Gắn hệ tọa độ Oxyz để giải các bài toán hình học không gian – Phương Nguyễn Toán 12

Gắn hệ tọa độ Oxyz để giải các bài toán hình học không gian – Phương Nguyễn Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

68 34 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Hnh hc không gian lp 12

----------

PHƯƠNG PHP TA Đ

TRONG KHÔNG GIAN

Tc gi : Phương Nguyn

LI NI ĐU

gia 2 đưng thng hoc chng minh song song,vuông gc v.v..... cc

bn đu b (v mnh cng vy :v ). L do l bi v bn đ quên 1 s

kin thc v hnh hc  lp 11 v cc cch tư duy dng hnh. V th

mnh s gip cc bn vưt qua cc bi ton y bng phương php ta

đ ha ny 

Ưu đim :

Nhưc đim :

 Tnh ton d sai

 Đôi khi s chm hơn so vi cch c đin

 t đưc s dng

 Đôi khi nhn rt d ln

 D hiu

 D lm

 Công vic chnh l ch tnh ton

 Không cn chng minh nhiu

 Ph hp vi cc bn hc hnh yu

Như cc bn đu bit , môn Ton l mt môn rt quan trng v c

tm nh hưng rt ln ti vic xt tuyn vo Đi Hc hay Cao Đng

sau ny. Do đ đ c đưc s đim cao trong môn ny , ta cn phi c

1 vn kin thc cn thit v hiu r nhng khi nim , bn cht ton

hc. V trong chuyên đ ngy hôm nay mnh s đ cp đn 1 trong 3

câu hnh hc luôn xut hin trong đ thi đi hc. Đ chnh l cc bi

ton v hnh hc không gian thun ty (c đin) vi phương php gn

h trc Oxyz v gii như mt bi ton gii tch bnh thưng. Đa s

trong cc bi ton ny, mnh thưng thy cc bn ch lm đưc 1/2

yêu cu đ bi (ging mnh lc trưc hihi :v).Cc câu hi cn li như

tm khong cch gia 1 đim đn đưng thng hay tm khong cch

2 2 2

1 1 1 .

AC CD CB

AB BD BC

BC AB AC

AB AC

AD AB AC

AB AC

AD BD CD

AB AC AD BC





   





1 1 1 1 . .

. . .sin . .sin . .sin

2 2 2 2 4

ABC

AB AC BC

S AD BC AB AC A AB BC B AC CB C pr



     

2 2 2

2 2 2 2

2 . .cos

sin sin sin

()

AB BC AC BC AC C

AB BC AC

C A B

AE AB AC BC





  

Phn đu tiên

Cc kin thc quan trng ( cn nh ht :v )

1.Cc công thc v hnh hc

 Din tch cc hnh:

 Tam gic thưng (hoc vuông như trong hnh)



- H thc lưng trong mi tam gic :

(v d tam gic thưng như hnh v )

( vi AD l đưng cao,R l bn knh

đưng trn ngoi tip, p l na chu vi , r l bn knh

đưng trn ni tip )

* M rng :

- H thc lưng trong tam gic vuông

( như hnh v )

( ).

ABCD

AB CD AH





. 2 2

ABCD ABC ADC

S AB AH S S  

AB BC CD DA  

.0AH DC AH DC  

ABCD

S AC BD

AC BD AC BD

AB BC CD DA



  

  

ABCD

S AB BC

AB DC

AD BC



 Hnh thang ( thưng , cân , vuông)

 Hnh bnh hnh

 Hnh thoi

 Hnh ch nht

SABC ABCD

V SA S

2 2 2 2

ABCD

S AB BC CD AD

AB BC CD DA

   

  

 Hnh vuông

2.Cc công thc tnh th tch cc hnh

 Th tch khi chp

Cch tnh : Ly đưng cao nhân din tch đy

ri chia 3

V d như hnh v th :

Ch  :

- Hnh chóp tam gic đu th c đy l tam gic đu v c cc cnh bên

bng nhau nhưng không bng cnh đy (tc l cc mt bên l tam gic cân)

- Hnh chóp đu th c đy l tam gic đu, cc cnh bên bng nhau v bng

vi cnh đy (cc mt bên cng l tam gic đu).

- Còn hnh chóp có đy là tam gic đu v cc cnh bên không bng nhau

th đ bi s ghi l "Cho hnh chp c đy l tam gic đu" v không ni g

thêm.

SABC ABC

V BB S

 Th tch khi lăng tr

Cch tnh : Ging như hnh chp nhưng

không c chia 3

V d như hnh v th :

Ch  :

- Vi lăng tr th c 2 loi : Lăng tr đng v lăng tr xiên . Như hnh v

 trên th đ l lăng tr đng v đi vi loi ny th cc cnh bên đu là

đưng cao và vuông góc vi đy, loi ny rt d lm. Vy cn lăng tr xiên

th sao? Lăng tr xiên l loi lăng tr m cc bn nhn n khc xa hon ton

so vi lăng tr đng, mo mo, v ch c 1 đưng cao :D. V d như hnh v

k bên :D

Vy khi no chng ta bit đ l lăng tr đng

hay xiên đ m v? Rt d, hy theo quy tc sau

 Khi đ bi không ni g  lăng tr đng

 Khi đ bi c yu t hnh chiu

ca 1 đim lên đy lăng tr xiên

1 1 2 2 3 3

( ; ; )a b a b a b a b    

2 2 2

1 2 3

a a a a  

1 2 3

( ; ; )b b b b

1 2 3

. ( ; ; )k a ka ka ka

a b a b







  









, . 0a b c







1 1 2 2 3 3

.a b a b a b a b  

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

, ( ; ; )a b a b a b a b a b a b a b



   



 

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

cos ,

a b a b a b

a a a b b b





   

ABCD

V AB AC AD







1 2 3

b b b

  

3.Cc công thc v h trc ta đ OXYZ

 Vectơ trong không gian:

Cho

1 2 3

( ; ; )a a a a

v

Đ di vectơ :

Tng hiu 2 vectơ

Nhân mt s vi 1 vectơ :

Hai vectơ bng nhau

cng phương

Ba vectơ đng phng

Tch vô hưng

Tch c hưng

Gc to bi 2 vectơ

Th tch t din ABCD

(đôi khi nhiu bi cn dng )

 

0 0 0

1 2 3

x x y y z z

a a a

  



0 0 0

( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z     

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

2 2 2 0

x a y b z c R

x y z ax by cz d

a b c d a b c d



     



      





      



Dạng 1 :

Dạng 2 :

R= (

 

cos ,



   

x x a t

d y y a t t R

z z a t







  









 Phương trnh đưng thng

Phương trnh tham s ca đưng thng d đi qua đim

0 0 0 0

( ; ; )M x y z

v c vtcp

1 2 3

( ; ; )a a a a

vi

1 2 3

. . 0a a a 

T đ c th suy ra phương trnh chnh tc ca d :

 Phương trnh mt phng

Phương trnh mt phng đi qua đim

0 0 0 0

( ; ; )M x y z

c vectơ php tuyn

( ; ; )n A B C

 Phương trnh mt cu :

Mt cu (S) c tâm I(a;b;c) v bn knh R

Khi đ (S):

 Gc, khong cch

Gc gia 2 đưng thng

vi v ln lưt l vtcp ca d1 v d2

 

cos ( ),( )





( ),( )



,nn



 

sin ,( )





0 0 0

( ; ; )I x y z

 

0 0 0

2 2 2

,( )

Ax By Cz D

d I P

A B C

  





 

u u M M











,dd

,MM

Gc gia 2 mt phng

vi ln lưt l vtpt ca

Gc gia đưng thng v mt phng

Khong cch t đim đn mt phng (P): Ax+By+Cz + D = 0

Khong cch gia 2 đưng thng cho nhau

vi ln lưt l cc đim bt k nm trên

* Đây l ton b cc công thc quan trng m cc bn cn

phi ghi nh đ c th lm tt phn hnh không gian bng

phương php ta đ ny.S d cng đ c nhiu bn đ

nh ht , nhưng đ cho chc chn mnh cng đ lit kê li

nhm gip cho cc bn c th h thng li cc kin thc v

b sung nhng ci m mnh cn thiu st .

Nu cc bn đ đc đn đây th chc cc bn cng đ nh

gn 80% ri :D, v gi mnh cng chuyn sang phn chnh

nh :D

Phn 2: Phương php gii ton

Vi phương php ny , cc bn ch cn quan tâm cho mnh đ l đy ca n

l hnh g thôi , không cn quan tâm đn đưng cao,không cn bit đ l

lăng tr hay chp ( v 2 hnh ny đu như nhau v cch dng h trc nu 2

đy ging nhau ) V sau đây l cch dng khi gp 1 s loi hnh sau :

- Nu hnh chp,lăng tr c đy l hnh vuông,hnh ch nht,hnh thang

vuông,tam gic vuông th dng h trc vi A l gc ta đ ( nu tam gic

vuông  A th dng  A,vuông  B th dng  B).

- Nu hnh chp,lăng tr c đy l tam gic cân hoc đu th k đưng cao

v dng chân đưng cao lm gc ta đ

- Nu hnh chp, lăng tr c đy l hnh thoi th chn giao đim 2 đưng

cho lm gc ta đ.

