Chuyên đề các dạng tích phân hàm ẩn điển hình mức độ VD – VDC Toán 12

Chuyên đề các dạng tích phân hàm ẩn điển hình mức độ VD – VDC Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

13 7 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

84 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
MỤC LỤC
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP TRANG
QUY TẮC ĐẠO HÀM TÍCH 3
QUY TẮC ĐẠO HÀM THƯƠNG 7
ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHỨA CĂN 15
ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM MŨ 18
ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM LÔGARIT 19
ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM KHÁC 21
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 22
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1 22
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 2 28
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 3 39
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 4 49
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 5 51
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 6 53
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 55
TRƯỜNG HỢP RIÊNG 68
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 78
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐIỂN HÌNH
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP
QUY TẮC ĐẠO HÀM TÍCH
Nếu =
(
)
và =
(
)
thì
(

)
′
=′+ ′;
Nếu
[
(
)
.
(
)]
′
=ℎ
(
)
thì
(
)
.
(
)
=
∫
ℎ
(
)
.
Câu 1. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên khoảng
(
0;+∞
)
thỏa mãn điều kiện
(
1
)
=3 và
4 −′
(
)
=
(
)
−1,∀>0. Giá trị của
(
2
)
bằng
A. 6. B. 5. C. 3. D. 2.
Lời giải
Chọn B
+)Từ giả thiết, ta có
4 −′
(
)
=
(
)
−1 ⇒′
(
)
+
(
)
=4+ 1
⇒
[

(
)]
′
=4+ 1 ⇒
(
)
=
(
4+ 1
)
⇒
(
)
=2
2
+ +.
+) Lại có
(
1
)
=3 ⇒=0 ⇒
(
)
=2+ 1 ⇒
(
2
)
=5.
Câu 2. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên khoảng
(
−1;+∞
)
và thỏa mãn đẳng thức 2
(
)
+
(
−1
)
′
(
)
=


√

với mọi ∈
(
−1;+∞
)
. Giá trị của
(
0
)
bằng
A.
(
0
)
=2 −
√
3. B.
(
0
)
=−
√
3. C.
(
0
)
=
√
3. D.
(
0
)
=1 −
√
3.
Lời giải
Chọn A
+) Từ giả thiết, ta có 2
(
)
+
(
2
−1
)
′
(
)
=
3
2
2

2
3
⇒2
(
)
+
(
−1
)(
+ 1
)
′
(
)
=
(
1
)
2
2
3
⇒
2
(
)
(
1
)
2
+
1
1
′
(
)
=
2
3
⇒󰇡
1
1
󰇢
′
(
)
+
1
1
′
(
)
=
2
3
⇒
1
1
.
(
)
′
=
2
3
⇒
1
1
.
(
)
=
∫
2
3
⇒
1
1
.
(
)
=
√
2
+ 3 +
(
∗
)
+) Lại có
(
∗
)
thỏa mãn với mọi ∈
(
−1;+∞
)
nên thay =1 vào
(
∗
)
ta có =−2.
Suy ra
1
1
.
(
)
=
√
2
+ 3 −2.
Do đó
(
0
)
=2 −
√
3.
Câu 3. Cho hàm số
(
)
thỏa mãn
[
′
(
)]
+
(
)
.′′
(
)
=4
+ 2 với mọi ∈ℝ và
(
0
)
=0.
Giá trị của
(
1
)
bằng
A.
5
2
. B.
9
2
. C.
16
15
. D.
8
15
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
[
′
(
)]
2
+
(
)
.′′
(
)
=
[
(
)
.′
(
)]
′. Từ giả thiết ta có:
[
(
)
.′
(
)]
′ =4
3
+ 2
Suy ra:
(
)
.′
(
)
=
∫
(
4
3
+ 2
)
=
4
+
2
+ . Với
(
0
)
=0 ⇒=0
Nên ta có:
(
)
.′
(
)
=
4
+
2
Suy ra:
∫
(
)
.′
(
)

1
0
=
∫
(
4
+
2
)

1
0
⇔
2
(
)
2
󰇻
0
1
=
8
15
⇒
2
(
1
)
=
16
15
.
Câu 4. Cho hàm số
(
)
xác định trên
(
1 ;+∞
)
, thỏa mãn
(
−1
)
′
(
)
+
(
)
=
1
, biết
(
2
)
=
3
. Tính
∫
(
)
d
7
5
A. 4. B. 3. C. 2. D. 5.
Lời giải
Chọn C
Ta biến đổi:
(
−1
)
′
(
)
+
(
)
=
1
(bên vế trái gợi ý ta đưa về đạo hàm
(
.
)
′
).
⇒
(
−1
)
.′
(
)
+
(
−1
)
′
.
(
)
=.
1
⇒
[(
−1
)
.
(
)]
′
=.
1
, ta lấy nguyên hàm hai vế được:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
(
−1
)
.
(
)
=
∫
1
d ⇒
(
−1
)
(
)
=.
1
−
∫
1
d=
1
(
−1
)
+ .
⇒
(
)
=
1
+
1
, ta có
(
2
)
=
3
⇔
3
+ =
3
⇔=0.
⇒
(
)
=
1
.
Tính
∫
(
)
d
7
5
=
∫
d
7
5
=
󰇻
7
5
=2.
Câu 5. Cho hàm số
(
)
thỏa mãn
[
′
(
)]
2
+
(
)
.′′
(
)
=15
4
+ 12 với ∈ℝ và
(
0
)
=′
(
0
)
=
1. Giá trị của
2
(
1
)
bằng
A.
5
2
. B.
9
2
. C. 8. D. 10.
Lời giải
Chọn C
Nhận xét:
[
(
)
.′
(
)]
′
=
[
′
(
)]
2
+
(
)
.′′
(
)
Từ đó suy ra:
[
(
)
′
(
)]
′
=15
4
+ 12. Tiến hành lấy nguyên hàm hai vế ta được:
(
)
′
(
)
=3
5
+ 6
2
+
Mà
(
0
)
=′
(
0
)
=1 nên suy ra =1
⇒
(
)
′
(
)
=3
5
+ 6
2
+ 1
⇒
(
)
′
(
)
=
(
3
5
+ 6
2
+ 1
)
⇔
2
(
)
2
=
6
2
+ 2
3
+ +′
Thay =0 vào hai vế ta được:
2
(
0
)
2
=′ ⇒′ =
1
2
Suy ra:
2
(
)
=
6
+ 4
3
+ 2+ 1 ⇒
2
(
1
)
=8
Câu 6. Cho hàm số
(
)
thỏa mãn
[
′
(
)]
+ 1=
[
1 −
(
)
.′′
(
)]
với mọi dương. Biết
(
1
)
=
′
(
1
)
=1. Giá trị
(
2
)
bằng
A.
2
(
2
)
=
√
2ln2 + 2. B.
2
(
2
)
=2ln2 + 2. C.
2
(
2
)
=ln2 + 1. D.
2
(
2
)
=
√
ln2 + 1.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
[
′
(
)]
2
+ 1 =
2
[
1 −
(
)
."
(
)]
; >0
⇔
2
.
[
′
(
)]
2
+ 1 =
2
[
1 −
(
)
."
(
)]
⇔
[
′
(
)]
2
+
1
2
=1 −
(
)
."
(
)
⇔
[
′
(
)]
2
+
(
)
."
(
)
=1 −
1
2
⇔
[
(
)
.′
(
)]
′
=1 −
1
2
Do đó:
∫
[
(
)
.′
(
)]
′
.d=
∫
󰇡1 −
1
2
󰇢.d⇒
(
)
.′
(
)
=+
1
+
1
.
Vì
(
1
)
=′
(
1
)
=1 ⇒1 =2 +
1
⇔
1
=−1.
Nên
∫
(
)
.′
(
)
.d=
∫
󰇡+
1
−1󰇢.d⇔
∫
(
)
.d
(
)
=
∫
󰇡+
1
−1󰇢.d
⇒
2
(
)
2
=
2
2
+ ln−+
2
. Vì
(
1
)
=1 ⇒
1
2
=
1
2
−1 +
2
⇔
2
=1.
Vậy
2
(
)
2
=
2
2
+ ln−+1 ⇒
2
(
2
)
=2ln2 + 2.
Câu 7. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm cấp 2 trên
(
0;+∞
)
thỏa mãn 2′
(
)
−
(
)
=
2
√
cos ∀∈
(
0;+∞
)
,
(
4
)
=0. Giá trị của biểu thức
(
9
)
là
A. 0. B. −3
√
. C. −
√
. D. −2
√
.
Lời giải
Chọn B
Do ∈
(
0;+∞
)
phương trình đã cho tương đương: ′
(
)
.
1
√
−
1
2
√
(
)
=
2
cos
⇒
∫
󰇣
′
(
)
.
1
√
−
1
2
√
(
)
󰇤
9
4
d=
∫
2
cos
9
4
d ⇒
1
√
.
(
)
󰇻
4
9
=−1
⇒
1
3
√
(
9
)
−
1
2
√
(
4
)
=−1 ⇒
(
9
)
=3
√
󰇡
1
2
√
.0 −1󰇢 =−3
√
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Câu 8. Cho hàm số
(
)
thỏa mãn
(
1
)
=5 và 2′
(
)
+
(
)
=6 với mọi >0. Tính
∫
(
)
9
4
d.
A. 71. B. 59. C. 136. D. 21.
Lời giải
Chọn A
Ta có 2′
(
)
+
(
)
=6 ⇔
√
′
(
)
+
1
2
√
(
)
=3
√
⇔󰇡
√
(
)
󰇢
′
=3
√
.
Do đó
√
(
)
=
∫
3
√
d=2
√
+ .
Từ
(
1
)
=5 ⇒=3 ⇒
(
)
=2+
3
√
.
Vậy
∫
(
)
9
4
d=
∫
󰇡2+
3
√
󰇢
9
4
d=71.
Câu 9. Cho hàm số () liên tục trên
(
0;+∞
)
thỏa mãn: 3.()−
2
.′()=2.
2
(), với ()≠
0,∀x ∈
(
0;+∞
)
và (1)=
1
3
. Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
=() trên
[
1;2
]
. Tính + .
A.
9
10
. B.
21
10
. C.
5
3
. D.
7
3
.
Lời giải
Chọn C
Ta có 3.() −
2
.′()=2.
2
()⇔3
2
.() −
3
.′()=2.
2
()
⇔
3
2
.() −
3
.′()
2
()
=2⇔󰇧
3
()
󰇨
′
=2
󰇧
3
()
󰇨
′
dx =
2dx ⇔
3
()
=
2
+
Do (1)=
1
3
⇒
1
1
=
1
3
⇒=2. Vậy (x)=
3
2
2
Tìm được =(2)=
4
3
,=(1)=
1
3
⇒+ =
5
3
.
Câu 10. Cho hàm số () liên tục trên \{0;−1},thỏa mãn (+ 1)
󰆒
() + ()=
+ với mọi
∈\{0;−1} và (1)=−2ln2.Biết (2)=+ ln3 với ,∈, tính =
+
.
A. =
1
2
. B. =
3
4
. C. =
13
4
. D. =
9
2
Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết ta có
1
′
() +
1
(1)
2
=
1
,∀∈\{0;−1}.
Nhận thấy
1
′
() +
1
(1)
2
=
󰇣
()
1
󰇤
′
,∀∈\{0;−1}.
Do đó giả thiết tương đương với
󰇣
()
1
󰇤
′
=
1
,∀∈\{0;−1}.
Suy ra ()
1
=
∫
1
=
∫
󰇡1 −
1
1
󰇢=−ln
|
+ 1
|
+ .
Mà (1)=−2ln2 ⇒=−1 →()
1
=−ln
|
+ 1
|
−1.
Cho =2 ta được (2)
2
3
=2 −ln3 −1 ⇒(2)=
3
2
−
3
2
ln3 →=
3
2
;=−
3
2
.
Vậy =
9
2
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Câu 11. Cho hai hàm () và () có đạo hàm trên
[
1;2
]
thỏa mãn (1)=(1)=0 và
󰇱
(1)
2
() + 2017=(+1)′()
3
1
′() + ()=2018
2
,∀∈
[
1;2
]
. Tính tích phân =
∫
󰇣
1
() −
2
1
1
()
󰇤
.
A. =
1
2
. B. =1. C. =
3
2
. D. =2.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết ta có:
󰇱
1
(1)
2
() −
1
′()=−2017
1
′() +
1
2
()=2018
,∀∈
[
1;2
]
.
Suy ra:
󰇣
1
(1)
2
() +
1
′()
󰇤
−
󰇣
1
′() −
1
2
()
󰇤
=1 ⇔
󰇣
1
()
󰇤
′
−
󰇣
1
()
󰇤
′
=1
⇒
1
() −
1
()=+ .
Mà (1)=(1)=0 ⇒=−1 ⇒ =
∫
󰇣
1
() −
1
()
󰇤
2
1
=
∫
(−1)=
1
2
2
1
.
Câu 12. Cho hàm số
(
)
liên tục và có đạo hàm trên 󰇡0;
2
󰇢, thỏa mãn hệ thức
(
)
+ tan.′
(
)
=
cos
3
.
Biết rằng
√
3󰇡
3
󰇢−󰇡
6
󰇢=
√
3 + ln3 trong đó ,∈ℚ. Tính giá trị của biểu thức =
+ .
A. =−
4
9
. B. =−
2
9
. C. =
7
9
. D. =
14
9
.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết, ta có cos.
(
)
+ sin.′
(
)
=
cos
2
⇔
[
sin.
(
)]
′
=
cos
2
.
Suy ra sin.
(
)
=
∫
cos
2
d=tan+ ln
|
cos
|
+ .
Với =
3
⇒
√
3
2
󰇡
3
󰇢=
3
.
√
3 −ln2 + ⇒
√
3󰇡
3
󰇢=
2
3
.
√
3 −2ln2 + 2.
Với =
6
⇒
1
2
󰇡
6
󰇢=
6
.
√
3
3
+
1
2
ln3 −ln2 + ⇒󰇡
6
󰇢=
1
9
.
√
3 + ln3 −2ln2 + 2.
Suy ra
√
3󰇡
3
󰇢−󰇡
6
󰇢=
5
9
√
3 −ln3 ⇒󰇫
=
5
9
=−1
⇒=+ =−
4
9
.
Câu 13. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên
[
0; 1
]
thỏa mãn 3
(
)
+ .′()≥

∀∈
[
0; 1
]
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
∫
(
)
d.
A.
1
2018.2020
. B.
1
2019.2020
. C.
1
2020.2021
. D.
1
2019.2021
.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số:
(
)
=
3
.
(
)
−
2021
2021
trên
[
0; 1
]
.
Ta có: ′
(
)
=3
2
(
)
+
3
′
(
)
−
2020
=
2
.
[
3
(
)
+ .′() −
2018
]
≥0 ∀∈
[
0; 1
]
.
Do đó
(
)
là hàm số không giảm trên
[
0; 1
]
, suy ra
(
)
≥
(
0
)
∀∈
[
0; 1
]
Hay
3
.
(
)
−
2021
2021
≥0,∀∈
[
0; 1
]
⇔
(
)
≥
2018
2021
≥0,∀∈
[
0; 1
]
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Vậy:
∫
(
)
1
0
d≥
∫
2018
2021
1
0
d=
1
2019.2021
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
(
)
=
2018
2021
.
QUY TẮC ĐẠO HÀM THƯƠNG
Nếu =
(
)
và =
(
)
thì 󰇡
󰇢
′
=
′′
2
với ≠0.
- Nếu 󰇡
(
)
(
)
󰇢
′
=ℎ
(
)
thì
(
)
(
)
=
∫
ℎ
(
)
.
Hệ quả: Nếu =
(
)
thì 󰇡
1
󰇢
′
=
′
2
với ≠0.
- Nếu 󰇡
1
(
)
󰇢
′
=
(
)
thì
1
(
)
=
∫
(
)

Câu 14. Cho hàm số
(
)
thỏa mãn
(
2
)
=−
và ′
(
)
=2
[
(
)]
,∀∈ℝ. Giá trị của
(
1
)
bằng
A. −
35
36
. B. −
2
3
. C. −
19
36
. D. −
2
15
.
Lời giải
Chọn B
+)Ta có ′
(
)
=2
[
(
)]
2
⇒
′
(
)
[
(
)]
2
=2⇒
󰇣
1
(
)
󰇤
′
=−2⇒
1
(
)
=−
∫
2
⇒
1
(
)
=−
2
+ .
+) Lại có
(
2
)
=−
2
9
⇒=−
1
2
⇒
1
(
)
=−
2
−
1
2
⇒
(
1
)
=−
2
3
.
Câu 15. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên khoảng
(
0 ; +∞
)
thỏa mãn
′
(
)
+
(
)
=0
và
(
)
≠0, ∀∈
(
0 ; +∞
)
. Tính
(
2
)
biết
(
1
)
=e.
A.
(
2
)
=e
2
. B.
(
2
)
=
√
e
3
. C.
(
2
)
=2e
2
. D.
(
2
)
=
√
e.
Lời giải
Chọn D
Ta có
(
)
≠0, ∀∈
(
0 ; +∞
)
⇒
(
)
=0 không có nghiệm trên khoảng
(
0 ; +∞
)
⇒
(
)
=0 không có nghiệm trên khoảng
(
1 ; 2
)
⇒
(
1
)
.
(
2
)
>0, ∀∈
(
1 ; 2
)
.
Mà
(
1
)
=e >0 nên
(
2
)
>0.
Do đó
2
′
(
)
+
(
)
=0 ⇔
1
2
=−
′
(
)
(
)
.
Suy ra
∫
1
2
d
2
1
=−
∫
′
(
)
(
)
d
2
1
⇔ −
1
󰇻
1
2
=−ln
|
(
)
|
1
2
⇔
−󰇡
1
2
−1󰇢=−
(
ln
|
(
2
)
|
−ln
|
(
1
)
|
)
⇔
1
2
=−
[
ln
(
2
)
−lne
]
⇔
1
2
=−ln
(
2
)
+ 1
⇔
ln
(
2
)
=
1
2
⇔
(
2
)
=e
1
2
=
√
e.
Câu 16. Cho hàm số
(
)
thỏa mãn
(
1
)
=
và ′
(
)
=
[

(
)]
với mọi ∈ℝ. Giá trị
(
2
)
bằng
A.
2
3
. B.
3
2
. C.
16
3
. D.
3
16
.
Lời giải
Chọn B
+) Từ giả thiết, ta có
′
(
)
2
(
)
=
2
⇒
󰇣
1
(
)
󰇤
′
=−
2
⇒
1
(
)
=−
∫
2
=−
3
3
+ .
+) Lại có
(
1
)
=
1
3
⇒=
10
3
⇒
1
(
)
=

3
10
3
⇒
1
(
2
)
=
2
3
⇒
(
2
)
=
3
2
.
Câu 17. Cho hàm số
(
)
thỏa mãn các điều kiện
(
1
)
=2,
(
)
≠0,∀>0 và
(
+ 1
)
′
(
)
=
[
(
)]
(
−1
)
với mọi >0. Giá trị của
(
2
)
bằng
A.
2
5
. B. −
2
5
. C. −
5
2
. D.
5
2
.
Lời giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Ta có
(
2
+ 1
)
2
′
(
)
=
[
(
)]
2
(
2
−1
)
⇔
′
(
)
[
(
)]
2
=
2
1

2
1
2
∀∈
[
1;2
]
(∗)
Lấy tích phân 2 vế (*) trên
[
1;2
]
ta được
′
(
)
[
(
)]
2
d
2
1
=
2
−1
(
2
+ 1
)
2
2
1
d⇔−
1
(
)
󰇻
2
1
=
1 −
1
2
󰇡+
1
󰇢
2
2
1
d
⇔−
1
(
2
)
+
1
(
1
)
=
d 󰇡+
1
󰇢
󰇡+
1
󰇢
2
2
1
⇔−
1
(
2
)
+
1
2
=−
1
󰇡+
1
󰇢
󰇻
2
1
⇔−
1
(
2
)
+
1
2
=−
2
5
+
1
2
⇔
(
2
)
=
5
2
.
Câu 18. Cho hàm số =
(
)
liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn
󰇣
0;
󰇤
thỏa mãn ′
(
)
=
tan.
(
)
, ∀∈
󰇣
0;
󰇤
,
(
0
)
=1. Khi đó
∫
cos.
(
)
d
bằng
A.

. B.
. C. ln

. D. 0.
Lời giải
Chọn B
Từ ′
(
)
=tan.
(
)
, ∀∈
󰇣
0;
󰇤
và
(
)
liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn
󰇣
0;
󰇤
, ta có:
󰆒
(
)
(
)
=tan, ∀∈
󰇣
0;
󰇤
⇒
∫
󰆒
(
)
(
)
d=
∫
tand, ∀∈
󰇣
0;
󰇤
⇒
∫
󰆒
(
)
(
)
d=
∫


d, ∀∈
󰇣
0;
󰇤
⇒ln
(
)
=−ln
(
cos
)
+ , ∀∈
󰇣
0;
󰇤
.
Mà
(
0
)
=1 nên suy ra ln
(
0
)
=−ln
(
cos0
)
+ ⇒=0.
Như vậy ln
(
)
=−ln
(
cos
)
⇒
(
)
=

, ∀∈
󰇣
0;
󰇤
.
Từ đó =
∫
cos.
(
)
d
4
0
=
∫
cos.
1
cos
d
4
0
=
∫
d
4
0
=
4
.
Câu 19. Cho hàm số () thỏa mãn (1)=4 và (
2
+ 3)
2
′()=2.
2
();()≠0,∀∈ℝ. Giá trị
của (3) bằng
A. 9. B. 6. C. 2019. D. 12.
Lời giải
Chọn D
Vì (
2
+ 3)
2
′()=2.
2
();()≠0,∀∈ℝ nên
⇒
′()
2
()
=
2
(
2
+ 3)
2
⇒
′()
2
()
3
1
d=
2
(
2
+ 3)
2
d
3
1
⇔
d()
2
()
3
1
=
d(
2
+ 3)
(
2
+ 3)
2
3
1
⇔−
1
()
󰇻
3
1
=−
1
2
+ 3
󰇻
3
1
⇔
1
(1)
−
1
(3)
=
1
4
−
1
12
⇔
1
4
−
1
(3)
=
1
4
−
1
12
⇔(3)=12.
Câu 20. Cho hàm số =
(
)
xác định và liên tục trên ℝ\
{
0
}
thỏa mãn:
(
)
+
(
2−1
)
(
)
=
.′
(
)
−1 với ∀∈ℝ\
{
0
}
đồng thời
(
1
)
=−2. Tính
∫
(
)

.
A. −ln2 −
. B. −ln2 −
. C. −

−
. D. −

−1.
Lời giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Ta có ∀∈ℝ\
{
0
}
;
(
)
+
(
2−1
)
(
)
=.
󰆒
(
)
−1
⇔
(

(
)
+ 1
)
=() + ′() (∗)
Đặt ℎ()=() + 1⇒h′(x)=() +′()
Khi đó (*) có dạng
ℎ
()=ℎ′()⇒
ℎ′()
ℎ
()
=1⇒
ℎ′()
ℎ
()
=
1.⇒−
1
ℎ()
=+
⇒ℎ()=−
1
+
⇒.() +1=−
1
+
Vì
(
1
)
=−2. nên −2 + 1=−

⇔=0. Suy ra
(
)
=−
−
.
Vậy
∫
(
)

=
∫
󰇡−
−
󰇢
=󰇡
−ln
|
|
󰇢
󰇻
2
1
=−ln2−
.
Câu 21. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm cấp hai trên đoạn
[
0;1
]
đồng thời thỏa mãn các điều kiện ′
(
0
)
=
−1;′
(
)
<0 và
[
′
(
)]
2
=′′
(
)
,∀∈
[
0;1
]
. Giá trị của
(
0
)
−
(
1
)
thuộc khoảng nào?
A.
(
1;2
)
. B.
(
−1;0
)
. C.
(
0;1
)
. D.
(
−2;−1
)
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
[
′
(
)]
2
=′′
(
)
⇔
′′
(
)
[
′
(
)]
2
=1 ⇔
∫
′′
(
)
[
′
(
)]
2
d=
∫
d.
⇔
∫
[
′
(
)]
2
d
[
′
(
)]
=+ ⇔
1
′
(
)
=+ .
Mà ′
(
0
)
=−1 ⇒
1
1
=⇔=1 ⇒
1
′
(
)
=+ 1 ⇒′
(
)
=
1
1
.
Ta có
(
0
)
−
(
1
)
=
∫
′
(
)
d=
∫
d
1
1
0
0
1
=ln2 ∈
(
0;1
)
Câu 22. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
đồng thời thỏa mãn ′
(
0
)
=9 và 9′′
(
)
+
[
′
(
)
−
]
=9. Tính =
(
1
)
−
(
0
)
.
A. =2 + 9ln2. B. =9. C. =
1
2
+ 9ln2. D. =2 −9ln2.
Lời giải
Chọn C
Ta có 9′′
(
)
+
[
′
(
)
−
]
2
=9 ⇒9
(
′′
(
)
−1
)
=−
[
′
(
)
−
]
2
⇒−
′′
(
)
1
[
′
(
)

]
2
=
1
9
.
Lấy nguyên hàm hai vế−
∫
′′
(
)
1
[
′
(
)

]
2
d=
∫
1
9
d⇒
1
′
(
)

=
9
+ .
Do ′
(
0
)
=9 nên =
1
9
suy ra ′
(
)
−=
9
1
⇒′
(
)
=
9
1
+
Vậy =
(
1
)
−
(
0
)
=
∫
󰇡
9
1
+ 󰇢d
1
0
=󰇡9ln
|
+ 1
|
+
2
2
󰇢
󰇻
0
1
=9ln2 +
1
2
.
Câu 23. Cho hàm số =
(
)
, ∀≥0, thỏa mãn
′′
(
)
.
(
)
−2
[
′
(
)]
2
+
3
(
)
=0
′
(
0
)
=0;
(
0
)
=1
. Tính
(
1
)
.
A.
2
3
. B.
3
2
. C.
6
7
. D.
7
6
.
Lời giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Ta có: ′′
(
)
.
(
)
−2
[
′
(
)]
2
+
3
(
)
=0 ⇔
′′
(
)
.
(
)
2
[
′
(
)]
2
3
(
)
=−
⇒
󰇩
′
(
)
2
(
)
󰇪
′
=−⇒
′
(
)
2
(
)
=−
2
2
+
⇒
′
(
0
)
2
(
0
)
=−
0
2
2
+ ⇒=0.
Do đó
′
(
)
2
(
)
=−
2
2
⇒
′
(
)
2
(
)
d
1
0
=−
2
2
d
1
0
⇒−
1
(
)
0
1
=󰇧−
3
6
󰇨
󰈅
0
1
⇒−
1
(
1
)
+
1
(
0
)
=−
1
6
⇒
(
1
)
=
6
7
.
Câu 24. Cho hàm số =
(
)
xác định và liên tục trên ℝ\{0} thỏa mãn:
(
)
+
(
2−1
)
(
)
=
.′
(
)
−1 với đồng thời
(
1
)
=2. Tính
∫
(
)
d
.
A. −2ln2 −
. B. −2ln2 −
. C. −ln2−
. D. −ln2 −
.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết ta có:
(

(
)
+ 1
)
=
(
)
+ ′
(
)
.
Đặt =.
(
)
+ 1⇒
=′⇒
󰆒
=1⇒
∫
󰆒
dx=+ ⇒

=+ .
Vậy .
(
)
=


−1, mà
(
1
)
=−2⇒=0.
Vậy
(
)
=−
−
⇒
∫
(
)
d=−2ln2 −
.
Câu 25. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
1;2
]
và thỏa mãn
(
1
)
=−
và
(
)
+
′
(
)
=
(
2
+
)
(
)
,∀∈
[
1;2
]
. Giá trị của tích phân
∫

(
)
 bằng
A. ln
4
3
. B. ln
3
4
. C. ln3. D. 0.
Lời giải
Chọn B
+) Từ giả thiết, ta có
(
)
+ ′
(
)
=
(
2
3
+
2
)
2
(
)
⇒
(
)
′
(
)
[

(
)]
2
=2+ 1
⇒
1

(
)
′
=−2−1 ⇒
1

(
)
=
(
−2−1
)
⇒
1

(
)
=−
2
−+.
+) Lại có
(
1
)
=−
1
2
⇒=0 ⇒
(
)
=−
1
(
1
)
⇒
∫

(
)
2
1
=
∫
1
(
1
)
2
1

=
1
+ 1
−
1
2
1
=ln
+ 1
󰇻
2
1
=ln
3
4
.
Câu 26. Cho hàm số
(
)
liên tục và có đạo hàm tại mọi ∈
(
0;+∞
)
đồng thời thỏa mãn điều kiện:
(
)
=
sin+ ′
(
)
+ cos và
∫
(
)
sind=−4.

Khi đó,
(
)
nằm trong khoảng
nào?
A.
(
6;7
)
. B.
(
5;6
)
. C.
(
12;13
)
. D.
(
11;12
)
.
Lời giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Chọn B
Ta có:
(
)
=
sin+ ′
(
)
+ cos⇒
(
)
−′
(
)
2
=
sin
+
cos
2
⇒󰇧
(
)
󰇨
′
=
1
cos
′
⇒
(
)
=
1
cos+
⇒
(
)
=cos+ 
Khi đó:
∫
(
)
sind
3
2
2
=−4 ⇔
∫
(
cos+
)
sind
3
2
2
=−4
⇔
∫
cossind+
∫
sin
3
2
2
d=−4
3
2
2
⇔0 +
(
−2
)
=−4 ⇔=2
⇒
(
)
=cos+ 2 ⇒
(
)
=2−1 ∈
(
5;6
)
.
Câu 27. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm ′
(
)
liên tục trên
[
1;
]
thỏa mãn
(
1
)
=
1
2
và .′
(
)
=
2
(
)
−
3
(
)
+
1
,∀∈
[
1;
]
. Tính giá trị của
(
)
.
A.
3
2
. B.
4
3
. C.
3
4
. D.
2
3
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
.′
(
)
=
2
(
)
−3
(
)
+
1
⇔.′
(
)
+
(
)
=
2
.
2
(
)
2.
(
)
1
⇔
[
.
(
)]
′
=
[
.
(
)
1
]
2
⇔
[
.
(
)]
′
[
.
(
)
1
]
2
=
1
.
⇔
∫
[
.
(
)]
′
[
.
(
)
1
]
2
d=
∫
1
d⇔
1
1.
(
)
=ln
|
|
+ .
(
1
)
=
1
2
⇒=2 ⇒
(
)
=
2
3
.
Câu 28. Cho hàm số
(
)
≠0 thỏa mãn điều kiện ′
(
)
=
(
2+3
)
(
)
và
(
0
)
=−
. Biết rằng tổng
(
1
)
+
(
2
)
+
(
3
)
+..+
(
2017
)
+
(
2018
)
=
với
(
∈ℝ,∈ℝ
)
và
là phân số tối
giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
<−1. B.
>1. C. + =1010. D. −=3029.
Lời giải
Chọn D
Ta có ′
(
)
=
(
2+ 3
)
2
(
)
⇔
′
(
)
2
(
)
=2+ 3
⇔
∫
′
(
)
2
(
)
d=
∫
(
2+ 3
)
d⇔−
1
(
)
=
2
+ 3+ . Vì
(
0
)
=−
1
2
⇒=2.
Vậy
(
)
=−
1
(
1
)(
2
)
=
1
2
−
1
1
.
Do đó
(
1
)
+
(
2
)
+
(
3
)
+..+
(
2017
)
+
(
2018
)
=
1
2020
−
1
2
=−
1009
2020
.
Vậy =−1009; =2020. Do đó −=3029.
Câu 29. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên
(
0;+∞
)
, biết ′
(
)
+
(
2+ 3
)
2
(
)
=0,
(
)
>0
với mọi >0 và
(
1
)
=
1
6
. Tính =1 +
(
1
)
+
(
2
)
+..+
(
2018
)
.
A. =
1009
2020
. B. =
2019
2020
. C. =
3029
2020
. D. =
4039
2020
.
Lời giải
Chọn C
Ta có: ′
(
)
+
(
2+ 3
)
2
(
)
=0 ⇔
′
(
)
2
(
)
=−
(
2+ 3
)
(do
(
)
>0)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
⇒
∫
′
(
)
2
(
)
d=−
∫
(
2+ 3
)
d⇒ −
1
(
)
=−
2
−3+⇒
(
)
=
1
2
3
.
Mà
(
1
)
=
1
6
⇒
1
4
=
1
6
⇒=−2.
⇒
(
)
=
1
2
32
=
1
1
−
1
2
.
Suy ra =1 + 󰇡
1
2
−
1
3
󰇢+󰇡
1
3
−
1
4
󰇢+..+󰇡
1
2019
−
1
2020
󰇢=1 +
1
2
−
1
2020
=
3029
2020
.
Câu 30. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
1;2
]
thỏa mãn
(
1
)
=2 và
(
)
−
(
+ 1
)
′
(
)
=2
(
)
,∀∈
[
1;2
]
. Giá trị của
∫
(
)

bằng
A. 1 + ln2. B. 1 −ln2. C.
1
2
−ln2. D.
1
2
+ ln2.
Lời giải
Chọn D
+) Từ giả thiết, ta có
(
)
−
(
+ 1
)
′
(
)
=2
2
(
)
⇒
(
)
(
1
)
′
(
)
2
(
)
=2
⇒
+ 1
(
)
′
=2⇒
+ 1
(
)
=
2⇒
+ 1
(
)
=
2
+ .
+) Lại có
(
1
)
=2 ⇒=0 ⇒
(
)
=
1
+
1
2
⇒
∫
(
)

2
1
=
∫
󰇡
1
+
1
2
󰇢
2
1
=ln
󰇻
2
1
−
1
󰇻
2
1
=
1
2
+ ln2.
Câu 31. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn
(
0
)
=
và
(
)
−′
(
)
=
[
(
)]
với mọi ∈
[
0;1
]
. Tính diện tíchcủa hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số =
(
)
,
trục hoành và hai đường thẳng =0; =1.
A. ln2. B. ln
4
3
. C. ln12. D. ln
3
4
.
Lời giải
Chọn B
+) Ta có
(
)
−′
(
)
=
[
(
)]
2
⇒
(
)
′
(
)
[
(
)]
2
=1 ⇒
(
)

′
(
)
[
(
)]
2
=
⇒
(
)
′
(
)

′
(
)
[
(
)]
2
=
⇒
󰇣
(
)
󰇤
′
=
⇒
(
)
=
∫
=
+ .
+) Lại có
(
0
)
=
1
3
⇒=2 ⇒
(
)
=
+ 2 ⇒
(
)
=
2
.
+) Do đó =
∫
2
ln2
0
=ln
(
2 +
)
󰇻
ln2
0
=ln4 −ln3 =ln
4
3
.
=1−2.
Câu 32. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (1;+∞) và thỏa mãn
(
′() −2()
)
ln=
−
(), ∀∈(1;+∞); biết
√
=3. Giá trị (2) thuộc khoảng nào dưới đây?
A. 󰇡12;
25
2
󰇢. B. 󰇡13;
27
2
󰇢. C. 󰇡
23
2
;12󰇢. D. 󰇡14;
29
2
󰇢.
Lời giải
Chọn C
Vì ∈(1;+∞) nên ta có
(
2
′() −2()
)
ln=
4
−()⇔󰇧
2
′() −2()
4
󰇨ln=1 −
()
3
⇒
()
2
′
ln=1 −
()
3
⇔
()
2
′
lnd=
1 −
()
3
d
⇔
()ln
2
−
()
3
d=−
()
3
d+
⇔
()ln
2
=+ ⇔
()ln
2
=+ ⇔()=
2
(

)
ln
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Theo bài ra
√
3
=3⇒=0 ⇒() =
3
ln
.
Do đó (2) =
8
ln2
∈󰇡
23
2
;12󰇢.
Câu 33. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên khoảng
(
0;1
)
và
(
)
≠0, ∀∈
(
0;1
)
. Biết rằng
󰇡
󰇢=, 󰇡
√
󰇢= và + ′
(
)
=2
(
)
−4, ∀∈
(
0;1
)
. Tính tích phân =
∫

.
(

)
d
theo và .
A. =
3
4
.
B.
=
3
4
.
C.
=
3
4
.
D
.
=
3
4
.
Lời giải
Chọn D
∀∈
(
0;1
)
ta có:
+ ′
(
)
=2
(
)
−4 ⇔+ 4 =2
(
)
−′
(
)
⇒
2
+ 4=2
(
)
−
2
′
(
)
⇔
2
4
2
(
)
=
2
(
)

2
′
(
)
2
(
)
⇔
2
4
2
(
)
=󰇡
2
(
)
󰇢
′
.
Tính =
∫
sin
2
.cos2sin2
2
(
sin
)
d
3
6
=
∫
sin
2
.cos4sin.cos
2
(
sin
)
d
3
6
Đặt =sin⇒d=cosd, đổi cận =
6
⇒=
1
2
, =
3
⇒=
√
3
2
.
Ta có =
∫
2
4
2
(
)
d
√
3
2
1
2
=
2
(
)
󰇻
1
2
√
3
2
=
√
3
2
2
√
3
2
−
󰇡
1
2
󰇢
2
󰇡
1
2
󰇢
=
3
4
−
1
4
=
3
4
.
Câu 34. Cho hàm số
(
)
>0 có đạo hàm liên tục trên
󰇣
0,
󰇤
, đồng thời thỏa mãn′
(
0
)
=0;
(
0
)
=1 và
′′
(
)
.
(
)
+
󰇣
(
)

󰇤
=
[
′
(
)]
.Tính =󰇡
󰇢
A. =
3
4
. B. =
√
3
4
. C. =
√
3
2
. D. =
1
2
.
Lời giải
Chọn D
Ta có ′′
(
)
.
(
)
+
󰇣
(
)
cos
󰇤
2
=
[
′
(
)]
2
⇔
′′
(
)
.
(
)
[
′
(
)]
2
2
(
)
=−
1
cos
2
󰇣
′
(
)
(
)
󰇤
′
=−
1
cos
2
⇒
′
(
)
(
)
=−tan+. Vì
′
(
0
)
=0
(
0
)
=1
nên =0.
Do đó
′
(
)
(
)
=−tan. Suy ra
∫

(
)
(
)
3
0
=
∫
−tan
3
0
.=
∫
(cos)
cos
3
0
⇔ln
(
)
|
0
3
=lncos
|
0
3
⇔ln󰇡
3
󰇢−ln
(
0
)
=ln
1
2
−ln1 ⇔󰇡
3
󰇢=
1
2
.
Câu 35. Cho hàm số =
(
)
xác định và liên tục trên ℝ\
{
0
}
thỏa mãn:
2
2
(
)
+
(
2−1
)
(
)
=
′
(
)
−1 ∀∈ℝ\
{
0
}
đồng thời
(
1
)
=−2. Tính
∫
(
)
d
2
1
.
A. −ln2 −
1
2
. B. −ln2 −
3
2
. C. −
ln2
2
−
3
2
. D. −
ln2
2
−1.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
2
(
)
+
(
2−1
)
(
)
=′
(
)
−1 ⇔
2
2
(
)
+ 2
(
)
−
(
)
=′
(
)
−1 ⇔
2
2
(
)
+ 2
(
)
+ 1 =′
(
)
+
(
)
⇔
[

(
)
+ 1
]
2
=′
(
)
+
(
)
(
∗
)
.
Xét 
(
)
+ 1 =0 ⇒
(
)
=−
1
⇒
(
1
)
=−1 (không thỏa mãn).
Xét 
(
)
+ 1 ≠0, ta có
(
∗
)
⇔
′
(
)

(
)
[

(
)
1
]
2
=1 ⇔
[

(
)
1
]
′
[

(
)
1
]
2
=1.
⇒
∫
[

(
)
1
]
′
[

(
)
1
]
2
d=
∫
d ⇒−
1

(
)
1
=+ .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Cho =1 ta được : −
1
1
(
1
)
1
=1 + ⇒−
1
21
=1 + ⇒=0.
⇒−
1

(
)
1
= ⇒
(
)
+ 1 =−
1
(vì) ≠0 ⇒
(
)
=−
1
2
−
1
Vậy
∫
(
)
d
2
1
=
∫
󰇡−
1
2
−
1
󰇢d
2
1
=
1
󰇻
1
2
−ln
|
1
2
=−
1
2
−ln2.
Câu 36. Cho hàm số =
(
)
liên tục và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn 3
2
(
)
.′
(
)
−
4e

3
(
)
2
2
1
=1 =
(
0
)
. Biết rằng =
∫
(
4+ 1
)
(
)
d
1
√
4089
4
0
=
là phân số tối giản.
Tính =−2.
A. =12277. B. =6127. C. =12281. D. =6125.
Lời giải
Chọn A
Ta có 3
2
(
)
.′
(
)
−4e

3
(
)
2
2
1
=1 ⇔
3
2
(
)
.′
(
)
.e
3
(
)
e
−4e
2
2
1
=
e
3
(
)
e
⇔
3
2
(
)
.′
(
)
.e
3
(
)
−e
3
(
)
e
=4e
2
2
1
⇔
e
3
(
)
e
′
=4e
2
2
1
⇒
e
3
(
)
e
=
∫
4e
2
2
1
d =
∫
e
2
2
1
d
(
2
2
+ 1
)
=e
2
2
1
+ .
Do
(
0
)
=1 nên =0.
Khi đó
e
3
(
)
e
=e
2
2
1
⇔
3
(
)
=2
2
+ + 1 ⇔
(
)
=
√
2
2
+ + 1
3
.
Do đó =
∫
(
2
2
+ +1
)
1
3
d
(
2
2
+ + 1
)
1
√
4089
4
0
=
3
4
(
2
2
+ + 1
)
4
3
0
1
√
4089
4
=
12285
4
=
Vậy =−2=12285 −8 =12277.
Câu 37. Cho hàm số =
(
)
. Có đạo hàm liên tục trên ℝ. Biết
(
1
)
=e và
(
+ 2
)
(
)
=′
(
)
−
3
, ∀∈ℝ. Tính
(
2
)
.
A. 4e
2
−4e + 4. B. 4e
2
−2e +1. C. 2e
3
−2e +2. D. 4e
2
+ 4e −4.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
(
+ 2
)
(
)
=′
(
)
−
3
⇔
′
(
)
(
2
)
(
)
3
=1 ⇔
󰇣
e

(
)
2
󰇤
′
=e

Suy ra
∫
󰇣
e

(
)
2
󰇤
′
d=
∫
e

d
2
1
2
1
⇔
e
2
(
2
)
2
2
−
e
1
(
1
)
1
2
=−
[
e
2
−e
1
]
⇔
e
2
(
2
)
4
−
e
1
(
1
)
1
=e
1
−e
2
⇔
(
2
)
=4
[
e
(
1
)
+ e −1
]
=4e
2
+ 4e −4.
Câu 38. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên khoảng
(
0;1
)
và
(
)
≠0, ∀∈
(
0;1
)
. Biết rằng
󰇡
󰇢=, 󰇡
√
󰇢= và + ′
(
)
=2
(
)
−4, ∀∈
(
0;1
)
. Tính tích phân =
∫

.
(

)
d
theo và .
A. =
3
4
.
B.
=
3
4
.
C.
=
3
4
.
D.
=
3
4
.
Lời giải
Chọn D
∀∈
(
0;1
)
ta có:
+ ′
(
)
=2
(
)
−4 ⇔+ 4 =2
(
)
−′
(
)
⇒
2
+ 4=2
(
)
−
2
′
(
)
⇔
2
4
2
(
)
=
2
(
)

2
′
(
)
2
(
)
⇔
2
4
2
(
)
=󰇡
2
(
)
󰇢
′
.
Tính =
∫
sin
2
.cos2sin2
2
(
sin
)
d
3
6
=
∫
sin
2
.cos4sin.cos
2
(
sin
)
d
3
6
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Đặt =sin⇒d=cosd, đổi cận =
6
⇒=
1
2
, =
3
⇒=
√
3
2
.
Ta có =
∫
2
4
2
(
)
d
√
3
2
1
2
=
2
(
)
󰇻
1
2
√
3
2
=
√
3
2
2
√
3
2
−
󰇡
1
2
󰇢
2
󰇡
1
2
󰇢
=
3
4
−
1
4
=
3
4
.
Câu 39. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (1;+∞) và thỏa mãn
(
′() −2()
)
ln=
3
−
(), ∀∈(1;+∞);biết
√
3
=3. Giá trị (2) thuộc khoảng nào dưới đây?
A. 󰇡12;
25
2
󰇢. B. 󰇡13;
27
2
󰇢. C. 󰇡
23
2
;12󰇢. D. 󰇡14;
29
2
󰇢.
Lời giải
Chọn C
Vì ∈(1;+∞) nên ta có
(
2
′() −2()
)
ln=
4
−()⇔󰇧
2
′() −2()
4
󰇨ln=1 −
()
3
⇒
()
2
′
ln=1 −
()
3
⇔
()
2
′
lnd=
1 −
()
3
d
⇔
()ln
2
−
()
3
d=−
()
3
d+
⇔
()ln
2
=+ ⇔
()ln
2
=+ ⇔()=
2
(

)
ln
.
Theo bài ra
√
3
=3⇒=0 ⇒() =
3
ln
.
Do đó (2) =
8
ln2
∈󰇡
23
2
;12󰇢.
ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHỨA CĂN
Nếu =
(
)
thì
√
′
=
′
2
√
với >0.
- Nếu
(
)
′
=ℎ
(
)
thì
(
)
=
∫
ℎ
(
)
.
Câu 40. Cho hàm số
(
)
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn ′
(
)
=2
(
)
,
∀∈
[
0;1
]
và
(
0
)
=1. Giá trị của tích phân
∫
(
)

bằng
A.
8
3
. B. 7. C.
1
3
. D.
7
3
.
Lời giải
Chọn D
+) Từ giả thiết, ta có ′
(
)
=2
(
)
⇒
′
(
)
2
(
)
=1 ⇒
(
)
′
=1 ⇒
(
)
=
∫
⇒
(
)
=+
+) Lại có
(
0
)
=1 ⇒=1 ⇒
(
)
=
(
+ 1
)
2
⇒
∫
(
)

1
0
=
∫
(
+ 1
)
2
=
1
3
(
+
1
0
1
)
3
󰇻
1
0
=
7
3
.
Câu 41. Cho hàm số
(
)
thỏa mãn
(
2
)
=25 và ′
(
)
=4
(
)
với mọi ∈ℝ. Khi đó
∫
(
)
d
3
2
bằng
A.
1073
15
. B.
458
15
. C.
838
15
. D.
1016
15
.
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết ta suy ra được: ′
(
)
≥0 ∀∈
(
0;+∞
)
.
Suy ra hàm số
(
)
không nghịch biến trên bất kì khoảng con nào của
(
0;+∞
)
.
Từ đó suy ra
(
)
≥
(
2
)
=25 >0 ∀∈
[
2;+∞
)
.
Xét trên
[
2;+∞
)
ta có: ′
(
)
=4
(
)
⇔
′
(
)
2
(
)
=2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Suy ra
∫
′
(
)
2
(
)
d=
∫
2d ⇒
(
)
=
2
+ .
Mà
(
2
)
=25 nên ta suy ra được
√
25 =2
2
+ ⇔=1.
Từ đó ta có:
(
)
=
(
2
+ 1
)
2
=
4
+ 2
2
+ 1, ∀∈
[
2;+∞
)
.
Do đó
∫
(
)
d
3
2
=
∫
(
4
+ 2
2
+ 1
)
d
3
2
=
󰇣
5
5
+
2
3
3
+
󰇤󰇻
2
3
=
838
15
.
Câu 42. Cho hàm số
(
)
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn
(
0
)
=1 và
[
′
(
)]
−16
.
(
)
=0
với mọi ∈
[
0;1
]
. Giá trị của tích phân =
∫
(
)

bằng
A.
28
15
. B.
8
15
. C. −
2
3
. D.
4
3
.
Lời giải
Chọn A
+) Từ giả thiết, ta có
[
′
(
)]
2
=16
2
.
(
)
⇒
[
′
(
)]
2
4
(
)
=4
2
⇒
′
(
)
2
(
)
=2 ⇒
(
)
′
=2⇒
(
)
=
∫
2⇒
(
)
=
2
+ .
+) Lại có
(
0
)
=1 ⇒=1 ⇒
(
)
=
(
2
+ 1
)
2
⇒=
∫
(
)

1
0
=
∫
(
2
+ 1
)
2

1
0
=
28
15
.
Câu 43. Cho hàm số =
(
)
>0 xác định, có đạo hàm trên đoạn
[
0;1
]
và thỏa mãn:
(
)
=1 +
2018
∫
(
)
dt
,
(
)
=
(
)
. Tính
∫
(
)
d
.
A.
1011
2
. B.
1009
2
. C.
2019
2
. D. 505.
Lời giải
Chọn A
Ta có
(
)
=1 + 2018
∫
(
)
dt
0
⇒′
(
)
=2018
(
)
=2018
(
)
⇒
′
(
)
(
)
=2018 ⇒
′
(
)
(
)
d=2018
0
d
0
⇒2󰇡
(
)
󰇢
󰇻
0
=2018
|
0
⇒2
(
)
−1
=2018 (do
(
0
)
=1)⇒
(
)
=1009+ 1 ⇒
∫
(
)
dt
1
0
=󰇡
1009
2
2
+
󰇢
󰇻
0
1
=
1011
2
.
Câu 44. Cho hàm số =
(
)
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn
′
(
)
2
=
(
)
.
,∀∈ℝ và
(
0
)
=2. Khi đó
(
2
)
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
(
12;13
)
. B.
(
9;10
)
. C.
(
11;12
)
. D.
(
13;14
)
.
Lời giải
Chọn B
Hàm số đồng biến trên ℝ nên ta có
′
(
)
≥0
(
)
>
(
0
)
,∀>0
⇒
′
(
)
2
=
(
)
.
⇔′
(
)
=
(
)
.
2
⇔
′
(
)
2
(
)
=
1
2
2
⇒
′
(
)
2
(
)
dx
2
0
=
1
2
2
dx
2
0
⇔
(
)
󰇻
0
2
=
2
󰇻
0
2
⇔
(
2
)
−
(
0
)
=−1
⇒
(
2
)
=
+
√
2 −1
2
∈
(
9;10
)
.
Câu 45. Cho hàm số
(
)
đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn
[
1;4
]
thỏa mãn
(
1
)
=1 và
[
(
)
+ ′
(
)]
=4
(
)
,∀∈
[
1;4
]
. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số =
(
)
, trục hoành và hai đường thẳng =1,=4.
A. 4 −2ln2. B. 4 +2ln2. C. 4 + ln2. D. 4 −ln2.
Lời giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
+) Ta có
(
)
+ ′
(
)
2
=4
(
)
⇒

(
)
′
(
)
2
4
(
)
=1 ⇒

(
)
′
(
)
2
4
(
)
=
1
⇒
(
)
′
(
)
2

(
)
=
1
√
⇒
(
)
′
(
)
′
(
)
2

(
)
=
1
√
⇒

(
)
′
2

(
)
=
1
√
⇒

(
)
′
=
1
√
⇒

(
)
=
∫
1
√
⇒

(
)
=2
√
+ .
+) Lại có
(
1
)
=1 ⇒=−1 ⇒

(
)
=2
√
−1 ⇒
(
)
=
2
√
1
2
.
+) Do đó =
∫
2
√
1
2

4
1
=
∫
󰇡4 −
4
√
+
1
󰇢=
4
1
4
󰇻
4
1
−8
√
󰇻
4
1
+ ln
󰇻
4
1
=4 + 2ln2.
Câu 46. Cho hàm số liên tục,
(
)
>−1,
(
0
)
=0 và thỏa ′
(
)
√
+ 1=2
(
)
+ 1. Tính
√
3
.
A. 0. B. 3. C. 7. D. 9.
Lời giải
Chọn B
Ta có ′
(
)
√
2
+ 1 =2
(
)
+ 1 ⇔
′
(
)
(
)
1
=
2
2
1
⇔
′
(
)
(
)
+ 1
d
√
3
0
=
2
√
2
+ 1
d
√
3
0
⇔
(
)
+ 1
󰇻
0
√
3
=
2
+ 1
󰇻
0
√
3
⇔
(
)
+ 1
󰇻
0
√
3
=1
⇔
√
3
+ 1 −
(
0
)
+ 1 =1 ⇔
√
3
+ 1 =2 ⇔
√
3
=3.
Câu 47. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
1;4
]
, đồng biến trên đoạn
[
1;4
]
và thỏa
mãn đẳng thức + 2.
(
)
=
[
′
(
)]
,∀∈
[
1;4
]
. Biết rằng
(
1
)
=
, tính =
∫
(
)
d
?
A. =
1186
45
. B. =
1174
45
. C. =
1222
45
. D. =
1201
45
.
Lời giải
Chọn A
Ta có + 2.
(
)
=
[
′
(
)]
2
⇒
√
.
1 + 2
(
)
=′
(
)
⇒
′
(
)
12
(
)
=
√
, ∀∈
[
1;4
]
.
Suy ra
∫
′
(
)
12
(
)
d=
∫
√
d+ ⇔
∫
d
(
)
12
(
)
d=
∫
√
d+
⇒
1 + 2
(
)
=
2
3
3
2
+ . Mà
(
1
)
=
3
2
⇒=
4
3
. Vậy
(
)
=
󰇧
2
3
3
2
4
3
󰇨
2
1
2
.
Vậy =
∫
(
)
d
4
1
=
1186
45
.
Câu 48. Cho hàm số
(
)
liên tục không âm trên
󰇣
0 ;
󰇤
, thỏa mãn
(
)
.′
(
)
=cos
1 +
(
)
với
mọi ∈
󰇣
0 ;
󰇤
và
(
0
)
=
√
3. Giá trị của 󰇡
󰇢 bằng
A. 2. B. 1. C. 2
√
2. D. 0.
Lời giải
Chọn C
Với ∈
󰇣
0 ;
2
󰇤
ta có
(
)
.′
(
)
=cos1 +
2
(
)
⇒
2
(
)
.′
(
)
2
1
2
(
)
=cos
(
∗
)
.
Suy ra 1 +
2
(
)
=sin+ .
Ta có
(
0
)
=
√
3 ⇒=2, dẫn đến
(
)
=
(
sin+ 2
)
2
−1. Vậy 󰇡
2
󰇢=2
√
2.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM MŨ
4) Quy tắc: Nếu =
(
)
thì
(
)
′
=′.
;
- Nếu
(
)
′
=
(
)
thì
(
)
=
∫
(
)
.
Câu 49. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn
(
0
)
=1 và ′
(
)
.
(
)


=
2,∀∈
[
0;1
]
. Giá trị của
∫
(
)

bằng
A.
4
3
. B. 2. C. −
4
3
. D. −2.
Lời giải
Chọn A
+) Ta có
′
(
)
.
(
)

2
1
=2⇒′
(
)
.
(
)
=2
2
1
⇒
(
)
′
=2
2
1
⇒
(
)
=
2
2
1
⇒
(
)
=
2
1
+ .
+) Lại có
(
0
)
=1 ⇒=0 ⇒
(
)
=
2
1
⇒
(
)
=
2
+ 1.
+) Do vậy
∫
(
)

1
0
=
∫
(
2
+ 1
)

1
0
=󰇡
1
3
3
+ 󰇢
󰇻
1
0
=
4
3
.
Câu 50. Cho
(
)
có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn 3′
(
)
.
(
)


−

(
)
=0 với mọi ∈ℝ. Biết
(
0
)
=1, tính tích phân =
∫
.
(
)
d
√
.
A. =
9
2
. B. =
45
8
. C. =
11
2
. D. =
15
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có 3′
(
)
.
3
(
)

2
1
−
2
2
(
)
=0 ⇔3′
(
)
.
3
(
)
2
1
=
2
2
(
)
⇔3
2
(
)
.′
(
)
.
3
(
)
=
2.
2
1
⇔
3
(
)
′
=
2
1
′
⇔
3
(
)
=
2
1
+
(
∗
)
.
Thế =0 vào
(
∗
)
ta được =+ ⇔=0.
Do đó
3
(
)
=
2
1
⇔
3
(
)
=
2
+ 1 ⇔
(
)
=
√
2
+ 1
3
.
Vậy =
∫
√
2
+ 1
3
d
√
7
0
=
1
2
∫
(
2
+ 1
)
1
3
d
(
2
+ 1
)
√
7
0
=
1
2
.

