Các dạng bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán 9 KNTTVCS

Tài liệu gồm 86 trang, được biên soạn bởi tác giả Trương Ngọc Vỹ, tổng hợp các dạng bài tập chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông môn Toán 9 bộ sách Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (KNTTVCS), có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem!

Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 1
CHƯƠNG 4
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
BÀI 1
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
Cho góc nhọn
( )
00
0 90
αα
<<
. Xét
ABC
vuông tại
A
ABC
α
=
.
Chú ý: Với góc nhọn
α
, ta có:
0 sinα 1; 0 cos 1
α
< << <
1
cotα
tanα
=
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
Hai góc phụ nhau là hai góc nhọn có tổng bằng
.
Nhận xét: Với
00
0 90
α
<<
, ta có:
0
sin(90 ) cos
αα
−=
0
cos(90 ) sin
αα
−=
0
tan(90 ) cot
αα
−=
0
cot(90 ) tan
αα
−=
Các tỉ số lượng giác của góc nhọn
α
Công thức
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc
α
, kí hiệu
sin
α
sinα
AC
BC
=
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc
α
, kí hiệu
cos
α
cos
AB
BC
α
=
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc
α
, kí hiệu
tanα
tanα
AC
BC
=
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc
α
, kí hiệu
cotα
cotα
BC
AC
=
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 2
Bảng tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt:
α
0
30
0
45
0
60
sin
α
1
2
2
2
3
2
cos
α
3
2
2
2
1
2
tan
α
3
3
1
3
cot
α
3
1
3
3
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 3
DẠNG 1
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
Với góc nhọn
α
, ta có:
0 sinα 1; 0 cos 1
α
< << <
1
cotα
tan
α
=
sin
tan
cos
α
α
α
=
cos
cot
sin
α
α
α
=
22
sin cos 1
αα
+=
tan .cot 1
αα
=
2
2
1
1 tan
cos
α
α
+=
2
2
1
1 cot
sin
α
α
+=
Bài 1. Tìm các tỉ số lượng giác còn lại của góc α, biết:
a)
3
sin
5
α
=
b)
12
cos
13
α
=
c)
4
tan
3
α
=
Bài 2. Tìm góc nhọn α, biết:
a)
sin cos
αα
=
b)
tan cot
αα
=
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau
a)
20 20 30
4 sin 45 2cos 60 3cot 45
A =−+
b)
0 00
tan 45 .cos 30 .cot 30B =
c)
20 2 0 2 0
cos 15 cos 25 ... cos 75C = + ++
d)
20 2 0 20
sin 10 sin 20 ... sin 80D = + ++
BÀI TP RÈN LUYỆN
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau
a)
0 0 2024 0
0
sin 30 2cos45 3tan 45
cos 60
A
+−
=
b)
0 00
0
sin 30 .cos60 .cot 60
tan 45
B =
Bài 5. Cho
là góc nhọn, biết
3
sin
2
. Tính
cos ; tan ; cot 
Bài 6.
a) Tính giá trị biểu thức
2222
cos 20 cos 40 cos 50 cos 70A   
.
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 4
b) Rút gọn biểu thức
sin 35 sin 67 cos 23 cos 55
B
 
.
Bài 7. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần.
a)
sin 70 , cos 30 , cos 40 , sin 51

