Các dạng toán tích phân thường gặp trong kỳ thi THPTQG
Các dạng toán tích phân thường gặp trong kỳ thi THPTQG được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 CHUYÊN
TÍCH PHÂN, PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ĐỀ 19 MỤC LỤC
Phần A. CÂU HỎI ............................................................................................................................................. 2
Dạng 1. Tích phân cơ bản ................................................................................................................................... 2
Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải .......................................................................................................... 2
Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản ....................................................................................................... 4
Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ ..................................................................................................................... 7
Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN ....................................................................................... 10
Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ ............................................................................... 11
Dạng 4.1 Hàm số tường minh ....................................................................................................................... 11
Dạng 4.1.1 Hàm số chứa căn thức ............................................................................................................. 11
Dạng 4.1.2 Hàm số chứa hàm lượng giác................................................................................................... 14
Dạng 4.13. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit ............................................................................................. 16
Dạng 4.1.4 Hàm số hữu tỷ, đa thức ........................................................................................................... 17
Dạng 4.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) .............................................................................................. 18
Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN ..................................................................................................................... 22
Dạng 5.1 Hàm số tường minh ....................................................................................................................... 22
Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) .............................................................................................. 25
Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán ............................................................................................. 29
Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác ...................................................................................................... 31
Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối .................................................................................. 31
Dạng 7.2 Tích phân nhiều công thức ............................................................................................................. 32
Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ .............................................................................................................. 33
Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác ............................................................................................................ 34
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................... 38
Dạng 1. Tích phân cơ bản ................................................................................................................................. 38
Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải ........................................................................................................ 38
Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản ..................................................................................................... 40
Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ ................................................................................................................... 43
Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN ....................................................................................... 46
Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ ............................................................................... 48
Dạng 4.1. Hàm số tường minh ...................................................................................................................... 48
Dạng 4.1.1. Hàm số chứa căn thức ............................................................................................................ 48
Dạng 4.1.2. Hàm số chứa hàm lượng giác .................................................................................................. 54
Dạng 4.1.3. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit ............................................................................................ 57
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dạng 4.1.4. Hàm số hữu tỷ, đa thức .......................................................................................................... 59
Dạng 4.2. Hàm số không tường minh (hàm ẩn) ............................................................................................. 60
Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN ..................................................................................................................... 68
Dạng 5.1 Hàm số tường minh ....................................................................................................................... 68
Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) .............................................................................................. 74
Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán ............................................................................................. 88
Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác ...................................................................................................... 91
Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối .................................................................................. 91
Dạng 7.2. Tích phân nhiều công thức ............................................................................................................ 95
Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ .............................................................................................................. 95
Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác .......................................................................................................... 100 Phần A. CÂU HỎI
Dạng 1. Tích phân cơ bản
Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải 2 2 2 Câu 1.
(Mã 103 - BGD - 2019) Biết
f x dx 2
và g x dx 6
, khi đó f x g x dx bằng 1 1 1 A. 8 . B. 4 . C. 4 . D. 8 . 1 1 Câu 2.
(Mã 102 - BGD - 2019) Biết tích phân
f x dx 3 và
g x dx 4 . Khi đó 0 0 1
f x g x dx bằng 0 A. 7 . B. 7 . C. 1. D. 1. 1 1 1 Câu 3.
(Mã đề 104 - BGD - 2019) Biết ( )d 2 f x x và ( )d 4 g x x , khi đó ( ) ( )d f x g x x bằng 0 0 0 A. 6 . B. 6 . C. 2 . D. 2 . 1 1 1 Câu 4.
(Mã đề 101 - BGD - 2019) Biết d 2 f x x và d 3 g x x
, khi đó f x g x d x bằng 0 0 0 A. 1. B. 1. C. 5 . D. 5 . 1 1 Câu 5.
(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho
f x dx 2 và
g x dx 5 , khi 0 0 1
f x 2g x dx bằng 0 A. 8 B. 1 C. 3 D. 12 Câu 6.
(THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với
mọi hàm f , g liên tục trên K và a , b là các số bất kỳ thuộc K ?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 b f (x)dx b b b b f (x)
A. f (x) 2g(x)dx f (x)dx +2 g(x)dx . B. d a x . g(x) b a a a a g(x)dx a 2 b b b b b
C. f (x).g(x)dx f (x)dx . g(x)dx . D. 2 f (x)dx= f (x)dx . a a a a a 4 2 4
f y dy Câu 7.
(THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho
f x dx 1 ,
f t dt 4 . Tính 2 . 2 2 A. I 5 . B. I 3 . C. I 3 . D. I 5 . 2 2 Câu 8.
(THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
f x dx 3 và
g x dx 7 , khi đó 0 0
2 f x 3g x dx bằng 0 A. 16 . B. 18 . C. 24 . D. 10 . 1 3 Câu 9.
(THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho f ( ) x dx 1 ; f ( ) x dx 5. Tính 0 0 3 f (x) dx 1 A. 1. B. 4. C. 6. D. 5. 2 3
Câu 10. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho
f x dx 3
và f x dx 4 . Khi 1 2 3 đó
f x dx bằng 1 A. 12. B. 7. C. 1. D. 12 . 2
Câu 11. Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên 1 ; 2,f 1 8; f 2 1 . Tích phân f 'x dx 1 bằng A. 1. B. 7. C. 9 . D. 9.
Câu 12. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số f x liên tục trên R và có 2 4 4
f (x)dx 9;
f (x)dx 4. Tính I f (x)d . x 0 2 0 9 A. I 5 . B. I 36 . C. I . D. I 13 . 4 0 3
Câu 13. (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho
f x dx 3 f x dx 3. Tích phân 1 0 3
f x dx bằng 1 A. 6 B. 4 C. 2 D. 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 14. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f x liên tục 4 4 3 trên và
f x dx 10 ,
f x dx 4 . Tích phân
f x dx bằng 0 3 0 A. 4 . B. 7 . C. 3 . D. 6 . 1
Câu 15. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Nếu F x và 2x 1 F
1 1 thì giá trị của F 4 bằng 1 A. ln 7. B. 1 ln 7. C. ln 3. D. 1 ln 7. 2
Câu 16. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số f x liên tục trên thoả 8 12 8 mãn
f x dx 9 ,
f x dx 3 ,
f x dx 5 . 1 4 4 12 Tính I
f x dx . 1 A. I 17 . B. I 1. C. I 11 . D. I 7 .
Câu 17. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x liên tục trên 10 6 2 10
0;10 thỏa mãn f xdx 7 ,
f x dx 3 . Tính P
f x dx
f x dx . 0 2 0 6 A. P 10 . B. P 4 . C. P 7 . D. P 6 .
Câu 18. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn 1; 3 thoả: 3 3 3
f x 3g x d x 10
, 2 f x g x d x 6
. Tính f x g x d x . 1 1 1 A. 7. B. 6. C. 8. D. 9.
Câu 19. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 10 6 2 10
0;10 và f x dx 7 ;
f x dx 3 . Tính P
f x dx f x dx . 0 2 0 6 A. P 4 B. P 10 C. P 7 D. P 4
Câu 20. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1; 3 thỏa mãn điều kiện 3 3 3
f x 3g x dx= 10
đồng thời 2 f x g x dx=6
. Tính f x g x dx . 1 1 1 A. 9 . B. 6 . C. 7 . D. 8 .
Câu 21. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho f , g là hai hàm liên tục trên 3 3 3 1;
3 thỏa: f x 3g x dx 10
và 2 f x g x dx 6
. Tính I f x g x dx . 1 1 1 A. 8. B. 7. C. 9. D. 6.
Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 2
Câu 22. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho
f x dx 5
. Tính I f x 2sin x dx 5 . 0 0 A. I 7 B. I 5 C. I 3 D. I 5 2 2 2
Câu 23. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho
f x dx 2 và
g x dx 1 . Tính 1 1 2 I
x 2 f x 3g x dx . 1 17 5 7 11 A. I B. I C. I D. I 2 2 2 2 5
Câu 24. (THPT HÀM RỒNG THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hai tích phân d 8 f x x 2 2 5 và d 3 g x x . Tính I
f x 4g x 1 d x 5 2 A. 13 . B. 27 . C. 11. D. 3 . 2 2
Câu 25. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
f (x)dx 2
và g (x)dx 1 , khi 1 1 2
đó x 2 f (x) 3g(x)dx bằng 1 5 7 17 11 A. B. C. D. 2 2 2 2 2 2
Câu 26. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho d 3 f x x , d 1 g x x thì 0 0 2
f x 5g x x d x bằng: 0 A. 12 . B. 0 . C. 8 . D. 10 5
Câu 27. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho
f x dx 2 . Tích 0 5
phân 4 f x 2 3x dx bằng 0 A. 140 . B. 130 . C. 120 . D. 133 .
Câu 28. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 2 2
4 f x 2x dx 1 . Khi đó
f xdx bằng: 1 1 A. 1. B. 3 . C. 3 . D. 1.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1
2 f x 2 3x dx 1
Câu 29. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho f x dx 1 tích phân 0 0 bằng A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 1.
Câu 30. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính tích phân 0
I 2x 1 dx . 1 1 A. I 0 . B. I 1. C. I 2 . D. I . 2
Câu 31. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số f x . Biết f 0 4 và f x 2 '
2sin x 1, x , khi đó 4
f x dx bằng 0 2 16 4 2 4 2 15 2 16 16 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16
Câu 32. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số f x . Biết f 0 4 và f x 2
2sin x 3, x R , khi 4 đó
f xdx bằng 0 2 2 2 8 8 2 8 2 2 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8
Câu 33. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số f (x) .Biết f (0) 4 và 2 f (
x) 2cos x 3, x , khi đó 4 f (x)dx bằng? 0 2 8 8 2 8 2 2 6 8 2 2 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 1
Câu 34. Tích phân 3x
1 x 3 dx bằng 0 A. 12 . B. 9 . C. 5 . D. 6 . 2
Câu 35. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Giá trị của sin xdx bằng 0 A. 0. B. 1. C. -1. D. . 2 2
Câu 36. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tính tích phân I (2x 1)dx 0 A. I 5 . B. I 6 . C. I 2 . D. I 4 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 b Câu 37. Với ,
a b là các tham số thực. Giá trị tích phân 2 3x 2ax 1 dx bằng 0 A. 3 2
b b a b . B. 3 2
b b a b . C. 3 2
b ba b . D. 2
3b 2ab 1. 1
Câu 38. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 1 Biết rằng hàm số f x mx n thỏa mãn f x dx 3 , 0 2
f x dx 8
. Khẳng định nào dưới đây là đúng? 0
A. m n 4 .
B. m n 4 .
C. m n 2 .
D. m n 2 . 4 2
Câu 39. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Giả sử I sin 3xdx a b 2 0
a,b . Khi đó giá trị của a b là 1 1 3 1 A. B. C. D. 6 6 10 5
Câu 40. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x liên 2 2
tục trên và f x 2
3x dx 10 . Tính f xdx . 0 0 A. 2 . B. 2 . C. 18 . D. 1 8 . m
Câu 41. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 2
3x 2x 1 dx 6 0
. Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? A. 1 ; 2 . B. ; 0 . C. 0; 4 . D. 3 ;1 . 1 7
Câu 42. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Biết rằng hàm số 2
f x ax bx c thỏa mãn f x dx 2 0 2 ,
f x dx 2 và 0 3 4 4 3 A. . B. . C. . D. . 4 3 3 4
Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ 2 dx
Câu 43. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) bằng 2x 3 1 1 7 1 7 7 A. ln 35 B. ln C. ln D. 2 ln 2 5 2 5 5 2 dx
Câu 44. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) bằng 3x 2 1 1 2 A. 2 ln 2 B. ln 2 C. ln 2 D. ln 2 3 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 dx
Câu 45. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Tích phân bằng x 3 0 2 16 5 5 A. B. C. log D. ln 15 225 3 3 1 1 1
Câu 46. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho
dx a ln 2
b ln 3 với a,b là các số x 1 x 2 0
nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a 2b 0
B. a b 2
C. a 2b 0
D. a b 2 e 1 1
Câu 47. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tính tích phân I dx 2 x x 1 1 1 A. I B. I 1 C. I 1 D. I e e e 3 dx
Câu 48. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính tích phân I . x 2 0 21 5 5 4581 A. I . B. I ln . C. I log . D. I . 100 2 2 5000 2 dx
Câu 49. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) bằng 3x 2 1 2 1 A. 2 ln 2 . B. ln 2 . C. ln 2 . D. ln 2 . 3 3 2 x 1
Câu 50. Tính tích phân I dx . x 1 7 A. I 1 ln 2 . B. I . C. I 1 ln 2 . D. I 2 ln 2 . 4 2 dx
Câu 51. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết
a ln 2 b ln 3 c ln 5
x 1 2x 1 1
. Khi đó giá trị a b c bằng A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . 3 x 2 Câu 52. Biết
dx a b ln c,
với a, b, c , c 9. Tính tổng S a b . c x 1 A. S 7 . B. S 5 . C. S 8 . D. S 6 . Câu 53. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết 0 2 3x 5x 1 2 I dx a ln
b, a,b
. Khi đó giá trị của a 4b bằng x 2 3 1 A. 50 B. 60 C. 59 D. 40 2 1 x 2 1
Câu 54. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Biết dx n ln 2 , với , m n là 0 x 1 m
các số nguyên. Tính m n . A. S 1 . B. S 4 . C. S 5 . D. S 1 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 55. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tích phân x 2 1 1 I
dx a ln b
trong đó a , b là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a b . 2 x 1 0 A. 1. B. 0 . C. 1. D. 3 . 5 2 x x 1 b
Câu 56. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết dx a ln x 1 2 3
với a , b là các số nguyên. Tính S a 2b . A. S 2 . B. S 2 . C. S 5 . D. S 10 . 2 x 10 a
Câu 57. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho 2 x dx ln với x 1 b b 1
a,b . Tính P a b ? A. P 1. B. P 5. C. P 7 . D. P 2 . 3 x 3
Câu 58. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
dx a ln 2 b ln 3 c ln 5 2 x 3x 2 1
, với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a b c bằng A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. 4 5x 8
Câu 59. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
dx a ln 3 b ln 2 c ln 5 , 2 x 3x 2 3 với a, ,
b c là các số hữu tỉ. Giá trị của a 3
2 bc bằng A. 12 B. 6 C. 1 D. 64 5 2 x x 1 b Câu 60. Biết dx a ln
với a , b là các số nguyên. Tính S a 2b . x 1 2 3 A. S 2 . B. S 2 . C. S 5 . D. S 10 . 1 1 a Câu 61. Biết rằng dx
a ,b, a 10 . Khi đó a b có giá trị bằng 2 x x 1 b 0 A. 14 . B. 15 . C. 13 . D. 12 . 2 2 x 5x 2
Câu 62. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Biết
dx a b ln 3 c ln 5 2 x 4x 3 0 , a, ,
b c . Giá trị của abc bằng A. 8 . B. 10 . C. 12 . D. 16 . 0 2 3x 5x 1 2
Câu 63. (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Giả sử rằng dx a ln b . Khi đó, x 2 3 1
giá trị của a 2b là A. 30 . B. 60 . C. 50 . D. 40 . Câu 64. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết 2 3sin x cos x 1 1 b dx
ln 2 b ln 3 c , b c Q . Tính ?
2 sin x 3cos x 3 c 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 22 22 22 22 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 13
Câu 65. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Biết 4 3 2
x x 7x 3 a a dx c ln 5
với a , b , c là các số nguyên dương và
là phân số tối giản. Tính 2 x x 3 b b 1 2 3
P a b c . A. 5 . B. 4 . C. 5. D. 0. Câu 66. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho 1 2
4x 15x 11 dx a bln 2 cln3
với a , b , c là các số hữu tỷ. Biểu thức T .
a c b bằng 2 2x 5x 2 0 1 1 A. 4 . B. 6 . C. . D. . 2 2
Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN ln x
Câu 67. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x . x
Tính: I F e F 1 ? 1 1 A. I B. I C. I 1 D. I e 2 e 1
Câu 68. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) 3 x 1 e dx bằng 0 1 1 A. 4 e e B. 3 e e C. 4 e e D. 4 e e 3 3 2
Câu 69. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) 3 1 e d x x bằng 1 1 1 1 A. 5 2 e e B. 5 2 e e C. 5 2 e e D. 5 2 e e 3 3 3 6 2
Câu 70. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho
f (x)dx
12 . Tính I f(3x)d . x 0 0 A. I 5 B. I 36 C. I 4 D. I 6
Câu 71. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho với m , p ,
và là các phân số tối giản. Giá trị bằng 22 A. 10 . B. 6 . C. . D. 8 . 3
Câu 72. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tích phân 1 1 I dx có giá trị bằng x 1 0 A. ln 2 1 . B. ln 2 . C. ln 2 . D. 1 ln 2 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 x
Câu 73. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Tính K dx . 2 x 1 2 1 8 8 A. K ln 2 . B. K ln . C. K 2 ln 2 . D. K ln . 2 3 3 1 2 a Câu 74. Biết rằng x 2 xe dx b c
e e với a, ,
b c . Giá trị của a b c bằng 2 0 A. 4 . B. 7 . C. 5 . D. 6 . e x 1
Câu 75. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Biết
dx ln ae b với , a b là 2
x x ln x 1
các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức 2 2
T a ab b . A. 3. B. 1. C. 0. D. 8.
Câu 76. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết 2 1 p x p 2 1 q x x e
dx me n
, trong đó m, n, p, q là các số nguyên dương và là phân số tối giản. q 1
Tính T m n p q . A. T 11 . B. T 10 . C. T 7 . D. T 8. 2 x 2tdt
Câu 77. Số điểm cực trị của hàm số f x là 2 1 t 2 x A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 78. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 1
đồng thời thỏa mãn f 0 f
1 5 . Tính tích phân I
f x f x e dx . 0 A. I 10 B. I 5 C. I 0 D. I 5
Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng 4.1 Hàm số tường minh
Dạng 4.1.1 Hàm số chứa căn thức 21 dx
Câu 79. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho
a ln 3 b ln 5 c ln 7
, với a, b, c là các số x x 4 5
hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a b 2 c B. a b 2 c
C. a b c
D. a b c 55 dx
Câu 80. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho
a ln 2 b ln 5 c ln11
, với a, b, c là các số x x 9 16
hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a b 3c B. a b 3 c
C. a b c
D. a b c 2
Câu 81. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tính tích phân 2
I 2x x 1dx bằng cách đặt 1 2
u x 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 2 1 3 2 A. I udu B. I udu C. I 2 udu D. I udu 2 0 1 0 1 ln 6 ex
Câu 82. (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Biết tích phân
dx a b ln 2 c ln 3 , với a , b x 0 1 e 3
, c là các số nguyên. Tính T a b c . A. T 1 . B. T 0 . C. T 2 . D. T 1. 1 dx
Câu 83. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Tích phân bằng 3x 1 0 4 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 2 dx
Câu 84. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Biết dx
a b c
với a, b, c là
(x 1) x x x 1 1
các số nguyên dương. Tính P a b c A. P 18 B. P 46 C. P 24 D. P 12 e ln x
Câu 85. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết
dx a b 2 x 1 ln x 1
với a, b là các số hữu tỷ. Tính S a b . 1 3 2 A. S 1. B. S . C. S . D. S . 2 4 3 2 2
Câu 86. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho tích phân 2 I 16 x dx và 0
x 4 sin t . Mệnh đề nào sau đây đúng? 4 4
A. I 8 1 cos 2t dt . B. 2 I 16 sin d t t . 0 0 4 4
C. I 8 1 cos 2t dt . D. 2 I 1 6 cos d t t . 0 0 5 1
Câu 87. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Biết
dx a b ln 3 c ln 5 1 3x 1 1
(a, b, c Q) . Giá trị của a b c bằng 7 5 8 4 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 1 x 1 b
Câu 88. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho dx ln d , với 3 x 1 a c 1 2 b
a, b, c, d là các số nguyên dương và
tối giản. Giá trị của a b c d bằng c A. 12 B. 10 C. 18 D. 15
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 7 3 x m m
Câu 89. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Cho biết dx với là một phân 3 2 n n 0 1 x
số tối giản. Tính m 7n A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 91. Câu 90. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết rằng 1 dx
a ln 2 b ln 3 c ln 5
, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a b c bằng
3x 5 3x 1 7 0 10 5 10 5 A. B. C. D. 3 3 3 3 e ln x Câu 91. Biết
dx a b 2
với a, b là các số hữu tỷ. Tính S a b . x 1 ln x 1 1 3 2 A. S 1. B. S . C. S . D. S . 2 4 3 Câu 92. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 3 x a dx
b ln 2 c ln 3
với a,b,c là các số nguyên. Giá trị a b c bằng: 4 2 x 1 3 0 A. 9 B. 2 C. 1 D. 7 3 x a
Câu 93. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho I dx
b ln 2 c ln d , với 4 2 x 1 d 0 a
a, b, c, d là các số nguyên và
là phân số tối giản. Giá trị của a b c d bằng d A. 16. B. 4. C. 28. D. 2 . a 3 x x Câu 94. Tính I dx . 2 0 x 1 1 A. I 2 a 2 1 a 1 1. B. I 2 a 2 1 a 1 1 . 3 1 C. I 2 a 2 1 a 1 1 . D. I 2 a 2 1 a 1 1. 3 1 2 x
Câu 95. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Giá trị của tích phân dx bằng tích phân nào 1 x 0 dưới đây? 1 4 2 2 sin x 4 2 sin y 2 A. 2 2 sin d y y . B. dx . C. dy . D. 2 2 sin d y y . cos x cosy 0 0 0 0 2 2 x b
Câu 96. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Biết dx ln 5 c ln 2 2 2 a 3
x 1 x 1 a với a, ,
b c là các số nguyên và phân số
là tối giản. Tính P 3a 2b c . b A. 11. B. 12 . C. 14 . D. 13 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 97. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho tích phân 4 2 25 x 5 6 12
dx a b 6 c ln d ln 2 với a, ,
b c, d là các số hữu tỉ. Tính tổng x 5 6 12 1
a b c d . 1 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 25 2 20 1 dx
Câu 98. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Cho tích phân I nếu đổi biến số 2 0 4 x
x 2 sin t, t ; thì ta được. 2 2 π π π π 3 6 4 6 dt A. I dt . B. I dt .
C. I tdt . D. I . t 0 0 0 0 1 3 x a b c
Câu 99. (THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Biết dx với a, , b c là 2 15 0 x 1 x
các số nguyên và b 0 . Tính 2
P a b c . A. P 3 . B. P 7 . C. P 7 . D. P 5 . 1 n Câu 100. Cho n 2
là số nguyên dương khác 0 , hãy tính tích phân I 1 x d x x theo n . 0 1 1 1 1 A. I . B. I . C. I . D. I . 2n 2 2n 2n 1 2n 1
Câu 101. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Giả sử 64 dx 2 I a ln b
với a, b là số nguyên. Khi đó giá trị a b là 3 x x 3 1 A. 17 . B. 5. C. 5 . D. 17 . 2 x
Câu 102. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Biết
dx a b 2 c 35 2 1 3x 9x 1
với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P a 2b c 7 . 1 86 67 A. . B. . C. 2 . D. . 9 27 27 2 dx
Câu 103. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Biết
a b c với
x x 1 x 1 x 1
a , b , c là các số nguyên dương. Tính P a b c . A. P 44 . B. P 42 . C. P 46 . D. P 48 . 4 2x 1dx 5
Câu 104. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Biết
a b ln 2 c ln a, , b c . Tính
2x 3 2x 1 3 3 0
T 2a b c . A. T 4 . B. T 2 . C. T 1. D. T 3 .
Dạng 4.1.2 Hàm số chứa hàm lượng giác
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 105. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tính tích phân 3 I cos . x sin d x x . 0 1 1 A. I B. 4 I C. 4 I D. I 0 4 4 2 cos x 4
Câu 106. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho dx a ln b, tính tổng 2
sin x 5sin x 6 c 0
S a b c A. S 1 . B. S 4 . C. S 3 . D. S 0 . 2
Câu 107. (SGD - BÌNH DƯƠNG - HK 2 - 2018) Cho tích phân I 2 cos x.sin d x x . Nếu đặt 0
t 2 cos x thì kết quả nào sau đây đúng? 2 3 2 2 A. I tdt . B. I tdt . C. I 2 tdt . D. I tdt . 3 2 3 0 4 2 sin x
Câu 108. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - HKII - 2018) Tính tích phân I dx
bằng cách đặt u tan x , 4 cos x 0
mệnh đề nào dưới đây đúng? 4 2 1 1 1 A. 2
I u du . B. I du . C. 2
I u du 2
I u du 2 . D. . u 0 0 0 0 π 3 sin x
Câu 109. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Tính tích phân I dx . 3 cos x 0 5 3 π 9 9 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 3 20 4 2 sin x
Câu 110. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho tích phân
dx a ln 5 b ln 2 với cos x 2 3 a, b .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 2a b 0.
