Các kĩ thuật xử lý tích phân – Trần Đình Cư Toán 12

Các kĩ thuật xử lý tích phân – Trần Đình Cư Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:
75 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Các kĩ thuật xử lý tích phân – Trần Đình Cư Toán 12

Các kĩ thuật xử lý tích phân – Trần Đình Cư Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

56 28 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:

75 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CÁC
KĨ
THUẬT
XỬ
LÝ
TÍCH
PHÂN
LỚP TOÁN
THẦY CƯ- TP
HUẾ
SĐT: 0834
332133
TOÁN
12
BINH PHÁP LƯU HÀNH
NỘI BỘ
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 1
CÁC KĨ THUẬT XỬ LÝ TÍCH PHÂN
BÀI 2. TÍCH PHÂN .......................................................................................................................................... 2
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM .............................................................................................. 2
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM ................................................................ 3
Dang 1: Tích phân hữu tỉ ........................................................................................................................................ 3
1. Phương pháp .................................................................................................................................................... 3
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .............................................................................................................................. 4
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................... 7
Dạng 2: Tích phân có chưa căn thức ................................................................................................................... 10
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 10
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 11
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................. 14
Dạng 3: Tích phân lượng giác .............................................................................................................................. 18
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 18
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 20
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................. 24
Dạng 4: Tích phân từng phần ............................................................................................................................... 27
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 27
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 27
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................. 32
Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối ...................................................................................................... 38
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 38
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ..............................................................
.............................................................. 39
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................. 42
Dạng 6: Tích phân siêu việt .................................................................................................................................. 44
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 44
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 44
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................. 48
Dạng 7: Tích phân hàm ẩn ................................................................................................................................... 54
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 54
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 56
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................. 61
Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân .......................................................................................................................... 67
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 67
2. Các ví dụ
rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 68
3. Bài tập rèn luyên tốc độ .................................................................................................................................. 70
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 2
BÀI 2. TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa tích phân
Cho
fx
là hàm số liên tục trên đoạn
a,b .

Giả sử
Fx
là một nguyên hàm của
fx
trên đoạn
a,b .
Hiệu số
Fb Fa
được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn
a, b

của hàm số
fx,
kí hiệu là

b
a
fxdx.
Ta còn dùng kí hiệu
b
a
Fx
để chỉ hiệu

Fb Fa.
Vậy


() () ().
b
b
a
a
f
xdx F x Fb Fa
Ta gọi
a
là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên,
fxdx
là biểu thức dưới dấu tích phân và
fx
là
hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý:
Trong trường hợp ab hoặc
ab,
ta quy ước


() 0; () () .
aba
aab
f
xdx f xdx f xdx
Nhận xét
 Tích phân của hàm số
f
từ a đến b có thể kí hiệu bới
()
b
a
f
xdx
hoặc
(u)
b
a
f
du
hoặc
(t) .
b
a
f
dt
Tích phân
chỉ phụ thuộc vào hàm số
f
và các cận
a, b
mà không phụ thuộc vào biến số
x
hay
t.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số
fx
liên tục và không âm trên đoạn
a,b ,

thì tích
phân
()
b
a
f
xdx
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của
fx,
trục Ox và hai đường
thẳng
xa,xb.
Vậy

b
a
Sfxdx.
II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Tính chất 1:

() () .
bb
aa
kf x dx k f x dx
(k: const)
Tính chất 2:



() () () () .
bbb
aaa
f
xgxdx fxdx gxdx
Tính chất 3:



() () () .
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx a c b
III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 3
Định lý 1 (Đổi biến loại 1): Cho hàm số
fx
liên tục trên đoạn
a,b .
Giả sử hàm số
xt
có đạo
hàm liên tục trên đoạn
,


sao cho
a, b
và
atb

với mọi
t;.

Khi đó:



b
'
a
f x dx f t . t dt


Định lý 2 (Đổi biến loại 2): Cho hàm số
fx
liên tục trên đoạn
a,b .
Giả sử hàm số

ux
có đạo hàm
liên tục và

ux , .

Giả sử ta có thể viết
'
fx gux .u x,x a,b

với
gx
liên tục trên đoạn
;.

Khi đó ta có:


ub
b
a
ua
f x dx g u du.

2. Phương pháp tích phân từng phần
Nếu
uux
và

vvx
là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn
a,b
thì
bb
b
a
aa
uvdx uv vdu

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM
Dang 1: Tích phân hữu tỉ
1. Phương pháp
1.1 Một số dạng cần nhớ
1)
1
ln , 0.
dx
ax b C a
ax b a
2)



1
11 1
.. ,0.
1



nn
dx
Ca
an
ax b ax b
3)



ln

ux
dx u x C
ux
4)
22
b
a
dx
x
thì đặt tan
x
t
.
1.2 Dạng tổng quát




2
2
,,40,0
..


mn
Px
IdxmnNbaca
x x ax bx c

+) Trường hợp 1: Nếu bậc của đa thức

2Px m n
ta chia tử cho mẫu để đưa về trường hợp 2
+) Trường hợp 2: Nếu bậc của đa thức

2
Px m n
ta sử dụng “phương pháp hệ số bất định”
Bước 1: Phân tích:



 

2
2
11
2
..
mn
ik
mn i k
ik
Px M ax b N
AB
ax bx c
xxaxbxcx x







Bước 2: Quy đồng mẫu số và đồng nhất 2 vế để tìm các hệ số
,,,
ik
AB MN
Bước 3: Thực hiện các dạng cơ bản.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 4
Chú ý: + Đôi khi ta dùng phương pháp thêm - bớt – tách sẽ gắn gọn hơn.
+ Một số trường hợp ta đổi biến số nhằm giảm bớt bậc để đưa về tích phân hàm hữu tỉ đơn giản hơn.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho
5
2
dx
ln a.
x
Tìm a.
A.
5
.
2
B. 2. C. 5 D.
2
.
5
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Ta có:
5
5
2
2
dx 5 5
ln a ln x ln a ln 5 ln 2 ln a ln ln a a .
x22
  
Ví dụ 2: Cho

2
2
0
x1
dx a ln5 bln 3, a,b .
x4x3


Giá trị của
3a 2b
là
A.
0.
B.
1.
C.
8.
D.
10.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Khi thấy những bài tích phân có dạng

n
m
ax b
Idx
xcxd

thì ta sẽ biến đổi


ax b A B
ax b A B x Ad Bc
xcxd xc xd


ABa
Ad Bc b



ta sẽ tìm được A và B.
Khi đó:

n
m
IAlnxcBlnxd
Áp dụng vào bài, ta có:


2
x1 x1 2 1
fx
x 4x1 x3x1 x3x1




2
0
I2lnx3lnx1 2ln53ln3.
a2
VT VP .
b
3


Ví dụ 3: Tìm tất cả các số thực
m
dương thỏa mãn
2
0
d1
ln 2 .
12
m
xx
x
A.
3.m
B.
2.m
C.
1.m
D.
3.m
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Ta có:
2
22
00
0
d11 1
1d ln1 ln1
112 2
m
mm
xx
xxxxxmmm
xx






Suy ra:
2
11
ln 1 ln 2
22
mm m
(*)
Ta thấy chỉ có
1m
thỏa mãn (*).
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 5
Ví dụ 4:
Biết

0
2
1
351 2
ln , , .
23


xx
Idxabab
x
Tính giá trị của
4.
ab
A.
50.
B.
60.
C.
59.
D.
40.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
00
2
11
0
2
1
351 21
311
22
3192
11 21.ln 2 21.ln
223












xx
I
dx x dx
xx
x
xx
Khi đó,
19
21, 4 59.
2

ab ab
Ví dụ 5: Biết

2
2
1
11
dln
12
a
x
x
xb

với
,ab
là các số nguyên dương và
a
b
là phân số tối giản. Giá trị
của
ab
bằng
A.
7.
B.
5.
C.
9.
D.
4.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
 
2
22 2
22
22 2
11 1
1
2
1
11111 1
ln 1 ln
111
11 1 3
ln ln
24
xx
dx dx dx x x
x
xxx xxx x
x
xx











Suy ra
4; 3ab
. Vậy
7.ab
Ví dụ 6: Cho


1
32
2
2
0
x3xx3
dx a ln b 1 .
x2x3



Khi đó
6a 5b
bằng
A. 2. B. 3. C.
13.
D.
2
.
3
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Ta có:


32 2
x3xx3x1x2x3.
Đặt
2
tx 2x3

1
dt x 1 dx.
2

Đổi cận:
x0 t3;x1 t6
.
Khi đó:

6
66
22
3
33
1t6 1 1 6 1 6 1
Idt dxlnt ln21
22t2t2
tt








1
a , b 2 6a 5 b 13.
2
 
Ví dụ 7: Cho

1
3
1
42
0
x
Idxlnablnc,a,b,c.
x3x2


Khẳng định đúng là
A.
abc.
B.
bca.
C.
cab.
D.
acb.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 6
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Đặt
2
t x dt 2xdx
hay
dt
xdx .
2
Và
x:0 1
thì:
t:0 1
.

111
2
1
42 2
000
1
1
0
0
2t 1 t 2
x.xdx 1 tdt 1
Idt
22
t1t2
x3x2 t3t2
12 1 1 3
dt ln t 2 ln t 1 ln 3 ln 2
2t2t1 2 2
3
a3;b ;c2.
2











Ví dụ 8: Cho


2
32
1
1ac5 ac
dx ln , a,b ,c,d ; ,
bd 8 bd
x1x

là các phân số tối giản. Giá trị của
 Sa2b3c4d bằng
A.
16.
B.
87.
C.
34.
. D.
30.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
 



22 22
22 2
33
32 2 2
11 1
2
222
323 2
111
2
2
2
1
1x x 1x x
11 1
Idx dx dx
xx
x1x x1x x1x
d1 x
11 x 11 1
dx dx
xx2
x1x x 1x
11 315315
ln x ln 1 x ln 2 ln ln
2822828
2x
a3,b8,c1,d

 







 









2.
Ví dụ 9: Cho
1
3
42
0
x
I dx ln3 bln2 c.
x3x2


Chọn đáp án đúng.
A.
3
bc
2

B.
2b c
.
C.
abc 0.
D. b, c là các số nguyên.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Ta có:

1
2
22
0
1x.2xdx
I
2
x1x2

.
Đặt
2
t x dt 2xdx
.
Với
x0 t0
, với
x1 t1
.
Khi đó:

1
11
0
00
1tdt 121 1
I dt lnt 2 lnt 1
22t2t12
t1t2







3
ln 3 ln 2
2

.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 7
3
a3,b ,c0
2

.
3. Bài tập rèn luyện tốc độ
Câu 1:
Biết
4
2
3
dx
aln2 bln3 cln5
xx

với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của
S abc
bằng
A.
6.
B.
2.
C.
2.
D.
0.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B

4
44 4
2
33 3
3
dx dx 1 1 x 16
I ln ln 4ln 2 ln 3 ln 5.
xx xx1 xx1 x1 15






Do đó:
S4112.
Câu 2: Biết rằng
5
1
ln .
21

dx
I
a
x
Giá trị a là
A.
3.
B.
9.
C.
8.
D.
81.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
5
5
1
1
dx 1
ln 2x 1 ln 3 ln a a 3.
2x 1 2

Câu 3:
Biết
1
0
23
dln2
2
x
I
xa b
x

,
,.ab
Khi đó giá trị
2
ab
bằng
A.
0.
B.
2.
C.
3.
D.
7.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Ta có:

11
00
1
23 7
d2 d27ln2 27ln2
0
22
x
Ix xxx
xx






Nên
7a
và
2.b
Do đó:
23.ab
Câu 4: Giả sử
5
1
d
ln
21
x
K
x
. Giá trị của
K
là
A.
9
. B.
3
. C.
81
. D.
8
.
Hướng dẫn giải
Đáp án B
5
5
1
1
1
ln 2 1 ln 3.
212

dx
x
x
Câu 5: Tính tích phân


2
2
1
1
Idxlnab,a,b.
xx 1

Giá trị
ab
bằng
A.
2
.
3
B.
7
.
6
C.
2
.
3
D.
6
.
11
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 8
 


2222
22 2
1111
1x1x1 1
Idxdxdxdx
xx 1
xx1 xx1 x1




.
Suy ra
 
2
22
2
21
1
1
11
11 x 41
I dx x 1 d x 1 ln x 1 ln
xx1 x1 36







.
41
a,b .
36

Câu 6: Cho
1
0
xdx
Iablnc.
x1

Biết
b
c1,
với
b, c 3.
Khi đó
Pabc
bằng
A. 0. B.
1.
C.
2.
D.
1
.
2
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C

11
1
0
00
x1 1
1
Idx1dxxlnx11ln2
x1 x1









a1;b 1;c2 P 2. 
Câu 7: Cho
1
4
2
2
0
1
ln .
12

xdx
I
ab
x
Khi đó
24 11
3

b
Sa
bằng
A. 0. B.
1.
C. 1. D.
25.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
11 1
44
22 2
2
22 2
00 0
1
3
2
2
0
xdx x 1 1 1
Idxx1dx
x1 x1 x1
x131
xlnx 1 ln3.
3242
13
a,b3S25.
24










 

Câu 8: Cho
2
2
1
1
ln .
1


xx
dx a b
x
Chọn mệnh đề đúng:
A.
ab.
B.
2
2a b b 0.
C.
ab
. D.
ab.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 9
2
22 22
22
11 11
1
xx1 1 1 x
dx x dx xdx dx ln x 1
x1 x1 x1 2
133
2ln3 ln2 ln
222
33
a,b ab.
22












Câu 9:


2
1
2
0
1
ln , , .
1

x
Idxabab
x
Khi đó
ab
S
ab
bằng
A.
1
.
3
B.
2
.
3
C.
3
D.
3.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D


11 11
2
4
22 2
00 00
2
11
1
2
2
0
00
x 1 2x 2x 2xdx
I dx 1 dx dx
x1 x1 x1
dx 1
dx x l n x 1 1 ln 2.
x1








a1,b2 S 3. 
Câu 10: Cho
 
1
3
2
0
3
5ln ln , ,, .
23 2


xc
I dx a b b c abc
xx
Khi đó

abc
P
abc
bằng
A.
22
.
7
B.
20
.
7
C.
24
.
7
D.
26.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B

11 1
3
22
00 0
1
1
2
0
0
6x 1 x 3
x3 7x3
Idxx2dxx2 dx
x1x3
x2x3 x2x3
61 x
x 2 dx 2x 6lnx 3 lnx 1
x3 x1 2
5
7ln2 6ln3.
2









 













520
a,b2,c6P .
27
 
Câu 11: Cho
22
2
00
23
.
43 1 3






xAB
I
dx dx
xx x x
Giá trị
.2 4
I
AB
bằng
A.
125
2ln .
3
B.
125
2ln .
3
C.
7125
ln .
29
D.
1 125
ln .
29
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Ta có:

2
2x 3 2x 3 A B
x1 x3
x1x3
x4x3





.
Từ đó
2x 3 A B x 3A B x 1, x 3
.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 10
Cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của x ta được:
AB2
13
A;B
3A B 3
22



.
Suy ra:

2
222
2
0
000
2x 3 1 dx 3 dx 1 1 125
I dx ln x 1 3ln x 3 ln
2x1 2x3 2 2 9
x4x3





7125
I. A B ln .
29

Câu 12: Cho
2
2
432
1
1.
ln
221

x
acd
dx
x
xx x b e
biết

,,,, ; ; 1
abcde N UCLN ab
và
c,d,e
là các
số nguyên tố. Giá trị của
Tabcde
bằng
A.
32
. B.
24
. C.
25
. D.
31
.
Hướng dẫn giải
Ta có
2
2
432
2
2
2
1
1
1
21
221
21
1
11
23










x
x
dx dx
xxxx
xx
xx
dx
x
dx
xx
xx
Đặt
1
tx
x

ta có:
2
432 2
111
ln
221 2343
xdtt
dx C
xxxx tt t




Dạng 2: Tích phân có chưa căn thức
1. Phương pháp
Lớp bài toán 1:


.ax ;
ax
p
m
pk
n
m
k
n
x
x
bdx dx
b

thỏa
1
p
k
, khi đó ta đặt

ax
m
k
n
tb
Lớp bài toán 2: Đổi biến dạng lượng giác
Ta chú ý các nhận biết một số dấu hiệu và cách đổi biến tương ứng sau
Dấu hiệu Cách đổi biến Chú ý
1.
22
x
a
Đặt
tan
x
at
;
22
t




2.
22
ax
Đặt
sin
x
at
;
22
t

3.
22
x
a
Đặt
sin
a
x
t
;0 or 0;
22
t




BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 11
4.
ax ax
or
ax ax


Đặt
cos2
x
at
0;
2
t
Lớp bài toán 3:
2
;R x ax bx c dx
Hướng 1: theo dạng 2
Hướng 2:
Hữu tỉ hoá. Sử dụng các phép biến đổi Euler
- Với
0a
, đặt
2
ax bx c t ax
- Với
0c
, đặt
2
ax bx c tx c
- Nếu
2
ax bx c
có hai nghiệm
12
,
x
x
thì đặt

2
1
ax bx c t x x
hoặc đặt

2
2
ax bx c t x x
Chú ý:
1)
2
ax
mx n
I
dx
bx c

ta biến đổi về dạng
22
2ax
22
ax ax
mb mbdx
Idxn
aa
bx c bx c






2)

2
ax

dx
K
mx n bx c
ngoài cách giải chung bằng phép thế lượng giác ta còn có thể giải bằng
phép thế đại số. Đặt
2
axtbxc
hoặc
2
1
ax
bx c
t
hoặc
tmxn
hoặc
1

mx n
t
3) Với dạng
2
ax 
dx
bx c
ta thường nhóm biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức rồi đưa về
dạng:
22
dx
ax
hoặc
2
2
ln
dx
x
xkC
xk
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Trong các tích phân sau, tích phân nào không cùng giá trị với
2
32
1
I x x 1dx.
A.
2
1
1
tt1dt.
2
B.
4
1
1
tt1dt.
2
C.

3
2
0
t 1 tdt.
D.

3
22
0
x1xdx.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt
2
dt
x t xdx .
2

Đổi cận
x1 thì
t1;
x2 thì
t4.
22
2
32 22
1
11
1
I x x 1dx x x 1.xdx t t 1dt.
2


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 12
Ví dụ 2:
Tính tích phân
3
0
Ixx1dx
ta được
aa
I,a,b ,
bb
 là phân số tối giản. Giá trị
11
S
ab
bằng
A.
131
1740
B.
16
.
15
C.
116
.
5
D.
16
.
3
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt

2
1
u x 1 x u 1; du 1 x 'dx dx dx 2udu
21 x

Đổi biến:
u0 1
;

u3 2
Khi đó ta có:

2
32 2
53
22 42
01 1
1
u u 116
xx1dx2u 1udu2u udu2 .
53 15





Do đó:
a 116,b 15.
Suy ra:
1 1 131
S.
a b 1740

Ví dụ 3: Kết quả của tích phân

2
23 *
0
1d , , ,
aa
Ixx x ab
bb
là phân số tối giản. Giá trị

22
Pa b bằng
A.
2786.
B.
2785.
C.
2685.
D.
2885.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Đặt
323
11tx tx
22
2
2d 3 d d d.
3

t
tt x x x x t
Với
01
x
t
;
03
x
t
Vậy
3
3
3
2
1
1
22 252
d6.
39 99




t
Itt
Suy ra:
a52,b9.
Do đó: S 2785.
Ví dụ 4: Tính tích phân:
5
1
d
31
x
I
x
x
được kết quả
ln 3 ln 5, , . Ia b ab
Tổng
ab
là
A.
2.
B.
3.
C.
1.
D.
1.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Đặt 31ux
2
1
3
u
x

1
2
3
dx udu
Đổi cận:
12xu
54xu
Vậy


44 4
2
2
22
11
2131
ln ln ln 2ln 3 ln 5
11 1 53
1
uu
u
Idu du
uu u
u




Do đó
2; 1ab
. Suy ra:
1.ab
Ví dụ 5: Giả sử tích phân

5
1
1
dln3ln5,,,.
131


Ixabcabc
x
Giá trị
abc
bằng
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 13
A.
4
.
3
B.
5
.
3
C.
7
.
3
D.
8
.
3
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt
 
2
2
131 31 1 d 1d.
3

x
tx t x t t
Đổi cận
13;55
x
tx t
.
Khi đó

5
55
3
33
21 2 1 2 42 2
d1d ln ln3ln5.
33 3 333





t
It ttt
tt
Do đó
42 2
;
33
;
3
abc
Vậy
4
.
3
abc
Ví dụ 6: Tập hợp các nghiệm của bất phương trình
x
2
0
t
dx 0,
t1
với
x
là ẩn là
A.

;0 .
B.

;. 
C.
;\0. 
D.

0; .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C

2
xx
22
22
00
dt 1
x
t1 1
dt .2 t 1 x 1 1.
0
22
t1 t1




x
2
2
0
t
dt 0 x 1 1 0 x ; \ 0 .
t1
 
Ví dụ 7: Cho
1
0
x
I f dx 10.
x1x






Khi đó
1
0
1
1





x
Jf dx
xx
bằng
A.
10.
B.
10.
C.
9.
D.
9.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt
t1x
ta có:
dt dx
Đổi cận
x0 t1
x1 t0


khi đó

01
10
tt
Jf dt f dt
1t t t 1t







1
0
x
Jf dxI10.
x1x






Ví dụ 8: Tính theo m tích phân
m
2
0
Ixx1dx
là
A.

22
m1m11
.
3

B.

3
2
2
m1 1
.
3
C.
22
m1m11
.
3

D.
2
m1.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Đặt
222
tx1tx1tdtxdx và đổi cận
2
xm t m 1
x0 t1


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 14
Do đó
2
22
mm1
3
2
22
01
m1m11
t
m1
Ixx1dx tdt I .
33
1



Ví dụ 9: Kết quả của

3
2
0
2x x 1 a a
Idx,a,b,
b
b
x1


là phân số tối giản. Giá trị Sab bằng
A.
36.
B.
45.
C.
27.
D.
59.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
3
2
0
2x x 1
Idx
x1

Đặt
2
x 1 t x t 1 dx 2tdt
2
22
222 5
42 3
11
1
2(t1)(t1)1 4t 54
I2tdt2(2t3t)dt2t.
t55






Suy ra:
a54,b5.
Do đó: S a b 59.
Ví dụ 10: Cho tích phân
1
2
0
Ixaxb3x1dx3,




biết
ab1.
Giá trị
33
5Sa b ab
bằng
A.
15.
B. 20. C.
102.
D. 15.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Ta có:
1
11 1
3
22 2
00 0
0
ax
Iaxdxbx3x1dx bx3x1dx
3


+ Xét
1
2
0
Abx3x1dx
Đặt
222
1
3x 1 t 3x 1 t xdx tdt.
3

Đổi cận:
2
2
23
1
1
bt t 8b b 7b
x0 t1;x1 t2 A dtb. .
39999

Vậy
1
3
0
ax 7b a 7b
I.
3939

Ta có hệ:
a7b
a5
3
S 102.
39
b6
ab1





3. Bài tập rèn luyện tốc độ
Câu 1: Kết quả của tích phân


4
1
d
ln , , , ,
1

x
bb
a abc
cc
xx
là phân số tối giản. Giá trị

222
Sa b c
bằng
A.
42.
B.
29.
C.
17.
D.
27.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 15
Đổi biến thành

3
3
2
2
214
d2ln 2ln.
13

t
t
tt t
Suy ra:
a2,b4,c3.
Do đó: S29.
Câu 2: Cho tích phân
3
0
x
Idx
1x1

nếu đặt tx1
thì

2
1
Iftdt
trong đó
A.
2
ft t t.
B.

2
ft 2t 2t.
C.
2
ft t t.
D.

2
f t 2t 2t.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Đặt
2
2
dx 2t dt
tx1tx1
xt 1


và đổi cận
x0 t1
x3 t2


Khi đó



222
2
22
111
t1
I 2t. dt 2t.t1dt 2t2tdtft2t2t.
t1





Câu 3: Đặt
3
2
0
d.
1
a
xx
I
x
x
Ta có:
A.
()
22
111.Ia a=+ +-
B.
()
22
1
111.
3
Ia a
é
ù
=+++
ê
ú
ë
û
C.
(
)
22
111.Ia a=+ ++
D.
()
22
1
111.
3
Ia a
é
ù
=++-
ê
ú
ë
û
Hướng dẫn giải
ĐAP AN D
Ta có:
2
3
2
22
00 0
1.
dd1.d
11
aa a
xx
xx
I
xxxxx
xx



222
1 1 .d .dtx tx ttxx
. Đổi cận:
2
01; 1xtxata
 
Khi đó:
 
2
2
1
1
322
1
1
11
.d 1 1 1
33
a
a
Itttt aa



.
Câu 4:
Biết
32
3
63
3
sin 3
d3
1
x
xcd
ab
xx



với
,,,abcd
là các số nguyên. Giá trị
abcd
bằng
A.
28.
B.
16.
C.
14.
D.
22.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
63
33 3
63
66
63
33 3
1sin
sin
1sin.
1
1








xx x
x
Idx dxxxxdx
xx
xx
Đặt
t x dt dx 
. Đổi cận
33
33
xt
xt


.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 16

3
63
3
33
63 6 3
33
1sin
1 sin 1 sin


 



Itttdt
tt tdt xx xdx
Suy ra

32
33
33
33
3
22sin sin 263.
27 3

 




IxxdxIxxdx
Suy ra:
27, 3, 2, 6.abcd
Vậy
28.
 abcd
Câu 5: Cho
3
2
1
1
ln ln 3.

x
Idxab
x
Giá trị

11
3
2
ab
bằng
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt
22 2
t1x t1x tdtxdx
và
x:1 3
thì
t: 2 2.
Khi đó:
3222
22
22 2 2
1
22 2
1x t t 11 1
Ixdxtdt dt1dt
xt1t1 t1








2
2
2
2
11 1 1t1 1
1 dt t ln 2 2 ln 2 1 ln 3
2t 1 t 1 2 t 1 2










11
a2 2;b 21 ab3 0.
2

Câu 6: Cho

1
2
0
2
2ln , , .
1
43






dx a
Iab
b
xx
Giá trị
11
A
ab
bằng
A.
4
.
3
B.
2
.
3
C.
5
.
6
D.
1
.
2
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Đặt
tx1x3
 
11 x1x3 dx
dt dx dx t.
2x 1 2x 3
2x1x3 2x1x3





 


dx 2dt
t
x1x3


.
Và
x:0 1
thì
t:1 3 2 2.
Khi đó:
22
22
4
13
13
dt 2 2
I 2 2ln t 2ln a 2; b 3.
t
13





Suy ra:
5
A.
6
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 17
Câu 7: Cho tích phân
2
2
3
a
x28
I4 dx .
3
1x





Giá trị a (biết a có giá trị nguyên) là
A. 0. B. 1. C.
1
. D. 3.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Ta có:
22
2
3
aa
x
I 4dx dx.
1x


Tính
2
2
3
a
x
Bdx
1x
. Đặt
3322
2
1x t 1x t xdx tdt.
3

Khi đó
2
2
2
33
3
a
a
x2 2
Bdx1x21a.
33
1x

Ta có:
2
33
a
22
I4x 1x 10 4a 1a
33




33 3
28 2 2 2
10 4a 1a 4a 1a 6a 1a 1
33 33




.
Giải được
a0
(sử dụng máy tính Casio, lệnh SHIFT – SOLVE).
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Nhập vào màn hình
2
2
3
A
X28
4dx
3
1X





Ấn
CALC
và thử các đáp án. Ta thấy chỉ đáp án A đúng
(kết quả cho bằng 0)
Câu 8: Cho tích phân:

6
1
x31
Idxa2lna,a.
x2


Giá trị
3
44Sa
là
A. 10. B. 5. C. 15. D. 8.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Đặt
2
t x 3 x t 3 dx 2tdt.
Đổi cận:
x6 t3
x1 t2


Suy ra:

333
2
3
2
2
222
tt t 1
I 2 dt 2 dt 2 1 dt 2 t ln t 1 2 ln 2 a 2.
t1 t1
t1






Vậy
S8.
Câu 9: Cho tích phân

1
3
24
0
xdx a 1
I,a.
3
xx1


Giá trị của a bằng
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dẫn giải
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 18
ĐÁP ÁN B
Ta có:
11
34 5
00
Ixx1dxxdx

.
6
1
6
5
0
1
x1
xdx
66





.
Đặt
424 3
tx1tx1tdt2xdx
.
Đổi cận:
x0 t1;x1 t 2
.
Suy ra:
2
2
3
2
1
1
11t21
Itdt .
22336





Vậy
21
Ia2.
3

Câu 10: Giá trị tích phân

b
3
a
xdx
Ib2
2x 2

bằng bao nhiêu nếu biết
zabi
là căn bậc hai của số
phức
35
3i.
4

A.
12
5
. B.
7
5
. C.
6
5
. D.
11
5
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Theo đề:


22
2
1
35
a
ab
35
abi 3i
2
4
4
b3b0
2ab 3








Đặt
32
3
t2 3t
t2x2x dx dt
22

.
Đổi cận:
1
xt1;x3t2
2

.

