Chuyên đề các phương pháp tính tích phân – Nguyễn Duy Khôi Toán 12

Chuyên đề các phương pháp tính tích phân – Nguyễn Duy Khôi Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

61 31 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

40 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔ I
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 1
LỜI NÓI ðẦU
Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm m ột vị trí hết sức quan trọng trong Toán học,
tích phân ñư ợc ứng dụng rộn g r ã i n h ư ñể tí nh d iện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay,
nó còn là ñ ối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết
phươn g t r ì nh v i p h â n , ph ươn g tr ì n h ñ ạo hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn ñược
ứng dụn g rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thi ên văn học, y học...
Phép tính tích phân ñược bắt ñầu giới thiệu cho các em học sinh ở lớ p 12, tiếp theo
ñược phổ biến trong tất cả các trườn g ðại học cho khối sinh viên năm t h ứ nhất và năm t h ứ
hai trong chương trình học ð ạ i cươn g. H ơn nữa trong các kỳ t h i T ốt nghiệp THPT và kỳ
thi Tuyển sinh ðại học phép tính tích phân hầu như luôn có trong các ñề thi môn Toán của
khối A, khối B và cả khối D. Bên cạnh ñ ó, phép tính tích phân cũng là một trong những
nội dung ñể thi tu yển sinh ñầu v ào h ệ T hạc sĩ và nghiên cứu sinh.
Với tầm q u a n t r ọng của phép tính tích phân, chính vì thế mà tôi viết một số kinh
nghiệm g i ảng dạy t í n h t í c h p h â n c ủa khối 12 với chuyên ñề
“TÍNH TÍCH PHÂN
BẰNG PH ƯƠN G P H Á P P H Â N T Í C H - ðỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PH Ầ N”
ñể
phần nào củn g c ố , nâng cao cho các em học sinh khối 12 ñể các em ñạt kết quả cao trong
kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại học và giúp cho các em có nền tản g
trong nhữn g n ăm h ọc ðại cươn g c ủa ðại học.
Trong phần nội dung chuyên ñề dưới ñây, tôi xin ñược nêu ra một số bài tập minh
họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phươn g ph á p ñổi biến số,
phươn g p h áp t íc h p h ân t ừng phần. Các bài tập ñề ngh ị là các ñề thi Tốt nghiệp THPT và ñề
thi tuyển sinh ðại họ c Cao ñẳn g của các năm ñể các em học sinh rèn luyện kỹ n ăng tính tích
phân và phần c u ối của chuyên ñề l à một số câ u h ỏi trắc nghiệm t í c h p h â n .
T u y n h i ê n v ới kinh nghiệm c ò n h ạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày
chu yê n ñề nà y s ẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong ñư ợc sự góp ý chân tình của
quý Thầy C ô t r o n g H ội ñồng bộ môn Toán Sở Giáo dục v à ðào tạo t ỉnh ðồng Nai. Nhân dịp
này tôi xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy c ô
trong tổ Toán trườn g N a m H à, c á c ñồ n g n g h iệp , b ạn bè ñã ñó n g g ó p ý k i ến cho tôi hoàn
thành chuyên ñề này. Tôi xin c hân th ành c ám ơn./.
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 2
MỤC LỤC
Lời nói ñầu 1
Mục lục 2
I. Nguyên hàm:
I.1. ðịnh nghĩa ngu yên hàm 3
I.2. ðịnh lý 3
I.3. Các tính chất của nguyên hàm 3
I.4. Bảng công thức ngu yê n hà m và một số công thức bổ sung 4
II. Tích phân:
II.1. ðịnh nghĩa tí ch p hâ n x ác ñịnh 5
II.2. Các tính chất của t ích ph ân 5
II.3 Tính tích phân bằng phươn g p há p p h â n t í c h 5
Bài tập ñề ngh ị 1 9
II.4 Tính tích phân bằng phươn g p há p ñổ i biến số 10
II.4.1 Phương pháp ñổi biến số l o ại 1 10
ðịnh lý về ph ương pháp ñổi biến số loại 1 13
Một số dạng khác dùng phương pháp ñổi biến số l o ại 1 14
Bài tập ñề ngh ị số 2 14
Bài tập ñề ngh ị số 3 15
Bài tập ñề ngh ị số 4: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 16
II.4.2 Phương pháp ñổi biến số l o ại 2 16
Bài tập ñề ngh ị số 5 21
Các ñề t hi Tốt nghiệp trung học phổ thông 22
Các ñề t hi tu yển sinh ðại học Cao ñẳn g 22
II.5. Phương pháp tích phân từng phần 23
Bài tập ñề ngh ị số 6: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 28
III. Kiểm t r a k ết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính
CASIO fx570-MS 29
Bài tập ñề ngh ị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm t í c h p h â n 3 0
Phụ l ục 36
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 3
I. NGUYÊN HÀM:
I.1. ðỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm số F(x) ñ ượ c g ọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu vớ i mọi
x∈(a;b):
F’(x) = f(x)
VD1: a) Hàm số F ( x) = x
3
là ng uyên h àm c ủa hàm số f(x) = 3x
2
t rên R
b) Hàm số F( x ) = l n x l à n g uy ê n hàm c ủa hàm s ố f(x) =
1
x
trên (0;+∞)
I.2. ðỊNH LÝ:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hà m số f(x) trên (a;b) thì:
a) Vớ i mọi hằng số C , F ( x ) + C c ũn g l à m ột nguyên hàm của f(x) t rên k ho ản g ñ ó.
b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoản g (a; b ) ñều có thể viết
dưới dạng F(x) + C với C là một hằn g s ố.
Theo ñịnh lý trên, ñể tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một
nguyên hàm nào ñó c ủa nó rồi cộng vào nó một hằ ng số C .
Tập hợ p các nguyên hàm của hàm số f(x) gọi là họ nguyên hàm của hàm số f(x) và
ñược ký hi ệu:
∫
f(x)dx
(hay còn gọi là tích phân bất ñịn h )
Vậy :
∫
f(x)dx= F(x)+C
VD2: a)
2
2xdx= x +C
∫
b)
s i n x d x = - c o s x +C
∫
c)
2
1
d x =t g x + C
c o s x
∫
I.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM:
1)
( )
∫
f(x)
'
=
2)
(
)
≠
∫ ∫
= a 0
a.f(x)dx a f(x)dx
3)
∫ ∫ ∫
= ±
f(x)±g ( x ) dx f(x)dx g ( x ) d x
4)
(
)
(
)
⇒
∫ ∫
=
f(x)dx = F(x)+C f u(x) u'(x)dx F u(x) +C
VD3: a)
(
)
∫
4 2 5 3 2
-6x+ - 2x + 4x
5x 8x dx= x +C
b)
(
)
∫ ∫
2
x
6cosx.sinxdx= -6 co s x.d cosx = -3cos +C
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 4
I.4. BẢNG CÔNG THỨC NG U YÊ N H ÀM :
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG GẶP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP
( )
( )
( )
π
π
α
α
α ≠
α
≠
≠
≠ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
+1
x x
x
x
2
2
2
2
dx= x + C
x
x dx= + C ( -1)
+1
dx
= lnx + C (x 0)
x
e dx= e +C
a
a dx= +C 0 < a 1
lna
cosxdx= sinx+ C
sinxdx= -cosx+ C
dx
= 1+tg x dx= tgx+ C (x k )
cosx 2
dx
= 1+cotgx dx
si
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
8/
x
/
n
9
π
≠
∫ ∫
= -cotgx+C (x k )
( )
( )
π
π
α
α
α ≠
α
≠
≠
≠ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
+ 1
u u
u
u
2
2
2
du= u+C
u
u du= +C ( -1)
+1
du
=ln u +C (u =u(x) 0)
u
e du= e +C
a
a du= +C 0 < a 1
lna
cosudu= sinu+C
sinudu= - cosu+C
du
= 1+tg u du= tgu+C (u k
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
8/
9/
)
cos u 2
du
= 1+ c
sin u
( )
π
≠
∫ ∫
2
otg u du= -cotgu+C(u k )
CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG
C Ô N G T H ỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP
:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
α
α
≠
≠
α
≠
≠
≠ ∈ ≠
≠
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+1
ax+b ax+b
kx
kx
1
dx = 2 x + C (x 0)
x
ax+b
1
ax+b dx= + C (a 0)
a +1
1 1
dx= ln ax+ b + C (a 0)
ax+b a
1
e dx= e + C (a 0)
a
a
a dx= + C 0 k R,0 < a 1
k.lna
1
cosax+ b dx= sinax+ b
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7
+ C (a 0)
a
1
sinax+ b dx= -/ cos
a
( )
π
π
π
≠
≠ +
≠
∫
∫
∫
ax+b + C (a 0)
tgxdx= - ln cosx+ C (x k )
2
cotgxdx= lnsinx+ C (9/ x
/
k
8
)
CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA
:
m n m+n
m
m-n -n
n n
1 n
nm
m
m m
a . a = a
a 1
= a ;
1/
2/
3/
= a
a a
a = a ; a = a
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
:
a. CÔNG THỨC HẠ BẬC:
( ) ( )
2 2
1 / 2
1 1
s i n x = 1 - c o s 2 x c os x = 1 + c o s 2 x
2 2
/
b. CÔNG THỨC BIẾN ðỔI TÍCH THÀNH TỔNG
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
c o s a . c o s b = c o s a-b+cosa+b
2
1
s i n a . s i n b = c o s a-b-cos a+b
2
1
s i n a . c o s b = s i n a-b+sina+b
2
1/
2/
3/
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 5
II. TÍCH PHÂN:
II.1. ð Ị NH NGHĨA T Í C H PH Â N X ÁC ðỊNH:
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phẩn tử bất kỳ c ủa K,
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hiệu F(b) – F(a) ñ ượ c gọi là tích phân từ
a ñến b của f(x ). Ký h iệu :
∫
b
a
b
a
=
f(x)dx= F ( x ) F(b) - F(a)
II.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:
=
∫
( ) 0
/ 1
a
a
f x dx
= −
∫ ∫
2/
( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx
= ≠
∫ ∫
b b
a a
k f x dx k f x dx k .( ) . ( ) (3/
0 )
± = ±
∫ ∫ ∫
[ ( ) ( )4 ]/
( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
= +
∫ ∫ ∫
b
a
f(x)( ) )
5/ (
c b
a c
dx f x dx f x dx
với c∈(a;b)
6/
Nếu
≥ ∀∈f x x a b
( ) 0 , [ ; ]
thì
≥
∫
a
( ) 0
b
f x dx
.
7/
Nếu
≥ ∀ ∈
f x g x x a b
( ) ( ), [ ; ]
thì
≥
∫ ∫
a
( ) ( )
b
b
a
f x dx g x dx
.
8/
Nếu
≤ ≤ ∀ ∈
m f x M x a b
( ) , [; ]
thì
− ≤ ≤ −
∫
a
( ) ( ) ( )
b
m b a f x dx M b a
.
9/
t biế n thiên trên
[ ; ]a b
⇒ =
∫
( ) ( )
t
a
G t f x dx
là một nguyên hàm của
( )f t
và
=( ) 0
G a
II.3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
Chú ý 1: ðể tính t ích phân
=
∫
( )
b
a
I f x dx
ta phân tích
= + +
1 1
( ) ( ) ... ( )
m m
f x k f x k f x
Trong ñó :
≠ =
i
k i m
0 ( 1 , 2 , 3 , . . . , )
các hàm
=
i
f x i m
( ) ( 1 , 2 , 3 , . . . , )
có trong bảng nguyên
hàm cơ bản.
VD4: Tính các tích phân sau:
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 6
∫
2
2 3 2
-1
3 2 3 2
2
-1
= (3x - 4x+3)dx= ( x -2x+3x)
=(2-2.2+3.2)-((-1)-2.(-1)+3.(-1))= 12
1) I
Nhận x é t : Câu 1 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụn g c ô ng t h ức 1/ và 2/
trong bảng nguyên hàm.
2 I
∫
2
4 3 2
2
1
3x -6x+ 4x -2x+ 4
) = dx
x
Nhận xét: Câu 2 trên ta chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bản g n g uyên
hàm, trước hết tách phân số trong dấu tích phân (lấy t ử chia mẫu) rồi áp dụng tính chất 4
và sử dụn g c ô ng thức 1/, 2/, 3/ trong bảng nguyên hàm.
I⇒ +
= =
∫ ∫
2 2
4 3 2
2
2 2
1 1
3 2
2
1
3x -6x+ 4x -2x+ 4 2 4
= dx = (3x -6x+ 4- )dx
x x x
4
(x -3x+ 4x -2ln|x|-) 4-2ln2
x
3) I
∫
2
2
0
x -5x+3
=
dx
x +1
Nh
ậ
n xét: Câu 3 trên ta c
ũ
n g ch
ư
a áp d
ụ
n g n gay
ñượ
c các công th
ứ
c trong b
ả
n g
nguyên hàm, tr
ướ
c h
ế
t phân tích phân s
ố
trong d
ấ
u tích phân (l
ấ
y t
ử
chia m
ẫ
u) r
ồ
i áp d
ụ
ng
tính ch
ấ
t 4 và s
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c 1/, 2/ trong b
ả
ng nguyên hàm và công th
ứ
c 3/ b
ổ
su n g .
I 6x
⇒ − +
∫ ∫
2 2
2
0 0
2
2
0
x -5x+3 9
= dx = dx
x +1 x +1
x
= -6x+9ln|x+1|= 2 -12+9ln3= 9ln3 -10
2
( )
4 ) I
∫
1
x - x x -x -x
0
= e 2 xe +5e -e dx
Nh
ậ
n xét: Câu 4: bi
ể
u th
ứ
c trong d
ấ
u tích phân có d
ạ
n g t íc h ta c
ũ
n g c h
ư
a áp d
ụ
n g
ngay
ñượ
c các cô ng th
ứ
c trong b
ả
n g n g uy ên hàm , t r
ướ
c h
ế
t nhân phân ph
ố
i rút g
ọ
n r
ồ
i áp
d
ụ
ng tính ch
ấ
t 4 và s
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c 1/, 2/, 5/ trong b
ả
ng nguyên hàm.
( ) ( )
1
0
I
⇒ =
∫ ∫
1 1
x
x - x x -x -x x 2
0 0
5 4
= e 2 x e +5e -e dx= 2 x + 5 -1 dx= x + -x
l n 5 l n 5
5 ) I
π
π
=
∫
4
4
0
2
2
= ( 4 c o s x + 2 s i n x - ) d x ( 4 s i n x -2cosx-2tgx)= 2 2 -
2 -2+2= 2
c o s x
0
Nh
ậ
n xét: Câu 5 trên ta ch
ỉ
c
ầ
n áp d
ụ
n g t í n h ch
ấ
t 4 và s
ử
d
ụ
n g c ô ng th
ứ
c 6/, 7/ và 8/
trong b
ả
ng nguyên hàm.
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 7
6) I
π
π
=
∫
8
0
8
0
= (4sin2x - 12cos4x)dx (-2cos2x - 3sin4x) =
- 2 -3+2= -1- 2
Nhận xét: Câu 6 trên ta cũn g c hỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụn g c ôn g t h ức 6/ ,
7/ trong bản g n g uy ê n h à m ph ần c á c côn g thức bổ su n g .
7) I
π
π
∫
12
0
2
= sin (2 x - )dx
4
Nhận xét: Câu 7 học sinh có thể sai vì sử dụ ng nhầm c ô n g t h ức 2/ trong bảng bảng
nguyên hàm cột bên phải, bởi ñã x em
π
2
u = sin (2x -
)
4
2
(hơ i giống ñạo hàm hàm số hợp).
Với câu 7 trước hết phải hạ bậc rồi sử dụng công thức 6/ trong bảng nguyên hàm phần các
công thức b ổ sung.
( )
I
π π π
π
π π
π π π
⇒
∫ ∫ ∫
12 12 12
0 0 0
12
0
2
1 1
= si n (2x - )dx = 1-cos(4x- ) dx = 1-sin4x dx
4 2 2 2
1 1 1 1 1 1
= x + c o s 4 x = + cos - 0 + c o s 0 = -
2 4 2 12 4 3 2 4 24 16
1
8/ I
π
∫
16
0
= cos6x.cos2xdx
Nhận xét: Ở câu 8: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũn g c h ưa áp dụng
ngay ñược các công th ức trong bảng nguyên hàm, trước hế t phải biến ñổi lượng giác biến
ñổi tích thành tổ ng rồi áp dụn g tí n h c h ất 4 và sử dụn g c ôn g t h ức 6 / trong bảng nguyên hàm
phần các công thức bổ sung.
( )
I
π π
π
⇒ =
∫ ∫
16 16
0 0
16
0
1 1 1 1
= cos6x.cos2xdx = cos8x +cos4xdx sin8x + sin4x
2 2 8 4
( )
0 0
π π
= − = =
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
sin + sin sin + sin + 1+ 2
2 8 2 4 4 2 8 4 2 8 8 16
9) I
∫
2
2
-2
= x -1dx
Nhận xét: Câu 9 biểu thức trong dấu tích phân có chứa giá trị tuyệt ñối, ta hướng
học sinh khử dấu giá trị tuyệt ñối bằng cách xét dấu biểu thức x
2
– 1 trên [-2;2] và kết hợp
vớ i tính chất 5/ của t ích ph ân ñể khử giá trị tuyệt ñối.
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 8
( ) ( ) ( )
I
5
⇒ − +
− + =
∫ ∫ ∫ ∫
2 -1 1 2
2 2 2 2
-2 -2 -1 1
3 3 3
-1 1 2
-2 -1 1
= x -1dx= x -1dx x -1dx x -1dx
x x x
= - x - x - x
3 3 3
10) I
∫
3
2
2
3x+9
=
dx
x - 4x -5
Nhận xét: Câu 10 trên ta không thực h iện p hé p c h i a ña thức ñược như câu 2 và 3,
m ặt khác biểu thức dưới mẫu phân tích ñược thành
(x -5)(x+1)
nên ta tách b i ểu thức
trong dấu tích phân như sau:
2
3 x + 9 A B 4 1
= + = -
x -4x-5 x -5 x+1x -5 x+1
(phương pháp hệ số
bất ñị nh)
( )
I
⇒
=
∫ ∫
3 3
2
2 2
3
2
3x+9 4 1
= dx = - dx = 4ln |x-5|-ln|x+1|
x - 4x-5 x -5x +1
4
4ln2 -ln4-4ln3 +ln3= 2ln2 -3ln3= ln
27
Chú ý 2: ð ể tính
I
≥
∫
2
2
a'x+b'
=
dx (b - 4ac 0)
ax +bx+c
ta làm như sau:
TH1: Nếu
2
b - 4ac= 0
, khi ñó ta luôn có sự phân tích
2 2
b
ax +bx+c= a(x +
)
2a
I⇒
∫ ∫ ∫
2 2
b ba' ba'
a'(x + )+b'- b ' -
a' dx dx
2a 2a 2a
= dx= +
b b b
a a
a(x + ) x + (x + )
2a 2a 2a
TH2: Nếu
⇒
2 2
1 2
b - 4ac>0 ax +bx+c= a(x - x )(x - x )
. Ta xác ñịnh A,B sao cho
1 2
a'x +b'= A(x - x )+B(x - x )
, ñồ ng nhất hai vế
⇒
1 2
A+B = a'
Ax + Bx = -b'
I
∫ ∫
1 2
1 2 2 1
1 A(x - x )+B(x - x ) 1 A B
= dx = ( + )d x
a (x - x )(x - x ) a x - x x - x
.