b)
sin 20 , cos 31 , cos 47 , sin14

.
c)
tan 30 , cot 34 , cot 46 , t an 81

d)
cot25 , tan 65 , cot 35 n 75, ta

.
Bài 8. Cho
tan 2
. Tính
sin cos
sin cos
A


Bài 9. Biết
tan 2
. Tính giá trị của biểu thức :
22
sin 2 sin cos 3 cos .Aa 
Bài 10. Cho
là góc nhọn tính giá trị của biểu thức
6 22 6
sin 3 sin .cos cosE  
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 5
DẠNG 2
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1. Cho tam giác
ABC
vuông tại
C
1, 2 ; 0, 9BC cm AC cm= =
. Tính các tỉ số lượng giác của góc
B
, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc
A
.
Bài 2. Cho tam giác
ABC
5, 3AB a BC a= =
,
2AC a=
a) Chứng minh tam giác
ABC
vuông
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc
B
, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc
A
BÀI TP RÈN LUYỆN
Bài 3. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
1, 6 ; 1, 2AB cm AC cm= =
. Tính các t s lưng giác ca góc
B
, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc
C
.
Bài 4. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
60 ; 8AB mm AC cm= =
. Tính các tỉ số lượng giác của góc
B
Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc
C
Bài 5. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc
C
biết rằng
cos 0, 6B =
Bài 6. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
AH
. Tính
sin ,sinBC
a)
13 , 5AB cm BH cm
= =
b)
3, 4BH cm CH cm= =
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 6
DẠNG 3
BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài 1. Một cây cau có chiều cao
6
m
. Để hái một buồng cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang
tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất bao nhiêu, biết chiếc thang dài
8m
(làm tròn
đến phút).
Bài 2. Một cột đèn điện
AB
cao
6m
bóng in trên mặt đất
AC
dài 3,5m. Hãy tính
BCA
(làm tròn
đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất
3,5
6
C
B
A
Bài 3. Tia nắng chiếu qua nóc của tòa nhà hợp với mặt đất một góc
α
. Cho biết tòa nhà cao 21m
bóng của nó trên mặt đất dài 15m. Tính góc
α
(làm tròn đến phút) .
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 7
Bài 4. Một cái thang dài 6m được đặt dựa vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 3m. Tính
góc
α
tạo bởi thang với bức tường.
Bài 5. Một máy bay đang bay ở độ cao
12 km
. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay
tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Nếu cách sân bay
320 km
máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng
là bao nhiêu (làm tròn đến phút)?
C
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 8
DẠNG 4
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài 1. Cho tam giác
ABC
vuông tại
( )
A AB AC<
,
0
45C
α
= <
, đường trung tuyến
AM
, đường cao
AH
,
MA MB MC a= = =
. Chứng minh rằng:
a)
sin 2 2sin .cos
α αα
=
b)
2
1 cos 2 2cos
αα
+=
c)
2
1 cos 2 2sin
αα
−=
Bài 2. Cho tam giác nhọn
ABC
hai đường cao
AD
BE
cắt nhau tại
H
. Biết
1
2
HD
HA
. Chứng
minh rằng
tan .cot 3BC
.
Bài 3. Cho tam giác
ABC
,,BC a AC b AB c 
. Chứng minh rằng:
sin
2
Aa
bc
.
Bài 4. Cho tam giác
ABC
ba góc nhọn,
,,BC a AC b AB c 
. Chứng minh rằng:
sin sin sin
abc
ABC

.
Bài 5. Cho ABC vuông tại A, Chứng minh rằng:
sin
sin
AC B
AB C
.
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 1
CHƯƠNG 4
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
BÀI 1
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
Cho góc nhọn
( )
00
0 90
αα
<<
. Xét
ABC
vuông tại
A
ABC
α
=
.
Chú ý: Với góc nhọn
α
, ta có:
0 sinα 1; 0 cos 1
α
< << <
1
cotα
tanα
=
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Hai góc phụ nhau là hai góc nhọn có tổng bằng
.
Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
Nhận xét: Với
00
0 90
α
<<
, ta có:
0
sin(90 ) cos
αα
−=
0
cos(90 ) sin
αα
−=
0
tan(90 ) cot
αα
−=
0
cot(90 ) tan
αα
−=
Các tỉ số lượng giác của góc nhọn
α
Công thức
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc
α
, kí hiệu
sin
α
sinα
AC
BC
=
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc
α
, kí hiệu
cos
α
cos
AB
BC
α
=
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc
α
, kí hiệu
tanα
tanα
AC
BC
=
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc
α
, kí hiệu
cotα
cotα
BC
AC
=
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 2
Bảng tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt:
α
0
30
0
45
0
60
sin
α
1
2
2
2
3
2
cos
α
3
2
2
2
1
2
tan
α
3
3
1
3
cot
α
3
1
3
3
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 3
DẠNG 1
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
Với góc nhọn
α
, ta có:
0 sinα 1; 0 cos 1
α
< << <
1
cotα
tan
α
=
sin
tan
cos
α
α
α
=
cos
cot
sin
α
α
α
=
22
sin cos 1
αα
+=
tan .cot 1
αα
=
2
2
1
1 tan
cos
α
α
+=
2
2
1
1 cot
sin
α
α
+=
Bài 1. Tìm các tỉ số lượng giác còn lại của góc α, biết:
a)
3
sin
5
α
=
b)
12
cos
13
α
=
c)
4
tan
3
α
=
Lời giải
a) Ta có:
22 2
16 4
sin cos 1 cos cos (cos 0)
25 5
αα α α α
+ = =⇒= >
sin 3
tan
cos 4
α
α
α
= =
cos 4
cot
sin 3
α
α
α
= =
b) Ta có:
2
22 2 2
12 25 5
sin cos 1 sin 1 sin sin (sin 0)
13 169 13
αα α α α α

