Chuỗi Fourier và Tích phân Fourier | Vật lý thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đã được làm quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội tụ của nó. Đây là một lĩnh vực quan trọng của toán học và có nhiều ứng dụng thiết thực trong: Vật lý, Cơ học, Kỹ thuật, Công nghệ,... cho nên đã được quan tâm nghiên cứu rất nhiều. Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Vật lý thống kê (HUS) 10 tài liệu
Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 0.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Chương 8 Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 8. 8 1 . . 1 .C h C u h ỗi iF o F u o r u i r e i r e
r ..........................................................................................................................................................................................................................275 7
8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier ....................................................... 276
8.1.2. Tính đầy đủ của các hệ đa thức ..................................................................................... 279
8.1.3. Tính chất của các hệ số Fourier..................................................................................... 282
8.1.4. Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier .................................................... 284
8.1.5. Dạng phức của chuỗi Fourier ........................................................................................ 288
8.1.6. Thí dụ ............................................................................................................................ 289 8.2. 2 .T í T c í h c h p h p â h n â n F o F u o ri r e i r e
r .......................................................................................................................................................................................................... .29 2 0 9
8.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier...................................................................... 290
8.2.2. Dạng khác của công thức Fourier ................................................................................. 293 8. 8 3 . . 3 .B i B ến đổ đ i iF o F u o r u i r e i r
e ................................................................................................................................................................................................................ .29 2 5 9
8.3.1. Định nghĩa..................................................................................................................... 295
8.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier ................................................................................ 296
8.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier................................... 297
8.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier ....................................................................................... 299 8.4. Một s ố v í ídụ v ề ứng ng d ụng
ng ............................................................................................................................................................. .301
8.4.1. Bộ lọc điện .................................................................................................................... 301
8.4.2. Sự truyền nhiệt trong thanh kim loại............................................................................. 302 8. 8 1 . . 1 . C h C u h ỗi i F o F u o r u i r e i r e r
Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đã được làm quen với
khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội tụ của nó. Đây
là một lĩnh vực quan trọng của toán học và có nhiều ứng dụng thiết thực trong: Vật
lý, Cơ học, Kỹ thuật, Công nghệ,... cho nên đã được quan tâm nghiên cứu rất
nhiều. Các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú, đa dạng, và những gì chúng
ta đã biết trong giáo trình giải tích nói trên mới chỉ là những kiến thức ban đầu. 276
Giải tích các hàm nhiều biến
Toàn bộ chương này chúng ta dành để tiếp tục công việc tìm hiểu lĩnh vực thú vị đó. 8. 8 1 . . 1 1 . . 1 . P hươ ư ng n g p h p á h p á p t r t u r n u g n g b ì b n ì h n h c ộng n g t r t o r n o g n g c h c u h ỗi i F o F u o r u i r e i r e r
Trước hết ta nhắc lại rằng chuỗi Fourier của một hàm f khả tích tuần hoàn trên đoạn [− ,
π π] là chuỗi lượng giác ∞ a 0 + [
∑ a cosnx+b sin nx] , 2 n n n 1 =
trong đó các hệ số được tính bởi các công thức sau đây π 1 = ( ) cos , = 0,1, 2,3,... n a f x nxdx n ∫ π −π π 1 b =
f (x ) sinnxdx, n =1, 2, 3,... n ∫ . π −π
Tổng riêng của chuỗi này là n 0 a S ( ) x = +
[a cos kx + b sin k ] = ∑ n x 2 k k k 1 = π n 1 = [1 + 2
(cos kt cos kx +sin k .
t sin kx)] f (t)dt ∫ ∑ = 2π π k 1 = − π n 1 = [1 + 2 cosk (t ∫ ∑
−x)]f (t)dt . 2π k 1 π = − n Để
sin[(2n +1)u / 2] ý rằng 1+ 2 cosku ∑ =
khi u ≠ 2mπ , m ∈ ] , ta suy ra sin(u / 2) k=1 π 1 S ( x) = D (t − ) x f (t) n dt ∫ , 2 n π −π (2n+1 sin u 2 ) trong đó D (u) n =
, có tên gọi là nhân Dirichlet, còn tích phân ở vế sin (u2 )
phải của biểu thức trên có tên gọi là tích phân Dirichlet. Dễ thấy rằng nhân