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 9
Chú ý 3:
TH1: ðể tính
I
∫
1 2 n
P(x)
= dx
(x -a)(x -a)...(x -a)
ta làm như sau:
1 2 n
1 2 n 1 2 n
A A A
P(x )
= + +...+
(x -a)(x -a)...(x -a) (x -a) (x -a) (x -a)
TH2: ðể tính
I =
∫
m k r
1 2 n
P(x)
dx
(x -a) (x -a) ...(x-a)
ta làm như sau:
m k r
1 2 n
P(x)
(x -a) (x -a) ...(x -a)
=
1 2 m
m m-1
1 2 m
A A A
+ + ...+ + ...
(x-a) (x-a) (x-a)
TH3: ðể tính
I
∫
P(x)
=
dx
Q(x)
với P(x) và Q(x) là hai ña thức:
* Nếu b ậc của P(x ) lớ n hơn ho ặc b ằn g bậc của Q( x) th ì lấy P ( x ) c h i a c h o Q ( x ) .
* Nếu b ậc của P(x ) nh ỏ hơ n bậ c của Q(x) thì tìm cách ñưa v ề c ác d ạng trên.
Nhận xét: V í d ụ 4 trên gồm n h ữn g b à i tập tính tích phân ñơn giản mà học sinh có
thể áp dụn g n gay b ảng công thức nguyên hàm ñể giải ñư ợ c bài toán hoặc vớ i nhữn g ph é p
biến ñổi ñơn giản như nhân phân phối, chia ña thức, ñồng nhất hai ña thức, bi ến ñổi tích
thành tổn g.. .Q u a v í d ụ 4 này nhằm g i ú p c á c e m t h u ộc cô ng thức và nắm v ững phép tính
tích phân cơ bản.
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 1: Tính các tích phân sau:
1) I
∫
1
3
0
= (x x +2x+1)dx
2) Ι =
∫
2
2
3
2
1
2x
x + x x -3x+1
dx
x
3) I
∫
0
3 2
-1
x -3x-5x+3
= dx
x -2
( )
4) I
∫
2
2
2
-2
= x + x -3dx
( )
5) I
π
∫
6
0
= sinx+cos2x-sin3xdx
6) I
π
∫
12
0
= 4sinx.sin2x.sin3xdx
7) I
π
∫
0
16
4
= c o s 2xdx
8) I
∫
2
2
-2
= x +2x-3dx
9) I
∫
4
2
1
dx
=
x -5x+6
10) I
∫
1
0
dx
=
x +1+ x
11) I
∫
2
x +2x+6
= dx
(x -1)(x- 2)(x- 4)
12) I
∫
2
3
x +1
= dx
(x -1)(x+3)
13) I
∫
4 2
xdx
=
x -6x+5
14) I
∫
7
4 2
x dx
=
(1+ x )
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 10
II.4. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ:
II.4.1. Phương pháp ñổi biến số loại 1:
Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân
∫
b
a
f(x)
dx
chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x),
cận a v à b m à k h ô n g p h ụ t h uộ c vào cách ký hiệ u biến số tích phân. Tức là:
...
= = =
∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f(x) f(t) f(u)
dx dt du
Trong một số trường hợ p tính tích phân mà không tính trực tiếp bằn g c ô n g th ức hay
qua các bước phân tích t a v ẫn không giải ñư ợ c. Ta xét các t rườn g h ợp c ơ bản sau:
VD5: Tính các tích phân sau:
1) I=
∫
2
2
2
0
dx
2 -x
Phân tích: Biểu thức tr ong dấu tích phân có chứa căn bậc hai, ta không khử căn
bằng phép biến ñổ i bình phươn g h a i vế ñược, ta thử tìm cách biến ñổi ñưa căn b ậc hai về
dạng
2
A
, khi ñ ó ta sẽ li ên tưởng ngay ñến công thức:
2 2
x = x = x
1-sin c o s c o s
, do ñó:
ðặt
⇒
x = 2sint dx = 2costdt
,
;
π π
∈ -
2 2
t
ðổi cận:
π
⇒ ⇒
2 2
x = 2sint= t =
2 2 6
⇒ ⇒
x = 0 2sint= 0 t = 0
I
π π π
π
π
⇒
∫ ∫ ∫
6 6 6
6
2 2
0 0 0
0
= =
2 c o s t . d t 2 c o s t . d t
= dt= t =
6
2 -2sint 2(1-sin t)
( vì
0 ;
π
⇒
∈ cost >0
6
t
)
Trong VD trên khi ta thay ñổi như sau:
I =
∫
2
2
0
dx
2 -x
. Học sinh làm tương tự và
ñược kết quả
I
2
π
=
. Kết quả trên bị sai vì hàm số
( )f x =
2
1
2-x
không xác ñịn h k hi
2
x=
.
Do ñó khi ra ñề ở d ạn g tr ê n Giá o vi ê n c ần chú ý: hàm số
( )f x
xác ñịnh trên [a;b]
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 11
2)
I
∫
6
2
2
0
= 3 -xdx
ðặt
⇒
x = sint dx = costdt
3 3
,
;
π π
∈ -
2 2
t
ðổi cận:
π
⇒ ⇒
6 6
x = 3sint= t =
2 2 4
⇒ ⇒
x = 0 2sint= 0 t = 0
( )
π π π
π
π
⇒
∫ ∫ ∫
4 4 4
4
2 2
0 0 0
0
. = =
3 3 1 3 1
I = 3 -3sint 3cost.dt 3cos t.dt 1+cos2t .dt = t+sin2t = +
2 2 2 2 4 2
a) Khi gặp dạng
β β
α α
∫ ∫
2 2
2 2
dx
a -xdx hay
a -x
(a > 0)
ðặt
x = s i n t
a.
⇒
dx = a.cost.dt
,
;
π π
∈
-
2 2
t
( ðể biến ñổi ñ ưa căn bậc hai về dạng
2
A
, tức là:
2 2 2 2 2
x = x =a. x
a -as i n a c o s c o s
)
ðổi cận: x =
β
⇒
t =
β
’
;
π π
∈
-
2 2
x =
α
⇒
t =
α
’
;
π π
∈
-
2 2
Lưu ý: Vì
; ' , ' ;
π π π π
α β
⇒ ⇒
∈ ∈
- - cost >0
2 2 2 2
t
' '
' '
t
β β β
α α α
⇒ = =
∫ ∫ ∫
2 2 2 2 2 2 2
.acost a c o s t
a -xdx a -asin dt dt
, hạ bậc c os
2
t.
' '
' '
t
β β β
α α α
= =
∫ ∫ ∫
2 2 2 2 2
a.cost
dx dt
h a y dt
a -x a -asin
ðến ñây, công thức nguyên hàm không phụ thuộ c vào biến số nên ta tính ñư ợc tích
phân theo biến số t một cách dễ dàng. Ở ñây ta cần lưu ý: Biểu thức trong dấu tích phân
này là hàm số theo biến số t ñơn ñiệ u trên [α;β].
Ta mở rộng tích phân dạng trên như sau:
b) Khi gặp d ạn g
β β
α α
∫ ∫
2 2
2 2
dx
a -u(x)dx hay
a -u(x)
(a > 0)
ðặt
⇒
.sint .
u ( x ) = a u ' ( x ) dx = a.cost.dt
,
;
π π
∈
-
2 2
t
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 12
ðổi cận: x =
β
⇒
t =
β
’
;
π π
∈ -
2 2
x =
α
⇒
t =
α
’
;
π π
∈ -
2 2
VD6: Tính tích phân sau:
I
∫
6
2+
2
2
2
= -x +4x-1 dx
. Ta có:
( )
I
∫
6
2+
2
2
2
= 3 - x -2 d x
ðặt
⇒
x -2= si n t dx = c o s t . d t
3 3
,
;
π π
∈ -
2 2
t
ðổi cận:
π
⇒ ⇒
2
x = 2+ sint = t =
4
6
2 2
0
⇒ ⇒x = 2 sint = 0 t =
( )
I
π π
π
π
π
⇒
∫ ∫
∫
4 4
2 2
0 0
4
4
0
0
. =
=
= 3 -3sint 3cost.dt 3cost.dt
3 3 1 3 1
1+cos2t.dt= t + sin2t = +
2 2 2 2 4 2
VD7: Tính tích phân sau:
∫
2
2
0
d x
I =
d x
2+x
Nhận xét: Ta thấy t a m t h ức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm n ê n t a k h ô n g s ử dụng
phươn g ph á p h ệ số bất ñịnh như ví dụ 4.10 và không phân tích biểu thức tron g dấu tích
phân ñược như chú ý 2 v à chú ý 3.
ðặt:
(
)
⇒
2
x = 2tgt dx = 2.1+tg t dt
,
;
π π
∈
t -
2 2
ðổi cận:
π
⇒ ⇒x = 2 2tgt= 2 t =
4
⇒ ⇒
x = 0 2tgt= 0 t = 0
( )
I
π π
π
π
⇒
∫ ∫
2
4 4
4
2
0 0
0
= = =
2.1 + t g t d t
d t = t
2+2tgt 2 2 8
c) Khi gặp dạng
β
α
∫
2 2
dx
a +x
(a > 0)
Nhận xét: a
2
+ x
2
= 0 vô nghiệm n ê n t a k h ô n g p h â n t í c h b i ểu thức trong dấu tích
phân ñược như chú ý 2 v à chú ý 3.
ðặt
(
)
⇒
2
x = a.tgt dx = a. 1+tgt dt
,
;
π π
∈
t -
2 2
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 13
ðổi cận: x =
β
⇒
t =
β
’
;
π π
∈
-
2 2
x =
α
⇒
t =
α
’
;
π π
∈
-
2 2
Ta xét ví dụ tương tự tiếp theo:
VD8: Tính tích phân sau:
I
∫
1 + 2
2
1
d x
=
x -2x+3
Nhận xét: Ta th ấy t a m t h ức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm n ê n t a p h â n t í c h m ẫu số
ñược th ành : a
2
+ u
2
( x ) .
Ta có:
( )
I
∫ ∫
1 + 2 1 + 2
2
2
1 1
=
d x d x
=
x -2 x +3
2+x-1
ðặt
(
)
⇒
2
2tgt
x -1= dx = 2.1+tg t dt
,
;
π π
∈
t -
2 2
ðổi cận:
π
⇒ ⇒x = 1+ tgt = 1 t =
4
2
0
⇒ ⇒x = 1 t g t = 0 t =
( )
I
π π
π
π
=
⇒
∫ ∫
2
4 4
4
2
0 0
0
= =
2.1 + t g t d t
2 2 2
d t = t
2+2tgt 2 2 8
Vậy :
d) Khi gặp d ạn g
( )
β
α
∫
2 2
dx
a +ux
(a > 0)
Với tam thức bậc h ai
(
)
2 2
a +ux
vô nghiệm t h ì
ðặt
(
)
⇒
2
u(x ) = a.tgt u'(x)dx = a. 1+tg t dt
,
;
π π
∈
t -
2 2
ðổi cận:
x =
β
⇒
t =
β
’
;
π π
∈
-
2 2
x =
α
⇒
t =
α
’
;
π π
∈
-
2 2
Tóm lại: Phương pháp ñổ i biến s ố dạng 1:
ðịnh lý: Nếu
1. Hàm số x = u(t) có ñạ o hàm liên tục, ñơn ñiệu trên ñoạn [ α;β].
2. Hàm số hợp f [ u (t ) ] ñược xác ñịnh trên ñoạn [ α;β].
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 14
3. u(α) = a, u(β) = b.
thì
[ ]
β
α
=
∫ ∫
b
a
f(x) f u ( t ) u ' ( t ) .
dx dt
Từ ñó ta rút ra quy tắc ñổi biến s ố dạn g 1 n hư sau:
B1: ðặt
x = u(t)
(với u(t) là hàm có ñạo h à m l i ê n t ục trên
α β
[ ; ]
, f(u(t)) xác ñịnh trên
α β
[ ; ]
và
α β
= =
( ) , ()
u a u b
) và xác ñịnh
α β
,
B2: Th ay v ào ta có:
( )
I
β
β
α
α
β α
∫ ∫
b
a
= f(u(t)).u'(t)dt = g(t)dt =G(t)=G() -G
M
ộ
t s
ố
d
ạ
ng khác th
ườ
ng dùng ph
ươ
n g p h á p
ñổ
i bi
ế
n s
ố
dang 1:
* Hàm s
ố
trong d
ấ
u tích phân ch
ứ
a
2 2 2
2 2 2
1
a -bx
a -bx
hay
ta th
ườ
ng
ñặ
t
a
x = sint
b
* Hàm s
ố
trong d
ấ
u tích phân ch
ứ
a
2 2 2
2 2 2
b x -a
b x -a
1
h a y
ta th
ườ
ng
ñặ
t
a
x =
bsint
* Hàm s
ố
trong d
ấ
u tích phân ch
ứ
a
2 2 2
1
a +bx
ta th
ườ
ng
ñặ
t
a
x = tgt
b
* Hàm s
ố
trong d
ấ
u tích phân ch
ứ
a
x(a -bx)
ta th
ườ
n g
ñặ
t
2
a
x = sin t
b
BÀI T
Ậ
P
ðỀ
NGH
Ị
2: Tính các tích phân sau:
1) I
∫
1
2
0
= x 1-x dx
2) I
∫
2
1
2
0
x
=
dx
4 -3x
3) I
∫
1
2
0
x
= dx
3 + 2x - x
4) I
∫
2
2
1
x -1
= dx
x
5) I
∫
3
2
1
x +1
=
dx
x(2 - x)
6) I
∫
1
2
0
dx
=
x + x +1
H
ướ
n g d
ẫ
n: Câu 4:
ðặ
t
1
x =
si nt
Câu 5:
ðặ
t
2
x = 2sin t
VD9: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: N
ế
u h à m s
ố
f ( x ) li ê n t
ụ
c trên
0 ;
π
2
thì
( ) ( )
π π
=
∫ ∫
2 2
0 0
f si n x dx f cosx dx
Áp d
ụ
n g p h
ươ
ng pháp trên
ñể
tính c ác tíc h ph ân sau :
1) I
π
∫
4
2
4 4
0
si n x
= dx
sin x +cosx
2) I
π
∫
4
0
= l n ( 1 + t g x ) d x
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 15
Giải
VT =
( )
π
∫
2
0
f sinx dx
ðặt
π
⇒
x = -t
dx = -dt
2
.
ðổi cận
π π
⇒ ⇒
x = 0 t = ; x = t = 0
2 2
( )
VT VP
π
π
π
⇒ = − − = =
∫ ∫
0
2
0
2
f sin dt f cosx dx
2
t
(ñpcm)
Áp dụ ng phương pháp trên ñể tí nh các tí ch ph ân sa u :
1) I
π
∫
4
2
4 4
0
sin x
= dx
sin x +cosx
ðặt
π
⇒
x = -t
dx = -dt
2
.
ðổi cận
π π
⇒ ⇒
x = 0 t = ; x = t = 0
2 2
I
π π
π
π
π π
∫ ∫ ∫
4
4 4
0
2 2
4 4 4 4
4 4
0 0
2
sin ( - t)
c o s t cos x
2
= - dt = dt = dx
sin t +cost sin x +cosx
sin ( - t) + cos ( - t)
2 2
π π π
π π
⇒ ⇒
∫ ∫ ∫
4 4
2 2 2
4 4 4 4
0 0 0
si n x c o s x
2I = dx + dx = dx =
I =
2 4
sin x +cosx sin x +cosx
.
2) I
π
∫
4
0
= ln(1+ tgx)dx
ðặt
π
⇒
x = -t
dx = -dt
4
ðổi cận
π π
⇒ ⇒
x = 0 t = ; x = t = 0
4 4
I
I
π π π
π
π
π π
⇒
⇒ ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
4 4 4
0
0 0 0
4
1-tgt
= - l n [ 1 + t g ( -t)]dt= l n ( 1 + ) d t = [ l n 2 -ln(1+tgt)
] d t =ln2.d t -I
4 1+tgt
l n 2 . l n 2
2 = I =
4 8
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 3: Tính các tích phân sau:
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 16
1)
π π
∫ ∫
2 2
n n
0 0
sin xdx = cos xdx
HD: ðặt
π
x =
-t
2
.
2) C h o
∫
a
-a
I = f(x)dx
. CMR:
a)
I
∫
a
0
= 2 f(x)dx
nếu f(x) là hàm số c h ẵn.
b)
I = 0
nếu f( x ) l à hà m s ố l ẻ.
3) C h ứng m i n h r ằng: Nếu f(x) là hàm số c h ẵn t h ì
∫ ∫
b b
x
-b 0
f(x)
dx = f(x)dx
a +1
.
Áp dụn g: T í n h
∫
2
2
x
-2
2x +1
I =
dx
2 +1
.
4) C h ứng m i n h r ằng:
π π
π
∫ ∫
0 0
xf(sinx)dx= f(sinx)dx
2
(HD: ðặt
π
x = - t
)
Áp dụn g: T í n h
π
∫
2
0
xsinx
I =
dx
4+sinx
.
