Chương 3: không gian Vecto môn Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Đề cương bài giảng chương III: KHÔNG GIAN VECTO Chương III: KHÔNG GIAN VECTƠ . KHÔNG GIAN VECTƠ : 1.1. Định nghĩa :
Giả sử V là một tập hợp tùy ý không rỗng , ta gọi V là không gian vectơ trên trường
T R ,C  nếu trên tập hợp V ta xác định hai phép toán (+) và (.) * x  , y V  : x  y V  . * x  V  ,   T  : x V  .
Thỏa mãn các tính chất :
(1) x, y V : x  y  y  x . (2) x
 , y, z V : x  y  z  x  y  z.
(3) 0V , x
 V : x  0  0 x  x .
(4) x V ,x 'V : x  x '  x ' x  0 . (5)  , x y V , 
 T :  x  y   x  y . (6) x
 V ,,  T :    x  x  x . (7) x
 V ,,  T : . x    x . (8) 1
  T ,xV : 1.x  x .
Khi đó : Phần tử của V gọi là một vectơ ; số thực (phức) gọi là vô hướng . 1.2. Ví dụ :
1. Tập hợp các vectơ xuất phát từ gốc tọa độ trong hình học giải tích phẳng với phép cộng
theo qui tắc hình bình hành ; phép nhân một vectơ với một số thực là một không gian
vectơ trên trường R .
2. Tập hợp các đa thức với hệ số thực với phép cộng hai đa thức và phép nhân một số thực
với một đa thức là một không gian vectơ trên trường R . 3. Tập hợp n R  
 a ,a ,a , ,
 a / a  R,i 1, n với phép cộng và phép nhân như sau : 1 2 3 n  i 
* a ,a ,a ,,a  b ,b ,b ,,b  a b ,a b ,a b ,,a b 1 2 3 n   1 2 3 n   1 1 2 2 3 3 n n 
*  a ,a ,a ,,a  a ,a ,a , ,a 1 2 3 n   1 2 3 n 
là một không gian vectơ trên trường R . 4. Tập hợp M các ma trận cỡ  , m 
n với phép cộng hai ma trận và phép nhân một số m.n
thực với một ma trận là một không gian vectơ trên trường R .
1.3. Các tính chất đơn giản :
Giả sử V là một không gian vectơ trên trường T , khi đó:
1. Chỉ có duy nhất phần tử 0V sao cho : x V : x  0  0.
2. Với mỗi x V
 ,tồn tại duy nhất phần tử đối của x là  x
  sao cho: x  x  0 . 3.  , x y V , !
 z V : x  z  y . 4. x
 , y V , T :  x  y   x  y . 5. x
 V ,,  T :     x  x  x .    0 6. x
 V , T : x  0   . x  0 7. x  V :  1
 .x  x. [GVC.Phan Thi Quản] Trang 1
Đề cương bài giảng chương III: KHÔNG GIAN VECTO
1.4. Không gian vectơ con :
1. Định nghĩa : Giả sử V là không gian vectơ trên trường T . Tập hợp con V '   của
V gọi là không gian vectơ con của không gian vectơ V nếu V ' ổn định với hai phép
toán trên V và V ' cùng với hai phép toán đó lập thành không gian vectơ
Chú ý : Ta nói V ' ổn định với hai phép toán cộng và nhân trên V nghĩa là: a. x  , y V  ': x  y V  ' .
b. x V ', T : x V '
2. Tiêu chuẩn nhận biết không gian vec tơ con : a. Tiêu chuẩn 1 :
Giả sử V, ,
 .  là một không gian vectơ trên trường T , V ' là một tập hợp con khác 
của V .Điều kiện cần và đủ để V ' là không gian vectơ con của V là
 x, y V ' :
x  y V ' .
 x V ', T : x V ' . b. Tiêu chuẩn 2 :
Giả sử V, , . là một không gian vectơ trên trường T , V ' là một tập hợp con khác 
của V .Điều kiện cần và đủ để V ' là không gian vectơ con của V là :  , x y V ', 
 ,  T :  x  y V ' .