2
1
4
3
4
3
0
√
7
=
3
8
(
2
+ 1
)
√
2
+ 1
3
󰇻
0
√
7
=
3
8
.
(
16 −1
)
=
45
8
.
Câu 51. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn
(
0
)
=0 và ′
(
)
1 +
(
)
=1 +
,∀∈ℝ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số =
(
)
, trục hoành và hai
đường thẳng =1,=3.
A. 4. B. 2. C. 8. D. 5.
Lời giải
Chọn A
+) Ta có ′
(
)
1 +
(
)
=1 +
⇒′
(
)
+ ′
(
)
(
)
=1 +
⇒
(
)
+
(
)
′
=1 +
⇒
(
)
+
(
)
=+
+ .
+) Lại có
(
0
)
=0 ⇒=0 ⇒
(
)
+
(
)
=+
.
Xét hàm số
(
)
=+
với ∈ℝ. ′
(
)
=1 +
>0,∀∈ℝ nên
(
)
đồng biến trên ℝ.
Suy ra
(
)
+
(
)
=+
⇒
(
)
=. Do đó =
∫

3
1
=
1
2
2
󰇻
3
1
=4.
Câu 52. Cho hàm số =() liên tục và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn 3
().′() −
4

()

=1=(0). Biết rằng =
∫
(4+ 1)()

√

d=
là phân số tối
giản. Tính =−3
A. =6123. B. =12279. C. =6125. D. =12273.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Lời giải
Chọn D
Ta có:
3
2
().′() −4

3
()2
2
1
=1 =(0)⇔(
3
())′
3
()
−
3
()
=(4+ 1).
2
2
1
−
2
2
1
⇒
[
3
(
)
−
]
′
3
(
)

=
(
2
2
+ 1
)
′
.
2
2
1
⇒
3
(
)

=
2
2
1
+
Mà
(
0
)
=1 ⇒=0 ⇒
3
(
)
−=2
2
+ 1
⇒
3
()=2
2
+ + 1 ⇒()=
2
2
+ + 1
3
⇒=
∫
(4+ 1)()
1
√
4089
4
0
d=
12285
4
.
ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM LÔGARIT
Nếu =
(
)
nhận giá trị dương trên thì
[
ln
]
′
=
′
trên .
- Nếu
ln
(
)

′
=
(
)
thì ln
(
)
=
∫
(
)
.
Câu 53. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm và liên tục trên đoạn
[
−1;1
]
, thỏa mãn
(
)
>0,∀∈ℝ và
′
(
)
+ 2
(
)
=0. Biết
(
1
)
=1, tính
(
−1
)
.
A.
(
−1
)
=
2
. B.
(
−1
)
=
3
. C.
(
−1
)
=
4
. D.
(
−1
)
=3.
Lời giải
Chọn C
Biến đổi:
′
(
)
+ 2
(
)
=0 ⇔
′
(
)
(
)
=−2 ⇔
′
(
)
(
)
1
1
=
−2
1
1
⇔

(
)
(
)
1
1
=−4
⇔ln
(
)
1
1
=−4
ln
(
1
)
(
1
)
=−4 ⇔
(
1
)
(
1
)
=
4
⇔
(
−1
)
=
(
1
)
.
4
=
4
.
Câu 54. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm ′
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn điều kiện ′
(
)
=2
(
)
, ∀∈
ℝ. Biết
(
0
)
=2 và
(
)
>0, ∀∈ℝ. Tính =
∫
3
(
)
d
1
0
.
A. =1. B. =e. C. =
1e
2
. D. =e −1.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ′
(
)
=2
(
)
⇔
′
(
)
(
)
=2.
⇒
′
(
)
(
)
d=
2d⇔
d
(
)
(
)
=
2d⇒ln
(
)
=
2
+ ⇒ln
(
0
)
=⇒ln2 =
⇒ln
(
)
=
2
+ ln2 ⇔
(
)
=e
2
ln2
⇔
(
)
=2e
2
.
Vì vậy, =
∫
3
(
)
d
1
0
=
∫
2
3
1
0
e
2
d=
∫
2
e
2
d
(
2
)
1
0
=
∫
e
d
1
0
.
Đặt
󰇥
=
d=e
d
,
ta có
󰇥
d=d
=e
⇒=e
󰇻
1
0
−
∫
e
d=
(
e
−e
)
󰇻
1
0
1
0
=1.
Câu 55. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn
(
)
>0,∀∈ℝ. Biết
(
0
)
=1 và
′
(
)
=
(
3−2
)
(
)
, khi đó giá trị của
(
1
)
bằng
A.
1
2
. B.
1
2
. C.
1
2
. D. 2.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ′
(
)
=
(
3−2
)
(
)
⇔
′
(
)
(
)
=3−2.
Lấy nguyên hàm 2 vế, ta có:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
∫
′
(
)
(
)
d=
∫
(
3−2
)
d⇔ln
(
)
=
3
2
2
−2+ .
Ta có: ln
(
0
)
=
3
2
.0
2
−2.0 +⇔=ln
(
1
)
=0.
⇒
(
)
=
3
2
2
2
⇒
(
1
)
=
3
2
.1
2
2.1
=
1
2
.
Câu 56. Cho hàm số
(
)
nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên
[
0;+∞
)
thỏa mãn điều kiện
(
1
)
=1 và
(
)
=′
(
)
√
3+1,∀≥0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. 1 <
(
5
)
<2. B. 2 <
(
5
)
<3. C. 4 <
(
5
)
<5. D. 3 <
(
5
)
<4.
Lời giải
Chọn D
+) Từ giải thiết, ta có
(
)
=′
(
)
√
3+ 1 ⇒
′
(
)
(
)
=
1
√
31
⇒
[
ln
(
)]
′
=
1
√
31
⇒ln
(
)
=
1
√
3+ 1
⇒ln
(
)
=
2
3
√
3+ 1 +.
+) Lại có
(
1
)
=1 ⇒=−
4
3
⇒ln
(
)
=
2
√
314
3
⇒
(
5
)
=
4
3
≈3,79.
Câu 57. Cho hàm số
(
)
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn
(
0
)
=0 và
′
(
)
=2
[
1 +
(
)]
,∀∈ℝ. Giá trị của
∫
2
(
)

bằng
A. −2. B. −1. C. +2. D. .
Lời giải
Chọn A
+) Từ giải thiết, ta có
′
(
)
1
(
)
=2⇒
[
1
(
)]
′
1
(
)
=2⇒
ln
1 +
(
)

′
=2
⇒ln
[
1 +
(
)]
=
2⇒ln
[
1 +
(
)]
=
2
+ .
+) Lại có
(
0
)
=0 ⇒=0 ⇒ln
[
1 +
(
)]
=
2
⇒1 +
(
)
=
2
⇒
(
)
=
2
−1.
+) Vậy
∫
2
(
)

1
0
=
∫
2
2
−1

1
0
=
2
󰇻
1
0
−
2
󰇻
1
0
=−2.
Câu 58. Cho hàm số
(
)
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
1;2
]
thỏa mãn điều kiện
(
1
)
=1
và ′
(
)
=
(
)
,∀∈
[
1;2
]
. Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị của hàm số =
(
)
, trục hoành và hai đường thẳng =1,=2 quay quanh trục hoành.
A. 7. B.
7
3
. C.
5
3
. D. 3.
Lời giải
Chọn B
+) Từ giả thiết, ta có ′
(
)
=
1
(
)
⇒
′
(
)
(
)
=
1
⇒
[
ln
(
)]
′
=
1
⇒ln
(
)
=
1
⇒ln
(
)
=ln+ .
+) Lại có
(
1
)
=1 ⇒=0 ⇒
(
)
=⇒=
∫
2
(
)

2
1
=
∫
2

2
1
=

3
3
󰇻
2
1
=
7
3
.
Câu 59. Cho hàm số
(
)
thỏa mãn ′
(
)
+ 2.
(
)
=e
(
)
với
(
)
≠0,∀ và
(
0
)
=1. Khi đó
|
(
1
)
|
bằng
A. e +1. B. e
e2
. C. e −1. D. e
e1
.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết: ′
(
)
+ 2.
(
)
=e
(
)
, ta có
′
(
)
=
(
)(
e
−2
)
⇒
′
(
)
(
)
=e
−2 (vì
(
)
≠0,∀)
⇒
∫
′
(
)
(
)
d=
∫
(
e
−2
)
d⇒ln
|
(
)
|
=e
−
2
+ .
Mà
(
0
)
=1 nên =−1. Khi đó, ta được: ln
|
(
)
|
=e
−
2
−1.
Thế =1, ta có: ln
|
(
1
)
|
=e −2 ⇒
|
(
1
)
|
=e
e2
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM KHÁC
Câu 60. Cho
(
)
có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn 3′
(
)
.e
3
(
)

2
1
−
2
2
(
)
=0, với ∀∈ℝ. Biết
(
0
)
=1, tính tích phân =
∫
.
(
)
.d
√
7
0
.
A.
9
2
. B.
45
8
. C.
11
2
. D.
15
4
.
Lời giải
Chọn B
3.′
(
)
.e
3
(
)

2
1
=
2
2
(
)
⇔3.′
(
)
.
2
(
)
.e
3
(
)
=e
2
1
.2⇔
e
3
(
)
′
=
e
2
1
′
.
⇔e
3
(
)
=e
2
1
+ .Do
(
0
)
=1 ⇔=0.
⇒
3
(
)
=
2
+ 1 ⇔
(
)
=
√
2
+ 1
3
.
=
∫
.
(
)
.d
√
7
0
=
∫
.
√
2
+ 1
3
d
√
7
0
=
1
2
.
∫
(
2
+ 1
)
1
3
d
(
2
+ 1
)
√
7
0
=
1
2
.
3
4
.
(
2
+ 1
)
4
3
√
7
0
=
3
8
󰇡8
4
3
−1󰇢=
45
8
.
Câu 61. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn điều kiện:
6
.
[
′
(
)]
3
+
27.
[
(
)
−1
]
4
=0,∀∈ℝ và
(
1
)
=0. Giá trị của
(
2
)
bằng
A. −7. B. 1. C. −1. D. 7.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
6
.
[
′
(
)]
3
+ 27.
[
(
)
−1
]
4
=0,∀∈ℝ.
6
.
[
′
(
)]
3
=−27.
[
(
)
−1
]
4
.
⇒
[
′
(
)]
3
[
(
)
1
]
4
=−
27
6
⇔
′
(
)
(
)
1
3
.
[
(
)
1
]
=−
3
2
.
⇒
∫
′
(
)
(
)
1
3
.
[
(
)
1
]
d=
∫
−
3
2
d
(
∗
)
.
Đặt =
(
)
−1
3
⇒
3
=
(
)
−1 ⇒3
2
d=′
(
)
d
(
∗
)
⇒
∫
3
2
d=
∫
3
2
d⇒−
3
=
3
+ ⇒
3
(
)
1
3
=
3
+ .
Vì
(
1
)
=0 ⇒
3
(
1
)
1
3
=
3
1
+ ⇒=0.
⇒
(
)
−1
3
=−⇒
(
)
=1 −
3
⇒
(
2
)
=−7.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1:
Cho
∫
′().
[
()
]
., tính
∫
().
. Hoặc cho
∫
().
, tính
∫
′().
[
()
]
..
Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến =() và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm
số thì không phụ thuộc vào biến số.
Câu 1. Cho
∫
(
)
d
=16. Tính
∫
(
2
)
d
A. 16. B. 4. C. 32. D. 8.
Lời giải
Chọn D
Xét tích phân
∫
(
2
)
d
2
0
. Đặt 2=⇒d=
1
2
dt. Khi =0 thì =0; khi =2 thì =4.
Do đó
∫
(
2
)
d
2
0
=
1
2
∫
(
)
dt
4
0
=
1
2
∫
(
)
d
4
0
=
1
2
.16 =8.
Câu 2. Cho hàm số =
(
)
xác định trên ℝ và
∫
(
2
)
d
1
0
=8. Tính =
∫

(
2
)
d
√
2
0
.
A. =16. B. =32. C. =4. D. =8.
Lời giải
Chọn D
Xét
∫
(
2
)
d
1
0
=8, đặt =2⇒d=2d;=0 ⇒=0;=1 ⇒=2.
Suy ra
∫
(
2
)
1
0
=
1
2
∫
(
)
d
2
0
=8 ⇒
1
2
∫
(
)
d=8
2
0
.
Xét =
∫

(
2
)
d
√
2
0
, đặt =
2
⇒d=2d;=0 ⇒=0;=
√
2 ⇒=2.
Suy ra =
∫

(
2
)
d
√
2
0
=
1
2
∫
(
)
d
2
0
=
1
2
∫
(
)
d
2
0
=8.
Câu 3. Cho
∫
()d
9
0
=3021. Tính tích phân =
∫
[
(3) + (9 −3)
]
d
3
0
.
A. =0. B. =4036. C. =2014. D. =1009.
Lời giải
Chọn C
Đặt =3⇒dt =3d⇔d=
1
3
dt.
+) =0 ⇒=0.
+) =3 ⇒=9.
Ta có:
∫
(3)d=
1
3
∫
()dt
9
0
3
0
.
Đặt =9 −3⇒dt =−3d⇔d=−
1
3
dt.
+) =0 ⇒=9.
+) =3 ⇒=0.
Ta có:
∫
(9 −3)d=−
1
3
∫
()dt
0
9
3
0
=
1
3
∫
()dt
9
0
.
Suy ra =
∫
[
(3) +(9 −3)
]
d
3
0
=
1
3
∫
(
)
d
9
0
+
1
3
∫
(
)
d
9
0
=
2
3
∫
(
)
dt
9
0
.
=
2
3
∫
(
)
d
9
0
=
2
3
.3021 =2014.
Câu 4. Cho
∫
(
)
d
=2. Tính =
∫

√
√
d
bằng
A. =1. B. =2. C. =4. D. =
1
2
.
Lời giải
Chọn C
Đặt =
√
⇒d=
1
2
√
d; đổi cận: =1 ⇒=1, =4 ⇒=2
=
∫

√
√
d
4
1
=
∫
(
)
2d
2
1
=2
∫
(
)
d
2
1
=2.2 =4.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Câu 5. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ thỏa
∫
(
2
)
d
=2 và
∫
(
6
)
d
=14. Tính
∫
(
5
|
|
+ 2
)
d

.
A. 30. B. 32. C. 34. D. 36.
Lời giải
Chọn B
+ Xét
∫
(
2
)
d
1
0
=2. Đặt =2⇒d=2d; =0 ⇒=0; =1 ⇒=2.
Nên 2 =
∫
(
2
)
d
1
0
=
1
2
∫
(
)
d
2
0
⇒
∫
(
)
d
2
0
=4.
+ Xét
∫
(
6
)
d
2
0
=14. Đặt =6⇒d=6d; =0 ⇒=0; =2 ⇒=12.
Nên 14 =
∫
(
6
)
d
2
0
=
1
6
∫
(
)
d
12
0
⇒
∫
(
)
d
12
0
=84.
+ Xét
∫
(
5
|
|
+ 2
)
d
2
2
=
∫
(
5
|
|
+ 2
)
d
0
2
+
∫
(
5
|
|
+ 2
)
d
2
0
.
* Tính
1
=
∫
(
5
|
|
+ 2
)
d
0
2
.
Đặt =5
|
|
+ 2.Khi −2 <<0, =−5+2 ⇒d=−5d; =−2 ⇒=12; =0 ⇒
=2.
1
=
1
5
∫
(
)
d
2
12
=
1
5
󰇣
∫
(
)
d
12
0
−
∫
(
)
d
2
0
󰇤
=
1
5
(
84 −4
)
=16.
* Tính
1
=
∫
(
5
|
|
+ 2
)
d
2
0
.
Đặt =5
|
|
+ 2.Khi 0 <<2, =5+ 2 ⇒d=5d; =2 ⇒=12; =0 ⇒=2.
2
=
1
5
∫
(
)
d
12
2
=
1
5
󰇣
∫
(
)
d
12
0
−
∫
(
)
d
2
0
󰇤
=
1
5
(
84 −4
)
=16.
Vậy
∫
(
5
|
|
+ 2
)
d
2
2
=32.
Hoặc: Do hàm
(
5
|
|
+ 2
)
là hàm số chẵn nên
∫
(
5
|
|
+ 2
)
d
2
2
=2
∫
(
5
|
|
+ 2
)
d
0
2
=
2.16 =32.
Câu 6. Cho =
∫
(
)
d
=2. Giá trị của =
∫
.
√

√

d
bằng
A. 2. B. −
4
3
. C.
4
3
. D. −2.
Lời giải
Chọn C
Đặt =
√
3cos+1 ⇒d=
3sin
2
√
3cos1
d.
Đổi cận: =0 ⇒=2; =
2
⇒=1.
Khi đó: =
∫
−
2
3
(
)
d
1
2
=
∫
2
3
(
)
d
2
1
=
2
3
∫
(
)
d
2
1
=
2
3
.2 =
4
3
.
Câu 7. Cho hàm số
(
)
liên tục trên đoạn
[
1;4
]
và thỏa mãn
(
)
=

√

√
+

. Tính tích phân
=
∫
(
)
d
.
A. =3 + 2ln
2
2. B. =2ln
2
2. C. =ln
2
2. D. =2ln2.
Lời giải
Chọn B
Ta có
∫
(
)
d
4
1
=
∫
󰇣
2
√
1
√
+
ln
󰇤
d
4
1
=
∫
2
√
1
√
d
4
1
+
∫
ln
d
4
1
.
Xét =
∫
2
√
1
√
d
4
1
.
Đặt 2
√
−1 = ⇒
√
=
1
2
⇒
d
√
=d.⇒=
∫
(
)
d
3
1
=
∫
(
)
d
3
1
.
Xét =
∫
ln
d
4
1
=
∫
lnd
(
ln
)
4
1
=
ln
2
2
󰇻
1
4
=2ln
2
2.
Do đó
∫
(
)
d
4
1
=
∫
(
)
d
3
1
+ 2ln
2
2 ⇒
∫
(
)
d
4
3
=2ln
2
2.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Câu 8. Cho và . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Đặt .
Ta có
.
Câu 9. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn
(
4 −
)
=
(
)
. Biết
∫

(
)
d
=5. Tính
=
∫
(
)
d
.
A. =
5
2
. B. =
7
2
. C. =
9
2
. D. =
11
2
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh
Cho hàm số
(
)
liên tục trên
[
;
]
và thỏa mãn điều kiện
(
+ −
)
=
(
)
,∀
[
;
]
. Khi
đó
∫

(
)
d
=

2
∫
(
)
d
Chứng minh:
Đặt =+ −⇒d=−d, với ∈
[
;
]
. Đổi cận: khi =⇒=; khi =⇒=
Ta có
∫

(
)
d
=
∫

(
+ −
)
d
=−
∫
(
+ −
)
(
)
d
=
(
+ −
)
(
)
d
=
(
+
)
(
)
d
−

(
)
d
=
(
+
)
(
)
d
−

(
)
d
⇒2
∫

(
)
d
=
(
+
)
∫
(
)
d
⇒
∫

(
)
d
=

2
∫
(
)
d
.
Áp dụng tính chất trên với =1, =3.
(
)
liên tục trên
[
;
]
và thỏa mãn
(
1 + 3 −
)
=
(
)
.
Khi đó
∫

(
)
d
3
1
=
13
4
∫
(
)
d
3
1
⇒
∫
(
)
d
3
1
=
5
2
.
Cách 2: Đổi biến trực tiếp:
Đặt =4 −, với ∈
[
1;3
]
.
Ta có
∫

(
)
d
3
1
=
∫

(
4 −
)
d
3
1
=
∫
(
4 −
)
(
)
d
3
1
=4
∫
(
)
d
3
1
−
∫
.
(
)
d
3
1
⇒5 =4
∫
(
)
d
3
1
−5 ⇒
∫
(
)
d
3
1
=
5
2
.
Câu 10. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên đoạn
[
1;3
]
thỏa mãn
(
4 −
)
=
(
)
,∀∈
[
1;3
]
và
∫

(
)
d
=−2. Giá trị
∫
(
)
d
bằng
A. 2. B. −1. C. −2. D. 1.
Lời giải
Chọn B
1
0
2 1 d 12
f x x
2
2
0
sin sin 2 d 3
f x x x
3
0
d
f x x
26
22
27
15
x t
3
1
1
12 d
2
t
f t
3
1
1
d
2
f t t
3
1
1
d
2
f x x
3
1
d 24
f x x
2
2
0
sin sin 2 d
f x x x
2
2
0
sin .2sin cos d
f x x x x
2
2
0
2sin . sin d sin
x f x x
2
2 2
0
sin d sin
f x x
1
0
d
f u u
1
0
d 3
f x x
3
0
d
f x x
1 3
0 1
d d 3 24 27
f x x f x x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Xét =
∫
()d
3
1
(1).
Đặt =4 −, ta có d=−d; =1 ⇒=3, =3 ⇒=1.
Suy ra =
∫
(
4 −
)
(4 −)d
3
1
=
∫
(
4 −
)
()d
3
1
, hay=
∫
(
4 −
)
()
3
1
(2).
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2=
∫
4()
3
1
⇒
∫
()
3
1
=
2
=−1.
Câu 11. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ thỏa mãn
∫

√
√
d

=6 và
∫
(
sin
)
cosd
=3. Tính tích
phân =
∫
(
)
d
.
A. =−2. B. =6. C. =9. D. =2.
Lời giải
Chọn B
Xét =
∫

√
√
d
16
1
=6, đặt
√
=⇒
d
2
√
=d
Đổi cận: =1 ⇒=1; =16 ⇒=4 nên =2
∫
(
)
d
4
1
=6 ⇒
∫
(
)
d
4
1
=
6
2
=3.
=
∫
(
sin
)
cosd
2
0
=3, đặt sin=⇒cosd=d
Đổi cận: =0 ⇒=0; =
2
⇒=1 ⇒=
∫
(
)
d
1
0
=3
Vậy =
∫
(
)
d
4
0
=
∫
(
)
d
1
0
+
∫
(
)
d
4
1
=3 + 3 =6.
Câu 12. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn
∫
tan.
(
cos
)
d
=2 và
∫


d
=2.
Tính
∫
(

)
d
.
A. 0. B. 1. C. 4. D. 8.
Lời giải
Chọn D
*
1
=
∫
tan.
(
cos
2
)
d
4
0
=
1
2
∫
cos
2
cos
2
.sin2d
4
0
.
Đặt cos
2
=⇒sin2d=−d.
Đổi cận
0
4
1
1
2
Khi đó
1
=−
1
2
∫
(
)
1
2
1
d
.
*
2
=
∫
ln
2
ln
d
e
2
e
=
1
2
∫
ln
2
ln
2
.
2ln
d
e
2
e
.
Đặt ln
2
=⇒
2ln
d=d.
Đổi cận
Khi đó
2
=
1
2
∫
(
)
4
1
d
.
* Tính =
∫
(
2
)
d
2
1
4
. Đặt 2=⇒d=
1
2
.
Đổi cận
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Khi đó =
∫
(
)
4
1
2
d=
∫
(
)
1
1
2
d+
∫
(
)
4
1
d=4 +4 =8.
.
Câu 13. Cho hàm số () liên tục trên ℝ thỏa mãn
∫
tan.(cos
)
=
∫
(
√
)

=6. Tính tích
phân
∫
(
)

√
A. 4 B. 6 C. 7 D. 10
Lời giải
Chọn C
+) Đặt =
√
3
⇒
3
=⇒3
2
=
Đổi cận:
Khi đó
∫
(
√
3
)

8
1
=
∫
(t)
3
3
2

2
1
=3
∫
(t)

2
1
=6 ⇒
∫
(t)

2
1
=2
+) Đặt =cos
2
⇒=−2cossin⇒=−2cos
2
tan⇒tan=−
1
2

Đổi cận:
Khi đó
∫
tan.(cos
2
)
3
0
=−
1
2
∫
(t)

1
4
1
=6 ⇒
∫
(t)

1
1
4
=12
+) Đặt =
2
⇒=2⇒=2
2

⇒

=
1
2

Đổi cận:
Khi đó
∫
(
2
)

√
2
1
2
=
1
2
∫
(t)

2
1
4
=
1
2
∫
(t)
+
1
2
∫
(t)

2
1
1
1
4
=
212
2
=7
Câu 14. Cho hàm số
(
)
liên tục trên R và
∫
(
tan
)
d
=4;
∫
(
)

d
=2. Tính =
∫
(
)
d
.
A. =6. B. =2. C. =3. D. =1.
Lời giải
Chọn A
Từ
∫
(
tanx
)
d
4
0
=4; Ta đặt =tan ta được
∫
(
)
2
1
d
1
0
=4
Từ
∫
2
(
)
2
1
d
1
0
=2 ⇔
∫

2
11
(
)
2
1
d
1
0
=2 ⇔
∫
(
)
d
1
0
−
∫
(
)
2
1
d
1
0
=2
⇒
∫
(
)
d
1
0
=2 +
∫
(
)
2
1
d
1
0
=2 + 4 =6.
Câu 15. Cho hàm số
(
)
xác định và có đạo hàm ′
(
)
liên tục trên đoạn
[
1 ;3
]
,
(
)
≠0 với mọi ∈
[
1 ;3
]
, đồng thời ′
(
)
1 +
(
)
2
=
󰇣
(
)
2
(
−1
)
󰇤
2
và
(
1
)
=−1.
Biết rằng
∫
(
)
d
3
1
=ln3 + , ,∈ℤ, tính tổng =+
2
.
A. =0. B. =−1. C. =2. D. =4.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ′
(
)
1 +
(
)
2
=
󰇣
(
)
2
(
−1
)
󰇤
2
⇔
′
(
)
1
(
)
2
4
(
)
=
(
−1
)
2
.
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:
∫
′
(
)
1
(
)
2
4
(
)
d=
∫
(
−1
)
2
 ⇔
∫
󰇡12
(
)

2
(
)
󰇢′
(
)
4
(
)
d=
∫
(
−1
)
2

⇔
1
4
(
)
+ 2
1
3
(
)
+
1
2
(
)
d
(
)
=
(
−1
)
3
3
+
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
⇔−
1
3
3
(
)
−
1
2
(
)
−
1
(
)
=
(
−1
)
3
3
+ ⇔−
1 + 3
(
)
+ 3
2
(
)
3
3
(
)
=
(
−1
)
3
3
+
Mà
(
1
)
=−1 nên −
133
3
=⇒=
1
3
.
Suy ra: −
13
(
)
3
2
(
)
3
3
(
)
=
(
1
)
3
3
+
1
3
⇔
13
(
)
3
2
(
)
3
3
(
)
+
1
3
=−
(
1
)
3
3
⇔
1
(
)
3
3
(
)
=−
(
−1
)
3
⇔󰇡1 +
1
(
)
󰇢
3
=
(
1 −
)
3
⇔
(
)
=
1
.
Vậy:
∫
(
)
d
3
1
=
∫
1
d=−ln
|
|
3
1
󰇻
1
3
=−ln3. Suy ra =−1 ; =0 hay + =−1.
Câu 16. Cho hàm số =
(
)
xác định và liên tục trên
(
0;+∞
)
sao cho
2
+ 
(
)
+
(
)
=1 với
mọi ∈
(
0;+∞
)
. Tính tích phân =
∫
(
ln
)
(
)
√
d.
A. =−
1
8
. B. =−
2
3
. C. =
1
12
. D. =
3
8
.
Lời giải
Chọn C
Với ∈
(
0;+∞
)
ta có
2
+ 
(
)
+
(
)
=1 ⇒
(
)
=
1
2
1
=1 −
Đặt ln=⇒d=
d
.
Đổi cận
=
∫

(
)
1
1
2
d=
∫
(
1 −
)
1
1
2
d=
1
12
.
Câu 17. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn
∫
tan.󰇡
1
cos
󰇢d
3
0
= và
∫
ln
2
ln
d
e
√
2
e
=. Tính
tích phân
∫
(
)
d
2
1
2
.
A. + . B. −+ 2. C. −−2. D. + 2.
Lời giải
Chọn B
Xét tích phân
1
=
∫
tan.󰇡
1
cos
󰇢d
3
0
. Đặt =
1
cos
⇒d=
sin
cos
2
d.
1
=
∫
tan.󰇡
1
cos
󰇢d
3
0
=
∫
sin
cos
2
cos 󰇡
1
cos
󰇢d
3
0
=
∫
(
)
d
1
2
1
=⇒
∫
(
)
d
1
1
2
=−.
Xét tích phân
2
=
∫
ln
2
ln
d
e
√
2
e
. Đặt =ln
2
⇒d=
2ln
d.
2
=
∫
ln
2
ln
d
e
√
2
e
=
1
2
∫
ln
2
ln
2
2ln
d
e
√
2
e
=
1
2
∫
(
)
2
1
=⇒
∫
(
)
2
1
=2.
Suy ra
∫
(
)
d
2
1
2
=
∫
(
)
d
2
1
2
=
∫
(
)
d
1
1
2
+
∫
(
)
2
1
d=−+ 2.
Câu 18. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn
∫
cot.
(
sin
2
)
d
2
4
=
∫
√
d
16
1
=1. Tính tích
phân
∫
(
4
)
d
1
1
8
.
A. =3. B. =
3
2
. C. =2. D. =
5
2
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
1
=
∫
cot.
(
sin
2
)
d
2
4
=1,
2
=
∫
√
d
16
1
=1.
? Đặt =sin
2
⇒d=2sin.cosd =2sin
2
.cotd =2.cotd.
Với =
4
⇒ t=
2
; =
⇒t= 1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
1
=
∫
cot.
(
sin
2
)
d
2
4
=
∫
(
)
.
1
2
d
1
1
2
=
1
2
∫
(
)
d
1
1
2
=
1
2
∫
(
4
)
4
d
(
4
)
1
4
1
8
=
1
2
∫
(
4
)
d
1
4
1
8
.
Suy ra
∫
(
4
)
d
1
4
1
8
=2
1
=2
Đặt =
√
⇒2d=d.
2
=
∫

√
d
16
1
=
∫
(
)
2
2d
4
1
=2
∫
(
)
d
4
1
=2
∫
(
4
)
4
d
(
4
)
1
1
4
=2
∫
(
4
)
d
1
1
4
.
Suy ra
∫
(
4
)
d
1
1
4
=
1
2
2
=
1
2
Khi đó, ta có:
∫
(
4
)
d
1
1
8
=
∫
(
4
)
d
1
4
1
8
+
∫
(
4
)
d
1
1
4
=2 +
1
2
=
5
2
.
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2:
Tính
∫
(
)
, biết hàm số
(
)
thỏa mãn : .
(
)
+ .′.
(
)
+ .
(
+ −
)
=
(
)
.
Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :
+ Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số ,,.
+ Nếu
(
)
liên tục trên
[
;
]
thì
∫
(
+ −
)
 =
∫
(
)

+ Với
(
)
=
(
)
=
thì
∫
(
)
 =
1

∫
(
)

.
+ Với
(
)
=
(
)
=
thì
∫
(
)
 =
1

∫
(
)

.
+ Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1.
Câu 19. Cho hàm số
(
)
liên tục trên
[
0;1
]
thỏa mãn
(
)
=6
(
)
−
√

. Tính
∫
(
)
d
A. 2. B. 4. C. −1. D. 6.
Lời giải
Chọn B
Cách 1: (Dùng công thức)
Biến đổi
(
)
=6
2
(
3
)
−
6
√
31
⇔
(
)
−2.3
2
.
(
3
)
=−
6
√
31
với =1, =−2.
Áp dụng công thức ta có:
∫
(
)
d
1
0
=
1
1
(
2
)
∫
6
√
31
d
1
0
=4.
Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)
Từ
(
)
=6
2
(
3
)
−
6
√
31
⇒
∫
(
)
d
1
0
−2
∫
3
2
(
3
)
d
1
0
=−6
∫
1
√
31
d
1
0
Đặt =
3
⇒=3
2
dx ; Với =0 ⇒=0 và =1 ⇒=1.
Khi đó
∫
3
2
(
3
)
d
1
0
=
∫
(
)
d
1
0
=
∫
(
)
d
1
0
thay vào
(
∗
)
, ta được:
∫
(
)
d
1
0
−2
∫
(
)
d
1
0
=−6
∫
1
√
31
d
1
0
⇔
∫
(
)
d
1
0
=6
∫
1
√
31
d
1
0
=4.
Câu 20. Cho hàm số () liên tục trên
[
0; 2
]
và thỏa mãn điều kiện
(
)
+
(
2 −
)
=2. Tính giá trị
của tích phân =
∫
(
)

.
A. =−4. B. =
1
2
. C. =
4
3
. D. =2.
Lời giải
Chọn D
Cách 1:(Dùng công thức)
Với
(
)
+
(
2 −
)
=2 ta có =1; =1, suy ra: =
∫
(
)

2
0
=
1
11
∫
2 
2
0
=
2
2
󰇻
0
2
=2.
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Từ
(
)
+
(
2 −
)
=2⇒
∫
(
)

2
0
+
∫
(
2 −
)

2
0
=
∫
2
2
0
= 4 (*)
Đặt =2 −⇒ = −; Với =0 ⇒ =2 và =2 ⇒ =0.
Suy ra
∫
(
2 −
)

2
0
=
∫
(
)

2
0
=
∫
(
)

2
0
.
Thay vào (*), ta được 2
∫
(
)

2
0
= 4 ⇔
∫
(
)

2
0
= 2.
Câu 21. Xét hàm số
(
)
liên tục trên đoạn
[
0;1
]
và thỏa 2
(
)
+ 3
(
1 −
)
=
√
1 −
2
.Tính
∫
(
)
1
0
d.
A.
4
. B.
6
. C.
20
. D.
16
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
∫
[
2
(
)
+ 3
(
1 −
)]
1
0
d =
∫
√
1 −
2
1
0
d ⇔+ =.
Tính: =
∫
√
1 −
2
1
0
d
Đặt =sin suy ra d=cos d. Đổi cận: =0 ⇒=0;=1 ⇒=
2
.
Vậy: =
∫
cos
2
2
0
d =
∫
1cos2t
2
2
0
d =󰇡
1
2
+
1
4
sin2󰇢
󰇻
0
2
=
4
.
Tính: =
∫
3
(
1 −
)
1
0
d
Đặt: Đặt =1 −⇒d=−d. Đổi cận: =0 ⇒=−1;=1 ⇒=0.
Vậy: =
∫
3
(
)
1
0
d =
∫
3
(
)
1
0
d.
Do đó:
∫
[
2
(
)
+ 3
(
)]
1
0
d=
4
⇒5
∫
(
)
1
0
d=
4
⇒
∫
(
)
1
0
d=
20
.
Câu 22. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ thỏa
(
2
)
−
(
2
)
=
3
,∀∈ℝ. Khi đó
∫
(
)

2
1
bằng
A.
15
4
. B.
17
8
. C. −
15
2
. D. −
17
4
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
(
2
)
−
(
2
)
=
3
,∀∈ℝ
⇒
(
2
)
2
1
−

(
2
)

2
1
=
3
2
1
=
15
4
⇒
1
2
∫
(
2
)
(
2
)
−
1
2
∫
(
2
)
(
2
)
=
15
4
2
1
2
1
.
Suy ra
∫
(
)

4
2
−
∫
(
)
4
1
=
15
2
.
Hay
∫
(
)
−
∫
(
)

2
1
4
2
−
∫
(
)

4
2
=
15
2
⇔
∫
(
)

2
1
=−
15
2
.
Câu 23. Xét hàm số
(
)
liên tục trên
[
−1;2
]
và thỏa mãn
(
)
+ 2
(
−2
)
+ 3
(
1 −
)
=4
.
Tính giá trị của tích phân =
∫
(
)


.
A. =5. B. =
5
2
. C. =3. D. =15.
Lời giải
Chọn C
Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)
Với:
(
)
+
(
2
)
(
2
−2
)
+ 3
(
1 −
)
=4
3
. Ta có:
=1;=1;=3 và =
2
−2 thỏa mãn
(
−1
)
=−1
(
2
)
=2
. Khi đó áp dụng công thức có:
=
∫
(
)
=
1
113
∫
4
3
dx
2
1
2
1
=
4
5
󰇻
1
2
=3.
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Từ
(
)
+ 2
(
2
−2
)
+ 3
(
1 −
)
=4
3
.
⇒
(
)
dx
2
1
+
2.
(
2
−2
)
dx
2
1
+ 3
(
1 −
)
dx
2
1
=
4
3
dx
2
1
(
∗
)
+) Đặt =
2
−2 ⇒du =2dx; với =−1 ⇒=−1 và =2 ⇒=2.
Khi đó
∫
2.
(
2
−2
)
dx
2
1
=
∫
(
)
du
2
1
=
∫
(
)
dx
(
1
)
2
1
+) Đặt =1 −⇒dt =−dx; Với =−1 ⇒=2 và =2 ⇒=−1.
Khi đó
∫
(
1 −
)
dx
2
1
=
∫
(
)
dt
2
1
=
∫
(
)
dx
2
1
(
2
)
Thay
(
1
)
,
(
2
)
vào
(
∗
)
ta được: 5
∫
(
)
dx
2
1
=15 ⇒
∫
(
)
dx
2
1
=3.
Câu 24. Cho hàm số
(
)
liên tục trên đoạn
[
−1 ; 2
]
và thỏa mãn điều kiện
(
)
=
√
+ 2 +

(
3 −
2
)
. Tính tích phân =
∫
(
)
d
2
1
.
A. =
28
3
. B. =2. C. =
4
3
. D. =
14
3
.
Lời giải
Chọn A
=
∫
(
)
d
2
1
=
∫
√
+ 2 +
(
3 −
2
)
d
2
1
=
√
+ 2d
2
1
+

(
3 −
2
)
d
2
1
=
14
3
+
∫

(
3 −
2
)
d
2
1
=
14
3
+ .
Tính =
∫

(
3 −
2
)
d
2
1
Đặt =3 −
2
⇒d=−2d⇒d=−
1
2
d.
Đổi cận:
󰇥
=−1 ⇒=2
=2 ⇒=−1
.
Ta có =−
1
2
∫
(
)
d
1
2
=
1
2
∫
(
)
d
2
1
=
1
2
.
Do đó =
14
3
+
∫

(
3 −
2
)
d
2
1
=
14
3
+
1
2
⇒=
28
3
.
Câu 25. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ thỏa mãn

(
2
)
−
(
2
)
=2
3
+ 2, ∀∈ℝ. Tính giá trị =
∫
(
)
d
2
1
.
A. =25. B. =21. C. =27. D. =23.
Lời giải
Chọn B

(
2
)
−
(
2
)
=2
3
+ 2⇒
[

(
2
)
−
(
2
)]
2
1
d=
(
2
3
+ 2
)
d
2
1
⇔
∫
[

(
2
)]
2
1
d−
∫
[
(
2
)]
2
1
d=󰇡
4
2
+
2
󰇢
󰇻
2
1
⇔
∫
[

(
2
)]
2
1
d−
∫
[
(
2
)]
2
1
d=
21
2
. (*)
+ Tính
∫
[

(
2
)]
2
1
d:
Đặt =
2
⇒d=2d⇔d=
d
2
.
=1 ⇒=1;=2 ⇒=4.
Suy ra
∫
[

(
2
)]
2
1
d=
∫
(
)
2
d
4
1
=
1
2
∫
(
)
d
4
1
.
+ Tính
∫
[
(
2
)]
2
1
d:
Đặt =2⇒d=2d⇔d=
d
2
.
=1 ⇒=2;=2 ⇒=4.
Suy ra
∫
[
(
2
)]
2
1
d=
∫
(
)
2
d
4
2
=
1
2
∫
(
)
d
4
2
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Thay vào (*) ta được
1
2
∫
(
)
d
4
1
−
1
2
∫
(
)
d
4
2
=
21
2
⇔
1
2
∫
(
)
d
2
1
+
1
2
∫
(
)
d
4
2
−
1
2
∫
(
)
d=
21
2
4
2
⇔
1
2
∫
(
)
d
2
1
=
21
2
⇔
∫
(
)
d
2
1
=21.
Câu 26. Cho hàm số =() liên tục và là hàm số chẵn trên ℝ. Biết (2−1)+ 2(2−3)=
24
−28+ 20,∀∈ℝ, tính
∫
() d
.
A. 24. B. 36. C. 12. D. −36.
Lời giải
Chọn C
Ta có (2−1) + 2(2−3)=24
−28+ 20,∀∈ℝ
⇔
(2−1) d+
2(2−3) d
=
(24
−28+ 20)d
=18⇔+=18
Tính =
∫
(2−1) d
: Đặt =2−1⇒

=d. Đổi cận: =
→=0;=
→=
2
⇒=
1
2
() d
=
1
2
() d
(1)
Tính =
∫
2(2−3) d
: Đặt =2−3⇒d=2d. Đổi cận =
→=−2;=
→
=0
⇒=
() d=

() d

=
() d
,(2)
(Vì () là hàm số chẵn nên)
∫
()d

=
∫
()d=

∫
()d
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được
∫
() d
+
∫
() d
=18⇒
∫
() d
=12
Câu 27. Cho hàm số
(
)
liên tục trên tập số thực thỏa mãn
(
)
+
(
5−2
)
(
5
2
−4
)
=50
3
−
60
2
+ 23−1,∀∈ℝ. Hãy tính
∫
(
)
1
0
d.
A. 2. B. 1. C. 3. D. 6.
Lời giải
Chọn A
Theo giả thiết:
(
)
+
(
5−2
)
(
5
2
−4
)
=50
3
−60
2
+ 23−1,∀∈ℝ.
Suy ra 2
(
)
+
(
10−4
)
(
5
2
−4
)
=100
3
−120
2
+ 46−2
⇒
󰇡2
(
)
+
(
10−4
)
(
5
2
−4
)
󰇢d
1
0
=
(
100
3
−120
2
+ 46−2
)
d
1
0
⇒2
∫
(
)
d+
∫
(
10−4
)
(
5
2
−4
)
1
0
d
1
0
=󰇡
100
4
4
−
120
3
3
+
46
2
2
−2󰇢
󰇻
1
0
(
∗
)
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Xét =
∫
(
10−4
)
(
5
2
−4
)
1
0
d. Đặt =5
2
−4 ⇒d=
(
10−4
)
d.
Đổi cận: =0 ⇒=0; =1 ⇒=1
Khi đó =
∫
(
)
1
0
d.
(
∗
)
trở thành 2
∫
(
)
d+
∫
(
)
1
0
d
1
0
=6 ⇔3
∫
(
)
d
1
0
=6 ⇔
∫
(
)
d
1
0
=2.
Vậy
∫
(
)
d
1
0
=2.
Câu 28. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn 
(
)
+
(
1 −
)
=−

+
−2,∀∈ℝ.
Khi đó
∫
(
)

 bằng
A.


. B.

. C.

. D. −1.
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Tự Luận
Ta có 
(
)
+
(
1 −
)
=−

+
−2,∀∈ℝ
(
1
)
⇔
(
)
+
(
1 −
)
=−

+
−2
⇒
(
)
+

(
1 −
)

=
(
−

+
−2
)



=
−17
24
Xét
=
∫

(
)
 đặt =
⇒=3
⇒
=

Đổi cận:
󰇥
=−1⇒=−1
=0⇒=0
⇒
=
1
3
(
)

=
1
3
(
)


Xét
=
∫

(
1 −
)

 đặt =1 −
⇒=−2⇒

=
Đổi cận:
󰇥
=−1⇒=0
=0⇒=1
⇒
=−
1
2
(
)
=−
1
2
(
)

⇒
1
3
(
)


−
1
2
(
)
=
−17
24
(
2
)
Trong
(
1
)
thay bởi – ta được: −
(
−
)
+
(
1 −
)
=−

+
+ 2,
(
3
)
Lấy
(
1
)
trừ
(
3
)
ta được: 
(
)
+
(
−
)
=−4
⇒
(
)
+
(
−
)
=−4
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
⇒
(
)
+
(
−
)

=
−4



=
−4
3
⇒
1
3
(
)


+
1
3
(
)
=
−4
3
(
4
)
Từ
(
2
)
và
(
4
)
suy ra
∫
(
)

=

.
Cách 2: Trắc nghiệm có thể chọn hàm:
()=−
+ 3−2
Câu 29. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn:
(
)
+
(
1 −
)
=2

+ 3
+
−5
+ 2+ 3,∀∈ℝ. Khi đó:
∫
(
)
d

bằng?
A.


. B.

. C.

. D.


.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết suy ra:
(
)
+
(
1 −
)
d=
(
2

+ 3
+
−5
+ 2+ 3
)
d
⇔
(
)
d+
−1
4
(
1 −
)
d
(
1 −
)
=
(
2

+ 3
+
−5
+ 2+ 3
)
d
⇔
(
)
d
+
−1
4
(
)
d
=
41
12
⇔
(
)
d
=
41
15
Mặt khác cũng từ giả thiết ta lại có:
(
)
+
(
1 −
)
d=
(
2

+ 3
+
−5
+ 2+ 3
)
d


⇔
(
)
d+
−1
4
(
1 −
)
d
(
1 −
)

=
(
2

+ 3
+
−5
+ 2+ 3
)
d


⇔
∫
(
)
d

+

∫
(
)
d
=


⇔
∫
(
)
d

=


−

.


=

.
Câu 30. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;2
]
và thỏa mãn
(
)
+
(
2 −
)
=
3
(
2
−2
)
,∀∈
[
0;2
]
. Biết
(
2
)
=10, tích phân =
∫
′ 󰇡
2
󰇢d
4
0
bằng:
A. 72. B. 96. C. 32. D. 88.
Lời giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Chọn D
Cách 1: Ta có:
⇒

(
)
+
(
2 −
)
d
2
0
=
3
(
2
−2
)
d
2
0
⇔
(
)
d
2
0
−
(
2 −
)
d
(
2 −
)
2
0
=−4 ⇔
(
)
d
2
0
−
(
)
d
0
2
=−4
⇔
(
)
d
2
0
+
(
)
d
2
0
=−4 ⇔2
(
)
d
2
0
=−4 ⇔
(
)
d
2
0
=−2
=
′ 󰇡
2
󰇢d
4
0
=4
′
(
)
d
2
0
=4
󰇭

(
)
|
0
2
−
(
)
d
2
0
󰇮
=4
2
(
2
)
−
(
−2
)
=88
Cách 2:
Xét
(
)
=
2
+ +
(
≠0
)
(
2
)
=4+ 2+
(
1
)
(
2 −
)
=
(
2 −
)
2
+
(
2 −
)
+ =
2
−
(
4+
)
+ 4+ 2+
⇒
(
)
+
(
2 −
)
=
2
+ + +
2
−
(
4+
)
+ 4+2+
⇔
(
)
+
(
2 −
)
=2
2
−4+ 4+ 2+ 2
(
2
)
Mà
(
)
+
(
2 −
)
=3
(
2
−2
)
(
3
)
Từ
(
1
)
,
(
2
)
và
(
3
)
ta có hệ phương trình:
4+ 2+ =10
=
3
2
4+ 2+ 2=0
⇔
=
3
2
=7
=−10
⇒
(
)
=
3
2
2
+ 7−10
=
′ 󰇡
2
󰇢d
4
0
=4
′
(
)
d
2
0
=4
󰇭

(
)
|
0
2
−
(
)
d
2
0
󰇮
=4
2
(
2
)
−
(
−2
)
=88
Câu 31. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn sin
(
cos
)
+ cos
(
sin
)
=sin2−
sin
2 với mọi ∈ℝ. Tính tích phân =
∫
(
)
d
.
A. 1. B.
. C.
. D.
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
∫
[
sin
(
cos
)
+ cos
(
sin
)]
d
=
∫
󰇡sin2−
sin
2󰇢d
⇔
sin
(
cos
)
d
+
cos
(
sin
)
d
=
1
2
sin2
(
1 + cos
2
)
d
* Tính
=
∫
sin
(
cos
)
d
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Đặt =cos⇒d=−sind⇒−d=sind
Đổi cận: =0⇒=1; =
⇒=0.
Ta có:
=
∫
(
)
d
=
∫
(
)
d
.
* Tương tự, ta tính được:
=
∫
cos
(
sin
)
d
=
∫
(
)
d
.
* Tính
=
∫
sin2
(
1 + cos
2
)

=−
∫
(
1 + cos
2
)
(
cos2
)
=−
󰇡cos2+
cos
2󰇢
󰇻
=−
.

+
.
=
.
Do đó
∫
sin
(
cos
)

+
∫
cos
(
sin
)

=
∫
sin2
(
1 + cos
2
)

trở thành:
2
∫
(
)
d
=
⇔
∫
(
)
d
=
.
Câu 32. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên đoạn
󰇣
−
2
;
2
󰇤
thỏa mãn điều kiện:
(
1 + 4sin
)
−
sin.
(
3 −2cos2
)
=6sin+1, ∀∈
󰇣
−
2
;
2
󰇤
. Khi đó =
∫
(
)

1
3
bằng
A. −2. B. −24. C. 8. D. 16.
Lời giải
Chọn B
+ Ta có:
(
1 + 4sin
)
−sin.
(
3 −2cos2
)
=6sin+ 1 ⇒cos.
(
1 + 4sin
)
−
cos.sin.
(
3 −2cos2
)
=6sin.cos+ cos
⇔cos.
(
1 + 4sin
)
−
1
2
sin2.
(
3 −2cos2
)
=3sin2+cos (∗)
+ Lấy tích phân từ −
2
đến 0 hai vế của (∗) ta được:
cos.
(
1 + 4sin
)

0
2
−
1
2
sin2.
(
3 −2cos2
)

0
2
=
(3sin2+ cos)
0
2
⇔
1
4
∫
(
1 + 4sin
)
(1 + 4sin)
0
2
−
1
8
∫
(
3 −2cos2
)
(3 −2cos2)
0
2
=
∫
(3sin2+
0
2
cos) ⇔
1
4
∫
(
)

1
3
−
1
8
∫
(
)

1
5
=−2
⇔
1
4
(
)

1
3
+
1
8
(
)

5
1
=−2 (1)
+ Lấy tích phân từ 0 đến
2
hai vế của (∗) ta được:
cos.
(
1 + 4sin
)

2
0
−
1
2
sin2.
(
3 −2cos2
)

2
0
=
(3sin2+ cos)
2
0
⇔
1
4
(
1 + 4sin
)
(1 + 4sin)
2
0
−
1
8
(
3 −2cos2
)
(3 −2cos2)
2
0
=4
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
⇔
1
4
(
)

5
1
−
1
8
(
)

5
1
=4
⇔
(
)

5
1
=32 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
∫
(
)

1
3
=−24.
Câu 33. Cho hàm số
(
)
liên tục trên khoảng
(
0;+∞
)
và thỏa mãn 2
(
)
+ 󰇡
󰇢= với mọi >0
Tính
∫
(
)
.
A.

. B.
. C.
. D.
.
Lời giải
Chọn D
Ta có 2
(
)
+ 󰇡
󰇢=
(
1
)
.
Đặt
=⇒=
khi đó điều kiện đề bài cho trở thành 2󰇡
󰇢+
(
)
=
⇔2.󰇡
󰇢+
(
)
=1
(
2
)
Từ
(
1
)
và
(
2
)
ta có:
󰇱
4
(
)
+ 2.󰇡
󰇢=2
(
)
+ 2.󰇡
󰇢=1
⇔
(
)
=


.
Lấy tích phân cận từ
đến 2 ta được:
∫
(
)
=
∫


=
.
Câu 34. Cho hàm số
(
)
liên tục trên
󰇣
;1
󰇤
và thỏa mãn 2
(
)
+ 5󰇡

󰇢=3,∀∈
󰇣
;1
󰇤
. Khi đó
=
∫
ln3.′
(
3
)

 bằng
A.
ln
+

. B.
ln
−

.
C. −
ln
−

. D. −
ln
+

.
Lời giải
Chọn B
Ta có: 2
(
)
+ 5󰇡

󰇢=3,∀∈
󰇣
;1
󰇤
(1)
⇔2
(
)
+ 5
󰇡
2
5
󰇢
=3,∀∈
2
5
;1⇔2
(
)
+ 5
󰇡
2
5
󰇢
=
3
=
9
5
(2)
Xét
=5
∫
󰇡

󰇢
 đặt =

⇒=−

⇒−

=.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Đổi cận:
󰇱
=
⇒=1
=1⇒=
⇒
=−5
(
)
=5
(
)
=5
(
)

Từ (2) suy ra, 2
∫
(
)
+ 5
∫
(
)
=
⇔
(
)
=
9
35
Tính =
∫
ln3.′
(
3
)

.
Đặt =3⇒=3⇒
=. Đổi cận:
󰇱
=

⇒=
=
⇒=1
⇒=
1
3
ln.′
(
)

Đặt:
=ln
=′()
⇒󰇫
=

=()
=
1
3
(ln.())
|
−
1
3
()

=−
1
3
ln
2
5
.(
2
5
) −
3
35
Tính 2
(
)
+ 5󰇡

󰇢=3,∀∈
󰇣
;1
󰇤
Cho =1;=
vào (1) ta có hệ phương trình sau:
2
(
1
)
+ 5
2
5
=3
2
2
5
+5
(
1
)
=
6
5
⇔
(1)=0
2
5
=
3
5
Suy ra, =−
.
ln
−

=
ln
−

.
Câu 35. Cho hàm số
(
)
liên tục trên đoạn
[
1;2
]
thỏa mãn điềm kiện 3
󰇡
󰇢+
󰇡

󰇢=6
+
4. Tính tích phân =
∫
(
)
d
.
A. =

. B. =

. C. =
. D. =

.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
B1.X.T0Lời giải
Chọn B
Với mọi ∈
[
1;2
]
, ta có: 3
󰇡
󰇢+
󰇡

󰇢=6
+ 4 ⇔3󰇡
󰇢+ 󰇡1 −
󰇢=6 +
(
∗
)
.
Đặt =
, ta có
(
∗
)
có dạng: ⇔3
(
)
+
(
1 −
)
=4
+ 6.
Vế phải là hàm số bậc hai, ta chọn
(
)
=
+ +
(
≠0
)
.
Khi đó ta có: 3
(
)
+
(
1 −
)
=3
[
+ +
]
+
[
(
1 −
)
+
(
1 −
)
+
]
=4
−2
(
−
)
+ + + 4.
Đồng nhất hai vế ta có:
4=4
−2
(
−
)
=0
+ + 4=6
⇔
=1
=1
=1
.
Suy ra:
(
)
=
+ +1 hay
(
)
=
+ + 1.
Vậy =
∫
(
)
d
=
∫
(
+ +1
)
d
=󰇡
+
+ 󰇢
󰇻
=

−

=

.
Câu 36. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ thỏa mãn
2
(
1 −
)
+ 2󰇡
22
󰇢=

4

3
44
,∀≠0,≠1. Khi đó
∫
(
)
d
1
1
có giá trị là
A. 0. B. 1. C.
1
2
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết suy ra
(
1 −
)
+
2
2
󰇡
22
󰇢=

4

3
44
3
Ta có:
∫
(
1 −
)
d
2
1
+
∫
󰇡
22
󰇢.
2
2
d
2
1
=
∫

4

3
44
3
d
2
1
⇔−
(
1 −
)
d
2
1
(
1 −
)
+
2−2
d
2
1
2−2
=
−+ 1 +
4
2
−
4
3
d
2
1
⇔−
(
)
d
1
0
+
(
)
d
1
0
=󰇧−
2
2
+ −
4
+
2
2
󰇨
󰇻
2
1
⇔
∫
(
)
d
0
1
+
∫
(
)
d
1
0
=0 ⇔
∫
(
)
d
1
1
=0.
Vậy
∫
(
)
d
1
1
=0.
Cách trắc nghiệm
Ta có:
2
(
1 −
)
+ 2󰇡
22
󰇢=

4

3
44
,∀≠0,≠1
⇔
2
(
1 −
)
+ 2
2−2
=
−
4
+
3
+
4−4
,∀≠0,≠1
⇔
2
(
1 −
)
+ 2
2−2
=
2
(
1 −
)
+ 2
2−2
,∀≠0,≠1
Chọn
(
)
=⇒
∫
(
)
1
1
.d=
∫
1
1
.d=0.
Câu 37. Xét hàm số
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn 2
(
2
−2
)
+ 2
(
1 −
)
=3
2
. Tính giá trị của
tích phân =
∫

√
2
2
√
16
1
d.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
A. =5. B. =
9
2
. C. =3. D. =9.
Lời giải
Chọn C
+) Xét tích phân: =
∫

√
2
2
√
16
1
d.
Đặt =
√
−2 ⇒d=
1
2
√
d.
Đổi cận: Với =1 ⇒=−1 và với =16 ⇒=2.
Khi đó: =
∫
(
)
2
1
d=
∫
(
)
2
1
d
(
1
)
.
+) Ta có 2
(
2
−2
)
+ 2
(
1 −
)
=3
2
⇒
∫
2.
(
2
−2
)
2
1
d+ 2
∫
(
1 −
)
2
1
d=
∫
3
2
2
1
d=9
(
2
)
.
+) Xét tích phân:
∫
2.
(
2
−2
)
2
1
d.
Đặt =
2
−2 ⇒d=2d.
Đổi cận: Với =−1 ⇒=−1 và với =2 ⇒=2.
Khi đó:
∫
2.
(
2
−2
)
2
1
d=
∫
(
)
2
1
d=
∫
(
)
2
1
d=
(
3
)
.
+) Xét tích phân:
∫
(
1 −
)
2
1
d.
Đặt =1 − ⇒d=−d.
Đổi cận: Với =−1 ⇒=2 và với =2 ⇒=−1.
Khi đó:
∫
(
1 −
)
2
1
d=
∫
(
)
2
1
d=
∫
(
)
2
1
d=
(
4
)
.
+) Thay
(
3
)
,
(
4
)
vào
(
2
)
ta được: +2.=9 ⇒=3.
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3:
Phương pháp:
Lần lượt đặt =
(
)
và =
(
)
để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn
(
)
) để suy
ra hàm số
(
)
(nếu
(
)
= thì chỉ cần đặt một lần =
(
)
).
Các kết quả đặc biệt:
Cho .
(
+
)
+ .
(
−+
)
=
(
)
với
2
≠
2
) khi đó
(
)
=
.󰇡

󰇢.󰇡


󰇢
2

2
(*)
+ Hệ quả 1 của (*): .
(
)
+ .
(
−
)
=
(
)
⇒
(
)
=
.
(
)
.
(

)
2

2
+ Hệ quả 2 của (*):.
(
)
+ .
(
−
)
=
(
)
⇒
(
)
=
(
)

với
(
)
là hàm số chẵn.
Câu 38. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ và
(
)
+ 2󰇡
󰇢=3. Tính =
∫
(
)

.
A. =
3
2
. B. =1. C. =
1
2
. D. =−1.
Lời giải
Chọn A
Đặt, =
1
⇒=
1
khi đó điều kiện trở thành 󰇡
1
󰇢+ 2
(
)
=
3
⇒2
(
)
+ 󰇡
1
󰇢=
3
.
Hay 4
(
)
+ 2󰇡
1
󰇢=
6
, kết hợp với điều kiện
(
)
+ 2󰇡
1
󰇢=3. Suy ra :
3
(
)
=
6
−3x ⇒
(
)
=
2
2
−1 ⇒ =
∫
(
)

2
1
2
=
∫
󰇡
2
2
−1󰇢
2
1
2
=󰇡
2
−󰇢
󰈅
2
1
2
=
3
2
.
Câu 39. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ\
{
0
}
và thỏa mãn 2
(
3
)
+ 3󰇡
2
󰇢=−
15
2
,
∫
(
)
d
9
3
=
. Tính =
∫
󰇡
1
󰇢d
3
2
1
2
theo .
A. =−
45
9
. B. =
45
9
. C. =
45
9
. D. =
452
9
.
Lời giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Đặt =2 ⇒ d=
1
2
d. Đổi cận 󰈏
=
1
2
⇒=1
=
3
2
⇒=3
.
Khi đó =
1
2
∫
󰇡
2
󰇢d
3
1
.
Mà 2
(
3
)
+ 3󰇡
2
󰇢=−
15
2
⇔ 󰇡
2
󰇢=−
5
2
−
2
3
(
3
)
Nên =
1
2
∫
󰇣
−
5
2
−
2
3
(
3
)
󰇤
d
3
1
=−
5
4
∫
d
3
1
−
1
3
∫
(
3
)
d
3
1
=−5 −
1
3
∫
(
3
)
d
3
1
(*)
Đặt =3 ⇒ d=
1
3
d. Đổi cận
󰇻
=1 ⇒=3
=3 ⇒=9
.
Khi đó =−5 −
1
9
∫
(
)
d
9
3
=−5 −
9
=−
45
9
.
Câu 40. Cho hàm số () liên tục
(
0;+∞
)
và
(
)
+ 2.󰇡
1
󰇢=,∀∈
(
0;+∞
)
. Giá trị của tích phân
=
∫

(
)

2
1
2
bằng
A.
15
8
. B.
9
8
. C.
13
8
. D.
1
8
.
Lời giải
Chọn D
Vì () + 2.(
1
)=,∀∈
(
0;+∞
)
nên (
1
) + 2.()=
1
.
Do đó ta có
󰇱
() + 2.(
1
)=
(
1
) + 2.()=
1
⇔
󰇱
() +2.(
1
)=
2(
1
) + 4.()=
2
⇒3.()=
2
−⇒()=
2

3
.
Khi đó =
∫
.
2

3

2
1
2
=
1
3
∫
(
2 −
2
)

2
1
2
=
1
3
󰇡2−
3
3
󰇢
󰇻
1
2
2
=
1
8
.
Câu 41. Cho hàm số =
(
)
liên tục và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn: 5
(
)
−7
(
1 −
)
=4−6
2
,
∀∈ℝ. Biết rằng
∫
[
′
(
)]
2
3
2
d=
(
là phân số tối giản). Tính −143.
A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
Lời giải
Chọn D
Theo giả thiết: 5
(
)
−7
(
1 −
)
=4−6
2
, ∀∈ℝ.
Thay bởi 1 − ta được: 5
(
1 −
)
−7
(
)
=4
(
1 −
)
−6
(
1 −
)
2
=−6
2
+ 8−2.
Ta được hệ: 󰇫
5
(
)
−7
(
1 −
)
=4−6
2
−7
(
)
+ 5
(
1 −
)
=−6
2
+ 8−2
⇒25
(
)
−49
(
)
=5
(
4−6
2
)
+ 7
(
−6
2
+ 8−2
)
⇒−24
(
)
=−72
2
+ 76−14
⇒
(
)
=3
2
−
19
6
+
7
12
.
⇒′
(
)
=6−
19
6
. Khi đó:
∫
[
′
(
)]
2
3
2
d=
∫
󰇡6−
19
6
󰇢
2
3
2
d=
5149
36
.
Vậy =5149, =36 nên −143=5149 −143 ×36 =1.
Câu 42. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên
󰇣
;3
󰇤
thỏa mãn
(
)
+ .󰇡
󰇢=
−. Giá trị tích phân
=
∫
(
)

d
bằng
A.
8
9
. B.
2
3
. C.
3
4
. D.
16
9
.
Lờigiải
Chọn A
+ Đặt =
1
⇒d=−
1
2
d.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
+ Đổi cận: =
1
3
⇒=3; =3 ⇒=
1
3
.
+ Ta có =
∫
(
)
2

d
3
1
3
=−
∫
󰇡
1
󰇢
1
2
1
.
1
2
d
1
3
3
=
∫
󰇡
1
󰇢
1
d
3
1
3
.
Suy ra:
2=
∫
(
)
2

d
3
1
3
+
∫
󰇡
1
󰇢
1
d
3
1
3
=
∫
(
)
.󰇡
1
󰇢
(
1
)
d
3
1
3
=
∫
(
1
)(
1
)
(
1
)
d
3
1
3
=
∫
(
−1
)
d
3
1
3
=
16
9
.
Vậy =
8
9
.
Câu 43. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ\
{
0
}
và thỏa mãn 2
(
3
)
+ 3󰇡
󰇢=−

,
∫
(
)
d
=
. Tính =
∫
󰇡
󰇢d
theo .
A. =−
45
9
. B. =
45
9
. C. =
45
9
. D. =
452
9
.
Lời giải
Chọn A
Đặt =2 ⇒ d=
1
2
d. Đổi cận 󰈏
=
1
2
⇒=1
=
3
2
⇒=3
.
Khi đó =
1
2
∫
󰇡
2
󰇢d
3
1
.
Mà 2
(
3
)
+ 3󰇡
2
󰇢=−
15
2
⇔ 󰇡
2
󰇢=−
5
2
−
2
3
(
3
)
Nên =
1
2
∫
󰇣
−
5
2
−
2
3
(
3
)
󰇤
d
3
1
=−
5
4
∫
d
3
1
−
1
3
∫
(
3
)
d
3
1
=−5 −
1
3
∫
(
3
)
d
3
1
(*)
Đặt =3 ⇒ d=
1
3
d. Đổi cận
󰇻
=1 ⇒=3
=3 ⇒=9
.
Khi đó =−5 −
1
9
∫
(
)
d
9
3
=−5 −
9
=−
45
9
.
Câu 44. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn
(
−
)
+ 2018
(
)
=2sin. Tính giá trị
của =
∫
(
)
d
.
A. =
2
2019
. B. =
2
1009
. C. =
4
2019
. D. =
1
1009
.
Lời giải
Chọn C
Cách 1: (Dùng công thức)
Với
(
−
)
+ 2018
(
)
=2sin ta có =1; =2018
Suy ra =
∫
(
)
d
2
2
=
1
12018
∫
2sind
2
2
=

4
2019
⇒ Đáp án C
Cách 2:
Áp dụng Hệ quả 2: .
(
)
+ 
(
−
)
=
(
)
⇒
(
)
=
(
)

với
(
)
là hàm số chẵn.
Ta có
(
−
)
+ 2018
(
)
=2sin⇒
(
)
=
2sin
2019
=
∫
(
)
d
2
2
=
2
2019
∫
sind
2
2
=

