Các dạng toán nguyên hàm thường gặp trong kỳ thi THPTQG

Các dạng toán nguyên hàm thường gặp trong kỳ thi THPTQG được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:
75 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Các dạng toán nguyên hàm thường gặp trong kỳ thi THPTQG

Các dạng toán nguyên hàm thường gặp trong kỳ thi THPTQG được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

44 22 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:

75 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Ngu
yễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CHUYÊN
ĐỀ 18
NGUYÊN HÀM & PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
MỤC LỤC
PHẦN
A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 2
Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm) ................................................................................................... 2
Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện ................................................................................................ 2
Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện ......................................................................................................... 11
Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm ...................................................................................... 16
Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 16
Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 17
Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm ..................................................................................... 18
Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 18
Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 21
Dạng 4. Nguyên hàm từng phần ..................................................................................................................................... 22
Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 22
Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 25
Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán ..................................................................................................................... 26
Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm .............................................................................................. 30
PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO ............................................................................................................................... 33
Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm) ................................................................................................. 33
Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện .............................................................................................. 33
Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện ......................................................................................................... 38
Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm ...................................................................................... 44
Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 44
Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 45
Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm ..................................................................................... 47
Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 47
Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 51
Dạng 4. Nguyên hàm từng phần ..................................................................................................................................... 53
Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 53
Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 57
Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán ..................................................................................................................... 60
Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm .............................................................................................. 69
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm)
Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện
Câu 1. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số
4 2
f x x x
là
A.
5 3
1 1
5 3
x x C
B.
4 2
x x C
C.
5 3
x x C
. D.
3
4 2
x x C
Câu 2. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số
2 4
f x x
là
A.
2
x C
. B.
2
2
x C
. C.
2
2 4
x x C
. D.
2
4
x x C
.
Câu 3. (Mã 102 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
f x x
là
A.
2
x C
. B.
2
6
x x C
. C.
2
2
x C
. D.
2
2 6
x x C
.
Câu 4. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
2 sinf x x
.
A.
2 sin 2 cos
xdx x C
B.
2 sin 2 cos
xdx x C
C.
2
2 sin sin
xdx x C
D.
2 sin sin 2
xdx x C
Câu 5. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số
3
f x x x
là
A.
4 2
1 1
4 2
x x C
B.
2
3 1
x C
C.
3
x x C
D.
4 2
x x C
Câu 6. (Mã 103 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2 3f x x
là
A.
2
3
x x C
. B.
2
2 3
x x C
. C.
2
x C
. D.
2
2
x C
.
Câu 7. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
2 1.
f x x
A.
2
2 1 2 1 .
3
f x dx x x C
B.
1
2 1 2 1 .
3
f x dx x x C
C.
1
2 1 .
3
f x dx x C
D.
1
2 1 .
2
f x dx x C
Câu 8. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
2
2
2
f x x
x
.
A.
3
1
d
3
x
f x x C
x
. B.
3
2
d
3
x
f x x C
x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
C.
3
1
d
3
x
f x x C
x
. D.
3
2
d
3
x
f x x C
x
.
Câu 9. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
1
5 2
f x
x
.
A.
d 1
ln 5 2
5 2 5
x
x C
x
B.
d
ln 5 2
5 2
x
x C
x
C.
d 1
ln 5 2
5 2 2
x
x C
x
D.
d
5ln 5 2
5 2
x
x C
x
Câu 10. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
cos 3f x x
A.
cos 3 3sin 3
xdx x C
B.
sin 3
cos 3
3
x
xdx C
C.
cos 3 sin 3
xdx x C
D.
sin 3
cos 3
3
x
xdx C
Câu 11. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số
3 2
f x x x
là
A.
4 3
1 1
4 3
x x C
B.
2
3 2
x x C
C.
3 2
x x C
D.
4 3
x x C
Câu 12. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số
x
f x e x
là
A.
1
x
e C
B.
2x
e x C
C.
2
1
2
x
e x C
D.
2
1 1
1 2
x
e x C
x
Câu 13. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( ) 2 5f x x
là
A.
2
x C
. B.
2
5
x x C
. C.
2
2 5
x x C
. D.
2
2
x C
.
Câu 14. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
7
x
f x
.
A.
7
7 d
ln 7
x
x
x C
B.
1
7 d 7
x x
x C
C.
1
7
7 d
1
x
x
x C
x
D.
7 d 7 ln 7
x x
x C
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số
cos2
f x x
.
A.
d 2sin 2
f x x x C
B.
d 2sin 2
f x x x C
C.
1
d sin 2
2
f x x x C
D.
1
d sin 2
2
f x x x C
Câu 16. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số
4
f x x x
là
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
A.
3
4 1
x C
B.
5 2
x x C
C.
5 2
1 1
5 2
x x C
D.
4
x x C
Câu 17. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Họ nguyên hàm của hàm số
2
( ) 3 1
f x x
là
A.
3
x C
B.
3
3
x
x C
C.
6
x C
D.
3
x x C
Câu 18. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm nguyên hàm
15
2
7 dx
x x
?
A.
16
2
1
7
2
x C
B.
16
2
1
7
32
x C
C.
16
2
1
7
16
x C
D.
16
2
1
7
32
x C
Câu 19. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số
3
(x)
x
f e
là hàm số nào
sau đây?
A.
3
x
e C
. B.
3
1
3
x
e C
. C.
1
3
x
e C
. D.
3
3
x
e C
.
Câu 20. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Tính
sin 2 dx x x
.
A.
2
sin
2
x
x C
. B.
2
cos 2
2
x
x C
. C.
2
cos 2
2
x
x C
. D.
2
cos2
2 2
x x
C
.
Câu 21. (TRƯƠNG THPT HOANG HOA THAM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Nguyên hàm của hàm số
2 1
e
x
y
là
A.
2 1
2e
x
C
. B.
2 1
e
x
C
. C.
2 1
1
e
2
x
C
. D.
1
e
2
x
C
.
Câu 22. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm
số
1
2 3
f x
x
A.
ln 2 3
x C
. B.
1
ln 2 3
2
x C
. C.
1
ln 2 3
ln 2
x C
. D.
1
lg 2 3
2
x C
.
Câu 23. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm
số
2
1
3
x
y x
x
.
A.
3
2
3 1
,
3 ln 3
x
x
C C
x
. B.
3
2
1
3 ,
3
x
x
C C
x
.
C.
3
3
ln ,
3 ln 3
x
x
x C C
. D.
3
3
ln ,
3 ln 3
x
x
x C C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
Câu 24. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm
số
A.
3cos3
x C
. B.
3cos3
x C
. C.
1
cos3
3
x C
. D.
1
cos3
3
x C
.
Câu 25. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số
2
3 sinf x x x
là
A.
3
cos
x x C
. B.
6 cos
x x C
. C.
3
cos
x x C
. D.
6 cos
x x C
.
Câu 26. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Công thức nào sau đây là sai?
A.
1
ln d
x x C
x
. B.
2
1
d tan
cos
x x C
x
.
C.
sin d cos
x x x C
. D.
e d e
x x
x C
.
Câu 27. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Nếu
3 2
d 4
f x x x x C
thì hàm số
f x
bằng
A.
3
4
3
x
f x x Cx
. B.
2
12 2
f x x x C
.
C.
2
12 2f x x x
. D.
3
4
3
x
f x x
.
Câu 28. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào sai?
A.
1
cos 2 sin 2
2
d
x x x C
. B.
e
e
1
1
d
e
x
x x C
.
C.
1
lnd
x x C
x
. D.
1
e
e d
1
x
x
x C
x
.
Câu 29. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Nguyên hàm của hàm số
2
x
y
là
A.
2 ln 2.2d
x x
x C
. B.
2 2d
x x
x C
. C.
2
2
d
2
ln
x
x
x C
. D.
2
1
d2
x
x
x C
x
.
Câu 30. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số
2
f x x
là
A.
2
F x x C
. B.
3
3
x
F x C
. C.
3
F x x C
. D.
F x x C
.
Câu 31. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
3 sinf x x x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
A.
2
d 3 cos
f x x x x C
. B.
2
3
d cos
2
x
f x x x C
.
C.
2
3
d cos
2
x
f x x x C
. D.
d 3 cos
f x x x C
.
Câu 32. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số
( ) sinx
f x x
là
A.
2
cos x+C
x
B.
2
cos x+C
x
C.
2
cos x+C
2
x
D.
2
cos x+C
2
x
Câu 33. (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số
( ) cosf x x
là:
A.
cos
x C
. B.
cos
x C
. C.
sin
x C
. D.
sin
x C
.
Câu 34. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số
4 2
f x x x
là
A.
3
4 2
x x C
. B.
4 2
x x C
. C.
5 3
1 1
5 3
x x C
. D.
5 3
x x C
.
Câu 35. (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số
2
x
f x e x
là.
A.
2x
e x C
. B.
2x
e x C
. C.
2
1
1
x
e x C
x
. D.
2
x
e C
.
Câu 36. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ các nguyên hàm của hàm số
cosy x x
là
A.
2
1
sin
2
x x C
. B.
2
sin
x x C
. C.
2
1
sin
2
x x C
. D.
2
sin
x x C
.
Câu 37. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số
2
1
3y x x
x
là
A.
3 2
3
ln .
3 2
x x
x C
B.
3 2
3
ln .
3 2
x x
x C
C.
3 2
3
ln .
3 2
x x
x C
D.
3 2
2
3 1
.
3 2
x x
C
x
Câu 38. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số
1
sinf x x
x
là
A.
ln cos
x x C
. B.
2
1
cos
x C
x
. C.
ln cos
x x C
. D.
ln cos
x x C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
Câu 39. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Hàm số
3
1
3
F x x
là một
nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên
;

?
A.
2
3f x x
. B.
3
f x x
. C.
2
f x x
. D.
4
1
4
f x x
.
Câu 40. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tìm họ nguyên hàm của hàm
số
2
x
f x
.
A.
d 2
x
f x x C
. B.
2
d
ln 2
x
f x x C
.
C.
d 2 ln 2
x
f x x C
. D.
1
2
d
1
x
f x x C
x
.
Câu 41. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Tìm nguyên hàm của hàm số
4
2
2
x
f x
x
.
A.
3
1
d
3
x
f x x C
x
. B.
3
2
d
3
x
f x x C
x
.
C.
3
1
d
3
x
f x x C
x
. D.
3
2
d
3
x
f x x C
x
.
Câu 42. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Ham sô nao trong cac ham sô sau đây la môt nguyên ham
cua ham sô
x
y e
?
A.
1
y
x
. B.
x
y e
. C.
x
y e
. D.
lny x
.
Câu 43. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính
2
( )
F x e dx
, trong
đó
e
là hằng số và
2, 718
e
.
A.
2 2
( )
2
e x
F x C
. B.
3
( )
e
. C.
2
( )
F x e x C
. D.
( ) 2
F x ex C
.
Câu 44. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nguyên hàm của hàm số
f x
trên
1
;
2

.
A.
1
ln 2 1
2
x C
. B.
1
ln 1 2
2
x C
. C.
1
ln 2 1
2
x C
. D.
ln 2 1
x C
.
Câu 45. (ĐÊ 04 VTED NĂM 2018-2019) Nguyên hàm của hàm số
3 2
x x
?
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
A.
2
3 2
x x C
. B.
4 3
1 1
4 3
x x C
. C.
4 3
x x C
. D.
4 3
4 3
x x C
.
Câu 46. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Nguyên hàm của hàm số
2
x
f x x
là
A.
2
2
ln2 2
x
x
C
. B.
2
2
x
x C
. C.
2
2
ln2
x
x C
. D.
2
2
2
x
x
C
.
Câu 47. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số
1 sinf x x
A.
1 cos
x C
. B.
1 cos
x C
. C.
cos
x x C
. D.
cos
x x C
.
Câu 48. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Nguyên hàm của hàm số
)(xf
3 2
1
2 2019
3
x x x
là
A. C
x
xx
23
2
12
1
2
34
. B.
2
4 3
1 2
2019
9 3 2
x
x x x C
.
C.
2
4 3
1 2
2019
12 3 2
x
x x x C
. D.
2
4 3
1 2
2019
9 3 2
x
x x x C
.
Câu 49. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số
2
( ) 2
x
t x x
là
A.
3
2
ln2 3
x
x
C
. B.
2 2
x
x C
. C.
3
2 ln 2
3
x
x
C
. D.
2
2
ln2
x
x C
.
Câu 50. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Họ nguyên hàm của hàm số
1
( )
3 1
f x
x
trên
khoảng
1
;
3

là:
A.
1
ln(3 1)
3
x C
B.
ln(1 3 )
x C
C.
1
ln(1 3 )
3
x C
D.
ln(3x 1)
C
Câu 51. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong các khẳng
định sau, khẳng định nào sai?
A.
2 d 2 ln 2
x x
x C
. B.
2
2
e
e d
2
x
x
x C
.
C.
1
cos2 d sin2
2
x x x C
. D.
1
d ln 1
1
x x C
x
1
x
.
Câu 52. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
4
2
2 3
( )
x
f x
x
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
A.
3
2 3
( )
3 2
x
f x dx C
x
. B.
3
2 3
( )
3
x
f x dx C
x
.
C.
3
2 3
( )
3
x
f x dx C
x
. D.
3
3
( ) 2
f x dx x C
x
.
Câu 53. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số
2 1
x
f x x
. Tìm
d
f x
x
.
A.
2
2
d
x
f x x x C
x
. B.
2
2
1 1
d
ln 2 2
x
f x x x C
x
.
C.
2
2
1
d
2
x
f x x x C
x
. D.
2
2
1 1
d
1 2
x
f x x x C
x
x
.
Câu 54. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
3 sinf x x x
.
A.
2
d 3 cos
f x x x x C
. B.
2
3
d cos
2
x
f x x x C
.
C.
2
3
d cos
2
x
f x x x C
. D.
d 3 cos
f x x x C
.
Câu 55. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số
2
x
F x e
là nguyên hàm của hàm
số nào trong các hàm số sau:
A.
2
( ) 2
x
f x xe
. B.
2
2
( ) 1
x
f x x e
. C.
2
( )
x
f x e
. D.
2
( )
2
x
e
f x
x
.
Câu 56. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tất cả các nguyên hàm của hàm số
( ) 3
x
f x
là
A.
3
ln3
x
C
B.
3
x
C
C.
3 ln 3
x
C
D.
3
ln3
x
C
Câu 57. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số
3 2
f x x x
là
A.
4 3
4 3
x x
C
. B.
4 3
x x C
. C.
2
3 2
x x C
. D.
4 3
3 4
x x
C
Câu 58. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không
là nguyên hàm của hàm số
2019
y x
?
A.
2020
1
2020
x
. B.
2020
2020
x
. C.
2018
2019
y x
. D.
2020
1
2020
x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
Câu 59. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2
1
3
x
y x
x
.
A.
3
3
ln ,
3 ln 3
x
x
x C C R
B.
3
3
ln ,
3 ln 3
x
x
x C C R
C.
3
2
1
3 ,
3
x
x
C C R
x
D.
3
2
3 1
,
3 ln 3
x
x
C C R
x
Câu 60. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nguyên hàm của hàm số
5
2018
2017
x
x
e
f x e
x
.
A.
4
2018
d 2017
x
f x x e C
x
. B.
4
2018
d 2017
x
f x x e C
x
.
C.
4
504,5
d 2017
x
f x x e C
x
. D.
4
504,5
d 2017
x
f x x e C
x
.
Câu 61. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
cos
x
x
e
y e
x
là
A.
2 tan
x
e x C
B.
2 tan
x
e x C
C.
1
2
cos
x
e C
x
D.
1
2
cos
x
e C
x
Câu 62. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Nguyên hàm của hàm số
1
2 2 1
f x
x
có dạng:
A.
1
d 2 1
2
f x x x C
. B.
d 2 1
f x x x C
.
C.
d 2 2 1
f x x x C
. D.
1
d
2 1 2 1
f x x C
x x
.
Câu 63. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm nguyên
F x
của hàm số
1 2 3 ?
f x x x x
A.
4
3 2
11
6 6
4 2
x
F x x x x C
. B.
4 3 2
6 11 6
F x x x x x C
.
C.
4
3 2
11
2 6
4 2
x
F x x x x C
. D.
3 2 2
6 11 6
F x x x x x C
.
Câu 64. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
3 2
2
x
f x
x
trên khoảng
2;
là
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
A.
2
3ln 2
2
x C
x
B.
2
3ln 2
2
x C
x
C.
4
3ln 2
2
x C
x
D.
4
3ln 2
2
x C
x
.
Câu 65. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
2 1
1
x
f x
x
trên khoảng
1;
là
A.
2
2ln 1
1
x C
x
. B.
3
2ln 1
1
x C
x
.
C.
2
2ln 1
1
x C
x
. D.
3
2ln 1
1
x C
x
.
Câu 66. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho
2
F x x
là một nguyên hàm của hàm số
2
.
x
f x e
. Tìm
nguyên hàm của hàm số
2
' . .
x
f x e
A.
2 2
' .
x
f x e dx x x C
B.
2 2
' . 2
x
f x e dx x x C
C.
2 2
' . 2 2
x
f x e dx x x C
D.
2 2
' . 2 2
x
f x e dx x x C
Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện
Câu 67. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm
F x
của hàm số
sin cosf x x x
thoả mãn
2
2
F
.
A.
cos sin 3F x x x
B.
cos sin 1F x x x
C.
cos sin 1F x x x
D.
cos sin 3F x x x
Câu 68. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( ) 2
x
f x e x
thỏa
mãn
3
0
2
F
. Tìm
F x
.
A.
2
1
2
x
F x e x
B.
2
5
2
x
F x e x
C.
2
3
2
x
F x e x
D.
2
1
2
2
x
F x e x
Câu 69. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho hàm số
f x
thỏa mãn
' 3 5sinf x x
và
0 10
f
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
A.
3 5 cos 15
f x x x
B.
3 5cos 2
f x x x
C.
3 5 cos 5
f x x x
D.
3 5 cos 2
f x x x
Câu 70. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hàm số
( )f x
xác định trên
1
\
2
thỏa mãn
2
, 0 1, 1 2
2 1
f x f f
x
. Giá trị của biểu thức
1 3
f f
bằng
A.
2 ln15
B.
3 ln15
C.
ln15
D.
4 ln15
Câu 71. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
F x
là một nguyên hàm của
1
1
f x
x
trên khoảng
1;

thỏa mãn
1 4
F e
Tìm
F x
.
A.
2ln 1 2
x
B.
ln 1 3
x
C.
4ln 1
x
D.
ln 1 3
x
Câu 72. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2 5sinf x x
và
0 10
f
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2 5cos 3f x x x
. B.
2 5cos 15
f x x x
.
C.
2 5cos 5f x x x
. D.
2 5cos 10
f x x x
.
Câu 73. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết
F x
là một nguyên hàm của
hàm số
2x
f x e
và
0 0
F
. Giá trị của
ln3
F
bằng
A. 2. B. 6. C. 8. D. 4.
Câu 74. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số
2
ln sin cosF x x x x
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A.
2
.
sin cos
x
f x
x x
B.
2
cos sin
2 ln sin cos
sin cos
x x x
f x x x x
x x
.
C.
2
sin cos
sin cos
x x x
f x
x x
. D.
2
2 ln sin cos
sin cos
x
f x x x x
x x
.
Câu 75. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết
F x
là một nguyên hàm
của hàm
cos3f x x
và
2
2 3
F
. Tính
9
F
.
A.
3 2
9 6
F
B.
3 2
9 6
F
C.
3 6
9 6
F
D.
3 6
9 6
F
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
Câu 76. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Nguyên hàm của hàm số
2 2 5
x x
f x
là
A.
2
5
ln 2
x
x C
. B.
5.2 ln 2
x
x C
.
C.
2 2
5
ln 2 ln 2
x x
x x C
. D.
2
1 5
ln 2
x
C
.
Câu 77. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2x
e
và
201
0
2
F
Giá trị
1
2
F
là
A.
1
200
2
e
B.
2 100
e
C.
1
50
2
e
D.
1
100
2
e
Câu 78. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số
F x
nào sau đây là một nguyên
hàm của hàm số
.
f x g x
, biết
1 3
F
,
1
d
f x x x C
và
2
2
d
g x x x C
.
A.
2
1
F x x
B.
2
3
F x x
C.
2
F x x
D.
2
F x x
Câu 79. (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
biết
1 2.
F
Giá trị của
0
F
bằng
A.
2 ln 2.
B.
ln 2.
C.
2 ln 2 .
D.
ln 2 .
Câu 80. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm một nguyên hàm
F x
của
hàm số
2
0 ,
b
f x ax x
x
biết rằng
1 1, 1 4, 1 0
F F f
A.
2
3 3 7
2 4 4
F x x
x
. B.
2
3 3 7
4 2 4
F x x
x
.
C.
2
3 3 7
4 2 4
F x x
x
. D.
2
3 3 1
2 2 2
F x x
x
.
Câu 81. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho
F x
là một nguyên hàm của
hàm
1
2 1
f x
x
; biết
0 2
F
. Tính
1
F
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
A.
1
1 3 2
2
F ln
. B.
1 3 2
F ln
. C.
1 2 3 2
F ln
. D.
1
1 3 2
2
F ln
.
Câu 82. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số thỏa mãn
và . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 83. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết
F x
là một nguyên hàm
của hàm
cos3f x x
và
2
2 3
F
. Tính
9
F
.
A.
3 2
9 6
F
B.
3 2
9 6
F
C.
3 6
9 6
F
D.
3 6
9 6
F
Câu 84. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số
F x
là một nguyên hàm của hàm
số
1
y
x
trên
;0

thỏa mãn
2 0
F
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
ln ;0
2
x
F x x

B.
ln ;0
F x x C x 
với
C
là một số thực bất kì.
C.
ln ln2 ;0
F x x x 
.
D.
ln ;0
F x x C x
với
C
là một số thực bất kì.
Câu 85. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số
f x
có đạo hàm
liên tục trên
và:
2
2e 1,
x
f x
, 0 2
x f
. Hàm
f x
là
A.
2e 2
x
y x
. B.
2e 2
x
y
. C.
2
e 2
x
y x
. D.
2
e 1
x
y x
.
Câu 86. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
2
x
f x x e
. Tìm một nguyên
hàm
F x
của hàm số
f x
thỏa mãn
0 2019
F
.
A.
2
2018
x
F x x e
. B.
2
2018
x
F x x e
.
C.
2
2017
x
F x x e
. D.
2019
x
F x e
.
f x
cosf x x
0 2019
f
sinx 2019
f x
2019 cosf x x
sinx 2019
f x
2019 cosf x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
Câu 87. (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 1
R
thỏa mãn
1
1
f x
x
,
0 2017
f
,
2 2018
f
. Tính
3 1
S f f
.
A.
ln4035
S
. B.
4
S
. C.
ln 2
S
. D.
1
S
.
Câu 88. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho biết
2 13
dx ln 1 ln 2
1 2
x
a x b x C
x x
.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2 8
a b
. B.
8
a b
. C.
2 8
a b
. D.
8
a b
.
Câu 89. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho biết
3
1
dx ln 1 1 ln
a x x b x C
x x
. Tính giá trị
biểu thức:
2
P a b
.
A. 0. B. -1. C.
1
2
. D. 1.
Câu 90. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho biết
2
4 11
dx ln 2 ln 3
5 6
x
a x b x C
x x
. Tính giá trị
biểu thức:
2 2
P a ab b
.
A. 12. B. 13. C. 14. D. 15.
Câu 91. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
3
b
f x ax
x
,
1 3
f
,
1 2
f
,
1 1
2 12
f
. Khi đó
2
a b
bằng
A.
3
2
. B.
0
. C.
5
. D.
3
2
.
Câu 92. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Gọi
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
x
f x
, thỏa mãn
1
0
ln 2
F
. Tính giá trị biểu thức
0 1 ... 2018 2019
T F F F F
.
A.
2019
2 1
1009.
ln 2
T
. B.
2019.2020
2T
.
C.
2019
2 1
ln 2
T
. D.
2020
2 1
ln 2
T
.
Câu 93. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
F x
là một nguyên hàm
của hàm số
2
1
cos
f x
x
. Biết
4
F k k
với mọi
k
. Tính
0 ... 10
F F F F
.
A. 55. B. 44. C. 45. D. 0.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm
Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện
Câu 94. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Nguyên hàm của hàm số
2
( ) 3sin cosf x x x
là
A.
3
sin
x C
. B.
3
sin
x C
. C.
3
cos
x C
. D.
3
cos
x C
.
Câu 95. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm nguyên hàm của hàm số
sin
( )
1 3cos
x
f x
x
.
A.
1
( )d ln 1 3cos
3
f x x x C
. B.
( )d ln 1 3cos
f x x x C
.
C.
( )d 3ln 1 3cos
f x x x C
. D.
1
( )d ln 1 3cos
3
f x x x C
.
Câu 96. (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
3
0
d 4 2
f x x x x C
. Tính
2
d
xf x
I x
.
A.
6 2
2
I x x C
. B.
10 6
10 6
x x
I C
.
C.
6 2
4 2
I x x C
. D.
2
12 2
I x
.
Câu 97. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Tìm các hàm số
( )f x
biết
'
2
cos
( )
(2 sin )
x
f x
x
.
A.
2
sin
( )
(2 sin )
x
f x C
x
. B.
1
( )
(2 cos )
f x C
x
.
C.
1
( )
2 sin
f x C
x
. D.
sin
( )
2 sin
x
f x C
x
.
Câu 98. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
3
2 1
.e
x
f x x
.
A.
3
3
1
d .e
3
x
x
f x x C
. B.
3
1
d 3e
x
f x x C
.
C.
3
1
d e
x
f x x C
. D.
3
1
1
d e
3
x
f x x C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
Câu 99. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số
1
5 4
f x
x
là:
A.
1
ln 5 4
5
x C
. B.
ln 5 4
x C
. C.
1
ln 5 4
ln 5
x C
. D.
1
ln 5 4
5
x C
.
Câu 100. (ĐÊ 04 VTED NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số
9 5
1
3x
f x
x
A.
4
4 4
1 1
x ln
3x 36 3
x
f x d C
x
B.
4
4 4
1 1
x ln
12x 36 3
x
f x d C
x
C.
4
4 4
1 1
x ln
3x 36 3
x
f x d C
x
D.
4
4 4
1 1
x ln
12x 36 3
x
f x d C
x
Câu 101. (Mã 102 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
3 1
( )
( 1)
x
f x
x
trên khoảng
(1; )
là
A.
1
3ln( 1)
1
x c
x
. B.
2
3ln( 1)
1
x c
x
.
C.
2
3ln( 1)
1
x c
x
. D.
1
3ln( 1)
1
x c
x
.
Câu 102.
(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Nguyên hàm của
2
sin
sin 2 .
x
f x x e
là
A.
2
2 sin 1
sin .
x
x e C
. B.
2
sin 1
2
sin 1
x
e
C
x
. C.
2
sin x
e C
. D.
2
sin 1
2
sin 1
x
e
C
x
.
Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện
Câu 103. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Biết
F x
là một nguyên hàm
của hàm số
sin
( )
1 3cos
x
f x
x
và
2
2
F
.Tính
.0
F
A.
1
(0) ln 2 2
3
F
. B.
2
(0) ln 2 2
3
F
. C.
2
(0) ln 2 2
3
F
. D.
1
(0 ln2 2
3
F
.
Câu 104. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm hàm số
F x
biết
3
4
d
1
x
F x x
x
và
0 1
F
.
A.
4
ln 1 1
F x x
. B.
4
1 3
ln 1
4 4
F x x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
C.
4
1
ln 1 1
4
F x x
. D.
4
4ln 1 1
F x x
.
Câu 105. Cho
F x
là nguyên hàm của hàm số
1
1
x
f x
e
và
0 ln 2F e
. Tập nghiệm
S
của phương
trình
ln 1 2
x
F x e
là:
A.
3
S
B.
2;3
S
C.
2;3
S
D.
3;3
S
Câu 106. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Biết
2017
2019
1
1 1
. , 1
1
1
b
x
x
dx C x
a x
x
với ,a b
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2a b
. B.
2b a
. C.
2018a b
. D.
2018b a
.
Câu 107. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
4 2
' .
f x f x x x
. Biết
0 2
f
. Tính
2
2
f
.
A.
2
313
2
15
f
. B.
2
332
2
15
f
. C.
2
324
2
15
f
. D.
2
323
2
15
f
.
Câu 108. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Biết rằng
F x
là một nguyên hàm trên
của hàm
số
2018
2
2017
1
x
f x
x
thỏa mãn
1 0
F
. Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của
F x
.
A.
1
2
m
. B.
2017
2018
1 2
2
m
. C.
2017
2018
1 2
2
m
. D.
1
2
m
.
Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm
Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện
Câu 109. (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Nguyên hàm của hàm
số
3
3 1f x x
là
A.
3
d 3 1 3 1
f x x x x C
. B.
3
d 3 1
f x x x C
.
C.
3
1
d 3 1
3
f x x x C
. D.
3
1
d 3 1 3 1
4
f x x x x C
.
Câu 110. Họ các nguyên hàm của hàm số
5
2 3
f x x
là
A.
6
2 3
12
x
F x C
. B.
6
2 3
6
x
F x C
.
C.
4
10 2 3
F x x C
. D.
4
5 2 3
F x x C
.
Câu 111. Nguyên hàm của hàm số
3 2
f x x
là
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
A.
2
(3 2) 3 2
3
x x C
B.
1
(3 2) 3 2
3
x x C
C.
2
(3 2) 3 2
9
x x C
D.
3 1
2
3 2
C
x
Câu 112. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số
2 1f x x
là
A.
1
2 1 2 1
3
x x C
. B.
1
2 1
2
x C
.
C.
2
2 1 2 1
3
x x C
. D.
1
2 1 2 1
3
x x C
.
Câu 113. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Đổi biến
1t x
thì
4
d
( 1)
x
x
x
trở thành
A.
4
1
d .
t
t
t
B.
4
( 1)
d .
t
t
t
C.
4
1
d .
t
t
t
D.
1
d .
t
t
t
Câu 114. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Khi tính nguyên hàm
3
d
1
x
x
x
, bằng cách đặt
1
u x
ta được nguyên hàm nào?
A.
2
2 4 du u
. B.
2
4 du u
. C.
2
3 du u
. D.
2
2 4 du u u
.
Câu 115. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết
d 3 cos 2 5
f x x x x C
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A.
3 d 3 cos 6 5
f x x x x C
B.
3 d 9 cos 6 5
f x x x x C
C.
3 d 9 cos 2 5
f x x x x C
D.
3 d 3 cos 2 5
f x x x x C
Câu 116. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số
2019
3 2
1f x x x
là
A.
2021 2020
2 2
1 1
1
2 2021 2020
x x
. B.
2021 2020
2 2
1 1
2021 2020
x x
.
C.
2021 2020
2 2
1 1
2021 2020
x x
C
. D.
2021 2020
2 2
1 1
1
2 2021 2020
x x
C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
Câu 117. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết
d 3 cos 2 5
f x x x x C
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A.
3 d 3 cos 6 5
f x x x x C
B.
3 d 9 cos 6 5
f x x x x C
C.
3 d 9 cos 2 5
f x x x x C
D.
3 d 3 cos 2 5
f x x x x C
Câu 118. (Mã 103 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
2 1
2
x
f x
x
trên khoảng
2;
là
A.
3
2ln 2
2
x C
x
. B.
1
2ln 2
2
x C
x
.
C.
1
2ln 2
2
x C
x
. D.
3
2ln 2
2
x C
x
.
Câu 119. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018)
Nguyên hàm của
1 ln
.ln
x
f x
x x
là:
A.
1 ln
d ln ln
.ln
x
x x C
x x
. B.
2
1 ln
d ln .ln
.ln
x
x x x C
x x
.
C.
1 ln
d ln ln
.ln
x
x x x C
x x
. D.
1 ln
d ln .ln
.ln
x
x x x C
x x
.
Câu 120. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
3
2 1
x
f x x e
A.
3
1
d
x
f x x e C
. B.
3
1
d 3
x
f x x e C
.
C.
3
1
1
d
3
x
f x x e C
. D.
3
3
1
d
3
x
x
f x x e C
.
Câu 121. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
2 2 1
f x
x
.
A.
1
d 2 1
2
f x x x C
. B.
d 2 1
f x x x C
.
C.
d 2 2 1
f x x x C
. D.
1
d
2 1 2 1
f x x C
x x
.
Câu 122. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
5
tanf x x
.
A.
4 2
1 1
d tan tan ln cos
4 2
f x x x x x C
.
B.
4 2
1 1
d tan tan ln cos
4 2
f x x x x x C
.
C.
4 2
1 1
d tan tan ln cos
4 2
f x x x x x C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
D.
4 2
1 1
d tan tan ln cos
4 2
f x x x x x C
.
Câu 123. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Nguyên hàm của hàm số
2
ln 1
f x x x
là
A.
2 2
ln 1 1
F x x x x x C
. B.
2 2
ln 1 1
F x x x x x C
.
C.
2
ln 1
F x x x x C
. D.
2 2
ln 1
F x x x x C
.
Câu 124. (THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHÒNG - 2018) Biết
2
2 d sin lnf x x x x
. Tìm nguyên hàm
df x x
.
A.
2
d sin ln
2
x
f x x x C
. B.
2
d 2sin 2ln
2
x
f x x x C
.
C.
2
d 2sin 2ln ln 2
f x x x x C
. D.
2
d 2sin 2 2ln ln 2
f x x x x C
.
Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện
Câu 125. (HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
3
sin .cosf x x x
và
0F
. Tính
2
F
.
A.
2
F
. B.
2
F
. C.
1
2 4
F
. D.
1
2 4
F
.
Câu 126. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho
( )F x
là một nguyên hàm của hàm số
4 3 2
2 1
2
x
f x
x x x
trên khoảng
0;

