Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN – GTNN của hàm số Toán 12
Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN – GTNN của hàm số Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Chuyên đề:
CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN
LIÊN QUAN ĐẾN GTLN, GTNN NHÓ CỦA HÀM SỐ M TOÁN
CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ VD
PHẦN I: Xác định trực tiếp GTLN, NN hoặc thông qua phép biến đổi đồ thị – VD
1. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f (x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x), y = f (u(x)) trên C khoảng, đoạn.
2. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f (x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ), y = f ( u(x) ) trên khoảng, đoạn.
3. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f (x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) , y = f (u(x)) trên khoảng, đoạn.
4. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f (x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = f ( x + b), y = f ( u(x) +b), y = f ( x + a +b) , y = f ( u(x) + a +b)trên khoảng, đoạn.
5. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f (x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = f (x) + b , y = f (u(x)) + b , y = f (x + a) + b , y = f (u(x) + a) + b trên khoảng, đoạn. NHÓ
6. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f (x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = f ( x ) + b , y = f ( u(x) )+b , y = f ( x + a )+b , y = f ( u(x) + a )+b trên khoảng, đoạn. M T OÁN
PHẦN II: Xác định GTLN, NN hoặc so sánh các giá trị của hàm số thông qua tích phân hoặc so
sánh diện tích hình phẳng. VD
7. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên khoảng, – VD đoạn. C
8. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) trên khoảng, đoạn.
9. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên khoảng, đoạn.
10. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x + a + b)trên khoảng, đoạn.
11. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) + b trên khoảng, đoạn. 12. Các dạng khác.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
PHẦN I: Xác định trực tiếp GTLN, NN hoặc thông qua phép biến đổi đồ thị
Dạng 1: Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f (x) , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số y = f (x), y = f (u(x)) trên khoảng, đoạn. NHÓ = M
Câu 1. Biết hàm số y f (x) liên tục trên có M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất T 4x OÁN
của hàm số trên đoạn [0;2] . Hàm số y = f
có tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là 2 x 1 + V
A. M + m.
B. 2M + m .
C. M + 2m .
D. 2M + 2m . D – Lời giải VD Chọn A C 2 Đặt ( ) 4x − + g x 4x 4 =
, x∈[0;2]. Ta có: g′(x) = . 2 x +1 (x + )2 2 1
g′(x) = 0 ⇔ x =1 ∈[0;2]. Bảng biến thiên: NHÓ M T
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 0 ≤ g (x) ≤ 2 . OÁN
Do đó: Hàm số y = f (x) liên tục trên có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số VD
trên đoạn [0;2] khi và chỉ khi hàm số y = f g (x)
liên tục trên có M và m lần lượt là –
GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [0;2] . VD 4x C
Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f là M + m . 2 x +1
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Khi đó hàm số y = f ( 2
2 − x ) đạt GTLN trên 0; 2 bằng
A. f (0) . B. f ( ) 1 .
C. f ( 2) . D. f (2) . Lời giải Chọn A
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Đặt 2
t = 2 − x , từ x∈ 0; 2
, ta có t ∈[0;2] .
Trên [0;2] hàm số y = f (t) nghịch biến. Do đó max f (t) = f (0). [0;2] NHÓ
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng ( ) ax + b f x =
và g (x) = f ( f (x)). M cx + d T
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g (x) trên đoạn [ 3; − − ] 1 . OÁN V D – VD C A. 2 − . B. 2 . C. 1. D. 4 − . 3 Lời giải Chọn B
Từ hình vẽ ta có: TCN là a
y = = 0⇔ a = 0 . NHÓ c M T TCĐ là d
x = − =1⇔ c = −d . c OÁN b = ⇔ = ≠ VD
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên 1 b d (d 0). d – VD Khi đó f (x) d 1 − + = =
⇒ g (x) = f ( f (x)) 1 x 1 = = .
−dx + d −x +1 1 −x C − +1 −x +1
TXĐ hàm g (x) là D =
⇒ hàm số g (x) xác định trên [ 3; − − ] 1 . g \{ } 0 ′( ) 1 g x = , với x ∀ [ ∈ 3; − − ] 1 . 2 x g (− ) 4 3 = , g (− ) 1 = 2. 3
Vậy max g (x) = 2 . [ 3 − ;− ] 1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Câu 4. Cho x,y thoả mãn 2 2
5x + 6xy + 5y = 16 và hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi 2 2 + −
M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x y 2 P = f . Tính 2 2 M + m . 2 2
x − y − 2xy + 4 NHÓ y M T 2 OÁN 1 V −1 O x D – 2 − VD C A. 2 2 M + m = 4. B. 2 2 M + m = 1. C. 2 2 M + m = 25. D. 2 2 M + m = 2. Lời giải Chọn A 2 2 2 2 2 2 + − + − − + Ta có: x y 2 8x 8y 16 3x 6xy 3y t = = = . 2 2 2 2 2 2
x − y − 2xy + 4 8x − 8y − 16xy + 2.16 18x − 4xy + 2y TH1: Xét 1
y = 0 ⇒ t = ⇒ f (t) = m∈(0; 2 − ). 6 2 3 x − 6. x + 3 y y x 2 3u − 6u + 3 NHÓ
TH2: Xét y ≠ 0 ⇒ t =
. Đặt u = , ta có: t = . 2 y 2 18u − 4u + 2 18 x − 4. x + 2 M T y y OÁN 2 2 3u − 6u + 3 96u − 96u u = 0 Xét g(u) = ; g' u = ; g' u = 0 ⇔ . 2 ( ) 2 ( ) − + 2 18u 4u 2 − + u = 1 VD (18u 4u 2) – VD Ta lại có: g(u) = g(u) 1 lim lim
= . Từ đó lập bảng biến thiên ta có u→+∞ u→−∞ 6 C
Từ bảng biến ta có ≤ g(u) 3 3 0 ≤ ⇒ 0 ≤ t ≤ . 2 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Quan sát đồ thị ta ta thấy rằng: max P = 0; minP = −2. 3 0; 3 0; 2 2 Vậy 2 2 M + m = 4. NHÓ
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là M 4 4 = + T
GTLN – GTNN của hàm số g (x) f 2
(sin x cos x) . OÁN V D – VD C
Tổng M + m bằng A. 3 . B. 5. C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn C Ta có 4 4 1 2
sin x + cos x =1− sin 2x, x ∀ ∈ . 2 1 1 4 4 NHÓ Vì 2 2
0 ≤ sin 2x ≤1, x
∀ ∈ ⇔ ≤1− sin 2x ≤1, x
∀ ∈ ⇒1≤ 2(sin x + cos x) ≤ 2. 2 2 M T
M = max g (x) = f ( ) 1 = 3 ⇒ + = OÁN Dựa vào đồ thị suy ra m =
g (x) = f ( ) M m 4. min 2 = 1 VD
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ . – VD C
Xét hàm số g (x) = f ( 3 2x + x − ) 1 + .
m Tìm m để max g (x) = 10. − [0 ] ;1 A. m = 3 . B. m = 12 − . C. m = 13 − . D. m = 6. Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Chọn C Đặt t (x) 3
= 2x + x −1 với x ∈[0; ]
1 . Ta có t′(x) 2
= 6x +1 > 0, x ∀ ∈[ 0; ] 1 . NHÓ
Suy ra hàm số t (x) đồng biến nên x∈[0; ] 1 ⇒ t ∈[ 1; − 2]. M
Từ đồ thị hàm số ta có max f (t) = 3 ⇒ max f
(t) + m = 3 + . m [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] TOÁN
Theo yêu cầu bài toán ta cần có: 3+ m = 10 − ⇔ m = 13. − V D
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. – VD C
Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (2sin x) trên (0;π ) là A. 5. B. 4 . C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn C NHÓ
Đặt t = 2sin x . Với x∈(0;π ) thì t ∈(0;2]. M T
Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) ta có max f (2sin x) = max f (t) = f (2) = 3 . (0;π ) (0;2] OÁN
y = f x liên tục trên VD Câu 8. Cho hàm số ( )
và có bảng biến thiên dạng – VD C
Hàm số y = f (2sin x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là M và m . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m = 2 − M .
B. M = 2m .
C. M + m = 0 .
D. M + m = 2. Lời giải Chọn A Ta có: 1
− ≤ sin x ≤1 ⇔ 2 − ≤ 2sin x ≤ 2.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Với t = 2sin x ⇒ t ∈[ 2; − 2]. Khi đó: NHÓ
M = max f (2sin x) = max f (t) = 2. [ 2; − 2] M
m = min f (2sin x) = min f (t) = 4 − . [ 2; − 2] TOÁN
Câu 9. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên tập và có bảng biến thiên như sau V D – VD C
Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( 2x − 2x) trên đoạn 3 7 ; −
. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau. 2 2
A. M.m >10. B. M > 2 .
C. M − m > 3.
D. M + m > 7 . m Lời giải NHÓ Chọn B 3 7 5 5 25 M T Đặt 2
t = x − 2x . Ta có x∈ − ;
⇔ − ≤ x −1≤ ⇔ 0 ≤ (x − )2 1 ≤ 2 2 2 2 4 OÁN ⇔ − ≤ (x − )2 21 1 1 −1≤ nên 21 t 1; ∈ − . 4 4 VD
Xét hàm số y = f (t) 21 ,t ∈ 1; − – 4 VD 21 M C
Từ bảng biến thiên suy ra: m = min f (t) = f ( )
1 = 2, M = max f (t) = f = 5 ⇒ > 2. 21 21 t 1; t 1; ∈ − ∈ − 4 m 4 4
Câu 10. Cho hàm số f x 4 2 y ax x
b c xác định và liên tục trên và có bảng biến thiên sau:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x 3 trên đoạn 0; 2 là A. 64 . B. 65. C. 66. D. 67 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Lời giải Chọn C Hàm số có dạng 4 2
f x ax bx c . Từ bảng biến thiên ta có: NHÓ M f 0 3 c 3 c 3 T f 1 2 a
bc 2 b
2 f x 4 2
x 2x 3. OÁN f 1 0 4
a 2b 0 a 1 V D x 0;
2 x 33;5. – VD Trên đoạn 3; 5 hàm số tăng, do đó in m f x 3 f 3 66. C 0; 2
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [ 2;
− 4] và có bảng biến thiên như sau
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g (x) = f ( 2
cos 2x − 4sin x + 3).
Giá trị của M − m bằng A. 4 . B. 4 − . C. 2 . D. 1. NHÓ Lời giải M T Chọn A OÁN Ta có: 2
cos 2x − 4sin x + 3 = 3cos 2x +1. VD
⇒ g (x) = f (3cos 2x + )
1 , đặt t = 3cos 2x +1, khi đó với mọi x∈ ⇒ t ∈[ 2; − 4]. – = = −
Từ bảng biến thiên suy ra max f (t) 3;min f (t) 1. VD [ 2; − 4] [ 2; − 4] C
Suy ra M = max g (x) = max f (t) = 3;m = min g (x) = min f (t) = 1 − . [ 2; − 4] [ 2; − 4]
Vậy M − m = 4.
Câu 12. Cho hàm số ( ) 5 4 3 2
f x = ax + bx + cx + dx + ex + n (a,b,c,d, ,en∈).
Hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ bên (đồ thị cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ 1 3 − ; 1; −
và 2). Đặt M = max f ( x );m = min f ( x ) và 2 [ 3 − ;2] [ 3 − ;2] T = M + .
m Khẳng định nào sau đây đúng?
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
A. T = f ( 3 − ) + f (2).
B. T = f ( 3 − ) + f (0) . C. 1 T f = + 1 f (2) . D. T = f + f (0) . 2 2 NHÓ Lời giải M T Chọn A OÁN Ta có f (x) 4 3 2 ax bx cx dx e a(x )(x ) 1 ' 5 4 3 2 5 3 1 x = + + + + = + + − (x − 2) (Vì phương trình V 2 D –
f '(x) = 0 có 4 nghiệm 1 3 − ; 1; − và 2). VD 2 C
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của f (x)
Từ bảng biến thiên ⇒ a < 0 . NHÓ
Suy ra bảng biến thiên của f ( x ) : M T OÁN VD – VD C f ( 2
− ) = f (2); f ( 3 − ) = f (3)
Vì hàm số f ( x ) là hàm số chẵn ⇒ 1 1 f f − = 2 2 3 3 +) ( ) 1 ∫ ( ) ∫( )( ) 1 − = = + + − ( − ) 11125 3 ' 5 3 1 2 a f f f x dx a x x x x dx = < 0 2 1 1 2 128 2 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số f ( ) f ( ) 1 1 3 3 f f ⇒ − = < = − (1) 2 2 2 2 1 NHÓ
+) f (2) − f (0) = f '
∫ (x)dx = 5a∫(x+3)(x+ )1 x− (x−2)dx = 23 − a > 0 2 0 0 M ⇒ f ( 2
− ) = f (2) > f (0) (2) TOÁN
Từ (1) và (2) ⇒ M = max f ( x ) = f ( 2
− ) = f (2);m = min f ( x ) = f ( 3 − ). [ 3 − ;2] [ 3 − ;2] V D = + = − + –
Vậy T M m f ( 3) f (2). VD C
Câu 13. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có bảng biến thiên như sau
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = g (x) = f (3− x) trên [0; ]
3 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M = f (0) .
B. M = f (3).
C. M = f ( ) 1 .
D. M = f (2) . NHÓ Lời giải M T Chọn C OÁN
Ta có g′(x) = − f ′(3− x). VD − = − =
g′(x) = ⇔ − f ′( − x) 3 x 1 x 4 0 3 = 0 ⇔ ⇔ . 3 − x = 2 x = 1 – VD − x < − x > C
g′(x) > ⇔ f ′( − x) 3 1 4 0 3 < 0 ⇔ ⇔ . 3 − x > 2 x < 1
g′( x) < 0 ⇔ f ′(3− x) > 0 ⇔ 1
− < 3− x < 2 ⇔ 1< x < 4 .
Từ đó ta có bảng biến thiên
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Vậy M = f ( ) 1 .