Dirichlet là một hàm chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π và π 1 ( ) =1 n D u du ∫ . π 0
Thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và của các nhân Dirichlet
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 277 + + + 0 S ( ) x 1 S ( ) x ... S ( ) n x n σ = , n +1 D + + + 0 (x) 1 D (x) ... D (x) Φ ( ) n x = , n n 1 + và gọi Φ ( ) ừ
n x là nhân Fejer, còn σ ( )
n x là tổng Fejer, và t các công thức tích phân Dirichlet ta có π 1 σ (x) =
Φ (u) f (x +u) n du ∫ . 2 n π −π Bổ đề đ . . Nhân Fejer Φ ( )
n x có những tính chất sau đây:
(i) Nhân Fejer Φ (x) là chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π ; n (ii) Φ ( ) ≥ 0 , ∀ n x x ; π 1 (iii) Φ ( ) x dx =1 ∫ ; 2 n π π −
(iv) Với mỗi δ ∈ (0, )
π ta có lim max Φ (x) =0 n . n →∞δ |x ≤ | π ≤ Ch C ứng n g m i m n i h
n . Từ định nghĩa ta có n n 1 (n + 1)Φ (x ) = D (x ) ∑ = sin[(2k ∑ + 1)x / 2] n k = sin(x / 2) k 0 = k 0 = n n 1 1 =
2sin[(2k +1)x / 2]sin(x / 2) = [coskx −cos(k 1 + )x] ∑ ∑ 2 2 2sin (x / 2) k=0 2sin (x / 2) k=0 2 1− cos(n + 1)x
2.sin [(n + 1)x / 2] = = . 2 2 2sin (x / 2) 2sin (x / 2) Từ đây suy ra 2
sin [(n +1)x / 2] Φ (x) = . n 2 (n 1 + )sin (x / 2)
Đẳng thức trên đúng với mọi x khác 0. Nhưng do vế phải là hàm liên tục và vế trái
có giới hạn là n+1 khi x tiến tới 0, cho nên ta suy ra Φ (0) = +1 n n . Từ công thức
trên ta suy ra các tính chất (i)-(ii). Tính chất (iii) có ngay từ công thức tích phân
nhân Dirichlet (bằng 1 với mọi n) và tính chẵn của nhân Fejer. Tính chất (iv) suy ra từ nhận xét sau đây: 278
Giải tích các hàm nhiều biến 2 1
sin [(n +1)x / 2] 1 max Φ (x ) = max ≤ n . 2 2 δ | ≤ | x ≤π n +1 δ | ≤ | x ≤π sin (x / 2) (n +1)sin (δ / 2) Bổ đ
ề đã được chứng minh xong. Đị Đ nh n h lý l . ý
. (Fejer) Nếu hàm số f là liên tục trên đoạn [π − , π ]và f ( π − )= f (π)
thì tổng Fejer σ ( ) hội tụ đều tới hàm f trên đoạn đó khi n → ∞ . n x Ch C ứng n min
mi h. Do các điều kiện của định lý, ta có thể thác triển hàm f thành một
hàm liên tục, tuần hoàn trên toàn bộ trục số (với chu kỳ 2π). Từ bổ đề trên ta suy ra π π 1 1
| f (x )− σ (x ) |= f (x ). Φ (u )du −
Φ (u )f (x +u ) = n du ∫ ∫ 2 n π 2 n π π − π − π π 1 1 =
Φ (u )[f (x ) −f (x u + )]du ≤
Φ (u ) | f (x ) −f (x u + ) |du ∫ ∫ . 2 n π 2 n π π − π −
Do hàm f là liên tục và tuần hoàn cho nên nó liên tục đều trên toàn trục số. Suy ra,
với mỗi số ε > 0 cho trước, tồn tại số δ > 0 sao cho
ϖ(δ; f ) := max | f (x)− f (y) | ≤ ε / 3 . |x − | y ≤δ
Từ công thức trên, bằng cách tách tích phân vế phải thành 3 tích phân trên 3 đoạn, ta có δ − δ π 1 1 1
| f ( x) − σ (x) | ≤ + + n ∫ ∫ ∫ . 2 π 2π 2π π − −δ δ
Đối với tích phân ở giữa ta có đánh giá δ δ 1 1 Φ ( ) u | f ( )
x − f ( x+ u) | du ≤ ( ϖ ; δ f ) Φ ( ) u du ≤ ∫ ∫ 2 n π 2 n π δ − δ − π 1 ε ≤ ϖ(δ; f ) Φ (u )du < . ∫ 2 n π 3 π −
Dễ thấy rằng hàm f bị chặn bởi một số M nào đó cho nên, từ tính chất (iv) trong
bổ đề trên, ta suy ra tồn tại số tự nhiên n đủ lớn sao cho với n ≥ n thì 2 tích phân ε ε
còn lại đều nhỏ hơn ε / 3 , và tổng hợp lại ta có | f( ) x − σ ( ) x | ≤ ε , ∀ ≥ n n nε .
Định lý đã được chứng minh xong. Nh N ận n xé x t é .
t Ta đã biết rằng chuỗi Fourier của một hàm liên tục không nhất thiết hội
tụ tại mỗi điểm, và do đó khả năng thiết lập lại hàm số từ chuỗi Fourier của nó là
rất mỏng manh. Tuy nhiên, định lý trên đây đã đưa ra một phương pháp mới, thiết
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 279
lập lại hàm số không phải trực tiếp từ tổng riêng của chuỗi Fourier, mà từ các trung
bình cộng của chúng (tức là các tổng Fejer). Phương pháp này ưu việt ở chỗ nó
không chỉ đem lại tính hội tụ, mà còn hội tụ đ u
ề , tới chính hàm f. Như vậy, việc
nghiên cứu các chuỗi phân kỳ cũng có lúc đem lại hiệu quả bất ngờ.
Phương pháp nghiên cứu các chuỗi bất kỳ (không nhất thiết là chuỗi lượng
giác) bằng cách thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và khảo sát tính
hội tụ của chúng được gọi là phương pháp lấy trung bình cộng. 8. 8 1 . . 1 2 . . 2 . T í T n í h n h đầ đ y y đủ đ ủ c ủa a c á c c á c h ệ đa a t hức ứ c
Ta đã biết thế nào là đa thức đại số bậc n. Bây giờ ta có thêm khái niệm đa
thức lượng giác bậc n, đó là các hàm có dạng n 2 2 + + + ≠ ∑ . 0 A A cos kx B sin kx , A B 0 k k n n k 1 = Đị Đ nh n h lý l .
ý (Weierstrass I) Nếu hàm f liên tục trên đoạn [− , π π] và f ( π − ) = f (π)
thì, với mỗi ε > 0 , tồn tại đa thức lượng giác T (x) sao cho
| f ( x) −T (x) | < ε , x ∀ ∈[− , π ] π . Ch C ứng n g mi m n i h
n . Suy ra từ định lý trên, vì mỗi tổng Fejer cũng là một đa thức lư n ợ g giác. Đị Đ nh n h lý
l . (Weierstrass II) Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a,b] thì, với mỗi ε > 0 ,
tồn tại đa thức đại số P(x ) sao cho
| f (x)− P(x) |< ε ,
∀x∈ [a,b]. − C b a Ch C ứng n mi m n i h
n . Dùng phép đổi biến x =a +
t với t ∈[0,π] , ta được hàm số π b− a
f * (t )= f (a+
t xác định trên đoạn [0,π]. Thác triển hàm này về phía trái π )
trục số theo công thức f *( t
− )= f (t ) ta được một hàm liên tục xác định trên đoạn [− , π ]
π và thỏa mãn f * (− )
π = f * (π) . Từ định lý trên, với mỗi số ε > 0 , ta tìm
được đa thức lượng giác T (x) thỏa mãn điều kiện | f * (t) T − (t) | < ε/ 2 , t ∀ ∈[− , π ] π .