B. a 2b 0.
C. 2a b 0.
D. a 2b 0.
Câu 111. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu số a 0;20 sao a 2 cho 5 sin x sin 2 d x x . 7 0 A. 10. B. 9. C. 20. D. 19. sin 2x cos x
Câu 112. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết F (x) nguyên hàm của hàm số f (x) và 1 sin x
F (0) 2 . Tính F 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 2 8 2 2 8 4 2 8 4 2 8 A. F B. F C. F D. F 2 3 2 3 2 3 2 3 6 dx a 3 b Câu 113. Biết , với , a b , c
và a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị của 1 sin x c 0
tổng a b c bằng A. 5 . B. 12 . C. 7 . D. 1 . 2 s inx
Câu 114. Cho tích phân số
dx a ln 5 b ln 2
với a, b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? cos x 2 3
A. 2a b 0.
B. a 2b 0.
C. 2a b 0. .
D. a 2b 0. . 2 sin x 4
Câu 115. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho dx a ln b , với a , b
cos x2 5cos x 6 c 0
là các số hữu tỉ, c 0 . Tính tổng S a b c . A. S 3 . B. S 0 . C. S 1 . D. S 4 .
Dạng 4.13. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit 1 dx 1 e
Câu 116. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho a b ln
, với a, b là các số hữu tỉ. x e 1 2 0 Tính 3 3
S a b . A. S 2 . B. S 0 . C. S 1. D. S 2 . e 3ln x 1
Câu 117. (SGD&ĐT CẦN THƠ - HKII - 2018) Cho tích phân I dx
. Nếu đặt t ln x thì x 1 1 3t 1 e 3t 1 e 1 A. I dt . B. I dt .
C. I 3t 1 dt .
D. I 3t 1 dt . et t 0 1 1 0
Câu 118. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho e ln x c I
dx a ln 3 b ln 2
, với a, b, c . Khẳng định nào sau đâu đúng.
x ln x 22 3 1 A. 2 2 2
a b c 1 . B. 2 2 2
a b c 11 . C. 2 2 2
a b c 9 . D. 2 2 2
a b c 3 . 4
Câu 119. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Biết I x ln 2
x 9dx a ln 5 bln 3 c trong 0 đó , a ,
b c là các số thực. Giá trị của biểu thức T a b c là: A. T 11. B. T 9. C. T 10. D. T 8. e ln x Câu 120. Cho I dx
có kết quả dạng I ln a b với a 0 , b . Khẳng định nào sau đây
x ln x 22 1 đúng? 3 1 3 1 A. 2ab 1 . B. 2ab 1. C. b ln . D. b ln . 2a 3 2a 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 e 2 ln x 1 a c
Câu 121. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho dx ln với
x ln x 22 b d 1 a a c
, b , c là các số nguyên dương, biết ;
là các phân số tối giản. Tính giá trị a b c d ? b d A. 18 . B. 15 . C. 16 . D. 17 . 1 3 x 3
x 2 ex .2x 1 1 e
Câu 122. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Biết dx ln p với e.2x m e ln n e 0
m , n , p là các số nguyên dương. Tính tổng S m n p . A. S 6 . B. S 5 . C. S 7 . D. S 8 . Câu 123. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho e 3 3x 2
1 ln x 3x 1 3 dx . a e b . c ln e 1
với a, b, c là các số nguyên và ln e 1. Tính 1 x ln x 1 2 2 2
P a b c . A. P 9. B. P 14. C. P 10. D. P 3.
Câu 124. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Biết ln 2 dx 1 I a b c
với a , b , c là các số nguyên dương. x x ln ln ln 0 e 3e 4 c
Tính P 2a b c . A. P 3 . B. P 1 . C. P 4 . D. P 3 2 x 1
Câu 125. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Biết
dx ln ln a b
với a , b là các 2
x x ln x 1 số nguyên dương. Tính 2 2
P a b ab . A. 10 . B. 8 . C. 12 . D. 6 . 2 1
x xex
Câu 126. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Cho dx . a e b ln
c với a , b , x e x e 0
c . Tính P a 2b c . A. P 1 . B. P 1. C. P 0 . D. P 2 .
Dạng 4.1.4 Hàm số hữu tỷ, đa thức 1 xdx
Câu 127. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho
a b ln 2 c ln 3 với , a , b c là x 22 0
các số hữu tỷ. Giá trị của 3a b c bằng A. 2 B. 1 C. 2 D. 1 3 x
Câu 128. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Tính K dx bằng 2 x 1 2 1 8 8 A. K ln 2 . B. K ln . C. K 2 ln 2 . D. K ln . 2 3 3 1 7 x
Câu 129. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho tích phân I dx , giả sử đặt 2
t 1 x . Tìm 1 x 5 2 0 mệnh đề đúng.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 t 3 2 1 t 3 3 1 A. I dt . B. I dt 5 . 2 t 5 t 1 1 1 t 3 2 1 3 t 3 4 1 C. I dt . D. I dt 4 . 2 t 4 2 t 1 1 1 x
Câu 130. (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu số thực a để dx 1 . 2 a x 0 A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 1 xdx
Câu 131. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho
a b ln 2 c ln 3 với , a , b c là x 22 0
các số hữu tỷ. Giá trị của 3a b c bằng A. 2 B. 1 C. 2 D. 1
Câu 132. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho x x 6 2 3 2 dx
A x 8 B x 7 3 2 3 2 C với , A ,
B C . Tính giá trị của biểu thức 12A 7B . 23 241 52 7 A. B. C. D. 252 252 9 9 1 2 2x 3x 3
Câu 133. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Biết
dx a ln b
với a, b là các số nguyên 2 x 2x 1 0 dương. Tính 2 2
P a b . A. 13 . B. 5 . C. 4 . D. 10 .
Dạng 4.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 5
Câu 134. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho biết
f xdx 15 . Tính giá trị của 1 2
P f 5 3x 7 dx . 0 A. P 15 . B. P 37 . C. P 27 . D. P 19 . 4
Câu 135. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho
f x dx 2018 . Tính tích 0 2
phân I f 2x f 4 2x dx . 0 A. I 0 . B. I 2018 . C. I 4036 . D. I 1009 . 2 3
Câu 136. Cho y f x là hàm số chẵn, liên tục trên 6
;6 . Biết rằng f x dx 8
; f 2xdx 3 . Giá 1 1 6 trị của I
f x dx là 1 A. I 5 . B. I 2 . C. I 14 . D. I 11.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 137. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số f x liên tục trên và 2
f x dx 2018 , tính I xf 2 x d . x 0 0 A. I 1008 . B. I 2019 . C. I 2017 . D. I 1009 . 2
Câu 138. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho
f xdx 2 . Khi đó 1
4 f x dx bằng x 1 A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 8 . 2 5
Câu 139. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho
f x2 1 d x x
2 . Khi đó I f x dx bằng 1 2 A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 1.
Câu 140. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 1 Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1; 3 thỏa mãn điều kiện 3 3 3 2
f x 3g x dx= 10
đồng thời 2 f x g x dx=6 . Tính
f 4 xdx
+2 g 2x 1 dx 1 1 1 1 A. 9 . B. 6 . C. 7 . D. 8 .
Câu 141. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số f x liên tục trên 1 2 7
f x dx 2 f 3x 1 dx 6 I
f x dx thỏa 0 và 0 . Tính 0 . A. I 16 . B. I 18 . C. I 8 . D. I 20 .
Câu 142. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho f x liên tục trên thỏa mãn 7 7
f x f 10 x và f x dx 4
. Tính I xf x dx . 3 3 A. 80 . B. 60 . C. 40 . D. 20 . 1
Câu 143. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho
f x dx 9 . Tính 0 6 I
f sin 3x cos 3xdx . 0 A. I 5 . B. I 9 . C. I 3 . D. I 2 . 4
Câu 144. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho tích phân I
f x dx 32. Tính 0 2 tích phân J f 2x d . x 0 A. J 32 B. J 64 C. J 8 D. J 16
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 145. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Biết f x là hàm liên tục trên và 9 4
f x dx 9 . Khi đó giá trị của
f 3x 3dx là 0 1 A. 0 . B. 24 . C. 27 . D. 3 .
Câu 146. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f (x) thỏa mãn 1 2
f (2x)dx 2 .Tích phân f (x)dx bằng 0 0 A. 8. B. 1. C. 2. D. 4. 2017 1
Câu 147. Cho hàm f x thỏa mãn
f x dx 1
. Tính tích phân I
f 2017x dx . 0 0 1 A. I . B. I 0 . C. I 2017 . D. I 1. 2017 2 1 Câu 148. Cho tích phân
f xdx a
. Hãy tính tích phân I xf 2 x 1 dx theo a . 1 0 a a A. I 4a . B. I . C. I . D. I 2a . 4 2
Câu 149. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x liên 2 2 4 e f ln x 2 f 2x
tục trên và thỏa mãn tan . x f 2
cos xdx 2 và dx 2 . Tính dx . x ln x x 0 e 1 4 A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 8 .
Câu 150. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số 2 2
x 3x ; x 1 2 1
y f x
. Tính I 2 f sin x cos d
x x 3 f 3 2x dx .
5 x ; x 1 0 0 71 32 A. I . B. I 31. C. I 32 . D. I . 6 3 2
Câu 151. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho I
f xdx 2 . Giá trị của 1
2 sin xf 3cos x 1 dx bằng 3cos x 1 0 4 4 A. 2 . B. . C. . D. 2 . 3 3 4
Câu 152. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết f x dx 5 1 5 2 ln 2 và
f x dx 20 . Tính 4 3
2x 2x f x dx f e e dx . 4 1 0 15 5 A. I . B. I 15 . C. I . D. I 25 . 4 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 153. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho f ( x) là hàm số liên tục trên thỏa mãn 2 2 ( ) (2 ) . x f x f x
x e , x . Tính tích phân I f ( x)dx . 0 4 e 1 2e 1 A. I . B. I . C. 4 I e 2 . D. 4 I e 1. 4 2
Câu 154. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x liên tục trên thỏa 1 2
mãn f 2x 3 f x , x . Biết rằng
f x dx 1
. Tính tích phân I
f x dx . 0 1 A. I 5 B. I 6 C. I 3 D. I 2
Câu 155. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn 2 2 e f 2 ln x 2 f 2x tan . x f 2
cos x dx 2 và dx 2 . Tính dx . x ln x x 0 e 1 4 A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 8 .
Câu 156. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f (x) liên tục trên thỏa mãn 3 8 3 f ( x ) 2 tan .
x f (cos x)dx dx 6 . x 0 1 2 2 f (x ) Tính tích phân dx x 1 2 A. 4 B. 6 C. 7 D. 10
Câu 157. (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên 2018 2018 e 1 x thỏa
f x dx 2 . Khi đó tích phân f
ln 2x 1 dx bằng 2 x 1 0 0 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 158. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn 4 1 2 x f x 1
f tan x dx 3 và dx 1. Tính I f x d . x 2 x 1 0 0 0 A. I 2 . B. I 6 . C. I 3 . D. I 4 .
Câu 159. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn 2 16 f x 1 f 4x 2 cot . x f
sin xdx dx 1 . Tính tích phân dx . x x 1 1 4 8 3 5 A. I 3 . B. I . C. I 2 . D. I . 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 160. (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn f 2 x 1 ln x 4 f x
. Tính tích phân I
f x dx . x x 3 A. 2 I 3 2 ln 2 . B. 2 I 2 ln 2 . C. 2 I ln 2 . D. I 2 ln 2 . f x
Câu 161. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho hàm số liên tục trên thảo
f x f x 2 7 4 4 2018x x 9 4 mãn:
, x . Tính I
f x dx . 0 2018 7063 98 197764 A. . B. . C. . D. . 11 3 3 33
Câu 162. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Cho hàm số y f (x) liên tục trên 1; 4 và thỏa mãn f (2 x 1) ln x 4 f (x)
. Tính tích phân I f (x) dx . x x 3 A. 2 I 3 2 ln 2 . B. 2 I 2 ln 2 . C. 2 I ln 2 . D. I 2 ln 2 .
Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN
Dạng 5.1 Hàm số tường minh e
Câu 163. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tính tích phân I x ln xdx : 1 2 e 1 1 2 e 2 2 e 1 A. I B. I C. I D. I 4 2 2 4 e
Câu 164. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho 1 x ln x 2
dx ae be c
với a , b , c là các số 1
hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a b c
B. a b c
C. a b c
D. a b c e
Câu 165. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho 2 x ln x 2
dx ae be c
với a, b, c là các số hữu tỉ. 1
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a b c
B. a b c
C. a b c
D. a b c 1
Câu 166. Tích phân 2 2 e x x dx bằng 0 2 5 3e 2 5 3e 2 5 3e 2 5 3e A. . B. . C. . D. . 4 4 2 4 1
Câu 167. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Biết rằng tích phân 2 + 1 ex x dx = a + .e b , tích a.b 0 bằng A. 15 . B. 1 . C. 1. D. 20.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 168. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tích phân 2 ln x b b I dx a ln 2
với a là số thực, b và c là các số dương, đồng thời là phân số tối giản. 2 x c c 1
Tính giá trị của biểu thức P 2a 3b c . A. P 6 . B. P 5 . C. P 6 . D. P 4 . 4
Câu 169. (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho tích phân I x 1 sin 2xd . x 0 Tìm đẳng thức đúng? 4 4 1 4
A. I x
1 cos2x cos2xdx .
B. I x 1 cos2x cos2 d x x . 2 0 0 0 4 1 4 4 1 4
C. I x 1 cos2x cos2 d x x .
D. I x 1 cos2x cos2 d x x . 2 2 0 0 0 0
Câu 170. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết rằng tồn tại duy nhất các bộ số nguyên , a , b c 3
sao cho 4x 2 ln xdx a b ln 2 c ln 3
. Giá trị của a b c bằng 2 A. 19 . B. 19 . C. 5 . D. 5 . 2 ln 1 x
Câu 171. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho
dx a ln 2 b ln 3 , với ,
a b là các số hữu tỉ. 2 x 1
Tính P a 4b . A. P 0 B. P 1 C. P 3 D. P 3 1000 2 ln x
Câu 172. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Tính tích phân I dx , ta được x 2 1 1 1000 ln 2 2 1000 1000 ln 2 2 A. I 1001ln . B. I ln . 1000 1000 1 2 1 2 1000 1000 1 2 1 2 1000 ln 2 2 1000 1000 ln 2 2 C. I 1001ln . D. I ln . 1000 1000 1 2 1 2 1000 1000 1 2 1 2 2
Câu 173. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Biết 2x ln x 1 dx a.lnb , với *
a,b , b là số 0
nguyên tố. Tính 6a 7b .
A. 6a 7b 33 .
B. 6a 7b 25 .
C. 6a 7b 42 .
D. 6a 7b 39 . a
Câu 174. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Biết rằng ln xdx 1 2a, a 1 . Khẳng 1
định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. a 18; 2 1 . B. a 1; 4 . C. a 11;14 . D. a 6;9 . 1
Câu 175. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Cho tích phân ( 2) x x e x
d a be , với ; a b . 0
Tổng a b bằng
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A. 1. B. 3 . C. 5 . D. 1 . 2
Câu 176. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tính tích phân x I xe dx . 1 A. 2 I e . B. 2 I e . C. I e . D. 2
I 3e 2e .
Câu 177. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết rằng 3
x ln x dx m ln 3 n ln 2 p
trong đó m, n, p . Tính m n 2 p 2 5 9 5 A. . B. . C. 0 . D. . 4 2 4 2
Câu 178. (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 2 NĂM 2018-2019) Biết 2x ln 1 x dx . a ln b , với 0 *
a, b , b là số nguyên tố. Tính 3a 4b . A. 42 . B. 21 . C. 12 . D. 32 . 2 ln x b
Câu 179. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho tích phân I dx a ln 2 2 x c 1 b
với a là số thực, b và c là các số nguyên dương, đồng thời là phân số tối giản. Tính giá trị của c
biểu thức P 2a 3b c . A. P 6 B. P 6 C. P 5 D. P 4 3 x 3 Câu 180. Biết I dx ln b . Khi đó, giá trị của 2 a b bằng 2 cos x a 0 A. 11. B. 7 . C. 13 . D. 9 .
Câu 181. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho 2
ln x x dx F x, F 2 2 ln 2 4 . Khi đó
3 F x 2x ln x 1 I dx bằng x 2 A. 3ln 3 3. B. 3ln 3 2 . C. 3ln 3 1. D. 3ln 3 4 Câu 182. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết 3 x 3 I dx ln b
, với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức 2 cos x a 0 2 T a . b A. T 9 . B. T 13 . C. T 7 . D. T 11. 2 ln 1 2x a dx
ln 5 b ln 3 c ln 2 2 x 2
Câu 183. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho 1 ,
a 2 b c
với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của là: A. 0. B. 9. C. 3. D. 5. 2 ln 1 x Câu 184. Cho
dx a ln 2 b ln 3
, với a , b là các số hữu tỉ. Tính P ab . 2 x 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 9 A. P . B. P 0 . C. P . D. P 3 . 2 2 1
Câu 185. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Cho tích phân ( 2) x x e x
d a be
, với a;b . 0
Tổng a b bằng A. 1. B. 3 . C. 5 . D. 1. Câu 186. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho π
4 ln sin x 2 cos xdx aln3bln 2 π
c với a , b , c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng 2 cos x 0 15 5 5 17 A. B. C. D. 8 8 4 8 12 1 1 c x a
Câu 187. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Biết 1 x d x e dx e trong đó x b 1 12 a c a, ,
b c, d là các số nguyên dương và các phân số ,
là tối giản. Tính bc ad . b d A. 12. B. 1. C. 24. D. 64.
2 x ln x 1 a c
Câu 188. (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Cho dx ln 3 (với x 22 b d 0 a c * a, c ; , b d ;
là các phân số tối giản). Tính P a bc d . b d A. 7 . B. 7 . C. 3 . D. 3 .
Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 1
Câu 189. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số f x thỏa mãn x
1 f xdx 10 0 1 và 2 f
1 f 0 2 . Tính f x dx . 0 A. I 1 B. I 8 C. I 12 D. I 8
Câu 190. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên và thỏa 2 1
mãn f (2) 16, f (x)dx 4
. Tính I xf ( 2x)dx . 0 0 A. I 20 B. I 7 C. I 12 D. I 13
Câu 191. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f x có đạo hàm 1 1 1 2 1 liên tục trên 0; 1 thỏa mãn 2
x f x dx , f 1 0 và
f ' x dx . Giá trị của 0 21 0 7
1 f xdx bằng 0 5 1 4 7 A. . B. . C. . D. . 12 5 5 10
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 192. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f x có đạo
hàm liên tục trên và thỏa mãn 1 1
f xdx 1, f 1 cot1
. Tính tích phân I f x 2
tan x f x tan x dx . 0 0 A. 1. B. 1 ln cos 1 . C. 0. D. 1 cot1. f x
Câu 193. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số có đạo hàm 1 1 1
liên tục trên đoạn 0 1 ; thỏa mãn f 1 0 , 2
x f x dx Tính 3
x f ' x dx . 3 0 0 A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
Câu 194. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên 1 9 1 x 3 tục trên đoạn 0
;1 và thỏa mãn f 0 0. Biết 2
f x dx và f x cos dx . Tích 2 2 4 0 0 1 phân
f x dx bằng 0 6 2 4 1 A. B. C. D. 2
Câu 195. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Biết m là số thực thỏa mãn
x cos x 2m 2 dx=2 1 . 2 0
Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m 0 . B. 0 m 3 . C. 3 m 6 . D. m 6 .
Câu 196. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0; 1 thỏa 1 1 1 2 1 mãn f 1 0, f (
x) dx 7 và 2
x f (x)dx
. Tính tích phân f (x)dx 3 0 0 0 7 7 A. 4 B. C. 1 D. 5 4
Câu 197. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên 1 1 1 tục trên đoạn 0
;1 và f 0 f 1 0 . Biết 2
f x dx , f x cos x dx . Tính 2 2 0 0 1
f x dx . 0 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 2
Câu 198. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 1 1 1 2 1 trên đoạn 0
;1 thỏa mãn f
1 0 , f x dx 7 2
và x f x dx . Tích phân
f x dx 3 0 0 0 bằng 7 7 A. B. 1 C. D. 4 5 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 199. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 1 1 1 2 1 trên đoạn 0
;1 thỏa mãn f
1 4 , f x dx 36 và . d x f x x . Tích phân
f x dx 5 0 0 0 bằng 5 3 2 A. B. C. 4 D. 6 2 3
Câu 200. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 2 2 2 2 1
trên đoạn 0; 2 thỏa mãn f 2 3 , f x dx 4 2 và d x f x x . Tích phân d f x x 3 0 0 0 bằng 2 297 562 266 A. B. C. D. 115 115 115 115
Câu 201. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 1 1 1 2 1 trên đoạn 0
;1 thỏa mãn f
1 4 , f x dx 5 và .
x f x dx . Tích phân
f x dx 2 0 0 0 bằng 15 17 17 15 A. B. C. D. 19 4 18 4
Câu 202. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 2 2 2 2 17
trên đoạn 0; 2 thỏa mãn f 2 6 , f x dx 7 và .
x f x dx . Tích phân
f x dx 2 0 0 0 bằng A. 8 B. 6 C. 7 D. 5
Câu 203. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 3 3 3 2 154 trên đoạn 0;
3 thỏa mãn f 3 6 , f x dx 2 2 và . d x f x x
. Tích phân f x dx 3 0 0 0 bằng 53 117 153 13 A. B. C. D. 5 20 5 5
Câu 204. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 1 1 1 2 trên đoạn 0
;1 thỏa mãn f
1 2 , f x dx 8 3
và x . f x dx 10 . Tích phân
f x dx 0 0 0 bằng 2 194 116 584 A. B. C. D. 285 95 57 285
Câu 205. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 ;1 1 1 2 1 2 e x 1 thỏa mãn f
1 0 và f x dx x
1 e f x dx
. Tính tích phân I
f x dx . 4 0 0 0 e e 1 A. I 2 e . B. I e 2 . C. I . D. I . 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 206. (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 4 4 4 8 và f 0 2 . Biết
f x dx ,
f xsin 2 d x x
. Tính tích phân I
f 2x dx 4 8 4 0 0 0 1 1 A. I 1. B. I . C. I 2 . D. I . 2 4
Câu 207. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018). Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 ;1 và 1 1 1 1
f 0 f 1 0 . Biết 2
f x dx , f x cos x dx . Tính
f x dx . 2 2 0 0 0 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 2
Câu 208. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên 0; 4 4 f x 4 4 thỏa mãn f 3 , dx 1 và sin . x tan .
x f x dx 2 . Tích phân sin .
x f x dx 4 cos x 0 0 0 bằng: 2 3 2 1 3 2 A. 4 . B. . C. . D. 6 . 2 2
Câu 209. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục trên 1 2 1 1 2 1 đoạn 0 ;1 thỏa f
1 0 , f x dx và cos
x f x dx . Tính
f x dx . 8 2 2 0 0 0 1 2 A. . B. . C. . D. . 2
Câu 210. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 1 1 1 2 1 trên đoạn 0
;1 thỏa mãn f
1 1, f x dx 9 3
và x f x dx . Tích phân
f x dx 2 0 0 0 bằng: 2 5 7 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 5
Câu 211. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 1 2 1 x e 1 2 0
;1 thỏa mãn f x dx x
1 e f x dx và f 1 0 . Tính
f xdx 4 0 0 0 e 1 2 e e A. . B. . C. e 2 . D. . 2 4 2
Câu 212. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn 2 1 2 2 2 x 2 1
f x dx
, f 2 0 và f x dx 7
. Tính tích phân I
f xdx . 3 1 1 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 7 7 7 7 A. I . B. I . C. I . D. I . 5 5 20 20
Câu 213. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 1 1 2 1 0;
1 thỏa mãn: f
1 0, f x dx 7 2
và x . f x dx
. Tính tích phân I
f x dx . 3 0 0 0 7 7 A. I 1. B. I . C. I 4 . D. I . 5 4
Câu 214. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 1 4 1 7 1 2 0
;1 thỏa mãn f 1 3,
f x dx 4
và x f x dx . Giá trị của
f x dx là 11 11 0 0 0 35 65 23 9 A. . B. . C. . D. . 11 21 7 4
Câu 215. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1; 2 2 2 2 5 2 f x 5 3
và thỏa mãn f 2 0, f x dx ln và dx ln . Tính tích phân 12 3 x 1 12 2 1 2 1 2 f x . dx 1 3 2 3 3 3 3 3 A. 2 ln . B. ln . C. 2 ln . D. 2 ln . 4 3 2 4 2 4 2
Câu 216. (SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; 1 thỏa mãn 1 1 1 2 4 4 f x 8 f x f
1 0 , f '(x) dx ln 3 và dx 2 ln 3 . Tính tích phân dx bằng. 3 2x 1 3 4 0 2 0 0 1 3ln 3 4 ln 3 ln 3 3 A. . B. . C. . D. ln . 3 3 16 16
Câu 217. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên 0 ;1 thỏa mãn 1 1 1 2 1 1
f 0 1; f x dx và 2x
1 f x dx . Tích phân
f x dx bằng 30 30 0 0 0 11 11 11 1 A. . B. . C. . D. . 30 12 4 30
Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán
Câu 218. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên . Biết f 3 1 và 1 3
xf 3xdx 1, khi đó 2
x f xdx bằng 0 0 25 A. . B. 3 . C. 7 . D. 9 . 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 219. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên . Biết f 4 1 và 1 4
xf 4x dx 1, khi đó 2
x f x dx bằng 0 0 31 A. 8. B. 14. C. . D. 1 6 . 2
Câu 220. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên . Biết f 6 1 và 1 6
xf 6x dx 1 , khi đó 2
x f x dx bằng 0 0 107 A. . B. 34 . C. 24 . D. 3 6 . 3
Câu 221. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên . Biết f (5) 1 và 1 5
xf (5x)dx 1 , khi đó 2
x f (x)dx bằng 0 0 123 A. 15 B. 23 C. D. 2 5 5 1
Câu 222. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho 2
x ln(2 x )dx a ln 3 b ln 2 c với a, , b c 0
là các số hữu tỷ. Giá trị của a b c bằng 3 A. 2 . B. 1. C. . D. 0 . 2 2
Câu 223. Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên , f 2 16 và
f x dx 4 . Tích phân 0 4 x xf dx bằng 2 0 A. 112 . B. 12 . C. 56 . D. 144 . 2
Câu 224. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Cho tích phân 2 I
x sin xdx a b 0
a,b . Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A. 3 B. 2
a b 4
C. a b 6 D. 1; 0 b b
Câu 225. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x liên tục trên 2 1
và f 2 16, f xdx 4 . Tính I .
x f 2x dx . 0 0 A. 7 . B. 12 . C. 20 . D. 13 . Câu 226. ------- (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết
4 ln s in x cos x a bc dx ln 2 với a, ,
b c là các số nguyên. Khi đó, bằng 2 cos x b c a 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 8 8 A. 6 . B. . C. 6 . D. . 3 3
Câu 227. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho tích phân 2 2 I x.sin
xdx a b
a, b , Mệnh đề nào sau đây đúng? 0 a a A. 3 . B. 2 a b 4 . C. 1 ; 0 .