Câu 14. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. NHÓ M TOÁN V D – VD C
Gọi GTLN, GTNN tương ứng là M và m của hàm số 2
y = f (3− 4 6x − 9x ) . Khi đó
T M m bằng A. 4 − . B. 2 . C. 6 − . D. 2 − . Lời giải Chọn A Điều kiện: 2 2
6x − 9x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ . 3 Với 2 x 0; ∈ 2 , ta có 2 2
0 6x9x 1(13x) 1 0 4 6x9x 4. 3 NHÓ 2
⇔ 3 ≥ 3− 4 6x − 9x ≥ 1 − . M T 2 OÁN
Dựa vào đồ thị ta có: 5
− ≤ f (3−4 6x −9x ) ≤1. VD
Do đó T M m 4 . –
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây VD C
Khi đó GTLN của hàm số y = f ( 2
4 − x ) trên nửa khoảng − 2; 3 ) là A. 3. B. 1 − . C. 0 . D. Không tồn tại Lời giải Chọn A
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Đặt 2 = 4 − ⇒ ' x t x t = − . 2 4 − x
Ta có: t ' = 0 ⇔ x = 0∈ − 2; 3 ) do x∈− 2; 3 ) nên t∈(1;2]. NHÓ
Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) , x∈(1;2] ta suy ra GTLN bằng 3. M
Câu 16. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. TOÁN V D – VD C Gọi M , 2x
m lần lượt là giá truh lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x) = f 2 x 1 + Trên ( ;
−∞ +∞) . Tổng của M + m bằng A. 4. B. 6. C. 8 . D. 12. Lời giải Chọn C NHÓ 2 1− x x =1 Đặt 2 = x t
. Ta có: t '(x) = = 0 ⇔ . M T 2 x +1 ( x + )2 2 x = 1 1 − OÁN Bảng biến thiên: VD – VD C
Từ bảng biến thiên ta có t ∈[ 1; − ]
1 . Quan sát đồ thị hàm số trên [ 1; − ] 1 , ta có
M = max g (x) = max f (t) = 6 ∈ x R [ 1 − ] ;1 M m . m = g (x) = f (t) ⇒ + = 8 min min = 2 ∈ x R [ 1 − ] ;1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Dạng 2: Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f (x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = f ( x ), y = f ( u(x) ) trên khoảng, đoạn. NHÓ
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục, có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ như sau: M TOÁN V D – VD C
Hàm số y = f ( x ) có giá trị nhỏ nhất trên bằng A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. Lời giải Chọn C
Do đồ thị hàm số y = f ( x ) được suy ra từ đồ thị hàm số y = f (x) bằng cách giữ nguyên phần
bên phải trục Oy , bỏ phần bên trái Oy rồi lấy đối xứng phần bên phải qua trục Oy nên giá trị nhỏ nhất bằng 1.
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có bảng biến thiên như sau NHÓ x −∞ 2 − 0 4 +∞ M T y′ − 0 + 0 − 0 + +∞ f 0 +∞ OÁN ( ) y VD f ( 2 − ) f (4) – Giá trị nhỏ nh
ất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ 2; − 4] bằng VD A. f (2) . B. f (0) . C C. f (4) .
D. Không xác định được. Lời giải Chọn C
Từ yêu cầu bài toán ta có bảng biến thiên cho hàm số y = f ( x ) như sau x −∞ 4 − 0 4 +∞ y′ − 0 + − 0 + +∞ f (0) +∞ y f (4) f (4)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy min f ( x ) = f (4) . [ 2; − 4] NHÓ
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau. M x – ∞ -2 1 + T y' – 0 + 0 – OÁN + 4 V y D -3 – ∞ – VD
Hàm số y = f ( x −1) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2] bằng C A. f ( 2 − ). B. f (2) . C. f ( ) 1 . D. f (0) . Lời giải Chọn C
y = f ( x −1)( )
1 . Đặt t = x −1 , t ≥ 0 thì ( )
1 trở thành: y = f (t) (t ≥ 0). Có − t x 1 = (x − )2 1 ⇒ t′ = . x (x − )2 1
Có y′ = t′ f ′ t . x x ( ) x = 1 x = 1 x = 1 t′ = x 0 NHÓ
y′ = ⇔ t′ f ′ t = ⇔ ⇔ t = 2
− (L) ⇔ x −1 = 1 ⇔ x = 2 . x ( ) 0 x 0 f ′ (t) = 0 t =1 x −1 = 1 − x = 0 M T
Lấy x = 3 có t′(3) f ′(2) < 0 , đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm đơn nên ta có bảng biến thiên: OÁN x 0 1 2 VD y' – + – VD C y CT
Hàm số y = f ( x −1) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2] bằng f ( ) 1 .
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN
Gọi M , m theo thứ tự làGTLN, GTNN của hàm số y = f ( x − 2 ) trên đoạn [ 1, − 5] . Tổng VD M + m bằng – A. 9. B. 8. C. 7 . D. 1. VD C Lời giải Chọn C Ta có 1 − ≤ x ≤ 5 ⇒ 3
− ≤ x − 2 ≤ 3 ⇒ 0 ≤ x − 2 ≤ 3 Do đó x ∀ ∈[ 1;
− 5] , 0 ≤ x − 2 ≤ 3.
Đặt t = x − 2 với t ∈[0; ] 3 .
Xét hàm số y = f (t) liên tục t ∀ ∈[0; ] 3 .
Dựa vào đồ thị ta thấy max f (t) = 5 , min f (t) = 2 . [0 ] ;3 [0 ] ;3 NHÓ
Suy ra m = 2, M = 5 nên M + m = 7 . M T
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ. OÁN VD – VD C
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( 2
−x + 2x + 5 ) trên[ 1; −
]3 lần lượt là M ,
m . Tính M + m .
A. 13. B. 7 . C. f (2) − 2. D. 2 . Lời giải Chọn B
Xét hàm số g (x) 2
= −x + 2x + 5 trên [ 1; − ]3.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Hàm số g (x) 2
= −x + 2x + 5 xác định và liên tục trên [ 1; − ]3có g′(x) = 2
− x + 2, g′(x) = 0 ⇔ 2
− x + 2 = 0 ⇔ x =1∈[ 1 − ; ] 3 . g ( ) 1 = 6, g (− ) 1 = 2, g (3) = 2 . NHÓ x ∀ ∈[ 1 − ; ]
3 ⇒ g (x)∈[2;6] ⇒ g (x) ∈[2;6]. M
Đặt t = g (x) 2
= −x + 2x + 5 . Ta có: y = f ( 2
−x + 2x + 5 ) = f (t) . TOÁN x ∀ ∈[ 1; − ]3⇒ t ∈[2;6]. V
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = f (t) trên [2;6] D Ta có: 2
− = f (4) < f (2) < f ( ) 1 = 4 nên – VD
M = max f (t) = max{ f (2); f (4); f (6)} = f (6) = 9, [2;6] C
m = min f (t) = min{ f (2); f (4); f (6)} = f (4) = 2 − . [2;6]
Vậy M + m = 7 .
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (−∞;+ ∞) và có đồ thị như hình vẽ NHÓ M T OÁN
Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( 3x −3x +1) trên đoạ VDn [ 2;
− 0]. Tính M + m. – VD
A. M + m = 2 − . B. 7 M + m = − . C. 11
M + m = − .
D. M + m = 0 . 2 2 C Lời giải Chọn B
Xét hàm số g (x) 3
= x − 3x +1 trên [ 2; − 0].
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [ 2; − 0]. x = − ∈ − g′(x) 2
= 3x − 3; g′(x) 1 ( 2;0) = 0 ⇔ x = 1∉( 2 − ;0) g ( 2 − ) = 1 − ; g (− ) 1 = 3 ; g (0) =1.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Vậy min g (x) = 1
− và max g (x) = 3 ⇒ 1
− ≤ g (x) ≤ 3 , x ∀ ∈[ 2;
− 0] ⇒ 0 ≤ g (x) ≤ 3, x [ ∈ 2 − ;0] x [ ∈ 2 − ;0] x ∀ ∈[ 2; − 0] . NHÓ
Xét hàm số y = f (u) với u = g (x) 3
= x − 3x +1 trên [0; ] 3 . M T
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: 1
M = − và m = 3 − . OÁN 2 V Vậy 7 M + m = − . D 2 – VD
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị (C) như hình vẽ. C NHÓ
Gọi M , m theo thứ tự là GTLN-GTNN của hàm số y = f ( 3 2
−x + 3x −1 ) trên đoạn [ 1 − ; ] 3 M T. Tích M .m bằng OÁN A. 0 . B. 111 − . C. 45 − . D.185 . 16 48 144 VD – Lời giải VD Chọn C C
• Hàm số y = g (x) 3 2
= −x + 3x −1 liên tục trên đoạn [ 1 − ; ] 3 ; x = + g' (x) 2 = 3 − x + 6x = 3
− x(x − 2); g' (x) 0 = 0 ⇔ . x = 2 g (− ) 1 = 3 min g (x) = 1 − g (0) = − + Vì 1 1 − 3 ; nên [ ] ⇒ 1
− ≤ g (x) ≤ 3, x ∀ ∈[ 1 − ; ] 3 . g (2) = 3 max g (x) = 3 [ 1 − ; ] 3 g (3) = 1 −
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
⇒ 0 ≤ g ( x) ≤ 3,∀∈[ 1 − ; ] 3 .
• Từ đồ thị (C) : y = f (x) ; NHÓ + m
f ( g (x) ) 5 min − = =
khi g (x) =1 tại x = 0∨ x =1∨ x = 3.... [ 1 − ; ] 3 12 M T 9 OÁN
+ M = max f ( g (x) ) = khi g (x) = 3 tại x = 1 − ∨ x = 2 . [ 1 − ; ] 3 4 V D • Vậy 45 m.M − = . 48 – VD
Câu 8. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. C NHÓ Gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( 3 2
x − 3x +1 ) trên [ 1; − ] 3 M T
. Tính 3m + M . OÁN A. 7 3m + M = . B. 19 3m M − + = . VD 2 3 – VD
C. 3m + M = 1 − . D. 11 3m M − + = . 3 C Lời giải Chọn B
Xét hàm số g (x) 3 2
= x − 3x +1 trên [ 1; − ] 3 . g′(x) 2 = 3x − 6x . x = 0∈( 1; − 3)
g′(x) = 0 ⇔ . x = 2∈ ( 1; − 3)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số g (− ) 1 = 3
− ; g (0) =1; g (2) = 3 − ; g (3) =1.
Suy ra max g (x) =1; min g (x) = 3 − ⇒ 3
− ≤ g (x) ≤1, x ∀ ∈[ 1; − ]
3 ⇒ 0 ≤ g (x) ≤ 3, x ∀ ∈[ 1; − ]3. [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3 NHÓ
Dựa vào đồ thị ta thấy : M 3 2 T
Hàm số y = f ( x −3x +1) = f ( g (x) ) đạt giá trị nhỏ nhất là 9 m − =
khi g (x) = 3 ⇔ x = 2. OÁN 4 V
Hàm số y = f ( 3 2
x − 3x +1 ) = f ( g (x) ) đạt giá trị lớn nhất là 5 M = khi g (x) =1 D 12 – VD x = 0 ⇔ . C x = 3 Vậy 19 3m M − + = . 3
Câu 9. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. NHÓ M T
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( 2
3− 2 6x − 9x ). OÁN
Giá trị biểu thức T = 3M − m bằng VD A. T = 2 . B. T = 0 . C. T = 8 − . D. T =14 . Lời giải – VD Chọn A C Điều kiện: 2 2
6x − 9x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ . 3 2 Với 2 x 0; ∈ 2 1
ta có: 0 ≤ 6x − 9x = 9 − x − +1 ≤ 1. 3 3 2 2 ⇒ 0 ≥ 2
− 6x − 9x ≥ 2
− ⇔ 3 ≥ 3− 2 6x − 9x ≥1. Đặt 2
u = 3− 2 6x − 9x ⇒1≤ u ≤ 3.
Xét hàm số y = f (u) với 2
u = 3− 2 6x − 9x trên đoạn [1; ] 3 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Dựa vào dồ thị hàm số ta có M = 1; − m = 5
− ⇒ T = 3M − m = 3 − + 5 = 2 .
Câu 10. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có bảng biến thiên như sau: NHÓ M TOÁN V D – VD C
Xét hàm số g (x) 2
= x + 1− x . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số y = f g (x)
. Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn [ ; m M ] ? A. 3. B. 5. C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn A
Hàm số y = g (x) 2
= x + 1− x xác định và liên tục trên đoạn [ 1; − ]1. 2 − − '( ) 1 x x = 1 x g x − = ; 2 1− x 2 1− x NHÓ x ≥ 0 1 g '(x) = 0 2
⇔ 1− x − x = 0 ⇔ ⇔ x = . 2 2 1 − x = x 2 M T OÁN 1 Ta có g = 2 ; g( 1) − = 1 − và g ( ) 1 =1. 2 VD – Suy ra 1
− ≤ g (x) ≤ 2 ⇔ 0 ≤ g (x) ≤ 2 . VD C
Từ bảng biến thiên của y = f (x) ta được M = 1 − và m = 3 −
Nên có 3 số nguyên thuộc khoảng [ ; m M ] .
Câu 11. Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị là hình bên và hàm số y gt 3 2
t 3t 5 .
