Chuyên đề biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Tài liệu gồm 32 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai. Mời bạn đọc đón xem.

Môn:

Toán 9 2.5 K tài liệu

Thông tin:
32 trang 9 tháng trước
Tác giả:
H
Hà Việt Anh
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Tài liệu gồm 32 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai. Mời bạn đọc đón xem.

135 68 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba 67 tài liệu

Môn: Toán 9 2.5 K tài liệu

Thông tin:

32 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
+ Với và thì
+ Với và thì
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
+ Với và thì
+ Với và thì
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
+ Với và thì
4. Trục căn thức ở mẫu
+ Với thì
+ Với và thì
+ Với , và thì
5. Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai
Bước 1. Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai
đơn giản.
Bước 2. Thực hiện phép tính theo thứ tự đã biết.
Để đơn giản hóa việc nhận dạng và xử lý bài toán, các em có thể tham khảo bảng dưới đây
Dạ
ng toán Ví dụ minh họa
Với và thì
Với và thì
Với và thì
*
Với và thì
*
* với
Với thì
*
với
Với thì *
0A 0B
2
A
BAB
0A 0B
2
A
BAB
0A 0B
2
A
BAB
0A 0B
2
A
BAB
.0AB 0B
A
AB
BB
0B
A
AB
B
B
0A
2
A
B
2
CAB
C
AB
AB
0A 0B
A
B
CA B
C
AB
AB
0A 0B
2
A
BAB
2
49.5 7 .5 7 5
0A 0B
2
A
BAB
 
2
3 .13 3 . 13 3 13
0A 0B
2
A
BAB
2
23 2.3 12
0A 0B
2
A
BAB

2
37 3 .7 63
22
.
xy
x
y
x
y
 
0x
.0AB
A
AB
BB
22
5 5.7 35 35
;
77 7 7
x
xy x
yyy

0xy
0B
A
AB
B
B
335
5
5
2.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Với và thì
*
*
Với , và thì
*
*
0A
2
A
B
2
CAB
C
AB
AB


352
3
52
52 52



2
352 352
352
52 1



572
5
72
72 72


2
572 572
72 3


0A 0B
A
B
CA B
C
AB
AB

57 3
5
73
7373

57 3 57 3
73 4




27 5
2
75
7575

27 5 27 5
75
75 2


3.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
B. CÁC DẠNG TOÁN MINH HỌA
I.DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai các dạng cơ bản.
Ví dụ 1.Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:
a)
4 3; 3 5; 5 2; 2 5
; b)
1
15; 2 6; 6 ; 3 2
3
.
Hướng dẫn giải
a) Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta được:
43 48 ; 35 45 ;
52 50
;
25 20
Mà
20 45 48 50
.
Suy ra thứ tự tăng dần là
2 5; 3 5; 4 3; 5 2
.
b) Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta được:
15
;
26 24
;
1
612
3
;
32 18
.
Mà
12 15 18 24.
Suy ra thứ tự tăng dần là
1
6 ; 15; 3 2; 2 6
3
Ví dụ 2.
a) Khử căn thức ở mẫu số:
59
357
A

b) Rút gọn các biểu thức sau: b1) b2)
Hướng dẫn giải
a)



2
5935759357593572151
60 1
215 1
35 7
A
  



3572151A  .
b)
b1) Cách 1: Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn.
Cách 2: Trục căn thức ở mẫu.
b2) Cách 1: Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn.
33
13
14 7
22

331
33
3
13 13




3313
33 33333 23
3
13 2
13
1313





4.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Cách 2: Trục căn thức ở mẫu.
Ví dụ 3. Trục căn thức ở mẫu:
a)
1
252210
; b)
15
10 20 40 5 80
; c)
210
257
.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:

11
25 225 2512




2512
2512
4512



.
b)
15 15 5
10 25 210 5 45 310 35 10 5



510 5
10 5
10 5

.
c)



2
210 2 5 7 210 2 5 7
257
72107
257
 



.
Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức:
a)

3232
32
32 32
A


; b)
23
2
232 23
2
623
B


.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:

32 1 1
5
36 62
33 2 23 2
A



.
b) Ta có:
423 423 2 423
:
22 22 6 26
B






31 31 2 31
:
22 22 6 26
B







721
14 7 7 7. 2 14
2
22 2 2.2
221




2
2
14 7 2 2
14 7 2 14 2 7 28 14
22
2222
22




214 27 27 14 14
42 2


5.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com

31.34 31
31
:
22 26
B





313 34 31
:
22 26
B

3123 3126 31
:.
2
22 26 22 23
B


.
Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau bằng cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a) b) với c) với
Hướng dẫn giải
a) Biểu thức
b) Biểu thức
Vì nên . Do đó: .
c) Biểu thức
Vì nên ; , ta có:
Ví dụ 6. Thực hiện phép tính.
a)
20 2 45 3 80 125A 
;
b)
51 51 1
.34 2.0,2
3
15 3135
B





 

.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
20 2 45 3 80 125A 
25 65 125 55 115A  .
b) Ta có:


2
511 3 5 511 3 5
43 5
.3 2.
35
13 5
B







245.35
2
63a 0a
234
3
29
.
38
x
yab
ab xy
,,, 0abxy
245.35 49.5.5.7
49. 25. 7 7.5. 7 35 7
22 2
63 9.7. 9. 7. 3 7.aa aa
0a
aa
2
63 3 7aa
234 2 24
32
29 2 9..
..
38 34.2...
x
yab xy aab
ab xy ab x y y
224
2
29...
.
3
4. 2 .
x
yaab
ab
x
yy
2
2
3. .
2
.
3
2. 2
ab a
xy
ab
yxy
22
23.
.
3.2. 2
xy a b
a
ab y xy
,,, 0abxy
aa
yy
234
3
29
.
38
x
yab
ab xy
22
23.
..
3.2. 2 2
x
yab a a
bxy
ab y xy xy

6.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
51551355155135 3 5
.2 .
35
23 1
B






215 6 3 5
..
35
23 1
B






10 3. 6 3 2 6 3 3 2.3. 2 3 1
2
1523 1 323 1 3.23 1
B



Ví dụ 7.Rút gọn biểu thức:
35 35
235 235
R


 
Hướng dẫn giải
Cách 1. Mỗi phân thức nhân cả tử và mẫu với
2
, ta được:
32 10 32 10
2 6 25 2 6 25
R




32 10 32 10
251
251
R




32 10 32 10
35 35
R





32 10 3 5 32 10 3 5
3535
R


9 2 310 310 5 2 9 2 310 310 52
95
R

82
22
4
R 
.
Cách 2. Nhân hai vế với
1
2
, ta được:
135 35
.
2
2 6 25 2 6 25
R


 
135 35
.
22 512 51
R



13535
.2
23 53 5
R



Suy ra:
22R
.
Dạng 2.Nâng cao phát triển tư duy
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức:
35 35
10 3 5 10 3 5
P


 
Hướng dẫn giải
7.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Ta có:
32 10 32 10
25 6 25 25 6 25
P


 
32 10 32 10
25 5 1 25 5 1
P


 
32 10 32 10
35 1 35 1
P





32 10 35 1 32 10 35 1
35 1 35 1
P


910 32 152 10 910 32 152 10
45 1
P

24 2 6 2
44 11
P 
.
Ví dụ 2. Thực hiện phép tính:
a)
1
175 2 2
87
A 
; b)
322 322
17 12 2 17 12 2
B



.
Hướng dẫn giải
a)
87
57 22 8 7 57 22
87
A

.
47A
b)

22
3 22 3 22 3 22 3 22
9122 8 9122 8
322 322
B


 


22
11 1 1
322 322
21 21
B 


11
21 21
B 


21 21
2
21
B


.
Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức:
23123 3 3 1
26 262626 2
B







.
Hướng dẫn giải
Ta có:

23126 23.6326 326
2
.
46 2.6 46 2
B




23.6
22 23 23 32 2 6 3.4 2
.
22.622
B



8.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com

23.32
22 6 2
262
B




32.2
22 6 2
222
B


22 6 62 2
2
B

0B
.
Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức:
a)
11
223 223
A 
 
b)
23 23
23 23
T



.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
 
223 223
22 3 22 3
A
 

 
223 223
33
A
 

23 23 423 423
36
A



22
31 31
31 31 23
2
666
A



.
b) Ta có:

22
23 23
43 43
T



2323S 
4S
.
Ví dụ 5. Cho

35
4235
A

và

35
4235
B

. Tính
33
AB
.
Hướng dẫn giải
Ta có:

3555
35 35 35
25 5
45155
4625
A





15 3 5 5 5 5 10 2 5 5 5
20 20 10
A


Ta có:



3555
35 35 35
25 5
55
451
4235
B





15 3 5 5 5 5 10 2 5 5 5
20 20 10
B


.
9.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Suy ra:

5555
5555 5 1
; .
10 10 5 10.10 5
AB AB


 .
Ta có:
 
3
3
33
51545
33..
55525
A B AB ABAB

 



.
Ví dụ 6. Xác định
, ab
biết:
13 17
711
37 11 47 211
ab

.
Hướng dẫn giải
Xét vế trái:

13 3 7 11 17. 4 7 2 11
9.7 11 16.7 4.11



13 3 7 11 17 4 7 2 11
52 4.17


37 11 47 211 7 3
.7 .11
4444


.
Đồng nhất hai vế ta được:
73
;
44
ab
.
Ví dụ 7. Cho
11
2
11
xx
xx


. Với
1; 0xx
.Chứng minh rằng
1
12 2 17
1
x
x

.
Hướng dẫn giải
Ta có:


2
2
11
121 1
22
11 2
xx
xxx
xx x




ĐKXĐ:
0x
2
2
221
211 2.
2
x
xx
x


2
12.1xx
.
Bình phương hai vế, ta được:
22 2
1222.13220xx x x x
.
Vì
0x
nên
22
3220
3
xx
.
Xét

2
22
1
22 3
1223 81229
3
12 2 17
1891
22 22 3
1
3
x
x



.
Điều phải chứng minh.
Ví dụ 8. Tính giá trị biểu thức
53
6Mx x x
tại
32
22 1
x
.
Hướng dẫn giải
Ta có:

32221
72 7
21
81 7
x


2
21 322xx
10.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Ta có:

32
.21322527xxx

523
. 3 22 52 7 292 41xxx
Thay vào biểu thức M ta có:

29 2 41 6 5 2 7 2 1 0MM .
Ví dụ 9. Cho biểu thức:
22
2 1 1 2020
..
31
21 21
11
33
M
x
xx













a) Rút gọn M;
b) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:

22
2 3 3 2020
..
31
32 1 32 1
M
x
xx







2 3 3 2020
..
31
34 4 134 4 1
M
x
xx xx



 

2 3 3 2020
..
31
44 444 4
M
x
xx xx





2 3 1 1 2020
.. .
34 1
11
M
x
xx xx



 


2
1 1 1 2020
..
21
1
xx xx
M
x
xx


2
1 2 2 2020
..
211
x
M
xx x

2
2020
1
M
xx

. TXĐ:
0x
.
b) Ta có:
2
11xx
. Vì
0x
nên
2
2020 2020
2020
11
M
xx


.
Vậy giá trị lớn nhất của M là 2020 khi
0x
.
Ví dụ 10. Cho biểu thức

235723
: 0;4
22 12 3 2 3 6
xx
Axx
xxxxxx







a) Rút gọn A.
b) Tìm x để
21Ax.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:


22 1 3 2 5 7
36
.
23
22 1
xxx
xx
A
x
xx


11.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com


32
423657
.
23
22 1
xx
xxx
A
x
xx




32
23 3
.
2321
22 1
xx
xx
A
xx
xx



b)

