Các dạng bài tập trắc nghiệm VDC giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12

Tài liệu gồm 36 trang, tóm tắt lý thuyết cơ bản cần nắm và hướng dẫn phương pháp giải các dạng bài tập trắc nghiệm vận dụng cao (VDC / nâng cao / khó) giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, phù hợp với đối tượng học sinh khá – giỏi khi học chương trình Giải tích 12 chương 1

19 10 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

36 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A.
KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
Cho hàm số
yfx xác định trên tập D.
+) Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số
yfx
trên tập D nếu
f
xM
với mọi
x
D
và tồn tại
0
x
D
sao cho

0
f
xM
.
Kí hiệu:
max
D
M
fx
+) Số
m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số
yfx
trên tập D nếu
xm
với mọi
x
D và tồn tại
0
x
D sao cho
0
f
xm
Kí hiệu:

min
D
mfx
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số
yfx
trên tập D nếu
f
xM với mọi
x
D và tồn tại
0
x
D sao cho
0
f
xM.
Kí hiệu:
max
D
M
fx
Cho hàm số
yfx
xác định
trên tập D
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số
yfx trên tập D nếu
xm
với mọi
x
D và tồn tại
0
x
D sao cho
0
f
xm
.
Kí hiệu:
min
D
mfx
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên một khoảng
1. Phương pháp giải
Ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng).
Bước 2. Tính

yfx
; tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên
Bước 4. Kết luận
Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải.
Bước 1. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y
fx
trên miền (a; b) ta sử dụng máy
tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng giá trị)
Bước 2. Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất
hiện là min.
- Ta thiết l
ập miền giá
trị của biến x Start a End b Step
19
ba
(có thể làm tròn để Step đẹp).
Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính về chế độ Radian.
2. Bài tập
Bài tậ
p 1.
Cho hàm số

652
121
1
352

f
xxxxx.Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

17
max
30
fx B.

47
max
30
fx
C.

67
max
30
fx
D. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất
Hướng dẫn giải
Chọn B
Tập xác định D
Ta có
54 4
22 1 121
  fx x x x x x
Khi
đó
4
012101
 fx x x x
Bảng bi
ến thiên
Dựa vào bảng b
iến thiên, ta thấy

47
max
30
fx
tại
1
x
Bài tập 2. Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số

2
68
1
x
fx
x
trên khoảng
;1 . Khi đó giá trị của
biểu thức
2
68
1
a
P
a
bằng
A.
22
5
B.
6
13
C.
58
65
D.
74
101
Hướng dẫn giải
Chọn C
Hàm số liên tục trên khoảng

;1
Ta có


2
2
2
8128
1
xx
fx
x

Khi đó


2
2;1
08 1280
1
;1
2
x
fx x x
x

 

Bảng biến thiên
Dựa vào bảng b
iến thiên, ta thấy


2
;1
68 58
max 8
165
a
fx P
a


Bài tập 3. Cho hàm số

2
2
1
1



x
x
yfx
x
x
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
min 1
fx B.

1
min
3
fx
C.

min 3
fx D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải
Chọn B
Tập xác định
D
Ta có

 
2
2
222
22
21221
222
1
1
11



 
xx xx
xx
yfx y
xx
xx xx
Do đó
2
02 20 1
 yx x
Bảng biến th
iên
Dựa vào bảng
b
iến thiên, ta thấy

1
min
3
fx tại
1
x
Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn
1. Phương pháp giải
Bước 1.
Tính

f
x
Bước 2. Tìm các điểm
;
i
x
ab mà tại đó
0
i
fx hoặc
i
f
x không xác định
Bước 3. Tính
,,
i
f
afx fb
Bước 4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Khi đó

;
max
ab
M
fx và


;
min
ab
mfx
Chú ý:
+) Hàm
số
yfx đồng biến trên đoạn [a; b] thì

max
min
f
xfb
f
xfa
+) Hàm số
yfx
nghịch biến trên đoạn [a; b] thì

max
min
f
xfa
f
xfb
2. Bài tập
Bài tậ
p 1.
Cho hàm số
2
1
x
y
x
. Giá trị của


2
2
2; 3
2; 3
min max






yy bằng
A. 16 B.
45
4
C.
25
4
D.
89
4
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có

2
3
0, 1
1

yx
x
, do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
;1 ; 1;
 Hàm số
nghịch biến trên [2; 3].
Do đó




2; 3
2; 3
5
min 3 ; max 2 4
2
 yy yy
Vậy


2
2
2
2
2; 3
2; 3
589
min max 4
24










yy
Bài tập 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
4
yx x
Giá trị của biểu thức

P
Mm bằng
A.

221 B.
221 C.
21
D.
21
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tập xác định
2; 2D
Ta có

2
22
4
1,2;2
44



xxx
yx
xx

2
0
04
22;2


x
yxx
x

222; 20;22; 2 2yyyy
Vậy
22, 2 22 2 2 2 1MmP
Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
32
23
yx xm trên đoạn [0; 5] bằng 5 khi m bằng
A. 6 B. 10 C. 7 D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Hàm số xác định và liên tục trên
0; 5D
Ta có
2
0
06 60
1

 

x
D
yxx
x
D
0 ; 1 1; 5 175
f
mf m f m
Dễ thấy
501, fffm
nên

0; 5
min 1 1
fx f m
Theo đề bài

0; 5
min 5 1 5 6  fx m m
Bài tập 4. Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
2
1
x
mm
y
x
trên đoạn [2; 3]. Tất cả
các giá trị thực của tham số m để
13
2
AB là
A. 1; 2mm B. 2
m
C. 2m D. 1; 2
mm
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2; 3]
Ta có

2
2
1
0,
1


mm
ym
x
 
2
2
3
3;22
2


mm
Ay By m m
Do đó
2
2
13 3 13
2
22 2

 
mm
AB m m
2
1
360
2


m
mm
m
Bài tập 5. Biết hàm số
32
33211 yx mx m x (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn
nhất bằng 6. Các giá trị của tham số m là
A. 1m B. 0m C. 3
m D. 1m
Hướng dẫn giải
Chọn D
1
0
12



x
y
x
m
Vì
21;01 yy
và theo bài ra

2; 0
max 6
y
nên giá trị lớn nhất không đạt tại 2; 0 xx. Do đó
giá trị lớn nhất đạt tại
1y hoặc
12ym.
Ta có

2
133,12 12 21 ymymmm
- Trường hợp 1:
Xét
336 1mm
Thử lại với
1m
, ta có

12;0
0
32;0



x
y
x
nên
1
m
là một giá trị cần tìm.
- Trường hợp 2: Xét


2
2
12 2 5 1
12 2 16
13
212 0
22






mm
mm
m
m
Vì

2
13
20 12 2 0
22
 mm mm nên (1) vô nghiệm
Dạng 3: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [a; b]
1. Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
f
x
trên đoạn
;ab
, giả sử thứ tự là M, m.
Bước 2.
+) Tìm

;
max max ;
ab
yMm
+) Tì
m

;
min
ab
y
- Trường hợp 1:

;
.0min0
ab
Mm y
- Trường hợp 2:

;
0min
ab
mym
- Trường hợp 3:

;
0min
ab
M
yM M
Bước 3. Kết luận.
* Tìm tham số để GTLN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [α, β] bằng k
Thực hiện th
eo các bước sau
Bước 1. Tìm


;;
max max ;
f
xAB
 
Bước 2. Xét các trường hợp
+)
A
k tìm m, thử lại các giá trị m đó
+)
B
k
tìm m, thử lại các giá trị m đó
2. Bài tập
Bài tậ
p 1.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
32
92468 yx x x trên đoạn [-1; 4] bằng
A. 48 B. 52 C. -102 D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn A
Bảng biến thiên của hàm số
32
92468 yx x x trên
1; 4
Suy r
a bảng biến thiên của hàm số
32
92468 yx x x trên đoạn
1; 4
là
Vậy gi
á trị nhỏ nhất của hàm số
32
92468 yx x x trên đoạn
1; 4 bằng 48.
Cách khác: Theo trường hợp 3 thì 48 0 min 48 My
Bài tập 2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
2
1

x
mx m
y
x
trên đoạn [1; 2] bằng 2.
Số phần tử của tập S là
A. 3 B. 1 C. 4 D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét hàm số

2
1


x
mx m
yfx
x
Ta có


2
2
01;2
2
0
21;2
1



x
xx
y
x
x
Mặt khác
 
21 34
1;2
23


mm
ff
Do đó

1; 2
2134
max max ;
23



mm
y
- Trường hợp 1:

1; 2
3
21
2
max 2
5
2
2


m
m
y
m
+) Với
33417
2
236

m
m
(loại)
+)
Với
5347
2
236

m
m (thỏa mãn)
- Trường hợp 2:

1; 2
2
34
3
max 2
10
3
3


m
m
y
m
+) Với
2217
2
326
 
m
m
(thỏa mãn)
+) Với
10 2 1 17
2
326

m
m (loại)
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.
Bài tập 3. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

42
1
14 48 30
4
fx x x x m trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng
A. 108 B. 120 C. 210 D. 136
Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét hàm số

42
1
14 48 30
4
gx x x x m trên đoạn [0; 2]
Ta có
 


3
60;2
28 48 0 2 0; 2
40;2




x
gx x x gx x
x
Để



0; 2
030
30 30
max 30 0 16
14 30
230





g
m
gx m
m
g
0;1; 2;...; 15; 16m
Tổng các phần tử của S là 136.
Bài tập 4. Biết giá trị lớn nhất của hàm số
2
1
4
2
yxxm bằng 18.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
05m
B.
10 15
m
C. 510m D. 15 20
m
Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét hàm số

2
1
4
2
gx x x liên tục trên tập xác định [-2; 2]
Ta có
  
22
10 10,2;2
44




xx
gx gx x
xx

2
22
0
422;2
4
 

x
xx x
xx



51423
2;2 ;2
222
gg g


Do đó


2; 2
5
max
2
gx khi 2x , suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng
5
2
m
Theo bài ra
5
18 15,5
2
 mm
. Vậy
15 20
m
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN của hàm số y = |f(x) + g(m)| trên đoạn [a; b] đạt GTNN
1. Phương pháp giải
Thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm


;
;
max ; min
ab
ab
f
xfx

Bước 2. Gọi M là giá trị lớn nhất của
yfxgm thì
 
max ;
M
gm gm

22
 

g
mgm gm gm

Dấu bằng
xảy
ra khi và chỉ khi

g
mgm

Áp dụng bất đẳng thức
2

g
mgm

22


gm gm

Dấu bằng xảy
ra khi và chỉ khi
0

gm gm

Bước 3. Kết luận min
2
M
khi

2
gm
2. Bài tập
Bài tậ
p 1:
Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số
2
24
yx xm trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất,
giá trị của tham số m bằng
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
2
2
f
xx x
Ta có
22; 0 1 2;1

 fx x fx x
20;13; 1 1 fff
Do đó


2; 1
2; 1
max 3; min 1
fx fx
Suy ra

2; 1
max max 5 ; 1
ymm
515 1
2
22


mm mm
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

51
3
510



mm
m
mm
(thỏa mãn)
Bài tập 2: Để giá trị lớn nhất của hàm số
2
234
yxxm đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
A.
3
2
m
B.
5
3
m
C.
4
3
m
D.
1
2
m
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tập xác định

0; 2D
Đặt

2
2,
f
xxxxD
.
Ta có
 
2
1
01
2


x
f
xfxx
xx
00;20;11fff
Suy ra

3435
max max 3 4 ; 3 5
2


D
mm
Py mm
53 3 4
1
22


mm
Dấu bằng xảy ra

3435
3
2
53 3 4 0



mm
m
mm
(thỏa mãn)
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi
3
2
m
Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
,25yfxm x x mx
đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 2 B. 5 C. 8 D. 9
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có
min , 0, 5,fxm f m m
Xét
2m ta có
22
,2 2 5 2 2 5 2 5, fx x x x x x x x
Dấu bằng xảy ra tại
0x . Suy ra
min , 2 5,
fx x
Do đó



min , 5,
max min , 5
min , 2 5,



fxm m
fxm
fx x
, đạt được khi
2
m
Tổng quát:
2
yax bxcmx
Trường hợp 1:
.0ac
max minyc
Đạt được khi
mb
Bài tập 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
,47
f
xm x x mx đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 7 B. -7 C. 0 D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Phương trình
2
470xx
luôn có hai nghiệm trái dấu
12
0
x
x
Trường hợp 1: Nếu
0m
Ta có
1
min , , 0,fxm fxm mx m
Xét
0m
ta có
2
,0 4 7 0,fx x x x . Dấu bằng xảy ra tại
1, 2
x
x .
Suy ra
min , 0 0,fx x
Do đó



min , 0,
max min , 0
min , 0 0,
fxm m
fxm
fx x



khi 0
m
Trường hợp 2: Nếu 0m
Ta có
22
min , , 0, max min , 0 fxm fx m mx m fxm
So sánh cả h
ai trường hợp thì
max min , 0
fxm khi 0
m
Trường hợp 2:
.0maxmin 0 ac y Đạt được khi 0
m
Dạng 5: TÌM GTLN-GTNN khi cho đồ thị - bảng biến thiên
Bài tập 1. Hàm số
yfx liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên dưới
Biết
48ff, khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên bằng
A. 9 B.

4f C.
8
f
D. -4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Từ bảng biến thi
ên ta có
4, ;0fx f x
và
8, 0;fx f x
.
Mặt khác
48ff
suy ra

;x
thì
8fx f
Vậy
min 8
fx f
Bài tập 2. Cho hàm số
yfx xác định trên tập hợp
3
;1 1;
2
D

và có bảng biến thiên như
sau
Khẳng định đúng là
A.
max 0
D
fx
; không tồn tại
min
D
f
x
B.
max 0
D
fx
;
min 5
D
fx
C.
max 0
D
fx
;
min 1
D
fx
D.
min 0
D
fx ; không tồn tại
max
D
f
x
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên thì
 
3
max 1 0; min 5
2
D
D
fx f fx f




Bài tập 3. Cho hàm số
yfx
liên tục trên đoạn
1; 3
và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Gọi
M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
1; 3 . Giá trị của
M
m bằng
A.
1 B. 3 C. 4 D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị suy ra
33; 2 2Mf mf
Vậy
5Mm
Bài tập 4. Cho đồ thị hàm số
yfx
như hình vẽ
Hàm số
yfx đạt giá trị lớn nhất trên khoảng
1; 3 tại
0
x
. Khi đó giá trị của
2
00
2 2019xx bằng
bao nhiêu?
A.
2018 B. 2019 C. 2021 D. 2022
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị của hàm số
yfx
ta có bảng biến thiên như sau
Dựa vào bảng b
iến thiên suy ra hàm số
yfx đạt giá trị lớn nhất trên khoảng

1; 3 tại
0
2
x .
Vậy
2
00
2 2019 2019 xx
Dạng 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
1. Phương pháp giải
Ghi nhớ:
Điều kiện của các ẩn phụ
- Nếu
sin
11
cos

tx
t
tx
- Nếu
2
cos
01
cos


tx
t
tx
- Nếu
2
sin
01
sin

tx
t
tx
- Nếu
sin cos 2.
4




txxsnix
22 t
Bước 1. Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ
Bước 2. Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số theo ẩn phụ
Bước 3.
Kết luận (Chọn đáp án)
2. Bài tập
Bài tậ
p 1.
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2cos2 2sin
yxx là
A.
9
;4
4
Mm
B. 4; 0
Mm
C.
9
0;
4
Mm
D.
9
4;
4
Mm
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
22
2cos 2 2sin 2 1 2sin 2sin 4sin 2sin 2yxx xx xx
Đặt

sin , 1; 1txt , ta được
2
422 ytt
Ta có

1
0820 1;1
4
yt t
Vì


14
10
19
44




y
y
y
nên
9
;4
4
Mm
Bài tập 2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
cos cos 1
cos 1
xx
y
x
bằng
A.
3
2
B.
5
2
C.
7
2
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
cos 0 1tx t
, ta được

2
1
1

tt
yft
t
với
01
t
Vì



2
2
2
0, 0; 1
1

tt
ft t
t
nên



 
0; 1
0; 1
3
min 0 1; max 1
2
ft f ft f
Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng




0; 1
0; 1
35
min max 1
22
ft ft
Bài tập 3. Giá trị lớn nhất M của hàm số
42
cos 3 sin 2
yx x là
A.
23M B. 3
M
C.
5
3
4
M
D. 33M
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
2
cos 0 1txt, ta được
2
31 2 yt t với
0; 1t
Ta có

3
230 0;1
2
 yt t
Vì
 
35
0 2 3; 3; 1 3
24





yy y
nên
23M
Bài tập 4. Cho hàm số
2
sin 1 sin 2 2
sin 2

xm x m
y
x
(với m là tham số thực).
Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng
A.
3
2
B.
1
2
C.
3
2
D.
1
2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét

2
sin sin 2
sin 2

xx
fx
x
Đặt
sin 1 1tx t, ta được

2
2
2
tt
ft
t
với
1; 1t
Ta có



2
2
2
01;1
4
040
41;1
2



t
tt
ft t t
t
t
Vì
 
4
1;12;01
3
 fff
nên

1; 1
max 1
ft
và

1; 1
min 2
ft
Hay
2
sin sin 2
21,
sin 2


xx
x
x
Mặt khác
 
2
sin sin 2
,2 1
sin 2


xx
ymfxmfx
x
Do đó

2; 1
max max max 2 , 1 max 2 , 1


yfxm mm mm
21
21
1
max
222



mm
mm
y
Dấu bằng
đạt được khi

21
3
2
210



mm
m
mm
Bài tập 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 12cos 12sin
P
xx bằng
A.
21 B. 31 C. 1 D. 23
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2
6 4 sin cos 2 1 2 sin cos 4sin cos
P
xx xx xx
Đặt
sin cos 2.sin
4




txx x
với
2
1
2sincos
2

t
txx
Xét
2
22
2
13 13
484 ;
22
64 22 2 1
13 13
48
22
 

 
 

tt khit t
yP t t t
tkhit
13 13
88 ;
22
13 13
8
22
 


 

tkhit t
y
tkhi t
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng b
iến thiên, suy ra

2
2; 2
min 4 2 3 3 1


ft
min 3 1P
Bài tập 6. Giá trị lớn nhất của hàm số
sin cos 2
f
xx x trên đoạn
0;
là
A.

0;
5
max
4
y
B.

0;
max 1y
C.

0;
max 2
y
D.