D. a b 6 . b b
Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác
Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Câu 228. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Cho a là số thực dương, tính tích phân a I x dx theo a . 1 2 2 a 1 2 a 2 2 2 a 1 3a 1 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 2 2 1
Câu 229. (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x liên tục trên và có f x dx 2 ; 0 3 1
f x dx 6 . Tính I f
2x 1dx 0 1 3 A. I 8 B. I 6 C. I D. I 4 2
Câu 230. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho số thực m 1 thỏa mãn m
2mx 1 dx 1
. Khẳng định nào sau đây đúng? 1 A. m 4;6 . B. m 2; 4 . C. m 3;5 . D. m 1; 3 .
Câu 231. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 1 3 2018 2018 A. 3 x dx x dx . B. 4 2
x x 1 dx 4 2 x x 1 dx . 1 1 1 1 3 3 C. x 1 d x e x x e x 1 dx . D. 2 2 2
1 cos xdx sin d x x . 2 2 2 2 5 x 2
Câu 232. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho tích phân
dx a b ln 2 c ln 3 x 1 1
với a, b, c là các số nguyên. Tính P = abc. A. P 3 6 B. P 0 C. P 1 8 D. P 18
Câu 233. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu số tự nhiên m để 2 2 2 2
x 2m dx 2 2
x 2m dx . 0 0 A. Vô số. B. 0 . C. Duy nhất. D. 2 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3
Câu 234. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f (x) liên tục trên và có f (x)dx 8 0 5 1 và
f (x)dx 4. Tính f ( 4x 1) . dx 0 1 9 11 A. . B. . C. 3. D. 6. 4 4 1
Câu 235. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Tính tích phân 2x 2x I dx . 1 1 2 A. . B. ln 2 . C. 2ln 2 . D. . ln 2 ln 2 1
Câu 236. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên thỏa f 2x dx 2 0 2 2 và
f 6x dx 14 . Tính f
5 x 2dx . 0 2 A. 30 . B. 32 . C. 34 . D. 36 .
Câu 237. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Cho f x là hàm số liên tục trên và 1 3 1
f x d x 4 ,
f x d x 6 . Tính I f
2x 1 d x . 0 0 1 A. I 3 . B. I 5 . C. I 6 . D. I 4 .
Câu 238. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên 0;3 và 1 3 1
f x dx 2; f x dx 8. Giá trị của tích phân f
2x 1 dx ? 0 0 1 A. 6 B. 3 C. 4 D. 5
Dạng 7.2 Tích phân nhiều công thức 2x khi x 0
Câu 239. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Cho số thực a và hàm số f x . Tính a 2
x x khi x 0 1 tích phân
f x dx bằng: 1 a 2a a 2a A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 6 3 6 3
Câu 240. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
ex m khi x 0
f x
liên tục trên và 2
2x 3 x khi x 0 1
f xdx= e
a b 3 c , a, ,
b c Q . Tổng a b 3c bằng 1 A. 15 . B. 1 0 . C. 1 9 . D. 1 7 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x e , m khi x 0 Câu 241. Cho hàm số f (x) liên tục trên và 2 2x 3 x , khi x 0
1 f (x)dx ae b 3 , c (a, , b c )
. Tổng T a b 3c bằng 1 A. 15 B. 10 C. 19 D. 17
Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ
Câu 242. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số f x liên tục trên và thoả mãn 3 2
f x f x 2 2 cos 2x , x
. Tính I f x d . x 3 2 A. I 6 B. I 0 C. I 2 D. I 6
Câu 243. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho f x là hàm số chẵn trên a f x đoạn ;
a a và k 0 . Giá trị tích phân dx bằng 1 ekx a a a a a A.
f x dx . B.
f x dx . C. 2
f x dx .
D. 2 f x dx . 0 a a 0
Câu 244. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho f x, f x liên tục trên và thỏa mãn 1 2
2 f x 3 f x . Biết I
f x dx 2
. Khi đó giá trị của m là x 4 m 2 A. m 2 . B. m 20 . C. m 5 . D. m 10 .
Câu 245. (THPT HÀM RỒNG THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số f x , f x liên tục 1 2
trên và thõa mãn 2 f x 3 f x . Tính I
f x dx 2 . 4 x 2 A. I . B. I . C. I . D. I . 20 10 20 10 4 sin x a
Câu 246. (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - 2018) Cho dx c
, với a, b, c , 2 1 x x b 4
b 15 . Khi đó a b c bằng: A. 10 . B. 9 . C. 11. D. 12 .
Câu 247. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hàm số y f x là hàm lẻ và liên tục trên 4 ; 4 biết 0 2 4
f x dx 2 và
f 2x dx 4 . Tính I
f x dx . 2 1 0 A. I 10 . B. I 6 . C. I 6 . D. I 10 .
Câu 248. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1 ln 2
ln 2;ln 2 và thỏa mãn f x f x . Biết
f x dx a ln 2 b ln 3 ; a b . Tính x e 1 ln 2
P a b .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 A. P . B. P 2 . C. P 1 . D. P 2 . 2
Câu 249. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Cho y f x là hàm số chẵn và liên tục trên . 1 2 1 2 f x Biết
f x dx
f x dx 1 . Giá trị của dx bằng 2 3x 1 0 1 2 A. 1. B. 6 . C. 4 . D. 3 . 2
Câu 250. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Hàm số f x là hàm số chẵn liên tục trên và f x dx 10 . Tính 0 2 f x I dx . 2x 1 2 10 A. I 10 . B. I . C. I 20 . D. I 5 . 3
Câu 251. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho f (x) là một hàm số liên tục 3 2
trên thỏa mãn f x f x 2 2 cos 2x . Tính tích phân I
f x dx . 3 2 A. I 3 . B. I 4 . C. I 6 . D. I 8 .
Câu 252. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Cho hàm số y f x là hàm số chẵn, liên tục trên 1 1 f x đoạn 1 ;1 và
f x dx 6 . Kết quả của dx bằng 1 2018x 1 1 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác 1
Câu 253. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) và f x x f x 2 ( ) ( ) 3 với mọi x .
Giá trị của f (1) bằng 2 2 7 11 A. B. C. D. 3 9 6 6 1
Câu 254. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f x thỏa mãn f 2 và 5 2 3 f x x f x
với mọi x . Giá trị của f 1 bằng 4 71 79 4 A. B. C. D. 35 20 20 5
Câu 255. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số f x có đạo hàm đến cấp hai trên thỏa 2 mãn: 2
f x 2 1
x 3 f x
1 . Biết rằng f x 0, x
, tính I 2x
1 f " x dx . 0 A. 8 . B. 0 . C. 4 . D. 4 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 256. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính tích phân 1 max x 12 , x e e dx 0 3 1 1 A. e 1. B. 3 e e . C. 3 e e . D. e . 2 2 e
Câu 257. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Cho tích phân 4 1 2 a dx ln b với a, ,
b c là các số nguyên dương. Tính 5 2 c 0 cot x tan x 12 6 2 2 2
a b c A. 48 . B. 18 . C. 34 . D. 36 .
Câu 258. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn 2 2 .
x f (x). f '(x) f (x) x, x
và có f (2) 1. Tích phân 2 f (x)dx 0 3 4 A. B. C. 2 D. 4 2 3
Câu 259. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số f x nhận giá trị
không âm và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f x x f x 2 2 1 , x và f 0 1 1
. Giá trị của tích phân
f xdx bằng 0 1 3 2 3 A. . B. ln 2 . C. . D. . 6 9 9
Câu 260. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên , f 0 0, f '0 0 và thỏa mãn hệ thức
f x f x 2 x 2 . ' 18
3x x f ' x 6x
1 f x; . 1
Biết x f x 2 1 e dx ae ,
b a,b
.Giá trị của a b bằng 0 2 A. 1. B. 2. C. 0. D. . 3
Câu 261. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số f x thỏa mãn
2 f x 2 1 1
f x 0 và f x f x x 0 ;1 . Biết f
, khẳng định nào sau đây x 2 e . . x x x 2 2 đúng? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A. f B. f C. f D. f 5 4 6 5 5 5 5 4 5 6
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 262. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho hàm số f x liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn 0 ;1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1
M 2 f x 3x f xdx 4 f x x xf xdx bằng 0 0 1 1 1 1 A. B. C. D. 24 8 12 6
Câu 263. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ,
f 0 0, f 0 0 và thỏa mãn hệ thức
f x f x 2 x 2 . 18
3x x f x 6x
1 f x,x . 1
Biết x f x 2 1 e dx . a e b
, với a;b . Giá trị của a b bằng. 0 2 A. 1. B. 2 . C. 0 . D. . 3
Câu 264. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x liên tục và có đạo 1 1 2 1 1 2 109 f x hàm trên ; 2 thỏa mãn
f x 2 f x.3 x dx . Tính dx . 2 2 2 12 x 1 1 0 2 7 2 5 8 A. ln . B. ln . C. ln . D. ln . 9 9 9 9 1 n
Câu 265. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu 2 I x x x . Tính n 2 1 d 0 I 1 lim n . n In A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 5 .
Câu 266. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho f x là hàm liên tục trên đoạn 0; a thỏa mãn a
f x. f a x 1 dx ba b và ,
trong đó b , c là hai số nguyên dương và là phân số
f x 0, x 0;a 1 f x c c 0
tối giản. Khi đó b c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. 11; 22. B. 0;9. C. 7; 21 . D. 2017; 2020.
Câu 267. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số f x xá định trên 2 2 2 0; 2 thỏa mãn
f x 2 2 f xsin x d x . Tích phân
f x d x bằng 2 4 2 0 0 A. . B. 0 . C. 1. D. . 4 2
Câu 268. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho số thực a 0 . Giả sử hàm số f (x) liên tục và luôn dương a 1
trên đoạn 0; a thỏa mãn f (x). f (a x) 1. Tính tích phân I dx ? 1 f x 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2a a a A. I . B. I . C. I . D. I a . 3 2 3
Câu 269. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Xét hàm số f x liên tục 1 trên đoạn 0
;1 và thỏa mãn 2 f x 3 f 1 x 1 x . Tích phân f x dx bằng 0 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 15 5 2018 sin a x x
Câu 270. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Biết d x
trong đó a , b là các số 2018 2018 sin x cos x b 0
nguyên dương. Tính P 2a b . A. P 8 . B. P 10 . C. P 6 . D. P 12 .
Câu 271. (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Cho hàm số f x đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn 2 2
0; 2 và thỏa mãn f x f x. f x f x 0
. Biết f 0 1, f 6
2 e . Khi đó f 1 bằng 3 5 A. 2 e . B. 2 e . C. 3 e . D. 2 e .
Câu 272. (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0; 3 ; 1
f 3 x. f x 1, f x 1 với mọi x 0; 3 và f 0 . Tính tích phân: 2 3 . x f x dx . 1
f 3 x 2 2 0 . f x 5 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 273. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho số thực a 0 . Giả sử hàm số f x liên tục a 1
và luôn dương trên đoạn 0;a thỏa mãn f x. f a x 1. Tính tích phân I dx ? 1 f x 0 a a 2a A. I . B. I . C. I a . D. I . 3 2 3
Câu 274. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 4 4 8 0; 2 và f 0 . Biết
f x dx
, f xsin 2 d x x
. Tính tích phân I
f 2x dx 4 4 8 4 0 0 0 . 1 1 A. I 1. B. I . C. I 2 . D. I . 2 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 275. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho hàm số y f x là hàm số 1 f x
lẻ trên và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện f x
1 f x 1, x và f , 2 x x 1 f x x 0 . Gọi I .dx
. Hãy chọn khẳng định đúng về giá trị của I . 2 f x 1 0
A. I 1;0 . B. I 1; 2 . C. I 0 ;1 .
D. I 2; 1 .
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Tích phân cơ bản
Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải Câu 1. Chọn B 2 2 2
Ta có: f x g x dx f x dx g x dx 2 6 4 . 1 1 1 Câu 2. Chọn C 1 1 1
Ta có f x g x dx f x dx g x dx 3 4 1 . 0 0 0 Câu 3. Chọn C 1 1 1
f (x) g(x)dx
f (x)dx
g(x)dx 2 ( 4 ) 2 . 0 0 0 Câu 4. Chọn C 1 1 1
f x g x d x
f xdx g xdx 2 3 5 . 0 0 0 Câu 5. Chọn A 1 1 1
Có f x 2g x dx f x dx 2 g x dx 2 2.5 8 . 0 0 0 Câu 6.
Theo tính chất tích phân ta có b b b b b
f (x) g(x)dx f (x)dx + g(x)dx; kf (x)dx k f (x)dx , với k . a a a a a 4 4 4 4 Câu 7. Ta có:
f t dt
f x dx ,
f y dy f x dx . 2 2 2 2 2 4 4 Khi đó:
f x dx f x dx
f x dx . 2 2 2 4 4 2
f x dx
f x dx
f x dx 4 1 5 . 2 2 2 4 Vậy
f y dy 5 . 2 Câu 8. Ta có 2 2 2
f x 3g x dx
f x dx 3 g x dx 3 3.7 24 . 0 0 0 3 1 3 3 3 1 Câu 9. Ta có f ( ) x dx = f ( ) x dx + f (x) dx f (x) dx = f ( ) x dx f (x) dx = 5+ 1= 6 0 0 1 1 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 Vậy f (x) dx = 6 1 3 2 3 Câu 10.
f x dx
f x dx f x dx 3 4 1 . 1 1 2 2 2
Câu 11. Ta có f 'xdx f x f 2 f 1 1 8 9. 1 1 4 2 4 Câu 12. Ta có: I
f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx 9 4 13. 0 0 2 0 3 3 0 3
Câu 13. Có f x dx 3; f x dx 1; f x dx f x dx f x dx 3 1 4 1 0 1 1 0 3 4 4
Câu 14. Theo tính chất của tích phân, ta có:
f x dx f x dx f x dx . 0 3 0 3 4 4 Suy ra:
f x dx
f x dx f x dx 10 4 6 . 0 0 3 3 Vậy
f x dx 6 . 0 4 4 4 1 1 1
Câu 15. Ta có: F xdx dx ln | 2x 1| ln 7 . 2x 1 2 2 1 1 1 4 4
Lại có: F xdx F x F 4 F 1 . 1 1 1 1 1
Suy ra F 4 F 1
ln 7 . Do đó F 4 F 1 ln 7 1 ln 7 . 2 2 2 12 8 12 8 12 8 Câu 16. Ta có: I
f x dx f x dx
f x dx .
f x dx f x dx f x dx 9 3 5 7 . 1 1 8 1 4 4 10 2 6 10 Câu 17. Ta có
f x dx f x dx f x dx f x dx 0 0 2 6 2 10 10 6 Suy ra
f x dx f x dx
f x dx f x dx 7 3 4 . 0 6 0 2 3 3 3
Câu 18. f x 3g x d x 10
f xdx 3 g x dx 10 1 . 1 1 1 3 3 3
2 f x g x d x 6
2 f xdx g xdx 6 2 . 1 1 1 3 3 Đặt X
f xdx
, Y g xdx . 1 1
X 3Y 10 X 4 Từ
1 và 2 ta có hệ phương trình: . 2X Y 6 Y 2 3 3 Do đó ta được:
f xdx 4
và g x dx 2 . 1 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3
Vậy f x g x d x 4 2 6 . 1 10 2 6 10 Câu 19. Ta có:
f x dx f x dx f x dx f x dx . 0 0 2 6
7 P 3 P 4 . 3 3 3
Câu 20. Ta có: f x 3g x dx= 10
f xdx+3 g xdx=10 . 1 1 1 3 3 3
2 f x g x dx=6
2 f xdx- g xdx=6 . 1 1 1 3 3 Đặt u
f xdx; v = g xdx . 1 1 3 f xdx=4 u 3v 10 u 4
Ta được hệ phương trình: 1 2u v 6 v 2 3
g xdx=2 1 3
Vậy f x g x dx=6 . 1 3 3 Câu 21. Đặt a
f x dx
và b g x dx . 1 1 3 3
Khi đó, f x 3g x dx a 3b
, 2 f x g x dx 2a b . 1 1
a 3b 10 a 4 Theo giả thiết, ta có . 2a b 6 b 2
Vậy I a b 6 .
Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản Câu 22. Chọn A Ta có 2 2 2 2
I f x 2sin x dx f x dx +2 sin x dx f x 2 dx 2 cos x 5 20 1 7 . 0 0 0 0 0 Câu 23. Chọn A 2 2 2 2 2 x 3 17 Ta có: I
x 2 f x 3g x dx 2
f x dx 3 g x dx 2.2 3 1 . 2 2 2 1 1 1 1 Câu 24. Lời giải 5 5 5 5 5 5 5 I
f x 4g x 1 d x
f x dx 4g xdx d
x f xdx 4 g xdx d x 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 5
f x dx 4 g xdx d
x 8 4.3 x 8 4.3 7 13. 2 2 5 2 Câu 25. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 2 2 2 3 5
Ta có x 2 f (x) 3g(x)dx xdx 2 f (x)dx 3 g(x)dx 4 3 2 2 1 1 1 1 Câu 26. Chọn D 2 2 2 2
f x 5g x x dx f x dx 5 g x dx d
x x 3 5 2 10 0 0 0 0 5 5 5 5
Câu 27. 4 f x 2
3x dx 4 f x 2 3
dx 3x dx 8 x 8 125 133 . 0 0 0 0 Câu 28. Chọn A 2 2 2 2 2 2 x
4 f x 2x dx 1 4 f x dx 2 xdx 1 4 f x dx 2. 1 2 1 1 1 1 1 2 2
4 f x dx 4 f x dx 1 1 1 Câu 29. Chọn. A. 1 1 1
2 f x 2
3x dx 2 f x 2
dx 3 x dx 2 1 1 . 0 0 0 0 0 Câu 30. I 2x 1 dx 2
x x 0 0 0 . 1 1 Câu 31. Chọn A 1
Ta có f x 2 2 sin x
1 dx 2 cos 2x dx 2x sin 2x C. 2
Vì f 0 4 C 4 1
Hay f x 2x sin 2x 4. 2 4 4 1 Suy ra
f x dx 2x sin 2x 4 dx 2 0 0 2 2 1 1 16 4 2 x
cos 2x 4x 4 . 4 16 4 16 0 Câu 32. Chọn C 1
f xdx 2
2sin x 3 dx 1 cos 2x 3 dx 4 cos 2x dx 4x sin 2x C . 2 1
Ta có f 0 4 nên 4.0 sin 0 C 4 C 4 . 2 1
Nên f x 4x sin 2x 4 . 2 4 4 1 1 2 8 2 f x 2 dx
4x sin 2x 4 dx 2x cos 2x 4x 4 . 2 4 8 0 0 0 Câu 33. Chọn B , 1 cos 2x Ta có 2 f (x)
f (x)dx (2 cos x 3)dx (2. 3)dx 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1
(cos 2x 4)dx
= sin 2x 4x C do f (0) 4 C 4 . 2 1 4 4 1 Vậy f (x)
sin 2x 4x 4 nên
f (x)dx ( sin 2x 4x 4)dx 2 2 0 0 2 4 1 8 2 2
( cos 2x 2x 4x) . 4 8 0 1 1 1
Câu 34. Ta có: 3x
1 x 3 dx 2
3x 10x 3dx 3 2
x 5x 3x 9 . 0 0 0 1 Vậy : 3x
1 x 3dx 9 . 0 Câu 35. Chọn B 2
+ Tính được sin xdx cos x 2 1 . 0 0 Câu 36. Chọn B 2 2
Ta có I (2x 1)dx 2
x x 4 2 6 . 0 0 Câu 37. Chọn A b b Ta có 2 3x 2ax 1 dx 3 2
x ax x 3 2
b ab b . 0 0 m Câu 38. Ta có:
f x dx mx n dx = 2
x nx C . 2 1 m 1 1 Lại có:
f x dx 3 2 x nx 3
m n 3 1 . 2 0 2 0 2 m 2
f x dx 8 2 x nx 8
2m 2n 8 2 . 2 0 0 1
m n 3 m 2 Từ
1 và 2 ta có hệ phương trình: 2 . n 2 2m 2n 8
m n 4 . Câu 39. Chọn B 4 1 1 1 2 1 Ta có 4
sin 3xdx cos 3x
. Suy ra a b
a b 0 . 0 3 3 3 2 3 0 Câu 40. Ta có: 2 2 2 2 2
f x 2
3x dx 10 f x 2
dx 3x dx 10 f x 2
dx 10 3x d x 0 0 0 0 0 2 2 2 3 d 10 f x x x d 10 8 2 f x x . 0 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 m m Câu 41. Ta có: 2
3x 2x 1 dx 6 3 2
x x x 3 2
6 m m m 6 0 m 2 . 0 0
Vậy m 0; 4 . a b Câu 42. Ta có:
f x x 2 d
ax bx cdx = 3 2 x
x cx C . 3 2 1 7 a b 1 7 1 1 7 Lại có:
f x dx 3 2 x x cx a b c 1 . 2 3 2 0 2 3 2 2 0 2 a b 2 8
f x dx 2 3 2 x x cx 2
a 2b 2c 2 2 . 3 2 0 3 0 3 13 a b 3 13 9 13
f x dx 3 2 x x cx 9a b 3c 3 . 2 3 2 0 2 2 2 0 1 1 7 a b c 3 2 2 a 1 8 Từ
1 , 2 và 3 ta có hệ phương trình: a 2b 2c 2 b 3 . 3 16 9 13 c 9a b 3c 3 2 2 16 4
P a b c 1 3 . 3 3
Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ Câu 43. Chọn C 2 2 dx 1 1 1 7 Ta có ln 2x 3 ln 7 ln 5 ln . 2x 3 2 2 2 5 1 1 Câu 44. Chọn C 2 2 dx 1 1 2 Ta có ln 3x 2 ln 4 ln 1 ln 2 . 3x 2 3 3 3 1 1 Câu 45. Chọn D 2 dx 5 2 ln x 3 ln 0 x 3 3 0 Câu 46. Chọn A 1 1 1 1
dx ln x 1 ln x 2 2 ln 2
ln 3 ; do đó a 2; b 1 0 x 1 x 2 0 Câu 47. Chọn A e e 1 1 1 1 I dx ln x . 2 x x x e 1 1 3 dx 3 5 Câu 48. I
ln x 2 ln 5 ln 2 ln . 0 x 2 2 0 2 2 dx 1 2 Câu 49. Ta có: ln 3x 2 ln 2 . 3x 2 3 3 1 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 x 1 2 1 Câu 50. Ta có I dx 1 dx
x ln x 2 2 ln 2 1 ln 1 1 ln 2 . x x 1 1 1
Câu 51. Cách 1. Tự luận Ta có: 2 2 dx 2 2 2 1 1 1 dx 2 dx dx x 1 2x 1 2x 1 x 1 2x 1 x 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2. ln 2x 1 ln x 1 ln 2x 1 ln x 1
ln 5 ln 3 ln 3 ln 2 2 1 1 1 1
ln 2 2 ln 3 ln 5 .
