Chương 2: Giải hệ phương trình | Bài giảng môn Phương pháp tính và matlab CTTT | Đại học Bách khoa hà nội
Chương 2: Giải hệ phương trình. Tài liệu trắc nghiệm môn Phương pháp tính và matlab CTTT giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Phương pháp tính và matlab CTTT
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Chöông II : GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Ax=b
1) Heä coù A laø ma traän tam giaùc treân a a . . a x b 11 12 n 1 1 1 0 a a . a 22 23
2n x2 b 2 A x = 0 0 a . . . 33 = . . . . . . . . 0 0 0 0 a
x b nn n n Tính nghieäm x → x → → → 1 x 2 x 3.... n n n n 1 x − − − Phương pháp Tính Ngô Thu Lương Ví duï : 1 x + 2 2 x + 3 x = 18 0 . 0 + 1 . 0 2 x + 2 3 x = 20 2 . 0 +0 + 0 . 0 1 3 x = 1 . 0 1 x = 4 2 x = 2 3 x = 10 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
2) Heä có A laø ma traän tam giaùc döôùi a 0 . . 0 x b 11 1 1 a a 0 . 0 21 22 x2 b2 A x = a a a . . . 31 32 33 = . . . . . 0 . . a a . . a x b n1 n2 nn n n Tính nghieäm → → → → 1 x 2 x 3 x 4 x .... n x Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
3) Giaûi baèng phöông phaùp nhaân töû LU :
( A ma traän vuoâng baát kyø )
a) Noäi dung : Phaân tích ma traän A = L.U
L laø ma traän tam giaùc döôùi
U laø ma traän tam giaùc treân
Vieäc giaûi heä phöông trình seõ ñöa veà giaûi hai heä
phöông trình daïng tam giaùc Quy öôùc = =
= = : coù nghieäm duy nhaát 1 l 1 2 l 2 3 l 3 .. 1 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
Caùch tìm L, U töø ma traän A :
Nhaân haøng1 cuûa Lvôùi coät 1 cuûa U tìm ñöôïc 1 u 1
Nhaân haøng2 cuûa Lvôùi coät 1 cuûa U tìm ñöôïc l 21
Nhaân haøng3 cuûa Lvôùi coät 1 cuûa U tìm ñöôïc 3l 1
Nhaân haøng1 cuûa Lvôùi coät 2 cuûa U tìm ñöôïc 1 u 2
Nhaân haøng1 cuûa Lvôùi coät 3 cuûa U tìm ñöôïc 1 u 3 Nh N a h ân a n ha h øn a g n 2 g 2 cu c ûa u a Lvô v ùi ô co c ät o 2 2 cu c ûa u a U tìm m ñö ñ ô ö ïc ô c u 22
Nhaân haøng3 cuûa Lvôùi coät 2 cuûa U tìm ñöôïc 3l 2
Nhaân haøng2 cuûa Lvôùi coät 3 cuûa U tìm ñöôïc u 23
Nhaân haøng3 cuûa Lvôùi coät 3 cuûa U tìm ñöôïc 3 u 3 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
4) Phöông phaùp Cholesky
( phöông phaùp caên baäc hai ) a) Noäi dung :
Bieåu dieãn ma traän A döôùi daïng T
A = B . B
trong ñoù B laø ma traän tam giaùc döôùi ( T
B : ma traän chuyeån vò cuûa B, laø ma traän tam giaùc treân ) Phương pháp Tính Ngô Thu Lương b) Nhaän xeùt :
Caùch tìm B töông töï nhö phöông phaùp LU
nhöng soá pheùp tính giaûm ñi 2 laàn
Phöông phaùp Cholesky khoâng ñoøi hoûi ñöôøng
cheùo cuûa ma traän B baèng 1
Khi laáy caên baäc 2 quy öôùc raèng laáy caên soá hoïc
( caên laø soá döông ) Phương pháp Tính Ngô Thu Lương 1 1 1 Ví duï : A = 1 5 5 1 5 14 0 0 B = 0 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương 2 −1 0 A = −1 2 − 1 0 −1 2 0 0 B = 0 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương b) Nhaän xeùt :
*) Phöông phaùp chæ duøng ñöôïc neáu A laø
ñoái xöùng vaø xaùc ñònh döông
5) Caùc phöông phaùp laëp :