32
2
22
5
42
11
1
t23t
.
33t12
22
Idtt2tdtt
t4 45 5






.
Dạng 3: Tích phân lượng giác
1. Phương pháp
1.1 Nguyên hàm cơ bản cần nhớ với mọi số thực
0k
1
cos sinkxdx kx C
k

1
sin coskxdx kx C
k

2
11
tan
cos
dx kx C
k
kx

BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 19
2
11
cot
sin
dx kx C
k
kx

1.2 Một số lớp bài toán thường gặp
Lớp bài toán 1: Đưa về một hàm số lượng giác
sin cos
I
fxxdxftdt


cos sin
I
fxxdx ftdt

 
2
1
tan
cos
If x dxftdt
x


 
2
1
cot
sin
If x dx ftdt
x


Lớp bài toán 2: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng
sin .sin cos .cos ; sin .cosax bxdx ax bxdx ax bxdx

Cách giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng:
 

1
cos .cos os os
2
x
ycxycxy
 

1
sin .sin os os
2
x
ycxycxy


1
sin .cos sin sin
2
x
yxyxy
Lớp bài toán 3:
sin x ; cos ; 2
nn
dx xdx n N n

Cách giải:
Nếu n chẵn thì dùng công thức hạ bậc để hạ đến hết bậc:
22
1os2 1os2
cos ; sin x =
22
cx cx
x

Nếu n lẻ thì tách ra lấy một thừa số và sử dụng các công thức:

cos sinx ; sin x cos
x
dx d dx d x
Lớp bài toán 4:
asin cos
dx
I
x
bxc

Cách giải:
Đặt
tan
2
x
t
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 20
Lớp bài toán 5:
11 1
asin cos
sinx cos


xb xc
I
dx
abxc
Cách giải
Biến đổi: Tử = A(mẫu) + B(đạo hàm mẫu) + C rồi ta đưa về dạng 4 nếu
0C
.
Chú ý: Trên đây chỉ là một vài trường hợp thường gặp. Trong thực tế có thể gặp nhiều dạng khác
nữa, đòi hỏi phải linh hoạt vận dụng các kiến thức về lượng giác và các phương pháp tính nguyên
hàm tích phân.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho tích phân
2
2
cosxcos 3xdx a b.

Giá trị
33
Aa b 1.

A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C














22
22
22
2
2
22
1
I cos x.cos 3xdx cos 4x cos 2x dx
2
11 11
cos4 xdx cos2 xdx sin4 x sin 2x 0 a b 0.
22 84
 
3
33
Aa b 1 ab 3abab 11.
Ví dụ 2: Cho tích phân

4
4
0
Isinxdxab,a,b .

Giá trị
11
A
ab
bằng
A. 11. B.
20
.
3
C. 4. D. 7.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B






 


2
2
2
42
1 cos 2x 1 2cos 2 x cos 2x
sin x sin x
24
11 11cos4x 31 1
cos2x cos2 x cos4x.
42 4 2 82 8

4
4
0
0
31 1 3 1 1 1
Icos2xcos4xdxxsin2xsin4x38
82 8 8 4 32 32
3120
a;b A.
32 4 3

 



Ví dụ 3: Cho tích phân
4
2
0
tan xdx a b .

Giá trị
48
Aab
bằng
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 21
A.
0. B. 2. C. 1. D.
1
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B









44 4 44
22
22
00 0 00
4
0
1dx
tan xdx tan x 1 1 dx 1 dx dx
cos x cos x
tan x x 1 .
4
1
a1;b A2.
4

Ví dụ 4: Cho tích phân
4
2
4
4
3sinx dx 8sin2a.
cos x




Giá trị
66
sin cosAaa
bằng
A.
1
.
4
B.
1
.
2
C. 1. D.
3
.
4
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A





4
4
2
4
4
43232
3sinx dx 4tanx 3cosx 4 4 8
22
cos x
.
sin 2a 1.Suy ra:
2
31
A1 sin2a .
44

Ví dụ 5: Cho tích phân


2
5
0
I1cosxdxab,a,b .

Giá trị
615
Aa b
bằng
A. 11. B. 4. C. 7. D. 3.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Ta có

222
55
000
I 1 cos x dx dx cos xdx.



Trong đó:

2
2
0
0
dx x
2
.
Xét




22 2
2
54 2
00 0
K cos xdx cos x.cos xdx 1 sin x .cosxdx
.
Đặt
tsinx suy ra
dt cosxdx, x 0 t 0, x t 1
2
. Khi đó:

1
11
5
2
2243
00
0
2t 8
K1tdt12ttdttt .
35 15

 




Vậy
818
I a ; b A 11.
215 2 15

BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 22
Ví dụ 6:
Cho tích phân
6
3
0
dx
Ialn3b.
cos x

Giá trị
43
Aab
bằng
A. 2. B. 5. C. 4. D. 7.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Ta có:





66
42
2
00
dsinx
cosx
Idx
cos x
1sinx
Đặt
tsinx, với x0 thì
t0, với
x
6
thì
1
t
2
.
Khi đó








11 1
22 2
222 22
2
00 0
t1 t1
dt dt 1
I
2
t1 t1 t1 t1
1t
 















 









11
22
22
00
11
22
22
00
1dt dt
I
2
t1t1 t1 t1
t1 t1dt t1 t1dt
1
4
t1t1 t1 t1



















11 1
22 2
22
00 0
11 1
22 2
22
00 0
1dt 1 dt 1dt
42 4
t1t1
t1 t1
dt 1 dt 1
11111
dt .
44t1t14
t1 t1
Đáp số:
11 11
Iln3 a;b A2.
43 43

Ví dụ 7: Cho
2
0
sin 2x cos x
Idxabln2.
1cosx

Giá trị
Aab
bằng
A. 4. B. 1. C. 5. D. 3.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Ta có:
2
2
0
cos x
I2 sinxdx
1cosx
Đặt
tcosx dt sinxdx và
x:0
2
thì t:1 0.

1
01
22
10
0
t1t
I2 dt 2t1 dt2 tln1t 12ln2
1t 1t 2
a1;b2A3.


 






 

BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 23
Ví dụ 8:
Cho tích phân

2
0
cos 3x 2cos x
Idxaln8b,a,b.
23sinxcos2x


Giá trị
5Aab
bằng
A.
3.
B.
2.
C. 2. D. 4.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Ta có:








2
2
22
2
2
00
4cos x 1 cosx
34sinx
Idxdsinx
2sin x 3sinx 1
2 3sin x 1 2 sin x
.
Đặt
tsinx. Khi x0 thì
t0, khi
x
2
thì
t1. Suy ra:










 









11 1
2
2
00 0
1
1
0
0
4t 4 2t 1
34t 6t5
Idt2 dt2 dt
2t 1 t 1 2t 1 t 1
2t 3t 1
41
2dt2t2ln2t1lnt1
2t 1 t 1
2 2 ln3 ln 2 ln18 2.
a1;b 2 A4.
Ví dụ 9: Cho
2
3
11 2
dx ln a 4 3 ln b 2 2 1 .
3
sin x 1 cos x 2 2

Giá trị
33
2Aa b ab
bằng
A. 301. B. 240. C. 360. D. 412.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Đặt
2
t 1 cosx t 1 cosx 2tdt sinxdx.
3
xt;xt1
322

 


22
2
33
111
22
2
22
2
333
222
1sinx
dx dx
sin x 1 cos x
sin x 1 cos x
2tdt 2 1 1
dt 2 dt
t2t
tt 2
t. 1 t 1




















1
3
2
2321
1t21 1 2
2ln ln 1
t3
22 t 2 22
2321
12
ln 7 4 3 ln 3 2 2 1 a 7; b 3.
3
22















Suy ra:
A412.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 24
3. Bài tập rèn luyện tốc độ
Câu 1:
Cho tích phân




2
44
0
xx
sin cos dx a b
22
và
33
ab 7.
 Giá trị của a và b lần lượt là
A.
a1
.
b2


B.
a2
.
b1

C.
a1 a 2
.
b2 b1




D.
a1 a 2
.
b2b1
 



Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D


 


 

22 2
44 2222
00 0
2
0
xx xxxx
sin cos dx sin cos sin cos dx cos xdx
22 2222
sin x 1.











3
33
3
ab1
ab 1
a1 a 2
b
2b1
ab 7
b1 b 7 0




64 6 4
22
22
00
tanx tanx
Idx dx
cos x sin x
cos x 1 tan x
.
Đặt

2
dx
ttanx dt
cos x
và
x:0
6
thì
3
t:0
3
.



  







 




33 3
34 3 3
22
22
00 0
3
3
3
0
t1111
Idtt1dtt1 dt
2t 1 t 1
1t t 1
t1t1 1031
tln ln23.
32t1 272
Tìm được
a3.
Câu 2: Cho tích phân
3
2
sin x
Idxab.
sin x cos x

Giá trị
51
Aab
bằng
A. 0. B.
1.
C.
5.
. D. 3.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Đặt

3
x t dx dt
2
. Đổi cận:

 
3
xt;xt
22
.
Suy ra:





 




3
3
2
2
3
sin t
2
cos t
Idtdt
sin t cos t
33
sin t cos t
22
Vậy:







33
22
sin x cos x 1
2I dx 1 sin 2x dx
sin x cos x 2
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 25




2
111
2I x cos2 x I
4224
11
a;b A5.
44

Câu 3: Cho tích phân


2
5
0
IxcosxdxFxC.
Giá trị
F
bằng
A.
2
.
4
B.
2
.
2
C.
2
.
2
D.
2
.
4
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
















554
25 3
2
2
Fx
2
I x cos x dx xdx cos xdx xdx cos xd sin x
xsinx2sinx
xdx 1 sin x d sin x sin x C
25 3
F.
2
Câu 4: Cho tích phân

4
0
23tanx
Idxa5b2,a,b.
1cos2x

Giá trị

92
A
ab
bằng
A. 1. B. 5. C. 4. D. 7.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A




1
44
2
2
00
123tanx 1
Idx23tanxd23tanx
26
cos x
Đặt


5
3
5
2
2
2
1121
23tanxt I tdt .t 5522
6639
52
a;b A1.
99

Câu 5:
Cho


2
32
1
0
Icosx1cosxdxab,a,b.

Giá trị
9
Aab
bằng
A.
29
.
64
B.
31
.
20
C.
101
.
20
D.
53
.
60
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Ta có:
22
52
00
I cos xdx cos xdx A B.



+) Tính

22
2
2
0
00
111
Bcosxdx 1cos2xdx xsin2x .
2224






BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 26
+) Tính
2
5
0
Acosxdx
.
Đặt
tsinx dtcosxdx và
x:0
2
thì t:0 1.
Khi đó:
 



1
22
22
422
00 0
A cos x cos xdx 1 sin x cos xdx 1 t dt






1
1
5
42 3
0
0
t2 8
t2t1dt tt .
53 15
81101
a;b A .
15 4 20

Câu 6: Cho


0
2
2
sin 2
ln 2 , , .
2sin

x
Idxabab
x
Tính
23
.
Aa b
A.
1.
B. 4. C. 1. D. 2.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
 





00
22
22
sin 2x 2 sin x
Idxcosxdx
2sinx 2sinx
Đặt
 t 2 sin x dt cos xdx và
x: 0
2
thì t:1 2.
Khi đó

2
22
22
1
11
2t 2
24 4
Idt dt2lnt2ln22a2;b2.
tt
tt








A4.
Câu 7: Cho tích phân

2
4
sin x cos x b b
dx a ln2, a ; b,c ,
sin x cos x c c


là phân số tối giản. Giá tị
 Aa2bc
bằng
A. 4. B. 5. C. 1. D. 7.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A







22
2
4
44
dsinx cosx
sin x cos x
I dx ln sinx c os x ln1 ln 2 ln 2
sin x cos x sin x cos x
a0,b1,c2 A4. 
Câu 8: Cho tích phân
3
22
4
cos2x
dx a b 3.
cos xsin x

Giá trị
53
Aab
bằng
A. 14. B.
2.
C. 6. D. 3.
Hướng dẫn giải
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 27
ĐÁP ÁN A.




332233
22 22 2 2
44 44
cos2x cos x sin x 1 1
Idx dxdxdx
cos x sin x cos x sin x sin x cos x

3
4
14
cotx tanx 6 4 3 a 2; b A 14.
33


Câu 9: Xét tích phân
2
0
sin 2xdx
I.
1cosx
Nếu đặt t1cosx, ta được:
A.

2
2
1
I4 x 1dx.
B.
1
3
2
4t 4t
I4 dt.
t
C.
1
3
2
4t 4t
I4 dx.
t

D.

2
2
1
I4 t 1dt.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
2
t 1 cos x t cos x 2tdt sin xdx
Khi
x0
thì
t2,
khi
x
2
thì
t1.
Do đó:

2
11
3
2
0
22
4t t 1
2sin x cos xdx 4t 4t
Idtdt
tt
1cosx




Dạng 4: Tích phân từng phần
1. Phương pháp
Cho
,uuxvvx
là các hàm số liên tục trên đoạn
;ab
và có đạo hàm trên khoảng

;ab
ta có

bb
b
a
aa
udv uv vdu udv uv vdu

Chú ý: Cho dãy “ưu tiên” các loại hàm như sau LOGARIT ĐA THỨC MŨ, LƯỢNG GIÁC và
,
P
xQx
là 2 trong các loại hàm số đó. Khi cần tính
PxQxdx
ta chọn từng phần theo nguyên
tắc sau
+) Chọn u = Hàm được ưu tiên hơn
+) dv = phần còn lại
Ví dụ

21ln 1
x
xdx
ta chọn

ln 1
21
ux
dv x dx


2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Kết quả tích phân



2
0
2ln 1 3ln3, .
xxdx bb
Giá trị
3 b
là
A.
3.
B.
4.
C.
5.
D.
7.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 28


2
0
2ln 1IxxdxAB
Tính
2
2
2
0
0
24Axdxx
Tính


2
0
ln 1Bxdx
Xem:

ln 1
ux
dv dx
1
1
dx
du
x
vx

Dùng công thức tích phân từng phần



22
2
2
0
0
00
1
ln 1 1 .ln 1 3ln3 3ln3 2.
1


x
B x dx x x dx x
x
Vậy:


2
0
2ln 1 3ln32.
Ixxdx
Ví dụ 2: Biết rằng tích phân

1
x
0
(2x 1)e dx a be, a,b .

Giá trị ab bằng
A. 1. B. 1. C. 15.
D. 20.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt
u (2x 1) du 2dx
xx
dv e dx v e

11
1
11
xxxxx
00
0
00
(2x 1)e dx (2x 1)e 2 e dx (2x 1)e 2e e 1.

Ví dụ 3: Tìm số thực m1 thỏa mãn

m
1
ln x 1 dx m.
A.
m2e.
B.
me.
C.
2
me.
D.
me1.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B

mmm
111
A ln x 1 dx ln xdx dx

m
1
I ln xdx
Đặt
1
ulnx
du dx
x
dv dx
vx

m
m
1
1
Ixlnx dx
m
1
me
A x ln x mln m m .
m0

Ví dụ 4: Giả sử
Fx
là một nguyên hàm của hàm số

x
e
fx
x
trên khoảng

0;
và
3
3
1
d.
x
e
I
x
x
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 29
A.

31.IF F
B.
63.IF F
C.
93.IF F
D.

42.IF F
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Xét
3
3
1
d
x
e
I
x
x
Đặt
3d3d.tx t x
Đổi cận:
13
x
t
,
39
x
t

.
Suy ra
 
99
9
3
33
31
.d d 9 3.
3


tt
ee
IttFtFF
tt
Ví dụ 5: Đặt
1
ln d ,
e
k
k
I
x
x
k
nguyên dương. Ta có
2
k
Ie
khi:
A.
1; 2 .k
B.
2;3 .k
C.
4;1 .k
D.
3; 4 .k
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt
1
ln
k
ududx
x
x
dv dx v x








1
1
.ln + d 1 ln 1
e
e
k
k
I
xxek
x




2
k
Ie

32
1ln 1 2 ln ln 1
11
e
eke k k
ee


Do
k
nguyên dương nên
1; 2 .k
Ví dụ 6: Cho tích phân
2
x2
2
1
1x
I e dx ae be.
x

Giá trị
8
Aab
bằng
A.
3.
B. 0. C. 1. D. 2.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
222
xx
x
22
111
1x e e
I e dx dx dx.
x
xx


* Tính
2
x
1
2
1
e
Idx.
x
Đặt
xx
2
dx
ue duedx;dv
x

, chọn
1
v.
x

2
22
xx
x
1
2
1
11
e1e
Idxe dx.
xx
x


Vậy

22
222
xx
xx x
2
11
111
1x 1 e e 1 e
Iedxe dxdxe2e.
xxxx2
x


1
a;b1A3.
2

Ví dụ 7: Cho tích phân
3
2
4
x3
dx a bln .
2
sin x

Giá trị
 A943a6b
bằng
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 30
A.
47
.
12
B.
5
.
12
C.
11
.
4
D.
21
.
14
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt
2
dx
u x du dx; dv
sin x

, chọn
vcotx.
Vậy
333
33
2
44
444
xcosx
I dx xcos x cot xdx xcosx dx
sin x
sin x







3
4
943
13
xcotx ln sinx ln
36 2 2




.
943 1 47
a;bA.
36 2 12

Ví dụ 8: Cho tích phân

4
22
0
Ixtanxdxa bcln2,a,b,c .

Giá trị
32 4 2A abc
bằng
A. 3 . B. 2. C.
1.
D. 1.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Tính

4
2
0
xtan x 1dx
Đặt

2
u x du dx; dv tan x 1 dx
, chọn
vtanx.
Vậy

444
2
44
00
000
sin x
x tan x 1 dx x tan x tan xdx x tan x dx
cosx





4
4
0
0
xtanx ln cosx

.
Do đó:

22
4
4
2
0
0
x2
Ixtanxdxxtanxlncosx ln
24232





2
1
ln 2
32 4 2


.
11 1
a;b;c A1.
32 4 2

Ví dụ 9: Cho tích phân

3
23
6
ln sin x
3
Idxalnb.
cos x 4





Giá trị
36
log log
Aab
bằng
A.
3
.
2
B. 2. C.
1
.
2
D. 1.
Hướng dẫn giải
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 31
ĐÁP ÁN C
Đặt

cosx
ulnsinx du dx
sin x

;
2
dx
dv
cos x
, chọn
vtanx
.
Vậy


33
3
2
6
66
ln sin x
Idxtanxlnsinxdx
cos x






3
331 3
3ln ln 3ln
22232 6
4
 


 

 

 
.
11
a3;b A .
62

Ví dụ 10: Cho tích phân


2
1
1
I cos ln x dx sina cos b
2
. Giá trị
52
ab
Ae e
bằng
A. 28. B. 35. C. 27. D. 32.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt

sin ln x
u cos ln x du dx; dv dx
x

, chọn
vx.
Vậy
  
22
2
1
11
I cos lnx dx xcos lnx sin lnx dx.

* Tính

2
1
1
Isinlnxdx
Đặt
 
dx
u sin ln x du cos ln x ; dv dx
x

, chọn
vx
.
  
22
2
1
1
11
I sin ln x dx x sin ln x cos ln x dx

.
Vậy
   
22
22
11
11
I cos ln x dx xcos ln x xsin ln x cos ln x dx

  
2
22
11
1
2I 2 cos ln x dx xcos ln x xsin ln x
.
Vậy
 
2
1
1
I cos ln x dx sin ln 2 cos ln 2 a b ln 2 A 28.
2

Ví dụ 11: Cho tích phân 
e
1
Ilnxdx và
a
1
ln x 1
Kdx.
xlnx 1

Giá trị
1A

bằng
A. ln a lna 1 . B. ln a lna 1 .
C. ln lna 1 .
D. ln lna 1 .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
eee
e
1
111
ln xdx xln x xd ln x e dx 1

.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 32
ee
e
1
11
dxlnx 1
ln x 1
dx ln xln x 1 ln a lna 1
xlnx 1 xlnx 1



.
A 1 ln alna 1 1 ln alna 1  .
Ví dụ 12: Giá trị tích phân

2
e
1
ax 1lnx
Idx,a0
x
bằng
A.
2
e12a
.
4

B.
2
e12a
.
4

C.
2
e12a
.
4

D.
2
e12a
.
4

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Ta có:
2
eee
111
ax 1lnx
alnx
Idxxlnxdxdx
xx


.
Xét


e
2
ee
11
1
alnx
alnx a
Adxalnxdlnx
x22







.
Xét
e
1
Bxlnxdx.
Đặt
2
dx
du
ulnx
x
dv xdx
x
v
2


ee
e
e
2222
1
1
11
xxxxe1
Blnx dxlnx .
222444
 

 
 
 
Vậy
2
e12a
I.
4

3. Bài tập rèn luyện tốc độ
Câu 1: Biết

2
xx 42
0
e2xedxa.e b.e c
với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị
S abc
bằng
A.
S2.
B.
S4.
C.
S2.
D.
S4.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Ta có

2
2x x
222 2 2
xx 2x x x x
000 0 0
0
ee1
I e 2x e dx e dx 2x.e dx 2 xe dx 2 xe dx.
222


Đặt


4
2
2
xx
xx
0
0
44
22
2x 2
00
ux dudx
e1
I2x.e2edx
22
dv e dx v e
e1 e 3
2x.e 2e 2e
22 2 2






 
13
a;c
Sabc4.
22
b2


Câu 2: Tìm a sao cho
a
x
2
0
Ix.edx4.
Chọn đáp án đúng.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 33
A.
1. B. 0. C. 4. D. 2.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Ta có:
a
x
2
0
Ix.edx
. Đặt
xx
22
u x du dx
dv e dx v 2.e








aa
a
xx ax a
22 22 2
0
00
I 2x.e 2 e dx 2ae 4.e 2 a 2 e 4
Theo đề ra ta có:

a
2
I 4 2a 2e 4 4 a 2. 
Câu 3: Tìm m để

1
0
x
exmdxe.
A.
m0.
B.
me.
C.
m1.
D.
me.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Đặt
  
xx
11
11
xxxx
00
00
uxm dudx
dv e dx v e
Iexmdxexm edxexm1 mem1







Mặt khác:
Ie mem1e me1 e1 m1.
Câu 4: Cho
2
1
(1 ln ) ln , ( , , ).xxdxabcabc
Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. abc. B. abc. C. abc. D. abc
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt


  

 

2
22
222
11
22
1ln
2
222
1
(1 ln ) (1 ln ) (1 ln )
222 4
111
2, 2
22
3
(1 ln ) 2 ln 2
3
244
11
4
dx
du
ux
x
dv xdx
x
v
x
xx
xxdx x xdx x
ab
xx
x
c
Câu 5: Cho

4
0
I x 1 sin 2xdx

. Đẳng thức đúng là
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 34
A.

4
0
I x 1 cos 2x cos 2xdx.
4
0

B.

4
0
Ix1cos2x cos2xdx.
4
0

C.

4
0
11
I x 1 cos 2x cos 2xdx.
4
22
0

D.

4
0
11
I x 1 cos 2x cos 2xdx.
4
22
0

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Đặt

4
0
du dx
ux1
11
I x 1 cos 2x cos 2xdx
4
1
dv sin 2xdx
22
vcos2x
0
2





Câu 6: Tích phân
4
0
dln2,
1cos2

x
xa b
x
với
a
,
b
là các số thực. Giá trị
16 8 .ab
A.
4.
B.
5.
C.
2.
D.
3.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt
dd
d
1
d
tan
1cos2
2
ux
ux
x
v
vx
x



. Ta có
4
0
11
tan tan d
4
22
0
111111
ln cos ln ln 2 , .
4
82 82 84 8 4
2
0

  
Ixx xx
xab

Do đó,
16 8 4.ab
Câu 7: Kết quả tích phân

1
0
23d
x
I
xex
được viết dưới dạng
Iaeb
với
a
,
b
là các số hữu tỉ.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
.ab
B.
ab
C.
.
ab
D.
0.ab
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Đặt
23 d 2.d
dd
xx
ux u x
vex ve





.
Tích phân

1
1
0
0
23 2d
xx
I
xe ex
=
532 1ee =
31e
Vậy
3a
và
1b 
.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 35
Câu 8:
Xét tích phân

1
22
0
24d
x
I
xex
. Nếu đặt
2
24ux
,
2x
ve
, ta được tích phân
1
1
2
0
0
() 2 d
x
I
xxex

, trong đó:
A.


22
24.
x
x
xe
B.
22
2.
x
x
xe
C.


2
2.
x
x
xe
D.


2
1
24.
2

x
x
xe
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Đặt
2
2
2
d4d
24
1
dd
2
x
x
uxx
ux
ve
ve x



. Khi đó

11
1
22 22 2
0
00
24d 2 2d
xxx
I
xexxe xex

.
Câu 9: Giả sử tích phân

1
2017
0
.ln 2 1 d ln3.
b
xx xa
c
Với phân số
b
c
tối giản. Giá trị
bc
bằng
A.
6057.
B.
6059.
C.
6058.
D.
6056.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Ta có
 
11
2017
00
.ln 2 1 d 2017 .ln 2 1 d
I
xx x xxx

.
Đặt

2
2
dd
ln 2 1
21
1
dd
28
ux
ux
x
x
vxx
v




Do đó
 

1
11
22
00
0
112
.ln 2 1 d ln 2 1 d
28 2821
xx
x
xx x x
x








1
2
0
33
ln 3 ln 3
848
xx





1
2017
0
3 6051
.ln 2 1 d 2017 ln3 ln3.
88
Ix x x




Khi đó
6059.bc
Câu 10: Tìm
m
để

1
0
.
x
exmdxe
A.
0.m
B.
.me
C.
1.
m
D. .me
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 36
 



11 1
00 0
1
0
11
1
00
11.


 

xxxx
xx
I
exmdx xmde xme edx
xme e mem
Ie mem e m
Câu 11: Biết kết quả của tích phân

2
2
1
Ix1lnxdx
được viết dưới dạng
aln4 b
c
(a, b, c là các số
nguyên). Khi đó a+b+c bằng
A. 17. B. 10. C. 13. D. 28.
hướng dẫn giải
ĐAP AN D
Đặt

2
3
222
3333
2
1
111
dx
du
ulnx
x
dv x 1 dx
x
vx
3
xxxx
Ixlnx 1dxxlnx x
3339




  

  
  
a6
3ln4 2 6ln4 4
I b 4 a b c 28.
918
c18


Câu 12: Cho tích phân
 



2
0
I 2sin2x cosxln 1 sinx dx aln2 b a,b
. Giá trị

33
1
Sab
3
bằng
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C




22
2
2
0
00
I cosxln 1 sinx dx 1 sinx ln 1 sinx cosxdx ... 2ln2 1
.
Vậy


33
1
I2ln21 a2;b1 S a b 3
3
.
Câu 13: Biết tích phân

33
3
1
2
00
0
sin
1
tan tan .
cos cos





xxdx
I
xx x xdx
xx

Giá trị
là
A. 0. B. 1. C.
1
. D. 2.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 37









33
12
222
00
3
3
2
2
0
0
xsinxdx
xsinx
IdxII
cosx cosx cosx
11
Idcosx
cosx
cos x
Đặt




1
2
xu
xdxdu
dx
dv
vtanx
cos x
Suy ra


3
1
3
1
0
0
Ixtanx xtanxdx
xx 1.

Câu 14: Biết tích phân sau

2
2
0
sin ln 1 3 .
1




a
Ix bxdx
x
Giá trị
55
Sa b
bằng
A. 300. B. 200. C. 275. D. 135.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C






22
000
aax
Ix bsinxdx dxbxsinxdx
x1 x1
.
Tính






2
22
1
22
0
00
dx 1
ax a a a
Idx lnx1ln1
222
x1 x1
.
Tính
2
0
Ibxsinxdx.
Đặt




x u du dx
bsinxdx dv v bcosx


2
00
0
Ibxcosxbcosxdxb3sinxb.
Vậy


22
a
Iln1bln13a2;b3
2
.
Suy ra:
S 275.
Câu 15: Giá trị tích phân
1
0
1




x
I
xe dx
x
bằng
A. 1ln2. B. 1ln2.
 C. 2ln2.
 D. 2ln2.

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Ta có
11
x
00
x
Ixedx dx.
x1


11 1
11
xxxxx
00
00 0
xe dx xde xe e dx e e 1.

BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 38

11
1
0
00
x
dx dx x ln x 1 ln 2.
x1 x1






Do đó
I1 ln2.
Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
1. Phương pháp
Bài toán: Tính tích phân

d
b
a
I
gx x
( với
()
g
x
là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối)
PP chung:
Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên
;ab
Dựa vào dấu để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách)
Tính mỗi tích phân thành phần.
Đặc biệt: Tính tích phân
()d
b
a
I
fx x
Cách giải
Cách 1:
+) Cho
() 0fx
tìm nghiệm trên

;ab
+) Xét dấu của
()
f
x
trên

;ab
, dựa vào dấu của
()
f
x
để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử
dụng tính chất 3 để tách)
+) Tính mỗi tích phân thành phần.
Cách 2:
+) Cho
() 0fx
tìm nghiệm trên
;ab
giả sử các nghiệm đó là
12
; ;...
n
x
xx
( với
12
...
n
x
xx
).
Khi đó
3
12
12
()d ()d ()d ... ()d

n
x
xx
b
ax x x
I
fx x fx x fx x fx x
3
12
12
()d ()d ()d ... ()d

n
x
xx
b
ax x x
I
fx x fx x fx x fx x
+) Tính mỗi tích phân thành phần
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 39
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1:

2
2
1
aa
Sxx2dx,a,b ,
bb

là phân số tối giản. Giá trị
ab
bằng
A. 11. B. 25. C. 100. D. 50.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A

2
22
32
22
11
1
xx
Sxx2dx xx2dx 2x
32
84 11 9
42
32 32 2














Ví dụ 2:

*
0
I1sin2xdxaa,a .