+ = = =⇒= >


sin 5
tan
cos 12
α
α
α
= =
cos 12
cot
sin 5
α
α
α
= =
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 4
c) Ta có:
2
22
22 2
1 1 4 1 25 9 3
1 tan 1 cos cos (cos 0)
cos cos 3 cos 9 25 5
α α αα
αα α

+=⇔=+⇔=== >


13
tan .cot 1 cot
tan 4
αα α
α
=⇔= =
34 4
sin cos tan .
53 5
α αα
= = =
Bài 2. Tìm góc nhọn α, biết:
a)
sin cos
αα
=
b)
tan cot
αα
=
Lời giải
a) Ta có:
( )
0
sin cos sin sin 90
αα α α
=⇒=
00
90 45
α αα
= −⇒=
b) Ta có:
(
)
0
tan cot tan tan 90
αα α α
=⇒=
00
90 45
α αα
= −⇒=
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau
a)
20 20 30
4 sin 45 2cos 60 3cot 45A =−+
b)
0 00
tan 45 .cos 30 .cot 30B =
c)
20 2 0 2 0
cos 15 cos 25 ... cos 75C = + ++
d)
20 2 0 2 0
sin 10 sin 20 ... sin 80D = + ++
Lời giải
a) Ta có:
2
2
20 20 30
21
4 sin 45 2cos 60 3cot 45 4 2. 3 1
22
A


= + = + −=





b) Ta có:
0 00
33
tan 45 .cos30 .cot 30 1. . 3
22
B = = =
c) Ta có:
( )
2
20 2 0 2 0 20 2 0 2 0
27
cos 15 cos 25 ... cos 75 cos 15 cos 75 ... cos 45 1 1 1
22
C

= + + + = + + + =+++ =



d) Ta có:
( ) ( )
20 2 0 20 20 20 2 0 2 0
sin 10 sin 20 ... sin 80 sin 10 cos 10 ... sin 40 cos 40 1111 4D = + + + = + + + + =+++=
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 5
BÀI TP RÈN LUYỆN
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau
a)
0 0 2024 0
0
sin 30 2cos 45 3tan 45
cos 60
A
+−
=
b)
0 00
0
sin 30 .cos60 .cot 60
tan 45
B =
Bài 5. Cho
là góc nhọn, biết
3
sin
2
. Tính
cos ; tan ; cot 
Bài 6.
a) Tính giá trị biểu thức
2222
cos 20 cos 40 cos 50 cos 70
A
  
.
b) Rút gọn biểu thức
sin 35 sin 67 cos 23 cos 55B  
.
Bài 7. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần.
a)
sin 70 , cos 30 , cos 40 , sin 51

b)
sin 20 , cos 31 , cos 47 , sin 14

.
c)
tan 30 , cot 34 , cot 46 , t an 81

d)
cot25 , tan 65 , cot 35 n 75, ta

.
Bài 8. Cho
tan 2
. Tính
sin cos
sin cos
A


Bài 9. Biết
tan 2
. Tính giá trị của biểu thức :
22
sin 2 sin cos 3 cos .Aa 
Bài 10. Cho
là góc nhọn tính giá trị của biểu thức
6 22 6
sin 3 sin .cos cosE 

Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 6
DẠNG 2
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1. Cho tam giác
ABC
vuông tại
C
1, 2 ; 0, 9BC cm AC cm
= =
. Tính các tỉ số lượng giác của góc
B
, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc
A
.
Lời giải
1,2
0,9
B
A
C
tam giác
ABC
vuông tại
C
nên theo Pythagone ta có:
2 22
93
42
AB AC BC AB= + =⇒=
Ta có:
3
sin
5
4
cos
5
3
tan
4
4
cot
3
AC
B
AB
BC
B
AB
AC
B
CB
BC
B
AC
= =
= =
= =
= =
Do
0
90AB+=
nên:
4
sin cos
5
AB= =
3
cos sin
5
AB= =
4
tan cot
3
AB= =
3
cot tan
4
AB= =
Bài 2. Cho tam giác
ABC
5, 3AB a BC a= =
,
2AC a=
a) Chứng minh tam giác
ABC
vuông
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc
B
, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc
A
Lời giải
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 7
B
A
C
a) ta có:
22
2 2 22 2
5
325
AB a
AC BC a a a
=
+ =+=
2 22
AB AC BC ABC = + ⇒∆
vuông tại
C
(định lý Pythagone đảo).
b) Ta có:
26
sin
5
5
3 15
cos
5
5
26
tan
3
3
36
cot
2
2
AC a
B
AB
a
BC a
B
AB
a
AC a
B
CB
a
BC a
B
AC
a
= = =
= = =
= = =
= = =
Do
0
90
AB+=
nên:
15
sin cos
5
AB= =
6
cos sin
5
AB
= =
6
tan cot
2
AB= =
6
cot tan
3
AB= =
BÀI TP RÈN LUYỆN
Bài 3. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
1, 6 ; 1, 2AB cm AC cm= =
. Tính các t s lưng giác ca góc
B
, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc
C
.
Lời giải
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 8
1,2
1,6
B
A
C
Ta có:
3434
sin ;cos ;tan ;cot
5543
BBBB= = = =
4343
sin ;cos ;tan ;cot
5534
CCCC⇒= = = =
Bài 4. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
60 ; 8AB mm AC cm= =
. Tính các tỉ số lượng giác của góc
B
Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc
C
Lời giải
8
6
C
B
A
Ta có:
8 4 6 3 84 3
sin ;cos ; tan ;cot
10 5 10 5 6 3 4
B B BB= = = = = = =
3434
sin ;cos ; tan ;cot
5543
CBBB
⇒= = = =
.
Bài 5. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc
C
biết rằng
cos 0, 6B =
Lời giải
C
B
A
Ta có:
22 22 2
sin cos 1 sin 0,6 1 sin 0,64 sin 0,8BB B B B+ = += = =
sin 0,8 4
tan
cos 0, 6 3
cos 0, 6 3
cot
sin 0,8 4
B
B
B
B
B
B
= = =
= = =
Do
0
90CB+=
nên:
sin cos 0, 6CB= =
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 9
cos sin 0,8CB= =
3
tan cot
4
CB= =
4
cot tan
3
CB= =
Bài 6. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
AH
. Tính
sin ,sinBC
a)
13 , 5AB cm BH cm= =
b)
3, 4BH cm CH cm= =
Lời giải
C
B
H
A
a) Ta có:
13 , 5 sin ,sinAB cm BH cm AH BC B C= = ⇒⇒
b) Ta có:
3 , 4 , sin ,sinBH cm CH cm AH AB AC B C= =⇒⇒
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 10
DẠNG 3
BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài 1. Một cây cau có chiều cao
6
m
. Để hái một buồng cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang
tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất bao nhiêu, biết chiếc thang dài
8m
(làm tròn
đến phút).
Lời giải
Xét
ABC
vuông tại
A
, ta có:
63
sin
84
AC
B
BC
= = =
(tỉ số lượng giác của góc nhọn)
48 35B
°′
⇒≈
Vậy góc giữa thang tre với mặt đất là
0
48 35
.
Bài 2. Một cột đèn điện
AB
cao
6m
bóng in trên mặt đất
AC
dài 3,5m. Hãy tính
BCA
(làm tròn
đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 11
3,5
6
C
B
A
Lời giải
3,5
6
C
B
A
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
ABC
, ta có:
0
6
tan 59 45'
3, 5
AB
CC
AC
= = ⇒≈
Bài 3. Tia nắng chiếu qua nóc của tòa nhà hợp với mặt đất một góc
α
. Cho biết tòa nhà cao 21m
bóng của nó trên mặt đất dài 15m. Tính góc
α
(làm tròn đến phút) .
Lời giải
B
A
C
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Trang 12
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
ABC
, ta có:
0
21
tan 54 28'
15
AC
BC
CB
= = ⇒≈
Bài 4. Một cái thang dài 6m được đặt dựa vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 3m. Tính
góc
α
tạo bởi thang với bức tường.
Lời giải
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
ABC
, ta có:
0
31
sin 30
62
AC
BB
AB
= ==⇒=
Bài 5. Một máy bay đang bay ở độ cao
12 km
. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay
tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Nếu cách sân bay
320 km
máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng
là bao nhiêu (làm tròn đến phút)?
Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
ABC
, ta có:
12 3
sin
320 80
AC
B
BC
= = =
29B
°′
⇒≈
Vậy góc nghiêng là
29
°′
.
C
| 1/86