Do đó: a 1, b 2, c 1 . Vậy a b c 1 2 1 0 . 3 3 3 3 x 2 2 2 3 Câu 52. Ta có dx 1 dx dx
dx 2 2ln x 2 2 ln 3. 1 x x x 1 1 1 1
Do đó a 2, b 2, c 3 S 7. Câu 53. Chọn C 0 2 0 3x 5x 1 21 3 0 Ta có 2 I dx 3x 11 dx
x 11x 21.ln x 2 x 2 x 2 2 1 1 1 2 19 19 21.ln
. Suy ra a 21, b
. Vậy a 4b 59 3 2 2 Câu 54. Chọn A 1 2 2 1 1 1 x 2 dx (x 1) 1 1 dx (x 1)dx ln | x 1| ln 2 0 0 0 0 x 1 x 1 2 2 0
m 2, n 1
m n 1 x 2 1 1 1 1 1 1 2x 1 1 Câu 55. Ta có I dx 1 dx dx d 2 x 1 x ln 2 x 1 1 ln 2 2 2 2 0 0 x 1 x 1 x 1 0 0 0 0 a 1
a b 3 . b 2 5 5 2 5 2 x x 1 1 x 3 a 8 Câu 56. dx x dx ln x 1 8 ln
S a 2b 2 . x 1 x 1 2 2 b 3 3 3 3 2 2 2 x x 1 1 1 Câu 57. Ta có 2 2 2 x dx x dx x 1 dx x 1 x 1 x 1 1 1 1 2 3 x 10 10 2 10 a
x ln x 1 ln 2 ln 3 ln ln . 3 3 3 3 b b 1
Suy ra a 2;b 3. Vậy a b 5 . 3 3 3 3 x 3 x 3 2 1 dx dx dx dx 2 x 3x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 1 1 Câu 58. 1 1 3
2ln x 1 ln x 2 2ln 2 ln 3 ln 5 1
Suy ra a 2 , b 1 , c 1.
Nên a b c 2 11 2 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 59. Chọn D 4 5x 8 4 5x 8
4 3 x 2 2 x 1 4 3 2 Ta có: I d x dx dx dx 2 x 3x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 3 3 3 3 4
3ln x 1 2ln x 2 3ln 3 2ln 2 3ln 2 3ln 3 ln 2 0.ln 5 3 a 3 Suy ra
a3bc 6 b 1 2 2 64 . c 0 Câu 60. Chọn A 5 5 2 5 2 x x 1 1 x 3 a 8 dx x dx ln x 1 8 ln
S a 2b 2 . x 1 x 1 2 2 b 3 3 3 3 1 1 1 1 Câu 61. Xét I dx dx 2 . 2 x x 1 0 0 1 3 x 2 4 1 3 3 Đặt x
tan t , với t , 2 . Khi đó dx 1 tan tdt . 2 2 2 2 2
Với x 0 , ta có t . 6
Với x 1 , ta có t . 3 3 2 3 1 tan t 3 3 2 2 3 a 3 Khi đó 2 I dt dt= t
a b 12 . 3
. Từ đó suy ra b 9 2 1 tan t 3 3 9 6 6 6 4 Câu 62. Ta có: 2 2 x 5x 2 2 x 1 2 1 2 dx 1 dx 1
dx x ln x 1 2ln x 3 2 2 x 4x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 0 0 0 0 2 3ln 3 2 ln 5 .
Vậy a 2,b 3
, c 2 , do đó abc 12 . Câu 63. Ta có: 0 2 0 3x 5x 1 21 I dx 3x 11 dx x 2 x 2 1 1 0 2 3x 19 I
11x 21.ln x 2 21.ln 2 21.ln 3 2 2 1 a 21 2 19 I 21ln
19 a 2b 40 . 3 2 b 2 3sin x cos x
m 2sin x 3cos x n 2 cos x 3sin x Câu 64. Đặt:
2 sin x 3cos x
2 sin x 3cos x
2m 3nsin x 3m 2ncos x
2 sin x 3cos x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 m
2m 3n 3 13
Đồng nhất hệ số ta có: .
3m 2n 1 11 n 13 3 11 2 2
2sin x 3cos x
2cos x 3sin x 3sin x cos x Nên: 13 13 dx dx
2 sin x 3cos x
2 sin x 3cos x 0 0 2 2 3
11 2 cos x 3sin x 3
11 2 cos x 3sin x . dx x 2 dx 0 13
13 2 sin x 3cos x 13
13 2 sin x 3cos x 0 0 2 3
11 d 2sin x 3cos x 3 11 dx
ln 2 sin x 3cos x 2 26 13
2sin x 3cos x 26 13 0 0 11 b 3 11 11 13 b 11 26 22 ln 2 ln 3 . Do đó: . . 26 13 13 3 c 13 3 3 c 26 4 3 2
x x 7x 3 4 32x 1 Câu 65. Ta có dx x 2 dx 2 x x 3 2 x x 3 1 1 4 d 2 4 x x 3 1 4 27 27 2 2 x 2x 3
3ln x x 3 3ln 5 . 2 1 2 x x 3 2 2 1 1 4 3 2
x x 7x 3 a Mà dx c ln 5
, suy ra a 27 , b 2 , c 3 . 2 x x 3 b 1 Vậy 2 3
P a b c 4 . Câu 66. Ta có 1 2 1 2 1 4x 15x 11
(4x 10x 4) (5x 7) 5x 7 dx dx 2 dx 2 2 2 2x 5x 2 2x 5x 2
2x 5x 2 0 0 0 1 1 3 3 1 5 2
dx 2x ln | x 2 | ln | 2x 1| 2 ln 2 ln 3 x 2 2x 1 2 0 2 0 5
Vậy a 2 , b 1 , c nên T 6 . 2
Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN Câu 67. Chọn A e e e e 2 ln x ln x 1
Theo định nghĩa tích phân: I F e F 1
f x dx dx ln .
x d ln x . x 2 2 1 1 1 1 Câu 68. Chọn C 1 1 1 1 3 x 1 1 1 e dx 3 x 1 e d3x 1 3x 1 e 4 e e . 3 3 3 0 0 0 Câu 69. Chọn B 2 1 2 1 Ta có 3 1 3 1 e d e x x x 5 2 e e . 1 3 3 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 70. Chọn C 2 2 6 1 1 1 Ta có: I
f (3x)dx
f (3x)d3x
f (t)dt .12 4. 3 3 3 0 0 0 Câu 71. Chọn C 1 2 1 x 1 Ta có 3 1 e 5 2
e e . Suy ra m , p 5 và q 2 . 1 3 3 3 1 22
Vậy m p q 5 2 . 3 3 Câu 72. Chọn C 1 1 1 d(x 1) 1 Cách 1: Ta có: I dx
ln x 1 ln 2 ln1 ln 2 . Chọn đáp án C. 0 x 1 x 1 0 0 3 x 3 1 1 1 3 1 8 Câu 73. K dx d 2 x 1 2 ln x 1 ln . 2 2 x 1 2 x 1 2 2 2 3 2 2 1 1 2 2 2 x 1 x 1 1 x 1 Câu 74. Ta có: 2 2 xe dx e d 2 x 2 2 e 3 2 e e . 2 2 0 2 0 0
Nên a 1, b 3 , c 2 .
Vậy a b c 6 . Câu 75. Chọn B 1 e e 1 x 1
e d x ln x e x dx dx
ln x ln x ln e 1 2 1
x x ln x x ln x x ln x 1 1 1
Vậy a 1, b 1 nên 2 2
T a ab b 1. Câu 76. Chọn B 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x Ta có: 1 x 2 2 1 x 2 1 x 2 x I x e dx x x e dx x e dx xe dx 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 x x x 1 x 1 x Xét 2 2 2 2 I x 1 x e dx x . x e . dx x . x x e d x x d e 1 2 x x 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 x x x x 2 x x 2 2 x 2 x x e e d x x e xe dx 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 3 x x x 2 2 x x x 2 I 2xe dx x e I x e 4e 1 1 1 1 1 m 4 2 1 p 2 x p n 1 Do 1 q x x e
dx me n
, trong đó m, n, p, q và
là phân số tối giản q p 3 1 q 2
Khi đó, T m n p q 4 1 3 2 10 . Câu 77. Chọn D 2 2 x x d 2 1 2 d t t t 2 x
Ta có f x ln 2 1 t ln 4 1 x ln 2 1 4x . 2 2 2 1 t 1 x t 2 x 2 x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x 0 3 2 4x 8x 3 4x 8x f x
; f x 0 0 . 4 2 1 x 1 4x 4 2 17 1 1 x 1 4x x 2 Trục xét dấu:
Từ đó ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị. Câu 78. Chọn C 1 1 1 I
f x f x e dx f x e d
f x f x f 1 f 0 5 5 e e e
e e 0 . 0 0 0
Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng 4.1. Hàm số tường minh
Dạng 4.1.1. Hàm số chứa căn thức Câu 79. Chọn B Đặt t
x 4 2tdt dx .
Với x 5 t 3 ; x 21 t 5 21 dx 5 dt 1 1 1 1 Ta có 2
ln t 2 ln t 2 5 ln 2 ln 5 ln 7 . x x 4 2 t 4 3 2 2 2 2 5 3 Câu 80. Chọn. A. Đặt t x 9 2
t x 9 2tdt dx .
Đổi cận x 16 t 5 , x 55 t 8 . 55 dx 8 2tdt 8 dt 8 1 1 1 1 x 3 8 Do đó 2 dx ln x x 9 t 2 t 9 2 t 9 3 x 3 x 3 3 x 3 5 5 16 5 5 1 5 1 1 2 1 1 ln ln ln 2 ln 5 ln11 . 3 11 3 4 3 3 3 2 1 1 Vậy a ;b
; c a b c . 3 3 3 Câu 81. Chọn A 2 2
I 2x x 1dx 1 đặt 2
u x 1 du 2xdx . Đổi cận x 1 u 0 ; x 2 u 3 3 Nên I udu 0 Câu 82. Đặt x 2 e 3
ex 3 2 d ex t t t t dx . x ln 6 t 3 Đổi cận . x 0 t 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 ln 6 x 3 e 2tdt 3 3 2 Suy ra dx 2 dt
2t 2ln t 1 6 2ln 4 4 2ln 3 x 1 t 2 1 t 0 1 e 3 2 2 a 2
2 4 ln 2 2 ln 3 b 4 . c 2 Vậy T 0 . 2t
Câu 83. Đặt t 3x 1 2
t 3x 1 2tdt 3dx dt dx 3
Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 2 1 1 1 dx 2 1 1 2 2 2 Khi đó .tdt dt t . 3x 1 3 t 3 3 3 0 0 0 0 1 1 dx 2 dx 2 2
Cách khác: Sử dụng công thức
ax b C thì 3x 1 . ax b a 3x 1 3 3 0 0 Câu 84. Chọn B Cách 1 2 2 2 dx dx x x 1 dx dx
(x 1) x x x 1
x(x 1) x 1 x
x(x 1) x x 12 1 1 1 1 1 x 1 x Đăt t
x 1 x dt dx 2dt dx 2 x 1 2 x x(x 1) 2 3 2 3 2 2 Khi đó I dt 2
3 4 2 2 32 12 2 2 t t 1 2 1 2
P a b c 32 12 2 46. Cách 2 2 2
2 x 1 x x 1 x dx dx dx dx
(x 1) x x x 1 1 1
x(x 1) x 1 x 1
x(x 1) x 1 x 2 2 x 1 x 1 1 dx dx
x x 2 2 2 1
2 2 2 2 3 2 2 32 12 2 1 x(x 1) x x 1 1 1 dx Câu 85. Đặt 2
1 ln x t ln x t 1 2tdt x
x 1 t 1 Đổi cận
x e t 2 e t 2 2 2 2 3 1 2 ln tdt x t 4 2 Vậy dx 2 2t 1 dt 2 t 2 x 1 ln x t 3 3 3 1 1 1 1 4 2 2 Suy ra a ;b
S a b 3 3 3
Câu 86. Đặt x 4 sin t dx 4 cos d t t .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Đổi cận: x 0 t 0 ; x 2 2 t . 4 4 4 4 4 2 I 16 16sin t.4 cos d t t 4 cos t .4 cos d t t 4 cos t .4 cos d t t 16 cos t .cos d t t . 0 0 0 0 4 4 Mà vì t 0; 2
thì cos t 0 nên khi đó I 16 cos d t t
8 1 cos 2t dt . 4 0 0 2
Câu 87. Đặt t 3x 1 2
t 3x 1 2tdt 3dx dx tdt 3
Đổi cận: x 1 t 2 ; x 5 t 4 5 4 4 1 2 t 2 1 2 4 4 2 2 dx dt (1 )dt (t ln t 1) ln 5 ln 3 . 1 3x 1 3 1 t 3 1 t 3 2 3 3 3 1 2 2 4 2 2 4 a ,b , c
a b c . 3 3 3 3 Câu 88. Chọn B 1 1 1 x x 1 I dx dx dx 3 3 x 1 1 3 1 1 1 1 x 1 3 2 2 2 x . 1 x x 1 1 1 Đặt t
x dx dt 2 x t t 1 Đổi cận: x
t 2 ; x 1 t 1 2 1 2 2 t 1 t dt Khi đó: I dt 2 3 3 3 t 2 1 t 1 t . 1 t 2u du Đặt 3 2 3 3 2 2 2
u 1 t u 1 t t u 1 3t dt 2u du t dt 3
Đổi cận: t 1 u 2 ; t 2 u 3 2u du 3 3 3 2 du 1 u 1 1 3 Ta có: 3 I ln ln 2 2 u 1 .u 3 u 1 3 u 1 2 3 2 2 2 2
Suy ra a 3, b 3, c 2, d 2 . Vậy a b c d 10 . 2 3t dt Câu 89. Đặt 3 2 3 2 2
t 1 x t 1 x 3t dt 2 d x x d x x . 2 Đổi cận: 2 7 3 2 3 2 2 5 2 x t 1 3t 3 t t dx . dt . 3 141 4
t t dt . . 3 2 t 2 2 2 5 2 20 0 1 x 1 1 1
m 7n 141 7.20 1. Câu 90. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 dx A
3x 5 3x 1 7 0 Đặt 2
t 3x 1 t 3x 1 2tdt 3dx
Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 2 2 2 tdt 2 2 2 t 2 2 3 2 3 A dt dt
2ln t 2 3ln t 3 2 2 t 5t 6
3 t 2t 3 1
3 t 2 t 3 3 1 1 1 2 2 20 4 2
ln 4 3ln 5 2 ln 3 3ln 4 10 ln 2 2 ln 3 3ln 5 ln 2 ln 3 2 ln 5 3 3 3 3 20 4 10
Vậy: a b c 2 . 3 3 3 Câu 91. Chọn D dx Đặt 2
1 ln x t ln x t 1 2tdt x
x 1 t 1 Đổi cận
x e t 2 e t 2 2 2 2 3 1 2 ln tdt x t 4 2 Vậy dx 2 2t 1 dt 2 t 2 x 1 ln x t 3 3 3 1 1 1 1 4 2 2 Suy ra a ;b
S a b 3 3 3 Câu 92. Chọn C 3 x dx 4 2 x 1 0 2
t 4 2 x 1 (t 4) 4(x 1)
2(t 4)dt 4dx
x 0 t 6
x 3 t 8 8 2 8 3 2 8 2
t 8t 16 4
t 12t 44t 48 t 3t 11 6 I .(t 4)dt dt dt 8t 8t 8 2 2 t 6 6 6 3 2 t 3t 11 8 7 ( t 6 ln t ) 12 ln 2 6 ln 3 24 4 2 6 3
a b c 1 Câu 93. Đặt 2
t x 1 x t 1 dx 2 d t t
Đổi cận: x 0 t 1; x 3 t 2 2 2 2 2 3 t 1 6 t 7 2 2 I .2t dt
t 2t 3 dt
t 3t 6 ln t 2 12 ln 2 6 ln 3. 4 2t t 2 3 3 1 1 1
Suy ra a 7, b 1
2, c 6, d 3 . Do đó a b c d 4.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 a a 2 3 1 a x x x x Câu 94. Ta có 2 I dx
dx x x 1dx . 2 2 0 x 1 0 x 1 0 Đặt 2 2 2 u
x 1 u x 1 d u u d x x .
Đổi cận: x 0 u 1 , 2
x a u a 1 . 2 2 a 1 a 1 3 u 1 Vậy 2 I u du 2 a 2 1 a 1 1 . 3 3 1 1 Câu 95. Đặt 2
x sin y ta có x 2 d
d sin y dx 2sin y.cos ydy 1
Khi x 0 y 0 và x y . 2 4 1 2 4 x sin y 4 Suy ra dx .2 sin y cos dy y 2 2 sin d y y . 1 x cos y 0 0 0 Câu 96. Đặt 2 2 2 t
x 1 t x 1 xdx tdt
Đổi cận: x 3 t 2, x 2 2 t 3. 3 2 2 3 x tdt 1 2 Khi đó dx ln t 1 ln t 2 2 2 2 t t 2 3 3 3 x 1 x 1 2 2 1 2 2 2 ln 2 ln 5 ln 4 ln 5 ln 2 . 3 3 3 3
Vậy a 3,b 2, c 1 3a 2b c 14 . Câu 97. Đặt 2 2 2 t
25 x t 25 x x dx t dt Khi đó: 4 2 2 6 2 2 6 2 6 25 x t 25 5 5 I dx dt 1 dt 1 dt 2 2 x 25 t 25 t 2 5 t 2 5 t 1 3 3 3 2 6 5 5 t 5 5 6 12 t ln 3 2 6 ln 5 ln 2. 2 5 t 2 5 6 12 3 5 3
Vậy a 3, b 2 , c , d 5
a b c d . 2 2
Câu 98. x 2 sin t dx 2 cos tdt .
Với x 0 t 0; x 1 t . 6 π π π 6 6 6 2 cos tdt cos tdt I dt . 2 cos t 0 2 1 sin t 0 0 1 3 1 1 1 x 1 Câu 99. 3 I dx x 2 1 x x 3 2 4 dx x
1 x dx x dx A 2 5 0 x 1 x 0 0 0 + Tính A: Đặt 2
t 1 x d t t d x x 2 2 2 5 3 A t t 2 2 2 2 t 2 1 .t dt 4 2
t t dt 5 3 15 1 1 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 2 2 I
a 2; b 2; c 1 15 2
P a b c 7 Câu 100. Với * n , khi đó: 1 Đặt 2
t 1 x dt 2 d x x d x x dt 2
Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 0 0 1 n 1 1 1 t n 1 n 1 1 Khi đó I t dt t dt . 2 2 2 n 1 0 2n 2 1 0 1 Cách 2: Ta có d 2 1 x 2 d x x d 2 1 x d x x 2 n n n 1 1 1 x 1 2 2 2 1 2 1 1 1
I 1 x d x x
1 x d1 x . 2 2 n 1 0 2n 2 0 0 Câu 101. Đặt 6 t x 6 x t 5
dx 6.t dt .
Đổi cận: x 1 t 1; x 64 t 2 . 2 5 6t 2 3 t 2 1 Suy ra I dt 6 dt 2 6 t t 1 dt 3 2 t t t 1 t 1 1 1 1 2 2 6 1 2 t t 1 dt 6 d t 1 t 1 1 1 2 3 2 t t 2 8 5 3 2 6 t 6 ln t 1 6 6
ln 3 ln 2 11 6 ln 6 ln 11 . 1 3 2 3 6 2 3 1 a 6 Từ đó suy ra
a b 5 . b 11 Câu 102. Ta có 2 x 2 2 2 2 dx x 2
3x 9x 1dx 2 2
3x x 9x 1dx 2 2
3x dx x 9x 1dx 2 1 3x 9x 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2 x
x 9x 1dx 2
7 x 9x 1dx . 1 1 1 2 Tính 2
x 9x 1dx . 1 tdt Đặt 2 9x 1 t 2 2
9x 1 t d x x . 9
Khi x 1 thì t 2 2 ; khi x 2 thì t 35 . 2 35 35 3 tdt t 35 16 Khi đó 2
x 9x 1dx t 35 2 . 9 27 27 27 1 2 2 2 2 2 x 35 16 16 35 Vậy dx 7 35 2
a 7 , b , c . 2 27 27 27 27 1 3x 9x 1 32 35 1
Vậy P a 2b c 7 7 7 . 27 27 9
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 2 dx dx Câu 103. Đặt I .
x x 1 x 1 x 1 1 x x
1 x x 1 x 1 x dx dt Đặt t x
x 1 dt dx 2 .
2 x x 1 x x 1 t
Khi x 1 thì t 2 1, khi x 2 thì t 3 2 . 2 3 2 3 2 dx dt 1 1 1 I 2 2 2 4 2 2 3 2 x x x x t t 3 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1
32 12 4 a 32 , b 12 , c 4
Vậy P a b c 48 4 4 4 2
2x 1 1 2x 1 2d 2 1d 2 1d x x x x x Câu 104. I
2x 3 2x 1 3 0 0 2x 1
1 2x 1 2 0
2x 1 1 2x 1 2 4 4 2dx dx . 0 2x 1 2 0 2x 1 1
Đặt u 2x 1 d
u u dx . Với x 0 u 1 , với x 4 u 3 . .3 .3 .3 .3 2 d u u d u u 4 1 Suy ra I 2 du 1 du u 2 u 1 u 2 u 1 1 1 1 1 3 u u u 5 4 ln 2 ln 1 2 4 ln ln 2 1 3
a 2 , b 1, c 1 T 2.11 4 1.
Dạng 4.1.2. Hàm số chứa hàm lượng giác Câu 105. Chọn D Ta có: 3 I cos . x sin xdx
. Đặt t cos x dt sin xdx dt sin xdx 0
Đổi cận: Với x 0 t 1; với x t 1 . 1 t 1 1 3 3 4 1 1 4 4
Vậy I t dt t dt 0 . 4 4 4 1 1 1
Cách khác : Bấm máy tính.
