  3C x  27x  C  3  f   x 2 dx  21  1 Chọn ï C.
Trong bài toán này ta đã sử dụng tènh chất sau của tèch phân: Nếu b f   x 2 dx  0 
thì ta suy ra f x  0 a
Câu 88: Cho hàm số f x cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn 1;3 thỏa mãn điều kiện f 'x 3 3    27 3 f x dx  ; f 1  2 2 , f 3  4  . Tích phân dx  bằng 1 f x     4 1 x  2 A. 6  5 B. 6 2  C. 3  2 D. 5  2 2 Lời giải Vì f'x  0, x
 1;3  f x  f 1  2 2  0, x  1;3
156 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 3 f 'x 3 Ta có 3       2 3 dx f x   f 3  f 1  3  1  2  2 3 3 3   3 f x 2 2 1
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số thực dương ta cê: f 'x 3  27 27 f 'x 3      27 27 27 f 'x      3 3   . .  . f x 8 8 f x 8 8 4 3 f x
Lấy tèch phân 2 vế træn đoạn 1;3 ta được:  f'  x 3     3 3  27 27 27 f 'x    dx   . dx   1  f x 1 8 8   4 3 f x      f 'x 3  27 81 f 'x 3 3 3      27  dx    dx    1 f x 1 2 4 f x 4 f '  x 3  27 f 'x 3 Dấu “=” xảy ra khi 3 3 2 3  2C  3       f
 x  x  C  f  x  x f x 8  3 f x 2 2 2  3  Mặt khác   3
f 1  2 2  C   f x  x  1 3 3 f x  dx  6  5  1 2 x  2 Chọn ï A.
Câu 89: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn e.f 1  4f 0  4 và đồng thời 1 8 e
f ' x   f x  dx  4 e .f x dx       
. Tính tích phân 1fxdx ? 0    2   2 2x  1 x   0 3 0 4e  1 3e  1 2 e  2 5e  2 A. B. C. D. e e e e Lời giải Xét tích phân 1 8 K  e
f ' x   f x  dx  4 e f x dx        0    2   2 2x  1 x   0 3 Đặt   x    x     x    x u x e f x u' e f x
e f ' x  e f 'x  u' u , khi đê ta được 1 K    u'u 1 2  u  4udx    u'2 2
 2u.u' 4udxu1  4,u0  1 0   0   1 2 Ta có 1 1 1 1 u 15 1 u.u'dx  
, udx  xu  xu'dx  4  xu'dx     . 0 0 0 0 0 2 2 0 Suy ra 1     2 8 K
u'  4xu'dx  . Đến đây ta chọn m  sao cho 0   3 1  u'2xm 1 dx  0    u' 1 1 2 2  4xudx  2m u'dx    2xm2 dx  0 0 0   0 0 8 2 4
  6m  m  2m   0  m  2 3 3 Vậy ta được 1  u'2x22 x dx  0  e f x x  e f 'x  2x  2 0
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 157
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ   2 2 x  2x  C     x 2x 1 5 e 2 x
e f x'  2x  2  f x    f x 1 f 0 1   f x   dx   x x 0 e e e Chọn ï D.
Câu 90: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn đồng thời các 1 1 1 3 1 f x 3 điều kiện                 1 f 0 ; x 1 f ' x dx ; dx
. Tính tích phân 1fxdx ? 16 8 f 'x2 0 0   64 0 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 24 32 8 4 Lời giải
Áp dụng nguyæn hàm từng phần ta cê:
1            1 1       1 3 3 2 1
     2   1 x 1 f ' x dx x 1 f x 3 x 1 f x dx x 1 f x dx     0 0 0 0 8 16
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có: 1 2 3 3       1 1 f x 3 3   f x     x 1 f ' x  dx     dx    x 1 f ' x  dx      2     2 1   0 2  2   2 3    2 2 3   0 16   f '  x 0   f'    x 0     3 3         1   1 f  x 3 3   1   1  1   dx x  1 f ' x dx      2     0  1 2 2 1  3   0  3 3 3  f'   x   64   8  16   3    f x 3 3 2    f ' x 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  k   x  1 f '  x 2 2    1 3    1 2   3 3    f '   x      3 f    x k x 1    1 f  x 3  1   f x 3  Ta có 1 3 1 1  dx    
 f ' x dx  k x  1 f ' x dx   k   f '  x 2 0 0  f '   x       0 64 8  Khi đê ta được 1   1 f 'x f 0 1 2 1 1 16              f x ln f x   2 ln x 1 C f x f x dx 2   x  1 16x  1 0 32 Chọn ï B.
