Các dạng bài tập VDC tích phân và một số phương pháp tính tích phân Toán 12

Các dạng bài tập VDC tích phân và một số phương pháp tính tích phân Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:
52 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Các dạng bài tập VDC tích phân và một số phương pháp tính tích phân Toán 12

Các dạng bài tập VDC tích phân và một số phương pháp tính tích phân Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

61 31 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:

52 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
BÀ
I 2: T
ÍCH PHÂN
A.
KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa tích phân
Định nghĩa
Cho hàm số
f
x liên tục trên đoạn
;ab , với
.ab
Nếu
Fx là nguyên hàm của hàm số
f
x trên
đoạn

;ab thì giá trị
Fb Fa được gọi là tích
phân của hàm số
f
x
trên đoạn

;ab
.
Kí hiệu
  
b
b
a
a
f
xdx F x Fb Fa
(1)
Công thức (1) còn được gọi là công thức Newton –
Leibnitz; a và b được gọi là cận dưới và cận trên của
tích phân.
Ý nghĩa hình học của tích phân
Giả sử hàm số

yfx là hàm số liên tục và không
âm trên đoạn

;ab . Khi đó, tích phân

b
a
f
xdx
chính l
à diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường
cong

yfx , trục hoành Ox và hai đường thẳng
,,
x
ax b với
.ab

b
a
Sfxdx
Chẳng hạ
n:
3
Fx x C
là một nguyên
hàm của hàm số
2
3
xx nên tích phân
  
1
1
0
0
10fxdx Fx F F
33
101.CC

Lưu ý: Giá tr
ị của tích phân không phụ
thuộc vào hằng số C.
Trong tính toán, ta thường chọn
0.C
Chẳng hạn: Hàm số
2
21
f
xx x có
đồ thị
C và

2
10fx x
, với
x
.
Diện tíc
h “tam giác cong” giới hạn bởi
C
, trục Ox và hai đường thẳng
1x 
và
1
x
là


11
2
11
21Sfxdx xxdx



3
1
2
1
8
.
33
x
xx




Lưu ý: Ta còn gọi hình phẳng trên là “hình
thang cong”.
2. Tính chất cơ bản của tích phân
Cho hàm số
f
x và

g
x là hai hàm số liên tục
trên khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa
khoảng hoặc đoạn và
,, ,abc K khi đó:
a. Nếu ba thì

0
a
a
fxdx
b. Nếu
f
x có đạo hàm liên tục trên đoạn
;ab
thì ta có:
 
b
b
a
a
f
xdx f x f b f a

c. Tính chất tuyến tính
   
.. .
bbb
aaa
kf x hgx dx k f xdx h gxdx


Với mọi
,.kh
d. Tính chất trung cận
  
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx

, với
;cab
e. Đảo cận tích phân
 
ab
ba
f
xdx f xdx

f. Nếu
0,fx

;
x
ab thì

0
b
a
fxdx
và

0
b
a
fxdx
khi

0fx .
g. Nếu
 
,;
f
xgxxab thì
Chẳng hạn: Cho hàm số
f
x liên tục, có
đạo hàm trên đoạn
1; 2 thỏa mãn
18f
và
21.f
Khi đó
  
2
2
1
1
219fxdx fx f f

Lưu ý: Từ đó ta cũng có

b
a
f
bfa fxdx

và

b
a
f
afb fxdx

 
bb
aa
f
xdx gxdx

h. Nếu

;
min
ab
mfx và

;
max
ab
M
fx thì
 
b
a
mb a f xdx M b a
i. Tích phân không phụ thuộc vào biến, tức là ta luôn
có
 
...
bbb b
aaa a
f x dx f t dt f u du f y dy

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số
Đổi biến dạng 1
Bài toán:
Giả sử ta cần tính tích phân

b
a
I
fxdx
, trong
đó ta có thể phân tích
f
xguxux
thì ta thực hiện
phép đổi biến số.
Phương pháp:
+ Đặt
uux , suy ra

.du u x dx
+ Đổi cận:
x a b
u
ua
ub
+ Khi đó
 





ub
b
ub
ua
aua
Ifxdx guduGu

, với
Gu là nguyên hàm của
.
g
u
Đổi biến dạng 2
Dấu hiệu Cách đặt
22
ax
sin ; ;
22
xa tt

22
x
a
sin
a
x
t
;

;\0
22
t




22
ax
tan ; ;
22
xa tt




Lưu ý:
Phương pháp đổi biến số
trong tích phân cơ bản giống như
đổi biến số trong nguyên hàm, ở
đây chỉ thêm bước
đổi cận.
ax
ax
.cos2 ; 0;
2
xa tt



ax
ax
.cos2 ; 0;
2
xa tt


x
abx

2
sin ; 0;
2
xa ba tt

2. Phương pháp tích phân từng phần
Bài toán:
Tính tích phân
 
.
b
a
Iuxvxdx
Hướng dẫn giải
Đặt




uux duuxdx
dv v x dx v v x






Khi đó

..
b
b
a
a
Iuv vdu
(công thức tích phân từng
phần)
Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí
sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân
b
a
vdu
dễ tính hơn
b
a
udv
.
III. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT
1.
Cho hàm số
f
x liên tục trên

;aa . Khi đó
Đặc biệt
 
0
aa
a
f
xdx f x f x dx



(1)
+ Nếu
f
x là hàm số lẻ thì ta có

0
a
a
fxdx
(1.1)
+ Nếu
f
x là hàm số chẵn thì ta có
 
0
2
aa
a
f
xdx f xdx

(1.2)
và


0
1
12
aa
x
a
fx
dx f x dx
b


01b (1.3)
2. Nếu
f
x liên tục trên đoạn

;ab thì

bb
aa
f
xdx f a b xdx

Hệ quả: Hàm số
f
x liên tục trên
0;1 , khi đó:
 
22
00
sin cos
f
xdx f xdx


3. Nếu
f
x liên tục trên đoạn

;ab và
f
abx fx thì
 
2
bb
aa
ab
x
f x dx f x dx

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất
1. Phương pháp giải
Sử dụng các tính chất của tích phân.
Sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa tích phân để tính tích phân.
2. Bài tập
Bài tập 1: Biết tích phân

2
1
23
11
dx
I
abc
xxxx


, với ,,abc . Giá trị biểu thức
P
abc là
A.
8.P
B.
0.P
C.
2.P
D.
6.P
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có
10,1;2xxx
nên

222
2
1
111
111
221
.1 1
xx
Idxdxdxxx
xx x x




42 23 2.
Suy ra 4, 2abc nên
0.P abc

Nhân liên hợp
1.
x
x
Bài tập 2: Cho hàm số
f
x thỏa mãn

1
2
3
f
và

2
f
xxfx
với mọi
x
. Giá trị
1
f
bằng
A.

2
1.
3
f
B.

3
1.
2
f
C.

2
1.
3
f
D.

1
1.
3
f
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Từ
 
2
f
xxfx


(1), suy ra
0fx
với mọi
1; 2x .
Suy ra
f
x là hàm không giảm trên đoạn
1; 2 nên
20fx f
,

1; 2x .
Chia 2 vế hệ thức (1) cho

2
f
x


ta được


2
,1;2.
fx
xx
fx



(2)
Lấy tích phân 2 vế trên đoạn

1; 2
hệ thức (2), ta được

  
22
2
22
2
11
11
1113
.
2122
fx
x
dx xdx
fx f f
fx


 







Do

1
2
3
f 
nên suy ra

2
1.
3
f 
Chú ý rằng đề bài cho

2f
, yêu cầu tính
1
f
, ta có thể sử dụng nguyên hàm để tìm hằng số C.
Tuy nhiên ta cũng có thể dựa vào định nghĩa của tích phân để xử lí.
Bài tập 3: Cho hàm số

f
x
xác định trên
1
\
2

thỏa mãn

2
21
fx
x
và

01,1 2ff
. Khi đó
13ff bằng
A.
1ln15.
B.
3ln5.
C.
2ln3.
D.
1ln15.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có

0
1
01fxdx f f

nên suy ra

0
1
10 .
f
ffxdx


0
1
1.
f
xdx

Tương tự ta cũng có

3
1
31
f
ffxdx


3
1
2
f
xdx

.
Vậy
 
03
03
11
11
1 3 1 1 ln 2 1 ln 2 1 .f f f x dx f x dx x x

 

Vậy
1 3 1 ln15.ff
Bài tập 4: Cho hàm số

f
x có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1 thỏa mãn
10f
,

1
2
0
7fx dx


và

1
3
0
.1.xf xdx

Giá trị

1
0
I
f
xdx
là
A. 1. B.
7
.
4
C.
7
.
5
D. 4.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có

1
2
0
7fx dx


(1).
11
66
00
1
49 7
7
xdx xdx

(2).
và

1
3
0
14 . 14xf xdx

(3).
Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra

1
2
3
0
70fx x dx



mà

2
3
70fx x



3
7.
f
xx

Hay

4
7
.
4
x
f
xC

77
10 0 .
44
fCC 
Do đó

4
77
.
44
x
fx
Vậy

11
4
00
77 7
.
44 5
x
f x dx dx





Bài tập 5: Cho
 
,
f
xgx là hai hàm số liên tục trên đoạn
1;1 và
f
x là hàm số chẵn,
g
x
là hà
m số lẻ. Biết
 
11
00
5; 7f x dx g x dx

. Giá trị của
 
11
11
A
f x dx g x dx



là
A. 12. B. 24. C. 0. D. 10.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì
f
x là hàm số chẵn nên
 
11
10
22.510f x dx f x dx


Vì

g
x là hàm số lẻ nên

1
1
0gxdx
.
Vậy
10.A
Bài tập 6: Cho

1
2
0
ln 3
21
xdx
ab
x

với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của ab
bằng
A.
5
.
12
B.
1
.
3
C.
1
.
4
D.
1
.
12
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có
  
11 1
22 2
00 0
12 11 1 1 1
2221
21 21 21
xdx x
dx dx
x
xx x










1
0
11 11
ln 2 1 ln 3.
42 1 4 6 4
x
x





Vậy
11 1
,.
64 12
ab ab
Bài tập 7: Cho
3
2
2
23
ln 2 ln 3,
x
dx a b
xx

với
,ab
. Giá trị biểu thức
2
aabb
là
A. 11. B. 21. C. 31. D. 41.
Hướng dẫn giải
Ta có
33 3
22 22
22 2
23 212 21 2xx x
dx dx dx
xx xx xxxx








3
3
2
2
2
2
212 2
ln 2ln 2ln 1 5ln 2 4ln 3
1
x
dx x x x x
xxxx





2
5
41.
4
a
aabb
b


Chọn D.
Bài tập 8.
Biết rằng tích phân
2
2
1
56
ln 2 ln 3 ln 5,
56
x
dx a b c
xx


với
,,abc
là các số nguyên. Giá
trị biểu thức
Sabc
là bao nhiêu?
A. 62.S  B. 10.S C. 20.S
D. 10.S 
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có

22 2
2
11 1
56 56 9 4
56 2 3 3 2
xx
dx dx dx
xx x x x x








2
1
9ln 3 4ln 2 9ln5 4ln3 26ln2.xx
Suy ra
26, 4, 9.abc Vậy
26 4.9 10.Sabc
Bài tập 9: Cho

2
3
43
4
cos sin .cos 1
ln 2 ln 1 3
cos sin .cos
xxx
dx a b c
xxx


, với
,,abc
là các số hữu tỉ. Giá
trị abc bằng
A. 0. B.
2.
C.
4.
D.
6.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có

222
33
43
22
44
cos sin .cos 1 2cos sin .cos sin
cos sin .cos
cos cos sin .cos
x
xx x xx x
dx dx
xxx
xxxx


 

 

22
33
2
44
2 tan tan 2 tan tan
tan
cos 1 tan 1 tan
xx xx
dx d x
xx x


 





2
3
3
3
4
4
4
2tan
tan tan 2ln tan 1
1tan 2
x
xdx x
x





1 2ln 2 2ln 3 1 .
Suy ra 1, 2, 2ab c nên
4.abc
Bài tập 10: Cho hàm số

2
,0
23 , 0
x
em khix
fx
xxkhix
liên tục trên
.
Biết
 
1
1
3,,f x dx ae b c abc

. Tổng 3Tab c
 bằng
A. 15. B. 10. C. 19.
D. 17.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Do hàm số liên tục trên
nên hàm số liên tục tại
0x
00
lim lim 0 1 0 1.
xx
fx fx f m m



Ta có
  
101
12
110
f
xdx f xdx f xdx I I




1
0
00
22222
2
1
11
1
216
23 3 3 3 3 23 .
33
Ixxdx xdx xx




1
1
2
0
0
12.
xx
Iedxexe
Suy ra

1
12
1
22
23 .
3
fxdx I I e

Suy ra
22
1; 2; .
3
ab c
Vậy
31222 19.Tab c
Bài tập 11: Biết
2
cos
13
x
x
dx m
. Giá trị của
2
cos
13
x
x
dx
bằng
A. .m
B.
.
4
m
C.
.m
D.
.
4
m
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta c
ó

22
2
cos cos 1
cos 1 cos 2 .
13 13 2
xx
xx
dx dx xdx x dx






Suy ra
2
cos
.
13
x
x
dx m

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
1. Phương pháp giải
Nắm vững phương pháp đổi biến số dạng 1 và dạng 2, cụ thể:
Đổi biến dạng 1
Bài toán:
Giả sử ta cần tính

,
b
a
I
f
xdx
trong đó ta có thể phân tích



.
f
xguxux
Bước 1: Đặt
,uux suy ra
.du u x dx
Bước 2: Đổi cận
x a B
u
ua
ub
Bước 3: Tính
 





ub
b
ub
ua
aua
Ifxdx guduGu

Với

Gu là một nguyên hàm của
g
u .
Đổi biến dạng 2
Bài toán:
Giả sử ta cần tính

b
a
I
f
xdx
, ta có thể đổi biến như sau:
Bước 1: Đặt

,
x
t
ta có
.dx t dt
Bước 2: Đổi cận
x a b
t
Bước 3:
Tính


  
.I f t t dt g t dt G t





Với

Gt là một nguyên hàm của
.
g
t
Dấu hiệu Cách đặt
22
ax
sin , ;
22
xa tt

22
x
a

,;\0
sin 2 2
a
xt
t





22
ax
tan , ;
22
xa tt




ax
ax
.cos2 , 0;
2
xa tt



ax
ax
.cos2 , 0;
2
xa tt


x
abx

2
sin , 0;
2
xa ba tt

2. Bài tập mẫu
Bài tập 1: Biết
2
2
0
cos
ln 2 ln 3,
sin 3sin 2
x
dx a b
xx


với ,ab là các số nguyên.
Giá trị của
2
P
ab là
A. 3. B. 7. C. 5. D. 1.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có


22
2
00
cos 1
sin
sin 3sin 2 sin 1 sin 2
x
dx d x
xx x x





2
2
0
0
11
sin lnsin 1 lnsin 2
sin 1 sin 2
dx x x
xx






ln 2 ln1 ln 3 ln 2 2ln 2 ln 3
Suy ra
2, 1 2 3.ab ab
Bài tập 2: Biết

ln 2
0
1
ln ln ln
34
xx
dx
Iabc
ee c


, với ,,abc là các số nguyên tố.
Giá trị của
2
P
abc
là
A.
3.P 
B.
1.P 
C.
4.P
D.
3.P
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có
ln 2 ln 2
2
00
.
34 43
x
xx xx
dx e dx
I
ee e e



Đặt
.
xx
te dtedx
Đổi cận 01,ln22.xtx t
Khi đó

2
22
2
11
1
1111111
ln ln 3 ln 5 ln 2 .
43 2 1 3 2 3 2
t
Idt dt
tt t t t






Suy ra
3, 5, 2abc. Vậy
23.Pabc
Bài tập 3: Biết
6
0
3
1sin
dx a b
xc
, với
,,ab c

và a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau.
Giá trị của tổng
abc
bằng
A. 5. B. 12. C. 7. D.
1.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có
2
2
66 6 6
22 2
00 0 0
1
1tan
cos
2
2
.
1sin
cos sin 1 tan 1 tan
22 2 2
x
x
dx dx
Idxdx
x
xx x x










Đặt
2
1tan 2 1tan .
22
xx
tdtdx




Đổi cận
01; 33.
6
xtx t

33
33
2
1
1
22 33
.
3
dt
I
tt


Suy ra
1, 3, 3abc nên
5.abc
Lưu ý:
2
1sin sin cos .
22
x
x
x




Chia tử và mẫu cho
2
cos .
2
x



Bài tập 4: Cho hàm số
yfx liên tục trên
và

1
0
28.fxdx
Giá trị của

2
2
0
Ixfxdx
là
A. 4. B. 8. C. 16. D. 64.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt
2
22 2 .
x
u xdx du xdx du
Đổi cận
00,21.xux u
Khi đó
 
11
00
228.Ifudufxdx

Bài tập 5: Cho hàm số

yfx xác định và liên tục trên
0;
sao cho
2
1;
xx
xxfe fe
với mọi
0;x  . Giá trị của
.ln
e
e
f
xx
I
dx
x
là
A.
1
.
8
I 
B.
2
.
3
I 
C.
1
.
12
I
D.
3
.
8
I
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Với
0;x  ta có
  
2
2
1
11.
1
xx x
x
x
xf e f e f e x
x

Đặt
ln .
t
dx
xt xe dt
x

Đổi cận
1
;1.
2
xet xet
Khi đó


11
11
22
1
.1.
12
t
I t f e dt t t dt

Bài tập 6: Biết

2
0
3sin cos 11
ln 2 ln 3 , ,
2sin 3cos 13
xx
dx b c b c
xx


. Giá trị của
b
c
là
A.
22
.
3
B.
22
.
3
C.
22
.
3
D.
22
.
13
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phân tích
2sin 3cos 2cos 3sin
3sin cos
2sin 3cos 2sin 3cos
mx xn x x
xx
xx xx



23sin 32cos
2sin 3cos
mn x mn x
xx

Đồng nhất hệ số ta
có
233
311
;
32 1
13 13
mn
mn
mn



.
Suy ra

22
00
311
2sin 3cos 2cos 3sin
3sin cos
13 13
.
2sin 3cos 2sin 3cos
xx xx
xx
dx dx
xx xx