thỏa mãn
1
1
2
F
. Giá trị của biểu thức
1 2 3 2019
S F F F F
bằng
A.
2019
2020
. B.
2019.2021
2020
. C.
1
2018
2020
. D.
2019
2020
.
Câu 127. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Biết
cos 2 d sin 2 cos 2
x x x ax x b x C
với
a
,
b
là các
số hữu tỉ. Tính tích
ab
?
A.
1
8
ab
. B.
1
4
ab
. C.
1
8
ab
. D.
1
4
ab
.
Câu 128. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Biết rằng trên khoảng
3
;
2
, hàm số
2
20 30 7
2 3
x x
f x
x
có một nguyên hàm
2
2 3
F x ax bx c x
(
, ,a b c
là các số nguyên). Tổng
S a b c
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
5
. D.
6
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
Câu 129. Giả sử
2 3 d
1
1 2 3 1
x x
C
x x x x g x
(
C
là hằng số).
Tính tổng các nghiệm của phương trình
0
g x
.
A.
1
. B.
1
. C.
3
. D.
3
.
Câu 130. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Cho
3 2
1
1
I dx
x x
2
2
ln 2 ln 1
a
b x c x C
x
. Khi đó
S a b c
bằng
A.
1
4
. B.
3
4
. C.
7
4
. D.
2
.
Dạng 4. Nguyên hàm từng phần
Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện
Câu 131. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số
4 1 lnf x x x
là:
A.
2 2
2 ln 3x x x
. B.
2 2
2 ln
x x x
.
C.
2 2
2 ln 3
x x x C
. D.
2 2
2 ln
x x x C
.
Câu 132. Họ các nguyên hàm của hàm số
sinf x x x
là
A.
cos sin .F x x x x C
B.
cos sin .F x x x x C
C.
cos sin .F x x x x C
D.
cos sin .F x x x x C
Câu 133. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số
2
( ) .
x
f x x e
là :
A.
2
1 1
( )
2 2
x
F x e x C
B.
2
1
( ) 2
2
x
F x e x C
C.
2
( ) 2 2
x
F x e x C
D.
2
1
( ) 2
2
x
F x e x C
Câu 134. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số
2 1
x
f x x e
là
A.
2 3
x
x e C
. B.
2 3
x
x e C
.
C.
2 1
x
x e C
. D.
2 1
x
x e C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
Câu 135. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm họ nguyên hàm của
hàm số
2
( )
x
f x xe
?
A.
2
1 1
( ) .
2 2
x
F x e x C
B.
2
1
( ) 2 .
2
x
F x e x C
C.
2
( ) 2 2 .
x
F x e x C
D.
2
1
( ) 2 .
2
x
F x e x C
Câu 136. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số
1 sinf x x x
là
A.
2
sin cos
2
x
x x x C
. B.
2
cos sin
2
x
x x x C
.
C.
2
cos sin
2
x
x x x C
. D.
2
sin cos
2
x
x x x C
.
Câu 137. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của
hàm số
( ) 2 (1 )
x
f x x e
là
A.
2
2 1
x
x e x
. B.
2
2 1
x
x e x
. C.
2
2 2
x
x e x
. D.
2
2 2
x
x e x
.
Câu 138. Họ nguyên hàm của
lnf x x x
là kết quả nào sau đây?
A.
2 2
1 1
ln
2 2
F x x x x C
. B.
2 2
1 1
ln
2 4
F x x x x C
.
C.
2 2
1 1
ln
2 4
F x x x x C
. D.
2
1 1
ln
2 4
F x x x x C
.
Câu 139. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm tất cả các
nguyên hàm của hàm số
2
3 1 .lnf x x x
.
A.
3
2
1 ln
3
x
f x dx x x x C
. B.
3
3
ln
3
x
f x dx x x C
.
C.
3
2
1 ln
3
x
f x dx x x x x C
. D.
3
3
ln
3
x
f x dx x x x C
.
Câu 140. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tất cả các nguyên hàm của hàm
số
2
sin
x
f x
x
trên khoảng
0;
là
A.
cot ln sin
x x x C
. B.
cot ln sin
x x x C
.
C.
cot ln sin
x x x C
. D.
cot ln sin
x x x C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
Câu 141. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số
3 cos
y x x x
là
A.
3
3 sin cos
x x x x C
B.
3
3 sin cos
x x x x C
C.
3
3 sin cos
x x x x C
D.
3
3 sin cos
x x x x C
Câu 142. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm
số
4
e
x
f x x x
là
A.
5
1
1 e
5
x
x x C
. B.
5
1
1 e
5
x
x x C
.
C.
5
1
e
5
x
x x C
. D.
3
4 1 e
x
x x C
.
Câu 143. Cho hai hàm số
,
F x G x
xác định và có đạo hàm lần lượt là
,
f x g x
trên
. Biết rằng
2 2
. ln 1
F x G x x x
và
3
2
2
. .
1
x
F x g x
x
Họ nguyên hàm của
.
f x G x
là
A.
2 2 2
1 ln 1 2 .x x x C
B.
2 2 2
1 ln 1 2 .x x x C
C.
2 2 2
1 ln 1 .x x x C
D.
2 2 2
1 ln 1 .x x x C
Câu 144. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
d
x x x
xe x e xe C
. B.
2
d
2
x x x
x
xe x e e C
.
C.
d
x x x
xe x xe e C
. D.
2
d
2
x x
x
xe x e C
.
Câu 145. (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hai hàm số
F x
,
G x
xác đinh và
có đạo hàm lần lượt là
f x
,
g x
trên
. Biết
2 2
.G ln 1
F x x x x
và
3
2
2
1
x
F x g x
x
. Tìm họ
nguyên hàm của
f x G x
.
A.
2 2 2
1 ln 1 2
x x x C
. B.
2 2 2
1 ln 1 2
x x x C
.
C.
2 2 2
1 ln 1
x x x C
. D.
2 2 2
1 ln 1
x x x C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
Câu 146. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho biết
3
1 1
2
3
F x x x
x
là một nguyên
hàm của
2
2
2
x a
f x
x
. Tìm nguyên hàm của
cosg x x ax
.
A.
sin cos
x x x C
B.
1 1
sin 2 cos 2
2 4
x x x C
C.
sin cosx x C
D.
1 1
sin 2 cos 2
2 4
x x x C
Câu 147. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số
2
l 1
2 nxx
y
x
x
là
A.
2
2
1 ln
2
x
x x xx
C
. B.
2
2
1 ln
2
x
x x xx
C
.
C.
2
2
1 ln
2
x
x x xx
C
. D.
2
2
1 ln
2
x
x x xx
C
.
Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện
Câu 148. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho
2
1
2
F x
x
la môt nguyên ham cua ham sô
f x
x
. Tim
nguyên ham cua ham sô
lnf x x
.
A.
2 2
ln 1
ln d
x
f x x x C
x x
B.
2 2
ln 1
ln d
2
x
f x x x C
x x
C.
2 2
ln 1
ln d
2
x
f x x x C
x x
D.
2 2
ln 1
ln d
x
f x x x C
x x
Câu 149. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho
3
1
3
F x
x
la môt nguyên ham cua ham sô
f x
x
. Tim
nguyên ham cua ham sô
lnf x x
A.
3 5
ln 1
ln d
5
x
f x x x C
x x
B.
3 5
ln 1
ln d
5
x
f x x x C
x x
C.
3 3
ln 1
ln d
3
x
f x x x C
x x
D.
3 3
ln 1
ln d
3
x
f x x x C
x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
Câu 150. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho
1
x
F x x e
là một nguyên hàm của hàm số
2x
f x e
. Tìm nguyên hàm của hàm số
2x
f x e
.
A.
2
d 4 2
x x
f x e x x e C
B.
2
d 2
x x
f x e x x e C
C.
2
2
d
2
x x
x
x
f e x e C
D.
2
d 2
x x
f x e x x e C
Câu 151. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Cho hàm số
f x
thỏa mãn
x
f x xe
và
0 2
f
.Tính
1f
.
A.
1 3
f
. B.
1
f e
. C.
1 5f e
. D.
1 8 2f e
.
Câu 152. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
f x
thỏa mãn
e ,
x
f x f x x
và
0 2
f
. Tất cả các nguyên hàm của
2
e
x
f x
là
A.
2 e e
x x
x C
B.
2
2 e e
x x
x C
C.
1 e
x
x C
D.
1 e
x
x C
Câu 153. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
' 1 e , 0 0
x
f x x f
và
d e
x
f x x ax b c
với
, ,a b c
là các hằng số. Khi đó:
A.
2.
a b
B.
3.
a b
C.
1.
a b
D.
0.
a b
Câu 154. (THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Gọi
F x
là một nguyên hàm của hàm
số
e
x
f x x
. Tính
F x
biết
0 1
F
.
A.
1 e 2
x
F x x
. B.
1 e 1
x
F x x
.
C.
1 e 2
x
F x x
. D.
1 e 1
x
F x x
.
Câu 155. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Biết
cos 2 d sin 2 cos 2
x x x ax x b x C
với
a
,
b
là các
số hữu tỉ. Tính tích
ab
?
A.
1
8
ab
. B.
1
4
ab
. C.
1
8
ab
. D.
1
4
ab
.
Câu 156. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Giả sử
F x
là một nguyên hàm của
2
ln 3
x
f x
x
sao cho
2 1 0
F F
. Giá trị của
1 2
F F
bằng
A.
10 5
ln 2 ln5
3 6
. B.
0
. C.
7
ln 2
3
. D.
2 3
ln 2 ln 5
3 6
.
Câu 157. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Gọi
g x
là một nguyên hàm của
hàm số
ln 1
f x x
. Cho biết
2 1
g
và
3 lng a b
trong đó
,a b
là các số nguyên dương phân biệt.
Hãy tính giá trị của
2 2
3
T a b
A.
8
T
. B.
17
T
. C.
2T
. D.
13
T
.
Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
Câu 158. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hàm số
f x
thỏa mãn
1
2
25
f
và
2
3
4
f x x f x
với mọi
x
. Giá trị của
1f
bằng
A.
391
400
B.
1
40
C.
41
400
D.
1
10
Câu 159. (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hs
y f x
thỏa mãn
2
y xy
và
1 1
f
thì giá trị
2
f
là
A.
2
e
. B.
2e
. C.
1e
. D.
3
e
.
Câu 160. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số
f x
liên tục trên
,
0
f x
với mọi
x
và thỏa mãn
1
1
2
f
,
2
2 1x ff
x
x
.Biết
1 2 ... 2019 1
a
f f f
b
với
, , , 1
a b a b
.Khẳng định nào sau đây sai?
A.
2019
a b
. B.
2019
ab
. C.
2 2022
a b
. D.
2020
b
.
Câu 161. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0;

thỏa mãn
2
2 ' 3
xf x f x x x
. Biết
1
1
2
f
. Tính
4
f
?
A.
24
. B.
14
. C.
4
. D.
16
.
Câu 162. (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số
0
f x
với mọi
x
,
0 1
f
và
1.
f x x f x
với mọi
x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
f x
B.
2 4
f x
C.
6
f x
D.
4 6
f x
Câu 163. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x
có
đạo hàm liên tục trên
2;4
và
0, 2;4
f x x
. Biết
3
3 3
7
4 , 2;4 , 2
4
x f x f x x x f
.
Giá trị của
4
f
bằng
A.
40 5 1
2
. B.
20 5 1
4
. C.
20 5 1
2
. D.
40 5 1
4
.
Câu 164. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho
( )f x
là hàm số liên tục trên
thỏa mãn
,f x f x x x
và
0 1
f
. Tính
1f
.
A.
2
e
. B.
1
e
. C.
e
. D.
e
2
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
Câu 165. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
2
1 1 . "
xf x x f x f x
với mọi
x
dương. Biết
1 1 1
f f
. Giá trị
2
2
f
bằng
A.
2
2 2ln 2 2
f
. B.
2
2 2ln 2 2
f
.
C.
2
2 ln 2 1
f
. D.
2
2 ln 2 1
f
.
Câu 166. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số
( )f x
thỏa mãn
2 3
( '( )) ( ). ''( ) 2 ,
f x f x f x x x x R
và
(0) '(0) 1
f f
. Tính giá trị của
2
(2)
T f
A.
43
30
B.
16
15
C.
43
15
D.
26
15
Câu 167. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo
hàm trên
0;
2
, thỏa mãn
3
tan .
cos
x
f x x f x
x
. Biết rằng
3 3 ln 3
3 6
f f a b
trong
đó
,a b
. Giá trị của biểu thức
P a b
bằng
A.
14
9
B.
2
9
C.
7
9
D.
4
9
Câu 168. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Cho hàm số
f x
liên tục và dương trên
0;

thỏa mãn
2
2 4 0
f x x f x
và
1
0
3
f
. Tính tổng
0 1 2 ... 2018
a
S f f f f
b
với
a
,
b
,
a
b
tối giản. Khi đó
?
b a
A.
1
. B.
1011
. C.
1
. D.
2018
.
Câu 169. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
y f x
đồng
biến trên
0;

;
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên
0;

và thỏa mãn
4
3
9
f
và
2
' 1 .
f x x f x
. Tính
8f
.
A.
8 49
f
. B.
8 256
f
. C.
1
8
16
f
. D.
49
8
64
f
.
Câu 170. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
1 2
f
và
2
2
2 2
1 1
x f x f x x
với mọi
x
. Giá trị
của
2
f
bằng
A.
2
5
B.
2
5
C.
5
2
D.
5
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
Câu 171. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên khoảng
0;
, biết
2
2 1 0
f x x f x
,
0, 0
f x x
và
1
2
6
f
.
Tính giá trị của
1 2 ... 2019
P f f f
.
A.
2021
2020
. B.
2020
2019
. C.
2019
2020
. D.
2018
2019
.
Câu 172. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
2;1
thỏa mãn
0 3
f
và
2
2
. 3 4 2
f x f x x x
. Giá trị lớn nhất của hàm số
y f x
trên đoạn
2;1
là
A.
3
2 42
. B.
3
2 15
. C.
3
42
. D.
3
15
.
Câu 173. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hàm số
( )f x
thỏa mãn
(1) 4
f
và
3 2
( ) ( ) 2 3f x xf x x x
với mọi
0
x
. Giá trị của
(2)f
bằng
A.
5
. B.
10
. C.
20
. D.
15
.
Câu 174. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
f x
liên tục trên
R
thỏa mãn
các điều kiện:
0 2 2,
f
0,
f x
x
và
2
. 2 1 1 ,
f x f x x f x
x
. Khi đó giá trị
1f
bằng
A.
26
. B.
24
. C.
15
. D.
23
.
Câu 175. (SGD&ĐT CẦN THƠ - HKII - 2018) Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
2
. 2 1f x f x f x x x
,
x
và
0 0 3
f f
. Giá trị của
2
1
f
bằng
A.
28
. B.
22
. C.
19
2
. D.
10
.
Câu 176. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018) Cho hàm số
f x
có đạo hàm trên
thỏa mãn
2 1 e
x
x f x x f x
và
1
0
2
f
. Tính
2
f
.
A.
e
2
3
f
. B.
e
2
6
f
. C.
2
e
2
3
f
. D.
2
e
2
6
f
.
Câu 177. (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số
y f x
liên tục trên
\ 0; 1
thỏa mãn điều kiện
1 2ln 2
f
và
2
1 .
x x f x f x x x
. Giá trị
2 ln3
f a b
, với
,a b
.
Tính
2 2
a b
.
A.
25
4
. B.
9
2
. C.
5
2
. D.
13
4
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
Câu 178. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Giả sử hàm số
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên
0;

và thỏa mãn
1 1
f
,
. 3 1f x f x x
, với mọi
0
x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2 5 3
f
. B.
1 5 2
f
. C.
4 5 5
f
. D.
3 5 4
f
.
Câu 179. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Giả sử hàm số
y f x
liên tục nhận giá trị dương trên
0;

và thỏa mãn
1 1
f
,
. 3 1f x f x x
, với mọi
0
x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3 5 4
f
. B.
1 5 2
f
. C.
4 5 5
f
. D.
2 5 3
f
.
Câu 180. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho hàm số
0
f x
thỏa mãn điều kiện
2
2 3
f x x f x
và
1
0
2
f
. Biết rằng tổng
1 2 3 ... 2017 2018
a
f f f f f
b
với
*
,a b
và
a
b
là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1
a
b
. B.
1
a
b
. C.
1010
a b
. D.
3029
b a
.
Câu 181. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Cho hàm số
0
f x
,
4 2
2
2
3 1x x
f x f x
x
và
1
1
3
f
. Tính
1 2 80
...f f f
.
A.
3240
6481
. B.
6480
6481
. C.
6480
6481
. D.
3240
6481
.
Câu 182. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Cho hàm số
f x
đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn
0;2
và thỏa mãn
2 2
. 0
f x f x f x f x
. Biết
0 1
f
,
6
2 e
f
. Khi đó
1f
bằng
A.
3
2
e
. B.
3
e
. C.
5
2
e
. D.
2
e
.
Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm
Câu 183. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Cho hàm số
f x
xác định
trên
\ 1
thỏa mãn
1
1
f x
x
,
0 2017
f
,,
2 2018
f
. Tính
3 2018 1 2017
S f f
.
A.
1
S
. B.
2
1 ln 2
S
. C.
2ln 2
S
. D.
2
ln 2
S
.
Câu 184. (KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
f x
xác định trên khoảng
0; \ e
thỏa mãn
1
ln 1
f x
x x
,
2
1
ln 6
e
f
và
2
e 3
f
. Giá trị của biểu thức
3
1
e
e
f f
bằng
A.
3ln 2 1.
B.
2ln 2.
C.
3 ln 2 1 .
D.
ln 2 3.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
Câu 185. (QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 2;1
thỏa mãn
2
1
2
f x
x x
,
3 3 0
f f
và
1
0
3
f
. Giá trị của biểu thức
4 1 4
f f f
bằng
A.
1 1
ln 2
3 3
. B.
ln80 1
. C.
1 4
ln ln 2 1
3 5
. D.
1 8
ln 1
3 5
.
Câu 186. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 1;1
thỏa mãn
2
2
1
f x
x
,
2 2 0
f f
và
1 1
2
2 2
f f
. Tính
3 0 4
f f f
được kết quả
A.
6
ln 1
5
. B.
6
ln 1
5
. C.
4
ln 1
5
. D.
4
ln 1
5
.
Câu 187. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho hàm số
f x
xác định trên khoảng
0; \ e
thỏa mãn
1
ln 1
f x
x x
,
2
1
ln 6
e
f
và
2
e 3
f
. Giá trị của biểu thức
3
1
e
e
f f
bằng
A.
3ln 2 1.
B.
2ln 2.
C.
3 ln 2 1 .
D.
ln 2 3.
Câu 188. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Biết
2
2 3
F x ax bx c x
, , a b c
là một nguyên
hàm của hàm số
2
20 30 11
2 3
x x
f x
x
trên khoảng
3
;
2

. Tính
T a b c
.
A.
8
T
. B.
5
T
. C.
6
T
. D.
7
T
.
Câu 189. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Gọi
2
.e
x
F x ax bx c
là
một nguyên hàm của hàm số
2
1
e.
x
f x x
. Tính
2 .S a b c
A.
3
S
. B.
2
S
. C.
0
S
. D.
4
S
.
Câu 190. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hàm số
3
2 2 2
2 2
x x
f x x e xe
, ta có
3
2 2 2
d
x x x
f x x me nxe pe C
. Giá trị của biểu thức
m n p
bằng
A.
1
3
B.
2
C.
13
6
D.
7
6
Câu 191. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết rằng hàm số
3 2
3 4 3F x mx m n x x
là một nguyên hàm của hàm số
2
3 10 4
f x x x
. Tính
mn
.
A.
1mn
. B.
2
mn
. C.
0
mn
. D.
3
mn
.
Câu 192. Biết
cos 3
1
sin 3 2019
x a x
F x x
b c
là một nguyên hàm của hàm số
2 sin3f x x x
, (với
a
,
b
,
c
). Giá trị của
ab c
bằng
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
A.
14
. B.
15
. C.
10
. D.
18
.
Câu 193. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hàm số
3
2 2 2
2 2
x x
f x x e xe
, ta có
3
2 2 2
d
x x x
f x x me nxe pe C
. Giá trị của biểu thức
m n p
bằng
A.
1
3
B.
2
C.
13
6
D.
7
6
Câu 194. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Biết
2
2 3
F x ax bx c x
, ,a b c
là một
nguyên hàm của hàm số
2
20 30 11
2 3
x x
f x
x
trên khoảng
3
;
2
. Tính
T a b c
.
A.
8
T
. B.
5
T
. C.
6
T
. D.
7
P
.
Câu 195. Cho hàm số
( )F x
là một nguyên hàm của
2 2
( ) 2019 4 3 2 .
x
f x x x x
Khi đó số điểm cực
trị của hàm số
( )F x
là
A.
5.
B.
4.
C.
3.
D.
2.
Câu 196. (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho
F x
là một nguyên hàm của
hàm số
2
3
4x
x
f x e x
. Hàm số
2
F x x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
6
. B.
5
. C.
3
. D.
4
.
Câu 197. (CỤM 8 TRƯỜNG CHUYÊN LẦN 1) Biết
2
e
x
F x ax bx c
là một nguyên hàm của hàm
số
2
2 5 2 e
x
f x x x
trên
. Giá trị biểu thức
0
f F
bằng:
A.
1
e
. B.
3e
. C.
2
20e
. D.
9e
.
Câu 198. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
2
4
1 cos sin cot
sin
x x x
F x dx
x
và
S
là tổng tất cả các nghiệm của phương trình
2
F x F
trên
khoảng
0;4
. Tổng
S
thuộc khoảng
A.
6 ;9
. B.
2 ;4
. C.
4 ;6
. D.
0;2
.
Câu 199. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số
F x
là một nguyên hàm
của hàm số
2
2cos 1
sin
x
f x
x
trên khoảng
0;
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
F x
trên khoảng
0;
là
3
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A.
3 3 4
6
F
B.
2 3
3 2
F
C.
3
3
F
D.
5
3 3
6
F
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm)
Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện
Câu 1. Chọn A
f x dx
4 2
x x dx
5 3
1 1
5 3
x x C
.
Câu 2. Chọn D
Ta có
2
2 4 4
f x dx x dx x x C
.
Câu 3.
Lơi giải
Chọn B
2
2 6 6
x dx x x C
Câu 4. Chọn A
Câu 5. Chọn A
3 2
dx x x
4 2
1 1
4 2
x x C
.
Câu 6. Chọn A
Ta có
2
2 3 d 3
x x x x C
.
Câu 7. Chọn B
1
2
1
2 1 2 1 2 1
2
1
2 1 2 1
3
f x dx x dx x d x
x x C
.
Câu 8.
Lơi giai
Chon A
Ta có
3
2
2
2 2
d
3
x
x x C
x x
.
Câu 9. Chọn A
Áp dụng công thức
d 1
ln 0
x
ax b C a
ax b a
ta được
d 1
ln 5 2
5 2 5
x
x C
x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
Câu 10. Chọn B
Ta có:
sin 3
cos 3
3
x
xdx C
Câu 11. Chọn A
Câu 12. Chọn C
Câu 13. Chọn B
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( ) 2 5f x x
là
2
( ) 5
F x x x C
.
Câu 14. Chọn A
Áp dụng công thức
d , 0 1
ln
x
x
a
a x C a
a
ta được đáp án B
Câu 15. Chọn C
Áp dụng công thức
1
cos( )d sin( )
ax b x ax b C
a
với
0
a
; thay
2
a
và
0
b
để có kết quả.
Câu 16. Chọn C
Ta có
4 5 2
1 1
d
5 2
x x x x x C
.
Câu 17. Chọn D
2 3
3 1 .x dx x x C
Câu 18. Chọn D
15 15 16
2 2 2 2
1 1
7 dx 7 7 7
2 32
x x x d x x C
Câu 19. Ta có:
3 3
1
d ,
3
x x
e x e C
với
C
là hằng số bất kì.
Câu 20. Ta có
sin 2 d = d sin 2 dx x x x x x x
2
cos2
2 2
x x
C
.
Câu 21. Ta có:
2 1 2 1 2 1
1 1
e d e d 2 1 e
2 2
x x x
x x C
.
Câu 22.
Câu 23. Ta có:
3
2
1 3
3 d ln ,
3 ln 3
x
x
x
x x x C C
x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
Câu 24.
cos 3
sin 3 dx
3
x
x C
Câu 25. Ta có
2 3
3 sin d cos
x x x x x C
.
Câu 26. Ta có:
1
ln d
x x C
x
sai.
Câu 27. Có
3 2 2
4 12 2f x x x C x x
.
Câu 28. Ta có:
1
e
e d
1
x
x
x C
x
sai vì
e d e
x x
x C
.
Câu 29. Do theo bảng nguyên hàm:
l a
d
n
x
x
a
a x C
.
Câu 30.
Lời giai
Chọn B.
Câu 31. Ta có
2
3
d 3 sin d cos
2
x
f x x x x x x C
.
Câu 32. Chọn C
Theo bảng nguyên hàm cơ bản
Câu 33. Ta có
cos d sin
x x x C
.
Câu 34. Ta có
4 2 5 3
1 1
d d
5 3
f x x x x x x x C
.
Câu 35. Ta có:
2
2
x x
e x dx e x C
Câu 36.
2
1
cos d sin
2
x x x x x C
.
Câu 37.
Ta có:
3 2
2
1 3
( 3 )d ln .
3 2
x x
x x x x C
x
Câu 38. Ta có
1 1
d sin d d sin d ln cos
f x x x x x x x x x C
x x
.
Câu 39. Gọi
3
1
3
F x x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
.
Suy ra
2
'
F x f x f x x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
Câu 40. Ta có:
2
d 2 d
ln 2
x
x
f x x x C
.
Câu 41. Ta có:
4 3
2
2 2
2 2 2
d d d
3
x x
f x x x x x C
x x x
.
Câu 42. Ta có:
x x
e e
x
y e
la môt nguyên ham cua ham sô
x
y e
.
Câu 43. Ta có:
2 2
( )
F x e dx e x C
.
Câu 44. Trên khoảng
1
;
2

