Các dạng toán đọc đồ thị – tương giao – tiếp tuyến thường gặp trong kỳ thi THPTQG

Các dạng toán đọc đồ thị – tương giao – tiếp tuyến thường gặp trong kỳ thi THPTQG được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

28 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

83 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CHUYÊN
ĐỀ 5
ĐỌC ĐỒ THỊ, TƯƠNG GIAO, TIẾP TUYẾN
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1
Dạng 1. Đọc đồ thị hàm số ............................................................................................................................................... 1
Dạng 2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ............................................................................................................. 9
Dạng 3. Bài toán tương giao ........................................................................................................................................... 11
Dạng 3.1 Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên ..................................................................... 11
Dạng 3.2 Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước ............................................................................. 14
Dạng 3.3 Bài toán tìm m để phương trình f(x) = f(m) thoả mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị, BBT của f(x) . 15
Dạng 3.4 Bài toán tìm m để phương trình |f(x)|=f(m) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị, BBT f(x) ........ 17
Dạng 3.5 Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 ......................................................................... 18
Dạng 3.6 Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến ............................................................ 19
Dạng 3.7 Bài toán tương giao của đường thẳng với hàm số khác (chứa tham số) ..................................................... 21
Dạng 3.8 Định m để hàm số f(u) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết f(x) ............................................................ 22
Dạng 3.9 Một số bài toán tương giao liên quan đến đồ thị f(x), g(x), f’(x) f(u) khác. ............................................... 28
Dạng 4. Bài toán tiếp tuyến ............................................................................................................................................ 31
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 34
Dạng 1. Đọc đồ thị hàm số ............................................................................................................................................. 34
Dạng 2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ........................................................................................................... 38
Dạng 3. Bài toán tương giao ........................................................................................................................................... 38
Dạng 3.1 Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên ..................................................................... 38
Dạng 3.2 Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước ............................................................................. 42
Dạng 3.3 Bài toán tìm m để phương trình f(x) = f(m) thoả mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị, BBT của f(x) . 44
Dạng 3.4 Bài toán tìm m để phương trình |f(x)|=f(m) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị, BBT f(x) ........ 45
Dạng 3.5 Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 ......................................................................... 46
Dạng 3.6 Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến ............................................................ 50
Dạng 3.7 Bài toán tương giao của đường thẳng với hàm số khác (chứa tham số) ..................................................... 56
Dạng 3.8 Định m để hàm số f(u) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết f(x) ............................................................ 64
Dạng 3.9 Một số bài toán tương giao liên quan đến đồ thị f(x), g(x), f’(x) f(u) khác. ............................................... 70
Dạng 4. Bài toán tiếp tuyến ............................................................................................................................................ 75
PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Đọc đồ thị hàm số
Câu 1. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Đường cong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới
đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A.
3
3 2y x x=
B.
4 2
1
y x x
=
C.
4 2
1
y x x
=
D.
3
3 2y x x=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
Câu 2. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới
đây?
A.
3 2
1y x x= B.
4 2
2 1y x x= C.
3 2
1y x x= D.
4 2
2 1y x x=
Câu 3. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm
số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A.
3 2
3 1y x x=
B.
3 2
3 3y x x=
C.
4 2
2 1y x x=
D.
4 2
2 1y x x=
.
Câu 4. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số
trong bốn hàm số
được liệt kê ở bốn phương án
, , ,A B C D
dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
3
3 1y x x= B.
3
3 1y x x= C.
4 2
1y x x= D.
2
1y x x=
Câu 5. (Mã 103 - BGD - 2019) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
A.
3 2
3 2y x x= . B.
4 2
2 2y x x= . C.
3 2
3 2y x x= . D.
4 2
2 2y x x= .
Câu 6. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ
bên?
A.
3 2
3 3y x x=
. B. 33
23
= xxy . C. 32
24
= xxy .s D. 32
24
= xxy .
Câu 7. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới
đây?
A.
3 2
3 1y x x= B.
3 2
3 1y x x= C.
4 2
3 1y x x= D.
4 2
3 1y x x=
Câu 8. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
A.
4 2
2 4 1y x x= B.
3
2 3 1y x x= C.
3
2 3 1y x x= D.
4 2
2 4 1y x x=
Câu 9. (Mã 102 - BGD - 2019) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên
A.
3
3 1y x x=
. B.
3
3 1y x x=
. C.
4 2
2 1y x x=
. D.
4 2
2 1y x x=
.
Câu 10. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Đường con trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm
số nào dưới đây?
y
x
O
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
A.
2 1
1
x
y
x
=
B.
1
1
x
y
x
=
C.
4 2
1
y x x
=
D.
3
3 1y x x=
Câu 11. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới
đây?
A.
4 2
2
y x x
=
B.
4 2
2
y x x
=
C.
3 2
y x x
D.
3 2
3 2
y x x
=
Câu 12. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới
đây?
A.
3
3 1y x x=
B.
4 2
3 1
y x x
=
C.
3
3 1y x x=
D.
4 2
1
y x x
=
Câu 13. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số
dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A.
=
4 2
1
y x x
B.
=
4 2
1
y x x
C.
=
3 2
1
y x x
D.
=
3 2
1
y x x
x
y
O
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
Câu 14. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Đường cong trong hình bên là của đồ thị hàm số nào dưới
đây?
A.
3 2
3 2=
y x x
B.
3 2
y x x
C.
4 2
2 2=
y x x
D.
4 2
2 2=
y x x
Câu 15. ..MẤT ĐỀ RỒI HAHA!
Câu 16. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số
=
ax b
y
cx d
với
, , ,a b c d
là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0,y x
B.
0, 1y x
C.
0, 1y x
D.
0,y x
Câu 17. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số
=
ax b
y
cx d
với
, , ,a b c d
là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
y 0, 1x
B.
y 0, x 1
C.
y 0, x 2
D.
y 0, 2
Câu 18. Cho hàm số
3 2
= y ax bx cx d
có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
A.
0, 0, 0, 0 a b c d
B.
0, 0, 0, 0 a b c d
.
C.
0, 0, 0, 0 a b c d
D.
0, 0, 0, 0 a b c d
.
Câu 19. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Hình vẽ sau đây là đồ thị của
một trong bốn hàm số cho ở các đáp án
, , ,A B C D
. Hỏi đó là hàm số nào?
A.
3
2 1y x x= . B.
3 2
2 1y x x= . C.
3
2 1y x x=
. D.
3
2 1y x x=
.
Câu 20. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
3 2
0y ax bx cx d a=
có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Chọn khẳng định đúng về dấu của
a
,
b
,
c
,
d
?
A.
0a
,
0b
,
0d
,
0c
B.
0a
,
0c b
,
0d
C.
0, 0, 0, 0.a b c d
D.
0a
,
0b
,
0c
,
0d
Câu 21. (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Cho hàm số
4 2
y ax bx c= có
đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
0, 0, 0a b c
B.
0, 0, 0a b c
C.
0, 0, 0a b c
D.
0, 0, 0a b c
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
Câu 22. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho đường cong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
A.
2 1
y
1
x
x
=
B.
2 3
1
x
y
x
=
C.
2 1
1
x
y
x
=
D.
2 2
1
x
y
x
=
Câu 23. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số
=
ax b
y
cx d
có đồ
thị như sau.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
0; 0
ac bd
B.
0; 0
ab cd
C.
0; 0
bc ad
D.
0; 0
ad bd
Câu 24. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Hàm số
3 2
y ax bx cx d
có đồ
thị như hình vẽ bên dưới:
Khẳng định nào là đúng?
A.
0
a
,
0
b
,
0
c
,
0
d
. B.
0
a
,
0
b
,
0
c
,
0
d
.
C.
0
a
,
0
b
,
0
c
,
0
d
. D.
0
a
,
0
b
,
0
c
,
0
d
.
Câu 25. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hàm số
1
, 0
1
a x b
y d
c x d
có đồ
thị như hình trên. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
A.
1, 0, 1.
a b c
B.
1, 0, 1.
a b c
C.
1, 0, 1.
a b c
D.
1, 0, 1.
a b c
Câu 26. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số
ax b
y
x c
=
có đồ thị như hình bên dưới,
với
a
,
b
,
c
. Tính giá trị của biểu thức
2 3T a b c=
?
A.
8
T
=
. B.
2T =
. C.
6
T
=
. D.
0
T
=
.
Câu 27. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số
4 2
y ax bx c=
(
0
a
) có đồ
thị như hình vẽ dưới đây.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0
a
,
0
b
,
0
c
. B.
0
a
,
0
b
,
0
c
.
C.
0
a
,
0
b
,
0
c
. D.
0
a
,
0
b
,
0
c
.
Câu 28. (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Cho hàm số
3 2
y ax bx cx d=
có đồ
thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x
y
O
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
A.
0, 0, 0, 0a b c d
B.
0, 0, 0, 0a b c d =
C.
0, 0, 0, 0a b c d =
D.
0, 0, 0, 0a b c d
Câu 29. (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số
3 2
y ax bx cx d=
có đồ thị
như hình bên. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A.
0, 0, 0ab bc cd
B.
0, 0, 0ab bc cd
C.
0, 0, 0ab bc cd
D.
0, 0, 0ab bc cd
Câu 30. (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số
3 2
y ax bx cx d=
có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A.
0, 0, 0, 0a b c d
B.
0, 0, 0, 0a b c d
C.
0, 0, 0, 0a b c d
D.
0, 0, 0, 0a b c d
Câu 31. (THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số có đồ thị
như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
0, 0, 0a b c
. B.
0, 0, 0a b c
. C.
0, 0, 0a b c
. D.
0, 0, 0a b c
Dạng 2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Câu 32. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Hàm số
2
2 1y x x=
có đồ thị như hình vẽ bên.
Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số
2
2 1
y x x
=
?
4 2
y ax bx c=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
A. Hình 1 B. Hình 2 C. Hình 3 D. Hình 4
Câu 33. (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số
3 2
6 9y x x x=
có đồ thị
như Hình
1
. Đồ thị Hình
2
là đồ thị hàm số nào dưới đây?
A.
3 2
6 9y x x x
=
. B.
3
2
6 9 1
x x x
. C.
3 2
6 9x x x
. D.
3 2
6 9x x x
.
Câu 34. (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x
=
có đồ thị hàm số
y f x
=
như hình vẽ.
Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:
A.
3 2
4 4f x x x x=
B.
3 2
4 4
f x x x x
=
C.
3 2
4 4f x x x x=
D.
3 2
4 4.
f x x x x
=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
Dạng 3. Bài toán tương giao
Dạng 3.1 Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên
Câu 35. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số
f x
có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình
2 3 0
f x
=
là
A.
2
. B.
1
. C.
4
. D.
3
.
Câu 36. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số
( )f x
bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình
2 ( ) 3 0
f x
=
là
A.
3
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Câu 37. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số
3 2
, , ,f x ax bx cx d a b c d=
. Đồ thị
của hàm số
y f x
=
như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
3 4 0
f x
=
là
x
y
O
2
2
2
A.
2
B.
0
C.
1
D.
3
Câu 38. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số
4 2
, ,f x ax bx c a b c=
. Đồ thị của hàm
số
y f x
=
như hình vẽ bên.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
Số nghiệm của phương trình
4 3 0f x =
là
A.
2
B.
0
C.
4
D.
3
Câu 39. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hàm số
y f x=
liên tục trên
2;2
và có đồ thị như
hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
3 4 0f x =
trên đoạn
2;2
là
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Câu 40. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số
f x
có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm thực của phương trình
3 5 0f x =
là
A.
3
. B.
4
. C.
0
. D.
2
.
Câu 41. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số
f x
có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình
2 3 0f x =
là
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 42. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số
4 2
y ax bx c=
, với
, ,a b c
là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Phương trình
0y
=
vô nghiệm trên tập số thực
-1
_
0
0
_
0
-1
2
+
2
+
+
0
-2
+
+
-
f(x)
f'(x)
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
B. Phương trình
0y
=
có đúng một nghiệm thực
C. Phương trình
0y
=
có đúng hai nghiệm thực phân biệt
D. Phương trình
0y
=
có đúng ba nghiệm thực phân biệt
Câu 43. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số
( )y f x=
liên tục trên đoạn
2;4
và có đồ thị
như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
3 ( ) 5 0f x =
trên đoạn
2;4
là
A.
2
B.
1
C.
0
D.
3
Câu 44. (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
( )y f x=
có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm thực của phương trình
4 ( ) 7 0f x =
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
1
.
Câu 45. (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
y f x=
có bảng
biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình
2 0f x =
là
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
Câu 47. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Cho hàm số
y f x=
có
bảng biến thiên sau đây.
x
– ∞
-2
3
+ ∞
y'
+
0
–
0
+
y
– ∞
7
1
+ ∞
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
Hỏi phương trình
2. 5 0
f x
=
có bao nhiêu nghiệm thực?
A.
0
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Câu 48. (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x
=
có bảng biến
thiên như hình bên.
Số nghiệm của phương trình
3 0
f x
=
là
A.
3
B.
2
C.
1
D.
0
Câu 49. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
y f x
=
liên tục
trên
và có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm của phương trình
2
f x
=
là
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
6
.
Câu 50. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho hàm số
y f (x)=
liên tục trên đoạn
2;2
và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình
f(x) 1=
trên đoạn
2;2
.
A. 3. B. 5. C. 6. D. 4.
Câu 51. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số
=
2
2 1
y x x có đồ thị
C
. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A.
C
cắt trục hoành tại một điểm. B.
C
cắt trục hoành tại ba điểm.
C.
C
cắt trục hoành tại hai điểm. D.
C
không cắt trục hoành.
Dạng 3.2 Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
Câu 52. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Biết rằng đường thẳng
2 2y x=
cắt đồ thị hàm số
3
2
y x x
=
tại điểm duy nhất; kí hiệu
0 0
;x y
là tọa độ của điểm đó. Tìm
0
y
A.
0
4
y
=
B.
0
0
y
=
C.
0
2
y
=
D.
0
1
y
=
Câu 53. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số
3
3= y x x
có đồ thị
C
. Tìm số giao
điểm của
C
và trục hoành.
A.
2
B.
3
C.
1
D.
0
Câu 54. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho hàm số
4 2
3y x x
= có đồ thị
C
. Số
giao điểm của đồ thị
C
và đường thẳng
2
y
=
là
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
4
.
Câu 55. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết rằng đường thẳng
4 5y x=
cắt đồ thị hàm số
3
2 1y x x=
tại điểm duy nhất; kí hiệu là tọa độ của điểm đó. Tìm
.
A.
0
10
y
=
. B.
0
13
y
=
. C.
0
11
y
=
. D.
0
12
y
=
.
Câu 56. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Gọi
P
là số giao điểm của hai đồ thị
3 2
1
y x x
=
và
2
1
y x
=
. Tìm
P
.
A.
0
P
=
. B.
2P =
. C.
1P =
. D.
3
P
=
.
Câu 57. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Đồ thị của hàm số
4 2
3 1y x x
cắt trục tung tại điểm có tung độ bao nhiêu
A. -3. B. 0. C. 1. D. -1.
Câu 58. (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Số giao điểm của đường cong
3 2
2 2 1y x x x=
và đường thẳng
1y x=
là
A.
1
B.
2
C.
3
D.
0
Câu 59. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Tìm số giao điểm của đồ thị
hàm số
4
4 5
y x
=
và đường thẳng
y x=
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Dạng 3.3 Bài toán tìm m để phương trình f(x) = f(m) thoả mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị,
BBT của f(x)
Câu 60. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho hàm số
4 2
2y x x
= có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các
giá trị thực của tham số
m
để phương trình
4 2
2
x x m =
có bốn nghiệm thực phân biệt.
A.
1
m
B.
0
m
C.
0 1
m
D.
0 1
m
0 0
;x y
0
y
x
y
1
-1
0
1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
Câu 61. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho hàm số
( )y f x=
có đồ thị như
hình vẽ:
Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình
2
( ) 1
f x m
= .
A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Câu 62. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số
y f x
=
có đồ
thị như sau.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình
2 3 3 0
f x m
=
có 3 nghiệm phân biệt.
A.
5
1
3
m
B.
5
1
3
m
C.
5
1
3
m
D.
5
1
3
m
Câu 63. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Cho hàm số
y f x
=
có đồ thị như hình vẽ bên.
Khi đó, điều kiện đầy đủ của
m
để phương trình
f x m=
có bốn nghiệm thực phân biệt là
A.
2
m
. B.
2 1
m
. C.
1
m
=
. D.
1
m
.
Câu 64. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x
=
có bảng biến thiên như sau
x
y
1
-2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
m
để phương trình
f x m=
có
5
nghiệm phân biệt.
A.
2 3
m
B.
5 3
m
C.
2 0
m
D.
2 0
m
Câu 65. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
( )y f x=
xác định, liên tục
trên
R
và có bảng biến thiên như sau:
Tìm tất cả các giá trị thực của
m
để phương trình
( ) 1
f x m =
có đúng hai nghiệm.
A.
0, 1
m m
=
. B.
2 1
m
. C.
1, 2
m m
=
. D.
1, 2
m m
=
.
Dạng 3.4 Bài toán tìm m để phương trình |f(x)|=f(m) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị,
BBT f(x)
Câu 66. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số
4 2
f x ax bx c=
, b, ca
có
bảng biến thiên
Có bao nhiêu số nguyên
m
để phương trình
3f x m
=
có đúng 8 nghiệm phân biệt
A. Vô số. B. 1. C. 4. D. 2.
Câu 67. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hình vẽ bên là đồ thị của một
hàm số trùng phương
( )y f x=
. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên
m
để phương trình
2 ( )
f x m=
có 6
nghiệm thực phân biệt?
A.
5
B.
6
C.
7
D.
3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
Dạng 3.5 Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3
Câu 68. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đường thẳng
= 1y mx m
cắt đồ thị hàm số
=
3 2
3 2
y x x x
tại ba điểm
, ,A B C
phân biệt sao
=AB BC
A.

5
;
4
m B.

2;m
C.
m
D.
 
; 0 4;m
Câu 69. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đường thẳng
y mx=
cắt đồ thị của hàm số
3 2
3 2
y x x m
=
tại ba điểm phân biệt
, ,A B C
sao cho
AB BC=
.
A.
; 1
m
B.
:m

C.
1:m
D.
;3
m
Câu 70. (THPT BẠCH ĐẰNG QUẢNG NINH NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
3 2
3y x x
= cắt đường thẳng
y m=
tại ba điểm phân biệt.
A.
; 4
m

. B.
4;0
m
. C.
0;m

.D.
; 4 0;m
 
.
Câu 71. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương
trình
3 2
3 2
x x m =
có ba nghiệm phân biệt.
A.
2;m

. B.
; 2
m

. C.
2;2
m
. D.
2;2
m
.
Câu 72. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
3 2
3 2
y x x C
cắt đường
thẳng
: ( 1)
d y m x
tại ba điểm phân biệt
1 2 3
, ,x x x
.
A.
2
m
. B.
2
m
. C.
3
m
. D.
3
m
.
Câu 73. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Đường thẳng
có phương trình
2 1y x
cắt đồ thị của hàm số
3
3
y x x
tại hai điểm
A
và
B
với tọa độ được kí hiệu lần lượt là
;
A A
A x y
và
;
B B
B x y
trong đó
B A
x x
. Tìm
B B
x y
?
A.
5
B B
x y
B.
2
B B
x y
C.
4
B B
x y
D.
7
B B
x y
Câu 74. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số
3 2 3
3
y x mx m=
có đồ thị
m
C
và
đường thẳng
2 3
: 2d y m x m
=
. Biết rằng
1 2 1 2
,
m m m m
là hai giá trị thực của
m
để đường thẳng
d
cắt đồ
thị
m
C
tại
3
điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,x x x
thỏa mãn
4 4 4
1 2 3
83
x x x
=
. Phát biểu nào sau đây là
đúng về quan hệ giữa hai giá trị
1 2
,m m
?
A.
1 2
0
m m
=
. B.
2
1 2
2 4
m m
. C.
2
2 1
2 4
m m
. D.
1 2
0
m m
=
.
Câu 75. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Đường thẳng
có phương trình
2 1y x=
cắt đồ thị của hàm số
3
3y x x=
tại hai điểm
A
và
B
với tọa độ được kí hiệu lần lượt là
;
A A
A x y
và
;
B B
B x y
trong đó
B A
x x
. Tìm
B B
x y
?
A.
5
B B
x y
=
B.
2
B B
x y
=
C.
4
B B
x y
=
D.
7
B B
x y
=
Câu 76. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi
S
là tập tất cả các giá trị
thực của tham số
m
để phương trình
3 2
2 3 2 1
x x m
=
có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng các phần tử của
S
bằng
A.
1
2
. B.
3
2
. C.
5
2
. D.
1
2
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
Câu 77. (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để
đường thẳng
5y x=
cắt đồ thị hàm số
3 2
2 x 3( 1) 5
y x m m x
=
tại 3 điểm phân biệt.
A.
1
2
m
m
. B.
2
3
1
2
m
m
m
. C.
2
3
1
2
m
m
m
. D.
1
2
m
m
.
Câu 78. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số bậc ba
y f x
=
có
đồ thị
C
như hình vẽ, đường thẳng
d
có phương trình
1y x=
. Biết phương trình
0
f x
=
có ba nghiệm
1 2 3
x x x
. Giá trị của
1 3
x x
bằng
A.
3
. B.
7
3
. C.
2
. D.
5
2
.
Câu 79. (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số
2018;2019
m
để đồ thị hàm số
3
3 3y x mx=
và đường thẳng
3 1y x=
có duy nhất một điểm
chung?
A.
1
. B.
2019
. C.
4038
. D.
2018
.
Câu 80. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình
3 2
6 5 5x mx m
=
có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng khi
A.
0
m
=
. B.
1 1
m m
= =
. C.
1
m
=
. D.
m
.
Dạng 3.6 Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến
Câu 81. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số
1
2
x
y
x
=
có đồ thị
C
. Gọi
I
là giao điểm của
hai đường tiệm cận của
C
. Xét tam giác đều
ABI
có hai đỉnh
A
,
B
thuộc
C
, đoạn thẳng
AB
có độ dài
bằng:
A.
2 3
B.
2
C.
2 2
D.
6
Câu 82. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số
1
1
x
y
x
=
có đồ thị
C
. Gọi
I
là giao điểm của
hai tiệm cận của
C
. Xét tam giác đều
IAB
có hai đỉnh
,A B
thuộc
C
, đoạn thẳng
AB
có độ dài bằng
A.
3
B.
2
C.
2 2
D.
2 3
Câu 83. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
có đồ thị
C
. Gọi
I
là giao điểm của
hai tiệm cận của
C
. Xét tam giác đều
ABI
có hai đỉnh
A
,
B
thuộc
C
, đoạn thẳng
AB
có độ dài bằng
A.
6
B.
2 3
C.
2 2
D.
3
Câu 84. Cho là đồ thị hàm số
x
y
x
=
2 1
1
. Tìm
k
để đường thẳng
d : y kx k= 2 1
cắt tại hai điểm phân
biệt
A,B
sao cho khoảng cách từ
A
đến trục hoành bằng khoảng cách từ
B
đến trục hoành.
A. 1. B.
2
5
C.
3
. D.
2
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
Câu 85. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Biết đường thẳng
2y x=
cắt đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
=
tại hai điểm phân biệt
,A B
có hoành độ lần lượt
,
A B
x x
. Khi đó giá trị của
A B
x x
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Câu 86. (ĐỀ MẪU KSNL ĐHQG TPHCM NĂM 2018-2019) Đường thẳng
2y x m=
cắt đồ thị hàm số
3
1
x
y
x
=
tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
A.
1
3
m
m
. B.
1
3
m
m
. C.
3
1
m
m
. D.
3 1
m
.
Câu 87. (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Tìm điều kiện của
m
để đường
thẳng
1y mx=
cắt đồ thị hàm số
3
1
x
y
x
=
tại hai điểm phân biệt.
A.
;0 16;
 
B.
16;

C.
;0

D.
;0 16;
 
Câu 88. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi
;M a b
là điểm trên
đồ thị hàm số
2
x
y
x
=
sao cho khoảng cách từ
M
đến đường thẳng
: 2 6
d y x
=
nhỏ nhất. Tính
2 2
4 5 2 7
a b
.
A.
162
. B.
2
. C.
18
. D.
0
.
Câu 89. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị của
m
để đồ thị của
hàm số
1
x
y
x
cắt đường thẳng
y x m
tại hai điểm phân biệt
,A B
sao cho góc giữa hai đường thẳng
OA
và
OB
bằng
0
60
( với
O
là gốc tọa độ)?
A.
2
B.
1
C.
3
D.
0
Câu 90. (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Để đường thẳng
: 2
d y x m
=
cắt đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
=
C
tại hai điểm phân biệt
A
và
B
sao cho độ dài
AB
ngắn nhất thì giá trị của
m
thuộc khoảng nào?
A.
4; 2
m
B.
2;4
m
C.
2;0
m
D.
0;2
m
Câu 91. (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Biết rằng đường thẳng
2 2y x m=
luôn
cắt đồ thị hàm số
2
3
1
x
y
x
=
tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của tham số m. Tìm hoành độ trung
điểm của AB?
A.
1
m
B.
1
m
C.
2 2
m
D.
2 1
m
Câu 92. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm
m
để đường thẳng
2
y x m=
cắt đồ thị hàm
số
3
1
x
y
x
=
tại hai điểm
M
,
N
sao cho độ dài
MN
là nhỏ nhất.
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
1
.
Câu 93. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi
H
là đồ thị hàm số
2 3
1
x
y
x
=
. Điểm
0 0
;M x y
thuộc
H
có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất, với
0
0
x
khi đó
0 0
x y
bằng
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Câu 94.
A
và
B
là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số
2
x
y
x
=
. Khi đó độ dài đoạn
AB
ngắn nhất bằng
A.
4 2
. B.
4
. C.
2 2
. D.
2 2
.
Dạng 3.7 Bài toán tương giao của đường thẳng với hàm số khác (chứa tham số)
Câu 95. (Mã đề 101 - BGD - 2019) (Mã đề 001) Cho hai hàm số
3 2 1
2 1 1
x x x x
y
x x x x
=
và
2
y x x m=
(
m
là tham số thực) có đồ thị lần lượt là
1
C
và
2
C
. Tập hợp tất cả các giá trị của
m
để
1
C
và
2
C
cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
A.
2;

. B.
;2

. C.
2;

. D.
;2

.
Câu 96. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hai hàm số
1 1 2
1 2 3
x x x x
y
x x x x
=
và
2
y x x m=
(
m
là
tham số thực) có đồ thị lần lượt là
1 2
,
C C
. Tập hợp tất cả các giá trị của
m
để
1
C
và
2
C
cắt nhau tại
đúng bốn điểm phân biệt là
A.
2;
. B.
; 2
. C.
2;
. D.
; 2
.
Câu 97. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hai hàm số
1 2 3
1 2 3 4
x x x x
y
x x x x
=
và
1
y x x m=
(
m
là
tham số thực) có đồ thị lần lượt là
1
C
và
2
C
. Tập hợp tất cả các giá trị của
m
để
1
C
và
2
C
cắt nhau
tại đúng 4 điểm phân biệt là
A.
;3

. B.
;3

. C.
3;

. D.
3;

.
Câu 98. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hai hàm số
2 1 1
1 1 2
x x x x
y
x x x x
=
và
1
y x x m=
(
m
là tham số thực) có đồ thị lần lượt là
1
C
và
2
C
. Tập hợp tất cả các giá trị của
m
để
1
C
và
2
C
cắt nhau
tại đúng bốn điểm phân biệt là
A.
; 3
. B.
3;

. C.
; 3
. D.
3;

