Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tính đơn điệu của hàm số Toán 12

Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tính đơn điệu của hàm số Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

24 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

103 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN
LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
(chuyên đề gồm 106 trang)
ĐỀ CƯƠNG CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG HÀM SỐ
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm cực trị của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm tiệm cận của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình.
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số.
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến phép biến đổi đồ thị
PHẦN A - CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
( )
y fx=
PHẦN 1: Biết đặc điểm của hàm số
Dạng toán 1. Các bài toán về tính đơn điệu của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10)
Câu 1: Cho parabol
( )
P
:
( )
2
y f x ax bx c= = ++
,
0a ≠
biết:
(
)
P
đi qua
(4;3)M
,
(
)
P
cắt
Ox
tại
(3; 0)
N
và
sao cho
INQ∆
có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm
Q
nhỏ hơn
3
. Khi đó hàm số
( )
21fx−
đồng biến trên khoảng nào sau đây
A.
1
;
2

+∞


. B.
( )
0; 2
. C.
(
)
5; 7
. D.
( )
;2−∞
.
Lời giải
Chọn C
Vì
(
)
P
đi qua
(4;3)M
nên
3 16 4a bc= ++
(1)
Mặt khác
( )
P
cắt
Ox
tại
(3; 0)N
suy ra
09 3a bc=++
(2),
( )
P
cắt
Ox
tại
nên
( )
;0 , 3Qt t<
Theo định lý Viét ta có
3
3
b
t
a
c
t
a
+=−
=
Ta có
1
.
2
INQ
S IH NQ
∆
=
với
H
là hình chiếu của
;
24
b
I
aa
∆

−−


lên trục hoành
Do
4
IH
a
∆
= −
,
3NQ t= −
nên
(
)
1
1 .3 1
24
INQ
St
a
∆
∆
=⇔− −=
( ) ( )
( )
( )
2
2
3
3
2 28
3 3 33
24
t
bc
t tt t
a aa a a
+

⇔− −= ⇔− −= ⇔− =


(3)
Từ (1) và (2) ta có
7 3 37ab b a+=⇔=−
suy ra
37 1 4
3
3
at
t
aa
−−
+=− ⇔ =
Thay vào (3) ta có
(
)
( )
3
32
84
3 3 27 73 49 0 1
3
t
t ttt t
−
− = ⇔ − + − = ⇔=
Suy ra
1 43ab c=⇒ =−⇒ =
.
Vậy
( )
P
cần tìm là
( )
2
43y fx x x= =−+
.
Khi đó
( ) (
) ( )
2
2
21 21 42134 128fx x x x x− = − − − += − +
Hàm số đồng biến trên khoảng
3
;
2

+∞


.
Câu 2: Cho hai hàm số bậc hai
(), ()y f x y gx= =
thỏa mãn
2
( ) 3 (2 ) 4 10 10fx f x x x+ −= − +
;
(0) 9; (1) 10; ( 1) 4gg g= = −=
. Biết rằng hai đồ thi hàm số
(), ()y f x y gx= =
cắt nhau tại
hai điểm phân biệt là
,AB
. Đường thẳng
d
vuông góc với
AB
tạo với hai trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng 36. Hỏi điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
d
?
A.
( )
2;1M −
B.
( )
1; 9N −
C.
( )
1; 4P
D.
( )
3; 5Q
Lời giải
Chọn B
Gọi hàm số
2
()f x ax bx c= ++
ta có
2
( ) 3 (2 ) 4 10 10fx f x x x
+ −= − +
2 22
3 (2 ) (2 ) 4 10 10ax bx c a x b x c x x

⇔ + ++ − + − + = − +

2
11
2 12 10 1 ( ) 1
12 6 4 10 1
aa
b a b fx x x
abc c
= =


⇔ − − =− ⇔ =−⇒ = − +


++= =

.
Gọi hàm số
2
()g x mx nx p= ++
ta có
(0) 9; (1) 10; ( 1) 4
gg g= = −=
ra hệ giải được
2
2; 3; 9 ( ) 2 3 9m n p gx x x=− = =⇒ =− ++
.
Khi đó tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình
22
22
1 2 2 22
3 11
2 39 2 39
yx x y x x
yx
y xx y xx

= −+ = − +

⇔ ⇒=+

=− ++ =− ++


Do đó đường thẳng AB:
1 11
:3
33
y x dy x k= + ⇒ =−+
. Đường thẳng
d
cắt hai trục tọa
độ tại
( )
0; ; ; 0
3
k
E kF



. Diện tích tam giác
OEF
là
1
66
23
k
kk=⇔=±
Vậy phương trình đường thẳng
d
là:
: 3 6, -3 - 6dy x y x=−+ =
. Chọn đáp án B
Câu 3: Biết đồ thị hàm số bậc hai
2
( 0)y ax bx c a= ++ ≠
có điểm chung duy nhất với
2,5
y = −
và cắt đường thẳng
2
y =
tại hai điểm có hoành độ lần lượt là
1−
và
5
. Tính
P abc=++
.
A.
1
. B.
0
. C.
1−
. D.
2−
.
Lời giải
Chọn D
Gọi (P):
( )
2
,0y ax bx c a= ++ ≠
.
Ta có:
+)
( )
P
đi qua hai điểm
( )
( )
1;2 ; 5;2−
nên ta có
24
25 5 2 2 5
abc b a
a bc c a
−+= =−

⇔

+ += =−

+)
( )
P
có một điểm chung với đường thẳng
2,5y = −
nên
( )
2
22
41
2,5 2,5 16 4 2 5 10 36 18 0 .
44 2
b ac
aa a a a a a
aa
−∆ −
=− ⇔ = ⇔ − − = ⇔ − =⇔=
Do đó:
1
2; .
2
bc
=−=−
Dạng toán 2. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số
( )
y fx=
trong bài toán
không chứa tham số.
Câu 4: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
thỏa mãn
( )
10f <
và
( )
( )
642
3 2, .fx xfx x x x x− = + + ∀∈


Hàm số
( ) ( )
2
2gx f x x= +
đồng biến trên
khoảng
A.
( )
1; 3
. B.
1
0;
3



. C.
1
;1
3



. D.
( )
1; +∞
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
2
64 2 642
32 . 32 0
fx xfx x x x fx xfx x x x
− =+ + ⇔ − −− − =


Đặt
( )
t fx=
ta được phương trình
2 64 2
. 32 0t xt x x x−−− − =
Ta có
( ) ( )
2
2 642 6 42 3
4 32412923x xxxxxxxx∆= − − − − = + + = +
Vậy
3
3
3
3
23
2
2
23
2
xx x
t xx
xx x
t xx
++
= = +
−−
= =−−
. Suy ra
( )
( )
3
3
2fx x x
fx x x
= +
=−−
Do
( )
10f <
nên
( )
3
fx x x
=−−
.
Ta có
( ) ( )
32 2
1
2 ' 3 4 1 0 1.
3
gx x x x g x x x x=− + − ⇒ =− + −> ⇔ < <
Câu 5: Cho đa thức
( )
fx
hệ số thực và thỏa điều kiện
( ) ( )
2
2 1 ,.fx f x x x R+ − = ∀∈
Hàm số
( )
2
3. 4 1y xf x x x= +++
đồng biến trên
A.
{ }
\1R −
. B.
(0; )+∞
. C.
R
. D.
( ;0)−∞
.
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết, thay
x
bởi
1x
−
ta được
( ) ( ) ( )
2
2 1 1.f x fx x−+ =−
Khi đó ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
21
3 2 1.
21 2 1
fx f x x
fx x x
f x fx x x
+ −=
→ = + −
−+ =−+
Suy ra
32 2
3 3 1 3 6 3 0,yx x x y x x xR
′
= + + +⇒ = + + ≥ ∀∈
. Nên hàm số đồng biến trên
.
Câu 6: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên
[ ]
1;1−
và thỏa
( )
10f =
,
( )
( )
( )
2
2
4 8 16 8f x fx x x
′
+ =+−
. Hàm số
( ) ( )
3
1
23
3
gx f x x x= − −+
đồng biến trên
khoảng nào?
A.
(
)
1;2
−
. B.
( )
0;3
. C.
( )
0;2
. D.
( )
2;2−
.
Lời giải
Chọn C
Chọn
( )
2
f x ax bx c= ++
( )
0a ≠
(lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai).
( )
2f x ax b
′
⇒=+
.
Ta có:
(
)
(
)
(
)
2
2
4 8 16 8
f x fx x x
′
+ =+−
( )
( )
2
22
2 4 8 16 8ax b ax bx c x x⇔ + + ++= + −
( )
( )
22 2 2
4 4 4 4 4 8 16 8a a x ab b x b c x x
⇔ + + + ++= + −
Đồng nhất 2 vế ta được:
2
2
4 48
4 4 16
48
aa
ab b
bc
+=
+=
+=−
1
2
3
a
b
c
=
⇔=
= −
hoặc
2
4
6
a
b
c
= −
= −
= −
.
Do
( )
10 0f abc=⇒++=
1
a
⇒=
,
2b =
và
3c = −
.
Vậy
( )
2
23fx x x=+−
( ) ( ) ( )
32 2
0
1
' 2 '0
2
3
x
gx x x gx x x gx
x
=
⇒=−+⇒=−+⇒=⇔
=
.
Ta có bảng biến thiên
x
−∞
0
2
+∞
( )
'gx
−
0
+
0
−
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
0;2
.
Câu 7: Cho hàm số
( )
32
y f x ax bx cx d= = + ++
có đồ thị như hình bên. Đặt
( )
(
)
2
2gx f x x= ++
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A.
( )
gx
nghịch biến trên khoảng
( )
0; 2
. B.
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
1; 0−
.
C.
( )
gx
nghịch biến trên khoảng
1
;0
2
−



. D.
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
;1−∞ −
.
Lời giải
Chọn C
Hàm số
( )
32
y f x ax bx cx d= = + ++
;
( )
2
32f x ax bx c
′
= ++
, có đồ thị như hình vẽ.
Do đó
04xd=⇒=
;
2842 0x abcd=⇒ + + +=
;
( )
2 0 12 4 0f a bc
′
=⇒ + +=
;
( )
00 0fc
′
=⇒=
. Tìm được
1; 3; 0; 4ab c d
==−= =
và hàm số
32
34yx x=−+
.
x
y
2
4
Ta có
(
)
(
)
2
2gx f x x= ++
(
)
(
)
3
22
2 3 24xx xx
= ++ − ++ +
(
)
( )
( ) ( )
22
31
21 2321321 21
22
gx x xx x x xx

′
⇒ = + ++− + = + ++−


;
( )
1
2
01
2
x
gx x
x
= −
′
=⇔=
= −
.
Bảng xét dấu của hàm
( )
y gx=
:
x
y
′
y
−∞
+∞
1
0
−
+
+∞
0
0
1/2−
2
−
−
+∞
+
4
4
7 7 10
8
−
Vậy
( )
y gx=
nghịch biến trên khoảng
1
;0
2
−



.
Câu 8: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
có
( )
20f −<
. Đồ thị hàm số
( )
'
y fx=
như hình
vẽ
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số
( )
2
1
yf x= −
nghịch biến trên
( )
;2−∞ −
.
B. Hàm số
( )
2
1yf x
= −
đồng biến trên
( )
;2
−∞ −
.
C. Hàm số
( )
2
1yf x= −
nghịch biến trên
( )
1; 0−
.
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
(
)
2f −
.
Lời giải
Chọn A
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
y fx=
Ta có
( )
( )
22
2 0;1 1 1 0.f x fx x− < − ≤ ⇒ − < ∀∈
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1 ' 0 2;1 3; 3
0 ' ; 2 ; 3 3;
t x ft t x
ft t x
= − ⇒ < ⇒∈− ⇔ ∈−
< ⇒ ∈ −∞ − ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 22
2
4'
1' 1
xf t f t
gx f x g x f x
ft
−
= −⇒ = −=
Dạng toán 3. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số
( )
y fx=
trong bài toán
chứa tham số.
Câu 9: Cho hàm số , có đồ thị là . Biết rằng
đồ thị đi qua gốc tọa độ và có đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ
Tính giá trị .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Do là hàm số bậc ba nên là hàm số bậc hai.
Dựa vào đồ thị hàm số thì có dạng với . Đồ thị đi qua
điểm nên vậy .
Vậy .
( )
32
y f x ax bx cx d= = + ++
( )
,,, , 0abcd a∈≠
( )
C
( )
C
( )
y fx
′
=
( ) ( )
42Hf f= −
58H =
51H =
45H =
64H =
( )
fx
( )
fx
′
( )
fx
′
( )
fx
′
( )
2
1f x ax
′
= +
0a >
( )
1; 4A
3a =
( )
2
31fx x
′
= +
( ) ( ) ( )
( )
44
2
22
4 2 d 3 1 d 58H f f fxx x x
′
= − = = +=
∫∫
O
x
y
1
1−
4
1
Câu 10: Cho hàm số
( )
432
f x ax bx cx dx m= + + ++
, (với
,,, ,abcdm∈
). Hàm số
( )
y fx
′
=
có đồ
thị như hình vẽ bên dưới:
Tập nghiệm của phương trình
( )
48f x ax m= +
có số phần tử là:
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
32
432f x ax bx cx d
′
= + ++
( )
1
.
Dựa vào đồ thị ta có
( ) (
)( )
( )
14 5 3
f x ax x x
′
=− ++
32
4 13 2 15ax ax ax a= + −−
( )
2
và
0
a ≠
.
Từ
( )
1
và
(
)
2
suy ra
13
3
ba=
,
ca= −
và
15da= −
.
Khi đó:
( )
48f x ax m= +
⇔
432
48
ax bx cx dx ax+ + +=
⇔
4 32
13
63 0
3
ax x x x

+ −− =


4 32
3 13 3 189 0x xx x⇔+ −− =
0
3
x
x
=
⇔
=
.
Vậy tập nghiệm của phương trình
(
)
48f x ax m
= +
là
{ }
0;3S =
.
Câu 11: Cho hàm số
( )
432
f x x bx cx dx m=+ + ++
, (với
,,, ,abcd m∈
). Hàm số
( )
y fx
′
=
có đồ
thị như hình vẽ bên dưới:
Biết rằng phương trình
( )
f x nx m= +
có 4 nghiệm phân biệt. Tìm số các giá trị nguyên
của
n
.
A.
15
. B.
14
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
32
43 2
f x x bx cx d
′
=+ ++
( )
1
.
Dựa vào đồ thị ta có
( ) ( )( )( )
14 5 3fx x x x
′
=− ++
32
4 13 2 15
x xx= + −−
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra
13
3
b =
,
1c = −
và
15d = −
.
Khi đó:
( )
f x nx m= +
⇔
432
x bx cx dx nx
+ + +=
⇔
4 32
32
0
13
15
13
3
15 (*)
3
x
x x x x nx
x xx n
=
+ −− = ⇔
+ −− =
Phương trình
( )
f x nx m= +
có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
(*)
có 3
nghiệm phân biệt khác
0
Xét hàm số
32
13
( ) 15
3
gx x x x= + −−
'2
3
26
() 3 1 0
1
3
9
x
gx x x
x
= −
= + −= ⇔
=
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có phương trình
(*)
có 3 nghiệm phân biệt khác
0
biệt khi và chỉ
khi
{ }
1; 2;...; 14n ∈− − −
Câu 12: Cho hàm số
( )
y fx=
, hàm số
( ) ( )
32
,,f x x ax bx c a b c
′
=+ ++ ∈
có đồ thị như hình vẽ
Hàm số
( )
( )
( )
gx f f x
′
=
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
(
)
1;
+∞
. B.
( )
;2−∞ −
. C.
( )
1; 0−
. D.
33
;
33

−



.
Lời giải
Chọn B
Vì các điểm
( ) ( ) ( )
1;0 , 0;0 , 1;0−
thuộc đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
nên ta có hệ:
( ) ( )
32
1 00
0 1 '' 3 1
1 00
abc a
c b fx x x f x x
abc c
−+ − + = =


′
= ⇔ =−⇒ = − ⇒ = −


+++= =

Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
. ''gx ffx gx f fx f x
′ ′ ′′
= ⇒=
Xét
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )
3
3
32
3
2
0
1
0 ' . 0 3 10
1
3 10
xx
xx
gx gx f f x f x f x x x
xx
x
−=
−=
′ ′ ′ ′′ ′
=⇔ = =⇔ − −=⇔
−=−
−=
1
0
1,325
1,325
3
3
x
x
x
x
x
= ±
=
⇔=
= −
= ±
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên
( )
gx⇒
nghịch biến trên
( )
;2−∞ −
Dạng toán 4. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm
( )
fx
, xét
sự biến thiên của hàm
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
; ,... ...y f x y ffx y fff x
ϕ
= = =
trong bài toán
không chứa tham số
Câu 13: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm trên
và có đồ thị hàm
(
)
fx
′
như hình vẽ dưới đây.
Hàm số
( )
(
)
2
gx f x x
= −
đồng biến trên khoảng nào?
A.
1
;1
2



. B.
( )
1; 2
. C.
1
1;
2

−


. D.
( )
;1−∞ −
.
Lời giải
Chọn C
( )
( )
2
gx f x x= −
( ) ( )
( )
2
21gx x f x x
′′
⇒=− −
.
( )
( )
2
2
2
1
1
2
0
2
2 10
0 01
0
1
2
2
x
x
x
x
gx x x x
fx x
x
xx
x
=
=
=
−=
′
=⇔ ⇔ −=⇔ =
′
−=
= −
−=
=
.
Từ đồ thị
( )
fx
′
ta có
(
)
22
2
02
1
x
fxx xx
x
>
′
− >⇔ −>⇔
<−
,
Xét dấu
( )
gx
′
:
Từ bảng xét dấu ta có hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
1
1;
2

−


.
Câu 14: Cho hàm số
( )
y fx=
. Hàm số
( )
y fx
′
=
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
( )
2
1
yf x= +
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
3;+∞
. B.
( )
3; 1−−
. C.
( )
1; 3
. D.
( )
0;1
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
(
) ( )
22
1 2. 1y f x xf x
′

′′
=+= +

2
2
0
0
01 2 1
14
3
x
x
y xx
x
x
=
=
′
⇒=⇔+ =⇔ =±
+=
= ±
.
Mặt khác ta có
( )
22
31
1 0 21 4
13
x
fx x
x
− < <−
′
+ < ⇔ <+ < ⇔
<<
.
Ta có bảng xét dấu:
Vậy hàm số
(
)
2
1yf x= +
nghịch biến trên khoảng
( )
1; 3
.
Câu 15: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( ) ( )( )
2
2
2028 2023fx xx x
′
=−−
. Khi đó hàm số
( )
2
( ) 2019y gx f x= = +
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.
( )
2; 2−
. B.
( )
0;3
. C.
( )
3; 0−
. D.
( )
2; +∞
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
2
( ) 2019y gx f x= = +
( ) ( ) ( )
22 2
( ) 2019 2019 2 . 2019y gx x fx xfx
′
′
′ ′′
⇒= = + + = +
.
Mặt khác
( ) ( )( )
2
2
2028 2023fx xx x
′
=−−
. Nên suy ra:
(
) (
) ( )( )
( )
(
)(
) ( )
( )( )( ) ( )
22
2 22 2
22 2
22
2 22 2
( ) 2 . 2019 2 . 2019 2019 2038 2019 2023
2 . 2019 9 4 2 . 2019 3 3 2 2
y g x xf x x x x x
xx x x xx x x x x
′
′′
= = + = + +− +−
= + − −= + − + − +
.
( )
( )( )( ) ( )
2
22
2
0 ( )
3 ( )
2 . 2019 3 3 2 2 0 3 ( )
2 ( 2)
2 ( 2)
x nghiem don
x nghiem don
y x x x x x x x nghiem don
x nghiem boi
x nghiem boi
=
=
′
= + − + − + =⇔=−
=
= −
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số
( )
2
( ) 2019y gx f x= = +
đồng biến trên khoảng
( )
3; 0−
và
( )
3; +∞
.
Câu 16: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
. Biết rằng hàm số
( )
y fx
′
=
có đồ thị như hình vẽ
bên dưới:
Hàm số
( )
2
5y fx= −
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A.
( )
;3−∞ −
. B.
( )
5; 2−−
. C.
13
;
22



. D.
( )
2; +∞
.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
( )
2
5y fx= −
Ta có
( )
2
2. 5y xf x
′′
= −
22
22
22
00
0 ( 3)
55 0
03
52 3
22
53 8
xx
x nghiem boi
xx
yx
xx
x
xx
= =

=

−=− =

′
=⇔ ⇔ ⇔=±

−=− =

= ±
−= =

.
Ta lại có: khi
(
)
30
x fx
′
>⇒ >
suy ra:
( ) ( )
2 22
53 22 502. 50x x fx xfx
′′
−>⇒> ⇒ −>⇒ −>
Từ đó ta có bảng biến thiên:
Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên các khoảng
(
)
( ) ( )
2 2; 3 ; 0; 3 ; 2 2;
− − +∞
.
Mà
( )
13
; 0; 3
22

⊂


.
Dạng toán 5. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm
( )
fx
, xét
sự biến thiên của hàm
( )
(
)
(
)
( )
(
)
,... ...y ffx y fff x= =
trong bài toán chứa tham số.
Câu 17: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm trên
. Biết đồ thị hàm số
( )
'y fx=
như hình vẽ.
Biết
S
là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
thoả mãn
( )
2019;2019
m ∈−
sao
cho hàm số
( ) ( )
gx f x m= −
đồng biến trên khoảng
( )
2;0−
. Số phần tử của tập
S
là
A.
2017
. B.
2019
. C.
2015
. D.
2021
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( )
''gx f xm= −
.
Suy ra
( )
11
'0
22
xm x m
gx
xm x m
−=− =−

=⇔⇔

−= =+

.
Do đó từ đồ thị hàm số
( )
'y fx=
suy ra
( ) ( )
'0' 0 2 2gx f xm xm x m>⇔ − >⇔− >⇔> +
.
Hàm số
( ) (
)
gx f x m
= −
đồng biến trên khoảng
( )
2;0−
khi và chỉ khi
( )
( )
' 0, 2;0gx x≥ ∀∈−
22 4
mm⇔ + ≤− ⇔ ≤−
.
Mà tham số
( )
2019;2019m ∈−
và là gía trị nguyên thoả mãn
4
m
≤−
nên
{ }
2018; 2017;...; 5; 4m ∈− − − −
. Vậy tập
S
có 2015 phần tử.
Câu 18: Cho hàm số
( )
y fx
=
có đạo hàm
( ) ( )
( )
22
25f x x x x mx
′
= + ++
với
x∀∈
. Số giá trị
nguyên âm của
m
để hàm số
( )
( )
2
2gx f x x= +−
đồng biến trên
(
)
1;
+∞
là
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
7
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
( )
2
21 2gx x f x x
′′
= + +−
.
Hàm số đồng biến trên
( )
1; +∞
khi
( )
( )
2
21 20x fx x
′
+ +− ≥
,
( )
1;x∀ ∈ +∞
( )
2
20fx x
′
⇔ +− ≥
,
( )
1;x∀ ∈ +∞
( ) ( ) ( ) ( )
22
2 22 2
2 2 25 0xx xxxx mxx

⇔ +− + +− + +− + ≥


,
( )
1;x
∀ ∈ +∞
( )
1
.
Đặt
2
2tx x= +−
với
0t >
, do
( )
1;x
∈ +∞
.
( ) ( )
( )
22
1 2 50t t t mt⇒ + + +≥
,
0t∀>
2
50
t mt⇔ + +≥
,
0t∀>
5
mt
t

⇔ ≥− +


,
0t∀>
2 5 4, 47m⇔ ≥− ≈−
.
Do
m
nguyên âm nên
{ }
4;3;2;1m∈−−−−
.
Câu 19: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên
là
( ) ( )( )
13fx x x
′
=−+
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
[ ]
10;20−
để hàm số
( )
2
3y fx xm= +−
đồng biến
trên khoảng
(
)
0; 2
.
A.
18
. B.
17
. C.
16
. D.
20
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
( )
( )
22
3 23 3y fx xm x f x xm
′′ ′
= +− = + +−
.
Theo đề bài ta có:
( ) ( )( )
13fx x x
′
=−+
suy ra
( )
3
0
1
x
fx
x
<−
′
>⇔
>
và
( )
03 1fx x
′
< ⇔− < <
.
Hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
0; 2
khi
( )
0, 0;2yx
′
≥ ∀∈
(
)
( )
( )
2
2 3 3 0, 0; 2x fx xm x
′
⇔ + + − ≥ ∀∈
.
Do
( )
0; 2x ∈
nên
( )
2 3 0, 0; 2xx+ > ∀∈
. Do đó, ta có:
( )
( )
22
2
22
3 3 33
0, 0; 2 3 0
3 1 31
xxm mxx
y x fx xm
xxm mxx

+−≤− ≥++
′′
≥ ∀∈ ⇔ + − ≥ ⇔ ⇔

+−≥ ≤+−

[ ]
( )
[ ]
( )
2
0;2
2
0;2
max 3 3
13
1
min 3 1
m xx
m
m
m xx
≥ ++
≥
⇔⇔
≤−
≤ +−
.
Do
[
]
10;20m
∈−
,
m ∈
nên có
18
giá trị nguyên của
m
thỏa yêu cầu đề bài.
Dạng toán 6. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm
( )
fx
, xét
sự biến thiên của hàm
( )
( )
( )
( ) (
)
ln , ,sin , osf ...
fx
y fx y e fxc x
= =
trong bài toán không
chứa tham số
Câu 20: Cho hàm số
( )
fx
có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số
( ) (
)
32 1 2
3
fx fx
ye
−+ −
= +
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
(
)
1;+∞
. B.
( )
1;3−
. C.
(
)
;2−∞ −
. D.
( )
2;1−
.
Lời giải
Chọn D
Ta có :
( )
( )
( )
( )
(
)
( ) ( )
( )
32 1 2 32 1 2
32. 2.3.ln3 2.3 3.ln3
fx fx fx fx
yfxe fx fxe
−+ − −+ −
′′ ′ ′
=− − − − =−− +
.
(
) ( )
0 20 20y fx fx
′′ ′
> ⇔− − > ⇔ − <
21 3
12421
xx
xx
− <− >

⇔⇔

<−< −<<

.
Câu 21: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên.
Hỏi hàm số
( )
( ) ( )
2017 2020 2018 2019 2020fx fx
y gx e
π
−+ −
= = +
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
2016; 2018 .
B.
(
)
2017; 2019 .
C.
(
)
2018; 2020 .
D.
( )
2021; 2023 .
Lời giải
Chọn C
+) Xét hàm số
( )
( ) ( )
2017 2020 2018 2019 2020fx fx
y gx e
π
−+ −
= = +
xác định và liên tục trên
.
Ta có
( ) (
)
( )
( )
( )
2017 2020 2018 2019 2020
' 2017 ' 2020 2019ln ' 2020
fx fx
gx fx e fx
ππ
−+ −
=− +−
( )
(
)
(
)
( )
2017 2020 2018 2019 2020
' ' 2020 2017 2019 ln , .
fx fx
gx f x e x
ππ
−+ −

= − + ∀∈

+) Do
( )
( )
2017 2020 2018 2019 2020
2017 2019 ln 0,
fx fx
ex
ππ
−+ −
+ > ∀∈
nên
( ) (
)
' 0 ' 2020 0.
gx f x<⇔ − <
Hơn nữa từ đồ thị của hàm số
( )
y fx=
, ta thấy hàm số
( )
y fx=
nghịch biến trên mỗi
khoảng
( )
0; 2
và
( )
4; ,+∞
suy ra
( ) ( ) ( )
' 0, 0; 2 4; .fx x< ∀ ∈ ∪ +∞
Khi đó bất phương trình
( )
0 2018 2 2018 2020
' 2020 0 .
2018 4 2022
xx
fx
xx
<− < <<

− <⇔ ⇔

−> >

+) Vậy
( ) ( ) ( )
' 0, 2018; 2020 2022; .gx x< ∀ ∈ ∪ +∞
Khi đó hàm số
( )
y gx=
nghịch biến
trên mỗi khoảng
( )
2018; 2020
và
( )
2022; .+∞
Câu 22: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm trên
và hàm
( )
fx
′
có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số
(
)
( ) (
) ( )
23
2019 2 2
2018
fx f x f x
gx
−+ −
=
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
2;0−
. B.
( )
0;1
. C.
( )
1; 2
. D.
( )
2;3
.
Lời giải
Chọn D
x
y
2
-1
O
1
Xét
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
23
2019 2 2
2
. 3 4 2 .2018 .ln 2018
fx f x f x
gx f x f x fx
−+ −
′′

=− −+

Có
(
) ( )
1
0
00
1
2
x
x
gx f x
x
x
= −
=
′′
=⇔=⇔
=
=
, trong đó
1
x
=
là nghiệm kép.
Bảng xét dấu của
(
)
gx
′
:
Từ bảng, suy ra hàm số nghịch biến trên
(
)
2;3
, do
( ) ( )
2;3 2;⊂ +∞
.
Câu 23: Cho hàm số
( )
y fx
=
có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị
( )
'y fx=
như hình vẽ
sau
Hỏi đồ thị hàm số
( )
( ) ( )
( )
31
2
fx fx
gx fe
+
= +
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
; 5.−∞ −
B.
7
3; .
4
−

−


C.
( )
1; .− +∞
D.
( )
3; 1 .−−
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
31 31
31 31
' 3' . 2 .' .ln2.' 2
' . 3. 2 .ln 2 . ' 2
fx fx fx fx
fx fx fx fx
gx fxe fx fe
fx e fe
++
++
=++
=++
( )
' 0.ycbt g x
⇔<
Mà ta thấy rằng:
( )
( )
(
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
31
31
31
31
3. 2 .ln 2 0
3. 2 .ln 2 0
' 20
20
fx fx
fx fx
fx fx
fx fx
e
e
fe
e
+
+
+
+
+>
+>

⇒

+>
+>
Suy ra
( ) ( )
00
5
'0'0
7
1 3;
4
x
gx f x
xx x
<−
<⇔ <⇔
−

< <− ∈ −




Vậy hàm số
( )
gx
nghịch biến trên
( )
;5−∞ −
.
Câu 24: Cho hàm số
( )
1y fx
′
= −
có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số
2 ()4fx x
y
π
−
=
đồng biến trên khoảng
A.
( )
;0−∞
. B.
( )
2;0−
. C.
( )
0; +∞
. D.
(
)
2;1−
.
Lời giải
Chọn C
Tịnh tiến đồ thị hàm số
( )
1y fx
′
= −
sang trái
1
đơn vị, ta được đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
như sau
Xét hàm số
2 ()4fx x
y
π
−
=
. Tập xác định
D =
.
2 ()4
(2 ( ) 4) ln
fx x
y fx
ππ
−
′′
= ⋅ −⋅
2
0 () 2 0
1
x
y fx x
x
= −
′′
=⇔ =⇔=
=
.
Ta có bảng biến thiên như sau
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng
(0; )
+∞
.
Dạng toán 7. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm
( )
fx
, xét
sự biến thiên của hàm
( )
( )
( )
( ) ( )
ln , ,sin , os f ...
fx
y fx y e fxc x= =
trong bài toán chứa
tham số
Câu 25: Cho hàm số
( )
y fx
=
có đạo hàm
( ) ( )
( )
2
2
19f x x x x mx
′
= − −+
với mọi
.x
∈
Có bao
nhiêu số nguyên dương
m
để hàm số
( )
( )
fx
gx e=
đồngbiến trên khoảng
( )
0; +∞
?
A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
'( ).
fx
g x f xe
′
=
.
Hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
0; +∞
khi và chỉ khi
( ) ( )
0, 0;gx x
′
≥ ∀ ∈ +∞
( ) ( )
0, 0;fx x
′
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
( )
( )
( )
2
2
1 9 0, 0;x x x mx x⇔ − − + ≥ ∀ ∈ +∞
( )
2
9
, 0;
x
mx
x
+
⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
( )
(
)
0;
minm hx
+∞
⇔≤
với
( )
9
, (0; )hx x x
x
= + ∀ ∈ +∞
.
Ta có:
( )
99
2 . 6, (0; )hx x x x
xx
= + ≥ = ∀ ∈ +∞
nên
{ }
6 1;2;3;4;5;6 .
m
mm
+
∈
≤ → ∈
Câu 26: Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng biến thiên như sau
Hàm số
( )
2
2fx m
ye
−+
=
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
4; +∞
B.
( )
1; 4−
. C.
( )
1; 2
. D.
1
;
2

−∞


.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
( )
( )
2
2fx m
y gx e
−+
= =
.
Ta có
(
) ( )
( )
2
2
.
fx m
g x f xe
−+
′′
=
,
( )
2
2
0
fx m
ex
−+
>∀∈
.
( ) ( )
1
0 00
4
x
gx f x x
x
= −
′′
=⇔ =⇔=
=
.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số
( )
( )
2
2fx m
y gx e
−+
= =
nghịch biến trên khoảng
( ) ( )
; 1 0; 4−∞ − ∪
.
Câu 27: Cho hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên
Và hàm số
()y gx
=
có bảng biến thiên
Hàm số
( )
1
( ). 2 3
2
y fxgx x
x
= + +−
+
chắc chắn đồng biến trên khoảng nào?
A.
( )
2;1−
. B.
( )
1;1−
. C.
3
;1
2

−


. D.
( )
1; 4
.
Lời giải
Chọn B
Xét
( )
1
( ). 2 3 .
2
y fxgx x
x
= + +−
+
Tập xác định:
3
;1
2
D

= −


. Từ tập xác định loại được phương án A, D
Ta có:
(
)
( )
( )
(
)
2
21
' '( ). ( ). ' 0, 1;1 .
23
2
y f xgx fxg x x
x
x
= + + + > ∀∈−
+
+
Với phương án C, có
(
)
'0
gx
<
trên
3
;1
2

−−


nên chưa kết luận được về dấu của hàm
số cần xét.
Câu 28: Cho hàm số
( )
fx
có đồ thị như hình vẽ
Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số
m
để phương trình
( )
( ) ( )
(
)
( )
32
2 75
1
e ln
f x f x fx
fx m
fx
+ −+

+ +=



có nghiệm là
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Quan sát đồ thị ta thấy
( )
1 5,
fx x≤ ≤ ∀∈
, đặt
( )
t fx=
giả thiết trở thành
32
2 75
1
e ln
ttt
tm
t
+ −+

+ +=


.
Xét hàm:
( )
[ ]
32
2 7 5, t 1; 5gt t t t=+ −+ ∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 4 7 0 1 1 5 1 145g t t t t g gt g gt
′
=+−≥∀≥⇒≤≤ ⇔≤≤
.
Mặt khác
( )
( )
[ ]
(
)
2
1 1 26
, 1 0 1; 5 2
5
ht t h t t ht
tt
′
= + = − ≥ ∀∈ ⇒ ≤ ≤
.
Do đó hàm
( )
32
2 75
1
e ln
ttt
ut t
t
+ −+

= ++


đồng biến trên đoạn
[ ]
1; 5
.
Suy ra: Phương trình đã cho có nghiệm
145
26
e ln 2 e ln
5
m⇔+ ≤ ≤ +
.
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của
m
là
4
.
Câu 29: Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng biến thiên như sau
Hàm số
(
)
2
2fx m
ye
−+
=
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
4; +∞
B.
( )
1; 4−
. C.
( )
1; 2
. D.
1
;
2

−∞


.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
( )
( )
2
2fx m
y gx e
−+
= =
.
( )
( )
( )
2
2
.
fx m
g x f xe
−+
′′
=
,
( )
2
2
0
fx m
ex
−+
>∀∈
.
( ) ( )
1
0 00
4
x
gx f x x
x
= −
′′
=⇔ =⇔=
=
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số
( )
( )
2
2fx m
y gx e
−+
= =
nghịch biến trên khoảng
( ) ( )
; 1 0; 4−∞ − ∪
.
Dạng toán 8. Các dạng khác với các dạng đã đưa ra…
( )
'y fx=
PHẦN 2: Biết biểu thức của hàm số
Dạng toán 9. Biết biểu thức hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) (
) ( )
y gx f x hx= = +
trong bài toán không chứa tham số.
Câu 30: Cho hàm số
y fx
có
2
'( ) ( 3)( 4)( 2) ( 1), . fx x x x x x
Hàm số
43
2
5
() () 4 4
43

xx
y gx f x x x
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
;1
B.
1; 2 .
C.
3; 5 .
D.
3
0; .
2


Lời giải
Chọn A
Ta có
3 2 2 22
'( ) '( ) 5 8 4 '( ) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 7 13).
 gx fx x x x fx x x x x x x
Khi đó
1
'( ) 0 .
2

x
gx
x
Bảng xét dấu của hàm số
'( )
gx
như sau
Vậy hàm số
()
y gx
nghịch biến trên
( ;1).
Câu 31: Cho hàm số
(
)
y fx=
có
( ) ( ) ( )
2
2
' 13fx xx x=−−
. Hàm số
( ) ( )
3
1
5
3
gx f x x= +−
đồng
biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.
( )
0; 2
. B.
35
2;
2

+



. C.
35
;2
2

−



. D.
35
0;
2

−



.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( ) ( )
2
gx f x x
′′
= +
,
( ) (
) ( )
2
22
0 13
gx x x x x
′
=⇔ − −=−
( ) (
)
2
32
0
0
0
2
5 7 20
1 31
35
2
x
x
x
x
xxx
xx
x
=
=
=
⇔ ⇔ ⇔=
− + −=
− −=−
±
=
Ta có bảng xét dấu của
( )
'gx
:
Dựa vào bảng xét dấu
( )
'gx
ta thấy trên khoảng
35
;2
2

−



thì hàm số
( )
y gx=
đồng
biến.
Câu 32: Cho hàm số có đạo hàm . Hàm số
đồng biến trên khoảng nào?
A. B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
()y fx=
( )( )
2
'( ) 1 2fx x x=−+
, x
2
() () 2 4y gx f x x x= = −+
( )
4;0−
( )
;0−∞
( )
4;1
−
( )
0; +∞
Bảng xét dấu
Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 33:
Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
và
( )
2
( 1)(4 )f x xx x
′
= −−
Hàm số
( )
() () 1y gx f x f x= = +−
đồng biến trên khoảng
A.
1
2;
2

−−


. B.
( )
0;1
. C.
13
;
22



. D.
( )
1; 2
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
22
'( ) '( ) '(1 ) ( 1)(4 ) (1 ) ( )( 3)gx f x f x x x x x xx= − − = − − −− − +
(
)
[ ]
'( ) 1 (4 ) ( 1)( 3) ( 1)(6 3)g x x x x x x x xx x= − −+− + = − −
0
1
'( ) 0
2
1
x
gx x
x
=
=⇔=
=
.
Ta có bảng biến thiên :
Dạng toán 10. Biết biểu thức hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) (
) ( )
y gx f x hx= = +
trong bài toán chứa tham số.
Câu 34: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
và có đạo hàm
( ) ( )
( )
2
2
1 16f x x x x mx
′
= − ++
. Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
[ ]
2019;2019m
∈−
để hàm số
( ) ( )
432
121
2019
432
gx f x x x x= +−++
đồng biến trên khoảng
( )
5; +∞
?
A.
2019
. B.
2021
. C.
2028
. D.
4038
.
Lời giải
( )( ) ( ) ( )
( )
2
2
'( ) '( ) 4 4 1 2 4 1 1 4
gx f x x x x x x x x= − += − + − − = − +
,
x
2
1
10
'( ) 0 0
40
4
x
x
gx x
xx
x
=
−=
=⇔ ⇔=
+=
= −
()
y gx=
( )
4;0
−
Chọn C
Ta có
( )
( )
32
'' 2gx f x x x x
= +− +
( )
( )
( )
22
2
1 16 1xx x mx xx= − +++ −
(
)
(
)
2
2
1 17
x x x mx
= − ++
.
Để hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
5; +∞
thì
( ) ( )
' 0 5;gx x≥ ∀ ∈ +∞
( )
( )
2
22
1 17 0 5 17 0 5
x x x mx x x mx x
⇔ − + + ≥∀> ⇔ + + ≥∀>
2
17
5
x
mx
x
−−
⇔ ≥ ∀>
.
Xét hàm số
( )
2
17 17x
hx x
xx
−−
= =−−
trên khoảng
( )
5; +∞
(
)
2
17
' 1 0 17hx x
x
=−+ = ⇒ =±
.
Từ bảng biến thiên suy ra
42
5
m ≥−
.
Vậy có
2028
giá trị của
m
thỏa mãn bài ra.
Câu 35: Cho hàm số
fx
có đạo hàm
2
2
12fx x x x

với mọi
.
x
Có bao nhiêu số
nguyên
100m
để hàm số
22
8 1.gx f x x m m 
đồng biến trên khoảng
4;
?
A.
18
. B.
82
.
C.
83
. D.
84
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
2
0
1 20 .
2
x
fx x x x
x

