Bài tập chương 2 GV: Lê Thị Thanh Hải BÀI TẬP CHƯƠNG 2
2.1. Tính đạo hàm các hàm số sau a) 2 1 y x 3x   e) 2x y  x x 42 5 2x 1 b) y  f) 3 2 y  x ln  x x  3 1 c) 2 2 2 y  sin 2 x  x  4 g) y  log 8x  3 2   2 x d) y   h) 2 3 13 x y   x   3 2x   1
2.2. Tìm các hàm số f  f (x); g g(x); f  g(x); g  f (x) trong các trường hợp sau 1 x 1  a) f (x)  ; g(x)  x 1 x 1 b) 3 f (x )  x ; g (x )  1 x
2.3. Tìm các khoảng tăng giảm, khoảng lồi lõm và cực trị địa phương của các hàm số a) 3 2 y  x  6x  7 c) 2 y  x   5x  6 2x  1  b) 3 y  ( x 1  ) (x 2) d) y  x    1 2x  2 
2.4. Các hàm sau đây có đơn điệu không? Nếu có hãy tìm đạo hàm và độ co giãn của hàm ngược của nó a) 6 y  x   5 x  0 d) y  7x 21 b) 5 3 y  4x  x 3x e) 2 y  5x  x 2  1  c) y   f) 2x 4 y e   2   x 
2.5. Lương tháng của công nhân trong công ty N tăng theo một tốc độ không đổi trong những
năm gần đây. Biết rằng vào năm 2010, lương tháng của công nhân là 3 triệu đồng; năm 2014
lương tháng của công nhân là 3,6 triệu đồng.
a) Biểu diễn lương tháng của công nhân bằng một hàm theo thời gian t. Vẽ đồ thị. 1 Bài tập chương 2 GV: Lê Thị Thanh Hải
b) Tính lương tháng của công nhân vào năm 2017.
2.6. Hàm cầu của một sản phẩm là 2
P 10 Q trong đó P là giá bán 1 đơn vị sản phẩm, Q là
sản lượng. Tìm giá bán cận biên tại Q = 5 và nêu ý nghĩa kinh tế của nó.
2.7. Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là Q  1000 14P . Xác định hàm doanh thu,
tính doanh thu biên khi P = 40 và nêu ý nghĩa kinh tế của nó.
2.8. Chi phí để sản xuất một đơn vị sản phẩm khi sản xuất Q sản phẩm là 2 500
C  0.0001Q 0.02Q 5  Q
a) Tìm chi phí biên đối với sản lượng Q
b) Chi phí biên là bao nhiêu khi sản xuất 500 sản phẩm.
2.9. Biết tổng chi phí khi sản xuất Q đơn vị sản phẩm là 2
C (Q)  3Q  Q  500 USD
a) Sử dụng chi phí biên ước tính chi phí sản xuất sản phẩm thứ 21.
b) Tính chi phí thực sự khi sản xuất sản phẩm thứ 21.
2.10. Sản lượng hàng ngày của một nhà máy là 2 3
Q(L)  300L (đơn vị sản phẩm)
trong đó L là số giờ lao động. Hiện tại nhà máy có 512 giờ lao động mỗi ngày. Sử dụng đạo hàm
ước tính số giờ lao động cần tăng thêm để sản lượng tăng thêm 12.5 đơn vị sản phẩm.
2.11. Giả sử lợi nhuận của một nhà máy phụ thuộc vào sản lượng như sau  Q 2  90Q  3Q  150
Ở mức sản lượng Q = 5000 (đơn vị sản phẩm), nhà máy dự định giảm 10 đơn vị/tháng thì lợi
nhuận sẽ thay đổi như thế nào?
2.12. Giả sử hàm cầu của một loại hàng hóa là Q  600 2P . Tìm hệ số co giãn của Qd tại P d
= 100, P = 200 và nêu ý nghĩa kinh tế của chúng. lnx
2.13. Chứng minh rằng hàm 2 y  e
tăng toàn cục và lõm toàn cục.
2.14. Viết công thức Taylor-Maclaurent đến lũy thừa 4 của các hàm f(x) tại lân cận điểm x0.
Từ đó tính gần đúng f  0.5 2 Bài tập chương 2 GV: Lê Thị Thanh Hải 1 a) f   x  , x  1 f x  ln x, x  1 0 c)   1 0 x 2 1 x b) x f (x)  e , x  0 f (x)  , x  0 0 d) 0 1 x 1 2.15. 3 Xét hàm số 4
y  f (x )  5x  2x với x  0
a) Hàm f(x) có tăng hoặc giảm toàn cục không? Tại sao?
b) Chứng minh rằng hàm f(x) lõm toàn cục.
c) Tìm cực đại toàn cục duy nhất của hàm f(x).