Gọi M , m theo thứ tự là GTLN – GTNN của y g f x2 trên đoạn 1;
3 . Tích M.m bằng
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN V D A. 2 . B. 3. C. 54. D. 12. – Lời giải VD C Chọn A
y g f x 2 3 2
f x2
3 f x2 5 . Trên 1;
3, ta có 1 f x 7 1
f x2 5
0 f x2 5. t 0
Đặt t f x2 với t 0;5. Khi đó 3 2 2
y t 3t 5 y 3t 6t 0 . t 2 M 55 Ta có y 0
5; y2 1; y 5 55. Suy ra M.m 55. m 1 2
cos x+ | cos x | 1 + NHÓ
Câu 12. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = là? | cos x | 1 + M T A. 3 . B. 5 . C. 7 . D. 3. 2 2 2 OÁN Lời giải VD Chọn B – VD 2 t + t +1
Đặt cos x = t , hàm số đã cho trở thành y = f (t) = , với t ≤1. C t +1 2 Nếu t ∈[0; ] 1 thì ( ) t + 2 ' t f t =
> 0 với mọi t ∈[0; ] 1 . (t + )2 1 Ta có: 3
Min f (t) = f (0) =1; Max f (t) = f ( ) 1 = t [ ∈ 0 ] ;1 t [ ∈ 0 ] ;1 2 2 Nếu t ∈[ 1; − 0] thì ( ) t − + 2 ' t f t =
< 0 với mọi t ∈[ 1; − 0]. ( t − + )2 1 Ta có: 3
Min f (t) = f (0) =1; Max f (t) = f (− ) 1 = . t [ ∈ 1 − ;0] t [ ∈ 1 − ;0] 2
Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số 3 5
Min f (t) + Max f (t) =1+ = t [ ∈ 1 − ] ;1 t [ ∈ 1 − ] ;1 2 2
Câu 13. Cho hàm số f (x) 3
= x − 3x + a . Gọi M = max f ( x ) , m = min f ( x ) Có bao nhiêu giá trị x [ ∈ 3 − ;2] x [ ∈ 3 − ;2] NHÓ nguyên của a ∈[ 35
− ;35] sao cho M ≤ 3 . m M A. 23. B. 24 . C. 25 . D. 26 . TOÁN Lời giải V Chọn B D – = = =
Dễ thấy rằng M max f ( x ) max f ( x ) max f (x), VD x [ ∈ 3 − ;2] x [ ∈ 0; ] 3 x [ ∈ 0; ] 3 C
m = min f ( x ) = min f ( x ) = min f (x). x [ ∈ 3 − ;2] x [ ∈ 0; ] 3 x [ ∈ 0; ] 3 x = 1 − ∉[0; ] 3 Ta có f '(x) 2
= 3x − 3 ⇒ f '(x) = 0 ⇔ x = 1∈ [0; ]3.
Mà f (0) = a , f ( )
1 = a − 2, f (3) = a +18 .
Vậy M = a +18, m = a − 2.
Yêu cầu bài toán tương đương với a +18 ≤ 3(a − 2) ⇔ a ≥12 . Kết hợp với điều kiện a ∈[ 35
− ;35] suy ra a∈{12;13;14;...; }
35 , do đó có 24 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. NHÓ
Dạng 3: Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f (x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = f ( x ), y = f ( u(x) ) trên khoảng, đoạn. M T OÁN
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. VD – VD C 2 + + Gọi 3x 2x 3
M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f trên . Tính 2 2x 2 + M + m .
A. M + m = 4.
B. M + m = 7.
C. M + m = 5.
D. M + m = 6. Lời giải Chọn D
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thi của hàm y = f (x) là NHÓ M TOÁN 2 2 3x + 2x + 3 4 − x + 4 x = 1 − V Đặt t = ⇒ t′ = ; t′ = 0 ⇔ . 2 2 + 2 D 2x 2 (2x +2) x = 1 – VD C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x∈ ⇒ t ∈[1;2]. 2
3x + 2x + 3 2 + + M = max f 3x 2x 3
= max f t = 4; m = min f = min f t = 2. 2 ( ) 2 ( ) + [1;2] 2x 2 + [1;2] 2x 2 ⇒ M + m = 6.
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. NHÓ M T OÁN VD – VD C
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x −1) trên đoạn [ 3; − ]3. Tìm M . A. M = 0 . B. M = 6 . C. M = 5. D. M = 2 . Lời giải Chọn B
Đặt t = x −1 Do x∈[ 3 − ; ] 3 ⇒ t ∈[ 4; − 2] .
Xét hàm y = f (t) trên [ 4; − 2].
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Cách vẽ đồ thị hàm y = f (t) trên[ 4; − 2]
- Giữ nguyên đồ thị hàm số y = f (x) ứng với phần phía trên trục hoành ta được nhánh (I). NHÓ
- Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành ta được nhánh (II). M
Hợp của hai nhánh (I) và (II) ta được đồ thị hàm số y = f (t) trên [ 4; − 2] như hình vẽ. TOÁN V D – VD C
Dựa vào đồ thị suy ra M = 6 .
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [ −1;3] đồng thời có đồ thị như hình vẽ . NHÓ M T OÁN VD – VD C
Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để giá trị lớn nhất của hàm số y |
= f (x) + m | trên đoạ n [ −1;3] bằng 2018 ? A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn B
Đặt g(x) = f (x) + m ⇒ g '(x) = f ' x) . x = 0
g '(x) = 0 ⇔ . x = 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Bảng biến thiên : NHÓ M TOÁN V
max g(x) = m +16 ; min = m − 9 ⇒ max y = max{| m +16 |;| m −9 }| . D [ 1 − ;3] [ 1 − ;3] [ 1 − ;3] – VD + Nếu 7
| m +16 |≥| m − 9 |⇔ m ≥ − ⇒ max y |
= m +16 |= m +16 = 2018 . Suy ra m = 2002 . C [ 1 − ;3] 2 + Nếu 7
| m +16 |≤| m − 9 |⇔ m ≤ − ⇒ max y |
= m − 9 |= m − 9 = 2018 . Suy ra m = 2025 . [ 1 − ;3] 2
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây NHÓ M T OÁN VD – 2 2 = = +
Đặt M max f (sin 2x) ,m min f (sin 2x) . Tổng M m bằng VD R R C A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn B 2 x
∀ ∈ R, 0 ≤ X = sin 2x ≤ 1
Từ đồ thị hàm số y = f (x) trên R ta có max f ( X ) = 1 = f (0),min f ( X ) = 1 − = f ( ) 1 . [0 ] ;1 [0 ] ;1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Vì min f ( X ) = 1
− < 0 < max f ( X ) = 1 nên [0 ] ;1 [0 ] ;1 M = max f ( 2
sin 2x) = min f ( X ) = max f ( X ) = 1,m = min f ( 2 sin 2x) = 0 R [0 ] ;1 [0 ] ;1 R NHÓ
Vậy M + m = 1. M
Câu 5. Cho hàm số bậc ba y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. TOÁN V D – VD C
Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số π
y = f ( 2 f (cos x)) trên đoạn ;π . 2 A. 5. B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C NHÓ Đặt f (x) 3 2
= ax + bx + cx + d (a ≠ 0) .
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O nên d = 0 . M T
Mặt khác đồ thị hàm số còn đi qua các điểm A( 1;
− 2), B(1;− 2),C (2;2) nên ta có hệ phương OÁN
−a + b − c = 2 a =1 VD
trình: a + b + c = 2 − ⇔ b = 0 . 4a 2b c 1 + + = c = 3 − – VD Do đó f (x) 3 = x − 3x . C π Đặt t = x x ∈
π ⇒ t ∈[− ] ⇒ f (
x) = f (t) 3 cos , ; 1;0 cos = t − 3t với t ∈[ 1; − 0]. 2 Ta có f (t) 2 '
= 3t − 3 < 0, t ∀ ∈[ 1;
− 0] ⇒ f (t) nghịch biến trên [ 1; − 0]
⇒ 2 f (t)∈ 2 f (0);2 f (− ) 1
hay 2 f (t)∈[0;4] .
Đặt u = 2 f (t) ⇒ u ∈[0;2] ⇒ y = f (u) 3
= u − 3u với u ∈[0;2]. Ta có f (u) 2 '
= 3u − 3 ⇒ f '(u) = 0 ⇔ u =1∈[0;2].
Bảng biến thiên của f (u)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN
Từ bảng biến thiên suy ra 2
− ≤ f (u) ≤ 2 ⇒ 0 ≤ f (u) ≤ 2 V
Vậy max y = 2,min y = 0 ⇒ max y + min y = 2. D – VD
Câu 6. Cho hàm số f (x) xác định trên và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất C 4 4 = −
và giá trị nhỏ nhất của g(x) = f (2sin x + 2cos x − 2) trên . Tính T M m. A. 2 . B. 0 . C. 3. D. 1. Lời giải Chọn A NHÓ M T OÁN VD – VD C
Xét hàm số: g x = f ( 4 4 ( )
2sin x + 2cos x − 2) . Đặt 4 4
t = 2sin x + 2cos x − 2 2 2 ( x x)2 2 2 2 2 2 sin cos 2sin xcos x = + − − 2 = 4
− sin x cos x 2
⇒ t = −sin 2x ( 1
− ≤ t ≤ 0) . Suy ra hàm số g (x) có dạng f (t) ( 1 − ≤ t ≤ 0) .
Dựa vào đồ thị hàm số f (x) , ta có:
Max g (x) = Max f (t) = 3 ⇒ M = 3; Min g (x) = Min f (t) =1⇒ m =1. Nên M − m = 2 t [ ∈ 1; − 0] t [ ∈ 1; − 0]
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Câu7. Cho đồ thị hàm số bậc ba y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. y NHÓ 3 M 12 5 TOÁN O V x D 1 2 – VD 4 4 4 4 C
Đặt M = Max f (2(sin x + cos x)) , m = min f (2(sin x + cos x)) . Tính tổng M + m. A. 3. B. 27 . C. 22 . D. 5. 5 5 Lời giải Chọn B
* Đồ thị y = f (x) được vẽ như sau: y NHÓ 3 12 M T 5 OÁN O VD x 1 2 – VD C 4 4 2 2 1 2 2
Đặt t = 2(sin x + cos x) = 2(1− 2sin xcos x) = 2 1− sin 2x = 2 − sin 2x 2 Ta có 2 2
0 ≤ sin 2x ≤1⇒1≤ 2 − sin 2x ≤ 2 ⇒ 1≤ t ≤ 2 Khi đó f ( ( 4 4
2 sin x + cos x) = f (t) với t ∈[1;2]
Dựa vào đồ thị M = max f (2( 4 4
sin x + cos x) = max f (t) = 3; t [ ∈ 1;2] m = f ( ( 4 4 x + x) = f (t) 12 min 2 sin cos min = 27 ⇒ M + m = . t [ ∈ 1;2] 5 5
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Câu 8. Cho hàm số f (x) có đồ thị như hình vẽ dưới: NHÓ M TOÁN V D – VD C π Gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số 1 4 y = f
sin | sin x | . Khi 3 3 3
đó tổng m + M là A. 2 . B. 4 . C. 2 . D. 4 . 3 3 Lời giải Chọn C Vì π π 0 |
≤ sin x |≤1⇒ 0 ≤ | sin x |≤ . 3 3 π π π ≤ ≤ NHÓ Trên đoạn 0;
hàm số sin luôn tăng nên suy ra sin 0 sin | sin x | sin . 3 3 3 M T π π Hay 3 4 0 sin | sin x | sin | sin x | ≤ ≤ ⇒ ∈ [0;2] OÁN 3 2 3 3 VD π
Quan sát đồ thị ta thấy: 1 4 4 f sin | sin x | ;2 ∈ − 3 3 3 3 – VD
Từ đó max y = 2;min y = 0 . C
Câu 9. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Tổng giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số y = h(x) = f ( 2 x + ) 1 thuộc đoạn [0; ] 1 bằng A. 1. B. 3. C. 2 . D. 4 . NHÓ Lời giải M Chọn C TOÁN
Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta suy đồ thị = = V
y g (x) f (x) D – 2
Xét hàm số h(x) = f (x + ) 1 , x ∈[0; ] 1 VD C 2
Đặt t = x +1 (t ∈[1;2]) , suy ra hàm số có dạng
y = g (t) = f (t)
Dựa vào đồ thị của hàm số y = g (x) = f (x) , ta suy ra được:
max g (t) = 2 ⇒ max h(x) = 2 , min g (t) = 0 ⇒ min h(x) = 0 [1;2] [0 ] ;1 [1;2] [0 ] ;1
Câu 10. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số như hình vẽ NHÓ M T OÁN VD – VD C
Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = f (2x − ) 1 trên đoạn 1 0;
. Tính giá trị M − m . 2 A. 3 B.0 . C.1. D. 2 . Lời giải Chọn C
Đặt t = 2x −1.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Với 1 x 0; ∈ ⇒ t ∈[ 1; − 0]. 2
Đồ thị hàm số y = f (t) có dạng NHÓ M TOÁN V D – VD C Suy ra với t ∈[ 1;
− 0] ta có m = 0, M =1.
Vậy M − m =1.
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị trên [ 2;
− 4] như hình vẽ. Tìm max f (x) . [ 2 − ;4] NHÓ M T OÁN VD A. 2 . B. f (0) . C. 3. D. 1. – VD Lời giải C Chọn C
Từ đồ thị của hàm số y = f (x) trên [ 2;
− 4] ta có tập giá trị y = f (x) là [ 3 − ;2].
Suy ra tập giá trị của hàm số f (x) trên [ 2; − 4] là [0;3].
Do đó max f (x) = 3. [ 2 − ;4]
Câu 12. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN V x D
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 y f = trên đoạn [2;4]. – 2 2 VD
Khi đó M + m bằng C A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1. Lời giải Chọn C Xét hàm số: ( ) 3 x g x f = 2 2 x x = Ta có ( ) 3 ' ' x g x f = , g (x) 0 ' = 0 ⇔ f ' = 0 ⇔ . 4 2 2 x = 4
Ta có bảng biến thiên của hàm số g (x) trên [2;4] NHÓ M T OÁN VD – VD C
Từ BBT ta suy ra được GTLN và GTNN của hàm số y = g (x) trên [2;4] lần lượt là 3;0
Vậy M + m = 3.
Dạng 4: Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f (x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = f ( x + b), y = f ( u(x) +b), y = f ( x + a +b) , y = f ( u(x) + a +b)trên khoảng, đoạn.
Câu 1. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ 1; −
]3 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá
trị lớn nhất của hàm số y = f (3 cos x − ) 1 bằng
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN V D A. 0 . B. 1. C. 3. D. 2. – Lời giải VD C Chọn D
Đặt t = 3 cos x −1 x
∀ ∈ ta có: 0 ≤ cos x ≤1 ⇔ 0 ≤ 3 cos x ≤ 3 ⇔ 1
− ≤ 3 cos x −1 ≤ 2. Vậy t ∈[ 1; − 2]
Khi đó hàm số y = f (3 cos x − )
1 trở thành: y = f (t) với t ∈[ 1; − 2] .
Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số y = f (3 cos x − )
1 bằnggiá trị lớn nhất của hàm số y = f (t) trên đoạn [ 1; − 2]. NHÓ
Dựa vào đồ thị hàm số f (x) ta có: max f (3 cos x − )
1 = max f (t) = f (0) = 2 . [ 1; − 2] M T
Câu 2. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ 3
− ;5] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. OÁN VD – VD C
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( 3cos x + 4sin x − 2) bằng A. 0 . B. 1. C. 3. D. 2 − . Lời giải Chọn A
Đặt t = 3cos x + 4sin x − 2.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số x ∀ ∈ ta có:( x + x)2 ≤ ( 2 2 + )( 2 2 3cos 4sin
3 4 cos x + sin x) = 25.
Suy ra 0 ≤ 3cos x + 4sin x ≤ 5 ⇔ 2
− ≤ 3cos x + 4sin x − 2 ≤ 3. NHÓ Vậy t ∈[ 2; − ]3 M T
Khi đó hàm số y = f ( 3cos x + 4sin x − 2) trở thành: y = f (t) với t ∈[ 2; − ]3. OÁN
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( 3cos x + 4sin x − 2) bằnggiá trị nhỏ nhất của hàm số VD
y = f (t) trên đoạn [ 2; − ]3. – VD
Dựa vào đồ thị hàm số f (x) ta có: min f ( 3cos x + 4sin x − 2) = min f (t) = f ( 2 − ) = 0 . C [ 2 − ] ;3
Câu 3. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Giá trị lớn nhất của hàm số
g x f x 2 trên [ 4; − 4] là A. 0 B. 4 . C. 2 . D. 6 . Lời giải NHÓ Chọn B M T Xét hàm số
g x f x
2 . Ta thấy hàm số là hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm OÁN trục đối xứng. VD
Ta lại có: khi x 0 thì hàm số
g x f x
2 trở thành: gx f x2. – VD
Từ đồ thị hàm số f (x) ta suy ra đồ thị hàm số f (x − 2) bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số f (x) C
sang phải (theo phương Ox) 2 đơn vị.
Từ đồ thị hàm số f (x − 2) ta suy ra đồ thị hàm số g (x) bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị hàm
số f (x − 2) bên phải trục Oy qua trục Oy. Ta được đồ thị của hàm số
g x f x 2 như sau:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN V D – VD C
Dựa vào đồ thị hàm số g(x) f x 2 , suy ra hàm số
g x có giá trị lớn nhất bằng 4 trên [ 4; − 4]
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [ 2;
− 6] và có đồ thị như hình vẽ dưới. NHÓ
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x + ) 1 trên đoạn [ 2;
− 4]. Giá trị của M bằng A. 3 B. 1 − . C. 2 . D. 0 . M T OÁN Lời giải Chọn C VD –
Xét hàm số y = f ( x + )
1 . Ta thấy hàm số là hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục VD đối xứng. C
Khi x ≥ 0 hàm số y = f ( x + )
1 trở thành y = f (x + ) 1 .
Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta suy ra đồ thị hàm số y = f (x + )
1 bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm
số y = f (x) sang trái (theo phương Ox ) 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = f (x + ) 1 như sau:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN V
Từ đồ thị hàm số y = f (x + ) 1
y = f x + bằng cách lấy đối xứng D
ta suy ra đồ thị hàm số ( )1 –
phần đồ thị hàm số y = f (x + )
1 bên phải trục Oy qua trục Oy , ta được đồ thị hàm số VD
y = f ( x + ) 1 như sau: C
Từ đồ thị hàm số y = f ( x + ) 1
y = f x + trên đoạn NHÓ
ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số ( )1 [ 2; − 4]bằng 2 . M T
Dạng 5: Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f (x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số OÁN
y = f (x) + b , y = f (u(x)) + b , y = f (x + a) + b , y = f (u(x) + a) + b trên khoảng, đoạn. VD = −
Câu 1: Cho hàm số y f (x) có đồ thị trên đoạn [ 2; 4] như hình vẽ bên. Tìm max f (x) . – [ 2; − 4] VD C A. f (0) . B. 2 . C. 3. D. 1. Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Chọn C
* Phương pháp tìm GTLN của hàm trị tuyệt đối:
max f (x) = max max f (x) ; min f (x) NHÓ a;b { a;b a;b } [ ] ( ) [ ] M
Dựa vào đồ thị ta có: max f (x) = 2 khi x = 2 và min f (x) = 3 − khi x = 1 − . − − T [ 2; 4] [ 2; 4] OÁN
Vậy max f (x) = 3 khi x = 1 − . [ 2; − 4] V D –
Câu 2: Cho đồ thị hàm số y = f (x) như hình vẽ. VD y C 3 2 1 O 1 x -1
Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − ]
1 lần lượt là M ,m .
Tính giá trị của biểu thức T = 673M − 2019m .
A. T = 2019 . B. T = 0 .
C. T = 4038. D. T = 2692. Lời giải NHÓ Chọn A M T
• Vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị của hàm số y = f (x) ở OÁN
phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số y = f (x) ở phía đưới trục hoành qua VD
trục hoành, xóa bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành. –
• Từ đó suy ra phần đồ thị của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − ] 1 VD C y 3 O x 2 1 1 -1
Dựa vào phần đồ thị đó, ta được M = 3,m = 0 nên T = 2019 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Câu 3: Cho đồ thị hàm số y = f (x) như hình vẽ. y 3 NHÓ M 2 1 O 1 x -1 TOÁN V
Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x + 2) trên đoạn [ 1;
− 0] lần lượt là M ,m . D –
Tính giá trị của biểu thức T = M − 3m . VD A. T = 3. B. T = 0 . C. T = 6 . D. T = 4 . C Lời giải Chọn A Cách 1:
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f (x) sang trái 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f (x + 2)
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f (x + 2) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị của hàm số y = f (x + 2) ở
phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số y = f (x + 2) ở phía đưới trục hoành
qua trục hoành, xóa bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành.
Từ đó suy ra phần đồ thị của hàm số y = f (x + 2) trên đoạn [ 1; − 0] NHÓ y y y 3 3 M T 3 OÁN VD -2 -1 O 1 x -2 -1 O 1 x -2 -1 O 1 x -1 -1 -1 – VD C
Dựa vào phần đồ thị đó, ta được M = 3,m = 0 nên T = 3.
Câu 4: Cho đồ thị hàm số y = f (x) như hình vẽ. y 3 -2 -1 O 1 x
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = f (x + 2x) trên đoạn [ 2; − 0] lần lượt là
M ,m . Tính giá trị của biểu thức T = M − 3m . A. T = 3. B. T = 0 . C. T = 6 . D. T = 4 . NHÓ Lời giải M Chọn B TOÁN
Xét hàm số y = f ( 2
x + 2x) trên đoạn [ 2; − 0] V
Ta có y = ( x + ) f ( 2 ' 2 2 ' x + 2x) D – VD x = 1 − x = 1 − ∈[ 2; − 0] 2 C
y ' = 0 ⇔ x + 2x = 1 − ⇔ 2 x 2x 1 + = x = 1 − ± 2 ∉ [ 2; − 0]
Cách 1: Tính y ( 2
− ) = y(0) = f (0) = 2; y(− ) 1 = 4
Suy ra giá trị M = 4,m = 2 hay T = 2 − . Cách 2: Lập bảng NHÓ M T OÁN VD – VD C
Vậy M = 4,m = 2 suy ra T = 2 − .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số y y y y 4 4 4 4 NHÓ 2 2 M -1 -1 -1 T -2 -1 O 1 x -2 -1 O 1 x -2 -1 O 1 x OÁN O x -1 V
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. D – VD C
Xét hàm số g (x) = f ( 3 2x + x − )
1 −13 . Tìm max g (x) . [0 ] ;1 A. 10. − B. 0. C. 10. D. 14. Lời giải Chọn D Đặt t (x) 3
= 2x + x −1 với x ∈[0; ]
1 . Ta có t′(x) 2
= 6x +1 > 0, x ∀ ∈[ 0; ] 1 . NHÓ
Suy ra hàm số t (x) đồng biến nên x∈[0; ] 1 →t ∈[ 1; − 2]. M T
max f (t) = 3 → max f (t) −13 = 1 − 0
Từ đồ thị hàm số ta có [ 1−;2] [ 1 − ;2] OÁN min f (t) = 1 − → min f (t) −13 = 1 − 4 [ 1−;2] [ 1 − ;2] VD
Suy ra max g (x) =14. [0 ] ;1 – VD
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. C
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( 3
sin 3x + sin x) trên
. Giá trị lnM 2019m e + bằng ? A. .e B. 4. C. 3 2009− . D. 3. Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Chọn B Đặt 3
t = sin 3x + sin x = 3sin x , Với x∈ ⇒ 3sin x∈[ 3 − ; ] 3 ⇒ t ∈[ 3 − ; ] 3
Hàm số trở thành y = f (t) NHÓ
Từ đồ thị hàm f (t) trên đoạn [ 3 − ; ] 3 ta suy ra M min f (t) = 3
− , max f (x) = 3 ⇒ min f (t) = 0, max f (x) = 3 [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3 T M m OÁN Vậy ln ln3 0 e + 2019 = e + 2019 = 4.
Câu 7: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên có đồ thị như hình vẽ dưới đây V D – VD C
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( 2
9 − x ) . Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn [ ; m M ] ? A.1. B. 0. C. 2. D. 3. Lời giải NHÓ Chọn A
Điều kiện xác định x∈[ 3 − ; ] 3 . Đặt 2
t = 9 − x ⇒ t ∈[0; ]
3 hàm số trở thành: y = f (t) M T 1 − 3 3 OÁN
Dựa vào đồ thị hàm f (t) ta có : min f (t) =
, max f (x) = ⇒ min f (t) = 0, max f (x) = [0; ]3 [0; ]3 [o; ]3 [0; ]3 2 2 2 VD
Vậy có duy nhất một giá trị nguyên thuộc đoạn 3 0; . 2 – VD C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Chuyên đề:
CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN
LIÊN QUAN ĐẾN GTLN, GTNN NHÓ CỦA HÀM SỐ M TOÁN
CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ VD
PHẦN II: Xác định GTLN, NN hoặc so sánh các giá trị của hàm số thông qua tích phân hoặc so – VD
sánh diện tích hình phẳng. C
1. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên khoảng, đoạn.
2. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) trên khoảng, đoạn.
3. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên khoảng, đoạn.
4. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x + a + b)trên khoảng, đoạn.
5. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) + b trên khoảng, đoạn. 6. Các dạng khác. NHÓ M TOÁN VD – VD C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Dạng 7: Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên khoảng, đoạn.
Câu 1: Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) . Đồ thị hàm số y = f ′(x) được cho như hình vẽ bên. Biết NHÓ
rằng f (0) + f (3) = f (2) + f (5) . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của f (x) trên đoạn [0;5] lần M lượt là TOÁN V D – VD C
A. f (0), f (5) .
B. f (2), f (0). C. f ( ) 1 , f (5) .
D. f (2), f (5) . Lời giải Chọn D Cách 1: Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 5 +∞ f ′ 0 − 0 + NHÓ f (0) f (5) f M f (2) TOÁN
Dựa vào đồ bảng biến thiên, ta có min f (x) = f (2) VD [2; ]5 – VD
Và max f (x) = max{ f (0), f (5)} [0;5] C
Vì f (x) đồng biến trên đoạn [2;5] nên
f (3) > f (2) ⇒ f (5) − f (2) > f (5) − f (3) = f (0) − f (2)
Do đó f (5) > f (0) , vậy max f (x) = max{ f (0), f (5)} = f (5) [0;5] Cách 2:
Căn cứ đồ thị của y = f ′(x) và ứng dụng tích phân, ta có:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số 2 2 5 5
S = f ′ x dx = f ′ x dx = f 0 − f 2 và S = f ′ x dx = f ′ x dx = f 2 − f 5 2 ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 1 ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 Theo giả thiết, ta có: NHÓ
f (0) + f (3) = f (2) + f (5) ⇒ f (5) − f (3) = f (0) − f (2) M T 5 5 OÁN
Suy ra S = f ′ x dx > f ′ x dx = f 5 − f 3 = S . 2 ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 1 2 3 V D
Suy ra S > S > 0 ⇒ f 5 > f 0 > f 2 . 2 1 ( ) ( ) ( ) – VD
Vậy min f (x) = f (2),max f (x) = f (5) . [0;5] C [0;5]
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị y = f ′(x) như hình bên dưới.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; ] 3 . NHÓ A. f ( ) 1 , f (0) .
B. f (2), f (0). C. f ( ) 1 , f (3) .
D. f (0), f (3) Lời giải M T Chọn C OÁN
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) VD – VD C
Khi đó: min f (x) = f ( ) 1 . [0; ]3
Dựa vào đồ thị y = f ′(x) ta có 1 3 − f ′
∫ (x)dx < f ′
∫ (x)dx ⇔ f (0)− f ( )1 < f (3)− f ( )1 ⇔ f (0) < f (3) . 0 1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Vậy max f (x) = f (3) . [0; ]3
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị y = f ′(x) như hình bên dưới. NHÓ M TOÁN V D – VD Biết f (− )
1 + f (0) − 2 f ( )
1 = f (3) − f (2) . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số C trên đoạn [ 1; − ] 3 . A. f ( ) 1 , f (0) .
B. f (2), f ( ) 1 . C. f ( ) 1 , f (− ) 1 . D. f ( ) 1 , f (3) Lời giải Chọn C
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) NHÓ M T OÁN
Vậy max f (x) = f ( ) 1 [ 1 − ; ] 3 VD –
Từ bảng biến thiên ta có f (0) < f ( )
1 , f (2) < f ( )
1 vậy f (0) + f (2) < 2 f ( ) 1 VD C Khi đó f (− )
1 + f (0) − 2 f ( )
1 = f (3) − f (2) ⇔ f (0) + f (2) − 2 f ( )
1 = f (3) − f (− ) 1
Vậy f (3) − f (− )
1 > 0 ⇒ f (3) > f (− ) 1
Khi đó min f (x) = f (− ) 1 . [ 1 − ; ] 3
Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) . Hàm số y = f '( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt
M = max f (x), m = min f (x), T = M + .
m Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng? [ 2; − 6] [ 2; − 6]
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN V
A. T = f (0) + f (2)
T = f 5 + f 2 − . D B. ( ) ( ) –
C. T = f (5) + f (6)
T = f 0 + f 2 − VD D. ( ) ( ) Lời giải C Chọn B
+) Nhận xét: Đồ thị của hàm số y = f '( x) cắt trục hoành tại 5 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 2;
− 0; 2; 5; 6 nên phương trình f '(x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt là x = 2;
− x = 0; x = 2; x = 5; x = 6.
f '(x) > 0, x ∀ ∈( 2; − 0) ∪(2; 5) 1 2 3 4 5 Hơn nữa và ngược
lại f '( x) < 0, x
∀ ∈(0; 2) ∪(5; 6). Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) . NHÓ M T OÁN VD – VD C
+) Gọi S , S , S , S
(H , H , H , H , 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 1 2 3
4 lần lượt là diện tích của các hình phẳng (H
y = f '(x), y = 0, x = 2, − x = 0.
