Chuyên đề hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

Tài liệu gồm 135 trang được sưu tầm và tổng hợp bởi tác giả Trịnh Bình, hướng dẫn giải một số dạng toán hệ phương trình điển hình thường gặp trong đề thi học sinh giỏi môn Toán bậc Trung học Cơ sở. Mời bạn đọc đón xem.

115 58 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Môn: Toán 9

Thông tin:

133 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
2
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS
Chủ đề 1. Các hệ phƣơng trình cơ bản
3
1. Hệ phƣơng trình đối xứng loại I
3
2. Hệ phƣơng trình đối xứng loại II
5
3. Hệ phƣơng trình quy về đẳng cấp
8
Chủ đề 2. Một số kĩ thuật giải hệ phƣơng trình
12
1. Kĩ thuật thế
12
Dạng 1: Rút mt n theo n kia t  
12
Dạng 2: Th mt biu thi
13
Dạng 3:Th hng s t  trình kia
15
2. Kĩ thuật phân tích thành nhân tử
17
3. Kĩ thuật cộng, trừ, nhân hai vế của hệ phƣơng trình
22
Dạng 1: Cng, tr i s  to ra các t
22
Dạng 2: Cng, tr hai v   t n
23
Dạng 3: Cng, tr i s   
24
Dạng 4: Các bài toán không mu mc gii bng cng, tr, nhân hai v ca h
26
4. Kĩ thuật đặt ẩn phụ
28
Dạng 1: Dùng n ph  c nht hai n
28
Dạng 2: Dùng n ph  h i xng loi I
30
Dạng 3: Dùng n ph  h i xng loi II
32
Dạng 4: Dùng n ph  t n
33
Dạng 5: t n ph dng tng hiu
34
5. Kĩ thuật nhân liên hợp đối với phƣơng trình chứa căn thức
36
6. Kĩ thuật đánh giá trong giải hệ phƣơng trình
39
Dạng 1: Da vào s ng bin nghch bin các v ca h 
39
Dạng 2: S dng bng thc c  
40
Dạng 3: S du kin ca nghim ca h 
44
6. Kĩ hệ số bất định để giải hệ phƣơng trình
45
Chủ đề 3. Hệ phƣơng trình bậc ba ẩn
52
Dạng 1: H n
52
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3
Dạng 2: H n
53
Chủ đề 4. Hệ phƣơng trình có chứa tham số
57
Dạng 1: Bin lun v nghim c
57
Dạng 2: u kin ca tham s  tha mãn mu kin c
60
Bài tập rèn luyện tổng hợp
64
Hƣớng dẫn giải
76
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4
CHỦ ĐỀ 1: CÁC HỆ PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN
I- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I
LÝ THUYẾT CHUNG:
H i xng loi II là h có dng:
f x,y 0
g x,y 0
i xng.

Hay h  i xng loi I là h 
i v trí x và y trong h thì h
i. Ví d:
22
x y 2xy 21
2x 2y xy 7
Tính chất: Nu h có nghim là
00
(x ;y )
i xng, h m là
00
(y ;x )
.
PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Bia h  n S và P mà: S = x + y, P = x.y. Gic S
và P x, y là nghim cX
2
S.X + P = 0
Mt s hng thc s dng:
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
3
3 3 3
2
22
2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
x y x y 2xy S 2P
x xy y x y 3xy S 3P
x xy y x y xy S P
x y x y 3xy x y S 3PS
x y x y 2x y x y 2xy 2x y S 2P 2P



THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5
THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1. Gii h 
22
x y xy 1
x y xy 7
Lời giải
H
2
(x y) xy 1
(x y) 3xy 7
t
x y S
xy P

2
x, y S 4P
c
2
S P 1
S 1, P 2
S 4, P 3
S 3P 7

TH 1.
S 1 x y 1 x 1, y 2
P 2 xy 2 x 2, y 1


TH 2.
S 4 x y 4 x 1, y 3
P 3 xy 3 x 3, y 1


.
Vy tp nghim ca h là: S =
(
1;2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1)
Thí dụ 2. Gii h 
3 3 3 3
x x y y 17
x xy y 5
Lời giải
3
33
3 3 3 3
x y x y 3xy x y 17
x x y y 17
x xy y 5
x y xy 5



x y a; xy b
:
33
a b 3ab 17
a b 5

2
a 5 b
b 5b 6 0

a 5 b
(b 2)(b 3) 0

a3
b2
h
a2
b3

a3
b2
t
2
x 3 y
x y 3 x 3 y
xy 2 (y 1)(y 2) 0
y 3y 2 0




x2
y1
h
x1
y2

a2
b3
t
x y 2
xy 3

2
x 2 y
y 2y 3 0

(v

x
;y 1;2 ; 2;1
Thí dụ 3. Gii h 
3 3 3 3
xy(x y) 2
x y x y 7 x 1 y 1 31

-2019)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6
Lời giải
Ta có h 
3
22
23
xy x y 2
(x y)(x xy y ) xy 7(x y xy 1) 31
xy(x y) 2
(x y) x y 3xy xy 7 x y xy 1 31







t
a x y;b xy
thì h trên tr thành:
23
ab 2
a a 3b b 7 a b 1 31
33
2
3
3
3
3
2
2
ab 2
a 3ab b 7 a b 1 31
a b a b 3ab 3ab 7 a b 1 31
a b 3ab(a b) 3ab 7(a b) 24 0
a b 6(a b) 3.2 7 a b 24 0
a b a b 30 0
a b 27 (a b) 3
(a b 3) a b 3(a b) 10 0
a b 3 do a b 3(a b) 10






0
a b 3 a 2
ab 2 b 1




(do
2
2
a x y 4xy 4b)
x y 2
x y 1
xy 1

Vy h có nghim duy nht
x;
y 1;1
II- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II
KHÁI NIỆM
H i xng loi II là h có dng:
f x,y 0
f y,x 0
i xng.
Hay h i xng kiu hai là h i xng gia h, nu ta hoán
i v trí c nht s  hai ca
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7
h. Ví d:
2
2
x 2y 1 1
y 2x 1 2


i v trí ca x và y 
c
2
y 2x 1

PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Tr tng v ca h c nhân t chung (x y) nhóm l
v ng hp:
xy
(x y).A(x,y) 0
A(x,y) 0
Vic tr theo v ng phi s dùng hng thc hoc liên hp nu ch
22
3 3 2 2
33
33
22
3
a b a b a b
a b a b a ab b
ab
ab
ab
ab
ab
a ab b


THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 3. Gii h 
2
2
x x 2y
y y 2x


Lời giải
u kin:
x,y 0
.
Tr a h c:
22
x x y y 2 y x
x y x y x y 1 2 x y 0



Vì
x y x y 1 2 x y 0
i:
xy
.
Hay
22
x0
x 2x x 0 x x 2x x x 1 x x 1 0 x 1
35
x
2
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8
Vy h có 3 cp nghim:
3 5 3 5
x;y 0;0 , 1;1 , ;
22





Thí dụ 4. Gii h 
3
3
x 3x 1 2x 1 y
y 3y 1 2y 1 x
Lời giải
u kin:
11
x ;y
22
 ý rng
1
xy
2
không phi là nghim.
ng hp
x y 1
Tr a h c:
33
x 3x 1 2x 1 y 3y 1 2y 1 y x
22
2 x y
(x y) x xy y 4(x y) 0
2x 1 2y 1


22
2
(x y) x xy y 4 0 x y
2x 1 2y 1




Khi
xy

33
x 2x 1 2x 1 0 x 2x 2x 1 1 0
22
2x 2
x(x 1) 0 x x 1 0 x 0
2x 1 1 2x 1 1



Tóm li h m duy nht:
x y 0
Thí dụ 4. Gii h 
22
22
x 1 y 6 y x 1
y 1 x 6 x y 1
Lời giải
H 
2 2 2
2 2 2
xy 6x y 6 yx y
yx 6y x 6 xy x
Tr v theo v a h c:
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
9
2xy y x 7 x y x y x y 0 x y x y 2xy 7 0
xy
x y 2xy 7 0
+ Nu
xy
thay vào h ta có:
2
x y 2
x 5x 6 0
x y 3


+ Nu
x
y 2xy 7 0 1 2x 1 2y 15
.
Mt khác khi cca h c:
22
22
x y 5x 5x 12 0 2x 5 2y 5 2
.
t
a 2x 5,b 2y 5
Ta có:
2
22
a b 0
ab 1
a b 2
a b 2ab 2
a 4 b 4 15
a b 8
ab 4 a b 1
ab 31






ng hp 1:
a b 0
x;y 3;2 , 2;3
ab 1



ng hp 2:
a b 8
ab 31
vô nghim.
Vy nghim ca h 
x
;y 2;2 , 3;3 , 2;3 , 3;2
III- HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP
LÝ THUYẾT CHUNG:
+ Là nhng h có dng:
1
2
,
,
k
k
f x y c
g x y c
c bc k ca x và y (k =
1
2

không cha thành phn nh 
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
10
+ Hoa h khi nhân hoc chia cho nhau thì to ra
ng cp.
ng gp dng h này các hình th
+
22
22
ax bxy cy d
ex gxy hy k
,
+
22
22
ax bxy cy dx ey
,
gx hxy ky lx my
+
22
3 2 2 3
ax bxy cy d
gx hx y kxy ly mx ny
PHƢƠNG PHÁP GIẢI
 gii h dng này là: T a h ta
nhân ho tng cp bc
n
:
n n k k n
1 k n
a x a x .y .... a y 0
T ng hp:
y0
 tìm
x
+
y0
t
x
t
y

n n k
1 k n
a t a t .... a 0
+ Gi
t
 vào h  tìm
x,y
Chú ý:  t
y tx
)
THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 5. Gii h 
22
22
2x 3xy y 12 1
x xy 3y 11 2
-2016)
Lời giải
22
2 2 2 2
22
22x 33xy 11y 121
HPT 10x 45xy 25y 0 2x 9xy 5y 0 3
12x 12xy 36y 121
-
Ta thy y = 0 không là nghim c
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
11
Chia hai v ình (3) cho y
2
c
2
2. 9. 5 0
xx
yy
t t =
x
y

2
1
2 9 5 0 2 1 5 0
22
55





y
tx
t t t t
t x y
Vi
y
x
2
thay vào (1) c:
2
2 2 2
x 1 x 1
y
3
y y 12 y 4 y 2 ;
y 2 y 2
22



Vi
x 5y
c:
2 2 2 2
5 3 5 3
xx
3
33
50y 15y y 12 36y 12 y ;
3
33
yy
33








Vy nghim ca h 
5 3 3 5 3 3
x;y 1;2 , 1; 2 , ; , ;
3 3 3 3
Thí dụ 6. Gii h 
22
33
x 2y 1
2x y 2y x
-2020)
Lời giải
 ý rng na h ta có:
3 3 2 2
2x y x 2y x 2y
ng cp bc 3: T i gi
22
33
x 2y 1 1
2x y 2y x 2
3 3 2 2 3 2 2 3
2x y x 2y x 2y x 2x y 2xy 5y 0
22
22
xy
x y x 3xy 5y 0
x 3xy 5y 0

.
TH1:
xy

1
c
x y 1
.
TH2:
2
2 2 2
3
x y 0
3 11
x 3xy 5y 0 x y y 0 x y 0
2
24
y0




.
Th li, ta thy
x y 0
không phi là nghim ca h 
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
12
Vy h m là
1
;1 , 1; 1
.
Thí dụ 7. Gii h 
2
3
x 2 y 2 y
2x x y 4 xy
-2020)
Lời giải
2
22
3
3
x 2 y 2 y 1
x y 4
2x x y 4 xy
2
2x x y 4 xy



Th
22
4 x y
t c:
3 2 2 3 3
2x x y x xy y x y x y
.
Thay
xy

1
c:
2
x2
x2
.
H m
x
;y
là:
2; 2
;
2; 2
.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
13
CHỦ ĐỀ 2: MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
I- KĨ THUẬT THẾ
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP:
- H g m c mt n
theo n còn li và th c bc cao mt
n có th gic hin phép th hng s hoc th mt biu
thi.
Dấu hiệu nhận biết:
- a h có ít nht mc nht ca x và y.
- Có th rút mt bin theo bin còn li t ma h.
THÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1. Rút một ẩn theo ẩn còn lại và thế vào phƣơng trình kia của hệ
Thí dụ 1. Gii h 
22
2x 3y 5 (1)
3x y 2y 4 (2)

Lời giải
T (1) ta có
5 3y
x
2
th c
2
2
22
2
5 3y
3 y 2y 4 0
2
3(25 30y 9y ) 4y 8y 16
23y 82y 59 0
y1
y 1 23y 59 0
59
y
23



Vi y = 1 thay vào (1) ta c:
2x 3 5 x 1
Vi
59
y
23
c:
59 31
2x 3. 5 x
23 23
Vy tp nghim ca h 
31 59
1;1 ; ;
23 23






Nhận xét: a h u n y
i x, khi th x theo y chúng ta s nh trong vic tính toán.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
14
Thí dụ 2. Gii h 
32
xy 2x y 14
x 3x 3x y 1
Lời giải
Ta có:
3
32
x y 2 14 y 1
xy 2x y 14
x 3x 3x y 1
x 1 y 2 0 2


Vi
y2
th vào (1c: 0x = 16 (vô lý)
Vi
y2
t (*) suy ra:
14 y
x
y2
th c:
33
4
3
4
4
14 y
16
1 y 2 0 y 2 y 2 16
y 2 y 2
y 2 8 y 6 x 1
y 2 8
y 2 8 y 10 x 3




Vi y = 1 thay vào (1) ta c:
2x 3 5 x 1
Vi
59
y
23
c:
59 31
2x 3. 5 x
23 23
Vy tp nghim ca h 
1
;6 ; 3; 10
Dạng 2. Thế một biểu thức vào phƣơng trình còn lại
Thí dụ 3. Gii h 
2
3 2 2
x x y 1
x x y x xy x y 2
Lời giải
Ta có:
2
2
2
3 2 2
x y x 1
x x y 1
x x y x x y x y 2
x x y x xy x y 2


2
2
x y x 1 1
x y x x 1 2 2
Thay
2
x y x 1
th c:
22
4 3 2 2
43
x 1 x x 1 2
x x x x x 1 2
x x x 1 0
3
3
x x 1 x 1 0
x 1 x 1 0
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15
3
10
10


x
x
3
1
1
1


x
x
x
Vi
x1
th c:
1 y 1 1 y 3
Vy nghim ca h 
x
,y 1;3
Thí dụ 4. Gii h 
4 3 2 2
2
x 2x y x y 2x 9
x 2xy 6x 6 *
Lời giải
Ta có:
2
4 3 2 2
2
2
22
x 2x y x y 2x 9
x xy 2x 9
x 2xy 6x 6
2x 2xy x 6x 6


2
2
2
2
x xy 2x 9 1
x 6x 6
x xy 2
2


Th
2
2
x 6x 6
x xy
2


vào (1c:
2
2
2
2
4 2 3 2
4 3 2
32
3
x 6x 6
2x 9
2
x 6x 6 4 2x 9
x 36x 36 12x 12x 72x 4 2x 9
x 12x 48x 64x 0
x x 12x 48x 64 0
x x 4 0
x0
x4






Vi
x0
th vào (*) c:
0y 6
(vô nghim)
Vi
x4
th c:
17
16 8y 24 6 8y 34 y
4
(vô nghim)
Vy nghim ca h 
17
x,y 4;
4




Nhận xét: Chúng ta hoàn toàn có th rút trc tip y hoc xy t 
a h  chuyn v c 4 mt n x và gii bng
cách nhm nghiu linh hot mt chút chúng ta bii th
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
16
 trên thì li gii s nh nhàng v mp mt

Thí dụ 5. Gii h 
2
22
y xy 1 0 1
x y 2x 2y 1 0 2
Phân tích: Rút
2
y xy 1
th a h 
c v .
2
x y 0
x xy 2x 2y 0 x x y 2 x y 0 x y x 2 0
x 2 0


Lời giải
22
2 2 2
2
2
2
2
2
2
22
y xy 1 0 y xy 1
x y 2x 2y 1 0 x xy 1 2x 2y 1 0
y xy 1
y xy 1
x x y 2 x y 0
x xy 2x 2y 0
y xy 1
y xy 1
x y 0
x y x 2 0
x 2 0
xy
y xy 1
y y 1
xy
x2
x2






















2
2
2
y 2y 1
xy
VN
2y 1
x2
x2
y1
y 1 0







Vy h có nghim duy nht (x, y) =
2
;1
Dạng 3. Thế hằng số từ phƣơng trình này vào phƣơng trình kia
Thí dụ 6. Gii h 
32
22
x xy 10y 0
x 6y 10

 chuyên - Phú Th 2015-2016)
Lời giải
Ta có:
32
22
x xy 10y 0 (1)
x 6y 10 (2)

Th
22
10 x 6y
c
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
17
3 2 2 2
3 2 2 3
3 2 2 2 2 3
22
x xy (x 6y )y 0
x xy x y 6y 0
x 2x y x y 2xy 3xy 6y 0
(x 2y)(x xy 3y ) 0



22
x 2y
x xy 3y 0

ng hp 1:
22
x xy 3y 0
2
2
y 11y
x 0 x y 0
24

 


Vì x = y 0 không th nên x = y = 0 không là nghim ca h.
ng hp 2: x = 2y 
2 2 2
y 1 x 2
4y 8y 12 y 1
y 1 x 2

 

Vy h m
(x;y) {(2;1);( 2; 1)}
Nhận xét: Vic th
22
10 x 6y
vào (2) nhm to ra mng cp
bi vi x và y, t ng cp này chúng ta d dàng chuyn thành
d c mi liên h gia x vi y.
ng hp b, bn không th chuyn
3 2 2 3
x xy x y 6y 0
thành dng tích, bn ca th 
- Xét y = 0 thì x = 0 thay vào h y (x, y) = (0, 0) không tha
mãn h 
- Xét
y0
chia hai v c
3
y0
c:
32
x x x
60
y y y
t
x
t
y
c:
32
t t t 6 0
 c 3 chúng ta d dàng dùng
 bm ra nghim hoc t nhm nghi 
dàng gii quyt bài toán.
Thí dụ 7. Gii h 
33
22
x 8x y 2y
x 3 3 y 1
Lời giải
H vi:
33
33
22
22
3x 3y 6 4x y 1
x y 2 4x y
x 3y 6 2
x 3y 6




Thay (2) vào (1) ta có:
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
18
3 3 2 2 3 2 2
3x 3y x 3y 4x y x x y 12xy 0 *
- Xét x = 0 thì y = 0 thay vào h y (x, y) = (0, 0) không tha
mãn h 
- Xét
x0
chia hai v c
3
x0
c:
2
yy
1 12 0
xx
t
y
t
x
, tc:
2
1
t
x 3y
3
1 t 12t 0 1 3t 4t 1 0
x 4y
1
t
4


Vc:
2 2 2
9y 3y 6 y 1 y 1 x 3
Vi
x 4y
c:
2 2 2
6 96
16y 3y 6 13y 6 y x
13 13
Vy tp nghim ca h 
6 96 6 96
1;3 ; 1; 3 ; ; ;
13 13 13 13





II- KĨ THUẬT PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP:
H có dng
A x,y 0
B x,y 0
a h c v dng tích
Chng hc 2
n, ho   ng c  c mi quan h các bi  
trình.
Ta bii:
A x,y 0 a x,y .b x,y 0 a x,y 0 b x,y 0
B x,y 0 B x,y 0 B x,y 0 B x,y 0
Dấu hiệu thƣờng gặp:
- Có m c là bc
cao chng hn bc 4 hoc 6, chúng ta gii xung bt n ph (t = x
2
, t = x
3
)
- H ng cp, hoc có th dùng phép th  kt hp 2 h chuyn
c v ng cp.
- H ng xuyên có th chuyn v dng tích bng cách s
dng liên ht n ph, ho.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
19
THÍ DỤ MINH HỌA:
Thí dụ 8. Gii h 
2
22
6x 3xy x 1 y 1
x y 1 2

 chuyên Yên Bái 2012-2013)
Lời giải
Bia h c:
2
2
2
6x 3xy x 1 y
6x 3xy x y 1 0
6x 3xy 3x 2x y 1 0
3x 2x y 1 2x y 1 0
3x 1 2x y 1 0
3x 1 0
2x y 1 0
1
x
3
y 2x 1

Vi
1
x
3
th c:
2
22
1 8 2 2
y 1 y y
3 9 3



Vi
y 2x 1
th c:
2
22
x 0 y 1
x 2x 1 1 5x 4x 0 x 5x 4 0
43
xy
55
Vy tp nghim ca h 
1 2 2 1 2 2 4 3
; ; ; ; 0;1 ; ;
3 3 3 3 5 5








Nhận xét: i các h ng là mt tam thc
bi vi 2 a h trên vic chúng ta phi làm kim tra
 chuyn v  rút mt n theo n kia
và th ic chuyn v 
i khó, ta có th mt n là tham s 
22
6x 3xy x 1 y 6x 3y 1 x y 1 0 1
22
22
1
3y 1 4.6 y 1 9y 6y 1 24y 24 9y 30y 25 3y 5
12
3y 1 3y 5 3y 1 3y 5
y1
1
x ; x
12 2 12 3
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
20
T  a h v dng hp
dental không là s   gic b
trình  ca h v d     vic tìm liên h gia các n bng
a h, hoc có th là phi kt hp c  h mi
c quan h gia các n.  minh hn ví d sau:
Thí dụ 9. Gii h 
2
x x 3 2x y 5 x 16 1
x 2 x y 3 y 2
 nh 2015-2016)
Phân tích: u kin:
x 2 0
x 2,y 0.
y0
a h có dng bc 2 ca x và y nên th ta th kim tra xem có
th  dng tích hay không.
22
2
1 x 2x xy 5x 6x 3y 15 x 16
3x y 10 x 3y 1 0 *
Ta có:
2
22
*
y 10 4.3 3y 1 y 20y 100 26y 12 y 6y 112
Ta th 
ca h không th  d rút n này theo i
vic tìm liên h gia các n ba h cho dù nhìn ch
i phc tp so v
x 2 x y 3 y
Do (2) , ma (x + 2) và và ma y nên chúng s ng có
quan h c bit vng (x y + 3) theo chúng (x + 2) và y  to
mun liên h:
22
x 2 x y 3 y
x 2 x 2 y 1 y 0
x 2 x 2 y x 2 x 2 y 0
x 2 x 2 y x 2 y 0
x 2 x 2 y x 2 y 0
x 2. x 2 y x 2 y x 2 y 0
x 2 y x 2. x 2 y 1 0








THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
21
x 2 y 0 do x 2. x 2 y 1 0
y x 2
Hoc các bn có th s dng biu thc liên hp:
x 2 x 2 y x 2 x 2 y 0
x2y
x 2 y x 2 0
x 2 y


1
x 2 y x 2 0
x 2 y





1
y x 2 do x 2 0
x 2 y





c:
2
2
2
2
2
x x 3 2x y 5 x 16
x x 3 2x x 2 5 x 16
x x 3 x 16
2x 5x 7 0
x 1 2x 7 0
x 1 y 3
7
x loai
2

Vtrình có nghim là (x, y) = (1, 3)
Vi phân tích trên các bn t trình bày li gii nhé!
Thí dụ 10. Gii h 
22
x 1 y 1 3 1
xy x y x 2y 2
Lời giải
u kin:
x 1,y 1
22
2 2 2
2 xy x y x 2y
x y y xy x y 0
x y x y y x y x y 0
x y x y y 1 0
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
22
x y x 2y 1 0
x 2y 1 0 do x 1,y 1 x y 0
x 2y 1
c:
2
2y 1 1 y 1 3 2y y 1 3 2y 2 2y y 1 y 1 9
10 3y 0
2 2y y 1 10 3y
y 52y 100 0
10
y
3
y 2 x 5
y 50
y2


Vy h có nghim duy nht (x, y) = (5, 2)
Thí dụ 11. Gii h 
2
4 3 2
2 x y 3 1
3x x y 6x y y 2

Lời giải
u kin
x0
y1

Xut phát t 
4 3 2 2
32
3x 6x y (x y) y 0
x0
3x (x 2y) x(x 2y) 0 x(x 2y)(3x 1) 0
x 2y
Vi
x0
thay vào (1) ta có:
2.0 y 3 y 3 y 9
Vi
x 2y
thay vào (1) ta có:
9
2. 2 3 2 2 1 3
9 4 2
y y y y
Vy tp nghim ca h 
18 9
0;9 , ;
9 4 2 9 4 2









III- KĨ THUẬT CỘNG, TRỪ, NHÂN HAI VẾ CỦA HỆ PHƢƠNG
TRÌNH
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
23
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP:
i vi nhiu h  bu khai thác t
trình ca h mà phi kt hp c a h mi tc mui liên h
gia các n. Các bài toán d
phi linh hot trong tng bài toán.
THÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1. Cộng, trừ đại số để đƣa về các tổng bình phƣơng
Thí dụ 12. Gii h 
22
22
x 3y 3x 1 0
x y x 4y 5 0.
-2017)
Lời giải
Ta có:
22
22
x 3y 3x 1 0 1
x y x 4y 5 0 2
Cng v vi v cc
22
2x 2y 4x 4y 4 0 3
i
22
x y x y 2 0
x y x 1
x y 2 y 1.





Ta thy
x y 1
tha mãn (1) và (2). H t nghim
x;
y 1;1 .
Thí dụ 13. 
22
2
x 5xy x 5y 42
7xy 6y 42 x
.
-2020)
Lời giải
Ly
12
c
2
x y 0 x y
Thay
xy
vào
1
c
2
x x 42 0
Gic
x 7;x 6
Vi
x7
ta có
y7
; Vi
x6
ta có
y6
.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
24
Vy h m là
7
;7
và
6
; 6
.
Dạng 2. Cộng, trừ đại số để đƣa về phƣơng trình một ẩn
Thí dụ 14. Gii h 
22
22
2x x y 3 1
x y 1 2

Lời giải
Công theo v a h c:
22
x1
2x 2x 4 x x 2 0 x 1 x 2 0
x2

Vc:
2
1 y 1 y 0
Vi
x2
c:
2
4 y 1 VN
Vy có h có nghim duy nht (x, y) = (1, 0)
Thí dụ 16. Gii h 
22
2 2 2
x y 1 2
x y xy 1 3x

Lời giải
H i
2 2 2
22
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3x y 6 3x 1
x y 1 2
x y 2 x
x y xy 1 3x x y xy 1 3x 2
x y xy 1 3x




Cng theo v a h c:
22
xy 1
4x y xy 5 0 xy 1 4xy 5 0
5
xy
4

Vc:
2
3x 3 x 1 y 1
Vi
5
xy
4

c:
22
75 75 96 21 21 21 5 48
3x 6 x x y
16 16 16 48 48 4 21
Vy h có 4 nghim là
21 5 48 21 5 48
1;1 , 1; 1 , ; , ;
48 4 21 48 4 21









THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
25
Thí dụ 15. Gii h 
2
22
xy 3y 4x
y 2y 7 7x 8x

-2019)
Lời giải
H i
22
2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2xy 6y 8x xy 3y 4x
y 2y 7 8x x 8x y 2y 7 2xy 6y x 8x 0
xy 3y 4x
xy 3y 4x
x y 7 x y 1 0
x y 8 x y 7 0
2 13 5 13
x ; y
x y 1
33
3x 4x 3 0
2 13 5 13
x ;y
33
x y 7
3x 10x 2















5 2 22 26 2 22
x ;y
33
10
5 2 22 26 2 22
x ; y
33


Vy h m
2 13 5 13 2 13 5 13 5 2 22 26 2 22
; , ; , ;
3 3 3 3 3 3





Dạng 3. Cộng, trừ đại số để đƣa về phƣơng trình tích
Thí dụ 16. Gii h 
22
2
2
x y xy 1 4y 1
y x y 2x 7y 2 2
Lời giải
Nhân 2 v ca PT (1) vi (2) ri cng vi PT (2) theo v c:
22
2
y x y 2y 2xy 15y y x y 2 x y 15 0
y x y 3 x y 5 0.
y0
x y 3 0
x y 5 0



Vi y = 0 ta có:
2
x 1 0
(vô nghim)
Vi y = 3 c:
2
x 1 y 2
x x 2 0 x 1 x 2 0
x 2 y 5
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
26
Vi y = 5 - c:
2
x 9x 46 0
(vô nghim)
Vy h m
1
;2 , 2;5
Thí dụ 17. 
22
22
x y 4x 2y 3
x 7y 4xy 6y 13.
-2020)
Lời giải
22
22
22
2 2 2
22
22
22
22
2 2 2
2
x y 4x 2y 3
x 7y 4xy 6y 13
x 4x 4 y 2y 1 8
x 4xy 4y 3y 6y 3 16
(x 2) (y 1) 8 (1)
(x 2y) 3(y 1) 16
2(x 2) 2(y 1) 16
(x 2y) 3(y 1) 16
2(x 2) (x 2y) (y 1) 0
(x 2)
2 2 2
(x 2y) (x 2) (y 1) 0
(2x 2y 2)(2y 2) (x y 3)(x y 1) 0
(x y 1)(4y 4) (x y 3)(x y 1) 0
(x y 1)(x 5y 7) 0
x y 1 (2)
x 5y 7 (3)


2 2 2 2
(y 1 2) (y 1) 8 2(y 1) 8 (y 1) 4
y 1 x 0
y 3 x 4

2 2 2 2
4
( 5y 7 2) (y 1) 8 26(y 1) 8 (y 1)
13
2 10
y 1 x 2
13 13
2 10
y 1 x 2
13 13

10 2 10 2
(x;y) 0;1 , 4; 3 , 2 ; 1 , 2 ; 1
13 13 13 13





THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
27
Dạng 4. Các bài toán hệ phƣơng trình không mẫu mực giải bằng cách cộng, trừ,
nhân theo vế hai phƣơng trình của hệ với nhau
Thí dụ 18. 
2 2 2 2
2 2 2 2
(x xy y ) x y 185
(x xy y ) x y 65
-2017)
Lời giải
Ly (1) + (2): thay vào (1)
T :
T  pt:
a) b) c) d)
Vy h m: (x, y) {(4; 3), (3; 4), (-3;-4), (-4; -3)}
Thí dụ 19. 
22
22
x 3y
x 3 1
xy
y 3x
y 0 2
xy