4
2019
⇒ Đáp án C
Câu 45. Cho hàm số () liên tục trên ℝ và thỏa mãn () + 2
(
−
)
=
(
+ 1
)
sin,∀∈ℝ. Tích
phân
∫
()
0
d bằng
A. 1 +
2
. B.
2
3
. C. 2 +. D. 0.
Lời giải
Chọn B
Ta có () +2
(
−
)
=
(
+ 1
)
sin,∀∈ℝ. Thay bằng −, ta được:
(−) + 2
(
)
=
(
−+ 1
)
sin⇔2
(
)
+ (−)=
(
+ 1 −
)
sin.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Từ đó ta có hệ
() + 2
(
−
)
=
(
+ 1
)
sin
2() +
(
−
)
=
(
+ 1 −
)
sin,∀∈ℝ
⇒()=
1
3
(2+ 1 −3)sin.
⇒
∫
(
)
0
d=
1
3
∫
(
2+ 1
)
sin
0
d−
∫
xsin
0
d =−
21
3
cos
|
0
+ cos
|
0
−sin
|
0
=
2+ 1
3
+
2+ 1
3
−=
+ 2
3
.
Câu 46. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn
(
−
)
+ 2018
(
)
=
. Tính giá trị của
=
∫
(
)


A. =
2
1
2019e
. B. =
2
1
2018e
. C. =0. D. =
2
1
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1: (Dùng công thức).
Với
(
−
)
+ 2018
(
)
=
ta có =1;=2018.
Suy ra =
∫
(
)

1
1
=
1
12018
∫

1
1
=
1
2019
󰇻
1
1
=
2
1
2019e
.
Cách 2: (Dùng công thức)
Áp dụng Hệ quả 1: .
(
)
+ .
(
−
)
=
(
)
⇒
(
)
=
.
(
)
.
(

)
2

2
.
Ta có:
(
−
)
+ 2018
(
)
=
⇒
(
)
=
2018
−

2018
2
−1
⇒
(
)

1
1
=
1
2019.2017
(
2018
−

)

1
1
≈1,164.10
3
≈
2
1
2019e
(Casio).
Câu 47. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ, thỏa mãn 2
(
2
)
+
(
1 −
)
=12
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số =
(
)
tại điểm có hoành độ bằng 1 là
A. =2+ 2. B. =4−6. C. =2−6. D. =4−2.
Lời giải
Chọn D
Áp dụng kết quả
“Cho .
(
+
)
+ .
(
−+
)
=
(
)
(với
2
≠
2
) khi đó
(
)
=
.󰇡

󰇢.g󰇡

󰇢
2

2
”.
Ta có
2
(
2
)
+
(
1 −
)
=12
2
=
(
)
⇔
(
)
=
2.󰇡
2
󰇢󰇡
1
2
󰇢
2
2
1
=
6
2
3
(
1
)
2
3
=
2
+ 2−1.
Suy ra
(
1
)
=2
′
(
1
)
=4
, khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: =4−2.
Câu 48. Cho
(
)
là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ thỏa mãn
∫
(
)
=2018 và
(
)
là hàm số liên
tục trên ℝ thỏa mãn
(
)
+
(
−
)
=1, ∀∈ℝ. Tính tích phân =
∫
(
)

(
)
.
A. =2018. B. =
1009
2
. C. =4036. D. =1008.
Lời giải
Chọn A
Áp dụng Hệ quả
.
(
)
+ .
(
−
)
=ℎ
(
)
⇒
(
)
=
ℎ
(
)

với ℎ
(
)
là hàm số chẵn.
Ta có:
(
)
+
(
−
)
=1 =ℎ
(
)
⇒
(
)
=
1
11
=
1
2
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Kết hợp với điều kiện
(
)
là hàm số chẵn, ta có:
=
∫
(
)
(
)
=
1
2
1
1
∫
(
)

1
1
=
∫
(
)
1
0
=2018.
Chú ý: Nếu
(
)
là hàm số chẵn, liên tục trên
[
−;
]
⇒
∫
(
)
=2
∫
(
)

0

.
Câu 49. Cho số dương và hàm số
(
)
liên tục trên ℝ thỏa mãn
(
)
+
(
−
)
=, ∀∈ℝ. Giá trị
của biểu thức
∫
(
)
d

bằng
A. 2
2
. B. . C.
2
. D. 2.
Lời giải
Chọn C
Đặt =−⇒
∫
(
)
d

=
∫
(
−
)(
−d
)

=
∫
(
−
)
d

=
∫
(
−
)
d

⇒2
∫
(
)
d

=
∫
[
(
)
+
(
−
)]
d

=
∫
d

⇔2
∫
(
)
d

=2
2
⇔
∫
(
)
d

=
2
.
Câu 50. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ thỏa điều kiện
(
)
+
(
−
)
=2sin. Tính
∫
(
)
d
A. −1. B. 0. C. 1. D. 2.
Lời giải
Chọn B
Giả sử =
∫
(
)
d
2
2
.
Đặt =− ⇒d=−d, đổi cận =−
2
→=
2
=
2
→=−
2
.
Khi đó =−
∫
(
)
d
2
2
=
∫
(
)
d
2
2
.
Suy ra 2=
∫
[
(
)
+
(
−
)]
d
2
2
=
∫
2sind
2
2
=0 ⇒2=0 ⇒=0
Câu 51. Cho hàm số =() liên tục trên ℝ thỏa mãn () + (−)=3 −2cos,∀∈ℝ. Tính tích
phân =
∫
()d
2
2
.
A. =
1
3
. B. =
3
2
−2. C. =
2
+ 2. D. =
1
2
.
Lời giải
Chọn B
Đặt −=⇒d=−d
Đổi cận =−
2
⇒=
2
; =
2
⇒=−
2
Suy ra =−
∫
(−t)dt
2
2
=
∫
(−)dt
2
2
=
∫
(−)dx
2
2
Do đó 2=
∫
[() + (−)]dx
2
2
=
∫
(3 −2cos)dx
2
2
=3−4 ⇒=
3
2
−2.
Câu 52. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn () + (−)=2cos2,∀∈ℝ. Khi đó
∫
(
)
d
2
2
bằng
A. −2. B. 4. C. 2. D. 0.
Lời giải
Chọn D
Với () +(−)=2cos2,∀∈ℝ ⇒
∫
(
() + (−)
)
d
2
2
=
∫
2cos2d
2
2
⇔
∫
(
)
d
2
2
+
∫
(
−
)
d
2
2
=
∫
2cos2d
2
2
(*)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Tính =
∫
(
−
)
d
2
2
Đặt =−⇒d=−d⇒d=−d.
Đổi cận: =
2
⇒=−
2
; =−
2
⇒=
2
.
Khi đó =−
∫
(
)
d
2
2
=
∫
(
)
d
2
2
=
∫
(
)
d
2
2
.
Từ (*), ta được: 2
∫
(
)
d
2
2
=
∫
2cos2d
2
2
=sin2
|
2
2
=0 ⇒
∫
(
)
d
2
2
=0.
Câu 53. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên
󰇣
−
2
;
2
󰇤
và thoả mãn 2
(
)
+
(
−
)
=cos. Tính tích phân
=
∫
(
)

2
2
.
A. =−2. B. =
2
3
. C. =
3
2
. D. =2.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết, thay bằng − ta được 2
(
−
)
+
(
)
=cos.
Do đó ta có hệ
2
(
)
+
(
−
)
=cos
2
(
−
)
+
(
)
=cos
⇔
4
(
)
+ 2
(
−
)
=2cos
(
)
+ 2
(
−
)
=cos
⇒
(
)
=
1
3
cos
Khi đó
∫
(
)

2
2
=
1
3
∫
cos
2
2
=
1
3
sin
2
−
2
=
2
3
.
Vậy =
2
3
.
Câu 54. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên
[
−2;2
]
và thoả mãn 2
(
)
+ 3
(
−
)
=
1
4
2
. Tính tích phân
=
∫
(
)
d
2
2
.
A. =−
10
. B. =−
20
. C. =
20
. D. =
10
.
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết, thay bằng − ta được 2
(
−
)
+ 3
(
)
=
1
4
2
.
Do đó ta có hệ :
󰇱
2
(
)
+ 3
(
−
)
=
1
4
2
2
(
−
)
+ 3
(
)
=
1
4
2
⇔
󰇱
4
(
)
+ 6
(
−
)
=
2
4
2
9
(
)
+ 6
(
−
)
=
3
4
2
⇒
(
)
=
1
54
2
.
Khi đó =
∫
(
)
d=
1
5
2
2
∫
1
4
2
d
2
2
=
20
.
Câu 55. Cho () là một hàm số liên tục trên thỏa mãn
(
)
+
(
−
)
=
√
2 −2cos2. Tính tích phân
=
∫
(
)
d


.
A. =3. B. =4. C. =6. D. =8.
Lời giải
Chọn C
Ta có =
∫
(
)
d
3
2
3
2
=
∫
(
)
d
0
3
2
+
∫
(
)
d
3
2
0
.
Xét
∫
(
)
d
0
3
2
Đặt =−⇒d=−d; Đổi cận:=−
3
2
⇒=
3
2
; =0 ⇒=0.
Suy ra
∫
(
)
d
0
3
2
=−
∫
(
−
)
dt
0
3
2
=
∫
(
−
)
d
3
2
0
=
∫
(
−
)
d
3
2
0
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Theo giả thiết ta có:
(
)
+
(
−
)
=
√
2 −2cos2⇔
∫
(
)
+
(
−
)
d
3
2
0
=
∫
√
2 −2cosd
3
2
0
⇔
∫
(
)
d
3
2
0
+
∫
(
−
)
d
3
2
0
=2
∫
|
sin
|
d
3
2
0
⇔
(
)
d
3
2
0
+
(
)
d
0
3
2
=2
sin d
0
−2
sin d
3
2
0
Câu 56. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên R và thỏa mãn
(
)
+
(
−
)
=
√
2 + 2cos2. Tính =
∫
(
)

.
A. =−1. B. =1. C. =−2. D. =2.
Lời giải
=
∫
(
)

2
2
(1) Đặt =−⇒=− Đổi cận:
⇒=
∫
(
−
)
.
(
−
)
2
2
=
∫
(
−
)

2
2
=
∫
(
−
)

2
2
(2) (Tích phân xác định không phụ
thuộc vào biến số tích phân)
(1) + (2) ⇒2=
∫
[
(
)
+
(
−
)]

2
2
=
∫
√
2 + 2cos2
2
2
=
2
(
1 + cos2
)

2
2
=
√
2
2cos
2

2
2
=2
|
cos
|

2
2
=2
cos
2
2
=2sin
󰇻
2
2
=2
[
1 −
(
−1
)]
=4
⇒=2
Chọn D
Câu 57. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ thỏa mãn
(
)
+
(
−
)
=2019
2018
+ 3
2
−4,∀∈ℝ.
Tính tích phân =
∫
(
)
d
2
2
.
A. =2
2018
. B. =0. C. =2
2019
. D. =2
2020
.
Lời giải
Chọn C
Từ giải thiết
(
)
+
(
−
)
=2019
2018
+ 3
2
−4,∀∈ℝ lấy tích phân hai vế trên
[
−2;2
]
ta
được
∫
[
(
)
+
(
−
)]
d=
2
2
∫
(
2019
2018
+ 3
2
−4
)
d
2
2
⇔
∫
(
)
d+
2
2
∫
(
−
)
d
2
2
=
(
2019
+
3
−4
)
2
2
⇔+
∫
(
−
)
d=
2
2
2
2020
.
Xét =
∫
(
−
)
d
2
2
.Đặt =− ta có d=−d. Khi →−2 thì →2, khi →2 thì →−2.
Do đó =
∫
−
(
)
d
2
2
=
∫
(
)
d=
2
2
∫
(
)
d
2
2
=.
Vậy 2=2
2020
⇒=2
2019
.
Câu 58. Cho hàm số liên tục trên và . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
f x
2
3 2 tan
f x f x x
π
4
π
4
d
f x x
π
1
2
π
1
2
π
1
4
π
2
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Cách 1: Ta có
.
Đặt , đổi cận , .
Suy ra,
Vậy
Cách 2: (Trắc nghiệm)
Chọn (Thỏa mãn giả thiết).
Khi đó
Câu 59. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn 2
(
)
+ 3
(
−
)
=
1
2
4
. Tính tích phân =
∫
(
)
2
2
d.
A. =−
20
. B. =
10
. C. =
20
. D. =−
10
.
Lời giải
Chọn C
• Ta có: 2
(
)
+ 3
(
−
)
=

(
1
)
.
• Do các hàm số
(
)
và
(
)
=
1
2
4
liên tục trên ℝ nên lấy tích phân hai vế của
(
1
)
trên đoạn
[
−2; 2
]
, ta được:
∫
[
2
(
)
+ 3
(
−
)]
2
2
d=
∫
1
2
4
2
2
d.
⇔2
∫
(
)

d+ 3
∫
(
−
)

d=
∫


d
(
2
)
.
• Ký hiệu =
∫
(
−
)

d, =
∫


d. Khi đó từ
(
2
)
suy ra: 2+ 3=
(
3
)
.
+ Xét =
∫
(
−
)

d:
Đặt =−⇒−dt=d.
Đổi cận: =−2⇒=2; =2⇒=−2.
Suy ra =−
∫
(
)

dt =
∫
(
)

dt=
∫
(
)

d= hay =
(
4
)
.
+ Tính =
∫


d:
Đặt =2tan ⇒d=

dt=2
(
1 + tan
)
dt.
Đổi cận: =−2⇒=−
; =2⇒=
.
π
4
2
π
4
tan d
x x
4
2
4
1
1 d
cos
x
x
π
4
π
4
tan x x
π π
1 1
4 4
π
2
2
π
4
π
4
π
2 3 2 d
2
f x f x x
d d
t x t x
π π
4 4
x t
π π
4 4
x t
π
4
π
4
3 2 d
f x f x x
π
4
π
4
3 2 d
f t f t t
π
4
π
4
3 2 d
f x f x x
π π
4 4
π π
4 4
d d
f x x f x x
π
4
π
4
π
2 3 2 d
2
f x f x x
π
4
π
4
π
2 d
2
f x x
π
4
π
4
π
d 2
2
f x x
2
tan
f x f x x
π π π
4 4 4
2
2
π π π
4 4 4
1
d tan xd 1 d 2
cos 2
f x x x x
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Suy ra =
∫


.
2
(
1 + tan
)
dt=
∫
dt
=
hay =
∫


d=
(
5
)
.
• Thay
(
4
)
và
(
5
)
(
3
)
, ta được: 5=
⇒=

.
Câu 60. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ thỏa mãn điều kiện: 3
(
)
−
(
−
)
=
1
2
3
.
Tích phân
∫
(
)
1
1
dx bằng
A.
ln3
2
. B.
ln3
3
. C. 2ln3. D. ln3.
Lời giải
Chọn A
Ta có 3
(
)
−
(
−
)
=
1
2
3
(
1
)
Thay =− vào
(
1
)
ta có 3
(
−
)
−
(
)
=
1
2
3
(
2
)
Từ
(
1
)
và
(
2
)
ta có hệ
󰇱
3
(
)
−
(
−
)
=
1
2
3
3
(
−
)
−
(
)
=
1
2
3
⇒
(
)
=
1
2
2
3
.
Do đó ta có
∫
(
)
1
1
dx =
∫
1
2
2
3
1
1
dx.
Áp dụng :
ln
√
2
+ −

′
=
󰇡
2
󰇢
′
2

=
2

1
2

=−
1
2

⇒
∫
1
2

=−ln
√
2
+ −
+
ta có
∫
(
)
1
1
dx =
∫
1
2
2
3
1
1
dx =−
1
2
󰇡ln
√
2
+ 3 −
󰇢
󰇻
1
1
=
ln3
2
.
(Để tính tích phân
∫
(
)
1
1
dx
ta có thể dùng đổi biến
=− cũng đưa về
∫
(
)
1
1
dx =
∫
1
2
2
3
1
1
dx =
∫
1
2
3
1
0
dx.
- Ta có thể sử dụng máy tính để tính
∫
1
2
2
3
1
1
dx
rồi so sánh với đáp án).
Nhận xét
Ta có:
∫
(
)
1
1
=
1
2
∫

2
3
1
1
=
1
2
∫
󰇡
2
3󰇢
2
3
=
1
2
ln
+
√
2
+ 3
󰇻
1
1
1
1
=
ln3
2
Câu 61. Cho hàm số
(
)
liên tục trên đoạn
[
−ln2;ln2
]
và thỏa mãn
(
)
+
(
−
)
=

.
Biết
∫
(
)
d
ln2
ln2
=ln2 + ln3
(
; ∈ℚ
)
. Tính =+ .
A. =
1
2
. B. =−2. C. =−1. D. =2.
Lời giải
Chọn A
Gọi =
∫
(
)
d
ln2
ln2
.
Đặt =− ⇒d=−d.
Đổi cận: Với =−ln2 ⇒ =ln2; Với =ln2 ⇒ =−ln2.
Ta được =−
∫
(
−
)
d
ln2
ln2
=
∫
(
−
)
d
ln2
ln2
=
∫
(
−
)
d
ln2
ln2
.
Khi đó ta có: 2=
∫
(
)
d
ln2
ln2
+
∫
(
−
)
d
ln2
ln2
==
∫
[
(
)
+
(
−
)]
d
ln2
ln2
=
∫
1
e
1
d
ln2
ln2
.
Xét
∫
1
e
1
d
ln2
ln2
. Đặt =e
⇒d=e
d
Đổi cận: Với =−ln2 ⇒=
1
2
; =ln2 ⇒=2.
Ta được
∫
1
e
1
d
ln2
ln2
=
∫
e
e
(
e
1
)
d
ln2
ln2
=
∫
1
(
1
)
d
ln2
ln2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
=
1
−
1
+ 1
d
ln2
ln2
=
(
ln
|
|
−ln
|
+ 1
|
)
|
1
2
2
=ln2
Vậy ta có =
1
2
, =0 ⇒+=
1
2
.
Câu 62. Xét hàm số
(
)
liên tục trên
[
0;1
]
và thỏa mãn điều kiện 2
(
)
+ 3
(
1 −
)
=
√
1 −. Tính
tích phân =
∫
(
)
.
A. =−
4
15
. B. =
1
15
. C. =
4
75
. D. =
1
25
.
Lời giải
Chọn C
Cách 1: (Dùng công thức)
Với 2
(
)
+ 3
(
1 −
)
=
√
1 − ta có =2;=3.
Suy ra:
∫
(
)
=
1
23
1
0
∫
√
1 −
1
0
=

0,05
(
3
)
=
4
75
.
Áp dụng kết quả
“Cho .
(
+
)
+ .
(
−+
)
=
(
)
(Với
2
≠
2
) khi đó
(
)
=
.󰇡

󰇢.󰇡


󰇢
2

2
”
.
Ta có: 2
(
)
+ 3
(
1 −
)
=
√
1 −=
(
)
⇒
(
)
=
2
(
)
3
(
1
)
2
2
3
2
=
2
√
13
(
1
)
√
5
.
Suy ra: =
∫
(
)

1
0
=
∫
2
√
13
(
1
)
√
5

1
0
=

0,05
(
3
)
=
4
75
.
Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ 2
(
)
+ 3
(
1 −
)
=
√
1 −⇒2
∫
(
)
+3
∫
(
1 −
)
=
1
0
1
0
∫
√
1 −
1
0
=

0,2
(
6
)
=
4
15
(
∗
)
Đặt =1 −⇒=−; Với =0 ⇒=1và =
1 ⇒=0.
Suy ra
∫
(
1 −
)
=
∫
(
)
=
∫
(
)

1
0
1
0
1
0
thay vào
(
∗
)
, ta được:
5
∫
(
)
=
4
15
2
0
⇔
∫
(
)
=
4
75
2
0
.
Câu 63. Cho hàm số
(
)
liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn 2
(
)
+ 3
(
1 −
)
=
√
1 −, ∀∈
[
0;1
]
.
Tích phân
∫
′ 󰇡
2
󰇢d
2
0
bằng
A. −
4
75
. B. −
4
25
. C. −
16
75
. D. −
16
25
.
Lời giải
Chọn C
Cách 1
2
(
)
+ 3
(
1 −
)
=
√
1 −, ∀∈
[
0;1
]
⇒
2
(
0
)
+ 3
(
1
)
=0
2
(
1
)
+ 3
(
0
)
=0
⇒
(
1
)
=
(
0
)
=0
Nhận xét:
∫
(
1 −
)
d
1
0
=
∫
(
)
d
1
0
=
∫
(
)
dx
1
0
⇒5
(
)
d
1
0
=
[
2
(
)
+ 3
(
1 −
)]
1
0
d=
√
1 −
1
0
d=
4
15
⇒
(
)
1
0
d=
4
75
Nên
∫
′ 󰇡
2
󰇢d
2
0
=
∫
2′
(
)
1
0
2d=4
∫
1
0
d
(
)
=4
(
)
|
0
1
−4
∫
(
)
d
1
0
=4
(
1
)
−
4.
4
75
=−
16
75
.
Cách 2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
- Đặt =
2
⇒
∫
′ 󰇡
2
󰇢d
2
0
=
∫
2′
(
)
2d
1
0
=4
∫
′
(
)
d
1
0
=4
󰇣

(
)

0
1
−
∫
(
)
d
1
0
󰇤
(
∗
)
- Ta có 2
(
)
+ 3
(
1 −
)
=
√
1 −, ∀∈
[
0;1
]
Cho =0 ta được 2
(
0
)
+ 3
(
1
)
=0
Cho =1 ta được 2
(
1
)
+ 3
(
0
)
=0
⇒
(
1
)
=
(
0
)
=0
(
1
)
- Mặt khác
∫
(
1 −
)
d
1
0
=
∫
(
)
d
1
0
=
∫
(
)
dx
1
0
⇒
[
2
(
)
+ 3
(
1 −
)]
1
0
d=
√
1 −
1
0
d
⇒5
(
)
d
1
0
=
4
15
⇒
(
)
d
1
0
=
4
75
(
2
)
Thế
(
1
)
,
(
2
)
vào
(
∗
)
ta được
∫
′ 󰇡
2
󰇢d
2
0
=4
󰇣
0 −
4
75
󰇤
=−
16
75
.
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4:
Bài toán: “ Cho
(
)
.
(
+ −
)
=
2
, khi đó =
∫
d

(
)
=

2
Chứng minh:
Đặt =+ −⇒󰇫
=−
(
)
=
2
(
)
và =⇒−; =⇒=.
Khi đó =
∫
d

(
)
=
∫
d
2
(
)
=
1
∫
f
(
)
d

(
)
.
2=
∫
d

(
)
+
1
∫
f
(
)
d

(
)
=
1
∫
d
=
1
(
−
)
⇒=

2
.
Câu 64. Cho hàm số
(
)
liên tục và nhận giá trị dương trên
[
0;1
]
. Biết
(
)
.
(
1 −
)
=1 với ∀∈
[
0;1
]
. Tính giá trí =
∫


(
)
A.
3
2
. B.
1
2
. C. 1. D. 2.
Lời giải
Chọn B
Ta có: 1 +
(
)
=
(
)
(
1 −
)
+
(
)
⇒
(
)
1
(
)
=
1
(
1
)
1
Xét =
∫
d
1
(
)
1
0
.
Đặt =1 −⇔=1 − ⇒d=−d. Đổi cận: =0 ⇒=1; =1 ⇒=0.
Khi đó =−
∫
d
1
(
1
)
0
1
=
∫
d
1
(
1
)
1
0
=
∫
d
1
(
1
)
1
0
=
∫
(
)
d
1
(
)
1
0
Mặt khác
∫
d
1
(
)
1
0
+
∫
(
)
d
1
(
)
1
0
=
∫
1
(
)
1()
d
1
0
=
∫
d
1
0
=1 hay 2=1. Vậy =
1
2
.
Câu 65. Giả sử hàm số () liên tục và dương trên đoạn
[
0;3
]
thỏa mãn ().(3 −)=4. Tính tích
phân =
∫
1
2
(
)
3
0
d.
A. =
. B. =
. C. =
. D. =
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
(
)
.
(
3 −
)
=4
(
)
>0,∀∈
[
0; 3
]
⇒
(
3 −
)
=
4
(
)
.
=
1
2 +
(
)
3
0
d
Đặt =3 −⇒d=−d
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Đổi cận =0 ⇒=3; =3 ⇒=0.
Thay vào ta được
=
∫
1
2
(
3
)
3
0
dt =
∫
1
2
(
3
)
3
0
d=
∫
1
2
4
(
)
3
0
d=
∫
(
)
2
(
)
4
3
0
d =
1
2
∫
(
)
(
)
2
3
0
d.
=
1
2
(
)
+ 2 −2
(
)
+ 2
3
0
d=
1
2
1 −
2
(
)
+ 2
3
0
d=
1
2
|
0
3
−
1
(
)
+ 2
3
0
d=
3
2
−
⇒=
3
2
−⇒2=
3
2
⇒=
3
4
.
Vậy =
3
4
.
Câu 66. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ, ta có
(
)
>0 và
(
0
)
.
(
2018 −
)
=1. Giá trị của tích
phân =
∫


(
)

A. =2018. B. =0#. =1009#. 4016
Lời giải
Chọn C
ta có =
∫
2018
0
1
1
(
)
d=
20180
2.1
=1009.
Câu 67. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm, liên tục trên ℝ và
(
)
>0
khi∈
[
0;5
]
.
Biết
(
)
.
(
5 −
)
=1
,
tính tích phân =
∫


(
)
.
A. =
5
4
. B. =
5
3
. C. =
5
2
. D. =10.
Lời giải
Chọn C
Đặt =5 −⇒d=−d
=0 ⇒=5; =5 ⇒=0
=−
∫
d
1
(
5
)
0
5
=
∫
(
)
d
1
(
)
5
0
(do
(
5 −
)
=
1
(
)
)
⇒2=
∫
d
5
0
=5 ⇒=
5
2
.
Câu 68. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên R và
(
)
>0 khi x [0; a] (>0). Biết
(
)
.
(
−
)
=1, tính tích phân =
∫


(
)
.
A. =
2
. B. =2. C. =
3
. D. =
4
.
Lời giải:
=
∫

1
(
)
0
(1) Đặt =−⇒=−
Đổi cận:
⇒=
∫
−

1
(

)
0
=
∫
1
1
(

)

0
=
∫
1
1
(

)

0
(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc
vào biến số tích phân)
(1) + (2) ⇒2=
∫
󰇣
1
1
(
)
+
1
1
(

)
󰇤

0
=
1
(

)
1
(
)
1
(
)
.
(

)

(
)

(

)
=
∫
2
(

)

(
)
2
(

)

(
)

2
0
=
∫

0
= ⇒=
2
Chọn A
Câu 69. Cho
(
)
là hàm liên tục trên đoạn
[
0;
]
thỏa mãn
(
)
.
(
−
)
=1
(
)
>0,∀∈
[
0;
]
và
∫


(
)
=

,
trong đó , là hai số nguyên dương và
là phân số tối giản. Khi đó + có giá trị thuộc khoảng
nào dưới đây?
A.
(
11;22
)
.#.
(
0;9
)
.#.
(
7;21
)
.#.
(
2017;2020
)
.
Lời giải
Chọn B
Cách 1. Đặt =−⇒d=−d
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Đổi cận =0 ⇒=;=⇒=0.
Lúc đó =
∫
d
1
(
)
0
=
∫
d
1
(

)
0
=
∫
d
1
(

)
=
∫
d
1
1
(
)
=
∫
(
)
d
1
(
)
0
0
0
Suy ra 2=+ =
∫
d
1
(
)
+
∫
(
)
d
1
(
)
=
∫
1d
0
0
=
0
Do đó =
1
2
⇒=1;=2 ⇒+ =3.
Cách 2. Chọn
(
)
=1 là một hàm thỏa các giả thiết.
Dễ dàng tính được =
1
2
⇒=1;=2 ⇒+ =3.
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5: CÓ HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, CÓ CẬN
ĐỐI XỨNG.
Phương pháp: Để giải các bài toán tích phân liên quan đến hàm số chẵn hàm lẻ, ta thường sử
dụng phép đổi biến =− và kết hợp tính chất của hàm số chẵn (lẻ):
•
(
)
là hàm số chẵn trên khi và chỉ khi ∀∈thì
(
)
=
(
−
)
;
•
(
)
là hàm số lẻ trên khi và chỉ khi ∀∈thì
(
)
=−
(
−
)
.
Ngoài ta cũng hay sử dụng một số tính chất tích phân hàm số chẵn và hàm số lẻ:
• Nếu hàm số
(
)
liên tục và lẻ trên đoạn
[
−;
]
thì
∫
(
)
=

0
• Nếu hàm số
(
)
liên tục và chẵn trên đoạn
[
−;
]
thì
∫
(
)
=

2
∫
(
)
=
0

2
∫
(
)

0
• Nếu hàm số
(
)
liên tục và chẵn trên đoạn
[
−;
]
và >0,≠1 thì
(
)
1 +
=

1
2
(
)
=

(
)

0
Câu 70. Cho
(
)
và
(
)
là hai hàm số liên tục trên
[
−1,1
]
và
(
)
là hàm số chẵn,
(
)
là hàm số lẻ.
Biết
∫
(
)
=5
và
∫
(
)

=7. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
∫
(
)
=10
1
1
. B.
∫
(
)

1
1
=14.
C.
∫
[
(
)
+
(
)]

1
1
=10. D.
Lời giải
Đặt =
∫
(
)

1
1
=
∫
(
)

0
1
󰆄
󰆈
󰆈
󰆅
󰆈
󰆈
󰆆
1
+
∫
(
)

1
0
󰆄
󰆈
󰆈
󰆅
󰆈
󰆈
󰆆
2
1
=
∫
(
)

0
1
. Đặt =− ⇒=−
Đổi cận:
⇒
1
=
∫
(
−
)
.
(
−
)
0
1
=
∫
(
−
)

1
0
=
∫
(
−
)

1
0
(Do tích phân xác định không phụ thuộc
vào biến số tích phân)
=
∫
(
)

1
0
(Do
(
)
là hàm chẵn ⇒
(
−
)
=
(
)
)
Vậy =
∫
(
)

1
1
=
∫
(
)

1
0
+
∫
(
)

1
0
=10 (1)
Đặt =
∫
(
)

1
1
=
∫
(
)

0
1
󰆄
󰆈
󰆈
󰆅
󰆈
󰆈
󰆆
1
+
∫
(
)

1
0
󰆄
󰆈
󰆈
󰆅
󰆈
󰆈
󰆆
2
1
=
∫
(
)

0
1
. Đặt =− ⇒=−
Đổi cận:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
⇒
1
=
∫
(
−
)
.
(
−
)
0
1
=
∫
(
−
)

1
0
=
∫
(
−
)

1
0
(Do tích phân xác định không phụ thuộc
vào biến số tích phân)
=−
∫
(
)

1
0
(Do
(
)
là hàm chẵn ⇒
(
−
)
=−
(
)
)
Vậy =
∫
(
)

1
1
=−
∫
(
)

1
0
+
∫
(
)

1
0
=0 (2)
Từ (1) và (2)
Chọn B
Câu 71. Cho hàm số =
(
)
là hàm lẻ và liên tục trên
[
−4;4
]
biết
∫
(
−
)
d=2

và
∫
(
−2
)
d=4
. Tính =
∫
(
)
d
.
A. =−10. B. =−6. C. =6. D. =10.
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Sử dụng công thức:
∫
(
+
)
d
2
1
=
1
∫
(

)
d
2
1
và tính chất
∫
(
)
d

=0 với
(
)
là hàm số lẻ trên đoạn
[
−;
]
.
Áp dụng, ta có:
4 =
∫
(
−2
)
d
2
1
=−
1
2
∫
(
)
d
4
2
=
1
2
∫
(
)
d
2
4
⇔
∫
(
)
d
2
4
=8.
2 =
∫
(
−
)
d
0
2
=−
∫
(
)
0
2
=
∫
(
)
2
0
⇔
∫
(
)
2
0
=2
Suy ra: 0 =
∫
(
)
d
4
4
=
∫
(
)
d
2
4
+
∫
(
)
d
0
2
+
∫
(
)
d
4
0
⇔0 =8 + 󰇡
∫
(
)
d
2
2
−
∫
(
)
d
2
0
󰇢+ ⇔0 =8 +
(
0 −2
)
+ ⇔=−6.
Cách 2: Xét tích phân
∫
(
−
)
d=2
0
2
.
Đặt −=⇒d=−dt.
Đổi cận: khi =−2 thì =2; khi =0 thì =0 do đó
∫
(
−
)
d=
0
2
−
∫
(
)
dt
0
2
=
∫
(
)
dt
2
0
⇒
∫
(
)
dt
2
0
=2 ⇒
∫
(
)
d
2
0
=2.
Do hàm số =
(
)
là hàm số lẻ nên
(
−2
)
=−
(
2
)
.
Do đó
∫
(
−2
)
d
2
1
=−
∫
(
2
)
d
2
1
⇒
∫
(
2
)
d
2
1
=−4.
Xét
∫
(
2
)
d
2
1
.
Đặt 2=⇒d=
1
2
dt.
Đổi cận: khi =1 thì =2; khi =2 thì =4 do đó
∫
(
2
)
d=
2
1
1
2
∫
(
)
dt
4
2
=−4
⇒
∫
(
)
dt
4
2
=−8 ⇒
∫
(
)
d
4
2
=−8.
Do =
∫
(
)
d
4
0
=
∫
(
)
d
2
0
+
∫
(
)
d
4
2
=2 −8 =−6.
Câu 72. Cho hàm số chẵn =
(
)
liên tục trên ℝ và
∫
(

)

d=8

. Giá trị của
∫
(
)
d
bằng:
A. 8. B. 2. C. 1. D. 16.
Lời giải
Chọn D
+) Ta có 8 =
∫
(
2
)
15
d
1
1
=
∫
(
2
)
15
d
0
1
+
∫
(
2
)
15
d
1
0
. (1)
Xét =
∫
(
2
)
15
d
0
1
:
Đặt =− ⇒d=−d. Đổi cận: =−1 ⇒=1 và =0 ⇒=0. Khi đó
=
∫
(
2
)
15

(
−d
)
0
1
=
∫
(
2
)
15

d
1
0
=
∫
5
(
2
)
5
1
d
1
0
.
Vì =
(
)
là hàm chẵn trên ℝ nên
(
−2
)
=
(
2
)
, ∀∈ℝ.
Do đó =
∫
5
(
2
)
5
1
d
1
0
=
∫
5
(
2
)
5
1
d
1
0
. Thay vào (1) thu được
8 =
∫
5
(
2
)
5
1
d+
∫
(
2
)
15
d
1
0
1
0
=
∫
5
1
(
2
)
5
1
d
1
0
=
∫
(
2
)
d
1
0
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
⇒
1
2
∫
(
2
)
d
(
2
)
=8
1
0
⇒
∫
(
)
d
2
0
=16.
Câu 73. Cho
(
)
là hàm số chẵn liên tục trong đoạn
[
−1; 1
]
và
∫
(
)
d

=2. Kết quả =
∫
(
)

d

bằng
A. =1. B. =3. C. =2. D. =4.
Lời giải
Chọn A
=
(
)
1 + e
d
1
1
=
(
)
1 + e
d
0
1
+
(
)
1 + e
d
1
0
=
1
+
2
Xét
1
=
∫
(
)
1e
d
0
1
Đặt =−⇒d=−d
,
đổi cận: =0 ⇒=0, =−1 ⇒=1
1
=
∫
(
)
1e

(
−d
)
0
1
=
∫
e
.
(
)
1e
d
1
0
.
Lại có
∫
e
.
(
)
1e
d
1
0
=
∫
e
.
(
)
1e
d
1
0
.
Suy ra: =
∫
(
)
1e
d
1
1
=
∫
e
.
(
)
1e
d
1
0
+
∫
(
)
1e
d
1
0
=
∫
1e
.
(
)
1e
d
1
0
=
∫
(
)
d
1
0
=
1
2
∫
(
)
d
1
1
=1.
Câu 74. Cho =
(
)
là hàm số chẵn và liên tục trên ℝ. Biết
∫
(
)
d=
∫
(
)
d
=1. Giá trị của
∫
(
)

d

bằng
A. 1. B. 6. C. 4. D. 3.
Lời giải
Chọn D
Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn
Ta có:
∫
(
)
1
d

=
∫
(
)
d
0
, với
(
)
là hàm số chẵn và liên tục trên
[
−;
]
.
Áp dụng ta có:
(
)
3
+ 1
d
2
2
=
(
)
d
2
0
=
(
)
d
1
0
+
(
)
d
2
1
=1 + 2 =3
Cách 2: Do
∫
(
)
d=
1
0
1
2
∫
(
)
d
2
1
=1 ⇒
∫
(
)
d=
1
0
1 và
∫
(
)
d
2
1
=2
⇒
∫
(
)
d+
1
0
∫
(
)
d
2
1
=
∫
(
)
d
2
0
=3.
Mặt khác
∫
(
)
3
1
d
2
2
=
∫
(
)
3
1
d
0
2
+
∫
(
)
3
1
d
2
0
và =
(
)
là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ
⇒
(
−
)
=
(
)
∀∈ℝ.
Xét =
∫
(
)
3
1
d
0
2
. Đặt=−⇒d=−d
Suy ra =
∫
(
)
3
1
d
0
2
=−
∫
(

)
3

1
d =
0
2
∫
(

)
1
3
1
d =
2
0
∫
3
(
)
3
1
d =
2
0
∫
3
(
)
3
1
d
2
0
⇒
∫
(
)
3
1
d
2
2
=
∫
(
)
3
1
d
0
2
+
∫
(
)
3
1
d
2
0
=
∫
3
(
)
3
1
d
2
0
+
∫
(
)
3
1
d
2
0
=
∫
3
1
(
)
3
1
d
2
0
=
∫
(
)
d
2
0
=3.
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6:
“ Cho hàm số =
(
)
thỏa mãn
[
(
)]
= và
(
)
là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc
nghịch biến) trên ℝ.Hãy tính tích phân =
∫
(
)

“
Cách giải: Đặt =
(
)
⇒=
(
)
⇒=′
(
)

Đổi cận
=→
(
)
=⇔=
=→
(
)
=⇔=
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Suy ra =
∫
(
)

=
∫

(
)

Câu 75. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ thỏa mãn
(
)
+
(
)
=,∀∈ℝ. Tính =
∫
(
)

A. =2. B. =
3
2
. C. =
1
2
. D. =
5
4
.
Lời giải
Chọn D
Đặt =
(
)
⇒=
3
+ ⇒=
(
3
2
+ 1
)

Đổi cận 󰇫
=0 →
3
+ =0 ⇔=0
=2 →
3
+ =2 ⇔=1
Khi đó =
∫
(
)

2
0
=
∫
(
3
2
+ 1
)

1
0
=
∫
(
3
3
+
)

1
0
=
5
4
⇒ đáp án D
Câu 76. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ thỏa mãn 2
(
)
−3
(
)
+ 6
(
)
=, ∀∈ℝ. Tính tích
phân =
∫
(
)
d.
A. =
5
4
. B. =
5
2
. C. =
5
12
. D. =
5
3
.
Lời giải
Chọn B
Đặt =
(
)
⇒=2
3
−3
2
+ 6⇒d=6
(
2
−+1
)
d.
Đổi cận: với =0 ⇒2
3
−3
2
+ 6=0 ⇔=0 và =5 ⇒2
3
−3
2
+ 6=5 ⇔=
1.
Khi đó =
∫
(
)
1
0
d=
∫
.6
(
2
−+1
)
1
0
d=6
∫
(
3
−
2
+
)
1
0
d=
5
2
.
Câu 77. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ thỏa mãn +
(
)
+ 2
(
)
=1, ∀∈ℝ. Tính =
∫
(
)

d.
A. =
7
4
. B. =
7
2
. C. =
7
3
. D. =
5
4
.
Lời giải
Chọn A
Đặt =
(
)
⇒=−
3
−2+1 ⇒d=
(
−3
2
−2
)
d.
Đổi cận: Với =−2 ⇒−
3
−2+ 1 =−2 ⇔=1; =1 ⇒−
3
−2+1 =1 ⇔=0.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận
có một trong các tích phân sau:
∫
().′().
hoặc
∫
′().().
.
Câu 1. Cho hàm số
(
)
thỏa mãn
∫
(
+ 1
)
′
(
)

=10 và 2
(
1
)
−
(
0
)
=2. Tính =
∫
(
)

.
A. =8. B. =−8. C. =4. D. =−4.
Lời giải
Chọn B
=
∫
(
+ 1
)
′
(
)

Đặt =+1⇒=, =′
(
)
 chọn =
(
)
⇒=
(
+ 1
)
.
(
)
|
−
(
)

=2(1) −(0) −
(
)

=2 −
(
)

=10
⇒
(
)

=−8
Câu 2. Biết rằng hàm số =() liên tục trên ℝ thỏa mãn
(
2
)
=5;
∫
(
)
=
4
3
2
0
. Tính =
∫
′
(
2
)

1
0
.
A. =7. B. =12. C. =20. D. =
13
6
.
Lời giải
Chọn D
Theo đề bài:
∫
(
)
=
4
3
2
0
.
Đặt: =2⇒=2.
Đổi cận:
Khi đó:
∫
(
2
)
=
1
0
∫
(
)
.

2
=
1
2
∫
(
)
.=
2
0
2
0
1
2
∫
(
)
=
2
0
1
2
.
4
3
=
2
3
.
Tính =
∫
′
(
2
)

1
0
.
Đặt:
󰇥
=
=′
(
2
)

⇒󰇫
=
=
1
2
(
2
)
Ta có:
=
∫
′
(
2
)

1
0
=
1
2
.
(
2
)
󰇻
1
0
−
1
2
∫
(
2
)

1
0
=
1
2
.5 −
1
2
.
2
3
=
13
6
.
Câu 3. Cho hàm số =
(
)
thỏa mãn
(
+ 3+ 1
)
=3+ 2,∀∈ℝ. Tính =
∫
.′
(
)

.
A.
. B.

. C.

. D. −1761.
Lời giải
Chọn C
Đặt
󰇥
=
=′
(
)

⇒
=
=
(
)
⇒=
(
)
|
−
∫
(
)

.
Từ
(
+ 3+ 1
)
=3+ 2⇒
(
5
)
=5
(
=1
)
(
1
)
=2
(
=0
)
, suy ra =23 −
∫
(
)

.
Đặt =
+ 3+ 1⇒
=
(
3
+ 3
)

(
)
=3+ 2
Đổi cận: Với =1⇒1=
+ 3+ 1⇔=0 và =5⇒
+ 3+ 1=5⇔=1.
Khi đó =23 −
∫
(
)

=23 −
∫
(
3+ 2
)(
3
+ 3
)

=


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Câu 4. Cho hàm số () có đạo hàm liên tục trện ℝ và (2)=2019,
∫
()=2020
2
0
. Tính
∫
′(
√
4
0
).
A. 2020. B. 4040. C.
√
2020. D. 4036.
Lời giải
Chọn D
Đặt =
√
⇒
2
=⇒=2
Đổi cận
Suy ra
∫
′(
√
4
0
)=2
∫
.′(
2
0
)=2
∫
′(
2
0
)
Đặt
󰇥
=
=′()
⇒
=
=()
⇒2
∫
′()=
2
0
2[()
|
0
2
−
∫
()]=2[2.2019 −2020]=4036
2
0
.
Câu 5. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm xác định trên ℝ. Biết
(
1
)
=5 và
∫
.′
(
)
d
1
0
=3. Tính =
∫

√
1
√
4
1
d.
A. 3. B. 4. C. 8. D. 6.
Lời giải
Chọn B
Theo giả thiết:
.′
(
)
d
1
0
=3 ⇔
.d
(
)
1
0
=3 ⇔.
(
)
|
0
1
−
(
)
d=3
1
0
⇔
(
1
)
−
∫
(
)
d=3
1
0
⇔
∫
(
)
d=2
1
0
.
Xét =
∫
√
1
√
4
1
d
Đặt
√
−1 =⇒d=
d
2
√
⇒
d
√
=2d.
Đổi cận:
Khi đó: =
∫
(
)
2d=2
∫
(
)
d=4
1
0
1
0
.
Câu 6. Cho hàm số
(
)
có ′
(
)
và ′′
(
)
liên tục trên đoạn
[
1 ; 3
]
. Biết
(
1
)
=1,
(
3
)
=81, ′
(
1
)
=
4, ′
(
3
)
=108. Giá trị của
∫
(
4 −2
)
.′′
(
)
d
3
1
bằng
A. 48. B. −64. C. −48. D. 64.
Lời giải
Chọn B
Đặt
=4 −2
d=′′
(
)
d
. Khi đó
d=−2d
=′
(
)
.
Suy ra:
(
4 −2
)
.′′
(
)
d
3
1
=
[(
4 −2
)
.′
(
)]
1
3
−
′
(
)
.
(
−2d
)
3
1
=
[(
4 −2
)
.′
(
)]
1
3
+ 2
′
(
)
d
3
1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
=
[(
4 −2
)
.′
(
)]
1
3
+ 2
(
)
1
3
=−2′
(
3
)
−2′
(
1
)
+ 2
(
3
)
−2
(
1
)
=−2.108 −2.4 +2.81 −2.1 =−64.
Vậy
∫
(
4 −2
)
.′′
(
)
d
3
1
=−64.
Câu 7. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn
∫
⋅′
(
2−4
)
d
=8;
(
2
)
=2. Tính =
∫
(
2
)
d

.
A. =−5. B. =−10. C. =5. D. =10.
Lời giải
Chọn B
+ Xét =
∫
⋅′
(
2−4
)
d
=8.
Đặt = và d=′
(
2−4
)
d=d
(
2−4
)
, ta được d=d và =
(
2−4
)
.
⇒=
.
(
2−4
)
󰇻
3
0
−
∫
(
2−4
)
d
=
(
2
)
−
∫
(
2−4
)
d
=3 −
∫
(
2−
4
)
d.
Vì =8 ⇒3 −
∫
(
2−4
)
d
=8 ⇒
∫
(
2−4
)
d
=−10.
Đặt 2=2−4⇒2d=2d⇔d=d
Đổi cận:
03
−21
=
∫
(
2
)
d

=
∫
(
2
)
d

=−10.
Vậy =−10.
Câu 8. Cho hàm số =
(
)
với
(
0
)
=
(
1
)
=1. Biết rằng
∫
e
[
(
)
+ ′
(
)]
d
=e + , ,∈
ℝ. Giá trị của biểu thức

+

bằng
A. 2

+ 1. B. 2. C. 0. D. 2

−1.
Lời giải
Chọn C
Cách 1:
Ta có
∫
e
[
(
)
+ ′
(
)]
d=
∫
e
(
)
d+
∫
e
′
(
)
d
.
Đặt =
(
)
, d=e
d; ta có d=′
(
)
d, =e
.
Khi đó,
∫
e
(
)
d=
[
e
(
)]
|
−
∫
e
′
(
)
d
⇔
∫
e
(
)
d+
∫
e
′
(
)
d
=
[
e
(
)]
|
⇒
∫
e
[
(
)
+ ′
(
)]
d=
[
e
(
)]
|
=e.
(
1
)
−
(
0
)
=e −1.
Theo đề bài
∫
e
[
(
)
+ ′
(
)]
d
=e + , , ∈ℝ suy ra =1, =−1.
Do đó

+

=1

+
(
−1
)

=0.
Cách 2:
Ta có
∫
e
[
(
)
+ ′
(
)]
d=
∫
[
e
(
)]
󰆒
d=
[
e
(
)]
|
=e.
(
1
)
−
(
0
)
=e −1
.
Theo đề bài
∫
e
[
(
)
+ ′
(
)]
d
=e + , , ∈ℝ suy ra =1, =−1.
Do đó

+

=1

+
(
−1
)

=0.
Câu 9. Cho hàm số
(
)
và
(
)
liên tục, có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn ′
(
0
)
.′
(
2
)
≠0 và
(
)
′
(
)
=
(
−2
)
e
. Tính giá trị của tích phân =
∫
(
)
.′
(
)
d
?
A. −4. B. e −2. C. 4. D. 2−e.
Lời giải
Chọn C
Ta có
(
)
′
(
)
=
(
−2
)
e
⇒
(
0
)
=
(
2
)
=0 (vì ′
(
0
)
.′
(
2
)
≠0)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
=
∫
(
)
.′
(
)
d
=
∫
(
)
d
(
)
=
(
)
.
(
)

−
∫
(
)
.′
(
)
d
=−
∫
(
−
2
)
e
d=4.
Câu 10. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên
[
1;0
]
thỏa mãn
(
1
)
=0,
∫
[
′
(
)]
2
=
3
2
−2ln2
1
0
và
∫
(
)
(
1
)
2

1
0
=2ln2 −
3
2
. Tính
∫
(
)

1
0
bằng
A.
1ln2
2
. B.
34ln2
2
. C.
32ln2
2
. D.
12ln2
2
.
Lời giải
Chọn D
Xét
∫
(
)
(
1
)
2

1
0
. Đặt
=
(
)
=
1
(
1
)
2

⇒󰇫
=′
(
)

=−
1
1
+ 1
Ta có:
∫
(
)
(
1
)
2

1
0
=󰇡−
1
1
+ 1󰇢
(
)
󰇻
0
1
−
∫
′
(
)
.
(
1
)
2
=2ln2 −
3
2
1
0
⇒
∫
′
(
)
.
(
1
)
2
=
3
2
1
0
−2ln2 ⇒
∫
′
(
)
.
(
1
)
2
=
∫
[
′
(
)]
2

1
0
1
0
⇒′
(
)
=
1
⇔
(
)
=−ln
|
+ 1
|
+ . Do
(
1
)
=0 nên ta có: =ln2 −1
Vậy
∫
(
)

1
0
=
∫
[
−ln
|
+ 1
|
+ ln2 −1
]

1
0
==
12ln2
2
Câu 11. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm và liên tục trên
󰇣
0;
󰇤
thỏa mãn 󰇡
󰇢=3,
∫
(
)

d
=1 và
∫
[
sin.tan.
(
)]
d
=2. Tích phân
∫
sin.′
(
)
d
bằng:
A. 4. B.

√
. C.

√
. D. 6.
Lời giải
Chọn B
Ta có: =
∫
sin.′
(
)
d
. Đặt
=sin
d=′
(
)
d
⇒
d=cosd
=
(
)
.
=sin.
(
)
|
−
∫
cos.
(
)
d
=
√
−
.
2=
∫
[
sin.tan.
(
)]
d
=
∫
󰇣
sin
.
(
)

󰇤
d
=
∫
󰇣
(
1 −cos
)
.
(
)

󰇤
d
.
=
∫
󰇣
(
)

󰇤
d−
∫
cos.
(
)
d
=1 −
.
⇒
=−1⇒=
√
+ 1=
√

.
Câu 12. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ,
(
0
)
=0 và
(
)
+ 󰇡
2
−󰇢=sin.cos.
Giá trị tích phân
∫
.′
(
)
d
2
0
bằng
A.
. B. −
. C. −
. D.
.
Lời giải
Chọn C
Ta có: 󰇡
2
󰇢+
(
0
)
=0 ⇒󰇡
2
󰇢=0
Mặt khác:
∫
󰇣
(
)
+ 󰇡
2
−󰇢
󰇤
d=
2
0
∫
sin.cos d
2
0
⇔2
∫
(
)
d
2
0
=
1
2
⇔
∫
(
)
d
2
0
=
1
4
.
Xét, =
∫
.′
(
)
d
2
0
Đặt
󰇥
=
d=′
(
)

⇒
d=d
=
(
)
⇒=.
(
)
|
0
2
−
∫
(
)
d
2
0
=−
∫
(
)
d
2
0
=−
1
4
.
Vậy =−
1
4
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Câu 13. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn
∫
(
)
1
0
d=10,
(
1
)
=cot1. Tính
tích phân =
∫
[
(
)
tan
2
+ ′
(
)
tan
]
1
0
d.
A. 1 −ln
(
cos1
)
. B. −1. C. −9. D. 1 −cot1.
Lời giải
Chọn C
Cách 1:
+ =
∫
[
(
)
tan
2
+′
(
)
tan
]
1
0
d =
∫
(
)
tan
2
1
0
d+
∫
′
(
)
tan
1
0
d
(
1
)
.
+ Tính =
∫
′
(
)
tan
1
0
d.
Đặt
󰇥
=tan
d=′
(
)
d
, ta có
d=
(
1 + tan
2
)
d
=
(
)
.
⇒=
(
)
.tan
|
0
1
−
(
)
.
(
1 + tan
2
)
1
0
d
=
(
1
)
.tan1 −
(
0
)
.tan0 −
(
)
.tan
2
1
0
d−
(
)
1
0
d
=cot1.tan1 −
(
)
.tan
2
1
0
d−10
=1 −
∫
(
)
.tan
2
1
0
d−10 =−9 −
∫
(
)
.tan
2
1
0
d.
Thay vào
(
1
)
ta được:
=
∫
(
)
tan
2
1
0
d+ 󰇡−9 −
∫
(
)
.tan
2
1
0
d󰇢=−9.
Cách 2:
Ta có:
(
(
)
tan
)
′
=′
(
)
tan+
(
)(
tan
2
+ 1
)
=′
(
)
tan+
(
)
tan
2
+
(
)
⇒′
(
)
tan+
(
)
tan
2
=
[
(
)
tan
]
′
−
(
)
.
⇒=
[
(
)
tan
2
+ ′
(
)
tan
]
d
1
0
=
{[
(
)
tan
]
′
−
(
)}
d
1
0
=
(
)
tan
|
0
1
−
∫
(
)
d
1
0
=
(
1
)
tan1 −10 =cot1.tan1 −10 =−9.
Câu 14. Cho hàm số
(
)
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên
[
0;2
]
. Biết
(
0
)
=1 và
(
)
(
2 −
)
=
2
2
4
với mọi ∈
[
0;2
]
. Tính tích phân =
∫

3
3
2
′
(
)
(
)

2
0
.
A. =−
14
3
. B. =−
32
5
. C. =−
16
3
. D. =−
16
5
.
Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết
(
)
(
2 −
)
=
2
2
4
, cho =2, ta có
(
2
)
=1.
Ta có =
∫

3
3
2
′
(
)
(
)

2
0
. Đặt 󰇫
=
3
−3
2
=
′
(
)
(
)

⇒
=
(
3
2
−6
)

=ln
|
(
)
|
.
Khi đó, ta có
=
(
3
−3
2
)
ln
|
(
)
|
0
2
−
∫
(
3
2
−6
)
ln
|
(
)
|

2
0
=−3
∫
(
2
−2
)
ln
|
(
)
|
2
0
=−3.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
=
(
2
−2
)
ln
|
(
)
|

2
0
=
2
[(
2 −
)
2
−2
(
2 −
)]
ln
|
(
2 −
)
|
(
2 −
)
0
2
=
∫
[(
2 −
)
2
−2
(
2 −
)]
ln
|
(
2 −
)
|
(
2 −
)
0
2
=
∫
[
2
−2
]
ln
|
(
2 −
)
|

2
0
.
Suy ra
2=
[
2
−2
]
ln
|
(
)
|

2
0
+
[
2
−2
]
ln
|
(
2 −
)
|

2
0
=
[
2
−2
]
ln
|
(
)
(
2 −
)
|

2
0
=
∫
[
2
−2
]
2
0
ln
2
2
4
=
∫
(
2
−2
)(
2
2
−4
)

2
0
=
32
15
⇒=
16
15
.
Vậy =−3=−
16
5
.
Câu 15. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên
[
0;1
]
, thỏa mãn
[
′
(
)]
2
=4.
[
2
2
+ 1 −
(
)]
với mọi thuộc đoạn
[
0;1
]
và
(
1
)
=2. Giá trị =
∫

(
)
1
0
d
bằng
A.
3
4
. B.
5
3
. C.
11
4
. D.
4
3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
[
′
(
)]
2
=4.
[
2
2
+ 1 −
(
)]
⇔
[
′
(
)]
2
+ 4
(
)
=4.
(
2
2
+ 1
)
.
Lấy tích phân hai vế từ 0 đến 1 ta được
∫
[[
′
(
)]
2
+ 4
(
)]
1
0
d=
∫
4.
(
2
2
+ 1
)
d
1
0
⇔
∫
[
′
(
)]
2
1
0
d+ 4
∫
(
)
1
0
d=
20
3
. (*)
Xét =
∫
(
)
d
1
0
. Đặt
󰇥
=
(
)
d=d
⇒
󰇥
d=′
(
)
d
=
⇒ =
(
)
|
0
1
−
∫
′
(
)
d
1
0
Khi đó (*) ⇔
∫
[
′
(
)]
2
1
0
d+4
(
)
|
0
1
−
∫
4′
(
)
d
1
0
=
20
3
⇔
∫
[
′
(
)]
2
1
0
d−
∫
4′
(
)
d
1
0
+
4
3
=0
⇔
∫
[
′
(
)]
2
1
0
d−
∫
4′
(
)
d
1
0
+
∫
4
2
d
1
0
=0 ⇔
∫
[
′
(
)
−2
]
1
0
2
d=0 ⇔′
(
)
=2.
⇒
(
)
=
2
+ . Vì
(
1
)
=2 nên =1 ⇒
(
)
=
2
+ 1. Vậy
∫

(
)
d
1
0
=
3
4
.
Câu 16. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên
[
−1 ; 1
]
và thỏa
(
1
)
=0,
′
(
)
+ 4
(
)
=
8
+ 16−8 với mọi thuộc
[
−1 ; 1
]
. Giá trị của
∫
(
)
d
bằng
A. −
. B.
. C.
. D. −
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1.
Đặt =
∫
2
(
)
d

.
Dùng tích phân từng phần, ta có:
󰇥
=
(
)
d=2d
⇒
d=′
(
)
d
=2+ 2
.
=
(
2+ 2
)
(
)
|

−
∫
(
2+2
)
′
(
)
d

=4
(
1
)
−
∫
(
2+ 2
)
′
(
)
d

=−
∫
(
2+

2
)
′
(
)
d.
Ta có
′
(
)
+ 4
(
)
=8
+ 16−8⇒
∫
′
(
)

d+ 2
∫
2
(
)
d

=
∫
(
8
+

16−8
)
d
⇔
∫
′
(
)

d−2
∫
(
2+2
)
′
(
)
d

+
∫
(
2+ 2
)

d=
∫
(
8
+ 16−8
)
d

+
∫
(
2+ 2
)

d⇔
∫
[
′
(
)
−
(
2+2
)]

d=0⇔′
(
)
=2+ 2⇒
(
)
=
+ 2+
, ∈ℝ.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Mà
(
1
)
=0⇒=−3⇒
(
)
=
+ 2−3⇒
∫
(
)
d
=
∫
(
+ 2−3
)
d
=−
.
Cách 2.
Chọn
(
)
=
+ +
(
≠0
)
(lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai).
⇒′
(
)
=2+ .
Ta có:
′
(
)
+ 4
(
)
=8
+ 16−8⇒
(
2+
)
+ 4
(

+ +
)
=8
+ 16−8
⇔
(
4
+ 4
)
+
(
4+ 4
)
+
+ 4=8
+ 16−8
⇒
4
+ 4=8
4+4=16
+ 4=−8
⇔
=1
=2
=−3
hoặc
=−2
=−4
=−6
.
Do
(
1
)
=0⇒+ +=0⇒=1, =2 và =−3.
Vậy
(
)
=
+ 2−3⇒
∫
(
)
d
=
∫
(
+ 2−3
)
d
=−
.
Câu 17. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn
(
1
)
=1 và
′
(
)
+
4
(
6
−1
)
.
(
)
=40
−44
+ 32
−4,∀∈
[
0;1
]
. Tích phân
∫
(
)
 bằng?
A.


. B.