Phn 3: Cc v d minh ha

V d 1 ( vi đy là hnh vuông) :

Cho hnh chp S.ABCD c đy ABCD l hnh vuông đ di cnh bng a ,

SD =

.Hnh chiu vuông gc ca S trên mt phng (ABCD) l trung đim

ca cnh AB. Tnh th tch khi chp S.ABCD v khong cch gia 2

đưng thng SC v BD.

AB CD

 

; ;0

B A D c

B A D C

x x x x

AB CD y y y y C a a

z z z z

  





     





  



Hưng dn : Đu tiên đi v hnh , v chn A l gc ta đ như trên.V hnh

vuông c đ di a nên AB=BC=CD=AC=a, do đ đim B c ta đ l

(a,0,0) v nm trên trc honh v mt khc đim D c ta đ l (0,a,0) do

nm trên trc tung. Ti đây ta c th d dng tm đưc ta đ đim C bng

cch s dng công thc 2 vectơ bng nhau (  đây l )

Gi H l hnh chiu ca S lên (ABCD) đng thi l trung đim AB. Do đ

ta đ ca H l

;0;0







. V đ tm đưc ta đ đim S,chng ta phi c

đưc đ di SH, đ tnh đ di SH ta s đi tnh DH , khi tnh đưc DH kt

hp vi đ di SD đ bi cho ta tm đưc SH qua vic s dng đnh l

pitago trong tam gic SDH vuông ti H

(

/2;0;0)

(0;a;0)

(

a;a;0

)

(0;0;0)

(

a;0;0

)

(

/2;0;a)

2 2 2

, ; ;

SC BD a a a













2 17

( , )

17 17

SC BD BC

d SC BD

SC BD





   





3 3 3

SABCD ABCD

V SH S a a  

-p dng đnh l pitago trong tam gic vuông ADH vuông ti A

 DH=

-p dng đnh l pitago trong tam gic vuông SDH vuông ti H

 SH=a

T đ suy ra S

;0;







V H l hnh chiu ca S nên S v H s c cng tung

đ,honh đ, ch khc nhau cao đ v cao đ  đây ca S l đ di SH=a.

Tm xong tt c cc đnh ta thy bi ton tr nên d dng hơn rt nhiu

Khi đ :

(đvtt)

V cui cng l câu tnh khong cch gia 2 đưng thng SC v BD ( v đây

l bi đu tiên nên mnh s ni chi tit ht cc cch lm )

Đu tiên chng ta s đi tnh tch vô hưng 2 vectơ

;;

SC a a









 

; ;0BD a a

Sau đ ln lưt trên 2 vectơ ny chn ln lưt 1 đim c ta đ đơn gin . V

d  đây, mnh chn đim B trên BD v đim C trên SC

T đ suy ra

 

0; ;0BC a

p dng công thc khong cch 2 đưng thng

Mt v d khc

Hnh chp S.ABCD c đy l hnh vuông ABCD cnh a . Hnh chiu vuông

gc ca S lên (ABCD) l trng tâm G ca tam gic BAD . SA to vi đy

mt gc



bit

tan 2 2





. Gi I l hnh chiu vuông gc ca A lên SC .

Tnh th tch khi chp S.ABCD v khong cch 2 đưng thng AI v SD

theo a .

(

/2;a/2;0 )

(

/3;a/3;0 )

( 0;0;0 )

(

a;0;0

)

( 0;a;0 )

(

a;a;0

)

(

/3;a/3;4a/3 )

( 2a/3;2a/3;2a/3 )

; ;0

3 3 3 3

A B D

xxx

yyy

a a a

zzz















   



















1 1 4 4

3 3 3 9

S ABCD ABCD

V S SG a a a  

Hưng dn: Ging như bi trên v đây l hnh chp c đy l hnh vuông

nên ta s chn luôn A lm gc ta đ v c SG l đưng cao . T đ p dng

cc h thc vectơ bng nhau như bi v d va ny ta d dng tm đưc ta

đ cc đim B,C,D,O.

V G l trng tâm tam gic BAD

Ta c :

AC a

AO 

M AG =

2 2 2 2

3 3 2 3

AO 

( do G l trng tâm tam gic ABD )

Theo đ bi th AG l hnh chiu vuông gc ca SA trên (ABCD)

Suy ra gc



chnh l gc SAG v

tan 2 2





Tam gic SAG vuông ti G ( gt )

.tan .2 2

SG AG a



   

T đ suy ra S

;;

3 3 3

a a a







V G l hnh chiu ca S nên S v G s c cng

tung đ,honh đ, ch khc nhau cao đ v cao đ  đây ca S l đ di

SG =

Khi đ :

(đvtt)

 

; ;0

1;1; 2

qua a a

VTCP u













 

; ; 2I SC I a t a t t    

. 0 . 0

222

;;

333

SC AI u AI t

I a a a



     









V bây gi chng ta cng chuyn sang  th 2 ca bi ton . V đ bi ch

ni I l hnh chiu vuông gc ca A lên SC nên chng ta không th tm đưc

ngay ta đ đim I ( nu cho I l trung đim ca SC th chng ta s d dng

hơn ) . Vy bây gi lm như th no ? Rt đơn gin , vic tm ta đ đim I

lc ny cng ging như lm 1 bi ton OXYZ vi yêu cu tm hnh chiu

ca 1 đim lên đon thng . Trưc tiên chng ta hy vit phương trnh

đưng thng SC :

Ta c :

2 2 4

;;

3 3 3

a a a













Chn

 

1;1; 2

u SC

  

( lm như vy đ đơn gin a trong vtcp

t đ gip chng ta vit ptts tr nên d dng t xut hin a gim bt qu trnh

tnh ton )

Đưng thng SC :

PTTS dt SC : (t R)

x a t

y a t







   









V

V I l hnh chiu ca A lên SC

 

222

;;

333

;;

3 3 3

0; ;0

422

, ; ;

3 3 3

2 6 2 6

aaa

a a a

AD a

aaa

AI SD

AI SD AD

d AI SD

AI SD

























































    





Tm đưc đim I bi ton coi như đ đưc gii quyt v bây gi nhim v

ca chng ta ch l đi tnh ton

Ta c :

V d 2 (vi đy là hnh ch nht )

Cho lăng tr ABCD.A'B'C'D' c đy ABCD l hnh ch nht AB=a,AD=2a

Hnh chiu vuông gc ca ca đim A' trên mt phng (ABCD) l đim H

trng vi giao đim ca AC v BD, A'H=3a.Tnh th tch khi lăng tr

ABCD.A'B'C'D' v khong cch t B' đn mt phng (A'BD) theo a

(

/2;a;0)

(0;2a;0)

(

a;2a;0

)

(0;0;0)

(

a;0;0

)

(3a/2;a;3a)

(

/2;a;3a)

(3a/2;3a;3a)

(

/2;3a;3a)

. ' ' ' '

. ' .2 .3 6

ABCD A B C D ABCD

V S A H a a a a  

''AA DD

''DD CC

''CC BB

(đvtt)

Bây gi chng ta s đn vi  cn li ca bi ton.Đ tm khong cch ca

B' đn (A'BD) chng ta cn phi bit phương trnh tng qut ca (A'BD)

Hưng dn : R rng khi đc đ bi ta c th thy đưc đây l hnh lăng

tr xiên do c yu t hnh chiu vuông gc ca 1 đim lên mt phng đy.

T đ ta tin hnh đi v hnh, vi đy l hnh ch nht nên ta chn A lm

gc ta đ. Khi chn xong ta c th xc đnh đưc ta đ cc đim

A,B,D,C,H,A' v bây gi nhim v bây gi ch cn l tnh ton.V bi ny

chng ta ch cn bit ta đ cc đim A,B,D,C,H,A' nên s kh d dng.

Vi nhiu bi th chng ta s cn phi bit ht ta đ cc đim mi c th

tnh ton đưc.V th ly v d như bi ny,mnh cng đ tnh ht trên hnh

đ cho cc bn thy.Mun tm ta đ cc đim  trên như D' chng ta ch

cn s dng 2 vectơ bng nhau đ l v tương t vi

chng ta d dng tm đưc ta đ đim C', B'.Khi tm xong cc

đim, bi ton s tr nên d dng

Khi đ :

 

' , 6 ;3 ;0A B BD a a







 

( ' )

' , 6;3;0

A BD

n A B BD







   

 

( ' )

; ;3

( ' )

(6;3;0)

' : 6 3 0

' : 6 3 6 0

A BD

qua a a

A BD

vtpt n

A BD x y a





















    





   

 

6. 3 6

6 2 5

', '

d B A BD



  



Đu tiên chng ta s đi tm vectơ php tuyn ca (A'BD):

nên chn

(lm như th ny đ đơn gin a trong tch c hưng, t đ chng ta c th

vit phương trnh d dng không dnh dng nhiu ti a trong đ )

Ta c

Vy ta tnh đưc khong cch t B' đn (A'BD)

V d 3 : ( vi đy là hnh thang vuông )

Cho hnh chp S.ABCD c đy l hnh thang vuông (

90AD

)

AD=DC=2a , AB=a.SA vuông gc vi mt phng đy đng thi SB to vi

đy 1 gc

. Tnh th tch khi chp S.ABCD v tnh gc gia 2 đưng

thng SB v DC

   

1 1 1

. 2 . 3 3

3 3 2 3 2

S ABCD ABCD

CD AB a a

V S SA AD SA a a a



   

2CD AB

Nhn thy : AB l hnh chiu vuông gc ca SB lên (ABCD)

Tam gic SAB vuông ti A suy ra

.tan60 3SA AB a

Khi đ

(đvtt)

60°

( 0;0;0 )

( 2a;0;0 )

( 0;2a;0 )

( 2a;2a;0 )

( 0;2a;a√3 )

Hưng dn: Vi nhng d kin đ bi cho ta c th d dng xc đnh đưc

CD l đy ln , AB l đy nh, AD l chiu cao hnh thang ABCD v

CD=2AB . Chn D lm gc ta đ v t đ chng ta c th d dng tnh

đưc ta đ đim B bng h thc vectơ theo d kin đ bi : . Lc

ny ch cn ta đ đim S, vi vic tm đưc đ di SA l bi ton s tr nên

d dng.

