Chöông 1
MA TRAÄN - HEÄ PHÖÔNG TRÌNH TUYEÁN TÍNH 1. MA TRAÄN
1.1. Ñònh nghóa ma traän.
Moät baûng soá hình chöõ nhaät goàm m doøng vaø n coät  1 a 1 1 a 2    a a  21 22 A      a  m1 am2 
ñöôïc goïi laø moät ma traän caáp m n, kyù hieäu A   hay    i a j A a
a chæ soá haïng naèm ôû doøng thöù i, coät thöù j mn ij   , trong ñoù m n ij cuûa ma traän A .
Taäp hôïp taát caû caùc ma traän caáp m n ñöôïc kyù hieäu laø
, soá haïng naèm ôû doøng thöù   , m M  . Vôùi n
A  Mmn i , coät thöù j , 1 i m
1  j  n , cuûa A coøn ñöôïc ky ùhieäu laø A . ij Ví duï 1. 1 2 3 Vôùi  A     , ta coù   A
 1, A  2 ,   A  3,   A
 4 , A  5 vaø A  6 ฀ 2 M 3 4 5 6   11 12 13 21 22 23
1.2. Ma traän baèng nhau.
Hai ma traän A vaø B ñöôïc goïi laø baèng nhau neáu chuùng coù cuøng caáp vaø caùc soá haïng töông öùng cuûa chuùng baèng nhau töøng
ñoâi moät, nghóa laø   A    B vôùi moïi i, j . ij ij
Ví duï 2. Cho hai ma traän A,B , 2 M 3 p q 4 1 3 4  A  , B      . 1 0 2 s 0 2    
Ta coù A  B neáu vaø chæ neáu p  1, q  3 vaø s  1 . 1
1.3. Caùc ma traän ñaëc bieät.
i) Ma traän khoâng : laø ma traän maø moïi soá haïng cuûa noù ñeàu laø soá 0. Ma traän khoâng caáp m n ñöôïc kyù hieäu laø 0 hay vaén mn taét laø 0 . Ví duï 3. 0 0 0 0
laø ma traän khoâng caáp . 23    2  3 0 0 0  
ii) Ma traän vuoâng : laø ma traän coù soá doøng vaø soá coät baèng nhau. Ma traän vuoâng caáp n n ñöôïc goïi taét laø ma traän vuoâng caáp
n . Taäp hôïp taát caû caùc ma traän vuoâng caáp n ñöôïc ky ùhieäu laø
A  M , caùc soá haïng   n
M . Vôùi ma traän vuoâng n A
, A ,..., A 11 22 nn
ñöôïc goïi laø naèm treân ñöôøng cheùo (chính) cuûa A. Caùc soá haïng   A ,   A ,...,  A
ñöôïc goïi laø naèm treân ñöôøng cheùo phuï cuûa n1 n1,2 1n A . Ví duï 4. Ma traän  1 2  3    A  0 6 5    2 3 5   
laø moät ma traän vuoâng caáp 3.
Caùc soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo chính laø : A  1, A  6, A  5  . 11 22 33
Caùc soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo phuï laø : A  2, A  6, A  3 . 31 22 13
iii) Ma traän cheùo caáp n : laø ma traän vuoâng caáp n maø moïi soá haïng khoâng naèm treân ñöôøng cheùo chính ñeàu laø soá 0. Ví duï 5. Ma traän  5 0 0   A  0 7  0    0 0 0  
laø moät ma traän cheùo caáp 3.
iv) Ma traän ñôn vò caáp n : laø ma traän cheùo caáp n , kyù hieäu laø n
I , maø moïi soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo chính ñeàu baèng 1.
Ñeå bieåu dieãn ma traän ñôn vò, ngöôøi ta coøn duøng kyù hieäu Kronecker : 2   1 khi i j  ij  0 khi i  j 
vaø khi ñoù, ma traän ñôn vò caáp n ñöôïc vieát döôùi daïng  1 0 ... 0    0 1 ... 0      . n I  ij   i, j 1  ,n ... ... ... ...   0 0 ... 1  
Ví duï 6. Ma traän ñôn vò caáp 2 vaø caáp 3 laàn löôït laø 1 0 0  1  0    I  ; I  0 1 0 . 2   0 1 3     0 0 1   
vi) Ma traän doøng (coät) : laø chæ coù moät doøng ñöôïc goïi laø moät ma traän doøng, ma traän chæ coù moät coät ñöôïc goïi laø moät ma traän coät.