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 4: Tính các tích phân sau: (Các ñề t uyển sinh ðại học)
a) I =
∫
2
2
2
2
0
x
dx
1-x
(ðH TCKT 1997)
( )
b) I =
∫
1
3
2
0
1-x dx
(ðH Y HP 2000)
c) I =
∫
2
2 2
0
x 4-x dx
(ðH T.Lợ i 1997)
d) I =
∫
a
2 2 2
0
x a - x dx
(ðH SPHN 2000)
e) I =
∫
3
2
2
1
2
dx
x 1-x
(ðH TCKT 2000)
f) I =
∫
1
4 2
0
dx
x + 4x +3
(ðH T.Lợ i 2000)
( )
g) I =
∫
1
2
2
-1
dx
1+x
(ðH N.Ngữ 2001)
h) I =
∫
2
2
2
3
dx
x x -1
(ðH BKHN 1995)
II.4.2. Phương pháp ñổi biến số loại 2: (Dạng nghịch)
Nếu tích phân có dạng
∫
b
a
f u( x ) u' (x )dx
ðặt:
⇒u = u(x) du= u'(x)dx
ðổi cận:
⇒
2
x = b u = u(b)
1
⇒
x = a u = u(a)
( )
I⇒
∫
2
1
u
u
= f u du
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 17
a) Một số d ạng cơ bản thườn g g ặp k h i ñổi biến số loại 2:(Dạn g n g hịch)
Trong một số trường hợ p tính tích phân bằn g ph ương pháp phân tích hay tính tích
phân bằn g t íc h p h â n ñổi biến số loại 1 không ñư ợ c nhưng ta thấy b i ểu thức t ro ng dấu tích
phân có chứa:
1. Lũy t h ừa th ì ta thử ñặt u bằng biểu thức bên trong của bi ểu thức có chứa lũy t h ừa
cao nhất.
2. Căn thức th ì ta thử ñặt u bằn g căn thức.
3. Phân số th ì ta th ử ñặt u bằng mẫu số.
4. cosx.dx thì ta thử ñặ t u = sinx.
5. sinx.dx thì ta thử ñặt u = cosx.
6.
2
dx
cos x
hay (1 + tg
2
x)dx thì ta thử ñặt u = tgx.
7.
2
dx
sin x
hay (1 + cotg
2
x)dx thì ta thử ñặt u = cotgx.
8.
dx
x
và chứa ln x th ì t a thử ñặt u = lnx.
VD 10: Tính các tích phân sau:
1.
a ) I
∫
1
3 5 2
0
= ( x +1)x d x
ðặt:
⇒
⇒
3 2 2
du
u = x +1 d u =3xdx x dx =
3
ðổi cận:
x 0 1
u 1 2
I⇒
∫ ∫
2 2
2
6 6 6
5 5
1
1 1
= = = - =
du 1 u 2 1 7
= u u du
3 3 18 18 18 2
b ) I
π
∫
2
3
0
= ( 1 + s i n x ) . c o s x . d x
(Tương tự)
2.
a) I
∫
2
2
0
= 4+3x.12x.dx
ðặt:
⇒
2 2 2
u = 4+3x u = 4+3x
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 18
⇒
⇒2udu =6xdx12xdx= 4udu
ðổi cận:
x 0 2
u 2 4
I⇒
∫ ∫
4 4
4
3 3 3
2
2
2 2
= = - =
4u 4.4 4.2 224
= u.4u.du = 4u .du
3 3 3 3
b)
I
∫
2
2 3
0
= 1+2x .x .dx
(HD:
I
∫
2
2 2
0
= x . 1+2x .xdx
)
ðặt
⇒ ⇒
2
2 2 2 2
-
=
u 1
u = 1+2x u = 1+2x x
2
⇒⇒
udu
2udu= 4xdx xdx =
2
...
c)
I
∫
1
2
3
3
0
x
=
dx
1+7x
ðặt
⇒
3 3 3 3
3
= =
u 1+7x u 1+7x
⇒ ⇒
2
2 2 2
u du
3u du= 21x dx x dx =
7
ðổi cận:
x 0 1
u 1 2
⇒
∫ ∫
2 2
2
2 2 2 2
1
1 1
= = = - =
u 1 1u 2 1 3
I = du ud u
7u 7 14 14 14 14
3.a)
I
∫
1
3
2
0
+
x
=
dx
x 1
Ta có:
I
∫
1
2
2
0
.
+
x x
=
dx
x 1
ðặt
⇒
2 2
= + = -
u x 1 x u 1
⇒ ⇒= =
du
du 2xdx xdx
2
ðổi cận:
x 0 1
u 1 2
( )
( ) ( )
I
⇒
∫ ∫
2 2
2
1
1 1
= = = =
u-1 1 1 1 1
= du 1- du u-ln|u| 2 -ln2-1 1-ln2
2u 2 u 2 2
b)
I
∫
2
2
3
1
=
x
dx
x +2
(HD: ðặt
3
u = x +2
)
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 19
4.a)
I
π
∫
6
4
0
= sin x.cosx.dx
ðặt:
⇒u = s i n x du = c o s x . d x
ðổi cận:
x
0
6
π
u
0
1
2
I
⇒
∫
1
1
5
2
2
4
0
0
= =
u 1
= u du
5 160
b)
I
π
∫
2
0
sinx
=
dx
1+3cosx
(HD: ðặt
u = 1+3cosx
)
c)
I
π
∫
2
0
= 1+3sinx .cosxdx
(HD:
ðặ
t
u = 1+3sinx
)
5.a)
I
π
∫
2
0
sin2x +sinx
= dx
1+3cosx
(
ðề
ð
H kh
ố
i A – 2005)
Ta có
( )
I
π π
∫ ∫
2 2
0 0
si nx 2cosx +1
2sinxcosx +sinx
= dx= dx
1+3cosx 1+3cosx
ðặ
t
⇒
⇒
2
2
-
u 1
u = 1+3cosx u = 1+3cosx cosx =
3
⇒ ⇒
-2udu
2udu = -3sinxdx sinxdx =
3
ðổ
i c
ậ
n:
x
0
2
π
u 2 1
( )
⇒
∫ ∫
2
1 2
2
2 1
2
3 3 3
1
-
+
= + = + - =
u 1 -2udu
2 + 1
3 3
2
I = dx = 2u 1 du
u 9
2 2u 2 2.2 2.1 34
u 2 - 1
9 3 9 3 3 27
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 20
Nhận xét: ðối với những bài chứa căn thức, học sinh có thể ñ ặt u bằng biểu thức
trong dấu căn, nhưng sau khi ñ ổi biến thì tích phân mới vẫn c ò n c h ứa căn thức nên v iệc
tính tiếp t he o sẽ phức tạp hơn ( t ức l à học s in h p hải ñ ưa về x
α
). Ví dụ: Cách 2 của c â u 5
5.a)
I
π
∫
2
0
sin2x +sinx
= dx
1+3cosx
(ðề ðH khối A – 2005)
Ta có
( )
I
π π
∫ ∫
2 2
0 0
sinx 2cosx +1
2sinxcosx +sinx
= dx= dx
1+3cosx 1+3cosx
ðặt
⇒
-u 1
u = 1+3cosx cosx =
3
⇒ ⇒
-du
du= -3sinxdx sinxdx =
3
ðổi cận:
x
0
2
π
u 4 1
( )
4 4
1 1
2 2
1 1
u u
−
+ =
=
⇒
∫ ∫
∫ ∫
4
1
4 1
4
1
-
1
= 2 + = 2 u u +2u
= + 4--2
u 1 -du
2 + 1
2u+1
1
3 3
I = du = du
9
u u
1 1 1 4
u
9 9 9 3
u
1 32 4 34
9 3 3 27
Nhận xét: Rõ ràng cách giải 2 ñặt u bằng biểu thức trong căn thấy p h ức tạp hơ n so
vớ i cách 1.
b)
I
π
∫
2
0
sin2x.cosx
=
dx
1+cosx
(ðH khối B – 2005)
6.a)
( )
I
π
=
∫
2
4
2
0
tgx +1
dx
cos x
ðặt:
⇒
2
d x
u = t g x + 1 du =
c o s x
ðổi cận:
x
0
4
π
u 1 2
I
⇒
∫
2
2
3
2
1
1
= = - =
u 8 1 7
= u du
3 3 3 3
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 21
b)
I
π
∫
4
2
2
0
tg x - 3tgx +1
= dx
cos x
(HD: ðặt
u = t g x
)
7.a)
I
π
π
∫
cotgx
2
2
4
e
dx
sin x
=
ðặt:
⇒
2
- d x
u =cotgxdu =
s i n x
ðổi cận:
x
4
π
2
π
u 1 0
I⇒
∫ ∫
0 1
1
u u u
0
1 0
= = = -
= - e du e du e e 1
b)
I
π
∫
2
2
p
4
3cotgx+1
= dx
sin x
(HD: ðặt
u = 3cotgx+1
)
8.a)
I
∫
3
e
1
1+lnx.dx
=
x
ðặt
⇒
2
u = 1+lnx u = 1+lnx
⇒
dx
2udu=
x
ðổi cận:
x 1
3
e
u 1 2
I⇒
∫ ∫
2 2
2
3 3 3
2
1
1 1
2
2 = =
3
u 2.2 2.1 14
= u . 2 u d u = u du - =
3 3 3
b)
I
∫
7
e
3
1
ln x . 1+lnx
=
dx
x
ðặt
⇒ ⇒
3 3
3
-
u = 1+lnx u = 1+lnx u 1=lnx
⇒
2
dx
3u du =
x
ðổi cận:
x 1
7
e
u 1 2
( ) ( )
I
⇒
∫ ∫
2 2
2
7 4 7 4
3 2 6 3
1
1 1
300
. = 3 - = 3 -
7 4 7 4 7
u u2 2
= u -1u . 3 u du = 3 u -udu =
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 5:
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 22
1. Tí nh c ác t íc h ph ân sau:
( )
a ) I
π
∫
2
3
3
0
= 5sinx -1c o s x. dx
b) I
∫
2
2 3
0
= 1+2x .x .dx
c ) I
∫
1
2
3
3
0
x
dx
1+26x
d) I
∫
p
2
0
sinx
=
dx
1+3cosx
e ) I
π
∫
6
4
0
= sin x.cosx.dx
f) I
∫
p
4
5
0
= c o s x.dx
g ) I
π
∫
6
2 3
0
= sin x.cos x.dx
h) I
π
∫
2
0
= 1+3sinx.cosxdx
i ) I
π
∫
4
3
0
= ( 1 + s i n 2 x ) . c o s 2 x . d x
j) I
∫
p
2
3
0
= sinx - sin x.dx
k) I
π
∫
2
2
0
sin2x
=
dx
1+cosx
1
l) I
π
+
∫
4
tgx
2
0
e
=
dx
co s x
2. Tí nh c ác t íc h ph ân sau: ( Các ñề t hi tốt nghiệ p)
a) I
π
∫
2
5
0
= sin x.dx
(TNTHPT Năm 9 3 - 9 4 )
b) I
∫
2
2
3
1
x
=
dx
x +2
(TNTHPT Năm 9 5 - 9 6 )
c) I
∫
2
2 3
1
= x +2.x.dx
(TNTHPT Năm 9 6 - 9 7 )
d ) I
π
∫
2
2
0
= c o s 4 x . d x
(TNTHPT Năm 9 8 - 9 9 )
e ) I
π
∫
6
0
= ( s i n 6 x s i n 2 x + 6 ) . d x
(TNTHPT 00-01)
f ) I
π
∫
2
2
0
= ( x + s i n x ) c o s x . d x
(TNTHPT 04-05)
3. Tí nh c ác t íc h ph ân sau: ( Các ñề t hi tuyển sinh ðại học)
a)
I
π
∫
2
0
si n2 x + s i nx
= dx
1+3cosx
(
ð
H kh
ố
i A – 2005)
b)
I
π
∫
2
0
si n2x. co sx
=
dx
1+cosx
(
ð
H kh
ố
i B – 2005)
( )
c )
I
π
∫
2
s i nx
0
= e +sinxc o s x d x
(
ð
H kh
ố
i D – 2005)
d) I
π
∫
2
2 2
0
sin2x
= dx
cos x + 4sinx
(
ð
H kh
ố
i A – 2006)
e) I
∫
ln5
x -x
ln3
dx
=
e +2e-3
(
ð
H kh
ố
i B – 2006)
f) I
∫
1
2x
0
= (x -2)edx
(
ð
H kh
ố
i D – 2006)
4. Tính các tích phân sau: (Các d
ạ
ng k há c)
a) I
∫
13
3
0
dx
=
2x+1
b) Ι
3
0
= x x+1.dx
∫
c) I
∫
1
3
0
dx
=
1+ x +1
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 23
d) I
∫
p
3
0
2sin2x +3sinx
= dx
6cosx -2
e) I
∫
7
e
3
1
1
=
dx
x 1+lnx
f) I
∫
3
e
1
1+lnx.dx
=
x.lnx
g) I
∫
7
e
3
1
lnx. 1+lnx
=
dx
x
h) I
∫
4
-1
e
e
1
= dx
x.lnx.ln(lnx)
i) I
∫
5
4
5
3
x +1
= .dx
x -1
k) I
∫
1
x
0
dx
=
1+e
l ) I
∫
ln5
x
0
= e -1 dx
m) I
∫
e
x
0
(x +1)
=
dx
x(1+xe )
(HD: t = xe
x
)
5. Tí nh c ác t íc h ph ân sau: ( Các ñề t hi tuyển sinh ðại học)
1) I =
∫
7
3
2
0
x dx
1+x
(ðH T.Mại 1997);
( )
1
0
2 ) I =
∫
6
5 3
x 1 - x d x
(ðH KTQD 1997)
3) I
π
=
∫
3
2
2
0
sin x
dx
1+cosx
( ðH QGHN 1997);
4) I
∫
1
0
xdx
=
2x+1
(ðHQGTPHCM 1998)
5)
π
Ι =
∫
0
cosx sinxdx
(ðHBKHN98);
( )
6 ) I
π
=
∫
2
4 4
0
c o s 2 x s i n x+cosx d x
(ðHBKHN 98)
7) I =
∫
7
3
3
0
x +1
dx
3x+1
(ðH GTVT 1998);
1
0
8) I =
∫
x
dx
e +1
(ðH QGHN 1998)
9) I
π
=
∫
3
0
sin xcosxdx
(ðH D LH V 1 9 9 8 ) ;
10) I
π
=
∫
2
4
0
sin2x
dx
1+cosx
(ðHQGTPHCM 1998)
( )
11) I
π
=
∫
2
3
2
0
sin2x 1+sinx dx
(ðH N T 1 9 9 9 ) ;
12) I
π
=
∫
4
2
4 4
0
sin x
dx
sin x +cosx
(ðH GTVT 1999)
13) I =
∫
1
2x
0
dx
e +3
(ðH C ñoàn 2000);
14) I =
∫
ln2
2x
x
0
e dx
e +1
(ðH BKHN 2000)
15) I
π
=
∫
4
4 4
0
sin4x
dx
sin x +cosx
(ðH CThơ 2000) ;
( )
2
1
16) I =
∫
3
dx
x x +1
(ðH NNghiệp 20 0 0 )
0
17) I
π
=
∫
6
2
6 6
sin x
dx
c o s x +sinx
(ðH Huế 2000);
18) I
π
=
∫
2
0
cosx
dx
sinx + c o s x
( ðHNN1-KB 01)
( )
19)
I
=
∫
2
4
1
dx
x x +1
(ðH Aninh 2001)
20)
π
Ι =
∫
2
2
0
cos xsin2xdx
(ðH NL HCM 2001)
21) I =
∫
1
5 3
0
x 1-x dx
(ðH L u ật HCM 2001);
22) I
∫
3
7
8 4
2
x
=
dx
1+x -2x
(CðSPNtrang 2002)
( )
0
23) I
π
=
∫
2
3 3
c o s x - sinx dx
(CðSPQN 2002);
24) I =
π
∫
4
2
0
1-2sinx
dx
1+sin2x
(ðHCð khố i B 2003)
25) I =
∫
2 3
2
5
dx
x x + 4
(ðH-Cð khối A 2003);
1
0
26) I
=
∫
3 2
x 1-x dx
(ðH-Cð khối D 2003)
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 24
II.5. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
ðịnh lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có ñạo hàm liên tụ c trên ñoạn [a;b] thì:
[ ]
b
a
= −
∫ ∫
b
b
a
a
u(x ). v ' (x ) u(x ). v ( x ) v(x).u'(x).
dx dx
hay
[ ]
b
a
= −
∫ ∫
b
b
a
a
u ( x ) . u ( x ) . v ( x ) v ( x ) .
dv du
hay
∫ ∫
b b
b
a
a a
= -
u.dv u . v v. d u
a) Phương pháp tính tích phân từng phần:
Bước 1: Bi ến ñổ i
( ) ( ) ( )
I
b
a
= =
∫ ∫
b
1 2
a
f x dx f x f x dx
Bước 2: ðặt
( )
( )
(
)
( )
⇒
∫
1
1
2 2
du= df x
u = f x
dv = f x dx v = f x dx
Bước 3: Tí nh
I
∫
b
b
a
a
= u . v - v . d u
Chú ý: Khi tính tích phân từng phần ta phải nắm n g u y ê n t ắc sau:
+ Chọn p h é p ñặt dv sao cho dễ xác ñị nh ñược v
+
∫
b
a
vdu
phải dễ x ác ñ ịnh hơn
∫
b
a
ud v
b) Một số dạng thườn g dù n g ph ươn g p h á p t íc h p hâ n t ừn g p hần:
Nếu biểu thức trong dấu t íc h ph â n c ó c hứa:
Dạng 1:
(
)
(
)
(
)
(
)
; ; ;
n x n x
P x s i n ( n x ) . d x P x c o s ( n x ) . d x P x . e d x P x .a d x
ta nên ñặt:
nx nx
u = P(x)
dv = sin(nx)dx hay cos(nx)dx hay e dx hay
a dx
Dạng 2:
(
)
(
)
;
a
P x lnx.dx P x log x.dx
ta nên ñặt:
a
u = lnx hay u = log x
dv = P(x)dx
Dạng 3:
hay
x x
a sin(nx)dx e cos(nx)dx
hay
hay
x x
a cos(nx)dx a cos(nx)dx
thì
phải sử dụng tích phân từng phần ñến hai lần .
(v
là m
ộ
t nguyên
hàm c
ủ
a f
2
(x)
)
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 25
VD 11: Tính các tí ch p hân sau :
1.
I =
π
∫
3
0
(3x -1)cos3xdx
ðặt:
⇒
du = 3dx
u = 3x-1
1
dv = cos3 xd x
v = sin3x
3
I
π
π π
⇒
∫
3
3 3
0 0
0
= -
2
1 1
(3x -1)sin3x sin3xdx =0+cos3x = -
3 3
3
2.