 

( ;0; 3)

2 ;0;0

SB a a

DC a





cos cos( , )SB DC





cos

SB DC



   



 th nht đ xong, bây gi chng ta cng chuyn sang  th hai ca bi

ton. Đ tnh gc gia 2 đưng thng SB v DC chng ta ch cn tnh 2

vectơ

,SB DC

ri p dng công thc mnh đ đưa l xong

Ta c

Đt

Vy gc gia 2 đưng thng SB v DC l

V d 4 ( vi đy là tam gic vuông )

Cho hnh lăng tr đng ABC.A'B'C' c đy ABC l tam gic vuông ti

B.AB=a,AA'=2a v A'C=3a . Gi M l trung đim ca cnh A'C' , I l giao

đim ca AM v A'C.Tnh th tch khi t din IABC v khong cch t A

đn mt phng (IBC) theo a

   

' ' 3 2 5AC A C A A a a a     

 

2 2 2

52BC AC AB a a a     

p dng đnh l pytago trong tam gic ABC vuông ti B

Vy C (2a;0;0)



C'(2a;0;2a) do cc cnh bên A'A , B'B , C'C c cng cao

đ

(2a/3;2a/3;4a/3)

(

a;a

/2;2a)

(0;a;2a)

(2a;0;2a)

( 0;0;2a)

(0;a;0)

(2a;0;0)

(0;0;0)

Hưng dn : Đc qua đ bi chng ta c th thy ngay đây l hnh lăng tr

đng , đy l tam gic vuông ti B nên ta chn luôn B lm gc ta đ. Vi

d kin đ bi chng ta ch c th xc đnh đưc ta đ 4 đnh A,A',B,B'. V

bây gi nhim v ca chng ta l đi tm cc đnh cn li v ha gii cc yêu

cu bi ton.Đu tiên chng ta s d dng tnh đưc đ di cnh AC vi tam

gic A'AC vuông ti A

p dng đnh l pytago trong tam gic A'AC vuông ti A

2 2 0

at at a

t at a

at at













   

















224

;;

333

I a a a







IABC

V IA IB IC a







 

1 8 4

, 0; ;

IBC

n IB IC















 

0; ;0

( ; ;2 )

AM: ( t )

qua a

VTCP AM a a

x at

PTTS y a t R

z at





















   











 

' 2 ; ; 2

C (2a;0;0)

qua

VTCP A C a a a

x a at

PTTS A C y at t R

z at







  











   











V bây gi ch cn ta đ đim I l chng ta chưa c. Vy tm đim I như

th no ? Rt d , nhn thy I l giao đim ca A'C v AM . V th nu

chng ta c đưc phương trnh đưng thng A'C v AM chng ta s tm

đưc ta đ I

Đưng thng AM :

Đưng thng A'C :

Gi I thuc AM suy ra

; ;2

I at a t at









Ta c h :

Khi đ (đvtt)

V gi chng ta s đn  tip theo l khong cch t A đn mt phng (IBC)

, 0; ;

IB IC a















Nên chn

 

0; ;

: 8 4 0

B(0;0;0)

IBC

qua

VTPT n

IBC y z





















   

 

8 2 5

d A IBC



  



45°

(

a√2

/2;a√2/2;0 )

( 0;0;0 )

(

a√2;0;0

)

( 0;a√2;0 )

(

a√2

/2;a√2/2;a )

( 3a√2/2;-

a√2

/2;a )

(

a√2

/2;-

a√2

/2;a )

Ta c : (IBC) :

Vy khong cch t A đn (IBC) l :

Mt v d khc :

Cho lăng tr ABC.A'B'C' c đy ABC l tam gic vuông cân ti B , AC=2a ,

Hnh chiu vuông gc ca đim A' trên mt phng (ABC) l trung đim ca

cnh AC , đưng thng A'B to vi mt phng (ABC) mt gc

. Tnh

theo a th tch khi lăng tr ABC.A'B'C' v chng minh A'B vuông gc B'C

( Trch đ thi ĐH 2016 )

. ' ' '

. ' . . ' 2. 2.

ABC A B C ABC

V S A H BC BA A H a a a a   

' ; ;

A B a

B C a



















' . ' 0 ' 'A B B C A B B C  

Hưng dn: R rng khi đc đ bi ta c th thy đưc đây l hnh lăng

tr xiên . Vi đy l tam gic vuông cân ti B nên ta chn B lm gc ta

đ v AC l cnh huyn bng 2a nên suy ra 2 cnh cn li c đ di l

bng vic s dng đnh l pytago đng thi

BH a

Ta c :

' tan 45A H BH a

Khi đ :

(đvtt)

Vy A'B vuông gc B'C (đpcm)

T đ ta d dng tm đưc ta đ cc đnh cn li qua vic s dng cc

vectơ bng nhau như nhng bi trưc.

Nhn thy : gc gia đưng thng A'B v mt phng (ABC) l gc A'BH

Gi chng ta cng chuyn sang  tip theo ca bi ton . Đ bi yêu cu

chng ta chng minh A'B vuông gc B'C . Vy lm như th no đây ? Rt

đơn gin , hy chng minh vectơ A'B vuông gc vectơ B'C qua tch vô

hưng ca chng bng 0

Ta c :

30°

60°

(0;0;0)

( -

a√3;0;0

)

( 0;3a;0 )

( 0;-3a;0 )

( -

a√3;0;3a

)

( 0;3a;3a )

( 0;-3a;3a )

V d 5 ( vi đy là tam gic cân ) :

Cho hnh lăng tr đng ABC.A'B'C' c đy ABC l tam gic cân ti C , AB=

6a , gc ABC =

, gc gia 2 mt phng (C'AB) v mt phng (ABC)

bng

. Tnh th tch khi lăng tr ABC.A'B'C' v khong cch gia hai

đưng thng B'C v AB theo a.

'( 3;0;3 )C a a

0 0 3

. ' ' '

'. '. . .sin 30 3 . 2 3.6 .sin 30 9 3

ABC A B C ABC

V CC S CC BC BA a a a a   

 

' 3; 3 ;3

0; 6 ;0

3;3 ;0

' , .

18 3

18 3 3

12 3 12 3

B C a a a

AB a

BC a a

B C AB BC

d B C AB

B C AB

























    





Hưng dn : Vi loi hnh lăng tr ny chng ta s chn chân đưng cao

ca tam gic lm gc ta đ ging như hnh trên . V bi ny l tam gic cân

nên chân đưng cao cng chnh l trung đim (

AB a

IB IA a   

) . Do

nm ngưc chiu trc tung nên B (0;-3a;0)

Ta c : IC l hnh chiu ca IC' lên (ABC)

M

'AB IC AB IC  

( đnh l 3 đưng vuông gc )

Suy ra gc gia 2 mt phng (C'AB) v (ABC) l gc C'IC

.tan30 3 . 3

IC IB a a   

Do C nm ngưc chiu trc honh nên

( 3;0;0)Ca

Ta c :

' .tan 60 3. 3 3CC IC a a  

'(0;3 ;3 ) (0; 3 ;3 ) ; B'A a a a a

Khi đ : BC=AC=

cos30

IB a

a

Ta c :

(đvtt)

Tip theo l yêu cu tnh khong cch gia 2 đưng thng B'C v AB

60 °

( -

a√3

/3;0;0 )

( 0;0;0 )

( -

a√3;0;0

)

( 0;a;0 )

( 0;-

a;0

)

( -

a√3;0;3a

)

( 0;a;3a )

( 0;-

a;3a

)

V d 6 ( vi đy là tam gic đu ) :

Cho lăng tr đng ABC.A'B'C' c đy ABC l tam gic đu , AB=2a . Gc

gia (A'BC) v (ABC) bng

. Gi G l trng tâm tam gic ABC . Tnh

th tch khi lăng tr ABC.A'B'C v khong cch gia 2 đưng thng C'G v

 

   

' .tan 60 3. 3 3

' 3;0;3 0; ;3 0; ;3 ; B' ; C'

A A AI a a

A a a a a a a

   

  

 

. ' ' '

' . 3 . 3 3

ABC A B C ABC

V A A S a a  

;0;0











 

' ; ;3

3; ;0

' 0; 2 ;3

' , . '

3 3 31

2 93 2 93

C G a a

AB a a

BC a a

C G AB BC

d C G AB a

C G AB

















    





Khi đ :

(đvtt)

Ta c : G l trng tâm tam gic ABC

Hưng dn : Vi hnh lăng tr c đy l tam gic đu ta vn lm như tam

gic cân . Gi I l trung đim BC nhưng do đây l tam gic đu nên I cng

chnh l chân đưng cao . T đ chng ta c th d dng suy ra đưc ta đ

2 đim B v C

Ta c : AI l hnh chiu ca A'I trên (ABC)

M BC vuông gc AI

Suy ra BC vuông gc A'I ( đnh l 3 đưng vuông gc )

Do đ gc gia 2 mt phng (A'BC) v (ABC) l gc A'IA

60°

120°

( 0;0;0 )

( -

/2;-

a√3

/2;0 )

( -

a;0;0

)

( 0;a√3;0 )

( 0;-

a√3;0

)

(

a;0;0

)

( -

/2;-

a√3;a√3

)

V d 7 ( vi đy là hnh thoi ) :

Cho hnh chp S.ABCD c đy ABCD l hnh thoi , canh 2a . SAB l tam

gic đu v nm trong mt phng vuông gc vi đy ABCD . Gc BAD =

120

. Tnh th tch khi chp S.ABCD v khong cch gia 2 đưng thng

AB v SC theo a .