(thöôøng duøng cho caùc heä vôùi ma traän A A co c ù o kí k ch c h thö h ô ö ùc ô c ra r át a lôùn ô ) n )
5.1) Ñònh nghóa : (Chuaån cuûa vectô ) x max xi ∞ = ≤ 1 i ≤ n
( ix : caùc thaønh phaàn cuûa veùctô x )
(chuaån voâ haïn , haøng ) Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
5.1) Ñònh nghóa : (Chuaån cuûa vectô ) n x = ∑ xi 1 i =1 ( chuaån 1, coät ) −1 x ∞ = x = 2 − 3 x = 1 x ≥ 0 x = 0 ↔ x = 0 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
5.2) Ñònh nghóa ( Chuaån cuûa ma traän ) n A = ∞ Max ∑ ai j
1≤ i ≤ n j =1
(chuaån voâ haïn , chuaån haøng) n A = Ma M x ∑ a 1 ∑ a i j
1≤ j ≤ n i =1 (chuaån 1 , chuaån coät ) Phương pháp Tính Ngô Thu Lương 4 3
Ví duï : A = ta coù 2 1 n A = Max ∑ a i j = Max ( 7,3) = 7 ∞
1≤ i ≤ n j =1 n A = Max ∑ a i j = Max( 6,4) = 6 1 1≤
1 j ≤ n i 1 =
Caùc tính chaát cuûa chuaån ma traän : A ≥ 0 A = 0 ⇔ A= 0 A + B ≤ A + B A . x ≤ A . x Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
5.3) Ñònh nghóa ( Soá ñieàu kieän cuaû ma traän A) −1
k1 ( A ) = cond 1 ( A ) = A . A 1 1 −
k ∞ ( A) = cond ∞ ( A) = 1 A ∞ . A ∞ 4 3 −1 − / 1 2 3/ 2
Ví duï : A = , A = 2 1 1 −2 − k ( ) ∞ A = A . 1 A = 7.3= 21 ∞ ∞ −1 7 = = = 1 k ( A) A . A 6 21 1 1 2 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương 1 2 1 Ví duï : A = 2 4 1 . 4 3 . 6 1 . 5 0 1 − 3859 − 3920 3900 −1 A = 1980 2010 − 2000 −100 −100 100 k ( ) ∞ A = 164790.69 k ( ) A 73566 1 = Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
Söï bieán thieân cuûa nghieäm tyû leä vôùi söï bieán
thieân cuûa veá phaûi vôùi heä soá tyû leä laø k( ) A
x − x ' ≈ k( ) A b − b '
5.4) Phöông phaùp laëp Jacobi ( laëp ñôn ) : a) Noäi dung: *) * )Ñöa ö he h äe A x = b ve v àe da d ïng n
g x = Φ x + g
*) Kieåm tra ñieàu kieän Φ = q < 1 (chuaån haøng hoaëc coät) *) Laáy (0) x
laø veùctô giaù trò ban ñaàu tuøu yù *) Daõy laëp (k) x
xaây döïng theo coâng thöùc ( + x k ) 1 = Φx k ( ) + g Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
b) Ñaùnh giaù sai soá : k (k ) d q (1) (0) x − x ≤ x − x 1 − q
coâng thöùc tieân nghieäm (k ) d q (k ) (k 1 − ) x − x ≤ x − x 1 − q co c âong g th t öùöc ha h äu u ng n h g ie i äem m Phương pháp Tính Ngô Thu Lương
Ví duï : Xeùt heä phöông trình 10 1 x −1x2 + 2 3 x = 0 1 1 x +10 x2 − 1 3 x = 5 2 1 x + 3x2 + 10 3 x = −10 x1 x = + 0 1
. x2 − 0.2 x3 + 0 x2 = − 0.1 1 x + 0.1x3 + 0.5 x3 = − 0.2 1 x − 0.3 x2 −1 Φ = 0.5 ∞ = ∞ q Φ = 0.4 = 1 1 q Phương pháp Tính Ngô Thu Lương (k+ ) 1 x = + (k) (k) 1 . 0 x − 2 . 0 x + 0 1 2 3 (k+ ) 1 x = − (k) (k) 1 . 0 x + 1 . 0 x + 5 . 0 2 1 3 (k+ ) 1 x = − (k) (k) . 0 2x − 3 . 0 x − 1 3 1 2 Vôùi (0) T x
=[ 0 0 0 ] , soá böôùc laëp laø k = 3 k 0 1 2 3 (k ) x 0 0 0.25 0.270 1 (k ) x 0 0.5 0.4 0.360 2 (k ) x 0 -1 -1.15 -1.170 3 Sai soá ∞ - 0.04 Phương pháp Tính Ngô Thu Lương c)Nhaän xeùt :
A ma traän coù ñöôøng cheùo troäi theo haøng: ∑ ⇒ Φ < i a j < i a i 1 ∞ i≠ j
A ma traän coù ñöôøng cheùo troäi theo coät
∑ ai j < ai i ⇒ Φ 1 1 < j ≠i Phương pháp Tính Ngô Thu Lương