Lời giải
u kin:
22
x y 0
Vi x = 0 thì y = 1
Vng
2
3
0
x
(vô lý).
Xét
x 0,y 0
nhân 2 v ca PT(1) vi y, nhân 2 v PT(2) vc:
2
22
2
22
xy 3y
xy 3y 3
xy
xy 3x
xy 0 4
xy


Cng theo v c:
3y 3
2xy 3 3y x 5
2y
Thay (5) vào (2) bii dn
4 2 2 2 2
y 1 x 0 (loai do x 0)
4y 5y 9 0 y 1 4y 9 0 y 1
y 1 x 3 TM
Vy h m: (x, y) {(0; 1), (3; -1)}
125
2222
yxyx
5
22
yx
12 xy
1
7
242
25
22
yx
yx
xy
yx
1
7
yx
yx
1
7
yx
yx
1
7
yx
yx
1
7
yx
yx
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
28
Thí dụ 20. 
12
1 x 2 1
y 3x
12
1 y 6 2
y 3x








Lời giải
u ki h có nghi
26
12 2
12
23
1
1 x 2
y 3x
y 3x x y
x
12 6
6 2 24
12
1
4
1 y 6
y 3x
y3
y
yx
y 3x













Nhân v a h c:
22
36 4 48
27x 6xy y 0 3x y 9x y 0 y 3x do x 0,y 0
y x y 3
c:
26
2 x 4 2 3 y 12 6 3
x 3x
Vy h m:
x,y 4 2 3;12 6 3
Nhận xét: Có nhi  
trình ca h có dng ni xng hoc gn gi du.
m mu ch s dng hng thc:
22
a
b a b a b
Nu tìm hiu sâu v h n có th gii các h 
b phc hóa. Các bn rèn luyn thêm các ví d sau:
22
22
1
2x 1 3 1
xy
1
2y 1 1 2
xy








22
22
78y
x 20 1
xy
78x
y 15 2
xy


Thí dụ 21. 
2
22
y xy 2 3x 1
y x y 2x 0 2

Lời giải

2
2
2
22
y xy 2 3x
y xy 2 3x
x xy 2 y
y x y 2x 0




THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
29
Nhân v vi v a h c:
22
xy 0
xy xy 2 xy 2 3x y xy xy 1 xy 4 0 xy 1
xy 4


Vi xy = 0 ta có:
x y 0
Vi xy = 1 thay vào PT(1) ca h c:
3
2
3
31
y 1 2 y 3 x
y
3
Vi xy = - 4 thay vào PT(1) ca h c:
2
16
y 4 2 3. y 2 x 2
y
Vy h m:
3
3
1
x,y 0;0 , 2; 2 , ; 3
3



IV- KĨ THUẬT ĐẶT ẨN PHỤ
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP:
c s d gii h t là vic s
dng n ph. Tùy dng ca h t n ph phù hp.
Dấu hiệu thƣờng gặp:
- H i xng loi I
- H có các nhân t lp la h
- i vi các h chi vit n ph
- Các h cha tng và hiu (x + y), (x y)
- i vi mt s ng ht n ph   h i xng loi I và loi II
THÍ DỤ MINH HỌA:
Dạng 1. Dùng ẩn phụ đƣa về dạng bậc nhất 2 ẩn
Thí dụ 22. 



y
2x
3
x 1 y 1
3y
x
1
x 1 y 1
-2011)
Lời giải
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
30

x 1,y 1

x
u
x1
y
v
y1
:
2u v 3 2u v 3 2u v 3 u 2
u 3v 1 2u 6v 2 5v 5 v 1




x
2
x2
u 2 x 2x 2
x1
1
y
v 1 y y 1
y
1
2
y1
Vy h m:
1
x,y 2;
2



Thí dụ 23. 
2
2
2
2
10y
5x 1
y1
20y
3x 11
y1


-2012)
Lời giải
2
2
2
2
10y
5x 1
y1
(I)
20y
3x 11
y1



2
xu
(
u0

2
10y
v
y1

5u v 1 10u 2v 2 13u 13 u 1
3u 2v 11 3u 2v 11 5u v 1 v 4

2
u 1 x 1 x 1

2
2
y2
10y
v 4 4 4y 10y 4 0
1
y1
y
2

1
1; 2 hoÆc
2
x y y

1
2
) ; (-1 ; 2) ; (-1 ;
1
2
)
Thí dụ 24. 
x 2 3 13
x 3 y 1 10
2y 4
3 11
x 3 y 1 6



THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
31
-2014)
Lời giải
-1
x 2 3 13
1 3 13 1 3 3
1
x 3 y 1 10
x 3 y 1 10 x 3 y 1 10
2y 4
3 2 11 3 2 1
3 11
2
x 3 y 1 6 x 3 y 1 6
x 3 y 1 6








1
x3
; b =
1
y1

11
31
a 3b a
x 13
x 3 10
10 10
(TMDK)
11
1 1 y 14
3a 2b b
y 1 15
6 15





Dạng 2. Dùng ẩn phụ đƣa về hệ đối xứng loại I
Thí dụ 25. 
2 2 2 2
22
x y x y 1 2xy
x x y xy xy y 1.
Lời giải
Ta có:
2
2 2 2 2
22
22
x y x y 1 2xy
x y x y 1
x x y xy xy y 1
x y xy x y xy 1


 
2
22
u v 2uv 1 1
u v 1
u uv v 1
2 u v 2uv 2 2



Cng (1) và (2) theo v c:
2
u v 1
u v 2 u v 3 0
u v 3

Vi
u 1 u 0
u v 1 uv 0
v 0 v 1





T c nghim:
(x, y) = (1; 0), (0; -1), (1; 1), (-1, -1).
Vi
u v 3 uv 4

2
9 u v 4uv 16
(vô lý)
Vy h m là :
(x, y) = (1; 0), (0; -1), (1; 1), (-1, -1).
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
32
Thí dụ 26. 
22
2
2
x y 2x 2y x 2 y 2
.
y
x
1
y 2 x 2








-2020)
Lời giải

x 2,
y 2.



2
2
y
x
1
y 2 x 2
2.2
y
x
1
y 2 x 2











y
x
a ,b
y 2 x 2



2
22
a b 1
a b 1
a b 1
a b 2ab 1





a0
b1
a b 1
.
ab 0
a1
b0



a 0,b 1

x
0
x0
y2
y2
y
1
x2

.

a 1, b 0

x
1
x2
y2
y0
y
0
x2

.
 
0;
2 , 2;0 .
Thí dụ 27. Gii h 
22
22
11
x y 3
xy
11
x y 5
xy
 -2019)
Lời giải
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
33
u kin :
x;y 0
. Ta có:
2
2
22
22
11
11
x y 3
x y 3
xy
xy
(I)
11
11
x y 5
x y 5
xy
xy










t
11
a x; b y
xy
vi
2
a4
Thay vào h (I) ta có:
22
2
a2
b1
a b 5
a b 2ab 5 9 2ab 5 ab 2
a b 3
a1
b2


Mà
2
a4
nên
a2
b1
2
2
1
x 1 (tm)
x2
x 2x 1 0
x
15
1
y y 1 0
y (tm)
y1
2
y




Vy nghim ca h 
1 5 1 5
1; ; 1;
22

Dạng 3. Dùng ẩn phụ đƣa về hệ đối xứng loại II
Thí dụ 28. 
3
3
8
2 3x
y
6
x2
y


2009-2010)
Lời giải
t
2
z
y
. H  thành
3
3
2 3x z
2 3z x


33
3 x z z x
22
x z x xz z 3 0
xz
(vì
22
x xz z 3 0, x,z
).
T 
3
x1
x 3x 2 0
x2

Vy h m:
(
x,y) ( 1; 2), 2,1
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
34
Thí dụ 29. 
2
22
1
4x x 1
y
y y xy 4
-2013)
Lời giải

2
22
1
4x x 1 (1)
y
y y xy 4 (2)

0y

2
14
(2) 1 x
y
y

1
b
y
:
2
2
4x x b 1 (1')
4b b x 1 (2')
 - b) (2x + 2b - 1) = 0

1
,2
2




và
1
;2
2





1
,2
2




và
1
;2
2



Dạng 3. Dùng ẩn phụ đƣa về phƣơng trình một ẩn
Thí dụ 30. Gii h 
33
22
x 4y y 16x
1 y 5(1 x )
-2016)
Lời giải
Xét x = 0, h (I) tr thành
3
2
4y y
y2
y4

t
y
t y xt
x

. H (I) tr thành
3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2
x 4xt x t 16x x (t 1) 4xt 16x x (t 1) 4x(t 4)(1)
1 x t 5(1 x ) x (t 5) 4 4 x (t 5)(2)
 
Nhân tng v c qu
3 3 3 2
3 3 2
2
4x (t 1) 4x (t 4)(t 5)
t 1 t 4t 5t 20 (Do x 0)
<=>4t 5t 21 0

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
35
t3
7
t
4


+ Vi t = c x
2
= 1 ⇔ x = ±1.
x = 1 thì y = 3, th li (1;3) là mt nghim ca (I)
x = 1 thì y = 3, th li (1;3) là mt nghim ca (I)
+ Vi t =
7
4
, thay c
2
64
x
31

(loi)
Vy h (I) có các nghim (0;2), (0;2), (1;3), (1;3).
Thí dụ 31. Gii h 
2
xy
1 2x
3x 3y
2x y
2 2x y 2x 6 y

Lời giải
u kin:
y 0; 3 x 0
.
t
22
y tx y t x
c:
2 2 2 2 2
1 2x x tx
3x
3t x 2x t x

Rút gn bin
x
 n
t
:
2
2
t 2 t t 1 0 t 2 y 2x 0
.
c:
22
25 1
4x 8x 2x 6 4x 10x 2x 6 2x 6
44
22
51
2x 2x 6
22
.
Gic
17 3 13 3 17
xy
42

.
Vy nghim ca h
17 3 13 3 17
x;y ;
42





.
Dạng 3. Dùng ẩn phụ dạng tổng hiệu
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
36
Thí dụ 32. 
22
2
3
6x 13
xy
9
12 x xy y 85
xy

.
-2017)
Lời giải
Ta có:
22
2
3
6x 13
xy
9
12 x xy y 85
xy

22
2
3
3 x y 3 x y 13
xy
9
9 x y 3 x y 85
xy
.

x y a 0
x y b


2
2
3
3a 13 3b 1
a
1
9 a 103 3b
a



2
2b 13b 11 0
b1
11
b
2
.
Xét b =
11
2
, thay vào (1) ta có
2
6a 7a 6 0

Xét
b1
, thay vào (1) ta có
2
a3
1 10
a 3a 10a 3 0
1
a3
a
3
.
Khi
a3
b1
ta có
x y 3 x 2
x y 1 y 1



;
Khi
1
a
3
b1
ta có
2
1
x
xy
3
3
1
x y 1
y
3





.

21
x ; y 2 ; 1 ; ;
33







Thí dụ 33. 
22
22
x y xy xy y
x y 3

Lời giải
t u = x + y, v = x   thành:
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
37
2 4 3
2 2 2 2
22
2
2
2
27
u 4u 0 u 4u 27 0
u v u v
u 3v 4u 0
u
u
24
3
3
uv 3
v
uv 3
v
u
u
u 3 u 2u 3 0
u 3 x y 3 x 2
3
v 1 x y 1 y 1
v
u



x
; y 2 ; 1
Thí dụ 34. 
2
22
x 2x 6 y 1
x xy y 7

Lời giải
u kin:
y1
 vi:
22
22
2
22
22
22
x 2x 6 y 2y 1
x y 2 x y 5 0
x 2x 6 y 1
1
x y 3 x y 7
x xy y 7
x y 3 x y 28
4





t u = x + y, v = x   thành:
22
uv 2v 5 0
u 1 u 3
v 5 v 1
3u v 28





u1
v5


ta có
x y 1 x 3
x y 5 y 2



;

u3
v1

ta có
x y 3 x 1
x y 1 y 2



;
Vy h m:
(
x,y) ( 3;2), 1,2
V- KĨ THUẬT NHÂN LIÊN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƢƠNG
TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP:
i vi các bài toán cht nhân liên ht không th
không nhc ti h t nhân liên giúp chúng ta tìm mi liên
h gia x và y thông qua ma h 
trình chc) bng cách chuyn nó v ng:
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
38
a
x by c A x 0
Khi áp dt nhân liên hp chúng ta cn khéo léo trong vic x 
trình tích cui cùng, cu ki chc
m.
THÍ DỤ MINH HỌA:
Thí dụ 35. 
2
32
xy y 3y 1 x 2y 1
x y 4xy 7xy 5x y 2 0.
-2017)
Lời giải

1
1
x
y
3
3
1
x 2y 1
y.
3




Xét
1
3y 1 x 2y 1 0 x y
3

Xét
1
x
3
3y 1 x 2y 1 0
1
y.
3
xy
yx
yx
1
(1) y(x y)
y 0 VN do y
3y 1 x 2y 1
3
3y 1 x 2y 1



x = y
4 3 2 2 2
x 4x 7x 6x 2 0 (x 1) (x 2x 2) 0 x 1 y 1

Thí dụ 36. Gii h 
22
2
2x y xy 5x y 2 y 2x 1 3 3x
x y 1 4x y 5 x 2y 2
-2016)
Lời giải
u kin:
y 2x 1 0,4x y 5 0,x 2y 2 0,x 1
TH 1.



00
y 2x 1 0 x 1
3 3x 0 y 1
1 10 1
(Không TM h)
TH 2.
x 1,y 1
 nht v dc
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
39

x y 2
(x y 2)(2x y 1)
y 2x 1 3 3x




1
(x y 2) y 2x 1 0
y 2x 1 3 3x
. Do
y 2x 1 0
nên
1
y 2x 1 0 x y 2 0
y 2x 1 3 3x
Thay
y 2 x
vào pt th c:
2
x x 3 3x 7 2 x
2
x x 2 3x 7 1 2 2 x
3x 6 2 x
(x 2)(x 1)
3x 7 1 2 2 x
31
(x 2) 1 x 0
3x 7 1 2 2 x




Do
x1
nên
31
1 x 0
3x 7 1 2 2 x
Vy
x 2 0 x 2 y 4

Vy nghim ca h -2; 4).
Thí dụ 37. 
2 2xy y 2x y 10
3y 4 2y 1 2 2x 1 3
-2012)
Lời giải
u kin:
1
x
2
;
y0
(1)
2
2x 1 y 9
2x 1 y
= 3
2x 1 3 y
(*)
Thay vào (2)
3y 4 2y 1 2( y 2) 1 0
( 3y 4 4) ( 2y 1 3) 2( y 2) 0
3y 4 16 2y 1 9 y 4
2. 0
3y 1 4 2y 1 3 y 2
(y - 4).
3 2 2
0
3y 1 4 2y 1 3 y 2




y 4 0
3 2 2
(3)
3y 1 4
2y 1 3 y 2



Vi y = 4 ta có x = 1
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
40
Vi
y0
ta có
3
3y 1 4
1
2
T (*) suy ra y
9 suy ra
22
2y 1 3 y 2
>
1
2
.
Vm
Kt lun nghim ca h (x;y) = (1 ; 4 )
VI- KĨ THUẬT ĐÁNH GIÁ TRONG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP:
i vi nhiu h a h là mu cht
 gii bài toán mt cách nhanh gn, trong nhiu bài toán g
duy nh gii h ng dùng bng th
m ca các v cu kin có nghim c
bn ht sc linh hot, càng
t thì vic gii quyt h m bng
hng thi không b soát nghim.
THÍ DỤ MINH HỌA:
Dạng 1. Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến các vế phƣơng trình của hệ
Thí dụ 38. 
x 2012 y 2012
2012 x y 2012
-2013)
Lời giải
u kin :
0 x 2012
0 y 2012

T a h ta có:
x 2012 y 2012 x y x 2012 x y 2012 y
Nu x > y thì :
2012 x 2012 y
=> VT > VP (mâu thun)
 nu x < y => VT < VP (mâu thun)
=> x = y

x y 1
x 2012 x 2012 2
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
41
2 x 2012 x 2 x 2012 x 2012
x 2012 x 0
x 0 x 2012
Vy nghim ca h (x;y) = (0;0),(2012;2012)
Thí dụ 39. 
2 2 2
2 2 2
(2x y)(x y ) 2x 6x xy 3y (1)
3(x y) 7 5x 5y 14 4 2x x (2)
-2019)
Lời giải
(1):
22
(2x y)(x y x 3) 0
2x y
.
(2):
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x *
.

22
3(x 1) 4 5(x 1) 9 5
.

22
4 2x x 5 (x 1) 5
.

x1
.

(x;y) ( 1; 2)
.
Thí dụ 40. 
3
2
y x 3x 4
x 2y 6y 2
Lời giải

2
2
y 2 x 1 x 2 1
x 2 2 y 1 y 2 2
Nu x > 2 thì x 2 > 0 th   ph
 nên x 2 2 (vô lý vi x > 2)
 vu vô lý.

Vy h có nghim duy nht là (x, y) = (2, 2)
Dạng 2. Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển để đánh giá
Một số bất đẳng thức Cổ điển thường được sử dụng như:
1. Bng thc Cauchy (tên quc t là AM GM)
Nu
1 2 3
, , ,.....,
n
a a a a
là các s thc không âm thì:
1 2 3
1 2 3
....
. . .......
n
n
a a a a
a a a a
n
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
42
ng thc xy ra khi
1 2 3
.....
n
a a a a
2. Bng thc Bunhiacopxki vi hai b s thc bt kì
1
2 3
, , ,.....,
n
a a a a
và
1
2 3
, , ,.....,
n
b b b b
ta có
2
2 2 3 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 2 3 3
.... ..... ...
n n n n
a a a a b b b b a b a b a b a b
ng thc xy ra khi tn ti s thc k
k0
sao cho
ii
a kb
v
Một số bất đẳng thức phụ cần nhớ:
1. 
1 1 4

a b a b
Dy ra khi a = b.
2. Vi
1ab
thì
22
1 1 2
1 1 1

a b ab
. Vi
1ab
thì bng thi chiu.
Dy ra khi a = b = 1.
Thí dụ 41. 
14
x 1 1
x 1 x 1 y
1
y 2 xy y 2
y
Lời giải

x1
y0


1 1 4
x 1 y 2 y x 1 I
x 1 y x 1 y




-GM ta có:
x
1 y 2 y x 1 do x 1 0,y 0 3

1 1 2 1 1 4
a b 2 ab. 4 *
a b a b a b
ab




Áp dc:
1 1 4
4
x 1 y x 1 y

Cc:
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
43
1 1 4
x 1 y 2 y x 1 II
x 1 y x 1 y






3
1
y 2y y y 1 y 1 y 1 x 0
y
Vy h có nghim duy nht (x, y) = (0, 1)
Thí dụ 42. 
2
3
x 12 y y 12 x 12 1
x 8x 1 2 y 2 2
Lời giải
u kin:
2 3 x 2 3,2 y 12
Vi 2 s thc a, b bt kì ta có:
22
2
ab
a b 0 ab
2
Áp dc:
2
2
2
2
x 12 y
x 12 y x 12 y
2
x 12 y y 12 x 12
y 12 x
y 12 x
2




2
x0
1
y 12 x

Thay
2
y 12 x
c:
32
32
2
2
x 8x 1 2 10 x
x 8x 3 2 1 10 x 0
2 x 3
x 3 x 3x 1 0 3
1 10 x





Do
x0
nên
2
2
2 x 3
x 3x 1 0
1 10 x


x 3 y 3
Vy h có nghim duy nht (x, y) = (3, 3)
Thí dụ 43. 
2
4
4
x 32 x y 3
x 32 x 24 6y
Lời giải

0 x 32

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
44
2
4
4
2
4
( x 32 x) ( x 32 x) y 6y 21
x 32 x y 3
 Bunhiacopxki ta có:
2 2 2
( x 32 x) (1 1 )(x 32 x) 64
x 32 x 8
4
2
4
4
x 32 x 2( x 32 x) 256


4
4
x 32 x 4
Suy ra
4
4
( x 32 x) ( x 32 x) 12

2
2
y 6y 21 y 3 12 12


Thí dụ 44. 
22
1 1 2
1 2xy
1 2x 1 2y
2
x 1 2x y 1 2y
9


Lời giải
u kin:
1
0 x,y
2

.
t
1
a 2x,b 2y;a,b 0;
2



.
Ta có:
22
22
1 1 1 1
VT 2
1 a 1 b
1 a 1 b





.
Ta s dng b  vi
a,b 0
và
ab 1
ta có bng thc:
2
22
22
a b ab 1
1 1 2
0
1 ab
1 a 1 b
1 ab 1 a 1 b



Vy
2
VT VP
1 ab

.
ng thc xy ra khi
xy
c nghim c
trình.
Nghim ca h
9 73 9 73 9 73 9 73
x;y ; , ;
36 36 36 36
.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
45
Dạng 3. Sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ phƣơng trình
1. H có dng:
2
k
f x,y 0
g x 0
h 
trình bc hai hai n, ta coi mt n là tham s t 
và gin giá tr ca nghim ca n, t i bài toán
1. H có dng:
A x,y B(x,y)
C x 0
t u kin:
A x,y 0
B x 0
t u kin rng buc gia x và y.
t ít c áp d thi.
Thí dụ 45. 
2
32
22
x 1 y 3y 3y 1
x 2x y 1 y 6y 1 0 2
Lời giải
Vit  ca h i dng:
22
x 2 y 1 .x y 6y 1 0
c 2 n x tham s y m thì:
2
2
x
' y 1 y 6y 1 4y 0 y 0.
Mt khác
23
1 x 1 1 y 1

23
VT x 1 0 1 y 1
Vì th h có nghim khi x = 1 và y = 0, thay và h u ta thy tha mãn.
Vy h có nghim duy nht là (x, y) = (1, 0).
Thí dụ 45. 
22
3 3 2
10x 5y 2xy 38x 6y 41 0 1
x xy 6y y x 1 2 2
Lời giải
Vit ) ca h i dng:
22
10x 2 y 19 x 5y 6y 41 0.
c 2 n x tham s  m thì:
22
2
x
' y 19 10 5y 6y 41 49 y 1 0 y 1 x 2.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
46
Th li (x, y) = (2, 1) tha mãn h 
Vy h có nghim duy nht là (x, y) = (2, 1).
Thí dụ 46. 
42
22
x y 9 1
x y xy 3x 4y 4 0 2

Lời giải
Via h i dng:
22
x y 3 x y 4y 4 0.
c 2 n x tham s  m thì:
2
22
x
7
y 3 4 y 4y 4 3y 10y 7 0 1 y .
3
 vit a h i dng:
22
y x 4 y x 3x 4 0.
c 2 n y tham s  m thì:
2
22
x
4
x 4 4 x 3x 4 3x 4x 0 0 x .
3

42
42
4 7 697
x y 9
3 3 81
.
Vì vy h m
VII- KĨ THUẬT HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP:
ng:
f x,y 0 1
g x,y 0 2
Ta ly :
.
f x .g x 0 3
ng s c ta có th
chuy v ng ta l
= 1, nu bc c
(3) v các dng sau:
Dạng 1:
2
mx ny mx ny 0
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
47
Dạng 2: :
33
x a y b
hoc
33
ax b cy d
Dạng 3: :
44
x a y b
hoc
44
ax b cy d
Nhận xét:
- Các h c bc hai hai u gic b s
bnh.
- Nu h c bc cao nhi dng 1, nu bc cao nht
i dng 2, bc cao nhi dng 3.
THÍ DỤ MINH HỌA:
Thí dụ 47. 
22
2
x 2xy 2y 3x 0 1
xy y 3y 1 0 2
Phân tích:
Quan sát tha h u có bc cao nht ca x và y là bc 2
 dc 2 theo mx + ny làm
c vy ta nhân 2 v PT (1) v PT (2) vi cng li theo v vi
nhau:
2 2 2
22
22
x 2xy 2y 3x xy y 3y 1 0
.x 2 xy 2 y 3 x y 0
x 2 xy 2 y 3 x y 0





Chúng ta c
2
22
2
2 2 2 2
2
x 2 xy 2 y x y
x 2 xy 2 y x 2 xy y
ng nhât h s c
2
2
22
2
2







Lời giải.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
48
Nhân 2 v ca PT (2) vc:
2
2xy 2y 6y 2 0 3
Cng (1) và (3) theo v c:
2 2 2
22
2
2xy 2y 6y 2 x 2xy 2y 3x 0
x 4xy 4y 3 x 2y 2 0
x 2y 3 x 2y 2 0
x 2y 1 x 2y 2 0
x 2y 1 0
x 2y 2 0
x 2y 1
x 2y 2
Vi
x 2y 1
thay vào PT(2) ca h c:
2
y 1 2 x 3 2 2
y 2y 1 0
y 1 2 x 3 2 2
Vi
x 2y 2
thay vào PT(2) ca h c:
2
15
y x 3 5
2
y y 1 0
15
y x 3 5
2
Vy h có 4 nghim là
1 5 1 5
x;y 3 2 2;1 2 , 3 2 2;1 2 , 3 5; , 3 5;
22

Thí dụ 48. 
33
22
x y 35 1
2x 3y 4x 9y 2

Phân tích: Qa h ta thy không th 
th  ng c gii h c lp vi
nhau, ta hi vng t    a h kt hp v     dng:
33
x a y b *
Ta thy c 3 (bc cao nht) nên không nhân 2
v c thêm h s. Ta nhân 2 v ci h s 
và cng vc:
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
49
3 3 2 2
3 3 2 2
x y 35 2x 3y 4x 9y 0
x y 35 2 x 3 y 4 x 9 y 0 3
Mà:
33
3 3 3 3 2 2 2 2
x a y b x y a b 3ax 3a x 3by 3b y 0 4
ng nht h s c:
3 3 3 3 3 3
2
2
a b 35 a b 35 a b 35 a 2
2 3a 2 3a 2 3a b 3
4 3a a 2 3
3a 4
3a 2




:
33
x 2 y 3
dn ti li gii sau:
Lời giải.
Nhân 2 v ci
3
c:
22
6x 9y 12x 27y 5
Cng (5) và (1) v theo v c:
3 3 2 2
3 2 3 2
33
x y 6x 9y 12x 27y 35
x 6x 12x 8 y 9y 27y 27
x 2 y 3
x 2 y 3
x y 5
c:
2
2
22
2
2 y 5 3y 4 y 5 9y
2y 20y 50 3y 4y 20 9y 0
y 5y 6 0
y 2 x 3
y 3 x 2
Vy h có nghim duy nht là (x, y) = (3; -2), (2; -3)
Thí dụ 49. 
44
3 3 2 2
x y 240 1
x 3y 3 x 4y 4 x 8y 2

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
50
Phân tích: H  gii h
 
hi v dng
44
xy
H i:
44
3 3 2 2
x a y a 240
x 3y 3 x 4y 4 x 8y


4 3 3 4 2 2
x a k x 3y y a 240 k. 3 x 4y 4 x 8y *


Mt khác:
44
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
x y x 4 x 6 x 4 x x 4 x 6 x 4 x * *
ng nht h s c:
4
2
3
4
2
3
a
k4
k8
3k 6
2
4k 4
a 16
a 240
4
2k 4
12k 6
32k 4










Lời giải.
H i:
44
3 3 2 2
x 16 y 256
x 3y 3 x 4y 4 x 8y
Nhân 2 v c 2 vi -8 ri cng theo v v nht
c:
4 3 3 4 2 2
44
x 16 8 x 3y y 256 8 3 x 4y 4 x 8y
x 2 y 4 x y 2
x 2 y 4
x 2 4 y x 6 y





Vi x = y 2 thay vào (1) ta c:
3 2 2
8y 24y 32y 224 0 y 2 8y 40y 112 0 y 2 x 4
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
51
Vi x = 6 c:
3 2 2
y 9y 36y 44 0 y 2 y 7y 22 0 y 2 x 4
Vy h có nghim duy nht là (x, y) = (-4; -2), (4; 2)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. 
33
22
x y 9 1
x 2y x 4y 2

Câu 2. 
22
2
1
x y 1
5
57
4x 3x y 3x 1 2
25

Câu 3. 
32
22
x 3xy 49 1
x 8xy y 8y 17x 2
HƢỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
L  c:
33
x 1 2 y x 3 y 3
Th (3) vào c:
2
y 1 x 2
y 3y 2 0
y 2 x 1
Vy nghim ca h là: (2, 1); (1, 2)
Câu 2.
Li 25 và cng theo v v
nhóm li c:
2
7
3x y
5
25 3x y 50 3x y 119 0
17
3x y
5

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
52
Vi
22
7
y 3x
2 1 11 2
5
x,y ; , ;
1
5 5 25 25
xy
5



Vi
22
17
y 3x
5
1
xy
5

(vô nghim)
Vy h có 2 nghim là
2 1 11 2
x,y ; , ;
5 5 25 25
.
Câu 3.
Lng vi 3 l c:
3 2 2 2
22
x 3x 3y 24y 51 x 3y 24y 49 0
x1
x 1 x 1 3 y 4 0
x 1,y 4




Thay x = -c:
22
1 3y 49 y 16 y 4
Vy h m là (x, y) = ( - 1; 4), (-1, - 4).
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
53
CH  3: H N




Dạng 1. Hệ hai phƣơng trình ba ẩn
Thí dụ 1. 
2 2 2
2003 2003 2003 2004
x y z xy yz zx
x y z 3
Lời giải
Ta có:
2 2 2
2003 2003 2003 2004
x y z xy yz zx (1)
x y z 3 (2)
PT (1)
2 2 2
2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0
2 2 2
(x y) (y z) (z x) 0
x y z

2003 2004
3x 3
2003 2003
x3
3x

3x y z

;
; 3;3;3x y z
Thí dụ 2. 
4 4 4
x y z 1
x y z xyz
-2014)
Lời giải
Ta có:
4 4 4 4
44
4 4 4
x y y z
zx
x y z
2 2 2

2 2 2 2 2 2
x y y z z x
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y y z y z z x z x x y
xyyz yzzx zxxy
2 2 2
= xyz (x + y + z) = xyz ( vì x + y + z = 1).
Du bng xy ra
x y z
1
x y z
x y z 1
3

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
54
Vy nghim ca h 
1 1 1
x ; y ;z
3 3 3



Thí dụ 3. 
2
x y z 2
2xy z 4

-2011)
Lời giải
Ta có:
2
22
22
x y z 2 z 2 x y
(2 x y) 2xy 4
2xy z 4 z 2xy 4 z 2 x y
x y 2
(x 2) (y 2) 0
z2
z 2 x y










Vy nghim ca h 
x
,y,z 2;2; 2
Dạng 2. Hệ ba phƣơng trình ba ẩn
Thí dụ 4. 
2
2
2
xy z 2
yz x 2
zx y 2