1.5. Không gian con sinh bởi một hệ vectơ :
Trong không gian vectơ V ta cho hệ m vectơ : e ,e ,...,e . Tập hợp V ' gồm các 1 2 m 
vectơ có dạng : x  a e  a e    a e ; a
 T , i  1;m là không gian con của V . 1 1 2 2 m m i
Không gian con V ' gọi là không gian con sinh bởi hệ e ,e ,...,e . Ký hiêụ: 1 2 m 
V '  L e , e ,..., e 1 2 m 
. SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH , ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH :
2.1. Tổ hợp tuyến tính :
Giả sử e ,e ,...,e m 1 2
là vectơ của không gian vectơ V . Ta gọi một tổ hợp tuyến tinh của m 
các vectơe ,e ,...,e là một vectơ có dạng : x  a e  a e   a e a
 T i  m m m ; i , 1; 1 2 m 1 1 2 2
2.2. Sự phụ thuộc tuyến tính , độc lập tuyến tính :
1. Định nghĩa : Trong không gian vectơ V cho hệ vectơ e ,e ,...,e (1) 1 2 m
 Hệ (1) được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức a e  a e   a e  0 chỉ 1 1 2 2 m m
xảy ra khi và chỉ khi a  a   a  . m 0 1 2
 Hệ (1) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực a ; a ;; a không 1 2 m
đồng thời bằng 0 sao cho đẳng thức a e a e  a e  0 xảy ra . 1 1 2 2 m m 2. Tính chất :
 Hệ có chứa vectơ 0 là hệ phụ thuộc tuyến tính
 Hệ chỉ có một vectơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ đó là vectơ 0
 Nếu một bộ phận của hệ (1) là phụ thuộc tuyến tính thì cả hệ (1) cũng phụ thuộc tuyến
tính. Do đó nếu hệ (1) độc lập tuyến tính thì mọi bộ phận của nó cũng độc lập tuyến tính .
 Hệ thống (1) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một vectơ của hệ là tổ hợp
tuyến tính của các vectơ còn lại m  
1 . Do đó hệ thống (1) là độc lập tuyến tính khi
và chỉ khi không có vectơ nào của hệ đó là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại .
 Trong không gian vectơ V cho hệ độc lập tuyến tính e ,e ,...,e (1) nếu ta ghép vào 1 2 m
hệ (1) một vectơ y không biểu thị tuyến tính được qua hệ đó thì ta được hệ vectơ
e ,e ,...,e , y (2) cũng độc lập tuyến tính. 1 2 m  [GVC.Phan Thi Quản] Trang 2
Đề cương bài giảng chương III: KHÔNG GIAN VECTO
2.3. Bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của một hệ vectơ:
1. Định nghĩa : Trong không gian vectơ V cho hệ gồm m vectơ e ,e ,...,e (1) . Một 1 2 m
bộ phận của hệ (1) gồm k vectơ e 1,e 2,...,e
(2) gọi là bộ phận độc lập tuyến tính i i ik  tối đại nếu
 Hệ (2) độc lập tuyến tính.
 Mọi vectơ của hệ (1) đều biểu thị tuyến tính qua hệ (2) Tính chất :
 Nếu ghép thêm vào bộ phận tối đại của hệ vectơ (1) một vectơ của hệ thì bộ phận
ghép đó phải phụ thuộc tuyến tính .
 Mọi bộ phận tối đại của một hệ vectơ có số vectơ bằng nhau..
 Mọi hệ gồm một số hữu hạn vectơ không đồng thời là vectơ 0 bao giờ cũng có ít nhất
một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại .
2.4. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ:
1. Hệ sinh : Giả sử trong không gian vectơ V , tồn tại hệ vectơ e ,e ,...,e (1) sao cho 1 2 n 
mọi vectơ của không gian vectơ V đều biểu thị tuyến tính được qua hệ đó , ta nói hệ (1)
là hệ sinh hữu hạn của không gian vectơ V . Kí hiệu : V  L e ,e ,...,e . V gọi là 1 2 n 
không gian hữu hạn sinh . 2. Hệ cơ sở :
a. Định nghĩa : Một hệ sinh độc lập tuyến tính của không gian vectơ V gọi là một cơ sở
của không gian vectơ đó .
Chú ý : + Một không gian vectơ V trên T có thể có rất nhiều cỏ sở .
+ Một cơ sở của không gian vectơ V là một hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại
của V , tức là nếu một cơ sở của không gian vectơ V có số vectơ là n thì mọi hệ vectơ của
V có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính . b. Tính chất :
 Mọi cơ sở của không gian vectơ V đều có cùng số vectơ .
 Nếu V  L e , e ,..., e thì bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của hệ e ,e ,...,e là cơ 1 2 n  1 2 n  sở của V .
c. Số chiều của không gian vectơ :
 Định nghĩa : Số vectơ của một cơ sở nào đó của không gian vectơ V gọi là số chiều
của không gian vectơ V , kí hiệu dim V . Nếu dimV  n , ta nói V là không gian
vectơ n_ chiều , kí hiệu V . n
 Tính chất : Trong không gian vectơ V , n_ chiều V (n > 0 ) , mọi hệ độc lập tuyến n
tính gồm n vectơ thì nó là một cơ sở của không gian đó , còn nếu nó có ít hơn n
vectơ thì ta có thể bổ sung thêm vào hệ đó để trở thành một cơ sở .