.
Câu 99. (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi
S
là tập hợp các giá trị nguyên dương
của tham số
m
để phương trình
2 2
1 3 9 7
x x x x m =
có nghiệm. Số phần tử của
S
là
A. 3. B.
4
. C.
2
. D.
5
.
Câu 100. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Tập tất cả các giá trị của
m
để phương
trình
6 4 3 3 2 2
6 3 5 6 10 0
x x m x m x mx
có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc
1
;2
2
là
;S a b
. Tính
5 8T a b
.
A.
18
T
. B.
43
T
. C.
30
T
. D.
31
T
.
Câu 101. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Có bao nhiêu giá trị nguyên
m
để phương trình
3 2
cos 3cos 0
x x m
=
có nghiệm?
A. Vô số. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Câu 102. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có bao nhiêu số nguyên
m
để phương trình
2 2
3 2 3 0
x x m m
=
có
4
nghiệm phân biệt.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
A.
3
B.
12
C.
7
T
=
D.
5
Câu 103. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
2
4 3
4 2
1
1
5
x x
m m
=
có
4
nghiệm thực phân biệt
A.
1
m
. B.
0 1
m
.
C.
1;0 0;1
m
. D.
1 1
m
.
Câu 104. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
sao cho phương trình
2
2 2 1x mx x =
có hai nghiệm thực.
A.
7
12
m
. B.
7
2
m
. C.
3
2
m
. D.
9
2
m
.
Câu 105. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
4 2
3 2 3y x m x m
=
có đồ thị là
( )
m
C
. Tìm
m
để đường thẳng
: 1
d y
=
cắt đồ thị
( )
m
C
tại 4 điểm
phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
A.
1
1
3
m
và
0
m
B.
1
1
2
m
và
0
m
C.
1 1
2 2
m
và
0
m
D.
1 1
3 2
m
và
0
m
Câu 106. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập tất cả các giá trị của tham số
thực m để phương trình
2
( 1 1 3) 2 1 5 0
m x x x
=
Có đúng 2 nghiêm thực phân biệt là một nửa khoảng (a;b].Tính
5
7
b a
.
A.
6 5 2
7
B.
6 5 2
35
C.
12 5 2
35
D.
12 5 2
7
Câu 107. (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho phương trình
33 2 3
3 2 3 2 2 3 0
x x x m x x m
=
. Tập
S
là tập các giá trị của
m
nguyên để phương trình có ba
nghiệm phân biệt. Tính tổng các phần tử của tập
S
.
A.
15
. B.
9
. C.
0
. D.
3
.
Dạng 3.8 Định m để hàm số f(u) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết f(x)
Câu 108. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x
=
liên tục trên
và có
đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
sin
f x m=
có
nghiệm thuộc khoảng
0;
là
A.
1;3
B.
1;1
C.
1;3
D.
1;1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
Câu 109. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số bậc ba
y f x
=
có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm
thực của phương trình
3
3
3
2
f x x
=
là
A.
7
. B.
3
. C.
8
. D.
4
.
Câu 110. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số bậc ba
y f x
=
có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm
thực của phương trình
3
2
3
3
f x x
=
là
A.
10
B.
3
C.
9
D.
6
Câu 111. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số bậc ba
y f x
=
có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm
thực của phương trình
3
4
3
3
f x x
=
là
A.
7
. B.
4
. C.
3
. D.
8
.
Câu 112. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số bậc ba
y f x
=
có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực
của phương trình
3
1
3
2
f x x
=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
A.
6
. B.
10
. C.
12
. D.
3
.
Câu 113. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
=y f x
có bảng biến
thiên như sau
Tìm
m
để phương trình
2 2019 0 =f x m
có
4
nghiệm phân biệt.
A.
0;2m
. B.
2;2 m
. C.
4;2 m
. D.
2;1 m
.
Câu 114. Cho hàm số
y f x=
liên tục trên
R
và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị
thực của tham số
m
để phương trình
2
2 2 3 1f x x m =
có nghiệm thuộc khoảng
0;1 .
.
A.
0;4
. B.
1;0
. C.
0;1
. D.
1
;1
3
Câu 115. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x=
liên tục trên
R
và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
e
x
f m=
có nghiệm thuộc khoảng
0;ln 2
.
A.
3;0
. B.
3;3
. C.
0; 3
. D.
3;0
Câu 116. (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
y f x=
liên tục trên
và có
đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
2
lnf x m=
có nghiệm
thuộc nửa khoảng
1;e
:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
A.
1;3
. B.
1;1
. C.
1;1
. D.
1;3
.
Câu 117. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x=
liên
tục trên
và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Số các giá trị nguyên của tham số
m
không vượt quá 5 để phương trình
2
1
0
8
=
x
m
f có hai nghiệm
phân biệt là
A. 5. B. 4. C. 7. D. 6.
Câu 118. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hàm số
y f x=
xác định liên tục trên
và có
đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để phương trình
2
2. 3 3 9 30 21 2019f x x m =
có nghiệm.
A.
15
. B.
11
. C.
10
. D.
13
.
Câu 119. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x=
liên tục trên
và
có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
2
4 1f x x m =
có nghiệm
là
O
x
y
1
1
3
1
2
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
A.
2;0
. B.
4; 2
. C.
4;0
. D.
1;1
.
Câu 120. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số bậc bốn
y f x=
có đồ thị như hình vẽ.
Số giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
f x m m =
có
4
nghiệm phân biệt là
A.
2.
B. Vô số. C.
1.
D.
0.
Câu 121. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số
( )y f x=
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
2
( 4 )f x m = có nghiệm thuộc
nửa khoảng
[ 2 ; 3)
là:
A.
[-1;3]
. B.
[-1; ( 2)]f
. C.
(-1; ( 2)]f
. D.
(-1;3]
.
Câu 122. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
y f x=
có đồ thị
như hình vẽ.
Có bao nhiêu số nguyên
m
để phương trình
1
1
3 2
x
f x m
=
có nghiệm thuộc đoạn
2;2
?
A.
11
B.
9
C.
8
D.
10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
Câu 123. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số
y f x=
liên tục trên
có đồ
thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
2 cosf f x m=
có nghiệm
;
2
x
.
A.
5
. B.
3
. C.
2
. D.
4
.
Câu 124. (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
( )y f x=
liên tục
trên
và có đồ thị như hình vẽ.
Gọi
m
là số nghiệm của phương trình
( ( )) 1.f f x =
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
6.m =
B.
7.m =
C.
5.m =
D.
9.m =
Câu 125. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số
y f x=
liên tục
trên
và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của
m
để phương trình
2
2
1
x
f f m
x
=
có
nghiệm là
A.
1;2
. B.
0;2
. C.
1;1
. D.
2;2
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
Dạng 3.9 Một số bài toán tương giao liên quan đến đồ thị f(x), g(x), f’(x) f(u) khác.
Câu 126. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x=
liên tục trên
và có đồ thị là đường cong trơn (không bị gãy khúc), hình vẽ bên. Gọi hàm
.g x f f x=
Hỏi phương trình
0g x
=
có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
A.
10.
B.
12.
C.
8.
D.
14.
Câu 127. (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
4 3 2
f x ax bx cx dx e=
. Hàm số
y f x
=
có đô thị như hình vẽ. Trong các khẳng định sau khẳng
định nào đúng
A.
0a c
. B.
0a b c d
. C.
a c b d
. D.
0b d c
.
Câu 128. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
( )y f x=
có đạo hàm liên tục trên
. Biết
(0) 0f =
và
f x
được cho như hình vẽ bên. Phương trình
( )f x m=
(
với
m
là tham số) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
A.
8
B.
6
C.
2
D.
4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
Câu 129. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số
=
y f x
là hàm đa
thức với hệ số thực. Hình vẽ bên dưới là một phần đồ thị của hai hàm số:
=
y f x
và
=
y f x
.
Tập các giá trị của tham số
m
để phương trình
=
x
f x me
có hai nghiệm phân biệt trên
0;2
là nửa khoảng
;a b
. Tổng
a b
gần nhất với giá trị nào sau đây?
A.
0.81
. B.
0.54
. C.
0.27
. D.
0.27
.
Câu 130. Cho
f x
là một hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình dưới đây.
Tập nghiệm của phương trình
2
.
f x f x f x
=
có số phần tử là
A.
1.
B.
2.
C.
6.
D.
0.
Câu 131. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho hai hàm số
y f x
=
và
y g x
=
là
các hàm xác định và liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên (trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của
hàm số
y f x
=
). Có bao nhiêu số nguyên
m
để phương trình
1 2 1
f g x m =
có nghiệm thuộc đoạn
5
1;
2
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
A.
8
B.
3
C.
6
D.
4
Câu 132. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hai hàm số
,
y f x y g x
= =
có đồ thị như hình sau:
Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình
0
f g x
=
và
0
g f x
=
là
A.
25
. B.
22
. C.
21
. D.
26
.
Câu 133. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
. Hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Số nghiệm thuộc đoạn
2;6
của phương trình
0
f x f
là
A. 5 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 134. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số
y f x
=
có đạo hàm
trên
và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới. Đặt
g x f f x
=
. Tìm số nghiệm của phương
trình
0
g x
=
.
.
5
y=g(x)
y=f(x)
y
x
-4
-3
-2
-1
4
3
2
1
43
2
1
O
-1
-2-3
O
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
x
y
4
2
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
A.
2
B.
8
C.
4
D.
6
Câu 135. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho hàm số
y f x
=
có đạo hàm trên
và có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới đây.
Đặt
=
. Số nghiệm của phương trình
'
0
g x
=
là :
A.
6.
B.
5.
C.
8.
D.
7.
Dạng 4. Bài toán tiếp tuyến
Câu 136. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình tiếp tuyến của
đường cong
3 2
3 2
y x x
=
tại điểm có hoành độ
0
1
x
=
là
A.
9 7y x=
. B.
9 7y x=
. C.
9 7y x=
. D.
9 7y x=
.
Câu 137. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
1
x
y
x
=
tại điểm có hoành độ
0
x
=
là
A.
2 3y x=
. B.
2 3y x=
. C.
2 3y x=
. D.
2 3y x=
.
Câu 138. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
3
3y x x=
có
đồ thị
C
.Hệ số góc
k
của tiếp tuyến với đồ thị
C
tại điểm có tung độ bằng
4
là:
A.
0
k
=
B.
2
k
=
C.
6
k
=
D.
9
k
=
Câu 139. (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số
1
1
x
y
x
=
. Phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
1;0
M
là
A.
1 3
2 2
y x
=
B.
1 1
2 2
y x
=
C.
1 1
2 2
y x
=
D.
1 1
4 2
y x
=
Câu 140. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hàm số
=
2
1
x
y
x
có đồ thị
( )C
và điểm
( ;1)A a
.
Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
a
để có đúng một tiếp tuyến của
( )C
đi qua
A
. Tổng tất
cả các giá trị các phần tử của
S
là
A.
1
B.
3
2
C.
5
2
D.
1
2
Câu 141. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số
4 2
1 7
8 4
y x x
=
có đồ thị
C
. Có bao nhiêu điểm
A
thuộc đồ thị
C
sao cho tiếp tuyến của
C
tại
A
cắt
C
tại hai điểm phân biệt
1 1
;M x y
;
2 2
;N x y
(
M
,
N
khác
A
) thỏa mãn
1 2 1 2
3
y y x x
=
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
A.
3
B.
1
C.
0
D.
2
Câu 142. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số
4 2
1 7
4 2
y x x
=
có đồ thị
C
. Có bao nhiêu điểm
A
thuộc
C
sao cho tiếp tuyến của
C
tại
A
cắt
C
tại hai điểm phân biệt
1 1 2 2
; ; ;M x y N x y
khác
A
thỏa mãn
1 2 1 2
6( )y y x x
=
A.
0
B.
3
C.
1
D.
2
Câu 143. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hàm số
4 2
1 14
3 3
y x x
=
có đồ thị
C
. Có bao nhiêu
điểm
A
thuộc
C
sao cho tiếp tuyến của
C
tại
A
cắt
C
tại hai điểm phân biệt
1 1
;M x y
,
2 2
;N x y
(
M
,
N
khác
A
) thỏa mãn
1 2 1 2
8
y y x x
=
?
A.
0
B.
3
C.
1
D.
2
Câu 144. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số
4 2cos 2y x x=
có đồ thị là
C
. Hoành độ của các điểm trên
C
mà tại đó tiếp tuyến của
C
song song hoặc trùng với
trục hoành là
A.
4
x k k
=
. B.
2
x k k
=
. C.
x k k
=
. D.
2x k k
=
.
Câu 145. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm
số
3 2
1
2 3 5.
3
y x x x
=
A. Có hệ số góc bằng
1
. B. Song song với trục hoành.
C. Có hệ số góc dương. D. Song song với đường thẳng
1x =
.
Câu 146. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tiếp tuyến với đồ thị hàm
số
4 2
1
2 3
4
y x x
=
tại điểm cực tiểu của đồ thị cắt đồ thị ở
,A B
khác tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng
AB
.
A.
2
. B.
2
. C.
2 2
. D.
4 2
.
Câu 147. Từ BBT suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
0;3
M
.
Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cực tiểu là đường thẳng
3
y
=
.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và tiếp tuyến là:
4 2 4 2
0
1 1
2 3 3 2 0
4 4
2 2
x
x x x x
x
=
= =
=
2 2;3 ;B 2 2;3 4 2
A AB = .
Câu 148. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
sao
cho tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
1
mx
y
x m
=
tiếp xúc với parabol
2
7
y x
=
.
A.
7
m
=
. B.
7
m = . C.
4
m
=
. D.
m
.
Câu 149. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số
2
x b
y
ax
=
,
2
ab
. Biết rằng
a
,
b
là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
1; 2
A
song song với đường thẳng
:3 4 0
d x y
=
. Khi đó giá trị của
3a b
bằng
A.
2
. B.
4
. C.
1
. D.
5
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
Câu 150. (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm
m
để mọi tiếp tuyến của đồ thị
hàm số
3 2
2 3 1y x mx m x=
đều có hệ số góc dương.
A.
0m
. B.
1m
. C.
1m
. D.
m
.
Câu 151. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
y f x=
có đồ thị như
hình vẽ
Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu tiếp tuyến vuông góc với trục
Oy
.
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Câu 152. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tiếp tuyến của đồ thị
1
:
1
x
C y
x
=
tại điểm có tung độ bằng
1
song song với đường thẳng
A.
: 2 1d y x=
. B.
: 1d y x=
. C.
: 1d y x=
. D.
: 2 2d y x=
.
Câu 153. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho hàm số
1
2
x
y
x
=
, gọi
d
là tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng
2m
Biết đường thẳng
d
cắt tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số tại điểm
1 1
;A x y
và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại điểm
2 2
;B x y
. Gọi
S
là tập hợp các
số
m
sao cho
2 1
5x y = . Tính tổng bình phương các phần tử của
S
.
A.
10
. B.
9
. C.
0
. D.
4
.
Câu 154. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số
2
1
2 3
x
y
x
=
.
Đường thẳng
:d y ax b=
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
. Biết
d
cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại
hai điểm
A,B
sao cho
OAB
cân tại
O
. Khi đó
a b
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Câu 155. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Cho hàm số
, , , , ; 0, 0
ax b
y f x a b c d c d
cx d
có đồ thị
C
. Đồ thị của hàm số
y f x
như hình vẽ dưới
đây. Biết
C
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
2
. Viết phương trình tiếp tuyến của
C
tại giao điểm
của
C
với trục hoành.
A.
3 2 0x y
. B.
3 2 0x y
. C.
3 2 0x y
. D.
3 2 0x y
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
Câu 156. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Goi
,M N
la hai điêm di đông trên
đô thi
C
cua ham sô
3 2
3 4
y x x x
sao cho tiêp tuyên cua
C
tai
M
va
N
luôn song song vơi
nhau. Hỏi khi
,M N
thay đổi, đường thăng
MN
luôn đi qua điểm nao trong các điểm dươi đây?
A. Điểm
1; 5
N
B. Điểm
1; 5
M
C. Điểm
1;5
Q
D. Điểm
1;5
P
Câu 157. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
đồ thị
C
. Gọi
d
là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị
C
đến một tiếp tuyến của
C
. Giá trị lớn nhất của
d
có thể đạt được là
A.
3 3
. B.
3
. C.
2
. D.
2 2
.
Câu 158. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị của tham số thực
m
để đồ thị hàm số
2
2
x mx m
y
x m
=
cắt trục
Ox
tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc
với nhau.
A.
5
B.
2
C.
0
D.
1
Câu 159. Cho hàm số
4 2
1
3
4
y x x
=
có đồ thị
( )C
. Có bao nhiêu điểm
A
thuộc
( )C
sao cho tiếp tyến của
( )C
tại
A
cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt
1 1
( ; )M x y
,
2 2
( ; )N x y
( ,M N
khác
A
) thỏa mãn
1 2 1 2
5( )y y x x
=
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Câu 160. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị
2 3
2
x
y
x
=
đi qua giao điểm của hai đường tiệm cận?
A.
1
. B. Không có. C. Vô số. D.
2
.
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Đọc đồ thị hàm số
Câu 1. Chọn D
Đồ thị hình vẽ là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số
0
a
nên chỉ có hàm số
3
3 2y x x=
thỏa mãn điều kiện
trên.
Câu 2. Chọn D
Dựa vào hình vẽ suy ra hàm số đã cho có
3
cực trị
loại C,
D.
Mặt khác nhánh bên tay phải của đồ thị hàm số đi lên suy ra hệ số
0
a
Chọn D
Câu 3. Chọn B
Dựa vào đồ thị ta thấy đây là hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba nên loại đáp án B và C; Mặt khác dựa vào
đồ thị ta có
lim
x
y

=
nên hệ số của
3
x
dương nên ta chọn đáp án
3 2
3 3
y x x
=
Câu 4. Chọn A
Từ đồ thị :
lim
x
y

=
và đây là đồ thị hàm bậc ba nên ta chọn phương án
3
3 1.
y x x
=
Câu 5. Chọn B
Quan sát đò thị ta thấy đây là đồ thị của hàm số
4 2
0
y ax bx c a
=
. Vậy chọn
B.
Câu 6. Chọn A
Dạng hàm bậc ba nên loại C
Từ đồ thị ta có
0a
. Do đó loại B,
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
D.
Câu 7. Chọn C
+ Nhìn đồ thị khẳng định đồ thị hàm trùng phương loại B, C
+
lim
x
y

=
nên chọn
D.
Câu 8. Chọn D
Dạng đồ thị hình bên là đồ thị hàm số trùng phương
4 2
y ax bx c=
có hệ số
0
a
.
Do đó, chỉ có đồ thị ở đáp án
B
là thỏa mãn.
Câu 9. Chọn A
Trong bốn hàm số đã cho thì chỉ có hàm số
3
3 1y x x=
(hàm số đa thức bậc ba với hệ số
0
a
) có dạng
đồ thị như đường cong trong hình.
Câu 10. Chọn B
Vì từ đồ thị ta suy ra đồ thị của hàm phân thức có tiệm cận đứng và ngang
1; 1x y= =
Câu 11. Chọn C
Dựa trên hình dáng đồ thị, ta loại
3 2
3 2
y x x
=
và
4 2
2
y x x
=
Mặt khác từ đồ thị, ta thấy
lim
x
y

=
nên loại
4 2
2
y x x
=
Câu 12. Chọn A
Đồ thị hàm số là đồ thị của hàm số bậc ba nên loại A và
B.
Đồ thi hàm số bậc ba có hệ số
0
a
nên D đúng.
Câu 13. Chọn A
Đây là hình dáng của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số
0a
Câu 14. Chọn C
Đồ thị hàm số trên là đồ thị hàm trùng phương có 3 cực trị và có
0
a
Câu 15. Chọn C
Ta có :
Dựa vào hình dáng của đồ thị ta được:
+ Điều kiện
1x
+ Đây là đồ thị của hàm nghịch biến
Từ đó ta được
0, 1.y x
Câu 17. Chọn C
Dựa vào đồ thị ta nhận thấy tiệm cận đứng bằng 2, Hàm số nghịch biến vậy chọn B
Câu 18. Chọn A
Dựa vào đồ thị suy ra hệ số
0
a
loại phương án C
2
3 2 0
= =
y ax bx c có 2 nghiệm
1 2
,x x
trái dấu (do hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm hai phía với
Oy
)
3 . 0 0
a c c
loại phương án D. Do
0; 0. =
C Oy D d d
Câu 19. Dựa vào đồ thị, ta có
lim
x
y

= 
, loại phương án
D
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
Xét phương án
A
có
2
3 2 0,y x x
=
, hàm số không có cực tri, loại phương án
A
.
Xét phương án
B
có
2
3 6y x x
=
và
y
đổi dấu khi đi qua các điểm
0, 2
x x
= =
nên hàm số đạt cực tri
tại
0
x
=
và
2
x
=
, loại phương án
B
.
Vậy phương án đúng là
C
.
Câu 20.
lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị ta có
0
a
, đồ thị cắt
Oy
tại
1
điểm có tung độ dương nên
0
d
, đồ thị có
2
cực trị trái
dấu nên
1 2
. 0 0 0
c
x x c
a
. Vậy đáp án D
Câu 21. Chọn B
Ta có đồ thị có hình dạng như trên với hàm bậc bốn trùng phương có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại
nên
0, 0
a b
. Giá trị cực đại nhỏ hơn
0
nên
0
c
.
Câu 22. Chọn C
Dựa vào đồ thị suy ra tiệm cận đứng
1
x
=
loại C, D
Đồ thị hàm số giao với trục hoành có hoành độ dương suy ra chọn B
Câu 23. Theo đồ thị:
Tiệm cận ngang:
0=
a
y
c
1
Tiệm cận đứng:
0 0=
d d
x
c c
2
0 0 0= =
b b
y x
a a
3
Câu 24. + Dựa vào hình dạng đồ thị ta khẳng định được
0
a
.
+ Đồ thị cắt trục
Oy
tại điểm có tọa độ
0;d
. Dựa vào đồ thị suy ra
0
d
.
+ Ta có:
2
3 2
y ax bx c
. Hàm số có hai điểm cực trị
1
x
,
2
x
1 2
x x
trái dấu nên phương trình
0
y
có hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
trái dấu. Vì thế
3 . 0
a c
, nên suy ra
0
c
.
+ Mặt khác từ đồ thị ta thấy
1
2
1
1
x
x
nên
1 2
0
x x
.
Mà
1 2
2
3
b
x x
a
nên suy ra
2
0
3
b
a
0
b
.
Vậy
0
a
,
0
b
,
0
c
,
0
d
.
Câu 25. Theo bài ra, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
.
1
d
x
c
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:
1
.
1
a
y
c
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
Nhìn đồ thị ta thấy:
0
1
d
x
c
mà
0 1 0 1
d c c
.
1
0 1 0 1
1
a
y a a
c
.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
0 0
b
b
d
.
Câu 26. Từ đồ thị hàm số, ta suy ra
 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
1x =
, tiệm cận ngang là đường thẳng
1
y
=
.
 Đồ thị hàm số đi qua các điểm
2;0
A
,
0; 2
B
.
Từ biểu thức hàm số
ax b
y
x c
=
(vì đồ thị hàm số là đồ thị hàm nhất biến nên
0
ac b
), ta suy ra
 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
x c=
, tiệm cận ngang là đường thẳng
y a=
.
 Đồ thị hàm số đi qua
;0
b
A
a
,
0;
b
B
c
.
Đối chiếu lại, ta suy ra
1
c
=
,
1
a
=
,
2
b
=
.
Vậy
2 3 1 2.2 3 1 0
T a b c
= = =
.
Câu 27. Đồ thị cắt trục tung tại điểm
0;c
, từ đồ thị suy ra
0
c
Mặt khác đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên
0
y
=
có ba nghiệm phân biệt, hay
3 2
4 2 2 2 0
y ax bx x ax b
= = =
có ba nghiệm phân biệt. Suy ra
,a b
trái dấu.
Mà
0 0
a b
Câu 28.
Lơi giai
Chọn B
Đạo hàm:
2
3 2
y ax bx c
=
Từ hình dáng đồ thị suy ra:
Hệ số
0
a
0
y
=
có một nghiệm bằng
1
0
x
=
và một nghiệm
2
0
x
.
0
y
=
có một nghiệm bằng
1
0
x
=
0
c
=
.
1 2 2
2 2
0
3 3
b b
x x x
a a
= =
mà
0
a
nên
0 0
b b
Câu 29. Chọn A
Từ dáng điệu của đồ thị ta có ngay được:
lim ; lim 0
x x
y y a
 
= = 
.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại một điểm có tung độ dương nên
0
d
.
Ta có:
2
' 3 2
y ax bx c=
Mặt khác dựa vào đồ thị ta thấy phương trình
' 0
y
=
có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm này luôn
dương nên
0
0
2
0
3
ac
c
b
b
a
(do
0
a
)
Do đó:
0, , 0
ab bc cd
.
Câu 30. Chọn D
- Dựa vào hình dáng của đồ thị suy ra hệ số
0
a
.
- Đồ thị cắt trục
Oy
tại điểm có tung độ âm nên
0
d
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
- Ta thấy đồ thị như hình vẽ có hai điểm cực trị, hoành độ các điểm cực trị trái dấu suy ra phương trình
2
3 2 0
y ax bx c
= =
có 2 nghiệm
1 2
,x x
trái dấu kéo theo
3 . 0 0a c c
.
- Mặt khác
1 2
0 0
2 3
x x b
b
a
=
.
Câu 31. Chọn C
- Dựa vào hình dạng đồ thị suy ra
0
a
- Hàm số có 3 điểm cực trị nên
0 0
ab b
- Giao điểm với trục tung nằm dưới trục hoành nên
0
c
.
Dạng 2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Câu 32. Chọn A
2
2
2
2 1 , 2
2 1
2 1 , 2
x x x
y x x
x x x
= =
Đồ thị gồm 2 phần:
+) Giữ nguyên phần đồ thị đã cho ứng với
2
x
.
+) Lấy đối xứng phần đồ thị đã cho ứng với
2
x
qua trục
Ox
Hình 1 nhận vì đồ thị là hàm
2
2 1
y x x
=
Hình 2 loại vì đồ thị là hàm
2 1 1
y x x x
=
Hình 3 loại vì đồ thị hàm số
2
2 1
y x x
=
Hình 4 loại vì đồ thị hàm
2
2 1
y x x
=
Câu 33. Cách 1:
+) Ta thấy Hình 2 có được là do ta giữ nguyên phần đồ thị của hàm số
3 2
6 9y x x x=
thuộc trục Oy và nằm
bên phải của trục
Oy
và sau đó lấy đối xứng phần đồ thị này qua
Oy
. Do đó ta suy ra Hình 2 là đồ thị của
hàm số
3 2
6 9y x x x
=
.
Ghi nhớ: Từ đồ thị hàm số
y f x
=
, muốn vẽ đồ thì của hàm số
y f x
=
thì ta làm như sau:
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số
y f x
=
thuộc trục Oy (nếu có) và nằm bên phải trục
.Oy
Bước 2: Ta lấy đối xứng phần đồ thị đó qua trục
Oy
.
Cách 2:
Từ hình
2
ta thấy đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng nên suy ra đây là đồ thị của hàm số chẵn, do đó ta
loại được phương án C và D. Lại thấy đồ thị đi qua gốc tọa độ nên suy ra ta loại phương án B.
Vậy đáp án là A.
Câu 34. Chọn A
Do đồ thị giao với trục
Oy
tại điểm có tung độ bằng
4
và
lim
x
y

