Các phép toán về căn thức – Dương Minh Hùng

Tài liệu gồm 19 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Dương Minh Hùng, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán về chủ đề căn thức, giúp học sinh lớp 9 tham khảo khi học chương trình Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

49 25 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Môn: Toán 9

Thông tin:

19 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
➊. Căn bậc hai số học:
➋. Căn bậc hai:
➌. Liên hệ giữa phép nhân, với phép khai phương:
Tóm tắt lý thuyết
Ⓐ
Căn bậc hai số học
• Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a
• Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
• Một cách tổng quát:
So sánh các căn bậc hai số học
• Với hai số a và b không âm ta có:
➊
CÁC PHÉP TOÁN VỀ CĂN THỨC
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
➍. Liên hệ giữa phép chia với phép khai phương:
➎. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Lời giải
a)
2
1
2
x
x
+
−
có nghĩa khi
2
10
20
x
x
+
−
2
1 0,
2
20
xx
x
x
+
−
b)
12 −x
có nghĩa khi
1
2 1 0
2
xx−
c)
23 +x
có nghĩa khi
2
3 2 0
3
xx
−
+
Lời giải
Phân dạng toán cơ bản
Ⓑ
Phương pháp: Nếu biểu thức có:
Dạng ①: có TXĐ: D = {x| g(x) 0} . Chứa mẫu số
ĐKXĐ: mẫu số
khác 0
Dạng ②: có TXĐ: D = {x| f(x) ≥ 0}. Chứa căn bậc hai ĐKXĐ:
biểu thức dưới dấu căn 0
Chú ý: Nếu thì
Khi n là số lẻ,với mọi x đều thỏa mãn.
Khi n là số chẵn thì f(x) ≥ 0.
Dạng ③:
có TXĐ: D = {x| g(x) > 0}, (với f(x) có D = R). Chứa căn
thức bậc chẵn dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0
❖Dạng ➊
Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Tìm điều kiện có nghĩa của các biểu thức sau:
a)
b) c)
Ví dụ ➊
Tìm điều kiện có nghĩa của các biểu thức sau:
a)
b)
c)
d)
Ví dụ ➋
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
a)
53 +x
có nghĩa khi
5
3 5 0
3
xx
−
+
b) Ta có
2
3 3,xx+
. Vậy
3
2
+x
luôn có nghĩa với mọi giá trị của
x
c)
12x−
có nghĩa khi
1
1 2 0
2
xx−
d)
1
21
x
x
+
−
có nghĩa khi
1
2 1 0
2
xx−
Hướng dẫn giải
1)
1x −
có nghĩa khi
1 0 1xx−
2) Ta có
2
1 1,xx+
. Vậy
2
1x +
luôn có nghĩa với mọi giá trị của
x
3)
1 x−
có nghĩa khi
1 0 1xx−
4)
1
23
x
x
−
−
có nghĩa khi
3
2 3 0
2
xx−
5)
5
1
x
x
+
−
có nghĩa khi
50
10
x
x
+
−
5
1
x
x
−
6) Ta có
2
2 2,xx+
. Vậy
2
2x
x
+
có nghĩa khi
0x
7)
1
2
x
x
+
−
có nghĩa khi
2 0 2xx−
8)
2
1
3
2
xx
x
x
+
+
−
−
có nghĩa khi
20
30
x
x
−
−
2
3
x
x
Bài tập rèn luyện
Tìm điều kiện có nghĩa của các biểu thức sau:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Lời giải
•
2021 36 25A = + −
= 2021 + 6 – 5 =
2022
•
5 8 50 2 18B = + −
=
5.2 2 5 2 2.3 2+−
10 2 5 2 6 2 (10 5 6) 2 9 2= + − = + − =
•
27 2 27 75 3 3 4 3 5 3 6 3C = − − = − − = −
•
12 27 48 2 3 3 3 4 3 3D = + − = + − =
•
22
2 3 3 27 300 2 3 3 3 .3 10 .3 2 3 3.3. 3 10 3 3E = + − = + − = + − =
•
3 2 4 9.2F =+
3 2 12 2=+
15 2=
Lời giải
2 3 4 27 5 48 2 3 12 3 20 3 10 3A = − + = − + =
(3 50 5 18 3 8) 2 (15 2 15 2 6 2) 2 6 2. 2 12B = − + = − + = =
(2 3 5 27 4 12): 3
(2 3 5.3 3 4.2 3): 3
5 3: 3 5
C• = − +
= − +
= − = −
Phương pháp:
Bước ①: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
Bước ②: Qui đồng mẫu thức (nếu có)
Bước ③: Đưa một biểu thức ra ngoài dấu căn
Bước ④: Rút gọn biểu thức
Ghi nhớ: Có thể dùng Casio kiểm tra kết quả
❖Dạng ➋
Tính giá trị biểu thức chứa căn
Rút gọn các biểu thức sau
Ví dụ ➊
Rút gọn các biểu thức sau
Ví dụ ➋
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
5 5 12 5 6 5 4 5 5 5D = − + − = −
2 9 25 5 4E = + −
=5+6-10 =1
2 32 5 27 4 8 3 75F = − − +
2 2 2 2
2 4 .2 5. 3 .3 4. 2 .2 3. 5 .3= − − +
8 2 15 3 8 2 15 3= − − +
=0
Hướng dẫn giải
•
22
3 2 .3 3 .3 3 2 3 3 3 2 3A = − + = − + =
•
22
2 .5 3 .5 2 5 2 5 3 5 2 5 5B = − + = − + =
•
3( 27 4 3) 81 4 9 9 4.3 21C = + = + = + =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
22
22
D 7 4 3 7 4 3
2 2.2. 3 3 2 2.2. 3 3
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
• = − − +
= − + − + +
= − − + = − − + = − − − = −
•
( ) ( )
3 2 8 2 3 2 2 2 2 6 4 2E = − = − = − =
•
( )
2
2 3 3 3 3 1F = − + −
2 3 3 3 3 1 1= − + − = −
.
•
22
16 5 8 2 4 5 2 .2 2 9 2G = + + − = + + − = +
•
50 32 2H = − +
22
5 .2 4 .2 2= − +
5 2 4 2 2= − +
22=
•
( )
( )
2 2 1
1 2 1
21
K