Preview text:

Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống CHƯƠNG 4
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BÀI 1
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn Cho góc nhọn α ( 0 0
0 < α < 90 ) . Xét A
BC vuông tại A có  ABC = α .
Các tỉ số lượng giác của góc nhọn α Công thức
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α , kí hiệu sinα sinα AC = BC
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α , kí hiệu cosα cos AB α = BC
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α , kí hiệu tanα tanα AC = BC
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α , kí hiệu cotα cotα BC = AC
Chú ý: Với góc nhọn α , ta có:
• 0 < sinα <1; 0 < cosα <1 • 1 cotα = tanα
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Định lí:
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
Hai góc phụ nhau là hai góc nhọn có tổng bằng 0 90 . Nhận xét: Với 0 0 0 < α < 90 , ta có: • 0 sin(90 −α) = cosα • 0 cos(90 −α) = sinα • 0 tan(90 −α) = cotα • 0 cot(90 −α) = tanα Trang 1
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Bảng tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt: α 0 30 0 45 0 60 sinα 1 2 2 3 2 2 1 cosα 3 2 2 2 2 tanα 3 1 3 3 cotα 3 1 3 3 Trang 2
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống DẠNG 1
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
Với góc nhọn α , ta có:
• 0 < sinα <1; 0 < cosα <1 • 1 cotα = tanα α • sin tanα = cosα α • cos cotα = sinα • 2 2 sin α + cos α =1 • tanα.cotα =1 • 1 2 1+ tan α = 2 cos α • 1 2 1+ cot α = 2 sin α
Bài 1. Tìm các tỉ số lượng giác còn lại của góc α, biết: a) 3 sinα = b) 12 cosα = c) 4 tanα = 5 13 3
Bài 2. Tìm góc nhọn α, biết: a) sinα = cosα b) tanα = cotα
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau a) 2 0 2 0 3 0
A = 4 − sin 45 + 2cos 60 − 3cot 45 b) 0 0 0
B = tan 45 .cos30 .cot 30 c) 2 0 2 0 2 0
C = cos 15 + cos 25 +...+ cos 75 d) 2 0 2 0 2 0
D = sin 10 + sin 20 +...+ sin 80
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau 0 0 2024 0 0 0 0 a) sin 30 2cos 45 3tan 45 A + − = b) sin 30 .cos60 .cot 60 B = 0 cos60 0 tan 45
Bài 5. Cho là góc nhọn, biết 3 sin  . Tính cos ; tan ; cot 2 Bài 6.
a) Tính giá trị biểu thức 2 2 2 2
A  cos 20  cos 40  cos 50  cos 70 . Trang 3
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
b) Rút gọn biểu thứcB  sin 35  sin 67  cos23  cos 55 .
Bài 7. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần.
a) sin 70,cos 30,cos 40,sin 51
b) sin20,cos 31,cos 47,sin14 .
c) tan 30,cot34,cot46, tan 81
d) cot25, tan 65,cot35, n ta 75 .
Bài 8. Cho tan  2. Tính
sin  cos A
sin  cos
Bài 9. Biết tan  2. Tính giá trị của biểu thức : 2 2
A  sin  2 sin cos  3 cos a.
Bài 10. Cho là góc nhọn tính giá trị của biểu thức 6 2 2 6
E  sin  3 sin .
cos  cos Trang 4
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống DẠNG 2
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại C BC =1,2c ;
m AC = 0,9cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc
B , từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A .
Bài 2. Cho tam giác ABC AB = a 5, BC = a 3 , AC = a 2
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B , từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A AB =1,6c ;
m AC =1,2cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc
B , từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C .
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A AB = 60m ;
m AC = 8cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc B
Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A . Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C biết rằng cos B = 0,6
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Tính sin B,sinC a) AB =13c , m BH = 5cm b) BH = 3c , m CH = 4cm Trang 5
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống DẠNG 3 BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài 1. Một cây cau có chiều cao 6m . Để hái một buồng cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang
tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 8m (làm tròn đến phút).
Bài 2. Một cột đèn điện AB cao 6m có bóng in trên mặt đất là AC dài 3,5m. Hãy tính  BCA (làm tròn
đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất B 6 A 3,5 C
Bài 3. Tia nắng chiếu qua nóc của tòa nhà hợp với mặt đất một góc α . Cho biết tòa nhà cao 21m và
bóng của nó trên mặt đất dài 15m. Tính góc α (làm tròn đến phút) . Trang 6
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Bài 4. Một cái thang dài 6m được đặt dựa vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 3m. Tính
góc α tạo bởi thang với bức tường. C
Bài 5. Một máy bay đang bay ở độ cao 12 km . Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay
tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Nếu cách sân bay 320 km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng
là bao nhiêu (làm tròn đến phút)? Trang 7
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống DẠNG 4
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A( AB < AC),  0
C = α < 45 , đường trung tuyến AM , đường cao
AH , MA = MB = MC = a . Chứng minh rằng: a) sin 2α = 2sinα.cosα b) 2 1+ cos 2α = 2cos α c) 2 1− cos 2α = 2sin α
Bài 2. Cho tam giác nhọn HD
ABC hai đường cao AD BE cắt nhau tại H . Biết 1  . Chứng HA 2
minh rằng tanB.cotC  3 . Bài 3. Cho tam giác A a
ABC BC a,AC  ,
b AB c . Chứng minh rằng: sin  . 2 b c
Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC a,AC  ,
b AB c . Chứng minh rằng: a b c   . sin A sin B sinC
Bài 5. Cho ∆ABC vuông tại A, Chứng minh rằng: AC sin B  . AB sinC Trang 8
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống CHƯƠNG 4
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BÀI 1
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn Cho góc nhọn α ( 0 0
0 < α < 90 ) . Xét A
BC vuông tại A có  ABC = α .
Các tỉ số lượng giác của góc nhọn α Công thức
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α , kí hiệu sinα sinα AC = BC
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α , kí hiệu cosα cos AB α = BC
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α , kí hiệu tanα tanα AC = BC
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α , kí hiệu cotα cotα BC = AC
Chú ý: Với góc nhọn α , ta có:
• 0 < sinα <1; 0 < cosα <1 • 1 cotα = tanα
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Hai góc phụ nhau là hai góc nhọn có tổng bằng 0 90 .
Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia. Nhận xét: Với 0 0 0 < α < 90 , ta có: • 0 sin(90 −α) = cosα • 0 cos(90 −α) = sinα • 0 tan(90 −α) = cotα • 0 cot(90 −α) = tanα Trang 1
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Bảng tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt: α 0 30 0 45 0 60 sinα 1 2 2 3 2 2 1 cosα 3 2 2 2 2 tanα 3 1 3 3 cotα 3 1 3 3 Trang 2
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống DẠNG 1
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
Với góc nhọn α , ta có:
