Giảng viên: LÊ THỊ THANH HẢI.
Đơn vị: BỘ MÔN TOÁN – KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
PHẦN 1: GIẢI TÍCH
Bài 1: Hàm nhu cầu   8000 D p 
(sản phẩm) cho biết nhu cầu tiêu thụ hằng tháng của một p
loại sản phẩm khi giá của sản phẩm là p (đvtt). Sau t tháng tính từ bây giờ, giá của sản
phẩm là p t 3/2
 0,04t 15 (đvtt).
a. Nhu cầu tiêu thụ của sản phẩm thay đổi với tốc độ bao nhiêu khi sản phẩm có giá là 20 đvtt?
b. Nhu cầu tiêu thụ của sản phẩm thay đổi với tốc độ bao nhiêu sau 25 tháng?
Bài 2: Đầu ra hằng ngày của một nhà máy nào đó là P(x) =1000x2 + 2x – 3 (sản phẩm),
trong đó x là số giờ lao động trong một ngày. Hiện tại, nhà máy đang sử dụng 100 giờ lao
động trong một ngày. Nhà máy dự tính giảm đầu ra 10 sản phẩm. Ước tính sự thay đổi của
lượng lao động sẽ như thế nào?
Bài 3: Một cửa hàng bán lẻ mặt hàng A mua từ nhà sản xuất với giá 50 đvtt cho mỗi sản
phẩm. Cửa hàng bán lại cho khách hàng với giá 80 đvtt một sản phẩm, tại giá bán này
khách hàng sẽ mua 40 sản phẩm trong một tháng. Cửa hàng dự định giảm giá để kích thích
sức mua và họ ước tính rằng cứ giá giảm 1 đvtt thì mỗi tháng cửa hàng sẽ bán được nhiều
hơn 2 sản phẩm. Tìm giá bán tối ưu?
Bài 4: Một gia đình cần 5 tỷ để làm vốn đầu tư sau 3 năm. Hỏi ngay từ bây giờ, gia đình
đó nên tiết kiệm bao nhiên để đủ số tiền trên, biết lãi suất hiện tại của ngân hàng là 17%/năm
và lãi suất được tính ba tháng một lần.
Bài 5: Quan hệ giữa số vé bán được Qd (lượng cầu) và giá vé P của một hãng xe buýt là
Q  10000 125P . d
a) Xác định lượng cầu cận biên (biên tế) tại P = 30 và cho biết ý nghĩa kinh tế của nó.
b) Tìm hệ số co giãn của lượng cầu tại P = 30, P = 60 và cho biết ý nghĩa kinh tế của nó.
Bài 6: Tính các giới hạn sau x x  x 2 a) lim b) lim 
x 0 x  sin x x   x 
Bài 7: Tìm khai triển Taylor bậc 4 của hàm y  lnx tại điểm x = 1. Từ đó tính gần đúng giá trị ln(1.1). 2 1
Bài 8: Cho hàm sản xuất 3 3 ( Q ,
L K)  30K L .
a) Tìm sản lượng cận biên theo K và L tại (64, 27). Cho biết ý nghĩa kinh tế của nó.
b) Nếu cố định K = 64 và dự định tăng L = 30 thì hãy ước tính sản lượng thay đổi như thế nào?
Bài 9: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên 2 thị trường
tách biệt. Giả sử lượng cầu của sản phẩm trên 2 thị trường này phụ thuộc vào giá bán của
nó trên 2 thị trường như sau:
Q  310 P ; Q  350 P d1 1 d 2 2
Biết tổng chi phí phụ thuộc vào mức sản lượng Q  Q  Q như sau 1 2 2
C  C(Q)  200  30Q  Q
Tìm sản lượng và giá bán của nó trên mỗi thị trường để lợi nhuận cực đại.
Bài 10: Trong một đợt tuyển sinh, một trường đại học tuyển được 5000 sinh viên. Các sinh
viên được đào tạo tại 2 cơ sở khác nhau
+ Cơ sở A: Nếu đào tạo x sinh viên thì chi phí đào tạo là 2
C  0.01x  70x  9300 A
+ Cơ sở B: Nếu đào tạo y sinh viên thì chi phí đào tạo là 2
C  0.015y  72y  5200 B
Lãnh đạo nhà trường nên phân bổ sinh viên ở mỗi cơ sở là bao nhiêu để chi phí đào tạo là thấp nhất.