Vì đa thức lượng giác là hàm giải tích, khai triển được dưới dạng chuỗi lũy thừa
(hội tụ đều trên toàn trục số), cho nên tồn tại số tự nhiên nε sao cho với mọi
n≥ n đa thức Taylor bậc n của T (x) , ký hiệu là ( ) ε n
P t , thỏa mãn điều kiện | T( )
t − P (t) | < ε/ 2 , ∀t ∈[− , π ] π . n
Lấy đa thức P (t) = P (t) ta có nε 280
Giải tích các hàm nhiều biến ε ε
| f * (t )− P (t ) |≤ | f * (t )−T (t ) | + |T (t )− P (t ) | < + = ε . 2 2 −
Quay trở về với biến x , tức là lấy x a
t = π b − , ta có a x − a f ( ) x − (
P π − ) <ε , ∀x∈[ ,a ]b, b a x− a trong đó P(π
đa thứ Định lý đ được chứng minh. b − rõ ràng là một c. ã a ) Nh N ận n xé x t
é . Định lý trên cho thấy rằng, với mọi hàm f liên tục trên đoạn [a,b], ta
luôn tìm được dãy đa thức ( ) n
P x hội tụ đều trên đoạn này tới hàm f. Và từ đây suy
ra rằng mọi hàm liên tục trên đoạn luôn có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi hội tụ
đều của các đa thức (trên đoạn đó).
Điều này, theo một nghĩa nào đó, cho thấy rằng các hàm liên tục (vốn đư c ợ
đưa ra một cách trừu tượng và tổng quát) cũng không quá khác biệt với các đa
thức, vốn rất quen thuộc với chúng ta. Và ngoài ra, nó cũng làm thỏa mãn những
người hay hình dung một hàm liên tục như một “biểu thức” nào đó. Đị Đ nh n h ng
n hĩa. Một hệ các hàm số ϕ , ϕ ,..., ϕ ,... xác định trên đoạn [a,b] được 1 2 n
gọi là đầy đủ đối với họ hàm số ℜ theo nghĩa xấp xỉ đều nếu như mọi hàm trong
họ này có thể xấp xỉ được bởi các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm trong hệ
nói trên với độ chính xác tuỳ ý.
Nghĩa là, với mỗi ε > 0 , tồn tại hữu hạn các hàm ϕ và các số λ ( = 1,2,..., ) i i i k sao cho | f ( ) x −[λ ϕ x + + λ ϕ < ε ∀x ∈ a b . 1 1( ) ... ] | , [ , ] k k
Từ các định lý trên ta có các mệnh đề sau. Mệnh n h đề
đ . Hệ các hàm lượng giác 1, cos x, sin x, cos 2 , x sin 2 , x ..., cos n ,
x sin nx,...
là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với tập các hàm liên tục trên đoạn [− , π π] và
nhận giá trị như nhau ở 2 đầu mút của đoạn này. Ch C ứng n g m i m n i h
n . Suy ra từ định lý Weierstrass I. Mệnh n h đề
đ . Hệ các hàm lũy thừa 2 1, , , ... , n x x
x , ... là đầy đủ đối với tập các hàm
liên tục trên đoạn bất kỳ (theo nghĩa xấp xỉ đều). Ch C ứng n g m i m n i h
n . Suy ra từ định lý Weierstrass II. Ch C ú h ú ý.
ý Hệ các hàm lượng giác không thể là đ y
ầ đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với
họ các hàm liên tục trên đoạn [ π
− ,π] (bởi vì nếu không thì từ tính chất T (− )
π = T (π) của các đa thức lượng giác sẽ kéo theo f(− ) π = f( ) π với mọi hàm liên tục f ).
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 281
Người ta coi độ lệch toàn phương trung bình giữa 2 hàm f và g xác định trên
đoạn [a,b] là đại lượng b 2
[ f (x) − g (x)] dx ∫ . a
Đại lượng này còn có tên gọi là độ lệch toàn phương trung bình của f so với g
(hay là của g so với f ). Đị Đ nh n h ng
n hĩa. Một hệ các hàm số ϕ , ϕ ,..., ϕ ,... xác định trên đoạn [a,b] được 1 2 n
gọi là đầy đủ đối với họ các hàm số ℜ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình
nếu như, với mỗi hàm f ∈ ℜ và với mọi số ε > 0 , tồn tại một tổ hợp tuyến tính
hữu hạn của các hàm trong hệ nói trên có độ lệch toàn phương trung bình so với
hàm f nhỏ hơn ε. Mệnh n h đề
đ . Hệ các hàm lượng giác 1, cos x, sin x, cos 2 ,
x sin 2x,..., cos n ,
x sin nx,...
là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình đối với tập các hàm liên tục
trên đoạn [− ,
π π] và nhận giá trị như nhau ở 2 đầu mút của đoạn này. Ch C ứng n g mi m n i h
n . Từ tính đầy đủ của hệ các hàm lượng giác theo nghĩa xấp xỉ đều ta
suy ra, với mỗi số ε > 0 , tồn tại đa thức lượng giác T ( x) sao cho
| f (x) −T ( ) x |< ε / 2π , ∀x ∈[− , π ] π . Từ đây ta suy ra π π 2 ε [ f (x ) T − (x)] dx < dx = ε ∫ ∫ . 2π π − π −
Mệnh đề đã được chứng minh xong. Nh N ận n xé
x t. Trong chứng minh trên, vì để sử dụng được tính đ y ầ đ ủ của hệ các hàm
lượng giác theo nghĩa xấp xỉ đều mà ta phải giả thiết các hàm liên tục nhận giá trị
như nhau tại 2 đầu mút của đoạn. Sau này ta sẽ thấy rằng, theo nghĩa xấp xỉ toàn
phương trung bình, hệ các hàm lượng giác không những là đầy đủ trong lớp hàm
liên tục nói chung (nhận các giá trị bất kỳ tại 2 đầu mút cuối của đoạn), mà còn là
đầy đủ trong lớp hàm rộng hơn hẳn: lớp các hàm với bình phương khả tích. Và
trong lớp hàm này, với cách xấp xỉ theo nghĩa toàn phương trung bình, các tổng
riêng Fourier sẽ thể hiện được đầy đủ các ưu thế của mình, chứ không bị “yếu thế”
(so với tổng riêng Fejer) trong phép xấp xỉ đ u
ề như đã thấy trước đây. Lớp của
những hàm này thường được ký hiệu là L [− , π π] . 2 Mệnh n h đề
đ . Hệ các hàm lũy thừa 2 1, , , ... , n x x
x , ... là đầy đủ đối với tập các hàm
liên tục trên đoạn bất kỳ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình. Ch C ứng n g m i m n i h
n . Tương tự như mệnh đề trên. 282
Giải tích các hàm nhiều biến 8. 8 1 . . 1 3 . . 3 . T í T n í h n h c h c ất t c ủa a c á c c á c h ệ s ố F o F u o r u i r e i r e r
Trong phần này, ta luôn hiểu tích phân theo nghĩa tích phân suy rộng. Khi ấy
tính khả tích của một hàm số không kéo theo tính khả tích của bình phương của nó
(và ngược lại). Thí dụ, hàm f (x) =1/ | x | là khả tích trên đoạn [ 1 − ,1] , còn bình
phương của nó thì không. Tuy nhiên, nếu hàm f chỉ có một số hữu hạn các điểm
đặc biệt (điểm không xác định) và là khả tích Riemann trên mọi đoạn bất kỳ không
chứa các điểm này thì từ tính khả tích của 2
f suy ra tính khả tích của f , vì ta luôn có 2
| f |≤ (1+ f ) / 2 .