• 0 < sinα <1; 0 < cosα <1 • 1 cotα = tanα α • sin tanα = cosα α • cos cotα = sinα • 2 2 sin α + cos α =1 • tanα.cotα =1 • 1 2 1+ tan α = 2 cos α • 1 2 1+ cot α = 2 sin α
Bài 1. Tìm các tỉ số lượng giác còn lại của góc α, biết: a) 3 sinα = b) 12 cosα = c) 4 tanα = 5 13 3 Lời giải a) Ta có: 2 2 2 16 4 sin α + cos α =1⇒ cos α = ⇒ cosα = (cosα > 0) 25 5 sinα 3 tanα = = cosα 4 cosα 4 cotα = = sinα 3 b) Ta có: 2 2 2 2 12  2 25 5
sin α + cos α =1⇒ sin α =1− ⇔ sin α = ⇒ sinα = (sinα >   0) 13  169 13 sinα 5 tanα = = cosα 12 cosα 12 cotα = = sinα 5 Trang 3
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống c) Ta có: 2 2 1 1  4  1 25 2 9 3 1+ tan α = ⇔ = 1+ ⇔ = ⇔ cos α = ⇒ cosα = (cosα >   0) 2 2 2 cos α cos α  3  cos α 9 25 5 1 3 tanα.cotα =1 ⇔ cotα = = tanα 4 3 4 4 sinα = cosα tanα = . = 5 3 5
Bài 2. Tìm góc nhọn α, biết: a) sinα = cosα b) tanα = cotα Lời giải a) Ta có: α = α ⇒ α = ( 0 sin cos sin sin 90 −α ) 0 0 ⇔ α = 90 −α ⇒ α = 45 b) Ta có: α = α ⇒ α = ( 0 tan cot tan tan 90 −α ) 0 0 ⇔ α = 90 −α ⇒ α = 45
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau a) 2 0 2 0 3 0
A = 4 − sin 45 + 2cos 60 − 3cot 45 b) 0 0 0
B = tan 45 .cos30 .cot 30 c) 2 0 2 0 2 0
C = cos 15 + cos 25 +...+ cos 75 d) 2 0 2 0 2 0
D = sin 10 + sin 20 +...+ sin 80 Lời giải a) Ta có: 2 2   2 0 2 0 3 0 2  1
A 4 sin 45 2cos 60 3cot 45 4   2.  = − + − = − + −     3 =1 2    2  b) Ta có: 0 0 0 3 3
B = tan 45 .cos30 .cot 30 =1. . 3 = 2 2 c) Ta có: 2   2 0 2 0 2 0 C = + + + = ( 2 0 2 0 + ) 2 0 2 7 cos 15 cos 25 ... cos 75
cos 15 cos 75 +...+ cos 45 =1+1+1+   =  2  2   d) Ta có: 2 0 2 0 2 0 D = + + + = ( 2 0 2 0 + )+ +( 2 0 2 0 sin 10 sin 20 ... sin 80 sin 10 cos 10
... sin 40 + cos 40 ) =1+1+1+1= 4 Trang 4
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau 0 0 2024 0 0 0 0 a) sin 30 2cos 45 3tan 45 A + − = b) sin 30 .cos60 .cot 60 B = 0 cos60 0 tan 45
Bài 5. Cho là góc nhọn, biết 3 sin  . Tính cos ; tan ; cot 2 Bài 6.
a) Tính giá trị biểu thức 2 2 2 2
A  cos 20  cos 40  cos 50  cos 70 .
b) Rút gọn biểu thứcB  sin 35  sin 67  cos23  cos 55 .
Bài 7. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần.
a) sin 70,cos 30,cos 40,sin 51
b) sin20,cos 31,cos 47,sin14 .
c) tan 30,cot34,cot46, tan 81
d) cot25, tan 65,cot35, n ta 75 .
Bài 8. Cho tan  2. Tính
sin  cos A
sin  cos
Bài 9. Biết tan  2. Tính giá trị của biểu thức : 2 2
A  sin  2 sin cos  3 cos a.
Bài 10. Cho là góc nhọn tính giá trị của biểu thức 6 2 2 6
E  sin  3 sin .
cos  cos Trang 5
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống DẠNG 2
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại C BC =1,2c ;
m AC = 0,9cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc
B , từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A . Lời giải A 0,9 C 1,2 B
tam giác ABC vuông tại C nên theo Pythagone ta có: 2 2 2 9 3
AB = AC + BC = ⇒ AB = 4 2 Ta có: AC 3 sin B = = AB 5 BC 4 cos B = = AB 5 AC 3 tan B = = CB 4 BC 4 cot B = = AC 3 Do  +  0 A B = 90 nên: 4 sin A = cos B = 5 3 cos A = sin B = 5 4 tan A = cot B = 3 3 cot A = tan B = 4
Bài 2. Cho tam giác ABC AB = a 5, BC = a 3 , AC = a 2
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B , từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A Lời giải Trang 6
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống A C B a) ta có: 2 2 AB = 5a 2 2 2 2 2
AC + BC = 3a + 2a = 5a 2 2 2
AB = AC + BC A
BC vuông tại C (định lý Pythagone đảo). b) Ta có: AC a 2 6 sin B = = = AB a 5 5 BC a 3 15 cos B = = = AB a 5 5 AC a 2 6 tan B = = = CB a 3 3 BC a 3 6 cot B = = = AC a 2 2 Do  +  0 A B = 90 nên: 15 sin A = cos B = 5 6 cos A = sin B = 5 6 tan A = cot B = 2 6 cot A = tan B = 3