Xét
2
2 8. 8 .gx x f x x m


Để hàm số
gx
đồng biến trên khoảng
4;
khi và
chỉ khi
0, 4gx x

2
2
2
2
2 8 . 8 0, 4
8 0, 4
8 0, 4;
18.
8 2, 4;
x fx xm x
fx xm x
x xm x
m
x xm x





Vậy
18 100.m
.
Câu 36: (VD) Tìm tất cả các giá trị của
m
để bất phương trình
(
)
2
1 2 2 (2 ) 0m xx xx+ −++ −≤
có nghiệm thuộc đoạn
0;1 3

+

.
A.
1
3
m ≤
. B.
2
3
m ≤
. C.
4
3
m
≤
. D.
5
3
m ≤
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
(
)
2
2
2
2
1 2 2 (2 ) 0
1 22
xx
m xx xx m
xx
−
+ − + + − ≤⇔ ≥
+ −+
Đặt
2
2 2 , 0;1 3txx x

= −+ ∈ +

. Khi đó:
2
1
,0 1
22
x
t tx
xx
−
′′
= =⇔=
−+
Bảng biến thiên:
x
0
1
13+
t
′
−
0 +
t
2
2
1
Từ bảng biến thiên ta suy ra
[ ]
1; 2t ∈
. Khi đó bất phương trình trở thành:
2
2
1
t
m
t
−
≥
+
có nghiệm
[ ]
[ ]
2
1;2
2
1; 2 max
1
t
tm
t

−
∈⇔ ≥

+

Đặt
[ ]
2
2
( ) , 1; 2
1
t
ft t
t
−
= ∈
+
. Khi đó:
( )
[ ]
2
2
22
( ) 0, 1; 2
1
tt
ft t
t
++
′
= > ∀∈
+
Bảng biến thiên:
t
1
2
()ft
′
+
()ft
1
2
−
Từ bảng biến thiên ta suy ra
[
]
1;2
2
max ( )
3
ft
=
. Vậy
2
3
m
≥
hay
2
3
m
≤
.
Câu 37: (VDC) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
[ ]
10;10−
để bất phương
trình
( 2) 1m xm x
+ −≥+
có nghiệm thuộc đoạn
[ ]
2; 2
−
.
A.
14
. B.
20
. C.
16
. D.
18
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( )
(
]
[
)
2
2
2
2
( 2) 1 ( 2) 1
1 ( 1)
1
1; 2
1
1
2;1
1
m xm x m xm x
x mx
x
mm
x
x
mm
x
+−≥+⇔+−≥+
⇔ +≤ −
+
≤∈
−
⇔
+
≥ ∈−
−
nÕu
nÕu
Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn
[ ]
2; 2−
(
]
[
)
( )
2
1;2
2
2;1
1
min
1
*
1
max
1
x
m
x
x
m
x
−

+
≤

−

⇔

+
≥

−

Đặt
[ ]
2
1
( ) , 2; 2
1
x
fx x
x
+
= ∈−
−
. Khi đó:
( )
2
2
21
()
1
xx
fx
x
−−
′
=
−
,
2
() 0 2 1 0 1 2fx x x x
′
= ⇔ − −= ⇔ =±
11
lim ( ) , lim ( )
xx
fx fx
−+
→→
= −∞ = +∞
Bảng biến thiên:
t
−∞
2−
12−
1
2
12
+
+∞
()ft
′
+
+ 0
−
−
−
0 +
()ft
2 22−
5
3
−
−∞
+∞
5
Từ bảng biến thiên ta có:
( )
{ }
55
* 10; 9; 8;...; 1;5;6;7;8;9;10
2 22 2 22
mm
m
mm
≤≥

⇔ ⇔ ⇒ ∈− − − −

− ≥ ≤−

.
Vậy Có 16 giá trị m thỏa đề.
Câu 38: Biết rằng bất phương trình
(
)
2 24 2 2
1 12 1 2mx x x x x x
+−+≤ −+ +−+
có nghiệm
khi và chỉ khi
(
;2m ab
∈ −∞ +
, với
,ab∈
. Tính giá trị của
T ab= +
.
A.
3T =
. B.
2T =
. C.
0
T
=
. D.
1T =
.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện
11x−≤ ≤
.
Xét hàm số
( )
22
1gx x x
= +−
trên đoạn
[
]
1;1
−
.
Ta có :
( )
22
11
1
gx x
xx

′
= −

−

,
( )
0gx
′
=
22
1xx⇔=−
1
2
x⇔=±
.
( )
gx
′
không xác định khi
0, 1xx= = ±
. Bảng biến thiên :
x
1−
1
2
−
0
1
2
1
( )
gx
′
|| + 0
−
|| + 0
−
||
( )
gx
2
2
1 1 1
Suy ra
( )
12gx
≤≤
.
Đặt
22
1tx x= +−
,
12t≤≤
. Bất phương trình trở thành :
( )
2
11mt t t+ ≤ ++
1
1
mt
t
⇔ ≤+
+
(Do
12t≤≤
nên
10t
+>
).
Xét hàm số
( )
1
1
ft t
t
= +
+
trên đoạn
1; 2


.
Có
( )
( )
2
1
1 0, 1; 2
1
ft x
t

′
=− > ∀∈

+
. Bảng biến thiên :
x
1
2
( )
gx
′
+
( )
gx
22 1−
3
2
Do đó,
( )
( )
1; 2
max 2 2 2 1ft f


= = −
.
Suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm khi
( )
1; 2
maxm ft


≤
hay
22 1m ≤−
.
Do đó,
2a =
,
1b = −
.Vậy
1T =
.
Câu 39: Cho hàm số
y fx
có đạo hàm
2
' 3 6 1,fx x x x R

. Có tất cả bao nhiêu giá
trị nguyên thuộc khoảng
50;50
của tham số
m
để hàm số
12
gx fx m x 
nghịch biến trên khoảng
0; 2
?
A.
26
. B.
25
. C.
51
. D.
50
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
12' ' 1gxfxm x gxfxm  
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
0; 2
khi
(
) (
)
' 0, 0; 2≤ ∀∈gx x
( dấu
'' ''=
chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng
( )
0; 2
).
( ) ( ) ( )
' 1 0, 0;2⇔ − + ≤ ∀∈fx m x
( ) ( )
2
3 6 , 0;2 *⇔ +≤∀∈x xm x
Xét hàm số
( )
2
3 6,= +hx x x
( )
0; 2x ∈
.
Ta có
( )
( )
' 6 6 0, 0; 2
= + > ∀∈hx x x
.
Bảng biến thiên:
Nhìn bảng biến thiên suy ra điều kiện để
( )
*
xảy ra là:
24≥m
.
Do
∈mZ
, thuộc khoảng
50;50
nên
[
)
m 24;50∈
và
∈mZ
hay
{ }
m 24,25,...,49∈
.
Vậy có
26
số nguyên
m
thỏa mãn.
Dạng toán 11. Biết biểu thức hàm số
(
)
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
y gx fux= =
trong bài toán không chứa tham số.
Câu 40: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( )
(
)( )
22
12
fx x x x
′
= − −−
. Hỏi hàm số
( )
( )
2
gx f x x= −
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
( )
1;1−
. B.
( )
0; 2
. C.
( )
;1−∞ −
. D.
( )
2;
+∞
.
Lời giải
Chọn C
( )
0fx
′
=
⇔
( )( )
22
1 20x xx− −− =
⇔
2
2
10
20
x
xx
−=
−−=
⇔
1
1
2
x
x
x
= −
=
=
.
Bảng xét dấu
( )
fx
′
Ta có
( ) ( )
( )
2
12g x xf x x
′′
=−−
.
( ) ( )
( )
2
0 12 0g x xf x x
′′
=⇔− − =
( )
2
12 0
0
x
fxx
−=
⇔
′
−=
2
2
2
1
2
1
1
2
x
xx
xx
xx
=
−=−
⇔
−=
−=
1
2
15
2
15
2
x
x
x
=
+
⇔=
−
=
.
Bảng xét dấu
( )
gx
′
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số
( )
( )
2
gx f x x= −
đồng biến trên khoảng
(
)
;1
−∞ −
.
Câu 41: Cho hàm số
( )
y fx=
. Đồ thị hàm số
( )
y f' x=
như hình vẽ. Hàm số
( ) ( )
32y gx f x= = −
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
( )
;1−∞ −
. B.
( )
1;− +∞
.
C.
( )
0; 2
. D.
( )
1; 3
.
Lời giải
Chọn A
• Từ đồ thị
( ) ( )
C :y f' x=
;
( )
22
0
5
x
f' x
x
−< <
>⇔
>
( )
1
• Mà
( ) ( )
2 32g' x .f ' x=−−
( )
2
•
(
)
1
,
( )
2
;
( ) ( )
15
232 2
0 32 0
22
32 5
1
x
x
g' x f ' x
x
x
−<− <
<<
<⇔ − >⇔ ⇔
−>
<−
.
• Vậy hàm số
( )
gx
nghịch biến trên các khoảng
15
22
;



và
( )
1;−∞ −
.
Câu 42: Cho hàm số
( )
y fx
=
. Hàm số
( )
y f' x=
có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số
( )
( )
2
y gx f x= =
nghịch biến trên khoảng
A.
( )
;1−∞ −
. B.
( )
1; 0−
. C.
( )
0;1
. D.
( )
1; 3
.
Lời giải
Chọn B
•
( )
(
)
2
2g' x x.f ' x=
.
• Nhận xét:
+
( )
11
0
4
t
f' t
t
−<<
>⇔
<
.
+
( )
1
0
14
t
f' t
t
<−
<⇔
<<
.
• Hàm số
g
nghịch biến
( )
(
)
( )
2
2
0
0
0
0
0
x
f' x
g' x
x
f' x
<
>
⇔ <⇔
>
<
22
22
0
2
1 14
10
0
12
11 4
x
x
xx
x
x
x
xx
<
<−
−< <∨ <
⇔ ⇔−< <
>
<<
<− ∨ < <
.
• Vậy hàm số
( )
( )
2
y gx f x= =
nghịch biến trên các khoảng
( )
2;−∞ −
,
( )
10;−
và
( )
12;
.
Dạng toán 12. Biết biểu thức hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
y gx fux= =
trong bài toán chứa tham số.
Câu 43: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( ) ( )
( )
22
25f x x x x mx
′
= + ++
với
x∀∈
. Số giá trị
nguyên âm của tham số
m
để hàm số
( )
( )
2
2gx f x x= +−
đồng biến trên khoảng
( )
1; +∞
là
A.
7
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
( )
( )
2
2x 1 2
gx f x x
′′
= + +−
.
Hàm số
( )
(
)
2
2gx f x x
= +−
đồng biến trên khoảng
( )
1; +∞
( )
( )
0, 1;gx x
′
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
( )
( )
( )
2
2 x 1 2 0, 1;fx x x
′
⇔ + + − ≥ ∀ ∈ +∞
(
)
( )
2
2 0, 1;fx x x
′
⇔ + − ≥ ∀ ∈ +∞
( vì
( )
2 x 1 0, 1;x+ > ∀ ∈ +∞
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
22
2 22 2
2 2 2 5 0, 1;xx xxxx mxx x

⇔ +− + +− + +− + ≥ ∀∈ +∞


( ) (
)
(
)
2
22
2 2 5 0, 1;xx mxx x

+− + +− + ≥ ∀∈ +∞


(*)( vì ).
Đặt
2
2
tx x= +−
. Khi đó
10xt>⇒>
.
(*) trở thành
2
5 0, 0t mt t+ + ≥ ∀>
5
,0mt t
t
⇔ ≥− − ∀ >
.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có
5
25t
t
+≥
5
25t
t
⇔− − ≤−
.
Dấu
""
=
xảy ra
5
0
t
t
t
=
⇔
>
5t⇔=
.
( )
0;
5
max 2 5t
t
+∞

⇒ −− =−


25
m⇒ ≥−
.
Mà
m
nguyên âm nên
{ }
4;3;2;1m ∈−−−−
. Vậy có
4
giá trị
m
thỏa mãn bài toán.
Câu 44: Cho hàm số
(
)
fx
có đạo hàm
( ) ( )( )
( )
1 1 4;fx x x x x
′
= + − − ∀∈
.Có bao nhiêu số
nguyên
2019m <
để hàm số
( )
2
1
x
gx f m
x
−

= −

+

đồng biến trên
( )
2; +∞
.
A.
2018
. B.
2019
. C.
2020
. D.
2021
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
( )
2
32
1
1
x
gx f m
x
x
−

′′
=−−

+

+
.
Hàm số
( )
gx
đồng biến trên
( )
2; +∞
⇔
( )
( )
0; 2;gx x
′
≥ ∀ ∈ +∞
( )
( )
2
32
0; 2;
1
1
x
f mx
x
x
−

′
⇔− − ≥ ∀ ∈ +∞

+

+
⇔
( )
2
0; 2;
1
x
f mx
x
−

′
− ≤ ∀ ∈ +∞

+

(
) (
)
( )
2
22
2 0, 1;xx xx
+ − + ≥ +∞
Ta có:
( )
0fx
′
≤
⇔
( )( )( )
1 1 40xxx+ − −≤
⇔
1
14
x
x
≤−
≤≤
Do đó:
( )
2
0; 2;
1
x
f mx
x
−

′
− ≤ ∀ ∈ +∞

+

⇔
( )
( )
( ) ( )
2
1; 2; 1
1
2
1 4; 2; 2
1
x
mx
x
x
mx
x
−
− ≤− ∀ ∈ +∞
+
−
≤ − ≤ ∀ ∈ +∞
+
Hàm số
( )
2
1
x
hx m
x
−
= −
+
;
( )
2;x ∈ +∞
có bảng biến thiên:
Căn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện
( )
2
không có nghiệm
m
thỏa mãn.
Điều kiện
( )
1
⇔
1m− ≤−
⇔
1m ≥
,kết hợp điều kiện
2019
m
<
suy ra có
2018
giá trị
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán đã nêu như sau:
Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( ) (
)( )( )
1 1 4;fx x x x x
′
= + − − ∀∈
.Có bao nhiêu số
nguyên
2019
m <
để hàm số
(
) ( )
2
1
x
gx f hm
x
−

= +

+

đồng biến trên
( )
2; +∞
.
Câu 45: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( ) ( )
( )
2
2
12fx x x x
′
=−−
với mọi
x ∈
. Có bao nhiêu số
nguyên
20
m ≤
để hàm số
( )
( )
2
8gx f x x m= −+
đồng biến trên
( )
4; +∞
.
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( ) ( )
( )
2
28 8gx x f x xm
′′
= − −+
Hàm số
( )
gx
đồng biến trên
( )
4; +∞
( ) (
)
0, 4;gx x
′
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
( )
(
)
2
8 0, 4;fx xm x
′
⇔ − + ≥ ∀ ∈ +∞
(vì
( )
2 8 0, 4;xx− > ∀ ∈ +∞
).
Ta có
( ) ( )
( )
( ) ( )
22
2
2
0120120
0
x
f x x x x x xx
x
≥
′
≥⇔ − − ≥⇔ − − ≥⇔
≤
.
Do đó
( )
( )
( )
( )
2
2
2
8 2, 4; (1)
8 0, 4;
8 0, 4; (2)
x xm x
fx xm x
x xm x
− + ≥ ∀ ∈ +∞
′
− + ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔
− + ≤ ∀ ∈ +∞
.
Xét
( )
2
8hx x x m
=−+
Ta có
( )
28hx x
′
= −
.
Lập bảng biến thiên của
( )
2
8hx x x m=−+
, ta được
Dựa vào bảng biến thiên:
+ (2) vô nghiệm vì
( )
2
8 16, 4;x xmm x− +≥− ∀∈ +∞
.
+
( )
1 16 2 18mm⇔ − ≥⇔ ≥
.
Theo giả thiết thì
20m ≤
và
m
là số nguyên nên
{ }
18;19;20m ∈
. Chọn B
Câu 46: Cho hàm số
()
y fx=
có đạo hàm
22
( ) ( 1) ( 9)f x x x x mx
′
= − ++
với mọi
xR∀∈
. Có bao
nhiêu số nguyên dương
m
để hàm số
( ) (3 )gx f x
= −
đồng biến trên khoảng
(3; )+∞
?
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết suy ra
22
(3 ) (3 )(2 ) [(3 ) (3 ) 9].f x x x xmx
′
−=− − − + −+
Ta có
( ) (3 ).gx f x
′′
=−−
Hàm số
()gx
đồng biến trên khoảng
(3; )
+∞
khi và chỉ khi
( ) 0, (3; ).gx x
′
≥ ∀ ∈ +∞
(3 ) 0, (3; ).fx x
′
⇔ − − ≤ ∀ ∈ +∞
22
(3 )(2 ) [(3 ) (3 ) 9] 0, (3; ).x x xmx x⇔ − − − + − + ≤ ∀ ∈ +∞
(3; )x∀ ∈ +∞
thì
2
(3 ) 0,(2 ) 0,xx−≤ − ≥
suy ra
2
(3 ) (3 ) 9 0, (3; ).xmx x− + − + ≥ ∀ ∈ +∞
2
(3 ) 9
, (3; )
( 3)
x
mx
x
−+
⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
−
2
(3; )
(3 ) 9
.
( 3)
x
m Min
x
+∞
−+
⇔≤
−
Ta có
2
(3 ) 9 9 9
( 3) 2 ( 3). 6.
( 3) 3 3
x
xx
x xx
−+
=−+ ≥ − =
− −−
Suy ra
6.m ≤
Vì
m
nguyên dương suy ra
{ }
1; 2;3;4;5;6 .m ∈
Chọn B
Câu 47: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên
là
( ) ( )( )
13fx x x
′
=−+
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
[ ]
10;20
−
để hàm số
( )
2
3
y fx xm= +−
đồng biến
trên khoảng
( )
0;2
?
A.
18
B.
17
.
C.
16
. D.
20
.
Lời giải
Chọn A
Xét dấu
( )
fx
′
ta được
Ta có:
( )
( )
2
23 3y x f x xm
′′
= + +−
.
Vì
( )
2 3 0, 0;2xx+ > ∀∈
. Do đó, để hàm số
( )
2
3
y fx x m
= +−
đồng biến trên khoảng
(
)
0;2
thì
( )
( )
2
3 0, 0; 2fx xm x
′
+ − ≥ ∀∈
(*).
Đặt
2
3t x xm
=+−
. Vì
( )
( )
0;2 ;10x tm m∈ ⇒ ∈− −
.
(*) trở thành:
( ) ( )
0, ;10ft t m m
′
≥ ∀∈− −
.
Dựa vào bảng xét dấu của
( )
fx
′
ta có:
13 20
10 3 13
10 1
11
m
mm
m
mm
mZ
≤≤
− ≤− ≥

⇔⇒
− ≤ ≤−

≤− ≤−

∈
{
10; 9;..; 1;3;4;..;20}m
⇒ ∈− − −
.
Dạng toán 13. Biết biểu thức hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
( )
y gx f ux hx= = +
trong bài toán không chứa tham số.
Câu 48: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
và có đạo hàm
( )
fx
′
thỏa mãn:
( )
( )
( )
2
15fx x x
′
=−−
Hàm số
( )
3
3 3 12y fx x x= +−+
nghịch biến trên khoảng nào sau
đây?
A.
( )
1;5
. B.
( )
2;+∞
. C.
( )
1;0−
. D.
( )
;1−∞ −
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( )
( )
( )
2
15fx x x
′
=−−
suy ra
( ) ( ) ( )
2
3 1 3 35fx x x

′
+=−+ +−

( )( )( )
422xxx=−++−
.
Mặt khác:
( )
2
3. 3 3 12y fx x
′′
= +− +
(
)( )( )
( )
2
3422 4xxx x

=−++−+−

( )( )( )
32 2 5xxx=−− + +
.
Xét
0y
′
<
( )( )( )
3 2 2 50xxx⇔− − + + <
52
2
x
x
− < <−
⇔
>
.
Vậy hàm số
(
)
3
3 3 12y fx x x
= +−+
nghịch biến trên các khoảng
( )
5; 2−−
và
(
)
2;+∞
.
Câu 49: Cho hàm số
( )
y fx=
xác định trên
và có đạo hàm
( )
fx
′
thỏa mãn
(
) (
)( ) ( )
1 21f x x x gx
′
=−+ +
trong đó
( )
0,gx x< ∀∈
. Hàm số
(
)
12
yf x x
= − ++
nghịch biến trên các khoảng nào?
A.
( )
1; +∞
. B.
( )
0;3
. C.
( )
;3−∞
. D.
(
)
3;
+∞
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( ) (
)(
) ( )
1 21
f x x x gx
′
=−+ +
( ) ( ) ( )
1 3 11
f x x xg x
′
⇒ −= − −+
Mặt khác:
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 1 11.3.111y f x f x x xg x
′
′′
= − +=− − +=− − − + +


( ) ( )
.3 . 1x xg x=−− −
Ta có:
( ) ( ) ( )
0 .3 . 1 0 *y x xg x
′
< ⇔− − − <
Do
( )
( )
0, 1 0,gxx gxx< ∀∈ ⇒ − < ∀∈
( ) ( )
3
* .3 0
0
x
xx
x
>
⇒ ⇔ − <⇔
<
.
Vậy hàm số
( )
12yf x x= − ++
nghịch biến trên các khoảng
( )
;0−∞
và
( )
3; +∞
.
Câu 50: Cho hàm số
( )
=y fx
có đạo hàm liên tục trên
và
(
)
( )
( )
2
21 32
′
= −⋅ + +fx xx x
. Hàm
số
( )
3 2 2019
= −+ +yf x x
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
( )
3; 5
. B.
5
2;
2



. C.
5
;3
2



. D.
( )
;3−∞
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
32
′′
=− −+yf x
.
0
′
>y
( ) ( )
3 20 3 2
′′
⇔− − + > ⇔ − <fx fx
( ) ( ) ( )
2
3 23 1 3 3 2 2

⇔ − − − − + +<



xx x
( )( ) (
)
2
3 52 3 3 0

⇔− − − +<

xxx
Vì
( )
2
3 3 0,

− + > ∀∈

xx
.
Suy ra
0
′
>y
khi và chỉ khi
( )( )
3 52 0− −<xx
5
3
2
⇔ <<x
.
Vậy hàm số
( )
3 2 2019= −+ +yf x x
đồng biến trên khoảng
5
;3
2



.
Câu 51: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
và có đạo hàm
( )
fx
′
thỏa mãn
( ) ( )( )( )
114fx x x x
′
=+−−
. Xét hàm số
( )
( )
264 2
12 2 15 24 2019.gx f x x x x= +− + +
Khẳng
định đúng là:
A. Hàm số
( )
gx
nghịch biến trên khoảng
( )
2 ; 1−−
.
B. Hàm số
( )
gx
có hai điểm cực tiểu.
C. Hàm số
( )
gx
đạt cực đại tại
0.x =
D. Hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
2 ;+∞
.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định của hàm số
( )
gx
là
.D =
Ta có
( )
( ) ( )
2 5 3 242
24 12 60 48 12 2 5 4gx xfx x x x x fx x x

′′ ′
= + − + = +− +

( )(
)( ) ( )( ) ( )( )( )
222 22 22 2
12 114 1412142xxxx xx xxx x

= +−−+−−= −− +

( )
2
2
0
0
042
1
1
x
x
gx x x
x
x
=
=
′
=⇔ =⇔=±
= ±
=
.
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
gx
như sau:
Qua bảng biến thiên ta có phương án
D
là phương án đúng.
Câu 52: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm là
( ) ( )( ) ( )( )
2
12 34fx x x x x
′
=−− − −
Hàm số
( )
3
32 3y fx x x= +−+
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
1; +∞
. B.
(
)
;1−∞ −
. C.
( )
1; 0−
. D.
( )
0; 2
.
Lời giải
Chọn C
Ta có bảng xét dấu
Xét
( )
3
32 3y fx x x= +−+
.
Cách 1:
( )
( )
2
3. 2 1y fx x

′′
= + +−

Ta có
(
)
1 23 1 1
20
24 2
xx
fx
xx
≤ + ≤ −≤ ≤

′
+ ≥⇔ ⇔

+≥ ≥

.
Ta có
( ) ( )
( )
( )
2
2 0, 1;1
0, 1;1
1 0, 1;1
fx x
yx
xx
′
+ ≥ ∀∈−
′
⇒ > ∀∈−
− > ∀∈−
.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cách 2:
Xét
(
)
3
32 3y fx x x= +−+
.
( )
( )
2
3. 2 1y fx x

′′
= + +−

Ta có
3 75
3. 0
2 24
yf

 
′′
= −<
 

 

nên loại đáp án A, D.
( ) ( )
2 3. 0 3 0yf
′′
−= − <


nên loại đáp án B.
Vậy ta chọn đáp án C.
Dạng toán 14. Biết biểu thức hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
( )
y gx f ux hx= = +
trong bài toán chứa tham số.
Câu 53: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( )
2
' 2 3, .fx x x x= + − ∀∈
Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m thuộc đoạn
[ ]
10;20−
để hàm số
( )
( )
22
31
gx f x x m m= +−+ +
đồng biến trên
(
)
0; 2 ?
A. 16. B. 17. C. 18. D. 19.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( )
2
3
' 2 3 0 *.
1
t
ft t t
t
≤−
= + −≥⇔
≥
Có
( )
(
)
( )
2
' 23' 3gx x f x xm= + +−
Vì
( )
2 3 0, 0; 2xx
+ > ∀∈
nên
( )
gx
đồng biến trên
( ) ( ) ( )
0; 2 ' 0, 0; 2gx x⇔ ≥ ∀∈
( )
( )
2
' 3 0, 0; 2f x xm x⇔ + − ≥ ∀∈
( )
( )
( )
( )
22
22
3 3, 0; 2 3 3, 0; 2
3 1, 0; 2 3 1, 0; 2
xxm x xxm x
xxm x xxm x

+ − ≤− ∀∈ + ≤ − ∀∈
⇔⇔

+ − ≥ ∀∈ + ≥ + ∀∈


(**)
Có
(
)
2
3hx x x= +
luôn đồng biến trên
( )
0; 2
nên từ (**)
⇒
3 10 13
10 1
mm
mm
−≥ ≥

⇔

+ ≤ ≤−

Vì
[ ]
10;20m
m
∈−
⇒
∈
Có 18 giá trị của tham số m.
Vậy có 18 giá trị của tham số m cần tìm.
Câu 54: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( ) ( )
'1
x
fx x e= +
, có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
m
trong đoạn
[ ]
2019;2019−
để hàm số
( ) ( )
2
ln 2y g x f x mx mx= = − +−
nghịch
biến trên
( )
2
1; e
.
A. 2018. B. 2019.
C. 2020. D. 2021.
Lời giải
Chọn B
Trên
( )
2
1; e
ta có
( ) ( ) ( )
1
' . ' ln 2 ln 1 2 1g x f x mx m x x m
x
= − + = +− −
Để hàm số
( )
y gx
=
nghịch biến trên
( )
2
1; e
thì
( ) ( )
(
)
2
' ln 1 2 1 0, 1;gx x x m x e= +− − ≤ ∀∈
( )
(
)
( )
2
2
ln 1 2 1 0, 1;
ln 1
, 1;
21
x xm x e
x
mx e
x
⇔ +− − ≤ ∀∈
+
⇔ ≤ ∀∈
−
Xét hàm số
( )
ln 1
21
x
hx
x
+
=
−
trên
(
)
2
1; e
, ta có
(
)
( )
( )
2
2
1
2ln
' 0, 1;
21
x
x
hx x e
x
−−
= < ∀∈
−
, từ đây
suy ra
1m ≥
. Vậy có 2019 giá trị nguyên của
m
thỏa bài toán.
Câu 55: Cho hàm số
( )
=y fx
liên tục trên
R
và có
(
) ( ) (
) (
)
′
=+−−
34 5
. 1. 1. 4
f x xx x x
.
Giá trị của tham số
m
để hàm số
( ) ( )
= = −+
+++
22
1
1
1
y gx f x
x mx m
chắc chắn luôn
đồng biến trên
(
)
−
3;0 .
A.
( )
2; 1
∈− −m
. B.
( )
;2∈ −∞ −m
.
C.
[ ]
1; 0∈−m
. D.
[
)
0;
∈ +∞m
Lời giải
Chọn D
Điều kiện:
+ + +≠
22
10x mx m
(luôn đúng vì

+ + += + + +>


2
2
22
3
1 10
24
mm
x mx m x
)
( ) ( )
( )
+
′′
=− −−
+++
2
22
2
1
1
xm
gx f x
x mx m
Đặt
( ) ( )
= − ∈− ⇒ ∈1 ; 3; 0 1; 4t xx t
(
) ( )
′
⇒− − ∈ −
1 , 3;0f xx
chính là
( ) ( )
′
−∈, 1; 4ftt
. Do
đó
( )
( ) ( ) (
)
′′
− >∀∈ ⇔− − >∀∈−0, 1;4 1 0, 3;0ft t f x x
Ycbt
( )
( ) ( )
+
⇔− ≥ ∀∈− ⇔ + ≤ ∀∈−
+++
2
22
2
0, 3;0 2 0, 3;0
1
xm
x xm x
x mx m
( ) ( )

−

⇔≤− ∀∈− ⇔≤ − ⇔≤
3;0
2 , 3;0 min 2 0m xx m x m
. Vậy
)
∈ +∞
0;m
Câu 56: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
(
)
2
2
1
x
fx
x
+
′
=
+
,
x∀∈
. Có bao nhiêu số nguyên
m
thuộc khoảng
(
)
20;20−
để hàm số
( ) ( )
11g x f x mx= +− +
đồng biến trên
?
A.
20
. B.
19
. C.
17
. D.
18
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( )
gx f x m
′′
= −
.
Hàm số
(
)
( )
11g x f x mx
= +− +
đồng biến trên
( )
0
gx x
′
⇔ ≥∀
.
(
)
1
fx m
′
⇔ +≥
x
∀
2
3
22
x
m
xx
+
⇔≥
++
x∀
2
3
min
22
x
m
xx

+
⇔≥

++

(*).
Đặt
(
)
2
3
22
x
hx
xx
+
=
++
.
Ta có
( )
( )
22
12
22 22
x
hx
xx xx
−−
′
=
++ ++
.
Cho
(
)
1
0
2
hx x
′
=⇔=−
1
5
2
h

⇒−=


.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy
( )
*1m
⇔ ≤−
.
Vì
( )
, 20;20mm∈ ∈−
nên
{ }
19; 18; 1m∈− − −
.
Câu 57: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
(
) ( )( )
' 12fx x x=+−
. Tìm
m
để hàm số
( ) ( )
2xy gx f x m= = +−
đồng biến trên khoảng
( )
1; 2−
.
A.
9
4
m
−
≤
. B.
9
10
4
m−≤ ≤
. C.
9
4
m
−
≥
. D.
10m ≥
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( ) ( )
2xy gx f x m= = +−
. Suy ra
( ) ( )
' '2gx f x m= +−
.
Để hàm số
( )
y gx=
đồng biến
( )
1; 2x∀∈−
thì
( ) ( )
' 0 1; 2gx x≥ ∀∈−
.
Hay
( )
'2fx m+≥
( )
1; 2x∀∈− ⇔
( )
'2m fx≤+
( )
1; 2x∀∈− ⇔
( ) ( )
3 1; 2m xx x≤ + ∀∈−
.
( )
( )
2
1;2
3x
x
m Min x
∈−
≤+
. Đặt
( )
2
3xhx x
= +
,
( ) ( )
3
' 2x 3, ' 0
2
hx hx x
−
= + =⇔=
.
Ta có bảng biến thiên như sau.
x
−∞
1
−
3
2
−
2
+∞
(
)
'hx
-
0
+
( )
hx
2−
10
9
4
−
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
9
4
m ≤−
. Đáp án A.
Câu 58: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( )
2
'1fx x= −
. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
m
để hàm số
( )
( )
2
1
2 2 ln xy gx f x x m
x

= = ++ −


nghịch biến trên khoảng
( )
1; +∞
.
A.
8
. B.
7
. C.
9
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
( )
2
1
2 2 ln xy gx f x x m
x

= = ++ −


. Suy ra
( ) ( )
( )
( )
2
2
21
' 2x 2 ' 2
mx
gx f x x
x
+
=+ ++
.
Để hàm số
( )
y gx=
nghịch biến
( )
1;x∀ ∈ +∞
thì
( ) ( )
' 0 1;gx x≤ ∀ ∈ +∞
.
Hay
( )
( )
( )
( )
( )
22
22
2 x 2 ' 2 0 1; ' 2 0 1;
mm
fx x x fx x x
xx

+ + + ≤∀∈+∞⇔ + + ≤∀∈+∞


. (vì
( )
2 x 2 0 1;x+>∀∈+∞
).
Do đó
( )
( )
( )
( )
22
2 22 2
2
1 2 x 0 1; 2 x 1;
m
x x m xx x x
x

− + + ≤ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤ + − ∀ ∈ +∞


Đặt
( )
( )
2
22 2
2xhx x x x= +−
,
( )
( )
( )
5432
' 2x 3 4x 6x 8x 1 , ' 0 0hx x hx x= + + + − =⇔=
Phương trình
5432
3 4x 6x 8x 1 0
x + + + −=
không có nghiệm
1
x >
.
Ta có bảng biến thiên
x
−∞
0
1
+∞
( )
'hx
0
+
( )
hx
8
0
Từ bảng biến thiên ta thấy
8
m
≤
. Mà
m
+
∈
. Suy ra m có 8 giá trị.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Dạng toán 15. Biết biểu thức của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
y gx f ux f vx hx
==++
trong bài toán không chứa tham số.
Dạng toán 16. Biết biểu thức của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
y gx f ux f vx hx==++
trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 17. Biết biểu thức hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( )
(
)
(
)
k
y gx f ux

= =

trong bài toán không chứa tham số.
Câu 1: Cho hàm số
()
y fx=
liên tục và có đạo hàm
(
)
(
)(
)
24
( ) 2 9 16fx x x x
′
=+−−
trên
. Hàm
số
2019
2
( ) (2 )y gx f x x

= = −

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A.
( )
1 3;1 3−+
. B.
( )
3; +∞
. C.
( )
1; +∞
. D.
( )
1; 3−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
( )(
)
( )(
)(
)(
)
( )
2
24 2
() 2 9 16 3232 4fx x x x x x x x x
′
=+ − −=− − + + +
.
( )
( )
2018 2018
22 2 2
( ) 2019. (2 ) (2 ) 2019. (2 ) 2 2 2
gx f xx f xx f xx xf xx
′
′′

= − −= − − −

( )
( )( )(
)( ) ( )
22
2018
2 22 22 2
2019 (2 ) 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 4f xx x xx xx xx xx xx


= − − −− −− −+ −+ − +



( )
( )
2
12 3x xx A=− −+
Trong đó:
( ) ( )
( )( ) ( )
2018
22
2 22 2 2
2.2019 2 2 2 2 3 2 2 2 4 0,A fxx xx xx xx xx x


= − −+ −+ −+ − +≥∀∈



Khi đó
( )
( )
[ ] [
)
2
( ) 0 1 2 3 0 1;1 3;gx x x x x
′
≥ ⇒ − − + ≥ ⇔ ∈ − ∪ +∞
⇒
Hàm số
2019
2
( ) (2 )y gx f x x

= = −

đồng biến trên mỗi khoảng
( )
1;1−
và
( )
3;
+∞
.
Câu 2: Cho hàm số
( )
y fx=
xác định và liên tục trên
có
( ) ( )( )( )
251fx x x x
′
=−++
và
( ) ( )
5 21ff−= =
. Hàm số
( )
( )
2
2
gx f x

=

đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A.
( )
( )
;0 2;−∞ ∪ +∞
. B.
( )
2; 2−
.
C.
( )
0; +∞
. D.
( )
( )
2;0 2;− ∪ +∞
.
Lời giải
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Chọn D
Từ giả thiết ta có
( )
(
)(
)(
)
( )
2
251 0 5
1
x
fx x x x fx x
x
=
′′
= − + +⇒ =⇔ =−
= −
Bảng biến thiên của
( )
y fx=
Từ BBT suy ra
(
)
0fx x
> ∀∈
.
Xét hàm số
( )
( )
2
2
gx f x

=

( )
( )
( )
(
) ( ) ( )( )(
) ( )
2
2 222222
4. 4 2 5 1gx f x xf x fx xx x x fx
′

′′ ′
= = = −++


Do
( )
(
)
2
00fx x fx x
> ∀∈ ⇒ > ∀∈
Xét
( )
0
0
2
x
gx
x
=
′
= ⇔
= ±
BBT của
( )
( )
2
2
gx f x

=

Từ BBT trên ta chọn đáp án D.
Dạng toán 18. Biết biểu thức hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( )
( )
( )
k
y gx f ux

= =

trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 19. Biết biểu thức hàm số
( )
( )
y f ux
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( )
y fx=
trong
bài toán không chứa tham số.
Câu 3: Cho hàm số
()y fx=
có
2
7
2 3 12 9
2
fx xx

′
−+ = − +


. Hàm số
()y fx=
nghịch biến trên
khoảng nào sau đây.
1
1
2
-5
∞
+
∞
+
f(x)
f(-1)
∞
∞
0
+
+
f'(x)
x
-1
0
0
+
2
0
∞
+
∞
+
g(x)
∞
∞
0
+
+
g'(x)
x
-
2
0
0
+
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
A.
19
;
44



. B.
9
;
4

+∞


.
C.
53
;
22

−


. D.
5
;
2

−∞ −


.
Lời giải
Chọn C
Ta cần giải bất phương trình
() 0fx
′
<
.
Từ
2
7
2 3 12 9
2
fx xx

′
−+ = − +


7
2 01 3
2
fx x

′
⇒ − + < ⇔< <


.
Đặt
7
2
2
tx=−+
72
4
t
x
−
⇒=
. Khi đó ta có
( )
72 5 3
01 3
4 22
t
ft t
−
′
< ⇔ < < ⇔− < <
.
Vậy hàm số
()y fx=
nghịch biến trên khoảng
53
;
22