Hỏi
3
a
là bao nhiêu?
A. 27. B. 64. C. 125. D. 8.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Ta có:

2
1 sin 2x sin x cos x sin x cos x 2 sin x .
4




Với
3
x0; x ; .
444





+ Với
x;0
44




thì
sin x 0
4




+ Với
3
x0;
44




thì
sin x 0
4




4
0
4
I2sinxdx2sinxdx22.
44
 

 
 

Ví dụ 3: Biết
5
1
221
d4ln2ln5,


x
Ixab
x
với
a
,
b
là các số nguyên. Giá trị
Sab
bằng
A.
9.
B.
11.
C.
5.
D.
3.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Ta có:
525
112
221 221 221
ddd
xxx
I
xxx
xxx
  


 
25
25
12
12
22 1 2 2 1
52 2 3
xx
xx
dx dx dx dx
xxxx
 




25 2 5
12
12
53
2 5ln 2 3ln
x
dx dx x x x x
xx
 

 
 

8ln2 3ln5 4
8
11.
3
a
ab
b


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 40
Ví dụ 4:
Cho tích phân

2
0
1 cos 2xdx ab
và ab222. Giá trị của a và b lần lượt là
A.
a2
.
b
22
B.
a22
.
b2
C.
a2
a22
.
b
2b22






D.
a2
a22
.
b
2b22






Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D





22 2
000
2
0
1 cos 2xdx 2 sin x dx 2 sin xdx 2 sin xdx
2cosx 2cosx 4 2.

2
a2
ab 4 2
a22
X222X420 .
b
2b22
ab222








Ví dụ 5: Tính tích phân
1
0
-d, 0Ixxaxa
ta được kết quả
()Ifa
. Khi đó tổng
1
(8)
2
ff



có giá
trị bằng:
A.
24
91
. B.
91
24
. C.
17
2
. D.
2
17
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
TH1: Nếu
1a
khi đó

1
1
32
0
0
18111
d(8)
32 23 233
xax a
Ixxax f




TH 2: Nếu
01a
khi đó
 
1
0
dd
a
a
I
xx a x xx a x

1
32 32 3
0
111111
32 32 323 224438
a
a
xax xax aa
f







Khi đó
111191
(8)
23824
ff




.
Ví dụ 6: Cho hàm số
f
x
liên tục trên thỏa

1
0
2d 2
fxx và

2
0
6d 14
fxx . Giá trị

2
2
52d
f
xx
bằng
A.
30
. B.
32
. C.
34
. D.
36
.
Lời giải
ĐÁP ÁN B
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 41
+ Xét

1
0
2d 2fxx
.
Đặt
2d2dux u x
;
00xu
;
12xu

.
Nên

1
0
22d
f
xx

2
0
1
d
2
f
uu

2
0
d4fu u
.
+ Xét

2
0
6d 14fxx
.
Đặt
6d6dvx v x
;
00xv
;
212xv
.
Nên

2
0
14 6 d
f
xx

12
0
1
d
6
f
vv

12
0
d84fv v
.
+ Xét

2
2
52d
f
xx
 
02
20
52d 52d
f
xxfxx


.
 Tính

0
1
2
52d
I
fx x

.
Đặt
52tx
.
Khi
20x
,
52tx d5dtx
;
212xt

;
02
x
t

.

2
1
12
1
d
5
I
ft t
 
12 2
00
1
dd
5
f
tt ftt






1
84 4 16
5

.
 Tính

2
1
0
52d
I
fx x
.
Đặt
52tx
.
Khi
02x
,
52tx d5dtx
;
212xt
;
02
x
t

.

12
2
2
1
d
5
I
ft t
 
12 2
00
1
dd
5
f
tt ftt






1
84 4 16
5

.
Vậy

2
2
52d32fx x

.
Ví dụ 7: Cho hàm số
yfx
liên tục trên
0;4
và

2
0
d1
f
xx
;

4
0
d3
fx x
. Giá trị

1
1
31d
f
xx
bằng
A.
4
. B.
2
. C.
4
3
. D.
1
.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 42
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C

 
11/31
111/3
31d 13d 31d
f
xxf xxfxx



.
 
1/3 1
11/3
11
13d13 3 1d3 1
33
fx x fx x


.
 
02
40
11
dd
33
f
tt ft t


114
3.1
333

.
3. Bài tập rèn luyện tốc độ
Câu 1:
3
42
3
24 3
43 .

a
Syydy
b
Giá tị
2
A
B bằng
A. 80. B. 83. C. 142. D. 79.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
42 2 2
y4y3 y1y3
Xét dấu
22
y1y3
, ta có:


33
24 42
33
113
42 42 42
11
3
S44y1ydyy4y3dy
y4y3dy y4y3dy y4y3dy





11 3
53 53 53
311
y4y y4y y4y
3y 3y 3y
53 53 53
112 24 3
.
15






Câu 2:

1
2
0
aa
S4x4x1dx,a,b ,
bb

là phân số tối giản. Giá trị a4b bằng
A. 1. B. 3. C.
35.
D.
3.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Ta có:

11
2
7
00
I2x1dx2x1dx

00
0
0
0
00
0
---
-
-
-
-
+
+
+++
+
+
+
+
∞
3
1-1-3
-∞
(y
2
-1)(y
2
-3)
y
2
-3
y
2
-1
y
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 43
 
11
11 1
22
7
11
00 0
22
1
I 2x1dx 2x1dx 2x1dx 12xdx 2x1dx
2


.
Suy ra:
a1,b2.
Câu 3:
2
0
I1sinxdxAB

, biết
A2B
Giá trị
33
AB
bằng
A. 72. B. 8. C. 65. D. 35.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Ta có:
2
xx xx x
1 sin x sin cos sin cos 2 sin
22 22 24




Với
xx5
x0;2 0; ;
22444

 



.
+ Với
x
;
24 4




thì
x
sin 0
24




+ Với
x5
;
24 4




thì
x
sin 0
24




3
2
2
3
0
2
xx
I 2 sin dx 2 sin dx 4 2
24 24
 

 
 

.
Câu 4: Cho tích phân
2
2
0
13sin22cos 3.
x
xdx a b
Giá trị
4
Aab
bằng
A. 2. B.
5
. C. 5. D.
8
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D




2
42
2
2
000
I 1 3 sin 2x 2cos xdx sin x 3 cos x dx sin x 3 cos x dx
.
sinx 3cosx 0 tanx 3 x k
3
.
Do



x0;
2
nên
x
3
.






 
 

33
22
00
33
32
0
3
I sin x 3 cos x dx sin x 3 cos x dx sin x 3 cos x dx sin x 3 cos x dx
13 13
cosx 3 sin x cosx 3 sin x 1 3 3 3.
22 22
 a1;b3A8
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 44
Dạng 6: Tích phân siêu việt
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Xét tích phân
2
2
1
.e d
x
I
xx
. Sử dụng phương pháp đổi biến số với
2
ux , tích phân
I
được
biến đổi thành dạng nào sau đây:
A.
2
1
2ed
u
I
u
. B.
2
1
1
ed
2
u
I
u
. C.
2
1
1
ed
2
u
I
u
. D.
2
1
2ed
u
I
u
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Ta có
2
2
1
ed
x
I
xx
.
Đặt
2
ux
d2duxx
1
dd
2
x
xu
.
Với
11
x
u
và
22xu
.
Khi đó
2
1
1
ed
2
u
I
u
.
Ví dụ 2: Biết rằng


e
2
1
dx
I a ln 3 bln 2 c, a, b,c .
xlnx 3lnx 2


Giá trị của
S abc
bằng
A.
3.
B.
2.
C.
0.
D.
4.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Đặt
11
1
22
2
2
00
0
dt 1 1 t 2 3
tlnx I dtln ln ln3ln2.
t 3t2 t2 t1 t1 2






Do đó
a1;b 1;c0 S0.
Ví dụ 3: Cho tích phân

8
e
*
3
e
dx
lna ln b , a, b .
xlnx lnex

Giá trị

cos sin



Sab ab
bằng
A.
0.
B.
1.
C.
1.
D.
4.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
88
ee
33
ee
dx dx
I
xln x ln x xln x 1 ln x


Đặt
3
t1lnx;xe
thì
8
t2;x3
thì
t3
.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 45
22
dx
t 1 ln x 2tdt ; ln x t 1
x

.

3
3
2
2
2
2tdt t 1
Ilnln3ln2a3,b2
t1
t1t

.
 
Scosab sinab 1.



Ví dụ 4: Cho
2
1
()
2
Fx
x
là một nguyên hàm của hàm số
()
f
x
x
. Tính
e
1
()lnd
f
xxx
bằng:
A.
2
2
e3
2e
I
.
B.
2
2
2e
e
I
. C.
2
2
e2
e
I
. D.
2
2
3e
2e
I
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Do
2
1
()
2
Fx
x
là một nguyên hàm của hàm số
()
f
x
x
nên
2
() 1
2
fx
x
x




2
1
fx
x

.
Tính
e
1
()lnd
I
fx xx
. Đặt


1
ln
dd
dd
xu
x
u
x
fxx v
f
xv


.
Khi đó
 

e
e
1
1
.ln d
fx
I
fx x x
x


ee
22
11
11
.ln
2
x
x
x

2
2
e3
2e
.
Ví dụ 5: Cho hàm số ()yfx
với (0) (1) 1ff
. Biết rằng:
 
1
0
d
x
efx fx xaeb



Tính
2017 2017
Qa b.
A.
2017
21Q . B. 2Q . C. 0Q
. D.
2017
21Q .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Đặt
 
dd
dd
xx
ufx ufxx
vex ve






.
    
111
2
1
000
ddd
xxxx
efxfxxefx efxxefxxY

 



10ef f 1e.
Do đó
1a , 1b  .
Suy ra
2017 2017
Qa b

2017
2017
110 .
Vậy 0
Q .
Ví dụ 6: Tính tích phân
2
2018
2
d
e1
x
x
I
x
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 46
A.
0I . B.
2020
2
2019
I . C.
2019
2
2019
I . D.
2018
2
2018
I .
Lời giải
Tính tích phân
2
2018
2
d
e1
x
x
I
x
.
Đặt
dd
x
tx t  . Khi 2x  thì 2t
; khi 2x
thì 2t
.
Ta có

2018
22 2
2018 2018
22 2
.e
ddd
e1 e 1 e1
t
xtt
t
xt
I
xtt




2
2018
2
2d
I
tt

2
2019
2
2019
t
2019
2.2
2019
2019
2
2019
I .
Ví dụ 7: Biết
1
33
0
2e.2 1 1 e
dln
e.2 e ln e
xx
x
xx
xp
mn






với m , n ,
p
là các số nguyên dương.
Tính tổng
Smnp.
A. 6S . B. 5S . C. 7S
. D. 8S .
Hướng dẫn giải
Ta có
11 1
33
3
00 0
2e.2 2 1 2 1
ddd
e.2 e.24e.24
xx x x
xxx
xx
x
xx xJ








.
Tính
1
0
2
d
e.2
x
x
Jx
.
Đặt
1
e.2 e.2 ln 2d d 2 d d
e.ln 2
xx x
txtxt
 .
Đổi cận: Khi
0x
thì et
; khi
1
x
thì
2et
.
12e
2e
e
0e
2111 1e
d d ln ln 1
e.2 eln 2 eln 2 eln 2 e
x
x
Jx tt
t






.
Khi đó
1
33
0
2e.2 1 1 e
dln1
e.2 4 e ln 2 e
xx
x
xx
x






4m, 2n
, 1
p
. Vậy 7S
.
Ví dụ 8 : Cho

yf
x
là hàm số chẵn và liên tục trên
.
Biết
 
12
01
1
dd1
2
f
xx fxx

. Giá trị của

2
2
d
31
x
fx
x
bằng
A. 1. B.
6
. C.
4
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Do

1
0
d
f
xx

2
1
1
d1
2
f
xx

1
0
d1
f
xx
và

2
1
d2fx x
 
12
01
dd
f
xx fxx


2
0
d3fx x
.
Mặt khác

2
2
d
31
x
fx
x

02
20
dd
31 31
xx
fx fx
x
x


và
yf
x
là hàm số chẵn, liên tục trên
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 47

fx fx x
.
Xét

0
2
d
31
x
fx
I
x
. Đặt
t x dx dt 
0
2
d
31
x
fx
I
x


0
2
d =
31
t
ft
t
2
0
d =
1
1
3
t
ft
t
2
0
3
d =
31
t
t
ft
t
2
0
3
d
31
x
x
fx
x

2
2
d
31
x
fx
x


02
20
dd
31 31
xx
fx fx
x
x



22
00
3
dd
31 31
x
xx
fx fx
x
x




2
0
31
d
31
x
x
fx
x

2
0
d3fx x
.
Ví dụ 9: Cho hàm số

f
x liên tục trên đoạn
1; 4 và thỏa mãn


21
ln
fx
x
fx
x
x

. Tính tích
phân

4
3
d
I
fx x
.
A.
2
32ln2I  . B.
2
2ln 2
I
. C.
2
ln 2
I
. D.
2ln2
I
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Ta có

4
1
d
f
xx

4
1
21
ln
d
fx
x
x
x
x





44
11
21
ln
dd
fx
x
x
x
x
x


.
Xét

4
1
21
d
fx
Kx
x
.
Đặt
21
x
t
1
2
t
x

d
d
x
t
x
.

3
1
dKftt

3
1
d
f
xx
.
Xét
4
1
ln
d
x
M
x
x

4
1
ln d ln
x
x
4
2
1
ln
2
x
2
2ln 2.
Do đó

43
2
11
dd2ln2fx x fx x


4
2
3
d2ln2fx x
.
Ví dụ 10: Biết

2
1
0
56e
e
de ln
2e 3



x
x
xx
ac
xa b
x
với
a
, b , c là các số nguyên và
e
là cơ số của
logarit tự nhiên. Tính
2S abc
.
A.
10S
. B.
0S
. C.
5
S
. D.
9S
.
Lời giải
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 48
ĐÁP ÁN D
Ta có :



2
2
11
00
56e
23e
dd
2e 2e 1
x
x
xx
xx
xx
I
xx
xx





.
Đặt

2e
x
tx

d3ed
x
tx x
. Đổi cận :
02

x
t
,
13e
xt
.

3e 3e
3e
2
22
d1 3e1
1dln13e2ln
11 3






tt
Ittt
tt
.
Vậy
3a
,
2b
,
1c 9S
.
Ví dụ 11: Cho số thực
0a
, đặt

1
d
2
a
x
a
bx
axe
. Tính
2
0
d
3
a
x
e
I
x
ax
theo
a
và
b
.
A.
a
b
I
e
. B.
a
b
I
e
. C.
b
a
I
e
. D.
.
a
I
be
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Đặt tax
x
at
dx dt
.
Đổi cận:
x
0
2a
t
a
a
Ta có

3
a
at
a
e
I
dt
aat



2
a
a
t
a
e
dt
ate
.
a
be
.
3. Bài tập rèn luyện tốc độ
Câu 1: Biết

4
1
ln d 4
e
e
fxx
x
. Tính tích phân

4
1
d
I
fx x
.
A. 8 . B. 16. C.
2
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Đặt
1
ln d dtxt x
x

.
Đổi cận : Với
1
x
et ;
4
4xe t. Do đó, ta có
 
4
4
1
1
ln d d 4
e
e
f
xxftt
x



4
1
d4fx x
.
Câu 2: Biết

2
2
1
1
dlnln
ln
x
x
ab
xxx

với a , b là các số nguyên dương. Tính
22
Pa b ab.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 49
A.
10. B. 8 . C. 12. D. 6 .
Lời giải
ĐÁP ÁN B
Ta có
2
2
1
1
d
ln
x
x
x
xx

2
1
1
d
ln
x
x
xx x
.
Đặt
lntx x
1
d1 dtx
x




1
d
x
x
x
.
Khi
11
x
t; 22ln2xt .
Khi đó
2ln2
1
dt
I
t
2ln2
1
ln t
ln ln 2 2. Suy ra
2
2
a
b
.
Vậy
8P .
Câu 3 : Cho hàm số

f
x liên tục trên thỏa

2018
0
d2fx x
. Khi đó tích phân


2018
e1
2
2
0
ln 1 d
1
x
f
xx
x
bằng
A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Lời giải
ĐÁP ÁN C
Đặt


2018
e1
2
2
0
ln 1 d
1
x
I
fx x
x

.
Đặt

2
ln 1tx
2
2
dd
1
x
tx
x

.
Đổi cận:
0x 0t ;
2018
e1x 
2018t .
Vậy

2018
0
d
I
ft t

2018
0
d2fx x
.
Câu 3: Cho các số thực a ,b khác không. Xét hàm số


3
e
1
x
a
f
xbx
x

với mọi
x
khác 1
. Biết

022f

và

1
0
d5fx x
. Tính ab
?
A. 19 . B. 7 . C. 8 . D. 10.
Lời giải
ĐÁP ÁN D
Ta có


4
3
ee
1
x
x
a
f
xbbx
x

nên
03 22fab

1 .
Xét

1
0
5d
f
xx

1
3
0
ed
1
x
a
bx x
x







11
3
00
1d 1 de
x
ax x bx



1
1
1
0
2
0
0
|eed
21
xx
a
bx x
x

1
0
1
1ee
24
x
a
b




3
8
a
b

2 .
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 50
Từ

1 và

2 ta có
322
3
5
8
ab
a
b


8
2
a
b
10ab .
Câu 4: Biết rằng tích phân

4
4
0
1
21
x
xe
dx ae b
x
. Tính
22
Ta b
A.
1T
. B.
2T
. C.
3
2
T
. D.
5
2
T .
Lời giải
Ta có
44
00
1122
2
21 21
xx
xx
I
edx edx
xx




44
00
1
21.
2
21
x
x
e
x
edx dx
x





.
Xét
4
1
0
21
x
e
I
dx
x
.
Đặt
21
x
ue
dx
dv
x

1
2
21
1
.21
1
2
21
2
x
du e dx
x
dx
vx
x

Do đó
4
4
1
0
0
.2 1 .2 1
xx
I
ex exdx
.
Suy ra
4
31
2
e
I
. Khi đó
31
,
22
ab

91
2
44
T.
Câu 5: Cho hàm số
f
x có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1 thỏa mãn
10f
và
 
11
2
2
00
1
d1ed
4
x
e
fx x x fxx




. Tính tích phân

1
0
d
I
fx x
.
A. 2eI . B. e2I . C.
e
2
I
. D.
e1
2
I
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Xét

1
0
1e d
x
Ax fxx
Đặt


d1d
x
ufx
vx ex

dd
e
x
ufxx
vx

Suy ra
 
1
1
0
0
eed
xx
Axfx xfxx


1
0
d
x
x
ef x x


1
2
0
1
d
4
x
e
xe f x x

BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 51
Xét
1
22
0
d
x
x
ex
1
22
0
111
224
x
exx




2
1
4
e
Ta có :
 
111
2
22
000
d2 d d0
xx
fx x xefxx xe x







1
2
0
d0
x
fx xe x

Suy ra

0, 0;1
x
fx xe x

(do


2
0, 0;1
x
fx xe x
)

x
f
xxe


1
x
f
xxeC
Do

10f
nên

1
x
f
xxe
Vậy

11
1
0
00
d1 d2 2
xx
Ifxx xex xe e

.
Câu 6: Cho


2
1
0
e
d.elne
e

x
x
xx
x
ab c
x
với a , b ,
c . Tính 2Pa bc
.
A. 1P . B. 1P  . C.
0P
. D. 2P  .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Ta có:

2
1
0
e
d
e
x
x
xx
I
x
x

1
0
1e e
d
e1
xx
x
xx
x
x
.
Đặt e 1
x
tx

d1 ed
x
txx.
Đổi cận:
01
x
t; 1e1xt .
Khi đó:
e1
1
1
d
t
I
t
t
e1
1
1
1d




t
t

e1
ln
1
tt
elne1
.
Suy ra:
1a , 1b , 1c .
Vậy:
22Pa bc .
Câu 7: Cho hàm số

f
x liên tục trên đoạn
ln 2;ln 2 và thỏa mãn

1
1
x
fx f x
e

. Biết

ln 2
ln 2
dln2ln3fx x a b


;ab
. Tính Pab
.
A.
1
2
P .
B.
2P 
. C.
1P
. D.
2P
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 52
Gọi

ln 2
ln 2
d
I
fx x
.
Đặt tx
ddt
x
.
Đổi cận: Với
ln 2x  ln 2t ; Với ln 2x
ln 2t
.
Ta được

ln 2
ln 2
d
I
ftt


ln 2
ln 2
d
f
tt


ln 2
ln 2
d
f
xx

.
Khi đó ta có:
2
I

ln 2 ln 2
ln 2 ln 2
dd
f
xx f xx




ln 2
ln 2
d
f
xfxx

ln 2
ln 2
1
d
e1
x
x
.
Xét
ln 2
ln 2
1
d
e1
x
x
. Đặt
e
x
u
ded
x
ux
Đổi cận: Với
ln 2x 
1
2
u ;
ln 2x
2u.
Ta được
ln 2
ln 2
1
d
e1
x
x

ln 2
ln 2
e
d
ee 1
x
xx
x

ln 2
ln 2
1
d
1
u
uu
ln 2
ln 2
11
d
1
u
uu





2
1
2
ln ln 1uuln 2
Vậy ta có
1
2
a ,
1
0
2
bab.
Câu 8: Cho hàm số
yf
x
liên tục trên
và thỏa mãn
1
ln
e
fx
dx e
x
. Khẳng định nào dưới đây
đúng?
A.

0
1
e
f
xdx
. B.

1
0
1
f
xdx
. C.

1
0
f
xdx e
. D.

0
e
f
xdx e
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt
lntx
, suy ra
1
dt dx
x
.
Đổi cận:
x
1
e
t
0
1
Khi đó



1
10
ln
e
fx
dx e f t dt e
x


.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 53
Câu 9: Cho tích phân
e
1
3ln 1
d
x
Ix
x
. Nếu đặt
lntx thì
A.
1
0
31
d
e
t
t
It
.
B.
e
1
31
d
t
It
t
.
C.

e
1
31dItt
.
D.

1
0
31dItt
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Đặt lntx
1
ddtx
x

. Đổi cận e1xt; 10xt.
Khi đó

e1
10
3ln 1
d31d
x
Ixtt
x


.
Câu 10:
Biết

4
e
e
1
ln d 4fxx
x
. Tính tích phân

4
1
dIfxx
.
A.
8I .
B.
16I .
C.
2I .
D.
4I .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Đặt lntx
1
ddtx
x

.

4
e
e
1
ln dfx x
x

4
1
dft t

4
1
dfx x
.
Suy ra

4
1
d4Ifxx
.
Câu 11:
Biết tích phân
ln 6
0
e
dln2ln3
1e3
x
x
xab c

, với a , b , c là các số nguyên. Tính
T abc
.
A.
1T  .
B.
0T .
C.
2T .
D.
1T .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Đặt
2
e3 e32ded
xx x
tt ttx
.
Đổi cận
ln 6 3
02
xt
xt





.
Suy ra
ln 6 3
02
e2d
d
1
1e3
x
x
tt
x
t



3
3
2
2
2
2d22ln1
1
tt t
t





62ln4 42ln3
2
2 4ln 2 2ln 3 4
2
a
b
c

.
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 54
Vậy 0T .
Câu 12:
Cho
3
12
0
d
e.e.e
1
x
x
abc
x

. Với a , b , c là các số nguyên. Tính S abc.
A.
1S .
B.
2S .
C.
0S .
D.
4S .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Xét
3
1
0
d
e
1
x
x
I
x
; đặt
1
1d d
21
ux u x
x

.
Đổi cận:
2
1
e2d
u
Iu
2
2e
1
u
2
2e 2e
2a, 2b  , 0c , 0S abc.
Câu 13:
Cho

e
2
1
ln
d
ln 2
x
Ix
xx
có kết quả dạng
lnIab
với
0a
,
b
. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A.
21ab 
.
B.
21ab
.
C.
31
ln
23
b
a

.
D.
31
ln
23
b
a

.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt
ln 2xt ln 2xt
1
ddxt
x

.
Đổi cận: khi
1x
thì
2t
; khi
ex
thì
3t
.
Khi đó
3
2
2
2
d
t
It
t
3
2
2
12
dt
tt




3
2
2
ln t
t




31
ln
23

3
2
1
3
a
b

.
Vậy
21ab 
.
Dạng 7: Tích phân hàm ẩn
1. Phương pháp
Phương pháp chung cho loại toán này là áp dụng kỹ thuật đổi biến, phương pháp từng phần và kỹ thuật
đạo hàm…, ngoài ra ta có một vài dạng đặc trưng sau:
Loại 1: Biểu thức tích phân đưa về dạng:
() () () () ()
''uxf x u x f x hx
+=
Cách giải:
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 55
+ Ta có
() () () () () ()
'
''ux f x u x f x uxf x
éù
+=
ëû
+ Do đó
() () () () () () () ()
'
''ux f x u x f x hx ux f x hx
é
ù
+= =
ë
û
Suy ra
() () ()
ux f x hxdx=
ò
Suy ra được
(
)
f
x
Loại 2: Biểu thức tích phân đưa về dạng:
(
)
(
)
(
)
'
f
xfxhx+=
Cách giải:
+ Nhân hai vế với
() () () () ()
'
.' . . . .
xx x x x x
e ef x efx ehx efx ehx
éù
+= =
ê
ú
ë
û
Suy ra
() ()
.
xx
efx ehxdx=
ò
Suy ra được
(
)
f
x
Loại 3: Biểu thức tích phân đưa về dạng:
(
)
(
)
(
)
'
f
xfxhx-=
Cách giải:
+ Nhân hai vế với
() () () () ()
'
.' . . . .
xx x x x x
e efxefx ehx efx ehx
-- - - - -
éù
+= =
ê
ú
ë
û
Suy ra
(
)
(
)
.
xx
efx ehxdx
--
=
ò
Suy ra được
(
)
f
x
Loại 4: Biểu thức tích phân đưa về dạng:
() () () ()
'
f
xpxfxhx+=
Cách giải:
+ Nhân hai vế với
()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
()
()
'
'. . . .
..
p
xdx pxdx pxdx pxdx
pxdx pxdx
efxepxefxhxe
fxe hxe
òòò ò
+ =
éù
òò
êú
=
êú
ëû
Suy ra
(
)
(
)
(
)
(
)
..
pxdx pxdx
f
xe e hxdx
òò
=
ò
Suy ra được
(
)
f
x
Công thức () ( )
bb
aa
f
xdx f a b xdx

BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 56
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho hàm số

f
x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thoả mãn
2018
3
f
xxfx x

với mọi
0;1 .x
Tính

1
0
d
I
fx x
.
A.
1
.
2018 2021
I
B.
1
.
2019 2020
I
C.
1
.
2019 2021
I
D.
1
.
2018 2019
I
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Từ giả thiết
 
2018
3,fx xf x x

nhân hai vế cho
2
x
ta được
  
2 3 2020 3 2020
3.xf x xf x x xf x x



Suy ra

2021
3 2020
d.
2021
x
x
fx x x C
Thay
0x
vào hai vế ta được

2018
0.
2021
x
Cfx
Vậy

1
11
2018 2019
0
00
111 1
dd. .
2021 2021 2019 2021 2019
fx x x x x

Ví dụ 2: Cho hàm số

f
x
có đạo hàm liên tục trên
0; 4 ,
thỏa mãn

21
x
f
xfxe x
 với mọi
0; 4 .x
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
 
4
26
40 .
3
ef f
B.
4
403.ef f e
C.
 