Đối tượng chính mà chúng ta nghiên cứu trong phần này sẽ là những hàm khả
tích cùng với bình phương của nó trên đoạn [ π
− ,π], và ta gọi chúng một cách
ngắn gọn là hàm với bình phương khả tích.
Kết quả sau đây cho chúng ta thấy rằng tổng Fourier bậc n là xấp xỉ toàn
phương trung bình tốt nhất trong số các xấp xỉ bởi đa thức lượng giác bậc n của
hàm bình phương khả tích. Đị Đ nh n h lý l .
ý Cho f là hàm số với bình phương khả tích trên đoạn [− , π π] . Nếu ( ) n S
x là tổng Fourier bậc n của f thì π π 2 2
[ f (x)− S (x)] dx = min
[ f (x)− T (x)] n n dx ∫ ∫ , T ( ) n x −π −π
trong đó minimum ở vế phải lấy theo mọi đa thức lượng giác T ( )
x có bậc không n quá n.
Nếu a , a , b , ... , a , b , .... là các hệ số Fourier của f thì ta có bất đẳng thức 0 1 1 n n
Bessel sau đây: 2 π ∞ 0 a 2 2 1 2 + (a ∑ +b ) ≤ f (x)dx ∫ . 2 n n π n 1 = −π n A Ch C ứng n min mi h. Với 0 T ( ) x = + A cos( ) kx ∑
+ B sin( ) , sử dụng tính vuông n kx 2 k k k 1 =
góc của hệ các hàm lượng giác, ta có π 2 n 2 0 A 2 2
[T (x)] dx π = + A + B ∫ ∑ n 2 k k k 1 π = − cho nên π π 2 n 2 A
[ f (x) −T (x)] = 2 0 2 2 + + ∫ ∑ + − n dx ∫ f ( ) x dx π A B 2 k k −π k 1 π = −
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 283 π n π π A 0 2 − f ( ) x dx + A f ( ) x cos( ) kx dx ∫ ∑ + B f ( ) x sin( ) kx dx = ∫ ∫ 2 k k k 1 π = − −π −π π 2 n A n a A = 2 0 2 2 f ( ) x dx π + + A ∫ ∑ +B − 0 0 2π + a A + b B = ∑ 2 k k 2 k k k k π k 1 = − k 1 = π 2 n 2 n − 2 ( 0 A 0 a ) a f (x)dx π ∫ ∑( 2 2 (A
a ) + (B −b ) = + + − − ∑ k k k k ) 0 2 2 π + (a +b ) . 2 2 k k k 1 = k 1 π = − π Từ đây suy ra 2 [ f ( ) x − T ( )] ∫
đạt giá trị cực tiểu khi đa thức T (x) trùng với n x dx n −π tổng riêng Fourier ( ) n
S x (bậc n) của f , tức là phần thứ nhất của định lý đã được chứng minh.
Phần thứ 2 là hiển nhiên, vì rằng từ công thức trên ta suy ra π 2 n π 1 2 a0 2 2 1 2 f ( ) x dx − + ( a ∫ ∑ +b ) = [ ( f ) x − S ( )] x dx ≥ 0 ∫ , π 2 n n n π n= − 1 π π −
và cho n tiến ra vô cùng ta có ngay điều phải chứng minh. Nh N ận n xé x t
é . Bất đẳng thức Bessel cho thấy rằng đối với hàm có bình phương khả tích thì chuỗi 2 a ∞ 0 2 2 + (a ∑ +b ) 2 n n n 1 = là hội tụ. Đị Đ nh n h lý l .
ý Nếu f là hàm liên tục trên đoạn [− , π ]
π và nhận cùng một giá trị ở 2
đầu mút của đoạn thì các hệ số Fourier a , a , b , ... , a , b , .... của f thỏa mãn 0 1 1 n n
đẳng thức Parseval sau đây: π 2 ∞ 1 2 0 a 2 2 f (x)dx = + (a + b ) ∫ ∑ . π 2 k k k 1 π = − Ch C ứng n mi m n i h
n . Ta biết rằng hệ các hàm lượng giác là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ toàn
phương trung bình đối với tập các hàm liên tục trên đoạn [− , π ] π có giá trị tại 2
đầu mút bằng nhau, cho nên, với mỗiε > 0 , tồn tại đa thức lượng giác T (x) thỏa mãn π 1 2
[ f (x) −T (x)] dx < ε ∫ . π −π 284
Giải tích các hàm nhiều biến π π 1 1 Theo định lý trên ta có 2 2
[ f (x) − S ( )] x dx ≤
[ f (x) −T ( )] < ∫ n x dx ε ∫ , và π π π − π −
áp dụng đẳng thức (*) đối với S suy ra n π 2 π ∞ 2 n 1 2 0 a 2 2 1 2 0 a 2 2 f (x)dx (a b ) f (x )dx (a b ) − + ∫ ∑ + ≤ − + ∫ ∑ + = π 2 k k π 2 k k k 1 = k 1 π π = − − π π 1 1 2 2 =
[ f (x ) −S (x )] dx ≤ [ f (x) T − (x)] < ∫ n dx ε ∫ . π π −π −π
Do ε là số dương nhỏ bao nhiêu tuỳ ý mà vế trái luôn luôn không âm (theo bất
đẳng thức Bessel), nên nó phải bằng 0 . Định lý được chứng minh. Hệ q u q ả.