−


.
Câu 4: Cho hàm số
( )
y fx
=
xác định, liên tục trên
R
và có đạo hàm
( )
fx
′
thỏa mãn
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 2018
xx
fx
gx
=−+ +
′
với
(
)
0,gx x R
< ∀∈
.
Khi đó hàm số
( )
1 2018 2019yf x x= −+ +
nghịch biến trên khoảng nào?
A.
( )
1; +∞
. B.
( )
0;3
. C.
( ;3)−∞
. D.
( )
4; +∞
.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
( ) (1 ) 2018 2019y hx f x x= = −+ +
Ta có
'( ) '(1 ) 2018 (3 ) (1 )
h x f x x xg x=− −+ =− − −
Vì
( ) 0,gx x R< ∀∈
nên
0
'( ) 0
3
x
hx
x
=
= ⇔
=
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
4; +∞
.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 5: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị hàm số
( )
35yf x
′
= +
như hình
vẽ. Hàm số
( )
y fx=
nghịch trên khoảng nào?
A.
( )
;8−∞
. B.
7
;
3

− +∞


. C.
4
;
3

+∞


. D.
(
)
;10−∞
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
35xt
= +
. Khi đó
( ) ( )
35gt f t= +
( ) (
)
3 35gt f t
′′
⇒= +
.
Ta có
( ) ( )
0 35 0 1gt f t t
′′
<⇔ + <⇔<
.
Khi đó
( )
5
0 18
3
x
fx x
−
′
< ⇔ <⇔ <
.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1; 8−
.
Câu 6: Cho hàm số
(
)
fx
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
( )
32fx−
nghịch biến trên khoảng
( )
;
αβ
. Khi đó giá trị lớn nhất của
βα
−
là:
A.
9
. B.
3
. C.
6
. D.
1
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( ) ( )
32 3.32yfx y f x
′′
= −⇒= −
.
Hàm số
( )
32yfx= −
nghịch biến
( ) ( )
03.320 320y fx fx
′′ ′
⇔ ≤⇔ − ≤⇔ − ≤
.
y
x
(
)
fx
1
4
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
13 24 1 2xx⇔≤ −≤ ⇔≤ ≤
.
Vậy khoảng
( )
;
αβ
lớn nhất là
( )
1; 2
.
Câu 7: Cho hàm số
( )
y fx
=
có đồ thị hàm số
( )
2yf x
′
= −
như hình vẽ bên. Hỏi hàm số
( )
y fx=
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
2; 4−
. B.
( )
1; 3−
. C.
( )
2;0−
. D.
(
)
0;1
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
2xt
= −
ta có
( )
2yf t= −
( )
2yf t
′′
⇒=− −
.
(
)
0 20
y ft
′′
>⇔ −<
24t⇔ <<
hay
Khi đó
(
)
0fx
′
>
22 4 2 0xx⇔<−<⇔−<<
.
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng
( )
2;0−
.
Dạng toán 20. Biết biểu thức hàm số
( )
( )
y f ux
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( )
y fx=
trong
bài toán chứa tham số.
Câu 8: Cho hàm số
( ) ( )
5gx f x= −
có đạo hàm
( )
( )(
) ( )
2
2
' 5 2 10 5 41gx x x x m x m

=− − −+ ++

với mọi . Có bao nhiêu số nguyên dương để hàm số
( )
fx
đồng biến trên khoảng
( )
;1−∞ −
.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
' '5 '5 'gx f x f x gx=− −⇒ −=−
. Suy ra
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
' 5 ' 5 2 10 5 41f x gx x x x m x m

−=− =− − − + + +

( ) ( ) ( )
( )
( ) (
)
2
2
' 5 5 5 3 5 5 16f x x x xm x

⇔ −=− −− − + −+

x
∈
m
7
8
9
10
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Hàm số
(
)
fx
đồng biến trên khoảng
( )
;1−∞ −
khi và chỉ khi
( ) ( )
' 0, ; 1fx x≥ ∀ ∈ −∞ −
(Dấu “ ” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm )
( )
(
)
( )
2
2
3 16 0, ; 1x x x mx x
⇔ − − + + ≥ ∀ ∈ −∞ −
( )
2
16 0, ; 1x mx x⇔ + + ≥ ∀ ∈ −∞ −
(vì
0x <
và
(
)
( )
2
3 0, ; 1xx− > ∀ ∈ −∞ −
)
( )
2
16
, ;1
x
mx
x
−−
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞ −
( )
(
)
;1
minm hx
−∞ −
⇔≤
Với
( ) ( )
2
16 16 16
2. . 8
x
hx x x
xx x
−− −

= =−− ≥ − =


, dấu “=” xảy ra khi
4x = −
.
, kết hợp với điều kiện nguyên dương ta suy ra
.
Vậy có giá trị của thỏa mãn.
Dạng toán 21. Biết biểu thức của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
.y gx f x=
trong bài toán không chứa tham số.
Dạng toán 22. Biết biểu thức của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
.y gx f x=
trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 23. Biết biểu thức của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
.y gx f x=
trong bài toán không chứa tham số.
Dạng toán 24. Biết biểu thức của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
.y gx f x=
trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 25. Biết biểu thức của hàm số
(
)
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( )
( )
gx
y
fx
=
hoặc
( )
( )
fx
y
gx
=
trong bài toán không chứa tham số.
Dạng toán 26. Biết biểu thức của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( )
( )
gx
y
fx
=
hoặc
( )
( )
fx
y
gx
=
trong bài toán chứa tham số.
=
( )
( )
6;
min 8hx
+∞
=⇒
8m⇒≤
m
{ }
1;2;3;4;5;6;7;8m ∈
8
m
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
( )
'y fx=
PHẦN 3: Biết đồ thị của hàm số
Dạng toán 27. Biết đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( ) ( )
y gx f x hx= = +
trong bài toán không chứa tham số.
Câu 9: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
.
Đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
như hình bên
dưới.
Hàm số
( ) (
)
2
2gx f x x= −
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A.
( )
;2−∞ −
. B.
( )
2; 2−
. C.
( )
2; 4
. D.
( )
2; +∞
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
22 0 .gx f x x gx f x x
′′ ′ ′
= −⇒ =⇔ =
Số nghiệm của phương trình
(
)
0gx
′
=
chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
và đường thẳng
:dy x=
(như hình vẽ bên dưới).
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Dựa vào đồ thị, suy ra
(
)
2
0 2.
4
x
gx x
x
= −
′
=⇔=
=
Lập bảng biến thiên
⇒
hàm số
(
)
gx
đồng biến trên
( )
2; 2
−
và
( )
4; +∞
. So sánh 4 đáp án Chọn B
Câu 10: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm trên
. Đồ thị hàm số
(
)
y fx
′
=
như hình vẽ bên dưới.
Hàm số
( ) (
)
3
2
2
3
x
gx f x x x= − + −+
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
( )
1; 0−
. B.
( )
0; 2
. C.
( )
1; 2
. D.
( )
0;1
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( ) ( )
2
21gx f x x x
′′
= −+−
,
( ) ( ) ( )
2
01gx f x x
′′
=⇔=−
.
Suy ra số nghiệm của phương trình
( )
0gx
′
=
chính là số giao điểm giữa đồ thị hàm số
( )
fx
′
và parabol
( ) ( )
2
:1Py x= −
.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Dựa vào đồ thị ta suy ra
(
)
0
01
2
x
gx x
x
=
′
=⇔=
=
.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta Chọn D
Lưu ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng
( )
;0−∞
ta thấy đồ thị
hàm
( )
fx
′
nằm phía trên đường
( )
2
1yx= −
nên
( )
gx
′
mang dấu
−
.
Nhận thấy các nghiệm
0, 1, 2x xx
= = =
là các nghiệm đơn nên qua
( )
gx
′
đổi dấu.
Câu 11: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
, đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
như hình vẽ.
-7 -6
-5 -4 -3 -2 -1 1
2 3 4 5 6
7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Hỏi hàm số
( ) (
) ( )
2
21gx f x x= ++
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
( )
3;+∞
. B.
( )
1;3
. C.
( )
3;1−
. D.
( )
;3−∞
.
Lời giải
Chọn B
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Tập xác định của
( )
gx
là
. Ta có
(
) (
)
21
gx f x x
′′
= ++


.
Hàm số đồng biến khi và chỉ khi
( )
1fx x
′
≥− −
, (dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm).
Vẽ chung đồ thị
( )
y fx
′
=
và
1yx
=−−
trên cùng một hệ trục như sau:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Từ đồ thị ta có
(
)
1
fx x
′
≥− −
3
13
x
x
≤−
⇔
≤≤
. Chọn B
Câu 12: Cho hàm số
( )
y fx=
xác định và liên tục trên
[ ]
1; 5−
có đồ thị của hàm
( )
y fx
′
=
được
cho như hình bên dưới. Hàm số
(
)
( )
2
2 44
gx f x x x=− +−+
đồng biến trên khoảng nào
trong các khoảng sau đây?
A.
( )
1; 0 .−
B.
( )
0; 2 .
C.
( )
2;3 .
D.
( )
2; 1 .−−
Lời giải
Chọn C
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Xét hàm số
( ) (
)
2
2 44gx f x x x=− +−+
trên
[ ]
1; 5−
ta có:
( ) ( )
2 24gx f x x
′′
=− +−
;
( ) ( )
( )
( )
1
2
0; 2
0 23
4; 5
xx
gx f x x x
xx
= ∈
′′
=⇔ =−⇔ =
= ∈
.
Bảng xét dấu
( )
gx
′
:
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2;3
.
Câu 13: Cho hàm số
( )
=y fx
. Đồ thị hàm số
( )
'=y fx
như hình vẽ dưới đây. Xét hàm số
( ) ( )
32
133
2018
342
= − − ++gx f x x x x
. Hàm số
( )
y gx=
đồng biến trên khoảng nào dưới
đây?
A.
( )
;2−∞ −
B.
( )
3; 1−−
. C.
( )
1;1−
. D.
( )
1;+∞
.
Lời giải
Chọn C
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Ta có:
( ) (
) ( )
22
33 33
'' '
22 22

= − − += − + −


gx fx x x fx x x
( )
(
)
2
33
'0'
22
⇒ =⇔ =+−gx f x x x
Ta vẽ đồ thị hàm số
2
33
22
=+−
yx x
Dựa nào đồ thị
( )
3
'0 1
1
= −
⇒ =⇔=−
=
x
gx x
x
Bảng biến thiên
Dạng toán 28. Biết đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( ) ( )
y gx f x hx= = +
trong bài toán chứa tham số.
Câu 14: Cho hàm số
( )
y fx=
có đồ thị của hàm số
( )
y fx
′
=
như hình vẽ bên. Các giá trị của
m
để hàm số
( )
( )
1y fx m x= +−
đồng biến trên khoảng
( )
0;3
là
A.
4m
>
. B.
4m ≤
. C.
4m ≥
. D.
04m>>
.
Lời giải
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Chọn C
Ta có
( ) ( )
1y fx m x= +−
( )
1y fx m
′′
⇒ = +−
.
Hàm số
( ) ( )
1y fx m x= +−
đồng biến trên khoảng
( )
0;3
⇔
(
) ( ) ( )
0;3 0;30, 1 0,y x fx m x
′′
≥ ∀∈ ⇔ + −≥ ∀∈
( ) ( )
, 0;31
m fx x⇔
′
− + ≤ ∀∈
( )
(
)
0;3
1 min
x
m fx
∈
′
⇔− + ≤
13 4mm⇔− + ≤− ⇔ ≥
.
Câu 15: Cho hàm số
(
)
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
và đồ thị của hàm số
( )
'y fx=
như
hình vẽ.
Đặt
( ) ( ) ( )
2
1
1 2019
2
gx fxm xm= − − −− +
với
m
là tham số thực. Gọi
S
là
tập các giá trị nguyên dương của
m
để hàm số
( )
y gx=
đồng biến trên khoản
( )
5; 6
.
Tổng các phần tử của
S
bằng:
A.
4
. B. 11. C.
14
. D. 20.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( ) ( )
'' 1gx f xm xm= − − −−
Đặt
( ) ( ) ( )
'1hx f x x= −−
. Từ đồ thị
( )
'y fx=
và đồ thị
1yx= −
trên hình vẽ ta suy ra
( )
11
0
3
x
hx
x
−≤ ≤
≥⇔
≥
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Ta có
( ) ( )
1 11 1
'0
33
xm m x m
g x hx m
xm x m
−≤ − ≤ −≤ ≤ +

= − ≥⇔ ⇔

−≥ ≥+

Do đó hàm số
(
)
y gx=
đồng biến trên các khoảng
( )
1; 1mm−+
và
( )
3;m + +∞
Do vậy, hàm số
( )
y gx=
đồng biến trên khoảng
(
)
5; 6
15
56
16
2
35
m
m
m
m
m
−≤
≤≤
⇔⇔
+≥
≤
+≤
Do
m
nguyên dương nên
{ }
1; 2; 5; 6m∈
, tức
{ }
1; 2; 5; 6S =
Tổng các phần tử của
S
bằng 14.
Câu 16: Cho hàm số
y fx
có đạo hàm liên tục trên
.
Đồ thị hàm số
y fx
như hình bên
dưới
Đặt hàm số

2
1
2
x
g x f m x x mx
, m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên
của m thuộc đoạn
2020; 0
để hàm số
y gx
nghịch biến trên khoảng
2; 0
?
A.
2016.
B.
2017.
C.
2019.
D.
2020.
Lời giải.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Ta có


1 1.
gx f m x x m
Ta có

 0 1 1.gx f m x x m
Đặt
1
tm x
, bất phương trình trở thành
.ft t

Từ đồ thị của hàm số
y fx
và đồ thị hàm số
yx
(hình vẽ bên dưới) ta thấy đường
thẳng
yx
cắt đồ thị hàm số
'fx
lần lượt tại ba điểm
 3; 1; 3.x xx
Quan sát đồ thị ta thấy

 



 

3 13 4
1 31 1 3 2
t mx x m
ft t
t m x mxm
Suy ra hàm số
y gx
nghịch biến trên các khoảng

4;
m
và
2 ;.
mm
Để hàm số
y gx
nghịch biến trên khoảng
2; 0
thì



42
6
22
0
0
m
m
m
m
m
Vậy trên đoạn
2020; 0
có tất cả
2016
giá trị của m thỏa mãn đề bài.
Câu 17: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
có đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
như hình vẽ.
Xét hàm số
( )
( )
( )
( )
22
1
3
2
gx f x x m x m= − +−+
. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng ?
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
A. Với mọi giá trị của tham số
m
thì
(
)
gx
nghịch biến trên các khoảng
( )
2;0−
và
( )
2;
+∞
, đồng biến trên
( )
;2−∞ −
và
( )
0; 2
.
B. Chỉ có đúng 1 giá trị của tham số
m
để
( )
gx
nghịch biến trên các khoảng
( )
2;0−
và
( )
2;
+∞
, đồng biến trên
( )
;2−∞ −
và
( )
0; 2
.
C. Với mọi giá trị của tham số
m
thì
( )
gx
đồng biến trên các khoảng
(
)
2;0
−
và
( )
2; +∞
,
nghịch biến trên
( )
;2−∞ −
và
( )
0; 2
.
D. Chỉ có đúng 1 giá trị của tham số
m
để
( )
gx
đồng biến trên các khoảng
( )
2;0−
và
( )
2; +∞
, nghịch biến trên
( )
;2
−∞ −
và
(
)
0; 2
.
Lời giải
Chọn C
Với mọi giá trị của tham số
m
ta luôn có:
( ) ( )
3gx f x x
′′
= −−
.
( ) ( )
2
0 30
2
x
gx f x x x
x
= −
′′
=⇔ =+⇔ =
=
.
Bảng biến thiên:
( )
gx⇒
đồng biến trên các khoảng
( )
2;0−
và
( )
2; +∞
, nghịch biến trên
( )
;2−∞ −
và
( )
0; 2
.
Dạng toán 29. Biết đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
y gx fux= =
trong bài toán không chứa tham số.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 18: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm trên
. Biết hàm số
( )
y fx
′
=
liên tục trên
và có đồ
thị như hình vẽ. Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số
(
)
2
1yf x= +
.
A.
( ) ( )
; 3 , 0; 3−∞ −
. B.
( )
(
)
; 3 , 3;
−∞ − +∞
.
C.
( )
(
)
3;0 , 3;− +∞
. D.
(
)
( )
; 3 , 0;−∞ − +∞
.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
(
)
2
1yf x= +
(
)
2
2
1
1
x
y fx
x
′′
⇒= +
+
.
(
)
2
0
0
10
x
y
fx
=
′
= ⇔
′
+=
2
2
2
2
0
11
10
11
12
x
x
x
x
x
=
+=−
⇔ +=
+=
+=
2
2
0
11
12
x
x
x
=
⇔ +=
+=
2
2
0
11
14
x
x
x
=
⇔ +=
+=
0
3
3
x
x
x
=
⇔=−
=
Bảng biến thiên
Vậy hàm số
(
)
2
1yf x= +
đồng biến trên các khoảng
( ) ( )
3;0 , 3;− +∞
.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 19: Cho hàm số
( )
y fx=
.Hàm số
( )
y fx
′
=
có đồ thị như hình bên. Hàm số
( )
2yf x= −
đồng
biến trên khoảng:
A.
( )
1; 3
. B.
( )
2;
+∞
. C.
( )
2;1−
. D.
( )
;2−∞
.
Lờigiải
Chọn C
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 .2 2fx xfxfx
′
′
′′
− =− −=− −
Hàm số đồng biến khi
( )
( )
( )
21 3
2 0 20
12421
xx
fx f x
xx
− <− >

′
′
− >⇔ − <⇔ ⇔

<−< −<<

.
Câu 20: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
và hàm số
( )
y fx
′
=
có đồ thị như hình
vẽ dưới đây. Hàm số
(
)
2
y fx=
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
1;2
. B.
( )
2;− +∞
. C.
( )
2; 1−−
. D.
( )
1;1−
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
( )
( )
2
gx f x=
.
( )
( )
2
2.g x xf x
′′
=
.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Cách 1:Hàm số
( )
(
)
2
gx f x=
đồng biến khi và chỉ khi
( )
0gx
′
≥
(dấu bằng xảy ra tại hữu
hạn điểm)
( )
(
)
( )
( )
( )
2
2
2
0
1
0
.0
0
2
0
x
fx
xf x
x
fx
≥
′
≥
′
⇔ ≥⇔
≤
′
≤
.
( )
( )
2
2
2
0
0
0
11
01
1
11
02
2
4
2
x
x
x
x
x
x
fx x
x
x
x
≥
≥
≥
−≤ ≤
≤≤

⇔⇔ ⇔⇔
−≤ ≤

′
≥ ≤−
≥

≥
≥
.
(
)
( )
( )
( )
2
2
0
0
0
1
2 1 21
0
1
14
22
lo¹i
x
x
x
x
xx
fx
x
x
x
≤
≤
≤
≤−

⇔ ⇔ ≤− ⇔ ⇔− ≤ ≤−

′
≤
≥

≤≤
−≤ ≤
.
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
( ) ( ) ( )
2; 1 , 0;1 , 2;− − +∞
.
Cách 2:
Dựa vào đồ thị có
(
)
1
01
4
x
fx x
x
= −
′
=⇔=
=
.
Chọn
( ) ( )( )( )
114fx x x x
′
=+−−
.
( )
( )( )( )
222
0
2 1 1 40 1
2
x
g x xx x x x
x
=
′
⇒ = + − −=⇔ =±
= ±
.
Bảng xét dấu
( )
gx
′
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
( ) ( ) ( )
2; 1 , 0;1 , 2;− − +∞
.
Câu 21: Cho hàm số
()y fx=
có đạo hàm
()fx
′
trên
và đồ thị của hàm số
()fx
′
như hình vẽ.
Hàm số
(
)
2
( 2 1)gx fx x= −−
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
A.
(
)
;1
−∞
. B.
( )
1;+∞
. C.
( )
0;2
. D.
( )
1;0−
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( )
2
' (2 2) . '( 2 1)gx x fx x= − −−
.
Lại có
( )
2
2
1
' 0 21 1
2 12
x
gx x x
xx
=
= ⇔ − −=−
− −=
0
1
2; 3
x
x
xx
=
⇔=±
= =
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên
( )
1;0−
.
Câu 22: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm trên
và có đồ thị hàm số
( )
'
y fx=
như hình vẽ.
Hàm số
(
)
( )
2
gx f x x= −−
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;1−∞ −
. B.
1
1;
2
−

−


. C.
1
;
2
−

+∞


. D.
( )
1;0−
.
Lời giải
Chọn B
x
y
O
2
4
4−
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Từ đồ thị của hàm số
( )
'y fx=
ta có:
( )
' 00 4fx x<⇔<<
và
( )
0
'0
4
x
fx
x
<
>⇔
>
Xét hàm số
( )
( )
2
gx f x x= −−
có
( ) ( )
( )
2
' 12 'g x xf x x=−− −−
Để hàm số
( )
gx
nghịch biến thì
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
12 0
'0
' 0 12 ' 0
12 0
'0
x
f xx
g x xf x x
x
f xx
−− <
−− >
< ⇒−− − − < ⇔
−− >
−− <
2
2
2
2
1
1
2
2
0
1, 0
4
0
1
11
1
2
22
0
10
4
x
x
xx
xx
xx x
x
x
xx
x
xx
x
xx
−
−
>
>
−− <
<− >
− − > ∈∅
>


⇔⇔ ⇔
−
−−

−< <
<<


∈
−− >
−< <
−− <
Suy ra hàm số
(
)
gx
nghịch biến trên khoảng
1
1;
2
−

−


và
( )
0;+∞
.
Vậy B là đáp án đúng.
Dạng toán 30. Biết đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) (
)
( )
y gx fux
= =
trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 31. Biết đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
( )
y gx f ux hx= = +
trong bài toán không chứa tham số.
Dạng toán 32. Biết đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
( )
y gx f ux hx= = +
trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 33. Biết đồ thị của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
(
)
(
)
( )
( )
y gx f ux f vx hx==++
trong bài toán không chứa tham số.
Câu 23: Cho hàm số
( )
y fx=
có đồ thị
( )
fx
′
như hình vẽ
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Hỏi hàm số
(
)
(
)
( )
2
1 2 63
gx f x f x x x= ++ − − + −
đồng biến trên khoảng nào cho dưới
đây
A.
( )
;0−∞
B.
( )
0;3
C.
( )
1; 2
D.
( )
3; +∞
Lời giải
Chọn C
Ta có
(
) ( ) ( )
1 2 62 0gx f x f x x x K
′′ ′
= + − −− + − ≥ ∀∈
ta chỉ cần chọn
x
sao cho
(
)
( )
10
20
62 0
fx
fx
x
′
+≥
′
−≤
−≥
11
12
22 1
3
x
x
x
x
+≥
+ ≤−
⇔−≤−≤
≤
13x⇔≤ ≤
đối chiếu đáp án ta tìm được đáp án C
Dạng toán 34. Biết đồ thị của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
y gx f ux f vx hx==++
trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 35. Biết đồ thị hàm số
(
)
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
k
y gx f ux

= =

trong bài toán không chứa tham số.
Câu 24: Cho hàm số
( )
y fx=
. Đồ thị
( )
y fx
′
=
như hình bên dưới.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Hàm số
( ) (
)
3
21gx f x= −


nghịch biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau
A.
( )
1; 0−
B.
(
)
0;1
C.
1
0;
2



D.
1
;1
2



Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( ) ( )
2
6 21.21gx f x f x
′′
=−−
Do
( )
2
6 210fx
−≥
với
x∀∈
nên để hàm số nghịch biến thì
( )
210fx
′
−≤
Dựa vào đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
ta có
Để
( )
1
2 11
210
1
12 10
0
2
x
x
fx
x
x
≥
−≥
′
− ≤⇒ ⇔
−≤ −≤
≤≤
Câu 25: Cho hàm số
( )
y fx=
. Đồ thị
( )
y fx
′
=
như hình bên dưới.
Hàm số
( )
( )
2019
1gx f x
= −


nghịch biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau
A.
( )
1; 5
−
. B.
( )
2;1−
. C.
( )
1; 3
. D.
( )
3; 5
.
Lời giải
Chọn D
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Ta có
( ) ( )
( )
2018
2019 1 . 1gx f xf x
′′
=− −−
Do
(
)
2018
2019 1 0fx− −≤
với
x∀∈
nên để hàm số nghịch biến thì
( )
10fx
′
−≥
Dựa vào đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
ta có
Để
(
)
1 01 2 3fx x x
′
− ≥ ⇒ − ≤− ⇔ ≥
.
Câu 26: Cho hàm số
( )
y fx
=
. Đồ thị
( )
y fx
′
=
như hình bên dưới và
( ) ( )
1 20ff−= =
Hàm số
( )
( )
2
2
3gx f x

= −

đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau
A.
( )
1; 2
B.
( )
0;1
C.
(
)
1; 0−
D.
( )
2; 1−−
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
( ) ( )
22
4 3. 3g x xf x f x
′′
=−−
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
y fx=
Do
(
) ( )
1 20
ff−= =
nên
( )
2
30fx
−≤
với
x∀∈
để hàm số đồng biến thì
( )
2
. 30xf x
′
−≤
TH1:
0x ≥
thì
( )
2
3
2
32
1 30 2 3
30
32
5
5
x
xx
fx
x
x
x
− ≤ ≤−
−≤ − ≤ ≤ ≤
′
− ≤⇒ ⇔
−≥
≥
≤−
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Vì
0x ≥
nên
23
5
x
x
≤≤
≥
TH2:
0x ≤
thì
(
)
2
3
2
53
0 32
30 3 5
31
22
x
x
fx x
x
x
− ≤ ≤−
≤ −≤
′
− ≥⇒ ⇔ ≤≤
− ≤−
− ≤≤
Vì
0x
≤
nên
53
20
x
x
− ≤ ≤−
− ≤≤
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
( )
5; 3−−
,
(
)
2;0−
,
( )
2; 3
,
( )
5;
+∞
.
Câu 27: Cho hàm số
(
)
y fx
=
xác định và có đạo hàm trên
. Đồ thị của hàm số
( )
'
y fx
=
có dạng như hình vẽ. Hàm số
( ) ( )
3
2y gx f x= = −


nghịch biến trên khoảng nào sau đây
A.
( )
1; 2
B.
( )
3; 4
C.
( )
;1−∞ −
D.
( )
4; +∞
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( ) ( )
2
g' 3 2 ' 2x fx f x=−−


, hàm số
( ) ( )
3
2y gx f x= = −


nghịch biến khi và chỉ
khi
( )
'0gx≤
( )
' 2 0 1 22fx x⇔ − ≤ ⇔≤ −≤
34x⇔≤≤
Dạng toán 36. Biết đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
k
y gx f ux

= =

trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 37. Biết đồ thị hàm số
( )
( )
y f ux
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( )
y fx=
trong bài
toán không chứa tham số.
Câu 28: Cho hàm số
( )
y fx=
có đồ thị hàm số
3
2
2
yf x

′
= +


như hình vẽ bên.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Hàm số
( )
y fx
=
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
17
;
22

−


. B.
51
;
44

−


. C.
3
;
4

+∞


. D.
1
;
2

−∞ −


.
Lời giải
Chọn A
Ta cần giải bất phương trình
(
)
0y fx
′′
= >
.
Dựa vào đồ thị
3
2
2
yf x

′
= +


. Ta có
11
3
20
3
2
x
fx
x
−< <

′
+ >⇔

>

( )
*
Đặt
3
2
2
tx
= +
( )
1
23
4
xx
⇔= −
.
Khi đó
( ) ( )
23 1 7
11
4 22
*0
2 3 15
3
42
t
t
ft
t
t
−

−< < − <<

′
⇔ >⇔ ⇔

−

>>


.
Do đó hàm số
( )
y fx=
đồng biến trên các khoảng
17
;
22

−


và
15
;
2

+∞


.
Câu 29: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm là hàm số
( )
fx
′
trên
. Biết rằng hàm số
( )
31yf x
′
= −
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số
( )
fx
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
;6−∞ −
. B.
( )
1;5
. C.
( )
2;6
. D.
( )
;7−∞ −
.
Lời giải
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số
(
)
31
yf x
′
= −
ta có:
( )
310fx
′
−>
2
12
x
x
<−
⇔
<<
Đặt
31tx= −
1
3
t
x
+
⇔=
Suy ra:
( )
0ft
′
>
1
2
3
1
12
3
t
t
+
<−
⇔
+
<<
16
3 16
t
t
+ <−
⇔
<+<
7
25
t
t
<−
⇔
<<
Do đó: Hàm số
( )
fx
đồng biến trên các khoảng
( )
;7−∞ −
và
( )
2;5
Câu 30: Cho hàm số
(
)
y fx=
có đồ thị hàm số
7
' 2x 2
2
yf

= −+ +


như hình bên
Hàm số
( )
y fx
=
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.
19
;
44



. B.
9
;
4

+∞


. C.
53
;
22

−


. D.
5
;
2

−∞ −


.
Lời giải
Chọn C
Quan sát đồ thị hàm số
7
' 2x 2
2
yf

= −+ +


ta có
77
2 0 2 2 2 1 3(*)
22
fx fx x
′′
 
− + <⇔ − + +<⇔<<
 
 
(đồ thị hàm số nằm dưới đường
thẳng
2y =
khi và chỉ khi
( )
1; 3 )x ∈
Đặt
7 72
2
24
t
tx x
−
=− +⇔=
khi đó (*)
72 5 3
() 0 1 3
4 22
t
ft t
′
−
⇔ < ⇔ < < ⇔− < <
điều đó chứng tỏ hàm số
( )
y fx=
nghịch biến trên khoảng
53
;
22

−


NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 31: Cho đồ thị hàm số
( )
3
1
y fx
′
= +
như hình vẽ. Hàm số
( )
fx
nghịch biến trong khoảng
nào trong các khoảng sau?
A.
( )
2;2−
. B.
( )
2;5
. C.
( )
5;10
. D.
(
)
10;+∞
.
Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị suy ra
( )
3
20
10
12
x
fx
x
−< <
′
+ <⇔
<<
.
Đặt
3
3
11tx x t= +⇔ = −
.
Suy ra
( )
3
3
2 1081071
0
1 18 2 9
1 12
ttt
ft
tt
t
−< −< −<−< −<<

′
<⇔ ⇔ ⇔

<−< <<
< −<

.
Vậy hàm số
( )
fx
nghịch biến trong các khoảng
( )
7;1−
và
( )
2;9
.
Dạng toán 38. Biết đồ thị hàm số
( )
( )
y f ux
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
(
)
y fx=
trong bài
toán chứa tham số.
Câu 32: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
, hàm số
( )
2y fx
′
= −
có đồ thị như hình
dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số
( )
( )
2
8
gx f x x m= −+
nghịch
biến trên khoảng
9
4;
2



.
A.
1
B.
2
. C.
3
D.
4
.
Lời giải
Chọn A
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Ta có: đồ thị hàm số
( )
2y fx
′
= −
là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số
(
)
y fx
′
=
sang phải
hai đơn vị. Khi đó hàm số
( )
y fx=
có bảng biến thiên:
x
−∞
3−
2−
1−
+∞
(
)
fx
′
+
0
−
0
+
0
+
Mặt khác:
( )
(
)
( )
( )
22
8 (2 8) 8gx fx xm gx x fx xm
′′
= −+ ⇒ = − −+
( )
( )
2
9
(2 8) 8 0 (4; )
2
gx x f x xm x
′′
= − − + <∀∈
2
2
2
9
8 3 ; (4; )
13
2
3 8 2 13
9 13,75
8 2 ; (4; )
2
x x mx
m
x xm m
m
x x mx
− + − ≤ ∀∈
≥
− ≤ − + ≤− ⇔ ⇒ ⇔ =

≤
− + − ≥ ∀∈
.
Do đó có 1 giá nguyên của m để
( )
( )
2
8gx f x x m= −+
nghịch biến trên khoảng
9
4;
2



.
Dạng toán 39. Biết đồ thị của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
.y gx f x=
trong bài toán không chứa tham số.
Dạng toán 40. Biết đồ thị của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( )
( )
.
y gx f x=
trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 41. Biết đồ thị của hàm số
(
)
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
.y gx f x=
trong bài toán không chứa tham số.
Câu 33: Cho hàm số
(
)
(
)
,'
yfxyfx
= =
có
đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng
( )
0; 2
, hàm số
( )
.
x
y e fx
−
=
có bao
nhiêu khoảng đồng biến?
A.
1
.
B.
3
.
C.
2
.
D.
4
.
Lời giải
Chọn C
( ) ( ) ( )
( )
. ''
xx
y e fx y e f x fx
−−
= →= −
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Dựa vào đồ thị ta có:
(
) (
)
1
,0
2
'0 '
3
,1
2
xa a
y f x fx
xb b
= <<
=↔=↔
= <<
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
( ) ( )
0; , ; 2
ab
.
Câu 34: Cho hàm số
()y fx
=
,
'( )
y fx=
có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng
( )
4;3−
, hàm số
10
()
x
y e fx
−+
=
có bao nhiêu khoảng nghịch biến?
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
Lời giải
Chọn B
Ta có:
[
]
10 10 10
' () '(). () '()
x xx
y e fx f xe e fx f x
−+ −+ −+
=− + = −+
Dựa vào đồ thị, ta có:
,4 3
3
' 0 '() () , 0
2
,0 3
xa a
y f x fx x b b
xc c
= − < <−
=⇔ = ⇔ = −<<
= <<
Bảng biến thiên
x
-4
a
-3
3
2
−
b
0
c
3
'y
+
0
-
-
-
0
+
+
0
-
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
y
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số
10
()
x
y e fx
−+
=
có hai khoảng nghịch biến
( , ); ( ;3)
ab c
Dạng toán 42. Biết đồ thị của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
.y gx f x=
trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 43. Biết đồ thị của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( )
( )
gx
y
fx
=
hoặc
( )
( )
fx
y
gx
=
trong bài toán không chứa tham số.
Dạng toán 44. Biết đồ thị của hàm số
(
)
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( )
(
)
gx
y
fx
=
hoặc
( )
( )
fx
y
gx
=
trong bài toán chứa tham số.
( )
'y fx=
PHẦN 4: Biết BBT của hàm số
Dạng toán 45. Biết BBT hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
(
) ( ) ( )
y gx f x hx= = +
trong bài toán không chứa tham số.
Câu 35: Cho hàm số
y fx
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
x
−∞
2−
0
1
+∞
(
)
fx
′
−
0
+
0
−
0
+
Đặt
32
11
32
y gx f x x x 
. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số
y gx
đồng biến trên khoảng
( )
;1−∞
.
B. Hàm số
y gx
đồng biến trên khoảng
( )
1;2
.
C. Hàm số
y gx
đồng biến trên khoảng
( )
0;1
.
D. Hàm số
y gx
nghịch biến trên khoảng
( )
2;1−
.
Lời giải
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Chọn B
Tập xác định của hàm số
y gx
là
Ta có:
32 2
11
32
ygxfx x x ygxfxxx


2
00
1
x
fx x
x


;
2
0
0
1
x
xx
x

Bảng xét dấu của
y gx

như sau:
x
−∞
2−
0
1
+∞
( )
fx
′
−
0
+
0
−
0
+
2
xx
+
+
0
−
0
+
y gx

Chưa
xác
định
dấu
+
0
−
0
+
Từ bảng xét dấu của
y gx

suy ra:
Hàm số
y gx
nghịch biến trên khoảng
( )
0;1
.
Hàm số
y gx
đồng biến trên các khoảng
( )
2;0−
và
(
)
1; +∞
mà
( )
( )
1; 2 1;
⊂ +∞
nên đáp án B đúng.
Câu 36: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
R
và bảng xét dấu của
( )
'
y fx=
như sau:
Hỏi hàm số
( )
( )
2
( ) ln 1gx f x x x= − ++
nghịch biến trên khoảng nào?
A.
( )
;0
−∞
. B.
( )
0;1
. C.
( )
1;− +∞
. D.
( )
1; 0−
.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định của hàm
()gx
là
DR=
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Ta có
( ) (
)
2
21
'' .
1
x
gx f x
xx
+
= −
++
Đặt
( )
2
21
1
x
hx
xx
+
=
++
(
)
(
)
2
2
2
2 21
'.
1
xx
hx
xx
− −+
⇒=
++
Ta có
( )
31
2
'0
31
2
x
hx
x
−
=
= ⇔
−−
=
Bảng biến thiên của hàm số
()y hx=
như sau:
Ta có
( ) ( ) ( )
1
1 1; 0 1 1; 0.
2
h hh h

−=− = = − =


Từ bảng biến thiên có
( ) ( ) ( ) (
) ( )
1, 0;1 ; ' 0, ; 1 0;1 .hx x f x x> ∀∈ < ∀∈−∞− ∪
Nên suy ra
( ) ( )
(
) ( ) ( )
' 0, 0;1 ' 0, 0;1 .fxhxx gxx− < ∀∈ ⇔ < ∀∈
Vậy hàm số
( )
gx
nghịch biến trên
( )
0;1
.
Từ bảng biến thiên có
(
) ( )
1
( ) 1; 0 ; ' 0, 1;
2
hx f x x
−

∈− > ∀∈−


.
1
'() () 0, 1; .
2
f x hx x
−

⇒ − > ∀∈−


Do đó hàm số
( )
y gx=
đồng biến trên
1
1;
2
−

−


.
Lại có trong các miền
( ) ( ) ( )
; 0 ; 1; ; 1; 0−∞ − +∞ −
đều chứa miền
1
1;
2

−−


nên loại A,C,D.
Câu 37: Cho hàm số
y fx
có đạo hàm liên tục trên
và bảng biến thiên của
'
y fx
như
sau:
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Hàm số
3gx f x x
đồng biến trên khoảng nào?
A.
2;2019
B.
2019; 2
C.
1; 2
D.
1;1
Lời giải:
Chọn A
Tập xác định của hàm số là
Ta có:
'
'3gx fx
Hàm số
y gx
đồng biến
'0gx
''
3 0 3 2.fx fx x 
Dạng toán 46. Biết BBT hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( ) (
)
y gx f x hx= = +
trong bài toán chứa tham số.
Câu 38: Cho f(x) có đạo hàm liên tục trên
và bảng biến thiên y = f
’
(x) được cho như sau:
Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số g(x) = f(x) -
( )
2
ln 1
x +
- mx đồng biến
trên
[ ]
1;1−
.
A. 5 B. 6 C. 4 D. 7
Lời giải
Chọn C
Ta có: g(x) = f(x) -
(
)
2
ln 1x +
- mx có txđ
D =
g
’
(x) = f
’
(x) -
2
2
1
x
x +
- m
Hàm số g(x) đồng biến trên
[ ]
1;1−⇔
g
’
(x)
[ ]
0 1;1x≥ ∀∈−
x
–
-1
1
+
3
f’(x
–
3
-3
+ ∞
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
(
)
[ ]
(
)
[ ]
( )
( )
[ ] [ ]
'
2
'
2
'
2
2
0 1;1
1
2
1;1 1
1
2
: 5( ) 1;1 ; 1 1;1
1
x
fx m x
x
x
m fx x
x
x
do f x bbt x x
x
⇔ − − ≥ ∀∈−
+
⇔ ≤ − ∀∈−
+
≥ ∀∈− ≤∀∈−
+
( )
[ ]
'
2
2
4 1;1
1
x
fx x
x
⇒ − ≥ ∀∈−
+
dấu “=” xảy ra khi “x=1”
Vậy (1)
4m⇔≤
.
Dạng toán 47. Biết BBT hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( )
( )
( )
y gx fux= =
trong
bài toán không chứa tham số.
Câu 39: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
và có bảng xét dấu đạo hàm như hình
vẽ sau
Hỏi hàm số
( )
( )
2
2y gx f x x
= = +
đồng biến trên khoảng nào dưới đây
A.
( )
;0−∞
. B.
( )
2;1−
. C.
( )
;2−∞ −
. D.
( )
2; +∞
.
Lời giải
Chọn C
Tập xác định
D =
.
Ta có
( )
( )
( ) ( )
2 22
2 2. 2ygx fxx xxfxx
′
′