1 1 1 1 1

. . . . . .2 3.2 . 3 2

3 3 2 3 2

S ABCD ABCD

V S SH BD AC SH a a a a   

 

; 3;0

; 3; 3

; 3;0

, 3 ; 3;

4 123

123

AB a a

SC a a a

BC a a

AB SC a a

AB SC BC

d AB SC

AB SC

















































   





Hưng dn : Do đây l hnh chp c đy l hnh thoi nên chng ta s chn

giao đim ca 2 đưng cho lm gc ta đ như hnh trên . V đưng cho

ca hnh thoi cng l phân gic nên gc BCA bng gc BAC v bng gc

BAD chia 2 ( 60

) t đ suy ra BAC l tam gic đu c cnh bng 2a ,

đưng cao BO, tương t cho tam gic DAC . Sau đ chng ta d dng tnh

đưc ta đ cc đim ABCD như nhng bi trưc

Tam gic SAB l tam gic đu c AB = 2a

Suy ra SA=AB=SB=2a

Gi H l trung đim AB

SH AB

(v SAB l tam gic đu )

; ;0











Ta c :

   

 

(gt)

SAB ABCD

SAB ABCD AB

ABCD

SH SAB

SH AB























V SAB l tam gic đu v SH l đưng cao

SH a  

; ; 3











Khi đ :

(dvtt)

Ta c :

Phn cui : Cc bi tp t luyn

 Bi tp 1:

Cho hnh chp S.ABCD c đy ABCD l hnh vuông đ c đ di cnh

bng a , hnh chiu vuông gc ca S lên mt phng (ABCD) l đim H thuc

cnh AC vi HC=2AH . Bit gc gia mt phng (SBC) vi mt phng

(ABCD) bng 60

. Tnh th tch khi chp S.ABCD v khong cch t A

đn mt phng (SBC) theo a .

 Bi tp 2:

Cho hnh chp S.ABCD c đy ABCD l hnh vuông , BD = 2a , tam gic

SAC vuông ti S v nm trong mt phng vuông gc vi đy , SC =

Tnh th tch khi chp S.ABCD v khong cch t đim B đn mt phng

(SAD) theo a .

 Bi tp 3:

Cho hnh chp S.ABCD c đy ABCD l hnh ch nht tâm I c AB = a

BC =

. Gi đim H l trung đim ca đon AI , SH vuông gc vi mt

phng đy (ABCD) v tam gic SAC vuông ti S . Tnh th tch khi chp

S.ABCD v khong cch t đim C đn mt phng (SBD) theo a.

 Bi tp 4:

Cho hnh chp S.ABCD c đy ABCD l hnh ch nht , tam gic SAD

vuông ti S , hnh chiu vuông gc ca S lên mt phng (ABCD) l đim H

thuc cnh AD sao cho HA = 3HD . Gi M l trung đim ca cnh AB . Bit

SA =

23a

, gc gia đưng thng SC v mt phng đy ( ABCD) bng

Tnh th tch khi chp S.ABCD v khong cch t M đn (ABC) .

 Bi tp 5:

Cho hnh chp S.ABCD c đy ABCD l hnh thang vuông ti A v D vi

AB = 2a , AD = CD = a v SA vuông gc mt phng đy. Bit gc gia mt

phng (SBC) vi mt phng (ABCD) bng

. Tnh th tch khi chp

S.ABCD v khong cch gia 2 đưng thng SC v AB theo a .

 Bi tp 6

Cho hnh chp S.ABCD c đy ABCD l hnh thang vuông ti A v D vi

AB = 3a , CD = BC = a v SA vuông gc mt phng đy . Bit gc gia mt

phng (SBC) vi mt phng (ABCD) bng

. Tnh th tch khi chp

S.ABCD v khong cch t đim A đn mt phng (SBC) theo a .

 Bi tp 7

Cho hnh chp S.ABC c đy ABC l tam gic vuông cân ti A , tam gic

SBC l tam gic đu đ di cnh bng a v mt phng (SBC) vuông gc mt

phng (ABC) . Tnh th tch khi chp S.ABC v khong cch gia 2 đưng

thng SA v BC theo a .

 Bi tp 8

Cho hnh lăng tr đng ABC.A'B'C'c đy ABC l tam gic vuông ti A , c

BC = 2a , AB = a v mt bên BCC'B' l hnh vuông . Tnh th tch khi lăng

tr ABC.A'B'C' v khong cch gia 2 đưng thng AA' v BC' theo a .

 Bi tp 9

Cho hnh chp S.ABC c đy ABC l tam gic cân ti A , AB=AC=a , gc

BAC bng

v SA vuông gc vi mt phng (ABC) . Bit gc gia mt

phng (SBC) v (ABC) bng

. Tnh th tch khi chp S.ABC v khong

cch t đim A đn mt phng (SBC) theo a .

 Bi tp 10

Cho hnh chp S.ABC c đy ABC l tam gic cân ti A vi BC =

gc

BAC bng

120

. Gi I l trung đim ca cnh AB , hnh chiu vuông gc

ca S lên mt phng (ABC) l trung đim H ca đon CI . Bit gc gia

đưng thng SA v mt phng (ABC) bng

. Tnh th tch khi chp

S.ABC v khong cch t đim A đn mt phng (SBC) theo a .

 Bi tp 11

Cho hnh chp S.ABC c đy ABC l tam gic đu đ di cnh bng a , c

SA vuông gc vi mt phng (ABC) . Bit gc gia mt phng (SBC) v

mt phng (ABC) bng

. Tnh th tch khi chp S.ABC v khong cch

gia 2 đưng thng SB v AC theo a .

 Bi tp 12

Cho hnh lăng tr ABC.A'B'C' c đy ABC l tam gic đu c đ di cnh

bng a , đnh A' c hnh chiu vuông gc lên mt phng (ABC) l trung

đim H ca BC v A'A = a . Tnh gc to bi cnh bên vi mt phng đy

(ABC) v tnh th tch khi lăng tr ABC.A'B'C' theo a .

 Bi tp 13

Cho hnh chp S.ABCD c đy ABCD l hnh thoi , AB =2a v gc BAD

bng

120

. Hnh chiu vuông gc ca đnh S xung mt phng (ABCD) l

giao đim H ca 2 đưng cho v SH =

. Tnh th tch khi chp S.ABCD

v gc to bi 2 mt phng (SAB) v mt phng (ABCD) theo a .

 Bi tp 14

Cho hnh chp S.ABCD c đy ABCD l hnh thoi , tam gic SAB đu v

nm trong mt phng vuông gc vi mt phng (ABCD) . Bit AC = 2a v

BD = 4a . Tnh th tch khi chp S.ABCD v khong cch gia 2 đưng

thng AD v SC theo a

Li kt

Đây l ton b cc kin thc m mnh bit đưc v phương php ta đ

trong không gian v h thng n li cho cc bn qua tp ti liu ny . V đây

l sn phm đu tay cng thêm vic kin thc cn hn ch qua vic trnh by

do đ trong cc hnh v th mnh không th k hiu ht cc gc vuông như

gi thit đ bi cho v cc h trc ta đ mnh không gn mi tên vo đưc

m ch chm đim vo thôi nên cc bn thông cm nh :D . Cn trong bi

lm thc t th cc bn phi v đng , k hiu đy đ v khi v cc tr ta đ

th phi v nt lin v k hiu mi tên vo nh :D . Cc loi hnh hay gp

trong đ thi mnh cng đ lit kê v cc hưng x l cho nên nu cc bn

hiu v p dng đưc th câu hnh hc không gian ny trong đ thi cc bn

s d dng vưt qua đưc . Đi vi phương php ny th c nhiu bn bo l

không thch v n mt ht tư duy hnh hc , mnh th cng không phn đi g

v mc đch mnh vit ti liu ny nhm gip cc bn hc yu hnh c th t

tin lm ch đưc n trong đ thi đi hc m không cn ch tâm qu nhiu

đn cc phương php gii c đin :D nh đ m c thêm thi gian ôn tp cc

kin thc quan trng khc . Hy vng cc bn s thch !