3
21 2121213
21
x
Ax x x x x
x


43 10 14 10xx x x
11xx, thuộc tập xác định.
Vậy với
1x
thì 21Ax.
12.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
II.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1. Cho các biểu thức
,AB
mà
.0; 0,AB B³¹
khẳng định nào sau đây là
đúng?
A.
AAB
BB
=
. B.
AAB
BB
=-
. C.
AA
BB
=
. D.
AAB
B
B
=
.
Câu 2. Cho biểu thức với
0A <
và
0B ³
, khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
2
AB A B=
. B.
2
AB A B=-
. C.
2
AB B A=-
. D.
2
AB B A=
.
Câu 3. Đưa thừa số
4
81(2 )y-
ra ngoài dấu căn ta được?
A.
9(2 )y-
. B.
2
81(2 )y-
. C.
2
9(2 )y-
. D.
2
9(2 )y--
.
Câu 4. Đưa thừa số
4
144(3 2 )a+
ra ngoài dấu căn ta được?
A.
4
12(3 2 )a+
. B.
2
144(3 2 )a+
. C.
2
12(3 2 )a-+
. D.
2
12(3 2 )a+
.
Câu 5. Đưa thừa số
5yy
(0)y ³
vào trong dấu căn ta được.
A.
2
5y
. B.
3
25y
. C.
3
5y
. D.
25yy
.
Câu 6. Đưa thừa số
35
x
x
-
(0)x <
vào trong dấu căn ta được.
A.
35x-
. B.
35x--
. C.
35
. D.
2
35
x
.
Câu 7. Đưa thừa số
3
12
5x
x
-
(0)x <
vào trong dấu căn ta được:
A.
300
x
. B.
300
x
-
. C.
300
x
-
-
. D.
60
x
-
-
.
Câu 8. So sánh hai số
53
và
45
A.
53 45>
. B.
53 45=
. C.
53 45
³
. D.
53 45<
.
Câu 9. So sánh hai số
97
và
88
A.
88 97
<
. B.
88 97
=
. C.
88 97
³
. D.
97 88
<
.
Câu 10. Khử mẫu biểu thức sau
22
4
xy
xy
với 0; 0xy>> ta được
A.
4
. B.
xy-
. C.
2
. D.
2
.
Câu 11. Khử mẫu biểu thức sau
2
32
9
2xy
xy
-
-
với 0; 0xy<> ta được:
A.
6 x-
. B.
6 x--
. C.
6 x
. D .
6 x-
.
Câu 12. Khử mẫu biểu thức sau
3
xy
xy
- với 0; 0xy<< ta được
A.
xy
. B.
xy-
. C.
3xy
. D.
3xy-
.
13.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 13. Sau khi rút gọn biểu thức
11
532 532
+
+-
ta được phân số tối giản
a
b
(, )abÎ
. Khi đó
2a
có giá trị
A.
20
. B.
10
. C.
7
. D.
14
.
Câu 14. Sau khi rút gọn biểu thức
22
735 735
+
+-
là phân số tối giản
(, )
a
ab
b
Î . Khi đó
ab+
có giá trị là:
A.
28
. B.
7
. C.
8
. D.
14
.
Câu 15. Rút gọn biểu thức
32 50 2 8 18xxxx+-+
với
0x ³
ta được kết quả là:
A.
82x
. B.
10 2x
. C.
20 x
. D.
210x
.
Câu 16. Rút gọn biểu thức
27 48 4 75 243
xx x x-+ +
với
0x ³
ta được kết quả là:
A.
40 3x
. B.
28 3x
. C.
39 x
. D.
28 x
.
Câu 17. Rút gọn biểu thức
32
5425516 9
aba aab a-+ -
với
0, 0
ab³³
ta được kết quả là:
A.
22a
. B.
4 a
. C.
8 a
. D.
2 a
.
Câu 18. Rút gọn biểu thức
52 2
7 11 36 2 16 25
xyxxxy x+- -
với
0, 0xy³³ ta được kết quả là:
A.
2
258xxyx+
. B.
2
258xxyx-
. C.
2
256xxyx+
. D.
2
12 58xxyx+
.
Câu 19. Giá trị của biểu thức
16 4
236
32775
aa a
--
là
A.
23 3
15
a
. B.
3
15
a
. C.
23
15
a
. D.
33
15
a
.
Câu 20. Rút gọn biểu thức
44
56 5
425
aa
aa
a
+-+
với
0a >
, ta được kết quả là:
A.
12 a
. B.
8 a
. C.
6 a
. D.
10 a
.
Câu 21. Trong căn thức ở mẫu biểu thức
2
2
a
a-
với
0; 4aa³¹
ta được:
A.
24
4
aa a
a
-+
-
. B.
24
4
aa a
a
-
-
. C.
24
4
aa a
a
+
-
. D.
24
4
aa a
a
+
-
-
.
Câu 22. Trục căn thức ở mẫu biểu thức
3
63a+
với
0; 12aa³¹
ta được:
A.
63
12
a
a
+
+
. B.
63
12
a
a
-
+
. C.
63
12
a
a
+
-
. D.
63
12
a
a
-
-
.
Câu 23. Trục căn thức ở mẫu biểu thức
6
2xy+
với 0; 0xy³³ ta được
14.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
A.
()
62
4
xy
xy
-
-
. B.
()
62
2
xy
xy
+
-
. C.
()
62
2
xy
xy
-
-
. D.
()
62
2
xy
xy
+
+
.
Câu 24. Trục căn thức ở mẫu biểu thức
4
32xy+
với
4
0; 0;
9
xyxy³³¹ ta được:
A.
32
94
xy
xy
-
-
. B.
12 8
32
xy
xy
-
+
. C.
12 8
94
xy
xy
+
+
. D.
12 8
94
xy
xy
-
-
.
Câu 25. Tính giá trị của biểu thức
14 7 15 5 1
:
12 13 7 5
æö
÷
--
ç
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
---
èø
.
A.
3-
. B.
2-
. C.
2
. D.
3
.
Câu 26. Tính giá trị biểu thức
10 2 10 30 6 1
:
52 51256
æö
÷
+-
ç
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
+--
èø
A.
28
. B.
14
. C.
14-
. D.
15
.
Câu 27. Giá trị biểu thức
323
62 4
232
+-
là giá trị nào sau đây?
A.
6
6
. B.
6
. C.
6
2
. D.
6
3
.
Câu 28. Cho ba biểu thức
;;PxyyxQxxyy=+ =+
Rxy=-
. Biểu thức nào bằng với biểu thức
()()
xyxy-+
với
,xy
không âm.
A.
P
. B.
Q
. C.
R
. D.
PQ-
.
Câu 29. Cho ba biểu thức
()
2
;Mxy=+
;
xx yy
N
xy
-
=
-
()()
Pxyxy=- +
.
Biểu thức nào bằng với biểu thức
xxyy++
với
,,xyx y¹
không âm
A.
M
. B.
N
. C.
P
. D.
.MN
.
Câu 30. Số nghiệm của phương trình
2
49223xx-= + là:
A.
1
. B.
0
. C.
3
. D.
2
.
Câu 31. Số nghiệm của phương trình
2
916334
xx-= -
là
A.
1
. B. 0 . C.
3
. D.
2
.
Câu 32. Phương trình
21 1
9 9 16 16 27 4
34 81
x
xx
-
-- - + =
có mấy nghiệm?
A.
1
. B. 0 . C.
3
. D.
2
.
Câu 33. Phương trình
2
482 9188
4
x
xx
-
-- + - =
có nghiệm là?
A.
8x =
. B.
4x =
. C.
2x =
. D.
6x =
.
15.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 34. Giá trị của biểu thức
31 1
2
20 60 15
+-
là:
A.
1
. B. 0 . C.
3
. D.
2
.
Câu 35. Rút gọn biểu thức
5
51 523 5
aaa
a+--
+--
ta được:
A.
2a
. B.
a
. C.
3a
. D.
12a
.
16.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
HƯỚNG DẪN
Câu 1. Đáp án A.
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Với các biểu thức
,AB
mà
.0; 0,AB B³¹
0
|
0
|
AB
khi B
AAB
B
ta có
BB
AB
khi B
B
ì
ï
ï
ï
>
ï
ï
==
í
ï
ï
ï
-<
ï
ï
î
Câu 2. Đáp án B.
Với hai biểu thức
,AB
mà 0B ³ ta có
2
|
0
0
|
ABkhiA
AB A B
ABkhiA
³
==
-
ì
ï
ï
ï
í
<
ï
ï
ï
î
.
Câu 3. Đáp án C.
Ta có:
2
422 2
81(2 ) 81. (2 ) (2 ) 81 9(2 )yyyy
éù
-= - =- =-
êú
ëû
.
Câu 4. Đáp án D.
Ta có:
2
42 2 2 2
144(3 2 ) 12 . (3 2 ) 12. (3 2 ) 12(3 2 )aaaa
éù
+= + = +=+
êú
ëû
Câu 5. Đáp án B.
Ta có:
5yy
22 3
(5 ) 25 . 25
yy yy y===
.
Câu 6. Đáp án B.
Ta có:
35
x
x
-
2
35
.35xx
x
-
=- =- -
Câu 7. Đáp án C.
Ta có
3
12
5x
x
-
22
3
12 12 300
(5 ) . 25xx
xx
x
æö
---
÷
ç
÷
=- = =-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 8. Đáp án D.
Ta có
2
5 3 5 .3 25.3 75== =
2
4 5 4 .5 16.5 80
== =
Vì
75 80 75 80 5 3 4 5
< < <
.
Câu 9. Đáp án A.
Ta có
2
97 9.7 81.7 567;== =
2
8 8 8 .8 64.8 512
== =
512 567 512 567 8 8 9 7
< < <
Câu 10. Đáp án D.
Vì
0; 0xy>>
nên
0xy >
. Từ đó ta có
22
22
442
..2xy xy xy
xy
xy
xy
===
.
Câu 11. Đáp án B.
17.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Vì 0; 0xy<> nên ta có:
2
32
9
2xy
xy
-
-
--
=- =-
-
32 2 2
22
32
32
99..
22
()
xy xx y
xy xy
xy
xy
-
--
===--
2
3..
2.3 ( ).
2. 6
xx y
xxy
x
xy xy
.
Câu 12. Đáp án D.
Vì
0; 0xy<<
nên
0xy >
.
Từ đó ta có:
3
3
.3
xy
xy xy xy
xy xy
-=- =-.
Câu 13. Đáp án A.
Ta có
()()()()
()
2
2
1 1 5 3 2 5 3 2 10 10 10
25 18 7
532 532
5 32 5 32 5 32 5 32
532
-+
+= + = ==
-
+-
+- +-
-
Suy ra
10; 7 2 2.10 20ab a====
.
Câu 14. Đáp án C.
Ta có:
()
()()
()
()()
27 3 5 27 3 5
22
735 735
7 35 7 35 7 35 7 35
-+
+= +
+-
+- -+
() ()
22
22
14 6 5 14 6 5 14 6 5 14 6 5 28 7
49 9.5 4 1
735 735
-+-++
=+= ==
-
--
Suy ra
7; 1 7 1 8ab ab==+=+=
.
Câu 15. Đáp án A.
Ta có
32 50 2 8 18xxxx+-+
22 22
16.2 25.2 2 4.2 9.2 4 .2 5 .2 2 2 .2 3 .2
xxxxxx xx=+-+=+- +
42 52 42 32 2(4 5 4 3) 82xxxxx x=+-+= +-+=
.
Câu 16. Đáp án B.
Ta có
27 48 4 75 243
xx x x-+ +
9.3 16.3 4 25.3 81.3xx x x=- + +
22 22
3.3 4.3 4 5.3 9.3
xx xx=-+ +
33 43 4.53 93 3(3 4 20 9) 283xx xxx x=-+ += -++=
Câu 17. Đáp án D.
Ta có:
32
5425516 9
aba aab a-+ -
32 2 2
5425 516. 9.
aab aba a=- + -
32 32
5 4 25. 5 16. 3
aab aba=- + -
()
()
32 33
53 4.5 5.4a a ab ab=-- -
2 a=
Câu 18. Đáp án A.
52 2
7 11 36 2 16 25
xyxxxy x+- -
24 2 2 2 2
7116.24 5
xyxxxxy x=+ - -
22
711.6 2.4. 5xyxxxyx x=+ - -
22
76685xxyxxyxx=+ - -
18.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
()()
22 2
75 66 8 258x x xyx xyx x xyx=-+ - =+
.
Câu 19. Đáp án A.
2
16 4 1 4
23624.3.6.
32775 393253
aa a a a a
--= - -
12
2.4 3. 6. .
33353
aa a
=- -
12 23 23 3 23 3
.8 1 .
35535315
aaaa
æö
÷
ç
÷
=--= = =
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
Câu 20. Đáp án B.
Ta có
44
56 5
425
aa
aa
a
+-+
114
56. 4.5.
425
aaa a
a
=+ - +
22
2
112
56. 2.5.
25
aaa a
a
æö æö
÷÷
çç
÷÷
=+ - +
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èø èø
112
56. 2 5.
25
aaa a
a
=+ - +
532 253228
a
aaa aaaaa a
a
=+- +=+-+=.
Câu 21. Đáp án C.
Ta có
()
()()
22
224
.
4
2
22
aa
aaaa
a
a
aa
+
+
==
-
-
-+
Câu 22. Đáp án D.
Ta có
()
()()
()
()
()
2
2
36 3 36 3 36 3
363
36 3 12
63
6363
63
aaa
a
aa
a
aa
a
---
-
====
--
+
+-
-
.
Câu 23. Đáp án C.
Ta có
6
2xy+
()
()()
()
62 62
2
22
xy xy
xy
xyxy
--
==
-
+-
Câu 24. Đáp án D.
Ta có
4
32xy+
()
()()
()
()()
22
43 2 43 2
12 8
94
3232
32
xy xy
xy
xy
xyxy
xy
--
-
===
-
+-
-
.
Câu 25. Đáp án B.
Ta có
14 7 15 5 1
:
12 13 7 5
æö
÷
--
ç
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
---
èø
2. 7 7 5. 3 5 1
:
12 13 7 5
æö
÷
--
ç
÷
ç
=+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
---
èø
19.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
()()
()
721 531
.7 5
12 13
æö
÷
ç
--
÷
ç
÷
ç
÷
=+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
--
ç
÷
èø
()()
75.75=- - -
()()
()
7575 75 2=- + - =- - =-
.
Câu 26. Đáp án B.
Ta có
10 2 10 30 6 1
:
52 51256
æö
÷
+-
ç
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
+--
èø
100 40 5. 6 5 1
:
52 51 256
æö
÷--
ç
÷
ç
=+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
+--
èø
()()
20 5 2 6. 5 1
1
:
52 51 256
æö
÷
ç
+-
÷
ç
÷
ç
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+--
ç
÷
èø
()()()()
22
25 6 25 6 25 6 20 6 14=+ -= - =-=
Câu 27. Đáp án A.
Ta có
æö
÷
ç
÷
+-= + - = +-=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
3233 663246
62 4 62. 4 6
2322322326
Câu 28. Đáp án C.
() () ()
() () ()()
() () ()()
22
33
22
Pxyyx x y y x xyx y
Qxxyy x y x yx xyy
Rxy x y x y x y
=+= + = +
=+= + =+ -+
=-= - = - +
Vậy
()()
Rxyxy=- +
Câu 29. Đáp án B.
()() ()
22 2
2. 2Mxy x xyyxxyy=+ = + + =+ +
() () ()()
33
xy xyxxyy
xx yy
Nxxyy
xy xy xy
--++
-
== = =++
-- -
()()() ()
22
Pxyxy x yxy=- += - =-
Vậy
Nx xyy
=+ +
.
Câu 30. Đáp án D.
Ta có
2
49223xx-= +
22
494(23) 49812
xxxx-= +-=+
Điều kiện:
3
8120
2
xx+³³-
Với điều kiện trên ta có
2
49812xx-= +
2
49812xx-=+
20.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
22
482104614210
7
270
2
22 3 72 3 0 2()() 7230 ()
230 3
()(
2
)
xx xxx
x
x
xx x x x TM
x
--=+--=
é
ê
=
é
-=
ê
ê
+ - + = - + =
ê
ê
+= -
ê
ê
ë
ê
ë
Vậy phương
trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
73
;
22
xx==-
Câu 31. Đáp án D.
Ta có:
2
916334
xx-= -
22
9169(34) 9162736
xxxx-= --=-
Điều kiện:
4
27 36 0
3
xx-³³
Với điều kiện trên ta có: -= - -= - - +=
222
9 16 27 36 9 16 27 36 9 27 20 0xxxxxx
--+=
2
91512200xxx
33 5 43 5 0 3 43 5 0
4
340
3
()
350 5
() ()(
3
)
()
xx x x x
x
x
TM
x
x
---=--=
é
ê
=
é
-=
ê
ê