−

= + −

−

( )( )
2 1 2 1= + −
( )
( )
2
2
21=−
2 1 1= − =
Bài tập rèn luyện
Rút gọn các biểu thức sau:
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Lời giải
2
(1 ) (1 ) 2
(1 )(1 ) 1
x x x
A
x x x
− − + −
• = =
+ − −
4 2 5
1
11
x
B
x
xx
−
• = + −
−
+−
, Với x ≥ 0 và x ≠ 1, ta có:
4( 1) 2( 1) 5
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
4( 1) 2( 1) ( 5)
( 1)( 1)
11
( 1)( 1) 1
x x x
B
x x x x x x
x x x
xx
x
x x x
− − + −
= + −
+ − + − + −
− − + − −
=
+−
−
==
+ − +
Vậy B =
1
1x +
2
21
1 ( 1)( 1) 1
( 1) 2 ( 1) 2 1
( 1)( 1) ( 1)( 1)
2 1 ( 1) 1
( 1)( 1) ( 1)( 1) 1
xx
C
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
• = − −
− − + +
+ − − − + − − +
==
− + − +
− + − −
===
− + − + +
Phương pháp:
Bước ①: Tìm ĐKXĐ nếu đề bài chưa cho (nếu có)
Bước ②: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
Bước ③: Quy đồng mẫu thức
Bước ④: Rút gọn biểu thức
❖Dạng ➌
Rút gọn biểu thức chứa căn
Rút gọn các biểu thức sau
với
với
và
điều kiện x ≥ 0 và
x ≠ 1
Ví dụ ➊
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
(2 )( 1) (2 )( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1)
( 2) ( 2) 2
11
x x x x
D
x x x x
x x x x x
xx
+ − − +
• = +
+ − + −
+ − + − + +
==
−−
Lời giải
24
( ):
2 2 2
( 2) 2( 2) 2
( ).
4
( 2)( 2) ( 2)( 2)
2 2 4 2 1 2
.
44
( 2)( 2) 2
xx
A
x x x
x x x x
x
x x x x
x x x x x
xx
x x x
+
• = +
+ − +
− + +
=+
+
+ − − +
− + + + +
= = =
+−
+ − −
1 1 2 ( 2) ( 2) 2
( ) .
2 2 ( 2)( 2)
2 ( 2) 2
,( 0; 4)
( 2)( 2) 2
x x x x
B
x x x x x x
xx
xx
x x x x
− + + − −
• = + =
− + − +
−
= =
− + +
22
1 1 ( 1) ( 1) 2 1 2 1 4
1 1 1
11
a a a a a a a a a
C
a a a
aa
+ − + − − + + − + −
• = − = = =
− − −
−+
1 ( 1) 1
:
1
( 1)( 1)
2 1 2
.
1 1 1
a a a
D
a
aa
a
a a a
+ − − +
•=
−
−+
−
==
− + +
Rút gọn các biểu thức sau:
với x 0 và x 4
với x > 0
và x ≠ 4
(với a
và a 1).
, ĐK:
Ví dụ ➋
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Hướng dẫn giải
4 4 4 2 4 2
..
( 4)( 4) ( 4)( 4) 4
x x x x x
A
x x x x x x x
− + + + +
• = = =
+ − + − −
1 1 1 2 1 2
. . (0 1)
( 1) 1 1
x x x
Bx
x x x x x

− + +
• = = =

− − −

11
. ( 1) . .( 1)
( 1) ( 1)
xx
C x x x x x
x x x x
+−
• = + = + =
++
3 4 12
( 0; 4)
4
22
D x x
x
xx
• = + −
−
−+
=
3( 2) 4( 2) 12
( 2)( 2)
xx
xx
+ + − −
+−
=
7 14
( 2)( 2)
x
xx
−
+−
=
7( 2) 7
( 2)( 2) 2
x
x x x
−
=
+ − +
3 1 1
( 3).
1 1 2
3 ( 1) ( 1) 3( 1)( 1) 1
.
( 1)( 1) 2
xx
E
x x x
x x x x x x
x x x
+
• = − −
− + +
+ − − − − + +
=
− + +
3 3 1 3 3 1
.
1
2
x x x x x
x
x
+ − + − + +
=
−
+
2( 2) 1
.
1
2
xx
x
x
++
=
−
+
2
1x
=
−
( ) ( )( )a b b a a b ab a b a b a b
F
ab a b ab a b
+ − + + −
• = + = +
++
2a b a b a= + + − =
Bài tập rèn luyện
Rút gọn các biểu thức sau:
với
mm.
x > 0, x
nn.
với
x > 0, x 1.
với x>0
với x
≥ 0 và x ≠ 1
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Lời giải
a). Điều kiện
01x
Với điều kiện đó, ta có:
( )
( )
2
1 1 1
:
1
1
x x x
A
x
xx
x
+ + −
==
−
−
b). Nếu A =
3
1
thì
1 1 3 9
3 2 4
x
xx
x
−
= = =
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy
9
4
x =
thì A =
3
1
c). Ta có P = A - 9
x
=
11
9 9 1
x
xx
xx