Lời giải
 z)(x y + z) = 0 (4)
 ta có: ( y - x)(x + y z) = 0 (5)

2
x z x y z 0
y x x y z 0
zx y 2


22
22
x z 0 x z 0
y x 0 A x y z 0 B
zx y 2 zx y 2
x y z 0 x y z 0
y x 0 C x y z 0 D
zx y 2 zx y 2











(1; 1; 1) ; ( -1;-1; -1 ) ; ;
2;0;2
2;0;2
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
55
; ; ;
Thí dụ 5. x, y, z 
-2016)
Lời giải
Cng v vi v c
u có dng
 hai có dng
 ba có dng
Th li tha mãn. Vy
Thí dụ 6. Gii h 
-2014)
Lời giải
Ta có:
Nhân tng v a h c
+) Nu , kt hp vi h c
+) Nu , kt hp vi h c
.
Vy h m .
0;2;2
0;2;2
2;2;0
2;2;0
1
3.
5
x y z
y z x
z x y
9. x y z
2
1 4. x x y z x
2
3 3. y x y z y
2
5 2. z x y z z
4, 3, 2. x y z
1
5 , ,
z2
xy x y
yz y z x y z
x z x
1 1 2
1
5 1 1 6
z2
1 1 3
xy
xy x y
yz y z y z
x z x
zx


2
1 1 1 6
1 1 1 36
1 1 1 6
x y z
x y z
x y z
1
1 1 6x y z
1 1 2
1 2 3
z 1 3 z 4
xx
yy





1
1 1 6x y z
1 1 0
1 2 1
z 1 3 z 2
xx
yy





;
; 2;3;4 , 0; 1; 2x y z
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
56
Thí dụ 7. Gii h 
x xy y 1
y yz z 4
z zx x 9

x,y,z 0
Lời giải

(x 1)(y 1) 2
(y 1)(z 1) 5
(z 1)(x 1) 10
2
(x 1)(y 1)(z 1) 100
(x 1)(y 1) 2
(y 1)(z 1) 5
(z 1)(x 1) 10


(x 1)(y 1)(z 1) 10
(x 1)(y 1) 2
(y 1)(z 1) 5
(z 1)(x 1) 10
z 1 5
x 1 2
y 1 1


x1
y0
z4


x
;y;z 1;0;4
Thí dụ 8. Gii h 
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x (y z) (3x x 1)y z
y (z x) (4y y 1)z x
z (x y) (5z z 1)x y
Lời giải
Nu chia hai v ca m
2 2 2
x y z
c h mn

TH 1.
xyz 0
. Nu
x0
thì h
22
y0
y z 0
z t, t

hoc
z0
y t, t

-  vi
0y
và
0z
c các nghim là
(0;0; ), (0; ;0), ( ;0;0),t t t t
- TH 2.
xyz 0
. Chia hai v ca mi pt trong h cho
2 2 2
x y z
c
(Do x,y,z > 0)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
57
2
1 1 1 1
3 (1)
2
z y x
x
2
1 1 1 1
4 (2)
2
x z y
y
2
1 1 1 1
5 (3)
2
y x z
z









.
Cng v 3 a h c :
2 2 2
22
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12
z y x z y x x y z
x y z



2
1 1 1
4 (4)
x y z
1 1 1 1 1 1
12 0
x y z x y z
1 1 1
3(5)
x y z
- T (4) và (1) ta có
2
2
1 1 1 9 9
4 3 13 x
x x x 13
x



- T (4) và (2) ta có
3
y
4
. T (4) và (3) ta có
9
z
11
- , t (5), (1), (2), (3) ta có
55
x , y 1, z
64
.
- Vy h có tp nghim là
S =
9 3 9 5 5
(t;0;0); (0;t;0); (0;0;t); ; ; ; ; 1; , t
13 4 11 6 4


THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
58
CH  4: H A THAM S
Dạng 1. Biện luận về nghiệm của phƣơng trình
Thí dụ 1. 
mx 4y 20 (1)
x my 10 (2)




a) 
b) 
c) 
Lời giải
Cách 1. 
x 10
y5

0

m
y x 5 (a)
4
1 10
y x (b)
mm




 
m1
4m
m2
10
5
m

- 
 
m1
m2
4m

 
m1
4m
m2
10
5
m



Cách 2.  
2
y(4 m ) 20 10m (3)

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
59
 
2
20 10m 0 m 2
m2
4 m 0 m 2



- 
 
2
4 m 0 m 2
 
2
20 10m 0
m2
4 m 0



Thí dụ 2. 
2 2 2
x y 2m 1
x y y x 2m m 1
m 
 m =2.
 m.
-2013)
Lời giải
a) Gii h i m =2
Vi m = 2, h 
22
x y 5
x y 5 x y 5
xy(x y) 5 xy 1
x y y x 5





.
m cX
2
-5X +1= 0
Gic
12
5 21 5 21
X ,X
22


.
Vy hpt có hai nghim:
5 21 5 21 5 21 5 21
; , ;
2 2 2 2
.
b) Chng minh rng h luôn có nghim vi mi m
H t li là:
x y 2m 1
xy(x y) (2m 1)(m 1)
(1) Nu
1
m
2

thì h tr thành:
x y 0 x R
x y 0
xy(x y) 0 y x



.
H có vô s nghim.
(2) Nu
1
m
2

thì h tr thành:
x y 2m 1
xy m 1

Nên x,y là nghi
2
X (2m 1)X m 1 0
(*).
P/t (*) có
22
=(2m+1) 4(m 1) 4m 5 0, m
nên luôn có nghim.
Vy h m vi mi m.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
60
Thí dụ 3. Cho h 
2
22
2x xy 1
4x 4xy y m


m
là tham s và
x,y
là các n s.
a) Gii h i
m7
.
b) Tìm tt c các giá tr ca
m
 h m.
-2018)
Lời giải
a) Gii h i
7m
.
Vi m = 7 ta có:
2
2
22
22
2x 1
2x xy 1
y
x
4x 4xy y 7
4x 4xy y 7



(do
0x
không tha mãn).
2
22
2
2x 1 2x 1
4x 4x 7
xx




2
4 2 2 2 2 4 2 2 2
1
4x 4x 2x 1 2x 1 7x 8x 7x 1 0 x 1 x 0
8



2
x 1 x 1.
Vi
x 1 y 1
.
Vi
x 1 y 1
. Vy h m
x
;y 1; 1 , 1;1 .
b) Tìm tt c các giá tr ca m  h m.
Ta có
0x
không tha mãn suy ra
0.x
Rút y t PT th nht ri th vào PT th hai ta có:
2
22
2
2 1 2 1
44
xx
x x m
xx




H có nghim
2
4 2 2 2 2
4 4 2 1 2 1x x x x mx
có nghim khác 0.
42
8 1 0x mx
có nghit
2
, 0.t x t

c
2
8 1 0t mt
y yêu cu bài toán
1
có nghi
D thm trái du do
0ac
suy ra (1) luôn có
mt nghii mi s thc
m
h m.
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để nghiệm của hệ thỏa mãn một điều kiện cho trƣớc
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
61
Thí dụ 4. Cho h 
(m 1)x y 3m 4 (1)
x (m 1)y m (2)

Lời giải
Bƣớc 1. 
- (m - - (m - 
(m 1)(m (m 1)y) = 3m 1
22
y(m 2m) m 4m 3 (3)

2
m0
m 2m 0
m2
(*)
Bƣớc 2. 

0
và m

3m 2
x
m
m2
y.
m

3m 2 m 2
2 4m 4 2m m 2
mm

(**)

Thí dụ 5. 
mx y 1
x y m.

2
yx
Lời giải
- m 
mx m x = -1
x(m - 1) = m 1 (*)

1.

x1
y m 1
Ta có: y =
2
x
m 1 1 m 2
- tìm.
Thí dụ 6. 
2x 3y 2 a
x 2y 3a 1

y
x

-2015)
Lời giải
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
62
Ta có:
2x 3y 2 a
x 2y 3a 1

x a 1
ya

Mà T =
y
x
=
a
a1
= 1
1
a1

a 1 1
a 1 1

hay
a0
a2

Thí dụ 7. 
3 2 2 2 2
2 2017
x y 2x y x y 2xy 3x 3 0
.
y x y 3m
             
11
x
;y
và
22
x
;y

1
2 2 1
x y x y 3 0
.
-2017)
Lời giải
Ta có:
3 2 2 2 2
2 2017
x y 2x y x y 2xy 3x 3 0 (1)
y x y 3m (2)
Ta có
3 2 2 2 2
(1) x y x y 2x y 2xy 3x 3 0
22
2
(x 1) x y 2xy 3 0
x1
xy 1 2 0
V« lý
c
2
y y 3m 1 0 (3)
 m phân bit thì:
1
1 4 3m 1 0 12m 3 0 m
4
 bài:
1
2 2 1 1 2 1 2
x y x y 3 0 4 y y y y 0 (4)
do
12
x x 1
.
Vi
1
m
4
theo h thc Vi- 
12
12
y y 1
y y 1 3m


thay vào (4) ta có:
5 1 3m 0 m 2
(tha mãn)
Kt lun: m = 2.
Thí dụ 8. 
mx y 2
3x my 5


THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
63
 
m2
.
 

2
2
m
x y 1
m3
.
-2009)
Lời giải
a) Khi m =
2
ta có h 
2x y 2
3x 2y 5


2 2 5
2x 2y 2 2
x
5
3x 2y 5
y 2x 2







2 2 5
x
5
5 2 6
y
5
b) Gic:
22
2m 5 5m 6
x ; y
m 3 m 3



Thay vào h thc
2
2
m
x y 1
m3
c
2
2 2 2
2m 5 5m 6 m
1
m 3 m 3 m 3

Gic
4
m
7
Thí dụ 9.  h có nghim duy nht là nghim nguyên
122
12
mmyx
mymx
Lời giải
mx 2y m 1
2x my 2m 1
22
2mx 4y 2m 2
2mx m y 2m m
22
(m 4)y 2m 3m 2 (m 2)(2m 1)
2x my 2m 1
 h có nghim duy nht thì m
2
4
0 hay m
2
Vy vi m
2
h m duy nht
2
(m 2)(2m 1) 2m 1 3
y2
m 2 m 2
m4
m 1 3
x1
m 2 m 2


 x, y là nhng s nguyên thì m + 2

1
; 1;3; 3
Vy: m + 2 =
1,
3 => m = -1; -3; 1; -5
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
64
BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP
Câu 1. 
2
2
2
x x y y 4y 1 0
y x y 2x 7y 2
.
-2016)
Câu 2. 
2
24
y 2xy 4 2x 5y
5x 7y 18 x 4
.
-2020)
Câu 3. 
3
3
1
8xy 22y 12x 25
x
y 3y x 5 x 2
.
-2020)
Câu 4.    trình
2
2
2
x y xy 3y 1 (1)
x y 1
x y (2)
1x


-2020)
Câu 5. 
3 3 2 2
x y 4
x y 4x 4y 12

-2020)
Câu 6. 
2
3
(x y) 4 3y 5x 2 (x 1)(y 1)
3xy 5y 6x 11
5
x1
-2020)
Câu 7. Gii h 
3 2 3 1
1 4 54 0
x y x y
x y x y
.
-2020)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
65
Câu 8. Gii h 
2
6 13
2 2 3 2

xy
x x y x
-2020)
Câu 9. 
22
3x y 1 y 1 3x 1 y 3x y
x y 5

-2020)
Câu 10. Gii h 
2
x 3y 2 y(x y 1) x 0
4y
3 8 x x 14y 8.
y 1 1

-2019)
Câu 11. Gii h 
22
xy x y 5
1 1 2
3
x 2x y 2y


-2019)
Câu 12. Gii h 
44
x y 3
xy
6
x y 5
xy
-2019)
Câu 13. Gii h 
22
22
11
1
xy
x 1 y 1 xy 2

-2019)
Câu 14. Gii h 
22
2
2
x y x y x 1 y 1
y
x
1
y 1 x 1








-2019)
Câu 15. -2019)
Cho h 
x 2y m 3
(I)
2x 3y m

(m là tham s)
a) Gii h 
m1
b)  h (1) có nghim
x
;y
sao cho
22
P 98 x y 4m
t giá tr nh nht
-2019)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
66
Câu 16. Gii h 
22
x y 5
x y xy 5

-2019)
Câu 17. -2019)
Gii h 
22
x 4y 2
x 2y 1 2xy 4

-2019)
Câu 18. 
3 3 2
22
x y 3x 6x 3y 4 0
x y 3x 1
-2019)
Câu 19. Gii h 
22
x y x y 18
xy(x 1)(y 1) 72
 -2019)
Câu 20. Gii h 
2
22
x xy 6
x,y
3x 2xy 3y 30

-2019)
Câu 21. 
22
22
x x y y 0
.
2x y x y 3 0
-2019)
Câu 22. Gii h 
2
3x xy 4x 2y 2
x x 1 y y 1 4
-2019)
Câu 23. Gii h 
2
2
x 3 x 1 y 2 x 3
x 1 y 5y 8 y 2
-2019)
Câu 24. Tìm nghim nguyên ca h 
2
2 2 4
x 2x 2y 3 0
16x 8xy y 2y 4 0
-2019)
Câu 25. Gii h 
22
3 3 2
x y 3 4x
x 12x y 6x 9
-2019)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
67
Câu 26. 
22
22
x x 2x 2 1 y y 1 1
x 3xy y 3
-2017)
Câu 27. Gii h 
22
22
2x xy y 5x y 2 0
.
x y x y 4 0
-2019)
Câu 28. 
2
2
2x y 9 36 x 0
y xy 9 0
-2019)
Câu 29. Gii h 
23
2 5 3 2
x y 1 (1)
x y x y (2)

-2019)
Câu 30. 
2
2
x xy x 3y 6 0
5x 6 16 3y 2x 2x y 4.
-2019)
Câu 31. 
3
3
2
2
27
8x 18
y
4x 6x
1
y
y


-2019)
Câu 32. Gii h 
2
x 2y xy 2x
x y xy 2
-2019)
Câu 33. Gii h 
2
x 3y 2 y x y 1 x 0
4y
3 8 x x 14y 8
y 1 1

-2019)
Câu 34. Gii h 
22
x
x 2y xy 2
4y 4

.
-2019)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
68
Câu 35. 
x 16
xy- =
y3
y9
xy- =
x2
.
-2019)
Câu 36. Gii h 
3
2
4 2 2 3 4 3 1 10
2 1 2
x x y y
x x y y
-2019)
Câu 37. Gii h 
22
x 4y 2
x 2y 1 2xy 4

-2019)
Câu 38. Gii h 
22
x 1 y 1 10
x y xy 1 3
-2019)
Câu 39. Gii h 
22
2x y xy x y 0
2x y 2 2 2x 0.
-2017)
Câu 40. 
22
x y 2y 1
xy x 1

.
-2019)
Câu 41. Gii h 
22
22
2x xy y 3y 2
x y 3

-2019)
Câu 42.    trình
2
2
2
x y xy 3y 1
x y 1
xy
1x


.
-2019)
Câu 43. Gii h 
33
22
x 4y y 16x
1 y 5(1 x )
-2016)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
69
Câu 44. Gii h trình
22
2
1x
x xy 2y (1)
y
x
x 3 y 1 x 3x 3 (2)
-2016)
Câu 45. 
2
2 2 2
4 x 1 xy y 4 0 1
x xy 1 3 x 1 xy 2 .
-2018)
Câu 46. 
11
x y 4 0
xy
y
1x
xy - 4 = 0
xy y x
-2011)
Câu 47. 
2
22
x 2xy x 2y 3 0
y x 2xy 2x 2 0.
-2013)
Câu 48. Gii h 
2
x(x 4)(4x y) 6
x 8x y 5
-2016)
Câu 49. 
2 2 2
x y 2a 1
x y 2a 4a 1
 
1. 
a1
.
2. Tìm
a

(x;y)

x.y

-2012)
Câu 50. 
22
2
x xy 2y 0
xy 3y x 3
.
-2018)
Câu 51. 
(m 1)x (m 1)y 4m
x (m 2)y 2

mR
a.  3
b. 

-2013)
a
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
70
Câu 52. 
x y 3 1
y x 3

-2013)
Câu 53. 
m 1 x y 2
mx y m 1

 
m2
;
2. 
(x;y) 2 x + y 3 .
-2010)
Câu 54. 
2
x + y + z = 1
2x + 2y - 2xy + z = 1
.
-2010)
Câu 55. 
32
4
x x x y y
2 x 1 5 x y 2 0
-2010)
Câu 56. 
2
x y z 1
2x 2y 2xy z 1
-2013)
Câu 57. 
22
x y 3 xy
x y 18

.
-2017)
Câu 58. 
22
22
3x 8y 12xy 23
x y 2.

-2011)
Câu 59. 
22
22
x+ x +2012 y+ y +2012 2012
x + z - 4(y+z)+8 0
.
-2013)
Câu 60. 
22
2
x y xy 3
xy 3x 4

2009-2010)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
71
Câu 61. 
x
x xy y
y
x
x y x x
22
2
1
2 (1)
( 3 )(1 3 ) 3 (2)
-2016)
Câu 62. 
2
(x 2y 2)(2x y) 2x(5y 2) 2y
x 7y 3
-2014)
Câu 63. 
mx y 2
3x my 5


 
m2
.
 
2
2
m
x y 1
m3
.
2008-2009)
Câu 64. Gii h 
2
2
x 9 y 9
y 9 x 9
-2012)
Câu 65. 
2xy x 2y 20
1 2 4
y x 3

-2014)
Câu 66. 
x y 13
x 3 y 7 5.

-2010)
Câu 67. 
22
22
x 2y 3 y 4x
x y 5

-2013)
Câu 68. 
2
2
x xy 4x 6
y xy 1
-2013)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
72
Câu 69. 
3
3
6
x2
y
8
3x 2.
y

-2019)
Câu 70. 
22
x 1 y 3 1
x 1 y 3 x y 3.
-2019)
Câu 71.
1) Cho (x, y) là nghim ca h 
x y m 1
2x 3y m 3
(vi m là tham s thc).
 biu thc
2
P x 8y
t giá tr nh nht.
2) Gii h 
22
33
x y 1
x y 1

(vi x, y thuc R).
-2019)
Câu 72. 
2
2
x x 1 2y 1
y y 1 2x 1
-2019)
Câu 73. 
22
xy 2x y 6
x 1 y 2 8
-2019)
Câu 74. 
32
22
x 2xy 12y 0
8y x 12

-2019)
Câu 75. 
2
2
3
(y 2x)(1 y x) 2x x
x(y 1) x y 2
-2019)
Câu 76. 
2
2
x y 1 2 x y 1
4
.
xy x y
4x 5y x y 1 6 x 13
-2019)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
73
Câu 77. 
3 3 2
2x y 1 3y 1 x x 2y
x 3x 2 2y y
-2019)
Câu 78. 
2
2
xy
2x 1 2y 1
2
3x 2y y 1 4 x
-2018)
Câu 79. 
2 2 2
(x y) (8x 8y 4xy 13) 5 0
1
2x 1
xy

-2018)
Câu 80. Cho h 
12
22
m x y
xy

(vi
m
là tham s và
,xy
là n s).
Tìm các giá tr
m
 h m
,xy
nguyên.
-2018)
Câu 81. 
22
3
x y xy 2
x x y

-2018)
Câu 82. 
22
22
x 2 xy
y 2 x y


-2017)
Câu 83. 
2 2 3
2
x xy xy y 0
2 x 1 3 x y 1 y 0.
-2017)
Câu 84. 
2
2 3 2
xy 2x 4y 1
x y 2xy 4x 3y 2
-2017)
Câu 85. 
2
2
3
x y 1 xy x 1
.
2x x y 1
-2017)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
74
Câu 86. 
22
42
y 2x 1 3 5y 6x 3
2y 5x 17x 6 6 15x
-2017)
Câu 87. 
x y 1 y x 1 6
x 1 y 1 1
-2017)
Câu 88. 
22
3 3 2
x 4y 3 4x
x 12x 8y 6x 9
-2016)
Câu 89. 
22
22
4x 1 y 4x
x xy y 1
-2016)
Câu 90. 
33
22
x y 4 4x y
.
y 5x 4

-2016)
Câu 91. 
22
2
2x y 3xy 4x 3y 2 0
x y 3 y x 1 2
-2016)
Câu 92. 
22
22
2x y xy y 5x 2 0
x y x y 4 0
-2016)
Câu 93. 
2
22
y y x 1 1 x 1 0
x y 7x 3 0.
-2016)
Câu 94. 
2
x 5y 20
1 x 1 2x 1 3x 1 3y 1 3y 2x
-2016)
Câu 95. 
22
5x 2y 2xy 2x 4y 24
3x 2x y 1 x y 1 11
-2016)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
75
Câu 96. 
2 2 2
x y z 3
1 1 1 1
x y z 3
x y z 17
-2016)
Câu 97. 
2
2
2
x xy zx 48
y xy yz 12
z zx yz 84

-2016)
Câu 99. 
3 3 2
3
x y 15y 14 3 2y x
4x 6xy 15x 3 0
-2015)
Câu 100. 
22
33
x y xy 2
x y 2x 4y
-2015)
Câu 101. 
22
22
x 1 y y 1 x 2 xy 1
4x y 2x y 6 0
-2015)
Câu 102. 
2 2 2 2
22
x y 2x y
(x y)(1 xy) 4x y

-2015)
Câu 103.
Cho h 
mx 2y 2
2x my 5

(vi
m
là tham s).
a) Gii h 
m 10;
b) Tìm
m
 h m
x
;y
tha mãn
2
2
2015m 14m 8056
x y 2014 .
m4
-2015)
Câu 104. 
2
3x xy 4x 2y 2
x x 1 y y 1 4
-2015)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
76
Câu 105. 
22
x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3
.
x y 10

-2015)
Câu 106. 
3
3
x 2x y
y 2y x


-2015)
Câu 107. 
33
22
4x y x 2y
52x 82xy 21y 9
-2015)
Câu 108. 
22
22
3x 2y 4xy x 8y 4 0
x y 2x y 3 0.
-2015)
HƢỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
Thay
0y
vào h y không tha mãn.
Vi
0y
ta có:
2
2
2
4 1 0
2 7 2
x x y y y
y x y x y
2
2
2
14
2 1 7
x y y x y
y x y x y
2
2
2
1
4
1
27
x
xy
y
x
xy
y
t
2
1x
u
y
,
v x y

22
44
3, 1
5, 9
2 7 2 15 0
u v u v
vu
vu
v u v v





.
Vi
3, 1vu

22
1, 2
1 2 0
2, 5
33
xy
x y x x
xy
x y y x





.
Vi
5v 
,
9u

222
1 9 1 9 9 46 0
5 5 5
x y x y x x
x y y x y x





THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
77
Vy h m
;
1;2 ; 2;5xy
.
Câu 2.
2
24
y 2xy 4 2x 5y 1
5x 7y 18 x 4 2

x,y
.
2
y1
1 y y 2x y 1 4 1 y 0 y 1 y 2x 4 0
y 4 2x


y1
thay vào
2

2
24
42
11
x
5x 11 x 4
5
24x 110x 117 0
2
55 217 55 217
xx
24 24

.

y 4 2x
thay vào
2

24
5x 28 14x 18 x 4
2 2 2 2
x 2x 2 x 2x 2 x 2x 2 6 x 2x 2 0
22
22
22
x 2x 2 2 x 2x 2
x 2x 2 4 x 2x 2
x 2x 2 3 x 2x 2
2
5 7 2 2 7
xy
33
3x 10x 6 0
5 7 2 2 7
xy
33


.

55 217
;1
24




;
55 217
;1
24




;
5 7 2 2 7
;
33





;
5 7 2 2 7
;
33





.
Câu 3.

x 2;x 0
3
3
1
8xy 22y 12x 25 1
x
y 3y x 5 x 2 2
Xét pt (2) ta có:
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
78
3
3
3
2
y 3y x 2 x 2 3 x 2
y x 2 3 y x 2 0
y x 2 y y x 2 x 2 3 0
y x 2
Thay
y
x 2 y 0

3
3
3
3
1
8x x 2 22 x 2 12x 25
x
1
8 x 2 x 2 12 x 2 6 x 2 1
x
1
2 x 2 1
x
1
2 x 2 1
x




01x

2
2
2
2x x 2 1 x
4x x 2 1 x
x 1 4x 1 0
1
x
4

13
y2
42


13
x;y ;
42



Câu 4.
 
y0
không là   (1). 
y0
, ta có:
22
22
22
2
2
x y 1 4y xy y
(1) x xy y 3y 1
x 1 3y xy y
x y 1 y(4 x y) x y 4
(3)
y(3 x y) x y 3
x1
 (2) và (3)
x y 4
xy
x y 3


(4)

x y a

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
79
22
2
a4
a a 3a a 4 a 4a 4 0
a3
(a 2) 0 a 2
x y 2 y 2 x
Thay
y 2 x

2
2 2 2
2
x 2 x 1
2 2 2x x x 3 x x 1 0
1x
1 5 5 5
xy
22



1 5 5 5
;
22




và
1 5 5 5
;
22






Câu 5.

3 3 2 2
x y 4x 4y 12

2 2 2 2 2 2 2 2
(x y)(x y xy) 4x 4y 12 4(x y xy) 4x 4y 12
Suy ra 

2
t 4t 3 0

Câu 6.
2
3
(x y) 4 3y 5x 2 (x 1)(y 1) (1)
3xy 5y 6x 11
5 (2)
x1

x 1;y 1

x
1 a , y 1 b a 0,b 0
22
x a 1;y b 1

2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
22
2
(a b 2) 4 3(b 1) 5(a 1) 2ab
(a b 2) 4 3b 5a 8 2ab 0
(a b 2) 4 4(a b 2) a b 2ab 0
(a b ) (a b) 0
(a b) [(a b) 1] 0
(a b) 0
ab

x 1 y 1 y x 2
(3)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
80
3
(2) 3xy 5y 6x 11 5 x 1
(4)

3
23
23
22
3x(x 2) 5(x 2) 6x 11 5 x 1
3x 6x 5x 10 6x 11 5 x 1
3x 5x 1 5 x 1
3(x x 1) 2(x 1) 5 x 1 x x 1 0
22
2
2
2
3 x x 1 x 1 x x 1 2 x 1 0
x x 1 2 x 1 0
x x 1 4(x 1)
x 5x 3 0
5 37
x
2



5 37 9 37
xy
22


5 37 9 37 5 37 9 37
x;y ; ; ;
2 2 2 2





.
Câu 7.
u kin:
30 xy
và
2 3 1 0 xy
.
T  nht ca h, ta có
3 2 3 1 x y x y
, tc
22xy
.
T u kin
3 0,2 3 1 0 x y x y
, ta phi có
5 2 0y
và
50y
, tc
5
.
2
y
Bây gi, thay
22xy
 hai ca hc:
2
2 1 4 2 54 0 y y y
hay
2
4 6 0 yy
.
Do
5
2
y
nên t 
4y
ng
10x
). Vy h 
nghim duy nht
,
10, 4xy
.
Câu 8.
2
2
13
6 13
6
13
2 2 3 2
2 2. 3 2
6
x
y
xy
x
x x y x
x x x






.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
81
2
2
13
6
24
2
3
x
y
x
x
13
6
1
x
y
x

.
Vy nghim
;xy
ca h 
7
1; 2 , 1; .
3



Câu 9.
22
3x y 1 y 1 3x 1 y 3x y (1)
x y 5 (2)


3x y 0;y 0
(1)
3x y 1 y 1 1 3x y y 1 2 0
3x y 1 0 (3)
3x y y 1 2 0 (4)
(3) y 3x 1

2
22
x 3x 1 5 10x 6x 4 0
x 1 y 2
2 11
xy
55

2 11
x;y ;
55



3y
4 3x y 0 5
2 y 1


y
5 3 3 y 0 5


S
1;2
Câu 10.
u kin
x 8;y 1;x y 0.
H 
2
x 3y 2 (x y)(y 1) 0 (1)
4y
3 8 x x 14y 8 (2)
y 1 1

Nhn xét:
y1
và
y0
không th
x y x y
(1) 2 0
y 1 y 1


xy
1 x 2y 1
y1
. Th 
trình
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
82
2
4 y 1 3 7 2y 4y 10y 11 0
2
4 y 1 2 3 7 2y 1 4y 10y 6 0
23
y 3 2y 1 0. (3)
y 1 2 7 2y 1




Vi
7
1y
2
thì
2 2 2 3 3
; ;2y 1 1
4
y 1 2 3 2 2 7 2y 1
23
2y 1 0
y 1 2 7 2y 1
.