. Với các giả thiết của định lý, chúng ta có π 2 lim
[ f (x )− S (x )] dx = 0 ∫ . n n→∞ −π Ch C ứng n g m i m n i h
n . Suy ra từ chứng minh của định lý trên. 8. 8 1 . . 1 4 . . 4 . Đạ Đ o o h à h m, t í t c í h c h p h p â h n â n v à v à t í t n í h n h h ội i t ụ của ủ a c h c u h ỗi i F o F u o r u ie i r e r
Lưu ý rằng không phải khi nào chuỗi Fourier của một hàm cũng hội tụ đến
chính hàm đó, cho nên ta sẽ dùng biểu thức a ∞ 0 f ( ) x ≈ + ( a cos nx ∑ + b sin ) nx 2 n n n=1
để biểu thị rằng hàm f có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải. Mệnh n h đề
đ . Cho hàm f liên tục trên đoạn [ π
− ,π] với f (− ) π = f ( ) π và có khai
triển Fourier là a ∞ 0 f ( ) x ≈ + ( a cos nx ∑ + b sin ) nx . 2 n n n 1 =
Nếu hàm f là khả vi từng khúc trên đoạn [−π,π ] thì chuỗi Fourier của f ' bằng
chuỗi của đạo hàm các s h
ố ạng trong chuỗi Fourier hàm f , nghĩa là ∞ f '(x ) ≈ ( na
∑ − sinnx+nb cosnx). n n n 1 = Ch C ứng n g m i m n i h
n . Giả sử hàm f ' có chuỗi Fourier là α ∞ 0 f '( ) x ≈ + (α cos nx ∑ +β sin ) nx 2 n n n=1
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 285
trong đó, theo định nghĩa, ta có π 1 1 α = = π − π − = 0 f '(t)dt [ f ( ) f ( )] 0 ∫ ; π π π − π 1 π n α = f '( ).cos( t ) nt dt = f ( ) t cos( ) nt + f ( ) t sin( ) nt dt =0 + . n b = . n ∫ ∫ n n n b ; π π − π−π π 1 π n β =
f '(t ).sin(nt )dt = f (t )sin(nt ) −
f (t )cos(nt )dt = 0− n.a = − n.a . n ∫ ∫ n n π π − π−π
Mệnh đề đã được chứng minh. Bổ đề
đ . Cho hàm f là khả vi liên tục đến cấp (k 1
− ) và khả vi từng khúc ở cấp k
(k ≥1) , ngoài ra (i ) (i ) f (− ) π = f ( )
π , với i = 1,..., k −1 . Khi đó các hệ số Fourier
của f thỏa mãn ε ε |a | n ≤ , |b | n ≤ , n = 1, 2, ..., n n k k n n ∞
với các ε > 0 ε < ∞ ∑ . n sao cho 2 n n 1 = Ch C ứng n g m i m n i h
n . Sử dụng mệnh đề trên k lần liên tiếp ta thu được ∞ (k ) f (x) ≈
(α cos nx + β sin nx) ∑ , n n n 1 =
trong đó, phụ thuộc vào k chẵn hay lẻ, ta có hoặc là k α = ±n a , k n n n β = ±n n b , hoặc là k α = ±n b , k β = ±n a . Đ t ặ 2 2
ε = α + β và áp dụng bất đẳng thức n n n n n n n ∞ Bessel cho hàm ( k) f (x) ta suy ra chuỗi 2 ε ∑ là hội tụ. Ngoài ra n n=1 k 2 2
| a | = | α | / n ≤ α + β / k n = ε / k n n n n n n
và tương tự như vậy đối với b . Bổ đề đã được chứng minh. n Đị Đ nh n h l ý l .
ý Cho hàm f là khả vi liên tục đến cấp (k 1
− ) và khả vi từng khúc ở cấp
k (k ≥1) , ngoài ra (i) (i ) f (− ) π = f ( )
π , với i =1,..., k −1 . Khi đó chuỗi Fourier
của f hội tụ đ u
ề đến hàm f trên đoạn [ π
− ,π], và ngoài ra η
| f (x )−S (x ; f ) | n ≤ , n k−1/ 2 n 286
Giải tích các hàm nhiều biến
trong đó η là dãy số hội tụ đến 0 và S ( ;
x f ) là tổng riêng Fourier bậc n của n n hàm f. Ch C ứng n g m i m n i h n . Giả sử ∞ 0 a f (x) ≈ + (a cos mx ∑ + b sin mx) , 2 m m m 1 = n 0 a S ( ; x f ) = +
( a cos mx+ b sin m ) ∑ . n x 2 m m m 1 = ε ε ∞
Theo bổ đề ta có | a | m ≤ , | b | m ≤
, m = 1, 2, ... , và chuỗi 2 ∑ là hội m ε k m k m m m m 1 =
tụ. Ta đánh giá phần dư của chuỗi so với tổng Fourier như sau ∞ ∞ ∞ ε | r ( ) x | =
( a cos mx +b sin m ) x ≤ (| a | | + b |) ≤2 m = ∑ ∑ ∑ n m m m m n A . k m=n 1 + m=n 1 + m=n 1 m +
Từ bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovski ta dễ dàng suy ra ∞ ∞ ∞ 1 2 1 A = 2 ε . ≤ 2 ∑ ∑ ∑ n m ε m . k 2k m n = 1 m + m n = 1 + m n = 1 m + ∞ Để ý rằng 2 = ∑
tiến tới 0 khi n tiến ra vô cùng, và n γ εm m n = 1 + m ∞ ∞ ∞ 1 dx dx 1 ≤ ≤ = ∑ ∑ ∫ ∫ , 2k 2k 2k 2k 1 − − k n = 1 m + m n = 1 x x (2 k 1).n + m 1 − n 2 cho nên với η = ta có lim η = 0 n γ n n và 2k −1 n →∞ η n 1 |r (x ) | ≤ = ο , n =1, 2, .... n k−1/ 2 k−1/ 2 n n
Với các điều kiện của định lý, chuỗi Fourier hội tụ (điểm) đến hàm f , cho nên
r (x) cũng chính là độ lệch của hàm f so với tổng riêng Fourier S (x; f ) . Các đánh n n
giá trên cho thấy tính hội tụ đều và mọi khẳng định của định lý đã được chứng minh. Nh N ận n xé x t
é . Định lý trên cho thấy rằng hàm càng trơn (có đạo hàm bậc càng cao) thì
chuỗi Fourier của nó hội tụ (đến hàm đó) càng nhanh, và do đó việc xấp xỉ nó bởi
đa thức Fourier càng tỏ ra chính xác. Trong trường hợp riêng, khi hàm liên tục tuần
hoàn với chu kỳ 2π là trơn từng khúc thì chuỗi Fourier của nó hội tụ đều đến chính nó. Đị Đ nh n h l ý l .