22
2
0
00
3 11 2cos 3sin 3 11 2cos 3sin
..
13 13 2sin 3cos 13 13 2sin 3cos
xx xx
dx x dx
x
xxx









2
2
0
0
2sin 3cos
311 311
ln 2sin 3cos
26 13 2sin 3cos 26 13
dx x
dx x x
xx

 
311 11
ln 2 ln 3.
26 13 13

Do đó
11
11 26 22
13
.
3
13 3 3
26
b
b
c
c

Bài tập 7: Cho hàm số

f
x liên tục trên
và thỏa mãn

4
2
0
tan . cos 2xf x dx
và
2
2
ln
2
ln
e
e
fx
dx
xx
. Giá trị của
2
1
4
2fx
Idx
x
là
A. 0. B. 1. C. 4. D. 8.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Đặt
 
44
22
2
00.
sin .cos
tan . cos 2 . cos 2.
cos
xx
A xfxdx fxdx
x



Đặt
2
1
cos 2sin cos sin cos .
2
t x dt x xdx dt x xdx
Đổi cận
01
x
t
và
1
.
42
xt
 Khi đó
1
1
2
4.
ft
Adt
t
Đặt
22
22
2
ln ln . ln
22.
ln ln
ee
ee
fx xfx
Bdx dx
xx x x


Tương tự ta có
4
1
4.
ft
Bdt
t

Giá trị của

2
1
4
2
.
fx
Idx
x
Đặt
1
2.
2
t x dx dt
Đổi cận
11
42
xt và
24.xt
Khi đó
414
11
1
22
448

ft ft ft
Idtdtdt
ttt
Bài tập 8: Cho

1
3
0
1
;
31
dx a b
xx


với ,ab là các số nguyên. Giá trị của biểu thức
ba
ab
bằng
A. 17. B. 57. C. 145. D. 32.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Giá trị của


11
2
3
00
11
.
3
1
31
1
dx
Idx
x
x
xx
x



Đặt
 
22
32
2.
1
11
xdx
t tdt dx tdt
x
xx



Đổi cận
03,12.xtxt
Ta có


123
3
2
2
0
32
11
32.
3
1
1
dx
I t dt dt t
t
x
x
x


Mà

1
3
0
1
31
dx a b
xx


nên suy ra 3, 2.ab
Từ đó ta có giá trị
23
3217.
ba
ab
Bài tập 9: Cho
1
3
1
2
1
ln
1
xa
dx b
xab




, với ,ab là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức
2
P
ab bằng
A. 12. B. 10. C. 18. D. 15.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Biến đổi
11 1 1
3
3 4
3
11 1 1
3
33
22 2 2
11
.
1
1
11
1
.1 1
xx x
Idx dx dx dx
xx
x
x
x
xx






.
Đặt
2
33 4
11 3
112u u udu dx
xx x

và
3
2
1
.
1
x
u
Đổi cận
1
3; 1 2.
2
xuxu
Ta có

33
3
2
2
2
22
2
21113
3
ln ln 2 .
313132
1.
udu
du u
I
uu
uu






Suy ra
3, 2.ab
Vậy

2 10.Pab
Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Bài tập 1. Cho tích phân
2
1
ln
ln 2
xb
Idxa
xc

với a là số thực b và c là các số dương, đồng thời
b
c
là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức
23
P
abc

là
A.
6.P
B.
5.P
C.
6.P
D.
4.P
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Đặt
2
ln
.
1
dx
ux
du
x
dx
dv
v
x
x



Khi đó
2
22
2
11
1
ln 1 ln 1 1 ln 2
.
22
xx
Idx
xx xx





Suy ra
1
1, 2, .
2
bc a
 Do đó
23 4.Pabc
+ Ưu tiên logarit.
+ Đặt
2
ln
.
ux
dx
dv
x
Bài tập 2: Biết
4
0
ln 2,
1cos2
x
dx a b
x

với ,ab là các số hũu tỉ. Giá trị của
16 8Tab
là
A.
4.T
B.
5.T
C.
2.T
D.
2.T 
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt
444
22
000
1
.
1cos2 2cos 2cos
xxx
A
dx dx dx
x
xx



Đặt
2
1
tan
cos
ux dudx
dv dx v x
x


Khi
đó

4
44
00
0
11
tan tan tan ln cos
22
Axx xdx xx x











1211 1
ln ln 2 ln 2.
24 2 24 2 8 4



 





Vậy
11
,
84
ab
 do đó
16 8 2 2 4.ab
+ Biến đổi
2
1cos2 2cos .
x
x
+ Ưu tiên đa thức.
+ Đặt
2
.
1
cos
ux
dv dx
x
Bài tập 3: Cho
1
22
0
.
x
Ixedxaeb
với ,ab
. Giá trị của tổng
ab
là
A.
1
.
2
B.
1
.
4
C.
0.
D. 1.
Hướng dẫn giải
Sử dụng phương pháp từng phần.
Đặt
2
2
.
1
2
x
x
du dx
ux
ve
dv e dx

Khi đó
11
11 11
22 222
00 00
00
11 1111
.. . . .
22 2444
xx xx
Iuv vdu xe edx xe e e

Suy ra
22
11
..
44
ae b e
Đồng nhất hệ số hai vế ta có
11
,.
44
ab Vậy
1
.
2
ab
Chọn A.
+ Ưu tiên đa thức.
+ Đặt
2
.
x
ux
dv e dx
Bài tập 4: Cho hàm số
f
x liên tục, có đạo hàm trên
,
216f
và

2
0
4.fxdx
Tích phân
4
0
2
x
xf
dx



bằng
A. 112. B. 12. C. 56. D. 144.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt 22.
2
x
txtdxdt
Đổi cận
00
.
42
xt
xt


Do đó

422
000
44.
2
x
x
fdxtftdtxfxdx






Đặt
 
44
.
ux dudx
dv f x dx v f x







Suy ra
    
222
2
0
000
4 4 4 8 2 4 8.16 4.4 112.xf xdx xfx fxdx f fxdx



Bài tập 5. Cho

4
2
0
ln sin 2cos
ln 3 ln 2
cos
xx
dx a b c
x

với ,,abc là các số hữu tỉ.
Giá trị của abc bằng
A.
15
.
8
B.
5
.
8
C.
5
.
4
D.
17
.
8
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt
2
ln sin 2cos
cos 2sin
.
sin 2cos
tan 2
cos
uxx
xx
du dx
xx
dx
dv
vx
x





Khi đó


4 4
4
2
0
0 0
ln sin 2cos
cos 2sin
tan2lnsin2cos
cos cos
xx
x
x
dx x x x dx
xx



4
0
32
3ln 2ln2 1 2tan
2
x
dx






4
0
7
3ln3 ln2 2ln cos
2
xx

725
3ln 3 ln 2 2 ln 3ln 3 ln 2 .
24 2 24
 
Suy ra
51
3, , .
24
ab c Vậy
18.abc
Bài tập 6. Biết

2
1
2
1
1,
p
x
q
x
x
edxme n

trong đó
,,,mn pq
là các số nguyên dương và
p
q
là phân
số tối giản. Giá trị của
Tmnpq
là
A.
11.T
B.
10.T
C.
7.T
D.
8.T
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có


22 22
1111
2
22
11 11
12112.
xxxx
xxxx
I x e dx x x e dx x e dx xe dx



Xét

22 2 2
11 1 1
2
22 2 2
1
2
11 1 1
11
1.. .









xx x x
x
xx x
x
I x edxxe dxxedx xde
xx

22
11 1 1
22
222
11
11
2
xx x x
xx x x
x
eedxxe xedx

 

2
11 1
3
22
22
2
1
11
1
241
xx x
xx x
Ixedxxe Ixe e


4, 1, 3, 2.mnpq
Khi đó
413210.Tmnpq
Bài tập 7. Tìm số thực
m1
thỏa mãn

m
1
ln x 1 dx m.
A. m2e. B.
me.
C.
2
me.
D. me1.
Hướng dẫn giải
Chọn B

mmm
111
Alnx1dxlnxdxdx

m
1
I ln xdx
Đặt
1
ulnx
du dx
x
dv dx
vx

m
m
1
1
Ixlnx dx
m
1
me
A x ln x m ln m m .
m0

Bài tập 8. Đặt
1
ln d ,
e
k
k
Ix
x
k nguyên dương. Ta có
2
k
I
e
khi:
A.
1; 2 .k B.
2;3 .k C.
4;1 .k D.
3; 4 .k
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
1
ln
k
ududx
x
x
dv dx v x








1
1
.ln + d 1 ln 1
e
e
k
k
Ix xe k
x




2
k
Ie

32
1ln 1 2 ln ln 1
11
e
eke k k
ee


Do
k
nguyên dương nên
1; 2 .k
Bài tập 9.
Tìm m để

1
0

x
exmdxe
.
A.
m0.
B.
me.
C.
m1.
D.
me.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
  
xx
11
11
xxxx
00
00
uxm dudx
dv e dx v e
I e x m dx e x m e dx e x m 1 me m 1







Mặt khác:
I e mem1e me1 e1 m1.
Dạng 4: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
1. Phương pháp
Bài toán: Tính tích phân

d
b
a
Igxx
( với
()
g
x
là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối)
PP chung:
Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên
;ab
Dựa vào dấu để tách
tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách)
Tính mỗi tích phân thành phần.
Đặc biệt: Tính tích phân
()d
b
a
Ifxx
Cách giải
Cách 1:
+) Cho
() 0fx
tìm nghiệm trên

;ab
+) Xét dấu của
()
f
x
trên

;ab
, dựa vào dấu của
()
f
x
để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng
( sử dụng tính chất 3 để tách)
+) Tính mỗi tích phân thành phần.
Cách 2:
+) Cho () 0fx tìm nghiệm trên
;ab giả sử các nghiệm đó là
12
; ;...
n
x
xx
( với
12
...
n
x
xx
).
Khi đó
3
12
12
()d ()d ()d ... ()d

n
x
xx
b
ax x x
I
f
xx
f
xx
f
xx
f
xx
3
12
12
()d ()d ()d ... ()d

n
x
xx
b
ax x x
I fxx fxx fxx fxx
+) Tính mỗi tích phân thành phần
2. Bài tập
Bài tập 1:

2
2
1
aa
Sxx2dx,a,b ,
b
b

là phân số tối giản. Giá trị
ab
bằng
A. 11. B. 25. C. 100. D. 50.
Hướng dẫn giải
Chọn A

2
22
32
22
11
1
xx
Sxx2dx xx2dx 2x
32
84 11 9
42
32 32 2








 





Bài tập 2:

*
0
I1sin2xdxaa,a .

Hỏi
3
a
là bao nhiêu?
A. 27. B. 64. C. 125. D. 8.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:

2
1 sin2x sinx cosx sinx cosx 2 sin x .
4




Với
3
x0; x ; .
444





+ Với
x;0
44




thì
sin x 0
4




+ Với
3
x0;
44




thì
sin x 0
4




4
0
4
I2sinxdx2sinxdx22.
44
 

 
 

Chọn 3: Biết
5
1
221
d4ln2ln5,


x
Ixab
x
với
a
,
b
là các số nguyên. Giá trị
Sab
bằng
A.
9.
B.
11.
C.
5.
D.
3.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
525
112
221 221 221
ddd
xxx
Ixxx
xxx
  


 
25
25
12
12
22 1 2 2 1
52 2 3
xx
xx
dx dx dx dx
xxxx
 




25 2 5
12
12
53
2 5ln 2 3ln
x
dx dx x x x x
xx





8ln2 3ln5 4
8
11.
3
a
ab
b


Bài tập 4: Cho tích phân

2
0
1cos2xdx ab
và
ab222.
Giá trị của a và b lần lượt là
A.
a2
.
b
22

B.
a22
.
b2
C.
a2
a22
.
b
2b22






D.
a2
a22
.
b
2b22






Hướng dẫn giải
Chọn D





22 2
000
2
0
1cos2xdx 2 sinxdx 2sinxdx 2 sinxdx
2cosx 2cosx 4 2.

2
a2
ab 4 2
a22
X222X420 .
b
2b22
ab222








Bài tập 5: Tính tích phân
1
0
-d, 0Ixxaxa
ta được kết quả
()Ifa
. Khi đó tổng
1
(8)
2
ff



có giá trị bằng:
A.
24
91
. B.
91
24
. C.
17
2
. D.
2
17
Hướng dẫn giải
Chọn B
TH1:
Nếu
1a
khi đó

1
1
32
0
0
18111
d(8)
32 23 233
xax a
Ixxax f




TH 2: Nếu 01a khi đó
 
1
0
dd
a
a
I xxa x xxa x

1
32 32 3
0
111111
32 32 323 224438
a
a
xax xax aa
f







Khi đó
111191
(8)
23824
ff




.
Bài tập 6:
Cho hàm số
f
x liên tục trên
thỏa

1
0
2d 2
fxx
và

2
0
6d 14
fxx
. Giá trị

2
2
52d
f
xx
bằng
A. 30. B. 32. C. 34. D. 36 .
Lời giải
Chọn B
+ Xét

1
0
2d 2fxx
.
Đặt
2d2dux u x
;
00xu
;
12xu

.
Nên

1
0
22d
f
xx

2
0
1
d
2
f
uu

2
0
d4fu u
.
+ Xét

2
0
6d 14fxx
.
Đặt
6d6dvx v x
;
00xv
;
212xv

.
Nên

2
0
14 6 d
f
xx

12
0
1
d
6
f
vv

12
0
d84fv v
.
+ Xét

2
2
52d
f
xx
 
02
20
52d 52d
f
xxfxx


.
Tính

0
1
2
52dIfx x

.
Đặt
52tx
.
Khi
20x , 52tx d5dtx ; 212xt
 ; 02
x
t
.

2
1
12
1
d
5
Iftt
 
12 2
00
1
dd
5
f
tt ftt






1
84 4 16
5

.
Tính

2
1
0
52dIfx x
.
Đặt
52tx
.
Khi
02x
,
52tx d5dtx
;
212xt

;
02
x
t

.

12
2
2
1
d
5
Iftt
 
12 2
00
1
dd
5
f
tt ftt






1
84 4 16
5

.
Vậy

2
2
52d32fx x

.
Bài tập 7: Cho hàm số

yfx liên tục trên
0; 4 và

2
0
d1
f
xx
;

4
0
d3
fx x
. Giá trị

1
1
31d
f
xx
bằng
A.
4
. B.
2
. C.
4
3
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn C

 
11/31
111/3
31d 13d 31d
f
xxf xxfxx



.
 
1/3 1
11/3
11
13d13 3 1d3 1
33
fx x fx x


.
 
02
40
11
dd
33
f
tt ft t


114
3.1
333

.
Bài tập 8.
3
42
3
24 3
43 .

a
Syydy
b
Giá tị
2
A
B
bằng
A. 80. B. 83. C. 142. D. 79.
Hướng dẫn giải
Chọn C

42 2 2
y4y3 y1y3
Xét
dấu

22
y1y3
, ta có:


33
24 42
33
113
42 42 42
11
3
S 4 4y 1 y dy y 4y 3 dy
y4y3dy y4y3dy y4y3dy





11 3
53 53 53
311
y4y y4y y4y
3y 3y 3y
53 53 53
112 24 3
.
15



  


Bài tập 9.

1
2
0
aa
S4x4x1dx,a,b ,
b
b

là phân số tối giản. Giá trị
a4b
bằng
A.
1.
B.
3.
C.
35.
D.
3.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:

11
2
7
00
I2x1dx2x1dx

 
11
11 1
22
7
11
00 0
22
1
I 2x 1 dx 2x 1 dx 2x 1 dx 1 2x dx 2x 1 dx
2


.
Suy ra:
a1,b2.
Bài tập 10.
2
0
I1sinxdxAB

, biết
A2B
Giá trị
33
AB
bằng
A. 72. B. 8. C. 65. D. 35.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
2
xx xx x
1 sin x sin cos sin cos 2 sin
22 22 24




00
0
0
0
00
0
‐‐‐
‐
‐
‐
‐
+
+
+++
+
+
+
+
∞
3
1‐1‐ 3
‐∞
(y
2
‐1)(y
2
‐3)
y
2
‐3
y
2
‐1
y
Với
xx5
x0;2 0; ;
22444

 

.
+ Với
x
;
24 4




thì
x
sin 0
24




+ Với
x5
;
24 4




thì
x
sin 0
24




3
2
2
3
0
2
xx
I 2 sin dx 2 sin dx 4 2
24 24
 

 
 

.
Bài tập 11. Cho tích phân
2
2
0
13sin22cos 3.
x
xdx a b
Giá trị 4
Aab bằng
A. 2. B. 5
. C. 5. D. 8 .
Hướng dẫn giải
Chọn D




2
42
2
2
000
I 1 3sin2x 2cos xdx sinx 3cosx dx sinx 3cosxdx
.
sin x 3 cosx 0 tan x 3 x k
3
.
Do



x0;
2
nên
x
3
.






 
 

33
22
00
33
32
0
3
I sin x 3 cos x dx sin x 3 cosx dx sin x 3 cos x dx sin x 3 cos x dx
13 13
cosx 3 sinx cosx 3 sinx 1 3 3 3 .
22 22
 a1;b3A8
Dạng 5: Tính tích phân các hàm đặc biệt, hàm ẩn
1. Phương pháp giải
a. Cho hàm số
f
x liên tục trên

;aa .
Khi đó
Bài tập 1: Tích phân
1
1
2
cos .ln
2
x
Ixdx
x
bằng
 
0
aa
a
f
xdx f x f x dx



(1)
Chứng minh
Ta có
  
0
0
.
aa
aa
f
xdx f xdx f xdx



Xét

0
.
a
Ifxdx
Đổi biến
.
x
tdx dt 
Đổi cận
;0 0
x
atax t
Khi đó
 
0
00
aa
a
Iftdt ftdtfxdx

Do đó (1) được chứng minh.
Đặc biệt
+ Nếu
f
x
là hàm số lẻ thì ta có

0
a
a
fxdx
(1.1).
+ Nếu
f
x là hàm số chẵn thì ta có
 
0
2
aa
a
f
xdx f xdx

(1.2)
+ Nếu
f
x là hàm số chẵn thì ta cũng có


1
12
aa
x
aa
fx
dx f x dx
b


01b
(1.3).
Chứng minh (1.3):
Đặt
1
a
x
a
fx
A
dx
b
(*).
Đổi biến
.
x
tdx dt 
Đổi cận
;
x
ataxat a 
Khi đó


1.
.
11
t
aa
tt
aa
fbft
A
dt dt
bb



A.
1.
B.
2.
C.
0. D. 1.
Hướng dẫn giải
Hàm số

2
cos .ln
2
x
fx x
x
xác định và liên tục
trên đoạn
1; 1 .
Mặt khác, với

1;1 1; 1xx
và
  
22
cos .ln cos .ln .
22
xx
f
xx x fx
xx

Do đó hàm số

2
cos .ln
2
x
fx x
x
là hàm số lẻ.
Vậy
1
1
2
cos .ln 0
2
x
Ixdx
x
.
Chọn C.
Bài tập 2:
Cho
yfx là hàm số chẵn, liên tục
trên đoạn
6;6 .
Biết rằng

2
1
8fxdx
và

3
1
23.fxdx
Tính

6
1
.
f
xdx
A.
11.I
B.
5.I
C.
2.I
D.
14.I
Hướng dẫn giải
Gọi
Fx là một nguyên hàm của hàm số
f
x trên
đoạn
6;6 ta có

33
11
23 23fxdx fxdx



3
1
1
23.
2
Fx
Do đó
626FF
hay

6
2
6.fxdx
Vậy
  
626
112
14.



