CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
DẠNG 1. PHÂN TÍCH MỘT TÍCH PHÂN THÀNH TỔNG CÁC TÍCH
PHÂN CÓ TRONG BẢNG TÍCH PHÂN
1. Bảng tích phân bất định một số hàm sơ cấp
1. ∫ 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶(𝑎 ∈ ℝ)
2. ∫ 𝑥𝑑𝑥 =  + 𝐶, (𝛼 ≠ −1) 
3. ∫  𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶
4. ∫  𝑑𝑥 = −  + 𝐶   
5. ∫ 𝑒𝑑𝑥 = 𝑒 + 𝐶
6. ∫ 𝑎𝑑𝑥 =  + 𝐶, (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)  
7. ∫ sin 𝑥𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
8. ∫ cos 𝑥𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
9. ∫ tan 𝑥𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶
10. ∫ cot 𝑥𝑑𝑥 = ln|sin 𝑥| + 𝐶
11. ∫  = tan 𝑥 + 𝐶
12. ∫  = − cot 𝑥 + 𝐶    
13. ∫  = arcsin 𝑥 + 𝐶
14. ∫  = arcsin  + 𝐶 √ √ 
15. ∫  = arctan 𝑥 + 𝐶
16. ∫  =  arctan  + 𝐶    
17. ∫  =  𝑙𝑛 󰇻󰇻 + 𝐶
18. ∫  =  𝑙𝑛 󰇻󰇻 + 𝐶      
19. ∫  = 𝑙𝑛 𝑥 + √𝑥 + 𝑏 + 𝐶 20. ∫ √𝑥 + 𝑏𝑑𝑥 =  √𝑥 + 𝑏 +  𝑙𝑛 𝑥 + √𝑥 + 𝑏 + 𝐶 √   2. Tính chất
 ∫ 𝑘 ⋅ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, (𝑘 ∈ ℝ).
 ∫ (𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥. BÀI TẬP
Bài 1. Tính 𝐼 = ∫ 23𝑒𝑑𝑥. Bài 2. Tính 𝐼 = ∫   𝑑𝑥.   
Bài 3. Tính 𝐼 = ∫ () 𝑑𝑥. () 
Bài 4. Tính 𝐼 = ∫ √√ 𝑑𝑥. √ 1
Bài 5. Tính 𝐼 = ∫ tan 𝑥𝑑𝑥. Bài 6. Tính 𝐼 = ∫  . √√
Bài 7. Tính 𝐼 = ∫ sin 𝑚𝑥 ⋅ cos 𝑛𝑥𝑑𝑥, (𝑚 ≠ ±𝑛).
Bài 8. Tính 𝐼 = ∫  𝑑𝑥. 
Bài 9. Tính 𝐼 = ∫  𝑑𝑥. 
Bài 10. Tính 𝐼 = ∫ cos 𝑥𝑑𝑥.
Bài 11. Tính 𝐼 = ∫   𝑑𝑥.  
Bài 12. Tính 𝐼 = ∫ sin 8𝑥 ⋅ cos 𝑥𝑑𝑥.
DẠNG 2. TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH BẦNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Đổi biến thuận (biến cũ là hàm của biến mới)
i) Hàm 𝑥 = 𝑥(𝑡) khả vi, đơn điệu và có hàm ngược 𝑡 = 𝑡(𝑥).
ii) ∫ 𝑓[𝑥(𝑡)]𝑥󰆒(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑡) + 𝐶.
Khi đó, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓[𝑥(𝑡)]𝑥󰆒(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹[𝑡(𝑥)] + 𝐶.
2. Đổi biến ngược (biến mới là hàm của biến cũ)
i) Có thể viết 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔[𝜑(𝑥)]𝜑󰆒(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑢)𝑑𝑢 (nếu đặt 𝑢 = 𝜑(𝑥)).
ii) ∫ 𝑔(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐺(𝑢) + 𝐶. Khi đó, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐺[𝜑(𝑥)] + 𝐶. BÀI TẬP
Bài 1. Tính 𝐼 = ∫  𝑑𝑥. √
Bài 2. Tính 𝐼 = ∫  𝑑𝑥  2
Bài 3. Tính 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥. 
Bài 4. Tính 𝐼 = ∫  . √
Bài 5. Tính 𝐼 = ∫  √ √ 𝑑𝑥. √⋅ √
Bài 6. Tính 𝐼 = ∫ √𝑎 − 𝑥𝑑𝑥, (𝑎 > 0). 
Bài 7. Tính tích phân 𝐼 = ∫  𝑑𝑥. √  Bài 8. Tính 𝐼 = ∫  .
 √ 
Bài 9. Tính 𝐼 = ∫  𝑑𝑥. √
Bài 10. Tính 𝐼 = ∫ ( ) 𝑑𝑥. 