=
.
Dạng 3. Bài toán tương giao
Dạng 3.1 Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên
Câu 35. Chọn C
Ta có
3
2 3 0
2
f x f x
= =
.
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y f x
=
và đường thẳng
3
2
y
=
.
Dựa vào bảng biến thiên của
f x
ta có số giao điểm của đồ thị
Câu 36. Chọn A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
Ta có
3
2 ( ) 3 0 ( ) (1)
2
f x f x = =
.
Số nghiệm thực của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
( )y f x=
với đường thẳng
3
2
y
=
.
Từ bảng biến thiên đã cho của hàm số
( )f x
, ta thấy đường thẳng
3
2
y
=
cắt đồ thị hàm số
( )y f x=
tại ba
điểm phân biệt.
Do đó phương trình (1) có ba nghiệm thực phân biệt.
Câu 37. Chọn D
Ta có:
3 4 0
f x
=
4
3
f x
=
*
*
là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y f x
=
và đường thẳng
4
3
y
=
.
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy
*
có
3
nghiệm.
Câu 38. Chọn C
Ta có
4 3 0
f x
=
3
4
f x
=
Đường thẳng
3
4
y
=
cắt đồ thị hàm số
y
f x
=
tại
4
điểm phân biệt nên phương trình đã cho có
4
nghiệm
phân biệt.
Câu 39. Chọn B
Ta có
4
3 4 0
3
f x f x
= =
.
Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng
4
3
y
=
cắt
y f x
=
tại 3 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 3
nghiệm phân biệt.
Câu 40. Chọn B
Bảng biến thiên
y=3/2
-1
_
0
0
_
0
-1
2
+
2
+
+
0
-2
+
+
-
f(x)
f'(x)
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
Xét phương trình
5
3 5 0
3
f x f x
= =
.
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
:
C y f x
=
và đường thẳng
3
:
2
d y
=
.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng
d
cắt đồ thị
C
tại bốn điểm phân biệt.
Câu 41. Chọn D
Ta có
3
2 3 0
2
f x f x
= =
.
Nhìn bảng biến thiên ta thấy phương trình này có 3 nghiệm.
Câu 42. Chọn D
Dựa vào hình dáng của đồ thị hàm số
4 2
y ax bx c=
ta thấy đây là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng
phương có 3 điểm cực trị nên phương trình
0
y
=
có ba nghiệm thực phân biệt.
Câu 43. Chọn D
Ta có
5
3 ( ) 5 0 ( )
3
f x f x
= =
.
Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng
5
3
y
=
cắt đồ thị hàm số
( )y f x=
tại ba điểm phân biệt thuộc đoạn
2;4
.
Do đó phương trình
3 ( ) 5 0
f x
=
có ba nghiệm thực.
Câu 44.
Ta có:
7
4 ( ) 7 0 ( )
4
f x f x
= =
. Do đường thẳng
7
4
y
=
cắt đồ thị hàm số
y f x
=
tại
3
điểm phân biệt
nên suy ra phương trình đã cho có
3
nghiệm.
Câu 45. Chọn C
Xét phương trình
2 0 2
f x f x
= =
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
y f x
=
và đường thẳng
2
y
=
Từ bảng biến thiên ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt hay phương trình có ba nghiệm.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
Câu 46. (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Cho
hàm số
4 2
( )y f x ax bx c= = có đồ thị như hình vẽ. Phương trình
1 2. ( ) 0f x =
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A.
4
B.
3
C. Vô nghiệm D.
2
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình:
1
1 2. ( ) 0 1
1
2
2
y f x C
f x f x
y d
=
= =
=
Số giao điểm của đường thẳng
d
và đường cong
C
ứng với số nghiệm của phương trình
1 .
Theo hình
vẽ ta có
4
giao điểm
=
phương trình
1
sẽ có
4
nghiệm phân biệt.
Câu 47. Phương trình
5
2. 5 0 *
2
f x f x = =
.
Số nghiệm của phương trình
*
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y f x=
và đường thẳng
5
2
y =
.
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy 2 đồ thị
y f x=
và
5
2
y =
có 3 điểm chung.
Vậy phương trình
2. 5 0f x =
có 3 nghiệm thực.
Câu 48. Chọn A
Ta có:
3 0 3f x f x = =
, theo bảng biến thiên ta có phương trình có 3 nghiệm.
Câu 49. *Đồ thị
y f x=
- Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị của
y f x=
nằm phía trên Ox
- Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị của
y f x=
nằm phía dưới Ox qua trục hoàn.
- Bước 3: Xóa phần đồ thị của
y f x=
nằm phía dưới trục hoành
Số nghiệm của phương trình
2f x =
cũng chính là số giao điểm cũng đồ thị hàm số
y f x=
và đường
thẳng
2y =
. Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy có 4 giao điểm.
*Cách giải khác:
( ) 2
2
( ) 2
f x
f x
f x
=
=
=
, dựa vào đồ thị suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm
Câu 50.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
Ta có số nghiệm của phương trình
f(x) 1=
là số giao điểm của đồ thị hàm số
y f (x)
=
với đường thẳng
y 1=
.
Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng
y 1=
cắt đồ thị hàm số
y f (x)
=
tại 6 điểm. Vậy số nghiệm của phương
trình
f(x) 1=
là 6.
Dạng 3.2 Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước
Câu 51. Chọn A
Dễ thấy phương trình
=
2
2 1 0
x x có 1 nghiệm
= 2x
C
cắt trục hoành tại một điểm.
Câu 52. Chọn C
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
3 3
2 2 2 3 0 0
x x x x x x
= = =
Với
0 0
0 2
x y
= =
.
Câu 53. Chọn B
Xét phương trình hoành độ giao điểm của
C
và trục hoành:
3
3 0
x x
=
0
3
x
x
=
=
Vậy số giao điểm của
( )C
và trục hoành là 3.
Câu 54. Số giao điểm của đồ thị
C
và đường thẳng
2
y
=
là số nghiệm của phương trình sau:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
2
4 2 4 2
2
3 17
3 17
2
3 2 3 2 0
2
3 17
0
2
x
x x x x x
x
=
= = =
=
.
Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm nên số giao điểm của đồ thị
C
và đường thẳng là 2.
Câu 55. Phương trinh hoanh đô giao điêm la
3 3
2 1 4 5 2 4 0 2
x x x x x x
= = =
Vơi
2 13
x y
= =
. Vây
0
13
y
=
Câu 56. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
3 2
1
y x x
=
và
2
1
y x
=
:
3 2 2 3 2
0
1 1 2 0
2
x
x x x x x
x
=
= =
=
Với
0 1x y= =
.
Với
2 5
x y
= =
.
Nên hai đồ thị trên có hai giao điểm là
0;1
và
2;5
.
Vậy
2P =
.
Câu 57. Trục tung có phương trình:
0x
. Thay
0x
vào
4 2
3 1y x x
được:
1y
.
Câu 58. Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm
3 2
3 2
2
2 2 1 1
2 3 0
2 3 0 0
x x x x
x x x
x x x x
=
=
= =
Câu 59. Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm
4 4
4 5 4 5x x x x = =
4 2
5
4 ( 5)
x
x x
=
4 2
5
10 29 0 (*)
x
x x x
=
Do
5
x
nên
4 2 2 2
( 1) 0
x x x x
=
và
10 29 0
x
. Vì vậy
(*)
vô nghiệm
Như vậy phương trình
4
4 5
x x =
vô nghiệm hay đồ thị hàm số
4
4 5
y x
=
và đường thẳng
y x=
không có giao điểm nào.
Cách 2:
Phương trình hoành độ giao điểm
4
4 5
x x =
.
Ta có điều kiện xác định
2
2
x
x
Với điều kiện trên ta có
4 4
4 5 4 5 0
x x x x
= =
Xét hàm số
4
( ) 4 5
h x x x=
. Ta có
3
4
2
'( ) 1
4
x
h x
x
=
;
3 4
'( ) 0 2 4
h x x x
= =
Với
2
x
ta có
3 4
2 4
x x
. Với
2
x
ta có
3 4
2 4
x x
Ta có Bảng biến thiên:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
Số nghiệm của phương trình
4
4 5
x x =
là số giao điểm của đồ thị
4
( ) 4 5
y h x x x= =
và trục
hoành
0
y
=
. Dựa vào BBT ta thấy phương trình
4
4 5
x x =
vô nghiệm hay đồ thị hàm số
4
4 5
y x
=
và đường thẳng
y x=
không có giao điểm nào.
Dạng 3.3 Bài toán tìm m để phương trình f(x) = f(m) thoả mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị,
BBT của f(x)
Câu 60. Chọn D
Số nghiệm thực của phương trình
4 2
2
x x m =
chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
4 2
2y x x
= và
đường thẳng
y m=
. Dựa vào đồ thị suy ra
4 2
2
x x m =
có bốn nghiệm thực phân biệt khi
0 1
m
.
Câu 61. Số nghiệm của phương trình
2
( ) 1
f x m
= bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
( )y f x=
và
đường thẳng
2
1
y m=
. Mặt khác,
2
1 1,m m
.
Do đó ta có đồ thị
Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình
2
( ) 1
f x m
= luôn có một nghiệm thực với mọi giá trị của
m
. Vậy
phương trình đã cho có một nghiệm thực.
Câu 62.
2 3 3 0
f x m
=
3 3
2
m
f x
=
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
3 3
1 3
2
m
5
1
3
m
Câu 63. Số nghiệm của phương trình
f x m=
bằng số giao điểm của đồ thị
y f x
=
và đường thẳng
y m=
.
Khi đó, phương trình
y f x
=
có bốn nghiệm thực phân biệt
2 1
m
.
Câu 64. Số nghiệm của phương trình
f x m=
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y f x
=
với đường
thẳng
y m=
(song song hoặc trùng với
Ox
).
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
Để phương trình
f x m=
có
5
nghiệm phân biệt
2 0
m
.
Câu 65. Ta có
( ) 1 ( ) 1
f x m f x m = =
Để phương trình có hai nghiệm thì
1 1 2
1 0 1
m m
m m
= =
Dạng 3.4 Bài toán tìm m để phương trình |f(x)|=f(m) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị,
BBT f(x)
Câu 66. Lấy đối xứng phần đồ đồ thị phía dưới
Ox
của hàm số
y f x
=
qua trục
Ox
.
Bỏ phần đồ thị
y f x
=
phía dưới
Ox
.
Khi đó ta có đồ thị hàm số
y f x
=
.
Số nghiệm của phương trình
3f x m
=
là số giao điểm của 2 đồ thị
y f x
=
và
y m=
.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị
y f x
=
cắt đường thẳng
y m=
tại 8 điểm phân biệt khi và chỉ
khi
0 2
m
.
Vì
m
nên
1
m
=
.
Câu 67. Chọn D
Ta có
2 *
2
m
f x m f x= =
Phương trình
*
là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị
y f x
=
và đường thẳng
2
m
y
=
Phần đồ thị hàm số
y f x
=
được suy ra từ đồ thị hàm số
y f x
=
như hình vẽ và là đường nét liền.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
Để phương trình
2 ( )
f x m=
có
6
nghiệm thực phân biệt thì
1 3 2 6.
2
m
m
Mà
, 0 3;4;5
m m m
Dạng 3.5 Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3
Câu 68. Chọn B
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
= =
3 2 3 2
3 2 1 3 1 0 1
x x x mx m x x x mx m
=
=
=
2
2
1
1 2 1 0
2 1 0
x
x x x m
x x m
.Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân
biệt thì phương trình
=
2
2 1 0x x m
có hai nghiệm phân biệt khác
1
.Hay
1 1 0 2
2
1 2 1 0 2
m m
m
m m
.Với
2m
thì phương trình
1
có ba nghiệm phân biệt là
1 2
1, ,x x
(
1 2
,x x
là nghiệm của
=
2
2 1 0x x m
). Mà
1 2
x x
1
2
=
suy ra điểm có hoành độ x=1 luôn là
trung điểm của hai điểm còn lại. Nên luôn có 3 điểm A,B,C thoả mãn
=AB BC
Vậy
2m
.
Câu 69. Chọn D
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình
3 2 2
3 2 1 2 2 0
x x m mx x x x m
= =
2
1
2 2 0
x
x x m
=
=
Đặt nghiệm
2
1.
x
=
Từ giải thiết bài toán trở thành tìm
m
để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.
Khi đó phương trình
2
2 2 0
x x m
=
phải có 2 nghiệm phân biệt (vì theo Viet rõ ràng
1 3 2
2 2x x x = =
)
Vậy ta chỉ cần
1 2 0 3
m m
=
Câu 70.
Lời giai
Chon B
Ta có
3 2 2
0
3 3 6 ; 0
2
x
y x x y x x y
x
=
= = =
=
Bảng biến thiên:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số
3 2
3y x x
= cắt đường thẳng
y m=
tại ba điểm phân biệt khi
4 0
m
Câu 71. Xét hàm số
3 2
3 2
y x x
=
,
2
3 6y x x
=
.
Lập bảng biến thiên
Số nghiệm của phương trình
3 2
3 2 *
x x m =
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
3 2
y x x
=
và
đường thẳng
y m=
.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra PT (*) có 3 nghiệm phân biệt khi
2 2
m
.
Câu 72. Phương trình hoành độ giao điểm của
C
và
d
là
3 2
3 2 ( 1)
x x m x
(1)
Phương trình
(1)
3 2 2
3 2 0 ( 1)( 2 2) 0
x x mx m x x x m
2 2
1 0 1
( ) 2 2 0 ( ) 2 2 0 (2)
x x
f x x x m f x x x m
Phương trình
(1)
luôn có nghiệm
1
x
, vậy để phương trình
(1)
có ba nghiệm phân biệt thì phương trình
(2)
phải có hai nghiệm phân biệt khác 1.
' 1 2 0 3
3
(1) 0 3
m m
m
f m
.
Vậy
3
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 73. Phương trình hoành độ giao điểm của
và
3
3
y x x
:
3 3
2 3
3 2 1 3 2 0
1 3
x y
x x x x x
x y
Vậy
1;3 ; ( 2; 3) 5
B B
A B x y
Câu 74. Xét phương trình hoành độ giao điểm của
d
và
m
C
3 2 3 2 3
3 2x mx m m x m
=
3 2 2 3
3 3 0
x mx m x m
=
3 2 2 3
3 3 0
x m x mx m
=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
2 2 2 2
2 2
3 0
3 0
3
x x m m x m
x m x m
x m
x m
x m
=
=
=
=
=
Để đường thẳng
d
cắt đồ thị
m
C
tại
3
điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,x x x
0
m
.
Khi đó,
4 4
4 4 4 4
1 2 3
83 3 83
x x x m m m
= =
4
83 83 1
m m
= =
Vậy
1 2
1, 1
m m
= =
hay
1 2
0
m m
=
.
Câu 75. Chọn C
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
3
3 2 1x x x =
Giải phương trình ta được
1
2
x
x
=
=
Vì
B A
x x
Vậy
1; 3
B B
x y
= =
4
B B
x y
=
Câu 76. Xét hàm số:
3 2
2 3y x x
=
2
6 6 0 0 1y x x y x x
= = = =
.
Bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị:
3 2
: 2 3
: 2 1
C y x x
d y m
=
=
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
1
2 1 1
1
2 1 0
2
m
m
m
m
=
=
=
=
1;
S
=
.
Vậy tổng các phần tử của
S
bằng
1 3
1
2 2
=
.
Câu 77. Phương trình hoành độ giao điểm chung là:
3 2
2 x 3( 1) 5 5x m m x x =
3 2
2 x (3 2) 0
x m m x
=
2
0
2 3 2 0 (1)
x
x mx m
=
=
Đường thẳng
5y x=
cắt đồ thị hàm số
3 2
2 x 3( 1) 5
y x m m x
=
tại 3 điểm phân biệt
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác
0
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
2
3 2 0
3 2 0
m m
m
=
2
1
2
3
m
m
m
2
3
1
2
m
m
m
.
Câu 78.
+Ta có:
1
1 1
3
x
f x x x
x
=
= =
=
.
f x
là hàm bậc ba nên
1 1 1 3
f x x a x x x
=
1 1 3 1f x a x x x x =
;
0 2 1
f a
= =
.
1 1 3 1f x x x x x =
.
+
2
1
0
1 3 1 0 2
x x
f x
x x
= =
=
=
.
1 3
,x x
là các nghiệm của
2
nên ta có
1 3
2
x x
=
.
thẳng
5
2
y
=
nên từ đồ thị ta có phương trình đã cho có
4
nghiệm phân biệt.
Câu 79. Phương trình hoành độ giao điểm:
3
3 3 3 1x mx x =
3
3 2 3x x mx
=
3
3 2
3
x x
m
x
= (1).
Xét hàm
3
2
3 2 2
3
x x
f x x
x x
= =
;
3
2 2
2 2 2
2
x
f x x
x x
= = ;
0 1f x x
= =
.
Bảng biến thiên.
Khi đó yêu cầu bài toán
0
m
. Mà
m
nguyên và
2018;2019
m
nên có
2018
giá trị thỏa mãn.
Câu 80. Phương trình đã cho tương đương:
3 2
6 5 5 0
x mx m
=
.
Đặt
3 2
6 5 5y f x x mx m
= =
có
2
3 6f x x m
=
;
6f x x
=
.
PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt
Hàm số
y f x
=
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
0
f x
=
có 2 nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
thỏa mãn
1 2
. 0
f x f x
.
3 nghiệm đó lập thành cấp số cộng nên
2 1 3 2
x x x x =
.
Suy ra,
2
x
là hoành độ của tâm đối xứng hay là nghiệm của
0
f x
=
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
Cho
0 6 0 0
f x x x
= = =
.
Với
0
x
=
ta có:
2
5 5 0 1
m m
= =
.
Thử lại:
Với
1
m
=
thì ta có
3 2
0
6 5 5 6 0
6
x
x x x x
x
=
= =
=
Với
1
m
=
thì ta có:
3 2
6 5 5 6 0 0
x x x x x
= = =
Dạng 3.6 Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến
Câu 81. Chọn A
Cách 1:
Giả sử
1
;
2
a
A a
a
,
1
;
2
b
B b
b
,
2;1
I
.
3
2;
2
IA a
a
=
,
3
2;
2
IB b
b
=
1
1
3
;IA a
a
=
,
1
1
3
;IB b
b
=
.
Do tam giác
ABI
đều nên
2 2 2 2 2
1 1
2 2
1 1
9 9
1
cos ,
2
IA IB AB a b
a b
IA IB
= = = =
=
2 2
1 1
2 2
1 1
2
1 1 1
2
1 1 1
9
1 0 1
9 1 9
2
2
a b
a b
a b a
a b a
=
=
1 1
1 1
1 1
1 1
1
3
3
a b
a b
a b
a b
=
=
=
=
Nếu
1 1
a b=
thì
2
vô lý.
Nếu
1 1
a b=
thì
A B
Loại.
Nếu
1 1
3
a b
=
thì
2
vô lý.
Nếu
1 1
3
a b
=
thì
2
1
2
1
9
2 12
a
a
=
2 3
AB = .
Vậy
2 3
AB = .
Cách 2:
2;1
I
1
:
2
x
C y
x
=
3
:
IXY
C Y
X
=
.
Trong hệ trục toạn độ
IXY
C
nhận đường thẳng
Y X=
làm trục đối xứng.
ABI
đều nên
IA
tạo với
IX
một góc
15
: tan15 .X
A d Y
=
: 3 2
A d Y X
= .
; 3 2
A X X
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
Mà
A C
3
3 2 X
X
=
2
3
3 2 3
2 3
X = =
.
2
2 2 2
3 2
AB IA X X
= =
12=
2 3
AB = .
Câu 82. Chọn C
Ta có
1 2
1
1 1
x
y
x x
= =
.
Đồ thị
C
có hai đường tiệm cận là
1
x
=
và
1y =
. Do đó
1;1
I
.
Giả sử
,A B
có hoành độ lần lượt là
1 2
,x x
.
Ta có:
2
2
1
2
1
4
1
1
IA x
x
=
;
2
2
2
2
2
4
1
1
IB x
x
=
;
2
2
2
2
2 1
2
2 1 2 1
2 2
2 1
2 1
4 1 1
2 2
1 1
1 1
1 . 1
x x
AB x x x x
x x
x x
= =
Do tam giác
IAB
đều nên ta có:
2 2
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 2
2 1
2 1
4 1 1
1 1 0
1 1
1 1
1 1 4
x x
x x
IA IB x x
x x
x x
=
= =
=
2 2
2 1
1 1 0 0
x x AB
= =
Loại.
2
2 2
1
2 1
2
1
2
1
1
1 1 4
2
1
1
x
x
x x
x
x
=
=
=
+
2
1
2
1
1
x
x
=
:
Khi đó
2
2
2
2
2 1 2 2
2
2
2
2 2
2 1 1 2 1 1 2
1
1
AB x x x x
x
x
= = =
Lại có
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 4
1 2 1
1 1
AB IB x x
x x
= =
2
2
2
2
4 2
2 2
2
2
2
2
2 2 2 3
1 4 2 3 8
4 2 3
1 8 1 4 0
2 2 2 3
1 4 2 3 8
4 2 3
x AB
x x
x AB
= = =
=
= = =
+
2
1
2
1
1
x
x
=
:
Khi đó
2
2
2
2
2 1 2 2
2
2
2
2 2
2 1 1 2 1 1 2
1
1
AB x x x x
x
x
= = =
Lại có
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 4
1 2 1
1 1
AB IB x x
x x
= =
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
2
4 2
2
2 2
2
2
1 4 2 3 0
1 8 1 4 0
1 4 2 3 0
x
x x
x
=
=
=
Loại
Vậy
2 2
AB =
.
Câu 83. Chọn B
Tịnh tiến hệ trục theo vecto
1;1
OI =
0;0
I
và
3
:C Y
X
=
.
Gọi
3
;A a
a
,
3
;B b
b
C
, điều kiện:
a b
.
Theo đề bài, ta có:
2 2
2 2
2
9 9
1
9
cos ; 60
1
2
2
a b
a b
IA IB
IA IB
ab
ab
AB
=
=
=
=

Từ
2 0
ab
, do đó:
0
2 2 2 2
1 9 0 3
ab
a b a b ab
= =
.
Suy ra:
2
9
2 3 12 2 3
3
AB AB
= = =
.
Câu 84. Phương trình hoành độ giao điểm:
x (ld)
x
kx k
kx k x k
x
=
=
2
1
2 1
2 1
3 1 2 0 1
1
.
Ycbt tương đương có hai nghiệm phân biệt
x ,x
1 2
sao cho
kx k kx k
=
1 2
2 1 2 1
k k
k k k k k .
k k k
k x x k
= =
= =
=
2 2
1 2
0 0
6 1 0 6 1 0 3
1 3 4 2 0 3
4 2 0
Câu 85. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng
2y x=
và đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
=
là:
2 1
2 2 1 2 1
1
x
x x x x
x
= =
2 2
3 2 2 1 5 1 0 (*)
x x x x x = =
Ta có
,
A B
x x
là nghiệm của phương trình (*), theo định lí Viét ta có
5
A B
x x
=
Câu 86. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho
3
2
1
x
x m
x
=
2 1 3
1
x m x x
x
=
2
2 2 3 0
x mx m
=
*
. (vì khi
1
x
=
thì phương trình trở
thành
0 4=
vô lí).
Để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình
*
phải có hai nghiệm
phân biệt. Khi đó
m
phải thoả mãn
*
0
2
1
2 3 0
3
m
m m
m
.
Vậy tập hợp các giá trị của tham số
m
là
1
3
m
m
.
Câu 87. Chọn D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
3
1
1
x
mx
x
=
3 1 1
1
x mx x
x
=
2
4 0 *
1
mx mx
x
=
Để đường thẳng
1y mx=
cắt đồ thị hàm số
3
1
x
y
x
=
tại hai điểm phân biệt thì phương trình
*
có hai
nghiệm phân biệt khác
1
hay
2
0
1 1 4 0
m m
2
16 0
4 0
m m
;0 16;m

.
Câu 88. Gọi
C
là đồ thị hàm số
2
x
y
x
=
.
Phương trình hoành độ giao điểm của
C
và đường thẳng
d
là:
2
2 6
x
x
x
=
2
2 5 2 0 0
x x x
=
2
1
2
x
x
=
=
.
Suy ra đường thẳng
d
cắt đồ thị
C
tại hai điểm phân biệt
1 2
1
2;2 , ;5
2
M M
.
Ta có
; 0,
d M d M
min ; 0
d M d
=
khi
M d
.
Mà
M C
M d C
=
2;2
1
;5
2
M
M
.
Với
2;2
M
2 2
2, 2 4 5 2 7 18
a b a b
= = =
.
Với
1
;5
2
M
2 2
1
, 5 4 5 2 7 18
2
a b a b
= = =
.
Câu 89. Xét phương trình hoành độ giao điểm
2
1
0 *
1
x
x
x m
x mx mx
Để có hia điểm phân biệt
,A B
thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác
1
2
1 0
4
0
4 0
m m
m
m
m m
Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biết
1
x
,
2
x
thỏa mãn:
1 2
1 2
x x m
x x m
Giả sử
1 1 2 2
; , ;
A x x m B x x m
, suy ra:
1 1 2 2
; , ;
OA x x m OB x x m
Theo giả thiết góc giữa hai đường thẳng
OA
và
OB
bằng
0
60
suy ra:
1 2 1 2
0
2 2
2 2
1 1 2 2
1
cos ; cos 60
2
x x x m x m
OA OB
x x m x x m
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54

2
1 2 1 2
2
2 2
2 2 2
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
2
1
2
x x m x x m
x x x x mx x x x m x m x m
2 2
2
2 2
2 2
2 1 1 2 1 2
2
1
2
m m m
m m mx m mx x x m x x m
2
2 2
2 2 2
2 1
2
1
2
m
m m mx m mx m m m
2 2
2 1
2 1
2
2 1 1x x
2 2
2 1
2 1 1 16
x x
2
1 2 1 2 1 2
2 2 12
x x x x x x
2
6
4 12 0
2
m
m m
m
Câu 90. Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của
d
và
C
:
2
2
2 1 2 0 *
1
x
x m x m x m
x
= =
(vì
1x =
không phải là nghiệm).
Đường thẳng
d
cắt
C
tại hai điểm phân biệt:
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
.
2 2
1 4 2 1 8 0,m m m m
= =
.
Theo định lý Vi-et ta có:
1 2
1 2
1
. 2
x x m
x x m
=
=
Khi đó
1 1
; 2 ,
A x x m
2 2
B x x m
.
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2
2 2 2 2 4
AB x x x m x m x x x x x x
= = =
.
2
2 1 8 4
m
=
.
AB
nhỏ nhất
4 1
AB m
= =
.
Câu 91. Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của
C
và
d
là:
2
3
2 2
1
x
x m
x
=
2
2 1 2 3 0
x m x m
=
1
, (
1
x
).
Đường thẳng
d
cắt
C
tại hai điểm phân biệt
A
,
B
Phương trình
1
có hai nghiệm phân biệt khác
2
2
2
1 2 3 0
1 2 1 . 1 2 3 0
m m
m m
=
2
4 0,
4 0
m m
.
Khi đó, gọi
1 1
;2 2A x x m
;
2 2
;2 2B x x m
Hoành độ trung điểm của AB là
1 2
2 2
1
2 2
I
x x m
x m
= = =
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
Câu 92. Phương trình hoành độ giao điểm:
3
2
1
=
x
x m
x
2 1 3x m x x =
(do
1
x
=
không là nghiệm)
2
2 1 3 0 1
x m x m =
.
Để có hai giao điểm thì pt
1
phải có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với
0
2
6 25 0
m m
(luôn đúng).
Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương trình
1
. Giả sử
1 1
;2
M x x m
,
2 2
;2
N x x m
Khi đó, ta có:
2
2
1 2
5
MN x x
=
2
1 2 1 2
5 4
x x x x
=
2
1 3
5 4
2 2
m m
=
2
5 5 35
3 14 .14
4 4 2
m
= =
. {
2
5 5
3 16 .16 20
4 4
m
= =
.}
Dấu
" "=
xảy ra khi
3
m
=
nên
MN
nhỏ nhất khi
3
m
=
.
Câu 93. TXĐ:
\ 1
D
=
.
Dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1
: 1
d x
=
và tiệm cận ngang
2
: 2
d y
=
.
Do
0
0
0
2 3
;
1
x
M H M x
x
.
Xét
0
1 2 0 0
0 0
2 3
1
, , 1 2 1 2
1 1
x
d M d d M d x x
x x
= =
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0
0
0
0
0
1
1
2
1
x
x
x
x
=
=
=
.
Theo đề bài, ta có
0
0
x
nên nhận
0
2
x
=
0
1
y
=
.
Vậy
0 0
1
x y
=
.
Câu 94. Chọn B
Hàm số
2
x
y
x
=
có đồ thị
C
như hình vẽ. Gọi
;
2
a
A a
a
và
;
2
b
B b
b
là hai điểm thuộc hai nhánh
của
C
2
a b
.
Ta có:
; ;
2 2 2 2
b a b a
AB b a b a
b a b a
= =

.
x
y
2
1
O 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
2
2 2
4
b a
b a
.
Suy ra:
2
2
2
2
2 2
b a
AB b a
b a
=
2
2
64
16
b a
b a
4
AB
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2 2
a =
và
2 2
b =
.
Vậy
min
4
AB
=
.
Dạng 3.7 Bài toán tương giao của đường thẳng với hàm số khác (chứa tham số)
Câu 95. Chọn A
Xét phương trình
3 2 1
2
2 1 1
x x x x
x x m
x x x x
=
3 2 1
2
2 1 1
x x x x
x x m
x x x x
=
(1)
Hàm số
3 2 1
2 khi 2
3 2 1
2 1 1
2
3 2 1
2 1 1
2 2 khi 2
2 1 1
x x x x
x
x x x x
x x x x
p x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
= =
.
Ta có
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
0, 2; \ 1;0;1;2
2 1 1
1 1 1 1
2 0, 2
2 1 1
x
x
x x x
p x
x
x
x x x

=
nên hàm số
y p x
=
đồng biến trên mỗi khoảng
; 1
,
1;0
,
0;1
,
1;2
,
2;

.
Mặt khác ta có
lim 2
x
p x

=
và
lim
x
p x

= 
.
Bảng biến thiên hàm số
y g x
=
:
Do đó để
1
C
và
2
C
cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 4 nghiệm phân
biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng
y m=
cắt đồ thị hàm số
y p x
=
tại 4 điểm phân biệt
2
m
.
Câu 96. Chọn B
Xét phương trình hoành độ giao điểm
1 1 2 1 1 2
2 2 1
1 2 3 1 2 3
x x x x x x x x
x x m x x m
x x x x x x x x
= =
Xét
1 1 2
2 , \ 3; 2; 1;0
1 2 3
x x x x
f x x x x D
x x x x
= =
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
Ta có
1
2
1 1 2
2, 2;
1 2 3
1 1 2
2 2, ; 2
1 2 3
x x x x
x D D
x x x x
f x
x x x x
x x D D
x x x x
=
=
 =
Có
1
2 2 2
2
2
2 2 2
2
1 1 1 1
,
1 2 3
1 1 1 1
2,
1 2 3
x D
x
x x x
f x
x D
x
x x x
=
Dễ thấy
1 2
0,
f x x D D
, ta có bảng biến thiên
Hai đồ thị cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biện khi và chỉ khi phương trình
1
có đúng 4 nghiệm phân biệt, từ
bảng biến thiên ta có:
2 2
m m
.
Câu 97. Chọn C
Điều kiện
1;
x
2;
x
3
x
và
4
x
.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm
1 2 3
1
1 2 3 4
x x x x
x x m
x x x x
=
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 2 3 4
x x m
x x x x
=
1 1 1 1
1 4
1 2 3 4
x x m
x x x x
=
Đặt tập
1
1;D
= 
và
2
( ; 4) 4; 3 ( 3; 2) 2; 1
D
= 
.
1
2
1 1 1 1
3 , khi
1 2 3 4
1 1 1 1
2 5 , khi
1 2 3 4
m x D
x x x x
x m x D
x x x x
=
=
Đặt
1
2
1 1 1 1
3 , khi
1 2 3 4
1 1 1 1
2 5 , khi
1 2 3 4
x D
x x x x
f x
x x D
x x x x
=
.
-
2
-
-
-
+
+
+
+
-
+
+
+
+
f(x)
f'(x)
+-
x
-3
-2
1 0
+
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
1
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1 1 1 1
0, khi
1 2 3 4
1 1 1 1
2 >0, khi
1 2 3 4
x D
x x x x
f x
x D
x x x x

=
.
Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
lim 3
x
f x

=
;
lim
x
f x

= 
nên ta có bảng biến thiên
Do đó để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì
3 3;m m

.
Câu 98. Chọn B
Xét phương trình hoành độ
2 1 1
1
1 1 2
x x x x
x x m
x x x x
=
2 1 1
1
1 1 2
x x x x
x x m
x x x x
=
(1)
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của
2 1 1
1 , 1
2 1 1
1 1 2
1
2 1 1
1 1 2
2 1, 1
1 1 2
x x x x
x
x x x x
x x x x
F x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
= =
Ta có
2 2 2
2
2 2 2
2
1 1 1 1
, 1; \ 0;1
1 1 2
1 1 1 1
2, ; 1 \ 2
1 1 2
x
x
x x x
F x
x
x
x x x

=
.
Mặt khác
lim ; lim 3
x x
F x F x
 
=  =
2 2 1 1
0 0 1 1
lim ; lim ; lim ; lim
lim ; lim ; lim ; lim
x x x x
x x x x
F x F x F x F x
F x F x F x F x
  
=  =  =  = 
=  =  =  =
.
Bảng biến thiên
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
Để phương trình có 4 nghiệm thì
3 3
m m
.
Câu 99. Xét phương trình
2 2
1 3 9 7
x x x x m =
(*).
Đặt
2 2
1 3 9
f x x x x x
=
có tập xác định
D =
.
Ta có,
2 2
2 1 2 3
2 1 2 3 9
x x
f x
x x x x
=
;
3
0
4
f x x
= =
.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy
(*)
có nghiệm
min 7
f x m
.
13 7 7 13 3,39
m m
.
Mà
1;2;3
m m
.
Câu 100.
6 4 3 3 2 2
6 3 5 6 10 0
x x m x m x mx
6 4 3 3 2 2 2
6 15 3 6 10 0
x x m x x m x mx
.
Đặt
2
u x
0
u
;
v mx
3 2 3 2
6 15 3 6 10 0
u u v u v v
3 2 3 2
6 15 10 3 6u u u v v v
3 3
2 3 2 1 3 1u u v v
3 3
2 3 2 1 3 1
u u v v
1
.
Xét hàm
3
3f t t t
2
3 3 0
f t t
,
t
.
Do đó
1
2 1
f u f v
2 1u v
2
2 1x mx
1
x m
x
.
Xét hàm
1
g x x
x
2
1
1g x
x
;
0
g x
1
1 ;2
2
1
1 ;2
2
x
x
.
13
∞
∞
+
+
3
4
y
y'
x
0
+
∞
+
∞
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
Bảng biến thiên:
Để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc
1
;2
2
thì
5
2
2
m
.
Vậy
5
5 8 5.2 8. 30
2
a b
.
Câu 101. Ta có
3 2 3 2
cos 3cos 0 cos 3cos
x x m x x m = =
.
Đặt
cos [ 1; 1]
t x t
=
.
Yêu cầu bài toán trở thành tìm điều kiện của
m
để phương trình
3 2
3
t t m =
có nghiệm
[ 1; 1]
t
.
Xét hàm số
3 2
( ) 3 , [ 1; 1]
f t t t t= .
Ta có
2
0
( ) 3 6 , ( ) 0 0
2 1;1
t
f t t t f t t
t
=
= = =
=
và
( 1) 4; (1) 2; (0) 0
f f f
= = =
.
Phương trình
3 2
3
t t m =
có nghiệm
[ 1; 1]
t
[ 1;1]
[ 1;1]
min ( ) max ( ) 4 0
t
t
f t m f t m
.
Do
m
nên
4; 3; 2; 1; 0
m
.
Vậy có
5
giá trị của
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 102. Chọn A
Ta có
3 2 3 2
2 2
3 2 3 0 3 2 3 *
x x m m x x m m = =
Xét hàm số:
3 2
3 2
y f x x x
= =
có đồ thị như hình vẽ:
Từ đồ thị của hàm số ta có: Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt
3 2
2 3 2
m m
Mà
3 2
2
3 3m m m m m
2
3
0
3
3 1;0;1
1
0
1
m
m
m
m m
m l
m
m l
=
=
=
=
=
=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
Câu 103. Ta có:
2
4 3
4 2 2 4 2
1
5
1
1 4 3 log 1
5
x x
m m x x m m
= =
(1)
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị
y f x
=
và
4 2
1
5
log 1
y m m
=
Xét đồ thị
2
4 3
y x x
=
có dạng như hình vẽ:
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
2
4
x
y
Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình (1) có
4
nghiệm khi hai đồ thị
y f x
=
và
4 2
1
5
log 1
y m m
=
giao nhau tại
4
điểm phân biệt.
Khi đó
4 2
1
5
0 log 1 1
m m
4 2
1
1 1
5
m m
4 2
4 2
0
1 11
0
4 20
m m
m m
2 2
2
2
1 0
1 11
0
2 20
m m
m
1 1
0
m
m
.
Đồ thị nên có đánh dấu mốc trên trục tung
1y =
vì ta cần dùng mốc này để kết luận bài toán, cũng nên nói
thêm
4 2
1
1
5
m m
luôn đúng
Câu 104. Cách 1 – Phan Văn Tai
Ta có:
2
2 2 1x mx x =
. (1)
2
2
2 1 0
2 2 1
x
x mx x
=
2
1
2
3 4 1 0 2
x
x m x
=
.
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biêt
phương trinh (2) có hai nghiệm phân biêt
1
x
,
2
x
thỏa mãn
1 2
1
2
x x
.
1 2
1 2
0
1 1
0
2 2
1
2 2
x x
x x
2
4 12 0
2 9 0
4 3
m
m
m
9
2
m
.
Vậy
9
2
m
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
Cách 2 - Nguyên Văn Hâu
2 (1)
2 2 1
x mx x =
2 2
2 1 0
2 (2 1)
x
x mx x
=
2 (2)
1
2
3 4 1
x
x x mx
=
Vì
0
x
=
không phải là nghiệm của phương trình nên phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:
2
1
, 0
2
3 4 1
x x
x x
m
x
=
. Xét hàm số
2
3 4 1x x
f x
x
= với
1
, 0
2
x x
.
Ta có
2
2
3 1
0, 0
x
f x x
x
=
.
0
lim
x
f x
= 
,
0
lim
x
f x
= 
,
lim
x
f x