ê
ê
-=
ê
ê
ë
=
ê
ë
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
45
;
33
xx== .
Câu 32. Đáp án A.
Điều kiện
990 9 10
16 16 0 16 1 0 1 0 1
1
()
()
10
0
81
xx
xxxx
xx
ì
ï
ï
ì
ï
ï
-³ - ³
ï
ï
ï
ï
ï
ï
-³ -³-³³
íí
ïï
ïï
--³
ïï
ïï
î
³
ï
ï
î
Ta có
21 1
9 9 16 16 27 4
34 81
x
xx
-
-- - + =
21 1
9(1) 16(1)27 .(1)4
34 81
xx x-- -+ -=
21 1
.3 1 .4 1 27. . 1 4
34 9
xx x---+ -=
21 1314xx x
---+-=
414x
-=
11x
-=
11x-=
2( )xTM=
Vậy phương trình có một nghiệm
2x =
.
Câu 33. Đáp án D.
Điều kiện:
()480 4 20
9180 9 20 20 2
24 0
()
20
xx
xxxx
xx
ìì
ïï
-³ - ³
ïï
ïï
ïï
-³ -³-³³
íí
ïï
ïï
-³ -³
ïï
ïï
îî
21.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Ta có:
2
482 9188
4
x
xx
-
-- + - =
() () ()
1
422.2 9.28
4
xxx-- -+-=
1
222. 2328
2
xxx-- -+-=
22 2328xx x
---+-=
428 22 24 6xxxx
-= -=-==
(TM)
Vậy phương trình có một nghiệm
6x =
.
Câu 34. Đáp án B.
Ta có
31 13.2060215
2
20 60 15 20 60 15
+- = +-
360 60 4.4.15 460 460
0.
60 60
+- -
===
Câu 35. Đáp án B.
Ta có
5
51 523 5
aaa
a+--
+--
()
()()
()
()()
()
()()
51 52 3 5
5
51 51 52 52 3 53 5
aaa
a
-++
=+--
-+ -+ +-
()()()
51 52 3 5
5
414
aaa
a
-++
=+--
()()()
51 42 5 3 5 45
4
aaa a-+ + - + -
=
()
518453 545
4
44
a
a
a
-+ + -- -
===
22.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
III.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a) b)
c) với d) với a tùy ý
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn:
a) b)
c) với d) với
Bài 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a) b)
c) d)
Bài 4: So sánh:
a) và b) và
Bài 5: Rút gọn các biểu thức:
a)
b)
c) với
d) với
Bài 6: Giải các phương trình:
a)
b)
c)
d)
Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)
b) với
c) với
d) với
Bài 8: Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn và rút gọn (nếu có thể được):
49.360 500.162
2
125a 0a
2
1
225
3
a
52
25
13
x
x
y
0; 0xy
37
x
x
0x
52;25;23;32
1
27; 6 ; 2 28; 5 7
3
42; 37;37;215 36;27; 39;52
15 14 14 13 105 101 101 97
32 48 18
1
3 27 2 507
3

25 49 64aaa
0a
11
36 54 150
35
bb b
0b
5 12 4 3 2 48 14xx x
1
420 5 9454
3
xx x
3527
1
23
xx
x



2
36 72 15 4 5 2
25
x
xx

331535
2
11aa 11a
33 2 2
ababab
0; 0ab
23
xy
x
yy
 0; 0ab
23.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
a) b) c) d)
Bài 9: Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn và rút gọn (nếu có thể được):
a) với b) với
c) với d) với
Bài 10: Trục căn thức ở mẫu
a) b) c) d) với
Bài 11: Trục căn thức ở mẫu
a) b)
c) d) với ;
Bài 12: Rút gọn các biểu thức sau:
a) b)
c) với d) với
Bài 13: Thực hiện phép tính:
a) b)
c) d)
Bài 14: Giải các phương trình:
a) b)
c) d)
Bài 15: Tính giá tr
ị của các biểu thức sau:
a) với b) với
c) với
3
7
7
20
11
12

2
32
3
y
xy
x
0; 0xy
3
3
35
x
0x
3
5
49
a
b
0; 0ab
3
7
xy
x
y
0; 0xy
23
36
1
23
1
22 33
1 a
a
0a
51
51
37
723
210 5
410
1
2
a
a
0a 4a
560.315
15 50.2 18

2
27 3 5
x
xy
x
y
0; 0xy
2
2
44
x
xx

2x
11
3232

22
32 4 32 4

53 53
53 53


33
22 33 22 33

21 21x  3113 2x 
532x  38 3 5x 
2
14
1
x
x
x

2x
2
4
1
x
yxy
xy

2
1
x
y
32 23 4
22
2
.
2
x
yxy xy xy
yxxyy


2
1
x
y
24.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a) Biểu thức
Vậy biểu thức có giá trị là
b) Biểu thức
Vậy biểu thức có giá trị là
c) Biểu thức
với nên . Vậy
d) Biểu thức
Vậy biểu thức có giá trị là
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn:
a)
b)
c) với
d) với
Bài 3: Sắp xếp theo th
ứ tự tăng dần:
a) Ta có:
Vì
Do đó:
b)
Vì
Do đó:
c) Ta có:
Vì
Do đó:
d) Ta có:
Vì
Do đó:
Bài 4: So sánh:
49.360 49.36.10
49. 36. 10 7.6. 10 42 10
42 10
500.162 100.5.81.2
100. 81. 10 10.9. 10 90 10  
90 10
222
125 25.5. 25. . 5 5 . 5aaaa
0a aa
2
125 5 5aa
22
11 1
225 225. .15. 5
33 3
aaaa
5 a
2
52 5.2 50
2
25 2.5 20
2
13 13 13
.
x
xx
x
yxyy

0; 0xy
2
37 37
.37
x
xx
xx

  0x
5 2 50; 2 5 20; 2 3 12; 3 2 18
12 18 20 50
23 32 25 52
1
27; 6 12; 2 28 112; 5 7 175
3