2.16. Một nhà máy có hàm tổng chi phí và hàm cầu như sau 1 3 2 C  Q  7Q 111Q 50 3 Q 100  P
a) Viết biểu thức hàm doanh thu R và hàm lợi nhuận π theo sản lượng Q.
b) Tìm mức sản lượng để lợi nhuận cực đại. Tìm mức lợi nhuận cực đại đó.
2.17. Cho biết hàm cầu theo giá P của một loại sản phẩm cho bởi   0.04 3000 P Q D P e  
a) Nếu giá tăng 2% từ mức P 15 (USD) thì lượng cầu giảm khoảng bao nhiêu sản phẩm.
b) Viết biểu thức hàm doanh thu theo giá P và xác định mức giá bán để có được doanh thu lớn nhất.
2.18. Tính các giới hạn sau ln x 5x x  e a) lim c) lim x 1  x 1 x 0 x  1 1  cot  x 1 x  b) lim    d) lim   x 0   sin x x   x  0  2 x  1 
2.19. Cho hàm chi phí có dạng C Q 4 2  3Q  Q  60
a) Tìm chi phí biên MC(Q) và chi phí trung bình AC(Q).
b) Chứng minh MC(Q) và AC(Q) lồi toàn cục.
c) Xác định mức sản lượng Q* để chi phí trung bình nhỏ nhất. 3 Bài tập chương 2 GV: Lê Thị Thanh Hải 2
2.20. Cho hàm sản xuất có dạng Q  f L  3  3L
a) Lập hàm lợi nhuận với giá sản phẩm công ty đưa ra là P và lương hình thức là W.
b) Tìm hàm cầu L* và hàm cung Q* sao cho lợi nhuận lớn nhất.
c) Xác định độ co giãn của L* và Q* ở câu b. 15 1 2.21. Cho hàm cầu Q  
 5 . Xác định độ co giãn của hàm cầu Q khi P = 1 và nêu ý 3 P P nghĩa kinh tế của nó. 2 1 
2.22. Xét hàm cầu ngược   5 P Q  Q và hàm sản xuất    3 Q
f L  L . Xác định mức sản
lượng Q* để lợi nhuận lớn nhất biết lương hình thức W = 2. 3
2.23. Cho hàm sản xuất có dạng Q  f L  4  5L
a) Với mức lương hình thức là W, lập hàm chi phí C(Q).
b) Chứng minh rằng chi phí biên MC(Q) là hàm dương và đơn điệu.
c) Chứng minh rằng C(Q) là hàm lồi toàn cục.
2.24. Một doanh nghiệp với hàm sản xuất có dạng 1   1  Q  f (L)  1     L 
với L: lượng lao động; P: giá bán; W: mức lương danh nghĩa.
a) Chứng minh hàm sản xuất tăng và lõm toàn cục.
b) Chứng minh sản lượng biên MP ( )
L dương và có tính chất giảm biên L
c) Tìm đường cầu lao động L* từ điều kiện lợi nhuận cực đại; chứng minh nó có độ dốc đi
xuống và xác định hệ số co giãn của nó.
2.25. Một doanh nghiệp sản xuất Q đơn vị sản phẩm với hàm chi phí là C Q  4  5Q  120
a) Tìm hàm chi phí biên MC(Q) và chi phí trung bình AC(Q) của doanh nghiệp.
b) Chứng minh hàm C(Q) và AC(Q) lồi toàn cục.
c) Xác định mức sản lượng Q* để chi phí trung bình nhỏ nhất.
d) Nếu giá bán P =10, xác định mức sản lượng Q* để lợi nhuận lớn nhất. 4 Bài tập chương 2 GV: Lê Thị Thanh Hải
2.26. Giả sử hàm f(x) thỏa mãn f x f (x)  x. Chứng minh rằng  1   '   1 ln  1 x f x    x  f (x) 
2.27. Tìm điểm M trên cung AB của đường cong 2 y  x
  2x mà tại đó tiếp tuyến song song
với dây cung AB biết A(1, 1); B(3, -3). u x 2.28. ' ' Cho hàm số y 
. Chứng minh rằng nếu y x  0 và v  x  0 thì 0  0  v  x '  u x y x  0   0  \ ' v x0 2.29. Cho hàm số 2
y  f (x )  7 x  3x với x  0
a) Áp dụng phép biến đổi   4 g x  
lên hàm f(x) ta được h x  g  f  x   . Tìm cực trị x
địa phương của hàm h(x).
b) Chứng minh rằng cực trị toàn cục của f(x) có tính chất thứ tự. 2.30. Cho hàm số x    2 3ln 4 x  f (x )  x e , x  0 a) ' *
Tìm x* thỏa f x   0
b) Chứng minh x* ở câu a chính là một cực đại toàn cục của f(x) bằng cách sử dụng phép
biến đổi đơn điệu h x  ln  f (x). 5