= 
,
1 9
2 2
f
=
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm thực khi
9
2
m
.
Câu 105. Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
m
C
và đường thẳng
d
là
4 2
3 2 3 1
x m x m
=
4 2
3 2 3 1 0
x m x m
=
Đặt
2
t x=
,
0
t
, phương trình trở thành
2
3 2 3 1 0
t m t m
=
2
1
3 1
t
t m
=
=
Đường thẳng
: 1
d y
=
cắt đồ thị
( )
m
C
tại
4
điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn
2
khi và chỉ khi
phương trình
2
có hai nghiệm dương phân biệt
1
t
,
2
t
thỏa mãn
1 2
0 4
t t
0
3 1 1
1
0 3 1 4
1
3
m
m
m
m
Câu 106. Chọn D
2
( 1 1 3) 2 1 5 0
m x x x
=
(*)
Đặt t= 1 1
x x
Theo bất đẳng thức bunhiacosky ta có:
2 2
( 1 1 ) (1 1)(1 1 ) 4
t x x x x
= =
0 2t
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
2 2 2
( 1 1 ) 2 2 1t x x x= =
2
2
2
1
2
t
x
= (1)để phương trình có nghĩa
2 t
(1)
4 2 4 2
2 2
4 4 4
1
4 4
t t t t
x x
= = để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì
4 2
4
0
4
2
t t
t
2 2t
Lúc này pt (*)
2
( 3) 7 0m t t =
2
7
3
t
m
t
=
Đặt
2
7
( )
3
t
f t
t
=
2
'
2
6 7
( )
( 3)
t t
f t
t
=
3 2
0
3 2
t
t
=
=
=
Ta có bảng biến thiên:
Suy ra
3
5 3 2
5
m
5 12 5 2
7 7
b a
=
Câu 107. Chọn B
Đặt
3 3 3 3
2 3 2 3t x x m t x x m= =
Ta có
3 3
3
3
3 2
2 3
2 1 2 1
3 2 3 2 0
t x x m
t t x x
x x x m t
=
=
=
Xét hàm số
3 2
( ) 2 ( ) 3 2 0,y f u u u f u u u
= = = .
Do đó hàm số liên tục và đồng biến trên
3
3 3 2
1 2 3 1 3 1t x x x m x x x m = = =
Xét
3 2 2
( ) 3 1 ( ) 3 6g x x x g x x x
= =
0
( ) 0
2
x
g x
x
=
=
=
Bảng biến thiên
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
Từ bảng biến thiên suy ra
5 1 1 5 2;3;4
m
m m m
.
Vậy tổng các phần tử của
S
bằng
9
.
Dạng 3.8 Định m để hàm số f(u) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết f(x)
Câu 108. Chọn B
Đặt
sin 0; 0;1
t x x t
=
Vậy phương trình trở thành
f t m=
. Dựa và đồ thị hàm số suy ra
1;1 .
m
Câu 109. Chọn C
Đặt
3
3t x x=
ta có phương trình
3
*
2
f t =
.
Từ đồ thị hàm số
y f t
=
và đường thẳng
3
2
y
=
ta suy ra phương trình
*
có 4 nghiệm
1 2 3 4
2 0 2
t t t t
Xét hàm
3
3t x x=
. Ta có
2
1
3 3 0
1
x
t x
x
=
= =
=
Ta có bảng biến thiên
Với
1
2
t
phương trình:
3
1
3t x x=
cho ta 1 nghiệm.
Với
2
2 0
t
phương trình:
3
2
3t x x=
cho ta 3 nghiệm.
Với
3
0 2
t
phương trình:
3
3
3t x x=
cho ta 3 nghiệm.
Với
4
2
t
phương trình:
3
4
3t x x=
cho ta 1 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có tất cả 8 nghiệm. Chọn C
Câu 110. Chọn A
Đặt
3
3t g x x x= =
(1)
Ta có
2
' 3 3 0 1g x x x= =
Bảng biến thiên
0
+
5
-1
+
+
+
0
2
0
g(x)
g'(x)
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
Dựa vào bảng biến thiên ta có với
2;2
t
cho ta 3 giá trị
x
thỏa mãn (1)
2;2
t
cho ta 2 giá trị
x
thỏa mãn (1)
; 2 2;t

cho ta 1 giá trị
x
thỏa mãn (1).
Phương trình
3
2
3
3
f x x
=
(2) trở thành
2
2
3
2
3
3
f t
f t
f t
=
=
=
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Phương trình
2
3
f t
=
có 3 nghiệm thỏa mãn
1 2 3
2 2t t t
có 7 nghiệm của phương trình (2).
+ Phương trình
2
3
f t
=
có 3 nghiệm thỏa mãn
4 5 6
2 2t t t
có 3 nghiệm của phương trình (2).
Vậy phương trình đã cho có 10 nghiệm.
Câu 111. Chọn D
Đặt
3 2
3 3 3
t x x t x
= =
. Ta có bảng biến thiên
Khi đó
4
1
3
f t =
Dựa vào đồ thị hàm số
f t
ta thấy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
1
2,
t
2
2 0,
t
3
0 2
t
,
4
2
t
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
Mỗi nghiệm
t
của phương trình
1
, ta thay vào phương trình
3
3t x x=
để tìm nghiệm
x
.
Khi đó
+
1
2
t
phương trình
3
3t x x=
có 1 nghiệm.
+
2
2 0
t
phương trình
3
3t x x=
có 3 nghiệm.
+
3
0 2
t
phương trình
3
3t x x=
có 3 nghiệm.
+
4
2
t
phương trình
3
3t x x=
có 1 nghiệm.
Vậy phương trình
3
4
3
3
f x x
=
có 8 nghiệm.
Câu 112. Chọn B
Ta có
3
3
3
1
3 1
1
2
3
1
2
3 2
2
f x x
f x x
f x x
=
=
=
+)
3
1 1
3 3
2 2
3
3 3
3 2 0
1
1 3 3 0 2
2
3 2
x x
f x x x x
x x
=
= =
=
+)
3
4 4
3 3
5 5
3
6 6
3 2
1
2 3 3 2
2
3 2
x x x
f x x x x
x x
=
= =
=
Xét hàm số
3
3 ,y x x D
= =
Ta có
2
' 3 3
y x
=
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có
Phương trình:
3
1
3x x
=
có
3
nghiệm.
Phương trình:
3
2
3x x
=
có
3
nghiệm.
Mỗi phương trình
3
3
,
-3x x
=
3
4
,
-3x x
=
3
5
-3x x
=
,
3
6
-3x x
=
đều có một nghiệm
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
Từ đó suy ra phương trình
2
1
3
2
f x x =
có
10
nghiệm.
Câu 113.
2 2019 0 =f x m
2019
2
=
m
f x
*
.
Ta có bảng biến thiên của hàm số
2019y g x f x= =
như sau:
Phương trình
*
có
4
nghiệm phân biệt khi
2 1
2
m
4 2 m
.
Câu 114. Đặt
2
2 2t x x=
. Với
0;1 2;1x t
Phương trình
2
2 2 3 1f x x m =
có nghiệm thuộc đoạn
0;1
khi và chỉ khi phương trình
3 1f t m=
có nghiệm thuộc
1
2;1 1
3
m
.
Câu 115. Đặt
e
x
t =
. Với
0;ln2 1;2x t
Phương trình
e
x
f m=
có nghiệm thuộc khoảng
0;ln 2
khi và chỉ khi phương trình
f t m=
có nghiệm
thuộc khoảng
1;2 3 0m
.
Câu 116. Đặt
2
ln x t=
với
1;x e
khi đó
1
' 2ln . 0 1;t x x e
x
=
nên
0;1t
.
ycbt
f t m =
có nghiệm trên nửa khoảng
0;1
1;1m
.
Câu 117.
2 2
1 1
0 1
8 8
x x
m m
f f
= =
Phương trình
x
k
=
có nghiệm duy nhất khi
0k
Để phương trình
1
có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng
2
1
:
8
m
d y
=
phải cắt đồ thị tại hai điểm
phân biệt có hoành độ dương
2
1
1 1
8
m
2
7 9m
3 3m
Theo yêu cầu bài toán thì có 5 giá trị nguyên của
m
thỏa mãn.
Câu 118. Ta có:
2
2. 3 3 9 30 21 2019f x x m =
2
2019
3 3 9 30 21
2
m
f x x
=
.
Đặt
2
3 3 9 30 21t x x=
, vì t xác định khi
7
1;
3
x
nên
3;3t
.
Khi đó phương trình đã cho có nghiệm khi
3;3
3;3
2019
min max
2
m
f t f t
.
Dựa vào đồ thị, ta có
2019
5 1
2
m
2009 2021 2009;2010;...;2021
m
m m