1 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số (H
y = f '(x), y = 0, x = 0, x = 2.
2 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường (H
y = f '(x), y = 0, x = 2, x = 5.
3 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường (H
y = f '(x), y = 0, x = 5, x = 6
4 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường NHÓ 0 2
Ta có S >S ⇔ f ' x dx > − f ' x dx ⇔ f 0 − f 2
− > f 0 − f 2 ⇔ f 2 − < f 2 1 . 1 2 ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M 2 − 0 T 2 5 OÁN
Ta có S <S ⇔ − f ' x dx < f ' x dx ⇔ f 0 − f 2 < f 5 − f 2 ⇔ f 0 < f 5 2 . 2 3 ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 V Ta có: D 5 6 –
S >S ⇔ f ' x dx > − f ' x dx ⇔ f 5 − f 2 > f 5 − f 6 ⇔ f 2 < f 6 3 . 3 4 ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VD 2 5 C
+) Từ bảng biến thiên và ( ) 1 , (2), (3) ta có:
M = max f (x) = f (5), m = min f (x) = f ( 2
− ) và T = M + m = f (5) + f ( 2 − ).. [ 2; − 6] [ 2; − 6]
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) là hàm đa thức bậc 4. Biết hàm số y = f ′(x) có đồ thị (C) như hình vẽ và
diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành bằng 27 . Gọi M ,m lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên [ 3 − ; ]
3 . Tính S = M − . m NHÓ M TOÁN VD – A. 75. B. 27 . C. 36. D. 48 VD Lời giải C Chọn A
Do hàm số y = f (x) là hàm đa thức bậc 4 ⇒ hàm số y = f ′(x) là hàm đa thức bậc 3. Từ đồ thị
(C) của hàm số y = f ′(x) ⇒ f ′(x) = a(x + )(x − )2 2 1 ;a > 0.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành là: 1 27 a ∫ ( 3x a
− 3x + 2)dx = 27 ⇔
= 27 ⇔ a = 7 ⇒ f (x) 4 2
= x − 6x + 8x + c . 4 2 −
Xét hàm số f (x) 4 2
= x − 6x + 8x + c liên tục trên [ 3 − ; ] 3 ta có:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số x = −
f ′(x) = (x + )(x − )2 4 2 1 ; f ′(x) 2 = 0 ⇔ x = 1 Ta có: f ( 3 − ) = 3+ ; c f ( 2 − ) = 24 − + ; c f ( ) 1 = 3+ ;
c f (3) = 51+ c NHÓ ⇒ M = 51+ ; c m = 24
− + c ⇒ M − m = 75. M TOÁN
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị y = f '(x) trên [ 3
− ;2] như hình vẽ ( phần cong của đồ thị là một V phần của parabol 2
y = ax + bx + c ). D – VD C Biết f ( ) 1 = 0. Gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên [ 3
− ;2]. Tính m + M . A. 10 . B. 10 − . C. 5 − . D. 5 3 3 3 3 Lời giải NHÓ Chọn B 2 M
−x − 4x − 3 khi − 3 ≤ x ≤ 1 − T
Từ giả thiết có f '(x) = 2x + 2
khi −1< x ≤ 0 . OÁN
−x + 2 khi 0 < x ≤ 2 VD 1 3 2 –
− x − 2x − 3x + C khi − 3 ≤ x ≤ 1 − 1 VD 3 Suy ra f (x) 2 =
x + 2x + C
khi −1< x ≤ 0 . C 2 1 2
− x + 2x + C
khi 0 < x ≤ 2 3 2
Từ đồ thị của y = f '(x) , suy ra bảng biến thiên của y = f (x)
Vậy minf (x) = f ( 3
− ),maxf (x) = f (2) . Do đó m + M = f ( 3
− ) + f (2) = 2 + C + C . [ 3 − ;2] [ 3 − ;2] 1 3
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
+ Hàm số f (x) liên tục tại 4 x = 1
− nên lim f ( x) = lim f ( x) ⇔ + C = 1 − + C ( ) 1 x→(− )− x→(− )+ 1 2 1 1 3
+ Hàm số f (x) liên tục tại x = 0 nên lim f (x) = lim f (x) ⇔ C = C (2) − + 2 3 x→0 x→0 NHÓ 3 M + Có f ( ) 1 = 0 ⇔ C = − (3) 3 2 TOÁN Từ ( ) 1 ,(2) ,(3) suy ra 3 23
C = C = − ,C = − 2 3 1 V 2 6 D – 10
Vậy nên m + M = 2 + C + C = − . VD 1 3 3 C
Câu 7: Cho hàm số f (x) . Biết hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên .
Hỏi giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên đoạn [ 1; − ] 3 là A. f (− ) 1 .
B. f (3) .
C. f (0) .
D. f (2) . NHÓ Lời giải M T Chọn B OÁN
Xét hàm số f (x) [ 1; − ] 3 , ta có: x∈[ 1; − a] . VD trên đoạn – Với a ∈(0; )
1 hàm số đồng biến và x∈[a; ] 3 hàm số nghịch biến. VD C
Ta có bảng biến thiên như sau: 3 a 3 Mặt khác ta có f '
∫ (x)dx = f '
∫ (x)dx+ f '
∫ (x)dx < 0. 1 − 1 − a
Suy ra f (3) < f (− ) 1 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại f (3) .
Câu 8: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y = f '(x) . Hàm y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ. NHÓ M TOÁN V D – VD
Biết rằng f (0) + f (1) − 2 f (2) = f (4) − f (3) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của C
f (x) trên đoạn [0;4].
A. m = f (4);M = f (2) .
B. m = f (4);M = f (1) .
C. m = f (0);M = f (2) .
D. m = f (1);M = f (2) . Lời giải Chọn A
Ta có bảng biến thiên trên [0;4] NHÓ M TOÁN VD
Dựa vào bảng biến thiên ta có M = f (2);m = min{ f (0); f (4)}. – VD
Mặt khác có f (1) < f (2); f (3) < f (2) ⇒ f ( )
1 + f (3) < 2 f (2) ⇔ 2 f (2) − f ( ) 1 − f (3) > 0 . C Mà
f (0) + f (1) − 2 f (2) = f (4) − f (3) ⇔ 2 f (2) − f ( )
1 − f (3) = f (0) − f (4) > 0 ⇔ f (0) > f (4)
Do vậy m = f (4).
Câu 9: Cho hàm số ( ) 5 4 3 2
f x = x + bx + cx + dx + ex (b,c,d,e∈) . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số y
y = f ′(x) 4 NHÓ x 2 − 1 − 1 2 M O TOÁN V
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên đoạn [ 1; − ] 3 . D Tính M + . m – VD C A. 250 . B. 38 . C. 196 . D. 272 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C
Do f ′(x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt 2 − ; −1;1; 2 nên Ta có f ′(x) 4 3 2
= x + bx + cx + dx + e = (x + )(x + )(x − )(x − ) = ( 4 2 5 4 3 2 5 2 1 1 2 5 x − 5x + 4) Suy ra f (x) 5 25 3 = x − x + 20x . 3
Xét hàm số f (x) 5 25 3 = x −
x + 20x trên [ 1; − ] 3 . Ta có NHÓ 3 M f (− ) 38 = − f ( ) 38 = f ( ) 16 1 ; 1 ; 2 = ; f (3) = 78 . T 3 3 3 OÁN Vậy 38 196 M = 78, m = − ⇒ M + m = . VD 3 3 – VD
Câu 10: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) liên tục trên và đồ thị của hàm số f ′(x) trên đoạn C [ 2;
− 6] như hình vẽ bên.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
A. max f (x) = f ( 2
− ) . B. max f (x) = f (2) . C. max f (x) = f (6). D. max f (x) = f (− ) 1 . x [ ∈ 2;6 − ] x [ ∈ 2;6 − ] x [ ∈ 2;6 − ] x [ ∈ 2;6 − ] Lời giải NHÓ Chọn C M
Từ đồ thị của hàm số y f 'x ta có bảng biến thiên như sau: TOÁN V D – VD C NHÓ Ta có M 6 2 6 TOÁN
f 6 f 1
f xdx
f xdx f xdx S S 0
f 6 f 1 2 1 . 1 1 2 VD
Câu 11: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) . Hàm số y = f ′(x) liên tục trên tập số thực và c – ó VD đồ thị như hình vẽ. C y 4 2 -1 O 1 2 13 Biết f (− )
1 = , f (2) = 6. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 g (x) 3
= f (x) − 3 f (x) trên [ 1; − 2] bằng
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số 1573 37 14245 A. . B. 198 . C. . D. . 64 4 64 Lời giải NHÓ Chọn A M 13
Từ đồ thị hàm số y = f ′(x) và giả thiết f (− )
1 = , f (2) = 6 ta có bảng biến thiên hàm số T 4 OÁN
y = f (x) trên [ 1; − 2] : V D – VD C Ta có g′(x) 2
= 3 f (x). f ′(x) − 3 f ′(x) . Xét trên đoạn [ 1; − 2]. x = 1 −
g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) 2 3
f (x) −1 = 0
⇔ f ′(x) = 0 ⇔ x = 2 Bảng biến thiên NHÓ M TOÁN VD ⇒
g (x) = g (− ) 3
= f (− ) − f (− ) 1573 min 1 1 3 1 = . [ 1; − 2] 64 – VD
Câu 12: Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f ′(x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) được cho như hình vẽ bên C .
Biết rằng f (0) + f (3) = f (2) + f (5) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f (x) trên đoạn [0;5].
A. m = f (0), M = f (5)..
B. m = f (2), M = f (0). .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
C. m = f ( ) 1 ,M = f (5).
D. m = f (2), M = f (5). Lời giải NHÓ Chọn D M
Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên TOÁN V D – VD C Ta có:
min f x f 2 và f 3 f 2. 0;5
Mà f (0) + f (3) = f (2) + f (5) ⇒ f (0) − f (5) = f (2) − f (3) < 0 ⇒ f 0 f 5
max f x f 5. 0;5
Câu 13 : Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) . Đồ thị hàm số y = f ′(x) được cho như hình vẽ bên. Biết
rằng f (0) + f (3) = f (2) + f (4) . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của f (x) trên đoạn [0;4] lầ NHÓn lượt là M TOÁN VD – VD C
A. f (0), f (4).
B. f (2), f (0). C. f ( ) 1 , f (4).
D. f (2), f (4) . Lời giải Chọn D Cách 1:
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′(x) lập bảng biến thiên, ta có min f (x) = f (2) [2;4]
Và max f (x) = max{ f (0), f (4)}. [0;4]
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Vì f (x) đồng biến trên đoạn [2;4] nên
f (3) > f (2) ⇒ f (4) − f (2) > f (4) − f (3) = f (0) − f (2). NHÓ
Do đó f (4) > f (0) , vậy max f (x) = max{ f (0), f (4)} = f (4). [0;5] M Cách 2: TOÁN
Căn cứ đồ thị của y = f ′(x) và ứng dụng tích phân, ta có: V 2 2 4 4 D
S = f ′ x dx = f ′ x dx = f 0 − f 2 và S = f ′ x dx = f ′ x dx = f 2 − f 4 . 2 ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 1 ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) – 0 0 2 2 VD Theo giả thiết, ta có: C
f (0) + f (3) = f (2) + f (4) ⇒ f (4) − f (3) = f (0) − f (2) . 4 4
Suy ra S = f ′ x dx > f ′ x dx = f 4 − f 3 = S . 2 ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 1 2 3
Suy ra S > S > 0 ⇒ f 4 > f 0 > f 2 . 2 1 ( ) ( ) ( )
Vậy min f (x) = f (2),max f (x) = f (4). [0;5] [0;5]
Câu 14: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [ 1;
− 2], có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ sau. NHÓ M TOÁN VD – VD C
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. max f (x) = f ( 1)
− . B. max f (x) = f (2) . C. max f (x) = f (1) . D. 3
max f (x) f = [ 1; − 2] [ 1; − 2] [ 1; − 2] [ 1; − 2] 2 Lời giải Chọn B
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN V D – VD
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng x = 1;
− x = a, y = 0 và đồ thị 1 C = . y f '(x) S = =
= và đồ thị y = f '(x) .
2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng x ; a x 1; y 0
S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng 3
x =1; x = ; y = 0 và đồ thị y = f '(x) . 3 2
S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng 3
x = ; x = 2; y = 0 và đồ thị y = f '(x) . 4 2 1 a 1
Ta có: f (1) − f ( 1)
− = f '(x)dx = f '(x)dx + f '(x)dx = S − S > 0 ⇒ f (1) > f ( 1) − ∫ ∫ ∫ 2 1 1 − 1 − a 3 2 2 2 NHÓ
f (2) − f (1) = f '(x)dx = f '(x)dx + f '(x)dx = S − S > 0 ⇒ f (2) > f (1) ∫ ∫ ∫ . 4 3 1 1 3 2 M TOÁN
Suy ra f ( ) f ( ) f ( ) 3 2 1 1 f > > − > . 2 VD – VD C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Dạng 8: Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x )
trên khoảng, đoạn.
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) xác định và liên tục trên . Hàm số y = f ′(x) có đồ NHÓ thị như sau: M TOÁN V D – VD C
Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ 4; − ]3
Tính giá trị của M − m .