Câu 91: Cho hàm số f x liæn tục træn đoạn thỏa f 0  0, f x  f y  sin x sin y 
với mọi x, y  . Giá trị lớn nhất của tèch phân f x  f x dx  bằng 0   2 2   A.      1 B. C. 3 D. 1  4 8 8 4 Lời giải
Theo giả thiết ta cê f x  f x  0  f x  f 0  sin x sin 0  sin x
158 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN     f  x 2   f  x  sin x sinx  f x   f x dx  sin x  sin x dx  1      0    2 2    2 2 2  0 4
Dấu “=” xảy ra khi f x  sin x . Chọn ï A.
Câu 92: Cho hàm số f x cê đạo hàm cấp hai træn 0; thỏa mãn đồng thời các điều kiện      
          ln2   1  f 0 1;f ' 0 0;f ' x 5f ' x 6f x 0, x 0; ; f x dx   . Tính giá trị 0 6 của tích phân ln2 2 f xdx  . 0 A. 15 B. 35 C. 27 D. 24 4 17 20 7 Lời giải
Biến đổi giả thiết ta cê f' x  5f'x  6f x  0  f' x  2f'x  3 f'
 x  2f x  0 
Đặt g x  f'x  2f x  g'x  3g x  0 Xåt hàm số   3  x       3  x     3  x    3  x h x e g x h' x 3e g x e g ' x  e
g'x3gx  0
Suy ra h x đồng biến træn 0;  hx  h0  g 0  f'0  2f 0  2  3  x    2  x         x e g x 2 e f ' x 2f x  2e  0 Xåt hàm số   2  x    x     2  x       x k x e f x 2e k ' x e f ' x 2f x  2e  0
Suy ra k x đồng biến træn 0;  k x  k 0  f 0  2  3         ln 2 2x x 2x 3x      1 e f x 2e 3 f x 3e 2e f x dx    0 6
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi   ln 2         2 2x 3x 27 f x 3e 2e f x  dx   0 20 Chọn ï C.
Câu 93: Cho hàm số f x liæn tục và cê đạo hàm đến cấp 2 trên 0;2 thỏa mãn điều kiện 2
f 0  2f 1  f 2  1 . Giá trị nhỏ nhất của tèch phân f '   x 2 dx  bằng 0 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta cê 1 1 1 f'
 x 2 dx  3 x dx. f'    x 2 2  dx  3   x.f'  xdx 0 2 1 0 0 0 u  x 2 Ta đặt 1 2   3 xf' 
xdx  3f' 1  f 0 f 1    0        d  v  f '  xdx
Sử dụng bất đẳng thức Holder một lần nữa ta được 2 2 2 f'  x 2 dx  3  x22 dx. f'  x 2 dx  3 
 x2.f' xdx 1 2 2 1 1 1
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 159
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 2 u  x  2 Ta đặt   3   
 2 x2 f' x dx =3f' 1 f 2 f 1    1  2 dv f '  x           dx 2 Suy ra 2 f'
 x 2 dx  3f'1f0f1 2 3f'1f2f1 2       0
Theo bất đẳng thức AM – GM ta có
       2 f 0 2f 1 f 2 
         2
           2  3 3 f ' 1 f 0 f 1 3 f ' 1 f 2 f 1       3.  . 2 2 Chọn ï B.
Câu 94: Cho tích phân 11 I  x  7  11  x dx 
, gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất 7   
và giá trị nhỏ nhất của I. Tènh S  M  m ?