12 27 112 175
1
62722857
3

4 2 32; 37; 3 7 63; 2 15 60
32 37 60 63
42 37 215 37
3 6 54; 2 7 28; 39; 5 2 50
28 39 50 54
27 39 52 36
25.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
a) và
Ta có:
*
*
Vì
Vậy
b) và
Ta có:
Vì
Vậy
Bài 5: Rút gọn các biểu thức:
a) Biểu thức
15 14 14 13

15 14 15 14
15 14
15 14



22
15 14
15 14
15 14 15 14


1
15 14
14 13 14 13
14 13
14 13



22
14 13
14 13
14 13 14 13


1
14 13
11
15 14 14 13
15 14 14 13


15 14 14 13
105 101 101 97

105 101 105 101
105 101
105 101


22
105 101
105 101
105 101 105 101


4
105 101
101 97 101 97
101 97
101 97


22
101 97
101 97
101 97 101 97


4
101 97
11
105 101 101 97
105 101 101 97


105 101 101 97
32 48 18 32 4.22 32
32 82 32 82
26.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Biểu thức rút gọn là:
b) Biểu thức
Biểu thức rút gọn là:
c) Biểu thức
với
Biểu thức rút gọn là:
d) Biểu thức
với
Biểu thức rút gọn là:
Bài 6: Giải các phương trình:
a)
Điều kiện:
Phương trình biến đổi về dạng:
(thỏa mãn điều kiện)
b)
Điều kiện:
(thỏa mãn đ
iều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
c)
Điều kiện:
82
11
3 27 2 507 3 .3 3 2.13 3
33

33263263
26 3
25 49 64 5 7 8aaaaaa
578 4aa
0a
4 a
11 1 1
36 54 150 6 .3 6 .5 6
35 3 5
bb bb a b
6666bbb b 
0b
6 b
5 12 4 3 2 48 14xx x
0x
5 12 4 3 2 48 14xx x
10 3 4 3 8 3 14xxx
10 4 8 3 14x
14 3 14x
1
3131
3
xxx
1
420 5 9454
3
xx x
5x
11
420 5 94542 5 5 .3 54
33
xx x xx x
254x
52 54 9xxx
9x
3527
1
23
xx
x


0x
3527
1
23
xx
x


33 5 22 7
1
6
xx
x


33 5 22 7 6 1xxx
27.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
d)
Điều kiện:
Ta có: Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) Biểu thức
b) Biểu thức
với
c) Biểu thức với
d) với
91541466xx x
94615146xxx
5x
525xx
25x

2
36 72 15 4 5 2
25
x
xx

2x

2
36 72 15 4 5 2
25
x
xx

1
6 2 15. 2 20 4 2
5
xx x
62324220xxx
220x
220x
220;200xVTx VP

331535 331 533
331 5.331

3311 5

2
11 1 11aa a aa 
111aa
11a
33 2 2
ababab
0; 0ab
32 23
aab abb
22 22
aa b ba b
 
aa b ba b


ab a b

ababab
2
abab
23
xy
x
yy

0; y 0x 
x
yyxyy
28.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 8: Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn và rút gọn (nếu có thể được):
a) Biểu thức
b) Biểu thức
c) Biểu thức
d) Biểu thức
Bài 9: Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn và rút gọn (nếu có thể được):
a) Biểu thức
với
b) Biểu thức với
c) Biểu thức với
d) Biểu th
ức
với
Bài 10: Trục căn thức ở mẫu
a)
b)
c)

x
yxyyxy

x
yxyy
333.721
77
77.7

7777.535
20 10
20 2 5 2 5. 5

11 11 11 11. 3 33
12 6
12 23 23.3



2
2
32
32
3
3
323
32
36
3
33.3

2
1
.
yxy
x
yxy xyxy
xx x

1
.
x
yxyyxy
x
  0; 0xy
32
2
33.x.35
. 105 . 105
35 35 35 35
x
xx x
x
x


0x
32
2
55.
.5 .5
49 49 7 7
a
aaab a
ab ab
bbb b

0; 0ab

2
33 1
77 7.3
xy
x
yxy xyxy
xy xy
xy


1
7. 3 73
x
yxyxy
xy

0; 0xy

236
23 26182632
18 18
36 36.6



123
23
2323


22
23 23
32
1
23



12233
22 33
22 33 22 33

29.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
d) với
Bài 11: Trục căn thức ở mẫu
a) Biểu thức
b) Biểu thức
c) Biểu thức
d) Biểu thức
với ;
Bài 12: Rút gọn các biểu thức sau:
a) Biểu thức
b) Biểu thức
c) Biểu thức với và
d) Biểu thức với

22
22 33 22 33
827
22 33


22 33
19
1
1
.
aa
aaa
a
aaa


0a

51 51
51
51
51 51



2
2
51
625 3 5
42
51




37 7 2 3
37
723
723723


2
2
37 7 2 3 37 7 2 3
723
37
723



210 5 4 10
210 5
410
410410


2
2
810 20 20 510 310 10
62
410



12
1
2
22
aa
a
a
aa



2
2
22 23
4
2
aaa aa
a
a


0a 4a
5 60.3 15 15 60.15 4.15.15 2.15 1
2.10.3 2
15 50.2 18 30 50.18 2 50.2.9

 
2
27 3 5 3 3. 3 5 3 3. 5 3
xx y
xxy
x
xy xy


0; 0xy
xy

22
222
2
44
2
xxx
x
xx
x



2x
30.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Nếu thì , ta có:
Nếu thì , ta có:
Bài 13: Thực hiện phép tính:
a) Biểu thức
Vậy biểu thức có giá trị là:
b) Biểu thức
Vậy biểu thức có giá trị là: 8
c) Biểu thức
Vậy biểu thức có giá trị là: 8
d) Biểu thức
Vậy biểu thức có giá trị là:
Bài 14: Giải các phương trình:
a) Điều kiện:
Biến đổi phương trình về dạng:
(thỏa mãn
điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là:
2x

22xx

2
222
1
22
44
xxx
xx
xx




2x
22xx
2
222
1
22
44
xxx
xx
xx





113232
3232
3232





2
2
666
92 7
32

6
7

23 2 4 23 2 4
22
32 4 32 4
32 4 32 4





2
2
62 8 62 8 16
8
18 16
32 4




22
53 53
53 53
53 53
5353






22
5 2 15 3 5 2 15 3 16 16
8
53 2
53



22 33 22 33
33
3.
22 33 22 33
22 33 22 33









22
63 63 183
3. 3.
827 19
22 33










18 3
19
1
2
x
2
21 2121 21xx
21322x
22x
22x 
31.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
b) Điều kiện:
Biến đổi phương trình về dạng:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là:
c) Điều kiện:
Ta có: với mọi giá trị của thì
Suy ra, phương trình vô nghiệm.
d) Điều kiện:
Biến đổi phương trình về dạng:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là:
Bài 15: Tính giá trị của các biể
u thức sau:
a) Biểu thức
Với , thay vào biểu thức đã rút gọn ta được:
Vậy biểu thức có giá trị là khi
b) Biểu thức
Với , thay vào biểu thức đã rút gọn ta được:
Vậy biểu thức có giá trị là khi
c) Biểu thức
Với , thay vào biểu thức đã rút gọn ta được:
11
3
x

2
3113 2 3113 2xx
3111162 22xx
22x
5x 
5x 
50, 320VT x VP 
532x 
38x 
2
38 3 5 38 3 5xx
38 14 6 5 24 6 5xx
24 6 5x 
22
1412 4
11
x
xxxx
xx


 
22
12 1
1
11
xx x
x
xx



2x
112x
12 2x
  
222
424
11
x
yxyxxyyxy
xy xy


 
222
2
11
x
xy y x y
x
yxy



2
1
x
y
22
21
12
12 12
xy


12
2
1
x
y
32 23 4
22
2
.
2
x
yxy xy xy
yxxyy




22 2
22
2
..
2
xy x xy y
xy xy
yx xx y
yxxyy y




2
1
x
y
22 1 32xx y
32.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Vậy biểu thức có giá trị là khi
------------------------- Toán Học Sơ Đồ -------------------------
32
2
1
x
y
| 1/32

Tài liệu khác của Toán 9

Preview text:


CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
+ Với A  0 và B  0 thì 2 A B A B
+ Với A  0 và B  0 thì 2 A B   A B
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
+ Với A  0 và B  0 thì 2 A B A B
+ Với A  0 và B  0 thì 2 A B   A B
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn + Với .
A B  0 và B A AB 0 thì B B
4. Trục căn thức ở mẫu A A B + Với B  0 thì B B
C A B C
+ Với A  0 và 2 A B thì 2 A B A B
C A B C
+ Với A  0 , B  0 và A B thì A B A B
5. Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai
Bước 1. Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai đơn giản.
Bước 2. Thực hiện phép tính theo thứ tự đã biết.
Để đơn giản hóa việc nhận dạng và xử lý bài toán, các em có thể tham khảo bảng dưới đây Dạng toán Ví dụ minh họa
Với A  0 và B  0 thì 2 A B A B 2 49.5  7 .5  7 5 2
Với A  0 và B  0 thì 2
A B   A B  3   .13   3  . 13  3 13 Với A  0 và B  0 thì 2 A B A B * 2 2 3  2 .3  12 *     2 3 7 3 .7   63
Với A  0 và B  0 thì 2
A B   A B * 2 2
x y   x .y   x y với x  0 5 5.7 35 35 x xy x *    ;   Với . A B A AB 0 thì  2 2 7 7 7 7 y y y B B với xy  0 A A B Với B  0 thì  3 3 5 *  B B 5 5
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 3 5  2 3  *  5  2  52 52
3 5  2 3 5  2    3 5  2 2  
C A B C  5  2 1 Với A  0 và 2 A B thì  2 A B A B 5 7  2 5  *  7  2  7 2 7 2
5 7  2 5 7  2   2 7  2 3 5 7  3 5  *  7  3  7  3 7  3
5 7  3 5 7  3
Với A  0 , B  0 và A B thì   7  3 4
C A B C   2 7  5 2  A B A B *  7  5  7  5 7  5
2 7  5 2 7  5    7  5 7  5 2
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
B. CÁC DẠNG TOÁN MINH HỌA I.DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai các dạng cơ bản.
Ví dụ 1.Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: 1 a) 4 3; 3 5; 5 2; 2 5 ; b) 15; 2 6; 6 ; 3 2 . 3
Hướng dẫn giải
a) Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta được: 4 3  48 ; 3 5  45 ; 5 2  50 ; 2 5  20 Mà 20  45  48  50 .
Suy ra thứ tự tăng dần là 2 5; 3 5; 4 3; 5 2 .
b) Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta được: 15 ; 2 6  24 ; 1 6  12 ; 3 2  18 . 3 Mà 12  15  18  24 . 1
Suy ra thứ tự tăng dần là 6 ; 15; 3 2; 2 6 3 Ví dụ 2. 59
a) Khử căn thức ở mẫu số: A  3  5  7 3  3 14  7
b) Rút gọn các biểu thức sau: b1) b2) 1 3 2  2
Hướng dẫn giải a)
59 3  5  7 59 3  5  7 59 3  5  72 15   1 A     3  52 2 15 1 60 1  7
A   3  5  7 2 15   1 . b)
b1) Cách 1: Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn. 3  3   1 3 3   3 1 3 1 3
Cách 2: Trục căn thức ở mẫu.  3 31 3 3 3  33 3 33 2 3     3 1 3 1 31 3 1 3 2 
b2) Cách 1: Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn.
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 7  2   1 14 7 7 7. 2 14     2  2 2  2   1 2 2. 2 2
Cách 2: Trục căn thức ở mẫu.   14  72 2 14 7  2 14 2 7  28 14   2  2 2 22 2 2   22 2 2 14  2 7  2 7  14 14   4  2 2
Ví dụ 3. Trục căn thức ở mẫu: 1 15 2 10 a) ; b) ; c) . 2  5  2 2  10 10  20  40  5  80 2  5  7 Hướng dẫn giải 1 1 a) Ta có:  
2  5   2 2  5 2  51 2 2 51 2   2  51 2  . 4  51 2 15 15 5 b)  
10  2 5  2 10  5  4 5 3 10  3 5 10  5 5 10  5   10  5 . 10  5
2 10  2  5  7  2 10  2  5  7 c)  .     2  5  7 2 7  2 10  7 2 5  7
Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức:  2  3 3  2  3  2 a) A  ; b) 2 B  . 3 2  2  3 2 2  3   3  2 3  2 2 6 2 3 Hướng dẫn giải 3  2 1 1 a) Ta có: A    .
3  3  2  2  3  2 3 6  6  2 5 4 2 3  4 2 3 2 4 2 3     b) Ta có: B  :     2 2  2 2 6 2 6    3 1  3 1 2 3 1 B  :     2 2  2 2 6 2 6   
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com  
 3 1. 34 31 3 1 B :    2 2  2 6   
3 1 3  3  4  3 1 B  : 2 2 2 6 3 1 2 3 3 1 2 6 3 1 B  :  .  . 2 2 2 6 2 2 2 3 2
Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau bằng cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn: 2 3 4 2xy 9a b a) 245.35 b) 2
63a với a  0 c) . với
a,b, x, y  0 3 3ab 8xy
Hướng dẫn giải a) Biểu thức 245.35  49.5.5.7
 49. 25. 7  7.5. 7  35 7 b) Biểu thức 2 2 2
63a  9.7.a  9. 7. a  3 7. a
Vì a  0 nên a  a . Do đó: . 2 63a  3  7a 2 3 4 2 2 4 2xy 9a b 2xy 9a . . a b c) Biểu thức .  . 3 2 3ab 8xy 3ab 4.2. . x y .y 2 2 4 2xy
9. a . a. b  . 2 3ab 4. 2xy. y 2 2
2xy 3. a b . a  .
3ab 2. y 2xy 2 2 2xy 3. a b a  . 3 . ab 2. y 2xy 2 3 4 2xy 9a b
Vì a,b, x, y  0 nên a a ; y y , ta có: . 3 3ab 8xy 2 2 2xy 3.ab a a  .  bxy. 3 . ab 2.y 2xy 2xy
Ví dụ 6. Thực hiện phép tính.
a) A  20  2 45  3 80  125 ;  5 1 5 1   1  b) B    . 3  4  2. 0,2  . 1 5 3 1 3 5   3         
Hướng dẫn giải
a) Ta có: A  20  2 45  3 80  125
A  2 5  6 5 12 5  5 5  1  1 5 .
 5 11 3 5 5 11 3 5  4 3  5 b) Ta có: B     . 3   2. 2  3  5 1 3  5  
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
5  15  5 1 3  5  5  15  5 1 3  5  3  5 B  . 2  . 2 3 1  3   5   2 15 6  3 5 B  . . 2 3 1 3 5
10 3.6  3 26 3 3 2.3.2 3   1 B              2 15 2 3 1 3 2 3 1 3. 2 3 1 3  5 3  5
Ví dụ 7.Rút gọn biểu thức: R   2  3  5 2  3  5
Hướng dẫn giải
Cách 1. Mỗi phân thức nhân cả tử và mẫu với 2 , ta được: 3 2  10 3 2  10 R   2  6  2 5 2  6  2 5 3 2  10 3 2  10 R   2  5 1 2   5   1 3 2  10 3 2  10 R   3  5 3  5
3 2  103 53 2  103 5 R   3  5 3 5
9 2  3 10  3 10  5 2  9 2  3 10  3 10  5 2 R  9  5 8 2 R   2 2 . 4 1
Cách 2. Nhân hai vế với , ta được: 2 1 3  5 3  5 . R   2 2  6  2 5 2  6  2 5 1 3  5 3  5 . R   2 2  5 1 2  5 1 1 3  5 3  5 . R    2 2 3  5 3  5 Suy ra: R  2 2 .
Dạng 2.Nâng cao phát triển tư duy 3  5 3  5
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức: P   10  3  5 10  3  5 Hướng dẫn giải
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 3 2  10 3 2  10 Ta có: P   2 5  6  2 5 2 5  6  2 5 3 2  10 3 2  10 P   2 5  5 1 2 5  5 1 3 2  10 3 2  10 P   3 5 1 3 5 1
3 2  103 5 13 2  103 5 1 P   3 5   1 3 5   1
9 10  3 2 15 2  10  9 10  3 2 15 2  10 P  45 1 24 2 6 2 P   . 44 11
Ví dụ 2. Thực hiện phép tính: 1 3  2 2 3  2 2 a) A   175  2 2 ; b) B   . 8  7 17 12 2 17 12 2 Hướng dẫn giải 8  7 a) A
 5 7  2 2  8  7  5 7  2 2 . 8  7 A  4 7 3  2 2 3  2 2 3  2 2 3  2 2 b) B     9 12 2  8 9 12 2  8 32 22 32 22 1 1 1 1 B     3  2 2 3  2 2  2  2 1  2  2 1 1 1 B   2 1 2 1 2 1  2   1  B   2 . 2 1 2  3 1 2  3  3 3  1
Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức: B       . 2 6 2 6  2 6 2 6     2   Hướng dẫn giải Ta có:
 2  3 12 6  2  3. 6 32 6 32 6 2 B   .  4  6 2.6 4  6 2       2  3. 6 2 2 2 3 2 3 3 2 2 6 3.4 2 B   .  2  2.6 2  2
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com     2  3.3 2 2 2 6 2 B    2  6  2    3 2. 2 2 2 6 2 B    2 2 2
2  2  6  6  2  2 B  2 B  0 .
Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức: 1 1 2  3 2  3 a) A   b) T   . 2  2  3 2  2  3 2  3 2  3 Hướng dẫn giải 2  2  3 2  2  3 a) Ta có: A   2  2  3 2  2  3 2  2  3 2  2  3 A    3 3 2  3  2  3 4  2 3  4  2 3 A   3 6   2    2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 A     2 . 6 6 6   2   2 2 3 2 3 b) Ta có: T   4  3 4  3
S  2  3  2  3 S  4 . 3  5 3  5
Ví dụ 5. Cho A  và B  . Tính 3 3 A B . 4  23 5 4  23 5 Hướng dẫn giải    3 55 5 3 5 3 5 3 5  Ta có: A     4  6  2 5 4  5 1 5  5 25  5
15  3 5  5 5  5 10  2 5 5  5 A    20 20 10    3 55 5 3 5 3 5 3 5  Ta có: B    
4  23 5 4  5   1 5  5 25  5
15  3 5  5 5  5 10  2 5 5  5 B    . 20 20 10
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com   5 55 5 5 5 5 5 5  1
Suy ra: A B    ; . A B   . 10 10 5 10.10 5 3  5  1 5 4 5
Ta có: A B   A B3 3 3
 3AB A B     3. .   . 5  5 5 25   13 17
Ví dụ 6. Xác định a, b biết: 
a 7  b 11 . 3 7  11 4 7  2 11 Hướng dẫn giải
133 7  11 17.4 7  2 11 Xét vế trái:  9.7 11 16.7  4.11
133 7  11 174 7  2 11   52 4.17 3 7  11 4 7  2 11 7 3    . 7  . 11 . 4 4 4 4 7 3
Đồng nhất hai vế ta được: a  ;b   . 4 4
1 x  1 x x 1 Ví dụ 7. Cho  2 . Với x 1;
x  0 .Chứng minh rằng  12 2 17 .
1 x  1 x x 1 Hướng dẫn giải
  x  x2 2 1 1
1 x  2 1 x 1 x Ta có:   
x    x 2 2 1 1 2x ĐKXĐ: x  0 2 2  2 1 x 2 