A. f (4) + f (2) .
B. f (4) + f (0).
C. f (3) − f (0) .
D. f (3) + f (2) . Lời giải Chọn A x = 1 − x = 0
Ta có f ′(x) = 0 ⇔ . NHÓ x =1 x = 2 M TOÁN
Mặt khác hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn. VD
Ta có bảng biến thiên của hàm số f (x) và f ( x ) . – VD x − ∞ −1 0 1 2 + ∞ y′ - 0 + 0 - 0 - 0 + C +∞ f (0) +∞
y = f ( x) f (− ) 1 f (2) x 4 − 2 − 0 2 3 y′ - 0 + 0 - 0 +
f (4) f (0) f (3)
y = f ( x ) f (2) f (2)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Từ hình vẽ của đồ thị y = f ′(x) ta có 2 3 f ′
∫ (x) dx < f ′ ∫ (x)dx. NHÓ 0 2 Suy ra: M T − − < − ⇔ − > ⇔ < OÁN f (2) f (0) f (3) f (2) f (3) f (2) 0 f (0) f (3). 3 4 V f ′
∫ (x)dx < f ′ ∫ (x) dx D 2 2 – VD Suy ra: C
f (3) − f (2) < f (4) − f (2) ⇔ f (3) − f (2) > 0 ⇔ f (3) < f (4)
Vậy: f (0) < f (3) < f (4) .
Mặt khác từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta có: min f ( x ) = f (0). [ 4 − ; ] 3
⇒ max f ( x ) = f ( 4
− ) = f (4) = M ⇒ M + m = f (4) + f (2) . [ 4 − ; ] 3
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên . Biết hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. NHÓ M TOÁN VD – VD C
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g (x) = f ( x ) trên đoạn [ 2; − ]
1 . Tính M + m . A. f ( ) 1 + f (0) B. f ( ) 1 + f ( 2 − ) C. f ( 2 − ) + f (− ) 1 D. f (− ) 1 + f (0) Lời giải Chọn A
Từ đồ thị ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f (x) như sau:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M T Với x∈[ 2; − ]
1 thì x ∈[0;2], từ bảng biến thiên suy ra M = f ( )
1 và m = min{ f (0), f (2)}. OÁN 1 2 V Do f ′
∫ (x)dx >− f ′
∫ (x)dx ⇔ f ( )1− f (0) > f ( )1− f (2) ⇔ f (2) > f (0), nên m = f (0). D 0 1 – VD
Vậy M + m = f ( ) 1 + f (0) . C
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f '(x) . Hàm số y = f ′(x) liên tục trên và có đồ thị
như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ 1; − 4]? NHÓ
A. max f ( x ) = f ( )
1 ; min f ( x ) = f (0) .
B. max f ( x ) = f (4); min f ( x ) = f (0) . [ 1 − ;4] [ 1 − ;4] [ 1 − ;4] [ 1 − ;4] M T
C. max f ( x ) = f (4); min f ( x ) = f (2).
D. max f ( x ) = f ( )
1 ; min f ( x ) = f (2) . OÁN [ 1 − ;4] [ 1 − ;4] [ 1 − ;4] [ 1 − ;4] Lời giải VD Chọn B – VD
Từ đồ thị của hàm số y = f ′(x) ta có bảng biến thiên của y = f (x) trên [ 1; − 4]: C
Từ bảng biến thiên y = f (x) ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) :
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN V D Từ hình vẽ ta có: – 1 2 VD f ′
∫ (x) dx > f ′
∫ (x) dx ⇔ f ( )1− f (0) > f ( )1− f (2) ⇒ f (2) > f (0) . C 0 1 4 2 f ′
∫ (x) dx > f ′
∫ (x) dx ⇔ f (4)− f (2) > f ( )1− f (2) ⇒ f (4) > f ( )1. 2 1
Vậy max f ( x ) = f (4); min f ( x ) = f (0) . [ 1 − ;4] [ 1 − ;4]
Câu 4: Cho hàm số ( ) 5 4 3 2
f x = ax + bx + cx + dx + ex + n (a,b,c,d, ,en∈). Hàm số y = f '(x)
có đồ thị như hình vẽ bên (đồ thị cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ 1 3 − ; 1; − và 2). Đặt 2
M = max f ( x );m = min f ( x ) và T = M + .
m Khẳng định nào sau đây đúng? [ 3 − ;2] [ 3 − ;2] NHÓ M TOÁN VD – VD C
A. T = f ( 3
− ) + f (2). B. T = f ( 3
− ) + f (0) . C. 1 T f = + 1
f (2) . D. T = f + f (0) . 2 2 Lời giải Chọn A Ta có f (x) 4 3 2 ax bx cx dx e a(x )(x ) 1 ' 5 4 3 2 5 3 1 x = + + + + = + + − (x − 2) (Vì phương trình 2
f '(x) = 0 có 4 nghiệm 1 3 − ; 1; − và 2). 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của f (x) NHÓ M TOÁN V
Từ bảng biến thiên ⇒ a < 0 . D –
Suy ra bảng biến thiên của f ( x ) VD C f ( 2
− ) = f (2); f ( 3 − ) = f (3)
Vì hàm số f ( x ) là hàm số chẵn ⇒ 1 1 . f f − = 2 2 3 3 1 1 11125a NHÓ +) f (3) − f = f '
∫ (x)dx = 5a∫(x+3)(x+ )1 x− (x−2)dx = < 0 2 1 1 2 128 2 2 M TOÁN f ( ) f ( ) 1 1 3 3 f f ⇒ − = < = − (1) 2 2 VD 2 2 1 –
+) f (2) − f (0) = f '
∫ (x)dx = 5a∫(x+3)(x+ )1 x− (x−2)dx = 23 − a > 0 VD 2 0 0 C ⇒ f ( 2
− ) = f (2) > f (0) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ M = max f ( x ) = f ( 2
− ) = f (2);m = min f ( x ) = f ( 3 − ). [ 3 − ;2] [ 3 − ;2]
Vậy T = M + m = f ( 3 − ) + f (2).
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số f (′x) như hình bên
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ 1; − 4]. A. f (− ) 1 . B. f ( ) 1 .
C. f (0) .
D. f (4) . NHÓ Lời giải Chọn D M T = ′ = − OÁN
Từ đồ thị hàm số y f (x) ta có bảng biến thiên của hàm số y f (x) trên đoạn [ 1;4] V D – VD C
Suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ 1; − 4] NHÓ 1 4
Từ đồ thị ta có f ′
∫ (x)dx < − f ′
∫ (x)dx ⇔ f (x)1 < − f (x) 4 ⇔ f ( )1− f (0) < f ( )1− f (4) M 0 1 0 1 TOÁN
⇔ f (0) > f (4).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ 1; − 4] là f (4) . VD –
Dạng 9: Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số VD
y = f (x) trên khoảng, đoạn. C
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Biết f ( )
1 < 0 . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số g (x) = f (x) trên đoạn [1;4] . NHÓ
A. M = f (4),m = f ( ) 1 .
B. M = f (3),m = f ( ) 1 . M
C. M = f (4) ,m = f ( ) 1 .
D. M = f ( ) 1 ,m = f (4) . TOÁN Lời giải V Chọn C D –
Từ đồ thị của hàm số y = f ′(x) ta có bảng biến thiên sau: VD C Do f ( )
1 < 0 nên ta có f (4) < f ( )
1 < 0 ⇒ f (4) > f ( ) 1 Ta có bảng biến thiên: NHÓ M TOÁN VD
Vậy M = f (4) ;m = f ( ) 1 . – VD
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên và f ( )
1 < 0 . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như C hình vẽ .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g (x) = f (x) trên [ 1; − ] 1 .
Khi đó M ;m là = − = = = − NHÓ A. M f ( ) 1 ,m f ( ) 1 . B. M f ( ) 1 ,m f ( ) 1 . M
C. M = f (− ) 1 ,m = f ( ) 1 .
D. M = f (− ) 1 ,m = f ( ) 1 . TOÁN Lời giải V Chọn C D –
Từ đồ thị hàm số y = f ′(x) ta có y = f (x) 1; − 1 nên VD luôn đồng biến trên [ ] f (− ) 1 < f ( ) 1 < 0, x ∀ ∈[ 1; − ] 1 . C Do đó f (− ) 1 > f ( ) 1 , x ∀ ∈[ 1; − ] 1 nên
max g (x) = f (− )
1 ;min g (x) = f ( )
1 ⇒ M = f (− ) 1 ,m = f ( ) 1 . [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên và f (2) < 0. Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ . NHÓ M T
Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g (x) = f (x) trên [ 1; − ] 3 OÁN.
Khi đó M ;m là VD
A. M = f (− ) 1 ,m = f (3).
B. M = f (3) ,m = f (− ) 1 . – VD
C. M = f (− ) 1 ,m = f (2) .
D. M = f (− ) 1 ,m = f (3) . C Lời giải Chọn C
Từ đồ thị hàm số y = f ′(x) ta có y = f (x) luôn đồng biến trên [ 1;
− 2] và nghịch biến trên [2; ]
3 nên f (− )1 < f (2) < 0, x ∀ ∈[ 1;
− 2] và f (3) < f (2) < 0, x ∀ ∈[2; ] 3 . Mặt khác ta có 2 3 f ′
∫ (x)dx > − f ′
∫ (x)dx ⇔ f (x)2 > − f (x)3 ⇒ f (2)− f (− )1 > − f (3)+ f (2) ⇒ f (− )1 < f (3) 1 − 2 1 − 2 Do đó ta có f (− )
1 < f (3) < f (2) < 0,∀∈[ 1; − ] 3 ⇒ f (− )
1 > f (3) > f (2)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
max g (x) = f (− )
1 ;min g (x) = f (2) ⇒ M = f (− ) 1 ,m = f (2) . [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3
Câu 4: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên [0;5]. Đồ thị của hàm số y = f ′(x) trên NHÓ [0;5] như hình vẽ. M TOÁN V D – VD C
Biết f (0) + f (3) = f (2) + f (5) và f (5) < 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số g (x) = f (x) trên đoạn [0;5].
A. f (3) , f (5) .
B. f (2) , f (0) .
C. f (2) , f (5) .
D. f (0) , f (5) . Lời giải Chọn C
Từ đồ thị của hàm số y = f ′(x) ta có bảng biến thiên sau NHÓ M TOÁN VD
Theo giả thiết ta có f (0) + f (3) = f (2) + f (5) ⇔ f (5) − f (0) = f (3) − f (2) – mà VD
f (3) > f (2) ⇒ f (5) > f (0) C
Cũng theo giả thiết ta có f (5) < 0 nên f (2) < f (0) < f (5) < 0 ⇒ f (2) > f (0) > f (5)
Do đó ta suy ra bảng biến thiên sau
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Vậy max g (x) = f (2) ;min g (x) = f (5) . [0;5] [0;5]
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên có đồ thị y = f ′(x) như hình vẽ dưới đây và f ( ) 1 < 0 . NHÓ M TOÁN V D – VD
Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − 4] bằng C A. f (0) . B. f ( ) 1 . C. f (− ) 1 . D. f (4) . Lời giải Chọn D x = 1 −
Xét hàm số y = f (x) . Ta có f (x) 0 ′ = ⇔ x =1 . x = 4 Ta có bảng biến thiên NHÓ M TOÁN VD 1 4 1 4 – VD
Từ đồ thị hàm số, suy ra f ′
∫ (x) dx < f ′
∫ (x) dx ⇒ f ′
∫ (x)dx < − f ′ ∫ (x)dx 1 − 1 1 − 1 C
⇒ f (x)1 < − f (x) 4 ⇒ f (− ) 1 > f (4). 1 − 1
Ta có f (4) < f (− ) 1 < f ( )
1 < 0 ⇒ f (4) > f (− ) 1 > f ( )
1 ⇒ max f (x) = f (4) . [ 1, − 4]
Câu 6: Cho hàm số f x 3 2
ax bx cx d có đồ thị C. Biết đồ thị C tiếp xúc với đường thẳng
y 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên dưới
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN V
Giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên 0; 3 bằng D – A. 20 . B. 60 . C. 22 . D. 3. VD C Lời giải Chọn A
Vì đồ thị hàm f x cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1 và x 1 nên
f x kx 1 x
1 với k là số thực khác 0 .
Vì đồ thị hàm f x đi qua điểm 0;
3 nên ta có 3 k k 3.
Suy ra f x 2
3x 3. Mà f x 2
3ax 2bx c nên ta có được a 1,b 0,c 3.
Từ đó f x 3
x 3x d . NHÓ
Do đồ thị f x tiếp xúc với đường thẳng y 4 tại điểm có hoành độ âm nên ta có 3
x 3x d 4 M x 1 2
3x 3 0 có nghiệm. Suy ra . T d 2 OÁN x 0 VD
Do đó f x 3
x 3x 2 và y f x 3
x 3x 2 với
x 0;3 . – VD x 1
Ta có f x 2
3x 3 0
và f 0 2; f 1 0; f 3 20. C x 1
Suy ra m min f x 0 và M max f x 20. [0;3] [0;3]
Vậy max f x max m ; M 20. 0; 3
Câu 7: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên có đồ thị của hàm y = f ′(x) được cho như
hình bên dưới và f ( 2 − ) = 3 , f (0) = 5, − f ( )
1 = 0 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của hàm số y = f (x) +1 trên [ 2 − ] ;1 . Khi đó 2 2 M + m bằng
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN V D – A. 8 . B. 25 . C. 37 . D. 34. VD C Lời giải Chọn C x = 2 −
Quan sát đồ thị f ′(x) ta có: f (x) 0 ′ = ⇔ x = 0 . x = 1 Ta có bảng biến thiên: NHÓ M TOÁN
Quan sát bảng biến thiên ta có: x∈[ 2; − ]
1 thì f (x)∈[ 5 − ; ]
3 ⇒ f (x) +1∈[1;6] . VD
Suy ra M = 6 và m =1. – Vậy 2 2 M + m = 37 . VD C
Câu 8: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên , có đồ thị của hàm số y = f ′(x) nhận trục tung làm
đường tiệm cận đứng về cả hai phía như hình vẽ.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − ]
3 , biết rằng f ( ) 2 1 = và 5
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số f (− )
1 + f (0) + f ( ) 1 = 0 . A. f (0) . B. f (− ) 1 . C. f (2) . D. f (3) . NHÓ Lời giải Chọn A M T ′ OÁN
Từ đồ thị hàm y = f ′(x) ta có f (x) = 0 ⇔ x = 2 và f ′(x) không xác định tại x = 0 .