I f xdx f xdx f xdx
Hay
.
1
x
a
x
a
bfx
A
dx
b
(**).
Suy ra
 
1
2.
2
aa
aa
A
fxdx A fxdx



Chọn D.
Bài tập 3:
Tích phân
1
2020
1
1
x
x
Idx
e
có giá trị là
A.
0.I
B.
2020
2
.
2019
I
C.
2021
2
.
2021
I
D.
2019
2
.
2019
I
Hướng dẫn giải
Áp dụng bài toán (1.3) ở cột bên trái cho hàm số
2020
f
xx và
be
ta có
Ta có
1
2021 2021 2021
1
2020
1
1
12.22
.
2 2021 2021 2021
x
Ixdx I

Chọn C.
b.
Nếu
f
x liên tục trên đoạn
;ab thì

bb
aa
f
xdx f a b xdx

Hệ quả: hàm số
f
x liên tục trên
0;1 , khi đó:

22
00
sin cos
f
xdx f xdx


Bài tập 4: Cho hàm số
f
x liên tục trên
thỏa điều
kiện
2cos ,
f
xfx x với
x
.
Giá trị của

2
2
Nfxdx
là
A.
1.N
B.
0.N
C.
1.N
D.
2.N
Hướng dẫn giải
Ta có
 
22
22
N f xdx f xdx





Suy ra

22
22
22cos.Nfxfxdx xdx







Vậy
2
2
0
0
2 cos 2sin 2.Nxdxx

Chọn D.
c. Nếu
f
x
liên tục trên đoạn
;ab
và

f
abx fx thì
 
2
bb
aa
ab
x
fxdx fxdx

d. Nếu
f
x liên tục trên đoạn
;ab và
0fx với

;
x
ab thì

0
b
a
fxdx
và

0
b
a
fxdx
khi
0.fx
Bài tập 5: Cho hàm số

f
x
liên tục trên
và thỏa
mãn
22,.fx f x x x x

Giá trị tích phân

2
0
Gfxdx
là
A.
2.G
B.
1
.
2
G
C.
2
.
3
G
D.
1
.
3
G
Hướng dẫn giải
Ta có

22
00
2Gfxdxf xdx

Suy ra

22
00
22Gfxfxdxxxdx


Vậy

2
0
12
2.
23
Gxxdx

Chọn C.
Bài tập 6:
Cho hàm số
f
x có đạo hàm liên tục trên
đoạn
0;1 thỏa mãn
10,f

1
2
0
7fx dx


và

1
2
0
1
.
3
xf xdx
Tích phân

1
0
f
xdx
bằng
A.
7
.
5
B. 1.
C.
7
.
4
D. 4.
Hướng dẫn giải
Đặt


3
2
3
du f x dx
ufx
x
dv x dx
v




Ta có


3
11
1
23
0
00
1
33


xf x
x
fxdx xf xdx
 
11
33
00
11
..x1.
33
xf xdx xf xd

 

Cách 1: Ta có

1
2
0
7fx dx


(1).
11
7
1
66
0
00
11
49 .49 7
77 7
x
xdx xdx


(2).
 
11
33
00
.114.14xf xdx xf xdx



(3).
Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra
 
111
2
63
000
'4914.0fx dx xdx xfxdx




1
2
3
0
70.fx x dx



Do
 
1
22
33
0
70 7 0fx x fx x dx




. Mà
 
1
2
33
0
70 7.
f
xxdx fx x





4
7
.
4
x
f
xC

Mà

77
10 0 .
44
fCC

Do đó

4
77
.
44
x
fx

Vậy

11
4
00
77 7
.
44 5
x
fxdx dx





Một số kĩ thu
ật giải tích phân hàm ẩn
Loại 1: Biểu thức tích phân đưa về dạng:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
''ux f x u x f x hx+=
Cách giải:
+ Ta có
() () () () () ()
'
''uxf x uxfx uxfx
éù
+=
ëû
+ D
o
đó
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
'
''ux f x u xf x hx ux f x hx
é
ù
+= =
ë
û
Suy ra
() () ()
ux f x hxdx=
ò
Suy ra được
()
f
x
Loại 2: Biểu thức tích phân đưa về dạng:
() () ()
'
f
xfxhx+=
Cách giải:
+ N
h
ân hai vế với
() () () () ()
'
.' . . . .
xx x x x x
e ef x efx ehx efx ehx
éù
+= =
ê
ú
ë
û
Suy ra
() ()
.
xx
efx ehxdx=
ò
Suy ra được
()
f
x
Loại 3: Biểu thức tích phân đưa về dạng:
() () ()
'
f
xfxhx-=
Cách giải:
+ Nhân hai vế với
() () () () ()
'
.' . . . .
xx x x x x
e e f x e f x e hx e f x e hx
-- - - - -
éù
+= =
ê
ú
ë
û
Suy ra
() ()
.
xx
efx ehxdx
--
=
ò
Suy ra được
()
f
x
Loại 4: Biểu thức tích phân đưa về dạng:
(
)
(
)
(
)
(
)
'
f
xpxfxhx+=
Cách giải:
+ Nhân hai vế với
()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
()
()
'
'. . . .
..
pxdx pxdx pxdx pxdx
pxdx pxdx
e f xe pxe f x hxe
fxe hxe
òòò ò
+ =
éù
òò
êú
=
êú
ëû
Suy ra
()
() ()
()
..
pxdx pxdx
f
xe e hxdx
òò
=
ò
Suy ra được
()
f
x
Công thức
() ( )
bb
aa
f
xdx f a b xdx

2. Bài tập
Bài tập 1: Cho số thực
0.a
Giả sử hàm số
f
x liên tục và luôn dương trên đoạn
0; a thỏa mãn

.1.fxfa x Giá trị tích phân

0
1
1
a
Idx
f
x
là
A.
2
.
3
a
I
B. .
2
a
I C. .
3
a
I
D.
.
I
a
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt
.tax dt dx
Đổi cận 0; 0.xtaxat
Khi đó
 


00 00
111
.
1
11 1
1

 

aa aa
fx
Idt dxdxdx
fa t fa x fx
fx


00 0
1
21..
11
aa a
fx
Idxdxdxa
fx fx



Vậy .
2
a
I
Ta có thể chọn hàm số
1fx , với mọi
0;
x
a thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Khi đó

00
11
.
122
aa
a
Idxdx
fx


Bài tập 2: Cho hàm số
f
x
liên tục trên
1;1
và
2019 , 1;1 .
x
fx fxex
Tích phân

1
1
M
fxdx
bằng
A.
2
1
.
2019
e
e
B.
2
1
.
e
e
C.
2
1
.
2020
e
e
D.
0.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có

11
11
.
M
f x dx f x dx



Do đó
 
11 1
11 1
2020 2019 2019 .
M
f x dx f x dx f x f x dx



Suy ra
1
2
1
11
.
2020 2020
x
e
Medx
e

Nếu
f
x liên tục trên đoạn
;ab thì

b
a
f
xdx

b
a
f
abxdx
Bài tập 3. Cho
f
x là một hàm số liên tục trên
thỏa mãn
22cos2
f
xfx x
.
Giá trị tích phân

3
2
3
2
P
fxdx
là
A.
3.P
B.
4.P
C.
6.P
D.
8.P
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có
 
33
22
33
22



P
f x dx f x dx



333
222
33
0
22
222cos24sin.
P
f x f x dx xdx x dx



 


Ha
y
3
3
2
2
0
0
2 sin 2 sin 2cosx 2cos 6.

Pxdx xdx x
Bài tập 4: Cho
f
x là hàm số liên tục trên
thỏa mãn
sin
f
xfx x
 với mọi
x
và
01.f
Tích phân
.ef
bằng
A.
1
.
2
e
B.
1
.
2
e
C.
3
.
2
e
D.
1
.
2
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có
sin
f
xfx x
 nên
.sin , .
xx x
ef x ef x e x x


.sin
xx
ef x e x



hay

00
.sin
xx
ef x dx e xdx




 

00
11
sin cos 0 1
22
xx
ef x e x x ef f e






3
.
2
e
ef

Để ý rằng

x
x
ee
nên nếu nhân thêm hai vế của
sin
f
xfx x
 với
x
e thì ta sẽ có ngay


..sin.
xx
efx e x
Bài tập 5: Cho hàm số
f
x tuần hoàn với chu kì
2
và có đạo hàm liên tục thỏa mãn
0
2
f



,

2
2
4
fx dx


và

2
.cos .
4
fx xdx
Giá trị của
2019f
.
A.
1.
B. 0. C.
1
.
2
D. 1.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có
  
2
22
.cos .sin .sin .
f
x xdx f x x f x xdx





Suy ra

2
.sin .
4
fx xdx
Mặt khác
2
2
22
1cos2 2 sin2
sin .
244
xxx
xdx dx








Suy ra
  
2222
2 2
2
0000
2 sin sin 0 sin 0.f x dx xf x dx xdx f x x dx





sin .
f
xx
 Do đó
cos .
f
xxC Vì
0
2
f



nên
0.C
Ta được
cos 2019 cos 2019 1.fx x f


Bài tập 6: Cho hàm số
f
x có đạo hàm liên tục trên
0;1 , thoả mãn

2018
3
f
xxfxx
 với
mọi
0;1 .x Tính

1
0
dIfxx
.
A.
1
.
2018 2021
I
B.
1
.
2019 2020
I
C.
1
.
2019 2021
I
D.
1
.
2018 2019
I
Hướng dẫn giải
Chọn C
Từ giả thiết
2018
3,fx xf x x

nhân hai vế cho
2
x
ta được
  
2 3 2020 3 2020
3.xf x xf x x xf x x



Suy ra

2021
32020
d.
2021
x
x
fx x x C
Thay
0x vào hai vế ta được

2018
0.
2021
x
Cfx
Vậy

1
11
2018 2019
0
00
111 1
dd. .
2021 2021 2019 2021 2019
fx x x x x

Bài tập 7: Cho hàm số
f
x có đạo hàm liên tục trên
0; 4 , thỏa mãn
21
x
f
xfxe x

với mọi

0; 4 .x
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
 
4
26
40 .
3
ef f
B.
4
403.ef f e
C.
44
40 1.ef f e D.
4
403.ef f
Lời giải
Chọn A
Nhân hai vế cho
x
e để thu được đạo hàm đúng, ta được
  
/
'21 21.
xx x
ef x ef x x ef x x



Suy ra
 
1
21d 2121 .
3
x
ef x x x x x C
Vậy
 
4
26
40 .
3
ef f
Bài tập 8: Cho hàm số

f
x có đạo hàm trên , thỏa mãn
2017 2018
' 2018 2018
x
fx fx x e với
mọi
x
và
0 2018.f Giá trị
1
f
bằng
A.
2018
2018 .
e
B.
2018
2017 .e
C.
2018
2018 .e
D.
2018
2019 .e
Lời giải
Chọn D
Nhân hai vế cho
2018
x
e
để thu được đạo hàm đúng, ta được
  
2018 2018 2017 2018 2017
2018 2018 2018 .
xx x
f xe f xe x f xe x




Suy ra

2018 2017 2018
2018 d .
x
f
xe x x x C

Thay
0x
vào hai vế ta được
2018 2018
2018 2018 .
x
Cfxxe
Vậy
2018
1 2019 .fe
Bài tập 9: Cho hàm số
f
x có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn
 
2
2
x
f
xxfx xe

và
02.f  Giá trị

1
f
bằng
A.
.e
B.
1
.
e
C.
2
.
e
D.
2
.
e
Hướng dẫn giải
Chọn C
Nhân hai vế cho
2
2
x
e để thu được đạo hàm đúng, ta được
  
2222 2
2222 2
22.
x
xxx x
f
xe f xxe xe e f x xe






Suy ra

222
222
2d2 .
xxx
efx xe x e C


Thay
0x vào hai vế ta được

2
02.
x
Cfxe

Vậy

1
2
12 .fe
e
 
Bài tập 10: Xét hàm số ()
f
x liên tục trên đoạn
0;1 và thỏa mãn
2() 3(1 ) 1
f
xfx x

. Tích
phân
1
0
()d
f
xx
bằng
A.
2
3
. B.
1
6
. C.
2
15
. D.
3
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
2() 3(1 ) 1
f
xfx x
(1)
.
Đặt
1tx
, thay vào
(1)
, ta được: 2(1 ) 3()
f
tftt
 hay 2(1 ) 3()
f
xfx x
(2)
.
Từ
(1) & (2), ta được:
32
() 1
55
f
xx x
.
Do đó, ta có:
1
0
()d
f
xx
11
00
32
d1d
55
x
xxx

24
515
2
15
.
Cách 2. Công thức
() ( )
bb
aa
f
xdx
f
abxdx

Lấy t
ích phân 2 vế ta được
11 1
00 0
2()d3(1)d 1d
f
xx
f
xx xx

.
Chú ý: Ta có thể dùng công thức . Khi đó:
Từ suy ra:
.
Bài tập 11: Cho là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn . Biết rằng và
Giá trị bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có là hàm số chẵn nên suy ra
Mặt khác:
11
00
22
5()d ()d
315
fx x fx x


22
11
dd
xaxb
xaxb
f
ax b x f x x


231 1
f
xfx x

11 1
00 0
2d31d1d
f
xx f xx xx

 
101
010
2d3d1d
f
xx fxx xx

 
11
00
22
5d d
315
fx x fx x


 
22
11
11 a
Iftdtfxdx.
22 2


yfx
6;6

2
1
fxdx 8

3
1
f2xdx3.

6
1
f
xdx
1.
e.
1.
14.

yfx
f2x f 2x

33
11
f2xdx f2xdx3.


   
33 6 6
11 2 2
11
f2xdx f2xd2x fxdx 3 fxdx 6.
22


Vậy
Bài tập 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
Mà
Khi đó
Bài tập 13: Cho là hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn và
, trong đó b, c là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó có giá
trị thuộc khoảng nào dưới đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Đặt
Đổi cận
Lúc đó
Suy ra
Do đ
ó
  
626
112
I fxdx f xdx f xdx 8 6 14.




k
x0
1
x11
2x 1 dx 4lim .
x


k1
.
k2
k1
.
k2
k1
.
k2
k1
.
k2

 


22
kk
k
1
11
2x 1 2k 1
11
2x1dx 2x1d2x1
2444




x0 x0 x0
x11 x11
x11 1
4lim 4lim 4lim 2
x
x11
xx11

 







2
k
2
x0
1
k2
2k 1 1
x11
2x 1 dx 4lim 2 2k 1 9 .
k1
x4





fx
0;a


fx.fa x 1
fx 0, x 0;a



a
0
dx ba
1fx c
b
c
b
c
11;22 .
0;9 .
7;21 .
2017;2020 .
tax dt dx
x0 ta;xa t0 
  


a0 a a a
0a 0 0 0
fxdx
dx dt dx dx
I
1
1 fx 1 fa t 1 fa x 1 fx
1
fx






aa a
00 0
fxdx
dx
2I I I 1dx a
1fx 1fx



1
Iab1;c2bc3.
2

Cách 2: Chọn là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được
Bài tập 14: Cho hàm số liên tục trên và Giá trị của
tích phân bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Xét Đặt suy ra
Đổi cận
Suy ra
Xét Đặt suy ra
Đổi cận Suy ra
Vậy
.
Bài tập 15: Cho hàm số liên tục trên và Giá trị của
tích phân bằng
A.
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Xét

fx 1
1
Iab1;c2bc3.
2

f
x

9
2
10
d4, sincosd2.

fx
xfxxx
x

3
0
d
f
xx
2
6
4
10
9
1
d4.
fx
x
x
2
,txtx
2d d .tt x
11
.
93
xt
xt


 
933
111
4d22dd2.
fx
xfttftt
x



2
0
sin cos d 2.fxxx
sin ,ux
dcosd.uxx
00
.
1
2
xu
xu


 
1
2
00
2sincosd d.
f
xxx
f
tt


  
313
001
ddd4.I fxx fxx fxx

f
x


2
1
4
2
00
tan d 4, d 2.
1
xf x
fxx x
x


1
0
d
Ifxx
6I
2
I
3I
1
I

4
0
tan d 4.fxx
Đặt suy
ra
Đổi cận: Khi đó
Từ đó suy ra
Bài tập 16: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn
Giá trị của tích phân bằng
A.
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
● Xét .
Đặt
Suy ra
Đổi cận:
Khi
đó
● Xét Đặt
Suy ra
Đổi cận:
Khi đó
tan ,
tx

