Chương 4: Tính gần đúng tích phân xác định và đạo hàm | Bài giảng môn Phương pháp tính và matlab CTTT | Đại học Bách khoa hà nội

Chöông IV : Tính gaàn ñuùng tích phaân xaùc ñònh vaø ñaïo haøm
1) Tính gaàn ñuùng tích phaân xaùc ñònh
1.1) Coâng thöùc hình thang : a) Noäi dung : Chia i ñoa o ïan [ a [ ,b] ] t h t aøanh h n ph p aàan ba b èang nha h u u bô b ûi icaùac b−a
ñieåm : x , x , x ..., x = 0 1 2
n vôùi böôùc chia ñeàu h n 0 x = a < 0 x + h = 1 x < 0
x + 2h = x2 <
< x0 + nh = x = b n Ngô Thu Lương 1
Xaáp xæ haøm f (x) treân ñoaïn [ x , x ] 0 1 bôûi ña thöùc noäi
suy baäc nhaát P(x) treân hai moác noäi suy [x , x ] 0 1 x 1 x 1 h
∫ f (x) dx ≈ ∫ P( x) dx = [ + 0 y 1 y ] 2 0 x x0 Coâong n thö h ùöc c hì h n ì h h th t a h ng : : b h
∫ f (x)dx ≈
(y0 +2y1+2y2 +... +2 n y −1 + n y ) 2 a (2) 2 b) Sai soá : M h (b − a) 12 Ngô Thu Lương 2 Ngô Thu Lương 3 1 1+ X CALC X = ? 0 CAL A C X = ? 0.1  5 h  I =  + + ∑ 0 y 6 y 2 i y  = 0.470510739 2  i 1 =  4 Sai s ai ố ố :: 1
f ( x) = 1+ x (2) 2 M
h (b − a) 1 − = 0.001 f '( x) = 2 12 (1 + x) 2 f ' ( x) = b − a = 0.6 3 (1 + x) h = 0. 0 1 > 0 (2) 2 M
= Max f '(x) = Max x ∈ [0, 0.6] 3 (1+ x) 2 = Max = 2 3 (1+ x) 5
1.2)Coâng thöùc Simpson :
a) Noäi dung :Chia ñoaïn [a,b ] thaønh n phaàn ñeàu
nhau ( n chaün : n= 2m ). Xaáp xæ haøm f (x) treân
ñoaïn [x , x ] bôûi ña thöùc noäi suy baäc hai treân 0 2 caùc moác noäi suy 0 x , 1 x , x2 x2 x 2 2 h
∫ f (x) dx ≈ ∫ 2
P ( x) dx = [y0 + 4 1 y + y2 ] 3 x0 x0 Coâng thöùc : b m m  −1  ∫ h
f ( x)dx ≈ y  + + ∑ + ∑ 0 y2 4 m y2k −1 2 y2  3 k a  k =1 k =1  Ngô Thu Lương 6 (4) 4 M
h (b − a) b) Sai soá : 180 (4) M = max f ' '(x)
a≤ x≤b Ngô Thu Lương 7 0.6 1 Ví d
dụ : tính gần đúng ∫ dx 1+ x 0 theo công thức Si S m i p m s
p on với số khoảng chia n=6 8 h I = [ + + + + + + = 0 y 6 y 4( 1 y 3 y 5 y ) 2( y2 y4)] 3 = 0.47000638 1 4 2 4 2 4 1 9 Sai ai s ố : ố (4) 4 M
h (b − a) = 0.000008 180 b − a = 0.6 h = 0. 0 1 (4) 24 M
= Max f ''(x) = Max x ∈ [0, 0.6] 5 (1+ x) 24 = Max = 24 5 (1+ x) 10
2) Tính gaàn ñuùng ñaïo haøm :
a) Tính gaàn ñuùng ñaïo haøm caáp 1 :
Cho baûng soá lieäu vôùi moác caùch ñeàu ( h ) :
Tính gaàan ñuùung giaùa trò ò y '(x ) , , y ''(x ) i x i x
Coâng thöùc trung taâm tính gaàn ñuùng ñaïo haøm caáp 1: − i y 1 + i y 1
y ' = y '(x ) − ≈ i i 2h Ngô Thu Lương 11
b) Coâng thöùc tính gaàn ñuùng ñaïo haøm caáp 2
yi−1 − 2 y + y i i +1
y ' ' ( x ) = y ' ' i i ≈ 2 h
Tính gaàn ñuùng giaù trò y' ) 1 ( , y'' ) 1 ( neáu haøm
y(x) = cos4 (3 x ) , vôùi h = 0.1 y '(1) = − 0.17824017 y'' ) 1 ( = 3 . 0 573462 Ngô Thu Lương 12