−
− = − + +


Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có:
11
9 2 9 . 6xx
xx
+ =
Suy ra:
6 1 5P − + = −
. Đẳng thức xảy ra khi
11
9
9
xx
x
= =
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức
5P =−
khi
1
9
x =
Phương pháp:
①
. Để tính giá trị của biểu thức biết ta rút gọn biểu thức rồi thay
vào biểu thức vừa rút gọn.
②
. Để tìm giá trị của khi biết giá trị của biểu thức A ta giải phương trình
❖Dạng ➍
Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa căn (*)
Cho biểu thức A =
a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A = .
c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9
Ví dụ ➊
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Lời giải
a.ĐK
9;4;0 xxx
Rút gọn M =
( )( ) ( )( )
( )( )
32
2123392
−−
−++−+−−
xx
xxxxx
Biến đổi ta có kết quả: M =
( )( )
2
23
xx
xx
−−
−−
M =
( )( )
( )( )
12
1
3
32
xx
x
M
x
xx
+−
+
=
−
−−
( )
1
b. M 5 5
3
1 5 3
1 5 15
16 4
16
4 16
4
x
x
xx
xx
x
xx
−
= =
−
+ = −
+ = −
=
= = =
Đối chiếu ĐK:
9;4;0 xxx
Vậy x = 16 thì M = 5
c. M =
3
4
1
3
43
3
1
−
+=
−
+−
=
−
+
xx
x
x
x
Do M
z
nên
3−x
là ước của 4
3−x
nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4
Lập bảng giá trị ta được:
49;25;16;4;1 x
vì
4x
49;25;16;1x
Cho biểu thức M =
a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5
c. Tìm x Z để M Z.
Ví dụ ➋
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Lời giải
a) Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :
−−
−
−
021
02
01
0
x
x
x
x
3
2
1
3
2
1
0
x
x
x
x
x
x
x
b) Đkxđ :
3;2;1 xxx
−
+
−
−
−−
−
−
−−
=
xx
x
xx
x
xx
P
2
2
2
2
21
3
1
1
( )
( )( )
( )
( )
( )( ) ( )
−
+
−
−
+−−−
+−−
−
−+−−
−+
=
xx
x
xxx
xx
xxxx
xx
2
2
2
2
2121
213
11
1
( )
( )
( )
( )
( )
xx
xx
x
xx
xx
xx
−
−−
−−
+−−
−
−−
−+
=
2
22
.
21
213
1
1
( )
( ) ( )
( )
xx
x
x
xx
xx
xx
−
−−
−
+−−
−
+−
−+
=
2
2
.
3
213
1
1
( )
( )
( )
x
x
x
x
x
xxx
−
=
−−
=
−
−−−−+=
21.21
.211
c) Thay
( )
2
12223 −=−=x
vào biểu thức
x
x
P
−
=
2
, ta có:
( )
( )
12
122
12
122
12
122
2
2
−
+−
=
−
−−
=
−
−−
=P
12
12
1
+=
−
=
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tính giá trị của P với .
Ví dụ ➌
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
2 ( 2)x x x x− = −
• ĐKXĐ:
0
00
4 0 4
20
x
xx
xx
x


−
−
• Với x > 0 và
4x
ta có:
P =
4 8 1 2
( ):( )
4
2 ( 2)
x x x
x
x x x x
−
−−
−
+−
4 ( 2) 8 1 2 2
:
( 2)( 2) ( 2)
4 8 8 1 2 4
:
( 2)( 2) ( 2)
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
− − − − −
=
− + −
− − − − +
=
− + −
4 8 3
:
( 2)( 2) ( 2)
x x x
x x x x
− − − +
=
− + −
( Đk: x
9)
4 ( 2) ( 2)
.
( 2)( 2) 3
4 . ( 2)
(3 )( 2)
4
3
x x x x
x x x
x x x
xx
x
x
− + −
=
− + −
−−
=
−−
=
−
Với x > 0 , x
4, 9x
thì P =
4
3
x
x −
b) P = - 1
Bài tập rèn luyện
Bài 1: Cho biểu thức:
P =
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = -1
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có:
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
4
1
3
x
x
= −
−
( ĐK: x > 0,
4, 9xx
)
43
4 3 0
xx
xx
= −
− − =
Đặt
xy=
đk y > 0
Ta có phương tnh:
2
4 3 0yy− − =
. Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0
1
1y = −
( không thoả măn ĐKXĐ y > 0),
2
3
4
y =
( thoả măn ĐKXĐ y > 0)
Với
3
4
yx==
thì x =
9
16
( thoả măn đkxđ)
Vậy với x =
9
16
thì P = - 1
c)
( 3) 1m x P x− +
(đk: x > 0;
4, 9xx
)
4
( 3) 1
3
.4 1
1
4
x
m x x
x
m x x
x
m
x
− +
−
+
+

( Do 4x > 0)
• Xét
1 1 1 1
4 4 4 4 4
xx
x x x x
+
= + = +
Có x > 9 (Thoả măn ĐKXĐ)
11
9x

( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn)
11
4 36
1 1 1 1
4 4 4 36
1 1 5
4 4 18
x
x
x