 Chú ý : _ Không gian chỉ gồm một vectơ 0 được xem có số chiều bằng 0 .
_ Không gian vectơ V có số vectơ trong một cơ sở là vô hạn thì không gian
vectơ V gọi là không gian vectơ vô hạn chiều .
2.5. Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở :
1. Định lí : Mỗi vectơ của không gian V chỉ biểu thị được một cách duy nhất qua một n
cơ sở của không gian vectơ đó .
2. Định nghĩa : Trong không gian vectơ V cho một cơ sở e ,e ,...,e và vectơ x . 1 2 n  n
khi đó x được biểu diễn duy nhất qua cơ sở x  x e  x e  x e ; x T , i  1;n 1 1 2 2 n n i .
Bộ số x ; x ; ;
 x được gọi tọa độ của vectơ x đối với hệ cơ sở e , e ,..., e . 1 2 n  1 2 n 
x , i 1; n gọi là thành phần thứ i của vectơ x . i [GVC.Phan Thi Quản] Trang 3
Đề cương bài giảng chương III: KHÔNG GIAN VECTO  x  1   x
Người ta còn viết : x   x ;x ;;x hay  2 x   1 2 n        xn 
3. Tọa độ của vectơ tổng hai vectơ , tích của một số với một vectơ :
Nếu x   x ;x ;;x ; y  y ; y ; ;  y
đối với cùng một cơ sở e , e ,..., e thì : 1 2 n  1 2 n  1 2 n 
 x  y   x  y ;x  y ; ; x  y 1 1 2 2 n n 
 x  x ;x ; ;  x ,   T  . 1 2 n 
2.6. Biến đổi tọa độ khi cơ sở thay đổi :
Trong không gian vectơ V cho 2 hệ cơ sở : e ;e ; ;  e 1 2 n  n (1) ' ' ' e ;e ; ;  e (2) 1 2 n n
Biểu thị cơ sở của (2) qua (1): ' e   a e i  n i ij j  1;  j 1   a a  a 11 21 1  n   a a  a
Các hệ số trên lập thành ma trận vuông cấp n : 12 22 n 2 S            a a  a  1n 2n nn 
Ma trận S gọi là ma trận chuyển từ hệ cơ sở (1)  (2) n
Với x  V , x biểu thị một cách duy nhất qua (1) : x   x e , i i i 1  n
Đồng thời x còn được biểu diễn duy nhất qua cơ sở (2) ' ' x   x e i i i 1   x '   1  x   1   x ' x Nếu gọi 2   X    , 2 X ' 
và S là ma trận chuyển từ hệ cơ sở (1)  (2)           x    ' x n   n  Ta có : 1 X SX ' X ' S     X
2.7. Hạng của một hệ vectơ :
1. Định nghĩa : Trong không gian vectơ V cho hệ gồm m vectơ e ;e ;;e (1) . Số 1 2 m
vectơ trong một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của hệ (1) gọi là hạng của hệ đó .
Kí hiệu : rank e ; e ; ; e 1 2 m 
2. Định lí : Trong không gian vectơ V , n _ chiều trên trường số thực R . Cho hệ vectơ n
bất kì e ;e ; ;  e
. Giả sử tọa độ của m vectơ này đối với một cơ sở nào đó của V là 1 2 m n
e  a ;a ;;a
a R , i   1,m ; j
  1,n . Khi đó hạng của hệ gồm m vectơ trên i 1 i i 2 in  i j
bằng hạng của ma trận : A  a i j  . n m
3. Tính chất : Nếu ta bổ sung vào một hệ thống vectơ một vectơ biểu thị tuyến tính được
qua hệ thống đó thì hạng của hệ thống mới bằng hạng của hệ thống cũ .