Caùc ma traän doøng vaø ma traän coät coøn ñöôïc xem nhö laø caùc vectô vaø ñöôïc laàn löôït goïi laø caùc vectô doøng vaø vectô coät. Khi
ñoù, moät ma traän coù theå xem nhö ñöôïc taïo bôûi nhieàu vectô doøng hay taïo bôûi nhieàu vectô coät. Vôùi ma traän A  , doøng thöù m M n  i
cuûa A goàm caùc phaàn töû A , A , ...,   A
vaø ñöôïc kyù hieäu laø A ; coät thöù j goàm caùc phaàn töû   A
, A , ..., A , kyù hieäu i1 i2 in i 1j 2 j mj  j A .
Ví duï 8. i) Ma traän A  5 3 1
  laø moät ma traän doøng.  1  ii) Ma traän   B  0 
 laø moät ma traän coät.  1   
1.6. Ma traän chuyeån vò. Ñònh nghóa. Cho A , chuyeån vò cuûa  xaùc ñònh bôûi T
A        . m M n A , kyù hieäu T
A , laø ma traän caáp n m A , i 1, n, j 1, m   ji ij 3
Ví duï 21. Vôùi ma traän  1 2 3 A    
, chuyeån vò cuûa noù laø 2 M 3  4 5 6    1 4 T   A  2 5  . 3 M 2    3 6  
Nhaän xeùt. Ma traän chuyeån vò cuûa A nhaän ñöôïc töø A baèng caùch bieán doøng cuûa A thaønh coät cuûa T
A (hay bieán coät cuûa A thaønh doøng cuûa T A ). Tính chaát. (i)  T T A  A .
(ii)   T T T A B  A  B . (iii)  T T T AB  B A .
1.7. Ma traän ñoái xöùng.
Ñònh nghóa. Ma traän vuoâng A ñöôïc goïi laø ñoái xöùng, neáu T A  A .
Töø ñònh nghóa ta thaáy neáu A laø ma traän ñoái xöùng thì A laø ma traän vuoâng vaø caùc phaàn töû naèm ôû vò trí ñoái xöùng nhau qua
ñöôøng cheùo ñeàu baèng nhau,   A    A , i  , j . ij ji 4 Ví duï 22. Ma traän  x 1 3   A  1 y 5    3 5 z  
1.3. Caùc pheùp toaùn treân ma traän.
1.3.1. Pheùp coäng hai ma traän vaø nhaân moät soá vôùi moät ma traän
Vôùi hai ma traän A, B M , yù , laø ma traän caáp xaùc ñònh bôûi m n h 
, ma traän toång cuûa A vaø B, k hieäu A  B m n
A  B  A  B vôùi moïi i, j. ij ij ij
Ma traän tích cuûa A vôùi haèng soá h, ky ùhieäu hA, laø ma traän caáp m n xaùc ñònh bôûi h  A  h   A vôùi moïi i, j. ij ij Ví duï 9.   Vôùi  1 2 3  A    , 1 1 1 B    thì 4 5 6   1  1 1     2 1 4       A  B    , 2 4 6 2A    va ø 4 4 4 4  B    .  3 6 5  8 10 12  4 4  4 
Chuù yù : Hai ma traän chæ coù theå coäng vôùi nhau khi chuùng coù cuøng caáp vaø ma traän toång coù caáp baèng caáp cuûa hai ma traän ñaõ
cho. Ma traän  1
 .A, kyù hieäu A, ñöôïc goïi laø ma traän ñoái cuûa ma traän A. Töø ñoù, ta ñònh nghóa ñöôïc pheùp tröø caùc ma traän bôûi
A  B  A   
B  A    1 .B
Tính chaát. Vôùi moïi ma traän A, B,C M
vaø h, k , ta coù m n 
(i) A  B  B A (tính giao hoaùn).