2
22
1d
ddtan1dd.
cos 1
t
txxxx
x
t

00
.
1
4
xt
xt



 
11
4
22
000
4tand d d.
11
ft fx
f
xx t x
tx





2
11 1
22
00 0
dd d426.
11
fx xfx
Ifxx x x
xx



f
x

4
2
0
tan . cos d 1,xf x x
2
2
ln
d1.
ln
e
e
fx
x
xx
2
1
4
2
d
fx
Ix
x
12
3
4

4
2
0
tan . cos d 1
A
x
f
xx

2
cos .tx
2
d
d 2sin cos d 2cos tan d 2 .tan d tan d .
2
t
t x xx x xx t xx xx
t
   
01
.
1
42
xt
xt


   
1
111
2
111
1
222
111
1dddd2.
222
ft ft fx fx
Attxx
ttxx


2
2
ln
d1.
ln
e
e
fx
Bx
xx

2
ln .ux
2
2ln 2ln 2 d du
dd dd .
ln ln ln 2
xxux
ux xx
x
xx xx xx u
 
2
1
.
4
xe u
xe u


 
444
111
11
1ddd2.
22
fu fx fx
Buxx
uxx


● Xét t
ích phân cần tính
Đặt suy ra Đổi cận:
Khi đó
Bài tập 17: Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên Biết và
với mọi Giá trị tích phân bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Từ giả thiết
Ta có Đặt
Khi đó
Ta có
Suy ra
2
1
2
2
d.
fx
Ix
x
2,vx
1
dd
2
.
2
x
v
v
x
11
.
42
24
xv
xv


44 1 4
11 1
1
22 2
dddd224.
fv fx fx fx
Iv x xx
vx xx


f
x
0; 2 .
01f

2
24
2
x
x
fxf x e

0; 2 .x

32
2
0
3
d
xxfx
Ix
fx
14
3
32
5
16
3
16
5
 
2
224
221.
xxx
fxf x e f


32
2
0
3'
d.
xxfx
Ix
fx




32
2
3
d36d
.
'
dd
ln
ux x
uxxx
fx
vx
vfx
fx











2
2
32 2
0
0
2
21
2
0
3ln 3 6ln d
32lnd3.


f
Ix x fx x x fxx
xxfxx J

  
20
2
2
2
02
2ln d 2 22 ln 2 d2
xt
J
xxfxx t t f t t





 


02
2
2
20
222ln2d2 2ln2d.
x
xfx x xxfxx

 








22
22
00
2
2
0
2 2 ln d 2 ln 2 d
2ln 2 d



J
xxfxxxxf xx
xxfxf xx
 
2
22
22422
00
32 16
2ln d 2 2 4d .
15 15
xx
xxe x xxxxx J
 

Vậy
Bài tập 18: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn Giá
trị của tích phân bằng
A.
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
ĐÁN ÁN B
Từ giả thiết, thay bằng ta được
Do đó ta có hệ
Khi đó
Bài tập 19: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn Giá trị của
tích phân bằng
A.
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Từ giả thiết, thay bằng ta được
Do đó ta có hệ
Khi đ
ó
16
3.
5
IJ 
yf
x
;
22
2cos.
f
x
f
xx

2
2
d
Ifxx
2
I

2
3
I
3
2
I
2
I
x
x
2cos.
f
x
f
xx



2 cos 4 2 2cos
1
cos .
3
2 cos 2 cos
fx f x x fx f x x
f
xx
fx fx x fx fx x









22
2
2
22
112
dcosdsin .
333
Ifxx xx x





f
x
1
;2
2

1
23.
f
xf x
x




2
1
2
d
fx
Ix
x
1
2
3
2
5
2
7
2
x
1
x

13
2.ffx
x
x








11
23 23
2
.
13 16
242
fxfxfxfx
xx
f
xx
x
ffx fxf
xx xx

 
 
 




 


 

 

22
2
1
2
11
2
22
223
1.
2
fx
Idx dxx
xx x





Cách khác. Từ
Khi đó
Xét Đặt , suy ra
Đổi cận:
Khi đó
Vậy .
Bài tập 20: Cho hàm số thỏa mãn với mọi và
Giá trị của bằng
A. B. C.
D.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Nhận thấy được
Do
đó giả thiết tương đương vớ
i
Suy ra
Thay vào hai vế ta đượ
c
 
11
23 32.fx f x fx x f
x
x
 

 
 

22 22
11 11
22 22
11
d32 d3d2 d.
ff
fx
xx
Ix xx x
xx x

 
 

 






2
1
2
1
d.
f
x
Jx
x



1
t
x
2
22
11
ddddd.
txtxxt
xt
  
1
2
2
.
1
2
2
xt
xt



 
1
22
2
2
11
2
22
1
ddtd.
ft fx
J
tf t t x I
ttx





22
11
22
3
3d 2 d .
2
IxIIx

f
x
  
2
4
.1512
f
xfxfxxx



x
001.ff

2
1f
5
.
2
9
.
2
8. 10.
    
2
...f x fxf x fxf x



 
4
.1512.
f
xf x x x



 

 
001.
452
.1512d36 1
ff
fxf x x x x x x C C


 
52
.361fxf x x x

 

2
6
52 3
.d361d 2 '.
22
fx
x
f
xf x x x x x x xC


0x
2
0
1
''.
22
f
CC

Vậy
Bài tập 22: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn . Giá trị
bằng
A. B. 1. C. D.
Hướng dẫn giải
ĐAP ÁN A

263 2
421 18.fx x x x f
f
x
4
tan cos ,fx xx


1
0
Ifxdx
2
.
8
2
.
4
.
4
 



2
4
2
1
2
2
0
1
ftanx cosx ftanx
tan x 1
12
fx fxdx
8
x1






Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân
1. Phương pháp
Áp dụng các bất đẳng thức:
+ Nếu liên tục trên thì
+ Nếu liên tục trên và thì
+ Nếu liên tục trên thì dấu xẩy
ra khi và chỉ khi .
+ Bất đẳng thức AM-GM
2. Bài tập
Bài tập 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn ,
và Giá trị phân bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dùng tích phân từng phần ta có Kết hợp với giả thiết
, ta suy ra
Theo Holder
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có thay vào ta được
Suy ra
f
x
;ab
 
bb
aa
f
xdx f xdx

f
x
;ab
m
f
xM
 
b
a
mb a f xdx M b a

,
f
x
g
x
;ab
   
2
22
.
bbb
aaa
f
xgxdx f xdx g xdx




""
.
f
xkgx
f
x
0;1 ,
10f

1
2
0
d7


fx x

1
2
0
1
d.
3
xf x x

1
0
d
f
xx
1
7
5
7
4
4
  
11
3
1
23
0
00
1
d'd.
33
x
x
fx x fx xf x x

10f

1
3
0
'd 1.xf x x

2
111
7
1
2
2
36
0
000
1'dd.'d.71.
7
x
xf x x x x f x x

 




3
',
f
xkx

1
3
0
'd 1xf x x
7.k 

3
'7
f
xx



34
7
'7,0;1
4
f
xxx fx xC

 
1
10
4
0
777 7
d.
444 5
f
Cfxx fxx
 
Bài tập 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn ,
và Giá trị bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Theo Holder
Vậ
y
Bài tập 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và
Tích phân bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Theo Holder
Vậy
Bài tập 4: Cho hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn
và Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
f
x
0;1 ,
11f

1
5
0
11
d
78
xf x x
 

1
0
4
d.
13
fx fx
2f
2.
251
.
7
256
.
7
261
.
7
 
2
2
111
2
612
000
2144
d.d..
13 13 13 169
xf x x xdx f x x



 






 

11
67
25
2.
77
f
fx x fx x C C

 
7
25 261
2.
77 7
fx x f
f
x
0;1 ,
12, 00ff

1
2
0
d4.


fx x

1
3
0
2018 d .


f
xxx
0. 1011. 2018. 2022.
 
2
111
2
2
000
2'dd.'d1.44.fxx x fx x

 





00
'2 2 0.
f
fx fx xC C

 
1
3
0
2 2018 d 1011.fx x f x x x



f
x
f
x

0;1 ,

10fef


11
2
2
00
d
d2.




x
fx x
fx

2
1.
1
e
f
e

22
1.
1
e
f
e

2
2
2
1.
1
e
f
e


22
1.
1
e
f
e
Chọn C
Ta có
Mà nên dấu xảy ra, tức là
Theo giả thiết nên ta có
Bài tập 5: Cho hàm số nhận giá trị dương trên có đạo hàm dương và liên tục trên
thỏa mãn và Giá trị bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Áp dụng bất đẳng thức cho ba số dương ta có
Suy ra
Mà nên dấu xảy ra, tức là





11 1 1
AM GM
22
22
00 0 0
'
d1
'd ' d 2 d
fx
x
f
xx fx x x
fx fx fx

  

 


  

1
0
1
2ln 2 ln 1 2ln 0 2 ln 2ln 2.
0
f
fx f f e
f



11
2
2
00
d
'd2
x
fx x
fx



'' ''


 
1
''1fx fxfx
fx

 

2
'd d 22.
2
fx
f
xf x x xx x C fx x C

10fef
2
2
1
22 2 22 2
1
CeC CeC C
e

 
2
222
222
212 .
111
e
fx x f
eee


f
x
0;1 ,
0;1 ,
01f
  
11
3
32
00
4d3 d.








f
xfxxfxfxx

1
0
d
Ifxx
21.e
2
21.
e
1
.
2
e
2
1
.
2
e
AM GM
  



 
33
33
3
33
3
2
3
4' 4'
22
34 ' . . 3 ' .
22




f
x
f
x
f x fx fx
fxfx
fx fxf x
   
11
3
32
00
4' d 3' d.
f
xfxxfxfxx





   
11
3
32
00
4' d3' d
f
xfxxfxfxx





'' ''

 
33
3
1
4' '
22 2
fx fx
f
xfxfx




 
1
2
''
11 1
ddln .
22 2
x
C
fx fx
x x fx xC fx e
fx fx


Theo giả thiết
Bài tập 6: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và
Giá trị tích phân bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Theo Holder
Bài tập 7: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa t và
Giá trị của ích phân bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Theo Holder
Vậ
y
Bài tập 8: Cho hàm số nhận giá trị dương trên có đạo hàm dương liên và tục trên
thỏa mãn và Giá trị của bằng
A. B. C. D.
 

1
1
2
0
01 0 d 2 1.
x
fCfxefxxe
f
x
0; ,

0
sin d 1
fx xx

2
0
2
d.
fxx

0
d
x
fx x
6
.
4
.
2
.
4
.
 
2
2
22
000
2
1cosd dcosd.1.
2
fx xx f x x xx



 
00
22cos4
cos d d .
xx
fx x xfx x x




f
x
0;1 ,

1
2
2
0
10, d
8



ffxx

1
0
1
cos d .
22



x
fx x

1
0
d
f
xx
1
.
2
.
.
2
.
 
2
2
111
2
2
2
000
1
sin ' d sin d . ' d . .
42 2 28
xx
fxx x fx x


 
 

 

 


 

10
'sin cos 0.
22 2
f
xx
fx fx C C

 
 
 
 
 
1
0
2
cos d .
2
x
fx fx x




f
x
0;1 ,
0;1 ,


1
0
d1
xf x
x
fx
01,f
2
1.
f
e
1
2



f
1. 4.
.e
.e
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Hàm dưới dấu tích phân là Điều này làm ta liên tưởng đến đạo
hàm đúng , muốn vậy ta phải đánh giá theo như sau:
với và
Do đó ta cần tìm tham số sao cho
hay
Để dấu xảy ra thì ta cần có
Với thì đẳng thức xảy ra nên
Theo giả thiết
Cách 2. Theo Holder
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có thay vào ta được
Suy ra (làm tiếp như trên)





''
., 0;1.
xf x f x
xx
fx fx


'
f
x
f
x
AM GM




''
2.
f
xxfx
mx m
f
xfx

0m
0;1 .x
0m




11
00
''
d2. d
fx xfx
mx x m x
fx fx





  
2
11
00
ln 2 .1 ln 1 ln 0
22
2202.
2


x
m
fx m m f f
m
mm
'' ''
20 2 4.
2
m
mm
4m

'
4
fx
x
fx


 
2
22
'
d4dln 2 .
x
C
fx
xxx fxxCfxe
fx




2
2
2
01
1
0.
2
1
x
f
Cfxef e
fe












22
11 11
2
00 00
'''1
1
1d.dd.d.ln1.
20
xf x f x f x f
xx xxx x
fx fx fx f







'
,
fx
kx
fx


1
0
'
d1
xf x
x
fx
4.k


'
4.
fx
x
fx
Bài tập 9: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và
Giá trị của bằng
A. B. C. D.
Lời giải
ĐÁP ÁN A
Hàm dưới dấu tích phân là Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng
, muốn vậy ta phải đánh giá theo như sau:
với
Do đó ta cần tìm tham số sao cho
hay
Để dấu xảy ra thì ta cần có
Với thì đẳng thức xảy ra nên
(vô lý)
Theo giả thiết
Cách 2. Ta có
Theo Holder
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có thay vào ta được Suy ra
(làm tiếp như trên)
f
x
0;1 ,
 
1
2
0
d1


f
xf x x
01,f
13.f
1
2



f
2. 3.
.e
.e
 
2
'.fxf x


'
f
x
f
x
AM GM
   
2
'2.'
f
xf x m mfxf x


0.m
0m
 
 
11
2
00
'd2 'd.
f
xf x m x m fxf x x


2
1
0
12. 12.
2
fx
mm mm 
'' ''
12 1.mmm
1m
 
 
2
'1
'1 .
'1
fxf x
fxf x
fxf x



   
2
11
11
00
00
'1 'dd 11.
2
fx
fxf x fxf x x x x   

   

2
'1 'dd 22.
2
fx
f
xf x fxf x x x x C fx x C




01
11
21 2.
22
13
f
Cfxxf
f





 

2
1
1
22
0
0
1
'd 1 0 1.
22
fx
fxf x x f f



   
2
111
2
22
000
11. 'd 1d. 'd1.11.fxf x x x fxf x x

 




',
f
xfx k
 
1
0
'd1
f
xf x x
1.k
'1.fxfx
Bài tập 10: Cho hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên thỏa
mãn và Giá trị của bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Hàm dưới dấu tích phân là Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng
, muốn vậy ta phải đánh giá theo như sau:
với và
Do đó ta cần tìm tham số sao cho
hay
Để dấu xảy ra thì ta cần có
Với thì đẳng thức xảy ra nên
Theo giả thiết
Cách 2. Ta có
Theo Holder
f
x
f
x

1; 2 ,


2
2
1
d24


fx
x
xf x
11,f
2 16.f
2f
1.
2.
2. 4.




22
''
1
..
fx fx
xf x x f x
 
 

'
f
x
f
x
AM GM




2
'
'
2
fx
f
x
mx m
xf x
f
x



0m
1; 2 .x
0m




2
22
11
'
'
d2 d
fx
fx
mx x m x
xf x
fx








  
2
1
22 2
24 4 24 4 2 1 24 12 16.
33 3
mm m
mfx m f f m m

  

'' ''
2
24 12 16.
3
m
mm
16m




2
'
'
16 2
2
fx
fx
x
x
xf x
fx




 

2
22
'
d2d .
2
fx
x
xx fx x C fx x C
fx





4
11
024.
216
f
Cfxxf
f



  
22
2
1
11
''
d2. d2 2 2 1 6.
2
fx fx
xxfxff
fx fx










22
2
21 22
2
2
2
1
11 11
'
''
6 d . d d . d .24 36.
2
fx
fx fx
x
xx xxx x
xf x
fx xfx








Vậy đẳng thức xảy ra
nên ta có thay vào ta được
Suy ra (làm tiếp như trên)
Bài tập 11: Cho hàm số
f
x có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1 , và

14
10 .
2
ff
Biết
rằng

022,0;1
fx x x
. Khi đó, giá trị của tích phân

1
2
0
f
xdx


thuộc khoảng nào
sau đây?
A.
2; 4 . B.
13 14
;.
33



C.
10 13
;.
33



D.

1; 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Do

022,0;1fx x x

nên


2
08,0;1.fx xx

Suy ra

11
2
00
8
f
xdx xdx



hay

1
2
0
4fx dx


(1).
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
  
2
111 1
222
2
000 0
1. 1 0
f
xdx dxfxdx f f fxdx



 

 