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của a) Hàm 2 2 f ( , x )
y  x 2 y trên hình tròn đóng D   2 2 2 ( , x )
y  R : x  y   1 b) Hàm 2 2 f ( , x )
y  x 2xy 2 y trên hình chữ nhật D   2
(x, y) R : 0 x  3, 0 y   2
Bài 12: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một mặt hàng. Lượng cầu QD về loại mặt
hàng này phụ thuộc vào giá bán P, việc quảng cáo và khuyến mại. Tổng số tiền doanh
nghiệp chi cho quảng cáo và khuyến mại là A và
Q  200  P  A 562500 D
Biết doanh nghiệp dành cho quảng cáo và khuyến mại không quá 2 triệu đơn vị tiền tệ và
chi phí sản xuất cho mỗi sản phẩm là 100 đơn vị tiền tệ.
Tìm hàm lợi nhuận và xác định giá bán mỗi sản phẩm, chi phí quảng cáo, khuyến mại để lợi nhuận lớn nhất.
PHẦN 2: ĐẠI SỐ MA TRẬN 4 15  1   Bài 13:      
Cho 3 vector u  7 , u  2  , u  3  1   2   3   0  1   9       
a) Tính khoảng cách giữa các vector trên từng đôi một.
b) Tính góc giữa các vector từng đôi một.
c) Cặp vector nào trực giao với nhau.
d) 3 vector trên độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. 1  2 0 9    Bài 14 2 3 4 6
: Tính định thức của ma trận A   
, từ đó áp dụng tìm ma trận nghịch 1  6 0 1     0 5   0 8  đảo A-1
Bài 15: Cho ma trận đầu vào – đầu ra (ma trận hệ số kỹ thuật) của một nền kinh tế như sau 0.05 0.25 0.34   A  0.33 0.10 0.12   0.19 0.38 0   
a) Giải thích ý nghĩa của phần tử a 0.33 và phần tử a  0 21 33
b) Giải thích ý nghĩa của tổng cột 2 và tổng dòng 3.
c) Giải thích ý nghĩa của 50 x dòng 1.
Bài 16: Khi xem hồ sơ quỹ học phí, văn phòng cựu sinh viên của một trường đại học nhận
thấy rằng 80% cựu sinh viên đóng góp vào quỹ hằng năm sẽ tiếp tục đóng góp vào năm
tới, và 30% những người không đóng góp trong năm sẽ đóng góp vào năm kế. Điều này có
thể được xem như một chuỗi Markov với hai trạng thái: trạng thái 1 tương ứng với một cựu
sinh viên đóng góp trong một năm bất kỳ, và trạng thái 2 tương ứng với các cựu sinh viên
không đóng góp trong năm đó. Ma trận xác suất như sau: 0  .8 0.3 A    0  .2 0.7
a) Giải thích ý nghĩa của phần tử a 0.7 22
b) Tính xác xuất một cựu sinh viên đang đóng góp vào quỹ sẽ không đóng góp nữa trong 3 năm tới.
Bài 17: Có 3 sinh viên A, B, C dự định mua 4 món: viết bi, viết chì , tập, bóp viết. Số lượng
muốn mua được cho trong bảng sau : Viết bi Viết chì Tập Bóp viết A 6 5 3 1 B 3 6 2 2 C 3 4 3 1
3 người có thể mua 4 món này ở 2 shop :S1, S2, giá bán mỗi loại ở từng shop được cho trong bảng sau : Shop 1 (1000 VND) Shop 2 (1000 VND) Viết bi 1,5 1 Viết chì 2 2,5 Tập 5 4,5 Bóp viết 16 17
a) Lập ma trận M, N sao cho M.N thể hiện số tiền lần lượt 3 người phải trả khi mua hàng ở mỗi shop.
b) Người nào nên mua hàng ở shop nào là rẻ nhất.
Bài 18: Công ty chế biến thực phẩm cần chế biến một loại thức ăn nhanh chứa đủ 3 loại
dưỡng chất là protein, carbohydrate và Fat. Chúng được lấy từ 3 loại thực phẩm: A, B, C.
Số lượng dưỡng chất có trong 100g mỗi loại thực phẩm và nhu cầu của mỗi loại dưỡng
chất được cho trong bảng sau: Dưỡng chất
Hàm lượng dưỡng chất có trong 100 gram Nhu cầu A(g) B(g) C(g) Protein 36 51 13 33 Carbonhydrate 52 34 74 45 Chất béo 0 7 1.1 3
Tìm số lượng của 3 loại thực phẩm A, B, C để có thể tạo ra được 1 đơn vị thức ăn nhanh,
đáp ứng đủ nhu cầu đặt ra. Bài 19
 x y  m : Cho hệ phương tr 2 ình  2x  my   2
a) Tìm m để hệ có nghiệm.
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.  3 1 1  Bài 20  
: Cho ma trận A  1 5 1     1 1 3    
a) Viết biểu thức của dạng toàn phương f x , x , x có ma trận tương ứng là A và xét 1 2 3
dấu của dạng toàn phương đó.
b) Tìm ma trận trực giao C và ma trận chéo D sao cho 1 A C  
DC . Từ đó tính A100