′′ ′
== +=+ +

( )
( )
2
2 2. 2x fx x
′
=++
.
Ta có
( )
2
2
2 111x xx+ = + − ≥−
với
x∀∈
dựa vào bảng xét dấu trên ta có
( )
2
20fx x
′
+≤
với
x∀∈
dấu
""=
chỉ xảy ra tại
1x = −
.
Từ đó
0y
′
≥
( )
( )
2
2 2. 2 0x fx x
′
⇔+ +≥
2 20 1xx⇔ + ≤ ⇔ ≤−
nên hàm số đồng biến trên
( )
;1−∞ −
.
Mặt khác
( ) ( )
;2 ;1−∞ − ⊂ −∞ −
nên phương án C thỏa mãn bài toán.
Câu 40: Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
.
( )
y fx=
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Đặt
( )
( )
2
x
gx f e= −
, hàm số xác định trên
.
Ta có:
( )
( )
'2
xx
g x ef e
′
=−−
.
( )
'0gx
=
21
21
24
x
x
x
e
e
e
−=−
⇔−=
−=
ln 3
0
2( )
x
x
x
e
=
⇔=
= −
voâ nghieäm
Bảng xét dấu đạo hàm của hàm số
( )
y gx=
như sau:
Suy ra hàm số
( )
y gx=
đồng biến trên các khoảng ; .
Vậy chọn phương án D.
Câu 41: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
đây:
Hàm số
( )
( )
2gx f x= −
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây:.
A.
( )
3; +∞
. B.
( )
2;3
. C.
( )
1; 2−
. D.
( )
;1−∞ −
.
Lời giải
Chọn C
- Do
( )
( )
hx f x=
là hàm chẵn, đồ thị hàm số
( )
y hx=
nhận trục tung làm trục đối
xứng
( )
2
x
yf e
= −
( )
;1−∞
(
)
1; 4
( )
0;ln 3
( )
2; +∞
(
)
;0−∞
( )
ln 3; +∞
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
nên từ bảng biến thiên của hàm số
( )
y fx=
suy ra bảng biến thiên của hàm số
(
)
( )
hx f x
=
như sau:
- Tịnh tiến đồ thị hàm số
( )
(
)
hx f x=
sang phải (theo trục hoành) 2 đơn vị ta được đồ
thị hàm số
( )
( )
2
gx f x= −
. Suy ra bảng biến thiên của hàm số
( )
( )
2gx f x= −
:
Từ bảng biến thiên của hàm số
( )
( )
2gx f x= −
ta thấy hàm số
( )
( )
2gx f x= −
nghịch
biến trên
(
)
1; 2−
và
(
)
5;
+∞
nên ta chọn đáp án C.
Câu 42: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
, có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số
( )
( )
y f fx=
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
;2−∞ −
. B.
( )
1;1−
. C.
( )
2; +∞
. D.
( )
0; 2
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
( ) ( )
( )
gx f f x=
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
.'
.
fxf x
gx f fx
fx
′′
⇒=
Do đó
( )
gx
′
không xác định khi
( )
0fx=
hay
0x =
.
x
( )
fx
′
( )
fx
−∞
1
1−
0
+
−
0
+∞
−
0
0
1−
1
0
0
x
( )
fx
′
( )
fx
−∞
1
1−
0
+
−
0
+∞
−
0
0
1−
1
0
0
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
1
0
1
0 11
1
0
1
x
fx
x
gx fx x
fx
f fx
fx
= ±
′
=
= ±
′
=⇔ ⇔ = ⇔ ⇔=±
= ±
′
=
= −
.
Từ bảng biến thiên của
( )
fx
ta có
( )
[ ]
0;1 ,fx x
∈ ∀∈
. Suy ra
(
)
(
)
0,f fx x
′
≥ ∀∈
.
Ta có bảng xét dấu của
( )
'gx
như sau:
Từ đó suy ra
( )
gx
đồng biến trên mỗi khoảng
( )
;1−∞ −
và
( )
0;1
.
Câu 43: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
. Biết hàm số
( )
y fx
′
=
có bảng xét dấu như sau
Hàm số
( ) ( )
2cos 1gx f x= +
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
0;
6
π



. B.
;
43
ππ



. C.
;
32
ππ



. D.
;
2
π
π



.
Lời giải
Chọn C
Nhận thấy các tập hợp trong các đáp án đều là tập con của tập
( )
0;
π
nên ở bài này ta xét
trên khoảng
( )
0;
π
.
Hàm số
( )
gx
đồng biến
(
)
0gx
′
⇔≥
và
( )
0
gx
′
=
tại hữu hạn điểm
( ) ( )
2sin . 2cos 1 0 2cos 1 0xfx fx
′′
⇔− +≥⇔ +≤
( do
( )
sin 0, 0;xx
π
> ∀∈
)
12cos 12x⇔≤ +≤
1
0 cos
23 2
xx
ππ
⇔≤ ≤ ⇔ ≤≤
.
Dạng toán 48. Biết BBT hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
y gx fux= =
trong
bài toán chứa tham số.
Câu 44: Cho hàm số
( )
y fx=
cáo đạo hàm trên
và có bảng xét dấu như sau
x
( )
fx
′
( )
fx
−∞
1
1−
0
+
−
+∞
−
0
0
+
( )
gx
′
0
+
+
−
−
0
0
+
+
−
−
x
( )
fx
′
( )
fx
−∞
1
1−
0
+
−
+∞
−
0
0
+
( )
gx
′
0
+
+
−
−
0
0
+
+
−
−
0
+
4
+
-
0
0
0
2
1
+
-
-2
+
∞
-
∞
y'
x
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
( )
0 2020;m ∈
để hàm số
(
)
(
)
2
gx f x x m= −+
nghịch biến
trên khoảng
( )
10
;−
?
A.
2017
. B.
2018
. C.
2016
. D.
2015
.
Lời giải
Chọn C
(
) (
)
(
)
2
21
' .'
gx x f x xm= − −+
Hàm số
( )
gx
nghịch biến trên
( )
10;−
( ) ( ) ( )
0 10' , ;*gx x⇔ ≤ ∀∈−
Vì
( )
2 1 0 10
,;
xx− < ∀∈−
nên
(
)
( )
( )
2
0 10*' , ;fx xm x⇔ − + ≥ ∀∈−
( )
( )
2
2
1 10
4 10
,;
,;
x xm x
x xm x
− + ≤ ∀∈−
⇔
− + ≥ ∀∈−
(
)
( )
( )
(
)
2
2
2
2
1 10
4 10
1 10
4 10
11
44
,;
,;
,;
,;
m xx x
m xx x
x x mx
x x mx
mm
mm
≤− + + ∀ ∈ −
⇔
≥− + + ∀ ∈ −
− + + ≥ ∀∈−
⇔
− ++≤ ∀∈−
− ≥ ≤−

⇔⇔

≤≥

Vậy
{ }
4 5 6 2019; ; ;...;m ∈
. Chọn đáp số C.
Câu 45: Cho hàm số
()y fx=
có đồ thị như bên.
Số giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
( )
2
y fx x m= ++
nghịch biến trên
(0;1)
là
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Ta có
( )
2
(2 1)y x fx xm
′′
= + ++
.
Hàm số
(
)
2
y fx x m= ++
nghịch biến trên
(0;1)
khi và chỉ khi
0, (0;1)yx
′
≤ ∀∈
.
Vì
2 1 0, (0,1)xx+ > ∀∈
nên điều này tương đương với
( )
22
2
22
1, (0;1) 1 , (0;1)
0, (0;1)
1, (0;1). 1 , (0;1).
xxm x xx mx
fx xm x
xxm x xx mx

+ + ≥− ∀ ∈ + ≥− − ∀ ∈

′
+ + ≤ ∀∈ ⇔ ⇔

+ + ≤ ∀∈ + ≤ − ∀∈


Ta có hàm số
2
()gx x x= +
luôn đồng biến trên
[0;1]
; do đó, ràng buộc trên tương đương
với
1 (0) 0
1
1 (1) 2
mg
m
mg
−− ≤ =
⇔=−
−≥ =
.
Vậy có duy nhất một giá trị nguyên của
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 46: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( ) ( )
( )
2
2
12fx x x x
′
=−−
với mọi
.x∈
Có bao nhiêu số
nguyên
100m <
để hàm số
( )
( )
2
8gx f x x m= −+
đồng biến trên khoảng
( )
4;+∞
?
A.
18.
B.
82.
C.
83.
D.
84.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
( )
2
2
0
1 20 .
2
x
fx x x x
x
<
′
= − − >⇔
>
Xét
( )
( )
(
)
2
2 8. 8 .
gx x f x xm
′′
= − −+
Để hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
4;
+∞
khi
và chỉ khi
( )
0, 4gx x
′
≥ ∀>
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2 8 . 8 0, 4
8 0, 4
8 0, 4;
18.
8 2, 4;
x fx xm x
fx xm x
x xm x
m
x xm x
′
⇔ − − + ≥ ∀>
′
⇔ − + ≥ ∀>
− + ≤ ∀ ∈ +∞
⇔ ⇔≥
− + ≥ ∀ ∈ +∞
Vậy
18 100.m≤<
Câu 47: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( ) ( )
( )
2
2
19f x x x x mx
′
= − ++
với mọi
.x ∈
Có bao
nhiêu số nguyên dương
m
để hàm số
(
) ( )
3gx f x= −
đồng biến trên khoảng
( )
3; +∞
?
A.
5.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Từ giả thiết suy ra
( )
(
)(
) ( ) ( )
22
3 3 2 3 3 9.
f x x x xm x

′
−=− − − + −+

Ta có
( ) ( )
3.gx f x
′′
=−−
Để hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
3; +∞
khi và chỉ khi
( ) ( )
0, 3;gx x
′
≥ ∀ ∈ +∞
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
22
2
3 0, 3;
3 2 3 3 9 0, 3;
39
, 3;
3
fx x
x x xm x x
x
mx
x
′
⇔ − ≤ ∀ ∈ +∞

⇔ − − − + − + ≤ ∀ ∈ +∞

−+
⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
−
( )
(
)
3;
minm hx
+∞
⇔≤
với
(
)
( )
2
39
.
3
x
hx
x
−+
=
−
Ta có
( )
( )
( ) ( )
2
39
99
3 2 3 . 6.
3 33
x
hx x x
x xx
−+
= =−+ ≥ − =
− −−
Vậy suy ra
{ }
6 1;2;3; 4;5;6 .
m
mm
+
∈
≤ → ∈
Câu 48: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( ) ( )
( )
22
15f x x x x mx
′
= − ++
với mọi
.x ∈
Có bao
nhiêu số nguyên âm
m
để hàm số
( )
(
)
2
gx f x
=
đồng biến trên
( )
1; +∞
?
A.
3.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết suy ra
( ) (
)( )
2 42 4 2
1 5.f x x x x mx
′
= − ++
Ta có
( )
( )
2
2.g x xf x
′′
=
Để hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
1; +∞
khi và chỉ khi
(
) ( )
0, 1;gx x
′
≥ ∀ ∈ +∞
( )
( )( )
2
42 4 2
42
4
2
2 0, 1
2 . 1 5 0, 1
5 0, 1
5
, 1
xf x x
x x x x mx x
x mx x
x
mx
x
′
⇔ ≥ ∀>
⇔ − + + ≥ ∀>
⇔ + + ≥ ∀>
+
⇔ ≥− ∀ >
( )
( )
1;
maxm hx
+∞
⇔≥
với
( )
4
2
5
.
x
hx
x
+
= −
Khảo sát hàm
( )
4
2
5x
hx
x
+
= −
trên
( )
1; +∞
ta được
( )
( )
1;
max 2 5.hx
+∞
= −
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 42
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Suy ra
{ }
25 4;3;2;1.
m
mm
−
∈
≥− →∈−−−−
Câu 49: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( )
( )
( )
2
43
13 1f x x x x mx
′
=− ++
với mọi
.x ∈
Có bao
nhiêu số nguyên âm
m
để hàm số
(
)
(
)
2
gx f x
=
đồng biến trên khoảng
( )
0;+∞
?
A.
3.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết suy ra
(
) (
) ( )
2
2 22 8 6
1 3 1.f x x x x mx
′
= − ++
Ta có
(
)
( )
2
2.g x xf x
′′
=
Để hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
0;+∞
khi và chỉ khi
( ) ( )
( )
( )
2
0, 0; 2 0, 0;g x x xf x x
′′
≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
(
) ( )
( )
( )
( )
2
22 8 6
86
8
6
2 . 1 3 1 0, 0;
3 1 0, 0;
31
, 0;
x x x x mx x
x mx x
x
mx
x
⇔ − + + ≥ ∀ ∈ +∞
⇔ + + ≥ ∀ ∈ +∞
+
⇔ ≥ − ∀ ∈ +∞
(
)
( )
0;
max
m hx
+∞
⇔≥
với
( )
8
6
31
.
x
hx
x
+
= −
Khảo sát hàm
(
)
8
6
31
x
hx
x
+
= −
trên
( )
0;+∞
ta được
(
)
( )
0;
max 4.hx
+∞
= −
Suy ra
{ }
4 4;3;2;1.
m
mm
−
∈
≥−→∈−−−−
Câu 50: Cho hàm số
( )
y fx
=
liên tục trên
và có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
(
)
( )
gx f x m= +
đồng biến trên
khoảng
( )
0;2
.
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết suy ra hàm số
( )
y fx
=
đồng biến trên các khoảng
(
)
1;1−
,
( )
1;3
và liên tục
tại
1x =
nên đồng biến trên
( )
1;3−
.
Ta có
( ) ( )
gx f xm
′′
= +
và
( ) ( )
0;2 ; 2x x m mm∈ ⇔+∈ +
.
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
0;2
( ) ( )
1
;2 1;3 1 1
23
m
mm m
m
≥−
⇔ + ⊂− ⇔ ⇔−≤ ≤
+≤
.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 43
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Vì
m ∈
nên
m
có 3 giá trị là
1; 0; 1m mm=−= =
.
Câu 51: Cho hàm số
( )
y fx
=
liên tục trên
và có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
( ) ( )
gx f x m= +
đồng biến trên
khoảng
( )
0;2
.
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết suy ra hàm số
( )
y fx
=
đồng biến trên các khoảng
( )
1;1−
,
( )
1;3
và liên tục
tại
1x =
nên đồng biến trên
( )
1;3−
.
Ta có
( ) ( )
gx f xm
′′
= +
và
( ) ( )
0;2 ; 2x x m mm∈ ⇔+∈ +
.
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
0;2
( ) ( )
1
;2 1;3 1 1
23
m
mm m
m
≥−
⇔ + ⊂− ⇔ ⇔−≤ ≤
+≤
.
Vì
m ∈
nên
m
có 3 giá trị là
1; 0; 1m mm=−= =
.
Câu 52: Cho hàm số
( )
y fx=
là một hàm đa thức và có bảng xét dấu của
( )
fx
′
như hình bên
dưới:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
( 2 ) (1)yfx m
= −+
nghịch biến
trên khoảng
( )
11;25
.
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Lời giải
Chọn A
Đặt
2tx m
= −+
, với
( )
11;25x ∈
thì
( )
3 ;5t mm∈+ +
, hàm số trở thành:
( ) (2)y ft=
Dễ thấy
x
và
t
cùng chiều biến thiên nên hàm
(1)
nghịch biến trên
( )
11;25
thì hàm
(2)
nghịch biến trên
( )
3 ;5mm++
.
Dựa vào bảng xét dấu của hàm
( )
fx
′
suy ra hàm
()ft
nghịch biến trên khoảng
( )
1; 3
.
Do đó hàm
()
ft
nghịch biến trên
( )
3 ;5mm++
khi và chỉ khi
31 2
2
53 2
mm
m
mm
+ ≥ ≥−

⇔ ⇔=−

+ ≤ ≤−

Vậy có duy nhất một giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 44
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Dạng toán 49. Biết BBT hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( )
( )
( )
( )
y gx f ux hx= = +
trong bài toán không chứa tham số.
Câu 53: Cho hàm số
()
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
. Bảng biến thiên của hàm số
'( )fx
như
sau:
Hàm số
23 32
15gx f x x x x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
1
0;
3



. B.
(
)
;0−∞
. C.
2
0;
3



. D.
2
;
3

+∞


.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2 23 2
'( ) (3 2 ). '(1 ) 3 2 .gx xxf xx xx= − −+ + −
2 23
'( ) (3 2 ) '(1 ) 1gx x x f x x

⇔ = − −+ +

.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
'( ) '( ) 1 fx fx x R⇒ ≥− ∀ ∈
23
'(1 ) 1 0 f x x xR⇒ − + +≥ ∀∈
Xét
2
2
'()03 200
3
gx x x x≤⇒ − ≤⇔≤≤
.
Câu 54: Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số
( ) (
)
3
31 3gx f x x x= +− +
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
11
;
43



. B.
2
2;
3

−


. C.
2
;2
3



. D.
( )
2; +∞
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1
Ta có
( ) ( )
22
3313 33 31 1y fx x fx x
′′ ′

= +− += +− +

.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 45
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
( )
2
0 31 1y fx x
′′
≥⇔ + ≥ −
Ta có
2
10 1 1
xx− ≤ ⇔− ≤ ≤
( )
1
3 14
'3 1 0
2
13 13
0
3
x
x
fx
x
x
≥
+≥
+ ≥⇔ ⇔
≤ +≤
≤≤
Suy ra với
2
0
3
x≤≤
thì
( )
2
'3 1 0 1fx x+ ≥≥ −
.
Suy ra hàm số
( )
3
31 3
yfx x x
= +− +
đồng biến trên khoảng
2
0;
3



Mà
11 2
; 0;
43 3

⊂


nên chọn đáp án A.
Cách 2
Ta có
( ) ( )
22
3313 33 31 1y fx x fx x
′′ ′

= +− += +− +

.
Đặt
1
31
3
t
tx x
−
= +⇒ =
(
)
2
0 31 1y fx x
′′
≥⇔ + ≥ −
( )
2
28
9
tt
ft
−−
′
⇔≥
Vẽ đồ thị hàm số
(
)
2
28
9
tt
gt
−−
=
Từ bảng biến thiên ta có đồ thị
( )
ft
′
.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 46
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Từ đồ thị ta có
(
)
2
28
9
tt
ft
−−
′
≥
khi
2
1 3 13 13 0
3
tx x<<⇔< +<⇔<<
Lời bình: Do hàm
( )
fx
chưa biết nên
+ Phương án B sai.
+ Phương án C có thể đúng
+ Phương án D có thể đúng.
Do đó, để chắc chắn chỉ có một phương án đúng thì nên điều chỉnh phương án C, D
thành
C.
1
;1 .
3



D.
( )
;0 .−∞
ĐỀ XUẤT SỬA LỜI GIẢI THÀNH
Ta có:
( ) ( )
( )
2
3 31 1gx f x x

′′
= ++−

Có:
(
)
12
3 1 0 0; ; ; 1.
33
fx x x x x
′
+=⇔= = = =
2
1 0 1.xx− =⇔=±
Bảng xét dấu của
( )
gx
′
x
−∞
0
1−
1
3
2
3
1
+∞
( )
31
fx
′
+
−
0
+
+
0
+
0
−
0
+
2
1 x−
−
−
0
+
+
+
0
−
( )
gx
′
−
Khôn
g XĐ
được
dấu
+
+
Khô
ng
XĐ
đượ
c
dấu
Khô
ng
XĐ
được
dấu
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
1
1;
3

−


và
12
;
33



⇒
Chọn
.A
Câu 55: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên
. Bảng biến thiên của hàm số
( )
fx
′
như
hình vẽ.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 47
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Hàm số
( )
1
2
x
gx f x

= −+


nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.
(
)
4; 2
−−
. B.
( )
2;0−
. C.
( )
0; 2
. D.
( )
2; 4
.
Lời giải
Chọn A
Xét
() 1
2
x
gx f x

= −+


. Ta có
1
'( ) ' 1 1
22
x
gx f

=− −+


Xét
'( ) 0 ' 1 2
2
x
gx f

≤⇔ − ≥


Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
(
)
fx
′
ta có:
+) TH1:
1 2 2 1 3 4 2.
22
xx
fx

′
− > ⇔ <− < ⇔−< <−


Do đó hàm số nghịch biến trên
( )
4; 2−−
.
+) TH2:
1 2 11 0 2 22 4
22
xx
f a ax

′
− >⇔−<−< <⇔<− <<


nên hàm số chỉ nghịch biến
trên khoảng
( )
2 2 ;4a
−
chứ không nghịch biến trên toàn khoảng
(
)
2; 4 .
Vậy hàm số
( )
1
2
x
gx f x

= −+


nghịch biến trên
( )
4; 2 .−−
Chú ý: Từ trường hợp 1 ta có thể chọn đáp án A nhưng cứ xét tiếp trường hợp 2 xem thử.
Dạng toán 50. Biết BBT hàm số
( )
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
( )
y gx f ux hx= = +
trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 51. Biết BBT của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
y gx f ux f vx hx==++
trong bài toán không chứa tham số.
Dạng toán 52. Biết BBT của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
y gx f ux f vx hx==++
trong bài toán chứa tham số.
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 48
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Dạng toán 53. Biết BBT hàm số
(
)
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( )
( )
(
)
k
y gx f ux

= =

trong bài toán không chứa tham số.
Câu 56: Cho hàm số
y fx
có đạo hàm trên
và có bảng xét dấu của hàm số y =
fx
như
sau:
Biết
2 20ff

, hỏi hàm số
2
3gx f x



nghịch biến trên khoảng nào trong các
khoảng sau?
A.
2; 1 .
B.
1; 2 .
C.
2; 5 .
D.
5; .
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng xét dấu của hàm số y =
fx
suy ra bảng biến thiên của hàm số y =
fx
như sau:
Ta có
.
2. 3 . 3gx f xf x


Xét
1
0 3 .3 0gx f xf x



Từ bảng biến thiên suy ra
3 0, .fx x 
Do đó (1)
23 1 2 5
30 .
32 1
xx
fx
xx







Suy ra hàm số
gx
nghịch biến trên các khoảng
;1 ,
2; 5 .
Dạng toán 54. Biết BBT hàm số
(
)
y fx
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
(
) ( )
( )
k
y gx f ux

= =

trong bài toán chứa tham số.
Câu 57: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên
và
( )
'fx
có bảng biến thiên như hình vẽ, đồ thị
( )
= 'y fx
cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là
−3;1
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
−

10; 20
để hàm số
( )
( )
= +−
3
2
3y fx x m
đồng biến
trên khoảng
( )
0;2
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 49
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
A.
20
. B.
17
. C.
16
. D.
18
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
( ) ( )

′′
= + +− +−

2
22
32 3 3 . 3
y x fx xm fx xm
.
Theo đề bài ta có:
( ) ( )( )
′
=−+13fx x x
suy ra
( )
<−
′
>⇔
>
3
0
1
x
fx
x
và
( )
′
< ⇔− < <03 1fx x
.
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0;2
khi
( )
′
≥ ∀∈0, 0;2yx
( )
(
) ( )
( )

′′
⇔= + +− +− ≥∀∈

2
22
3 2 3 3 . 3 0, 0;2y x fx xm fx xm x
.
Do
( )
∈ 0;2x
nên
(
)
+ > ∀∈
2 3 0, 0;2xx
và
( )

+ − ≥ ∀∈

2
2
3 0,fx x m x
Do đó, ta có:
( )

+−≤− ≥++
′′
≥⇔ + − ≥⇔ ⇔

+−≥ ≤+−


22
2
22
3 3 33
0 30
3 1 31
xxm mxx
y fx xm
xxm mxx
( )
( )
( )
( )
≥ ++
≥
⇔⇔
≤−
≤ +−
2
0;2
2
0;2
max 3 3
13
1
min 3 1
m xx
m
m
m xx
.
Do
∈−

10; 20m
nên có
18
giá trị nguyên của
m
thỏa yêu cầu đề bài.
Dạng toán 55. Biết BBT hàm số
( )
( )
y f ux
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
(
)
y fx=
trong bài
toán không chứa tham số.
Câu 58: Cho hàm số
( )
2y fx= +
có đạo hàm trên
và có bảng biến thiên như hình vẽ
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 50
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Hàm số
(
)
y fx=
nghịch biến tên khoảng nào sau đây
A.
( )
0; 2
B.
(
)
2;5
. C.
( )
2;0−
. D.
( )
4; 2−−
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2. 2 2fx x fx fx
′
′
′′
+ =+ += +


Đặt
2tx= +
khi đó
( ) ( )
2y fx ft= +=
và
( ) ( )
2'y fx f t
′
′
= +=


Dựa vào bảng biến thiên của hàm
( )
2y fx= +
ta có
( )
4
20
2
x
fx
x
= −
′
+=⇔
= −
Suy ra
( )
2
0
0
t
ft
t
= −
′
= ⇔
=
Vậy ta có bảng biến thiên của hàm
( )
y fx=
như sau
Suy ra hàm số
( )
y fx=
nghịch biến trên
( )
2;0−
Dạng toán 56. Biết BBT hàm số
( )
( )
y f ux
′
=
xét tính đơn điệu của hàm số
( )
y fx=
trong bài
toán chứa tham số.
Câu 59: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
và
( )
12f −=
. Biết
( )
'y fx=
có bảng
biến thiên như hình vẽ
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 51
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn
[ ]
2019;2019−
để hàm số
( )
32
113
ln
622
y fx x x x m

= + − −+


đồng biến trên
( )
1; 3−
A.
2008
. B.
2007
. C.
2009
. D.
2010
.
Lời giải
Chọn A
Hàm số
( )
32
1
ln 3 9
3
y fx x x x m

= + − ++


xác định trên
R
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
32
22
1
3 9 0, 1; 3
3
' ' 69 ' 0 ' 69
gx f x x x x m x
gx f x x x gx f x x x
⇔ = + − + + > ∀ ∪∈ −
⇒=+−+⇒=⇒=−++
Vẽ hai đồ thị
( )
2
' 69y fx y x x= ∨=−+ −
trên cùng hệ trục
Vậy
( ) ( ) (
) ( )
31 31
' 0 1; 3 1 0
33
g x x gx g m m≥ ∀∈− ⇒ > − =− + ≥ ⇒ ≥
( )
( )
( )
( )
2
32
32
' 69
1
ln 3 9 ' 0, 1; 3
113
3
622
fx x x
y fx x x x m y x
fx x x x m
+−+

= + − + + ⇒ = ≥ ∀∈−


+ − −+
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 52
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Đề hàm số đồng biến trên
( )
1; 3
−
thì
31
;2019 11;...;2018
3
mm

∈ ⇒=


có 2008 số.
Câu 60: Cho hàm số
( )
2y fx= +
có đạo hàm liên tục trên
. Biết
( )
'2y fx= +
có bảng biến thiên
như hình vẽ
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn
[ ]
2019;2019−
để hàm số
( ) ( )
432
1 23
21
12 3 2
y fx x x x m x m= − + − − −+
đồng biến trên
( )
1; 3
A.
2021
. B.
2020
. C.
2019
. D.
2018
.
Lời giải
Chọn A
( )
( )
( )
4 3 2 32
1 23 1
2 1 ' ' 2 32 1
12 3 2 3
y fx x x x m x m y f x x x x m= − + − − − +⇒= − + −− +
Để hàm số đồng biến trên
( )
( ) ( )( )
32
1
1; 3 ' ' 2 3 2 1 0, 1; 3 1
3
y fx x x x m x⇒= − + −− +≥∀∈
Đặt
( )( )
2 1;1 1
xt t= + ⇒ ∈−
trở thành
( )
( ) (
) ( ) ( )
32
1
' 2 2 2 2 3 2 2 1 0, 1;1
3
ft t t t m t+− + + + − +− +≥∀∈−
( ) ( ) ( )
3
11
' 2 2 , 1;1
33
gt f t t t m t⇔ = + − + + ≥ ∀∈−
(
) ( )
2
' "2 1gt f t t⇒ = +−+
Vẽ hai đồ thị
( )
"y ft=
và
2
1yt= −
trên cùng hệ trục
Từ đồ thị ta thấy
( ) ( ) ( )
' 0. 1;1g t t gt≥ ∀∈− ⇒
là hàm số đồng biến
( )
1;1t∀∈−
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 53
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
( ) (
)
[ ]
( ) ( ) ( )
1;1
3
2 , 1;1 2 min 1 ' 1 1 3
2
m gt t m gt g f m
−
⇒ ≤ ∀∈− ⇔ ≤ = − = + = ⇒ ≤
Kết hợp
[
]
2019;2019 2019,...,0,1mm
∈− ⇒ =−
có 2021 số
Dạng toán 57. Biết BBT của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( )
(
)
.y gx f x=
trong
bài toán không chứa tham số.
Câu 61: Cho hàm số
()y fx
=
liên tục và có đạo hàm trên
, thỏa mãn
( 1) 0f −=
. Biết bảng biến
thiên của hàm số
( )
'y fx=
như hình vẽ.
Hàm số
( )
( )
( )
2
2gx x x f x= −−
nghịch biến trên khoảng nào?
A.
( )
2;
+∞
. B.
( )
;1−∞ −
. C.
1
1;
2

−


. D.
( )
1;1−
.
Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên của hàm số
( )
'y fx=
ta suy ra bảng biến thiên của hàm số
(
)
y fx=
như sau
Ta có
( )
( ) ( )
( )
(
)
2
' 21 2'gx x fx x x f x= − + −−
.
Ta lập bảng xét dấu:
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 54
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
1
1;
2

−


.
Dạng toán 58. Biết BBT của hàm số
(
)
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
.
y gx f x=
trong
bài toán chứa tham số.
Câu 62: Cho hàm số
( )
y fx=
và
( )
0,fx x> ∀∈
. Biết hàm số
( )
'y fx
=
có bảng biến thiên như
hình vẽ và
( )
'4 0f =
Có bao nhiêu số nguyên
[ ]
2019;2019
m
∈−
để hàm số
( )
2
1x mx
y e fx
−+ +
=
đồng biến trên
( )
1; 4
A.
2011
B.
2013
C.
2012
D.
2014
Lời giải
Chọn C
(
) ( ) ( )
( )
22
11
'2 '
x mx x mx
y e fx y e x mfx f x
−+ + −+ +
= ⇒= −+ +


Hàm số đồng biến trên
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
1; 4 ' 0, 1; 4 2 ' 0, 1; 4 1y x x mfx f x x⇔ ≥ ∀∈ ⇔− + + ≥ ∀∈
Vì
( )
0,fx x> ∀∈
( )
( )
( )
( ) ( )
'
1 2 , 1; 4
fx
m x gx x
fx
⇔ ≥ − = ∀∈
Xét hàm số g(x) ta có
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
". '
'2
f xfx f x
gx
fx
−


= −


Theo BBT của hàm số
()fx
′
ta thấy
( )
1; 4x∀∈
thì
() 0fx
′′
<
nên
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 55
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
2
" ' 0 0,
f xfx f x fx x− < > ∀∈


( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
22
22
". ' ". '
0, 1; 4 ' 2 0,
f xfx f x f xfx f x
x gx
fx fx
−−
 
 
⇒− > ∀ ∈ ⇒ = − >
 
 
( )
y gx⇒=
đồng biến trên
( )
1; 4
Do đó để
( ) (1;4)m gx x≥ ∀∈
thì
[
]
( )
(
)
1;4
max 4 8.m gx g
≥==
Do
[ 2019;2019]m
∈−
nên
[ ]
8;2019m ∈
Có 2012 số nguyên thỏa ycbt.
Dạng toán 59. Biết BBT của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( )
(
)
.y gx f x=
trong
bài toán không chứa tham số.
Câu 63: Cho hàm số
( )
y fx=
. Biết
( )
00f =
và hàm số
( )
y fx
′
=
có bảng biến thiên
Khi đó, hàm số
( )
y xf x=
đồng biến trên khoảng nào?
A.
( )
;0−∞
. B.
( )
2;0−
. C.
( )
0; 2
. D.
( )
2; 2−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) (
) ( )
y xf x y f x xf x
′′
= ⇒= +
Từ bảng biến thiên của hàm số
( )
y fx
′
=
ta có
( )
0
0
x
fx
xa
=
′
= ⇔
=
với
3a
<−
.
Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
y fx=
.
Từ bảng biến thiên của hàm số
( )
y fx=
ta có
( ) ( )
0, 2; 0fx x> ∀∈−
Và
( ) ( ) ( ) ( )
0, 2; 0 0, 2;0fx x xfx x
′′
< ∀∈− ⇒ > ∀∈−
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 56
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Từ đó suy ra
( ) ( ) ( )
0, 2;0y f x xf x x
′′
= + > ∀∈−
. Do đó hàm số
( )
y xf x=
đồng biến trên
( )
2;0−
.
Trên khoảng
( )
;0−∞
thì
( )
fx
và
( )
xf x
′
có thể âm hoặc dương nên không thể kết luận
hàm số đã cho đồng biến trên
( )
;0−∞
⇒
đáp án A sai.
Trên
( )
0; 2
thì
( )
0fx<
và
( ) ( ) ( ) ( )
00 0f x xf x f x xf x
′′
<⇒ <⇒ + <
nên hàm số nghịch
biến trên
(
)
0; 2
⇒
đáp án C sai.
Đáp án C sai nên đáp án D sai.
Câu 64: Cho hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số
[
]
2
( ) (3 )
gx f x
= −
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
(2;5)
. B.
(1; 2)
. C.
( 2;5)−
. D.
(5; )+∞
.
Lời giải
Chọn A
Từ bảng biến thiên suy ra
( ) 0, (3 ) 0,fx x f x x
≤ ∀∈ ⇒ − ≤ ∀∈

.
Ta có
'( ) 2 '(3 ) (3 )=−− −g x f xf x
.
Xét
23 1 2 5
023 3030
32 1
xx
gx fxfx fx
xx






  

.
Suy ra hàm số
gx
nghịch biến trên các khoảng
( ;1)−∞
và
(2;5)
.
Dạng toán 60. Biết BBT của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( ) ( )
.y gx f x=
trong
bài toán chứa tham số.
Câu 65: Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 57
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Với
0m <
, hàm số
( )
( )
2
2.
y x x mfx= −+
đồng biến trên khoảng nào sau đây
A.
( )
1; 0−
. B.
( )
0;1
. C.
( )
1; 3
. D.
(
)
;1
−∞ −
.
Lời giải
Chọn B
( ) ( )
( )
( )
2'
' 2 2. 2 .yxfxxxmfx= − + −+
+ Ta có
( )
2 2 0, 0;1xx− < ∀∈
và
( ) ( )
0, 0;1fx x< ∀∈
(1)
Bảng biến thiên của hàm
( )
2
2y gx x x m= =−+
Từ hai BBT suy ra
( ) ( )
2
2 0, 0;1gx x x m x= − + < ∀∈
( do
0m <
) và
( ) ( )
'
0, 0;1fx x< ∀∈
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( ) ( )
( )
( ) ( )
2'
' 2 2 . 2 . 0 0;1yxfxxxmfx x= − + − + > ∀∈
.
Trong các khoảng
( )
;1
−∞ −
,
( )
1; 0−
,
( )
1; 3
thì chưa thể xác định được dấu của
( ) ( )
( )
( )
2'
' 2 2. 2 .yxfxxxmfx= − + −+
nên dựa vào các đáp án ta Chọn B
Dạng toán 61. Biết BBT của hàm số
(
)
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
(
)
( )
gx
y
fx
=
hoặc
(
)
( )
fx
y
gx
=
trong bài toán không chứa tham số.
Câu 66:
Cho hàm số bậc ba
( )
y fx=
có
1
(0)
3
f = −
. Bảng biến thiên của hàm số
( )
fx
′
như hình vẽ
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 58
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Hàm số
( )
()
x
fx
gx
e
=
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
(
)
;1
−∞
B.
(
)
2 3;2−
C.
( )
4; +∞
D.
(
)
3;
+∞
Lời giải
Chọn C
Vì
()y fx
=
là hàm số bậc ba nên
()y fx
′
=
là hàm số bậc hai.
Gọi
2
()
f x ax bx c
′
= ++
suy ra
() 2f x ax b
′′
= +
. Ta có hệ sau:
(1) 0 2 0 1
(1) 0 0 2
(0) 1 1 1
f ab a
f abc b
fc c
′′
= += =−


′
= ⇔ ++=⇔ =


′
=−=− =−

. Vậy
2
() 2 1fx x x
′
=−+ −
Suy ra
( )
2 32
1
() ()d 2 1d
3
fx f x x x x x x x x m
′
= = − + − =− + −+
∫∫
, do
11
(0)
33
fm=−⇒ =−
.
Vậy
32
11
()
33
fx x x x=− + −−
.
Ta có
(
)
2
. . ()
() ()
()
xx
xx
f xe e fx
f x fx
gx
ee
′
−
′
−
′
= =
.
() 0 () () 0gx f x fx
′′
=⇔ −=
32
2
12
2 3 0 23
33
23
x
xxx x
x
=
⇔ − + −=⇔ =−
= +
.
Lập bảng xét dấu
()y gx
′
=
Dựa vào bảng xét dấu
()gx
′
hàm số nghịch biến trên
( )
4; +∞
.
Dạng toán 62. Biết BBT của hàm số
( )
y fx
′
=
, xét tính đơn điệu của hàm số
( )
( )
gx
y
fx
=
hoặc
( )
( )
fx
y
gx
=
trong bài toán chứa tham số.
Câu 67: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
. Đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
có như sau:
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 59
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Đồ thị hàm số
( )
y fx=
không có giao điểm với trục hoành và
( )
1Max f x = −
. Đồ thị
hàm số
( )
y fx
′
=
có duy nhất 1 giao điểm với trục hoành.Có bao nhiêu giá trị của tham
số
m
để
hàm số
( )
( )
( )
( )
(
)
2
2
1 21
x m xm
gx
fx
− − ++
=
luôn đồng biến trên
.
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
5
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( ) ( )
1 0,Maxfx fx x=−⇒ < ∀∈
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
22
2
22
2
121312 1 21
1 21312 121
x m x mfx x m x mf x
gx
fx
x m x mfx x m x mf x
gx
fx
′
−−+ −+ −− −++
′
=

