Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kèm ví dụ minh họa
1. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?
- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
2. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
+ Trong đa thức có nhiều hạng tử, ta tìm xem chúng có nhân tử chung là gì.
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và nhân tử khác.
+ Đặt nhân tử chung ra ngoài, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
+ Công thức: A.B + A.C = A.(B + C)
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
75.20,9 + 52 .20,9 = 20,9.(75 + 52) = 20,9.100 = 2090
98,6.199 – 990.9,86 = 98,6.199 – 99.10.9,86 = 98,6.199 – 98,6.99 = 98,6.(199 – 99) = 98,6.100 = 9860
- Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Ở phương pháp này, ta vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử
hoặc lũy thừa của một đa thức đơn giản.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = (3x - 2)2 - 16x2 = (3x - 2)2 - (4x)2 = (3x - 2 - 4x) (3x - 2 + 4x)
= (-x - 2) (7x - 2) = (x + 2) (2 - 7x)
- Phương pháp 3: Phương pháp nhóm hạng tử
+ Ta xem trong đa thức đó, có những hạng tử nào có thể nhóm lại với nhau.
+ Sau đó phân tích chúng thành các đơn thức, đa thức đơn giản hơn.
+ Đặt thừa số chung, có thể sử dụng hằng đẳng thức để phân tích.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử A = x2 - y2 - 5x + 5y
= (x2 - y2) - (5x - 5y) = (x - y)(x + y) - 5(x - y) = (x - y)(x + y - 5)
- Phương pháp 4: Phương pháp tách hạng tử
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = x2 + 7x + 6 = x2 + x + 6x + 6 = x(x + 1) + 6(x + 1) = (x + 6)(x + 1)
- Phương pháp 5: Phương pháp thêm, bớt hạng tử
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử A = x3 + x2 - 3x + 1
= (x3 - x2) + x2 + x2 - 3x + 1
= x2 (x - 1) + 2x (x -1) - (x - 1) = (x - 1) (x2 + 2x - 1)
- Phương pháp 6: Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 - 2x)2 - 3 (x2 - 2x) - 10
= y2 - 3y - 10 ( với y = x2 - 2x)
= y2 - 5y + 2y - 10 = y (y - 5) + 2 (y - 5) = (y - 5) (y + 2)
Thay y = x2 - 2x, ta được:
A = (x2 - 2x - 5) (x2 - 2x + 2)
- Phương pháp 7: Giảm dần số mũ của lũy thừa Ví dụ: c, x(y - x)2 + xy.(x- y) = x(x - y)2 + xy(x - y) = x(x - y)(x - y) + xy(x - y) = x(x - y) [(x - y) + y]
a, 75.20,9 + 52 .20,9 = 20,9.(75 + 52) = 20,9.100 = 2090
b, 98,6.199 – 990.9,86 = 98,6.199 – 99.10.9,86 = 98,6.199 – 98,6.99 = 98,6.(199 – 99) = 98,6.100 = 9860 c, A = a(b + 3) – b(3 + b)
tại a = 2, b = 3 A = a(b + 3) – b(b + 3) = (b + 3)(a – b)
Thay a = 2, b = 3 vào biểu thức A ta được: A = (3 + 3)(2 – 3) = - 6 b,
B = b2 - 8b – c(8 – b) tại b = 1, c = 2
Ta có: B = b2 - 8b – c(8 – b) = -b(8 – b) – c(8 – b) = (8 – b)(- b – c)
Thay b = 1, c = 2 vào biểu thức B, ta được: B = (8 – 1)(- 1 – 2) = -21 VD3:
a, 8x(x - 2017) - 2x + 4034 = 0
<=> 8x(x - 2017) - 2(x - 2017) = 0
<=> (x - 2017) (8x - 2) = 0
<=> x - 2017 = 0 hoặc 8x - 2 = 0
<=> x = 2017 hoặc x = 1/ 4
Vậy x = 2017 hoặc x = 1/ 4 b, 4 - x = 2(x - 4)2
<=> 2(x - 4)2 + x - 4 = 0
<=> (x - 4)[2(x - 4) + 1] = 0
<=> (x - 4)(2x - 8 + 1) = 0 <=> (x - 4)(2x -7) = 0
<=> x - 4 = 0 hoặc 2x - 7 = 0
<=> x = 4 hoặc x = 7/ 2 Vậy x = 4 hoặc x = 7/ 2
3. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 14x2 – 21xy2 + 28x2y2 = 7x(2x - 3y2 + 4xy2)
b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x + 3)(2 - x)
c) x2 + 4x – y2 + 4 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y)
Bài 2: Giải phương trình sau : 2(x + 3) – x(x + 3) = 0
Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3; x2 = 2
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) b) x2 + 5x -6 = x2 + 6x - x - 6
= x(x + 6) - (x + 6) = (x + 6)(x - 1)
c. a4 + 16 = a4+ 8a2 + 16 - 8a2 = (a2 + 4)2 - (a)2 = (a2 + 4 +a)( a2 + 4 - a)
Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây: a) (x5+ x3+ x2 + 1):(x3 + 1) b) (x2-5x + 6):(x - 3) Giải: a) Vì x5+ x3+ x2 + 1 = x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1)
nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)
b)Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6 = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2)
nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2)
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 3x – 3y b) 2x2 + 5x3+ x2y c) 14x2y – 21 xy2 + 28x2y2 d) x(y – 1 ) – y(y – 1)
e) 10x(x – y) – 8y(y – x) Giải: a) 3x – 3y = 3(x – y)
b) 2x2 + 5x3+ x2y = x2(2 + 5x + y)
c) 14x2y – 21 xy2 + 28x2y2 = 7xy( 2x – 3y + 4xy)
d) x(y – 1 ) – y(y – 1) = (y – 1)(x – y)
e) 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2 (x – y)(5x + 4y) Bài 6: Tìm x , biết :
a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0 b) 5x2 = 13x Giải:
a) Ta có : 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0
5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0 (x – 2000)(5x – 1) = 0
x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0 x – 2000 = 0 x = 2000 5x – 1 = 0 5x = 1 x = 1/5
Vậy x = 2000 hoặc x = 1/ 5 b) 5x2 = 13x 5x2 – 13x = 0 x(5x – 13 ) = 0 x = 0 hoặc 5x – 13 = 0 x = 0 hoặc x = 13/ 5 Bài 6: Tính nhanh a) 15,8 . 35 + 15,8 . 65 b) 1,43 . 141 – 1.43 . 41 Giải chi tiết: a) 15,8 . 35 + 15,8 . 65 = 15,8. (35 + 65) = 15,8 . 100 = 1580 b) 1,43 . 141 – 1.43 . 41 = 1,43 ( 141 – 41 ) = 1,43 . 100 = 143
Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 6x4 – 9x3 b) x2y2z + xy2z2 + x2yz2 c) (x + y ) 3 – x3 – y3 d) 2x. (x + 3) + 2. (x + 3) Giải chi tiết a) 6x4 - 9x3 = 3x3. (2x - 3) b) x2 y2 z + xy2z2 + x2yz2 = xyz. (xy + yz + xz) c) 2x. (x + 3) + 2. (x + 3) = (x + 3). ( 2x + 2) = (x + 3). 2. (x + 2) = 2. (x + 2). (x + 3)