I
∫
1
0
= (2x+1)ln(x+1)dx
ðặt:
⇒
2
dx
du =
u = ln(x+1)
x + 1
dv =(2x+1)dx
v = x + x = x ( x + 1 )
I =⇒
∫
1
1
2
1
2
0
0
0
- =
x
(x +x)ln(x+1)x d x 2ln2-
2
1 1
= 2ln2- = - +ln4
2 2
3.
( )
I
∫
1
2 2x
0
= 4x -2x-1e dx
(ðH GTVT 2004)
ðặt:
⇒
2
2x
2x
e
4x -2x-1
1
e dx
2
du = (8x - 2)dx
u =
v =
dv=
A -
Β
I =⇒
∫
1
1
2 2x 2x
0
0
1 1
4x -2x-1 e - (4x - 1) e dx =
2 2
( ).
A
= +
=
1
2 2x 2
0
1 1 1
4x -2x-1 e e
2 2 2
( ).
Β
=
∫
1
2x
0
(4x - 1)e dx
ðặt:
⇒
2x
1
2x
e
2
4x -1
e dx
du = 4dx
u =
v =
dv =
( )
1
1 1
0 00
⇒ − = + = +
∫
2x 2x 2 2x 2
1 3 1 1 3
4x -1e 2e dx e -e e
2 2 2 2 2
A -
Β = - 1
I =⇒
Nhận xét: Ví dụ trên là dạn g 1 của tích phân từng phần
(
)
∫
n x
P x . e d x
do ñó hướn g
học sinh ñặt u = P(x) nhưng do P(x) là tam thức bậc ha i nên t a tính tích phân từng phần
hai lần. Tù ñó rút ra nhận xét chung cho học sinh: Nếu P(x) là ña thức bậc k t hì tính t ích
phân từng phần k lần.
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 26
4. I =
π
∫
4
x 2
0
4e
cos x d x
Nhận xét: Dạng 3 của tích phân từng phần là tích phân có dạng
∫
x
e si n(nx )d x
nhưng biểu thức trong d ấu tích phân của ví dụ trên chứa
2
cos x
do ñó hạ bậc ta sẽ ñư a tích
phân về ñú n g dạng 3.
( ) ( )
I= I I
π π π π π
+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4 4 4 4 4
x 2 x x x x
1 2
0 0 0 0 0
4 e 2 e 2 2 e 2 2 e 2 e 2
c o s x d x = 1 + c o s x d x = 1 + c o s x d x = d x + c o s x . d x =
Ta có:
0
I
π
π
π
∫
4
4
x x
4
1
0
2 e 2 e 2 e -2
= d x = =
I
π
=
∫
4
x
2
0
2 e 2
c o s x . d x
ðặt:
⇒
x
x
2
e dx
u = cos x
du = -2.sin2xdx
dv= 2
v = 2 e
2
- +
Β
I =
π
+
⇒
∫
1
4
x x
0
0
2e 2 4e sin2xdx = 2
c o s x
Β =
∫
1
x
0
4e sin2xdx
ðặt:
⇒
x
x
2
e dx
e
u = si n x
du = 2.cos2xdx
dv= 4
v = 4
2
B I
=
π
π
− −
⇒
∫
1
4
x x
4
0
0
4e 2 8e c o s 2 x d x = 4e 4
si n x
2 2
2 2
- 2 +B - + I
I - + I- +
I =
π
π π
−
⇔ = ⇔ =
⇒
4
4 4
= 2 4e 4
1
5 2 4e 2 4e
5
+ 2 - +
I I I
π π π
= = −
4 4 4
1 2
1 1 4 1 2
e -2+ 2 4 e e
5 5 5
=
Nhận x é t : Ở ví dụ trên học sinh phải tính tích phân từn g p hần hai lần, trong khi tính
lần hai biểu thức xuất hiện tích phân I cần tính ban ñầu nên ta còn gọi dạn g t r ên l à
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 27
tích phần từn g p h ần lặp . T r o n g d ạng bài tập này khi làm học sinh cần lưu ý về dấu
khi sử dụng công thức tích phân từn g p hần .
5. A =
π
∫
4
2
0
x
dx
cos x
. Từ ñó su y r a: B =
π
∫
4
2
0
x.tg x d x
(ðH NN Khối B 2000)
ðặt
⇒
2
u = x
du= dx
dx
v = tgx
dv=
co s x
π
π
⇒
∫
4
4
0
0
A -
= x.tgx tgxdx
=
π
π
∫
4
0
d(cosx)
+
4 cosx
=
π
π
4
0
+lncosx
4
=
π
1
- ln2
4 2
π π
⇒
∫ ∫
4 4
2
2
0 0
B =
1
x.tg x d x = x . ( -1)dx
c o s x
=
π π
∫ ∫
4 4
2
0 0
x
1
x. dx- xd
co s x
=
π π
2
1
- ln2 -
4 2 32
6.
( )
I
∫
3
2
2
= ln x - x dx
(ðHCð Khối D 2004)
ðặt:
( )
⇒
2
2
x -1
(2x - 1)dx (2x - 1)dx
du = =
u = ln(x -x)
x -x
x
dv = dx
v = x - 1
(nguyên hàm v = x + c nên thay c = -1 ñể khử mẫu số)
I =⇒
∫
3
3
2
2
2
2x - 1
- dx = +1= +
x
(x -1).ln(x-x) 2ln6-2ln2 2ln3 1
Nhận x é t: Trong dạn g bà i t ập tích phân từng phần có chứa ln (u(x )) th ường xuất hiện
phân số nên rèn luyện cho học sinh khéo léo kết hợp thêm tính chất của nguyên hàm
∫
f(x)dx = F(x)+C
vớ i C là một hằng số th íc h hợ p ta có thể ñơn giản ñược phân
số ñể ch o b ước tính tích ph ân ti ếp t h e o ñơ n gi ản h ơn.
Một ví dụ tương tự:
I
∫
4
3
= 2xln(x -2)dx
7.
I
dx
π
∫
3
2
3
0
= sin x
(ðH KTrúc HN 2001);
Nhận x é t: Ở v í d ụ t r ê n h ọc sin h ph ải nhận xét ñư ợc rằn g b ước ñầu phải ñổi biến số.
ðặt
u = ⇒ ⇒
3 2
3
x u = x 3u = dx
ðổi cận:
x 0
3
2
π
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 28
u
0
2
π
I
du
π
⇒
∫
2
2
0
= 3u si n u
I
dx
π
⇒
∫
2
2
0
= 3x sinx
ta biến ñổi như trên ñể học s inh d ễ n hận dạn g t í c h
phân từng phần dạng 1.
Nhận x é t: ðến ñây tích phân tiếp theo có dạng 1 của tí ch p hân t ừng phầ n.
Do ña thức là bậc h ai nên ñể tính I , học sinh phải tính tích phân từng phần 2 lần:
ðặt
⇒
2
du=6xdx
u = 3x
v = sinx
dv= cosx.dx
2
1
0
3
I I
4
dx
π
π
π
⇒ − = −
∫
2
2
2
0
= 6xsinx
3x sinx
1
I
dx
π
=
∫
2
0
6xsinx
ðặt
⇒
u = 6x
du= 6dx
dv= sinxdx v = -cosx
1
0 0
I 3
dx
π
π π
π
⇒
= − + = =
∫
2
2 2
0
6cosx
6x.cosx 6x.sinx
2 2
1
3 3
I I 3
4 4
π π
π
⇒ = − + = −
Nhận xét: Qua ví dụ trên, ñể tính tích phân ñôi khi học sinh phải áp dụng cả hai
phươn g p há p ñổ i biến số loại 2 và tích phân từng phần .
Ví dụ t ương tự: (phố i hợp hai phương pháp)
a)
I
dx
π
∫
2
4
0
= sin x
b)
1
I
dx
∫
2
0
= x.ln(1+x )
c)
I
e
dx
π
∫
2
4
0
c o s lnx
=
x
d)
2
I
dx
π
∫
cosx
0
= e s i n 2 x .
e)
I dx
x
π
π
∫
3
2
4
ln tgx
=
cos
f)
4
I
dx
∫
x
0
= e
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 6:
1. Tí nh c ác t íc h ph ân sau:
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 29
a) I
∫
ln2
-x
0
= xe dx
b) I
π
∫
6
0
= (12x -2)cos2xdx
c ) I
π
∫
6
2
0
= ( 2 x -4)sin2xdx
d) I
∫
1
0
= (2x -1)ln(x+1)dx
e) I
∫
3
2
= (2x -1)ln(x-1)dx
f) I
π
π
∫
2
2
4
xdx
=
sin x
g) I
∫
1
2
0
= 2xln (x +1)dx
h ) I
π
∫
2
x
0
= ( 1 2 x - 4 + e ) s i n x d x
i ) I
∫
3
2
2
= 2 x l n ( x -1)dx
j) I
π
∫
2
2
0
= (x +sinx)cosxdx
(TNTHPT – 2005)
2. Tí nh c ác t íc h ph ân sau: ( Các ñề t hi tuyển sinh ðại học)
a ) I
π
∫
4
3x
0
= e sin4xdx
(ðH A.Ninh 1997)
( )
b ) I
∫
1
2 x
0
= x -1e d x
(ðH D LN N - T . H ọc 1997)
c) I
π
∫
2
0
= x s i nx d x
(ðH A.Ninh 1998)
d) I
π
∫
2
4
0
= cos xdx
(ðH D LN N - T . H ọc 1998)
2
1
e) I
∫
2
lnx
=
dx
x
(ðH Huế 1998)
( )
f) I
π
∫
4
2
0
= x 2cos x -1dx
(ðH TCKT 1998)
(
)
g) I
∫
2
2
1
ln x +1
=
dx
x
(ðH Cñ oàn 2000)
h) I
∫
10
2
1
= xlg xdx
(ðH Y Dược 200 1)
i) I
dx
π
∫
3
2
3
0
= sin x
(ðH KTrúc HN 2001);
j) I
∫
e
2 2
1
= x l n xdx
(ðH K T ế HDương 2002)
1
k ) I
e
∫
2
x +1
=
l n x d x
x
(ðHCð Dự bị 2-2003);
( )
l ) I
∫
0
2 x
3
- 1
= x e + x+1d x
(ðHCð D.bị 2003)
m ) I
∫
2
1
3 x
0
= x e dx
(ðHCð Dự bị 2-2003);
( )
n) I
∫
1
2 -x
0
= x +2xe dx
(ðH G T V T 2 0 0 3 )
III. Kiểm t r a k ết quả của một bài giải tính tích phân bằn g m áy t ính C A SI O f x5 7 0 -MS
Trong một số trường hợp một số bài tích phân phức tạp ñã giải ñư ợc kết quả
nhưng chưa ñánh giá ñược ñộ chính xác của kết quả là ñúng hay sai, khi ñ ó ta có thể
sử dụng máy tính cầm t a y CASIO fx-570MS ñể kiểm t r a k ết quả. Ví dụ vớ i ñề thi
Khối A năm 2 0 0 5
I
π
∫
2
0
sin2x +sinx
= dx
1+3cosx
ta sử dụng máy tính như sau:
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 30
+ Với kết qủa giải tay là
34
27
ta chuyển sang số thập phân
≈
1,259259…
+ ðối với bài tích phân lượng giác trước h ết chuyển sang chế ñộ Rad.
+ Quy trình bấm m á y CASIO fx-570MS n hư sau:
Và kết qủa máy tính là 1 , 2 593 . So với kết quả gần ñú n g trê n ñồ ng nghĩa với ñáp số
bài giải bằng tay trên ñã ñúng.
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 7: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TÍ CH PH ÂN
Câu 1:
∫
1
0
2x +1 dx
có giá trị bằn g :
A. 2 B. 0 C. -2 D. 3
Câu 2:
∫
e
2
0
x -1 dx
có giá trị bằng:
A. 1 B. 0 C. -1 D.
1
2
Câu 3: Chọn m ệnh ñề ñúng:
A.
π
π
π π
≤ ≤
∫
3
4
2
4
dx
4 3 - 2sin x 2
B.
π
π
π
≤ ≤
∫
3
4
2
4
dx
0
3 - 2sin x 2
C.
π
π
π
≤ ≤
∫
3
4
2
4
dx
0
3 - 2sin x 4
D.
π
π
π
≤ ≤
∫
3
4
2
4
1 dx
4 3 - 2sin x 2
Câu 4:
∫
e
1
ln x
d x
x
có giá trị bằn g :
A. 1 B. 0 C. -1 D. e
Câu 5:
( )
∫
1
4
0
x + 2 dx
có giá trị bằn g :
dx
∫
(
ALPHA
X
(
sin
(
2
)
+
sin
ALPHA
X
3
1
÷
+
(
0
cos
ALPHA
X
,
π
,
÷
)
)
2
)
=
SHIFT
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 31
A.
211
5
B. 211 C. 201 D.
201
5
Câu 6:
π
∫
2
sinx
0
e cosx dx
có giá trị bằn g :
A. e - 1 B. 0 C. e D. 1 - e
Câu 7:
π
∫
2
0
3 1 + 3 c o s x . s i n x d x
có giá trị bằng:
A. 3 B.
5
3
C. 1 D. 2
Câu 8:
∫
1
2
0
dx
x + x +1
có giá trị bằn g :
A.
π
3
9
B.
π
9
C.
π
9 3
D.
π
3
3
Câu 9:
(
)
∫
2
2
1
2x -1dx
x - x -1
có giá trị bằng:
A.
2
ln
3
B.
3
ln
2
C.
4
ln
9
D.
9
ln
4
Câu 10:
(
)
∫
1
2
0
4x +2dx
x + x +1
có giá trị bằng:
A.
3ln2
B.
2ln3
C.
ln4
D.
ln6
Câu 11:
∫
1
2
-1
dx
x +2x+2
có giá trị bằng:
A.
(
)
ln 2+5
B.
(
)
ln 2 +5
C.
(
)
ln 2 + 5
D.
(
)
ln 5 - 2
Câu 11:
∫
2
2
1
dx
-3x +6x+1
có giá trị bằng:
A.
π
3
3
B.
π
3
9
C.
π
3
12
D.
π
3
15
Câu 12:
(
)
∫
2
2
1
4x+6dx
x -2x+3
có giá trị bằng:
A.
(
)
4ln 2+3
B.
(
)
6ln 2+3
C.
(
)
8ln 2+3
D.
(
)
10ln 2+3
Câu 13:
x
∫
2 2
2
0
x +1dx
có giá trị bằng:
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 32
A.
26
3
B.
28
3
C.
32
3
D.
34
3
Câu 14:
x
∫
6
2
2
dx
x -3
có giá trị bằng:
A.
π
3
2
B.
π
3
6
C.
π
3
12
D.
π
3
36
Câu 15:
∫
1
2
0
dx
x +1
có giá trị bằng:
A.
ln 2
B.
ln2
C.
(
)
ln 2 +1
D.
(
)
ln 2 +2
Câu 16:
∫
2
1
dx
cosx +1
có giá trị bằng:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 17:
π
∫
0
dx
sinx +1
có giá trị bằng:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 18:
π
∫
0
dx
sinx -2cosx-2
có giá trị bằng:
A.
-ln2
B.
ln2
C.
1-ln2
D.
1+ln2
Câu 19:
π
∫
2
0
sinx -cosx
dx
sinx +cosx
có giá trị bằng:
A.
π
1+
4
B.
π
-1+
4
C.
π
1-
4
D.
π
-1-
4
Câu 20:
π
∫
2
0
cosx
dx
11 -7sinx -cosx
có giá trị bằng:
A.
1
5
- ln
3 8
B.
1
- ln5
3
C.
1
8
ln
3 5
D.
1
5
ln
3 8
Câu 21:
π
π
∫
2
2
-
2
x +cosx
dx
4-sinx
có giá trị bằng:
A.
1
ln3
8
B.
1
ln3
6
C.
1
ln3
4
D.
1
ln3
2
Câu 22:
π
∫
2
0
1+sinx
ln
dx
1+cosx
có giá trị bằng:
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 33
A.
π
2
B.
π
3
2
C. 0 D. 1
Câu 23:
π
∫
4
4 4
0
sin4x
dx
sin x +cosx
có giá trị bằng:
A.
-ln2
B.
-ln2
C.
-ln3
D.
-ln3
Câu 24: Ch o h à m s ố f(x) liên tục trên R và thỏa f(-x) + f(x) = cos
7
x.
π
π
∫
-
2
-
2
f(x)dx
có giá trị
bằng:
A.
16
35
B.
32
35
C.
24
35
D.
12
35
Câu 25: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa 3 f(-x) + f(x) = cos
4
x.sin
5
x .
π
π
∫
-
2
-
2
f(x)dx
có
giá trị bằng:
A.
1
-
4
B.
1
-
2
C. 0 D.
1
4
Câu 26:
∫
2
2
0
x - x dx
có giá trị bằng:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 27:
∫
2
3 2
-1
x -2x- x +2dx
có giá trị bằng:
A.
9
4
B.
37
12
C. 14 D.
41
12
Câu 28:
∫
2
2
-3
x -3x+2dx
có giá trị bằng:
A.
59
2
B.
2
59
C.
59
-
2
D.
2
-
59
Câu 29:
x
π
∫
2
2
0
5 - 4cos - 4sinx dx
có giá trị bằng:
x
π π
∫ ∫
2 2
2
0 0
5 - 4cos - 4sinx dx = 2sinx -1dx
A.
π
-2 3 -2-
6
B.
π
2 3 -2-
6
C.
π
2 3 +2-
6
D.
π
2 3 +2+
6
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 34
Câu 30:
π
∫
2
0
2cosx -1dx
có giá trị bằng:
A.
π
2 3 -2+
3
B.
π
2 3 -2-
3
C.
π
2 3 -2+
6
D.
π
2 3 -2-
6
Câu 31:
( )
∫
2
x
-1
2 - 4 dx
có giá trị bằng:
A.
1
2+
ln2
B.
1
3 +
ln2
C.
1
4+
ln2
D.
1
5 +
ln 2
Câu 32:
∫
2
-1
dx
1+1-x
có giá trị bằng:
A.
ln2
B.
2ln2
C.
3ln2
D.
4ln2
Câu 33:
( )
∫
2
-1
x - x -1dx
có giá trị bằng:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 34:
( )
∫
2
0
1-x - 1+x dx
có giá trị bằng:
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
Câu 35:
∫
1
0
xlnxdx
có giá trị bằng:
A.
2
e +1
2
B.
2
e +1
4
C.
2
e +1
1
D.
2
e +1
3
Câu 36:
π
∫
2
0
xcosxdx
có giá trị bằng:
A.
π
+2
2
B.
