Các kĩ thuật tính giới hạn | Môn Giải tích 1, 2 - Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

lOMoAR cPSD| 58675420
Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
CÁC KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN 𝟎 I.
Tuyệt chiêu tính giới hạn dạng ∞ hoặc ắc l'Hopital
𝟎 khi x→ x0 (∞)ta dùng quy t ∞ L=
=..... cứ đạo hàm bao h hết dạng vô định thì thôi nhé em! II.
Lý thuyết về các vô cùng bé và các vô cùng lớn:
+) vô cùng bé ( khi x→x0 ( x0≠ ∞) )
sinu~𝑡𝑎𝑛𝑢~𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑢~𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢~𝑢 khi u→ 0 khi u→ 0
(1 + 𝑢)𝛼 -1 ~ 𝛼𝑢 khi u→ 0 Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0
Khi tính giới hạn nếu x không tiến ra vô cùng thì ta cố gắng sử dụng tối đa Tuyệt chiêu thay vô cùng bé .
Quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé : ta ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao. ( lim 𝑓(𝑥) =0 thì f(x) gọi là vcb) 𝑥→𝑥0 +) vô cùng lớn
Khi x→ ∞ thì thằng nào tiến ra vô cùng nhanh hơn thì giữ lại , thằng nào tiến ra vô cùng chậm hơn thì bỏ
Quy tắc ngắt bỏ vô cùng lớn: ta ngắt bỏ vô cùng lớn bậc thấp. thì f(x) gọi là vcl) VD :
Phân tích : rõ dàng khi x→ ∞ khi tử số 𝑥100 tiến ra vô cùng nhanh nhất do đó ta gắt bỏ các thành phần
khác đi thì tử số tương đương với 𝑥100 ,𝑙ậ𝑝 𝑙𝑢ậ𝑛 ℎ𝑜à𝑛 𝑡𝑜à𝑛 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑡𝑎 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑚ẫ𝑢 𝑠ố tương đương với 𝑥100 100 Như vậy L= I.
Sử dụng cách diễn giải trên để xử lý các bài tập lOMoAR cPSD| 58675420
Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp Câu 13 : tính giới hạn 3 − 2 3 2
√ 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 + 1 − √ 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 + 1
lim √ 𝑐𝑜𝑠𝑥 √ 𝑐𝑜𝑠𝑥 L=𝑥 → 0 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = lim 𝑥 → 0 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥
khi x→ 0 thì sinx~𝑥 và cosx-1~ − 𝑥2/2 do đó L=
Khi u→ 0 (1 + 𝑢)𝛼 -1 ~ 𝛼𝑢 do đó L= Câu 14 : tính giới hạn L=
( đến đây có dạng => L’Hopital dùng 2 lần)
Em nhân ra rồi tính đạo hàm 2 lần nhé ,sau đó thay x=0 vào ta đc kết quả nhé! Câu 15 : tính giới hạn L=
Sau khi biến đổi tích thành tổng ta được L= Sử dụng 1- khi u→ 0 ta được L= 2 2 Câu 16 : tính giới hạn L= Rõ dàng khi
do đó đủ điều kiện áp dụng vô cùng bé tương đương Khi đó L= Câu 17 : tính giới hạn lOMoAR cPSD| 58675420
Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp L= 𝑥 Câu 18 : tính giới hạn L=
Áp dụng sinx~𝑥 khi x→ 0 L Câu 19 : tính giới hạn
√ 1 − 𝑡𝑎𝑛𝑥 − √ 1 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 lim L=𝑥 → 0 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥
Áp dụng tanx~𝑥 và sin2x~2 𝑥 khi x→ 0 Ta được L= ( liên hợp )= Câu20 : tính giới hạn L= ] 2 2 2
Thay vô cùng bé tương đương Câu 21 : tính giới hạn L=
Thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0 Khi đó L= Câu 22: tính giới hạn lOMoAR cPSD| 58675420
Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp L=
Thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0 𝑥 3𝑥2 1−3𝑥 Khi đó L= Câu 23: tính giới hạn L=
Thay vô cùng lớn tương đương
Tử số ~ ln(𝑥2) = 2𝑙𝑛𝑥
Mẫu số ~ ln(𝑥10) = 10𝑙𝑛𝑥 Khi đó L= Câu 24: tính giới hạn L=
Vì cosax-1→ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 0 , tương tự cosbx-1→ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 0
Do đó áp dụng thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0 −(𝑎𝑥)2 −(𝑎)2 Ta được L 2 2 Câu 25: tính giới hạn L=
(có dạng => L’Hopital dùng 1 lần) L= Câu 26: tính giới hạn L=
(có dạng => L’Hopital dùng 1 lần)
Trước hết anh nói về cách tính đạo hàm của 𝑥𝑥 lOMoAR cPSD| 58675420
Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
Đặt y=𝑥𝑥 𝑚ụ𝑐 𝑡𝑖ê𝑢 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑎 𝑙à đ𝑖 𝑡í𝑛ℎ 𝑦′=> ( lấy loganepe 2 vế ) lny=xlnx
Bây giờ đạo hàm 2 vế ta được = (xlnx)’ = lnx+1
Do đó y’=y.(lnx+1)= 𝑥𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 1) hay (𝑥𝑥 )′ = 𝑥𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 1)
Áp dụng L’Hopital L= Câu 27: tính giới hạn 1 L=
Tuyệt chiêu tính giới hạn dạng L=
( với x0 có thể bằng 1 số hoặc bằng vô cực ) lim Thì L=𝑒
𝑥 → 𝑥 0 𝑔 ( 𝑥 ) .ln [ 𝑓 ( 𝑥 ) ] =…………….. ( chú ý 𝑓(𝑥)∞ mà f(x) tiến đến 1 là dạng vô định )
Áp dụng Vào bài toán : trước hết ta thay vô cùng bé tương đương tanx~𝑥 và sinx~𝑥 khi x→ 0 L=
(có dạng => L’Hopital dùng 1 lần) Câu 28: tính giới hạn L=
Trước hết ta thay vô cùng bé tương đương ta được : 1 1 1 1 1 L= =e Vì l Câu 29: tính giới hạn L=
Trước hết thay vô cùng bé tương đương L Vì Câu 30: tính giới hạn lOMoAR cPSD| 58675420
Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp L= với (a , b >0) Đặt x= khi đó 𝑥 𝑥 L= Câu 31: tính giới hạn 2 2 L= Câu 32: tính giới hạn L= Câu 33: tính giới hạn 2 𝜋 𝜋 L= 4 4 4 Đặt t thì L= Câu 34: tính giới hạn L=
phân tích : rõ dàng khi thay x=2 vào L có dạng do đó thỏa mãn điều kiện L'Hopital khi đó L=
(viết cho vui thôi_ thi thì cứ băm luôn nhé :)) L=