(ii) A  B C  A  B  C (tính keát hôïp).
(iii) A  0  A ( 0 : ma traän khoâng caáp m n). (iv) A    A  0 .
(v) hkA  hkA. 5
(vi) hA  
B  hA  hB.
(vii) h  kA  hA  kA.
(viii) 1.A  A .
Caùc tính chaát treân ñöôïc kieåm chöùng moät caùch deã daøng vaø ñöôïc coi nhö laø baøi taäp. Taäp hôïp m
M  cuøng vôùi hai pheùp coäng n
hai ma traän vaø pheùp nhaân ma traän vôùi moät soá thoûa 8 tính chaát neâu treân neân sau naøy ta noùi raèng noù coù caáu truùc cuûa moät khoâng
gian vectô (xem chöông 3). 6
1.3.2. Pheùp nhaân hai ma traän. Cho hai ma traän A , kyù hieäu m M n , B
. Ta ñònh nghóa ma traän tích cuûa hai ma traän n M  p
A, B laø ma traän caáp m p AB , xaùc ñònh bôûi n
AB  A B ik ij jk j1    A   B    A   B  ...    A   B i1 1k i2 2k in nk
vôùi moïi i  1, m, k  1, p. Ví duï 10. Cho  1 2    2 3 A  1  1  . 3 M x2 , B       2 M x2 2 1     2 3  
Caùc soá haïng cuûa ma traän AB  laàn löôït laø 3 M 2
AB  A  B1  1.2  2( 2
 )   2, 11 1
AB  A  B2  1.3  2.1 5, 12 1
AB  A   1
B   1.2  1( 2
 )   4 , 21 2
AB  A  B2   1.3 1.1   2, 22 2
AB  A  B1  2.2  3( 2
 )   2 , 31 3
AB  A  B2  2.3  3.1  9 , 32 3 vaø do ñoù  2 5   
AB  4 2 .    2 9     7
Chuù yù. i) Ñeå coù theå nhaân ma traän A vôùi ma traän B , ta caàn ñieàu kieän laø soá coät cuûa ma traän A phaûi baèng soá doøng cuûa ma
traän B vaø khi ñoù :
Soá doøng cuûa ma traän tích AB baèng soá doøng cuûa ma traän A vaø soá coät cuûa ma traän tích AB baèng soá coät cuûa ma traän B.
Do ñoù, vôùi hai ma traän A, B cho tröôùc, khoâng nhaát thieát tích AB toàn taïi vaø khi tích AB toàn taïi, khoâng chaéc tích BA toàn taïi.
ii) Tích cuûa hai ma traän noùi chung khoâng coù tính giao hoaùn, nghóa laø toång quaùt ta coù AB  BA .
Ví duï 11. Vôùi hai ma traän  0 1       A    , 0 0 B   , ta coù 1 0 0 0 AB     BA    .  0 0 1 0   0 0 0 1    
Trong tröôøng hôïp caû hai ma traän tích AB vaø BA toàn taïi vaø thoûa ñaúng thöùc AB  BA , ta noùi hai ma traän A vaø B giao hoaùn
vôùi nhau. Chaúng haïn, ma traän ñôn vò I giao hoaùn vôùi moïi ma traän vuoâng A caáp n vaø I A  AI  A. n n n
Toång quaùt, neáu B laø ma traän caáp m n , ta coù , trong ñoù m I B  B n I  B m I , n
I laàn löôït laø caùc ma traän ñôn vò caáp m vaø n . Ví duï 12. Cho  1 2 3 A   . 4 5 6   Ta coù
1 0  1 2 3 1 2 3   2 I A      
 0 1  4 5 6  4 5 6  1 0 0  1 2 3   1 2 3 A 3 I  0 1 0        4 5 6 4 5 6       0 0 1    1 1  1
 1 4 3 Ví duï 13. Cho     A  1  2 1 
 vaø C  1 3 2   . Ta coù  2 3 1      1  1 1   1 0 0  
AC  CA  0 1 0  , 3 I    0 0 1   8
vaø do ñoù, hai ma traän A vaø C giao hoaùn vôùi nhau. Thöïc ra, ma traän C nhö vaäy coøn ñöôïc goïi laø ma traän nghòch ñaûo cuûa A, kyù hieäu 1 A .