, ta có:
df x x
1
d
1 2
x
x
1 1
d 1 2
2 1 2
x
x
1
ln 2 1
2
x C
.
Câu 45. Chọn B
Câu 46. Ta có
2
2 1
2 d
ln 2 2
x
x
x x x C
.
Câu 47. Ta có
d 1 sin d cos
f x x x x x x C
.
Câu 48. Sử dụng công thức
1
1
n
n
x
x dx C
n
ta được:
4 3 2
3 2 4 3 2
1 1 1 2 1
2 2019 . 2. 2019 2019 .
3 3 4 3 2 12 3 2
x x x
x x x dx x C x x x x C
Câu 49. Ta có
3
2
2
( )dx (2 )dx
ln 2 3
x
x
x
f x x C
.
Câu 50. Ta có:
1 1 (3 1) 1 1
ln 3 1 ln(1 3x) C
3 1 3 3 1 3 3
d x
dx x C
x x
(do
1
;
3
x

)
Câu 51. Chọn A
Ta có:
2
2 d
ln 2
x
x
x C
.
Câu 52. Chọn B
Ta có
4 3
2
2 2
2 3 3 2 3
( ) 2
3
x x
f x dx dx x dx C
x x x
Câu 53. Ta có:
2
2 1 2 .
1 1
d
ln 2 2
x x
x x x C
x
Câu 54. Chọn C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
Ta có
2
3
d 3 sin d cos
2
x
f x x x x x x C
.
Câu 55.
Chọn A
Ta có
2 2
2
x x
f x e xe
.
Câu 56. Chọn A
Ta có
3
( )d 3 d 3 d( )
ln3
x
x x
f x x x x C
.
Câu 57. Chọn A
4 3
3 2
d
4 3
x x
f x dx x x x C
.
Câu 58. Ta có:
2020
2019
d ,
2020
x
x x C C
là hằng số. Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của
hàm số
2019
y x
.
Câu 59. Ta có:
3
2
3
d ln ,
3 ln3
1
3
x
x
x
x R
x x C C
x
.
Câu 60.
5 5 4
2018 2018 504,5
d 2017 d 2017 d 2017
x
x x x
e
f x x e x e x e C
x x x
Câu 61. Ta có:
2 2
1
2 2
cos cos
x
x x
e
y e e
x x
2
1
2 2 tan
cos
x x
ydx e dx e x C
x
.
Câu 62. Ta có:
1
d d
2 2 1
f x x x
x
1 1
d
2
2 1
x
x
1
2
1
2 1 d
2
x x
1
2
2 1
1 1
. .
1
2 2
2
x
C
1
2 1
2
x C
.
Câu 63. Ta có:
3 2
6 11 6f x x x x
4
3 2 3 2
11
6 11 6 2 6
4 2
x
F x x x x dx x x x C
.
Câu35. Họ nguyên hàm của hàm số
2
3
3 2
x
f x
x x
là
A.
ln 1 2ln 2
x x C
. B.
2ln 1 ln 2
x x C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
C.
2ln 1 ln 2
x x C
. D.
ln 1 2ln 2
x x C
. Ta có
2
3 3 2 1
3 2 1 2 1 2
x x
f x
x x x x x x
.
Suy ra họ nguyên hàm của hàm số
2
3
3 2
x
f x
x x
là
{ Các chữ d trong vi phân chưa đúng chuẩn}
2 1
2ln 1 ln 2
1 2
f x dx dx x x C
x x
Câu 64. Chọn C
Ta có
2 2 2
3 2 4
3 2 3 4
2
2 2 2
x
x
f x
x
x x x
. Do đó
2 2
3 2 3 4 4
3ln 2
2 2
2 2
x
dx dx x C
x x
x x
.
Câu 65. Chọn B
Ta có
2 2 2
2 1 3
2 1 2 3 3
d d d d 2ln 1 .
1 1
1 1 1
x
x
f x x x x x x C
x x
x x x
Câu 66. Chọn D
Ta có
2 2
2
2 4 2
2 2 4 2 4
. ' 2 ( ) '
x x
x
x x x
x e xe x
f x e F x x f x f x
e e e
Suy ra
2
'( ) 2 4
x
f x e x
nên
2 2
' . 2 2 .
x
f x e dx x x C
Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện
Câu 67. Chọn C
Có
d sin cos d cos sin
F x f x x x x x x x C
Do
cos sin 2 1 2 1
2 2 2
F C C C
cos sin 1F x x x
.
Câu 68. Chọn A
Ta có
2
2 d
x x
F x e x x e x C
Theo bài ra ta có:
3 1
0 1
2 2
F C C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
Câu 69. Chọn C
Ta có
3 5sinx 3 5 cos
f x dx x x C
Theo giả thiết
0 10
f
nên
5 10 5C C
.
Vậy
3 5 cos 5.
f x x x
Câu 70. Chon C
2
ln 2 1
2 1
dx x C f x
x
Với
1
2
x
,
0 1
f
1
C
nên
1 1 ln 3
f
Với
1
, 1 2 2
2
x f C
nên
3 2 ln5
f
Nên
1 3 3 ln15
f f
Câu 71.
Lờigiải
Chọn B
F x
=
1
ln 1
1
dx C x C
x
1 4
F e
. Ta có
1 4 3
C C
Câu 72. Ta có:
d 2 5sin d 2 5cos
f x f x x x x x x C
.
Mà
0 10
f
nên
5 10 5
C C
.
Vậy
2 5cos 5f x x x
.
Câu 73.
2 2 2
1 1 1 1
d ; 0 0
2 2 2 2
x x x
F x e x e C F C F x e
.
Khi đó
2ln3
1 1
ln 3 4
2 2
F e
.
Câu 74. Ta có đáp án là đạo hàm của hàm số
2
ln sin cosF x x x x
'
F x f x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
Đạo hàm của hàm số
2
ln sin cosF x x x x
là:
'
2 ' 2
' ( ) .ln sin cos . ln sin cos
F x f x x x x x x x
2
cos sin
2 .ln sin cos .
sin cos
x x
x x x x
x
.
Đáp án B.
Câu 75.
sin 3
cos3 d
3
x
F x x x C
2
2 3
F
1
C
sin 3
1
3
x
F x
sin
3 6
3
1
9 3 6
F
.
Câu 76. Ta có
2
2 2 5 1 5.2 5
ln 2
x
x x x
f x dx dx dx x C
.
Câu 77. Chọn D
Ta có
2 2
1
d
2
x x
e x e C
.
Theo đề ra ta được:
0
201 1 201
0 100
2 2 2
F e C C
.
Vậy
1
2
2
2
1 1 1 1
( ) 100 100 100
2 2 2 2
x
F x e F e e
.
Câu 78. Chọn C
Theo giả thiết ta có:
1
f x
và
2g x x
nên
. 2f x g x x
.
2
2 d
F x x x x C
. Vì
1 3 2
F C
. Vậy một nguyên hàm
F x
cần tìm của hàm số
.
f x g x
, là
2
F x x
.
Câu 79.
Lờigiải
Cách 1:
Ta có:
1
d d ln 2 ,
2
f x x x x C C
x
.
Giả sử
0
ln 2
F x x C
là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn
1 2
F
.
Do
0
1 2 2 ln 2 2
F C F x x
.Vậy
0 2 ln 2.
F
Câu 80. Ta có
2
2
1
dx dx
2
b b
F x f x ax ax C
x x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
Theo bài ra
1 3
1
2 2
1 1
1 3
1 4 4
2 2
1 0
0 7
4
a b C b
F
F a b C a
f
a b
C
.
Vậy
2
3 3 7
4 2 4
F x x
x
.
Câu 81. Chọn D
Ta có
1 1
ln 2 1
2 1 2
F x dx x C
x
Do
1
0 2 ln 2.0 1 2 2
2
F C C
Vậy
1 1
ln 2 1 2 1 ln 3 2
2 2
F x x F
.
Câu 82. Chọn A
.
. Vậy .
Câu 83. Chọn C
sin3
cos3 d
3
x
F x x x C
2
2 3
F
1
C
sin3
1
3
x
F x
sin
3 6
3
1
9 3 6
F
.
Câu 84. Ta có
1
d ln ln
F x x x C x C
x
với
;0
x
.
Lại có
2 0 ln2 0 ln2
F C C
. Do đó
ln ln2 ln
2
x
F x x
.
Vậy
ln ;0
2
x
F x x

.
Câu 85. Ta có:
df x x
2
2e 1 d
x
x
2
e
x
x C
.
cosf x x
d cos df x x x x
sin
x C
0 2019
f
sin0 2019
C
2019
C
sinx 2019
f x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
Suy ra
2
e
x
f x x C
.
Theo bài ra ta có:
0 2
f
1 2
C
1
C
.
Vậy:
2
e 1
x
f x x
.
Câu 86. Ta có
2
2
x x
f x dx x e dx x e C
.
Có
F x
là một nguyên hàm của
f x
và
0 2019
F
.
Suy ra
2
0 2019
x
F x x e C
F
1 2019 2018
C C
.
Vậy
2
2018
x
F x x e
.
Câu 87. Trên khoảng
1;

ta có
1
'
1
f x dx dx
x
1
ln 1
x C
1
ln 1
f x x C
.
Mà
1
(2) 2018 2018
f C .
Trên khoảng
;1
ta có
1
'
1
f x dx dx
x
2
ln 1
x C
2
ln 1
f x x C
.
Mà
(0) 2017
f
2
2017
C .
Vậy
ln( 1) 2018 khi 1
ln(1 ) 2017 khi 1
x x
f x
x x
. Suy ra
3 1 1
f f
.
Câu 88. Ta có:
2 13
1 2 1 2
x A B
x x x x
2 1
1 2
A x B x
x x
2
1 2
A B x A B
x x
2 5
2 13 3
A B A
A B B
.
Khi đó:
2 13 5 3
dx dx 5ln 1 3ln 2
1 2 1 2
x
x x C
x x x x
.
Suy ra
5; 3
a b
nên
8
a b
.
Câu 89. Ta có:
3
1
1 1
A B D
x x x x x
2
3
1 1 1
A x Bx x Dx x
x x
2
3
A B D x B D x A
x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
1
0
1
0
2
1
1
2
A
A B D
B D B
A
D
.
Khi đó:
3
1 1 1 1
dx dx
2 1 2 1x x x
x x
1
ln 1 1 ln
2
x x x C
.
Suy ra
1
; 1
2
a b
nên
2 0
P a b
.
Câu 90. Ta có:
2
4 11
5 6 2 3
x A B
x x x x
3 2
2 3
A x B x
x x
3 2
2 3
A B x A B
x x
4 3
3 2 11 1
A B A
A B B
.
Khi đó:
2
4 11 3 1
dx dx
5 6 2 3
x
x x x x
3ln 2 ln 3
x x C
.
Suy ra
3; 1a b
nên
2 2
13
P a ab b
.
Câu 91. Ta có
1 3
f
3
a b
1
.
Hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng
0;

, các điểm
1
x
,
1
2
x
đều thuộc
0;

nên
3
2
3 2
d d
3 2
b ax b
f x f x x ax x C
x x
.
+
1 2
f
2
3 2
a b
C
2
.
+
1 1
2 12
f
1
2
24 12
a
b C
3
.
Từ
1
,
2
và
3
ta được hệ phương trình
3
2
3 2
1
2
24 12
a b
a b
C
a
b C
2
1
11
6
a
b
C
2 2.2 1 5
a b
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
Câu 92. Ta có
2
d 2 d
ln 2
x
x
f x x x C
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
x
f x
, ta có
2
ln 2
x
F x C
mà
1
0
ln 2
F
2
0
ln 2
x
C F x .
0 1 ... 2018 2019
T F F F F
2 2018 2019
1
1 2 2 ... 2 2
ln 2
2020
1 2 1
.
ln 2 2 1
2020
2 1
ln 2
Câu 93. Ta có
2
d
d tan
cos
x
f x x x C
x
.
Suy ra
0 0 0
1 1 1
2
9
10
tan , ; 0 1 0 1
2 2 4
3
tan , ; 1 1 0
2 2 4
3 5
tan , ; 2
2 2 4
...
17 19
tan , ;
2 2
19 21
tan , ;
2 2
x C x F C C
x C x F C C
x C x F
F x
x C x
x C x
2 0
9 9
10 10
1 2 1
...
9 1 9 8
4
10 1 10 9.
4
C C
F C C
F C C
Vậy
0 ... 10 tan0 1 tan tan 2 1 ... tan10 9 44.
F F F F
Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm
Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện
Câu 94.
2 2 3
( )d 3sin cos d 3sin d(sin ) sin
f x x x x x x x x C
.
Câu 95. Ta có:
sin 1 1 1
d d 1 3cos ln 1 3cos
1 3cos 3 1 3cos 3
x
x x x C
x x
.
Câu 96. Ta có:
2 2 2 2 2 6 2
3
4 2
1 1
d d 2
2 2
xf x f x x x C
I x x x x C
.
Câu 97. Ta có
'
2 2
cos d(2 sin ) 1
( ) ( )d d
2 sin
(2 sin ) (2 sin )
x x
f x f x x x C
x
x x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
Câu 98.
d
f x x
3
2 1
e d
x
x x
3
1 3
1
e d 1
3
x
x
3
1
1
e
3
x
C
.
Câu 99. Ta có
1 1 1 1
d d 5 4 ln 5 4
5 4 5 5 4 5
x x x C
x x
.
Câu 100. Chọn A
4 4
3 4
4
2 2 2
9 5
4 4 4 4 4 4
3
1 1 1
x x
3 4 12
3 3 3
x x
x dx
f x d d dx dx
x x
x x x x x x
4 4 4
2
4 4
4 4
4
1 1 1 1
ln
12 12 12x 36 3
3
dx dx x
C
x
x x
x
Câu 101. Chọn C
Ta có
2 2 2
3 3 2 3( 1) 2 3 2
( )
( 1) ( 1) 1 ( 1)
x x
f x
x x x x
Vậy
2
3 2
( )d ( )d
1 ( 1)
f x x x
x x
2
d( 1) d( 1)
3 2
1 ( 1)
x x
x x
2
3ln 1 2 ( 1) d( 1)
x x x
2
3ln( 1)
1
x C
x
vì
1x
.
Câu 102. Ta có
2
sin
sin 2 .
x
x e dx
2
sin 2
sin
x
e d x
2
sin x
e C
Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện
Câu 103. Ta có
sin d
( )
1 3cos
x x
F x
x
d(cos )
3cos 1
x
x
1
3 1
3
ln cosx C
.
mà
3 2
2
1
2
1
3
F ln cos C
2
C
.
Do đó,
1 1 2
0 3 0 1 2 4 2 2 2
3 3 3
F ln cos ln ln
.
Vậy
2
0 2 2
3
F ln
.
Câu 104. Chọn C
Ta có:
4 4
4
1 1 1
d 1 ln 1
4 1 4
F x x x C
x
.
Do
0 1
F
nên
1
ln 0 1 1 1
4
C C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
Vậy:
4
1
ln 1 1
4
F x x
.
Câu 105. Chọn A.
Ta có
1 ln 1
1 1
x
x
x x
dx e
F x f x dx dx x e C
e e
0 ln 2 ln 2 1
F C e C
: ln 1 2 ln 1 1 ln 1 2 3
x x x
PT F x e x e e x
.
Câu 106. Ta có:
2017
2017 2017 2018
2019 2
1
1 1 1 1 1 1 1
. .
1 2 1 1 4036 1
1 1
x
x x x x
dx dx d C
x x x x
x x
.
4036, 2018
a b
Do đó:
2a b
.
Câu 107. Ta có
4 2
' . d d
f x f x x x x x C
2
5 3
2 5 3
f x
x x
C
.
Do
0 2
f
nên suy ra
2
C
.
Vậy
2
32 8
2 2 2
5 3
f
332
15
.
Câu 108. Ta có
2018
2
2017
1
x
f x dx dx
x
2018
2 2
2017
1 1
2
x d x
2017
2
1
2017
.
2 2017
x
C
2017
2
1
2 1
C
x
F x
Mà
1 0
F
2017 2018
1 1
0
2.2 2
C C
Do đó
2017
2018
2
1 1
2
2. 1
F x
x
suy ra
F x
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
2017
2
1
2 1x
lớn nhất
2
1
x
nhỏ nhất
0
x
Vậy
2017
2018 2018
1 1 1 2
2 2 2
m
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm
Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện
Câu 109. Ta có
1
3
1
d 3 1 d 3 1
3
f x x x x
3
1
3 1 3 1
4
x x C
.
Câu 110.
5 6
5
(2 3) (2 3)
( ) (2 3) (2 3)
2 12
x x
F x x dx d x C
Câu 111. Chọn C
Do
1
1
1
2
2
1
1
2
3 2
1 1 2
3 2d 3 2 d 3 2 (3 2) 3 2
3 3 9
x
x x x x C x x C
Câu 112. Đặt
1
2 1 d d d d
2 1
t x t x t t x
x
3
2
1
d 2 1d d 2 1 2 1
3 3
t
f x x x x t x C x x C
.
49: (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số
ln 2
2 .
x
f x
x
. Hàm số nào
dưới đây không là nguyên hàm của hàm số
f x
?
A.
2
x
F x C
B.
2 2 1
x
F x C
C.
2 2 1
x
F x C
D.
1
2
x
F x C
Chọn A
Ta có
dF x f x x
ln 2
2 . d
x
x
x
ln 2
2 . d
x
x
x
.
Đặt
1
d d
2
u x u x
x
.
Vậy
2ln 2. 2 .d
u
F x u
2
2ln 2.
ln 2
u
C
1
2
x
C
.
Phương án B:
1
2 2
x
F x C
thỏa.
Phương án C:
1
2 2
x
F x C
thỏa.
Câu 113.
1 d d .t x t x
Vậy
4 4
1
d d .
( 1)
x t
x t
x t
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
Câu 114. Chọn A
Đặt
1
u x
2
1 d 2 dx u x u u
.
Khi đó
3
dx
1
x
x
trở thành
2
2
4
.2 d 2 4 d
u
u u u u
u
.
Câu 115. Cách 1:
Ta có
d 3 cos 2 5
f x x x x C
d 3 cos 2 5
f x x x x C
3cos 2 5 6 sin 2 5
f x x x x
3 3cos 6 5 18 sin 6 5
f x x x x
Xét
3 d 3cos 6 5 18 sin 6 5 df x x x x x x
3cos 6 5 d 18 sin 6 5 dx x x x x
1
.
Xét
18 sin 6 5 dI x x x
.
Đặt
3 3d d
6sin 6 5 d d cos 6 5
x u x u
x x v x v
.
3 cos 6 5 3 cos 6 5 dI x x x x
, thay vào
1
ta được
3 d 3 cos 6 5 .f x x x x C
Cách 2:
Đặt
3x t
d 3dx t
.
Khi đó:
d 3 cos 2 5
f x x x x C
3 3 d 3. 3 cos 2.3 5
f t t t t C
3 d 3 cos 6 5
f t t t t C
3 d 3 cos 6 5
f x x x x C
.
Câu 116. Xét
2019 2019
3 2 2 2
d 1 d 1 df x x x x x x x x x
.
Đổi biến
2
1 dt 2 dt x x x
, ta có:
2019 2020 2019
1 1
d 1 dt dt
2 2
f x x t t t t
2021 2020
2 2
2021 2020
1 1
1 1
2 2021 2020 2 2021 2020
x x
t t
C C
.
Câu 117. Chọn A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
Cách 1:
Ta có
d 3 cos 2 5
f x x x x C
d 3 cos 2 5
f x x x x C
3cos 2 5 6 sin 2 5
f x x x x
3 3cos 6 5 18 sin 6 5
f x x x x
Xét
3 d 3cos 6 5 18 sin 6 5 df x x x x x x
3cos 6 5 d 18 sin 6 5 dx x x x x
1
.
Xét
18 sin 6 5 dI x x x
.
Đặt
3 3d d
6sin 6 5 d d cos 6 5
x u x u
x x v x v
.
3 cos 6 5 3 cos 6 5 dI x x x x
, thay vào
1
ta được
3 d 3 cos 6 5 .f x x x x C
Cách 2:
Đặt
3x t
d 3dx t
.
Khi đó:
d 3 cos 2 5
f x x x x C
3 3 d 3. 3 cos 2.3 5
f t t t t C
3 d 3 cos 6 5
f t t t t C
3 d 3 cos 6 5
f x x x x C
.
Câu 118. Chọn B
Đặt
2 1
x t x t dx dt
với
0t
Ta có
2 2
2 1 2 1 1
d dt = dt 2ln
t
f x x t C
t t t t
Hay
1
d 2ln 2 .
2
f x x x C
x
Câu 119. Ta có
1 ln
d d
.ln
x
I f x x x
x x
.
Đặt
ln
x x t
ln 1 d dx x t
. Khi đó ta có
1 ln
d
.ln
x
I x
x x
1
dt
t
ln
t C
ln .ln
x x C
.
Câu 120. Đặt
3 2
1 d 3 dt x t x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
Do đó, ta có
3 3
2 1 1
1 1 1
d d . d
3 3 3
x t t x
f x x x e x e t e C e C
.
Vậy
3
1
1
d
3
x
f x x e C
.
Câu 121. Đặt
2 1x t
2
2 1
x t
d dtx t
.
Khi đó ta có
1
2 1d
2
x x
1 dt
2
t
t
1
dt
2
1
2
t C
1
2 1
2
x C
.
Câu 122.
5
5
5
sin
d tan d d
cos
x
I f x x x x x
x
2 2
2 2
5 5
1 os . 1 os .sinx
sin .sin .sinx
d d
cos cos
c x c x
x
x x
x x
Đặt
cos d sin dt x t x x
2 2
2 4
5 5
1 . 1
1 2
d d
t t
t t
I t t
t t
5 3
1 2 1
dt
t t t
5 3 4 2
1 1
2 d ln
4
t t t t t t C
t
4 2
4 2
1 1 1 1
cos cos ln cos . ln cos
4 4 cos cos
x x x C x C
x x
2
2 2
1
. tan 1 tan 1 ln cos
4
x x x C
4 2 2
1
tan 2 tan 1 tan 1 ln cos
4
x x x x C
4 2
1 1 1
tan tan ln cos
4 2 4
x x x C
4 2
1 1
tan tan ln cos
4 2
x x x C
.
Câu 123. Đặt
2
1
t x x
2 2
2
1 1
1
x x x x
t
x x
=
2
1
1
x x
2
1
1
x x
t
.
1
2t x
t
2
1 1
1
2
dx
t
;
2
1
2 1
t x
t
2
ln 1f x dx x x dx
=
2
1 1
1 ln
2
tdt
t
=
2
1 1
1 lnt.
2
dt I
t
.
Đặt
lnu t
1
ddu t
t
2
1
d 1 dv t
t
1
v t
t
;
1 1 1 1 1
ln
2 2
I t t t dt
t t t
=
2
1 1 1 1
ln 1
2 2
t t dt
t t
=
1 1 1 1
ln
2 2
t t t C
t t
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
=
2 2
ln 1 1
x x x x C
.
Câu 124. Câu này đề chưa chặt, phải là “Biết một nguyên hàm của hàm số
2y f x
là ….”
Đặt
d
2 d
2
x
t x t
.
2 2
1
2 d sin ln dt sin ln
2 2 2
t t
f x x x x C f t C
2
d 2sin 2ln 2ln 2
2
t
f t t t C
2
d 2sin 2ln
2
x
f x x x C
.
Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện
Câu 125. Đặt
sint x
d cos dt x x
.
dF x f x x
3
sin cos dx x x
3
dt t
4
4
t
C
4
sin
4
x
C
.
0F
4
sin
4
C
C
4
sin
4
x
F x
.
4
sin
2
2 4
F
1
4
.
Câu 126. Ta có
2
4 3
2
2
2 1 2 1
2
1
x x
f x
x x x
x x
.
Đặt
2
1
t x x x x
d 2 1 dt x x
.
Khi đó
2
1 1 1
d d
1
F x f x x t C C
t t x x
.
Mặt khác,
1
1
2
F
1 1
2 2
C
1
C
.
Vậy
1
1
1
F x
x x
.
Suy ra
1 1 1 1
1 2 3 2019 ... 2019
1.2 2.3 3.4 2019.2020
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... 2019 1 2019
2 2 3 3 4 2019 2020 2020
1 1
2018 2018 .
2020 2020
S F F F F
Câu 127. Đặt
d d
1
d cos 2 d
sin 2
2
u x
u x
v x x
v x
Khi đó
1 1
cos2 d sin 2 sin 2 d
2 2
x x x x x x x
1 1
sin 2 cos 2
2 4
x x x C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
1
2
a
,
1
4
b
.
Vậy
1
8
ab
.
Câu 128. Đặt
2
2 3 2 3 d dt x t x x t t
Khi đó
2
20 30 7
d
2 3
x x
x
x
2
2 2
3 3
20 30 7
2 2
d
t t
t t
t
4 2
5 15 7 dt t t
5 3
5 7
t t t C
5 3
2 3 5 2 3 7 2 3
x x x C
2
2 3 2 3 5 2 3 2 3 7 2 3
x x x x x C
2
4 2 1 2 3
x x x C
Vậy
2
4 2 1 2 3
F x x x x
. Suy ra
3
S a b c
.
Câu 129. Ta có
1 2 3 1
x x x x
2 2
3 3 2 1
x x x x
2
2
3 1
x x
.
Đặt
2
3 t x x
, khi đó
d 2 3 d
t x x
.
Tích phân ban đầu trở thành
2
d 1
1
1
t
C
t
t
.
Trở lại biến
x
, ta có
2
2 3 d
1
1 2 3 1 3 1
x x
C
x x x x x x
.
Vậy
2
3 1 g x x x
.
2
3 5
2
0 3 1 0
3 5
2
x
g x x x
x
.
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng
3
.
Câu 130.
4 2
1
x
I dx
x x
2
1
t x
2
dt xdx
2
1 1
2
1 .
I dt
t t
2
1 1 1 1
2 1
1
dt
t t
t
1 1
ln 1 ln
2 1
t t C
t
2 2
2
1 1
ln ln 1
2
x x C
x
2
2
1 1
ln ln 1
2 2
x x C
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
1
2
1
1
4
a
b
c
S a b c
7
4
.
Dạng 4. Nguyên hàm từng phần
Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện
Câu 131. Chọn D
Ta có
4 1 ln 4 1 ln
f x x x F x x x dx
đặt
2 2 2 2 2
2
1
1 ln
2 1 ln 2 2 1 ln 2 ln
4 2
u x du
F x x x xdx x x x C x x x C
x
dv x v x
Câu 132. Đặt
du dx
.
dv sin dx cos
u x
x v x
Suy ra
sin dx cos cos dx cos sin .x x x x x x x x C
Câu 133.
Lờigiải
Đặt
2
2
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e
2 2 2
1 1
. .
2 2
x x x
x e dx x e e dx
2 2 2
1 1
. .
2 4
x x x
x e dx x e e C
2
1 1
2 2
x
e x C
Câu 134. Gọi
2 1 d
x
I x e x
.
Đặt
2 1 du 2d
d d
x x
u x x
v e x v e
.
2 1 2 d 2 1 2 2 3
x x x x x
I x e e x x e e C x e C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
Câu 135. Ta có
2
( )
x
F x xe dx
Đặt
2
2
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
Suy ra
2 2
1 1
( )
2 2
x x
F x xe e dx
2 2 2
1 1 1 1
2 4 2 2
x x x
xe e C e x C
Câu 136. Ta có:
d 1 sin d d .sin d d d cosf x x x x x x x x x x x x x x
2 2
= cos cos d = cos sin
2 2
x x
x x x x x x x C
.
Câu 137. Ta có
2 (1 ) 2 2
x x
x e dx xdx xe dx
.
Gọi
2 ln
I x xdx
. Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
.
Khi đó
2 2
x x
I xe e dx
.
Vậy
2
2 (1 ) 2 2 2
x x x x
x e dx xdx xe e dx x xe x C
=
2
2 2
x
x e x C
.
Câu 138. Ta có
ln
F x f x dx x xdx
. Đặt
2
ln
2
dx
du
u x
x
dv xdx
x
v
.
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:
2 2 2
1 1 1 1
ln ln
2 2 2 4
F x x x xdx x x x C
.
Câu 139. Chọn C
Ta có
2
3 1 ln
I x xdx
Đặt
2
2 3
1
ln
3 1
3 1
u x du dx
x
dv x dx
v x dx x x
.
3
3 3 2 2 2
1
ln 1 ln 1 1 ln
3
x
I x x x x x dx x x x x dx x x x x C
x
.
Câu 140. Chọn A
2
d d
sin
x
F x f x x x
x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
Đặt
2
d d
1
cot
d d
sin
u x
u x
v x
v x
x
.
Khi đó:
2
d sin
cos
d .cot cot d .cot d .cot
sin sin sin
x
x x
F x x x x x x x x x x x
x x x
.cot ln sin
x x x C
. Với
0; sin 0 ln sin ln sinx x x x
.
Vậy
cot ln sin
F x x x x C
.
Câu 141. Chọn A
Ta có:
2
3 cos d 3 d 3 cos d
x x x x x x x x x
2 3
1
3 d
x x x C
2
3 cos d 3 .d sin 3 .sin 3sin d 3 .sin 3cos
x x x x x x x x x x x x C
Vậy
3
3 cos d 3 sin cos
x x x x x x x x C
Câu 142. Ta có:
4 4
e dx dx e dx
x x
x x x x
.
+)
4 5
1
1
dx=
5
x x C
.
+) Đặt
du dx
.
dv e dx e
x x
u x
v
Suy ra:
e dx
x
x
2
e e dx e e
x x x x
x x C
2
1 e
x
x C
.
Vậy
4 5
1
e dx 1 e
5
x x
x x x x C
.
Câu 143. Chọn C
Ta có
. . d .G .G dF x G x F x G x x F x x F x x x
.
.G d . .G dF x x x F x G x F x x x
3
2 2 2 2 2 2
2
2
ln 1 d ln 1 1 ln 1
1
x
x x x x x x x C
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
2 2 2
1 ln 1
x x x C
.
Câu33. Họ nguyên hàm của hàm số
2
.
x
f x x e
là
A.
2
1 1
2 2
x
F x e x C
. B.
2
1
2
2
x
F x e x C
.
C.
2
2 2
x
F x e x C
. D.
2
1
2
2
x
F x e x C
. Đặt
2
2
1
2
x
x
du dx
u x
dv e dx
v e
.
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
. .
2 2 4 2 2
x x x x x
F x x e e dx x e e C e x C
.
Câu 144. Sử dụng công thức:
d . d
u v u v v u
.
Ta có:
d d d
x x x x x x
xe x x e xe e x xe e C
.
Câu 145. Ta có:
d d
f x G x x G x F x
. d
G x F x F x G x
. g dG x F x F x x x
.
3
2 2
2
2
d ln 1 d
1
x
f x G x x x x x
x
2 2
2
2
ln 1 2 d
1
x
x x x x
x
2 2 2 2
2
1
ln 1 d 1
1
x x x x
x
2 2 2 2
ln 1 ln 1
x x x x C
2 2 2
1 ln 1
x x x C
.
Câu 146.
Lởi giải
Chọn C
Ta có
2
2
2
2 2
1
1
2
x
F x x
x x
.
Do
F x
là một nguyên hàm của
2
2
2
x a
f x
x
nên
1
a
.
d cos dg x x x x x
Đặt
d d
d cos d sin
u x u x
v x x v x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
d cos d sin sin d sin cos
g x x x x x x x x x x x x C
Câu 147. Ta có:
2
1 2
l
2 ln 1
1
n dd d2 1
x x
x x x I
x
x
x
I
x
x
.
1
2 1
ln d
I x
x x
. Đặt
2
ln
d
d
1
1
d
2 d
x
v x x
u
x
u
x
x
v x
.
2 2 2
1
2
2
1
ln ln
1
d 1 d
l
2
n .
I x x x x
x
x x x x x x x
x x x
x
x C
2
2
1
d lnxI
x C
x
.
2
1 2
2 2
2 2
1 2
2
d
2
ln 1
ln ln 1 ln .
2
x
x I
x
x
x
x x
I
x
x x x x C x x x C
C x
Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện
Câu 148. Chọn C
Ta co:
2
1
d
2
f x
x
x x
. Chon
2
1
f x
x
.
Suy ra
3
2
ln d ln df x x x x x
x
. Đặt
3
2
d
ln
d
2
1
d d
x
u x
u
x
v x
v
x
x
.
Khi đó:
3 2 3 2 2
ln ln 1 ln 1
ln d d d
2
x x x
f x x x x x C
x x x x x
.
Câu 149. Chon C
Ta co
3 3
3
1 1
. . .
3
f x
F x f x x F x x x x
x
x
4 4
3 ln 3 lnf x x f x x x x
Vây
4 4
ln d 3 ln d 3 ln . df x x x x x x x x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
Đăt
3
4
d
ln ; d d ;
3
x x
u x dv x x u v
x
Nên
4
4 4
3 3 3 3
ln ln ln 1
ln d 3 ln . d 3 d d
3
3 3
x x x x
f x x x x x x x x x C
x x x x
Câu 150. Chọn D
Theo đề bài ta có
2
. d 1
x x
f x e x x e C
, suy ra
2
. 1 1 .
x x x
x
f x e x e e x e
1 . . 1 .
x x x x
f x e x e x e f x x e
Suy ra
2
d 1 d 1 d 1 d 2
x x x x x x
K f x e x x e x x e e x e x x e C
.
Câu 151. Ta có:
.
x
f x f x dx x e dx
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
. .
x x x x
f x x e e dx x e e C
Theo đề:
0 2 2 1 3
f C C
. 3
x x
f x x e e
1 3
f
.
Câu 152. Chọn D
Ta có
e e e 1
x x x
f x f x f x f x
1
e 1 e
x x
f x f x x C
.
Vì
2
1
0 2 2 e 2 e
x x
f C f x x
2
e d 2 e d
x x
f x x x x
.
Đặt
2 d d
d e d e
x x
u x u x
v x v
2
e d 2 e d
x x
f x x x x
2 e e d
x x
x x
2 e e 1 e
x x x
x C x C
.
Câu 153. Theo đề:
' 1 e
x
f x x
. Nguyên hàm 2 vế ta được
' d 1 e d 1 e e
1 e e e
x x x
x x x
f x x x x f x x dx
f x x C x C
Mà
0
0 0 0.e 0 0 e
x
f C C f x x
.
d e d e e d e e 1 e
x x x x x x
f x x x x x x x C x C
.
Suy ra
1; 1 0
a b a b
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
Câu 154. Đặt
d d
d e d e
x x
u x u x
v x v
.
Do đó
e d e e d
x x x
x x x x
e e ;
x x
x C F x C
.
0 1
F
0
e 1 2
C C
. Vậy
1 e 2
x
F x x
.
Câu 155. Đặt
d d
1
d cos 2 d
sin 2
2
u x
u x
v x x
v x
Khi đó
1 1
cos2 d sin 2 sin 2 d
2 2
x x x x x x x
1 1
sin 2 cos 2
2 4
x x x C
1
2
a
,
1
4
b
.
Vậy
1
8
ab
.
Câu 156. Tính
2
ln 3
d
x
x
x
.
Đặt
2
d
ln 3
d
3
d
1
d
x
u x
u
x
x
v
v
x
x
Ta có
2
ln 3
1 d
d ln 3
3
x
x
x x
x x x x
1 1
ln 3 ln ,
3 3
x
x C F x C
x x
.
Lại có
2 1 0
F F
1 1 1
ln 2 ln 4 ln 0
3 3 4
C C
7
2 ln 2
3
C
.
Suy ra
1 1 1 2
1 2 ln 2 ln 2 ln 5 ln 2
3 2 3 5
F F C
10 5
ln 2 ln5
3 6
.
Câu 157. Đặt
1
ln 1
1
1
u x
du
x
dv dx
v x
1
ln 1 1 ln 1 1 ln 1
1
x
g x x dx x x dx x x x C
x
Do
2 1 1ln1 2 1 3 1 ln 1 3g C C g x x x x
Suy ra:
3 2ln 2 3 3 2ln 2 ln 4
g
1,b 4
a
2 2
3a 13
b
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán
Câu 158. Chọn D
Ta có
2
3
4
f x x f x
3
2
4
f x
x
f x
3
1
4
x
f x
4
1
x C
f x
Do
1
2
25
f
, nên ta có
9
C
. Do đó
4
1
9
f x
x
1
1
10
f
.
Câu 159. Ta có
2
y xy
2
y
x
y
2
d d
y
x x x
y
3
ln
3
x
y C
3
3
e
x
C
y
.
Theo giả thiết
1 1
f
nên
1
3
1
e 1
3
C
C
.
Vậy
3
1
3 3
=e
x
y f x
. Do đó
3
2 e
f
.
Câu 160.
2
2 1x ff
x
x
2
2 1x
f x
f x
2
2 1
dx
f
x dx
f x
x
2
2 1
d f x
x dx
f x
2
1
x x C
f x
1
(Với
C
là hằng số thực).
Thay
1x
vào
1
được
1
2
1
2
C
0
C
.Vậy
1 1
1
f x
x x
.
1 1 1 1 1 1
(1) (2) ... (2019) ...
2 1 3 2 2020 2019
T f f f
1
1
2020
.
Suy ra:
1
2019
2020
a
a b
b
(Chọn đáp số sai).
Câu 161. Chọn D
Trên khoảng
0;

