Chöông II : GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Ax=b
1) Heä coù A laø ma traän tam giaùc treân a a . . a   x   b  11 12 n 1 1 1        0 a a . a 22 23
2n   x2  b 2  A x =  0 0 a . .   .  33 =  .        . . . . . .      .    0 0 0 0 a
  x  b   nn   n   n  Tính nghieäm x → x → → → 1 x 2 x 3.... n n n n 1 x − − − Phương pháp Tính Ngô Thu Lương Ví duï :  1 x + 2 2 x + 3 x = 18 0 .   0 + 1 . 0 2 x + 2 3 x = 20 2 .   0 +0 + 0 . 0 1 3 x = 1 . 0  1 x = 4   2 x = 2   3 x = 10 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
2) Heä có A laø ma traän tam giaùc döôùi  a 0 . . 0   x  b  11 1 1       a a 0 . 0 21 22   x2   b2  A x = a a a . .   .  31 32 33 =  .         . . . . 0   .   .  a a . . a   x  b   n1 n2 nn   n   n  Tính nghieäm → → → → 1 x 2 x 3 x 4 x .... n x Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
3) Giaûi baèng phöông phaùp nhaân töû LU :
( A ma traän vuoâng baát kyø )
a) Noäi dung : Phaân tích ma traän A = L.U
L laø ma traän tam giaùc döôùi
U laø ma traän tam giaùc treân
Vieäc giaûi heä phöông trình seõ ñöa veà giaûi hai heä
phöông trình daïng tam giaùc Quy öôùc = =
= = : coù nghieäm duy nhaát 1 l 1 2 l 2 3 l 3 .. 1 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
Caùch tìm L, U töø ma traän A :
Nhaân haøng1 cuûa Lvôùi coät 1 cuûa U tìm ñöôïc 1 u 1
Nhaân haøng2 cuûa Lvôùi coät 1 cuûa U tìm ñöôïc l 21
Nhaân haøng3 cuûa Lvôùi coät 1 cuûa U tìm ñöôïc 3l 1
Nhaân haøng1 cuûa Lvôùi coät 2 cuûa U tìm ñöôïc 1 u 2
Nhaân haøng1 cuûa Lvôùi coät 3 cuûa U tìm ñöôïc 1 u 3 Nh N a h ân a n ha h øn a g n 2 g 2 cu c ûa u a Lvô v ùi ô co c ät o 2 2 cu c ûa u a U tìm m ñö ñ ô ö ïc ô c u 22
Nhaân haøng3 cuûa Lvôùi coät 2 cuûa U tìm ñöôïc 3l 2
Nhaân haøng2 cuûa Lvôùi coät 3 cuûa U tìm ñöôïc u 23
Nhaân haøng3 cuûa Lvôùi coät 3 cuûa U tìm ñöôïc 3 u 3 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
4) Phöông phaùp Cholesky
( phöông phaùp caên baäc hai ) a) Noäi dung :
Bieåu dieãn ma traän A döôùi daïng T
A = B . B
trong ñoù B laø ma traän tam giaùc döôùi ( T
B : ma traän chuyeån vò cuûa B, laø ma traän tam giaùc treân ) Phương pháp Tính Ngô Thu Lương b) Nhaän xeùt :
Caùch tìm B töông töï nhö phöông phaùp LU
nhöng soá pheùp tính giaûm ñi 2 laàn
Phöông phaùp Cholesky khoâng ñoøi hoûi ñöôøng
cheùo cuûa ma traän B baèng 1
Khi laáy caên baäc 2 quy öôùc raèng laáy caên soá hoïc
( caên laø soá döông ) Phương pháp Tính Ngô Thu Lương 1 1 1  Ví duï :   A = 1 5 5  1 5 14  0 0    B = 0     Phương pháp Tính Ngô Thu Lương  2 −1 0    A = −1 2 −   1  0 −1 2   0 0    B = 0     Phương pháp Tính Ngô Thu Lương b) Nhaän xeùt :
*) Phöông phaùp chæ duøng ñöôïc neáu A laø
ñoái xöùng vaø xaùc ñònh döông
5) Caùc phöông phaùp laëp :
(thöôøng duøng cho caùc heä vôùi ma traän A A co c ù o kí k ch c h thö h ô ö ùc ô c ra r át a lôùn ô ) n )
5.1) Ñònh nghóa : (Chuaån cuûa vectô ) x max xi ∞ = ≤ 1 i ≤ n
( ix : caùc thaønh phaàn cuûa veùctô x )