+ +
+
Theo kết quả phần trên ta có :
51
5
18 4
1
18
4
x
x
m
x
m
x
+

+
Kết luận: Với
5
,9
18
mx
thì
( 3) 1m x P x− +
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện để P xác định là
0;1;0;0 + yxyyx
.
( )
( )( )( )
(1 ) (1 )
11
x x y y xy x y
P
x y x y
+ − − − +
=
+ + −
( ) ( )
( )( )( )
()
11
x y x x y y xy x y
x y x y
− + + − +
=
+ + −
( )( )
( )( )( )
11
x y x y x xy y xy
x y x y
+ − + − + −
=
+ + −
( ) ( ) ( )( )
( )( )
1 1 1 1
11
x x y x y x x
xy
+ − + + + −
=
+−
( )
1
x y y y x
y
− + −
=
−
( )( ) ( )
( )
1 1 1
1
x y y y y
y
− + − −
=
−
.x xy y= + −
Vậy P =
.yxyx −+
b) ĐKXĐ:
0;1;0;0 + yxyyx
P = 2
.yxyx −+
= 2
( ) ( )
( )( )
1 1 1
1 1 1
x y y
xy
+ − + =
− + =
Ta có: 1 +
1y
11x −
04x
x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta có các cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn).
Bài 2: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2.
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Hướng dẫn giải
Câu 1:
2 2 8 3 32 2 72 2 2 2 2 12 2 12 2 4 2A = + + − = + + − =
.
Câu 2: Điều kiện
3x
.
3 9 27 2 16 48 6x x x− − − + − =
3 3 3 8 3 6x x x − − − + − =
6 3 6x − =
31x − =
31x − =
4x=
(t/m).
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
4S =
.
Câu 3:
1 6 8
9 4 5
5 2 3 2
B
+
= − − +
−+
( )
( )
2
2 3 2
52
25
54
32
+
+
= − − +
−
+
5 2 2 2 5 2= + − − − = −
Câu 4:
1) Với
9x =
( thỏa mãn điều kiện )
93
8
95
A
−−
= =
+
.
Vậy
3
8
A
−
=
với
9x =
.
2. Rút gọn biểu thức
B
.
2 1 2 5
4
22
x x x
B
x
xx
−−
= − −
−
−+
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
2 2 1 2
25
2 2 2 2 2 2
x x x x
x
x x x x x x
+ − −
−
= − +
+ − + − + −
Phiếu ôn tập
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức .
Câu 2: Tìm biết .
Câu 3: Rút gọn biểu thức .
Câu 4: Cho biểu thức và .
1. Tính giá trị của với .
2. Rút gọn biểu thức .
3. Tìm để .
Phiếu ➊
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
( )( )
2 4 2 2 2 5
22
x x x x x x
xx
+ − + + − + −
=
+−
( )( )
2
22
xx
xx
+
=
+−
2
x
x
=
−
Vậy
2
x
B
x
=
−
.
3. Ta có
1
3
B
A
−
1
:
3
25
xx
xx
−
−
−+
51
3
2
x
x
+

−
( )
2 17
0
32
x
x
+

−
Vì
0
0
4
x
x
x
2 17 17x +
,
0; 4xx
Để
( )
2 17
0
32
x
x
+
−
( )
3 2 0 2 0 4x x x − −
Kết hợp ĐKXĐ
0; 4 0 4x x x
.
Vậy
04x
là giá trị cần tìm
Hướng dẫn giải
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức .
Câu 2: Thực hiện phép tính:
a) b) .
Câu 3: Cho các biểu thức và .
a) Tìm để . b) Chứng minh .
c) Đặt . Tìm để .
Câu 4: Cho và với ,
a) Tính giá trị biểu thức khi .
b) Rút gọn biểu thức .
c) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Phiếu ➋
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Câu 1:
( )
4
12 2 3 2
2
M = − − −
( )
( )
2
22
4.3 2 3 2
2
= − − −
2 3 2 3 2 2 2 2= − + −
0=
Câu 2:
a)
1
4 8 72 5 .2 2
2
A

= − +



52
8 2 6 2 .2 2
2

= − +



92
.2 2 18
2
==
.
b)
( )
5 5 3 3
35
5 3 1
B
++
= + − +
+
( ) ( )
( )
5 5 1 3 3 1
35
5 3 1
++
= + − +
+
5 1 3 3 5 1= + + − − =
.
Câu 3:
a) Tìm
x
để
1
2
A =
2x
A
x
−
=
( )
0x
Để
1
2
A =
21
2
x
x
−
=
( )
22xx − =
24xx − =
4x=
( )
( )
16 L
16 TM
x
x
=−
=
Vậy để
1
2
A =
thì
16x =
.
b) Chứng minh
1
x
B
x
=
+
33
1
1
xx
B
x
x
−+
=+
−
−
( )
0, 1xx
( )( )
33
1
11
xx
x
xx
−+
=+
−
−+
( )( )
( )( ) ( )( )
31
3
1 1 1 1
xx
x
x x x x
−+
+
=+
− + − +
( )( )
3 3 3
11
x x x x
xx
+ − − + +
=
−+
( )( )
11
xx
xx
−
=
−+
( )
( )( )
1
11
xx
xx
−
=
−+
1
x
x
=
+
Vậy
1
x
B
x
=
+
.
c) Đặt
.P AB=
. Tìm
x
để
1
2
P
2
..
1
xx
P A B
xx
−
==
+
2
1
x
x
−
=
+
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Để
1
2
P
( )
21
4
2
1
x
x
x
−
+
21
4
1
x
x
−

+
( )
4 2 1xx − +
4 8 1xx − +
39x
3x
9x
Vậy
1
2
P
thì
49x
Câu 4:
a) Khi
16x =
(thoả mãn điều kiện), ta có
16 3 19 19
4 3 7
16 3
A
+
= = =
+
+
Vậy khi
16x =
thì
19
7
A =
b) Với
0x
,
9x
, ta có:
( )( )
3 2 1 3 3 2 1 3
..
9
3 1 3 1
33
x x x x x x
B
x
x x x x
xx


+ − − + − −

= − = −



−
+ + + +
+−


( )
( )( ) ( )( )
3 2 3
3 3 2 3 3
..
11
3 3 3 3
x x x
x x x x x
B
xx
x x x x
+ − − −
− + − − + −
==
++
+ − + −
( )( )
( )
( )( )
2
1
2 1 3 3 1
..
1 1 3
3 3 3 3
x
x x x x x
B
x x x
x x x x