Câu 106. Đặt t sin x dt cos d
x x . x 0 t 0 , x t 1. 2 2 1 cos x 1 1 1 1 1 t 3 3 4 dx dt dt ln ln 2 ln ln 2
sin x 5sin x 6 2 t 5t 6 t 3 t 2 t 2 2 3 0 0 0 0
a 1, b 0, c 3 S a b c 4 . 2 2 Câu 107. Ta có I 2 cos x.sin d x x
2 cos xd cos x 0 0 2 2 3
2 cos xd cos x 2 tdt tdt . 0 3 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 4 2 sin x 4 1 Câu 108. I dx 2 tan . x dx 4 . cos x 2 cos x 0 0 1
Đặt u tan x du dx . 2 cos x
Đổi cận: x 0 u 0 , x u 1 4 1 Suy ra: 2
I u du . 0
Câu 109. Đặt t cos x dt sin d x x . π 1
Đổi cận: x 0 t 1; x t . 3 2 1 2 1 1 1 1 1 1 3 Khi đó: I dt dt 2 . 3 t 3 t 2 1 2t 2 2 1 1 2 2
Câu 110. Đặt t cos x 2 dt sin d x x 5 Đổi cận x t , x t 2 3 2 2 5 2 sin x 2 1 2 1 5 5 dx dt dt 2 ln t ln ln 2 ln 5 2 ln 2 cos x 2 t t 2 2 5 2 3 2
Vậy ta được a 1;b 2 . a a Câu 111. 5 6
I sin x sin 2 d x x 2 sin . x cos d x x 0 0 si n a ; b b 1 ;1
Đặt t sin x dt cos d x x và . si n 0 0 b b 7 7 t 2b 6
I 2 t dt 2. . 7 7 0 0 a 7 2 2b 2 Theo giả thiết: 5 sin x sin 2 d x x
b 1 sin a 1 a
k 2 ; k . 7 7 7 2 0 39 1 39
a 0;20 0
k2 20 k2 k . 2 2 2 4 4
Mà k nên suy ra k 0;1; 2;...; 9 . Câu 112. Ta có: 2
2 sin 2x cos x
f (x)dx dx F F 0 1 sin x 2 0 0
Đặt t 1 sin x 2tdt cos xdx
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 2 2 sin 2x cos x 2 sin x 1
f (x)dx dx cos xdx 1 sin x 1 sin x 0 0 0 2 2 2 2 3 2(t 1) 1 t 2tdt 2 2 2 2 2 2 2t - 1 dt 2 t t 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 8 2 2 F F 0 2 . 2 3 3 3 1 x x 2 2 1 tan cos 6 6 dx dx 6 6 2 Câu 113. 2 I dx dx 2 . 1 sin x 2 2 x x x x 0 0 cos sin 0 0 1 tan 1 tan 2 2 2 2 x x Đặt 2 t 1 tan 2dt 1 tan dx 2 2
Đổi cận: x 0 t 1; x t 3 3 . 6 3 3 3 3 2dt 2 3 3 I . 2 t t 3 1 1
Suy ra a 1, b 3, c 3 nên a b c 5 . 2 s inx Câu 114. + Xét: I dx cos x 2 3
+ Đặt u cosx 2 du sin d x x sin d x x du 5 x u 3 2 + Đổi cận: x u 2 2 2 2 1 5 a 1 I
du ln u 5 ln 2 ln ln 5 2 ln 2 . u 2 b 2 5 2 2
Câu 115. Đặt t cos x dt sin d x x .
Đổi cận: x 0 t 1; x t 0 2 Ta có: 2 1 sin x 0 1 1 1 1 t 3 3 4 dx dt dt ln ln 2 ln ln 2
cos x2 5cos x 6 t 5t 6 t 3 t 2 t 2 2 3 0 1 0 0 4 a ln b . c a 1 Do đó: c 3 . b 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Vậy S a b c 4 .
Dạng 4.1.3. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit Câu 116. Chọn B Cách 1. Đặt x d x t e
t e dx . Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t e 1 1 d x x e d e x d e t 1 1 e dt t t e x x x ln ln 1 1 ln 1 ( ln 2) e 1 e e 1 t t 1 1 t t 1 0 0 1 1 2 1 e a 1 3 3 1 ln 1 ln
S a b 0 . 1 e 2 b 1 1 1 x x x d e 1 1 1 e d e x 1 1 1 e x 1 Cách 2. dx dx
x ln e 1 1 ln x x . x 0 0 e 1 e 1 e 1 2 0 0 0 0
Suy ra a 1 và b 1 . Vậy 3 3
S a b 0 . 1
Câu 117. Đặt t ln x dt
dx . Đổi cận x e t 1 ; x 1 t 0 . x e 1 3ln x 1 Khi đó I
dx 3t 1 dt . x 1 0 Câu 118. Chọn D e ln x dx Ta có I dx
, đặt ln x 2 t dt
x ln x 22 x 1 3 3 3 3 3 t 2 1 1 2 2 2 1 I dt dt 2 dt ln t ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 2 2 t t t t 3 2 3 2 2 2 2 2
Suy ra a 1;b 1; c 1 , vậy 2 2 2
a b c 3 . Chọn D. 1 Câu 119. Đặt 2
x 9 t 2 d x x dt d x x dt . 2 25 1 1 25 1 Khi đó I . ln t.dt
t.ln t t
25ln 25 25 9ln 9 9 25ln 5 9ln 3 8 . 2 2 9 2 9
Suy ra T a b c 25 9 8 8 . 1
Câu 120. Đặt ln x 2 t ln x t 2 dx dt . x
Đổi cận: khi x 1 thì t 2 ; khi x e thì t 3 . 3 3 3 a t 2 3 1 2 2 3 1 2 Khi đó I dt dt ln t ln . 2 t 2 t t t 2 3 1 2 2 2 b 3 Vậy 2ab 1 . dx
Câu 121. Đặt t ln x dt . x
Đổi cận: x 1 t 0; x e t 1. Khi đó: e 1 1 2 ln x 1 2t 1 1 3 2 3 9 1 I dx dt dt 2 ln t 2 ln . 2
x ln x 22 t 22 t 2 t 2 t 2 4 2 0 1 0 0
Vậy a b c d 9 4 1 2 16 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 3 x 3 x 1 x 1
x 2 ex .2 2 1 2x 1 Câu 122. Ta có 3 dx x dx dx J . e.2x e.2x 4 e.2x 4 0 0 0 1 2x x x x 1 Tính J dx
. Đặt e.2 t e.2 ln 2dx dt 2 dx dt . e.2x e.ln 2 0
Đổi cận: Khi x 0 thì t e ; khi x 1 thì t 2e . 1 x 2e 2 1 1 1 2e 1 e J dx dt ln t ln 1 . x e e.2 e ln 2 t e ln 2 e ln 2 e 0 e 1 3 x 3
x 2 ex .2x 1 1 e Khi đó dx ln 1
m 4 , n 2 , p 1. Vậy S 7 . e.2x 4 e ln 2 e 0 Câu 123. Ta có e 3 3x 2 e 2
1 ln x 3x 1
3x 1 x ln x 1 ln x e e 1 ln x 2 3 I dx
dx 3x dx
dx e 1 A 1 x ln x 1 x ln x 1 x ln x 1 1 1 1 e 1 ln x Tính A dx
. Đặt t 1 x ln x dt 1 ln x dx . 1 x ln x 1
x 1 t 1 1e dt 1e Đổi cận: . Khi đó A ln t ln(e 1) .
x e t e 1 1 t 1 a 1 Vậy 3
I e 1 ln(e 1) 2 2 2 b 1
P a b c 3 . c 1 x ln 2 n l 2 dx e dx Câu 124. Ta có I x x . 0 2 0 e 3e 4 e x e 4 x 3
Đặt: ex d ex t t
dx . Đổi cận: x 0 t 1, x ln 2 t 2 . 2 2 2 1 1 1 1 1 t 1 1 Khi đó I dt dt ln ln 3 ln 5 ln 2 . 2 1 1 t 4t 3 2
t 1 t 3 2 t 3 2 1
Suy ra a 3 , b 5 , c 2 . Vậy P 2a b c 3 . 2 x 1 2 x 1 Câu 125. Ta có dx dx 2 .
x x ln x x x ln x 1 1 1 x 1
Đặt t x ln x dt 1 dx dx . x x
Khi x 1 t 1; x 2 t 2 ln 2 . 2ln 2 dt 2ln 2 a 2 Khi đó I ln t
ln ln 2 2 . Suy ra . t 1 b 2 1 Vậy P 8 . 2 1
x xex 1 x 1 ex ex x Câu 126. Ta có: I d x d x . x ex ex x 1 0 0 Đặt ex t x
1 d 1 ex t x dx .
Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t e 1. e 1 t 1 e 1 1 e 1 Khi đó: I d t 1 d
t t ln t e ln e 1 . t t 1 1 1
Suy ra: a 1 , b 1 , c 1 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Vậy: P a 2b c 2 .
Dạng 4.1.4. Hàm số hữu tỷ, đa thức Câu 127. Chọn D
Đặt t x 2 dt dx
Đổi cận: x 0 t 2 ; x 1 t 3 1 3 xdx
3 t 2 dt 3 1 2 2 2 1 dt ln t ln 3 ln 2 1 ln 2 ln 3 2 2 x 22 t t t t 3 3 0 2 2 2 1
Suy ra a ;b 1 ; c 1 3
3a b c 1 1 1 1 . dt Câu 128. Đặt 2
t x 1 dt 2 d x x d x x 2
Với x 2 t 3; x 3 t 8 8 1 dt 1 8 1 8 Ta có K ln t ln . 2 t 2 3 2 3 3 Câu 129. Ta có: 2
t 1 x dt 2 d x x .
Đổi cận: x 0 t 1.
x 1 t 2 . 1 7 x 1 6 . x x 1 t 3 2 1 I dx dx dt . 5 5 1 x 5 2 2 2 t 0 0 1 x 1 Câu 130. Chọn B a 1
Điều kiện tích phân tồn tại là 2
a x 0,x 0 ;1 a 0 Đặt 2
t a x dt 2xdx . Khi đó 1 a a 1 1 2 x dt a
a e a 2 1 1 1 1 e 1 dx ln 1 2 2 a x 2 t 2 a a e a a 1 1 0 a 2 e 1 1
So sánh điều kiện ta được a . 2 e 1 Câu 131. Chọn B
Đặt t x 2 dt dx
Đổi cận: x 0 t 2 ; x 1 t 3 1 3 xdx
3 t 2 dt 3 1 2 2 2 1 dt ln t ln 3 ln 2 1 ln 2 ln 3 2 2 x 22 t t t t 3 3 0 2 2 2 1
Suy ra a ;b 1 ; c 1 3
3a b c 1 1 1 1 . dt
Câu 132. Đặt t 3x 2 dt 3dx dx . 3 Khi đó. 2 t 2 8 7 2 2 t 2t
2x 3x 26 6 dx t dt 7 6
t 2t dt C 3 3 9 9 8 7 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 4 3x 28
3x 27 C . 36 63 1 4 7 Từ đó ta có A , B
. Suy ra 12 A 7B . 36 63 9 1 2 2x 3x 3 Câu 133. Ta có I dx 2 x 2x 1 0 dt dx
x 0 t 1
Đặt t x 1 suy ra x t 1
x 1 t 2 2 2 t 2 2 1 3t 1 3 2 2 2t t 2 2 1 2 2 Khi đó I dt dt 2
dt 2t ln t 2 t 2 t 2 t t t 1 1 1 1 3 ln 2 . Suy ra 2 2 P 3 2 13 .
Dạng 4.2. Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 1
Câu 134. Đặt t 5 3x dt 3
dx dx= dt . 3
Đổi cận: x 0 thì t 5 ; x 2 thì t 1 . 2 2 2 1 5 dt 2 1
Ta có: P f 5 3x 7 dx
f 5 3x dx + 7dx f t 7x
f t dt 14 0 3 3 0 0 0 5 1 1 .15 14 19 . 3 2 2 Câu 135. Ta có I
f 2x dx f 4 2x dx H K 0 0 2 Tính K
f 2x dx . 0 4 1
Đặt t 2x dt 2dx ; đổi cận: x 0 t 2; x 2 t 4 . Nên K
f t dt 1009 2 0 2 Tính H
f 4 2x dx , 0 4 1
Đặt t 4 2x dt 2
dx ; đổi cận: x 0 t 4; x 2 t 0 . Nên H
f t dt 1009 2 0
Suy ra I K H 2018 . 3 3
Câu 136. Ta có y f x là hàm số chẵn, suy ra f 2
x f 2x . Khi đó: f 2x dx f 2x dx 3 . 1 1 3 Xét tích phân: I f 2x dx 1 . 1 1
Đặt t 2x dt 2dx
dt dx . Đổi cận: x 1 t 2 ; x 3 t 6 . 2 6 6 6 1 1 6 I f t . dt f t dt 3 f t dt 6 f x dx 6 1 . 2 2 2 2 2 2 6 2 6 Vậy I
f x dx
f x dx f x dx 8 6 14 . 1 1 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 137. Xét I xf 2 x d . x 0 1 Đặt 2
t x dt 2xdx xdx dt. 2 Đổi cận: 2
x 0 t 0; x t . 2 2 1 1 Khi đó I
f t dt
f x dx 1009. 2 2 0 0 1 1
Câu 138. Đặt x t dx dt
dx 2dt . Khi x 1 thì t 1; x 4 thì t 2 . 2 x x 4 f x 2 2 Suy ra dx
f t .2dt 2 f t dt 2.2 4 . x 1 1 1 4 f x Vậy dx 4 . x 1 dt
Câu 139. Đặt x2 1 t 2xdx dt xdx . 2
Đổi cận x 1 t ;
2 x 2 t 5. 2 5 1 5 5 Suy ra: 2 f 2 x 1 dx
f t dt
f t dt 4 I
f x dx 4 . 2 1 2 2 2 3 3 3
Câu 140. Ta có: f x 3g x dx= 10
f xdx+3 g xdx=10 . 1 1 1 3 3 3
2 f x g x dx=6
2 f xdx- g xdx=6 . 1 1 1 3 3 Đặt u
f xdx; v = g xdx . 1 1 3 f xdx=4 u 3v 10 u 4
Ta được hệ phương trình: 1 2u v 6 v 2 3
g xdx=2 1 3 + Tính
f 4 xdx 1
Đặt t 4 x dt dx; x 1 t 3; x 3 t 1 . 3 1 3 3
f 4 x dx f t dt f t dt f x dx 4 . 1 3 1 1 2
+ Tính g 2x 1 dx 1
Đặt z 2x 1 dz 2dx; x 1 z 1; x 2 z 3. 2 3 3 1 1 g 2x 1 dx
g z dz
g x dx 1. 2 2 1 1 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 2 Vậy
f 4 xdx
+2 g 2x 1 dx = 6 . 1 1 1 2 Câu 141. A
f x dx 2 , B f 3x 1 dx 6
đặt t 3x 1 dt 3dx . 0 0
x 0 t 1 Đổi cận :
x 2 t 7 7 7 7 1 Ta có: B
f t dt 6 f t dt 18 f x dx=18 . 3 1 1 1 7 1 7 Vậy I
f x dx f xdx f x dx 20 . 0 0 1
Câu 142. Đặt t 10 x . Khi đó dt dx .
Đổi cận: x 3 t 7 .
x 7 t 3 . 3 7 7
Khi đó I 10 t f 10 t dt 10 t f 10 t dt
10 x f 10 x dx 7 3 3 7 7 7 7
10 x f x dx 10 f x dx xf x dx
10 f x dx I . 3 3 3 3 7
Suy ra 2I 10 f x dx 10.4 40 . Do đó I 20 . 3
Câu 143. Đặt t sin 3x dt 3cos 3 . x dx
x 0 t 0 Đổi cận: x t 1 6 6 1 1 1 I
f sin 3x cos 3 d x x
f t dt .9 3 3 3 0 0 dt
Câu 144. Đặt t 2x dt 2dx d . x 2
Đổi cận: x 0 t 0; x 2 t 4. 2 4 4 1 1 1 J
f 2x dx
f t dt
f t dt I 16. 2 2 2 0 0 0 4 Câu 145. Xét I
f 3x 3 dx . 1
Đặt t 3x 3 dt 3dx .
x 4 t 9 9 9 1 1 1 Đổi cận: . Vậy I
f t dt
f x dx .9 3 .
x 1 t 0 3 3 3 0 0 dt
Câu 146. Đặt t 2x dt 2dx dx , 2
x 0 t 0
x 1 t 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 2 2 f (t)dt 1 2 Ta có 2
f (2x)dx f (t)dt
f (t)dt 4 2 2 0 0 0 0 2 2 Theo tính chất tích phân f (x)dx f (t)dt 4 0 0 2 Vậy
f (x)dx 4 0 1
Câu 147. Đặt t 2017x dt 2017dx dx dt 2017
Đổi cận: x 0 t 0 ; x 1 t 2017 2017 2017 1 1 1 Vậy I f t . dt
f t dt . 2017 2017 2017 0 0 Câu 148. Đặt 2
t x 1 dt 2 d x x . Đổi cận 1 2 2 2 I xf dt 1 1 a 2 x
1 dx f t .
f t dt
f xdx . 2 2 2 2 0 1 1 1 f 2 4 4 cos 1 x 2 Câu 149. * I tan .
x f cos x dx .sin2xdx 1 . 2 2 cos x 0 0 Đặt 2
cos x t sin 2 d x x dt . Đổi cận x 0 4 1 t 1 2 1 2 1 f t 1 f t Khi đó I dt dt 4 1 . 2 t t 1 1 2 2 f ln x 2 2 f 2 e e ln 1 x 2ln x * I dx . dx 2 . 2 x ln x 2 ln x x e e 2 ln x Đặt 2 ln x t dx dt . x Đổi cận x e 2 e t 1 4 4 1 f t 4 f t Khi đó I dt dt 4 2 . 2 t t 1 1 2 f 2x 1 * Tính I dx
. Đặt 2x t dx dt . x 2 1 4 Đổi cận
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 x 2 4 1 t 4 2 4 f t 1 f t 4 f t Khi đó I dt dt dt 4 4 8 . t t t 1 1 1 2 2 2
Câu 150. Xét tích phân I f sin x cos d x x t
x dt cos x x 1 .Đặt sin d 0 Đổi cận x 0 2 t 0 1 1 1 1 1 2 x 9 Ta có I
f t dt f x dx
5 x dx 5x 1 2 2 0 0 0 0 1 dt Xét tích phân I
f 3 2x dx
t x dt dx dx 2 .Đặt 3 2 2 2 0 Đổi cận x 0 1 t 3 1 Ta có 3 1 3 3 3 3 1 1 1 1 x 1 10 22 I
f 3 2x dx
f t dt
f x dx 2 x 3 dx 3x 18 2 2 2 2 2 3 2 3 3 0 1 1 1 1 2 1
Vậy I 2 f sin x cos d
x x 3 f 3 2x dx 9 2 2 31 . 0 0 2 x u 1 Câu 151. Đặt 2
u 3cos x 1 u 3cos x 1 d u u sin d x . x Đổi cận 2 . 3
x 0 u 2
2 sin xf 3cos x 1 1 2uf u 2 2 2 2 4 Do đó dx du
f u du
f x dx . 3cos x 1 3u 3 3 3 0 2 1 1 Câu 152. Chọn A
Đặt t 4x 3 dt 4dx thì 2 5 4 5 1 1 1 25
f 4x 3 dx
f t dt f t dt f t dt 5 20 . 4 4 4 4 1 1 1 4 Đặt 2 x 2 2 x u e du e dx thì ln 2 4 f x x 1 5 2 e 2 e dx
f u du . 2 2 0 1 25 5 15 Vậy I . 4 2 4
Câu 153. Đặt x 2 t dx dt .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 0 2 2 I
f 2 t dt f 2 t dt f 2 x dx . 2 0 0 2 2 2 4 e x 1 x 1 x 1
2I f x f 2 x 2 2
dx xe dx e d 2 x 2 2 e . 0 2 2 2 0 0 0 4 e 1 Vậy I . 4 1 1 1 1 1
Câu 154. Ta có: 3 3.1 3. f x dx 3 f x dx f 2x dx
f 2x d 2x, x . 2 0 0 0 0
Đặt 2x t d 2x dt , với x 0 t 0 ; x 1 t 2 . 1 2 2 1 1 1 3
f 2x d 2x
f t dt
f x dx , x
(do hàm số f x liên tục trên ). 2 2 2 0 0 0 2 1 2
f x dx 6, x
f xdx f xdx 6, x . 0 0 1 2 1
f x dx 6, x . 1 2
f x dx 5, x . 1 2 2 sin . x cos x Câu 155. Ta có tan . x f 2
cos x dx 2 . f 2 cos x dx 2 . 2 cos x 0 0 1 Đặt 2
t cos x dt 2 sin x cos xdx
dt sin x cos xdx . 2 1
Đổi cận: x 0 t 0 và x t . 4 2 2 sin . x cos x 1 f t . f 2 cos x dx 2 4 2 . cos x t 0 1 2 2 e f 2 ln x 2 e ln . x f 2 ln x Ta có dx 2 dx 2 . x ln x 2 x ln x e e 2 e f 2 ln x 4 f t Tương tự trên ta có dx 2 4 . x ln x t e 1 2 f 2x * Tính dx . x 1 4 1
Đặt t 2x dx dt . 2 1 1 Đổi cận: x t
và x 2 t 4 . 4 2 2 f 2x
4 f t 1 f t 4 f t Khi đó dx dt 4 4 8 . x t t t 1 1 1 1 4 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 156. +) Đặt 3 3 2 t
x t x 3t dt dx
Đổi cận x 1 t 1 và x 8 t 2 . 8 2 2 3 2 f ( x ) f (t) f (t) f (t) Khi đó 2 dx 3t dt 3 dt 6 dt 2 3 x t t t 1 1 1 1 1 +) Đặt 2 2
t cos x dt 2
cos x sin xdx dt 2 cos x tan xdx tan xdx dt 2t 1
Đổi cận: x 0 t 1 và x t . 3 4 1 3 4 1 1 f (t) f (t) Khi đó 2 tan .
x f (cos x)dx dt 6 dt 12 2 t t 0 1 1 4 dx dx 1 dt +) Đặt 2 2
t x dt 2xdx dt 2x x x 2 t 1 1 Đổi cận: x t và x 2 t 2 Khi đó 2 4 2 2 2 1 2 f (x ) 1 f (t) 1 f (t) 1 f (t) 2 12 dx dt dt dt 7 x 2 t 2 t 2 t 2 1 1 1 1 2 4 4 2018 e 1 x Câu 157. Đặt I f
ln 2x 1 dx . 2 x 1 0 2x Đặt t 2 ln x 1 dt dx . 2 x 1
Đổi cận: x 0 t 0 ; 2018 x e 1 t 2018 . 2018 2018 Vậy I
f t dt
f x dx 2 . 0 0 4 1 Câu 158. Ta có K
f tan x dx 3
. Đặt tan x t dt d tan x dx 2 t 1 dx . 2 cos x 0 1 1 1 1 Vậy K f t . dt f x . dx 3 2 . 2 t 1 x 1 0 0 1 2 x f x 1 1 1 1 1 Lại có dx f x f x dx f x dx f x dx 2 2 . 2 x 1 x 1 x 1 0 0 0 0 1 Vậy suy ra I
f xdx 4 . 0 2 16 f x
Câu 159. Đặt I cot . x f 2
sin x dx 1, I dx 1 1 2 . x 1 4 Đặt 2
t sin x dt 2 sin . x cos d x x 2 2 sin . x cot d x x 2t.cot d x x .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 2 1 1 1 1 f t 4 1 f 4x 4 1 f 4x I cot . x f 2 sin x dx f t . dt dt d 4x dx 1 . 2t 2 t 2 4x 2 x 1 1 1 1 4 2 2 8 8 1 4 f 4x Suy ra dx 2I 2 1 x 1 8 Đặt t
x 2tdt dx . 16 f x 4 f t 4 f t 1 f 4x 1 f 4x I dx 2tdt 2 dt 2 d 4x 2 dx 2 . x 2 t t 4x x 1 1 1 1 1 4 4 1 f 4x 1 1 Suy ra dx I 2 x 2 2 1 4 Khi đó, ta có: 1 1 f 4x 4 f 4x 1 f 4x 1 5 dx dx dx 2 . x x x 2 2 1 1 1 8 8 4 4 4 f 2 x 1 ln x
4 f 2 x 4 1 ln x Câu 160. Ta có
f x dx dx dx dx . x x x x 1 1 1 1
4 f 2 x 1 Xét K dx . x 1 t 1 dx
Đặt 2 x 1 t x dt . 2 x 3 3 K
f t dt
f x dx . 1 1 4 4 ln x 4 2 ln x Xét M dx ln d x ln x 2 2 ln 2 . x 2 1 1 1 4 3 4 Do đó
f x dx f x 2 dx 2 ln 2 f x 2 dx 2 ln 2 . 1 1 3 4 2018
Câu 161. Ta có: f x f x 2 7 4 4
2018x x 9 f x f 4 x 2 x x 9 . 7 7 4 4 4 4 2018 Khi đó I
f x dx f 4 x 2 dx x x 9dx 1 . 7 7 0 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 4 4 0 4 Xét:
f 4 x dx
, đặt t 4 x , dt dx nên
f 4 x dx f t dt f t dx I 0 0 4 0 4 Xét: 2 x x 9dx , đặt 2 2 2 u
x 9 u x 9 d u u d x x . 0 5 4 5 3 u 98 Nên 2 2
x x 9dx u du . 3 3 0 3 3 4 2018 98 11 2018.98 197764 Từ 1 I I . I I . 7 7 3 7 7.3 33 4
4 f (2 x 1) ln x 4 4 f (2 x 1) ln x Câu 162. Ta có:
f (x) dx dx dx
dx A B . x x x x 1 1 1 1 4 4 2 2 2 ln x 4 ln x ln 4 ln 1 Xét B dx ln (ln ) x d x 2 2 ln 2 . x 2 2 2 1 1 1 4 f (2 x 1) Xét A dx . x 1 1 4 3 3 f (2 x 1)
Đặt t 2 x 1 dt
dx . Khi đó A dx
f (t) dt f (x) dx x x 1 1 1 4 3 4 3 Vậy 2 2 2
f (x) dx f (x) dx 2 ln 2 f (x) dx f (x) dx 2ln 2 I 2 ln 2 . 1 1 1 1
Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN
Dạng 5.1 Hàm số tường minh Câu 163. Chọn D 1 du dx e u ln x x
I x ln xdx . Đặt 2 dv xdx x 1 v 2 e e 2 e 2 2 e 2 2 2 2 2 x 1 x e 1 e x e e 1 e 1 I ln x . dx xdx . 2 x 2 2 2 2 4 2 4 4 4 0 0 0 0 Câu 164. Chọn C e e e e
Ta có 1 x ln x dx
1.dx x ln x dx
e 1 x ln x dx . 1 1 1 1 1
u ln x du dx x Đặt 2 x dv .
x dx v 2 e 2 e e x 1 2 e e 1 2 2 e e 1 2 e 1
Khi đó x ln x dx ln x x dx 2 x . 2 2 2 4 2 4 4 4 4 1 1 1 1 e 2 e 1 2 e 3 1 3
Suy ra 1 x ln x dx e 1 e nên a
, b 1, c . 4 4 4 4 4 4 1
Vậy a b c .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 165. Chọn B e e e e e
Ta có 2 x ln xdx 2dx x ln d x x 2x
I 2e 2 I với I x ln d x x 1 1 1 1 1 1 du dx u ln x x Đặt dv d x x 2 x v 2 2 e 2 2 x e x x e x e 2 2 e 1 e 1 I ln x dx ln x 2 e 1 2 1 2 2 1 4 1 2 4 4 1 e 2 e 1 1 7
2 x ln x 2
dx 2e 2 e 2e 4 4 4 1 1 a 4 b 2
a b c 7 c 4 d u dx u x 2 Câu 166. Đặt 1 . 2 x 2 dv e dx v e x 2 Suy ra 1 1 1 x 1 x 1 x 2 2
e dx x 2 2 2 e e xdx 2 2 0 0 0 1 2 1 1 x 1 1 1 3 5 5 3e 2 2 2 2 2 e 1 e e 1 e e . 2 4 2 4 4 4 4 4 0 Câu 167. Chọn C.