′
− −+ −+ −−−++

′
⇔=
Đặt
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
22
21312 121m x mfx x m x mf x hx
′
−+ −+ −−−++ =
Vì
(
)
gx
′
có 1 nghiệm bội lẻ
1x =
nên để
( )
0gx
′
≥
thì điều kiện cần là
( )
hx
cũng có nghiệm là
1x =
.
( )
( )
( )
22
1
122110210
1
2
m
h mm f mm
m
=
= − ++ =⇔− ++=⇔
−
=
Th1: Với
1m =
ta có
( )
(
) ( ) ( ) (
)
( )
(
)
23
2
31 1
0
x fx x f x
gx x
fx
′
− − +−
′
= > ∀∈
.
TH2: Với
1
2
m
−
=
ta có
( )
( ) (
) ( ) ( )
( )
( )
23
2
31 1
1
.0
2
x fx x f x
gx x
fx
′
− −−
′
= < ∀∈
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 60
NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC
Vậy có 1 giá trị
m
thỏa mãn đề bài yêu cầu.
| 1/103
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN
LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
(chuyên đề gồm 106 trang)
ĐỀ CƯƠNG CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG HÀM SỐ
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm cực trị của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm tiệm cận của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số.
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến phép biến đổi đồ thị
PHẦN A - CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PHẦN 1: Biết đặc điểm của hàm số y = f (x)
Dạng toán 1. Các bài toán về tính đơn điệu của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10)
Câu 1: Cho parabol (P) : = ( ) 2
y f x = ax + bx + c , a ≠ 0 biết:(P) đi qua M (4;3) , (P) cắt Ox tại
N(3;0) và Q sao cho IN
∆ Q có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3
. Khi đó hàm số f (2x − )
1 đồng biến trên khoảng nào sau đây A.  1 ;  +∞  . B. (0;2) . C. (5;7) . D. ( ;2 −∞ ) . 2    Lời giải Chọn C
Vì (P) đi qua M (4;3) nên 3 =16a + 4b + c (1)
Mặt khác (P) cắt Ox tại N(3;0)suy ra 0 = 9a + 3b + c (2), (P) cắt Ox tại Q nên
Q(t;0), t < 3  +3 b t = − 
Theo định lý Viét ta có  a   3 c t =  a Ta có 1 S  ∆ =
với H là hình chiếu của b I  ;  − − lên trục hoành ∆ IH NQ INQ . 2 2a 4a    Do IH ∆ ∆ = − , NQ 1 = 3− t nên S = ⇔ − − = ∆ t INQ 1 .(3 ) 1 4a 2 4a 2 2 ⇔ (   + − t) b c 2 − = ⇔  ( −t) (t 3) 2 − t = ⇔ ( − t)3 8 3 3 3 3 =  (3)  2a a a 4 a a
Từ (1) và (2) ta có 7a + b = 3 ⇔ b = 3− 7a suy ra 3− 7a 1 4 + 3 − t t = − ⇔ = a a 3 8 4 − t
Thay vào (3) ta có (3−t)3 ( ) 3 2 =
⇔ 3t − 27t + 73t − 49 = 0 ⇔ t =1 3
Suy ra a =1⇒ b = 4 − ⇒ c = 3 .
Vậy (P) cần tìm là y = f (x) 2 = x − 4x + 3.
Khi đó f ( x − ) = ( x − )2 − ( x − ) 2 2 1 2 1
4 2 1 + 3 = 4x −12x + 8
Hàm số đồng biến trên khoảng  3 ;  +∞  . 2   
Câu 2: Cho hai hàm số bậc hai y = f (x), y = g(x) thỏa mãn 2
f (x) + 3 f (2 − x) = 4x −10x +10 ;
g(0) = 9; g(1) =10; g( 1)
− = 4 . Biết rằng hai đồ thi hàm số y = f (x), y = g(x) cắt nhau tại hai điểm phân biệt là ,
A B . Đường thẳng d vuông góc với AB tạo với hai trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng 36. Hỏi điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d ? A. M ( 2; − ) 1 B. N ( 1; − 9)
C. P(1;4)
D. Q(3;5) Lời giải Chọn B Gọi hàm số 2
f (x) = ax + bx + c ta có 2
f (x) + 3 f (2 − x) = 4x −10x +10 2 2 2
⇔ ax + bx + c + 3a(2 − x) + b(2 − x) + c = 4x −10x +10   a =1 a =1   2 ⇔  2
− b −12a = 10 − ⇔ b  = 1
− ⇒ f (x) = x − x +1. 12
a 6b 4c 10  + + = c =   1 Gọi hàm số 2
g(x) = mx + nx + p ta có g(0) = 9; g(1) =10; g( 1)
− = 4 ra hệ giải được 2 m = 2
− ;n = 3; p = 9 ⇒ g(x) = 2 − x + 3x + 9.
Khi đó tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình 2 2
y = x − x +1
2y = 2x − 2x + 2  ⇔  ⇒ 3y = x +11 2 2 y = 2 − x + 3x + 9 y = 2 − x + 3x + 9 Do đó đường thẳng AB: 1 11 y = x + ⇒ d : y = 3
− x + k . Đường thẳng d cắt hai trục tọa 3 3 độ tại (0; ); k E k F  ;0 k
. Diện tích tam giác OEF là 1 k = 6 ⇔ k = 6 ± 3    2 3
Vậy phương trình đường thẳng d là: d : y = 3 − x + 6, -
y = 3x - 6 . Chọn đáp án B
Câu 3: Biết đồ thị hàm số bậc hai 2
y = ax + bx + c (a ≠ 0) có điểm chung duy nhất với y 2, = − 5
và cắt đường thẳng y = 2 tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1
− và 5. Tính P = a + b + c . A. 1. B. 0 . C. 1 − . D. 2 − . Lời giải Chọn D Gọi (P): 2
y = ax + bx + c,(a ≠ 0). Ta có:
a − b + c = 2 b  = 4 − a
+) (P) đi qua hai điểm ( 1 − ;2);(5;2)nên ta có  ⇔ 25a 5b c 2  + + = c = 2 − 5a
+) (P) có một điểm chung với đường thẳng y = 2, − 5 nên 2 −∆ b − 4ac 2 = − ⇔ =
⇔ a − a( − a) 2 1 2,5 2,5 16
4 2 5 =10a ⇔ 36a −18a = 0 ⇔ a = . 4a 4a 2 Do đó: 1 b = 2; − c = − . 2
Dạng toán 2. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y = f (x) trong bài toán
không chứa tham số.
Câu 4: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  thỏa mãn f ( ) 1 < 0 và  f
 ( x) − xf  ( x) 6 4 2
= x + 3x + 2x , x ∀ ∈ .
 Hàm số g ( x) = f ( x) 2
+ 2x đồng biến trên khoảng A. (1;3) . B.  1 0;     . C. 1  ;1 . D. (1;+∞). 3      3  Lời giải Chọn C Ta có  f
 ( x) − xf
 ( x) = x + x + x ⇔ ( f ( x))2 6 4 2 − x f (x) 6 4 2 3 2 .
− x − 3x − 2x = 0
Đặt t = f (x) ta được phương trình 2 6 4 2 t − .
x t − x − 3x − 2x = 0
Ta có ∆ = x − (−x − x − x ) = x + x + x = ( x + x)2 2 6 4 2 6 4 2 3 4 3 2 4 12 9 2 3 3 
x + 2x + 3x 3 t = = x +  2xf (x) 3 = x + 2x Vậy 2  . Suy ra  3 
x − 2x − 3xf  ( x) 3 3 t = − − = = −x − x x x  2 Do f ( ) 1 < 0 nên ( ) 3
f x = −x − x . Ta có g (x) 3 2
= −x + x − x ⇒ g (x) 2 1 2 ' = 3
− x + 4x −1 > 0 ⇔ < x <1. 3
Câu 5: Cho đa thức f (x) hệ số thực và thỏa điều kiện f (x) + f ( − x) 2 2 1 = x , x ∀ ∈ . R Hàm số
y = x f (x) 2 3 .
+ x + 4x +1 đồng biến trên A. R \{− } 1 . B. (0;+∞). C. R . D. ( ; −∞ 0). Lời giải Chọn C
Từ giả thiết, thay x bởi x −1 ta được f ( − x) + f (x) = (x − )2 2 1 1 .
2 f (x) + f (1− x) 2 =  x Khi đó ta có   →3 f (x) 2 = x + 2x −1. 2 f
(1− x)+ f (x) 2 = x − 2x +1 Suy ra 3 2 2
y = x + 3x + 3x +1⇒ y′ = 3x + 6x + 3 ≥ 0, x
∀ ∈ R . Nên hàm số đồng biến trên R .
Câu 6: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [ 1; − ] 1 và thỏa f ( ) 1 = 0,
( f ′(x))2 + f (x) 2 4
= 8x +16x −8. Hàm số g (x) = f (x) 1 3
− x − 2x + 3 đồng biến trên 3 khoảng nào? A. ( −1;2 ). B. ( 0;3 ) . C. ( 0;2 ) . D. ( − 2;2 ) . Lời giải Chọn C Chọn ( ) 2
f x = ax + bx + c (a ≠ 0) (lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai).
⇒ f ′(x) = 2ax + b . Ta có:
( f ′(x))2 + f (x) 2 4
= 8x +16x −8 ⇔ ( ax + b)2 + ( 2
ax + bx + c) 2 2 4 = 8x +16x −8 ⇔ ( 2 a + a) 2
x + ( ab + b) 2 2 4 4 4
4 x + b + 4c = 8x +16x −8
Đồng nhất 2 vế ta được: 2 4a + 4a = 8 a =1 a = 2 −   
4ab + 4b = 16 ⇔ b  = 2 hoặc b  = 4 − .  2 b + 4c = 8 −    c = 3 −  c = 6 −  Do f ( )
1 = 0 ⇒ a + b + c = 0 ⇒ a =1, b = 2 và c = 3 − . 1 x = 0 Vậy f (x) 2
= x + 2x − 3 ⇒ g (x) 3 2
= − x + x ⇒ g '(x) 2
= −x + 2x ⇒ g '(x) = 0 ⇔ . 3  x = 2 Ta có bảng biến thiên x −∞ 0 2 +∞ g '(x) − 0 + 0 −
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) . Câu 7: Cho hàm số = ( ) 3 2
y f x = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình bên. Đặt
g (x) = f ( 2x + x + 2). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau y 4 O 2 x
A. g (x) nghịch biến trên khoảng (0;2) .
B. g (x) đồng biến trên khoảng ( 1; − 0) .
C. g (x) nghịch biến trên khoảng  1 − ;0 
. D. g (x) đồng biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 . 2    Lời giải Chọn C Hàm số = ( ) 3 2
y f x = ax + bx + cx + d ; f ′(x) 2
= 3ax + 2bx + c , có đồ thị như hình vẽ.
Do đó x = 0 ⇒ d = 4 ; x = 2 ⇒ 8a + 4b + 2c + d = 0; f ′(2) = 0 ⇒12a + 4b + c = 0 ;
f ′(0) = 0 ⇒ c = 0. Tìm được a =1;b = 3
− ;c = 0;d = 4 và hàm số 3 2
y = x − 3x + 4. 3
Ta có g (x) = f ( 2x + x + 2) = ( 2x + x + ) − ( 2 2 3 x + x + 2) + 4 ⇒ g (x) 3 = (2x + ) 2
1 x + x + 2 − 3(2x + ) 1 = 3(2x + ) 1 2 1 x + x + 2 −  1 ′ ; 2 2     1 x = −  2 
g′(x) = 0 ⇔ x =  1 . x = 2 −  
Bảng xét dấu của hàm y = g (x) : x −∞ 2 − 1/ − 2 1 +∞ y′ − 0 + 0 − 0 + +∞ 7 7 −10 +∞ y 8 4 4
Vậy y = g (x) nghịch biến trên khoảng  1 − ;0  . 2   
Câu 8: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  có f ( 2
− ) < 0 . Đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = f ( 2
1− x ) nghịch biến trên ( ; −∞ 2 − ) .
B. Hàm số y = f ( 2
1− x ) đồng biến trên ( ; −∞ 2 − ) .
C. Hàm số y = f ( 2
1− x ) nghịch biến trên ( 1; − 0) .
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là f ( 2 − ) . Lời giải Chọn A
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) Ta có f (− ) 2 <
− x ≤ ⇒ f ( 2 2 0;1 1
1− x ) < 0. x ∀ ∈  2
t =1− x ⇒ f '(t) < 0 ⇒ t ∈( 2; − ) 1 ⇔ x∈(− 3; 3)
0 < f '(t) ⇒ t ∈( ; −∞ 2 − ) ⇔ x∈( ; −∞ − 3)∪( 3;+∞) −
g (x) = f ( 4xf t f ' t 2
1− x ) ⇒ g '(x) 2 = f ( 2 1− x ) ( ) ( ) = 2 f (t)
Dạng toán 3. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y = f (x) trong bài toán chứa tham số.
Câu 9: Cho hàm số = ( ) 3 2
y f x = ax + bx + cx + d , (a,b,c,d ∈,a ≠ 0) có đồ thị là(C). Biết rằng
đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ và có đồ thị hàm số y = f ′(x) cho bởi hình vẽ y 4 1 1 − O 1 x
Tính giá trị H = f (4) − f (2) . A. H = 58 . B. H = 51. C. H = 45 . D. H = 64 . Lời giải Chọn A
Do f (x) là hàm số bậc ba nên f ′(x) là hàm số bậc hai.
Dựa vào đồ thị hàm số f ′(x) thì f ′(x) có dạng f ′(x) 2
= ax +1 với a > 0 . Đồ thị đi qua
điểm A(1;4) nên a = 3 vậy f ′(x) 2 = 3x +1. 4 4
Vậy H = f (4) − f (2) = f ′
∫ (x)dx = ∫( 2 3x + ) 1 dx = 58 . 2 2
Câu 10: Cho hàm số ( ) 4 3 2
f x = ax + bx + cx + dx + m , (với a,b,c,d,m∈). Hàm số y = f ′(x) có đồ
thị như hình vẽ bên dưới:
Tập nghiệm của phương trình f (x) = 48ax + m có số phần tử là: A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có f ′(x) 3 2
= 4ax + 3bx + 2cx + d ( ) 1 .
Dựa vào đồ thị ta có f ′(x) = a(x − )
1 (4x + 5)(x + 3) 3 2
= 4ax +13ax − 2ax −15a (2) và a ≠ 0 . Từ ( ) 1 và (2) suy ra 13 b =
a , c = −a và d = 15 − a . 3 Khi đó:
f (x) = 48ax + m ⇔ 4 3 2
ax + bx + cx + dx = 48ax ⇔  4 13 3 2 a x x x 63x + − − =   0  3  x = 0 4 3 2
⇔ 3x +13x − 3x −189x = 0 ⇔  . x = 3
Vậy tập nghiệm của phương trình f (x) = 48ax + m là S = {0; } 3 .
Câu 11: Cho hàm số ( ) 4 3 2
f x = x + bx + cx + dx + m , (với a,b,c,d,m∈). Hàm số y = f ′(x) có đồ
thị như hình vẽ bên dưới:
Biết rằng phương trình f (x) = nx + m có 4 nghiệm phân biệt. Tìm số các giá trị nguyên của n . A. 15. B. 14. C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có f ′(x) 3 2
= 4x + 3bx + 2cx + d ( ) 1 .
Dựa vào đồ thị ta có f ′(x) = (x − )
1 (4x + 5)(x + 3) 3 2
= 4x +13x − 2x −15 Từ ( ) 1 và (2) suy ra 13 b = , c = 1 − và d = 15 − . 3 Khi đó:
f (x) = nx + m ⇔ 4 3 2
x + bx + cx + dx = nx x = 0 ⇔ 4 13 3 2 x x x 15x nx  + − − = ⇔ 3 13 2 3
x + x − x −15 = n (*)  3
Phương trình f (x) = nx + m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*)có 3 nghiệm phân biệt khác 0 Xét hàm số 3 13 2
g(x) = x + x − x −15 3 x = 3 − ' 2 26 g (x) 3x x 1 0  = + − = ⇔ 1 3 x =  9 Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 biệt khi và chỉ khi n∈{ 1 − ; 2 − ;...;− } 14
Câu 12: Cho hàm số y = f (x) , hàm số f ′(x) 3 2
= x + ax + bx + c(a, ,
b c∈) có đồ thị như hình vẽ
Hàm số g (x) = f ( f ′(x)) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?   A. (1;+∞). B. ( ; −∞ 2 − ) . C. ( 1; − 0) . D. 3 3  − ; . 3 3      Lời giải Chọn B Vì các điểm ( 1
− ;0),(0;0),(1;0) thuộc đồ thị hàm số y = f ′(x) nên ta có hệ:  1
− + a − b + c = 0 a = 0  c = 0 ⇔ b   = 1 − ⇒ f ′(x) 3
= x − x ⇒ f ' (x) 2 = 3x −1 1  a b c 0  + + + = c =   0
Ta có: g (x) = f ( f ′(x)) ⇒ g′(x) = f ′( f ′(x)). f ' (x) 3 x − x = 0  3 x − x =  1
Xét g′(x) = 0 ⇔ g′(x) = f ′( f '(x)). f ′′(x) = 0 ⇔ f ′( 3x − x)( 2 3x − ) 1 = 0 ⇔  3 x − x = 1 −  2 3x −1= 0  x = 1 ±  x = 0  ⇔ x =1,325  x = 1 − ,325   3 x = ±  3 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ⇒ g (x) nghịch biến trên ( ; −∞ 2 − )
Dạng toán 4. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f (x) , xét
sự biến thiên của hàm y = f (ϕ (x)); y = f ( f (x)),...y = f ( f ( f ...(x))) trong bài toán
không chứa tham số
Câu 13: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm f ′(x) như hình vẽ dưới đây. Hàm số ( ) = ( 2 g x
f x − x) đồng biến trên khoảng nào? A.  1 ;1    . B. (1;2) . C. 1  1; − . D. ( ; −∞ − ) 1 . 2      2  Lời giải Chọn C ( ) = ( 2 g x
f x − x) ⇒ g′(x) = ( x − ) f ′( 2 2 1 x − x) .  1 x = 1   2 x =   2 x =  0 2x −1 = 0  g′(x) = 0  ⇔  ⇔  − = ⇔ = . f ′  ( x − x) 2 x x 0 x 1 2 =  0   2 x − x = 2 x = 1 −    x = 2   x > 2
Từ đồ thị f ′(x) ta có f ′( 2x − x) 2
> 0 ⇔ x − x > 2 ⇔  , x < 1 −
Xét dấu g′(x) :
Từ bảng xét dấu ta có hàm số g (x) đồng biến trên khoảng  1 1;  −  . 2   
Câu 14: Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f ( 2 1+ x )
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 3;+∞) . B. (− 3;− )1. C. (1; 3). D. (0; ) 1 . Lời giải Chọn C x = 0 x = 0 Ta có   y′ = f 2  ( 2 + x ) ′   = x f ′  ( 2 1
2 . 1+ x ) ⇒ y′ = 0 ⇔ 1+ x = 2 ⇔ x = 1 ±   .  2 1+  x = 4  x = ± 3 Mặt khác ta có − < < − f ′( 3 x 1 2 1+ x ) 2
< 0 ⇔ 2 <1+ x < 4 ⇔  . 1  < x < 3 Ta có bảng xét dấu:
Vậy hàm số y = f ( 2
1+ x ) nghịch biến trên khoảng (1; 3).
Câu 15: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) 2
= x (x − 2028)(x − 2023)2 . Khi đó hàm số
y = g x = f ( 2 ( )
x + 2019) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. ( 2; − 2) . B. (0;3). C. ( 3 − ;0) . D. (2;+∞) . Lời giải Chọn C
Ta có y = g x = f ( 2 ( )
x + 2019) ⇒ y′ = g x = ( 2 x + )′ ′ f ′( 2 x + ) = x f ′( 2 ( ) 2019 2019 2 . x + 2019).
Mặt khác f ′(x) 2
= x (x − 2028)(x − 2023)2 . Nên suy ra:
y′ = g′(x) = 2 .
x f ′(x + 2019) = 2 .x(x + 2019)2 (x + 2019 − 2038)(x + 2019 − 2023)2 2 2 2 2 . = 2 . x ( 2 x + 2019)2 ( 2 x − 9)( 2
x − 4)2 = 2 .x( 2
x + 2019)2 (x −3)(x + 3)(x − 2)2 (x + 2)2
x = 0 (nghiem don)
x = 3 (nghiem don)  y′ = 2 . x ( 2
x + 2019)2 (x −3)(x + 3)(x − 2)2 (x + 2)2 = 0 ⇔ x = 3 ( − nghiem don)
x = 2 (nghiem boi 2)  x = 2 −  (nghiem boi 2)
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y = g x = f ( 2 ( )
x + 2019) đồng biến trên khoảng ( 3 − ;0) và (3;+∞) .
Câu 16: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  . Biết rằng hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Hàm số y = f ( 2
x − 5) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. ( ; −∞ 3 − ) . B. ( 5; − 2 − ) . C.  1 3 ;   . D. (2;+∞) . 2 2    Lời giải Chọn C
Xét hàm số y = f ( 2 x − 5)
Ta có y′ = x f ′( 2 2 . x − 5) x = 0 x = 0
x = 0 (nghiem boi 3)  2  2 x − 5 = 5 − x = 0  y 0   ′ = ⇔ ⇔ ⇔ x = ±  3  . 2  2 x − 5 = 2 − x = 3    x = 2 ±  2 2 2 x −5 = 3 x = 8
Ta lại có: khi x > 3 ⇒ f ′(x) > 0 suy ra: 2
x − > ⇒ x > ⇒ f ′( 2
x − ) > ⇒ x f ′( 2 5 3 2 2 5 0 2 . x − 5) > 0
Từ đó ta có bảng biến thiên:
Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên các khoảng
( 2− 2;− 3);(0; 3);(2 2;+∞). Mà  1 3 ;  ⊂   (0; 3) .  2 2 
Dạng toán 5. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f (x) , xét
sự biến thiên của hàm y = f ( f (x)),...y = f ( f ( f ...(x))) trong bài toán chứa tham số.
Câu 17: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên  . Biết đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ.
Biết S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thoả mãn m∈( 2019 − ;2019) sao
cho hàm số g (x) = f (x − m) đồng biến trên khoảng ( 2;
− 0) . Số phần tử của tập S là A. 2017 . B. 2019 . C. 2015 . D. 2021. Lời giải Chọn C
Ta có g '(x) = f '(x − m) . x − m = − x = m − Suy ra g (x) 1 1 ' = 0 ⇔ ⇔  . x m 2  − = x = m + 2
Do đó từ đồ thị hàm số y = f '(x) suy ra
g '(x) > 0 ⇔ f '(x − m) > 0 ⇔ x − m > 2 ⇔ x > m + 2.
Hàm số g (x) = f (x − m) đồng biến trên khoảng ( 2; − 0) khi và chỉ khi
g '(x) ≥ 0, x ∀ ∈( 2; − 0) ⇔ m + 2 ≤ 2 − ⇔ m ≤ 4 − .
Mà tham số m∈( 2019 −
;2019) và là gía trị nguyên thoả mãn m ≤ 4 − nên m∈{ 2018 − ; 2017 − ;...; 5 − ;− }
4 . Vậy tập S có 2015 phần tử.
Câu 18: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) 2 = x (x + )( 2
2 x + mx + 5) với x
∀ ∈ . Số giá trị
nguyên âm của m để hàm số g (x) = f ( 2
x + x − 2) đồng biến trên (1;+∞) là A. 3. B. 4 . C. 5. D. 7 . Lời giải Chọn B
Ta có g′(x) = ( x + ) f ′( 2 2 1
x + x − 2) .
Hàm số đồng biến trên (1;+∞) khi ( x + ) f ′( 2 2 1
x + x − 2) ≥ 0, x ∀ ∈(1;+∞) ⇔ f ′( 2
x + x − 2) ≥ 0, x ∀ ∈(1;+∞)
(x x )2 (x x)(x x )2 2 2 2 m( 2 2 2 x x 2) 5 ⇔ + − + + − + + − + ≥ 0  , x ∀ ∈(1;+∞) ( ) 1 .   Đặt 2
t = x + x − 2 với t > 0 , do x ∈(1;+∞) . ( ) 2 ⇒ t (t + )( 2 1
2 t + mt + 5) ≥ 0, t ∀ > 0 2  5
⇔ t + mt + 5 ≥ 0 , t ∀ > 0 m t  ⇔ ≥ − +  , t ∀ > 0 t    ⇔ m ≥ 2 − 5 ≈ 4, − 47 .
Do m nguyên âm nên m∈{ 4 − ; 3 − ; 2 − ;− } 1 .
Câu 19: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên  là f ′(x) = (x − )
1 (x + 3) . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 10
− ;20] để hàm số y = f ( 2
x + 3x − m) đồng biến trên khoảng (0;2) . A. 18. B. 17 . C. 16. D. 20 . Lời giải Chọn A
Ta có y′ = f ′( 2
x + x − m) = ( x + ) f ′( 2 3 2 3
x + 3x − m).
Theo đề bài ta có: f ′(x) = (x − ) 1 (x + 3) x < − suy ra f ′(x) 3 > 0 ⇔ 
và f ′(x) < 0 ⇔ 3 − < x <1. x > 1
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) khi y′ ≥ 0, x ∀ ∈(0;2)
⇔ ( x + ) f ′( 2 2 3
x + 3x − m) ≥ 0, x ∀ ∈(0;2) .
Do x∈(0;2) nên 2x + 3 > 0, x
∀ ∈(0;2) . Do đó, ta có:
x + x − m ≤ −
m ≥ x + x + y′ ≥ 0, x
∀ ∈(0;2) ⇔ f ′(x + 3x − m) 2 2 3 3 3 3 2 ≥ 0 ⇔  ⇔  2 2
x + 3x − m ≥ 1
m ≤ x + 3x −1
m ≥ max( 2x +3x +3)  [0;2] m ≥13 ⇔ ⇔   . m ≤ min 
( 2x +3x− )1 m ≤ 1 −  [0;2] Do m∈[ 10
− ;20] , m∈ nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài.
Dạng toán 6. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f (x) , xét
sự biến thiên của hàm y = ln ( f (x)) f (x)
, y = e ,sin f (x), os
c f (x)... trong bài toán không chứa tham số
Câu 20: Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau Hàm số 3 f (2 x) 1 f (2−x) y = e − + + 3
đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1;+ ∞) . B. ( 1; − 3). C. (−∞;− 2) . D. ( 2 − ) ;1 . Lời giải Chọn D Ta có : y′ = 3
− f ′(2 − x) 3f (2−x) 1 .e
+ − f ′(2 − x) f (2−x) .3
.ln 3 = − f ′(2 − x) 3 f (2−x) 1 + f (2−x) .(3e + 3 .ln 3). 2 − x < 1 − x > 3
y′ > 0⇔ − f ′(2 − x) > 0 ⇔ f ′(2 − x) < 0 ⇔ ⇔ . 1   2 x 4  < − <  2 − < x <1
Câu 21: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên.
Hỏi hàm số y = g (x)
2017 f (x−2020)+2018
2019 f (x−2020) = e + π
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (2016; 2018).
B. (2017; 2019).
C. (2018; 2020).
D. (2021; 2023). Lời giải Chọn C
+) Xét hàm số y = g (x)
2017 f (x−2020)+2018
2019 f (x−2020) = e + π
xác định và liên tục trên  . Ta có
g '(x) = 2017 f '(x − 2020) 2017 f (x−2020)+2018 e
+ 2019lnπ f '(x − 2020) 2019 f (x−2020) π
g '(x) = f '(x − 2020)
2017 f (x−2020)+2018
2019 f (x−2020) 2017e + 2019π lnπ  , x ∀ ∈ .    +) Do
2017 f (x−2020)+2018
2019 f (x−2020) 2017e + 2019π lnπ > 0, x ∀ ∈  nên
g '(x) < 0 ⇔ f '(x − 2020) < 0.
Hơn nữa từ đồ thị của hàm số y = f (x) , ta thấy hàm số y = f (x) nghịch biến trên mỗi
khoảng (0; 2) và (4; + ∞), suy ra f '(x) < 0, x ∀ ∈(0; 2) ∪(4; + ∞).  < x − <  < x <
Khi đó bất phương trình f (x − ) 0 2018 2 2018 2020 ' 2020 < 0 ⇔ ⇔   . x − 2018 > 4 x > 2022
+) Vậy g '(x) < 0, x
∀ ∈(2018; 2020) ∪(2022; + ∞). Khi đó hàm số y = g (x) nghịch biến
trên mỗi khoảng (2018; 2020) và (2022; + ∞).
Câu 22: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên  và hàm f ′(x) có đồ thị như hình vẽ. y x -1 O 1 2 Hàm số ( ) ( ) 2 ( ) 3 2019 2 2 ( ) 2018 f x f x f x g x − + − =
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 2; − 0) . B. (0; ) 1 . C. (1;2) . D. (2;3). Lời giải Chọn D
Xét g′(x) = − f ′(x) 2
.3 f (x) − 4 f (x) − f (x) 2 + f (x) 3 2019 2 2 − f (x) + 2.2018 .ln 2018   x = 1 − x = 0
Có g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = 0 ⇔ 
, trong đó x =1 là nghiệm kép. x =1  x = 2
Bảng xét dấu của g′(x) :
Từ bảng, suy ra hàm số nghịch biến trên (2;3), do (2;3) ⊂ (2;+∞).
Câu 23: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị y = f '(x) như hình vẽ sau
Hỏi đồ thị hàm số g (x) 3 f (x) 1 f (x) f (e + = + 2
) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ; −∞ 5 − ). B.  7 3; −  −  . C. ( 1; − +∞). D. ( 3 − ;− ) 1 .  4  Lời giải Chọn A Ta có:
g '(x) = (3 f '(x) 3f(x) 1+ f(x) .e
+ 2 . f '(x).ln 2) 3 f (x) 1 + f (x) . f '(e + 2 ) = f '(x) 3 f (x) 1 + f (x) .(3.e + 2 .ln 2) 3 f (x) 1 + f (x) . f '(e + 2 )
ycbt ⇔ g '(x) < 0. Mà ta thấy rằng: 3 f (x) 1 + f (x) 3 f (x) 1 + f (x) 3  .e + 2 .ln 2 > 0 3  .e + 2 .ln 2 > 0   ⇒  3 f (x) 1 + f (x) 3 f (x) 1 + f (x)  e + 2 > 0  f '  (e + 2 )>0  x < 5 − Suy ra g '(x) 0 f '(x) 0  < ⇔ < ⇔   7  x < x < 1 −  x ∈ 3 −  ; −  0 0   4    
Vậy hàm số g (x) nghịch biến trên ( ; −∞ 5 − ) .
Câu 24: Cho hàm số y = f ′(x − )
1 có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
2 f (x) 4x y π − =
đồng biến trên khoảng A. (− ;0 ∞ ). B. ( 2; − 0) . C. (0;+∞). D. ( 2; − ) 1 . Lời giải Chọn C
Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ′(x − )
1 sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số
y = f ′(x) như sau Xét hàm số
2 f (x) 4x y π − =
. Tập xác định D =  .
2 f (x)−4x y′ = π
⋅(2 f (′x) − 4)⋅lnπ x = 2 −
y = 0 ⇔ f (x) = 2  ′ ′ ⇔ x = 0  . x =  1
Ta có bảng biến thiên như sau
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).
Dạng toán 7. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f (x) , xét
sự biến thiên của hàm y = ln ( f (x)) f (x)
, y = e ,sin f (x), os
c f (x)... trong bài toán chứa tham số
Câu 25: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = x(x − )2 ( 2
1 x − mx + 9) với mọi x∈ .  Có bao
nhiêu số nguyên dương m để hàm số g (x) f (x) = e
đồngbiến trên khoảng (0;+∞)? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Lời giải Chọn B Ta có ′( ) ( ) = '( ). f x g x f x e .
Hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (0;+∞) khi và chỉ khi g′(x) ≥ 0, x ∀ ∈( 0;+∞)
⇔ f ′(x) ≥ 0, x ∀ ∈(
0;+∞) ⇔ x(x − )2 ( 2
1 x − mx + 9) ≥ 0, x ∀ ∈( 0;+∞) 2 x + 9 ⇔ m ≤ , x ∀ ∈( 0;+∞) x
⇔ m ≤ min h(x) với h(x) 9 = x + , x ∀ ∈(0;+∞) . (0;+∞) x Ta có: h(x) 9 9 = x + ≥ 2 . x = 6, x ∀ ∈(0;+∞) nên 6 m m + ∈ ≤ 
 → m∈{1;2;3;4;5; } 6 . x x
Câu 26: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau Hàm số f (x) 2 m 2 y e − + =
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (4;+∞) B. ( 1; − 4) . C. (1;2) . D.  1 ;  −∞  . 2    Lời giải Chọn C
Xét hàm số y g (x) f (x) 2 m 2 e − + = = . Ta có ( ) = ( ) ( ) 2 2 . f x m g x f x e − + ′ ′ , f (x) 2 −m +2 e > 0 x ∀ ∈  . x = 1 −
g (x) = 0 ⇔ f (x) = 0  ′ ′ ⇔ x = 0  . x =  4 Bảng biến thiên:
Vậy hàm số y g (x) f (x) 2 m 2 e − + = =
nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 ∪(0;4).
Câu 27: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên
Và hàm số y = g(x) có bảng biến thiên
Hàm số y = f x g (x) 1 ( ). + 2x + 3 −
chắc chắn đồng biến trên khoảng nào? x + 2 A. ( 2; − ) 1 . B. ( 1; − ) 1 . C.  3 ;1 −  . D. (1;4) . 2    Lời giải Chọn B
Xét y = f x g (x) 1 ( ). + 2x + 3 − . x + 2 Tập xác định: 3 D  ;1 = − 
. Từ tập xác định loại được phương án A, D 2   
Ta có: y = f x g (x) + f x g (x) 2 1 ' '( ). ( ). ' + + > 0, x ∀ ∈ 1 − ;1 . 2 ( ) 2x + 3 (x + 2)
Với phương án C, có g '(x) < 0 trên  3 ; 1 − −
 2  nên chưa kết luận được về dấu của hàm   số cần xét.
Câu 28: Cho hàm số f (x) có đồ thị như hình vẽ
Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình 3   f (x) 2
+2 f (x)−7 f (x)+5 +  f (x) 1 e ln + 
( )  = m có nghiệm là f x    A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6 . Lời giải Chọn B
Quan sát đồ thị ta thấy 1≤ f (x) ≤ 5, x
∀ ∈ , đặt t = f (x) giả thiết trở thành 3 2
t +2t −7t+5  1 e ln t  + + =   m .  t
Xét hàm: g (t) 3 2
= t + 2t − 7t + 5, t ∈[1;5] g′(t) 2
= 3t + 4t − 7 ≥ 0∀t ≥1⇒ g ( )
1 ≤ g (t) ≤ g (5) ⇔ 1≤ g (t) ≤145 . Mặt khác h(t) 1
= t + h′(t) 1 26 ,
= 1− ≥ 0∀t ∈ 1;5 ⇒ 2 ≤ h t ≤ . 2 [ ] ( ) t t 5
Do đó hàm u (t) 3 2
t +2t −7t+5  1 e ln t  = + + 
đồng biến trên đoạn [1;5]. t   
Suy ra: Phương trình đã cho có nghiệm 145 26
⇔ e + ln 2 ≤ m ≤ e + ln . 5
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m là 4 .
Câu 29: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau Hàm số f (x) 2 m 2 y e − + =
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (4;+∞) B. ( 1; − 4) . C. (1;2) . D.  1 ;  −∞  . 2    Lời giải Chọn C
Xét hàm số y g (x) f (x) 2 m 2 e − + = = . ( ) = ( ) ( ) 2 2 . f x m g x f x e − + ′ ′ , f (x) 2 −m +2 e > 0 x ∀ ∈  . x = 1 −
g (x) = 0 ⇔ f (x) = 0  ′ ′ ⇔ x = 0  x =  4 Bảng biến thiên:
Vậy hàm số y g (x) f (x) 2 m 2 e − + = =
nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 ∪(0;4).
Dạng toán 8. Các dạng khác với các dạng đã đưa ra…
PHẦN 2: Biết biểu thức của hàm số y = f '(x)
Dạng toán 9. Biết biểu thức hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số
y = g (x) = f (x) + h(x) trong bài toán không chứa tham số.
Câu 30: Cho hàm số y f x có 2
f '(x)  (x3)(x4)(x2) (x1), x  .  Hàm số 4 3 x 5x 2
y g(x)  f (x)  
 4x 4x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 4 3   A.   ;1  B. 1;2. C. 3;  5 . D. 3 0; .   2 Lời giải Chọn A Ta có 3 2 2 2 2
g '(x)  f '(x)  x 5x 8x4  f '(x) (x1)(x2)  (x1)(x2) (x 7x 13).  x 1
Khi đó g '(x)  0   . x  2 
Bảng xét dấu của hàm số g '(x) như sau
Vậy hàm số y g(x) nghịch biến trên ( ;  1). Câu 31: Cho hàm số 1
y = f (x) có f (x) 2 ' = x (x − )2
1 (x − 3). Hàm số g (x) = f (x) 3 + x − 5 đồng 3
biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?  +   −   −  A. (0; 2) . B. 3 5  2; . C. 3 5  ; 2 . D. 3 5 0; . 2            2   2   Lời giải Chọn C Ta có: ′( ) = ′( ) 2 g x f x + x , g′(x) 2
= ⇔ x (x − )2 (x − ) 2 0 1 3 = −x  x = 0 x = 0 x = 0  ⇔  ( ⇔  ⇔  = x − ) x 2 2 1 (x − 3) 3 2 = 1 −
x − 5x + 7x − 2 = 0  3±  5 x =  2
Ta có bảng xét dấu của g '(x):  − 
Dựa vào bảng xét dấu g '(x) ta thấy trên khoảng 3 5 
; 2 thì hàm số y = g (x) đồng 2      biến.
Câu 32: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f x = (x − )(x + )2 '( ) 1
2 , x   . Hàm số 2
y = g(x) = f (x) − 2x + 4x đồng biến trên khoảng nào? A. ( 4; − 0) B. ( ;0 −∞ ). C. ( 4; − ) 1 . D. (0;+∞). Lời giải Chọn A
g x = f x − x + = (x − )(x + )2 − (x − ) = (x − )( 2 '( ) '( ) 4 4 1 2 4 1
1 x + 4x) , x   x =1 x −1 = 0 g '(x) 0  = ⇔  ⇔ x = 0 2 x 4x 0  + = x = 4 −  Bảng xét dấu
Kết luận: Hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng ( 4; − 0)
Câu 33: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và f ′(x) 2
= x (x −1)(4 − x)
Hàm số y = g(x) = f (x) + f (1− x) đồng biến trên khoảng  1   1 3 A. 2; − −   0;1  ; 1;2 2 . B. ( ) . C.  . D. ( ) .    2 2  Lời giải Chọn D Ta có 2 2
g '(x) = f '(x) − f '(1− x) = x (x −1)(4 − x) − (1− x) (−x)(x + 3)
g '(x) = x(x − )
1 [x(4 − x) + (x −1)(x + 3)] = x(x −1)(6x − 3) x = 0  1
g '(x) = 0 ⇔ x = .  2 x =1  Ta có bảng biến thiên :
Dạng toán 10. Biết biểu thức hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số
y = g (x) = f (x) + h(x) trong bài toán chứa tham số.
Câu 34: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có đạo hàm f ′(x) = x(x − )2 ( 2
1 x + mx +16). Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[ 2019 − ;2019] để hàm số
g (x) = f (x) 1 4 2 3 1 2
+ x − x + x + 2019 đồng biến trên khoảng (5;+∞) ? 4 3 2 A. 2019 . B. 2021. C. 2028 . D. 4038 . Lời giải Chọn C
Ta có g (x) = f (x) 3 2 ' '
+ x − 2x + x = x(x − )2 ( 2
1 x + mx +16) + x(x − )2 1 = x(x − )2 ( 2 1 x + mx +17) .
Để hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (5;+∞) thì g '(x) ≥ 0 x ∀ ∈(5;+∞)
⇔ x(x − )2 ( 2 x + mx + ) 2 1 17 ≥ 0 x
∀ > 5 ⇔ x + mx +17 ≥ 0 x ∀ > 5 2 −x −17 ⇔ m ≥ x ∀ > 5 . x 2
Xét hàm số h(x) −x −17 17 = = −x − trên khoảng (5;+∞) x x h (x) 17 ' = 1 − + = 0 ⇒ x = ± 17 . 2 x
Từ bảng biến thiên suy ra 42 m ≥ − . 5
Vậy có 2028 giá trị của m thỏa mãn bài ra.
Câu 35: Cho hàm số f x có đạo hàm f xx 2 2
1 x 2x với mọi x  .  Có bao nhiêu số
nguyên m100 để hàm số 