ý Nếu f là hàm liên tục trên đoạn [ π
− ,π] có khai triển Fourier là
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 287 a ∞ 0 f ( ) x ≈ + ( a cos nx ∑ + b sin n ) x 2 n n n=1
thì, với mỗi t ∈[− , π ] π , ta có t t t ∞ 0 a dx f (x)dx = +
(a cos nx +b sin nx)dx = ∫ ∫ ∑∫ 2 n n 0 0 n 1 = 0 a t ∞ a b = 0 n + ∑ sin n nt + (1− cos nt) 2 n n n 1 =
và chuỗi ở vế phải là hội tụ đ u ề . Ch C ứng n g m i m n i h n . Xét hàm số t a 0 F(t ) =
f (x)− dx ∫ . 2 0
Ta nhận thấy rằng nó là hàm khả vi liên tục trên đoạn [− ,
π π] và thỏa mãn điều kiện F ( π − ) = F( )
π , cho nên theo nhận xét từ định lý trên ta suy ra chuỗi Fourier
của F hội tụ đều tới F, nghĩa là A ∞ 0 F(t ) = + (A cosnt ∑ + B sin nt ) , 2 n n n 1 =
trong đó, với n =1, 2,..., ta có π π sin( n ) 1 1 t π 1 A =
F(t).cos(nt) dt = F(t) −
F '(t) sin(nt) = n dt ∫ ∫ π π n − nπ π −π −π π 1 a b 0 = 0 − f (t) − sin(nt) n dt = − ∫ , nπ 2 n − π a và tương tự n B = . n n
Riêng A được tính nhờ công thức khai triển với nhận xét rằng F (0) = 0 , và do đó 0 ∞ ∞ n b A = − A ∑ = ∑ . 0 n n n=1 n=1 Như vậy ∞ b ∞ a b ∞ a b F (t ) n n = + sin n nt − cos n nt = sin n nt + (1− cosnt ) ∑ ∑ ∑ , n n n n n n=1 n=1 n=1
và từ đây ta dễ dàng suy ra điều cần chứng minh. 288
Giải tích các hàm nhiều biến Nh N ận n xé x t é .
t Việc xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kỳ 2l (tuỳ ý) đư c ợ
quy về việc xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π nhờ phép đổi biến t = x
π / l , chuyển đoạn [ l
− ,l] thành đoạn[ π − ,π] . 8. 8 1 . . 1 5 . . 5 . D ạng n g p h p ức c c ủa a chu h ỗi ỗ iF o F u o r u i r e i r e r
Sử dụng công thức biểu diễn hàm lượng giác thông qua số phức 1 i cos = ( nxi − nxi nx e + e ) −
và sin nx = ( nxi nxi e − e ) 2 2
ta có thể viết lại khai triển Fourier dưới dạng a ∞ 0 1 nxi 1 − f ( ) x ≈
+ ∑ ( a − b )ie + ( a + b ) nxi i e . 2 2 n n 2 n n n 1 = Đặ a 1 1 t 0 c = ,
c = (a −b i) , c
= c = (a + b i) ta có 0 2 n 2 n n − n n 2 n n ∞ f ( ) inx x ≈ ∑ . n c e n=−∞ Lưu ý rằng cos sin i i e α α α ± ± = , ta có π π 1 1 1 − c = ( a − b t) = f ( )
x (cos nx− isin n ) x dx = f ( ) inx n x e dx ∫ ∫ ; 2 n n 2π 2π π − π − π π 1 1 1 c = ( a + b t) = f ( )
x (cos nx+ isin n ) x dx = f ( ) inx x e dx −n ∫ ∫ . 2 n n 2π 2π π − π −
Do vậy, công thức trên có thể viết lại thành π ∞ 1 − f (x) inx ≈ e f (s) ins e ds ∑ ∫ . 2π n=−∞ π −
Công thức này được gọi là dạng phức của chuỗi Fourier. Lưu u ý .
ý Trong công thức trên, cũng như các công thức sau này, ta hiểu tích phân của
một hàm nhận giá trị phức (
w x) = u(x) + iv(x) , với u, v là các hàm số thực, đư c ợ π π π
định nghĩa một cách tự nhiên là ( w x)dx=
u(x)dx+ i v(x)dx ∫ ∫ ∫ . Nếu u,v là −π −π −π
những hàm khả tích tuyệt đối (có nghĩa | u |, | v | là khả tích) thì ta nói w là khả tích
tuyệt đối. Tích phân suy rộng (của hàm phức với biến số thực) được định nghĩa hoàn toàn tương tự.
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 289 8. 8 1 . . 1 6 . . 6 . T h T í h í d ụ
Trong phần này ta chỉ nghiên cứu một ví dụ đơn giản đ
ể nắm vững thêm về lý
thuyết chuỗi Fourier. Phần thực hành tính toán trên máy sẽ cho phép chúng ta đề
cập đến những hàm phức tạp và đa dạng hơn về chủng loại.