Điều kiện: a , b . u 2x 1 du 2dx Đặt .
dv exdx v ex 1 1 1 1 2 + 1 ex x dx = 2 + 1 ex 2 ex x dx = 2 1 ex x = 1+ e = a + .e b . 0 0 0 0 a = 1
. Vậy tích a.b = 1 . b = 1 dx u ln x du 2 x ln x 2 1 ln x 1 2 1 ln 2 Câu 168. Đặt dx I dx 2 dv 1 x 1 x x x 1 2 2 2 1 x v x 1
b 1, c 2, a
P 2a 3b c 4 . 2 du dx u x 1 Câu 169. Đặt , ta có 1 . Do đó: d v sin 2 d x x v cos 2x 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 4 4 1 1
I x 1 sin 2 d
x x x 4 1 cos 2x cos 2 d x x . 2 2 0 o 0 1 ln x u dx du Câu 170. Đặt x 4x 2 2
dx dv 2x 2x v Khi đó 3 3 3 7 4x 2ln d x x ln . x 2
2x 2x 2 x
1 dx 24 ln 3 12 ln 2 2.
7 12 ln 2 24 ln 3 . 2 2 2 2 Vậy a 7 ; b 1
2; c 24 a b c 5 . 2 ln 1 x 2 2 2 1 1 1 1 Câu 171. dx ln 1 x dx ln 1 x. . dx 2 x x x x 1 x 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 ln 3 ln 2 dx dx
ln 3 ln 2 ln 1 x 2 2 ln x 2 x x 1 1 1 2 1 1 1 3 3
ln 3 ln 2 ln 3 2 ln 2
ln 3 3ln 2 a 3, b . 2 2 2
Vậy a 4b 3 . Câu 172. Chọn A ln dx u x du x Đặt dx dv 1 x 2 1 v x 1 1000 1000 1000 2 2 21000 2 1000 ln x 1 dx ln 2 1 1 1000 ln 2 x I . dx ln 1000 1000 x 1 x 1 x 2 1 x x 1 2 1 x 1 1 1 1 1 1000 1001 1000 ln 2 2 1 1000 ln 2 2 1000 ln 2 2 ln ln ln = 1001ln . 1000 1000 1000 1000 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1000 1000 1 2 1 2 2
Câu 173. Xét I 2x ln x 1 dx . 0 1 u
ln x 1 du dx Đặt x 1 . dv 2xdx 2 v x 1 2 2 2 2 2 x 1 x Ta có I 2 x 1 ln x 2 1 | dx 3ln 3
x 1 dx 3ln 3 x 3ln 3 . 0 x 1 2 0 0 0
Vậy a 3,b 3 6a 7b 39 . 1
Câu 174. Đặt u ln x du dx x
dv dx v x a a Ta có ln xdx .
a ln a dx a ln a a 1 1 2a 1 1 3
a ln a 3a ln a 3 a e . Vậy a 18; 2 1 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 175. Chọn A 1 1 u x 2 du x d 1 1 Đặt (x 2) x e x
d (x 2) x x e e x= d e 2 x e
3 2e = a be x x 0 0 dv e x d v e 0 0
với a;b a 3, b 2 a b 1 Câu 176. Chọn A u x du dx Đặt dv x e dx v x e 2 2 x x 2 x 2 x 2 2
I xe dx xe
e dx 2e e e 2e e 2 e e 2 e . 1 1 1 1 Câu 177. Chọn C 1 du dx u ln x x Đặt . 2 dv d x x x v 2 3 3 3 3 2 3 x 1 2 2 x x 9 5
x ln x dx ln x x dx ln x ln 3 2 ln 2 . 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2
Suy ra m n 2 p 0 . 1 2 u ln 1 x du dx
Câu 178. Xét I 2x ln 1 x dx . Đặt 1 x . dv 2 d x x 0 2 v x 1 2 2 2 2 2 2 x 1 x Ta có: I 2 x 1 ln x 1 dx
3ln 3 x 1 dx 3ln 3 x 3ln 3 . 0 x 1 2 0 0 0
Vậy a 3 , b 3 3a 4b 21 . 1 u ln x du .dx x Câu 179. Đặt 1 dv .dx 1 2 x v x 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 Ta có I .ln x dx ln 2 ln 2
b 1, c 2, a . Khi đó 2 x x 2 x 2 2 2 1 1 1 1 P 2 3.1 2 4 . 2 u x du dx Câu 180. Đặt 1 dv dx v tan x 2 cos x 3 3 3 sin d x x 3 d(cos x) 3
I x tan x tan d x x . 3 0 3 cos x 3 cos x 0 0 0 3 3 1 3 3 ln cos x ln ln1
ln 2 a 3; b 2 . Vậy 2 a b 11. 0 3 3 2 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 71
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 u 2 x x 2x 1 ln u Câu 181. Đặt 2 x x v 1 v x 2x 1
Suy ra F x ln 2
x x dx x ln 2 x x dx x ln 2
x x 2x ln x 1 C x 1
F 2 2ln 2 4 C 0 suy ra F x x 2
ln x x 2x ln x 1
3 F x 2x ln x 1 3 Khi đó: I dx 2 ln
x xdx F 3 F 2 3ln 3 2 . x 2 2 3 3 x 1 Câu 182. Xét I dx . x d . x 2 . 2 cos x cos x 0 0 u x du dx Đặt 1 . dv dx v tan x 2 cos x 3 3 1 3 I .
x tan x 3 tan d x x . x tan x 3
d cos x x tan x ln cos x 3 ln 2. cos x 3 0 0 0 0 0 a 3 Suy ra 2
T a b 11. b 2
Câu 183. Áp dụng phương pháp tích phân từng phần: 2 u
ln 1 2x du dx 2x 1 Đặt: 1 . dv dx 1 2x 1 2
chän v 2 x x x ln 1 2x 2x 2 2 2 1 2 dx ln 1 2x dx 2 x x x 1 1 1 5 2
ln 5 3ln 3 2 ln x 1 2 5 ln 5 3ln 3 2 ln 2 . 2 a 5
, b 3 , c 2 .
Vậy a 2b c 5 . 2 ln 1 x Câu 184. Ta có I
dx a ln 2 b ln 3 . 2 x 1 1 u ln(1 x) du dx 1 x Đặt 1 dv dx 1 2 x v . x 2 2 1 2 1 1 1 1 Khi đó I ln (1 x) dx ln 3 ln 2 dx 1 1 1 x x(1 x) 2 x 1 x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 72
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 1 x 1 3 ln 3 ln 2 ln
ln 3 ln 2 2 ln 2 ln 3 3ln 2 ln 3. 2 x 1 2 2 1 3 9
Suy ra a 3 , b
. Vậy P ab . 2 2 Câu 185. Chọn A. 1 1 u x 2 du x d 1 1 Đặt x x x x (x 2)e x
d (x 2)e e x
d = e 2 e
3 2e = a be x x 0 dv e x d v 0 e 0 0 với ;
a b a 3,b 2 a b 1 Câu 186. Chọn A cos x 2sin x
u ln sin x 2 cos x du d x
sin x 2 cos x Đặt d x dv
v tan x 2 2 cos x π π
4 ln sin x 2 cos x π
4 cos x 2sin x d
x tan x 2 ln sin x 2 cos x 4 dx 2 cos x 0 cos x 0 0 π 3 2 4 7 π 3ln
2 ln 2 1 2 tan d 3ln 3
ln 2 x 2 ln cos x 4 x x 2 0 2 0 7 π 2 5 π 5 1 3ln 3 ln 2 2 ln 3ln 3 ln 2
a 3 , b , c . 2 4 2 2 4 2 4 Vậy abc 18 . 12 1 12 1 12 1 1 x 1 x x Câu 187. Ta có: 1 1 x 1 x x I x e dx x e dx e dx 2 2 . x x 1 1 1 12 12 12 u x du dx Đặt: 1 x 1 1 . dv 1 x x e dx x 2 v e x 12 12 1 12 1 1 12 1 12 1 1 x x x x x Khi đó: 1 x x . x x x I x e dx e dx x e e dx e dx 2 x 1 1 1 1 1 12 12 12 12 12 1 1 145 12 12 1 143 12 12 12 12e e e . 12 12
Vậy: a 143;b 12; c 145; d 12. Dó đó: bc ad 12.145 143.12 24 .
2 x ln x 2 2 2 1 1 2 ln x 1 Câu 188. Ta có dx dx dx dx . x 22 x 2 x 22 x 22 0 0 0 0 2 2 2 1 2 2 1 dx
dx ln x 2 ln 2 . x 2 x 22 x 2 2 0 0 0 2 ln x 1 I dx . x 22 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 73
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 u x 1 ln 1 du dx x 1 Đặt 1 dv dx 1 x 1 x 2 v 1 2 x 2 x 2 2 x 2 1 ln(x 1) 1 3 Suy ra I dx ln 3 ln 2 . x 2 x 2 4 0 0
2 x ln x 1 1 3 Do đó dx ln 3 P 1
23 4 7 . x 22 2 4 0
Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) Câu 189. Chọn B u x 1 du dx 1 1 Đặt
. Khi đó I x
1 f x f x dx . dv f xdx v f 0 x 0 1 1
Suy ra 10 2 f
1 f 0 f x dx f x dx 1 0 2 8 0 0 1 Vậy
f x dx 8 . 0 Câu 190. Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta có: I xf ( 2x)dx xf 2x
f 2x dx f (2)
f 2x d 2x 2 2 2 4 0 0 0 0 2 1 1 1 1 I f (2)
f (x)dx .16 .4 7 . 2 4 2 4 0
du f ' x dx u f x Câu 191. Đặt 3 . 2 x dv x dx v 3 3 3 1 1 1 1 1 x x 1 1 2 x f x 1 dx udv uv vdu f x 1 f ' x dx 3 x f ' x dx 0 0 0 0 0 21 0 3 3 0 3 1 1 3
x f ' x dx . 0 7 1 2 1 1 1 1 1 1
x f ' x dx x dx 2 x f ' x dx f ' x 2 3 6 3 dx 2. 0 0 0 0 0 7 7 7 2 f x 3 x x
f x 3 ' 0, 0;1 ' x , x 0 ;1 . 1
Kết hợp điều kiện f
1 0 ta có f x 4 x 1 ; x 0 ;1 4 1 1 1 1 1 1 Vậy
f x dx 4 x 1 dx 4 x 1 dx . 0 0 0 4 4 5 1 1 1
Câu 192. Ta có f x 2
tan x f x tan x dx f x 2 tan d x x
f x tan d x x . 0 0 0 Lại có:
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 74
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 1 1 f x 1 1 f x 2 f x tan d x x f x 1 dx dx f x dx dx 1 2 2 . 2 cos x cos x cos x 0 0 0 0 0 1 1 1 1
f x tan xdx tan xd
f x f x.tan x f xdtan x 0 0 0 0 1 f x 1 f x 1 f x f 1 . tan1 dx cot1. tan1 dx 1 dx 2 2 . 2 cos x cos x cos x 0 0 0 Vậy I 0. Câu 193. Chọn A u
f (x) du f '(x)dx 3 x 2
dv x dx v 3 3 1 3 3 1 3 x 1 x 1 x I f (x)
f '(x)dx
f (1) 0. f (0)
f '(x)dx 3 0 3 3 3 0 0 1 1 1 1 3 3
x f '(x)dx x f '(x)dx 1 3 3 0 0 1 1 1 2 2 3 Câu 194. Ta có: f (x) sin xdx f (x).cos x f '(x).cos xdx 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 ( f (x) 3sin x) dx
f (x)dx 6 f (x) sin xdx 9 sin xdx 0 2 2 2 0 0 0 0 1 1 6
Từ đây ta suy ra f (x) 3sin x
f x dx 3sin xdx . 2 2 0 0 2 2 2 2 2 m
Câu 195. Ta có: x cos x 2mdx= x cos d x x 2m dx x x cos d x x . 4 0 0 0 0 u x du dx Gọi 2 I x cos dx x . Đặt . 0 dv cos xdx v sin x 2 2 2
I x sin x | sin d x x cos x | 1 0 0 . 2 2 0 2 2 m
Khi đó: x cos x 2mdx= 1 . 4 2 0 m Suy ra 2 m 8 . 4 Câu 196. Chọn B 3 x
Cách 1: Đặt u f x du f x dx , 2
dv x dx v . 3 1 3 1 3 1 1 x x Ta có f x f x 3
dx x f xdx 1 3 3 3 0 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 75
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 1 1 2 2 Ta có 6
49x dx 7, f ( x) 3
dx 7, 2.7x . f x 3
dx 14 7 x f (x) dx 0 0 0 0 0 4 7x 3 7 7x f (
x) 0 f x
C , mà f 1 0 C 4 4 1 1 4 7x 7 7
f (x)dx dx . 4 4 5 0 0
Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau: 2 b b b
f x g x 2
dx f x 2 .
dx g x dx a a a
Dấu bằng xảy ra khi f x k.g x,x a;b, k 2 1 3 1 6 1 1 x x 3 2 1 x Ta có
f xdx .
dx f x dx
. Dấu bằng xảy ra khi f x k. . 9 3 9 9 3 0 0 0 1 3 4 x 1 7x 7 Mặt khác
f xdx
k 21 f x 3 7 x
suy ra f x . 3 3 4 4 0 1 1 4 7x 7 7 Từ đó
f (x)dx dx . 4 4 5 0 0 1
Câu 197. Xét tích phân I
f xcos xdx 2 0 u cos x du sin x dx Đặt , ta có dv f ' x dx v f x 1 1 1
I f x cos x
1 f xsin x
dx f
1 f 0 f xsin x
dx f xsin x dx 0 0 0 0 1 1 1 Mà I
f xsin x dx
f xsin x dx 2 2 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Mặt khác: 2 sin x dx 1 cos 2 x dx x sin 2 x 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 2
f x 2. f xsin x 2 sin x dx 2. 0 . 2 2 2 0 1 2
Khi đó f x sin x dx 0 0 2
Vì f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0
;1 và f x sin x 0, x 0 ;1 nên ta suy ra
f x sin x
0 f x sin x . 1 1 1 1 2 Do đó
f x dx sin x dx cos x 0 0 0 1 1 1 Câu 198. Từ giả thiết: 2 d x f x x 2 3 d 1 x f x x . 3 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 76
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 Tính: 2
I 3x f x d x . 0 u f x du f xdx Đặt: . 2 3 dv 3x d x v x Ta có: 1 1 1 1 1 2
I 3x f x 3
dx x f x 3
x . f x d
x 1. f 1 0. f 0 3
x . f x d x 3 . d x f x x . 0 0 0 0 0 1 1 Mà: 2 3 d 1 x f x x 3 1 . d x f x x 0 0 1 1 1 1 3 2 . d 1 x f x x 3 7 . d 7 x f x x 3
7x . f x dx f x d
x , (theo giả thiết: 0 0 0 0 1
f x 2 dx 7 ). 0 1 1
7x . f x+ f x 2 3 3 dx 0
7x + f x d x 0 f x 0 0 7 3
7x + f x 0 f x 3
7x f x 4 x C . 4 7 7 Với f 1 0 4
.1 C 0 C . 4 4 7 7
Khi đó: f x 4 x . 4 4 1 1 1 7 7 5 7 x 7 Vậy: f x 4 dx x d x x . 4 4 4 5 5 0 0 0 1 1 1 Câu 199. Từ giả thiết: . d x f x x 5 . d 1 x f x x . 5 0 0 1 Tính: I 5 . x f x d x . 0
u f x x
u f x d d Đặt: 5 . 2 dv 5 d x x v x 2 1 1 1 5 5 Ta có: I 5 . x f x 2 dx
x . f x 2
x . f x d x 2 2 0 0 0 1 5 5 1 5 . f 2 1
x . f x d x 2 10 . d
x f x x , (vì f 1 4 ) 2 2 2 0 0 1 1 5 1 18 Mà: I 5 .
x f x dx 1 2 1 10 . d x f x x 2 . d x f x x 2 5 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 10 . d 36 x f x x 2
10 x . f x dx f x d
x , (theo giả thiết: f x dx 36 ) 0 0 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 77
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 10 .
f x 2 2 dx 0 x f x 2 10
x f x dx 0 f x 0 0 3 10x 2
10x f x 0 f x 2
10x f x C 3 10.1 2 Với f 1 4 4 C C . 3 3 3 10x 2
Khi đó: f x . 3 3 1 1 1 3 10x 2 4 5x 2 3 Vậy:
f x dx d x x . 3 3 6 3 2 0 0 0 2 1 2 Câu 200. Từ giả thiết: 2 d x f x x 2 3 d 1 x f x x . 3 0 0 2 Tính: 2
I 3x f x d x . 0 u f x du f xdx Đặt: . 2 3 dv 3x d x v x 2 2 2 2 Ta có: 2
I 3x f x 3
dx x . f x 3
x . f x d x 3 24 . d
x f x x , (vì f 2 3) 0 0 0 0 2 2 Mà: 2
I 3x f x dx 1 3 1 24 . d x f x x 0 0 2 2 4 3 . d 23 x f x x 3 . d 4 x f x x 23 0 0 2 2 4 1 2
x . f x dx f x 2 3 d
x , (theo giả thiết: d 4 f x x ) 23 0 0 0 2 2 4 4
x . f x f x 2 3 dx 0 3 d 0 f x x f x x 23 23 0 0 4 4 1 3
x f x 0 f x 3
x f x 4 x C 23 23 23 16 53
Với f 2 3 3 C C . 23 23 1 53
Khi đó: f x 4 x . 23 23 2 2 2 1 53 1 53 562 Vậy f x 4 dx x d 5 x x x . 23 23 115 23 115 0 0 0
du f x dx 1 u
f x Câu 201. Tính: I .
x f x dx . Đặt: 1 2 dv d x x v x 0 2 1 1 1 1 1 1 Ta có: 2 I
x . f x 2
x f x dx 2 2
x f x dx , (vì f 1 4 ). 2 0 2 2 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 78
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 1 1 1 Mà: .
x f x dx 2 2 d x f x x 2 2 2 0 0 1 1 1 1 2 2 2 d 5 x f x x
, (theo giả thiết: f x dx 5 2
) x f x dx f x d x 0 0 0 0 1 1
x f x f x 2 2 2 dx 0
.x f x dx 0 f x 0 0 1 2
x f x 0 2 f
x x f x 3 x C . 3 11 Với f 1 4 C . 3 1 11
Khi đó: f x 3 x . 3 3 1 1 1 11 1 11 1 15 Vậy f x 3 4 dx x dx x x . 3 3 12 3 0 4 0 0 2 Câu 202. Tính: I .
x f x dx . 0 du
f x dx u f x Đặt: 1 2 dv d x x v x 2 2 1 2 1 2 1 Ta có: 2 I
x . f x 2
x f x dx 2 12
x f x dx
, (vì f 2 6 ). 2 0 2 2 0 0 2 17 2 17 1 Theo giả thiết: .
x f x dx 2 12 d x f x x 2 2 2 0 0 2 2 d 7 x f x x 0 2 2 2 2
x f x dx f x dx 0 0 2 2 2
x f x f x dx 0 0 2 f x 2
. x f x dx 0 0 1 2
x f x 0 f x 2
x f x 3 x C . 3 10
Với f 2 6 C . 3 1 10
Khi đó: f x 3 x . 3 3 2 2 1 10 1 10 2 Vậy f x 3 4 dx x dx x x 8 . 3 3 12 3 0 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 79
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 Câu 203. Tính 2
I x . f x dx . 0
du f x dx u f x Đặt 1 . 2 3
dv x dx v x 3 3 1 3 1 3 1 Ta có 3 I
x . f x 3
x f x dx 3 54 d
x f x x , (vì f 3 6 ). 3 0 3 3 0 0 3 154 3 154 1 Theo giả thiết: 2 . d x f x x 3 54 d x f x x 3 3 3 0 0 3 3 3 3 3 2 2 d 8 x f x x 3
x f x dx 4 f x d 3
x x f x 4 f x dx 0 0 0 0 0 3 3
x 4 f x dx 0 f x . 0 3 x 4 x 3
x 4 f x 0 f x
f x C . 4 16 15
Với f 3 6 C . 16 4 x 15
Khi đó: f x . 16 16 3 3 1 15 1 15 3 117 Vậy f x 4 5 dx x dx x x . 16 16 80 16 0 20 0 0 1 Câu 204. Tính: 3
I x . f x dx . 0
du f x dx u f x Đặt: 1 . 3 4
dv x dx v x 4 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: 4 I
x . f x 4
x f x dx 4
x f x dx , (vì f 1 2 ). 4 0 4 2 4 0 0 1 1 Theo giả thiết: 3
x . f x dx 10 4
x f x dx 38 0 0 1 1 1 4 2 8. d 38.8 x f x x 4
8. x f x dx 38. f x d x 0 0 0 1 1
8x f x 38 f x 2 4 4 dx 0 . 8
x 38 f x dx 0 f x 0 0 4 4 4
8x 38 f x 0 f x 4
x f x 5 x C . 19 95 194 Với f 1 2 C . 95 4 194
Khi đó: f x 5 x . 95 95
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 80
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 4 194 2 194 1 116 Vậy f x 5 6 dx x dx x x . 95 95 285 95 0 57 0 0 1 Câu 205. Xét 1 ex A x
f x dx 0 u f x du f xdx Đặt dv x 1 x e dx v ex x 1 1 1 2 1 e x 1 Suy ra ex ex A x f x x
f x dx x
xe f x dx
xe f x dx 0 4 0 0 0 1 1 2 e 1 x 1 1 1 Xét 2 2 x x e dx 2 2 e x x 2 2 4 4 0 0 1 1 1 1 2 2
Ta có : d 2 x 2 2 d x f x x xe f x
x x e dx 0 x
f x xe dx 0 0 0 0 0 2 Suy ra x f
x xe 0, x 0 ;1 (do x f
x xe 0, x 0; 1 ) x f x xe
1 x f x x e C Do f 1 0 nên
1 x f x x e 1 1 1 Vậy
d 1 xd 2 x I f x x x e x x e e 2 . 0 0 0 4 sin 2x u 2 cos 2 d x x du Câu 206. Tính
f xsin 2 d x x . Đặt , khi đó 4 f
xdx dv f
x v 0 4 4 4
f xsin 2 d x x sin 2 .