 2  1 1 x  2.x 2x 2
 1 x  2.x 1.
Bình phương hai vế, ta được: 2 2 2
1 x  2x  2 2.x 1  3x  2 2x  0 . 2 2
Vì x  0 nên 3x  2 2  0  x  . 3 2 2 1 x   3  2 2 3 1 2 2 3 2 812 2 9 Xét      12 2 17 . x 1 2 2 2 2  3 8  9 1  1 3 Điều phải chứng minh. 3  2
Ví dụ 8. Tính giá trị biểu thức 5 3
M x  6x x tại x  . 2 2 1 Hướng dẫn giải
3 22 2  1 7 2 7 Ta có: x    2 1 8 1 7 2
x  2 1 x  3 2 2
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Ta có: 3 2 x  . x x   2  
1 3 2 2  5 2  7 5 2 3
x x .x  3 2 25 2  7  29 2  41
Thay vào biểu thức M ta có:
M  29 2  41 65 2  7  2 1 M  0.     2  1 1  2020
Ví dụ 9. Cho biểu thức: M  .  .  2 2 3         x 1 2 x 1 2 x 1  1   1    3 3        a) Rút gọn M;
b) Tìm giá trị lớn nhất của M. Hướng dẫn giải   2  3 3  2020 a) Ta có: M  .  3      x   . 2   x   2 x1 3 2 1 3 2 1  2  3 3  2020 M  .  . 3  
3  4x  4 x 1 3  4x  4 x 1 x 1 2  3 3  2020 M  .  . 3  
4x  4 x  4 4x  4 x  4 x 1 2 3  1 1  2020 M  . .  . 3 4  
x x 1 x x 1 x 1
1 x x 1 x x 1 2020 M  . . 2 x  2 1  x x 1 1 2x  2 2020 M  . . 2
2 x x 1 x 1 2020 M  . TXĐ: x  0 . 2 x x 1 b) Ta có: 2
x x 1  1. Vì x  0 2020 2020 nên M    2020 . 2 x x 1 1
Vậy giá trị lớn nhất của M là 2020 khi x  0 .  2 3 5 x  7  2 x  3
Ví dụ 10. Cho biểu thức A      :
x  0; x  4 
x 2 2 x 1 2x 3 x 2      3x  6 x   a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A  2 x 1. Hướng dẫn giải 22 x  
1  3 x  2 5 x  7 3x  6 x a) Ta có: A  
x  22 x   . 1 2 x  3
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 3 x x   x   x   x 2 4 2 3 6 5 7  A  
x  22 x   . 1 2 x  3 3 x x   x 2 2 3  3 x A   
x  22 x  . 1 2 x  3 2 x 1 3 x
b) A  2 x 1 
 2 x 1  2 x   1 2 x   1  3 x 2 x 1
 4x  3 x 1  0   x   1 4 x   1  0
x 1  x 1, thuộc tập xác định.
Vậy với x  1 thì A  2 x 1.
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
II.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1. Cho các biểu thức , A B mà .
A B ³ 0;B ¹ 0, khẳng định nào sau đây là đúng? A AB A AB A A A AB A. = . B. = - . C. = . D. = . B B B B B B B B
Câu 2. Cho biểu thức với A < 0 và B ³ 0 , khẳng định nào sau đây là đúng? A. 2
A B = A B . B. 2 A B = A - B . C. 2 A B = B - A . D. 2 A B = B A .
Câu 3. Đưa thừa số 4
81(2 - y) ra ngoài dấu căn ta được? A. 9(2 - y) . B. 2 81(2 - y) . C. 2 9(2 - y) . D. 2 -9(2 - y) .
Câu 4. Đưa thừa số 4
144(3 + 2a) ra ngoài dấu căn ta được? A. 4 12(3 + 2a) . B. 2
144(3 + 2a) . C. 2 -12(3 + 2a) . D. 2 12(3 + 2a) .
Câu 5. Đưa thừa số 5y y (y ³ 0) vào trong dấu căn ta được. A. 2 5y . B. 3 25y . C. 3
5y . D. 25y y . -35
Câu 6. Đưa thừa số x
(x < 0) vào trong dấu căn ta được. x A. -35x . B. - -35x . C. 35 . D. 2 35x . 12 -
Câu 7. Đưa thừa số 5x
(x < 0) vào trong dấu căn ta được: 3 x 300 -300 -300 -60 A. . B. . C. - . D. - . x x x x
Câu 8. So sánh hai số 5 3 và 4 5 A. 5 3 > 4 5 . B. 5 3 = 4 5 . C. 5 3 ³ 4 5 . D. 5 3 < 4 5 .
Câu 9. So sánh hai số 9 7 và 8 8 A. 8 8 < 9 7 . B. 8 8 = 9 7 . C. 8 8 ³ 9 7 . D. 9 7 < 8 8 . 4
Câu 10. Khử mẫu biểu thức sau xy
với x > 0;y > 0 ta được 2 2 x y A. 4 . B. xy - . C. 2 . D. 2 . -9
Câu 11. Khử mẫu biểu thức sau 2 -2x y
với x < 0;y > 0 ta được: 3 2 x y A. -6 x . B. -6 x - .
C. 6 x . D . -6 x . 3
Câu 12. Khử mẫu biểu thức sau xy -
với x < 0;y < 0 ta được xy
A. xy . B. xy - .
C. 3xy . D. - 3xy .
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 1 1 a
Câu 13. Sau khi rút gọn biểu thức +
ta được phân số tối giản (a,b Î )
. Khi đó 2a 5 + 3 2 5 - 3 2 b có giá trị A. 20 . B. 10 . C. 7 . D. 14 . 2 2
Câu 14. Sau khi rút gọn biểu thức + là phân số tối giản 7 + 3 5 7 - 3 5
a (a,b Î )
. Khi đó a +b có giá trị là: b A. 28 . B. 7 . C. 8 . D. 14 .
Câu 15. Rút gọn biểu thức 32x + 50x - 2 8x + 18x với x ³ 0 ta được kết quả là:
A. 8 2x . B. 10 2x .
C. 20 x . D. 2 10x .
Câu 16. Rút gọn biểu thức 27x - 48x + 4 75x + 243x với x ³ 0 ta được kết quả là: A. 40 3x . B.28 3x .
C. 39 x . D. 28 x .
Câu 17. Rút gọn biểu thức 3 2
5 a - 4b 25a + 5a 16ab - 9a với a ³ 0,b ³ 0 ta được kết quả là:
A. 2 2a . B. 4 a . C. 8 a . D. 2 a .
Câu 18. Rút gọn biểu thức 5 2 2
7 x + 11y 36x - 2x
16xy - 25x với
x ³ 0,y ³ 0 ta được kết quả là: A. 2
2 x + 58x y x . B. 2 2 x - 58x y x . C. 2 2 x + 56x y x . D. 2
12 x + 58x y x . 16a a 4a
Câu 19. Giá trị của biểu thức 2 - 3 - 6 là 3 27 75 23 3a 3a 23 a 3 3a A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 a 4 4a
Câu 20. Rút gọn biểu thức 5 a + 6 - a + 5
với a > 0 , ta được kết quả là: 4 a 25
A. 12 a . B. 8 a . C. 6 a . D. 10 a . 2a
Câu 21. Trong căn thức ở mẫu biểu thức
với a ³ 0;a ¹ 4 ta được: 2 - a -2a a + 4a 2a a - 4a 2a a + 4a 2a a + 4a A. . B. . C. . D. - . 4 - a 4 - a 4 - a 4 -a 3
Câu 22. Trục căn thức ở mẫu biểu thức
với a ³ 0;a ¹ 12 ta được: 6 + 3a 6 + 3a 6 - 3a 6 + 3a 6 - 3a A. . B. . C. . D. . 12 + a 12 + a 12 - a 12 - a 6
Câu 23. Trục căn thức ở mẫu biểu thức
với x ³ 0;y ³ 0 ta được x + 2y
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 6( x - 2y) 6( x + 2y) 6( x - 2y) 6( x + 2y) A. . B. . C. . D. . x - 4y x - 2y x - 2y x + 2y 4 4
Câu 24. Trục căn thức ở mẫu biểu thức
với x ³ 0;y ³ 0;x ¹ y ta được: 3 x + 2 y 9 3 x - 2 y 12 x - 8 y 12 x + 8 y 12 x - 8 y A. . B. . C. . D. . 9x - 4y 3x + 2y 9x + 4y 9x - 4y æç 14 - 7 15 - 5 ö÷ 1
Câu 25. Tính giá trị của biểu thức ç ÷ + ç ÷ : . ç ÷ çè 1- 2 1 - 3 ÷ø 7 - 5 A. -3 . B. -2 . C. 2 . D. 3 . æç10 + 2 10 30 - 6 ö÷ 1
Câu 26. Tính giá trị biểu thức ç ÷ + ç ÷ : ç ÷ çè 5 + 2 5 - 1 ÷ø 2 5 - 6 A. 28 . B. 14 .
C. -14 . D. 15 . 3 2 3
Câu 27. Giá trị biểu thức 6 + 2 - 4
là giá trị nào sau đây? 2 3 2 6 6 6 A. . B. 6 . C. . D. . 6 2 3
Câu 28. Cho ba biểu thức P = x y + y x ;Q = x x + y y;
R = x - y . Biểu thức nào bằng với biểu thức ( x - y )( x + y )
với x,y không âm. A. P . B. Q . C. R .
D. P -Q .
Câu 29. Cho ba biểu thức x x - y y
M = ( x + y)2 ; N =
; P = ( x - y )( x + y ). x - y
Biểu thức nào bằng với biểu thức x + xy + y với x,y,x ¹ y không âm A. M . B. N . C. P . D. M.N .
Câu 30. Số nghiệm của phương trình 2
4x - 9 = 2 2x + 3 là: A. 1 . B. 0 . C. 3 . D. 2 .
Câu 31. Số nghiệm của phương trình 2
9x - 16 = 3 3x - 4 là A. 1 . B. 0 . C. 3 . D. 2 . 2 1 x - 1
Câu 32. Phương trình 9x - 9 - 16x - 16 + 27 = 4 3 4 81 có mấy nghiệm? A. 1 . B. 0 . C. 3 . D. 2 . x - 2
Câu 33. Phương trình 4x - 8 - 2
+ 9x - 18 = 8 có nghiệm là? 4 A. x = 8 .
B.x = 4 . C. x = 2 . D. x = 6 .
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 3 1 1
Câu 34. Giá trị của biểu thức + - 2 là: 20 60 15 A. 1 . B. 0 . C. 3 . D. 2 . a a a
Câu 35. Rút gọn biểu thức + - - 5a ta được: 5 + 1 5 - 2 3 - 5 A. 2a . B. a . C. 3a . D. 12a .
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com HƯỚNG DẪN Câu 1. Đáp án A.
Khử mẫu của biểu thức lấy căn Với các biểu thức , A B mà .
A B ³ 0;B ¹ 0, ìïï AB ï khi B > 0 A AB ï ï B ta có = = í B | B | ïï AB ï- khi B < 0 ï ïî B Câu 2. Đáp án B. Với hai biểu thức ,
A B mà B ³ 0 ta có A ìïï B khi A ³ 0 2 A B | = A | B = ïí . ïï A - B khi A < 0 ïî Câu 3. Đáp án C. 2 Ta có: 4 é 2 ù 2 2
81(2 - y) = 81. (2 - y) = (2 - y) 81 = 9(2 - y) êë úû . Câu 4. Đáp án D. 2 Ta có: 4 2 é 2 ù 2 2
144(3 + 2a) = 12 . (3 + 2a)
= 12. (3 + 2a) = 12(3 + 2a) êë úû Câu 5. Đáp án B. Ta có: 5y y 2 2 3
= (5y) y = 25y .y = 25y . Câu 6. Đáp án B. -35 -35 Ta có: x 2 = - x . = - -35x x x Câu 7. Đáp án C. 12 - 12 æ 12ö - - ç ÷ -300 Ta có 5x 2 2 = - (5x) . = 25x ç ÷ = - 3 ç ÷ x 3 x çè x ÷ø x Câu 8. Đáp án D. Ta có 2 5 3 = 5 .3 = 25.3 = 75 2 4 5 = 4 .5 = 16.5 = 80
Vì 75 < 80  75 < 80  5 3 < 4 5 . Câu 9. Đáp án A. Ta có 2 9 7 = 9 .7 = 81.7 = 567; 2 8 8 = 8 .8 = 64.8 = 512
512 < 567  512 < 567  8 8 < 9 7 Câu 10. Đáp án D. 4 4 2
Vì x > 0;y > 0 nên xy > 0 . Từ đó ta có xy = xy. = xy. = 2 . 2 2 2 2 x y xy x y Câu 11. Đáp án B.
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com -9 9x y 9x.x . y 2 - 3 2 2 - 2 2
Vì x < 0;y > 0 nên ta có: 2 -2x y = -2x y = -2x y 3 2 x y 3 2 x y - 3 2 ( x y ) - 2