Chc cc bn hc tt

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/34

| | Tải xuống

Preview text:

Hình học không gian lớp 12 ---------- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Tác giả : Phương Nguyễn LỜI NÓI ĐẦU
Như các bạn đều biết , môn Toán là một môn rất quan trọng và có
tầm ảnh hưởng rất lớn tới việc xét tuyển vào Đại Học hay Cao Đẳng
sau này. Do đó để có được số điểm cao trong môn này , ta cần phải có
1 vốn kiến thức cần thiết và hiểu rõ những khái niệm , bản chất toán
học. Và trong chuyên đề ngày hôm nay mình sẽ đề cập đến 1 trong 3
câu hình học luôn xuất hiện trong đề thi đại học. Đó chính là các bài
toán về hình học không gian thuần túy (cổ điển) với phương pháp gắn
hệ trục Oxyz và giải như một bài toán giải tích bình thường. Đa số
trong các bài toán này, mình thường thấy các bạn chỉ làm được 1/2
yêu cầu đề bài (giống mình lúc trước hihi :v).Các câu hỏi còn lại như
tìm khoảng cách giữa 1 điểm đến đường thẳng hay tìm khoảng cách
giữa 2 đường thẳng hoặc chứng minh song song,vuông góc v.v..... các
bạn đều bỏ (và mình cũng vậy :v ). Lý do là bởi vì bạn đã quên 1 số
kiến thức về hình học ở lớp 11 và các cách tư duy dựng hình. Vì thế
mình sẽ giúp các bạn vượt qua các bài toán ấy bằng phương pháp tọa độ hóa này  Ưu điểm :  Dễ hiểu  Dễ làm
 Công việc chính là chỉ tính toán
 Không cần chứng minh nhiều
 Phù hợp với các bạn học hình yếu Nhược điểm :  Tính toán dễ sai
 Đôi khi sẽ chậm hơn so với cách cổ điển
 Ít được sử dụng
 Đôi khi nhìn rất dễ lộn Phần đầu tiên
Các kiến thức quan trọng ( cần nhớ hết :v )
1.Các công thức về hình học
 Diện tích các hình:
 Tam giác thường (hoặc vuông như trong hình) 1 1 1 1 A . B AC.BC S  A . D BC  A .
B AC.sin A  A .
B BC.sin B  AC. . CB sin C   pr ABC   2 2 2 2 4R
( với AD là đường cao,R là bán kính
đường tròn ngoại tiếp, p là nửa chu vi , r là bán kính
đường tròn nội tiếp ) A * Mở rộng :
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông ( như hình vẽ ) 2 AC  . CD CB 2 AB  B . D BC B C 2 2 2
BC  AB  AC D 1 1 1 A . B AC    AD  2 2 2 2 2 AD AB AC AB  AC 2 AD  B . D CD A A . B AC  A . D BC
- Hệ thức lượng trong mọi tam giác :
(ví dụ tam giác thường như hình vẽ ) 2 2 2
AB  BC  AC  2BC.AC.cosC AB BC AC   sin C sin A sin B B E C 1 1 2 2 2 2
AE  (AB  AC )  BC 2 4 A B
 Hình thang ( thường , cân , vuông)
(AB  CD).AH S  ABCD 2
AH  DC  AH.DC  0 D H C  Hình bình hành A B S  A . B AH  2S  2S ABCD ABC ADC
AB  BC  CD  DA K
AH  DC  AH.DC  0 D H C  Hình thoi A 1 S  AC.BD ABCD 2 B D
AC  BD  AC.BD  0
AB  BC  CD  DA C  Hình chữ nhật A B S  A . B BC ABCD AB  DC AD  BC D C A B  Hình vuông 2 2 2 2 S
 AB  BC  CD  AD ABCD E
AB  BC  CD  DA D C
2.Các công thức tính thể tích các hình S
 Thế tích khối chóp
Cách tính : Lấy đường cao nhân diện tích đáy rồi chia 3
Ví dụ như hình vẽ thì : A B 1 V  . SA S SABC 3 ABCD D C Chú ý :
- Hình chóp tam giác đều thì có đáy là tam giác đều và có các cạnh bên
bằng nhau nhưng không bằng cạnh đáy (tức là các mặt bên là tam giác cân)
- Hình chóp đều thì có đáy là tam giác đều, các cạnh bên bằng nhau và bằng
với cạnh đáy (các mặt bên cũng là tam giác đều).
- Còn hình chóp có đáy là tam giác đều và các cạnh bên không bằng nhau
thì đề bài sẽ ghi là "Cho hình chóp có đáy là tam giác đều" và không nói gì thêm. B' C'
 Thể tích khối lăng trụ A'
Cách tính : Giống như hình chóp nhưng không có chia 3
Ví dụ như hình vẽ thì : V  BB'.S SABC ABC B C Chú ý : A
- Với lăng trụ thì có 2 loại : Lăng trụ đứng và lăng trụ xiên . Như hình vẽ
ở trên thì đó là lăng trụ đứng và đối với loại này thì các cạnh bên đều là
đường cao và vuông góc với đáy, loại này rất dễ làm. Vậy còn lăng trụ xiên
thì sao? Lăng trụ xiên là loại lăng trụ mà các bạn nhìn nó khác xa hoàn toàn
so với lăng trụ đứng, méo méo, và chỉ có 1 đường cao :D. Ví dụ như hình vẽ kế bên :D
Vậy khi nào chúng ta biết đó là lăng trụ đứng B' S C'
hay xiên để mà vẽ? Rất dễ, hãy theo quy tắc sau
 Khi đề bài không nói gì  lăng trụ đứng
 Khi đề bài có yếu tố hình chiếu
của 1 điểm lên đáy lăng trụ xiên A' B H C A
3.Các công thức về hệ trục tọa độ OXYZ  Vectơ trong không gian:
Cho a  (a ;a ;a ) và b  (b ;b ;b ) 1 2 3 1 2 3 2 2 2 Độ dài vectơ : a  a  a  a 1 2 3
Tổng hiệu 2 vectơ a  b  (a  b ;a  b ;a  b ) 1 1 2 2 3 3
Nhân một số với 1 vectơ : k.a  (ka ; ka ; ka ) 1 2 3 a  b 1 1 
Hai vectơ bằng nhau a  b  a  b 2 2 a  b  3 3 a a a a cùng phương b 1 2 3    b b b 1 2 3
Ba vectơ đồng phẳng a,b.c  0   Tích vô hướng .
a b  a b  a b  a b 1 1 2 2 3 3
a,b  (a b  a b ;a b  a b ;a b  a b ) Tích có hướng 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1   a b
a b  a b  a b Góc tạo bởi 2 vectơ cosa,b . 1 1 2 2 3 3   2 2 2 2 2 2 a . b
a  a  a . b  b  b 1 2 3 1 2 3 1
Thể tích tứ diện ABCD V
 AB, AC.AD ABCD 6  
(đôi khi nhiều bài cần dùng )
 Phương trình đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (x ; y ; z ) 0 0 0 0
và có vtcp a  (a ;a ;a ) với a .a .a  0 1 2 3 1 2 3
x  x  a t 0 1  
d  : y  y  a t t  R 0 2  
z  z  a t  0 3
Từ đó có thể suy ra phương trình chính tắc của d :     d  x x y y z z 0 0 0 :   a a a 1 2 3
 Phương trình mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x ; y ; z ) 0 0 0 0
có vectơ pháp tuyến n  ( ; A ; B C) (
A x  x )  B(y  y )  C(z  z )  0 0 0 0
 Phương trình mặt cầu :
Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R 2 2 2 2
Dạng 1 : (x  a)  (y b)  (z c)  R  2 2 2
Khi đó (S): Dạng 2 : x
 y  z  2ax  2by  2cz  d  0  2 2 2 2 2 2
 R= a  b  c  d (a  b  c  d  0)  Góc, khoảng cách u .u
Góc giữa 2 đường thẳng cos d , d d d  1 2  1 2 u . u 1 d d2
với u và u lần lượt là vtcp của d1 và d2 1 d d2 n .n  
Góc giữa 2 mặt phẳng cos ( ),( )  n . n  
với n , n lần lượt là vtpt của   ( ), ( ) u .n
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng sin d, ( ) d  u . n d 
Khoảng cách từ điểm I (x ; y ; z ) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz + D = 0 0 0 0 
Ax  By  Cz  D d I,(P) 0 0 0  2 2 2
A  B  C
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
u ,u .M M  1d d2 1 2  d  1 d ,d2  u ,u   1d d2 
với M , M lần lượt là các điểm bất kì nằm trên 1 2 d , d 1 2
* Đây là toàn bộ các công thức quan trọng mà các bạn cần
phải ghi nhớ để có thể làm tốt phần hình không gian bằng
phương pháp tọa độ này.Sỡ dĩ cũng đã có nhiều bạn đã
nhớ hết , nhưng để cho chắc chắn mình cũng đã liệt kê lại
nhằm giúp cho các bạn có thể hệ thống lại các kiện thức và
bổ sung những cái mà mình còn thiếu sót .
Nếu các bạn đã đọc đến đây thì chắc các bạn cũng đã nhớ
gần 80% rồi :D, và giờ mình cùng chuyển sang phần chính nhé :D
Phần 2: Phương pháp giải toán
Với phương pháp này , các bạn chỉ cần quan tâm cho mình đó là đáy của nó
là hình gì thôi , không cần quan tâm đến đường cao,không cần biết đó là
lăng trụ hay chóp ( vì 2 hình này đều như nhau về cách dựng hệ trục nếu 2
đáy giống nhau ) Và sau đây là cách dựng khi gặp 1 số loại hình sau :
- Nếu hình chóp,lăng trụ có đáy là hình vuông,hình chữ nhật,hình thang
vuông,tam giác vuông thì dựng hệ trục với A là gốc tọa độ ( nếu tam giác
vuông ở A thì dựng ở A,vuông ở B thì dựng ở B).
- Nếu hình chóp,lăng trụ có đáy là tam giác cân hoặc đều thì kẻ đường cao
và dùng chân đường cao làm gốc tọa độ