x f x 4 2 f x cos2 d x x sin . f sin 0. f
0 2 f x cos2 d x x 0 2 4 0 0 0 4
2 f x cos2 d x x . 0 4 4 Theo đề bài ta có
f xsin 2 d x x
f x cos2 d x x . 4 8 0 0 4 Mặt khác ta lại có 2 cos 2 d x x . 8 0 4 4 2
Do f x 2
cos2x dx f x 2f x 2
.cos2x cos 2x dx 2 0 nên 8 8 8 0 0
f x cos 2x .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 81
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 8 8 1 1 Ta có I cos 4 d x x sin 4x . 4 4 0 0 u cos x du sin xdx Câu 207. Đặt . Khi đó: dv f xdx v f x 1 1
f x cos x dx cos x f x 1 f xsin x dx 0 0 0 1 1 1 1 f
1 f 0 f xsin x dx f xsin x dx f xsin x dx . 2 0 0 0 1 1 1 1 2
Cách 1: Ta có f x k sin x 2 dx
f x dx 2k f xsin x 2 2 dx k
sin x dx 0 0 0 0 2 1 k k 0 k 1. 2 2 1 1 1 2 2
Do đó f x sin x dx 0 f x sin x . Vậy
f x dx sin x dx . 0 0 0
Cách 2: Sử dụng BĐT Holder. 2 b b b f
x g x 2 x f x 2 d d .
x g x dx . a a a
Dấu “=” xảy ra f x kg x, x ; a b . 2 1 1 1 1 1 Áp dụng vào bài ta có
f xsin x 2 dx f x 2 d .
x sin x dx , 4 4 0 0 0
suy ra f x k sin x . 1 1 1 1 Mà
f xsin x 2 dx
k sin x dx
k 1 f x sin x . 2 2 0 0 1 1 2 Vậy
f x dx sin x dx . 0 0 4 u sin x du cos d x x
Câu 208. Ta có: I sin .
x f x dx . Đặt . dv f xdx v f x 0 4 3 2 I sin .
x f x 4 cos .
x f xdx I . 0 1 2 0 4 4 f x 4 f x 2 2 2 sin . x tan .
x f x dx sin . x dx
1 cos x. dx . cos x cos x 0 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 82
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 4 f x 4 dx cos . x f xdx 1 I . cos x 1 0 0 3 2 3 2 2
I 1 I 1 . 1 2 2 u
f x
du f x dx Câu 209. Đặt x 2 x dv cos dx v sin 2 2 1 1 Do đó cos
x f x dx 2 2 0 1 1 2 x 2 1 1 sin f x sin
x f x dx sin
x f x dx . 2 2 2 2 4 0 0 0 1 1 Lại có: 2 sin x dx 2 2 0 1 2 1 1 2 2 I . f
x dx 2 sin x f x 2 dx sin x dx 2 2 0 0 0 2 1 2 2 4 2 1 f x sin x dx . 0 2 2 8 2 2 0 2 2 Vì f x sin x 0 trên đoạn 0 ;1 nên 2 2 1 2 2 f x sin x dx 0
f x =sin x
f x = sin x . 2 2 2 2 0
Suy ra f x =cos x C mà f
1 0 do đó f x =cos x . 2 2 1 1 2 Vậy
f x dx cos x dx . 2 0 0 1 2
Câu 210. Ta có: f x dx 9 1 0 1 1 - Tính 3
x f x dx . 2 0
du f x dx u f x Đặt 4 3 x
dv x .dx v 4 1 1 1 4 x 1 1 1 1 1 3
x f x dx . f 4 4 x
x . f x dx
x . f x dx 2 4 4 4 4 0 0 0 0 1 1 4
x . f x dx 1 4
18 x . f x dx 18 2 0 0 1 1 9 x 1 1 - Lại có: 8 x dx 8
81 x dx 9 3 9 9 0 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 83
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
- Cộng vế với vế các đẳng thức
1 , 2 và 3 ta được: 1 1
f x 2 4
18x . f x 8 81x dx 0 4
f x 9x dx 0 0 0 1
. f x 4
9x dx 0 0
Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x 4 9x , trục
hoành Ox , các đường thẳng x 0 , x 1 khi quay quanh Ox bằng 0 9
f x 4
9x 0 f x 4 9
x f x f x.dx 4 x C . 5 14 9 14 Lại do f 1 1 C f x 5 x 5 5 5 1 1 1 9 14 3 14 5
f x dx 5 x dx 6 x x . 5 5 10 5 2 0 0 0 1 1 1
Câu 211. - Tính : 1 ex I x
f x dx
ex d ex x f x x
f x dx J K . 0 0 0 1 Tính ex K
f x dx 0 u
ex f x
du ex f x ex f x dx Đặt dv dx v x 1 1 1 1
ex ex ex K x f x x f x x
f x dx x x e x
f x dx e x
f x dx do f 1 0 0 0 0 0 1 1 ex K J x
f x dx ex I J K x
f x dx . 0 0
- Kết hợp giả thiết ta được : 1 2 e 1 1 2 2 e 1 f x 2 dx f
x dx (1) 4 4 0 0 1 2 1 2 x e 1 x e 1
xe f x dx 2 e x
f x dx (2) 4 2 0 0 1 2 x e 1
- Mặt khác, ta tính được : 2 2 x e dx (3) . 4 0
- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 1 1 1 2 2 2 2 ex 2 2 e x f x x f x x x x
dx 0 f x ex dx 0 f x ex dx 0 0 o o
hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ex y f x x
, trục Ox , các đường thẳng
x 0 , x 1 khi quay quanh trục Ox bằng 0 ex f x x 0 ex f x x
exd 1 ex f x x x x C . - Lại do 1 0 C 0
1 ex f f x x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 84
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 1 1 1
d 1 ex f x x x dx
1 ex ex x dx 1 ex e 2 0 0 0 0 0 x 3 2 1
Câu 212. Đặt u f x du f x dx , dv x 1 dx v 3 2 2 3 3 1 2 2 x 1 x 1 Ta có x 1
f x dx . f x
f x dx 3 3 3 1 1 1 2 1 1 2 2 3 3 x 3 1
f x dx x 1
f x dx 1
2.7 x 1
f x dx 14 3 3 1 1 1 2 2 2 2 6 2 3 6
Tính được 49 x 1 dx 7
f x dx 2.7 x 1
f xdx 49 x 1 dx 0 1 1 1 1 2 2 x 4 7 1 7 x 3
1 f x dx 0
f x x 3 7
1 f x C . 4 1 x 4 7 1 7
Do f 2 0 f x . 4 4 2 7 x 4 2 1 7 7 Vậy I
f xdx dx . 4 4 5 1 1 1 Câu 213. Xét tích phân 2
x . f x dx . 0 du
f x dx u f x Đặt 3 2 x
dv x dx v 3 1 3 1 1 x 1 1 1 1 1 2
x . f x dx f x 3
x f x dx 3
x f x dx 3
x f x dx 1 3 3 0 3 3 0 0 0 0 1 1 6 x dx . 7 0 1 1 1 1 2 2
Ta có: f x 3
dx 14 x f x 6
dx 49 x dx 0 3
f x 7x dx 0 0 0 0 0 1 2 Mà
f x 3
7x dx 0 . Dấu “=” xảy ra khi f x 3 x
f x 3 7 0 7x 0 4 7x
f x f x 3
dx 7x dx C . 4 7 4 7x 7 f 1 0 C
f x . 4 4 4 1 1 4 5 7x 7 7x 1 7x 1 7 7 7 I
f x dx dx . 4 4 20 0 4 0 20 4 5 0 0 1 7 Câu 214. Xét 4
x f x dx 11 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 85
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
du f x dx u f x Đặt 5 4 x dv x dx v 5 1 1 1 1 1 1 3 1 4 x f x 5 dx x f x 5
x f x dx 5
x f x dx ( vì f 1 3 ) 5 5 5 5 0 0 0 0 1 3 7 2 5
x f x dx 5 . 5 11 11 0 1 4 f x 2 dx 11 0 1 1 1 1 2 2 Xét 5 5 10
x f x dx
f x dx 4 x f x dx 4 x dx 0 11 0 0 0 0 1 1 1 1 10 11 x dx x 0 11 11 0 1 6 x 10 2 f x 5
2x dx 0 f x 5 2
x f x
C . Do f 1 3 C nên 3 3 0 1 1 6 x 10 23
f x dx dx 3 3 7 0 0 2 f x 5 3 Câu 215. dx ln . x 2 1 12 2 1 u
f x du f x dx Đặt dx 1 dv v x 2 1 x 1 f x f x 2 2 2 f x f 1
f 2 2 f x f 2 1 f x dx dx dx dx x 2 1 x 1 x 1 2 3 x 1 2 x 1 1 1 1 1 1 2 2 f x 2 2 f x
f x dx dx dx 0 2 x 1 1 1 1 2 2 f x 2 2 f x
f x dx dx dx 0 2 x 1 1 1 1 2 2 f x
f x
f x dx 0 x 1 2 1 2 f x f x
f x 0 x 1 2
f x 0
f x C 1 1 x f x 0 f x
ln x 1 C x 1 2 2
TH1: f x C, f 2 0 C 0 f x 0 (loại) x x
TH2: f x
ln x 1 C, f 2 0 C ln 3 1 f x
ln x 1 ln 3 1 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 86
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 3 3
f x dx 2 ln . 4 2 1 1 4 f x 1 8 f x 1 2 Câu 216. Ta tính. dx 2 ln 3 dx ln 3 2 2x 2 1 3 2x 1 2 3 0 0 u f (x)
du f '(x)dx Đặt: 1 1 1 1 x dv dx v . 2x 2 1 2 2x 1 2 2x 1 1 1 2 f x 1 1 1 xf (x) xf '(x) x ln 3 dx dx f '(x) dx 2 3 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 0 2 0 0 0 1 x 1 2 1 x 8
f ' x dx ln 3 4
f ' x dx 2 ln 3 2x 1 2 3 2x 1 3 0 0 1 2 1 2 1 2 x 1 2x 1 1 Tính tích phân: dx dx 1 dx 2x 1 4 2x 1 4 2x 1 0 0 0 1 1 2 1 1 dx 2 4 2x 1 (2x 1) 0 1 1 1 1 1
x ln 2x 1 ln 3 4 2 2x 1 3 4 0 1 2 x 4 4 dx ln 3 2x 1 3 0 1 1 1 2 x x
f '(x)2dx 4
f ' x dx 4 dx 0 2x 1 2x 1 0 0 0 2 1 2x 2x 1 f '(x)
dx 0 f '(x) 1 2x 1 2x 1 2x 1 0 1
f (x) x ln 2x
1 C vì x 0 ;1 2 1 Vì f 1 0 C ln 3 1 2 1 f x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I dx x ln 2x 1 ln 3 1 dx x ln 3 1 dx ln 2x 1 dx 4 4 2 2 4 2 8 0 0 0 0 1 1 2 1 1 1 x x 1 1 A x ln 3 1 dx ln 3 x ln 3 4 2 4 2 2 8 8 0 0 1 u x 2 ln 2 1 du dx
B ln 2x 1 dx đặt 2x 1 dv dx 0 x x 1 1 1 2x 1 3
B x ln(2x 1)
dx ln 3 x ln(2 x1) ln 3 1 0 2x 1 2 2 0 0 1 1
I A B ln 3 8 16
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 87
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 u
f x
du f x dx Câu 217. Đặt .
dv 2x 2 1 dx
v x x 1 1 1 1 Suy ra 2x
1 f x dx 2
x x f x 2
x x f x dx 2
x x f x dx 0 0 0 0 1 1 2
x x f x dx 30 0 1 1 1 5 4 3 2 x x x 1 Ta có: 2
x x dx 4 3 2
x 2x x dx . 5 2 3 30 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2
Do đó, f x dx 2 2
x x f x dx 2
x x dx 0
f x 2
x x dx 0 0 0 0 0 3 2 x x 2 f
x x x f x C . 3 2 3 2 x x
Vì f 0 1 nên C 1 f x 1. 3 2 1 1 1 3 2 x x 4 3 x x 11 Vậy
f x dx 1 dx x . 3 2 12 6 12 0 0 0
Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán Câu 218. Chọn D 1
Đặt t 3x dt 3dx dx dt . 3 1 3 3 1
Suy ra 1 xf 3xdx tf tdt tf tdt 9 . 9 0 0 0
du f t dt
u f t Đặt 2 t . dv td t v 2 3 3 2 3 2 3 t t 9 1
tf t dt f t
f t dt f 3 2 '
t f tdt . 2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 9 1 2 9 t f t 2 dt t f
tdt 9 . 2 2 0 0 3 Vậy 2 d 9 x f x x . 0 Câu 219. Chọn D 1 Xét
xf 4x dx 1. Đặt: 0 4 4 4 1 1 t 4x
t. f t . dt 1
t. f t dt 16 .
x f x dx 16. 0 0 0 4 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 88
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 4 4 Xét 2 I x f x 2 dx x df x 0 0 4 4 Suy ra: 2
I x . f x 2 . x f x 2
dx 4 f 4 2.16 16. 0 0 Câu 220. Chọn D 1
Theo bài ra: xf 6x dx 1 . 0
Đặt t 6x dt 6dx . Đổi cận: 1 6 6 6 1 dt 1
Do đó: xf 6x dx 1
t. f t 1
t. f t dt 1 t. f t dt 36 . 6 6 36 0 0 0 0 6 Tính 2
I x f x dx . 0 2 u x
du 2x dx Đặt dv f xdx
v f x 6 6 6 2
I x f x 2xf x dx 36 f 6 2 xf x dx 36.1 2.36 36 . 0 0 0 Câu 221. Chọn D 5 5 5 5 +) 2 I x f x 2 dx x df x 2
x . f x f x 2 dx 0 0 0 0 5 25. f
5 0. f x
f x.2xdx 0 5
252 xf xdx 0 1 +) Ta có:
xf (5x)dx 1 0 5 5 t t
Đặt 5x t f (t)d 1 tf (t)dt 25 5 5 0 0
Vậy I 25 2 25 2 5 . Câu 222. Đặt 2
t 2 x dt 2xdx .
x 0 t 2 Đổi cận .
x 1 t 3 1 3 2 1
x ln(2 x )dx ln tdt. 2 0 2 t 3 3 u t 3 3 3 Đặt d ln du
ln tdt t ln t dt t ln t t 3ln 3 2 ln 2 1 d d t v t 2 2 2 v t 2 2 1 2 3 1 3 1
x ln(2 x ) ln 3 ln 2 a
, b 1, c
a b c 0 . 2 2 2 2 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 89
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x Câu 223. Đặt t
x 2t dx 2dt . 2
x 0 t 0 4 2 2 x Đổi cận: . Do đó xf dx 4tf
t dt 4xf x dx .
x 4 t 2 2 0 0 0 u 4x du 4dx Đặt . dv f x dx v f x 2 2 2 2
Suy ra 4xf x dx 4xf (x) 4 f x dx 8 f 2 4 f x dx 8.16 4.4 112. 0 0 0 0 Câu 224. Đặt t
x 2tdt dx . Đổi cận x 0 t 0 , 2
x t . 2
I 2t sin tdt 2 2 x sin d x x . 0 0 Đặt 2
u x du 2xdx , dv sin d
x x v cos x . 2 2 x sin d
x x x cos x 2x cos d x x 2
2 x sin x cos x 2 4 0 0 0 0 a 1 2
I 2 8 . Ta có a 2 , b 8 1 ; 0 .------- b 4
Câu 225. Đặt t 2x dt 2dx . Với x 0 t 0 ; Với x 1 t 2 . 2 2 t dt 1 2 1 Suy ra: I f t
tf t dt
xf x dx . 2 2 4 4 0 0 0 u x du dx Đặt . dv f xdx v f x 2 1 2 1 1 Ta có I
xf x f x dx 2 f 2 0 f 0 4 2.16 4 7 . 4 0 4 4 0 u
ln sin x cos x
cos x s in x du dx Câu 226. Ta có: 1 s in x cos x . dv dx 2 cos x v tan x 4
ln s in x cos x 4 cos x sin x Khi đó: I dx tan .
x ln sin x cos x 4 tan . x dx 2 . cos x 0 sin x cos x 0 0 4 4 2 cos x sin x tan x tan x Đặt J tan . x dx dx sin x cos x tan x 1 0 0 dt
Đặt tan x t dt 2
1 tan x dx dx
. Với x 0 t 0 và x t 1 2 1 t 4 2 t 1 2 1 1 1 t t t 1 1 dt dt Ta có : J dt= dt= ln 2 . t 1 . 2 t 1 1 t . 2 1 t 1 t t 1 4 0 0 2 0 0 3 bc 8 Vậy I ln 2 ln 2 ln 2 . 4 2 4 a 3
Câu 227. Đặt x t 2
x t dx 2tdt . x 0 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 90
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 t 0 Ta có: 2
I 2t sin tdt . 0 2 u 2t
du 4tdt Đặt .
dv sin tdt v cos t Suy ra 2
I 2t cos t 4t cos tdt . 0 0 u 4t du 4dt Đặt 1 1 .
dv cos tdt v sin t 1 1 Vậy 2
I 2t cos t 4t sin t 4 sin tdt 2 2 4 cos t 2 2 8 . 0 0 0 0 a
Do đó a 2; b 8 1 ; 0 . b
Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác
Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 228. Chọn A 0 a 2 2 1 a 1 a
Vì a 0 nên I x dx x dx 2 2 2 1 0 Câu 229. Chọn D 1 1 2 1 I f
2x 1dx f 1 2xdx f 2x
1 dx I I 1 2 . 1 1 1 2 1 1 2 2 1 3 3 1 1 Xét I
f 1 2x dx
f 1 2x d 1 2x f t dt f x dx 3 1 . 2 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Xét I
f 2x 1 dx
f 2x 1 d 2x 1 f t dt f x dx 1 2 2 2 2 1 1 0 0 2 2
Vậy I I I 4 . 1 2 1
Câu 230. Do m 1 2m 2
1. Do đó với m 1, x 1; m 2mx 1 0 . 2m m m m Vậy
2mx 1 dx 2mx 1 dx 2 mx x 3 3
m m m 1 m 2m 1 . 1 1 1 m 0
Từ đó theo bài ra ta có 3
m 2m 1 1
. Do m 1 vậy m 2 . m 2 Câu 231. Chọn B 2 1 1 3 1 3 Ta có: 4 2 4 2
x x 1 x 2.x . 2 x 0, x . 2 4 4 2 4 2018 2018 Do đó: 4 2
x x 1 dx 4 2 x x 1 dx . 1 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 91
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 232. Chọn A Ta có 5 2 5 x 2 x 2 x 2 dx dx dx x 1 x 1 x 1 1 1 2 2 5 3 3 1 dx 1 dx x 1 x 1 1 2
x 3ln x 1 2 x 3ln x 1 5 1 2
2 3ln 3 1 3ln 2 5 3ln 6 2 3ln 3 2 6 ln 2 3ln 3
Vậy a 2, b 6, c 3 P abc 36 . 2 2 Câu 233. 2 2
x 2m dx 2 2
x 2m dx * 0 0 x m 2 Ta có: 2 2
x 2m 0 . x m 2
TH1. Nếu m 0 thì * luôn đúng. 2 2
x 2m 0 1
TH2. Nếu m 0 thi * đúng
với mọi x 0;2 . 2 2
x 2m 0 2 ) m 0 .
m 2 m 2 0 1 đúng (vô nghiệm).
2 m 2 m 2 m 2 0 m 0 2 đúng m 2 . m 2 2 m 2 ) m 0 .
m 2 m 2 0 1 đúng (vô nghiệm).
2 m 2 m 2 m 2 0 m 0 2 đúng m 2 . m 2 2 m 2
Suy ra m ; 2 2 ; là giá trị cần tìm. 0 1 1 4 1 Câu 234. Ta có
f ( 4x 1)dx
f ( 4x 1)dx
f ( 4x 1)dx 1 1 1 4 1 4 1
f (1 4x)dx
f (4x 1)dx I J. 1 1 4 1 4 +) Xét I f (1 4x) . dx 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 92
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Đặt t 1 4x dt 4 d ; x 1
Với x 1 t 5; x t 0. 4 1 4 0 5 5 1 1 1 I
f (1 4x)dx
f (t)( dt)
f (t)dt f (x)dx 1 . 4 4 4 1 5 0 0 1 +) Xét J f (4x 1) . dx 1 4
Đặt t 4x 1 dt 4d ; x 1
Với x 1 t 3; x t 0. 4 1 3 3 3 1 1 1 J
f (4x 1)dx
f (t)( dt)
f (t)dt
f (x)dx 2. 4 4 4 1 0 0 0 4 1 Vậy
f ( 4x 1)dx 3. 1 1 Câu 235. 2x 2x I dx
ta có 2x 2x 0 x 0 . 1 1 0 1 0 1 2x 2x 2x 2x 2x 2x
2x 2x 2x 2x I dx dx dx dx dx 1 1 0 1 0 0 1
2x 2x
2x 2x 1 . ln 2 ln 2 ln 2 1 0 1 Câu 236. + Xét
f 2x dx 2 . 0
Đặt u 2x du 2dx ; x 0 u 0 ; x 1 u 2 . 1 2 1 2 Nên 2
f 2x dx
f u du
f u du 4 . 2 0 0 0 2 + Xét
f 6x dx 14 . 0
Đặt v 6x dv 6dx ; x 0 v 0 ; x 2 v 12 . 2 12 1 12 Nên 14
f 6x dx
f v dv
f v dv 84 . 6 0 0 0 2 0 2 + Xét f
5 x 2dx f
5 x 2dx f
5 x 2dx . 2 2 0 0 Tính I
f 5 x 2 dx . 1 2
Đặt t 5 x 2 . Khi 2
x 0 , t 5
x 2 dt 5 dx ; x 2
t 12 ; x 0 t 2 . 2 1 12 2 1 1 I f t dt f t dt f t dt 84 4 16 . 1 5 5 5 12 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 93
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 Tính I
f 5 x 2 dx . 1 0
Đặt t 5 x 2 .
Khi 0 x 2 , t 5x 2 dt 5dx ; x 2 t 12 ; x 0 t 2 . 12 1 12 2 1 1 I f t dt f t dt f t dt 84 4 16 . 2 5 5 5 2 0 0 2 Vậy f
5 x 2dx 32 . 2 1
Câu 237. Đặt u 2x 1 d x
d u . Khi x 1 thì u 1
. Khi x 1 thì u 3 . 2 3 1 0 3 1 Nên I f
u du f
u du f
u du 2 2 1 1 0 0 3 1 f u
d u f u d u . 2 1 0 1 Xét
f x d x 4 . Đặt x u
d x d u . 0
Khi x 0 thì u 0 . Khi x 1 thì u 1 . 1 1 0 Nên 4
f x d x
f u d u
f u d u . 0 0 1 3 3 Ta có
f x d x 6
f u d u 6 . 0 0 0 3 1 1 Nên I f u
d u f u d u 4 6 5 . 2 2 1 0 1 1 2 1 Câu 238. Ta có f
2x 1 dx f 1 2xdx f 2x
1 dx I J 1 1 1 2 1 2 Tính I
f 1 2x dx 1 1
Đặt t 1 2x dt 2 d .
x Đổi cận x 1 t 3; x t 0 2 0 3 3 1 1 1 1 I
f t dt
f t dt
f x dx .8 4 2 2 2 2 3 0 0 1 Tính J f 2x 1 dx 1 2 1
Đặt t 2x 1 dt 2d .
x Đổi cận x
t 0; x 1 t 1 2 1 1 1 1 J
f t dt f x dx .2 1 2 2 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 94
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 Vậy f
2x 1 dx I J 4 1 5 . 1
Dạng 7.2. Tích phân nhiều công thức Câu 239. Chọn A 1 0 1 0 1 Ta thấy,
f x dx
f x dx
f x dx 2xdx a 2
x x dx 1 1 0 1 0 1 2 3 x 0 x x 1 a 2 a 1 a 1 . 1 2 3 6 6 0
Câu 240. Ta có lim f x lim
, lim f x lim x x
và f 0 m 1. x 2 2 3 0 x 0 0 e x m m 1 x0 x0
Vì hàm số đã cho liên tục trên nên liên tục tại x 0 .