Chú ý : Để chứng minh một hệ vectơ là một cơ sở của không gian vectơ n _ chiều Vn
ta chứng minh hạng của hệ đó bằng n hay định thức của ma trận tạo bởi n vectơ đó khác 0 [GVC.Phan Thi Quản] Trang 4
Đề cương bài giảng chương III: KHÔNG GIAN VECTO 4. Các định lí :
a. Đinh lí 1: Trong không gian vectơ V cho hệ m vectơ e ;e ;;e . Gọi V ' là 1 2 m
không gian con của V sinh bởi hệ   1 e ; 2 e ; ;e . Khi đó: m  dim V ' rank  e; e ; ;  e . 1 2 m 
b. Định lí 2: Trong không gian vectơ V trên trường T cho hệ gồm n vectơ e ; e ; ;  e
(1) . Một bộ phận gồm k vectơ e ; e ; ;  e
(2) ( k  n) là hệ độc lập i 1 i 2 ik  1 2 n 
tuyến tính tối đại của hệ (1) . Khi đó không gian vectơ con của V sinh bởi hệ (1)
trùng với không gian vectơ con của V sinh bởi hệ (2) .
___________________________Hết______________________________________ [GVC.Phan Thi Quản] Trang 5
Đề cương bài giảng chương III: KHÔNG GIAN VECTO BÀI TẬP:
Bài 1: Gọi E là tập hợp các hàm liên tục trên đoạn  ; a  b .
1. Chứng minh rằng tập hợp E gồm tất cả các hàm số liên tục trên đoạn a;bthỏa mãn 1
f c   0 với c  ;
a b là không gian con của E .
2. Tập hợp E gồm tất cả các hàm số liên tục và không âm trên a;bcó phải là không gian 2
con của E không ? Tại sao ?
3. Tập E gồm tất cả các hàm số liên tục trên đoạn  ; a    có 3
b thỏa mãn: f   a f b 0
phải là không gian con của E không ? Tại sao ?
Bài 2: Cho P 
x là không gian vectơ các đa thức p  x với hệ số thực trên trường R .Tập
con Qx sau đây có phải là không gian con của không gian vectơ Px không ? Tại sao? 
Q x là tập các đa thức:
1. Có bậc bằng n . 2. Có bậc  n .
Bài 3: Cho M là không gian các ma trận cùng cỡ 3x 4 trên trường số  (với phép cộng 3 x4
và nhân ngoài là phép cộng 2 ma trận và phép nhân 1 số thực với một ma trận) .
Các tập sau đây tập nào là không gian con của M
, nếu có hãy tìm một cơ sở và số chiều của nó 3 4 x a b c 0  1.  
M là tập các ma trận có dạng : b c 0
với a,b,c R . 1 a   c 0 a b     a b c 1  2.  
M là tập các ma trận có dạng : b c 0 a với , a ,
b c R . 2      c 0 a b  a b c 0   
3. M là tập các ma trận có dạng : b c 0
với a,b,  và 3a  2b c  0 . 3 a   c R  c 0 a b   
Bài 4: Chứng minh rằng các tập sau đây là không gian con của không gian vectơ 4  trên
trường số thực .Tìm một cơ sở và số chiều của nó.
1. Tập các vectơ có dạng : x   ; a ; b ; c 0  ; với , a ,
b c R và a  b  c  0 .
2. Tập các vectơ có dạng : x   ; a ; b ; c d  ; với , a , b ,
c d  R và 2a b 3c d  0
Bài 5: Chứng minh tập tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ
số thực và có n ẩn số là không gian con của không gian n
R . Trong trường hợp hạng của ma
trận hệ số của hệ phương trình là r , hãy tìm một cơ sở và số chiều của không gian con đó.
Bài 6: Trong không gian 4
R trên trường R , cho các vectơ e , e , e , e và x . Tọa độ của 1 2 3 4
chúng đối với một cơ sở nào đó của 4 R như sau:
e  1,1,1,1 , e  1,1, 1, 1  , e  1, 1, 1  ,1 ,e  1, 1
 ,1, 1 và x  10,4,0,3. 4   3   2   1  
Chứng minh hệ e ,e ,e ,e là một cơ sở của 4
R và tìm tọa độ của x đối với cơ sở này . 1 2 3 4 
Bài 7: Trong không gian P  x các đa có bậc  2 trên trường số thực R cho các vectơ (đa 2 
thức) e ,e ,e như sau ; chúng có phải là một cơ sở của P x không ? vì sao ? 2   1 2 3
Nếu có , tìm tọa độ của đa thức: p x 2
 x  2x  3 đối với cơ sở đó . 1. 2 2 2
e  x ; e  x 1
 ; e  x 3 . 1 2 3 2. 2 2 2
e  x 1; e  x  x 1; e  x  x  1 . 1 2 3 [GVC.Phan Thi Quản] Trang 6
Đề cương bài giảng chương III: KHÔNG GIAN VECTO
Bài 8: Trong không gian M các ma trận vuông cấp 2 trên trường số thực R ,cho các vectơ 2
(ma trận) e ,e ,e ,e như sau , chúng có phải là cơ sở của M không ? Vì sao ? Nếu có hãy 1 2 3 4 2
tìm tọa độ của ma trận A đối với cơ sở đó . 1 0  2 1   0 1 1  1  1 2  1. e  ; e  ; e  ; e  ;  . 1   2   3   4 A 0 1 0 1 0 1 1  0  3 4           0 1  2 1  1 1 1  1 2 1  2. e  ; e  ; e  ; e  ;  . 1   2   3   4 A 1 0 1 0 0 1 1  1 1 2           
Bài 9: Cho không gian vectơ con U của không gian 4
R sinh bởi hệ: u , u , u , u , với: 1 2 3 4 5 u 
u  1, 2,1, 2 ,u  0,1, 0,1 , u  1, 0,1, 0 , u  0,0,1,1 , u  1,1, 0, 0 . Tìm cơ sở và số 5   4   3   2   1  
chiều của U và tìm tọa độ của vectơ còn lại đối với hệ cơ sở đã chọn .