(3) y 3 0 y 3.
x7
thu kin. Vy nghim ca h là
(x;y) (7;3).
Câu 11.
u kinh :
x 0;x 2
y 0;y 2


T 
x
y x y 5 x 1 y 1 4
t
22
22
x 2x a 1
x 1 a
y 2y b 1
y 1 b
ab 4




2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
22
2
1 1 2 1 1 2
33
x 2x y 2y a 1 b 1
a b 2 2 a b 2 2
33
a b a b 1 17 a b
3 a b 6 34 2 a b
a b 8 a b 2ab 8
a b 8 2ab 8 2 4 0
b a 2a 8 a 2
a 2 x 1
TH1:
b 2 y 3
a 2 x 3
TH2 :
b 2 y 1








Vy nghim ca h 
1
;3
và
3
; 1
Câu 12.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
83
t S = x + y
0; P = xy
0, ta có:
2
4S
8
S 5S 6 0
S3
S 2;P
P
(2)
5
4S
6
P
S 3;P 2
S5
S3
S





8
P
5
khi và ch khi x, y là nghim c
2
8
t 2t 0
5
vô
nghim (
3
'0
5
)
S = 3; P = 2 khi và ch khi x, y là nghim c
2
12
t 3t 2 0 t 1; t 2
Vai trò ca x, y trong h y h (2) có hai nghim: (x = 1; y = 2), (x
= 2; y = 1)
Câu 13.
u kinh :
2
2
2
2
x 1 0
x1
y 1 0
y1
xy 2 0
xy 2
x,y 0







H i
2 2 2 2
22
2 2 2 2
22
2 2 2 2 2 2
2
22
11
x y x y (1)
1
xy
x y 2 2 x 1 y 1 xy 2(2)
x 1 y 1 xy 2
(2) x y 2 2 x y x y 1 xy 2
x y xy 2 xy xy 2 0




2
22
2
22
xy 1
x y 1 x y 1 (ktm)
xy 2 (tm)
xy 2 xy 1 0
xy 1 (tm)
xy 2
x y 4 x y 8


xy 2
x y 2 2
x y 2
xy 2
x y 2
x y 2 2



Vy h m
x
;y
tha mãn
2; 2 ; 2; 2
Câu 14.
u kin:
x 1;y 1
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
84
22
2
2
2
2
2
2
y
x
1
x y x y x 1 y 1
x(x 1) y(y 1) (x 1)(y 1)
y 1 x 1
y
x
y
x
1
y
x
1
1
y 1 x 1
y 1 x 1
y 1 x 1



























t
y
x
a ; b .
y 1 x 1


  thành:
2 2 2
b 1 a
a b 1 b 1 a
b 1 a
a0
2a(a 1) 0
a b 1 2a 2a 1 1
a1






x
0
y1
a 0 x 0
y
1
b 1 y 1
x1
(tm)
a 1 x x 1
1
y1
b 0 y 0
y
0
x1















Vy nghim ca h 
(x;y) (1;0)
hoc
(x;y) (0;1)
Câu 15.
Thay giá tr
m1
vào h 
x 2y 4 x 2
I
2x 3y 1 y 1




Vy vi
m1
thì h m
x;
y 2;1
a) Ta có
12
I
23

luôn có nghim (x;y) vi mi
m
2x 4y 2m 6 x m 3 2y
I
2x 3y m 7y m 6
5m 9
x m 3 2y
x
7
m6
m6
y
y
7
7








 bài ta có:
22
P 98 x y 4m
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
85
22
2
2
2
2
5m 9 m 6
P 98. 4m
49 49
2(26m 102m 117) 4m
52m 208m 234
52 m 4m 4 234 52.2
52 m 2 26 26
MinP 26






Dy ra
m 2 0 m 2
Vy
m2
tha mãn yêu cu bài toán
Câu 16.
t
2
u x y
DK : u 4v
v xy

2 2 2
u 2v 5 25 10v v 2v 5 v 12v 20 0
u v 5 u 5 v u 5 v
u3
(tm)
v 10
v2
x 1;y 2
v2
x 2; y 1
u5
(ktm)
u 5 v
v 10




Vy tp nghim ca h 
1
;2 ; 2;1
Câu 17.
2
22
22
x 4xy 4y 2 1 2xy
x 4y 2
x 2y 2. 1 2xy
x 2y 1 2xy 4
x 2y 1 2xy 4
x 2y . 1 2xy 4



t
a x 2y
.
b 1 2xy


 
2
2
2
a
b
a2
a 2b
2
b2
ab 4
a
a. 4
2

2
x1
x 2 2y
x 2 2y
x 2y 2
1
1 2 2 2y y 2
1 2xy 2
4y 4y 1 0
y
2





Vy h m duy nht
1
x;y 1;
2



Câu 18.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
86
Vi th vào ta có
Vy h có hai nghim là
13
0;1 ; ;
22



Câu 19.
2
22
x y x y 18
x y 2xy (x y) 18
xy(x 1)(y 1) 72
xy(xy x y 1) 72


t
x y a,xy b
ta có h  thành:
2
2
22
22
22
2
2
2
4 3 2 2 2
4
a a 18
b (1)
a a 2b 18
2
a a 18 a a 18
b(a b 1) 72
a 1 72(2)
22
(2) a a 18 a 3a 16 288
a 2a 17 a 1 . a 2a 17 a 1 288
a 2a 17 a 1 288
a 4a 4a 68a 34a 289 a 2a 1 288
a4







32
32
3 2 2
2
a 31a 70a 288 288
a a 4a 31a 70 0
a a 5a 9a 45a 14a 70 0
a a 5 a 9a 14 0
a 0 b 9
a 5 b 6
a a 5 a 2 a 7 0
a 2 b 8
a 7 b 12
+) Vi
a0
b9

ta có hai s
,xy
là nghim c
2
X3
X 0X 9 0
X3

Vc hai nghim ca h 
x;
y 3; 3 ; 3;3
3 3 2 3 3
3 6 3 4 0 [( 1) ] 3( 1) 3 0x y x x y x y x y
22
( 1 )[( 1) ( 1) 3] 0 1x y x x y y y x
1yx
22
31x y x
2
0
20
1
2
x
xx
x
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
87
+)Vi
a5
b6
ta có hai s
,xy
là nghim c
2
X2
X 5X 6 0
X3
Vc hai nghim ca h 
3
;2 ; 2;3
+)Vi
a2
b8


ta có hai s
x,y
là nghim c
2
X2
X 2X 8 0
X4

Vc hai nghim ca h 
4;
2 ; 2; 4
+)Vi
a7
b 12

ta có hai s
x,y
là nghim c
2
X3
X 7X 12 0
X4

Vc hai nghim ca h 
x
;y 3; 4 ; 4; 3
Vy ta hai nghim ca h 
x
;y 3; 4 ; 4; 3 ; 4;2 ; 2; 4 ; 3;2 ; 2;3 ; 3; 3 ; 3;3
Câu 20.
Xét
x0
không là nghim ca h 
Xét
x0
i :
2
66
x xy 6 x y x y
xx
c:
2
2
2 2 2
4
42
22
22
66
3x 2x x 3 x 30
xx
108
3x 2x 12 3x 36 30 0
x
2x 6x 108 0
x 9 x 6 0
x 9 0 (Vi x 6 0)
x 3 y 1
x 3 y 1
Vy h m là
3
;1 ; 3; 1
Câu 21.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
88
22
x x y y 0 (x y)(x y 1) 0 x y

x y 1 0

xy

2
x 2x 3 0 x 1

x3
.

(x;y) (1;1)

(x;y) ( 3; 3)

x y 1 0 y 1 x

2
x 2x 3 0 x 1

x3
.

(x;y) (1;0)

(x;y) ( 3;4)

(1;1),( 3; 3),(1;0),( 3;4).
Câu 22.
Ta có h 
2
3x xy 4x 2y 2
x(x 1) y(y 1) 4
2 2 2
2 2 2 2
22
3x xy 4x 2y 2 x x y y 4 (1)
x x y y 4 2x y xy 5x y 2 (*)
* 2x x y 5 y y 2 0 * *






c hai n
x
và y là tham s:
2
2 2 2
y 5 4.2 y y 2 9y 18y 9 9(y 1) 0 y
m:
5 y 3 y 1
2 2y y 1
x
4 4 2
5 y 3 y 1
8 4y
x 2 y
44

2
2
22
2
y 1 y 1 y 1
)x 1 y y 4
2 2 2
y 2y 1 2y 2 4y 4y 16 0
5y 8y 13 0



y 1 x 1
13 4
yx
55

2
2
22
2
) x 2 y 1 2 y 2 y y y 4
4 4y y 2 y y y 4 0
2y 4y 2 0
y1
x 2 1 1

Vy các nghim ca h 
13 4
1;1 ; ;
55




THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
89
Câu 23.
2
2
x 3 x 1 y 2 x 3 (1)
x 1 y 5y 8 y 2 (2)
x 3 0 x 3
1 x 3 x 1 y 2 0
x 1 y 2 x y 1





+) Vi
x3

2
ta có:
2
2
4 y 5y 8 y 2
(vô nghim vì
VT 0;VP 0)
+) Vi
x y 1

2
2
2
22
y 2 0 y 2 (3)
y 2 y 5y 8 y 2
y 5y 8 y 2 (4)
(3) x y 1 2 1 1 x;y 1;2
y 2 0
y2
4 x 4 1 3 x;y 3;4
y 4 (tm)
y 5y 8 y 4y 4


Vy nghim ca h 
x;
y 1;2 ; 3;4
Câu 24.
Ta có:
22
2 4 2 2 4
2 2 2 4
2
2
2
2
2
22
x 2x 2y 3 0 x 2x 1 4 2y
16x 8xy y 2y 4 0 16x 8xy y 4 2y
x 2x 1 16x 8xy y
x 1 4x y
y1
x
x 1 4x y
3
x 1 y 4x y 1
x
5






TH1:
2
y1
x
3
2
42
4 2 2
42
32
2 y 1
y 2y 1
2y 3 0
93
y 2y 1 6y 6 18y 27 0
y 8y 18y 20 0
y 2 y 2y 4y 10 0
y 2 x 1

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
90
TH2:
2
y1
x
5
4 2 2
4 2 2
42
32
y 2y 1 2(y 1)
2y 3 0
25 5
y 2y 1 10y 10 50y 75 0
y 8y 50y 84 0
y 2 y 2y 4y 42 0
y 2 x 1
Vy nghim nguyên duy nht ca h 
1
;2
Câu 25.
i:
3
3 2 3 3
x 6x 12x 8 y 1 x 2 y 1
H  thành:
2
2
22
3 3 2 3
3
x 2 y 1
x y 3 4x
x 12x y 6x 9
x 2 y 1


t
x 2 z
ta có:
2
22
3 3 2 2
y z 1 y z 2yz 1
y z 1 y z y yz z y z 1 yz 1
t
a y z
b yz

ta có h 
2
22
2
2
22
2
a1
b
a 1 a 1
a 2b 1
2
bb
22
a1
a 1 b 1
a 1 1
2a a 1 2 a 2a 1 0
2
a1
a 1 y z 1
b
2
b 0 yz 0
a1













y,z
là hai nghim c
2
y0
z 1 x 3
x0
x x 0
x1
y1
z 0 x 2
Vy h p nghim
3
;0 ; 2;1
Câu 26.
Ta có:
2 2 2 2
(1) x x 2x 2 1 y 1 y y 1 y y 1 y
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
91
(Do
2
y 1 y 0

22
x 1 (x 1) 1 y y 1
22
22
(x 1) y
x y 1 0
(x 1) 1 y 1

22
22
x 1 y
(x y 1) 1 0
(x 1) 1 y 1
x y 1 0
(x 1) 1 (x 1) y 1 y 0 (3)





Do
2
(x 1) 1 x 1 x 1, x
và
2
y 1 y y, y

Thay y = - x - 
x1
4
x
3


y = -2; x =
41
y
33
-2),
41
;
33



.
Câu 27.
Ta có:
2 2 2 2
2x xy y 5x y 2 0 y x 1 y 2x 5x 2 0
2
2
2
x1
x1
y 2x 5x 2 0
24







2 2 2
2
x 1 9x 18x 9 x 1 3x 3
y 0 y 0
2 4 2 2

x 1 3x 3 x 1 3x 3
y y 0
2 2 2 2
y 2x 1 0 y 2x 1
y 2x 1 y x 2 0 .
y x 2 0 y 2 x



ng hp
y 2x 1,
 hai ca h c:
2
22
x1
x 2x 1 x 2x 1 4 0 5x x 4 0 .
4
x
5

ng hp này h m:
4 13
x;y 1;1 , x;y ; .
55



ng hp
y 2 x,
 hai ca h c:
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
92
2
22
x 2 x x 2 x 4 0 2x 4x 2 0 x 1.
ng hp này h t nghim:
x;
y 1;1 .
Vy h m:
4 13
x;y 1;1 , x;y ; .
55



Câu 28.

2x y 9 0
, ta có
2
2
2x y 9 36 x 0 (1)
y xy 9 0 (2)

2
2
2y x x 36
Suy ra (1)
2
2x y 9 0
2x y 9 2y x 0
2y x 0

x6
y3
 
x6
y3
.
Câu 29.
L c:
5 3 3 2
3 2 2 3
2 3 3
2 3 3
y y x y 1
y . y 1 y 1 x
y 1 . y 1 x
1 y 1 y x (*)
Mà t (1)
23
x 1 y
Kt hp vc:
23
2
x 1 y
x 1 y


THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
93
2
23
22
2
2
2
2 3 2
23
2
1 1 y 1 y
1 y . 1 y 1 y 1 y y
1 y . 1 y 1 y 1 y y 0
1 y . 1 y y y 1 y y 0
1 y . 2y y 0
1 y .y . 2 y 0
x0
y1
y1
x1
y0
y0
y2
y2
x3






Vy h p nghim
S
2; 3 ; 0;1 ; 1;0
Câu 30.

6 16
x ,y
53

+)
2
x xy x 3y 6 0 x 3 x y 2 0
x3
y x 2


x3

2
5x 6 16 3y 2x 2x y 4

2
y 13y 9 0
13 133
16 3y y 5 y
2
y5


.
+)
y x 2

2
5x 6 16 3y 2x 2x y 4

22
5x 6 10 3x 2x x 2 5x 6 2 10 3x 2 2x x 6
5 x 2 3 x 2
x 2 2x 3 0
5x 6 2 10 3x 2

53
x 2 2x 3 0
5x 6 2 10 3x 2



x2
53
2x 3 0
5x 6 2 10 3x 2

x 2 y 4

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
94
+) Vì
6 10 5 5 5
x 5x 6 2 2 3 0
5 3 2
5x 6 2 5x 6 2
6 10 3
x 2x 0
53
10 3x 2


53
2x 3 0
5x 6 2 10 3x 2


13 133
2;4 ; 3;
2










Câu 31.
3
3
2
2
27
8x 18
y
4x 6x
1
y
y


3
3
3
(2x) 18
y
33
2x. 2x 3
yy








.

3
a2
y
; b=x
. Ta có
33
a b 3
a b 18
...
ab 1
ab(a b) 3





Gic
3 5 3 5
a ;b
22






hoc
3 5 3 5
a ;b
22






c nghim
x
;y
ca h là
3 5 6 3 5 6
; ; ;
44
3 5 3 5


Câu 32.

x y 0.
T  nhc:
2
2
2
2
2
2
32
42
x 2y xy 2x
x x 2 y 2 x 0
x2
x 2 x y 0
xy
4y 9y 2 0
2 y 2y 2
x 2 2 y 2y 2 y 2
y1
y1
y2
y2
x y 2y y 2 x y 2
y 2 y 2y 2 0
2y y 4y 4




Vy h m duy nht
2
;2
Câu 33.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
95
u kin:
y(x y 1) x 0 x 8
8 x 0 y 1
y 1 0
y x y 1 x 0



2
x 3y 2 y(x y 1) x 0 (1)
4y
3 8 x x 14y 8 (2)
y 1 1

Ta có:
1
y x y 1 x x 3y 2
2
xy y y x x 3y 2
x y y 1 x 3y 2 (*)
t
*
t(x y) k(y 1) x 3y 2
tx k t y k x 3y 2
t1
t1
k t 3
k2
k2



(*) x y y 1 x y 2 y 1
x y 2 y 1 x y y 1 0 (**)
+)TH1:
y
1 * * x 1

2
41
2 3 8 1 1 14.( 1) 8
1 1 1
3.3 4 7
(vô lý)
+)TH2: Chia c 2 v c
y1
c:
2
xy
1 (tm)
y1
x y x y
x1
* * 2 0 x y y 1 y
y 1 y 1 2
xy
2 (ktm)
y1







2
2
x1
4.
x1
2
2 3 8 x x 14. 8
2
x1
11
2
2 x 1
3 8 x x 7x 1 0
x1
1
2

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
96
t
2
2 x 1
f(x) 3 8 x x 7x 1
x1
1
2
Ta có:
f( 1) 6 ;f(8) 11 2 f( 1).f(8) 66 36 2 0
3
có ít nht mt nghin
1;8


Li có:
f(7) 0 x 7
là nghim ca (3)
71
y3
2
Vy h m
x;
y 7;3
Câu 34.

2
x 2y 4xy
x 2y xy 2
4


a
b xy
x 2y

2
a b 2
a 4b 4




a 2 x 2y 2 x 0 x 2
b 0 xy 0 y 1 y 0
Câu 35.

x 0;y 0
.
Ta có
x 16
x 16
xy (1)
xy
y3
y3
y
x5
y
9
(2)
xy
x y 6
x2









22
6y 6x 5xy (2x 3y)(3x 2y) 0
.

3y
2x 3y 0 x
2
.

3y
3 16
y.
2 2 3

.
2
3y
23
26
.

2y
3x 2y 0 x
3
.

2
y 9 y 3
.

y 3 x 2
(TM).

y 3 x 2
(TM).
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
97

x
;y 2;3 ; x;y 2; 3
.
Câu 36.
u kinh:
x2
i:
3
3
22
2
2
2
2
x 2 x 2 y y
x 2 y x 4x 4 y x 2 y 1 0
x3
x y 2 y 1 x 2 1 0
24
x3
x y 2 0 do y 1 x 2 1 1
24
y x 2


















1
c:
2
4 y 2 3 y 2 3y 3y 10
Áp d
2
22
VT 2 2y.2 2 3 y 2 2y 2 3 y 2 3y 7
VP 3y 3y 10 3y 7 3y 6y 3 3 y 1 0
m duy nht
y 1 0 y 1 x y 2 1 2 1(tm)
Vy h m
x;
y 1;1
Câu 37.
22
x 4y 2
x 2y 1 2xy 4

22
x 4y 2
x 2y 2 4xy 8

22
22
x 4y 2
x 2y x 4y 4xy 8

22
3
x 4y 2
x 2y 8


22
x 4y 2
x 2 2y


2
8y 8y 2 0
x 2 2y

1
y
2
x1

Câu 38.
Ta có:
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
98
2
22
22
22
x 1 y 1 10
x y xy 1 10
x y xy 1 3
(x y)(xy 1) 3
x y 2xy xy 1 10
(x y)(xy 1) 3



t
x y u
xy 1 v


thì h 
22
22
u v 10
u v 2uv 10 u v 16
uv 3
uv 3 uv 3





u v 4
u 1,v 3
u v 4
uv 3
u 3,v 1
u v 4
u 1,v 3
u v 4
uv 3
u 3,v 1
uv 3





x y 1 x y 1
VN
xy 1 3 xy 4
x
x 2; y 1
x y 3 x y 3
x 1;y 2
xy 1 1 xy 2
x 1;y 2
x y 1 x y 1
x 2; y 1
xy 1 3 xy 2
x 0; y 3
x y 3 x y 3
x 3; y 0
xy 1 1 xy 0


























2; y 1
x 1;y 2
x 1;y 2
x 2; y 1
x 0; y 3
x 3; y 0



Vy h p nghim
S
1;2 ; 2;1 ; 1; 2 ; 2;1 ; 0;3 ; 3;0
Câu 39.
22
2x y xy x y 0 1
2x y 2 2 2x 0 2
u kin:
2x y 2
(1)
x
y 2x y x y 0 x y 2x y 1 0
xy
vì
2x y 1 0
do
2x y 2
.
Th
yx
c
3x 2 2x 2
2
x1
x 2.
4x 11x 6 0
Vi
x 2 y 2
(thu kin)
Vy h m duy nht
x;
y 2;2
.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
99
Câu 40.
22
x y 2y 1 (1)
xy x 1 (2)


x0

01
(vô lí).

x0
, ta có:
2 2 2 2
22
2
2 4 2
2
22
x y 2y 1 2 x (y 1) 2
x y 2y 1
11
xy x 1
y 1 y 1
xx
1
x 2 x 1 2x (do x 0)
x
x 1 0 x 1 0 x 1









1
x 1 y 1 y 2
1

1
x 1 y 1 y 0
1
  là
(
x,y) (1;2),( 1;0)
.
Câu 41.
22
22
2x xy y 3y 2 1
x y 3 2

T (1) ta có
22
y y x 3 2 2x 0
c hai theo bin y (x
là tham s).
22
2 2 2 2
x 3 4 2 2x x 6x 9 8 8x 9x 6x 1 3x 1 0
.
m là
x 3 3x 1
y 2x 2
2
và
x 3 3x 1
y x 1
2
.
+ Nu
y 2x 2
c
2
2 2 2 2
x 2x 2 3 x 4x 8x 4 3 3x 8x 7 0

nghim).
+ Nu
y x 1
c
2
2
x x 1 3 2x 1 3 x 2 y 1
.
Vy tp nghim
S
2; 1
.
Câu 42.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
100
  xác     trình là
x R;y R
.     trình 
cho ta 
2
2
22
2
2
2
2
2
22
2
22
x xy y 3y 1 0
x y xy 3y 1
x y 1 xy 3y
y
y
x y 1
x y 1
x y 1
xy
1x
1x
1x
y x y 3 y x y 1 2
x 1 y x y 3 0
1 0 1 0
x 1 x 1
y
yy
x y 1
x y 1 x y 1
1x
1 x 1 x










2
y
a x y 1;b
1x
, khi  ta thu    trình
2
1 b a 2 0 1 a a 2 0
a 2a 1 0
a b 1
ab
a b a b




  ta có   trình
22
2
1 5 5 5
x y 1 1
x ; y
y 2 x y 2 x
22
y
y x 1 x x 1 0
1
1 5 5 5
x ;y
1x
22





  trình  cho có các  là
1 5 5 5 1 5 5 5
x;y ; , ;
2 2 2 2
Câu 43.
33
22
x 4y y 16x
1 y 5(1 x )
(I)
Xét x = 0, h (I) tr thành

3
2
4y y
y2
y4
t

y
t y xt
x
. H (I) tr thành
 
3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2
x 4xt x t 16x x (t 1) 4xt 16x x (t 1) 4x(t 4)(1)
1 x t 5(1 x ) x (t 5) 4 4 x (t 5)(2)
Nhân tng v c qu
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
101



3 3 3 2
3 3 2
2
4x (t 1) 4x (t 4)(t 5)
t 1 t 4t 5t 20 (Do x 0)
<=>4t 5t 21 0
t3
7
t
4
+ Vi t = 3, thay c x
2
= 1 ⇔ x = ±1.
x = 1 thì y = 3, th li (1;3) là mt nghim ca (I)
x = 1 thì y = 3, th li (1;3) là mt nghim ca (I)
+ Vi t =
7
4
, c

2
64
x
31
(loi)
Vy h (I) có các nghim (0;2), (0;2), (1;3), (1;3).
Câu 44.
u kin:



2
x0
y0
x0
x 3 0
y0
x 3x 0




yx
1
(1) (x y)(x 2y) (x y) x 2y 0 x y
y x y x
do
1
x 2y 0, x,y 0
yx
c:

22
2
3
( x 3 x)(1 x 3x) 3 1 x 3x
x 3 x
1 x 3x x 3 x x 3. x x 3 x 1 0
( x 1 1)( x 1) 0
x 3 1 x 2(L)
x y 1
x 1(tm)
x1
Vy h có nghim duy nht (1;1)
Câu 45.

22
x1
x xy 1 0

1
, ta có
0.y

1
, ta có
2
4 x 1 xy y 4 0
2
4 x 1 xy y 4
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
102
2 2 2
16 x 1 x y y 4
4 2 2
y 4y x 16x 16 0
.

x

2
4
x
y


2
4
x0
y4


2
2
4
x xy 4
y

2

2
x 3 3 x 1 4

x3
, ta có
2
x 3 3 x 1 4
2
x 3 1 3 x 1 1 0


2
2
3 x 2
x4
0
x 1 1
x 3 1






2
x 2 3
x 2 0
x 1 1
x 3 1
x 2 0
( vì



2
x 2 3
0
x 1 1
x 3 1
)
x 2.

x2
ta có

2
y2
y2
y0


2; 2
.
Câu 46.
 0; y 0 .













11
x y 4
xy
11
x . y 4
xy


1
ux
x
;

1
vy
y

u v 4
uv 4

u 2; v 2
.
1 ; y = 1 ; 1).
Câu 47.





22
2 2 2 2
x 2xy x 2y 3 0 (1) 2x 4xy 2x 4y 6 0
y x 2xy 2x 2 0 (2) y x 2xy 2x 2 0
22
x y 2xy 4x 4y 4 0
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
103
2
x y 2 0
y x 2


2
5 21
x 5x 1 0 x
2

(x;y)
là
5 21 1 21 5 21 1 21
; , ;
2 2 2 2
.
Câu 48.
H i
2
2
x 4x . 4x y 6
x 4x 4x y 5
Suy ra
2
x
+ 4x và 4x + y là 2 nghim c


2
t2
t 5x 6 0 (t 2)(t 3) 0
t3
Vy h i
2
x 4x 2
(I)
4x y 3
hoc
2
x 4x 3
(II)
4x y 2
Gii (I):
22
x 2 2 y 3 4x 5 4 2
x 4x 2 (x 2) 2
x 2 2 y 3 4x 5 4 2
Gii (II):
2
x 1 y 2 4x 2
x 4x 3 0 (x 1)(x 3)
x 3 y 2 4x 10
Vy h m
2 2;5 4 2 , 2 2;5 4 2 , 1;2 , 3;10
Câu 49. a) Khi
a1

22
x1
y2
x y 3
x y 3
xy 2
x y 5
x2
y1





 
12
;
21
xx
yy





2 2 2
x y 2a 1(1)
b)
x y 2a 4a 1(2)

y 2a 1 x
Thay vào (2) ta có:
22
x 2a 1 x a 1 0(3)
4
2
3
4
2
3
a
k4
k8
3k 6
2
4k 4
a 16
a 240
4
2k 4
12k 6
32k 4











THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
104

(3)

0
3
4a 3 0 a
4
.

3
a
4

2
xy a 1
Vì
3
a
4
nên
2
25
a1
16


3
a
4
.

25
min(xy)
16
Câu 50.
Ta có:
22
2
x xy 2y 0 (1)
xy 3y x 3 (2)

22
x y y x y 0
x
y x 2y 0
,
x = y x = -2y
x = y
2
4x x 3 0

12
3
x 1,x
4
.

1 1 2 2
3
x y 1,x y
4
.
x = -2y
2
y 2y 3 0

12
y 1,y 3

y 1 x 2

y 3 x 6
.
-1; -1);
33
;
44



; (2; -1); (-6; 3).
Câu 51.
a.  3

2x 2y 12
x 5y 2

x y 6
x 5y 2

x7
y1

x
;y

7
;1
b. 
m1
m1
1 m 2

m
1 m 2 m 1
m
1 m 2 m 1 0
m
1 m 1 0
m 1 0
m 1 0


m1
m1


m1
và
m1
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
105

(m 1)x (m 1)y 4m
x (m 2)y 2
khi
m1
m1

(m 1)x (m 1)y 4m
x (m 2)y 2
4m
xy
m1
x (m 2)y 2

4m
xy
m1
2
y
m1

4m 2
x
m1
2
y
m1
.

4m 2 2
;
m 1 m 1





Câu 52.

y x 3 y 3 x y 3 0 y 3 y 3
1
x
x y 3 1 x y 3 1 x y 4 2 x 1
2
7
y x 3 y x 3 y x 3 y x 3
y
2






1 7 1 7
; , ;
2 2 2 2
Câu 53. 1. 
x y 2
2x y 3


x1
x y 2

x1
y1

x1
y1
 
m 1 x y 2
mx y m 1
x m 1 2
mx y m 1
x m 1
y m m 1 m 1

2
x m 1
y m 2m 1


THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
106
2
x m 1
y m 2m 1

 2x + y = m
2
+ 4m 1
= 3 (m 2)
2
m vì (m 2)
2
0

y 3.
Câu 54.
 :
22
x + y + z=1 x + y = 1 - z
2x + 2y - 2xy + z =1 2xy = z + 2(x + y) - 1





22
x + y = 1 - z
2xy = z - 2z + 1 = (1- z)
2
2xy = (x + y)
22
x + y = 0 x = y = 0 z = 1
.
 ;y ;z) = (0 ;0; 1).
Câu 55.

y0
.
(1)
2
xy
x y x 1 0
x1

.

x1

y 1 0 y 1
.

x y 0

4
2 x 1 4 x 2 0
(3)
do
4 4 2
2 x 1 2.2 x .1 4x
4
2 x 1 2 x 2x
.
nên
2
VT(3) 2(x-2 x 1) 2 x 1 0.

4
x1
x 1 y 1
x 1 0

.

x 1 x 1
;
y 1 y 1




Câu 56.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
107
2
x y 1 z
2xy z 2(x y) 1
22
x y 1 z
2xy z 2z 1 (1 z)
2xy = (x + y)
2
x
2
+ y
2
= 0
x = y = 0; z =1

Câu 57.