.
Vậy có 13 giá trị nguyên của
m
thoả mãn.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68
Câu 119. Phương trình
2
4 1f x x m =
có điều kiện
0 4x
. Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra, với
0 4x
thì
2
1 4 1 1x x
. Đặt
2
4 1t x x=
,
1 1t
.(Có thể
biến đổi
2
4 2 1t x=
1 1t
).
Phương trình đã cho trở thành
f t m=
(1). Phương trình đã cho có nghiệm (1) có nghiệm
1;1t
4 0m
.
Câu 120. Đặt
0t x m=
Với
0t =
x m=
Với mỗi giá trị
0t
sẽ ứng với
2
giá trị
x
Ta có phương trình
: f t m=
0t
*
Để phương trình có
4
nghiệm phân biệt thì
*
có
2
nghiệm phân biệt dương
Từ đồ thị của hàm số
y f t=
trên miền
0t
3
4
1
m
m
=
=
Vậy có 1 giá trị nguyên thỏa mãn
Câu 121. Đặt
2
( ) 4t g x x= = với
[- 2 ; 3)x
.
Suy ra:
2
'( )
4
x
g x
x
=
.
'( ) 0 0 [ 2 ;3)g x x= =
.
Ta có:
(0) 2g =
,
( 2) 2g =
,
( 3) 1g =
.
Mà hàm số
( )g x
liên tục trên
[- 2 ; 3)
Suy ra,
(1;2]t
.
Từ đồ thị, phương trình
( )f t m=
có nghiệm thuộc khoảng
(1;2]
khi
( 1;3]m
.
Câu 122. Chọn C
Đặt
1
2
x
t =
, khi
2 2x
thì
0 2t
.
Phương trình đã cho trở thành
1
2 2
3
f t t m =
6 6 3f t t m =
.
Xét hàm số
6 6g t f t t=
trên đoạn
0;2
.
Ta có
6g t f t
=
. Từ đồ thị hàm số
y f x=
suy ra hàm số
f t
đồng biến trên khoảng
0;2
nên
0, 0;2f t t
0, 0;2g t t
và
0 10g =
;
2 12g =
.
Bảng biến thiên của hàm số
g t
trên đoạn
0;2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69
Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn
2;2
khi và chỉ khi phương trình
3g t m
=
có nghiệm thuộc
đoạn
0;2
hay
10 3 12
m
10
4
3
m
.
Mặt khác
m
nguyên nên
3; 2; 1;0;1;2;3;4
m
.
Vậy có 8 giá trị
m
thoả mãn bài toán.
Câu 123. Từ hình vẽ, đặt
3 2
, 0 .
f x ax bx cx d a=
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ
O
nên
0
d
=
.
Ta có hệ phương trình
2 1
2 0 .
4 2 1 3
a b c a
a b c b
a b c c
= =
= =
= =
Do đó
3
3 .f x x x
=
Đặt
3
cos , ; 1;0 cos 3
2
t x x t f x f t t t
= = =
với
1;0
t
.
2
' 3 3 0, 1;0
f t t t f t
=
nghịch biến trên
1;0 2 2 0 ;2 1
f t f f
hay
2 0;4
f t
. Đặt
2 0;2
u f t u=
3
3m f u u u = =
với
0;2
u
.
Ta có
2
' 3 3 ' 0 1 0;2
f u u f u u= = =
.
Bảng biến thiên của
f u
.
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm
2 2
m
.
2;2
2; 1;0;1 .
m
m
m
Câu 124. Chọn B
Từ đồ thị hàm số và phương trình
( ) 1
f x
=
có ba số thực
, ,a b c
thỏa
1 1 2
a b c
sao cho
( ) ( ) ( ) 1.
f a f b f c
= = =
Do đó,
( )
( ( )) 1 ( )
( )
f x a
f f x f x b
f x c
=
= =
=
Dựa vào đồ thị hàm số
( )y f x=
ta có:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70
Do
1 1a
nên đường thẳng
y a=
cắt đồ thị hàm số
( )y f x=
tại 3 điểm phân biệt. Do đó,
( )
f x a=
có
3 nghiệm phân biệt.
Ta lại có,
1 2
b
nên đường thẳng
y b=
cắt đồ thị hàm số
( )y f x=
tại 3 điểm phân biệt khác. Do đó,
( )
f x b=
có 3 nghiệm phân biệt khác các nghiệm trên.
Ngoài ra,
2
c
nên đường thẳng
y b=
cắt đồ thị hàm số
( )y f x=
tại 1 điểm khác các điểm trên. Hay
( )f x c=
có 1 nghiệm khác các nghiệm trên.
Từ đó, số nghiệm của phương trình
( ( )) 1
f f x
=
là
7.
m
=
Câu 125. Vì:
2
2 2
2
2
1 2 1 1 1
1 1
x
x
x x
x x
Từ đồ thị thấy
1;1 ( ) 2;2
2;2 ( ) 2;2
x f x
x f x
Xét phương trình
2
2
1
x
f f m
x
=
. Đặt
2
2
1
x
t
x
=
;
2
2
1
x
u f
x
=
.
Vì
1;1 2;2 ( ) 2;2
t u f u
Vậy để phương trình ban đầu có nghiệm thì
f u
m=
có nghiệm thuộc đoạn
2;2
nên
2;2
m
.
Dạng 3.9 Một số bài toán tương giao liên quan đến đồ thị f(x), g(x), f’(x) f(u) khác.
Câu 126.
Lờigiải
g x f f x
=
( ) ( ).
g x f x f f x
=
.
( ) 0
g x
=
( ). 0
f x f f x
=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 71
( ) 0
0
f x
f f x
=
=
1
2
1 3
2 4 5 6 3 4 5 6
7 8 9 4 7 8 5 6 9
2; 1
0
1;2
2
2; 1 2
( ) 0 2;0;2
( ) 1;2 ; ; , 0 2
( ) 2 ; ; ,
x x
x
x x
x
f x x x x
f x x
f x x x x x x x x x x
f x x x x x x x x x x x
=
=
=
=
= =
=
=
=
.
Kết luận phương trình
0
g x
=
có
12
nghiệm phân biệt.
Câu 127. Nhận xét từ đồ thị
0
a
.
Ta có
3 2 3 2
4 3 2 4 2 1 4 4 8f x ax bx cx d ax x x ax ax ax
= = =
.
4
3
4 4 3 0
0
a
b
c a a c a a a
d
=
= = =
=
.
Câu 128. Chọn B
BBT của hàm số
( )y f x=
BBT của hàm số
( )y f x
=
BBT của hàm số
( )y f x
=
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 72
Suy ra phương trình
( )
f x m=
có nhiều nhất là
6
nghiệm.
Câu 129.
Nhận xét: Đồ thị hàm
y f x
=
cắt trục hoành tại điểm
0
x
thì
0
x
là điểm cực trị của hàm
y f x
=
. Dựa
vào hai đồ thị đề bài cho, thì
1
C
là đồ thị hàm
y f x
=
và
2
C
là đồ thị hàm
y f x
=
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
=
y f x
và =
x
y me
ta có:
=
x
f x me
=
x
f x
m
e
.
Đặt
=
x
f x
g x
e
ta có:
=
x
f x f x
g x
e
.
0
1
0 2
1;0
=
= = =
=
x
g x f x f x x
x x
.
Dựa vào đồ thị của hai hàm số:
=
y f x
và
=
y f x
ta được:
Yêu cầu bài toán ta suy ra:
2
2
0
f
m
e
(dựa vào đồ thị ta nhận thấy
0 2 2=
f f
)
0,27 0
m
.
Suy ra:
0,27, 0= =
a b
.
Vậy
0,27 =
a b
.
Câu 130. Chọn A
Xét phương trình
2
. 1
f x f x f x
=
Do
0
f x
=
có ba nghiệm
1 2 2 1 2 3
, ,
x x x x x x
và
3
' 0
f x
=
suy ra
3
x
là một nghiệm của (1)
Ta có
2
1 2 3
, 0
f x a x x x x x x a
=
Với
3
1 2 3
1 1 2
1 0 0
f x
x x
f x x x x x x x
= =
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 73
2 2 2
1 2 3
1 1 2
0
x x x x x x
=
vô nghiệm.
Vậy, phương trình (1) có đúng một nghiệm
3
.x x=
Câu 131.
Chọn B
Với
5
1; 2 1 3;4 2 1 3;4 1 2 1 3;4
2
x x g x t g x
=
Vậy ta cần tìm
m
để phương trình
f t m=
có nghiệm thuộc đoạn
3;4
3;4 3;4
3;4
min max min 2
f t m f t f t m
trong đó
3;4
min 1;0
f t
. Vậy các số nguyên cần tìm
là
0,1,2
a
Câu 132. Chọn B.
Quan sát đồ thị ta thấy:
1 1
2 2
3 3
4 4
3 2
1
0 1 2
2 3
4 5
x x x
x
f x x x x
x x x
x x x
=
=
= =
=
=
.
Do đó:
0
f g x
=
1
2
3
4
1
1 2
3
4
5
g x x
g x
g x x
g x x
g x x
=
=
=
=
=
Phương trình
1
có đúng
1
nghiệm; Phương trình
2
có đúng
3
nghiệm; Phương trình
3
có đúng
3
nghiệm; Phương trình
4
có đúng
3
nghiệm; Phương trình
5
có đúng
1
nghiệm. Tất cả các nghiệm trên
đều phân biệt nên phương trình
0
f g x
=
có đúng
11
nghiệm.
Quan sát đồ thị ta thấy:
0
g x
=
5 5
6 6
2 1
0 1
3
x x x
x x x
x
=
=
=
Do đó
0
g f x
=
5
6
6
7
3 8
f x x
f x x
f x
=
=
=
Phương trình
6
có
5
nghiệm; Phương trình
7
có
5
nghiệm; Phương trình
8
có
1
nghiệm.
Tất cả các nghiệm này đều phân biệt nên phương trình
0
g f x
=
có đúng
11
nghiệm.
Vậy tổng số nghiệm của hai phương trình
0
f g x
=
và
0
g f x
=
là
22
nghiệm.
Câu 133. Từ đồ thị của hàm số
'f x
ta có BBT
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 74
Gọi
1
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
' ; 0; 0; 2
y f x y x x
= = = =
Gọi
2
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
' ; 0; 2; 5
y f x y x x
= = = =
Gọi
3
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
' ; 0; 5; 6
y f x y x x
= = = =
2
1
0
' 0 2
S f x dx f f= =
;
5
2
2
' 5 2
S f x dx f f= =
;
6
3
5
' 5 6
S f x dx f f= =
Từ đồ thị ta thấy
2 1
5 2 0 2 5 0
S S f f f f f f
và
1 3 2
0 2 5 6 5 2 6 0
S S S f f f f f f f f
Khi đó ta có BBT chính xác ( dạng đồ thị chính xác ) như sau:
Vậy phương trình
0
f x f
có 2 nghiệm thuộc đoạn
2;6
Câu 134. Ta có:
0
0
0
f x
g x f x f f x
f f x
=
= =
=
*
.
Theo đồ thị hàm số suy ra.
1
0
0
x
f x
x a
=
=
=
, với
1
2 3
a
.
1
0 , 1
0
, 2
f x
f f x
f x a
=
=
=
.
Phương trình
1
:
0
f x
=
có
3
nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình
*
.
Phương trình
2
:
1
f x a=
có 3 nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình
1
và phương trình
*
.
Vậy phương trình ban đầu có 8 nghiệm phân biệt.
Câu 135. Nhìn vào đồ thị hàm số đạt cực trị tại
1; 1.
x x
= =
Hay
'
1
0 .
1
x
f x
x
=
=
=
Ta có
' ' '
.
g x f x f f x
=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 75
'
'
'
1
1
0
0
1
0
1
x
x
f x
g x
f x
f f x
f x
=
=
=
=
=
=
=
Dựa vào đồ thị ta có:
+ đường thẳng
1y =
cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm hay phương trình
1
f x
=
có 3 nghiệm.
+ đường thẳng
1
y
=
cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm hay phương trình
1
f x
=
có 1 nghiệm.
Vậy phương trình
'
0
g x
=
có 6 nghiệm.
Dạng 4. Bài toán tiếp tuyến
Câu 136. Xét hàm
3 2 2
( ) 3 2 '( ) 3 6 '(1) 9.
y f x x x f x x x f
= = = =
Ta có
0 0 0
1 2 1; 2
x y M= =
.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
0
1;2
M
có dạng:
0 0 0
'( ) 2 9 1 9 7
y y f x x x y x y x
= = =
.
Câu 137. Tập xác định
\ 1
D =
. Ta có
2
2
( 1)
y
x
=
.
Gọi
0 0
; y
M x
thuộc đồ thị hàm số
3
1
x
y
x
=
.
Ta có
0
0
x
=
thì
0
3
y
=
nên
0; 3
M
.
Mà
0 2
y
=
.
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm
0; 3
M
là
2 3y x=
.
Câu 138. Chọn C
Ta có hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình
3
3 4 1 = =x x x
Ta có
2
' 3 3=
y x
Hệ số góc của tiếp tuyến là
' 1 6= =
k y
.
Câu 139. Chọn B
Ta có
2
2 1
1
2
1
y y
x
= =
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
1;0
M
là
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 76
1
1 0
2
y x
=
1 1
2 2
y x
=
.
Câu 140. Chọn C
ĐK:
1x
;
=
2
1
'
( 1)
y
x
Đường thẳng
d
qua
A
có hệ số góc
k
là
= ( ) 1y k x a
d
tiếp xúc với
( )C
=
=
2
2
( ) 1 1
1
1
2
( 1)
x
k x a
x
k
x
có nghiệm.
Thế
2
vào
1
ta có:
= =
2 2
2
1 2
( ) 1 2 1 3 2, 1
1
( 1)
x
x a x a x x x x x
x
x
=
2
2 6 3 0 3
x x a
Để đồ thị hàm số có một tiếp tuyến qua
A
thì hệ là số nghiệm của hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất
phương trình
3
có nghiệm duy nhất khác
1
= =
=
=
=
=
=
2
' 9 2 6 0
3
1 6 3 0
2 6 3 0 (3)
2
' 9 2 6 0
1
2 6 3 0
a
a
a
x x a
a
a
a
Cách 2: TXĐ :
\ 1
=
D
;
2
1
1
y
x
=
Giả sử tiếp tuyến đi qua
;1A a
là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
x x=
, khi đó phương trình tiếp tuyến có
dạng :
0
0
2
0
0
2
1
1
1
x
y x x d
x
x
=
Vì
A d
nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng
d
ta có :
2
0 0
0
0
2
0
0
0
2 6 3 0 1
2
1
1
1
1
1
=
=
x x a
x
a x
x
x
x
Để chỉ có một tiếp tuyến duy nhất đi qua
A
thì phương trình
1
có nghiệm duy nhất khác
1
9 2 6 0
3
1 6 3 0
2
9 2 6 0
1
2 6 3 0
a
a
a
a
a
a
= =
=
=
=
=
Câu 141. Chọn D
Phương trình đường thẳng
MN
có dạng
2 2
1 2 1 2
x x y y
x x y y
=
hệ số góc của đường thẳng
MN
là
1 2
1 2
3
y y
k
x x
= =
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 77
Vậy tiếp tuyến tại
4 2
0 0 0
1 7
;
8 4
A x x x
có hệ số góc
3
k
=
0
3
f x
=
3
0 0
1 7
3
2 2
x x
=
3
0 0
1 7
3 0
2 2
x x
=
0
0
0
1
3
2
x
x
x
=
=
=
.
+) Với
0
1
x
=
13
1;
8
A
Phương trình tiếp tuyến
11
3
8
y x
=
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm
4 2
1 7 11
3
8 4 8
x x x
=
4 2
1 7 11
3 0
8 4 8
x x x
=
1
1 3
1 3
x
x
x
=
=
=
13
1;
8
A
thỏa mãn đề bài.
+) Với
0
3
x
=
171
3;
8
A
Phương trình tiếp tuyến
195
3
8
y x=
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm
4 2
1 7 195
3
8 4 8
x x x =
4 2
1 7 195
3 0
8 4 8
x x x
=
2
2
3 6 13 0
x x x
=
3
x
=
Tiếp tuyến cắt đồ thị tại một điểm
171
3;
8
A
Không thỏa
mãn.
+) Với
0
2
x
=
2; 5
A
Phương trình tiếp tuyến:
3 1y x=
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm
4 2
1 7
3 1
8 4
x x x =
4 2
1 7
3 1 0
8 4
x x x
=
2
2
2 4 2 0
x x x
=
2
2 6
2 6
x
x
x
=
=
=
2; 5
A
Thỏa mãn đề bài.
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 142. Chọn D
Ta có
4 2
1 7
;
4 2
A C A t t t
3
7y x x
=
3
7y t t t
=
Phương trình tiếp tuyến của
C
tại
A
là
3 4 2
1 7
7
4 2
y t t x t t t
=
3 4 2
3 7
7
4 2
y t t x t t
=
Phương trình hoành độ giao điểm:
4 2 3 4 2
1 7 3 7
7
4 2 4 2
x x t t x t t
=
4 2 3 4 2
14 4 7 3 14 0
x x t t x t t
=
2
2 2
2 3 14 0
x t x tx t
=
2 2
2 3 14 0 1
x t
x tx t
=
=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 78
Tiếp tuyến cắt đồ thị
C
tại hai điểm phân biệt
1 1 2 2
; ; ;M x y N x y
khác
A
khi phương trình
1
có hai
nghiệm phân biệt khác
t
2 2
2 2 2
7 7
3 14 0
21
2 3 14 0
3
t
t t
t
t t t
2
Khi dó
1 2
2
1 2
2
3 14
x x t
x x t
=
=
và
3 4 2
1 1
3 4 2
2 2
3 7
7
4 2
3 7
7
4 2
y t t x t t
y t t x t t
=
=
3
1 2 1 2
7
y y t t x x
=
Ta có
1 2 1 2
6( )y y x x
=
3
1 2 1 2
7 6
t t x x x x
=
3
7 6 0
t t
=
2
1 6 0
t t t
=
2
1
1 0
2
6 0
3
t n
t
t n
t t
t l
=
=
=
=
=
(do
2
)
Với
1
t
=
ta có
13
1;
4
A
Với
2
t
=
ta có
2; 10
A
có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 143. Chọn D
Cách 1:
Gọi
d
là tiếp tuyến của
C
tại
A
.
3
4 28
0
3 3
y x x y
= =
7
0
7
x
x
x
=
=
=
.
Do tiếp tuyến tại
A
cắt
C
tại
M
,
N
7; 7
A
x .
Ta có:
1 2
1 2 1 2
1 2
8 8 8.
d
y y
y y x x k
x x
= = =
Suy ra
3
3
4 28
8 1
3 3
2
A
A A A
A
x
x x x
x
=
= =
=
.
Đối chiếu điều kiện:
1
2
A
A
x
x
=
=
. Vậy có
2
điểm
A
thỏa ycbt.
Cách 2:
Gọi
4 2
1 14
;
3 3
A a a a
là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến tại
A
là
3 4 2
4 28 1 14
:
3 3 3 3
d y a a x a a a
=
Phương trình hoành độ giao điểm của
C
và
d
là:
4 2 3 4 2
1 28 4 28 1 14
3 3 3 3 3 3
x x a a x a a a
=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 79
2
2 2
2 2
2 3 14 0
2 3 14 0 1
x a
x a x ax a
x ax a
=
=
=
Để
C
cắt
d
tại
3
điểm phân biệt
Phương trình
1
có hai nghiệm phân biệt khác
a
2
0
7
7; 7 \
6 14 0
3
a
a
.
Theo đề bài:
3
1 2 1 2 1 2 1 2
4 28
8 8
3 3
y y x x a a x x x x
= =
3
3
4 28
8 1
3 3
2
a
a a a
a
=
= =
=
.
Đối chiếu điều kiện:
1
2
a
a
=
=
. Vậy có
2
điểm
A
thỏa đề bài.
Câu 144. Ta có
4 4sin 2y x
=
.
Khi đó, hoành độ của các điểm trên
C
mà tại đó tiếp tuyến của
C
song song hoặc trùng với trục hoành
là nghiệm của phương trình:
0 4 4sin 2 0
y x
= =
sin2 1 2 2
2 4
x x k x k k
= = =
.
Câu 145. Gọi
0
x
là hoành độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
cực tiểu của đồ thị hàm số là:
0
0
y x
=
.
Vậy ta loại đáp án A, C, D và chọn đáp án B.
Câu 146. Ta có:
3
0
4 ; 0
2
x
y x x y
x
=
= =
=
.
BBT:
Câu 147. Chọn A
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi
1
1 2 0
2
m
m m
m
.
Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
y m
=
.
tiếp xúc với parabol
2
7 7
y x m
= =
.
Câu 149. Có
2
2
2
ab
y
ax
=
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 80
Do
1; 2
A
thuộc đồ thị hàm số nên
1
2 3 2
2
b
b a
a
= =
.
Do tiếp tuyến tại
1; 2
A
song song với
:3 4 0
d x y
=
nên
1 3
y
=
2
2
3
2
ab
a
=
Thay
3 2b a=
ta được phương trình
2
3 2 2 3 2
a a a =
2
5 15 10 0
a a
=
1
2
a
a
=
=
.
Với
2 1
a b
= =
(loại, do
2
ab
)
Với
1 1a b= =
. Phương trình tiếp tuyến tại
1;2
A
là
3 1 2
y x
=
song song với
d
. Vậy
1
a
=
,
1b =
, suy ra
3 2
a b
=
.
Câu 150. Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
2 3 1y x mx m x=
là
2
3 2 2 3
y x mx m
=
Vì hệ số góc dương với mọi
x
nên ta có
2
2 2
3 0
3 2 2 3 0 6 9 0 3 0
0
a
y x mx m m m m m
=
=
.
Câu 151. Từ đồ thị ta có hai tiếp tuyến vuông góc với trục
Oy
là
1; 2
y y
= =
.
Câu 152.
2
2
1
y
x
=
.
Gọi
0
;1
A x C
thì
0
0
0
1
1 0
1
x
x
x
= =
.
Tiếp tuyến của
C
tại điểm
A
có phương trình:
0 0 0 2 1y y x y x
= =
.
Suy ra tiếp tuyến song song với
: 2 2
d y x
=
.
Câu 153. Điều kiện
0
m
.
Phương trình tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là:
2 0
x
=
và
1 0
y
=
. Phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng
2
m
là:
2
2 2
3 6 6
( ) :
x m m
d y
m m
= . Đường
thẳng
d
cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm
6
2;
m
A
m
và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
tại điểm
2 2;1
B m
theo giả thiết ta có
6
2 2 5 1; m 3
m
m m
m
= = =
.
Vậy bằng tổng bình phương các phần tử của
S
bằng
10
.
Câu 154. Tập xác định của hàm số
2
2 3
x
y
x
=
là
3
2
D \
=
.
Ta có:
2
1
0,
2 3
y x D
x
=
.
Mặt khác,
OAB
cân tại
O
hệ số góc của tiếp tuyến là
1
.
Gọi tọa độ tiếp điểm
0 0
;x y
, với
0
3
2
x
.
Ta có:
0 0
2
0
1
1 2 1
2 3
y x x
x
= = = =
.
Với
0 0
1 1
x y
= =
. Phương trình tiếp tuyến là:
y x=
loại vì
A B O
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 81
Với
0 0
2 0
x y
= =
. Phương trình tiếp tuyến là:
2y x=
thỏa mãn.
Vậy
: : 2 1; 2 3
d y ax b hay d y x a b a b
= = = = =
.
Câu 155.
C
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
2
nên với
0
x
có
0 2
f
2 2
b
b d
d
(1).
Có
2
ad bc
y f x
cx d
không xác định tại điểm duy nhất
d
x
c
. Từ đồ thị hàm số
y f x
ở trên
ta thấy hàm số
y f x
không xác định tại điểm duy nhất
1
x
. Vậy
1
d
c d
c
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
2
2 2
c d
ax c
f x
b d c
cx c
và
2
2 2
2 2
1
ac c a c
f x
cx c c x
.
Ta thấy đồ thị hàm số
y f x
cắt trục tung tại điểm
3
y
nên
0 0 3
x f
2
2 3
3
1
a c
a c f x
c
x
và
2
1
x
f x
x
Giao điểm của đồ thị
C
của hàm số
2
1
x
y f x
x
với trục hoành ứng với
0 2
y x
và
1
2
3
f
nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
1
2 0 3 2 0
3
y x x y
Câu 156. Ta có
2
3 6 1y x x
;
1 1 4 11
3 3 3 3
y x y x
. Suy ra phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực đại và cực tiểu là
4 11
:
3 3
y x
.
Do
,M N
la hai điêm di đông trên đô thi
C
cua ham sô
3 2
3 4
y x x x
sao cho tiêp tuyên cua
C
tai
M
va
N
luôn song song vơi nhau, nên ta xét trường hợp
,M N
la hai điêm cực trị của đồ thị, khi đó
phương trình
MN
chính là phương trình đường thẳng
.
Thử trực tiếp ta được điểm
1;5Q
, các điểm còn lại không thuộc
.
Câu 157. Chọn C
Tiệm cận đứng
1
d
:
1 0
x
=
, tiệm cận ngang
2
d
:
1 0
y
=
tâm đối xứng là
1;1
I
.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
2
;
1
a
M a C
a
là:
2
1 2
1
1
a
y x a
a
a
=
d
.
Khi đó
2
2
4 4 2
1 2
2
1
1
1
2 2
1
, 2
1 1 1 2
1 1 1
1 1 1
a
a
a
a
a
d I d
a
a a a
= = = =
.
Câu 158.
2 2
2 3
3
x mx m m m
y x m
x m x m
= =
2
2
3
1
m m
y
x m
=
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục
Ox
.
2
2
0
x mx m
x m
=
2
2 0 *
f x x mx m x m = =
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 82
Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục
Ox
tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với
nhau thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt
1 2
;x x
khác
m
và
1 2
. 1
y x y x
=
.
2
2
2 2
1 2
2 2
1 2
0
3 0
3 3
. 1 1 1
m m
f m m m
m m m m
y x y x
x m x m
=
=
= =
1
0
0
1
3
0
5
m
m
m
m
m
m
=
=
5
m
=
.
Câu 159.
Lờigiải
Chọn B
3
' 6y x x=
Gọi
4 2
0 0 0
1
( ; 3 )
4
A x x x
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến tại A. Phương trình tiếp tuyến tại A là đường thẳng
(d) có phương trình:
3 4 2
0 0 0 0 0
1
( 6 )( ) 3
4
y x x x x x x
=
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là:
3 4 2 4 2
0 0 0 0 0
1 1
( 6 )( ) 3 3
4 4
x x x x x x x x
=
2 2 2
0 0 0
( ) ( 2 3 12) 0
x x x x x x
=
0
2
0 0
0
2 3 12 0 (2)
x x
x x x x
=
=
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác A khi và chỉ chi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác
0
x
0
0
2
(3)
6 6
x
x
Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
và (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
1 1
( ; )M x y
,
2 2
( ; )N x y
trong đó:
3 4 2
1 0 0 1 0 0 0
1
( 6 )( ) 3
4
y x x x x x x
=
3 4 2
2 0 0 2 0 0 0
1
( 6 )( ) 3
4
y x x x x x x
=
3
1 2 0 0 1 2
( 6 )( )y y x x x x
=
Từ giả thiết ta suy ra:
3
0 0 1 2 1 2
( 6 )( ) 5( )x x x x x x
=
3
0 0
6 5 =
x x
(Vì
1 2
x x
)
0
0
0
1
1 21
2
1 21
2
x
x
x
=
=
=
Kết hợp với điều kiện (3) có hai giá trị
0
x
thỏa mãn yêu cầu bài toán là
0
0
1
1 21
2
x
x
=
=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 83
Câu 160. Chọn B
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng
2
d
x
c
= =
làm tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng
2
a
y
c
= =
làm tiệm cận ngang.
Vậy
2;2
I
là giao điểm của hai đường tiệm cận.
TXĐ:
D =
2
7
'
( 2)
y
x
=
Gọi tiếp tuyến tại
0 0
;M x y
của đồ thị hàm số
2 3
2
x
y
x
=
có dạng:
0 0 0
: ' .( )
y y x x x y =
hay
0
0
2
0 0
2 3
7
: .( )
( 2) 2
x
y x x
x x
=
Vì
đi qua
0
0
2
0 0
2 3
7
2;2 .( 2 )
( 2 2
2
)
x
I x
x x
=
0 0
0
2
0 0 0 0
2 3 2 3
7 7
.( 2)
( 2) 2 ( 2) 2
2 2
x x
x
x x x x
= =
0
0
2 10
4 1
2
0
2
x
x
=
=
, phương trình vô nghiệm.
Vậy không tồn tại tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số
2 3
2
x
y
x
=
mà đi qua giao điểm của hai tiệm cận.
| 1/83
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 CHUYÊN
ĐỌC ĐỒ THỊ, TƯƠNG GIAO, TIẾP TUYẾN ĐỀ 5 MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1
Dạng 1. Đọc đồ thị hàm số ............................................................................................................................................... 1
Dạng 2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ............................................................................................................. 9
Dạng 3. Bài toán tương giao ........................................................................................................................................... 11
Dạng 3.1 Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên ..................................................................... 11
Dạng 3.2 Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước ............................................................................. 14
Dạng 3.3 Bài toán tìm m để phương trình f(x) = f(m) thoả mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị, BBT của f(x) . 15
Dạng 3.4 Bài toán tìm m để phương trình |f(x)|=f(m) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị, BBT f(x) ........ 17
Dạng 3.5 Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 ......................................................................... 18
Dạng 3.6 Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến ............................................................ 19
Dạng 3.7 Bài toán tương giao của đường thẳng với hàm số khác (chứa tham số) ..................................................... 21
Dạng 3.8 Định m để hàm số f(u) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết f(x) ............................................................ 22
Dạng 3.9 Một số bài toán tương giao liên quan đến đồ thị f(x), g(x), f’(x) f(u) khác. ............................................... 28
Dạng 4. Bài toán tiếp tuyến ............................................................................................................................................ 31
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 34
Dạng 1. Đọc đồ thị hàm số ............................................................................................................................................. 34
Dạng 2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ........................................................................................................... 38
Dạng 3. Bài toán tương giao ........................................................................................................................................... 38
Dạng 3.1 Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên ..................................................................... 38
Dạng 3.2 Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước ............................................................................. 42
Dạng 3.3 Bài toán tìm m để phương trình f(x) = f(m) thoả mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị, BBT của f(x) . 44
Dạng 3.4 Bài toán tìm m để phương trình |f(x)|=f(m) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị, BBT f(x) ........ 45
Dạng 3.5 Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 ......................................................................... 46
Dạng 3.6 Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến ............................................................ 50
Dạng 3.7 Bài toán tương giao của đường thẳng với hàm số khác (chứa tham số) ..................................................... 56
Dạng 3.8 Định m để hàm số f(u) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết f(x) ............................................................ 64
Dạng 3.9 Một số bài toán tương giao liên quan đến đồ thị f(x), g(x), f’(x) f(u) khác. ............................................... 70
Dạng 4. Bài toán tiếp tuyến ............................................................................................................................................ 75 PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Đọc đồ thị hàm số
Câu 1. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Đường cong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới
đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 3
y = x  3x  2 B. 4 2
y = x x 1 C. 4 2
y = x x 1 D. 3
y = x  3x  2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 2. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. 3 2
y = x x 1 B. 4 2
y = x  2x 1 C. 3 2
y = x x 1 D. 4 2
y = x  2x 1
Câu 3. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm
số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 3 2
y = x  3x 1 B. 3 2
y = x  3x  3 C. 4 2
y = x  2x 1 D. 4 2
y = x  2x 1.
Câu 4. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số
được liệt kê ở bốn phương án ,
A B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. 3
y = x  3x 1 B. 3
y = x  3x 1 C. 4 2
y = x x 1 D. 2
y = x x 1
Câu 5. (Mã 103 - BGD - 2019) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A. 3 2
y = x  3x  2 . B. 4 2
y = x  2x  2 . C. 3 2
y = x  3x  2 . D. 4 2
y = x  2x  2 .
Câu 6. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên? A. 3 2
y = x  3x  3 . B. 3 y = x  3 2 x  3 . C. 4 y = x  2 2 x  3 .s D. 4 y = x  2 2 x  3 .
Câu 7. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. 3 2
y = x  3x 1 B. 3 2
y = x  3x 1 C. 4 2
y = x  3x 1 D. 4 2
y = x  3x 1
Câu 8. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên? A. 4 2
y = 2x  4x 1 B. 3 y = 2
x  3x 1 C. 3
y = 2x  3x 1 D. 4 2 y = 2
x  4x 1
Câu 9. (Mã 102 - BGD - 2019) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên y O x A. 3
y = x  3x 1. B. 3
y = x  3x 1. C. 4 2
y = x  2x 1. D. 4 2
y = x  2x 1.
Câu 10. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Đường con trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2x 1 x 1 A. y = B. y = C. 4 2
y = x x 1 D. 3
y = x  3x 1 x 1 x 1
Câu 11. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. 4 2
y = x x  2 B. 4 2
y = x x  2 C. 3 2
y = x  3x  2 D. 3 2
y = x  3x  2
Câu 12. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? y x O A. 3
y = x  3x 1 B. 4 2
y = x  3x 1 C. 3
y = x  3x 1 D. 4 2
y = x x 1
Câu 13. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số
dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. y = 4 x  2 x  1 B. y =  4 x  2 x  1 C. y = 3 x  2 x  1 D. y =  3 x  2 x  1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 14. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Đường cong trong hình bên là của đồ thị hàm số nào dưới đây? A. 3 2
y = x  3x  2 B. 3 2
y = x  3x  2 C. 4 2
y = x  2x  2 D. 4 2
y = x  2x  2
Câu 15. ..MẤT ĐỀ RỒI HAHA! ax b
Câu 16. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y = với cx d
a,b,c,d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. y  0,x   B.
y  0,x  1 C.
y  0,x  1
D. y  0,x   ax b
Câu 17. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y = với cx d
a,b,c,d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. y  0,x  1 B.  y  0,x  1 C.  y  0,x  2 D.  y  0,  2 Câu 18. Cho hàm số 3 2
y = ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
A. a  0, b  0, c  0, d  0
B. a  0, b  0, c  0, d  0 .
C. a  0, b  0, c  0, d  0
D. a  0, b  0, c  0, d  0 .
Câu 19. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Hình vẽ sau đây là đồ thị của
một trong bốn hàm số cho ở các đáp án ,
A B,C, D . Hỏi đó là hàm số nào? A. 3
y = x  2 x  1 . B. 3 2
y = x  2x 1. C. 3
y = x  2x 1. D. 3
y = x  2x 1.
Câu 20. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số 3 2
y = ax bx cx d a  0 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Chọn khẳng định đúng về dấu của a , b , c , d ?
A. a  0 , b  0 , d  0 , c  0
B. a  0 , c  0  b , d  0
C. a  0, b  0, c  0, d  0.
D. a  0 , b  0 , c  0 , d  0
Câu 21. (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Cho hàm số 4 2
y = ax bx c có
đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. a  0,b  0, c  0
B. a  0,b  0, c  0
C. a  0,b  0, c  0
D. a  0,b  0, c  0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 22. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho đường cong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào? 2x 1 2x  3 2x 1 2x  2 A. y = B. y = C. y = D. y = x 1 x 1 x 1 x 1 ax b
Câu 23. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y = có đồ cx d thị như sau.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ac  0; bd  0
B. ab  0; cd  0
C. bc  0; ad  0
D. ad  0; bd  0
Câu 24. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ
thị như hình vẽ bên dưới:
Khẳng định nào là đúng?
A. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
B. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
C. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
D. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 . a   1 x b
Câu 25. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hàm số y    có đồ c   , d 0 1 x d
thị như hình trên. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
A. a 1,b  0, c 1.
B. a 1,b  0, c 1. C. a 1,b  0, c 1. D. a 1,b  0, c 1. ax b
Câu 26. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y =
có đồ thị như hình bên dưới, x c
với a , b , c   . Tính giá trị của biểu thức T = a  2b  3c ? A. T = 8  . B. T = 2 . C. T = 6 . D. T = 0 .
Câu 27. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số 4 2
y = ax bx c ( a  0 ) có đồ
thị như hình vẽ dưới đây.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  0 , b  0 , c  0 . B. a  0 , b  0 , c  0 .
C. a  0 , b  0 , c  0 . D. a  0 , b  0 , c  0 .
Câu 28. (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Cho hàm số 3 2
y = ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ bên. y O x
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
A. a  0, b  0, c  0, d  0
B. a  0, b  0, c = 0, d  0
C. a  0, b  0, c = 0, d  0
D. a  0, b  0, c  0, d  0
Câu 29. (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số 3 2
y = ax bx cx d có đồ thị
như hình bên. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. ab  0,bc  0, cd  0 B. ab  0,bc  0, cd  0
C. ab  0,bc  0, cd  0 D. ab  0,bc  0, cd  0
Câu 30. (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số 3 2
y = ax bx cx d
có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. a  0, b  0, c  0, d  0
B. a  0, b  0, c  0, d  0
C. a  0, b  0, c  0, d  0
D. a  0, b  0, c  0, d  0
Câu 31. (THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số 4 2
y = ax bx c có đồ thị
như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. a  0, b  0, c  0 .
B. a  0, b  0, c  0 . C. a  0, b  0, c  0 . D. a  0, b  0, c  0
Dạng 2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Câu 32. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Hàm số y =  x   2 2 x  
1 có đồ thị như hình vẽ bên.
Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = x   2 2 x   1 ?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A. Hình 1 B. Hình 2 C. Hình 3 D. Hình 4
Câu 33. (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số 3 2
y = x  6x  9x có đồ thị
như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là đồ thị hàm số nào dưới đây? 3 2 3
A. y = x  6 x  9 x . B. 2
x  6x  9 x  1 . C. 3 2
x  6x  9x . D. 3 2
x  6x  9x .
Câu 34. (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f x có đồ thị hàm số
y = f x  như hình vẽ.
Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:
A. f x 3 2
= x x  4x  4
B. f x 3 2
= x x  4x  4
C. f x 3 2
= x x  4x  4
D. f x 3 2
= x x  4x  4.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dạng 3. Bài toán tương giao
Dạng 3.1 Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên
Câu 35. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 2 f x  3 = 0 là A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 .
Câu 36. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số f ( x) bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 2 f (x)  3 = 0 là A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 .
Câu 37. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f x 3 2
= ax bx cx d a ,b,c , d   . Đồ thị
của hàm số y = f x như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 f x  4 = 0 là y 2 O 2 x 2 A. 2 B. 0 C. 1 D. 3
Câu 38. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f x 4 2
= ax bx c a, ,
b c   . Đồ thị của hàm
số y = f x như hình vẽ bên.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Số nghiệm của phương trình 4 f x  3 = 0 là A. 2 B. 0 C. 4 D. 3
