Chuyên Đề Căn Bậc Ba Và Căn Thức Bậc Ba Ôn Thi Vào 10 Giải Chi Tiết

CHUYÊN ĐỀ 9: CĂN BẬC BA VÀ CĂN THỨC BẬC BA
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Căn bậc ba của số a là số x sao cho 3 x = a .
Chú ý : + Mọi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba, kí hiệu là 3 a
+ Như vậy ( 3 a )3 3 3 = a = a
2. Căn thức bậc ba là biểu thức có dạng 3 A , trong đó A là một biểu thức đại số.
Chú ý: + Như vậy ( 3 A)3 3 3 = A = A
+ Để tính giá trị của 3 A tại những giá trị cho trước của biến, ta thay các giá
trị cho trước của biến vào căn thức rồi tính giá trị của biểu thức số nhận được. B. BÀI TẬP
PHẦN I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN (NB: 4 câu; TH: 4 câu; VD: 3 câu; VDC: 1 câu)
Câu 1. [NB] 3 −216 có kết quả là A. 4 . B. −6 . C. 6 . D. 9 . Lời giải Chọn B Ta có: 3 3 3 21 − 6 = ( 6) − = 6 − .
Câu 2. [NB] Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 3 a = x khi 3 a = x
B. 3 a = −x khi 3 a = −x
C. 3 a = x khi 3 a = x
D. 3 a = −x khi 3 a = x Lời giải Chọn C
Ta có: 3 a = x nên 3 3 3
( a ) = x nên 3 3 3 a = x nên 3 a = x
Câu 3. [NB] Chọn khẳng định đúng: A. 3 27 = 3. B. 3 27 = 9 . C. 3 27 = 3 − . D. 3 27 = 27 . Lời giải Chọn A Ta có: 3 3 3 27 = 3 = 3.
Câu 4. [NB] Khẳng định nào sau đây là sai? 3 a a A. 3 3 3
a. a = ab B. 3 = với b  0 C. 3 b b 3 3 a = a D. 3 3 a = a Trang 1 Lời giải Chọn D
+ Mọi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba, kí hiệu là 3 a . Như vậy (3 a)3 3 3 = a = a
Câu 5. [TH] Rút gọn biểu thức sau: 3 3 3 8 + 27 − + 64 − A.-5. B. 5 . C. - 2 . D. 4 . Lời giải Chọn A Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 + 2 − 7 + 6
− 4 = 2 + −3 + −4 = 2 − 3 − 4 = −5 .
Câu 6. [TH] Kết quả của phép tính: 3 3 3 3 16  13,5 − 120 : 15 là: A.-5. B. 4 . C. 2 . D. 6 . Lời giải Chọn B Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
16  13,5 − 120 : 15 = 16.13,5 − 120 :15 = 216 − 8 = 6 − 2 = 6 − 2 = 4 .
Câu 7. [TH] Rút gọn biểu thức sau: 3 3 3 3 3 3
2 27a − 3 8a + 4 125a A.14a B. 20a . C. 9a . D. −8a . Lời giải Chọn B Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 27a − 3 8a + 4 125a = 2 (3a) − 3 (2a) + 4 (5a) = 2.3a − 3.2a + 4.5a = 6a − 6a + 20a = 20a 3 6 343a b
Câu 8. [TH] Rút gọn biểu thức 3 125 − 2 2 2 2
A. - 7ab . B. 7ab .
C. - ab . D. ab . 5 5 5 5 Lời giải Chọn A 3 3 6 2 2 2   − Ta có : 343a b 7ab 7ab 7ab 3 = 3 = =   −125  −5  −5 5
Câu 9. [VD] Thực hiện phép tính: 3 3
A = 5 2 + 7 − 5 2 − 7 A. 2 B. - 2 . C. 1 . D. 5 . B. Lời giải Chọn B Ta có: 3 3
A = 5 2 + 7 − 5 2 − 7 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3
A = 1 + 3.1 . 2 + 3.1.( 2) + ( 2) − ( 2) − 3.1.( 2) + 3.1 . 2 −1 3 3 3 3
A = (1 + 2) − ( 2 −1) Trang 2
A = (1+ 2) − ( 2 −1) A = 1 + 2 − 2 + 1 A = 2
Câu 10. [VD] Giải phương trình: 3 2x +1 = 3 A. 26 B. 14 . C. 13 . D. - 12 . Lời giải Chọn C Ta có : 3 2x +1 = 3 ( x + )3 3 3 2 1 = 3 2x + 1 = 27 2x = 26 x = 13
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 13
Câu 11. [VD] Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của phương trình: 3 3x − 2 = −2
A. Là số nguyên âm B. Là phân số C. Là số vô tỉ
D. Là số nguyên dương Lời giải Chọn C Ta có : 3 3x − 2 = −2 ( x− )3 = (− )3 3 3 2 2 3x − 2 = −8 3x = −6 x = −2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = −2 1 1 Câu 12. [VDC] Tính 3 3 A = 2 +10 + 2 −10 27 27
A. A = 2 .
B. A = 1 .
C. A = 5 . D. A = 8 . Lời giải Chọn A 1 1 Ta có: 3 3 A = 2 +10 + 2 −10 27 27 3  1 1  3 3 3 A =  2 + 10 + 2 −10   27 27    Trang 3 1 1 1 1  1 1          3 A = 2 +10 + 2 −10 + 3.3 2 +10 .3 2 −10 . 3 2 +10  + 3 2 −10   27 27 27 27  27 27            2  1  3 2 A = 4 + 3.3 2 − 10  .A 27   3 8 3 A = 4 + 3. .A 27 2 3 A = 4 + 3. .A 3 3 A = 4 + 2.A 3
A − 2A − 4 = 0 3
A − 8 − 2A + 4 = 0
( 3A −8)−(2A−4) = 0 (A− )( 2
2 A + 2A + 4) − 2( A − 2) = 0 (A− )( 2
2 A + 2A + 2) = 0  A − 2 = 0  ( 2 A + 2A + 2) = 0 A = 2 Vậy A = 2
2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Trong mỗi ý A, B, C, D ở mỗi câu, em chọn đúng hoặc sai Câu 1.
A. Mọi số thực a đều có duy nhất một căn bậc hai
B. Căn bậc ba của số a là số x sao cho 3 x = a
C. Mọi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba
D. Căn bậc ba của số a là số x sao cho 3 a = x Lời giải a) S b) Đ c) Đ d) S Câu 2. A. ( 3 A)3 3 3 = A = A B. ( )3 3
A = A = A C. ( 3 ) 3 2
A = A = A D. 3 A = ( 3 A)3 3 = A Lời giải a) Đ b) S c) S d) Đ Trang 4
3. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. [NB] Rút gọn biểu thức: 3 3
x +1+ 3x(x +1) Lời giải Đáp án: 3 3 3
x +1+ 3x(x +1) = x + 3x + 3x +1 = ( x + )3 3 3 2 1 = x +1
Câu 2. [NB] Kết quả của phép tính: 1 1 3 3 3 3 2 : 16 − 22 : 53 2 3 Lời giải 45 − Đáp án: 1 1 2 1 27 1 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 2 : 16 − 22 : 53 = − = − = − = 3 2 3 16 160 8 64 2 4 4 3
Câu 3. [TH] Rút gọn biểu thức: 3 3
B = 17 5 + 38 − 17 5 + 38 Lời giải Đáp án: 3 3
B = 17 5 + 38 − 17 5 + 38 B = + + ( )2 +( )3 − ( )3 − ( )2 3 2 2 3 3 3 2 3.2 . 5 3.2. 5 5 5 3.2. 5 + 3.2 . 5 − 2 B = ( + )3 − ( − )3 3 3 2 5 5 2
B = (2 + 5) − ( 5 − 2) B = 2 + 5 − 5 + 2 B = 4 Vậy B = 4 3 5 5 64 − a b
Câu 4. [TH] Tính A = 3 2 2 a b Lời giải 3 5 5 64 − a b Đáp án: 3 3 A = = 6 − 4a b = ( 4 − ab)3 3 3 = 4 − ab 3 2 2 a b
Câu 5. [VD] Tìm nghiệm của phương trình: 3 3 2
x − 9x = x − 3 Lời giải Đáp án: 3 3 2
x − 9x = x − 3 3 3 2
x − 9x = x − 3
(3 x −9x )3 =(x− )3 3 2 3 3 2 3 2
x − 9x = x − 9x + 27x − 27 27x − 27 = 0 x = 1
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUẬN Phương pháp giải: Trang 5
☑️ Vận dụng định nghĩa căn bậc ba của một số, các tính chất nhân các căn bậc ba, chia
các căn bậc ba để thực hiện. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1 [NB]: − Rút gọn biểu thức: 27 3 1 3 3 3 3 3 a + 64a − 1000a 512 3 Lời giải Ta có: 3 2 − 7 1  3 − a  1 3 − a 1 7 3 3 3 a + 64a − 1000a = +   (4a)3 3 3 3 − (10a)3 3 3 3 = + 4a − .10a = a 512 3  8  3 8 3 24 Ví dụ 2 [TH]:
Giải phương trình: 3 5 + x − x = 5 Lời giải
Ta có: 3 5 + x − x = 5 3 x + 5 = x + 5 ( x+ )3 = (x+ )3 3 5 5 x + = ( x + )3 5 5 (x + )3 5 − ( x + 5) = 0 (x + )(x + )2 5 5 −1 = 0   (x + 5)(x + 5+ ) 1 ( x + 5 − ) 1 = 0
(x + 5)(x + 6)(x + 4) = 0 x = −5 x = −6  x = −4 
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  4 − ; 5 − ;−  6 Ví dụ 3 [TH]:   Thực hiện phép tính: a) 1 3 3 3 3 3
(12 2 + 16 − 2 2)5 4 − 3   2    b) 3 3 3 3 3
3 (5 18 − 3 144) + 5  50 Lời giải Ta có: Trang 6   a) 1 3 3 3 3 3
(12 2 + 16 − 2 2) 5 4 − 3  2   3 3 3 3 3 3 = 60 8 + 5 4
6 −10 8 − 36 1 − 3 8 + 6 1
= 120 + 20 − 20 − 36 − 6 + 6 = 84 b) 3 3 3 3 3
3  (5 18 − 3 144) + 5  50 3 3 3 = 5 54 − 3 432 + 0 25 3 3 3 = 15 2 −18 2 + 5 2 3 = 2 2 Ví dụ 4 [VD]: 3 2   3 3 2 8 − x x  2 x   x − 4  Cho biểu thức: 3 P = :  2 +  +  x + .
 với x  0; x  8 3 3 3 +  +  −  3 2 3 2 x 2 x x 2     x + 2 x    . Rút gọn biểu thức P Lời giải 3 2   3 3 2 8 − x x  2 x   x − 4  Ta có: 3 P = :  2 +  +  x + .
 với x  0; x  8 . 3 3 3 +  +  −  3 2 3 2 x 2 x x 2     x + 2 x    3 2 3 3 2 3 2 8 − x x + 2 x + 4 x x − 4 P = : + . 3 3 3 3 2 + x 2 + x x − 2 x.( 3 x + 2) ( 3 2 − x ).(3 2 3
x + 2 x + 4) 3 x.(3 2 x − 4) P = + 3 2 3 3 2 x + 2 x + 4 x − 4 3 3
P = 2 − x + x P = 2 Vậy P = 2
✔️BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [NB] Thực hiện phép tính: a) 3 3 3 54 − 16 − + 128 b) 3 3 3 ( 2 +1)( 4 − 2 +1) c) 3 3 3 3 ( 5 +1) − 3 5( 5 +1) d) 3 3 3 3 3 ( 4 − 2) + 6 2( 2 −1) Trang 7 Hướng dẫn Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 a) 54 − 1
− 6 + 128 = 3 2 + 2 2 + 4 2 = 9 2 3 3 3 b + − + = ( 3 )( 2 1)( 4 2 1) 2 )3 3 +1 = 2 +1 = 3 3 3 3 c + − + = ( 3 )3 3 3 3 3 3 3 )( 5 1) 3 5( 5 1)
5 +1 + 3 5( 5 +1) − 3 5( 5 +1) = 5 +1 = 6 3 3 3 3 d − + − = ( 3 )3 − ( 3 )3 3 3 3 3 3 )( 4 2) 6 2( 2 1) 4
2 − 6 2( 2 −1) + 6 2( 2 −1) = 4 − 2 = 2
Bài 2. [TH] Giải các phương trình sau: a) 3 3 2
x + 6x = x + 2 1 b) 3 3 3 2 27x + 3 − 43x + 7 − 29x = 2 7 1 c) 3 3 3 3
3 x − 3 + 4 8x − 24 − 3. 9x − 27 = 2 − 0 3 Hướng dẫn a) 3 3 2
x + 6x = x + 2
x + x = (x + )3 3 2 6 2 3 2 3 2
x + 6x = x + 6x +12x + 8 12x + 8 = 0 −2 x = 3 −2
Vậy phương trình có nghiệm x = 3 1 b) 3 3 3 2 27x + 3 − 43x + 7 − 29x = 2 7 3 3 3
6 x − x − 9 x = 2 3 4 − x = 2 1 3 x = − 2 −1 x = 8 −1
Vậy phương trình có nghiệm x = 8 1 c) 3 3 3 3
3 x − 3 + 4 8x − 24 − 3. 9x − 27 = 2 − 0 3 Trang 8 1 3 3 3 3 3
3 x − 3 + 4.2. x − 3 − 3. 9. x − 3 = 2 − 0 3 3 3 3
3 x − 3 + 8 x − 3 − x − 3 = −20 3 10 x − 3 = −20 3 x − 3 = −2 x − 3 = −8 x = −5
Vậy phương trình có nghiệm x = −5 Bài 3. [TH] Cho 3 3 3 3 16 + 54 −
+ 128 = 2.a . Tính a Hướng dẫn Ta có: 3 3 3 3 16 + 54 − + 128 = 2.a 3 3 3 3
2 2 − 3 2 + 4 2 = 2.a 3 3 3 2 = 2.a a = 3
Vậy a = 3
Bài 4. [VD] Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến: 1 1   a 1  − 3 3 A = 20 +14 2 . 6 − 4 2 +
(a + 3) a − 3a −1 :       ( +  a +  ) 1 2 2 2 1   Hướng dẫn 1 1   a 1  − Ta có: 3 3 A = 20 +14 2 . 6 − 4 2 +
(a + 3) a − 3a −1 :       ( +  a +  ) 1 2 2 2 1   1   a a  + + A = 2 + 3.2 . 2 + 3.2. 
( 2)2 +( 2)3. 2 −2.2. 2.( 2)2 1 + . ( a )3 3 2 2 2 1 3 3 3
− 3 a − 3a −1 :   2 2    2  ( a + ) 1  2 a +1 1 1  3 A = (2+ 2)3. (2− 2)2 3 + ( a −  )3 ( ) 1 : 2 2   2( a + ) 1 1  + A = ( − ) 1 + ( a −  ) a 1 . 4 2 . 1 : 2 2    2 a +1 a +1 A = : 2 2 Trang 9 A = 1
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến  9 − 2 3  3  + 3 2 . 3 3 3 − 2
Bài 5. [VD]Chứng minh rằng:   3 3 = 5 + 2 − 5 − 2 6 3 + 108 Hướng dẫn ( 3)3 − − ( 2 9 2 3 )3 3 Ta có: = 3. = 3.( 3 3 3 + 3. 2 + 4 ) 3 3 = 3 3 + 3 2 + 3 4 3 3 3 − 2 3 − 2
9 − 2 3 + 3 2. 3 = 9+6 3. 2 + 4 = (3+ 3. 2)2 3 3 3 3 3 6 = 3 + 3. 2 = 3 + 108 3 3 − 2 3 3 VP = 5 + 2 −
5 − 2 . Lập phương hai vế ta tính được VP = 1
Vậy VT = VP = 1
Bài 6. [VD] Tính giá trị biểu thức A = ( x + x + )2024 3 2 2024 3 8 2 − 3 biết ( + ) 3 5 2 . 17 5 − 38 x = 5 + 14 − 6 5 Hướng dẫn Ta có: ( + ) 3 5 2 . 17 5 − 38 x = 5 + 14 − 6 5 ( 5 +2). ( 5)3 −3.( 5)2 2 3 3 .2 + 3. 5.2 − 2 x = 5 + 3 − 2.3. 5 + ( 5)2 2 ( 5 +2). ( 5 −2)3 3 x = 5 + (3− 5)2 ( 5 +2).( 5 −2) x = 5 + (3− 5) 1 x = 3 1
Thay x = vào biểu thức A ta được: 3 2024 3 2  1 1      2024 A = 3 + 8 + 2      − 3  3 3        Trang 10 2024 2024 A = 3 − 3 A = 0 1
Vậy A = 0 với x = 3
Bài 7. [VD] Cho 0  a  1. Rút gọn biểu thức sau: a −1 3 3
A = 6 − 4 2. 20 +14 2 + (a + )
3 . a − 3a −1 : ( − a − ) 1 2 1 Hướng dẫn Ta có: a −1 3 3
A = 6 − 4 2. 20 +14 2 + (a + )
3 . a − 3a −1 : ( − a − ) 1 2 1 − + A = ( −
) ( + )+( a − ) a 2 a 1 2 2 . 2 2 1 : 2 ( a − ) 1 A = 4
Bài 8. [VD] Tính giá trị biểu thức: x x ( x + ) 2 3 3 1 + x (3 + x) 1)A =
− x với x = 2018 x +1 4 8 2)M =
x − 2 x +1 +1 với x = 256 Hướng dẫn x x ( x + ) 2 3 3 1 + x (3 + x) 1)A =
− x với x = 2018 x +1 ( x)3 + ( x)2 2 3 3 3.
.x + 3 x.x + x A = − x x +1 A = 0 4 8 2)M =
x − 2 x +1 +1 với x = 256 M = ( x − )2 8 1 +1 8 M = x Trang 11