44
40 1.ef f e
D.
4
403.ef f
Lời giải
ĐÁP ÁN A
Nhân hai vế cho
x
e
để thu được đạo hàm đúng, ta được
  
/
'21 21.
xx x
ef x ef x x ef x x



Suy ra
 
1
21d 2121 .
3
x
ef x x x x x C
Vậy
 
4
26
40 .
3
ef f
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 57
Ví dụ 3:
Cho hàm số

f
x
có đạo hàm trên
,
thỏa mãn
2017 2018
' 2018 2018
x
fx fx x e
với mọi
x
và
0 2018.f
Giá trị

1
f
bằng
A.
2018
2018 .
e
B.
2018
2017 .e
C.
2018
2018 .e
D.
2018
2019 .e
Lời giải
ĐÁP ÁN D
Nhân hai vế cho
2018x
e
để thu được đạo hàm đúng, ta được
  
2018 2018 2017 2018 2017
2018 2018 2018 .
xx x
fxe fxe x fxe x




Suy ra

2018 2017 2018
2018 d .
x
f
xe x x x C

Thay
0x
vào hai vế ta được
2018 2018
2018 2018 .
x
Cfxxe
Vậy

2018
1 2019 .fe
Ví dụ 4: Cho hàm số

f
x
có đạo hàm và liên tục trên
,
thỏa mãn
 
2
2
x
f
xxfx xe

và

02.f 
Giá trị

1
f
bằng
A.
.e
B.
1
.
e
C.
2
.
e
D.
2
.
e
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Nhân hai vế cho
2
2
x
e để thu được đạo hàm đúng, ta được
  
2222 2
2222 2
22.
x
xxx x
f
x e f x xe xe e f x xe






Suy ra

222
222
2d2 .
xxx
efx xe x e C


Thay
0x
vào hai vế ta được

2
02.
x
Cfxe

Vậy

1
2
12 .fe
e
 
Ví dụ 5: Xét hàm số
()
f
x
liên tục trên đoạn
0;1
và thỏa mãn 2() 3(1 ) 1
f
xfx x
. Tích phân
1
0
()d
f
xx
bằng
A.
2
3
. B.
1
6
. C.
2
15
. D.
3
5
.
Hướng dẫn giải
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 58
ĐÁP ÁN C
Ta có:
2() 3(1 ) 1
f
xfx x
(1)
.
Đặt
1tx
, thay vào
(1)
, ta được: 2(1 ) 3()
f
tft t hay 2(1 ) 3()
f
xfx x
(2)
.
Từ
(1)
&
(2)
, ta được:
32
() 1
55
f
xx x

.
Do đó, ta có:
1
0
()d
f
xx
11
00
32
d1d
55
x
xxx

24
515
2
15
.
Cách 2. Công thức
() ( )
bb
aa
f
xdx f a b xdx

Lấy tích phân 2 vế ta được
11 1
00 0
2()d3(1)d 1d
f
xx f xx xx

11
00
22
5()d ()d
315
fx x fx x

.
Chú ý: Ta có thể dùng công thức

22
11
dd
xaxb
xaxb
f
ax b x f x x


. Khi đó:
Từ

231 1
f
xfx x suy ra:

11 1
00 0
2d31d1d
f
xx f xx xx


101
010
2d3d1d
f
xx fxx xx

 
11
00
22
5d d
315
fx x fx x


.
Ví dụ 6: Cho

2
1
fxdx a.
Giá trị

0
2
1
x.f x 1 dx
theo a là
A.
2a.
B.
4a.
C.
a
.
2
D.
a
.
4
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Đặt
2
tx 1 dt2xdx.
Đổi cận:
x0 t1;x1 t2.
Khi đó:
 
22
11
11 a
Iftdtfxdx.
22 2


Ví dụ 7: Cho
yfx
là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn
6;6
. Biết rằng

2
1
fxdx 8
và

3
1
f2xdx3.
Giá trị

6
1
f
xdx
bằng
A.
1.
B.
e.
C.
1.
D.
14.
Hướng dẫn giải
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 59
ĐÁP ÁN D
Ta có là hàm số chẵn nên
f2x f 2x
suy ra

33
11
f2xdx f2xdx3.


Mặt khác:
   
33 6 6
11 2 2
11
f 2xdx f 2xd 2x f xdx 3 f xdx 6.
22


Vậy
  
626
112
I fxdx fxdx fxdx 8 6 14.



Ví dụ 8: Cho hàm số
yfx
liên tục trên và thỏa mãn
e
1
flnx
dx e.
x
Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A.

1
0
f x dx 1.
B.

1
0
fxdx e.
C.

e
0
f x dx 1.
D.

e
0
fxdx e.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Giả sử
Fx
là nguyên hàm của hàm số
fx
Ta có
Ta có nên B đúng.
Ví dụ 9: Cho

fx
là hàm số chẵn liên tục trong đoạn
1;1
và

1
1
fxdx 2.
Kết quả
1
x
1
fx
Idx
1e
bằng
A.
1.
B.
3.
C.
2.
D.
4.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Cách 1: Đặt
t x dt dt. 
Đổi cận
x1t1;x1t1. 
Ta được:
   
1111
tx
xttx
11 11
11ee
I fxdx f tdt ftdt fxdx.
1e 1e 1e 1e




Do đó:
  
111
x
xx
111
1e
2I fxdx fxdx fxdx 4 I 2.
1e 1e




Cách 2: Chọn

2
hx x
làm hàm chẵn. Ta có
1
2
1
2
xdx
3
, do đó
 
2
4
fx hx 6x.
3

Khi đó

11
xx
11
fx
6x
dx dx 2.
1e 1e




Lời bình: Với cách làm này, các em chỉ cần nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho lớp hàm số
thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng máy tính hoặc bằng phương
pháp cơ bản với hàm số

yfx
khá đơn giản. Đối với bài toán này ta có thể chọn hàm số
hx 1
cho
đơn giản hơn nữa.
yfx

 
ee
11
e
flnx
dx f lnx d lnx F lnx F 1 F 0 e
1
x


 
1
0
1
fxdx Fx F1 F0 e
0

BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 60
Ví dụ 10:
Cho hàm số

f x
liên tục trong đoạn
1; e ,
biết

e
1
fx
dx 1, f e 1.
x

Giá trị

e
1
If'x.lnxdx
bằng
A.
4.
B.
3.
C.
1.
D.
0.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Đặt


dx
ulnx
du
x
dv f ' x dx
vfx


 


eee
e
1
111
fx fx
f ' x ln xdx f x ln x dx f e dx 1 1 0.
xx


Ví dụ 11: Cho hàm số

fx
liên tục trên và có
 
13
00
fxdx 2; fxdx 6

. Tính

1
1
If2x1dx

A.
2
I.
3
B.
I4.
C.
3
I.
2
D.
I6.
Hướng dẫn giải
Có

 
1
11
2
1
11
2
If2x1dxf12xdxf2x1dx



 
1
1
2
1
1
2
11
f 1 2x d 1 2x f 2x 1 d 2x 1
22


   
01 3 1
30 0 0
111 1 11
f t dt f t dt f x dx f x dx .6 .2 4.
222 2 22


Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để

k
x0
1
x11
2x 1 dx 4lim .
x

A.
k1
.
k2
B.
k1
.
k2

C.
k1
.
k2
D.
k1
.
k2

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Ta có
 


22
kk
k
1
11
2x 1 2k 1
11
2x1dx 2x1d2x1
2444



Mà


x0 x0 x0
x11 x11
x11 1
4lim 4lim 4lim 2
x
x11
xx11

 




Khi đó



2
k
2
x0
1
k2
2k 1 1
x11
2x 1 dx 4lim 2 2k 1 9 .
k1
x4




BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 61
Ví dụ 13:
Cho

fx
là hàm liên tục trên đoạn
0;a
thỏa mãn


fx.fa x 1
fx 0, x 0;a


và

a
0
dx ba
1fx c
,
trong đó b, c là hai số nguyên dương và
b
c
là phân số tối giản. Khi đó
b
c
có giá trị thuộc khoảng nào
dưới đây?
A.

11;22 .
B.

0;9 .
C.
7;21 .
D.

2017;2020 .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Đặt
tax dt dx
Đổi cận
x0 ta;xa t0 
Lúc đó
  


a0 a a a
0a 0 0 0
fxdx
dx dt dx dx
I
1
1fx 1fa t 1fa x 1fx
1
fx



Suy ra



aa a
00 0
fxdx
dx
2I I I 1dx a
1fx 1fx



Do đó
1
Iab1;c2bc3.
2

Cách 2: Chọn
fx 1
là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được
1
Iab1;c2bc3.
2

3. Bài tập rèn luyện tốc độ
Câu 1: Cho hàm số

f
x
liên tục trên và

9
2
10
d4, sincosd2.

fx
xfxxx
x
Giá trị của tích
phân

3
0
d
f
xx bằng
A. 2 . B.
6
. C. 4 . D.
10
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Xét

9
1
d4.
fx
x
x
Đặt
2
,txtx
suy ra
2d d .tt x
Đổi cận
11
.
93
xt
xt


Suy ra

 
933
111
4d22dd2.
fx
xfttftt
x


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 62
Xét

2
0
sin cos d 2.fxxx
Đặt
sin ,ux
suy ra
dcosd.uxx
Đổi cận
00
.
1
2
xu
xu


Suy ra
 
1
2
00
2sincosd d.
f
xxxftt


Vậy
  
313
001
ddd4.Ifxxfxxfxx

.
Câu 2: Cho hàm số

f
x
liên tục trên và


2
1
4
2
00
tan d 4, d 2.
1
xf x
fxx x
x

Giá trị của tích phân

1
0
d
I
fx x bằng
A.
6I
. B.
2
I
. C.
3I
. D.
1
I
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Xét

4
0
tan d 4.fxx
Đặt
tan ,tx suy ra

2
22
1d
ddtan1dd.
cos 1
t
txxxx
x
t

Đổi cận:
00
.
1
4
xt
xt


Khi đó

 
11
4
22
000
4tand d d.
11
ft fx
f
xx t x
tx



Từ đó suy ra


2
111
22
000
dd d426.
11
fx xfx
Ifxx x x
xx



Câu 3: Cho hàm số

f
x
liên tục trên và thỏa mãn

4
2
0
tan . cos d 1,xf x x

2
2
ln
d1.
ln
e
e
fx
x
xx
Giá
trị của tích phân
2
1
4
2
d
fx
I
x
x
bằng
A. 1. B. 2 . C.
3
. D. 4 .
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
● Xét

4
2
0
tan . cos d 1
A
xf x x

. Đặt
2
cos .tx
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 63
Suy ra
2
d
d 2sin cos d 2cos tan d 2 .tan d tan d .
2
t
t x xx x xx t xx xx
t
   
Đổi cận:
01
.
1
42
xt
xt


Khi đó
   
1
111
2
111
1
222
111
1dddd2.
222
ft ft fx fx
Attxx
ttxx


● Xét

2
2
ln
d1.
ln
e
e
fx
Bx
xx

Đặt
2
ln .ux
Suy ra
2
2ln 2ln 2 d du
dd dd .
ln ln ln 2
xxux
ux xx
x
xx xx xx u
 
Đổi cận:
2
1
.
4
xe u
xe u


Khi đó
 
444
111
11
1ddd2.
22
fu fx fx
Buxx
uxx


● Xét tích phân cần tính

2
1
2
2
d.
fx
I
x
x
Đặt
2,vx
suy ra
1
dd
2
.
2
x
v
v
x
Đổi cận:
11
.
42
24
xv
xv


Khi đó
  
44 1 4
11 1
1
22 2
dddd224.
fv fx fx fx
Ivxxx
vx xx


Câu 4:
Cho hàm số

f
x
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên

0; 2 .
Biết
01f
và

2
24
2
xx
fxf x e

với mọi
0; 2 .x
Giá trị tích phân


32
2
0
3
d
xxfx
I
x
fx
bằng
A.
14
3
. B.
32
5
. C.
16
3
. D.
16
5
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Từ giả thiết

2
2
24
221.
x
xx
fxf x e f

BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 64
Ta có



32
2
0
3'
d.
xxfx
I
x
fx
Đặt




32
2
3
d36d
.
'
dd
ln
ux x
uxxx
fx
vx
vfx
fx




Khi đó







2
2
32 2
0
0
2
21
2
0
3ln 3 6ln d
32lnd3.


f
I
x x fx x x fx x
xxfxx J
Ta có

  
20
2
2
2
02
2ln d 2 22 ln 2 d2
xt
Jxxfxx t t ft t





 


02
2
2
20
222ln2d2 2ln2d.
x
xfx x xxfxx

 


Suy ra






22
22
00
2
2
0
2 2 ln d 2 ln 2 d
2ln 2 d



J
xxfxxxxf xx
xxfxf xx
 
2
22
22422
00
32 16
2ln d 2 2 4d .
15 15
xx
xxe x xxxxx J
 

Vậy
16
3.
5
IJ 
Câu 5: Cho hàm số
yfx
liên tục trên ;
22
và thỏa mãn

2cos.
f
xfx x
Giá trị của
tích phân

2
2
d
I
fx x
bằng
A.
2
I

. B.
2
3
I
. C.
3
2
I
. D.
2
I
.
Hướng dẫn giải
ĐÁN ÁN B
Từ giả thiết, thay
x
bằng
x
ta được

2cos.
f
xfx x
Do đó ta có hệ





2 cos 4 2 2cos
1
cos .
3
2 cos 2 cos
fx f x x fx f x x
f
xx
fx fx x fx fx x








Khi đó

22
2
2
22
112
dcosdsin .
333
Ifxx xx x





BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 65
Câu 6:
Cho hàm số

f
x
liên tục trên
1
;2
2
và thỏa mãn

1
23.
f
xf x
x




Giá trị của tích phân

2
1
2
d
fx
I
x
x
bằng
A.
1
2
. B.
3
2
. C.
5
2
. D.
7
2
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Từ giả thiết, thay
x
bằng
1
x
ta được

13
2.ffx
x
x



Do đó ta có hệ





11
23 23
2
.
13 16
242
fx f x fx f x
xx
f
xx
x
ffx fxf
xx xx

 
 
 




 


 

 

Khi đó

22
2
1
2
11
2
22
223
1.
2
fx
Idx dxx
xx x





Cách khác. Từ
 
11
23 32.fx f x fx x f
x
x
 

 
 
Khi đó

22 22
11 11
22 22
11
d32 d3d2 d.
ff
fx
xx
I
xxxx
xx x

 
 

 






Xét
2
1
2
1
d.
f
x
Jx
x



Đặt
1
t
x
, suy ra
2
22
11
ddddd.txtxxt
xt
  
Đổi cận:
1
2
2
.
1
2
2
xt
xt


Khi đó

 
1
22
2
2
11
2
22
1
ddtd.
ft fx
Jtft t xI
ttx





BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 66
Vậy
22
11
22
3
3d 2 d .
2
IxIIx

.
Câu 7: Cho hàm số
f
x
thỏa mãn
  
2
4
.1512
f
xfxfxxx



với mọi
x
và
 
001.ff

Giá trị của

2
1f
bằng
A.
5
.
2
B.
9
.
2
C.
8.
D.
10.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Nhận thấy được
   
2
...f x fxf x fxf x



Do đó giả thiết tương đương với
 
4
.1512.
f
xf x x x


Suy ra
 

 
001.
452
.1512d36 1
ff
fxf x x x x x x C C


52
.361fxf x x x

 

2
6
52 3
.d361d 2 '.
22
fx
x
f
xf x x x x x x xC


Thay
0x
vào hai vế ta được
2
0
1
''.
22
f
CC

Vậy

263 2
421 18.fx x x x f
Câu 8: Cho

5
1
4.
fxdx
Giá trị

2
1
21
f
xdx
bằng
A.
2.
B.
5
.
2
C.
4.
D.
3
.
2
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt


5
1
11
2x 1 u 2dx du I f u du .4 2.
22
Câu 9: Cho

55
14
5, 2


f x dx f t dt
và

4
1
1
.
3
gudu
Tính
 

4
1
f
xgxdx
bằng
A.
8
3
B.
22
3
C.
20
3
D.
10
3
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 67
Ta có
  
44 44
55 55
ftdt ftdt 2 ftdt fxdx 2. 

Suy ra
   
5554 4
1415 1
f x dx f t dt f x dx f x dx f x dx 7.



Khi đó
 

 
  
444
111
44 4
15 1
f x g x dx f x dx g x dx
122
fxdx fxdx gudu 7 .
33






Câu 10: Cho hàm số

f
x
liên tục trên thỏa mãn
4
tan cos ,fx xx

. Giá trị

1
0
I
fxdx
bằng
A.
2
.
8
B. 1. C.
2
.
4
D.
.
4
Hướng dẫn giải
ĐAP ÁN A
 



2
4
2
1
2
2
0
1
ftanx cosx ftanx
tan x 1
12
fx fxdx
8
x1






Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân
1. Phương pháp
Áp dụng các bất đẳng thức:
+ Nếu

f
x
liên tục trên
;ab
thì
 
bb
aa
f
xdx f xdx

+ Nếu

f
x
liên tục trên
;ab
và

mfx M
thì
 
b
a
mb a f xdx M b a

+ Nếu
 
,
f
xgx
liên tục trên
;ab
thì
   
2
22
.
bbb
aaa
f
xgxdx f xdx g xdx




dấu "" xẩy ra khi
và chỉ khi
 
.
f
xkgx
.
+ Bất đẳng thức AM-GM
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 68
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho hàm số

f
x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
10f
,

1
2
0
d7


fx x
và

1
2
0
1
d.
3
xf x x Giá trị phân

1
0
d
f
xx bằng
A. 1. B.
7
5
. C.
7
4
. D. 4 .
Hướng dẫn giải
ĐÁN ÁN B
Dùng tích phân từng phần ta có
  
11
3
1
23
0
00
1
d'd.
33
x
x
fx x fx xf x x

Kết hợp với giả thiết
10f
,
ta suy ra

1
3
0
'd 1.xf x x
Theo Holder
 
2
111
7
1
2
2
36
0
000
1'dd.'d.71.
7
x
xf x x x x f x x







Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có

3
',
f
xkx
thay vào

1
3
0
'd 1xf x x
ta được
7.k 
Suy ra
3
'7
f
xx



34
7
'7,0;1
4
f
xxx fx xC

 
1
10
4
0
777 7
d.
444 5
f
Cfxx fxx
 
Ví dụ 2: Cho hàm số

f
x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
11f
,

1
5
0
11
d
78
xf x x
và
 

1
0
4
d.
13
fx fx Giá trị

2f
bằng
A.
2.
B.
251
.
7
C.
256
.
7
D.
261
.
7
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
Theo Holder
 
2
2
111
2
612
000
2144
d.d..
13 13 13 169
xf x x xdx f x x











 

11
67
25
2.
77
f
fx x fx x C C

BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 69
Vậy
 
7
25 261
2.
77 7
fx x f
Ví dụ 3: Cho hàm số
f
x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn

12, 00ff
và

1
2
0
d4.


fx x Tích phân

1
3
0
2018 d .


f
xxx bằng
A.
0.
B.
1011.
C.
2018.
D.
2022.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Theo Holder
 
2
111
2
2
000
2'dd.'d1.44.fxx x fx x







 
00
'2 2 0.
f
fx fx xC C

Vậy
 
1
3
0
2 2018 d 1011.fx x f x x x



Ví dụ 4: Cho hàm số

f
x
nhận giá trị dương và có đạo hàm
f
x
liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn

10fef
và


11
2
2
00
d
d2.




x
fx x
fx
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

2
1.
1
e
f
e
B.

22
1.
1
e
f
e
C.

2
2
2
1.
1
e
f
e
D.


22
1.
1
e
f
e
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Ta có





11 1 1
AM GM
22
22
00 0 0
'
d1
'd ' d 2 d
fx
x
f
xx fx x x
fx fx fx

  

 


  

1
0
1
2ln 2 ln 1 2ln 0 2ln 2 ln 2.
0
f
fx f f e
f

Mà


11
2
2
00
d
'd2
x
fx x
fx




nên dấu '' ''
xảy ra, tức là


 
1
''1fx fxfx
fx

 


2
'd d 22.
2
fx
f
xf x x xx x C fx x C

Theo giả thiết

10fef
nên ta có
2
2
1
22 2 22 2
1
CeC CeC C
e

BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 70
 
2
222
222
212 .
111
e
fx x f
eee


Ví dụ 5: Cho hàm số

f
x
nhận giá trị dương trên
0;1 ,
có đạo hàm dương và liên tục trên
0;1 ,
thỏa
mãn

01f
và
   
11
3
32
00
4d3 d.








f
xfxxfxfxx Giá trị

1
0
d
I
fx x bằng
A.

21.e
B.

2
21.
e
C.
1
.
2
e
D.
2
1
.
2
e
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Áp dụng bất đẳng thức
AM GM
cho ba số dương ta có
  



 
33
33
3
33
3
2
3
4' 4'
22
34 ' . . 3 ' .
22






f
xfx
f x fx fx
fxfx
fx fxf x
Suy ra
   
11
3
32
00
4' d 3' d.
f
xfxxfxfxx






Mà
   
11
3
32
00
4' d3' d
f
xfxxfxfxx






nên dấu '' ''
xảy ra, tức là



 
33
3
1
4' '
22 2
fx fx
f
xfxfx






 
1
2
''
11 1
ddln .
22 2
x
C
fx fx
x x fx xC fx e
fx fx


Theo giả thiết
 

1
1
2
0
01 0 d 2 1.
x
fCfxefxxe
3. Bài tập rèn luyên tốc độ
Câu 1: Cho hàm số
f
x
có đạo hàm liên tục trên
0; ,
thỏa mãn

0
sin d 1
fx xx
và

2
0
2
d.
fxx
Giá trị tích phân

0
d
x
fx x
bằng
A.
6
.
B.
4
.
C.
2
.
D.
4
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 71
Theo Holder

2
2
22
000
2
1cosd dcosd.1.
2
fx xx f x x xx



 
00
22cos4
cos d d .
xx
fx x xfx x x




Câu 2: Cho hàm số

f
x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa t

1
2
2
0
10, d
8



ffxx
và

1
0
1
cos d .
22



x
fx x
Giá trị của ích phân

1
0
d
f
xx
bằng
A.
1
.
B.
2
.
C.
.
2
D.
.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Theo Holder
 
2
2
111
2
2
2
000
1
sin ' d sin d . ' d . .
42 2 28
xx
fxx x fx x


 



 

 


 

10
'sin cos 0.
22 2
f
xx
fx fx C C

 
 
 
 
Vậy
 
1
0
2
cos d .
2
x
fx fx x




Câu 3: Cho hàm số

f
x
nhận giá trị dương trên
0;1 ,
có đạo hàm dương liên và tục trên
0;1 ,
thỏa
mãn


1
0
d1
xf x
x
fx
và
01,f

2
1.
f
e
Giá trị của
1
2



f
bằng
A.
1.
B.
4.
C. .e D.
.e
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Hàm dưới dấu tích phân là





''
., 0;1.
xf x f x
xx
fx fx

Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm
đúng


'
f
x
f
x
, muốn vậy ta phải đánh giá theo
AM GM
như sau:




''
2.
f
xxfx
mx m
f
xfx

với
0m
và
0;1 .x
Do đó ta cần tìm tham số
0m
sao cho
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 72




11
00
''
d2. d
fx xfx
mx x m x
fx fx





hay
  
2
11
00
ln 2 .1 ln 1 ln 0
22
2202.
2


x
m
fx m m f f
m
mm
Để dấu
'' '' xảy ra thì ta cần có
20 2 4.
2
m
mm
Với
4m
thì đẳng thức xảy ra nên

'
4
fx
x
fx


 
2
22
'
d4dln 2 .
x
C
fx
xxx fxxCfxe
fx


Theo giả thiết



2
2
2
01
1
0.
2
1
x
f
Cfxef e
fe




Cách 2. Theo Holder








22
11 11
2
00 00
'''1
1
1d.dd.d.ln1.
20
xf x f x f x f
xx xxx x
fx fx fx f






Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có


'
,
fx
kx
fx
thay vào


1
0
'
d1
xf x
x
fx
ta được
4.k
Suy ra


'
4.
fx
x
fx
(làm tiếp như trên)
Câu 4: Cho hàm số

f
x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
 
1
2
0
d1


f
xf x x
và

01,f

13.f Giá trị của
1
2



f
bằng
A. 2. B.
3.
C. .e D.
.e
Lời giải
ĐÁP ÁN A
Hàm dưới dấu tích phân là
 
2
'.fxf x
Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng
'
f
xf x
,
muốn vậy ta phải đánh giá theo
AM GM
như sau:
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 73
   
2
'2.'
f
xf x m mfxf x


với
0.m
Do đó ta cần tìm tham số
0m
sao cho
 
 
11
2
00
'd2 'd.
f
xf x m x m fxf x x



hay
2
1
0
12. 12.
2
fx
mm mm 
Để dấu
'' '' xảy ra thì ta cần có
12 1.mmm
Với
1m
thì đẳng thức xảy ra nên
 
 
2
'1
'1 .
'1
fxf x
fxf x
fxf x


   
2
11
11
00
00
'1 'dd 11.
2
fx
fxfx fxfxx x x
   

(vô lý)
   

2
'1 'dd 22.
2
fx
f
xf x fxf x x x x C fx x C

Theo giả thiết



01
11
21 2.
22
13
f
Cfxxf
f





Cách 2. Ta có
 


2
1
1
22
0
0
1
'd 1 0 1.
22
fx
fxf x x f f



Theo Holder
   
2
111
2
22
000
11. 'd 1d. 'd1.11.fxf x x x fxf x x







Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có

',
f
xfx k
thay vào
 
1
0
'd1
f
xf x x
ta được
1.k
Suy ra
 
'1.fxfx
(làm tiếp như trên)
Câu 5: Cho hàm số

f
x
nhận giá trị dương và có đạo hàm
f
x
liên tục trên
1; 2 ,
thỏa mãn


2
2
1
d24


fx
x
xf x
và

11,
f

216.f
Giá trị của
2f
bằng
A.
1.
B. 2. C.
2.
D.
4.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 74
Hàm dưới dấu tích phân là




22
''
1
..
fx fx
xf x x f x
 
 
Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng


'
f
x
f
x
, muốn vậy ta phải đánh giá theo
AM GM
như sau:




2
'
'
2
fx
f
x
mx m
xf x
f
x



với
0m
và
1; 2 .x
Do đó ta cần tìm tham số
0m
sao cho




2
22
11
'
'
d2 d
fx
fx
mx x m x
xf x
fx








hay
  
2
1
22 2
24 4 24 4 2 1 24 12 16.
33 3
mm m
mfx m f f m m

 

Để dấu
'' '' xảy ra thì ta cần có
2
24 12 16.
3
m
mm
Với
16m
thì đẳng thức xảy ra nên




2
'
'
16 2
2
fx
fx
x
x
xf x
fx





 

2
22
'
d2d .
2
fx
x
xx fx x C fx x C
fx


Theo giả thiết



4
11
024.
216
f
Cfxxf
f

Cách 2. Ta có




  
22
2
1
11
''
d2. d2 2 2 1 6.
2
fx fx
xxfxff
fx fx




Theo Holder






22
2
21 22
2
2
2
1
11 11
'
''
6 d . d d . d .24 36.
2
fx
fx fx
x
xx xxx x
xf x
fx xfx








Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có



''
,
fx fx
kx kx
xf x f x

thay vào


2
1
'
d6
fx
x
fx
ta được
4.k
Suy ra

'
4.
fx
x
fx
(làm tiếp như trên)
| 1/75

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

CÁC LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ KĨ SĐT: 0834 332133 THUẬT XỬ LÝ TOÁN TÍCH 12 PHÂN BINH PHÁP LƯU HÀNH NỘI BỘ
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
CÁC KĨ THUẬT XỬ LÝ TÍCH PHÂN
BÀI 2. TÍCH PHÂN .......................................................................................................................................... 2
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM .............................................................................................. 2
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM ................................................................ 3
Dang 1: Tích phân hữu tỉ ........................................................................................................................................ 3
1. Phương pháp .................................................................................................................................................... 3
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .............................................................................................................................. 4
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................... 7
Dạng 2: Tích phân có chưa căn thức ................................................................................................................... 10
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 10
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 11
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................. 14
Dạng 3: Tích phân lượng giác .............................................................................................................................. 18
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 18
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 20
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................. 24
Dạng 4: Tích phân từng phần ............................................................................................................................... 27
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 27
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 27
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................. 32
Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối ...................................................................................................... 38
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 38
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 39
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................. 42
Dạng 6: Tích phân siêu việt .................................................................................................................................. 44
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 44
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 44
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................. 48
Dạng 7: Tích phân hàm ẩn ................................................................................................................................... 54
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 54
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 56
3. Bài tập rèn luyện tốc độ .................................................................................................................................. 61
Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân .......................................................................................................................... 67
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 67
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 68
3. Bài tập rèn luyên tốc độ .................................................................................................................................. 70
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 1
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN BÀI 2. TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa tích phân
Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn a,b. 
 Giả sử Fx là một nguyên hàm của f x trên đoạn a,b.  
Hiệu số Fb  Fa được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn a,b   của hàm số b
f x , kí hiệu là f xdx.  a
Ta còn dùng kí hiệu Fx b để chỉ hiệu Fb  Fa a . Vậy
b f x dx Fxb F b   ( ) ( ) F(a). a a b
Ta gọi  là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, fxdx là biểu thức dưới dấu tích phân và fx là a
hàm số dưới dấu tích phân. Chú ý:
Trong trường hợp a  b hoặc a  b, ta quy ước a b a
f (x)dx  0; f (x)dx    
f (x)dx. a a b Nhận xét b b b
 Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bới  f (x)dx hoặc  f (u)du hoặc  f (t)dt.Tích phân a a a
chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a,b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f x liên tục và không âm trên đoạn a,b ,   thì tích b
phân  f (x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của fx, trục Ox và hai đường a b
thẳng x  a,x  b. Vậy S  f  xdx. a
II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN b b
Tính chất 1: kf (x)dx  
kf (x)dx. (k: const) a a b b b
Tính chất 2: f (x)  g(x)dx f (x)dx   
g(x)dx. a a a b c b
Tính chất 3: f (x)dx f (x)dx f (x)dx. a c     ba a c
III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 2
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
Định lý 1 (Đổi biến loại 1): Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a,b. 
 Giả sử hàm số x  t có đạo
hàm liên tục trên đoạn , 
 sao cho   a,  b và a  t  b với mọi t  ;.   Khi đó: b 
f xdx  f t ' .   tdt a 
Định lý 2 (Đổi biến loại 2): Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a,b. 
 Giả sử hàm số ux có đạo hàm
liên tục và ux ,. 
 Giả sử ta có thể viết       ' f x
g u x .u x ,x  a,b 
 với g x liên tục trên đoạn ;.   Khi đó ta có: ub b  f  xdx  g  udu. a ua
2. Phương pháp tích phân từng phần b b Nếu b
u  u x và v  vx là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a,b   thì uvdx  uv  vdu   a a a
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM
Dang 1: Tích phân hữu tỉ 1. Phương pháp
1.1 Một số dạng cần nhớ 1 1)  ln   ,  0.  dx ax b C a ax b a dx 1 1 1 2)  . .  C, a  0. 
ax bn a n  
1 ax bn 1   3)    ln     u x dx u x C u x b dx 4) 
thì đặt x   tan t . 2 2 x   a P x
1.2 Dạng tổng quát 2 I dx ,
m n N,b  4ac  0,a  0 
x  m .x   n . 2
ax bx c  
+) Trường hợp 1: Nếu bậc của đa thức P x  m n  2 ta chia tử cho mẫu để đưa về trường hợp 2
+) Trường hợp 2: Nếu bậc của đa thức P x  m n  2 ta sử dụng “phương pháp hệ số bất định” P x m n A B M
ax b N i k 2      
x   m .x   n . 2
ax bx c i k     i 1  x   k 1  x   2 ax bx c
Bước 1: Phân tích:
Bước 2: Quy đồng mẫu số và đồng nhất 2 vế để tìm các hệ số A , B , M , N i k
Bước 3: Thực hiện các dạng cơ bản.
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 3
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
Chú ý: + Đôi khi ta dùng phương pháp thêm - bớt – tách sẽ gắn gọn hơn.
+ Một số trường hợp ta đổi biến số nhằm giảm bớt bậc để đưa về tích phân hàm hữu tỉ đơn giản hơn.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 5 dx Ví dụ 1: Cho  ln a.  Tìm a. x 2 5 2 A. . B. 2. C. 5 D. . 2 5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 5 dx 5 5 Ta có: 5
 ln a  ln x  ln a  ln 5  ln 2  ln a  ln  ln a  a  .  2 x 2 2 2 2 x 1 Ví dụ 2: Cho
dx  a ln 5  b ln 3, a, b  .   Giá trị của 3a  2b 2   x  4x  3 là 0 A. 0. B. 1. C. 8. D. 10. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A n ax  b
Khi thấy những bài tích phân có dạng I  dx  thì ta sẽ biến đổi x  c x  d m    ax  b A B       
 ax  b  A  B x  Ad  Bc x c x d x  c x  d A  B  a  
 ta sẽ tìm được A và B. Ad  Bc  b
Khi đó: I  Aln x  c  Bln x  d  n m x 1 x 1 2 1
Áp dụng vào bài, ta có: f x     2
x  4x 1 x  3x   1 x  3 x 1
I  2ln x  3  ln x 1 2  2ln5 3ln3. 0 a  2 VT  VP   . b  3  m 2 x dx 1
Ví dụ 3: Tìm tất cả các số thực m dương thỏa mãn  ln 2  .  x 1 2 0
A. m  3.
B. m  2.
C. m 1.
D. m  3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 2d  1   1 m m m x x  1 Ta có: 2 2  x 1 dx
x x  ln x 1
m m  ln m 1      x 1  x 1  2  2 0 0 0 1 1 Suy ra: 2
m m  ln m 1  ln 2  (*) 2 2
Ta thấy chỉ có m 1 thỏa mãn (*).
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 4
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 0 2 3x  5x 1 2
Ví dụ 4: Biết I
dx a ln  b, 
a,b. Tính giá trị của a  4 .b x  2 3 1 A. 50. B. 60. C. 59. D. 40. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 0 2 0 3x  5x 1  21  I dx  3x 11     dx x  2  x  2  1  1  0 2  3x  19 2  
11x  21.ln x  2    21.ln 2 2 3   1 19
Khi đó, a  21,b
a  4b  59. 2 2 1 1 a a Ví dụ 5: Biết dx   ln 
với a,b là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Giá trị 2 x x 1 2 b b 1  
của a b bằng A. 7. B. 5. C. 9. D. 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 2 2 2 2 2 2 1 x 1 x  1 1 1   1  dx dx   
dx  ln x 1  ln x     2     x x   2 1 x x   2 1  x 1 x x   x  1 1 1 1 2  x 1 1  1 3  ln    ln  x x    2 4 1
Suy ra a  4;b  3. Vậy a b  7. 1 3 2    Ví dụ 6: Cho x 3x x 3 dx  a  lnb 1  Khi đó 6a  5b bằng x  2x  3 . 2 2 0 A. 2. B. 3. C. 13. D. 2 . 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: 3 2        2 x 3x x 3 x 1 x  2x  3. Đặt 2 1
t  x  2x  3  dt  x  1dx. 2
Đổi cận: x  0  t  3; x  1  t  6 . 6 6 6      Khi đó: 1 t 6 1 1 6 1 6 1 I  dt   dx  ln t     ln2      1 2 2 2 t 2  t t  2  t  2 3 3 3 1
 a  , b  2  6a  5b  13. 2 1 3 Ví dụ 7: Cho x I   
 Khẳng định đúng là 1 dx ln a b ln c,  a,b,c . 4 2   0 x 3x 2 A. a  b  c. B. b  c  a. C. c  a  b. D. a  c  b.
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 5
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Đặt 2 t  x  dt  2xdx hay dt xdx  . 2
Và x : 0  1 thì: t : 0  1. 1 2 1 1 x .xdx 1 tdt
1 2 t  1  t  2  I    1 dt    4 2 2 x  3x  2 2 t  3t  2 2 t 1t  2 0 0 0 1 1 1  2 1   1  3  
dt  ln t  2  ln t  1  ln 3      ln 2 2  t  2 t  1   2  2 0 0 3
 a  3; b   ; c  2. 2 2 Ví dụ 8: Cho 1 a c 5  a c dx   ln , a,b,c,d ; ,  
là các phân số tối giản. Giá trị của 3 x  2  b d 8 b d 1 1 x   
S  a  2b  3c  4d bằng A. 16. B. 87. C. 34. . D. 30. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  2 1  x  2  x        2 1  x  2  2 2 2  x 1 1 1  I  dx   dx   dx    3     x  2 1  x  3 x x   2 1  x  3 x x    2  1 1 1 1 x       d      2 2 2 2 1  x 1 1 x 1 1 1     dx   dx       3 2 3 2  x x 1  x   x x  2  1 1 1 1 x  1 1        2 2 3 1 5 3 1 5 ln x ln 1 x   ln 2  ln     ln 2  2x 2  8 2 2 8 2 8 1
 a  3,b  8, c  1,d  2. 1 3 Ví dụ 9: Cho x I  dx  ln 3  b ln 2  c.  Chọn đáp án đúng. 4 2   0 x 3x 2 A. 3 b  c  B. 2b  c . 2 C. abc  0.
D. b, c là các số nguyên. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 1 2 Ta có: 1 x .2xdx I   . 2  2 x  1 2  0 x 2 Đặt 2 t  x  dt  2xdx .
Với x  0  t  0 , với x  1  t  1 . 1 1 1     Khi đó: 1 tdt 1 2 1 1 I              t  1t  2 dt ln t 2 ln t 1 2 2  t  2 t  1   2  0 0 0 3  ln 3  ln 2 . 2
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 6
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 3
a  3, b   , c  0 . 2
3. Bài tập rèn luyện tốc độ 4 dx Câu 1: Biết
 a ln 2  b ln 3  cln 5 
với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của S a b c bằng 2 x  x 3 A. 6. B. 2. C. 2.  D. 0. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 4 4 4 4 dx dx  1 1  x 16 I      ln  ln  4ln 2  ln 3  ln 5.    2   x  x x x 1  x x 1 x 1 15 3 3   3 3
Do đó: S  4 11  2. 5
Câu 2: Biết rằng   ln .  dx I a Giá trị a là 2x 1 1 A. 3. B. 9. C. 8. D. 81. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 5 5 dx 1
 ln 2x 1  ln 3  ln a  a  3.  2x 1 2 1 1 1 2x  3
Câu 3: Biết I
dx a ln 2  b
, a,b. Khi đó giá trị a  2b bằng 2  x 0 A. 0. B. 2. C. 3. D. 7. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 1 1 2x  3  7  1 Ta có: I  dx  2   dx      2
x  7 ln 2  x   2   7 ln 2 2  x  2  x  0 0 0
Nên a  7 và b  2.
 Do đó: a  2b  3. 5 dx Câu 4: Giả sử  ln K
. Giá trị của K là 2x 1 1 A. 9. B. 3. C. 81. D. 8 . Hướng dẫn giải Đáp án B 5 1 5  ln 2 1  ln 3.  dx x 1 2x 1 2 1 2
Câu 5: Tính tích phân 1 I  dx  ln a  b, 
a,b. Giá trị a  bbằng x x  12 1 A. 2 . B. 7 . C. 2 . D. 6 . 3 6 3 11 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 7
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2 2 2 2 1 x  1  x 1 1 I  dx  dx  dx  dx     .  x x  12 x x  12 x x 1 x 12 1 1 1 1 Suy ra 2 2 2  1 1            x      2 2 1  4 1 I dx x 1 d x 1 ln x 1  ln    .  x x  1  x  1 1 3 6 1 1 1 4 1  a  , b   . 3 6 1 Câu 6: Cho xdx I   a  blnc. 
Biết b  c  1, với b, c  3. Khi đó P  abc bằng x  1 0 A. 0. B. 1. C. 2. D. 1 . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 1 x   1 1  1  1  I  dx  1  dx  x  ln    x   1 1   1    ln 2  x  1  x  1 0  0 0  a  1; b  1  ; c  2  P  2  . 1 2 4 1 b Câu 7: Cho    ln .  x dx I a
b Khi đó S  24a  11 bằng 2 x 1 2 3 0 A. 0. B. 1. C. 1. D. 25. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 1 1 1 2 4 2 4 2 x dx x  1  1   2 1 I   dx  x  1     dx 2 2 2      0 x 1 0 x 1 0 x 1 1  3  2 x 2 13 1    x  ln x  1    ln 3.  3   24 2  0 13  a  , b  3  S  25. 24 2 2  1 Câu 8: Cho   ln .
x x dx a b Chọn mệnh đề đúng: x 1 1 A. a  b. B. 2 2a  b  b  0. C. a  b . D. a  b. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 8
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2 2 2 2 2 2  2 x x 1 1 1 x      dx   x  dx  xdx  dx    ln x  1    x  1  x  1  x  1  2  1 1 1 1   1 1 3 3
 2  ln 3   ln 2   ln 2 2 2 3 3  a  , b   a  b. 2 2 x  2 1 1 a b Câu 9: I
dx a  ln , b a,  b  .   Khi đó S  bằng 2   x 1 a b 0 A. 1 . B. 2 . C. 3 D. 3. 3 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 1 2 1 1 1 x  1  2x  2x  2xdx I      4 dx  1 dx dx   2 2 2      0 x 1 x 1 x 1 d x  1 0 0 0 2 1 1  dx     xlnx 1 1 2  1  ln 2. 2 x  1 0 0 0
 a  1, b  2  S  3. 1 3 x  3 c abc
Câu 10: Cho I
dx a b  5 ln b c ln , a, , b c  .   Khi đó P  bằng 2     x  2x  3 2
a b c 0 A. 22 . B. 20 . C. 24 . D. 26.  7 7 7 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 3 1 1 x  3  7x  3  
6 x  1  x  3  I  dx   x  2  dx   x  2  dx  2 2           x 2x 3 x 2x 3  x 1x 3 0 0 0  1 1  2 6 1 x     x  2   dx  
 2x  6ln x  3  ln x  1     x  3 x  1   2  0   0 5   7 ln 2  6ln 3. 2 5 20
 a  , b  2, c  6  P  . 2 7 2 2 2x  3  A B
Câu 11: Cho I dx   .  
dx Giá trị I.2A  4B bằng 2   x  4x  3
x 1 x  3  0 0 A. 125 2  ln . B. 125 2 ln . C. 7 125 ln . D. 1 125 ln . 3 3 2 9 2 9 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C   Ta có: 2x 3 2x 3 A B    . 2 x  4x  3
x 1x  3 x 1 x  3
Từ đó 2x  3  A  Bx  3A  B x  1  , x  3 .
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 9
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN   
Cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của x ta được: A B 2 1 3   A  ; B  . 3A  B   3 2 2 Suy ra: 2 2 2 2x  3 1 dx 3 dx 1             2 1 125 I dx ln x 1 3ln x 3  ln 2 x  4x  3 2 x  1 2 x  3 2 2 9 0 0 0 0     7 125 I. A B  ln . 2 9 2 2 1 . Câu 12: Cho  ln  x a c d dx
biết a,b, c, d, e N; UCLN a;b  1 và c,d,e là các 4 3 2
x  2x x  2x 1 b e 1
số nguyên tố. Giá trị của T a b c d e bằng A. 32. B. 24. C. 25. D. 31. Hướng dẫn giải Ta có 1 2 1 2 x 1    x dx dx 4 3 2
x  2x x  2x 1 2 2 1
x  2x 1  2 x x  1  d x     x    dx 2  1   1  x   2 x   3      x   x  2 x 1 dt 1 t 1 Đặt 1 t x  ta có: dx   ln  C   x 4 3 2 2
x  2x x  2x 1 t  2t  3 4 t  3
Dạng 2: Tích phân có chưa căn thức 1. Phương pháp p m Lớp bài toán 1: m p x x .  axk k nbdx ; dx  thỏa  p  
1 k , khi đó ta đặt n
t  ax  b  m axk nb
Lớp bài toán 2: Đổi biến dạng lượng giác
Ta chú ý các nhận biết một số dấu hiệu và cách đổi biến tương ứng sau Dấu hiệu Cách đổi biến Chú ý x a t 1. 2 2 x a Đặt tan     t   ;    2 2   2. 2 2 a x
Đặt x asin t     t   ;  2 2    a 3. 2 2 x a Đặt x          sin t t ;0 or 0;    2 2     
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 10
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN a x a x
Đặt x a cos 2t    4. or t  0;   a x a x  2 
Lớp bài toán 3: R   2 ;
x ax bx c dx Hướng 1: theo dạng 2
Hướng 2: Hữu tỉ hoá. Sử dụng các phép biến đổi Euler
- Với a  0 , đặt 2
ax bx c t ax
- Với c  0 , đặt 2
ax bx c tx c - Nếu 2
ax  bx c có hai nghiệm x , x 2 1 2 thì đặt
ax  bx c t x x hoặc đặt 1  2
ax  bx c t x x 2  Chú ý: mx n m 2ax  bmb dx 1) I dx
ta biến đổi về dạng I dx n     2 ax  bx c 2 2 2a ax  bx c  2a  ax  bx c 2)   dx K
ngoài cách giải chung bằng phép thế lượng giác ta còn có thể giải bằng mx n 2 ax  bx c 1 1
phép thế đại số. Đặt 2
t  ax  bx c hoặc 2
 ax  bx c hoặc t mx n hoặc mx n t t 3) Với dạng dx
ta thường nhóm biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức rồi đưa về 2 ax  bx c
dạng: dx hoặc 2  ln     dx x x k C 2 2 a x 2 x k
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 2
Ví dụ 1: Trong các tích phân sau, tích phân nào không cùng giá trị với 3 2 I  x x 1dx.  1 1 2 1 4 3 3 A. t t 1dt.  B. t t 1dt.  C.  2t   1tdt. D.  2x    2 1 x dx. 1 2 1 2 0 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A dt Đặt 2 x  t  xdx  . 2
Đổi cận x  1 thì t 1; x  2 thì t  4. 2 2 1 2 3 2 2 2 I  x x 1dx  x x 1.xdx  t t 1dt.    1 2 1 1
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 11
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 3
Ví dụ 2: Tính tích phân I  x x 1dx  ta được a      a 1 1 I , a, b
, là phân số tối giản. Giá trị S   b b a b 0 bằng 16 116 16 A. 131 B. . C. . D. . 1740 15 5 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 1 Đặt 2
u  x 1  x  u 1; du   1 x 'dx  dx  dx  2udu 2 1 x
Đổi biến: u 0 1; u 3  2 2 3 2 2 5 3  u u  116
Khi đó ta có: x x 1dx  2   2u   2 1 u du  2 4 2 u  u du  2    .  5 3  15 0 1 1 1
Do đó: a  116,b  15. Suy ra: 1 1 131 S    . a b 1740 2 a a
Ví dụ 3: Kết quả của tích phân 2 3 I x
x 1dx  , * a,b  
 , là phân số tối giản. Giá trị b b 0  2  2 P a b bằng A. 2786. B. 2785. C. 2685. D. 2885. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 2 Đặt 3 2 3
t x 1  t x 1 2 2
 2 d  3 d  d  t t t x x x x dt. 3
Với x  0  t  1; x  0  t  3 3 3 3 2 2  2 52 Vậy 2  d   6   .  t I t t   3  9  9 9 1 1
Suy ra: a  52,b  9. Do đó: S  2785. 5 dx
Ví dụ 4: Tính tích phân: I  
được kết quả I a ln 3  b ln 5,a,b.Tổng a b là x 3x 1 1 A. 2. B. 3. C. 1. D. 1. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 2 u 1 1
Đặt u  3x 1  x
dx  2udu 3 3
Đổi cận: x  1  u  2 x  5  u  4 4 4 2
u 1 u   4 1 u 1 3 1 Vậy I du du  ln
 ln  ln  2ln 3  ln 5   2 u 1 u   1 u   1 u 1 2 5 3 2 2
Do đó a  2; b  1
 . Suy ra: a b  1. 5 1
Ví dụ 5: Giả sử tích phân I
dx a b ln 3  c ln 5, 
a, ,bc. Giá trị a bc bằng 1 3x 1 1
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 12
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 4 5 7 8 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Đặt 
x   t x   t  2 2 1 3 1 3 1
1  dx  t   1 dt. 3
Đổi cận x  1  t  3; x  5  t  5 . 5 5 5 2 t 1 2  1 2 4 2 2 Khi đó I  dt  1 dt    
t ln t    ln3 ln5. 3 t 3  t  3 3 3 3 3 3 3 4 2 2 4
Do đó a  ;b  ;c   Vậy a b c  . 3 3 3 3 x t
Ví dụ 6: Tập hợp các nghiệm của bất phương trình dx  0,  với x là ẩn là 0 2 t 1 A.  ;0  . B.  ;  . C.  ;   \  0 . D. 0;. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C t 1 d  2 x x t   1 1 x 2 2 dt   .2 t 1  x 1 1.   2 2 t 1 2 t 1 2 0 0 0 x t 2
dt  0  x 1 1  0  x    ;   \  0 . 2 0 t 1 1  x  1  1  Ví dụ 7: Cho I  f   dx 10.  Khi đó   x J f   dx bằng x 1 x     x 1    x 0   0   A. 10. B. 10.  C. 9.  D. 9. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
Đặt t  1 x ta có: dt  dx  x  0  t  1 0 1  t   t  Đổi cận khi đó J  f   dt  f   dt x  1 t  0  1 t t   t 1 t      1   0   1  x  J  f   dx  I 10.  x 1 x    0   m
Ví dụ 8: Tính theo m tích phân 2 I  x x 1dx  là 0  2   2 m 1 m 1 1   3 2 2 m 1 1  2   2 m 1 m 1 1 A. . B. . C. . D. 2 m 1. 3 3 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 2 x  m  t  m 1 Đặt 2 2 2
t  x 1  t  x 1  tdt  xdx và đổi cận   x  0  t  1
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 13
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2  t m 1 m 1 1 2 2 m 1  2  2 m m 1 3 2 Do đó I  x x 1dx  t dt   I  .   3 1 3 0 1 3 2 2x  x 1 a  a
Ví dụ 9: Kết quả của I  dx  , 
a,b , là phân số tối giản. Giá trị S a  b bằng x 1 b b 0 A. 36. B. 45. C. 27. D. 59. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 3 2 2x  x 1 I  dx  x 1 0 Đặt 2
x 1  t  x  t 1  dx  2tdt 2 2 2 2 2 2 5 2(t 1)  (t 1) 1  4t  54 4 2 3  I  2tdt  2 (2t  3t )dt      2t   . t  5  5 1 1 1
Suy ra: a  54,b  5. Do đó: S  a  b  59. 1
Ví dụ 10: Cho tích phân  2  I  x
 ax  b 3x 1dx  3, biết   Giá trị 3 3
S a b  5
a b bằng   a b 1. 0 A. 15.  B. 20. C. 102. D. 15. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 1 1 1 3 1 Ta có: 2 2 ax 2
I  ax dx  bx 3x  1dx   bx 3x  1dx    3 0 0 0 0 1 + Xét 2 A  bx 3x  1dx  0 Đặt 2 2 2 1
3x  1  t  3x  1  t  xdx  tdt. 3 2 2 2 3 Đổi cận: bt t 8b b 7b
x  0  t  1; x  1  t  2  A  dt  b.    .  3 9 9 9 9 1 1 1 3 Vậy ax 7b a 7b I     . 3 9 3 9 0 a 7b    3 a  5 Ta có hệ: 3 9    S  102. b    6 a  b   1
3. Bài tập rèn luyện tốc độ 4 dx b b
Câu 1: Kết quả của tích phân
a ln , a,b,   c  ,  
là phân số tối giản. Giá trị x x c c 1 1     2  2  2 S a b c bằng A. 42. B. 29. C. 17. D. 27. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 14
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 3 3 2 1 4 Đổi biến thành d  2ln  2ln .  t t t t 1 t 3 2   2
Suy ra: a  2,b  4,c  3. Do đó: S  29. 3 x 2
Câu 2: Cho tích phân I  dx 
nếu đặt t  x 1 thì I  f  tdt trong đó 1 x 1 0 1 A.   2 f t  t  t. B.   2 f t  2t  2t. C.   2 f t  t  t. D.   2 f t  2t  2t. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D dx  2t dt x  0  t 1 Đặt 2
t  x 1  t  x 1   và đổi cận  2 x  t 1 x  3  t  2 2 2 2 2  t 1 Khi đó I  2t. dt     2t.
 t  1dt   2 2t  2tdt  f t 2  2t  2t.  t 1 1  1 1 a 3 x x
Câu 3: Đặt I  d .  x Ta có: 2 0 x 1 1 A. I = ( 2 a + ) 2 1 a +1-1. B. I (é 2 a ê ) 2 1 a 1 1ù = + + + . 3 ú ë û 1 C. I = ( 2 a + ) 2 1 a +1 +1. D. I (é 2 a ê ) 2 1 a 1 1ù = + + - . 3 ú ë û Hướng dẫn giải ĐAP AN D a a   2 3   1 . a x x x x Ta có: 2 I  dx  dx x 1. d x x    2 2 0 x 1 0 x 1 0 2 2 2
t x 1  t x 1 t.dt  .d x x . Đổi cận: 2
x  0  t  1; x a t a 1 2 a 1  2 a 1 1  1 Khi đó: I t.tdt   3t  2a  2 1 a 1 1       . 1 3 3   1  3 3 2 sin x  3 Câu 4: Biết dx    c  d 3 
với a, b, c, d là các số nguyên. Giá trị 6 3  1 x x a b  3
a b c d bằng A. 28. B. 16. C. 14. D. 22. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A    sin x  6 3 3 3
1 x x sin x 3 I dx dx      6 3
1 x x sin xd . x 6 6 6 3   1 x x  1 x x     3 3 3    x    t  
Đặt t  x dt  dx . Đổi cận 3 3  .  
x   t    3 3
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 15
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN   3 I    6 3
1 t t sintdt  3   3
    1t t  3 6
3 sin tdt     6 3
1 x x sin xdx     3 3   3 3  3 Suy ra 2I    3 2  x sin x 3 2 3 dx I x sin xdx    2  6 3.    27 3   3 3
Suy ra: a  27, b  3  , c  2
 , d  6. Vậy a b c d  28. 3 2 1 11 Câu 5: Cho    ln  ln 3.  x I dx a b Giá trị
a b 3 bằng x 2 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Đặt 2 2 2