0;
9
max
8
y
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
22
sin cos 2 1 2sin 1 2 tx x x t, với
0; 0; 1xt
Ta được
2
21
f
tttvới
0; 1t
Ta có
 
1
410 0;1
4
 ft t t
Do
 
19
01; ;10
48




ff fnên


0; 1
9
max
8
ft
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là

0;
9
max
8
y
Dạng 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khác
Bài tập 1. Giá trị lớn nhất của hàm số
3
22
6
41
11
xx
y
xx





bằng
A.
5
2
B. -5 C.
9
2
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn A
Do
2
2
1
12
2
1

x
xx
x
Đặt
2
1
2
1

x
tt
x
Khi
đó
3
461yt t với
11
;
22




t
Vì
2
12 6 0,
yt t nên hàm số đồng biến trên
11
;
22
Do đó
11
;
22
15
max
22







yy
Bài tập 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 19
yx x lần lượt là
A.
2; 2 B. 4; 2 C. 4; 2 D. 4; 2 2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tập xác định

1; 9D
Ta có

11
01 951;9
212 9


yxxx
xx
Vì
1922;54 yy y nên max 4; min 2 2yy.
Nhận xét: với hàm số yxa xb
;0
 axbab thì
2
0
2.

y
yab xaxb

2
2
2


yab
yabxa xb ab
Suy ra
2 ab y ab dấu bằng luôn xảy ra.
Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

13 13
 yx x x x
bằng
A.
5
2
B. – 2 C. – 4 D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tập xác định của hàm số là

1; 3D
Đặt
 
2
2
4
13 42 13 13
2

t
tx xt xxxx
Do

2
42 13 4, 1;3 txxx, từ đó suy ra 22t

Bài toá
n quy về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2
2
2

t
g
tt
trên đoạn

2; 2
.
Ta có
10 1 2;2
 gt t t
Lại có

5
22;22;1
2
 ggg
Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng
5
2
Nhận xét: Với hàm số
yxa xb
;0
 axbab thì
2
2. yab xaxbab
 ab y ab
Dạng 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến
Bài tập 1. Cho biểu thức
22
22
x
xy y
P
x
xy y


với
22
0xy
. Giá trị nhỏ nhất của P bằng
A. 3. B.
1
3
.
C. 1. D. 4.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Nếu 0y thì P =1. (1)
Nếu
0y
thì
2
22
2
22
1
.
1
xx
yy
xxyy
P
xxyy
xx
yy
 
 

 


 
 
 
Đặt
x
t
y
, khi đó
2
2
1
() .
1
tt
Pft
tt



2
2
22
22
() 0 2 2 0 1.
(1)
t
ft t t
tt



Bảng biến thiên
Dựa vào
bảng biến thiên ta có
1
() .
3
Pft
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
11
() min
33
Pft P .
Bài tập 2. Cho hai số thực x,y thỏa mãn 0; 0xy và 1
x
y
. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
biểu thức
11
x
y
P
yx


lần lượt là
A.
1
2
và 1.
B. 0 và 1. C.
2
3
và 1.
D. 1 và 2.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có
2
(1) (1)( )2 122
.
11(1)(1) 12
x
yxx yy xy xy xy
P
y x x y xy x y xy



Đặt
txy
ta được
22
.
2
t
P
t
Vì
0; 0 0.xy t
Mặt khác
11
12 .
44
x y xy xy t
Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
22
()
2
t
gt
t
trên
1
0; .
4
Xét hàm số
22
()
2
t
gt
t
xác định và liên tục trên
1
0; .
4
Ta có
2
6
() 0
(2 )
gt
t

với
1
0;
4
t




hàm số ()
g
t nghịch biến trên đoạn
1
0; .
4



Do đó
1
0;
4
1
0;
4
12
min ( )
2
43
min
3
max ( ) (0) 1
max 1
gt g
P
gt g
P














.
Bài tập 3. Cho x, y là các số thực thỏa mãn
22
(3)(1)5xy
 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
34741
21
yxyxy
P
xy


bằng
A. 3. B.
3
.
C.
114
11
.
D.
23
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2222
(3)(1)5 6250.xy xyxy 
222
22 2
(3 4 7 4 1) ( 6 2 5)
21
44 24(2)(2)4
21 21
yxyxy xyxy
P
xy
y xyx x y yx x y
xy xy




 
Đặt
2.tx y
2
22 2 2
(12)(3)(1) (3)(22)xy xy



2
( 2 5) 25 0 2 10.xy xy
Ta được
2
44
( ) ,0 10.
11
tt
Pft t t
tt



Xét
2
2
1 (0;10)
4
() 1 0 ( 1) 4
3 (0;10)
(1)
t
ft t
t
t



Vì
114
(0) 4; (10) ; (1) 3 min 3
11
ff f P khi
1t
.
Bài tập 4.
Gọi
000
,,
x
yz là ba số thực dương sao cho biểu thức
222
381
28
2( ) 4 3
P
x
yz
xy yz
xyz xz



đạt giá trị nhỏ nhất.
Tổng
000
x
yz bằng
A. 3. B. 1. C. 33. D.
3
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có
22
381
222
22()3
P
x
yz
xy yz
yxz



381
2( ) ( ) 3
x
yz xyz xyz

  
.
Đặt
0xyzt. Khi đó
18
() ,( 0)
23
Pft t
tt

.
Ta có
'
22
3( 1)(5 3)
() 0 1
2( 3)
tt
f
tt
tt


.
Bảng biến thiên
Suy ra
3
2
P  . Dấu “=” xảy ra
1
1
4
2
1
2
xyz
xz
yz
y
yxz






.
Do đó
000
111
1.
442
xyz
Bài tập 5.
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
2
30
23140
xxy
xy


.
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
223
322
P
xy xy x x
 bằng
A. 8. B. 0. C. 12. D. 4.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Với điều kiện bài toán , 0xy và
2
2
33
30
x
xxy y x
x
x
 .
Lại có
2
39
2314023 1405 1490 1;
5
xy x x x x x
x




.
Từ đó
2
23
33 9
3225Pxx xx x xx
x
xx




.
Xét hàm số
'
2
99 9 9
() 5 ; 1; () 5 0; 1;
55
fx x x f x x
xx
 
 
 
 
.
Suy ra hàm số đồng biến trên
9
1;
5



9
(1) ( ) 4 ( ) 4 max min 4 ( 4) 0
5
ffxf fx P P




.
Bài tập 6.
Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn
1; 9 và ,
x
yx z. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
10 2
yyz
P
yx yz zx





bằng
A.
11
.
18
B.
1
.
3
C.
1
.
2
D.
1.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Thật vậy
2
11 2
10
11
1
ab ab
ab
ab


đúng do
1ab .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.
Áp dụng bất đẳng thức trên
111 1 1 1
2
10 1 1 10
1
P
xzxx
x
yyzy
y



 




.
Đặt

1; 3
x
t
y
 . Xét hàm số
2
11
()
10 1
ft
tt

trên đoạn
1; 3
.
''432
22 2
21
( ) ; ( ) 0 2 24 2 100 0
(10 ) (1 )
t
ft ft t t t t
tt


.
3
( 2)( 24 50) 0 2tt t t
do
3
24 50 0, 1;3tt t .
Bảng biến thiên
Suy ra
min
1
2
P khi và chỉ khi
4
4
2
1
xy
zx
x
y
yz
x
zy
y
Dạng 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x)… khi biết bảng
biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f(x)
1. Phương pháp giải
Thực hiện theo một trong hai cách
Cách 1:
Bước 1.
Đặt t = u(x).
Đánh giá giá trị của t trên khoảng K.
Chú ý: Có thể sử dụng khảo sát hàm số, bất đẳng thức để đánh giá giá trị của t = u(x).
Bước 2. Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số cho ta giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y
= f(t).
Bước 3. Kết luận.
Cách 2:
Bước 1.
Tính đạo hàm
'' '
() (()).yuxfux
Bước 2. Tìm nghiệm
'' '
() (())yuxfux =0.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
(), (())yfxyfux
,
( ( )) ( )...yfux hx
2. Bài tập
Bài tậ
p 1.
Cho hàm số
()yfx
có bảng biến thiên như sau
Hàm số
(1)yfx
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
0; 2
bằng
A. (2)f . B. (2)
f
. C. (1)
f
. D. (0)
f
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Đặt
1, 0;2 0;1.tx x t
Dựa vào bảng b
iến thiên ta có hàm số ()yft
có giá trị nhỏ nhất

0;1
min ( ) (0).ft f
Bài tập 2. Cho hàm số ()yfx có đồ thị như hình vẽ sau. Khi đó hàm số
2
(2 )yf x đạt giá trị nhỏ
nhất trên
0; 2


bằng
A. (2)f . B. (2)
f
. C. (1)
f
. D. (0)
f
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt
2
2tx
. Từ
22
0; 2 0 2 2 2 0 0; 2xxxt



.
Dựa vào
đồ thị, hàm
số ()yft có giá trị nhỏ nhất

0;2
min ( ) (2).ft f
Bài tập 3. Cho hàm số
42
()yfx axbxc xác định và liên tục trên và có bảng biến thiên sau
Gi
á
trị nhỏ nhất của hàm số
(3)yfx trên đoạn
0; 2
là
A. 64. B. 65. C. 66. D. 67.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Hàm số có dạng
42
()
f
xaxbxc
. Từ bảng biến thiên ta có
42
'
(0) 3 3 3
(1) 2 2 2 ( ) 2 3
420 1
(1) 0
fc c
fabcbfxxx
ab a
f








.
Đặt
3, 0; 2 3;5tx x t
.
Dựa vào
đồ thị, hà
m số ()yft đồng biến trên đoạn
3; 5 .
Do đó

0;2 3;5
min ( 3) min ( ) (3) 66fx ft f .
Dạng 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
,
yfux yfux hx Khi
biết đồ thị của hàm số
'
()yfx
Bài tập 1. Cho hàm số
()yfx
có đạo hàm và liên tục trên .
Biết rằng đồ thị hàm số
'
()yfx như dưới đây.
Lập hàm số
2
() ()
g
xfxxx.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. (1) (1)
g
g .
B.
(1) (1)
g
g .
C.
(1) (2)
g
g
.
D.
(1) (2)
g
g .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có
''
() () 2 1
g
xfx x.
Từ đồ thị hàm số
'
()yfx và đường thẳng 2 1yx
ta có
'
() 0gx
'
1
() 2 1 1
2
x
fx x x
x


.
Bảng biến thiên
Ta chỉ cần so sánh trên đoạn
1; 2 . Đường thẳng 21yx
là đường thẳng đi qua
các điểm
(1;1)A
,
(1; 3)B
,
(2;5)C
nên
đồ thị hàm số
'
()yfx
và đường
thẳng 2 1yx cắt nhau tại 3
điểm.
Dạng 11. Ứng dụng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các bài toán thực tế
Bài tập 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật
23
3
s
tt
. Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc

/vm s
của chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A. t = 2s B. t = 5s C. t = 1s D. t =3s
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
  
2
2
63 3 1 33,vt s t t t vt t t

Giá trị lớn nhất của

3vt
khi
1t
.
Bài tập 2.
Một vật chuyển động theo quy luật
32
1
6
3
s
tt
với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi
vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi
trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao
nhiêu?
A. 180 (m/s) B. 36 (m/s) C. 144 (m/s) D. 24 (m/s)
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2
12vt s t t t

2120 6vt t t

Vì
636;00;735vvv nên vận tốc lớn nhất đạt được bằng 36 (m/s).
Bài tập 3.
Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được
giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ
được cho bởi công thức
 