 
 
 

Câu 58. 
2
= 25

22
2x 3y 5
x y 2


và
22
2x 3y 5
x y 2


Câu 59.
.
22
22
(x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1)
x + z - 4(y+z)+8=0 (2)
2 2 2 2
(1) x x 2012 y y 2012 y 2012 y 2012 y 2012 y
(Do
2
y 2012 y 0 y
)
0xy
,a x y b xy
0b
22
3
2 18
ab
ab


3ab
2
2
3
2 18bb
2
6 9 0 3b b b
;
6;3ab
6
3
xy
xy

63
93
x y x
xy y





;
3;3xy
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
108
2 2 2 2
22
2 2 2 2
22
x x 2012 2012 2012 y 2012 y x x 2012 y 2012 y
x y y 2012 x 2012
y 2012 x 2012 y 2012 x 2012
xy
y 2012 x 2012
22
22
2 2 2 2
y 2012 y x 2012 x
yx
x y (x y) 0
y 2012 x 2012 y 2012 x 2012
Do
2
22
2
y 2012 |y| y y
y 2012 y x 2012 x 0 y x
x 2012 |x| x x
Thay y = -x vào(2)
2 2 2 2
x z 4x 4z 8 0 (x 2) (z 2) 0
2
2
(x 2) 0 x 2
y x 2
z2
(z 2) 0


-2;2;2).
Câu 60.
22
2
x y xy 3 (1)
xy 3x 4 (2)


x

2
4 3x
y
x
, thay vào (1) ta có:
2
22
2
4 3x 4 3x
x x. 3
xx




42
7x 23x 16 0

2
x 1

2
16
x =
7

2
x 1 x 1 y 1
;
2
16 4 7 5 7
x x y
7 7 7
-1; -1);
4 7 5 7
;
77




;
4 7 5 7
;
77




Câu 61.

x0
(*)
y0

yx
1
1
(y x) x 2y 0
x 2y 0
yx
yx




THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
109

yx

22
( x 3 x)(1 x 3x) 3 1 x 3x x 3 x ( x 3 1)( x 1) 0

x 3 x

t x 3 x


x 3 1 x 2 (L)
x 1 y 1
x1

+) Vì
x 0;y 0
nên
1
x 2y 0
yx


x;
y 1;1 .
Câu 62.
+) Ta có
22
PT(1) 2x xy 4xy 2y 4x 2y 10xy 4x 2y
2 2 2 2
2x 5xy 2y 0 2x 4xy (2y xy) 0 2x(x 2y) y(x 2y) 0
x 2y 0 x 2y
(x 2y)(2x y) 0
2x y 0 y 2x




x 2y

2
x 2y
x 7y 3
2
x1
x 2y
y2
x 2y
x1
3
x
4y 7y 3 0
3
4
x
3
4
y
2



y 2x

2
y 2x
x 7y 3
2
x 7 46
x 2y
y 14 2 46
y 2x
x 7 46
x 14x 3 0
x 7 46
x 7 46
y 14 2 46









THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
110
3
x
x1
4
,
y 2 3
y
2

,
x 7 46 x 7 46
;
y 14 2 46 y 14 2 46





.
Câu 63.
a) Khi m =
2

2x y 2
3x 2y 5


2 2 5
2x 2y 2 2
x
5
3x 2y 5
y 2x 2







2 2 5
x
5
5 2 6
y
5
 
22
2m 5 5m 6
x ; y
m 3 m 3




2
2
m
x y 1
m3

2
2 2 2
2m 5 5m 6 m
1
m 3 m 3 m 3


4
m
7
Câu 64.
V
x,y 9

22
22
x 9 (9 y) (1)
y 9 (9 x) (2)

xy
(x y)(x y 9) 0
y 9 x

.
x = y, 18x -72 = 0
x y 4
.
y = 9 x, 
x;y)= (4;4).
Câu 65.
H 
2xy (x 2y) 20
x 2y
4
xy 3

 có dng
u 2v 20
3u 4v

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
111
u8
v6
 
x 2y 8 (1)
xy 6 (2)

Rút x t c y = 1 hoc y = 3
Kt lun h m (x;y) = ( 6 ; 1) ; ( 2 ; 3)
Câu 66.
 7

u x 3
0 ,
v y 7
0 x = u
2
+3, y = v
2
7

22
u v 17
u v 5


u.v 4
u v 5


2
5X + 4 = 0 

6)
Câu 67.
22
22
22
22
22
2 2 2 2
x y 1 x y 3 0
x 2y 3 y 4x
x 2 y 1 0
x y 5
x y 5
x y 5
x y 1 0 x y 3 0
x y 5 x y 5










+ TH1:
2
22
x y 1 0
x 1 x 2
x x 2 0
y 2 y 1
x y 5 y x 1






+ TH1:
2
22
x y 3 0
x 1 x 2
x 3x 2 0
y 2 y 1
x y 5 y x 3








-1;-2), (2;1), (1;2).
Câu 68.
Ta có:
2
2
x xy 4x 6 (1)
y xy 1 (2)


2
y1
x
y

(3)

4y
3
+ 7y
2
+ 4y + 1 = 0
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
112
(y + 1)(4y
2

y = 1
y = 1 x = 2

Câu 69.
3
3
6
x 2 (1)
y
8
3x 2 (2)
y


y0
Công PT (1) v c
32
32
8 6 2 2x 4
x 3x 0 x x 3 0
y y y
yy
TH1:
2
x
y
c:
3 2 2
3
86
2 2y 6y 8 0 (y 1)(y 2) 0
y
y
y 1 x 2
;
y 2 x 1
TH2:
22
2 2 2
2x 4 2x 1 1
x 3 0 x 3 0
yy
y y y
2
2
11
30x
yy



( PT vô nghim)
Vy h m (x;y) = (2;1), (-1;-2)
Câu 70.
H i
t c h 
t u kin . H trên tr thành
(tha mãn) hoc (loi)
13131
131
22
yxyx
yx
3;1 ybxa
1
12
1
1
2
22
baab
abba
baab
ba
;,S a b P ab
PS 4
2
0
1
1
12
2
P
S
SP
PS
4
3
P
S
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
113
+)
+)
Vy h m là (0;3), (1;2)
Câu 71.
3) Cho (x, y) là nghim ca h 
x y m 1
2x 3y m 3
(vi m là tham s thc).
 biu thc
2
P x 8y
t giá tr nh nht.
4) Gii h 
22
33
x y 1
x y 1

(vi x, y thuc R).
-2019)
Lời giải
1) Gii:
t
Ta có:
Câu 72.
Tr theo v c:
1
0
0
1
0
1
0
1
b
a
b
a
ab
ba
P
S
3
0
03
11
0
1
y
x
y
x
b
a
2
1
13
01
1
0
y
x
y
x
b
a
2
22
33
3
x y 2xy 1
x y 1
x y 1
(x y) 3xy x y 1



x y S
xy P
2
2
2
32
33
3
1S
1S
P
S 2P 1
P
2
2
S 3SP 1 1 S
2S 3S 3S 2 0
S 3S. 1
2



22
2
22
3
1 S 1 S
1S
PP
P
22
2
S 1 5S 5S 2 0 S 1 5S 5S 2 0
5S 3S 2 0




2
2
1S
P
2
S 1 0
5S 5S 2 0 (vn)

P0
S1


x0
y1
x y 1
xy 0
y0
x1




THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
114
hoc
Trƣờng hợp 1: . Thay 
Gii h c: .
Trƣờng hợp 2: .
Xét
Ta có: .
:
Suy ra: ng hp 2 không xy ra.
Vy h có nghim duy nht: .
Cách 2 :
Tr theo v 
hoc :
Cng theo v các bc : , ng hp
không xy ra.
ng hp c: .
Câu 73.
Ta có
t ta có h 
22
22
1 1 3 0 3 0
11
xy
x y x y x y
xy




0xy
22
3 0 (*)
11
xy
xy

0x y x y
yx
2
11xx
2
2
11
1
xx
x

00x x y
22
30
11
xy
xy

22
2 2 2 2
3 1 3 1
3.
1 1 1 1
x x y y
xy
A
x y x y
22
3 1 3 3 2 0x x x x x x x x x
2
3 1 0yy
0A
0xy
22
22
2 2 2
2 2 2
1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
2 1 1 (1)
2 1 1 (2)
1 4 4 1 4 2 (3)
1 4 4 1 4 2 (4)
x x y x y x
y y x y x y
yx
xy
x y y xy x x
y x x xy y y





4
6 0x y x y x y


4
6 0xy
0xy
4
6 0xy
xy
0xy
22
2 2 2 2
2 2 4 1 2 4
26
*
1 2 8
1 2 8 1 2 8
x y y x y
xy x y
xy
x y x y






1; 2a x b y
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
115
.
Nghim ca h 
3.  m ca và là hay
và ct nhau tm phân bit khi và ch khi có hai nghim phân
bit
Do thuc nên  bài ta có
Theo h thc Viet ta có :
Nu thì (loi).
Nu thì (nhn). Vy là giá tr cn tìm.
Câu 74.
Gii h 
Th c
Nu thì t (1) suy ra không tha mãn PT (2).
Xét PT
t c
Vi c
Vi
22
22
. 4 . 4
.4
*
8
2 8 16
a b a b
ab
ab
a b ab a b






. 4 2 1 2 1
.4
4 2 2 2 4
4
. 4 2 1 2 3
4
4 2 2 2 0
a b a x x
ab
a b b y y
ab
a b a x x
ab
a b b y y

1
;4 ; 3;0S 
d
P
2
21x x m
2
2 1 0 1x x m
d
P
1
'
1 1 0 0mm
,AB
P
22
1 1 2 2
;y x y x
2
12
1 2 1 2 1 2 1 2
12
.4
. . 12 . . 12 0
.3
xx
y y x x x x x x
xx

12
12
2
.1
xx
x x m

12
.4xx
1 4 3mm
12
.3xx
1 3 4mm
4m
32
22
2 12 0 (1)
8 12 (2)
x xy y
yx

3 2 2 3
2 8 0x x y xy y
0y
0x
0y
32
(3) 2. 8 0
x x x
y y y
x
t
y
32
2 8 0t t t
2
2
20
2 4 0 2
40
t
t t t t
tt

22t x y
2
1 1 1y y y
12yx
12yx
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
116
Vy h m .
Câu 75.
Ta có:
.
Vi c: .
Vi c:
t  thành:
 có nên vô nghim.

Vi Vi
Vy h m:
Câu 76.
u kin: .

(vì vi th )
Thay  (2) ca h c pt
2
;1 ; 2; 1
2
2
3
(y 2x)(1 y x) 2x x 1
x(y 1) x y 2 2
1
(y 2x)(1 y) x(y 2x) x(2x 1) 0
y1
y 2x 1 y x y 1 0 1 y y x 0
yx
y1
3
22
x 1 2 x 1 8 x 3
yx
33
2 2 2
x x 1 x x 2 x x x x 2 0.
3
2
t x x
32
2
t1
t t 2 0 (t 1)(t t 2) 0 .
t t 2 0 3
3
70
22
15
t 1 x x 1 x x 1 0 x .
2
1 5 1 5
x y .
22

1 5 1 5
x y .
22

1 5 1 5 1 5 1 5
x;y 3;1 , 3;1 , ; , ;
2 2 2 2






0
1*
0
xy
xy
x

22
1 2 1 1 2 1
1 4 0 0
x y x y x y x y
xy x y xy x y

22
1 1 2 1
0 1 0
x y x y
x y x y x y
xy
xy x y xy x y

1 0 1x y y x
,xy
22
0x y x y
1yx
22
4 5 1 13 6 0 4 5 8 6 0x x x x x x
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
117
+) (m vì ).
+) .
Vi thu kin (*).
Vy h m là:
Câu 77.
u kin:
Nhn xét:
.
Không thu kin.
.
Không th .

2
2
2
4 4 1 6 9 2 1 3x x x x x x
2 1 3 2 2
2 1 3 4 2
x x x x
x x x x





2
71
2 2 0
42
x x x x



0x
2
2
2
17 33
4 2 0
2
17 33
42
8
8
4 17 16 0
42
17 33
8
x
x
x
x
x x x
xx
xx
x


17 33 33 9
88
xy

;xy
17 33 33 9
;.
88





3 3 2
2x y 1 3y 1 x x 2y
2.
x 3x 2 2y y *
2x y 1 0
x 2y 0
x0
1
y
3


x0
2x y 1 x 0
y1


2
x
3
3y 1 x 2y 0
1
y
3

*
2x y 1 3y 1 x x 2y
2x y 1 x 3y 1 x 2y 0
x y 1 x y 1
0
2x y 1 x 3y 1 x 2y
11
(x y 1) 0
2x y 1 x 3y 1 x 2y




THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
118
Vi  ta có
Vi
Ta có
Cng v vi v c
Thay vào c
do .
Vy h có các nghim .
Cách 2:  PT th nht
PT th nht
.
Câu 78.

Ta có
Vì nên 
c
V t
y x 1
2x y 1 x 3y 1 x 2y
y x 1
*
2 3 2 2
x1
(x 1) (x 2) 2(x 1) (x 1) (x 1) (x 5) 0
x5

x 1 0; y54y x
2x y 1 x 3y 1 x 2y
2x y 1 3y 1 x x 2y
2x y 1 x 3y 1 x 2y
x1
x 3y 1
3
y
*
32
2
21
(x 1) (x 2) x 1 x 1
27 9
2
(x 1) (25x 59 0 1x)
(x 0)
(x;y) (1;0);(5;4)
2x y 1 3y 1 x x 2y
22
x 4xy 3y 2x 4y 1 0 x y 1 x 3y 1 0
1
,
2
xy
2
3 2 1 4x y y x
22
3 3 2 2 4 0 1 2 1 4 1 0
2 4 1 0.
xy x y y x x x y y x y x y
x y x y
1
,
2
xy
2 4 0xy
1 0 1x y y x
2
4 4 1
2 1 3 2
2
xx
xx

13
22
x
2
2
2 2 2 4 2
22
2 1 3 2 0 4 2 2 1 3 2
4 1 4 4 1 8
4 4 3 4 4 1 4
2 2 2 8
x x t t x x
t t x x t t
x x x x



THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
119

Vì nên hoc
Xét ta có
Xét ta có (Vô lí)
i chia h  m
Câu 79.

 c h
t  ), ta có h
T (4) rút , th c
hoc .
ng hp loi vì
Vi (th
Gii h trên bng cách th c
. Vy h có nghim duy nht
Câu 80.
T  hai ta có: th  nhc:
42
32
8
8 8 0 2 2 4 0
8
tt
t t t t t t t t
0t
2t
51t 
2t
2
31
22
4 4 3 0 2 3 2 1 0
13
22
xy
x x x x
xy
51t 
2
22
5 1 2
4 4 3 4 4 3 1 5 0
2
x x x x

1 3 3 1
; ; ;
2 2 2 2

0xy
2
()xy
22
2
5
8( ) 4 13
()
1
21
x y xy
xy
x
xy

2
22
2
2
1
1
5 ( ) 3( ) 13
5 3( ) 23
()
1
1
( ) 1
( ) 1
x y x y
x y x y
xy
xy
x y x y
x y x y
xy
xy















1
,u x y v x y
xy
| | 2u
22
5 3 23 (3)
1 (4)
uv
uv


1uv
2 2 2
5 3(1 ) 23 4 3 10 0 2u u u u u
5
4
u 
5
4
u 
2.u
21uv
1
2
1
xy
xy
xy
1xy
1
2 1 2 1
21
yy
y
( , ) (0;1).xy
x 2 2y
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
120
(3)
H có nghim là các s nguyên có nghim là s nguyên.
Vi có nghim
Vy có 2 giá tr tho mãn là 1; 2.
Câu 81.
Ta có:
Th 
Vy h m
Câu 82.
 :
-  ;
-  :

-  -

(m 1)(2 2y ) y 2
(2m 3)y 2m 4
x,y
(3)
y
m 2m 3 0 (3)
2m 4
y
2m 3
1
1
2m 3

2m 3 1
y
2m 3 1

m2
m1
m
3 3 3 2 2
3 3 3 3 3
2 2 2
2
x x y x x y x x y xy x y
x x y x y x y
2 2 2
2 2 2 2x y xy x x y
, 2; 2 ; 2; 2xy
22
22
2 (1)
2 (2)
x xy
y x y


2 2 2 2
(3)
( )( ) 0
0 (4)
xy
x y xy x y x y xy x y
xy x y
2 3 2
1
2 ( 1)( 2 2) 0 1 2
12
x
x x x x x x
x


( 1; 1); (1 2;1 2); (1 2;1 2)
1
x
y
x
23
4 3 2
2
2 4 2 0
( 1) 1
xx
x x x x
xx

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
121
 )
-   

-   

 :
; ;
Câu 83.

(1)
TH1: , suy ra không tha mãn h.
TH2: x - y = 0 hay y = x th c :
Vy h m : và
Câu 84.
(*)
(  )
-  
2 2 2
( 2 2)( 1) 0 1 0x x x x x x
22
2 2 ( 1) 1 0x x x
15
15
x
x


51
1 5 3 5
25
xy
( ; ) (1 5; 3 5)xy
51
1 5 3 5
25
xy

( ; ) (1 5; 3 5)xy
( 1; 1); (1 2;1 2); (1 2;1 2)
(1 5; 3 5)
(1 5; 3 5)
2 2 3
2
x xy xy y 0 1
2 x 1 3 x y 1 y 0 2
0
2
2
x y 0
x y x y 0
x y 0


2
x y 0
x y 0
2
2 x 1 3 x x 1 x 0
2
2x 3x x x 3 x 2 0
x 2 2 x 1 x x 1 0
x4
x2
1
1
x.
x
4
2

x;
y 4;4
11
x;y ; .
44



2
2 3 2
2 4 1
2 4 3 2
xy x y
x y xy x y
2
22
(2 1) 4
( 2 1) 2(2 1) 2
xy x y
x y xy y x y
2y
3y
0y
2 1 0
1
2(2 1) 0
2
x
x
x

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
122
Suy ra 
-  
(**)
  (***)
 , .
  
  
 , , .
Cách khác:
  .
   .
  .
1
2
0
x
y

0y
2 2 2
2 1 2 1
4 ( 1) 5
2 1 2 1
2 1 2 2 ( 1) 2 2
xx
xy xy
yy
xx
x y xy xy
yy









21
1,
2
x
a xy b
2
5
22
ab
ab

2
3
a
b
4
9
a
b

2
3
a
b
21
12
1
1
3
21
3
1
21
3
x
xy
x
x
x
y
x
y
y







3
2
2
3
x
y


4
9
a
b

21
14
5
9
21
9
21
9
x
xy
x
x
x
y
y







1
2
0
x
y

1
1
x
y
3
2
2
3
x
y


22
2 3 2 2 3 2
2 4 1 (2 1) 4
2 4 3 2 2 (4 2) 3
xy x y xy x y
x y xy x y x y xy x y





2
2 3 2
2 3 2
2 (4 2) 8
50
2 (4 2) 3
xy x y
x y xy y
x y xy x y
0
1
5
y
xy
xy


0y
1
( ; ) ( ;0)
2
xy
1xy
( ; ) (1;1)xy
32
( ; ) ( ; )
23
xy
5xy 
( ; )xy
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
123
 , , .
Câu 85.
t ta có h
Vy nghim ca h 
Câu 86.
u kin:  i
Vi c  
trình th nhc hay
Vn thng x 
t n ph c h 
trình
T h c .
Chú ý là nên t c và .
Vi c , loi
Vi c suy ra hoc .
T c
1
2
0
x
y

1
1
x
y
3
2
2
3
x
y


22
22
33
1 1 1 1 1
2 1 2 1
x y xy x x y x y
I II
x x y x x y





1ty
22
22
2 2 2
1
1
1
.
1
2
x t xt
xt
x t xt
xt
x x t x t x
t
I
x
I

;
1;0 ; 1; 2 .xy
1
x
2
44
4
2
x
2y 5x 2 x 3 3 2 5x 5x 2 2y x 3 3 0
5
2y x 3 3 0


4
2y x 3 3 0
42
33
yy
6 2x 6 2x

33
. 2x 1 3 5 6x 3
6 2x 6 2x

6x 3 3 6 2x 5 3 6x 3 6 2x
a 6x 3 0; b 3 6 2x 0
22
2
22
a b 15
a b 15
3 a b 45 6ab
ab
a b 5 3
3 a b ab 15
3 a b 15 ab
3



22
45 6ab 15 ab ab 36ab 180 0
ab 0
ab 6
ab 30
ab 30
a b 5 3
ab 6
a b 3 3
a 2 3;b 3
a 3;b 2 3
a 2 3;b 3
6x 3 2 3
5
x
2
3 6 2x 3



THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
124
T c
 i xng nên ta có th gic h trên.
ng 2. Nhn tht nghim nên ta s dng
liên hp
 .
c vit li thành.
T các kt qu c nghim ca h 
Câu 87.
C u có hng t xy nên ta s tìm cách trit tiêu, lúc này bài toán
có th gic. H i
a 2 3;b 3
6x 3 3
x1
3 6 2x 2 3



x1
2
2
2
2
6x 3 3 6 2x 5 3 6x 3 6 2x
6x 3 3 3 6 2x 2 3 2 3 12x 42x 18
6x 6 6 6x 12x 42x 30
6x 3 3
3 6 2x 2 3
2 3 12x 42x 18
1 1 2x 5
6x 6 0
6x 3 3
3 6 2x 2 3
2 3 12x 42x 18








2
1 1 2x 5
0
6x 3 3
3 6 2x 2 3
2 3 12x 42x 18


2
2
2
2
1 1 2x 5
0
2x 1 1 6 2x 2
2 4x 14x 6
6 2x 2 2x 1 1 5 2x
0
2x 1 1 2x 1 1
2 4x 14x 6
6 2x 1 2 2x 1 5 2x
0
2x 1 1 2x 1 1
2 4x 14x 6
5 2x 5 2x
5 2x
6 2x 1 2 2x 1
0
2x 1 1 2x 1 1
2 4x 14x 6
11
6 2x 1 2 2x 1
5 2x
2x


2
15
0x
2
1 1 2x 1 1
2 4x 14x 6






44
3 3 5 5
x;y 1; , 1; , ; 3 , ; 3
2 2 2 2
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
125
Th  nhc
Vy h m là
Câu 88.
Gii h  .
Ta có: (1) , th c:
.
*) TH1: , th c
, m.
*) TH2: , tr v theo v c
 c:
+ Nc: 4y
2
= 0 y = 0, cp (x;y) = (3;0)
tho 
+ Nu c: (x - 2)
2
= 0 x = 2, cp (x;y) =
tho 
Vy nghim ca h 
Câu 89. 
22
22
4x 1 y 4x
x xy y 1
-2016)
Lời giải
H 
Xét h:
2xy x y 6
2
3y 3x 2 y x
2xy 2y 2x 4
2xy x y 6
x
3
y y x 2



2
yx
3

2
2 8 4
x x 0 x 2;
3 3 3



44
x;y 2; , ;2
33

22
3 3 2
4 3 4 (1)
12 8 6 + 9 (2)
x y x
x x y x
22
9 12 3 12x x y
3 3 2 2 2 2
22
8 3( 4 ) ( 2 )( 2 4 3 6 ) 0
20
2 4 3 6 0
x y x y x y x xy y x y
xy
x xy y x y

20
2
x
x y y
22
2 3 4 2 4 3 0x x x x
22
2 4 3 6 0x xy y x y
3
2 3 6 3 4 2 6 3 0 ( 3)(2 1) 0
1
2
x
xy x y x xy x y x y
y
1
2
y
1
2;
2



2
2
22
22
21
21
1
1
yx
xy
x xy y
x xy y



2
22
2
21
21
1
2 1 2 1 1
yx
yx
x xy y
x x x x



THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
126
hoc
Xét h:
hoc
Vy h m (x;y) là: (0;1), , (0;-1), (-1;1)
Câu 90.
c
- Vi c
- Vi c m
- Vi c
Vy h m
Câu 91.
u kin
Tính
Vi c
Vi c
2
21
21
0
7 5 0
5
7
yx
yx
x
xx
x






0
1
x
y
5
7
3
7
x
y


2
22
2
21
21
1
2 1 2 1 1
yx
yx
x xy y
x x x x

2
21
21
0
3 3 0
1
yx
yx
x
xx
x



0
1
x
y

1
1
x
y

53
;
77




3 3 2 2 3 2 2
5 4 21 5 4 0x y y y x y x x y xy
0
4
7 4 3 0
7
3
x
x x y x y x y
y
x

0x
2y 
4
7
xy
2
31
4
49
y
3
y
x 
2
93yy
;
0;2 ; 0; 2 ; 1;3 ; 1; 3xy
22
2
2 3 4 3 2 0 1
3 1 2 2
x y xy x y
x y y x
2
30
10
xy
yx
22
1 3 1 2 4 2 0y x y x x
2
1
11
22
yx
x
yx


1yx
22
1
0
4 2 0
1
0
y tm
x
x x x x
x
x tm

22yx
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
127
Ta có
Dy ra
Vy h m
Câu 92.
Xét h 
PT
Ta có

 , thay vào PT 
 , thay vào PT 
*) *)
 và
Câu 93.
u kin
.
 c
u kin ca x)
 c
2
2
2 5 1 2 1 4 1 2x x x x x
2
1 4 1 2xx
10x
y tm
;
0; 1 ; 1;0xy 
04
0252
22
22
yxyx
xyxyyx
)2(
)1(
)1(
025210252
2222
xxyxyxyxyyx
2
22
2
19918925241' xxxxxx
2
131
2
131
)1(
xx
y
xx
y
12
2
xy
xy
2 xy
)2(
110242
2
yxxx
12 xy
)2(
5
4
1
045
2
x
x
xx
11 yx
5
13
5
4
yx
1;1
5
13
;
5
4
1,xy
22
1 1 1 0 1 1 0 1 1 0y y x x y y x y y y x
1
1
y
yx

1y
2 2 2 2 4 2 2
1 7 3 0 1 7 3 2 1 7 3x x x x x x x
2
42
2
11
5 4 0
2
4
xx
xx
x
x

1yx
22
1 7 3 0x x x
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
128
 suy ra .
Ta có
Vi thì
Suy ra
 .
Câu 94.
T  nht ca h c . Th  hai
c
D th vô nghim
 c nên .
Vy h m duy nht là .
Cách khác: Khi thc hin phép th  c
t  tìm
 hai thành tích.
22
2
4 1 1 7 3 5 0
7 2 2
2
2 2 0
11
7 3 5
x x x
xx
x
xx
x
x



2
2
72
1
20
11
7 3 5
x
x
x
x
x


2x
1y
22
72
1 7 1
2 2 1
1 1 1 1
7 3 5 7 3 5
x
xx
xx
xx



2
2
7 3 2 1
2
11
7 3 5
x
x
x
x



1x
2
2
2
7 3 2
7 3 2 0 2 0
7 3 5
x
xx
x


2
2
7 3 2 1
20
11
7 3 5
x
x
x
x



1
;1 , 2;1
x 5y 20
2
3 2 3 2
3 2 2
5y 19 10y 39 15y 59 1 3y 1 3y 2 5y 20
750y 8725y 33830y 34719 150y 1141y 2006y 801
600y 7584y 31824y 44520 0 y 5 75y 573y 1113 0



2
75y 573y 1113 0
y 5 0 y 5
x5
5
;5
x 5y 20
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
129
t hp v nh tìm nghim.
Trong hai cách trên thì cách thc hin phép th d th
 hai thành tích cho li gi
Câu 95.
t  c li thành
+ Vi , h vô nghim do .
+ Vi .
Khi ta có .
Khi ta có .
Vm là .
Chú ý
. a h u không th c thành tích thì ta
nhân mi mt s k ri cng theo v 
c mc hai. Ta cn tìm hng s  
c thành tích. Chng hn ta vit li h 
y n hai vi ri c
 .
Câu 96.
T và c c
2
22
22
22
2
2
1 x 1 2x 1 3x 1 3y 1 3y 2x
2x 3x 1 3x 1 1 3y 1 3y 2x
3x 1 2x 3x 1 1 3y 2x 3y 1
x y 0
3 x y 2 3 x y 2x 0
2 3 x y 2x 0


a 2x y 1;b x y 1
2
22
22
2
a b 2ab 2ab 26
a b 2 11 a b 26
a b 26
ab 11 a b
a b ab 11
ab 11 a b
a b 2 a b 48 0 a b 8;ab 19
a b 6;ab 5
ab 11 a b





a b 8
ab 19
2
a b 4ab
a b 6 a 1; b 5
ab 5 a 5;b 1

a 1;b 5
2x y 1 1 x 2
x y 1 5 y 2


a 5;b 1
2x y 1 5 x 2
x y 1 1 y 2


2;
2 , 2;2
22
22
22
5x 2y 2xy 2x 4y 24
5x 2y 2xy 2x 4y 24 0
3x 2x y 1 x y 1 11
2x y xy 4x 2y xy 12 0


k2
2
9x 6x 48 0
x y z 3
1 1 1 1
x y z 3
1 1 1 1
x y z x y z

THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
130
ng hp  c .
 c . Th vào c
.
T c hai b s tha mãn là .
+ Ging hp và c các b s là hoán v ca hai b
s trên.
Vy các b s cn tìm là
.
Câu 97.
Bic
Mt khác cng theo v a h c
.
+ Vi , th c .
+ Vi , th c .
Th vào h c các nghim ca h là
.
Câu 99. Ta có:

(*)

2
x y x y
1 1 1 1
00
x y z x y z xy
z x y z
x y xy zx yz z 0 x y y z z x 0



x y 0
x y z 3
z3
x y 0
xy
2 2 2
x y z 17
2
2x 8 x 2
x
;y;z
2;
2;3 , 2;2;3
y z 0
z x 0
x
;y;z
2
; 2;3 , 2;2;3 , 2;3; 2 , 2;3;2 , 3;2; 2 , 3; 2;2
2
2
2
x x y z 48
x xy zx 48
y xy yz 12 y x y z 12
z zx yz 84
z x y z 84



2
x y z 144 x y z 12
x y z 12
x
;y;z 4; 1; 7
x y z 12
x
;y;z 4;1;7
x
;y;z 4;1;7 , 4; 1; 7
3 3 2
3
15 14 3 2 1
4 6 15 3 0 2
x y y y x
x xy x
3 3 2
3 3 2
3 3 2
3
2
15 14 3 2
3 15 6 14
3 6 12 8 3 6
3 2 3 2
x y y y x
x x y y y
x x y y y y
x x y y
2xy
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
131

Câu 100.
Vi
Vi 
vô nghim
Vy h m
Câu 101.
t PT (1) ta có :
thay vào PT (2) gii ra có 5 nghim
Câu 102.
Vi x = y = 0 là nghim ca h 
Nhn thy nu x 0 thì y c li
Xét x 0 ; y 0 h i
3
3
3 2 3 2
3
3
3
2
2
4 6 2 15 3 0
4 6 15 3 0
22
4 6 3 3 0 8 12 6 6 0
15
2 1 5
2
2
55
2
xy
xy
x x x x
x xy x
x y x y
x x x x x x
x
x
xy
y













33
1 5 5 5
;
22




22
22
22
33
22
2
2 2 2 4
24
24
x y xy xy
x y xy
x y xy x y
x y x y xy x y
x y x y


2 2 2
2
0
0 1 0
10
y
x y xy y y x xy
x xy
02yx
2 2 2 2
1 0 1 3 3 3 1 0x xy x xy y y x x
;
2;0 ; 2;0xy 
)2(;0624
)1(;1211
22
22
yxyx
xyxyyx
1
2
0)1)(2(
0)1(2)1)((0)1(2)(
22
xy
xy
xyyx
xyxyyxxyyxxyyx
5
14
;
5
4
;31;
2
13
;13;
2
13
;2;5,0;1;1)(xy
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
132
c
Vy h có nghim (x ; y) là (0 ; 0) ; (1 ; 1)
Câu 103.
a) Khi h ng
Vy khi thì h m duy nht
b) Ta có:
Vy h m duy nht
Thay vào h thc
c
i chiu vu ki c
Câu 104.
2 2 2 2
1 1 1 1
22
1 1 1 1 1 2
( )(1 ) 4 ( )(2 ) 8
x y x y
x y xy x y xy







3
11
( ) 8
xy

11
2
1
1
1
xy
xy
xy

10m
15
10 2 2 10 2 2
52
2 10 5 10 50 25 23
52
x
x y x y
x y x y
y



10m
15 23
;;
52 52
xy



2
2
22
2
2
2 5 2
25
25
2
mx
mx
y
mx y
y
x my mx
x my
xm






2
2
2 10
2
4
2
2
4 2 10
2
m
mx
x
y
m
mx
m x m
y




2
2 10
4
2
2
m
x
m
mx
y
2
2
2015 14 8056
2014 .
4
mm
xy
m
22
2
22
2014 7 8050 2015 14 8056
7 6 0
44
m m m m
mm
mm