Tìm chuỗi Fourier của hàm f (x )= x trên khoảng (−π,π). Sau khi cho hàm số
nhận giá trị 0 tại 2 đầu mút của khoảng, ta thác triển nó một cách tuần hoàn và thu được −π π 0 x hàm xác định trên
toàn trục số, có đồ thị như sau: Hình 8.1
Vì f (x )= x là hàm lẻ
nên không cần tính ta cũng có thể khẳng định được rằng π π 1 1 a = a = f (x ) cos 0 f (x)dx ∫ = 0 , nxdx ∫ = 0. π n π − π −π π n 1 1 ( 1) + −
Tìm b theo công thức = ( )sin ∫ = 2 . Như vậy chuỗi n n b f x nxdx π n − π
Fourier của f (x) = x trên khoảng (−π,π) là như sau ∞ (− 1) n x= −2 sin nx ∑ . n n 1 =
Để thấy được khả năng xấp xỉ của các tổng riêng của chuỗi Fourier đối với hàm số
f (x) = x trên khoảng bằng chu kỳ, ta quan sát đồ thị hàm số cùng với các tổng
riêng này (các đồ thị được vẽ bằng máy, như đã trình bày trong các chương trư c ớ ,
và sẽ được đề cập lại trong phần tính toán thực hành của chương này). 4 n − Đồ ( 1) thị hàm f ( )
x = x và tổng riêng ∑ là như sau: 4 S = −2 sin nx n n=1 290
Giải tích các hàm nhiều biến Hình 8.2 12 n Đồ (−1)
thị hàm f (x) = x và tổng riêng thứ 12, = − ∑ , được mô tả 1 S 2 2 sin nx n n 1 = trong hình vẽ sau Hình 8.3.
Một điều dễ nhận thấy rằng các tổng riêng của chuỗi Fourier chỉ xấp xỉ tốt trên
khoảng hở (vì tại các điểm đầu mút hàm số f là gián đoạn). 8. 8 2 . . 2 . T í T c í h c h p h p â h n â n F o F u o r u i r e i r e r 8. 8 2 . . 2 1 . . 1 . B i B ểu u d i d ễn h à h m à s ố b ằng n t í t c í h c p h p â h n F o F u o r u i r e i r e r
Cho hàm số f khả tích tuyệt đối trên trục số thực. Nếu, một cách hình thức, ta
thay việc tính tổng các số hạng theo chỉ số n bằng việc lấy tích phân theo một tham
số y, thì chuỗi Fourier sẽ được thay bằng tích phân sau đây (gọi là tích phân
Fourier của hàm f ) ∞
∫ [a(y)cos(yx) +b(y)sin(yx) ]dy , 0 ∞ ∞ 1 trong đ 1 ó a( y) =
f (t) cos( yt) dt ∫ , b( y) =
f (t)sin( yt) dt ∫ . π π −∞ −∞ Dễ dàng thấy rằng ∞
[a(y)cos(yx)+ b( y)sin( yx)] dy= ∫ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 = dy
f (t)[cos(ty) cos(xy) s
− in(ty)sin(xy)]dt = dy
f (t)cos[ y(x t − )]dt. ∫ ∫ ∫ ∫ π π 0 −∞ 0 −∞
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 291
Tương tự như đã thấy rằng tổng chuỗi Fourier của một hàm sẽ cho giá trị của chính
hàm số (trong một số điều kiện nhất định), chúng ta sẽ chứng minh rằng tích phân
Fourier của một hàm số cũng cho một biểu diễn của chính hàm số đó. Trước hết ta
cần kết quả bổ trợ sau Bổ đề
đ . Nếu hàm f là khả tích tuyệt đối trên khoảng (a,b), hữu hạn hoặc vô hạn, thì b b lim f ( ) x cos(ν ) x dx = lim f ( ) x sin(ν ) x dx = 0 ∫ ∫ . ν→∞ ν→∞ a a Ch C ứng n min
mi h. Tương tự như chứng minh hệ số Fourier của một hàm khả tích thì
tiến đến 0 khi n tiến ra vô cùng (xem giáo trình Giải tích một biến). Đị Đ nh n h lý l .
ý Cho hàm số f liên tục từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn và khả tích
tuyệt đối trên toàn trục số. Nếu tại điểm x hàm số có đạo hàm phải f ' (x) + và đạo
hàm trái f ' (x − ) thì ta có ∞ ∞
f (x + 0) + f (x − 0) 1 = dy
f (t )cos[y (x − t )]dt ∫ ∫ , 2 π 0 −∞
trong đó f (x + 0) , f (x − 0) , theo thứ tự, là các giới hạn phải, giới hạn trái của f tại x. Ch C ứng n g m i m n i h
n . Với số η > 0 , ta xét tích phân η ∞ 1 S (η) = dy
f (t)cos[ y(x −t)]dt ∫ ∫ . π 0 −∞
Rõ ràng tích phân Fourier của hàm f đúng bằng lim S(η) . Với mỗi số ξ > 0 , η→∞
theo định lý về tích phân của tích phân phụ thuộc tham số, ta có η ξ ξ η ξ sin[η(x− t)] dy
f (t)cos[ y(x −t )]dt = f (t)dt
cos[ y(x − t)] dy = f (t) dt. ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x− t 0 ξ − ξ − 0 ξ − (*)
(Bởi vì, do tính liên tục từng khúc của f , ta có thể phân chia hình hộp ξ − ≤ t≤ ξ ,
0≤ y≤ η thành một số hữu hạn các hộp nhỏ (bởi các đường song song với trục
Oy) sao cho trên mỗi hộp con hàm là liên tục theo cả 2 biến đến tận biên, nếu tại
biên ta lấy các giá trị giới hạn phải hoặc giới hạn trái của hàm).