2
/
1
t
ct mg L
t
. Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu
của bệnh nhân cao nhất?
A. 4 giờ B. 1 giờ C. 3 giờ D. 2 giờ
Hướng dẫn giải
Chọn B
Xét hàm số
 
2
0
1
t
ct t
t




2
2
2
10;
1
0
10;
1
t
t
ct
t
t



Bảng biến th
iên
Với t = 1 (giờ) thì nồ
ng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.
Bài tập 4.
Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng
3
500
3
m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là
600.000
đồng /
2
m
. Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó
là
A. 75 triệu đồng B. 85 triệu đồng C. 90 triệu đồng D. 95 triệu đồng
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi

x
m là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là
2
x
m và

hm là chiều cao bể
Bể có thể tích bằng
2
2
500 250
2
33
xh h
x

Diện tích cần xây

222
2
250 500
2226 2 2
3
Sxhxhxx x x
x
x
 
Xét hàm
  
2
2
500 500
2, 0; 4 0 5fx x x f x x f x x
x
x


Bảng biến thiên
Do đ
ó

0;
min 5 150fx f


Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng
min
150S
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 150.600000 = 90.000.000 đồng.
Bài tập 5. Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình
quạt tròn tâm O, quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón
tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Hoàng tạo ra bằng bao nhiêu?
(bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép)
A.
3
128 3
27
dm
B.
3
128 3
81
dm
C.
3
16 3
27
dm
D.
3
64 3
27
dm
Hướng dẫn giải
Khi hàn hai mép của hình quạt tròn, độ dài đường sinh của hình nón bằng bán kính của hình quạt tròn,
tức là
4OA dm
Chọn A
Thể tích của hình nón

22
11
.. .16 .
33
Vrh hh

 với
04h
Ta có



2
143
.16 3 0
33
Vh h Vh h


Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của hình nón là
3
128 3
27
dm
.
Bài tập 6.
Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là
3
2 m
.
Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất
A.
1
;8
2
R
mh m B. 1; 2
R
mh m C.
1
2;
2
R
mh m D.
1
4;
5
R
mh m
Hướng dẫn giải
Chọn B
Từ giả thiết ta c
ó
2
2
2
2VRh h
R


Diện tích toàn phần của thùng phi là
22
2
222
tp
SRhR R
R





Xét hàm số

2
2
fR R
R
 với
0;R 
Ta có

3
22
21
2
2
R
fR R
RR

01fR R

Bảng biến thiên
Suy ra diện t
ích
toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi
12Rh

Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì 1 ; 2
R
mh m
.
Bài tập 7.
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ.
Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km. Tổng chi phí
lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí
nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)
A. 120 triệu đồng B. 164,92 triệu đồng C. 114,64 triệu đồng D. 106,25 triệu đồng
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi M l
à điểm trên đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C
Đặt


2
2
414178,0;4AM x BM x CM x x x x 
Khi
đó tổng chi phí lắp đặt là
2
.20 40 8 17yx x x (đơn vị: triệu đồng)

2
22
8172 4
4
20 40. 20.
817 817
xx x
x
y
xx xx


 

2
12 3
081724
3
yxx xx

Ta có
 
12 3
80 20 3 114,64; 0 40 17 164,92; 4 120
3
yyy





Do đó chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc là 114,64 triệu đồng.
Dạng 12. Tìm m để
;0Fxm
có nghiệm trên tập D
1. Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng
f
x
g
m
Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số
f
x
trên D
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số
A
m
sao cho đường thẳng
yg
m
cắt đồ
thị hàm số
yfx
Bước 4. Kết luận
Chú ý:
+)Nếu hàm số
yf
x
liên tục và có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình

f
x
g
m
có nghiệm khi và chỉ khi
min max
D
D
f
xgm fx
+)Nếu bà
i toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến
thiên để xác định điều kiện sao cho đường thẳng
yg
m
nằm ngang cắt đồ thị hàm số
yf
x
tại k
điểm phân biệt
2. Bài tập
Bài tậ
p1:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn
100;100
để phương trình
21
x
xm
có nghiệm thực?
A. 100 B.101 C. 102 D. 103
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện
1x 
Đặt
2
0
1
1
t
tx
xt


Ta được phươn
g t
rình
22
21 21tt m m t t
Xét hàm số
2
21, 0
f
tttt

220 1
f
tt t

Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy
ra phương trình đã cho có nghiệm khi
2 100 2mm

Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn
Bài tập 2. Cho phương trình
22
221 20mx x x x
( m là tham số). Biết rằng tập hợp các giá
trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn
0;1 2 2
là đoạn
;ab
. Giá trị của biểu thức
2Tab là
A.
4T
B.
7
2
T
C.
3T
D.
1
2
T
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
2
22txx
Xét hàm số

2
22tx x x
trên đoạn
0;1 2 2

2
1
01
22
x
tx t x
xx



Vì
 

02;11;1223tttnên
1; 3t
Yê
u
cầu của bài toán tương đương với phương trình
2
12mt t

có nghiệm thuộc đoạn

2
2
1; 3
1
t
m
t

có nghiệm thuộc đoạn
1; 3
(1)
Xét hàm số

2
2
1
t
ft
t
trên đoạn
1; 3



2
2
22
0, 1;3
1
tt
ft t
t


khi hàm số đồng biến trên đoạn
1; 3
Để phương trình (1) đã cho có nghiệm thì


1;3
1;3
min max
f
tm
f
t

17
13
24
fmf m
Vậy
17
;4
24
ab T .
Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của tham số m để hệ phương trình
44
2xy
x
ym

,xy
có nghiệm là
0
m
Mệnh đề nà
o dưới đây đúng?
A.
0
20; 15m 
B.
0
12; 8m

C.
0
3
;0
2
m



D.
0
19
;
24
m



Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có

44
1
2
2
xy
xym


Từ (1) suy ra
2yx
thay vào (2) ta được (2)

4
4
2
x
xm
(3)
Xét hàm số

4
4
2
f
xx x
có tập xác định D
 
33
33
442 0 2 2 1
f
xx x fx x x x xx


Bảng biến thiên
Hệ đã cho có nghi
ệm thực khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm thực
Dựa vào bảng biến thiên ta được
0
19
22;
24
mm




.
Dạng 13. Tìm m để bất phương trình

; 0;; 0;, 0;; 0F xm F xm F xm F xm
có nghiệm
trên tập D
1. Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng
g
m
f
x
hoặc
g
m
f
x
hoặc

g
m
f
x
hoặc

g
m
f
x
Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số
f
x
trên D
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m
Bước 4. Kết luận
Chú ý: Nếu hàm số

yf
x
liên tục và có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất trên D thì
+) Bất phương trình

g
m
f
x
có nghiệm trên D
max
D
g
m
f
x
+) Bất phương trình

g
m
f
x
nghiệm đúng
min
D
x
Dgm fx
+) Bất phương trình

g
m
f
x
có nghiệm trên
min
D
Dgm fx
+) Bất phương trình

g
m
f
x
nghiệm đúng
max
D
x
Dgm fx
2. Bài tập
Bài tậ
p 1:
Các giá trị của tham số m để bất phương trình
4
0
1
xm
x

có nghiệm trên khoảng
;1
là
A.
5m B. 3m  C. 1m
D. 3m
Hướng dẫn giải
Chọn B
Bất phương trình đã cho tương đương với
4
1
x
m
x
Xét
hàm số
4
1
yx
x

trên khoảng
;1



2
22
14
4
1
11
x
y
xx





3;1
0
1;1
x
y
x



Bảng bi
ến thiên
Từ bảng biến thiên,
để bất phương trình
4
0
1
xm
x

có nghiệm trên khoảng
;1
thì 3m
.
Bài tập 2.
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số
0;2019m
để bất phương trình

3
22
10xm x
nghiệm đúng với mọi
1;1x 
. Số các phần tử của tập S là
A. 1 B. 2020 C. 2019 D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
2
1tx
, với
1;1 0;1xt
Bất phương trình đã cho trở thành
32 32
10 1tt m mtt

(1)
Yêu cầu của bài toán tương đương với bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
0;1t
Xét hàm số
32 2
132
f
ttt
f
ttt



00;1
0
2
0;1
3
t
ft
t



Vì

223
011;
327
ff f




nên

0;1
max 1ft
Do đó bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
0;1t
khi và chỉ khi 1m
Mặt khác m là số nguyên thuộc
0;2019
nên
1;2;3;...;2019m
Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Bài tập 3. Cho hàm số
yf
x
liên tục trên
1; 3
và có
đồ thị như hình vẽ.
Bất phương trình
17
f
xx xm
có nghiệm
thuộc

1; 3
khi và chỉ khi
A. 7m
B. 7m
C. 22 2m 
D. 22 2m 
Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét hàm số
17Px x
trên đoạn
1; 3
Ta có
 