Bài 10: Tìm a ( nếu có ) để x là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 , u2 , u3 trong các trường hợp sau :
1. u  2,3,5 ; u  3,7,8 ; u  1, 6  ,1 ; x  7, 2  , a . 1   2   3    
2. u  3, 4, 2 ; u  6,8,7 ; u  3, 4,5 ; x  9,12, a . 1   2   3    
3. u  2,4,7 ; u  3, 2,5 ; u  5,6, a ; x  1,3,5 . 1   2   3    
4. u  2,5, a ; u  1,3,5 ; u  2,6,3 ; x  3,9,7 . 1   2   3    
Bài 11: Tìm hạng của các hệ vectơ sau : 1. u  1, 1
 , 2,0 ; u  0,1,2,3 ; u  1,0, 2  , 1  ;u  2,0, 2,1 . 1   2   3   4  
2. u  1,1,0,0 ; u  1,0, 1
 ,0 ; u  1,0,0,1 ;u  0,1,1,0 ; u  0,0,1,1 1   2   3   4   5  
Bài 12: Tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại của hệ sau :
1. u  1, 2,3, 4 ; u  3, 4,5,6 ; u  1, 1
 ,2, 4 ;u  4,2,5,1 . 1   2   3   4  
2. u  2,1,1,0 ;u  4,2,1,3 ;u  1,1,5,2 ;u  1,1,2,0 ;u  1,1,1,0 1   2   3   4   5  
Bài 13: Tìm các vectơ tạo thành cơ sở của không gian vectơ 3
R trong số các vectơ sau :
e  1,1,1 ; e  2, 2,3 ; e  1,1, 2 ; e  1, 2,3 ; e  0,1, 2 ; e  2,4, 6 . 1   2   3   4   5   6  
Bài 14: Trong không gian vectơ 3
R cho hai hệ cơ sở: u ; u ; u ,v ; v ; v . 1 2  1 2 3 3
1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở  u  1,1,2 ; u  2,3,5 ; u  1  ,2,0 sang cơ sở 1   2   3  
v  1,1,1 ;v  1
 ,0,1 ; v  8,5, 4 . 1   2   3   2. Cho 3
x R ,tọa độ của x đối với cơ sở u ,u ,u là x  19, 7  , 
2 .Tìm tọa độ của x đối 1 2 3
với cơ sở v ,v , v . 1 2 3
Cùng 2 câu hỏi như trên với :u  1,1,0 ;u  1, 2,2 ;u  2,3,1 , 1   2   3  
v  1,2,1 ;v  1,2,3 ;v  2,1,4 và x  6,10,7 . 1   2   3  
Bài 15: Trong không gian vectơ
các đa có bậc  2 trên trường số thực 2 P x  R cho hai hệ cơ sở: 2 2 u 1
  x  x ; u 2  x  x ; u 3 2 x  x  2 và  2 v  ;
x v  x 1; v  x  x1 1 2 3  1 2 3
1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở u , u , u sang cơ sở v ,v ,v . 1 2 3 1 2 3 
2. Tìm tọa độ của vectơ (đa thức) p x 2
 x 3x 4 đối với hệ cơ sở  u ,u ,u . 1 2 3
3. Vectơ (đa thức)q  x  có tọa độ đối với cơ sở u , u , u là 1,2;3.Tìm tọa độ của 1 2 3
q  x  đối với cơ sở v ,v ,v . 1 2 3  [GVC.Phan Thi Quản] Trang 7
Đề cương bài giảng chương III: KHÔNG GIAN VECTO [GVC.Phan Thi Quản] Trang 8