Do y = f (x) liên tục trên nên bảng biến thiên của y = f (x) trên đoạn [ 1; − ] 3 là: V D – VD C NHÓ
Vì f (x) liên tục tại x = 0 nên lim f (x) = lim f (x) = f (0). M x 0− x 0+ → → TOÁN Gọi = ′ = = − = 1
S (a) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x), y 0, x 1, x a với a ∈( 1; − 0) (Hình vẽ). VD 1 − – Ta có f (− )
1 − f (0) = lim f (− )
1 − f (a) = lim f '
∫ (x)dx = lim S a > 3 − − − 1 ( ) a→0 a→0 a→0 VD a C
Suy ra f (0) < f (− ) 1 − 3 (*) Gọi S = ′ = = =
2 (b) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y
f (x), y 0, x , b x 1 với b∈(0; ) 1 . 1 Khi đó f ( )
1 − f (0) = lim f ( )
1 − f (b) = lim f '
∫ (x)dx = lim S b >1 + + + 2 ( ) b→0 b→0 b→0 b
Suy ra f (0) < f ( ) 1 −1 (**)
Từ (*) và (**) suy ra 2 f (0) < f (− ) 1 + f ( ) 1 − 4
⇒ f ( ) < f ( ) + f (− ) + f ( ) − = − ⇒ f ( ) 4 < − ⇒ f ( ) 4 3 0 0 1 1 4 4 0 0 > (1) 3 3
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Từ bảng biến thiên ta có f (− ) 1 > f (0) .
Lại có f ( ) = − f
( ) + f (− ) ⇒ f
( ) = f ( )+ f (− ) 2 0 1 1 0 1 1 = + f (− ) 1 > f (− ) 1 5 NHÓ
Do đó ta có f (0) < f (− )
1 < f (0) ⇒ f (0) > f (− ) 1 (2)
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ′(x), y = 0, x =1, x = 2 . 3 M 2 T 1 OÁN
Ta có f ( ) > f ( ) 2 2
1 = > 0 và f (2) − f ( ) 1 = f ′
∫ (x)dx = S < 5 3 2 1 V ⇒ < f ( ) 1 < + f ( ) 1 2 9 0 2 1 = + = D 2 2 5 10 – 4 9 VD Do đó f (0) > >
> f (2) = f (2) (3) 3 10 C
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ′(x), y = 0, x = 2, x = 3 . 4 2
Ta có f ( ) − f ( ) = f (x) 2 3 2 3 '
dx = S < 1⇒ f 3 > f 2 −1 > f 1 −1 = −1 = − ∫ 4 ( ) ( ) ( ) 5 5 3
Kết hợp với f ( ) < f ( ) 9 3 2 < nên f ( ) 9 3 <
, suy ra f (3) < f (0) (4) 10 10
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra max f (x) = f (0) . x [ ∈ 1 − ; ] 3
Chú thích của tác giả: Sáng tác dựa trên hàm số f (x) 3 = − (x − 5) 3 2 x − 2 . 5
Dạng 10: Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số NHÓ
y = f ( x + a + b)trên khoảng, đoạn. M 1. Lý thuyết: TOÁN
+) ′( ) x + a g x =
. f ′( x + a + b) . x + a VD
+) Dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số f ′(x) giải phương trình g′(x) = 0 và tì – VDm
các giá trị của x trên khoảng, đoạn đã cho mà tại đó g′(x) không xác định. Từ đó lập bản Cg
biến thiên của hàm số g (x) , dựa vào bảng biến thiên để kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
+) Một số bài toán cần tìm ra công thức của hàm số y = f (x) . Khi đó, dựa vào bảng biến thiên
hoặc đồ thị của hàm số f ′(x) và các giả thiết khác để thiết lập công thức của hàm số f ′(x) , từ
đó tìm công thức y = f (x) bằng phép toán nguyên hàm.
+) Một số bài toán cho đồ thị của hàm số f ′(x) , để tìm GTLN, NN của hàm số f ( x + a + b)
cần dùng đến phép toán tích phân. Đặc biệt ý nghĩa của tích phân về diện tích hình phẳng.
+) Nếu biết đồ thị của hàm số y = f (x) , bằng phép biến đổi đồ thị thì chúng ta có thể suy ra
được đồ thị y = g (x) = f ( x + a + b) .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
+) Một số bài toán tìm GTLN, NN của hàm số y = g (x) = f ( x + a + b) trên đoạn [ ;cd] , bằng
cách đặt t = x + a + b, với x ∈[ ;
c d ] thì t ∈[ ;
m n]. Khi đó ta chuyển về tìm GTLN, NN của hàm
số f (t) trên [ ; m n] . NHÓ 2. Bài tập: M T
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f ′(x) (như hình vẽ). Khi đó hàm số g (x) = f ( x +1 − 2) lần OÁN
lượt đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là M , m trên đoạn [0; ]
1 . Khẳng định đúng là: V D
A. M − m = f (− ) 1 − f (0).
B. M + 2m = f (0) + 2 f (− ) 1 . – VD
C. 2M − m = 2 f (a) − f (0).
D. m − M = f (− ) 1 − f (0) C Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số f ′(x) , ta suy ra bảng biến thiên: NHÓ M T OÁN
Xét hàm h(x) = f (x + )
1 có đồ thị được suy ra bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm y = f (x) sangVD
trái 1 đơn vị. Khi đó, ta được bảng biến thiên: – VD C
Hàm p(x) = f ( x +1) có đồ thị được suy ra từ đồ thị hàm h(x) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần bên phải Oy (với x ≥ 1 − ).
+ Lấy đối xứng phần bên phải Oy qua trục tung.
Ta được bảng biến thiên:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ
Hàm số g (x) = f ( x +1 − 2) có đồ thị được tạo thành bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm p(x) sang M
phải 2 đơn vị. Ta được bảng biến thiên: TOÁN V D – VD
Vì a >1 nên −a +1< 0 nên trên đoạn [0; ]
1 có M = max g (x) = f (0) , m = min g (x) = f (− ) 1 . C [0 ] ;1 [0 ] ;1
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f ′(x) (như hình vẽ). Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của hàm số g (x) = f ( x +1 −3) trên đoạn [1;4]. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. M = g (4) , m = g (2) .
B. M = g (2) , m = g (4) . NHÓ
C. M = g (a), m = g (b).
C. m = g (a) , M = g (b) . M Lời giải TOÁN Chọn A VD
Dựa vào đồ thị hàm số f ′(x) , ta suy ra bảng biến thiên: – VD C
Xét hàm số h(x) = f (x + )
1 có đồ thị được suy ra bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm y = f (x) sang
trái 1 đơn vị. Khi đó, ta được bảng biến thiên:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Hàm p(x) = f ( x +1) có đồ thị được suy ra từ đồ thị hàm h(x) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần bên phải Oy (với x ≥ 1 − ). NHÓ
+ Lấy đối xứng phần bên phải Oy qua trục tung. M
Ta được bảng biến thiên: TOÁN V D – VD C
Hàm số g (x) = f ( x +1 −3) có đồ thị được tạo thành bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm p(x) sang
phải 3 đơn vị. Ta được bảng biến thiên:
Vì b > 2 nên b + 2 > 4 . Đồ thị hàm g (x) đối xứng qua đường thẳng x = 2 nên ta có g ( )
1 = g (3) và g (3) < g (4) < g (b + 2).
Vậy M = max g (x) = g (4) , m = min g (x) = g (2) . NHÓ [1;4] [1;4] M
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) là hàm số bậc hai có đồ thị như hình vẽ. TOÁN VD – VD C Biết rằng f ′(x) 3 min
= − , f (0) = 0 . Giá trị lớn nhất của hàm số g (x) = f ( x − 2 + ) 1 trên 4 đoạn [1; ]
3 có dạng m với m,n ∈ ,
n > 0 và phân số đó tối giản. Tính 2 2 m + n . n A. 85 . B. 74 . C. 61. D. 58.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Lời giải Chọn C
Vì f ′(x) là hàm số bậc hai nên nó có dạng: f ′(x) 2
= ax + bx + c (a ≠ 0) . NHÓ Từ đồ thị hàm số ′ và giả thiết ta có M f (x) TOÁN f ′( ) 1 = 0
a + b + c = 0 a = 1 3 3 9 3 3 V f ′ = −
⇔ a + b + c = − ⇔ b = −3 ⇒ f ′(x) 2 = x − 3x + 2 D 2 4 4 2 4 c = 2 – f ′(2) = 0
4a + 2b + c = 0 VD C 3 x 3 ⇒ f (x) 2 =
− x + 2x + C . 3 2 3 Vì x 3
f (0) = 0 nên f (x) 2 = − x + 2x . 3 2
Ta có g′(x) x − 2 =
f ′( x − 2 + ) 1 với x ≠ 2. x − 2
x − 2 +1 = 1 (VN do 2 x ≠ ) x = 1
g′(x) = 0 ⇔ f ′( x − 2 + ) 1 = 0 ⇔ ⇔ . x − 2 +1 = 2 x = 3 Ta có bảng biến thiên NHÓ x 1 2 3 M g′(x) 0 + || − 0 TOÁN g (2) VD g (x) g ( ) 1 g ( ) 3 – VD
Dựa vào bảng biến thiên ta có
g (x) = g ( ) = f ( ) 5 max 2 1 = . C [1;2] 6 Do đó 2 2
m = 5, n = 6 ⇒ m + n = 61.
Câu 4: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên . Biết f ′(0) = 3, f ′(2) = f ′( 2018 − ) = 0, và
bảng xét dấu của f ′′(x) như sau:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Hàm số y = f ( x −1 − 2018) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. (−1009;2) . B. ( 2015 − ; ) 1 . C. (1; ) 3 . D. (− ; ∞ −2015) . NHÓ Lời giải M Chọn A TOÁN
Ta có bảng biến thiên của hàm số f ′(x) V x −∞ 0 2 + ∞ D – f ′′(x) + 0 − 0 + VD 3 C f ′(x) 0
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) x −∞ − 2018 2 + ∞ f ′(x) − 0 + 0 + f (x) f (−2018)
y = f ( x − − ) x −1 1 2018 ⇒ y′ =
f ′( x −1 − 2018) với x ≠ 1. x −1 NHÓ x −1 − 2018 = 2 x = 2021
y′ = 0 ⇔ f ′( x −1 − 2018) = 0 ⇔ ⇔ . M
x −1 − 2018 = −2018 (VN) x = −2019 TOÁN
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g (x) = f ( x −1 − 2018) VD x −∞ − 2019 1 2021 + ∞ – VD g′(x) − 0 − || + 0 + C g (x) g ( ) 1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min g (x) = g ( ) 1 .
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f ′(x)
y = f ′ x . Đồ thị hàm số
( ) được cho như hình vẽ bên.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số y NHÓ O 2 5 x M TOÁN
Biết f (0) + f (3) = f (2) + f (5) . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y = f ( x + 3 − 2) V trên đoạn [−1;4] D lần lượt là – A. − VD f (0), f (5) .
B. f (2), f (5) .
C. f (0), f (2). D. f ( ) 1 , f (4) . C Lời giải Chọn B
Từ đồ thị y = f ′(x) trên đoạn [0;5] ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) : NHÓ
Suy ra min f (x) = f (2) . [0;5] M
Từ giả thiết, ta có: f (0) + f (3) = f (2) + f (5) ⇒ f (5) − f (3) = f (0) − f (2) TOÁN
Hàm số f (x) đồng biến trên [2;5]. VD
⇒ f (3) > f (2) ⇒ f (5) − f (2) > f (5) − f (3) = f (0) − f (2) nên f (5) > f (0) . – VD
Suy ra, max f (x) = f (5) . C [0 ] ;5
Đặt t = x + 3 − 2 , với x ∈[−1;4] thì t ∈[0; ]
5 . Khi đó giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số
y = f ( x + 3 − 2) trên đoạn [−1;4] cũng chính là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số
y = f (t) trên đoạn [0; ] 5 .
Do đó min f ( x + 3 − 2) = min f (x) = f (2) ; max f ( x + 3 − 2) = max f (x) = f (5) [−1;4] [0; ] 5 [−1;4] [0; ] 5
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f ′(x) như hình vẽ.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN V D – VD 1 3 3
g x = f x − x − x + x + 2018 C Xét hàm số ( ) ( ) 3 2 3 4 2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? g −3 + g 1
A. min g ( x + 3 − 4) ( ) ( ) = .
B. min g ( x + 3 − 4) = g ( ) 1 . [−2;2] 2 [−2;2]
C. min g ( x + 3 − 4) = g (− ) 3 .
D. min g ( x + 3 − 4) = g (− ) 1 . [−2;2] [−2;2] Lời giải Chọn D
Ta có g′(x) = f ′(x) 2 3 3 − x − x + 2 2 NHÓ M TOÁN VD – VD 3 3 x = 1 − C
g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) 2 = x + x − ⇔ 2 2 x = 1 Lập Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: min g (x) = g (− ) 1 . [ 3 − ] ;1
Đặt t = x + 3 − 4 với x ∈[−2;2] thì t ∈[−3; ] 1 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Khi đó min g ( x + 3 − 4) = min g (t) = g (− ) 1 . [−2;2] [−3 ] ;1
Dạng 11. Cho đồ thị, BBT của hàm số y = f '(x) , tìm GTLN, GTNN của hàm số NHÓ
y = f (x) + b trên khoảng, đoạn. M
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y = f ' (x) như hình vẽ bên dưới và f ( ) 1 = 5 − ; f (3) = 15. TOÁN V D – VD C
Xét hàm số g (x) = f (x) + m . Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để giá
trị nhỏ nhất của hàm số g (x) trên đoạn [1; ]3 bằng 3. Tổng tất cả các phần tử của tập S có giá trị bằng A. 10 − . B. 8 − . C. 8 . D. 10. Lời giải Chọn A NHÓ
Xét hàm số h(x) = f (x) + m liên tục trên đoạn [1; ]3. M T x = − OÁN
Ta có: h' (x) = f ' (x) 1 = 0 ⇔ . x = 1 VD Khi đó h( )
1 = m − 5 ; h(3) = m +15. – VD
Để hàm số y = h(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1; ] 3
y = h x phả Ci
bằng 3 thì đồ thị hàm số ( )
nằm hoàn toàn phía dưới hoặc phía trên trục hoành (tức không cắt trục hoành) trên [1; ] 3 . m = 18 − (tm)
Trường hợp 1: m +15 < 0 ⇔ m < 15
− thì min f (x) + m = m +15 = 3 ⇔ . [1; ]3 m = 12 − (l)
Trường hợp 2: m − 5 > 0 ⇔ m > 5 thì min f (x) + m = m − 5 = 3 ⇔ m = 8 (tm) . [1; ]3 Vậy S = { 18 − ; }
8 . Do đó chọn phương án A.