Suy ra lim f x lim f x f 0 hay m 1 0 m 1 . x 0 x 0 1 0 1 0 1 Khi đó 2 d = 2 3 d ex 2 1 d = 3 d 2 3 ex f x x x x x x x x 1 dx 1 1 0 1 0 0 2 = 3 3 ex x x x 1 22 2 2 e 2 3 . 0 3 3 1 22
Suy ra a 1, b 2 , c . 3
Vậy tổng a b 3c 1 9 . Câu 241. Chọn C
Do hàm số liên tục trên nên hàm số liên tục tại x 0
lim f x lim f x f 0 1 m 0 m 1 x 0 x 0 1 0 1 Ta có
f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx I I 1 2 1 1 0 1 0 0 2 0 16 2 I
2x 3 x dx 2 3 x d 2 3 x 2 3 x 2 2 3 x 2 3 1 1 1 3 1 3 1 1 x 1 d x I e
x e x e 2 2 0 0 1 22 22
f x dx I I e 2 3
a 1;b 2; c 1 2 1 3 3
Vậy T a b 3c 1 2 22 19 .
Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ Câu 242. Chọn D 3 0 0 0 2 Đặt x t
. Khi đó f x dx f t d t f t dt f x dx 3 3 3 0 2 2 2 3 3 3 3 2 0 2 2 2
Ta có: I f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x 3 3 0 0 0 2 2 3 3 3 2 2 2
Hay I f x f x d x 2 2cos 2xd x 2(1 cos 2x)d x 0 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 95
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 3 3 2 2 2 2 2
I 4 cos xd x 2 cos x d x 2 cos xd x 2 cos xd x 0 0 0 2 3 Vậy 2 2
I 2sin x | 2sin x | 6. 0 2 a f x 0 f x a f x Câu 243. Ta có dx dx dx . 1 ekx 1 ekx 1 ekx a a 0 0 f x Xét tích phân dx . 1 ekx a
Đặt t x x t dt d x d t dx Đổi cận:
x a t a
x 0 t 0 Khi đó, 0 f x 0 f t a f t dx t dt kx d k t 1 e 1 e 1 ekt a a 0
a ekt. f t
a ekx. f x dx dx 1 ekt 1 ekx 0 0 a kx f x
a ekx. f x a f x a e 1 f x a Do đó, dx dx dx dx
f x dx 1 ekx 1 ekx 1 ekx 1 ekx a 0 0 0 0 1
Câu 244. Hàm số f x, f x liên tục trên và thỏa mãn 2 f x 3 f x nên ta có: 2 x 4 2 2 dx
2 f x 3 f x dx 1 2 x 4 2 2 2 2 2
Đặt K 2 f x 3 f xdx 2 f xdx 3 f xdx 2 2 2
Đặt x t dx dt; f x f t , x 2
t 2; x 2 t 2 2 2 2 2 Do đó
f x dx
f t .dt
f t dt
f x dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 K 2
f x dx 3 f x dx 2 f x dx 3 f x dx 5 f x dx 2 2 2 2 2 2 2 dx Đặt J
; x 2 tan , ; , 2 x 4 2 2 2 2d
Ta có: dx d 2 tan 2 2 1 tan d . 2 cos x 2
; Với x 2 . Với 4 4 2 2 4 1 tan 4 4 d 1 Do đó J d 3 2 4 tan 4 2 2 4 4 4 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 96
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 2
Từ 1 , 2 và 3 , ta có K J 5 f x dx
f x dx 4 20 2 2 2
Mà theo giả thiết, I
f x dx nên m 20 . m m 20 2 2 dx dx 1 x
Chú ý: Có thể tính nhanh bằng công thức: arctan C 2 x 4 2 2 x a a a 2 dx 1 x Từ đó: arctan C 2 x 4 2 2 2 2 dx 1 x 1 1 arctan arctan1 arctan 1 2 x 4 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 Câu 245. Tính
f x dx 2
Đặt t x dt dx Đổi cận x 2 2 t 2 2 2 2 2 2
f x dx
f t dt
f t dt
f x dx 2 2 2 2 1 2 2 1
2 f x 3 f x
2 f x 3 f xdx dx 2 4 x 2 2 2 4 x 2 2 1
5 f x dx dx 2 2 2 4 x 2 2 1 1 1 1 x 2 1
f x dx dx . arctan . 2 2 2 5 4 x 5 2 2 2 10 4 4 20 4 sin x 4 4 Câu 246. I dx 2 1 x sin d x x x sin d x x 2 1 x x 4 4 4
1 I I2 Ta nhận thấy 2
1 x sin x là hàm lẻ nên I 0 1 u
x du dx dv sin d x .
x Choïn v cos x 4 2 2 2 4
I x cos x cos d x x sin x 2 2 4 8 8 4 4 4 4 2 2 1 Suy ra I 2 2 2 4 16 8
Vậy a b c 11 0 Câu 247. Xét tích phân
f x dx 2 . 2
Đặt x t dx dt .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 97
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 0 0 2
Đổi cận: khi x 2
thì t 2 ; khi x 0 thì t 0 do đó
f x dx f t dt f t dt 2 2 0 2 2
f t dt 2
f x dx 2 . 0 0
Do hàm số y f x là hàm số lẻ nên f 2
x f 2x . 2 2 2 Do đó
f 2x dx f 2x dx
f 2x dx 4 . 1 1 1 2 Xét
f 2x dx . 1 1
Đặt 2x t dx dt . 2 2 4 1
Đổi cận: khi x 1 thì t 2 ; khi x 2 thì t 4 do đó
f 2x dx
f t dt 4 2 1 2 4 4
f t dt 8
f x dx 8 . 2 2 4 2 4 Do I
f x dx
f x dx f x dx 2 8 6 . 0 0 2 ln 2 Câu 248. Gọi I
f x dx . ln 2
Đặt t x dt dx .
Đổi cận: Với x ln 2 t ln 2 ; Với x ln 2 t ln 2 . ln 2 ln 2 ln 2 Ta được I
f t dt
f t dt
f x dx . ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 Khi đó ta có: 2I
f x dx
f x dx
f x f x dx dx . ex 1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 Xét dx . Đặt ex u d ex u dx ex 1 ln 2 1
Đổi cận: Với x ln 2 u
; x ln 2 u 2 . 2 ln 2 1 ln 2 ex ln 2 1 Ta được dx dx du ex 1 ex ex 1 u u 1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 1 du
ln u ln u 1 2 ln 2 1 u u 1 ln 2 2 1 1 Vậy ta có a
, b 0 a b . 2 2 1 2 2 1 1 Câu 249. Do
f x dx
f x dx 1
f x dx 1 và
f xdx 2 2 0 1 0 1 1 2 2
f x dx f x dx f x dx 3 . 0 1 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 98
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 f x 0 f x 2 f x Mặt khác dx dx dx
và y f x là hàm số chẵn, liên tục trên 3x 1 3x 1 3x 1 2 2 0
f x f x x . 0 f x Xét I dx
. Đặt t x dx dt 3x 1 2 0 f x 0 f t 2 f t 2 3t f t 2 3x f x I dx dt = dt = dt = dx 3x 1 3t 1 1 3t 1 3x 1 2 2 0 1 0 0 3t 2 x f x 0 f x 2 f x 2 3x f x 2 f x 2 3 1 f x dx dx dx dx dx dx 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 2 2 0 0 0 0 2
f x dx 3 . 0
Câu 250. Đặt t x dt dx . Đổi cận: x 2
t 2 , x 2 t 2 . 2 f t 2 2t 2 2x I dt f t t f x x x d t d 2t 1 2 1 2 1 2 2 2 2 f x 2 2x 2 0 2 0 2I dx f x x
f x dx f x dx f x dx f x dx 10 x d 2x 1 2 1 2 2 2 2 0 2
Mặt khác do f x là hàm số chẵn nên f x f x . 0 Xét J
f xdx
, đặt t x dt dx 2 2 2 2 J
f t dt
f xdx
f x dx 10
2I 20 I 10 .--------------------------- 0 0 0 3 3 2 0 2 Câu 251. Ta có I
f x dx
f x dx
f x dx . 3 3 0 2 2 0 3 3 Xét
f x dx
Đặt t x dt dx ; Đổi cận: x t
; x 0 t 0 . 2 2 3 2 3 3 0 0 2 2 Suy ra
f x dx f t dt
f t dt
f x dx . 3 3 0 0 2 2 3 3 2 2
Theo giả thiết ta có: f x f x 2 2 cos 2x f x f xdx 2 2 cos xdx 0 0 3 3 3 2 2 2
f x dx
f x dx 2 sin x dx 0 0 0 3 3 3 2 0 2 2
f x dx
f x dx 2 sin x dx 2 sin x dx
f x dx 6 0 3 0 0 3 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 99
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 f x Câu 252. Xét tích phân dx . Đặt x t
; dx dt ; x 1
t 1 ; x 1 t 1 . 1 2018x 1 1 f x 1 f t 1 f t
1 2018t. f t
1 2018x f x dx = dt = dt dt = dx . 1 2018x 1 2018t 1 1 2018t 1 2018x 1 1 1 1 1 1 2018t 1 f x
1 2018x f x 1 Vậy dx + dx =
f x dx = 6 . 1 2018x 1 2018x 1 1 1 1 f x 1 Do đó dx = .6 3 . 1 2018x 2 1
Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác Câu 253. Chọn A
Từ hệ thức đề cho: f x x f x 2 ( ) ( ) (1), suy ra f (
x) 0 với mọi x [1; 2] . Do đó f (x) là hàm
không giảm trên đoạn [1; 2] , ta có f (x) f (2) 0 với mọi x [1; 2] . 2 f ( x)
Chia 2 vế hệ thức (1) cho f (x)
x, x 1; 2 . 2 f (x)
Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [1; 2] hệ thức vừa tìm được, ta được: 2 2 2 2 f ( x) 1 3 1 3 1 1 3 dx d x x df (x) f (x)2 f (x)2 2 f (x) 2 f (1) f (2) 2 1 1 1 1 1 2
Do f (2) nên suy ra f (1) . 3 3
Chú ý: có thể tự kiểm tra các phép biến đổi tích phân trên đây là có nghĩa. Câu 254. Chọn D f x f x 3 2 3 2 2
Ta có: f x x f x 3 x
dx x dx 2 f x 2 f x 1 1 2 1 15 1 1 15 4 f 1 . f x 4 f 2 f 1 4 5 1 2 2
f 1 x 2
x 3, f x 4
1 f 1 x 2 x 3 2 . f x 1 1 Câu 255. Ta có: 2
f 1 x 2
x 3. f 1 x 2 Từ
1 và 2 f x x x 2 2 1 3 1 1 3
f x x 2 1 3
f x 2 2 2
I 4x 2 dx 2
2x 2x 4 . 0 0 x 1 1 2 e khi 0 x x x 1 x x 3 Câu 256. Ta có: 1 2 e e
x 1 2x x . Suy ra: max 1 2 e , e 3 x 1 e khi x 1 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 100
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 3 1 1 1 x x x x 1 Do đó max 1 2 , 1 2 1 2 x 3 x I e e dx e dx e dx e e 1 2 0 0 0 1 3 3 1 1 1 1 3 3 3
e e e e 3 e e. 2 2 2 5 sin x os c x 4 4 1 12 6 dx dx 5 5 0 0 cot x tan x cos x si n x 12 6 12 6 Câu 257. 7 7 sin si n 2x 4 4 2 sin 12 4 12 dx 1 dx 7 7 0 0 sin si n 2x sin si n 2x 12 4 12 4 7 5 tan os c x x 4 4 12 12 6 7 5 1 dx 1 tan cot x tan x dx 5 12 6 12 0 0 cos x si n x 12 6 4 7 5 2 3 x tan ln sin x ln cos x ln 3 12 6 12 4 2 0
Do đó a 3;b 3;c 4 . Vậy 2 2 2
a b c 34 . Câu 258. Chọn C Ta có: 2 2 .
x f (x). f '(x) f (x) x 2 .
x f (x). f '(x) 2 f (x) 2x 2 2 2 2 2 2 .
x f (x). f '(x) f (x) 3 f (x) 2x 2 . x f (x) 2 ' x
d 3 f (x)dx 2xdx 0 0 0 2 2 .
x f (x) 3I 4 2 3I 4 I 2 0 2
f x
f x 2x
1 f x , x
2x 1 , x 2
f x Câu 259. 1
2x 1 , x
f x 1 1 Vậy 2x 2
1 dx x x C f x . f x 2
x x C 1 Do f 0 1 C 1
. Vậy f x . 2 x x 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 101
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 1 1 1 1 I
f xdx dx dx 2 . 2 x x 1 1 3 0 0 0 x 2 4 3 2 3 1 tan t 1 3 3 2 3 3 Đặt x tan t, t ; 2 . Suy ra I dt dt . 2 2 2 2 3 2 t 3 9 1 tan 6 6 4 Câu 260. lời giải Chọn A
Ta có f x f x 2 x 2 . ' 18
3x x f ' x 6x 1 f x 2 f x 3 x 2 6
3x x f x
lấy nguyên hàm 2 vế ta được: 2 f x 2 6x 2
f x 2 2
3x x f x 3 12x 0
f x 2 x 1 TH1: f x 2
6x không thoả mãn kết quả x f x 2 1 e dx ae ,
b a,b 0 1 1 f x x 3 1 3 1
TH2: f x 2x x 1 e
dx x 2 2 1 e dx e . Suy ra a ;b 4 4 4 4 0 0
Vậy a b 1
Câu 261. Vì f x 0 và x 0 ;1 ta có:
2 f x 2 x e f x x
e f ' x 2
f x f x x e . . x x x f x 2 2 2 x x x 1 1 x 2 ' x 2 5 5 e 2 2 e e e e x d 2 e f x 2 2 f x x x x x x x 1 1 1 1 1 f f f 5 5 2 5 5 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x d x= d d 4 1 4 2 x x x 1 1 x x 1 1 1 2 1 x . 1 1 5 5 5 5 x x 5 2 e e 2 1 2 e 4 f 5, 97 5 1 5 e f 5 Câu 262. Chọn A 1 Ta có 2 M
2 f x 3xf x 4 f x xf x x xf x d x 0 1 2 x
f x f x
f x x f x dx 0 Đặt a x
f x , b f x thì
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 102
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1
a b2 a b2 1 1 2 x 1 M ab 2 2 a b d x . d x dx . 4 2 8 24 0 0 0
Câu 263. Ta có f x f x 2 x 2 . 18
3x x f x 6x 1 f x
f x f x 2 x x 2 . 18 d
3x x f x 6x 1 f x d x 1 2 f x 3 6x dx 2
3x x f x dx 2 1 2 f x 3 6x 2
3x x f x C , với C là hằng số. 2
Mặt khác: theo giả thiết f 0 0 nên C 0 . 1 Khi đó 2 f x 3 6x 2
3x x f x 1 , x . 2
f x 2x 2 f x 3 x 2 1 12
6x 2x f x f x x f x 2 2 6x 0 . f x 2 6x
Trường hợp 1: Với f x 2 6x , x
, ta có f 0 0 (loại).
Trường hợp 2: Với f x 2x, x , ta có : 1 1 1 x 1 x x e f x e x 3 1 2 2 1 2 x 1 e
dx x 2 1 e dx dx e 2 2 4 4 0 0 0 0 3 a 4
a b 1. 1 b 4 1 1 2 109 2 2 2 109 Câu 264. 2
f x 2 f x.3 x dx
. f x 3 x 3 x dx 12 12 1 1 2 2 1 1 2 2 109
f x 3 x2dx 3 x2 dx . 12 1 1 2 2 1 1 1 2 2 3 2 x 2 109 Mà
3 x dx 2
9 6x x 2
dx 9x 3x 3 1 12 1 1 2 2 2 1 2 2
Suy ra f x 3 x dx 0 . 1 2 1 1
Vì f x x 2 1 1 3
0, x ;
nên f x 3 x , x ; . 2 2 2 2 1 1 1 1 2 f x 2 2 2 3 x 1 x 2 1 2 Vậy dx dx dx + dx 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 0 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 103
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 x 1 2
ln x 1 ln 2 ln . x 1 9 0 du dx 1 u x n n 1 Câu 265. Xét 2 I x x x . Đặt 2 1 x . n 2 1 d v x n 2 d 1 x dx 0 v 2n 1 1 x n 1 x 1 2 1 1 1 I x x x x n n 1 1 n 1 d 1 1 2 2 d n 1 2n 1 2 n 1 0 0 0 1 1 I x x x n n 1 1 1 2 2 d 1 2 n 2 0 1 1 1 I x x x x x n n n 1 1 d 1 1 2 2 2 d 1 2n 2 0 0 1 I 2n 1 I I
2 n 1 I I n 1 n 1 lim 1. n 1 2n 2 n n 1 I 2n 5 n I n n
Câu 266. Cách 1. Đặt t a x dt dx
Đổi cận x 0 t a; x a t 0. a 0 dx d a t d a x d a x
f x dx Lúc đó I 1 f x 1 f a t 1 f a x 1 1 f x 0 a 0 0 0 1 f x a d a x d a f x x
Suy ra 2I I I 1dx a 1 f x 1 f x 0 0 0 1 Do đó I
a b 1; c 2 b c 3. 2 Câu 267. Ta có: 2 2 2 2 2sin x d x 1 cos 2x d x
1 sin 2x d x 4 2 0 0 0 2 1 2 x cos 2x . 2 2 0 Do đó: 2 2 2 2 2
f x 2 2 f xsin x d x 2 2 sin x d x 0 4 4 2 2 0 0 2 2
f x 2 2 f x 2 sin x 2 sin x d x 0 4 4 0 2 2
f x 2 sin x d x 0 4 0
Suy ra f x 2 sin x 0
, hay f x 2 sin x . 4 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 104
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Bởi vậy: 2 2 2
f x d x 2 sin x d x 2 cos x 0 . 4 4 0 0 0
Câu 268. Đặt t a x dt dx . a 1 a 1 a 1
Thay vào ta được I dx dt dx . 1 f x 1 f a t 1 f a x 0 0 0 a
f a x f x Suy ra 0 d x
, do hàm số f (x) liên tục và luôn dương trên đoạn 1 f x 1 f a x 0
0;a . Suy ra f a x f x , trên đoạn 0;a . a 1 a
Mà f (x). f (a x) 1 f x 1. Vậy I dx . 2 2 0
Câu 269. Ta có: 2 f x 3 f 1 x 1 x 1
Đặt t 1 x x 1 t , phương trình
1 trở thành 2 f 1 t 3 f t t
Thay t bởi x ta được phương trình 3 f x 2 f 1 x x 2 2 f
x 3 f 1 x 1 x 1 Từ
1 và 2 ta có hệ phương trình
f x 3 x 2 1 x 3
f x 2 f 1 x x 5 1 1 1 1 3 1 2
f x dx
3 x 2 1 x dx xdx 1 xdx 5 5 5 0 0 0 0 1 *Xét I xdx 0 Đặt u x 2
u x dx 2udu
Đổi cận: x 0 u 0 ; x 1 u 1 1 1 3 2u 2 2
I 2 u du 3 3 0 0 1 *Xét J 1 xdx 0 Đặt 2
v 1 x v 1 x dx 2 d v v
Đổi cận: x 0 v 1 ; x 1 v 0 1 0 1 3 2v 2 2 2
J 2 v dv 2 v dv 3 3 1 0 0 1 3 2 2 2 2
f x dx . . . 5 3 5 3 15 0 2018 x sin x
Câu 270. Xét tích phân I d x . 2018 2018 sin x cos x 0
Đặt x t d x d t .
Khi x 0 thì t .
Khi x thì t 0 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 105
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 0 t 2018 sin t x 2018 sin x Ta có I d t d x 2018 sin t 2018 cos t 2018 2018 sin x cos x 0 2018 2018 sin x x sin x d x d x 2018 2018 2018 2018 sin x cos x sin x cos x 0 0 2018 sin x d x I . 2018 2018 sin x cos x 0 2018 sin x Suy ra I d x . 2018 2018 2 sin x cos x 0 2018 sin x Xét tích phân J d x . 2018 2018 sin x cos x 2 Đặt x
u d x d u . 2 Khi x thì u 0 . 2
Khi x thì t . 2 2018 sin u 2 0 2018 2 cos x Nên J d u d x . 2018 2018 2018 2018 sin x cos x 0 sin u cos u 2 2 2 2018 cos x
Vì hàm số f x là hàm số chẵn nên: 2018 2018 sin x cos x 0 2018 2 2018 cos x cos x dx d x 2018 2018 2018 2018 sin x cos x sin x cos x 0 2 Từ đó ta có: 2018 sin x 2 2018 2018 sin x sin x I d x d x d x 2018 2018 2 sin x cos x 2018 2018 2018 2018 2 sin x cos x sin x cos x 0 0 2 2 2018 2 2018 sin x cos x d x d x 2018 2018 2018 2018 2 sin x cos x sin x cos x 0 0 2 2018 2018 2 2 sin x cos x d x d x 2018 2018 . 2 sin x cos x 2 4 0 0
Như vậy a 2 , b 4 . Do đó P 2a b 2.2 4 8 .
Câu 271. Theo bài ra ta có hàm số f x đồng biến trên 0; 2 f x f 0 1 0 do đó f x 0 x 0; 2 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 106
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2
f x
f x. f x f x Ta có f x f x 2 2 2
Theo đề bài f x f x. f x f x 0
f x
f x f x f x 2
f x 2 . 1 f x f x 2 f x 2 2 2 2 1 x x C
dx x C dx d
f x Cx f x f x f x 2 0 0 0 0 2 f x
ln f x 2 2C 6
ln e ln 1 2 2C C 2 x 2 . f x 0 1 2 1 x 5 5
Do đó ln f x 2x ln f 1 f 2 1 e . 2 2 0 0 2
Câu 272. f x 2 1 3 . f x 2
f x f x 2 f x 2
f x 2 2. 3 . 3 . f x 2
f x 2. f x 1 f x 2 1 . 3 . x f x I dx
1 f x2 0 u x du dx Đặt f x 1 dv dx v
1 f x2 1 f x 3 3 x dx 3 I I 1 f x
1 f x 1 f 3 1 0 0 1 f 0 f 3 2 2
Đặt t 3 x dt dx
Đổi cận x 0 t 3
x 3 t 0 3 3 3 dt dx
f x.dx I 1 1 f 3 t 1 1 f x 0 0 0 1 f x
3 1 f x 3 2I
dx 3 I 1 1 f x 1 2 0 3 1 Vậy I 1 . 2 2
Câu 273. - Đặt t a x dx dt ; đổi cận: x 0 t a , x a t 0 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 107
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 a 1 a 1 a 1 a 1 a f x I dx dt dx dx dx 1 f (x) 1 f a t
1 f (a x) 1 1 f (x) 0 0 0 0 1 0 f x a 1 a f x
a 1 f x a a 2I dx dx dx dx x a 1 f (x) 1 f (x) 1 f (x) 0 0 0 0 0 a Vậy I . 2 4 4 4 Câu 274. Ta có
f xsin 2 d x x sin 2 d x f x
f x 4 sin 2x
f x d sin 2x 0 0 0 0 4 f sin 2. f
0sin 2.0 2 f xcos 2 d x x 4 4 0 4 4 f 2 f xcos 2 d x x
2 f x cos 2 d x x . 4 0 0 4
Do đó 2 f x cos 2 d x x . 4 0 4 4 1 4 1 1 Mặt khác: 2 cos 2 d x x
1 cos 4xdx x sin 4x . 2 2 8 8 0 0 0 Bởi vậy: 4 4 4 2
f x dx 2 f x 2 cos 2 d x x cos 2 d x x 8 4 8 0 0 0 4 2
f x 2 f x 2
cos 2x cos 2x dx 0 0 4
f x 2
cos 2x dx 0 f x cos 2x . 0 Nên: 8 8 8 1 1 I
f 2x dx cos 4 d x x sin 4x . 4 4 0 0 0
Câu 275. - Đặt y f x . Khi đó từ giả thiết ta có : 1 y 1 1 y 1 f x 1 y 1, f , f . x 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 1 y 1 2
x 2x y Suy ra f f 1 f 1 1 1 2 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 1 1 y 2 x y Và f f 1 1 f 1 , 2 2 x x x x x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 108
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 x 1 x y f x 1 2 2 x x y f f x 2 . 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 2 2
x 2x y x y - Từ 1 và 2 suy ra : 2 2
x 2x y x y y x hay f x x . x 2 1 x 2 1 1 2 f x 1 1 x 1 d x 1 1 1 1 Do đó: I .dx .dx 2 ln x 1 ln 2 0, 35 . 2 f x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 2 0 0 0 0 Vậy I 0 ;1 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 109