g x f  2 x x   2 8
m m 1. đồng biến trên khoảng 4; ? A. 18. B. 82 . C. 83 . D. 84 . Lời giải Chọn B Ta có x  0
f x x  2 1  2
x 2x 0   . x   2
Xét gx x  f  2 2 8 . x 8x   m . Để hàm số 
g x đồng biến trên khoảng 4; khi và
chỉ khi gx 0, 4 x   2x   8 . f  2 x 8x   m  0, 4 x   f  2 x 8x   m  0, 4 x  2
x 8x m 0, x 4;    m 18.  2
x 8x m  2, x 4;  Vậy 18 m100. .
Câu 36: (VD) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình m( 2
1+ x − 2x + 2)+ x(2− x) ≤ 0
có nghiệm thuộc đoạn 0;1+ 3   . A. 1 m ≤ . B. 2 m ≤ . C. 4 m ≤ . D. 5 m ≤ . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B − Ta có: ( + − + ) 2 2 x 2 1 2 2 + (2 − ) ≤ 0 x m x x x x ⇔ ≥ m 2 1+ x − 2x + 2 Đặt 2
t = x − 2x + 2 , x ∈0;1+ 3   . Khi đó: x −1 t′ =
, t′ = 0 ⇔ x =1 2 x − 2x + 2 Bảng biến thiên: x 0 1 1+ 3 t′ − 0 + 2 t 2 1
Từ bảng biến thiên ta suy ra t [
∈ 1;2] . Khi đó bất phương trình trở thành: 2 t − 2 2 ≥ m có nghiệm  −  t [ ∈ ] t 2 1;2 ⇔ max   ≥ m t +1 [1;2]  t +1  2 − Đặt t 2 f (t) = , t [ ∈ 1;2]. Khi đó: t +1 2 t + 2t + 2 f (′t) = > 0, t ∀ ∈ 1;2 2 [ ] (t + ) 1 Bảng biến thiên: t 1 2 f (′t) + 2 f (t) 31 − 2
Từ bảng biến thiên ta suy ra 2
max f (t) = . Vậy 2 ≥ m hay 2 m ≤ . [1;2] 3 3 3
Câu 37: (VDC) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 10 − ;10] để bất phương
trình (m + 2)x − m ≥ x +1 có nghiệm thuộc đoạn [ 2; − 2]. A. 14. B. 20 . C. 16. D. 18. Lời giải Chọn C Ta có:
(m + 2)x − m ≥ x +1 ⇔ (m + 2)x − m ≥ (x + )2 1 2
⇔ x +1≤ m(x −1) 2
x +1 ≤ m nÕ m u ∈  (1;2] x −1 ⇔  2
x +1 ≥ m nÕ m u ∈[ 2; −  )1  x −1
Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [ 2; − 2] 2   x +1 min   ≤ m (1;2]   x −1  ⇔ (*)  2  x +1 max  ≥ m [ 2 − ) ;1   x −1  2 + Đặt x 1 f (x) = , x [ ∈ 2; − 2]. Khi đó: x −1 2 x − 2x −1 f (′x) = , 2
f (′x) = 0 ⇔ x − 2x −1 = 0 ⇔ x =1± 2 (x − )2 1
lim f (x) = −∞, lim f (x) = +∞ x 1− x 1+ → → Bảng biến thiên: t −∞ 2 − 1− 2 1 2 1+ 2 +∞ f (′t) + + 0 − − − 0 + +∞ 2 − 2 2 f (t) 5 5 − 3 −∞
Từ bảng biến thiên ta có: ( ) 5 ≤ mm ≥ 5 * ⇔  ⇔  ⇒ m∈{ 10 − ; 9 − ; 8 − ;...; 1 − ;5;6;7;8;9; } 10 . 2 − 2 2 ≥ mm ≤ 2 − 2 2
Vậy Có 16 giá trị m thỏa đề.
Câu 38: Biết rằng bất phương trình m( 2 x + − x + ) 2 4 2 2 1
1 ≤ 2 x − x + x + 1− x + 2 có nghiệm
khi và chỉ khi m∈( ;
−∞ a 2 + b , với a,b∈ . Tính giá trị của T = a +b. A. T = 3. B. T = 2 . C. T = 0 . D. T =1. Lời giải Chọn D Điều kiện 1 − ≤ x ≤1.
Xét hàm số g (x) 2 2
= x + 1− x trên đoạn [ 1; − ] 1 .   Ta có : 1 g′(x) 1 1 = x −
 , g′( x) = 0 2 2
⇔ x = 1− x ⇔ x = ± . 2 2  x 1− x  2
g′(x) không xác định khi x = 0, x = 1 ± . Bảng biến thiên : x 1 − 1 − 0 1 1 2 2
g′(x) || + 0 − || + 0 − || g (x) 2 2 1 1 1
Suy ra 1≤ g (x) ≤ 2 . Đặt 2 2
t = x + 1− x , 1≤ t ≤ 2 . Bất phương trình trở thành : m(t + ) 2 1 ≤ t + t +1 1 ⇔ m ≤ t +
(Do 1≤ t ≤ 2 nên t +1 > 0 ). t +1
Xét hàm số f (t) 1 = t + trên đoạn 1;  2 t +1   . Có f ′(t) 1 = 1− > 0, x ∀ ∈ 1;  2 . Bảng biến thiên : (t )2 1   + x 1 2 g′(x) + 2 2 −1 g (x) 3 2
Do đó, max f (t) = f ( 2) = 2 2 −1. 1  ; 2  
Suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm khi m ≤ max f (t) hay m ≤ 2 2 −1. 1  ; 2  
Do đó, a = 2 , b = 1 − .Vậy T =1.
Câu 39: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 2 '
 3x  6x  1, x R . Có tất cả bao nhiêu giá
trị nguyên thuộc khoảng 50;50 của tham số m để hàm số
g x  f xm  
1 x  2 nghịch biến trên khoảng 0;2? A. 26 . B. 25 . C. 51. D. 50. Lời giải Chọn A
Ta có g x  f xm  
1 x  2  g 'x  f 'xm   1
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) khi
g '(x) ≤ 0,∀x∈(0;2) ( dấu ' = ' chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng (0; 2) ).
⇔ f '(x) − (m + ) 1 ≤ 0,∀x ∈(0;2) 2
⇔ 3x + 6x ≤ m,∀x ∈(0;2) (*)
Xét hàm số h(x) 2
= 3x + 6x, x ∈(0;2) .
Ta có h'(x) = 6x + 6 > 0,∀x∈(0;2). Bảng biến thiên:
Nhìn bảng biến thiên suy ra điều kiện để (*) xảy ra là: m ≥ 24.
Do m∈ Z , thuộc khoảng 50;50 nên m∈[24;50)và m∈Z hay m∈{24,25,..., } 49 .
Vậy có 26 số nguyên m thỏa mãn.
Dạng toán 11. Biết biểu thức hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x) = f (u(x))
trong bài toán không chứa tham số.
Câu 40: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = ( 2x − )( 2
1 x − x − 2). Hỏi hàm số ( ) = ( 2 g x
f x − x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. ( 1; − ) 1 . B. (0;2) . C. ( ; −∞ − ) 1 . D. (2;+∞) . Lời giải Chọn C x = 1 − 2 
f ′(x) = 0 ⇔ ( x −1 = 0 2 x − )( 2
1 x − x − 2) = 0 ⇔   ⇔ x =1 . 2 
x − x − 2 = 0 x =  2
Bảng xét dấu f ′(x)
Ta có g′(x) = ( − x) f ′( 2 1 2 x − x ) .  1 x =  1 2  − 2x = 0 
g′( x) = ⇔ ( − x) f ′( 2 0 1 2 x − x ) = 0 2 ⇔ 
⇔ x − x = 1 − f ′  ( 2 x − x ) =  0  2 x − x =1  2
x − x = 2  1 x =  2   1+ 5 ⇔ x =  2 .   1− 5 x =  2
Bảng xét dấu g′(x)
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số ( ) = ( 2 g x
f x − x ) đồng biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 .
Câu 41: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số y = f ' (x) như hình vẽ. Hàm số
y = g (x) = f (3− 2x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. ( ; −∞ − ) 1 . B. ( 1; − +∞) . C. (0;2) . D. (1;3). Lời giải Chọn A − < x <
• Từ đồ thị (C) : y = f ' (x) ; f ' (x) 2 2 > 0 ⇔  ( ) 1 x > 5
• Mà g' (x) = 2
− .f ' (3− 2x) (2) 1 5  2 − < 3− 2x < 2 < x < • ( )
1 , (2) ; g' (x) 0 f ' (3 2x) 0  < ⇔ − > ⇔ ⇔  2 2 . 3 − 2x > 5  x < 1 −
• Vậy hàm số g (x) nghịch biến trên các khoảng  1 5 ;   và (−∞;− ) 1 . 2 2   
Câu 42: Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f ' (x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số = ( ) = ( 2 y g x
f x ) nghịch biến trên khoảng A. ( ; −∞ − ) 1 . B. ( 1; − 0) . C. (0; ) 1 . D. (1;3). Lời giải Chọn B
• g' (x) = x.f ' ( 2 2 x ) . • Nhận xét: − < t < + f ' (t) 1 1 > 0 ⇔  . 4 < tt < − + f ' (t) 1 < 0 ⇔ . 1   < t < 4 x < 0    f '  ( 2 x ) > 0
• Hàm số g nghịch biến ⇔ g' (x) < 0 ⇔  x > 0   f '  ( 2 x ) <  0 x < 0  x < 2 − 2 2  1
− < x <1∨ 4 < x  ⇔ ⇔ 1 − < x < 0  . x 0  >  1  < x <  2 2 2 x < 1 − ∨1< x < 4
• Vậy hàm số = ( ) = ( 2 y g x
f x ) nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2 − ) , ( 1
− ;0) và (1;2) .
Dạng toán 12. Biết biểu thức hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x) = f (u(x))
trong bài toán chứa tham số.
Câu 43: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) 2 = x (x + )( 2
2 x + mx + 5) với x ∀ ∈  . Số giá trị
nguyên âm của tham số m để hàm số g (x) = f ( 2
x + x − 2) đồng biến trên khoảng (1;+∞) là A. 7 . B. 5. C. 4 . D. 3. Lời giải Chọn C
Ta có g′(x) = ( + ) f ′( 2 2x 1 x + x − 2).
Hàm số g (x) = f ( 2
x + x − 2) đồng biến trên khoảng (1;+∞)
⇔ g′(x) ≥ 0, x
∀ ∈(1;+∞) ⇔ ( + ) f ′( 2 2x 1
x + x − 2) ≥ 0, x ∀ ∈(1;+∞) ⇔ f ′( 2
x + x − 2) ≥ 0, x
∀ ∈(1;+∞) ( vì 2x +1 > 0, x ∀ ∈(1;+∞) )
(x x )2 (x x)(x x )2 2 2 2 m( 2 2 2 x x 2) 5 ⇔ + − + + − + + − + ≥ 0, x ∀ ∈(1;+∞)   (x x )2 2 m( 2 2 x x 2) 5 + − + + − + ≥ 0, x ∀ ∈(1;+∞) (x + x− )2 2 ( 2 2 x + x)  (*)( vì ≥ 0,(1;+∞) ).   Đặt 2
t = x + x − 2 . Khi đó x >1⇒ t > 0 .
(*) trở thành 2t + mt + 5 ≥ 0, t ∀ > 0 5 ⇔ m ≥ t − − , t ∀ > 0 . t
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có 5 t + ≥ 2 5 5 ⇔ t − − ≤ 2 − 5 . t t  5  = Dấu t " = " xảy ra ⇔  t ⇔ t = 5 . t  > 0  5 max t  ⇒ − − = 2 −   5 ⇒ m ≥ 2 − 5 . (0;+∞)  t
Mà m nguyên âm nên m∈{ 4 − ; 3 − ; 2 − ;− }
1 . Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn bài toán.
Câu 44: Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) = (x + ) 1 (x − ) 1 (x − 4); x
∀ ∈  .Có bao nhiêu số  −
nguyên m < 2019 để hàm số ( ) 2 x g x f m = − 
đồng biến trên (2; + ∞).  1 x  +  A. 2018. B. 2019 . C. 2020 . D. 2021 Lời giải Chọn A  − Ta có: ( ) 3 2 x g x = − f −  m ′ ′ . (  x + )2 1  1+ x
Hàm số g (x) đồng biến trên (2; + ∞)
⇔ g′(x) ≥ 0; x ∀ ∈(2; + ∞) 3  2 − x ⇔ − f −  m ′ ≥  0; x ∀ ∈ 2; + ∞ 2 ( ) (x + ) 1  1+ x   − ⇔ 2 x f m ′ − ≤ 0; x ∀ ∈(2; + ∞   )  1+ x  x ≤ 1 −
Ta có: f ′(x) ≤ 0 ⇔ (x + ) 1 (x − ) 1 (x − 4) ≤ 0 ⇔ 1   ≤ x ≤ 4
 2 − x − m ≤ 1; − x ∀ ∈(2; + ∞) ( ) 1  2 −  Do đó: x f m ′ − ≤ 0; x ∀ ∈(2; + ∞ 1+ x   ) ⇔   1+ x  2 1 −  x ≤ − m ≤ 4; x ∀ ∈(2; + ∞) (2)  1+ x − x Hàm số h(x) 2 =
− m ; x ∈(2; + ∞) có bảng biến thiên: 1+ x
Căn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện (2) không có nghiệm m thỏa mãn. Điều kiện ( ) 1 ⇔ −m ≤ 1
− ⇔ m ≥1,kết hợp điều kiện m < 2019 suy ra có 2018 giá trị
m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán đã nêu như sau:
Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) = (x + ) 1 (x − ) 1 (x − 4); x
∀ ∈  .Có bao nhiêu số  2 −
nguyên m < 2019 để hàm số ( ) x g x f h(m) = + 
đồng biến trên (2; + ∞).  1 x  + 
Câu 45: Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) = (x − )2 ( 2
1 x − 2x) với mọi x∈ . Có bao nhiêu số
nguyên m ≤ 20 để hàm số g (x) = f ( 2
x −8x + m) đồng biến trên (4;+∞) . A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B
Ta có: g′(x) = ( x − ) f ′( 2 2 8
x −8x + m)
Hàm số g (x) đồng biến trên (4;+∞)
⇔ g′(x) ≥ 0, x ∀ ∈(4;+∞) ⇔ f ′( 2
x −8x + m) ≥ 0, x
∀ ∈(4;+∞) (vì 2x −8 > 0, x ∀ ∈(4;+∞) ).  ≥ Ta có ′( ) x
f x ≥ 0 ⇔ ( x − )2 1 ( 2 2
x − 2x) ≥ 0 ⇔ (x − )2
1 x(x − 2) ≥ 0 ⇔  . x ≤ 0 2
x −8x + m ≥ 2, x ∀ ∈(4;+∞)(1) Do đó f ′( 2
x −8x + m) ≥ 0, x ∀ ∈(4;+∞) ⇔  . 2
x − 8x + m ≤ 0, x ∀ ∈  (4;+∞)(2) Xét h(x) 2
= x −8x + m
Ta có h′(x) = 2x −8 .
Lập bảng biến thiên của h(x) 2
= x −8x + m , ta được
Dựa vào bảng biến thiên: + (2) vô nghiệm vì 2
x −8x + m ≥ m −16, x ∀ ∈(4;+∞) . + ( )
1 ⇔ m −16 ≥ 2 ⇔ m ≥18 .
Theo giả thiết thì m ≤ 20 và m là số nguyên nên m∈{18;19; } 20 . Chọn B
Câu 46: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 2 2
f (′x) = x(x −1) (x + mx + 9) với mọi x ∀ ∈ R . Có bao
nhiêu số nguyên dương m để hàm số g(x) = f (3− x) đồng biến trên khoảng (3;+∞) ? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Lời giải Chọn B Từ giả thiết suy ra 2 2 f (3
′ − x) = (3− x)(2 − x) [(3− x) + m(3− x) + 9].
Ta có g (′x) = − f (3 ′ − x).
Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (3;+∞) khi và chỉ khi
g (′x) ≥ 0, x ∀ ∈(3;+∞). ⇔ − f (3
′ − x) ≤ 0, x ∀ ∈(3;+∞). 2 2
⇔ (3− x)(2 − x) [(3− x) + m(3− x) + 9] ≤ 0, x ∀ ∈(3;+∞). x ∀ ∈(3;+∞) thì 2
(3− x) ≤ 0,(2 − x) ≥ 0,suy ra 2
(3− x) + m(3− x) + 9 ≥ 0, x ∀ ∈(3;+∞). 2 (3− x) + 9 2 − + ⇔ m ≤ , x ∀ ∈(3;+∞) (3 x) 9 ⇔ m ≤ Min . (x − 3) (3;+∞) (x − 3) 2 − + Ta có (3 x) 9 9 9 = (x − 3) + ≥ 2 (x − 3). = 6. (x − 3) x − 3 x − 3 Suy ra m ≤ 6.
Vì m nguyên dương suy ra m∈{1;2;3;4;5; } 6 . Chọn B
Câu 47: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên  là f ′(x) = (x − )
1 (x + 3) . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 10
− ;20] để hàm số y = f ( 2
x + 3x − m) đồng biến trên khoảng (0;2)? A. 18 B. 17. C. 16. D. 20 . Lời giải Chọn A
Xét dấu f ′(x) ta được
Ta có: y′ = ( x + ) f ′( 2 2 3
x + 3x − m) .
Vì 2x + 3 > 0, x
∀ ∈(0;2) . Do đó, để hàm số y = f ( 2
x + 3x − m) đồng biến trên khoảng (0;2) 2 ′
thì f (x + 3x − m) ≥ 0, x ∀ ∈(0;2) (*). Đặt 2
t = x + 3x − m . Vì x ∈(0;2) ⇒ t ∈(−m;10 − m) .
(*) trở thành: f ′(t) ≥ 0, t
∀ ∈(−m;10 − m).  13  ≤ m ≤ 20 10  − m ≤ 3 − m ≥ 13
Dựa vào bảng xét dấu của f ′(x) ta có:  ⇔ ⇒    10 − ≤ m ≤ −1 1  ≤ −mm ≤ −1  m∈ Z ⇒ m∈{ 10 − ; 9 − ;..; 1 − ;3;4;..;20}.
Dạng toán 13. Biết biểu thức hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số
y = g (x) = f (u(x)) + h(x) trong bài toán không chứa tham số.
Câu 48: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có đạo hàm f ′(x) thỏa mãn: f ′(x) = ( 2
1− x )(x −5) Hàm số y = f (x + ) 3 3
3 − x +12x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (1;5) . B. (2;+ ∞) . C. ( 1; − 0) . D. (−∞;− ) 1 . Lời giải Chọn B
Ta có: f ′(x) = ( 2
1− x )(x −5) suy ra f ′(x + ) =  −(x + )2 3 1 3 (x + 3−5)  
= −(x + 4)(x + 2)(x − 2).
Mặt khác: y′ = f ′(x + ) 2 3.
3 − 3x +12 = − (x + )(x + )(x − ) +  ( 2 3 4 2 2 x − 4) = 3
− (x − 2)(x + 2)(x + 5) .  5 − < x < 2 − Xét y′ < 0 ⇔ 3
− (x − 2)(x + 2)(x + 5) < 0 ⇔  . x > 2
Vậy hàm số y = f (x + ) 3 3
3 − x +12x nghịch biến trên các khoảng ( 5 − ;− 2) và (2;+ ∞) .
Câu 49: Cho hàm số y = f (x) xác định trên  và có đạo hàm f ′(x) thỏa mãn
f ′(x) = (1− x)(x + 2) g (x) +1 trong đó g (x) < 0, x
∀ ∈  . Hàm số y = f (1− x) + x + 2
nghịch biến trên các khoảng nào? A. (1;+∞). B. (0;3). C. ( ; −∞ 3) . D. (3;+∞) . Lời giải Chọn D
Ta có: f ′(x) = (1− x)(x + 2) g (x) +1 ⇒ f ′(1− x) = x(3− x) g (1− x) +1
Mặt khác: y = ( f (1− x))′ ′
+1 = − f ′(1− x) +1 = −  .x
 (3− x).g (1− x) +1 +1  = − .
x (3− x).g (1− x)
Ta có: y′ < 0 ⇔ − .x(3− x).g (1− x) < 0 (*) x >
Do g (x) < 0, x
∀ ∈  ⇒ g (1− x) < 0, x
∀ ∈  ⇒ ( ) ⇔ x ( − x) 3 * . 3 < 0 ⇔  . x < 0
Vậy hàm số y = f (1− x) + x + 2 nghịch biến trên các khoảng ( ;0 −∞ ) và (3;+∞) .
Câu 50: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  và f ′(x) = x( x − )⋅( 2 2 1 x + 3) + 2 . Hàm
số y = f (3− x) + 2x + 2019 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (3;5) . B.  5 2;     . C. 5  ;3 . D. ( ; −∞ 3) . 2      2  Lời giải Chọn C
Ta có y′= − f ′(3− x) + 2.
y′ > 0 ⇔ − f ′(3− x) + 2 > 0 ⇔ f ′(3− x) < 2 ⇔ ( − x)  ( − x) −    ( − x)2 3 2 3 1 3 + 3 + 2 < 2  
⇔ ( − x)( − x) ( − x)2 3 5 2 3 + 3 < 0   Vì ( − x)2 3 + 3 > 0,∀x ∈    .
Suy ra y′ > 0 khi và chỉ khi (3− x)(5− 2x) < 0 5 ⇔ < x < 3. 2
Vậy hàm số y = f (3− x) + 2x + 2019 đồng biến trên khoảng  5 ;3  . 2   
Câu 51: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có đạo hàm f ′(x) thỏa mãn
f ′(x) = (x + ) 1 (x − )
1 (x − 4) . Xét hàm số g (x) = f ( 2 x ) 6 4 2 12
+ 2x −15x + 24x + 2019. Khẳng định đúng là:
A. Hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng ( 2 ; − − ) 1 .
B. Hàm số g (x) có hai điểm cực tiểu.
C. Hàm số g (x) đạt cực đại tại x = 0.
D. Hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (2 ;+∞) . Lời giải Chọn D
Tập xác định của hàm số g (x) là D = . 
Ta có g′(x) = xf ′( 2 x ) 5 3
+ x − x + x = x f ′  ( 2x) 4 2 24 12 60 48 12 2
+ x − 5x + 4
= x ( 2x + )( 2x − )( 2x − )+( 2x − )( 2x − ) = x
( 2x − )( 2x − )( 2 12 1 1 4 1 4 12 1 4 x + 2) x = 0 x = 0 g (x)  2 0 x 4  ′ = ⇔ = ⇔ x = 2 ±   .  2 x = 1 x = 1 ±
Ta có bảng biến thiên của hàm số g (x) như sau:
Qua bảng biến thiên ta có phương án D là phương án đúng. 2
Câu 52: Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f ′(x) = (x − )
1 (x − 2) (x − 3)(x − 4)
Hàm số y = f (x + ) 3 3
2 − x + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1;+∞). B. ( ; −∞ − ) 1 . C. ( 1; − 0) . D. (0;2) . Lời giải Chọn C Ta có bảng xét dấu
Xét y = f (x + ) 3 3 2 − x + 3x .
Cách 1: y′ =  f ′(x + ) +  ( 2 3. 2 1− x )  ≤ x + ≤ − ≤ x ≤
Ta có f ′(x + ) 1 2 3 1 1 2 ≥ 0 ⇔ ⇔  . x 2 4  + ≥ x ≥ 2
 f ′(x + 2) ≥ 0, x ∀ ∈( 1; − ) 1 Ta có 
⇒ y′ > 0, x ∀ ∈( 1; − ) 1 . 2 1
 − x > 0, x ∀ ∈  ( 1; − ) 1 Vậy ta chọn đáp án C. Cách 2:
Xét y = f (x + ) 3 3 2 − x + 3x .
y′ =  f ′(x + ) +  ( 2 3. 2 1− x ) Ta có  3    7  5 y′ = 3. f  ′ − <    
 0 nên loại đáp án A, D.  2    2  4 y′( 2 − ) = 3. f ′  (0) − 3 < 0  nên loại đáp án B. Vậy ta chọn đáp án C.
Dạng toán 14. Biết biểu thức hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số
y = g (x) = f (u(x)) + h(x) trong bài toán chứa tham số.
Câu 53: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) 2 '
= x + 2x − 3, x ∀ ∈ .  Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 10
− ;20] để hàm số g (x) = f ( 2
x + x − m) 2 3 + m +1 đồng biến trên (0;2)? A. 16. B. 17. C. 18. D. 19. Lời giải Chọn C t ≤ 3 − Ta có f '(t) 2
= t + 2t − 3 ≥ 0 ⇔  (*). t ≥ 1
Có g (x) = ( x + ) f ( 2 ' 2
3 ' x + 3x − m)
Vì 2x + 3 > 0, x
∀ ∈(0;2) nên g (x) đồng biến trên (0;2) ⇔ g '(x) ≥ 0, x ∀ ∈(0;2) ⇔ f ( 2
' x + 3x − m) ≥ 0, x ∀ ∈(0;2) 2
x + 3x − m ≤ 3, − x ∀ ∈(0;2) 2
x + 3x ≤ m − 3, x ∀ ∈(0;2) ⇔  ⇔  (**) 2
x + 3x − m ≥ 1, x ∀ ∈  (0;2) 2
x + 3x ≥ m +1, x ∀ ∈  (0;2) m − 3 ≥10 m ≥13 Có h(x) 2
= x + 3x luôn đồng biến trên (0;2) nên từ (**) ⇒ ⇔  m 1 0  + ≤ m ≤ 1 − m∈[ 10 − ;20] Vì 
⇒ Có 18 giá trị của tham số m. m∈
Vậy có 18 giá trị của tham số m cần tìm.
Câu 54: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm '( ) = ( + ) 1 x f x x
e , có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m trong đoạn [ 2019 −
;2019] để hàm số y = g (x) = f ( x) 2
ln − mx + mx − 2 nghịch biến trên ( 2 1;e ) . A. 2018. B. 2019. C. 2020. D. 2021. Lời giải Chọn B Trên ( 2 1
1;e ) ta có g '(x) = . f '(ln x) − 2mx + m = ln x +1− (2x − ) 1 m x
Để hàm số y = g (x) nghịch biến trên ( 2
1;e ) thì g (x) = x + − ( x − )m ≤ x ∀ ∈ ( 2 ' ln 1 2 1 0, 1;e )
⇔ ln x +1− (2x − ) 1 m ≤ 0, x ∀ ∈ ( 2 1;e ) ln x +1 ⇔ ≤ , m x ∀ ∈ ( 2 1;e ) 2x −1 1 + − − 2ln x
Xét hàm số h(x) ln x 1 = trên( 2 1;e ) , ta có '( ) x h x = < 0, x ∀ ∈ ( 2 1;e , từ đây 2 ) 2x −1 (2x − ) 1
suy ra m ≥ 1. Vậy có 2019 giá trị nguyên của m thỏa bài toán.
Câu 55: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có f ′(x) = x (x + )3 (x − )4 (x − )5 . 1 . 1 . 4 .
Giá trị của tham số m để hàm số 1
y = g(x) = f (1− x) + chắc chắn luôn 2 x + mx + 2 m + 1
đồng biến trên (−3;0). A. m ∈( 2; − − ) 1 . B. m ∈( ; −∞ 2 − ) . C. m ∈[ 1; − 0].
D. m ∈[0;+∞) Lời giải Chọn D 2 2 Điều kiện: 2 x m 3m + mx + 2
m + 1 ≠ 0 (luôn đúng vì 2 2  
x + mx + m + 1 = x + + + 1 >   0 )  2  4 ( ) 2x m
g x = − f (1− x) + ′ ′ −
(x +mx+m +1)2 2 2
Đặt t = 1− x; x∈(−3;0) ⇒ t ∈(1;4) ⇒ − f ′(1− x),x∈(−3;0) chính là − f ′(t),t ∈(1;4) . Do
đó − f ′(t) > 0,∀t ∈(1;4) ⇔ − f ′(1− x) > 0,∀x∈(−3;0) Ycbt 2x + m ⇔ − ≥ 0,∀x∈ 3;0 2x m 0, x 3;0 2 (− ) ⇔ + ≤ ∀ ∈(− ) ( 2x +mx+ 2 m + 1)
⇔ m ≤ −2x,∀x∈(−3;0) ⇔ m ≤ min(−2x) ⇔ m ≤ 0 . Vậy m∈  +∞ 0; ) −3;0  
Câu 56: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) x + 2 = , x
∀ ∈  . Có bao nhiêu số nguyên m 2 x +1 thuộc khoảng ( 20
− ;20) để hàm số g (x) = f (x + )
1 − mx +1 đồng biến trên  ? A. 20 . B. 19. C. 17 . D. 18. Lời giải Chọn C
Ta có g′(x) = f ′(x) − m .
Hàm số g (x) = f (x + )
1 − mx +1 đồng biến trên  ⇔ g′(x) ≥ 0 x ∀ . x + 3  +  ⇔ f ′(x + ) 1 ≥ m x 3 x ∀ ⇔ ≥ m x ∀ ⇔ min  ≥ m (*). 2 x + 2x + 2  2
x + 2x + 2  Đặt + h(x) x 3 = . 2 x + 2x + 2 Ta có ′( ) 1 − − 2x h x = ( . 2 x + 2x + 2) 2 x + 2x + 2 Cho h′(x) 1 = 0 ⇔ x = − 1 h  ⇒ − =   5 . 2  2  Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy (*) ⇔ m ≤ 1 − .
Vì m∈, m∈( 20 − ;20) nên m∈{ 19 − ;−18;− } 1 .
Câu 57: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f '(x) = (x + )
1 (x − 2). Tìm m để hàm số
y = g (x) = f (x + 2) − x
m đồng biến trên khoảng ( 1; − 2) . A. 9 m − ≤ . B. 9
− ≤ m ≤10 . C. 9 m − ≥ . D. m ≥10 . 4 4 4 Lời giải Chọn A
Ta có y = g (x) = f (x + 2) − x
m . Suy ra g '(x) = f '(x + 2) − m .
Để hàm số y = g (x) đồng biến x ∀ ∈( 1;
− 2) thì g '(x) ≥ 0 x ∀ ∈( 1; − 2) .
Hay f '(x + 2) ≥ m x ∀ ∈( 1;
− 2) ⇔ m ≤ f '(x + 2) x ∀ ∈( 1;
− 2) ⇔ m ≤ x(x + 3) x ∀ ∈( 1; − 2). m ≤ Min ( 2
x + 3x) . Đặt h(x) 2
= x + 3x , h (x) h (x) 3 ' 2x 3, ' 0 x − = + = ⇔ = . x ( ∈ 1 − ;2) 2
Ta có bảng biến thiên như sau. x −∞ 1 − 3 − 2 +∞ 2 h'(x) - 0 + h(x) 2 − 10 9 − 4
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 9
m ≤ − . Đáp án A. 4
Câu 58: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) 2 '
=1− x . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
m để hàm số y g (x) f ( 2 x x)  1 2 2m ln x  = = + + − 
nghịch biến trên khoảng (1;+∞). x    A. 8 . B. 7 . C. 9. D. 1. Lời giải Chọn A 2m x +1
Ta có y g (x) f ( 2 x x)  1 2 2m ln x  = = + + − 
. Suy ra g '(x) = (2x + 2) f '( 2 x + 2x) ( ) + x    2 x .
Để hàm số y = g (x) nghịch biến x
∀ ∈(1;+∞) thì g '(x) ≤ 0 x ∀ ∈(1;+∞) .
Hay (2x 2)  '( 2 2 ) m  + + + ≤ 0 ∀ ∈(1;+∞) ⇔ '  ( 2 +2 m f x x x f x x + ≤ 0 x ∀ ∈ 1;+∞  . (vì 2 ) 2 ( )  x x 2x + 2 > 0 x ∀ ∈(1;+∞) ). Do đó 1 ( 2x)2 m x 0 x (1; ) m x  ( x 2x)2 2 2 2 2 x  − + + ≤ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤ + − x ∀ ∈ 1;+∞ 2 ( ) x  
Đặt h(x) = x (x + )2 2 2 2
2x − x , h (x) = ( 5 4 3 2 '
2x 3x + 4x + 6x + 8x − )
1 ,h'(x) = 0 ⇔ x = 0 Phương trình 5 4 3 2
3x + 4x + 6x + 8x −1 = 0 không có nghiệm x >1. Ta có bảng biến thiên x −∞ 0 1 +∞ h'(x) 0 + h(x) 8 0
Từ bảng biến thiên ta thấy m ≤ 8 . Mà m∈ . Suy ra m có 8 giá trị. +
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Dạng toán 15. Biết biểu thức của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số
y = g (x) = f (u(x)) + f (v(x)) + h(x) trong bài toán không chứa tham số. = ′ NHÓ
Dạng toán 16. Biết biểu thức của hàm số y f (x) , xét tính đơn điệu của hàm số
y = g (x) = f (u(x)) + f (v(x)) + h(x) trong bài toán chứa tham số. M T = ′ OÁN
Dạng toán 17. Biết biểu thức hàm số y f (x) xét tính đơn điệu của hàm số = ( ) =  ( ( )) k y g x f u x  V
trong bài toán không chứa tham số. D 2 4 –
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm f (′x) = (x + 2)(x −9)(x −16) trên  . Hàm VD = =  −  C số 2019 2 y g(x) f (2x x )  
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. (1− 3;1+ 3). B. (3;+∞) . C. (1;+∞). D. ( 1; − 3) . Lời giải Chọn B
Ta có f ′ x = (x + )( 2 x − )( 4
x − ) = (x − )(x − )(x + )(x + )2 ( 2 ( ) 2 9 16 3 2 3 2 x + 4). 2018 2018 2 2 ′ 2 g′ x =
f x − x
f x − x  =
f x − x  ( − x) f ′       ( 2 ( ) 2019. (2 ) (2 ) 2019. (2 ) 2 2 2x − x ) 2018 2 = f x − x ( − x)   ( 2 x − x − )( 2 x − x − )( 2 x − x + )( 2
x − x + )2 ( 2 2019 (2 ) 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2
2x − x )2 + 4      NHÓ  = ( − x)( 2 1
2x − x + 3) A M T Trong đó: OÁN A =
f ( x − x ) 2018 
( x− x + )2 (x − x+ )(x − x+ )(x − x)2 2 2 2 2 2 2.2019 2 2 2 2 3 2 2 2 + 4 ≥ 0,   Vx ∀ ∈      D –
Khi đó g′ x ≥ ⇒ ( − x)( 2 ( ) 0 1
2x − x + 3) ≥ 0 ⇔ x∈[ 1; − ] 1 ∪[3;+∞) VD C ⇒ Hàm số 2019 2
y = g(x) =  f (2x − x )  
đồng biến trên mỗi khoảng ( 1; − ) 1 và (3;+∞) .
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên  có f ′(x) = (x − 2)(x + 5)(x + ) 1 và f ( 5
− ) = f (2) =1. Hàm số ( ) =  ( ) 2 2 g x
f x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. ( ;
−∞ 0) ∪( 2;+∞). B. (− 2; 2). C. (0;+∞).
D. (− 2;0)∪( 2;+∞) . Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Chọn D x = 2
Từ giả thiết ta có f (x) = (x − 2)(x + 5)(x + ) 1 ⇒ f (x) = 0  ′ ′ ⇔ x = 5 −  NHÓ x = 1 − 
Bảng biến thiên của y = f (x) M T x OÁN ∞ -5 -1 2 + ∞ f'(x) 0 + 0 0 + V +∞ f(-1) + ∞ D f(x) – VD 1 1 C
Từ BBT suy ra f (x) > 0 x ∀ ∈  .
Xét hàm số ( ) =  ( ) 2 2 g x f x  ′ g (x)  = ( f (x ) 2 2  ′ ′  = x f ′( 2 x ) f ( 2 x ) = x( 2 x − )( 2 x + )( 2 x + ) f ( 2 4 . 4 2 5 1 x )   Do f (x) > x ∀ ∈  ⇒ f ( 2 0 x ) > 0 x ∀ ∈  x = Xét g′(x) 0 = 0 ⇔  x = ± 2 BBT của ( ) =  ( ) 2 2 g x f x  NHÓ x ∞ - 2 0 2 + ∞ M T g'(x) 0 + 0 0 + OÁN +∞ + ∞ g(x) VD – VD
Từ BBT trên ta chọn đáp án D. C
Dạng toán 18. Biết biểu thức hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số = ( ) =  ( ( )) k y g x
f u x  trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 19. Biết biểu thức hàm số y = f ′(u(x)) xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x) trong
bài toán không chứa tham số.
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) có  7  2 f ′ 2 − x + = 3x −12x +  
9 . Hàm số y = f (x) nghịch biến trên  2  khoảng nào sau đây.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số A.  1 9 ;     . B. 9  ;+∞ . 4 4    4    C.  5 3 ;  −     . D. 5 ; −∞ −   . NHÓ  2 2   2  Lời giải M T Chọn C OÁN
Ta cần giải bất phương trình f (′x) < 0 . V D  7   7  – Từ 2 f ′ 2 − x + = 3x −12x +   9 ⇒ f ′ 2 − x + < 0 ⇔ 1< x <   3. VD  2   2  C Đặt 7 t − = 2 − x + 7 2t x − ⇒ =
. Khi đó ta có f ′(t) 7 2t 5 3 < 0 ⇔ 1<
< 3 ⇔ − < t < . 2 4 4 2 2 Vậy hàm số  5 3 
y = f (x) nghịch biến trên khoảng −  ; . 2 2   
Câu 4: Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có đạo hàm f ′(x) thỏa mãn
f ′(x) = (1− x)(x + 2) g (x) + 2018 với g (x) < 0, x ∀ ∈ R .
Khi đó hàm số y = f (1− x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào? A. (1;+ ∞). B. (0;3). C. ( ; −∞ 3) . D. (4;+ ∞) . Lời giải NHÓ Chọn D M T
Xét hàm số y = h(x) = f (1− x) + 2018x + 2019 OÁN
Ta có h'(x) = − f '(1− x) + 2018 = −x(3 − x)g(1− x) V D x = 0 –
Vì g(x) < 0, x ∀ ∈ R h'(x) = 0 ⇔ VD nên  x = 3 C Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (4;+ ∞) .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số y = f ′(3x + 5) như hình
vẽ. Hàm số y = f (x) nghịch trên khoảng nào? NHÓ M TOÁN V D – VD C A. ( ;8     −∞ ) . B. 7 − ;+∞  . C. 4  ;+∞ . D. ( ; −∞ 10). 3      3  Lời giải Chọn A
Đặt x = 3t + 5. Khi đó g (t) = f (3t + 5) ⇒ g′(t) = 3 f ′(3t + 5) .
Ta có g′(t) < 0 ⇔ f ′(3t + 5) < 0 ⇔ t <1.
Khi đó f ′(x) x − 5 < 0 ⇔ < 1 ⇔ x < 8. 3 NHÓ
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; − 8) . M T
Câu 6: Cho hàm số f (x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số f (3x − 2) nghịch biến trên khoảngOÁN
(α;β ) . Khi đó giá trị lớn nhất của β −α là: y V D f (x) – VD 4 C O 1 x A. 9. B. 3. C. 6 . D. 1. Lời giải Chọn D
Ta có: y = f (3x − 2) ⇒ y′ = 3. f ′(3x − 2).
Hàm số y = f (3x − 2) nghịch biến ⇔ y′ ≤ 0 ⇔ 3. f ′(3x − 2) ≤ 0 ⇔ f ′(3x − 2) ≤ 0 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
⇔ 1≤ 3x − 2 ≤ 4 ⇔ 1≤ x ≤ 2 .
Vậy khoảng (α;β ) lớn nhất là (1;2) . NHÓ
Câu 7: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f ′(2 − x) như hình vẽ bên. Hỏi hàm số M
y = f (x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? TOÁN V D – VD C A. ( 2; − 4) . B. ( 1; − 3) . C. ( 2; − 0) . D. (0; ) 1 . Lời giải Chọn C
Đặt x = 2 − t ta có y = f (2 −t) ⇒ y′ = − f ′(2 −t).
y′ > 0 ⇔ f ′(2 −t) < 0 ⇔ 2 < t < 4 hay
Khi đó f ′(x) > 0 ⇔ 2 < 2 − x < 4 ⇔ 2 − < x < 0 .
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng ( 2; − 0) . NHÓ M T
Dạng toán 20. Biết biểu thức hàm số y = f ′(u(x)) xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x) trong OÁN
bài toán chứa tham số. 2 2
Câu 8: Cho hàm số g (x) = f (5− x) có đạo hàm g '(x) = (5− x)(2 − x) x −(m +10) x + 5m + 41 V   D
với mọi x∈ . Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số f (x) đồng biến trên khoảng– VD ( ; −∞ − ) 1 . C A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 10 . Lời giải Chọn B
Ta có g '(x) = − f '(5− x) ⇒ f '(5− x) = −g '(x). Suy ra
f ( − x) = −g (x) = (x − )( − x)2 2 ' 5 ' 5 2
x −(m +10) x + 5m + 41  
⇔ f ( − x) = (x − )(( − x) − )2 ( − x)2 ' 5 5 5 3 5
+ m(5 − x) +16  
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng ( ; −∞ − )
1 khi và chỉ khi f '(x) ≥ 0, x ∀ ∈( ; −∞ − ) 1
(Dấu “ = ” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm ) NHÓ
⇔ −x(x − )2 ( 2
3 x + mx +16) ≥ 0, x ∀ ∈( ; −∞ − ) 1 M 2
⇔ x + mx +16 ≥ 0, x ∀ ∈( ; −∞ − )
1 (vì x < 0 và (x − )2 3 > 0, x ∀ ∈( ; −∞ − ) 1 ) TOÁN 2 −x −16 ⇔ ≤ V ⇔ m ≤ , x ∀ ∈( ; −∞ − ) 1
m min h(x) x (−∞;− )1 D – 2 VD
Với h(x) −x −16 16 x ( x)  16 2. . −  = = − − ≥ − = 
 8, dấu “=” xảy ra khi x = 4 − . x xx C 
⇒ min h(x) = 8 ⇒ m ≤ 8 , kết hợp với điều kiện m nguyên dương ta suy ra (6;+∞) m∈{1;2;3;4;5;6;7; } 8 .
Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn.
Dạng toán 21. Biết biểu thức của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x). f (x)
trong bài toán không chứa tham số.
Dạng toán 22. Biết biểu thức của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x). f (x)
trong bài toán chứa tham số. NHÓ
Dạng toán 23. Biết biểu thức của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x). f (x) M T
trong bài toán không chứa tham số. OÁN
Dạng toán 24. Biết biểu thức của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x). f (x)
trong bài toán chứa tham số. V D – g (x)
Dạng toán 25. Biết biểu thức của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số = hoặc VD y f (x) C f (x) y =
trong bài toán không chứa tham số. g (x) g (x)
Dạng toán 26. Biết biểu thức của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = hoặc f (x) f (x) y =
trong bài toán chứa tham số. g (x)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN V