1
1 6 0
6
m
mm
m
1; 6.mm
(2)
(1)
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
133
Ta có:
hoc
Vi c: x
2
2x +1 = 0 suy ra x = 1
c nghim (1;1)
c: 5x
2
x 4 = 0 , suy ra x = 1;
c nghim (1;1) và ( )
Vy h có nghim (1;1) và ( )
Câu 105.
u kin ng hp
ng hp 1:

Suy ra h vô nghim
ng hp 2:

Suy ra h vô nghim
ng hp 3:
 hai ca h c
u kic Vy .
Câu 106.
T h ta có
* Vc (x ; y) = (0; 0); ( );( )
* Vi x = - c (x ; y) = (0; 0); ( );( )
Vy h m
(x ; y) = (0; 0); );( );( );( )
Câu 107.
2
3 4 2 2
x 1 + y 1 = 4
x xy x y
xy

2 2 2
2 2 2 2
3 4 2 2 0 2 5 2 0
x + y 4 0 x + y 4 0
x xy x y x xy y x y
x y x y






22
2 5 2 0 2 2 1 0x xy y x y y x y x
2yx
21yx
2yx
21yx
4
5
x
4 13
;
55

4 13
;
55

x 1, y 3.
x 1 y 3 y x 4
x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3
x 1 y 3 y x 4
x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3
x 1 y 3 y x 4
2
2x 8x 6 0 x 1 x 3
x 1 y 3.
x;
y 1; 3
3 3 2 2 2 2
(2 ) (2 ) ( ) 2 0x y x y x y x y xy x y
3
( ) ( ) 0
xy
x y x y
xy

3; 3
3; 3
1; 1
1;1
3; 3
3; 3
1;1
1; 1
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
134
Gii h
Nhân v trái ca (1) vi v phi ca (2) và nhân v phi ca (1) vi v trái ca (2)
ta có:
Bii nh
Vi c ( th vào h không tha mãn)
( th vào h thy tha mãn)
Vi c ( th vào h không tha mãn)
Vi c ( th vào h không tha mãn)
Vy h có nghim
Câu 108.
Nhân c hai v ca (2) vi 2 ta có h 
Ly (1) tr (2) theo v vi v ta có
hoc
+) Vi , th vào (2) và rút gn ta có hoc
Suy ra hoc
+) Vi , th vào (2) và rút gn ta có
hoc
Suy ra hoc
Vy h có 4 nghim ; ;
;
)2(9218252
)1(24
22
33
yxyx
yxyx
)218252)(2()4)(9(
2233
yxyxyxyx
0)218252)(2()4)(9(
2233
yxyxyxyx
031328
3223
yxyyxx
0)33()22()88(
232223
xyyxyyxxyx
0)(3)(2)(8
222
yxyyxxyyxx
22
( )(8 10 3 ) 0x y x xy y
0)32)(4)(( yxyxyx
yx
)0;0();( yx
)1;1();1;1();( yx
xy 4
)0;0();( yx
xy
3
2
)0;0();( yx
)1;1();1;1();( yx
22
22
3 2 4 8 4 0 (1)
2 2 4 2 6 0 (2)
x y xy x y
x y x y
2
22
4 4 3 2 2 0 2 3 2 2 0x xy y x y x y x y
2
1 2 2 0 2 1x y x y x y
2 2.xy
21xy
3
0 0y y y
3.y 
1, 0xy
5, 3.xy
22xy
2
13 109
3 13 5 0
6
y y y