3 x . x . y 2.3 -x - ( x).y = 2. = = -6 -x . xy xy Câu 12. Đáp án D.
Vì x < 0;y < 0 nên xy > 0 . 3 3xy Từ đó ta có: xy - = xy - . = - 3xy . xy xy Câu 13. Đáp án A. Ta có 1 1 5 - 3 2 5 + 3 2 10 10 10 + = + = = = 5 + 3 2 5 - 3 2
(5 + 3 2)(5-3 2) (5 + 3 2)(5-3 2) - 5 - (3 2)2 2 25 18 7
Suy ra a = 10;b = 7  2a = 2.10 = 20 . Câu 14. Đáp án C. 2(7 - 3 5) 2(7 + 3 5 2 2 ) Ta có: + = + 7 + 3 5 7 - 3 5
(7 +3 5)(7-3 5) (7-3 5)(7 + 3 5) 14 - 6 5 14 + 6 5 14 - 6 5 + 14 + 6 5 28 7 = + = = = - ( )2 - ( )2 2 2 49 - 9.5 4 1 7 3 5 7 3 5
Suy ra a = 7;b = 1  a + b = 7 + 1 = 8 . Câu 15. Đáp án A.
Ta có 32x + 50x - 2 8x + 18x 2 2 2 2
= 16.2x + 25.2x - 2 4.2x + 9.2x = 4 .2x + 5 .2x - 2 2 .2x + 3 .2x
= 4 2x + 5 2x - 4 2x + 3 2x = 2x (4 + 5 - 4 + 3) = 8 2x . Câu 16. Đáp án B.
Ta có 27x - 48x + 4 75x + 243x = 9.3x - 16.3x + 4 25.3x + 81.3x 2 2 2 2
= 3 .3x - 4 .3x + 4 5 .3x + 9 .3x
= 3 3x - 4 3x + 4.5 3x + 9 3x = 3x (3 - 4 + 20 + 9) = 28 3x Câu 17. Đáp án D. Ta có: 3 2
5 a - 4b 25a + 5a 16ab - 9a 3 2 2 2
= 5 a - 4 25a b + 5 16ab .a - 9. a 3 2 3 2
= 5 a - 4 25. a b + 5 16. a b - 3 a = ( a - a)-( 3 2 3 3 5 3
4.5 a b - 5.4 a b ) = 2 a Câu 18. Đáp án A. 5 2 2
7 x + 11y 36x - 2x 16xy - 25x 2 4 2 2 2 2
= 7 x + 11y 6 x .x - 2x 4 xy - 5 x 2 2
= 7 x + 11y.6x
x - 2x .4.y x - 5 x 2 2
= 7 x + 66x y x - 8x y x - 5 x
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
= ( x - x ) + ( 2 2 x y x - x y x ) 2 7 5 66 8
= 2 x + 58x y x . Câu 19. Đáp án A. 16a a 4a a 1 a 4 a 2 2 - 3 - 6 = 2 4 . - 3 . - 6 . 3 27 75 3 9 3 25 3 a 1 a 2 a = 2.4 - 3. - 6. . 3 3 3 5 3 a æ 12ö ç ÷ 23 a 23 3a 23 3a = .ç8 - 1 - ÷ = = . = . 3 çè 5 ÷÷ø 5 3 5 3 15 Câu 20. Đáp án B. a 4 4a 1 1 4 Ta có 5 a + 6 - a + 5 = 5 a + 6 .a - a 4. + 5 .a 4 a 25 4 a 25 2 2 æ1ö 1 æ2ö ç ÷ 2 1 1 2
= 5 a + 6 ç ÷ .a -a 2 . + 5 ç ÷ ç ÷ .a ç = 5 a + 6. a - 2a + 5. a çè2÷÷ø a çè5÷÷ø 2 a 5 a
= 5 a + 3 a - 2a
+ 2 a = 5 a + 3 a - 2 a + 2 a = 8 a . a Câu 21. Đáp án C. 2a (2 2 + a a ) 2a a + 4a Ta có = - ( - )( + ) = . 4 2 2 2 - a a a a Câu 22. Đáp án D. 3(6 - 3a ) 3(6 - 3a ) 3(6 - 3 3 a ) 6 - 3a Ta có = = = = . 6 + 3a (6+ 3a)(6- 3a) - a - a 6 - ( 3a )2 2 36 3 12 Câu 23. Đáp án C. 6( x - 2y ) 6( x - 2y ) 6 Ta có = = x + 2y ( + )( - ) x - 2 2 2 y x y x y Câu 24. Đáp án D. 4(3 x - 2 y) 4(3 x - 2 y) 4 12 x - 8 y Ta có = = = . 3 x + 2 y ( )( ) ( - + - x )2 -( y)2 9x 4 3 2 3 2 y x y x y 3 2 Câu 25. Đáp án B. æç 14 - 7 15 - 5 ö÷ 1 æç 2. 7 - 7 5. 3 - 5 ö÷ 1 Ta có ç ÷ + ç ÷ : = ç ÷ + ç ÷ : ç ÷ ç ç ÷ è 1 - 2 1 - 3 ÷ø 7 - 5 çè 1- 2 1 - 3 ÷ø 7 - 5
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com æ ö ç 7 ç ( 2 - )1 5( 3 - )1÷÷ ç ÷ = ç + ÷. ÷ = (- 7 - 5).( 7 - 5) ç ÷ ( 7 - 5) ç 1 - 2 1 - 3 ÷ ç ÷ è ø = -( 7 + 5)( 7 - 5) = -(7 - ) 5 = -2 . Câu 26. Đáp án B. æç10 + 2 10 30 - 6 ö÷ 1 Ta có ç ÷ + ç ÷ : ç ÷ çè 5 + 2 5 - 1 ÷ø 2 5 - 6 æ æ ö ç 20 ç ( 5 + 2) 6.( 5 - )÷ ç 100 - 40 5. 6 - 5 ö÷ 1 1 ÷ ç ÷ 1 = ç ÷ + ç ÷ : = ç + ÷ : ç ÷ ÷ çè 5 + 2 5 - 1 ÷ø 2 5 - 6 ç 5 + 2 5 - 1 ÷ ç ÷ 2 5 - 6 ç ÷ è ø = ( + )( - )=( )2 -( )2 2 5 6 2 5 6 2 5 6 = 20 - 6 = 14 Câu 27. Đáp án A. æ ö 3 2 3 3 6 6 3 2 4 6 Ta có ç ÷ 6 + 2 - 4 = 6 + 2. - 4 = 6 ç + - ÷ = ç ÷ 2 3 2 2 3 2 ç2 3 2÷ è ø 6 Câu 28. Đáp án C.
P = x y + y x = ( x )2 y + ( y)2 x = xy ( x + y)
Q = x x + y y = ( x )3 + ( y )3 = ( x + y )(x - xy + y)
R = x - y = ( x )2 -( y)2 = ( x - y )( x + y)
Vậy R = ( x - y )( x + y ) Câu 29. Đáp án B.
M = ( x + y)2 = ( x )2 + x y + ( y)2 2 .
= x + 2 xy + y - ( )3 -( )3 x y
( x - y)(x + xy +y x x y y ) N = = =
= x + xy + y x - y x - y x - y = ( - )( + ) = ( )2 -( )2 P x y x y x y = x - y
Vậy N = x + xy + y . Câu 30. Đáp án D. Ta có 2
4x - 9 = 2 2x + 3 2 2
 4x - 9 = 4(2x + 3)  4x - 9 = 8x + 12 3
8x + 12 ³ 0  x ³ - Điều kiện: 2
Với điều kiện trên ta có 2
4x - 9 = 8x + 12 2
 4x - 9 = 8x + 12
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 2
 4x - 8x - 21 = 0  4x + 6x - 14x - 21 = 0 é 7 é2 - 7 = 0 x x ê = ê ê 2 Vậy phương  2x 2 ( x + 3) - 7 2 ( x + 3) = 0  2 ( x - 7) 2 ( x + 3) = 0   ê ê (TM ) 2x + 3 = 0 ê ê-3 ë ê ë 2 7 3
trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x = ;x = - 2 2 Câu 31. Đáp án D. Ta có: 2
9x - 16 = 3 3x - 4 2 2
 9x - 16 = 9(3x - 4)  9x - 16 = 27x - 36 4
27x - 36 ³ 0  x ³ Điều kiện: 3
Với điều kiện trên ta có: 2 x - = x -  2 x - = x -  2 9 16 27 36 9 16 27 36
9x - 27x + 20 = 0  2
9x - 15x - 12x + 20 = 0  3x 3 ( x - 5) - 4 3 ( x - 5) = 0  3 ( x - 4) 3 ( x - 5) = 0 é 4 é3 - 4 = 0 êx x = ê ê 3   ê ê (TM ) 3x - 5 = 0 ê ê 5 ë x = ê ë 3 4 5
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: x = ;x = . 3 3 Câu 32. Đáp án A. ìïï9ïïx -9³0 9 ìï (x -1) ³ 0 ï ï ï Điều kiện 16 ïí x 16 0 1 ï -
³  í 6(x - 1) ³ 0  x - 1 ³ 0  x ³ 1 ï ï ïïx 1 x ï - ï - 1 ³ 0 ï ³ 0 ïî ïïî 81 2 1 x - 1 9x - 9 - 16x - 16 + 27 = 4 Ta có 3 4 81 2 1 1  9(x - 1) - 16(x - 1) + 27 .(x - 1) = 4 3 4 81 2 1 1
 .3 x - 1 - .4 x - 1 + 27. . x - 1 = 4 3 4 9
 2 x - 1 - x - 1 + 3 x - 1 = 4  4 x -1 = 4
x - 1 = 1  x -1 = 1  x = 2(TM)
Vậy phương trình có một nghiệm x = 2 . Câu 33. Đáp án D. 4 ìï x - 8 ³ 0 ìï ( 4 x - ) 2 ³ 0 ï ï ï ï 9 ïí x 18 0 9 ï -
³  í (x - 2) ³ 0  x - 2 ³ 0  x ³ 2 ï ï x ïï 24 0 x ï - ³ ï - 2 ³ 0 Điều kiện: ïî ïî
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com x - 2 1 4x - 8 - 2
+ 9x - 18 = 8  4(x - ) 2 - 2 .(x - ) 2 + 9.(x - ) 2 = 8 Ta có: 4 4 1  2 x - 2 - 2.
x - 2 + 3 x - 2 = 8  2 x - 2 - x - 2 + 3 x - 2 = 8 2
 4 x - 2 = 8  x - 2 = 2  x - 2 = 4  x = 6 (TM)
Vậy phương trình có một nghiệm x = 6 . Câu 34. Đáp án B. 3 1 1 3.20 60 2 15 Ta có + - 2 = + - 20 60 15 20 60 15 3 60 + 60 - 4. 4.15 4 60 - 4 60 = = = 0. 60 60 Câu 35. Đáp án B. a a a Ta có + - - 5a 5 + 1 5 - 2 3 - 5 a ( 5 - ) 1 a ( 5 + ) 2 a (3 + 5) = (
- )( + ) + ( - )( + ) - ( + )( - ) - 5a 5 1 5 1 5 2 5 2 3 5 3 5 a ( 5 - ) 1 a ( 5 + ) 2 a (3 + 5) = + - - 5a 4 1 4 a ( 5 - )
1 + 4a (2 + 5)-a (3 + 5)- 4 5a = 4
a ( 5 -1 + 8 + 4 5 - 3 - 5 - 4 5) 4a = = = a 4 4
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com III.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: a) 49.360 b)  500.162 1 c) 2 125a với a  0 d) 2 225a với a tùy ý 3
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn: a) 5 2 b) 2  5 13  c) x với x  0; y  37 0 d) x với x  0 xy x
Bài 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 1 a) 5 2; 2 5; 2 3; 3 2 b) 27; 6 ; 2 28; 5 7 3 c) 4 2; 37; 3 7; 2 15 d) 3 6; 2 7; 39; 5 2 Bài 4: So sánh: a) 15  14 và 14  13 b) 105  101 và 101  97
Bài 5: Rút gọn các biểu thức: a) 3 2  4 8  18 1 b) 3  27  2 507 3 c)
25a  49a  64a với a  0 1 1 d)  36b  54b  150b với b  0 3 5
Bài 6: Giải các phương trình: a)
5 12x  4 3x  2 48x  14 1 b)
4x  20  x  5  9x  45  4 3
3 x  5 2 x  7 c)   x 1 2 3 x  2 d) 36x  72 15
 45 x  2 25
Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 3  3  15  3 5 b) 2
1 a  1 a với 1   a 1 c) 3 3 2 2
a b a b ab với a  0;b  0 d) 2 3
x y xy y với a  0;b  0
Bài 8: Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn và rút gọn (nếu có thể được):
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 3 7 11   2 3 2 a) b) c) d) 7 20 12 3
Bài 9: Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn và rút gọn (nếu có thể được): y 3 3  x a) xy
với x  0; y  0 b) với x  0 x 35 3 5a c)
với a  0;b  3 0 d) 7xy với x  0; y  0 49b xy
Bài 10: Trục căn thức ở mẫu 2  3 1 1 1 a a) b) c) d) với a  0 3 6 2  3 2 2  3 3 a
Bài 11: Trục căn thức ở mẫu 5 1 37 a) b) 5 1 7  2 3 2 10  5 1 a c) d) với ; a  0 a  4 4  10 2  a
Bài 12: Rút gọn các biểu thức sau: 5 60.3 15 a) b)   2 27 3 5 15 50.2 18 x xy x  2 c) với x  0; y  0 d) với x  2 x y 2 x  4x  4
Bài 13: Thực hiện phép tính: 1 1 2 2 a)  b)  3  2 3  2 3 2  4 3 2  4 5  3 5  3 3 3 c)  d)  5  3 5  3 2 2  3 3 2 2  3 3
Bài 14: Giải các phương trình: a) 2x 1  2 1 b) 3x 11  3  2 c) x  5  3  2 d) x  38  3  5