1
2
0
7
2
f
xdx



Vậy

1
2
0
7
4.
2
fx dx




''
,
fx fx
kx kx
xf x f x


2
1
'
d6
fx
x
fx
4.k

'
4.
fx
x
fx
| 1/52

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

BÀI 2: TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa tích phân Định nghĩa
Chẳng hạn:   3
F x x C là một nguyên
Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a;b , với hàm của hàm số f x 2
 3x nên tích phân a  . b 1 f
 xdx F x 1  F  1 F 0
Nếu F x là nguyên hàm của hàm số f x trên 0 0
đoạn a;b thì giá trị F b  F a được gọi là tích   3 C 3 1 0  C  1.
phân của hàm số f x trên đoạn a;b .
Lưu ý: Giá trị của tích phân không phụ b
thuộc vào hằng số C. b Kí hiệu f
 xdx F x  F b F a (1)
Trong tính toán, ta thường chọn C  0. a a
Công thức (1) còn được gọi là công thức Newton –
Leibnitz; a và b được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân.
Chẳng hạn: Hàm số f x 2
x  2x 1 có
Ý nghĩa hình học của tích phân
Giả sử hàm số y f x là hàm số liên tục và không đồ thị C và f x   x  2 1  0 , với b x    .
âm trên đoạn a;b . Khi đó, tích phân f xdxa
chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường
cong y f x , trục hoành Ox và hai đường thẳng
x a, x b, với a  . b
Diện tích “tam giác cong” giới hạn bởi C
, trục Ox và hai đường thẳng x  1  và 1 1
x  1 là S
f xdx   2 x  2x    1dx 1  1  3 1  x  8 b 2
   x x  . S f  xdx  3 1   3 a
Lưu ý: Ta còn gọi hình phẳng trên là “hình thang cong”.
2. Tính chất cơ bản của tích phân
Cho hàm số f x và g x là hai hàm số liên tục
trên khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa
khoảng hoặc đoạn và a,b, c K, khi đó: a
a. Nếu b a thì f
 xdx  0
Chẳng hạn: Cho hàm số f x liên tục, có a
đạo hàm trên đoạn  1  ;2 thỏa mãn
b. Nếu f x có đạo hàm liên tục trên đoạn a;bf  
1  8 và f 2  1  . thì ta có: Khi đó b f
 xdx f xbf b f a 2 2 a a
f  xdx f x
f 2  f   1  9   1 1  
Lưu ý: Từ đó ta cũng có b
f b  f a  f   xdx a b
và f a  f b  f   xdx a
c. Tính chất tuyến tính b b bk. f
 x .hgxdx k f
 xdx  .h g  xdx a a a
Với mọi k, h  . 
d. Tính chất trung cận b c b f
 xdx f
 xdx f
 xdx , với c ;aba a c
e. Đảo cận tích phân a b f
 xdx   f  xdx b a b
f. Nếu f x  0, x
 a;b thì f
 xdx  0 và a b f
 xdx  0 khi f x  0. a
g. Nếu f x  g x, x   ; a b thì b b f
 xdx g  xdx a a
h. Nếu m  min f x và M  max f x thì a;b a;bb
mb a  f
 xdx M baa
i. Tích phân không phụ thuộc vào biến, tức là ta luôn có b b b b f
 xdx f
 tdt f
 udu f
  ydy ... a a a a
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng 1 b
Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân I f
 xdx, trong a
đó ta có thể phân tích f x  g u xu x thì ta thực hiện Lưu ý: Phương pháp đổi biến số phép đổi biến số.
trong tích phân cơ bản giống như Phương pháp:
đổi biến số trong nguyên hàm, ở
+ Đặt u u x , suy ra du u x . dx
đây chỉ thêm bước đổi cận. + Đổi cận: x a b u
u a u bb ubub
+ Khi đó I f
 xdx g
 udu Gu , với   ua a u a
G u là nguyên hàm của g u. Đổi biến dạng 2 Dấu hiệu Cách đặt 2 2 a x    
x a sin t;t   ;  2 2    2 2 x a a      x ; t  ; \  0 sin t  2 2    2 2 a x    
x a tan t;t   ;    2 2  a x    x  .c
a os 2t;t  0;   a x  2  a x    x  .c
a os 2t;t  0;   a x  2 
x ab x   
x a  b a 2 sin t;t  0;  2   
2. Phương pháp tích phân từng phần b
Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí
Bài toán: Tính tích phân I u
 x.vxdx
sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân a b b
Hướng dẫn giải vdu
dễ tính hơn udv. u   u a a  x du u  xdx Đặt    dv v 
xdx v v  xb
Khi đó I  u.vb  . v du a
(công thức tích phân từng a phần)
III. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT
1. Cho hàm số f x liên tục trên  ; a a. Khi đó a a Đặc biệt f
 xdx   f
 x f xdx  (1) a 0 a
+ Nếu f x là hàm số lẻ thì ta có f
 xdx  0 (1.1) a a a
+ Nếu f x là hàm số chẵn thì ta có f
 xdx  2 f
 xdx (1.2) a 0 a f x 1 a và dx f x dx   0  b   1 (1.3) x   1 b 2 a 0 b b
2. Nếu f x liên tục trên đoạn a;b thì f
 xdx f
 a bxdx a a   2 2
Hệ quả: Hàm số f x liên tục trên 0;  1 , khi đó: f
 sin xdx f
 cos xdx 0 0 b b a b
3. Nếu f x liên tục trên đoạn a;b và f a b x  f x thì xf
 xdx f  xdx 2 a a
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất
1. Phương pháp giải
Sử dụng các tính chất của tích phân.
Sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa tích phân để tính tích phân. 2. Bài tập 2 dx
Bài tập 1: Biết tích phân I
a 2  b 3  c
, với a,b, c   . Giá trị biểu thức x 1 x x x 1 1  
P a b c là A. P  8. B. P  0. C. P  2. D. P  6.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có x 1  x  0, x  1;2 nên 2 2 2 x 1  x 1 1 I dx dx dx    
2 x 2 x1 2 x. x 1 x x 1 1 1 1 1
 4 2  2 3  2. Suy ra a  4,b c  2
 nên P a b c  0.
Nhân liên hợp x 1  x.
Bài tập 2: Cho hàm số f x thỏa mãn f   1
2   và       2 f x x f x  3
 với mọi x  . Giá trị f   1 bằng A. f   2 1  . B. f   3 1  . C. f   2 1   . D. f   1 1  . 3 2 3 3
Hướng dẫn giải Chọn C.
Từ       2 f x x f x  
 (1), suy ra f  x  0 với mọi x1;2.
Suy ra f x là hàm không giảm trên đoạn 1;2 nên f x  f 2  0 , x  1;2 . f  x
Chia 2 vế hệ thức (1) cho    2 f x    ta được  x, x   1;2 . (2) 2    f x  
Lấy tích phân 2 vế trên đoạn 1;2 hệ thức (2), ta được 2 f  x 2 2 2 2  1   x  1 1 3 dx xdx          .    f   x 2  f    x 1   2 1  f 1 f 2 2 1 1     Do f   1
2   nên suy ra f   2 1   . 3 3
Chú ý rằng đề bài cho f 2 , yêu cầu tính f  
1 , ta có thể sử dụng nguyên hàm để tìm hằng số C.
Tuy nhiên ta cũng có thể dựa vào định nghĩa của tích phân để xử lí. 1 
Bài tập 3: Cho hàm số f x xác định trên  \   thỏa mãn f x 2 
và f 0  1, f   1  2 2 2x 1 . Khi đó f   1  f 3 bằng A. 1   ln15. B. 3  ln 5. C. 2   ln 3. D. 1   ln15.
Hướng dẫn giải
Chọn A. 0 0
Ta có f  xdx f 0  f   
1 nên suy ra f  
1  f 0  f
 xd .x 1 1  0 1 f
 xd .x 1  Tương tự ta cũng có 3
f 3  f   1  f   xdx 1 3  2   f   xdx. 1 0 3 0 3 Vậy f   1  f 3  1   f
 xdx f
 xdx  1   ln 2x 1  ln 2x 1 . 1  1 1  1 Vậy f   1  f 3  1   ln15.
Bài tập 4: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  0 , 1 1 1  f
 x 2 dx  7  và 3 x . f   xdx  1
 . Giá trị I f
 xdx là 0 0 0 7 7 A. 1. B. . C. . D. 4. 4 5
Hướng dẫn giải
Chọn C. 1 2 Ta có  f
 x dx  7  (1). 0 1 1 1 6 6
x dx   49x dx  7   (2). 7 0 0 1 và 3 14x . f   xdx  1  4 (3). 0
Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra 1  f   x 2 3
 7x dx  0  
mà  f  x 2 3  7x   0   0  f x 3  7  x . 4 7x
Hay f x    C. 4 f   7 7
1  0    C  0  C  . 4 4 4 7x 7
Do đó f x    . 4 4 1 1 4  7x 7  7 Vậy f
 xdx    dx  .  4 4  5 0 0
Bài tập 5: Cho f x, g x là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;  
1 và f x là hàm số chẵn, g x 1 1 1 1
là hàm số lẻ. Biết f
 xdx  5; g
 xdx  7. Giá trị của A f
 xdxg
 xdx là 0 0 1 1  A. 12. B. 24. C. 0. D. 10.
Hướng dẫn giải
Chọn D. 1 1
Vì f x là hàm số chẵn nên f
 xdx  2 f
 xdx  2.5 10 1  0 1
Vì g x là hàm số lẻ nên g
 xdx  0 . 1 Vậy A  10. 1 xdx Bài tập 6: Cho  a bln 3   
với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a b bằng 2x  2 0 1 5 1 1 1 A. . B.  . C. . D. . 12 3 4 12
Hướng dẫn giải
Chọn D. 1 1 1 xdx 1 2x 1 1 1  1 1    Ta có  dx     dx     2x  2 1 2 2x  2 1
2  2x 1 2x   2  0 0 0 1   1 1  1 1          x  ln 2x  1 1 ln 3. 4 2 1 4   0 6 4  1 1 1
Vậy a   ,b   a b  . 6 4 12 3 2x  3 Bài tập 7: Cho
dx a ln 2  b ln 3, 
với a,b  . Giá trị biểu thức 2
a ab b là 2 x x 2 A. 11. B. 21. C. 31. D. 41.
Hướng dẫn giải 3 3 3 2x  3 2x 1 2  2x 1 2  Ta có dx dx   dx    2 2  2 2  x x x x
x x x x  2 2 2 3  2x 1 2 2     dx   
ln x x 2ln x 2ln x1 3 2  5  ln 2  4ln 3 2
x x x x 1 2 2 a  5  2  
a ab b  41. b   4
Chọn D. 2 5x  6
Bài tập 8. Biết rằng tích phân
dx a ln 2  b ln 3  c ln 5, 
với a,b, c là các số nguyên. Giá 2 x  5x  6 1
trị biểu thức S a bc là bao nhiêu? A. S  62.  B. S 10. C. S  20. D. S  10. 
Hướng dẫn giải
Chọn B. 2 2 2 5x  6 5x  6  9 4  Ta có dx dx   dx    2   x  5x  6 x  2 x  3
x  3 x  2  1 1    1
 9ln x  3  4ln x  2  2  9ln 5  4ln3 26ln 2. 1
Suy ra a  26,b  4, c  9. Vậy S a bc  26   4.9 10.  3 2 cos x  sin . x cos x 1 Bài tập 9: Cho
dx a b ln 2  c ln 1 3 
, với a,b, c là các số hữu tỉ. Giá 4 3     cos x sin . x cos x 4 trị abc bằng A. 0. B. 2.  C. 4.  D. 6. 
Hướng dẫn giải
Chọn C.   3 2 3 2 2 cos x  sin . x cos x 1 2cos x  sin .
x cos x  sin x Ta có dx dx   4 3 2   cos x sin . x cos x  cos x  2 cos x  sin . x cos x 4 4   3 2 3 2
2  tan x  tan x
2  tan x  tan xdx d tan x   2    cos x 1 tan x  1 tan x   4 4   3 2   3 2 tan x  3  tan x        
xd tan x 2ln tan x 1 1 tan   2     4 4 4
1 2ln 2  2ln 3  1. Suy ra a 1,b  2,c  2 nên abc  4.  xe m, khi x  0 
Bài tập 10: Cho hàm số f x   liên tục trên  . 2
2x 3 x , khi x  0 1 Biết
f xdx ae b 3  ca,b,c  
 . Tổng T a b  3c bằng 1  A. 15. B. 10.  C. 19  . D. 17  .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Do hàm số liên tục trên  nên hàm số liên tục tại x  0
 lim f x  lim f x  f 0  1 m  0  m  1. x 0 x 0   1 0 1 Ta có f
 xdx f
 xdxf
 xdx I I 1 2 1  1  0 I
2x 3  x dx  
 3 x 1 d 3 x  2  3 x  0 0 0 16 2 2 2 2 2 2 3  x  2 3  . 1 1  1  3 1  3
   x  1   x I e dx e x 1 1  e  2. 2 0 0 1 22 22 Suy ra f
 xdx I I e2 3  . Suy ra a 1;b  2;c   . 1 2 1 3 3
Vậy T a b  3c 1 2  22  1  9.  2 cos x  2 cos x Bài tập 11: Biết dx m  . Giá trị của dx  bằng 1 3x 1 3x     A.   . m B.  . m C.   m. D.  . m 4 4
Hướng dẫn giải
Chọn A.  2  2 cos x cos x  1  Ta có 2 dx
dx  cos xdx   x dx        x x 1 cos2  . 1 3 1 3 2      2 cos x Suy ra dx    . m  1 3x 
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
1. Phương pháp giải
Nắm vững phương pháp đổi biến số dạng 1 và dạng 2, cụ thể: Đổi biến dạng 1 b
Bài toán: Giả sử ta cần tính I f
 xd ,x trong đó ta có thể phân tích f x  guxux. a
Bước 1: Đặt u u x, suy ra du u x . dx
Bước 2: Đổi cận x a B u
u a u bBước 3: Tính b ubub
I f xdx
g udu G    u   ua a u a
Với G u là một nguyên hàm của g u . Đổi biến dạng 2 b
Bài toán: Giả sử ta cần tính I f
 xdx, ta có thể đổi biến như sau: a
Bước 1: Đặt x   t, ta có dx  tdt.
Bước 2: Đổi cận x a b t
Bước 3:    Tính I f
 t.tdt g
 tdt Gt   
Với G t là một nguyên hàm của g t. Dấu hiệu Cách đặt 2 2 a x    
x a sin t,t   ;  2 2    2 2 x a a      x  ,t  ; \   0 sin t  2 2    2 2 a x    
x a tan t,t   ;    2 2  a x    x  .c
a os 2t,t  0;   a x  2  a x    x  .c
a os 2t,t  0;   a x  2 
x ab x   
x a  b a 2 sin t,t  0;  2    2. Bài tập mẫu  2 cos x Bài tập 1: Biết
dx a ln 2  b ln 3, 
với a,b là các số nguyên. 2
sin x  3sin x  2 0
Giá trị của P  2a b là A. 3. B. 7. C. 5. D. 1.
Hướng dẫn giải
Chọn A.   2 2 cos x 1 Ta có dx d sin x   2
sin x  3sin x  2
sin x 1 sin x  2 0 0       2 1 1      d 
 sin x  ln sin x 1  ln sin x  2  2
 sin x 1 sin x  2  0 0
 ln 2  ln1 ln 3 ln 2  2ln 2  ln 3
Suy ra a  2,b  1
  2a b  3. ln 2 dx 1
Bài tập 2: Biết I  
a b c
, với a,b, c là các số nguyên tố. xx ln ln ln  0 e  3e  4 c
Giá trị của P  2a b c là A. P  3.  B. P  1.  C. P  4. D. P  3.
Hướng dẫn giải
Chọn D. x ln 2 dx ln 2 e dx Ta có I   .   xx 2 0 0 e  3e  4 x e  4 x e  3 Đặt x x
t e dt e d . x
Đổi cận x  0  t  1, x  ln 2  t  2. Khi đó 2 2 1 1 2  1 1  1 t 1 1 I dt   dt  ln  ln 3  ln 5  ln 2 .   2     1 1 t  4t  3 2
t 1 t  3  2 t  3 1 2
Suy ra a  3,b  5, c  2 . Vậy P  2a b c  3.  6 dx a 3  b Bài tập 3: Biết   , với a,b ,  c  
 và a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau. 1 sin x c 0
Giá trị của tổng a b c bằng A. 5. B. 12. C. 7. D. 1. 
Hướng dẫn giải Chọn A. 1    x   2 x  2 cos 1 tan 6 6 6 6 dx dx   Ta có 2  2 I dx      d . x     2 2 2 1 sin x 0 0  x x  0  x  0  x  cos  sin 1 tan 1 tan        2 2   2   2  xx  Đặt 2
t  1 tan  2dt  1 tan d . x   2  2  
Đổi cận x  0  t  1; x   t  3 3. 6 3 3 3 3 2dt 2  3  3 I     .  2 t t 1 3 1
Suy ra a  1,b  3,c  3 nên a b c  5. Lưu ý: 2  x x   x
1 sin x  sin  cos .  
Chia tử và mẫu cho 2 cos .  2 2     2  1 2
Bài tập 4: Cho hàm số y f x liên tục trên  và f
 2xdx 8. Giá trị của I xf
  2xdx là 0 0 A. 4. B. 8. C. 16. D. 64.
Hướng dẫn giải
Chọn B. Đặt 2
x  2u  2xdx  2du xdx du.
Đổi cận x  0  u  0, x  2  u  1. 1 1 Khi đó I f
 2udu f
 2xdx 8. 0 0
Bài tập 5: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên 0; sao cho 2 
x  x x xf e f e  1;
e f x.ln x
với mọi x 0; . Giá trị của I dx  là x e 1 2 1 3 A. I   . B. I   . C. I  . D. I  . 8 3 12 8
Hướng dẫn giải
Chọn C. x x x x 1
Với x 0; ta có x xf e   f e  1 f e  2 2   1 . x 1 x dx Đặt ln t
x t x e dt  . x 1
Đổi cận x e t  ; x e t  1. 2 1 1 t 1
Khi đó I t. f
 e dt t1tdt  . 12 1 1 2 2 
2 3sin x  cos x 1  1 b Bài tập 6: Biết dx
ln 2  b ln 3  c , 
 ,bc. Giá trị của là
2sin x  3cos x 13 c 0 22 22 22 22 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 13
Hướng dẫn giải
Chọn A. 3sin x  cos x
m 2sin x  3cos x  n2cos x  3sin x Phân tích 
2sin x  3cos x
2sin x  3cos x
2m 3nsin x 3m  2ncos x
2sin x  3cos x
2m  3n  3 3 11
Đồng nhất hệ số ta có   m  ;n   . 3
m  2n  1  13 13   3 11 2 2
2sin x 3cos x 2cos x 3sin x 3sin x  cos x Suy ra 13 13 dx  . dx  