(chuaån voâ haïn , haøng ) Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
5.1) Ñònh nghóa : (Chuaån cuûa vectô ) n x = ∑ xi 1 i =1 ( chuaån 1, coät ) −1   x  ∞ = x =  2   −  3 x = 1 x ≥ 0 x = 0 ↔ x = 0 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
5.2) Ñònh nghóa ( Chuaån cuûa ma traän )  n    A = ∞ Max  ∑ ai j 
1≤ i ≤ n  j =1 
(chuaån voâ haïn , chuaån haøng)  n  A = Ma M x ∑ a 1  ∑ a  i j 
1≤ j ≤ n  i =1  (chuaån 1 , chuaån coät ) Phương pháp Tính Ngô Thu Lương 4 3
Ví duï : A =   ta coù 2 1  n    A = Max ∑ a i j = Max ( 7,3) = 7 ∞  
1≤ i ≤ n  j =1   n  A = Max ∑ a i j = Max( 6,4) = 6 1   1≤
1 j ≤ n  i 1 = 
Caùc tính chaát cuûa chuaån ma traän : A ≥ 0 A = 0 ⇔ A= 0 A + B ≤ A + B A . x ≤ A . x Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
5.3) Ñònh nghóa ( Soá ñieàu kieän cuaû ma traän A) −1
k1 ( A ) = cond 1 ( A ) = A . A 1 1 −
k ∞ ( A) = cond ∞ ( A) = 1 A ∞ . A ∞ 4  3  −1 − / 1 2 3/  2
Ví duï : A =   , A =   2  1  1 −2 − k ( ) ∞ A = A . 1 A = 7.3= 21 ∞ ∞ −1 7 = = = 1 k ( A) A . A 6 21 1 1 2 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương 1 2 1  Ví duï :   A = 2 4 1 . 4  3 . 6 1 . 5 0  1 − 3859 − 3920 3900  −1   A = 1980 2010 −  2000  −100 −100 100  k ( ) ∞ A = 164790.69 k ( ) A 73566 1 = Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
Söï bieán thieân cuûa nghieäm tyû leä vôùi söï bieán
thieân cuûa veá phaûi vôùi heä soá tyû leä laø k( ) A
x − x ' ≈ k( ) A b − b '
5.4) Phöông phaùp laëp Jacobi ( laëp ñôn ) : a) Noäi dung: *) * )Ñöa ö he h äe A x = b ve v àe da d ïng n
g x = Φ x + g
*) Kieåm tra ñieàu kieän Φ = q < 1 (chuaån haøng hoaëc coät) *) Laáy (0) x
laø veùctô giaù trò ban ñaàu tuøu yù *) Daõy laëp (k) x
xaây döïng theo coâng thöùc ( + x k ) 1 = Φx k ( ) + g Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
b) Ñaùnh giaù sai soá : k (k ) d q (1) (0) x − x ≤ x − x 1 − q
coâng thöùc tieân nghieäm (k ) d q (k ) (k 1 − ) x − x ≤ x − x 1 − q co c âong g th t öùöc ha h äu u ng n h g ie i äem m Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
Ví duï : Xeùt heä phöông trình 10 1 x −1x2 + 2 3 x = 0  1 1 x +10 x2 − 1 3 x = 5  2 1 x + 3x2 + 10 3 x = −10  x1 x = + 0 1
. x2 − 0.2 x3 + 0   x2 = − 0.1 1 x + 0.1x3 + 0.5   x3 = − 0.2 1 x − 0.3 x2 −1 Φ = 0.5 ∞ = ∞ q Φ = 0.4 = 1 1 q Phương pháp Tính Ngô Thu Lương  (k+ ) 1 x = + (k) (k) 1 . 0 x − 2 . 0 x +  0 1 2 3  (k+  ) 1 x = − (k) (k) 1 . 0 x + 1 . 0 x + 5 . 0 2 1 3   (k+ ) 1 x = − (k) (k) . 0 2x − 3 . 0 x −  1 3 1 2 Vôùi (0) T x
=[ 0 0 0 ] , soá böôùc laëp laø k = 3 k 0 1 2 3 (k ) x 0 0 0.25 0.270 1 (k ) x 0 0.5 0.4 0.360 2 (k ) x 0 -1 -1.15 -1.170 3 Sai soá ∞ - 0.04 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương c)Nhaän xeùt :
A ma traän coù ñöôøng cheùo troäi theo haøng: ∑ ⇒ Φ < i a j < i a i 1 ∞ i≠ j
A ma traän coù ñöôøng cheùo troäi theo coät
∑ ai j < ai i ⇒ Φ 1 1 < j ≠i Phương pháp Tính Ngô Thu Lương