A. 54 2  108
B. 36 2  108 C. 6 3  54 D. 6 3  36 Lời giải
Đặt y  x  7  11  x với x 7  ;11 . Ta có 1 1 y    0  x  2 2 x  7 2 11  x
Nhận thấy y’ khëng xác định tại 7;11, vẽ bảng biến thiæn ta cê 18  y  6 11 11  18dx            x 7 11 x  11 dx 6dx 7 7 7  11  54 2 
x  7  11  x dx  108  7    Chọn ï A.
Câu 95: Cho tích phân 1 dx I  
, biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 0 2 3 4  x  x  
của I được viết dưới dạng 1 c a   
, trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và c là b d    d
phân số tối giản. Tènh S  a  b  c  d ? A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 Lời giải Ta có   3 2 2 3 2 2 3 2 x
0;1  0  x  x  x  x  0  4  2x  4  x  x  4  x 1 1 1 1 1 1 1 1 1     dx  dx  dx    2 2 3 2 2 2 3 2 4  2x 4  x  x 4  x 0 4  x 0 4  x  x 0 4  2x I J   6 6 Đặt 2 cos t 
x  2 sin t  dx  2 cos tdt  I  dt  dt    4  2 sin t2 6 0 0   4 4 Đặt 2 cos t 2  2
x  2 sin t  dx  2 cos tdt  J  dt    4  2  2 sin t2 2 8 0 0
160 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1 Vậy  1  2  dx   2 3 6 4  x  x 8 0 Chọn ï D. 1 2
Câu 96: Cho tích phân dx * I  , n  
, biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 2n 0 1  x
nhất của I được viết dưới dạng a c
 , trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và b d a c
, là phân số tối giản. Tènh S  a  b  c  d ? b d A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 Lời giải 1 1 1 Ta có 2n 1 1 1 1 2 2 2 x  0  1   dx  dx  dx     2n 0 0 2n 0 2n 1  x 1  x 1  x 2
Dấu “=” xảy ra khi x  0 1 1 Ta thấy  1 2n 2 1 1 2 2 n  *,x 0;  x  x  dx  dx     0 2n 0 2  2  1  x 1  x 1   Đặt 1 costdt  2 6 6 x  sin t  dx  cos t t d  dx  dx  dt     0 2 0 2 0 1  x 1  sin t 6
Dấu “=” xảy ra khi x  1 Chọn ï B. x
Câu 97: Cho tích phân 3 e sin x I  dx 
, biết rằng giá trị lớn nhất của I được viết dưới 2 1 x  1
dạng a , với a, b là các số nguyæn dương và a tối giản. Tènh tổng S  a  b be b A. 13 B. 14 C. 14 D. 15 Lời giải Ta cê với mọi x 1 x 1; 3  x  1   e    e x x 3 3 e sin x 1 e .sin x 1    dx  dx   2 x  1 e 2 x  1 2 x  1 e 2 1 1 x  1 Xét tích phân 3 1  . Đặt     2 x tant dx tan t  1dt ta được e dx 2 1 x  1 1   2  3 tan t  1dt dt        ex  1 3 dx  etan t  1 3 2 2  1 e 12e 4 4 Vậy  I  . 12e Chọn ï A.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 161
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Câu 98: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  1,f x  0 và đồng thời 1
f xln f x  xf 'x f  x  1 , x   
0;1. Tính tích phân fxdx  . 0 A. e  1 B. e  6 C. 4 D. 1 3 6 Lời giải
Biến đổi giả thiết tương đương
 f xln f x  xf'x  xf'xf x  ln f x f 'x  x  f x xf 'x
 xln f x'  xf'x  xln f x 1 1  xf '  xdx  xfx1 1  f  xdx 0 0 0 0 Vậy ta được 1f
 xdx  f1  1 0 Chọn ï D.