2sin x  3cos x
2sin x  3cos x 0 0   2  2
 3 11 2cos x  3sin x  3 x x   . dx   x 11 2cos 3sin 2  . dx  
13 13 2sin x 3cos x    13 0
13 2sin x  3cos x 0 0  2 3
11 d 2sin x  3cos x 3 11    2   dx  
ln 2sin x  3cos x  26 13
2sin x  3cos x 26 13 0 0  11 b  3 11 11     13 b 11 26 22 ln 2  ln 3. Do đó    .  26 13 13 3 c 13 3 3 c   26  4
Bài tập 7: Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa mãn tan . x f   2
cos xdx  2 và 0 2 e f  2 ln x 2 f 2xdx  2 
. Giá trị của I dx  là x ln x x e 1 4 A. 0. B. 1. C. 4. D. 8.
Hướng dẫn giải
Chọn D.   4 4 sin . x cos x Đặt A  tan . x f   2
cos xdx  2  .f   2 cos x dx  2. 2  cos x 0 0. 1 Đặt 2
t  cos x dt  2
 sin x cos xdx   dt  sin x cos x . dx 2  1 1 f t
Đổi cận x  0  t  1 và x
t  . Khi đó A dt  4.  4 2 t 1 2 2 e f ln x 2 2 e ln . x f  2 ln x Đặt B dx  2  dx  2.   2 x ln x x ln x e e 4 f t
Tương tự ta có B dt  4.  t 1 2 f 2x 1 Giá trị của I d . x
Đặt t  2x dx dt. x 2 1 4 1 1
Đổi cận x   t  và x  2  t  4. 4 2 4 f t 1 f t 4 f t Khi đó I dt dt dt  4  4  8    t t t 1 1 1 2 2 1 1 Bài tập 8: Cho
dx a b; 
với a,b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức
x 3x  3 0 1 b a a b bằng A. 17. B. 57. C. 145. D. 32.
Hướng dẫn giải
Chọn A. 1 1 1 1 dx Giá trị của I dx  .  
x 3x   x  3 1 x  2 3 0 0 1 x 1 x  3 2 dx Đặt t   2tdt dx   tdt. x 1 x  2 1 x  2 1
Đổi cận x  0  t  3, x  1  t  2. 1 2 3 3 1 dx 1 Ta có I   t
dt dt t  3  2.    2   x  3 x t 0  1 2 3 2 x 1 1 1 Mà
dx a b
nên suy ra a  3,b  2.
x 3x  3 0 1
Từ đó ta có giá trị b a 2 3
a b  3  2  17. 1 x 1  aBài tập 9: Cho dx  ln  b
, với a,b là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức 3   x 1 ab 1  2
P  2a b bằng A. 12. B. 10. C. 18. D. 15.
Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 1 1 3 x x 1 x 1 Biến đổi I dx dx dx  . dx     . 3 4 x 1  1  x 1 1 3 1 1 1 1 x 1   . x 1 1 3 2 2 2 3 2 3  x x x 1 1 3 1 Đặt 2 u  1  u  1  2udu   dx và 3 x  . 3 3 4 x x x 2 u 1 1
Đổi cận x   u  3; x  1 u  2. 2 2udu 3 3 3 2 du 1 u 1 1  3  Ta có 3 I      ln  ln  2 .    2 u   2 1 .u 3 u 1 3 u 1 2 3  2  2 2
Suy ra a  3,b  2. Vậy P  2a b 10.
Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 2 ln x b
Bài tập 1. Cho tích phân I
dx   a ln 2 
với a là số thực b và c là các số dương, đồng thời x c 1
b là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức P  2a 3bc là c A. P  6. B. P  5. C. P  6.  D. P  4.
Hướng dẫn giải Chọn D. dx u   ln x du     Đặt xdx   . dv  1  2  xv   x 2 2 2 ln x 1  ln x 1   1 ln 2 Khi đó I   dx     .  2   x 1 xx x  1 2 2 1 1 
Suy ra b  1,c  2, a
. Do đó P  2a  3b c  4. 2 + Ưu tiên logarit. u   ln x+ Đặt dx . dv   2  x  4 x Bài tập 2: Biết
dx a  b ln 2, 
với a,b là các số hũu tỉ. Giá trị của T 16a  8b là 1 cos 2x 0 A. T  4. B. T  5. C. T  2. D. T  2. 
Hướng dẫn giải Chọn A.    4 4 4 x x 1 x Đặt A dx dx  . dx    2 2 1 cos 2x 2cos x 2 cos x 0 0 0 u
  x du dx  Đặt  1 dv
dx v  tan x  2  cos x Khi đó     4 1 1      4 A x tan x  tan xdx     
xtan xln cos x  4  2 0 2  0 0       1   2  1   1   1    ln    ln 2   ln 2.     2 4 2 2    4 2  8 4 1 1 
Vậy a  ,b
do đó 16a  8b  2  2  4. 8 4 + Biến đổi 2 1 cos 2x  2cos . x + Ưu tiên đa thức.u x+ Đặt  1 . dv dx  2  cos x 1 Bài tập 3: Cho 2x 2
I xe dx  . a e b
với a,b   . Giá trị của tổng a b là 0 1 1 A. . B. . C. 0. D. 1. 2 4
Hướng dẫn giải
Sử dụng phương pháp từng phần. du dx u   x  Đặt    x 1 . 2 2 xdv e dx v e  2 1 1 1 1 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 Khi đó 2 2 2 2 2 I  . u v  . v du  . x ee dx  . x eee  .   0 2 0 2 2 0 4 0 4 4 0 0 1 1 Suy ra 2 2 .
a e b e  . 4 4 1 1 1
Đồng nhất hệ số hai vế ta có a  ,b  . Vậy a b  . 4 4 2
Chọn A. + Ưu tiên đa thức. u   x + Đặt  . 2xdv e dx 2
Bài tập 4: Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên  , f 2 16 và f
 xdx  4. Tích phân 0 4  x xf dx    bằng  2  0 A. 112. B. 12. C. 56. D. 144.
Hướng dẫn giải
Chọn A. x
Đặt t   x  2t dx  2dt. 2
x  0  t  0 4 2 2  x  Đổi cận  . Do đó xf dx  4tf    
 tdt  4xf  
xd .x
x  4  t  2  2  0 0 0 u  4x  du  4dx  Đặt    dv f  
xdx v f  x. Suy ra 2 2 2 2 4xf  
xdx  4xf
x  4 f
 xdx 8f 24 f
 xdx 8.164.4 112. 0 0 0 0 
4 ln sin x  2cos xBài tập 5. Cho
dx a ln 3  b ln 2  c 
với a,b, c là các số hữu tỉ. 2 cos x 0
Giá trị của abc bằng 15 5 5 17 A. . B. . C. . D. . 8 8 4 8
Hướng dẫn giải
Chọn A. u
  ln sin x  2cos x  cos x  2sin x  du dx Đặt  dx   sin x  2cos x . dv   2  
v  tan x  2 cos x Khi đó  
4 ln sin x  2cos x  4    x x dx
tan x  2ln sin x  2cos x cos 2sin 4  dx  2 cos x 0 cos x 0 0  4  3 2   3ln 
  2ln 2  1 2tan xdx  2    0 7 
 3ln 3 ln 2  x  2ln cos x  4 2 0 7  2 5   3ln 3  ln 2   2ln  3ln 3  ln 2  . 2 4 2 2 4 5 1
Suy ra a  3,b   , c   . Vậy abc  18. 2 4 2 1 p xp
Bài tập 6. Biết x  2 1 x q e dx me  , n trong đó , m ,
n p, q là các số nguyên dương và là phân q 1
số tối giản. Giá trị của T m n p q là A. T  11. B. T 10. C. T  7. D. T  8.
Hướng dẫn giải
Chọn B. Ta có 2 1 2 1 2 1 2 1  2 xxxx  1 x
  2  2  1 x  2  1 x  2 x I x e dx x x e dx x e dx xe . dx  1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 xxx 1 x  1   x  Xét I   2 x   2 2 2 1 x e dx x . x e . dx x . x e d x   x x d e 1        2 xx  1 1 1 1   1 2 2 1     2 x x     2 1 2 2 1 2 x x x x x   2 x x e e d x x e xe dx  1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 3 x   2 x 2 x x x x 2
I  2xe dx x eI x e  4e 1 1  1 1 1
m  4, n  1, p  3, q  2.
Khi đó T m n p q  4 1 3  2  10. m
Bài tập 7. Tìm số thực m  1 thỏa mãn ln x   1 dx  m. 1 A. m  2e. B. m  e. C. 2 m  e . D. m  e 1. Hướng dẫn giải Chọn B m m m A  ln x   1 dx  ln xdx  dx   1 1 1 m I  ln xdx 1  1 u  ln x du  dx Đặt    x dv  dx v  x m m  I  x ln x  dx  1 1   m m e
A  x ln x  m ln m  m  . 1  m  0 k
Bài tập 8. Đặt I  ln dx, e
k nguyên dương. Ta có I e  2 khi: k 1 x k
A. k 1;  2 .
B. k 2;  3 . C. k 4;  1 . D. k 3;  4 . Hướng dẫn giải Chọn A k  1 u   ln du   dx ek e  Đặt  x   xI  .l x n + dx e
k   I e  2 k      1 ln 1 k  1  x  dv dx v x 1    e   e 3 2
1 ln k 1  e  2  ln k   ln k  1 e 1 e 1
Do k nguyên dương nên k 1;  2 . 1
Bài tập 9. Tìm m để      xe x m dx e. 0 A. m  0. B. m  e. C. m  1. D. m  e. Hướng dẫn giải Chọn C Đặt u  x  m du  dx    x x dv  e dx v  e 1 1  I  e
 x mdx  e x m1  e dx  e  x  m  1 x x x x 1  me  m 1 0 0 0 0
Mặt khác: I  e  me  m 1  e  me   1  e 1  m  1.
Dạng 4: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. Phương pháp b
Bài toán: Tính tích phân I g  xdx a
( với g ( x ) là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối) PP chung:
Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên  ; a b
Dựa vào dấu để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách)
Tính mỗi tích phân thành phần. b
Đặc biệt: Tính tích phân I f (x) dx a Cách giải Cách 1:
+) Cho f (x)  0 tìm nghiệm trên  ; a b
+) Xét dấu của f ( x) trên  ;
a b, dựa vào dấu của f (x) để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng
( sử dụng tính chất 3 để tách)
+) Tính mỗi tích phân thành phần. Cách 2:
+) Cho f (x)  0 tìm nghiệm trên  ;
a b giả sử các nghiệm đó là x ; x ;...x 1 2 n
( với x x  ...  x ). 1 2 n 1 x 2 x 3 x b Khi đó I
f (x) dx
f (x) dx
f (x) dx  ...  f (x) d     x a 1 x 2 x n x 1 x 2 x 3 x b
I f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx  ...  f (x)d     x a 1 x 2 x n x
+) Tính mỗi tích phân thành phần 2. Bài tập 2 Bài tập 1: 2 a           a S x x 2 dx , a, b
, là phân số tối giản. Giá trị a b bằng b b 1  A. 11. B. 25. C. 100. D. 50. Hướng dẫn giải Chọn A            2 2 2  3 2  2 2 x x S x x 2 dx x x 2 dx     2x  3 2  1  1    1   8 4   1 1  9       4       2    3 2   3 2  2  Bài tập 2: I  1  sin 2xdx  a a , * a    . Hỏi 3 a là bao nhiêu? 0 A. 27. B. 64. C. 125. D. 8. Hướng dẫn giải Chọn D    Ta có:     2 1 sin 2x sin x cos x
 sin x  cos x  2 sin x    .  4      Với 3 x  0;   x    ; .     4  4 4         + Với x    ;0   thì sin x     0 4  4   4        + Với 3 x   0;   thì sin x     0 4  4   4   4         I   2 sin x  dx  2 sin x  dx        2 2.  4   4  0  4 5 2  2 1 Chọn 3: Biết  d  4  ln 2  ln 5,  x I x a b
với a, b là các số nguyên. Giá trị S a b bằng x 1 A. 9. B. 11. C. 5. D. 3.  Hướng dẫn giải Chọn B 5 2 5 2 x  2 1 2 x  2 1 2 x  2 1 Ta có: I  dx  dx  dx    x x x 1 1 2 2 22  x 5 1 2 x  2 1 2 5  2x 5 2x  3  dx dx dx dx     1 2 x x x x 1 2 2  5 5   3    x dx  2  dx       
5ln x x2 2x3ln x 5 1 2 1 2  x   x  a  8
 8ln 2 3ln5  4  
a b  11. b   3  2
Bài tập 4: Cho tích phân 1  cos 2xdx  
ab và a  b  2  2 2. Giá trị của a và b lần lượt là 0 a   2  A.    . B. a 2 2  . b  2 2 b  2   a  2   a  2 C. a 2 2 a 2 2    . D.    . b  2 b  2 2 b  2 b  2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2  2 1  cos 2xdx  2 sin x dx  2 sin xdx     2  sin xdx 0 0 0   2   2 cos x  2 cos x  4 2. 0  ab  4 2   a  2 2        a 2 2 X 2 2 2 X  4 2  0     . a  b  2  2 2 b  2 b  2 2 1  1 
Bài tập 5: Tính tích phân I x x - a dx, a  0 
ta được kết quả I f (a) . Khi đó tổng f (8)  f    2  0 có giá trị bằng: A. 2 4 . B. 9 1 . C. 17 . D. 2 9 1 2 4 2 17 Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 3 2  x ax a 1 8 1 11
TH1: Nếu a  1 khi đó I   x
 xadx  
    f (8)     3 2  2 3 2 3 3 0 0 a 1
TH 2: Nếu 0  a  1 khi đó I   x
 x adx x
 x adx 0 a a 1 3 2 3 2 3  x ax   x ax a a 1  1  1 1 1 1         f            3 2   3 2  3 2 3  2  24 4 3 8 0 a  1  11 1 91
Khi đó f (8)  f      .  2 3 8 24 1 2
Bài tập 6: Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa  f 2xdx  2 và  f 6xdx 14 . Giá trị 0 0 2
f 5 x  2dx bằng 2  A. 30. B. 32. C. 34. D. 36. Lời giải Chọn B 1 + Xét f
 2xdx  2. 0
Đặt u  2x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x 1 u  2 . 1 2 1 2 Nên 2  f
 2xdx f
 udu f
 udu  4. 2 0 0 0 2 + Xét f
 6xdx 14 . 0
Đặt v  6x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v 12 . 2 12 1 12 Nên 14  f
 6xdx f
 vdv f
 vdv  84. 6 0 0 0 2 0 2 + Xét f
 5 x  2dx f
 5 x  2dx f
 5 x  2dx . 2 2 0 0 Tính I
f 5 x  2 dx . 1    2
Đặt t  5 x 2. Khi 2
  x  0 , t  5x  2  dt  5  dx ; x  2
  t 12 ; x  0  t  2. 2 1  12 2   I f t dt 1  1  f
 tdt f  t  84  4  . 1    dt 16 5  5 5 12  0 0  2
Tính I f 5 x  2 dx . 1    0
Đặt t  5 x 2.
Khi 0  x  2, t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2. 12 1 12 2   I f t dt 1  1  f
 tdt f  t  84  4  . 2    dt 16 5  5 5 2  0 0  2 Vậy f
 5 x 2dx  32. 2  2 4
Bài tập 7: Cho hàm số y f x liên tục trên 0;4 và  f xdx 1;  f xdx  3. Giá trị 0 0 1
f  3x1dx bằng 1 A. 4. B. 2. C. 4 . D. 1. 3 Hướng dẫn giải Chọn C 1
f  3x 1  1/3 1 dx
f 1 3xdx f 3x      1 dx . 1  1 1/3 1/3 1 1  
f   x   x 1 1 3 d 1 3  f 3x   1 d 3x     1 . 3 3 1 1/3 0 2 1   f  t 1 dt f
 tdt 1     1 4 3  .1  . 3 3 3 3 3 4 0 3  24 3 Bài tập 8. 4 2   4  3  .  a S y y dy
Giá tị A  2B bằng b  3 A. 80. B. 83. C. 142. D. 79. Hướng dẫn giải Chọn C 4 2     2   2 y 4y 3 y 1 y  3 Xét dấu  2   2 y 1 y  3 , ta có: y ‐∞ ‐ 3 ‐1 1 3 +∞ y2‐1 + + 0 ‐ + + y2‐3 + 0 ‐ ‐ 0 ‐ 0 + (y2‐1)(y2‐3) + 0 ‐ 0 ‐ 0 ‐ 0 + 3
S   4  4y   1  y  3 2 4 4 2 dy  y  4y  3 dy   3  3 1     y  4y  3 1
dy   y  4y  3 3 4 2 4 2 dy     4 2 y  4y  3dy  3 1  1 1 1 3  5 3   5 3   5 3 y 4y y 4y y 4y      3y     3y     3y  5 3   5 3   5 3         3 1 1 112  24 3  . 15 1 Bài tập 9. 2 a           a S 4x 4x 1dx , a, b
, là phân số tối giản. Giá trị a  4b bằng b b 0 A. 1. B. 3. C. 35. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn D 1 1
Ta có: I   2x  2   7 1 dx 2x 1 dx  0 0 1 1 1 2 1 2 1  I            . 7 2x 1 dx 2x 1 dx 2x 1 dx    1 2x 1 dx 2x 1dx 2 0 0 1 0 1 2 2 Suy ra: a  1,b  2. 2 Bài tập 10. I  1  sin xdx  A B  , biết A  2B Giá trị 3 3 A  B bằng 0 A. 72. B. 8. C. 65. D. 35. Hướng dẫn giải Chọn A 2      Ta có: x x x x x 1  sin x  sin  cos  sin  cos  2 sin       2 2  2 2  2 4      Với x x 5 x  0; 2   0;     ;       . 2 2 4  4 4         + Với x   ;    thì x sin     0 2 4  4   2 4         + Với x 5   ;   thì x sin     0 2 4  4   2 4  3 2 2  x    x    I  2 sin  dx  2 sin  dx        4 2 .  2 4   2 4  0 3 2  2
Bài tập 11. Cho tích phân 2 1 3 sin 2  2cos  3  .  x xdx a
b Giá trị A a b  4 bằng 0 A. 2. B. 5 . C. 5. D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn D   2 4 2 2 I  1  3 sin 2x  2 2 cos xdx 
sinx 3cosx dx sinx    3 cos x dx . 0 0 0 
sin x  3 cos x  0  tan x  3  x    k . 3     Do x0;  nên x  .  2  3     3 2 3 2 I  sin x  3 cos x dx  sin x  3 cos x dx   
sinx  3cosxdx  sinx  3cosxdx 0  0  3 3     3   
 2  1  3     1  3 cos x 3 sin x cos x 3 sin x 1 3  3   3. 0 2 2 2 2 3
 a  1; b  3  A  8
Dạng 5: Tính tích phân các hàm đặc biệt, hàm ẩn
1. Phương pháp giải
a. Cho hàm số f x liên tục trên  ; a a. 1 2  x
Bài tập 1: Tích phân I  cos . x ln dx  bằng 2  x Khi đó 1  a a A. 1.  B. f
 xdx   f
 x f xdx  (1) 2. a 0 C. 0. D. 1. Chứng minh
Hướng dẫn giải a 0 a Ta có f
 xdx f
 xdx f
 xd .xx
Hàm số f x 2  cos . x ln xác định và liên tục aa 0 2  x 0 Xét I f
 xd .x
Đổi biến trên đoạn  1  ;  1 . a Mặt khác, với x   1;   1  x  1;   1 và x t
  dx  dt. 2  x 2  x
Đổi cận x  a t a; x  0  t  0
f x  cosx.ln  cos . x ln
  f x. 2  x 2  x Khi đó  x
Do đó hàm số f x 2  cos . x ln là hàm số lẻ. 0 a a 2  x I f
 tdt  f
 tdt f  xdx a 0 0 1 2  x Vậy I  cos . x ln dx  0  .
Do đó (1) được chứng minh. 2  x 1  Đặc biệt
Chọn C.
+ Nếu f x là hàm số lẻ thì ta có
Bài tập 2: Cho y f x là hàm số chẵn, liên tục a trên đoạn  6;  6. f
 xdx  0 (1.1). a 2 3 Biết rằng f
 xdx  8 và f   2
xdx  3.
+ Nếu f x là hàm số chẵn thì ta có 1 1 6 a a f
 xdx  2 f
 xdx (1.2) Tính f
 xd .x 1 a 0 A. I  11. B. I  5.
+ Nếu f x là hàm số chẵn thì ta cũng có C. I  2. D. I  14. a f x 1 a
Hướng dẫn giải dx f x dx   0  b  1 x   1 b 2 aa
Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên (1.3). đoạn  6;  6 ta có Chứng minh (1.3): 3 3 a f xf   2
xdx  3  f
 2xdx  3 Đặt A dx  (*). 1 xb 1 1 a 1
Đổi biến x t
  dx  dt.
F 2x 3 3. 2 1
Đổi cận x  a t  ;
a x a t  a 6 a f   1 a t b . f t
Do đó F 6  F 2  6 hay f
 xdx  6. Khi đó A  dt dt  2   t     . 1 b 1 tb aa 6 2 6
Vậy I   f xdx   f xdx   f xdx 14. 1  1  2 a x
b . f x
Chọn D. Hay A dx  (**). 1 xb 1 2020 a x
Bài tập 3: Tích phân I dx  có giá trị là x Suy ra e 1 1 a a 2020 2 A f  x 1 2 dx A f
 xd .x A. I  0. B. I  . 2 2019 aa 2021 2 2019 2 C. I  . D. I  . 2021 2019
Hướng dẫn giải
Áp dụng bài toán (1.3) ở cột bên trái cho hàm số   2020 f x x
và b e ta có Ta có 1 2021 1 2021 2021 1 x 2.2 2 2020 I x dx    I  .  2 2021 1 2021 2021 1 
Chọn C.
b. Nếu f x liên tục trên đoạn  ; a b thì
Bài tập 4: Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa điều b b
kiện f x  f x  2cos x, với x    . f
 xdx f
 a bxdx a a  2
Hệ quả: hàm số f x liên tục trên 0; 
1 , khi đó: Giá trị của N f
 xdx là   2   2 2 A. N  1.  B. N  0. f
 sin xdxf
 cos xdx 0 0 C. N 1. D. N  2.
Hướng dẫn giải   2 2 Ta có N f
 xdx f  xdx     2 2   2 2 Suy ra 2N   f
  x f xdx  2cos xd .x       2 2  2  Vậy 2
N  2 cos xdx  2sin x  2.  0 0
Chọn D.
Bài tập 5: Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa
mãn f x  f 2  x  x2  x, x   .  2
Giá trị tích phân G f
 xdx là 0 1 A. G  2. B. G  . 2 2 1
c. Nếu f x liên tục trên đoạn  ; a b và C. G  . D. G  . 3 3
f a b x  f x thì
Hướng dẫn giải 2 2 b b    a b Ta có G f
 xdx f
 2 xdx xf x dx f  xdx 2 0 0 a a 2 2
Suy ra 2G   f
 x f xdx x
 2 xdx 0 0 2 1 2 Vậy G x
 2 xdx  . 2 3 0
Chọn C.
Bài tập 6: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1 đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  0,  f
 x 2 dx  7  và 0 1 1 1 2 x f
xdx  . Tích phân f xdx  bằng 3 0 0 7 A. . B. 1. 5 7 C. . D. 4. 4
d. Nếu f x liên tục trên đoạn  ;
a b và Hướng dẫn giải
du f x dx b u
  f x   
f x  0 với x
 a;b thì f
 xdx  0 và Đặt   3  2 x     a dv x dx v  3 b f
 xdx  0 khi f x  0. 1 3 1 1 x f x 1 Ta có 2  x f x   3 dx   x f   xdx a 3 0 3 0 0 1 1 1 1 3   x . f   x 3
dx   x . f  
xdx  1. 3 3 0 0 1
Cách 1: Ta có  f
 x 2 dx  7  (1). 0 1 7 1 1 x 1 1 6 6 x dx
  49x dx  .49  7   (2). 7 0 7 7 0 0 1 1 3 x . f   x 3
dx  1 14x . f  
xdx  14 (3). 0 0
Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra 1 1 1  f '  x 2 6 3
dx  49x dx  14x . f     xdx  0 0 0 0 1   f  x 2 3
 7x dx  0.   0 1 2 2
Do  f  x 3
 7x   0   f   x 3
 7x dx  0     . Mà 0 1  f   x 2 3
 7x dx  0  f x 3  7x .   0 4   7x f x    C. 4 Mà f   7 7
1  0    C  0  C  . 4 4 4 7x 7
Do đó f x    . 4 4 1 1 4  7x 7  7 Vậy f
 xdx    dx   .  4 4  5 0 0
Một số kĩ thuật giải tích phân hàm ẩn
Loại 1: Biểu thức tích phân đưa về dạng: u(x) f '(x)+u '(x) f (x)= h(x) Cách giải:
+ Ta có u(x) f (x)+ u (x) f (x)= éu(x) f (x) ' ' ' ù ë û
+ Do đó u(x) f (x)+ u (x) f (x)= h(x)  éu(x) f (x) ' ' ' ù = h(x) ë û
Suy ra u(x) f (x)= ò h(x)dx
Suy ra được f (x)
Loại 2: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f '(x)+ f (x)= h(x) Cách giải: '
+ Nhân hai vế với x x  . '( ) x + . ( ) x = . ( ) é x  . ( )ù x e e f x e f x e h x
e f x = e .h(x) êë úû Suy ra x. ( ) x
e f x = ò e h(x)dx
Suy ra được f (x)
Loại 3: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f '(x)- f (x)= h(x) Cách giải: '
+ Nhân hai vế với -x -x  . '( ) -x + . ( ) -x = . ( ) é -x  . ( )ù -x e e f x e f x e h x e
f x = e .h(x) êë úû Suy ra -x. ( ) -x e
f x = ò e h(x)dx
Suy ra được f (x)
Loại 4: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f '(x)+ p(x) f (x)= h(x) Cách giải: ( p x)dx eò f '(x) ( p x) . dx eò p(x) ( p x) . dx eò
. f (x) h(x) ( p x) . dx eò  + = + Nhân hai vế với ' é ù  f (x) ( p x)dx p x dx .eò = h(x) ( ) .eò ê ú ê ú ë û Suy ra ( ) ( p x)dx ( p x)dx f x .eò eò = ò .h(x)dx
Suy ra được f (x) b b
Công thức f (x)dx f (a b x)dx   a a 2. Bài tập
Bài tập 1: Cho số thực a  0. Giả sử hàm số f x liên tục và luôn dương trên đoạn 0;a thỏa mãn a 1
f x. f a x 1. Giá trị tích phân I dx  là 1 f x 0   2a a a A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . a 3 2 3
Hướng dẫn giải Chọn B.
Đặt t a x dt  d .
x Đổi cận x  0  t a; x a t  0. a 1 a 1 a 1 a f x Khi đó I dt dx dx d .     x 1 f a t 1 f a x 1 1 f x 0   0   0 0   1 f xa 1 a   a f xa 2I dx
dx  1.dx  . a    Vậy I  . 1 f x 1 f x 2 0   0   0
Ta có thể chọn hàm số f x 1, với mọi x 0;a thỏa mãn yêu cầu đề bài. a 1 a 1 a Khi đó I dx dx  .   1 f x 2 2 0   0
Bài tập 2: Cho hàm số f x liên tục trên  1;  
1 và    2019   x f x
f x e , x   1   ;1 . Tích phân 1 M f
 xdx bằng 1  2 e 1 2 e 1 2 e 1 A. . B. . C. . D. 0. 2019e e 2020e
Hướng dẫn giải
Chọn C. 1 1 Ta có M f
 xdx f  x . dx 1  1 1 1 1
Do đó 2020M  2019 f
 xdxf
 xdx   f
  x2019 f x . dx  1  1  1  1 2 1 e x 1 Suy ra M e dx  .  2020 2020e 1 b b
Nếu f x liên tục trên đoạn  ;
a b thì f xdx    f
 a bxdx a a
Bài tập 3. Cho f x là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f x  f x  2  2cos 2x . 3 2
Giá trị tích phân P f
 xdx là 3  2 A. P  3. B. P  4. C. P  6. D. P  8.
Hướng dẫn giải
Chọn C. 3 3 2 2 Ta có P
f xdx f    xdx 3 3   2 2 3 3 3 2 2 2  2P   f
  x f xdx
2  2cos 2xdx  4 sin x . dx    3 3 0   2 2 3  2  3 Hay 2
P  2 sin xdx  2 sin xdx  2  cosx  2cos x  6.   0 0  
Bài tập 4: Cho f x là hàm số liên tục trên  thỏa mãn f x  f  x  sin x với mọi x và
f 0 1. Tích phân e . f   bằng e 1 e 1 e  3  1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có f x  f  x  sin x nên x   x    x e f x
e f x e .sin x, x   .    x      x
e f x   e .sin x xx   hay e f
x dx e .sin xdx    0 0   x     1 x e f x   e x
x  ef    f   1 sin cos 0  e       1 0 2 0 2  
ef   e 3  . 2
Để ý rằng x  x e
e nên nếu nhân thêm hai vế của f x  f x  sin x với x e thì ta sẽ có ngay
x.   x e f xe .sin . x    
Bài tập 5: Cho hàm số f x tuần hoàn với chu kì và có đạo hàm liên tục thỏa mãn f  0 , 2    2       f
  x 2 dx   và f
 x.cos xdx  . Giá trị của f 2019 .  4  4 2 2 1 A. 1.  B. 0. C. . D. 1. 2
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có      f
 x.cos xdx   f x.sin x  f      
 x.sin x . dx Suy ra f
 x.sin xdx .   4 2  2 2 2   1 cos 2x
2x  sin 2x    Mặt khác 2 sin xdx dx   .   2  4      4 2 2 2 Suy ra     2 2 2 2  f
 x 2 dx 2 sin xf   
xdx  sin xdx  0   f    x 2 2
 sin xdx  0.  0 0 0 0    
f  x  sin .
x Do đó f x  cos x C. Vì f  0   nên C  0.  2 
Ta được f x  cos x f 2019   cos2019   1. 
Bài tập 6: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 , thoả mãn     2018 3 f x xf x x với 1 mọi x 0; 
1 . Tính I f  xdx . 0 1 1 A. I  . B. I  . 2018 2021 2019  2020 1 1 C. I  . D. I  . 2019  2021 2018 2019 Hướng dẫn giải Chọn C
Từ giả thiết f x  xf  x 2018 3  x , nhân hai vế cho 2 x ta được 2 x f x 3
x f x 2020 3  x
 x f x  2020 3   x .   2021 x Suy ra 3 x f x 2020  x dx   C.  2021 2018 x
Thay x  0 vào hai vế ta được C  0  f x  . 2021 1 1 1 1 1 1 1 Vậy f  x 2018 2019 dx x dx  . x  .  2021 2021 2019 2021 2019 0 0 0
Bài tập 7: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;4, thỏa mãn       x f x f x e 2x 1
với mọi x 0;4. Khẳng định nào sau đây là đúng? 26 A. 4
e f 4  f 0  . B. 4
e f 4  f 0  3 . e 3 C. 4
e f    f   4 4 0  e 1. D. 4
e f 4  f 0  3. Lời giải Chọn A Nhân hai vế cho x
e để thu được đạo hàm đúng, ta được x   x    x e f x e f x
x   e f x / ' 2 1   2x 1.   x 1
Suy ra e f x  2x 1dx  
2x  1 2x 1C. 3 26 Vậy 4
e f 4  f 0  . 3
Bài tập 8: Cho hàm số f x có đạo hàm trên , thỏa mãn      2017 2018 ' 2018  2018 x f x f x x e với
mọi x   và f 0  2018. Giá trị f   1 bằng A. 201  8 2018e . B. 2018 2017e . C. 2018 2018e . D. 2018 2019e . Lời giải Chọn D
Nhân hai vế cho 2018x e
để thu được đạo hàm đúng, ta được 
f  x 2018x e
f x 2018x 2017 ex
  f x 2018x 2017 2018 2018 e   2018x .  
Suy ra f x 2018x 2017 2018 e
 2018x dx xC. 
Thay x  0 vào hai vế ta được       2018   2018 2018 2018 x C f x x e . Vậy f   2018 1  2019e .
Bài tập 9: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn     2 2 x f x xf x xe    và f 0  2
 . Giá trị f   1 bằng 1 2 2 A. . e B. . C. . D.  . e e e Hướng dẫn giải Chọn C 2 x Nhân hai vế cho 2
e để thu được đạo hàm đúng, ta được 2 2 2 2  2 x x x x x     f  x 2
e f x 2 2 2 xe xe
 e f x 2 2   2xe .   2 2 2 x x x   Suy ra 2 e f x 2 2
 2xe dx  2eC. 
Thay x  0 vào hai vế ta được   2 0 2 x C f x e     .  2 Vậy f   1 1  2e   . e
Bài tập 10: Xét hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0; 
1 và thỏa mãn 2 f (x)  3 f (1 x)  1 x . Tích 1
phân f (x)dx  bằng 0 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 15 5 Hướng dẫn giải Chọn C
Ta có: 2 f (x)  3 f (1 x)  1 x (1) .
Đặt t  1 x , thay vào (1) , ta được: 2 f (1 t)  3 f (t)  t hay 2 f (1 x)  3 f (x)  x (2) . 3 2
Từ (1) & (2) , ta được: f (x)  x  1 x . 5 5 1 1 1 3 2
Do đó, ta có: f (x) dx   x dx  1 x dx   2 4   2  . 5 5 5 15 15 0 0 0 b b
Cách 2. Công thức f (x)dx f (a b x)dx   a a 1 1 1
Lấy tích phân 2 vế ta được 2 f (x)dx  3 f (1 x)dx  1 x dx    0 0 0 1 1 2 2
5 f (x)dx   f (x)dx  .   3 15 0 0 x ax b
Chú ý: Ta có thể dùng công thức . 2 f
 ax b 2 dx f
xdx Khi đó:  1 x a 1 x b 1 1 1
Từ 2 f x  3 f 1 x  1 x suy ra: 2 f
 xdx 3 f
 1 xdx  1 xdx  0 0 0 1 1 2 1 2  2 f  x 0 dx  3 f  x 1 dx
1 xdx  5 f x dx   f x dx  .        0 1 0 0 0 3 15 2 2 1     1     a I f t dt f x dx  . 2 2 2 1 1 2
Bài tập 11: Cho y  f x là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn .  6;  6 Biết rằng f  xdx 8 và 1  3 6 f   2
 xdx  3. Giá trị  f xdx bằng 1 1 A. 1. B. e. C. 1.  D. 14. Hướng dẫn giải Chọn D 3 3
Ta có y  f x là hàm số chẵn nên f 2x  f 2x suy ra f   2  xdx  f  2xdx  3. 1 1 3 3 6 6 Mặt khác:    1       1 f 2x dx f 2x d 2x  f
 xdx  3 fxdx  6. 2 2 1 1 2 2 6 2 6 Vậy I  f  xdx  f
 xdx  f xdx  86 14. 1  1  2 k x 1 1
Bài tập 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để 2x   1 dx  4 lim . x0 x 1 k 1 k 1 k  1  k  1  A. . B. . C. . D. .     k  2 k  2  k  2  k  2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 k k k 1 2x 1 2k 1 1 Ta có 2x   1 dx  2x   1 d 2x       1      2 4 1 4 4 1 1  x1 1 x1   1 x 1 1 1 Mà 4 lim   4lim  4lim  2 x0 x0 x x  x 1   x0 1 x 1 1 2 k x 1 1 2k 1 1 k  2 Khi đó 2x     1 dx  4lim   2  2k  2 1  9  .  x0 x 4 k  1  1 f
 x.f a  x  1
Bài tập 13: Cho f x là hàm liên tục trên đoạn 0;a thỏa mãn  và f  x  0, x  0;a a dx ba 
, trong đó b, c là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó b  c có giá  b 1 f x c c 0  
trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. 11;22. B. 0;9. C. 7;2  1 . D. 2017;2020. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận
x  0  t  a; x  a  t  0 a 0 a a a dx dt dx dx f xdx Lúc đó I           1 f x 1 f a  t 1 f a  x 1 1 f x 0   a   0   0 0   1 f x a a dx f x a dx Suy ra 2I  I  I    1dx  a    1 f x 1 f x 0   0   0 1 Do đó
I  a  b 1; c  2  b  c  3. 2 Cách 2: Chọn f x  1 là
một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được 1
I  a  b  1; c  2  b  c  3. 2  9 f x  2
Bài tập 14: Cho hàm số f x liên tục trên  và dx  4, 
f sin xcos d
x x  2. Giá trị của x 1 0 3
tích phân  f xdx bằng 0 A. 2 . B. 6 . C. 4 . D. . 10 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 9 f x   Xét dx  4. Đặt
t x t x suy ra  2 , 2 d t t  d . x x 1
x 1 t 1 Đổi cận  .
x  9  t  3 9 f x  3 3 Suy ra 4  dx  2 f
 t2dt f
 tdt  2. x 1 1 1  2  Xét f  sin xcos d
x x  2. Đặt u  sin x, suy ra du  cos d x . x 0
x  0  u  0   2 1 Đổi cận   . Suy ra 2  f  sin xcos d x x f  tdt. x   u 1  2 0 0 3 1 3 Vậy I f
 xdx f
 xdx f
 xdx  4.. 0 0 1  4 1 2 x f x
Bài tập 15: Cho hàm số
f x liên tục trên  và f  tan x   dx  4,
dx  2. Giá trị của  2x 1 0 0 1
tích phân I   f xdx bằng 0 A. I  6 . B. I  2 . C. I  3 . D. . I 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A  4 Xét f
 tan xdx  4. 0 1 dt Đặt
t  tan x, suy ra dt  dx   2
tan x 1 dx  dx  . 2  2 cos x 1 t
x  0  t  0   4 1 1 f t f x Đổi cận:   . Khi đó 4  f  tan x     dx  dt  d . x   x   t 1  2 2 t 1 x 1  4 0 0 0 1 1 1 2 f x x f x
Từ đó suy ra I f  x     dx  dx  dx  4  2  6.   2 2 x 1 x 1 0 0 0  4
Bài tập 16: Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa mãn tan . x f   2 cos xdx 1, 0 2 e f  2 ln x 2 2 
dx  1. Giá trị của tích phân  d bằng   f x I x x ln x x e 1 4 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. . 4 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  4 ● Xét A  tan . x f   2
cos xdx 1. Đặt 2 t  cos . x 0 Suy ra dt 2
dt  2sin x cos d
x x  2cos x tan d x x  2  t.tan d x x   tan d x x   . 2t
x  0  t 1  Đổi cận:   1 . x   t   4 2 1 2 1 f t  1 1 f t 1 1 f x 1 f x Khi đó 1  A   dt  dt  dx  dx  2.     2 t 2 t 2 x x 1 1 1 1 2 2 2 2 e f  2 ln x ● Xét B  dx  1. Đặt  2 u  ln . x x ln x e 2 2 ln x 2ln x 2u dx du Suy ra du  dx  dx  dx   . x x ln x x ln x x ln x 2u
x e u 1 Đổi cận:  . 2
x e u  4 4 1 f u 4 1 f x 4 f x Khi đó 1  B  du  dx  dx  2.    2 u 2 x x 1 1 1 2 f 2x
● Xét tích phân cần tính I  d . xx 1 2  1 dx  dv   1 1 
x   v  Đặt v  2x, suy ra 2  . Đổi cận:  4 2 . vx
x  2  v  4  2 4 f v 4 f x 1 f x 4 f x Khi đó I  dv  dx  dx  dx  2  2  4.     v x x x 1 1 1 1 2 2 2
Bài tập 17: Cho hàm số
f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2. Biết f 0 1 và  3 2 2
x  3x f x     2 2 4 2 x x f x f x e   
với mọi x 0;2. Giá trị tích phân I  dx bằng  f x 0   14 A.  32 . B.  16 . C.  16 . D. .  3 5 3 5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Từ giả thiết
f xf 2  x 2 2 x 4 x x2  e
 f 2  1.  3 2 u   x  3x 3 2 2
x  3x f 'x du     2
3x  6xdx Ta có I  d . x Đặt   f ' x   . f x dv  dx
v  ln f x 0   f x   Khi đó I   3 2 x  3x  2 2
ln f x   2
3x  6xln f x dx 0 0 f 2 1  2
  3 2x  2xln f x dx  3  J. 0 2 0 x2t
Ta có J  x  2xln f x dx    2t2 2
 22  t ln f 2  t d2  t   0 2 0 2  
 2 x2 22 xln f 2 x d2 x   2x 2xln f 2 x d .x   2 0 Suy ra 2
2J  x  2x 2 2
ln f x dx   2x  2xln f 2 x dx 0 0 2
  2x  2xln f xf 2 x dx 0 2   x x 32 16 2 x  2x 2 2 2 4 ln e
dx   2x  2x 2
2x  4xdx   J  . 15 15 0 0 16 Vậy
I  3J   . 5    
Bài tập 18: Cho hàm số y f x liên tục trên  ;
và thỏa mãn 2 f x  f x  cos . x Giá  2 2     2
trị của tích phân I   f xdx bằng   2 A. I  2  2 . B. I  3 . C. I  . D. I  2 . 3 2 Hướng dẫn giải ĐÁN ÁN B
Từ giả thiết, thay x bằng  x ta được
2 f x  f x  cos . x Do đó ta có hệ 2 f
x  f x  cos x 4 f
x 2 f x  2cos x     f x 1  x 2 f
x f x  cos x f
  x  2 f x cos .  cos x 3   2 2 1 1  2 Khi đó I f  x 2 dx  cos d x x  sin x  .  3 3     3 2   2 2 1   
Bài tập 19: Cho hàm số f x liên tục trên
; 2 và thỏa mãn f x 1  2 f  3 . x   Giá trị của 2     x  2   tích phân  d bằng f x I x x 1 2 1 3 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1  1  3
Từ giả thiết, thay x bằng ta được f  2 f   x  . xx x Do đó ta có hệ       f   x 1  fx f     x 1 2 3  2 f  3x     x    x       f x 2   . x   1      f x 3  f x 1 6 x f 2 4  2 f       x x      x x 2 f x 2 2  2   2  3 Khi đó I dx
1 dx    x  .   2    1 xx   x  2 1 1 2 2 2  1   1 
Cách khác. Từ f x  2 f  3x f  
x  3x  2 f .    x   x    1    1  f f 2 f x 2     2 2    x   x  Khi đó I  dx  3  2
dx  3 dx  2 d . x     xxx 1 1 1 1   2 2 2 2    1  f 2    x  1 1 Xét J  d . x Đặt  , suy ra  1 t 2 dt   dx t
 dx  dx   dt. x x 2 2 x t 1 2  1
x   t  2  Đổi cận: 2  . 1
x  2  t   2 1 2 2 2  1  f t f x Khi đó J tf  t      dt  dt  dx I.    2   t t x 2 1 1 2 2 2 2 3 Vậy .
I  3 dx  2I I  dx  .   2 1 1 2 2
Bài tập 20: Cho hàm số
f x thỏa mãn  f    x 2   f
xf  x 4 .
 15x 12x với mọi x   và
f 0  f 0 1. Giá trị của 2 f   1 bằng 5 9 A. . B. . C. 8. D. 10. 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Nhận thấy được  f   x 2   f
x.f x   f
  x. f x      . 
Do đó giả thiết tương đương với  f
  xf  x  4 .  15x 12 . x
Suy ra f x. f  x   4 15x 12x 5 2
f 0 f 0 1  .
dx  3x  6x C  C 1
f xf x 5 2 .
 3x  6x 1 2 6  f
 xf xx   f x x 5 2 x x     3 . d 3 6 1 dx  
 2x x C '. 2 2 2 f 0 1
Thay x  0 vào hai vế ta được
C '  C '  . 2 2 Vậy 2 f x 6 3 2
x  4x  2x 1 f   1  8.
Bài tập 22: Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn f x 4 tan  cos x, x   . Giá trị 1
I   f xdx bằng 0 2   2    A. . B. 1. C. . D. . 8 4 4 Hướng dẫn giải ĐAP ÁN A 2   f tan x 1 4
 cos x  f tan x   2   tan x 1 1   1 2    f x   f x dx   2    2   8 x 1 0
Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân 1. Phương pháp
Áp dụng các bất đẳng thức: b b
+ Nếu f x liên tục trên  ; a b thì f
 xdx f  xdx a a b
+ Nếu f x liên tục trên  ;
a b và m f x  M thì mb a  f
 xdx M baa 2 b b b   + Nếu
f x, g x liên tục trên  ;
a b thì  f
 xgx 2 dx   f  x 2 d . x g
 xdx dấu "  " xẩy  aa a
ra khi và chỉ khi f x  k.g x . + Bất đẳng thức AM-GM 2. Bài tập 1 2
Bài tập 1: Cho hàm số f x có
đạo hàm liên tục trên 0; 
1 , thỏa mãn f   1  0 ,  f
 x dx  7  0 1 1 1 và 2
x f xdx  . Giá trị phân  f xdx bằng 3 0 0 7 7 A. 1. B. . C. . D. 4 . 5 4 Hướng dẫn giải Chọn B 1 3 1 1 x 1
Dùng tích phân từng phần ta có 2 x f  xdx f x 3  x f ' 
xd .x Kết hợp với giả thiết 3 0 3 0 0 1 f   1  0 , ta suy ra 3 x f ' 
xdx  1. 0 2 1 1 1 7 1   2 2 x Theo Holder   3 1   x f '  x 6 dx   x d . x f ' 
 x dx  .7  1.  7 0  0  0 0 1
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f x 3 '  kx , thay vào 3 x f ' 
xdx  1 ta được k  7.  0 7
Suy ra f x 3 '  7
x f 'x 3  7x , x  0;  1  f x 4   x C 4 1 f   1 0 7
C   f x 7 7 7 4
  x   f
 xdx  . 4 4 4 5 0 1 11
Bài tập 2: Cho hàm số f x có
đạo hàm liên tục trên 0; 
1 , thỏa mãn f   1  1, 5  d   x f x x 78 0 1 
f x  f x 4 d  . f 2 và Giá trị bằng 13 0 251 256 261 A. 2. B. . C. . D. . 7 7 7 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 1 1 1  2    2 1 4 4 Theo Holder 6     x f   x 12 dx   x d . x f  
 x dx  .  . 13    13 13 169  0  0 0  f x 6
x f x 2 7 f   1 1  5 2
x C C  . 7 7 2 5 261 Vậy f x 7
x   f 2  . 7 7 7
Bài tập 3: Cho hàm số f x có
đạo hàm liên tục trên 0; 
1 , thỏa mãn f  
1  2, f 0  0 và 1 1  f
 x 2 dx  4.Tích phân 3 
f x2018xd .x bằng    0 0 A. 0. B. 1011. C. 2018. D. 2022. Hướng dẫn giải Chọn B 2 1 1 1   2 Theo Holder 2 2   f '
 xdx  d .x f '
  x dx 1.4  4.   0  0 0
f x   f xf 00 ' 2
 2x C C  0. 1 Vậy f x 3  2x   f
 x 2018xdx 1011.   0
Bài tập 4: Cho hàm số
f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f  x liên tục trên 0;  1 , thỏa mãn 1 1 dx 2 f   1  ef 0 và
  f x  dx  2. Mệnh đề nào sau đây đúng?   2   f x 0     0 e 2 e  2 A. f   2 1  . B. f     1  . e 1 e 1 2 2e 2 e  2 C. f   1  . D. f     1  . 2 e 1 e 1 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 1   AMGM dx 2 1 2 f ' x Ta có
  f ' x  dx     
  f ' x     dx  2 dx  2 f x   2 f x f x 0 0 0         0   1  f x  f    f   f   1 2 ln 2 ln 1 2ln 0  2ln  2ln e  2. f 0 0   1 1 dx 2 1 Mà
  f ' x  dx  2 nên dấu
 xảy ra, tức là f ' x 
f x f ' x 1   '' '' 2 f x   f x     0     0 2     f x f x f ' x   dx  d x x
x C f
x  2x  2C. 2 1
Theo giả thiết f  
1  ef 0 nên ta có 2
2  2C e 2C  2  2C e 2C C  2 e 1 2    2 2 2e f x  2x   f 1  2   . 2   2 2 e 1 e 1 e 1
Bài tập 5: Cho hàm số
f x nhận giá trị dương trên 0; 
1 , có đạo hàm dương và liên tục trên 0;  1 , 1 1 1 3
thỏa mãn f 0  1 và  3
f x4 f     x 
 dx  3 f  
 x 2f xd .x Giá trị I   f xdx bằng   0 0 0 e 1 2 e 1
A. 2 e   1 . B.  2 2 e   1 . C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A
Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương ta có 3 3   f x f x f x  4  f '   x 3   4  f '    x 3 3         2 2 3 3 f x f x  3 4  f '   x 3      . .  3 f '  x 2 3 f x. 2 2 1 1 3 Suy ra 3  f
 x 4 f '   x    dx  3 f ' 
 x 2f xd .x   0 0 1 1 3 Mà 3  f
 x 4 f '   x    dx  3 f ' 
 x 2f xdx nên dấu ''  '' xảy ra, tức là   0 0 3 3  f   x 3 f xf x     f  x 1 4 ' '  f x 2 2 2 f ' x 1 f ' x 1 1 1 xC 2    dx
dx  ln f x x C f x e .   f x 2 f x     2 2 1 1 x Theo giả thiết
f 0 1 C  0  f x 2
e f xdx  2 e   1. 0 
Bài tập 6: Cho hàm số f x có
đạo hàm liên tục trên 0; , thỏa mãn 
f xsin d x x  1  và 0  2  2
f xdx  . Giá trị tích phân  xf xdx bằng  0 0 6 4 A.  4 . B.  2 . C. . D. .     Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 2    2  Theo Holder  2 1  f  x 2 cos d x x f  x 2 dx cos d x x  .  1.   2 0 0 0    f x 2  x xf  x 2x cos x 4 cos dx  dx   .     0 0 1 2 2 
Bài tập 7: Cho hàm số f x có
đạo hàm liên tục trên 0;  1 , thỏa t f   1  0,  f   x  dx  và  8 0 1    1  x   f x 1 cos
dx  . Giá trị của ích phân  f xdx bằng  2  2 0 0 1 2  A. . B. . C. . D.  .   2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Theo Holder 2 2 1 1 1 2       x     x        sin f '
   xdx  sin d . x f '     x 2 1 2  dx  . . 4 2 2          2 8 0 0 0         f xx    f   xx f   1 0 ' sin  cos
C C  0.   2  2   2  1   x  2 Vậy
f x  cos  f  
 xdx  .  2   0
Bài tập 8: Cho hàm số
f x nhận giá trị dương trên 0; 
1 , có đạo hàm dương liên và tục trên 0;  1 , 1    1  thỏa mãn
d  1 và f 0  1, f   2
1  e . Giá trị của f   bằng  xf x x f x  2  0   A. 1. B. 4. C. e. D. . e Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C xf ' xf ' x
Hàm dưới dấu tích phân là  x. , x
  0;1 . Điều này làm ta liên tưởng đến đạo f xf x   f ' x hàm đúng ,
muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau: f xf ' xxf ' x  mx  2 m. với m  0 và x 0;  1 . f xf x
Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho
1  f ' x 1  xf ' x 
mx dx  2 m. dxf x f x 0     0   hay 1 2 x m ln f x 1  m
 2 m.1  ln f   1  ln f 0  0 2 0 2  m 2 m  2  0   2 m. 2 m Để dấu
''  '' xảy ra thì ta cần có 2  0 
 2 m m  4. 2 f ' x Với m  4 thì đẳng thức xảy ra nên    4x f x f ' x  dx  4 d
x x  ln f x  2 x C
x C f x e .   f x     2 2 2  f  0  1 x  1  Theo giả thiết 
C  0  f x 2 2       f    e f e. 2 1  e  2  Cách 2. Theo Holder  xf ' x 2   f ' x 2 1 1 1 1  f ' x 1 f 1 2     1   dx    x. dx   d x . x dx  .ln 1.      f x   f xf x 2 f 0 0   0   0 0         f ' x 1 xf ' x
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có  kx, thay vào dx  1 ta được  k  4. f xf x 0   f ' x Suy ra  4 .
x (làm tiếp như trên) f x 1 2
Bài tập 9: Cho hàm số f x có
đạo hàm liên tục trên 0;  1 , thỏa mãn 
 f xf x dx 1 và  0  1 
f 0  1, f    1 3. Giá trị của f   bằng  2  A. 2. B. 3. C. e. D. . e Lời giải ĐÁP ÁN A
Hàm dưới dấu tích phân là  f
  xf x 2 '
 . Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng 
f xf ' x
, muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau:  f
  xf x 2 '
  m  2 m. f
xf 'x với m  0.
Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho 1  1  f
  xf ' x 2   m
dx2 m f xf 'xd .x 0 0 hay 2 f x 1 1 m  2 m.
 1 m  2 m. 2 0 Để dấu
''  '' xảy ra thì ta cần có 1 m  2 m m  1.   2
f xf ' x 1 Với m 1 thì
đẳng thức xảy ra nên  f
  xf ' x 1    .  f
  xf ' x  1  1 1 2 1 1 f x
f xf ' x  1   f
 xf 'x  
dx   dx   x  1  1  . (vô lý)  2 0 0 0 0 2 f x
f xf ' x  1 f
 xf 'x   dx  dx
x C f
x  2x  2C. 2  f  0 1 1  1  Theo giả thiết 
C   f x  2x 1  f  2.    f    1  3 2  2  1 2 1 f x 1
Cách 2. Ta có f
 xf 'x   2 dx    f   2
1  f 0 1. 2   0 2 0 2 1 1 1   2 Theo Holder 2 1   1. f
 xf 'x 2 dx   1 d . x f
 xf 'x dx 1.11.   0  0 0 1
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f ' xf x  k, thay vào f
 xf 'xdx 1 ta được k  1. Suy ra 0
f ' xf x 1.(làm tiếp như trên)
Bài tập 10: Cho hàm số
f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f  x liên tục trên 1;2, thỏa
f x 2 2    f   f 2 f  2 mãn dx  24  và 1  1,  16. Giá trị của bằng xf x 1   A. 1. B. 2. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN Df x 2 
1  f x 2 ' '     
Hàm dưới dấu tích phân là  .
. Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng xf xx f x
f ' x , muốn vậy ta phải đánh giá theo AMGM như sau: f x  f   x 2 '  f '  x  mx  2 m với m  0 và x 1;2. xf xf x
Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho   f '   x 2 2  2  f '  x 
mxdx  2 m dx    xf x  1   1 f x   hay 2m   m f x 2 2m   
m f    f   2m 24 4 24 4 2 1   24 
12 m m 16. 3   1 3 3 m Để dấu ''  2
'' xảy ra thì ta cần có 24 
 12 m m  16. 3  f   x 2 '  f '  x Với m  16 thì đẳng thức xảy ra nên   16x   2x xf x 2 f xf ' x  dx  2 d x x f  
x  x C f x  x C2 2 2 . 2 f x  f    1  1 Theo giả thiết 
C  0  f x 4
x f  2   f    4. 2  16 2 f ' x 2 f ' x 2 Cách 2. Ta có dx  2. dx  2 f  
x  2 f 2  f   1   6. f x 2 f x   1 1 1  f ' x   f ' x   f ' x    x 2   2   2   2 2 1 2 2 2 2 Theo Holder 6   dx    x. dx   d x . x dx  .24  36.      f x   xf x  xf x 2 1 1 1 1 1     f ' xf ' x 2 f ' x
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có  k x   kx, thay vào dx  6 ta được  xf xf x 1 f xf ' xk  4. Suy ra  4 .
x (làm tiếp như trên) f x
Bài tập 11: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 , và f    f   14 1 0  . Biết 2 1
rằng 0  f  x  2 2x,x 0; 
1 . Khi đó, giá trị của tích phân  f
 x 2 dx  thuộc khoảng nào 0 sau đây? 13 14  10 13  A. 2;4 . B. ; .   C. ; .   D. 1;3.  3 3   3 3 
Hướng dẫn giải
Chọn C. 2
Do 0  f  x  2 2x, x  0; 
1 nên 0   f  x  8 , x x  0;  1 . 1 1 1 Suy ra  f   2   x 2  dx  8xdx   hay  f
 x dx  4  (1). 0 0 0
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 2 1 1 1 1    f
 xdx  1 d .x f  
 x 2 dx   f     1  f 0 2    f    x 2 2  dx   0  0 0 0 1 7    f
 x 2 dx 2  0 1 7 Vậy   f
 x 2 dx  4. 2  0