. C. −


. D. −

.
Lời giải
Chọn B
′
(
)
+ 4
(
6
−1
)
.
(
)
=40
−44
+ 32
−4
⇒∫
′
(
)
+ ∫
4
(
6
−1
)
.
(
)
=∫
(
40
−44
+ 32
−4
)
.
(
1
)
Xét =
∫
4
(
6
−1
)
.
(
)

=
∫
(
24
−4
)
(
)

.
Đặt
=
(
)
=
(
24
−4
)

⇒
=′
(
)

=8
−4
.
⇒=
(
8
−4
)
.
(
)
|
−
(
8
−4
)
.′
(
)

= 4 −2
(
4
−2
)
.′
(
)

.
Do đó:
(
1
)
⇒

′
(
)

−2
(
4
−2
)
.′
(
)
+
(
4
−2
)

=
(
56
−60
+ 36
−8
)
.
⇒∫
[
′
(
)
−
(
4
−2
)]
=0⇒′
(
)
=4
−2⇒
(
)
=
−
+ .
Mà
(
1
)
=1⇒=1 ⇒
(
)
=
−
+ 1.
Do đó
∫
(
)

=
∫
(
−
+ 1
)

=


.
Câu 18. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;
]
thỏa mãn:
∫
[
′
(
)]
d=
∫
cos.
(
)
d=
và 󰇡
󰇢=1. Khi đó tích phân
∫
(
)
d
bằng
A. 0. B.
+ 1. C.
. D.
−1.
Lời giải
Chọn B
*) Xét tích phân =
∫
cos.
(
)
d.
Đặt
󰇥
=
(
)
d=cosd
⇒
󰇥
d=′
(
)
d
=sin
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
=sin.
(
)
|
−
∫
sin.′
(
)
d
=−
∫
sin.′
(
)
d
.
Theo giả thiết =
, suy ra
∫
sin.′
(
)
d=−
.
*) Tìm số thực thỏa mãn ′
(
)
+ .sin=0. Khi đó
∫
[
′
(
)
+ .sin
]
d
=0.
⇔
[
′
(
)]
d
+
2sin.′
(
)
d
+
sin
d
=0
⇔
+ 2.󰇡−
󰇢+
.
=0 ⇔
−2+ 1=0 ⇔=1.
Từ đó, ′
(
)
+ sin=0 ⇒′
(
)
=−sin ⇒
(
)
=cos+ .
Do 󰇡
󰇢=1 nên =1. Vậy
(
)
=cos+ 1.
*) Ta có
∫
(
)
d
=
∫
(
cos+ 1
)
d
=
(
sin+
)
|
=1+
.
Trắc nghiệm:
Từ giả thiết
∫
[
′
(
)]
d
=
và
∫
sin.′
(
)
d
=−
ta suy ra được ′
(
)
=−sin.
Từ đó giải tiếp như phần trên.
Câu 19. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục thỏa mãn 󰇡
󰇢=0,
∫
[
′
(
)]
d
=
và
∫
cos
(
)
d
=
. Tính
(
2018
)
.
A. −1. B. 0. C.
. D. 1.
Lời giải
Chọn D
Bằng công thức tích phân từng phần ta có
∫
cos
(
)
d
=
[
sin
(
)]
|
−
∫
sin′
(
)
d
. Suy ra
∫
sin′
(
)
d
=−
.
Hơn nữa ta tính được
∫
sin
d
=
∫

d
=
󰇣

󰇤󰇻
=
.
Do đó:
∫
[
′
(
)]
d
+ 2
∫
sin′
(
)
d
+
∫
sin
d
=0⇔
∫
[
′
(
)
+ sin
]
d
=0.
Suy ra ′
(
)
=−sin. Do đó
(
)
=cos+ . Vì 󰇡
󰇢=0 nên =0.
Ta được
(
)
=cos⇒
(
2018
)
=cos
(
2018
)
=1.
Câu 20. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn
(
1
)
=0 và
∫
[
′
(
)]
d
=
∫
(
+ 1
)
e
(
)
d
=

. Tính tích phân =
∫
(
)
d
.
A. =2−e. B. =e −2. C. =
. D. =

.
Lời giải
Chọn B
Xét =
∫
(
+ 1
)
e
(
)
d
. Đặt
=
(
)
d=
(
+ 1
)
e
d
⇒
d=′
(
)
d
=e
Suy ra =e
(
)
|
−
∫
e
′
(
)
d
=−
∫
e
′
(
)
d
⇒
∫
e
′
(
)
d
=

Xét
∫
e

d
=e

󰇡
−
+
󰇢
󰇻
=

.
Ta có
∫
[
′
(
)]
d
+ 2
∫
e
′
(
)
d
+
∫
e

d
=0⇔
∫
(
′
(
)
+ e
)
d
=0
Suy ra ′
(
)
+ e
=0 ∀∈
[
0;1
]
(do
(
′
(
)
+ e
)
≥0 ∀∈
[
0;1
]
)
⇒′
(
)
=−e
⇒
(
)
=
(
1 −
)
e
+
Do
(
1
)
=0 nên
(
)
=
(
1 −
)
e
Vậy =
∫
(
)
d
=
∫
(
1 −
)
e
d
=
(
2 −
)
e
|
=e −2.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Câu 21. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên
[
0;1
]
thỏa mãn
(
1
)
=0,
∫
[
′
(
)]
d
=
−2ln2
và
∫
(
)
(

)
d
=2ln2 −
. Tích phân
∫
(
)
d
bằng
A.

. B.

. C.

. D.

.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
(
)
(
+ 1
)
d
=
(
)
d󰇡
+ 1
󰇢
=
.
(
)
+ 1
󰈅
−
.′
(
)
+ 1
d
=
(
1
)
2
−
.′
(
)
+1
d
=−
.′
(
)
+ 1
d
⇒
∫
.󰆒
(
)

d=−
∫
(
)
(

)
d
=
−2ln2.
Mặt khác:
󰇡
+ 1
󰇢
d
=
1 −
1
+ 1
d
=
1 −
2
+ 1
+
1
(
+ 1
)
d
=−2ln
|
+1
|
−
1
+ 1

=
3
2
−2ln2
Khi đó:
[
′
(
)]
d
−2
.′
(
)
+ 1
d
+
󰇡
+ 1
󰇢
d
=
3
2
−2ln2−2
3
2
−2ln2+
3
2
−2ln2=0
⇔
[
′
(
)]
−2.
+ 1
.′
(
)
+ 󰇡
+ 1
󰇢
d
=0
⇔
󰇣
′
(
)
−
+ 1
󰇤
d
=0
(
∗
)
Vì
󰇣
′
(
)
−

󰇤
≥0,∀∈
[
0;1
]
nên
∫
󰇣
′
(
)
−

󰇤
d
≥0,∀∈
[
0;1
]
.
Dấu "=" xảy ra ⇔′
(
)
−

=0,∀∈
[
0;1
]
⇔′
(
)
=

,∀∈
[
0;1
]
.
Khi đó:
∫
(
)
d
=.
(
)
|
−
∫
.′
(
)
d
=−
∫

d
=−
∫
󰇡−1 +

󰇢d
=−󰇧
2
−+ ln
|
+ 1
|
󰇨
󰈅
=
1
2
−ln2=
1 −2ln2
2
Câu 22. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn
(
1
)
=0 và
∫
[
′
(
)]
2
d
1
0
=
∫
(
+ 1
)
e
(
)
d
1
0
=
e
2
1
4
. Tính tích phân =
∫
(
)
d
1
0
.
A. =2 −e. B. =e −2. C. =
e
2
. D. =
e1
2
.
Lời giải
Chọn B
Xét =
∫
(
+ 1
)
e
(
)
d
1
0
. Đặt
=
(
)
d=
(
+ 1
)
e
d
⇒
d=′
(
)
d
=e
Suy ra =e
(
)
|
0
1
−
∫
e
′
(
)
d
1
0
=−
∫
e
′
(
)
d
1
0
⇒
∫
e
′
(
)
d
1
0
=
1e
2
4
Xét
∫
2
e
2
d
1
0
=e
2
󰇡
1
2
2
−
1
2
+
1
4
󰇢
󰇻
0
1
=
e
2
1
4
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Ta có
∫
[
′
(
)]
2
d
1
0
+ 2
∫
e
′
(
)
d
1
0
+
∫
2
e
2
d
1
0
=0 ⇔
∫
(
′
(
)
+ e
)
2
d
1
0
=0
Suy ra ′
(
)
+ e
=0 ∀∈
[
0;1
]
(do
(
′
(
)
+ e
)
2
≥0 ∀∈
[
0;1
]
)
⇒′
(
)
=−e
⇒
(
)
=
(
1 −
)
e
+
Do
(
1
)
=0 nên
(
)
=
(
1 −
)
e
Câu 23. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn 4
3
(
)
+
(
)
= ∀∈ℝ. Giá trị của
∫
(
)
d
1
0
bằng
A. 0. B.

. C.
1
2
. D. −
1
2
.
Lời giải
Chọn B
Cách 1:
+) Với =0, ta có 4
3
(
0
)
+
(
0
)
=0 ⇔
(
0
)[
4
2
(
0
)
+ 1
]
=0 ⇔
(
0
)
=0.
+) Với =1, ta có 4
3
(
1
)
+
(
1
)
=1 ⇔4
3
(
1
)
+
(
1
)
−1 =0 ⇔
(
1
)
=
1
2
.
+) Đặt
(
)
=, ta có: =4
3
+ ⇒d=
(
12
2
+ 1
)
d
+) Đổi cận: Với =0 thì =0
Với =1 thì =
1
2
Suy ra
∫
f
(
)
d=
1
0
∫
t
(
12
2
+ 1
)
dt
1
2
0
=
5
16
Cách 2:
+) Với =0, ta có 4
3
(
0
)
+
(
0
)
=0 ⇔
(
0
)[
4
2
(
0
)
+ 1
]
=0 ⇔
(
0
)
=0.
+) Với =1, ta có 4
3
(
1
)
+
(
1
)
=1 ⇔4
3
(
1
)
+
(
1
)
−1 =0 ⇔
(
1
)
=
1
2
.
+) 4
3
(
)
+
(
)
= ⇒12′
(
)
.
2
(
)
+ ′
(
)
=1 ⇔′
(
)
=
1
12
2
(
)
1
>0 ∀∈ℝ.
+) Do đó 4
3
(
)
+
(
)
=⇔4
3
(
)
′
(
)
+
(
)
′
(
)
=.′
(
)
.
⇒
[
4
3
(
)
′
(
)
+
(
)
′
(
)]
d=
′
(
)
d
1
0
1
0
⇔
∫
[
4
3
(
)
+
(
)]
d
(
)
=
∫
.′
(
)
d
1
0
1
0
(
∗
)
.
+) Tính
∫
′
(
)
d
1
0
.
Đặt
󰇥
=
d=′
(
)
d
⇒
d=d
=
(
)
⇒
∫
′
(
)
d
1
0
=
[
.
(
)]
|
0
1
−
∫
(
)
d
1
0
=
1
2
−
∫
(
)
d
1
0
.
Do đó
(
∗
)
⇔
󰇣
4
(
)
+
2
(
)
2
󰇤󰇻
0
1
=
1
2
−
∫
(
)
d
1
0
⇔
1
16
+
1
8
=
1
2
−
∫
(
)
d
1
0
⇔
∫
(
)
d
1
0
=
5
16
.
Câu 24. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên
[
−1 ; 1
]
và thỏa
(
1
)
=0,
′
(
)
2
+ 4
(
)
=8
2
+
16−8 với mọi thuộc
[
−1 ; 1
]
. Giá trị của
∫
(
)
d
1
0
bằng
A. −
5
3
. B.
2
3
. C.
1
5
. D. −
1
3
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1.
Đặt =
∫
2
(
)
d
1
1
.
Dùng tích phân từng phần, ta có:
󰇥
=
(
)
d=2d
⇒
󰇥
d=′
(
)
d
=2+ 2
.
=
(
2+ 2
)
(
)
|
1
1
−
∫
(
2+ 2
)
′
(
)
d
1
1
=4
(
1
)
−
∫
(
2+ 2
)
′
(
)
d
1
1
=−
∫
(
2+
1
1
2
)
′
(
)
d.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Ta có
′
(
)
2
+ 4
(
)
=8
2
+ 16−8 ⇒
∫
′
(
)
2
1
1
d+ 2
∫
2
(
)
d
1
1
=
∫
(
8
2
+
1
1
16−8
)
d
⇔
∫
′
(
)
2
1
1
d−2
∫
(
2+ 2
)
′
(
)
d
1
1
+
∫
(
2+ 2
)
2
1
1
d =
∫
(
8
2
+ 16−8
)
d
1
1
+
∫
(
2+ 2
)
2
1
1
d ⇔
∫
[
′
(
)
−
(
2+ 2
)]
2
1
1
d=0 ⇔′
(
)
=2+ 2 ⇒
(
)
=
2
+ 2+,
∈ℝ.
Mà
(
1
)
=0 ⇒=−3 ⇒
(
)
=
2
+ 2−3 ⇒
∫
(
)
d
1
0
=
∫
(
2
+ 2−3
)
d
1
0
=−
5
3
.
Cách 2.
Chọn
(
)
=
2
+ +
(
≠0
)
.
⇒′
(
)
=2+ .
Ta có:
′
(
)
2
+ 4
(
)
=8
2
+ 16−8 ⇒
(
2+
)
2
+ 4
(
2
+ +
)
=8
2
+ 16−8
⇔
(
4
2
+ 4
)
2
+
(
4+ 4
)
+
2
+ 4=8
2
+ 16−8
⇒
4
2
+ 4=8
4+ 4=16
2
+ 4=−8
⇔
=1
=2
=−3
hoặc
=−2
=−4
=−6
.
Do
(
1
)
=0 ⇒+ + =0 ⇒=1, =2 và =−3.
Vậy
(
)
=
2
+ 2−3 ⇒
∫
(
)
d
1
0
=
∫
(
2
+ 2−3
)
d
1
0
=−
5
3
.
Câu 25. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn
(
1
)
=1 và
′
(
)
2
+ 4
(
6
2
−1
)
.
(
)
=40
6
−44
4
+ 32
2
−4,∀∈
[
0;1
]
. Tích phân
∫
(
)
1
0

bằng?
A.
23
15
. B.
13
15
. C. −
17
15
. D. −
7
15
.
Lời giải
Chọn B
′
(
)
2
+ 4
(
6
2
−1
)
.
(
)
=40
6
−44
4
+ 32
2
−4
⇒∫
0
1
′
(
)
2
+ ∫
0
1
4
(
6
2
−1
)
.
(
)
=∫
0
1
(
40
6
−44
4
+ 32
2
−4
)
.
(
1
)
Xét =
∫
4
(
6
2
−1
)
.
(
)

1
0
=
∫
(
24
2
−4
)
(
)

1
0
.
Đặt
=
(
)
=
(
24
2
−4
)

⇒
=′
(
)

=8
3
−4
.
⇒=
(
8
3
−4
)
.
(
)
0
1
−
(
8
3
−4
)
.′
(
)

1
0
= 4 −2
(
4
3
−2
)
.′
(
)

1
0
.
Do đó:
(
1
)
⇒

′
(
)
2

1
0
−2
(
4
3
−2
)
.′
(
)
+
(
4
3
−2
)
2

1
0
1
0
=
(
56
6
−60
4
+ 36
2
−8
)
.
1
0
⇒∫
0
1
[
′
(
)
−
(
4
3
−2
)]
2
=0 ⇒′
(
)
=4
3
−2⇒
(
)
=
4
−
2
+ .
Mà
(
1
)
=1 ⇒=1 ⇒
(
)
=
4
−
2
+ 1.
Do đó
∫
(
)

1
0
=
∫
(
4
−
2
+ 1
)

1
0
=
13
15
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Câu 26. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ\
{
0
}
và thỏa mãn 2
(
2
)
−󰇡
1
󰇢=
2
,
∫
′
(
)
d
2
1
=5. Giá trị
∫
󰇡
2
󰇢
2
1
d bằng
A. −
103
48
. B.
103
24
. C.
103
48
. D. −
103
12
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
󰇥
=
=′()
⇒
=
=()
.
Ta có
∫
.′
(
)

2
1
=.
(
)
|
1
2
−
∫
(
)

2
1
⇔5 =2
(
2
)
−
(
1
)
−
∫
(
)

2
1
(1)
Lần lượt thay =1 và =
1
2
vào 2
(
2
)
−󰇡
1
󰇢=
2
ta được
󰇫
2
(
2
)
−
(
1
)
=1
2
(
1
)
−
(
2
)
=
1
4
⇔
󰇱
(
2
)
=
3
4
(
1
)
=
1
2
.
Khi đó
(
1
)
⇔
∫
(
)

2
1
=2
(
2
)
−
(
1
)
−5 =−4 ⇒
∫
(
2
)

1
1
2
=
1
2
∫
(
)

2
1
=−2.
Lại có 2
(
2
)
−󰇡
1
󰇢=
2
⇒2
∫
(
2
)

1
1
2
−
∫
󰇡
1
󰇢
1
1
2
=
∫
2

1
1
2
⇔2.(−2) −
∫
󰇡
1
󰇢
1
1
2
=
7
24
⇔
∫
󰇡
1
󰇢
1
1
2
=−4 −
7
24
=−
103
24
.
Đặt =
2
⇒=
2
⇒=−
2
2
 ta có
∫
󰇡
2
󰇢
2
1
=
∫
().
2
2
1
2
 =2
∫
().
1
2
1
2
 (2)
Đặt =
1
⇒=
1
⇒=−
1
2
 ta có
∫
󰇡
1
󰇢
1
1
2
=
∫
().
1
2
1
2
 =
∫
().
1
2
1
2
=
−
103
24
.
Thay vào (2) ta được
∫
󰇡
2
󰇢
2
1
=2.󰇡−
103
24
󰇢=−
103
12
.
Câu 27. Cho hàm số =
(
)
liên tục và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn 5
(
)
−7
(
1 −
)
=3
(
2
−2
)
,
∀∈ℝ. Biết rằng tích phân =
∫
.′
(
)
1
0
d=−
(với
là phân số tối giản). Tính =8−
3.
A. =1. B. =0. C. =16. D. =−16.
Lời giải
Chọn B
Ta có: 5
(
)
−7
(
1 −
)
=3
(
2
−2
)
.
Lần lượt chọn =0,=1, ta có hệ sau:
5
(
0
)
−7
(
1
)
=0
5
(
1
)
−7
(
0
)
=−3
⇔
󰇱
(
1
)
=
5
8
(
0
)
=
7
8
.
Tính =
∫
.′
(
)
1
0
d.
Đặt:
󰇥
=
=′
(
)
d
. Chọn
d=d
=
(
)
=.
(
)
|
0
1
−
∫
(
)
d
1
0
=
5
8
−.
Đặt =1 − ⇒=−
∫
(
1 −
)
dt
0
1
=
∫
(
1 −
)
dx =
1
0
. Suy ra 5−7=3
∫
(
2
−
1
0
2
)
dx =−2.
Ta có:
=
5−7=−2
⇔==1.
Vậy =
5
8
−1 =
3
8
⇒
󰇥
=3
=8
⇒=8−3=0.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Câu 28. Xét hàm số
(
)
liên tục trên đoạn
[
0;1
]
và thỏa mãn
(
)
+ 
(
1 −
2
)
+ 3
(
1 −
)
=
1
1
.
Tính giá trị tích phân =
∫
(
)
d
1
0
A. =
9
2
ln2. B. =
2
9
ln2. C. =
4
3
. D. =
3
2
.
Lời giải
Chọn B
(
)
+ .
(
1 −
2
)
+ 3
(
1 −
)
=
1
1
.
⇒
∫
(
)
d+
1
0
∫

(
1 −
2
)
d+3
∫
(
1 −
)
d
1
0
1
0
=
∫
d
1
1
0
=ln
|
+1
|
0
1
=ln2
(
∗
)
.
Đặt =1 −
2
⇒d=−2d; với =0 ⇒=1;=1 ⇒=0.
Khi đó
∫

(
1 −
2
)
d=
1
2
∫
(
)
d=
1
2
∫
(
)
d
1
0
1
0
1
0
(
1
)
.
Đặt =1 −⇒d=−d; với =0 ⇒=1;=1 ⇒=0.
Khi đó
∫
(
1 −
)
d=
∫
(
)
d=
∫
(
)
d
1
0
1
0
1
0
(
2
)
.
Thay
(
1
)
,
(
2
)
vào
(
∗
)
ta được:
∫
(
)
d+
1
2
∫
(
)
d
1
0
+ 3
∫
(
)
d
1
0
=ln2 ⇒
9
2
∫
(
)
d=ln2
1
0
⇔
∫
(
)
d
1
0
=
2
9
ln2
1
0
.
Câu 29. Cho hàm số =() thỏa mãn (
3
+ 3+ 1)=3+ 2,∀∈. Tính =
∫
′
(
)
d
5
1
.
A.
5
4
. B.
17
4
. C.
33
4
. D. −1761.
Lời giải
Chọn C
Đặt:
󰇥
=
d=′()d
⇒
d=d
=()
⇒=()
|
1
5
−
∫
()d
5
1
⇔ =5(5) −(1) −
∫
()d
5
1
.
Có
(5)=5 khi =1
(1)=2 khi =0
nên ⇒=23 −
∫
()d
5
1
=23 −
∫
(t)d
5
1
Gọi =
∫
()d
5
1
Đặt =
3
+ 3+ 1 ⇒
d=(3
2
+ 3)d
()=3+2
Đổi cận: =1 ⇒=0 và =5 ⇒=1.
=
∫
()d
5
1
=3
∫
(3+ 2)(
2
+ 1)d
1
0
=
59
4
⇒ =23 −
59
4
=
33
4
.
Câu 30. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ và thỏa mãn
(
3
)
+ 
(
1 −
4
)
=−
13
+ 4
9
−3
5
−
1,∀∈ℝ. Khi đó tính =2
∫
(
)
0
1
+ 3
∫
(
)
1
0
.
A. 12. B.
11
4
. C. −
19
4
. D.
19
4
.
Lời giải
Chọn C
Theo bài ra
(
3
)
+ 
(
1 −
4
)
=−
13
+ 4
9
−3
5
−1,∀∈ℝ
Nhân cả hai vế với
2
ta được
2
(
3
)
+
3
(
1 −
4
)
=−
15
+ 4
11
−3
7
−
2
,∀∈ℝ
(
∗
)
+ Lấy tích phân cận từ −1 đến 0 hai vế
(
∗
)
ta được
2
(
3
)
0
1
d+
3
(
1 −
4
)
0
1
d=
(
−
15
+ 4
11
−3
7
−
2
)
0
1
d=−
11
48
Đặt
3
=
1 −
4
=
⇒
1
3
∫
(
)
0
1
d−
1
4
∫
(
)
1
0
d=−
11
48
(
∗
)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 68
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
+ Lấy tích phân cận từ 0 đến 1 hai vế
(
∗
)
ta được
2
(
3
)
1
0
d+
3
(
1 −
4
)
1
0
d=
(
−
15
+ 4
11
−3
7
−
2
)
1
0
d=−
7
16
Đặt
3
=
1 −
4
=
⇒
1
3
∫
(
)
1
0
d−
1
4
∫
(
)
0
1
d=−
7
16
(
∗∗
)
Từ
(
∗
)
và
(
∗∗
)
ta được ⇒
󰇱
∫
(
)
0
1
d=−
5
4
∫
(
)
1
0
d=−
3
4
Vậy =2
∫
(
)
0
1
+ 3
∫
(
)
1
0
=2.󰇡−
5
4
󰇢+3.󰇡−
3
4
󰇢=−
19
4
.
TRƯỜNG HỢP RIÊNG:
Khi đề bài cho biết giá trị
(
)
,
(
)
,
∫
(
)
.′
(
)
d
=ℎ,
∫
[
′
(
)]
d
= (với
(
)
là một
biểu thức chứa đã tường minh), đề tìm
(
)
trước tiên ta đi tìm 2 số , sao cho
∫
[
′
(
)
+ .
(
)
+
]
d
=0, rồi suy ra ′
(
)
=−.
(
)
−, sau đó nguyên hàm hai vế
để tìm
(
)
.
Câu 31. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên
[
0 ; 2
]
, thỏa các điều kiện
(
2
)
=1 và
∫
(
)
d
2
0
=
∫
[
′
(
)]
2
d=
2
3
2
0
. Giá trị của
∫
(
)
2
d
2
1
A. 1. B. 2. C.
1
4
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
󰇥
=
(
)
d=d
⇒
󰇥
d=′
(
)
d
=
⇒
∫
(
)
d
2
0
=.
(
)
|
0
2
−
∫
.′
(
)
d
2
0
=2 −
∫
.′
(
)
d
2
0
⇒−
∫
.′
(
)
d
2
0
=
2
3
−2 =
−
4
3
.
Ta lại có:
∫
1
4
2
d
2
0
=
3
12
󰇻
0
2
=
2
3
.
Do đó:
∫
[
′
(
)]
2
d
2
0
−
∫
.′
(
)
d
2
0
+
∫
1
4
2
d
2
0
=
2
3
−
4
3
+
2
3
⇔
∫
󰇣
′
(
)
−
1
2
󰇤
2
d
2
0
=0
⇒′
(
)
−
1
2
=0
⇒
(
)
=
1
4
2
+ ⇒
(
2
)
=1 + ⇔=0.
Vậy
(
)
=
1
4
2
⇒
∫
(
)
2
d
2
1
=
∫
1
4
d=
1
4
󰇻
1
2
=
1
4
2
1
.
Bài tập tương tự:
Ví dụ 1: Cho hàm số =
(
)
liên tục trên
[
0 ; 1
]
, thỏa mãn các điều kiện
(
0
)
=0,
(
1
)
=2,
∫
[
′
(
)]
2
d
1
0
=4. Tính =
∫
[
3
(
)
+ 2018
]
1
0
d.
Giải:
Ta có:
(
0
)
=0
(
1
)
=2
⇒
∫
′
(
)
d
1
0
=2 −0 =2.
Với ∈ℝ, xét tích phân: =
∫
[
′
(
)
+
]
2
d
1
0
=
∫
[
′
(
)]
2
d+ 2
∫
′
(
)
d+
∫
2
1
0
d=
1
0
1
0
4 + 2.2 +
2
=
(
+2
)
2
.
Ta có: =0 ⇒=−2 ⇒′
(
)
=2 ⇒
(
)
=2+ .
Mà
(
0
)
=0
(
1
)
=2
⇒=0 ⇒
(
)
=2.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 69
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Vậy =
∫
[(
2
)
3
+ 2018
]
d
1
0
=󰇡
8
4
4
+
2018
2
2
󰇢
󰇻
0
1
=1011.
Ví dụ 2: Cho hàm số =
(
)
liên tục trên đoạn
[
0 ; 1
]
, thỏa mãn
∫
(
)
d
1
0
=
∫

(
)
d
1
0
=1 và
∫
[
(
)]
2
d
1
0
=4. Tính giá trị của tích phân
∫
[
(
)]
3
d
1
0
.
Giải:
Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là
[
(
)]
2
,
(
)
,
(
)
nên ta sẽ liên kết với bình
phương
[
(
)
+ +
]
2
. Với mỗi số thực , ta có:
[
(
)
+ +
]
2
d
1
0
=
[
(
)]
2
d
1
0
+ 2
(
+
)
(
)
d
1
0
+
(
+
)
2
d
1
0
=4 + 2
(
+
)
+
2
3
+ +
2
.
Cần tìm , sao cho
∫
[
(
)
+ +
]
2
d
2
0
=0 hay 4 +2
(
+
)
+
2
3
+ +
2
=0
⇔
2
+
(
3+ 6
)
+ 3
2
+ 6+ 2 =0. Để tồn tại thì:
=
(
3+ 6
)
2
−4
(
3
2
+ 6+ 2
)
≥0 ⇔−3
2
+ 12−12 ≥0
⇔−3
(
−2
)
2
≥0 ⇔=2 ⇒=−6.
Vậy
∫
[
(
)
−6+2
]
2
d
1
0
=0 ⇒
(
)
=6−2,∀∈
[
0 ; 1
]
⇒
∫
[
(
)]
3
=10
1
0
Câu 32. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên
[
0 ; 2
]
, thỏa các điều kiện
(
2
)
=1 và
∫
(
)
d
=
∫
[
′
(
)]
d=
. Giá trị của
∫
(
)
d
:
A. 1. B. 2. C.
. D.
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
󰇥
=
(
)
d=d
⇒
󰇥
d=′
(
)
d
=
⇒
∫
(
)
d
=.
(
)
|
−
∫
.′
(
)
d
=2−
∫
.′
(
)
d
⇒−
∫
.′
(
)
d
=
−2=
−
.
Ta lại có:
∫
d
=

󰇻
=
.
Do đó:
∫
[
′
(
)]
d
−
∫
.′
(
)
d
+
∫
d
=
−
+
⇔
∫
󰇣
′
(
)
−
󰇤
d
=0
⇒′
(
)
−
=0 (vì
∫
󰇣
′
(
)
−
󰇤
d
≥0,∀∈
[
0 ; 2
]
)
⇒
(
)
=
+ ⇒
(
2
)
=1 + ⇔=0.
Vậy
(
)
=
⇒
∫
(
)
d
=
∫
d=
󰇻
=
.
Câu 33. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên
[
0;1
]
thỏa mãn
(
1
)
=0,
∫
[
′()
]
2
1
0
d=7 và
∫
2
()
1
0
d=
1
3
. Tính tích phân
∫
()d
1
0
A.
7
5
.
B.
1.
C.
7
4
.
D.
4.
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Đặt =
(
)
⇒=′
(
)
, =
2
⇒=
3
3
.
Ta có
1
3
=
3
3
(
)
󰇻
0
1
−
∫
3
3
′
(
)
1
0
⇒
∫
3
′
(
)
1
0
=−1
Ta có
∫
49
6
1
0
d=7,
∫
[
′()
]
2
1
0
d=7,
∫
2.7
3
.′
(
)
1
0
=−14 ⇒
∫
[
7
3
+ ′()
]
2
1
0
d=0
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 70
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
⇒7
3
+ ′()=0 ⇒
(
)
=−
7
4
4
+ , mà
(
1
)
=0 ⇒=
7
4
⇒
∫
()d
1
0
=
∫
󰇡−
7
4
4
+
7
4
󰇢d
1
0
=
7
5
.
Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau:
󰇭
(
)
(
)

󰇮
2
≤
2
(
)

.
2
(
)

Dấu bằng xảy ra khi
(
)
=.
(
)
,
(
∀∈
[
;
]
,∈ℝ
)
Ta có
1
9
=󰇡
∫
3
3
′
(
)
1
0
󰇢
2
≤
∫
6
9
1
0
.
∫
[
′
(
)]
2
1
0
=
1
9
. Dấu bằng xảy ra khi ′
(
)
=.
3
3
.
Mặt khác
∫
3
3
′
(
)
1
0
=
1
3
⇒=21 ⇒′
(
)
=−7
3
suy ra
(
)
=−
7
4
4
+
7
4
.
Từ đó
∫
()d
1
0
=
∫
󰇡−
7
4
4
+
7
4
󰇢d
1
0
=
7
5
.
Câu 34. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0; 1
]
thỏa mãn
(
1
)
=4,
∫
[
′
(
)]
d
=36
và
∫
.
(
)
d
=
. Tích phân
∫
(
)
d
bằng
A.
. B.
. C. 4. D.
.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết:
∫
.
(
)
d
=
⇒
∫
5.
(
)
d
=1.
Đặt:
󰇥
=
(
)
d=5d
⇒󰇫
d=′
(
)
d
=
.
Ta có: =
∫
5.
(
)
d
=
.
(
)
󰇻
−
∫
.′
(
)
d
=
.
(
1
)
−
∫
.′
(
)
d
=10 −
∫
.′
(
)
d
, (vì
(
1
)
=4)
Mà: =
∫
5.
(
)
d
=1⇒1=10 −
∫
.′
(
)
d
⇔
∫
.′
(
)
d
=

⇔10
∫
.′
(
)
d
=36⇔10
∫
.′
(
)
d
=
∫
[
′
(
)]
d
, (theo giả thiết:
∫
[
′
(
)]
d
=36)
⇔
[
10
.′
(
)
−
[
′
(
)]
]
d
=0⇔
′
(
)[
10
−′
(
)]
d
=0
⇒10
−′
(
)
=0⇔′
(
)
=10
⇒
(
)
=
10
3
+
Với
(
1
)
=4⇒4=
.
+ ⇒=
. Khi đó:
(
)
=

+
.
Vậy:
∫
(
)
d
=
∫
󰇡

+
󰇢
d=󰇡

+
󰇢
󰇻
=
.
Câu 35. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0; 2
]
thỏa mãn
(
2
)
=3,
∫
[
′
(
)]
d
=4
và
∫
(
)
d
=
. Tích phân
∫
(
)
d
bằng
A.

. B.


. C.


. D.


.
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết:
∫
(
)
d
=
⇒
∫
3
(
)
d
=1.
Tính: =
∫
3
(
)
d
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 71
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Đặt:
=
(
)
d=3
d
⇒
d=′
(
)
d
=
.
Ta có: =
∫
3
(
)
d
=
.
(
)
|
−
∫
.′
(
)
d
=24 −
∫
.′
(
)
d
, (vì
(
2
)
=3)
Mà: =
∫
3
(
)
d
=1⇒1=24 −
∫
.′
(
)
d
⇔
.′
(
)
d
=23⇔
4
23
.′
(
)
d
=4
⇔

∫
.′
(
)
d
=
∫
[
′
(
)]
d
, (theo giả thiết:
∫
[
′
(
)]
d
=4) ⇔
∫
󰇣

.′
(
)
−
[
′
(
)]
󰇤
d=0⇔
∫
′
(
)
󰇣

−′
(
)
󰇤
d
=0
⇒
4
23
−′
(
)
=0⇔′
(
)
=
4
23
⇒
(
)
=
1
23
+
Với
(
2
)
=3⇒3=


+ ⇒=


.
Khi đó:
(
)
=

+


.
Vậy
∫
(
)
d
=
∫
󰇡

+


󰇢
d=󰇡

+


󰇢
󰇻
=


.
Câu 36. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
1 ; 2
]
thỏa mãn
∫
(
−1
)
(
)
d=−
,
(
2
)
=0,
∫
[
′
(
)]
d=7
. Tính =
∫
(
)
d
.
A. =
. B. =−
. C. =−

. D. =

.
Lời giải
Chọn B
Đặt
=
(
)
d=
(
−1
)
d
ta được 󰇫
d=′
(
)
d
=
(
−1
)
Khi đó
∫
(
−1
)
(
)
d=
(
−1
)
(
)
󰇻
−
∫
(
−1
)
′
(
)
d
.
⇒−
=−
∫
(
−1
)
′
(
)
d
.⇒
∫
(
−1
)
′
(
)
d
=1.
Xét
∫
[
′
(
)
−
(
−1
)
]
d
=0
(
∈ℝ
)
.
⇔
∫
[
′
(
)]
d−2
∫
(
−1
)
′
(
)
d
+
∫
(
−1
)
d
=0.
⇔7−2+
=0⇔=7 ⇒′
(
)
=7
(
−1
)
.⇒
(
)
=
(

)
+ .
Do
(
2
)
=0 nên =−
⇒
(
)
=
(

)
−
Vậy =
∫
[(
−1
)
−1
]
d
=
󰇣
(

)
−
󰇤󰇻
=−
.
Câu 37. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
1 ; 2
]
thỏa mãn
∫
(
−1
)
2
(
)
d=−
1
3
2
1
,
(
2
)
=0,
∫
[
′
(
)]
2
d=7
2
1
. Tính =
∫
(
)
d
2
1
.
A. =
7
5
. B. =−
7
5
. C. =−
7
20
. D. =
7
20
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
=
(
)
d=
(
−1
)
2
d
ta được 󰇫
d=′
(
)
d
=
1
3
(
−1
)
3
Khi đó
∫
(
−1
)
2
(
)
d=
1
3
(
−1
)
3
(
)
󰇻
1
2
−
1
3
∫
(
−1
)
3
′
(
)
d
2
1
2
1
.
⇒−
1
3
=−
1
3
∫
(
−1
)
3
′
(
)
d
2
1
.
⇒
∫
(
−1
)
3
′
(
)
d
2
1
=1.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 72
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Xét
∫
[
′
(
)
−
(
−1
)
3
]
2
d
2
1
=0
(
∈ℝ
)
.
⇔
∫
[
′
(
)]
2
d−2
2
1
∫
(
−1
)
3
′
(
)
d
2
1
+
2
∫
(
−1
)
6
d
2
1
=0.
⇔7 −2+
2
7
=0 ⇔=7 ⇒′
(
)
=7
(
−1
)
3
.
⇒
(
)
=
7
(
1
)
4
4
+ .
Do
(
2
)
=0 nên =−
7
4
⇒
(
)
=
7
(
1
)
4
4
−
7
4
Vậy =
7
4
∫
[(
−1
)
4
−1
]
d
2
1
=
7
4
󰇣
(
1
)
5
5
−
󰇤󰇻
1
2
=−
7
5
.
Câu 38. Cho hàm
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
1;2
]
thỏa mãn
(
2
)
=0,
∫
′
(
)
d
=

và
∫
(
−1
)
(
)
d=−

. Tính=
∫
(
)
d.
A. =−

. B. =−

. C. =

. D. =−

.
Lời giải
Chọn D
Xét: =
∫
(
−1
)
(
)
d
. Đặt
=
(
)
d=
(
−1
)
d
⇒
d=′
(
)
d
=
(

)
.
⇒=
(

)
.
(
)
󰇻
2
1
−
∫
(

)
′
(
)
d=−
∫
(

)
′
(
)
d⇒−
∫
(

)
′
(
)
d=
−

⇒
∫
(
−1
)
′
(
)
d=

. Ta có:
∫
(
−1
)
d=
và
∫
′
(
)
d
=

.
Ta tìm số để
∫
(
′
(
)
−
(
−1
)
)
d=0.
(
′
(
)
−
(
−1
)
)
d=0
⇔

′
(
)
d−2
′
(
)
.
(
−1
)
d+
(
−1
)
d=0
⇔

−2.

+
.
=0⇔=
.
Khi đó:
∫
󰇡′
(
)
−
(
−1
)
󰇢
d=0
⇔′
(
)
−
(
−1
)
=0⇔
(
)
=
(
−1
)
+
.
Mà
(
2
)
=0⇒=

⇒
(
)
=
(
−1
)
−
⇒
∫
(
)
d=
∫
󰇣
(
−1
)
−
󰇤
d=
−

.
Câu 39. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0 ; 1
]
thỏa mãn
(
1
)
=1,
∫
(
)
d
=
và
∫
[
′
(
)]
d=
. Tính tích phân =
∫
(
)
d
.
A. =
. B. =
. C. =
. D. =
.
Lời giải
Chọn C
Xét =
∫
(
)
d
. Đặt
󰇥
=
(
)
d=d
⇒
d=′
(
)
d
=
.
⇒=
(
)
󰇻
−
∫
′
(
)
d
=
−
∫
′
(
)
d
=
⇔
∫
′
(
)
d
=
.
+ Xét
∫
[
′
(
)]
d
−2
∫
′
(
)
d+
∫
d=0
(
1
)
⇔
−2.
+
=0⇔=
3.
(
1
)
trở thành
∫
[
′
(
)]
d
−6
∫
′
(
)
d+9
∫
d=0
⇔
∫
(
′
(
)
−3
)
d
=0.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 73
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
(
′
(
)
−3
)
≥0⇒
∫
(
′
(
)
−3
)
d
≥0.
Do đó
∫
(
′
(
)
−3
)
d
=0⇔′
(
)
−3
=0⇔′
(
)
=3
⇒
(
)
=
∫
3
d=
+
(
1
)
=1⇒
(
)
=
.
=
∫
(
)
d
=
∫
d
=
.
Câu 40. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên
[
1;2
]
và thỏa mãn
∫
(
−2
)
2
(
)
d=−
1
21
2
1
,
(
1
)
=
0,
∫
′
(
)
2
d=
1
7
2
1
. Tính tích phân =
∫

(
)
d
2
1
.
A. =−
19
60
. B. =
7
120
. C. =−
1
5
. D. =
13
30
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
∫
(
−2
)
2
(
)
d
2
1
. Đặt
=
(
)
d=
(
−2
)
2
d
⇒
d=′
(
)
d
=
(
2
)
3
3
.
∫
(
−2
)
2
(
)
d
2
1
=
(
2
)
3
3
.
(
)
󰇻
2
1
−
∫
(
2
)
3
3
.′
(
)
d
2
1
.
⇔
∫
(
2
)
3
3
.′
(
)
d
2
1
=
1
21
⇔
∫
(
−2
)
3
.′
(
)
d
2
1
=
1
7
.
Ta có
∫
[
′
(
)
−
(
−2
)
3
]
2
2
1
d=
∫
[
′
(
)]
2
d
2
1
−2
∫
(
−2
)
3
.′
(
)
d
2
1
+
∫
(
−2
)
6
d
2
1
=
1
7
−
2
7
+
1
7
=0.
⇒′
(
)
−
(
−2
)
3
=0 ⇒′
(
)
=
(
−2
)
3
⇒
(
)
=
(
2
)
4
4
+ .
Mà
(
1
)
=0 ⇔=−
1
4
.
Vậy: =
∫

(
)
d
2
1
=−
19
60
.
Câu 41. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ, và các tích phân
∫
[
′
(
)]
d
=
,
∫
sin.
(
)
d
=
. Biết
rằng
(
0
)
=0, tính 󰇡
󰇢.
A. 󰇡
󰇢=
. B. 󰇡
󰇢=
√
. C. 󰇡
󰇢=−
. D. 󰇡
󰇢=−
√
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
∫
sin.
(
)
d
=
.
Đặt
󰇥
=
(
)
d=sind
⇒
󰇥
d=′
(
)
d
=−cos
.
Khi đó
∫
sin.
(
)
d
=
⇔−cos.
(
)
|
+
∫
cos.′
(
)
d
=
⇔
∫
cos.′
(
)
d
=
.
Xét
∫
[
′
(
)
−cos
]
d
=
∫
[
′
(
)]
d
−2
∫
cos.′
(
)
d
+
∫
cos
d
=
−2.
+
∫

d
=−
+ 󰇡
+

󰇢
󰇻
=0.
⇒
∫
[
′
(
)
−cos
]
d
=0 ⇒′
(
)
−cos=0 ⇔′
(
)
=cos.
Suy ra
(
)
=sin+ .
Mà
(
0
)
=0⇒=0.
Khi đó
(
)
=sin.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 74
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Vậy 󰇡
󰇢=sin
=
√
.
Câu 42. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm ′
(
)
liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa
(
1
)
=0,
∫
′
(
)
2
dx
1
0
=
2
8
và
∫
cos 󰇡
2
󰇢
(
)
d
1
0
=
1
2
. Tính
∫
(
)
d
1
0
.
A.
2
. B. . C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Đặt 󰇫
=
(
)
d=cos

2
d
⇒󰇫
d=′
(
)
d
=
2
sin

2
Do đó
∫
cos 󰇡
2
󰇢
(
)
d
1
0
=
1
2
⇔
2
sin

2
(
)
󰇻
0
1
−
2
∫
sin 󰇡
2
󰇢′
(
)
d
1
0
=
1
2
⇔
∫
sin 󰇡
2
󰇢′
(
)
d
1
0
=−
4
.
Lại có:
∫
sin
2
󰇡
2
󰇢d
1
0
=
1
2
⇒=
󰇧−
2
.′
(
)
󰇨
2
d
1
0
−2 −
2
sin󰇡
2
󰇢′
(
)
d
1
0
+
sin
2
󰇡
2
󰇢d
1
0
=
󰇧−
2
′
(
)
−sin 󰇡
2
󰇢󰇨
2
d
1
0
=
4
2
2
8
−
2
.
2
+
1
2
=0
Vì −
2
′
(
)
−sin 󰇡
2
󰇢
2
≥0 trên đoạn
[
0;1
]
nên
∫
−
2
′
(
)
−sin 󰇡
2
󰇢
2
d
1
0
=0 ⇔−
2
′
(
)
=sin 󰇡
2
󰇢 ⇔′
(
)
=−
2
sin 󰇡
2
󰇢.
Suy ra
(
)
=cos󰇡
2
󰇢+ mà
(
1
)
=0 do đó
(
)
=cos󰇡
2
󰇢.
Vậy
∫
(
)
d
1
0
=
∫
cos 󰇡
2
󰇢d
1
0
=
2
.
Câu 43. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0; 1
]
và thỏa mãn
(
0
)
=0. Biết
∫
2
(
)
d=
9
2
1
0
và
∫
′
(
)
cos

2
d=
3
4
1
0
. Tích phân
∫
(
)
d
1
0
bằng
A.
1
. B.
4
. C.
6
. D.
2
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
∫
′
(
)
cos

2
d=
1
0
∫
cos

2
d
(
)
1
0
=cos

2
.
(
)
󰇻󰈅
0
1
+
2
sin

2
.
(
)
d
1
0
=
2
∫
sin

2
.
(
)
d
1
0
.
Suy ra
∫
sin

2
.
(
)
d
1
0
=
3
2
Mặt khác
∫
󰇡sin

2
󰇢
2
d
1
0
=
1
2
∫
(
1 −cos
)
d
1
0
=
1
2
.
Do đó
∫
2
(
)
d
1
0
−2
∫
3sin

2
(
)
d
1
0
+
∫
󰇣
3sin

2
󰇤
2
d=0
1
0
.
hay
∫
󰇣
(
)
−3sin

2
󰇤
2
d
1
0
=0 suy ra
(
)
=3sin

2
.
Vậy
∫
(
)
d
1
0
=
∫
3sin

2
d
1
0
=−
6
cos

2
󰇻
0
1
=
6
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 75
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Câu 44. Cho hàm
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
1;2
]
thỏa mãn
(
2
)
=0,
∫
′
(
)
2
d
2
1
=
1
45
và
∫
(
−1
)
(
)
d=−
1
30
2
1
. Tính =
∫
(
)
2
1
d.
A. =−
1
36
. B. =−
1
15
. C. =
1
12
. D. =−
1
12
.
Lời giải
Chọn D
Xét: =
∫
(
−1
)
(
)
d
2
1
. Đặt
=
(
)
d=
(
−1
)
d
⇒
d=′
(
)
d
=
(
1
)
2
2
.
⇒=
(
1
)
2
2
.
(
)
󰇻
2
1
−
∫
(
1
)
2
2
2
1
′
(
)
d=−
∫
(
1
)
2
2
2
1
′
(
)
d ⇒−
∫
(
1
)
2
2
2
1
′
(
)
d=−
1
30
⇒
∫
(
−1
)
2
2
1
′
(
)
d=
1
15
. Ta có:
∫
(
−1
)
4
d=
1
5
2
1
và
∫
′
(
)
2
d
2
1
=
1
45
.
Ta tìm số để
∫
(
′
(
)
−
(
−1
)
2
)
2
2
1
d=0.
(
′
(
)
−
(
−1
)
2
)
2
2
1
d=0
⇔

′
(
)
2
d−2
′
(
)
.
(
−1
)
2
d+
2
(
−1
)
4
d=0
2
1
2
1
2
1
⇔
1
45
−2.
1
15
+
2
.
1
5
=0 ⇔=
1
3
.
Khi đó:
∫
󰇡′
(
)
−
1
3
(
−1
)
2
󰇢
2
d=0
2
1
⇔′
(
)
−
1
3
(
−1
)
2
=0 ⇔
(
)
=
1
9
(
−1
)
3
+ .
Mà
(
2
)
=0 ⇒=
1
9
⇒
(
)
=
1
9
(
−1
)
3
−
1
9
⇒
∫
(
)
d=
∫
󰇣
1
9
(
−1
)
3
−
1
9
󰇤
d=−
1
12
2
1
2
1
.
Câu 45. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;2
]
và (2)=2. Biết
∫
′
(
)
d
=

và
∫
√
d

=−

. Tính
∫
(
)
d
.
A.

. B.

. C.


. D.

.
Lời giải
Chọn A
∫
(
√
)d

=;
Đặt =
√
⇒4
d=d
Đổi cận: Khi =0⇒=0;=16⇒=2
Khi đó =
∫
4
.()d
=4
∫
.()d
=
.()
|
−
∫
.′()d
⇒
∫
.′()d
=
.()
|
−
⇒
∫
.′()d
=

.
[
′() −
]
d
=
[
′()
]
d
−2
.′()d
+
d
=
512
9
−2.
512
9
+
.
512
9
=0
⇒=1⇒′()=
⇒()=
∫
d=
+ ;mà (2)=2⇒

+ =2⇒=−

Vậy ()=
−

⇒
∫
()d
=
∫
(
−22)d
=−

.
Câu 46. Cho hàm số () có đạo hàm, liên tục trên đoạn
[
1 ; 2
]
đồng thời thỏa mãn (2)=0,
∫
[
′()
]
2
2
1
d=
5
12
+ ln
2
3
và
∫
()
(1)
2
2
1
d=−
5
12
+ ln
3
2
. Tính =
∫
()
2
1
d.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 76
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
A. =
3
4
+ 2ln
2
3
. B. =ln
2
3
. C. =
3
4
+ 2ln
3
2
. D. =
3
4
+ 2ln
2
3
.
Lời giải
Chọn A
+ Đặt
=
(
)
d=
1
(
1
)
2
d
⇒󰇫
d=′
(
)
d
=
1
2
󰇡
1
1
󰇢
.
Khi đó
()
(+ 1)
2
2
1
d=
1
2
󰇯()
−1
+ 1
1
2
−
−1
+ 1
′()
2
1
d󰇰
⇔−
5
12
+ ln
3
2
=
1
2
󰇯(2)
1
3
−
−1
x + 1
′()
2
1
d󰇰
⇔
5
6
−2ln
3
2
=
∫
1
1
′()
2
1
d
(
1
)
.
Xét
∫
󰇡
1
1
󰇢
2
1
2
d=
∫
󰇡1 −
2
1
󰇢
2
1
2
d
=
∫
󰇡1 −
4
1
+
4
(
1
)
2
󰇢
2
1
d=󰇡−4ln
|
+ 1
|
−
4
1
󰇢
󰇻
1
2
=1 −4ln3 + 4ln2 −
4
3
+ 2 =
5
3
−4ln
3
2
⇒
1
4
∫
󰇡
1
1
󰇢
2
1
2
d=
5
12
−ln
3
2
(
2
)
.
Theo đề
∫
[
′()
]
2
2
1
d=
5
12
−ln
3
2
(3).
Từ (1), (2), (3) ta có
∫
󰇣
1
2
󰇡
1
1
󰇢−′()
󰇤
2
2
1
d=0 ⇒
1
2
󰇡
1
1
󰇢−′()=0 ⇔′()=
1
2
󰇡
1
1
󰇢.
⇒()=
1
2
[
−2ln
(
+ 1
)]
+
⇒(2)=
1
2
[
2 −2ln3
]
+=0 ⇒=ln3 −1
⇒(x)=
1
2
[
−2ln
(
+ 1
)]
+ ln3 −1
=
1
2
[
−2ln
(
+ 1
)]
+ ln3 −1
2
1
d
=
󰇣
2
4
+
(
ln3 −1
)
󰇤󰇻
1
2
−
∫
ln
(
+ 1
)
d
2
1
=−
1
4
+ ln3 −
∫
ln
(
+ 1
)
d
2
1
=−
1
4
+ ln3 −󰇯
(
+ 1
)
ln
(
+1
)
|
1
2
−
d
2
1
󰇰
=−
1
4
+ ln3 −
[
3ln3 −2ln2 −1
]
=
3
2
−2ln
2
3
.
Câu 47. Cho hàm số () có đạo hàm liên tục trên
[
0;2
]
và thỏa mãn:
3
5
−(−4)
2
+ 4()=
[
′()
]
2
và (0)=
1
20
. Khi đó
∫
()d
2
0
bằng
A.
203
30
. B.
163
30
. C.
11
30
. D.
157
30
.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết
3
5
−(−4)
2
+ 4()=
[
′()
]
2
Ta có:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 77
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
3
5
−(−4)
2
+ 4()d
2
0
=
[
′()
]
2
d
2
0
⇔
262
15
+ 2
∫
()d(
2
−4)
2
0
=
∫
[
′()
]
2
2
0
d (1)
Đặt =
∫
()d(
2
−4)
2
0
Đặt
=()
d=d(
2
−4)
⇒
d=′()d
=
2
−4
Khi đó
=
(
2
−4
)
()
0
2
−
(
2
−4
)
′()d
2
0
=
1
5
−
∫
(
2
−4
)
′()d
2
0
(2)
Thay (2) vào (1) có:
−262
15
+ 2 󰇯
1
5
−
(
2
−4
)
′()d
2
0
󰇰=
[
′()
]
2
2
0
d
⇔
∫
[
′()
]
2
2
0
d+ 2
∫
(
2
−4
)
2
0
′()d+
∫
(
2
−4
)
2
d
2
0
=−
262
15
+
2
5
+
∫
(
2
−4
)
2
d
2
0
⇔
∫
[
′()
]
2
2
0
d+ 2
∫
(
2
−4
)
2
0
′()d+
∫
(
2
−4
)
2
d
2
0
=0 ⇔
∫
[
′() +
2
−4
]
2
2
0
d=0
Do
[
′() +
2
−4
]
2
≥0 ⇒
∫
[
′() +
2
−4
]
2
2
0
d≥0 mà
∫
[
′() +
2
−4
]
2
2
0
d=0 nên
[
′() +
2
−4
]
2
=0 ⇒′()=−
2
+ 4 ⇒()=

3
3
+ 4+ .
Vì (0)=
1
20
⇒=
1
20
⇒()=

3
3
+ 4+
1
20
Vậy
∫
()d
2
0
=
203
30
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 78
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1
Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức ′
(
)
+
(
)
.
(
)
=ℎ
(
)
Phương pháp:
+ Tìm ()=
∫
()
+ Nhân hai vế với
∫
(
)
d
ta được
󰆒
(
)
.
∫
(
)

+
(
)
.
∫
(
)

.
(
)
=ℎ
(
)
.
∫
(
)

⇔′()e
()
+ ().e
()
()=()e
()
⇔
(
)
.
∫
(
)

󰆒
=ℎ
(
)
.
∫
(
)

+ Lấy tích phân hai vế ta được ()
()
=
∫
()
()
. Từ đó suy ra ().
Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức ′
(
)
+
(
)
=ℎ
(
)
Phương pháp:
+ Nhân hai vế với
ta được
.′
(
)
+
.
(
)
=
.ℎ
(
)
⇔
[
.
(
)]
′
=
.ℎ
(
)
+ Suy ra
.
(
)
=
∫
.ℎ
(
)
d
+ Từ đây ta dễ dàng tính được
(
)
Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức ′
(
)
−
(
)
=ℎ
(
)
Phương pháp:
+ Nhân hai vế với

ta được

.′
(
)
−

.
(
)
=

.ℎ
(
)
⇔
[

.
(
)]
′
=

.ℎ
(
)
+ Suy ra

.
(
)
=
∫

.ℎ
(
)
d
+ Từ đây ta dễ dàng tính được
(
)
Câu 1. Cho hàm số
(
)
thỏa mãn
(
0
)
=4 và
(
)
+ ′
(
)
=
,∀∈ℝ. Giá trị của
(
1
)
bằng
A. −4 +
10
. B. −10. C. −2. D. −2 +
10
.
Lời giải
Chọn D
+) Từ giả thiết, ta có
(
)
+
′
(
)
=
3
⇒
[
(
)]
′
=
3
⇒
(
)
=
∫
3

⇒
(
)
=
3
−3
2
=
3
−3
2
+ 6

=
3
−3
2
+ 6
(
−1
)
+
+) Lại có
(
0
)
=4 ⇒ =10 ⇒
(
)
=
3
−3
2
+ 6−6 +
10
⇒
(
1
)
=−2 +
10
.
Câu 2. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm và liên tục trên ℝ thỏa mãn 2
(
)
+ ′
(
)
=2+ 1 và
(
0
)
=
1. Giá trị của
∫
(
)

1
0
.
A. 1 −
1
2
2
. B.
1
2
2
. C. 1 +
1
2
2
. D. −
1
2
2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
(
)
+ ′
(
)
=2+ 1
⇔2
2
.
(
)
+
2
.′
(
)
=
(
2+ 1
)
.
2
⇔󰇡
2
.
(
)
󰇢′ =
(
2+ 1
)
.
2
⇔
2
.
(
)
=
∫
(
2+ 1
)
.
2
 (*)
Xét =
∫
(
2+ 1
)
.
2

Đặt =2+ 1 ⇒ =2
=
2
⇒=
1
2
2
=
(
2+ 1
)
.
1
2
2
−
1
2
2
.2
=
1
2
(
2+ 1
)
.
2
−
1
2
2
+
Thay vào (*) ta có:
2
.
(
)
=
1
2
(
2+ 1
)
.
2
−
1
2
2
+ ⇔
(
)
=
1
2
(
2+ 1
)
−
1
2
+
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 79
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
(
0
)
=1 ⇔
1
2
−
1
2
+ =1 ⇔ =1.
⇒
(
)
=
1
2
(
2+ 1
)
−
1
2
+
1
2
=+
2
∫
(
)
=
∫
(
+
2
)

1
0
1
0
=󰇡
2
2
−
1
2
2
󰇢
0
1
=
1
2
−
1
2
2
+
1
2
=1 −
1
2
2
.
Câu 3. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên
[
0 ;4
]
, thỏa mãn
(
)
+ ′
(
)
=

√
2+ 1 với mọi
∈
[
0 ;4
]
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
4
(
4
)
−
(
0
)
=
26
3
. B.
4
(
4
)
−
(
0
)
=3.
C.
4
(
4
)
−
(
0
)
=
4
−1. D.
4
(
4
)
−
(
0
)
=3.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
(
)
+ ′
(
)
=

√
2+ 1 ⇔
(
)
+
′
(
)
=
√
2+ 1 ⇔
[
(
)]
′
=
√
2+ 1
Suy ra:
∫
[
(
)]
′
d
4
0
=
∫
√
2+ 1d
4
0
=
26
3
⇔
4
(
4
)
−
(
0
)
=
26
3
Câu 4. Cho hàm số =
(
)
có ′
(
)
liên tục trên nửa khoảng
[
0;+∞
)
thỏa mãn
3
(
)
+ ′
(
)
=
√
1 + 3.e

. Khi đó:
A. e
(
1
)
−
(
0
)
=
√

−
.
B. e
(
1
)
−
(
0
)
=
√

−
.
C. e
(
1
)
−
(
0
)
=


√

.
D. e
(
1
)
−
(
0
)
=
(
e
+ 3
)
√
e
+ 3 −8.
Lời giải
Chọn C
Ta có: 3
(
)
+ ′
(
)
=
√
1 + 3.e

=
√


⇒3e

(
)
+ e

′
(
)
=e

√
e

+ 3.
⇔
[
e

(
)]
󰆒
=e

√
e

+ 3.
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được
∫
[
e

(
)]
󰆒
d
=
∫
e

√
e

+ 3 d
⇔
[
e

(
)]
|
=
√
e

+ 3
󰇻
⇔e
(
1
)
−
(
0
)
=


√

.
Câu 5. Cho hàm số () có đạo hàm trên ℝ, thỏa mãn: ′
(
)
−2018
(
)
=2018
2017
2018
với mọi
∈ℝ và
(
0
)
=2018. Tính giá trị
(
1
)
?
A.
(
1
)
=2018
2018
. B.
(
1
)
=2017
2018
.
C.
(
1
)
=2018
2018
. D.
(
1
)
=2019
2018
.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ′
(
)
−2018
(
)
=2018
2017
2018
⇔
2018
′
(
)
−2018
2018
(
)
=2018
2017
⇔
[
2018
(
)]
′
=2018
2017
⇒
2018
(
)
=
∫
2018
2017
d=
2018
+
Do
(
0
)
=2018 ⇒=2018 ⇒
(
)
=
(
2018
+ 2018
)
2018
. Vậy
(
1
)
=2019
2018
.
Câu 6. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn ′
(
)
−2020
(
)
=2020.

.e

với mọi
∈ℝ và
(
0
)
=2020. Tính giá trị
(
1
)
.
A.
(
1
)
=2021.e

. B.
(
1
)
=2020.e

.
C.
(
1
)
=2020.e

. D.
(
1
)
=2019.e

.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ′
(
)
−2020
(
)
=2020.

.e

⇔
󰆒
(
)
.
(
)

=2020.

.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 80
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
⇔
∫
󰆒
(
)
.
(
)

d
=
∫
2020.

d
(
1
)
.
Xét
∫
2020.

d
=1.
Xét =
∫
󰆒
(
)
.
(
)

d
=
∫

󰆒
(
)
.

