Chương 1: Giải phóng phương trình | Bài giảng môn Phương pháp tính và matlab CTTT | Đại học Bách khoa hà nội

Chöông I : Giaûi phöông trình f(x)=0
1)Ñònh nghóa: Khoaûng [ a , b ] goïi laø moät
khoaûng caùch ly nghieäm neáu trong khoaûng ñoù
phöông trình f (x) =0 chæ coù duy nhaát moät ng n h g i h e i äem m . Ñònh lyù:
Neáu f (x) khaû vi lieân tuïc treân [ a ,b ]
1) f '(x) giöõ daáu treân [a,b]
2) f (a) f (b) < 0
thì [ a,b] laø khoaûng caùch ly nghieäm .
Ví duï : Phöông trình 4
x − 4x −1= 0 f ) 5 . 1 ( =− 9 . 1 4< 0 f (2) = 7 > 0 . Haøm ñôn ñieäu trong 1 [ 5 . , 2] f '(x) > 0
khoaûng caùch ly nghieäm : [ . 1 5 , 2 ]
khoaûng caùch ly nghieäm thứ 2 : [ 1 − , 0] (BTập)
2)Coâng thöùc sai soá toång quaùt : d
x : nghieäm ñuùng cuûa f (x) = 0
xgd : nghieäm gaàn ñuùng. f (x ) Coâng thöùc sai soá : gd x − ≤ gd d x (1) m Kyù hieäu : ) 1 ( m = Min f '( )
x , ∀ x∈[ a ,b ]
Ví duï : Phöông trình 4
x − 4x −1= 0 xeùt trong
khoaûng caùch ly nghieäm : [ . 1 5, 2 ] giaû söû x
. Ñaùnh giaù sai soá tuyeät ñoái gd = 6 . 1 63 f (1.663) = 0.003629 ) 1 ( m =9. 9 5 . sai soá : 0.003629 1.663 − x * ≤ ≈ 0.0004 9.5
3)Phöông phaùp chia ñoâi : a)Noäi dung :
Neáu [ a,b ] laø khoaûng caùch ly nghieäm thì a + b a + b [ a , ] hoaëc [
, b ] seõ laø khoaûng caùch 2 2 ly l y ng n h g i h e i äem m mô m ùôi i. .
Laëp laïi quaù trình phaân chia naøy nhieàu laàn .
b) Ñaùnh giaù sai soá : (b − a) − ≤ n x d x n 1 + 2 c)Nhaän xeùt :
Luoân cho nghieäm gaàn ñuùng. Giaûi thuaät ñôn giaûn.
Toác ñoä hoäi tuï khaù chaäm .
Ví duï 1: Phöông trình x − cos x = 0 vôùi
khoaûng caùch ly nghieäm [0, 1] , chia ñoâi tôùi 4 x
Keát quaû cho theo baûng sau
Sai soá phöông phaùp chia đôi laø b − a 1 = = 0.3125 5 32 2
Ví duï 2 : Giaûi phöông trình x − −x e = 0 vôùi
khoaûng caùch ly nghieäm [0,1] ñeán 3 x 0.5 0.75 0.625 0.5 . 625
2) Phöông phaùp laëp ñôn
(phöông phaùp ñieåm baát ñoäng, phöông phaùp aùnh xaï co ) a) Noäi dung :
*) Ñöa phöông trình f (x) = 0 veà daïng töông ñöông x = ( ϕ x) *) * Kie i åem trta ñie i àeu kieäen ñ o ñ áoi ivô v ùôi iha h øm ( ϕ x) : :
Max ϕ '(x) = q < 1 x ∀ [ ∈ a,b] *) Laáy ø ù 0
x laø moät giaù trò ban ñaàu tuøy y ∈[ a, b ]
Xaây döïng daõy laëp : x = ( ϕ x ) 1 0 x = ( ϕ x ) 2 1 x = ( ϕ x ) 3 2
Laáy n höõu haïn n x = xgd
b) Ñaùnh giaù sai soá : n 1− 1) q x x x − x 0 n * ≤ 1 − q ( (ñaùnh gia i ù ti t eâen n gh g ieäem m ) ) − 2) q x x x − − x n n 1 n * ≤ 1 − q
( ñaùnh giaù haäu nghieäm ) c) Nhaän xeùt :
Coù voâ soá caùch choïn haøm ( ϕ x) Haøm (
ϕ x) coù tính chaát q < 1 goïi laø haøm co
q laø heä soá co
q caøng nhoû thì toác ñoä hoäi tuï caøng cao
q ≥ 1 Khoâng söû duïng ñöôïc
Ví duï1 : Xeùt phöông trình 3
x + x −1000 = 0
trong khoaûng caùch ly nghieäm 9 [ , 10 ] a) 3
x + x − 1000 = 0 3 x = 1000 − x 3 (
ϕ x) =1000− x 2 ϕ'(x) =−3x 2 ϕ'(x) = 3x q = Max '
ϕ (x) = 300 > 1
Khoâng söû duïng ñöôïc b) 3
x + x −1000 = 0 x3 = 1000 − x 3 x = 1000 − x 3 (
ϕ x)= 1000− x −1 ' ϕ (x)= 3 2 3 1 ( 000 − x) 1 ' ϕ (x) = 3 2 3 1 ( 000 − x) 1 q = Max = 0.003355742403 3 2 3 1 ( 000 − x) x =10.0 0 9.966554934 9.966667166 9.966666789 9. 9 96 9 6 6 6 6 6 6 6 6 7 6 9 7 1 9 −12 Sai số hậu nghiệm x 6.74 4 ×10 c) 3
x + x −1000 = 0 x3 = 1000 − x 2 − x x = 1000 x − x x = 1000 x − x ϕ 1000 (x) = x Vôùi x 10 ta coù xgd = vôùi soá 0 = 9 , 9 66666791 böôùc laëp Phöông phaùp Newton
( Phöông phaùp Tieáp tuyeán )
a) Noäi dung : Ñöa f (x) = 0 veà daïng laëp f ( ) x x = x − = ( ϕ ) x . f '( ) x Ch C oïn 0 x 0 x f (x ) 0 1 x = 0
x − f '(x ) 0 f (x ) 1 2 x = 1 x − f '(x ) 1
b) Ñaùnh giaù sai soá :
Sai soá theo coâng thöùc sai soá toång quaùt f (x ) gd x − x * gd ≤ ) 1 ( m c)Nhaän xeùt : Phö h ô ö ng n g ph p a h ùp p sử s ử dụng đượ ư c c ne n áu
u f '(x) vaøa f ''(x)
khoâng ñoåi daáu treân khoaûng caùch ly nghieäm . Ñieåm cuøng daáu 0
x laø ñieåm Fourier neáu f ( ) 0 x vôùi f ' ( 0 x ) Choïn x = a, = å 0 x
b neáu a , b laø ñiem Fourier
Víduï: Phöông trình 3
x + x −1000=0 vôùi khoaûng caùch ly nghieäm 9 [ , 1 ] 0
Ñieåm naøo laø ñieåm Fourier trong hai ñieåm 9 , 10 Vôùi 0
x tìm ñöôïc , tính 2 x . Ñaùnh giaù sai soá cuûa 2 x 0.3