Câu 99: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện 1
f 2018x  2017  2018f x, x
  . Tính tích phân f   x 2 dx  ? 0 A. 4  5 7 8 f   1   2  f 1   f 1   f 1   3  B.    2 3  C.    2 3  D.    2 3  Lời giải
Xåt biểu thức f 2018x  2017  2018f x . Lấy đạo hàm 2 vế ta được
2018f '2018x  2017  2018f 'x  x  2017   2018  1 2       Thay x bởi 2018 x 2018 1
2018x  2017 , ta được f 'x  f '   f ' 2  2018    2018   
Thay đến n lần và bằng quy nạp ta chứng minh được n    x  2018  1   x 1  f ' x  f '   f '   1  n n n  2018  2018 2018   
Khi n    f'x  f' 1
   f x  f' 1  x  C* Thay x  1   f  1    2018f  1    f  1    0 Thay x  1   * : f  1    f' 1
   C  0  f' 1    C
Vậy        1      2 7 f x f ' 1 x 1 f x  dx  f  1   2      0 3 Chọn ï C.
162 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 100: Cho hàm số f x cê đạo hàm liæn tục træn đoạn 1;2 thỏa mãn   7 f 1  và 3 3 3x f x đồng thời  f ' x  x, x
  1;2 . Tính giá trị của f 2? 2     f '  x  xf '  x 2  x A. 7 7  1 B. 7 7  1 C. 2 7  1 D. 2 7  1 3 3 3 3 Lời giải
Biến đổi giả thiết tương đương
3x f x  f 'x  xf'  x 2 3   xf '  x 2  x   3x f x  f '  x 3   x  x  3fx1  f'  x 3 f ' x 3 3 3      x  3 3f x  1 f 'x 3 1  dx  xdx   3f     x 1 2 2 2  3 3  1 d  3fx1  1 3f x 1 1 3  1 2 3 2 2 1 3   . 3f  x 2 3  1   3f   2 2  1  3f   1 2 7 7 1 3 3 3  1  3  f  2  3 2 2 3 1 Chọn ï A.
Câu 101: Cho hàm số f x liên tục træn 0;1, hàm số f'x liæn tục træn đoạn 0;1 và
f 1  f 0  2 . Biết rằng 0  f 'x  2 2x, x
 0;1 . Khi đê, giá trị của tèch phân 1 f'x2 dx 
thuộc khoảng nào sau đây. 0 A.      2; 4 B. 13 14  ; C. 10 13  ; D. 1;3 3 3      3 3  Lời giải
Biến đổi giả thiết ta cê 0  f'x  2 2x, x  0;1  0  f '  x 2   8x, x    0;1 1  0  f '   x 2 1  dx  8xdx  4   1 0 0 2
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có  1f'  xdx 1  f'   x 2 dx  0 0 2 2 Mặt khác  1f'  xdx  f x  f 1  f 0
 4  f' x  dx  4 2    0
   10     2 1   2   0 Từ 1;2 1  f '   x 2 dx  4  . 0 Chọn ï A.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 163
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ
Câu 102: Cho hàm số f x liæn tục træn , cê đạo hàm đến cấp hai træn và thỏa mãn 5ln 2      2 3      x f x . 4 f ' x f x .f ' x  e , x
  , biết f 0  . Khi đê 5 f x   0 dx  bằng? 0 2     A. 25ln 2 531  5ln 2 B. 1 355ln 2 31     2  5  2  2     C. 1 25ln 2  31   5ln 2 D. 355ln 2 5 31    5  2   2  Lời giải
Giả thiết tương đương  4     x 4       x f x .f ' x ' e
f x f ' x  e  C mà f 0  0  C  1  4      x 4         x 5         x f x f ' x e 1 f x f ' x dx e x D f x 5 e  x  D Mặt khác   5          x f 0 0 D 1 f x 5 e  x  1  
        2 5ln 2 5ln 2   5 x 25ln 2 f x dx 5 e x 1 dx  531  5ln 2  0 0  2  Chọn ï A.