1.4. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng.
Ta coù 3 pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng nhö sau :
i) Pheùp bieán ñoåi 1 : i  Hoaùn vò hai doøng j
i vaø j , ky ùhieäu A   
A , nhaèm ñoåi choã hai doøng i , j trong ma traän A, caùc doøng
coøn laïi khoâng thay ñoåi. Ví duï 14.  3 2 1 5  1 3 2 4       0 1 2 3 
13  0 1 2 3 A        1 3 2 4 3 2 1 5        
 5 1 2 0 
 5 1 2 0 
ii) Pheùp bieán ñoåi 2 : Nhaân doøng 
i vôùi moät soá   0 , kyù hieäu i: i
A  A , nhaèm nhaân doøng thöù i cuûa A vôùi , caùc doøng
coøn laïi khoâng thay ñoåi. Ví duï 15.  1 2 3    1 2 3     1 3 :   3   5   A  0 1 4
 0 1 4      0 0 5   0 0 1     
iii) Pheùp bieán ñoåi 3 : Thay doøng   
i bôûi doøng i coäng vôùi  laàn doøng j , kyù hieäu
i: i j A 
 A nhaèm thay doøng thöù i cuûa
A baèng doøng ñoù coäng vôùi  nhaân cho doøng thöù j cuûa A, caùc doøng coøn laïi göõ nguyeân. Ví duï 16. 9   1 1 0    1 1 0   
3: 3 1  
A   0 1 1    0 1 1      1 0 2 0 1     2  1 1 0  3 : (3) 2           0   1 1    0 0    1
Ví duï 18. Ñöa ma traän A veà daïng tam giaùc treân, vaø coù theå bieán ñoåi tieáp tuïc ñeå ñöa ma traän A veà ma traän ñôn vò nhö sau:    1 1 0 2 1 1 0 2      2 4 1   5 0 2 1    1 A    1 3 0 5  0 2 0 3      3 7 3 9  0 4 3 3     1 3  1 1 0 2   1 1 0 2 1 0  2 2       1 1 1 1 0 2 1  1    0 1    0 1   2 2 2 2         0 0 1 2 0 0 1 2     0 0 1 2  0 0 0  9   0 0 0 1     0 0 0 1    1  1 0 0  2 1 0 0 0   3    0 1 0  0 1 0 0 2       . 0 0 1 0 0 0 1 2        0 0 0 1 0 0 0 1    
1.5. Ma traän baäc thang theo doøng.
Ñònh nghóa. Ma traän baäc thang theo doøng laø ma traän maø öùng vôùi hai doøng baát kyø, soá haïng khaùc 0 ñaàu tieân cuûa doøng döôùi
luoân luoân naèm beân phaûi soá haïng khaùc 0 ñaàu tieân cuûa doøng treân. Ví duï 19. 10  0 1 0 3 5 7   1 0 2 0 9 6      0 0 0 2 4  6   0 2 4 4 7 1    A  0 0 0 0 3
3  , B   0 0 0 1 0 3      0 0 0 0 0 5   0 0 0 0 0 8    0 0 0 0 0 0      0 0 0 0 0 0  
Nhaän xeùt : Trong ma traän baäc thang theo doøng, caùc doøng khoâng (doøng chöùa toaøn soá haïng 0 ,
) neáu coù, phaûi naèm döôùi caùc
doøng khaùc khoâng (doøng coù ít nhaát moät soá haïng khaùc 0). Khi ñoù, caùc soá haïng baèng 0 ñaàu tieân treân moãi doøng taïo thaønh hình baäc
thang, moãi baäc thang chöùa ít nhaát moät coät.