- Nếu hình chóp, lăng trụ có đáy là hình thoi thì chọn giao điểm 2 đường
chéo làm gốc tọa độ.
Phần 3: Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 ( với đáy là hình vuông) :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông độ dài cạnh bằng a ,
SD = 3a .Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm 2
của cạnh AB. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2
đường thẳng SC và BD. z
S (a/2;0;a) A (0;0;0)
H (a/2;0;0)
B (a;0;0) x D (0;a;0)
C (a;a;0) y
Hướng dẫn : Đầu tiên đi vẽ hình , và chọn A là gốc tọa độ như trên.Vì hình
vuông có độ dài a nên AB=BC=CD=AC=a, do đó điểm B có tọa độ là
(a,0,0) vì nằm trên trục hoành và mặt khác điểm D có tọa độ là (0,a,0) do
nằm trên trục tung. Tới đây ta có thể dễ dàng tìm được tọa độ điểm C bằng
cách sử dụng công thức 2 vectơ bằng nhau ( ở đây là AB  CD )
x  x  x  x B A D c 
AB  CD  y  y  y  y  C a a B A D C  ; ;0
z  z  z  z  B A D C
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD) đồng thời là trung điểm AB. Do đó
tọa độ của H là  a  ;0;0 
 . Và để tìm được tọa độ điểm S,chúng ta phải có  2 
được độ dài SH, để tính độ dài SH ta sẽ đi tính DH , khi tính được DH kết
hợp với độ dài SD đề bài cho ta tìm được SH qua việc sử dụng định lý
pitago trong tam giác SDH vuông tại H
-Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông ADH vuông tại A  DH= a 5 2
-Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông SDH vuông tại H  SH=a
Từ đó suy ra S  a  ;0; a 
 Vì H là hình chiếu của S nên S và H sẽ có cùng tung  2 
độ,hoành độ, chỉ khác nhau cao độ và cao độ ở đây của S là độ dài SH=a.
Tìm xong tất cả các đỉnh ta thấy bài toán trở nên dễ dàng hơn rất nhiều Khi đó : 3 1 1 a 2 V  SH.S  . a a  SABCD (đvtt) 3 ABCD 3 3
Và cuối cùng là câu tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và BD ( vì đây
là bài đầu tiên nên mình sẽ nói chi tiết hết các cách làm )
Đầu tiên chúng ta sẽ đi tính tích vô hướng 2 vectơ  a  SC  ; ; a a    2  BD   ; a ; a 0  3 2 2 2 
SC, BD  a ;a ; a      2 
Sau đó lần lượt trên 2 vectơ này chọn lần lượt 1 điểm có tọa độ đơn giản . Ví
dụ ở đây, mình chọn điểm B trên BD và điểm C trên SC
Từ đó suy ra BC  0; ; a 0
Áp dụng công thức khoảng cách 2 đường thẳng 3
SC, BD.BC 3 a   a 2a 17
d(SC, BD)     2 SC, BD 17 a 17 17 4   a 4 2
Một ví dụ khác
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a . Hình chiếu vuông
góc của S lên (ABCD) là trọng tâm G của tam giác BAD . SA tạo với đáy
một góc  biết tan  2 2 . Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên SC .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách 2 đường thẳng AI và SD theo a . z
S ( a/3;a/3;4a/3 )
I ( 2a/3;2a/3;2a/3 ) α
A ( 0;0;0 )
B ( a;0;0 ) x
G ( a/3;a/3;0 )
O ( a/2;a/2;0 )
D ( 0;a;0 )
C ( a;a;0 ) y
Hướng dẫn: Giống như bài trên vì đây là hình chóp có đáy là hình vuông
nên ta sẽ chọn luôn A làm gốc tọa độ và có SG là đường cao . Từ đó áp dụng
các hệ thức vectơ bằng nhau như bài ví dụ vừa nãy ta dễ dàng tìm được tọa độ các điểm B,C,D,O.
Vì G là trọng tâm tam giác BAD 
x  x  x a A B D x    G 3 3  
y  y  y a  a a  A B D  y    G ; ;0 G   3 3   3 3  
z  z  z A B D z   0  G  3 AC a 2 Ta có : AO   2 2 Mà AG = 2 2 a 2 a 2 AO  
( do G là trọng tâm tam giác ABD ) 3 3 2 3
Theo đề bài thì AG là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD)
Suy ra góc  chính là góc SAG và tan  2 2
Tam giác SAG vuông tại G ( gt ) a 2 4  SG  A . G tan  .2 2  a 3 3
Từ đó suy ra S  a a 4a  ; ; 
 Vì G là hình chiếu của S nên S và G sẽ có cùng  3 3 3 
tung độ,hoành độ, chỉ khác nhau cao độ và cao độ ở đây của S là độ dài SG = 4 a . 3 Khi đó : 1 1 4 4 2 3 V  S
.SG  a . a  a (đvtt) S.ABCD 3 ABCD 3 3 9
Và bây giờ chúng ta cùng chuyển sang ý thứ 2 của bài toán . Vì đề bài chỉ
nói I là hình chiếu vuông góc của A lên SC nên chúng ta không thể tìm được
ngay tọa độ điểm I ( nếu cho I là trung điểm của SC thì chúng ta sẽ dễ dàng
hơn ) . Vậy bây giờ làm như thế nào ? Rất đơn giản , việc tìm tọa độ điểm I
lúc này cũng giống như làm 1 bài toán OXYZ với yêu cầu tìm hình chiếu
của 1 điểm lên đoạn thẳng . Trước tiên chúng ta hãy viết phương trình đường thẳng SC :  2a 2a 4  a  Ta có : SC  ; ;    3 3 3  3  Chọn u  SC   SC
1;1; 2 ( làm như vậy để đơn giản a trong vtcp SC 2a
từ đó giúp chúng ta viết ptts trở nên dễ dàng ít xuất hiện a giảm bớt quá trình tính toán ) qua C   ;a ;a0 Đường thẳng SC :  V  TCP u    SC 1;1; 2
x  a  t 
 PTTS dt SC : y  a  t (t R) z  2  t 
Vì I  SC  I a  t;a  t; 2  t
Vì I là hình chiếu của A lên SC a
 SC.AI  0  u .AI  0  t  SC 3  2 2 2   I ; a ; a a    3 3 3 
Tìm được điểm I bài toán coi như đã được giải quyết và bây giờ nhiệm vụ
của chúng ta chỉ là đi tính toán 
 2a 2a 2a  AI  ; ;     3 3 3     a 2a 4  a  SD  ; ;    Ta có :  3 3 3  
AD  0;a;0  2 2 2   4
 a 2a 2a  
 AI, SD     ; ;    3 3 3  3 3 2a 2a
AI, SD.AD  
 d  AI SD 3 a 6 3 ,     AI, SD 2a 6 2a 6 6   3 3
Ví dụ 2 (với đáy là hình chữ nhật )
Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a,AD=2a
Hình chiếu vuông góc của của điểm A' trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H
trùng với giao điểm của AC và BD, A'H=3a.Tính thể tích khối lăng trụ
ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách từ B' đến mặt phẳng (A'BD) theo a
A' (a/2;a;3a)
B' (3a/2;a;3a) z
D' (a/2;3a;3a)
C' (3a/2;3a;3a) A (0;0;0)
B (a;0;0) x
H ( a/2;a;0)
D (0;2a;0)
C (a;2a;0) y
Hướng dẫn : Rõ ràng khi đọc đề bài ta có thể thấy được đây là hình lăng
trụ xiên do có yếu tố hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên mặt phẳng đáy.
Từ đó ta tiến hành đi vẽ hình, với đáy là hình chữ nhật nên ta chọn A lảm
gốc tọa độ. Khi chọn xong ta có thể xác định được tọa độ các điểm
A,B,D,C,H,A' và bây giờ nhiệm vụ bây giờ chỉ còn là tính toán.Vì bài này
chúng ta chỉ cần biết tọa độ các điểm A,B,D,C,H,A' nên sẽ khá dễ dàng.
Với nhiều bài thì chúng ta sẽ cần phải biết hết tọa độ các điểm mới có thể
tính toán được.Vì thế lấy ví dụ như bài này,mình cũng đã tính hết trên hình
để cho các bạn thấy.Muốn tìm tọa độ các điểm ở trên như D' chúng ta chỉ
cần sử dụng 2 vectơ bằng nhau đó là AA'  DD ' và tương tự với DD'  CC '
CC '  BB' chúng ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm C', B'.Khi tìm xong các
điểm, bài toán sẽ trở nên dễ dàng Khi đó : 3 V  S .A' H  .2 a .3 a a  6a
ABCD.A'B'C 'D' ABCD (đvtt)
Bây giờ chúng ta sẽ đến với ý còn lại của bài toán.Để tìm khoảng cách của
B' đến (A'BD) chúng ta cần phải biết phương trình tổng quát của (A'BD)
Đầu tiên chúng ta sẽ đi tìm vectơ pháp tuyến của (A'BD): A B BD     2 2 ' , 6a ;3a ;0 1 nên chọn n 
A'B, BD  6;3;0 ( A'BD) 2   a  
(làm như thế này để đơn giản a trong tích có hướng, từ đó chúng ta có thể
viết phương trình dễ dàng không dính dáng nhiều tới a trong đó )   a  qua A' ; ; a 3a   
Ta có ( A' BD)   2  vtpt n  (6;3;0)  ( A'BD)   a 
 A' BD : 6 x   3  
 y  a  0  2 
  A'BD : 6x  3y  6a  0
Vậy ta tính được khoảng cách từ B' đến (A'BD) 3a 6.  3a  6a  a a
d B ', A' BD 2 6 2 5    2 2 6  3 3 5 5
Ví dụ 3 : ( với đáy là hình thang vuông )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ( 0 ˆ ˆ A  D  90 )
AD=DC=2a , AB=a.SA vuông góc với mặt phẳng đáy đồng thời SB tạo với đáy 1 góc 0