2
82 1.7 8 1 7 16 4PxxxxP 
Dấu bằng xảy ra khi
3x
Suy ra

1;3
max 4P
tại
3x
(1)
Mặt khác dựa vào đồ thị của

f
x
ta có

1;3
max 3fx
tại 3x
(2)
Từ (1) và (2) suy ra


1;3
max 1 7 7fx x x

tại 3x
Vậy bất phương trình

17
f
xx xm
có nghiệm thuộc
1; 3
khi và chỉ khi


1;3
max 1 7 7mfxx xm

.
| 1/36
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
Cho hàm số y f x xác định trên tập D.
+) Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y f x trên tập D nếu f x  M với mọi
x D và tồn tại x D sao cho f x M . 0  0
Kí hiệu: M  max f xD
+) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y f x trên tập D nếu f x  m với mọi
x D và tồn tại x D sao cho f x m 0  0
Kí hiệu: m  min f xD
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y f x trên tập D nếu
f x  M với mọi x D và tồn tại x D sao cho f x M . 0  0
Kí hiệu: M  max f xD Cho hàm số
y f x xác định trên tập D
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y f x trên tập D nếu
f x  m với mọi x D và tồn tại x D sao cho f x m . 0  0
Kí hiệu: m  min f xD
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên một khoảng
1. Phương pháp giải
Ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng).
Bước 2. Tính y  f  x ; tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên
Bước 4. Kết luận
Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải.
Bước 1. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên miền (a; b) ta sử dụng máy
tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng giá trị)
Bước 2. Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min. b a
- Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b Step
(có thể làm tròn để Step đẹp). 19
Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính về chế độ Radian.
2. Bài tập 1 2 1
Bài tập 1. Cho hàm số f x 6 5 2
  x x x x 1.Khẳng định nào sau đây đúng? 3 5 2 A. f x 17 max  B. f x 47 max   30  30 C. f x 67 max 
D. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất  30
Hướng dẫn giải Chọn B
Tập xác định D  
Ta có f  x 5 4
  x x x   x   4 2 2 1 1 2x   1
Khi đó f  x    x   4 0 1 2x   1  0  x  1 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f x 47 max  tại x  1  30 6  8x
Bài tập 2. Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số f x  trên khoảng  ;   1 . Khi đó giá trị của 2 x 1 6  8a biểu thức P  bằng 2 a 1 22 6 58 74 A. B. C.D.  5 13 65 101
Hướng dẫn giải Chọn C
Hàm số liên tục trên khoảng  ;   1 2 8x 12x  8
Ta có f  x  x  2 2 1 x  2 ;   1
Khi đó f x 2 0 8x 12x 8 0         1
x    ;   1  2 Bảng biến thiên 6  8a 58
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f x  8  P      2 ; 1 a 1 65 2 x x 1
Bài tập 3. Cho hàm số y f x 
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 2 x x 1
A. min f x  1 B. f x 1 min    3
C. min f x  3
D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất 
Hướng dẫn giải Chọn B
Tập xác định D   Ta có 2 x
 2x x  1 2x2x   2
y f x 1 2 2x  2  1  y    2 x x 1
x x  2 1
x x  2 2 2 1 Do đó 2
y  0  2x  2  0  x  1  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f x 1 min  tại x  1  3
Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn
1. Phương pháp giải
Bước 1. Tính f  x
Bước 2. Tìm các điểm x a b mà tại đó f  x
hoặc f  x không xác định i i   0 i  ; 
Bước 3. Tính f a, f x , f b i  
Bước 4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Khi đó M  max f x và m  min f x a; b a; bChú ý: max 
f x  f b
+) Hàm số y f x đồng biến trên đoạn [a; b] thì min 
f x  f a max 
f x  f a
+) Hàm số y f x nghịch biến trên đoạn [a; b] thì min 
f x  f b2. Bài tập x  2 2 2
Bài tập 1. Cho hàm số y
. Giá trị của  min   y    max  y  bằng x 1  2; 3   2; 3  45 25 89 A. 16 B. C. D. 4 4 4
Hướng dẫn giải Chọn D 3  Ta có y 
 0, x  1, do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;  
1 ; 1;    Hàm số x  2 1 nghịch biến trên [2; 3]. 5
Do đó min y y 3  ; max y y 2  4 2; 3 2 2; 3 2 2 2      5  89 Vậy 2
 min y    max y    4      2;  3   2; 3   2  4
Bài tập 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2
y x  4  x
Giá trị của biểu thức P M m bằng A. 2 2   1 B. 2 2   1 C. 2  1 D. 2 1
Hướng dẫn giải Chọn A
Tập xác định D   2;  2 2 x 4  x x Ta có y  1   , x   2  ; 2 2 2 4  x 4  x x  0 2
y  0  4  x x   x  2     2  ; 2
y  2  2 2; y 2  0; y2  2; y 2    2 
Vậy M  2 2, m  2
  P  2 2  2  2 2   1
Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y  2x  3x m trên đoạn [0; 5] bằng 5 khi m bằng A. 6 B. 10 C. 7 D. 5
Hướng dẫn giải Chọn A.
Hàm số xác định và liên tục trên D  0; 5 x  0  D Ta có 2
y  0  6x  6x  0  x 1D f 0  ; m f  
1  m 1; f 5  175  m
Dễ thấy f 5  f 0  f  
1 , m   nên min f x  f   1  m 1 0; 5
Theo đề bài min f x  5  m 1  5  m  6 0; 5 2
x m m
Bài tập 4. Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y
trên đoạn [2; 3]. Tất cả x 1 13
các giá trị thực của tham số m để A B  là 2
A. m  1; m  2  B. m  2  C. m  2  D. m  1  ; m  2
Hướng dẫn giải Chọn A
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2; 3]  2 m m   1 Ta có y   0, m x  2 1 2
A y   m m  3 3 
; B y 2 2
m m  2 2 2 13 m m  3 13 Do đó 2 A B  
m m  2  2 2 2 m  1 2
 3m m  6  0  m  2
Bài tập 5. Biết hàm số 3 2
y x  3mx  32m  
1 x 1 (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn
nhất bằng 6. Các giá trị của tham số m là A. m  1 B. m  0 C. m  3 D. m  1 
Hướng dẫn giải Chọn D x  1 
y  0  x 12m Vì y 2  1
 ; y 0  1 và theo bài ra max y  6 nên giá trị lớn nhất không đạt tại 2
x   ; x  0 . Do đó  2;  0
giá trị lớn nhất đạt tại y   1
 hoặc y 1 2m.
Ta có y     m
y   m    m2 1 3 3, 1 2 1 2 m  2 1
- Trường hợp 1: Xét 3
m  3  6  m  1  x  1   2  ; 0
Thử lại với m  1
 , ta có y  0   nên m  1
 là một giá trị cần tìm. x  3   2  ; 0 2   m  2 m  
1 2m m  2  5  1 1 2 2  1  6 
- Trường hợp 2: Xét   1 3  2   1 2m  0   m  2 2 1 3 Vì  m
m  2  0  1 2m2 m  2  0 nên (1) vô nghiệm 2 2
Dạng 3: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [a; b]
1. Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn a; b, giả sử thứ tự là M, m. Bước 2.
+) Tìm max y  max M ; m  a; b +) Tìm min y a; b
- Trường hợp 1: M .m  0  min y  0 a; b
- Trường hợp 2: m  0  min y ma; b
- Trường hợp 3: M  0  min y M  Ma; b
Bước 3. Kết luận.
* Tìm tham số để GTLN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [α, β] bằng k
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tìm max f x  max A ; B  ;  ; 
Bước 2. Xét các trường hợp
+) A k tìm m, thử lại các giá trị m đó
+) B k tìm m, thử lại các giá trị m đó 2. Bài tập
Bài tập 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y x  9x  24x  68 trên đoạn [-1; 4] bằng A. 48 B. 52 C. -102 D. 0
Hướng dẫn giải Chọn A
Bảng biến thiên của hàm số 3 2
y x  9x  24x  68 trên  1;  4
Suy ra bảng biến thiên của hàm số 3 2
y x  9x  24x  68 trên đoạn  1  ; 4 là
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y x  9x  24x  68 trên đoạn  1;  4 bằng 48.
Cách khác: Theo trường hợp 3 thì M  48
  0  min y  48
Bài tập 2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2 x mx   m y
trên đoạn [1; 2] bằng 2. x 1
Số phần tử của tập S là A. 3 B. 1 C. 4 D. 2
Hướng dẫn giải Chọn D 2
x mx m
Xét hàm số y f x  x 1 2 x  2x
x  0 1; 2 Ta có y   0  x    2 1 x  2    1; 2 2m 1 3m  4 Mặt khác f   1  ; f 2  2 3
 2m 1 3m  4 
Do đó max y  max  ;  1; 2  2 3  - Trường hợp 1:  3 m  2m 1   2 max y   2   1; 2 2 5 m    2 3 3m  4 17 +) Với m     2 (loại) 2 3 6 5 3m  4 7 +) Với m   
  2 (thỏa mãn) 2 3 6 - Trường hợp 2:  2 m  3m 4   3 max y   2   1; 2 3 10 m    3 2 2m 1 7 +) Với m  
  2 (thỏa mãn) 3 2 6 10 2m 1 17 +) Với m      2 (loại) 3 2 6
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.
Bài tập 3. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f x 1 4 2 
x 14x  48x m  30 trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng 4 A. 108 B. 120 C. 210 D. 136
Hướng dẫn giải Chọn D 1
Xét hàm số g x 4 2
x 14x  48x m  30 trên đoạn [0; 2] 4 x  6  0; 2 
Ta có g x 3
x  28x  48  gx  0  x  2 0; 2 x  4  0; 2
 g 0  30  m  30  30 
Để max g x  30      0  m  16 0; 2  g 2  30  m 14  30  
m 0;1; 2;...; 15;  16
Tổng các phần tử của S là 136. 1
Bài tập 4. Biết giá trị lớn nhất của hàm số 2
y  4  x x   m bằng 18. 2
Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 0  m  5
B. 10  m  15
C. 5  m  10
D. 15  m  20
Hướng dẫn giải Chọn D 1
Xét hàm số g x 2
 4  x x  liên tục trên tập xác định [-2; 2] 2 xx
Ta có g x 
1  gx  0  1  0, x   2  ; 2 2 2 4  x 4  xx  0 2
 4  x x    x  2   2  ; 2 2 2 4  x x   g   5   g   1 4 2  g   3 2 ; 2 ; 2  2 2 2 5 5
Do đó max g x  khi x  2 , suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng  m  2;  2 2 2 5