13 109
.
6
y

7 109 13 109
,
36
xy

7 109 13 109
,.
36
xy

1, 0xy
5, 3xy
7 109 13 109
,
36
xy

7 109 13 109
,.
36
xy

| 1/133
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

2
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS
Chủ đề 1. Các hệ phƣơng trình cơ bản 3
1. Hệ phƣơng trình đối xứng loại I 3
2. Hệ phƣơng trình đối xứng loại II 5
3. Hệ phƣơng trình quy về đẳng cấp 8
Chủ đề 2. Một số kĩ thuật giải hệ phƣơng trình 12 1. Kĩ thuật thế 12
Dạng 1: Rút một ẩn theo ẩn kia từ phƣơng trình n|y thế v|o phƣơng trình kia 12
Dạng 2: Thế một biểu thức v|o phƣơng trình còn lại 13
Dạng 3:Thế hằng số từ phƣơng trình n|y v|o phƣơng trình kia 15
2. Kĩ thuật phân tích thành nhân tử 17
3. Kĩ thuật cộng, trừ, nhân hai vế của hệ phƣơng trình 22
Dạng 1: Cộng, trừ đại số để tạo ra các tổng bình phƣơng 22
Dạng 2: Cộng, trừ hai vế để đƣa về phƣơng trình một ẩn 23
Dạng 3: Cộng, trừ đại số để đƣa về phƣơng trình tích 24
Dạng 4: Các bài toán không mẫu mực giải bằng cộng, trừ, nhân hai vế của hệ 26
4. Kĩ thuật đặt ẩn phụ 28
Dạng 1: Dùng ẩn phụ đƣa về phƣơng trình bậc nhất hai ẩn 28
Dạng 2: Dùng ẩn phụ đƣa về hệ đối xứng loại I 30
Dạng 3: Dùng ẩn phụ đƣa về hệ đối xứng loại II 32
Dạng 4: Dùng ẩn phụ đƣa về phƣơng trình một ẩn 33
Dạng 5: Đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu 34
5. Kĩ thuật nhân liên hợp đối với phƣơng trình chứa căn thức 36
6. Kĩ thuật đánh giá trong giải hệ phƣơng trình 39
Dạng 1: Dựa vào sự đồng biến nghịch biến các vế của hệ phƣơng trình 39
Dạng 2: Sử dụng bất c{c đẳng thức cổ điển để đ{nh gi{ 40
Dạng 3: Sử dụng điều kiện của nghiệm của hệ phƣơng trình 44
6. Kĩ hệ số bất định để giải hệ phƣơng trình 45
Chủ đề 3. Hệ phƣơng trình bậc ba ẩn 52
Dạng 1: Hệ hai phƣơng trình ba ẩn 52 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3
Dạng 2: Hệ ba phƣơng trình ba ẩn 53
Chủ đề 4. Hệ phƣơng trình có chứa tham số 57
Dạng 1: Biện luận về nghiệm của phƣơng trình 57
Dạng 2: Tim điều kiện của tham số để thỏa mãn một điều kiện cho trƣớc 60
Bài tập rèn luyện tổng hợp 64 Hƣớng dẫn giải 76 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 4
CHỦ ĐỀ 1: CÁC HỆ PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN
I- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I LÝ THUYẾT CHUNG: fx,y  0
Hệ đối xứng loại II là hệ có dạng: g  x,y   0
Trong đó f(x, y) v| g(x, y) l| c{c đa thức đối xứng.
Nghĩa l|: f(x, y) = f(y, x) v| g(x, y) = g(y,x)
Hay hệ phƣơng trình đối xứng loại I là hệ phƣơng trình có vai trò x, y ho|n to|n
nhƣ nhau trong mỗi phƣơng trình, nếu ta ho{n đổi vị trí x và y trong hệ thì hệ x  y  2xy  21
phƣơng trình không thay đổi. Ví dụ:  2 2 2x  2y  xy  7
Tính chất: Nếu hệ có nghiệm là (x ; y ) thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là 0 0 (y ; x ) . 0 0 PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi c{c phƣơng trình của hệ đƣa về ẩn S và P mà: S = x + y, P = x.y. Giải đƣợc S
và P . Khi đó x, y là nghiệm của phƣơng trình: X2 – S.X + P = 0
Một số hằng đẳng thức hay đƣợc đƣợc sử dụng: x  y  x  y2 2 2 2  2xy  S  2P
x  xy  y  x  y2 2 2 2  3xy  S  3P
x  xy  y  x  y2 2 2 2  xy  S  P x  y  x  y3 3 3  3xyx  y 3  S  3PS
x  y  x  y   2x y   x  y 2 2 2 4 4 2 2 2 2  2 2  2xy  2x y     2S 2P2 2  2P 
x  x y  y  x  y  xyx  y  xy  S  2P2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2  P 1 1 x  y S    ; x y xy P 2 2 2 1 1 x  y S  2P    ; 2 2 2 2 2 x y x y P 2 2 2 x y x  y S  2P    y x xy P THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 5 THÍ DỤ MINH HỌA x  y  xy  1 
Thí dụ 1. Giải hệ phƣơng trình  2 2 x  y  xy  7 Lời giải (  x  y)  xy  1  Hệ   2 (  x  y)  3xy  7 x  y  S S  P  1  S  1, P  2  Đặt   2 x
 , y  S  4P ta đƣợc    xy   P 2 S  3P  7 S  4  , P  3 S  1 x  y  1 x  1  , y  2 TH 1.      P  2  xy  2  x  2, y  1     S  4  x  y  4  x  1  , y  3  TH 2.      . P  3 xy  3 x  3  , y  1    
Vậy tập nghiệm của hệ là: S = ( 1  ; 2); (2; 1  ); ( 1  ; 3  ); ( 3  ; 1   ) 3 3 3 3 x  x y  y  17
Thí dụ 2. Giải hệ phƣơng trình xxyy 5 Lời giải 3 3 3 3   x  x y  y  17 x y3 3 3
 x y  3xyx  y  17    x  xy  y  5  x yxy  5
Đặt x  y  a; xy  b . Hệ đã cho trở th|nh: 3 3 a   b  3ab  17 a   5  b a   5  b      a    b  5 2 b  5b  6  0 (b  2)(b  3)   0 a   3    a 2  hoặc  b   2 b   3 a   3 x  y  3 x  3  y x  3  y Với 
ta có hệ phƣơng trình      b   2 2 xy  2 y  3y  2  0 (  y 1)(y  2)  0      x 2 x 1  hoặc  y   1 y   2 a   2 x  y  2 x  2  y Với 
ta có hệ phƣơng trình    (vô nghiệm) b   3 xy   3 2 y  2y  3  0
Vậy nghiệm của hệ đã cho l|: x; y  1; 2; 2;  1 xy(x  y)   2
Thí dụ 3. Giải hệ phƣơng trình  3 3 3 3 x  y  x y  7  x1y1   31
(Trích đề Chuyên KHTN Hà Nội năm 2018-2019) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 6 Lời giải Ta có hệ phƣơng trình: xy  x  y  2
 (xy)(x xyy )  xy3 2 2
 7(x  y  xy 1)  31 xy(x  y)  2   (xy) 
x y2 3xy xy3 7     
x  y  xy  1  31   a  b  2 
Đặt a  x  y; b  xy thì hệ trên trở thành: a   2 a  3b 3
 b  7 a  b 1  31 ab    2   3 3 a  3ab  b  7  a  b1   31 a ba b2 3ab    
 3ab  7 a  b 1  31  
 a  b3  3ab(a  b)  3ab  7(a  b)  24  0
 a  b3  6(a  b)  3.2  7 a  b  24  0
 a  b3  a  b  30  0
 a  b3  27 (a  b)  3
(a b 3) a b2 3(a b) 10         0    a  b  3 do
a  b2  3(a  b)10   0 a  b  3 a   2     (do    2 2 a x y  4xy  4b) ab  2 b    1 x  y  2    x  y  1 xy   1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x; y  1;  1
II- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II KHÁI NIỆM fx,y  0
Hệ đối xứng loại II là hệ có dạng: fy,x   0
Trong đó: f(x, y) l| đa thức không đối xứng.
Hay hệ đối xứng kiểu hai là hệ đối xứng giữa hai phƣơng trình của hệ, nếu ta hoán
đổi vị trí của x v| y trong phƣơng trình thứ nhất sẽ đƣợc phƣơng trình thứ hai của THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 7 2  x  2y  1 1 hệ. Ví dụ: 
khi thay ho{n đổi vị trí của x và y ở phƣơng trình (1) ta 2 y  2x   1  2 đƣợc 2
y  2x  1 đ}y chính l| phƣơng trình (2) PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Trừ từng vế hai phƣơng trình của hệ ta đƣợc nhân tử chung (x – y) nhóm lại v| đƣa
về phƣơng tích v| sau đó xét hai trƣờng hợp:  x  y
(x  y).A(x, y)  0  A(x,y)   0
Việc trừ theo vế thƣờng phải sử dùng hằng đẳng thức hoặc liên hợp nếu chứa căn: 2 2
a  b  a  ba  b 3 3 a  b  a  b 2 2 a ab  b  a  b a  b  a  b  3 3 a b a  b  3 2 3 3 2 a ab  b THÍ DỤ MINH HỌA 2 x  x  2y
Thí dụ 3. Giải hệ phƣơng trình  2 y  y  2x  Lời giải Điều kiện: x, y  0 .
Trừ hai phƣơng trình của hệ cho nhau ta thu đƣợc: 2    2 x x y  y   2y  x
 x y x yx y 1 2 x y         0 
Vì  x  y x  y 1 2 x  y   0
nên phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với: x  y .  x  0  Hay 2 2
x  2x  x  0  x  x  2x  x  x 1x  x 1  0  x  1  3   5 x   2 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 8    
Vậy hệ có 3 cặp nghiệm: 
      3 5 3 5 x; y 0; 0 , 1;1 , ;   2 2    3
x  3x 1 2x 1  y
Thí dụ 4. Giải hệ phƣơng trình  3
y  3y 1 2y  1  x  Lời giải 1 1
Điều kiện: x   ; y   2 2 1
Để ý rằng x  y   không phải là nghiệm. 2
Ta xét trƣờng hợp x  y  1 
Trừ hai phƣơng trình của hệ cho nhau ta thu đƣợc: 3       3 x 3x 1 2x 1
y  3y  1 2y  1  y  x 2 x  y 2 2  
 (x  y) x  xy  y   4(x  y)   0   2x  1  2y  1   2 2 2
 (x  y) x  xy  y  4    0  x  y  2x  1  2y  1   
Khi x  y xét phƣơng trình: 3 3
x  2x 1 2x  1  0  x  2x  2x 1 1  0 2x  2  2 2 x(x  1)   0  x x 1  0  x    0 2x  1  1  2x  1  1
Tóm lại hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất: x  y  0 x 
1 2y 6  y 2x 1
Thí dụ 4. Giải hệ phƣơng trình y1 
 2x 6  x 2y 1 Lời giải 2 2 2
xy  6x  y 6  yx  y Hệ đã cho   2 2 2
yx  6y  x  6  xy  x
Trừ vế theo vế hai phƣơng trình của hệ ta đƣợc: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 9
2xy y  x  7 x  y  x  yx  y  0  x  yx  y  2xy  7  0 x  y  xy2xy7   0 x  y  2 +
Nếu x  y thay vào hệ ta có: 2
x  5x  6  0  x  y   3 +
Nếu x  y  2xy  7  0  1 2x1 2y  15 .
Mặt khác khi cộng hai phƣơng trình của hệ đã cho ta đƣợc:    
    2   2 2 2 x y 5x 5x 12 0 2x 5 2y 5  2 .
Đặt a  2x  5, b  2y  5  a   b  0  a   b  2 a  b2 2 2  2ab  2 a  b  1  Ta có:      a 4  b 4 15     a  b  4  a b  1  a   b  8    a  b  31 a   b  0 Trƣờng hợp 1: 
 x; y  3;2,2;3 ab  1   a   b  8  Trƣờng hợp 2:  vô nghiệm. ab   31
Vậy nghiệm của hệ đã cho l|: x; y  2; 2 ,3; 3 ,2; 3,3; 2
III- HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP LÝ THUYẾT CHUNG:  k
f x, y  c
+ Là những hệ có dạng: 1   k
g x, y  c2 1
Trong đó f(x, y) v| g(x, y) l| c{c đa thức bậc k của x và y (k = , 1, 2, 3,….) v| 2
không chứa thành phần nhỏ hơn k. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10
+ Hoặc c{c phƣơng trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phƣơng trình đẳng cấp.
Ta thƣờng gặp dạng hệ này ở các hình thức nhƣ: 2 2 a  x  bxy  cy  d +  , 2 2 ex  gxy  hy  k 2 2 a
 x  bxy  cy  dx  ey +  , 2 2 gx    hxy  ky  lx  my 2 2 a  x  bxy  cy  d +  3 2 2 3 g
 x  hx y  kxy  ly  mx  ny PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Phƣơng ph{p chung để giải hệ dạng này là: Từ c{c phƣơng trình của hệ ta
nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phƣơng trình đẳng cấp bậc n : n nk k n a x  a x .y ....  a y  0 1 k n
Từ đó ta xét hai trƣờng hợp: y  0 thay v|o để tìm x x + y  0 ta đặt t 
thì thu đƣợc phƣơng trình: n nk a t  a t ....  a  0 y 1 k n +
Giải phƣơng trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x, y
Chú ý: ( Ta cũng có thể đặt y  tx ) THÍ DỤ MINH HỌA 2 2 2x  3xy  y   12   1
Thí dụ 5. Giải hệ phƣơng trình  2 2 x  xy  3y   11  2
(Trích đề thi thử Chuyên Nguyễn Huệ năm 2015-2016) Lời giải 2 2
22x  33xy 11y  121 2 2 2 2 HPT  
 10x  45xy  25y  0  2x  9xy  5y  0 3 2 2 1
 2x 12xy  36y  121 -
Ta thấy y = 0 không là nghiệm của phƣơng trình. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 2  x   x
Chia hai vế phƣơng trình (3) cho y2 ta đƣợc 2.  9. 5  0      y   y   1  y x t x  Đặt t = ( t > 0) Khi đó: 2  
2t  9t  5  0  2t  
1 t  5  0  2  2 y   t  5  x  5  y y Với x  thay vào (1) ta đƣợc: 2 2 y 3 x  1 x  1  2 2 2
 y  y  12  y  4  y  2    ;  2 2 y  2 y  2    Với x  5
 y thay v|o (1) ta đƣợc:  5  3  5 3 x  x    2 2 2 2 3 3 3
50y  15y  y  12  36y  12  y     ;  3  3  3 y  y    3    3
Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình l|:
         5 3 3   5 3 3  x; y 1; 2 , 1; 2 ,  ;  , ;    3 3   3 3      2 2 x  2y  1 
Thí dụ 6. Giải hệ phƣơng trình  3 3 2x  y  2y  x
(Trích đề Chuyên Vũng Tàu năm 2019-2020) Lời giải
Để ý rằng nếu nh}n chéo 2 phƣơng trình của hệ ta có: 3 3    2 2 2x y x  2y x  2y
đ}y l| phƣơng trình đẳng cấp bậc 3: Từ đó ta có lời giải nhƣ sau: 2 2 x  2y  1   1  3 3 2x  y  2y   x  2 3 3     2 2     3 2 2 3 2x y x 2y
x 2y  x  2x y  2xy  5y  0     x  y x y 2 2
x  3xy  5y   0   . 2 2 x  3xy  5y   0
TH1: x  y , thay v|o phƣơng trình   1 ta đƣợc x  y  1  . 2  3  3  11 x  y  0 TH2: 2 2 2
x  3xy  5y  0   x  y   y  0   2  x  y  0 .  2  4 y   0
Thử lại, ta thấy x  y  0 không phải là nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 12
Vậy hệ phƣơng trình có hai nghiệm là 1;  1 , 1  ;   1 . 2 x  2  y2   y
Thí dụ 7. Giải hệ phƣơng trình  3 2x   x y4  xy
(Trích đề Chuyên Quảng Ninh năm 2019-2020) Lời giải 2
x  2  y2 y 2 2 x  y  4 1    3 2x   x y4xy 3 2x  
x y4xy 2 Thế 2 2
4  x  y từ phƣơng trình (1) v|o phƣơng trình (2) ta đƣợc: 3     2 2    3 3 2x x y x
xy y  x  y  x  y .
Thay x  y v|o phƣơng trình   1 ta đƣợc: 2 x  2  x   2 .
Hệ phƣơng trình có nghiệm x; y là:  2; 2 ; 2; 2  . THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13
CHỦ ĐỀ 2: MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH I- KĨ THUẬT THẾ
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP:
- Hệ gồm hai phƣơng trình, trong đó từ một phƣơng trình ta có thể rút đƣợc một ẩn
theo ẩn còn lại và thế v|o phƣơng trình kia tạo ra phƣơng trình đa thức bậc cao một
ẩn có thể giải đƣợc. Đôi khi ta cũng thực hiện phép thế hằng số hoặc thế một biểu
thức v|o phƣơng trình còn lại.
Dấu hiệu nhận biết: -
Trong hai phƣơng trình của hệ có ít nhất một phƣơng trình bậc nhất của x và y. -
Có thể rút một biến theo biến còn lại từ một phƣơng trình của hệ. THÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1. Rút một ẩn theo ẩn còn lại và thế vào phƣơng trình kia của hệ 2x  3y  5 (1)
Thí dụ 1. Giải hệ phƣơng trình  2 2 3x  y  2y  4 (2) Lời giải 5  3y Từ (1) ta có x  thế v|o (2) ta đƣợc 2 2  5  3y  2 3  y  2y  4    0  2  2 2
 3(25  30y  9y )  4y  8y 16 2  23y  82y  59  0  y  1  
 y 123y  59  0  59 y   23
Với y = 1 thay vào (1) ta đƣợc: 2x  3  5  x  1 59 59 31 Với y 
thay v|o (1) ta đƣợc: 2x  3.  5  x   23 23 23   
Vậy tập nghiệm của hệ phƣơng trình l|    31 59 1;1 ;   ;    23 23 
Nhận xét: Ở b|i to{n n|y ta rút x theo y vì phƣơng trình (2) của hệ chƣa nhiều ẩn y
hơn so với x, khi thế x theo y chúng ta sẽ nhẹ nh|ng hơn trong việc tính toán. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 xy  2x  y  14
Thí dụ 2. Giải hệ phƣơng trình  3 2
x  3x  3x  y  1 Lời giải xy  2x  y  14  x
 y  2  14  y   1 Ta có:    3 2
x  3x  3x  y  1 x  3 1  y  2  0 2 Với y  2
 thế vào (1) ta đƣợc: 0x = 16 (vô lý) 14  y Với y  2  từ (*) suy ra: x  thế v|o (2) ta đƣợc: y  2 3 3  14  y   16  
 1  y  2  0  
  y  2  y  24 3  16 y  2 y     2           y  24 y 2 8 y 6 x 1 4  8     y  2  8  y  1  0  x  3   
Với y = 1 thay vào (1) ta đƣợc: 2x  3  5  x  1 59 59 31 Với y 
thay v|o (1) ta đƣợc: 2x  3.  5  x   23 23 23
Vậy tập nghiệm của hệ phƣơng trình l| 
 1;6;  3; 10
Dạng 2. Thế một biểu thức vào phƣơng trình còn lại 2 x  x  y  1 
Thí dụ 3. Giải hệ phƣơng trình:  3 2 2
x  x y  x  xy  x  y  2 Lời giải 2 2 x  x  y  1   x  y  x  1 Ta có:    3 2 2 2
x  x y  x  xy  x  y  2 x
 x  y  xx  y  x  y  2  2  x  y  x 1  1  xy   2x x1  2   2 Thay 2
x  y  x  1 thế v|o (2) ta đƣợc:
 2x 1 2x x1  2  4 3 2 2
 x  x  x  x  x 1  2  4 3  x  x  x  1  0 3
 x x 1  x 1  0  x   1  3 x  1  0 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15  x 1 0   3 x 1 0  x  1    3 x  1   x  1  Với x  1
 thế v|o (1) ta đƣợc: 1
  y  11  y  3
Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình l| x,y   1  ; 3 4 3 2 2
x  2x y  x y  2x  9
Thí dụ 4. Giải hệ phƣơng trình  2 x  2xy  6x   6  * Lời giải  
x  2x y  x y  2x  9  x  xy2 4 3 2 2 2  2x  9 Ta có:    2 2 2 x  2xy  6x  6
 2x  2xy  x  6x  6   x  xy2 2  2x  9 1   2   2 x 6x 6 x  xy  2  2 2   Thế 2 x 6x 6 x  xy  vào (1) ta đƣợc: 2 2 2  x  6x  6     2x  9  2   x  6x  62 2  42x  9 4 2 3 2
 x  36x  36  12x  12x  72x  42x  9 4 3 2
 x  12x  48x  64x  0  x 3 2
x  12x  48x  64  0  xx  43  0  x  0  x  4  
Với x  0 thế vào (*) ta đƣợc: 0y  6 (vô nghiệm) 17 Với x  4  thế v|o (*) ta đƣợc:         16 8y 24 6 8y 34 y (vô nghiệm) 4  
Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình l|   17 x, y  4   ;   4 
Nhận xét: Chúng ta hoàn toàn có thể rút trực tiếp y hoặc xy từ phƣơng trình (*) thế
v|o phƣơng trình kia của hệ để chuyển về phƣơng trình bậc 4 một ẩn x và giải bằng
cách nhẩm nghiệm, nhƣng nếu linh hoạt một chút chúng ta biến đổi sau đó mới thế THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16
nhƣ c{ch tôi trình b|y ở trên thì lời giải sẽ nhẹ nhàng về mặt tính to{n v| đẹp mắt hơn. 2 y  xy 1   0  1
Thí dụ 5. Giải hệ phƣơng trình  2 2
x  y  2x  2y  1   0  2
Phân tích: Rút 2
y  xy  1 thế v|o phƣơng trình (2) của hệ ta đƣợc phƣơng trình
đƣa đƣợc về phƣơng trình tích nên ta dùng phƣơng ph{p thế. x  y  0 2
x  xy  2x  2y  0  x x  y  2x  y  0  x  yx  2  0  x2   0 Lời giải 2 2  y  xy  1  0  y  xy  1    2 2 2
x  y  2x  2y  1  0
x  xy 1 2x  2y 1  0 2 2  y  xy  1  y  xy  1     2
x  xy  2x  2y  0 x
 x  y  2x  y  0 2 y  xy 1 2  y  xy 1     
     x y  0 x y x 2  0  x  2    0  x  y 2 y  xy 1  2 2  y  y 1   x  y      x  2  x  2     2 y  2  y 1  x  y  VN 2   2y  1   x  2       x  2    y  1    y  1   2   0
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x, y) =  2  ;  1
Dạng 3. Thế hằng số từ phƣơng trình này vào phƣơng trình kia 3 2 x  xy 10y  0
Thí dụ 6. Giải hệ phƣơng trình:  2 2 x  6y  10
(Trích đề chuyên Hùng Vương - Phú Thọ 2015-2016) Lời giải 3 2
x  xy 10y  0 (1) Ta có:  2 2 x  6y  10 (2) Thế 2 2
10  x  6y v|o phƣơng trình (1) ta đƣợc THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 3 2 2 2
x  xy  (x  6y )y  0 3 2 2 3
 x  xy  x y  6y  0 3 2 2 2 2 3
 x  2x y  x y  2xy  3xy  6y  0 2 2
 (x  2y)(x  xy  3y )  0 x  2y   2 2 x  xy  3y   0 2 2  y  11y + Trƣờng hợp 1: 2 2
x  xy  3y  0  x    0  x  y    0  2  4
Vì x = y  0 không thỏa mãn phƣơng trình (2) nên x = y = 0 không là nghiệm của hệ.
+ Trƣờng hợp 2: x = 2y thay v|o phƣơng trình (2) ta có: y  1  x  2 2 2 2
4y  8y  12  y  1  y  1   x  2  
Vậy hệ phƣơng trình có 2 nghiệm (x; y){(2;1);( 2  ; 1  )}
Nhận xét: Việc thế 2 2
10  x  6y vào (2) nhằm tạo ra một phƣơng trình đẳng cấp
bậc 3 đối với x và y, từ phƣơng trình đẳng cấp này chúng ta dễ dàng chuyển thành
dạng tích để rút ra đƣợc mối liên hệ giữa x với y.
Trƣờng hợp bạn chƣa có nhiều kĩ năng ph}n tích nh}n tử, bạn không thể chuyển 3 2 2 3
x  xy  x y  6y  0 thành dạng tích, bạn của thể l|m nhƣ sau:
- Xét y = 0 thì x = 0 thay vào hệ phƣơng trình đã cho ta thấy (x, y) = (0, 0) không thỏa mãn hệ phƣơng trình. 3 2  x   x  x
- Xét y  0 chia hai vế của phƣơng trình cho 3
y  0 ta đƣợc:        6  0  y   y  y x Đặt  t ta đƣợc: 3 2
t  t  t  6  0 đ}y l| phƣơng trình bậc 3 chúng ta dễ dàng dùng y
m{y tính để bấm ra nghiệm hoặc tự nhẩm nghiệm cũng đơn giản hơn, từ đó dễ
dàng giải quyết bài toán. 3 3 x  8x  y   2y
Thí dụ 7. Giải hệ phƣơng trình:  2 x  3  3   2y 1 Lời giải
Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với: 3 3
x  y  24x  y 3 3
3x  3y  64x  y 1    2 2 2 2 x  3y  6  x  3y  6  2 Thay (2) vào (1) ta có: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 3 3    2 2     3 2 2 3x 3y x 3y
4x y  x  x y 12xy  0 *
- Xét x = 0 thì y = 0 thay vào hệ phƣơng trình đã cho ta thấy (x, y) = (0, 0) không thỏa mãn hệ phƣơng trình. 2  y   y 
- Xét x  0 chia hai vế của phƣơng trình cho 3 x  0 ta đƣợc: 1 12      0  x   x   1 t  y   x  3y Đặt  t , ta đƣợc: 2          3 1 t 12t 0 1 3t 4t 1  0     x 1 x  4    y t    4
Với x = 3y thay v|o (2) ta đƣợc: 2 2 2
9y  3y  6  y  1  y  1   x  3  Với x  4
 y thay v|o (2) ta đƣợc: 2 2 2 6 96
16y  3y  6  13y  6  y    x  13 13      
Vậy tập nghiệm của hệ phƣơng trình l|       6 96 6 96 1; 3 ; 1; 3 ;  ;    ;   13 13  13 13     
II- KĨ THUẬT PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP: Ax,y  0 Hệ có dạng  B  x, y   0
Trong đó có một phƣơng trình của hệ đƣa đƣợc về dạng tích
Chẳng hạn: A(x, y) = a(x, y).b(x, y) = 0 thông thƣờng A(x) l| phƣơng trình đa thức 2
ẩn, hoặc phƣơng trình đẳng cấp, tìm đƣợc mối quan hệ các biến trong phƣơng trình. Ax,y  0 a
 x,y.bx,y  0
ax,y  0 bx,y  0 Ta biến đổi:        B  x,y  0 B  x,y  0 B  x,y  0 B  x,y      0
Dấu hiệu thƣờng gặp:
- Có một phƣơng trình trình l| phƣơng trình đa thức, nhƣng đôi khi có thể là bậc
cao chẳng hạn bậc 4 hoặc 6, chúng ta giải xuống bằng c{ch đặt ẩn phụ (t = x2, t = x3)
- Hệ có phƣơng trình đẳng cấp, hoặc có thể dùng phép thế để kết hợp 2 hệ chuyển
đƣợc về phƣơng trình đẳng cấp.
- Hệ có căn thức cũng rất thƣờng xuyên có thể chuyển về dạng tích bằng cách sử
dụng lƣợng liên hợp, đặt ẩn phụ, hoặc đ{nh gi{ h|m số. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 THÍ DỤ MINH HỌA: 2
6x  3xy  x  1 y 1
Thí dụ 8. Giải hệ phƣơng trình:  2 2 x  y   1  2
(Trích đề chuyên Yên Bái 2012-2013) Lời giải
Biến đổi phƣơng trình (1) của hệ ta đƣợc: 2 6x  3xy  x  1  y 2
 6x  3xy  x  y 1  0 2
 6x  3xy  3x  2x  y 1  0
 3x2x  y 1 2x  y 1  0
 3x 12x  y 1  0  3x 1  0  2xy1  0  1 x    3  y  2x 1 1 Với x  thế v|o (2) ta đƣợc: 3 2  1   2 2 8 2 2
 y  1  y   y     3  9 3
Với y  2x 1 thế v|o (2) ta đƣợc:  x  0  y  1 x 2x 2 2 2 1 1 5x 4x 0 x 5x 4 0            4 3 x    y    5 5   1 2 2   1 2 2   4 3  
Vậy tập nghiệm của hệ phƣơng trình l|   ; ;  ;  ;0;1;   ;    3 3   3 3        5 5 
Nhận xét: Đối các hệ phƣơng trình có một phƣơng trình có dạng là một tam thức
bậc 2 đối với 2 ẩn nhƣ phƣơng trình (1) của hệ trên việc chúng ta phải làm kiểm tra
xem phƣơng trình n|y có thể chuyển về phƣơng trình tích để rút một ẩn theo ẩn kia
và thế v|o phƣơng trình còn lại. Tuy nhiên đôi khi việc chuyển về phƣơng trình
tích l| tƣơng đối khó, ta có thể một ẩn là tham số nhƣ sau: 2 2
6x  3xy  x  1 y  6x  3y   1 x  y 1  0 1
  3y 1  4.6 y 1  9y  6y 1 24y  24  9y  30y  25  3y  5 1  2    2 2 2  
3y 13y5 y1 3y13y5 1 x   ; x   1 2 12 2 12 3 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20
Từ đ}y chúng ta dễ d|nh đƣa phƣơng trình của hệ về dạng tích. Trong trƣờng hợp
dental không là số chính phƣơng thì hệ đó không giải đƣợc bằng c{ch đƣa phƣơng
trình đó của hệ về dạng tích, ta nên nghĩ tớ việc tìm liên hệ giữa các ẩn bằng
phƣơng trình kia của hệ, hoặc có thể là phải kết hợp cả 2 phƣơng trình cử hệ mới
tìm đƣợc quan hệ giữa các ẩn. Để minh họa điều n|y ta đến ví dụ sau: 2 x  
x32xy5  x16 1
Thí dụ 9. Giải hệ phƣơng trình:  x  2  xy3  y 2
(Trích đề chuyên Nam Định 2015-2016) x  2  0
Phân tích: Điều kiện:   x  2  ,y  0. y   0
Phƣơng trình (1) của hệ có dạng bậc 2 của x và y nên thử ta thử kiểm tra xem có
thể đƣa về dạng tích hay không.   2 2
1  x  2x  xy  5x  6x  3y  15  x  16 2
 3x y 10x  3y 1  0 * 2 Ta có:   y 10  4.3 3
 y 1  y  20y 100  26y 12  y  6y 112 *     2 2  
Ta thấy dental phƣơng trình (*) không l| số chính phƣơng nên phƣơng trình (1)
của hệ không thể đƣa về dạng tích để rút ẩn này theo ẩn kia. Do đó ta nên nghĩ tới
việc tìm liên hệ giữa các ẩn bằng phƣơng trình (2) của hệ cho dù nhìn chứa căn
tƣơng đối phức tạp so với phƣơng trình (1).
x  2 x  y  3  y
Do (2) có 2 căn, một căn chứa (x + 2) và và một căn chứa y nên chúng sẽ thƣờng có
quan hệ đặc biệt với nhau, ta t{ch đại lƣợng (x – y + 3) theo chúng (x + 2) và y để tạo muốn liên hệ:
x  2 x  y  3  y
 x  2 x  2 y 1  y  0 
 x  2 x  2  y x  2  x  2  y  0
 x  2 x  2  y   x  2  y  0  
 x  2  x  22  y2 
  x  2  y   0  
 x  2. x  2  y x  2  y x  2  y  0  x 2 y x 2.   x 2 y 1         0  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21
 x  2  y  0 do x2. x2  y1 0  y  x  2
Hoặc các bạn có thể sử dụng biểu thức liên hợp:
x2 x2 y x2  x2  y  0      x  2  y x 2 y x  2   0 x  2  y      1  x 2 y  x  2    0  x 2 y       1   y  x  2 do x  2   0  x 2 y     
Thay y = x + 2 v|o (1) ta đƣợc: 2
x  x  32x  y  5  x  16 2
 x  x  32x x  2 5  x 16  x  x  32 2  x  16 2  2x  5x  7  0
 x 12x  7  0 x  1  y  3   7 x   loai  2
Vậy phƣơng trình có nghiệm là (x, y) = (1, 3)
Với phân tích trên các bạn tự trình bày lời giải nhé!
 x 1  y 1  3 1
Thí dụ 10. Giải hệ phƣơng trình:  2 2 xy  x  y  x   2y  2 Lời giải
Điều kiện: x  1, y  1 2 2 2
 xy  x  y  x  2y   2 2 x  y    2
y  xy  x  y  0
 x  yx  y  yx  y x  y  0
 x  yx  y  y 1  0 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22
 x  yx  2y 1  0
 x  2y 1  0  do x  1,y  1 x  y  0  x  2y  1
Thay x = 2y + 1 v|o (1) ta đƣợc:
2y  1  1  y  1  3  2y  y  1  3  2y  2 2y y 1  y  1  9      10  3y  0
2 2y y 1  10  3y   2 y  52y  100   0  10 y   3    y  2  x  5 y  50   y   2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x, y) = (5, 2)  2 x  y  3  1
Thí dụ 11. Giải hệ phƣơng trình: 3x   x y2 4 3 2  6x y  y 2 Lời giải  x  0 Điều kiện y  1  
Xuất phát từ phƣơng trình (2) ta có: 4 3 2 2
3x  6x y  (x  y)  y  0 x  0 3 2
 3x (x  2y)  x(x  2y)  0  x(x  2y)(3x 1)  0  x   2y
Với x  0 thay vào (1) ta có: 2.0  y  3  y  3  y  9
Với x  2y thay vào (1) ta có: y y      9 2. 2 3 2 2 1
y  3  y  94 2   
Vậy tập nghiệm của hệ phƣơng trình l|    18 9 0; 9 , ;  
 9  4 2 9  4 2 
III- KĨ THUẬT CỘNG, TRỪ, NHÂN HAI VẾ CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP:
Đối với nhiều hệ phƣơng trình chúng ta không thể bắt đầu khai thác từng phƣơng
trình của hệ mà phải kết hợp cả 2 phƣơng trình của hệ mới tạo ra đƣợc muối liên hệ
giữa các ẩn. Các bài toán dạng n|y thƣờng không có phƣơng ph{p chung chúng ta
phải linh hoạt trong từng bài toán. THÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1. Cộng, trừ đại số để đƣa về các tổng bình phƣơng 2 2
x  3y  3x 1  0
Thí dụ 12. Giải hệ phƣơng trình  2 2
x  y  x  4y  5  0.
(Trích đề Chuyên Nam Định năm 2016-2017) Lời giải 2 2 x  3y  3x 1   0 1 Ta có:  2 2 x  y  x  4y  5   0  2
Cộng vế với vế của (1) v| (2) ta đƣợc 2 2
2x  2y  4x  4y  4  0 3 2 2
Phƣơng trình (3) tƣơng đƣơng với x  y  x  y  2  0 x  y x  1     x  y  2 y    1.
Ta thấy x  y  1 thỏa mãn (1) và (2). Hệ đã cho có duy nhất nghiệm x; y  1;1. 2 2
x  5xy  x  5y  42
Thí dụ 13. Giải hệ phƣơng trình  . 2 7  xy  6y  42  x
(Trích đề Chuyên Tây Ninh năm 2019-2020) Lời giải Lấy  
1  2 ta đƣợc   2 x y  0  x  y Thay x  y vào   1 ta đƣợc 2 x  x  42  0
Giải phƣơng trình trên ta đƣợc x  7  ;x  6 Với x  7
 ta có y  7 ; Với x  6 ta có y  6  . THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 24
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  7  ;7 và 6; 6  .
Dạng 2. Cộng, trừ đại số để đƣa về phƣơng trình một ẩn 2 2
2x  x  y  3 1
Thí dụ 14. Giải hệ phƣơng trình:  2 2 x  y   1  2 Lời giải
Công theo vế phƣơng trình (1) v| (2) của hệ ta đƣợc:  x  1 2 2
2x  2x  4  x  x  2  0  x 1x  2  0  x  2  
Với x = 1 thay v|o PT (2) ta đƣợc: 2 1 y  1  y  0 Với x  2
 thay v|o PT (2) ta đƣợc: 2 4  y  1VN
Vậy có hệ có nghiệm duy nhất (x, y) = (1, 0) 2 x  2 y  1  2
Thí dụ 16. Giải hệ phƣơng trình:  2 2 2 x y  xy 1  3x Lời giải
Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với 2 x  2 y   2 2 2 2 2 2 1  2  x y  2  x  3x y 6  3  x 1      2 2 2 2 2 2 2 2 2       x y  xy  1  3x x y  xy  1  3x  2 x y xy 1 3x 
Cộng theo vế hai phƣơng trình của hệ ta đƣợc:  xy  1 2 2 4x y xy 5 0 xy 14xy 5 0          5 xy    4
Với xy = 1 thay v|o (1) ta đƣợc: 2 3  x  3   x  1   y  1  5 Với xy   thay v|o (1) ta đƣợc: 4  2 75 75 96 21 2 21 21 5 48 3x    6     x   x    y  16 16 16 48 48 4 21       
Vậy hệ có 4 nghiệm là       21 5 48 21 5 48 1;1 , 1; 1 , ;   ,  ; 
 48 4 21   48 4 21       THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 25 2 xy  3y  4x
Thí dụ 15. Giải hệ phƣơng trình:  2 2
y  2y  7  7x  8x
(Trích đề Chuyên Phan Bội Châu năm 2018-2019) Lời giải
Hệ đã cho tƣơng đƣơng với 2 2 2xy  6y  8x xy  3y  4x    2 2 2 2 2
y  2y  7  8x  x  8x
y  2y  7  2xy  6y  x  8x  0 2 2 xy  3y  4x   xy  3y  4x      x  y  2 8xy7  0 xy7  x y1  0   2   13 5   13  x  ; y  x  y  1    3 3 2
3x  4x  3  0  2   13 5   13  x  ; y    3 3    5   2 22 26   2 22      x  y  7 x ; y    3 3 2
3x 10x21 0  5   2 22 26   2 22  x  ; y    3 3
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có 4 nghiệm   2   13 5   13   2   13 5   13   5   2 22 2  6  2 22    ;  , ;  , ;   3 3   3 3   3 3        
Dạng 3. Cộng, trừ đại số để đƣa về phƣơng trình tích 2 2 x  y  xy 1  4y  1
Thí dụ 16. Giải hệ phƣơng trình: yxy2 2  2x  7y  2 2 Lời giải
Nhân 2 vế của PT (1) với (2) rồi cộng với PT (2) theo vế ta đƣợc:  2  2 2 y x y 2y 2xy 15y y x y 2 x y 15           0  
 yx  y  3x  y  5  0.  y  0   x  y  3  0  x  y  5  0  Với y = 0 ta có: 2 x  1  0 (vô nghiệm)  x  1  y  2
Với y = 3 – x thay (1) ta đƣợc: 2
x  x  2  0  x  
1 x  2  0  x  2   y   5 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 26
Với y = 5 - x thay (1) ta đƣợc: 2
x  9x  46  0 (vô nghiệm)
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm   1;2, 2;  5 2 2
x  y  4x  2y  3
Thí dụ 17. Giải hệ phƣơng trình  2 2
x  7y  4xy  6y  13.
(Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2019-2020) Lời giải 2 2
x  y  4x  2y  3  2 2
x  7y  4xy  6y  13 2 2
x  4x  4  y  2y 1  8   2 2 2
x  4xy  4y  3y  6y  3  16 2 2 (
 x  2) (y 1)  8 (1)   2 2 (
 x  2y)  3(y 1)  16 2 2
2(x  2)  2(y 1)  16   2 2 (
 x  2y)  3(y 1)  16 2 2 2
 2(x  2) (x  2y) (y  1)  0 2  (x  2)  2 2 2
(x  2y)  (x  2)  (y  1)  0
 (2x  2y  2)(2y  2)  (x  y  3)(x  y 1)  0
 (x  y  1)(4y  4)  (x  y  3)(x  y 1)  0
 (x  y  1)(x  5y  7)  0 x  y 1 (2)  x  5  y   7 (3) Thay (2) v|o (1) đƣợc: 2 2 2 2
(y  1  2)  (y  1)  8  2(y  1)  8  (y  1)  4 y  1  x  0  y  3   x  4   Thay (3) v|o (1) đƣợc: 2 2 2 2 4 ( 5
 y 7  2)  (y 1)  8  26(y 1)  8  (y 1)  13  2 10 y  1    x  2    13 13   2 10 y  1    x  2     13 13
Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho l|          10 2   10 2  (x; y) 0;1 , 4; 3 , 2   ; 1   , 2   ; 1      13 13   13 13  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 27
Dạng 4. Các bài toán hệ phƣơng trình không mẫu mực giải bằng cách cộng, trừ,
nhân theo vế hai phƣơng trình của hệ với nhau  2 2 2 2 (
 x  xy  y ) x  y  185
Thí dụ 18. Giải hệ phƣơng trình  2 2 2 2 (
 x  xy  y ) x  y  65 
(Trích đề HSG huyện Quảng Điền năm 2016-2017) Lời giải Lấy (1) + (2):  2 2 x y  2 2 x y  125 2 2
x y  5 thay vào (1)  xy  12  2 x  2 y  25
x y  7 Từ đó ta có hệ:     2xy  24
x y  1 Từ đó ta có hệ pt: x y  7
x y  7
x y  7
x y  7 a)  b)  c)  d) 
x y  1
x y  1
x y  1
x y  1
Vậy hệ đã cho có nghiệm: (x, y) {(4; 3), (3; 4), (-3;-4), (-4; -3)}  x  3y x    3 1 2 2    x  y
Thí dụ 19. Giải hệ phƣơng trình  y  3x y   0 2 2 2    x   y Lời giải Điều kiện: 2 2 x  y  0 Với x = 0 thì y = 1 3
Với y = 0 phƣơng trình (2) có dạng  0 (vô lý). 2 x
Xét x  0, y  0 nhân 2 vế của PT(1) với y, nhân 2 vế PT(2) với x ta đƣợc: 2  xy  3y xy   3y 3 2 2    x  y  2 xy   3x xy   0 4 2 2    x   y 3y  3
Cộng theo vế (3) v| (4) ta đƣợc: 2xy  3  3y  x  5 2y
Thay (5) vào (2) biến đổi dẫn đến
y  1 x  0 (loai do x  0) 4 2
4y  5y  9  0   2 y  1 2 4y  9 2
 0  y  1   y  1   x   3  TM
Vậy hệ đã cho có nghiệm: (x, y) {(0; 1), (3; -1)} THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28  12  1  x  2 1  y  3x 
Thí dụ 20. Giải hệ phƣơng trình  12  1  y  6 2  y   3x   Lời giải
Điều kiện để hệ có nghiệm l| x > 0 v| y > 0 khi đó ta có:  12   12 2  2 6 1  x  2 1    2   3  y  3x   y  3x x  x y        12 6  12 6 2 24     1     1 y 6   4    y  3x  y 3x y     y x y  3 
Nhân vế phƣơng trình (3) v| (4) của hệ ta đƣợc: 36 4 48 2 2  
 27x  6xy  y  0  3x  y9x  y  0  y  3x do x  0,y  0 y x y  3
Thay y = 3x v|o (3) ta đƣợc: 2 6 
 2  x  4  2 3  y  12  6 3 x 3x
Vậy hệ đã cho có nghiệm: x, y  4  2 3;12  6 3
Nhận xét: Có nhiều b|i to{n tƣơng tự nhƣ ví dụ 20, chúng có đặc điểm l| 2 phƣơng
trình của hệ có dạng nữa đối xứng hoặc gần giống nhau nhƣng sai kh{c về dấu.
Điểm mấu chốt l| đƣa về sử dụng hằng đẳng thức:      2 2 a b a b  a  b
Nếu tìm hiểu sâu về hệ phƣơng trình c{c bạn có thể giải các hệ phƣơng trình n|y