t  1  x  t  1  x  tdt  xdx và x : 1  3 thì t : 2  2. 3 2 2 2 2 2      Khi đó: 1 x t t 1 1 1 I  xdx  tdt  dt  1       dt 2 2 2 2      1 x t 1 t 1 t 1 2 2 2 2 2  1  1 1   1 t  1                   1 1 dt t ln 2 2 ln 2 1  ln 3  2  t  1 t  1   2 t  1  2 2 2 11
 a  2  2; b  2  1  a  b  3  0. 2 1 dx  2  a  1 1
Câu 6: Cho I   2ln      ,a, 
b  . Giá trị A   bằng 2 x  4x  3 1 b a b 0   A. 4 . B. 2 . C. 5 . D. 1 . 3 3 6 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
Đặt t  x  1  x  3  1 1  x  1  x  3 dx  dt    dx            dx t. 2 x 1 2 x 3 2 x 1 x 3 2 x   1 x  3 dx 2dt    .     t x 1 x 3
Và x : 0  1 thì t : 1 3  2  2. 2 2     Khi đó: dt 2 2 2 2 I         4 2 2 ln t 2 ln a 2; b 3.  1 3 t    1  3  1 3 Suy ra: 5 A  . 6
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 16
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2  2 
Câu 7: Cho tích phân x 28 I   4  dx  . 
Giá trị a (biết a có giá trị nguyên) là 3  3 a  1  x  A. 0. B. 1. C. 1 . D. 3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 2 2 2 Ta có: x I  4dx  dx.   3 a a 1  x 2 2 Tính x B  dx  . Đặt 3 3 2 2 2
1  x  t  1  x  t  x dx  tdt. 3 3 a 1  x 2 2 2 Khi đó x 2 3 2 3 B  dx  1  x  2  1  a .  3 3 3 a 1  x a 2   Ta có: 2 3 2 3 I  4x  1  x  10  4a  1   a  3  3  a 28  2  3 2 3 2 3   10  4a  1  a  4a  1  a   6a  1  a    1 . 3  3  3 3
Giải được a  0 (sử dụng máy tính Casio, lệnh SHIFT – SOLVE).
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2  2  Nhập vào màn hình X 28  4  dx   
Ấn CALC và thử các đáp án. Ta thấy chỉ đáp án A đúng 3  3 A  1  X  (kết quả cho bằng 0) 6  
Câu 8: Cho tích phân: x 3 1  I  dx  a  2 ln a,  a . Giá trị 3 S  4 4a là x  2 1 A. 10. B. 5. C. 15. D. 8. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Đặt 2
t  x  3  x  t  3  dx  2tdt. x  6 t  3 Đổi cận:  x  1 t  2 Suy ra: 3 2 3 3 t  t t  1  I  2 dt  2 dt  2 1  dt  2   
t ln t 13  2 ln2 a    2. Vậy S  8. 2 t  1 t  1  t  1 2  2 2 2 1 3 
Câu 9: Cho tích phân x dx a 1 I   , 
a.Giá trị của a bằng 2 4 3 0 x  x  1 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 17
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN B 1 1 Ta có: 3 4 5 I  x x  1dx  x dx   . 0 0 6 1  6  5 x 1 x dx      .  6   6 0  1 Đặt 4 2 4 3
t  x  1  t  x  1  tdt  2x dx .
Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2 . 2 2  3  Suy ra: 1 2 1 t 2 1 I  t dt      .  2 2  3   3 6 1  1  Vậy 2 1 I   a  2. 3 b
Câu 10: Giá trị tích phân xdx I  
b  2 bằng bao nhiêu nếu biết z  a  bi là căn bậc hai của số 3  a 2x 2 phức 35   3i. 4 A. 12 . B. 7 . C. 6 . D. 11 . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A    2 2 35 1 35 a  b  a  
Theo đề: a  bi2   3i   4   2 4 2ab    3 b  3  b  0 3 2  Đặt 3 t 2 3t t  2x  2  x   dx  dt . 2 2 Đổi cận: 1 x  
 t  1; x  3  t  2 . 2 3 2 t  2 3t . 3       2 2 2  5  4 3 t 2 12 2 2 I dt t 2t dt    t   . t 4 4  5  5 1 1   1
Dạng 3: Tích phân lượng giác 1. Phương pháp
1.1 Nguyên hàm cơ bản cần nhớ với mọi số thực k  0 1 cos kxdx  sin kx Ck 1
sin kxdx   cos kx Ck 1 1 dx  tan kx C  2 cos kx k
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 18
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1 1
dx   cot kx C  2 sin kx k
1.2 Một số lớp bài toán thường gặp
Lớp bài toán 1: Đưa về một hàm số lượng giác I f
 sin xcosxdx f  tdt I f
 cos xsin xdx   f  tdt I f   x 1 tan dx f t dt  2   cos x I f   x 1 cot
dx   f t dt  2   sin x
Lớp bài toán 2: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng sin a . x sin bxdx cos . ax cos bxdx ; sin . ax cos bxdx   
Cách giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng: 1
cos x.cos y  cos  x y  cos  x y 2 1 sin x.sin y
cosx y cosx y 2 1 sin x.cos y
sin x y sin x y 2
Lớp bài toán 3: s innx ; cosn dx xdx  
nN ;n  2 Cách giải:
Nếu n chẵn thì dùng công thức hạ bậc để hạ đến hết bậc: 1  cos2 x 1  cos2 x 2 2 cos x  ; s in x = 2 2
Nếu n lẻ thì tách ra lấy một thừa số và sử dụng các công thức:
cos xdx d sinx ; sin xdx  d cos xLớp bài toán 4: dx I  
a sin x b cos x c Cách giải: Đặt x t  tan 2
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 19
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN a sin  cos 
Lớp bài toán 5:   x b x c I dx
a s inx  b cos x c 1 1 1 Cách giải
Biến đổi: Tử = A(mẫu) + B(đạo hàm mẫu) + C rồi ta đưa về dạng 4 nếu C  0.
Chú ý: Trên đây chỉ là một vài trường hợp thường gặp. Trong thực tế có thể gặp nhiều dạng khác
nữa, đòi hỏi phải linh hoạt vận dụng các kiến thức về lượng giác và các phương pháp tính nguyên hàm tích phân.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng  2
Ví dụ 1: Cho tích phân cos xcos3xdx  a  b.  Giá trị 3 3 A  a  b  1.   2 A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C   2 2   1 I cos x.cos 3xdx cos 4x  cos 2x     dx   2   2 2    2 2 1 1 1 1   cos 4xdx  cos 2xdx  sin 4x  2 sin 2x  0  a  b      0. 2 2 8 4         2 2 2       3 3 3 A a b 1 a b
 3aba  b  1  1.  4
Ví dụ 2: Cho tích phân 4 1 1
I  sin xdx  a  b,a,b   . Giá trị A   a b bằng 0 A. 11. B. 20 . C. 4. D. 7. 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
 2  1cos2x2 12cos2x 2 2 4    cos 2x sin x sin x    2  4 1 1 1  1  cos 4 x      3  1 cos2x  1 cos 2x   cos 4x. 4 2 4  2  8 2 8   4  3 1 1   3 1 1  4 1 I   cos 2x  cos 4x dx  x  sin 2x  sin 4x   3      8  8 2 8   8 4 32  32 0 0 3 1 20  a  ; b    A  . 32 4 3  4
Ví dụ 3: Cho tích phân 2 tan xdx  a  b .  
Giá trị A  4a  8b bằng 0
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 20
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A. 0. B. 2. C. 1. D. 1. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B      4 4 4 4 4  2  2   1        dx tan xdx tan x 1 1 dx 1 dx    dx 2  2   cos x  0 0 0 0 cos x 0  tanx x    4  1  . 0 4 1
 a  1; b    A  2. 4  4  
Ví dụ 4: Cho tích phân 4  3sinx dx     8 sin 2a. Giá trị 6 6
A  sin a  cos a bằng 2   cos x   4 A. 1 . B. 1 . C. 1. D. 3 . 4 2 4 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A   4  4        4   3 2   3 2 3 sin x dx 4 tan x 3 cos x 4 4    8 . 2   cos x    2 2  4 4  3 1 sin 2a  1. Suy ra: 2 A  1  sin 2a  . 4 4  2
Ví dụ 5: Cho tích phân I   5
1  cos xdx  a  b,a,b  
. Giá trị A  6a 15b bằng 0 A. 11. B. 4. C. 7. D. 3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A    2 2 2 Ta có I   5 1  cos x 5 dx  dx  cos xdx.   0 0 0   2  Trong đó: dx  2 x   . 0 2 0    2 2 2 2 Xét K  5 cos xdx  4 cos x.cos xdx  1    2 sin x .cosxdx . 0 0 0 
Đặt t  sin x suy ra dt  cosxdx, x  0  t  0, x   t  1 . Khi đó: 2          1 1 1  5 2  2 2 4 2 3 t 8 K 1 t dt 1 2t t dt   t  t    .  3 5  15 0 0   0  Vậy 8 1 8 I    a  ; b   A  11. 2 15 2 15
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 21
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  6
Ví dụ 6: Cho tích phân dx I   a ln 3  b. 
Giá trị A  4a  3b bằng 3 0 cos x A. 2. B. 5. C. 4. D. 7. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A   6 6 cos x d sin x Ta có: I  dx   4  cos x  2 1  2 0 0 sin x 
Đặt t  sin x , với x  0 thì t  0 , với x  thì  1 t . 6 2 1 1 1 2 2 2 dt dt
1 t  1  t  1 Khi đó I      2 2 0 2  2 2  0 t  1 t  1 0 t  12 t  2  1 1 t   1 1   2 2   1  dt  dt I   2  2  t 1t 1 t 12 0 0 t 1          1 1   2  1
t 1 t 1 2 dt t  1  t     1  dt      2  4  t 1t 1 t 12 0 0 t 1          1 1 1 2 2 2  1 dt  1 dt   1 dt 2   4 t 1 2 t  1t   1 4 t  12 0 0 0 1 1 1 2 1 dt  1 2 1  1 1  2 1 d t  1    dt   . 2   4      4  t  1 t  1  4 t 1 t 12 0 0 0 Đáp số: 1 1 1 1 I  ln 3 
 a  ; b   A  2. 4 3 4 3  2 Ví dụ 7: Cho sin 2x cos x I  dx  a  b ln 2. 
Giá trị A  a b bằng 1  cos x 0 A. 4. B. 1. C. 5. D. 3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  2 2 Ta có:   cos x I 2 sin xdx 1  cos x 0 
Đặt t  cosx  dt  sin xdx và x : 0  thì t : 1  0 . 2 1 0 2 t     1  2 1 t     I 2 dt  2t  1 dt  2  t  ln 1  t   1   2ln 2 1  t  1  t   2  1 0   0  a  1  ; b  2  A  3.
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 22
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  2 
Ví dụ 8: Cho tích phân cos 3x 2 cos x I  dx  a ln 8  b, 
a,b.Giá trị A a b 5 bằng 2  3 sin x  cos 2x 0 A. 3. B. 2. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  2  2 4 cos x 1   cos x 2 2 Ta có: 3    4 sin x I dx d sin x . 2  2  3 sin x  0 12sin x    2 2 sin x  3 sin x  0 1 
Đặt t  sin x . Khi x  0 thì t  0 , khi x  thì t  1. Suy ra: 2 1 2 1   1  3  4t 6t  5
4t  4  2t 1 I  dt   2   dt 2 dt 2   2t  3t  1 2t 1 t 1 2t 1 t 1 0 0 
         0             1  4 1   2   dt  
2t  2ln2t 1 lnt  1   1  2t  1 t  1  0 0
 2  2ln 3  ln 2  ln18  2.  a  1; b  2   A  4.  2 Ví dụ 9: Cho 1 1        2 dx ln a 4 3 ln b 2 2  1  . Giá trị 3 3
A a b  2ab bằng  sin x 1  cos x 2 2 3 3 A. 301. B. 240. C. 360. D. 412. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Đặt 2
t  1  cos x  t  1  cos x  2tdt  sin xdx.  3  x   t  ; x   t  1 3 2 2   2 2 1 s inx dx  dx   2  sin x 1  cos x  sin x 1  cos x 3 3   1 1  1  2t  dt 2  1 1                     t. 1   t 1 dt 2 dt 2 2 t   2 2 t 2 t 2 t 3 3  2 2 3   2   2  2  1     2 3 2 1 1 t 2 1 1  2  2   ln    ln  1  2 2  t  2 t    2 2      3  3 2 3 2 1 2 1      2 ln 7 4 3 ln 3 2 2       1   a  7; b  3.  2 2  3 Suy ra: A  412.
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 23
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
3. Bài tập rèn luyện tốc độ  2  x x 
Câu 1: Cho tích phân 4 sin  4 cos dx  a    b và 3 3 a  b  7
 . Giá trị của a và b lần lượt là  2 2  0                A. a 1  . B. a 2  . C. a 1 a 2    . D. a 1 a 2    . b  2   b   1 b  2 b    1 b  2  b    1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D    2  x x  2  x x  x x  2 4 sin  4 cos dx  2 sin  2 2 cos sin  2 cos dx        cosxdx  2 2   2 2  2 2  0 0 0    2 sin x  1. 0 a  b    1 a  b    1 a  1 a    2    3 a  3 b   3  7 b  3  1      b  7  0 b  2 b    1   6 4 6 4  tan x   tan x I dx dx . 2 2  cos x  2 sin x cos x1 2 0 0 tan x  Đặt    dx t tan x dt và x : 0  thì  3 t : 0 . 2 cos x 6 3 3 3 3 3 4 3 t  1  3  1  1 1   I  dt   2 t  1  dt   t 1 dt 2    2   2      1  t  t  1   2  t  1 t  1  0 0 0 3  3  t 1 t  3    t  1 ln    10 3  1  ln 2 3 . 3 2 t       1  27 2 0 Tìm được a  3 .  3
Câu 2: Cho tích phân sin x I  dx  a  b. 
Giá trị A  5a b   1 bằng sin x  cos x  2 A. 0. B. 1. C. 5.. D. 3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 3   Đặt x 
 t  dx  dt . Đổi cận:         3 x t ; x t . 2 2 2   3  3 sin  t 2    3 Suy ra:  2        cos t I dt dt  3   3  sin t    sin  t  cos  cos t    t   2   2  2   3 sin x  3 cos x  1  Vậy: 2I  dx  1    sin 2x dx sin x   cos x   2  2 2
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 24
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN   1   1    1 1 x  cos 2x    I  1 2I  
 a  ; b    A  5. 4    2 2 4 4 4 2 2
Câu 3: Cho tích phân I   5
x  cos xdx  Fx  C. Giá trị F   bằng 0 2  2  2  2  A. . B. . C.  . D.  . 4 2 2 4 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B I  x  5 cos xdx  xdx  5 cos xdx  xdx      4 cos xd sin x 2 5 3   2 2          x  sin x  2sin x xdx 1 sin x d sin x  sin x    C  2 5 3     Fx F  2    . 2  4 
Câu 4: Cho tích phân 2 3 tan x I  dx  a 5  b 2 , 
a,b. Giá trị A  9a  2b bằng 1  cos 2x 0 A. 1. B. 5. C. 4. D. 7. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A   4 1 2  4 1  3 tan x  1 I dx 2  3tanx2 d2   3 tan x 2   2 cos x 6 0 0 5 5 3
Đặt 2  3tan x  t  I  1 tdt  1 2 1 2 . t  5 5   2 2  6 6 3 9 2 2 5 2
 a  ; b    A  1. 9 9  2
Câu 5: Cho I    3 cos x  1 2   
  Giá trị A  9a b bằng 1 cos xdx a b ,a, b . 0 A. 29 . B. 31 . C. 101. D. 53 . 64 20 20 60 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C   2 2 Ta có: 5 2
I  cos xdx  cos xdx  A  B.   0 0    2 2    +) Tính 1 B  cos xdx   1 cos2x 1 1 2 2 dx  x  sin 2x    . 2 2  2  4 0 0 0
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 25
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  2 +) Tính A   5 cos xdx . 0 
Đặt t  sin x  dt  cos xdx và x : 0  thì t : 0  1. 2   2 2 1 2 2 Khi đó: A  4 cos x cos xdx  1 2 sin x cosxdx  1     2 t  dt 0 0 0 1 1 5  4 2         t  2 3 t  t   8 t 2t 1 dt   . 5 3 15 0   0 8 1 101  a  ; b    A  . 15 4 20 0 sin 2x
Câu 6: Cho I
dx a ln 2  , b a,b  .   Tính 2 3
A a b . 2    2  sin x  2 A. 1. B. 4. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 0 0  sin 2x   2 sin x I dx cos xdx 2  2  2  sin x  2  sin x   2 2 
Đặt t  2  sin x  dt  cos xdx và x :   0 thì t : 1  2. 2 2 t  2 2 2 2   Khi đó 2 4  4  I  dt   dt  2 ln t 
 2ln 2  2  a  2; b  2       . 2 2 t  t t   t  1 1 1 A  4  .  2
Câu 7: Cho tích phân sin x  cos x b          b dx a ln 2, a ; b,c ,
là phân số tối giản. Giá tị sin x  cos x c c  4 A  a  2b  c bằng A. 4. B. 5. C. 1. D. 7. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A   2 sin x  2  cos x d sin x  cos x  I  dx   ln sin x  2 cos x  ln1  ln 2           ln 2 a 0, b 1,c 2 A 4. sin x  cos x sin x    cos x 4 4 4  3
Câu 8: Cho tích phân cos 2x dx  a  b 3. 
Giá trị A  5a  3b bằng 2 2  cos x sin x 4 A. 14. B. 2.  C. 6. D. 3. Hướng dẫn giải
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 26
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN A.     3 3 2 cos 2x cos x  2 3 3   sin x  1   1 I dx dx dx dx 2 2  2 2  2  2  cos x sin x  cos x sin x  sin x  cos x 4 4 4 4  3 1                 4 cotx tanx 6 4 3 a 2; b A 14. 3 3 4  2 sin 2xdx
Câu 9: Xét tích phân I  . 
Nếu đặt t  1 cos x, ta được: 1 cos x 0 2 1 3 4t  4t 1 3 4t   4t 2 A. I  4  2 x   1dx. B. I  4 dt.  C. I  4 dx.  D. I  4  2t   1dt. t t 1 2 2 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 2
t  1 cos x  t  cos x  2tdt  sin xdx 
Khi x  0 thì t  2, khi x  thì t  1. 2  2 2sin x cos xdx 4t   2 1 t   1 3 1 4  t  4t Do đó: I   dt  dt    1 cos x t t 0 2 2
Dạng 4: Tích phân từng phần 1. Phương pháp
Cho u ux, v vx là các hàm số liên tục trên đoạn  ;
a b và có đạo hàm trên khoảng  ; a b ta có b b
udv uv vdu udv    
uvb vdua a a
Chú ý: Cho dãy “ưu tiên” các loại hàm như sau LOGARIT  ĐA THỨC  MŨ, LƯỢNG GIÁC và
Px,Qx là 2 trong các loại hàm số đó. Khi cần tính P xQ xdx
ta chọn từng phần theo nguyên tắc sau
+) Chọn u = Hàm được ưu tiên hơn +) dv = phần còn lại u   ln  x  1 Ví dụ 2x   1 ln  x    1 dx ta chọn  dv   2x  1dx
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 2
Ví dụ 1: Kết quả tích phân 2x  ln x   1 dx  3ln3 , b b 
.Giá trị 3 b là 0 A. 3. B. 4. C. 5. D. 7. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 27
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2
I   2x lnx  1dx AB 0 2 2 Tính 2 A  2xdx x  4  0 0 2 Tính B  lnx  1dx 0   dx
u  ln  x   1 du  Xem:    x 1 dv dx
v x 1
Dùng công thức tích phân từng phần 2     ln    1      1 .ln    2 2 1 2 1   3ln 3   3ln 3  2.  x B x dx x x dx x 0 0 0 0 x 1 2
Vậy: I   2x lnx   1 dx  3ln3 2. 0 1
Ví dụ 2: Biết rằng tích phân x (2x 1)e dx a be,a,b        .Giá trị ab bằng 0 A. 1. B. 1. C. 15. D. 20. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
Đặt u  (2x 1)  du  2dx x x dv  e dx  v  e 1 (2x 1)e dx   (2x 1)e  1 1 1 1 x x x x x
 2 e dx  (2x 1)e  2e  e 1.  0 0 0 0 0 m
Ví dụ 3: Tìm số thực m  1 thỏa mãn ln x   1 dx  m. 1 A. m  2e. B. m  e. C. 2 m  e . D. m  e 1. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B m m m A  ln x   1 dx  ln xdx  dx   1 1 1 m I  ln xdx  1  1 u  ln x du  dx Đặt    x dv  dx v  x m m  I  x ln x  dx  1 1   m m e
A  x ln x  m ln m  m  . 1  m  0 x e 3 3x e
Ví dụ 4: Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 0;  và I  d .  x x x 1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 28
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
A. I F 3  F   1 .
B. I F 6  F 3. C. I F 9  F 3. D. I F 4  F 2. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 3 3x e Xét I  dxx 1
Đặt t  3x  dt  3d .
x Đổi cận: x 1 t  3 , x  3  t  9. 9 t 9 3 1 t e e Suy ra I  . dt
dt F t  9  F 9    F 3. 3 t 3 t 3 3 k
Ví dụ 5: Đặt I  ln dx, e
k nguyên dương. Ta có I e  2 khi: k 1 x k
A. k 1;  2 .
B. k 2;  3 .
C. k 4;  1 .
D. k 3;  4 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A k  1 u  ln du   dx ek e  Đặt  x   xI  .l x n + dx e
k   I e  2 k      1 ln 1 k  1  x  dv dx v x 1    e   e 3 2
1 ln k 1  e  2  ln k   ln k  1 e 1 e 1
Do k nguyên dương nên k 1;  2 . 2 
Ví dụ 6: Cho tích phân 1 x x 2 I  e dx  ae  be. 
Giá trị A  8a b bằng 2 1 x A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 2 2 x 2 x 1  x x e e I  e dx  dx  dx.    2 2 x x x 1 1 1 2 x * Tính e I  1 dx.  2 1 x Đặt x x dx
u  e  du  e dx; dv  , chọn 1 v   . 2 x x 2 2 x 2 x e 1 x e  I     1 dx e dx.   2 x x x 1 1 1 2 2 2 x 2 2 x Vậy 1  x x 1 x e e 1 x e I  e dx   e  dx  dx   e     2  e. 2 x x x x x 2 1 1 1 1 1 1
 a   ; b  1  A  3  . 2  3
Ví dụ 7: Cho tích phân x 3 dx  a  b ln . 
Giá trị A  9  4 3a  6b 2  sin x 2 bằng 4
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 29
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A. 47 . B. 5 . C. 11. D. 21. 12 12 4 14 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Đặt dx u  x  du  dx; dv  , chọn v  cot x. 2 sin x      3 3 3 Vậy x 3 3 cos x I  dx  x cos x  cot xdx  xcos x  dx    2    sin x sin x   4 4 4 4 4  9  4 3       3 1 3 x cot x ln sin x   ln  .  36 2 2 4 9  4 3 1 47  a  ; b   A  . 36 2 12  4
Ví dụ 8: Cho tích phân 2 2
I  x tan xdx  a  b  c ln 2,a,b,c   . 0
Giá trị A  32a  4b  2c bằng A. 3 . B. 2. C. 1. D. 1. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C  4 Tính x   2 tan x  1dx 0 Đặt      2 u x du dx; dv tan x   1 dx , chọn v  tan x.      4 4 4 Vậy   2   4 4 sin x x tan x 1 dx  x tan x  tan xdx  x tan x  dx   0 0 cos x 0 0 0   4
 xtan x  lncosx 4 . 0 0   4   4   Do đó: 2        2 2 x 2 I x tan xdx x tan x ln cos x     ln   2   4 2 32 0  0 2   1     ln 2 . 32 4 2 1 1 1  a  
; b  ; c    A  1  . 32 4 2  3 ln sin x  
Ví dụ 9: Cho tích phân 3 I  dx  a ln    b .  
Giá trị A  log a  log b bằng 2  3  3 6  cos x  4  6  A. 3 . B. 2. C. 1. D. 1. 2 2 Hướng dẫn giải
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 30
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN C Đặt    cos x dx u ln sin x  du  dx ; dv  , chọn v  tan x . sin x 2 cos x    3 ln sin x 3 Vậy I  dx  tan x ln   sinx 3  dx  2    cos x  6 6 6  3  3 1      3    3 ln   ln      3 ln       . 3 2 2 2 3 2       4 6  1 1
 a  3; b   A   . 6 2 2
Ví dụ 10: Cho tích phân        1 a b I cos ln x dx sin a cos b . Giá trị 5 2
A e e bằng 2 1 A. 28. B. 35. C. 27. D. 32. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A sin ln x Đặt u  cosln x    du 
dx; dv  dx , chọn v  x. x 2 2 Vậy I  cos
 lnxdx  xcoslnx 2  sin  lnxdx. 1 1 1 2 * Tính I  1 sin  lnxdx 1 Đặt       dx u sin ln x du cos ln x
; dv  dx , chọn v  x . x 2  I  sin
 lnxdx  xsinlnx 2 2  . 1 cos  lnxdx 1 1 1 2 2 Vậy I  cos
 lnxdx  xcoslnx 2  xsinlnx 2  cos  lnxdx 1 1 1 1 2  2I  2 cos
 lnxdx  xcoslnx 2  xsinlnx 2 . 1 1 1 2
Vậy           1 I cos ln x dx sin ln 2 cos ln 2 
 a  b  ln 2  A  28. 2 1 e a 
Ví dụ 11: Cho tích phân ln x 1 I  ln xdx    và K  dx  .   x ln x  1 1 1
Giá trị A     1 bằng A. ln alna  1 . B. ln a lna  1 . C. ln lna  1 .
D. ln lna  1 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B e e e e
ln xdx  x ln x  xd ln x  e  dx  1      . 1 1 1 1
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 31
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN e e ln x  1 dxln x  1 e dx 
 ln xln x  1  ln a lna  1     .   1 x ln x 1 x ln x 1 1 1
A  1  ln a ln a  1  1  ln a ln a  1 . a  2 e x  1ln x
Ví dụ 12: Giá trị tích phân I  dx, a   0 bằng x 1 2    2   2   2   A. e 1 2a e 1 2a e 1 2a e 1 2a . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C a  2 e x  1lnx e e Ta có: a ln x I  dx  x ln xdx  dx    . x x 1 1 1   a ln x a ln x Xét         e 2 e e   a A dx a ln xd ln x   . x  2    2 1 1   1 e Xét B  xln xdx.  1  dx du     Đặt u ln x  x    2 dv   xdx  x v   2 e e e  2 e   2  2 2 x x x x e 1  B   ln x   dx   ln x     .   2  2  2  4 4 4   1   1 1 1 2 Vậy e  1  2a I  . 4
3. Bài tập rèn luyện tốc độ 2 Câu 1: Biết x  e  x 2x  e  4 2
dx  a.e  b.e  c với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị S a b c bằng 0 A. S  2. B. S  4  . C. S  2  . D. S  4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 2 2x x 2 2 2 2 2 e e 1 Ta có x I   e  x 2x  e  2x x x x
dx  e dx   2x.e dx   2 xe dx    2 xe dx. 0 0 0 2 0 2 2 0 0 Đặt 4 u  x du  dx e 1     I     x 2x.e  2 2 x  2 e dx  1 3 x x 0 dv  e dx v  e 2 2 0 a  ;c    2
2  S  a  b  c  4. 4 e 1      2x.e  2e  4 2 2 e 3 2 x 2   2e  b  2 0 0 2 2 2 2 a x Câu 2: Tìm a sao cho 2 I  x.e dx  4.  Chọn đáp án đúng. 0
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 32
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A. 1. B. 0. C. 4. D. 2. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D a x u  x du  dx   Ta có: 2 I  x.e dx  . Đặt  x   x 0 2 2 dv  e dx v  2.e a a x a x a x a 2 2 2 2  I  2x.e  2 e dx  2ae  4.e  2  a  2 2 e  4 0 0 0 a
Theo đề ra ta có:      2 I 4
2 a 2 e  4  4  a  2. 1 Câu 3: Tìm m để      xe x m dx e. 0 A. m  0. B. m  e. C. m  1. D. m  e. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Đặt u  x  m du  dx    x x dv  e dx v  e 1 1  I  e
 x mdx  e x m1  e dx  e  x  m  1 x x x x 1  me  m 1 0 0 0 0
Mặt khác: I  e  me  m 1  e  me   1  e 1  m 1. 2
Câu 4: Cho x(1 ln x)dx a ln b c,(a, b,c  ). 
 Đẳng thức nào sau đây là đúng? 1 A. a  b  c. B. a  b  c. C. a  b  c. D. a  b  c Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Đặt  dx du  
u  1 ln xx    dv xdx  2 x v   2 2 2 2 2 2 x 2 1 x 2 x 2
x(1 ln x)dx  (1 ln x)  xdx  (1 ln x)    2 1 2 2 1 4 1 1 1 a 2,b 2 2 2    x 2 x 2 3   (1 ln x)   2 ln 2    3 2 1 4 1 4 c   4  4
Câu 5: Cho I  x   
1 sin 2xdx . Đẳng thức đúng là 0
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 33
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN     4 4
A. I  x   1 cos 2x 4  cos 2xdx. 
B. I  x   1 cos 2x 4  cos 2xdx.  0 0 0 0     4 1 1 4 1 1
C. I   x   1 cos 2x 4  cos 2xdx. 
D. I   x   1 cos 2x 4  cos 2xdx.  2 2 2 2 0 0 0 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C  du dx    4  u  x 1  1 1 Đặt    1  I   x   1 cos 2x 4  cos 2xdx  dv  sin 2xdx v   cos 2x 2 2  0  0 2  4 Câu 6: Tích phân d    ln 2,  x x a b
với a , b là các số thực. Giá trị 16a 8 . b 1 cos 2x 0 A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A u   x du  dx   Đặt  dx   1 . Ta có dv v  tan x  1 cos 2x    2  1 1 4
I x tan x 4  tan d  x x 0 2 2 0   1  1 1  1 1 1
  ln cos x 4   ln
  ln 2  a  ,b   . 8 2 8 2 2 8 4 8 4 0
Do đó, 16a 8b  4. 1
Câu 7: Kết quả tích phân  2 3 x I x
e dx được viết dưới dạng I ae b với a , b là các số hữu tỉ. 0
Khẳng định nào sau đây đúng? A. a  . b
B. a b C. a  . b
D. a b  0. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B u   2x  3 du  2.dx  Đặt    . d x v e d x xv e 1 1
Tích phân  2  3 x  2 x I x e e dx
5e  3  2 e 1 = 3e 1 0  =   0
 Vậy a  3 và b  1  .
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 34
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1
Câu 8: Xét tích phân   2 2  4 2x I x
e dx . Nếu đặt 2
u  2x  4 , 2 x
v  e , ta được tích phân 0 1 1 2  ( )  2 x I x xe dx  , trong đó: 0 0
A.      2   2 2 4 x x x e .
B.      2   2 2 x x x e . 1
C.      2  2 x x x e .
D.      2 2  4 x x x e . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B   2 du 4 d x x u   2x  4  1 1 1 Đặt    1 . Khi đó   2 2
 4 2xd   2  2 2x 2  2 x I x e x x e xe dx  . 2x 2 dv e d x x v e  0  2 0 0 1 b b
Câu 9: Giả sử tích phân .l x n  2x  2017 1
dx a  ln 3.Với phân số tối giản. Giá trị b c bằng c c 0 A. 6057. B. 6059. C. 6058. D. 6056. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 1 Ta có I  .