π
-2
2
C.
π
+1
2
D.
π
-1
2
Câu 37:
∫
1
x
0
xe dx
có giá trị bằng:
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
Câu 38:
π
∫
2
x
0
e sin2x dx
có giá trị bằng:
A.
e
π
2
2
- +1
5
B.
e
π
2
1
- +1
5
C.
e
π
2
2
+1
5
D.
e
π
2
1
+1
5
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 35
Câu 39:
π
∫
2
2x
0
e cosx dx
có giá trị bằng:
A.
( )
e
π
1
+2
5
B.
( )
e
π
1
-2
5
C.
( )
e
π
1
2 +1
5
D.
( )
e
π
1
2
-1
5
Câu 40:
( )
∫
1
2x
0
e x -2 dx
có giá trị bằng:
A.
2
5 -3e
4
B.
2
3e -5
4
C.
2
3e -5
2
D.
2
5 -3e
2
Câu 41:
( )
x
e
∫
0
cos ln x dx
có giá trị bằng:
A.
( )
e
π
1
+1
2
B.
( )
e
π
−
1
+1
2
C.
( )
e
π
1
-1
2
D.
( )
e
π
1
- +1
2
Câu 42:
( )
e
∫
0
sin ln x dx
có giá trị bằng:
A.
(
)
sin1 - cos1 e+1
2
B .
(
)
sin1 - cos1 e -1
2
C.
(
)
c o s 1 - s i n 1 e+1
2
D.
(
)
c o s 1 - s i n 1 e+1
2
Câu 43:
e
∫
x
0
1+sinx
e
dx
1+cosx
có giá trị bằng:
A.
e
π
2
B.
e
π
C.
e
π
3
2
D.
e
π
2
Câu 44:
( )
e
∫
2
x
2
0
1+x
e dx
1+x
có giá trị bằng:
A. 0 B. 1 C. e D. 2
Câu 45:
( )
e
∫
x
2
0
x
e dx
1+x
có giá trị bằng:
A.
e -2
2
B.
e+2
2
C.
e -1
2
D.
e+1
2
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 36
Nhận xét: Trong phần nội dung chuyên ñề trên, tôi chỉ nêu ra một số bài tập minh
họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phươn g ph á p ñổi biến số,
phương pháp tích phân từn g p hần. Các bài tập ñề ngh ị là các ñề thi Tốt nghiệp THPT và ñề
thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng của các năm t r ước ñể các em học sinh rèn luyện kỹ năng
tính tích phân, bên cạnh ñó cũng hướng dẫn học sinh kiểm t r a k ết quả bài giải của mình có
kết quả ñúng hay sai bằng máy tính cầm t a y CASIO fx-570MS và phần cuối của chuyên ñề
là một số câu hỏi trắ c n ghi ệm t í c h p h â n . ðể phần nào củn g c ố, nâng cao cho các em học sinh
khố i 12 ñể các em ñạt kết quả cao trong kỳ t h i T ốt nghiệp THPT và kỳ t h i T u y ển sinh ðại
học và giúp cho các em có nền t ảng trong nhữn g n ăm h ọc ðại cươn g c ủ a ðại học .
T u y n h i ê n v ới kinh nghiệm c ò n h ạn chế nên d ù có nh iều cố gắng nhưng khi trình bày
chu yê n ñề nà y s ẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong ñư ợc sự góp ý chân tình của
quý Thầy C ô t r o n g H ội ñồng bộ môn Toán Sở Giáo dục và ðào t ạo t ỉn h ðồng Nai. Một lần
nữa tôi xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy c ô
trong tổ Toán trườn g N a m H à, c á c ñồ n g n g h iệp , b ạn bè ñã ñó n g g ó p ý k i ến cho tôi hoàn
thành chuyên ñề này. Tôi xin c hân th ành c ám ơn./.
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12
2. Sách giáo viên giải tích 12
3. Tuyển tập các chuyên ñề và kỹ t h u ật tính tích phân - Trần Phương
4. ðạo hàm và tích phân - Võ ðại Mau & Võ ðại Hoài ð ứ c
5. Chuyên ñề tích ph ân và ñại số tổ hợp x á c s u ất - Phạm A n H ò a & N g u y ễn Vũ Thanh
6. Các dạn g t oá n cơ bản giải tích 12 - Nguyễn Ngọc Kho a
7. Trắc nghiệm k h á c h q u a n g i ải tích và tích phân - ðoàn Vương Nguyên.
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 38
NHẬN XÉT
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 39
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN D UY KH ÔI
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 40
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
| 1/40
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
LỜI NÓI ðẦU
Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học,
tích phân ñược ứng dụng rộng rãi như ñể tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay,
nó còn là ñối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết
phương trình vi phân, phương trình ñạo hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn ñược
ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học...
Phép tính tích phân ñược bắt ñầu giới thiệu cho các em học sinh ở lớp 12, tiếp theo
ñược phổ biến trong tất cả các trường ðại học cho khối sinh viên năm thứ nhất và năm thứ
hai trong chương trình học ðại cương. Hơn nữa trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ
thi Tuyển sinh ðại học phép tính tích phân hầu như luôn có trong các ñề thi môn Toán của
khối A, khối B và cả khối D. Bên cạnh ñó, phép tính tích phân cũng là một trong những
nội dung ñể thi tuyển sinh ñầu vào hệ Thạc sĩ và nghiên cứu sinh.
Với tầm quan trọng của phép tính tích phân, chính vì thế mà tôi viết một số kinh
nghiệm giảng dạy tính tích phân của khối 12 với chuyên ñề “TÍNH TÍCH PHÂN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ðỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦN” ñể
phần nào củng cố, nâng cao cho các em học sinh khối 12 ñể các em ñạt kết quả cao trong
kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại học và giúp cho các em có nền tảng
trong những năm học ðại cương của ðại học.
Trong phần nội dung chuyên ñề dưới ñây, tôi xin ñược nêu ra một số bài tập minh
họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số,
phương pháp tích phân từng phần. Các bài tập ñề nghị là các ñề thi Tốt nghiệp THPT và ñề
thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng của các năm ñể các em học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích
phân và phần cuối của chuyên ñề là một số câu hỏi trắc nghiệm tích phân.
Tuy nhiên với kinh nghiệm còn hạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày
chuyên ñề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong ñược sự góp ý chân tình của
quý Thầy Cô trong Hội ñồng bộ môn Toán Sở Giáo dục và ðào tạo tỉnh ðồng Nai. Nhân dịp
này tôi xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy cô
trong tổ Toán trường Nam Hà, các ñồng nghiệp, bạn bè ñã ñóng góp ý kiến cho tôi hoàn
thành chuyên ñề này. Tôi xin chân thành cám ơn./.
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 1
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
MỤC LỤC Lời nói ñầu 1 Mục lục 2 I. Nguyên hàm:
I.1. ðịnh nghĩa nguyên hàm 3 I.2. ðịnh lý 3
I.3. Các tính chất của nguyên hàm 3
I.4. Bảng công thức nguyên hàm và một số công thức bổ sung 4 II. Tích phân:
II.1. ðịnh nghĩa tích phân xác ñịnh 5
II.2. Các tính chất của tích phân 5
II.3 Tính tích phân bằng phương pháp phân tích 5 Bài tập ñề nghị 1 9
II.4 Tính tích phân bằng phương pháp ñổi biến số 10
II.4.1 Phương pháp ñổi biến số loại 1 10
ðịnh lý về phương pháp ñổi biến số loại 1 13
Một số dạng khác dùng phương pháp ñổi biến số loại 1 14
Bài tập ñề nghị số 2 14
Bài tập ñề nghị số 3 15
Bài tập ñề nghị số 4: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 16
II.4.2 Phương pháp ñổi biến số loại 2 16
Bài tập ñề nghị số 5 21
Các ñề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông 22
Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 22
II.5. Phương pháp tích phân từng phần 23
Bài tập ñề nghị số 6: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 28 III.
Kiểm tra kết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính CASIO fx570-MS 29
Bài tập ñề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân 30 Phụ lục 36
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 2
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI I. NGUYÊN HÀM:
I.1. ðỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm số F(x) ñược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu với mọi x∈(a;b): F’(x) = f(x)
VD1: a) Hàm số F(x) = x3 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 trên R 1
b) Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số f(x) = trên (0;+∞) x
I.2. ðỊNH LÝ:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì:
a) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng ñó.
b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) ñều có thể viết
dưới dạng F(x) + C với C là một hằng số.
Theo ñịnh lý trên, ñể tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một
nguyên hàm nào ñó của nó rồi cộng vào nó một hằng số C.
Tập hợp các nguyên hàm của hàm số f(x) gọi là họ nguyên hàm của hàm số f(x) và
ñược ký hiệu: ∫ f(x)dx (hay còn gọi là tích phân bất ñịnh) Vậy: ∫ f(x)dx = F(x)+C 1 VD2: a) 2 ∫ 2xdx = x + C
b) ∫sinxdx = - cosx +C c) ∫ dx = tgx +C 2 cos x
I.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM: ' 1) (∫ f(x)dx ) = f(x)
2) ∫a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx ( a ≠ 0 ) 3) f(x) ± g(x) ∫ 
dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx 4) f(x)dx = F(x)+C ⇒ ∫
∫ f (u(x))u'(x)dx = F (u(x))+C VD3: a) ∫ ( 4 2 5x 8x ) 5 3 2 -6x + dx = x - 2x + 4x +C
b) ∫6cosx.sinxdx = -6 ∫cosx.d (cosx ) 2 = -3cos x +C
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 3
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
I.4. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM:
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG GẶP
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP 1/ ∫ dx = x + C 1/ ∫ du = u + C α+1 α+1 α u 2/ ∫ x x dx = + C (α ≠ -1) α 2/ ∫u du = + C (α ≠ -1) α +1 α +1 du 3/ ∫ dx = ln x + C (x ≠ 0) 3/ ∫ = ln u + C (u = u(x) ≠ 0) x u 4/ ∫ x x e dx = e + C 4/ ∫ u u e du = e + C x u a 5/ ∫ a x a dx = + C ( 0 < a ≠ ) 1 5/ ∫ u a du = + C ( 0 < a ≠ ) 1 lna lna 6/ ∫ cosx dx = sinx + C 6/ ∫ cosu du = sinu + C 7/ ∫ sinx dx = -cosx + C 7/ ∫ sinu du = - cosu + C du 8/ ∫ dx = ∫ ( 2 1+ tg x dx = tgx + C (x k ) 8/ ∫ = ∫ ( 2 1+ tg u du = tgu + C (u k ) 2 ) π ≠ + π 2 ) π ≠ + π cos x 2 cos u 2 dx du 9/ ∫ = ∫ ( 2
1+ cotg x dx = -cotgx + C (x ≠ kπ ) 9/ ∫ = ∫ 1 ( +c 2
otg u) du = -cotgu+ C (u ≠ kπ ) 2 ) sin x 2 sin u
CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP:
CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA: 1/ m n m+n
1/ ∫ 1 dx = 2 x + C (x ≠ 0) a . a = a x m a 1 α m-n -n +1 2/ = a ; = a n n 2/ ∫ (ax + b)α 1 (ax + b ) dx = + C (a ≠ 0) a a a α +1 1 n 3/ m m a = a ; m n m a = a 3/ ∫ 1 1 dx = ln ax + b + C (a ≠ 0) ax + b a
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: 4/ ∫ 1 ax+b ax +b e dx = e + C (a ≠ 0) a
a. CÔNG THỨC HẠ BẬC: kx 5/ ∫ a kx a dx =
+ C ( 0 ≠ k ∈ R ,0 < a ≠ ) 1 1 1 2 sin x = (1-cos2x) 2 1/ 2/ cos x = (1+cos2x) k.lna 2 2 6/ ∫ ( ) 1 cos ax + b dx = sin (ax + b) + C (a ≠ 0) a
b. CÔNG THỨC BIẾN ðỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1 1
1/ cosa.cosb = cos(a -b) + cos(a +b) 7/ sin ∫
(ax +b)dx = - cos(ax +b)+ C (a ≠ 0)  2 a π 1
2/ sina.sinb = cos(a -b) - cos(a +b)
8/ ∫ tgx dx = - ln cosx + C (x ≠ + kπ )  2 2 1
9/ ∫ cotgx dx = ln sinx + C (x ≠ kπ )
3/ sina.cosb = sin(a - b) + sin(a +b)   2
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 4
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI II. TÍCH PHÂN:
II.1. ðỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH:
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phẩn tử bất kỳ của K,
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hiệu F(b) – F(a) ñược gọi là tích phân từ
a ñến b của f(x). Ký hiệu: b ∫ b f(x)dx = F(x) = F(b)-F(a) a a
II.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN: a 1/ ∫ f (x)dx = 0 a a b
2 / ∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx b a b b 3 / ∫ k.f x ( d ) x = k ∫ . f x ( d ) x k ( ≠ 0) a a b b b
4 / ∫[f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx a a a b c b
5 / ∫ f(x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx với c∈(a;b) a a c b 6 / Nếu f x ( ) ≥ 0 , ∀x ∈ a [ ;b] thì ∫ f (x)dx ≥ 0. a b b 7 / Nếu f x ( ) ≥ g x ( ) ,∀x ∈ a
[ ;b] thì ∫ f (x)dx ≥ ∫ g(x)dx . a a b 8 / Nếu m ≤ f x ( ) ≤ M, ∀ x ∈ a
[ ;b] thì m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M(b − a). a t
9 / t biến thiên trên [a;b] ⇒ G(t) = ∫ f (x)dx là một nguyên hàm của f (t) và G(a) = 0 a
II.3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: b
Chú ý 1: ðể tính tích phân I = ∫ f (x)dx ta phân tích f (x) = 1 k 1 f (x) + ... + k f (x) m m a Trong ñó: i k ≠ 0 i
( = 1,2, 3,...,m)các hàm if x ( ) i
( = 1,2, 3,...,m) có trong bảng nguyên hàm cơ bản.
VD4: Tính các tích phân sau:
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 5
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI 2 2 1) I = ∫ 2 3 2 (3x - 4x +3)dx =(x - 2x +3x) -1 -1 3 2 3 2
= (2 - 2.2 +3.2) -((-1) - 2.(-1) +3.(-1)) = 12
Nhận xét: Câu 1 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 1/ và 2/ trong bảng nguyên hàm. 2 4 3 2 3x -6x + 4x - 2x + 4 2) I = ∫ dx 2 x 1
Nhận xét: Câu 2 trên ta chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng nguyên
hàm, trước hết tách phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụng tính chất 4
và sử dụng công thức 1/, 2/, 3/ trong bảng nguyên hàm. 2 4 3 2 2 ⇒ 3x -6x + 4x - 2x + 4 2 4 I = ∫ dx = (3x -6x + 4 - )dx 2 ∫ 2 + 2 x x x 1 1 = 4 2 3 2
(x -3x + 4x - 2ln |x |- ) = 4 - 2ln2 x 1 2 2 x -5x +3 3) I = ∫ dx x +1 0
Nhận xét: Câu 3 trên ta cũng chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng
nguyên hàm, trước hết phân tích phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụng
tính chất 4 và sử dụng công thức 1/, 2/ trong bảng nguyên hàm và công thức 3/ bổ sung. 2 2 2 x -5x +3  9  ⇒ I = ∫ dx = ∫ x − 6 + dx x +1  x +1  0 0  2 x  2 = 
-6x +9ln | x +1 | = 2 -12 +9ln3 = 9ln3 -10  2  0 1 4) I = ∫ x e ( -x x -x -x 2xe +5 e -e ) dx 0
Nhận xét: Câu 4: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũng chưa áp dụng
ngay ñược các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết nhân phân phối rút gọn rồi áp
dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 1/, 2/, 5/ trong bảng nguyên hàm. 1 1  x 5  4 ⇒ I = ∫ x e ( -x x -x -x 2xe +5 e -e ) dx = ∫( x 2x +5 -1) 1 dx =  2 x + - x  = ln5 0 ln5 0 0   π π 4 2 5) I= ∫(4cosx+2sinx -
)dx =(4sinx -2cosx - 2tgx) 4 = 2 2 - 2 - 2+2 = 2 2 cos x 0 0
Nhận xét: Câu 5 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/, 7/ và 8/ trong bảng nguyên hàm.
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 6
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI π π 8
6) I = ∫(4sin2x - 12cos4x)dx =(-2cos2x - 3sin4x) 8 = - 2 -3 + 2 = -1- 2 0 0
Nhận xét: Câu 6 trên ta cũng chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/ ,
7/ trong bảng nguyên hàm phần các công thức bổ sung. π 12 2 π 7) I = ∫ sin (2x - )dx 4 0
Nhận xét: Câu 7 học sinh có thể sai vì sử dụng nhầm công thức 2/ trong bảng bảng 2 2 π
nguyên hàm cột bên phải, bởi ñã xem u = sin (2x -
) (hơi giống ñạo hàm hàm số hợp). 4
Với câu 7 trước hết phải hạ bậc rồi sử dụng công thức 6/ trong bảng nguyên hàm phần các công thức bổ sung. π π π 12 2 π 12 1  π  12 1
⇒ I = ∫ sin (2x - )dx = ∫ 1-cos(4x - )dx = ∫ (1-sin4x )dx 4 2  2  2 0 0 0 π 1  1  1  π 1 π  1  1  π 1 = x + cos4x  12 =  + cos  - 0 + cos0  = - 2  4  2  12 4 3  2  4  24 16 0 π 16 8/ I = ∫ cos6x.cos2xdx 0
Nhận xét: Ở câu 8: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũng chưa áp dụng
ngay ñược các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết phải biến ñổi lượng giác biến
ñổi tích thành tổng rồi áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/ trong bảng nguyên hàm
phần các công thức bổ sung. π π π 16 16 1 1  1 1 
⇒ I = ∫ cos6x.cos2xdx = ∫ (cos8x +cos4x )dx =  sin8x + sin4x  16 2 2  8 4  0 0 0 1  1 π 1 π  1  1 1    = 1 1 2 1  sin + sin
 −  sin0+ sin0 =  +  =   (1+ 2) 2  8 2 4 4  2  8 4  2  8 8  16 2 9) I = ∫ 2 x -1dx -2
Nhận xét: Câu 9 biểu thức trong dấu tích phân có chứa giá trị tuyệt ñối, ta hướng
học sinh khử dấu giá trị tuyệt ñối bằng cách xét dấu biểu thức x2 – 1 trên [-2;2] và kết hợp
với tính chất 5/ của tích phân ñể khử giá trị tuyệt ñối.