+
+ + − − +

= = =

+ + +
+ − + −

Vậy
1
3
x
B
x
+
=
+
với
0x
,
9x
.
c)
3 1 3 3 3
:.
3 3 3 1 1
A x x x x x
P
B
x x x x x
+ + + + +
= = = =
+ + + + +
, điều kiện
0x
,
9x
Khi đó ta có:
( )
3 1 4 4 4 4
1 1 2 2 1 . 2 2
1 1 1 1 1
xx
P x x x
x x x x x
+ − +
= = = − + = + + − + − =
+ + + + +
Dấu
""=
xảy ra
( )
2
4
1 1 4 1 2
1
x x x
x
+ = + = + =
+
(do
11x +
)
2 1 1 1x x x = − = =
(thoả mãn điều kiện)
Vậy min
2P =
tại
1x =
| 1/19
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   ➊
CÁC PHÉP TOÁN VỀ CĂN THỨC  Ⓐ
Tóm tắt lý thuyết
➊. Căn bậc hai số học:
Căn bậc hai số học
• Với số dương a, số
được gọi là căn bậc hai số học của a
• Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0 • Một cách tổng quát:
So sánh các căn bậc hai số học
• Với hai số a và b không âm ta có: ➋. Căn bậc hai:
➌. Liên hệ giữa phép nhân, với phép khai phương:
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
➍. Liên hệ giữa phép chia với phép khai phương:
➎. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022  Ⓑ
Phân dạng toán cơ bản ❖Dạng ➊
Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Phương pháp: Nếu biểu thức có: Dạng ①:
có TXĐ: D = {x| g(x)  0} . Chứa mẫu số  ĐKXĐ: mẫu số khác 0 Dạng ②:
có TXĐ: D = {x| f(x) ≥ 0}. Chứa căn bậc hai  ĐKXĐ:
biểu thức dưới dấu căn 0
Chú ý: Nếu thì
Khi n là số lẻ,với mọi x đều thỏa mãn.
Khi n là số chẵn thì f(x) ≥ 0. Dạng ③:
có TXĐ: D = {x| g(x) > 0}, (với f(x) có D = R). Chứa căn
thức bậc chẵn dưới mẫu  ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0 Ví dụ ➊
Tìm điều kiện có nghĩa của các biểu thức sau: b) c) a) Lời giải 2 + 2  +  2  +    a) x 1 có nghĩa khi x 1 0 x 1 0, x     x  2 x − 2 x − 2  0 x − 2  0
b) 2x −1 có nghĩa khi 1
2x −1  0  x  2 −
c) 3x + 2 có nghĩa khi 2
3x + 2  0  x 3 Ví dụ ➋
Tìm điều kiện có nghĩa của các biểu thức sau: a) b) c) d) Lời giải
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022  −
a) 3x + 5 có nghĩa khi 5
3x + 5  0  x  3 b) Ta có 2 x + 3  3, x   . Vậy 2
x + 3 luôn có nghĩa với mọi giá trị của x
c) 1− 2x có nghĩa khi 1
1− 2x  0  x  2 + d) x 1 có nghĩa khi 1
2x −1  0  x  2x −1 2
Bài tập rèn luyện
Tìm điều kiện có nghĩa của các biểu thức sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
Hướng dẫn giải
1) x −1 có nghĩa khi x −1 0  x 1 2) Ta có 2 x +1  1, x   . Vậy 2
x +1 luôn có nghĩa với mọi giá trị của x
3) 1− x có nghĩa khi 1− x  0  x 1 − 4) x 1 có nghĩa khi 3
2x − 3  0  x  2x − 3 2 x + 5 x + 5  0 x  5 − 5) có nghĩa khi    x −1 x −1  0 x  1 2 + 6) Ta có 2 x 2 x + 2  2, x   . Vậy
có nghĩa khi x  0 x +
7) x 1 có nghĩa khi 2 − x  0  x  2 2 − x 2 + x − 2  0 x  2 8) x x 1 + có nghĩa khi    x − 2 x − 3 x − 3  0 x  3
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022  ❖Dạng ➋
Tính giá trị biểu thức chứa căn
Phương pháp:
Bước ①: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
Bước ②: Qui đồng mẫu thức (nếu có)
Bước ③: Đưa một biểu thức ra ngoài dấu căn
Bước ④: Rút gọn biểu thức
Ghi nhớ: Có thể dùng Casio kiểm tra kết quả Ví dụ ➊
Rút gọn các biểu thức sau Lời giải
• A = 2021+ 36 − 25 = 2021 + 6 – 5 = 2022
• B = 5 8 + 50 − 2 18 =5.2 2 + 5 2 − 2.3 2
=10 2 + 5 2 − 6 2 = (10 + 5− 6) 2 = 9 2 • − − = − − = − C = 27 2 27 75 3 3 4 3 5 3 6 3 • + − = + − = D = 12 27 48 2 3 3 3 4 3 3 • 2 2 + − = + − = + − = E = 2 3 3 27 300 2 3 3 3 .3 10 .3 2 3 3.3. 3 10 3 3
• F = 3 2 + 4 9.2 = 3 2 +12 2 = 15 2 Ví dụ ➋
Rút gọn các biểu thức sau Lời giải
A = 2 3 − 4 27 + 5 48 = 2 3 −12 3 + 20 3 =10 3
B = (3 50 −5 18 + 3 8) 2 = (15 2 −15 2 + 6 2) 2 = 6 2. 2 =12 C
• = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3 = (2 3 − 5.3 3 + 4.2 3) : 3 = 5 − 3 : 3 = 5 −
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
D = 5 5 −12 5 + 6 5 − 4 5 = 5 − 5
E = 2 9 + 25 − 5 4 =5+6-10 =1
F = 2 32 − 5 27 − 4 8 + 3 75 2 2 2 2
= 2 4 .2 − 5. 3 .3 − 4. 2 .2 + 3. 5 .3 = 8 2 −15 3 −8 2 +15 3 =0
Bài tập rèn luyện
 Rút gọn các biểu thức sau:
Hướng dẫn giải • 2 2
A = 3 − 2 .3 + 3 .3 = 3 − 2 3 + 3 3 = 2 3 • 2 2
B = 2 .5 − 3 .5 + 2 5 = 2 5 − 3 5 + 2 5 = 5
• C = 3( 27 + 4 3) = 81 + 4 9 = 9 + 4.3 = 21 •D = 7 − 4 3 − 7 + 4 3
= 2 − 2.2. 3 + ( 3)2 − 2 + 2.2. 3 +( 3)2 2 2
= (2− 3)2 − (2+ 3)2 = 2− 3 −(2+ 3) = 2− 3 − 2− 3 = 2 − 3
• E = (3 2 − 8) 2 = (3 2 − 2 2) 2 = 6− 4 = 2 • F = − + ( − )2 2 3 3 3 3 1 = 2 3 −3 3 + 3 −1= 1 − . • 2 2 + + − = + + − = + G = 16 5 8 2 4 5 2 .2 2 9 2 • 2 2 = − + H = 50 − 32 + 2 5 .2 4 .2 2 = 5 2 − 4 2 + 2 = 2 2  2 ( 2 − )1  2 •   2 K =
+1 ( 2 − )1 = ( 2 + )1( 2 − ) = ( 2) −( ) = − =  1 1 2 1 1 2 −1   
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022  ❖Dạng ➌
Rút gọn biểu thức chứa căn
Phương pháp:
Bước ①: Tìm ĐKXĐ nếu đề bài chưa cho (nếu có)
Bước ②: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
Bước ③: Quy đồng mẫu thức
Bước ④: Rút gọn biểu thức Ví dụ ➊
Rút gọn các biểu thức sau với với điều kiện x ≥ 0 và và x ≠ 1 Lời giải
(1− x) − (1+ x) 2 − x •A = = 2 (1+ x)(1− x) 1− x 4 2 x − 5 •B = + −
, Với x ≥ 0 và x ≠ 1, ta có: x +1 1− x x −1 4( x −1) 2( − x +1) x − 5 B = + − ( x +1)( x −1) ( x +1)( x −1) ( x +1)( x −1)
4( x −1) − 2( x +1) − ( x − 5) = ( x +1)( x −1) x −1 1 = = ( x +1)( x −1) x +1 1 Vậy B = x +1 x 2 x 1 C • = − − x −1 ( x −1)( x +1) x +1
x ( x +1) − 2 x − ( x −1) x +
x − 2 x − x +1 = = ( x −1)( x +1) ( x −1)( x +1) 2 x − 2 x +1 ( x −1) x −1 = = = ( x −1)( x +1) ( x −1)( x +1) x +1
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022  (2 + x )( x −1)
(2 − x )( x +1) •D = + ( x +1)( x −1)
( x +1)( x −1) (x +
x − 2) + (−x + x + 2) 2 x = = x −1 x −1 Ví dụ ➋
Rút gọn các biểu thức sau: với x > 0 với x  0 và x  4 và x ≠ 4 (với a , ĐK: và a 1). Lời giải x 2 x + 4 •A = ( + ) : x + 2 x − 2 x + 2 x ( x − 2) 2( x + 2) x + 2 = ( + ).
( x + 2)( x − 2)
( x − 2)( x + 2) x + 4
x − 2 x + 2 x + 4 x + 2 1 x + 2 = . = =
( x + 2)( x − 2) x + 4 x − 2 x − 4 1 1 x − 2
( x + 2) + ( x − 2) x − 2 •B = ( + ) = . x − 2 x + 2 x
( x − 2)( x + 2) x 2 x ( x − 2) 2 = =
, (x  0; x  4)
x ( x − 2)( x + 2) x + 2 2 2 a +1 a −1
( a +1) − ( a −1)
a + 2 a +1− a + 2 a −1 4 a C • = − = = = a −1 a +1 a −1 a −1 a −1
a +1− ( a −1) a +1 •D = :
( a −1)( a +1) a −1 2 a −1 2 = . = a −1 a +1 a +1
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Bài tập rèn luyện
 Rút gọn các biểu thức sau: với nn. với mm. x > 0, x  x > 0, x  1. với x>0 với x ≥ 0 và x ≠ 1
Hướng dẫn giải − + + + + x 4 x 4 x 4 2 x x 4 2 •A = . = . =
( x + 4)( x − 4) x
( x + 4)( x − 4) x x − 4  − + +  x 1 x 1 1 2 x 1 2 •B =  . = . = (0  x  1) ( x −1) x x −1 x x −1   + − x 1 x 1 C • = .x( x +1) = . . x ( x +1) = x x( x +1) x( x +1) 3 4 12 •D = + −
(x  0; x  4) x − 2 x + 2 x − 4 + + − − − −
= 3( x 2) 4( x 2) 12 = 7 x 14 = 7( x 2) 7 =
( x + 2)( x − 2)
( x + 2)( x − 2)
( x + 2)( x − 2) x + 2 3 x 1 x +1 •E = ( − − 3). − + + x 1 x 1 x 2
3 x ( x +1) − ( x −1) − 3( x −1)( x +1) x +1 = . ( x −1)( x +1) x + 2
3x + 3 x − x +1− 3x + 3 x +1 = . x −1 x + 2 2( x + 2) x +1 = 2 . = x −1 x + 2 x −1 a b + b a a − b
ab( a + b)
( a + b )( a − b ) •F = + = + ab a + b ab a + b
= a + b + a − b = 2 a
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022  ❖Dạng ➍
Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa căn (*)
Phương pháp:
①. Để tính giá trị của biểu thức biết
ta rút gọn biểu thức rồi thay
vào biểu thức vừa rút gọn.
②. Để tìm giá trị của khi biết giá trị của biểu thức A ta giải phương trình Ví dụ ➊ Cho biểu thức A =
a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A = .
c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 Lời giải
a). Điều kiện 0  x  1 x +1 x +1 x −1
Với điều kiện đó, ta có: A = = x ( x − ) : 1 ( x − )2 1 x x −1 1 3 9 b). Nếu A = 1 thì
=  x =  x = (thỏa mãn điều kiện) 3 x 3 2 4 9 Vậy x = thì A = 1 4 3 x −1  1 
c). Ta có P = A - 9 x =
− 9 x = −9 x +  +1 xx
 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: 1 1 9 x +  2 9 x. = 6 x x 1 1  Suy ra: P  6 − +1= 5
− . Đẳng thức xảy ra khi 9 x =  x = x 9 1