Bài 11. Tính 𝐼 = ∫ () 𝑑𝑥. ()
DẠNG 3. TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Công thức tích phân tùng phần
 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −  𝑣𝑑𝑢
2. Các dạng tích phân tùng phần thường gặp
Dạng 1. ∫ ( dathuc × lgiac)𝑑𝑥.
 Đưa lgiac về cùng một cung, sau đó, hạ xuống thành bậc 1.
 Đặt 𝑢 = 𝑑𝑎𝑡ℎ𝑢𝑐; 𝑑𝑣 = lgiac𝑑𝑥. Số lần từng phần bằng số bậc của đa thức.
Dạng 2. ∫ ( dathuc × 𝑚𝑢)𝑑𝑥.
 Đặt 𝑢 = 𝑑𝑎𝑡ℎ𝑢𝑐; 𝑑𝑣 = 𝑚𝑢𝑑𝑥. Số lần từng phần bằng số bậc của đa thức. 3
Dạng 3. ∫ (lgiac × 𝑚𝑢)𝑑𝑥.
 Đưa lgiac về cùng một cung và hạn xuống thành bậc 1 .
 Đặt 𝑢 = lgiac; 𝑑𝑣 = 𝑚𝑢𝑑𝑥 hoặc 𝑢 = 𝑚𝑢; 𝑑𝑣 = lgiac𝑑𝑥. Tiến hành từng phần 2 lần.
Dạng 4. ∫ ( dathuc × log 𝑎)𝑑𝑥.
 Đặt 𝑢 = log 𝑎; 𝑑𝑣 = 𝑑𝑎𝑡ℎ𝑢𝑐𝑑𝑥.
Dạng 5. ∫ ( huuty × log 𝑎)𝑑𝑥.
 𝑢 = log 𝑎; 𝑑𝑣 = huuty 𝑑𝑥.
Dạng6. ∫ ( dathuc × lgiacnguoc )𝑑𝑥.
 Đặt 𝑢 = lgiacnguoc; 𝑑𝑣 = dathucd 𝑥.
Chú ý. Phương pháp từng phần trên chỉ là phương pháp thường dùng cho
một số tích phân đơn giản. Để giải được các bài toán tích phân từng phần
phức tạp hơn cần có sự kết hợp của nhiều phương pháp khác. BÀI TẬP
Bài 1. Tính 𝐼 = ∫ 𝑥𝑒𝑑𝑥.
Bài 2. Tính 𝐼 = ∫ 𝑥 ⋅ cos 2𝑥𝑑𝑥.
Bài 3. Tính 𝐼 = ∫ 2sin 𝑥𝑑𝑥.
Bài 4. Tính 𝐼 = ∫ (𝑥 + 1)log .  𝑥𝑑𝑥
Bài 5. Tính 𝐼 = ∫   𝑑𝑥. ()
Bài 6. Tính 𝐼 = ∫ √𝑥 ⋅ sin √𝑥𝑑𝑥.
Bài 7. Tính 𝐼 = ∫ sin (ln 𝑥)𝑑𝑥.
Bài 8. Tính 𝐼 = ∫ 𝑥 ⋅ arctan 𝑥𝑑𝑥.
Bài 9. Tính 𝐼 = ∫  ( )𝑑𝑥.   4
Bài 10. Tính 𝐼 = ∫ 𝑥√𝑥 + 1𝑑𝑥.
Bài 11. Tính 𝐼 = ∫   𝑑𝑥. 
Bài 12. Tính 𝐼 = ∫ sin 𝑥 ⋅ ln (cos 𝑥)𝑑𝑥.
Bài 13. Tính 𝐼 = ∫ 𝑒 𝑑𝑥.
Bài 14. Tính 𝐼 = ∫ 󰇡  −  󰇢 𝑑𝑥.    
DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HŨU TỈ
1. Tích phân các phân thức hũu tỉ dạng đơn giản
Dạng 1. ∫  =  ln |𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶.   Dạng 2. 𝐴𝑑𝑥 𝐴
 (𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑎(1− 𝛼)⋅ (𝑎𝑥 +𝑏) + 𝐶 (𝛼 ≠ 1,𝑎 ≠ 0,𝐴 ≠ 0). Dạng 3. ∫ 
𝑑𝑥, (𝑝 − 4𝑞 < 0) : Phân tích mẫu số thành tổng hai  bình phương. 𝐴 𝐴
 𝑥 +𝑝𝑥 + 𝑞𝑑𝑥 =   𝑑𝑥
󰇡𝑥 + 𝑝2󰇢 + 4𝑞 − 𝑝 4 2𝐴 2𝑥 + 𝑝 = arctan + 𝐶. 4𝑞 − 𝑝 4𝑞 − 𝑝
Dạng 4. ∫  𝑑𝑥, (𝑝 − 4𝑞 < 0).  (𝐴𝑥 + 𝐵) 𝐴 2𝑥 + 𝑝 𝐴𝑝 𝑑𝑥
∫ 𝑥 +𝑝𝑥 + 𝑞𝑑𝑥 = 2∫ 𝑥 +𝑝𝑥 + 𝑞𝑑𝑥 +𝐵 − 2 ∫ 𝑥 +𝑝𝑥 + 𝑞
=  ln (𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞) +  arctan  + 𝐶.    5 Dạng 5. ∫ 
𝑑𝑥, (𝑝 − 4𝑞 < 0,𝑚 ≥ 2). ()
 Thực hiện phép đổi biến 𝑡 = 𝑥 +  và đặt 𝑎 =  ta có   𝑑𝑡 1 𝐼 1 𝑡
 =  (𝑡 + 𝑎) = 𝑎  󰇧(𝑡 + 𝑎) − (𝑡 + 𝑎)󰇨𝑑𝑡 1 1 𝑡 2𝑡
= 𝑎 𝐼 −𝑎  2 ⋅ (𝑡 +𝑎) 𝑑𝑡
 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt 𝑢 =  và 𝑑𝑣 = 
 ta được kết quả () 2𝑚 − 1 𝑡
𝐼 = 2𝑎(𝑚 −1)𝐼 + 2(𝑚 −1)𝑎(𝑡 + 𝑎). Dạng 6. ∫ 
𝑑𝑥, (𝑝 − 4𝑞 < 0,𝑚 > 1). () 𝐴𝑥 + 𝐵
 (𝑥 +𝑝𝑥 + 𝑞)𝑑𝑥 𝐴 2𝑥 + 𝑝 𝐴𝑝 𝑑𝑥
= 2 (𝑥 +𝑝𝑥 +𝑞) 𝑑𝑥 + 𝐵 − 2  (𝑥 +𝑝𝑥 + 𝑞).
Ở đây 𝑎, 𝑏, 𝐴, 𝐵, 𝑝, 𝑞 là các số thực; 𝑎, 𝐴 ≠ 0.
2. Tích phân các phân thức hũu tỉ dạng tổng quát
Xét tích phân dạng 𝐼 = ∫ ()𝑑𝑥 với 𝑃(𝑥) và 𝑄(𝑥) là hai đa thức theo biến () 𝑥.
 Nếu bậc 𝑃(𝑥) ≥ bậc 𝑄(𝑥) : Chia 𝑃(𝑥) cho 𝑄(𝑥), ta có kết quả
𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) + () với 𝑅(𝑥) là đa thức thương, bậc 𝑃 () (𝑥) < bậc 𝑄(𝑥). ()
 Nếu bậc 𝑃(𝑥) < bậc 𝑄(𝑥) thì ta có thể phân tích thành tổng các ()
phân thức đơn giản như ở trên dựa vào kết quả sau: 6
∘ 𝑄(𝑥) được phân tích thành dạng 𝑄(𝑥) = (𝑥 + 𝑎) … (𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞) với 𝑝 − 4𝑞 < 0.
○ () được phân tích thành tổng các số hạng có dạng: () 𝑃(𝑥) 𝐴 𝐴 𝐴
𝑄(𝑥) = 𝑥 + 𝑎 + (𝑥 + 𝑎) + ⋯ + (𝑥 + 𝑎) 𝐵 𝐵 + ⋯ + 𝑥 + 𝐶 𝑥 + 𝐶
𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞 + ⋯ + (𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞) Các hệ số 𝐴 
, 𝐵, 𝐶(𝑖 = 1, 𝑘, 𝑗 = 1  ,𝑚
 ) tìm bằng phương pháp hệ số bất định. BÀI TẬP Bài 1. Tính 𝐼 = ∫  𝑑𝑥. () Bài 2. Tính 𝐼 = ∫  . 
Bài 3. Tính 𝐼 = ∫  𝑑𝑥.  Bài 4. Tính 𝐼 = ∫ 
() 𝑑𝑥. Bài 5. Tính 𝐼 = ∫  𝑑𝑥. 
Bài 6. Tính 𝐼 = ∫  . 
Bài 7. Tính 𝐼 = ∫  𝑑𝑥.  Bài 8. Tính 𝐼 = ∫  .
()()
Bài 9. Tính 𝐼 = ∫  𝑑𝑥. 
Bài 10. Tính 𝐼 = ∫  𝑑𝑥. () 7
DẠNG 5. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÔ TỈ 
Dạng 1. 𝐼 = ∫ 𝑓 󰇧𝑥, 󰇨 𝑑𝑥.  Đổi biến 𝑡 = 
  để đưa tích phân đã cho về tích phân hữu tỉ  theo 𝑡.  