Theo bài ra  m  18  m  15,5 . Vậy 15  m  20 2
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN của hàm số y = |f(x) + g(m)| trên đoạn [a; b] đạt GTNN
1. Phương pháp giải Thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm   max f x;   min f x a; b a; b
Bước 2. Gọi M là giá trị lớn nhất của
y f x  g m thì
  g m    g m
  g m    g m
M  max  g m ;   g m   2 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   g m    g m
  g m    g m
  g m    g m   
Áp dụng bất đẳng thức   2 2 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   
g m    
g m  0       
Bước 3. Kết luận min M
khi g m  2 2 2. Bài tập
Bài tập 1: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số 2
y x  2x m  4 trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất,
giá trị của tham số m bằng A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt f x 2  x  2x
Ta có f  x  2x  2; f  x  0  x  1   2  ;  1 f  2
   0; f   1  3; f   1  1 
Do đó max f x  3; min f x  1  2;  1  2;  1
Suy ra max y  max m  5 ; m 1  2;  1
m  5  m 1
5  m m 1    2 2 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
m  5  m 1  m (thỏa mãn)    mm     3 5 1  0
Bài tập 2: Để giá trị lớn nhất của hàm số 2
y  2x x  3m  4 đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng 3 5 4 1 A. m B. m C. m D. m  2 3 3 2
Hướng dẫn giải Chọn A
Tập xác định D  0; 2
Đặt f x 2
 2x x , x D . 1  x
Ta có f  x 
f x  0  x  1 2 2x x
f 0  0; f 2  0; f   1  1 m   m
5  3m  3m  4 1 Suy ra P y   m m   3 4 3 5 max max 3 4 ; 3 5    D 2 2 2
 3m  4  3m  5  3
Dấu bằng xảy ra  
m  (thỏa mãn)  5  3 
m3m  4  0 2 3
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi m  2
Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x m 2 ,
x  2x  5  mx đạt giá trị lớn nhất bằng A. 2 B. 5 C. 8 D. 9
Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có min f x, m  f 0, m  5, m  
Xét m  2 ta có f x  2 2
, 2  x  2x  5  2x x  2x  5  2x  5, x  
Dấu bằng xảy ra tại x  0 . Suy ra min f x, 2  5, x   min 
f x, m  5, m   Do đó 
 max min f x, m
, đạt được khi m  2  f x   5 min , 2  5, x   Tổng quát: 2
y ax bx c mx Trường hợp 1: .
a c  0  max min y  c
Đạt được khi m  b
Bài tập 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x m 2 ,
x  4x  7  mx đạt giá trị lớn nhất bằng A. 7 B. -7 C. 0 D. 4
Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình 2
x  4x  7  0 luôn có hai nghiệm trái dấu x  0  x 1 2
Trường hợp 1: Nếu m  0
Ta có min f x, m  f x, m  mx  0, m    1
Xét m  0 ta có f x  2
, 0  x  4x  7  0, x   . Dấu bằng xảy ra tại x x . 1, 2
Suy ra min f x, 0  0, x   min f
x, m  0, m    Do đó 
 max min f x, m  khi m  0  f  x  0 min , 0  0, x   
Trường hợp 2: Nếu m  0
Ta có min f x, m  f x , m mx  0, m    max min f x,m  0 2  2   
So sánh cả hai trường hợp thì max min f x,m  0 khi m  0 Trường hợp 2: .
a c  0  max min y  0 Đạt được khi m  0
Dạng 5: TÌM GTLN-GTNN khi cho đồ thị - bảng biến thiên
Bài tập 1. Hàm số y f x liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình bên dưới Biết f  4
   f 8 , khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên  bằng A. 9 B. f  4   C. f 8 D. -4
Hướng dẫn giải Chọn C
Từ bảng biến thiên ta có f x  f  4
 , x  ;
 0 và f x  f 8, x 0;   .
Mặt khác f 4  f 8 suy ra x   ;
   thì f x  f 8
Vậy min f x  f 8   
Bài tập 2. Cho hàm số y f x xác định trên tập hợp D     3 ; 1  1; 
và có bảng biến thiên như 2    sau Khẳng định đúng là
A. max f x  0 ; không tồn tại min f xD D
B. max f x  0 ; min f x   5 D D
C. max f x  0 ; min f x  1  D D
D. min f x  0 ; không tồn tại max f xD D
Hướng dẫn giải Chọn B  
Dựa vào bảng biến thiên thì
f x  f    f x 3 max 1 0; min  f   5   D D  2 
Bài tập 3. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  1; 
3 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;  3. Giá trị của
M m bằng A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
Hướng dẫn giải Chọn D
Dựa vào đồ thị suy ra
M f 3  3; m f 2  2 
Vậy M m  5
Bài tập 4. Cho đồ thị hàm số y f  x như hình vẽ
Hàm số y f x đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 1; 
3 tại x . Khi đó giá trị của 2
x  2x  2019 bằng 0 0 0 bao nhiêu? A. 2018 B. 2019 C. 2021 D. 2022
Hướng dẫn giải Chọn B
Dựa vào đồ thị của hàm số y f  x ta có bảng biến thiên như sau
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y f x đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 1;  3 tại x  2 . 0 Vậy 2
x  2x  2019  2019 0 0
Dạng 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
1. Phương pháp giải
Ghi nhớ: Điều kiện của các ẩn phụ t  sin x - Nếu  1   t  1  t  cos xt  cos x - Nếu   0  t  1 2
t  cos xt  sin x - Nếu   0  t  1 2
t  sin x   
- Nếu t  sin x  cos x  2.sni x     4    2  t  2
Bước 1. Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ
Bước 2. Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số theo ẩn phụ
Bước 3. Kết luận (Chọn đáp án) 2. Bài tập
Bài tập 1. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  2cos 2x  2sin x là 9
A. M  ; m  4 
B. M  4; m  0 4 9 9
C. M  0; m  
D. M  4; m   4 4
Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y x x   2  x 2 2 cos 2 2sin 2 1 2sin  2sin x  4
 sin x  2sin x  2
Đặt t  sin x, t  1  ;  1 , ta được 2 y  4
t  2t  2 1 Ta có y  0  8
t  2  0  t    1  ;  1 4  y 1  4   9 Vì y   1  0
nên M  ; m  4   4  1  9 y      4  4 2
cos x  cos x 1
Bài tập 2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  bằng cos x 1 3 5 7 A. B. C. D. 3 2 2 2
Hướng dẫn giải Chọn B 2 t t 1
Đặt t  cos x  0  t  1, ta được y f t  với 0  t  1 t 1 2 t  2t 3
Vì f t 
 0, t  0; 1 nên min f t  f 0  1; max f t  f   1  2   t  1 0; 1 0; 1 2
Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng f t  f t 3 5 min max  1  0; 1 0; 1 2 2
Bài tập 3. Giá trị lớn nhất M của hàm số 4 2
y  cos x  3 sin x  2 là A. M  2  3 B. M  3 5 C. M   3 D. M  3  3 4
Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2
t  cos x  0  t  1, ta được 2
y t  3 1 t  2 với t 0;  1 3
Ta có y  2t  3  0  t   0;  1 2  3  5
Vì y 0  2  3; y
   3; y   1  3  nên M  2  3 2  4   2
sin x  m  
1 sin x  2m  2
Bài tập 4. Cho hàm số y
(với m là tham số thực). sin x  2
Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng 3 1 3 1 A.B. C. D.  2 2 2 2
Hướng dẫn giải Chọn A 2
sin x  sin x  2
Xét f x  sin x  2 2 t t  2
Đặt t  sin x  1
  t  1, ta được f t  với t  1;  1 t  2 2 t  4tt  0   1  ;  1
Ta có f t 2 
 0  t  4t  0    t  22 t  4    1  ;  1 4  Vì f   1  ; f   1  2  ; f 0  1
 nên max f t  1
 và min f t  2  3 1; 1  1;  1 2
sin x  sin x  2 Hay 2    1  , x sin x  2 2
sin x  sin x  2 Mặt khác y
m f x  m ,   2  f x  1  sin x  2
Do đó max y  max f x  m  max m  2 , m 1  max m  2 , m 1  2;  1
m  2  m 1
m  2  m   1 1  max y    2 2 2
m  2  m 1  3
Dấu bằng đạt được khi   m    m  2  m   1  0 2
Bài tập 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1 2 cos x  1  2sin x bằng A. 2 1 B. 3 1 C. 1 D. 2  3
Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2
P  6  4sin x  cos x  2 1 2sin x  cos x  4sin xcos x    2 1
Đặt t  sin x  cos x  2.sin x  
 với  2  sin cos  t t x x  4  2  1   3 1   3 2
4t  8t  4 khi t  ; t   Xét 2 2 2 2
y P  6  4t  2 2t  2t 1   1   3 1   3 2 4  t  8 khit   2 2  1   3 1   3 8
t  8 khi t  ; t   2 2  y   1   3 1   3 8  t khit   2 2 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra min f t  4  2 3   3  2 1  2; 2    min P  3 1
Bài tập 6. Giá trị lớn nhất của hàm số f x  sin x  cos 2x trên đoạn 0;   là 5 9
A. max y B. max y  1 C. max y  2 D. max y  0;   4 0;   0;   0;   8
Hướng dẫn giải Chọn D Đặt 2 2
t  sin x  cos 2x  1  2sin x  1 2t , với x 0;    t 0;  1
Ta được f t 2  2
t t 1với t 0;  1 1
Ta có f t  4
t 1  0  t   0;  1 4  1  9 9
Do f 0  1; f  ;   f  
1  0 nên max f t   4  8 0; 1 8 9
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là max y  0;   8
Dạng 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khác 3  x  6x
Bài tập 1. Giá trị lớn nhất của hàm số y  4  1  bằng 2  2  x 1 x 1 5 9 A. B. -5 C.D. 3 2 2
Hướng dẫn giải Chọn A x 1 Do 2
x 1  2 x   2 x 1 2 x 1 Đặt t   t  2 x 1 2  1 1  Khi đó 3
y  4t  6t 1 với t   ;  2 2     1 1  Vì 2
y  12t  6  0, t nên hàm số đồng biến trên  ;  2 2     1  5
Do đó max y y     1 1   ;  2  2  2 2  
Bài tập 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 1  x  9 lần lượt là A. 2; 2 B. 4; 2 C. 4; 2 D. 4;2 2
Hướng dẫn giải Chọn D
Tập xác định D  1; 9 1 1 Ta có y  
 0  x 1  x  9  x  5  1; 9
2 x 1 2 x  9 Vì y  
1  y 9  2 2; y 5  4 nên max y  4; min y  2 2 .
Nhận xét: với hàm số y x a  x b a x  ;
b a b  0 thìy  0   2
y a b  2 x a. x b 2