60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính góc giữa 2 đường thẳng SB và DC z
S ( 0;2a;a√3 )
C ( 2a;0;0 ) x
D ( 0;0;0 ) 60°
A ( 0;2a;0 )
B ( 2a;2a;0 ) y
Hướng dẫn: Với những dữ kiện đề bài cho ta có thể dễ dàng xác định được
CD là đáy lớn , AB là đáy nhỏ, AD là chiều cao hình thang ABCD và
CD=2AB . Chọn D làm gốc tọa độ và từ đó chúng ta có thể dễ dàng tính
được tọa độ điểm B bằng hệ thức vectơ theo dữ kiện đề bài : CD  2AB. Lúc
này chỉ còn tọa độ điểm S, với việc tìm được độ dài SA là bài toán sẽ trở nên dễ dàng.
Nhận thấy : AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABCD)
Tam giác SAB vuông tại A suy ra 0 SA  A .
B tan 60  a 3 Khi đó 1
1 CD  AB 1 2a  a 3 V  S SA  A . D SA  2 .
a a 3  a 3 (đvtt) S.ABCD 3 ABCD 3 2 3 2
Ý thứ nhất đã xong, bây giờ chúng ta cùng chuyển sang ý thứ hai của bài
toán. Để tính góc giữa 2 đường thằng SB và DC chúng ta chỉ cần tính 2
vectơ SB, DC rồi áp dụng công thức mình đã đưa là xong Ta có SB  ( ; a 0;a 3) DC  2 ; a 0;0
Đặt cos  cos(SB, DC) 2 . SB DC 2a 1  cos    2 2 SB . DC 4a 4a 2 0    60
Vậy góc giữa 2 đường thẳng SB và DC là 0 60
Ví dụ 4 ( với đáy là tam giác vuông )
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại
B.AB=a,AA'=2a và A'C=3a . Gọi M là trung điểm của cạnh A'C' , I là giao
điểm của AM và A'C.Tính thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (IBC) theo a z
B' ( 0;0;2a)
C' (2a;0;2a)
M (a;a/2;2a)
A' (0;a;2a)
I (2a/3;2a/3;4a/3) B (0;0;0) x
C (2a;0;0) A (0;a;0) y
Hướng dẫn : Đọc qua đề bài chúng ta có thể thấy ngay đây là hình lăng trụ
đứng , đáy là tam giác vuông tại B nên ta chọn luôn B làm gốc tọa độ. Với
dữ kiện đề bài chúng ta chỉ có thể xác định được tọa độ 4 đỉnh A,A',B,B'. Và
bây giờ nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm các đỉnh còn lại và hóa giải các yêu
cầu bài toán.Đầu tiên chúng ta sẽ dễ dàng tính được độ dài cạnh AC với tam giác A'AC vuông tại A
Áp dụng định lí pytago trong tam giác A'AC vuông tại A
 AC  A C  A A   a2  a2 2 2 ' ' 3 2  a 5
Áp dụng định lí pytago trong tam giác ABC vuông tại B
 BC  AC  AB  a 2 2 2 2 5  a  2a
Vậy C (2a;0;0)  C'(2a;0;2a) do các cạnh bên A'A , B'B , C'C có cùng cao độ
Và bây giờ chỉ còn tọa độ điểm I là chúng ta chưa có. Vậy tìm điểm I như
thế nào ? Rất dễ , nhận thấy I là giao điểm của A'C và AM . Vì thế nếu
chúng ta có được phương trình đường thẳng A'C và AM chúng ta sẽ tìm được tọa độ I
qua A 0;a;0  Đường thẳng AM :  a VT
 CP AM  (a; ; 2a)  2 x  at  a
 PTTS AM: y  a  t ( t  R) 2  z  2at  qua C (2a;0;0)  Đường thẳng A'C :  V
 TCP A'C   2 ;a ;a 2  a
x  2a  2at1 
 PTTS A'C : y  at t  R 1  1  z  2  at  1 Gọi I thuộc AM suy ra  a 
I at;a  t;2at    2 
Ta có hệ : at  2at  2a 1  2  t   a    3 
t  at  a  1  2 2   t   1
2at  2at  0   1  3  2 2 4  I ; a ; a a     3 3 3  1 4 3 Khi đó V  I ,
A IB.IC  a (đvtt) IABC 6   9
Và giờ chúng ta sẽ đến ý tiếp theo là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) 2  8  a 4  2 I , B IC    0; ; a   3 3  1  8  4  Nên chọn     n IB IC  IBC , 0; ; 2     a  3 3  qua B(0;0;0)  Ta có : (IBC) :   8  4  VTPT   n  IBC 0; ;     3 3   IBC : 8
 y  4z  0
Vậy khoảng cách từ A đến (IBC) là :   A IBC 8a 8a 2 5a d ,     8  2 2 4 5 5  4
Một ví dụ khác :
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC=2a ,
Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của
cạnh AC , đường thẳng A'B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 0 45 . Tính
theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và chứng minh A'B vuông góc B'C
( Trích đề thi ĐH 2016 ) z
B' ( a√2/2;-a√2/2;a )
C' ( 3a√2/2;-a√2/2;a )
A' ( a√2/2;a√2/2;a ) 45°
B ( 0;0;0 ) x
C ( a√2;0;0 )
H ( a√2/2;a√2/2;0 )
A ( 0;a√2;0 ) y
Hướng dẫn: Rõ ràng khi đọc đề bài ta có thể thấy được đây là hình lăng
trụ xiên . Với đáy là tam giác vuông cân tại B nên ta chọn B làm gốc tọa
độ và AC là cạnh huyền bằng 2a nên suy ra 2 cạnh còn lại có độ dài là a 2
bằng việc sử dụng định lý pytago đồng thời AC BH   a 2
Từ đó ta dễ dàng tìm được tọa độ các đỉnh còn lại qua việc sử dụng các
vectơ bằng nhau như những bài trước.
Nhận thấy : góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (ABC) là góc A'BH Ta có : 0
A' H  BH tan 45  a Khi đó : 1 1 3 V  S
.A' H  BC.B .
A A' H  a 2.a 2.a  a (đvtt)
ABC.A'B'C ' ABC 2 2
Giờ chúng ta cùng chuyển sang ý tiếp theo của bài toán . Đề bài yêu cầu
chúng ta chứng minh A'B vuông góc B'C . Vậy làm như thế nào đây ? Rất
đơn giản , hãy chứng minh vectơ A'B vuông góc vectơ B'C qua tích vô
hướng của chúng bằng 0 Ta có :
 a 2 a 2  A' B   ; ;a   2 2     a 2 a 2  B 'C   ; ;a   2 2    A' .
B B'C  0  A' B  B'C
Vậy A'B vuông góc B'C (đpcm)
Ví dụ 5 ( với đáy là tam giác cân ) :
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại C , AB= 6a , góc ABC = 0
30 , góc giữa 2 mặt phẳng (C'AB) và mặt phẳng (ABC) bằng 0
60 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai
đường thẳng B'C và AB theo a. z
C' ( -a√3;0;3a )
A' ( 0;3a;3a )
B' ( 0;-3a;3a ) y
C ( -a√3;0;0 )
A ( 0;3a;0 ) 60° I (0;0;0) 30°
B ( 0;-3a;0 ) x
Hướng dẫn : Với loại hình lăng trụ này chúng ta sẽ chọn chân đường cao
của tam giác làm gốc tọa độ giống như hình trên . Vì bài này là tam giác cân
nên chân đường cao cũng chính là trung điểm ( AB 6a IB  IA    3a ) . Do 2 2
nằm ngược chiều trục tung nên B (0;-3a;0)
Ta có : IC là hình chiếu của IC' lên (ABC)
Mà AB  IC  AB  IC' ( định lí 3 đường vuông góc )
Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng (C'AB) và (ABC) là góc C'IC 3 0  IC  I . B tan 30  3 . a  a 3 3
Do C nằm ngược chiều trục hoành nên C(a 3;0;0) 0
Ta có : CC '  I .
C tan 60  a 3. 3  3a
 C '(a 3;0;3a)  A'(0;3 ; a 3a) ; B ('0; 3  ; a 3a) IB 6a Khi đó : BC=AC=   2a 3 0 cos30 3 Ta có : 1 1 0 0 3 V
 CC '.S  CC '. BC.B .Asin30  3 .a 2a 3.6 .asin30  9 3a (đvtt)
ABC.A'B'C ' ABC 2 2
Tiếp theo là yêu cầu tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B'C và AB
B 'C  a 3; 3  ; a 3a   AB  0; 6  ; a 0 
BC  a 3;3 ; a 0  3
B 'C, AB.BC  3 18 3a     a a
d B 'C, AB 18 3 3     2 2
B 'C, AB 12 3a 12 3a 2  
Ví dụ 6 ( với đáy là tam giác đều ) :
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều , AB=2a . Góc
giữa (A'BC) và (ABC) bằng 0
60 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính
thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C và khoảng cách giữa 2 đường thẳng C'G và AB z
A' ( -a√3;0;3a )
B' ( 0;a;3a )
C' ( 0;-a;3a ) y
A ( - a√3;0;0 )
B ( 0;a;0 ) 60 °
G ( -a√3/3;0;0 ) I ( 0;0;0 )
C ( 0;-a;0 ) x
Hướng dẫn : Với hình lăng trụ có đáy là tam giác đều ta vẫn làm như tam
giác cân . Gọi I là trung điểm BC nhưng do đây là tam giác đều nên I cũng
chính là chân đường cao . Từ đó chúng ta có thể dễ dàng suy ra được tọa độ 2 điểm B và C
Ta có : AI là hình chiếu của A'I trên (ABC) Mà BC vuông góc AI
Suy ra BC vuông góc A'I ( định lí 3 đường vuông góc )
Do đó góc giữa 2 mặt phẳng (A'BC) và (ABC) là góc A'IA 0
 A' A  AI.tan 60  a 3. 3  3a
 A'a 3;0;3a ; B'0; ;a3a ; C'0; ;a3a Khi đó : 2a2 3 3 V  A' . A S  3 . a  3 3a (đvtt)
ABC.A'B'C ' ABC 4
Ta có : G là trọng tâm tam giác ABC  a 3   G  ;0;0  3     a 3  C 'G   ;  ; a 3a   3    AB  a 3; ; a 0 BC '  0; 2  ; a 3a 3
C 'G, AB.BC ' 3 a 3  