PHẦN 3: Biết đồ thị của hàm số y = f '(x) D – VD
Dạng toán 27. Biết đồ thị hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x) = f (x) + h(x) C
trong bài toán không chứa tham số.
Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên .
 Đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình bên dưới. NHÓ
Hàm số g (x) = f (x) 2 2
− x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? M T A. ( ; −∞ 2 − ) . B. ( 2; − 2) . C. (2;4) . D. (2;+∞) . OÁN Lời giải VD Chọn B –
Ta có g′(x) = 2 f ′(x) − 2x ⇒ g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = .x VD ′ = ′ C
Số nghiệm của phương trình g (x) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y f (x)
và đường thẳng d : y = x (như hình vẽ bên dưới).
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN V D – VD x = 2 −  C
Dựa vào đồ thị, suy ra g′(x) = 0 ⇔ x = 2 .  x =  4 Lập bảng biến thiên
⇒ hàm số g (x) đồng biến trên ( 2;
− 2) và (4;+∞) . So sánh 4 đáp án Chọn B
Câu 10: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên  . Đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên dưới.NHÓ M T OÁN VD – VD 3
Hàm số g (x) = f (x) x 2 −
+ x − x + 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? C 3 A. ( 1; − 0) . B. (0;2) . C. (1;2) . D. (0; ) 1 . Lời giải Chọn D
Ta có g′(x) = f ′(x) 2
− x + 2x −1, g′(x) = ⇔ f ′(x) = (x − )2 0 1 .
Suy ra số nghiệm của phương trình g′(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị hàm số
f ′(x) và parabol (P) y = (x − )2 : 1 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN x = 0 V
Dựa vào đồ thị ta suy ra  ′ = ⇔ = . D g (x) 0 x 1  – x =  2 VD C Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta Chọn D
Lưu ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ( ;0
−∞ ) ta thấy đồ thị
hàm f ′(x) nằm phía trên đường y = (x − )2
1 nên g′(x) mang dấu −. NHÓ
Nhận thấy các nghiệm x = 0, x =1, x = 2 là các nghiệm đơn nên qua g′(x) đổi dấu. M T
Câu 11: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  , đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình vẽ. OÁN y 3 V 2 D 1 – x VD -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 C -2 -3 -4 -5 -6
Hỏi hàm số g (x) = f (x) + (x + )2 2
1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (3;+ ∞). B. (1;3) . C. ( 3 − ) ;1 . D. (−∞;3) . Lời giải Chọn B
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Tập xác định của g (x) là  . Ta có g′(x) = 2 f ′(x) + x +1   .
Hàm số đồng biến khi và chỉ khi f ′(x) ≥ −x −1, (dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm). NHÓ
Vẽ chung đồ thị y = f ′(x) và y = −x −1 trên cùng một hệ trục như sau: M y T 3 OÁN 2 V 1 x D -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 – -1 VD -2 C -3 -4 -5 -6 x ≤ 3 −
Từ đồ thị ta có f ′(x) ≥ −x −1 ⇔ . Chọn B 1   ≤ x ≤ 3
Câu 12: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên [ 1;
− 5] có đồ thị của hàm y = f ′(x) được
cho như hình bên dưới. Hàm số g (x) = − f (x) 2 2
+ x − 4x + 4 đồng biến trên khoảng nào
trong các khoảng sau đây? NHÓ M T OÁN VD – VD C A. ( 1; − 0). B. (0;2). C. (2;3). D. ( 2; − − ) 1 . Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN V D – VD C
Xét hàm số g (x) = − f (x) 2 2
+ x − 4x + 4 trên [ 1; − 5]ta có:
x = x ∈ 0; 2 1 ( )  g′(x) = 2
− f ′(x) + 2x − 4 ; g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = x − 2 ⇔ x =  3 .
x = x ∈ 4; 5  2 ( )
Bảng xét dấu g′(x) : NHÓ
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (2;3). M T
Câu 13: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ dưới đây. Xét hàm sốOÁN
g (x) = f (x) 1 3 3 2 3
− x − x + x + 2018 . Hàm số y = g (x) đồng biến trên khoảng nào dướ i 3 4 2 V D đây? – VD C A. (−∞;− 2) B. ( 3; − − ) 1 . C. ( 1; − )1 . D. (1;+ ∞) . Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Ta có: g (x) f (x) 2 3 3 x x f (x)  2 3 3 ' ' '  = − − + = − x + x − 2 2  2 2   
⇒ g (x) = ⇔ f (x) 2 3 3 ' 0 ' = x + x − 2 2 NHÓ Ta vẽ đồ thị hàm số 2 3 3
y = x + x − M 2 2 TOÁN V D – VD C x = 3 − Dựa nào đồ thị g '(x) 0  ⇒ = ⇔ x = 1 −  x =  1 Bảng biến thiên NHÓ M T OÁN
Dạng toán 28. Biết đồ thị hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x) = f (x) + h(x) V
trong bài toán chứa tham số. D – Câu 14:
y = f x có đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên. Các giá trị của Cho hàm số ( ) m VD
để hàm số y = f (x) + (m − )
1 x đồng biến trên khoảng (0;3) là C A. m > 4 . B. m ≤ 4. C. m ≥ 4.
D. 0 > m > 4. Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Chọn C
Ta có y = f (x) + (m − )
1 x ⇒ y′ = f ′(x) + m −1. NHÓ
Hàm số y = f (x) + (m − )
1 x đồng biến trên khoảng (0;3) M
⇔ y′ ≥ 0, x
∀ ∈(0;3) ⇔ f ′(x) + m −1≥ 0, x ∀ ∈(0;3) T OÁN
⇔ −m +1≤ f ′(x), x ∀ ∈(0;3) V D
⇔ −m +1≤ min f ′(x) ⇔ −m +1≤ 3 − ⇔ m ≥ 4. – x ( ∈ 0;3) VD C
Câu 15: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  và đồ thị của hàm số y = f '(x) như hình vẽ. NHÓ 1 M T
Đặt g (x) = f (x − m) − (x − m − )2
1 + 2019 với m là tham số thực. Gọi S là 2 OÁN
tập các giá trị nguyên dương của m để hàm số y = g (x) đồng biến trên khoản (5;6). VD
Tổng các phần tử của S bằng: – VD A. 4 . B. 11. C. 14. D. 20. C Lời giải Chọn C
Ta có g '(x) = f '(x − m) −(x − m − ) 1
Đặt h(x) = f '(x) −(x − )
1 . Từ đồ thị y = f '(x) và đồ thị y = x −1 trên hình vẽ ta suy ra − ≤ ≤ h(x) 1 x 1 ≥ 0 ⇔  x ≥ 3
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN V D – VD C
− ≤ x − m ≤
m − ≤ x ≤ m +
Ta có g (x) = h(x − m) 1 1 1 1 ' ≥ 0 ⇔ ⇔  x m 3  − ≥ x ≥ m + 3
Do đó hàm số y = g (x) đồng biến trên các khoảng (m −1;m + ) 1 và (m + 3;+∞) m −1≤ 5  5 ≤ m ≤ 6
Do vậy, hàm số y = g (x) đồng biến trên khoảng (5;6) ⇔ m+1≥ 6 ⇔  m ≤ 2 m +3 ≤ 5
Do m nguyên dương nên m∈{1;2;5; } 6 , tức S = {1;2;5; } 6
Tổng các phần tử của S bằng 14. NHÓ
Câu 16: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên .
 Đồ thị hàm số y f x như hình bênM T dưới OÁN VD – VD C 2 Đặt hàm số   x
g x f 1 mx
x mx , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên 2
của m thuộc đoạn 2020; 
0 để hàm số y  
g xnghịch biến trên khoảng 2;  0 ? A. 2016. B. 2017. C. 2019. D. 2020. Lời giải.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Ta có gx f m 
1 x x   1 . m
Ta có gx 0  f m 
1 x x   1 . m NHÓ
Đặt t m 
1 x , bất phương trình trở thành f t t  . M
Từ đồ thị của hàm số y f x và đồ thị hàm số y  x (hình vẽ bên dưới) ta thấy đường TOÁN
thẳng y  x cắt đồ thị hàm số f 'x lần lượt tại ba điểm x  3 x  ; 1 x  ; 3. V D – VD C
Quan sát đồ thị ta thấy t 3 m  1 x 3 x  4m
f t t      
1 t  3 1 m  1 x  3
2mx     m
Suy ra hàm số y  
g x nghịch biến trên các khoảng 4 ;
m  và 2 ; m m . 4m 2 NHÓ  Để hàm số m 6 y  
g x nghịch biến trên khoảng 2;  0 thì 
 2 m  2       m    0   m  0 M T   OÁN
Vậy trên đoạn 2020; 
0 có tất cả 2016 giá trị của m thỏa mãn đề bài. V
Câu 17: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  có đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình vẽ. D – VD C
Xét hàm số g (x) = f (x) 1 − ( 2 2
x + m ) −3(x + m). Khi đó khẳng định nào sau đây đúng ? 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
A. Với mọi giá trị của tham số m thì g (x) nghịch biến trên các khoảng ( 2; − 0) và (2;+∞) , đồng biến trên ( ; −∞ 2 − ) và (0;2) .
B. Chỉ có đúng 1 giá trị của tham số m để g (x) nghịch biến trên các khoảng ( 2; − 0) và NHÓ
(2;+∞) , đồng biến trên ( ; −∞ 2 − ) và (0;2) . M
C. Với mọi giá trị của tham số m thì g (x) đồng biến trên các khoảng ( 2; − 0) và (2;+∞) , TOÁN nghịch biến trên ( ; −∞ 2 − ) và (0;2) .
D. Chỉ có đúng 1 giá trị của tham số m để g (x) đồng biến trên các khoảng ( 2; − 0) và VD
(2;+∞) , nghịch biến trên ( ; −∞ 2 − ) và (0;2) . – VD Lời giải C Chọn C NHÓ
Với mọi giá trị của tham số m ta luôn có: g′(x) = f ′(x) − x −3. M T x = 2 −  ′ = ⇔ ′ OÁN g (x) 0
f (x) = x + 3 ⇔ x = 0  . x =  2 VD Bảng biến thiên: – VD C
⇒ g (x) đồng biến trên các khoảng ( 2;
− 0) và (2;+∞) , nghịch biến trên ( ; −∞ 2 − ) và (0;2) .
Dạng toán 29. Biết đồ thị hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x) = f (u(x))
trong bài toán không chứa tham số.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Câu 18: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên  . Biết hàm số y = f ′(x) liên tục trên  và có đồ
thị như hình vẽ. Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số y = f ( 2x +1) . NHÓ A. ( ;
−∞ − 3),(0; 3) . B. ( ; −∞ − 3),( 3;+∞) .
C. (− 3;0),( 3;+∞) . D. ( ; −∞ − 3),(0;+∞) . M TOÁN V D – VD C Lời giải Chọn C
Xét hàm số y = f ( 2x +1) x ⇒ y′ = f ′( 2x +1 . 2 ) x +1 NHÓ x = 0  2  x +1 = 1 − x = 0 x = 0 x = 0 M T x = 0    y′ = 0 ⇔  2 ⇔   x +1 = 0 2 ⇔  x +1 =1 2
⇔ x +1 =1 ⇔ x = −  3 2  OÁN  f ′  ( x +1) = 0   2 x +1 =  2   1 2  x +1 = 2 x +1 =  4 x =  3  2 V x +1 =  2 D – VD Bảng biến thiên C
Vậy hàm số y = f ( 2x +1) đồng biến trên các khoảng (− 3;0),( 3;+∞) .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Câu 19: Cho hàm số y = f (x) .Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f (2 − x)đồng biến trên khoảng: NHÓ M TOÁN V D A. (1;3) . B. (2;+∞) . C. ( 2; − ) 1 . D. ( ;2 −∞ ) . – VD Lờigiải C Chọn C
Ta có: ( f (2 − x))′ = (2 − x)′. f ′(2 − x) = − f ′(2 − x) ′  − x < − x >
Hàm số đồng biến khi( f ( − x)) > ⇔ f ′( − x) 2 1 3 2 0 2 < 0 ⇔ ⇔ . 1   2 x 4  < − <  2 − < x <1
Câu 20: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  và hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình
vẽ dưới đây. Hàm số = ( 2
y f x ) đồng biến trên khoảng nào sau đây? NHÓ M T OÁN V A. (1;2). B. ( 2; − + ∞) . C. ( 2; − − ) 1 . D. ( 1; − )1 . D – Lời giải VD C Chọn C Đặt ( ) = ( 2 g x f x ).
g′(x) = x f ′( 2 2 . x ).
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Cách 1:Hàm số ( ) = ( 2 g x
f x )đồng biến khi và chỉ khi g′(x) ≥ 0(dấu bằng xảy ra tại hữu x ≥ 0    f ′  ( 1 2 x ) ( ) ≥ 0 NHÓ hạn điểm) ⇔ . x f ′( 2 x ) ≥ 0 ⇔  . x ≤ 0   2 M f ′  ( 2 x ) ( ) ≤  0 TOÁN x ≥ 0 x ≥ 0  V x ≥ 0   −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 D ( ) 1 ⇔  ⇔ − ≤ ≤ ⇔  ⇔ .  f  ( x ) 2 1 x 1 2 0   x 2  ′ ≥ ≤ −  x ≥ 2 – 2  ≥ x 4 VD x ≥  2 C x ≤ 0 x ≤ 0 x 0  ≤ ( )   x ≤ 1 − 2 ⇔  ⇔  ≤ − ⇔  ⇔ − ≤ ≤ − .  f ′  ( x ) 2 x 1 lo¹i  2 x 1 2 (( )) ≤ 0  x ≥ 1  1  ≤ x ≤ 4  2 − ≤ x ≤ 2
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2; − − ) 1 ,(0; ) 1 ,(2;+ ∞). Cách 2: x = 1 −
Dựa vào đồ thị có f (x) 0  ′ = ⇔ x =1  . x =  4 NHÓ
Chọn f ′(x) = (x + ) 1 (x − ) 1 (x − 4) . M T OÁN x = 0
⇒ g (x) = 2x( 2 x + ) 1 ( 2 x − ) 1 ( 2 x − 4) = 0  ′ ⇔ x = 1 ±  . V x = 2 ±  D – VD
Bảng xét dấu g′(x) C
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2; − − ) 1 ,(0; ) 1 ,(2;+ ∞).
Câu 21: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (′x) trên R và đồ thị của hàm số f (′x) như hình vẽ. Hàm số g (x) 2
= f (x − 2x −1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M A. (−∞ ) ;1 . B. (1;+ ∞) . C. (0;2). D. ( 1; − 0) . TOÁN Lời giải V Chọn D D – VD Ta có: g (x) 2 '
= (2x − 2). f '(x − 2x −1) . C x =1 x = 0  Lại có g '(x) 2
= 0 ⇔ x − 2x −1 = 1 −   ⇔ x = 1 ±   2 x − 2x −1 =  2 x = 2; x =  3 Ta có bảng biến thiên NHÓ
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên ( 1; − 0) . M T OÁN
Câu 22: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ. Hàm số ( ) = ( 2 g x
f −x − x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? VD y – 2 4 VD O x C 4 −  − A. (−∞;− ) 1 . B.  1 1; −  −   . C. 1  ;+ ∞ . D. ( 1; − 0) . 2      2  Lời giải Chọn B
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số x <
Từ đồ thị của hàm số y = f '(x) ta có: f '(x) < 0 ⇔ 0 < x < 4 và f (x) 0 ' > 0 ⇔  x > 4 Xét hàm số ( ) = ( 2 g x
f −x − x ) có g (x) = (− − x) f ( 2 ' 1 2 ' −x − x ) NHÓ M  1 − − 2x < 0   2 T  f '
 (−x − x ) > 0 OÁN
Để hàm số g (x) nghịch biến thì g '(x) < 0 ⇒ ( 1 − − 2x) f '( 2
−x − x ) < 0 ⇔   1 − − 2x > 0  V  f '  ( 2
−x − x ) <  0 D – VD  1 −  1  x >   x − > C 2    2   2
 −x − x < 0    x < 1, − x > 0     2 
−x − x > 4    x ∈∅ x > 0 ⇔  1 ⇔ −  1  ⇔ − 1 −  x <  x  < 1 − < x <   2   2  2    2
−x − x > 0 x∈     2
 −x − x < 4  1 − < x < 0        
Suy ra hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng  1 1; −  −  và (0;+ ∞) . 2    NHÓ Vậy B là đáp án đúng.
Dạng toán 30. Biết đồ thị hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x) = f (u(x)) M T
trong bài toán chứa tham số. OÁN
Dạng toán 31. Biết đồ thị hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số VD
y = g (x) = f (u(x)) + h(x) trong bài toán không chứa tham số. – VD
Dạng toán 32. Biết đồ thị hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số C
y = g (x) = f (u(x)) + h(x) trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 33. Biết đồ thị của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số
y = g (x) = f (u(x)) + f (v(x)) + h(x) trong bài toán không chứa tham số.
Câu 23: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f ′(x) như hình vẽ
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN V D – VD C
Hỏi hàm số g (x) = f (x + ) + f ( − x) 2 1 2
− x + 6x − 3 đồng biến trên khoảng nào cho dưới đây A. ( ;0 −∞ ) B. (0;3) C. (1;2) D. (3;+∞) Lời giải Chọn C
Ta có g′(x) = f ′(x + ) 1 − f ′( 2
− − x) + 6 − 2x ≥ 0 x
∀ ∈ K ta chỉ cần chọn x sao cho NHÓ x +1≥1  M T  f ′(x + ) 1 ≥ 0 x +1 ≤ 2 −  
f ′(2 − x) ≤ 0 ⇔  2
− ≤ 2 − x ≤1 ⇔ 1≤ x ≤ 3đối chiếu đáp án ta tìm được đáp án C OÁN 6−2x ≥ 0   x ≤ 3   V  D –
Dạng toán 34. Biết đồ thị của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số VD = = + + C
y g (x) f (u(x)) f (v(x)) h(x) trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 35. Biết đồ thị hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số = ( ) =  ( ( )) k y g x f u x 
trong bài toán không chứa tham số.
Câu 24: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị y = f ′(x) như hình bên dưới.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN V D –
Hàm số g (x) =  f ( x − ) 3 2 1  
 nghịch biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau VD C     A. ( 1; − 0) B. (0; ) 1 C. 1 0; D. 1  ;1 2      2  Lời giải Chọn C Ta có g′(x) 2 = 6 f (2x − )
1 . f ′(2x − ) 1 Do 2 6 f (2x − ) 1 ≥ 0 với x
∀ ∈  nên để hàm số nghịch biến thì f ′(2x − ) 1 ≤ 0
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′(x) ta có x ≥1 2x −1 ≥1 NHÓ
Để f ′(2x − ) 1 ≤ 0  ⇒ ⇔  1  1 − ≤ 2x −1≤ 0 0 ≤ x ≤  2 M T
Câu 25: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị y = f ′(x) như hình bên dưới. OÁN VD – VD C
Hàm số g (x) =  f ( − x) 2019 1   
nghịch biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau A. ( 1; − 5). B. ( 2; − ) 1 . C. (1;3). D. (3;5) . Lời giải Chọn D
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Ta có g′(x) 2018 = 2019 − f
(1− x).f ′(1− x) Do 2018 2019 − f
(1− x) ≤ 0 với x
∀ ∈  nên để hàm số nghịch biến thì f ′(1− x) ≥ 0 NHÓ
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′(x) ta có M
Để f ′(1− x) ≥ 0 ⇒1− x ≤ 2 − ⇔ x ≥ 3 . TOÁN y = f x
y = f ′ x f 1 − = f 2 = 0 V Câu 26: Cho hàm số ( ). Đồ thị
( ) như hình bên dưới và ( ) ( ) D – VD C
Hàm số g (x) =  f (x −  ) 2 2
3  đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau A. (1;2) B. (0; ) 1 C. ( 1; − 0) D. ( 2; − − ) 1 Lời giải Chọn C NHÓ
Ta có g′(x) = xf ( 2 x − ) f ′( 2 4 3 . x − 3) M T
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) OÁN VD – VD C Do f (− )
1 = f (2) = 0 nên f ( 2
x − 3) ≤ 0 với x
∀ ∈  để hàm số đồng biến thì x f ′( 2 . x − 3) ≤ 0
− 3 ≤ x ≤ − 2   1 − ≤ x − 3 ≤ 0  2 ≤ x ≤ 3
TH1: x ≥ 0 thì f ′(x −3) 2 3 ≤ 0 ⇒  ⇔ 2 x 3 2  − ≥ x ≥ 5  x ≤ − 5
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số  2 ≤ x ≤ 3 Vì x ≥ 0 nên  x ≥ 5 NHÓ
− 5 ≤ x ≤ − 3 0 ≤ x − 3 ≤ 2 
TH2: x ≤ 0 thì f ′(x −3) 2 3 ≥ 0 ⇒  ⇔  3 ≤ x ≤ 5 2 M x − 3 ≤ 1 − − 2 ≤ x ≤  2 T  OÁN
− 5 ≤ x ≤ − 3 V Vì x ≤ 0 nên  D − 2 ≤ x ≤ 0 – VD
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (− 5;− 3) , (− 2;0), ( 2; 3) , ( 5;+∞). C
Câu 27: Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên  . Đồ thị của hàm số
y = f '(x) có dạng như hình vẽ. Hàm số y = g (x) =  f (x − ) 3 2   
nghịch biến trên khoảng nào sau đây NHÓ A. (1;2) B. (3;4) C. ( ; −∞ − ) 1 D. (4;+∞) M T Lời giải OÁN Chọn B V 2 =  −  − = =  −  D Ta có g'(x) 3 f  ( x 2) f ' 
(x 2), hàm số y g (x) f  ( x ) 3
2  nghịch biến khi và chỉ –
khi g '(x) ≤ 0 ⇔ f '(x − 2) ≤ 0 ⇔ 1≤ x − 2 ≤ 2 ⇔ 3 ≤ x ≤ 4 VD C
Dạng toán 36. Biết đồ thị hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số = ( ) =  ( ( )) k y g x f u x 
trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 37. Biết đồ thị hàm số y = f ′(u(x)) xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x) trong bài
toán không chứa tham số.
Câu 28: Cho hàm số y  
= f (x) có đồ thị hàm số 3
y = f ′ 2x +  như hình vẽ bên. 2   
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN V D –
Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? VD C         A. 1 7 −  ; . B. 5 1 −  ; . C. 3  ;+ ∞ . D. 1  ; −∞ − . 2 2        4 4   4   2  Lời giải Chọn A
Ta cần giải bất phương trình y′ = f ′(x) > 0 .  3   1 − < x <1 Dựa vào đồ thị  3 y = f 2x  ′ + 
. Ta có f ′2x + >  0 ⇔ (*) 2     2   x > 3 Đặt 3 t = 2x + 1
⇔ x = (2x −3) . 2 4 NHÓ  2t − 3  1 7 1 − < < 1 − < t <   M T
Khi đó ( ) ⇔ f ′(t) 4 2 2 * > 0 ⇔  ⇔  . 2t −  3  15 > > OÁN 3 t  4  2 V     D
Do đó hàm số y = f (x) đồng biến trên các khoảng 1 7 −  ; và 15  ;+ ∞ . 2 2      2  – VD
Câu 29: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là hàm số f ′(x) trên  . Biết rằng hàm số y = f ′(3x − ) 1 C
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (−∞; 6 − ). B. (1;5) . C. (2;6). D. (−∞; 7 − ) . Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Chọn D x < 2 −
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′(3x − )
1 ta có: f ′(3x − )
1 > 0 ⇔ 1< x < 2 NHÓ t 1 M
Đặt t = 3x −1 x + ⇔ = 3 TOÁN t +1 < 2 −  t +1 < 6 − t < 7 − V
Suy ra: f ′(t) > 0 3 ⇔  ⇔  ⇔  D t +  1 1  < + <  < < < < 2 3 t 1 6 2 t 5 –  3 VD C
Do đó: Hàm số f (x) đồng biến trên các khoảng (−∞; 7 − ) và (2;5)
Câu 30: Cho hàm số y  
= f (x) có đồ thị hàm số 7 y = f ' 2x − + +   2 như hình bên  2  NHÓ M T
Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? OÁN A.  1 9 ;          . B. 9 ;+∞   . C. 5 3 −  ;  . D. 5 ; −∞ −   . V  4 4   4   2 2   2  D Lời giải – VD Chọn C C
Quan sát đồ thị hàm số  7 y f ' 2x  = − + +   2 ta có  2  ′  7  ′  7 f 2x 0 f 2x  − + < ⇔ − +
+ 2 < 2 ⇔ 1< x <    
3(*) (đồ thị hàm số nằm dưới đường  2   2 
thẳng y = 2 khi và chỉ khi x∈(1;3)) − Đặt 7 7 2 2 t t x x − = − + ⇔ = khi đó (*) ′ 7 2t 5 3
⇔ f (t) < 0 ⇔ 1<
< 3 ⇔ − < t < 2 4 4 2 2
điều đó chứng tỏ hàm số y  
= f (x) nghịch biến trên khoảng 5 3 −  ; 2 2   
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Câu 31: Cho đồ thị hàm số y = f ′( 3 x + )
1 như hình vẽ. Hàm số f (x) nghịch biến trong khoảng nào trong các khoảng sau? NHÓ M TOÁN V D – A. ( 2; − 2) . B. (2;5) . C. (5;10) . D. (10;+ ∞) . VD C Lời giải Chọn B  2 − < x < 0
Từ đồ thị suy ra f ′( 3x + ) 1 < 0 ⇔  .  1 < x < 2 Đặt 3 3
t = x +1 ⇔ x = t −1 . 3  2 − < t −1 < 0  8 − < t −1< 0  7 − < t <1
Suy ra f ′(t) < 0 ⇔  ⇔ ⇔   . 3
 1< t −1 < 2
 1 < t −1 < 8  2 < t < 9
Vậy hàm số f (x) nghịch biến trong các khoảng ( 7 − ) ;1 và (2;9) . NHÓ
Dạng toán 38. Biết đồ thị hàm số y = f ′(u(x)) xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x) trong bài M T
toán chứa tham số. OÁN
Câu 32: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  , hàm số y = f ′(x − 2) có đồ thị như hình 2 V
dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số g (x) = f (x −8x + m) nghịchD –   biến trên khoảng 9  4; . VD 2    C A. 1 B. 2 . C. 3 D. 4 . Lời giải Chọn A
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Ta có: đồ thị hàm số y = f ′(x − 2) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số y = f ′(x) sang phải
hai đơn vị. Khi đó hàm số y = f (x) có bảng biến thiên: x −∞ 3 − 2 − 1 − +∞ NHÓ f ′(x) + 0 − 0 + 0 + M TOÁN
Mặt khác: g (x) = f ( 2
x − x + m) ⇒ g′(x) = x − f ′( 2 8 (2 8)
x −8x + m) 2 9 V
g′(x) = (2x −8) f ′(x −8x + m) < 0 x ∀ ∈(4; ) D 2 –  2 9 VD
−x + 8x − 3 ≤ ; m x ∀ ∈(4; )  2 m ≥ 13 2 3
− ≤ x −8x + m ≤ 2 − ⇔  ⇒  ⇔ m =13. C  2 9 m ≤ 13,75
−x + 8x − 2 ≥ ; m x ∀ ∈(4; )  2
Do đó có 1 giá nguyên của m để g (x) = f ( 2
x −8x + m) nghịch biến trên khoảng  9 4;   . 2   
Dạng toán 39. Biết đồ thị của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x). f (x)
trong bài toán không chứa tham số.
Dạng toán 40. Biết đồ thị của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x). f (x)
trong bài toán chứa tham số. NHÓ
Dạng toán 41. Biết đồ thị của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x). f (x)
trong bài toán không chứa tham số. M T OÁN
Câu 33: Cho hàm số y = f (x), y = f '(x) có
đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng V (0;2), hàm số − x
y = e . f (x) có bao D –
nhiêu khoảng đồng biến? VD A. 1. C B. 3. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C − x = . ( ) → ' − x y e f x
y = e ( f '(x) − f (x))
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số  1
x = a,0 < a < 
Dựa vào đồ thị ta có: y = ↔ f (x) = f (x) 2 ' 0 ' ↔   3 x = ,1 b < b <  2 NHÓ
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (0;a),( ; b 2). M TOÁN
Câu 34: Cho hàm số y = f (x) , y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng ( 4; − 3) , hàm số − x 10 y e + =
f (x) có bao nhiêu khoảng nghịch biến? V D – VD C A. 1 NHÓ B. 2 C. 3 M T D. 4 OÁN Lời giải Chọn B V D − x 10 + − x 10 + − x 10 + –
Ta có: y ' = −e
f (x) + f '(x).e = e
[− f (x) + f '(x)] VD C x = a, 4 − < a < 3 − 
Dựa vào đồ thị, ta có: 3
y ' = 0 ⇔ f '(x) = f (x) ⇔ x = ,
b − < b < 0  2
x = c,0 < c < 3  Bảng biến thiên 3 − x -4 a -3 2 b 0 c 3 y ' + 0 - - - 0 + + 0 -
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số y NHÓ − x+ M
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số 10 y = e
f (x) có hai khoảng nghịch biến T (a,b);( ; c 3) OÁN
Dạng toán 42. Biết đồ thị của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x). f (x) VD
trong bài toán chứa tham số. – VD g (x)
Dạng toán 43. Biết đồ thị của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = hoặc C f (x) f (x) y =
trong bài toán không chứa tham số. g (x) g (x)
Dạng toán 44. Biết đồ thị của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = hoặc f (x) f (x) y =
trong bài toán chứa tham số. g (x) NHÓ M T
PHẦN 4: Biết BBT của hàm số y = f '(x) OÁN
Dạng toán 45. Biết BBT hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x) = f (x) + h(x) V
trong bài toán không chứa tham số. D – VD
Câu 35: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: C x −∞ 2 − 0 1 +∞ f ′(x) − 0 + 0 − 0 +
Đặt y gx f x 1 3 1 2
x x . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 3 2
A. Hàm số y gx đồng biến trên khoảng (−∞ ) ;1 .
B. Hàm số y gx đồng biến trên khoảng (1;2).
C. Hàm số y gx đồng biến trên khoảng (0 ) ;1 .
D. Hàm số y gx nghịch biến trên khoảng ( 2 − ) ;1 . Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Chọn B
Tập xác định của hàm số y gx là  NHÓ Ta có: M
y gx f x 1 3 1 2
x x y  gx f x 2  x x T 3 2 OÁN x  2 V  x  0
f x 0  x  0 ; 2
x x  0   D  x 1  – x 1  VD C
Bảng xét dấu của y  gx như sau: x −∞ 2 − 0 1 +∞ f ′(x) − 0 + 0 − 0 + 2 x x + + 0 − 0 +
y  gx Chưa + 0 − 0 + xác định dấu
Từ bảng xét dấu của y  gx suy ra: NHÓ
Hàm số y gx nghịch biến trên khoảng (0 ) ;1 . M T
Hàm số y gxđồng biến trên các khoảng ( 2;
− 0) và (1;+∞) mà (1;2) ⊂ (1;+∞) OÁN nên đáp án B đúng. VD –
Câu 36: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R và bảng xét dấu của y = f '(x) như sau: VD C
Hỏi hàm số g x = f (x) − ( 2 ( ) ln x + x + )
1 nghịch biến trên khoảng nào? A. ( ;0 −∞ ). B. (0; ) 1 . C. ( 1; − +∞) . D. ( 1; − 0) . Lời giải Chọn B
Tập xác định của hàm g(x) là D = R
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Ta có g (x) = f (x) 2x +1 ' ' − . 2 x + x +1 2 Đặt − − + h(x) 2x +1 2x 2x 1 = ⇒ h'(x) = . NHÓ 2 x + x +1 (x + x+ )2 2 1 M  T 3 −1 x = OÁN Ta có h (x) 2 ' = 0 ⇔   − 3 −1 V x =  2 D – VD
Bảng biến thiên của hàm số y = h(x) như sau: C Ta có h( ) h( ) h( ) 1 1 1; 0 1 1;h  − = − = = − =   0.  2  NHÓ
Từ bảng biến thiên có h(x) >1, x ∀ ∈(0; )
1 ; f '(x) < 0, x ∀ ∈(− ; ∞ − ) 1 ∪(0; ) 1 . M T
Nên suy ra f '(x) − h(x) < 0, x ∀ ∈(0; )
1 ⇔ g '(x) < 0, x ∀ ∈(0; ) 1 . OÁN
Vậy hàm số g (x) nghịch biến trên (0; ) 1 . VD
Từ bảng biến thiên có h x ( ) f (x)  1 ( ) 1;0 ; ' 0, x 1; −  ∈ − > ∀ ∈ −   . –  2  VD C  1 −   − 
⇒ f '(x) − h(x) > 0, x ∀ ∈ 1 −  ;
. Do đó hàm số y = g ( x) đồng biến trên 1 1; −   .  2   2 
Lại có trong các miền ( ; −∞ 0);( 1; − +∞);( 1;
− 0) đều chứa miền  1 1;  − −  nên loại A,C,D. 2   
Câu 37: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  và bảng biến thiên của '
y f x như sau:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số x – -1 1 + + ∞ f’(x 3 3 NHÓ – -3 M TOÁN
Hàm số gx f x3x đồng biến trên khoảng nào? V A. 2;2019
B. 2019;2 C. 1;2 D. 1;  1 D – Lời giải: VD C Chọn A
Tập xác định của hàm số là 
Ta có: g x ' '
f x3
Hàm số y gx đồng biến  g 'x 0 '  f x '
3  0  f x 3 2.  x
Dạng toán 46. Biết BBT hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x) = f (x) + h(x)
trong bài toán chứa tham số.
Câu 38: Cho f(x) có đạo hàm liên tục trên  và bảng biến thiên y = f’(x) được cho như sau: NHÓ M T OÁN VD – 2
Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số g(x) = f(x) - ln x +1 - mx đồng biến VD ( ) C trên [ 1; − ] 1 . A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 Lời giải Chọn C Ta có: g(x) = f(x) - ( 2 ln x + )
1 - mx có txđ D =  g 2x ’(x) = f’ (x) - - m 2 x +1
Hàm số g(x) đồng biến trên [ 1; − ] 1 ⇔ g’(x) ≥ 0 x ∀ ∈[ 1; − ] 1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số ' ⇔ ( ) 2x f x − − m ≥ 0 x ∀ ∈ 1; − 1 2 [ ] x +1 ' ⇔ ≤ ( ) 2x m f x − x ∀ ∈ 1; − 1 1 2 [ ]( ) x +1 NHÓ ' ( ) ≥ ∀ ∈[− ] 2 : 5( ) 1;1 ; x do f x bbt x ≤1 x ∀ ∈ 1; − 1 2 [ ] x +1 M TOÁN ' ⇒ ( ) 2x f x − ≥ 4 x ∀ ∈ 1;
− 1 dấu “=” xảy ra khi “x=1” 2 [ ] x +1 V D
Vậy (1) ⇔ m ≤ 4 . – VD
Dạng toán 47. Biết BBT hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x) = f (u(x)) trong C
bài toán không chứa tham số.
Câu 39: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau
Hỏi hàm số y = g (x) = f ( 2
x + 2x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. ( ;0 −∞ ). B. ( 2; − ) 1 . C. ( ; −∞ 2 − ) . D. (2;+ ∞) . Lời giải NHÓ Chọn C M T
Tập xác định D =  . OÁN
Ta có y′ = g′(x) = f 2  ( 2 x + x) ′ =  ( 2x + x)′   f ′( 2 2 2 .
x + 2x) = (2x + 2). f ′(x + 2x) . VD 2 2 –
Ta có x + 2x = (x + )2 1 −1≥ 1 − với x
∀ ∈  dựa vào bảng xét dấu trên ta có f ′(x + 2x) ≤ 0 VD với x
∀ ∈  dấu " = " chỉ xảy ra tại x = 1 − . C
Từ đó y′ ≥ 0 ⇔ ( x + ) f ′( 2 2 2 .
x + 2x) ≥ 0 ⇔ 2x + 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1
− nên hàm số đồng biến trên ( ; −∞ − ) 1 . Mặt khác ( ; −∞ 2 − ) ⊂ ( ; −∞ − )
1 nên phương án C thỏa mãn bài toán.
Câu 40: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau: .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Hàm số = (2 x y f
− e ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. ( ) ;1 −∞ . B. (1;4) . C. (0;ln3). D. (2;+∞) . NHÓ Lời giải Chọn D M T Đặt ( ) = (2 x g x f
− e ) , hàm số xác định trên  . OÁN x x V
Ta có: g '(x) = −e f ′(2 − e ). D – x 2 − e = 1 −  = VD x ln 3 
g '(x) = 0 ⇔ 2 x − e =   1 ⇔ x = 0 C  2 x − e = 4  x  e = 2 − (voâ nghieäm)
Bảng xét dấu đạo hàm của hàm số y = g (x) như sau:
Suy ra hàm số y = g (x) đồng biến trên các khoảng ( ;0 −∞ ) ; (ln 3;+∞) .
Vậy chọn phương án D. NHÓ
Câu 41: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: M T OÁN VD – VD C