(
)
(

)
d
.
=
∫
󰇡
(
)

󰇢
󰆒
d
=
(
)

|
=
(
)

−
(
)
=
(
)

−2020.
Thay vào
(
1
)
ta được:
(
)

−2020=1⇔
(
1
)
=2021.e

.
Câu 7. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm và liên tục trên ℝ, thỏa mãn ′
(
)
+ 
(
)
=2

2
và
(
0
)
=
−2.Tính
(
1
)
.
A.
(
1
)
=. B.
(
1
)
=
1
. C.
(
1
)
=
2
. D.
(
1
)
=−
2
.
Lời giải
Chọn D
Nhân 2 vế cho
2
2
để thu được đạo hàm đúng, ta được.
′
(
)
2
2
+
(
)

2
2
=2
2
2
⇔
󰇩
2
2
(
)
󰇪
′
=2
2
2
.
Suy ra:
2
2
(
)
=
∫
2
2
2
d =−2
2
2
+ .
Thay =0 vào hai vế ta được =0 ⇒
(
)
=−2

2
.
Vậy
(
1
)
=−2
1
=−
2
.
Câu 8. Cho
(
)
thỏa mãn
(
1
)
=
và
󰆒
(
)
+ 3x
(
)
=
(
15x
+ 12x
)

,∀∈
.
Tính =
∫
(
)
d
1
0
.
A. =3 +
4
B. =2e −1 C. =3 −
4
D. =2e + 1
Lời giải
Chọn C
Ta có 󰇡
3
(
)
󰇢
′
=
3x
󰇡
′
(
)
+ 3x
2
(
)
󰇢=
3x
(
15x
4
+ 12x
)
3x
=15x
4
+ 12x
Do đó:
3
(
)
=
∫
(15x
4
+ 12x )x =3x
5
+ 6x
2
+ ⇒
(
)
=
(
3x
5
+ 6x
2
+
)
3x
Vì
(
1
)
=
9
⇒ =0 ⇒
(
)
=
(
3x
5
+ 6x
2
)
3x
Khi đó =
∫
(
)
d
1
0
=
∫
󰇡
(
3x
5
+ 6x
2
)
3x
󰇢d
1
0
=3 −
4
.
Câu 9. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm đến cấp hai và liên tục trên ℝ thỏa mãn ′
(
0
)
=
(
0
)
=1 và
(
)
+ 2′
(
)
+ ′′
(
)
=
+ 2
,∀ ∈ℝ. Tích phân
∫
(
)

bằng
A.
107
12
−
21
. B.
107
21
−
12
. C.
107
12
+
21
. D.
107
21
+
12
.
Lời giải
Chọn A
Theo giả thiết ta có:
(
)
+ ′
(
)
+
′
(
)
+ ′′
(
)
=
3
+ 2
2
⇔
(
)
+ ′
(
)
+
(
)
+ ′
(
)
′
=
3
+ 2
2
⇔
(
)
+ ′
(
)
+
(
)
+ ′
(
)
′
=
(
3
+ 2
2
)
⇔󰇡
(
)
+ ′
(
)
󰇢
′
=
(
3
+ 2
2
)
⇔
(
)
+ ′
(
)
=
(
3
+ 2
2
)
=
(
3
−
2
+ 2−2
)
+
Mặt khác
(
0
)
=′
(
0
)
=1 nên 1 +1 =−2 + ⇔ =4 ⇔
(
)
+ ′
(
)
=
(
3
−
2
+ 2−2
)
+ 4
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 81
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Do đó
(
)
′
=
(
3
−
2
+ 2−2
)
+ 4
⇒
(
)
=
[
(
3
−
2
+ 2−2
)
+ 4
]
=
(
3
−4
2
+ 10−12
)
+ 4+
(
0
)
=1 ⇔ =13 ⇔
(
)
=
(
4+ 13
)

+
3
−4
2
+ 10−12
⇒
∫
(
)

1
0
=
∫
[(
4+ 13
)

+
3
−4
2
+ 10−12
]
1
0
=
107
12
−
21
.
Câu 10. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên
[
0;1
]
,
(
0
)
=1 và ′
(
)
=
(
)
+
+ 1,∀∈
[
0;1
]
. Tính =
∫
(
)

.
A. 2−1. B. 2
(
−1
)
. C. 1 −. D. 1 −2.
Lời giải
Chọn B
Ta có ′
(
)
=
(
)
+
+ 1 ⇔′
(
)
−
(
)
=
+ 1 ⇔

′
(
)
−

(
)
=1 +

⇔
[

(
)]
′
=1 +

⇒

(
)
=−

+ ⇒
(
)
=
−1 +
.
Do
(
0
)
=1 ⇒ =2 ⇒
(
)
=
(
+ 2
)
−1.
Do đó =
∫
[(
+ 2
)
−1
]

1
0
=2
(
−1
)
.
Câu 11. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn ′
(
)
=
(
)
+
+ 1, với mọi ∈
ℝ,
(
0
)
=−1. Tính
(
3
)
?
A. 6
3
+ 3. B. 6
2
+ 3. C. 3
2
−1. D. 9
3
−1.
Lời giải
Chọn D
Ta có:′
(
)
−
(
)
=
2
+ 1 ⇔

′
(
)
=
2
+

⇔

(
)
′
=
2
+

.
Do đó:

(
)
=
∫

(
)
=
3
3
−

+ ⇔
(
)
=
3
3
−1 +
.
(
0
)
=−1 ⇒−1 =−1 + ⇔ =0 ⇒
(
)
=
3
3
−1 ⇒
(
3
)
=9
3
−1.
Câu 12. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn ′
(
)
−
(
)
=
(
+ 1
)
e

,∀∈ℝ và
(
1
)
=e. Giá trị của
(
5
)
bằng
A. 3e
12
−1. B. 5e
17
. C. 5e
17
−1. D. 3e
12
.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ′
(
)
−
(
)
=
(
2
+ 1
)
e
2
21
2
⇔′
(
)
e

−e

(
)
=
(
2
+ 1
)
e
2
1
2
⇔
e

(
)
′
=
(
2
+ 1
)
e
2
1
2
.
⇒

e

(
)
′
d
5
1
=
(
2
+ 1
)
e
2
1
2
d
5
1
⇔e

(
)
|
1
5
=
2
e
2
1
2
d
5
1
+
e
2
1
2
d
5
1
⇔e
5
(
5
)
−1 =
1
+
2
(
∗
)
Xét:
2
=
∫
e
2
1
2
d
5
1
.
Đặt: 󰇫
=e
2
1
2
d=d
⇒󰇫
d=e
2
1
2
d
=
.
2
=e
2
1
2
󰈅
1
5
−
∫
2
e
2
1
2
d
5
1
=5e
12
−1 −
1
⇔
1
+
2
=5e
12
−1
(
∗
)
⇔e
5
(
5
)
−1 =
5e
12
−1 ⇔
(
5
)
=5e
17
.
Câu 13. Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn và với mọi
. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
f x
1
f e
3
2
x f x xf x x
x
2
f
2
4 4 4
e e
2
4 2 1
e e
3
2 2 2
e e
2
4 4 2
e e
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 82
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
Chọn A
Biến đổi giả thiết
Mà
Vậy, .
Câu 14. Cho hàm số =
(
)
có ′
(
)
liên tục trên nửa khoảng
[
0;+∞
)
thỏa mãn 3
(
)
+ ′
(
)
=
√
1 + 3.e

. Khi đó:
A. e
3
(
1
)
−
(
0
)
=
1
e
2
3
−
1
2
.
B. e
3
(
1
)
−
(
0
)
=
1
2
e
2
3
−
1
4
.
C. e
3
(
1
)
−
(
0
)
=
e
2
3
e
2
38
3
.
D. e
3
(
1
)
−
(
0
)
=
(
e
2
+ 3
)
√
e
2
+ 3 −8.
Lời giải
Chọn C
Ta có: 3
(
)
+ ′
(
)
=
√
1 + 3.e
2
=
e
2
3
e
Nhân hai vế giả thiết với
3
ta được ⇒3e
3
(
)
+ e
3
′
(
)
=e
2
√
e
2
+ 3.
⇔
[
e
3
(
)]
′
=e
2
√
e
2
+ 3.
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được
∫
[
e
3
(
)]
′
d
1
0
=
∫
e
2
√
e
2
+ 3 d
1
0
⇔
[
e
3
(
)]
0
1
=
1
3
√
e
2
+ 3
3
󰇻
0
1
⇔e
3
(
1
)
−
(
0
)
=
e
2
3
e
2
38
3
.
Câu 15. Trong những hàm số () liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 3() +
󰆒
()≥

. Giá trị nhỏ nhất của =
∫
()
là
A.
1
2019.2021
B.
1
2018.2021
C.
1
2020.2021
D.
1
2017.2021
Lời giải
Chọn A
+ 3() +
′
()≥
2018
⇔
′
() +
3
()≥
2017
,≠0
+ ()=3ln ⇒
()
=
3
.
+ Nhân hai vế của (*) cho
3
ta được
3
′
() + 3
2
()≥
2019
⇒
(
3
()
)
′
≥
2020
, đúng
∀∈
[
0;1
]
+ Lấy tích phân từ 0 đến hai vế có
(
3
()
)
0
≥
∫
2020
=
0
1
2021
2021
󰇻
0
=
2021
2021
,∀∈
[
0;1
]
⇒()≥
2018
2021
⇒
∫
()≥
∫
2018
2021
=
1
2019.2021
1
0
1
0
.
Câu 16. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm trên thỏa mãn ′
(
)
−2018
(
)
=2018.

.e

với mọi
∈ℝ và
(
0
)
=2018. Tính giá trị
(
1
)
.
A.
(
1
)
=2019e
2018
. B.
(
1
)
=2018.e
2018
.
C.
(
1
)
=2018.e
2018
. D.
(
1
)
=2017.e
2018
.
Lời giải
Chọn A
+()=−
∫
2018 =−2018
3
2
x f x xf x x
2
2x
f x f x x
x
2 3
2
x
x x
e f x x
e f x e
x x
2
x
x
e
f x e
x
2
x
x x
e
f x e dx e C
x
2 2
x
f x x Cx e
1
1
e
f e C
e
2 2 1
1
x
f x x e x e
2
2 4 4 1 4 4 4
f e e e e
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 83
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
+ Nhân hai vế với
2018
ta được
′
(
)
2018
−2018
2018
(
)
=2018.
2017
⇒
(
()
2018
)
′
=2018.
2017
+ Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được
(
()
2018
)
|
0
1
=
2018
2017
⇒(1)=2019
2018
1
0
Câu 17. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn
(
0
)
=0 và 2
(
)
+ ′
(
)
=
(
−1
)
với mọi ∈
[
0;1
]
. Tích phân
∫

(
)

bằng
A.
4
8
. B.
1
6
. C.
7
6
. D.
4
4
.
Lời giải
Chọn A
Nhân hai vế giả thiết với
2
ta được
2
.2
(
)
+
2
.′
(
)
=
2
.
(
2
−1
)
⇔
2
(
)
′
=
3
2
−
2
⇒
2
(
)
=
∫
(
2
−1
)
2
=
2
2
(
2
−2
)
+ ⇒
(
)
=
1
2
(
2
−2
)
+

2
.
Do
(
0
)
=0 ⇒ =1 ⇒
(
)
=
1
2
(
2
−2
)
+

2
.
Vậy
∫

(
)

1
0
=
∫
󰇣
1
2
(
2
−2
)
+

2
󰇤
1
0
=
4
8
.
Câu 18. Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên
[
0,
]
. Biết
(
0
)
=2 và
(
)
luôn thỏa mãn đẳng
thức ′
(
)
+ sin.
(
)
=cos.

,∀∈
[
0,
]
. Tính =
∫
(
)
.
(làm tròn đến phần
trăm).
A. ≈6,55. B. ≈17,30. C. ≈10,31. D. ≈16,91.
Lời giải
Chọn B
′
(
)
+ sin.
(
)
=cos.
cos
. Chia hai vế đẳng thức cho
cos
ta được
′
(
)
.
cos
+
cos
.sin.
(
)
=cos (vế trái có dạng ′+ ′)
⇔
(
(
)
.
cos
)
′ =cos ⇔
∫
(
(
)
.
cos
)
′ d=
∫
cos.d ⇔
(
)
.
cos
=sin+.
Do
(
0
)
=2 nên 2.
1
= ⇒ =2. Vậy
(
)
=
sin2
cos
=
cos
(
sin+ 2
)
.
=
∫
(
)
.
0
=
∫
cos
(
sin+ 2
)

0
.
Sử dụng MTCT (để đơn vị rad). KQ: 10,31
Câu 19. Suy ra. Cho hàm số=
(
)
liên tục trên ℝ\
{
0; −1
}
thỏa mãn điều kiện
(
1
)
=−2ln2 và
(
+ 1
)
.′
(
)
+
(
)
=
+ . Giá trị
(
2
)
=+ ln3, với,∈ℝ. Tính
+
.
A.
25
4
. B.
9
2
. C.
5
2
. D.
13
4
.
Lời giải
Chọn B
+ Trước tiên ta đưa phương trình về dạng tổng quát ′
(
)
+
1
(
1
)
(
)
=1
+()=
∫
1
(1)
=ln
1
. (ta chỉ cần xét x>0)
+ Nhân hai vế cho
()
ta được ′
(
)
.
1
+
1
(
1
)
2
(
)
=
1
⇒󰇡().
1
󰇢
′
=
1
+ Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta có
󰇡().
1
󰇢
󰇻
1
2
=
∫
1
=
−ln
(
+ 1
)

1
2
⇒
(
2
)
=
3
2
−
3
2
ln3
2
1
. Suy ra =
3
2
và =−
3
2
.
Vậy
2
+
2
=
9
2
.
Câu 20. Cho hàm số
(
)
liên tục và có đạo hàm trên 󰇡0;
󰇢, thỏa mãn hệ thức
(
)
+ tan′
(
)
=