Câu2. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ Biết f ( 4 − ) = f (4) = 7
− . Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) + 5 trên đoạn [ 4
− ;4] đạt được tại điểm nào? M T A. x = 4 − . B. x = 1 − .
C. x = 2 .
D. x = 4 . OÁN Lời giải V D Chọn C – VD
Xét g (x) = f (x) + 5 ⇒ g' (x) = f ' (x) . C
g' (x) = 0 ⇔ x = 4 − ∨ x = 1
− ∨ x = 2 ∨ x = 4. Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy y = f ( x ) + 5 đạt GTLN tại x = 2 .
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) ′
có đạo hàm trên và có đồ thị f (x) như hình vẽ dưới. NHÓ M TOÁN VD – VD Biết f (2) = 4 − , f ( 2 − ) = 5 − , f (0) = 1
− . Xét hàm số y = g (x) = f ( 2
x − 2) + 3 . Mệnh đề nàoC
dưới đây sai?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số trên [ 2 − ;2] bằng 2.
B. Giá trị lớn nhất của hàm số trên [ 2
− ;2] đạt được tại x = 0 hoặc x = 2.
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ 2 − ;2] bằng 1.
D. Có hai giá trị của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên [ 2 − ;2]. Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
g′(x) = x.f ′( 2 2
x − 2)là hàm số liên tục trên . x = 0 x = 0 x = 0 2 ′ = ⇔ ′ − = ⇔ ⇔ − = − ⇔ = ± NHÓ g (x) 0 2x.f (x 2) 0 . ′ ( x x f x − 2) 2 2 1 1 2 = 0 2 x − 2 = 2 x = 2 ± M T x > 2 2 2 2 OÁN
f ′(x − 2) > 0 ⇔ x − 2 > 2 ⇔ x > 4 ⇔ . x < 2 − V D
Bảng biến thiên của hàm số g (x) – VD C
Từ bảng biến thiên, ta thấy đáp án C là sai.
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f '( x) trên R. Đồ thị f '( x) như hình vẽ sau và f ( 1 − ) < 2 − NHÓ 6 4 M 2 TOÁN -2 -1 -15 -10 -5 1 5 10 15 -2 VD -4 – VD -6 C -8
Khi đó gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số g( x ) = f ( x ) + 2 trên đoạn [ 2 − ]1 ; lần lượt là
M ,m . Tổng M + m bằng A. g( 2
− ) + g(1). B. g( 2 − ) + g( 1 − ). C. f ( 1
− ) + 2 + f (1) + 2 . D. f ( 1
− ) + f (1) + 4 . Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Dựa vào đồ thị của f '( x ) ta có BBT của hàm y = f ( x ) như sau NHÓ M T OÁN 1 − 1
Ngoài ra ta có: f (′ x ) dx < f '( x )dx ⇒ f ( 1 − ) − f ( 2 − ) < f ( 1
− ) − f (1) V ∫ ∫ . 2 − 1 − D – ⇒ f ( 2
− ) > f (1) ⇒ 2 − > f ( 1 − ) > f ( 2
− ) > f (1). VD C
Từ đó f (1) + 2 < f ( 2
− ) + 2 < f ( 1
− ) + 2 < 0 hay g(1) > g( 2 − ) > g( 1 − ).
Dạng 12. Các dạng khác.
Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên và có đồ thị hàm số đạo hàm y = f ' (x) như hình vẽ. NHÓ M
Xét hàm số g (x) = f (x) 1 3 3 2 3
− x − x + x + 2019. Mệnh đề nào dưới đây đúng? T 3 4 2 OÁN
A. min g (x) = g ( 3 − ) .
B. min g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ] ;1 [ 3 − ] ;1 VD g 3 − + g 1 –
C. min g (x) = g (− ) 1 .
D. min g (x) ( ) ( ) = . VD [ 3 − ] ;1 [ 3 − ] ;1 2 C Lời giải Chọn C
• Ta có: g' (x) = f ' (x) 2 3 3 − x − x + ; 2 2
g' (x) = ⇔ f ' (x) = h(x) 2 3 3 0 = x + x − 2 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số x = 3 − ⇔ x = 1 − . x = 1 NHÓ • Bảng biến thiên: M TOÁN V D – VD C
• Dựa vào bảng biến thiên ta có: min g (x) = g (− ) 1 . [ 3 − ] ;1
Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) , hàm số f ′( x) có đồ thị như hình vẽ NHÓ M T OÁN
Giá trị nhỏ nhất của hàm số g (x) 1 = f ( x − ) 11 2 1 + (2x − )2
1 − 4x trên khoảng 5 0; bằng VD 2 19 2 – 1 11 1 `14 VD A. f ( ) 1 + . B. f (4) − . 2 19 2 19 C
C. 1 f (0) − 2 . D. 1 f ( ) 70 2 − . 2 2 19 Lời giải Chọn D
Ta có g′(x) = f ′( x − ) 44 2 1 + (2x − )
1 − 4 = 0 ⇔ f ′( x − ) 44 2 1 = − (2x − ) 1 + 4 . 19 19
Đặt t = x − ⇒ f ′(t) 44 2 1 = − t + 4 với 5 0 ≤ x ≤ ⇒ 1 − ≤ t ≤ 4 . 19 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN V D – VD C 44 t =
Từ đồ thị ta có f ′(t) 0 = − t + 4 ⇔ . 19 t = 2
Lập bảng biến thiên hàm số g (t) Giá trị nhỏ nhất hàm số đạt được khi 3 t = 2 ⇔ x = . 2 suy ra (g (x)) 1 = f ( ) 70 2 − . min 2 19
Câu 3: Cho hàm số f ( x) . Biết hàm số y = f ′( x) có đồ thị như hình bên. NHÓ M TOÁN VD – VD Trên đoạn [ 4; −
]3, hàm số g(x) = f (x) + ( − x)2 2 1
đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm C A. x = 3 − . B. x = 4 − . C. x = 1 − .
D. x = 3 . 0 0 0 0 Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 42
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số NHÓ M TOÁN V D – VD Ta có C
g′(x) = 2 f ′(x) − 2(1− x).
g′(x) = 0 ⇔ 2 f ′(x) − 2(1− x) = 0 ⇔ f ′(x) =1− x . x = 4 −
Dựa vào hình vẽ ta có: g (x) 0 ′ = ⇔ x = 1 − . x = 3
Và ta có bảng biến thiên NHÓ M T
Suy ra hàm số g (x) = f (x) + ( − x)2 2 1
đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = 1 − . 0 OÁN
Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ dưới đây. VD y – VD 4 C 2 3 − O 1 3 x 2 −
Xét hàm số g (x) = f (x) −(x + )2 2
1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. min g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ; ] 3
B. max g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ; ] 3
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 43
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
C. max g (x) = g (3) . [ 3 − ; ] 3
D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số g (x) trên [ 3; − ]3. NHÓ Lời giải M Chọn B TOÁN
g′(x) = 2 f ′(x) − 2(x + )
1 = 0 ⇔ f ′(x) = x +1(∗) . V D – VD C
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′(x) ta thấy đường thẳng y = x +1 cắt đồ thị hàm số y = f ′(x) tại x = 3 −
ba điểm lần lượt có hoành độ là: 3
− ;1;3. Do đó phương trình ( ) ∗ ⇔ x =1 . x = 3
Bảng biến thiên của hàm số y = g (x) NHÓ M TOÁN VD – VD C
Vậy max g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ; ] 3
Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm và liên tục trên . Biết rằng đồ thị hàm số y = f ′( x) như dưới đây. 6 y 5 4 3 2 -1 x O 1 2 -1 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 44
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số Xét hàm số ( ) = ( ) 2 g x
f x − x − x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. g (− ) 1 > g ( ) 1 > g (2) . B. g (− )
1 > g (2) > g ( ) 1 . NHÓ C. g ( )
1 > g (2) > g (− ) 1 . D. g ( )
1 > g (2) > g (− ) 1 . M Lời giải TOÁN Chọn D V
Ta có g′(x) = f ′(x) − 2x −1 = 0 ⇔ f ′(x) = 2x +1(∗). D – VD C
Dựa vào độ thị hàm số y = f ′(x) , ta thấy đường thẳng y = 2x +1 cắt đồ thị hàm số y = f ′(x) x = 1 −
tại ba điểm lần lượt có hoành độ là 1; − 1;2. Do đó ( ) ∗ ⇔ x =1 . x = 2 NHÓ
Bảng biến thiên của hàm số g (x) M TOÁN VD – VD C
Từ bảng biến thiến suy ra max = g ( ) 1 . [ 1 − ;2]
Đồ thị hàm số y = g′(x) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x ( 1 − < x < 0 . 0 ) 0
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = g′(x) , y = 0, x = 1 − , x = x0 0 x
S = − g′ x dx = g 1 − − g x . 1 ∫ ( ) ( ) ( 0) 1 −
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = g′(x) , y = 0, x = x0 , x = 2 2
S = g′ x dx = g 2 − g x . 2 ∫ ( ) ( ) ( 0) 0 x
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 45
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
S < S ⇒ g 1
− − g x < g 2 − g x ⇔ g 1 − < g 2 . 1 2 ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( ) ( ) Vậy g ( )
1 > g (2) > g (− ) 1 . NHÓ
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f '(x) liên tục trên và đồ thị của hàm số f '(x) trên đoạn M [ 2;
− 6] như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. TOÁN V D – VD C
A. max f (x) = f ( 2 − ) .
B. max f (x) = f (2) . x [ ∈ 2 − ;6] x [ ∈ 2 − ;6]
C. max f (x) = f (6) .
D. max f (x) = f ( 1) − . x [ ∈ 2 − ;6] x [ ∈ 2 − ;6] Lời giải Chọn C NHÓ
Từ đồ thị của hàm số f '(x) ta có bảng biến thiên hàm số y = f (x) trên [ 2; − 6] M TOÁN VD – VD C
Do đó hàm số y = f (x) x = − x = .
đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại 1 hoặc 6
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f '(x) và trục Ox . 1 2
⇒ S = − f '(x) dx = f ( 1) − − f (2) . 1 ∫[ ] 1 −
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f '(x) , trục Ox và hai đường 2
thẳng x = 2; x = 6 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 46
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số 6
⇒ S = f '(x)dx = f (6) − f (2) 2 ∫ . 2
Ta có S > S ⇒ f (6) − f (2) > f ( 1
− ) − f (2) ⇔ f (6) > f ( 1 − ) . NHÓ 2 1 M
Vậy max f (x) = f (6) . x [ ∈ 2 − ;6] TOÁN
Câu 7: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′(x) . Hàm số y = f ′( x) liên tục trên tập số thực và có đồ V thị như hình vẽ. D – VD C Biết f (− ) 13
1 = , f (2) = 6. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 g (x) 3
= f (x) − 3 f (x) trên [ 1; − 2] bằng A. 1573 B. 198. C. 37 . D. 14245 . 64 4 64 NHÓ Lời giải M T Chọn D OÁN VD
Từ đồ thị hàm số y = f ′(x) ta có bảng biến thiên – VD C Ta có g′(x) 2
= 3 f (x). f ′(x) −3 f ′(x) . x = 1 − Xét trên đoạn [ 1;
− 2] ta có g′(x) = 0 ⇔ 3 f ′(x) 2
f (x) −1 = 0 ⇔ f ′(x) = 0 ⇔ . x = 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 47
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số g (− ) 1573 1 = , g (2) =198. 64 Từ đó suy ra g (x) = g (x) 1573 max 198,min = . NHÓ [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] 64 M Vậy g (x) + g (x) 14245 max min = . [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] T 64 OÁN
Câu 8: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên . Biết rằng hàm số y = f '( x) có đồ thị như hình vẽ V bên. D – VD C 3 x
Xét hàm số y = g (x) thỏa mãn g ( x) = f ( x) 2 −
+ x − x + 2. Hỏi mệnh đề nào sau đây là 3 đúng?
A. max g ( x) = g ( ) 1 .
B. max g ( x) = g (2).. [0; 2] [0; 2] NHÓ g (0) + g (2)
C. max g ( x) = g (0).
D. max g (x) = .. M [0; 2] [0; 2] 2 TOÁN Lời giải VD Chọn A – 3 VD x
+) Xét hàm số g ( x) = f ( x) 2 −
+ x − x + 2 trên . Ta có C 3
g (x) = f (x) 2 ' '
− x + 2x −1 = f '(x) − (x − )2 1 , x ∀ ∈ .
Khi đó g ( x) = ⇔ f ( x) = ( x − )2 ' 0 ' 1 , x ∈ .
+) Từ đồ thị của hàm số y = f '( x) và đồ thị của parabol y = (x − )2
1 ta thấy chúng cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần
lượt là x = 0, x =1, x = 2.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 48
NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số
Ngoài ra trên miền x ∈( ;
−∞ 0) ∪(1; 2) thì đồ thị hàm số y = f '( x) nằm phía dưới đồ thị của parabol y = (x − )2 1 nên
f (x) < (x − )2 ' 1 , x ∀ ∈( ;
−∞ 0) ∪(1; 2) và trên miền NHÓ x ∈(0; )
1 ∪(2; + ∞) thì đồ thị hàm số y = f '( x) nằm phía trên đồ thị của parabol y = (x − )2 1 M
nên f ( x) > ( x − )2 ' 1 , x ∀ ∈(0; ) 1 ∪(2; + ∞). TOÁN
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g ( x) V D – VD C
+) Từ bảng biến thiên, ta có max g (x) = g ( ) 1 . [0; 2] NHÓ M TOÁN VD – VD C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 49
Document Outline
- SP-GTLN,GTNN CỦA Hàm ân Phan I
- SP-GTLN,GTNN CỦA Hàm ân Phan II