ta có:
2 2
1 3
2 ' 3 '
2
2
xf x f x x x x f x x
x
.
' '
2 2
3 3
. .
2 2
x f x x x f x dx x dx
.
3
1
.
2
x f x x C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
Mà
1
1
2
f
nên từ
có:
3
1 1 1
1. 1 .1 0
2 2 2
f C C C
2
2
x x
f x
.
Vậy
2
4 4
4 16
2
f
.
Câu 162. Ta có:
1
1
f x
f x
x
1
d d
1
f x
x x
f x
x
ln 2 1
f x x C
Mà
0 1
f
nên
2 1 2 2
2 3 6
x
C f x e f e
Câu 163. Ta có:
0, 2;4
f x x
nên hàm số
y f x
đồng biến trên
2;4
2
f x f
mà
7
2
4
f
. Do đó:
0, 2;4
f x x
.
Từ giả thiết ta có:
3 3
3 3 3
4 4 1
x f x f x x x f x f x
3
3
. 4 1
4 1
f x
x f x f x x
f x
.
Suy ra:
2
3 3
d 4 1
1
d d
4 2
4 1 4 1
f x
f x
x
x x x C
f x f x
2
2
3
3
4 1
8 2
x
f x C
.
7 3 1
2 2
4 2 2
f C C
.
Vậy:
3
2
4
1 1
3
4
x
f x
40 5 1
4
4
f
.
Câu 164.
(1)
f x f x x
.
Nhân 2 vế của
(1)
với
x
e
ta được
e . e . .e
x x x
f x f x x
.
Hay
e . .e e . .e d
x x x x
f x x f x x x
.
Xét
.e d
x
I x x
.
Đặt
d d
e d d e
x x
u x u x
x v v
.
.e d .e e d .e e
x x x x x
I x x x x x C
. Suy ra
e .e e
x x x
f x x C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
Theo giả thiết
(0) 1
f
nên
2
C
.e e 2 2
1
e e
x x
x
x
f x f
.
Câu 165. Ta co:
2
2
1 1 . " ; 0
xf x x f x f x x
2
2 2
. ' 1 1 . "
x f x x f x f x
2
2
2
2
'
2
1
' 1 . "
1
' . " 1
1
. ' 1
f x f x f x
x
f x f x f x
x
f x f x
x
Do đo:
'
1
2
1 1
. ' .d 1 .d . ' .f x f x x x f x f x x c
x x
Vi
1 1
1 ' 1 1 1 2 1.
f f c c
Nên
1
. ' .d 1 .df x f x x x x
x
1
.d 1 .df x f x x x
x
2
2
2
ln .
2 2
f x
x
x x c
Vi
2 2
1 1
1 1 1 1.
2 2
f c c
Vây
2
2
2
ln 1 2 2ln 2 2
2 2
f x
x
x x f
.
Câu 166. Có
2 3 3
( '( )) ( ). ''( ) 2 ( ( ). '( ))' 2f x f x f x x x f x f x x x
3 4 2
1
( ). '( ) ( 2 )
4
f x f x x x dx x x C
Từ
(0) '(0) 1
f f
. Suy ra
1
C
. Vậy
4 2
1
( ). '( ) 1
4
f x f x x x
Tiếp, có
4 2 2 4 2
1 1
2 ( ). '( ) 2 2 ( ( ))' 2 2
2 2
f x f x x x f x x x
2 4 2 5 3
1 1 2
( ) ( 2 2) 2
2 10 3
f x x x dx x x x C
Từ
(0) 1
f
. Suy ra
1
C
. Vậy
2 5 3
1 2
( ) 2 1
10 3
f x x x x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
Do đó
43
15
T
Câu 167. Chọn D
3
tan .
cos
x
f x x f x
x
2
cos . sin .
cos
x
x f x x f x
x
.
2
sin .
cos
x
x f x
x
.
Do đó
2
sin . d d
cos
x
x f x x x
x
2
sin . d
cos
x
x f x x
x
Tính
2
d
cos
x
I x
x
.
Đặt
2
d d
d
tan
d
cos
u x
u x
x
v x
v
x
. Khi đó
2
d cos
d tan tan d tan d tan ln cos
cos cos
x
x
I x x x x x x x x x x x
x x
.
Suy ra
.tan ln cos ln cos
sin cos sin
x x x x
x
f x
x x x
.
2 2ln 2 3 3
3 ln3 3 3 2ln
3 6 3 9 2
3
a b f f
5 3
. Suy ra
5
9
1
a
b
.
Vậy
4
9
P a b
.
Câu 168. Chọn E không có đáp án đúng
Xét
2
2
2 4 0 2 4
f x
f x x f x x
f x
2
dx= 2 4 dx
f x
x
f x
.
2
1
4
x x C
f x
.
Vì
1
0
3
f
3
C
2
1 1 1 1
4 3 2 1 3
f x
x x x x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
Vậy
0 2 ... 2018 1 3 ... 2017
S f f f f f f
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... ...
2 3 3 5 2019 2021 2 2 4 4 6 2018 2020
S
1 1 1 1 1 2020 1009
1
2 2 2020 2021 2 2021 2.2020
S
.
Câu 169. Chọn A
Ta có với
0;x

thì
0
y f x
;
1 0
x
.
Hàm số
y f x
đồng biến trên
0;

nên
0, 0;f x x

.
Do đó
2
1 1
f x x f x f x x f x
1
f x
x
f x
.
Suy ra
d 1 d
f x
x x x
f x
3
1
1
3
f x x C
.
Vì
4
3
9
f
nên
2 8
2
3 3
C
.
Suy ra
2
3
1
1 2
3
f x x
, suy ra
8 49
f
.
Câu 170. Chọn D
Từ giả thiết ta có:
2
2
2
2
1
. 0
1
x
f x f x
x
với mọi
1;2
x
.
Do đó
1 1 0
f x f
với mọi
1;2
x
.
Xét với mọi
1;2
x
ta có:
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
1 1
1
1 1
1 d d
x x
f x f x
f x f xx
f x
x
x
x
x x
f
x
.
2
2
2
1
1
d d
1
f x
x
x x
x
x
x
f
2
2
1
d
d
1
x
f x
x
x
x
x
f x
1 1
1
C
f x
x
x
.
Mà
1 1 1 1 0
f C C
. Vậy
2
1
x
f x
x
5
2
2
f
.
Câu 171. TH1:
0
f x
0
f x
trái giả thiết.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
TH2:
0
f x
2
2 1 .
f x x f x
2
2 1
f x
x
f x
.
2
d 2 1 d
f x
x x x
f x
2
1
x x C
f x
.
Ta có:
1
2
6
f
0
C
2
1 1 1
1
f x
x x x x
.
1 1 1 1 1 2019
.....
1 2 2 3 2020 2020
P
.
Câu 172. Ta có:
2
2
. 3 4 2
f x f x x x
(*)
Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được
2 2
2 3 2
. 3 4 2 2 2
f x f x dx x x dx f x d f x x x x C
3
3
3 2 3 2
2 2 3 2 2 1
3
f x
x x x C f x x x x C
Theo đề bài
0 3
f
nên từ (1) ta có
3
3 2
0 3 0 2.0 2.0 27 3 9
f C C C
3
3 2 3 2
3
3 2 2 9 ( ) 3 2 2 9 .
f x x x x f x x x x
Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số
y f x
trên đoạn
2;1 .
CÁCH 1:
Vì
3 2 2
2 2 9 2 2 2 5 0, 2;1
x x x x x x x
nên
f x
có đạo hàm trên
2;1
và
2
2
2 2
3 2 3 2
3 3
3 3 4 2
3 4 2
0,
3 3 2 2 9 3 2 2 9
x x
x x
f x
x x x x x x
2;1 .
x
Hàm số
y f x
đồng biến trên
3
2;1
2;1 max 1 .42
f x f
Vậy
3
2;1
max 1 42
f x f
.
CÁCH 2:
2
3
3
3
3
2 2
3 2 .
3
223
3 2 2 9
9
3
x x x xf x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
Vì các hàm số
3
22
2 2
3 , 2
9
3
3 3
y x y x
đồng biến trên
nên hàm số
3
3
223
3 2
3
9
2 2
3
y x x
cũng đồng biến trên
.
Do đó, hàm số
y f x
đồng biến trên
2;1 .
Vậy
3
2;1
ax 1
4
m
2
f x f
.
Câu 173.
3 2
3 2
2 2
1. ( ) . ( ) 2 3 ( )
( ) ( ) 2 3 2 3
f x x f x x x f x
f x xf x x x x
x x x
Suy ra,
( )f x
x
la môt nguyên ham cua ham sô
g 2 3x x
.
Ta co
2
2 3 3 ,x dx x x C
C
.
Do đo,
2
1
( )
3 ,
f x
x x C
x
(1) vơi
1
C
nao đo.
Vì
(1) 4
f
theo gia thiêt, nên thay
1x
vao hai vê cua (1) ta thu đươc
1
0
C
, tư đo
3 2
( ) 3f x x x
. Vây
(2) 20
f
.
Câu 174. Ta có
2
. 2 1 1
f x f x x f x
2
.
2 1
1
f x f x
x
f x
.
Suy ra
2
.
d 2 1 d
1
f x f x
x x x
f x
2
2
d 1
2 1 d
2 1
f x
x x
f x
2 2
1
f x x x C
.
Theo giả thiết
0 2 2
f , suy ra
2
1 2 2 3
C C .
Với
3
C
thì
2
2 2 2
1 3 3 1
f x x x f x x x
. Vậy
1 24
f .
Câu 175. Ta có
2
f x f x f x f x f x

.
Do đó theo giả thiết ta được
2
2 1f x f x x x
.
Suy ra
2
3
2
3 2
x
f x f x x x C
. Hơn nữa
0 0 3
f f
suy ra
9
C
.
Tương tự vì
2
2
f x f x f x
nên
2
2 3
2
2 9
3 2
x
f x x x
. Suy ra
2 3
2 3 4 2
2 1
2 9 d 18
3 2 3 3
x x
f x x x x x x x C
, cũng vì
0 3
f
suy ra
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
3
2 4 2
1
18 9
3 3
x
f x x x x
. Do đó
2
1 28
f
.
Câu 176. Ta có
2 1 e
x
x f x x f x
1 1 e
x
x f x f x x f x
1 1 e
x
x f x x f x
2
e 1 e 1 e
x x x
x f x x f x
2
e 1 e
x x
x f x
2
e 1 d e d
x x
x f x x x
2
1
e 1 e
2
x x
x f x C
Mà
1
0
2
f
0
C
. Vậy
1 e
.
2 1
x
f x
x
Khi đó
2
e
2
6
f
.
Câu 177. Từ giả thiết, ta có
2
1 .
x x f x f x x x
2
1
.
1 1
1
x x
f x f x
x x
x
.
1 1
x x
f x
x x
, với
\ 0; 1
x
.
Suy ra
.
1
x
f x
x
d
1
x
x
x
hay
.
1
x
f x
x
ln 1
x x C
.
Mặt khác, ta có
1 2ln 2
f
nên
1
C
. Do đó
.
1
x
f x
x
ln 1 1
x x
.
Với
2
x
thì
2
. 2 1 ln3
3
f
3 3
2 ln 3
2 2
f
. Suy ra
3
2
a
và
3
2
b
.
Vậy
2 2
9
2
a b
.
Câu 178. Ta có
. 3 1f x f x x
1
3 1
f x
f x
x
1
d d
3 1
f x
x x
f x
x
d
1
d
3 1
f x
x
f x
x
2
ln 3 1
3
f x x C
2
3 1
3
x C
f x e
Mà
1 1
f
nên
4
3
1
C
e
4
3
C
. Suy ra
4
3
5 3,794
f e
.
Câu 179. Từ
. 3 1f x f x x
ta có
1
3 1
f x
f x
x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68
Suy ra:
1
d d
3 1
f x
x x
f x
x
2
ln 3 1
3
f x x C
.
Ta có
2
ln 1 3.1 1
3
f C
4
ln1
3
C
4
3
C
.
Nên
2 4
ln 3 1
3 3
f x x
2 4
3 1
3 3
x
f x e
.
Vậy
2 4 4
3.5 1
3 3 3
5 3;4
f e e
.
Câu 180. Ta có
2
2 3
f x x f x
2
2 3
f x
x
f x
d 2 3 d
f x
x x x
f x
2
1
3
x x C
f x
.
Vì
1
0 2
2
f C
.
Vậy
1 1 1
1 2 2 1
f x
x x x x
.
Do đó
1 1 1009
1 2 3 ... 2017 2018
2020 2 2020
f f f f f
.
Vậy
1009
a
;
2020
b
. Do đó
3029
b a
.
Câu 181.
4 2
2
2
3 1x x
f x f x
x
4 2
2 2
3 1
f x
x x
f x x
.
4 2
2 2
3 1
d d
f x
x x
x x
f x x
4 2
2 2
3 1
d
d
f x
x x
x
f x x
.
2
2 2
1
3 1
d
d
f x
x x
f x x
3
1 1
x x C
f x x
3
1
1
f x C
x x
x
.
Do
1
1
3
f
0
C
4 2
1
x
f x
x x
=
2 2
1 1 1
2 1 1
x x x x
.
1 1 1
1
2 3 1
f
;
1 1 1
2
2 7 3
f
;
1 1 1
3
2 13 7
f
;.;
1 1 1
80
2 6481 6321
f
.
1 2 80
...f f f
1 1 1
2 2 6481
.
=
3240
6481
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69
Câu 182. Theo đề bài, ta có
2
2 2
2
.
. 0 1
f x f x f x
f x f x f x f x
f x
2
1 ln .
2
f x f x
x
x C f x C x D
f x f x
Mà
6
0 1
2
0
2 e
f
C
D
f
. Suy ra :
2
5
2
2 2
e 1 e
x
x
f x f
.
Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm
Câu 183. Ta có
1
d
1
f x x
x
ln 1
x C
1
2
ln 1 khi 1
ln 1 khi 1
x C x
x C x
.
Lại có
0 2017
f
2
ln 1 0 2017
C
2
2017
C .
2 2018
f
1
ln 2 1 2018
C
1
2018
C .
Do đó
ln 3 1 2018 2018 ln 1 1 2017 2017
S
2
ln 2
.
Câu 184. Ta có
1 1
d d d ln ln ln 1
ln 1 ln 1
f x f x x x x x C
x x x
1
2
ln ln 1 khi 0 e
ln ln 1 khi e
x C x
f x
x C x
.
Do
1 1 1
2 2
1 1
ln 6 ln ln 1 ln 6 ln3 ln 6 ln 2
e e
f C C C
Đồng thời
2 2
2 2
e 3 ln ln e 1 3 3
f C C
Khi đó:
3 3
1 1
e ln ln 1 ln 2 ln ln e 1 3 3 ln 2 1
e e
f f
.
Câu 185.
2
1
d
2
f x x
x x
1
2
3
1 1
ln , ; 2
3 2
1 1
ln , 2;1
3 2
1 1
ln , 1;
3 2
x
C x
x
x
C x
x
x
C x
x


.
Ta có
1
1
3 ln 4 , ;2
3
f C x 
,
1
1 1
0 ln , 2;1
3 2
f C x
,
3
1 2
3 ln , 1;
3 5
f C x

,
Theo giả thiết ta có
1
0
3
f
2
1
1 ln 2
3
C
.
2 1
1 ln 2
3 3
f
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70
Và
3 3 0
f f
1 3
1 1
ln
3 10
C C
.
Vậy
4 1 4
f f f
1 2
1 5 1 1 1 1
ln ln 2 ln 2 ln 2
3 2 3 3 3 3
C C
1 1
ln 2
3 3
.
Câu 186. Ta có
df x f x x
2
2
1
dx
x
1 1
1 1
dx
x x
1
2
3
1
ln 1
1
1
ln 1 1
1
1
ln 1
1
khi
khi
khi
x
C x
x
x
C x
x
x
C x
x
.
Khi đó
1 3
1 3
2
2 2
1
2 2 0
ln3 ln 0
0
3
1 1
1 1
2
ln3 ln 2
2 2
3
f f
C C
C C
C
f f
C C
Do đó
1 2 3
3 6
3 0 4 ln 2 ln ln 1
5 5
f f f C C C
.
Câu 187. Ta có
1 1
d d d ln ln ln 1
ln 1 ln 1
f x f x x x x x C
x x x
1
2
ln ln 1 khi 0 e
ln ln 1 khi e
x C x
f x
x C x
.
Do
1 1 1
2 2
1 1
ln 6 ln ln 1 ln 6 ln3 ln 6 ln 2
e e
f C C C
Đồng thời
2 2
2 2
e 3 ln ln e 1 3 3
f C C
Khi đó:
3 3
1 1
e ln ln 1 ln 2 ln ln e 1 3 3 ln 2 1
e e
f f
.
Câu 188. Ta có
F x f x
.
Tính
2
1
2 2 3 .
2 3
F x ax b x ax bx c
x
2
2 2 3
2 3
ax b x ax bx c
x
2
5 3 6 3
2 3
ax b a x b c
x
.
Do đó
2
5 3 6 3
2 3
ax b a x b c
x
2
20 30 11
2 3
x x
x
2 2
5 3 6 3 20 30 11
ax b a x b c x x
5 20
3 6 30
3 11
a
b a
b c
4
2
5
a
b
c
7
T
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 71
Câu 189. Ta có
2
2
e e
2 . 1 . .
x x
F x f x ax bx c ax b x x
Đồng nhất hệ số hai vế ta có:
1 1
2 2 4
1 5
a a
a b b
c b c
. Từ đó
2 1 8 5 2.
S a b c
Câu 190. Ta có
d
f x f x x
3 3
2 2 2 2 2 2
2 2
x x x x x
x e xe me nxe pe C
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 2 2
x x x x x x
x e xe mx e ne nxe pe
3 3
2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 2 2
x x x x x
x e xe mx e n p e nxe
2
3 2
3
13
2 2 1
6
2 0 1
2
m
m
n n m n p
n p
p
.
Câu 191. Vì
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
nên
,F x f x x
2 2
3 2 3 4 3 10 4,mx m n x x x x
3 3
2 3 10
m
m n
1
2
m
n
.
Vậy
. 2
m n
.
Câu 192. Vì
F x
là nguyên hàm của
f x
nên
1 3 3 3 1
cos3 3 sin3 cos3 sin3 cos3f x F x x x a x x x a x x
b c b c b
.
Đồng nhất hai vế của
f x
ta được
2
2
3
1 3
9
3 1
0
a
a
b
b
c
c b
.
Vậy
2.3 9 15
ab c
.
Câu 193. Ta có
d
f x f x x
3 3
2 2 2 2 2 2
2 2
x x x x x
x e xe me nxe pe C
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 2 2
x x x x x x
x e xe mx e ne nxe pe
3 3
2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 2 2
x x x x x
x e xe mx e n p e nxe
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 72
2
3 2
3
13
2 2 1
6
2 0 1
2
m
m
n n m n p
n p
p
.
Câu 194. Ta có
2
1
2 2 3
2 3
F x ax b x ax bx c
x
2 2
2 2 3 5 3 6 3
2 3 2 3
ax b x ax bx c ax b a x c b
x x
Vì
2 2
5 3 6 3 20 30 11
F x f x ax b a x c b x x
5 20 4
3 6 30 2
3 11 5
a a
b a b
c b c
.
Do đó
4 2 5 7
T a b c
.
Câu 195. Chọn A
( ) ( ) '( ) ( )f x F x F x f x
'( ) 0 ( ) 0
F x f x
2
2 2
2019 4 3 2 0 2019 2 1 2 0
x x
x x x x x x
Vậy số điểm cực trị của
( )F x
là
2.
Câu 196. Ta có
F x f x
2
2
2
2 2 2 2 2
. 2x 1 4
x x
F x x f x x x x x x e x x
2
2
2 2
2x 1 1 2 2
x x
x x e x x x x
2
2
2
1
2x 1 1 2 1 2 0 2; 1; ;0;1
2
x x
x x x x x x e x
2
0
F x x
có 5 nghiệm đơn nên
2
F x x
có 5 điểm cực trị.
Câu 197. + Tính
2 2
e 2 e
x x
F x ax bx c ax a b x b c
2
2 5 2 e
x
x x
.
Suy ra
2 2
2 5 1
2 1
a a
a b b
b c c
nên
2
2 1 e
x
F x x x
.
+ Tính
0 1
F
suy ra
0 1 9e
f F f
.
Câu 198. Chọn
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 73
Ta có:
2 2 2
4 4 4
1 cos sin cot 1 cos sin 1 cos cot
sin sin sin
x x x x x x x
F x dx dx dx
x x x
Gọi
2
4
1 cos cot
sin
x x
A dx
x
và
2
4
1 cos sin
sin
x x
B dx
x
Ta có:
2 2
3
4 2
2 4
1
1 cos cot 1 2cot cot
cot 2cot . cot
sin sin
cot cot
.
2 2
x x x x
A dx dx x x d x
x x
x x
C
2 2
2
4
2
1 cos sin 1 cos sin
sin
1 cos
x x x x
B dx dx
x
x
Đặt
cost x
, suy ra
sin .dt x dx
. Khi đó:
2 2
2
2 2 2 2 2
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 1 1
1 . 1 1 1
1
1 1 1
2 cos 1 cos 1
t t
B dt dt dt C
t t
t t t t
t
C
x x
Do đó:
2 4
1 1 1 cot cot
2 cos 1 cos 1 2 2
x x
F x A B C
x x
Suy ra:
2 4
1 1 1 cot cot
2 2 cos 1 cos 1 2 2
x x
F x F C C
x x
2 4
1 1
cot cot 0
cos 1 cos 1
x x
x x
2 4
2 2 4
2cos cos cos
0
sin sin sin
x x x
x x x
Với điều kiện
sin 0
x
,
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 74
3
2 2 3
2
2
cos 0
cos 0
*
cos
2 1 cos cos 1 cos cos 0
2 cos 0
sin
cos 0
cos 0
1 17
2cos cos 2 0
cos
4
x
x
x
x x x x
x
x
x
x
x x
x
Theo giả thiết
0;4
x
nên
3 3
; ; 2 ; 2
2 2 2 2
x x x x
;
; 2
x x
;
; 2
x x
.
Khi đó tổng các nghiệm này sẽ lớn hơn
9
.
Câu 199. Ta có:
2 2 2
2cos 1 cos 1
d d 2 d d
sin sin sin
x x
f x x x x x
x x x
2 2
d sin
1 2
2 d cot
sin sin sin
x
x x C
x x x
Do
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
2cos 1
sin
x
f x
x
trên khoảng
0;
nên hàm số
F x
có công
thức dạng
2
cot
sin
F x x C
x
với mọi
0;
x
.
Xét hàm số
2
cot
sin
F x x C
x
xác định và liên tục trên
0;
.
2
2cos 1
'
sin
x
F x f x
x
Xét
2
2cos 1 1
' 0 0 cos 2
sin 2 3
x
F x x x k k
x
.
Trên khoảng
0;
, phương trình
' 0
F x
có một nghiệm
3
x
Bảng biến thiên:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 75
0;
max 3
3
F x F C
Theo đề bài ta có,
3 3 2 3
C C
.
Do đó,
2
cot 2 3
sin
F x x
x
.
| 1/75

