-
Thông tin
-
Quiz
Chương 3: Nội suy | Bài giảng môn Phương pháp tính và matlab CTTT | Đại học Bách khoa hà nội
Chương 3: Nội suy. Tài liệu trắc nghiệm môn Phương pháp tính và matlab CTTT giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Phương pháp tính và matlab CTTT 42 tài liệu
Đại học Bách Khoa Hà Nội 2.8 K tài liệu
Chương 3: Nội suy | Bài giảng môn Phương pháp tính và matlab CTTT | Đại học Bách khoa hà nội
Chương 3: Nội suy. Tài liệu trắc nghiệm môn Phương pháp tính và matlab CTTT giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Phương pháp tính và matlab CTTT 42 tài liệu
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 2.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu khác của Đại học Bách Khoa Hà Nội
Preview text:
Chương III : NOÄI SUY
1) Noäi suy ña thöùc
2) Noäi suy Spline baäc 3
3) Phöông phaùp bình phöông toái thieåu
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 1
1.1) Noäi suy ña thöùc theo Lagrange
a) Noäi dung : Bieát caùc giaù trò y = f (x ) cuûa haøm i i y = f ( )
x taïi caùc ñieåm x i theo baûng
Tìm haøm laïi haøm f (x)
Lôøi giaûi : Voâ soá haøm
Tìm f (x) = P(x) chæ laø ña thöùc baäc n
thoûa P( ix) = iy
Lôøi giaûi laø duy nhaát
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 2
Caùc böôùc tìm ña thöùc P(x)
Böôùc 1 : Thieát laäp ña thöùc cô sôû Lagrange n ( x − ) L ( x ) = ∏ xk i ( x 0, i − k = k ≠ i xk )
Ví duï : L ( ) 0 x = (x − x ). ) . . . . ( . x ( − − − − 1 x − x )( ) x i−1 − x ).)..(.x ( i x ) n =
(x − x )...(x − x )(x −
− x )..(x − x ) 0 1 0 i 1 0 i 0 n
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 3
Böôùc 2 : Coâng thöùc tính P(x) n
P( x) = ∑ yiL i (x) = i =0
y L ( x) + y L ( x) + ... + y L ( x) 0 0 1 1 n n b) Sai soá :
f ( x) − P ( x) ≤ (n + ) 1 M ≤
( x − x )( x − x )....( x − x ) 0 1 n (n + ) 1 !
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 4 c) Nhaän xeùt :
*) Soá moác noäi suy caøng lôùn thì sai soá caøng nhoû , tuy
nhieân baäc cuûa ña thöùc seõ lôùn, tính toaùn seõ daøi .
*)Sai soá phuï thuoäc vaøo (n+ ) 1 M , thöïc teá khoâng bieát
vì haøm f (x) chöa bieát
*)Ña thöùc noäi suy P(x) laø duy nhaát
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 5 Ví duï :
Tìm ña thöùc noäi suy P(x) töø baûng soá lieäu
x = −1 , x = 0 , x = 1 0 1 2 1 y = , y = 1 , y = 3 0 1 2 3
Tính gaàn ñuùng giaù trò cuûa bảng taïi x = 0.7
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 6
Giaûi : Ta tìm caùc ña thöùc Lagrange 2 − − − (x ) 0 (x ) 1 x x L (x) 0 = = ( 1 − − ) 0 ( 1 − − ) 1 2 2 x − − x − x − [ ( ) 1 ]( ) 1 1 L (x) 1 = = 0 [ − (− ) 1 ] 0 ( − ) 1 −1 2 [x − (− ) 1 ](x − ) 0 x + [x ( ) 1 ](x ) 0 x x L (x) 2 = = 1 [ − (− ) 1 ] 1 ( − ) 0 2 1 2 2 x + 4 + 3 ( P ) x = x L ( ) x +1L ( ) x + 3L ( ) x = 0 1 2 3 3 2.(0.7)2 + 4.(0.7) + 3 P(0.7) = = 2.26 3
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 7 d) Tyû sai phaân
Tyû sai phaân baäc 0 cuûa f taïi 0 x :
f [x ] = f (x ) 0 0
Tyû sai phaân baäc 1 cuûa f taïi x , : 0 1 x
f [x ] − f [x ] 1 0 f [ 0 x , x1] = x1 − 0 x
Tyû sai phaân baäc 2 cuûa f taïi x , x , 0 1 x 2
f [x1, x 2] − f [ 0 x , x1] f [ 0
x , x1, x2] = x 2 − 0 x
Töông töï cho tyû sai phaân baäc cao hôn
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 8
e) Baûng tyû sai phaân