.
Biết rằng
√
3󰇡
󰇢−󰇡
󰇢=
√
3 + ln3 trong đó , ∈ℚ. Tính giá trị của biểu thức =
+ .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 84
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay
A. =−
4
9
. B. =−
2
9
. C. =
7
9
. D. =
14
9
.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết ⇒cot.
(
)
+ ′
(
)
=
cos
3
.cot
Nhân thêm 2 vế với
∫
cotd
=sin ta có
cos
(
)
+ sin′
(
)
=
cos
2
⇔
[
sin
(
)]
′
=
cos
2
.
Suy ra sin
(
)
=
∫
cos
2
d=tan+ ln
|
cos
|
+ .
Với =
3
→
√
3
2
󰇡
3
󰇢=
3
.
√
3 −ln2 →
√
3󰇡
3
󰇢=
2
3
.
√
3 −2ln2 + 2.
Với =
6
→
1
2
󰇡
6
󰇢=
6
.
√
3
3
+
1
2
ln3 −ln2 +→󰇡
6
󰇢=
1
9
.
√
3 + ln3 −2ln2 + 2.
Suy ra
√
3󰇡
3
󰇢−󰇡
6
󰇢=
5
9
√
3 −ln3 →󰇫
=
5
9
=−1
→=+=−
4
9
.
| 1/84
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỤC LỤC
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP TRANG
QUY TẮC ĐẠO HÀM TÍCH 3
QUY TẮC ĐẠO HÀM THƯƠNG 7
ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHỨA CĂN 15
ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM MŨ 18
ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM LÔGARIT 19
ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM KHÁC 21
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 22
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1 22
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 2 28
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 3 39
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 4 49
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 5 51
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 6 53
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 55 TRƯỜNG HỢP RIÊNG 68
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 78
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐIỂN HÌNH
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP QUY TẮC ĐẠO HÀM TÍCH
Nếu = ( ) và = ( ) thì ( )′ = ′ + ′;
Nếu [ ( ). ( )]′ = ℎ( ) thì ( ). ( ) = ∫ ℎ( ) . Câu 1.
Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn điều kiện (1) = 3 và
4 − ′( ) = ( ) − 1, ∀ > 0. Giá trị của (2) bằng A. 6. B. 5. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn B
+)Từ giả thiết, ta có
4 − ′( ) = ( ) − 1 ⇒ ′( ) + ( ) = 4 + 1 ⇒ [ ( )]′ = 4 + 1 ⇒ ( ) = (4 + 1) ⇒ ( ) = 2 2 + + . +) Lại có (1) = 3 ⇒
= 0 ⇒ ( ) = 2 + 1 ⇒ (2) = 5. Câu 2.
Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên khoảng (−1; +∞) và thỏa mãn đẳng thức 2 ( ) + ( − 1) ′( ) =
với mọi ∈ (−1; +∞). Giá trị của (0) bằng √
A. (0) = 2 − √3. B. (0) = − √3. C. (0) = √3.
D. (0) = 1 − √3. Lời giải Chọn A 3 2 2
+) Từ giả thiết, ta có 2 ( ) + ( 2 − 1) ′( ) =
⇒ 2 ( ) + ( − 1)( + 1) ′( ) = 2 3 ( ′
1)2 ⇒ 2 ( ) + 1 ′( ) = ⇒ 1 ( ) + 1 ′( ) = 2 3 ( 1)2 1 2 3 1 1 2 3 ′ ⇒ 1 . ( ) = ⇒ 1 . ( ) = ∫ ⇒
1 . ( ) = √ 2 + 3 + (∗) +) Lại có 1 2 3 1 2 3 1
(∗) thỏa mãn với mọi ∈ (−1; +∞) nên thay = 1 vào (∗) ta có = −2. 1 Suy ra
. ( ) = √ 2 + 3 − 2. Do đó (0) = 2 − √3. 1 Câu 3.
Cho hàm số ( ) thỏa mãn [ ′( )] + ( ). ′′( ) = 4
+ 2 với mọi ∈ ℝ và (0) = 0. Giá trị của (1) bằng 5 9 16 8 A. . B. . C. . D. . 2 2 15 15 Lời giải Chọn C
Ta có: [ ′( )]2 + ( ). ′′( ) = [ ( ). ′( )]′. Từ giả thiết ta có: [ ( ). ′( )]′ = 4 3 + 2
Suy ra: ( ). ′( ) = ∫(4 3 + 2 ) = 4 + 2 + . Với (0) = 0 ⇒ = 0
Nên ta có: ( ). ′( ) = 4 + 2 1 1 1 2( ) Suy ra: ∫ ( ). ′( ) = ∫ ( 4 + 2) ⇔ = 8 ⇒ 2(1) = 16. 0 0 2 0 15 15 Câu 4.
Cho hàm số ( ) xác định trên (1 ; +∞), thỏa mãn ( − 1) ′( ) + ( ) = 1, biết (2) = 3 7 ( ) . Tính ∫ d 5 A. 4. B. 3. C. 2. D. 5. Lời giải Chọn C
Ta biến đổi: ( − 1) ′( ) + ( ) =
1 (bên vế trái gợi ý ta đưa về đạo hàm ( . )′).
⇒ ( − 1). ′( ) + ( − 1)′. ( ) = . 1
⇒ [( − 1). ( )]′ = .
1, ta lấy nguyên hàm hai vế được:
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn ( − 1). ( ) = ∫ 1d ⇒ ( − 1) ( ) = . 1 − ∫ 1d = 1( − 1) + . ⇒ ( ) = 1 + , ta có (2) = 3 ⇔ 3 + = 3 ⇔ = 0. 1 ⇒ ( ) = 1. 7 ( ) 7 Tính ∫ d = ∫ d = 7 = 2. 5 5 5 Câu 5.
Cho hàm số ( ) thỏa mãn [ ′( )]2 + ( ). ′′( ) = 15 4 + 12 với ∈ ℝ và (0) = ′(0) =
1. Giá trị của 2(1) bằng 5 9 A. . B. . C. 8. D. 10. 2 2 Lời giải Chọn C
Nhận xét: [ ( ). ′( )]′ = [ ′( )]2 + ( ). ′′( )
Từ đó suy ra: [ ( ) ′( )]′ = 15 4 + 12 . Tiến hành lấy nguyên hàm hai vế ta được:
( ) ′( ) = 3 5 + 6 2 +
Mà (0) = ′(0) = 1 nên suy ra = 1
⇒ ( ) ′( ) = 3 5 + 6 2 + 1 2 ( ) 6 ⇒ ( ) ′( ) = (3 5 + 6 2 + 1) ⇔ = + 2 3 + + ′ 2 2 2(0)
Thay = 0 vào hai vế ta được:
= ′ ⇒ ′ = 1 2 2
Suy ra: 2( ) = 6 + 4 3 + 2 + 1 ⇒ 2(1) = 8 Câu 6.
Cho hàm số ( ) thỏa mãn [ ′( )] + 1 =
[1 − ( ). ′′( )] với mọi dương. Biết (1) = ′(1) = 1. Giá trị (2) bằng
A. 2(2) = √2ln2 + 2. B. 2(2) = 2ln2 + 2. C. 2(2) = ln2 + 1.
D. 2(2) = √ln2 + 1. Lời giải Chọn B Ta có:[
′( )]2 + 1 = 2[1 − ( ). "( )]; > 0 1
⇔ 2. [ ′( )]2 + 1 = 2[1 − ( ). "( )] ⇔ [ ′( )]2 + = 1 − ( ). "( ) 2 1 1
⇔ [ ′( )]2 + ( ). "( ) = 1 − ⇔ [ ( ). ′( )]′ = 1 − 2 2
Do đó: ∫[ ( ). ′( )]′. d = ∫ 1 − 1 . d ⇒ ( ). ′( ) = + 1 + 2 1.
Vì (1) = ′(1) = 1 ⇒ 1 = 2 + 1 ⇔ 1 = −1. Nên∫ ( ). ′( ). d = ∫
+ 1 − 1 . d ⇔ ∫ ( ). d ( ) = ∫ + 1 − 1 . d 2( ) 2 ⇒ = + ln − + = 1 − 1 + 2 2 2. Vì (1) = 1 ⇒ 1 2 2 2 ⇔ 2 = 1. 2( ) 2 Vậy = + ln − + 1 ⇒ 2(2) = 2ln2 + 2. 2 2 Câu 7. Cho hàm số
= ( ) có đạo hàm cấp 2 trên (0; +∞) thỏa mãn 2 ′( ) − ( ) =
2√ cos ∀ ∈ (0; +∞), (4 ) = 0. Giá trị của biểu thức (9 ) là A. 0. B. −3√ . C. −√ . D. −2√ . Lời giải Chọn B
Do ∈ (0; +∞) phương trình đã cho tương đương: ′( ). 1 − 1 ( ) = cos √ 2 √ 2 9 9 9 ⇒ 1 ∫ ′( ). 1 − 1 ( ) d = ∫ cos d ⇒ . ( ) = −1 4 √ 2 √ 4 2 √ 4 ⇒ 1 1 (9 ) − 1 (4 ) = −1 ⇒ (9 ) = 3√ . 0 − 1 = −3√ . 3√ 2√ 2√
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 9 Câu 8.
Cho hàm số ( ) thỏa mãn (1) = 5 và 2
′( ) + ( ) = 6 với mọi > 0. Tính ∫ ( ) d . 4 A. 71. B. 59. C. 136. D. 21. Lời giải Chọn A ′ Ta có 2
′( ) + ( ) = 6 ⇔ √ ′( ) + 1 ( ) = 3√ ⇔ √ ( ) = 3√ . 2√ Do đó √ ( ) = ∫ 3√ d = 2 √ + . Từ (1) = 5 ⇒ = 3 ⇒ ( ) = 2 + 3 . √ 9 9 Vậy ∫ ( ) d = ∫ 2 + 3 d = 71. 4 4 √ Câu 9.
Cho hàm số ( ) liên tục trên (0; +∞) thỏa mãn: 3 . ( ) − 2. ′( ) = 2. 2( ), với ( ) ≠
0, ∀x ∈ (0; +∞) và (1) = 1. Gọi ,
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 = ( ) trên [1; 2]. Tính + . 9 21 5 7 A. . B. . C. . D. . 10 10 3 3 Lời giải Chọn C
Ta có 3 . ( ) − 2. ′( ) = 2. 2( ) ⇔ 3 2. ( ) − 3. ′( ) = 2 . 2( ) ′ 3 2. ( ) − 3. ′( ) 3 ⇔ = 2 ⇔ = 2 2( ) ( ) 3 ′ 3 dx = 2 dx ⇔ = 2 + ( ) ( ) 3 Do (1) = 1 ⇒ 1 = 1 ⇒ = 2. Vậy (x) = 3 1 3 2 2 Tìm được = (2) = 4 , = (1) = 1 ⇒ + = 5. 3 3 3
Câu 10. Cho hàm số ( ) liên tục trên \{0; −1},thỏa mãn ( + 1) ( ) + ( ) = + với mọi
∈ \{0; −1} và (1) = −2ln2.Biết (2) = + ln3 với , ∈ , tính = + . A. = 1. B. = 3. C. = 13. D. = 9 2 4 4 2 Lời giải Chọn D Từ giả thiết ta có ′( ) + 1 = , ∀ ∈ \{0; −1}. 1 ( 1)2 1 ′ Nhận thấy ′( ) + 1 = ( ) , ∀ ∈ \{0; −1}. 1 ( 1)2 1
Do đó giả thiết tương đương với ′ ( ) = , ∀ ∈ \{0; −1}. 1 1 Suy ra ( ) = ∫ = ∫ 1 − 1 = − ln| + 1| + . 1 1 1 Mà (1) = −2ln2 ⇒ = −1 → ( ) = − ln| + 1| − 1. 1
Cho = 2 ta được (2) 2 = 2 − ln3 − 1 ⇒ (2) = 3 − 3 ln3 → = 3 ; = − 3. 3 2 2 2 2 Vậy = 9. 2
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 11. Cho hai hàm ( ) và
( ) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn (1) = (1) = 0 và ( ) + 2017 = ( + 1) ′( ) ( 1)2 2
, ∀ ∈ [1; 2]. Tính tích phân = ∫ ( ) − 3 1 1 ′( ) + ( ) = 2018 2 1 1 ( ) . A. = 1. B. = 1. C. = 3. D. = 2. 2 2 Lời giải Chọn A 1 ( ) − 1 ′( ) = −2017 ( 1)2 Từ giả thiết ta có: , ∀ ∈ [1; 2]. ′( ) + 1 ( ) = 2018 1 2 Suy ra: ′ ′ 1 ( ) + ′( ) − 1 ′( ) − 1 ( ) = 1 ⇔ ( ) − 1 ( ) = 1 ( 1)2 1 2 1 ⇒ ( ) − 1 ( ) = + . 1 2 2 Mà (1) = (1) = 0 ⇒ = −1 ⇒ = ∫ ( ) − 1 ( ) = ∫ ( − 1) = 1. 1 1 1 2
Câu 12. Cho hàm số ( ) liên tục và có đạo hàm trên 0;
, thỏa mãn hệ thức ( ) + tan . ′( ) = . 2 cos3 Biết rằng √3 − = √3 + ln3 trong đó ,
∈ ℚ. Tính giá trị của biểu thức = 3 6 + . A. = − 4. B. = − 2. C. = 7. D. = 14. 9 9 9 9 Lời giải Chọn A
Từ giả thiết, ta có cos . ( ) + sin . ′( ) = ⇔ [sin . ( )]′ = . cos2 cos2 Suy ra sin . ( ) = ∫ d = tan + ln|cos | + . cos2 Với = ⇒ √3 = . √3 − ln2 + ⇒ √3 = 2 . √3 − 2ln2 + 2 . 3 2 3 3 3 3 Với = ⇒ 1 = . √3 + 1 ln3 − ln2 + ⇒
= 1 . √3 + ln3 − 2ln2 + 2 . 6 2 6 6 3 2 6 9 = 5 Suy ra √3 − = 5 √3 − ln3 ⇒ 9 ⇒ = + = − 4. 3 6 9 = −1 9
Câu 13. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn 3 ( ) + . ′( ) ≥ ∀ ∈
[0; 1]. Tìm giá trị nhỏ nhất của ∫ ( ) d . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2018.2020 2019.2020 2020.2021 2019.2021 Lời giải Chọn D 2021
Xét hàm số: ( ) = 3. ( ) − trên [0; 1]. 2021
Ta có: ′( ) = 3 2 ( ) + 3 ′( ) − 2020 = 2.
[3 ( ) + . ′( ) − 2018] ≥ 0 ∀ ∈ [0; 1].
Do đó ( ) là hàm số không giảm trên [0; 1], suy ra ( ) ≥ (0) ∀ ∈ [0; 1] 2021 2018 Hay 3. ( ) −
≥ 0, ∀ ∈ [0; 1] ⇔ ( ) ≥ ≥ 0, ∀ ∈ [0; 1]. 2021 2021
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 2018 1 Vậy: ∫ ( ) d ≥ ∫ d = 1 . 0 0 2021 2019.2021 2018
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( ) = . 2021
QUY TẮC ĐẠO HÀM THƯƠNG ′ Nếu = ( ) và = ( ) thì = ′ ′ với ≠ 0. 2 ( ) ′ ( ) - Nếu = ℎ( ) thì = ∫ ℎ( ) . ( ) ( ) ′ 1
Hệ quả: Nếu = ( ) thì = ′ với ≠ 0. 2 ′ 1 1 - Nếu = ( ) thì = ∫ ( ) ( ) ( )
Câu 14. Cho hàm số ( )thỏa mãn (2) = − và ′( ) = 2 [ ( )] , ∀ ∈ ℝ. Giá trị của (1) bằng A. − 35. B. − 2. C. − 19. D. − 2 . 36 3 36 15 Lời giải Chọn B ′
+)Ta có ′( ) = 2 [ ( )]2 ⇒ ′( ) = 2 ⇒ 1 = −2 ⇒ 1 = − ∫ 2 [ ( )]2 ( ) ( ) ⇒ 1 = − 2 + . ( )
+) Lại có (2) = − 2 ⇒
= − 1 ⇒ 1 = − 2 − 1 ⇒ (1) = − 2. 9 2 ( ) 2 3
Câu 15. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0 ; +∞) thỏa mãn ′( ) + ( ) = 0
và ( ) ≠ 0, ∀ ∈ (0 ; +∞). Tính (2) biết (1) = e. A. (2) = e2. B. (2) = √ 3 e. C. (2) = 2e2. D. (2) = √e. Lời giải Chọn D
Ta có ( ) ≠ 0, ∀ ∈ (0 ; +∞) ⇒ ( ) = 0 không có nghiệm trên khoảng (0 ; +∞)
⇒ ( ) = 0 không có nghiệm trên khoảng (1 ; 2) ⇒ (1). (2) > 0, ∀ ∈ (1 ; 2).
Mà (1) = e > 0 nên (2) > 0. 1
Do đó 2 ′( ) + ( ) = 0 ⇔ = − ′( ). 2 ( ) 2 2 1 2 ′( ) 2 Suy ra ∫ d = − ∫ d ⇔ − 1 = −ln| ( )| 2 1 1 ( ) 1 1 ⇔ − 1 − 1
1 = −(ln| (2)| − ln| (1)|) ⇔ = −[ln (2) − lne] 2 2 1
⇔ 1 = −ln (2) + 1 ⇔ ln (2) = 1 ⇔ (2) = e2 = √e. 2 2
Câu 16. Cho hàm số ( ) thỏa mãn (1) = và ′( ) = [
( )] với mọi ∈ ℝ. Giá trị (2) bằng 2 3 16 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 16 Lời giải Chọn B ′ ′( ) 3 +) Từ giả thiết, ta có = 2 ⇒ 1 = − 2 ⇒ 1 = − ∫ 2 = − + . 2( ) ( ) ( ) 3 3 10 +) Lại có (1) = 1 ⇒ = 10 ⇒ 1 = ⇒ 1 = 2 ⇒ (2) = 3. 3 3 ( ) 3 (2) 3 2
Câu 17. Cho hàm số ( ) thỏa mãn các điều kiện (1) = 2, ( ) ≠ 0, ∀ > 0 và ( + 1) ′( ) = [ ( )] (
− 1) với mọi > 0. Giá trị của (2) bằng 2 5 A. . B. − 2. C. − 5. D. . 5 5 2 2 Lời giải Chọn D
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 1
Ta có ( 2 + 1)2 ′( ) = [ ( )]2( 2 − 1) ⇔ ′( ) = ∀ ∈ [1; 2] (∗) [ ( )]2 2 2 1
Lấy tích phân 2 vế (*) trên [1; 2] ta được 2 2 2 1 ′( ) 2 − 1 1 1 − 2 2 d = d ⇔ − = d [ ( )]2 ( 2 + 1)2 ( ) 1 1 2 1 1 1 + 2 1 1 1 d + 1 1 1 ⇔ − + = ⇔ − + = − 2 (2) (1) 1 2 (2) 2 1 + 1 1 +
⇔ − 1 + 1 = − 2 + 1 ⇔ (2) = 5. (2) 2 5 2 2 Câu 18. Cho hàm số
= ( ) liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn 0; thỏa mãn ′( ) =
tan . ( ), ∀ ∈ 0; , (0) = 1. Khi đó ∫ cos . ( )d bằng A. . B. . C. ln . D. 0. Lời giải Chọn B
Từ ′( ) = tan . ( ), ∀ ∈ 0;
và ( ) liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn 0; , ta có: ( ) = tan , ∀ ∈ 0; ( ) ( ) ⇒ ∫ d = ∫ tan d , ∀ ∈ 0; ( ) ( ) ⇒ ∫ d = ∫ d , ∀ ∈ 0; ( )
⇒ ln ( ) = −ln(cos ) + , ∀ ∈ 0; .
Mà (0) = 1 nên suy ra ln (0) = −ln(cos0) + ⇒ = 0.
Như vậy ln ( ) = −ln(cos ) ⇒ ( ) = , ∀ ∈ 0; .
Từ đó = ∫4 cos . ( )d = ∫4 cos . 1 d = ∫4 d = . 0 0 cos 0 4
Câu 19. Cho hàm số ( ) thỏa mãn (1) = 4 và ( 2 + 3)2 ′( ) = 2 . 2( ); ( ) ≠ 0, ∀ ∈ ℝ. Giá trị của (3) bằng A. 9. B. 6. C. 2019. D. 12. Lời giải Chọn D
Vì ( 2 + 3)2 ′( ) = 2 . 2( ); ( ) ≠ 0, ∀ ∈ ℝ nên 3 3 3 3 ′( ) 2 ′( ) 2 d ( ) d( 2 + 3) ⇒ = ⇒ d = d ⇔ = 2( ) ( 2 + 3)2 2( ) ( 2 + 3)2 2( ) ( 2 + 3)2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ − 3 = − 3 ⇔ − = − ⇔ − = − ( ) 1 2 + 3 1 (1) (3) 4 12 4 (3) 4 12 ⇔ (3) = 12. Câu 20. Cho hàm số
= ( ) xác định và liên tục trên ℝ\{0} thỏa mãn: ( ) + (2 − 1) ( ) =
. ′( ) − 1 với ∀ ∈ ℝ\{0} đồng thời (1) = −2. Tính ∫ ( ) . A. −ln2 − . B. −ln2 − . C. − − . D. − − 1. Lời giải Chọn B
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Ta có ∀ ∈ ℝ\{0};
( ) + (2 − 1) ( ) = . ( ) − 1 ⇔ ( ( ) + 1) = ( ) + ′( ) (∗) Đặt ℎ( ) = ( ) + 1 ⇒ h′(x) = ( ) + ′( ) Khi đó (*) có dạng ℎ′( ) ℎ′( ) 1 ℎ ( ) = ℎ′( ) ⇒ = 1 ⇒ = 1. ⇒ − = + ℎ ( ) ℎ ( ) ℎ( ) 1 1 ⇒ ℎ( ) = − ⇒ . ( ) + 1 = − + +
Vì (1) = −2. nên −2 + 1 = − ⇔ = 0. Suy ra ( ) = − − . Vậy ∫ ( ) = ∫ − − =
− ln| | 2 = −ln2 − . 1
Câu 21. Cho hàm số ( ) có đạo hàm cấp hai trên đoạn [0; 1] đồng thời thỏa mãn các điều kiện ′(0) =
−1; ′( ) < 0 và [ ′( )]2 = ′′( ), ∀ ∈ [0; 1]. Giá trị của (0) − (1) thuộc khoảng nào? A. (1; 2). B. (−1; 0). C. (0; 1). D. (−2; −1). Lời giải Chọn C ′′( )
Ta có [ ′( )]2 = ′′( ) ⇔ ′′( ) = 1 ⇔ ∫ d = ∫ d . [ ′( )]2 [ ′( )]2
⇔ ∫[ ′( )] 2d[ ′( )] = + ⇔ 1 = + . ′( )
Mà ′(0) = −1 ⇒ 1 = ⇔ = 1 ⇒ 1 = + 1 ⇒ ′( ) = 1 . 1 ′( ) 1 0 1 d Ta có (0) − (1) = ∫ ′( )d = ∫ = ln2 ∈ (0; 1) 1 0 1
Câu 22. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] đồng thời thỏa mãn ′(0) = 9 và 9 ′′( ) +
[ ′( ) − ] = 9. Tính = (1) − (0). A. = 2 + 9ln2. B. = 9. C. = 1 + 9ln2.
D. = 2 − 9ln2. 2 Lời giải Chọn C
Ta có 9 ′′( ) + [ ′( ) − ]2 = 9 ⇒ 9( ′′( ) − 1) = −[ ′( ) − ]2 ⇒ − ′′( ) 1 = 1. [ ′( ) ]2 9 ′′( ) 1 1
Lấy nguyên hàm hai vế− ∫ d = ∫ d ⇒ 1 = + . [ ′( ) ]2 9 ′( ) 9
Do ′(0) = 9 nên = 1 suy ra ′( ) − = 9 ⇒ ′( ) = 9 + 9 1 1 1 1 9 2 Vậy = (1) − (0) = ∫ + d = 9ln| + 1| + = 9ln2 + 1. 0 1 2 0 2
′′( ). ( ) − 2[ ′( )]2 + 3 ( ) = 0
Câu 23. Cho hàm số = ( ), ∀ ≥ 0, thỏa mãn . Tính (1). ′(0) = 0; (0) = 1 2 3 6 7 A. . B. . C. . D. . 3 2 7 6 Lời giải Chọn C
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Ta có: ′′( ). ( ) − 2[ ′( )]2 +
3( ) = 0 ⇔ ′′( ). ( ) 2[ ′( )]2 = − 3( ) ′ ′( ) ′( ) 2 ⇒ = − ⇒ = − + 2( ) 2( ) 2
⇒ ′(0) = − 02 + ⇒ = 0. 2(0) 2 ′( ) 2 Do đó = − 2( ) 2 1 1 1 ′( ) 2 1 1 3 1 1 1 ⇒ d = − d ⇒ − = − ⇒ − + = − 2( ) 2 ( ) 6 (1) (0) 6 0 0 0 0 ⇒ (1) = 6. 7 Câu 24. Cho hàm số
= ( ) xác định và liên tục trên ℝ\{0} thỏa mãn: ( ) + (2 − 1) ( ) =
. ′( ) − 1 với đồng thời (1) = 2. Tính ∫ ( )d .
A. −2ln2 − .
B. −2ln2 − . C. −ln2 − . D. −ln2 − . Lời giải Chọn B Từ giả thiết ta có: ( ( ) + 1) = ( ) + ′( ). Đặt = . ( ) + 1 ⇒ = ′ ⇒ = 1 ⇒ ∫ dx = + ⇒ = + . Vậy . ( ) = − 1, mà (1) = −2 ⇒ = 0. Vậy ( ) = − − ⇒ ∫ ( )d = −2ln2 − .
Câu 25. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] và thỏa mãn (1) = − và ( ) + ′( ) = (2 + )
( ), ∀ ∈ [1; 2]. Giá trị của tích phân ∫ ( ) bằng 4 3 A. ln . B. ln . C. ln3. D. 0. 3 4 Lời giải Chọn B ( ) ′( )
+) Từ giả thiết, ta có ( ) +
′( ) = (2 3 + 2) 2( ) ⇒ = 2 + 1 [ ( )]2 1 ′ 1 1 ⇒ = −2 − 1 ⇒ = (−2 − 1) ⇒ = − 2 − + . ( ) ( ) ( ) 2 2 1 +) Lại có (1) = − 1 ⇒ = 0 ⇒ ( ) = − 1 ⇒ ∫ ( ) = ∫ 2 ( 1) 1 1 ( 1) 2 1 1 + 1 3 = − = 2 ln = ln . + 1 1 4 1
Câu 26. Cho hàm số ( ) liên tục và có đạo hàm tại mọi
∈ (0; +∞) đồng thời thỏa mãn điều kiện: ( ) = sin + ′( ) + cos và ∫
( )sin d = −4. Khi đó, ( ) nằm trong khoảng nào? A. (6; 7). B. (5; 6). C. (12; 13). D. (11; 12). Lời giải
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn B Ta có: ( ) − ′( ) sin cos ( ) = sin + ′( ) + cos ⇒ = + 2 2 ( ) ′ 1 ′ ( ) 1 ⇒ = cos ⇒ = cos + ⇒ ( ) = cos + Khi đó: 3 3
∫ 2 ( )sin d = −4 ⇔ ∫ 2 (cos + )sin d = −4 2 2 3 3
⇔ ∫ 2 cos sin d + ∫ 2 sin d = −4 ⇔ 0 + (−2) = −4 ⇔ = 2 2 2
⇒ ( ) = cos + 2 ⇒ ( ) = 2 − 1 ∈ (5; 6).
Câu 27. Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) liên tục trên [1; ] thỏa mãn (1) = 1 và . ′( ) = 2( ) − 2
3 ( ) + 1 , ∀ ∈ [1; ]. Tính giá trị của ( ). 3 4 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3 Lời giải Chọn D Ta có: 2 . . 2( ) 2 . ( ) 1 ′( ) =
2( ) − 3 ( ) + 1 ⇔ . ′( ) + ( ) = [ [
⇔ [ . ( )]′ = . ( ) 1]2 ⇔ . ( )]′ = 1. [ . ( ) 1]2 [ ⇔ . ( )]′ 1 ∫ d = ∫ d ⇔ 1 = ln| | + . [ . ( ) 1]2 1 . ( ) (1) = 1 ⇒ = 2 ⇒ ( ) = 2 . 2 3
Câu 28. Cho hàm số ( ) ≠ 0 thỏa mãn điều kiện ′( ) = (2 + 3)
( ) và (0) = − . Biết rằng tổng
(1) + (2) + (3)+. . + (2017) + (2018) = với ( ∈ ℝ, ∈ ℝ ) và là phân số tối
giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. < −1. B. > 1. C. + = 1010. D. − = 3029. Lời giải Chọn D
Ta có ′( ) = (2 + 3) 2( ) ⇔ ′( ) = 2 + 3 2( ) ⇔ ′( ) ∫
d = ∫(2 + 3)d ⇔ − 1 = 2 + 3 + . Vì (0) = − 1 ⇒ = 2. 2( ) ( ) 2 Vậy ( ) = − 1 = 1 − 1 . ( 1)( 2) 2 1
Do đó (1) + (2) + (3)+. . + (2017) + (2018) = 1 − 1 = − 1009. 2020 2 2020
Vậy = −1009; = 2020. Do đó − = 3029.
Câu 29. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên (0; +∞), biết ′( ) + (2 + 3) 2( ) = 0, ( ) > 0
với mọi > 0 và (1) = 1. Tính
= 1 + (1) + (2)+. . + (2018). 6 A. = 1009. B. = 2019. C. = 3029. D. = 4039. 2020 2020 2020 2020 Lời giải Chọn C
Ta có: ′( ) + (2 + 3) 2( ) = 0 ⇔ ′( ) = −(2 + 3) (do ( ) > 0) 2( )
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn ⇒ ′( ) ∫
d = − ∫(2 + 3)d ⇒ − 1 = − 2 − 3 + ⇒ ( ) = 1 . 2( ) ( ) 2 3 Mà (1) = 1 ⇒ 1 = 1 ⇒ = −2. 6 4 6 ⇒ ( ) = 1 = 1 − 1 . 2 3 2 1 2 Suy ra = 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +. . + 1 − 1 = 1 + 1 − 1 = 3029. 2 3 3 4 2019 2020 2 2020 2020 Câu 30. Cho hàm số
= ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn (1) = 2 và ( ) − ( + 1) ′( ) = 2
( ), ∀ ∈ [1; 2]. Giá trị của ∫ ( ) bằng 1 1 A. 1 + ln2. B. 1 − ln2. C. − ln2. D. + ln2. 2 2 Lời giải Chọn D ( ) ( 1) ′( )
+) Từ giả thiết, ta có ( ) − ( + 1) ′( ) = 2 2( ) ⇒ = 2 2( ) + 1 ′ + 1 + 1 ⇒ = 2 ⇒ = 2 ⇒ = 2 + . ( ) ( ) ( ) 2 2 1 +) Lại có (1) = 2 ⇒ = 0 ⇒ ( ) = 1 + 1 ⇒ ∫ ( ) = ∫ + 1 2 1 2 1 1 1 = 2 2 ln − = + ln2. 1 1 2
Câu 31. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn (0) = và ( ) − ′( ) =
[ ( )] với mọi ∈ [0; 1]. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số = ( ),
trục hoành và hai đường thẳng = 0; = 1. 4 3 A. ln2. B. ln . C. ln12. D. ln . 3 4 Lời giải Chọn B ( ) ′( ) ( ) ′( ) ( )′ ( ) ′( )
+) Ta có ( ) − ′( ) = [ ( )]2 ⇒ = 1 ⇒ = ⇒ = [ ( )]2 [ ( )]2 [ ( )]2 ′ ⇒ = ⇒ = ∫ = + . ( ) ( ) +) Lại có (0) = 1 ⇒ = 2 ⇒ = + 2 ⇒ ( ) = . 3 ( ) 2 ln2 4 +) Do đó = ∫ = ln(2 + ) ln2 = ln4 − ln3 = ln . 0 2 0 3 = 1 − 2.
Câu 32. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (1; +∞) và thỏa mãn ( ′( ) − 2 ( ))ln = −
( ), ∀ ∈ (1; +∞); biết √
= 3 . Giá trị (2) thuộc khoảng nào dưới đây? 23 A. 12; 25 . B. 13; 27 . C. ; 12 . D. 14; 29 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C
Vì ∈ (1; +∞) nên ta có 2 ′( ) − 2 ( ) ( ) ( 2 ′( ) − 2 ( ))ln = 4 − ( ) ⇔ ln = 1 − 4 3 ( ) ′ ( ) ( ) ′ ( ) ⇒ ln = 1 − ⇔ ln d = 1 − d 2 3 2 3 ( )ln ( ) ( ) ⇔ − d = − d + 2 3 3 2( ) ⇔ ( )ln = + ⇔ ( )ln = + ⇔ ( ) = . 2 2 ln
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 3 Theo bài ra √ 3 = 3 ⇒ = 0 ⇒ ( ) = . ln Do đó (2) = 8 ∈ 23 ; 12 . ln2 2
Câu 33. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; 1) và ( ) ≠ 0, ∀ ∈ (0; 1). Biết rằng = √ , = và +
′( ) = 2 ( ) − 4, ∀ ∈ (0; 1). Tính tích phân = . ∫ d theo và . ( ) A. = 3 . = 3 . = 3 . D = 3 . 4 B. 4 C. 4 . 4 Lời giải Chọn D ∀ ∈ (0; 1) ta có: +
′( ) = 2 ( ) − 4 ⇔ + 4 = 2 ( ) − ′( ) ⇒ 2 + 4 = 2 ( ) − 2 ′( ) ⇔ 2 ′ 4 2 2 = 2 ( ) 2 ′( ) ⇔ 4 = . 2( ) 2( ) 2( ) ( ) sin2 .cos 2sin2 sin2 .cos 4sin .cos Tính = ∫3 d = ∫3 d 2(sin ) 2(sin ) 6 6
Đặt = sin ⇒ d = cos d , đổi cận = ⇒ = 1, = ⇒ = √3. 6 2 3 2 2 √ √3 3 √3 1 2 2 4 2 2 Ta có = ∫ 2 = = 2 − 2 = 3 − 1 = 3 1 d . 2( ) ( ) 1 √3 1 4 4 4 2 2 2 2
Câu 34. Cho hàm số ( ) > 0 có đạo hàm liên tục trên 0,
, đồng thời thỏa mãn ′(0) = 0; (0) = 1 và ( ) ′′( ). ( ) + = [ ′( )] .Tính = A. = 3. B. = √3. C. = √3. D. = 1. 4 4 2 2 Lời giải Chọn D ( ) 2 Ta có ′′( ). ( ) +
= [ ′( )]2 ⇔ ′′( ). ( ) [ ′( )]2 = − 1 cos 2( ) cos2 ′ ′( ) ′(0) = 0
= − 1 ⇒ ′( ) = −tan + . Vì nên = 0. ( ) cos2 ( ) (0) = 1 ′( ) ( ) (cos ) Do đó = −tan . Suy ra ∫3 = ∫3 −tan . = ∫3 ⇔ ln ( )|3 = lncos |3 ( ) 0 ( ) 0 0 cos 0 0 ⇔ 1 ln − ln (0) = ln − ln1 ⇔ = 1. 3 2 3 2 Câu 35. Cho hàm số
= ( ) xác định và liên tục trên ℝ\{0} thỏa mãn: 2 2( ) + (2 − 1) ( ) = 2
′( ) − 1 ∀ ∈ ℝ\{0} đồng thời (1) = −2. Tính ∫ ( )d . 1
A. −ln2 − 1.
B. −ln2 − 3.
C. − ln2 − 3.
D. − ln2 − 1. 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có: 2 2( ) + (2 − 1) ( ) = ′( ) − 1 ⇔ 2 2( ) + 2 ( ) − ( ) = ′( ) − 1 ⇔ 2 2( ) + 2 ( ) + 1 = ′( ) + ( ) ⇔ [ ( ) + 1]2 = ′( ) + ( ) (∗). Xét
( ) + 1 = 0 ⇒ ( ) = − 1 ⇒ (1) = −1 (không thỏa mãn). [ ( ) 1]′ Xét
( ) + 1 ≠ 0, ta có (∗) ⇔ ′( ) ( ) = 1 ⇔ = 1. [ ( ) 1]2 [ ( ) 1]2 [ ( ) ⇒ 1]′ ∫ d = ∫ d ⇒ − 1 = + . [ ( ) 1]2 ( ) 1
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Cho = 1 ta được : − 1 = 1 + ⇒ − 1 = 1 + ⇒ = 0. 1 (1) 1 2 1 ⇒ − 1 = ⇒
( ) + 1 = − 1 (vì) ≠ 0 ⇒ ( ) = − 1 − 1 ( ) 1 2 2 2 2 Vậy ∫
( )d = ∫ − 1 − 1 d = 1 − ln |2 = − 1 − ln2. 1 2 1 1 1 2 Câu 36. Cho hàm số
= ( ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn 3 2( ). ′( ) − 1 √4089 3 4 e ( ) 2 2
1 = 1 = (0). Biết rằng = ∫ 4
(4 + 1) ( )d = là phân số tối giản. 0 Tính = − 2 . A. = 12277. B. = 6127. C. = 12281. D. = 6125. Lời giải Chọn A 3( ) 3( ) 3
Ta có 3 2( ). ′( ) − 4 e ( ) 2 2
1 = 1 ⇔ 3 2( ). ′( ).e − 4 e2 2 1 = e e e 3 3 3 ′
3 2( ). ′( ). e ( ) − e ( ) e ( ) ⇔ = 4 e2 2 1 ⇔ = 4 e2 2 1 e e 3( ) ⇒ e
= ∫ 4 e2 2 1d = ∫ e2 2 1d(2 2 + 1) = e2 2 1 + . e Do (0) = 1 nên = 0. 3 e ( ) 3 Khi đó = e2 2 1 ⇔ 3( ) = 2 2 + + 1 ⇔ ( ) = √2 2 + + 1. e 1 √4089 1 √4089 1 4 4 Do đó = ∫ 4
(2 2 + + 1)3d(2 2 + + 1) = 3 (2 2 + + 1)3 = 12285 = 0 4 4 0 Vậy = − 2 = 12285 − 8 = 12277. Câu 37. Cho hàm số
= ( ). Có đạo hàm liên tục trên ℝ. Biết (1) = e và ( + 2) ( ) = ′( ) −
3, ∀ ∈ ℝ. Tính (2).
A. 4e2 − 4e + 4.
B. 4e2 − 2e + 1.
C. 2e3 − 2e + 2. D. 4e2 + 4e − 4. Lời giải Chọn D ′ Ta có: ( + 2) ( ) = ′( ) − 3 ⇔ ′( ) ( 2) ( ) = 1 ⇔ e ( ) = e 3 2 ′ 2 e ( ) 2 Suy ra ∫ d = ∫ e
d ⇔ e 2 (2) − e 1 (1) = −[e 2 − e 1] 2 1 1 22 12
⇔ e 2 (2) − e 1 (1) = e 1 − e 2 ⇔ (2) = 4[e (1) + e − 1] = 4e2 + 4e − 4. 4 1
Câu 38. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; 1) và ( ) ≠ 0, ∀ ∈ (0; 1). Biết rằng = √ , = và +
′( ) = 2 ( ) − 4, ∀ ∈ (0; 1). Tính tích phân = . ∫ d theo và . ( ) A. = 3 . = 3 . = 3 . = 3 . 4 B. 4 C. 4 D. 4 Lời giải Chọn D ∀ ∈ (0; 1) ta có: +
′( ) = 2 ( ) − 4 ⇔ + 4 = 2 ( ) − ′( ) ⇒ 2 + 4 = 2 ( ) − 2 ′( ) ⇔ 2 ′ 4 2 2 = 2 ( ) 2 ′( ) 4 ⇔ = . 2( ) 2( ) 2( ) ( ) sin2 .cos 2sin2 sin2 .cos 4sin .cos Tính = ∫3 d = ∫3 d 2(sin ) 2(sin ) 6 6
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Đặt = sin ⇒ d = cos d , đổi cận = ⇒ = 1, = ⇒ = √3. 6 2 3 2 2 √ √3 3 √3 1 2 2 4 2 2 Ta có = ∫ 2 2 − 2 − 1 = 3 1 d = = = 3 . 2( ) ( ) 1 √3 1 4 4 4 2 2 2 2
Câu 39. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (1; +∞) và thỏa mãn (
′( ) − 2 ( ))ln = 3 −
( ), ∀ ∈ (1; +∞);biết √ 3
= 3 . Giá trị (2) thuộc khoảng nào dưới đây? 23 A. 12; 25 . B. 13; 27 . C. ; 12 . D. 14; 29 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C
Vì ∈ (1; +∞) nên ta có 2 ′( ) − 2 ( ) ( ) ( 2 ′( ) − 2 ( ))ln = 4 − ( ) ⇔ ln = 1 − 4 3 ( ) ′ ( ) ( ) ′ ( ) ⇒ ln = 1 − ⇔ ln d = 1 − d 2 3 2 3 ( )ln ( ) ( ) ⇔ − d = − d + 2 3 3 2( ) ⇔ ( )ln = + ⇔ ( )ln = + ⇔ ( ) = . 2 2 ln 3 Theo bài ra √ 3 = 3 ⇒ = 0 ⇒ ( ) = . ln Do đó (2) = 8 ∈ 23 ; 12 . ln2 2
ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHỨA CĂN ′ Nếu = ( ) thì √ = ′ với > 0. 2√ ′ - Nếu ( ) = ℎ( ) thì ( ) = ∫ ℎ( ) .
Câu 40. Cho hàm số ( ) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn ′( ) = 2 ( ),
∀ ∈ [0; 1] và (0) = 1. Giá trị của tích phân ∫ ( ) bằng 8 1 7 A. . B. 7. C. . D. . 3 3 3 Lời giải Chọn D ′
+) Từ giả thiết, ta có ′( ) = 2 ( ) ⇒ ′( ) = 1 ⇒ ( ) = 1 ⇒ ( ) = ∫ ⇒ 2 ( ) ( ) = + 1 1 +) Lại có (0) = 1 ⇒ = 1 ⇒ ( ) = ( + 1)2 ⇒ ∫ ( ) = ∫ ( + 1)2 = 1 ( + 0 0 3 1)3 1 = 7. 0 3 3
Câu 41. Cho hàm số ( ) thỏa mãn (2) = 25 và ′( ) = 4
( ) với mọi ∈ ℝ. Khi đó ∫ ( )d 2 bằng 1073 458 838 1016 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Lời giải Chọn C
Từ giả thiết ta suy ra được: ′( ) ≥ 0 ∀ ∈ (0; +∞).
Suy ra hàm số ( ) không nghịch biến trên bất kì khoảng con nào của (0; +∞).
Từ đó suy ra ( ) ≥ (2) = 25 > 0 ∀ ∈ [2; +∞).
Xét trên [2; +∞) ta có: ′( ) = 4 ( ) ⇔ ′( ) = 2 2 ( )
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn ′( ) Suy ra ∫ d = ∫ 2 d ⇒ ( ) = 2 + . 2 ( )
Mà (2) = 25 nên ta suy ra được √25 = 22 + ⇔ = 1.
Từ đó ta có: ( ) = ( 2 + 1)2 = 4 + 2 2 + 1, ∀ ∈ [2; +∞). 3 3 3 5 Do đó ∫ ( )d = ∫ ( 4 + 2 2 + 1)d = + 2 3 + = 838. 2 2 5 3 2 15
Câu 42. Cho hàm số ( ) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1]thỏa mãn (0) = 1 và
[ ′( )] − 16 . ( ) = 0 với mọi ∈ [0; 1]. Giá trị của tích phân = ∫ ( ) bằng 28 8 4 A. . B. . C. − 2. D. . 15 15 3 3 Lời giải Chọn A [ ′( )]2 ′
+) Từ giả thiết, ta có [ ′( )]2 = 16 2. ( ) ⇒ = 4 2 ⇒ ′( ) = 2 ⇒ ( ) = 2 ⇒ 4 ( ) 2 ( ) ( ) = ∫ 2 ⇒ ( ) = 2 + . 1 1 +) Lại có (0) = 1 ⇒
= 1 ⇒ ( ) = ( 2 + 1)2 ⇒ = ∫ ( ) = ∫ ( 2 + 1)2 = 28. 0 0 15 Câu 43. Cho hàm số
= ( ) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn: ( ) = 1 + 2018 ∫ ( )dt, ( ) = ( ). Tính ∫ ( )d . 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505. 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có ( ) = 1 + 2018 ∫
( )dt ⇒ ′( ) = 2018 ( ) = 2018 ( ) 0 ′( ) ′( ) ⇒ = 2018 ⇒ d = 2018 d ⇒ 2 ( ) = 2018 | ( ) ( ) 0 0 0 0 1 ⇒ 2 ( ) − 1 = 2018 (do (0) = 1)⇒ ( ) = 1009 + 1 ⇒ ∫ ( )dt = 1009 2 + 0 2 1 = 1011. 0 2 2 Câu 44. Cho hàm số
= ( ) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn ′( ) = ( ).
, ∀ ∈ ℝ và (0) = 2. Khi đó (2) thuộc khoảng nào sau đây? A. (12; 13). B. (9; 10). C. (11; 12). D. (13; 14). Lời giải Chọn B ′( ) ≥ 0
Hàm số đồng biến trên ℝ nên ta có ( ) > (0), ∀ > 0 2 ′( ) 1 ⇒ ′( ) = ( ). ⇔ ′( ) = ( ). 2 ⇔ = 2 2 ( ) 2 2 2 ′( ) 1 2 2 ⇒ dx = 2 dx ⇔ ( ) = 2 ⇔ (2) − (0) = − 1 2 ( ) 2 0 0 0 0 2 ⇒ (2) = + √2 − 1 ∈ (9; 10).
Câu 45. Cho hàm số ( ) đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn [1; 4] thỏa mãn (1) = 1 và [ ( ) +
′( )] = 4 ( ), ∀ ∈ [1; 4]. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số = ( ), trục hoành và hai đường thẳng = 1, = 4. A. 4 − 2ln2. B. 4 + 2ln2. C. 4 + ln2. D. 4 − ln2. Lời giải Chọn B
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 2 2 ( ) ′( ) ( ) ′( ) +) Ta có ( ) + ′( ) = 4 ( ) ⇒ = 1 ⇒ = 1 4 ( ) 4 ( ) ′ ( ) ( )′ ( ) ( ) ′ ⇒ ′( ) = 1 ⇒ ′( ) = 1 ⇒ = 1 ⇒ ( ) = 1 ⇒ ( ) = 2 ( ) √ 2 ( ) √ 2 ( ) √ √ 1 ∫ ⇒ ( ) = 2√ + . √ 2 +) Lại có (1) = 1 ⇒ = −1 ⇒
( ) = 2√ − 1 ⇒ ( ) = 2√ 1 . 2 4 2√ 1 4 4 4 4 +) Do đó = ∫ = ∫ 4 − 4 + 1 = 4 − 8√ + ln = 4 + 2ln2. 1 1 √ 1 1 1
Câu 46. Cho hàm số liên tục, ( ) > −1, (0) = 0 và thỏa ′( )√ + 1 = 2 ( ) + 1. Tính √3 . A. 0. B. 3. C. 7. D. 9. Lời giải Chọn B
Ta có ′( )√ 2 + 1 = 2 ( ) + 1 ⇔ ′( ) = 2 ( ) 1 2 1 √3 √3 ′( ) 2 √3 √3 √3 ⇔ d = d ⇔ ( ) + 1 = 2 + 1 ⇔ ( ) + 1 = 1 ( ) + 1 √ 2 + 1 0 0 0 0 0 ⇔ √3 + 1 − (0) + 1 = 1 ⇔ √3 + 1 = 2 ⇔ √3 = 3. Câu 47. Cho hàm số
= ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 4], đồng biến trên đoạn [1; 4] và thỏa
mãn đẳng thức + 2 . ( ) = [ ′( )] ,∀ ∈ [1; 4]. Biết rằng (1) = , tính = ∫ ( )d ? A. = 1186. B. = 1174. C. = 1222. D. = 1201. 45 45 45 45 Lời giải Chọn A
Ta có + 2 . ( ) = [ ′( )]2 ⇒ √ . 1 + 2 ( ) = ′( ) ⇒ ′( ) = √ , ∀ ∈ [1; 4]. 1 2 ( ) ′( ) d ( ) Suy ra ∫ d = ∫ √ d + ⇔ ∫ d = ∫ √ d + 1 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 2 4 3 2 1 3 3 ⇒
1 + 2 ( ) = 2 2 + . Mà (1) = 3 ⇒ = 4. Vậy ( ) = . 3 2 3 2 4 Vậy = ∫ ( )d = 1186. 1 45
Câu 48. Cho hàm số ( ) liên tục không âm trên 0 ;
, thỏa mãn ( ). ′( ) = cos 1 + ( ) với mọi ∈ 0 ;
và (0) = √3. Giá trị của bằng A. 2. B. 1. C. 2√2. D. 0. Lời giải Chọn C Với ∈ 0 ;
ta có ( ). ′( ) = cos
1 + 2( ) ⇒ 2 ( ). ′( ) = cos (∗). 2 2 1 2( ) Suy ra 1 + 2( ) = sin + . Ta có (0) = √3 ⇒ = 2, dẫn đến ( ) = (sin + 2)2 − 1. Vậy = 2√2. 2
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM MŨ
4) Quy tắc: Nếu = ( ) thì ( )′ = ′. ; - Nếu
( ) ′ = ( ) thì ( ) = ∫ ( ) .
Câu 49. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn (0) = 1 và ′( ). ( ) =
2 , ∀ ∈ [0; 1]. Giá trị của∫ ( ) bằng 4 A. . B. 2. C. − 4. D. −2. 3 3 Lời giải Chọn A 2 2 +) Ta có 1 1 ′( ). ( ) 2 1 = 2 ⇒ ′( ). ( ) = 2 ⇒ ( ) ′ = 2 ⇒ ( ) = 2 2 1 ⇒ ( ) = 2 1 + . +) Lại có (0) = 1 ⇒ = 0 ⇒ ( ) = 2 1 ⇒ ( ) = 2 + 1. 1 1 +) Do vậy ∫ ( ) = ∫ ( 2 + 1) = 1 3 + 1 = 4. 0 0 3 0 3
Câu 50. Cho ( ) có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn 3 ′( ). ( ) −
= 0 với mọi ∈ ℝ. Biết ( ) (0) = 1 √ , tính tích phân = ∫ . ( )d . A. = 9. B. = 45. C. = 11. D. = 15. 2 8 2 4 Lời giải Chọn B 3( ) Ta có 3 ′( ). 3( ) 2 1 − 2 = 0 ⇔ 3 ′( ). = 2 ⇔ 3 2( ). ′( ). 3( ) = 2( ) 2 1 2( ) ′ ′ 2 . 2 1 ⇔ 3( ) = 2 1 ⇔ 3( ) = 2 1 + (∗).
Thế = 0 vào (∗) ta được = + ⇔ = 0. 3 3 Do đó ( ) = 2
1 ⇔ 3( ) = 2 + 1 ⇔ ( ) = √ 2 + 1. 4 √7 √7 1 √7 3 √7 2 1 3 3 Vậy = ∫
√ 2 + 1 d = 1 ∫ ( 2 + 1)3d( 2 + 1) = 1 . = 3 ( 2 + 1)√ 2 + 1 0 2 0 2 4 8 0 3 0 = 3 . (16 − 1) = 45. 8 8
Câu 51. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn (0) = 0 và ′( ) 1 + ( ) = 1 +
, ∀ ∈ ℝ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số = ( ), trục hoành và hai đường thẳng = 1, = 3. A. 4. B. 2. C. 8. D. 5. Lời giải Chọn A +) Ta có ′( ) 1 + ( ) = 1 +
⇒ ′( ) + ′( ) ( ) = 1 + ⇒ ( ) + ( ) ′ = 1 + ⇒ ( ) + ( ) = + + . +) Lại có (0) = 0 ⇒ = 0 ⇒ ( ) + ( ) = + . Xét hàm số ( ) = +
với ∈ ℝ. ′( ) = 1 +
> 0, ∀ ∈ ℝ nên ( ) đồng biến trên ℝ. 3 Suy ra ( ) + ( ) = + ⇒ ( ) = . Do đó = ∫ = 1 2 3 = 4. 1 2 1 Câu 52. Cho hàm số
= ( ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn 3 ( ). ′( ) − √ 4 ( ) = 1 = (0). Biết rằng = ∫
(4 + 1) ( ) d = là phân số tối giản. Tính = − 3 A. = 6123. B. = 12279. C. = 6125. D. = 12273.
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Lời giải Chọn D Ta có: 3 3 3 2( ). ′( ) − 4 ( ) 2 2 1 = 1 = (0) ⇔ ( 3( ))′ ( ) − 3( ) = (4 + 1). 2 2 1 − 2 2 1 ⇒ [ 3( ) − ]′ 3( )
= (2 2 + 1)′. 2 2 1 ⇒ 3( ) = 2 2 1 + Mà (0) = 1 ⇒ = 0 ⇒ 3( ) − = 2 2 + 1 ⇒ 3( ) = 3 2 2 + + 1 ⇒ ( ) = 2 2 + + 1 1 √4089 ⇒ = ∫ 4 (4 + 1) ( ) d = 12285. 0 4
ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM LÔGARIT
Nếu = ( ) nhận giá trị dương trên thì [ln ]′ = ′ trên . ′ - Nếu ln ( ) = ( ) thì ln ( ) = ∫ ( ) .
Câu 53. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [−1; 1], thỏa mãn ( ) > 0, ∀ ∈ ℝ và
′( ) + 2 ( ) = 0. Biết (1) = 1, tính (−1). A. (−1) = 2. B. (−1) = 3. C. (−1) = 4. D. (−1) = 3. Lời giải Chọn C Biến đổi: 1 1 1 ′( ) ′( ) ( ) ′( ) + 2 ( ) = 0 ⇔ = −2 ⇔ = −2 ⇔ = −4 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ⇔ ln ( ) 1 = − 1 4 (1) (1) ln = −4 ⇔ = 4 ⇔ (−1) = (1). 4 = 4. ( 1) ( 1)
Câu 54. Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn điều kiện ′( ) = 2 ( ), ∀ ∈ 1
ℝ. Biết (0) = 2 và ( ) > 0, ∀ ∈ ℝ. Tính = ∫ 3 ( )d . 0 A. = 1. B. = e. C. = 1 e. D. = e − 1. 2 Lời giải Chọn A Ta có: ′( ) = 2 ( ) ⇔ ′( ) = 2 . ( ) ′( ) d ( ) ⇒ d = 2 d ⇔ = 2 d ⇒ ln ( ) = 2 + ⇒ ln (0) = ⇒ ln2 = ( ) ( ) ⇒ 2 2 ln ( ) = 2 + ln2 ⇔ ( ) = e ln2 ⇔ ( ) = 2e . 1 1 2 1 2 1 Vì vậy, = ∫ 3 ( )d = ∫ 2 3 e d = ∫ 2e d( 2) = ∫ e d . 0 0 0 0 = d = d Đặt , ta có d = e d = e 1 1 ⇒ = e
− ∫ e d = ( e − e ) 1 = 1. 0 0 0
Câu 55. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn ( ) > 0, ∀ ∈ ℝ. Biết (0) = 1 và
′( ) = (3 − 2) ( ), khi đó giá trị của (1) bằng 1 1 1 A. 2. B. 2. C. . D. 2. 2 Lời giải Chọn A
Ta có: ′( ) = (3 − 2) ( ) ⇔ ′( ) = 3 − 2. ( )
Lấy nguyên hàm 2 vế, ta có:
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn ′( ) ∫ d = ∫(3 − 2)d ⇔ ln ( ) = 3 2 − 2 + . ( ) 2 Ta có: ln (0) = 3 . 02 − 2.0 + ⇔ = ln(1) = 0. 2 3 2 3 1 ⇒ ( ) = 2 .12 2.1 2 ⇒ (1) = 2 = 2.
Câu 56. Cho hàm số ( ) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên [0; +∞) thỏa mãn điều kiện
(1) = 1 và ( ) = ′( )√3 + 1, ∀ ≥ 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. 1 < (5) < 2.
B. 2 < (5) < 3.
C. 4 < (5) < 5.
D. 3 < (5) < 4. Lời giải Chọn D
+) Từ giải thiết, ta có ( ) = ′( )√3 + 1 ⇒ ′( ) = 1 ⇒ [ln ( )]′ = 1 ( ) √3 1 √3 1 1 2 ⇒ ln ( ) = ⇒ ln ( ) = √3 + 1 + . √3 + 1 3 4 +) Lại có (1) = 1 ⇒
= − 4 ⇒ ln ( ) = 2√3 1 4 ⇒ (5) = 3 ≈ 3,79. 3 3
Câu 57. Cho hàm số ( ) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn (0) = 0 và
′( ) = 2 [1 + ( )], ∀ ∈ ℝ. Giá trị của ∫ 2 ( ) bằng A. − 2. B. − 1. C. + 2. D. . Lời giải Chọn A ′( ) [1 ( )]′ ′
+) Từ giải thiết, ta có = 2 ⇒ = 2 ⇒ ln 1 + ( ) = 2 1 ( ) 1 ( ) ⇒ ln[1 + ( )] = 2 ⇒ ln[1 + ( )] = 2 + . +) Lại có (0) = 0 ⇒
= 0 ⇒ ln[1 + ( )] = 2 ⇒ 1 + ( ) = 2 ⇒ ( ) = 2 − 1. 1 1 2 +) Vậy ∫ 2 ( ) = ∫ 2 − 1 = 2 1 − 2 1 = − 2. 0 0 0 0
Câu 58. Cho hàm số ( ) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn điều kiện (1) = 1 và ′( ) =
( ), ∀ ∈ [1; 2]. Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị của hàm số = ( ), trục hoành và hai đường thẳng = 1,
= 2 quay quanh trục hoành. 7 5 A. 7 . B. . C. . D. 3 . 3 3 Lời giải Chọn B
+) Từ giả thiết, ta có ′( ) = 1 ( ) ⇒ ′( ) = 1 ⇒ [ln ( )]′ = 1 ( ) 1 ⇒ ln ( ) = ⇒ ln ( ) = ln + . 2 2 3 2 +) Lại có (1) = 1 ⇒ = 0 ⇒ ( ) = ⇒ = ∫ 2( ) = ∫ 2 = = 7 . 1 1 3 1 3
Câu 59. Cho hàm số ( ) thỏa mãn ′( ) + 2 . ( ) = e
( ) với ( ) ≠ 0, ∀ và (0) = 1. Khi đó | (1)| bằng A. e + 1. B. ee 2. C. e − 1. D. ee 1. Lời giải Chọn B
Từ giả thiết: ′( ) + 2 . ( ) = e ( ), ta có
′( ) = ( )(e − 2 ) ⇒ ′( ) = e − 2 (vì ( ) ≠ 0, ∀ ) ( ) ⇒ ′( ) ∫
d = ∫(e − 2 )d ⇒ ln| ( )| = e − 2 + . ( ) Mà (0) = 1 nên
= −1. Khi đó, ta được: ln| ( )| = e − 2 − 1.
Thế = 1, ta có: ln| (1)| = e − 2 ⇒ | (1)| = ee 2.
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM KHÁC 3
Câu 60. Cho ( ) có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn 3 ′( ). e ( ) 2 1 − 2
= 0, với ∀ ∈ ℝ. Biết 2( ) ( √7
0) = 1, tính tích phân = ∫ . ( ). d . 0 9 45 11 15 A. . B. . C. . D. . 2 8 2 4 Lời giải Chọn B 3 3 2 3 ′ 2 ′ 3. ′( ). e ( ) 2
1 = 2 ⇔ 3. ′( ). 2( ). e ( ) = e 1. 2 ⇔ e ( ) = e 1 . 2( ) ⇔ 3 2 e ( ) = e 1 + .Do (0) = 1 ⇔ = 0. ⇒ 3( ) = 2 + 3 1 ⇔ ( ) = √ 2 + 1. 1 4 = √7 √7 √7 ∫ . ( ). 3 d = ∫
. √ 2 + 1d = 1 . ∫ ( 2 + 1) √7 3d( 2 + 1) = 1 . 3 . ( 2 + 1)3 = 0 0 2 0 2 4 0 3 4 83 − 1 = 45. 8 8 Câu 61. Cho hàm số
= ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn điều kiện: 6. [ ′( )]3 +
27. [ ( ) − 1]4 = 0, ∀ ∈ ℝ và (1) = 0. Giá trị của (2) bằng A. −7. B. 1. C. −1. D. 7. Lời giải Chọn A Ta có:
6. [ ′( )]3 + 27. [ ( ) − 1]4 = 0, ∀ ∈ ℝ.
6. [ ′( )]3 = −27. [ ( ) − 1]4. [ ⇒ ′( )]3 = − 27 ⇔ ′( ) = − 3 . [ ( ) 1]4 6 3 ( ) 1.[ ( ) 1] 2 ⇒ ′( ) ∫ d = ∫ − 3 d (∗). 3 ( ) 1.[ ( ) 1] 2 Đặt = 3
( ) − 1 ⇒ 3 = ( ) − 1 ⇒ 3 2d = ′( )d (∗) ⇒ 3 3 ∫ d = ∫ d ⇒ − 3 = 3 + ⇒ 3 = 3 + . 2 2 3 ( ) 1 Vì (1) = 0 ⇒ 3 = 3 + ⇒ = 0. 3 (1) 1 1 ⇒ 3
( ) − 1 = − ⇒ ( ) = 1 − 3 ⇒ (2) = −7.
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: Cho ∫ ′( ). [ ( )] . , tính ∫ ( ). . Hoặc cho ∫ ( ). , tính ∫ ′( ). [ ( )] . .
Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến = ( ) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm
số thì không phụ thuộc vào biến số. Câu 1. Cho∫ ( )d = 16. Tính ∫ (2 )d A. 16. B. 4. C. 32. D. 8. Lời giải Chọn D 2 Xét tích phân ∫
(2 )d . Đặt 2 = ⇒ d = 1 dt. Khi = 0 thì = 0; khi = 2 thì = 4. 0 2 2 4 4 Do đó ∫
(2 )d = 1 ∫ ( )dt = 1 ∫ ( )d = 1 . 16 = 8. 0 2 0 2 0 2 1 √2 Câu 2.
Cho hàm số = ( ) xác định trên ℝ và ∫ (2 )d = 8. Tính = ∫ ( 2)d . 0 0 A. = 16. B. = 32. C. = 4. D. = 8. Lời giải Chọn D 1 Xét ∫
(2 )d = 8, đặt = 2 ⇒ d = 2d ; = 0 ⇒ = 0; = 1 ⇒ = 2. 0 1 2 2 Suy ra ∫ (2 ) = 1 ∫ ( )d = 8 ⇒ 1 ∫ ( )d = 8 . 0 2 0 2 0 √2 Xét = ∫
( 2)d , đặt = 2 ⇒ d = 2 d ; = 0 ⇒ = 0; = √2 ⇒ = 2. 0 √2 2 2 Suy ra = ∫ ( 2)d = 1 ∫ ( )d = 1 ∫ ( )d = 8. 0 2 0 2 0 9 3 Câu 3. Cho ∫
( )d = 3021. Tính tích phân = ∫ [ (3 ) + (9 − 3 )]d . 0 0 A. = 0. B. = 4036. C. = 2014. D. = 1009. Lời giải Chọn C
Đặt = 3 ⇒ dt = 3d ⇔ d = 1 dt. 3 +) = 0 ⇒ = 0. +) = 3 ⇒ = 9. 3 9 Ta có: ∫ (3 )d = 1 ∫ ( )dt. 0 3 0
Đặt = 9 − 3 ⇒ dt = −3d ⇔ d = − 1 dt. 3 +) = 0 ⇒ = 9. +) = 3 ⇒ = 0. 3 0 9 Ta có: ∫ (9 − 3 )d = − 1 ∫ ( )dt = 1 ∫ ( )dt. 0 3 9 3 0 3 9 9 9
Suy ra = ∫ [ (3 ) + (9 − 3 )]d = 1 ∫ ( )d + 1 ∫ ( )d = 2 ∫ ( )dt. 0 3 0 3 0 3 0 9 = 2 ∫ ( )d = 2 . 3021 = 2014. 3 0 3 √ Câu 4. Cho∫ ( )d = 2. Tính = ∫ d bằng √ A. = 1. B. = 2. C. = 4. D. = 1. 2 Lời giải Chọn C
Đặt = √ ⇒ d = 1 d ; đổi cận: = 1 ⇒ = 1, = 4 ⇒ = 2 2√ 4 2 2 = √ ∫ d = ∫ ( )2d = 2 ∫ ( )d = 2.2 = 4. 1 √ 1 1
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 5. Cho hàm số
( ) liên tục trên ℝ thỏa ∫ (2 )d = 2 và ∫ (6 )d = 14. Tính ∫ (5| | + 2)d . A. 30. B. 32. C. 34. D. 36. Lời giải Chọn B 1 + Xét ∫
(2 )d = 2. Đặt = 2 ⇒ d = 2d ; = 0 ⇒ = 0; = 1 ⇒ = 2. 0 1 2 2 Nên 2 = ∫
(2 )d = 1 ∫ ( )d ⇒ ∫ ( )d = 4. 0 2 0 0 2 + Xét ∫
(6 )d = 14. Đặt = 6 ⇒ d = 6d ; = 0 ⇒ = 0; = 2 ⇒ = 12. 0 2 12 12 Nên 14 = ∫ (6 )d = 1 ∫ ( )d ⇒ ∫ ( )d = 84. 0 6 0 0 2 0 2 + Xét ∫ (5| | + 2)d = ∫
(5| | + 2)d + ∫ (5| | + 2)d . 2 2 0 0 * Tính 1 = ∫ (5| | + 2)d . 2 Đặt = 5| | + 2.Khi −2 <
< 0, = −5 + 2 ⇒ d = −5d ; = −2 ⇒ = 12; = 0 ⇒ = 2. 2 12 2 ( 1 = 1 ∫ ( )d = 1 ∫
( )d − ∫ ( )d = 1 84 − 4) = 16. 5 12 5 0 0 5 2 * Tính 1 = ∫ (5| | + 2)d . 0 Đặt = 5| | + 2.Khi 0 <
< 2, = 5 + 2 ⇒ d = 5d ; = 2 ⇒ = 12; = 0 ⇒ = 2. 12 12 2 ( 2 = 1 ∫ ( )d = 1 ∫ ( )d − ∫ ( )d = 1 84 − 4) = 16. 5 2 5 0 0 5 2 Vậy ∫ (5| | + 2)d = 32. 2 2 0
Hoặc: Do hàm (5| | + 2) là hàm số chẵn nên ∫ (5| | + 2)d = 2 ∫ (5| | + 2)d = 2 2 2.16 = 32. . √ Câu 6. Cho = ∫
( )d = 2. Giá trị của = ∫ d bằng √ 4 A. 2. B. − 4. C. . D. −2. 3 3 Lời giải Chọn C Đặt = √3cos + 1 ⇒ d = 3sin d . 2√3cos 1 Đổi cận: = 0 ⇒ = 2; = ⇒ = 1. 2 1 2 2 2
Khi đó: = ∫ − 2 ( )d = ∫ ( )d = 2 ∫ ( )d = 2 . 2 = 4. 2 3 1 3 3 1 3 3 Câu 7.
Cho hàm số ( ) liên tục trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn ( ) = √ + . Tính tích phân √ = ∫ ( )d . A. = 3 + 2ln22. B. = 2ln22. C. = ln22. D. = 2ln2. Lời giải Chọn B 4 4 2√ 1 4 2√ 1 4 ln Ta có ∫ ( )d = ∫ + ln d = ∫ d + ∫ d . 1 1 √ 1 √ 1 4 2√ 1 Xét = ∫ d . 1 √ 3 3 Đặt 2√ − 1 = ⇒ √ =
1 ⇒ d = d .⇒ = ∫ ( )d = ∫ ( )d . 2 √ 1 1 4 4 ln 4 Xét = ∫ d = ∫ ln d(ln ) = ln2 = 2ln22. 1 1 2 1 4 3 4 Do đó ∫
( )d = ∫ ( )d + 2ln22 ⇒ ∫ ( )d = 2ln22. 1 1 3
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 2 3 Câu 8. Cho f 2x   1 dx  12 và 2
f sin x sin 2xdx  3. Tính
f x dx .      0 0 0 A. 26 . B. 22 . C. 27 . D. 15 . Lời giải Chọn C 3 3 3 3  t 1  1 1
Đặt 2x 1  t  12  f t  d 
f t  dt f x dx f x dx  24.            2  2 2 1 1 1 1 2 2 2 Ta có 2
f sin x sin 2xdx 2 
f sin x .2 sin x cos xdx 2  2sin .
x f sin x d sin x            0 0 0 2 1 1  f   2 sin xd  2
sin x  f u du f x dx  3     0 0 0 3 1 3 
f x dx f x dx f x dx  3  24  27 .        0 0 1 Câu 9.
Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn (4 − ) = ( ). Biết ∫ ( )d = 5. Tính = ∫ ( )d . A. = 5. B. = 7. C. = 9. D. = 11. 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh
Cho hàm số ( ) liên tục trên [ ; ] và thỏa mãn điều kiện ( + − ) = ( ), ∀ [ ; ]. Khi đó ∫ ( )d = ∫ ( )d 2 Chứng minh: Đặt = + −
⇒ d = −d , với ∈ [ ; ]. Đổi cận: khi = ⇒ = ; khi = ⇒ = Ta có ∫ ( )d = ∫
( + − )d = − ∫ ( + − ) ( )d = ( + − ) ( )d = ( + ) ( )d − ( )d = ( + ) ( )d − ( )d ⇒ 2 ∫ ( )d = ( + ) ∫ ( )d ⇒ ∫ ( )d = ∫ ( )d . 2
Áp dụng tính chất trên với = 1, = 3.
( ) liên tục trên [ ; ] và thỏa mãn (1 + 3 − ) = ( ). 3 3 3 Khi đó∫ ( )d = 1 3 ∫ ( )d ⇒ ∫ ( )d = 5. 1 4 1 1 2
Cách 2: Đổi biến trực tiếp:
Đặt = 4 − , với ∈ [1; 3]. 3 3 3 3 3 Ta có ∫ ( )d = ∫
(4 − )d = ∫ (4 − ) ( )d = 4 ∫ ( )d − ∫ . ( )d 1 1 1 1 1 3 3 ⇒ 5 = 4 ∫ ( )d − 5 ⇒ ∫ ( )d = 5. 1 1 2 Câu 10. Cho hàm số
= ( ) liên tục trên đoạn [1; 3] thỏa mãn (4 − ) = ( ), ∀ ∈ [1; 3] và ∫ ( )d = −2. Giá trị ∫ ( )d bằng A. 2. B. −1. C. −2. D. 1. Lời giải Chọn B
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 3 Xét = ∫ ( )d (1). 1
Đặt = 4 − , ta có d = −d ; = 1 ⇒ = 3, = 3 ⇒ = 1. 3 3 3
Suy ra = ∫ (4 − ) (4 − )d = ∫ (4 − ) ( )d , hay = ∫ (4 − ) ( ) (2). 1 1 1 3 3
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2 = ∫ 4 ( ) ⇒ ∫ ( ) = = −1. 1 1 2 √
Câu 11. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn ∫ d = 6 và ∫ (sin )cos d = 3. Tính tích √ phân = ∫ ( )d . A. = −2. B. = 6. C. = 9. D. = 2. Lời giải Chọn B 16 √ Xét = ∫ d = 6, đặt √ = ⇒ d = d 1 √ 2√ 4 4 Đổi cận: = 1 ⇒ = 1; = 16 ⇒ = 4 nên = 2 ∫ ( )d = 6 ⇒ ∫ ( )d = 6 = 3. 1 1 2
 = ∫2 (sin )cos d = 3, đặt sin = ⇒ cos d = d 0 1 Đổi cận: = 0 ⇒ = 0; = ⇒ = 1 ⇒ = ∫ ( )d = 3 2 0 4 1 4 Vậy = ∫ ( )d = ∫ ( )d + ∫ ( )d = 3 + 3 = 6. 0 0 1
Câu 12. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn ∫ tan . (cos )d = 2 và ∫ d = 2. ( ) Tính ∫ d . A. 0. B. 1. C. 4. D. 8. Lời giải Chọn D cos2 * 4 4 1 = ∫ tan . (cos2 )d = 1 ∫ . sin2 d . 0 2 0 cos2 Đặt cos2 = ⇒ sin2 d = −d . Đổi cận 0 4 1 1 2 1 ( ) Khi đó 2 1 = − 1 ∫ d 2 1 . e2 ln2 e2 ln2 * 2 = ∫ d = 1 ∫ . 2ln d . e ln 2 e ln2 Đặt ln2 = ⇒ 2ln d = d . Đổi cận 4 ( ) Khi đó 2 = 1 ∫ d 2 1 . 2 (2 ) * Tính = ∫1 d . Đặt 2 = ⇒ d = 1 . 2 4 Đổi cận
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 4 ( ) 1 ( ) 4 ( ) Khi đó = ∫1 d = ∫1 d + ∫ d = 4 + 4 = 8. 1 2 2 . ( √ )
Câu 13. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn ∫ tan . (cos ) = ∫ = 6. Tính tích √ ( ) phân ∫ A. 4 B. 6 C. 7 D. 10 Lời giải Chọn C +) Đặt = √ 3 ⇒ 3 = ⇒ 3 2 = Đổi cận: 8 ( √ 3 ) 2 (t) 2 (t) 2 (t) Khi đó ∫ = ∫ 3 2 = 3 ∫ = 6 ⇒ ∫ = 2 1 3 1 1 1 +) Đặt = cos2 ⇒ = −2cos sin ⇒ = −2cos2 tan ⇒ tan = − 1 2 Đổi cận: 1 (t) 1 (t) Khi đó ∫3 tan . (cos2 ) = − 1 ∫4 = 6 ⇒ ∫1 = 12 0 2 1 4 +) Đặt = 2 ⇒ = 2 ⇒ = 2 2 ⇒ = 1 2 Đổi cận: √2 ( 2) 2 (t) 1 (t) 2 (t) Khi đó ∫1 = 1 ∫1 = 1 ∫1 + 1 ∫ = 2 12 = 7 2 2 2 1 2 2 4 4 ( )
Câu 14. Cho hàm số ( ) liên tục trên R và ∫ (tan )d = 4; ∫ d = 2. Tính = ∫ ( )d . A. = 6. B. = 2. C. = 3. D. = 1. Lời giải Chọn A 1 ( )
Từ ∫4 (tanx)d = 4; Ta đặt = tan ta được ∫ d = 4 0 2 0 1 2 1 ( ) 2 1 1 1 ( ) 1 1 ( ) Từ ∫ d = 2 ⇔ ∫ d = 2 ⇔ ∫ ( )d − ∫ d = 2 2 0 1 2 0 1 0 2 0 1 1 1 ( ) ⇒ ∫ ( )d = 2 + ∫ d = 2 + 4 = 6. 0 2 0 1
Câu 15. Cho hàm số ( ) xác định và có đạo hàm ′( ) liên tục trên đoạn [1 ; 3], ( ) ≠ 0 với mọi ∈ 2 2 2
[1 ; 3], đồng thời ′( ) 1 + ( ) = ( ) ( − 1) và (1) = −1. 3 Biết rằng ∫
( )d = ln3 + , , ∈ ℤ, tính tổng = + 2. 1 A. = 0. B. = −1. C. = 2. D. = 4. Lời giải Chọn B 2 2 2 2 Ta có: ′( ) 1 + ( ) =
( ) ( − 1) ⇔ ′( ) 1 ( ) = ( − 1)2. 4( )
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: 2 ′( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 2( ) ′( ) ∫ d = ∫( − 1)2 ⇔ ∫ d = ∫( − 1)2 4( ) 4( ) 1 1 1 ( − 1)3 ⇔ + 2 + d ( ) = + 4( ) 3( ) 2( ) 3
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 1 1 ( − 1)3 1 + 3 ( ) + 3 2( ) ( − 1)3 ⇔ − − − = + ⇔ − = + 3 3( ) 2( ) ( ) 3 3 3( ) 3
Mà (1) = −1 nên − 1 3 3 = ⇒ = 1. 3 3 ( 1)3 1 3 ( ) 3 2( ) ( 1)3 Suy ra: − 1 3 ( ) 3 2( ) = + 1 ⇔ + 1 = − 3 3( ) 3 3 3 3( ) 3 3 3 3
⇔ 1 ( ) = −( − 1)3 ⇔ 1 + 1 = (1 − )3 ⇔ ( ) = 1. 3( ) ( ) 3 3 3 1 Vậy: ∫ ( )d = ∫ d = −ln| |
= −ln3. Suy ra = −1 ; = 0 hay + = −1. 1 1 1
Câu 16. Cho hàm số = ( ) xác định và liên tục trên (0; +∞) sao cho 2 + ( ) + ( ) = 1 với (ln ) ( )
mọi ∈ (0; +∞). Tính tích phân = ∫ d . √ A. = − 1. B. = − 2. C. = 1 . D. = 3. 8 3 12 8 Lời giải Chọn C
Với ∈ (0; +∞) ta có 2 + ( ) + ( ) = 1 ⇒ ( ) = 1 2 = 1 − 1 Đặt ln = ⇒ d = d . Đổi cận 1 1 = ∫1 ( ) d = ∫1 (1 − ) d = 1 . 12 2 2 e√2 ln2
Câu 17. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn ∫3 tan . 1 d = và ∫ d = . Tính 0 cos e ln 2 ( ) tích phân ∫1 d . 2 A. + . B. − + 2 . C. − − 2 . D. + 2 . Lời giải Chọn B Xét tích phân 3 1 = ∫ tan . 1
d . Đặt = 1 ⇒ d = sin d . 0 cos cos cos2 1 sin ( ) 1 ( ) 3 3 2 1 = ∫ tan . 1 d = ∫ cos 1 d = ∫ d = ⇒ ∫1 d = − . 0 cos 0 cos2 cos 1 2 e√2 ln2 Xét tích phân 2 = ∫
d . Đặt = ln2 ⇒ d = 2ln d . e ln e√2 ln2 e√2 ln2 2ln 2 ( ) 2 ( ) 2 = ∫ d = 1 ∫ d = 1 ∫ = ⇒ ∫ = 2 . e ln 2 e ln2 2 1 1 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) Suy ra ∫1 d = ∫1 d = ∫1 d + ∫ d = − + 2 . 1 2 2 2 16 √