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 CHUYÊN
NGUYÊN HÀM & PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ĐỀ 18 MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 2
Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm) ................................................................................................... 2
Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện ................................................................................................ 2
Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện ......................................................................................................... 11
Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm ...................................................................................... 16
Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 16
Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 17
Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm ..................................................................................... 18
Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 18
Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 21
Dạng 4. Nguyên hàm từng phần ..................................................................................................................................... 22
Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 22
Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 25
Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán ..................................................................................................................... 26
Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm .............................................................................................. 30
PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO ............................................................................................................................... 33
Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm) ................................................................................................. 33
Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện .............................................................................................. 33
Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện ......................................................................................................... 38
Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm ...................................................................................... 44
Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 44
Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 45
Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm ..................................................................................... 47
Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 47
Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 51
Dạng 4. Nguyên hàm từng phần ..................................................................................................................................... 53
Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 53
Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 57
Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán ..................................................................................................................... 60
Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm .............................................................................................. 69
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm)
Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện
Câu 1. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số   4 2
f x x x là 1 1 A. 5 3 x x C B. 4 2
x x C C. 5 3
x x C . D. 3
4x  2x C 5 3
Câu 2. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x  2x  4 là A. 2 x C . B. 2 2 x C . C. 2
2x  4x C . D. 2
x  4x C .
Câu 3. (Mã 102 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  2x  6 là A. 2 x C . B. 2
x  6x C . C. 2 2x C . D. 2
2x  6x C .
Câu 4. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x  2 sin x . A. xdx   x   2 sin 2 cos C B. xdx x   2sin 2 cos C C. xdx x   2 2 sin sin C D. xdx x   2 sin sin 2 C
Câu 5. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số   3
f x x x là 1 1 A. 4 2 x x C B. 2 3x  1 C C. 3
x x C D. 4 2
x x C 4 2
Câu 6. (Mã 103 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  2x  3 là A. 2
x  3x C . B. 2
2x  3x C . C. 2 x C . D. 2 2x C .
Câu 7. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x  2x 1. 2 1 A.
f xdx  2x   1 2x 1  C.  B.
f xdx  2x   1 2x 1  C.  3 3 1 1 C.
f xdx   2x 1  C.  D.
f xdx  2x 1  . C  3 2 2
Câu 8. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2  x  . 2 x 3 x 1 3 x 2 A.
f x dx    C  . B.
f x dx    C  . 3 x 3 x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 x 1 3 x 2 C.
f x dx    C  . D.
f x dx    C  . 3 x 3 x 1
Câu 9. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x  . 5x  2 dx 1 dx A. 
ln 5x  2  C  B.
 ln 5x  2  C  5x  2 5 5x  2 dx 1 dx C.  
ln 5x  2  C  D.
 5 ln 5x  2  C  5x  2 2 5x  2
Câu 10. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x  cos 3x sin 3x A. xdx x   cos 3 3 sin 3 C B. cos 3xdx    C 3 sin 3x C. xdx x   cos 3 sin 3 C D. cos 3xdx     C 3
Câu 11. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số   3 2
f x x x là 1 1 A. 4 3 x x C B. 2
3x  2x C C. 3 2
x x C D. 4 3
x x C 4 3
Câu 12. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số   x
f x e x là 1 x 1 x 1 A. x e 1 C B. x 2
e x C C. 2 e x C D. 2 e x C 2 x 1 2
Câu 13. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x)  2x  5 là A. 2 x C . B. 2
x  5x C . C. 2
2x  5x C . D. 2 2x C .
Câu 14. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số   7x f x  . x 7x A. 7 dx   C  B. x x 1 7 dx 7    C  ln 7 x 1  x 7 C. 7 dx   C  D. 7x d  7x x ln 7  Cx 1
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  cos 2x . A.   d  2sin 2   f x x x C B.   d  2sin 2   f x x x C 1 1 C.  d  sin 2   f x x x C D.  d   sin 2   f x x x C 2 2
Câu 16. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số   4
f x x x là
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 A. 3 4x 1 C B. 5 2
x x C C. 5 2 x x C D. 4
x x C 5 2
Câu 17. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x)  3x 1 là 3 x A. 3 x C B.  x C C. 6 x C D. 3
x x C 3
Câu 18. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm nguyên hàm x x   15 2 7 dx ? 1 1 1 1 A. x  716 2  C B.  x  716 2  C C. x  716 2  C D. x  716 2  C 2 32 16 32
Câu 19. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số 3 (x)  x f e là hàm số nào sau đây? 1 1 A. 3 x e C . B. 3 x eC . C. x e C . D. 3 3 x eC . 3 3
x  sin 2xdx
Câu 20. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Tính  . 2 x 2 x cos 2x 2 x cos 2x A.
 sin x C . B.
 cos 2x C . C. 2 x   C . D.   C . 2 2 2 2 2
Câu 21. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Nguyên hàm của hàm số 2 1 e x y   là 1 1 A. 2 1 2e x  C . B. 2 1 e x  C . C. 2 x 1 e   C . D. ex C . 2 2
Câu 22. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm 1
số f x  2x  3 1 1 1
A. ln 2 x  3  C . B.
ln 2x  3  C . C.
ln 2x  3  C . D. lg 2x  3  C . 2 ln 2 2
Câu 23. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm 1 số 2   3x y x  . x 3 3x x 1 3 x x 1 A.  
C, C   . B.  3 
C, C   . 2 3 ln 3 x 2 3 x 3 3x x 3 3x x C. 
 ln x C, C   . D. 
 ln x C, C   . 3 ln 3 3 ln 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 24. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm
số f x  sin 3x 1 1 A. 3  cos3xC .
B. 3cos3x C .
C. cos3x C .
D.  cos3x C . 3 3
Câu 25. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số f x 2
 3x  sin x là A. 3
x  cos x C .
B. 6x  cos x C . C. 3
x  cos x C .
D. 6x  cos x C .
Câu 26. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Công thức nào sau đây là sai? 1 1 A. ln x dx   C  . B.
dx  tan x C  . x 2 cos x
C. sin x dx   cos x C  . D. ex d  ex xC  .
Câu 27. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Nếu f x 3 2
dx  4x x C
thì hàm số f x bằng 3 x A. f x 4  x
Cx . B. f x 2
 12x  2x C . 3 3 x C. f x 2
 12x  2x . D. f x 4  x  . 3
Câu 28. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 e 1 x  A. cos 2xdx  sin 2x C  . B. e x dx   C  . 2 e 1 1 x 1  x e C.
dx  ln x C  . D. e dx   C  . x x 1
Câu 29. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Nguyên hàm của hàm số 2x y  là x 2x x 2x
A. 2x d  ln 2.2x xC  . B. 2x d  2x xC  . C. 2 dx   C  . D. 2 dx   C  . ln 2 x 1
Câu 30. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số   2 f x x là 3 x
A. F x  2x C .
B. F x   C . C.   3
F x x C .
D. F x  x C . 3
Câu 31. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
f x  3x  sin x .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 3x A. f   x 2
dx  3x  cos x C . B. f
  xdx
 cos x C . 2 2 3x C. f
  xdx
 cos x C . D. f
  xdx  3  cos x C . 2
Câu 32. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số
f (x)  x  s inx là 2 x 2 x A. 2 x  cos x+C B. 2 x  cos x+C C.  cos x+C D.  cos x+C 2 2
Câu 33. (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  cos x là:
A. cos x C .
B.  cos x C .
C.  sin x C .
D. sin x C .
Câu 34. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số   4 2
f x x x là 1 1 A. 3
4x  2x C . B. 4 2
x x C . C. 5 3 x x C . D. 5 3
x x C . 5 3
Câu 35. (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số   x
f x e  2x là. 1 A. x 2
e x C . B. x 2
e x C . C. x 2
e x C . D. x e  2  C . x 1
Câu 36. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ các nguyên hàm của hàm số
y  cos x x là 1 1 A. 2 sin x x C . B. 2
sin x x C . C. 2  sin x x C . D. 2
 sin x x C . 2 2
Câu 37. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số 1 2
y x  3x  là x 3 2 x 3x 3 2 x 3x A. 
 ln x C. B.   ln x C. 3 2 3 2 3 2 x 3x 3 2 x 3x 1 C. 
 ln x C. D.    C. 3 2 2 3 2 x
Câu 38. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số 1 f x   sin x là x 1
A. ln x  cos x C . B. 
 cos x C .
C. ln x  cos x C .
D. ln x  cos x C . 2 x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1
Câu 39. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Hàm số F x 3  x là một 3
nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên  ;   ? 1 A. f x 2  3x . B.   3 f x x . C.   2 f x x . D. f x 4  x . 4
Câu 40. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số   2x f x  . 2x A.  d  2x f x xC  . B.
f x dx   C  . ln 2 x 1 2  C.  d  2x f x x ln 2  C  . D.
f x dx   C  . x 1
Câu 41. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Tìm nguyên hàm của hàm số 4 x  2 f x  . 2 x 3 x 1 3 x 2 A.
f x dx    C  . B.
f x dx    C  . 3 x 3 x 3 x 1 3 x 2 C.
f x dx    C  . D.
f x dx    C  . 3 x 3 x
Câu 42. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số x y e ? 1 A. y  . B. x y e . C. x y e  . D. y  ln x . x
Câu 43. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính 2
F (x)  e dx  , trong
đó e là hằng số và e  2, 718 . 2 2 e x 3 e A. F (x)   C . B. F (x)   C . C. 2
F (x)  e x C .
D. F(x)  2ex C . 2 3
Câu 44. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nguyên hàm của hàm số 1  1  f x  trên  ;   . 1 2x  2  1 1 1 A.
ln 2x 1  C . B.
ln 1 2x  C .
C.  ln 2x 1  C .
D. ln 2x 1  C . 2 2 2
Câu 45. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Nguyên hàm của hàm số 3 2 x x ?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 A. 2
3x  2x C . B. 4 3 x x C . C. 4 3
x x C . D. 4 3
4x  3x C . 4 3
Câu 46. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Nguyên hàm của hàm số    2x f xx là x 2 2 x 2x 2 x 2 x A.  C . B. 2
2 x x C . C.  x C . D. 2   C . ln 2 2 ln 2 2
Câu 47. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số f x  1 sin x
A. 1 cos x C .
B. 1 cos x C .
C. x  cos x C .
D. x  cos x C .
Câu 48. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Nguyên hàm của hàm số f (x)  1 3 2
x  2x x  2019 là 3 1 2 1 2 x 4 2 3 x 2 A. x x   C . B. 4 3 x x
 2019x C . 12 3 2 9 3 2 2 1 2 x 2 1 2 x C. 4 3 x x
 2019x C . D. 4 3 x x
 2019x C . 12 3 2 9 3 2
Câu 49. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số 2 ( )  2x t xx là x 3 2 x 3 x 2x A.   C .
B. 2x  2x C . C. 2x ln 2   C . D.  2x C . ln 2 3 3 ln 2 1
Câu 50. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  trên 3x 1  1  khoảng  ;    là:  3  1 1
A. ln(3x 1)  C
B. ln(1 3x)  C
C. ln(1 3x)  C D. ln(3x1)  C 3 3
Câu 51. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong các khẳng
định sau, khẳng định nào sai? 2 x e x A. 2x d  2x x ln 2  C  . B. 2 e dx   C  . 2 1 1 C. cos 2 d x x  sin 2x C  . D.
dx  ln x 1  C   x     1 . 2 x 1
Câu 52. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số 4 2x  3 f (x) 
. Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 2x 3 3 2x 3 A.
f (x)dx    C  . B.
f (x)dx    C  . 3 2x 3 x 3 2x 3 3 C.
f (x)dx    C  . D. 3
f (x)dx  2x   C  . 3 x x x
Câu 53. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số f x  2  x 1. Tìm
f x dx  . x 1 x 1 A. f x 2
dx  2  x x C  . B. f x 2 dx  2 
x x C  . ln 2 2 x 1 1 x 1 C. f x 2 dx  2 
x x C  . D. f x 2 dx  2 
x x C  . 2 x 1 2
Câu 54. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
f x  3x  sin x . 2 3x A. f   x 2
dx  3x  cos x C . B. f
  xdx
 cos x C . 2 2 3x C. f
  xdx
 cos x C . D. f
  xdx  3 cos x C . 2
Câu 55. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số   2 x
F x e là nguyên hàm của hàm
số nào trong các hàm số sau: 2 x 2 2 e A. ( )  2 x f x xe . B. 2 ( ) x
f x x e 1. C. 2 ( ) x f x e . D. f (x)  . 2x
Câu 56. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 3 x f x   là 3x 3x A.   C
B. 3 x C
C. 3 x ln 3  C D.  C ln 3 ln 3
Câu 57. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số f x 3 2
x x là 4 3 x x 4 3 x x A.   C . B. 4 3
x x C . C. 2
3x  2x C . D.   C 4 3 3 4
Câu 58. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không
là nguyên hàm của hàm số 2019 y x ? 2020 x 2020 x 2020 x A. 1. B. . C. 2018 y  2019x . D. 1 . 2020 2020 2020
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 59. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tìm họ nguyên hàm của hàm số x 1 2
y x  3  . x 3 3x x 3 3x x A. 
 ln x C, C R B. 
 ln x C, C R 3 ln 3 3 ln 3 3 x 3 3x x 1 x 1 C.  3 
C, C R D.  
C, C R 2 3 x 2 3 ln 3 x
Câu 60. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nguyên hàm của hàm số e   x 2018 x
f x  e 2017   . 5  x   2018 2018 A.  d  2017 x f x x e   C  . B.  d  2017 x f x x e   C 4  . x 4 x 504, 5 504,5 C.  d  2017 x f x x e   C  . D.  d  2017 x f x x e   C 4  . x 4 xxe
Câu 61. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số x y e 2   là 2  cos x   x 1 x 1 A. 2 x
e  tan x C B. 2 x
e  tan x C C. 2e   C D. 2e   C cos x cos x 1
Câu 62. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Nguyên hàm của hàm số f x  có dạng: 2 2x 1 1 A.
f x dx  2x 1  C  . B.
f x dx  2x 1  C  . 2 1 C.
f x dx  2 2x 1  C  . D.
f x dx   C  . 2x   1 2x 1
Câu 63. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm nguyên F x của hàm số
f x   x  
1  x  2  x  3 ? 4 x 11 A. F x 3 2   6x
x  6x C . B. F x 4 3 2
x  6x 11x  6x C . 4 2 4 x 11 C. F x 3 2   2x
x  6x C . D. F x 3 2 2
x  6x 11x  6x C . 4 2 3x  2
Câu 64. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  trên khoảng  x  22 2; là
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 2
A. 3ln  x  2   C
B. 3ln  x  2   C x  2 x  2 4 4
C. 3ln  x  2   C
D. 3ln  x  2   C . x  2 x  2 2x 1
Câu 65. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  trên khoảng  x  2 1  1  ;   là 2 3 A. 2 ln  x   1   C . B. 2 ln  x   1   C . x 1 x 1 2 3 C. 2 ln  x   1   C . D. 2 ln  x   1   C . x 1 x 1
Câu 66. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho    2 F x
x là một nguyên hàm của hàm số   2 . x f x e . Tìm nguyên hàm của hàm số   2 ' . x f x e . A.        2 2 ' . x f x e dx x x C B.   x
f x e dx  x x   2 2 ' . 2 C C.   x
f x e dx x x   2 2 ' . 2 2 C D.   x f
x e dx   x x   2 2 ' . 2 2 C
Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện
Câu 67. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x  sin x  cos x thoả mãn    F  2   .  2 
A. F x   cos x  sin x  3
B. F x   cos x  sin x 1
C. F x   cos x  sin x 1
D. F x  cos x  sin x  3
Câu 68. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số ( )  x f x
e  2x thỏa 3 mãn F 0 
. Tìm F x . 2 A.    x F x e  2 1 x  B.    x F x e  2 5 x  2 2 C.    x F x e  2 3 x  D.    x F x e  2 1 2 x  2 2
Câu 69. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho hàm số f x thỏa mãn f 'x  3  5 sin x và f 0  10
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
A. f x  3x  5 cos x  15
B. f x  3x  5 cos x  2
C. f x  3x  5 cos x  5
D. f x  3x  5 cos x  2  1 
Câu 70. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hàm số f (x) xác định trên  \   thỏa mãn  2  2
f  x 
, f 0  1, f  
1  2 . Giá trị của biểu thức f   1  f 3 bằng 2x 1 A. 2  ln15 B. 3  ln15 C. ln15 D. 4  ln15 1
Câu 71. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho F x là một nguyên hàm của f x  x 1
trên khoảng 1;  thỏa mãn F e  
1  4 Tìm F x . A. 2 ln  x   1  2 B. ln  x   1  3 C. 4 ln  x   1 D. ln  x   1  3 f x
f  x  2  5sin x
Câu 72. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số thỏa mãn f 0  10 và
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f x  2x  5cos x  3 .
B. f x  2x  5cos x 15 .
C. f x  2x  5cos x  5 .
D. f x  2x  5cos x 10 .
Câu 73. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết F x là một nguyên hàm của hàm số   2 x
f x e và F 0  0 . Giá trị của F ln 3 bằng A. 2. B. 6. C. 8. D. 4.
Câu 74. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số F x 2
x ln sin x  cos x
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? 2 x 2
x cos x  sin x
A. f x 
. B. f x  2x ln sin x  cos x  . sin x  cos x sin x  cos x 2
x sin x  cos x 2 x
C. f x  .
D. f x  2x ln sin x  cos x  . sin x  cos x sin x  cos x
Câu 75. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết F x là một nguyên hàm    2   
của hàm f x  cos 3x và F    . Tính F   .  2  3  9     3  2    3  2    3  6    3  6 A. F    B. F    C. F    D. F     9  6  9  6  9  6  9  6
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 76. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Nguyên hàm của hàm số   2x 2 x f x     5 là  2x    A. x  5 C x      . B. x 5.2 ln 2 C . ln 2 2x  2x     2x    C.  
x  5x C   . D. 1 5 C   . ln 2  ln 2  ln 2
Câu 77. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết F x là một nguyên hàm của hàm số 201  1 2 x
e và F 0 
 Giá trị F   là 2  2  1 1 1 A. e  200 B. 2e 100 C. e  50 D. e 100 2 2 2
Câu 78. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số F x nào sau đây là một nguyên
hàm của hàm số f x.g x , biết F   1  3,
f x dx x C
g x dx x C 1  và   2 2  . A. F x 2  x 1 B. F x 2  x  3 C. F x 2  x  2 D. F x 2  x  4 F x
Câu 79. (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Cho
là một nguyên hàm của hàm số 1 F   1  2. F 0 f x  , biết Giá trị của bằng x  2 A. 2  ln 2. B. ln 2. C. 2  ln 2. D. ln  2  .
Câu 80. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm một nguyên hàm F x của b
hàm số f x  ax
x  0 , biết rằng F   1  1, F   1  4, f   1  0 2   x 3 3 7 3 3 7 A. F x 2  x   . B. F x 2  x   . 2 4x 4 4 2x 4 3 3 7 3 3 1 C. F x 2  x   . D. F x 2  x   . 4 2x 4 2 2x 2
Câu 81. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho F x là một nguyên hàm của 1
hàm f x 
; biết F 0  2 . Tính F   1 . 2x 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A. F   1
1  ln3  2 . B. F   1  ln3  2 . C. F  
1  2ln3  2 . D. F   1 1  ln3  2 . 2 2
Câu 82. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f x thỏa mãn
f  x   cos x và f 0  2019 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f x   s inx  2019 .
B. f x  2019  cos x .
C. f x  s inx 2019 . D. f x  2019  cos x .
Câu 83. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết F x là một nguyên hàm    2   
của hàm f x  cos 3x và F    . Tính F   .  2  3  9     3  2    3  2    3  6    3  6 A. F    B. F    C. F    D. F     9  6  9  6  9  6  9  6
Câu 84. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số F x là một nguyên hàm của hàm 1
số y  trên  ;
 0 thỏa mãn F  2
   0 . Khẳng định nào sau đây đúng? x  x
A. F x  ln x      ;  0  2 
B. F x  ln x C x   ;
 0 với C là một số thực bất kì.
C. F x  ln x  ln 2 x   ;  0 .
D. F x  ln x  C x   ;
 0 với C là một số thực bất kì.
Câu 85. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số f x có đạo hàm
liên tục trên  và:   2  2e x f x 1,  ,
x f 0  2 . Hàm f x là A.  2ex y  2x . B. 2ex y   2 . C. 2  e x yx  2 . D. 2  e x yx 1.
Câu 86. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số    2  x f x
x e . Tìm một nguyên
hàm F x của hàm số f x thỏa mãn F 0  2019 . A.   2   x F x x e  2018. B.   2   x F x x e  2018 . C.   2   x F x x e  2017 . D.    x F x e  2019 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 f xR \   1
Câu 87. (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Cho hàm số xác định trên thỏa mãn 1
f 0  2017 f 2  2018
S f 3  f   1
f  x  , , . Tính . x 1 A. S  ln 4035 . B. S  4 . C. S  ln 2 . D. S  1. 2x 13
Câu 88. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho biết
dx  a ln x 1  b ln x  2  C  .  x   1  x  2
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  2b  8 .
B. a b  8 .
C. 2a b  8 .
D. a b  8 . 1
Câu 89. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho biết dx  a ln   x   1  x  
1  b ln x C . Tính giá trị 3 x x
biểu thức: P  2a b . 1 A. 0. B. -1. C. . D. 1. 2 4x 11
Câu 90. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho biết
dx  a ln x  2  b ln x  3  C  . Tính giá trị 2 x  5x  6 biểu thức: 2 2
P a ab b . A. 12. B. 13. C. 14. D. 15. b 1 1
Câu 91. Cho hàm số f x thỏa mãn f x 2  ax  , f   1  3 , f   1  2 , f      
. Khi đó 2a b bằng 3 x 2 12 3 3 A.  . B. 0 . C. 5 . D. . 2 2
Câu 92. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số   2x f x  , thỏa mãn 1 F 0 
. Tính giá trị biểu thức T F 0  F  
1  ...  F 2018  F 2019 . ln 2 2019 2 1 A. T  1009. . B. 2019.2020 T  2 . ln 2 2019 2 1 2020 2 1 C. T  . D. T  . ln 2 ln 2
Câu 93. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho F x là một nguyên hàm 1   
của hàm số f x  . Biết F
k  k với mọi k   . Tính F 0  F    F  
   ... F 10  . 2   cos x  4  A. 55. B. 44. C. 45. D. 0.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm
Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện
Câu 94. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Nguyên hàm của hàm số 2
f (x)  3sin x cos x là A. 3 sin x C . B. 3
 sin x C . C. 3 cos x C . D. 3
 cos x C . sin x
Câu 95. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  13cos x . 1 A.