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 9
f) Noäi suy Newton tieán theo baûng tyû sai phaân
Ña thöùc P(x) coù theå tìm döôùi daïng
P(x) = a + a (x − x ) + a (x − x )(x − x ) + .. 0 1 0 2 0 1 .. + a (
n x − x )(x − x )..(x − x ) 0 1 n 1 −
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 10 1 2 2 2 2 4 ( P ) x = + (x + ) 1 + (x + ) 1 (x − ) 0 = x + x +1 3 3 3 3 3
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 11
g) Noäi suy Newton luøi ( P )
x = a + a (x − x )
n + a (x − x )( n x − x ) − n +.. 0 1 2 1
... + a (x − x )(x − x )..( x − − x ) n n n 1 1
a0 = f [ x ] 0 n . 1
a = f [x , x ] n n 1 − a
= f [ x , x , x ] 2 n n 1 − n−2
a = f [x , x x , x ] k n n− , 1 ... n−k 1 + n−k
a = f [ x , x
1 , ..x3 , x2 , 1 x , x − 0 ] n n n
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 12 2
P( x) = 3 + 2( x − ) 1 + ( x − ) 1 ( x − 0) 3 2 2 4 = x + x + 1 3 3
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 13
2) Noäi suy Spline baäc 3
a) Noäi dung : Cho baûng soá lieäu Tì T m ì moäot t h a
h øam S(x) th t oûoa ca c ùc c ñie i àeu kie i äen : :
S(x) : Đi qua các điểm đã cho trong bảng
S(x) laø ña thöùc baäc 3 treân moãi ñoaïn nhoû [ x , ] j x j +1
( caùc ña thöùc naøy coù caùc heä soá khaùc nhau)
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 14 Goïi S ( )
j x laø ña thöùc treân moãi ñoaïn nhoû [ x , x 1] j j + S ( )
j x thoûa caùc ñieàu kieän :
a) S j (x j ) = y j S ( j x j+1) = y j 1 + b) / S (x ) / j j+1 = S (x ) +1 + j j+ j j +1 1 c) // S (x ) // j j = S (x ) +1 + j j +1 1 d) // / / S = 0 ( 0 x ) S 1(x ) n− n
ñieàu kieän bieân töï nhieân
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 15 h = +1 − j x j x j a j = y j (c j c 1 − j ) d j = + h 3 j
(a + − a ) h (c + + 2c ) j 1 j j j 1 j b = − j h 3 j
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 16
Ñeå tìm c ta giaûi töø heä j Ax = b 1 0 0 0 0 0 h 2( 0 0 h + h ) h . . 0 1 1 0 h 2( 1 h1 + h ) h . 0 A = 2 2 0 0 . . . 0 0 0 . n h − 2( 2 n h −2 + n h − ) 1 n h − 1 0 0 0 0 0 1 c 0 0 c 3 3 1 ( a − a ) − ( a − a ) 2 1 1 0 h h 1 0 x = . . B = . cn −1 3 3 ( a − a ) − ( a − a ) n n −1 n −1 n − 2 c h h n n −1 n − 2 0
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 17
Ví duï : Noäi suy Spline baäc 3 cuûa baûng x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 0 1 2 3 y = 0 y = 1 y = 4 y = 0 0 1 2 3 a = y = 0 a = y = 1 0 0 1 1 a = y = 4 2 2 a = y = 0 3 3
Caùc heä soá ic tính theo heä phöông trình 1 0 0 0 c 0 0 c c 0 0 0 c 1 4 1 0 1 c 6 = 1 c 3 = 0 1 4 1 c c 2 − 6 2 − 2 1 0 0 0 1 3 c 0 3 c 0 = = = 0 b 0 1 b 3 2 b 0 d = 1 d = −3 d = 2 0 1 2
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 18
Ta coù haøm : S (x) = ( 1 x − ) 0 3 0≤ x ≤1 1+ ( 3 x − ) 1 + ( 3 x − ) 1 2 − ( 3 x − ) 1 3 1≤ x ≤ 2 4 − ( 6 x − ) 2 2 + ( 2 x − ) 2 3 2≤ x ≤ 3
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 19
Spline với ñieàu kieän bieân raøng buoäc / / d ) S = = 0 ( 0 x ) f '( 0
x ) , S 1(x ) f '( x ) n− n n
trong ñoù f '(x ), f '( ) laø caùc ñaïi löôïng cho tröôùc 0 n x 2 0 h 0 h 0 0 0 0 + 0 h 2( 0 h h1) 1 h . . 0 0 + 1 h 2( 1 h 2 h ) 2 h . 0 A = 0 0 . . . 0 0 0 . + n h 2 2( − n h 2 − n h 1) − n h 1 − 0 0 0 0 n h 1 2 − n h 1 −
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 20