Câu 18. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn ∫2 cot . (sin2 )d = ∫ d = 1. Tính tích 1 4 1 (4 ) phân ∫1 d . 8 A. = 3. B. = 3. C. = 2. D. = 5. 2 2 Lời giải Chọn D 16 √ Đặt 2 1 = ∫ cot . (sin2 )d = 1, 2 = ∫ d = 1. 1 4
? Đặt = sin2 ⇒ d = 2sin . cos d = 2sin2 . cot d = 2 . cot d . Với = ⇒ t = ; = ⇒ t = 1 4 2
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 1 1 1 ( ) ( ( 2 4 ) 4 4 ) 4 1 = ∫ cot .
(sin2 )d = ∫1 ( ). 1 d = 1 ∫1 d = 1 ∫1 d(4 ) = 1 ∫1 d . 2 2 2 4 2 4 2 2 8 8 1 (4 ) Suy ra ∫4 = 1 d 2 1 = 2 8 Đặt = √ ⇒ 2 d = d . 16 √ 4 ( ) 4 ( ) 1 (4 ) 1 (4 ) 2 = ∫ d = ∫ 2 d = 2 ∫ d = 2 ∫1 d(4 ) = 2 ∫1 d . 1 2 1 1 4 4 4 1 (4 ) Suy ra ∫1 d = 1 2 2 = 1 2 4 Khi đó, ta có: 1 1 (4 ) (4 ) 1 (4 ) ∫ 4 1 d = ∫ + = 5 1 d ∫1 d = 2 + 1 . 2 2 8 8 4
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Tính ∫ ( )
, biết hàm số ( ) thỏa mãn : . ( ) + . ′. ( ) + . ( + − ) = ( ).
Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :
+ Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số , , .
+ Nếu ( ) liên tục trên [ ; ] thì ∫ ( + − ) = ∫ ( ) ( ) = + Với thì ∫ ( ) = 1 ∫ ( ) . ( ) = ( ) = + Với thì ∫ ( ) = 1 ∫ ( ) . ( ) =
+ Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1.
Câu 19. Cho hàm số ( ) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn ( ) = 6 ( ) − . Tính ∫ ( )d √ A. 2. B. 4. C. −1. D. 6. Lời giải Chọn B
Cách 1: (Dùng công thức)
Biến đổi ( ) = 6 2 ( 3) − 6 ⇔ ( ) − 2.3 2. ( 3) = − 6 với = 1, = −2. √3 1 √3 1 1 1 6
Áp dụng công thức ta có: ∫ ( )d = 1 ∫ d = 4. 0 1 ( 2) 0 √3 1
Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức) 1 1 1 1 Từ ( ) = 6 2 ( 3) − 6 ⇒ ∫
( )d − 2 ∫ 3 2 ( 3)d = −6 ∫ d √3 1 0 0 0 √3 1 Đặt = 3 ⇒ = 3 2dx ; Với = 0 ⇒ = 0 và = 1 ⇒ = 1. 1 1 1 Khi đó ∫ 3 2 ( 3)d = ∫
( )d = ∫ ( )d thay vào (∗), ta được: 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 ∫ ( )d − 2 ∫ ( )d = −6 ∫ d ⇔ ∫ ( )d = 6 ∫ d = 4. 0 0 0 √3 1 0 0 √3 1
Câu 20. Cho hàm số ( ) liên tục trên [0; 2] và thỏa mãn điều kiện ( ) + (2 − ) = 2 . Tính giá trị của tích phân = ∫ ( ) . A. = −4. B. = 1. C. = 4. D. = 2. 2 3 Lời giải Chọn D
Cách 1:(Dùng công thức) 2 2
Với ( ) + (2 − ) = 2 ta có = 1; = 1, suy ra: = ∫ ( ) = 1 ∫ 2 = 0 1 1 0 2 2 = 2. 2 0
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 2 2
Từ ( ) + (2 − ) = 2 ⇒ ∫ ( ) + ∫ (2 − ) = ∫ 2 = 4 (*) 0 0 0 Đặt = 2 − ⇒ = −
; Với = 0 ⇒ = 2 và = 2 ⇒ = 0. 2 2 2 Suy ra ∫ (2 − ) = ∫ ( ) = ∫ ( ) . 0 0 0 2 2
Thay vào (*), ta được 2 ∫ ( ) = 4 ⇔ ∫ ( ) = 2. 0 0
Câu 21. Xét hàm số
( ) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa 2 ( ) + 3 (1 − ) = √1 − 2.Tính 1 ∫ ( ) d . 0 A. . B. . C. . D. . 4 6 20 16 Lời giải Chọn C 1 1
Ta có: ∫ [2 ( ) + 3 (1 − )] d = ∫ √1 − 2 d ⇔ + = . 0 0 1 Tính: = ∫ √1 − 2 d 0
Đặt = sin suy ra d = cos d . Đổi cận: = 0 ⇒ = 0; = 1 ⇒ = . 2 1 cos2t Vậy: = ∫ 2 2 cos2 d = ∫2 d = 1 + 1 sin2 = . 0 0 2 2 4 0 4 1 Tính: = ∫ 3 (1 − ) d 0 Đặt: Đặt = 1 −
⇒ d = −d . Đổi cận: = 0 ⇒ = −1; = 1 ⇒ = 0. 1 1 Vậy: = ∫ 3 ( ) d = ∫ 3 ( ) d . 0 0 1 1 1
Do đó: ∫ [2 ( ) + 3 ( )] d = ⇒ 5 ∫ ( ) d = ⇒ ∫ ( ) d = . 0 4 0 4 0 20 2
Câu 22. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ thỏa (2 ) −
( 2) = 3, ∀ ∈ ℝ. Khi đó ∫ ( ) bằng 1 15 17 A. . B. . C. − 15. D. − 17. 4 8 2 4 Lời giải Chọn C Ta có: (2 ) − ( 2) = 3, ∀ ∈ ℝ 2 2 2 15 ⇒ (2 ) − ( 2) = 3 = 4 1 1 1 2 2 ⇒ 1 ∫
(2 ) (2 ) − 1 ∫ ( 2) ( 2) = 15. 2 1 2 1 4 4 4 Suy ra ∫ ( ) − ∫ ( ) = 15. 2 1 2 4 2 4 2 Hay ∫ ( ) − ∫ ( ) − ∫ ( ) = 15 ⇔ ∫ ( ) = − 15. 2 1 2 2 1 2
Câu 23. Xét hàm số ( ) liên tục trên[−1; 2] và thỏa mãn ( ) + 2 ( − 2) + 3 (1 − ) = 4 .
Tính giá trị của tích phân = ∫ ( ) . A. = 5. B. = 5. C. = 3. D. = 15. 2 Lời giải Chọn C
Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)
Với: ( ) + (2 ) ( 2 − 2) + 3 (1 − ) = 4 3. Ta có: (−1) = −1 = 1; = 1; = 3 và = 2 − 2 thỏa mãn
. Khi đó áp dụng công thức có: (2) = 2 2 2 2 4 = ∫ ( ) = 1 ∫ 4 3dx = = 3. 1 1 1 3 1 5 1
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Từ ( ) + 2
( 2 − 2) + 3 (1 − ) = 4 3. 2 2 2 2 ⇒ ( )dx + 2 . ( 2 − 2)dx + 3 (1 − )dx = 4 3dx (∗) 1 1 1 1
+) Đặt = 2 − 2 ⇒ du = 2 dx; với = −1 ⇒ = −1 và = 2 ⇒ = 2. 2 2 2
Khi đó ∫ 2 . ( 2 − 2)dx = ∫ ( )du = ∫ ( )dx (1) 1 1 1 +) Đặt = 1 −
⇒ dt = −dx; Với = −1 ⇒ = 2 và = 2 ⇒ = −1. 2 2 2 Khi đó ∫ (1 − )dx = ∫ ( )dt = ∫ ( )dx (2) 1 1 1 2 2
Thay (1), (2) vào (∗) ta được: 5 ∫ ( )dx = 15 ⇒ ∫ ( )dx = 3. 1 1
Câu 24. Cho hàm số ( ) liên tục trên đoạn [−1 ; 2] và thỏa mãn điều kiện ( ) = √ + 2 + ( 2
3 − 2). Tính tích phân = ∫ ( )d . 1 A. = 28 . B. = 2. C. = 4. D. = 14. 3 3 3 Lời giải Chọn A 2 2 = ∫ ( )d = ∫ √ + 2 + (3 − 2) d 1 1 2 2 = √ + 2d + (3 − 2)d 1 1 2 = 14 + ∫ (3 − 2)d = 14 + . 3 1 3 2 Tính = ∫ (3 − 2)d 1
Đặt = 3 − 2 ⇒ d = −2 d ⇒ d = − 1 d . 2 = −1 ⇒ = 2 Đổi cận: . = 2 ⇒ = −1 1 2 Ta có = − 1 ∫ ( )d = 1 ∫ ( )d = 1 . 2 2 2 1 2 2 Do đó = 14 + ∫ (3 − 2)d = 14 + 1 ⇒ = 28. 3 1 3 2 3
Câu 25. Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn ( 2) 2
− (2 ) = 2 3 + 2 , ∀ ∈ ℝ. Tính giá trị = ∫ ( )d . 1 A. = 25. B. = 21. C. = 27. D. = 23. Lời giải Chọn B 2 2 ( 2) − (2 ) = 2 3 + 2 ⇒ [ ( 2) − (2 )] d = (2 3 + 2 )d 1 1 2 2 4 2 2 ⇔ ∫ [ ( 2)] d − ∫ [ (2 )] d = + 2
2 ⇔ ∫ [ ( 2)] d − ∫ [ (2 )] d = 21. (*) 1 1 2 1 1 1 2 2 + Tính ∫ [ ( 2)] d : 1
Đặt = 2 ⇒ d = 2 d ⇔ d = d . 2 = 1 ⇒ = 1; = 2 ⇒ = 4. 2 4 ( ) 4 Suy ra ∫ [ ( 2)] d = ∫ d = 1 ∫ ( )d . 1 1 2 2 1 2 + Tính ∫ [ (2 )] d : 1
Đặt = 2 ⇒ d = 2d ⇔ d = d . 2 = 1 ⇒ = 2; = 2 ⇒ = 4. 2 4 ( ) 4 Suy ra ∫ [ (2 )] d = ∫ d = 1 ∫ ( )d . 1 2 2 2 2
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 4 4 2 4 Thay vào (*) ta được ∫
( )d − 1 ∫ ( )d = 21 ⇔ 1 ∫ ( )d + 1 ∫ ( )d − 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 4 ∫ ( )d = 21 2 2 2 2 2 ⇔ 1 ∫ ( )d = 21 ⇔ ∫ ( )d = 21. 2 1 2 1 Câu 26. Cho hàm số
= ( ) liên tục và là hàm số chẵn trên ℝ. Biết (2 − 1) + 2 (2 − 3) = 24
− 28 + 20, ∀ ∈ ℝ, tính ∫ ( ) d . A. 24. B. 36. C. 12. D. −36. Lời giải Chọn C
Ta có (2 − 1) + 2 (2 − 3) = 24 − 28 + 20, ∀ ∈ ℝ ⇔ (2 − 1) d + 2 (2 − 3) d = (24 − 28 + 20)d = 18 ⇔ + = 18 Tính = ∫
(2 − 1) d : Đặt = 2 − 1 ⇒
= d . Đổi cận: = → = 0; = → = 2 1 1 ⇒ = ( ) d = ( ) d (1) 2 2 Tính
= ∫ 2 (2 − 3) d : Đặt = 2 − 3 ⇒ d = 2d . Đổi cận = → = −2; = → = 0 ⇒ = ( ) d = ( ) d = ( ) d , (2)
(Vì ( ) là hàm số chẵn nên) ∫ ( )d = ∫ ( )d = ∫ ( )d
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được ∫ ( ) d + ∫ ( ) d = 18 ⇒ ∫ ( ) d = 12
Câu 27. Cho hàm số ( ) liên tục trên tập số thực thỏa mãn ( ) + (5 − 2) (5 2 − 4 ) = 50 3 − 1
60 2 + 23 − 1, ∀ ∈ ℝ. Hãy tính ∫ ( ) d . 0 A. 2. B. 1. C. 3. D. 6. Lời giải Chọn A
Theo giả thiết: ( ) + (5 − 2) (5 2 − 4 ) = 50 3 − 60 2 + 23 − 1, ∀ ∈ ℝ.
Suy ra 2 ( ) + (10 − 4) (5 2 − 4 ) = 100 3 − 120 2 + 46 − 2 1 1 ⇒
2 ( ) + (10 − 4) (5 2 − 4 ) d = (100 3 − 120 2 + 46 − 2)d 0 0 1 1 ⇒ 1 2 ∫
( )d + ∫ (10 − 4) (5 2 − 4 ) d = 100 4 − 120 3 + 46 2 − 2 (∗). 0 0 4 3 2 0
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1
Xét = ∫ (10 − 4) (5 2 − 4 ) d . Đặt = 5 2 − 4 ⇒ d = (10 − 4)d . 0 Đổi cận: = 0 ⇒ = 0; = 1 ⇒ = 1 1 Khi đó = ∫ ( ) d . 0 ( 1 1 1 1 ∗) trở thành 2 ∫
( )d + ∫ ( ) d = 6 ⇔ 3 ∫ ( )d = 6 ⇔ ∫ ( )d = 2. 0 0 0 0 1 Vậy ∫ ( )d = 2. 0
Câu 28. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn ( ) + (1 − ) = − + − 2 , ∀ ∈ ℝ. Khi đó ∫ ( ) bằng A. . B. . C. . D. −1. Lời giải Chọn B Cách 1: Tự Luận Ta có ( ) + (1 − ) = − + − 2 , ∀ ∈ ℝ (1) ⇔ ( ) + (1 − ) = − + − 2 −17 ⇒ ( ) + (1 − ) = (− + − 2 ) = 24 Xét = ∫ ( ) đặt = ⇒ = 3 ⇒ = = −1 ⇒ = −1 Đổi cận: = 0 ⇒ = 0 1 1 ⇒ = ( ) = ( ) 3 3 Xét = ∫ (1 − ) đặt = 1 − ⇒ = −2 ⇒ = = −1 ⇒ = 0 Đổi cận: = 0 ⇒ = 1 1 1 ⇒ = − ( ) = − ( ) 2 2 1 1 −17 ⇒ ( ) − ( ) = (2) 3 2 24
Trong (1) thay bởi – ta được: − (− ) + (1 − ) = − + + 2 , (3)
Lấy (1) trừ (3) ta được: ( ) + (− ) = −4 ⇒ ( ) + (− ) = −4
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn −4 ⇒ ( ) + (− ) = −4 = 3 1 1 −4 ⇒ ( ) + ( ) = (4) 3 3 3 Từ (2) và (4) suy ra ∫ ( ) = .
Cách 2: Trắc nghiệm có thể chọn hàm: ( ) = − + 3 − 2
Câu 29. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn: ( ) + (1 − ) = 2 + 3 + − 5
+ 2 + 3, ∀ ∈ ℝ. Khi đó: ∫ ( )d bằng? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Từ giả thiết suy ra: ( ) + (1 − )d = (2 + 3 + − 5 + 2 + 3)d −1 ⇔ ( )d + (1 − )d(1 − ) = (2 + 3 + − 5 + 2 + 3)d 4 −1 41 41 ⇔ ( )d + ( )d = ⇔ ( )d = 4 12 15
Mặt khác cũng từ giả thiết ta lại có: ( ) + (1 − )d = (2 + 3 + − 5 + 2 + 3)d −1 ⇔ ( )d + (1 − )d(1 − ) = (2 + 3 + − 5 + 2 + 3)d 4 ⇔ ∫ ( )d + ∫ ( )d = ⇔ ∫ ( )d = − . = .
Câu 30. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2] và thỏa mãn ( ) + (2 − ) = 4
3( 2 − 2 ), ∀ ∈ [0; 2]. Biết (2) = 10, tích phân = ∫ ′ d bằng: 0 2 A. 72. B. 96. C. 32. D. 88. Lời giải
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn D Cách 1: Ta có: 2 2 ⇒ ( ) + (2 − ) d = 3( 2 − 2 )d 0 0 2 2 2 0 ⇔ ( )d − (2 − )d(2 − ) = −4 ⇔ ( )d − ( )d = −4 0 0 0 2 2 2 2 2 ⇔ ( )d + ( )d = −4 ⇔ 2 ( )d = −4 ⇔ ( )d = −2 0 0 0 0 4 2 2 = ′ d = 4 ′( )d = 4 ( )|2 − ( )d = 4 2 (2) − (−2) = 88 2 0 0 0 0 Cách 2: Xét ( ) = 2 + + ( ≠ 0) (2) = 4 + 2 + (1)
(2 − ) = (2 − )2 + (2 − ) + = 2 − (4 + ) + 4 + 2 + ⇒ ( ) + (2 − ) = 2 + + + 2 − (4 + ) + 4 + 2 + ⇔ ( ) + (2 − ) = 2 2 − 4 + 4 + 2 + 2 (2)
Mà ( ) + (2 − ) = 3( 2 − 2 ) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 4 + 2 + = 10 3 3 = = ⇔ 2 2 = 7 4 + 2 + 2 = 0 = −10 3 ⇒ ( ) = 2 + 7 − 10 2 4 2 2 = ′ d = 4 ′( )d = 4 ( )|2 − ( )d = 4 2 (2) − (−2) = 88 2 0 0 0 0 Câu 31. Cho hàm số
= ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn sin (cos ) + cos (sin ) = sin2 −
sin 2 với mọi ∈ ℝ. Tính tích phân = ∫ ( )d . A. 1. B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có: ∫ [sin (cos ) + cos (sin )]d = ∫ sin2 − sin 2 d 1 ⇔ sin (cos )d + cos (sin )d = sin2 (1 + cos 2 )d 2 * Tính = ∫ sin (cos )d
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Đặt = cos ⇒ d = −sin d ⇒ −d = sin d Đổi cận: = 0 ⇒ = 1; = ⇒ = 0. Ta có: = ∫ ( )d = ∫ ( )d .
* Tương tự, ta tính được: = ∫ cos (sin )d = ∫ ( )d . * Tính = ∫ sin2 (1 + cos 2 )
= − ∫ (1 + cos 2 ) (cos2 ) = − cos2 + cos 2 = − . + . = . Do đó ∫ sin (cos ) + ∫ cos (sin ) = ∫ sin2 (1 + cos 2 ) trở thành: 2 ∫ ( )d = ⇔ ∫ ( )d = . Câu 32. Cho hàm số
= ( ) liên tục trên đoạn − ; thỏa mãn điều kiện: (1 + 4sin ) − 2 2 1
sin . (3 − 2cos2 ) = 6sin + 1, ∀ ∈ − ; . Khi đó = ∫ ( ) bằng 2 2 3 A. −2. B. −24. C. 8. D. 16. Lời giải Chọn B + Ta có:
(1 + 4sin ) − sin . (3 − 2cos2 ) = 6sin + 1 ⇒ cos . (1 + 4sin ) −
cos . sin . (3 − 2cos2 ) = 6sin . cos + cos 1
⇔ cos . (1 + 4sin ) − sin2 . (3 − 2cos2 ) = 3sin2 + cos (∗) 2
+ Lấy tích phân từ − đến 0 hai vế của (∗) ta được: 2 0 0 0 1 cos . (1 + 4sin ) − sin2 . (3 − 2cos2 ) = (3sin2 + cos ) 2 2 2 2 0 0 0 ⇔ 1 ∫
(1 + 4sin ) (1 + 4sin ) − 1 ∫
(3 − 2cos2 ) (3 − 2cos2 ) = ∫ (3sin2 + 4 8 2 2 2 1 1 cos ) ⇔ 1 ∫ ( ) − 1 ∫ ( ) = −2 4 3 8 5 1 5 1 1 ⇔ ( ) + ( ) = −2 (1) 4 8 3 1
+ Lấy tích phân từ 0 đến hai vế của (∗) ta được: 2 2 2 2 1 cos . (1 + 4sin ) − sin2 . (3 − 2cos2 ) = (3sin2 + cos ) 2 0 0 0 2 2 1 1 ⇔ (1 + 4sin ) (1 + 4sin ) −
(3 − 2cos2 ) (3 − 2cos2 ) = 4 4 8 0 0
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 5 5 1 1 ⇔ ( ) − ( ) = 4 4 8 1 1 5 ⇔ ( ) = 32 (2) 1 1 Từ (1) và (2) ta có: ∫ ( ) = −24. 3
Câu 33. Cho hàm số ( ) liên tục trên khoảng (0; +∞) và thỏa mãn 2 ( ) + = với mọi > 0 Tính ∫ ( ) . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có 2 ( ) + = (1). Đặt = ⇒
= khi đó điều kiện đề bài cho trở thành 2 + ( ) = ⇔ 2 . + ( ) = 1 (2) 4 ( ) + 2 . = 2 Từ (1) và (2) ta có: ⇔ ( ) = . ( ) + 2 . = 1
Lấy tích phân cận từ đến 2 ta được: ∫ ( ) = ∫ = .
Câu 34. Cho hàm số ( ) liên tục trên ; 1 và thỏa mãn 2 ( ) + 5 = 3 , ∀ ∈ ; 1 . Khi đó = ∫ ln3 . ′(3 ) bằng A. ln + . B. ln − . C. − ln − . D. − ln + . Lời giải Chọn B Ta có: 2 ( ) + 5 = 3 , ∀ ∈ ; 1 (1) 2 2 ( ) 2 ( ) 9 ⇔ 2 + 5 5 = 3, ∀ ∈ ; 1 ⇔ 2 + 5 5 = 3 = (2) 5 5 Xét = 5 ∫ đặt = ⇒ = − ⇒ − = .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn = ⇒ = 1 Đổi cận: = 1 ⇒ = ( ) ( ) ( ) ⇒ = −5 = 5 = 5 ( ) ( ) Từ (2) suy ra, 2 ∫ + 5 ∫ = ( ) 9 ⇔ = 35 Tính = ∫ ln3 . ′(3 ) . = ⇒ = Đặt = 3 ⇒ = 3 ⇒ = . Đổi cận: = ⇒ = 1 1 ⇒ = ln . ′( ) 3 = ln = Đặt: ⇒ = ′( ) = ( ) 1 1 ( ) 1 2 2 3 = (ln . ( ))| − = − ln . ( ) − 3 3 3 5 5 35 Tính 2 ( ) + 5 = 3 , ∀ ∈ ; 1 Cho = 1;
= vào (1) ta có hệ phương trình sau: 2 2 (1) + 5 = 3 (1) = 0 5 ⇔ 2 3 2 6 = 2 + 5 (1) = 5 5 5 5 Suy ra, = − . ln − = ln − .
Câu 35. Cho hàm số ( ) liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn điềm kiện 3 + = 6 + 4. Tính tích phân = ∫ ( )d . A. = . B. = . C. = . D. = .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn B1.X.T0Lời giải Chọn B Với mọi ∈ [1; 2], ta có: 3 + = 6 + 4 ⇔ 3 + 1 − = 6 + (∗).
Đặt = , ta có (∗) có dạng: ⇔ 3 ( ) + (1 − ) = 4 + 6.
Vế phải là hàm số bậc hai, ta chọn ( ) = + + ( ≠ 0).
Khi đó ta có: 3 ( ) + (1 − ) = 3[ +
+ ] + [ (1 − ) + (1 − ) + ] = 4 − 2( − ) + + + 4 . 4 = 4 = 1
Đồng nhất hai vế ta có: −2( − ) = 0 ⇔ = 1. + + 4 = 6 = 1 Suy ra: ( ) = + + 1 hay ( ) = + + 1. Vậy = ∫ ( )d = ∫ ( + + 1)d = + + = − = .
Câu 36. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn 4 3 2 ( 2 2 4 4 1 1 − ) + 2 = , ∀ ≠ 0, ≠ 1. Khi đó ∫
( )d có giá trị là 1 1 3 A. 0. B. 1. C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn A 2 2 4 3 4 4
Từ giả thiết suy ra (1 − ) + 2 = 2 3 2 2 2 2 4 3 2 4 4 Ta có: ∫ (1 − )d + ∫ . 2 d = ∫ d 1 2 1 3 1 2 2 2 2 − 2 2 − 2 4 4 ⇔ − (1 − )d (1 − ) + d = − + 1 + − d 2 3 1 1 1 1 1 2 4 2 ⇔ − ( ) 2 d + ( )d = − + − + 2 2 1 0 0 0 1 1 ⇔ ∫ ( )d + ∫ ( )d = 0 ⇔ ∫ ( )d = 0. 1 0 1 1 Vậy ∫ ( )d = 0. 1 Cách trắc nghiệm 2 2 4 3 4 4 Ta có: 2 (1 − ) + 2 = , ∀ ≠ 0, ≠ 1 2 − 2 − 4 + 3 4 − 4 ⇔ 2 (1 − ) + 2 = + , ∀ ≠ 0, ≠ 1 2 − 2 2 − 2 ⇔ 2 (1 − ) + 2 = 2(1 − ) + 2 , ∀ ≠ 0, ≠ 1 1 1 Chọn ( ) = ⇒ ∫ ( ) . d = ∫ . d = 0. 1 1
Câu 37. Xét hàm số ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn 2 ( 2 − 2) + 2 (1 − ) = 3 2. Tính giá trị của 16 √ 2 tích phân = ∫ d . 1 2√
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn A. = 5. B. = 9. C. = 3. D. = 9. 2 Lời giải Chọn C 16 √ 2 +) Xét tích phân: = ∫ d . 1 2√
Đặt = √ − 2 ⇒ d = 1 d . 2√ Đổi cận: Với = 1 ⇒ = −1 và với = 16 ⇒ = 2. 2 2 Khi đó: = ∫ ( ) d = ∫ ( ) d (1). 1 1
+) Ta có 2 ( 2 − 2) + 2 (1 − ) = 3 2 2 2 2
⇒ ∫ 2 . ( 2 − 2) d + 2 ∫
(1 − ) d = ∫ 3 2 d = 9 (2). 1 1 1 2
+) Xét tích phân: ∫ 2 . ( 2 − 2) d . 1
Đặt = 2 − 2 ⇒ d = 2 d . Đổi cận: Với = −1 ⇒ = −1 và với = 2 ⇒ = 2. 2 2 2
Khi đó: ∫ 2 . ( 2 − 2) d = ∫ ( ) d = ∫ ( ) d = (3). 1 1 1 2 +) Xét tích phân: ∫ (1 − ) d . 1 Đặt = 1 − ⇒ d = −d . Đổi cận: Với = −1 ⇒ = 2 và với = 2 ⇒ = −1. 2 2 2 Khi đó: ∫ (1 − ) d = ∫ ( ) d = ∫ ( ) d = (4). 1 1 1
+) Thay (3), (4) vào (2) ta được: + 2. = 9 ⇒ = 3.
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3: Phương pháp:
Lần lượt đặt = ( ) và = ( ) để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn ( )) để suy
ra hàm số ( ) (nếu ( ) = thì chỉ cần đặt một lần = ( )).
Các kết quả đặc biệt: . . Cho . ( + ) + . (−
+ ) = ( ) với 2 ≠ 2) khi đó ( ) = (*) 2 2
+ Hệ quả 1 của (*): . ( ) + . (− ) = ( ) ⇒ ( ) = . ( ) . ( ) 2 2 ( )
+ Hệ quả 2 của (*): . ( ) + . (− ) = ( ) ⇒ ( ) =
với ( ) là hàm số chẵn. ( )
Câu 38. Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ và ( ) + 2 = 3 . Tính = ∫ . A. = 3. B. = 1. C. = 1. D. = −1. 2 2 Lời giải Chọn A 1 Đặt, = 1 ⇒
= 1 khi đó điều kiện trở thành + 2 ( ) = 3 ⇒ 2 ( ) + 1 = 3. 1 1 Hay 4 ( ) + 2
= 6, kết hợp với điều kiện ( ) + 2 = 3 . Suy ra : ( ) 2 2 ( ) 2 2 3 ( ) = 6 − 3x ⇒ = 2 − 1 ⇒ = ∫1 = ∫1 − 1 = 2 − 1 = 3. 2 2 2 2 2 2 2 9 Câu 39. Cho hàm số
= ( ) liên tục trên ℝ\{0} và thỏa mãn 2 (3 ) + 3 = − 15 , ∫ ( )d = 2 3 3 1 . Tính = ∫2 1 d theo . 2 A. = − 45 . B. = 45 . C. = 45 . D. = 45 2 . 9 9 9 9 Lời giải Chọn A
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn = 1 ⇒ = 1
Đặt = 2 ⇒ d = 1 d . Đổi cận 2 . 2 = 3 ⇒ = 3 2 3 2 Khi đó = 1 ∫ d . 2 1 2 2 Mà 2 (3 ) + 3 = − 15 ⇔ = − 5 − 2 (3 ) 2 2 3 3 3 3 3
Nên = 1 ∫ − 5 − 2 (3 ) d = − 5 ∫ d − 1 ∫ (3 ) d = −5 − 1 ∫ (3 ) d (*) 2 1 2 3 4 1 3 1 3 1 = 1 ⇒ = 3
Đặt = 3 ⇒ d = 1 d . Đổi cận . 3 = 3 ⇒ = 9 9 Khi đó = −5 − 1 ∫ ( ) d = −5 − = − 45 . 9 3 9 9
Câu 40. Cho hàm số ( ) liên tục (0; +∞) và ( ) + 2. 1
= , ∀ ∈ (0; +∞). Giá trị của tích phân 2 = ∫1 ( ) bằng 2 15 9 13 1 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 Lời giải Chọn D
Vì ( ) + 2. (1) = , ∀ ∈ (0; +∞) nên (1) + 2. ( ) = 1. ( ) + 2. (1) = ( ) + 2. (1) = 2 Do đó ta có ⇔ ⇒ 3. ( ) = 2 − ⇒ ( ) = . (1) + 2. ( ) = 1 2 (1) + 4. ( ) = 2 3 2 2 2 2 3 Khi đó = ∫1 . = 1 ∫1 (2 − 2) = 1 2 − = 1. 3 3 3 3 1 8 2 2 2
Câu 41. Cho hàm số = ( ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn: 5 ( ) − 7 (1 − ) = 4 − 6 2, 3
∀ ∈ ℝ. Biết rằng ∫ [ ′( )]2 d = ( là phân số tối giản). Tính − 143 . 2 A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn D
Theo giả thiết: 5 ( ) − 7 (1 − ) = 4 − 6 2, ∀ ∈ ℝ.
Thay bởi 1 − ta được: 5 (1 − ) − 7 ( ) = 4(1 − ) − 6(1 − )2 = −6 2 + 8 − 2.
5 ( ) − 7 (1 − ) = 4 − 6 2 Ta được hệ:
−7 ( ) + 5 (1 − ) = −6 2 + 8 − 2
⇒ 25 ( ) − 49 ( ) = 5(4 − 6 2) + 7(−6 2 + 8 − 2)
⇒ −24 ( ) = −72 2 + 76 − 14 ⇒ ( ) = 3 2 − 19 + 7 . 6 12 3 2 3
⇒ ′( ) = 6 − 19. Khi đó: ∫ [ ′( )]2 d = ∫ 6 − 19 d = 5149. 6 2 2 6 36
Vậy = 5149, = 36 nên − 143 = 5149 − 143 × 36 = 1.
Câu 42. Cho hàm số = ( ) liên tục trên ; 3 thỏa mãn ( ) + . = − . Giá trị tích phân ( ) = ∫ d bằng 8 2 3 16 A. . B. . C. . D. . 9 3 4 9 Lờigiải Chọn A
+ Đặt = 1 ⇒ d = − 1 d . 2
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn + Đổi cận: = 1 ⇒ = 3; = 3 ⇒ = 1. 3 3 1 1 1 3 ( ) 3 + Ta có = ∫1 d = − ∫3 . 1 d = ∫1 d . 2 1 1 2 3 1 3 2 3 Suy ra: 1 1 3 ( ) 3 ( ) . 3 3 ( 1)( 1) 3 2 = ∫1 d + ∫1 d = ∫1 d = ∫1 d = ∫1 ( − 1)d = 16. 2 1 ( 1) ( 1) 9 3 3 3 3 3 Vậy = 8. 9
Câu 43. Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ\{0} và thỏa mãn 2 (3 ) + 3 = − , ∫ ( )d = . Tính = ∫ d theo . A. = − 45 . B. = 45 . C. = 45 . D. = 45 2 . 9 9 9 9 Lời giải Chọn A = 1 ⇒ = 1
Đặt = 2 ⇒ d = 1 d . Đổi cận 2 . 2 = 3 ⇒ = 3 2 3 2 Khi đó = 1 ∫ d . 2 1 2 2 Mà 2 (3 ) + 3 = − 15 ⇔ = − 5 − 2 (3 ) 2 2 3 3 3 3 3
Nên = 1 ∫ − 5 − 2 (3 ) d = − 5 ∫ d − 1 ∫ (3 ) d = −5 − 1 ∫ (3 ) d (*) 2 1 2 3 4 1 3 1 3 1 = 1 ⇒ = 3
Đặt = 3 ⇒ d = 1 d . Đổi cận . 3 = 3 ⇒ = 9 9 Khi đó = −5 − 1 ∫ ( ) d = −5 − = − 45 . 9 3 9 9 Câu 44. Cho hàm số
= ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn (− ) + 2018 ( ) = 2 sin . Tính giá trị của = ∫ ( )d . A. = 2 . B. = 2 . C. = 4 . D. = 1 . 2019 1009 2019 1009 Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức)
Với (− ) + 2018 ( ) = 2 sin ta có = 1; = 2018 Suy ra = ∫2 ( )d = 1 ∫2 2 sin d = 4 ⇒ Đáp án C 1 2018 2019 2 2 Cách 2: ( )
Áp dụng Hệ quả 2: . ( ) + (− ) = ( ) ⇒ ( ) =
với ( ) là hàm số chẵn.
Ta có (− ) + 2018 ( ) = 2 sin ⇒ ( ) = 2 sin 2019 = ∫2 ( )d = 2 ∫2 sin d = 4 ⇒ Đáp án C 2019 2019 2 2
Câu 45. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn ( ) + 2 ( − ) = ( + 1)sin , ∀ ∈ ℝ. Tích phân ∫ ( ) d bằng 0 2 A. 1 + . B. . C. 2 + . D. 0. 2 3 Lời giải Chọn B
Ta có ( ) + 2 ( − ) = ( + 1)sin , ∀ ∈ ℝ. Thay bằng − , ta được: ( − ) + 2 ( ) = ( −
+ 1)sin ⇔ 2 ( ) + ( − ) = ( + 1 − )sin .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Từ đó ta có hệ ( ) + 2 ( − ) = ( + 1)sin
⇒ ( ) = 1 (2 + 1 − 3 )sin .
2 ( ) + ( − ) = ( + 1 − )sin , ∀ ∈ ℝ 3 ⇒ ∫
( ) d = 1 ∫ (2 + 1)sin d − ∫ xsin d = − 2 1 cos | + cos | − sin | 0 3 0 0 3 0 0 0 2 + 1 2 + 1 + 2 = + − = . 3 3 3 Câu 46. Cho hàm số
= ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn (− ) + 2018 ( ) = . Tính giá trị của = ∫ ( ) 2 1 2 1 2 1 A. = . B. = . C. = 0. D. = . 2019e 2018e Lời giải Chọn A
Cách 1: (Dùng công thức). Với (− ) + 2018 ( ) = ta có = 1; = 2018. 1 1 1 2 1 Suy ra = ∫ ( ) = 1 ∫ = 1 = . 1 1 2018 1 2019 1 2019e
Cách 2: (Dùng công thức)
Áp dụng Hệ quả 1: . ( ) + . (− ) = ( ) ⇒ ( ) = . ( ) . ( ). 2 2 Ta có: 1 2018 − (− ) + 2018 ( ) = ⇒ ( ) = ⇒ ( ) 20182 − 1 1 1 1 = (2018 − ) 2019.2017 1 2 ≈ 1 1,164.10 3 ≈ (Casio). 2019e Câu 47. Cho hàm số
= ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ, thỏa mãn 2 (2 ) + (1 − ) = 12 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = ( ) tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. = 2 + 2. B. = 4 − 6. C. = 2 − 6. D. = 4 − 2. Lời giải Chọn D Áp dụng kết quả . .g “Cho . ( + ) + . (−
+ ) = ( ) (với 2 ≠ 2) khi đó ( ) = ”. 2 2 Ta có 1 2. 2 (2 ) + (1 − ) = 12 2 = ( ) ⇔ ( ) = 2 2 = 6 2 3( 1)2 = 2 + 2 − 1. 22 1 3 (1) = 2 Suy ra
, khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: = 4 − 2. ′(1) = 4
Câu 48. Cho ( ) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ thỏa mãn ∫ ( )
= 2018 và ( ) là hàm số liên
tục trên ℝ thỏa mãn ( ) + (− ) = 1, ∀ ∈ ℝ. Tính tích phân = ∫ ( ) ( ) . A. = 2018. B. = 1009. C. = 4036. D. = 1008. 2 Lời giải Chọn A Áp dụng Hệ quả
. ( ) + . (− ) = ℎ( ) ⇒ ( ) = ℎ( ) với ℎ( ) là hàm số chẵn.
Ta có: ( ) + (− ) = 1 = ℎ( ) ⇒ ( ) = 1 = 1. 1 1 2
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Kết hợp với điều kiện ( ) là hàm số chẵn, ta có: 1 1 1 = ∫ ( ) ( ) = 1 ∫ ( ) = ∫ ( ) = 2018. 1 2 1 0
Chú ý: Nếu ( )là hàm số chẵn, liên tục trên [− ; ] ⇒ ∫ ( ) = 2 ∫ ( ) . 0
Câu 49. Cho số dương và hàm số ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn ( ) + (− ) = , ∀ ∈ ℝ. Giá trị của biểu thức ∫ ( )d bằng A. 2 2. B. . C. 2. D. 2 . Lời giải Chọn C Đặt = − ⇒ ∫ ( )d = ∫ (− )(−d ) = ∫ (− )d = ∫ (− )d ⇒ 2 ∫
( )d = ∫ [ ( ) + (− )]d = ∫ d ⇔ 2 ∫ ( )d = 2 2 ⇔ ∫ ( )d = 2.
Câu 50. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ thỏa điều kiện ( ) + (− ) = 2sin . Tính ∫ ( )d A. −1. B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn B Giả sử = ∫2 ( )d . 2
Đặt = − ⇒ d = −d , đổi cận = − → = = → = − . 2 2 2 2
Khi đó = − ∫ 2 ( )d = ∫2 ( )d . 2 2
Suy ra 2 = ∫2 [ ( ) + (− )]d = ∫2 2sin d = 0 ⇒ 2 = 0 ⇒ = 0 2 2
Câu 51. Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn ( ) + (− ) = 3 − 2cos , ∀ ∈ ℝ. Tính tích phân = ∫2 ( )d . 2 A. = 1. B. = 3 − 2. C. = + 2. D. = 1. 3 2 2 2 Lời giải Chọn B Đặt − = ⇒ d = −d Đổi cận = − ⇒ = ; = ⇒ = − 2 2 2 2
Suy ra = − ∫ 2 (−t)dt = ∫2 (− )dt = ∫2 (− )dx 2 2 2
Do đó 2 = ∫2 [ ( ) + (− )]dx = ∫2 (3 − 2cos )dx = 3 − 4 ⇒ = 3 − 2. 2 2 2
Câu 52. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn ( ) + (− ) = 2cos2 , ∀ ∈ ℝ. Khi đó ∫2 ( )d bằng 2 A. −2. B. 4. C. 2. D. 0. Lời giải Chọn D Với
( ) + (− ) = 2cos2 , ∀ ∈ ℝ
⇒ ∫2 ( ( ) + (− ))d = ∫2 2cos2 d ⇔ 2 2 ∫2 ( )d + ∫2 (− )d = ∫2 2cos2 d (*) 2 2 2
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Tính = ∫2 (− )d 2
Đặt = − ⇒ d = −d ⇒ d = −d . Đổi cận: = ⇒ = − ; = − ⇒ = . 2 2 2 2
Khi đó = − ∫ 2 ( )d = ∫2 ( )d = ∫2 ( )d . 2 2 2 Từ (*), ta được: 2 ∫2
( )d = ∫2 2cos2 d = sin2 |2 = 0 ⇒ ∫2 ( )d = 0. 2 2 2 2
Câu 53. Cho hàm số = ( ) liên tục trên − ;
và thoả mãn 2 ( ) + (− ) = cos . Tính tích phân 2 2 = ∫2 ( ) . 2 A. = −2. B. = 2. C. = 3. D. = 2. 3 2 Lời giải Chọn B
Từ giả thiết, thay bằng − ta được 2 (− ) + ( ) = cos . 2 ( ) + (− ) = cos 4 ( ) + 2 (− ) = 2cos Do đó ta có hệ ⇔ ⇒ ( ) = 1 cos 2 (− ) + ( ) = cos ( ) + 2 (− ) = cos 3 Khi đó ∫2 ( ) = 1 ∫2 cos = 1 sin 2 = 2. 3 3 3 2 2 − 2 Vậy = 2. 3
Câu 54. Cho hàm số = ( ) liên tục trên [−2; 2] và thoả mãn 2 ( ) + 3 (− ) = 1 . Tính tích phân 4 2 2 = ∫ ( )d . 2 A. = − . B. = − . C. = . D. = . 10 20 20 10 Lời giải Chọn C
Từ giả thiết, thay bằng − ta được 2 (− ) + 3 ( ) = 1 . 4 2 2 ( ) + 3 (− ) = 1 4 ( ) + 6 (− ) = 2 Do đó ta có hệ : 4 2 ⇔ 4 2 ⇒ ( ) = 1 . 2 (− ) + 3 ( ) = 1 9 ( ) + 6 (− ) = 3 5 4 2 4 2 4 2 2 2 1 Khi đó = ∫ ( )d = 1 ∫ d = . 2 5 2 4 2 20
Câu 55. Cho ( ) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn ( ) + (− ) = √2 − 2cos2 . Tính tích phân = ∫ ( )d . A. = 3. B. = 4. C. = 6. D. = 8. Lời giải Chọn C 3 3 0 Ta có = ∫ 2 = + 2 3 ( )d ∫ 3 ( )d ∫ ( )d . 0 2 2 0 Xét ∫ 3
( )d Đặt = − ⇒ d = −d ; Đổi cận: = − 3 ⇒ = 3 ; = 0 ⇒ = 0. 2 2 2 3 3 0 0 Suy ra ∫ 3 ( )d = − ∫3
(− )dt = ∫ 2 (− )d = ∫ 2 (− )d . 0 0 2 2
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 3 Theo giả thiết ta có:
( ) + (− ) = √2 − 2cos2 ⇔ ∫ 2 ( ) + (− ) d = 0 3 3 3 3
∫ 2 √2 − 2cos d ⇔ ∫ 2 ( )d + ∫ 2 (− )d = 2 ∫ 2 |sin |d 0 0 0 0 3 3 2 0 2 ⇔ ( )d + ( )d = 2 sin d − 2 sin d 0 3 0 0 2 Câu 56. Cho hàm số
= ( ) liên tục trên R và thỏa mãn ( ) + (− ) = √2 + 2cos2 . Tính = ∫ ( ) . A. = −1. B. = 1. C. = −2. D. = 2. Lời giải = ∫2 ( ) (1) Đặt = − ⇒ = − Đổi cận: 2
⇒ = ∫ 2 (− ). (− ) = ∫2 (− ) = ∫2 (− )
(2) (Tích phân xác định không phụ 2 2 2
thuộc vào biến số tích phân)
(1) + (2) ⇒ 2 = ∫2 [ ( ) + (− )] = ∫2 √2 + 2cos2 2 2 2 2 2 2 2 = 2(1 + cos2 ) = √2 2cos2 = 2 |cos | = 2 cos = 2sin 2 2 2 2 2 = 2[1 − (−1)] = 4 ⇒ = 2 Chọn D
Câu 57. Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn ( ) + (− ) = 2019 2018 + 3 2 − 4, ∀ ∈ ℝ. 2 Tính tích phân = ∫ ( )d . 2 A. = 22018. B. = 0. C. = 22019. D. = 22020. Lời giải Chọn C
Từ giải thiết ( ) + (− ) = 2019 2018 + 3 2 − 4, ∀ ∈ ℝ lấy tích phân hai vế trên [−2; 2] ta 2 2 2 2
được ∫ [ ( ) + (− )]d = ∫ (2019 2018 + 3 2 − 4)d ⇔ ∫ ( )d + ∫ (− )d 2 2 2 2 2 2 = ( 2019 + 3 − 4 ) ⇔ + ∫ (− )d = 22020. 2 2 2 Xét = ∫
(− )d .Đặt = − ta có d = −d . Khi → −2 thì → 2, khi → 2 thì → −2. 2 2 2 2 Do đó = ∫ − ( )d = ∫ ( )d = ∫ ( )d = . 2 2 2 Vậy 2 = 22020 ⇒ = 22019. π 4
Câu 58. Cho hàm số f x liên tục trên  và f x  f x 2 3 2  tan x . Tính
f x dx π4 π π π π A. 1 . B. 1. C. 1 . D. 2  . 2 2 4 2 Lời giải Chọn D
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn π 4 4  1  π π  π  π Cách 1: Ta có 2 tan d x x
1 dx   tan x x 4  1  1    2     2  π    cos x  4  4 2 π  4    4 4 π 4 π  2  
3 f x  2 f x dx .    2 π  4 π π π π
Đặt t  x  dt  dx , đổi cận x    t  , x   t   . 4 4 4 4 π π π 4 4 4
3 f x  2 f x dx  3
f t   2 f t   dt
3 f x  2 f x dx          π π π    4 4 4 π π π π 4 4 4 π 4 π Suy ra,
f x dx
f x dx  2  
3 f x  2 f x  dx  2  
f x dx           2 2 π π π π     4 4 4 4 π 4 π Vậy
f x dx  2   2 π  4
Cách 2: (Trắc nghiệm)
Chọn f x  f x 2
 tan x (Thỏa mãn giả thiết). π π π 4 4 4  1  Khi đó f x 2 dx  tan x dx  1 dx  2      2   cos x  2 π π π    4 4 4
Câu 59. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn 2 ( ) + 3 (− ) = 1 . Tính tích phân = 2 4 2 ∫ ( ) d . 2 A. = − . B. = . C. = . D. = − . 20 10 20 10 Lời giải Chọn C • Ta có: 2 ( ) + 3 (− ) = (1).
• Do các hàm số ( ) và ( ) = 1
liên tục trên ℝ nên lấy tích phân hai vế của (1) trên đoạn 2 4 [ 2 2 − 1
2; 2], ta được: ∫ [2 ( ) + 3 (− )] d = ∫ d . 2 2 2 4 ⇔ 2 ∫ ( ) d + 3 ∫ (− ) d = ∫ d (2). • Ký hiệu = ∫ (− ) d , = ∫
d . Khi đó từ (2) suy ra: 2 + 3 = (3). + Xét = ∫ (− ) d : Đặt = − ⇒ −dt = d . Đổi cận: = −2 ⇒ = 2; = 2 ⇒ = −2. Suy ra = − ∫ ( ) dt = ∫ ( ) dt = ∫ ( ) d = hay = (4). + Tính = ∫ d : Đặt = 2tan ⇒ d = dt = 2(1 + tan )dt. Đổi cận: = −2 ⇒ = − ; = 2 ⇒ = .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Suy ra = ∫
. 2(1 + tan )dt = ∫ dt = hay = ∫ d = (5).
• Thay (4) và (5) (3), ta được: 5 = ⇒ = .
Câu 60. Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn điều kiện: 3 ( ) − (− ) = 1 . 2 3 1 Tích phân ∫ ( ) dx bằng 1 ln3 ln3 A. . B. . C. 2ln3. D. ln3. 2 3 Lời giải Chọn A Ta có 3 ( ) − (− ) = 1 (1) 2 3
Thay = − vào (1) ta có 3 (− ) − ( ) = 1 (2) 2 3 3 ( ) − (− ) = 1 2 3 Từ (1) và (2) ta có hệ ⇒ ( ) = 1 . 3 (− ) − ( ) = 1 2 2 3 2 3 1 1 1 Do đó ta có ∫ ( ) dx = ∫ dx. 1 1 2 2 3 Áp dụng : ′ ′ 2 1 1 ln √ 2 + − = = 2 = − 1 ⇒ ∫ = −ln √ 2 + − + 2 2 2 2 1 1 1 1 ta có ∫ ( ) dx = ∫ dx = − 1 ln √ 2 + 3 − = ln3. 1 1 2 2 3 2 1 2 1 1 (Để tính tích phân ∫ ( ) dx dx = 1
ta có thể dùng đổi biến = − cũng đưa về ∫ ( ) 1 1 1 1 1 ∫ dx = ∫ dx. 1 2 2 3 0 2 3 1 1
- Ta có thể sử dụng máy tính để tính ∫ dx 1
rồi so sánh với đáp án). 2 2 3 Nhận xét 2 1 1 3 1 1 Ta có: ∫ ( ) = 1 ∫ = 1 ∫ = 1 ln + √ 2 + 3 = ln3 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2
Câu 61. Cho hàm số ( ) liên tục trên đoạn [−ln2; ln2] và thỏa mãn ( ) + (− ) = . ln2 Biết ∫
( )d = ln2 + ln3 ( ; ∈ ℚ). Tính = + . ln2 A. = 1. B. = −2. C. = −1. D. = 2. 2 Lời giải Chọn A ln2 Gọi = ∫ ( )d . ln2 Đặt = − ⇒ d = −d .
Đổi cận: Với = −ln2 ⇒ = ln2; Với = ln2 ⇒ = −ln2. ln2 ln2 ln2 Ta được = − ∫ (− )d = ∫ (− )d = ∫ (− )d . ln2 ln2 ln2 ln2 ln2 ln2 ln2 1 Khi đó ta có: 2 = ∫ ( )d + ∫ (− )d == ∫ [ ( ) + (− )]d = ∫ d . ln2 ln2 ln2 ln2 e 1 ln2 1 Xét ∫ d . Đặt = e ⇒ d = e d ln2 e 1
Đổi cận: Với = −ln2 ⇒ = 1; = ln2 ⇒ = 2. 2 ln2 1 ln2 e ln2 1 Ta được ∫ d = ∫ d = ∫ d ln2 e 1 ln2 e (e 1) ln2 ( 1)
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn ln2 1 1 = −
d = (ln| | − ln| + 1|)|2 = ln2 + 1 1 2 ln2 Vậy ta có = 1, = 0 ⇒ + = 1. 2 2
Câu 62. Xét hàm số ( ) liên tục trên [0; 1] và thỏa mãn điều kiện 2 ( ) + 3 (1 − ) = √1 − . Tính tích phân = ∫ ( ) . A. = − 4 . B. = 1 . C. = 4 . D. = 1 . 15 15 75 25 Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức)
Với 2 ( ) + 3 (1 − ) = √1 − ta có = 2; = 3. 1 1 Suy ra: ∫ ( ) = 1 ∫ √1 − = 0,05(3) = 4 . 0 2 3 0 75 Áp dụng kết quả “Cho . ( + ) + . (−
+ ) = ( ) (Với 2 ≠ 2) khi đó . . ( ) = 2 2 ”.
Ta có: 2 ( ) + 3 (1 − ) = √1 −
= ( ) ⇒ ( ) = 2 ( ) 3 (1 ) = 2 √1 3(1 )√ . 22 32 5 1 1 2 √1 3(1 )√ Suy ra: = ∫ ( ) = ∫ = 0,05(3) = 4 . 0 0 5 75
Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 1 1 Từ 2 ( ) + 3 (1 − ) = √1 − ⇒ 2 ∫ ( ) + 3 ∫ (1 − ) = 0 0 1 ∫ √1 − = 0,2(6) = 4 (∗)Đặt = 1 − ⇒ = − ; Với = 0 ⇒ = 1và = 0 15 1 ⇒ = 0. 1 1 1 Suy ra ∫ (1 − ) = ∫ ( ) = ∫ ( )
thay vào (∗), ta được: 0 0 0 2 2 5 ∫ ( ) = 4 ⇔ ∫ ( ) = 4 . 0 15 0 75
Câu 63. Cho hàm số ( ) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn 2 ( ) + 3 (1 − ) = √1 − , ∀ ∈ [0; 1]. 2 Tích phân ∫ ′ d bằng 0 2 A. − 4 . B. − 4 . C. − 16. D. − 16. 75 25 75 25 Lời giải Chọn C Cách 1
2 ( ) + 3 (1 − ) = √1 − , ∀ ∈ [0; 1] 2 (0) + 3 (1) = 0 ⇒ ⇒ (1) = (0) = 0 2 (1) + 3 (0) = 0 1 1 1 Nhận xét: ∫
(1 − )d = ∫ ( )d = ∫ ( )dx 0 0 0 1 1 1 4 ⇒ 5 ( )d = [2 ( ) + 3 (1 − )] d = √1 − d = 15 0 0 0 1 4 ⇒ ( ) d = 75 0 2 1 1 1 Nên ∫ ′
d = ∫ 2 ′( ) 2d = 4 ∫ d
( ) = 4 ( )|1 − 4 ∫ ( )d = 4 (1) − 0 2 0 0 0 0 4. 4 = − 16. 75 75 Cách 2
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 1 1 1 1 - Đặt = ⇒ ∫ ′
d = ∫ 2 ′( )2d = 4 ∫ ′( )d = 4 ( ) − ∫ ( )d (∗) 2 0 2 0 0 0 0
- Ta có 2 ( ) + 3 (1 − ) = √1 − , ∀ ∈ [0; 1]
Cho = 0 ta được 2 (0) + 3 (1) = 0
Cho = 1 ta được 2 (1) + 3 (0) = 0 ⇒ (1) = (0) = 0 (1) 1 1 1 - Mặt khác ∫ (1 − )d = ∫ ( )d = ∫ ( )dx 0 0 0 1 1 ⇒ [2 ( ) + 3 (1 − )] d = √1 − d 0 0 1 1 4 4 ⇒ 5 ( )d = ⇒ ( )d = (2) 15 75 0 0 2
Thế (1), (2) vào (∗) ta được ∫ ′ d = 4 0 − 4 = − 16. 0 2 75 75
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4: d Bài toán: “ Cho ( ). ( + − ) = 2, khi đó = ∫ = ( ) 2 Chứng minh: = − Đặt = + − ⇒ 2 ( ) = và = ⇒ − ; = ⇒ = . ( ) d d f( )d Khi đó = ∫ = ∫ = 1 ∫ . ( ) 2 ( ) ( ) d f( )d 2 = ∫ + 1 ∫ = 1 ∫ d = 1 ( − ) ⇒ = . ( ) ( ) 2
Câu 64. Cho hàm số ( ) liên tục và nhận giá trị dương trên [0; 1]. Biết ( ). (1 − ) = 1 với ∀ ∈ [0; 1]. Tính giá trí = ∫ ( ) 3 1 A. . B. . C. 1. D. 2. 2 2 Lời giải Chọn B ( )
Ta có: 1 + ( ) = ( ) (1 − ) + ( ) ⇒ = 1 1 ( ) (1 ) 1 1 d Xét = ∫ . 0 1 ( ) Đặt = 1 − ⇔
= 1 − ⇒ d = −d . Đổi cận: = 0 ⇒ = 1; = 1 ⇒ = 0. 0 d 1 d 1 d 1 ( )d Khi đó = − ∫ = ∫ = ∫ = ∫ 1 1 (1 ) 0 1 (1 ) 0 1 (1 ) 0 1 ( ) 1 d 1 ( )d 1 1 ( ) 1 Mặt khác ∫ + ∫ = ∫
d = ∫ d = 1 hay 2 = 1. Vậy = 1. 0 1 ( ) 0 1 ( ) 0 1 ( ) 0 2
Câu 65. Giả sử hàm số ( ) liên tục và dương trên đoạn [0; 3] thỏa mãn ( ). (3 − ) = 4. Tính tích 3 1 phân = ∫ d . 0 2 ( ) A. = . B. = . C. = . D. = . Lời giải Chọn C ( ). (3 − ) = 4 Ta có ⇒ (3 − ) = 4 . ( ) > 0, ∀ ∈ [0; 3] ( ) 3 1 = d 2 + ( ) 0 Đặt = 3 − ⇒ d = −d
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Đổi cận = 0 ⇒ = 3; = 3 ⇒ = 0. Thay vào ta được 3 3 3 3 ( ) 3 ( ) = 1 1 1 ∫ dt = ∫ d = ∫ d = ∫ d = 1 ∫ d . 0 2 (3 ) 0 2 (3 ) 4 0 2 0 2 ( ) 4 2 0 ( ) 2 ( ) 3 3 3 1 ( ) + 2 − 2 1 2 1 1 3 = d = 1 − d = |3 − d = − 2 ( ) + 2 2 ( ) + 2 2 0 ( ) + 2 2 0 0 0
⇒ = 3 − ⇒ 2 = 3 ⇒ = 3. 2 2 4 Vậy = 3. 4
Câu 66. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ, ta có ( ) > 0 và (0). (2018 − ) = 1. Giá trị của tích phân = ∫ ( ) A. = 2018.
B. = 0# . = 1009# . 4016 Lời giải Chọn C 2018 1 ta có = ∫ d = 2018 0 = 1009. 0 1 ( ) 2.1 Câu 67. Cho hàm số
= ( ) có đạo hàm, liên tục trên ℝ và ( ) > 0 khi ∈ [0; 5] Biết .
( ). (5 − ) = 1 tính tích phân = ∫ . , ( ) A. = 5. B. = 5. C. = 5. D. = 10. 4 3 2 Lời giải Chọn C Đặt = 5 − ⇒ d = −d = 0 ⇒ = 5; = 5 ⇒ = 0 0 5 ( ) = − d d ∫ = ∫ (do (5 − ) = 1 ) 5 1 (5 ) 0 1 ( ) ( ) 5 ⇒ 2 = ∫ d = 5 ⇒ = 5. 0 2 Câu 68. Cho hàm số
= ( ) có đạo hàm liên tục trên R và ( ) > 0 khi x  [0; a] ( > 0). Biết
( ). ( − ) = 1, tính tích phân = ∫ . ( ) A. = . B. = 2 . C. = . D. = . 2 3 4 Lời giải: = ∫ (1) Đặt = − ⇒ = − 0 1 ( ) Đổi cận: 0 ⇒ = 1 1 ∫ − = ∫ = ∫
(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc 1 ( ) 0 1 ( ) 0 1 ( ) vào biến số tích phân) 1 (1) + (2) ⇒ 2 = ∫ + 1 0 1 ( ) 1 ( ) 2 = 1 ( ) 1 ( ) = 2 ( ) ( ) ∫ = ∫ = ⇒ = 1 ( ). ( ) ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) 0 2 Chọn A ( ). ( − ) = 1
Câu 69. Cho ( ) là hàm liên tục trên đoạn [0; ] thỏa mãn và ∫ = , ( ) > 0, ∀ ∈ [0; ] ( )
trong đó , là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó + có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
A. (11; 22). # . (0; 9). # . (7; 21). # . (2017; 2020). Lời giải Chọn B Cách 1. Đặt = − ⇒ d = −d
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Đổi cận = 0 ⇒ = ; = ⇒ = 0. d 0 d d d ( )d Lúc đó = ∫ = ∫ = ∫ = ∫ = ∫ 0 1 ( ) 1 ( ) 0 1 ( ) 1 0 1 0 1 ( ) ( ) d ( )d Suy ra 2 = + = ∫ + ∫ = ∫ 1d = 0 1 ( ) 0 1 ( ) 0 Do đó = 1 ⇒ = 1; = 2 ⇒ + = 3. 2
Cách 2. Chọn ( ) = 1 là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được = 1 ⇒ = 1; = 2 ⇒ + = 3. 2
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5: CÓ HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, CÓ CẬN ĐỐI XỨNG.
Phương pháp: Để giải các bài toán tích phân liên quan đến hàm số chẵn hàm lẻ, ta thường sử
dụng phép đổi biến = − và kết hợp tính chất của hàm số chẵn (lẻ):
• ( )là hàm số chẵn trên khi và chỉ khi ∀ ∈ thì ( ) = (− );
• ( )là hàm số lẻ trên khi và chỉ khi ∀ ∈ thì ( ) = − (− ).
Ngoài ta cũng hay sử dụng một số tính chất tích phân hàm số chẵn và hàm số lẻ:
• Nếu hàm số ( )liên tục và lẻ trên đoạn [− ; ] thì ∫ ( ) = 0 • Nếu hàm số ( )liên tục và chẵn trên đoạn [− ; ] thì 0 ∫ ( ) = 2 ∫ ( ) = 2 ∫ ( ) 0
• Nếu hàm số ( )liên tục và chẵn trên đoạn [− ; ] và > 0, ≠ 1 thì ( ) 1 = ( ) = ( ) 1 + 2 0
Câu 70. Cho ( ) và ( ) là hai hàm số liên tục trên [−1,1] và ( ) là hàm số chẵn, ( ) là hàm số lẻ. Biết ∫ ( ) = 5 và ∫ ( )
= 7. Mệnh đề nào dưới đây sai? 1 1 A. ∫ ( ) = 10. B. ∫ ( ) = 14. 1 1 1 C. ∫ [ ( ) + ( )] = 10. D. 1 Lời giải 1 0 1 Đặt = ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) 1 1 0 1 2 0 1 = ∫ ( ) . Đặt = − ⇒ = − 1 Đổi cận: 0 1 1
⇒ 1 = ∫ (− ). (− ) = ∫ (− ) = ∫ (− )
(Do tích phân xác định không phụ thuộc 1 0 0 1
vào biến số tích phân) = ∫ ( )
(Do ( ) là hàm chẵn ⇒ (− ) = ( )) 0 1 1 1 Vậy = ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) = 10 (1) 1 0 0 1 0 1 Đặt = ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) 1 1 0 1 2 0 1 = ∫ ( ) . Đặt = − ⇒ = − 1 Đổi cận:
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 0 1 1 ⇒ 1 = ∫ (− ). (− ) = ∫ (− ) = ∫ (− )
(Do tích phân xác định không phụ thuộc 1 0 0 1
vào biến số tích phân) = − ∫ ( ) (Do ( ) là hàm chẵn ⇒ (− ) = − ( )) 0 1 1 1 Vậy = ∫ ( ) = − ∫ ( ) + ∫ ( ) = 0 (2) 1 0 0 Từ (1) và (2) Chọn B Câu 71. Cho hàm số
= ( ) là hàm lẻ và liên tục trên [−4; 4] biết ∫ (− )d = 2 và ∫ (−2 )d = 4. Tính = ∫ ( )d . A. = −10. B. = −6. C. = 6. D. = 10. Lời giải Chọn B
Cách 1: Sử dụng công thức: ∫ 2 ( + )d = 1 ∫ 2 ( )d và tính chất ∫ ( )d = 0 với 1 1
( ) là hàm số lẻ trên đoạn [− ; ]. Áp dụng, ta có: 2 4 2 2 4 = ∫ (−2 )d = − 1 ∫ ( )d = 1 ∫ ( )d ⇔ ∫ ( )d = 8. 1 2 2 2 4 4 0 0 2 2 2 = ∫
(− )d = − ∫ ( ) = ∫ ( ) ⇔ ∫ ( ) = 2 2 2 0 0 4 2 0 4 Suy ra: 0 = ∫ ( )d = ∫ ( )d + ∫ ( )d + ∫ ( )d 4 4 2 0 2 2 ⇔ 0 = 8 + ∫ ( )d − ∫ ( )d
+ ⇔ 0 = 8 + (0 − 2) + ⇔ = −6. 2 0 0
Cách 2: Xét tích phân ∫ (− )d = 2. 2 Đặt − = ⇒ d = −dt. 0 0 Đổi cận: khi = −2 thì = 2; khi = 0 thì = 0 do đó ∫ (− )d = − ∫ ( )dt = 2 2 2 2 2 ∫ ( )dt ⇒ ∫ ( )dt = 2 ⇒ ∫ ( )d = 2. 0 0 0
Do hàm số = ( ) là hàm số lẻ nên (−2 ) = − (2 ). 2 2 2 Do đó ∫
(−2 )d = − ∫ (2 )d ⇒ ∫ (2 )d = −4. 1 1 1 2 Xét ∫ (2 )d . 1 Đặt 2 = ⇒ d = 1 dt. 2 2 1 4
Đổi cận: khi = 1 thì = 2; khi = 2 thì = 4 do đó ∫ (2 )d = ∫ ( )dt = −4 1 2 2 4 4 ⇒ ∫
( )dt = −8 ⇒ ∫ ( )d = −8. 2 2 4 2 4 Do = ∫
( )d = ∫ ( )d + ∫ ( )d = 2 − 8 = −6. 0 0 2 ( )
Câu 72. Cho hàm số chẵn = ( ) liên tục trên ℝ và ∫ d = 8. Giá trị của ∫ ( )d bằng: A. 8. B. 2. C. 1. D. 16. Lời giải Chọn D 1 (2 ) 0 (2 ) 1 (2 ) +) Ta có 8 = ∫ d = ∫ d + ∫ d . (1) 1 1 5 1 1 5 0 1 5 0 (2 ) Xét = ∫ d : 1 1 5
Đặt = − ⇒ d = −d . Đổi cận: = −1 ⇒ = 1 và = 0 ⇒ = 0. Khi đó 0 ( 1 ( 1 = 2 ) 2 ) 5 ( 2 ) ∫ (−d ) = ∫ d = ∫ d . 1 1 5 0 1 5 0 5 1
Vì = ( ) là hàm chẵn trên ℝ nên (−2 ) = (2 ), ∀ ∈ ℝ. 1 5 (2 ) 1 5 (2 ) Do đó = ∫ d = ∫
d . Thay vào (1) thu được 0 5 1 0 5 1 1 5 (2 ) 1 (2 ) 1 5 1 (2 ) 1 8 = ∫ d + ∫ d = ∫ d = ∫ (2 )d . 0 5 1 0 1 5 0 5 1 0
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 2 ⇒ 1 ∫
(2 )d(2 ) = 8 ⇒ ∫ ( )d = 16. 2 0 0 ( )
Câu 73. Cho ( ) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn [−1; 1] và ∫ ( )d = 2. Kết quả = ∫ d bằng A. = 1. B. = 3. C. = 2. D. = 4. Lời giải Chọn A 1 0 1 ( ) ( ) ( ) = d = d + d = 1 + e 1 + e 1 + e 1 + 2 1 1 0 0 ( ) Xét 1 = ∫ d 1 1 e
Đặt = − ⇒ d = −d , đổi cận: = 0 ⇒ = 0, = −1 ⇒ = 1 0 ( ) ( 1 e . ( ) 1 = ∫ −d ) = ∫ d . 1 1 e 0 1 e 1 e . ( ) 1 e . ( ) Lại có ∫ d = ∫ d . 0 1 e 0 1 e 1 ( ) 1 e . ( ) 1 ( ) 1 1 e . ( ) 1 Suy ra: = ∫ d = ∫ d + ∫ d = ∫ d = ∫ ( )d = 1 1 e 0 1 e 0 1 e 0 1 e 0 1 1 ∫ ( )d = 1. 2 1
Câu 74. Cho = ( ) là hàm số chẵn và liên tục trên ℝ. Biết ∫ ( )d = ∫ ( )d = 1. Giá trị của ( ) ∫ d bằng A. 1. B. 6. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn D
Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn ( ) Ta có: ∫ d = ∫
( )d , với ( ) là hàm số chẵn và liên tục trên [− ; ]. 1 0 Áp dụng ta có: 2 2 1 2 ( ) d = ( )d = ( )d + ( )d = 1 + 2 = 3 3 + 1 2 0 0 1 1 1 2 1 2 Cách 2: Do ∫
( )d = ∫ ( )d = 1 ⇒ ∫ ( )d = 1 và ∫ ( )d = 2 0 2 1 0 1 1 2 2 ⇒ ∫
( )d + ∫ ( )d = ∫ ( )d = 3. 0 1 0 2 ( ) 0 ( ) 2 ( ) Mặt khác∫ d = ∫ d + ∫
d và = ( ) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ 2 3 1 2 3 1 0 3 1
⇒ (− ) = ( ) ∀ ∈ ℝ. 0 ( ) Xét = ∫ d . Đặt = − ⇒ d = −d 2 3 1 0 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( ) Suy ra = ∫ d = − ∫ d = ∫ d = ∫ d = ∫ d 2 3 1 2 3 1 1 0 1 0 3 1 0 3 1 3 2 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ⇒ 3 ( ) 3 1 ( ) ∫ d = ∫ d + ∫ d = ∫ d + ∫ d = ∫ d = 2 3 1 2 3 1 0 3 1 0 3 1 0 3 1 0 3 1 2 ∫ ( )d = 3. 0
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6:
“ Cho hàm số = ( ) thỏa mãn [ ( )] = và ( ) là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc
nghịch biến) trên ℝ.Hãy tính tích phân = ∫ ( ) “
Cách giải: Đặt = ( ) ⇒ = ( ) ⇒ = ′( ) = → ( ) = ⇔ = Đổi cận = → ( ) = ⇔ =
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Suy ra = ∫ ( ) = ∫ ( )
Câu 75. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn
( ) + ( ) = , ∀ ∈ ℝ. Tính = ∫ ( ) A. = 2. B. = 3. C. = 1. D. = 5. 2 2 4 Lời giải Chọn D Đặt = ( ) ⇒ = 3 + ⇒ = (3 2 + 1) = 0 → 3 + = 0 ⇔ = 0 Đổi cận = 2 → 3 + = 2 ⇔ = 1 2 1 1 Khi đó = ∫ ( ) = ∫ (3 2 + 1) = ∫ (3 3 + ) = 5 ⇒ đáp án D 0 0 0 4
Câu 76. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn 2 ( ) − 3
( ) + 6 ( ) = , ∀ ∈ ℝ. Tính tích phân = ∫ ( ) d . A. = 5. B. = 5. C. = 5 . D. = 5. 4 2 12 3 Lời giải Chọn B Đặt = ( ) ⇒
= 2 3 − 3 2 + 6 ⇒ d = 6( 2 − + 1)d . Đổi cận: với
= 0 ⇒ 2 3 − 3 2 + 6 = 0 ⇔
= 0 và = 5 ⇒ 2 3 − 3 2 + 6 = 5 ⇔ = 1. 1 1 1 Khi đó = ∫
( ) d = ∫ . 6( 2 − + 1) d = 6 ∫ ( 3 − 2 + ) d = 5. 0 0 0 2
Câu 77. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn +
( ) + 2 ( ) = 1, ∀ ∈ ℝ. Tính = ∫ ( ) d . A. = 7. B. = 7. C. = 7. D. = 5. 4 2 3 4 Lời giải Chọn A Đặt = ( ) ⇒
= − 3 − 2 + 1 ⇒ d = (−3 2 − 2)d .
Đổi cận: Với = −2 ⇒ − 3 − 2 + 1 = −2 ⇔
= 1; = 1 ⇒ − 3 − 2 + 1 = 1 ⇔ = 0.
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận
có một trong các tích phân sau: ∫ ( ). ′( ). hoặc ∫ ′( ). ( ). . Câu 1.
Cho hàm số ( ) thỏa mãn ∫ ( + 1) ′( )
= 10 và 2 (1) − (0) = 2. Tính = ∫ ( ) . A. = 8. B. = −8. C. = 4. D. = −4. Lời giải Chọn B = ∫ ( + 1) ′( ) Đặt = + 1 ⇒ = , = ′( ) chọn = ( ) ⇒ = ( + 1). ( )| − ( ) = 2 (1) − (0) − ( ) = 2 − ( ) = 10 ⇒ ( ) = −8 2 Câu 2. Biết rằng hàm số
= ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn (2) = 5; ∫ ( ) = 4. Tính = 0 3 1 ∫ ′(2 ) . 0 A. = 7. B. = 12. C. = 20. D. = 13. 6 Lời giải Chọn D 2 Theo đề bài: ∫ ( ) = 4. 0 3 Đặt: = 2 ⇒ = 2 . Đổi cận: 1 2 2 1 2 1 Khi đó: ∫ (2 ) = ∫ ( ). = 1 ∫ ( ). = ∫ ( ) = . 4 = 2. 0 0 2 2 0 2 0 2 3 3 1 Tính = ∫ ′(2 ) . 0 = = Đặt: = ′(2 ) ⇒ = 1 (2 ) 2 Ta có: 1 1 = ∫ ′(2 ) = 1 . (2 ) 1 − 1 ∫ (2 ) = 1 . 5 − 1 . 2 = 13. 0 2 0 2 0 2 2 3 6 Câu 3.
Cho hàm số = ( ) thỏa mãn (
+ 3 + 1) = 3 + 2, ∀ ∈ ℝ. Tính = ∫ . ′( ) . A. . B. . C. . D. −1761. Lời giải Chọn C = = Đặt = ′( ) ⇒ = ( ) ⇒ = ( )| − ∫ ( ) . (5) = 5 ( = 1) Từ ( + 3 + 1) = 3 + 2 ⇒ , suy ra = 23 − ∫ ( ) . (1) = 2 ( = 0) = (3 + 3) Đặt = + 3 + 1 ⇒ ( ) = 3 + 2
Đổi cận: Với = 1 ⇒ 1 = + 3 + 1 ⇔ = 0 và = 5 ⇒ + 3 + 1 = 5 ⇔ = 1. Khi đó = 23 − ∫ ( ) = 23 − ∫ (3 + 2)(3 + 3) =
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 Câu 4.
Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trện ℝ và (2) = 2019, ∫ ( ) = 2020. Tính 0 4 ∫ ′(√ ) . 0 A. 2020. B. 4040. C. √2020. D. 4036. Lời giải Chọn D Đặt = √ ⇒ 2 = ⇒ = 2 Đổi cận 4 2 2 Suy ra ∫ ′(√ ) = 2 ∫ . ′( ) = 2 ∫ ′( ) 0 0 0 = = Đặt = ′( ) ⇒ = ( ) 2 2 ⇒ 2 ∫ ′( ) = 2[ ( )|2 − ∫ ( )
] = 2[2.2019 − 2020] = 4036. 0 0 0 1 Câu 5.
Cho hàm số = ( ) có đạo hàm xác định trên ℝ. Biết (1) = 5 và ∫ . ′( )d = 3. Tính = 0 4 √ 1 ∫ d . 1 √ A. 3. B. 4. C. 8. D. 6. Lời giải Chọn B Theo giả thiết: 1 1 1 . ′( )d = 3 ⇔ . d ( ) = 3 ⇔ . ( )|1 − ( ) 0 d = 3 0 0 0 1 1 ⇔ (1) − ∫
( )d = 3 ⇔ ∫ ( )d = 2. 0 0 4 √ 1 Xét = ∫ d 1 √
Đặt √ − 1 = ⇒ d = d ⇒ d = 2d . 2√ √ Đổi cận: 1 1 Khi đó: = ∫ ( )2d = 2 ∫ ( )d = 4. 0 0 Câu 6.
Cho hàm số ( ) có ′( ) và ′′( ) liên tục trên đoạn [1 ; 3]. Biết (1) = 1, (3) = 81, ′(1) = 3
4, ′(3) = 108. Giá trị của ∫ (4 − 2 ). ′′( )d bằng 1 A. 48. B. −64. C. −48. D. 64. Lời giải Chọn B = 4 − 2 d = −2d Đặt . Khi đó d = ′′( )d = ′( ) . Suy ra: 3 3
(4 − 2 ). ′′( )d = [(4 − 2 ). ′( )] 3 − ′( ). (− 1 2d ) 1 1 3
= [(4 − 2 ). ′( )] 3 + 1 2 ′( )d 1
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
= [(4 − 2 ). ′( )] 3 + 3 1 2 ( ) 1
= −2 ′(3) − 2 ′(1) + 2 (3) − 2 (1)
= −2.108 − 2.4 + 2.81 − 2.1 = −64. 3
Vậy ∫ (4 − 2 ). ′′( )d = −64. 1 Câu 7.
Cho hàm số ( ) có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn ∫
⋅ ′(2 − 4)d = 8; (2) = 2. Tính = ∫ (2 )d . A. = −5. B. = −10. C. = 5. D. = 10. Lời giải Chọn B + Xét = ∫ ⋅ ′(2 − 4)d = 8.
Đặt = và d = ′(2 − 4)d = d
(2 − 4) , ta được d = d và = (2 − 4). ⇒ = . (2 − 4) 3 − ∫ (2 − 4)d = (2) − ∫ (2 − 4)d = 3 − ∫ (2 − 0 4)d . Vì = 8 ⇒ 3 − ∫ (2 − 4)d = 8 ⇒ ∫ (2 − 4)d = −10.
Đặt 2 = 2 − 4 ⇒ 2d = 2d ⇔ d = d Đổi cận: 03 −21 = ∫ (2 )d = ∫ (2 )d = −10. Vậy = −10. Câu 8.
Cho hàm số = ( ) với (0) = (1) = 1. Biết rằng ∫ e [ ( ) + ′( )]d = e + , , ∈
ℝ. Giá trị của biểu thức + bằng A. 2 + 1. B. 2. C. 0. D. 2 − 1. Lời giải Chọn C Cách 1:
Ta có ∫ e [ ( ) + ′( )]d = ∫ e ( )d + ∫ e ′( )d .