f (x) dx
ln 1 3cos x C  . B.
f (x) dx  ln 1 3cos x C  . 3 1 C.
f (x) dx  3ln 1 3cos x C  . D.
f (x) dx   ln 1 3cos x C  . 3
Câu 96. (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 2 f x 3
dx  4x  2x C I xf  x dx 0  . Tính . 10 6 x x A. 6 2
I  2x x C . B. I    C . 10 6 C. 6 2
I  4x  2x C . D. 2
I  12x  2 . cos x
Câu 97. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Tìm các hàm số f (x) biết ' f (x)  . 2 (2  sin x) sin x 1 A. f (x)   C . B. f (x)   C . 2 (2  sin x) (2  cos x) 1 sin x C. f (x)    C . D. f (x)   C . 2  sin x 2  sin x
Câu 98. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm số   3 2 1 .e   x f x x . 3 x A. f x 3 1 dx .e     x C . B.   3 1 d 3e     x f x x C . 3 1 C.   3 1 d e     x f x x C . D.   3 1 d e     x f x x C . 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1
Câu 99. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số f x  5x  4 là: 1 1 1
A. ln 5x  4  C .
B. ln 5x  4  C . C.
ln 5x  4  C . D. ln 5x  4  C . 5 ln 5 5 1
Câu 100. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f x  9 5 x  3x 4 1 1 x 4 1 1 x A.
f xdx    ln  C  B.
f xdx    ln  C 4 4  3x 36 x  3 4 4 12x 36 x  3 4 1 1 x 4 1 1 x C.
f xdx    ln  C  D.
f xdx    ln  C 4 4  3x 36 x  3 4 4 12x 36 x  3 3x 1
Câu 101. (Mã 102 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x)  trên khoảng (1; ) 2 (x 1) là 1 2 A. 3ln(x 1) 
c . B. 3ln(x 1)   c . x 1 x 1 2 1 C. 3ln(x 1) 
c . D. 3ln(x 1)   c . x 1 x 1
Câu 102. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Nguyên hàm của   2 sin  sin 2 . x f x x e là 2 sin x 1  2 sin x 1  2 e 2 e A. 2 sin 1 sin . x x e   C . B.  C . C. sin x eC . D.  C . 2 sin x 1 2 sin x 1
Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện
Câu 103. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Biết F x là một nguyên hàm sin x   
của hàm số f (x)  và F  2   .Tính F 0. 1 3cos x  2  1 2 2 1
A. F (0)   ln 2  2 . B. F (0)   ln 2  2 . C. F (0)   ln 2  2 . D. F (0   ln 2  2 . 3 3 3 3 F x
Câu 104. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm hàm số 3 x F 0  1
biết F x  dx  và . 4 x 1 1 3
A. F x   4 ln x  
1 1. B. F x  ln  4 x   1  . 4 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1
C. F x  ln  4 x   1 1.
D. F x   4 4ln x   1 1. 4 1
Câu 105. Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x 
và F 0   ln 2e . Tập nghiệm S của phương x e 1 trình    ln  x F x e   1  2 là: A. S    3 B. S  2;  3 C. S  2;  3 D. S  3;  3   2017 1 b x 1  x 1 
Câu 106. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Biết dx  .
C , x  1    với a , b     x  2019 1 a x 1
. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  2b . B. b  2a .
C. a  2018b .
D. b  2018a .
Câu 107. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số y f x thỏa mãn
f xf x 4 2 ' .
x x . Biết f 0  2 . Tính 2 f 2 . 313 332 324 323 A. 2 f 2  . B. 2 f 2  . C. 2 f 2  . D. 2 f 2  . 15 15 15 15
Câu 108. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Biết rằng F x là một nguyên hàm trên  của hàm 2017x
số f x  thỏa mãn F  
1  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x . x  2018 2 1 1 2017 1 2 2017 1 2 1 A. m   . B. m  . C. m  . D. m  . 2 2018 2 2018 2 2
Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm
Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện
Câu 109. (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Nguyên hàm của hàm số f x 3  3x 1 là A.
f xx   x   3 d 3 1 3x 1  C  . B. f x 3
dx  3x 1  C  . 1 1 C. f x 3 dx  3x 1  C  . D.
f x dx  3x   3 1 3x 1  C  . 3 4
Câu 110. Họ các nguyên hàm của hàm số f x   x  5 2 3 là  x  6 2 3  x  6 2 3
A. F x   C .
B. F x   C . 12 6
C. F x   x  4 10 2 3  C .
D. F x   x  4 5 2 3  C .
Câu 111. Nguyên hàm của hàm số f x  3x  2 là
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 1 A.
(3x  2) 3x  2  C B. (3x  2) 3x  2  C 3 3 2 3 1 C.
(3x  2) 3x  2  C D.  C 9 2 3x  2
Câu 112. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số
f x  2x 1 là 1 1 A.  2x   1 2x 1  C . B. 2x 1  C . 3 2 2 1 C. 2x   1 2x 1  C . D. 2x   1 2x 1  C . 3 3
Câu 113. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Đổi biến t x 1 thì x dx  trở thành 4 (x 1) t 1 4 (t 1) t 1 t 1 A. dt.  B. dt. dt. dt. 4  C.  D.  t t 4 t t
Câu 114. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Khi tính nguyên hàm x  3 dx
, bằng cách đặt u
x  1 ta được nguyên hàm nào? x  1 A.   2
2 u  4d u . B.   2 u  4d u . C.   2 u  3d u . D. u   2 2 u  4d u . Câu 115. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết
f x dx  3x cos 2x  5  C
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A.
f 3x dx  3x cos 6x  5  C  B.
f 3x dx  9x cos 6x  5  C  C.
f 3x dx  9x cos 2x  5  C  D.
f 3x dx  3x cos 2x  5  C
Câu 116. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số
f x  x x  2019 3 2 1 là  2021 2020
x  2021  x  2020 2 2 1 1  2 2 1 x   1 x   1 A.    . B.  . 2  2021 2020  2021 2020    2021 2020
x  2021  x  2020 2 2 1 1  2 x    2 1 x   1  1 C.   C . D.     C . 2021 2020 2  2021 2020   
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 117. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết
f x dx  3x cos 2x  5  C
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A.
f 3x dx  3x cos 6x  5  C  B.
f 3x dx  9x cos 6x  5  C  C.
f 3x dx  9x cos 2x  5  C  D.
f 3x dx  3x cos 2x  5  C  2x 1
Câu 118. (Mã 103 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  trên khoảng  x  22  2  ;   là 3 1
A. 2 ln  x  2   C .
B. 2 ln  x  2   C . x  2 x  2 1 3
C. 2 ln  x  2   C .
D. 2 ln  x  2   C . x  2 x  2 1 ln x
Câu 119. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Nguyên hàm của f x  là: . x ln x 1 ln x 1 ln x A.
dx  ln ln x C  . B. 2
dx  ln x .ln x C  . . x ln x . x ln x 1 ln x 1 ln x C.
dx  ln x  ln x C  . D. dx  ln .
x ln x C  . . x ln x . x ln x
Câu 120. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 3 2 x 1 x e   A.   3 1 d x f x x e    C  . B.   3 1 d 3 x f x x e    C  . 1 3 x C. f x 3 x 1 dx e    C  . D. f x 3 x 1 dx e    C  . 3 3 1
Câu 121. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  2 2x 1 . 1 A.
f xdx  2x 1  C  . B.
f xdx  2x 1  C  . 2 1 C.
f xdx  2 2x 1  C  . D.
f xdx   C  . 2x   1 2x 1
Câu 122. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 5  tan x . 1 1 A. f x 4 2 dx  tan x
tan x  ln cosx C  . 4 2 1 1 B. f x 4 2 dx  tan x
tan x  ln cosx C  . 4 2 1 1 C. f x 4 2 dx  tan x
tan x  ln cosx C  . 4 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 D. f x 4 2 dx  tan x
tan x  ln cosx C  . 4 2
Câu 123. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Nguyên hàm của hàm số f x   2 ln x x 1 là
A. F x  x  2 x x   2 ln 1  x 1  C .
B. F x  x  2 x x   2 ln
1  x 1  C .
C. F x  x  2 ln x
x 1  C . D. F x 2  x  2 ln x
x 1  C .
Câu 124. (THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHÒNG - 2018) Biết f x 2 2
dx  sin x  ln x  . Tìm nguyên hàm
f x dx  . x x A. f x 2 dx  sin  ln x C  . B. f x 2 dx  2sin  2 ln x C  . 2 2 C. f x 2
dx  2 sin x  2 ln x  ln 2  C  . D. f x 2
dx  2 sin 2x  2 ln x  ln 2  C  .
Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện
Câu 125. (HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Biết F x là một nguyên hàm của hàm số    f x 3  sin .
x cos x và F 0   . Tính F   .  2           1    1 A. F      . B. F     . C. F       . D. F      .  2   2   2  4  2  4
Câu 126. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số 2x  1 1 f x  trên khoảng
0; thỏa mãn F   1 
. Giá trị của biểu thức 4 3 2
x  2x x 2 S F  
1  F 2  F 3    F 2019 bằng 2019 2019.2021 1 2019 A. . B. . C. 2018 . D.  . 2020 2020 2020 2020
Câu 127. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Biết x cos 2 d
x x ax sin 2x b cos 2x C
với a , b là các
số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 1 1 1 A. ab  . B. ab  . C. ab   . D. ab   . 8 4 8 4  3 
Câu 128. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Biết rằng trên khoảng ;     , hàm số  2  2
20x  30x  7 f x 
có một nguyên hàm F x   2
ax bx c 2x  3 ( a,b,c là các số nguyên). Tổng 2x  3
S a b c bằng A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2x  3dx 1 Câu 129. Giả sử    
C ( C là hằng số). x x  
1  x  2 x  3 1 g x
Tính tổng các nghiệm của phương trình g x  0 . A. 1. B. 1. C. 3 . D. 3 . 1 Câu 130. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Cho I dx  3 x  2 1 x  a
b ln x  2c ln  2 1 x
C . Khi đó S a b c bằng 2  x 1  3 7 A. . B. . C. . D. 2 . 4 4 4
Dạng 4. Nguyên hàm từng phần
Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện
Câu 131. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x  4x 1 ln x là: A. 2 2
2x ln x  3x . B. 2 2
2x ln x x . C. 2 2
2x ln x  3x C . D. 2 2
2x ln x x C .
Câu 132. Họ các nguyên hàm của hàm số f x  x sin x là
A. F x  x cos x  sin x C.
B. F x  x cos x  sin x C.
C. F x  x cos x  sin x C.
D. F x  x cos x  sin x C.
Câu 133. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số 2 ( )  . x f x x e là : 1 1 x  1  A. 2 F (x)  e x   C 2 x   B. F (x) 
e x  2  C 2  2  2 x  1  C. 2 ( )  2 x F x
e x  2  C D. 2
F (x)  2e x   C    2 
Câu 134. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số    2   1 x f x x e là A. 2  3 x x e C . B. 2  3 x x e C . C. 2   1 x x e C . D. 2   1 x x e C .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 135. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 ( ) x f x xe ? 1 1 x  1  A. 2 F (x)  e x   C. 2 x   B. F (x) 
e x  2  C. 2  2  2 x  1  C. 2 ( )  2 x F x
e x  2  C. D. 2
F (x)  2e x   C.    2 
Câu 136. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số
f x  x 1 sin x là 2 x 2 x A.
x sin x  cos x C . B.
x cos x  sin x C . 2 2 2 x 2 x C.
x cos x  sin x C . D.
x sin x  cos x C . 2 2
Câu 137. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( )  2 (1 x f x x e ) là A.    2 2 1 x x e x . B.    2 2 1 x x e x . C.    2 2 2 x x e x . D.    2 2 2 x x e x .
Câu 138. Họ nguyên hàm của f x  x ln x là kết quả nào sau đây? 1 1 1 1 A. F x 2 2  x ln x x C . B. F x 2 2  x ln x x C . 2 2 2 4 1 1 1 1 C. F x 2 2  x ln x x C . D. F x 2  x ln x x C . 2 4 2 4
Câu 139. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm tất cả các
nguyên hàm của hàm số f x   2 3x   1 .ln x . 3 x 3 x A.
f xdx x   2 x   1 ln x   C . B. f x 3
dx x ln x   C  . 3 3 3 x 3 x C.
f xdx x   2 x   1 ln x   x C . D. f x 3
dx x ln x   x C  . 3 3
Câu 140. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tất cả các nguyên hàm của hàm x
số f x 
trên khoảng 0;  là 2 sin x
A. x cot x  ln sinx  C .
B. x cot x  ln s inx C .
C. x cot x  ln s inx C . D. x cot x  ln sinx  C .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 141. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số y  3x x  cos x là A. 3
x  3 x sin x  cos x  C B. 3
x  3 x sin x  cos x  C C. 3
x  3 x sin x  cos x  C D. 3
x  3 x sin x  cos x  C
Câu 142. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số   4   ex f x x x là 1 1 A. 5     1 ex x xC . B. 5     1 ex x xC . 5 5 1 C. 5  ex x xC . D. 3 4     1 ex x xC . 5
Câu 143. Cho hai hàm số F x,G x xác định và có đạo hàm lần lượt là f x, g x trên  . Biết rằng 3 2x
F xG x 2  x  2 . ln x  
1 và F x.g x 
. Họ nguyên hàm của f x.G x là 2 x 1 A.  2 x    2 x   2 1 ln 1  2x C. B.  2 x    2 x   2 1 ln 1  2x C. C.  2 x    2 x   2 1 ln 1  x C. D.  2 x    2 x   2 1 ln 1  x C.
Câu 144. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 x A. d     x x x xe x e xe C . B. xe dx e e   x x x C . 2 2 x C. d     x x x xe x xe e C . D. xe dx e   x x C . 2
Câu 145. (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hai hàm số F x , G x xác đinh và 3 2x
có đạo hàm lần lượt là f x , g x trên  . Biết F x  x 2  x  2 .G ln x  
1 và F xg x  . Tìm họ 2 x 1
nguyên hàm của f xG x . A.  2 x    2 x   2 1 ln
1  2x C . B.  2 x    2 x   2 1 ln
1  2x C . C.  2 x    2 x   2 1 ln 1  x C . D.  2 x    2 x   2 1 ln 1  x C .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1
Câu 146. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho biết F x 3  x  2x  là một nguyên 3 xx a2 2
hàm của f x 
. Tìm nguyên hàm của g x  x cos ax . 2 x 1 1
A. x sin x  cos x C B. x sin 2x  cos 2x C 2 4 1 1
C. x sin x  cos C D. x sin 2x  cos 2x C 2 4
Câu 147. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số  2
2x xln x 1 y  là x 2 x 2 x A.  2 x x   1 ln x   x C . B.  2 x x   1 ln x   x C . 2 2 2 x 2 x C.  2 x x   1 ln x   x C . D.  2 x x   1 ln x   x C . 2 2
Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện 1 f x
Câu 148. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho F x 
là một nguyên hàm của hàm số . Tìm 2 2x x
nguyên hàm của hàm số f  x ln x .  ln x 1  ln x 1 A.
f  x ln xdx     C   B.
f  x ln d x x    C  2 2  2 2  x x x 2x  ln x 1  ln x 1 C.
f   x ln xdx     C   D.
f  x ln d x x    C  2 2  2 2  x 2x x x 1 f x
Câu 149. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho F x  
là một nguyên hàm của hàm số . Tìm 3 3x x
nguyên hàm của hàm số f xln x ln x 1 ln x 1 A. f xln d x x     C B. f   xln d x x    C 3 5 x 5x 3 5 x 5x ln x 1 ln x 1 C. f xln d x x      C D. f   xln d x x    C 3 3 x 3x 3 3 x 3x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 150. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho       1 x F x x
e là một nguyên hàm của hàm số   2x
f x e . Tìm nguyên hàm của hàm số   2x f x e . A.
  2xd  4  2  x f x e x x e C  B.
  2xd    2 x f x e x x e C   x x 2 C. f  x 2 e d x x e C  D.
  2xd  2   x f x e x x e C  2
Câu 151. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Cho hàm số f x thỏa mãn   x f
x xe và f 0  2 .Tính f   1 . A. f   1  3 . B. f   1  e . C. f   1  5  e . D. f   1  8  2e . f x
Câu 152. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số thỏa mãn
      ex f x f x , x   f 0  2   2 e x f x và
. Tất cả các nguyên hàm của là
A.   2 ex  ex xC B.    2 2 e x  ex xC C.    1 ex xC D.    1 ex xC
Câu 153. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số y f x thỏa mãn '      1 ex f x x , f 0  0 và  d     ex f x x ax bc  với , a ,
b c là các hằng số. Khi đó:
A. a b  2.
B. a b  3.
C. a b  1.
D. a b  0.
Câu 154. (THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số   e x f x x  
. Tính F x biết F 0  1. A.     1 e x F x x      2 . B.     1 e x F x x    1. C.     1 e x F x x     2 . D.     1 e x F x x     1.
Câu 155. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Biết x cos 2 d
x x ax sin 2x b cos 2x C
với a , b là các
số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 1 1 1 A. ab  . B. ab  . C. ab   . D. ab   . 8 4 8 4
Câu 156. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Giả sử F x là một nguyên hàm của ln  x  3 f x  sao cho F  2    F  
1  0 . Giá trị của F   1  F 2 bằng 2 x 10 5 7 2 3 A. ln 2  ln 5 . B. 0 . C. ln 2 . D. ln 2  ln 5 . 3 6 3 3 6
Câu 157. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Gọi g x là một nguyên hàm của
hàm số f x  ln  x  
1 . Cho biết g 2  1 và g 3  a ln b trong đó a,b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của 2 2
T  3a b A. T  8 . B. T  17 . C. T  2 . D. T  13 .
Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1
Câu 158. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hàm số f x thỏa mãn f 2   và 25
f  x  x f x 2 3 4  
 với mọi x   . Giá trị của f   1 bằng 391 1 41 1 A.  B.  C.  D.  400 40 400 10
Câu 159. (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hs y f x thỏa mãn 2
y  xy và f   1  1
thì giá trị f 2 là A. 2 e . B. 2e . C. e 1. D. 3 e .
Câu 160. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x liên tục trên  , f x  0 với mọi 1 a x và thỏa mãn f   1  
, f  x   x   2 2
1 f x .Biết f  
1  f 2 ... f 2019  1 với 2 b
a,b  ,a,b  1 .Khẳng định nào sau đây sai?
A. a b  2019 . B. ab  2019 .
C. 2a b  2022 . D. b  2020 .
Câu 161. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
y f x 0;
xf x  f x 2 2 '  3x x 1 f 4 liên tục trên thỏa mãn . Biết f   1  . Tính ? 2 A. 24 . B. 14 . C. 4 . D. 16 . f x  0
Câu 162. (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số với mọi f 0  1
f x  x 1. f  xx   , và
với mọi x   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f x  2
B. 2  f x  4
C. f x  6
D. 4  f x  6
y f x
Câu 163. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số có 2;4
f  x  0, x  2;4 3 7 đạo hàm liên tục trên và . Biết 3
4x f x   f  x 3   x , x
 2; 4, f 2    . 4 f 4 Giá trị của bằng 40 5 1 20 5 1 20 5 1 40 5 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4
Câu 164. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho f (x) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn
f x  f  x  x, x    f 0  1 f   1 và . Tính . 2 1 e A. . B. . C. e . D. . e e 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 f x
Câu 165. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số thỏa mãn f   1  f   1  1 2 f 2
xf  x 2 2  1  x 1
  f x. f " x   
 với mọi x dương. Biết . Giá trị bằng A. 2
f 2  2 ln 2  2 . B. 2
f 2  2 ln 2  2 . C. 2
f 2  ln 2 1. D. 2
f 2  ln 2 1 .
Câu 166. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số
f (x) thỏa mãn 2 3
( f '(x))  f (x). f ' (x)  x  2x, x
  R và f (0)  f '(0)  1 . Tính giá trị của 2 T f (2) 43 16 43 26 A. B. C. D. 30 15 15 15
Câu 167. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f x liên tục và có đạo    x       hàm trên 0; 
 , thỏa mãn f x  tan .
x f  x  . Biết rằng 3 ff
a 3  b ln 3 trong 3      2  cos x  3   6  đó ,
a b  . Giá trị của biểu thức P a b bằng 14 2 7 4 A. B.  C. D.  9 9 9 9
Câu 168. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x liên tục và dương trên 1 0; thỏa mãn
f  x   x   2 2
4 f x  0 và f 0  . Tính tổng 3 a a
S f 0  f  
1  f 2  ... f 2018 
với a   , b   ,
tối giản. Khi đó b a  ? b b A. 1. B. 1011. C. 1. D. 2018 .
Câu 169. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y f x đồng 4
biến trên 0;  ; y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  và thỏa mãn f 3  và 9  f x 2 '    x   1 . f x   . Tính f 8 . 1 49 A. f 8  49 . B. f 8  256 . C. f 8  . D. f 8  . 16 64 f xf   1  2 2 2 Câu 170. Cho hàm số thỏa mãn và  2
x   f x   f x  2 1 x    
1 với mọi x   . Giá trị f 2 của bằng 2 2 5 5 A. B.  C.  D. 5 5 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 171. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số y f x 1
có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;   , biết f  x   x   2 2
1 f x  0 , f x  0, x  0 và f 2  . 6
Tính giá trị của P f  
1  f 2  ...  f 2019 . 2021 2020 2019 2018 A. . B. . C. . D. . 2020 2019 2020 2019
y f x  2   ;1 f 0  3 Câu 172. Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn và 
y f x  2   ;1
f x2 f  x 2 .
 3x  4x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là A. 3 2 42 . B. 3 2 15 . C. 3 42 . D. 3 15 .
Câu 173. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (1)  4 và 3 2
f (x)  xf (
x)  2x  3x với mọi x  0 . Giá trị của f (2) bằng A. 5 . B. 10 . C. 20 . D. 15 .
Câu 174. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn
các điều kiện: f 0  2 2, f x  0, x   và f xf  x   x   2 . 2 1
1 f x, x   . Khi đó giá trị f   1 bằng A. 26 . B. 24 . C. 15 . D. 23 . Câu 175. (SGD&ĐT CẦN THƠ - HKII - 2018) Cho hàm số
f x thỏa mãn
f  x 2
  f xf  x 2 .
 2x x  1   , x
   và f 0  f 0  3. Giá trị của  f   2 1    bằng 19 A. 28 . B. 22 . C. . D. 10 . 2
Câu 176. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm trên  1
thỏa mãn   2       1    ex x f x x f x và f 0  . Tính f 2 . 2 e e 2 e 2 e A. f 2  . B. f 2  . C. f 2  . D. f 2  . 3 6 3 6
Câu 177. (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số y f x liên tục trên  \ 0;   1
thỏa mãn điều kiện f   1  2
 ln 2 và x x   f  x  f x 2 1 .
x x . Giá trị f 2  a b ln 3 , với a,b   . Tính 2 2 a b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 178. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên
0; và thỏa mãn f  
1  1, f x  f  x. 3x 1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2  f 5  3 .
B. 1  f 5  2 .
C. 4  f 5  5 .
D. 3  f 5  4 .
Câu 179. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Giả sử hàm số y f x liên tục nhận giá trị dương trên
0; và thỏa mãn f  
1  1, f x  f  x. 3x 1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 3  f 5  4 .
B. 1  f 5  2 .
C. 4  f 5  5 .
D. 2  f 5  3 .
Câu 180. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho hàm số f x  0 thỏa mãn điều kiện 1 a
f  x   x   2 2
3 f x và f 0   . Biết rằng tổng f  
1  f 2  f 3  ...  f 2017  f 2018  2 b a với  *
a  , b    và là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? b a a A.  1  . B.  1 .
C. a b  1010 .
D. b a  3029 . b b 4 2 3x x 1
Câu 181. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Cho hàm số f x  0 , f  x 2  f x và 2   x 1 f  
1   . Tính f  
1  f 2  ... f 80 . 3 3240 6480 6480 3240 A.  . B. . C.  . D. . 6481 6481 6481 6481
Câu 182. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Cho hàm số f x đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn  2 2
0; 2 và thỏa mãn  f x  f x. f  x   f  x  0    
. Biết f 0  1, f   6
2  e . Khi đó f   1 bằng 3 5 A. 2 e . B. 3 e . C. 2 e . D. 2 e .
Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm
Câu 183. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Cho hàm số f x xác định 1 trên  \  
1 thỏa mãn f  x 
, f 0  2017 ,, f 2  2018 . Tính S   f 3  2018 f   1  2017 . x 1 A. S  1 . B. 2 S  1 ln 2 . C. S  2 ln 2 . D. 2 S  ln 2 .
Câu 184. (KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x xác định trên khoảng 0;   \   e 1  1   1 
thỏa mãn f  x  , f  ln 6 2 3  
và f e   3. Giá trị của biểu thức ff   e  bằng
x ln x   1 2  e   e  A. 3ln 2 1. B. 2 ln 2. C. 3ln 2   1 . D. ln 2  3.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 185. (QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x xác định trên  \  2  ;  1 1 1
thỏa mãn f  x  , f  3
   f 3  0 và f 0  . Giá trị của biểu thức f  4
   f   1  f 4 2 x x  2 3 bằng 1 1 1 4 1 8 A. ln 2  . B. ln 80 1 . C. ln  ln 2 1. D. ln 1. 3 3 3 5 3 5
Câu 186. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hàm số f x xác định trên  \  1   ;1 thỏa mãn 2  1   1 
f  x  , f  2
   f 2  0 và f   f
 2 . Tính f 3  f 0  f 4 được kết quả 2     x 1  2   2  6 6 4 4 A. ln 1. B. ln 1 . C. ln 1. D. ln 1. 5 5 5 5
Câu 187. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho hàm số f x xác định trên khoảng 0;   \   e 1  1   1 
thỏa mãn f  x  , f  ln 6 2 3  
và f e   3. Giá trị của biểu thức ff   e  bằng
x ln x   1 2  e   e  A. 3ln 2 1. B. 2 ln 2. C. 3ln 2   1 . D. ln 2  3.
Câu 188. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Biết F x   2
ax bx c 2x  3 a, ,
b c   là một nguyên 2
20x  30x 11  3 
hàm của hàm số f x  trên khoảng ;  
 . Tính T a b c . 2x  3  2  A. T  8 . B. T  5 . C. T  6 . D. T  7 .
Câu 189. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Gọi     2   .ex F x ax bx c là
một nguyên hàm của hàm số      2 1 e . x f x x