Lưu ý rằng | f (t)cos[ y( x −t)] | ≤| f (t) | , cho nên do tính khả tích tuyệt đối của
hàm f ta suy ra tính hội tụ đều theo tham số y trên đoạn [0,η]của tích phân sau 292
Giải tích các hàm nhiều biến ∞ F (y ) =
f (t ) cos[y (x − t )]dt ∫ . −∞ Như vậy, hàm số ξ F( , y ) ξ =
f (t) cos[ y( x t − )]dt ∫ ξ −
hội tụ đều (trên đoạn[0,η ]) đến hàm F (y) khi ξ → ∞ . Dễ dàng chứng minh rằng hàm F ( , y )
ξ là liên tục theo y cho nên từ công thức (*), bằng cách cho qua giới
hạn dưới dấu tích phân ở vế trái, ta thu được ∞ 1 sin[ ( η x − t)] S (η) = f (t ) dt ∫ . π x −t −∞
Đặt u= t− x, ta có ∞ 1 sin( u η ) ( S ) η = f ( u + ) x du ∫ . π u −∞ ∞ 0 ∞
Bằng cách tách tích phân thành 2 khúc = + ∫ ∫
∫ và trong khúc thức nhất −∞ −∞ 0
ta làm phép đổi biến u = t − thì ta sẽ thu được ∞ 1 sin(η ) t S ( ) η =
[ f (x + t )+ f (x − t )] dt ∫ . π t 0 ∞ sin(η )t π
Trong mục nói về tích phân Dirichlet (Chương 5) ta đã biết rằng dt = ∫ , t 2 0
với mọi η > 0 , cho nên
f (x +0) + f (x 0 − ) ( S ) η − = 2 ∞ ∞ sin( η ) t
f( x +0) + f( x−0) sin 1 ηt =
[f (x+ t )+ f (x− t )] dt− dt ∫ ∫ π t π t 0 0 ∞ ∞ 1
f (x + t )− f (x + 0) 1
f (x − t )− f (x − 0) = sin( t η )dt + sin( t η ) dt ∫ ∫ . π t π t 0 0
Rõ ràng định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng cả 2 tích phân ở vế phải đều
tiến tới 0 khi η → ∞ . Điều này được suy ra từ các nhận xét sau đây (chứng minh
chi tiết xin dành cho người đ c ọ ).
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 293
Do sự tồn tại của các đạo hàm phải của hàm f tại điểm x mà hàm
f (x + t )− f (x + 0) liên tục từng khúc (theo biến t) tại điểm 0 và do đó nó là khả t
tích (tuyệt đối) trên đoạn[0,1] . Do bổ đề ta có
1 f (x +t )− f (x + 0) lim sin( t η )dt = 0 ∫ . η→∞ t 0
Trên miền t ≥1 hàm số f (
x + t )t / bị chặn bởi hàm khả tích | f ( x + ) t | cho nên
nó cũng khả tích, và do đó cũng theo bổ đề ta có
∞ f (x +t) lim sin(ηt )dt = 0 ∫ . η→∞ t 1 ∞ ∞ ∞ sin x f (x + 0) sinu Vì dx ∫ hội tụ nên lim sin(η )
t dt = f ( x +0) lim du =0 ∫ ∫ . x η→∞ t η →∞ u 0 1 η
Kết hợp lại ta suy ra điều cần chứng minh. Nh N ận n xé x t é .
t Với các điều kiện của định lý, nếu hàm số f là liên tục tại x thì tích
phân Fourier tại điểm x cho giá trị của chính hàm f. 8. 8 2 . . 2 2 . . 2 . D ạng n g k h k á h c á c c ủa a c ô c n ô g n t h t ức ứ c F o F u o r u i r e i r e r
Để việc trình bày được đơn giản hơn, trong phần còn lại ta luôn giả thiết rằng
f là hàm liên tục và thỏa mãn các điều kiện của định lý trên. Khi ấy, theo nhận xét
đã nêu, ta có công thức Fourier sau đ ây: ∞ ∞ 1 f (x)= dy
f (t) cos[y(x− t)]dt ∫ ∫ (*) π 0 −∞
và do biểu thức dưới dấu tích phân theo dy là hàm chẵn theo y nên ∞ ∞ 1 f (x)= dy
f (t) cos[ y(x− t)]dt ∫ ∫ . 2π −∞ −∞
Lưu ý rằng | f (t )sin[y (x −t )] |≤ | f (t ) | cho nên, theo dấu hiệu Weierstrass, tích phân ∞
f (t )sin[y(x −t)]dt ∫ −∞
là hội tụ đều (theo y trên toàn trục số) và là hàm liên tục theo biến y. Vì vậy, với η> 0 , tích phân 294
Giải tích các hàm nhiều biến η ∞ dy
f (t)sin[ y( x − t)]dt ∫ ∫ η − −∞
tồn tại và, do hàm dưới dấu tích phân là lẻ theo y, tích phân này bằng 0. Tuy nhiên,
điều này không đảm bảo cho sự tồn tại của tích phân suy rộng ∞ ∞ dy
f (t)sin[ y( x − t )]dt ∫ ∫ , −∞ −∞
(vì nó không định nghĩa như giới hạn của tích phân với các cận đối xứng qua gốc,
mà là với các cận tuỳ ý).
Chính vì lẽ này, người ta đưa ra khái niệm giá trị chính của tích phân ∞ ϕ(x)dx ∫
(với ϕ là hàm khả tích trên các đoạn hữu hạn bất kỳ) định nghĩa như −∞ sau ∞ ∞ η . v . p ϕ(x) dx := . v . p ϕ(x) dx ∫ := lim ϕ( x) dx ∫ ∫ . η→∞ −∞ − ∞ −η
Một cách tương tự, người ta định nghĩa được giá trị chính của tích phân suy rộng
tại một điểm nào đó (chứ không nhất thiết tại ∞ như trên).
Rõ ràng, nếu tích phân hội tụ thì giá trị chính của tích phân và bản thân tích phân là bằng nhau. ∞ 1 dx Th T í h í d
ụ. Các tích phân suy rộng x dx ∫ và ∫
là không hội tụ, nhưng giá trị x −∞ −1
chính của chúng vẫn tồn tại và bằng 0.
Trở lại với tích phân Fourier ta có ∞ ∞ . v . p dy
f (t) sin[ y(x − t)]dt = 0 ∫ ∫ . −∞ −∞ i Nhân tích phân này với
và cộng với (*) ta suy ra 2π ∞ ∞ 1 ( iy x− t)
f (x) = v.p. dy f (t )e dt ∫ ∫ . 2π −∞ −∞
Đây chính là một dạng khác của công thức tích phân Fourier.