Bài 15: Tính giá trị của các biểu thức sau:   x2 1  4 x
x y2 4 xyx  2 a) với x  2 b) với  1 x 1 xyy 1 3 2 2 3 4 x y
x y  2x y xyx  2 c) . với  2 2 y
x  2xy yy 1
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: a) Biểu thức 49.360  49.36.10
 49. 36. 10  7.6. 10  42 10
Vậy biểu thức có giá trị là 42 10 b) Biểu thức  500.162   100.5.81.2   100. 81. 10  10.9.  10  90  10
Vậy biểu thức có giá trị là 90  10 c) Biểu thức 2 2 2
125a  25.5.a  25. a . 5  5 a . 5
với a  0 nên a  a . Vậy 2 125a  5  a 5 1 1 1 d) Biểu thức 2 2 225a
225. a  .15. a  5 a 3 3 3
Vậy biểu thức có giá trị là 5 a
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn: a) 2 5 2  5 .2  50 b) 2 2  5   2 .5   20 13 13 13x c) 2 xx .  với x  0; y  0 xy xy y 37  37  d) 2 x   x .   3  7x với x  0 x x
Bài 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a) Ta có: 5 2  50; 2 5  20; 2 3  12; 3 2  18 Vì 12  18  20  50
Do đó: 2 3  3 2  2 5  5 2 1 b) 27; 6
 12; 2 28  112; 5 7  175 3 Vì 12  27  112  175 1 Do đó: 6  27  2 28 5 7 3
c) Ta có: 4 2  32; 37; 3 7  63; 2 15  60 Vì 32  37  60  63 Do đó: 4 2  37  2 15  3 7
d) Ta có: 3 6  54; 2 7  28; 39; 5 2  50 Vì 28  39  50  54 Do đó: 2 7  39  5 2  3 6 Bài 4: So sánh:
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com a) 15  14 và 14  13 Ta có:  15 14 15 14 * 15  14  15  14  2  2 15 14 15 14   15  14 15  14 1 
15  14  14 13 14 13 * 14  13  14  13  2  2 14 13 14 13   14  13 14  13 1  14  13 1 1 Vì 15  14  14  13   15  14 14  13 Vậy 15  14  14  13 b) 105  101 và 101  97
 105 101 105 101 Ta có: 105  101  105  101  2  2 105 101 105 101   105  101 105  101 4  105  101
 101 97 101 97 101  97  101  97  2  2 101 97 101 97   101  97 101  97 4  101  97 1 1 Vì 105  101  101  97   105  101 101  97 Vậy 105  101  101  97
Bài 5: Rút gọn các biểu thức: a) Biểu thức
3 2  4 8  18  3 2  4.2 2  3 2
 3 2  8 2  3 2  8 2
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Biểu thức rút gọn là: 8 2 1 1 b) Biểu thức 3 
27  2 507  3  .3 3  2.13 3 3 3  3  3  26 3  26 3
Biểu thức rút gọn là: 26 3 c) Biểu thức
25a  49a  64a  5 a  7 a  8 a
 5  7 8 a  4 a với a  0
Biểu thức rút gọn là: 4 a 1 1 1 1
d) Biểu thức  36b  54b
150b  6 b  .3 6a  .5 6b 3 5 3 5  6
b  6b  6b  6  b với b  0
Biểu thức rút gọn là: 6  b
Bài 6: Giải các phương trình: a)
5 12x  4 3x  2 48x  14 Điều kiện: x  0
Phương trình biến đổi về dạng:
5 12x  4 3x  2 48x  14
 10 3x  4 3x  8 3x 14
 10  4  8 3x 14  14 3x  14 1
 3x  1 3x  1  x  (thỏa mãn điều kiện) 3 1 b)
4x  20  x  5  9x  45  4 3 Điều kiện: x  5 1 1
4x  20  x  5 
9x  45  4  2 x  5  x  5  .3 x  5  4 3 3  2 x  5  4
x  5  2  x  5  4  x  9 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  9
3 x  5 2 x  7 c)   x 1 2 3 Điều kiện: x  0
3 x  5 2 x  7   x 1 2 3
33 x 5  22 x  7   x 1 6
 33 x 5 22 x 7  6 x   1
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
 9 x 15  4 x 14  6 x  6
 9 x  4 x  6 x 15 14  6   x  5 
x  5  x  25 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  25 x  2 d) 36x  72 15
 45 x  2 25 Điều kiện: x  2 x  2 36x  72 15
 45 x  2 25 1  6 x  2 15.
x  2  20  4 x  2 5
 6 x  2  3 x  2  4 x  2  20   x  2  20  x  2  2  0 Ta có: x
  2  VT x  2  0;VP  20  0  Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) Biểu thức
3  3  15  3 5  3  3   1  5  3 3  3  3   1  5. 3  3   1  3  3   1 1 5 b) Biểu thức 2
1 a  1 a  1 a  1 a1 a
 1 a 1 1 a  với 1   a 1 c) Biểu thức 3 3 2 2
a b a b ab với a  0;b  0   3 2   2 3 a ab a b b    2 2    2 2 a a b b a b
a a b  b a b
 a b a b
  a b a b a b      2 a b a b d) 2 3
x y xy y với x  0; y  0
 x y   y x y y
27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
  x y  x y  yx y
  x y  x y y
Bài 8: Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn và rút gọn (nếu có thể được): 3 3 3. 7 21 a) Biểu thức    7 7 7. 7 7 7 7 7 7. 5 35 b) Biểu thức     20 20 2 5 2 5. 5 10 11 11 11 11. 3 33 c) Biểu thức     12 12 2 3 2 3. 3 6  3 22  3 22 d) Biểu thức  3 3 3  2  3 2 3 3 6    3 3. 3 3
Bài 9: Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn và rút gọn (nếu có thể được): y xy 1 a) Biểu thức xy  xy  x . y xy 2 x x x 1  xy.
xy   y xy với
x  0; y  0 x 3 2 3  x 3  x .x.35 x x b) Biểu thức   . 105  x   . 105  x với x  0 2 35 35 35 35 3 2 5a 5a .ab a a c) Biểu thức   . 5ab  . 5ab với a  0;b  0 2 49b 49b 7 b 7b 3 3xy 1 d) Biểu thức 7xy  7  xy  7  x . y 3xy xyxy2 xy 1  7  x . y
3xy  7 3xy với  x  0; y  0 xy
Bài 10: Trục căn thức ở mẫu  2 3 6 2 3 2 6  18 2 6  3 2 a)    3 6 3 6. 6 18 18 1 2  3 b)  2  3  2  3 2  3 2  3 2  3    3  2  2  2 1 2 3   1 2 2  3 3 c)  2 2  3 3
2 2 3 32 2 3 3
28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 2  3 3 2 2  3 3    2  2 8  27 2 2 3 3 2 2  3 3  19  1 1  a a a a a d)   với a  0 a a. a a
Bài 11: Trục căn thức ở mẫu  5 1 5  1 5 1 a) Biểu thức  5 1  5   1  5   1  5  2 1 6  2 5 3  5     2 4 2 5 1 377  2 3 37  b) Biểu thức  7  2 3 72 372 3
377  2 3 377  2 3    7  2 3   2 2 37 7 2 3  2 10 54 10 2 10 5  c) Biểu thức  4  10 4 104 10 8 10  20  20  5 10 3 10 10    2 2 6 2 4  10  1 a2 1  a a  d) Biểu thức  2  a
2 a2 a
2  a  2 a a 2  3 a a  
với a  0 ; a  4   2 2 4 2  a a
Bài 12: Rút gọn các biểu thức sau: 5 60.3 15 15 60.15 4.15.15 2.15 1 a) Biểu thức     15 50.2 18 30 50.18 2 50.2.9 2.10.3 2 2 b) Biểu thức
27  3  5  3 3. 3  5  3 3. 5  3 x   x y x xy  c) Biểu thức 
x với x  0; y  0 và x y x y x y x  2 x  2 x  2 d) Biểu thức   với x  2 2 x  4x  4
x  22 x  2
29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com x  2 x  2 x  2
Nếu x  2 thì x  2   x  2 , ta có:    1  2 x  4x  4 x  2 x  2 x  2 x  2 x  2
Nếu x  2 thì x  2  x  2 , ta có:   1 2 x  4x  4 x  2 x  2
Bài 13: Thực hiện phép tính: 1 1 3  2  3  2 a) Biểu thức   3  2 3  2 3 23 2 6 6 6      2 2 9  2 7 3 2 6
Vậy biểu thức có giá trị là: 7
23 2  4  23 2  4 2 2  b) Biểu thức   3 2  4 3 2  4 3 2 43 2 4 6 2  8  6 2  8 16    8  2 2 18 16 3 2  4
Vậy biểu thức có giá trị là: 8   2     2 5 3 5 3 5 3 5 3 c) Biểu thức   5  3 5  3  5 3 5 3
5  2 15  3  5  2 15  3 16 16     8  2  2 5  3 2 5 3
Vậy biểu thức có giá trị là: 8
 2 2  3 3 2 2 3 3  3 3  d) Biểu thức 3.    2 2  3 3 2 2  3 3 
 2 2  3 32 2  3 3    6 3  6 3    18 3  3.  3.      2    2  827 19 2 2 3 3     18 3
Vậy biểu thức có giá trị là:  19
Bài 14: Giải các phương trình: 1 a) Điều kiện: x  2
Biến đổi phương trình về dạng: x  
  x     2 2 1 2 1 2 1 2 1
 2x 1  3 2 2
x  2  2 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là: x  2  2
30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 11 b) Điều kiện: x  3
Biến đổi phương trình về dạng: x   
x     2 3 11 3 2 3 11 3 2
 3x 11 11 6 2  x  2 2 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là: x  2 2 c) Điều kiện: x  5 
Ta có: với mọi giá trị của x  5
 thì VT x  5  0,VP  3  2  0
Suy ra, phương trình x  5  3  2 vô nghiệm. d) Điều kiện: x  38 
Biến đổi phương trình về dạng: x     x     2 38 3 5 38 3 5
x  38 14  6 5  x  24
  6 5 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là: x  24   6 5
Bài 15: Tính giá trị của các biểu thức sau:
  x2  x x  x2 1 4 1 2  4 x a) Biểu thức  1 x 1 x
x   x 2   x 2 1 2 1    1 x 1 x 1 x
Với x  2 , thay vào biểu thức đã rút gọn ta được: 1 x  1 2
Vậy biểu thức có giá trị là 1 2 khi x  2
x y2  xy x2  xyy2 4 2  4 xy b) Biểu thức  1 xy 1 xy
x2  xyy2  x y2 2   1 xy 1 xy 2 2 x  2
x y  2  1 Với 
, thay vào biểu thức đã rút gọn ta được:   1 2 y 1 1 2 1 2 x
Vậy biểu thức có giá trị là 1 2 2 khi  y 1 3 2 2 3 4 x y
x y  2x y xy c) Biểu thức . 2 2 y
x  2xy y 2 x y xy  2 2
x  2xy y x y  . 
.y x x x y 2 2   y
x  2xy y yx  2 Với 
, thay vào biểu thức đã rút gọn ta được: x x y  2 2   1  3 2 y 1
31. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com x  2
Vậy biểu thức có giá trị là 3 2 khi  y 1
------------------------- Toán Học Sơ Đồ -------------------------
32. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com