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 7
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI 2 -1 1 2 ⇒ I = ∫ 2 x -1dx = ∫ ( 2 x -1)dx − ∫ ( 2 x - 1)dx +∫( 2 x -1)dx -2 -2 -1 1  3 x   3 x   3 -1 1 x  2 =  - x  −  - x  +  - x  = 5  3  -2  3  -1  3  1 3 3x +9 10) I = ∫ dx 2 x - 4x -5 2
Nhận xét: Câu 10 trên ta không thực hiện phép chia ña thức ñược như câu 2 và 3,
mặt khác biểu thức dưới mẫu phân tích ñược thành (x - 5)(x + 1) nên ta tách biểu thức 3x+9 A B 4 1
trong dấu tích phân như sau: = + = - 2 (phương pháp hệ số x - 4x -5 x -5 x+1 x -5 x+1 bất ñịnh) 3 3 3x +9  4 1  3 ⇒ I = ∫ dx = - dx = 4ln | x -5 |-ln |x +1 | 2 ∫  ( ) x - 4x -5  x -5 x +1  2 2 2 = 4
4ln2 -ln4 - 4ln3 +ln3 = 2ln2 -3ln3 = ln 27 a'x +b'
Chú ý 2: ðể tính I = ∫ 2
dx (b - 4ac ≥ 0) ta làm như sau: 2 ax +bx + c b TH1: Nếu 2
b - 4ac = 0 , khi ñó ta luôn có sự phân tích 2 2 ax +bx + c = a(x + ) 2a b ba' ba' a'(x + )+b' - b' - ⇒ a' dx dx I ∫ 2a 2a ∫ 2a = dx = + ∫ b 2 a b a b 2 a(x + ) x + (x + ) 2a 2a 2a TH2: Nếu 2 b - 4ac >0 ⇒ 2
ax + bx + c = a(x - x1)(x - x2 ) . Ta xác ñịnh A,B sao cho A+ B = a' a'x + b' = A(x - x ⇒
1 ) + B(x - x2 ) , ñồng nhất hai vế  Ax1 + Bx2 = -b' 1 A(x - x )+ B(x - x ) 1 A B I = ∫ 1 2 dx = ∫( + )dx . a (x - x1)(x - x2 ) a x - x2 x - x1
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 8
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI Chú ý 3: P(x)
TH1: ðể tính I = ∫ dx ta làm như sau: (x -a )(x -a )...(x -a ) 1 2 n P(x) A A A 1 2 n = + +...+ (x -a )(x -a )...(x -a ) (x -a ) (x -a ) (x -a ) 1 2 n 1 2 n P(x)
TH2: ðể tính I = ∫ dx ta làm như sau: m k r (x -a ) (x -a ) ...(x - a ) 1 2 n P(x) = A A A 1 2 m + + ...+ + ... m k r (x -a ) (x -a ) ...(x -a ) m m -1 (x - a ) (x - a ) (x - a ) 1 2 n 1 2 m
TH3: ðể tính I ∫ P(x) =
dx với P(x) và Q(x) là hai ña thức: Q(x)
* Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì lấy P(x) chia cho Q(x).
* Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì tìm cách ñưa về các dạng trên.
Nhận xét: Ví dụ 4 trên gồm những bài tập tính tích phân ñơn giản mà học sinh có
thể áp dụng ngay bảng công thức nguyên hàm ñể giải ñược bài toán hoặc với những phép
biến ñổi ñơn giản như nhân phân phối, chia ña thức, ñồng nhất hai ña thức, biến ñổi tích
thành tổng...Qua ví dụ 4 này nhằm giúp các em thuộc công thức và nắm vững phép tính tích phân cơ bản.
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 1: Tính các tích phân sau: 1 2 2 3 1) I = ∫ 3 (x x + 2x +1)dx 2x x + x x - 3x + 1 2) Ι = ∫ dx 2 0 x 1 0 3 2 x -3x -5x +3 2 2 3) I = ∫ dx 4) I = ∫ ( 2 x + x - 3 ) dx x - 2 -1 -2 π π 6 12
5) I = ∫ (sinx +cos2x -sin3x )dx 6) I = ∫ 4sinx.sin2x.sin3xdx 0 0 π 16 2 2 7) I ∫ 4 = cos 2xdx 8) I = ∫ x +2x -3 dx 0 -2 4 dx 1 dx 9) I = ∫ 10) I = ∫ 2 x -5x +6 1 x + 1 + x 0 2 x + 2x +6 2 x +1 11) I = ∫ dx 12) I = ∫ dx (x -1)(x - 2)(x - 4) 3 (x -1) (x +3) xdx 7 x dx 13) I = ∫ 14) I = ∫ 4 2 x -6x +5 4 2 (1+ x )
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 9
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
II.4. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ:
II.4.1. Phương pháp ñổi biến số loại 1: b
Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân ∫ f(x)dx chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x), a
cận a và b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân. Tức là: b b b
∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = ... a a a
Trong một số trường hợp tính tích phân mà không tính trực tiếp bằng công thức hay
qua các bước phân tích ta vẫn không giải ñược. Ta xét các trường hợp cơ bản sau:
VD5: Tính các tích phân sau: 2 2 dx 1) I = ∫ 2 0 2 - x
Phân tích: Biểu thức trong dấu tích phân có chứa căn bậc hai, ta không khử căn
bằng phép biến ñổi bình phương hai vế ñược, ta thử tìm cách biến ñổi ñưa căn bậc hai về dạng 2
A , khi ñó ta sẽ liên tưởng ngay ñến công thức: 2 2 1-sin x = cos x = co x s , do ñó:  π π 
ðặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt , t ∈ - ;    2 2  2 2 π ðổi cận: x = ⇒ 2sint = ⇒ t = 2 2 6 x = 0 ⇒ 2sint = 0 ⇒ t = 0 π π π π 6 6 6 2cost.dt 2cost.dt  π 6 π ⇒  I = ∫ = ∫ = ∫dt = t = ( vì t ∈ 0; ⇒   cost > 0 ) 2 2 2 -2sin t 2(1-sin t) 6  6  0 0 0 0 2 dx
Trong VD trên khi ta thay ñổi như sau: I = ∫
. Học sinh làm tương tự và 2 0 2 - x π 1 ñược kết quả I =
. Kết quả trên bị sai vì hàm số f ( ) x =
không xác ñịnh khi x= 2 . 2 2 2-x
Do ñó khi ra ñề ở dạng trên Giáo viên cần chú ý: hàm số f ( )
x xác ñịnh trên [a;b]
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 10
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI 6 2 2) I = ∫ 2 3 - x dx 0  π π 
ðặt x = 3sint ⇒ dx = 3costdt , t ∈ - ;    2 2  6 6 π ðổi cận: x = ⇒ 3sint = ⇒ t = 2 2 4 x = 0 ⇒ 2sint = 0 ⇒ t = 0 π π π π 4 4 4 ⇒ I = ∫ 3 3 1 3 1 2 3 -3sin t. 3cost.dt = ∫ 2 3cos t.dt = ∫(1+cos2t)   4  π 
.dt = t+ sin2t  =  +  2 2  2  2 4 2 0 0 0   0 β β dx a) Khi gặp dạng ∫ 2 2 a - x dx hay ∫ (a > 0) 2 2 α α a - x  π π 
ðặt x = a.sint ⇒dx = a.cost.dt , t ∈ - ;    2 2 
( ðể biến ñổi ñưa căn bậc hai về dạng 2 A , tức là: 2 2 2 2 2 a -a sin x = a cos x =a.co x s )  π π  ðổi cận: x = β ⇒ t = β’ ∈ - ;    2 2   π π  x = α ⇒ t = α’ ∈ - ;    2 2   π π   π π  Lưu ý: Vì t ∈ - ; ⇒ α ', β '∈ - ; ⇒     cost > 0  2 2   2 2  β β ' β ' ⇒ ∫ 2 2 a - x dx = ∫ 2 2 2 a -a sin t dt = ∫ 2 2 .acost a cost dt , hạ bậc cos2t. α α ' α ' β β ' β ' ∫ dx = ∫ a.costdt hay = ∫dt 2 2 2 2 2 α a - x α ' a -a sin t α '
ðến ñây, công thức nguyên hàm không phụ thuộc vào biến số nên ta tính ñược tích
phân theo biến số t một cách dễ dàng. Ở ñây ta cần lưu ý: Biểu thức trong dấu tích phân
này là hàm số theo biến số t ñơn ñiệu trên [α;β].
Ta mở rộng tích phân dạng trên như sau: β β dx b) Khi gặp dạng ∫ 2 2 a -u (x)dx hay ∫ (a > 0) 2 2 α α a - u (x)  π π 
ðặt u(x) = a.sint ⇒ u'(x . ) dx = a.cost.dt , t ∈ - ;    2 2 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 11
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI  π π  ðổi cận: x = β ⇒ t = β’ ∈ - ;    2 2   π π  x = α ⇒ t = α’ ∈ - ;    2 2  6 6 2+ 2+ 2 2
VD6: Tính tích phân sau: I = ∫ 2
-x + 4x -1 dx . Ta có: I= ∫ 3 - (x -2)2 dx 2 2  π π 
ðặt x - 2 = 3sint ⇒ dx = 3cost.dt , t ∈ - ;    2 2  6 2 π ðổi cận: x = 2 + ⇒ sint = ⇒ t = 2 2 4 x = 2 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0 π π 4 4 ⇒ I = ∫ 2 3 - 3sin t . 3 cost.dt = ∫ 2 3cos t.dt 0 0 π π 4 3 3 1 3 1 = ∫ (1+ cos2t )   4  π  .dt =  t + sin2t  =  +  2 2  2  2 4 2 0   0 2 dx
VD7: Tính tích phân sau: I = ∫ dx 2 2+x 0
Nhận xét: Ta thấy tam thức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm nên ta không sử dụng
phương pháp hệ số bất ñịnh như ví dụ 4.10 và không phân tích biểu thức trong dấu tích
phân ñược như chú ý 2 và chú ý 3.  π π  ðặt: ⇒ ( 2 x = 2tgt
dx = 2. 1+tg t )dt , t ∈- ;   2 2  π ðổi cận: x = 2 ⇒ 2tgt = 2 ⇒ t = 4 x = 0 ⇒ 2tgt = 0 ⇒ t = 0 π 2.( 2 4 1+tg t) π π 4 dt 2 2 4 π 2 ⇒ I= ∫ = dt = t = 2 ∫ 2+2tg t 2 2 8 0 0 0 β dx c) Khi gặp dạng ∫ (a > 0) 2 2 α a + x
Nhận xét: a2 + x2 = 0 vô nghiệm nên ta không phân tích biểu thức trong dấu tích
phân ñược như chú ý 2 và chú ý 3.  π π  ðặt ⇒ ( 2 x = a.tgt
dx = a. 1+ tg t )dt , t ∈- ;   2 2 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 12
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI  π π  ðổi cận:
x = β ⇒ t = β’ ∈- ;   2 2   π π 
x = α ⇒ t = α’ ∈- ;   2 2 
Ta xét ví dụ tương tự tiếp theo: 1+ 2 dx
VD8: Tính tích phân sau: I= ∫ 2 x -2x+3 1
Nhận xét: Ta thấy tam thức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm nên ta phân tích mẫu số ñược thành: a2 + u2(x). 1+ 2 1+ 2 dx dx Ta có: I= ∫ = 2 ∫ x -2x+3 2+ x -1 1 1 ( )2  π π  ðặt x -1= ⇒dx = 2.( 2 2tgt 1+tg t )dt , t ∈- ;   2 2  ðổi cận: π x = 1+ 2 ⇒ tgt = 1 ⇒ t = 4 x = 1 ⇒ tgt = 0 ⇒ t = 0 π 2.( 2 4 1+tg t) π π 4 dt 2 2 4 π ⇒ 2 I= ∫ = dt = t 2 ∫ = 2+2tg t 2 2 8 0 0 0 Vậy: β dx d) Khi gặp dạng ∫ (a > 0) 2 2 α a + u (x ) Với tam thức bậc hai 2 2 a +u (x ) vô nghiệm thì  π π  ðặt ⇒ ( 2 u(x) = a.tgt
u'(x)dx = a. 1+tg t )dt , t ∈- ;   2 2   π π  ðổi cận:
x = β ⇒ t = β’ ∈- ;   2 2   π π 
x = α ⇒ t = α’ ∈- ;   2 2 
Tóm lại: Phương pháp ñổi biến số dạng 1: ðịnh lý: Nếu
1. Hàm số x = u(t) có ñạo hàm liên tục, ñơn ñiệu trên ñoạn [α;β].
2. Hàm số hợp f [u(t)] ñược xác ñịnh trên ñoạn [α;β].
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 13
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI 3. u(α) = a, u(β) = b. b β ∫ f(x)dx = ∫ f [u(t)] thì u'(t).dt a α
Từ ñó ta rút ra quy tắc ñổi biến số dạng 1 như sau:
B1: ðặt x = u(t) (với u(t) là hàm có ñạo hàm liên tục trên [α β
; ] , f(u(t)) xác ñịnh trên [α;β ] và u α ( ) = a, (
u β ) = b ) và xác ñịnh α ,β b β β
B2: Thay vào ta có: I = ∫ f(u(t)).u'(t)dt = ∫ g(t)dt = G(t) α = G( β ) -G (α ) a α
Một số dạng khác thường dùng phương pháp ñổi biến số dang 1: 1 a
* Hàm số trong dấu tích phân chứa 2 2 2 a -b x ha y ta thường ñặt x = sint 2 2 2 a -b x b 1 a
* Hàm số trong dấu tích phân chứa 2 2 2 b x - a ha y ta thường ñặt x = 2 2 2 b x - a bsint 1 a
* Hàm số trong dấu tích phân chứa ta thường ñặt x = tgt 2 2 2 a + b x b a
* Hàm số trong dấu tích phân chứa x(a - bx) ta thường ñặt 2 x = sin t b
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 2: Tính các tích phân sau: 1 1 2 x 1) I = ∫ 2 x 1 - x dx 2) I = ∫ dx 2 0 0 4 - 3x 1 x 2 2 x - 1 3) I = ∫ dx 4) I = ∫ dx 2 x 0 3 + 2x - x 1 3 2 x + 1 1 dx 5) I = ∫ dx 6) I = ∫ x(2 - x) 2 x + x + 1 1 0 1
Hướng dẫn: Câu 4: ðặt x = Câu 5: ðặt 2 x = 2sin t sint  π 
VD9: Chứng minh rằng: Nếu hàm số f(x) liên tục trên 0;   thì  2  π π 2 2
∫ f (sinx )dx = ∫ f (cosx )dx 0 0
Áp dụng phương pháp trên ñể tính các tích phân sau : π π 2 4 sin x 4 1) I = ∫ dx 2) I = ∫ln(1+tgx)dx 4 4 0 sin x + cos x 0
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 14
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI Giải π 2 π VT = ∫ f (sinx )dx ðặt x = - t ⇒ dx = -dt . 2 0 π π
ðổi cận x = 0 ⇒ t = ; x = ⇒ t = 0 2 2π 0   π   2
⇒ VT = − ∫ f sin  − t dt = ∫ f (cosx )dx = VP (ñpcm) π   2   0 2
Áp dụng phương pháp trên ñể tính các tích phân sau : π 2 4 sin x 1) I = ∫ dx 4 4 0 sin x + cos x π ðặt x = - t ⇒ dx = -dt . 2 π π
ðổi cận x = 0 ⇒ t = ; x = ⇒ t = 0 2 2 π π 4 π 0 sin ( - t) 2 4 2 4 cos t cos x I ∫ 2 = - dt = dt = dx 4 π 4 π ∫ ∫ 4 4 4 4 π 0 sin t + cos t 0 sin x + cos x sin ( - t)+ cos ( - t) 2 2 2 π π π 2 4 2 4 2 sin x cos x π π ⇒ 2I = dx + dx = dx = ⇒ ∫ ∫ ∫ I = . 4 4 4 4 sin x + cos x sin x + cos x 2 4 0 0 0 π 4 2) I = ∫ln(1+tgx)dx 0π ðặt x = - t ⇒ dx = -dt 4 π π
ðổi cận x = 0 ⇒ t = ; x = ⇒ t = 0 4 4 π π π 0 π 4 4 4 ⇒ 1-tgt
I= - ∫ln[1+tg( -t)]dt = ∫ln(1+
)dt = ∫ [ln2 -ln(1+tgt)]dt =ln2.∫dt - I π 4 1+tgt 0 0 0 4 πln2 π ⇒ .ln2 2I= ⇒I = 4 8
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 3: Tính các tích phân sau:
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 15
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI π π 2 2 π 1) ∫ n sin xdx = ∫ n cos xdx HD: ðặt x = - t . 2 0 0 a
2) Cho I = ∫ f(x)dx . CMR: -a a
a) I = 2 ∫ f(x)dx nếu f(x) là hàm số chẵn. 0
b) I = 0 nếu f(x) là hàm số lẻ. b b f(x)
3) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là hàm số chẵn thì ∫ dx = ∫ f(x)dx . x -b a + 1 0 2 2 2x + 1 Áp dụng: Tính I = ∫ dx . x -2 2 + 1 π π π
4) Chứng minh rằng: ∫ xf(sinx)dx =
∫ f(sinx)dx (HD: ðặt x = π - t ) 2 0 0 π xsinx Áp dụng: Tính I = ∫ dx . 2 0 4 + sin x
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 4: Tính các tích phân sau: (Các ñề tuyển sinh ðại học) 2 2 2 x 1 3 a) I = ∫ dx (ðH TCKT 1997) b) I = ∫ ( 2 1- x ) dx (ðH Y HP 2000) 2 0 1- x 0 2 a c) I = ∫ 2 2 x 4 - x dx (ðH T.Lợi 1997) d) I = ∫ 2 2 2 x a - x dx (ðH SPHN 2000) 0 0 3 2 dx 1 dx e) I = ∫ (ðH TCKT 2000) f) I = ∫ (ðH T.Lợi 2000) 2 4 2 x + 4x +3 1 x 1 - x 0 2 1 dx 2 dx g) I = ∫ ( (ðH N.Ngữ 2001) h) I = ∫ (ðH BKHN 1995) 1+ x )2 2 2 -1 2 x x -1 3
II.4.2. Phương pháp ñổi biến số loại 2: (Dạng nghịch) b
Nếu tích phân có dạng f u(x) ∫  u'(x)dx a
ðặt: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx ðổi cận: x = b ⇒ u = u(b) 2 x = a ⇒ u = u(a) 1 2 u ⇒ I= ∫ f (u)du 1 u
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 16
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
a) Một số dạng cơ bản thường gặp khi ñổi biến số loại 2:(Dạng nghịch)
Trong một số trường hợp tính tích phân bằng phương pháp phân tích hay tính tích
phân bằng tích phân ñổi biến số loại 1 không ñược nhưng ta thấy biểu thức trong dấu tích phân có chứa:
1. Lũy thừa thì ta thử ñặt u bằng biểu thức bên trong của biểu thức có chứa lũy thừa cao nhất.
2. Căn thức thì ta thử ñặt u bằng căn thức.
3. Phân số thì ta thử ñặt u bằng mẫu số.
4. cosx.dx thì ta thử ñặt u = sinx.
5. sinx.dx thì ta thử ñặt u = cosx. dx 6.
hay (1 + tg2x)dx thì ta thử ñặt u = tgx. 2 cos x dx 7.
hay (1 + cotg2x)dx thì ta thử ñặt u = cotgx. 2 sin x dx 8.
và chứa lnx thì ta thử ñặt u = lnx. x
VD 10: Tính các tích phân sau: 1 3 5 2 1. a) I = ∫(x +1) x dx 0 du ðặ 3 2 2
t: u = x +1 ⇒ du = 3x dx ⇒ x dx = 3 ðổi cận: x 0 1 u 1 2 2 2 6 2 6 6 ⇒ du 1 u 2 1 7 I = ∫ 5 u = ∫ 5 u du = = - = 3 3 18 18 18 2 1 1 1 π 2 b) I = ∫ 3 (1+sinx ) .cosx.dx (Tương tự) 0 2 2. a) I = ∫ 2 4+3x .12x.dx 0 ðặt: 2 ⇒ 2 2 u = 4+3x u = 4+3x
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 17
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
⇒ 2udu = 6xdx ⇒ 12xdx = 4udu ðổi cận: x 0 2 u 2 4 4 4 3 4 3 3 ⇒ 4u 4.4 4.2 224 I = ∫u.4u.du = ∫ 2 4u .du = = - = 3 3 3 3 2 2 2 2 2 b) I = ∫ 2 3 1+2x .x .dx (HD: I = ∫ 2 2 x . 1+2x .xdx ) 0 0 2 u -1 ðặt 2 u = 1+2x ⇒ 2 2 u = 1+2x ⇒ 2 x = 2 udu ⇒ 2udu = 4xdx ⇒ xdx = ... 2 1 2 x c) I = ∫ dx ðặt 3 3 3 u = 1+7x ⇒ 3 3 u = 1+7x 3 3 0 1+7x 2 u du ⇒ 2 2 3u du = 21x dx ⇒ 2 x dx = 7 ðổi cận: x 0 1 u 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ ∫ u 1 1u 2 1 3 I = du = ∫udu = = - = 7u 7 14 14 14 14 1 1 1 1 3 x 1 2 x .x 3.a) I = ∫ dx Ta có: I = ∫ dx 2 x +1 2 x +1 0 0 ðặt 2 u x 1 ⇒ 2 = + x = u -1 du ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = 2 ðổi cận: x 0 1 u 1 2 2 2 u -1 1  1  2 ⇒ 1 1 I = ∫ du =
∫1- du = (u-ln |u )| = (2 -ln2 -1)= (1-ln2) 2u 2  u  2 2 1 1 1 2 2 x b) I = ∫ dx (HD: ðặt 3 u = x +2 ) 3 1 x +2
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 18
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI π 6 4.a) I = ∫ 4 sin x.cosx.dx
ðặt: u = sinx ⇒du = cosx.dx 0 ðổi cận: π x 0 6 u 0 1 2 1 1 2  5 u  ⇒ 2 1 I = ∫ 4 u du =   = 5 160 0   0 π 2 sinx b) I = ∫ dx (HD: ðặt u = 1+3cosx ) 1+3cosx 0 π 2 c) I = ∫ 1+3sinx.cosxdx (HD: ðặt u = 1+3sinx ) 0 π 2 sin2x +sinx 5.a) I = ∫ dx (ðề ðH khối A – 2005) 1+3cosx 0 π π 2 2 2sinxcosx +sinx sinx (2cosx +1) Ta có I = ∫ dx = ∫ dx 1+3cosx 1+3cosx 0 0 2 u -1 ðặt u = 1+3cosx ⇒ 2 u = 1+3cosx ⇒cosx = 3 ⇒ ⇒ -2udu 2udu = -3sinxdx sinxdx = 3 ðổi cận: π x 0 2 u 2 1  2 u -1   -2udu  2 +1 1      3   3  2 ⇒ ∫ 2 I = dx = ∫( 2 2u +1)du u 9 2 1 2  3 2u  2 2  3 3 2.2 2.1  34 =  + u  =  + 2 - -1 = 9  3  9 3 3 27 1  
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 19
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
Nhận xét: ðối với những bài chứa căn thức, học sinh có thể ñặt u bằng biểu thức
trong dấu căn, nhưng sau khi ñổi biến thì tích phân mới vẫn còn chứa căn thức nên việc α
tính tiếp theo sẽ phức tạp hơn (tức là học sinh phải ñưa về x ). Ví dụ: Cách 2 của câu 5 π 2 sin2x +sinx 5.a) I = ∫ dx (ðề ðH khối A – 2005) 1+3cosx 0 π π 2 2 2sinxcosx +sinx sinx (2cosx +1) Ta có I = ∫ dx = ∫ dx 1+3cosx 1+3cosx 0 0 u 1 ðặt u = 1+3cosx ⇒ - cosx = 3 ⇒ ⇒ -du du = -3sinxdx sinxdx = 3 ðổi cận: π x 0 2 u 4 1  u -1  -du  2 +1 1     3  3  4 1 (2u+1) ⇒ I = ∫ du = ∫ du u 9 u 4 1 4 4 1 1 1  1   −  1 1  4  4 2 2 = ∫2 u +  =
∫2u + u  =  u u +2 u  9  u  9   9  3  1 1 1 1 32 4  34 =  + 4 - - 2  = 9  3 3  27
Nhận xét: Rõ ràng cách giải 2 ñặt u bằng biểu thức trong căn thấy phức tạp hơn so với cách 1. π 2 sin2x.cosx b) I = ∫ dx (ðH khối B – 2005) 1+cosx 0 π (tgx+1)2 4 dx 6.a) I = ∫ dx u = tgx +1 du = 2 cos x ðặt: ⇒ 2 cos x 0 ðổi cận: π x 0 4 u 1 2 2  3 u  2 ⇒ 8 1 7 I = ∫ 2 u du =   = - = 3 3 3 3 1   1
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 20
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI π 4 2 tg x - 3tgx +1 b) I = ∫ dx (HD: ðặt u = tgx ) 2 cos x 0 π 2 cotgx e = 7.a) I ∫ dx 2 π sin x 4 -dx ðặt: u = cotgx ⇒du = 2 sin x ðổi cận: π π x 4 2 u 1 0 0 1 1 ⇒ I= -∫ u e du = ∫ u u e du = e = e -1 1 0 0 π 2 3cotgx +1 b) I = ∫ dx 2 (HD: ðặt u = 3cotgx +1 ) sin x p 4 3 e 1+lnx.dx 8.a) I = ∫ ðặt ⇒ 2 u = 1+lnx u = 1+lnx ⇒ dx 2udu = x x 1 ðổi cận: x 1 3 e u 1 2 2 2 3 2 3 3 ⇒ 2u 2.2 2.1 14 I = ∫u.2udu = 2∫ 2 u du = = - = 3 3 3 3 1 1 1 7 e 3 lnx. 1+lnx b) I = ∫ dx x 1 dx ðặt 3 u = 1+lnx ⇒ 3 u = 1+lnx ⇒ 3 u -1= lnx ⇒ 2 3u du = x ðổi cận: x 1 7 e u 1 2 2 2  7 4  2  7 4  ⇒ u u 2 2 300 I = ∫( 3 u -1) 2 .u.3u du = 3 ∫( 6 3 u -u )du = 3  -  = 3  -  = 7 4 7 4 7 1 1   1   BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 5:
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 21
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
1. Tính các tích phân sau: π 2 2 1 2 3 x a) I = ∫ (5sinx -1) 3 cos x.dx b) I = ∫ 2 3 1+ 2x .x .dx c) I = ∫ dx 3 3 0 0 0 1+ 26x π p p 2 6 sinx 4 4 d) I = ∫ dx e) I = ∫sin x.cosx.dx f) I = ∫ 5 cos x.dx 1+3cosx 0 0 0 π π π 6 2 4 g) I = ∫ 2 3 sin x.cos x.dx
h) I = ∫ 1+3sinx.cosxdx i) I= ∫ 3 (1+sin2x ) .cos2x.dx 0 0 0 π p π 2 2 4 sin2x tgx e +1 j) I = ∫ 3 sinx - sin x .dx k) I = ∫ dx l) I = ∫ dx 2 1+cos x 2 cos x 0 0 0
2. Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tốt nghiệp) π 2 2 2 x a) I = ∫ 5
sin x.dx (TNTHPT Năm 93-94) b) I = ∫ dx (TNTHPT Năm 95-96) 3 0 1 x + 2 π 2 2 2 c) I = ∫ 2 3
x + 2.x .dx (TNTHPT Năm 96-97) d) I= ∫cos 4x.dx (TNTHPT Năm 98-99) 1 0 π π 6 2
e) I= ∫(sin6xsin2x+6).dx (TNTHPT 00-01) f) I= ∫ 2
(x+sin x)cosx.dx (TNTHPT 04-05) 0 0
3. Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tuyển sinh ðại học) π 2 sin2x +sinx a) I = ∫ dx (ðH khối A – 2005) 1+3cosx 0 π 2 sin2x.cosx b) I = ∫ dx (ðH khối B – 2005) 1+cosx 0 π 2 c) I= ∫( sinx e +sinx )cosxdx (ðH khối D – 2005) 0 π 2 sin2x d) I = ∫ dx (ðH khối A – 2006) 2 2 0 cos x + 4sin x ln5 dx e) I = ∫ (ðH khối B – 2006) x -x e +2e -3 ln3 1 f) I = ∫ 2x (x -2)e dx (ðH khối D – 2006) 0
4. Tính các tích phân sau: (Các dạng khác) 13 dx 3 1 dx a) I = ∫
b) Ι = ∫ x x+1.dx c) I = ∫ 3 2x +1 3 1+ x +1 0 0 0
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 22
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI p 7 3 3 2sin2x +3sinx e 1 e 1+lnx .dx d) I = ∫ dx e) I = ∫ dx f) I = ∫ 6cosx - 2 3 x 1+lnx x.lnx 0 1 1 5 7 e 4 3 lnx. 1+lnx e 1 4 x +1 g) I = ∫ dx h) I = ∫ dx i) I = ∫ .dx x x.lnx.ln(lnx) x -1 1 -1 e 5 3 1 dx ln5 e (x +1) k) I = ∫ l) I = ∫ x e -1 dx m) I = ∫ dx (HD: t = xex) x x x(1+ xe ) 0 1+e 0 0
5. Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tuyển sinh ðại học) 1 7 3 x dx 6 2) I = ∫ 5 ( 3 x 1-x ) 1) I = ∫ (ðH T.Mại 1997); dx (ðH KTQD 1997) 2 0 1+ x 0 π 2 3 sin x 1 xdx 3) I = ∫ dx (ðH QGHN 1997); 4) I = ∫ (ðHQGTPHCM 1998) 2 1+cos x 2x +1 0 0 π π 2
5) Ι = ∫ cosx sinxdx (ðHBKHN98); 6) I = ∫cos2x ( 4 4 sin x+cos x)dx (ðHBKHN 98) 0 0 7 3 x +1 1 dx 7) I = ∫ dx (ðH GTVT 1998); 8) I = ∫ (ðH QGHN 1998) 3 3x +1 x e +1 0 0 π π 2 sin2x 9) I = ∫ 3
sin xcosxdx (ðH DLHV 1998); 10) I = ∫ dx (ðHQGTPHCM 1998) 4 1+cos x 0 0 π π 2 2 4 3 sin x 11) I = ∫sin2x ( 2
1+ sin x ) dx (ðHNT 1999); 12) I = ∫ dx (ðH GTVT 1999) 4 4 sin x +cos x 0 0 1 dx ln2 2x e dx 13) I = ∫ (ðH Cñoàn 2000); 14) I = ∫ (ðH BKHN 2000) 2x e +3 x 0 0 e +1 π 4 sin4x 2 dx 15) I = ∫
dx (ðH CThơ 2000); 16) I = ∫ (ðH NNghiệp 2000) 4 4 sin x +cos x 3 x x +1 1 ( ) 0 π π 2 6 sin x 2 cosx 17) I = ∫
dx (ðH Huế 2000); 18) I = ∫ dx (ðHNN1-KB 01) 6 6 cos x + sin x sinx + cosx 0 0 π 2 dx 2 19) I = ∫ (ðH Aninh 2001) 20) Ι = ∫ 2
cos xsin2xdx (ðH NL HCM 2001) x ( 4 x +1 1 ) 0 1 3 7 x 21) I = ∫ 5 3 x
1 - x dx (ðH Luật HCM 2001); 22) I = ∫ dx (CðSPNtrang 2002) 8 4 1+ x - 2x 0 2 π π 2 4 2 1- 2sin x 23) I = ∫ (3 3
cosx - sinx )dx (CðSPQN 2002); 24) I = ∫ dx (ðHCð khối B 2003) 1+ sin2x 0 0 2 3 dx 1 25) I = ∫
(ðH-Cð khối A 2003); 26) I = ∫ 3 2 x
1- x dx (ðH-Cð khối D 2003) 2 5 x x + 4 0
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 23
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
II.5. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
ðịnh lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [a;b] thì: b b ∫u(x).v'(x)dx = [u(x).v(x)] b − ∫v(x).u'(x).dx a a a b b ∫u(x).dv = [u(x).v(x)] b − hay ∫v(x).du a a a b b b hay ∫u.dv = u.v - ∫v.du a a a
a) Phương pháp tính tích phân từng phần: b b
Bước 1: Biến ñổi I = ∫ f (x )dx = ∫ f x f x dx 1 ( ) 2 ( ) a a u = f (x ) du = df x 1 1 ( ) Bước 2: ðặt  ⇒ dv = f x dx
v = f x dx (v là một nguyên hàm của f (x) ) 2 ( )    ∫ 2 ( ) 2 b b Bước 3: Tính I = u.v - ∫ v.du a a
Chú ý: Khi tính tích phân từng phần ta phải nắm nguyên tắc sau:
+ Chọn phép ñặt dv sao cho dễ xác ñịnh ñược v
+ ∫bvdu phải dễ xác ñịnh hơn ∫budv a a
b) Một số dạng thường dùng phương pháp tích phân từng phần:
Nếu biểu thức trong dấu tích phân có chứa: Dạng 1: ( ) ; ( ) ; ( ) nx ; ( ) nx
P x sin(nx).dx P x cos(nx).dx P x .e dx P x .a dx ta nên ñặt: u = P(x)   nx nx
dv = sin(nx)dx hay cos(nx)dx hay e dx hay a dx
Dạng 2: P (x )lnx.dx ; P (x )log x.dx ta nên ñặt: a u = lnx hay u = log x  a dv = P(x)dx Dạng 3: x h ay x a sin(nx)dx e cos(nx)dx hay x h ay x a cos(nx)dx a cos(nx)dx thì
phải sử dụng tích phân từng phần ñến hai lần.
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 24
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
VD 11: Tính các tích phân sau: π 3 1. I = ∫(3x -1)cos3xdx 0   du = 3dx u = 3x -1  ðặt:  ⇒  1 dv = cos3xdx   v = sin3x  3 π π π 3 ⇒ 3 3 1 1 2
I = (3x -1)sin3x - ∫sin3xdx = 0+ cos3x = - 3 3 3 0 0 0 1 2. I = ∫(2x +1)ln(x +1)dx 0   dx u = ln(x +1)   du = ðặt:   ⇒  x + 1  dv =(2x +1)dx 2 v = x + x = x(x + 1) 1 1 2 ⇒ 1 x 1 1 I = 2
(x + x)ln(x +1) - ∫xdx = 2ln2 - = 2ln2 - = - +ln4 0 2 2 2 0 0 1 2 2x
3. I = ∫ (4x - 2x -1)e dx (ðH GTVT 2004) 0   2 du = (8x - 2)dx  u = 4x - 2x -1  ðặt:  ⇒  2x 1   2x dv = e dx v = e  2 1 1 ⇒ 1 1 I = 2 2x 4 ( x - 2x -1). e - ∫ 2x (4x - 1) e dx = A - Β 2 2 0 0 1 1 1 1 A = 2 2x 4 ( x - 2x -1). e = 2 e + 2 2 2 0 1  u = 4x -1 du = 4dx  Β = ∫ 2x (4x - 1)e dx ðặt:  ⇒  2x  1 2x dv = e dx v = e 0   2 1 1 1 ⇒ (
)1 2x − ∫ 2x = 3 2 + 1 2x = 1 2 +3 4x -1 e 2e dx e -e e 2 2 2 2 2 0 0 0 ⇒ I = A - Β = -1
Nhận xét: Ví dụ trên là dạng 1 của tích phân từng phần ∫ ( ) nx P x .e dx do ñó hướng
học sinh ñặt u = P(x) nhưng do P(x) là tam thức bậc hai nên ta tính tích phân từng phần
hai lần. Tù ñó rút ra nhận xét chung cho học sinh: Nếu P(x) là ña thức bậc k thì tính tích phân từng phần k lần.