y a b   2
y a b  
x a  x b  2a b
Suy ra a b y  2 a b dấu bằng luôn xảy ra.
Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 1  3  x   x  
1 3  x bằng 5  A. B. – 2 C. – 4 D. 2 2
Hướng dẫn giải Chọn A
Tập xác định của hàm số là D   1  ;  3 2 4  Đặt 2  1  3    4  2    1 3       1 3    t t x x t x x x x 2 Do 2
t  4  2  x  
1 3  x  4, x  1  ;  3 , từ đó suy ra 2   t  2 2 t
Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g t 
t  2 trên đoạn  2;  2 . 2
Ta có gt  t 1  0  t  1    2  ; 2 
Lại có g     g    g   5 2 2; 2 2; 1  2 5 
Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng 2
Nhận xét: Với hàm số y x a  x b a x  ;
b a b  0 thì 2
y a b  2 x a. x b a b
  a b y a b
Dạng 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến 2 2
x xy y
Bài tập 1. Cho biểu thức P  với 2 2
x y  0 . Giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 2
x xy y 1 A. 3. B. . C. 1. D. 4. 3 Hướng dẫn giải Chọn B.
 Nếu y  0 thì P =1. (1) 2  x   x   1 2 2    
x xy yy   y
 Nếu y  0 thì P    . 2 2 2
x xy yx   x   1
y   y      x 2 t t 1
Đặt t  , khi đó P f (t)  . y 2 t t 1 2 2  t  2 2 f (  t)   0  2
t  2  0  t  1  . 2 2 (t t 1) Bảng biến thiên 1
Dựa vào bảng biến thiên ta có P f (t)  . (2) 3 1 1
Từ (1) và (2) suy ra P f (t)   min P  . 3 3
Bài tập 2. Cho hai số thực x,y thỏa mãn x  0; y  0 và x y  1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của x y biểu thức P   lần lượt là y 1 x 1 1 2 A. và 1. B. 0 và 1. C. và 1. D. 1 và 2. 2 3 Hướng dẫn giải Chọn C. 2 x y
x(x 1)  y( y 1)
(x y)  2xy 1 2  2xy Ta có P      . y 1 x 1
(x 1)( y 1)
xy x y 1 2  xy 2  2t
Đặt t xy ta được P  . 2  t
Vì x  0; y  0  t  0. 1 1
Mặt khác 1  x y  2 xy xy   t  . 4 4 2  2t  1 
Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(t)  trên 0; . 2  t  4   2  2t  1 
Xét hàm số g(t) 
xác định và liên tục trên 0; . 2  t  4   6   1  Ta có g (  t)   0 với t   0; 2   (2  t)  4    1 
hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn 0; .  4     1  2
min g(t)  g      2  1   0;  4  3   min P  Do đó  4    3 .
max g(t)  g(0)  1 max P 1  1   0;   4  
Bài tập 3. Cho x, y là các số thực thỏa mãn 2 2
(x  3)  ( y 1)  5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
3y  4xy  7x  4y 1 P  bằng x  2y 1 114 A. 3. B. 3 . C. . D. 2 3 . 11 Hướng dẫn giải Chọn A. 2 2 2 2
(x  3)  ( y 1)  5  x y  6x  2 y  5  0. 2 2 2
(3y  4xy  7x  4y 1)  (x y  6x  2y  5) P x  2y 1 2 2 2
4y  4xy x x  2y  4
(2y x)  (x  2 y)  4   x  2y 1 x  2y 1
Đặt t x  2 . y   x   y
   x   y    2 2 2 2 2 (1 2 ) ( 3) ( 1) ( 3) (2 2) 2
 (x  2y  5)  25  0  x  2y 10. 2 t t  4 4
Ta được P f (t)   t  , 0  t  10. t 1 t 1 4 t  1(0;10) Xét 2 f (  t) 1
 0  (t 1)  4  2 (t 1)  t  3  (0;10) 114
Vì f (0)  4; f (10) 
; f (1)  3  min P  3 khi t  1. 11
Bài tập 4. Gọi x , y , z là ba số thực dương sao cho biểu thức 0 0 0 3 8 1 P   
đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 2
2x y  8yz
2(x y z )  4xz  3 x y z
Tổng x y z bằng 0 0 0 3 A. 3. B. 1. C. 3 3 . D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 3 8 1 Ta có P    2 2
2x y  2 2 yz
2 y  2(x z)  3 x y z 3 8 1    .
2(x y z) (x y z)  3 x y z 1 8
Đặt x y z t  0 . Khi đó P f (t)   ,(t  0) . 2t t  3
3(t 1)(5t  3) Ta có ' f (t)   0  t 1. 2 2 2t (t  3) Bảng biến thiên  1
x y z 1 x z  3   
Suy ra P   . Dấu “=” xảy ra 4  y  2z   . 2 1
y x zy    2 1 1 1
Do đó x y z     1. 0 0 0 4 4 2 2
x xy  3  0
Bài tập 5. Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện  .
2x  3y 14  0
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2 2 3
P  3x y xy  2x  2x bằng A. 8. B. 0. C. 12. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B. 2 x  3 3
Với điều kiện bài toán x, y  0 và 2
x xy  3  0  y   x  . x x Lại có  3   9 2 
2x  3y 14  0  2x  3 x
14  0  5x 14x  9  0  x  1;   . x  5     2  3   3  9 Từ đó 2 3 P  3x x   x x
 2x  2x  5x      .  x   x x 9  9 9  9 Xét hàm số '
f (x)  5x  ; x   1;
f (x)  5   0; x   1;   . 2 x 5 x  5      9
Suy ra hàm số đồng biến trên 1;  5    9 
f (1)  f (x)  f  4
  f (x)  4  max P  min P  4  ( 4  )  0   .  5 
Bài tập 6. Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn 1;9 và x y, x z . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức y 1  y z P      bằng
10 y x 2  y z z x  11 1 1 A. . B. . C. . D. 1. 18 3 2 Hướng dẫn giải Chọn C. 2 1 1 2 Thật vậy  
  a b  ab  
1  0 đúng do ab  1.
1 a 1 b 1 ab
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.   1 1  1 1  1 1
Áp dụng bất đẳng thức trên P        . x 2 z x x 10 1 1     10 x    1 yy z y y x 1 1 Đặt  t 1; 
3 . Xét hàm số f (t)   trên đoạn 1;  3 . y 2 10  t 1 t 2t 1 ' ' 4 3 2 f (t)  
; f (t)  0  t  2t  24t  2t 100  0 . 2 2 2 (10  t ) (1 t) 3
 (t  2)(t  24t  50)  0  t  2 do 3
t  24t  50  0, t  1;  3 . Bảng biến thiên x  4y  z x 1  
Suy ra P  khi và chỉ khi   y zx  4y min 2      xz  2y   1   y
Dạng 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x)… khi biết bảng
biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f(x)
1. Phương pháp giải
Thực hiện theo một trong hai cách Cách 1:
Bước 1. Đặt t = u(x).
Đánh giá giá trị của t trên khoảng K.
Chú ý: Có thể sử dụng khảo sát hàm số, bất đẳng thức để đánh giá giá trị của t = u(x).
Bước 2. Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số cho ta giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(t).
Bước 3. Kết luận. Cách 2:
Bước 1. Tính đạo hàm ' ' '
y u (x) f (u(x)).
Bước 2. Tìm nghiệm ' ' '
y u (x) f (u(x)) =0.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (x), y f (u(x)) ,
y f (u(x))  h(x)... 2. Bài tập
Bài tập 1. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số y f ( x 1) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;2 bằng A. f ( 2  ) . B. f (2) . C. f (1) . D. f (0) . Hướng dẫn giải Chọn D.
Đặt t x 1 , x
 0;2  t 0;  1 .
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số
y f (t) có giá trị nhỏ nhất min f (t)  f (0). 0; 1
Bài tập 2. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ sau. Khi đó hàm số 2
y f (2  x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên 0; 2    bằng A. f ( 2  ) . B. f (2) . C. f (1) . D. f (0) . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt 2
t  2  x . Từ 2 2
x  0; 2   0  x  2  2  2  x  0  t 0;2   .
Dựa vào đồ thị, hàm số
y f (t) có giá trị nhỏ nhất min f (t)  f (2). 0;2
Bài tập 3. Cho hàm số 4 2
y f (x)  ax bx c xác định và liên tục trên  và có bảng biến thiên sau
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (x  3) trên đoạn 0;2 là A. 64. B. 65. C. 66. D. 67. Hướng dẫn giải Chọn C. Hàm số có dạng 4 2
f (x)  ax bx c . Từ bảng biến thiên ta có  f (0)  3 c  3 c  3    4 2
f (1)  2  a b c  2  b   2
  f (x)  x  2x  3.  '  f (1)  0 4a 2b 0    a  1  
Đặt t x  3, x 0;2  t 3;5.
Dựa vào đồ thị, hàm số
y f (t) đồng biến trên đoạn 3;5.
Do đó min f (x  3)  min f (t)  f (3)  66 . 0;2 3;5
Dạng 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f ux, y f ux  hx Khi
biết đồ thị của hàm số '
y f (x)
Bài tập 1. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm và liên tục trên  .
Biết rằng đồ thị hàm số '
y f (x) như dưới đây. Lập hàm số 2
g(x)  f (x)  x x .
Mệnh đề nào sau đây đúng? A. g( 1  )  g(1) . B. g( 1  )  g(1) .
C. g(1)  g(2) . D. (1 g )  g(2) . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có ' '
g (x)  f (x)  2x 1. Từ đồ thị hàm số '
y f (x) và đường thẳng 2
y x 1 ta có ' g (x)  0 x  1  '
f (x) 2x 1      x 1  . x  2  Bảng biến thiên
Ta chỉ cần so sánh trên đoạn  1;
 2. Đường thẳng y  2x 1
là đường thẳng đi qua các điểm ( A 1  ; 1
 ) , B(1;3) , C(2;5) nên đồ thị hàm số '
y f (x) và đường thẳng 2
y x 1 cắt nhau tại 3 điểm.
Dạng 11. Ứng dụng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các bài toán thực tế
Bài tập 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật 2 3
s  3t t . Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc
v m / s của chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn nhất là A. t = 2s B. t = 5s C. t = 1s D. t =3s Hướng dẫn giải Chọn C
Ta có v t  st  t t vt   t  2 2 6 3 3 1  3  3, t   
Giá trị lớn nhất của v t  3 khi t 1. 1
Bài tập 2. Một vật chuyển động theo quy luật 3 2
s   t  6t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi 3
vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi
trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 180 (m/s) B. 36 (m/s) C. 144 (m/s) D. 24 (m/s) Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có v t  st 2
 t 12t
vt  2
t 12  0  t  6
Vì v 6  36;v0  0;v7  35 nên vận tốc lớn nhất đạt được bằng 36 (m/s).
Bài tập 3. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được
giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ t
được cho bởi công thức c t 
mg / L . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu 2   t 1
của bệnh nhân cao nhất? A. 4 giờ B. 1 giờ C. 3 giờ D. 2 giờ Hướng dẫn giải Chọn B t
Xét hàm số c t  t  0 2   t 1 2      ct 1 t t 1 0;       t  0 2 2 t  1  0; 1     Bảng biến thiên
Với t = 1 (giờ) thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.
Bài tập 4. Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 500 3
m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 3 600.000 đồng / 2
m . Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là A. 75 triệu đồng B. 85 triệu đồng C. 90 triệu đồng D. 95 triệu đồng Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi x m là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2xm và hm là chiều cao bể 500 250 Bể có thể tích bằng 2 2x h   h  2 3 3x 250 500
Diện tích cần xây S  2 xh  2xh 2 2 2  2x  6x  2x   2x 2 3x x 500 500 
Xét hàm f x 2 
 2x ,x  0; f  x 
 4x f x  0  x  5 2   x x Bảng biến thiên
Do đó min f x  f 5  150 0;
Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng S 150 min
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 150.600000 = 90.000.000 đồng.
Bài tập 5. Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình
quạt tròn tâm O, quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón
tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Hoàng tạo ra bằng bao nhiêu?
(bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép) 128 3 128 3 16 3 64 3 A. 3 dm B. 3 dm C. 3 dm D. 3 dm 27 81 27 27 Hướng dẫn giải
Khi hàn hai mép của hình quạt tròn, độ dài đường sinh của hình nón bằng bán kính của hình quạt tròn,
tức là OA  4dm Chọn A 1 1 Thể tích của hình nón 2
V  .r .h  . 2
16  h .h với 0  h  4 3 3 1 4 3
Ta có V h  . 2
16  3h   V h  0  h  3 3 128 3
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của hình nón là 3 dm . 27
Bài tập 6. Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 3 2 m .
Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất 1 1 1 A. R  ;
m h  8m B. R  1 ;
m h  2m C. R  2 ;
m h m D. R  4 ; m h m 2 2 5 Hướng dẫn giải Chọn B 2 Từ giả thiết ta có 2
V   R h  2  h  2 R 2
Diện tích toàn phần của thùng phi là 2 2 S 2 Rh 2 R 2      R tp    R  2
Xét hàm số f R 2
R  với R 0; R 2 2 3 R   1
Ta có f R  2R   2 2 R R
f R  0  R 1 Bảng biến thiên
Suy ra diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi R  1  h  2
Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì R  1 ;
m h  2m .
Bài tập 7. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ.
Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km. Tổng chi phí
lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí
nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A. 120 triệu đồng
B. 164,92 triệu đồng
C. 114,64 triệu đồng
D. 106,25 triệu đồng Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi M là điểm trên đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C
Đặt AM x BM   x CM     x2 2 4 1 4
 17 8x x , x 0;4
Khi đó tổng chi phí lắp đặt là 2 y  .20 x
 40 x 8x 17 (đơn vị: triệu đồng) 2 x  4
x  8x 17  2 x  4 y  20  40.  20. 2 2 x  8x 17 x  8x 17 12  3 2
y  0  x  8x 17  24  x  x  3 12  3  Ta có y
  80  20 3 114,64; y 0  40 17  164,92; y 4 120  3   
Do đó chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc là 114,64 triệu đồng.
Dạng 12. Tìm m để F  ;
x m  0 có nghiệm trên tập D
1. Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng f x  g m
Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f x trên D
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số Am sao cho đường thẳng y g m cắt đồ
thị hàm số y f xBước 4. Kết luận Chú ý:
+)Nếu hàm số y f x liên tục và có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình
f x  g m có nghiệm khi và chỉ khi
min f x  g m  max f xD D
+)Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến
thiên để xác định điều kiện sao cho đường thẳng y g m nằm ngang cắt đồ thị hàm số y f x tại k điểm phân biệt 2. Bài tập
Bài tập1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn  100 
;100 để phương trình
2 x 1  x m có nghiệm thực? A. 100 B.101 C. 102 D. 103 Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện x  1  t  0
Đặt t x 1   2 x t 1 Ta được phương trình 2 2
2t t 1 m m t   2t 1
Xét hàm số f t 2
 t  2t 1,t  0
f t   2t  2  0  t  1 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi m  2  100   m  2
Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn
Bài tập 2. Cho phương trình m  2x x    2 2
2 1  x  2x  0 ( m là tham số). Biết rằng tập hợp các giá
trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;1 2 2  
 là đoạn a;b . Giá trị của biểu thức
T  a  2b là 7 1 A. T  4 B. T C. T  3 D. T  2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2
t x  2x  2
Xét hàm số t x 2
x  2x  2 trên đoạn 0;1 2 2    t xx 1 
t  0  x  1 2 x  2x  2
Vì t 0  2;t  
1  1;t 1 2 2  3nên t 1;  3
Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình m t   2
1  t  2 có nghiệm thuộc đoạn   2 t  2 1;3  m
có nghiệm thuộc đoạn 1;  3 (1) t 1 2 t  2
Xét hàm số f t  trên đoạn 1;  3 t 1 2  
f tt 2t 2   0, t
  1;3 khi hàm số đồng biến trên đoạn 1;  3 2   t   1
Để phương trình (1) đã cho có nghiệm thì min f t  m  max f t 1; 3 1; 3
f    m f   1 7 1 3    m  2 4 1 7
Vậy a   ;b   T  4 . 2 4
x y  2
Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của tham số m để hệ phương trình 
x, y   có nghiệm là m 4 4
x y m 0
Mệnh đề nào dưới đây đúng?  3    1 9 
A. m  20; 15 B.
m  12; 8 C. m  ;0 D. m  ; 0   0   0      2  0  2 4  Hướng dẫn giải Chọn D
x y  2   1 Ta có  4 4
x y m2
Từ (1) suy ra y  2  x thay vào (2) ta được (2)  x    x4 4 2  m (3)
Xét hàm số f x  x    x4 4 2
có tập xác định D  
f  x  x    x3  f  x   x    x3 3 3 4 4 2 0 2
x  2  x x  1 Bảng biến thiên
Hệ đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm thực  1 9 
Dựa vào bảng biến thiên ta được m  2  m  2  ; . 0    2 4 
Dạng 13. Tìm m để bất phương trình F  ;
x m  0; F  ;
x m  0; F x, m  0; F  ;
x m  0 có nghiệm trên tập D
1. Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng g m  f x hoặc g m  f x hoặc g m  f x hoặc
g m  f x
Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f x trên D
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m
Bước 4. Kết luận
Chú ý: Nếu hàm số y f x liên tục và có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất trên D thì
+) Bất phương trình g m  f x có nghiệm trên D  g m  max f xD
+) Bất phương trình g m  f x nghiệm đúng x
  D g m  min f xD
+) Bất phương trình g m  f x có nghiệm trên D g m  min f xD
+) Bất phương trình g m  f x nghiệm đúng x
  D g m  max f xD 2. Bài tập 4
Bài tập 1: Các giá trị của tham số m để bất phương trình x
m  0 có nghiệm trên khoảng   ;1 x 1 là A. m  5 B. m  3  C. m  1 D. m  3 Hướng dẫn giải Chọn B 4
Bất phương trình đã cho tương đương với x   m x 1 4
Xét hàm số y x  trên khoảng   ;1  x 1 4 x  2 1  4 y  1  x  2 1 x  2 1  x  3 ;   1
y  0  x  1 ;   1 Bảng biến thiên 4
Từ bảng biến thiên, để bất phương trình x
m  0 có nghiệm trên khoảng   ;1  thì m  3  . x 1
Bài tập 2. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m 0;2019 để bất phương trình
x m    x 3 2 2 1
 0 nghiệm đúng với mọi x  1;  
1 . Số các phần tử của tập S là A. 1 B. 2020 C. 2019 D. 2 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 2
t  1 x , với x 1;  1  t 0;  1
Bất phương trình đã cho trở thành 3 2 3 2
t t 1 m  0  m t t 1 (1)
Yêu cầu của bài toán tương đương với bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t 0;  1
Xét hàm số f t 3 2
t t   f t 2 1  3t  2t t  00;  1 f t 0     2 t  0;  1  3  
Vì f    f   2 23 0 1  1; f   
nên max f t 1  3  27 0; 1
Do đó bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t 0; 
1 khi và chỉ khi m 1
Mặt khác m là số nguyên thuộc 0;2019 nên m 1;2;3;...;20  19
Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Bài tập 3. Cho hàm số y f x liên tục trên  1;  3và có đồ thị như hình vẽ.
Bất phương trình f x  x 1  7  x m có nghiệm thuộc  1  ;  3 khi và chỉ khi A. m  7 B. m  7
C. m  2 2  2
D. m  2 2  2 Hướng dẫn giải Chọn A
Xét hàm số P x 1  7  x trên đoạn  1;  3 Ta có 2
P  8  2  x  
1 .7  x  8   x  
1  7  x  16  P  4
Dấu bằng xảy ra khi x  3
Suy ra max P  4 tại x  3 (1)  1;   3
Mặt khác dựa vào đồ thị của f x ta có max f x  3 tại x  3 (2)  1;   3
Từ (1) và (2) suy ra max  f x  x 1  7  x   7 tại x  3  1;   3
Vậy bất phương trình f x  x 1  7  x m có nghiệm thuộc  1;  3 khi và chỉ khi
m  max  f x  x 1  7  x   m  7 .  1;   3