Chaúng haïn, vôùi caùc ma traän trong ví duï 19, caùc soá haïng baèng 0 ñaàu tieân treân moãi doøng coù daïng  0        0 0 0   0   A  0 0 0 0
, B  0 0 0      0 0 0 0 0   0 0 0 0 0       0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0  
Chuù yù raèng, ma traän tam giaùc treân vôùi caùc soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo khaùc 0 cuõng laø moät ma traän baäc thang vaø khi ñoù
moãi baäc thang chöùa ñuùng moät coät.
Vôùi moät ma traän A caáp m n baát kyø, ta luoân luoân coù theå duøng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp ñeå bieán ma traän A thaønh ma traän
baäc thang theo doøng. 11
 Giaûi thuaät chuyeån ma traän baát kyø veà ma traän baäc thang theo doøng.
Ñeå chuyeån ma traän baát kyø veà ma traän baäc thang theo doøng, ngöôøi ta thay ñoåi caùch choïn phaàn töû truïc xoay trong giaûi thuaät
chuyeån ma traän vuoâng veà ma traän tam giaùc treân. Thay vì vò trí phaàn töû truïc xoay luoân luoân naèm treân ñöôøng cheùo, ta choïn
- Phaàn töû truïc xoay cuûa coät 1 naèm ôû doøng 1.
- Neáu sau khi bieán ñoåi xong moät coät maø phaàn töû truïc xoay luùc ñoù khaùc 0 thì phaàn töû truïc xoay cuûa coät keá naèm ôû doøng keá.
Ngöôïc laïi, neáu phaàn töû truïc xoay baèng 0 (vaø moïi phaàn töû naèm döôùi noù cuõng baèng 0) thì phaàn töû truïc xoay cuûa coät keá naèm ôû cuøng doøng. Ví duï 20.     1 1  2  4 5 1 1 2 4 5      3  1 1 2 1 0 2 5   10 1  4    1 1 3 6 9  0 2 5 10 14          1  2 2 1 2 10  0  10 25 50 70            1 1  2  4 5    0 2 5 10 14    0 0 0 0 0     0 0 0 0 0   
2. ÑÒNH THÖÙC CUÛA MA TRAÄN VUOÂNG
Xeùt ma traän vuoâng caáp n  1 a 1   A   a i1  na1  12 Coâng thöùc (2 2
. ) goïi laø coâng thöùc khai trieån theo doøng 0i vaø coâng thöùc (2.3) laø coâng thöùc khai trieån theo coät 0j .
Töø ñònh lyù neâu treân, ta coù theå tính ñöôïc ñònh thöùc baèng caùch khai trieån theo moät doøng hay moät coät baát kyø. Trong thöïc teá,
ta löïa choïn caùc doøng hay coät ñeå khai trieån sao cho soá caùc pheùp tính caàn thöïc hieän caøng ít caøng toát, chaúng haïn khai trieån theo
doøng hay coät chöùa nhieàu soá 0 nhaát.  1 0 3 2     Ví duï 25.  Xeùt 0 2 2 0 A    . 3 2 0 1    0 3 0 0  
Khai trieån theo doøng 4, ta coù 1 3 2 
det A  3 0 2 0 3 0 1
Khai trieån theo doøng 2 ñònh thöùc ôû veá phaûi, ta ñöôïc    1 2  det A 3 2   42 3 1
Toång quaùt hôn, vôùi ma traän A  M vaø vôùi soá nguyeân , ta choïn trong
i  i  ...  i . Khi ñoù, vôùi moãi n
k , 1  k  n A caùc doøng 1 2 k
boä k soá nguyeân 1 
, ma traän vuoâng caáp k nhaän ñöôïc töø 1 j  2
j  ...  k j  n
A baèng caùch giöõ laïi caùc phaàn töû naèm treân caùc doøng 1 i ,
i ,i ,...,i ; j , j ,..., j
nhaän ñöôïc töø 2 i , ..., k
i vaø treân caùc coät 1 j , 2 j , ..., k
j ñöôïc kyù hieäu laø 1 2 k 1 2 k A