Đặt = ( ), d = e d ; ta có d = ′( )d , = e . Khi đó, ∫ e ( )d = [e
( )] | − ∫ e ′( )d ⇔ ∫ e ( )d + ∫ e ′( )d = [e ( )] |
⇒ ∫ e [ ( ) + ′( )]d = [e
( )]| = e. (1) − (0) = e − 1.
Theo đề bài ∫ e [ ( ) + ′( )]d
= e + , , ∈ ℝ suy ra = 1, = −1. Do đó + = 1 + (−1) = 0. Cách 2:
Ta có ∫ e [ ( ) + ′( )]d = ∫ [e ( )] d = [e
( )]| = e. (1) − (0) = e − 1.
Theo đề bài ∫ e [ ( ) + ′( )]d
= e + , , ∈ ℝ suy ra = 1, = −1. Do đó + = 1 + (−1) = 0. Câu 9.
Cho hàm số ( ) và ( ) liên tục, có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn ′(0). ′(2) ≠ 0 và
( ) ′( ) = ( − 2)e . Tính giá trị của tích phân = ∫ ( ). ′( )d ? A. −4. B. e − 2. C. 4. D. 2 − e. Lời giải Chọn C
Ta có ( ) ′( ) = ( − 2)e ⇒
(0) = (2) = 0 (vì ′(0). ′(2) ≠ 0)
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn = ∫ ( ). ′( )d = ∫ ( )d ( ) = ( ). ( ) − ∫ ( ). ′( )d = − ∫ ( − 2 )e d = 4. 1
Câu 10. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên [1; 0] thỏa mãn (1) = 0, ∫ [ ′( )]2 = 3 − 2ln2 0 2 1 ( ) 1 và ∫ = 2ln2 − 3. Tính ∫ ( ) bằng 0 ( 1)2 2 0 1 ln2 3 4ln2 3 2ln2 1 2ln2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D = ( ) = ′( ) 1 ( ) Xét ∫ . Đặt ⇒ 0 ( 1)2 = 1 = − 1 + 1 ( 1)2 1 1 ( ) 1 1 Ta có: ∫ = − 1 + 1 ( ) − ∫ ′( ). = 2ln2 − 3 0 ( 1)2 1 0 0 ( 1)2 2 1 1 1 ⇒ ∫ ′( ). = 3 − 2ln2 ⇒ ∫ ′( ). = ∫ [ ′( )]2 0 ( 1)2 2 0 ( 1)2 0 ⇒ ′( ) = ⇔ ( ) =
− ln| + 1| + . Do (1) = 0 nên ta có: = ln2 − 1 1 1 1 Vậy ∫ ( )
= ∫ [ − ln| + 1| + ln2 − 1] == 1 2ln2 0 0 2 ( )
Câu 11. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm và liên tục trên 0; thỏa mãn = 3, ∫ d = 1 và
∫ [sin . tan . ( )]d = 2. Tích phân ∫ sin . ′( )d bằng: √ √ A. 4. B. . C. . D. 6. Lời giải Chọn B = sin d = cos d
Ta có: = ∫ sin . ′( )d . Đặt ⇒ d = ′( )d = ( ) .
= sin . ( )| − ∫ cos . ( )d = √ − . ( ) ( )
2 = ∫ [sin . tan . ( )]d = ∫ sin . d = ∫ (1 − cos ). d . ( ) = ∫
d − ∫ cos . ( )d = 1 − . ⇒ = −1 ⇒ = √ + 1 = √ . Câu 12. Cho hàm số
= ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ, (0) = 0 và ( ) + − = sin . cos . 2
Giá trị tích phân ∫2 . ′( )d bằng 0 A. . B. − . C. − . D. . Lời giải Chọn C Ta có: + (0) = 0 ⇒ = 0 2 2 Mặt khác: ∫2 ( ) + −
d = ∫2 sin . cos d ⇔ 2 ∫2 ( )d = 1 ⇔ ∫2 ( )d = 1. 0 2 0 0 2 0 4 Xét, = ∫2 . ′( )d 0 = d = d Đặt 2 − 2 = − 2 = − 1 d = ′( ) ⇒ = ( ) ⇒ = . ( )| ∫ ( )d ∫ ( )d . 0 0 0 4 Vậy = − 1. 4
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1
Câu 13. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn ∫ ( ) d = 10, (1) = cot1. Tính 0 1
tích phân = ∫ [ ( )tan2 + ′( )tan ] d . 0
A. 1 − ln(cos1). B. −1. C. −9. D. 1 − cot1. Lời giải Chọn C Cách 1: 1 1 1
+ = ∫ [ ( )tan2 + ′( )tan ] d = ∫
( )tan2 d + ∫ ′( )tan d (1). 0 0 0 1 + Tính = ∫ ′( )tan d . 0 = tan d = (1 + tan2 )d Đặt , ta có . d = ′( )d = ( ) 1 ⇒ = ( ). tan |1 − ( ). ( 0 1 + tan2 ) d 0 1 1 = (1). tan1 − (0). tan0 − ( ). tan2 d − ( ) d 0 0 1 = cot1. tan1 − ( ). tan2 d − 10 0 1 1 = 1 − ∫
( ). tan2 d − 10 = −9 − ∫ ( ). tan2 d . 0 0 Thay vào (1) ta được: 1 1 = ∫
( )tan2 d + −9 − ∫ ( ). tan2 d = −9. 0 0 Cách 2:
Ta có: ( ( )tan )′ = ′( )tan + ( )(tan2 + 1) = ′( )tan + ( )tan2 + ( )
⇒ ′( )tan + ( )tan2 = [ ( )tan ]′ − ( ). 1 1 ⇒ =
[ ( )tan2 + ′( )tan ]d =
{[ ( )tan ]′ − ( )}d 0 0 1 = ( )tan |1 − = ( 0 ∫ ( )d
1)tan1 − 10 = cot1. tan1 − 10 = −9. 0
Câu 14. Cho hàm số ( ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0; 2]. Biết (0) = 1 và 3 ( ) ( 2 3 2 ′( )
2 − ) = 2 2 4 với mọi ∈ [0; 2]. Tính tích phân = ∫ . 0 ( ) A. = − 14. B. = − 32. C. = − 16. D. = − 16. 3 5 3 5 Lời giải Chọn D
Từ giả thiết ( ) (2 − ) = 2 2 4 , cho = 2, ta có (2) = 1. 3 = 3 − 3 2 2 3 2 ′( ) = (3 2 − 6 ) Ta có = ∫ . Đặt ⇒ . 0 ( ) = ′( ) = ln| ( )| ( ) Khi đó, ta có 2 2 = ( 3 − 3 2)ln| ( )| 2 − = − = − 0 ∫ (3 2 − 6 )ln| ( )| 3 ∫ ( 2 − 2 )ln| ( )| 3 . 0 0
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 0 2 = ( 2 − 2 )ln| ( )| =
[(2 − )2 − 2(2 − )]ln| (2 − )| (2 − ) 0 2 0 2
= ∫ [(2 − )2 − 2(2 − )]ln| (2 − )| (2 − ) = ∫ [ 2 − 2 ]ln| (2 − )| . 2 0 Suy ra 2 2 2 2 = [ 2 − 2 ]ln| ( )| + [ 2 − 2 ]ln| (2 − )| = [ 2 − 2 ]ln| ( ) (2 − )| 0 0 0 2 2 = ∫ [ 2 − 2 ] ln 2 2 4 = ∫ ( 2 − 2 )(2 2 − 4 ) = 32 ⇒ = 16. 0 0 15 15 Vậy = −3 = − 16. 5
Câu 15. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn [ 1
′( )]2 = 4. [2 2 + 1 − ( )] với mọi thuộc đoạn [0; 1] và (1) = 2. Giá trị = ∫ ( ) d 0 bằng 3 5 11 4 A. . B. . C. . D. . 4 3 4 3 Lời giải Chọn A
Ta có [ ′( )]2 = 4. [2 2 + 1 − ( )] ⇔ [ ′( )]2 + 4 ( ) = 4. (2 2 + 1). 1 1
Lấy tích phân hai vế từ 0 đến 1 ta được ∫ [[ ′( )]2 + 4 ( )] d = ∫ 4. (2 2 + 1)d 0 0 1 1
⇔ ∫ [ ′( )]2 d + 4 ∫ ( ) d = 20. (*) 0 0 3 1 = ( ) 1 Xét = ∫ ( )d . Đặt ⇒ d = ′( )d ⇒ = ( )|1 − ∫ ′( )d 0 d = d = 0 0 1 1 1 1
Khi đó (*) ⇔ ∫ [ ′( )]2 d +4
( )|1 − ∫ 4 ′( )d = 20 ⇔ ∫ [ ′( )]2 d − ∫ 4 ′( )d + 0 0 0 3 0 0 4 = 0 3 1 1 1 1 2
⇔ ∫ [ ′( )]2 d − ∫ 4
′( )d + ∫ 4 2d = 0 ⇔ ∫ [ ′( ) − 2 ] d = 0 ⇔ ′( ) = 2 . 0 0 0 0 1
⇒ ( ) = 2 + . Vì (1) = 2 nên = 1 ⇒ ( ) = 2 + 1. Vậy ∫ ( )d = 3. 0 4
Câu 16. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên [−1 ; 1] và thỏa (1) = 0, ′( ) + 4 ( ) = 8
+ 16 − 8 với mọi thuộc [−1 ; 1]. Giá trị của ∫ ( )d bằng A. − . B. . C. . D. − . Lời giải Chọn A Cách 1. Đặt = ∫ 2 ( )d . = ( ) d = ′( )d
Dùng tích phân từng phần, ta có: ⇒ . d = 2d = 2 + 2 = (2 + 2) ( )|
− ∫ (2 + 2) ′( )d = 4 (1) − ∫ (2 + 2) ′( )d = − ∫ (2 + 2) ′( )d . Ta có ′( ) + 4 ( ) = 8 + 16 − 8 ⇒ ∫ ′( ) d + 2 ∫ 2 ( )d = ∫ (8 + 16 − 8)d ⇔ ∫ ′( )
d − 2 ∫ (2 + 2) ′( )d + ∫ (2 + 2) d = ∫ (8 + 16 − 8)d +
∫ (2 + 2) d ⇔ ∫ [ ′( ) − (2 + 2)] d = 0 ⇔ ′( ) = 2 + 2 ⇒ ( ) = + 2 + , ∈ ℝ.
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Mà (1) = 0 ⇒ = −3 ⇒ ( ) = + 2 − 3 ⇒ ∫ ( )d = ∫ ( + 2 − 3)d = − . Cách 2. Chọn ( ) = +
+ ( ≠ 0) (lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai). ⇒ ′( ) = 2 + . Ta có: ′( ) + 4 ( ) = 8 + 16 − 8 ⇒ (2 + ) + 4( + + ) = 8 + 16 − 8 ⇔ (4 + 4 ) + (4 + 4 ) + + 4 = 8 + 16 − 8 4 + 4 = 8 = 1 = −2 ⇒ 4 + 4 = 16 ⇔ = 2 hoặc = −4. + 4 = −8 = −3 = −6 Do (1) = 0 ⇒ + + = 0 ⇒ = 1, = 2 và = −3. Vậy ( ) = + 2 − 3 ⇒ ∫ ( )d = ∫ ( + 2 − 3)d = − .
Câu 17. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn (1) = 1 và ′( ) + 4(6 − 1). ( ) = 40 − 44 + 32
− 4, ∀ ∈ [0; 1]. Tích phân ∫ ( ) bằng? A. . B. . C. − . D. − . Lời giải Chọn B ′( ) + 4(6 − 1). ( ) = 40 − 44 + 32 − 4 ⇒ ∫ ′( ) + ∫ 4(6 − 1). ( ) = ∫ (40 − 44 + 32 − 4) . (1) Xét = ∫ 4(6 − 1). ( ) = ∫ (24 − 4) ( ) . = ( ) = ′( ) Đặt ⇒ . = (24 − 4) = 8 − 4 ⇒ = (8 − 4 ). ( )| − (8 − 4 ). ′( ) = 4 − 2 (4 − 2 ). ′( ) . Do đó: (1) ⇒ ′( ) − 2 (4 − 2 ). ′( ) + (4 − 2 ) = (56 − 60 + 36 − 8) . ⇒ ∫ [ ′( ) − (4 − 2 )] = 0 ⇒ ′( ) = 4 − 2 ⇒ ( ) = − + . Mà (1) = 1 ⇒ = 1 ⇒ ( ) = − + 1. Do đó ∫ ( ) = ∫ ( − + 1) = . Câu 18. Cho hàm số
( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; ] thỏa mãn: ∫ [ ′( )] d = ∫ cos . ( ) d = và = 1. Khi đó tích phân ∫ ( )d bằng A. 0. B. + 1. C. . D. − 1. Lời giải Chọn B
*) Xét tích phân = ∫ cos . ( ) d . = ( ) d = ′( )d Đặt ⇒ d = cos d = sin
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
= sin . ( )| − ∫ sin . ′( )d = − ∫ sin . ′( )d .
Theo giả thiết = , suy ra ∫ sin . ′( )d = − .
*) Tìm số thực thỏa mãn ′( ) + . sin = 0. Khi đó ∫ [ ′( ) + . sin ] d = 0. ⇔ [ ′( )] d + 2 sin . ′( )d + sin d = 0 ⇔ + 2 . − + . = 0 ⇔ − 2 + 1 = 0 ⇔ = 1.
Từ đó, ′( ) + sin = 0 ⇒ ′( ) = −sin ⇒ ( ) = cos + . Do
= 1 nên = 1. Vậy ( ) = cos + 1. *) Ta có ∫
( )d = ∫ (cos + 1)d = (sin + )| = 1 + . Trắc nghiệm:
Từ giả thiết ∫ [ ′( )] d = và ∫ sin . ′( )d = − ta suy ra được ′( ) = −sin .
Từ đó giải tiếp như phần trên. Câu 19. Cho hàm số
( ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn = 0, ∫ [ ′( )] d = và
∫ cos ( )d = . Tính (2018 ). A. −1. B. 0. C. . D. 1. Lời giải Chọn D
Bằng công thức tích phân từng phần ta có ∫ cos ( )d = [sin
( )]| − ∫ sin ′( )d . Suy ra ∫ sin ′( )d = − .
Hơn nữa ta tính được ∫ sin d = ∫ d = = .
Do đó: ∫ [ ′( )] d + 2 ∫ sin
′( )d + ∫ sin d = 0 ⇔ ∫ [ ′( ) + sin ] d = 0.
Suy ra ′( ) = −sin . Do đó ( ) = cos + . Vì = 0 nên = 0.
Ta được ( ) = cos ⇒ (2018 ) = cos(2018 ) = 1.
Câu 20. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn (1) = 0 và ∫ [ ′( )] d = ∫ ( + 1)e ( )d = . Tính tích phân = ∫ ( )d . A. = 2 − e. B. = e − 2. C. = . D. = . Lời giải Chọn B = ( ) d = ′( )d Xét = ∫ ( + 1)e ( )d . Đặt ⇒ d = ( + 1)e d = e Suy ra = e ( )| − ∫ e ′( )d = − ∫ e ′( )d ⇒ ∫ e ′( )d = Xét ∫ e d = e − + = . Ta có ∫ [ ′( )] d + 2 ∫ e ′( )d + ∫
e d = 0 ⇔ ∫ ( ′( ) + e ) d = 0
Suy ra ′( ) + e = 0 ∀ ∈ [0; 1] (do ( ′( ) + e ) ≥ 0 ∀ ∈ [0; 1])
⇒ ′( ) = − e ⇒ ( ) = (1 − )e +
Do (1) = 0 nên ( ) = (1 − )e Vậy = ∫
( )d = ∫ (1 − )e d = (2 − )e | = e − 2.
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Câu 21. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn (1) = 0, ∫ [ ′( )] d = − 2ln2 ( ) và ∫ d = 2ln2 − . Tích phân ∫ ( )d bằng ( ) A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có: ( ) . ( ) . ′( ) (1) . ′( ) d = ( )d = − d = − d ( + 1) + 1 + 1 + 1 2 + 1 . ′( ) = − d + 1 ( ) ⇒ . ( ) ∫ d = − ∫ d = − 2ln2. ( ) Mặt khác: 1 2 1 d = 1 − d = 1 − + d + 1 + 1 + 1 ( + 1) 1 3 = − 2ln| + 1| − = − 2ln2 + 1 2 Khi đó: . ′( ) 3 3 3 [ ′( )] d − 2 d + d = − 2ln2 − 2 − 2ln2 + − 2ln2 = 0 + 1 + 1 2 2 2 ⇔ [ ′( )] − 2. . ′( ) + d = 0 + 1 + 1 ⇔ ′( ) − d = 0 (∗) + 1 Vì ′( ) − ≥ 0, ∀ ∈ [0; 1] nên ∫ ′( ) − d ≥ 0, ∀ ∈ [0; 1].
Dấu " = " xảy ra ⇔ ′( ) −
= 0, ∀ ∈ [0; 1] ⇔ ′( ) = , ∀ ∈ [0; 1]. Khi đó: ∫ ( )d = . ( )| − ∫ . ′( )d = − ∫ d = − ∫ − 1 + d 1 1 − 2ln2 = − − + ln| + 1| = − ln2 = 2 2 2 1
Câu 22. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn (1) = 0 và ∫ [ ′( )]2d = 0 1 1 ∫ ( + 1)e
( )d = e2 1. Tính tích phân = ∫ ( )d . 0 4 0 A. = 2 − e. B. = e − 2. C. = e. D. = e 1. 2 2 Lời giải Chọn B 1 = ( ) Xét = ∫ ( + 1)e ( )d . Đặt ⇒ d = ′( )d 0 d = ( + 1)e d = e 1 1 1 Suy ra = e ( )|1 − = 1 e2 0 ∫ e ′( )d = − ∫ e ′( )d ⇒ ∫ e ′( )d 0 0 0 4 1 1 Xét ∫ 2e2 d = e2 1 2 − 1 + 1 = e2 1. 0 2 2 4 0 4
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 1 1 1
Ta có ∫ [ ′( )]2d + 2 ∫ e ′( )d + ∫
2e2 d = 0 ⇔ ∫ ( ′( ) + e )2d = 0 0 0 0 0
Suy ra ′( ) + e = 0 ∀ ∈ [0; 1] (do ( ′( ) + e )2 ≥ 0 ∀ ∈ [0; 1])
⇒ ′( ) = − e ⇒ ( ) = (1 − )e +
Do (1) = 0 nên ( ) = (1 − )e 1
Câu 23. Cho hàm số ( ) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn 4 3( ) + ( ) = ∀ ∈ ℝ. Giá trị của ∫ ( )d 0 bằng 1 A. 0. B. . C. . D. − 1. 2 2 Lời giải Chọn B Cách 1:
+) Với = 0, ta có 4 3(0) + (0) = 0 ⇔ (0)[4 2(0) + 1] = 0 ⇔ (0) = 0.
+) Với = 1, ta có 4 3(1) + (1) = 1 ⇔ 4 3(1) + (1) − 1 = 0 ⇔ (1) = 1. 2
+) Đặt ( ) = , ta có: = 4 3 + ⇒ d = (12 2 + 1)d
+) Đổi cận: Với = 0 thì = 0 Với = 1 thì = 1 2 1 1
Suy ra ∫ f( )d = ∫2 t(12 2 + 1)dt = 5 0 0 16 Cách 2:
+) Với = 0, ta có 4 3(0) + (0) = 0 ⇔ (0)[4 2(0) + 1] = 0 ⇔ (0) = 0.
+) Với = 1, ta có 4 3(1) + (1) = 1 ⇔ 4 3(1) + (1) − 1 = 0 ⇔ (1) = 1. 2
+) 4 3( ) + ( ) = ⇒ 12 ′( ). 2( ) + ′( ) = 1 ⇔ ′( ) = 1 > 0 ∀ ∈ ℝ. 12 2( ) 1 +) Do đó 4 3( ) + ( ) =
⇔ 4 3( ) ′( ) + ( ) ′( ) = . ′( ). 1 1 ⇒
[4 3( ) ′( ) + ( ) ′( )]d = ′( )d 0 0 1 1
⇔ ∫ [4 3( ) + ( )]d ( ) = ∫ . ′( )d (∗). 0 0 1 +) Tính ∫ ′( )d . 0 = d = d 1 1 1 Đặt ⇒ = [ . ( )]|1 − = 1 − d = ′( )d = ( ) ⇒ ∫ ′( )d ∫ ( )d ∫ ( )d . 0 0 0 2 0 2 1 ( ) 1 Do đó (∗) ⇔ 4 ( ) + = 1 − ∫ ( )d 2 0 2 0 1 1 ⇔ 1 + 1 = 1 − ∫ ( )d ⇔ ∫ ( )d = 5 . 16 8 2 0 0 16 2
Câu 24. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên [−1 ; 1] và thỏa (1) = 0, ′( ) + 4 ( ) = 8 2 + 1
16 − 8 với mọi thuộc [−1 ; 1]. Giá trị của ∫ ( )d bằng 0 2 1 A. − 5. B. . C. . D. − 1. 3 3 5 3 Lời giải Chọn A Cách 1. 1 Đặt = ∫ 2 ( )d . 1 = ( )
Dùng tích phân từng phần, ta có: ⇒ d = ′( )d . d = 2d = 2 + 2 1 1 1 = (2 + 2) ( )|1 − = 1 ∫ (2 + 2) ′( )d
4 (1) − ∫ (2 + 2) ′( )d = − ∫ (2 + 1 1 1 2) ′( )d .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 1 2 1 1 Ta có ′( )
+ 4 ( ) = 8 2 + 16 − 8 ⇒ ∫ ′( ) d + 2 ∫ 2 ( )d = ∫ (8 2 + 1 1 1 16 − 8)d 1 2 1 1 1 ⇔ ∫ ′( )
d − 2 ∫ (2 + 2) ′( )d + ∫ (2 + 2)2 d = ∫ (8 2 + 16 − 8)d + 1 1 1 1 1 1
∫ (2 + 2)2 d ⇔ ∫ [ ′( ) − (2 + 2)]2 d = 0 ⇔ ′( ) = 2 + 2 ⇒ ( ) = 2 + 2 + , 1 1 ∈ ℝ. 1 1 Mà (1) = 0 ⇒
= −3 ⇒ ( ) = 2 + 2 − 3 ⇒ ∫
( )d = ∫ ( 2 + 2 − 3)d = − 5. 0 0 3 Cách 2. Chọn ( ) = 2 + + ( ≠ 0). ⇒ ′( ) = 2 + . Ta có: 2 ′( )
+ 4 ( ) = 8 2 + 16 − 8 ⇒ (2 + )2 + 4( 2 + + ) = 8 2 + 16 − 8 ⇔ (4 2 + 4 ) 2 + (4
+ 4 ) + 2 + 4 = 8 2 + 16 − 8 4 2 + 4 = 8 = 1 = −2 ⇒ 4 + 4 = 16 ⇔ = 2 hoặc = −4. 2 + 4 = −8 = −3 = −6 Do (1) = 0 ⇒ + + = 0 ⇒ = 1, = 2 và = −3. 1 1
Vậy ( ) = 2 + 2 − 3 ⇒ ∫
( )d = ∫ ( 2 + 2 − 3)d = − 5. 0 0 3
Câu 25. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn (1) = 1 và 2 1 ′( )
+ 4(6 2 − 1). ( ) = 40 6 − 44 4 + 32 2 − 4, ∀ ∈ [0; 1]. Tích phân ∫ ( ) 0 bằng? 23 13 A. . B. . C. − 17. D. − 7 . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B 2 ′( )
+ 4(6 2 − 1). ( ) = 40 6 − 44 4 + 32 2 − 4 1 1 1 2 ⇒ ∫ ′( ) + ∫ 4(6 2 − 1). ( )
= ∫ (40 6 − 44 4 + 32 2 − 4) . (1) 0 0 0 1 1 Xét = ∫ 4(6 2 − 1). ( ) = ∫ (24 2 − 4) ( ) . 0 0 = ( ) = ′( ) Đặt ⇒ . = (24 2 − 4) = 8 3 − 4 1 1 1 ⇒ = (8 3 − 4 ). ( ) − (8 3 − 4 ). ′( )
= 4 − 2 (4 3 − 2 ). ′( ) . 0 0 0 Do đó: 1 1 1 2 (1) ⇒ ′( )
− 2 (4 3 − 2 ). ′( ) + (4 3 − 2 )2 0 0 0 1 = (56 6 − 60 4 + 36 2 − 8) . 0 1
⇒ ∫ [ ′( ) − (4 3 − 2 )]2
= 0 ⇒ ′( ) = 4 3 − 2 ⇒ ( ) = 4 − 2 + . 0 Mà (1) = 1 ⇒ = 1 ⇒ ( ) = 4 − 2 + 1. 1 1 Do đó ∫ ( ) = ∫ ( 4 − 2 + 1) = 13. 0 0 15
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 26. Cho hàm số
( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ\{0} và thỏa mãn 2 (2 ) − 1 = 2, 2 2 2 ∫
′( )d = 5. Giá trị ∫ d bằng 1 1 103 103 A. − 103. B. . C. . D. − 103. 48 24 48 12 Lời giải Chọn D = = Đặt = ′( ) ⇒ = ( ). 2 2 2 Ta có ∫ . ′( ) = . ( )|2 − ∫ ( ) ⇔ 5 = 2 (2) − (1) − ∫ ( ) (1) 1 1 1 1
Lần lượt thay = 1 và = 1 vào 2 (2 ) − 1 = 2 ta được 2 2 (2) − (1) = 1 (2) = 3 ⇔ 4. 2 (1) − (2) = 1 ( 4 1) = 12 2 1 2 Khi đó (1) ⇔ ∫ ( )
= 2 (2) − (1) − 5 = −4 ⇒ ∫1 (2 ) = 1 ∫ ( ) = −2. 1 2 1 2 1 1 1 1 Lại có 2 (2 ) − 1 = 2 ⇒ 2 ∫1 (2 ) − ∫1 = ∫ 2 1 ⇔ 2. (−2) − 2 2 2 1 1 ∫1 = 7 24 2 1 ⇔ 1 ∫1 = −4 − 7 = − 103. 24 24 2 2 2 1 1 Đặt = 2 ⇒ = 2 ⇒ = − 2 ta có ∫ = ∫ ( ). 2 = 2 ∫ ( ). 1 (2) 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 Đặt = 1 ⇒ = 1 ⇒ = − 1 ta có ∫1 = ∫ ( ). 1 = ∫ ( ). 1 = 2 2 2 2 2 2 − 103. 24 2 2 Thay vào (2) ta được ∫ = 2. − 103 = − 103. 1 24 12
Câu 27. Cho hàm số = ( ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn 5 ( ) − 7 (1 − ) = 3( 2 − 2 ), 1
∀ ∈ ℝ. Biết rằng tích phân = ∫
. ′( ) d = − (với là phân số tối giản). Tính = 8 − 0 3 . A. = 1. B. = 0. C. = 16. D. = −16. Lời giải Chọn B
Ta có: 5 ( ) − 7 (1 − ) = 3( 2 − 2 ). Lần lượt chọn = 0, = 1, ta có hệ sau: 5 (0) − 7 (1) = 0 (1) = 5 ⇔ 8. 5 (1) − 7 (0) = −3 (0) = 78 1 Tính = ∫ . ′( ) d . 0 = d = d Đặt: = ′( )d . Chọn = ( ) 1 = . ( )|1 − = 5 − 0 ∫ ( )d . 0 8 0 1 1 Đặt = 1 − ⇒ = − ∫
(1 − )dt = ∫ (1 − )dx = . Suy ra 5 − 7 = 3 ∫ ( 2 − 1 0 0 2 ) dx = −2. = Ta có: ⇔ = = 1. 5 − 7 = −2 = 3 Vậy = 5 − 1 = 3 ⇒ ⇒ = 8 − 3 = 0. 8 8 = 8
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
Câu 28. Xét hàm số ( ) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn ( ) + (1 − 2) + 3 (1 − ) = 1 . 1 1
Tính giá trị tích phân = ∫ ( )d 0 A. = 9 ln2. B. = 2 ln2. C. = 4. D. = 3. 2 9 3 2 Lời giải Chọn B
( ) + . (1 − 2) + 3 (1 − ) = 1 . 1 1 1 1 1 1 ⇒ d ∫ ( )d + ∫
(1 − 2)d + 3 ∫ (1 − )d = ∫ = ln| + 1| = ln2 (∗). 0 0 0 0 1 0
Đặt = 1 − 2 ⇒ d = −2 d ; với = 0 ⇒ = 1; = 1 ⇒ = 0. 1 1 1 Khi đó ∫
(1 − 2)d = 1 ∫ ( )d = 1 ∫ ( )d (1). 0 2 0 2 0 Đặt = 1 −
⇒ d = −d ; với = 0 ⇒ = 1; = 1 ⇒ = 0. 1 1 1 Khi đó ∫ (1 − )d = ∫ ( )d = ∫ ( )d (2). 0 0 0
Thay (1), (2) vào (∗) ta được: 1 1 1 1 1 ∫ ( )d + 1 ∫ ( )d + 3 ∫
( )d = ln2 ⇒ 9 ∫ ( )d = ln2 ⇔ ∫ ( )d = 2 ln2. 0 2 0 0 2 0 0 9 5
Câu 29. Cho hàm số = ( ) thỏa mãn ( 3 + 3 + 1) = 3 + 2, ∀ ∈ . Tính = ∫ ′( )d . 1 5 17 33 A. . B. . C. . D. −1761. 4 4 4 Lời giải Chọn C = d = d Đặt: ⇒ d = ′( )d = ( ) 5 5 ⇒ = ( )|5 − ⇔ = 1 ∫ ( )d 5 (5) − (1) − ∫ ( )d . 1 1 (5) = 5 khi = 1 5 5 Có nên ⇒ = 23 − ∫ ( )d = 23 − ∫ (t)d (1) = 2 khi = 0 1 1 5 Gọi = ∫ ( )d 1 d = (3 2 + 3)d Đặt = 3 + 3 + 1 ⇒ ( ) = 3 + 2 Đổi cận: = 1 ⇒ = 0 và = 5 ⇒ = 1. 5 1 = ∫
( )d = 3 ∫ (3 + 2)( 2 + 1)d = 59 ⇒ = 23 − 59 = 33. 1 0 4 4 4
Câu 30. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn ( 3) +
(1 − 4) = − 13 + 4 9 − 3 5 − 0 1
1, ∀ ∈ ℝ. Khi đó tính = 2 ∫ ( ) + 3 ∫ ( ) . 1 0 11 19 A. 12. B. . C. − 19. D. . 4 4 4 Lời giải Chọn C Theo bài ra ( 3) +
(1 − 4) = − 13 + 4 9 − 3 5 − 1, ∀ ∈ ℝ
Nhân cả hai vế với 2 ta được 2
( 3) + 3 (1 − 4) = − 15 + 4 11 − 3 7 − 2, ∀ ∈ ℝ (∗)
+ Lấy tích phân cận từ −1 đến 0 hai vế (∗) ta được 0 0 0 11 2 ( 3) d + 3 (1 − 4) d =
(− 15 + 4 11 − 3 7 − 2) d = − 48 1 1 1 3 = 1 0 1 Đặt ⇒ ∫
( ) d − 1 ∫ ( ) d = − 11 (∗) 1 − 4 = 3 1 4 0 48
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
+ Lấy tích phân cận từ 0 đến 1 hai vế (∗) ta được 1 1 1 7 2 ( 3) d + 3 (1 − 4) d =
(− 15 + 4 11 − 3 7 − 2) d = − 16 0 0 0 3 = 1 1 0 Đặt ⇒ ∫
( ) d − 1 ∫ ( ) d = − 7 (∗∗) 1 − 4 = 3 0 4 1 16 0 ∫ ( ) d = − 5 1
Từ (∗) và (∗∗) ta được ⇒ 4 1 ∫ ( ) d = − 3 0 4 0 1 Vậy = 2 ∫ ( ) + 3 ∫ ( )
= 2. − 5 + 3. − 3 = − 19. 1 0 4 4 4
TRƯỜNG HỢP RIÊNG:
Khi đề bài cho biết giá trị ( ), ( ), ∫
( ). ′( )d = ℎ, ∫ [ ′( )] d = (với ( ) là một
biểu thức chứa đã tường minh), đề tìm ( ) trước tiên ta đi tìm 2 số , sao cho
∫ [ ′( ) + . ( ) + ] d = 0, rồi suy ra ′( ) = − . ( ) − , sau đó nguyên hàm hai vế để tìm ( ). 2 Câu 31. Cho hàm số
= ( ) liên tục trên [0 ; 2], thỏa các điều kiện (2) = 1 và ∫ ( )d = 0 2 2 ( )
∫ [ ′( )]2d = 2. Giá trị của ∫ d 0 3 2 1 1 1 A. 1. B. 2. C. . D. . 4 3 Lời giải Chọn C = ( ) Đặt ⇒ d = ′( )d d = d = 2 2 2 2 ⇒ ∫
( )d = . ( )|2 − ∫ . ′( )d = 2 − ∫ . ′( )d ⇒ − ∫ . ′( )d = 2 − 2 = 0 0 0 0 0 3 − 4. 3 2 2 1 3 Ta lại có: ∫ 2d = = 2. 0 4 12 0 3 2 2 2 2 1 2
Do đó: ∫ [ ′( )]2d − ∫ . ′( )d + ∫ 2d = 2 − 4 + 2 ⇔ ∫ ′( ) − 1 d = 0 0 0 0 4 3 3 3 0 2 1 ⇒ ′( ) − = 0 2 ⇒ ( ) = 1 2 + ⇒ (2) = 1 + ⇔ = 0. 4 2 ( ) 2 2 1 Vậy ( ) = 1 2 ⇒ ∫ d = ∫ d = 1 = 1. 4 2 1 1 4 4 1 4
Bài tập tương tự:
Ví dụ 1: Cho hàm số
= ( ) liên tục trên [0 ; 1], thỏa mãn các điều kiện (0) = 0, (1) = 2, 1 1
∫ [ ′( )]2d = 4. Tính = ∫ [ 3( ) + 2018 ] d . 0 0 Giải: (0) = 0 1 Ta có: ⇒ ∫ ′( )d = 2 − 0 = 2. (1) = 2 0 1 1 1 1 Với
∈ ℝ, xét tích phân: = ∫ [ ′( ) + ]2d = ∫ [ ′( )]2d + 2 ∫ ′( )d + ∫ 2 d = 0 0 0 0 4 + 2 . 2 + 2 = ( + 2)2. Ta có: = 0 ⇒
= −2 ⇒ ′( ) = 2 ⇒ ( ) = 2 + . (0) = 0 Mà ⇒ = 0 ⇒ ( ) = 2 . (1) = 2
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 68
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 1 1
Vậy = ∫ [(2 )3 + 2018 ]d = 8 4 + 2018 2 = 1011. 0 4 2 0 1 1
Ví dụ 2: Cho hàm số
= ( ) liên tục trên đoạn [0 ; 1], thỏa mãn ∫ ( )d = ∫ ( )d = 1 và 0 0 1 1
∫ [ ( )]2d = 4. Tính giá trị của tích phân ∫ [ ( )]3d . 0 0 Giải:
Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là [ ( )]2,
( ), ( ) nên ta sẽ liên kết với bình phương [ ( ) +
+ ]2. Với mỗi số thực , ta có: 1 1 1 1 [ ( ) + + ]2d = [ ( )]2d + 2 ( + ) ( )d + ( + )2d 0 0 0 0 2 = 4 + 2( + ) + + + 2. 3 2 2
Cần tìm , sao cho ∫ [ ( ) + + ]2d = 0 hay 4 + 2( + ) + + + 2 = 0 0 3
⇔ 2 + (3 + 6) + 3 2 + 6 + 2 = 0. Để tồn tại thì:
= (3 + 6)2 − 4(3 2 + 6 + 2) ≥ 0 ⇔ −3 2 + 12 − 12 ≥ 0 ⇔ −3( − 2)2 ≥ 0 ⇔ = 2 ⇒ = −6. 1 1
Vậy ∫ [ ( ) − 6 + 2]2d = 0 ⇒ ( ) = 6 − 2, ∀ ∈ [0 ; 1] ⇒ ∫ [ ( )]3 = 10 0 0 Câu 32. Cho hàm số
= ( ) liên tục trên [0 ; 2], thỏa các điều kiện (2) = 1 và ∫ ( )d = ( )
∫ [ ′( )] d = . Giá trị của ∫ d : A. 1. B. 2. C. . D. . Lời giải Chọn C = ( ) Đặt ⇒ d = ′( )d d = d = ⇒ ∫ ( )d = . ( )| − ∫ . ′( )d = 2 − ∫ . ′( )d ⇒ − ∫ . ′( )d = − 2 = − . Ta lại có: ∫ d = = .
Do đó: ∫ [ ′( )] d − ∫ . ′( )d + ∫ d = − + ⇔ ∫ ′( ) − d = 0 ⇒ ′( ) − = 0 (vì ∫ ′( ) − d ≥ 0, ∀ ∈ [0 ; 2]) ⇒ ( ) = + ⇒ (2) = 1 + ⇔ = 0. ( ) Vậy ( ) = ⇒ ∫ d = ∫ d = = . 1
Câu 33. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn (1) = 0, ∫ [ ′( )]2 d = 7 và 0 1 1 ∫
2 ( ) d = 1. Tính tích phân ∫ ( )d 0 3 0 7 7 A. . . 5 B. 1. C. 4 D. 4. Lời giải Chọn A 3
Cách 1: Đặt = ( ) ⇒ = ′( ) , = 2 ⇒ = . 3 1 1 3 3 1 1 Ta có = ( ) − ∫ ′( ) ⇒ ∫ 3 ′( ) = −1 3 3 0 0 3 0 1 1 1 1
Ta có ∫ 49 6 d = 7, ∫ [ ′( )]2 d = 7, ∫ 2.7 3. ′( )
= −14 ⇒ ∫ [7 3 + ′( )]2 d = 0 0 0 0 0
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 69
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
⇒ 7 3 + ′( ) = 0 ⇒ ( ) = − 7 4 + , mà (1) = 0 ⇒ = 7 4 4 1 1 ⇒ ∫ ( )d = ∫ − 7 4 + 7 d = 7. 0 0 4 4 5
Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau: 2 ( ) ( ) ≤ 2( ) . 2( )
Dấu bằng xảy ra khi ( ) = . ( ), (∀ ∈ [ ; ], ∈ ℝ) 2 1 3 1 6 1 1 3 Ta có = ∫ ′( ) ≤ ∫ . ∫ [ ′( )]2
= 1. Dấu bằng xảy ra khi ′( ) = . . 9 0 3 0 9 0 9 3 3 1 Mặt khác ∫ ′( ) = 1 ⇒
= 21 ⇒ ′( ) = −7 3 suy ra ( ) = − 7 4 + 7. 0 3 3 4 4 1 1 Từ đó ∫ ( )d = ∫ − 7 4 + 7 d = 7. 0 0 4 4 5
Câu 34. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn (1) = 4, ∫ [ ′( )] d = 36 và ∫ . ( )d = . Tích phân ∫ ( )d bằng A. . B. . C. 4. D. . Lời giải Chọn B Từ giả thiết: ∫
. ( )d = ⇒ ∫ 5 . ( )d = 1. = ( ) d = ′( )d Đặt: ⇒ . d = 5 d = Ta có: = ∫ 5 . ( )d = . ( ) − ∫ . ′( )d = . (1) − ∫ . ′( )d = 10 − ∫ . ′( )d , (vì (1) = 4)
Mà: = ∫ 5 . ( )d = 1 ⇒ 1 = 10 − ∫ . ′( )d ⇔ ∫ . ′( )d = ⇔ 10 ∫ . ′( )d = 36 ⇔ 10 ∫ . ′( )d = ∫ [ ′( )] d , (theo giả thiết: ∫ [ ′( )] d = 36) ⇔
[10 . ′( ) − [ ′( )] ]d = 0 ⇔ ′( )[10 − ′( )]d = 0 10 ⇒ 10 − ′( ) = 0 ⇔ ′( ) = 10 ⇒ ( ) = + 3 Với (1) = 4 ⇒ 4 = . + ⇒ = . Khi đó: ( ) = + . Vậy: ∫ ( )d = ∫ + d = + = .
Câu 35. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn (2) = 3, ∫ [ ′( )] d = 4 và ∫ ( )d = . Tích phân ∫ ( )d bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Từ giả thiết: ∫ ( )d = ⇒ ∫ 3 ( )d = 1. Tính: = ∫ 3 ( )d .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 70
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn = ( ) d = ′( )d Đặt: ⇒ . d = 3 d = Ta có: = ∫ 3 ( )d = . ( )| − ∫ . ′( )d = 24 − ∫ . ′( )d , (vì (2) = 3) Mà: = ∫ 3 ( )d = 1 ⇒ 1 = 24 − ∫ . ′( )d 4 ⇔ . ′( )d = 23 ⇔ . ′( )d = 4 23 ⇔ ∫
. ′( )d = ∫ [ ′( )] d , (theo giả thiết: ∫ [ ′( )] d = 4) ⇔ ∫ . ′( ) − [ ′( )] d = 0 ⇔ ∫ ′( ) − ′( ) d = 0 4 4 1 ⇒ − ′( ) = 0 ⇔ ′( ) = ⇒ ( ) = + 23 23 23 Với (2) = 3 ⇒ 3 = + ⇒ = . Khi đó: ( ) = + . Vậy ∫ ( )d = ∫ + d = + = .
Câu 36. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1 ; 2] thỏa mãn ∫ ( − 1) ( )d = − ,
(2) = 0, ∫ [ ′( )] d = 7. Tính = ∫ ( )d . A. = . B. = − . C. = − . D. = . Lời giải Chọn B = ( ) d = ′( )d Đặt ta được d = ( − 1) d = ( − 1) Khi đó ∫ ( − 1)
( )d = ( − 1) ( ) − ∫ ( − 1) ′( )d .
⇒ − = − ∫ ( − 1) ′( )d .⇒ ∫ ( − 1) ′( )d = 1.
Xét ∫ [ ′( ) − ( − 1) ] d = 0 ( ∈ ℝ).
⇔ ∫ [ ′( )] d − 2 ∫ ( − 1) ′( )d + ∫ ( − 1) d = 0. ( ) ⇔ 7 − 2 + = 0 ⇔
= 7 ⇒ ′( ) = 7( − 1) .⇒ ( ) = + . ( ) Do (2) = 0 nên = − ⇒ ( ) = − ( )
Vậy = ∫ [( − 1) − 1]d = − = − . 2
Câu 37. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1 ; 2] thỏa mãn ∫ ( − 1)2 ( )d = − 1, 1 3 ( 2 2
2) = 0, ∫ [ ′( )]2d = 7. Tính = ∫ ( )d . 1 1 A. = 7. B. = − 7. C. = − 7 . D. = 7 . 5 5 20 20 Lời giải Chọn B = ( ) d = ′( )d Đặt ta được d = ( − 1)2d = 1 ( − 1)3 3 2 2 2
Khi đó ∫ ( − 1)2 ( )d = 1 ( − 1)3 ( ) − 1 ∫ ( − 1)3 ′( )d . 1 3 1 3 1 2
⇒ − 1 = − 1 ∫ ( − 1)3 ′( )d . 3 3 1 2
⇒ ∫ ( − 1)3 ′( )d = 1. 1
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 71
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2
Xét ∫ [ ′( ) − ( − 1)3]2d = 0 ( ∈ ℝ). 1 2 2 2
⇔ ∫ [ ′( )]2d − 2 ∫ ( − 1)3 ′( )d + 2 ∫ ( − 1)6d = 0. 1 1 1 2 ⇔ 7 − 2 + = 0 ⇔
= 7 ⇒ ′( ) = 7( − 1)3. 7 ⇒ ( ) = 7( 1)4 + . 4 Do (2) = 0 nên
= − 7 ⇒ ( ) = 7( 1)4 − 7 4 4 4 2 2 ( 1)5
Vậy = 7 ∫ [( − 1)4 − 1]d = 7 − = − 7. 4 1 4 5 1 5
Câu 38. Cho hàm ( )có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn (2) = 0,∫ ′( ) d = và∫ ( − 1) ( )d = − . Tính = ∫ ( ) d . A. = − . B. = − . C. = . D. = − . Lời giải Chọn D = ( ) d = ′( )d Xét: = ∫ ( − 1) ( )d . Đặt ⇒ d = ( − 1)d ( ) . = ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ = . ( ) 2 − ∫ ′( )d = − ∫ ′( )d ⇒ − ∫ ′( )d = 1 − ⇒ ∫ ( − 1) ′( )d =
. Ta có: ∫ ( − 1) d = và ∫ ′( ) d = .
Ta tìm số để ∫ ( ′( ) − ( − 1) ) d = 0. ( ′( ) − ( − 1) ) d = 0 ⇔ ′( ) d − 2 ′( ). ( − 1) d + ( − 1) d = 0 ⇔ − 2 . + . = 0 ⇔ = . Khi đó: ∫ ′( ) − ( − 1)
d = 0 ⇔ ′( ) − ( − 1) = 0 ⇔ ( ) = ( − 1) + . Mà (2) = 0 ⇒ = ⇒ ( ) = ( − 1) − ⇒ ∫ ( )d = ∫ ( − 1) − d = − .
Câu 39. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0 ; 1] thỏa mãn (1) = 1, ∫ ( )d =
và ∫ [ ′( )] d = . Tính tích phân = ∫ ( )d . A. = . B. = . C. = . D. = . Lời giải Chọn C = ( ) d = ′( )d Xét = ∫ ( )d . Đặt ⇒ . d = d = ⇒ = ( ) − ∫ ′( )d = − ∫ ′( )d = ⇔ ∫ ′( )d = .
+ Xét ∫ [ ′( )] d − 2 ∫ ′( )d + ∫ d = 0 (1) ⇔ − 2 . + = 0 ⇔ = 3.
(1) trở thành ∫ [ ′( )] d − 6 ∫ ′( )d + 9 ∫ d = 0 ⇔ ∫ ( ′( ) − 3 ) d = 0.
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 72
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
( ′( ) − 3 ) ≥ 0 ⇒ ∫ ( ′( ) − 3 ) d ≥ 0. Do đó ∫ ( ′( ) − 3 ) d = 0 ⇔ ′( ) − 3 = 0 ⇔ ′( ) = 3 ⇒ ( ) = ∫ 3 d = + (1) = 1 ⇒ ( ) = . = ∫ ( )d = ∫ d = . 2
Câu 40. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] và thỏa mãn ∫ ( − 2)2 ( )d = − 1 , (1) = 1 21 2 2 2 0, ∫
′( ) d = 1. Tính tích phân = ∫ ( )d . 1 7 1 A. = − 19. B. = 7 . C. = − 1. D. = 13. 60 120 5 30 Lời giải Chọn A d = ′( )d 2 = ( )
Ta có: ∫ ( − 2)2 ( )d . Đặt ⇒ . 1 ( 2)3 d = ( − 2)2d = 3 2 ( 2)3 2 ( 2)3 ∫ ( − 2)2 ( )d = . ( ) 2 − ∫ . ′( )d . 1 3 1 1 3 2 ( 2 ⇔ 2)3 ∫
. ′( )d = 1 ⇔ ∫ ( − 2)3. ′( )d = 1. 1 3 21 1 7 Ta có 2 2 2 2
∫ [ ′( ) − ( − 2)3]2 d = ∫ [ ′( )]2d − 2 ∫ ( − 2)3. ′( )d + ∫ ( − 2)6d = 1 − 2 + 1 1 1 1 7 7 1 = 0. 7 ( ⇒ 2)4
′( ) − ( − 2)3 = 0 ⇒ ′( ) = ( − 2)3 ⇒ ( ) = + . 4 Mà (1) = 0 ⇔ = − 1. 4 2 Vậy: = ∫ ( )d = − 19. 1 60
Câu 41. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ, và các tích phân ∫ [ ′( )] d = , ∫ sin . ( )d = . Biết rằng (0) = 0, tính . A. = . B. = √ . C. = − . D. = − √ . Lời giải Chọn B  Ta có ∫ sin . ( )d = . = ( ) Đặt ⇒ d = ′( )d . d = sin d = −cos
Khi đó ∫ sin . ( )d = ⇔ −cos . ( )| + ∫ cos . ′( )d = ⇔ ∫ cos . ′( )d = .
 Xét ∫ [ ′( ) − cos ] d = ∫ [ ′( )] d − 2 ∫ cos . ′( )d + ∫ cos d = − 2. + ∫ d = − + + = 0.
⇒ ∫ [ ′( ) − cos ] d = 0 ⇒ ′( ) − cos = 0 ⇔ ′( ) = cos . Suy ra ( ) = sin + . Mà (0) = 0 ⇒ = 0. Khi đó ( ) = sin .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 73
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Vậy = sin = √ . 1 2 2
Câu 42. Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa (1) = 0, ∫ ′( ) dx = 0 8 1 1 và ∫ cos
( )d = 1. Tính ∫ ( )d . 0 2 2 0 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 Lời giải Chọn D = ( ) d = ′( )d Đặt ⇒ d = cos d = 2 sin 2 2 1 Do đó ∫ cos ( )d = 1 0 2 2 1 1 1 ⇔ 2 sin ( ) − 2 ∫ sin ′( )d = 1 ⇔ ∫ sin ′( )d = − . 2 0 0 2 2 0 2 4 1 Lại có: ∫ sin2 d = 1 0 2 2 1 2 1 1 2 2 ⇒ = − . ′( ) d − 2 − sin ′( )d + sin2 d 2 2 0 0 0 1 2 2 4 2 2 1 = − ′( ) − sin d = − . + = 0 2 2 8 2 2 0 2
Vì − 2 ′( ) − sin
≥ 0 trên đoạn [0; 1] nên 2 2 1 ∫ − 2 ′( ) − sin
d = 0 ⇔ − 2 ′( ) = sin ⇔ ′( ) = − sin . 0 2 2 2 2 Suy ra ( ) = cos
+ mà (1) = 0 do đó ( ) = cos . 2 2 1 1 Vậy ∫ ( )d = ∫ cos d = 2. 0 0 2 Câu 43. Cho hàm số
= ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn (0) = 0. Biết 1 1 1 ∫
2( )d = 9 và ∫ ′( )cos d = 3 . Tích phân ∫ ( )d bằng 0 2 0 2 4 0 1 4 6 2 A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C 1 1 Ta có ∫ ′( )cos d = ∫ cos d ( ) 0 2 0 2 1 1 = cos . ( ) + sin . ( )d 2 2 2 0 0 1 = ∫ sin . ( )d . 2 0 2 1 Suy ra ∫ sin . ( )d = 3 0 2 2 2 1 1 Mặt khác ∫ sin d = 1 ∫ (1 − cos )d = 1. 0 2 2 0 2 1 1 2 1 Do đó ∫ 2( )d − 2 ∫ 3sin ( )d + ∫ 3sin d = 0. 0 0 2 0 2 2 1 hay ∫ ( ) − 3sin d = 0 suy ra ( ) = 3sin . 0 2 2 1 1 1 Vậy ∫ ( )d = ∫ 3sin d = − 6 cos = 6. 0 0 2 2 0
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 74
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 2
Câu 44. Cho hàm ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn (2) = 0, ∫ ′( ) d = 1 và 1 45 2 2
∫ ( − 1) ( )d = − 1 . Tính = ∫ ( ) d . 1 30 1 A. = − 1 . B. = − 1 . C. = 1 . D. = − 1 . 36 15 12 12 Lời giải Chọn D d = ′( )d 2 = ( ) Xét: = ∫ ( − 1) ( )d . Đặt ⇒ . 1 ( d = ( − 1)d = 1)2 2 ( 2 ( 2 ( 2 ( ⇒ = 1)2 . ( ) 2 − 1)2 1)2 1)2 ∫ ′( )d = − ∫ ′( )d ⇒ − ∫ ′( )d = − 1 2 1 1 2 1 2 1 2 30 2 2 2 2
⇒ ∫ ( − 1)2 ′( )d = 1 . Ta có: ∫ ( − 1)4d = 1 và ∫ ′( ) d = 1 . 1 15 1 5 1 45 2
Ta tìm số để ∫ ( ′( ) − ( − 1)2)2 d = 0. 1 2
( ′( ) − ( − 1)2)2 d = 0 1 2 2 2 2 ⇔ ′( ) d − 2 ′( ). ( − 1)2d + 2 ( − 1)4d = 0 1 1 1 ⇔ 1 − 2 . 1 + 2. 1 = 0 ⇔ = 1. 45 15 5 3 2 2 Khi đó: ∫ ′( ) − 1 ( − 1)2
d = 0 ⇔ ′( ) − 1 ( − 1)2 = 0 ⇔ ( ) = 1 ( − 1)3 + . 1 3 3 9 2 2 1 Mà (2) = 0 ⇒
= 1 ⇒ ( ) = 1 ( − 1)3 − 1 ⇒ ∫ ( )d = ∫
( − 1)3 − 1 d = − 1 . 9 9 9 1 1 9 9 12
Câu 45. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2] và (2) = 2. Biết ∫ ′( ) d = và ∫ √ d = − . Tính ∫ ( )d . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A ∫ (√ )d = ; Đặt = √ ⇒ 4 d = d Đổi cận: Khi = 0 ⇒ = 0; = 16 ⇒ = 2 Khi đó = ∫ 4 . ( )d = 4 ∫ . ( )d = . ( )| − ∫ . ′( )d ⇒ ∫ . ′( )d = . ( )| − ⇒ ∫ . ′( )d = . [ ′( ) − ] d = [ ′( )] d − 2 . ′( )d + d 512 512 512 = − 2 . + . = 0 9 9 9 ⇒ = 1 ⇒ ′( ) = ⇒ ( ) = ∫ d = + ;mà (2) = 2 ⇒ + = 2 ⇒ = − Vậy ( ) = − ⇒ ∫ ( )d = ∫ ( − 22)d = − .
Câu 46. Cho hàm số ( ) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [1 ; 2] đồng thời thỏa mãn (2) = 0, 2 2 2 ( ) 3 2
∫ [ ′( )]2 d = 5 + ln và ∫ d = − 5 + ln . Tính = ∫ ( ) d . 1 12 3 1 ( 1)2 12 2 1
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 75
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 2 3 2 A. = 3 + 2ln . B. = ln . C. = 3 + 2ln . D. = 3 + 2ln . 4 3 3 4 2 4 3 Lời giải Chọn A = ( ) d = ′( )d + Đặt ⇒ 1 . d = 1 d = 1 ( 1)2 2 1 Khi đó 2 2 ( ) 1 − 1 2 − 1 d = ( ) − ′( ) d ( + 1)2 2 + 1 1 + 1 1 1 2 5 3 1 1 − 1 ⇔ − + ln = (2) − ′( ) d 12 2 2 3 x + 1 1 2 ⇔ 5 − 3 1 2ln = ∫ ′( ) d (1). 6 2 1 1 2 2 2 1 2 Xét ∫ d = ∫ 1 − 2 d 1 1 1 1 2 2 = 3 ∫ 1 − 4 + 4 d = − 4ln| + 1| − 4
= 1 − 4ln3 + 4ln2 − 4 + 2 = 5 − 4ln 1 1 ( 1)2 1 1 3 3 2 2 2 ⇒ 1 1 3 ∫ d = 5 − ln (2). 4 1 1 12 2 2 3
Theo đề ∫ [ ′( )]2 d = 5 − ln (3). 1 12 2 Từ (1), (2), (3) ta có 2 2 1 1 1 1 ∫ − ′( ) d = 0 ⇒ 1
− ′( ) = 0 ⇔ ′( ) = 1 . 1 2 1 2 1 2 1 1 ⇒ ( ) = [ − 2ln( + 1)] + 2 1 ⇒ (2) = [2 − 2ln3] + = 0 ⇒ = ln3 − 1 2 1
⇒ (x) = [ − 2ln( + 1)] + ln3 − 1 2 2 1 =
[ − 2ln( + 1)] + ln3 − 1 d 2 1 2 2 2 2 = + (ln3 − 1)
− ∫ ln( + 1)d = − 1 + ln3 − ∫ ln( + 1)d 4 1 1 4 1 2 1
= − + ln3 − ( + 1)ln( + 1)|2 − d 4 1 1 = − 1 + 2
ln3 − [3ln3 − 2ln2 − 1] = 3 − 2ln . 4 2 3 3
Câu 47. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên [0; 2] và thỏa mãn: − ( − 4)2 + 4 ( ) = [ ′( )]2 5 2 và (0) = 1 . Khi đó ∫ ( )d bằng 20 0 203 163 11 157 A. . B. . C. . D. . 30 30 30 30 Lời giải Chọn A 3
Từ giả thiết − ( − 4)2 + 4 ( ) = [ ′( )]2 5 Ta có:
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 76
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 2
3 − ( − 4)2 + 4 ( ) d = [ ′( )]2d 5 0 0 2 2 ⇔ 262 + 2 ∫
( )d( 2 − 4) = ∫ [ ′( )]2 d (1) 15 0 0 2 Đặt = ∫ ( )d( 2 − 4) 0 = ( ) d = ′( )d Đặt ⇒ d = d( 2 − 4) = 2 − 4 Khi đó 2 2 = ( 2 − 4) ( ) − ( 2 − 4) ′( )d 0 0 2
= 1 − ∫ ( 2 − 4) ′( )d (2) 5 0 Thay (2) vào (1) có: 2 2 −262 1 + 2 − ( 2 − 4) ′( )d = [ ′( )]2 d 15 5 0 0 2 2 2 2
⇔ ∫ [ ′( )]2 d + 2 ∫ ( 2 − 4) ′( )d + ∫ ( 2 − 4)2d = − 262 + 2 + ∫ ( 2 − 4)2d 0 0 0 15 5 0 2 2 2 2
⇔ ∫ [ ′( )]2 d + 2 ∫ ( 2 − 4) ′( )d + ∫ ( 2 − 4)2d = 0 ⇔ ∫ [ ′( ) + 2 − 4]2 d = 0 0 0 0 0 2 2
Do [ ′( ) + 2 − 4]2 ≥ 0 ⇒ ∫ [ ′( ) + 2 − 4]2 d ≥ 0 mà ∫ [ ′( ) + 2 − 4]2 d = 0 nên 0 0 3
[ ′( ) + 2 − 4]2 = 0 ⇒ ′( ) = − 2 + 4 ⇒ ( ) = + 4 + . 3 3 Vì (0) = 1 ⇒ = 1 ⇒ ( ) = + 4 + 1 20 20 3 20 2 Vậy ∫ ( )d = 203. 0 30
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 77
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1
Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức ′( ) + ( ). ( ) = ℎ( ) Phương pháp:
+ Tìm ( ) = ∫ ( )
+ Nhân hai vế với ∫ ( )d ta được ( ). ∫ ( )
+ ( ). ∫ ( ) . ( ) = ℎ( ). ∫ ( )
⇔ ′( )e ( ) + ( ). e ( ) ( ) = ( )e ( ) ⇔ ( ). ∫ ( ) = ℎ( ). ∫ ( )
+ Lấy tích phân hai vế ta được ( ) ( ) = ∫ ( ) ( ) . Từ đó suy ra ( ).
Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức ′( ) + ( ) = ℎ( ) Phương pháp: + Nhân hai vế với ta được . ′( ) + . ( ) = . ℎ( ) ⇔ [ . ( )]′ = . ℎ( ) + Suy ra . ( ) = ∫ . ℎ( )d
+ Từ đây ta dễ dàng tính được ( )
Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức ′( ) − ( ) = ℎ( ) Phương pháp: + Nhân hai vế với ta được . ′( ) − . ( ) = . ℎ( ) ⇔ [ . ( )]′ = . ℎ( ) + Suy ra . ( ) = ∫ . ℎ( )d
+ Từ đây ta dễ dàng tính được ( ) Câu 1.
Cho hàm số ( ) thỏa mãn (0) = 4 và ( ) + ′( ) =
, ∀ ∈ ℝ. Giá trị của (1) bằng A. −4 + 10. B. −10. C. −2. D. −2 + 10. Lời giải Chọn D
+) Từ giả thiết, ta có ( ) + ′( ) = 3 ⇒ [ ( )]′ = 3 ⇒ ( ) = ∫ 3 ⇒ ( ) = 3 − 3 2 = 3 − 3 2 + 6 = 3 − 3 2 + 6( − 1) + +) Lại có (0) = 4 ⇒
= 10 ⇒ ( ) = 3 − 3 2 + 6 − 6 + 10 ⇒ (1) = −2 + 10. Câu 2.
Cho hàm số = ( ) có đạo hàm và liên tục trên ℝ thỏa mãn 2 ( ) + ′( ) = 2 + 1 và (0) = 1 1. Giá trị của ∫ ( ) . 0 1 A. 1 − 1 . B. . C. 1 + 1 . D. − 1 . 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có: 2 ( ) + ′( ) = 2 + 1
⇔ 2 2 . ( ) + 2 . ′( ) = (2 + 1). 2 ⇔ 2 . ( ) ′ = (2 + 1). 2 ⇔ 2 . ( ) = ∫(2 + 1). 2 (*) Xét = ∫(2 + 1). 2 Đặt = 2 + 1 ⇒ = 2 1 = 2 ⇒ = 2 2 1 1 = (2 + 1). 2 − 2 . 2 2 2 1 1 = (2 + 1). 2 − 2 + 2 2 Thay vào (*) ta có:
2 . ( ) = 1 (2 + 1). 2 − 1 2 + ⇔ ( ) = 1 (2 + 1) − 1 + 2 2 2 2 2
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 78
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn (0) = 1 ⇔ 1 − 1 + = 1 ⇔ = 1. 2 2 1 1 1 ⇒ ( ) = (2 + 1) − + = + 2 2 2 2 1 1 2 ∫ ( ) = ∫ ( + 2 ) = − 1 2 1 = 1 − 1 + 1 = 1 − 1 . 0 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 Câu 3.
Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên [0 ; 4], thỏa mãn ( ) + ′( ) = √2 + 1 với mọi
∈ [0 ; 4] Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 4 (4) − (0) = 26. B. 4 (4) − (0) = 3 . 3
C. 4 (4) − (0) = 4 − 1.
D. 4 (4) − (0) = 3. Lời giải Chọn A Ta có: ( ) + ′( ) = √2 + 1 ⇔ ( ) + ′( ) = √2 + 1 ⇔ [ ( )]′ = √2 + 1 4 4 Suy ra: ∫ [
( )]′d = ∫ √2 + 1d = 26 ⇔ 4 (4) − (0) = 26 0 0 3 3 Câu 4.
Cho hàm số = ( ) có ′( ) liên tục trên nửa khoảng [0; +∞) thỏa mãn 3 ( ) + ′( ) = √1 + 3. e . Khi đó: A. e (1) − (0) = − . √ B. e (1) − (0) = − . √ √ C. e (1) − (0) = . D. e
(1) − (0) = (e + 3)√e + 3 − 8. Lời giải Chọn C √
Ta có: 3 ( ) + ′( ) = √1 + 3. e = ⇒ 3e ( ) + e ′( ) = e √e + 3. ⇔ [e ( )] = e √e + 3.
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được ∫ [e ( )] d = ∫ e √e + 3 d √ ⇔ [e ( )]| = √e + 3 ⇔ e (1) − (0) = . Câu 5.
Cho hàm số ( ) có đạo hàm trên ℝ, thỏa mãn: ′( ) − 2018 ( ) = 2018 2017 2018 với mọi
∈ ℝ và (0) = 2018. Tính giá trị (1)? A. (1) = 2018
2018. B. (1) = 2017 2018.
C. (1) = 2018 2018. D. (1) = 2019 2018. Lời giải Chọn D
Ta có: ′( ) − 2018 ( ) = 2018 2017 2018 ⇔ 2018 ′( ) − 2018 2018 ( ) = 2018 2017 ⇔ [ 2018 ( )]′ = 2018 2017 ⇒ 2018 ( ) = ∫ 2018 2017d = 2018 + Do (0) = 2018 ⇒
= 2018 ⇒ ( ) = ( 2018 + 2018) 2018 . Vậy (1) = 2019 2018. Câu 6.
Cho hàm số ( ) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn ′( ) − 2020 ( ) = 2020. . e với mọi
∈ ℝ và (0) = 2020. Tính giá trị (1). A. (1) = 2021. e . B. (1) = 2020. e . C. (1) = 2020. e . D. (1) = 2019. e . Lời giải Chọn A ( ) . ( )
Ta có: ′( ) − 2020 ( ) = 2020. . e ⇔ = 2020. .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 79
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn ( ) ⇔ . ( ) ∫ d = ∫ 2020. d (1). Xét ∫ 2020. d = 1. ( ) . ( ) ( ) . ( ) Xét = ∫ d = ∫ d . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ∫ d = | = − = − 2020. ( ) Thay vào (1) ta được: − 2020 = 1 ⇔ (1) = 2021. e . 2 Câu 7.
Cho hàm số ( ) có đạo hàm và liên tục trên ℝ, thỏa mãn ′( ) + ( ) = 2 và (0) = −2.Tính (1). A. (1) = . B. (1) = 1. C. (1) = 2. D. (1) = − 2. Lời giải Chọn D 2
Nhân 2 vế cho 2 để thu được đạo hàm đúng, ta được. 2 2 2 2 ′ 2 ′( ) 2 + ( ) 2 = 2 2 ⇔ 2 ( ) = 2 2 . 2 2 2 Suy ra: 2 ( ) = ∫ 2 2 d = −2 2 + . 2
Thay = 0 vào hai vế ta được = 0 ⇒ ( ) = −2 . Vậy (1) = −2 1 = − 2. Câu 8.
Cho ( ) thỏa mãn (1) = và ( ) + 3x ( ) = (15x + 12x) , ∀ ∈ . 1 Tính = ∫ ( )d . 0 A. = 3 + 4 B. = 2e − 1 C. = 3 − 4 D. = 2e + 1 Lời giải Chọn C ′ Ta có 3 ( ) = 3x
′( ) + 3x2 ( ) = 3x(15x4 + 12x) 3x = 15x4 + 12x Do đó: 3
( ) = ∫(15x4 + 12x ) x = 3x5 + 6x2 + ⇒ ( ) = (3x5 + 6x2 + ) 3x Vì (1) = 9 ⇒ = 0 ⇒ ( ) = (3x5 + 6x2) 3x 1 1 Khi đó = ∫
( )d = ∫ (3x5 + 6x2) 3x d = 3 − 4. 0 0 Câu 9.
Cho hàm số ( ) có đạo hàm đến cấp hai và liên tục trên ℝ thỏa mãn ′(0) = (0) = 1 và ( ) + 2 ′( ) + ′′( ) = + 2 , ∀ ∈ ℝ. Tích phân ∫ ( ) bằng 107 107 107 107 A. − 21. B. − 12. C. + 21. D. + 12. 12 21 12 21 Lời giải Chọn A
Theo giả thiết ta có: ′ ( ) + ′( ) +
′( ) + ′′( ) = 3 + 2 2 ⇔ ( ) + ′( ) + ( ) + ′( ) = 3 + 2 2 ′ ′ ⇔ ( ) + ′( ) + ( ) + ′( ) = ( 3 + 2 2) ⇔ ( ) + ′( ) = ( 3 + 2 2) ⇔ ( ) + ′( ) = ( 3 + 2 2) = ( 3 − 2 + 2 − 2) +
Mặt khác (0) = ′(0) = 1 nên 1 + 1 = −2 + ⇔ = 4 ⇔ ( ) + ′( ) = ( 3 − 2 + 2 − 2) + 4
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 80
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn ′ Do đó ( ) = ( 3 − 2 + 2 − 2) + 4 ⇒ ( ) = [ ( 3 − 2 + 2 − 2) + 4] =
( 3 − 4 2 + 10 − 12) + 4 + (0) = 1 ⇔ = 13 ⇔ ( ) = (4 + 13) + 3 − 4 2 + 10 − 12 1 1 ⇒ ∫ ( ) = ∫ [(4 + 13) + 3 − 4 2 + 10 − 12] = 107 − 21. 0 0 12
Câu 10. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], (0) = 1 và ′( ) = ( ) + + 1, ∀ ∈ [0; 1]. Tính = ∫ ( ) . A. 2 − 1. B. 2( − 1). C. 1 − . D. 1 − 2 . Lời giải Chọn B
Ta có ′( ) = ( ) +
+ 1 ⇔ ′( ) − ( ) = + 1 ⇔ ′( ) − ( ) = 1 + ⇔ [ ( )]′ = 1 + ⇒ ( ) = − + ⇒ ( ) = − 1 + . Do (0) = 1 ⇒ = 2 ⇒ ( ) = ( + 2) − 1. 1 Do đó = ∫ [( + 2) − 1] = 2( − 1). 0
Câu 11. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn ′( ) = ( ) + + 1, với mọi ∈
ℝ, (0) = −1. Tính (3)? A. 6 3 + 3. B. 6 2 + 3. C. 3 2 − 1. D. 9 3 − 1. Lời giải Chọn D ′
Ta có: ′( ) − ( ) = 2 + 1 ⇔ ′( ) = 2 + ⇔ ( ) = 2 + . 3 3 Do đó: ( ) = ∫ ( ) = − + ⇔ ( ) = − 1 + . 3 3 3 (0) = −1 ⇒ −1 = −1 + ⇔ = 0 ⇒ ( ) = − 1 ⇒ (3) = 9 3 − 1. 3
Câu 12. Cho hàm số ( )có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn ′( ) − ( ) = ( + 1)e ,∀ ∈ ℝ và
(1) = e. Giá trị của (5) bằng A. 3e12 − 1. B. 5e17. C. 5e17 − 1. D. 3e12. Lời giải Chọn B 2 2 1 2 1 Ta có:
′( ) − ( ) = ( 2 + 1)e 2 ⇔ ′( )e − e ( ) = ( 2 + 1)e 2 ⇔ 2 ′ 1 e ( ) = ( 2 + 1)e 2 . 5 5 5 5 2 2 2 ′ 1 1 1 ⇒ e ( ) d = ( 2 + 1)e 2 d ⇔ e ( )|5 = 2 2 + 2 1 e d e d 1 1 1 1 ⇔ e 5 (5) − 1 = ( 1 + 2 ∗) 2 1 5 Xét: 2 = ∫ e 2 d . 1 2 1 2 1 Đặt: = e 2 ⇒ d = e 2 d . d = d = 2 5 1 2 1 5 2 = e 2 − ∫ 2e 2 d = 5e12 − 1 − 1
1 ⇔ 1 + 2 = 5e12 − 1(∗) ⇔ e 5 (5) − 1 = 1 5e12 − 1 ⇔ (5) = 5e17.
Câu 13. Cho hàm số f x có đạo hàm trên  thỏa mãn f  
1  e và  x   f x  xf  x 3 2  x với mọi
x  . Tính f 2 . A. 2
4e  4e  4 . B. 2
4e  2e  1 . C. 3
2e  2e  2 . D. 2
4e  4e  2 . Lời giải
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 81
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn A x  2
Biến đổi giả thiết  x   f x  xf  x 3 2
x f x  f x 2  x xx
e f  x  x  2  x  xxe    e f x e f   x  xe 2 3   x x 2  x   x ef x xxe dx e  C     2    2 2 x f x x Cx e x e  1 2 2 1
Mà f 1  e C      1 x f x x e x e       e
Vậy, f      ee   2 2 4 4
1  4e  4e  4. Câu 14. Cho hàm số
= ( ) có ′( ) liên tục trên nửa khoảng [0; +∞) thỏa mãn 3 ( ) + ′( ) = √1 + 3. e . Khi đó: A. e3 (1) − (0) = 1 − 1. e2 3 2 B. e3 (1) − (0) = 1 − 1. 2 e2 3 4
C. e3 (1) − (0) = e2 3 e2 3 8. 3
D. e3 (1) − (0) = (e2 + 3)√e2 + 3 − 8. Lời giải Chọn C
Ta có: 3 ( ) + ′( ) = √1 + 3. e 2 = e2 3 e
Nhân hai vế giả thiết với 3 ta được ⇒ 3e3
( ) + e3 ′( ) = e2 √e2 + 3. ⇔ [e3
( )]′ = e2 √e2 + 3. 1 1
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được ∫ [e3
( )]′d = ∫ e2 √e2 + 3 d 0 0 1 1 3 ⇔ [e3 ( )] = 1 √e2 + 3
⇔ e3 (1) − (0) = e2 3 e2 3 8. 0 3 0 3
Câu 15. Trong những hàm số ( ) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 3 ( ) + ( ) ≥
. Giá trị nhỏ nhất của = ∫ ( ) là 1 1 1 1 A. B. C. D. 2019.2021 2018.2021 2020.2021 2017.2021 Lời giải Chọn A + 3 ( ) + ′( ) ≥ 2018 ⇔ ′( ) + 3 ( ) ≥ 2017, ≠ 0 + ( ) = 3ln ⇒ ( ) = 3.
+ Nhân hai vế của (*) cho 3 ta được 3 ′( ) + 3 2 ( ) ≥ 2019 ⇒ ( 3 ( ))′ ≥ 2020, đúng ∀ ∈ [0; 1] 1 2021
+ Lấy tích phân từ 0 đến hai vế có ( 3 ( )) ≥ ∫ 2020 = 2021 = , ∀ ∈ [0; 1] 0 0 2021 0 2021 2018 2018 1 1 ⇒ ( ) ≥ ⇒ ∫ ( ) ≥ ∫ = 1 . 2021 0 0 2021 2019.2021
Câu 16. Cho hàm số ( ) có đạo hàm trên thỏa mãn ′( ) − 2018 ( ) = 2018. . e với mọi
∈ ℝ và (0) = 2018. Tính giá trị (1).
A. (1) = 2019e2018.
B. (1) = 2018. e 2018.
C. (1) = 2018. e2018. D. (1) = 2017. e2018. Lời giải Chọn A + ( ) = − ∫ 2018 = −2018
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 82
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn + Nhân hai vế với 2018 ta được ′( ) 2018 − 2018 2018 ( ) = 2018. 2017 ⇒ ( ( ) 2018 )′ = 2018. 2017
+ Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được 1 ( ( ) 2018 )|1 = 0 2018 2017 ⇒ (1) = 2019 2018 0
Câu 17. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn (0) = 0 và 2 ( ) + ′( ) = (
− 1) với mọi ∈ [0; 1]. Tích phân ∫ ( ) bằng 4 1 7 4 A. . B. . C. . D. . 8 6 6 4 Lời giải Chọn A 2 2 ′
Nhân hai vế giả thiết với ta được . 2 ( ) + 2 . ′( ) = 2 . ( 2 − 1) ⇔ 2 ( ) = 2 3 2 − 2 2 ⇒ ( ) = ∫ ( 2 − 1) 2 = ( 2 − 2) + ⇒ ( ) = 1 ( 2 − 2) + 2 2 2 . Do (0) = 0 ⇒ = 1 ⇒ ( ) = 1 ( 2 − 2) + 2. 2 1 1 1 Vậy ∫ ( ) = ∫ ( 2 − 2) + 2 = 4. 0 0 2 8
Câu 18. Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên [0, ]. Biết (0) = 2 và ( ) luôn thỏa mãn đẳng
thức ′( ) + sin . ( ) = cos . , ∀ ∈ [0, ]. Tính = ∫ ( ). (làm tròn đến phần trăm). A. ≈ 6,55. B. ≈ 17,30. C. ≈ 10,31. D. ≈ 16,91. Lời giải Chọn B
′( ) + sin . ( ) = cos . cos . Chia hai vế đẳng thức cho cos ta được ′( ). cos +
cos . sin . ( ) = cos (vế trái có dạng ′ + ′) ⇔ ( ( ). cos )′ = cos ⇔ ∫( ( ).
cos )′ d = ∫ cos . d ⇔ ( ). cos = sin + . Do (0) = 2 nên 2 . 1 = ⇒
= 2. Vậy ( ) = sin 2 = cos (sin + 2). cos = ∫ ( ). = ∫ cos (sin + 2) . 0 0
Sử dụng MTCT (để đơn vị rad). KQ: 10,31
Câu 19. Suy ra. Cho hàm số = ( )liên tục trên ℝ\{0; −1} thỏa mãn điều kiện (1) = −2ln2 và ( + 1). ′( ) + ( ) = + . Giá trị (2) = + ln3, với , ∈ ℝ. Tính + . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lời giải Chọn B
+ Trước tiên ta đưa phương trình về dạng tổng quát ′( ) + 1 ( ) = 1 ( 1) 1 + ( ) = ∫ = ln
. (ta chỉ cần xét x>0) ( 1) 1 ′ + Nhân hai vế cho ( ) ta được ′( ). + 1 ( ) = ⇒ ( ). = 1 ( 1)2 1 1 1
+ Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta có 2 2 2 ( ). = ∫ = − ln( + 1)
⇒ (2) = 3 − 3 ln3. Suy ra = 3 và = − 3. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 Vậy 2 + 2 = 9. 2
Câu 20. Cho hàm số ( ) liên tục và có đạo hàm trên 0;
, thỏa mãn hệ thức ( ) + tan ′( ) = . Biết rằng √3 − =
√3 + ln3 trong đó , ∈ ℚ. Tính giá trị của biểu thức = + .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 83
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn A. = − 4. B. = − 2. C. = 7. D. = 14. 9 9 9 9 Lời giải Chọn A
Từ giả thiết ⇒ cot . ( ) + ′( ) = . cot cos3
Nhân thêm 2 vế với ∫ cot d = sin ta có cos ( ) + sin ′( ) = ⇔ [sin ( )]′ = . cos2 cos2 Suy ra sin ( ) = ∫ d = tan + ln|cos | + . cos2  Với = → √3 = . √3 − ln2 → √3 = 2 . √3 − 2ln2 + 2 . 3 2 3 3 3 3  Với = → 1 = . √3 + 1 ln3 − ln2 + →
= 1 . √3 + ln3 − 2ln2 + 2 . 6 2 6 6 3 2 6 9 = 5 Suy ra √3 − = 5 √3 − ln3 → 9 → = + = − 4. 3 6 9 = −1 9
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 84
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay