Chuyên đề các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông
Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:
- Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.
- Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.
2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh
góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
3. Tỉ số hai đường cao, trung tuyến, phân giác của hai tam giác đồng dạng
- Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
- Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
- Tỉ số hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
4. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng
Phương pháp giải: Có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1:Áp dụng trường hợp đồng dạng của hai tam giác thường vào tam giác vuông
Cách 2: Sử dụng đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng.
1. Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh: a) B  EH ∽ C  DH; b) EHD ∽ BHC.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Qua điểm M bất kì trên BC, vẽ đường thẳng
vuông góc với BC, cắt AC, AB lần lượt tại D, E. Chứng minh: a) A  BC ∽ M  DC; b) EAD ∽ EMB.
3. Cho hình thang vuông ABCD tại A và D, AB  6cm,CD  12cm và AD  17cm. Trên cạnh
AD, lấy E sao cho AE  8cm . Chứng minh  0 BEC  90 .
4. Cho tam giác ABC vuông tại A với AC  4cm và BC  6cm. Kẻ tia Cx vuông góc với BC
(tia Cx và điểm A nằm khác phía so với đường thẳng BC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho
BD  9cm. Chứng minh BD song song với AC.
Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để giải toán
Phương pháp giải: Sử dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (nếu cần) để
chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp
cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy ra điều cần chứng minh.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) Chứng minh 2 AB  BH.BC; b) Chứng minh 2 AH  BH.CH;
c) Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung điểm của AH. Chứng minh BAP ∽ A  CQ; d) Chứng minh AP  CQ.
6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là chân đường vuông
góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh: a) 2 AH  AM.AB; b) AM.AB  AN.AC. c) AMN ∽ ACB.
7. Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ CE  AB tại E, CF  AD tại F, BH  AC tại
H và DK  AC tại K. Chứng minh; a) AB AH  ; b) AD.AF  AK.AC; AC AE c) 2 AD.AF  AB.AE  AC .
8. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh 2 BC  BH.BD  CH.CE.
Dạng 3. Tỉ số diện tích của hai tam giác
Phương pháp giải: Sử dụng định lý tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình
phương tỉ số đồng dạng.
9. Cho hình vuông ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC và I là giao điểm
của DF và CE. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác CIE và CBE.
10. Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt
AB tại E, đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F. Cho biết diện tích các tam
giác EBD và FDC lần lượt bằng 2 a và 2
b , hãy tính diện tích tam giác ABC.
HƯỚNG DẪN CÁC DẠNG BÀI 1A.a) B  EH  C  DH(g  g) b) Có B  EH  HE HB C  DH ta suy ra  HD HC
Từ đó chứng minh được E  HD  B  HC( . c g.c) 1B. HS tự chứng minh 2A. Ta chứng minh được
ABE  DEC( .cg.c)   AEB   ECD Từ đó ta có  DEC   0 AEB  90 suy ra  0 BEC  90 (ĐPCM) 2B. Ta chứng minh được ABC  C  BD   ACB   CBD
Từ đó suy ra BD//AC (ĐPCM)
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 3A. a) Ta chứng minh A  BH  C  BA từ đó suy ra AB2 = BH.BC (ĐPCM)
b) Tương tự câu a, HS tự chứng minh c) Từ A  HC  B  HA AH AC AH AQ   mà  BH AB BH BP AC AQ Từ đó suy ra  . Do đó có B  AP  A  CQ(c g  ) c AB BP
d) Gọi M là giao điểm của CQ và AP (M  AP)
Sử dụng kết quả câu b)  BAP   MCA . Trong A  MC ta chứng minh được  0
CMA  90  CP  AQ (ĐPCM) 3B. HS tự chứng minh. 4A. a) Ta chứng minh AB AH A  HB  A  E ( C . g g)   (1) AC AE
b) Tương tự câu a ta chứng minh được AD AK  AC AF  AD.AF =AK.AC (2)
b) Từ (1) ta có AB.AE = AC.AH (3)
Lấy (3) + (2) ta được AD.AF + AB.AE = AC2 (ĐPCM)
4B. Gợi ý: Gọi AH  BC  K , chứng minh được AK  BC.
Áp dụng cách làm tương tự 4A suy ra ĐPCM. 5A. Ta chứng minh được C
 IF vuông tại I. Vẽ BK  CE. 2 S  BC  CBK  C  BK  C  FI    4   S  CF  CFI Lại có  S C  FI  B  EK nên CBE  5 SCIF 5B. Đặt SABC = S2. E  BD  A  BC 2 2 2 S Chứng minh  BD  a  BD  EBD       2   S  BC  S  BC  ABC BD a   (1) BC s Chứng minh: 2 S  DC  DC b CDF  C  DF  C  BA     (2)   S  BC  BC s CBA Từ (1) và (2) BD DC a b  
   S  a  b2 BC BC s s
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1
Bài 1: Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh: a) BEH ” CDH; b) EHD” BHC. Bài 2: Cho A
 BC có đường cao AH, biết AB  30cm, BH  18cm ; AC  40cm
a) Tính độ dài AH và chứng minh: ABH ” CAH
b) Chứng minh ABH ” CBA
Bài 3: Cho tam giác ABC, có  
A  90  B , đường cao CH. Chứng minh: a)  CBA  ACH b) 2 CH  BH .AH
Bài 4: Cho hình vuông ABCD , cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại
I. Trên EB lấy điểm M sao cho DM  D . A
a) Chứng minh EMC ~ ECB b) Chứng minh 2 EB.MC  2a .
c) Tính diện tích tam giác EMC theo a.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm. a) Tính BC.
b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC tại H
và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh EMB ~ CAB. c) Tính EB và EM.
d) Chứng minh BH vuông góc với EC. e) Chứng minh H . AHC  HM.HE.
Bài 6: Cho tứ giác ABCD, có  DBC 0
 90 , AD  20cm , AB  4cm , DB  6cm , DC  9cm . a) Tính góc  BAD b) Chứng minh B  AD ” D  BC c) Chứng minh DC //AB .
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD ( AC > BD) vẽ CE vuông góc với AB tại E, vẽ CF vuông
góc với AD tại F.Chứng minh rằng 2 AB.AE  AD. AF  AC
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
LỜI GIẢI BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1 A Bài 1:
a) BEH ” CDH (g  g) D E b) Có  HE HB BEH ~ CDH ta suy ra  H HD HC
Từ đó chứng minh được EHD ” BHC( .cg c) B C Bài 2:
a) Vì AH  BC  AHB vuông tại H, theo định lý Pitago ta có: 2 2 2 2 2 2
AB  AH  BH  AH  AB  BH 2 2 2
 AH  30 18  900  324  576  AH  24cm Vì AH  BC  A
 HC vuông tại H, theo định lý Pitago ta có: 2 2 2 AC  AH  HC 2 2 2  HC  AC  AH A 2 2 2
 HC  40  24 1600  576 1024  HC  32cm AH 24 4    Ta lại có: 18 3 AH HC BH HC 32 4    BH AH    AH 24 3 B H C   AHB CHA 90     Xét   AHB và C  HA có:     A  HB ” C  HA (c.g.c)  ABH  CAH AH HC (cmt)   BH AH  b) Ta có:    
HBA  BAH  90  CAH  HAB  90  AHB   CAB  90 Xét  ABH và C  BA có:   ABH ” CAB   (g g) (đpcm) B (chung)  Bài 3: a)  CBA  ACH  0 ACH    0 0 CAH     0 90 90 (180 BAC)  90   BAC   CBA b) CH 2  BH.AH  ACH   CBH   HCA”   HBC CHA   0 BHC  90 HC HA 2    HC  H . A HB HB HC Bài 4:
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
a) Chứng minh EMC ~ ECB
Tam giác EMC có trung tuyến 1
MD  DA  EC nên là tam giác vuông tại M. 2  MEC   CEB   ECB   EMC EMC   ~ 0 ECB  90 b) Chứng minh 2 EB.MC  2a . EB BC 2 E  CB ” E  MC    EB.MC  EC.BC  2a EC MC
c) Tính diện tích tam giác EMC theo a. 2 2 2 S   EMC EC ”   EC 4a 4 ECB EMC          2 2 2 2 S EB  EC CB a  a ECB 4 5 1 2 4 2 S  EC.BC  a  S  a EBC 2 EMC 5 Bài 5: a) 2 2
BC  AB  AC  9cm (Pitago) b)  EMB   0 CAB ( 90 ),  EBM   CBA (góc chung)  E  MB ~ C  AB (g.g)
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  5 ME  AC  6  cm c) ME BE MB 9 : 2 5  6 EMB” CAB        AC BC AB 5, 4 6 5 BE  BC  7,5  cm  6
d) ΔBEC có 2 đường cao CA,EM cắt nhau tại H nên H là trực tâm ΔBEC, BH  EC e) Chứng minh A
 HE ” MHCtừ đó suy ra H . AHC  HM.HE. Bài 6: a) Ta có 2 2 2
BD  AB  AD , suy ra tam giác ABD vuông tại A (Pitago đảo) b) Ta có 2 2
BC  CD  BD  3 5 (Pitago)   AB AD 4 20  BAD  CBD  90 ,        ABD ” B  DC (c.g.c) BD BC 6  3 5  c) ABD ” BDC   ABD   BDC  AB / /CD
Bài 7: Vẽ BH  ACH  AC
Xét  ABH và  ACE có      0 AHB AEC 90 ;BAC chung . Suy ra A  BH ” A  CE(g  g) AB AH    AB.AE  AC.AH (1) AC AE
Xét CBH và ACF có   BCH  CAF(so le trong)     0 CHB CFA 90  Suy ra C  BH BC CH ” A  CF(g.g)    BC.AF  AC.CH (2) AC AF
Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được:
AB AE  BC AF  AC AH  AC CH  AB AE  AD AF  AC AH CH 2 . . . . . .  AC .
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2
Dạng 1: Các Trường Hợp Đòng Dạng Của Tam Giác Vuông Suy Ra Từ Các Trường Hợp Đòng Dạng Của Tam Giác
Bài tập 1 : Hãy chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng. Viết các cặp tam giác đồng dạng theo
thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.Chứng minh rằng: 2 AH  BH .CH .
Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác của góc B cắt AC tại D. Đường
cao AH cắt BD tại I. Chứng minh rằng: 1. AB.BI  BH.DB 2. Tam giác AID cân.
Bài tập 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, biết AB 15cm,AC 13cm và đường cao
AH  12cm . Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống AB và AC. 1. CMR: AHN ∽ACH 2. Tính độ dài BC
3. Chứng minh: AM .AB  AN.AC , từ đó suy ra AMN ∽ ACB .
Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD có AB  8cm, AD  6cm . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM  4c .
m Đường thẳng AM cắt đường chéo BD tại I, cắt đường DC tại N 1. IB Tính tỉ số ID
2. Chứng minh: MAB ∽ AND
3. Tính độ dài DN và CN.
Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, Hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N
thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Biết BQ  4cm,CP  9c .
m Tính cạnh của hình vuông.
Dạng 2: Trường Hợp Đồng Dạng Cạnh Huyền – Cạnh Góc Vuông
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Bài tập 1: Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB, MA  6cm,MB  24c . m Vẽ về một phía của
AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy điểm C thuộc tia Ax, điểm D thuộc tia By sao cho MC  10c , m MD  30c . m Chứng minh rằng: 0 CMD  90 . y D x C 30 10 A 6 M 24 B
Bài tập 2: Tam giác ABH vuông tại H có AB  20cm, BH  12c .
m Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho 5 AC  AH. 3
1. Chứng minh rằng các tam giác ABH và CAH đồng dạng. 2. Tính  BAC.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC  4cm, BC  6c .
m Ở phía ngoài tam giác ABC,
vẽ tam giác BCD vuông tại C có BD = 9cm. Chứng minh rằng BD / / AC .
Bài tập 4: Cho hình thang ABCD có A   0
D  90 , điểm E thuộc cạnh bên AD. Tính  BEC
biết rằng AB  4cm, BE  5cm, DE  12cm,CE 15c . m
Bài tập 5: Cho hai tam giác cân ABC và A’B’C’ (AB=AC, A’B’=A’C’), các đường cao BH và B’H’. Cho biết BH BC 
. Chứng minh rằng ABC ∽ A'B 'C '. B ' H ' B 'C '
HƯỚNG DẪN GIẢI PHIẾU SỐ 2
Dạng 1: các trường hợp đòng dạng của tam giác vuông suy ra từ các trường hợp đòng dạng của tam giác Bài tập 1:
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Trên hình có 4 tam giác vuông đồng dạng với nhau từng đôi một, vì chúng có các cặp góc
nhọn tương ứng bằng nhau.
Đó là: ABC,NMC,HB ,
A HAC (Bốn tam giác trên đã được viết theo các đỉnh tương ứng) Bài tập 2: A C B H
Xét tam giác vuông HBA và HAC có:  BAH   0 HAC  90   BAH    HCA   HCA 0 HAC  90  Suy ra HBA∽ HAC Từ đó: BH AH 2   AH  BH.CH AH CH Bài tập 3:
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A D I B C H
1. BD là đừng phân giác nên  ABD   HBI mà  DAB   0 IHB  90 Suy ra AB DB A  D B ∽ H  BI g  g    A . B BI  BH.DB HB IB 2. Do A  D B ∽ H  BI g  g nên  BDA   BIH mà  BIH   DIA (đối đỉnh) Suy ra :  BDA  
DIA Do đó: Tam giác AID cân tại A. Bài tập 4: A N M B C H    1. A chung  Ta có:    ∽    ANH   AHN ACH (g g) 0 AHC  90 
2. Xét tam giác vuông ABH có: 2 2 2 2
BH  AB  AH  15 12  9cm
Xét tam giác vuông ACH có: 2 2 2 2
CH  AC  AH  13 12  5cm
Khi đó: BC  BH  CH  9  5 14cm 3. AH AN Do 2 AHN ∽ ACH    AH  AC.AN   1 AC AH
Xét tam giác AMH và ABH có: A chung
 AMH ∽AHBg g  AMH   0 AHB  90 
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com AM AH 2    AH  AM .AB2 AH AB
Từ (1),(2) ta có : AM .AB  AN.AC Suy ra: AM AN  và  MAN  chung AC AB
Nên AMN ∽ ACB(c  g  c) Bài tập 5: A 8 B 4 6 I M D N C 1. BM IB IM Ta có: BM / / AD   
(Theo định lý Ta Let mở rộng) AD D I IA Mà BM 4 2 IB 2     AD 6 3 D I 3  MAB   ANDslt  2.  Ta có:
  MAB ∽ AND g  g   ABM   NDAhbh 3. MB AB 4 8 6.8 Do MAB ∽ AND nên     ND   12cm AD ND 6 ND 4
Mà AB  DC  8cmhbh
Nên CN  DN  DC 12 8  4cm Bài tập 6: Đặt MP  NQ  .
x Từ BMQ ∽ NCP ta tính được x = 6 cm.
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Cạnh của hình vuông bằng 6 cm.
Dạng 2: trường hợp đồng dạng cạnh huyền – cạnh góc vuông Bài tập 1 : y D x C 30 10 A 6 M 24 B Ta tính được BD = 18 cm. A   0 B  90  Xét tam giác AMC và BDM:     A  MC ∽  D 10 6 B M CH  CGV CM AM   vi    D M D B  30 18  Suy ra:  AMC   D B M mà  B M   0 D B D M  90 Nên  BM   0 D AMC  90 và  BM   AMC   0 D CMD 180 Vậy  0 C D M  90 . Bài tập 2: A 20 B C 12 H 1. AB AC Ta có: 5   BH 3 AH  AHB   0 CHA  90  Có:    A  BH ∽ C  AH CH CGV AB BH   cmt  AC AH  2. Từ câu a suy ra:  CAH   ABH mà  BAH   0 ABH  90
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Nên  BAH   0 CAH    0 90 BAC  90 . Bài tập 3: B 9 D 6 A 4 C A  CB ∽ C  D B CH  CGV  nên:  ACB   C D B  AC / / D B . Bài tập 4: A 4 B 5 E 15 12 D C
ABE ∽ DEC(CH  CGV ) nên:  E A B   DCE . Ta lại có:  DCE   0 DEC  90 nên:  A B   0 E DEC  90 Suy ra:  0 BEC  90 . Bài tập 5:
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A A' H H' B' C' B C Do B  HC ∽ B
 'H 'C 'CH CGV  nên: C  
C ' . Do đó: ABC ∽ A'B 'C '
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com