. Tính S a  2b  . c A. S  3. B. S  2  . C. S  0 . D. S  4 .
Câu 190. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hàm số   3 2 x 2 2  2  2 x f x x e xe , ta có   3 2 2 2 d       x x x f x x me nxe pe
C . Giá trị của biểu thức m n p bằng 1 13 7 A. B. 2 C. D. 3 6 6
Câu 191. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết rằng hàm số F x 3
mx   m n 2 3
x  4x  3 là một nguyên hàm của hàm số f x 2
 3x 10x  4 . Tính mn . A. mn  1. B. mn  2 . C. mn  0 . D. mn  3 .
x acos 3x 1
Câu 192. Biết F x   
sin 3x  2019 là một nguyên hàm của hàm số f x   x  2sin 3x b c
, (với a , b , c   ). Giá trị của ab c bằng
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A. 14 . B. 15 . C. 10 . D. 18 .
Câu 193. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hàm số   3 2 x 2 2  2  2 x f x x e xe , ta có   3 2 2 2 d       x x x f x x me nxe pe
C . Giá trị của biểu thức m n p bằng 1 13 7 A. B. 2 C. D. 3 6 6
Câu 194. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Biết F x   2
ax bx c 2x  3 a, , b c  là một 2
20x  30x 11  3 
nguyên hàm của hàm số f x  trên khoảng ;  
 . Tính T a b c . 2x  3  2  A. T  8 . B. T  5 . C. T  6 . D. P  7 .
Câu 195. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của x f x   2 x   2 ( ) 2019 4
x  3x  2. Khi đó số điểm cực
trị của hàm số F (x) là A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 196. (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho F x là một nguyên hàm của 2 hàm số    x f x e  3
x  4x . Hàm số F  2
x x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 .
Câu 197. (CỤM 8 TRƯỜNG CHUYÊN LẦN 1) Biết    2 e x F x ax bx c    
là một nguyên hàm của hàm số    2 2 5 2e x f x x x    
trên  . Giá trị biểu thức f F 0 bằng: 1 A. . B. 3e . C. 2 20e . D. 9e . e Câu 198. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho  2
1 cos xsin x  cot x    F x  dx
và S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình F x  F trên 4   sin x  2 
khoảng 0;4  . Tổng S thuộc khoảng A. 6 ;9  . B. 2 ; 4  . C. 4 ;6  . D. 0;2  .
Câu 199. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số F x là một nguyên hàm 2 cos x 1
của hàm số f x 
trên khoảng 0;  . Biết rằng giá trị lớn nhất của F x trên khoảng 0;  là 2 sin x
3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.     2  3     5  A. F  3 3  4   B. F    C. F   3   D. F  3  3    6   3  2  3   6 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm)
Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện Câu 1. Chọn A 1 1
f xdx     4 2
x x dx 5 3  x x C . 5 3 Câu 2. Chọn D Ta có
f xdx   x   2 2
4 dx x  4x C   . Câu 3. Lời giải Chọn B  x   2 2
6 dx x  6x C  Câu 4. Chọn A Câu 5. Chọn A 1 1   3 2
x x dx 4 2  x x C . 4 2 Câu 6. Chọn A Ta có  x   2 2
3 dx x  3x C  . Câu 7. Chọn B 1 1
f xdx  2x 1dx  2x  2 1 d 2x   1    2 . 1  2x   1 2x 1  C 3 Câu 8. Lời giải Chọn A 3  2  x 2 Ta có 2 x  dx    C  . 2   x  3 x Câu 9. Chọn A dx 1 dx 1 Áp dụng công thức 
ln ax b C a  0  ta được 
ln 5x  2  C  . ax b a 5x  2 5
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 10. Chọn B sin 3x Ta có: cos 3xdx    C 3 Câu 11. Chọn A Câu 12. Chọn C Câu 13. Chọn B
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x)  2x  5 là 2 F( )
x x  5x C . Câu 14. Chọn A x a Áp dụng công thức x a dx
C ,0  a   1  ta được đáp án B ln a Câu 15. Chọn C 1 Áp dụng công thức cos(  )d  sin(  )   ax b x ax b
C với a  0 ; thay a  2 và b  0 để có kết quả. a Câu 16. Chọn C 1 1 Ta có  4 x x 5 2 dx x x C . 5 2 Câu 17. Chọn D   2 x   3 3
1 dx x x C. Câu 18. Chọn D x  x  15 1 
x  15 d x   1 7 dx 7 7  x  716 2 2 2 2  C 2 32 x 1 Câu 19. Ta có: 3 3 d x e x eC, 
với C là hằng số bất kì. 3 2 x cos 2x
Câu 20. Ta có  x  sin 2x dx = xdx  sin 2xdx       C . 2 2 x 1 x 1 Câu 21. Ta có: 2 1 2 1 e dx e d 2x  2 x 1 1 e      C   . 2 2 Câu 22. 3   x x 1 3x Câu 23. Ta có: 2 x  3  dx  
 ln x C, C     .  x  3 ln 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 cos 3x Câu 24. sin 3x dx    C  3
Câu 25. Ta có  2 x x 3 3 sin
dx x  cos x C . 1
Câu 26. Ta có: ln x dx   C  sai. x
Câu 27. Có f x   3 2
x x C  2 4
 12x  2x . x 1  x e
Câu 28. Ta có: e dx   C
sai vì exd  ex xC  . x 1 x a
Câu 29. Do theo bảng nguyên hàm: x a dx   C  . ln a Câu 30. Lời giải Chọn B. 2 3x Câu 31. Ta có f
  xdx   3x  sin xdx
 cos x C . 2 Câu 32. Chọn C
Theo bảng nguyên hàm cơ bản
Câu 33. Ta có cos xdx  sin x C  . 1 1 Câu 34. Ta có
f x dx    4 2 x x  5 3 dx x x C . 5 3
Câu 35. Ta có:  x e xx 2 2
dx e x C 1
Câu 36. cos x x 2 dx  sin x x C  . 2 Câu 37. Ta có: 3 2 1 x 3x 2
(x  3x  )dx    ln x C.  x 3 2  1  1 Câu 38. Ta có
f xdx   sin x dx
dx  sin xdx  ln x  cos x C      .  xx 1
Câu 39. Gọi F x 3 
x là một nguyên hàm của hàm số f x  . 3
Suy ra F x  f x  f x 2 '  x .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x 2x Câu 40. Ta có:
f x dx  2 dx   C   . ln 2 4 3 x  2  2  x 2 Câu 41. Ta có: f x 2 dx  dx x  dx    C   . 2  2  xx  3 x
Câu 42. Ta có:  x x ee x
y e là một nguyên hàm của hàm số x y e . Câu 43. Ta có: 2 2
F (x)  e dx e x C  .  1  1 1 1 1
Câu 44. Trên khoảng  ;   , ta có:
f xdx   dx    d 1 2x   
ln 2x 1  C .  2  1 2x 2 1 2x 2 Câu 45. Chọn B 2x x 1
Câu 46. Ta có 2  x 2 dx   x C . ln 2 2 Câu 47. Ta có
f xdx  1 sin xdx x  cos x C   . n 1 x
Câu 48. Sử dụng công thức n x dx   C  ta được: n 1 4 3 2  1  1 x x x 1 2 1 3 2 4 3 2
x  2x x  2019 dx  .  2. 
 2019x C x x
x  2019x C.    3  3 4 3 2 12 3 2 x 3 x x 2 Câu 49. Ta có 2
f (x)dx  (2  x )dx    C   . ln 2 3 1 1 d (3x 1) 1 1  1  Câu 50. Ta có: dx  
ln 3x 1  C  ln(1 3 x)  C   (do x   ;    ) 3x 1 3 3x 1 3 3  3  Câu 51. Chọn A x 2x Ta có: 2 dx   C  . ln 2 Câu 52. Chọn B 4 3 2x  3  3  2x 3 Ta có 2
f (x)dx dx  2x dx    C   2  2  xx  3 x x 1 x 1
Câu 53. Ta có:   x   2 2 1 dx  2  x x  . C ln 2 2 Câu 54. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 3x Ta có f
  xdx   3x  sin xdx
 cos x C . 2 Câu 55. Chọn A 2 2 
Ta có f x  F x 
    x   2 x f x e xe . Câu 56. Chọn A   xx 3 x Ta có
f (x)dx  3 dx   3 d(x)    C    . ln 3 Câu 57. Chọn A 4 3 x x
f xdx   3 2
x x dx      C . 4 3 2020 x Câu 58. Ta có: 2019 x dx   C, C
là hằng số. Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của 2020 hàm số 2019 y x . 3   x x 1 3x Câu 59. Ta có: 2 x  3  dx  
 ln x C, C R   .  x  3 ln 3  2018 x exx 2018  x 504, 5 Câu 60.
f xdx e 2017  dx  2017e  dx  2017e   C    5   5  4 x    xxxex x 1
Câu 61. Ta có: y e 2   2e   2  2 cos x cos x    x 1   2   2 x ydx e dx
e  tan x C   . 2   cos x  1 1 1 1 1 Câu 62. Ta có:
f xdx  dx    dx   2x   2 1 dx  2 2x 1 2 2x 1 2 1 1 1  x  2 2 1 1  . .  C  2x 1  C . 2 2 1 2 2 4 x 11
Câu 63. Ta có: f x 3 2
x  6x 11x  6  F x    3 2
x  6x 11x  6 3 2 dx   2x
x  6x C . 4 2 x  3
Câu35. Họ nguyên hàm của hàm số f x  là 2 x  3x  2
A. ln x 1  2 ln x  2  C .
B. 2 ln x 1  ln x  2  C .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
C. 2 ln x 1  ln x  2  C . D.  ln x 1  2 ln x  2  C . Ta có x  3 x  3 2 1 f x     . 2 x  3x  2  x   1  x  2 x 1 x  2 x  3
Suy ra họ nguyên hàm của hàm số f x  là 2 x  3x  2
{ Các chữ d trong vi phân chưa đúng chuẩn}  2 1 
f xdx  
dx  2 ln x 1  ln x  2  C     x 1 x  2  Câu 64. Chọn C 3x  2 3 x  2  4 3 4
Ta có f x     . Do đó  x  22  x  22 x  2  x  22 3x 2  3 4   4 dx   
dx  3ln x  2   C  2  . 2    x  2
x  2 x  2  x  2   Câu 65. Chọn B 2x 1 2 x  1 3  2 3    3 Ta có
f x dx  dx  dx   
 dx  2 ln x 1   C.   2  2  2    x   1  x   1 x 1   x   1 x 1    Câu 66. Chọn D 2 x 2 2x 2e 4 x x xe 2 4x
Ta có f x 2 .e
F 'x 2x f (x) f ' x 2 x            4 x 2 x e e e Suy ra 2 '( ) x
f x e  2  4x nên   x
f x e dx   x x   2 2 ' . 2 2 C.
Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện Câu 67. Chọn C
Có F x  f x dx  sin x  cos x dx   cos x  sin x C        Do F   cos  sin
C  2  1  C  2  C  1  
F x   cos x  sin x 1 .  2  2 2 Câu 68. Chọn A Ta có     x    x F x e x
x e x C  2 2 d 3 1
Theo bài ra ta có: F 0  1  C   C  . 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 69. Chọn C
Ta có f x    dx x x   3 5sinx 3 5 cos C
Theo giả thiết f 0  10 nên 5  C  10  C  5 .
Vậy f x  3x  5cos x  5. Câu 70. Chọn C 2
dx  ln 2x 1  C f x  2x 1 1 Với x
, f 0  1  C  1 nên f   1  1 ln 3 2 1 Với x  , f  
1  2  C  2 nên f 3  2  ln 5 2 Nên f  
1  f 3  3  ln15 Câu 71. Lờigiải Chọn B 1 F x =    ln 1   dx C x C x 1 F e  
1  4 . Ta có 1 C  4  C  3
Câu 72. Ta có: f x  f  x dx  2  5sin x dx  2x  5 cos x C   .
Mà f 0  10 nên 5  C  10  C  5 .
Vậy f x  2x  5cos x  5 . x 1 x 1 1 x 1
Câu 73. F x 2 2  e dx e
C; F 0  0  C    F x 2  e   . 2 2 2 2 1 1 Khi đó F ln 3 2 ln 3  e   4 . 2 2
Câu 74. Ta có đáp án là đạo hàm của hàm số F x 2
x ln sin x  cos x
F ' x  f x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Đạo hàm của hàm số F x 2
x ln sin x  cos x là: cos x  sin x
F x  f x  xx
x  x   x x ' 2 ' 2 ' ( ) .ln sin cos . ln sin cos     2 .
x ln sin x  cos x 2  x . . sin cos x  Đáp án B. sin 3x
Câu 75. F x  cos 3xdx   C  3  sin    2 sin 3x    3  6 F  3  
C  1  F x  1  F  1    .  2  3 3  9  3 6 x      Câu 76. Ta có   x  
  x      x f x dx dx   2 2 2 5 1
5.2 dx x  5 C    . ln 2 Câu 77. Chọn D x 1 Ta có 2 2 d x e x   e C  . 2 201 1 201
Theo đề ra ta được: F 0 0    e C   C  100 . 2 2 2 1 2 1  x  1  1 1 Vậy 2 2 F (x)  e 100  Fe 100  e 100   . 2  2  2 2 Câu 78. Chọn C
Theo giả thiết ta có: f x  1 và g x  2x nên f x.g x  2x . F x 2
 2xdx x C  . Vì F  
1  3  C  2 . Vậy một nguyên hàm F x cần tìm của hàm số
f x.g x , là F x 2  x  2 . Câu 79. Lờigiải Cách 1: 1 Ta có:
f xdx
dx  ln x  2  C, C    . x  2
Giả sử F x  ln x  2  C là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn F   1  2 . 0 Do F  
1  2  C  2  F x  ln x  2  2 .Vậy F 0  2  ln 2. 0    b  1 b
Câu 80. Ta có F x  f x 2 dx  ax  dx  ax   C   . 2   x  2 x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1  3
a b C  1 b     F   2 2 1  1    1  3
Theo bài ra F  
1  4   a b C  4  a  2 2 .    f   1  0  a b  0  7 C      4 3 3 7 Vậy F x 2  x   . 4 2x 4 Câu 81. Chọn D
Ta có F x  1 1 
dx  ln 2x  1 C  2x  1 2 Do F   1
0  2  ln 2.0  1 C  2  C  2 2 1 1
Vậy F x   ln 2x  1  2  F   1  ln 3  2 . 2 2 Câu 82. Chọn A
f  x   cos x f xdx   cos xdx  
  sin x C .
f 0  2019   sin0  C  2019  C  2019 . Vậy f x   s inx  2019 . Câu 83. Chọn C sin 3x
F x  cos3 d x x   C  3  sin    2 sin 3x    3  6 F  3  
C  1  F x  1  F  1    .  2  3 3  9  3 6 1
Câu 84. Ta có F x 
dx  ln x C  ln 
x  C với x   ;  0 . x  x  Lại có F  2
   0  ln 2  C  0  C  ln 2 . Do đó F x  ln x  ln 2  ln   .  2   x
Vậy F x  ln x      ;  0 .  2  Câu 85. Ta có:
f  x dx    2 2e x    1 dx 2
 e x x C .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Suy ra   2  e x f xx C .
Theo bài ra ta có: f 0  2  1 C  2  C 1. Vậy:   2  e x f xx 1. Câu 86. Ta có       2 2      x x f x dx x e dx x e C .
Có F x là một nguyên hàm của f x và F 0  2019 .    2   x F x x e   C Suy ra 
 1 C  2019  C  2018 . F 0  2019  Vậy   2   x F x x e  2018. 1
Câu 87. Trên khoảng 1;  ta có
f ' xdx dx    ln  x  
1  C f x  ln  x   1  C . x 1 1 1
Mà f (2)  2018  C  2018 . 1 1 Trên khoảng  ;   1 ta có
f ' xdx dx  
 ln 1 x  C f x  ln 1 x  C . x 1 2 2
Mà f (0)  2017  C  2017 . 2 ln(x 1)  2018 khi x  1
Vậy f x  
. Suy ra f 3  f   1  1. ln(1 x)  2017 khi x  1  2x 13 A B
Ax  2  B x   1
A Bx   2  A B Câu 88. Ta có:      x   1  x  2 x 1 x  2  x   1  x  2  x   1  x  2
A B  2  A  5     .
2A B  13 B  3    2x 13  5 3  Khi đó: dx  
dx  5 ln x 1  3ln x  2  C  .     x   1  x  2  x 1 x  2 
Suy ra a  5; b  3
 nên a b  8 . 2 1 A B D Ax  
1  Bx x  
1  Dx x   1 Câu 89. Ta có:     3 x x x x 1 x 1 3 x x
A B D 2
x   B Dx A  3 x x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   A  1
A B D  0    1
 B D  0  B  . 2  A 1      1 D    2 1  1 1 1  1 Khi đó: dx        dx   ln  x   1  x  
1  ln x C . 3 x xx 2 x  1 2  x  1      2 1 Suy ra a  ; b  1
 nên P  2a b  0 . 2 4x 11 A B
Ax  3  B x  2
A Bx  3A  2B Câu 90. Ta có:     2 x  5x  6 x  2 x  3
x  2 x  3
x  2 x  3
A B  4  A  3     . 3A  2B  11 B  1   4x 11  3 1  Khi đó: dx   dx 
 3ln x  2  ln x  3  C . 2    x  5x  6  x  2 x  3 
Suy ra a  3; b  1 nên 2 2
P a ab b  13 .
Câu 91. Ta có f  
1  3  a b  3   1 . 1
Hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; 
 , các điểm x  1 , x  đều thuộc 0;   nên 2 3   f x  f xb ax b 2 dx     ax   dx    C . 3   2  x  3 2x a b + f   1  2    C  2   2 . 3 2 1 1 a + f         1
 2b C     3 . 2 12 24 12     a b  3       a 2 a b   Từ   1 ,   2 và  
3 ta được hệ phương trình    C  2  b  1       2a b 2.2 1 5 . 3 2       11 a 1      C  2b C       6 24 12
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x 2x Câu 92. Ta có
f xdx  2 dx   C   ln 2 2x 1
F x là một nguyên hàm của hàm số   2x f x
, ta có F x 
C mà F 0  ln 2 ln 2 2x
C  0  F x  . ln 2
T F 0  F  
1  ...  F 2018  F 2019 1 2020 1 2 1 2020 2 1   2 2018 2019 1 2  2  ...  2  2   .  ln 2 ln 2 2 1 ln 2 dx Câu 93. Ta có
f x dx   tan x C   . 2 cos x         
tan x C , x   ; F
 0  1 C  0  C  1   0      0 0  2 2   4       3     
tan x C , x  ; F
   1 C  1  C  0  1      1 1  2 2   4      3 5     
tan x C , x  ; F  2   
 1 C  2  C  1 
Suy ra F x 2  2 0   2 2     4  ..  . ...      17 19     
tan x C , x  ;  F
 9  1 C  9  C  8 9      9 9  2 2   4      19 21     
tan x C , x  ;  F
10  1 C  10  C  9. 10      10 10   2 2    4 
Vậy F 0  F    F  
   ... F 10   tan 0 1 tan  tan 2 1 ... tan10  9  44.
Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm
Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện Câu 94. 2 2 3
f (x)dx  3sin x cos d x x  3sin d(
x sin x)  sin x C    . sin x 1 1 1 Câu 95. Ta có: dx  
d 1 3cos x   ln 1 3cos x C   . 1 3cos x 3 1 3cos x 3 1 1 3 2 2 2 2 2 6 2
Câu 96. Ta có: I xf
 x dx f
 x dx  4x   2x  C  2x x C . 2 2 cos x d(2  sin x) 1 Câu 97. Ta có ' f (x) 
f (x)dx  dx     C   2  . 2 (2  sin x) (2  sin x) 2  sin x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 3 1 3 1 Câu 98.  d  f x x 2 1 e   d  x x x 1 e   d  3   x x  1 x 1 e    C . 3 3 1 1 1 1 Câu 99. Ta có dx
d 5x  4  ln 5x  4    C . 5x  4 5 5x  4 5 Câu 100. Chọn A  4 x  3 1 1 1  4 3 4  x x dx f x 4 x d  x d dx   dx   9 5    x  3x  4 x 2  4 x   4  4 x 2  4 x   12 3 3  4 x 2  4 x  3 4 4 4 1 dx 1 dx 1 1  x       ln  C     12 x 2 4 12 x  4 4 x  3 4 4 12x 36 x  3   Câu 101. Chọn C 3x  3  2 3(x 1)  2 3 2 Ta có f (x)     2 2 2 (x 1) (x 1) x 1 (x 1) 3 2 d(x 1) d(x 1) Vậy
f (x)dx  (  )dx    3  2 2   x 1 (x 1) 2 x 1 (x 1) 2 2 3ln x 1 2 (x 1)     d(x 1)   3ln(x 1) 
C vì x  1. x 1 2 2 2 Câu 102. Ta có sin sin 2 . x x e dx  sin xe d   2 sin x sin xeC
Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện sin d x x d(cos x) 1
Câu 103. Ta có F (x)    
  ln 3cosx 1  C . 1 3cos x 3cos x 1 3    1    mà F   ln 3cos 1  C  2      C  2 .  2  3  2  1 1 2
Do đó, F 0   ln 3cos 0 1  2   ln4  2   ln2  2 . 3 3 3 2
Vậy F 0   ln2  2 . 3 Câu 104. Chọn C 1 1 1
Ta có: F x  d   4 x   1  ln  4 x 1  C . 4  4 x 1 4 1
Do F 0  1 nên ln 0  
1  C  1  C  1. 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1
Vậy: F x  ln  4 x   1 1. 4 Câu 105. Chọn A. x dxe
Ta có F x  f xdx   1 dx x  ln      x e   C x x  1 e 1 e 1  
F 0   ln 2  C   ln 2e C  1 :
   ln  x  
1  2   ln  x   1 1 ln  x PT F x e x e e   1  2  x  3 . Câu 106. Ta có:  x  2017 2017 2017 2018 1  x 1  1 1  x 1   x 1  1  x 1  dx  . dx d  .  C          .  x  2019 1  x 1   x  2 1 2  x 1  x 1  4036  x 1
a  4036, b  2018
Do đó: a  2b . 2 f x 5 3 x x Câu 107. Ta có
f xf xx     4 2 ' . d
x x dx C     C . 2 5 3
Do f 0  2 nên suy ra C  2 .  32 8  332 Vậy 2 f 2  2   2    .  5 3  15  2017x 2018 2017 x   2017 2 1 2017 Câu 108. Ta có
f xdx dx     2 x   1 d  2 x    1  .  C x  2018 2 1 2 2 2017 1  
C F x 2 x  2017 2 1 1 1 Mà F   1  0  
C  0  C  2017 2018 2.2 2 1 1
Do đó F x    suy ra x  2017 2018 2 2 2. 1 1
F x đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi lớn nhất   2 x  
1 nhỏ nhất  x  0 2  x  2017 2 1 2017 1 1 1 2 Vậy m     . 2018 2018 2 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm
Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện 1 1 1 Câu 109. Ta có
f x dx  3x  3 1 d 3x   1    3x   3 1 3x 1  C . 3 4 5 6 (2x  3) (2x  3) Câu 110. 5
F (x)  (2x  3) dx d (2x  3)   C   2 12 Câu 111. Chọn C 1  1 1 3x  2 1 1 2 2 Do 3x  2dx
3x  22 d 3x  2   C
(3x  2) 3x  2  C   1 1 3 3  9 2 1
Câu 112. Đặt t  2x 1  dt
dx tdt  dx 2x 1 3 t 1  f x 2 dx
2x 1dx t dx   C  2x   1 2x 1  C    . 3 3 x ln 2
49: (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số f x  2 . . Hàm số nào x
dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f x ? A.    2 x F xC B.    22 x F x   1  C C.    22 x F x   1  C D.   1 2 x F x    C Chọn A x ln 2 x ln 2
Ta có F x  f x dx   2 . dx   2 . dx  . x x 1 Đặt u x  du  dx . 2 x 2u Vậy    2ln 2. 2u F x .du   2 ln 2.  C 1 2 x   C . ln 2
Phương án B: F xx 1 2    2  C thỏa.
Phương án C: F xx 1 2    2  C thỏa. x t 1
Câu 113. t x 1  dt  d . x Vậy dx  dt.  4  4 (x 1) t
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 114. Chọn A Đặt u x  1 2
x u 1  d x  2u d u . x  3 2 u  4 Khi đó dx  trở thành .2u d u  2    2 u  4d u . x  1 u Câu 115. Cách 1: Ta có
f x dx  3x cos 2x  5  C   
f x dx 3x cos2x 5 C     
f x  3cos 2x  5  6x sin 2x  5
f 3x  3cos6x  5 18x sin 6x  5 Xét
f 3x dx  
 3cos6x  5 18xsin 6x  5dx
 3cos 6x  5dx  18x sin 6x  5dx     1 .
Xét I  18x sin 6x  5dx  . 3x u  3dx  du  Đặt    . 6 sin 
6x  5dx  dv cos  
6x  5  v
I  3xcos 6x  5  3 cos 6x  5dx  , thay vào  
1 ta được f 3x dx  3x cos 6x  5  C.  Cách 2:
Đặt x  3t  dx  3dt . Khi đó:
f x dx  3x cos 2x  5  C
 3 f 3t  dt  3.3t  cos 2.3t  5  C  
f 3t  dt  3t cos 6t  5  C  
f 3xdx  3x cos 6x  5  C  . 2019 2019 Câu 116. Xét f x 3 x x  2 x   2 x x  2 d 1 d x      1 x dx . Đổi biến 2
t x 1  dt  2x dx , ta có: 1 1
f x dx  t   2019 1 t dt   2020 2019 tt dt     2 2   
x  2021 xt t  2020 2 2 2021 2020 1 1 1 1 C         C   . 2 2021 2020 2  2021 2020      Câu 117. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Cách 1: Ta có
f x dx  3x cos 2x  5  C   
f x dx 3xcos2x 5 C     
f x  3cos 2x  5  6x sin 2x  5
f 3x  3cos6x  5 18xsin 6x  5 Xét
f 3x dx  
 3cos6x  5 18xsin 6x  5dx
 3cos 6x  5dx  18x sin 6x  5dx     1 .
Xét I  18x sin 6x  5dx  . 3x u  3dx  du  Đặt    . 6 sin 
6x  5dx  dv cos  
6x  5  v
I  3xcos 6x  5  3 cos 6x  5dx  , thay vào  
1 ta được f 3x dx  3x cos 6x  5  C.  Cách 2:
Đặt x  3t  dx  3dt . Khi đó:
f x dx  3x cos 2x  5  C
 3 f 3t  dt  3.3t  cos 2.3t  5  C  
f 3t  dt  3t cos 6t  5  C  
f 3x dx  3x cos 6x  5  C  . Câu 118. Chọn B
Đặt x  2  t x t 1  dx dt với t  0 2t 1  2 1  1 Ta có
f x dx  dt = 
dt  2 ln t   C   2   2  tt t t 1 Hay
f xdx  2ln  x  2   C.  x  2 1 ln x
Câu 119. Ta có I
f x dx  dx   . . x ln x 1 ln x 1
Đặt x ln x t  ln x  
1 dx  dt . Khi đó ta có I  dx   dt 
 ln t C  ln .
x ln x C . . x ln x t Câu 120. Đặt 3 2
t x 1  dt  3x dx
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x t 1 1 t 1 Do đó, ta có f x 3 3 2 1 x 1 dx x e dx e . dt e C e        C    . 3 3 3 1 x  Vậy f x 3 1 dx eC  . 3
Câu 121. Đặt 2x 1  t 2
 2x 1  t  dx tdt . 1 1 tdt 1 1 1 Khi đó ta có 2x 1dx      dt
  t C  2x 1  C . 2 2 t 2 2 2 5 sin x Câu 122. I f x 5 dx  tan d x x  dx    5 cos x  2 1 os c x. 2 2 2 1 os c x x .sinx sin .sin .s inx  dx  dx  5  5 cos x cos x  2 1 t . 2 1 t  2 4 1 2t t
Đặt t  cos x  dt   sin d x x I  dt  dt  5    5   t t  1 2 1     1  1     dt   5 3 4 2  t   2t  dt tt  ln t C 5 3     t t t   t  4 1   1 1 1 4 2  cos x  cos x
 ln cos x C  . 
 ln cos x C 4 2 4 4 cos x cos x 1  .tan x  2 2 1   2 tan x  
1  ln cos x C 4 1   4 2
tan x  2 tan x   1   2 tan x  
1  ln cos x C 4 1 1 1 4 2  tan x
tan x  ln cos x   C 4 2 4 1 1 4 2  tan x
tan x  ln cos x C . 4 2  2
x x 1 2 x x 1 1 1 Câu 123. Đặt 2
t x x 1  t  =  2  x 1  x . 2 x x 1 2 x x 1 t 1 1  1  1
t   2x dx  1   ; 2
t   2 x 1 t 2 2  t t 1  1  1  1 
f xdx     2 ln x x 1dx = 1 ln tdt  = 1 lnt .dt I . 2    2 2  t  2  t  1
Đặt u  ln t du  dt t  1  1 dv  1 dt
v t  ; 2   t t 1  1  1 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  I t  ln t t dt      = t  ln t  1 dt     = t  ln t t   C     2 2  t  2 t t  2  t  2  t  2  t  2  t
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 = x  2 x x   2 ln
1  x 1  C .
Câu 124. Câu này đề chưa chặt, phải là “Biết một nguyên hàm của hàm số y f 2x là ….” dx
Đặt t  2x  dt  . 2 1 t t t f 2x 2
dx  sin x  ln x C f t  2 dt  sin  ln  C    f t  2 dt  2 sin
 2 ln t  2 ln 2  C  2 2 2 2 xf x 2 dx 2sin  2 ln x C  . 2
Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện
Câu 125. Đặt t  sin x  dt  cos d x x . 4 t 4 sin x
F x  f x dx  3  sin x cos d x x  3  t dt    C   C . 4 4 4 sin  4 sin x F 0   
C    C    F x    . 4 4  4 sin    2 1 F       .  2  4 4 2x  1 2x  1
Câu 126. Ta có f x   . 4 3 2 2
x  2x x x x  2 1
Đặt t x x   2
1  x x  dt  2x   1 dx . 1 1 1
Khi đó F x  f xdx
dt    C    C   . 2 t t x x   1 1 1 1 Mặt khác, F   1     C   C  1 . 2 2 2 1
Vậy F x    1 . x x   1 Suy ra  1 1 1 1  S F  
1  F 2  F 3  F 2019      ...   2019    1.2 2.3 3.4 2019.2020   1 1 1 1 1 1 1   1    1      ...    2019   1  2019      2 2 3 3 4 2019 2020   2020  1 1  2018   2018 . 2020 2020 du  dx u   x  Câu 127. Đặt    1 d v  cos 2 d x x v  sin 2x    2 1 1 1 1 Khi đó x cos 2 d x x x sin 2x  sin 2 d x x    x sin 2x  cos 2x C 2 2 2 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1  a  , b  . 2 4 1 Vậy ab  . 8 Câu 128. Đặt 2 t
2x  3  t  2x  3  dx tdt 2 2 2  t  3   t  3  20  30  7 2    
20x  30x  7 2 2 Khi đó dx       tdt    4 2
5t 15t  7dt 5 3
t  5t  7t C 2x  3 t 2   x  5   x  3 2 3 5 2 3
 7 2x  3  C  2x  3
2x  3  52x  3 2x  3  7 2x  3  C   2
4x  2x   1 2x  3  C
Vậy F x   2
4x  2x   1
2x  3 . Suy ra S a b c  3 .
Câu 129. Ta có x x  
1  x  2 x  3 1   2 x x 2 3
x  3x  2 1   x x 2 2 3 1 .   Đặt 2
t x  3x , khi đó dt  2x  3 dx . dt 1
Tích phân ban đầu trở thành     C . t  2 1 t 1 2x  3dx 1
Trở lại biến x , ta có     C . x x  
1  x  2 x  3 2 1 x  3x 1 Vậy g x 2
x  3x 1.  3  5 x   g x 2 2
 0  x  3x 1  0   .  3  5 x   2
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 3 . x Câu 130. I dx  4 x  2 1 x  2
t  1 x dt  2xdx 1 1 1  1 1 1   1  1   I dt       dt    ln t 1   ln t C   2 t  2 1 .t 2  t 1 t  2 1 t  2  t 1    1  1 1 1 2 2    ln x   ln 1 xC 2     ln x  ln 1 xC 2  2   2  x  2x 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  1 a   2  7  b
  1  S a b c  .  4 1 c   4
Dạng 4. Nguyên hàm từng phần
Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện Câu 131. Chọn D
Ta có f x  4x 1 ln x  F x  4x1 ln xdx  1
u  1 ln x du   đặt 
x F x 2
 2x 1 ln x 2
 2xdx  2x 1 ln x 2 2 2
x C  2x ln x x C 2
dv  4x v  2xu   x du  dx Câu 132. Đặt    . dv  sin dx x v   cos x  
Suy ra x sin xdx  x cos x  cos xdx  x cos x  sin x C.   Câu 133. Lờigiải du dx u   x  Đặt    1 2 x 2 x dv e v e    2 x 1 x 1 2 2 2  .  . x x e dx x ee dx   2 2 1 x  1 x 1 x 1 2 2 2   .  . x x e dx x eeC  2  e x   C   2 4 2  2 