Câu 103: Cho hàm số 2
f x liên tục træn và f
 xdx  1. Tènh giới hạn của dãy số: 1 1  n  n  3  n  n  6  n  4n  3  u  f 1  f    f    ...  f   n   n  n 3  n  n 6  n  4n 3  n            A. 2 B. 2 C. 1 D. 4 3 3 Lời giải
Chî ï đây là một câu sử dụng định nghĩa tèch phân bằng tổng Riemann khëng nằm trong
phạm vi kiến thức THPT næn chỉ mang tènh tham khảo, khëng đi sâu!     f  x 3i f 1  n1 n1 1 3 n Xåt hàm số     1 3  3i  g x   S     g 1   x 3 i0 n 3i 3 i0 n  n  1  n
Ta chia đoạn 1;4 thành n phần bằng nhau bằng các điểm chia 4  1 x  1  i.
i  0, n x  1,...,x  4 i   0 n  n n1
Mỗi đoạn con cê độ dài là 4  1 1 x        x S g x x  x i 1 i  i  i 1 i  n 3 i0 4 4 f  x 1 1      4 1       2 lim S g x dx 2f x d x     1 1 1 3 3 x 3 3 Chọn ï B.
164 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 104: Cho hàm số f x và g x thỏa mãn f'1  g 1  1;f 2.g 2  f 1 và đồng
thời           1  2 1 f ' x g ' x g x f ' x  f 'x , x   \  0  . Tính tích phân I  f  xg'xdx ? x    1 A. 3 1  ln 2 B. 3 1   ln 2 C. 3 1  ln 2 D. 3 1   ln 2 4 2 4 2 4 2 4 2 Lời giải
Biến đổi giả thiết tương đương
x  xf 'xg 'x  xg xf ' x  g xf 'x  x  x g '
 xf 'x  g xf' x  g  xf'x    2
         x x xf ' x g x ' xf ' x g x   C 2
     x C f '1g11         x 1 f ' x g x f ' x g x   2 x 2 2x 2       2  x 1  3 1 f ' x g x dx   dx      ln 2 1 1  2 2x  4 2
Sử dụng tèch phân từng phần ta cê 2
           2 2       3 1 I f ' x g x dx g x f x f x g ' x dx   ln 2 1 1 1 4 2 2       3 1 f x g ' x dx    ln 2 1 4 4 Chọn ï D.
Câu 105: Cho hàm số y  f x cê đạo hàm 0;1 thỏa mãn f 0  f 1  0 và đồng thời điều kiện 1 f'
 x dx  1. Tçm giá trị lớn nhất của fx trên 0;1? 0 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 2 3 4 Lời giải Ta có: 1    x x Với 1 x 0;   f x  f  tdt  f'  t 2 dt  f '  t dt 2    0 0 0  1 1 1  1  Với x  ;1  f x  f '  tdt  f'  t dt   1 f 't  dt   x x 2  2 1    f x 1   f'  t 1 dt  f '  t 1 1 1 2    1 dt f '  t dt 0 0 2   2 2 2 Chọn ï A.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 165 LỜI KẾT
Vậy là chúng ta đã đi đến trang cuối cùng của tuyển tập này, tuy bài viết chưa thực sự là
hay nhưng hy vọng những kiến thức mà mình đưa vào trong bài viết có thể giúp ích được
các bạn trong quá trình học tập. Ngoài ra có thể còn một vài thiếu xót trong tuyển tập này,
các bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu khác để học hỏi hơn. Giới đây là một vài tài liệu
mình nghĩ sẽ giúp ích được cho các bạn.
[1] Vận dụng cao số phức tích phân
[2] Kho tài liệu nguyên hàm tích phân
[3] Các bài toán thực tế nguyên hàm tích phân – Hứa Lâm Phong
[4] Nâng Cao Kỹ Năng Giải Toán Trắc Nghiệm 100% Dạng Bài Nguyên Hàm – Tích
Phân Và Ứng Dụng – Tô Thị Nga
Một lần nữa gửi lời cảm ơn đến những người có đóng góp cho bài viết này và chúc các bạn
một mùa ôn thi thành công nhé!