 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P = 5 − khi x = 9
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022Ví dụ ➋ Cho biểu thức M =
a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M b. Tìm x để M = 5 c. Tìm x Z để M Z. Lời giải a.ĐK x  ; 0 x  ; 4 x  9
2 x − 9 − ( x + ) 3 ( x − ) 3 + (2 x + ) 1 ( x − 2) Rút gọn M = (
x − 2)( x − ) 3 x − x − 2
Biến đổi ta có kết quả: M = (
x − 2)( x − 3)
( x + )1( x −2) + M = x 1 (  M =
x − 3)( x − 2) x − 3 x −1 b. M = 5  = 5 x − 3
x +1 = 5( x −3)
x +1 = 5 x −15  16 = 4 x 16  x = = 4  x = 16 4
Đối chiếu ĐK: x  ; 0 x  ;
4 x  9 Vậy x = 16 thì M = 5 x + x − + c. M = 1 3 4 4 = = 1+ x − 3 x − 3 x − 3
Do M  z nên x − 3 là ước của 4  x − 3 nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4
Lập bảng giá trị ta được:  x  ; 1 ; 16 ; 4 ; 25 
49 vì x  4  x   ; 16 ; 1 ; 25  49
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022Ví dụ ➌
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tính giá trị của P với . Lời giải x  0  x  0  x −1  0  x  1 x  1 
a) Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :     x  2  2 − x  0 x  2   x   3  x −1 − 2  0 x  3 b) Đkxđ : x  ; 1 x  ; 2 x  3  1 x − 3   2 x + 2  P =  −  −    x − x −1 x − 1 − 2   2 − x 2x − x   ( x + x−1) (x − ) 3 ( x −1 + 2 )  2 x + 2  =  −
( x − x −1)( x + x −1) ( x −1 − 2)( x −1 + 2) −  2 − x
x ( 2 − x )
x + x −1 (x − )
3 ( x −1 + 2 ) 2 x − x − 2 =  − . x − (x − ) 1 (x − )  1 − 2  x ( 2 − x )
x + x −1 (x − )
3 ( x −1 + 2 ) − ( 2 − x ) =  − . x − x + 1 x  − 3
x ( 2 − x ) −1 − 2 . −1 2 −
= ( x + x −1 − x −1 − 2) ( x )( ) x . = = x x x − x
c) Thay x = 3 − 2 2 = ( 2 − )2
1 vào biểu thức P = 2 , ta có: x 2 2 − ( 2 − ) 2 − 2 − 1 − + 1 1 2 2 1 P = = = + ( = = 2 1 2 − − 2 − 1 2 − ) 2 1 2 1 1
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Bài tập rèn luyện
Bài 1: Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = -1
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có:
Hướng dẫn giải
a) Ta có: x − 2 x = x( x − 2) x  0   x  0 x  0 • ĐKXĐ:    4 − x  0  x  4   x − 2  0
• Với x > 0 và x  4 ta có: 4 x 8x x −1 2 P = ( − ) : ( − ) 2 + x x − 4 x( x − 2) x
4 x ( x − 2) − 8x
x −1− 2 x − 2 = :
( x − 2)( x + 2) x ( x − 2)
4x − 8x − 8x
x −1− 2 x + 4 = :
( x − 2)( x + 2) x ( x − 2) 4 − x − 8 x − x + 3 = : ( Đk: x  9)
( x − 2)( x + 2) x ( x − 2) 4 − x ( x + 2) x ( x − 2) = .
( x − 2)( x + 2) 3 − x 4 −
x. x ( x − 2) = (3 − x )( x − 2) 4x = x −3 4x
Với x > 0 , x  4, x  9 thì P = x − 3 b) P = - 1
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022  4x
= −1( ĐK: x > 0, x  4, x  9 ) x − 3  4x = 3− x
 4x − 3− x = 0 Đặt
x = y đk y > 0 Ta có phương tŕnh: 2
4 y − y − 3 = 0 . Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0  3 y = 1
− ( không thoả măn ĐKXĐ y > 0), y = ( thoả măn ĐKXĐ y > 0) 1 2 4 3 Với y =
= x thì x = 9 ( thoả măn đkxđ) 4 16
Vậy với x = 9 thì P = - 1 16 c) ( m
x − 3)P x +1 (đk: x > 0; x  4, x  9 ) 4xm( x − 3)  x +1 x − 3  .4 m x x +1 x +1  m  4x ( Do 4x > 0) + • x 1 x 1 1 1 Xét = + = + 4x 4x 4x 4 4x
Có x > 9 (Thoả măn ĐKXĐ) 1 1
  ( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn) x 9 1 1   4x 36 1 1 1 1  +  + 4 4x 4 36 1 1 5  +  4 4x 18  5 x +1  
Theo kết quả phần trên ta có : 1  8 4x 5   m x +1 18 m   4x 5
Kết luận: Với m  , x  9 thì ( m
x − 3)P x +1 18
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Bài 2: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2.
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện để P xác định là x  0 ; y  0 ; y  1 ; x + y  0 . x(1 + x ) − y(1 −
y ) − xy ( x + y )
(x − y) + (x x + y y ) − xy ( x + y ) P = ( = x +
y )(1 + x )(1 − y )
( x + y)(1+ x)(1− y)
( x + y)( x − y + x − xy + y −xy) =
( x + y)(1 + x)(1 − y) x ( x + ) 1 − y ( x + )
1 + y (1 + x )(1 − x ) = ( 1 + x )(1 − y )
x (1 − y )(1 + y ) − y (1 − y ) x −
y + y − y x = ( = = x + xy − . y 1 − y ) (1 − y)
Vậy P = x + xy − . y
b) ĐKXĐ: x  0 ; y  0 ; y  1 ; x + y  0 P = 2  x + xy − . y = 2
x (1 + y) − ( y + ) = 1 1
 ( x − )1(1 + y) = 1
Ta có: 1 + y 1  x −1 1  0  x  4  x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta có các cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn).
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022Phiếu ôn tập Phi ếu ➊
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức .
Câu 2: Tìm biết .
Câu 3: Rút gọn biểu thức .
Câu 4: Cho biểu thức và . 1. Tính giá trị của với . 2. Rút gọn biểu thức . 3. Tìm để .
Hướng dẫn giải
Câu 1: A = 2 2 + 8 + 3 32 − 2 72 = 2 2 + 2 2 +12 2 −12 2 = 4 2 .
Câu 2: Điều kiện x  3.
x − 3 − 9x − 27 + 2 16x − 48 = 6 
x − 3 − 3 x − 3 + 8 x − 3 = 6
 6 x − 3 = 6  x − 3 =1  x −3 =1  x = 4 (t/m).
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =   4 . + Câu 3: 1 6 8 B = − − 9 + 4 5 5 − 2 3 + 2 2 + ( 3+2 5 2 ) = −
− (2+ 5)2 = 5 + 2− 2 −2− 5 = − 2 5 − 4 3 + 2 Câu 4:
1) Với x = 9 ( thỏa mãn điều kiện ) − 9 3 −  A = = . 9 + 5 8 − Vậy 3 A = với x = 9 . 8
2. Rút gọn biểu thức B . 2 x x −1 2 − 5 x B = − − x − 2 x + 2 4 − x 2 x ( x + 2)
( x − )1( x −2) 2 − 5 x = ( − +
x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2)
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
2x + 4 x − x + 2 x +
x − 2 + 2 − 5 x + = x 2 x x ( = = x + 2)( x − 2) ( x +2)( x −2) x − 2 Vậy x B = . x − 2 3. Ta có B 1  − A 3 x − x 1  :  − x − 2 x + 5 3 x + 5 1 +   2 x 17   0 x − 2 3 3( x − 2) Vì x 0 x 0 x 4
 2 x +17 17 , x 0; x 4 + Để 2 x 17 (  x − ) 0 3 2
 3( x − 2)  0  x − 2  0  x  4
Kết hợp ĐKXĐ x  0; x  4  0  x  4 .
Vậy 0  x  4 là giá trị cần tìm Phiếu ➋
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức .
Câu 2: Thực hiện phép tính: a) b) .
Câu 3: Cho các biểu thức và . a) Tìm để . b) Chứng minh . c) Đặt . Tìm để . Câu 4: Cho và với ,
a) Tính giá trị biểu thức khi . b) Rút gọn biểu thức . c) Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn giải
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022Câu 1: M = − ( − ) 4 12 2 3 2 − = − ( − ) ( )2 2 2 4.3 2 3 2 − 2 2
= 2 3 − 2 3 + 2 2 − 2 2 = 0 Câu 2:     a) 1 9 2 A =  4 8 − 72 + 5 .2 2   5 2 = 8 2 − 6 2 + .2 2   = .2 2 = 18 . 2   2   2 + + 5 ( 5 + ) 1 3 ( 3 + ) 1 b) 5 5 3 3 B = + − ( 3 + 5) = + − ( 3 + 5) 5 3 +1 5 3 +1
= 5 +1+ 3 − 3 − 5 =1. Câu 3: 1
a) Tìm x để A = 2 x − 2 A = (x  0) x − x = 16 − (L) Để 1 x A = 2 1  =
 2( x − 2) = x  2 x − 4 = x x = 4   2 x 2 x =16  (TM) 1 Vậy để A = thì x =16 . 2 x b) Chứng minh B = x +1 x − 3 x + 3 x − 3 x + 3 B = +
(x  0, x  ) 1 = + x −1 x −1 x −1
( x − )1( x + )1
( x −3)( x + )1 x + 3 + − − + + = x x 3 x 3 x 3 ( + = x − ) 1 ( x + ) 1
( x − )1( x + )1
( x − )1( x + )1 x ( x − ) x − x 1 = x ( = = x − ) 1 ( x + ) 1
( x − )1( x + )1 x +1 x Vậy B = . x +1 c) Đặ 1 t P = .
A B . Tìm x để P  2 x − 2 x x − 2 P = . A B = . = x x +1 x +1
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh
Full Chủ đề Ôn thi TS cấp tốc
vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022  − Để 1 x 2 1 P    (x  4) 2 x +1 2 x − 2 1  
 4( x − 2)  x +1 x +1 4
 4 x −8  x +1  3 x  9  x  3  x  9 1 Vậy P  thì 4  x  9 2 Câu 4: +
a) Khi x =16 (thoả mãn điều kiện), ta có 16 3 19 19 A = = = 16 + 3 4 + 3 7 19
Vậy khi x =16 thì A = 7
b) Với x  0 , x  9 , ta có:  
x + 3 x − 2 1  x −3 x + 3 x − 2 1 x − 3 B  .   = − = −   x − x + x +   
 ( x + 3)( x − 3) . 9 3 1 x + 3  x +1 
x +3 x − 2−( x −3)   x − 3
x + 3 x − 2 − x + 3 x − 3 B   (    = =  x + 3)( x − 3) .  x +  
 ( x + 3)( x − 3) . 1  x +1    + + − ( x + x x x )2 1 2 1 3 x − 3 x +1 B   (  = = = 
x + 3)( x − 3) .  x + 
( x +3)( x −3). 1 x +1 x + 3 + Vậy x 1 B =
với x  0 , x  9 . x + 3 A x + 3 x +1 x + 3 x + 3 x + 3 c) P = = : = . =
, điều kiện x  0 , x  9 B x + 3 x + 3 x + 3 x +1 x +1 Khi đó ta có: x + 3 x −1+ 4 4 4 P = = = x − + = x + + −  ( x + ) 4 1 1 2 2 1 . − 2 = 2 x +1 x +1 x +1 x +1 x +1
Dấu " = " xảy ra  x + =  ( x + )2 4 1 1
= 4  x +1 = 2 (do x +11 ) x +1
x = 2 −1 x =1 x =1 (thoả mãn điều kiện)
Vậy min P = 2 tại x =1
St&Bs-FB: Duong Hung – Liên hệ File Word: Zalo 0774860155 Word xinh