Dạng 2. 𝐼 = ∫ 𝑓 󰇡𝑥, 𝑥, … , 𝑥 󰇢 𝑑𝑥.
Gọi 𝑘 là bội chung nhỏ nhất của 𝑛, … , 𝑠. Đặt 𝑥 = 𝑡 để đưa tích phân đã cho
về tích phân hữu tỉ theo 𝑡.
Dạng 3. 𝐼 = ∫ 𝑓𝑥, √𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑑𝑥, (𝑎 ≠ 0). Dùng các phép thế Ơle sau:
 Trường hợp 𝑎 > 0 : Đặt √𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑡 ± √𝑎𝑥 để đưa tích phân
đã cho về tích phân hữu tỉ theo 𝑡.
 Trường hợp 𝑐 > 0 : Đặt √𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥𝑡 ± √𝑐 để đưa tích phân
đã cho về tích phân hữu tỉ theo 𝑡.
 Trường hợp 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 có hai nghiệm phân biệt 𝛼, 𝛽 : Đặt
√𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑡(𝑥 − 𝛼) hoặc √𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑡(𝑥 − 𝛽) để đưa
tích phân đã cho về tích phân hữu tỉ theo 𝑡.
Chú ý. Ngoài 3 phép thế Ơle trên ta còn có thể đưa tích phân đã cho về tích
phân lượng giác bằng cách đổi biến số như sau: 
 ∫ 𝑓𝑢, √𝛼 − 𝑢𝑑𝑥 thì đặt 𝑢 = 𝛼sin 𝑡, 󰇡𝑡 ∈ 󰇣− ; 󰇤󰇢.  
 ∫ 𝑓𝑢, √𝑢 − 𝛼𝑑𝑥 thì đặt 𝑢 =  , (𝑡 ∈ (0; 𝜋)).  
 ∫ 𝑓𝑢, √𝑢 + 𝛼𝑑𝑥 thì đặt 𝑢 = 𝛼tan 𝑡, 𝑡 ∈ 󰇡−  ; 󰇢.   8 BÀI TẬP Bài 1. Tính 𝐼 = ∫    .  
Bài 2. Tính 𝐼 = ∫ √ ⋅  𝑑𝑥.  Bài 3. Tính 𝐼 = ∫  . √  √    √ Bài 4. Tính 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥. √
Bài 5. Tính 𝐼 = ∫ √ 𝑑𝑥. √ Bài 6. Tính 𝐼 = ∫  𝑑𝑥. √ Bài 7. Tính 𝐼 = ∫  . √
Bài 8. Tính 𝐼 = ∫ √−𝑥 + 4𝑥 + 5𝑑𝑥.
DẠNG 6. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Tích phân lượng giác 𝐼 = ∫ 𝑓(sin 𝑢, cos 𝑢)𝑑𝑢 có thể đưa được về tích phân
hữu tỉ theo phương pháp đổi biến số như sau:  Phương pháp chung
Đặt 𝑡 = tan  rồi dùng các công thức biến đổi lượng giác sau: 
sin 𝑢 =  ; cos 𝑢 = ; tan 𝑢 =  .     Phương pháp riêng
 Nếu 𝑓(−sin 𝑢, cos 𝑢) = −𝑓(sin 𝑢, cos 𝑢) thì đặt 𝑡 = cos 𝑢.
 Nếu 𝑓(sin 𝑢, −cos 𝑢) = −𝑓(sin 𝑢, cos 𝑢) thì đặt 𝑡 = sin 𝑢.
 Nếu 𝑓(−sin 𝑢, −cos 𝑢) = 𝑓(sin 𝑢, cos 𝑢) thì đặt 𝑡 = tan 𝑢. 9
 Chú ý. Trước khi tính tích phân lượng giác cần phải biến đổi biểu thức
dưới dấu tích phân về cùng một cung. BÀI TẬP Bài 1. Tính 𝐼 = ∫  .
   Bài 2. Tính 𝐼 = ∫  .
     
Bài 3. Tính 𝐼 = ∫   √  𝑑𝑥.  
Bài 4. Tính 𝐼 = ∫ sin 𝑥cos 𝑥𝑑𝑥. Bài 5. Tính 𝐼 = ∫   𝑑𝑥.   
Bài 6. Tính 𝐼 = ∫    𝑑𝑥.   Bài 7. Tính 𝐼 = ∫   𝑑𝑥.
   Bài 8. Tính 𝐼 = ∫   𝑑𝑥.
( √ )
Bài 9. Tính 𝐼 = ∫  ⋅ ( ) 𝑑𝑥.   Bài 10. Tính 𝐼 = ∫  .
 ⋅ 󰇡󰇢 10