vaø ma traän vuoâng caáp n  k A baèng caùch boû
ñi caùc doøng 1i , 2i, ..., k i vaø caùc coät 1 j , 2 j , ..., k
j ñöôïc kyù hieäu laø i A
. Chaúng haïn, vôùi ma traän A trong ví duï treân, ta coù
,i ,...,i ; j , j ,..., j 1 2 k 1 2 k  0 2   2,4;1,2  3 2 A    vaø A    . 0 3 2,4;1,2   0 1  
Ta ñöôïc coâng thöùc khai trieån ñònh thöùc theo k doøng nhö sau :
2.3. Ñònh lyù Laplace. Vôùi A  M , choïn
i  i  ...  i . Ta coù n k doøng 1 2 k 15        det A 
   1i 2i ... ki  1j 2j ... kj 1 i 2 i ... k i ; 1 j 2 j ... k j 1 det A  1 j  2
j ... k j
 det Ai i ...i ;j j ...j 1 2 k 1 2 k Ví duï 26. V
ôùi ma traän trong ví duï 24, ta khai trieån theo hai doøng 2 vaø 4 (hai doøng nhieàu soá 0 nhaát), ta coù det A 
 2412 0 2 3 2  
  2413 0 2  0 2   1 1   0 3 0 1 0 0 2 1
  2414 0 0 0 3 
   24  23 2 2  1 2   1 1   0 0 2 0 3 0 3 1 
   2424 2 0 1 3 
  2 4 34 2 0 1 0 1 1  3 0 3 0 0 0 3 2
 0  0  0    
1  6  7  0  0  4  2 2.4. Tính chaát.
i) Vôùi ba ma traän A,B,C sao cho n M
C  A  B vaø   A    B    C , i   1 , 1j 1j 1j ij ij ij
ta coù detC  det A  detB .
Do ñoù, neáu ma traän C nhaän ñöôïc töø A,B baèng caùch laáy moät doøng cuûa A coäng vôùi moät doøng cuûa B vaø caùc doøng khaùc giöõ
nguyeân thì detC  det A  detB.
ii) Cho A  M , h . Neáu ma traän B M thoûa n n
B  h A vaø B  A , i   1 1j 1j ij ij
thì detB  hdet A. Do ñoù, neáu ma traän B nhaän ñöôïc töø A baèng caùch nhaân moät doøng cuûa A cho haèng soá h, caùc doøng khaùc giöõ
nguyeân, thì detB  hdet A. Ñaëc bieät,   n
det hA  h det A, vôùi moïi A  . n M 2.5. Ñònh lyù. i) Neáu (i) A 
 B thì det B   det A. 16 ii) Neáu (i): (i)
A B thì det B   det A.
iii) Ma traän coù 2 doøng tæ leä thì coù ñònh thöùc baèng 0. iv) Neáu
(i) : (i)   (i )  A
 B, i i , thì det B  det A
v) Ñònh thöùc cuûa ma traän tam giaùc baèng tích caùc soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo chính. vi)   T det A
det A  , vôùi moïi A  M . n vii) Vôùi A,B
, ta coù det A  n M
B  det A.det B
Ñònh lyù neâu treân ñöôïc öùng duïng trong vieäc tính ñònh thöùc cuûa moät ma traän baèng caùch bieán moät ma traän vuoâng veà ma traän
tam giaùc treân. Chuù yù raèng vôùi giaûi thuaät neâu trong phaàn 1.4, ta chæ duøng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp thöù 1 (ñònh thöùc ñoåi daáu) vaø
pheùp bieán ñoåi thöù 3 (
ñònh thöùc khoâng ñoåi).  1 2 3 Ví duï 27. Cho   A  4 9 6    3 2 0   Ta coù  1 2 3  1 2 3   
(2) : (2) 4(1)  
A  4 9 6   0 1 6   
(3) : (3)  3(1)    3 2 0  0 4 9       1 2 3 
(3) : (3)  4(2)  
 0 1 6   B   0 0 33   
do ñoù, det A  det B  1.1 ( 3
 3)   33 .
Chuù yù. Vôùi A,B M , coù theå AB  BA nhöng ta vaãn coù de  t A  B  de  t B  A . n Ví duï 28. Cho 1 2  5 6 A  , B      3 4 7 8     Ta coù 17 19 22    AB    vaø 23 34 BA    , 43 50  31 46
nhöng detA 
B  detB  A  4 .
3. MA TRAÄN NGHÒCH ÑAÛO
3.1. Ñònh nghóa. Cho A,B . Ta noùi n M
A, B laø hai ma traän nghòch ñaûo cuûa nhau neáu AB  BA  . Khi ñoù, ta noùi n I A vaø B laø caùc
ma traän khaû nghòch.
Chuù yù raèng neáu hai ma traän 1 B , 2
B cuøng laø caùc ma traän nghòch ñaûo cuûa A, nghóa laø A 1 B  1 B A  vaø n I A 2 B  2 B A  , ta coù n I
B  B I  B AB
 B A B  IB  B . 1 1 1  2   1  2 2 2
Noùi khaùc ñi, neáu A laø ma traän khaû nghòch thì ma traän B thoûa AB  BA 
laø duy nhaát vaø ta goïi noù laø ma traän nghòch ñaûo n I cuûa A, kyù hieäu 1 B A  .
3.2. Tính chaát. Neáu 1 A , 2
A , A laø nhöõng ma traän vuoâng caáp n khaû nghòch thì
(i)   1 1 A  A .
(ii) A A 1  1  1  A A . 1 2 2 1
(iii)   1    T T 1 A A . Chöùng minh. Neáu 1 A
laø ma traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A thì 1  1 AA A  A  . n I  Suy ra 1  1 A A  AA  , töùc laø 1   . Ta coù n I
A khaû nghòch vaø A laø ma traän nghòch ñaûo cuûa 1
A . Do ñoù   1 1 A A
A A  1 1 A A  A  1 A A  1  1  1      1 2 2 1 1 2 2 1 A 1 A n I 1 A 1 A 1 A n I Suy ra   A A  1  1  1 1 2  . 2 A 1 A Ta coù
A A T A  AT T 1 1 T  n I  n I 18 Do ñoù   1    T T 1 A A  1 1 1
1 4 3 Ví duï 29. Vôùi     A  1  2 1 
 vaø B  1 3 2   , ta coù  2 3 1      1 1   1   1 0 0  
AB  BA  0 1 0   .  0 0 1  
Vaäy A, B khaû nghòch vaø 1 B A  hay 1 A B  .
Khi ma traän A khaû nghòch, nghóa laø toàn taïi ma traän B M sao cho AB  I , ta suy ra  , vaø do ñoù  . n n det A.det B 1 det A 0 Thöïc ra ta coù
3.3. Tính chaát. Ma traän A  M khaû nghòch khi vaø chæ khi  . n det A 0 19
3.4. Giaûi thuaät tìm ma traän nghòch ñaûo 1 A .
Phöông phaùp 1. Tìm 1
A baèng ñònh thöùc. Cho A  ,  . Vôùi n M det A 0 i A j 
laø ma traän buø cuûa A ñoái vôùi phaàn töû n M 1  i
a (ma traän nhaän ñöôïc töø j
A baèng caùch boû ñi
doøng vaø coät chöùa phaàn töû  B   i j 1 det  . Ta coù i A j i a ). Ñaët   j n M T  1 b 1 1 b 2   1 1 T 1 2 b 1 2 b 2 A B    , det A det A b b  n1 n2 vôùi 
b   i j , vôùi . ij 1 det i A j
i, j  1, 2,..., n
Ví duï 30. Tìm ma traän nghòch ñaûo cuûa  1 1  1   A  1  2 1    2 3 1   
Ta coù det A  1, do ñoù A khaû nghòch vaø 1
A ñöôïc tính bôûi coâng thöùc sau T  1 b 1 1 b 2 1 b 3   1 1 T 1   A  B  b , 21 b22 2 b 3 det A det A      3 b 1 3 b 1 3 b 3 
vôùi b   i j , ij 1 det i A j   1 1 b
 11 1 2 1 , , 1 b 2   1  1 2 11  1  1  3 1 2  1     1 1 b
 11 3 1 2 , , 2
b 1   2 1 13  1 1  4 2  3 3 1 20