Câu 39. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hàm số y = f x liên tục trên  2  ;  2 và có đồ thị như
hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 f x  4 = 0 trên đoạn  2  ;  2 là A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 40. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số
f x có bảng biến thiên như sau x -2 - 0 2 +  _ _ 0 + 0 0 + f'(x) + +   f(x) 2 -1 -1
Số nghiệm thực của phương trình 3 f x  5 = 0 là A. 3 . B. 4 . C. 0 . D. 2 .
Câu 41. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 2 f x  3 = 0 là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 42. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số 4 2
y = ax bx c
, với a, b, c là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Phương trình y = 0 vô nghiệm trên tập số thực
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
B. Phương trình y = 0 có đúng một nghiệm thực
C. Phương trình y = 0 có đúng hai nghiệm thực phân biệt
D. Phương trình y = 0 có đúng ba nghiệm thực phân biệt
Câu 43. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn  2  ;  4 và có đồ thị
như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 f (x)  5 = 0 trên đoạn  2  ;  4 là A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
Câu 44. (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm thực của phương trình 4 f (x)  7 = 0 A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1.
Câu 45. (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f x có bảng biến thiên như sau x – ∞ -2 3 + ∞ y' + 0 – 0 + 7 + ∞ y – ∞ 1
Số nghiệm của phương trình f x  2 = 0 là A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 47. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Cho hàm số y = f x có
bảng biến thiên sau đây.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Hỏi phương trình 2. f x  5 = 0 có bao nhiêu nghiệm thực? A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 .
Câu 48. (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f x có bảng biến thiên như hình bên.
Số nghiệm của phương trình f x  3 = 0 là A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
Câu 49. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f x liên tục
trên  và có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm của phương trình f x = 2 là A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 6 .
Câu 50. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn  2  ; 
2 và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình f (x) =1 trên đoạn  2  ;  2 . A. 3. B. 5. C. 6. D. 4.
Câu 51. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số y = x   2
2 x  1 có đồ thị C . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. C  cắt trục hoành tại một điểm.
B. C  cắt trục hoành tại ba điểm.
C. C  cắt trục hoành tại hai điểm.
D. C  không cắt trục hoành.
Dạng 3.2 Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 52. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Biết rằng đường thẳng y = 2x  2 cắt đồ thị hàm số 3
y = x x  2 tại điểm duy nhất; kí hiệu  x ; y là tọa độ của điểm đó. Tìm y 0 0  0
A. y = 4
B. y = 0
C. y = 2 D. y = 1 0 0 0 0
Câu 53. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số 3
y = x  3x có đồ thị C  . Tìm số giao
điểm của C  và trục hoành. A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
Câu 54. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho hàm số 4 2
y = x  3x có đồ thị C . Số
giao điểm của đồ thị C và đường thẳng y = 2 là A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 4 .
Câu 55. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết rằng đường thẳng
y = 4x  5 cắt đồ thị hàm số 3
y = x  2x 1 tại điểm duy nhất; kí hiệu  x ; y y 0
0  là tọa độ của điểm đó. Tìm 0 . A. y = 10 . B. y = 13. C. y = 11. D. y = 12 . 0 0 0 0
Câu 56. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Gọi P là số giao điểm của hai đồ thị 3 2
y = x x 1 và 2
y = x 1. Tìm P .
A. P = 0 .
B. P = 2 .
C. P = 1 .
D. P = 3.
Câu 57. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Đồ thị của hàm số 4 2 y x
 3x  1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bao nhiêu A. -3. B. 0. C. 1. D. -1.
Câu 58. (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Số giao điểm của đường cong 3 2
y = x  2x  2x 1 và đường thẳng y = 1  x là A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Câu 59. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số 4
y = x  4  5 và đường thẳng y = x A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Dạng 3.3 Bài toán tìm m để phương trình f(x) = f(m) thoả mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị, BBT của f(x)
Câu 60. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho hàm số 4 2
y = x  2x có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các
giá trị thực của tham số m để phương trình 4 2
x  2x = m có bốn nghiệm thực phân biệt. y 1 -1 1 0 x
A. m  1
B. m  0
C. 0  m  1
D. 0  m  1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 61. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ:
Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình 2
f ( x) = 1  m . A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Câu 62. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y = f x có đồ thị như sau.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 f x  3m  3 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 5 5 5 5 A. 1   m B.   m  1 C.   m  1 D. 1   m  3 3 3 3
Câu 63. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Cho hàm số y = f x có đồ thị như hình vẽ bên. y 1 x -2
Khi đó, điều kiện đầy đủ của m để phương trình f x = m có bốn nghiệm thực phân biệt là A. m  2  . B. 2   m  1. C. m = 1. D. m  1.
Câu 64. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f x có bảng biến thiên như sau
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình f x = m có 5 nghiệm phân biệt. A. 2   m  3 B. 5   m  3 C. 2   m  0 D. 2   m  0
Câu 65. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục
trên R và có bảng biến thiên như sau:
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình f (x) 1 = m có đúng hai nghiệm.
A. m  0, m = 1  . B. 2   m  1  . C. m  1  , m = 2  . D. m  1  , m = 2  .
Dạng 3.4 Bài toán tìm m để phương trình |f(x)|=f(m) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị, BBT f(x)
Câu 66. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số   4 2
f x = ax bx c a, b, c   có bảng biến thiên
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f x = 3m có đúng 8 nghiệm phân biệt A. Vô số. B. 1. C. 4. D. 2.
Câu 67. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hình vẽ bên là đồ thị của một
hàm số trùng phương y = f (x) . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình 2 f (x) = m có 6
nghiệm thực phân biệt? A. 5 B. 6 C. 7 D. 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dạng 3.5 Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3
Câu 68. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đường thẳng
y = mx m  1cắt đồ thị hàm số y = 3 x  2
3x x  2 tại ba điểm A, B,C phân biệt sao AB = BC  5 
A. m   ;   
B. m  2; 
C. m 
D. m  ; 0  4;     4 
Câu 69. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng
y = mx cắt đồ thị của hàm số 3 2
y = x  3x m  2 tại ba điểm phân biệt ,
A B,C sao cho AB = BC . A. m ;    1
B. m  : 
C. m 1:  D. m ;   3
Câu 70. (THPT BẠCH ĐẰNG QUẢNG NINH NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m để đồ thị hàm số 3 2
y = x  3x cắt đường thẳng y = m tại ba điểm phân biệt.
A. m   ;  4 .
B. m  4; 0 .
C. m  0;  .D. m  ;
 4  0;  .
Câu 71. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 2
x  3x  2 = m có ba nghiệm phân biệt.
A. m  2;  . B. m   ;  2 .
C. m  2; 2 .
D. m 2; 2 .
Câu 72. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m để đồ thị hàm số 3 2
y x 3x  2 Ccắt đường
thẳng d : y m(x 1) tại ba điểm phân biệt x , x , x . 1 2 3 A. m  2  . B. m  2  . C. m  3  . D. m  3  .
Câu 73. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Đường thẳng  có phương trình
y  2x 1 cắt đồ thị của hàm số 3
y x x 3 tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là Ax ; y
và Bx ; y
trong đó x x . Tìm x y ? B B A A B A B B
A. x y  5 
B. x y  2 
C. x y  4
D. x y  7 B B B B B B B B
Câu 74. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số 3 2 3
y = x  3mx m có đồ thị C và m  đường thẳng 2 3
d : y = m x  2m . Biết rằng m , m m m là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ 1 2  1 2  thị C
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x , x , x thỏa mãn 4 4 4 x xx
= 83 . Phát biểu nào sau đây là m  1 2 3 1 2 3
đúng về quan hệ giữa hai giá trị m , m ? 1 2
A. m m = 0 . B. 2
m  2m  4 . C. 2 m  2m  4 .
D. m m = 0 . 1 2 1 2 2 1 1 2
Câu 75. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Đường thẳng  có phương trình
y = 2x 1 cắt đồ thị của hàm số 3
y = x x  3 tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là
Ax ; y và B x ; y trong đó x x . Tìm x y ? B B A A B A B B
A. x y = 5
B. x y = 2
C. x y = 4
D. x y = 7 B B B B B B B B
Câu 76. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi S là tập tất cả các giá trị
thực của tham số m để phương trình 3 2
2x  3x = 2m 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng 1 3 5 1 A.  . B.  . C.  . D. . 2 2 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 77. (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
đường thẳng y = x  5 cắt đồ thị hàm số 3 2 y = x  2 x m
 3(m 1)x  5 tại 3 điểm phân biệt.  2  2 m   m    m  1  3  3  m  1 A.    . B. . C. . D.  . m  2     m  1   m  1  m  2    m  2  m  2 
Câu 78. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số bậc ba y = f x có
đồ thị C  như hình vẽ, đường thẳng d có phương trình y = x 1. Biết phương trình f x = 0 có ba nghiệm
x x x . Giá trị của x x bằng 1 2 3 1 3 7 5 A. 3  . B.  . C. 2  . D.  . 3 2
Câu 79. (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  2
 018; 2019 để đồ thị hàm số 3
y = x  3mx  3 và đường thẳng y = 3x 1 có duy nhất một điểm chung? A. 1. B. 2019 . C. 4038 . D. 2018 .
Câu 80. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình 3 2
x  6mx  5 = 5m
có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng khi A. m = 0 . B. m = 1   m =1. C. m =1. D. m .
Dạng 3.6 Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến x 1
Câu 81. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số y =
có đồ thị C  . Gọi I là giao điểm của x  2
hai đường tiệm cận của C  . Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A , B thuộc C  , đoạn thẳng AB có độ dài bằng: A. 2 3 B. 2 C. 2 2 D. 6 x 1
Câu 82. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số y =
có đồ thị C  . Gọi I là giao điểm của x 1
hai tiệm cận của C  . Xét tam giác đều IAB có hai đỉnh ,
A B thuộc C  , đoạn thẳng AB có độ dài bằng A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 2 3 x  2
Câu 83. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số y =
có đồ thị C  . Gọi I là giao điểm của x 1
hai tiệm cận của C  . Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A , B thuộc C  , đoạn thẳng AB có độ dài bằng A. 6 B. 2 3 C. 2 2 D. 3 2x  1
Câu 84. Cho là đồ thị hàm số y =
. Tìm k để đường thẳng d : y = kx k
2  1 cắt tại hai điểm phân x  1
biệt A,B sao cho khoảng cách từ A đến trục hoành bằng khoảng cách từ B đến trục hoành. 2 A. 1. B. C. 3. D. 2 . 5
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2x 1
Câu 85. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Biết đường thẳng y = x  2 cắt đồ thị hàm số y = x 1
tại hai điểm phân biệt ,
A B có hoành độ lần lượt x , x . Khi đó giá trị của x x bằng A B A B A. 5 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 86. (ĐỀ MẪU KSNL ĐHQG TPHCM NĂM 2018-2019) Đường thẳng y = x  2m cắt đồ thị hàm số x  3 y =
tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi x 1 m  1 m  1  m  3 A.  . B.  . C.  . D. 3   m  1. m  3  m  3  m  1 
Câu 87. (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Tìm điều kiện của m để đường x  3
thẳng y = mx  1 cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm phân biệt. x 1 A.  ;
 0 16;
B. 16;  C.  ;  0 D.  ;
 0  16; 
Câu 88. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi M a ; b là điểm trên x  2
đồ thị hàm số y =
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d : y = 2x  6 nhỏ nhất. Tính x
a  2   b  2 4 5 2 7 . A. 162 . B. 2 . C. 18 . D. 0 .
Câu 89. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị của x hàm số y
cắt đường thẳng y x m tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho góc giữa hai đường thẳng 1 x
OA và OB bằng 0
60 ( với O là gốc tọa độ)? A. 2 B. 1 C. 3 D. 0
Câu 90. (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Để đường thẳng d : y = x m  2 2x
cắt đồ thị hàm số y =
C  tại hai điểm phân biệt A và x 1
B sao cho độ dài AB ngắn nhất thì giá trị của m thuộc khoảng nào? A. m  4  ; 2  
B. m 2; 4 C. m   2  ; 0
D. m 0; 2
Câu 91. (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Biết rằng đường thẳng y = 2x  2m luôn 2 x  3
cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của tham số m. Tìm hoành độ trung x 1 điểm của AB? A. m 1 B. m 1 C. 2  m  2 D. 2  m 1
Câu 92. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm m để đường thẳng y = 2 x m cắt đồ thị hàm x  3 số y =
tại hai điểm M , N sao cho độ dài MN là nhỏ nhất. x 1 A. 3 . B. 1  . C. 2 . D. 1. 2x  3
Câu 93. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi  H  là đồ thị hàm số y = x 1
. Điểm M x ; y thuộc  H  có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất, với x  0 0 0  0
khi đó x y bằng 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A. 1  . B. 2  . C. 3 . D. 0 . x
Câu 94. A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số y =
. Khi đó độ dài đoạn AB x  2 ngắn nhất bằng A. 4 2 . B. 4 . C. 2 2 . D. 2 2 .
Dạng 3.7 Bài toán tương giao của đường thẳng với hàm số khác (chứa tham số) x  3 x  2 x 1 x
Câu 95. (Mã đề 101 - BGD - 2019) (Mã đề 001) Cho hai hàm số y =    và x  2 x 1 x x 1
y = x  2  x m ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là C và C . Tập hợp tất cả các giá trị của m 2  1 
để C và C cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là 2  1 
A. 2;  . B.  ;  2 .
C. 2;  . D.  ;  2 . x 1 x x 1 x  2
Câu 96. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hai hàm số y =   
và y = x  2  x m ( m là x x 1 x  2 x  3
tham số thực) có đồ thị lần lượt là C , C . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C và C cắt nhau tại 2  1  1   2 
đúng bốn điểm phân biệt là A.  2  ;   . B.  ;    2 . C.  2  ;   . D.  ;   2 . x x 1 x  2 x  3
Câu 97. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hai hàm số y =   
và y = x  1  x m ( m là x 1 x  2 x  3 x  4
tham số thực) có đồ thị lần lượt là C và C . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C và C cắt nhau 2  1  2  1 
tại đúng 4 điểm phân biệt là A. ;  3 .
B. ;3 .
C. 3;  . D. 3;  . x  2 x 1 x x 1
Câu 98. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hai hàm số y =   
và y = x 1  x m ( m x 1 x x 1 x  2
là tham số thực) có đồ thị lần lượt là C và C . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C và C cắt nhau 2  1  2  1 
tại đúng bốn điểm phân biệt là A.  ;  3 . B.  3  ;  . C.  ;    3 .
D. 3;  .
Câu 99. (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương
của tham số m để phương trình 2 2
x x  1 
x  3x  9 = 7  m có nghiệm. Số phần tử của S là A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 5.
Câu 100. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Tập tất cả các giá trị của m để phương  1  trình 6 4 3 3
x x m x   2  m  2 6 3 5
x  6mx 10  0 có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc  ; 2 S  ; a b  là   2   
. Tính T  5a 8b .
A. T 18 .
B. T  43 .
C. T  30 .
D. T  31.
Câu 101. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình 3 2
cos x  3 cos x m = 0 có nghiệm? A. Vô số. B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Câu 102. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 x x   2
3  2  m m  3 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A. 3 B. 12 C. T = 7 D. 5
Câu 103. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m 2 x 4 x3  1  để phương trình 4 2 = m m 1  
có 4 nghiệm thực phân biệt  5  A. m  1.
B. 0  m  1. C. m  1  ;0 0  ;1 . D. 1   m  1 .
Câu 104. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m   sao cho phương trình 2
x mx  2 = 2x 1 có hai nghiệm thực. 7 7 3 9 A. m  . B. m   . C. m  . D. m  . 12 2 2 2 Câu 105. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số 4
y = x   m   2 3
2 x  3m có đồ thị là (C ) . Tìm m để đường thẳng d : y = 1 cắt đồ thị (C ) tại 4 điểm m m
phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 1 1 A.
m  1 và m  0 B.
m  1 và m  0 3 2 1 1 1 1 C.   m  và m  0 D.   m  và m  0 2 2 3 2
Câu 106. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập tất cả các giá trị của tham số
thực m để phương trình 2
m( 1 x  1 x  3)  2 1 x  5 = 0 5
Có đúng 2 nghiêm thực phân biệt là một nửa khoảng (a;b].Tính b a . 7 6  5 2 6  5 2 12  5 2 12  5 2 A. B. C. D. 7 35 35 7
Câu 107. (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho phương trình 3 2 3 3
x  3x  2x m  3  2 2x  3x m = 0 . Tập S là tập các giá trị của m nguyên để phương trình có ba
nghiệm phân biệt. Tính tổng các phần tử của tập S . A. 15 . B. 9 . C. 0 . D. 3 .
Dạng 3.8 Định m để hàm số f(u) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết f(x)
Câu 108. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f x liên tục trên  và có
đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f sin x = m có
nghiệm thuộc khoảng 0;  là A.  1  ;3 B.  1   ;1
C. 1;3 D. 1;  1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 109. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số bậc ba y = f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm 3
thực của phương trình f  3
x  3x = là 2 A. 7 . B. 3 . C. 8 . D. 4 .
Câu 110. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số bậc ba y = f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm 2
thực của phương trình f  3
x  3x = là 3 A. 10 B. 3 C. 9 D. 6
Câu 111. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số bậc ba y = f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm 4
thực của phương trình f  3
x  3x = là 3 A. 7 . B. 4 . C. 3 . D. 8 .
Câu 112. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số bậc ba y = f x  có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực 1 3
của phương trình f x  3x = 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A. 6 . B. 10 . C. 12 . D. 3 .
Câu 113. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f x có bảng biến thiên như sau
Tìm m để phương trình 2 f x  2019  m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
A. m 0; 2 .
B. m  2; 2 .
C. m  4; 2 . D. m  2  ;  1 .
Câu 114. Cho hàm số y = f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị
thực của tham số m để phương trình f  2
x  2x  2 = 3m 1 có nghiệm thuộc khoảng 0  ;1 ..  1  A. 0;  4 . B.  1  ;0 . C. 0;1   . D.  ;1  3   
Câu 115. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y = f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ex f
 = m có nghiệm thuộc khoảng 0;ln 2 . A.  3  ;0 . B.  3  ;  3 . C. 0; 3. D.  3  ;  0
Câu 116. (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f x liên tục trên  và có
đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  2
ln x = m có nghiệm
thuộc nửa khoảng 1;e:
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A.  1  ;3 . B.  1   ;1 . C.  1   ;1 . D.  1  ;  3 .
Câu 117. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f x liên
tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. y 3 1 1 2 O 2 x 1 2 m x  1
Số các giá trị nguyên của tham số m không vượt quá 5 để phương trình f    = 0 có hai nghiệm 8 phân biệt là A. 5. B. 4. C. 7. D. 6.
Câu 118. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hàm số y = f x xác định liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f  2 2. 3  3 9
x  30x  21 = m  2019 có nghiệm. A. 15 . B. 11. C. 10 . D. 13 .
Câu 119. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f x liên tục trên  và
có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình f  2 4x x   1 = m có nghiệm là
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A.  2  ;0 . B.  4  ; 2   . C.  4  ;0 . D.  1   ;1 .
Câu 120. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số bậc bốn y = f x có đồ thị như hình vẽ.
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x m  = m có 4 nghiệm phân biệt là A. 2. B. Vô số. C. 1. D. 0.
Câu 121. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y = f (x)
liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2
f ( 4  x ) = m có nghiệm thuộc
nửa khoảng [  2 ; 3) là: A. [-1;3] .
B. [-1; f ( 2)] .
C. (-1; f ( 2)]. D. (-1;3] .
Câu 122. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f x có đồ thị như hình vẽ. 1  x
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f  1  x = m  
có nghiệm thuộc đoạn  2  ; 2 ? 3  2  A. 11 B. 9 C. 8 D. 10
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 123. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số y = f x liên tục trên  có đồ
thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f  2 f cos x  = m có nghiệm   x  ;   .  2  A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .
Câu 124. (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f (x) liên tục
trên  và có đồ thị như hình vẽ.
Gọi m là số nghiệm của phương trình f ( f (x)) = 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. m = 6. B. m = 7. C. m = 5. D. m = 9.
Câu 125. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y = f x liên tục   2x  
trên  và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình f f = m   có 2     x 1  nghiệm là A.  1  ; 2. B. 0; 2 . C.  1   ;1 . D.  2  ; 2.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dạng 3.9 Một số bài toán tương giao liên quan đến đồ thị f(x), g(x), f’(x) f(u) khác.
Câu 126. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y = f x liên tục trên  và có đồ thị là đường cong trơn (không bị gãy khúc), hình vẽ bên. Gọi hàm
g x = f f x. 
 Hỏi phương trình g x  = 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt? A. 10. B. 12. C. 8. D. 14.
Câu 127. (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số   4 3 2
f x = ax bx cx dx e . Hàm số y = f  x có đô thị như hình vẽ. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng
A. a c  0 .
B. a b c d  0 .
C. a c b d .
D. b d c  0 .
Câu 128. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f (x)
có đạo hàm liên tục trên  . Biết f (0) = 0 và f  x được cho như hình vẽ bên. Phương trình f ( x ) = m (
với m là tham số) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm? A. 8 B. 6 C. 2 D. 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 129. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y = f x là hàm đa
thức với hệ số thực. Hình vẽ bên dưới là một phần đồ thị của hai hàm số: y = f x và y = f  x .
Tập các giá trị của tham số m để phương trình   = x f x
me có hai nghiệm phân biệt trên 0; 2 là nửa khoảng  ;
a b . Tổng a b gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 0.81. B. 0.54 . C. 0  .27 . D. 0.27 .
Câu 130. Cho f x là một hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình dưới đây. 2
Tập nghiệm của phương trình  f  x = f x. f  x   có số phần tử là A. 1. B. 2. C. 6. D. 0.
Câu 131. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho hai hàm số y = f x và y = g x là
các hàm xác định và liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên (trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của
hàm số y = f x ). Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f 1 g 2x  
1  = m có nghiệm thuộc đoạn  5  1;  . 2   
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A. 8 B. 3 C. 6 D. 4
Câu 132. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hai hàm số
y = f x, y = g x có đồ thị như hình sau: y 4 y=f(x) 3 2 1 O 3 4 5 x -3 -2 -1 1 2 -1 -2 -3 -4 y=g(x)
Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình f g x = 0 và g f x = 0 là A. 25 . B. 22 . C. 21 . D. 26 .
Câu 133. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên
. Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: y 4 2  3  2  1 O 1 2 3 4 5 6 7 x  2  
Số nghiệm thuộc đoạn 2 ; 6 
 của phương trình f x  f 0 là A. 5 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 134. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số y = f x có đạo hàm
trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới. Đặt g x = f f x 
 . Tìm số nghiệm của phương
trình g x = 0 . .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A. 2 B. 8 C. 4 D. 6
Câu 135. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho hàm số y = f x có đạo hàm trên 
và có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới đây.
Đặt g x = f f x . Số nghiệm của phương trình '
g x = 0 là : A. 6. B. 5. C. 8. D. 7.
Dạng 4. Bài toán tiếp tuyến
Câu 136. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 2
y = x  3x  2 tại điểm có hoành độ x = 1 là 0
A. y = 9x  7 . B. y = 9  x  7 . C. y = 9  x  7 .
D. y = 9x  7 . x  3
Câu 137. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
tại điểm có hoành độ x = 0 là x 1 A. y = 2  x  3 . B. y = 2  x  3 .
C. y = 2x  3 .
D. y = 2x  3 .
Câu 138. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số 3
y = x  3x có
đồ thị C  .Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị C  tại điểm có tung độ bằng 4 là:
A. k = 0 B. k = 2 
C. k = 6
D. k = 9 x 1
Câu 139. (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = . Phương trình tiếp x 1
tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 1;0 là 1 3 1 1 1 1 1 1 A. y = x B. y = x C. y = x D. y = x  2 2 2 2 2 2 4 2 x  2
Câu 140. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hàm số y =
có đồ thị (C) và điểm ( A a;1) . x  1
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A . Tổng tất
cả các giá trị các phần tử của S là 3 5 1 A. 1 B. C. D. 2 2 2 1 7
Câu 141. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số 4 2 y = x
x có đồ thị C  . Có bao nhiêu điểm 8 4
A thuộc đồ thị C  sao cho tiếp tuyến của C  tại A cắt C  tại hai điểm phân biệt M x ; y ; N x ; y 2 2  1 1 
( M , N khác A ) thỏa mãn y y = 3 x x . 1 2  1 2 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 1 7
Câu 142. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số 4 2 y = x
x có đồ thị C  . Có bao nhiêu điểm 4 2
A thuộc C  sao cho tiếp tuyến của C  tại A cắt C  tại hai điểm phân biệt M x ; y ; N x ; y khác A 1 1   2 2 
thỏa mãn y y = 6(x x ) 1 2 1 2 A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 1 14
Câu 143. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hàm số 4 2 y = x
x có đồ thị C  . Có bao nhiêu 3 3
điểm A thuộc C  sao cho tiếp tuyến của C  tại A cắt C  tại hai điểm phân biệt M x ; y , N x ; y ( 2 2  1 1 
M , N khác A ) thỏa mãn y y = 8 x x ? 1 2  1 2  A. 0 B. 3 C. 1 D. 2
Câu 144. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = 4x  2 cos 2x
có đồ thị là C  . Hoành độ của các điểm trên C  mà tại đó tiếp tuyến của C  song song hoặc trùng với trục hoành là   A. x =
k k  . B. x =
k k  . C. x =   k k  . D. x = k2 k  . 4 2
Câu 145. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm 1 số 3 2 y =
x  2x  3x  5. 3
A. Có hệ số góc bằng 1  .
B. Song song với trục hoành.
C. Có hệ số góc dương. D. Song song với đường thẳng x = 1 .
Câu 146. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tiếp tuyến với đồ thị hàm 1 số 4 2 y = 
x  2x  3 tại điểm cực tiểu của đồ thị cắt đồ thị ở ,
A B khác tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng 4 AB . A. 2 . B. 2 . C. 2 2 . D. 4 2 .
Câu 147. Từ BBT suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là M 0;3 .
Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cực tiểu là đường thẳng y = 3 .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và tiếp tuyến là:  x = 0 1 1 4 2 4 2 
x  2x  3 = 3  
x  2x = 0   4 4 x = 2 2   A 2 
2;3;B2 2;3  AB = 4 2 .
Câu 148. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao mx  2
cho tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = tiếp xúc với parabol 2 y = x  7 . x m 1 A. m = 7 . B. m = 7 . C. m = 4 . D. m   . x b
Câu 149. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số y = , ab  2   . Biết rằng ax  2
a , b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A1; 2
  song song với đường thẳng
d : 3x y  4 = 0 . Khi đó giá trị của a  3b bằng A. 2  . B. 4 . C. 1. D. 5 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 150. (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x mx  2m  3 x  1 đều có hệ số góc dương. A. m  0 . B. m  1 . C. m  1 . D. m   .
Câu 151. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f x có đồ thị như hình vẽ
Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu tiếp tuyến vuông góc với trục Oy . A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 152. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tiếp tuyến của đồ thị 1 xC : y =
tại điểm có tung độ bằng 1 song song với đường thẳng x 1
A. d  : y = 2x 1 .
B. d  : y = x 1 .
C. d  : y = x 1 .
D. d  : y = 2x  2 . x 1
Câu 153. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = , gọi d là tiếp x  2
tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng m  2 Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số tại điểm Ax ; y và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại điểm B x ; y . Gọi S là tập hợp các 2 2  1 1 
số m sao cho x y = 5. Tính tổng bình phương các phần tử của S . 2 1 A. 10 . B. 9 . C. 0 . D. 4 . x  2
Câu 154. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y =   1 . 2x  3
Đường thẳng d : y = ax b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  
1 . Biết d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại
hai điểm A,B sao cho O
AB cân tại O . Khi đó a b bằng A. 1  . B. 0 . C. 2 . D. 3  . Câu 155. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Cho hàm số
   ax b y f x
,a, b, c, d  ;c  0, d  0 có đồ thị C. Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ dưới cx d
đây. Biết C cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm
của C với trục hoành.
A. x  3 y  2  0 .
B. x  3 y  2  0 .
C. x  3 y  2  0 .
D. x  3 y  2  0 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 156. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi M , N là hai điểm di động trên
đồ thị C của hàm số 3 2 y x
 3x x  4 sao cho tiếp tuyến của C tại M và N luôn song song với
nhau. Hỏi khi M , N thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
A. Điểm N  1  ;  5
B. Điểm M 1;  5
C. Điểm Q1;  5
D. Điểm P 1  ;  5 x  2
Câu 157. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Cho hàm số y =
đồ thị C  . Gọi x 1
d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị C  đến một tiếp tuyến của C  . Giá trị lớn nhất của
d có thể đạt được là A. 3 3 . B. 3 . C. 2 . D. 2 2 .
Câu 158. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số 2
x  2mx m y =
cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc x m với nhau. A. 5 B. 2 C. 0 D. 1 1
Câu 159. Cho hàm số 4 2 y =
x  3x có đồ thị (C ) . Có bao nhiêu điểm A thuộc (C ) sao cho tiếp tyến của 4
(C ) tại A cắt (C ) tại hai điểm phân biệt M (x ; y ) , N (x ; y ) (M , N khác A ) thỏa mãn y y = 5(x x ) 1 1 2 2 1 2 1 2 A. 1 . B. 2 . C. 0. D. 3 . 2x  3
Câu 160. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị y =
đi qua giao điểm của hai đường tiệm cận? x  2 A. 1. B. Không có. C. Vô số. D. 2 .
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Đọc đồ thị hàm số Câu 1. Chọn D
Đồ thị hình vẽ là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a  0 nên chỉ có hàm số 3
y = x  3x  2 thỏa mãn điều kiện trên. Câu 2. Chọn D
Dựa vào hình vẽ suy ra hàm số đã cho có 3 cực trị  loại C, D.
Mặt khác nhánh bên tay phải của đồ thị hàm số đi lên suy ra hệ số a  0  Chọn D Câu 3. Chọn B