Câu 134. Gọi  2   1 d  x I x e x . u  2x 1 du  2dx Đặt    . dv x e dx v x   e   2   1 x  2 xd  2   1 x  2 x   2  3 x I x e e x x e e C x e   C .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 135. Ta có 2 ( ) x F x xe dx  du dx u   x  Đặt    1 2 x 2 x dv e dx v e    2 1 1 x 1 x 1 x  1 x 1  Suy ra 2 2 ( ) x F x xee dx  2 2 2  xeeC e x   C   2 2 2 4 2  2  Câu 136. Ta có:
f xdx x 1 sin x dx  d x x  . x sin d x x  d x x  d x cos x       2 2 x x =
  x cos x  cos d x x
=  xcos x sin x C . 2 2 Câu 137. Ta có 2 (1 x  )  2  2 x x e dx xdx xe dx    .  u xdu dx
Gọi I  2 x ln xdx  . Đặt   . xx dv e dx v e   Khi đó  2 x  2 x I xe e dx  . Vậy x x x 2 2 (1 )  2   2 x x e dx xdx xe
e dx x xe  2x C    =    2 2 2 x x
e x C .  dx du u  ln x    x
Câu 138. Ta có F x  f xdx x ln xdx   . Đặt    . 2 dv xdxxv    2
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có: 1 1 1 1 F x 2 2 2  x ln x xdx x ln x x C  . 2 2 2 4 Câu 139. Chọn C Ta có I   2 3x    1 ln xdx  1 u   ln x du dx   Đặt   x  . dv   2 3x    1 dx  v   2 3x   3
1 dx x x   3  I   1 x 3
x xln x   3
x xdx x  2 x   1 ln x   2 x   1 dx x  2 x   1 ln x   x C . x 3 Câu 140. Chọn A x
F x  f x dx  dx   . 2 s in x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 u   x  du  dx Đặt  1   . dv  dx v   cot x  2   s in x x cos x d sin x
Khi đó: F x  dx   .
x cot x  cot d x x   . x cot x  dx   . x cot x   2    s in x sin x sin x   .
x cot x  ln s inx C . Với x  0;   sinx  0  ln sinx  ln s inx .
Vậy F x  x cot x  ln sinx  C . Câu 141. Chọn A Ta có: x x x 2 3 cos
dx  3x dx  3x cos xd    x  2 3 3 d   1  x x x C  3x cos d x x  3 .
x d sin x  3 .
x sin x  3sin xdx  3 .
x sin x  3cos x C 2    Vậy    3 3 cos d   3 sin  cos    x x x x x x x x C
Câu 142. Ta có:  4 x   4 e dx  dx  ex x x x x dx   . 1 +) 4 5
x dx= x C1  . 5 u   x du  dx +) Đặt    . dv  exdx v  ex   Suy ra: ex x dx 
 ex  exdx  ex  ex x xC  1 ex xC . 2    2 x 1 Vậy  4  e  5 dx      1 ex x x x xC . 5 Câu 143. Chọn C Ta có
F x.G x  F x.Gx dx Fx.Gx  F x.Gxdx .
 F x.G  xdx F x.G x  
F x.Gxdx 3  2x  2  x ln  2 x   2 1  dx x ln    2 x   1   2 x   1  ln  2 x 1  C 2  x 1  
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   2 x    2 x   2 1 ln 1  x C .
Câu33. Họ nguyên hàm của hàm số   2  . x f x x e là 1 1 x  1  A. F x 2  e x   C 2 x   .
B. F x  e x  2  C . 2  2  2  du dxu xx  1  C.   2  2 x F x
e x  2  C . D. F x 2  2e x   C   . Đặt   . 2 x  1 2x  2  dv e dx v e    2 x 1 x 1 x 1 x 1 x  1  F x 2 2 2 2 2  . x ee dx  . x eeC e x   C    . 2 2 4 2  2 
Câu 144. Sử dụng công thức: udv u.v vd   u . Ta có: xd  d  x   x xd  x x xe x x e xe e x xe e     C . Câu 145. Ta có:
f xG x dx G x d  
F x
G x.F x  F x d 
G x  G x.F x  F xg  xdx  . 3 2x  2x  
f xG x 2 dx x ln   2 x   1  dx   2 x ln  2 x   1  2x  dx  2   x 1 2  x 1  1 2 x ln  2 x   2 1  x  d   2 x 1 2  x  2 x   2  x   2 ln 1 ln x   1  C   2 x    2 x   2 1 ln 1  x C . 2  x 1 Câu 146. Lởi giải Chọn C x 1 1 2  2 2
Ta có F  x  x  2   . 2 2 x xx a2 2
Do F x là một nguyên hàm của f x  nên a  1. 2 x
g xdx x cos d x x   u   x du  dx Đặt    dv  cos d x x v  sin x  
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
g xdx x cos d
x x x sin x  sin d
x x x sin x  cos x C     2
2x xln x 1 1 Câu 147. Ta có:
dx  2x   1 ln x dx
dx I I . 1 2    x x  1 u   ln x du  dx   I
2x 1 ln x dx    x . 1    . Đặt dv   2x   1 dx 2 
v x xI   1 2
x xln x   2
x x dx  2
x x ln x x 1 dx 1     x 2   x 2
x xln x   x C . 1 2 1 I
dx  ln x C 2 2  . x  2
2x xln x 1 dx I I 1 2  x 2 2   x x 2
x xln x
x C  ln x C   2
x x 1 ln x   x C. 1 2  2 2
Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện Câu 148. Chọn C f x 1 1  Ta có: dx  
. Chọn f x  . 2 x 2x 2 x  dx u   ln x du  2    x Suy ra
f  x ln x dx  ln x dx   . Đặt   . 3 2  x dv  dx 1   3 xv   2   x ln x ln x 1  ln x 1  Khi đó:
f   x ln x dx  dx    dx     C   3 2  . 3  2 2  x x xx 2x  Câu 149. Chọn C f x   1  1
Ta có Fx 
f x  . x Fx 3   . x  .x   3   x 3 x  3  xf x    4
x f x    x   4 3 ln 3x ln x Vậy f xx x  4 x x     x      4 ln d 3 ln d 3 ln . x x dx
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 x x Đặt  u x dv  4 d ln ;
x dx  du  ; v x 3   4 ln x x  ln x ln x 1 Nên f   x 4  ln d x x  3 ln . x x dx  3  dx   4 x dx     C 3    3   3 3  3x 3  x x 3x Câu 150. Chọn D  Theo đề bài ta có   2 . xd     1 x f x e x x e C
, suy ra f x 2 . x e   x   1 x x
e   e   x   1 . x e       x     
1 . x  . x     1 . x f x e x e x e f x x e Suy ra 
  2xd  1  xd  1  d     x x  1  x  d  2   x K f x e x x e x x e e x e x x e C  . Câu 151. Ta có:       . x f x f x dx x e dx   u   xdu dx Đặt x x x x   
f x  .
x e e dx  .
x e e C x xdv e dx v e  
Theo đề: f 0  2  2  1 C C  3     . x x f x x e e  3  f   1  3 . Câu 152. Chọn D  Ta có
      ex   ex   ex f x f x f x f x
 1    ex   1   ex f x f xx C . 1 Vì 0  2   2    2 e x   2 ex f C f x x    2
e xd    2 ex f x x x dx 1     . u   x  2 du  dx Đặt   
dv  exdx v  ex      2
e xd    2 ex f x x x dx  
   2 ex  ex x dx
   2ex  ex      1 ex x C xC . Câu 153. Theo đề: '      1 ex f x x
. Nguyên hàm 2 vế ta được
f ' x dx   x  
1 exdx f x   x   1 ex  exdx   
f x   x  
1 ex  ex C  ex xC Mà   0 0  0  0.e   0   0     ex f C C f x x .   d 
exd  ex  exd  ex  ex      1 ex f x x x x x x x C xC    .
Suy ra a  1;b  1
  a b  0 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 u   x du  dx Câu 154. Đặt    .
dv  exdx v  ex   Do đó
exd   ex  ex x x x dx  
  ex  ex x
C F  ; x C  . F 0  1 0 e  
C  1  C  2 . Vậy     1 e x F x x      2 . du  dx u   x  Câu 155. Đặt    1 d v  cos 2 d x x v  sin 2x    2 1 1 1 1 Khi đó x cos 2 d x x x sin 2x  sin 2 d x x    x sin 2x  cos 2x C 2 2 2 4 1 1  a  , b  . 2 4 1 Vậy ab  . 8 ln  x  3 Câu 156. Tính dx  . 2 x     x   dx u ln 3 du     x  3 Đặt  dx   dv  1  2 v x      x ln  x  3 1 dx 1 1 x Ta có dx   ln x  3     ln x  3  ln
C F x, C . 2        x x x x  3 x 3 x  3  1   1 1  7 Lại có F  2    F   1  0 
ln 2  C   ln 4  ln  C  0      2C  ln 2 .  3   3 4  3 1 1 1 2 10 5 Suy ra F  
1  F 2  ln 2  ln 2  ln 5  ln  2C  ln 2  ln 5 . 3 2 3 5 3 6  u     x   1 ln 1 du  Câu 157. Đặt    x 1 dv dx  v x 1  x 1
g x  ln  x  
1 dx   x   1 ln  x   1 
dx   x   1 ln  x   1  x C   x 1
Do g 2  1  1ln1 2  C  1  C  3  g x   x   1 ln  x   1  x  3
Suy ra: g 3  2ln 2  3  3  2 ln 2  ln 4  a  1, b  4 2 2  3a  b  13
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán Câu 158. Chọn D  f  x  1  1
Ta có f  x  x f x 2 3 4  3 3 4      4x     4  x   x C f x 2  f xf x     1 1 1 Do f 2   , nên ta có C  9
 . Do đó f x    f   1   . 25 4 x  9 10 3 yy 3 x x C Câu 159. Ta có 2 y  xy 2   x 2 
dx x dx    ln y   C 3  y  e . y y 3 1  C 1
Theo giả thiết f   1  1 nên 3 e  1  C  . 3 3 x 1 
Vậy y f x 3 3 =e . Do đó f   3 2  e . f  xf  x
Câu 160. f  x   x   2 2 1 f x   2x 1 
dx  2x   1 dx 2   f x 2 f x
d f x   2x   1 dx  2  f x 1 2  
x x C  
1 (Với C là hằng số thực). f x 1 1 1
Thay x  1 vào  
1 được 2  C  
C  0 .Vậy f x   . 1 x 1 x  2  1 1   1 1   1 1  1
T f (1)  f (2)  ...  f (2019)      ...          1   .  2 1   3 2   2020 2019  2020 a  1 Suy ra: 
a b  2019 (Chọn đáp số sai). b  2020  Câu 161. Chọn D 1 3
Trên khoảng 0;  ta có: 2xf ' x  f x 2  3x x x f ' x 2   x . 2 x 2   ' ' 3 3
x. f x 2 
x   x. f x 2 dx x dx  . 2 2 1 
x. f x 3 
x C .  2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 1 1 2 x x Mà f   1 
nên từ  có: 1. f   3 1  .1  C  
C C  0  f x  . 2 2 2 2 2 2 4 4 Vậy f 4   16 . 2 f  x 1 f  x 1 Câu 162. Ta có:   dx  dx  
 ln  f x  2 x 1  C f xx 1 f xx 1
Mà f 0  1 nên C    f x 2 x 1  2  ef   2 2 3  e  6
Câu 163. Ta có: f  x  0, x
 2;4 nên hàm số y f x đồng biến trên 2;4  f x  f 2 mà 7 f 2 
. Do đó: f x  0, x  2;4. 4 3 3 Từ giả thiết ta có: 3
x f x   f  x 3 3 4
  x x 4 f x 1   f  x       f  x 3  .
x 4 f x 1  f  x   x .
3 4 f x 1 f  x
1 d 4 f x 2 1 2   x 3 2 x Suy ra: dx  d x x    C    3 
4 f x 1   C   .
3 4 f x 1 4
3 4 f x 1 2 8 2 7 3 1 f 2  
 2  C C   . 4 2 2 3  4   2  x   1 1 3    40 5 1
Vậy: f x   f 4  . 4 4
Câu 164. f x  f  x  x (1) .
Nhân 2 vế của (1) với x
e ta được ex.    ex.    .ex f x f x x . 
Hay ex.    .ex  ex.    .ex f x x f x x dx    . Xét  .ex I x dx  .
u x  du  dx Đặt  .
exdx  dv v  ex  
.exd  .ex  exd  .ex  ex I x x x x xC  
. Suy ra ex    .ex  ex f x xC .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 .
x ex  ex  2 2
Theo giả thiết f (0)  1 nên C  2  f x   f   1  . ex e 2
Câu 165. Ta có: xf  x 2  1  x 1
  f x. f " x ; x  0    
x f x 2 2 2 . '  1  x 1
  f x. f " x     1
  f ' x 2  
 1 f x. f " x   2 x 1
  f ' x 2
  f x. f " x  1   2 x 1
  f x. f ' x '   1   2 x '  1  1
Do đó:  f x. f ' x .dx  1 .dx f     
x. f ' x  x   c . 2 1  x x Vì f   1  f ' 
1  1  1  2  c c  1  . 1 1  1    Nên
f x. f ' x.dx x  1 .dx     f x   f x 1 .d  x  1 .dx    x   x  2 f x 2 x 1 1  
 ln x x c . Vì f   1  1  
1 c c  1. 2 2 2 2 2 2 2 2 f x 2 x Vậy 2 
 ln x x 1  f 2  2ln 2  2 . 2 2 Câu 166. Có 2 3 3
( f '(x))  f (x). f ' (x)  x  2x  ( f (x). f '(x)) '  x  2x 1 3 4 2
f (x). f '(x)  (x  2x)dx
x x C  4 1
Từ f (0)  f '(0)  1 . Suy ra C  1 . Vậy 4 2
f (x). f '(x)  x x 1 4 1 1 Tiếp, có 4 2 2 4 2
2 f (x). f '(x) 
x  2x  2  ( f (x)) '  x  2x  2 2 2 1 1 2 2 4 2 5 3
f (x)  ( x  2x  2)dx x
x  2x C  2 10 3 1 2
Từ f (0)  1. Suy ra C  1 . Vậy 2 5 3 f (x)  x x  2x 1. 10 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 43 Do đó T  15 Câu 167. Chọn D x x
f x  tan .
x f  x   cos .
x f x  sin .
x f  x  . 3 cos x 2 cos x x sin . x f x       . 2 cos x x x Do đó sin . x f x   dx  dx      sin . x f x  dx 2  cos x 2 cos x x Tính I  dx  . 2 cos xu x  du  dx Đặt  dx   . Khi đó dv v  tan x  2   cos x x d cos xI
dx x tan x  tan d
x x x tan x
dx x tan x  ln cos x  2   . cos x cos x .
x tan x  ln cos x x ln cos x
Suy ra f x    . sin x cos x sin x        2 2 ln 2    3 3 
a 3  b ln 3  3 ff  3           2 ln  3 6 3 3  9 2           5 5 3 a    ln 3 . Suy ra  9 . 9 b  1  4
Vậy P a b   . 9
Câu 168. Chọn E không có đáp án đúng  f x
f  x 2  
Xét f  x  2x  4 f x  0   2x  4  dx= 2x  4 dx 2   . f x 2 f x 1 2 
x  4x C . f x 1 1 1  1 1  Vì f 0 
C  3  f x      . 3 2 x  4x  3
2  x 1 x  3 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Vậy S   f 0  f 2  ... f 2018   f  
1  f 3  ... f 2017     1  1 1 1 1 1  1  1 1 1 1 1 1  S  1    ...        ...   2  3 3 5 2019 2021 2  2 4 4 6 2018 2020      1  1 1 1  1  2020 1009  S  1     . 2  2 2020 2021 2  2021 2.2020      Câu 169. Chọn A
Ta có với x  0;  thì y f x  0 ; x 1  0 .
Hàm số y f x đồng biến trên 0;  nên f  x  0, x   0;  . 2 f  x
Do đó  f  x   x  
1 f x  f  x   x   1 f x      x   1 . f xf  x 1 Suy ra dx   x   1 dx    f x   x  3 1  C . f x 3 4 2 8 Vì f 3  nên C    2  . 9 3 3 2  1 3 
Suy ra f x    x   1
 2  , suy ra f 8  49 .  3  Câu 170. Chọn D 2 2 x 1
Từ giả thiết ta có: f  x   f x .  0  
với mọi x  1; 2 . x  2 2 1
Do đó f x  f  
1  1  0 với mọi x 1;2 .
Xét với mọi x 1; 2 ta có: 2 2    f x x f x x  2 x   2 1 1 2  
1 f  x   f x    x     1    dx  dx 2   . f x  2  2 2 1 f x x   2 x  2 1 1  1  d x f x 1    2 f  x  x  1 1  d x x  dx   dx       C . 2    f x 2 2 2  1  f x  1  f x 1 x x    x     x   x x 2 x 1 5 Mà f  
1  1  1  1 C C  0 . Vậy f x   f 2  . x 2
Câu 171. TH1: f x  0  f  x  0 trái giả thiết.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 f  xf  x
TH2: f x  0  f  x    x   2 2
1 . f x    2x   1 . 
dx   2x   1 dx 2   f x 2 f x 1      2
x x C  . f x 1 1 1 1 Ta có: f 2 
C  0  f x    . 6 2 x x x x 1 1 1 1 1 1 2019  P      .....   . 1 2 2 3 2020 2020 2
Câu 172. Ta có:  f x f  x 2 .
 3x  4x  2 (*)
Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được
 f x2 f xdx   x x  dx   f x2 2
d f x 3 2 . 3 4 2
x  2x  2x C
f x3 
x x x C   f x3 3 2   3 2 2 2
3 x  2x  2x C    1 3 3
Theo đề bài f 0  3 nên từ (1) ta có  f     3 2 0
3 0  2.0  2.0  C   27  3C C  9
  f x3   3 2
x x x    f x   3 2 3 3 2 2 9 ( )
3 x  2x  2x  9.
Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn  2  ;  1 . CÁCH 1: Vì 3 2 2
x  2x  2x  9  x x  2  2 x  2  5  0, x   2  
;1 nên f x có đạo hàm trên  2   ;1 và 3 2
3x  4x  2 2 3x  4x  2
f  x    0, x   2   ;1 .
3 3 x  2x  2x  9 2 
3 x  2x  2x  9 2 3 2 3 2 3 3     
 Hàm số y f x đồng biến trên  2  ; 
1  max f x  f   3 1  42.  2;   1
Vậy max f x  f   3 1  42 .  2  ;  1 CÁCH 2: 3  2   2  223 f x 3  3 3 2
x  2x  2x  9 3  3 x   2 x   .      3   3  9
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3  2   2  223
Vì các hàm số y  3 x  , y  2 x      
đồng biến trên  nên hàm số  3   3  9 3  2   2  223 3 y  3 x   2 x       cũng đồng biến trên .
 Do đó, hàm số y f x đồng biến trên  2  ;  1 .  3   3  9 Vậy a
m x f x  f   3 1  42 .  2  ;  1 3 2 1. f (x)  . x f (x) 2x  3xf (x)    Câu 173. 3 2
f (x)  xf (  x)  2  x  3x     2x  3 2 2 x xx    f (x) Suy ra,
là một nguyên hàm của hàm số g  x  2x  3 . x Ta có  x   2 2
3 dx x  3x C,  C   . f (x) Do đó, 2
x  3x C , (1) với C   nào đó. 1 x 1
Vì f (1)  4 theo giả thiết, nên thay x  1 vào hai vế của (1) ta thu được C  0 , từ đó 3 2
f (x)  x  3x . Vậy 1 f (2)  20 .
f x. f  x
Câu 174. Ta có f xf  x   x   2 . 2 1
1 f x   2x   1 . 2 1 f x 2
f x. f  x
d 1 f x Suy ra
dx  2x   1 d   x   2x   1 d   x 2   f x 2 1
x x C . 2 1 f x 2
2 1 f x
Theo giả thiết f 0  2 2 , suy ra   2 1 2 2
C C  3 . Với C  3 thì
f x  x x   f x   x x  2 2 2 2 1 3 3 1 . Vậy f   1  24 . 2 Câu 175. 
Ta có  f xf  x   f  x  f xf  x     .
Do đó theo giả thiết ta được  f xf  x  2
  2x x 1   . 2 2 x
Suy ra f xf  x 3  x
x C . Hơn nữa f 0  f 0  3 suy ra C  9 . 3 2 2   2 x   Tương tự vì 2
f x  2 f xf  x 2 3    
nên f x  2 x   x  9     . Suy ra 3 2   2 3  2 x  1 x 2 f x 3 4 2  2 x
x  9 dx x
x 18x C   
, cũng vì f 0  3 suy ra 3 2 3 3  
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 1 x 2 f x 4 2  x
x 18x  9 . Do đó  f   2 1   28 3 3   . Câu 176. Ta có
  2       1    ex x f x x f x     1
         1    ex x f x f x x f x   1     1   ex x f x x f x       x xx     
 x   f x 
 x   f x 2 e 1 e 1   e     x 1 x          2 e 1   e x x f x x x x    
x   f x 2 e 1  dx  e dx      e  x   1 f x 2  e  C 2 1 1 ex Mà f 0 
C  0 . Vậy f x  . 2 2 x 1 2 e Khi đó f 2  . 6 x 1 x
Câu 177. Từ giả thiết, ta có x x   f  x  f x 2 1 .  x x
. f  x  f x  2   x 1  x   1 x 1 x    x  . f x    , với x   \ 0;   1 .  x 1    x 1 x x x Suy ra . f x  dx  hay
. f x  x  ln x 1  C . x 1 x 1 x 1 x
Mặt khác, ta có f   1  2
 ln 2 nên C  1 . Do đó
. f x  x  ln x 1 1 . x 1 2 3 3 3 3
Với x  2 thì . f 2  1 ln 3  f 2   ln 3 . Suy ra a  và b   . 3 2 2 2 2 9 Vậy 2 2 a b  . 2 f  x 1 f  x 1
Câu 178. Ta có f x  f  x. 3x 1    dx  dx   f x 3x 1 f x 3x 1
d  f x 1 2 2 3x 1  C   dx  
 ln f x 
3x 1  C f x 3  e f x 3x 1 3 4 4 C 4 Mà f   1  1 nên 3 e  1  C   . Suy ra f   3 5  e  3, 794 . 3 f  x 1
Câu 179. Từ f x  f  x. 3x 1 ta có  . f x 3x 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 f  x 1 2 Suy ra: d x  d x  
 ln f x  3x 1  C . f x 3x 1 3 2 4 4 Ta có ln f   1 
3.11  C  ln1 
C C   . 3 3 3 2 4 2 4 3x 1  
Nên ln f x  3x 1   f x 3 3  e . 3 3 2 4 4 3.5 1   Vậy f   3 3 3 5  ee  3; 4 . f  x
Câu 180. Ta có f  x   x   2 2 3 f x   2x  3 2 f xf  x 1 
dx  2x  3 dx   2  
x  3x C . f xf x 1
Vì f 0    C  2 . 2 1 1 1
Vậy f x     .  x   1  x  2 x  2 x 1 1 1 1009 Do đó f  
1  f 2  f 3  ...  f 2017  f 2018     . 2020 2 2020
Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b a  3029 . 4 2 3x x 1 f  x 4 2 3x x 1
Câu 181. f  x 2  f x   . 2   x 2 f x 2 x f  x 4 2 3x x 1
d f x 4 2 3x x 1
d f x  1  dx   dx   dx .  2  3x 1 dx  2      f x  2 x 2 f x 2 x 2 f x 2  x  1 1 1 3  x x
C f x   C . f xx 1 3
x x x 1 x 1  1 1  Do f   1  
C  0  f x  =    . 3 4 2 x x 1 2 2
2  x x 1 x x 1 1  1 1  1  1 1  1  1 1  1  1 1  f   1     ; f 2     ; f 3     ;.; f 80     . 2  3 1 2  7 3  2  13 7  2  6481 6321 1 1 1 3240 f  
1  f 2  ... f 80    . =  . 2 2 6481 6481
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
f x. f  x   f  x 2 2 2 
Câu 182. Theo đề bài, ta có  f x  f x. f x   f x  0       1      f x 2    
f  x  f  x 2 x     1 
x C  ln f x 
C.x D f xf x 2    f 2  0  1 C   2 x 5 2 x Mà   
. Suy ra : f x 2   f   2 e 1  e . f   2 6  e D  0  
Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm 1 ln   x  
1  C khi x  1 1
Câu 183. Ta có f x  dx
 ln x 1  C   . x 1 ln 
1 x  C khi x  1 2 
Lại có f 0  2017  ln 1 0  C  2017  C  2017 . 2 2
f 2  2018 ln 2  
1  C  2018  C  2018 . 1 1
Do đó S  ln 3   1  2018  2018 ln 2   1   1   2017  2017    ln 2 . 1 1
Câu 184. Ta có f x  f  x dx  dx
d ln x  ln ln x 1  C   
x ln x   1 ln x 1
ln ln x 1  C khi 0  x  e   f x 1   .
ln ln x 1  C khi x  e   2  1  1 Do f  ln 6  ln ln
1  C  ln 6  ln 3  C  ln 6  C  ln 2  2  2 1 1 1  e  e Đồng thời f  2 e  2
 3  ln ln e 1  C  3  C  3 2 2  1  1 Khi đó: ff  3 e  3  ln ln
1  ln 2  ln ln e 1  3  3ln 2     1 .  e  e 1 x 1 ln  C , x   ;  2  1   3 x  2  1 1 x 1
Câu 185. f x  dx    ln  C , x   2;1 . 2   2 x x  2 3 x  2  1 x 1  ln  C , x   1;  3   3 x  2  1 1 1 Ta có f  3
   ln 4  C , x   ;
 2 , f 0  ln  C , x   2;1 , 1   1   3 3 2 1 2
f 3  ln  C , x   1;  , 3   3 5 1 1
Theo giả thiết ta có f 0   C  1 ln 2 . 2   3 3 2 1  f   1  ln 2  . 3 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 Và f  3
   f 3  0  C C  ln . 1 3 3 10 1 5 1 1 1 1 1 1 Vậy f  4
   f  
1  f 4  ln  C  ln 2   ln 2  ln 2  C  ln 2  . 1 2 3 2 3 3 3 3 3 3  x 1 ln
C khi x  1   1 x 1  2  1 1   x 1
Câu 186. Ta có f x  f  x dx   dx    dx  ln
C khi 1  x  1. 2   x 1 2  x 1 x 1  x 1   x 1 ln
C khi x  1 3 x 1 
f    f    1 2 2  0 ln 3  C  ln  C  0 1 3    C C  0 3 Khi đó 1 3   1   1      f   f  2 1 C  1        2 ln 3  C  ln  C  2   2   2  2 2   3 3 6
Do đó f 3  f 0  f 4  ln 2  C C  ln  C  ln 1 . 1 2 3 5 5 1 1
Câu 187. Ta có f x  f  x dx  dx
d ln x  ln ln x 1  C   
x ln x   1 ln x 1
ln ln x 1  C khi 0  x  e   f x 1   .
ln ln x 1  C khi x  e   2  1  1 Do f  ln 6  ln ln
1  C  ln 6  ln 3  C  ln 6  C  ln 2  2  2 1 1 1  e  e Đồng thời f  2 e  2
 3  ln ln e 1  C  3  C  3 2 2  1  1 Khi đó: ff  3 e  3  ln ln
1  ln 2  ln ln e 1  3  3ln 2     1 .  e  e
Câu 188. Ta có F  x  f x . 1
Tính F  x  2ax b 2x  3   2
ax bx c. 2x  3
ax b x   2 2 2
3  ax bx c 2
5ax  3b  6ax  3b c   . 2x  3 2x  3 2
5ax  3b  6ax  3b c 2
20x  30x 11 Do đó  2x  3 2x  3 2
ax   b a 2 5 3 6
x  3b c  20x  30x 11 5  a  20 a  4    3
b  6a  30   b
  2  T  7 .
3b c 11   c  5 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 189. Ta có           2
 . x    2 2 e 1 e . x F x f x ax bx c ax b x x   .  a  1 a  1  
Đồng nhất hệ số hai vế ta có: 2a b  2   b   4
 . Từ đó S a  2b c  1 8  5  2  . c b 1    c  5    3 3 x x x x x
Câu 190. Ta có f x   f xdx   2 2 2 x exe   2 2 2 2 2 menxepeC  3 3 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2  2  2  3   2  2 x x e xe mx e ne nxe pe 3 3 2 x 2 2 x 2 x 2        2x 2 2 2 3 2  2 x x e xe mx e n p e nxe  2 m  3  m  2  3   13  2n  2
 n  1  m n p  6 . n 2 p 0    1   p   2
Câu 191. Vì F x là một nguyên hàm của hàm số f x nên F x  f x, x     3m  3 m  1 2
mx   m n 2 3 2 3
x  4  3x 10x  4, x        .
23m n  10  n  2  Vậy . m n  2 .
Câu 192. Vì F x là nguyên hàm của f x nên 1 3 3  3 1 
f x  F x   cos 3x  3 x asin 3x  cos 3x   x asin 3x   cos 3x     . b c bc b
Đồng nhất hai vế của f x ta được  a  2 a  2   3    1  b   3 . b  c  9 3 1     0  c b
Vậy ab c  2.3  9  15.  3 3 x x x x x
Câu 193. Ta có f x   f xdx   2 2 2 x exe   2 2 2 2 2 menxepeC  3 3 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2  2  2  3   2  2 x x e xe mx e ne nxe pe 3 3 2 x 2 2 x 2 x 2        2x 2 2 2 3 2  2 x x e xe mx e n p e nxe
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 71
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  2 m  3  m  2  3   13  2n  2
 n  1  m n p  6 . n 2 p 0    1   p   2 Câu 194. Ta có 1
F x  2ax b 2x  3   2
ax bx c 2x  3
ax b x   2 2 2 2
3  ax bx c
5ax  3b  6ax c  3b   2x  3 2x  3
Vì F  x  f x 2
ax   b a 2 5 3 6
x c  3b  20x  30x 11 5  a  20 a  4    3
b  6a  30  b   2  . c 3b 11    c  5  
Do đó T a b c  4  2  5  7 . Câu 195. Chọn A
f (x)  F (x) F '(x)  f (x)  2
F '(x)  0  f (x)  0 x   2   2 2019 4
 3  2  0  2019x x x x
x  2  x   1  x  2  0
Vậy số điểm cực trị của F (x) là 2.
Câu 196. Ta có F  x  f x 2 2 x x
F  x x  f x x  x x  2 2 2 2     2 x x   e  2 . 2x 1
x x  4 2 2 x x  
  x x      e  2
x x   2 2x 1 1 2
x x  2 x x  1     2x  
1 x x  
1  x  2 x  
1  x x  2  2 2 2 e
 0  x  2; 1; ; 0;1  2  F  2
x x  0 có 5 nghiệm đơn nên F  2
x x có 5 điểm cực trị.  
Câu 197. + Tính      2    x  2 e  
 2      ex F x ax bx c ax a b x b c 2   2 5 2e x x x     . a  2  a  2    Suy ra 2
2a b  5   b   1 nên    2  1 e x F x x x      . bc 2    c  1    + Tính F 0  1
 suy ra f F 0  f   1  9e . Câu 198. Chọn
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 72
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  2
1 cos xsin x  cot x  2
1 cos xsin x  2
1 cos xcot x
Ta có: F x  dx dx dx  4  4  4 sin x sin x sin x  2
1 cos xcot x  2
1 cos xsin x Gọi A dx  và B dx 4  sin x 4 sin x Ta có:  2
1 cos xcot x  2
1 2 cot xcot x A dx dx      3
cot x  2 cot x .d cot x 4 2    sin x sin x 2 4  cot x cot x      C .   1 2 2    2
1 cos xsin x  2
1 cos xsin x B dx dx  4  sin x  2 1 cos x2
Đặt t  cos x , suy ra dt   sin x.dx . Khi đó: 2 2 1 t 1 t 1  1 1    1  1 1  B   dt   dt      dt    C       2t  2 1 t  2 1 .t  2 1 2 t  2 1 t  2 2 1 2   t 1 t 1    1  1 1     C   2
2  cos x 1 cos x 1 Do đó: 2 4 1  1 1   cot x cot x
F x  A B      C    
2  cos x 1 cos x 1 2 2   Suy ra: 2 4    1  1 1   cot x cot x
F x  F      C C        2 
2  cos x 1 cos x 1 2 2   1 1 2 4  
 cot x  cot x  0 cos x 1 cos x 1 2 4 2 cos x cos x cos x     0 2 2 4 sin x sin x sin x
Với điều kiện sin x  0 ,
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 73
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 cos x  0 cos x  0 *  3  cos x   2  cos x   0 2   2
1 cos x  cos x 2 1 cos x 3  cos x  0 2 sin x   cos x  0 cos x  0     2 1 17 2 cos x cos x 2 0       cos x   4  3  3
Theo giả thiết x 0;4  nên x  ; x  ; x   2 ; x   2 ; 2 2 2 2
x  ; x    2 ;
x   ; x    2 .
Khi đó tổng các nghiệm này sẽ lớn hơn 9 . Câu 199. Ta có: 2 cos x 1 cos x 1
f x dx  dx  2 dx  dx   2  2  2 sin x sin x sin x d sin x 1 2  2  dx    cot x C  2  2 sin x sin x sin x 2 cos x 1
Do F x là một nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 0;  nên hàm số F x có công 2 sin x 2
thức dạng F x  
 cot x C với mọi x 0;  . sin x 2
Xét hàm số F x  
 cot x C xác định và liên tục trên 0;  . sin x 2 cos x 1
F ' x  f x  2 sin x 2 cos x 1 1 
Xét F ' x  0   0  cos x   x  
k 2 k   . 2   sin x 2 3 
Trên khoảng 0;  , phương trình F ' x  0 có một nghiệm x  3 Bảng biến thiên:
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 74
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   
max F x  F   3  C   0;   3 
Theo đề bài ta có,  3  C  3  C  2 3 . 2
Do đó, F x    cot x  2 3 . sin x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 75