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 25
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI π 4 x 2 4. I = ∫ 4e cos xdx 0
Nhận xét: Dạng 3 của tích phân từng phần là tích phân có dạng ∫ x e sin(nx)dx
nhưng biểu thức trong dấu tích phân của ví dụ trên chứa 2
cos x do ñó hạ bậc ta sẽ ñưa tích phân về ñúng dạng 3. π π π π π 4 4 4 4 4 I = ∫ x 2 4e cos xdx = ∫ x 2e (1+co 2 s x)dx = ∫ x 2e (1+co 2 s x)dx = ∫ x 2e dx+∫ x 2e co 2 s x.dx = I1 +I2 0 0 0 0 0 Ta có: π π 4 π 4 I = ∫ x x 4 2e dx =2e =2e -2 1 0 0 π 4 I = ∫ x 2e co 2 s x.dx 2 0  u = co 2 s x du = -2.sin2xdx ðặt:  ⇒  x   x dv = 2e dx v = 2e π 1 ⇒ 4 I = x 2e co 2 s x + ∫ x 4e sin2xdx = -2 + Β 2 0 0 1 Β = ∫ x 4e sin2xdx 0  u = si 2 n x du = 2.cos2xdx ðặt:  ⇒  x   x dv = e 4 dx v = 4e π 1 π ⇒ 4 B = x 4e si 2 n x − ∫ x 4 8e cos2xdx = 4e − 4I2 0 0 π ⇒ I = -2 + B= -2 + 4 4e − 4I 2 2 π π   ⇔ 1 5 I = -2 + 4 4e ⇔ I =  -2 + 4 4e  2 2   5   π π π   1 14 12 I= I +I = 2 4 e -2+ - 2 + 4 4e  = 4 e 1 2 −   5   5 5
Nhận xét: Ở ví dụ trên học sinh phải tính tích phân từng phần hai lần, trong khi tính
lần hai biểu thức xuất hiện tích phân I cần tính ban ñầu nên ta còn gọi dạng trên là
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 26
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
tích phần từng phần lặp. Trong dạng bài tập này khi làm học sinh cần lưu ý về dấu
khi sử dụng công thức tích phân từng phần. π π 4 x 4 2 5. A = ∫ dx ∫x.tg xdx 2 cos x . Từ ñó suy ra: B = (ðH NN Khối B 2000) 0 0 π u = x π π  du = dx 4 4 π 4 d(cosx) ðặt  ⇒ dx  ⇒ A= x.tgx - ∫tgxdx = + ∫ dv = v = tgx 4 cosx  2 cos x 0 0 0 π π π 1 = 4 + ln cosx = - ln2 0 4 4 2 π π π π 4 4 4 4 1 π π 2 1 ⇒ 1 B = ∫ 2 x.tg xdx = ∫x.( -1)dx ∫x. dx - xdx - ln2 - 2 ∫ 2 cos x = cos x = 4 2 32 0 0 0 0 3 2
6. I = ∫ln (x - x )dx (ðHCð Khối D 2004) 2  (2x - 1)dx (2x - 1)dx 2  u = ln(x -x) du = = ðặ  t:  ⇒ 2  x - x x( x -1)  dv = dx v = x - 1
(nguyên hàm v = x + c nên thay c = -1 ñể khử mẫu số) 3 3 ⇒ 2x - 1 I = 2 (x -1).ln(x - x) - ∫ dx = 2ln6 - 2ln2 +1 = 2ln3 +1 x 2 2
Nhận xét: Trong dạng bài tập tích phân từng phần có chứa ln(u(x)) thường xuất hiện
phân số nên rèn luyện cho học sinh khéo léo kết hợp thêm tính chất của nguyên hàm
∫ f(x)dx = F(x)+C với C là một hằng số thích hợp ta có thể ñơn giản ñược phân
số ñể cho bước tính tích phân tiếp theo ñơn giản hơn. 4
Một ví dụ tương tự: I = ∫2xln(x - 2)dx 3  π 3    2  7. I = ∫ 3
sin x dx (ðH KTrúc HN 2001); 0
Nhận xét: Ở ví dụ trên học sinh phải nhận xét ñược rằng bước ñầu phải ñổi biến số. ðặt u = 3 x ⇒ 3 u = x ⇒ 2 3u = dx ðổi cận: 3  π  x 0    2 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 27
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI π u 0 2 π π 2 2 ⇒ I = ∫ 2 3u sinudu ⇒ I = ∫ 2
3x sinxdx ta biến ñổi như trên ñể học sinh dễ nhận dạng tích 0 0 phân từng phần dạng 1.
Nhận xét: ðến ñây tích phân tiếp theo có dạng 1 của tích phân từng phần.
Do ña thức là bậc hai nên ñể tính I, học sinh phải tính tích phân từng phần 2 lần:  2 u = 3x du = 6xdx ðặt  ⇒  dv = cosx.dx v = sinx π π 2 2 2 2 3π ⇒ I = 3x sinx − ∫6xsinxdx = − I1 4 0 0 π 2 I = ∫6xsinxdx 1 0 u = 6x du = 6dx ðặt  ⇒  dv = sinxdx v = -cosx π π π 2 ⇒ 2 2 I = −6x.cosx
+ ∫6cosxdx =6x.sinx = 3π 1 0 0 0 2 2 3π 3π ⇒ I = − + I = − 3π 1 4 4
Nhận xét: Qua ví dụ trên, ñể tính tích phân ñôi khi học sinh phải áp dụng cả hai
phương pháp ñổi biến số loại 2 và tích phân từng phần.
Ví dụ tương tự: (phối hợp hai phương pháp) π 2 π 2 4 1 e 4 cos lnx a) I = ∫ sin x dx b) I = ∫ 2 x.ln(1+ x d ) x c) I = ∫ dx x 0 0 0 π π 2 3 ln tgx 4 d) I = ∫ cosx e sin2x d . x e) I = ∫ dx f) I = ∫ x e dx 2 cos x 0 π 0 4 BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 6:
1. Tính các tích phân sau:
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 28
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI π π ln2 6 6 a) I = ∫ -x xe dx b) I = ∫(12x - 2)cos2xdx c) I= ∫ 2 (2x -4)sin2xdx 0 0 0 π 1 3 2 xdx d) I = ∫(2x -1)ln(x +1)dx e) I = ∫(2x -1)ln(x -1)dx f) I = ∫ 2 sin x 0 2 π 4 π 1 2 3 g) I = ∫ 2 2xln (x +1)dx 2 h) I= ∫ x (12x - 4+e )sinxdx i) I= ∫2xln (x -1)dx 0 0 2 π 2 j) I = ∫ 2
(x + sin x)cosxdx (TNTHPT – 2005) 0
2. Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tuyển sinh ðại học) π 4 a) I = ∫ 3x
e sin4xdx (ðH A.Ninh 1997) b) I = ∫1(x -1) 2x e dx (ðH DLNN-T.Học 1997) 0 0  π 2   π  4  c) I = ∫ 2 x sinxdx (ðH A.Ninh 1998)
d) I = ∫ cos xdx (ðH DLNN-T.Học 1998) 0 0 π 2 lnx 4 e) I = ∫ dx (ðH Huế 1998) f) I = ∫x ( 2 2cos x -1)dx (ðH TCKT 1998) 2 x 1 0 2 ln (x +1) 10 g) I = ∫ dx 2
(ðH Cñoàn 2000) h) I = ∫ xlg xdx (ðH Y Dược 2001) 2 x 1 1  π 3    2  i) I = ∫ 3
sin x dx (ðH KTrúc HN 2001); j) I = ∫e 2 2
x ln xdx (ðH KTế HDương 2002) 1 0 e 2 x +1 0 k) I = ∫
lnxdx (ðHCð Dự bị 2-2003); l) I= ∫x ( 2x 3
e + x +1)dx (ðHCð D.bị 2003) x 1 -1 1 1 m) I = ∫ 2 3 x
x e dx (ðHCð Dự bị 2-2003); n) I = ∫( 2 x + 2x ) -x e dx (ðH GTVT 2003) 0 0
III. Kiểm tra kết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính CASIO fx570-MS
Trong một số trường hợp một số bài tích phân phức tạp ñã giải ñược kết quả
nhưng chưa ñánh giá ñược ñộ chính xác của kết quả là ñúng hay sai, khi ñó ta có thể
sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx-570MS ñể kiểm tra kết quả. Ví dụ với ñề thi π 2 sin2x +sinx Khối A năm 2005 I = ∫
dx ta sử dụng máy tính như sau: 1+3cosx 0
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 29
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI 34
+ Với kết qủa giải tay là
ta chuyển sang số thập phân ≈ 1,259259… 27
+ ðối với bài tích phân lượng giác trước hết chuyển sang chế ñộ Rad.
+ Quy trình bấm máy CASIO fx-570MS như sau: ∫ dx ( ALPHA ( sin ( 2 X ) + sin ALPHA X ) ÷ ( 1 + 3 cos ALPHA , , X 0 ) SHIFT π ÷ 2 ) =
Và kết qủa máy tính là 1,2593. So với kết quả gần ñúng trên ñồng nghĩa với ñáp số
bài giải bằng tay trên ñã ñúng.
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 7: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN 1
Câu 1: ∫ 2x +1 dx có giá trị bằng: 0 A. 2 B. 0 C. -2 D. 3 e Câu 2: ∫ 2
x -1 dx có giá trị bằng: 0 1 A. 1 B. 0 C. -1 D. 2
Câu 3: Chọn mệnh ñề ñúng: 3 π 3 π π 4 dx π 4 dx π A. ≤ ∫ ≤ B. 0 ≤ ∫ ≤ 2 4 2 π 3 - 2sin x 2 π 3 - 2sin x 2 4 4 3 π 3 π 4 dx π 4 1 dx π C. 0 ≤ ∫ ≤ D. ≤ ∫ ≤ 2 2 π 3 - 2sin x 4 4 π 3 - 2sin x 2 4 4 e lnx Câu 4: ∫
dx có giá trị bằng: x 1 A. 1 B. 0 C. -1 D. e 1
Câu 5: ∫(x + 2)4 dx có giá trị bằng: 0
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 30
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI 211 201 A. B. 211 C. 201 D. 5 5 π 2 Câu 6: ∫ sinx e
cosx dx có giá trị bằng: 0 A. e - 1 B. 0 C. e D. 1 - e π 2
Câu 7: ∫3 1 +3cosx. sinx dx có giá trị bằng: 0 5 A. 3 B. C. 1 D. 2 3 1 dx Câu 8: ∫ có giá trị bằng: 2 x + x +1 0 π 3 π π π 3 A. B. C. D. 9 9 9 3 3 2 (2x -1)dx Câu 9: ∫
có giá trị bằng: 2 x - x -1 1 2 3 4 9 A. ln B. ln C. ln D. ln 3 2 9 4 1 (4x +2 )dx Câu 10: ∫
có giá trị bằng: 2 x + x +1 0 A. 3ln2 B. 2ln3 C. ln4 D. ln6 1 dx Câu 11: ∫
có giá trị bằng: 2 -1 x + 2x + 2 A. ln (2+ 5 ) B. ln ( 2 +5 ) C. ln ( 2 + 5 ) D. ln ( 5 - 2 ) 2 dx Câu 11: ∫
có giá trị bằng: 2 1 -3x +6x +1 π 3 π 3 π 3 π 3 A. B. C. D. 3 9 12 15 2 (4x +6 )dx Câu 12: ∫
có giá trị bằng: 2 1 x - 2x +3 A. 4ln (2+ 3 ) B. 6ln (2+ 3 ) C. 8ln (2+ 3 ) D. 10ln (2+ 3 ) 2 2 Câu 13: ∫ x 2
x +1 dx có giá trị bằng: 0
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 31
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI 26 28 32 34 A. B. C. D. 3 3 3 3 6 dx Câu 14: ∫
có giá trị bằng: x 2 2 x -3 π 3 π 3 π 3 π 3 A. B. C. D. 2 6 12 36 1 dx Câu 15: ∫
có giá trị bằng: 2 0 x +1 A. ln 2 B. ln2 C. ln ( 2 +1) D. ln ( 2 +2) 2 dx Câu 16: ∫
có giá trị bằng: cosx +1 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 π dx Câu 17: ∫
có giá trị bằng: sinx +1 0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 π dx Câu 18: ∫
có giá trị bằng: sinx - 2cosx - 2 0 A. -ln2 B. ln2 C. 1-ln2 D. 1+ln2 π 2  sinx -cosx  Câu 19: ∫
 dx có giá trị bằng:  sinx +cosx  0 π π π π A. 1+ B. -1+ C. 1- D. -1- 4 4 4 4 π cosx Câu 20: ∫
dx có giá trị bằng: 2 11 -7sinx -cos x 0 1 5 1 1 8 1 5 A. - ln B. - ln5 C. ln D. ln 3 8 3 3 5 3 8 π 2 x +cosx Câu 21: ∫
dx có giá trị bằng: 2 4 - sin x -π 2 1 1 1 1 A. ln3 B. ln3 C. ln3 D. ln3 8 6 4 2 π 2  1+sinx  Câu 22: ∫ln 
dx có giá trị bằng:  1+cosx  0
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 32
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI π 3π A. B. C. 0 D. 1 2 2 π 4 sin4x Câu 23: ∫
dx có giá trị bằng: 4 4 sin x +cos x 0 A. -ln2 B. -ln2 C. -ln3 D. -ln3 π - 2
Câu 24: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa f(-x) + f(x) = cos7x. ∫ f(x)dx có giá trị π - 2 bằng: 16 32 24 12 A. B. C. D. 35 35 35 35 π - 2
Câu 25: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa 3 f(-x) + f(x) = cos4x.sin5x . ∫ f(x)dx có π - 2 giá trị bằng: 1 1 1 A. - B. - C. 0 D. 4 2 4 2 Câu 26: ∫ 2
x - x dx có giá trị bằng: 0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 Câu 27: ∫ 3 2
x - 2x - x + 2 dx có giá trị bằng: -1 9 37 41 A. B. C. 14 D. 4 12 12 2 Câu 28: ∫ 2
x -3x + 2 dx có giá trị bằng: -3 59 2 59 2 A. B. C. - D. - 2 59 2 59 π π π   2  2 2  Câu 29: ∫ 2
5 - 4cos x - 4sinx dx có giá trị bằng: ∫ 2 5 - 4cos x
- 4sinx dx = ∫ 2sinx -1 dx  0  0 0    π π π π A. -2 3 - 2 - B. 2 3 - 2 - C. 2 3 + 2 - D. 2 3 + 2 + 6 6 6 6
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 33
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI π 2
Câu 30: ∫ 2cosx -1 dx có giá trị bằng: 0 π π π π A. 2 3 - 2 + B. 2 3 - 2 - C. 2 3 - 2 + D. 2 3 - 2 - 3 3 6 6 2 Câu 31: ∫ ( x
2 - 4 )dx có giá trị bằng: -1 1 1 1 1 A. 2 + B. 3 + C. 4+ D. 5 + ln2 ln2 ln2 ln2 2 dx Câu 32: ∫
có giá trị bằng: 1+ 1- x -1 A. ln2 B. 2ln2 C. 3ln2 D. 4ln2 2
Câu 33: ∫ ( x - x -1 )dx có giá trị bằng: -1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2
Câu 34: ∫( 1- x - 1+ x )dx có giá trị bằng: 0 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 1
Câu 35: ∫xlnxdx có giá trị bằng: 0 2 e +1 2 e +1 2 e +1 2 e +1 A. B. C. D. 2 4 1 3 π 2
Câu 36: ∫xcosxdx có giá trị bằng: 0 π π π π A. + 2 B. - 2 C. +1 D. -1 2 2 2 2 1 Câu 37: ∫ x
xe dx có giá trị bằng: 0 A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 π 2 Câu 38: ∫ x
e sin2x dx có giá trị bằng: 0 π   2 π   1 π   2 π   1 A. -  e2 +1 B. -  e2 +1 C.  e2 +1 D.  e2 +1 5   5   5   5  
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 34
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI π 2 Câu 39: ∫ 2x
e cosx dx có giá trị bằng: 0 1 1 1 1 A. (eπ +2) B. (eπ -2) C. (2eπ +1) D. (2eπ -1) 5 5 5 5 1 Câu 40: ∫ 2x
e (x - 2 ) dx có giá trị bằng: 0 2 5 -3e 2 3e -5 2 3e -5 2 5 -3e A. B. C. D. 4 4 2 2 x e
Câu 41: ∫cos (lnx )dx có giá trị bằng: 0 1 1 1 A. (eπ +1) B. (eπ − 1 +1) C. (eπ -1) D. (-eπ +1) 2 2 2 2 e
Câu 42: ∫sin (lnx )dx có giá trị bằng: 0 (sin1-cos1)e+1 (sin1-cos1)e-1 (cos1-sin1)e+1 (cos1-sin )1e+1 A. B. C. D. 2 2 2 2 e 1+ sinx Câu 43: ∫ x e
dx có giá trị bằng: 1+cosx 0 π 3 π A. e2 B. eπ C. e 2 D. e2π e 2 1+ x Câu 44: ∫ x e (
có giá trị bằng: 1+ x ) dx 2 0 A. 0 B. 1 C. e D. 2 e x Câu 45: ∫ x e (
có giá trị bằng: 1+ x ) dx 2 0 e - 2 e+ 2 e -1 e+1 A. B. C. D. 2 2 2 2
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 35
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
Nhận xét: Trong phần nội dung chuyên ñề trên, tôi chỉ nêu ra một số bài tập minh
họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số,
phương pháp tích phân từng phần. Các bài tập ñề nghị là các ñề thi Tốt nghiệp THPT và ñề
thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng của các năm trước ñể các em học sinh rèn luyện kỹ năng
tính tích phân, bên cạnh ñó cũng hướng dẫn học sinh kiểm tra kết quả bài giải của mình có
kết quả ñúng hay sai bằng máy tính cầm tay CASIO fx-570MS và phần cuối của chuyên ñề
là một số câu hỏi trắc nghiệm tích phân. ðể phần nào củng cố, nâng cao cho các em học sinh
khối 12 ñể các em ñạt kết quả cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại
học và giúp cho các em có nền tảng trong những năm học ðại cương của ðại học.
Tuy nhiên với kinh nghiệm còn hạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày
chuyên ñề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong ñược sự góp ý chân tình của
quý Thầy Cô trong Hội ñồng bộ môn Toán Sở Giáo dục và ðào tạo tỉnh ðồng Nai. Một lần
nữa tôi xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy cô
trong tổ Toán trường Nam Hà, các ñồng nghiệp, bạn bè ñã ñóng góp ý kiến cho tôi hoàn
thành chuyên ñề này. Tôi xin chân thành cám ơn./.
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 36
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12
2. Sách giáo viên giải tích 12
3. Tuyển tập các chuyên ñề và kỹ thuật tính tích phân - Trần Phương
4. ðạo hàm và tích phân - Võ ðại Mau & Võ ðại Hoài ðức
5. Chuyên ñề tích phân và ñại số tổ hợp xác suất - Phạm An Hòa & Nguyễn Vũ Thanh
6. Các dạng toán cơ bản giải tích 12 - Nguyễn Ngọc Khoa
7. Trắc nghiệm khách quan giải tích và tích phân - ðoàn Vương Nguyên.
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 37
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI NHẬN XÉT
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 38
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 39
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
GV: NGUYỄN DUY KHÔI
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 40