Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông Toán 12

Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

22 11 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

MỤC LỤC

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP ............................................................. 3

DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ................................. 3

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN .......................................................................................... 17

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: ............................................................................ 17

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: ............................................................................. 23

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 .............................................................................. 25

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 .............................................................................. 33

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 :............................................................................ 35

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 .............................................................................. 39

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ..................................................................................... 40

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 ..................................................... 51

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP

DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

1) Quy tắc: Nếu





u u x



và





v v x



thì

 

uv u v uv



 

  .

- Nếu

     

f x g x h x



 



 

thì













. .

f x g x h x dx





Câu 1. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên khoảng







thỏa mãn điều kiện





1 3



và













4 1, 0.

x f x f x x



    

Giá trị của





bằng

Lời giải

Chọn B

+)Từ giả thiết, ta có





















4 1 4 1

x f x f x xf x f x x

 

      

       

4 1 4 1 2 .

xf x x xf x x dx xf x x x C



 

         

 



+) Lại có













1 3 0 2 1 2 5.

f C f x x f

       

Câu 2. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên khoảng





 

và thỏa mãn đẳng thức

 

3 2

2 1

x x x

f x x f x

 



  



với mọi





1; .

  

Giá trị của





bằng





0 2 3.

f  





0 3.

f e 





0 3.

f 





0 1 3.

f  

Lời giải

Chọn A

+) Từ giả thiết, ta có

 

        

 

3 2

2 2

2 1 2 1 1

3 3

x x

x x x

f x x f x f x x x f x

x x



 

 

       

 

 

     

2 2

1 1 1

3 3

f x

x x x x x

f x f x f x

x x x

x x

 

 

 



  

 

     

  



 

       

2 2

1 1 1

. . . 3 *

1 1 1

3 3

x x x x x

f x f x dx f x x C

x x x

x x

 

 

 



  

       



  

 

+) Lại

có





thỏa mãn với mọi





1;x

  

nên thay



vào





ta có

 

Suy ra

 

. 3 2.

f x x



  



Do đó





0 2 3.

f  

Câu 3. (SỞ LẠNG SƠN 2019) Cho hàm số





f x

thỏa mãn

     

' . '' 4 2

f x f x f x x x

 

  

 

với

mọi x





và





0 0



. Giá trị của





bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta có:

         

' . '' . ' '

f x f x f x f x f x

   

 

   

. Từ giả thiết ta có:









. ' ' 4 2

f x f x x x

 

 

 

Suy ra:













3 4 2

. ' 4 2

f x f x x x dx x x C

    



. Với





0 0 0

f C

  

Nên ta có:









4 2

. '

f x f x x x

 

Suy ra:

   

 

1 1

4 2 2

0 0

8 16

. ' 1

2 15 15

f x

f x f x dx x x dx f     

 

Câu 4. (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số





f x

thỏa mãn

     

1 1 .

xf x x f x f x

 

   

  

   

với mọi

dương. Biết









1 1 1

f f



 

. Giá trị





bằng





2 2ln2 2

 

. B.





2 2ln2 2

 

. C.





2 ln2 1

 

. D.





2 ln2 1

 

Lời giải

Chọn B

Ta có:

     

1 1 . " ; 0

xf x x f x f x x



   

   

   

     

2 2

. ' 1 1 . "

x f x x f x f x

   

   

   

     

' 1 . "

f x f x f x

 

   

 

         

2 '

2 2

1 1

' . " 1 . ' 1f x f x f x f x f x

x x

   

      

   

Do đó:

       

1 1

. ' .d 1 .d . ' .

f x f x x x f x f x x c

x x

 

 

     

 

 

 

 

Vì









1 1

1 ' 1 1 1 2 1.

f f c c

       

Nên

   

. ' .d 1 .d

f x f x x x x

 

  

 

 

 

   

 

.d 1 .d

f x f x x x

 

   

 

 

 





ln .

2 2

f x

x x c

    

Vì

 

2 2

1 1

1 1 1 1.

2 2

f c c

      

Vậy





 

ln 1 2 2ln 2 2

2 2

f x

x x f

      

Câu 5. (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên





0;1

thỏa mãn









2018

3 . ( ) 0;1

f x x f x x x



   

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

 

f x x



2018.2020

. B.

2019.2020

. C.

2020.2021

. D.

2019.2021

Lời giải

Chọn D

Xét hàm số:

   

2021

g x x f x 

trên





0;1

Ta có:





















2 3 2020 2 2018

3 . 3 . ( ) 0 0;1

g x x f x x f x x x f x x f x x x

  

 

        

 

Do đó





g x

là hàm số không giảm trên





0;1

, suy ra













0 0;1

g x g x  

Hay

 

 

 

 

2021 2018

. 0, 0;1 0, 0;1

2021 2021

x x

x f x x f x x        

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy:

 

1 1

2018

0 0

d d

2021 2019.2021

f x x x 

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

 

2018

2021

f x 

2) Quy tắc: Nếu





u u x



và





v v x



thì

u u v uv

v v



 



 



 

 

với



- Nếu

 

f x

h x

g x



 



 

 

thì





 

f x

h x dx

g x





Hệ quả: Nếu





u u x



thì

u u





 



 

 

với



- Nếu

 

g x

f x



 



 

 

thì

 

g x dx

f x





Câu 6. (ĐỀ THTP QUỐC GIA NĂM 2018 – MÃ ĐỀ 101) Cho hàm số





f x

thỏa mãn

 

 

và

   

2 , .

f x x f x x



 

  

 



Giá trị của





bằng

 B.



 D.



Lời giải

Chọn B

+)Ta có

   

 

   

1 1

2 2 2 2

f x

f x x f x x x xdx

f x f x

f x



 



 

        

 

 

 

 

 



 

x C

f x

   

+) Lại có

 

2 1 1 1 2

2 1 .

9 2 2 3

f C x f

f x

           

Câu 7. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên

khoảng





 

thỏa mãn









x f x f x



 

và





f x







0;x

   

. Tính





biết





1 e







2 e



. B.





2 e

f 

. C.





2 2e

f 

. D.





2 e

f 

Lời giải

Chọn D

Ta có





f x







0;x

   







f x



không có nghiệm trên khoảng





 







f x



không có nghiệm trên khoảng





1;2











1 . 2 0

f f







1;2

x 

Mà





1 e 0

 

nên





2 0



Do đó









x f x f x



 







 

f x

x f x



  .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Suy ra





 

2 2

1 1

d d

f x

x x

x f x



 

 



 

f x

  



   

 

1 ln 2 ln 1

f f

 

    

 

 



 

ln 2 lne

 

  

 



 

ln 2 1

  



 

ln 2





 

2 e e

f   .

Câu 8. Cho hàm số





f x

thỏa mãn

 



và

   

f x xf x



 



 

với mọi x





. Giá trị





bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

+) Từ giả thiết, ta có

 

     

2 2 2

1 1

f x

x x x dx C

f x f x f x



 

         

 

 



+) Lại có

 

   

 

1 10 1 10 1 2 3

1 2 .

3 3 3 2 3 2

f C f

f x f

 

        

Câu 9. (QUỲNH LƯU LẦN 1) Cho hàm số





f x

thỏa mãn các điều kiện





1 2







0, 0

f x x

  

và





   





2 2

1 ' 1

x f x f x x 

  

 

với mọi



. Giá trị của





bằng

. B.



. C.



. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có

 

   

 





 

 

2 2

1 ' 1 1;2 (*)

f x

x f x f x x x

f x



 

      

 

 



 

Lấy tích phân 2 vế (*) trên





1;2

ta được

 

2 2 2

1 1 1

1 1

d d d

f x

x x x

f x



   

   



 



 

 

  

     

1 1 1 1 1

2 1 2 2

f f f

 



 

 

        

 



 

 



 

1 1 2 1 5

2 2 5 2 2

       

Câu 10. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;2

và thỏa mãn

 

 

và





















3 2 2

2 , 1;2 .

f x xf x x x f x x



     Giá trị của tích phân

 

xf x dx



bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

ln .

ln3.

Lời giải

Chọn B

+) Từ giả thiết, ta có

   

 









 

3 2 2

2 2 1

f x xf x

f x xf x x x f x x

xf x







     

 

 

   

 

1 1 1

2 1 2 1 .

x x dx x x C

xf x xf x xf x



 

            

 

 



+) Lại có

   

 

2 2

1 1

1 1 1

1 0

2 1 1

f C xf x xf x dx dx

x x x x



        

 

 

1 1 1 3

ln ln .

1 4

x x x



 

   

 



 



Câu 11. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

đồng thời thỏa mãn





0 9





và

   

9 9

f x f x x

 

 

  

 

. Tính









1 0

T f f 

2 9ln 2

 

. B.



. C.

9ln2

T   . D.

2 9ln2

 

Lời giải

Chọn C

Ta có

   

9 9

f x f x x

 

 

  

 

 





 

9 1

f x f x x

 

 

    

 





 

f x

f x x





  



 



 

Lấy nguyên hàm hai vế





 

d d

f x

x x

f x x





 

 



 

 

 

f x x

  









0 9





nên



suy ra

 

f x x



 



 

f x x



  



Vậy

   

1 0 d

T f f x x

 

   

 



 



9ln 1

 

  

 

 

9ln2

 

Câu 12. Cho hàm số





f x



thỏa mãn điều kiện













2 3

f x x f x



 

và

 

 

. Biết rằng

tổng

         

1 2 3 ... 2017 2018

f f f f f

     

với





,a b



 

 

và

là phân số tối giản.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

. B.



. C.

1010

a b

 

. D.

3029

b a

 

Lời giải

Chọn D

Ta có













2 3

f x x f x



 





 

2 3

f x



  





 

d 2 3 d

f x

x x x

f x



  

 

 

x x C

f x

    

. Vì

 

0 2

f C

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy

 

  

1 1 1

1 2 2 1

f x

x x x x

   

   

Do đó

         

1 1 1009

1 2 3 ... 2017 2018

2020 2 2020

f f f f f         .

Vậy

1009

 

;

2020



. Do đó

3029

b a

 

Câu 13. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;2

thỏa mãn





1 2



và





















1 2 , 1;2 .

f x x f x xf x x



    

Giá trị của

 

f x dx



bằng

1 ln2.



1 ln2.



ln2.

 D.

ln2.



Lời giải

Chọn D

+) Từ giả thiết, ta có

       













 

1 2 2

f x x f x

f x x f x xf x x

f x



 



    

     

1 1 1

2 2 .

x x x

x xdx x C

f x f x f x



 

  

      

 

 



+) Lại có

     

2 2

1 1

1 1 1 1

1 2 0

f C f x f x dx dx

x x x x

 

        

 

 

 

2 2

1 1

ln ln2.

1 1

   

Câu 14. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn

 



và

     

f x f x f x

 

 



  với mọi





0;1

x

. Tính diện tích

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số





y f x



, trục hoành và hai đường thẳng

0; 1.

x x

 

ln2.

ln .

ln12.

ln .

Lời giải

Chọn B

+) Ta có

     









 









 

2 2

x x

f x f x e f x e f x

f x f x f x e

f x f x

 

 

   

   

 

 



     

 

   

 

   

x x

x x x x

e dx e

e f x e f x

e e C

f x f x

f x

 



 

 

 





      



+) Lại có

 

0 2 2

3 2

x x

e e

f C e f x

f x e

       



+) Do đó

 

ln2

ln 2 ln4 ln3 ln .

2 3

S dx e

     





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 15. Cho hàm số





f x

xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng







thỏa mãn





1 2



và













1, 0.

x f x x f x x



    

Giá trị của





f e

bằng

e e



e e



Lời giải

Chọn B

+) Từ giả thiết, ta có





















1 1

x f x x f x xf x f x x

 

      

           

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1

xf x f x xf x x f x f x

x x

x x x x x x

 

 

 



 

 

      





f x

x C

   

+) Lại có

 





   

2 2

1 1.

1 2 0

f x

x f x x f e e

x x

f C

       

   

Câu 16. (PHAN ĐÌNH TÙNG HÀ TĨNH) Cho hàm số





y f x



xác định và liên tục trên





\ 0 ,



biết





. 1, 0;

x f x x

   





1 2

 

và

 





   

. 1 . 0

x f x x f x f x



   

với





\ 0 .

x 



Tính

 

d .

f x x





. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn A

Ta có

           

2 2

. 1 . 0 . 1 .

x f x x f x f x x f x x f x f x

 

   

       

   









 

. 1

x f x f x

x f x





 

 



 

(do





. 1, 0

x f x x

   

   

1 1

. 1 . 1

x C

x f x x f x



 

 

    

 

 

 





1 2

 

nên

 

1 1 1 0

1 1

C C C



      



Do đó

 

   

2 2

1 1 1 1

. 1

x x f x x f x

x f x x x x

  

         



Suy ra

 

11 1

1 1 1 1

d d ln 2.

e e

f x x x x

x x x e

   

      

   

   

 

Câu 17. (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng

(1; )



và thỏa mãn





( ) 2 ( ) ln ( )

xf x f x x x f x



  

(1; )

  

; biết





f e e



. Giá trị

(2)

thuộc khoảng nào dưới đây?

12;

 

 

 

. B.

13;

 

 

 

. C.

;12 .

 

 

 

14;

 

 

 

Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn C

Vì

(1; )

 

nên ta có





2 4

( ) 2 ( ) ln ( )

x f x xf x x x xf x



  

4 3

( ) 2 ( ) ( )

ln 1

x f x xf x f x

x x

 



  

 

 

2 3

( ) ( )

ln 1

f x f x

x x



 

  

 

 

2 3

( ) ( )

ln d 1 d

f x f x

x x x

x x



   

  

   

   

 

2 3 3

( )ln ( ) ( )

d d

f x x f x f x

x x x C

x x x

    

 

( )lnf x x

x C

  





( )ln

( )

x x C

f x x

x C f x

x x



    

Theo bài ra

 

3 0 ( )=

f e e C f x

   

Do đó

8 23

(2) = ;12 .

ln 2 2

 



 

 

Câu 18. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên khoảng





0;1

và





f x







0;1

x 

. Biết rằng

f a

 



 

 

f b

 



 

 

và









2 4

x xf x f x



  





0;1

x 

. Tính tích phân

 

sin .cos 2sin 2

sin

x x x

I x

f x









theo

và

a b



 .

b a



 .

b a



 .

a b



 .

Lời giải

Chọn D





0;1

x 

ta có:









2 4

x xf x f x



  









4 2

x f x xf x



   









2 2

4 2

x x xf x x f x



   

 









 

2 2

xf x x f x

x x

f x f x







 

   

2 2

4x x x

f x f x



 



 

 

 

Tính

   

2 2

3 3

2 2

6 6

sin .cos 2sin 2 sin .cos 4sin .cos

d d

sin sin

x x x x x x x

I x x

f x f x

 

 

 

 

Đặt

sin d cos d

t x t x x

  

, đổi cận

6 2

x t



  

3 2

x t



  

Ta có

 

t t

I t

f t







 

f t



 

 

   

 

   

 

 

3 1 3

4 4 4

a b

b a ab



   .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 19. (NAM TIỀN HẢI THÁI BÌNH LẦN 1) Cho hàm số





f x



có đạo hàm liên tục trên



 

 

 

, đồng thời thỏa mãn





0 0





;





0 1



và

   

 

cos

f x

f x f x f x

 

 

 

 

 

 

.Tính

T f









 

 



. B.

T 

. C.

T 

. D.



Lời giải

Chọn D

Ta có

   

 

     

 

2 2

cos cos

f x f x f x

f x

f x f x f x

x f x x

 

 



 

 

 

     

 

 

 

tan

cos

f x f x

x C

f x x f x



  

     

 

 

. Vì





 

0 0

0 1

















nên



Do đó





 

tan

f x



  . Suy ra

 

3 3 3

0 0 0

(cos )

tan . ln lncos

cos

d f x

d x

x dx f x x

f x x

  



    

  

 

1 1

ln ln 0 ln ln1

3 2 3 2

f f f

 

   

     

   

   

3) Quy tắc: Nếu





u u x



thì

 



 với



- Nếu

   

f x h x



 



 

thì

   

f x h x dx





Câu 20. Cho hàm số





f x

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn

   

f x f x



 ,





0;1

x 

và





0 1.



Giá trị của tích phân

 

f x dx



bằng

Lời giải

Chọn D

+) Từ giả thiết, ta có

   





 





   

2 1 1

f x

f x f x f x f x dx f x x C

f x



         



+) Lại có

           

1 1

2 2 3

0 0

1 7

0 1 1 1 1 1 .

3 3

f C f x x f x dx x dx x

           

 

Câu 21. Cho hàm số





f x

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





0 1



và

   

16 . 0

f x x f x

 

 



 

với mọi





0;1 .

x

Giá trị của tích phân

 

I f x dx





bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông



Lời giải

Chọn A

+) Từ giả thiết, ta có

   

 

2 2

16 . 4

f x

f x x f x x

f x

 

 

 

 



    

     

2 2

x xdx x C

f x f x f x

 

    

 



 



+) Lại có

   

 

1 1

2 2

0 0

1 1

0 1 1

xf C f x I f x dx x dx         

 

Câu 22. Cho hàm số





y f x

 

xác định, có đạo hàm trên đoạn





0;1

và thỏa mãn:

   

1 2018 dt

g x f t

 











g x f x



. Tính

 

g x x



1011

. B.

1009

. C.

2019

. D.

505

Lời giải

Chọn A

Ta có

   

1 2018 dt

g x f t

 



     

2018 2018

g x f x g x



  





 

2018

g x



 





 

0 0

d 2018 d

t t

g x

x x

g x



 

 

 





2 2018

g x x

 

 





2 1 2018

g t t

   (do





0 1



)

 

1009 1

g t t

  

 

1009 1011

2 2

g t t t

 

   

 

 



Câu 23. Cho hàm số





f x

đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn





1;4

thỏa mãn





1 1



và

     

 

, 1;4

4 xf x xf x f x

 

 

 



  . Tính diện tích

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x



, trục hoành và hai đường thẳng

1, 4.

x x

 

4 2ln2.



4 2ln2.



4 ln2.



4 ln2.



Lời giải

Chọn B

+) Ta có

   

 

   





 

   





 

2 2

4 1

4 4

f x xf x f x xf x

f x xf x f x

f x xf x x

 

 



     

   

 

     

 

1 1 1 1

2 2 2

xf x

f x xf x x f x xf x

xf x

x x x x

xf x xf x xf x





 

 



      

   

2 .

xf x dx xf x x C

    



+) Lại có

     





2 1

1 1 1 2 1 .

f C xf x x f x



        

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

+) Do đó





4 4

1 1

2 1

4 4 4

4 1

4 4 8 ln 4 2ln2.

1 1 1

S dx dx x x x

x x



 

        

 

 

 

Câu 24. Cho hàm số

liên tục,





f x

 





0 0



và thỏa

   

1 2 1

f x x x f x



  

. Tính





. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có

   





 

1 2 1

f x

f x x x f x

f x



    







 

   

3 3

0 0

d d 1 1 1 1

f x

x x f x x f x

f x



        



 





 









3 1 0 1 1 3 1 2 3 3

f f f f

         

Câu 25. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;4

, đồng biến trên đoạn





1;4

và thỏa

mãn đẳng thức





2 .

x x f x



 

f x



 



 





1;4

x 

. Biết rằng

 



, tính

 

I f x x





1186

I  . B.

1174

I  . C.

1222

I  . D.

1201

I  .

Lời giải

Chọn A

Ta có





2 .

x x f x



 

f x



 



 

   

. 1 2

x f x f x



  





 

1 2

f x



 







1;4

x 

Suy ra





 

d d

1 2

f x

x x x C

f x



 



 





 

d d

1 2

f x

x x x C

f x

  



 

 

1 2

f x x C

   

. Mà

 



 

. Vậy

 

2 4

3 3

f x

 

 

 

 

 .

Vậy

 

1186

I f x x 



Câu 26. (LÝ NHÂN TÔNG) Cho hàm số





f x

liên tục không âm trên



 

 

 

, thỏa mãn

     

. cos 1

f x f x x f x



  với mọi



 



 

 

và





0 3

f 

. Giá trị của



 

 

 

bằng

. B.

. C.

2 2

. D.

Lời giải

Chọn C

Với



 



 

 

ta có

     









 

2 .

. cos 1 cos *

2 1

f x f x

f x f x x f x x

f x



   



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Suy ra

 

1 sin

f x x C

  

Ta có





0 3 2

f C

  

, dẫn đến

   

sin 2 1

f x x

  

. Vậy

2 2



 



 

 

4) Quy tắc: Nếu





u u x



thì

 

. ;

u u

e u e





- Nếu

 

f x

e g x





thì









f x

e g x dx





Câu 27. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





0 1



và

 





. 0;1

2 ,

f x x

f x e x x

 



   . Giá trị của

 

f x dx



bằng



Lời giải

Chọn A

+) Ta có

 

   

 

2 2

1 1

. .2 2 2

f x x f x f x

x x

f x e f x e e

x xe xe

 

 



 

   

   

2 2

1 1

f x f x

x x

e dx e C

xe e

 

    



+) Lại có

 

1 2

0 1 0

f x

e f x xf C e



   

   

+) Do vậy

 

1 1

2 3

0 0

1 4

1 .

3 3

f x dx x dx x x

 

    

 

 

 

Câu 28. (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho





f x

có đạo hàm trên



và thỏa mãn

 

3 2

3 . 0

f x x

f x e

f x

 



 

với mọi x





. Biết





0 1



, tính tích phân

 

. d

I x f x x







. B.

I  . C.



. D.



Lời giải

Chọn B

Ta có

 

3 2

3 . 0

f x x

f x e

f x

 



 

 

3 .

f x

e x

f x





 

   

 

2 1

3 . . 2 .

f x

f x f x e x e





 

 

f x

e e





 

 

f x

e e C



   .

Thế



vào





ta được

e e C C

   

Do đó

 

   

1 3 2 3 2

1 1

f x

e e f x x f x x



      

Vậy

   

 

37 7

3 2 2 2

0 0

1 1

1d 1 d 1 .

2 2

I x x x x x



     

 

 

2 3 2

1 1

x x  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

3 45

. 16 1

8 8

   .

Câu 29. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



thỏa mãn





0 0



và

 





1 1 , .

f x

f x e e x



    



Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x



, trục

hoành và hai đường thẳng

1, 3.

x x

 

Lời giải

Chọn A

+) Ta có

 

   

 

1 1 1 1

f x f x f x

x x x

f x e e f x f x e e f x e e



 

  

          

 









f x

f x e x e C

    

+) Lại có













0 0 0 .

f x

f C

f x e x e

   

  

Xét hàm số





g t t e

 

với









1 0,

g t e t



    



nên





g t

đồng biến trên



Suy ra













f x

f x e x e f x x

    

Do đó

S xdx x

  



Câu 30. (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số

( )

y f x



liên tục và có đạo hàm trên



thỏa

mãn

3 2

2 ( ) 2 1

3 ( ). '( ) 4 1 (0).

f x x x

f x f x xe f

   

   Biết rằng

1 4089

(4 1) ( )d

I x f x x

 

  



là phân số tối

giản. Tính

T a b

 

6123.



12279.



6125.



12273.



Lời giải

Chọn D

Ta có:

3 2

2 ( ) 2 1

3 ( ). '( ) 4 1 (0)

f x x x

f x f x xe f

   

  

3 3 2 2

3 ( ) ( ) 2 1 2 1

( ( ))' (4 1).

f x f x x x x x

f x e e x e e

   

    

 

3 3

2 2

3 2 2 1 2 1

2 1 .

f x x f x x

x x

f x x e x e e e C

 

 



 

      

 

Mà





0 1 0

f C

  





3 2

2 1

f x x x

   

3 2 3 2

( ) 2 1 ( ) 2 1

f x x x f x x x

       

1 4089

12285

(4 1) ( )d

I x f x x

 

   



5) Quy tắc: Nếu





u u x



nhận giá trị dương trên

thì

 





trên

- Nếu

 

f x g x



 



 

thì













ln .

f x g x dx





Câu 31. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm và liên tục trên đoạn





1;1



, thỏa mãn





0,f x x

  



và









' 2 0

f x f x

 

. Biết





1 1



, tính











f e



 

. B.





f e

 

. C.





f e

 

. D.





1 3

 

Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn C

Biến đổi:

   





 





 





 

1 1 1

' '

' 2 0 2 2 4 ln 4

f x f x df x

f x f x dx dx f x

f x f x f x



  

             

  





 





 

   

4 4 4

1 1

ln 4 1 1 .

1 1

f f

e f f e e

f f



       

 

Câu 32. Cho hàm số





f x

nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên







thỏa mãn điều kiện





1 1



và









3 1, 0.

f x f x x x



   

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?





1 5 2.

 





2 5 3.

 





4 5 5.

 





3 5 4.

 

Lời giải

Chọn D

+) Từ giải thiết, ta có

   





 

1 1

3 1 ln

3 1 3 1

f x

f x f x x f x

f x

x x



 

     

 

 

   

1 2

ln ln 3 1 .

3 1

f x dx f x x C

     





+) Lại có

     

4 2 3 1 4

1 1 ln 5 3,79.

3 3

f C f x f e

 

        

Câu 33. Cho hàm số





f x

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





0 0



và









2 1 , .

f x x f x x



 

   

 



Giá trị của

 

xf x dx



bằng





Lời giải

Chọn A

+) Từ giải thiết, ta có

 

2 2 ln 1 2

1 1

f x

x x f x x

f x f x



 



 

 

     

 

 









ln 1 2 ln 1 .

f x xdx f x x C

   

      

   



+) Lại có

       

2 2

0 0 0 ln 1 1 1.

x x

f C f x x f x e f x e

 

           

 

+) Vậy

 

2 2

1 1

0 0

1 1

2 2 1 2.

0 0

x x

xf x dx x e dx e x e

     

 

Câu 34. Cho hàm số





f x

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;2

thỏa mãn điều kiện





1 1



và

   

 

, 1;2 .

f x f x x



   Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của hàm số





y f x



, trục hoành và hai đường thẳng

1, 2

x x

 

quay quanh trục hoành.

7 .



3 .



Lời giải

Chọn B

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

+) Từ giả thiết, ta có

   





 

1 1 1

f x

f x f x f x

x f x x x



 

    

 

   

ln ln ln .

f x dx f x x C

    



+) Lại có

     

2 2

1 1

1 1 0 .

3 3

f C f x x V f x dx x dx

 

         

 

Câu 35. (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số





f x

thỏa mãn













2 . e

f x x f x f x



 

với





f x x

 

và





0 1



. Khi đó





f bằng

e 1



. B.

e 2



. C.

e 1



. D.

e 1



Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết:













2 . e

f x x f x f x



 

, ta có













e 2

f x f x x



 





 

e 2

f x



  

(vì





f x x

 

)





 

d e 2 d

f x

x x x

f x



  

 





ln e

f x x C

   

Mà





0 1



nên

 

. Khi đó, ta được:





ln e 1

f x x

  

Thế



, ta có:





ln 1 e 2

 





e 2

1 e



  .

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1:

Cho

 

'( ). ( ) .

u x f u x dx



, tính

( ).

f x dx



. Hoặc cho

( ).

f x dx



, tính

 

'( ). ( ) .

u x f u x dx



Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến

( )

t u x



và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì

không phụ thuộc vào biến số.

Câu 36. Cho

 

d 16

f x x





. Tính

 

2 d

f x x



. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Xét tích phân

 

2 d

f x x



. Đặt 2

x t



d dt

x  . Khi



thì



; khi



thì



Do đó

   

2 4

0 0

2 d dt

f x x f t



 

 

f x x





.16



Câu 37. Cho

 

d 2

f x x





. Tính





f x

I x





bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn C

Đặt

d d

t x t x

  

; đổi cận:

1 1

x t

  

4 2

x t

  





   

4 2 2

1 1 1

d 2d 2 d 2.2 4

f x

I x f t t f t t

    

  

Câu 38. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn





d 6

f x





và

 

sin cos d 3

f x x x







. Tính

tích phân

 

I f x x





 

. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn B

Xét





d 6

f x

I x

 



, đặt

x t t

  

Đổi cận:

1 1

x t

  

;

16 4

x t

  

nên

 

2 d 6

I f t t

 



 

d 3

f t t

  





 

sin cos d 3

J f x x x



 



, đặt

sin cos d d

x u x x u

  

Đổi cận:

0 0

x u

  

;

x u



  

 

d 3

J f u u

  



Vậy

     

4 1 4

0 0 1

d d d 3 3 6

I f x x f x x f x x

     

  

Câu 39. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa

 

2 d 2

f x x





và

 

6 d 14

f x x





. Tính

 

5 2 d

f x x







. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

+ Xét

 

2 d 2

f x x





. Đặt

2 d 2d

u x u x

  

;

0 0

x u

  

;

1 2

x u

  

Nên

 

2 2 d

f x x





 

f u u





 

d 4

f u u

 



+ Xét

 

6 d 14

f x x





. Đặt

6 d 6d

v x v x

  

;

0 0

x v

  

;

2 12

x v

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Nên

 

14 6 d

f x x





 

f v v





 

d 84

f v v

 



+ Xét

 

5 2 d

f x x







   

0 2

2 0

5 2 d 5 2 d

f x x f x x



   

 

* Tính

 

5 2 d

I f x x



 



Đặt

5 2

t x

 

.Khi

2 0

  

5 2

t x

  

d 5d

t x

  

;

2 12

x t

   

;

0 2

x t

  

 

I f t t







   

12 2

0 0

d d

f t t f t t

 

 

 

 

 

 

84 4 16

  

* Tính

 

5 2 d

I f x x

 



Đặt

5 2

t x

 

.Khi

0 2

 

5 2

t x

 

d 5d

t x

 

;

2 12

x t

  

;

0 2

x t

  

 

I f t t





   

12 2

0 0

d d

f t t f t t

 

 

 

 

 

 

84 4 16

  

Vậy

 

5 2 d 32

f x x



 



Hoặc: Do hàm





5 2

f x



là hàm số chẵn nên

   

2 0

2 2

5 2 d 2 5 2 d 2.16 32

f x x f x x

 

    

 

Câu 40. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi) Cho

 

d 2

I f x x

 



. Giá trị của





sin . 3cos 1

3cos 1

x f x

J x











bằng

A. 2. B.



. C.

. D.



Lời giải

Chọn C

Đặt

3sin

3cos 1 d d

2 3cos 1

t x t x



   



Đổi cận:

0 2

x t

  

;

x t



  

Khi đó:

     

1 2 2

2 1 1

2 2 2 2 4

d d d .2

3 3 3 3 3

J f t t f t t f x x

     

  

Câu 41. Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





1;4

và thỏa mãn

 





2 1

f x



  . Tính tích

phân

 

I f x x





3 2ln 2

I  

. B.

2ln 2



. C.

ln 2



. D.

2ln2



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

f x x







2 1

f x

 



 

 

 

 







4 4

1 1

2 1

d d

f x

x x



 

 

Xét





2 1

f x

K x







Đặt

2 1

x t

 



 

 

K f t t

 



 

f x x





Xét

M x





 

ln d ln

x x





 

2ln 2

Do đó

   

4 3

1 1

d d 2ln 2

f x x f x x 

 

 

d 2ln 2

f x x 



Câu 42. Cho và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Đặt .

Ta có

Câu 43. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và thỏa mãn









f x f x

 

. Biết

 

d 5

xf x x





Tính

 

I f x x







. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn A

Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh

 

2 1 d 12

f x x

 



 

sin sin 2 d 3

f x x x







 

f x x



2 1

x t

 

 

12 d

f t



 

 

 

 



 

f t t





 

f x x





 

d 24

f x x

 



 

sin sin 2 d

f x x x





 

sin .2sin cos d

f x x x x







 

2sin . sin d sin

x f x x







   

2 2

sin d sin

f x x







 

f u u





 

d 3

f x x

 



 

f x x





   

1 3

0 1

d d 3 24 27

f x x f x x

    

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Cho hàm số





f x

liên tục trên





;

a b

và thỏa mãn điều kiện













, ;

f a b x f x x a b

   

. Khi đó

   

d d

b b

a a

a b

xf x x f x x





 

Chứng minh:

Đặt

t a b x

  

d d

x t

  

, với





;

x a b



. Đổi cận: khi

x a t b

  

; khi

x b t b

  

Ta có

       

d d d

b b a

a a b

xf x x xf a b x x a b t f t t

      

  

               

d d d d d

b b b b b

a a a a a

a b t f t t a b f t t tf t t a b f x x xf x x

        

    

         

2 d d d d

b b b b

a a a a

a b

xf x x a b f x x xf x x f x x



    

   

Áp dụng tính chất trên với







f x

liên tục trên





;

a b

và thỏa mãn









1 3

f x f x

  

Khi đó

     

3 3 3

1 1 1

1 3 5

d d d

4 2

xf x x f x x f x x



  

  

Cách 2: Đổi biến trực tiếp:

Đặt 4

t x

 

, với





1;3

x

Ta có

           

3 3 3 3 3

1 1 1 1 1

d 4 d 4 d 4 d . d

xf x x xf x x t f t t f t t t f t t

     

    

   

3 3

1 1

5 4 d 5 d

f t t f t t

    

 

Câu 44. Cho hàm số





y f x



liên tục trên đoạn





1;3

thỏa mãn













4 , 1;3

f x f x x   

và

 

d 2

xf x x

 



. Giá trị

 

f x x



bằng

. B.



. C.



. D.

Lời giải

Chọn B

Xét

( )d

I xf x x





(1).

Đặt

x t

 

, ta có

d d

x t

 

;

1 3

x t

  

3 1

x t

  

Suy ra

 

4 (4 )d

I t f t t

  



 

4 ( )d

t f t t

 



, hay

 

4 ( )

I x f x dx

 



(2).

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được

2 4 ( )

I f x dx





( ) 1

f x dx

   



Câu 45. (HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN) Cho hàm số





f x

liên tục trên



và thỏa mãn

 

tan . cos d 2

x f x x







và





d 2

f x

x x





. Tính





f x



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

 

4 4

0 0

cos

tan . cos d .sin2 d

2 cos

f x

I x f x x x x

 

 

 

Đặt

cos

x t



sin2 d d

x x t

  

Đổi cận



Khi đó

 

f t

I t

 











2 2

e e

ln ln

1 2ln

d . d

ln 2 ln

f x f x

I x x

x x x x

 

 

Đặt

x t



2ln

d d

x t

 

Đổi cận

Khi đó





f t

I t





* Tính





f x

I x





. Đặt 2

x t



x dt

  .

Đổi cận

Khi đó













4 1 4

1 1

2 2

d d d 4 4 8

f t f t f t

I t t t

t t t

     

  

Câu 46. (CHUYÊN KHTN) Cho hàm số

( )

f x

liên tục trên



thỏa mãn

0 1

( )

tan . (cos ) 6

f x

x f x dx dx



 

 

. Tính tích phân

( )

f x



A. 4 B. 6 C. 7 D. 10

Lời giải

Chọn C

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

+) Đặt

3 2

t x t x t dt dx

    

Đổi cận:

Khi đó

8 2 2

1 1 1

( ) (t) (t)

3 3 6

f x f f

dx t dt dt

x t t

  

  

(t)

 



+) Đặt

2 2

cos 2cos sin 2cos tan tan

t x dt x xdx dt x xdx xdx dt

         

Đổi cận:

Khi đó

3 4

0 1

1 (t) (t)

tan . (cos ) 6 12

f f

x f x dx dt dt

t t



    

  

+) Đặt

2 2

dx dx dt

t x dt xdx dt x

x x t

      

Đổi cận:

Khi đó

2 2 1 2

1 1 1

2 4 4

( ) 1 (t) 1 (t) 1 (t) 2 12

2 2 2 2

f x f f f

dx dt dt dt

x t t t



    

   

Câu 47. Cho hàm số





f x

liên tục trên R và

 

0 0

tan d 4; d 2

x f x

f x x x



 



 

. Tính

 

I f x x







. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn A

Từ

 

tanx d 4

f x







; Ta đặt

tan

t x



ta được





d 4

f t







Từ

 









 

1 1 1 1

2 2 2

0 0 0 0

1 1

d 2 d 2 d d 2

1 1 1

x f x

x f x f x

x x f x x x

x x x

 

     

  

   

 





1 1

0 0

d 2 d 2 4 6

f x

f x x x

     



 

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2:

Tính

 

f x dx



, biết hàm số





f x

thỏa mãn :

















. . . . .

A f x B u f u C f a b x g x



    

Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :

+ Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số

, ,

A B C

+ Nếu





f x

liên tục trên





;

a b

thì

   

b b

a a

f a b x dx f x dx

  

 

+ Với





 

u a a

u b b















thì

   

b b

a a

f x dx g x dx

A B C



 

 

+ Với





 

u a b

u b a















thì

   

b b

a a

f x dx g x dx

A B C



 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

+ Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1.

Câu 48. Cho hàm số





f x

liên tục trên





0;1

thỏa mãn

 

2 3

3 1

f x x f x

 



. Tính

 

f x x



. B.

. C.



. D.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: (Dùng công thức)

Biến đổi

 

2 3

3 1

f x x f x

 



 

2 3

2.3 .

3 1

f x x f x

   



với



 

Áp dụng công thức ta có:

 

1 1

0 0

1 6

d d 4

1 2

3 1

f x x x



 

 



 

Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)

Từ

 

2 3

3 1

f x x f x

 



 

1 1 1

2 3

0 0 0

d 2 3 d 6 d

3 1

f x x x f x x x

   



  

Đặt

3 2

3 dx

u x du x  

; Với

0 0

x u

  

và

1 1

x u

  

Khi đó

 

   

1 1 1

2 3

0 0 0

3 d d d

x f x x f u u f x x

 

  

thay vào





, ta được:

   

1 1 1

0 0 0

d 2 d 6 d

3 1

f x x f x x x

  



  

 

1 1

0 0

d 6 d 4

3 1

f x x x

  



 

Câu 49. Cho hàm số

( )

f x

liên tục trên





0;2

và thỏa mãn điều kiện









2 2

f x f x x

  

. Tính giá

trị của tích phân

 

I f x dx





 

. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn D

Cách 1:(Dùng công thức)

Với









2 2

f x f x x

  

ta có



;



, suy ra:

 

I f x dx





1 1

xdx









Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ









2 2

f x f x x

  

   

2 2 2

0 0 0

2 2

f x dx f x dx xdx

   

  



(*)

Đặt 2

u x

 

du dx

  

; Với



 

và



 

Suy ra

 

f x dx





 

f u du





 

f x dx





Thay vào (*), ta được

 

2 4

f x dx





 

f x dx

 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 50. Xét hàm số





f x

liên tục trên





1;2



và thỏa mãn













2 3

2 2 3 1 4

f x xf x f x x

     . Tính

giá trị của tích phân

 

I f x dx









. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn C

Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)

Với:

















2 3

2 2 3 1 4

f x x f x f x x

     . Ta có:

1; 1; 3

A B C

  

và

u x

 

thỏa mãn





 

1 1

2 2



  











. Khi đó áp dụng công thức có:

 

2 2

1 1

4 dx 3

1 1 3 5

I f x x

 



   

 

 

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ













2 3

2 2 3 1 4

f x xf x f x x

     .

 

   

2 2 2 2

2 3

1 1 1 1

dx 2 . 2 dx 3 1 dx 4 dx *

f x x f x f x x

   

     

   

+) Đặt

2 du 2 dx

u x x

   

; với

1 1

x u

    

và

2 2

x u

  

Khi đó

 

     

2 2 2

1 1 1

2 . 2 dx du dx 1

x f x f u f x

  

  

  

+) Đặt

1 dt dx

t x

    

; Với

1 2

x t

   

và

2 1

x t

   

Khi đó

       

2 2 2

1 1 1

1 dx dt dx 2

f x f t f x

  

  

  

Thay









1 , 2

vào





ta được:

   

2 2

1 1

5 dx 15 dx 3

f x f x

 

  

 

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3

Phương pháp:

Lần lượt đặt





t u x



và





t v x



để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn





f x

) để suy ra hàm

số





f x

(nếu





u x x



thì chỉ cần đặt một lần





t v x



Các kết quả đặc biệt:

Cho













. .

A f ax b B f ax c g x

    

với

2 2

A B



) khi đó

 

2 2

. .

x b x c

A g B g

a a

f x

A B

 

   



   



   





(*)

+ Hệ quả 1 của (*):

       









2 2

. .

A g x B g x

A f x B f x g x f x

A B

 

    



+ Hệ quả 2 của (*):

       





. .

g x

A f x B f x g x f x

A B

    



với





g x

là hàm số chẵn.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 51. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và

 

2 3

f x f x

 

 

 

 

. Tính





f x

I dx







. B.



. C.



. D.

 

Lời giải

Chọn A

Đặt,

1 1

t x

x t

  

khi đó điều kiện trở thành

   

1 3 1 3

2 2 .

f f t f x f

t t x x

   

    

   

   

Hay

 

1 6

4 2f x f

x x

 

 

 

 

, kết hợp với điều kiện

 

2 3

f x f x

 

 

 

 

. Suy ra :

 





6 2

3 3x 1

f x

x x x

     

 

2 2

1 1

2 2

2 2 3

f x

I dx dx x

x x x



   

     

   

   

 

Câu 52. (NGUYỄN DU DAK-LAK 2019) Cho hàm số





y f x



liên tục trên

 

 

 

thỏa mãn

 

f x x f x x

 

  

 

 

. Giá trị tích phân





f x

I x

x x







bằng

. B.

. C.

. D.

Lờigiải

Chọn A

+ Đặt



d d

x t

   .

+ Đổi cận:

1 1

3; 3

3 3

x t x t

     

+ Ta có

 

3 3

2 2

1 1

3 3

1 1

d . d d

1 1

f f

f x

t t

I x t t

x x t t

t t

   

   

   

   

 



  

Suy ra:

 

  

 

3 3 3 3 3

1 1 1 1 1

3 3 3 3 3

1 1

2 d d d d 1 d

1 1 1 9

f f x x f

f x x x x

x x

I x x x x x x

x x x x x x x

   



   

 

   

      

   

    

Vậy



Câu 53. Cho hàm số





y f x



liên tục trên





\ 0



và thỏa mãn

 

2 15

2 3 3

f x f

 

  

 

 

 

f x x k





. Tính

I f x

 



 

 



theo

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông



  . B.



 . C.



 . D.

45 2



 .

Lời giải

Chọn A

Đặt

t x





d d

x t

 . Đổi cận

x t

  

Khi đó

1 2

I f x

 



 

 



Mà

 

2 15

2 3 3

f x f

 

  

 

 



 

2 5 2

2 3

f f x

 

  

 

 

Nên

     

3 3 3 3

1 1 1 1

1 5 2 5 1 1

3 d d 3 d 5 3 d

2 2 3 4 3 3

I f x x x x f x x f x x

 

        

 

 

   

(*)

Đặt

u x





d d

x x

 . Đổi cận

1 3

3 9

x u

x t

  

Khi đó

 

1 45

5 d 5

9 9 9

k k

I f t t



       



Câu 54. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và thỏa mãn









2018 2 sin

f x f x x x

  

. Tính giá trị

của

 

I f x x









2019

I  . B.

1009

I  . C.

2019

I  . D.

1009

I  .

Lời giải

Chọn C

Cách 1: (Dùng công thức)

Với









2018 2 sin

f x f x x x

  

ta có

1; 2018

A B

 

Suy ra

 

I f x x









2 sin d

1 2018

x x x











2019

Casio





Đáp án C

Cách 2:

Áp dụng Hệ quả 2:













A f x Bf x g x

  

 





g x

f x

A B

 



với





g x

là hàm số chẵn.

Ta có









2018 2 sin

f x f x x x

  

 

2 sin

2019

x x

f x 

 

I f x x









sin d

2019

x x x









2019

Casio





Đáp án C

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 55. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và thỏa mãn









2018

f x f x e

  

. Tính giá trị của

 

I f x dx







2019e





. B.

2018e





. C.



. D.





Lời giải

Chọn A

Cách 1: (Dùng công thức).

Với









2018

f x f x e

  

ta có

1; 2018

A B

 

Suy ra

 

I f x dx







1 2018

e dx









2019





2019e





Cách 2: (Dùng công thức)

Áp dụng Hệ quả 1:













. .

A f x B f x g x

  

 









2 2

. .

A g x B g x

f x

A B

 

 



Ta có:









2018

f x f x e

  

 

2018

2018 1

x x

e e

f x



 



 

1 1

2018

2019.2017

x x

f x dx e e dx



 

  

 

1,164.10

2019e



 

(Casio).

Câu 56. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên



, thỏa mãn









2 2 1 12

f x f x x

  

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số





y f x



tại điểm có hoành độ bằng

là

2 2

y x

 

. B.

4 6

y x

 

. C.

2 6

y x

 

. D.

4 2

y x

 

Lời giải

Chọn D

Áp dụng kết quả

“Cho













. .

A f ax b B f ax c g x

    

(với

2 2

A B



) khi đó

 

2 2

. .g

x b x c

A g B

a a

f x

A B

 

   



   

   





”.

Ta có













2 2 1 12

f x f x x g x

   

 

2 2

2 1

x x

g g

f x



   



   



   

 



 

6 3 1

2 1

x x

 

   

Suy ra





 

1 2

1 4









 





, khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là:

4 2

y x

 

Câu 57. Cho





f x

là hàm số chẵn, liên tục trên



thỏa mãn

 

2018

f x dx 



và





g x

là hàm số

liên tục trên



thỏa mãn









g x g x

  

, x

 



. Tính tích phân

   

I f x g x dx







2018



. B.

1009

I  . C.

4036



. D.

1008



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lời giải

Chọn A

Áp dụng Hệ quả













. .

A g x B g x h x

  

 





h x

g x

A B

 



với





h x

là hàm số chẵn.

Ta có:













g x g x h x

   

 

1 1

1 1 2

g x

  



Kết hợp với điều kiện





f x

là hàm số chẵn, ta có:

     

1 1

I f x g x dx f x dx

 

 

 

 

2018

f x dx 



Chú ý: Nếu





f x

là hàm số chẵn, liên tục trên

 

   

; 2

a a

a a f x dx f x dx



  

 

Câu 58. Cho số dương

và hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn









f x f x a

  

, x

 



. Giá

trị của biểu thức

 

f x x





bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C

Đặt

        

d d d d

a a a a

x t f x x f t t f t t f x x



  

         

   

         

2 2

2 d d d 2 d 2 d

a a a a a

f x x f x f x x a x f x x a f x x a

    

 

        

     

Câu 59. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa điều kiện









2sin

f x f x x

  

. Tính

 

f x x









. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Giả sử

 

I f x x









Đặt

t x

 

d d

t x

  

, đổi cận

2 2

x t

 

   

2 2

x t

 

   

Khi đó

   

2 2

d d

I f t t f t t

 



  

 

Suy ra

   

2 d

I f x f x x





 

  

 



2sin d 0

x x





 



2 0

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 60. Cho

( )

f x

là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn









2 2cos2

f x f x x

   

. Tính tích

phân

 

I f x x











. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn C

Ta có

     

3 3

2 2

3 3

2 2

d d d

I f x x f x x f x x

 

 

  

  

Xét

 

f x x







Đặt

d d

t x t x

    

; Đổi cận:

3 3

2 2

x t

 

    ;

0 0

x t

  

Suy ra

       

3 3

0 0

2 2

3 3

0 0

2 2

d dt d d

f x x f t f t t f x x

 



      

   

Theo giả thiết ta có:

       

 

3 3

2 2

0 0

2 2cos2 d 2 2cos d

f x f x x f x f x x x x

 

        

 

   

3 3 3

2 2 2

0 0 0

d d 2 sin d

f x x f x x x x

  

   

  

   

3 3

2 2

0 0 0

d d 2 sin d 2 sin d

f x x f x x x x x x

 





   

   

Câu 61. Cho hàm số





y f x



liên tục trên R và thỏa mãn









2 2cos2

f x f x x

   

. Tính

 

I f x dx









 

. B.



. C.

 

. D.



Lời giải

 

I f x dx









(1) Đặt

t x dt dx

    

Đổi cận:

       

2 2 2

I f t dt f t dt f x dx

  



 

       

  

(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số

tích phân)

(1) + (2)

   

2 2

2 2 2cos2

I f x f x dx xdx

 

 

 

     

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

2 1 cos2

x dx





  



 

2 2 2

2 2cos 2 cos 2 cos 2sin 2 1 1 4

xdx x dx xdx x

  



  



  

 

      

   

 

Chọn D

Câu 62. Cho hàm số liên tục trên và . Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Cách 1: Ta có

Đặt , đổi cận , .

Suy ra,

Vậy

Cách 2: (Trắc nghiệm)

Chọn (Thỏa mãn giả thiết).

Khi đó

Câu 63. Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





ln2;ln2



và thỏa mãn

   

f x f x

  



Biết

 

ln2

d ln 2 ln3

f x x a b



 







;a b



. Tính

P a b

 



. B.

 

. C.

 

. D.







f x











3 2 tan

f x f x x

  

 

f x x











tan d

x x





1 d

cos





 

 

 

 



 

tan x x



 

π π

1 1

4 4

 

    

 

 

 

   

2 3 2 d

f x f x x



    

 

 



d d

t x t x

    

π π

4 4

x t

   

π π

4 4

x t

   

   

3 2 d

f x f x x



 

 

 



   

3 2 d

f t f t t



  

 

 



   

3 2 d

f x f x x



  

 

 



   

π π

4 4

π π

4 4

d d

f x x f x x

 

 

 

   

2 3 2 d

f x f x x



   

 

 



 

2 d

f x x



  



 

d 2

f x x



 











tan

f x f x x

  

 

π π π

4 4 4

π π π

4 4 4

d tan xd 1 d 2

cos 2

f x x x x



  

 

    

 

 

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lời giải

Chọn A

Gọi

 

ln2

I f x x







Đặt

t x

 



 

Đổi cận: Với

ln2

 



ln2



; Với

ln2





ln2

 

Ta được

 

ln2

I f t t



  



 

ln2

f t t



 



 

ln2

f x x



 



Khi đó ta có:

   

ln2 ln2

d d

f x x f x x

 

  

 

   

ln2

f x f x x



 

  

 



ln2

e 1









Xét

ln2

e 1







. Đặt





d e d

u x



Đổi cận: Với

ln2

 





;

ln2



 

Ta được

ln2

e 1







 

ln2

e e 1

x x









 

ln2

u u









ln2

1 1

u u



 

 

 



 



 

ln ln 1

u u  

ln 2



Vậy ta có



b a b

   

Câu 64. Xét hàm số





f x

liên tục trên





0;1

và thỏa mãn điều kiện









2 3 1 1

f x f x x x

   

Tính tích phân

 

I f x dx





 

. B.



. C.

I  . D.

I  .

Lời giải

Chọn C

Cách 1: (Dùng công thức)

Với









2 3 1 1

f x f x x x

   

ta có

2; 3

A B

 

Suy ra:

 

1 1

0 0

2 3

f x dx x xdx

 



 

 

0,05 3

Casio

  .

Áp dụng kết quả

“Cho













. .

A f ax b B f ax c g x

    

(Với

2 2

A B



) khi đó

 

2 2

. .

x b x c

A g B g

a a

f x

A B

 

   



   



   





”

Ta có:













2 3 1 1

f x f x x x g x

    

 









2 2

2 3 1

2 3

g x g x

f x

 

 







2 1 3 1

x x x x

  





Suy ra:

 





1 1

0 0

2 1 3 1

x x x x

I f x dx dx

  

 



 

 

0,05 3

Casio

  .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ









2 3 1 1

f x f x x x

   

   

1 1 1

0 0 0

2 3 1 1

f x dx f x dx x xdx

    

  

   

0,2 6

Casio

  

Đặt

u x du dx

    

; Với

0 1

x u

  

và

1 0

x u

  

Suy ra

     

1 1 1

0 0 0

f x dx f u du f x dx

  

  

thay vào







, ta được:

   

2 2

0 0

4 4

15 75

f x dx f x dx  

 

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5

Bài toán: “ Cho









f x f a b x k

  

, khi đó

 

x b a

k f x k



 





Chứng minh:

Đặt

t a b x

  

 

dt dx

f x

f t

 















và

x a t b

  

;

x b t a

  

Khi đó

 





 

f d

d d 1

b b b

a a a

x x

k f x k k f x

f t

  

 



  

 





 

f d

d 1

b b

a a

x x

k f x k k f x

  

 

 

 

1 1

x b a

k k

 



b a



  .

Câu 65. Cho hàm số





f x

liên tục và nhận giá trị dương trên





0;1

. Biết









. 1 1

f x f x

 

với





0;1

x 

. Tính giá trí

 

f x







. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

















1 1

f x f x f x f x

   





   

1 1 1

f x

f x f x



  

Xét

 

f x







Đặt

1 1

t x x t

    

d d

x t

  

. Đổi cận:

0 1

x t

  

;

1 0

x t

  

Khi đó

     





 

0 1 1 1

1 0 0 0

d d d

1 1 1 1 1 1 1

f x x

t t x

f t f t f x f x

    

      

   

Mặt khác

 





 





1 1 1 1

0 0 0 0

d 1

d d 1

1 1 1 ( )

f x x f x

x x

f x f x f t



   

  

   

hay

2 1



. Vậy



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 66. Cho hàm số





f x

liên tục trên



, ta có





f x



và









0 . 2018 1

f f x

 

. Giá trị của tích

phân

 

2018

f x







2018



. B.



1009



4016

Lời giải

Chọn C

ta có



 

2018

1 2018 0

d 1009

1 2.1

f x



 





Câu 67. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm, liên tục trên



và





f x



khi





0;5

x

Biết









. 5 1

f x f x

 

tính tích phân

 

f x









. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn C

Đặt

x t

 

d d

x t

  



 

; 5

x t



 

 





 

0 5

5 0

1 5 1

f t t

f t f t

  

  

 

(do

 

 

)

2 d 5

I t

  



 

Câu 68. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên R và





f x



khi x  [0; a] (



). Biết









. 1

f x f a x

 

, tính tích phân

 

f x









. B.

I a



. C.



. D.



Lời giải:

 

f x







(1) Đặt

t a x dt dx

    

Đổi cận:

     

0 0

1 1

1 1 1

a a

I dt dx

f a t f a t f a x

    

     

  

(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc

vào biến số tích phân)

(1) + (2)

   

1 1

I dx

f x f a x

 

  

 

  

 

 











       









   

0 0

1 1 2

1 . 2

f a x f x f a x f x

dx dx dx a

f x f a x f x f a x f a x f x

      

   

       

 

 

Chọn A

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 69. Cho





f x

là hàm liên tục trên đoạn





thỏa mãn









 

 

. 1

0, 0;

f x f a x

f x x a



 





  





và

 

x ba

f x c







trong đó

là hai số nguyên dương và

là phân số tối giản. Khi đó

b c



có giá

trị thuộc khoảng nào dưới đây?





11;22 .





0;9 .





7;21 .





2017;2020 .

Lời giải

Chọn B

Cách 1. Đặt

d d

t a x t x

    

Đổi cận

0 ; 0.

x t a x a t

     

Lúc đó

     

 





 

0 0 0 0

d d d d

1 1 1 1

a a a a

f x x

x t x x

f x f a t f a x f x

f x



    

     



    

Suy ra

 





 

0 0 0

2 1d

1 1

a a a

f x x

I I I x a

f x f x

     

 

  

Do đó

1; 2 3.

I a b c b c

      

Cách 2. Chọn





f x



là một hàm thỏa các giả thiết.

Dễ dàng tính được

1; 2 3.

I a b c b c

      

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 :

Câu 70. Cho





f x

và





g x

là hai hàm số liên tục trên





1,1



và





f x

là hàm số chẵn,





g x

là hàm

số lẻ. Biết

 

f x dx





và

 

g x dx





. Mệnh đề nào dưới đây sai?

 

f x dx







. B.

 

g x dx







   

f x g x dx



 

 

 

. D.

Lời giải

Nhớ 2 tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh:

Câu 71. Nếu hàm





f x

CHẴN thì

   

a a

f x dx f x dx





 

2. Nếu hàm





f x

LẺ thì

 

f x dx







Nếu chứng minh thì như sau:

Đặt

     

1 2

1 0 1

1 1 0

A f x dx f x dx f x dx

 

  

  



 

A f x dx







. Đặt

t x

 

dt dx

  

Đổi cận:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

       

0 1 1

1 0 0

A f t dt f t dt f x dx

       

  

(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số

tích phân)

 

f x dx





(Do





f x

là hàm chẵn









f x f x

  

)

Vậy

     

1 1 1

1 0 0

A f x dx f x dx f x dx



   

  

(1)

Đặt

     

1 2

1 0 1

1 1 0

B g x dx g x dx g x dx

 

  

  



 

B g x dx







. Đặt

t x

 

dt dx

  

Đổi cận:

       

0 1 1

1 0 0

B g t dt g t dt g x dx

       

  

(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số

tích phân)

 

g x dx

 



(Do





f x

là hàm chẵn









g x g x

   

)

Vậy

     

1 1 1

1 0 0

B g x dx g x dx g x dx



    

  

(2)

Từ (1) và (2)

Chọn B

Câu 72. Cho hàm số





y f x



là hàm lẻ và liên tục trên





4;4



biết

 

d 2

f x x



 



và

 

2 d 4

f x x

 



. Tính

 

I f x x





 

. B.

 

. C.



. D.



Lời giải

Chọn B

Cách 1: Sử dụng công thức:

   

2 2

1 1

d d

x x

f ax b x f ax x

 

 

và tính chất

 

d 0

f x x







với





f x

là hàm

số lẻ trên đoạn





;

a a



Áp dụng, ta có:



     

4 2

2 4

1 1

4 2 d d d

2 2

f x x f x x f x x

 

    

  

 

d 8

f x x



 





     

0 2

2 0

2 d

f x x f x f x



    

  

 

f x

 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Suy ra:

       

4 2 0 4

4 4 2 0

0 d d d d

f x x f x x f x x f x x



  

   

   

   





2 2

2 0

0 8 d d

f x x f x x I



    

 





0 8 0 2 6

I I

       

Cách 2: Xét tích phân

 

d 2

f x x



 



Đặt

x t

 

d dt

  

Đổi cận: khi

 

thì



; khi



thì



do đó

   

0 0

2 2

d dt

f x x f t



  

 

 

f t





 

dt 2

f t

 



 

d 2

f x x

 



Do hàm số





y f x



là hàm số lẻ nên









2 2

f x f x

  

Do đó

   

2 2

1 1

2 d 2 d

f x x f x x

  

 

 

2 d 4

f x x

  



Xét

 

2 d

f x x



Đặt 2

x t



d dt

x  .

Đổi cận: khi



thì



; khi



thì



do đó

   

2 4

1 2

2 d dt 4

f x x f t

  

 

 

dt 8

f t

  



 

d 8

f x x

  



 

I f x x





   

2 4

0 2

d d

f x x f x x

 

 

2 8 6

   

Câu 73. (SỞ ĐÀ NẴNG 2019) Cho hàm số chẵn





y f x



liên tục trên



và





d 8

1 5

f x









. Giá trị

của

 

f x x



bằng:

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

+) Ta có





8 d

1 5

f x

















0 1

1 0

2 2

d d

1 5 1 5

x x

f x f x

x x



 

 

 

. (1)

Xét





1 5

f x

I x









Đặt

t x

 

d d

t x

  

. Đổi cận:

 

 

và



 

. Khi đó





 

1 5

f t

I t



 









1 5

f t













5 2

5 1

f t









Vì





y f x



là hàm chẵn trên



nên









2 2

f t f t

 

, t

 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Do đó





5 2

5 1

f t

I t











5 2

5 1

f x







. Thay vào (1) thu được









1 1

0 0

5 2 2

8 d d

5 1 1 5

x x

f x f x

x x

 

 

 









5 1 2

5 1

f x









 

2 d

f x x







   

2 d 2 8

f x x







 

d 16

f t t





Câu 74. Cho





f x

là hàm số chẵn liên tục trong đoạn





1; 1



và

 

d 2

f x x







. Kết quả





1 e

f x

I x









bằng



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn A













1 0 1

1 2

1 1 0

d d d

1 e 1 e 1 e

x x x

f x f x f x

I x x x I I

 

    

  

  

Xét





1 e

f x

I x









Đặt

d d

x t x t

    

đổi cận:

0 0

x t

  

1 1

x t

   





 





0 1

1 0

e .

d d

1 e 1 e

t t

f x f x

I t t



  

 

 

Lại có









1 1

0 0

e . e .

d d

1 e 1 e

t x

f t f x

t x



 

 

Suy ra:

     









   

1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1

1 e .

e .

d d d d d d 1

1 e 1 e 1 e 1 e 2

x t t t

f t

f x f t f t

I x t x t f t t f t t

 



      

   

     

Câu 75. Cho





y f x



là hàm số chẵn và liên tục trên



Biết

   

1 2

0 1

d d 1

f x x f x x

 

 

. Giá trị của





3 1

f x







bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn

Ta có:





 

d d

a a

f x

x f x x







 

, với





f x

là hàm số chẵn và liên tục trên





;

a a



Áp dụng ta có:





     

2 2 1 2

2 0 0 1

d d d d 1 2 3

3 1

f x

x f x x f x x f x x



     



   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Cách 2: Do

 

f x x





 

d 1

f x x





 

d 1

f x x

 



và

 

d 2

f x x





   

1 2

0 1

d d

f x x f x x

 

 

 

d 3

f x x

 



Mặt khác





3 1

f x

















0 2

2 0

d d

3 1 3 1

x x

f x f x

x x





 

 

và





y f x



là hàm số chẵn, liên tục trên











f x f x x

    



Xét





3 1

f x

I x









. Đặt

d d

t x x t

    

Suy ra





3 1

f x

I x



 









d =

3 1

f t











d =

f t











d =

3 1

f t









3 1

f x









3 1

f x



 













0 2

2 0

d d

3 1 3 1

x x

f x f x

x x



 

 

 









2 2

0 0

d d

3 1 3 1

x x

f x f x

x x

 

 

 









3 1

f x









 

d 3

f x x





TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4

“ Cho hàm số





y f x



thỏa mãn





g f x x

 



 

và





g t

là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc nghịch

biến) trên



.Hãy tính tích phân

 

I f x dx





“

Cách giải: Đặt













y f x x g y dx g y dy



    

Đổi cận





 

x a g y a y

x b g y b y







    





    





Suy ra

   

I f x dx yg y dy





 

 

Câu 76. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn









,f x f x x x

   



. Tính

 

I f x dx







. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn D

Đặt









3 2

3 1

y f x x y y dx y dy

      

Đổi cận

0 0 0

2 2 1

x y y y



     





     





Khi đó

 

   

2 1 1

2 3

0 0 0

3 1 3

I f x dx y y dy y y dy

      

  

đáp án D

Câu 77. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn













3 2

2 3 6

f x f x f x x

  

, x

 



. Tính

tích phân

 

I f x x





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn B

Đặt





3 2

2 3 6

y f x x y y y

    





d 6 1 d

x y y y

    .

Đổi cận: với

3 2

0 2 3 6 0 0

x y y y y

      

và

3 2

5 2 3 6 5 1

x y y y y

      

Khi đó

 

1 1

0 0

d .6 1 d

I f x x y y y y

   

 

 

3 2

6 d

y y y y

   



Câu 78. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn









2 1

x f x f x

  

, x

 



. Tính

 

I f x x









. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn A

Đặt









3 2

2 1 d 3 2 d

y f x x y y x y y

          .

Đổi cận: Với

2 2 1 2 1

x y y y

         

;

1 2 1 1 0

x y y y

       

Khi đó:

 

3 2 d

I y y y

   



DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận có một

trong các tích phân sau:

( ). '( ).

u x f x dx



hoặc

'( ). ( ).

u x f x dx



Câu 79. Cho hàm số





f x

thỏa mãn

   

1 ' 10

x f x dx

 



và









2 1 0 2

f f

 

. Tính

 

I f x dx







. B.

 

. C.



. D.

 

Lời giải

Chọn B

   

1 '

A x f x dx

 



Đặt 1

u x du dx

   





dv f x dx



chọn





v f x



           

1 1 1 1

0 0 0 0

1 . 2 (1) (0) 2 10 8

A x f x f x dx f f f x dx f x dx f x dx

            

   

Câu 80. Cho hàm số





y f x



thỏa mãn





3 1 3 2, .

f x x x x

     



Tính

 

I x f x dx







. B.

. C.

. D.

1761



Lời giải

Chọn C

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 41

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt

   

u x du dx

I xf x f x dx

dv f x dx v f x

 

 

 

   

 



 

 

 



Từ

 









   

5 5 1

3 1 3 2

1 2 0

f x

f x x x

f x



 



    



 





, suy ra

 

23 .

I f x dx

 



Đặt





 

3 3

3 1

3 2

dt x dx

t x x

f t x



 



   



 





Đổi cận: Với

1 1 3 1 0

t x x x

      

và

5 3 1 5 1

t x x x

      

Khi đó

   

 

5 1

1 0

23 23 3 2 3 3

Casio

I f x dx x x dx      

 

Câu 81. (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số





y f x



với









0 1 1

f f

 

. Biết rằng

   

e d e

f x f x x a b



 

  

 





. Giá trị của biểu thức

2019 2019

a b



bằng

2018

2 1



. B.

. C.

. D.

2018

2 1



Lời giải

Chọn C

Cách 1:

Ta có

       

1 1 1

0 0 0

e d e d e d

x x x

f x f x x f x x f x x

 

 

  

   

Đặt





u f x



d e d

v x



; ta có





d d

u f x x





Khi đó,

     

1 1

0 0

e d e e d

x x x

f x x f x f x x

 

 

 

 

     

1 1

0 0

e d e d e

x x x

f x x f x x f x



 

  

 

 

         

e d e e. 1 0 e 1

x x

f x f x x f x f f

  

 

      

 



Theo đề bài

   

e d e

f x f x x a b



 

  

 

, b





suy ra



 

Do đó

 

2019

2019 2019 2019

1 1 0

a b

    

Cách 2:

Ta có

           

1 1

0 0

e d e d e e. 1 0 e 1

x x x

f x f x x f x x f x f f



    

 

      

 

   

 

Theo đề bài

   

e d e

f x f x x a b



 

  

 

, b





suy ra



 

Do đó

 

2019

2019 2019 2019

1 1 0

a b

    

Câu 82. Cho hàm số





f x

và





g x

liên tục, có đạo hàm trên



và thỏa mãn









0 . 2 0

f f

 



và













2 e

g x f x x x



 

. Tính giá trị của tích phân

   

. d

I f x g x x







ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 42

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông



. B.

e 2



. C.

. D.

2 e



Lời giải

Chọn C

Ta có













2 e

g x f x x x



 









0 2 0

g g

  

(vì









0 . 2 0

f f

 



)

   

. d

I f x g x x







   

f x g x





   

 

f x g x



   

. d

g x f x x







 

2 e d 4

x x x

   



Câu 83. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm và liên tục trên



 

 

 

thỏa mãn



 



 

 

 

d 1

cos

f x







và

 

sin .tan . d 2

x x f x x



 



 

. Tích phân

 

sin . d

x f x x







bằng:

. B.

2 3 2



. C.

1 3 2



. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

 

sin . d

I x f x x









. Đặt

   

sin d cos d

d d

u x u x x

v f x x v f x

 

 

 



 



 

 

 

   

sin . cos . d

I x f x x f x x



 



3 2

 

 

2 sin .tan . d

x x f x x



 



 



 

sin . d

cos

f x

x x



 



 

 



 

1 cos . d

cos

f x

x x



 

 

 

 



 

4 4

0 0

d cos . d

cos

f x

x x f x x

 

 

 

 

 

 

 

  

3 2

  

3 2 2





Câu 84. (THPT SƠN TÂY HÀ NỘI 2019) Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên



và thỏa mãn

 

2 4 d 8

x f x x



  



;





2 2



. Tính

 

2 d

I f x x







 

. B.

 

. C.



. D.



Lời giải

Chọn B

+ Xét

 

2 4 d 8

J x f x x



   



Đặt

u x



và

   

d 2 4 d d 2 4

v f x x f x

 



   

 

 

, ta được

d d

u x



và

 

2 4

v f x

 

   

1 1

. 2 4 2 4 d

2 2

J x f x f x x

    



   

3 1

2 2 4 d

2 2

f f x x

  



 

3 2 4 d

f x x

  



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vì



 

3 2 4 d 8

f x x

   



 

2 4 d 10

f x x

   



Đặt

2 2 4 2d 2d d d

t x t x t x

     

Đổi cận:



   

1 1

2 2

2 d 2 d 10

I f t t f x x

 

   

 

Vậy

 

TRƯỜNG HỢP RIÊNG:

Khi đề bài cho biết giá trị





f a





f b

   

. d

u x f x x h







 

f x x k



 



 

(với





u x

là một biểu

thức chứa

đã tường minh), đề tìm





f x

trước tiên ta đi tìm 2 số

 

sao cho

   

. d 0

f x u x x

 



 

  

 

, rồi suy ra









.f x u x

 



  

, sau đó nguyên hàm hai vế để tìm





f x

Câu 85. (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hàm số





y f x



liên tục trên





0;2

, thỏa các

điều kiện





2 1



và

   

2 2

0 0

d d

f x x f x x



 

 

  

. Giá trị của





f x



A. 1. B. 2. C.

. D.

Lời giải

Chọn C

Đặt









d d

u f x u f x x

v x v x







 





 

 





         

2 2 2 2

0 0 0 0

2 4

d . . d 2 . d . d 2

3 3

f x x x f x x f x x x f x x x f x x

  

          

   

Ta lại có:

1 2

4 12 3

x x

 



Do đó:

     

2 2 2 2

0 0 0 0

1 2 4 2 1

d . d d d 0

4 3 3 3 2

f x x x f x x x x f x x x

 

  

 

       

 

 

 

   

 

f x x



  

(vì

 

 

d 0 , 0;2

f x x x x

 



   

 

 



)

   

2 1 0

f x x C f C C

       

Vậy

 





2 2

1 1

1 1 1 1

d d

4 4 4 4

f x

f x x x x x

    

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 86. (CHUYÊN VINH LẦN 3) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 4



 

d 36

f x x



 



 

và

 

. d

x f x x





. Tích phân

 

f x x



bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết:

 

. d

x f x x





 

5 . d 1

x f x x

 



Đặt:

 





d d

d 5 d

u f x x

u f x

v x x

v x











 



 











Ta có:

     

1 1

2 2

0 0

5 5

5 . d . . d

2 2

I x f x x x f x x f x x



  

 

   

5 5

. 1 . d

2 2

f x f x x



 



 

10 . d

x f x x



 



, (vì





1 4



)

Mà:

 

5 . d 1

I x f x x

 



 

1 10 . d

x f x x



  



 

. d

x f x x



 



 

10 . d 36

x f x x



 



   

1 1

0 0

10 . d d

x f x x f x x

 

 

 

  

, (theo giả thiết:

 

d 36

f x x



 



 

)

   

10 . d 0

x f x f x x

 

 

 

  

 

 

 



   

10 d 0

f x x f x x

  

  

 







10 0

x f x



  





f x x



 

 

f x C

  

Với





1 4



10.1

  

 

. Khi đó:

 

10 2

3 3

f x

 

Vậy:

 

1 1

0 0

10 2

d d

3 3

f x x x

 

 

 

 

 

5 2 3

6 3 2

 

  

 

 

Câu 87. (CHUYÊN VINH LẦN 3) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;2

thỏa mãn





2 3



 

d 4

f x x



 



 

và

 

x f x x





. Tích phân

 

f x x



bằng

115

. B.

297

115

. C.

562

115

. D.

266

115

Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết:

 

x f x x





 

3 d 1

x f x x

 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Tính:

 

3 d

I x f x x





Đặt:









2 3

d d

d 3 d

u f x u f x x

v x x v x



 

 

 



 

 

 

 

Ta có:

     

2 2

2 3 3

0 0

3 d . . d

I x f x x x f x x f x x



  

 

 

24 . d

x f x x



 



, (vì





2 3



)

Mà:

 

3 d 1

I x f x x

 



 

1 24 . d

x f x x



  



 

. d 23

x f x x



 



 

. d 4

x f x x



 



   

2 2

0 0

. d d

x f x x f x x

 

 

 

  

, (theo giả thiết:

 

d 4

f x x



 



 

)

   

. d 0

x f x f x x

 

 

 

  

 

 

 



   

d 0

f x x f x x

 

 

  

 

 



 

x f x



  

 

f x x



 

 

f x x C

  

Với





2 3



  

C  .

Khi đó:

 

1 53

23 23

f x x  .

Vậy

 

2 2

0 0

1 53

d d

23 23

f x x x x

 

 

 

 

 

1 53 562

115 23 115

x x

 

  

 

 

Câu 88. (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;2

thỏa

mãn

   

1 d

x f x x

  







2 0



 

d 7

f x x



 



 

. Tính

 

I f x x







. B.

 

. C.

I   . D.

I  .

Lời giải

Chọn B

Đặt





 

d 1 d

u f x

v x x









 





ta được





 

d d

u f x x

v x











 





Khi đó

           

2 2

2 3 3

1 1

1 d 1 1 d

3 3

x f x x x f x x f x x



    

 

   

1 1

1 d

3 3

x f x x



    



   

1 d 1

x f x x



  



Xét

   

1 d 0

f x k x x

 



  

 







k 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

       

2 2 2

3 6

1 1 1

d 2 1 d 1 d 0

f x x k x f x x k x x

 

 

     

   

7 2 0

   

 

   

7 1

f x x



  

 

7 1

f x C



  





2 0



nên

 

 

7 1

4 4

f x



  

Vậy

 

1 1 d

I x x

 

  

 



 

4 5

 



 

 

 

 

Câu 89. (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm





f x

có đạo

hàm liên tục trên đoạn





1;2

thỏa mãn





2 =0

 

f x x







và

   

1 d

x f x x  



. Tính

 

I f x x





 

. B.

 

. C.



. D.

 

Lời giải

Chọn D

Xét:

   

1 d

E x f x x

 



. Đặt

 





 

d d

d 1 d

u f x x

u f x

v x x



 









 



 









 

2 2 2

2 2

1 1

1 1 1

. d d

2 2 2

x x x

E f x f x x f x x

  

 

    

 

 

2 30

f x x





   



   

1 d .

x f x x



  



Ta có:

 

1 d

x x

 



và

 

d .

f x x







Ta tìm số

để

   

 

1 d 0

f x k x x



  



   

 

     

2 2 2 2

2 2 4

1 1 1 1

1 d 0 d 2 . 1 d 1 d 0

f x k x x f x x k f x x x k x x

  

        

   

1 1 1 1

2 . . 0

45 15 5 3

k k k

     

Khi đó:

           

2 2 3

1 1 1

1 d 0 1 0 1

3 3 9

f x x x f x x f x x C

 

 

          

 

 



Mà

         

2 2

3 3

1 1

1 1 1 1 1 1

2 0 1 d 1 d

9 9 9 9 9 12

f C f x x f x x x x



 

            

 

 

 

Câu 90. (THPT NGHÈN LẦN 1) Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa

mãn





1 1



 

x f x x





và

 

f x x



 



 

. Tính tích phân

 

I f x x





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn C

Xét

 

A x f x x





. Đặt

 





d d

u f x x

u f x

v x x







 

 



 



 







     

1 1

2 2

0 0

1 1 1 1

d d

2 2 2 2 5

A f x x f x x x f x x

 

     

 

 

x f x x



 



+ Xét

   

1 1 1

2 2 4

0 0 0

d 2 d d 0

f x x k x f x x k x x

 

 

  

   





9 3 1

2 . 0 3

5 5 5

k k k

     





trở thành

   

1 1 1

2 4

0 0 0

d 6 d 9 d 0

f x x x f x x x x

 

 

  

   

 

3 d 0

f x x x



  



 

2 2

3 0 3 d 0

f x x f x x x

 

    



Do đó

 

2 2

3 d 0 3 0

f x x x f x x

 

    











2 2 3

3 3 d

f x x f x x x x C



     











1 1

f f x x

  

 

1 1

0 0

d d

I f x x x x

  

 

Câu 91. (SỞ ĐÀ NẴNG 2019) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên





1;1



và thỏa





1 0



 





 

4 8 16 8

f x f x x x



   

với mọi

thuộc





1;1



. Giá trị của

 

f x x



bằng



. B.

. C.

. D.



Lời giải

Chọn A

Cách 1.

Đặt

 

2 d

I f x x







Dùng tích phân từng phần, ta có:





d 2d

u f x

v x



















d d

2 2

u f x x

v x













 





             

1 1

2 2 2 2 d 4 1 2 2 d

I x f x x f x x f x f x x



 

 

      

 

   

2 2 d

x f x x





  



Ta có

 





 

4 8 16 8

f x f x x x



   

 

1 1

d 2 2 d

f x x f x x

 



 

 

 

8 16 8 d

x x x



  



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

     

1 1 1

d 2 2 2 d 2 2 d

f x x x f x x x x

  

 

    

  

 

1 1

8 16 8 d 2 2 d

x x x x x

 

    

 

   

2 2 d 0

f x x x





 

   

 





2 2

f x x



  





f x x x C

   

, C





Mà





1 0 3

f C

   





2 3

f x x x

   

 

1 1

0 0

d 2 3 d

f x x x x x

     

 

Cách 2.

Chọn





f x ax bx c

  







(lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai).





f x ax b



  

Ta có:

 





 

4 8 16 8

f x f x x x



   

 





2 2

2 4 8 16 8

ax b ax bx c x x

       









2 2 2 2

4 4 4 4 4 8 16 8

a a x ab b x b c x x

        

4 4 8

4 4 16

4 8

a a

ab b

b c



 



  





  









 





 



hoặc

 





 





 







1 0 0

f a b c

    

 



và

 

Vậy





2 3

f x x x

  

 

1 1

0 0

d 2 3 d

f x x x x x

     

 

Câu 92. (THUẬN-THÀNH-BẮC-NINH) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa

mãn





1 1



và

 









 

 

2 6 4 2

4 6 1 . 40 44 32 4, 0;1

f x x f x x x x x



        . Tích phân

 

f x dx



bằng?

. B.

. C.



. D.



Lời giải

Chọn B

 









 

2 6 4 2

4 6 1 . 40 44 32 4

f x x f x x x x



     

 

1 1 1

2 6 4 2

0 0 0

4 6 1 . 40 44 32 4 . 1

f x dx x f x dx x x x dx      



  

Xét

 

1 1

2 2

0 0

4 6 1 . 24 4

I x f x dx x f x dx

   

 

Đặt





 

24 4

8 4

u f x

du f x dx

dv x dx

v x x











 



 

 





 

1 1

3 3 3

0 0

8 4 . 8 4 . = 4 2 4 2 . .

I x x f x x x f x dx x x f x dx

 

      

 

Do đó:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

   

 

   

1 1 1 1

3 3 6 4 2

0 0 0 0

1 2 4 2 . 4 2 56 60 36 8 .

f x dx x x f x dx x x dx x x x dx

 

        

   

 

   

3 3 4 2

4 2 0 4 2 .

f x x x dx f x x x f x x x c

 

      



 

   





Mà





1 1 1

f c

  







4 2

f x x x

  

Do đó

 

1 1

4 2

0 0

1 .

f x dx x x dx   

 

Câu 93. (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN LẦN 2) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn







thỏa mãn:

   

0 0

d cos . d

f x x x f x x

 





 

 

  

và



 



 

 

. Khi đó tích phân

 

f x x





bằng

. B.





. C.



. D.





Lời giải

Chọn B

*) Xét tích phân

 

cos . d

I x f x x







Đặt





d cos d

u f x

v x x





















d d

sin

u f x x

v x

















 

sin .

I x f x





 

sin . d

x f x x









 

sin . d

x f x x





 



Theo giả thiết





, suy ra

 

sin . d

x f x x





 



*) Tìm số thực

thỏa mãn





.sin 0

f x k x



 

. Khi đó

 

.sin d 0

f x k x x





 

 

 

 

f x x





 



 

 

2 sin . d

k x f x x









2 2

sin d 0

k x x



 





2 . . 0

2 2 2

k k

  

 

   

 

 

2 1 0

k k

   

 

Từ đó,





sin 0

f x x



 





sin

f x x



  





cos

f x x C

  



 



 

 

nên



. Vậy





cos 1

f x x

 

*) Ta có

 

f x x





 

cos 1 d

x x



 



 

sin

x x



  1



 

Trắc nghiệm:

Từ giả thiết

 

f x x





 



 

và

 

sin . d

x f x x





 



ta suy ra được





sin

f x x



 

Từ đó giải tiếp như phần trên.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 94. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục thỏa mãn



 



 

 

 

f x x





 



 

và

 

cos d

x f x x







. Tính





2018





. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Bằng công thức tích phân từng phần ta có

     

2 2

cos d sin sin d

xf x x xf x xf x x

 



 



 

 

  

. Suy ra

 

sin d

xf x x





 



Hơn nữa ta tính được

2 2

1 cos2 2 sin 2

sin d d

2 4 4

x x x



 



 



 

 

  

 

 

 

Do đó:

     

2 2 2 2

2 2

0 0 0 0

d 2 sin d sin d 0 sin d 0

f x x xf x x x x f x x x

   

  

   

     

      

Suy ra





sin

f x x



 

. Do đó





cos

f x x C

 

. Vì



 



 

 

nên



Ta được





cos

f x x











2018 cos 2018 1

 

  

Câu 95. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0



và

     

1 1

0 0

e 1

d 1 e d

f x x x f x x





 

  

  

. Tính tích phân

 

I f x x





2 e

 

. B.

e 2

 

. C.



. D.

e 1



 .

Lời giải

Chọn B

Xét

   

1 e d

A x f x x

 



. Đặt





 

d 1 e d

u f x

v x x









 









d d

u f x x

v x



















Suy ra

   

e e d

x x

A x f x x f x x



 



 

e d

x f x x



 



 

1 e

e d

x f x x





 



Xét

2 2 2 2

1 1 1 e 1

e d e

2 2 4 4

x x

x x x x



 

   

 

 



Ta có

   

1 1 1

2 2

0 0 0

d 2 e d e d 0

x x

f x x x f x x x x

 

 

  

   

 

e d 0

f x x x



  



Suy ra





e 0

f x x



 





0;1

x 

(do

 





e 0

f x x



 





0;1

x 

)





f x x



  









1 e

f x x C

   





1 0



nên









1 e

f x x

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy

     

1 1

0 0

d 1 e d 2 e e 2

x x

I f x x x x x

      

 

Câu 96. (THPT-TOÀN-THẮNG-HẢI-PHÒNG) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên





0;1

thỏa mãn





1 0



 

d 2ln2

f x x



 

 

 

và





 

d 2ln 2

f x

 





. Tích phân

 

f x x



bằng

1 2ln 2



. B.

3 2ln2



. C.

3 4ln2



. D.

1 ln 2



Lời giải

Chọn A

Ta có:

 

         

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

. . 1 . .

d d d d d

1 1 1 2 1 1

f x x f x x f x f x f x x f x

x f x x x x

x x x x x

  

 

      

 

    

 



    









 

1 1

0 0

d d 2ln 2

1 2

x f x f x

x x



    



 

Mặt khác:

 

2 2

1 1 1

0 0 0

1 2 1 1 3

d 1 d 1 d 2ln 1 2ln 2

1 1 1 1 2

x x x x x

x x x x

 

     

          

 

     

   

     



 

 

  

Khi đó:

 





1 1 1

0 0 0

3 3 3

d 2 d d 2ln2 2 2ln 2 2ln2 0

1 1 2 2 2

x f x

f x x x x

x x



   



 

        

   

 

 

   

  

   

2. . d 0

1 1

x x

f x f x x

x x

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 



   

d 0 *

f x x

 



  

 



 



Vì

 

 

0, 0;1

f x x

 



   

 



 

nên

 

 

d 0, 0;1

f x x x

 



   

 



 



Dấu

" "



xảy ra



 

 

 

 

0, 0;1 , 0;1

1 1

x x

f x x f x x

x x

 

       

 

Khi đó:

     

1 1 1 1

0 0 0 0

d . . d d 1 d

1 1

f x x x f x x f x x x x x

x x

 



       

 

 

 

   

1 1 2ln2

ln 1 ln2

2 2 2

x x

 



       

 

 

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1

Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức

















f x p x f x h x



 

Phương pháp:

+ Tìm

( ) ( )

P x p x dx





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

+ Nhân hai vế với

 

p x x



ta được

 

   

 

( ) ( ) ( )

d d

. . . . '( )e ( ).e ( ) ( )e

. .

p x dx p x dx p x x

P x P x P x

p x x p x x

f x e p x e f x h x e f x p x f x q x

f x e h x e

  



    



 

 

 

 

 

+ Lấy tích phân hai vế ta được

( ) ( )

P x P x

f x e q x e dx





. Từ đó suy ra

( )

f x

Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức













f x f x h x



 

Phương pháp:

+ Nhân hai vế với

ta được

         

. . . . .

x x x x x

e f x e f x e h x e f x e h x



  

   

 

+ Suy ra









. . d

x x

e f x e h x x





+ Từ đây ta dễ dàng tính được





f x

Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức













f x f x h x



 

Phương pháp:

+ Nhân hai vế với



ta được

         

. . . . .

x x x x x

e f x e f x e h x e f x e h x

    



  

   

 

+ Suy ra









. . d

x x

e f x e h x x

 





+ Từ đây ta dễ dàng tính được





f x

Câu 97. (HSG cấp tỉnh – Phú Thọ 2018 – 2019): Cho hàm số





f x

thỏa mãn





0 4



và









,f x f x x x



   



. Giá trị của





bằng

  B.



. C.



. D.

 

Lời giải

Chọn D

+) Từ giả thiết, ta có

       

3 3 3x x x x x x x

e f x e f x x e e f x x e e f x x e dx

 

 



     











3 2 3 2 3 2

3 3 6 3 6 1

x x x x x x x x x

e f x x e x e dx x e x e xe dx x e x e x e C

          

 

+) Lại có

     

3 2

10 10

0 4 10 3 6 6 1 2 .

f C f x x x x f

e e

            

Câu 98. Cho





f x

thỏa mãn

 



và

   





' 2 4

3x 15x 12x ,

f x f x e x R



    

Tính

 

d .

I f x x





 

2e 1

 

2e+1



Lời giải

Chọn C

Ta có

 





   









3 3x ' 2 3x 4 3x 4

3x 15x 12x 15x 12x

e f x e f x f x e e



     

Do đó:













3 4 5 2 5 2 3x

(15x 12x ) x=3x 6x 3x 6x

e f x d C f x C e



       



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vì

   

 

5 2 3x

1 0 3x 6x

f C f x e



     

Khi đó

 

1 1

5 2 3x

0 0

d 3x 6x d 3 .

I f x x e x



    

 

Câu 99. Cho hàm số





f x

có đạo hàm đến cấp hai và liên tục trên



thỏa mãn









0 0 1

f f



 

và













3 2

2 2 ,f x f x f x x x x

 

     



. Tích phân

 

f x dx



bằng

107 21



. B.

107 12



. C.

107 21



. D.

107 12



Lời giải

Chọn A

Theo giả thiết ta có:





















3 2

f x f x f x f x x x

  

    

       

 

3 2

f x f x f x f x x x



 

     

   

 

   

 

3 2

x x x

e f x f x e f x f x e x x



 

     

   

 

3 2

x x

e f x f x e x x



   





















3 2 3 2

2 2 2

x x x

e f x f x e x x dx e x x x C



        



Mặt khác









0 0 1

f f



 

nên

1 1 2 4

C C

     

















3 2

2 2 4

x x

e f x f x e x x x



      

Do đó

 

   

3 2

2 2 4

x x

e f x e x x x



    

 









3 2 3 2

2 2 4 4 10 12 4

x x x

e f x e x x x dx e x x x x C

 

           

 















3 2

0 1 13 4 13 4 10 12

f C f x x e x x x



         

   

1 1

3 2

0 0

107 21

4 13 4 10 12

f x dx x e x x x dx



 

        

 

 

Câu 100. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên





0;1





0 1



và













1, 0;1

f x f x e x



    

. Tính

 

I f x dx





2 1



. B.





2 1



. C.



. D.

1 2



Lời giải

Chọn B

Ta có

























1 1 1

x x x x x

f x f x e f x f x e e f x e f x e

  

  

          

     

1 1

x x x x x x

e f x e e f x x e C f x xe Ce

   



 

          

 













0 1 2 2 1

f C f x x e

      

Do đó

   

2 1 2 1

I x e dx e

 

    

 



Câu 101. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



thỏa mãn









f x f x x e



  

, với mọi









0 1

 

. Tính





6 3



. B.

6 3



. C.

3 1



. D.

9 1



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 54

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lời giải

Chọn D

Ta có:













2 2

x x x

f x f x x e e f x x e

 

 

     

 

x x

e f x x e

 



  

Do đó:

   

 

x x x

e f x e f x dx e C

  

   



 

x e

f x Ce

   





0 1 1 1 0

f C C

        

   

1 3 9 1

x e

f x f e

     

Câu 102. (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên



thỏa mãn

   

 

2 1

1 e

x x

f x f x x

 



  

, x

 



và





1 e



. Giá trị của





bằng

3e 1



. B.

. C.

5e 1



. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

   

 

2 1

1 e

x x

f x f x x

 



  

   

 

e e 1 e

x x

f x f x x



 



   

 

   

e 1 e

f x x



  

 

   

5 5

1 1

e d = 1 e d

f x x x x





 

 

 

2 2

5 5

1 1

2 2

1 1

e e d e d

x x

f x x x x

 



  

 









1 2

e 5 1 *

f I I



   

Xét:

e d

I x







Đặt:

2 2

1 1

2 2

e d e d

d d

x x

u u x x

v x v x

 

 

 

 



 

 

 

 

2 2

1 1

2 12

2 2

2 1

e e d 5e 1

x x

I x x x I

 

    



1 2

5e 1

I I

   













5 12 17

* e 5 1 5e 1 5 5e

f f



     

Câu 103. Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn và với

mọi . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Biến đổi giả thiết

Mà





f x







f e















x f x xf x x



  









4 4 4

e e

 

4 2 1

e e

 

2 2 2

e e

 

4 4 2

e e

 













x f x xf x x



  

   

f x f x x





  









 

2 3

x x

e f x x

e f x e

x x



 





  

 

f x e





 

 

 

 

 

x x

f x e dx e C



 

    







2 2

f x x Cx e

   

 

f e C



  









2 2 1

f x x e x e



    

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 55

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy, .

Câu 104. Cho hàm số





y f x



có





f x



liên tục trên nửa khoảng







thỏa mãn

   

3 1 3.e

f x f x





   . Khi đó:

   

1 1

e 1 0

e 3

f f

  



. B.

   

1 1

e 1 0

2 e 3

f f

  



   





2 2

e 3 e 3 8

e 1 0

f f

  

  . D.

   





3 2 2

e 1 0 e 3 e 3 8

f f

    

Lời giải

Chọn C

Ta có:

   

e 3

3 1 3.e

f x f x







   

Nhân hai vế giả thiết với

ta được

   

3 3 2 2

3e e e e 3

x x x x

f x f x



   

 

3 2 2

e e e 3

x x x

f x



 

  

 

Lấy tích phân từ

đến

hai vế ta được

 

1 1

3 2 2

0 0

e d e e 3 d

x x x

f x x x



 

 

 

 

 

3 2

e e 3

x x

f x

 

  

 

   





2 2

e 3 e 3 8

e 1 0

f f

  

   .

Câu 105. Trong những hàm số

( )

f x

liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn

' 2018

3 ( ) ( )

f x xf x x

  . Giá trị nhỏ nhất của

( )

I f x dx





là

2019.2021

2018.2021

2020.2021

2017.2021

Lời giải

Chọn A

' 2018 ' 2017

3 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0

f x xf x x f x f x x x

     

( ) 3

( ) 3ln

P x

P x x e x

  

+ Nhân hai vế của (*) cho

ta được





3 ' 2 2019 3 2020

( ) 3 ( ) ( )

x f x x f x x x f x x

   

, đúng





0;1

x 

+ Lấy tích phân từ 0 đến hai vế có

 

 

2021

3 2020 2021

( ) , 0;1

2021 2021

x f x x dx x t    



1 1

2018 2018

0 0

( ) ( )

2021 2021 2019.2021

t t

f t f t dt    

 

Câu 106. Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên

thỏa mãn









2017 2018

2018 2018. .e

f x f x x



 

với

mọi x





và





0 2018.

f 

Tính giá trị





1 .





2018

1 2019e

f 

. B.





2018

1 2018.ef





. C.





2018

1 2018.e

f 

. D.





2018

1 2017.e

f 

Lời giải









2 4 4 1 4 4 4

f e e e e

      

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 56

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn A

( ) 2018 2018

P x dx x

   



+ Nhân hai vế với

2018



ta được

   





2018 2018 2017 2018 2017

2018 2018. ( ) 2018.

x x x

f x e e f x x f x e x

  



   

+ Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được





2018 1 2017 2018

( ) | 2018 (1) 2019

f x e x dx f e



  



Câu 107. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





0 0



và













2 1

xf x f x x x



  

với mọi





0;1

x

. Tích phân

 

xf x dx



bằng



. B.

. C.

. D.



Lời giải

Chọn A

Nhân hai vế giả thiết với

ta được

   





2 2 2

.2 . . 1

x x x

e xf x e f x e x x



  

 

2 2 2

x x x

e f x x e xe



 

  

 



 

   

 

2 2 2

1 2 2

2 2

x x x

e f x x x e dx x C f x x Ce



        



   

 

0 0 1 2

f C f x x e



       .

Vậy

 

1 1

0 0

1 4

2 8

xf x dx x x e dx



 

   

 

 

 

Câu 108. (CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên







. Biết





0 2

f e



và





f x

luôn thỏa mãn đẳng thức













cos

' sin . cos . , 0,

f x x f x x e x



   

. Tính

 

I f x dx







(làm tròn đến phần trăm).

6,55



. B.

17,30



. C.

10,31



. D.

16,91



Lời giải

Chọn B









cos

' sin . cos .

f x x f x x e

 

. Chia hai vế đẳng thức cho

cos

ta được









cos cos

' . .sin . cos

x x

f x e e x f x x

 

 

(vế trái có dạng

' '

u v uv



)









cos

. ' cos

f x e x



 









cos

. 'd cos .d

f x e x x x



 

 





cos

. sin

f x e x C



  





0 2

f e



nên

2 . 2

e e C C



  

. Vậy

   

cos

sin 2

f x e x





  

   

cos

0 0

. sin 2

I f x dx e x dx

 

  

 

Sử dụng MTCT (để đơn vị rad). KQ: 10,31

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 57

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 109. Suy ra. Cho hàm số





y f x



liên tục trên





\ 0; 1





thỏa mãn điều kiện





1 2ln2

f  

và













1 .

x x f x f x x x



   

. Giá trị





2 ln3

f a b 

, với

,a b





. Tính

2 2

a b



. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

+ Trước tiên ta đưa phương trình về dạng tổng quát

 

f x f x

x x



 



( ) ln

( 1) 1

P x dx

x x x

 

 



. (ta chỉ cần xét x>0)

+ Nhân hai vế cho

( )

P x

ta được

 

. ( ).

1 1 1 1

x x x x

f x f x f x

x x x x

 



   

 

   

 



+ Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta có

 

3 3

( ). ln 1 2 ln3

1 1 2 2

x x

f x dx x x f

x x

 

      

 

 

 



. Suy ra



và

 

Vậy

2 2

a b

 

Câu 110. Cho hàm số





f x

liên tục và có đạo hàm trên

0; ,



 

 

 

thỏa mãn hệ thức

   

tan .

cos

f x xf x



  Biết rằng

3 3 ln3

3 6

f f a b

 



   

  

   

   

trong đó

, .

a b





Tính giá

trị của biểu thức

P a b

 

 



P 

Lời giải

Chọn A

Từ giả thiết

   

cot . .cot

cos

x f x f x x



  

Nhân thêm 2 vế với

cot d

sin

x x

e x



 ta có

     

2 2

cos sin sin .

cos cos

x x

xf x xf x xf x

x x



 

   

 

Suy ra

 

sin d tan ln cos .

cos

xf x x x x x C

   



 Với

3 2

. 3 ln 2 3 . 3 2ln 2 2 .

3 2 3 3 3 3

x f f C

   



   

       

   

   

 Với

1 3 1 1

. ln3 ln2 . 3 ln3 2ln2 2 .

6 2 6 6 3 2 6 9

x f C f C

   



   

          

   

   

Suy ra

5 4

3 3 ln3 .

3 6 9 9

f f P a b

 









   

        



   

   



 



Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/57

| | Tải xuống

Preview text:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỤC LỤC
MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP ............................................................. 3
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ................................. 3
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN .......................................................................................... 17
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: ............................................................................ 17
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: ............................................................................. 23
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 .............................................................................. 25
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 .............................................................................. 33
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 :............................................................................ 35
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 .............................................................................. 39
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ..................................................................................... 40
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 ..................................................... 51
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP
1) Quy tắc: Nếu u  u  x và v  v  x thì uv  u v   uv . 
- Nếu  f  x.g  x  h x  
thì f  x.g  x  h  x d . x 
Câu 1. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;  thỏa mãn điều kiện f   1  3 và
x 4  f  x  f  x 1, x
  0. Giá trị của f 2 bằng A. 6. B. 5. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn B
+)Từ giả thiết, ta có x 4  f  x  f  x 1 xf x  f  x  4x 1
 xf  x  
  x   xf  x   x   dx  xf  x 2 4 1 4 1
 2x  x  . C    +) Lại có f  
1  3  C  0  f  x  2x 1 f 2  5.
Câu 2. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên khoảng  1
 ;  và thỏa mãn đẳng thức 3 2
x  2x  x
2 f  x   2 x  
1 f  x  với mọi x   1
 ; . Giá trị của f 0 bằng 2 x  3
A. f 0  2  3.
B. f 0  e  3.
C. f 0  3.
D. f 0  1 3. Lời giải Chọn A
+) Từ giả thiết, ta có
x  2x  x x x 1 2  2 3 2
2 f  x   x  
1 f  x 
 2 f  x   x   1  x  
1 f  x  2 2 x  3 x  3 2 f  x x 1 x  x 1    x 1 x   f  x   f x  f  x  2          x   2 2 1 x 1   x 1 x 1 x 3 x  3   x 1  x x 1 x x 1  . f   x   . f   x  dx  . f   x 2
 x  3  C * +) Lại 2 2  x 1  x 1 x 1 x  3 x  3
có * thỏa mãn với mọi x  1
 ; nên thay x 1 vào * ta có C  2  . x 1 Suy ra . f  x 2
 x  3  2. Do đó f 0  2  3. x 1 2
Câu 3. (SỞ LẠNG SƠN 2019) Cho hàm số f  x thỏa mãn  f  x  f  x f  x 3 ' . '  4x  2x   với
mọi x   và f 0  0 . Giá trị của 2 f   1 bằng 5 9 16 8 A. . B. . C. . D. . 2 2 15 15 Lời giải Chọn C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2
Ta có:  f ' x  f  x. f '  x   f  x. f ' x '   
 . Từ giả thiết ta có:  f  x f  x 3 . '
 '  4x  2x  
Suy ra: f  x f  x    3 x  x 4 2 . ' 4 2
dx  x  x  C . Với f 0  0  C  0
Nên ta có: f  x f  x 4 2 . '  x  x 1 1 1 2 f x 8 16 4 2   Suy ra:
f  x. f ' x dx   x  x  2 dx    f   1    . 2 15 15 0 0 0
Câu 4. (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số f  x thỏa mãn
 xf  x 2 2  1  x 1
  f  x. f   x 2   
 với mọi x dương. Biết f   1  f  
1  1 . Giá trị f 2 bằng A. 2
f 2  2ln 2  2 . B. 2
f 2  2ln 2  2 . C. 2
f 2  ln 2 1. D. 2
f 2  ln 2 1 . Lời giải Chọn B 2
Ta có:  xf   x 2  1  x 1
  f  x. f " x ; x  0     2 1
 x  f  x 2 2 2 . '  1  x 1
  f  x. f " x   
   f ' x 
 1 f x . f " x   2     x 1 1
  f ' x 2
  f  x. f " x  1
  f  x. f ' x '   1   2   2 x x '  1  1
Do đó:  f  x. f ' x .dx  1
.dx  f x . f ' x  x   c .     2      1  x  x Vì f   1  f ' 
1  1  1  2  c  c  1. 1 1  1    Nên
f  x. f ' x.dx  x  1 .dx      f  x   f x 1 .d  x  1 .dx     x   x  2 f  x 2 x 1 1  
 ln x  x  c . Vì f   1  1  
1 c  c  1. 2 2 2 2 2 2 2 2 f  x 2 x Vậy 2 
 ln x  x 1  f 2  2 ln 2  2 . 2 2
Câu 5. (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên 1 0; 
1 thỏa mãn f  x 2018 3  . x f (  x)  x x  0; 
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của f  x dx  . 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2018.2020 2019.2020 2020.2021 2019.2021 Lời giải Chọn D 2021 x
Xét hàm số: g  x 3
 x . f  x  trên 0;  1 . 2021
Ta có: g x 2  x f  x 3
 x f   x 2020 2  x
 x  f  x 2018 3 . 3  . x f (  x)  x   0 x  0;  1   .
Do đó g  x là hàm số không giảm trên 0; 
1 , suy ra g  x  g 0 x  0;  1 2021 2018 x x Hay 3
x . f  x   0, x  0; 
1  f  x   0, x  0;  1 . 2021 2021
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 1 2018 x 1 Vậy:
f  x dx  dx    . 2021 2019.2021 0 0 2018 x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f  x  . 2021  u   u v   uv
2) Quy tắc: Nếu u  u  x và v  v  x thì    với v  0. 2  v  v 
 f  x  f  x - Nếu 
  h  x thì
 h  x d . x   g  x    g  x  1   u
Hệ quả: Nếu u  u  x thì    với u  0 . 2  u  u   1  1 - Nếu 
  g  x thì
 g  x dx   f  x    f  x 2
Câu 6. (ĐỀ THTP QUỐC GIA NĂM 2018 – MÃ ĐỀ 101) Cho hàm số f  x thỏa mãn f 2   9
và f   x  x  f  x 2 2  ,x  .   
Giá trị của f   1 bằng 35 2 19 2 A.  . B.  . C.  . D.  . 36 3 36 15 Lời giải Chọn B  2 f  x  1  1
+)Ta có f  x  2x  f  x   2x     2  x    2xdx       2   f  x   f  x f x     1 2 
 x  C . f  x 2 1 1 1 2
+) Lại có f 2 2    C      x   f   1   . 9 2 f  x 2 3
Câu 7. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên
khoảng 0;  thỏa mãn 2
x f  x  f  x  0 và f  x  0 , x
  0;  . Tính f 2 biết f   1  e . A. f   2 2  e . B. f   3 2  e . C. f   2 2  2e .
D. f 2  e . Lời giải Chọn D
Ta có f  x  0 , x
  0;   f  x  0 không có nghiệm trên khoảng 0; 
 f  x  0 không có nghiệm trên khoảng 1; 2  f  
1 . f 2  0 , x  1; 2 . Mà f  
1  e  0 nên f 2  0 . 1 f  x Do đó 2
x f  x  f  x  0    . 2 x f  x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 2 2 1 f  x 2 1 Suy ra dx   dx     ln f x 2     x f x 1 x 1 1   1  1  1   1    
ln f 2  ln f   1  
  ln f 2  ln e    2  2 1 1 
  ln f 2 1  ln f 2   f   1 2 2  e  e . 2 2 1
Câu 8. Cho hàm số f  x thỏa mãn f   1  và        2 f x xf x  f 2 bằng 3 
 với mọi x   . Giá trị   2 3 16 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 16 Lời giải Chọn B  f  x 3  1  1 x +) Từ giả thiết, ta có 2 2 2  x     x    x dx    C 2  . f  x  f  x   f  x 3  3 1 10 1 x 10 1 2 3 +) Lại có f   1   C       f 2  . 3 3 f  x 3 f 2 3 2
Câu 9. (QUỲNH LƯU LẦN 1) Cho hàm số f  x thỏa mãn các điều kiện f   1  2 , 2 2
f  x  0, x   0 và  2
x   f  x   f  x  2 1 ' x    
1 với mọi x  0 . Giá trị của f 2 bằng 2 2 5 5 A. . B.  . C.  . D. . 5 5 2 2 Lời giải Chọn D f ' x x 1 2 2   2 2 2 Ta có  x   1
f ' x   f  x    x   1   x   1; 2 (*) 2 2  
 f  x  2 x     1
Lấy tích phân 2 vế (*) trên 1; 2 ta được 1 2 f ' x 2 2 2 1 2 x 1 1 2 d  d x x x    dx       2      2 1 f  x f x x  2 2 1 1 1 1  1  x     x   1  d x  2   1 1  x  1 1 1 2           f 2 f   2 1  1 f 2 2  1  1 1    x x        x x    1 1 2 1 5        f 2  . f 2 2 5 2 2 1
Câu 10. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 và thỏa mãn f   1   và 2 2
f  x  xf  x   3 2 x  x  2 2
f  x, x
 1; 2. Giá trị của tích phân xf  xdx  bằng 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 4 3 A. ln . B. ln . C. ln 3. D. 0. 3 4 Lời giải Chọn B
f x  xf  x 3 2 2    
+) Từ giả thiết, ta có f  x  xf  x  2x  x  f x   2x 1
 xf  x 2      1  1 1     2  x 1   2  x   2 1 dx 
 x  x  C.   xf  x   xf  x xf  x  2 2 1 1 1 +) Lại có f   1  
 C  0  xf  x  
 xf  xdx  dx   2 x  x   1 x x 1 1 1   2  1 1  x 1 2 3   dx  ln  ln .    x 1 x  x 1 4 1
Câu 11. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 đồng thời thỏa mãn f 0  9 và
f   x   f  x 2 9  x  9  
. Tính T  f   1  f 0 . 1
A. T  2  9ln 2 . B. T  9 . C. T   9 ln 2 .
D. T  2  9ln 2 . 2 Lời giải Chọn C
f  x 1 1
Ta có f   x   f  x 2 9  x  9  
  f  x      f  x 2 9 1  x      .
 f  x 2 9  x  
f   x 1 1 1 x
Lấy nguyên hàm hai vế  dx  dx      C .  f  x 2 9 '  x
f  x  x 9   1 9 9
Do f 0  9 nên C 
suy ra f  x  x 
 f  x   x 9 x 1 x 1 1 1  9  2  x  1
Vậy T  f   1  f 0   x dx     9 ln x 1     9 ln 2  .  x 1  2 2 0   0 1
Câu 12. Cho hàm số f  x  0 thỏa mãn điều kiện f  x   x   2 2
3 f  x và f 0   . Biết rằng 2 a a tổng f  
1  f 2  f 3  ...  f 2017  f 2018 
với a , b  
   và là phân số tối giản. b b
Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1  . B.  1.
C. a  b  1010 .
D. b  a  3029 . b b Lời giải Chọn D f  x
Ta có f  x   x   2 2 3 f  x   2x  3 2 f  x f  x 1 1  dx  2x  3 dx  2  
 x  3x  C . Vì f 0    C  2 . 2    f  x f  x 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 1 1
Vậy f  x     .  x   1  x  2 x  2 x 1 1 1 1009 Do đó f  
1  f 2  f 3  ...  f 2017  f 2018     . 2020 2 2020 Vậy a  1
 009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 .
Câu 13. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn f   1  2 và 2
f  x   x   f  x 2 1
 2xf  x, x
 1;2. Giá trị của f  x dx  bằng 1 1 1 A. 1 ln 2. B. 1 ln 2. C.  ln 2. D.  ln 2. 2 2 Lời giải Chọn D
f x  x 1 f  x 2      
+) Từ giả thiết, ta có f  x   x  
1 f   x  2xf  x   2x 2 f  x   x 1  x 1 x 1 2     2x   2xdx   x  C.   f  x   f  x f  x  2 2 1 1  1 1  +) Lại có f  
1  2  C  0  f  x    f x dx   dx 2     2  x x  x x  1 1 2 1 2 1  ln x    ln 2. 1 x 1 2 1
Câu 14. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 0  và 3
         2 f x f x f x  
 với mọi x 0; 
1 . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y  f  x , trục hoành và hai đường thẳng x  0; x  1. 4 3 A. ln 2. B. ln . C. ln12. D. ln . 3 4 Lời giải Chọn B x x 2
f  x  f  x
e f  x  e f  x
+) Ta có f  x  f  x   f  x   1 x   e    f  x 2   f  x 2       x 
e  f  x x
 e f  x  x x  e  e x x x x   e     e 
 e dx  e  C  .    2   f  x   f  x f x     1 x x e e
+) Lại có f 0   C  2 x 
 e  2  f  x  . 3 f  x 2 x  e ln 2 x e ln 2 x 4 +) Do đó S  dx  ln  e     x 2  ln 4 ln 3 ln . 2  e 0 3 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Câu 15. Cho hàm số f  x xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; thỏa mãn f   1  2
và x  f  x  x  f  x 1,x  0. Giá trị của f e bằng A. 2 e  . e B. 2 e  1. C. 2 e  . e D. 2 e 1. Lời giải Chọn B
+) Từ giả thiết, ta có x  f  x  x  f  x   xf  x  f  x 2 1  x 1
xf  x  f  x 2   x 1
xf  x   x f  x 2 x 1
 f  x  1       1 2 2 2 2   2 x x x x x x   f  x 1   x   C. x x f  x 1 +) Lại có f   1  2  C  0   x   f  x 2
 x 1 f e 2  e 1. x x
Câu 16. (PHAN ĐÌNH TÙNG HÀ TĨNH) Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  \  0 , 2 biết .
x f  x  1  , x   0; f   1  2 và  .
x f  x   1  .
x f   x  f  x  0 với x    \   0 . Tính e f  x d . x  1 1 1 1 1 A.  2 . B. 2  . C.  . D. 1. e e e e Lời giải Chọn A 2 2 Ta có  .
x f  x 1  .
x f  x  f  x  0   .
x f  x 1  .
x f   x  f  x     .
x f  x  f  x   1 (do .
x f  x  1, x   0 ).  . x f  x 2 1     1   1      1   x  C  .
x f  x 1   .
x f  x 1   1  Do f   1  2 nên
 C 1  1  C 1  C  0 . f   1  1 1 1   x 1 1 Do đó 2
 x  x . f  x  x  1
  f  x     . x f  x 2 2  1 x x x e e  1 1   1 e  1 Suy ra
f  x dx    dx   ln x   2.   2     x x   x  e 1 1 1
Câu 17. (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng
(1; ) và thỏa mãn  xf  x  f x  3
( ) 2 ( ) ln x  x  f (x) , x  (1; ) ; biết f  3 e   3e . Giá trị f (2)
thuộc khoảng nào dưới đây?  25   27   23   29  A. 12;   . B. 13;   . C. ;12 .   D. 14;   .  2   2   2   2  Lời giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn C
Vì x  (1; ) nên ta có 2   x f (
 x)  2xf (x)  f (x) 2
x f  x  xf x  4 ( ) 2
( ) ln x  x  xf (x)  ln x  1  4  3 x x   f (x)    f (x) f (x)     f (x)   ln x  1   ln d x x  1 dx 2  3   2   3   x  x  x   x 
f (x) ln x f (x) f (x)   dx  x  dx  C 2  3  3 x x x
f (x) ln x 2
f (x) ln x
x  x  C    x  C 
 x  C  f (x)  . 2 x 2 x ln x 3 x
Theo bài ra f  3 e   3e  C  0  f (x)= . ln x 8  23  Do đó f (2) =  ;12 .   ln 2  2 
Câu 18. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; 
1 và f  x  0 , x  0;  1 . Biết rằng  1   3  f  a   , f 
  b và x  xf  x  2 f  x  4 , x  0;  1 . Tính tích phân  2   2     3 2 sin .
x cos x  2sin 2x I  dx 
theo a và b . 2 f  sin x 6 3a  b 3b  a 3b  a 3a  b A. I  . I  . I  . D I  . 4ab B. 4ab C. 4ab . 4ab Lời giải Chọn D x  0;  1 ta có:
x  xf  x  2 f  x  4  x  4  2 f  x  xf  x 2
 x  x  xf  x 2 4 2
 x f  x 2  x  4x 2xf  x 2
 x f  x 2 2 x  4x  x        . 2 f  x 2 f  x 2 f  x
 f x      3 2 3 2 sin .
x cos x  2sin 2x sin .
x cos x  4 sin . x cos x Tính I  dx  dx  2  f  sin x 2 f  sin x 6 6  1  3
Đặt t  sin x  dt  cos d
x x , đổi cận x   t  , x   t  . 6 2 3 2 2 2  3  3 3  1    2 2 t  4t 2 2   t 2    2  3 1 3a  b Ta có I  dt        . 2 f t f t    1  4b 4a 4ab 1   1 3 f f     2 2  2 2   
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Câu 19. (NAM TIỀN HẢI THÁI BÌNH LẦN 1) Cho hàm số f  x  0 có đạo hàm liên tục trên 2   
 f  x  2 0, 
, đồng thời thỏa mãn f 0  0 ; f 0  1 và f  x. f  x    f     x .Tính 3      cos x      T  f    3  3 3 3 1 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  . 4 4 2 2 Lời giải Chọn D 2 2
 f  x      2
f  x. f  x f  x   1
Ta có f  x. f  x 
  f  x        2 cos x f    x 2 cos x 
 f x  1 f  x  f   0  0     
  tan x  C . Vì  nên C  0 .  f  x 2   cos x f  x  f  0  1     f  x
3 d  f  x 3 3 d(cos x)   Do đó   tan x . Suy ra   tan . x dx 
 ln f  x 3 3  ln cos x    f  x f x cos x 0   0 0 0 0    1    1  ln f
 ln f 0  ln  ln1  f      .  3  2  3  2  u
3) Quy tắc: Nếu u  u  x thì  u   với u  0. 2 u  - Nếu 
f  x   h x thì f  x  h  x d . x   
Câu 20. Cho hàm số f  x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn 1
f  x  2 f  x , x  0; 
1 và f 0  1. Giá trị của tích phân f  x dx  bằng 0 8 1 7 A. . B. 7. C. . D. . 3 3 3 Lời giải Chọn D
+) Từ giả thiết, ta có f   x 
f  x  2 f  x 
 1   f x  1 f x  dx  f x  x  C  2 f  x 1 1 2 2 1 3 1 7
+) Lại có f 0  1 C  1 f  x   x   1 
f  x dx   x   1 dx   x   1  .   3 0 3 0 0
Câu 21. Cho hàm số f  x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 0 1 và 1
 f  x 2 2
 16x . f  x  0  
với mọi x 0; 
1 . Giá trị của tích phân I 
f  x dx  bằng 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 28 8 2 4 A. . B. . C.  . D. . 15 15 3 3 Lời giải Chọn A
 f  x 2 2  f  x 2   2   +) Từ giả thiết, ta có
 f  x  16x . f  x   4x   2x   4 f  x 2 f  x   
f  x   x  f  x  xdx  f  x 2 2 2  x  C.    1 1 2 2 28
+) Lại có f 0 1 C  1  f  x   2 x  
1  I  f  x dx   2 x   1 dx    . 0 0 15
Câu 22. Cho hàm số y  f  x  0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;  1 và thỏa mãn: x 1
g  x  1 2018 f t  dt  ,   2
g x  f  x . Tính
g  xdx  . 0 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505 . 2 2 2 Lời giải Chọn A x
Ta có g  x  1 2018 f t  dt 
 g x  2018 f  x  2018 g  x 0 g x t   t g x t t   2018  dx  2018 dx  
 2  g x  2018x 0 g  x 0 0 g  x 0 1 1  1009  1011
 2 g t  
1  2018t (do g 0  1)  g t   1009t 1  g t  2 dt  t  t     .  2  2 0 0
Câu 23. Cho hàm số f  x đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn 1; 4 thỏa mãn f   1  1 và
 f  x  xf  x 2
  4 f  x, x  1;4  
. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f  x , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  4. A. 4  2ln 2. B. 4  2ln 2. C. 4  ln 2. D. 4  ln 2. Lời giải Chọn B
 f x  xf x2
 f  x  xf x2 2 1
+) Ta có  f  x  xf  x  4 f  x   1  4 f  x 4xf  x x  
f  x  xf  x 1
 x f  x  xf  x 1 xf x 1          1
xf  x   2 xf  x x 2 xf  x x 2 xf  x x x 1  xf  x  dx 
xf  x  2 x  C.  x  x  2 2 1 +) Lại có f  
1  1  C  1 
xf  x  2 x 1 f  x  . x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 x  2 4 4 1  4 1  4 4 4 +) Do đó S  dx  4   dx 4x  8 x  ln x  4  2 ln 2.    x  x x 1 1 1 1 1 
Câu 24. Cho hàm số f liên tục, f  x  1
 , f 0  0 và thỏa f  x 2 x 1  2x
f  x 1 . Tính f  3 . A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 9 . Lời giải Chọn B f  x 2x 2  
Ta có f  x x 1  2x f  x 1   f  x 2  1 x  1 3 f   x 3 3 3 3 2x  dx  dx  f  x 2 1  x 1  f  x 1  1   0 f  x 2 0 0 0 1 0 x  1 
f  3 1  f 0 1 1  f  3 1  2  f  3  3 .
Câu 25. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4, đồng biến trên đoạn 1; 4 và thỏa 3 4
mãn đẳng thức x  2 .
x f  x     2 f x    , x
 1; 4 . Biết rằng f   1  , tính I 
f  x dx  ? 2 1 1186 1174 1222 1201 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 45 45 45 45 Lời giải Chọn A f  x Ta có x  2 .
x f  x     2 f x    
x. 1 2 f  x  f  x   x , x  1; 4 .
1 2 f  x f   x df  x Suy ra dx  xdx  C    dx  xdx  C  
1 2 f  x
1 2 f  x 2 3  2 4  2 x  1   3 2 3 4 3 3
 1 2 f  x 2  x  C   . Mà f   1   C 
. Vậy f  x  . 3 2 3 2 4 1186 Vậy I 
f  x dx   . 45 1   
Câu 26. (LÝ NHÂN TÔNG) Cho hàm số f  x liên tục không âm trên 0;  , thỏa mãn 2         
f  x f  x 2 .
 cos x 1 f  x với mọi x  0; 
và f 0  3 . Giá trị của f   bằng 2     2  A. 2 . B. 1. C. 2 2 . D. 0 . Lời giải Chọn C   
2 f x . f  x 2     Với x  0;  
ta có f  x. f  x  cos x 1 f  x   cos x * . 2    2
2 1 f  x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Suy ra 2
1 f  x  sin x  C .   
Ta có f 0  3  C  2 , dẫn đến f  x   x  2 sin 2 1 . Vậy f  2 2   .  2  
4) Quy tắc: Nếu u  u  x thì  u   . u e u e ;  - Nếu f  x 
e   gx thì fx e
 g  x d . x 
Câu 27. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 0 1 và 1 2
f  x f xx 1 .e  
 2x,x 0;  1 . Giá trị của
f  x dx  bằng 0 4 4 A. . B. 2. C.  . D. 2  . 3 3 Lời giải Chọn A 2 2 2  +) Ta có f x  x 1  f x x 1  f x x 1  f  x   .e
 2x  f  x     .e  2xe  e   2xe f  x 2 x  f  x  2 1 x 1 e 2xe dx e e       C.  2 +) Lại có f 0   1  1  C  0 f x x  e e    f  x 2  x  1. 1 1  1  1 4 +) Do vậy
f  x dx    2 x   3 1 dx  x  x  .    3  0 3 0 0
Câu 28. (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho f  x có đạo hàm trên  3 2 f x  x  2x
và thỏa mãn 3 f  x   1 .e 
 0 với mọi x   . Biết f 0  1, tính tích phân 2 f  x 7 I  .
x f  x dx  . 0 9 45 11 15 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 8 2 4 Lời giải Chọn B 3 f  x 3 2 e 2x f x  x  2x 3 2 Ta có 3 f  x   1 .e 
 0  3 f  x.  2 
f  x f  x f x x 1 3 . .e  2x.e   2 2 f  x 2 x 1 e  f  x 3  f  x   3 2  e    2x 1 e   f  x x 1  e  e  C * .
Thế x  0 vào * ta được e  e  C  C  0 . 3 2
Do đó f x x 1  3 e  e  f  x 2
 x   f  x 3 2 1  x 1 . 7 4 7 7 1 x 1 7 1 1 3 3 2 2 2  2 3 Vậy I  x x  1 dx    x  3 1 d  x   1  .   2 x   3 2 1 x 1 2 2 4 8 0 0 0 3 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 3 45  .16   1  . 8 8
Câu 29. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f 0  0 và   f  x 1  1 x f x e  e , x   .
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x , trục
hoành và hai đường thẳng x  1, x  3. A. 4. B. 2. C. 8. D. 5. Lời giải Chọn A  +) Ta có   f  x    x   
      f x x       f  x 1 1 1    1 x f x e e f x f x e e f x e  e      f  x x f x  e
 x  e  C. +) Lại có
        f  x 0 0 0 x f C f x  e  x  e . Xét hàm số   t
g t  t  e với t  .    1 t g t  e  0, t
   nên g t  đồng biến trên .  3 1 3 Suy ra   f  x x f x  e
 x  e  f  x  . x Do đó 2 S  xdx  x  4.  2 1 1
Câu 30. (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số y  f (x) liên tục và có đạo hàm trên  thỏa 1   4089 4 3 2 a mãn 2
 f ( x )2 x x 1
3 f (x). f '(x) 4xe  
 1  f (0). Biết rằng I 
(4x 1) f (x)dx   là phân số tối b 0
giản. Tính T  a  3b A. T  6123. B. T  12279. C. T  6125. D. T  12273. Lời giải Chọn D Ta có: 3 2 2
 f ( x)2 x x 1 3 3 2 2
3 f (x). f '(x) 4xe    1  f (0) 3 f ( x) f ( x) 2 x x 1  2 x  x 1
( f (x)) 'e e (4x 1).e e       3 2 3  
  f  x
f  xx  x e   
 x   x  f  x 2 3 2 2 1 x 2 x 1 2 1 .e  e  e   C
Mà f 0  1  C  0 3  f  x 2
 x  2x 1 3 2 3 2
 f (x)  2x  x 1 f (x)  2x  x 1 1   4089 4 12285  I 
(4x 1) f (x)dx   . 4 0 u
5) Quy tắc: Nếu u  u  x nhận giá trị dương trên K thì ln u  trên K. u 
- Nếu ln  f  x  g  x  
thì ln  f x  g  x d . x 
Câu 31. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm và liên tục trên đoạn  1  ; 
1 , thỏa mãn f  x  0, x   
và f ' x  2 f  x  0 . Biết f  
1  1, tính f   1 . A. f   2 1 e   . B. f   3 1  e . C. f   4 1  e . D. f   1  3 . Lời giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn C Biến đổi: f ' x 1 f ' x 1 1 df  x
f ' x  2 f  x  0   2  dx  2dx   4
  ln f  x 1  4    f  x f   x f    x 1  1 1 1 f   1 f   1 4 ln 4 e      f   1  f   4 4 1 .e  e . f   1 f   1
Câu 32. Cho hàm số f  x nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên 0; thỏa mãn điều kiện f  
1  1 và f  x  f  x 3x 1, x
  0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. 1  f 5  2.
B. 2  f 5  3.
C. 4  f 5  5.
D. 3  f 5  4. Lời giải Chọn D f  x 1 1
+) Từ giải thiết, ta có f  x  f  x 3x 1  
 ln f  x      f  x   3x 1 3x 1 1 2
 ln f  x 
dx  ln f  x  3x 1  C.  3x 1 3 4 4 2 3x 1  4 +) Lại có f   1  1  C  
 ln f  x   f 5 3  e  3, 79. 3 3
Câu 33. Cho hàm số f  x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 0  0 và 1
f  x  2x 1
  f  x , x   .    Giá trị của
2xf  x dx  bằng 0 A. e  2. B. e 1. C. e  2. D. . e Lời giải Chọn A  f  x 1
  f  x   
+) Từ giải thiết, ta có  2x 
 2x  ln 1 f x  2x 1 f  x 1 f  x     
  f  x  xdx 
  f  x 2 ln 1 2 ln 1   x  C.      2 2 +) Lại có
          2 0 0 0 ln 1    1   x     x f C f x x f x e f x  e 1.   1 1 2 2 1 1
+) Vậy 2xf  x dx  2x    x e   x 2 1 dx  e  x  e  2. 0 0 0 0
Câu 34. Cho hàm số f  x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn điều kiện 1 f  
1  1 và f  x 
f  x, x
 1;2. Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi x
đồ thị của hàm số y  f  x , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  2 quay quanh trục hoành. 7 5
A. 7 . B. . C. . D. 3 . 3 3 Lời giải Chọn B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 f  x 1 1
+) Từ giả thiết, ta có f  x  f  x  
 ln f  x      x f  x x   x 1
 ln f  x 
dx  ln f  x  ln x  C.  x 2 2 3  x 2 7 +) Lại có f  
1  1  C  0  f  x 2
 x  V   f  x 2
dx   x dx   .   3 1 3 1 1
Câu 35. (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số f  x thỏa mãn
   2 .    ex f x x f x
f  x với f  x  0, x
 và f 0  1. Khi đó f   1 bằng A. e 1. B. e 2 e  . C. e 1. D. e 1 e  . Lời giải Chọn B
Từ giả thiết:    2 .    ex f x x f x
f  x , ta có f   x
    ex f x f x  2x 
 ex  2x (vì f  x  0, x  ) f  x f   x  dx  
ex  2xdx    2 ln  ex f x  x  C . f  x
Mà f 0  1 nên C  1  . Khi đó, ta được: f  x x 2 ln  e  x 1.
Thế x  1 , ta có: ln f  
1  e  2  f   e2 1  e .
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: b b b b
Cho u '(x). f u(x).dx  , tính f (x).dx  . Hoặc cho f (x).dx 
, tính u '(x). f u(x).dx  . a a a a
Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t  u(x) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì
không phụ thuộc vào biến số. 4 2 Câu 36. Cho
f  x dx  16  . Tính
f 2x dx  0 0 A. 16 . B. 4 . C. 32 . D. 8 . Lời giải Chọn D 2 1 Xét tích phân
f 2x dx 
. Đặt 2x  t  dx 
dt . Khi x  0 thì t  0 ; khi x  2 thì t  4 . 2 0 2 4 1 4 1 1
Do đó f 2x dx  f t  dt   
f  x dx   .16  8 . 2 2 2 0 0 0 2 4 f  x  Câu 37. Cho
f  x dx  2  . Tính I  dx  bằng x 1 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 A. I  1. B. I  2 . C. I  4 . D. I  . 2 Lời giải Chọn C 1 Đặt t  x  dt 
dx ; đổi cận: x  1  t  1, x  4  t  2 2 x 4 f  x  2 2 I  dx 
f t  2dt  2 f t  dt  2.2  4    . x 1 1 1  16 f  x  2
Câu 38. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn dx  6  và
f sin x cos d x x  3  . Tính x 1 0 4 tích phân I 
f  x dx  . 0 A. I  2  . B. I  6 . C. I  9 . D. I  2 . Lời giải Chọn B 16 f  x  dx Xét I  dx  6 
, đặt x  t   dt x 2 x 1 4 4 6
Đổi cận: x  1  t  1; x  16  t  4 nên I  2 f t  dt  6  
f t  dt   3  . 2 1 1  2  J 
f sin x cos xdx  3 
, đặt sin x  u  cos d x x  du 0  1
Đổi cận: x  0  u  0 ; x 
 u  1  J 
f u du  3  2 0 4 1 4 Vậy I 
f  x dx  f  x dx  f  x dx  3  3  6    . 0 0 1 1 2
Câu 39. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa f 2x dx  2  và
f 6x dx  14  . Tính 0 0 2 f
 5 x  2dx . 2  A. 30 . B. 32 . C. 34 . D. 36 . Lời giải Chọn B 1 + Xét
f 2x dx  2 
. Đặt u  2x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x  1  u  2 . 0 1 2 1 2 Nên 2 
f 2x dx  
f u du  
f u du  4  . 2 0 0 0 2 + Xét
f 6x dx  14 
. Đặt v  6x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 12 1 12 Nên 14 
f 6x dx  
f v dv  
f v dv  84  . 6 0 0 0 2 0 2 + Xét f
 5 x  2dx  f
 5 x  2dx  f
 5 x  2dx . 2  2  0 0 * Tính I 
f 5 x  2 dx . 1    2 
Đặt t  5 x  2 .Khi 2
  x  0 , t  5
 x  2  dt  5  dx ; x  2
  t  12 ; x  0  t  2 . 2 1  12 2 1   1 I  f t dt  f t dt  f t dt  84  4 16 . 1            5 5 5 12  0 0  2 * Tính I 
f 5 x  2 dx . 1    0
Đặt t  5 x  2 .Khi 0  x  2 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 12 1 12 2 1   1 I  f t dt  f t dt  f t dt  84  4 16 . 2            5 5 5 2  0 0  2 Vậy f
 5 x  2dx  32 . 2  2 0
Hoặc: Do hàm f 5 x  2 là hàm số chẵn nên f
 5 x  2dx  2 f
 5 x  2dx  2.16  32 . 2  2  2
Câu 40. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi) Cho I 
f  x dx  2  . Giá trị của 1  2 sin .
x f  3cos x 1 J  dx  bằng 3cos x  1 0 4 4 A. 2. B.  . C. . D. 2  . 3 3 Lời giải Chọn C 3sin x
Đặt t  3cos x 1  dt  dx . 2 3cos x 1 
Đổi cận: x  0  t  2 ; x   t  1. 2 1 2 2 2 2 2 2 4 Khi đó: J  
f t  dt 
f t  dt 
f  x dx  .2     . 3 3 3 3 3 2 1 1 f 2 x   1 ln x
Câu 41. Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn f  x   . Tính tích x x 4 phân I 
f  x dx  . 3 A. 2 I  3  2 ln 2 . B. 2 I  2 ln 2 . C. 2 I  ln 2 .
D. I  2 ln 2 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Lời giải Chọn B 4 4  f 2 x 1   ln x
4 f 2 x   4 1 ln x Ta có
f  x dx      dx   dx  dx   .  x x  x x 1 1   1 1
4 f 2 x   1 Xét K  dx  . x 1 t 1 dx 3 3
Đặt 2 x 1  t  x  
 dt .  K 
f t dt  
f  xdx  . 2 x 1 1 4 4 ln x 4 2 ln x Xét M  dx   ln d x ln x    2 2 ln 2 . x 2 1 1 1 4 3 4
Do đó f  x dx  f  x 2 dx  2 ln 2    f  x 2 dx  2 ln 2  . 1 1 3  1 2 3 Câu 42. Cho f 2x   1 dx  12 và 2 f sin x sin 2 d x x  3 . Tính
f  xdx .      0 0 0 A. 26 . B. 22 . C. 27 . D. 15 . Lời giải Chọn C 3 3 3 3  t 1  1 1
Đặt 2x 1  t  12  f t  d 
f t  dt  f x dx  f x dx  24.            2  2 2 1 1 1 1    2 2 2 Ta có f   2 sin xsin 2 d x x  f   2
sin x.2sin xcos d x x  2 sin . x f   2
sin xd sin x 0 0 0  2 1 1  f   2 sin xd  2
sin x  f udu  
f  x dx  3  0 0 0 3 1 3 
f  x dx  f x dx  f x dx  3  24  27 .        0 0 1 3
Câu 43. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và thỏa mãn f 4  x  f  x . Biết xf  xdx  5  . 1 3 Tính I 
f  x dx  . 1 5 7 9 11 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Cho hàm số f  x liên tục trên  ;
a b và thỏa mãn điều kiện f a  b  x  f  x, x   ; a b . Khi đó b b a  b
xf  x dx 
f  x dx   2 a a Chứng minh:
Đặt t  a  b  x  dx  d
 t , với x a;b. Đổi cận: khi x  a  t  b ; khi x  b  t  b b b a
Ta có xf  x dx  xf a  b  x dx   a  b  t  f t  dt    a a b b b b b b
 a  b  t  f t  dt  a  b f t  dt  tf t  dt  a  b f  x dx  xf  xdx      a a a a a b b b b a  b
 2 xf  x dx  a  b f  x dx 
xf  x dx 
f  x dx     . 2 a a a a
Áp dụng tính chất trên với a  1, b  3 .
f  x liên tục trên  ;
a b và thỏa mãn f 1 3 x  f  x . 3 3 3 1 3 5
Khi đó xf  x dx 
f  x dx  f  xdx     . 4 2 1 1 1
Cách 2: Đổi biến trực tiếp:
Đặt t  4  x , với x 1;  3 . 3 3 3 3 3
Ta có xf  xdx  xf 4  x dx  4  t  f t  dt  4 f t  dt  t. f t  dt      1 1 1 1 1 3 3 5
 5  4 f t  dt  5  f t  dt    . 2 1 1
Câu 44. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 1; 
3 thỏa mãn f 4  x  f  x, x  1;  3 và 3 3
xf  x dx  2   . Giá trị
f  x dx  bằng 1 1 A. 2 . B. 1. C. 2  . D. 1. Lời giải Chọn B 3
Xét I  xf (x)dx  (1). 1
Đặt x  4  t , ta có dx  dt ; x  1  t  3 , x  3  t  1 . 3 3 3
Suy ra I  4  t  f (4  t)dt 
 4  t  f (t)dt 
, hay I  4  x f (x)dx  (2). 1 1 1 3 3 I
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2I  4 f (x)dx  
f (x)dx   1  . 2 1 1
Câu 45. (HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN) Cho hàm số f  x liên tục trên  và thỏa mãn  2 4 e f  2 ln x 2 f 2x tan . x f   2
cos xdx  2 và dx  2  . Tính dx  . x ln x x 0 e 1 4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn D   f  2 4 4 cos 1 x 2  * I  tan .
x f cos x dx  .sin2 d x x 1     . 2 2 cos x 0 0 Đặt 2
cos x  t  sin 2 d x x  dt . Đổi cận  x 0 4 1 t 1 2 1 2 1 f t  Khi đó I   dt 1  2 t 1 . 2 f ln x 2 2 f  2 e e ln 1 x  2ln x * I  dx  . dx 2   . 2 x ln x 2 ln x x e e 2 ln x Đặt 2 ln x  t  dx  dt . x Đổi cận x e 2 e t 1 4 4 1 f t Khi đó I  dt 2  2 t 1 . 2 f 2x 1 * Tính I  dx 
. Đặt 2x  t  dx  dt . x 2 1 4 Đổi cận 1 x 2 4 1 t 4 2 4 f t 1 f t  4 f t  Khi đó I  dt  dt  dt  4  4  8    . t t t 1 1 1 2 2 .
Câu 46. (CHUYÊN KHTN) Cho hàm số f (x) liên tục trên  thỏa mãn  3 8 3 f ( x ) 2 2 f (x ) 2 tan .
x f (cos x)dx  dx  6   . Tính tích phân dx  x x 0 1 1 2 A. 4 B. 6 C. 7 D. 10 Lời giải Chọn C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn +) Đặt 3 3 2 t 
x  t  x  3t dt  dx Đổi cận: 8 3 2 2 f ( x ) f (t) f (t) 2 f (t) Khi đó 2 dx  3t dt  3 dt  6    dt  2 3   x t t t 1 1 1 1 1 +) Đặt 2 2
t  cos x  dt  2
 cos x sin xdx  dt  2
 cos x tan xdx  tan xdx   dt 2t Đổi cận:  1 3 4 1 1 f (t) f (t) Khi đó 2 tan .
x f (cos x)dx   dt  6  dt  12    2 t t 0 1 1 4 dx dx 1 dt +) Đặt 2 2
t  x  dt  2xdx  dt  2x   x x 2 t Đổi cận: 2 2 2 1 2 f (x ) 1 f (t) 1 f (t) 1 f (t) 2 12 Khi đó dx  dt  dt  dt   7     x 2 t 2 t 2 t 2 1 1 1 1 2 4 4  4 1 2 x f  x 1
Câu 47. Cho hàm số f  x liên tục trên R và f tan x dx  4; dx  2   . Tính I 
f  x dx 2  . x 1 0 0 0 A. I  6 . B. I  2 . C. I  3 . D. I  1. Lời giải Chọn A  4 1 f t  Từ
f  t anx dx  4 
; Ta đặt t  tan x ta được dt  4  2t 1 0 0 1 x f  x 1  2 2 x 1  1 f  x 1 1 f x Từ dx  2  dx  2  f x dx  dx  2  2  2     2 x 1 x 1 x 1 0 0 0 0 1 1 f  x 
f  x dx  2  dx  2  4  6   . 2 x 1 0 0
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: b Tính
f  x dx 
, biết hàm số f  x thỏa mãn : .
A f  x  .
B u . f u C. f a  b  x  g x. a
Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :
+ Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số , A B, C . b b
+ Nếu f  x liên tục trên  ;
a b thì f a  b  x dx 
f  x dx   a a u  b b
 a   a 1 + Với  thì
f  x dx 
g  x dx   . u
 b  b 
A  B  C a a u  b b
 a   b 1 + Với  thì
f  x dx 
g  x dx   . u
 b  a 
A  B  C a a
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
+ Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1. 6 1
Câu 48. Cho hàm số f  x liên tục trên 0; 
1 thỏa mãn f  x 2  6x f  3 x   . Tính
f  x dx  3x 1 0 A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 6 . Lời giải Chọn B
Cách 1: (Dùng công thức) 6 6
Biến đổi f  x 2  6x f  3 x    f  x 2
 2.3x . f  3 x   
với A  1 , B  2 . 3x 1 3x 1 1 1 1 6 
Áp dụng công thức ta có:
f  x dx  dx  4   . 1 2  3x 1 0   0
Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức) 6 1 1 1 1 Từ f  x 2  6x f  3 x    f  x 2 dx  2 3x f    3 x dx  6  dx  3x 1 3x 1 0 0 0 Đặt 3 2
u  x  du  3x dx ; Với x  0  u  0 và x  1  u  1. 1 1 1 Khi đó 2 3x f   3
x dx  f udu  f  xdx  
thay vào * , ta được: 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
f  x dx  2 f  x dx  6 dx    
f  x dx  6 dx  4   . 3x 1 3x 1 0 0 0 0 0
Câu 49. Cho hàm số f (x) liên tục trên 0; 2 và thỏa mãn điều kiện f  x  f 2  x  2x . Tính giá 2
trị của tích phân I 
f  x dx  . 0 1 4 A. I  4  . B. I  . C. I  .
D. I  2 . 2 3 Lời giải Chọn D
Cách 1:(Dùng công thức) 2 2 2 1 2 x
Với f  x  f 2  x  2x ta có A 1 ; B 1 , suy ra: I  f  x dx   2x dx    2 . 11 2 0 0 0
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 2 2 2
Từ f  x  f 2  x  2x  f  x dx  f 2  x dx  2xdx     4 (*) 0 0 0
Đặt u  2  x  du   dx ; Với x  0  u  2 và x  2  u  0 . 2 2 2 Suy ra
f 2  x dx  
f u du 
 f  x dx  . 0 0 0 2 2
Thay vào (*), ta được 2 f  x dx  4 
 f  x dx  2  . 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Câu 50. Xét hàm số f  x liên tục trên1;2 và thỏa mãn f  x  xf  2
x    f   x 3 2 2 3 1  4x . Tính 2
giá trị của tích phân I 
f  x dx  . 1  5 A. I  5 . B. I  . C. I  3 . D. I  15 . 2 Lời giải Chọn C
Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)
Với: f  x   x f  2
x    f   x 3 2 2 3 1  4x . Ta có: u     1  1
A  1; B  1; C  3 và 2
u  x  2 thỏa mãn 
. Khi đó áp dụng công thức có: u  2  2  2 2 2 4 1 x I  f  x 3  4x dx   3   . 1 1 3 5 1 1 1
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ f  x  xf  2
x    f   x 3 2 2 3 1  4x . 2 2 2 2 
f  x dx  2 . x f    2
x  2dx  3 f 1 x 3 dx  4x dx *   1  1  1  1  +) Đặt 2
u  x  2  du  2 xdx ; với x  1   u  1
 và x  2  u  2 . 2 2 2 Khi đó 2 . x f   2
x  2dx  f udu  f xdx   1   1  1  1 
+) Đặt t  1 x  dt  d  x ; Với x  1
  t  2 và x  2  t  1  . 2 2 2 Khi đó
f 1 x dx  f t dt 
f  x dx 2    1  1  1  2 2 Thay  
1 , 2 vào * ta được: 5 f  x dx  15 
f  x dx  3   . 1  1 
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 Phương pháp:
Lần lượt đặt t  u  x và t  v  x để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn f  x ) để suy ra hàm
số f  x (nếu u  x  x thì chỉ cần đặt một lần t  v  x ).
Các kết quả đặc biệt:  x  b   x  c  . A g  . B g      a   a  Cho .
A f ax  b  .
B f ax  c  g  x với 2 2
A  B ) khi đó f  x  (*) 2 2 A  B .
A g  x  . B g x + Hệ quả 1 của (*): .
A f  x  .
B f x  g  x  f  x  2 2 A  B g  x + Hệ quả 2 của (*): .
A f  x  .
B f x  g  x  f  x 
với g  x là hàm số chẵn. A  B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2  1  f  x
Câu 51. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và f  x  2 f  3x   . Tính I  dx  .  x  x 1 2 3 1 A. I  . B. I  1. C. I  . D. I  1. 2 2 Lời giải Chọn A 1 1  1  3  1  3 Đặt, t 
 x  khi đó điều kiện trở thành f  2 f  
t   2 f  x  f  .   x t  t  t  x  x  1  6  1 
Hay 4 f  x  2 f   
, kết hợp với điều kiện f  x  2 f  3x   . Suy ra :  x  x  x  2 6 f  x 2 2 f  x 2  2   2   3
3 f  x   3x   1  I  dx  1 dx   x  . 2      1 x x x 2 x  x   x  2 1 1 2 2 2 1 
Câu 52. (NGUYỄN DU DAK-LAK 2019) Cho hàm số y  f  x liên tục trên ;3  thỏa mãn 3    3  1  f  x f  x 3  x. f  x  x  
. Giá trị tích phân I  dx  bằng 2  x  x  x 1 3 8 2 3 16 A. . B. . C. . D. . 9 3 4 9 Lờigiải Chọn A 1 1 + Đặt x   dx   dt . t 2 t 1 1 + Đổi cận: x 
 t  3; x  3  t  . 3 3 1  1   1  f f 3 f  x 3   3    t  1  t  + Ta có I  dx   . dt  dt  2  2  . x  x 1 1 t t 1 1 3 1  2 3 3 t t Suy ra:  1   1  f f x  . x f 3 f  x 3   3     3 x x x  x   1  x       3 1 16 2I  dx  dx  dx  dx  x 1 dx   2       . x  x x  1 x x 1 x x 1 9 1 1 1   1   1 3 3 3 3 3 8 Vậy I  . 9  2  15x
Câu 53. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  \ 
0 và thỏa mãn 2 f 3x  3 f     ,  x  2 3 9 2  1 
f  x dx  k  . Tính I  f dx
   theo k .  x  3 1 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 45  k 45  k 45  k 45  2k A. I   . B. I  . C. I  . D. I  . 9 9 9 9 Lời giải Chọn A 1 x   t  1 1 2
Đặt t  2x  dx  dt . Đổi cận . 2 3 x   t  3 2 3 1  2  Khi đó I  f dx    . 2  t  1  2  15x  2  5x 2
Mà 2 f 3x  3 f      f    f   3x  x  2  x  2 3 3 3 3 3 1  5x 2  5 1 1 Nên I   
f 3x dx   x dx 
f 3x dx  5 
f 3x dx     (*) 2  2 3    4 3 3 1 1 1 1 1
x  1  u  3
Đặt u  3x  dx  dx . Đổi cận . 3
x  3 t  9 9 1 k 45  k Khi đó I  5  
f t  dt  5      . 9 9 9 3
Câu 54. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và thỏa mãn f x  2018 f  x  2x sin x . Tính giá trị  2 của I 
f  xdx  .   2 2 2 4 1 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2019 1009 2019 1009 Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức)
Với f x  2018 f  x  2x sin x ta có A  1; B  2018   2 2 1 Casio 4 Suy ra I 
f  xdx   2x sin d x x    Đáp án C 1 2018 2019     2 2 Cách 2: g  x Áp dụng Hệ quả 2: .
A f  x  Bf x  g  x  f  x 
với g  x là hàm số chẵn. A  B 2x sin x
Ta có f x  2018 f  x  2x sin x  f  x  2019   2 2 2 Casio 4 I 
f  xdx   x sin d x x    Đáp án C 2019 2019     2 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Câu 55. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và thỏa mãn    2018   x f x
f x  e . Tính giá trị của 1 I 
f  x dx  1  2 e 1 2 e 1 2 e 1 A. I  . B. I  .
C. I  0 . D. I  . 2019e 2018e e Lời giải Chọn A
Cách 1: (Dùng công thức). Với    2018   x f x
f x  e ta có A  1; B  2018 . 1 1 1 1 1 2 e 1 Suy ra I 
f  x dx  x  e dx  x  e  . 1 2018 2019 2019e 1  1  1 
Cách 2: (Dùng công thức) .
A g  x  . B g x Áp dụng Hệ quả 1: .
A f  x  .
B f x  g  x  f  x  . 2 2 A  B Ta có: 2018 x  x e  e 1 1  1    2018   x f x
f x  e  f  x        2018 x  x f x dx
e  e  dx 2 2018 1 2019.2017 1  1  2   e 1 3  1,164.10  (Casio). 2019e
Câu 56. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn f  x  f   x 2 2 2 1  12x .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x tại điểm có hoành độ bằng 1 là
A. y  2x  2 .
B. y  4x  6 .
C. y  2x  6 .
D. y  4x  2 . Lời giải Chọn D Áp dụng kết quả  x  b   x  c  . A g  . B g      a   a  “Cho .
A f ax  b  .
B f ax  c  g  x (với 2 2
A  B ) khi đó f  x  ”. 2 2 A  B Ta có  x   x 1  2.g  g      2   2 
6x  3 x  2 2 1
f  x  f   x 2 2 2 1
 12x  g  x 
 f  x  2 
 x  2x 1. 2 2 1 3  f    1  2 Suy ra 
, khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: y  4x  2 . f     1  4  1
Câu 57. Cho f  x là hàm số chẵn, liên tục trên  thỏa mãn f  xdx  2018 
và g  x là hàm số 0 1
liên tục trên  thỏa mãn g  x  g x  1, x
   . Tính tích phân I 
f  xg  x dx  . 1  1009 A. I  2018 . B. I  . C. I  4036 . D. I  1008 . 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Lời giải Chọn A Áp dụng Hệ quả h x .
A g  x  .
B g x  h  x  g  x 
với h  x là hàm số chẵn. A  B 1 1
Ta có: g  x  g x  1  h x  g  x   . 11 2
Kết hợp với điều kiện f  x là hàm số chẵn, ta có: 1 1 1 1 I 
f  x g  x dx 
f  x dx   
f  xdx  2018  . 2 1  1  0 a a
Chú ý: Nếu f  x là hàm số chẵn, liên tục trên  ; a a 
f  x dx  2 f  x dx   . a 0
Câu 58. Cho số dương a và hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn f  x  f x  a , x    . Giá a trị của biểu thức
f  x dx  bằng a A. 2 2a . B. a . C. 2 a . D. 2a . Lời giải Chọn C a a a a
Đặt x  t 
f  x dx 
f tdt  
f t  dt 
f x dx     a a a  a a a a a a 
f  x x 
 f  x  f x x  a x  f  x 2 x  a  f  x 2 2 d d d 2 d 2 dx  a        .  a  a a a  a  2
Câu 59. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa điều kiện f  x  f x  2sin x . Tính
f  x dx 2 A. 1. B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn B  2 Giả sử I 
f  xdx  .   2    
Đặt t  x  dt  d
 x , đổi cận x    t  x   t   . 2 2 2 2    2 2 Khi đó I  
f t  dt 
f t dt   .    2 2   2 2 Suy ra 2I 
 f  x  f x dx     2 sin d x x  0 
 2I  0  I  0     2 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Câu 60. Cho f (x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x  f x  2  2cos 2x . Tính tích 3 2 phân I 
f  x dx  . 3  2 A. I  3 . B. I  4 . C. I  6 . D. I  8 . Lời giải Chọn C 3 3 2 0 2 Ta có I 
f  x dx 
f  x dx 
f  x dx    . 3 3 0   2 2 0 3 3 Xét
f  x dx 
Đặt t  x  dt  d
 x ; Đổi cận: x    t 
; x  0  t  0 . 2 2 3  2 3 3 0 0 2 2 Suy ra
f  x dx  
f t  dt  f  t   dt 
f x dx     . 3 3 0 0  2 2 3 3 2 2 Theo giả thiết ta có:
f  x  f x  2  2 cos 2x    f x  f xdx  2  2 cos xdx  0 0 3 3 3 2 2 2 
f  x dx 
f x dx  2 sin x dx    0 0 0 3 3 2 0  2 
f  xdx 
f  x dx  2 sin x dx  2 sin x dx     0 3 0 0  2
Câu 61. Cho hàm số y  f  x liên tục trên R và thỏa mãn f  x  f x  2  2cos 2x . Tính  2 I 
f  x dx  .   2 A. I  1. B. I  1. C. I  2  . D. I  2 . Lời giải  2 I 
f  x dx 
(1) Đặt t  x  dt  dx Đổi cận:   2     2 2 2  I  f  t
 .dt   f  t   dt 
f x dx   
(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số      2 2 2 tích phân)   2 2 (1) + (2)  2I 
 f  x  f x dx  2  2 cos 2xdx         2 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn      2 2 2 2 2 
2 1 cos 2xdx   2 2 2 cos xdx  2 cos x dx  2
cos xdx  2sin x  2 1     1   4                2 2 2 2 2  I  2 Chọn D π 4
Câu 62. Cho hàm số f  x liên tục trên  và f x  f  x 2 3 2  tan x . Tính
f  x dx π4 π π π π A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2  . 2 2 4 2 Lời giải Chọn D π  4 4 π  1  π  π  π Cách 1: Ta có 2 tan d x x   1 dx  4 
 tan x  x  1  1  2  2  π    cos x  4  4 2 π   4    4 4 π 4 π  2  
3 f x  2 f  x dx .  2   π  4 π π π π
Đặt t  x  dt  d
 x , đổi cận x    t  , x   t   . 4 4 4 4 π π π 4 4 4 3
 f x  2 f  x dx  3
 f t   2 f t dt 
3 f  x  2 f x dx          π π π    4 4 4 π π π π 4 4 4 π 4 π Suy ra,
f  x dx 
f x dx  2  
3 f x  2 f x  dx  2   f x dx           2   2 π π π π     4 4 4 4 π 4 π Vậy
f  x dx  2   2 π  4
Cách 2: (Trắc nghiệm)
Chọn f  x  f x 2
 tan x (Thỏa mãn giả thiết). π π π 4 4 4  1   Khi đó f  x 2 dx  tan x dx  1 dx  2      2   cos x  2 π π π    4 4 4 1
Câu 63. Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn  ln 2;ln 2 và thỏa mãn f  x  f x  . x e 1 ln 2 Biết
f  x dx  a ln 2  b ln 3   ;
a b   . Tính P  a  b .  ln 2 1 A. P  . B. P  2 . C. P  1  . D. P  2 . 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Lời giải Chọn A ln 2 Gọi I 
f  x dx  . ln 2
Đặt t  x  dt  d  x .
Đổi cận: Với x   ln 2  t  ln 2 ; Với x  ln 2  t   ln 2 . ln 2 ln 2 ln 2 Ta được I   f  t   dt   f  t   dt  
f x dx  . ln 2 ln 2  ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 Khi đó ta có: 2I 
f  x dx 
f x dx   
 f  x  f x dx     dx  . ex 1  ln 2 ln 2 ln 2  ln 2 ln 2 1 Xét dx  . Đặt ex u   d  ex u dx ex 1  ln 2 1
Đổi cận: Với x   ln 2  u 
; x  ln 2  u  2 . 2 ln 2 1 ln 2 ex ln 2 1 Ta được dx   dx   du  ex 1 ex ex 1 u u 1  ln 2    ln 2    ln 2 ln 2  1 1    du   
 ln u  ln u 1  2  ln 2 1  u u 1   ln 2 2 1 1 Vậy ta có a 
, b  0  a  b  . 2 2
Câu 64. Xét hàm số f  x liên tục trên 0; 
1 và thỏa mãn điều kiện 2 f  x  3 f 1 x  x 1 x . 1 Tính tích phân I 
f  xdx  . 0 4 1 4 1 A. I   . B. I  . C. I  . D. I  . 15 15 75 25 Lời giải Chọn C
Cách 1: (Dùng công thức)
Với 2 f  x  3 f 1 x  x 1 x ta có A  2; B  3 . 1 1 1 Casio 4 Suy ra:
f  x dx  x 1 xdx    0, 053  . 2  3 75 0 0 Áp dụng kết quả “Cho .
A f ax  b  .
B f ax  c  g  x (Với 2 2
A  B ) khi đó  x  b   x  c  . A g  . B g        a   a  f x  ”. 2 2 A  B
2g  x  3g 1 x
2x 1 x  31 x x
Ta có: 2 f  x  3 f 1 x  x 1 x  g  x  f  x   . 2 2 2  3 5  1
1 2x 1 x  31 x x Casio 4 Suy ra: I 
f  x dx  dx    0, 053  . 5  75 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 1 1 1 Casio 4 Từ
2 f  x  3 f 1 x  x 1 x  2 f  x dx  3 f 1 x dx  x 1 xdx     0, 2 6   Đặt 15 0 0 0
u  1 x  du  dx ; Với x  0  u  1 và x  1  u  0 . 1 1 1 Suy ra
f 1 x dx  f u du  f  x dx   
thay vào  , ta được: 0 0 0 2 2 4 4
5 f  x dx  
f  x dx    . 15 75 0 0
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 b dx b  a
Bài toán: “ Cho f  x f a  b  x 2 .
 k , khi đó I    k  f x k a   2 Chứng minh: dt  dx 
Đặt t  a  b  x 2   k
và x  a  t  b ; x  b  t  a . f  x   f t   b d b x dx
1 b f  x dx Khi đó I       . k  f x k k k  f x a   2 a a  
k  f t b dx
1 b f  x dx 1 b 1 b  a 2I      dx  b  a   I  . k  f x k k  f x k k 2k a   a   a
Câu 65. Cho hàm số f  x liên tục và nhận giá trị dương trên 0; 
1 . Biết f  x. f 1 x 1 với 1 dx x  0; 
1 . Tính giá trí I  1 f x 0   3 1 A. . B. . C. 1. D. 2 . 2 2 Lời giải Chọn B f  x 1
Ta có: 1 f  x  f  x f 1 x  f  x   1 f  x
f 1 x 1 1 dx Xét I   . 1 f x 0  
Đặt t  1 x  x  1 t  dx  d
 t . Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  0 . 0 1 1 1 dt dt dx
f  x dx Khi đó I          1 f 1 t 1 f 1 t 1 f 1 x 1 f x 1   0   0   0   1 1 dx f  x 1 dx 1 f  x 1 1 Mặt khác   dx  dx  1    
hay 2I  1. Vậy I  . 1 f x 1 f x 1 f (t) 2 0   0   0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Câu 66. Cho hàm số f  x liên tục trên  , ta có f  x  0 và f 0. f 2018  x 1. Giá trị của tích 2018 dx
phân I   1 f x 0   A. I  2018 . B. I  0 C. I  1009 D. 4016 Lời giải Chọn C 2018 1 2018  0 ta có I  dx   1009  . 1 f x 2.1 0  
Câu 67. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm, liên tục trên  và f  x  0 khi x 0;5 Biết . 5 dx
f  x. f 5  x 1 tính tích phân I  ,  .
0 1 f  x 5 5 5 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  10 . 4 3 2 Lời giải Chọn C
Đặt x  5  t  dx  d  t
x  0  t  5 ; x  5  t  0 0 5 dt
f t  dt 1 I     
(do f 5  t   )
5 1 f 5  t 
0 1 f t  f t  5 5  2I  dt  5   I  . 0 2
Câu 68. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên R và f  x  0 khi x  [0; a] ( a  0 ). Biết a dx
f  x. f a  x  1, tính tích phân I   . 1 f x 0   a a a A. I  .
B. I  2a . C. I  . D. I  . 2 3 4 Lời giải: a dx I  
(1) Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận: 1 f x 0   0 a dt 1 a 1  I    dt  dx   
(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc 1 f a  t  f a  t  f a  x a   1 1 0   0   vào biến số tích phân) a  1 1 
(1) + (2)  2I     dx
 1 f x 1 f a   x 0       1    1  
2 2        a f a x f x f a x f x a  dx 
dx  dx  a    I 
1 f  x. f a  x  f  x  f a  x
2  f a  x  f x 2 0     0 Chọn A
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 
 f  x. f  a  x  1
Câu 69. Cho f  x là hàm liên tục trên đoạn 0; a thỏa mãn  và
f  x  0, x    0;a  a dx ba b  , 
trong đó b , c là hai số nguyên dương và
là phân số tối giản. Khi đó b  c có giá 1 f x c c 0  
trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. 11;22. B. 0;9. C. 7; 2  1 . D. 2017; 2020. Lời giải Chọn B
Cách 1. Đặt t  a  x  dt  d  x
Đổi cận x  0  t  a; x  a  t  0. a 0 dx d a t d a x d a x
f  x dx Lúc đó I           1 f x 1 f a  t 1 f a  x 1 1 f x 0   a   0   0 0   1 f x a d a x  d a f x x
Suy ra 2I  I  I    1dx  a    1 f x 1 f x 0   0   0 1 Do đó I 
a  b  1;c  2  b  c  3. 2
Cách 2. Chọn f  x  1 là một hàm thỏa các giả thiết. 1
Dễ dàng tính được I 
a  b  1;c  2  b  c  3. 2
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 :
Câu 70. Cho f  x và g  x là hai hàm số liên tục trên  1  , 
1 và f  x là hàm số chẵn, g  x là hàm 1 1 số lẻ. Biết
f  x dx  5 
và g  x dx  7 
. Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 0 1 1 A.
f  x dx  10  . B.
g  x dx  14  . 1  1  1 C.
 f  x  g  x dx  10    . D. 1  Lời giải
Nhớ 2 tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh: a a a
Câu 71. Nếu hàm f  x CHẴN thì
f  x dx  2 f  x dx  
2. Nếu hàm f  x LẺ thì
f  x dx  0   a 0 a
Nếu chứng minh thì như sau: 1 0 1 Đặt A 
f  x dx 
f  x dx  f  x dx    1  1 0    A1 2 A 0 A  f x dx
   dt  d  x 1    . Đặt t x 1  Đổi cận:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 0 1 1  A  f t  . dt  f t dt  f x dx 1           
(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số 1 0 0 1 tích phân) 
f  x dx 
(Do f  x là hàm chẵn  f x  f  x ) 0 1 1 1 Vậy A 
f  x dx  f  x dx  f  x dx  10    (1) 1  0 0 1 0 1 Đặt B 
g  x dx  g  x dx  g  xdx    1 1 0     B1 2 B 0 B  g x dx
   dt  d  x 1    . Đặt t x 1  Đổi cận: 0 1 1
 B  g t . dt  g t
 dt  g x dx 1           
(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số 1 0 0 1
tích phân)   g  x dx 
(Do f  x là hàm chẵn  g x  g  x ) 0 1 1 1 Vậy B 
g  x dx   g  x dx  g  x dx  0    (2) 1  0 0 Từ (1) và (2) Chọn B 0
Câu 72. Cho hàm số y  f  x là hàm lẻ và liên tục trên  4  ;  4 biết
f x dx  2  và 2  2 4 f  2
 x dx  4  . Tính I 
f  x dx  . 1 0 A. I  1  0 . B. I  6  . C. I  6 . D. I  10 . Lời giải Chọn B x x 2 2 1 a
Cách 1: Sử dụng công thức:
f ax  b dx 
f ax dx   và tính chất
f  x dx  0 
với f  x là hàm a x x a 1 1
số lẻ trên đoạn  ; a a. Áp dụng, ta có: 2 4  2 1 1  2   4  f  2
 x dx  
f  x dx 
f  x dx    
f  x dx  8  . 2  4 2 2  4  1 0 0 2 2  2 
f x dx   f  x  f  x     f  x  2  2 0 0 2 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 4 2  0 4 Suy ra: 0 
f  x dx 
f  x dx 
f  x dx 
f  xdx     4  4  2  0 2 2  0  8 
f  x dx  f  x  dx  I  
 0  8  0  2  I  I  6  . 2  0  0
Cách 2: Xét tích phân
f x dx  2  . 2 
Đặt x  t  dx  d  t . 0 0 2
Đổi cận: khi x  2
 thì t  2 ; khi x  0 thì t  0 do đó
f x dx   f t  dt    f t dt  2  2 0 2 2 
f t dt  2  
f  x dx  2  . 0 0
Do hàm số y  f  x là hàm số lẻ nên f 2x   f 2x . 2 2 2
Do đó f 2x dx   f 2x dx   
f 2x dx  4   . 1 1 1 2 Xét
f 2x dx  . 1 1
Đặt 2x  t  dx  dt . 2 2 4 1
Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  2 thì t  4 do đó f 2x dx 
f t dt  4   2 1 2 4 4 
f t dt  8   
f  x dx  8   . 2 2 4 2 4 Do I 
f  x dx  
f  x dx  f  x dx    2  8  6  . 0 0 2 1 f 2x
Câu 73. (SỞ ĐÀ NẴNG 2019) Cho hàm số chẵn y  f  x liên tục trên  và dx  8  . Giá trị 1 5x 1  2 của
f  x dx  bằng: 0 A. 8 . B. 2 . C. 1. D. 16 . Lời giải Chọn D 1 f 2x 0 f 2x 1 f 2x +) Ta có 8  dx   dx  dx   . (1) 1 5x 1 5x 1 5x 1  1  0 0 f 2x Xét I  dx  : 1 5x 1 
Đặt t  x  dt  d
 x . Đổi cận: x  1
  t  1 và x  0  t  0 . Khi đó 0 f  2  t  1 f  2  t 
1 5t f 2t  I  dt   dt  dt     . 1 5 t 1 5t 5t 1 1 0 0
Vì y  f  x là hàm chẵn trên  nên f 2t   f 2t  , t    .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 5t f 2t  1 5x f 2x Do đó I  dt   dx  . Thay vào (1) thu được 5t 1 5x 1 0 0 1 5x f 2x 1 f 2x 1 5x   1 f 2x 1 8  dx  dx    dx  
f 2x dx  . 5x 1 1 5x 5x 1 0 0 0 0 1 1 2 
f 2x d 2x  8  
f t  dt  16  . 2 0 0 1
Câu 74. Cho f  x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn 1;  1 và
f  x dx  2  . Kết quả 1  1 f  x I  dx  bằng 1 ex 1  A. I  1. B. I  3 . C. I  2 . D. I  4 . Lời giải Chọn A 1 f  x 0 f  x 1 f  x I  dx  dx 
dx  I  I  x  x  x 1 2 1 e 1 e 1 e 1  1  0 0 f  x Xét I  dx 1  1ex 1  Đặt x  t   dx  d
 t , đổi cận: x  0  t  0 , x  1   t  1 0 f  x
1 et. f  x I  dt  dt 1     . 1 et 1 et 1 0
1 et. f t 
1 ex. f x Lại có dt  dx   . 1 et 1 ex 0 0 1 f  x 1 t
et . f t  1 f t 
1 1 e . f t  1 1 1 Suy ra: I  dx  dt  dx  dt  f t t  f t t   x  t  t  t  d  d 1   . 1 e 1 e 1 e 1 e 2 1 0 0 0 0 1  1 2 1
Câu 75. Cho y  f  x là hàm số chẵn và liên tục trên .  Biết
f  x dx 
f  x dx  1   . Giá trị của 2 0 1 2
f  x dx  bằng 3x 1 2  A. 1. B. 6 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn D
Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn a f  x a Ta có: dx 
f  x dx 
f x là hàm số chẵn và liên tục trên  ; a a. x  , với   b 1  a 0 Áp dụng ta có: 2 f  x 2 1 2 dx 
f  x dx  f  x dx  f  x dx  1 2  3     3x 1 2  0 0 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 2 1 1 2 Cách 2: Do
f  x dx  
f  x dx  1  
f  xdx 1   và
f  x dx  2  2 0 1 0 1 1 2 2 
f  x dx  f  x dx   
f  x dx  3  . 0 1 0 2 f  x 0 f  x 2 f  x Mặt khác dx   dx  dx  
và y  f  x là hàm số chẵn, liên tục trên  3x 1 3x 1 3x 1 2  2  0
 f x  f  x x    . 0 f  x Xét I  dx 
. Đặt t  x  dx  d  t 3x 1 2  0 f  x 0 f  t   2 f  t   2 3t f t  2 3x f  x Suy ra I  dx    dt =  dt =  dt =  dx  3x 1 3t 1 1 3t 1 3x 1 2  2 0 1 0 0 3t 2 x f  x 0 f  x 2 f  x 2 3x f  x 2 f  x 2 3   1 f  x 2  dx   dx  dx    dx  dx    dx  
f  x dx  3  . 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 2  2  0 0 0 0 0
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4
“ Cho hàm số y  f  x thỏa mãn g  f  x  x  
và g t  là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc nghịch b
biến) trên  .Hãy tính tích phân I 
f  x dx  “ a
Cách giải: Đặt y  f  x  x  g  y  dx  g y dy
x  a  g 
 y  a  y  
Đổi cận x  b  g 
 y  b  y    b  Suy ra I 
f  x dx 
yg  ydy   a  2
Câu 76. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn 3
f  x  f  x  x, x
   . Tính I 
f  x dx 0 3 1 5 A. I  2 . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 4 Lời giải Chọn D
Đặt y  f  x 3
 x  y  y  dx   2 3y   1 dy 3 
x  0  y  y  0  y  0 Đổi cận  3
x  2  y  y  2  y  1  2 1 1 5 Khi đó I 
f  x dx  y  2 3y   1 dy   3
3y  y dy      đáp án D 0 0 0 4
Câu 77. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn 3 f  x 2 2
 3 f  x  6 f  x  x , x    . Tính 5 tích phân I 
f  x dx  . 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 5 5 5 5 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 4 2 12 3 Lời giải Chọn B
Đặt y  f  x 3 2
 x  2y  3y  6y  x   2 d
6 y  y   1 dy . Đổi cận: với 3 2
x  0  2 y  3y  6 y  0  y  0 và 3 2
x  5  2 y  3y  6 y  5  y  1. 1 1 1 5 Khi đó I 
f  x dx  . y 6  2 y  y     1 dy  6  3 2
y  y  ydy   . 2 0 0 0
Câu 78. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn 3
x  f  x  2 f  x  1, x    . Tính 1 I 
f  x dx  . 2  7 7 7 5 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 4 2 3 4 Lời giải Chọn A
Đặt y  f  x 3
 x   y  y   x   2 2 1 d
3y  2dy . Đổi cận: Với 3
x  2   y  2 y 1  2  y  1; 3
x  1   y  2 y 1  1  y  0 . 0 7
Khi đó: I  y  2
3y  2dy   . 4 1
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau: b b
u(x). f '(x).dx 
hoặc u '(x). f (x).dx  . a a 1 1
Câu 79. Cho hàm số f  x thỏa mãn  x  
1 f ' x dx  10  và 2 f  
1  f 0  2 . Tính I  f  x dx  . 0 0
A. I  8 . B. I  8
 . C. I  4 . D. I  4  . Lời giải Chọn B 1
A   x  
1 f ' x dx 
Đặt u  x 1  du  dx , dv  f ' x dx chọn v  f  x 0 1 1 1 1
 A   x  
1 . f  x 1  f  x dx  2 f (1)  f (0)  f  x dx  2  f  xdx  10  f  x dx  8     0 0 0 0 0 5
Câu 80. Cho hàm số y  f  x thỏa mãn f  3 x  3x  
1  3x  2, x  .  Tính I  .
x f  x dx  . 1 5 17 33 A. . B. . C. . D. 1  761. 4 4 4 Lời giải Chọn C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 5 u   x du  dx 5   Đặt   
 I  xf  x  f  x dx  . dv  f    x dx v  f    x 1  1
 f 5  5  x  5   1 Từ f  3 x  3x   1  3x  2   , suy ra I  23 
f  x d . x  f    1  2  x  0  1 dt    2 3x  3 dx 3 
Đặt t  x  3x 1  
 f t   3x  2  Đổi cận: Với 3
t  1  1  x  3x 1  x  0 và 3
t  5  x  3x 1  5  x  1 . 5 1 Casio 33 Khi đó I  23 
f  x dx  23  3x  2 2
3x  3 dx    4 1 0
Câu 81. (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x 1
với f 0  f  
1  1. Biết rằng ex  f  x  f  x dx  e a  b   
, a , b   . Giá trị của biểu thức 0 2019 2019 a  b bằng A. 2018 2 1. B. 2 . C. 0 . D. 2018 2 1 . Lời giải Chọn C Cách 1: 1 1 1
Ta có ex       d  ex   d  ex f x f x x f x x
f  x dx      . 0 0 0
Đặt u  f  x , d  ex v
dx ; ta có du  f  x dx , ex v  . 1 1 1 1
Khi đó, ex  d  ex   1   ex f x x f x
f  x dx x x x 1
 e f x dx  e f  x dx  e f x  0             0     0 0 0 0 1
 ex       d  ex f x f x x f  x 1 
 e. f 1  f 0  e 1 . 0          0 1
Theo đề bài ex  f  x  f  x dx  e a  b   
, a , b   suy ra a  1, b  1  . 0 Do đó a  b    2019 2019 2019 2019 1 1  0 . Cách 2: 1 1 
Ta có ex       d  ex   d  ex f x f x x f x x f  x 1 
 e. f 1  f 0  e 1 . 0             0 0 1
Theo đề bài ex  f  x  f  x dx  e a  b   
, a , b   suy ra a  1, b  1  . 0 Do đó a  b    2019 2019 2019 2019 1 1  0 .
Câu 82. Cho hàm số f  x và g  x liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f 0. f 2  0 và 2
       2ex g x f x x x
. Tính giá trị của tích phân I 
f  x.g x dx  ? 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn A. 4  . B. e  2 . C. 4 . D. 2  e . Lời giải Chọn C
Ta có        2 ex g x f x x x
 g 0  g 2  0 (vì f 0. f 2  0 ) 2 2 2 2 I 
f  x.g x dx  
f  x dg  x 
  f  x.g  x 2  g  x. f  xdx 
  2  2 ex x x dx  4 . 0 0 0 0 0        4 f  x
Câu 83. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm và liên tục trên 0;  thỏa mãn f  3   , dx  1  4     4  cos x 0   4 4 và s  in . x tan .
x f  x dx  2    . Tích phân sin .
x f  x dx  bằng: 0 0 2  3 2 1 3 2 A. 4 . B. . C. . D. 6 . 2 2 Lời giải Chọn B  4 u   sin x du  cos d x x   Ta có: I  sin .
x f  x dx  . Đặt    . dv  f    xdx v  f    x 0    4 3 2 I  sin .
x f  x 4  cos .
x f  x dx    I . 0 1 2 0    4 4  f x  4  f x  2   2   2  sin . x tan .
x f  x dx     sin . x dx   
  1 cos x. dx  . cos x cos x 0 0   0     4  f  x 4   dx  cos . x f     xdx   1 I . cos x 1 0   0 3 2 3 2  2
 I  1  I  1  . 1 2 2
Câu 84. (THPT SƠN TÂY HÀ NỘI 2019) Cho hàm số f  x có đạo hàm trên  và thỏa mãn 3 1
x  f 2x  4 dx  8 
; f 2  2 . Tính I 
f 2x dx  . 0 2  A. I  5  . B. I  1  0 . C. I  5 . D. I  10 . Lời giải Chọn B 3
+ Xét J  x  f  2x  4 dx  8  . 0  1  1
Đặt u  x và dv  f 2x  4dx  d f 
2x  4 , ta được du  dx và v  f 2x  4 .  2  2 3 1 3 1 3 3 1 2 1  J  .
x f 2x  4 
f 2x  4 dx   f 2 
f 2x  4 dx   3 
f 2x  4 dx  . 2 0 2 2 2 2 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 3 1 3 Vì J  8  3 
f 2x  4 dx  8  
f 2x  4 dx  10  . 2 0 0
Đặt 2t  2x  4  2dt  2dx  dt  dx Đổi cận: x 0 3 t 2  1 1 1 I 
f 2t dt 
f 2x dx  10 1       . 2  2  Vậy I  1  0 .
TRƯỜNG HỢP RIÊNG: b b
Khi đề bài cho biết giá trị f a , f b , u  x. f  xdx  h 
,  f  x 2  dx  k   
(với u  x là một biểu a a
thức chứa x đã tường minh), đề tìm f  x trước tiên ta đi tìm 2 số  ,  sao cho b
 f  x  u  x 2 .
   dx  0   
, rồi suy ra f  x  
 .u  x   , sau đó nguyên hàm hai vế để tìm f  x a .
Câu 85. (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hàm số y  f  x liên tục trên 0;  2 , thỏa các 2 2 2 2 2 f  x
điều kiện f 2  1 và f  x dx   f  x dx      . Giá trị của dx  : 3 2 x 0 0 1 1 1 A. 1. B. 2. C. . D. . 4 3 Lời giải Chọn C u 
  f  x
du  f  x dx Đặt    dv  dx v   x   2 2 2 2 2 4 
f  x dx  .
x f  x 2  .
x f  x dx  2  .
x f  x dx   .
x f   xdx   2       . 0 3 3 0 0 0 0 2 2 3 1 x 2 Ta lại có: 2 x dx    . 4 12 3 0 0 2 2 2 2 2 2 1 2 4 2  1 
Do đó:  f  x dx  . x f  x 2 dx  x dx    
f  x  x dx  0       4 3 3 3  2    0 0 0 0 2 2 1  1 
 f  x  x  0 (vì
f  x  x dx  0 , x  0; 2  ) 2  2    0 1  f  x 2 
x  C  f 2  1 C  C  0 . 4 2 1 f x 1 1 1 2   2 2
Vậy f  x  x  dx  dx  x   2  . 4 x 4 4 4 1 1 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Câu 86. (CHUYÊN VINH LẦN 3) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn 1 1 1 2 1 f   1  4 ,
 f  x dx  36    và .
x f  xdx   . Tích phân
f  x dx  bằng 5 0 0 0 5 3 2 A. . B. . C. 4 . D. . 6 2 3 Lời giải Chọn B 1 1 1 Từ giả thiết: .
x f  xdx    5 .
x f  x dx  1  . 5 0 0         du
f  x dx u f x  Đặt:    5 . 2 dv  5 d x x v  x    2 1 1 1 5 5 Ta có: I  5 . x f  x 2 dx 
x . f  x 2 
x . f  x dx   2 2 0 0 0 1 5 5 1 5  . f   2 1 
x . f  x dx  2  10 
x . f  x dx  , (vì f   1  4 ) 2 2 2 0 0 1 1 5 1 18 Mà: I  5 .
x f  x dx  1  2  1  10 
x . f  x dx  2
 x . f  x dx   2 5 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2
 10 x . f  x dx  36  2
 10 x . f  x dx   f  x dx     , (theo giả thiết:
 f  x dx  36    ) 0 0 0 0 1 1  1
 0x . f x   f x 2 2     dx  0   f  x 2 1
 0x  f  x dx  0         0 0 3 10x 2
 10x  f  x  0  f  x 2
 10x  f  x   C 3 10.1 2 3 10x 2 Với f   1  4  4   C  C 
. Khi đó: f  x   . 3 3 3 3 1 1 1 3  10x 2  4  5x 2  3 Vậy:
f  x dx   dx      x    . 3 3 6 3 2 0 0     0
Câu 87. (CHUYÊN VINH LẦN 3) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 thỏa mãn 2 2 2 2 1
f 2  3 ,  f  x dx  4  2   và
x f  x dx   . Tích phân
f  x dx  bằng 3 0 0 0 2 297 562 266 A. . B. . C. . D. . 115 115 115 115 Lời giải Chọn C 2 1 2 Từ giả thiết: 2
x f  x dx   2
 3x f  x dx  1  . 3 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 Tính: 2
I  3x f  x dx  . 0 u   f   x du  f    xdx Đặt:    . 2 3
dv  3x dx  v  x  2 2 2 2 Ta có: 2
I  3x f  x 3
dx  x . f  x 3
 x . f  x dx   3
 24  x . f  x dx 
, (vì f 2  3 ) 0 0 0 0 2 2 Mà: 2
I  3x f  x dx  1  3
 1  24  x . f  x dx  0 0 2 2 4 3
 x . f  x dx  23  3 
x . f  x dx  4  23 0 0 2 2 4 1 2 
x . f  xdx   f  x 2 3  dx   , (theo giả thiết:
 f  x dx  4  ) 23     0 0 0 2 2  4   4  
x . f  x   f  x 2 3  dx  0  3      f  x x
f  x dx  0  23         23  0 0 4 4 1 3 
x  f   x  0  f  x 3 
x  f  x 4  x  C 23 23 23 16 53
Với f 2  3  3   C  C  . 23 23 1 53
Khi đó: f  x 4  x  . 23 23 2 2 2  1 53   1 53  562 Vậy f  x 4 dx  x  dx   5    x  x    .  23 23   115 23  115 0 0 0
Câu 88. (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa 2 2 2 2 1 2 mãn  x   1
f  x dx   
, f 2  0 ,  f  x dx  7  . Tính I 
f  x dx  . 3   1 1 1 7 7 7 7 A. I  . B. I   . C. I   . D. I  . 5 5 20 20 Lời giải Chọn B u
  f  x
du  f  x dx   Đặt  ta được  1
 v   x  2 d 1 dx  v   x   3 1  3 2 2 2 2 1 3 1 3 Khi đó  x   1
f  x dx   x   1 f  x   x   1
f  x dx   . 3 3 1 1 1 2 1 1 2 3      x  3 1
f   x dx  .   x   1
f   x dx  1  . 3 3 1 1 2 2 3
Xét  f   x  k  x   1  dx  0  k   .   1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 2 2
  f   x 2
 dx  2k  x  3 1
f  x dx  k  x  6 2 1 dx  0      . 1 1 1 2 k x  4 7 1  7  2k 
 0  k  7  f  x   x  3 7
1 .  f  x   C . 7 4 7  x  4 7 1 7
Do f 2  0 nên C    f  x   4 4 4 2 2 5 7   4 7  x   1 7 Vậy I  x  1 1    dx     x   . 4   4  5 5 1    1
Câu 89. (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm f  x có đạo 2 2 2 1 1
hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn f 2 =0 ,  f x dx  và  x  
1 f  x dx    . Tính 45 30 1 1 2 I 
f  xdx  . 1 1 1 1 1 A. I   . B. I   . C. I  . D. I   . 36 15 12 12 Lời giải Chọn D
du  f  x dx 2 u   f   x 
Xét: E   x  
1 f  x dx  . Đặt    .  v   x     x 2 1 d 1 dx 1  v   2  2 x  2 1 2 x  2 1  x  2 2 2 1 2 x   1 1  E  . f  x 
f  x dx  
f  xdx    
f  x dx    2 1 2 2 2 30 1 1 1 2 1 2 2 4 1 2 1   x  2
1 f   x dx  .  Ta có:  x   1 dx  
và  f x dx  . 15 5 45 1 1 1 2 2 2
Ta tìm số k để  f x  k x   1  dx  0. 1 2 2 2 2  2
f   x  k  x  2
1  dx  0   f x2 dx  2k f x.x  2 1 dx  k  x  4 2 1 dx  0   1 1 1 1 1 1 1 1 2   2k.
 k .  0  k  . 45 15 5 3 2 2  1 2  1 2 1 3 Khi đó: f 
 x  x   1
dx  0  f  
 x   x   1
 0  f  x   x   1  C .  3  3 9 1 2 2 1  1 3 1  1 3 1  1
Mà f 2  0  C 
 f  x   x   1  
f  xdx   x   1  dx     . 9 9 9  9 9    12 1 1
Câu 90. (THPT NGHÈN LẦN 1) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa 1 1 1 1 2 9 mãn f   1  1,
x f  x dx   và
 f  x dx  
. Tính tích phân I 
f  x dx  . 5   5 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 3 1 1 4 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 4 5 4 5 Lời giải Chọn C
du  f  x dx 1 u 
  f  x 
Xét A  x f  xdx  . Đặt 2    x . dv  d x x 0  v   2 1 2 1 1 1 x 1 1 1 1 3  A  f  x 2  x f  x 2 dx  
x f  x dx    2
 x f  x dx   . 2 2 2 2 5 5 0 0 0 0 1 1 1 2 9 3 1 + Xét
 f  x 2
 dx  2k x f  x 2 4 dx  k x dx  0        1 2   2k. 
k  0  k  3 . 5 5 5 0 0 0 1 1 1 1 2   2 1 trở thành
 f  x 2
 dx  6 x f  x 4
dx  9 x dx  0  2    
  f x 3x  dx  0. 0 0 0 0 1  2 2 f  x 2
 3x   0   f x 2
 3x  dx  0 . 0 1 2
Do đó  f x 2
 3x  dx  0  f  x 2
 3x  0  f   x 2
 x  f  x 2 3 3
 3x dx  x  C  0
f     f  x 3 1 1  x . 1 1 1 I  f  x 3
dx  x dx    . 4 0 0
Câu 91. (SỞ ĐÀ NẴNG 2019) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  1  ;  1 và thỏa f   1  0 , 1
 f x2  f x 2 4
 8x 16x  8 với mọi x thuộc  1  ; 
1 . Giá trị của f  x dx  bằng 0 5 2 1 1 A.  . B. . C. . D.  . 3 3 5 3 Lời giải Chọn A Cách 1. 1 Đặt I 
2 f  x dx  . 1  u 
  f  x 
du  f   x dx
Dùng tích phân từng phần, ta có:    . dv  2dx 
v  2x  2  1 1 1
I  2x  2 f  x 1  2x  2 f  x dx  4 f  
1  2x  2 f  xdx  
  2x  2 f  x dx  . 1  1  1  1  1 1 1 2 2
Ta có  f  x  f x 2 4
 8x 16x  8    f x dx  2 2 f xdx     2
8x 16x  8dx 1  1  1 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 1 1 1 1 2
   f x2dx  2 2x  2 f xdx  2x  22dx      2
8x 16x  8dx  2x  2 dx  1  1  1  1  1  1 
 f  x  2x  2 2  dx  0   
 f  x  2x  2  f  x 2
 x  2x  C , C   . 1  1 1 5 Mà f   1  0  C  3
  f  x 2
 x  2x  3 
f  x dx   2
x  2x  3dx     . 3 0 0 Cách 2. Chọn   2
f x  ax  bx  c a  0 (lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai).
 f  x  2ax  b . Ta có:  2
f  x2  f x 2 4
 8x 16x  8   ax  b   2
ax  bx  c 2 2 4
 8x  16x  8   2 a  a  2
x   ab  b 2 2 4 4 4 4
x  b  4c  8x 16x  8 2
4a  4a  8 a  1 a  2    
 4ab  4b  16  b   2 hoặc b   4 .  2   b  4c  8   c  3   c  6   Do f  
1  0  a  b  c  0  a  1, b  2 và c  3  . 1 1 5 Vậy f  x 2
 x  2x  3 
f  x dx   2
x  2x  3dx     . 3 0 0
Câu 92. (THUẬN-THÀNH-BẮC-NINH) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa 1 2 mãn f  
1  1 và  f  x   2
x   f  x 6 4 2 4 6 1 .
 40x  44x  32x  4, x  0;  1 . Tích phân
f  xdx 0 bằng? 23 13 17 7 A. . B. . C.  . D.  . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B
 f x2   2
x   f  x 6 4 2 4 6 1 .
 40x  44x  32x  4 1 1 1
  f x2 dx  4   2 6x  
1 . f  x dx   6 4 2
40x  44x  32x  4d . x   1 0 0 0 1 1 Xét I  4   2 6x  
1 . f  x dx   2
24x  4 f  x dx . 0 0 u
  f  x du  f     x dx Đặt    . dv    2 x   3 24 4 dx
v  8x  4x   1 1
 I  8x  4x 1 3
. f  x   3
8x  4x. f  xdx = 4  2 3
4x  2x . f  x d . x 0 0 0 Do đó:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 1 1 1 2 2  
1   f x dx  2 3
4x  2x. f  xdx   3
4x  2x dx   6 4 2
56x  60x  36x  8 d . x 0 0 0 0 1 2
  f  x    3
4x  2x dx  0  f  x 3
 4x  2x  f  x 4 2
 x  x  . c   0 Mà f  
1  1  c  1  f  x 4 2
 x  x 1. 1 1 13
Do đó f  x dx    4 2 x  x   1 dx  . 15 0 0
Câu 93. (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN LẦN 2) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn     2  2   
0;  thỏa mãn:  f  x dx  cos .
x f  xdx      và f  1   . Khi đó tích phân
f  x dx  bằng 2  2  0 0 0    A. 0 . B. 1. C. . D. 1 . 2 2 2 Lời giải Chọn B 
*) Xét tích phân I  cos .
x f  xdx  . 0 u 
  f  x 
du  f  x dx Đặt    dv  cos d x x  v  sin x     I  sin . x f  x  sin .
x f  x dx    sin .
x f  x dx  . 0 0 0   
Theo giả thiết I  , suy ra sin .
x f  xdx    . 2 2 0 
*) Tìm số thực k thỏa mãn f  x  k.sin x  0 . Khi đó  f  x 2
 k.sin x dx  0    . 0   
  f  x 2  dx     2k sin .
x f  x dx  2 2  k sin d x x  0  0 0 0       2  2k.   k .  0 2  
 k  2k  1  0  k  1. 2  2  2
Từ đó, f  x  sin x  0  f  x  sin x  f  x  cos x  C .    Do f  1  
nên C  1. Vậy f  x  cos x 1.  2    2 2   *) Ta có
f  x dx   cos x   1 dx 
 sin x  x 2  1 . 0 2 0 0 Trắc nghiệm:    
Từ giả thiết  f   x 2  dx     và sin .
x f  xdx   
ta suy ra được f  x  sin x . 2 2 0 0
Từ đó giải tiếp như phần trên.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn     
Câu 94. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f  0  
,  f  x 2  dx     và  2  4  2  
cos x f  x dx  
. Tính f 2018  . 4  2 1 A. 1. B. 0 . C. . D. 1. 2 Lời giải Chọn D
Bằng công thức tích phân từng phần ta có     
cos xf  x dx  sin xf  x  sin xf 
sin xf  x dx     xdx     . Suy ra    . 4  2   2 2 2    1 cos 2x
 2x  sin 2x   Hơn nữa ta tính được 2 sin d x x  dx     . 2   4    4   2 2 2     2 2 2 2 2 2
Do đó:  f  x dx  2 sin xf  x 2 dx  sin d
x x  0   f   x  sin x dx  0         . 0 0 0 0   
Suy ra f  x  sin x . Do đó f  x  cos x  C . Vì f  0   nên C  0 .  2 
Ta được f  x  cos x  f 2018   cos2018   1.
Câu 95. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  0 và 1 1 2  1 x e 1
 f  x 2
 dx   x  
1 e f  x dx     
. Tính tích phân I 
f  x dx  . 4 0 0 0 e e 1
A. I  2  e .
B. I  e  2 . C. I  . D. I  . 2 2 Lời giải Chọn B 1 u   f   x du  f    xdx Xét     1 ex A x
f  x dx  . Đặt    dv   x    1 exdx 0  v  ex x  1 1 1 2 1  x 1 e Suy ra  ex    ex A x f x x
f  xdx    ex x
f  x dx   e x
f  x dx   0 4 0 0 0 1 1 2    x x 1 1 1 e 1 Xét 2 2 2 2 x e dx  e x  x      .  2 2 4  4 0 0 1 1 1 1 2 2
Ta có    d  2 ex   2 2 d  e x f x x x f x x x dx  0  x    
  f x  e x  dx  0 0 0 0 0
Suy ra    ex f x x  0 x  0;  1 (do    x f x  x 2 e  0 x  0;  1 )
     ex f x x 
   1 ex f x x  C Do f   1  0 nên
   1 ex f x x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 1 1 Vậy 
 d  1 exd  2  ex I f x x x x x  e  2   . 0 0 0
Câu 96. (THPT-TOÀN-THẮNG-HẢI-PHÒNG) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 1 1 1 2 3 f  x 3 thỏa mãn f   1  0 ,
 f  x dx   2 ln 2    và dx  2 ln 2   . Tích phân
f  x dx  bằng 2 2 x 1 2 0 0   0 1  2 ln 2 3  2 ln 2 3  4 ln 2 1 ln 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có: f  x x . x f  x 1 1 1 1 . x f   x f   1 1 . x f   x 1 . x f     x dx  f x d   dx   dx   dx  2         x 1  x 1  x 1 x 1 2 x 1 x 1 0   0 0 0 0 0 1 . x f  x 1 f  x 3  dx   dx   2 ln 2   . x 1  x  2 1 2 0 0 Mặt khác: 1 2 1 2 1 1 x 1  2 1       1  3 dx  1 dx  1   
 dx  x  2 ln x 1    2 ln 2         x 1   x 1   x 1  x  2 1   x 1  2 0 0 0 0   Khi đó: 1 1 2 . x f  x 1 2  x  3  3  3
 f  x dx  2 dx  dx   2 ln 2  2  2ln 2   2 ln 2  0         x 1  x 1 2  2  2 0 0 0 1 2  2 x  x      
 f  x  2.
. f   x        dx  0 x 1   x 1  0    1 2  x  
f  x  dx  0 *   x 1   0 2 1 2  x   x 
Vì f  x   0,x 0  ;1   nên f  x  dx  0, x  0;  1    .  x 1    x 1 0 x x
Dấu "  " xảy ra  f  x   0, x  0 
;1  f   x  , x  0  ;1 . x 1 x 1 1 1 1 2 1 1 x  1  Khi đó:
f  xdx  . x f  x  .
x f  x dx   dx   x 1 dx      0 x 1  x 1  0 0 0 0 1 2  x  1 1 2 ln 2  
 x  ln x 1   ln 2    2 2 2   0
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1
Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f  x  p  x. f  x  h x Phương pháp:
+ Tìm P( x)  p( x)dx 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
p xdx
+ Nhân hai vế với e ta được f  x
p xdx p x dx p x x .e  p  x   .e
. f  x  h  x  d  P( x) P ( x) P( x) .e  f '(x) e  p(x).e
f (x)  q(x) e     f  x
p xdx p x x .e h  x  d .e      
+ Lấy tích phân hai vế ta được P ( x ) P( x) f (x)e
 q( x)e dx 
. Từ đó suy ra f (x) .
Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f  x  f  x  h  x Phương pháp: 
+ Nhân hai vế với x
e ta được x.   x  .   x  .   x   .   x e f x e f x e h x
e f x   e .h  x   + Suy ra x.   x
e f x  e .h  x dx 
+ Từ đây ta dễ dàng tính được f  x
Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f  x  f  x  h x Phương pháp:  + Nhân hai vế với x
e ta được x.    x  .    x  .    x   .   x e f x e f x e h x e
f x   e .h  x   + Suy ra x.    x e
f x  e .h  xdx 
+ Từ đây ta dễ dàng tính được f  x
Câu 97. (HSG cấp tỉnh – Phú Thọ 2018 – 2019): Cho hàm số f  x thỏa mãn f 0  4 và
f  x  f  x 3  x , x
   . Giá trị của f   1 bằng 10 10 A. 4  . B. 1  0 . C. 2  . D. 2  . e e Lời giải Chọn D 
+) Từ giả thiết, ta có x   x    3 x x      3 x x      3 x e f x e f x x e e f x x e e f x  x e dx    x    3 x 2 x 3 x 2 x x 3 x 2   3   3  6   3 x  6   1 x e f x x e x e dx x e x e xe dx x e x e x e  C 10 10
+) Lại có f 0  4  C 10  f  x 3 2
 x  3x  6x  6   f   1  2   . x e e 9
Câu 98. Cho f  x thỏa mãn f   1   x
và f  x 
f  x     3 ' 2 4 3x 15x 12x e , x  R . e 1 Tính I  f  x d . x 0 4 4 A. I  3  B. I  2e 1 C. I  3  D. I  2e+1 e e Lời giải Chọn C ' Ta có  3x e f  x 3x e  ' f  x 2 f x 3x e  4  3x 4 3x 15x 12x e      15x 12x Do đó: 3x e f  x 4 5 2 d C f  x  5 2 C  3x (15x 12x ) x=3x 6x 3x 6x e         
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 9 Vì f   1 
 C  0  f  x   5 2 3x  6x  3  x e e 1 1  4 Khi đó I 
f  x dx    5 2 3x  6x  3x e dx  3 . e 0 0
Câu 99. Cho hàm số f  x có đạo hàm đến cấp hai và liên tục trên  thỏa mãn f 0  f 0 1 và 1
f  x  f  x  f   x 3 2 2
 x  2x , x    . Tích phân
f  x dx  bằng 0 107 21 107 12 107 21 107 12 A.  . B.  . C.  . D.  . 12 e 21 e 12 e 21 e Lời giải Chọn A
Theo giả thiết ta có: 
f  x  f  x   f  x  f   x 3 2
 x  2x  f  x  f  x   f  x  f  x 3 2  x  2x x  
      x 
      x e f x f x e f x f x  e  3 2
x  2x    x       x e f x f x  e  3 2 x  2x  x        x    3 2   x e f x f x e x x dx  e  3 2 2
x  x  2x  2  C
Mặt khác f 0  f 0 1 nên 11  2
  C  C  4 x        x e f x f x  e  3 2
x  x  2x  2  4 
Do đó  x   x e f x  e  3 2
x  x  2x  2  4 x    x     3 2     x e f x e x x x
  dx  e  3 2 2 2 4
x  4x  10x 12  4x  C  
f     C 
 f  x   x   x 3 2 0 1 13 4 13 e
 x  4x 10x 12 1 1  x 107 21 
f  x dx  4x 13 3 2 e
 x  4x 10x 12 d  x       . 12 e 0 0
Câu 100. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 , f 0  1 và 1      x f x
f x  e 1, x  0;  1 . Tính I 
f  x dx  . 0 A. 2e 1. B. 2e   1 . C. 1 e . D. 1 2e . Lời giải Chọn B
Ta có      x 
1       x  1  x     x     1 x f x f x e f x f x e e f x e f x  e  x        1  x  x      x       x  1 x e f x e e f x x e C f x xe  Ce   . Do
0 1  2       2 x f C f x x e 1. 1
Do đó    2 x I x
e 1 dx  2 e   1    . 0
Câu 101. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn      2 x f x
f x  x e 1, với mọi
x   , f 0  1  . Tính f 3 ? A. 3 6e  3 . B. 2 6e  3 . C. 2 3e 1 . D. 3 9e 1 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Lời giải Chọn D  Ta có:      2 x  x      2 1  x f x f x x e e f
x  x  e   x   2  x e f x  x  e . 3 3 x x e   x Do đó: x e
f  x   x e f  x  x dx   e
 C  f  x  1 x  Ce . 3 3 3 x x e f 0  1 1
  1 C  C  0  f  x    f   3 1 3  9e 1. 3
Câu 102. (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số f  x có đạo hàm trên  thỏa mãn 2 x 2 x 1 
f  x  f  x   2 x   2 1 e , x
   và f  
1  e . Giá trị của f 5 bằng A. 12 3e 1 . B. 17 5e . C. 17 5e 1 . D. 12 3e . Lời giải Chọn B 2 x 2 x 1  2 x 1  Ta có:
f  x  f  x   2 x   2 1 e    x  x f x 
f  x   2 x   2 e e 1 e 2 x 1    '
 x f x   2 x   2 e 1 e . 2 5 5 x 1  2 2 5 x 1  5 x 1    5 
ex f  x dx=  2 x     2 1 e
dx  ex f  x 2 2 2  x e dx  e dx   5 e 
f 5 1  I  I * 1 2   1 1 1 1 1 2 5 x 1  Xét: 2 I  e dx 2  . 1 2 2 x 1  x 1     2  2 Đặt: u  e du  e x dx    . dv  dx v  x   5 2 2 x 1  5 x 1  2 12 2 2 I  e x  x e
dx  5e 1 I  I  I  5e 1   5   f   12     f   17 * e 5 1 5e 1 5  5e . 2 1  12 1 2 1 1
Câu 103. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên  thỏa mãn f  
1  e và  x   f  x  xf  x 3 2  x với
mọi x  . Tính f 2 . A. 2
4e  4e  4 . B. 2
4e  2e  1 . C. 3
2e  2e  2 . D. 2
4e  4e  2 . Lời giải Chọn A x  2
Biến đổi giả thiết  x   f  x  xf  x 3 2
 x  f   x  f  x 2  x x x
e f  x  x  2  x  x x  e    e f x  e  f  x  x  e 2 3    x x 2 x   x e x x 
f x  e dx  e  C     2      2 2 x f x x Cx e x e 1 2 2 1 Mà f  
1  e  C      1 x f x x e x e       e
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Vậy, f      ee   2 2 4 4
1  4e  4e  4 .
Câu 104. Cho hàm số y  f  x có f  x liên tục trên nửa khoảng 0; thỏa mãn      2 3  1 3.e x f x f x   . Khi đó: 1 1 1 1 A. 3 e f   1  f 0   . B. 3 e f   1  f 0   . 2 2 e  3 2 4 2 e  3 e  3 e  3  8 3  2  2 C. e f   1  f 0  .
D. 3 f    f     2   2 e 1 0 e 3 e  3  8 . 3 Lời giải Chọn C 2   e x x 3
Ta có: 3 f  x  f  x 2  1 3.e  ex
Nhân hai vế giả thiết với 3x e ta được 3x    3x     2 x 2 3e e  e e x f x f x  3 . 3x      2 x 2 e   e e x f x  3   . 1 1 
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được 3 e x   2 x 2  d  e e x f x x  3 dx     0 0 1 2 2 3 1 e  3 e  3  8 3   x 1 3  e       2ex f x  3  e f   1  f 0  . 0  3 3 0
Câu 105. Trong những hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 1 ' 2018
3 f (x)  xf (x)  x
. Giá trị nhỏ nhất của I  f (x)dx  là 0 1 1 1 1 A. B. C. D. 2019.2021 2018.2021 2020.2021 2017.2021 Lời giải Chọn A 3 + ' 2018 ' 2017
3 f (x)  xf (x)  x  f (x) 
f (x)  x , x  0 x + ( ) 3 ( )  3ln P x P x x  e  x .
+ Nhân hai vế của (*) cho 3
x ta được x f x  x f x  x   x f x ' 3 ' 2 2019 3 2020 ( ) 3 ( ) ( )  x , đúng x  0;  1 t t 2021 t 1 t
+ Lấy tích phân từ 0 đến hai vế có  3 x f (x) 2020 2021  x dx  x  , t  0;  1  0 2021 2021 0 0 2018 1 1 2018 t t 1  f (t)  
f (t)dt     . 2021 2021 2019.2021 0 0
Câu 106. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên R thỏa mãn      2017 2018 2018  2018. .e x f x f x x với
mọi x   và f 0  2018. Tính giá trị f   1 . A. f   2018 1  2019e . B. f   2  018 1  2018.e . C. f   2018 1  2018.e . D. f   2018 1  2017.e . Lời giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn A
+ P(x)   2018 dx  2018x  + Nhân hai vế với 2018 x e ta được    x  x        x f x e e f x x f x e ' 2018 2018 2017 2018 2017 2018 2018. ( )  2018.x
+ Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được  ( )  x f x e  1 2018 1 2017 2018 |  2018x
dx  f (1)  2019e 0 0
Câu 107. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 0  0 và 1
xf  x  f  x  x  2 2 x  
1 với mọi x 0; 
1 . Tích phân xf  x dx  bằng 0 e  4 1 7 e  4 A. . B. . C. . D. . 8e 6 6 4e Lời giải Chọn A 2 2 2 2
Nhân hai vế giả thiết với x e ta được x   x     x e xf x e f x  e x  2 .2 . . x   1 2  x     2 2 3 x x
e f x   x e  xe    2 x 2 e x x 1 e f  x x  x  2 1 e dx x 2 C f  x x 2 2 2 2 2 x Ce           . 2 2 1 Do 0 0 1    2 2 2 x f C f x x e        . 2 1 1  1    e x 4
Vậy xf  x dx  x    2 x  2 2  e dx   . 2    8e 0 0
Câu 108. (CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0,  . Biết
f 0  2e và f  x luôn thỏa mãn đẳng thức      cos ' sin .  cos . x f x x f x x e , x
 0,  . Tính  I 
f  x.dx 
(làm tròn đến phần trăm). 0 A. I  6, 55 .
B. I  17, 30 . C. I  10, 31. D. I  16, 91. Lời giải Chọn B      cos ' sin .  cos . x f x x f x x e
. Chia hai vế đẳng thức cho cos x e ta được   cosx cos ' . x f x e  e .sin .
x f  x  cos x (vế trái có dạng u 'v  uv ' )     cos . x f x e
'  cos x     cos . x f x e
'dx  cos .xdx     cos . x f x e
 sin x  C . sin x  2
Do f 0  2e nên 1 2 . e e
 C  C  2 . Vậy f  x cos x   e sin x  2 . cos x   e      cos . x I f x dx  e
sin x  2 dx   . 0 0
Sử dụng MTCT (để đơn vị rad). KQ: 10,31
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Câu 109. Suy ra. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  \0;  
1 thỏa mãn điều kiện f   1  2  ln 2 và
x  x   f  x  f  x 2 1 .
 x  x . Giá trị f 2  a  b ln 3, với a,b   . Tính 2 2 a  b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lời giải Chọn B 1
+ Trước tiên ta đưa phương trình về dạng tổng quát f  x  f  x  1 x  x   1 1 x + P(x)  dx  ln 
. (ta chỉ cần xét x>0) x(x 1) x 1 ' x 1 x  x  x
+ Nhân hai vế cho P(x) e
ta được f  x.  f x   f (x).  2     x 1  x   1 x  1  x  1  x 1
+ Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta có 2 2  x  x 3 3 f x  dx      2 3 3 ( ).
x  ln  x  
1   f 2   ln 3. Suy ra a  và b   . 1 1  x 1  x 1 2 2 2 2 1 9 Vậy 2 2 a  b  . 2   
Câu 110. Cho hàm số f  x liên tục và có đạo hàm trên 0; ,   thỏa mãn hệ thức  2  x      
f  x  tan xf  x  . Biết rằng 3 f  f
 a 3  b ln 3 trong đó a, b  .  Tính giá 3     cos x  3   6 
trị của biểu thức P  a  . b 4 2 7 14 A. P   . B. P   . C. P  . D. P  . 9 9 9 9 Lời giải Chọn A x Từ giả thiết  cot .
x f  x  f  x  .cot x 3 cos x cot d x x
Nhân thêm 2 vế với e  sin x ta có x  x
cos xf  x  sin xf  x   s  in xf x   . 2     2 cos x cos x x
Suy ra sin xf  x 
dx  x tan x  ln cos x  C.  2 cos x  3        2  Với x    f  . 3  ln 2   3 f 
. 3  2 ln 2  2C.     3 2  3  3  3  3  1     3 1    1  Với x    f  . 
ln 3  ln 2  C   f 
. 3  ln 3  2 ln 2  2C.     6 2  6  6 3 2  6  9  5       5 a  4 Suy ra 3 f  f   3  ln 3        9 
 P  a  b   .  3   6  9 9 b   1  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Gắn hệ tọa độ Oxyz để giải các bài toán hình học không gian – Phương Nguyễn Toán 12

20 kĩ thuật chinh phục vận dụng cao số phức – Hoàng Xuân Nhàn Toán 12

Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng Toán 12

Phương pháp giải các bài toán Tích phân – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn Toán 12

Phương pháp giải các dạng Tích phân thường gặp Toán 12