 d C G AB a 3 3 31 ' ,     a 2 2
C 'G, AB 2 93a 2 93a 62   3 3
Ví dụ 7 ( với đáy là hình thoi ) :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , canh 2a . SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD . Góc BAD = 0
120 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SC theo a . z
S ( -a/2;-a√3;a√3 ) y
A ( -a;0;0 )
D ( 0;a√3;0 ) 120°
H ( -a/2;-a√3/2;0 ) O ( 0;0;0 ) 60°
B ( 0;-a√3;0 )
C ( a;0;0 ) x
Hướng dẫn : Do đây là hình chóp có đáy là hình thoi nên chúng ta sẽ chọn
giao điểm của 2 đường chéo làm gốc tọa độ như hình trên . Vì đường chéo
của hình thoi cũng là phân giác nên góc BCA bằng góc BAC và bằng góc
BAD chia 2 ( 60 0 ) từ đó suy ra BAC là tam giác đều có cạnh bằng 2a ,
đường cao BO, tương tự cho tam giác DAC . Sau đó chúng ta dễ dàng tính
được tọa độ các điểm ABCD như những bài trước
Tam giác SAB là tam giác đều có AB = 2a Suy ra SA=AB=SB=2a
Gọi H là trung điểm AB  SH  AB (vì SAB là tam giác đều )
 a a 3   H  ; ;0  2 2    
 SAB   ABCD (gt)  
 SAB  ABCD  AB Ta có :   SH   ABCD
SH  SAB  SH  AB 2a 3
Vì SAB là tam giác đều và SH là đường cao  SH   a 3 2  a a 3   S  ; ; a 3   2 2    Khi đó : 1 1 1 1 1 3 V  S .SH  . B .
D AC.SH  . .2a 3.2 .
a a 3  2a (dvtt) S.ABCD 3 ABCD 3 2 3 2
AB   ;aa 3;0    3  SC  ; a a 3; a 3     2  Ta có : BC    ;aa 3;0  2   5a 3  2 2 AB, SC   3a ;a 3;     2     3
AB, SC.BC  
 d  AB SC 6a 4a 123 ,    AB, SC 123 41 2   a 2
Phần cuối : Các bài tập tự luyện  Bài tập 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông độ có độ dài cạnh
bằng a , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc
cạnh AC với HC=2AH . Biết góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng
(ABCD) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBC) theo a .  Bài tập 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông , BD = 2a , tam giác
SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy , SC = a 3
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD) theo a .  Bài tập 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I có AB = a
BC = a 3 . Gọi điểm H là trung điểm của đoạn AI , SH vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABCD) và tam giác SAC vuông tại S . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) theo a.  Bài tập 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAD
vuông tại S , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H
thuộc cạnh AD sao cho HA = 3HD . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Biết
SA = 2 3a , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy ( ABCD) bằng 30o
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến (ABC) .  Bài tập 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với
AB = 2a , AD = CD = a và SA vuông góc mặt phẳng đáy. Biết góc giữa mặt
phẳng (SBC) với mặt phẳng (ABCD) bằng 0
45 . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và AB theo a .  Bài tập 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với
AB = 3a , CD = BC = a và SA vuông góc mặt phẳng đáy . Biết góc giữa mặt
phẳng (SBC) với mặt phẳng (ABCD) bằng 0
60 . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a .  Bài tập 7
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , tam giác
SBC là tam giác đều độ dài cạnh bằng a và mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt
phẳng (ABC) . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC theo a .  Bài tập 8
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông tại A , có
BC = 2a , AB = a và mặt bên BCC'B' là hình vuông . Tính thể tích khối lăng
trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA' và BC' theo a .  Bài tập 9
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , AB=AC=a , góc BAC bằng 0
30 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Biết góc giữa mặt
phẳng (SBC) và (ABC) bằng 0
60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng
cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a .  Bài tập 10
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = a 3 góc BAC bằng 0
120 . Gọi I là trung điểm của cạnh AB , hình chiếu vuông góc
của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn CI . Biết góc giữa
đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 0
60 . Tính thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a .  Bài tập 11
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều độ dài cạnh bằng a , có
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Biết góc giữa mặt phẳng (SBC) và
mặt phẳng (ABC) bằng 0
60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách
giữa 2 đường thẳng SB và AC theo a .  Bài tập 12
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều có độ dài cạnh
bằng a , đỉnh A' có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng (ABC) là trung
điểm H của BC và A'A = a . Tính góc tạo bởi cạnh bên với mặt phẳng đáy
(ABC) và tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' theo a .  Bài tập 13
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , AB =2a và góc BAD bằng 0
120 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt phẳng (ABCD) là
giao điểm H của 2 đường chéo và SH = a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2
và góc tạo bởi 2 mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) theo a .  Bài tập 14
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Biết AC = 2a và
BD = 4a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SC theo a Lời kết
Đây là toàn bộ các kiến thức mà mình biết được về phương pháp tọa độ
trong không gian và hệ thống nó lại cho các bạn qua tập tài liệu này . Vì đây
là sản phẩm đầu tay cộng thêm việc kiến thức còn hạn chế qua việc trình bày
do đó trong các hình vẽ thì mình không thể kí hiệu hết các góc vuông như
giả thiết đề bài cho và các hệ trục tọa độ mình không gắn mũi tên vào được
mà chỉ chấm điểm vào thôi nên các bạn thông cảm nhé :D . Còn trong bài
làm thực tế thì các bạn phải vẽ đúng , kí hiệu đầy đủ và khi vẽ các trụ tọa độ
thì phải vẽ nét liền và kí hiệu mũi tên vào nhé :D . Các loại hình hay gặp
trong đề thi mình cũng đã liệt kê và các hướng xử lý cho nên nếu các bạn
hiểu và áp dụng được thì câu hình học không gian này trong đề thi các bạn
sẽ dễ dàng vượt qua được . Đối với phương pháp này thì có nhiều bạn bảo là
không thích vì nó mất hết tư duy hình học , mình thì cũng không phản đối gì
vì mục đích mình viết tài liệu này nhằm giúp các bạn học yếu hình có thể tự
tin làm chủ được nó trong đề thi đại học mà không cần chú tâm quá nhiều
đến các phương pháp giải cổ điển :D nhờ đó mà có thêm thời gian ôn tập các
kiến thức quan trọng khác . Hy vọng các bạn sẽ thích !
Chúc các bạn học tốt
Document Outline

LỜI NÓI ĐẦU
Ưu điểm :
Nhược điểm :
Phần đầu tiên
Phần 2: Phương pháp giải toán
Phần 3: Các ví dụ minh họa
Phần cuối : Các bài tập tự luyện
Lời kết

Gắn hệ tọa độ Oxyz để giải các bài toán hình học không gian – Phương Nguyễn Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Toán 12

20 kĩ thuật chinh phục vận dụng cao số phức – Hoàng Xuân Nhàn Toán 12

Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng Toán 12

Phương pháp giải các bài toán Tích phân – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn Toán 12