x ln 2x  2017 1 dx  2017 . x ln 2x     1 dx . 0 0  2     x   du dx u ln 2 1  2x 1 Đặt    2 dv  d x x x 1 v    2 8 1 1 2 1 2  x 1   x 1  2  Do đó .l x n  2x  
1 dx  ln 2x   1        dx  2 8   2 8  2x 1 0 0 0  1 2 3  x x  3  ln 3     ln 3 8  4  8 0 1    I x   x  2017 3 6051 .ln 2 1 dx  2017 ln 3  ln 3.    8  8 0
Khi đó b c  6059. 1
Câu 10: Tìm m để  xe x mdx  .e 0 A. m  0. B. m  . e C. m 1.
D. m e. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 35
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1 1 1
I   xe x mdx  x md xe   x m 1 x e   xedx 0 0 0 0
 x m 1 1 x ex e
me m 1 0 0
I e me m 1  e m  1. 2 a ln 4  b
Câu 11: Biết kết quả của tích phân I    2 x  
1 ln xdx được viết dưới dạng (a, b, c là các số 1 c
nguyên). Khi đó a+b+c bằng A. 17. B. 10. C. 13. D. 28. hướng dẫn giải ĐAP AN D Đặt  dx du u ln x      x    dv    2x    3 1 dx x v   x  3 2 2 2 3 3 3 3 2  x   x   x   x   I   x ln x     1 dx   x ln x   x        3 1   3   3   9  1 1 1 a  6 3ln 4  2 6ln 4  4  I  
 b  4  a  b  c  28. 9 18 c 18 
Câu 12: Cho tích phân  2 1 I  2 sin 2x  
cos x ln 1  sin x dx  a ln 2  b a,b  3 3  
 . Giá trị S  a  b bằng 3 0 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C    2 2 I  2
cos x ln 1  sin xdx  1  sin xln1  sin x 2  cos xdx  ...  2ln 2   1 . 0  0 0 Vậy        1 I 2 ln 2 1 a 2; b 1 S  3a  3b3. 3   
3  x  sin x 3 dx 3  1 
Câu 13: Biết tích phân  1 I    x tan  x   x tan xd .   x Giá trị  là 2   cos x  cos x  0 0 0 A. 0. B. 1. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 36
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  3 x  sin x   dx 3       x  sin x I dx  I    I 2 2  1 2 2 0 cos x 0  cos x cos x    3 I   1 d cos x   1 3 2 2 cos x cos x 0 0  x  u   1 Đặt  x dx     du dx   dv v   tan x  2 cos x   3 Suy ra   I  x tan x    1 3 1 x tan xdx 0 0   x  x    1.   
Câu 14: Biết tích phân sau 
bsin x dx  ln  a I x    2  1  3.Giá trị 5 5
S a b bằng 2   x 1  0 A. 300. B. 200. C. 275. D. 135. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C     a     ax I x b sin x dx dx     bx sin xdx . 2  2   x  1  x  0 0 1 0   d 2 x  1 ax a   Tính  dx   a 2 ln x  1  a I . 1  ln 1 2  2 2   x  1 2 x  1 2 2 0 0 0  Tính I  2 bxsinxdx . 0 x  u du  Đặt dx    b sin xdx  dv v     b cos x   
I  bx cos x  b cos xdx   b  3sin x   2 b . 0  0 0 Vậy  a I ln 2   1  
b  ln 2  1  3  a  2; b  3 . 2 Suy ra: S  275. 1   x
Câu 15: Giá trị tích phân I x e     dx bằng  x 1 0 A.   1     ln 2.
B. 1    ln 2 .
C. 2    ln 2.
D. 2     ln 2 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 1 1 Ta có  x x I  xe dx  dx.   x  1 0 0 1 1 1 1 1 x x x x x xe dx  xde  xe  e dx  e  e  1.    0 0 0 0 0
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 37
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1 1 x    dx    dx   
xln x 11      ln 2. x  1  x  1 0  0 0
Do đó I  1    ln 2.
Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. Phương pháp b
Bài toán: Tính tích phân I g  xdx a
( với g ( x ) là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối) PP chung:
Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên  ; a b
Dựa vào dấu để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách)
Tính mỗi tích phân thành phần. b
Đặc biệt: Tính tích phân I f (x) dx a Cách giải Cách 1:
+) Cho f (x)  0 tìm nghiệm trên  ; a b
+) Xét dấu của f ( x) trên  ;
a b, dựa vào dấu của f (x) để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử
dụng tính chất 3 để tách)
+) Tính mỗi tích phân thành phần. Cách 2:
+) Cho f (x)  0 tìm nghiệm trên a;b giả sử các nghiệm đó là x ; x ;...x 1 2 n
( với x x  ...  x ). 1 2 n 1 x 2 x 3 x b Khi đó I
f (x) dx
f (x) dx
f (x) dx  ...  f (x) d     x a 1 x 2 x n x 1 x 2 x 3 x b
I f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx  ... f (x)d     x a 1 x 2 x n x
+) Tính mỗi tích phân thành phần
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 38
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 2 Ví dụ 1: 2 a           a S x x 2 dx , a, b
, là phân số tối giản. Giá trị a b bằng b b 1  A. 11. B. 25. C. 100. D. 50. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A            2 2 2  3 2  2 2 x x S x x 2 dx x x 2 dx      2x  3 2  1  1   1  8 4   1 1  9       4       2    3 2   3 2  2  Ví dụ 2: I  1  sin 2xdx  a a , * a    . Hỏi 3 a là bao nhiêu? 0 A. 27. B. 64. C. 125. D. 8. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D    Ta có:     2 1 sin 2x sin x cos x
 sin x  cos x  2 sin x    .  4       Với 3 x  0;   x    ; .     4  4 4         + Với x    ;0   thì sin x     0 4  4   4         + Với 3 x   0;   thì sin x     0 4  4   4   4         I   2 sin x  dx  2 sin x  dx        2 2.  4   4  0  4 5 2  2 1 Ví dụ 3: Biết  d  4  ln 2  ln 5,  x I x a b
với a , b là các số nguyên. Giá trị S a b bằng x 1 A. 9. B. 11. C. 5. D. 3.  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 5 2 5 2 x  2 1 2 x  2 1 2 x  2 1 Ta có: I  dx  dx  dx    x x x 1 1 2 2 22  x 5 1 2 x  2 1 2 5  2x 5 2x  3  dx dx dx dx     1 2 x x x x 1 2 2  5 5   3    x dx  2  dx       
5ln x x 2 2x 3ln x 5 1 2 1 2  x   x  a  8
 8ln 2 3ln 5  4  
a b  11. b   3 
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 39
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2
Ví dụ 4: Cho tích phân 1  cos 2xdx  
ab và a  b  2  2 2. Giá trị của a và b lần lượt là 0 a   2  A.    . B. a 2 2  . b  2 2 b  2   a  2   a  2 C. a 2 2 a 2 2    . D.    . b  2 b  2 2 b  2 b  2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 2 2  2 1  cos 2xdx  2 sin x dx  2 sin xdx     2  sin xdx 0 0 0   2   2 cos x  2 cos x  4 2. 0  ab  4 2   a  2 2        a 2 2 X 2 2 2 X  4 2  0     . a  b  2  2 2 b  2 b  2 2 1  1 
Ví dụ 5: Tính tích phân I x x - a dx, a  0 
ta được kết quả I f (a) . Khi đó tổng f (8)  f   có giá  2  0 trị bằng: A. 2 4 . B. 9 1 . C. 17 . D. 2 9 1 2 4 2 17 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 1 3 2  x ax a 1 8 1 11
TH1: Nếu a  1 khi đó I   x
 xadx  
    f (8)     3 2  2 3 2 3 3 0 0 a 1
TH 2: Nếu 0  a  1 khi đó I   x
 x adx x
 x adx 0 a a 1 3 2 3 2 3  x ax   x ax a a 1  1  1 1 1 1            f        3 2   3 2  3 2 3  2  24 4 3 8 0 a  1  11 1 91
Khi đó f (8)  f      .  2  3 8 24 1 2
Ví dụ 6: Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa  f 2xdx  2 và  f 6xdx 14 . Giá trị 0 0 2
f 5 x  2dx bằng 2  A. 30. B. 32. C. 34. D. 36. Lời giải ĐÁP ÁN B
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 40
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1 + Xét f
 2xdx  2. 0
Đặt u  2x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x 1 u  2 . 1 2 1 2 Nên 2  f
 2xdx f
 udu f
 udu  4. 2 0 0 0 2 + Xét f
 6xdx 14 . 0
Đặt v  6x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v 12 . 2 12 1 12 Nên 14  f
 6xdx f
 vdv f
 vdv  84. 6 0 0 0 2 0 2 + Xét f
 5 x  2dx f
 5 x  2dx f
 5 x  2dx. 2  2 0 0  Tính I
f 5 x  2 dx . 1    2
Đặt t  5 x 2. Khi 2
  x  0 , t  5x  2  dt  5  dx ; x  2
  t 12 ; x  0  t  2. 2 1  12 2   I f t dt 1  1  f
 tdt f  t  84  4  . 1    dt 16 5  5 5 12  0 0  2
 Tính I f 5 x  2 dx . 1    0
Đặt t  5 x 2.
Khi 0  x  2, t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2. 12 1 12 2   I f t dt 1  1  f
 tdt f  t  84  4  . 2    dt 16 5  5 5 2  0 0  2 Vậy f
 5 x 2dx  32. 2  2 4 1
Ví dụ 7: Cho hàm số y f x liên tục trên 0;4 và  f xdx 1;  f xdx  3. Giá trị  f  3x 1dx 0 0 1  bằng A. 4. B. 2. C. 4 . D. 1. 3
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 41
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 1
f  3x 1  1/3 1 dx
f 1 3xdx f 3x      1 dx . 1 1 1/3 1/3 1 1  
f   x   x 1 1 3 d 1 3  f 3x   1 d 3x     1 . 3 3 1 1/3 0 2 1   f  t 1 dt f
 tdt 1     1 4 3  .1  . 3 3 3 3 3 4 0
3. Bài tập rèn luyện tốc độ 3  24 3 Câu 1: 4 2   4  3  .  a S y y dy
Giá tị A  2B bằng b  3 A. 80. B. 83. C. 142. D. 79. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 4 2     2   2 y 4y 3 y 1 y  3 Xét dấu  2   2 y 1 y  3 , ta có: y -∞ - 3 -1 1 3 +∞ y2-1 + + 0 - + + y2-3 + 0 - - 0 - 0 + (y2-1)(y2-3) + 0 - 0 - 0 - 0 + 3
S   4  4y   1  y  3 2 4 4 2 dy  y  4y  3 dy   3  3 1     y  4y  3 1
dy   y  4y  3 3 4 2 4 2 dy     4 2 y  4y  3dy  3 1  1 1  1 3  5 3   5 3   5 3 y 4y y 4y y 4y      3y     3y     3y  5 3   5 3   5 3         3 1 1 112  24 3  . 15 1 Câu 2: 2 a           a S 4x 4x 1dx , a, b
, là phân số tối giản. Giá trị a  4b bằng b b 0 A. 1. B. 3. C. 35. D. 3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 1 1
Ta có: I   2x  2   7 1 dx 2x 1 dx  0 0
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 42
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1 1 1 2 1 2 1  I            . 7 2x 1 dx 2x 1 dx 2x 1 dx    1 2x 1 dx 2x 1dx 2 0 0 1 0 1 2 2 Suy ra: a  1,b  2. 2 Câu 3: I  1  sin xdx  A B  , biết A  2B Giá trị 3 3 A  B bằng 0 A. 72. B. 8. C. 65. D. 35. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 2      Ta có: x x x x x 1  sin x  sin  cos  sin  cos  2 sin       2 2  2 2  2 4       Với x x 5 x  0; 2   0;     ;       . 2 2 4  4 4         + Với x   ;    thì x sin     0 2 4  4   2 4         + Với x 5   ;   thì x sin     0 2 4  4   2 4  3 2 2  x    x    I  2 sin  dx  2 sin  dx        4 2 .  2 4   2 4  0 3 2  2
Câu 4: Cho tích phân 2 1 3 sin 2  2cos  3  .  x xdx a
b Giá trị A a b  4 bằng 0 A. 2. B. 5  . C. 5. D. 8  . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D   2 4 2 2 I  1  3 sin 2x  2 2 cos xdx 
sinx 3cosx dx sinx    3 cos x dx . 0 0 0 
sin x  3 cos x  0  tan x  3  x   k . 3     Do x0;  nên x  .  2  3     3 2 3 2 I  sin x  3 cos x dx  sin x  3 cos x dx   
sinx  3cosxdx  sinx  3cosxdx 0  0  3 3     3   
 2  1  3     1  3 cos x 3 sin x cos x 3 sin x 1 3  3   3. 0 2 2 2 2 3
 a  1; b  3  A  8
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 43
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
Dạng 6: Tích phân siêu việt 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 2
Ví dụ 1: Xét tích phân 2  .ex I x dx
. Sử dụng phương pháp đổi biến số với 2
u x , tích phân I được 1
biến đổi thành dạng nào sau đây: 2 2 1 2 1 2 A.  2 eu I du  . B.  eu I du  . C.  eu I du  . D.  2 eu I du  . 2 2 1 1 1 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 2 Ta có 2  ex I d x x  . 1 Đặt 2
u x  du  1 2 d x x  d x x  du . 2
Với x 1 u 1 và x  2  u  2 . 2 1 Khi đó  eu I du  . 2 1 e dx
Ví dụ 2: Biết rằng I      
 Giá trị của S a b c bằng x  a ln 3 b ln 2 c, a, b,c . 2 ln x  3ln x  2 1    A. 3. B. 2. C. 0. D. 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 1 1 1 2 2 2 dt  1 1  t  2 3 Đặt t  ln x  I    dt  ln  ln  ln 3  ln 2.   2   t  3t  2  t  2 t 1 t 1 2 0 0 0
Do đó a  1; b  1;c  0  S  0. 8 e
Ví dụ 3: Cho tích phân dx  lna  ln b, * a, b  
 .Giá trị S  cos a b   sin a     b  3 x ln x ln ex e bằng A. 0. B. 1. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 8 8 e e dx dx I      3 x ln x ln x 3 x ln x 1 ln x e e Đặt 3
t  1  ln x; x  e thì 8
t  2; x  3 thì t  3 .
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 44
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2 dx 2 t  1  ln x  2tdt  ; ln x  t  1 . x 3 3 2tdt t  1 I   ln
 ln 3  ln 2  a  3, b  2  . t   1 2  2 t 1t 2
S  cos a  b  sin   a  b  1  .  1 f (x) e
Ví dụ 4: Cho F(x) 
là một nguyên hàm của hàm số . Tính f (  x)ln d x x  bằng: 2 2x x 1 2 e  3 2 2  e 2 e  2 2 3  e A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2e 2 e 2 e 2 2e Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 1 f (x) f (x) 1    1 Do F(x) 
là một nguyên hàm của hàm số nên 
f x   . 2   2x x 2 x  2x  2 x 1 e ln x   u  dx  du Tính I f (  x)ln d x x  . Đặt  .       x
f x dx  dv 1  f
  x  v e f x e e 1 1 2 e  3
Khi đó I f x.ln  x e    dx    .ln x   . 2   1 x 2 x 2x 2 2e 1 1 1 1
Ví dụ 5: Cho hàm số y f (x) với f (0)  f (1)  1. Biết rằng: x e f
  x f xdx aeb  Tính 0 2017 2017 Q ab . A. 2017 Q  2 1. B. Q  2 . C. Q  0 . D. 2017 Q  2 1. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C u
  f x
du f xdx Đặt    . d x v e d x x v e 1 1 1 x
     d x     2 x     d x e f x f x x e f x
e f x x e f  
xdxY ef  1 f 0  e 1. 1 0 0 0
Do đó a  1, b  1  . Suy ra 2017 2017 Q ab    2017 2017 1 1  0 . Vậy Q  0 . 2 2018 x
Ví dụ 6: Tính tích phân I  dx  ex 1 2 
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 45
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2020 2 2019 2 2018 2 A. I  0 . B. I  . C. I  . D. I  . 2019 2019 2018 Lời giải 2 2018 x Tính tích phân I  dx  . ex 1 2 
Đặt x  t  dx  dt . Khi x  2
 thì t  2; khi x  2 thì t  2  . Ta có 2018 2 xt  2018 2 2 2 2018 t .et 2 2019 t 2019 2.2 2019 2 I  dx  dt  dt    2018  2I t dt     I  . ex 1 et 1 et 1 2019 2019 2019 2  2  2  2  2  1 3 x 3
x  2  ex .2x 1 1  e  Ví dụ 7: Biết dx   ln p  
với m , n , p là các số nguyên dương.     e.2x m e ln n  e    0
Tính tổng S m n p . A. S  6 . B. S  5. C. S  7 . D. S  8 . Hướng dẫn giải 1 3 x 3 x 1 x 1
x  2  ex .2  2  1 2x 1 Ta có 3 dx   x  dx   dx   J   .  e.2x    e.2x  4   e.2x 4 0 0 0 1 2x Tính J  dx  .   e.2x 0 x x x 1
Đặt   e.2  t  e.2 ln 2dx  dt  2 dx  dt . e.ln 2
Đổi cận: Khi x  0 thì t    e ; khi x  1 thì t    2e . 1 x  2e 2 1 1 1  2e 1  e  J  dx  dt  ln t  ln 1   . x    e   e.2 e ln 2 t e ln 2 e ln 2  e    0  e 1 3 x 3
x  2  ex .2x 1 1  e  Khi đó dx   ln 1 
m  4 , n  2 , p  1. Vậy S  7 .     e.2x 4 e ln 2  e    0 1 2 1
Ví dụ 8 : Cho y f x là hàm số chẵn và liên tục trên .  Biết f
 xdx f
 xdx 1. Giá trị của 2 0 1
2 f x dx  bằng 3x 1 2 A. 1. B. 6 . C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 1 2 1 1 2
Do f xdx   f
 xdx 1  f xdx 1   và f
 xdx  2 2 0 1 0 1 1 2 2  f
 xdx f
 xdx f
 xdx  3. 0 1 0 2 f x 0 f x 2 f x Mặt khác dx   dx  dx  
và y f x là hàm số chẵn, liên tục trên  3x 1 3x 1 3x 1 2  2 0
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 46
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
f x  f xx   . 0 f x Xét I  dx
. Đặt t  x dx  dt 3x 1 2  0 f x 0 f t 2 f t   2 3t f t 2 3x f x  I  dx    dt =  dt =  dt =  dx  3x 1 3t 1 1 3t 1 3x 1 2  2 0 1 0 0 3t 2 f x 0 2 f x f x 2 3x f x 2 f x 2 3x   1 f x  dx       dx  dx    dx  dx    dx   3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 2 2  0 0 0 0 2 f
 xdx  3. 0 f 2 x   1 ln x
Ví dụ 9: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1;4 và thỏa mãn f x   . Tính tích x x 4 phân I f  xdx . 3 A. 2 I  3  2ln 2 . B. 2 I  2ln 2 . C. 2 I  ln 2 .
D. I  2ln 2 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 4
4  f 2 x   1  ln x
4 f 2 x   4 1 ln x
Ta có f xdx      dx   dx  dx    . x x x x 1 1   1 1
4 f 2 x   1 Xét K  dx  . x 1 t 1 x
Đặt 2 x 1  t x  d   dt . 2 x 3 3  K f
 tdt f  xdx. 1 1 4 4 ln x 4 2 ln x Xét M  dx   ln d x  ln x   2 2ln 2 . x 2 1 1 1 4 3 4 Do đó f
 xdx f  x 2
dx  2ln 2  f  x 2 dx  2ln 2 . 1 1 3  2 1
x  5x  6ex e a c Ví dụ 10: Biết dx  e a b  ln 
với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của
x  2  ex 3 0
logarit tự nhiên. Tính S  2a b c . A. S  10 . B. S  0 . C. S  5. D. S  9 . Lời giải
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 47
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN D 1  2
x  5x  6 x 1 e
x  2x 3 2ex Ta có : I  dx  dx   .
x  2  ex x  2 ex 1 0 0  
Đặt    2ex t x
 d    3ex t x
dx . Đổi cận : x  0  t  2 , x 1 t  3e . 3e 3e tdt  1  I    t    
t t  3e 3e 1 1 d ln 1  3e  2  ln . 2 t 1  t 1 3 2 2
Vậy a  3, b  2 , c 1  S  9 . a 1 2a x e
Ví dụ 11: Cho số thực a  0 , đặt b    . Tính I  dx
theo a và b .
a x dx 2 x e 3a xa 0 b b a A. I  . B. I  . C. I  . D.  . a I b e . a e a e b e Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D
Đặt t a x x a t dx  dt . Đổi cận: x 0 2a
t a a a at e a a e Ta có I   dt   dt   . a b e .
3a a t a t ea  2  t a  
3. Bài tập rèn luyện tốc độ 4 e 1 4 Câu 1: Biết f
 ln x dx  4. Tính tích phân I f
 xdx . x e 1 A. 8 . B. 16. C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 1
Đặt t  ln x  dt  dx . x
Đổi cận : Với x e t  1 ; 4
x e t  4 . Do đó, ta có 4 e 4 4 f   x 1 ln dx f
 tdt  4  f
 xdx  4. x e 1 1 2 x 1 Câu 2: Biết
dx  ln ln a b
với a , b là các số nguyên dương. Tính 2 2
P a b ab . 2  
x x ln x 1
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 48
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A. 10 . B. 8 . C. 12 . D. 6 . Lời giải ĐÁP ÁN B 2 x 1 2 x 1 Ta có dx   dx  . 2
x x ln x x x  ln x 1   1   x 1
Đặt t x  1
ln x  dt  1 dx    dx .  x x
Khi x  1 t  1; x  2  t  2  ln 2 . 2ln 2 dt  a  2 Khi đó I   2 ln 2  ln t
 ln ln 2  2 . Suy ra  . t 1 b   2 1 Vậy P  8 . 2018
Câu 3 : Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa f
 xdx  2 . Khi đó tích phân 0 2018 e 1  x f
ln 2x 1 dx bằng 2  x 1 0 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải ĐÁP ÁN C 2018 e 1  x Đặt I f
ln 2x 1 dx. 2  x 1 0 2x Đặt t   2 ln x   1  dt  dx . 2 x 1
Đổi cận: x  0  t  0 ; 2018 x  e 1  t  2018 . 2018 2018 Vậy I f
 tdt f
 xdx  2. 0 0 a
Câu 3: Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số f x   b ex
x với mọi x khác 1. Biết x  3 1 1
f 0  22 và f
 xdx  5. Tính a b ? 0 A. 19 . B. 7 . C. 8 . D. 10 . Lời giải ĐÁP ÁN D 3  a
Ta có f  x   ex
b b ex
x nên f 0  3
a b  22   1 . x  4 1 1 1  a  1 1 Xét 5  f
 xdx    ex bx  dx    3 1    d    1  d  ex a x x b x    0 x 3 0 1    0 0 1 a  1  a  1 3a 1   1  | b  ex x  exdx   1 b e ex           b 2 . 2 x  2 0 0 1      0 2 4  8 0 
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 49
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  3
a b  2  2  a  8 Từ  
1 và 2 ta có 3a  
a b  10 .  b  5  b   2  8 4    1 x x e
Câu 4: Biết rằng tích phân 4
dx ae b  . Tính 2 2
T a b 2x 1 0 3 5
A. T  1.
B. T  2 .
C. T  .
D. T  . 2 2 Lời giải 4 4 x 1 x  4 4 x   x 1 2 2 1 e Ta có x I e dx e dx     2x 1. x e dx dx    . 2x 1 2 2x 1 2  2x 1 0 0 0 0  4 x e Xét I dx 1  . 2x 1 0 xdu e dx x u   e    Đặt  dx   dx 1  x  12 2 1 dv   v   .  2x 1    2x 1 2x 1 2 1  2 4 4 Do đó x  . 2 1 x I e x
e . 2x 1dx 1  . 0 0 4 3e 1 3 1 Suy ra I
. Khi đó a  ,b  9 1  T    2 . 2 2 2 4 4
Câu 5: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  0 và 1 1 2  1  f
 x 2 x   x  e x f x 1 d 1 e dx
. Tính tích phân I f  xdx . 4 0 0 0 e e 1
A. I  2  e .
B. I  e  2 . C. I  . D. I  . 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 Xét     1ex A x
f xdx 0 u   f  x
du f xdx Đặt    dv   x   1 x e dx v  ex x 1 1 1 2 1  e x 1
Suy ra  ex    ex A x f x x f   xdx x   xe f  
xdx xe f xdx   0 4 0 0 0
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 50
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1 1 2 e 1 x  1 1 1  Xét 2 2 x x e dx  2 2  e x x      2 2 4  4 0 0 1 1 1 1 2 Ta có :  
   2 d  2 x      2 2 d x f x x
xe f x x x e dx  0      x
f x xe  dx  0 0 0 0 0 2 Suy ra   x
f x xe  0, x  0;  1 (do    x
f x xe   0, x  0;  1 )    x
f x  xe     1  x f x x e C Do f  
1  0 nên    1  x f x x e 1 1 1
Vậy    d  1  xd  2  x I f x x x e x x ee  2 . 0 0 0  2 1
x xex Câu 6: Cho dx  . a e  b ln 
c với a , b , c   . Tính P a  2b c . x e   x  e 0 A. P  1 . B. P  1. C. P  0 . D. P  2 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  2 1
x xex 1  x   1 ex ex x Ta có: I  d  x  d  x . x  ex ex x 1 0 0 Đặt  ex t
x 1  d  1 ex t x dx .
Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  e 1. e 1  1 e 1   1  Khi đó:  d  t I t  1 d  
t  t t  e 1 ln  e  ln e   1 . tt  1 1 1
Suy ra: a  1, b  1  , c  1.
Vậy: P a  2b c  2  .
Câu 7: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  ln 2;ln 2 và thỏa mãn f x  f x 1  . Biết x e 1 ln 2 f
 xdx aln2bln3 a;b. Tính P a b . ln 2 1 A. P  . B. P  2  . C. P  1  . D. P  2 . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 51
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ln 2 Gọi I f  xdx . ln 2
Đặt t  x  dt  dx .
Đổi cận: Với x   ln 2  t  ln 2 ; Với x  ln 2  t   ln 2 . ln 2 ln 2 ln 2 Ta được I   f
 tdt f t  dt f
 xdx. ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 Khi đó ta có: 2I f
 xdxf
 xdx   f
  x f xdx   dx  . ex 1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 Xét dx  . Đặt ex u   d  ex u dx ex 1 ln 2
Đổi cận: Với x   ln 2  1
u  ; x  ln 2  u  2 . 2 ln 2 1 ln 2 ex ln 2 1 Ta được dx   dx   du  ex 1 ex ex 1 u u 1 ln 2   ln 2   ln 2 ln 2  1 1    du   
 ln u  ln u 1 2  ln 2  u u 1 1   ln 2 2 1 1
Vậy ta có a  , b  0  a b  . 2 2
e f ln  x
Câu 8: Cho hàm số y f x liên tục trên  và thỏa mãn dx e
. Khẳng định nào dưới đây x 1 đúng? e 1 1 e A. f
 xdx 1. B. f
 xdx 1. C. f
 xdx e. D. f
 xdx e. 0 0 0 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 1
Sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt t  ln  x , suy ra dt dx . x Đổi cận: x 1 e t 0 1
e f ln  x 1 Khi đó
dx e f
 tdt e. x 1 0
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 52
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN e 3ln x 1
Câu 9: Cho tích phân I  dx
. Nếu đặt t  ln x thì x 1 1 3t 1 e 3t 1 e 1 A. I  dt  . B. I  dt  .
C. I  3t    1 dt .
D. I  3t    1 dt . et t 0 1 1 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 1
Đặt t  ln x  dt  dx . Đổi cận x  e  t  1 ; x  1  t  0 . x e 1 3ln x 1 Khi đó I  dx  3t     1 dt . x 1 0 4 e 1 4
Câu 10: Biết f
 ln x dx  4. Tính tích phân I f  xdx . x e 1 A. I  8 . B. I  16 . C. I  2 . D. I  4 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 1
Đặt t  ln x  dt  dx . x 4 e 4 4 f   x 1 ln dx f
 tdt f  xdx. x e 1 1 4 Suy ra I f
 xdx  4. 1 ln 6 ex
Câu 11: Biết tích phân
dx a b ln 2  c ln 3 
, với a , b , c là các số nguyên. Tính x 0 1  e  3
T a b c . A. T  1  . B. T  0 . C. T  2 . D. T  1. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Đặt x 2
 e  3   ex  3  2 d  ex t t t t dx . x  ln 6 t   3 Đổi cận    . x  0 t   2 ln 6 x 3 e 2tdt 3  2 3  Suy ra dx     2  dt   
2t 2ln t 1  62ln442ln3 1 ex  3 1 t 2  1 t  0 2 2 a  2 
 2  4ln 2  2ln 3  b   4  . c  2 
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 53
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Vậy T  0 . 3  x x d Câu 12: Cho 1 2 e  . a e  . b e  c
. Với a , b , c là các số nguyên. Tính S a b c . x 1 0 A. S  1. B. S  2 . C. S  0 . D. S  4 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 3  x 1 x d Xét 1 I  e 
; đặt u x 1  du  dx . x 1 2 x 1 0 Đổi cận: 2 2   eu I 2du   2eu  2
2e  2e  a  2 , b  2 , c  0 , S a b c  0 . 1 1 e ln x
Câu 13: Cho I  dx
có kết quả dạng I  ln a b với a  0 , b   . Khẳng định nào sau
x ln x  22 1 đây đúng? 3 1 3 1 A. 2ab  1  . B. 2ab  1. C. b  ln
  . D. b  ln  . 2a 3 2a 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
Đặt ln x  2  t  ln x t  1
2  dx  dt . x
Đổi cận: khi x  1 thì t  2; khi x  e thì t  3 .  3  3 a t  2 3 1 2  3  2  3 1  Khi đó I  dt    dt   ln t   ln  2   . 2     t 2  t t   t  2 3 1 2 2 2 b     3 Vậy 2ab  1  .
Dạng 7: Tích phân hàm ẩn 1. Phương pháp
Phương pháp chung cho loại toán này là áp dụng kỹ thuật đổi biến, phương pháp từng phần và kỹ thuật
đạo hàm…, ngoài ra ta có một vài dạng đặc trưng sau:
Loại 1: Biểu thức tích phân đưa về dạng: u(x) f '(x)+u '(x) f (x)= h(x) Cách giải:
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 54
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
+ Ta có u(x) f (x)+ u (x) f (x)= éu(x) f (x) ' ' ' ù ë û
+ Do đó u(x) f (x)+ u (x) f (x)= h(x)  éu(x) f (x) ' ' ' ù = h(x) ë û
Suy ra u(x) f (x)= ò h(x)dx
Suy ra được f (x)
Loại 2: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f '(x)+ f (x)= h(x) Cách giải: '
+ Nhân hai vế với x x  . '( ) x + . ( ) x = . ( ) é x  . ( )ù x e e f x e f x e h x
e f x = e .h(x) êë úû Suy ra x. ( ) x
e f x = ò e h(x)dx
Suy ra được f (x)
Loại 3: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f '(x)- f (x)= h(x) Cách giải: '
+ Nhân hai vế với -x -x  . '( ) -x + . ( ) -x = . ( ) é -x  . ( )ù -x e e f x e f x e h x e
f x = e .h(x) êë úû Suy ra -x. ( ) -x e
f x = ò e h(x)dx
Suy ra được f (x)
Loại 4: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f '(x)+ p(x) f (x)= h(x) Cách giải: ( p x)dx p x dx p x dx p x dx eò f '(x) ( ) .eò p(x) ( ) .eò
. f (x) h(x) ( ) .eò  + = + Nhân hai vế với ' é ù  f (x) ( p x)dx p x dx .eò = h(x) ( ) .eò ê ú ê ú ë û Suy ra ( ) ( p x)dx ( p x)dx f x .eò eò = ò .h(x)dx
Suy ra được f (x) b b
Công thức f (x)dx f (a b x)dx   a a
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 55
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 , thoả mãn     2018 3 f x xf x x với mọi 1 x 0; 
1 . Tính I f  xdx . 0 1 1 A. I  . B. I  . 2018 2021 2019 2020 1 1 C. I  . D. I  . 2019 2021 2018 2019 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
Từ giả thiết f x  xf  x 2018 3  x , nhân hai vế cho 2 x ta được 2 x f x 3
x f x 2020 3  x
 x f x  2020 3   x .   2021 x Suy ra 3 x f x 2020  x dx   C.  2021 2018 x
Thay x  0 vào hai vế ta được C  0  f x  . 2021 1 1 1 1 1 1 1 Vậy f  x 2018 2019 dx x dx  . x  .  2021 2021 2019 2021 2019 0 0 0
Ví dụ 2: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;4, thỏa mãn       x f x f x e 2x 1 với mọi
x 0;4. Khẳng định nào sau đây là đúng? 26 A. 4
e f 4  f 0  . B. 4
e f 4  f 0  3 . e 3 C. 4
e f    f   4 4 0  e 1. D. 4
e f 4  f 0  3. Lời giải ĐÁP ÁN A Nhân hai vế cho x
e để thu được đạo hàm đúng, ta được x   x    x e f x e f x
x   e f x / ' 2 1   2x 1.   x 1
Suy ra e f x  2x 1dx  
2x  1 2x 1C. 3 26 Vậy 4
e f 4  f 0  . 3
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 56
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
Ví dụ 3: Cho hàm số f x có đạo hàm trên , thỏa mãn     2017 2018 ' 2018  2018 x f x f x x e với mọi
x  và f 0  2018. Giá trị f   1 bằng A. 2018 2018  e . B. 2018 2017e . C. 2018 2018e . D. 2018 2019e . Lời giải ĐÁP ÁN D
Nhân hai vế cho 2018x e
để thu được đạo hàm đúng, ta được 
f  x 201  8x ef x 2018  x 2017 ex
  f x 2018  x 2017 2018 2018 e   2018x .  
Suy ra f x 2018  x 2017 2018 e
 2018x dx xC. 
Thay x  0 vào hai vế ta được       2018   2018 2018 2018 x C f x x e . Vậy f   2018 1  2019e .
Ví dụ 4: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn     2 2 x f x xf x xe    và f 0  2
 . Giá trị f   1 bằng 1 2 2 A. . e B. . C. . D.  . e e e Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 2 x Nhân hai vế cho 2
e để thu được đạo hàm đúng, ta được 2 2 2 2  2 x x x x x     f  x 2
e f x 2 2 2 xe xe
 e f x 2 2   2xe .   2 2 2 x x x   Suy ra 2 e f x 2 2
 2xe dx  2eC. 
Thay x  0 vào hai vế ta được   2 0 2 x C f x e     .  2 Vậy f   1 1  2e   . e
Ví dụ 5: Xét hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0; 
1 và thỏa mãn 2 f (x)  3 f (1 x)  1 x . Tích phân 1 f (x)dx  bằng 0 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 15 5 Hướng dẫn giải
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 57
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN C
Ta có: 2 f (x)  3 f (1 x)  1 x (1) .
Đặt t  1 x , thay vào (1) , ta được: 2 f (1 t)  3 f (t)  t hay 2 f (1 x)  3 f (x)  x (2) . 3 2
Từ (1) & (2) , ta được: f (x)  x  1 x . 5 5 1 1 1 3 2
Do đó, ta có: f (x) dx   x dx  1 x dx   2 4   2  . 5 5 5 15 15 0 0 0 b b
Cách 2. Công thức f (x)dx f (a b x)dx   a a 1 1 1
Lấy tích phân 2 vế ta được 2 f (x)dx  3 f (1 x)dx  1 x dx    0 0 0 1 1 2 2
5 f (x)dx   f (x)dx    . 3 15 0 0 x ax b
Chú ý: Ta có thể dùng công thức 2 f
 ax b 2 dx f
xdx . Khi đó:  1 x a 1 x b 1 1 1
Từ 2 f x  3 f 1 x  1 x suy ra: 2 f
 xdx 3 f
 1 xdx  1 xdx  0 0 0 1  1 2 1 2 2 f  x 0 dx  3 f  x 1 dx  1 xdx
 5 f xdx   f xdx    . 0 1 0 0 0 3 15 2 0 Ví dụ 6: Cho f
 xdx  a. Giá trị x.f  2x   1dx theo a là 1 1 a a A. 2a. B. 4a. C. . D. . 2 4 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Đặt 2 t  x 1 dt  2x dx.
Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2. 2 2 1 1 a Khi đó: I  f
 tdt  f xdx  . 2 2 2 1 1 2
Ví dụ 7: Cho y  f x là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn  6;  6. Biết rằng f  xdx  8 và 1  3 6 f   2
 xdx  3. Giá trị  f xdx bằng 1 1  A. 1. B. e. C. 1.  D. 14. Hướng dẫn giải
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 58
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN D 3 3
Ta có y  f x là hàm số chẵn nên f 2x  f 2x suy ra f   2  xdx  f  2xdx  3. 1 1 3 3 6 6 Mặt khác:    1       1 f 2x dx f 2x d 2x  f
 xdx  3 fxdx  6. 2 2 1 1 2 2 6 2 6 Vậy I  f  xdx  f
 xdx  f xdx  86 14. 1  1  2 e f ln x
Ví dụ 8: Cho hàm số y  f x liên tục trên  và thỏa mãn dx  e. 
Mệnh đề nào sau đây là x 1 đúng? 1 1 e e A. f  xdx 1. B. f  xdx  e. C. f  xdx 1. D. f  xdx  e. 0 0 0 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
Giả sử Fx là nguyên hàm của hàm số f x e f ln x e e Ta có dx  f 
 ln xdln x  Fln x  F 1F0  e x 1 1 1 1 1 Ta có f
 xdx  Fx  F 1F0  e nên B đúng. 0 0 1 1 f x
Ví dụ 9: Cho f x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn 1;  1 và f
 xdx  2. Kết quả I  dx  1  x 1 e 1  bằng A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
Cách 1: Đặt t  x  dt  dt. Đổi cận x  1
  t 1;x 1 t  1  . Ta được: 1 1  1 t 1 x 1 1 e e I  f x dx   f t dt  f t dt  f x dx.     x   t   t   x   1 e 1 e 1 e 1 e 1  1 1  1  1 1 x 1 1 e Do đó: 2I  f x dx 
f x dx  f x dx  4  I  2.    x   x     1 e 1 e 1  1  1  1 2 4
Cách 2: Chọn   2
h x  x làm hàm chẵn. Ta có 2 x dx  
, do đó f x  h x 2  6x . 3 3 1  1 f x 1 6x Khi đó dx  dx 2.   x x 1 e 1 e 1  1 
Lời bình: Với cách làm này, các em chỉ cần nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho lớp hàm số
thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng máy tính hoặc bằng phương
pháp cơ bản với hàm số y  f x khá đơn giản. Đối với bài toán này ta có thể chọn hàm số h x  1 cho đơn giản hơn nữa.
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 59
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN e f x
Ví dụ 10: Cho hàm số f x liên tục trong đoạn 1;e, biết dx  1, f  e 1. Giá trị x 1 e I  f '  x.ln xdx bằng 1 A. 4. B. 3. C. 1. D. 0. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  dx u  ln x  du  Đặt         x dv f ' x dx v  f  x e e e  f '
 xln xdx  f x f x f x e   ln x  dx  f e  dx  11  0. 1       x x 1 1 1 1 3 1
Ví dụ 11: Cho hàm số f x liên tục trên  và có f
 xdx  2; f xdx  6. Tính I  f   2x 1dx 0 0 1  2 3 A. I  . B. I  4. C. I  . D. I  6. 3 2 Hướng dẫn giải 1 1 2 1
Có I  f  2x 1 dx  f 1 2xdx  f 2x     1dx 1  1  1 2 1 2 1 1         1 f 1 2x d 1 2x  f 2x   1 d 2x    1 2 2 1  1 2 0 1 3 1 1      1     1     1     1 1 f t dt f t dt f x dx f x dx  .6  .2  4. 2 2 2 2 2 2 3 0 0 0 k x 1 1
Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để 2x   1 dx  4 lim . x0 x 1 k 1 k 1 k  1  k  1  A. .  B. .  C. .  D. .  k  2 k  2  k  2  k  2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 2 2 k k k 1 2x 1 2k 1 1 Ta có 2x   1 dx  2x   1 d 2x       1      2 4 1 4 4 1 1  x1 1 x1   1 x 1 1 1 Mà 4lim   4lim  4lim  2 x0 x0 x x  x 1   x0 1 x 1 1 2 k x 1 1 2k 1 1 k  2 Khi đó 2x     1 dx  4 lim   2  2k  2 1  9  .  x0 x 4 k  1 1
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 60
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN f
 x.f a  x  1 a dx ba
Ví dụ 13: Cho f x là hàm liên tục trên đoạn 0;a thỏa mãn  và   , f  x  0, x  0;a 1 f x c 0   b
trong đó b, c là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó b  c có giá trị thuộc khoảng nào c dưới đây? A. 11;22. B. 0;9. C. 7;2  1 . D. 2017;2020. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
Đặt t  a  x  dt  dx
Đổi cận x  0  t  a; x  a  t  0 a 0 a a a dx dt dx dx f xdx Lúc đó I           1 f x 1 f a  t 1 f a  x 1 1 f x 0   a   0   0 0   1 f x a a dx f x a dx Suy ra 2I  I  I    1dx  a    1 f x 1 f x 0   0   0 1
Do đó I  a  b  1; c  2  b  c  3. 2
Cách 2: Chọn f x  1 là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được 1
I  a  b  1; c  2  b  c  3. 2
3. Bài tập rèn luyện tốc độ  9 f x  2
Câu 1: Cho hàm số f x liên tục trên  và dx  4, 
f sin xcos d
x x  2. Giá trị của tích x 1 0 3 phân  d  f x x bằng 0 A. 2 . B. 6 . C. 4 . D. 10 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 9 f x   Xét dx  4.  Đặt 2
t x t x, suy ra 2 d t t  d . x x 1
x 1 t 1 Đổi cận  .
x  9  t  3 9 f x  3 3 Suy ra 4  dx  2 f
 t2dt f
 tdt  2. x 1 1 1
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 61
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  2  Xét f  sin xcos d
x x  2. Đặt u  sin x, suy ra du  cos d x . x 0
x  0  u  0   2 1 Đổi cận   . Suy ra 2  f  sin xcos d x x f  tdt. x   u 1  2 0 0 3 1 3 Vậy I f
 xdx f
 xdx f
 xdx  4.. 0 0 1  4 1 2 x f x
Câu 2: Cho hàm số f x liên tục trên  và f  tan x   dx  4, dx  2.  Giá trị của tích phân 2 x 1 0 0 1
I   f xdx bằng 0 A. I  6 . B. I  2 . C. I  3 .
D. I 1. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A  4 Xét f
 tan xdx  4. 0 1 dt
Đặt t  tan x, suy ra dt  dx   2
tan x 1 dx  dx  . 2  2 cos x 1 t
x  0  t  0   4 1 1 f t f x Đổi cận:   . Khi đó 4  f  tan x     dx  dt  d . x   x   t 1  2 2 t 1 x 1  4 0 0 0 1 1 1 2 f x x f x
Từ đó suy ra I f  x     dx  dx  dx  4  2  6.   2 2 x 1 x 1 0 0 0  4 2 e f  2 ln x
Câu 3: Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa mãn tan . x f   2
cos xdx 1, dx  1.  Giá x ln x 0 e 2 2  trị của tích phân  d  f x I x bằng x 1 4 A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  4 ● Xét A  tan . x f   2
cos xdx 1. Đặt 2 t  cos . x 0
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 62
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Suy ra dt 2
dt  2sin x cos d
x x  2 cos x tan d
x x  2t.tan xdx   tan d x x   . 2t
x  0  t 1  Đổi cận:   1 . x   t   4 2 1 2 1 f t  1 1 f t  1 1 f x 1 f x
Khi đó 1  A   dt  dt  dx  dx  2.     2 t 2 t 2 x x 1 1 1 1 2 2 2 2 e f  2 ln x ● Xét B  dx  1.  Đặt 2 u  ln . x x ln x e 2 2ln x 2ln x 2u dx du Suy ra du  dx  dx  dx   . x x ln x x ln x x ln x 2u
x e u 1 Đổi cận:  . 2
x e u  4 4 1 f u 4 1 f x 4 f x Khi đó 1  B  du  dx  dx  2.    2 u 2 x x 1 1 1 2 f 2x
● Xét tích phân cần tính I  d . xx 1 2  1 dx  dv   1 1 
x   v
Đặt v  2x, suy ra 2  . Đổi cận:  4 2 . vx
x  2  v  4  2 4 f v 4 f x 1 f x 4 f x Khi đó I  dv  dx  dx  dx  2  2  4.     v x x x 1 1 1 1 2 2 2
Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2. Biết f 0 1 và Câu 4:  3 2 2
x  3x f x     2 2 4 2 x x f x f x e   
với mọi x 0;2. Giá trị tích phân I  d  x bằng f x 0   14 32 16 16 A.  . B.  . C.  . D. . 3 5 3 5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D
Từ giả thiết f xf 2  x 2 2 x 4 x x2  e
 f 2  1.
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 63
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  3 2
u x  3x 3 2 2
x  3x f ' x du     2
3x  6xdx Ta có I  d . x  Đặt  f ' x   . f x dv  dx
v  ln f x 0   f x   Khi đó I   3 2 x  3x  2 2
ln f x   2
3x  6xln f x dx 0 0 f 2 1  2
  3 2x  2xln f x dx  3J. 0 2 0 x2t
Ta có J  x  2xln f x dx    2t2 2
 22  t ln f 2  t d2  t   0 2 0 2  
 2 x2 22 xln f 2 x d2 x   2x 2xln f 2 x d .x   2 0 Suy ra 2
2J  x  2x 2 2
ln f x dx   2x  2xln f 2  x dx 0 0 2
  2x  2xln f xf 2 x dx 0 2   x x 32 16 2 x  2x 2 2 2 4 ln e
dx   2x  2x 2
2x  4xdx   J  . 15 15 0 0 16
Vậy I  3J   . 5    
Câu 5: Cho hàm số y f x liên tục trên  ; 
và thỏa mãn 2 f x  f x  cos . x Giá trị của 2 2     2
tích phân I   f xdx bằng   2 2 3 A. I  2  . B. I  . C. I  . D. I  2 . 3 2 Hướng dẫn giải ĐÁN ÁN B
Từ giả thiết, thay x bằng x ta được 2 f x  f x  cos . x Do đó ta có hệ 2 f
x f x  cos x 4 f
x 2 f x  2cos x     f x 1  x 2 f
x f x  cos x f
  x  2 f x cos .  cos x 3   2 2 1 1  2 Khi đó I f  x 2 dx  cos d x x  sin x  .  3 3     3 2   2 2
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 64
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1   
Câu 6: Cho hàm số f x liên tục trên ; 2 
và thỏa mãn f x 1  2 f  3 . x   Giá trị của tích phân 2     x  2    d  f x I x bằng x 1 2 1 3 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1  1  3
Từ giả thiết, thay x bằng ta được f  2 f   x  . xx x Do đó ta có hệ       f   x 1  fx f     x 1 2 3  2 f  3x     x    x       f x 2   . x   1      f x 3  f x 1 6 x f 2 4  2 f       x x      x x 2 f x 2 2  2   2  3 Khi đó I dx
1 dx    x  .   2    1 xx   x  2 1 1 2 2 2  1   1 
Cách khác. Từ f x  2 f  3x f  
x  3x  2 f .    x   x    1    1  f f 2 f x 2     2 2    x   x Khi đó I  dx  3  2
dx  3 dx  2    d . x     xxx 1 1 1 1   2 2 2 2    1  f 2    x 1 1 1 Xét J   d . x  Đặt t  , suy ra 2 dt  
dx  t dx  dx   dt. x x 2 2 x t 1 2  1
x   t  2  Đổi cận: 2  . 1
x  2  t   2 1 2 2 2  1  f t f x
Khi đó J tf  t      dt  dt  dx I.    2   t t x 2 1 1 2 2
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 65
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2 2 3
Vậy I  3 dx  2I I  dx  .   . 2 1 1 2 2
Câu 7: Cho hàm số f x thỏa mãn  f    x 2   f
xf  x 4 .
 15x 12x với mọi x và
f 0  f 0 1. Giá trị của 2 f   1 bằng 5 9 A. . B. . C. 8. D. 10. 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
Nhận thấy được  f   x 2   f
x.f x   f
  x. f x      . 
Do đó giả thiết tương đương với  f
  xf  x  4 .  15x 12 . x
Suy ra f x. f  x   4 15x 12x 5 2
f 0 f 0 1  .
dx  3x  6x C  C 1
f xf x 5 2 .
 3x  6x 1 2 6  f
 xf xx   f x x 5 2 x x     3 . d 3 6 1 dx  
 2x x C '. 2 2 2 f 0 1
Thay x  0 vào hai vế ta được
C '  C '  . 2 2 Vậy 2 f x 6 3 2
x  4x  2x 1 f   1  8. 5 2
Câu 8: Cho  f xdx  4. Giá trị 2 
f x 1dx bằng 1 1 5 3 A. 2. B. . C. 4. D. . 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 5 1 1
Đặt 2x 1  u  2dx  du  I  f udu  .4   2. 2 2 1 5 5 4 1 4
Câu 9: Cho f xdx  5, f tdt  2   
và  g udu  .Tính   
f x gxdx bằng 3 1  4 1  1  8 22 20 10 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 66
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 4 4 4 4 Ta có f
 tdt   f tdt  2  f tdt  f xdx  2. 5 5 5 5 5 5 5 4 4 Suy ra f
 xdx  f tdt  f
 xdx  f xdx  f  xdx  7. 1  4 1  5 1  Khi đó 4   4 4
f x  g xdx  f  xdx  g  xdx 1  1  1  4 4 4
            1 22 f x dx f x dx g u du  7   . 3 3 1 5 1  1
Câu 10: Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn f x 4 tan  cos x, x
  . Giá trị I   f xdx 0 bằng 2   2    A. . B. 1. C. . D. . 8 4 4 Hướng dẫn giải ĐAP ÁN A 2   f tan x 1 4
 cos x  f tan x   2   tan x 1 1   1 2    f x   f x dx   2    2   8 x 1 0
Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân 1. Phương pháp
Áp dụng các bất đẳng thức: b b
+ Nếu f x liên tục trên  ; a b thì f
 xdx f  xdx a a b
+ Nếu f x liên tục trên  ;
a b và m f x  M thì mb a  f
 xdx M baa 2 b b b  
+ Nếu f x, g x liên tục trên  ;
a b thì  f
 xgx 2 dx   f  x 2 d . x g
 xdx dấu "" xẩy ra khi  aa a
và chỉ khi f x  k.g x . + Bất đẳng thức AM-GM
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 67
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 1
Ví dụ 1: Cho hàm số 2
f x có đạo hàm liên tục trên 0; 
1 , thỏa mãn f   1  0 ,  f
 x dx  7  và 0 1 1 2  x f x 1
dx  . Giá trị phân  d  f x x bằng 3 0 0 7 7 A. 1. B. . C. . D. 4 . 5 4 Hướng dẫn giải ĐÁN ÁN B 1 3 1 1 x 1
Dùng tích phân từng phần ta có 2 x f  xdx f x 3  x f ' 
xd .x Kết hợp với giả thiết f   1  0, 3 0 3 0 0 1 ta suy ra 3 x f ' 
xdx  1. 0 2 1 1 1 7 1   2 2 x Theo Holder   3 1   x f '  x 6 dx   x d . x f ' 
 x dx  .7  1.  7 0  0  0 0 1
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f x 3 '  kx , thay vào 3 x f ' 
xdx  1 ta được k  7.  0 7
Suy ra f x 3 '  7
x f 'x 3
 7x ,x 0;  1  f x 4
  x C 4 1 f   1 0 7
C   f x 7 7 7 4
  x   f
 xdx  . 4 4 4 5 0 1 11
Ví dụ 2: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; 
1 , thỏa mãn f   1  1, 5  d   x f x x và 78 0 1 
f x  f x 4 d 
. Giá trị f 2 bằng 13 0 251 256 261 A. 2. B. . C. . D. . 7 7 7 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 2 2 1 1 1  2    2 1 4 4 Theo Holder 6     x f   x 12 dx   x d . x f  
 x dx  .  . 13    13 13 169  0  0 0  f x 2 f  5 6
 2x f x 7   1 1
x C C  . 7 7
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 68
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2 5 261 Vậy f x 7
x   f 2  . 7 7 7
Ví dụ 3: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; 
1 , thỏa mãn f  
1  2, f 0  0 và 1 1  f   3   x 2  dx  4.  Tích phân 
f x 2018xd .   x bằng 0 0 A. 0. B. 1011. C. 2018. D. 2022. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 2 1 1 1   2 Theo Holder 2 2   f '
 xdx  d .x f '
  x dx 1.4  4.   0  0 0
f x   f xf 00 ' 2
 2x C C  0. 1 Vậy f x 3  2x   f
 x 2018xdx 1011.  0
Ví dụ 4: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f  x liên tục trên 0;  1 , thỏa mãn 1 1 dx 2 f   1  ef 0 và
  f x  dx  2.  
Mệnh đề nào sau đây đúng? 2   f x 0     0 e 2 e  2 A. f   2 1  . B. f     1  . e 1 e 1 2 2e 2 e  2 C. f   1  . D. f     1  . 2 e 1 e 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 1 1 1 1   AMGM dx 1 f ' x Ta có 2 2
  f ' x  dx     
  f ' x     dx  2 dx  2 f x   2 f x f x 0 0 0         0   1  f x  f    f   f   1 2 ln 2 ln 1 2 ln 0  2 ln  2ln e  2. f 0 0   1 1 dx 1 Mà 2
  f ' x  dx  2  
nên dấu ''  '' xảy ra, tức là f ' x 
f x f ' x 1 2 f x   f x     0     0 2     f x f x f ' x   dx  d x x
x C f
x  2x  2C. 2 1
Theo giả thiết f  
1  ef 0 nên ta có 2
2  2C e 2C  2  2C e 2C C  2 e 1
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 69
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2    2 2 2e f x  2x   f 1  2   . 2   2 2 e 1 e 1 e 1
Ví dụ 5: Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên 0; 
1 , có đạo hàm dương và liên tục trên 0;  1 , thỏa 1 1 1 3
mãn f 0  1 và  3
f x4 
f x  
 dx  3 f  
 x 2f xd . I    x Giá trị
f xdx bằng 0 0 0 e 1 2 e 1
A. 2 e   1 . B.  2 2 e   1 . C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương ta có 3 3   f x f x f x  4  f '   x 3   4  f '    x 3 3         2 2 3 3 f x f x  3 4  f '   x 3      . .  3 f '  x 2 3 f x. 2 2 1 1 Suy ra  f
 x 4 f '   x 3 3    dx  3 f ' 
 x 2f xd .x   0 0 1 1 Mà  f
 x 4 f '   x 3 3    dx  3 f ' 
 x 2f xdx   
nên dấu '' '' xảy ra, tức là 0 0 3 3  f   x 3 f xf x     f  x 1 4 ' '  f x 2 2 2 f ' x 1 f ' x 1 1 1 xC 2            f x
f x dx dx ln f xx C
f xe . 2 2 2 1 1 x
Theo giả thiết f 0 1 C  0  f x 2
e f xdx  2 e   1. 0
3. Bài tập rèn luyên tốc độ
Câu 1: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; , thỏa mãn 
f xsin d x x  1 và 0   2  f x 2
dx  . Giá trị tích phân  xf xdx bằng  0 0 6 4 2 4 A.  . B.  . C. . D. .     Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 70
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2    2  Theo Holder  2 1  f  x 2 cos d x x f  x 2
dx cos xdx  .  1.   2 0 0 0    f x 2  x xf  x 2x cos x 4 cos dx  dx   .     0 0 1 2 2 
Câu 2: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 , thỏa t f   1  0,  f
 x dx    và 8 0 1    1  x   f x 1 cos
dx  . Giá trị của ích phân  d  f x x bằng  2  2 0 0 1 2  A. . B. . C. . D. .   2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Theo Holder 2 2 1 1 1 2       x     x        sin f '
   xdx  sin d . x f '     x 2 1 2  dx  . . 4 2 2          2 8 0 0 0         f xx    f   xx f   1 0 ' sin  cos
C C  0.   2  2   2  1   x  2
Vậy f x  cos  f  
 xdx  .  2   0
Câu 3: Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên 0; 
1 , có đạo hàm dương liên và tục trên 0;  1 , thỏa 1    1  mãn d  1
xf x x và f 0 1, f   2
1  e . Giá trị của f   bằng f x  2  0   A. 1. B. 4. C. e. D. . e Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C xf ' xf ' x
Hàm dưới dấu tích phân là   
Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm f x
x. f x , x 0; 1. f ' x đúng
, muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau: f xf ' xxf ' x  
với m  0 và x 0;  1 .
f xmx 2 m. f x
Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 71
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
1  f ' x 1  xf ' x 
mxdx  2 m. dxf x f x 0     0   hay 1 2 x m ln f x 1  m
 2 m.1  ln f   1  ln f 0  0 2 0 2  m 2 m  2  0   2 m. 2 m
Để dấu ''  '' xảy ra thì ta cần có 2  0 
 2 m m  4. 2 f ' x
Với m  4 thì đẳng thức xảy ra nên    4x f x f ' xx C         
f x dx 4 d x x
ln f x 2x C f x 2 2 2 e .  f  0  1 x  1  Theo giả thiết 
C  0  f x 2 2       f    e f e. 2 1  e  2  Cách 2. Theo Holder  xf ' x 2   f ' x 2 1 1 1 1  f ' x 1 f 1 2     1   dx    x. dx   d x . x dx  .ln 1.      f x   f xf x 2 f 0 0   0   0 0         f ' x 1 xf ' x
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có  thay vào dx  1  ta được k  4.
f xkx, f x 0   f ' x Suy ra
   4 .x (làm tiếp như trên) f x 1 Câu 4: Cho hàm số 2
f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 , thỏa mãn 
 f xf x dx 1  và 0  1 
f 0  1, f  
1  3. Giá trị của f   bằng  2  A. 2. B. 3. C. e. D. . e Lời giải ĐÁP ÁN A
Hàm dưới dấu tích phân là  f
  xf x 2 '  .
 Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng f xf ' x ,
muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau:
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 72
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  f
  xf x 2 '
  m  2 m. f
xf 'x với m  0.
Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho 1  1  f
  xf ' x 2   m
dx2 m f xf 'xd .x 0 0 hay 2 f x 1 1 m  2 m.
 1 m  2 m. 2 0
Để dấu ''  '' xảy ra thì ta cần có 1 m  2 m m  1.   2
f xf ' x 1
Với m 1 thì đẳng thức xảy ra nên  f
  xf ' x 1     f
  xf x . '  1  1 1 2 1 1 f x
f xf ' x  1   f
 xf 'x  
dx   dx   x  1  1  .  (vô lý) 2 0 0 0 0 2 f x
f xf ' x  1 f
 xf 'x   dx  dx
x C f
x  2x  2C. 2  f  0  1 1  1  Theo giả thiết 
C   f x  2x 1  f  2.    f    1  3 2  2  1 2 1 f x 1
Cách 2. Ta có f
 xf 'x   2 dx    f   2
1  f 0 1. 2   0 2 0 2 1 1 1   2 Theo Holder 2 1   1. f
 xf 'x 2 dx   1 d . x f
 xf 'x dx 1.11.   0  0 0 1
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f ' xf x  k, thay vào f
 xf 'xdx 1 ta được k 1. Suy ra 0
f ' xf x 1.(làm tiếp như trên)
Câu 5: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f  x liên tục trên 1;2, thỏa mãn
f x 2 2    dx  24  và f  
1  1, f 2  16. Giá trị của f  2 bằng xf x 1   A. 1. B. 2. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 73
BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  f   x 2  1  f   x 2 ' ' 
Hàm dưới dấu tích phân là  
Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng xf x . x f x .
f ' x , muốn vậy ta phải đánh giá theo AMGM như sau: f x  f   x 2 '  f '  x
   mx  2 m
với m  0 và x 1;2. xf x f x
Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho   f '   x 2 2  2  f '  x 
mxdx  2 m dx    xf x  1   1 f x   hay 2m   m f x 2 2m   
m f    f   2m 24 4 24 4 2 1   24 
12 m m 16. 3   1 3 3 2m
Để dấu ''  '' xảy ra thì ta cần có 24 
 12 m m  16. 3  f   x 2 '  f '  x
Với m  16 thì đẳng thức xảy ra nên   16x   2x xf x 2 f xf ' x 
dx  2xdx f  
x  x C f x  x C2 2 2 . 2 f x  f    1  1 Theo giả thiết 
C  0  f x 4
x f  2   f    4. 2  16 2 f ' x 2 f ' x 2 Cách 2. Ta có dx  2. dx  2 f  
x  2 f 2  f   1   6. f x 2 f x   1 1 1  f ' x   f ' x   f ' x    x 2   2   2   2 2 1 2 2 2 2 Theo Holder 6   dx    x. dx   d x . x dx  .24  36.      f x   xf x  xf x 2 1 1 1 1 1     f ' xf ' x 2 f ' x
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có  k x   kx, thay vào dx  6  ta được k  4. xf xf x 1 f xf ' x Suy ra  4 .
x (làm tiếp như trên) f x
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 74