Hàm số g (x) = f ( x − 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây:. A. (3;+∞) . B. (2;3). C. ( 1; − 2) . D. ( ; −∞ − ) 1 . Lời giải Chọn C
- Do h(x) = f ( x ) là hàm chẵn, đồ thị hàm số y = h(x) nhận trục tung làm trục đối xứng
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
nên từ bảng biến thiên của hàm số y = f (x) suy ra bảng biến thiên của hàm số
h(x) = f ( x ) như sau: NHÓ M TOÁN V D – VD
- Tịnh tiến đồ thị hàm số h(x) = f ( x ) sang phải (theo trục hoành) 2 đơn vị ta được đồ C
thị hàm số g (x) = f ( x − 2 ) . Suy ra bảng biến thiên của hàm số g (x) = f ( x − 2 ) :
Từ bảng biến thiên của hàm số g (x) = f ( x − 2 ) ta thấy hàm số g (x) = f ( x − 2 ) nghịch NHÓ biến trên ( 1;
− 2) và (5;+∞) nên ta chọn đáp án C. M T
Câu 42: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  , có bảng biến thiên như hình vẽ. OÁN x −∞ 1 − 0 1 +∞ f ′(x) − 0 + 0 − V 1 D f (x) 0 0 0 – VD 1 − C
Hàm số y = f ( f (x) ) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ; −∞ 2 − ) . B. ( 1; − ) 1 . C. (2;+∞) . D. (0;2) . Lời giải Chọn A
f x . f ' x
Đặt g (x) = f ( f (x) ) ⇒ g′(x) = f ′( f (x) ) ( ) ( ) . f (x)
Do đó g′(x) không xác định khi f (x) = 0 hay x = 0 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số  = ±  f ′(x) x 1 = 0   = ± g′(x) x 1 = 0 ⇔  ⇔  = ⇔  ⇔ = ± .  f ′  ( f ( x) ) f (x) 1 x = 0  f  ( x) 1 = 1 ±  f ( x) = 1 −  NHÓ
Từ bảng biến thiên của f (x) ta có f (x) ∈[0; ] 1 , x
∀ ∈  . Suy ra f ′( f (x) ) ≥ 0, x ∀ ∈  . M
Ta có bảng xét dấu của g '(x) như sau: TOÁN x −∞ 1 − 0 1 +∞ f ′(x) − 0 + + 0 V − D f (x) − − 0 + + – VD g′(x) + 0 − + 0 − C
Từ đó suy ra g (x) đồng biến trên mỗi khoảng ( ; −∞ − ) 1 và (0; ) 1 .
Câu 43: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  . Biết hàm số y = f ′(x) có bảng xét dấu như sau
Hàm số g (x) = f (2cos x + )
1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?  π  π π  π π  π A. 0;      . B.  ; . C.  ; . D.  ;π . 6        4 3   3 2   2  Lời giải NHÓ Chọn C M T
Nhận thấy các tập hợp trong các đáp án đều là tập con của tập (0;π ) nên ở bài này ta xét OÁN trên khoảng (0;π ) . V
Hàm số g (x) đồng biến ⇔ g′(x) ≥ 0 và g′(x) = 0 tại hữu hạn điểm D – VD ⇔ 2 − sin .
x f ′(2cos x + )
1 ≥ 0 ⇔ f ′(2cos x + )
1 ≤ 0 ( do sin x > 0, x ∀ ∈(0;π ) ) C π π
⇔ 1≤ 2cos x +1≤ 2 1
⇔ 0 ≤ cos x ≤ ⇔ ≤ x ≤ . 2 3 2
Dạng toán 48. Biết BBT hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x) = f (u(x)) trong
bài toán chứa tham số.
Câu 44: Cho hàm số y = f (x) cáo đạo hàm trên  và có bảng xét dấu như sau x -∞ -2 1 2 4 +∞ y' + 0 + 0 - 0 - 0 +
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈(0;2020) để hàm số ( ) = ( 2 g x
f x − x + m) nghịch biến trên khoảng ( 1 − ;0)? NHÓ A. 2017 . B. 2018 . C. 2016 . D. 2015 . Lời giải M T Chọn C OÁN
g '( x) = ( x − ). f '( 2 2 1
x − x + m) V D –
Hàm số g(x) nghịch biến trên ( 1
− ;0) ⇔ g'(x) ≤ 0, x ∀ ∈( 1 − ;0) (*) VD 2 C
Vì 2x −1< 0, x ∀ ∈( 1
− ;0) nên (*) ⇔ f '(x − x + m) ≥ 0, x ∀ ∈( 1 − ;0) 2
x − x + m ≤1, x ∀ ∈( 1 − ;0) ⇔  2
x − x + m ≥ 4, x ∀ ∈  ( 1 − ;0) 2
m ≤ −x + x +1, x ∀ ∈( 1 − ;0) ⇔  2
m ≥ −x + x + 4, x ∀ ∈  ( 1 − ;0) 2
−x + x +1≥ , m x ∀ ∈( 1 − ;0) ⇔  2
−x + x + 4 ≤ , m x ∀ ∈  ( 1 − ;0)  1 − ≥ mm ≤ 1 − ⇔ ⇔  4 m  ≤ m ≥ 4 NHÓ Vậy m ∈{4;5;6;...; }
2019 . Chọn đáp số C. M T OÁN
Câu 45: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như bên. VD – VD C
Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số = ( 2
y f x + x + m) nghịch biến trên (0;1) là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn B
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Ta có y′ = x + f ′( 2 (2 1)
x + x + m) . Hàm số = ( 2
y f x + x + m) nghịch biến trên (0;1) khi và chỉ khi y′ ≤ 0, x ∀ ∈(0;1) . NHÓ
Vì 2x +1> 0, x
∀ ∈(0,1) nên điều này tương đương với M  + + ≥ − ∀ ∈  T x x m 1, x (0;1) x + x ≥ 1 − − , m x ∀ ∈(0;1) ′ OÁN
f (x + x + m) 2 2 2 ≤ 0, x ∀ ∈(0;1) ⇔  ⇔  2 2
x + x + m ≤1, x ∀ ∈(0;1).
x + x ≤1− , m x ∀ ∈(0;1). V Ta có hàm số 2
g(x) = x + x luôn đồng biến trên [0;1]; do đó, ràng buộc trên tương đương D –  1
− − m ≤ g(0) = 0 VD với  ⇔ m = 1 − . 1
 − m ≥ g(1) = 2 C
Vậy có duy nhất một giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 46: Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) = (x − )2 ( 2
1 x − 2x) với mọi x∈ .  Có bao nhiêu số
nguyên m <100 để hàm số g (x) = f ( 2
x − 8x + m) đồng biến trên khoảng (4;+∞)? A. 18. B. 82. C. 83. D. 84. Lời giải Chọn B x < 0
Ta có f ′(x) = (x − )2 1 ( 2
x − 2x) > 0 ⇔  . x > 2 NHÓ
Xét g′(x) = ( x − ) f ′( 2 2 8 .
x − 8x + m). Để hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (4;+∞) khi M T
và chỉ khi g′(x) ≥ 0, 4 x ∀ > OÁN
⇔ (2x −8). f ′( 2
x − 8x + m) ≥ 0, 4 x ∀ > V 2 ⇔ ′ − + ≥ ∀ > D
f (x 8x m) 0, 4 x – 2
x −8x + m ≤ 0, x ∀ ∈(4;+∞) VD ⇔  ⇔ m ≥18. 2  − + ≥ ∀ ∈ +∞ C
x 8x m 2, x  (4; )
Vậy 18 ≤ m <100.
Câu 47: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = x(x − )2 ( 2
1 x + mx + 9) với mọi x∈ .  Có bao
nhiêu số nguyên dương m để hàm số g (x) = f (3− x) đồng biến trên khoảng (3;+∞) ? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Lời giải Chọn B
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Từ giả thiết suy ra f ′( − x) = ( − x)( − x)2 ( − x)2 3 3 2 3
+ m(3− x) + 9.  
Ta có g′(x) = − f ′(3− x). NHÓ
Để hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (3;+∞) khi và chỉ khi g′(x) ≥ 0, x ∀ ∈( 3;+∞) M T
⇔ f ′(3 − x) ≤ 0, x ∀ ∈( 3;+∞) OÁN
⇔ (3 − x)(2 − x)2 (3 − x)2 + m(3 − x) + 9 ≤ 0, x ∀ ∈( 3;+∞)   V 2 D (x −3) + 9 ⇔ m ≤ , x ∀ ∈( 3;+∞) – x − 3 VD C x − +
⇔ m ≤ min h(x) với h(x) ( )2 3 9 = . (3;+∞) x − 3 2 x − 3 + 9 Ta có h(x) ( ) = = (x − ) 9 + ≥ (x − ) 9 3 2 3 . = 6. x − 3 x − 3 x − 3 Vậy suy ra 6 m m + ∈ ≤ 
 →m∈{1;2;3;4;5; } 6 .
Câu 48: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) 2 = x (x − )( 2
1 x + mx + 5) với mọi x∈ .  Có bao
nhiêu số nguyên âm m để hàm số ( ) = ( 2 g x
f x ) đồng biến trên (1;+∞) ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 7. Lời giải NHÓ Chọn B M T
Từ giả thiết suy ra f ′( 2 x ) 4 = x ( 2 x − )( 4 2 1 x + mx + 5). OÁN
Ta có g′(x) = xf ′( 2 2 x ). VD –
Để hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (1;+∞) khi và chỉ khi g′(x) ≥ 0, x ∀ ∈( 1;+∞) VD C ⇔ 2xf ′( 2 x ) ≥ 0, 1 x ∀ > 4 ⇔ 2 . x x ( 2 x − ) 1 ( 4 2
x + mx + 5) ≥ 0, 1 x ∀ > 4 2
⇔ x + mx + 5 ≥ 0, 1 x ∀ > 4 x + 5 ⇔ m ≥ − , 1 x ∀ > 2 x 4 x + 5
⇔ m ≥ max h(x) với h(x) = − . (1;+∞) 2 x 4
Khảo sát hàm h(x) x + 5 = −
trên (1;+∞) ta được max h(x) = 2 − 5. 2 x (1;+∞)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Suy ra 2 5 m m − ∈ ≥ −   →m∈{ 4 − ; 3 − ; 2 − ;− } 1 .
Câu 49: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = x(x − )2 ( 4 3 1 3x + mx + ) 1 với mọi x∈ .  Có bao NHÓ
nhiêu số nguyên âm m để hàm số ( ) = ( 2 g x
f x ) đồng biến trên khoảng (0;+∞)? M A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. T Lời giải OÁN Chọn B V D
Từ giả thiết suy ra f ′(x ) = x (x − )2 2 2 2 ( 8 6 1 3x + mx + ) 1 . – VD 2 C
Ta có g′(x) = 2xf ′(x ). Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (0;+∞) khi và chỉ khi g′(x) ≥ x
∀ ∈( +∞) ⇔ xf ′( 2 0, 0; 2 x ) ≥ 0, x ∀ ∈( 0;+∞) ⇔ 2 . x x (x − )2 2 2 1 ( 8 6 3x + mx + ) 1 ≥ 0, x ∀ ∈( 0;+∞) 8 6
⇔ 3x + mx +1≥ 0, x ∀ ∈( 0;+∞) 8 3x +1 ⇔ m ≥ − , 0; x ∀ ∈ +∞ 6 ( ) x 8 3x +1
⇔ m ≥ max h(x) với h(x) = − . (0;+∞) 6 x 8
Khảo sát hàm h(x) 3x +1 = −
trên (0;+∞) ta được max h(x) = 4 − . 6 NHÓ x (0;+∞) m − ∈ M T Suy ra m ≥ 4 − →m∈{ 4 − ; 3 − ; 2 − ;− } 1 . OÁN
Câu 50: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau VD – VD
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
g x = f x + m đồng biến trê C để hàm số ( ) ( ) n khoảng (0 ;2). A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A
Từ giả thiết suy ra hàm số y = f (x) đồng biến trên các khoảng ( 1; − )1 , (1;3) và liên tục
tại x =1nên đồng biến trên ( 1; − 3).
Ta có g′(x) = f ′(x + m) và x∈(0;2) ⇔ x + m∈(m;m + 2). m ≥ −
g (x) đồng biến trên khoảng (0 ;2) ⇔ (m + m) ⊂ (− ) 1 ;2 1;3 ⇔  ⇔ 1 − ≤ m ≤1. 2 + m ≤ 3
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 42
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Vì m∈ nên m có 3 giá trị là m = 1; − m = 0;m =1.
Câu 51: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau NHÓ M T
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g (x) = f (x + m) đồng biến trên OÁN khoảng (0 ;2). V A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. D Lời giải – VD Chọn A C
Từ giả thiết suy ra hàm số y = f (x) đồng biến trên các khoảng ( 1; − )1 , (1;3) và liên tục
tại x =1nên đồng biến trên ( 1; − 3).
Ta có g′(x) = f ′(x + m) và x∈(0;2) ⇔ x + m∈(m;m + 2). m ≥ −
g (x) đồng biến trên khoảng (0 ;2) ⇔ (m + m) ⊂ (− ) 1 ;2 1;3 ⇔  ⇔ 1 − ≤ m ≤1. 2 + m ≤ 3
Vì m∈ nên m có 3 giá trị là m = 1; − m = 0;m =1.
Câu 52: Cho hàm số y = f (x) là một hàm đa thức và có bảng xét dấu của f ′(x) như hình bên dưới: NHÓ M T
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f ( x − 2 + m) (1) nghịch biế OÁNn trên khoảng (11;25) . V A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. D Lời giải – VD Chọn A C
Đặt t = x − 2 + m , với x∈(11;25) thì t ∈(3+ ;
m 5 + m) , hàm số trở thành: y = f (t) (2)
Dễ thấy x và t cùng chiều biến thiên nên hàm (1) nghịch biến trên (11;25) thì hàm (2) nghịch biến trên (3+ ; m 5 + m) .
Dựa vào bảng xét dấu của hàm f ′(x) suy ra hàm f (t) nghịch biến trên khoảng (1;3).
Do đó hàm f (t) nghịch biến trên (3+ ;
m 5 + m) khi và chỉ khi m + 3 ≥1 m ≥ 2 −  ⇔  ⇔ m = 2 − m + 5 ≤ 3 m ≤ 2 −
Vậy có duy nhất một giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 43
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Dạng toán 49. Biết BBT hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x) = f (u(x)) + h(x)
trong bài toán không chứa tham số.
Câu 53: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R . Bảng biến thiên của hàm số f '(x) như NHÓ sau: M TOÁN V D – VD 2 3 3 2 C
Hàm số gx f 1x x  x x 5 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  1 0;       . B. ( ;0 −∞ ). C. 2 0; . D. 2  ;+∞ . 3       3   3  Lời giải Chọn C Ta có 2 2 3 2
g '(x) = (3x − 2x). f '(1− x + x ) + 3x − 2 . x 2 2 3
⇔ g '(x) = (3x − 2x)  f '(1− x + x ) +1   .
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f '(x) ⇒ f '(x) ≥ 1 − x ∀ ∈ R NHÓ 2 3
⇒ f '(1− x + x ) +1≥ 0 x ∀ ∈ R M T Xét 2 2
g '(x) ≤ 0 ⇒ 3x − 2x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ . OÁN 3 V
Câu 54: Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: D – VD C
Hàm số g (x) = f ( x + ) 3
3 1 − x + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  1 1 ;       . B. 2  2; − . C. 2  ;2 . D. (2;+∞) . 4 3       3   3  Lời giải Chọn A Cách 1
Ta có y′ = f ′( x + ) 2
− x + =  f ′( x + ) 2 3 3 1 3 3 3 3 1 − x +1   .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 44
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
y′ ≥ ⇔ f ′( x + ) 2 0 3 1 ≥ x −1 Ta có NHÓ 2 x −1≤ 0 ⇔ 1 − ≤ x ≤1 M x ≥1 3x +1 ≥ 4 T f '(3x ) 1 0  + ≥ ⇔ ⇔ OÁN  2 1  ≤ 3x +1 ≤ 3 0 ≤ x ≤  3 V D Suy ra với 2
0 ≤ x ≤ thì f ( x + ) 2
' 3 1 ≥ 0 ≥ x −1. – 3 VD C
Suy ra hàm số y = f ( x + ) 3
3 1 − x + 3x đồng biến trên khoảng  2 0;  3    Mà  1 1   2 ;  0;  ⊂ 
nên chọn đáp án A. 4 3 3      Cách 2
Ta có y′ = f ′( x + ) 2
− x + =  f ′( x + ) 2 3 3 1 3 3 3 3 1 − x +1   . Đặt t 1 t 3x 1 x − = + ⇒ = 3 2 ′ ≥ ⇔ ′ + ≥ − t − 2t −8 ⇔ ′ NHÓ y f ( x ) 2 0 3 1 x 1 f (t) ≥ 9 M T 2
Vẽ đồ thị hàm số g (t) t − 2t −8 = OÁN 9
Từ bảng biến thiên ta có đồ thị f ′(t) . VD – VD C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 45
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số 2
Từ đồ thị ta có f ′(t) t − 2t −8 ≥ khi 2
1< t < 3 ⇔ 1< 3x +1< 3 ⇔ 0 < x < 9 3
Lời bình: Do hàm f (x) chưa biết nên NHÓ + Phương án B sai. M T
+ Phương án C có thể đúng OÁN
+ Phương án D có thể đúng. V D
Do đó, để chắc chắn chỉ có một phương án đúng thì nên điều chỉnh phương án C, D – VD thành C C.  1 ;1  . D. ( ;0 −∞ ).  3 
ĐỀ XUẤT SỬA LỜI GIẢI THÀNH
Ta có: g′(x) =  f ′( x + ) +  ( 2 3 3 1 1− x )
Có: f ′( x + ) 1 2
3 1 = 0 ⇔ x = 0; x = ; x = ; x =1. 3 3 2
1− x = 0 ⇔ x = 1. ±
Bảng xét dấu của g′(x) NHÓ 1 2 x −∞ 0 1 − 3 3 1 +∞ M T f ′(3x + ) 1 − 0 + + 0 + 0 − 0 + OÁN 2 1− x − − 0 + + + 0 − V Khô Khô D Khôn ng – ng VD g′(x) g XĐ XĐ − + + XĐ C được đượ được dấu c dấu dấu
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  1 1;  −    và 1 2  ; ⇒ Chọn . A 3      3 3 
Câu 55: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên  . Bảng biến thiên của hàm số f ′(x) như hình vẽ.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 46
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN Hàm số ( ) 1 x g x f  = − + 
x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?  2  V D A. ( 4; − 2 − ). B. ( 2; − 0) . C. (0;2) . D. (2;4) . – VD Lời giải C Chọn A Xét ( ) 1 x g x f  = − +  x    x . Ta có 1
g '(x) = − f ' 1− +   1  2  2  2  Xét '( ) 0 ' 1 x g x f   ≤ ⇔ − ≥   2  2 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ′(x) ta có: +) TH1: 1 x  ′ − >  2 ⇔ 2 <1 x f − < 3 ⇔ 4 − < x < 2. − 
Do đó hàm số nghịch biến trên ( 4; − 2 − )  2  2 . NHÓ  x x M T +) TH2: f ′ 1− > 2 ⇔ 1
− <1− < a < 0 ⇔ 2 < 2 − 2a < x <  
4 nên hàm số chỉ nghịch biến  2  2 OÁN trên khoảng (2 − 2 ;4
a ) chứ không nghịch biến trên toàn khoảng (2;4). V  x  D
Vậy hàm số g (x) = f 1− + 
x nghịch biến trên ( 4; − 2 − ). –  2  VD
Chú ý: Từ trường hợp 1 ta có thể chọn đáp án A nhưng cứ xét tiếp trường hợp 2 xem thử.C
Dạng toán 50. Biết BBT hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x) = f (u(x)) + h(x)
trong bài toán chứa tham số.
Dạng toán 51. Biết BBT của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số
y = g (x) = f (u(x)) + f (v(x)) + h(x) trong bài toán không chứa tham số.
Dạng toán 52. Biết BBT của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số
y = g (x) = f (u(x)) + f (v(x)) + h(x) trong bài toán chứa tham số.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 47
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Dạng toán 53. Biết BBT hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số = ( ) =  ( ( )) k y g x f u x 
trong bài toán không chứa tham số. NHÓ
Câu 56: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu của hàm số y = f x như sau: M TOÁN V
f 2  f 2  0
g x   f x  D Biết     , hỏi hàm số     2 3 
 nghịch biến trên khoảng nào trong các – khoảng sau? VD A. 2;  1 . B. 1; 2. C. 2;  5 . D. 5; . C Lời giải Chọn C
Dựa vào bảng xét dấu của hàm số y = f x suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f x như sau: NHÓ
Ta có gx  2.f 3x.f 3x. Xét gx 0  f 3x.f 3x 0  1 M T
Từ bảng biến thiên suy ra f 3x 0, x  .  2  3 x 1 2  x  5 OÁN
Do đó (1)  f 3x 0     . 3 x  2   x 1 ;  1 , 2; 5 . Suy ra hàm số 
g x nghịch biến trên các khoảng     V D
Dạng toán 54. Biết BBT hàm số y = f ′(x) xét tính đơn điệu của hàm số = ( ) =  ( ( )) k y g x f u x  –  VD
trong bài toán chứa tham số. C
Câu 57: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên  và f '(x) có bảng biến thiên như hình vẽ, đồ thị
y = f '(x) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là −3;1. Có bao nhiêu giá trị 3
nguyên của tham số m thuộc đoạn −10; 20 2 
 để hàm số y = ( f (x + 3x − m) đồng biến trên khoảng (0;2)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 48
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN A. 20 . B. 17 . C. 16 . D. 18 . V Lời giải D – Chọn D VD 2 C y′ = x + f ′ 2
x + x − m  2 3 2 3 3
. f x + 3x − m  Ta có ( ) ( )  ( ) . x 3
Theo đề bài ta có: f ′(x) = (x −1)(x + 3) suy ra f (x)  < − ′ > 0 ⇔  và x >  1
f ′(x) < 0 ⇔ −3 < x < 1.
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) khi y′ ≥ 0,∀x∈(0;2) 2
⇔ y′ = ( x + ) f ′( 2
x + x − m)  2 3 2 3 3
. f (x + 3x−m) ≥ 0,∀x∈(0;2)  . 2
Do x∈(0;2) nên 2x + 3 > 0,∀x∈(0;2) và  2
f (x + 3x − m) ≥ 0,∀x ∈ Do đó, ta có: NHÓ   2 2 M T x 3x m 3 m x 3x 3
y ≥ 0 ⇔ f ( 2
x + 3x − m)  + − ≤ −  ≥ + + ′ ′ ≥ 0 ⇔  ⇔   2
x + 3x − m ≥  1 m ≤ 2 x + 3x −  1 OÁN m ≥ 2 max x + 3x + ( 3) V  (0;2) m ≥ 13 D ⇔ ⇔   . m ≤ 2 min x + 3x −1 m ≤ −1 – ( )   0;2  ( ) VD C
Do m∈ −10; 20 nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài.  
Dạng toán 55. Biết BBT hàm số y = f ′(u(x)) xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x) trong bài
toán không chứa tham số.
Câu 58: Cho hàm số y = f (x + 2) có đạo hàm trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 49
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN
Hàm số y = f (x) nghịch biến tên khoảng nào sau đây V D A. (0;2) B. (2;5) . C. ( 2; − 0) . D. ( 4; − 2 − ). – VD Lời giải C Chọn C Ta có  f  ( x + 2) ′  = 
(x + 2)′.f ′(x + 2) = f ′(x + 2)
Đặt t = x + 2 khi đó y = f (x + 2) = f (t) và y f  ( x 2) ′ ′ = +  = f '  (t) x = −
Dựa vào bảng biến thiên của hàm y = f (x + 2) ta có f ′(x + ) 4 2 = 0 ⇔  x = 2 − t = − Suy ra f ′(t) 2 = 0 ⇔  t = 0 NHÓ
Vậy ta có bảng biến thiên của hàm y = f (x) như sau M T OÁN VD – VD C
Suy ra hàm số y = f (x) nghịch biến trên ( 2; − 0)
Dạng toán 56. Biết BBT hàm số y = f ′(u(x)) xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x) trong bài
toán chứa tham số.
Câu 59: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  và f (− )
1 = 2 . Biết y = f '(x) có bảng biến thiên như hình vẽ
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 50
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ 2019 − ;2019] để hàm số V  1 1 3  D
y = ln f (x) 3 2
+ x − x − x + 
m đồng biến trên ( 1; − 3) –  6 2 2  VD C A. 2008 . B. 2007 . C. 2009 . D. 2010 . Lời giải Chọn A
Hàm số y ln  f (x) 1 3 2 x 3x 9x m = + − + +  xác định trên R 3   
⇔ g (x) = f (x) 1 3 2
+ x − 3x + 9x + m > 0, x ∀ ∪ ∈ ( 1; − 3) 3
⇒ g '(x) = f '(x) 2
+ x − 6x + 9 ⇒ g '(x) = 0 ⇒ f '(x) 2 = −x + 6x + 9
Vẽ hai đồ thị y = f (x) 2 '
∨ y = −x + 6x − 9 trên cùng hệ trục NHÓ M T OÁN VD – VD C Vậy g (x) ≥ x
∀ ∈ (− ) ⇒ g (x) > g (− ) 31 31 ' 0 1;3
1 = − + m ≥ 0 ⇒ m ≥ 3 3 2  
f x + x − x +
y = ln f (x) 1 ' 6 9 3 2 ( )
+ x − 3x + 9x + m ⇒ y ' = ≥ 0, x ∀ ∈ ( 1; −   3)  3  f (x) 1 3 1 2 3
+ x − x − x + m 6 2 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 51
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Đề hàm số đồng biến trên ( 1; − 3) thì  31 m ;2019 ∈ ⇒ m =   11;...;2018 có 2008 số.  3 
Câu 60: Cho hàm số y = f (x + 2) có đạo hàm liên tục trên  . Biết y = f '(x + 2) có bảng biến thiên NHÓ như hình vẽ M TOÁN V D – VD C
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ 2019 − ;2019] để hàm số
y = f (x) 1 4 2 3 3 2 −
x + x − x − (2m − )
1 x + m đồng biến trên (1;3) 12 3 2 A. 2021. B. 2020 . C. 2019 . D. 2018 . Lời giải Chọn A
y = f (x) 1 4 2 3 3 2 −
x + x − x − (2m − )
1 x + m ⇒ y ' = f '(x) 1 3 2
− x + 2x − 3x − 2m +1 12 3 2 3 NHÓ
Để hàm số đồng biến trên (1;3) ⇒ y ' = f '(x) 1 3 2
− x + 2x − 3x − 2m +1 ≥ 0, x ∀ ∈ (1;3)( ) 1 3 M T
Đặt x = t + 2 ⇒ t ∈( 1; − ) 1 ( ) 1 trở thành OÁN f (t + ) 1 '
2 − (t + 2)3 + 2(t + 2)2 − 3(t + 2) − 2m +1 ≥ 0, t ∀ ∈ ( 1; − ) 1 3 V 1 3 1 D
⇔ g (t) = f '(t + 2) − t + t + ≥ 2 , m t ∀ ∈ ( 1; − )
1 ⇒ g (t) = f (t + ) 2 ' " 2 − t +1 3 3 – VD
Vẽ hai đồ thị y = f "(t) và 2
y = t −1 trên cùng hệ trục C
Từ đồ thị ta thấy g '(t) ≥ 0. t ∀ ∈ ( 1; − )
1 ⇒ g (t) là hàm số đồng biến t ∀ ∈ ( 1; − ) 1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 52
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
⇒ m ≤ g (t) t
∀ ∈ (− ) ⇔ m ≤
g (t) = g (− ) = f ( ) 3 2 , 1;1 2 min 1 ' 1 +1 = 3 ⇒ m ≤ [ 1 − ] ;1 2 Kết hợp m ∈[ 2019 − ;2019] ⇒ m = 2019 − ,...,0,1 có 2021 số NHÓ
Dạng toán 57. Biết BBT của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x). f (x) trong M
bài toán không chứa tham số. TOÁN
Câu 61: Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm trên  , thỏa mãn f ( 1) − = 0. Biết bảng biến
thiên của hàm số y = f '(x) như hình vẽ. V D – VD C
Hàm số g (x) = ( 2x − x − 2) f (x) nghịch biến trên khoảng nào? A. (2;+∞) . B. ( ; −∞ − ) 1 . C.  1 1;  −  . D. ( 1; − ) 1 . 2    Lời giải Chọn C NHÓ
Từ bảng biến thiên của hàm số y = f '(x)ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f (x) M T như sau OÁN VD – VD C
Ta có g (x) = ( x − ) f (x) + ( 2 ' 2 1
x − x − 2) f '(x). Ta lập bảng xét dấu:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 53
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN V D – VD
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng  1  1;  − . C 2   
Dạng toán 58. Biết BBT của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x). f (x) trong
bài toán chứa tham số.
Câu 62: Cho hàm số y = f (x) và f (x) > 0, x
∀ ∈  . Biết hàm số y = f '(x) có bảng biến thiên như
hình vẽ và f '(4) = 0 NHÓ M T
Có bao nhiêu số nguyên m ∈[ 2019 − ;2019] để hàm số 2 − x +mx 1 y e + =
f (x) đồng biến trên OÁN (1;4) VD A. 2011 B. 2013 C. 2012 D. 2014 – Lời giải VD C Chọn C 2 − x +mx y e + f (x) 2 1 − x +mx 1 y ' e + = ⇒ = ( 2
− x + m) f (x) + f '(x)   Hàm số đồng biến trên
(1;4) ⇔ y' ≥ 0, x ∀ ∈ (1;4) ⇔ ( 2
− x + m) f (x) + f '(x) ≥ 0, x ∀ ∈ (1;4)( ) 1 f ' x
Vì f (x) > 0, x ∀ ∈  ( ) ( )
1 ⇔ m ≥ 2x − = ∀ ∈
f (x) g (x), x (1;4) 2
f " x . f x −  f ' x
Xét hàm số g(x) ta có g '(x) ( ) ( )  ( ) 2  = −  f (x) 2   
Theo BBT của hàm số f (′x) ta thấy x
∀ ∈(1;4) thì f ′(′x) < 0 nên
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 54
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
f (x) f (x) −  f  ( x) 2 " '  < 0 
( f (x) > 0, x ∀ ∈ )
f "(x). f (x) −  f '(x) 2 
f "(x). f (x) −  f '  ( x) 2    0, x (1;4) g '(x) 2  ⇒ − > ∀ ∈ ⇒ = − > 0,  f  ( x) 2   f   ( x) 2  NHÓ 
⇒ y = g (x) đồng biến trên (1;4) M
Do đó để m ≥ g(x) x
∀ ∈(1;4) thì m ≥ max g (x) = g (4) = 8. T [1;4] OÁN
Do m∈[ − 2019;2019] nên m∈[8;2019] V
Có 2012 số nguyên thỏa ycbt. D = ′ = –
Dạng toán 59. Biết BBT của hàm số y f (x) , xét tính đơn điệu của hàm số y g (x). f (x) trong VD
bài toán không chứa tham số. C
Câu 63: Cho hàm số y = f (x) . Biết f (0) = 0 và hàm số y = f ′(x) có bảng biến thiên
Khi đó, hàm số y = xf (x) đồng biến trên khoảng nào? A. ( ;0 −∞ ). B. ( 2; − 0) . C. (0;2) . D. ( 2; − 2) . Lời giải NHÓ Chọn B M T
Ta có y = xf (x) ⇒ y′ = f (x) + xf ′(x) OÁN x =
Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ′(x) ta có f ′(x) 0 = 0 ⇔  với a < 3 − . x = a V D – =
Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số y f (x) . VD C
Từ bảng biến thiên của hàm số y = f (x) ta có f (x) > 0, x ∀ ∈( 2; − 0)
Và f ′(x) < 0, x ∀ ∈( 2;
− 0) ⇒ xf ′(x) > 0, x ∀ ∈( 2; − 0)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 55
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Từ đó suy ra y′ = f (x) + xf ′(x) > 0, x ∀ ∈( 2;
− 0) . Do đó hàm số y = xf (x) đồng biến trên ( 2; − 0) . NHÓ Trên khoảng ( ;0
−∞ ) thì f (x) và xf ′(x) có thể âm hoặc dương nên không thể kết luận
hàm số đã cho đồng biến trên ( ;0
−∞ ) ⇒ đáp án A sai. M TOÁN
Trên (0;2) thì f (x) < 0 và f ′(x) < 0 ⇒ xf ′(x) < 0 ⇒ f (x) + xf (x) < 0 nên hàm số nghịch
biến trên (0;2) ⇒ đáp án C sai. V D –
Đáp án C sai nên đáp án D sai. VD
Câu 64: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: C
Hàm số g x = [ f − x ]2 ( ) (3
) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (2;5) . B. (1;2) . C. ( 2; − 5) . D. (5;+∞) . Lời giải NHÓ Chọn A M T
Từ bảng biến thiên suy ra f (x) ≤ 0, x
∀ ∈  ⇒ f (3− x) ≤ 0, x ∀ ∈  . OÁN
Ta có g '(x) = 2
− f '(3− x) f (3− x). V      D Xét xx g
x   f  xf  x  f  x 2 3 1 2 5 0 2 3 3 0 3  0       . – 3 x  2 x 1 VD C Suy ra hàm số  g x −∞ và (2;5) .
nghịch biến trên các khoảng ( ;1)
Dạng toán 60. Biết BBT của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = g (x). f (x) trong
bài toán chứa tham số.
Câu 65: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 56
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Với m < 0 , hàm số y = ( 2
x − 2x + m). f (x) đồng biến trên khoảng nào sau đây A. ( 1; − 0) . B. (0; ) 1 . C. (1;3). D. ( ; −∞ − ) 1 . NHÓ Lời giải M Chọn B TOÁN
y = ( x − ) f (x) + ( 2
x − x + m) ' ' 2 2 . 2 . f (x) V
+ Ta có 2x − 2 < 0, x ∀ ∈(0; )
1 và f (x) < 0, x ∀ ∈(0; ) 1 (1) D – VD
Bảng biến thiên của hàm y = g (x) 2
= x − 2x + m C
Từ hai BBT suy ra g (x) 2
= x − 2x + m < 0, x ∀ ∈(0; ) 1 ( do m < 0 ) và '
f (x) < 0, x ∀ ∈(0; ) 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra y = ( x − ) f (x) + ( 2
x − x + m) ' ' 2 2 . 2
. f (x) > 0 x ∀ ∈(0; ) 1 . Trong các khoảng ( ; −∞ − ) 1 , ( 1;
− 0) ,(1;3) thì chưa thể xác định được dấu của NHÓ 2 ' M T
y ' = (2x − 2). f (x) + (x − 2x + m). f (x) nên dựa vào các đáp án ta Chọn B OÁN g (x)
Dạng toán 61. Biết BBT của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = hoặc f (x) VD f (x) y =
trong bài toán không chứa tham số. – g (x) VD C
Câu 66: Cho hàm số bậc ba y = f (x) có 1
f (0) = − . Bảng biến thiên của hàm số f ′(x) 3 như hình vẽ
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 57
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số f (x) Hàm số g(x) =
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? x e A. ( ) ;1 −∞ B. (2− 3;2) C. (4;+∞) D. (3;+∞) NHÓ Lời giải M Chọn C TOÁN
Vì y = f (x) là hàm số bậc ba nên y = f (′x) là hàm số bậc hai. V Gọi 2
f (′x) = ax + bx + c suy ra f (
′′ x) = 2ax + b . Ta có hệ sau: D – VD  f (1 ′′ ) = 0 2a + b = 0 a = 1 −    C  f (1
′ ) = 0 ⇔ a + b + c = 0 ⇔ b  = 2 . Vậy 2
f (′x) = −x + 2x −1
f (0) 1 c 1  ′ = − = − c = 1 −   
Suy ra f (x) = f (′x)dx = ∫ ∫( 2 −x + 2x − ) 1 3 2
1 dx = − x + x − x + m , do 3 1 1
f (0) = − ⇒ m = − . 3 3 Vậy 1 3 2 1
f (x) = − x + x − x − . 3 3
f ′(x). x x
e − e . f (x) ′ Ta có
f (x) − f (x) g (′x) = = . 2x x e e NHÓ x = 2 ′  = ⇔ ′ 1 3 2 2 M T g (x) 0
f (x) − f (x) = 0 ⇔ x − 2x + 3x − = 0 ⇔ x = 2 −  3 . 3 3 x = 2+  3 OÁN
Lập bảng xét dấu y = g (′x) VD – VD C
Dựa vào bảng xét dấu g (′x) hàm số nghịch biến trên (4;+∞) . g (x)
Dạng toán 62. Biết BBT của hàm số y = f ′(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y = hoặc f (x) f (x) y =
trong bài toán chứa tham số. g (x)
Câu 67: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  . Đồ thị hàm số y = f ′(x) có như sau:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 58
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓ M TOÁN V D –
Đồ thị hàm số y = f (x) không có giao điểm với trục hoành và Max f (x) = 1 − . Đồ thị  VD
hàm số y = f ′(x) có duy nhất 1 giao điểm với trục hoành.Có bao nhiêu giá trị của tham C số m để (x − )2 ( 2 1 2 − m + ) 1 x + m)
hàm số g (x) =
luôn đồng biến trên  . f (x) A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 5. Lời giải Chọn A
Ta có Max f (x) = 1
− ⇒ f (x) < 0, x ∀ ∈   (x − ) 1 ( 2 2 − m + ) 1 (3x − )
1 + 2m) f (x)−(x − )2 1 ( 2 2 − m + )
1 x + m) f ′(x) g′(x) = 2 NHÓ ( f (x)) 2 2 −  − + − + − − − + + ′  M T (x )
1 ( 2m )1(3x )1 2m) f (x) (x )1( 2m )1x m) f (x) ⇔ g (x)  ′ = 2 OÁN ( f (x)) Đặt ( 2
− m + )( x − ) + m) f (x) −(x − )( 2 2 1 3 1 2 1 2 − m + )
1 x + m) f ′(x) = h(x) VD
Vì g′(x) có 1 nghiệm bội lẻ x =1 nên để g′(x) ≥ 0 thì điều kiện cần là h(x) – VD
cũng có nghiệm là x =1. C m =1 h( ) 1 2( 2 2m m ) 1 f ( ) 2 1 0 2m m 1 0  = − + + = ⇔ − + + = ⇔ 1 m −  =  2 Th1: Với m =1 ta có 2 3 − − + − ′ g′(x) 3(x )
1 f (x) (x ) 1 f (x) = > ∀ ∈ ( 0 x  . f (x))2 TH2: Với 1 m − = ta có 2 2 3 − − − ′
g′(x) 1 3(x )
1 f (x) (x ) 1 f (x) = . < ∀ ∈ ( 0 x  2 f (x))2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 59
NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn đề bài yêu cầu. NHÓ M TOÁN V D – VD C NHÓ M T OÁN VD – VD C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 60
Document Outline

  • Tính đơn điệu hàm ẩn từ dạng 1 đến dạng 14
  • Tính đơn điệu hàm ẩn từ dạng 15 trở đi