Dựa vào đồ thị ta thấy đây là hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba nên loại đáp án B và C; Mặt khác dựa vào
đồ thị ta có lim y =  nên hệ số của 3
x dương nên ta chọn đáp án 3 2
y = x  3x  3 x Câu 4. Chọn A
Từ đồ thị : lim y =  và đây là đồ thị hàm bậc ba nên ta chọn phương án 3
y = x  3x 1. x Câu 5. Chọn B
Quan sát đò thị ta thấy đây là đồ thị của hàm số 4 2
y = ax bx c a  0 . Vậy chọn B. Câu 6. Chọn A
Dạng hàm bậc ba nên loại C
Từ đồ thị ta có a  0 . Do đó loại B,
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 D. Câu 7. Chọn C
+ Nhìn đồ thị khẳng định đồ thị hàm trùng phương loại B, C
+ lim y =  nên chọn x D. Câu 8. Chọn D
Dạng đồ thị hình bên là đồ thị hàm số trùng phương 4 2
y = ax bx c có hệ số a  0 .
Do đó, chỉ có đồ thị ở đáp án B là thỏa mãn. Câu 9. Chọn A
Trong bốn hàm số đã cho thì chỉ có hàm số 3
y = x  3x 1(hàm số đa thức bậc ba với hệ số a  0 ) có dạng
đồ thị như đường cong trong hình. Câu 10. Chọn B
Vì từ đồ thị ta suy ra đồ thị của hàm phân thức có tiệm cận đứng và ngang x = 1; y = 1 Câu 11. Chọn C
Dựa trên hình dáng đồ thị, ta loại 3 2
y = x  3x  2 và 4 2
y = x x  2 Mặt khác từ đồ thị, ta thấy lim y =  x nên loại 4 2
y = x x  2 Câu 12. Chọn A
Đồ thị hàm số là đồ thị của hàm số bậc ba nên loại A và B.
Đồ thi hàm số bậc ba có hệ số a  0 nên D đúng. Câu 13. Chọn A
Đây là hình dáng của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số a  0 Câu 14. Chọn C
Đồ thị hàm số trên là đồ thị hàm trùng phương có 3 cực trị và có a  0 Câu 15. Chọn C Ta có :
Dựa vào hình dáng của đồ thị ta được:
+ Điều kiện x  1
+ Đây là đồ thị của hàm nghịch biến Từ đó ta được 
y  0,x  1. Câu 17. Chọn C
Dựa vào đồ thị ta nhận thấy tiệm cận đứng bằng 2, Hàm số nghịch biến vậy chọn B Câu 18. Chọn A
Dựa vào đồ thị suy ra hệ số a  0  loại phương án C 2
y = 3ax  2bx c = 0 có 2 nghiệm x , x trái dấu (do hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm hai phía với 1 2 Oy )  3 .
a c  0  c  0  loại phương án
D. Do C   Oy = D 0; d   d  0.
Câu 19. Dựa vào đồ thị, ta có lim y =  , loại phương án D . x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Xét phương án A có 2
y = 3x  2  0, x   , hàm số không có cực tri, loại phương án A .
Xét phương án B có 2
y = 3x  6 x và y đổi dấu khi đi qua các điểm x = 0, x = 2 nên hàm số đạt cực tri
tại x = 0 và x = 2 , loại phương án B .
Vậy phương án đúng là C . Câu 20. lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị ta có a  0 , đồ thị cắt Oy tại 1 điểm có tung độ dương nên d  0 , đồ thị có 2 cực trị trái c
dấu nên x .x  0 
 0  c  0 . Vậy đáp án D 1 2 a Câu 21. Chọn B
Ta có đồ thị có hình dạng như trên với hàm bậc bốn trùng phương có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại
nên a  0, b  0 . Giá trị cực đại nhỏ hơn 0 nên c  0 . Câu 22. Chọn C
Dựa vào đồ thị suy ra tiệm cận đứng x = 1  loại C, D
Đồ thị hàm số giao với trục hoành có hoành độ dương suy ra chọn B
Câu 23. Theo đồ thị: a Tiệm cận ngang:   1 y =  0 c d d 2
Tiệm cận đứng: x =   0   0 c c b b
y = 0  x =   0   0   3 a a
Câu 24. + Dựa vào hình dạng đồ thị ta khẳng định được a  0 .
+ Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tọa độ 0; d . Dựa vào đồ thị suy ra d  0 . + Ta có: 2
y  3ax  2bx c . Hàm số có hai điểm cực trị x , x x x trái dấu nên phương trình y  0 1 2  1 2
có hai nghiệm phân biệt x , x trái dấu. Vì thế 3 .
a c  0 , nên suy ra c  0 . 1 2 x 1 
+ Mặt khác từ đồ thị ta thấy 1     nên x x 0 . x 1 1 2  2 2b 2b Mà x x  nên suy ra  0  b  0 . 1 2 3a 3a
Vậy a  0 , b  0 , c  0 , d  0 . d
Câu 25. Theo bài ra, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x   . c 1 a 1
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: y  . c 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 d
Nhìn đồ thị ta thấy: x  
 0 mà d  0  c 1 0  c 1. c 1 a 1 y
 0  a 1 0  a 1. c 1 b
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng  0  b  0 . d
Câu 26. Từ đồ thị hàm số, ta suy ra
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 , tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm A2;0 , B 0; 2   . ax b
Từ biểu thức hàm số y =
(vì đồ thị hàm số là đồ thị hàm nhất biến nên ac b  0 ), ta suy ra x c
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = c
 , tiệm cận ngang là đường thẳng y = a .  b   b
Đồ thị hàm số đi qua A  ; 0   , B 0;   .  a   c
Đối chiếu lại, ta suy ra c = 1  , a = 1  , b = 2 .
Vậy T = a  2b  3c =   1  2.2  3  1 = 0 .
Câu 27. Đồ thị cắt trục tung tại điểm 0;c , từ đồ thị suy ra c  0
Mặt khác đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên y = 0 có ba nghiệm phân biệt, hay 3
y = ax bx = x  2 4 2 2
2ax b = 0 có ba nghiệm phân biệt. Suy ra a,b trái dấu.
Mà a  0  b  0 Câu 28. Lời giải Chọn B Đạo hàm: 2
y = 3ax  2bx c
Từ hình dáng đồ thị suy ra: Hệ số a  0
y = 0 có một nghiệm bằng x = 0 và một nghiệm x  0 . 1 2
y = 0 có một nghiệm bằng x = 0  c = 0 . 1 2b 2b x x =   x = 
 0 mà a  0 nên b   0  b  0 1 2 2 3a 3a Câu 29. Chọn A
Từ dáng điệu của đồ thị ta có ngay được:  lim y =  ;
 lim y =   a  0 . x x
 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại một điểm có tung độ dương nên d  0 . Ta có: 2
y ' = 3ax  2bx c
Mặt khác dựa vào đồ thị ta thấy phương trình y ' = 0 có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm này luôn ac  0  c  0
dương nên  2b   (do a  0 )   b  0    3a
Do đó: ab  0,bc ,  cd  0 .
Câu 30. Chọn D
- Dựa vào hình dáng của đồ thị suy ra hệ số a  0 .
- Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên d  0 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
- Ta thấy đồ thị như hình vẽ có hai điểm cực trị, hoành độ các điểm cực trị trái dấu suy ra phương trình 2
y = 3ax  2bx c = 0 có 2 nghiệm x , x trái dấu kéo theo 3 .
a c  0  c  0 . 1 2 x x b - Mặt khác 1 2 =   0  b  0 . 2 3a
Câu 31. Chọn C
- Dựa vào hình dạng đồ thị suy ra a  0
- Hàm số có 3 điểm cực trị nên ab  0  b  0
- Giao điểm với trục tung nằm dưới trục hoành nên c  0 .
Dạng 2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 32. Chọn A   x  2   2 x   1 , x  2
y = x  2  2 x   1 = 
Đồ thị gồm 2 phần:
  x  2  2 x   1 , x  2 
+) Giữ nguyên phần đồ thị đã cho ứng với x  2 .
+) Lấy đối xứng phần đồ thị đã cho ứng với x  2 qua trục Ox
Hình 1 nhận vì đồ thị là hàm y = x   2 2 x   1
Hình 2 loại vì đồ thị là hàm y =  x  2 x 1  x   1
Hình 3 loại vì đồ thị hàm số y =  x   2 2 x   1
Hình 4 loại vì đồ thị hàm y =  x   2 2 x   1 Câu 33. Cách 1:
+) Ta thấy Hình 2 có được là do ta giữ nguyên phần đồ thị của hàm số 3 2
y = x  6x  9x thuộc trục Oy và nằm
bên phải của trục Oy và sau đó lấy đối xứng phần đồ thị này qua Oy . Do đó ta suy ra Hình 2 là đồ thị của 3 2
hàm số y = x  6 x  9 x .
Ghi nhớ: Từ đồ thị hàm số y = f x , muốn vẽ đồ thì của hàm số y = f x  thì ta làm như sau:
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f x thuộc trục Oy (nếu có) và nằm bên phải trục Oy.
Bước 2: Ta lấy đối xứng phần đồ thị đó qua trục Oy . Cách 2:
Từ hình 2 ta thấy đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng nên suy ra đây là đồ thị của hàm số chẵn, do đó ta
loại được phương án C và
D. Lại thấy đồ thị đi qua gốc tọa độ nên suy ra ta loại phương án B. Vậy đáp án là A. Câu 34. Chọn A
Do đồ thị giao với trục Oy tại điểm có tung độ bằng 4
 và lim y =  . x
Dạng 3. Bài toán tương giao
Dạng 3.1 Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên Câu 35. Chọn C 3
Ta có 2 f x  3 = 0  f x = . 2 3
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f x và đường thẳng y = . 2
Dựa vào bảng biến thiên của f x ta có số giao điểm của đồ thị Câu 36. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3
Ta có 2 f (x)  3 = 0  f (x) = (1) . 2
Số nghiệm thực của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) với đường thẳng 3 y = . 2 3
Từ bảng biến thiên đã cho của hàm số f ( x) , ta thấy đường thẳng y =
cắt đồ thị hàm số y = f ( x) tại ba 2 điểm phân biệt.
Do đó phương trình (1) có ba nghiệm thực phân biệt. Câu 37. Chọn D 4
Ta có: 3 f x  4 = 0  f x =    * 3 4  
* là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f x và đường thẳng y =  . 3
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy * có 3 nghiệm. Câu 38. Chọn C 3
Ta có 4 f x  3 = 0  f x = 4 3 Đường thẳng y =
cắt đồ thị hàm số y = f x tại 4 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 4 nghiệm 4 phân biệt. Câu 39. Chọn B 4
Ta có 3 f x  4 = 0  f x = . 3 4
Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng y =
cắt y = f x tại 3 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 3 3 nghiệm phân biệt. Câu 40. Chọn B Bảng biến thiên x -2 - 0 2 +  _ _ 0 + 0 0 + f'(x) + +   f(x) 2 y=3/2 -1 -1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 5
Xét phương trình 3 f x  5 = 0  f x = . 3 3
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số C : y = f x và đường thẳng d : y = . 2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng d cắt đồ thị C  tại bốn điểm phân biệt. Câu 41. Chọn D 3
Ta có 2 f x  3 = 0  f x =  . 2
Nhìn bảng biến thiên ta thấy phương trình này có 3 nghiệm. Câu 42. Chọn D
Dựa vào hình dáng của đồ thị hàm số 4 2
y = ax bx c ta thấy đây là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng
phương có 3 điểm cực trị nên phương trình y = 0 có ba nghiệm thực phân biệt. Câu 43. Chọn D 5
Ta có 3 f (x)  5 = 0  f (x) = . 3 5
Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y =
cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại ba điểm phân biệt thuộc đoạn  2  ; 4 3 .
Do đó phương trình 3 f (x)  5 = 0 có ba nghiệm thực. Câu 44. 7 7
Ta có: 4 f (x)  7 = 0  f (x) =
. Do đường thẳng y =
cắt đồ thị hàm số y = f x tại 3 điểm phân biệt 4 4
nên suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm. Câu 45. Chọn C
Xét phương trình f x  2 = 0  f x = 2
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f x và đường thẳng y = 2
Từ bảng biến thiên ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt hay phương trình có ba nghiệm.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 46. (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Cho hàm số 4 2
y = f (x) = ax bx c có đồ thị như hình vẽ. Phương trình
1  2. f (x) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4 B. 3 C. Vô nghiệm D. 2 Lời giải Chọn A
y = f xC  1 
Xét phương trình: 1 2. f (x) = 0  
1  f x =   1 2 y =  d   2
Số giao điểm của đường thẳng d  và đường cong C  ứng với số nghiệm của phương trình   1 . Theo hình
vẽ ta có 4 giao điểm = phương trình  
1 sẽ có 4 nghiệm phân biệt. 5
Câu 47. Phương trình 2. f x  5 = 0  f x =   * . 2 5
Số nghiệm của phương trình * bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f x và đường thẳng y = . 2 5
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy 2 đồ thị y = f x và y = có 3 điểm chung. 2
Vậy phương trình 2. f x  5 = 0 có 3 nghiệm thực. Câu 48. Chọn A
Ta có: f x  3 = 0  f x = 3, theo bảng biến thiên ta có phương trình có 3 nghiệm.
Câu 49. *Đồ thị y = f x
- Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị của y = f x nằm phía trên Ox
- Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị của y = f x nằm phía dưới Ox qua trục hoàn.
- Bước 3: Xóa phần đồ thị của y = f x nằm phía dưới trục hoành
Số nghiệm của phương trình f x = 2 cũng chính là số giao điểm cũng đồ thị hàm số y = f x và đường
thẳng y = 2 . Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy có 4 giao điểm. *Cách giải khác: f (x) = 2
f x = 2  
, dựa vào đồ thị suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm f (x) = 2   Câu 50.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Ta có số nghiệm của phương trình f (x) = 1là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f (x) với đường thẳng y = 1 .
Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 6 điểm. Vậy số nghiệm của phương trình f (x) = 1là 6.
Dạng 3.2 Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước Câu 51. Chọn A
Dễ thấy phương trình x   2
2 x  1 = 0 có 1 nghiệm x = 2  C cắt trục hoành tại một điểm. Câu 52. Chọn C
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 3 3
2x  2 = x x  2  x  3x = 0  x = 0
Với x = 0  y = 2 . 0 0
Câu 53. Chọn B x = 0
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C  và trục hoành: 3
x  3x = 0   x =  3 
Vậy số giao điểm của (C ) và trục hoành là 3.
Câu 54. Số giao điểm của đồ thị C và đường thẳng y = 2 là số nghiệm của phương trình sau:
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  3  17 2 x =  2 3  17 4 2 4 2
x  3x = 2  x  3x  2 = 0    x =  .  2 3  17 2  x =  0  2
Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm nên số giao điểm của đồ thị C và đường thẳng là 2.
Câu 55. Phương trình hoành độ giao điểm là 3 3
x  2x 1 = 4x  5  x  2x  4 = 0  x = 2
Với x = 2  y = 13 . Vậy y = 13 0
Câu 56. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị 3 2
y = x x 1 và 2 y = x 1:  x = 0 3 2 2 3 2
x x  1 = x  1  x  2x = 0   x = 2 
Với x = 0  y = 1.
Với x = 2  y = 5 .
Nên hai đồ thị trên có hai giao điểm là 0  ;1 và 2;5 . Vậy P = 2 .
Câu 57. Trục tung có phương trình: x  0 . Thay x  0 vào 4 2 y x
 3x  1 được: y  1.
Câu 58. Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm 3 2
x  2x  2x 1 = 1 x 3 2
x  2x  3x = 0  x  2
x  2x  3 = 0  x = 0
Câu 59. Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm 4 4
x  4  5 = x
x  4 = x  5 x  5   4 2
x  4 = (x  5)  x  5   4 2
x x 10x  29 = 0 (*)  Do x  5 nên 4 2 2 2
x x = x (x 1)  0 và 10x  29  0 . Vì vậy (*) vô nghiệm Như vậy phương trình 4
x  4  5 = x vô nghiệm hay đồ thị hàm số 4
y = x  4  5 và đường thẳng y = x không có giao điểm nào. Cách 2: x  2
Phương trình hoành độ giao điểm 4
x  4  5 = x . Ta có điều kiện xác định   x   2 
Với điều kiện trên ta có 4 4
x  4  5 = x
x  4  5  x = 0 3 2x Xét hàm số 4 ( h x) =
x  4  5  x . Ta có h '(x) = 1 ; 3 4
h '(x) = 0  2x = x  4 4 x  4 Với x  2 ta có 3 4 2x
x  4 . Với x   2 ta có 3 4 2x x  4 Ta có Bảng biến thiên:
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Số nghiệm của phương trình 4
x  4  5 = x là số giao điểm của đồ thị 4 y = (
h x) = x  4  5  x và trục
hoành y = 0 . Dựa vào BBT ta thấy phương trình 4
x  4  5 = x vô nghiệm hay đồ thị hàm số 4
y = x  4  5 và đường thẳng y = x không có giao điểm nào.
Dạng 3.3 Bài toán tìm m để phương trình f(x) = f(m) thoả mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị, BBT của f(x) Câu 60. Chọn D
Số nghiệm thực của phương trình 4 2
x  2x = m chính là số giao điểm của đồ thị hàm số 4 2
y = x  2x và
đường thẳng y = m . Dựa vào đồ thị suy ra 4 2
x  2x = m có bốn nghiệm thực phân biệt khi 0  m  1 .
Câu 61. Số nghiệm của phương trình 2
f ( x) = 1  m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng 2
y = 1  m . Mặt khác, 2
1  m  1, m . Do đó ta có đồ thị
Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình 2
f ( x) = 1  m luôn có một nghiệm thực với mọi giá trị của m . Vậy
phương trình đã cho có một nghiệm thực. 3  m  3
Câu 62. 2 f x  3m  3 = 0  f x = 2 3  m  3 5
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt  1  
 3  1  m 2 3
Câu 63. Số nghiệm của phương trình f x = m bằng số giao điểm của đồ thị y = f x và đường thẳng y = m .
Khi đó, phương trình y = f x có bốn nghiệm thực phân biệt  2   m  1.
Câu 64. Số nghiệm của phương trình f x = m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f x với đường
thẳng y = m (song song hoặc trùng với Ox ).
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Để phương trình f x = m có 5 nghiệm phân biệt  2   m  0 .
Câu 65. Ta có f (x) 1 = m f (x) = 1  m m 1 = 1  m = 2
Để phương trình có hai nghiệm thì    m 1  0 m  1   
Dạng 3.4 Bài toán tìm m để phương trình |f(x)|=f(m) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết đồ thị, BBT f(x)
Câu 66. Lấy đối xứng phần đồ đồ thị phía dưới Ox của hàm số y = f x qua trục Ox .
Bỏ phần đồ thị y = f x phía dưới Ox .
Khi đó ta có đồ thị hàm số y = f x .
Số nghiệm của phương trình f x = 3m là số giao điểm của 2 đồ thị y = f x và y = m .
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị y = f x cắt đường thẳng y = m tại 8 điểm phân biệt khi và chỉ khi 0  m  2 .
Vì m nên m = 1. Câu 67. Chọn D m
Ta có 2 f x = m f x =   * 2 m
Phương trình * là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y = f x và đường thẳng y = 2
Phần đồ thị hàm số y = f x được suy ra từ đồ thị hàm số y = f x như hình vẽ và là đường nét liền.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 m
Để phương trình 2 f (x) = m có 6 nghiệm thực phân biệt thì 1 
 3  2  m  6. 2
Mà m  , m  0  m 3; 4;  5
Dạng 3.5 Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 Câu 68. Chọn B
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: 3 x  2
x x  = mx m   3 x  2 3 2 1
3x x mx m  1 = 0 1 x = 1  x   1  2
x  2x m   1 = 0  
.Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân 2
x  2x m  1 =  0 biệt thì phương trình 2
x  2x m  1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 .Hay 1  m  1  0 m  2   
m  2 .Với m  2 thì phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt là
1  2  m  1  0 m     2 x  x
1, x , x ( x , x là nghiệm của 2
x  2x m  1 = 0 ). Mà 1
2 = 1 suy ra điểm có hoành độ x=1 luôn là 1 2 1 2 2
trung điểm của hai điểm còn lại. Nên luôn có 3 điểm A,B,C thoả mãn AB = BC Vậy m  2 . Câu 69. Chọn D
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình x = 1 3 2
x x m
= mx   x   2 3 2
1 x  2x m  2 = 0   2
x  2x m  2 = 0 
Đặt nghiệm x = 1. Từ giải thiết bài toán trở thành tìm m để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. 2 Khi đó phương trình 2
x  2x m  2 = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt (vì theo Viet rõ ràng x x = 2 = 2x ) 1 3 2 Vậy ta chỉ cần 
 =1 m  2  0  m  3 Câu 70. Lời giải Chọn B x = 0 Ta có 3 2 2
y = x  3x y = 3x  6 ; x y = 0   x = 2  Bảng biến thiên:
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị h àm số 3 2
y = x  3x cắt đường thẳng y = m tại ba điểm phân biệt khi 4   m  0
Câu 71. Xét hàm số 3 2
y = x  3x  2 , 2
y = 3x  6x . Lập bảng biến thiên
Số nghiệm của phương trình 3 2
x  3x  2 = m * bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y = x  3x  2 và
đường thẳng y = m .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra PT (*) có 3 nghiệm phân biệt khi 2  m  2 .
Câu 72. Phương trình hoành độ giao điểm của Cvà d là 3 2
x 3x  2  ( m x 1  ) (1) Phương trình (1) 3 2 2
x 3x mx 2m  0  (x 1
 )(x 2xm2)  0 x1 0 x 1      2  2
f (x)  x  2x m  2  0
f (x)  x  2x m  2  0 (2)  
Phương trình (1) luôn có nghiệm x 1 , vậy để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình
(2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. 
 ' 1 m  2  0 m  3        m  3  . f (1)  0 m   3   Vậy m  3
 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 73. Phương trình hoành độ giao điểm của  và 3
y x x 3 :
x  2  y  3 3 3
x x  3  2x 1  x  3x  2  0  
x  1  y  3  Vậy A1;  3 ; B( 2  ; 3
 )  x y  5  B B
Câu 74. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và C m  3 2 3 2 3
x  3mx m = m x  2m 3 2 2 3
x  3mx m x  3m = 0   3 2
x m x   2 3
3mx  3m  = 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  2 2
x m   3m 2 2 x m  = 0
  x  3m 2 2 x m  = 0 x = 3  m   x = m  x = m
Để đường thẳng d cắt đồ thị C
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x , x , x m  0 . m  1 2 3 4 4 Khi đó, 4 4 4 4
x x x
= 83  m  m  3m = 83 1 2 3     4
 83m = 83  m = 1
Vậy m = 1, m = 1 hay m m = 0 . 1 2 1 2 Câu 75. Chọn C
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: 3
x x  3 = 2x  1 x = 1
Giải phương trình ta được  x = 2 
Vì x x Vậy x = 1; y = 3  x y = 4 B A B B B B
Câu 76. Xét hàm số: 3 2
y = 2x  3x 2
y = 6x  6x y = 0  x = 0  x = 1. Bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị:    C  3 2
: y = 2x  3x
d : y = 2m 1  m = 1  2m 1 = 1 
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt     1 2m 1 = 0 m =    2  1   S =  1  ;   .  2   1  3
Vậy tổng các phần tử của S bằng 1  =   .  2  2
Câu 77. Phương trình hoành độ giao điểm chung là: 3 2 x  2 x m
 3(m 1)x  5 = x  5 x = 0 3 2
x  2mx  (3m  2)x = 0   2
x  2mx  3m  2 = 0 (1) 
Đường thẳng y = x  5 cắt đồ thị hàm số 3 2 y = x  2 x m
 3(m 1)x  5 tại 3 điểm phân biệt
 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 m  2  2 m  2
 = m  3m  2  0    m  1  3        . 3m  2  0    m  1  2  m     3 m  2  Câu 78. x = 1  
+Ta có: f x = x 1  x = 1  . x = 3 
f x là hàm bậc ba nên f x   x  
1 = a x   1  x   1  x  3
f x = a x   1  x  
1  x  3  x 1; f 0 = 2  a = 1.
f x =  x   1  x  
1  x  3  x 1.  x = 1 = x2
+ f x = 0   .  x  
1  x  3 1 = 0 2 
x , x là các nghiệm của 2 nên ta có x x = 2  . 1 3 1 3 5 thẳng y =
nên từ đồ thị ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. 2
Câu 79. Phương trình hoành độ giao điểm: 3 x  3x  2 3
x  3mx  3 = 3x 1 3
x  3x  2 = 3mx  3m = (1). x 3 x  3x  2 2 3 2 2x  2
Xét hàm f x 2 = = x  3 
; f  x = 2x  =
; f  x = 0  x = 1. x x 2 2 x x Bảng biến thiên.
Khi đó yêu cầu bài toán  m  0 . Mà m nguyên và m  2
 018; 2019 nên có 2018 giá trị thỏa mãn.
Câu 80. Phương trình đã cho tương đương: 3 2
x  6mx  5  5m = 0 .
Đặt y = f x 3 2
= x  6mx  5  5m có f  x 2
= 3x  6m ; f  x = 6x .
PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt  Hàm số y = f x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
f  x = 0 có 2 nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn f x . f x  0 . 1   2  1 2
3 nghiệm đó lập thành cấp số cộng nên x x = x x . 2 1 3 2
Suy ra, x là hoành độ của tâm đối xứng hay là nghiệm của f  x = 0 . 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Cho f  x = 0  6x = 0  x = 0 . Với x = 0 ta có: 2
5  5m = 0  m = 1 . Thử lại: x = 0
 Với m =1 thì ta có 3
x  6x  5 = 5  x  2 x  6 = 0   x =  6  Với m = 1  thì ta có: 3
x x  =  x  2 6 5 5
x  6 = 0  x = 0
Dạng 3.6 Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến Câu 81. Chọn A Cách 1: a 1   b 1  Giả sử A a;   , B ; b   , I 2  ;1 .  a  2   b  2      3    3   3   3 
IA = a  2;  
 , IB = b  2;  
  IA = a ;   , IB = b ;  . 1   1   a  2   b  2  ab 1   1   9 9 2 2 2 2 2
IA = IB = AB = a  = b  1  2 1 2  a b
Do tam giác ABI đều nên 1 1     IA IB 1 cos , =   2   9  2 2 a b 1 = 0 1  1 1      2 2 a b   1 1    9 1  9   2 a b  = a  2 1 1  1    2  a b 2 a  1 1  1  a = b  1 1 a = b   1 1 1   a b = 3 1 1 a b = 3   1 1 Nếu a = b  thì 2 vô lý. 1 1
Nếu a = b thì A B  Loại. 1 1
Nếu a b = 3 thì 2 vô lý. 1 1 9
Nếu a b = 3 thì 2 2  a  = 12  AB = 2 3 . 1 1 1 2 a1 Vậy AB = 2 3 .
Cách 2: I  2   ;1 x 1 IXY 3 C  : y =
 C  : Y =  . x  2 X
Trong hệ trục toạn độ IXY C  nhận đường thẳng Y =  X làm trục đối xứng.
ABI đều nên IA tạo với IX một góc 15  Ad :Y =  tan15 .
 X  Ad : Y =  3  2 X .
AX; 3  2 X  .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3
Mà A C      3 3 2 X =  2  X = = 32  3 . X 2  3 AB IA X   2 2 2 2 3 2 X   = =  
= 12  AB = 2 3 .  
Câu 82. Chọn C x 1 2 Ta có y = = 1 . x 1 x 1
Đồ thị C  có hai đường tiệm cận là x = 1
 và y = 1. Do đó I  1   ;1 . Giả sử ,
A B có hoành độ lần lượt là x , x . 1 2 Ta có: 4 2 4
IA =  x  2 2 1  ; 2
IB =  x 1  ; 2  1  2 x  2 1  x 1 2  1  2 2 
4  x 1  x 1  2 2  2 2   1  2 2  
AB =  x x  
=  x 1  x 1   2 1     2   1  x 1 x 1        x  2 1 . x  2 2 1 1 2 1
Do tam giác IAB đều nên ta có: 4  x  2 1   x  2 1 
x 1  x 1 = 0 2 2  2 2  1 2 2 1 2 2
IA = IB   x 1  x 1   =   2   1   x  2 1  x  2 1  x  2 1  x  2 2 1 1 = 4 2 1   x  2 1   x  2 1
= 0  AB = 0  Loại. 2 1  2 x 1 = 2  x 1  x  2 1  x  2 1 1 = 4   2 1  2 x 1 =   2 x 1  1 2 + x 1 = : 2 x 1 1 2 2  2  2 2 Khi đó 2
AB = 2  x 1  x 1 = 2  x 1    = x 1  2   2   1   2    2  2    x 1    2     x 1 2  2 2 2 2 4 Lại có 2 2 AB IBx 1 2 =    = x 1  2  2   2   x  1     x  2 1 2 2  2 2  2 3 2  2  2
x 1 = 4  2 3  AB = = 8 2    
x  4   x  2 4 2 3 1 8 1  4 = 0   2 2  2 2  2 3 2 2  2
 x 1 = 4  2 3  AB = = 8 2   4  2 3 2 + x 1 =  : 2 x 1 1 2 2  2  2 2 Khi đó 2
AB = 2  x 1  x 1 = 2  x 1    = x 1  2   2   1   2    2  2    x 1    2     x 1 2  2 2 2 2 4 Lại có 2 2 AB IBx 1 2 =    = x 1  2  2   2   x  1     x  2 1 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x 1 = 4   2 3  0 4 2  2 2
  x 1  8 x 1  4 = 0    Loại 2   2  x  2 1 = 4   2 3  0 2  Vậy AB = 2 2 . Câu 83. Chọn B  3
Tịnh tiến hệ trục theo vecto OI =  1  
;1  I 0;0 và C  :Y = . X  3   3   Gọi A a;   , B ; b
 C  , điều kiện: a b .  a   b   9 9 2 2 a  = b    1  2 2 IA = IB a b   Theo đề bài, ta có:       IA IB 9 cos ; = 60 ab     1 ab  = 2 2  AB 2
Từ 2  ab  0 , do đó:     2 2
a b  2 2 1 a b  9 ab0 = 0   ab = 3 .  9  Suy ra: 2 AB = 2 3  = 12   AB = 2 3   .  3 
Câu 84. Phương trình hoành độ giao điểm: x   ( 1 ld) 2x  1  = kx k 2  1   . x  1 kx2    k 3   1 x k 2 = 0    1
Ycbt tương đương có hai nghiệm phân biệt x ,x sao cho kx k
2 1 = kx k 2 1 1 2 1 2 k  0 k  0  2   2  = k k 6  1  0  k   k 6  1  0  k =  . 3
kx x 4 2 0 1 3 4 2 0 3 1 2   k   =  k k  =  k =    2x 1
Câu 85. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x  2 và đồ thị hàm số y = là: x 1 2x 1 x  2 =
  x  2 x   1 = 2x 1 x 1 2 2
x  3x  2 = 2x 1  x  5x 1 = 0 (*)
Ta có x , x là nghiệm của phương trình (*), theo định lí Viét ta có x x = 5 A B A B
Câu 86. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho x  3 
 x  2m  x   1 = x  3
= x  2m   2
x  2mx  2m  3 = 0 * . (vì khi x = 1
 thì phương trình trở x 1 x  1  thành 0 = 4  vô lí).
Để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình   * phải có hai nghiệm m  1 
phân biệt. Khi đó m phải thoả mãn   0 2
m  2m  3  0  .   * m  3  m  1
Vậy tập hợp các giá trị của tham số m là  . m  3  Câu 87. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  3
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: = mx 1 x 1  2
x  3 = mx   1  x   1 
mx mx  4 = 0 *     x  1   x  1   x  3
Để đường thẳng y = mx  1 cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm phân biệt thì phương trình * có hai x 1   0 2 
m 16m  0 nghiệm phân biệt khác 1  hay    m   2 1  m   1  4  0  4  0   m  ;  0 16; . x  2
Câu 88. Gọi C  là đồ thị hàm số y = . x x  2
Phương trình hoành độ giao điểm của C  và đường thẳng d là: = 2x  6 2
 2x  5x  2 = 0  x  0 xx = 2    1  .  x =  2  1 
Suy ra đường thẳng d cắt đồ thị C  tại hai điểm phân biệt M 2; 2 , M  ;5 . 1   2    2 
Ta có d M ; d   0, M
 min d M ; d  = 0 khi M d . M  2  ; 2 
Mà M C   M = d  C     1  . M  ;5     2  2 2 Với M  2
 ; 2  a = 2,b = 2  4a  5  2b  7 = 18 .  1  1 2 2 Với M  ;5    a = 
, b = 5  4a  5  2b  7 = 18 .  2  2 x 1 x
Câu 89. Xét phương trình hoành độ giao điểm
x m   2 1 x
x mx m  0   * 
Để có hia điểm phân biệt ,
A B thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 1
 mm  0 m  4    2 m  4m  0 m  0  
Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biết x , x thỏa mãn: 1 2
x x m  1 2  x x m  1 2  
Giả sử Ax ; x m , B x ; x m , suy ra: OAx ; x m , OB x ; x m 1 1   2 2  1 1   2 2 
Theo giả thiết góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 0 60 suy ra:  
x x x m x m cos ; OA OB 1 0 1 2  1  2   cos 60  
x x m2 x x m2 2 2 2 1 1 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
2x x mx x  2  m 1 2 1 2 1  
x x x x mx 2  x x x m2 2 2 2 2
  x m x m  1 2 1 2 2 1 1 2  1  2  2   2 2
2m m m 1   m
m mx  m mx  x x m  x x  2 2 2 2 2 2 m          2 1 1 2 1 2   2m 1   m
m mx  m mx  2 2 2 2 2 2 2 m m m         2 1   2 1  
  x 2   x 2 2 2 1 1 2 1
 2 1 x 2 1 x 2 16 2 1
 x x 2  2x x  2 x x 12 1 2 1 2  1 2  m  6 2
m  4m12  0   m  2 
Câu 90. Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của d và C  : 2x 2
= x m  2  x  m  
1 x m  2 = 0 * (vì x = 1 không phải là nghiệm). x 1
Đường thẳng d cắt C  tại hai điểm phân biệt:
 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x , x . 1 2
  = m  2  m   = m  2 1 4 2 1
 8  0, m   .
x x = m 1
Theo định lý Vi-et ta có: 1 2 
x .x = m  2  1 2
Khi đó Ax ; x m  2 , B x ; x m  2 . 2 2  1 1 
AB =  x x 2   x m  2  x m  22 = 2 x x 2 = 2  x x 2  4x x . 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 = m  2 2 1  8  4 .
AB nhỏ nhất  AB = 4  m = 1.
Câu 91. Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của C  và d là: 2
x  3 = 2x  2m 2
x  21 mx  2m  3 = 0   1 , ( x  1  ). x 1
Đường thẳng d cắt C  tại hai điểm phân biệt A , B  Phương trình  
1 có hai nghiệm phân biệt khác 2  = 2 
1 m2  2m  3  0
m  4  0, m      .  2 1
 2 1 m.  1  2m  3  0 4   0  
Khi đó, gọi Ax ; 2x  2m ; B x ; 2x  2m 2 2  1 1  x x 2  2m
Hoành độ trung điểm của AB là 1 2 x = =  = m 1. I 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  3
Câu 92. Phương trình hoành độ giao điểm: 2x m = x 1
 2x m x  
1 = x  3 (do x = 1  không là nghiệm) 2
 2x  m  
1 x m  3 = 0   1 .
Để có hai giao điểm thì pt  
1 phải có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với   0 2
m  6m  25  0 (luôn đúng).
Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình  
1 . Giả sử M x ;2x m , N x ;2x m 2 2  1 1  1 2 Khi đó, ta có: 2  m 1 m 3   5 5 35
MN = 5 x x 2 2 5  x x 4x x  =   = 5   4 m 32 14 =    .14 = . { 1 2 2 1 2 1 2         2  2   4 4 2 5 5   m 32 16 =    .16 = 20 .} 4   4
Dấu " = " xảy ra khi m = 3 nên MN nhỏ nhất khi m = 3 .
Câu 93. TXĐ: D =  \   1 .
Dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng d : x = 1
 và tiệm cận ngang d : y = 2 . 1 2  2x  3 
Do M  H  0  M x ;  . 0  x 1  0  2x  3 1
Xét d M , d   d M , d  0 = x 1   2 = x 1   2 . 1 2 0 0 x 1 x 1 0 0 1  x = 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 x 1 =  . 0  x 1 x = 2  0  0
Theo đề bài, ta có x  0 nên nhận x = 2   y = 1. 0 0 0
Vậy x y = 1  . 0 0
Câu 94. Chọn B y 1 O 1 2 x xa   b  Hàm số y =
có đồ thị C  như hình vẽ. Gọi A a;   và B ; b
 là hai điểm thuộc hai nhánh x  2  a  2   b  2 
của C  a  2  b .   b a   b a
Ta có: AB = b a;  =    b a;  .  b 2 a 2  
b 22 a       
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 b a2
Áp dụng BĐT Côsi ta có: b  22  a  . 4 b a 2  2 2 2 64
Suy ra: AB = b a 
 b a   16 2
b    a 2 2 2    b a
AB  4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 2  2 và b = 2  2 . Vậy AB = 4 . min
Dạng 3.7 Bài toán tương giao của đường thẳng với hàm số khác (chứa tham số) Câu 95. Chọn A x  3 x  2 x 1 x Xét phương trình   
= x  2  x m x  2 x 1 x x 1 x  3 x  2 x 1 x    
x  2  x = m (1) x  2 x 1 x x 1  x  3 x  2 x 1 x     2 khi x  2 x 3 x 2 x 1 x      x  2 x 1 x x 1
Hàm số p x =   
x  2  x =  . x  2 x 1 x x 1 x  3 x  2 x 1 x    
 2x  2 khi x  2    x  2 x 1 x x 1  1 1 1 1   
 0, x  2;  \ 1; 0;1; 2  2 2 2 2      x  2  x   1 xx    1
Ta có p x =  1 1 1 1    
 2  0, x  2
 x  22  x  2 2 1 xx  2 1 
nên hàm số y = p x đồng biến trên mỗi khoảng  ;    1 ,  1  ; 0 , 0 
;1 , 1;2 , 2; .
Mặt khác ta có lim p x = 2 và lim p x =  . x x
Bảng biến thiên hàm số y = g x :
Do đó để C và C cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 4 nghiệm phân 2  1 
biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = p x tại 4 điểm phân biệt  m  2 . Câu 96. Chọn B
Xét phương trình hoành độ giao điểm x 1 x x 1 x  2 x 1 x x 1 x  2   
= x  2  x m    
x  2  x = m   1 x x 1 x  2 x  3 x x 1 x  2 x  3 x 1 x x 1 x  2
Xét f x =   
x  2  x, xD =  \  3  ;  2; 1;  0 x x 1 x  2 x  3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x 1 x x 1 x  2   
 2, x  2;    D = D1   x x 1 x  2 x  3
Ta có f x =  x 1 x x 1 x  2    
 2x  2, x   ;
  2  D = D2   x x 1 x  2 x  3  1 1 1 1    , x   D  2 x   x  2 1
x  22  x  32 1
Có f  x =  1 1 1 1    
 2, x D 2  xx  2 1
x  22  x  32 2 
Dễ thấy f  x  0, x
  D D , ta có bảng biến thiên 1 2 x - -3 -2 1 0 + f'(x) + + + + + + + + + 2 f(x) - - - - -
Hai đồ thị cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biện khi và chỉ khi phương trình  
1 có đúng 4 nghiệm phân biệt, từ
bảng biến thiên ta có: m  2  m  2  . Câu 97. Chọn C
Điều kiện x  1  ; x  2  ; x  3  và x  4  .
Ta có phương trình hoành độ giao điểm x x 1 x  2 x  3   
= x 1  x m x 1 x  2 x  3 x  4  1   1   1   1  1  1  1  1
= x 1  x m          x 1   x  2   x  3   x  4   1 1 1 1 
x x 1  4     = m    x 1 x  2 x  3 x  4  Đặt tập D = 1
 ;  và D = ( ;  4  )  4  ; 3   ( 3  ; 2  )  2  ; 1  . 2     1     1 1 1 1  3     = , m khi x D    1  x 1 x  2 x  3 x  4      1 1 1 1  2x  5     = ,
