Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân | Bài giảng môn Phương pháp tính và matlab CTTT | Đại học Bách khoa hà nội

Chöông 5 :Giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaân
Cho phöông trình vi phaân caáp1
y '(x) = f (x, y(x))
vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(x = . 0 ) y0
Tính gaàn ñuùng giaù trò y(b) vôùi b baát kyø cho tröôùc
1) Phöông phaùp Euler :
a)Noäi dung : Chia ñoaïn [ a ,b] thaønh n phaàn ñeàu
nhau , bôûi caùc ñieåm chia
x0 = a < x1 = x0 + h < x2 = x0 + 2h <
< ... < x = b = a nh n +
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 1 i y +1 = y k i +
k = h f (x , y ) i i (2) b) Sai soá : h M L(b−a) y
(b) − y (b) ≤ [ e −1] gd d 2 L f ∂ L = Max (x, y) y ∂
Ví duï : Phöông trình 2
y '(x) = 1+ (x − y)
vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(2) = 1 .
Tính gaàn ñuùng nghieäm y( ) 6 . 2 vôùi böôùc h = 2 . 0
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 2 2) 2 ) P h P ö h ô ö n ô g n g p h p a h ùap p E u E l u e l r e r c a c ûai it i t e i áen n a) Noäi dung : 1 k + k2 y i 1 + = yi + 2
k = hf ( x , ) 1 i yi
k = hf ( x , y + + k ) 2 i 1 i 1
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 3
Ví duï : Giaûi phöông trình 2
y '(x) = 1+ (x − y) vôùi
ñieàu kieän ban ñaàu y( )
2 = 1 trong ví duï tröôùc theo
phöông phaùp Euler caûi tieán , keát quaû nhö sau :
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 4
3) Coâng thöùc Runge – Kutta baäc 4 : a) Coâng thöùc 1 y(x i 1) + = y(x ) i + ( 1k + 2k2 + 2 3 k + k4 ) 6
k = hf (x , y ) 1 i i h k
k2 = hf (xi + , 1 k , yi + ) 2 2 k k = hf ( h x + , 2 y + ) 3 i i 2 2
k = h f (x , y + + k ) 4 i 1 i 3
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 5
Ví duï : Giaûi phöông trình 2
y '(x) = 1+ (x − y) vôùi
ñieàu kieän ban ñaàu y( )
2 = 1 trong ví duï tröôùc theo
phöông phaùp Runge-Kutta , keát quaû nhö sau :
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 6
4) Giaûi heä phöông trình vi phaân caáp 1 : y ' =
Giaû söû ta caàn giaûi heä : 
F (x, y, z)  trong ñoù
z ' = G(x, y, z)
y = y(x), z = z(x) laø nhöõng haøm phaûi tìm vaø thoûa ñieàu kieän ban ñaàu ( y 0 x ) = , 0 y z( 0 x ) = z0 Ph P ö h ô ö n ô g n g p h p a h ùap p E u E l u e l r e r
y + = y + h F(x , y , z ) i 1 i i i i
z + = z + hG(x , y ,z ) i 1 i i i i
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 7
 y '(x) = z(x) Ví duï : Cho heä 
z '(x) = 2z(x) − y(x) + x
vôùi ñieàu kieän y(0) = 1 , z(0) = 0 . Tìm y ) 1 ( vaø z ) 1
( neáu soá böôùc chia laø n = 4
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 8
5) Giaûi phöông trình vi phaân caáp cao :
Giaûi phöông trình vi phaân caáp 2
y ' '(x) + p(x) y '(x) + q(x) y(x) = f (x)
vôùi ñieàu kieän ñaàu y( 0 x ) = , / 0 y y '( 0 x ) = y0
Ñöa veà heä phöông trình vi phaân caáp 1 baèng pheùp ño ñ åoi ibi b e i án e
n y '(x) = z(x) , y ''(x) = z '(x) y '= z Heä  vôùi ñieàu kieän
z ' = − p(x) z − q(x) y + f (x) ban ñaàu y( / . 0 x ) = vaø 0 y z( 0
x ) = y = z0 0
Heä naøy ñaõ bieát caùch giaûi
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 9