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A AB =1,6c ;
m AC =1,2cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc
B , từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C . Lời giải Trang 7
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống C 1,2 A 1,6 B Ta có: 3 4 3 4
sin B = ;cos B = ;tan B = ;cot B = 5 5 4 3 4 3 4 3
⇒ sin C = ;cosC = ;tan C = ;cot C = 5 5 3 4
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A AB = 60m ;
m AC = 8cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc B
Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C Lời giải A 6 8 B C Ta có: 8 4 6 3 8 4 3 sin B = = ;cos B =
= ;tan B = = ;cot B = 10 5 10 5 6 3 4 3 4 3 4
⇒ sin C = ;cos B = ;tan B = ;cot B = . 5 5 4 3
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A . Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C biết rằng cos B = 0,6 Lời giải A B C Ta có: 2 2 2 2 2
sin B + cos B =1⇒ sin B + 0,6 =1⇒ sin B = 0,64 ⇒ sin B = 0,8 sin B 0,8 4 tan B = = = cos B 0,6 3 cos B 0,6 3 cot B = = = sin B 0,8 4 Do  +  0 C B = 90 nên:
sin C = cos B = 0,6 Trang 8
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
cosC = sin B = 0,8 3 tan C = cot B = 4 4 cot C = tan B = 3
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Tính sin B,sinC a) AB =13c , m BH = 5cm b) BH = 3c , m CH = 4cm Lời giải A B H C
a) Ta có: AB =13c ,
m BH = 5cm AH BC ⇒ sin B,sin C
b) Ta có: BH = 3c ,
m CH = 4cm AH AB, AC ⇒ sin B,sin C Trang 9
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống DẠNG 3 BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài 1. Một cây cau có chiều cao 6m . Để hái một buồng cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang
tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 8m (làm tròn đến phút). Lời giải Xét A
BC vuông tại A , ta có: AC 6 3 sin B =
= = (tỉ số lượng giác của góc nhọn) BC 8 4 B 48°35′ ⇒ ≈
Vậy góc giữa thang tre với mặt đất là 0 48 35′ .
Bài 2. Một cột đèn điện AB cao 6m có bóng in trên mặt đất là AC dài 3,5m. Hãy tính  BCA (làm tròn
đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất Trang 10
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống B 6 A 3,5 C Lời giải B 6 A 3,5 C
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ABC , ta có:  AB 6 = = ⇒  0 tan C C ≈ 59 45' AC 3,5
Bài 3. Tia nắng chiếu qua nóc của tòa nhà hợp với mặt đất một góc α . Cho biết tòa nhà cao 21m và
bóng của nó trên mặt đất dài 15m. Tính góc α (làm tròn đến phút) . Lời giải A C B Trang 11
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Kết Nối Trí Thức Với Cuộc Sống
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ABC , ta có:  AC 21 = = ⇒  0 tan B C ≈ 54 28' CB 15
Bài 4. Một cái thang dài 6m được đặt dựa vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 3m. Tính
góc α tạo bởi thang với bức tường. C Lời giải
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ABC , ta có:  AC 3 1 = = = ⇒  0 sin B B = 30 AB 6 2
Bài 5. Một máy bay đang bay ở độ cao 12 km . Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay
tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Nếu cách sân bay 320 km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng
là bao nhiêu (làm tròn đến phút)? Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ABC , ta có: AC 12 3 sin B = = = BC 320 80 B 2°9′ ⇒ ≈
Vậy góc nghiêng là 2°9′ . Trang 12