m khi x D    2   x 1 x  2 x  3 x  4    1 1 1 1  3     , khi x D    1   x 1 x  2 x  3 x  4 
Đặt f x =  .  1 1 1 1  2x  5     , khi x D   2    x 1 x  2 x  3 x  4 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  1 1 1 1        0, khi x D    x 2 1
x 22  x 32  x 42 1       
f  x =  .  1 1 1 1  2   
 >0, khi x D   x 2 1
x 22  x 32  x 42 2         
Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
lim f x = 3 lim f x =  x ; x
nên ta có bảng biến thiên
Do đó để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì m  3  m  3;  .   Câu 98. Chọn B
Xét phương trình hoành độ x  2 x 1 x x 1 x  2 x 1 x x 1   
= x 1  x m    
x 1  x = m (1) x 1 x x 1 x  2 x 1 x x 1 x  2
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của  x  2 x 1 x x 1    1 ,x  1  x 2 x 1 x x 1         F xx 1 x x 1 x 2 =   
x 1  x =  x 1 x x 1 x  2 x  2 x 1 x x 1    
 2x 1, x  1   x 1 x x 1 x  2  1 1 1 1    , x  1  ;  \ 0;1 2  2 2 2      x   1 xx   1  x  2
Ta có F x =  . 1 1 1 1      2, x   ;  1  \ 2  2 2 2 2      x   1 xx   1  x  2 
Mặt khác lim F x = ; lim F x = 3 x x
lim F x =  ;
 lim F x =  ;
 lim F x =  ;
 lim F x =  x 2  x 2  x 1  x 1  .
lim F x =  ;
 lim F x =  ;
 lim F x =  ;
 lim F x =  x0 x0 x 1  x 1  Bảng biến thiên
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Để phương trình có 4 nghiệm thì m  3  m  3 .
Câu 99. Xét phương trình 2 2
x x  1 
x  3x  9 = 7  m (*).
Đặt f x 2 2 =
x x  1 
x  3x  9 có tập xác định D =  . 2x 1 2x  3 3
Ta có, f  x = 
; f  x = 0  x = . 2 2 2 x x  1 2 x  3x  9 4 Bảng biến thiên: 3 x ∞ 4 + ∞ y' 0 + + ∞ + ∞ y 13
Từ bảng biến thiên ta thấy (*) có nghiệm  min f x  7  m . 
 13  7  m m  7  13  3, 39 . Mà m
   m 1;2;  3 . Câu 100. 6 4 3 3
x x m x   2  m  2 6 3 5
x  6mx 10  0  6 4 3 3 2 2 2
x  6x m x 15x  3m x  6mx 10  0 . Đặt 2
u x u  
0 ; v mx  3 2 3 2
u  6u v 15u  3v  6v 10  0  3 2 3 2 3 3
u  6u 15u 10  v  3v  6v  u  2  3u  2  v   1  3v 1
 u  3  u   v  3 2 3 2 1  3v   1   1 .
Xét hàm f t 3
t 3t f t 2
 3t 3 0 , t    . Do đó  
1  f u  
2  f v  
1  u  2  v 1  2
x  2  mx 1  1 x   m . x  1  x 1  ;2 1   2    Xét hàm   1 g x x
gx1
; gx  0   . x 2 x  1 
x  1  ;2   2    
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Bảng biến thiên:  1  5
Để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc  ; 2    thì 2 m . 2    2 5
Vậy 5a  8b  5.2  8.  30 . 2 Câu 101. Ta có 3 2 3 2
cos x  3 cos x m = 0  cos x  3 cos x = m .
Đặt t = cos x t [1; 1] .
Yêu cầu bài toán trở thành tìm điều kiện của m để phương trình 3 2
t  3t = m có nghiệm t [1; 1] . Xét hàm số 3 2
f (t) = t  3t , t [1; 1] .  t = 0 Ta có 2 f (
t) = 3t  6t, f (  t) = 0   t = 0  và f (  1) = 4; f (  1) = 2; f (  0) = 0 . t = 2  1  ;  1  Phương trình 3 2
t  3t = m có nghiệm t [1; 1]  min f (t)  m  max f (t)  4   m  0 . t [  1;1] t [  1  ;1]
Do m   nên m  4  ;  3;  2; 1;  0 .
Vậy có 5 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 102. Chọn A 3 2 3 2 Ta có 2 x x   2
3  2  m m  3 = 0  x  3 x  2 = m  3 m   *
Xét hàm số: y = f x 3 2
= x  3 x  2 có đồ thị như hình vẽ:
Từ đồ thị của hàm số ta có: Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt 3 2
 2  m  3 m  2 3 2 Mà 2
m    m  3 m    m m  3  m = 3 m = 0  m = 3  2
m m  3  1  ; 0;  1    m  = 1 lm = 0   m = 1  l 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 x 4 x3  1  Câu 103. Ta có: 4 2 2
= m m 1  x  4x  3 = log    4 2
m m 1 (1) 1   5  5
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị y = f x và y = log  4 2 m m 1 1  5 Xét đồ thị 2
y = x  4x  3 có dạng như hình vẽ: y 4 2 x -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2
Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình (1) có 4 nghiệm khi hai đồ thị y = f x và y = log  4 2 m m 1 1  5
giao nhau tại 4 điểm phân biệt. 1 Khi đó 0  log  4 2
m m 1  1 4 2
 1  m m 1  1  5 5 2 2 4 2 m m  0
m m   1  0    1   m  1   1 11 2     . 4 2 m m    0  1  11  2  m    0 m  0   4 20    2  20
Đồ thị nên có đánh dấu mốc trên trục tung y = 1 vì ta cần dùng mốc này để kết luận bài toán, cũng nên nói 1 thêm 4 2 m m 1  luôn đúng 5
Câu 104. Cách 1 – Phan Văn Tài Ta có: 2
x mx  2 = 2x 1 . (1)  1 2x 1  0  x       2  .
x mx  2 = 2x   2 2 1  2 3
x  m  4 x 1 = 0 2 
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1 2 1   x x . 1 2 2    0  m  2 4 12  0  1  1    9   x x   0   2m  9  0  m  . 1   2   2  2    2 m  4  3  x x 1   1 2     2 2 9 Vậy m  . 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Cách 2 - Nguyễn Văn Hậu  1 2x 1  0 x   2 (1)
x mx  2 = 2x 1     2 2 2
x mx  2 = (2x 1)  2 (2) 3
x  4x 1 = mx
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:  1
x   , x  0   2 2 3x  4x 1 1 
. Xét hàm số f x =
với x   , x  0 . 2 3x  4x 1  x 2 = m   x 2 3x 1
Ta có f  x =  0, x   0 . 2 x  1  9
lim f x =  , lim f x =  , lim f x =  , f =   x 0  x 0  x  2  2 Bảng biến thiên 9
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm thực khi m  . 2 Câu 105. Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và đường thẳng d là 4
x   m   2 3 2 x  3m = 1  m 4
x   m   2 3
2 x  3m 1 = 0 Đặt 2
t = x , t  0 , phương trình trở thành 2
t  3m  2t  3m 1 = 0 2 t = 1   t = 3m 1 
Đường thẳng d : y = 1 cắt đồ thị (C ) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi m
phương trình 2 có hai nghiệm dương phân biệt t , t thỏa mãn 0  t t  4 1 2 1 2 m  0 3m 1  1      1 0  3m 1  4   m  1    3
Câu 106. Chọn D 2
m( 1 x  1 x  3)  2 1 x  5 = 0 (*)
Đặt t= 1 x  1 x
Theo bất đẳng thức bunhiacosky ta có: 2 2
t = ( 1 x  1 x)  (11)(1 x 1 x) = 4  0  t  2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 t  2 2 2 2
t = ( 1 x  1 x ) = 2  2 1 x  2 1 x =
(1)để phương trình có nghĩa 2  t 2 4 2 4 2 t  4t  4 t   4t (1)  2 2 1 x =  x =
để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì 4 4 4 2  t   4t   0  4  2  t  2 t   2  2 7  t Lúc này pt (*)  2
m(t  3)  t  7 = 0  m = t  3 2 7  t 2
t  6t  7 t = 3  2 Đặt f (t) =  ' f (t) = = 0   t  3 2 (t  3) t = 3  2  Ta có bảng biến thiên: 3 5 12  5 2 Suy ra
m  53  2   b a = 5 7 7
Câu 107. Chọn B Đặt 3 3 3 3
t = 2x  3x m t = 2x  3x m 3 3 
t  2x = 3x m 3 Ta có 3 
t  2t =  x   1  2 x   1 3 2
x  3x  2x m  3  2t = 0  Xét hàm số 3 2
y = f (u) = u  2u f (
u) = 3u  2  0, u    .
Do đó hàm số liên tục và đồng biến trên 
t = x   x x m =  x  3 3 3 2 1 2 3
1  x  3x 1 = m Xét 3 2 2
g(x) = x  3x 1  g (
x) = 3x  6x x = 0 g (  x) = 0   x = 2  Bảng biến thiên
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  0 2 + g'(x) + 0 0 + -1 + g(x) 5  m
Từ bảng biến thiên suy ra 5  m  1  1  m  5  m 2;3;  4 .
Vậy tổng các phần tử của S bằng 9 .
Dạng 3.8 Định m để hàm số f(u) thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết f(x)
Câu 108. Chọn B
Đặt t = sin x x
  0;   t  0  ;1
Vậy phương trình trở thành f t  = m . Dựa và đồ thị hàm số suy ra m 1  ;1 .
Câu 109. Chọn C 3 Đặt 3
t = x  3x ta có phương trình f t  = * . 2 3
Từ đồ thị hàm số y = f t  và đường thẳng y =
ta suy ra phương trình * có 4 nghiệm 2
t  2  t  0  t  2  t 1 2 3 4  x = 1 Xét hàm 3
t = x  3x . Ta có 2
t = 3x  3 = 0   Ta có bảng biến thiên x = 1  
Với t  2 phương trình: 3
t = x  3x cho ta 1 nghiệm. 1 1
Với 2  t  0 phương trình: 3
t = x  3x cho ta 3 nghiệm. 2 2
Với 0  t  2 phương trình: 3
t = x  3x cho ta 3 nghiệm. 3 3
Với 2  t phương trình: 3
t = x  3x cho ta 1 nghiệm. 4 4
Vậy phương trình đã cho có tất cả 8 nghiệm. Chọn C Câu 110. Chọn A
Đặt t = g x 3 = x  3x (1)
Ta có g x 2 '
= 3x  3 = 0  x 1 Bảng biến thiên
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dựa vào bảng biến thiên ta có với t   2
 ; 2 cho ta 3 giá trị x thỏa mãn (1) t  2  ; 
2 cho ta 2 giá trị x thỏa mãn (1) t  ;  2
   2;  cho ta 1 giá trị x thỏa mãn (1). 2 Phương trình f  3
x  3x = (2) trở thành 3  2 f t  = 2  f t  3 =   3 2
f t =   3
Dựa vào đồ thị ta có: 2
+ Phương trình f t  = có 3 nghiệm thỏa mãn 2  t t  2  t  có 7 nghiệm của phương trình (2). 3 1 2 3 2
+ Phương trình f t  =  có 3 nghiệm thỏa mãn t  2  2  t t  có 3 nghiệm của phương trình (2). 3 4 5 6
Vậy phương trình đã cho có 10 nghiệm. Câu 111. Chọn D Đặt 3 2
t = x  3x t = 3x  3 . Ta có bảng biến thiên 4
Khi đó f t  =   1 3
Dựa vào đồ thị hàm số f t  ta thấy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt t  2
 , 2  t  0, 0  t  2 , 1 2 3 t  2 . 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Mỗi nghiệm t của phương trình  
1 , ta thay vào phương trình 3
t = x  3x để tìm nghiệm x . Khi đó + t  2   phương trình 3
t = x  3x có 1 nghiệm. 1
+ 2  t  0  phương trình 3
t = x  3x có 3 nghiệm. 2
+ 0  t  2  phương trình 3
t = x  3x có 3 nghiệm. 3
+ t  2  phương trình 3
t = x  3x có 1 nghiệm. 4 4
Vậy phương trình f  3
x  3x = có 8 nghiệm. 3
Câu 112. Chọn B f   1 3 x  3x =   1 1 3 2
Ta có f x  3x =   2  f  1 3
x  3x =  2  2 3
x  3x =  2     0 1  1  1  +)   1  f  3 x  3x 3 =
 x  3x =  0    2 2  2  2  3
x  3x =    2  3  3   3
x  3x =  x  2  4  4  1  3 3
+) 2  f x  3x = 
 x  3x =    2 5  5  2  3
x  3x =    2  6  6   3
Xét hàm số y = x  3x, D =  Ta có 2 y ' = 3x  3 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có Phương trình: 3
x  3x =  có 3 nghiệm. 1 Phương trình: 3
x  3x = có 3 nghiệm. 2 Mỗi phương trình 3 x - 3x =  , 3 x - 3x =  , 3 x - 3x =  3 x - 3x = 3 4 5 , 6 đều có một nghiệm
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1
Từ đó suy ra phương trình f  2
x  3x = có 10 nghiệm. 2 m
Câu 113. 2 f x  2019  m = 0  f x  2019 =   * . 2
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g x = f x  2019 như sau: m Phương trình  
* có 4 nghiệm phân biệt khi 2    1  4   m  2 . 2 Câu 114. Đặt 2
t = x  2x  2 . Với x 0  ;1  t  2   ;1 Phương trình f  2
x  2x  2 = 3m 1 có nghiệm thuộc đoạn 0 
;1 khi và chỉ khi phương trình f t  = 3m 1 1
có nghiệm thuộc 2  ;1    m  1 . 3 Câu 115. Đặt e x t =
. Với x 0;ln 2  t 1;2 Phương trình ex f
 = m có nghiệm thuộc khoảng 0;ln 2 khi và chỉ khi phương trình f t = m có nghiệm
thuộc khoảng 1;2  3   m  0 . 1 Câu 116. Đặt 2
ln x = t với x  1;e khi đó t ' = 2 ln . x  0 x
 1;e nên t 0  ;1 . x
ycbt  f t  = m có nghiệm trên nửa khoảng 0;  1  m  1   ;1 . 2 2 m m x 1 x 1
Câu 117. f    = 0  f   =   1 8 8 Phương trình x
 = k có nghiệm duy nhất khi k  0 2 m 1 Để phương trình  
1 có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng d  : y =
phải cắt đồ thị tại hai điểm 8 2 m 1
phân biệt có hoành độ dương  1    1 2  7   m  9  3   m  3 8
Theo yêu cầu bài toán thì có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. m  2019 Câu 118. Ta có: f  2 2. 3  3 9
x  30x  21 = m  2019  f  2 3  3 9
x  30x  21 = . 2  7  Đặt 2 t = 3  3 9
x  30x  21 , vì t xác định khi x  1;  nên t  3  ;  3 . 3    m  2019
Khi đó phương trình đã cho có nghiệm khi min f t  
 max f t  .  3   ;3  3   ;3 2 m  2019
Dựa vào đồ thị, ta có 5    1 2009 2021 m m     
m2009;2010;...;202  1 . 2
Vậy có 13 giá trị nguyên của m thoả mãn.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 119. Phương trình f  2 4x x  
1 = m có điều kiện 0  x  4 . Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra, với 0  x  4 thì 2 1
  4x x 1  1. Đặt 2
t = 4x x 1, 1
  t 1.(Có thể biến đổi t =   x  2 4 2 1  1   t  1 ).
Phương trình đã cho trở thành f t  = m (1). Phương trình đã cho có nghiệm  (1) có nghiệm t  1   ;1  4   m  0 .
Câu 120. Đặt t = x m  0
Với t = 0  x = m
Với mỗi giá trị t  0 sẽ ứng với 2 giá trị x
Ta có phương trình : f t  = m t  0   *
Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì  
* có 2 nghiệm phân biệt dương  3 m =
Từ đồ thị của hàm số y = f t  trên miền t  0   4 m = 1  
Vậy có 1 giá trị nguyên thỏa mãn Câu 121. Đặt 2
t = g(x) =
4  x với x [- 2 ; 3) . x Suy ra: g '(x) = . 2 4  x
g '(x) = 0  x = 0 [  2 ;3) . Ta có:
g(0) = 2, g( 2) = 2 , g ( 3) = 1 .
Mà hàm số g(x) liên tục trên [- 2 ; 3) Suy ra, t (1; 2] .
Từ đồ thị, phương trình f (t) = m có nghiệm thuộc khoảng (1; 2] khi m( 1  ;3]. Câu 122. Chọn C x Đặt t = 1, khi 2
  x  2 thì 0  t  2 . 2 1
Phương trình đã cho trở thành
f t   2t  2 = m f t  6t  6 = 3m . 3
Xét hàm số g t  = f t   6t  6 trên đoạn 0;2 .
Ta có gt  = f t   6 . Từ đồ thị hàm số y = f x suy ra hàm số f t  đồng biến trên khoảng 0; 2 nên
f t  0, t
 0;2  gt   0, t
 0;2 và g 0 = 1
 0 ; g 2 = 12 .
Bảng biến thiên của hàm số g t  trên đoạn 0;2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn  2
 ; 2 khi và chỉ khi phương trình g t = 3m có nghiệm thuộc 10
đoạn 0;2 hay 10  3m  12    m  4 . 3
Mặt khác m nguyên nên m  3
 ;  2; 1; 0;1; 2;3;  4 .
Vậy có 8 giá trị m thoả mãn bài toán.
Câu 123. Từ hình vẽ, đặt f x 3 2
= ax bx cx d ,a  0. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O nên d = 0 .
a b c = 2 a = 1  
Ta có hệ phương trình a b c = 2   b
 = 0 . Do đó f x 3 = x  3 . x 4a 2b c 1    = c = 3      Đặt t = x x    t       f
x = f t  3 cos , ; 1; 0 cos
= t  3t với t  1  ;  0 .  2  f t  2 '
= 3t  3  0, t   1
 ;0  f t  nghịch biến trên 1;0  2 f t   2 f 0; 2 f   1  
hay 2 f t  0; 4 . Đặt u = 2 f t   u 0; 2  m = f u 3
= u  3u với u 0;2 . Ta có f u 2 '
= 3u  3  f 'u = 0  u = 10;2 .
Bảng biến thiên của f u .
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm  2  m  2 .  m  2  ; 2  
m 2; 1; 0  ;1 . m    Câu 124. Chọn B
Từ đồ thị hàm số và phương trình f (x) = 1 có ba số thực a, b, c thỏa 1
  a 1 b  2  c sao cho
f (a) = f (b) = f (c) = 1. Do đó,  f (x) = a
f ( f (x)) = 1  f (x) = b
f (x) = c
Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) ta có:
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Do 1
  a 1 nên đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 3 điểm phân biệt. Do đó, f (x) = a có 3 nghiệm phân biệt.
Ta lại có, 1  b  2 nên đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 3 điểm phân biệt khác. Do đó,
f (x) = b có 3 nghiệm phân biệt khác các nghiệm trên.
Ngoài ra, 2  c nên đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 1 điểm khác các điểm trên. Hay
f (x) = c có 1 nghiệm khác các nghiệm trên.
Từ đó, số nghiệm của phương trình f ( f (x)) = 1 là m = 7. 2 x 2x Câu 125. Vì: 2
x 1  2 x   1  1    1 2 2 x 1 x 1 Từ đồ thị thấy x 1 
;1  f (x) 2; 2
x 2; 2  f (x) 2; 2 Xét phương trình   2x  2x  2x f f = m   . Đặt t = ; u = f . 2  2  2    x 1 x  1  x 1 Vì t  1   ;1  u  2
 ; 2  f (u) 2;2
Vậy để phương trình ban đầu có nghiệm thì f u = m có nghiệm thuộc đoạn 2; 2
nên m 2; 2 .
Dạng 3.9 Một số bài toán tương giao liên quan đến đồ thị f(x), g(x), f’(x) f(u) khác. Câu 126. Lờigiải
g x = f f x    g (  x) = f (
x). f   f x   . g (  ) x = 0  f (
x). f   f x = 0  
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x = x  2  ; 1 1   x = 0  x = x  1;2 2     f (  x) = 0 x = 2     . f   f   x = 0
f x = x  2
 ;1  x = x  2   1      3
f (x) = 0  x 2  ;0;  2 
f (x) = x  1;2  x x ; x ; x , x x x  0  2  x 2    4 5 6 3 4 5 6 
f (x) = 2  x x ; x ; x , x x x x x x 7 8 9  4 7 8 5 6 9 
Kết luận phương trình g x = 0 có 12 nghiệm phân biệt.
Câu 127. Nhận xét từ đồ thị a  0 .
Ta có f  x 3 2
= ax bx cx d = ax x   x   3 2 4 3 2 4 2
1 = 4ax  4ax  8ax .  4a b =   3 
 c = 4a a c = a  4a = 3a  0 . d = 0  
Câu 128. Chọn B
BBT của hàm số y = f (x) x
BBT của hàm số y = f ( x )
BBT của hàm số y = f ( x )
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 71
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Suy ra phương trình f ( x ) = m có nhiều nhất là 6 nghiệm. Câu 129.
Nhận xét: Đồ thị hàm y = f  x cắt trục hoành tại điểm x thì x là điểm cực trị của hàm y = f x . Dựa 0 0
vào hai đồ thị đề bài cho, thì C là đồ thị hàm y = f x và C là đồ thị hàm y = f  x . 2  1 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f x và = x y me ta có: f x   = x f x me m = . x e f x
Đặt g x = ta có: x e
f  x  f xg x = . x ex = 1 
g x = 0  f  x = f x  x = 2  .  x = x  1  ; 0  0  
Dựa vào đồ thị của hai hàm số: y = f x và y = f  x ta được: f 2
Yêu cầu bài toán ta suy ra:
m  0 (dựa vào đồ thị ta nhận thấy f 0 = f 2  2 ) 2 e  0  , 27  m  0 . Suy ra: a = 0  , 27,b = 0 .
Vậy a b = 0  , 27 .
Câu 130. Chọn A 2
Xét phương trình  f  x = f x. f  x   1  
Do f x = 0 có ba nghiệm x , x , x x x x và f ' x = 0 suy ra x là một nghiệm của (1) 3  1 2 2  1 2 3  3 2
Ta có f x = a x x x x x x , a  0 1   2   3     f  x     1 1 2 
Với x x  1    = 0    = 0 3    
f x  x x x x x x    1 2 3 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 72
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 2     = 0 vô nghiệm.  x x 2  x x 2  x x 2 1 2 3
Vậy, phương trình (1) có đúng một nghiệm x = x . 3
Câu 131. Chọn B  5  Với x  1;
 2x 13; 4  g 2x  
1 3; 4  t = 1 g 2x   1  3  ; 4  2   
Vậy ta cần tìm m để phương trình f t  = m có nghiệm thuộc đoạn  3  ; 4
 min f t   m  max f t   min f t   m  2 trong đó min f t   1; 0 . Vậy các số nguyên cần tìm  3  ;4 3;4  3  ;4  3  ;4 là a 0,1,  2
Câu 132. Chọn B. x = x 3   x  2  1  1   x = 1  
Quan sát đồ thị ta thấy: f x = 0  x = x 1  x  2 . 2  2  
x = x 2  x  3 3  3  
x = x 4  x  5 4  4  
g x = x 1 1  
g x = 1   2 
Do đó: f g x = 0  g x = x 3 2   
g x = x 4 3   
g x = x 5 4    Phương trình  
1 có đúng 1 nghiệm; Phương trình 2 có đúng 3 nghiệm; Phương trình 3 có đúng 3
nghiệm; Phương trình 4 có đúng 3 nghiệm; Phương trình 5 có đúng 1 nghiệm. Tất cả các nghiệm trên
đều phân biệt nên phương trình f g x = 0 có đúng 11 nghiệm.
x = x 2  x  1 5  5  
Quan sát đồ thị ta thấy: g x = 0  x = x 0  x  1  6  6  x = 3 
f x = x 6 5   
Do đó g f x = 0  f
  x = x 7 6  
f x = 38 
Phương trình 6 có 5 nghiệm; Phương trình 7 có 5 nghiệm; Phương trình 8 có 1 nghiệm.
Tất cả các nghiệm này đều phân biệt nên phương trình g f x = 0 có đúng 11 nghiệm.
Vậy tổng số nghiệm của hai phương trình f g x = 0 và g f x = 0 là 22 nghiệm.
Câu 133. Từ đồ thị của hàm số f ' x ta có BBT
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 73
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ' x; y = 0; x = 0; x = 2 1
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ' x; y = 0; x = 2; x = 5 2
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ' x; y = 0; x = 5; x = 6 3 2 5 6
S =  f ' x dx = f 0  f 2 S =
f ' x dx = f 5  f 2
S =  f ' x dx = f 5  f 6 1        ; 2        ; 3        0 2 5
Từ đồ thị ta thấy S S f 5  f 2  f 0  f 2  f 5  f 0 2 1            
và S S S f 0  f 2  f 5  f 6  f 5  f 2  f 6  f 0 1 3 2                
Khi đó ta có BBT chính xác ( dạng đồ thị chính xác ) như sau:  
Vậy phương trình f x   f 0 có 2 nghiệm thuộc đoạn 2;6   
f  x = 0
Câu 134. Ta có: g x = f  xf   f x = 0     * .
f   f x = 0   
Theo đồ thị hàm số suy ra.  x = 0
f  x = 0  
, với 2  a  3 . x = 1  1 a
f x = 0 ,  1
f   f x = 0     .
f x = a , 2  1   Phương trình  
1 : f x = 0 có 3 nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình * .
Phương trình 2 : f x = 1
a có 3 nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình  
1 và phương trình * .
Vậy phương trình ban đầu có 8 nghiệm phân biệt. x = 1
Câu 135. Nhìn vào đồ thị hàm số đạt cực trị tại x = 1; x = 1  . Hay '
f x = 0  .  x = 1  Ta có ' g x ' = f x '
. f f x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 74
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x = 1  ' 
f x = 0 x = 1  '
g x = 0    ' 
f f x = 0
f x = 1  
 f x = 1 
Dựa vào đồ thị ta có:
+ đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm hay phương trình f x = 1 có 3 nghiệm.
+ đường thẳng y = 1
 cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm hay phương trình f x = 1  có 1 nghiệm. Vậy phương trình '
g x = 0 có 6 nghiệm.
Dạng 4. Bài toán tiếp tuyến Câu 136. Xét hàm 3 2 2
y = f (x) = x  3x  2  f '(x) = 3x  6x f '(1) = 9.
Ta có x = 1  y = 2  M 1; 2 . 0 0 0  
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1; 2 có dạng: 0  
y y = f '(x ) x x
y  2 = 9 x 1  y = 9x  7 . 0 0  0    2
Câu 137. Tập xác định D =  \   1 . Ta có y = . 2 (x 1) x  3
Gọi M x ; y thuộc đồ thị hàm số y = . 0 0  x 1
Ta có x = 0 thì y = 3
 nên M 0;  3 . 0 0
Mà y0 = 2 .
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M 0;  3 là y = 2  x  3 . Câu 138. Chọn C
Ta có hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình 3
x  3x = 4  x = 1 Ta có 2 y ' = 3x  3
Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y '  1 = 6 .
Câu 139. Chọn B 2 1 Ta có y =  y 1 = 2    x   1 2
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 1;0 là
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 75
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 1 y =  x   1  0  y = x . 2 2 2 Câu 140. Chọn C 1
ĐK: x  1 ; y' = (x  2 1)
Đường thẳng d qua A có hệ số góc k là y = k(x  ) a  1  x  2
k(x a)  1 =  1  x  1
d tiếp xúc với (C )   có nghiệm. 1 k = 2 2    (x   1) 1 x  2 Thế   2 vào   1 ta có: (x  ) a  1 =
 x a  2
x  2x  1 =  2
x  3x  2, x  1 (x  2 1) x  1  2
2x  6x a  3 = 0 3
Để đồ thị hàm số có một tiếp tuyến qua A thì hệ là số nghiệm của hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất  phương trình  
3 có nghiệm duy nhất khác 1
 ' = 9  2a  6 = 0   3
1  6  a  3  0 a 2  = 
 2x  6x a  3 = 0 (3)    2 
 ' = 9  2a  6  0  a =   1
 2  6  a  3 =  0 1
Cách 2: TXĐ : D = \   1 ; y =  x  2 1
Giả sử tiếp tuyến đi qua A ; a
1 là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = x , khi đó phương trình tiếp tuyến có 0 1 x  2 dạng : y = x xd 2   0 0    x   1 x 1 0 0
Vì A d nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có : 2 1  x  2 
2x  6x  3  a = 0 1 0 0   1 = a x   2  0  0   x 1 x 1 x  1 0  0  0
Để chỉ có một tiếp tuyến duy nhất đi qua A thì phương trình  
1 có nghiệm duy nhất khác 1
 = 9  2a  6 = 0   3
1 6  a  3  0  a =    2
 = 9  2a  6  0   a = 1  
 2  6  a  3 = 0 
Câu 141. Chọn D x x y y
Phương trình đường thẳng MN có dạng 2 2 =
 hệ số góc của đường thẳng MN là x x y y 1 2 1 2 y y 1 2 k = = 3 . x x 1 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 76
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  1 7  1 7 Vậy tiếp tuyến tại 4 2 A x ; x x 3 
có hệ số góc k = 3  f  x = 3  x x = 3 0  0 0 0  0 0  8 4  2 2  x = 1  0 1 7 3   x
x  3 = 0  x = 3 . 0 0 2 2 0   x = 2   0  13  11
+) Với x = 1  A 1; 
 Phương trình tiếp tuyến y = 3x  . 0    8  8  x = 1  1 7 11 1 7 11 
Xét phương trình hoành độ giao điểm 4 2 x x = 3x  4 2  x x  3x  = 0  x = 1 3   8 4 8 8 4 8  x =1 3   13  A 1  ;    thỏa mãn đề bài.  8   171  195
+) Với x = 3  A 3; 
 Phương trình tiếp tuyến y = 3x  . 0    8  8 1 7 195 1 7 195
Xét phương trình hoành độ giao điểm 4 2 x x = 3x  4 2  x x  3x  = 0 8 4 8 8 4 8  171 
  x  2  2 3
x  6x 13 = 0  x = 3  Tiếp tuyến cắt đồ thị tại một điểm  A 3;   Không thỏa  8  mãn. +) Với x = 2   A 2  ; 5
   Phương trình tiếp tuyến: y = 3x 1 . 0 1 7 1 7
Xét phương trình hoành độ giao điểm 4 2 x x = 3x 1 4 2  x
x  3x 1 = 0 8 4 8 4  x = 2  
  x  2  2 2
x  4x  2 = 0  x = 2  6   A 2  ; 5
  Thỏa mãn đề bài.  x = 2  6 
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 142. Chọn D  1 7 
Ta có A  C  4 2  A t; t t    4 2  3
y = x  7x yt  3 = t  7t
Phương trình tiếp tuyến của C  tại A là 3 7 y =  1 7 3
t  7t  x t  4 2  t t y =  3 t  7t  4 2 x t t 4 2 4 2
Phương trình hoành độ giao điểm: 1 7 3 7 4 2 x x =  3 t  7t  4 2 x t t 4 2 4 2 4 2  x x   3 t t  4 2 14 4 7
x  3t  14t = 0
  x t 2  2 2
x  2tx  3t 14 = 0  x = t   2 2
x  2tx  3t  14 = 0   1 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 77
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Tiếp tuyến cắt đồ thị C  tại hai điểm phân biệt M x ; y ; N x ; y khác A khi phương trình   1 có hai 1 1   2 2 
nghiệm phân biệt khác t  2    t     2t   7 t 7 3 14  0      21 2 2 2 2 t
 2t  3t 14  0 t      3 Khi dó  3 7
y = t  7t x t t 1   3  4 2 x x = 2  t 1 1 2  4 2 3  và 
y y = t  7t x x 1 2   1 2  2 x x = 3t 14  3 7 1 2
y =  3t  7t 4 2 x t t 2 2   4 2
Ta có y y = 6(x x )   3
t  7t  x x = 6 x x 1 2   1 2  1 2 1 2 t = 1  n t  1 = 0  3
t  7t  6 = 0  t   2
1 t t  6 = 0   t = 2    n (do 2 ) 2
t t  6 = 0  t = 3 l   13 
Với t = 1 ta có A 1  ;     4  Với t = 2  ta có A 2  ; 1  0
 có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán. Câu 143. Chọn D Cách 1:
Gọi d là tiếp tuyến của C  tại A .  x =  7 4 28  3 y = x
x y = 0  x = 0  . 3 3  x = 7 
Do tiếp tuyến tại A cắt C  tại M , N x  7; 7 . A  x = 3 A y y 4 28 
Ta có: y y = 8 x x  1 2  = 8  k = 8. Suy ra 3 x x = 8  x = 1  . 1 2 1 2 d A A A x x 3 3  1 2 x = 2   Ax = 1 
Đối chiếu điều kiện: A
. Vậy có 2 điểm A thỏa ycbt. x = 2   A Cách 2:  1 14  Gọi 4 2 A a; a a
 là tọa độ tiếp điểm  3 3   4 28  1 14
Phương trình tiếp tuyến tại A là 3 d : y = a a
  x a 4 2  a a  3 3  3 3
Phương trình hoành độ giao điểm của C  và d là: 1 28  4 28  1 14 4 2 3 x x = a a
  x a 4 2  a a 3 3  3 3  3 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 78
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x = a
  x a2  2 2
x  2ax  3a 14 = 0   2 2
x  2ax  3a 14 = 0   1 
Để C  cắt d tại 3 điểm phân biệt  Phương trình  
1 có hai nghiệm phân biệt khác a   0   7    
a   7; 7 \   . 2   6a 14  0   3     4 28 
Theo đề bài: y y = 8 x x  3  a a x x = 8 x x 1 2 1 2    1 2   1 2   3 3  a = 3 4 28 3   a a = 8  a = 1  . 3 3  a = 2   a = 1
Đối chiếu điều kiện: 
. Vậy có 2 điểm A thỏa đề bài. a = 2 
Câu 144. Ta có y = 4  4 sin 2x .
Khi đó, hoành độ của các điểm trên C  mà tại đó tiếp tuyến của C  song song hoặc trùng với trục hoành
là nghiệm của phương trình:
y = 0  4  4 sin 2x = 0  
 sin 2x = 1  2x =
k 2  x =
k k  . 2 4
Câu 145. Gọi x là hoành độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm 0
cực tiểu của đồ thị hàm số là: y x = 0. 0 
Vậy ta loại đáp án A, C, D và chọn đáp án B. x = 0 Câu 146. Ta có: 3
y = x  4 ; x y = 0   . x = 2   BBT:
Câu 147. Chọn A m  1 
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi m 1 m  2  0   . m  2 
Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = m  .
 tiếp xúc với parabol 2
y = x  7  m = 7 . ab  2
Câu 149. Có y = . ax  22
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 79
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 b Do A1; 2
  thuộc đồ thị hàm số nên
= 2  b = 3  2a . a  2 ab  2
Do tiếp tuyến tại A1; 2
  song song với d : 3x y  4 = 0 nên y  1 = 3   = 3 a  22 a = 1
Thay b = 3  2a ta được phương trình a   a  =  a  2 3 2 2 3 2 2
 5a 15a 10 = 0   . a = 2 
Với a = 2  b = 1
 (loại, do ab  2  )
Với a = 1  b = 1. Phương trình tiếp tuyến tại A 1  ; 2 là y = 3   x  
1  2 song song với d . Vậy a = 1,
b = 1, suy ra a  3b = 2  .
Câu 150. Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x mx  2m  3 x  1 là 2
y = 3x  2mx  2m  3
Vì hệ số góc dương với mọi x nên ta có a = 3  0
y = 3x  2mx  2m  3  0  
m  6m  9  0  m  2 2 2 3  0  m   .   0 
Câu 151. Từ đồ thị ta có hai tiếp tuyến vuông góc với trục Oy là y = 1; y = 2 . 2 
Câu 152. y = .  x  2 1 1 x
Gọi Ax ;1  C thì 0 = 1  x = 0 . 0    0 x 1 0
Tiếp tuyến của C tại điểm A có phương trình: y = y0 x  0  y 0 = 2  x 1.
Suy ra tiếp tuyến song song với d  : y = 2x  2 .
Câu 153. Điều kiện m  0 .
Phương trình tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là: x  2 = 0 và y  1 = 0 . Phương 2 3x m  6m  6
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng m  2 là: (d ) : y =  . Đường 2 2 m mm  6 
thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm A 2  ; 
 và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm số  m
tại điểm B 2m  2;  1 m  6
theo giả thiết ta có 2m  2  = 5   m = 1; m = 3  . m
Vậy bằng tổng bình phương các phần tử của S bằng 10 . x  2  3 
Câu 154. Tập xác định của hàm số y =
là D =  \   . 2x  3  2  1  Ta có: y =  0, x   D . 2x  32 Mặt khác, O
AB cân tại O  hệ số góc của tiếp tuyến là 1. 3
Gọi tọa độ tiếp điểm  x ; y , với x   . 0 0  0 2 1  Ta có: y = = 1   x = 2   x = 1  . 2x  3 0 2 0 0 Với x = 1
  y = 1 . Phương trình tiếp tuyến là: y = x loại vì A B O . 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 80
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Với x = 2
  y = 0 . Phương trình tiếp tuyến là: y = x  2 thỏa mãn. 0 0
Vậy d : y = ax b hay d : y = x  2  a = 1; b = 2  a b = 3 .
Câu 155. Ccắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên với x  0 có f 0  2  b
 2  b  2d (1). d ad bc d
Có y f x 
không xác định tại điểm duy nhất x  
. Từ đồ thị hàm số y f x ở trên cx d2 c d
ta thấy hàm số y f x không xác định tại điểm duy nhất x  1
 . Vậy   1 c d (2). c c   d ax c  2 ac  2c a  2c Từ (1) và (2) suy ra   f x 2 
và f x   . b
  2d  2c cx c  cx c2 cx  2 1
Ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục tung tại điểm y  3 nên x  0  f 0  3 a  2c     x
a c f x 3 3  và f x 2  cx  2 1 x 1 x
Giao điểm của đồ thị C của hàm số y f x 2 
với trục hoành ứng với y  0  x  2 và f   1 2  x 1 3 1
nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  x  2 0  x 3y  2  0 3 1 1 4 11 Câu 156. Ta có 2 y  3  x 6x 1
 ; y   x
  y  x  
. Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 3 3 3 3 4 11
hai điểm cực đại và cực tiểu là  : y x  . 3 3
Do M , N là hai điểm di động trên đồ thị C của hàm số 3 2 y x
 3x x  4 sao cho tiếp tuyến của C
tại M và N luôn song song với nhau, nên ta xét trường hợp M , N là hai điểm cực trị của đồ thị, khi đó
phương trình MN chính là phương trình đường thẳng  .
Thử trực tiếp ta được điểm Q1; 
5   , các điểm còn lại không thuộc  .
Câu 157. Chọn C
Tiệm cận đứng d : x 1 = 0 , tiệm cận ngang d : y 1 = 0  tâm đối xứng là I  1   ;1 . 1 2  a  2  1  a  2
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M a;   
C  là: y = x a  d  . 2    a 1  a   1 a 1 1  a  2 2 1 a  2   a   1 a 1 a 1 2 2
Khi đó d I , d  = = =  = 2 . 1 1 1 2 1 1 a 1  4 4  2 a   1 a   1 a  2 1 2 2
x  2mx m 3m m 2 3m m Câu 158. y = = x  3m   y = 1 . x m x mx m2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục Ox . 2
x  2mx m = 0  f x 2
= x  2mx m = 0 *  x  m . x m
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 81
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với
nhau thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x ; x khác m và y x .yx = 1  . 1   2  1 2 m  1    m  0  2
 = m m  0 m  0   
  f m 2 = 3m m  0   1  m = 5 .  m    2 2  3  3m m   3m m    
y x .yx = 1  1  = 1  1   2    m = 0  x m2   x m2       1   2  m = 5  Câu 159. Lờigiải Chọn B 3
y ' = x  6x 1 Gọi 4 2 ( A x ;
x  3x ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến tại A. Phương trình tiếp tuyến tại A là đường thẳng 0 0 0 4 (d) có phương trình: 1 3 4 2
y = (x  6x )(x x )  x  3x 0 0 0 0 0 4
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là: 1 1 3 4 2 4 2
(x  6x )(x x )  x  3x = x  3x 2 2 2
 (x x ) (x  2x x  3x 12) = 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0  x x = 0 0   2
x  2x x  3x 12 = 0 (2)  0 0
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác A khi và chỉ chi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác x 0 x   2 0   (3)  6  x  6  0
Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x , x và (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M (x ; y ) , 1 2 1 1
N (x ; y ) trong đó: 2 2 1 1 3 4 2
y = (x  6x )(x x )  x  3x 3 4 2
y = (x  6x )(x x )  x  3x 1 0 0 1 0 0 0 4 2 0 0 2 0 0 0 4 3
y y = (x  6x )(x x ) 1 2 0 0 1 2 Từ giả thiết ta suy ra: 3
(x  6x )(x x ) = 5(x x ) 3
x  6x = 5 (Vì x x ) 0 0 1 2 1 2 0 0 1 2  x = 1  0   1   21  x = 0  2   1   21 x = 0  2 x = 1  0
Kết hợp với điều kiện (3) có hai giá trị x thỏa mãn yêu cầu bài toán là  0 1 21 x = 0  2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 82
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 160. Chọn B d
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x =  = 2
 làm tiệm cận đứng. c a
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = = 2 làm tiệm cận ngang. c Vậy I  2
 ; 2 là giao điểm của hai đường tiệm cận. TXĐ: D = 7 y ' = 2 (x  2) 2x  3
Gọi tiếp tuyến tại M x ; y của đồ thị hàm số y = có dạng: 0 0  x  2 7 2x  3
 : y = y ' x .(x x )  y hay 0  : y = .(x x )  0  0 0 2 0 (x  2) x  2 0 0 7 2x  3
Vì  đi qua I 2; 2 0  2 = .( 2   x )  2 0 (x  2) x  2 0 0 7 2x  3 7 2x  3 0 0  2 = .(x  2)   2 =  2 0 (x  2) x  2 (x  2) x  2 0 0 0 0 2x 10 0  2 =  4 = 1
 0 , phương trình vô nghiệm. x  2 0 2x  3
Vậy không tồn tại tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số y =
mà đi qua giao điểm của hai tiệm cận. x  2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 83