bằng phƣơng ph{p số phức hóa. Các bạn rèn luyện thêm các ví dụ sau:   1    78y 2x 1   3 1 x    20 1 2 2   2 2     x  y   x  y    1   78x  2y 1   1 2 y   15 2 2 2    2 2   x     y  x   y yxy  2 2   3x 1
Thí dụ 21. Giải hệ phƣơng trình  2 2 y  x y  2x   0  2 Lời giải yxy  2 2  3x yxy 2 2  3x
Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với:    2 2 y  x y  2x  0 x  xy  2 2  y THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 29
Nhân vế với vế 2 phƣơng trình của hệ ta đƣợc:  xy  0 
xy xy  2xy  2 2 2  3
 x y  xyxy 1xy  4  0  xy  1  xy  4  
Với xy = 0 ta có: x  y  0 3 1
Với xy = 1 thay vào PT(1) của hệ ta đƣợc: y 1 2 3   y   3  x   2 3 y 3 16
Với xy = - 4 thay vào PT(1) của hệ ta đƣợc: y  4   2  3.  y  2   x  2 2 y  1 
Vậy hệ đã cho có nghiệm: x, y  0; 0 ,2; 2   3 ,  ;  3  3  3 
IV- KĨ THUẬT ĐẶT ẨN PHỤ
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP:
Phƣơng ph{p thƣờng xuyên đƣợc sử dụng để giải hệ phƣơng trình nhất là việc sử
dụng ẩn phụ. Tùy dạng của hệ m| ta có phép đặt ẩn phụ phù hợp.
Dấu hiệu thƣờng gặp: - Hệ đối xứng loại I
- Hệ có các nhân tử lập lại trong hai phƣơng trình của hệ
- Đối với các hệ chứa căn thức chung ta cũng nên chú ý tới việc đặt ẩn phụ
- Các hệ chứa tổng và hiệu (x + y), (x – y)
- Đối với một số trƣờng hợp đặt ẩn phụ để đƣa về hệ đối xứng loại I và loại II THÍ DỤ MINH HỌA:
Dạng 1. Dùng ẩn phụ đƣa về dạng bậc nhất 2 ẩn  2x  y   3  x  1 y  1
Thí dụ 22. Giải hệ phƣơng trình:  x  3y   1 x  1 y   1
(Trích đề Chuyên Hòa Bình năm 2010-2011) Lời giải THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 30 Điều kiện: x  1  ,y  1  u  x  x  1 + Đặt 
, Khi đó hệ phƣơng trình trở th|nh:   y v  y   1  2u  v  3  2u  v  3 2u  v  3  u  2        u  3v  1  2u  6v  2  5v  5  v  1       x  2    x      x  1     2 u 2 x 2x 2 Do đó:        v  1 y y  y  1  1 y        1      2 y 1  
Vậy hệ đã cho có nghiệm:   1 x, y  2  ;     2   10y 2 5x    1 2  y  1
Thí dụ 23. Giải hệ phƣơng trình:  20y  2 3x   11 2  y   1
(Trích đề Chuyên Kiên Giang năm 2011-2012) Lời giải  10y 2 5x    1 2  y  1 10y (I)  . Đặt 2 x  u ( u  0 ) v|  v 20y  2  2 y 1 3x   11 2  y   1 5u  v  1 1  0u  2v  2 1  3u  13 u  1 Hệ (I) trở th|nh:        3u  2v  11 3u  2v  11 5u  v  1 v      4 Với 2
u  1  x  1  x  1  y  2 10y Với 2 v 4 4 4y 10y 4 0          2 1 y  1 y   2
Thử lại ta thấy hệ (I) đúng với x   y y  1 1; 2 hoÆc 2 1 1
Vậy hệ (I) có 4 nghiệm (1 2) (1 ) ; (-1 ; 2) ; (-1 ; ) 2 2 x  2 3 13   x3 y1 10
Thí dụ 24. Giải hệ phƣơng trình:  3 2y4 11     x  3 y   1 6 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 31
(Trích đề Chuyên Bình Định năm 2013-2014) Lời giải
Điều kiện: x ≠ 3 y ≠ -1 x  2 3 13  1 3 13  1 3 3   1         x  3 y  1 10  x  3 y  1 10 x  3 y  1 10      3 2y  4 11 3 2 11 3 2 1      2        x  3 y 1 6 x  3 y  1 6 x 3 y 1 6 1 1 Đặt a = ; b = x  3 y  ta đƣợc hệ : 1  3  1  1 1 a  3b  a       10  10 x  3 10 x  13        (TMDK) 1 1 1 1 y          14 3a 2b b  6  15 y 1 15
Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x y) = (13 14)
Dạng 2. Dùng ẩn phụ đƣa về hệ đối xứng loại I 2 2 2 2
x  y  x y  1 2xy
Thí dụ 25. Giải hệ phƣơng trình:  2 2
x  x y  xy  xy  y 1. Lời giải
x  y  x y  1 2xy  xy2 2 2 2 2 2 2  x y  1 Ta có:    2 2
x  x y  xy  xy  y 1 xy  xyxyxy 1
Đặt x – y = u, xy = v hệ phƣơng trình trở th|nh:    u  v  1    2 2 2 u v  2uv  1 1    u  uv  v  1 2
 u  v  2uv  2 2    2 u v 1
Cộng (1) và (2) theo vế ta đƣợc: u  v  2u  v  3  0  uv  3   u  1 u   0
Với u  v  1  uv  0     v  0 v    1
Từ đó ta đƣợc nghiệm: (x, y) = (1; 0), (0; -1), (1; 1), (-1, -1). Với u  v  3
  uv  4 . Khi đó    2 9 u v  4uv  16 (vô lý)
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là : (x, y) = (1; 0), (0; -1), (1; 1), (-1, -1). THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 32 2 2
x  y  2x  2y  x  2y  2 
Thí dụ 26. Giải hệ phƣơng trình 2 2   . x  y        1  y  2    x  2 
(Trích đề Chuyên Phú Yên năm 2019-2020) Lời giải x  2  ,
Điều kiện x{c định của hệ phƣơng trình y  2.  
Với điều kiện x{c định trên, hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với  x y    1 y  2 x  2   2 2.2 2     x   y        1  y2    x  2  x y Đặt a  , b  y  2
x  . Khi đó, hệ phƣơng trình (2.2) trở th|nh 2 a   b  1 a   b  1     a    b  1 a b  2 2 2  2ab  1  a   0  a   b  1 b  1    . a  b 0   a   1  b  0  x  0 y  2 x  0
Với a  0, b  1, ta có    .  y y   2  1 x  2  x 1 y  2 x  2
Với a  1, b  0 , ta có    .  y y   0  0 x  2
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có hai nghiệm 0; 2 ,2;0.  1 1 x   y   3  x y
Thí dụ 27. Giải hệ phƣơng trình  2 1 2 1 x   y   5 2 2  x y
(Trích đề Chuyên Đại học Vinh năm 2018-2019) Lời giải THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 33 Điều kiện : x; y  0 . Ta có:   1 1 1 1     x   y   3 x y 3   x y  x y     (I) 2 2       2 1 2 1 1 1 x   y   5           2 2 x y 5  x y  x    y  1 1 Đặt a   x; b  y  với 2 a  4 x y Thay vào hệ (I) ta có:  a   2  2 2 a   b  5      a  b2 b 1
 2ab  5  9  2ab  5  ab  2   a    b  3 a   1  b  2 a   2 Mà 2 a  4 nên b   1  1 x   2 x  1 (tm)  2  x x  2x 1  0         2 1 5 1    y  y 1  0 y  (tm) y 1  2  y  1 5   1 5 
Vậy nghiệm của hệ đã cho l| 1; ;1;   2   2     
Dạng 3. Dùng ẩn phụ đƣa về hệ đối xứng loại II  8 2  3x   3  
Thí dụ 28. Giải hệ phƣơng trình: y   3 6 x  2   y
(Trích đề Chuyên Nghệ An năm 2009-2010) Lời giải 2 3    Đặt
 z . Hệ đã cho trở thành 2 3x z  y 3 2  3z  x     3 3 3 x z  z  x     2 2
x z x  xz  z  3  0  x  z (vì 2 2 x  xz  z  3  0, x  ,z). x  1 
Từ đó ta có phƣơng trình: 3
x  3x  2  0  x   2
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: (x, y)  ( 1  ; 2)  , 2,  1 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 34  2 1 4x  x    1
Thí dụ 29. Giải hệ phƣơng trình:  y  2 2 y  y  xy   4
(Trích đề Chuyên Hải Phòng năm 2012-2013) Lời giải  2 1 4x  x    1 (1) Đặt:  y  2 2 y  y  xy   4 (2) 1 4
Nếu y = 0 thì (2) vô lí nên y  0 vậy (2)  1   x  2 y y 1 2 4x  x  b  1 (1') Đặt  b ta có hệ:  y 2 4b  b  x  1 (2')
Lấy ( 1’) – ( 2’) ta có (x - b) (2x + 2b - 1) = 0  1   1 
*) Nếu x = b ta có hai nghiệm  , 2    và ;2    2   2 
*) Nếu 2x + 2b = 1 thì hệ vô nghiệm  1   1 
Vậy hệ có hai nghiệm  , 2    và ;2    2   2 
Dạng 3. Dùng ẩn phụ đƣa về phƣơng trình một ẩn 3 3 x  4y  y 16x
Thí dụ 30. Giải hệ phƣơng trình  2 2 1    y  5(1  x )
(Trích đề Chuyên Ninh Bình năm 2015-2016) Lời giải 3 4y  y
– Xét x = 0, hệ (I) trở thành   y  2  2 y  4 y – Xét x ≠ 0, đặt
 t  y  xt . Hệ (I) trở thành x 3 3 3 3 3 3 3 x  4xt  x t 16x
x (t 1)  4xt 16x x
 (t 1)  4x(t 4)(1)      2 2 2 2 2 2 2 1    x t  5(1  x ) x (t  5)  4 4  x (t  5)(2)
Nhân từng vế của (1) v| (2), ta đƣợc phƣơng trình hệ quả 3 3 3 2
4x (t  1)  4x (t  4)(t  5) 3 3 2
 t 1  t  4t  5t  20 (Do x  0) 2
<=>4t  5t  21  0 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 35 t  3    7 t   4
+ Với t = – 3, thay v|o (2) đƣợc x2 = 1 ⇔ x = ±1.
x = 1 thì y = –3, thử lại (1;–3) là một nghiệm của (I)
x = –1 thì y = 3, thử lại (–1;3) là một nghiệm của (I) 7
+ Với t = , thay v|o (2) đƣợc 2 64 x   (loại) 4 31
Vậy hệ (I) có các nghiệm (0;2), (0;–2), (1;–3), (–1;3).  1 2x x  y      2
Thí dụ 31. Giải hệ phƣơng trình 3x 3y 2x  y  2
 2x  y   2x  6  y Lời giải Điều kiện: y  0; 3   x  0. 1 2x x  tx Đặt 2 2
y  tx  y  t x thay v|o (1) ta đƣợc:   2 2 2 2 2 3x 3t x 2x  t x
Rút gọn biến x ta đƣa về phƣơng trình ẩn t :   2  2 t 2 t  t  
1  0  t  2  y  2x  0 . Thay v|o (2) ta đƣợc: 2 2 25 1
4x  8x  2x  6  4x  10x   2x  6  2x  6  4 4 2 2  5   1   2x   2x  6      .  2   2  17  3 13  3 17 Giải ra ta đƣợc x   y  . 4 2     Vậy nghiệm của hệ   17 3 13 3 17 x; y   ;   . 4 2   
Dạng 3. Dùng ẩn phụ dạng tổng hiệu THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 36  3 6x   13  x  y 
Thí dụ 32. Giải hệ phƣơng trình:  .   2 2    9 12 x xy y    x y 85 2
(Trích đề Chuyên Hà Tĩnh năm 2016-2017) Lời giải  3  3 6x   13  3
 x  y  3x  y   13 x  y  x  y  Ta có:    .   2 2    9 2 2 9 12 x xy y  
9x  y  3x  y   85  2  x y 85 2  x y  3 3a   13  3b  1 x  y  a  0  a Đặt  . Khi đó ta có:  2 x  y   b  1   2 9 a   103    3b   a   b  1   2 2b 13b 11  0  11  . b   2 11 Xét b = , thay vào (1) ta có 2
6a  7a  6  0 (vô nghiệm). 2 a  3 1 10 
Xét b  1, thay vào (1) ta có 2 a    3a 10a  3  0  1 . a 3 a   3 a   3 x  y  3 x  2 Khi  ta có    ; b   1 x  y  1 y    1   2 1  1 x  a   x  y   Khi  3 3 ta có  3   .  1  b   1 x y  1 y   3   
Thử lại ta suy ra hệ đã cho có nghiệm     2 1 x ; y 2 ; 1 ;  ;     3 3  2 2
x  y  xy  xy  y
Thí dụ 33. Giải hệ phƣơng trình:  2 2 x  y  3 Lời giải
Đặt u = x + y, v = x – y khi đó hệ phƣơng trình trở thành: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 37  2 2 2 2 2 27 4 3 u  v u  v        2 2 u 4u 0 u 4u 27 0         2 u u 3v 4u 0  u   2 4       3   uv  3 3   v  uv  3 v    u  u
u32  2u 2u3  0  u  3 x  y  3 x  2        3  v  1 x  y  1 y       1 v  u
Thử lại ta suy ra hệ đã cho có nghiệm x ; y  2 ;  1  2       x 2x 6 y 1
Thí dụ 34. Giải hệ phƣơng trình:  2 2     x xy y 7 Lời giải Điều kiện: y  1
 . Khi đó hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với: 2 2       2 2  2 x 2x 6 y 2y 1 x  y  2        xy5  0 x 2x 6 y 1   1     x  xy  y  7 
xy2 3x y2  7     
x  y2  3x  y2 2 2  28 4
Đặt u = x + y, v = x – y khi đó hệ phƣơng trình trở thành: uv  2v  5  0 u  1   u  3      2 2 3u  v  28 v  5  v  1  u  1  x  y  1  x  3  Với  ta có    ; v  5   x  y  5  y    2  u  3 x  y  3 x  1 Với  ta có    ; v  1   x  y  1  y    2
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: (x, y)  ( 3  ; 2), 1,2
V- KĨ THUẬT NHÂN LIÊN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƢƠNG
TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP:
Đối với các bài toán chứa căn thức thì kĩ thuật nhân liên hợp l| kĩ thuật không thể
không nhắc tới, đối hệ phƣơng trình kĩ thuật nhân liên giúp chúng ta tìm mối liên
hệ giữa x và y thông qua một trong hai phƣơng trình của hệ (thƣờng l| phƣơng
trình chứa căn thức) bằng cách chuyển nó về phƣơng trình tích dạng: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 38
axbycAx  0
Khi áp dụng kĩ thuật nhân liên hợp chúng ta cần khéo léo trong việc xử lý phƣơng
trình tích cuối cùng, cần dùng điều kiện b|i to{n v| đ{nh gi{ để chứng minh đƣợc
phƣơng trình A(x) = 0 vô nghiệm. THÍ DỤ MINH HỌA: 2
xy  y  3y 1  x  2y 1
Thí dụ 35. Giải hệ phƣơng trình:  3 2
x y  4xy  7xy  5x  y  2  0.
(Trích đề Chuyên Bình Phước năm 2016-2017) Lời giải  1  1 x  y   Điều kiện: 3  3   1 x 2y  1 y  .  3 1
Xét 3y  1  x  2y  1  0  x  y  3
Thay v|o (2) không thỏa mãn.  1 x   Xét 3
3y  1  x  2y  1  0   1 y  .  3 x  y y  x  (1)  y(x  y)   y  x  1       y   0 VN do y 3y 1 x 2y 1     3y  1  x  2y  1  3  
Với x = y, thay v|o (2) ta đƣợc: 4 3 2 2 2
x  4x  7x  6x  2  0  (x 1) (x  2x  2)  0  x  1  y  1
Vậy nghiệm của hệ l|: (1 1).  2 2x  2
y  xy  5x  y  2  y  2x  1  3  3x
Thí dụ 36. Giải hệ phƣơng trình  2x y1 4xy5  x2y  2
(Trích đề Chuyên Hải Dương năm 2015-2016) Lời giải
Điều kiện: y  2x  1  0,4x  y  5  0,x  2y  2  0,x  1 y  2x 1  0 x  1 0   0 TH 1.      (Không TM hệ) 3  3x  0 y    1 1  10   1
TH 2. x  1, y  1 Đƣa pt thứ nhất về dạng tích ta đƣợc THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 39 x  y       2 (x y 2)(2x y 1) y  2x  1  3  3x      1 (x y 2)  y  2x  
1  0 . Do y  2x  1  0  y  2x 1  3  3x    1 nên
 y  2x 1  0  x  y  2  0 y  2x  1  3  3x
Thay y  2  x vào pt thứ 2 ta đƣợc: 2
x  x  3  3x  7  2  x 2
 x  x  2  3x  7 1 2  2  x 3x  6 2  x  (x  2)(x 1)   3x  7  1 2  2  x  3 1   (x  2)   1 x    0
 3x  7  1 2  2  x  3 1 Do x  1 nên   1 x  0 3x  7  1 2  2  x
Vậy x  2  0  x  2  y  4 (TMĐK)
Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình l| (x, y) = (-2; 4).
2 2xy  y 2x y10
Thí dụ 37. Giải hệ phƣơng trình  3y4 2y12 2x13 
(Trích đề HSG huyện Trực Ninh năm 2011-2012) Lời giải 1 Điều kiện: x  ; y  0 2 (1)     2 2x 1 y 9  2x  1  y = 3 
2x  1  3  y (*) Thay vào (2)
3y  4  2y  1  2( y  2)  1  0
 ( 3y  4  4) ( 2y 1  3)  2( y  2) 0       3y 4 16 2y 1 9 y 4   2. 0 3y  1  4 2y  1  3 y  2    3 2 2 (y - 4).     0  3y 1 4 2y 1 3 y 2         y  4 0   3 2 2    (3)  3y 1  4 2y  1  3 y  2  Với y = 4 ta có x = 1 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 40 3 1 Với y  0 ta có  3y  1  4 2 2 2 1
Từ (*) suy ra y  9 suy ra  > . 2y  1  3 y  2 2
Vậy phƣơng trình (3) vô nghiệm
Kết luận nghiệm của hệ (x;y) = (1 ; 4 )
VI- KĨ THUẬT ĐÁNH GIÁ TRONG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP:
Đối với nhiều hệ phƣơng trình việc đ{nh gi{ c{c phƣơng trình của hệ là mấu chốt
để giải bài toán một cách nhanh gọn, trong nhiều bài toán gần nhƣ l| phƣơng ph{p
duy nhất để giải hệ phƣơng trình. Chúng ta thƣờng dùng bất đẳng thức, tính đơn
điệu tăng giảm của các vế của phƣơng trình, điều kiện có nghiệm của phƣơng trình
bậc 2, nói chung nói đến phƣơng ph{p đ{nh gi{ chúng cần hết sức linh hoạt, càng
đ{nh gi{ s{t v| chặt thì việc giải quyết hệ phƣơng trình c|ng giảm bớt c{c trƣờng
hợp đồng thời không bỏ soát nghiệm. THÍ DỤ MINH HỌA:
Dạng 1. Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến các vế phƣơng trình của hệ
 x  2012  y  2012
Thí dụ 38. Giải hệ phƣơng trình:  2012x  y  2012 
(Trích đề HSG huyện Thanh Oai năm 2012-2013) Lời giải 0  x  2012
Điều kiện : 0  y   2012
Từ 2 phƣơng trình của hệ ta có:
x  2012  y  2012  x  y  x  2012  x  y  2012  y
Nếu x > y thì :  2012  x   2012  y => VT > VP (mâu thuẫn)
Tƣơng tự nếu x < y => VT < VP (mâu thuẫn) => x = y x  y   1
Do đó: Hệ   x  2012x  2012  2 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 41
2  x2012x2 x2012x  2012  x2012  x  0  x  0  x  2012
Vậy nghiệm của hệ (x;y) = (0;0),(2012;2012) 2 2 2 (
 2x  y)(x  y )  2x  6x  xy   3y (1)
Thí dụ 39. Giải hệ phƣơng trình:  2 2 2
 3(x  y)  7  5x  5y  14  4  2x  x (2) 
(Trích đề Chuyên Đăk Lăk năm 2018-2019) Lời giải Phƣơng trình (1): 2 2
(2x  y)(x  y  x  3)  0  2x  y . Thế v|o (2): 2 2 2
3x  6x  7  5x  10x  14  4  2x  x *.
Đ{nh gi{ vế tr{i của (*): 2 2
3(x  1)  4  5(x  1)  9  5 .
V| đ{nh gi{ vế phải của (*): 2 2
4  2x  x  5 (x  1)  5 .
Dấu bằng xảy ra khi x  1  .
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm (x; y)  ( 1  ; 2  ). 3 y  x  3x  4
Thí dụ 40. Giải hệ phƣơng trình:  2 x  2y  6y  2 Lời giải
y 2  x12 x  2 1
Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với: x2  2  y12 y2 2
Nếu x > 2 thì x – 2 > 0 thừ phƣơng trình (1) suy ra y – 2 < 0. Khi đó vế phải phƣơng
trình (2) luôn không dƣơng nên x – 2 ≤ 0 hay x ≤ 2 (vô lý với x > 2)
Tƣơng tự với x < 2 ta cũng suy ra điều vô lý. Suy ra x = 2 khi đó y = 2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x, y) = (2, 2)
Dạng 2. Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển để đánh giá
Một số bất đẳng thức Cổ điển thường được sử dụng như:
1. Bất đẳng thức Cauchy (tên quốc tế là AM – GM)
a a a  ....  a
Nếu a , a , a ,.....,a là các số thực không âm thì: 1 2 3
n a .a .a .......a 1 2 3 n 1 2 3 n n THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 42
Đẳng thức xảy ra khi a a a  .....  a 1 2 3 n
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai bộ số thực bất kì a , a , a ,.....,a và 1 2 3 n
b ,b ,b ,.....,b ta có 1 2 3 n
a a a ....a b b b .....b ab a b a b ...a b n n n n 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 2 3 3
Đẳng thức xảy ra khi tồn tại số thực k k  0 sao cho a kb với i = 1, 2, 3,…, n. i i
Một số bất đẳng thức phụ cần nhớ: 1 1 4
1. Với a, b dương ta ta có:   a b a b
Dấu “=” xảy ra khi a = b. 1 1 2
2. Với ab  1thì  
. Với ab  1thì bất đẳng thức đổi chiều. 2 2 1 a 1 b 1 ab
Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1.  1 4 x   1  1  x  1 x  1  y
Thí dụ 41.
Giải hệ phƣơng trình:  1 y   2 xy  y 2  y  Lời giải x  1  Điều kiện: y   0
Cộng theo vế phƣơng trình (1) v| (2) ta đƣợc:     1 1           4 x 1 y 2 y x 1  I  x 1 y   x  1  y  
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
x 1y  2 yx 1
dox1 0,y  0 3
Mặt kh{c với a, b dƣơng ta ta có:    1 1  2 1 1 4 a b   2 ab.  4      *  a b  ab a b a  b
Dấu ”=” xảy ra khi a = b 1 1 4 Áp dụng (*) ta đƣợc:   4 x  1 y x  1  y
Cộng (3) v| (4) ta đƣợc: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43     1 1           4 x 1 y 2 y x 1  II  x 1 y   x  1  y  
Từ (I) v| (II) suy ra để phƣơng trình có nghiệm thì x + 1 = y
Thay x + 1 = y v| phƣơng trình (2) ta đƣợc: 1 3 y 
 2y  y y  1  y  1  y  1  x  0 y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x, y) = (0, 1) x 12 y  y 2 12  x    12 1 Thí dụ 42.
Giải hệ phƣơng trình:  3 x  8x 1  2 y  2  2 Lời giải Điều kiện: 2
 3  x  2 3,2  y  12 
Với 2 số thực a, b bất kì ta có:    2 2 2 a b a b  0   ab 2 2  x  12  y
x 12  y  x 12  y   Áp dụng ta đƣợc: 2   x 12  y  y 2 12  x  12 2     y y 12 x 2 12  x    2  x  0 Do đó   1   2 y  12   x Thay 2
y  12  x v|o (2) ta đƣợc: 3 2 x  8x  1  2 10  x 3  x  8x  3  2 2 1  10  x   0      x  3 2 x 3 2   x  3x  1   0 3 2  1  10  x  2 x  3 2  
Do x  0 nên x  3x  1
 0 do đó: x  3  y  3 2 1 10  x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x, y) = (3, 3) 4 2
 x  32 x  y 3 Thí dụ 43.
Giải hệ phƣơng trình: 4
 x  32  x  24  6y Lời giải
Điều kiện: 0  x  32
Hệ đã cho tƣơng đƣơng với THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 44 4 4 2 (
 x  32 x)( x  32 x)  y 6y  21  4 2
 x  32  x  y  3
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 2 2
( x  32  x)  (1  1 )(x  32  x)  64  x  32  x  8    4 2 4 4 x 32 x
 2( x  32  x)  256       4 4 x 32 x 4 Suy ra 4 4
( x  32  x)  ( x  32  x)  12 Mặt kh{c      2 2 y 6y 21 y 3  12  12
Đẳng thức xẩy ra khi x = 16 v| y = 3 (t/m)
Vậy hệ đã có nghiệm l| (x y) = (16 3)  1 1 2    2 2  1 2x 1  2y 1  2xy Thí dụ 44.
Giải hệ phƣơng trình:        2 x 1 2x y 1 2y   9 Lời giải 1 Điều kiện: 0  x, y  . 2  1 
Đặt a  2x, b  2y; a, b 0;  .  2  1 1  1 1  Ta có: VT    2    . 2 2 2 2    1 a 1 b 1 a 1 b 
Ta sử dụng bổ đề với a, b  0 và ab  1 ta có bất đẳng thức: 1 1 2 ab2 ab1     0 (đúng). 2 2 1 a 1  b 1 ab 1ab 2 1  a  2 1  b  2 Vậy VT   VP . 1 ab
Đẳng thức xảy ra khi x  y . Thay v|o(2) ta tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình.         Nghiệm của hệ   9 73 9 73 9 73 9 73 x; y   ;  , ;   . 36 36   36 36      THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 45
Dạng 3. Sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ phƣơng trình 2 f x,y  0 1. Hệ có dạng: 
hệ phƣơng trình có một phƣơng trình l| phƣơng k g  x   0
trình bậc hai hai ẩn, ta coi một ẩn là tham số từ phƣơng trình n|y ta tính dental
và giới hơn miền giá trị của nghiệm của ẩn, từ đó giải bài toán  Ax,y  B(x,y) Ax,y  0 1. Hệ có dạng: 
từ đ}y ta có điều kiện:   C B  x  x  0   0
từ đó chúng ta có điều kiện rằng buộc giữa x và y.
Phƣơng ph{p n|y rất ít đƣợc áp dụng trong c{c đề thi. x12 3 2  y  3y  3y 1 Thí dụ 45.
Giải hệ phƣơng trình:  2 x  2x  y1 2  y  6y 1  0 2 Lời giải
Viết phƣơng trình (2) của hệ dƣới dạng: 2     2 x
2 y 1 .x  y  6y  1  0
Ta coi đ}y l| phƣơng trình bậc 2 ẩn x tham số y, để phƣơng trình có nghiệm thì: '  y  2 1   2
y  6y  1  4y  0  y  0. x    2 3 Mặt khác   1  x   1  1 y   1 2 3
Do y ≥ 0 nên VT  x   1  0  1 y   1
Vì thế hệ có nghiệm khi x = 1 và y = 0, thay và hệ ban đầu ta thấy thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x, y) = (1, 0). 2 2 1
 0x  5y  2xy  38x 6y  41  0  1 Thí dụ 45.
Giải hệ phƣơng trình:  3 3 2
 x  xy  6y  y  x 1  2  2 Lời giải
Viết phƣơng trình (1) của hệ dƣới dạng: 2     2 10x
2 y 19 x  5y  6y  41  0.
Ta coi đ}y l| phƣơng trình bậc 2 ẩn x tham số y, để phƣơng trình có nghiệm thì:
'  y 19 10 5y  6y  41  4
 9 y 1  0  y  1 x  2. x  2    2 2   THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 46
Thử lại (x, y) = (2, 1) thỏa mãn hệ phƣơng trình đã cho
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x, y) = (2, 1). 4 2 x  y   9 1 Thí dụ 46.
Giải hệ phƣơng trình:  2 2
x  y  xy  3x  4y  4   0  2 Lời giải
Viết phƣơng trình (1) của hệ dƣới dạng: 2     2 x
y 3 x  y  4y  4  0.
Ta coi đ}y l| phƣơng trình bậc 2 ẩn x tham số y, để phƣơng trình có nghiệm thì: 7
  y  3  4 y  4y  4  3
 y 10y 7  0  1  y  . x  2  2  2   3
Tƣơng tự viết phƣơng trình (1) của hệ dƣới dạng: 2     2 y
x 4 y  x  3x  4  0.
Ta coi đ}y l| phƣơng trình bậc 2 ẩn y tham số x, để phƣơng trình có nghiệm thì: 4
  x  4  4 x  3x  4  3x   4x  0  0  x  . x  2  2  2   3 4 2     Khi đó: 4 2 4 7 697 x  y         9 .  3   3  81
Vì vậy hệ đã cho vô nghiệm
VII- KĨ THUẬT HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP: f x,y   0 1
Phƣơng trình có dạng: g  x,y   0 2 Ta lấy : .  f x .
 gx  0 3 trong đó α v| β l| c{c hằng số cần tìm để ta có thể
chuyển phƣơng trình (3) trở về phƣơng trình tích. Thông thƣờng ta lấy α = 1 hoặc β
= 1, nếu bậc của f(x) cao hơn g(x) thì chọn α = 1. Thông thƣờng ta đƣa phƣơng trình (3) về các dạng sau: 2
Dạng 1: mx  ny  mx  ny    0 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 47 3 3 3 3
Dạng 2: : x  a  y  b hoặc ax  b  cy  d 4 4 4 4
Dạng 3: : x  a  y  b hoặc ax  b  cy  d Nhận xét: -
Các hệ phƣơng trình đa thức bậc hai hai ẩn đều giải đƣợc bằng phƣơng ph{p hệ số bất định. -
Nếu hệ phƣơng trình đa thức bậc cao nhất l| 2 ta nghĩ tới dạng 1, nếu bậc cao nhất
l| 3 ta nghĩ tới dạng 2, bậc cao nhất l| 4 ta nghĩ tới dạng 3. THÍ DỤ MINH HỌA: 2 2 x  2xy  2y  3x   0 1 Thí dụ 47.
Giải hệ phƣơng trình:  2 xy  y  3y  1   0  2 Phân tích:
Quan sát thấy phƣơng trình (1) v| (2) của hệ đều có bậc cao nhất của x và y là bậc 2
nên ta tìm c{ch đƣa phƣơng trình về dạng phƣơng trình bậc 2 theo mx + ny. Để làm
đƣợc vậy ta nhân 2 vế PT (1) với α, nh}n 2 vế PT (2) với β, rồi cộng lại theo vế với nhau:  2 2
x  2xy  2y  3x   2 xy  y  3y  1  0 2   .  x  
2xy2 2y 3  xy  0            2 2
  x  2  xy 2  y   3x  y   0           
Chúng ta cần tìm α v| β sao cho: 2          2 2 x  2  xy  2  y  x       y           2         2 2 2 2  x  2  xy  2  y  x  2 xy      y 2            2   2    
Đồng nhât hệ số ta đƣợc    2 2    2   2   
Ta chọn α = 1, β = 2 dẫn tới lời giải sau: Lời giải. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 48
Nhân 2 vế của PT (2) với 2 ta đƣợc: 2 2xy  2y  6y  2  0 3
Cộng (1) và (3) theo vế ta đƣợc: 2 2 2
2xy  2y  6y  2  x  2xy  2y  3x  0   2 2
x  4xy  4y   3x  2y  2  0
 x  2y2  3x  2y  2  0
 x  2y 1x  2y  2  0 x  2y  1  0  x2y2   0 x  2  y 1  x  2  y   2 Với x  2
 y 1 thay vào PT(2) của hệ ta đƣợc: y  1 2  x  3   2 2 2
y  2y 1  0  y 1 2 x 3  2 2 Với x  2
 y  2 thay vào PT(2) của hệ ta đƣợc:  1  5 y   x  3   5 2       2 y y 1 0  1  5 y   x  3   5  2 Vậy hệ có 4 nghiệm là             1 5   1  5  x; y 3 2 2;1 2 , 3 2 2;1 2 , 3   5; , 3   5;   2   2      3 3 x  y   35  1 Thí dụ 48.
Giải hệ phƣơng trình:  2 2 2x  3y  4x   9y  2
Phân tích: Quan s{t 2 phƣơng trình của hệ ta thấy không thể dùng phƣơng ph{p
thế hay đƣa về phƣơng trình đẳng cấp để giải hệ phƣơng trình. Do x, y độc lập với
nhau, ta hi vọng từ 2 phƣơng trình của hệ kết hợp với nhau để đƣa về dạng:   3   3 x a y b *
Ta thấy phƣơng trình (1) l| phƣơng trình có bậc 3 (bậc cao nhất) nên không nhân 2
vế của phƣơng trình (1) thêm hệ số. Ta nhân 2 vế của phƣơng trình (2) với hệ số α
và cộng với phƣơng trình (1) đƣợc: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 49  3 3 x  y  35   2 2
2x  3y  4x  9y  0 3 3 2 2  x  y  35  2 x   3 y   4 x   9 y   0 3 3 3
Mà:        3 3     3 3   2 2 2 2 x a y b x y a
b  3ax  3a x  3by  3b y  0 4
Đồng nhất hệ số (3) v| (4) ta đƣợc:  3 3 3 3 3 3 a   b  35 a   b  3  5 a   b  3  5 a  2     
 2  3a   2  3a
  2  3a   b  3  2  2   4    3a 3a 4   a  2    3        3a 2 3 3
Do đó: x  2  y  3 dẫn tới lời giải sau: Lời giải.
Nhân 2 vế của phƣơng trình (2) với 3  ta đƣợc: 2 2 6  x  9y  1  2x  27y 5
Cộng (5) và (1) vế theo vế ta đƣợc: 3 3 2 2 x  y  6x  9y  1  2x  27y  35 3 2 3 2
 x  6x  12x  8  y  9y  27y  27
 x  23  y  33  x  2  y  3  x  y  5
Thay x = y + 5 v|o (1) ta đƣợc: 2 y  52 2
 3y  4y  5  9y 2 2
 2y  20y  50  3y  4y  20  9y  0 2  y  5y  6  0 y  2   x  3  y  3   x   2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x, y) = (3; -2), (2; -3) 4 4 x  y  240  1 Thí dụ 49.
Giải hệ phƣơng trình:  3 3 x  3y  3   2 2 x  4y   4x   8y 2 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 50
Phân tích: Hệ phƣơng trình có bậc 4, cũng nhƣ 2 b|i to{n trên ta không thể giải hệ
phƣơng trình bằng phƣơng ph{p thế, đăng cấp hay l| đƣa về phƣơng trình tích. Ta 4 4
hi vọng đƣa phƣơng trình về dạng x    y  
Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với: 4 4 x  a  y  a   240  3 3 x  3y  3   2 2
x  4y   4x  8y
Nh}n 2 vế phƣơng trình thứ 2 với k v| cộng theo vế với phƣơng trình thứ nhất ta đƣợc: 4    3 3   4       2 2 x a k x 3y y
a 240 k. 3 x  4y   4x  8y *  Mặt khác:
 4  4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 x y  x  4 x
  6 x  4 x    x  4x  6 x  4 x  * * 4  a    k  4  2  3k  6 k  8    3  4k  4   2
Đồng nhất hệ số (*) v| (**) ta đƣợc:    4 a   240   a  16   2k  4     4  2  12k  6  3 32k  4  Lời giải.
Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với: 4 4 x 16  y   256  3 3 x  3y  3   2 2
x  4y   4x  8y
Nhân 2 vế của phƣơng trình thứ 2 với -8 rồi cộng theo vế với phƣơng trình thứ nhất ta đƣợc: 4 x  16  8  3 3 x  3y  4  y  256  8 3   2 2
x  4y   4x  8y            4    4 x 2 y 4 x y 2 x 2 y 4     x  2  4  y x  6    y
Với x = y – 2 thay vào (1) ta đƣợc: 3 2         2 8y 24y 32y 224 0
y 2 8y 40y 112   0  y  2   x  4  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 51
Với x = 6 – y thay v|o (1) ta đƣợc: 3 2         2 y 9y 36y 44 0
y 2 y  7y  22  0  y  2  x  4
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x, y) = (-4; -2), (4; 2)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 3 3 x  y   9 1 Câu 1.
Giải hệ phƣơng trình:  2 2 x  2y  x   4y  2  2 2 1 x  y   1  Câu 2. Giải hệ phƣơng trình: 5   2 57 4x  3x   y3x 1 2  25 3 2 x  3xy  4   9 1 Câu 3.
Giải hệ phƣơng trình:  2 2 x  8xy  y  8y   17x  2 HƢỚNG DẪN GIẢI Câu 1.
Lấy phƣơng trình (1) trừ đi 3 lần phƣơng trình (2) theo vế ta đƣợc:   3   3 x 1 2 y  x  3  y 3
Thế (3) vào (2) ta đƣợc: y  1  x  2 2
y  3y  2  0  y  2  x   1
Vậy nghiệm của hệ là: (2, 1); (1, 2) Câu 2.
Lấy phƣơng trình (1) nh}n với 25 và cộng theo vế với phƣơng trình (2) nh}n 50 nhóm lại ta đƣợc:  7 3x  y      2     5 25 3x y
50 3x y  119  0   17 3x  y    5 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 52  7 y   3x  5        x, y 2 1 11 2   ; , ;  Với  2 2 1  5 5   25 25  x  y   5  17 y    3x  5  (vô nghiệm) Với  2 2 1 x  y   5    
Vậy hệ có 2 nghiệm là   2 1 11 2 x, y   ;  , ;  .  5 5   25 25  Câu 3.
Lấy phƣơng trình (1) cộng với 3 lần phƣơng trình (2) theo vế ta đƣợc: 3 2 x  3x   2 3y  24y  51 2 x  3y  24y  49  0       2  2 x 1 x 1 x 1 3 y 4        0     x  1  ,y   4
Thay x = -1 v|o (1) ta đƣợc: 2 2 1   3y  4  9 y  16  y  4 
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm là (x, y) = ( - 1; 4), (-1, - 4). THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 53
CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƢƠNG TRÌNH BA ẨN
Hệ phương trình ba ẩn là một chủ đề khó và cũng rất hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi
và vào các trường chuyên, lớp chọn. Không có phương pháp nào tổng quát để giải các bài
toán chủ đề này. Mình sẽ trình bày các ví dụ và lời giải chi tiết để các bạn có thể rút ra các
kinh nghiệm để giải khi gặp các bài toán loại hệ ba ẩn này.
Dạng 1. Hệ hai phƣơng trình ba ẩn 2 2 2
x  y  z  xy  yz  zx
Thí dụ 1. Giải hệ phƣơng trình:  2003 2003 2003 2004 x  y  z  3 Lời giải 2 2 2
x  y  z  xy  yz  zx (1) Ta có:  2003 2003 2003 2004 x  y  z  3 (2) PT (1) 2 2 2
 2x  2y  2z  2xy  2yz  2zx  0 2 2 2
 (x  y) (y  z) (z  x)  0  x  y  z Thế v|o (2) ta có: 2003 2004 3x  3  2003 2003 x  3  x  3
Do đó x y z  3
Vậy nghiệm của hệ đã cho l|:  ; x ; y z  3;3;3 x  y  z  1
Thí dụ 2. Giải hệ phƣơng trình:  4 4 4 x  y  z  xyz
(Trích đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2013-2014) Lời giải 4 4 4 4 4 4 x  y y  z z  x Ta có: 4 4 4 x  y  z     2 2 2 2 2 2 x y  y z  z x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y  y z y z  z x z x  x y =    xyyz  yzzx  zxxy 2 2 2
= xyz (x + y + z) = xyz ( vì x + y + z = 1). x  y  z 1 Dấu bằng xảy ra    x  y  z  x  y  z   1 3 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 54  1 1 1 
Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình l|: x  ; y  ; z     3 3 3  x  y  z  2
Thí dụ 3. Giải hệ phƣơng trình  2 2xy  z  4
(Trích đề HSG Lâm Đồng năm 2010-2011) Lời giải Ta có: 2 x  y  z  2 z  2  x  y (
 2  x  y)  2xy  4      2 2 2xy  z  4 z  2xy  4 z  2  x  y 2 2 (
 x  2) (y  2)  0 x  y  2     z  2  x  y z  2 
Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình l|: x,y,z  2; 2; 2  
Dạng 2. Hệ ba phƣơng trình ba ẩn 2 xy  z  2 
Thí dụ 4. Giải hệ phƣơng trình: 2 yz  x  2  2 zx  y  2  Lời giải
Từ (1) v| (2) ta có : (x – z)(x – y + z) = 0 (4)
Từ (2) v| (3) ta có: ( y - x)(x + y –z) = 0 (5)
x  zx  y  z  0 
Từ (3) (4) (5) ta có hệ :
yxx yz  0  2 zx  y  2 
Để giải hệ trên ta giải 4 hệ :  x  z  0  x  z  0    y  x  0 A x  y  z  0 B  2  2 zx  y  2 zx  y  2   x  y  z  0 x  y  z  0    y  x  0 C x  y  z  0 D  2  2 zx  y  2 zx  y  2  
Giải 4 hệ trên ta đƣợc 8 bộ nghiệm của hệ phƣơng trình :
 2; 0; 2  2; 0; 2 (1; 1; 1) ; ( -1;-1; -1 ) ; ; THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 55
 2; 2 ; 0  2;  2  0; 2; 2 0; 2 ; 2 ; 0 ; ; ;
x y z  1  
Thí dụ 5. Tìm c{c số thực x, y, z thỏa mãn: y z x  3.
z x y  5 
(Trích đề Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2015-2016) Lời giải
Cộng vế với vế c{c phƣơng trình đã cho ta đƣợc x y z  9. 
Phƣơng trình đầu có dạng 2x   x y z 1 x  4  .
Phƣơng trình thứ hai có dạng 2 y   x y z  3  y  3  .
Phƣơng trình thứ ba có dạng 2z   x y z  5  z  2  .
Thử lại thỏa mãn. Vậy x  4  , y  3  , z  2  .
xy x y 1 
Thí dụ 6. Giải hệ phƣơng trình: yz y z  5
x, y, z 
zx z x  2 
(Trích đề vào lớp 10 Chuyên Vĩnh Phúc năm 2013-2014) Lời giải       x   1  y xy x y   1  2 1  
Ta có:  yz y z  5    y   1  z   1  6  
zx z x  2  z   1x  1  3
Nhân từng vế c{c phƣơng trình của hệ trên ta đƣợc     x y z  
x 1  y   1  z   1  1 1 1 6 2    
 36  x 1y 1z 1 6 +) Nếu  x   1  y   1  z  
1  6 , kết hợp với hệ trên ta đƣợc x 1 1 x  2  
y 1  2  y  3   z 1  3 z  4   +) Nếu  x   1  y   1  z   1  6
 , kết hợp với hệ trên ta đƣợc x 1  1  x  0   y 1  2   y  1  .   z 1  3  z  2   
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm  ; x ;
y z  2;3;4,0; 1  ; 2   . THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 56 x  xy  y  1 
Thí dụ 7. Giải hệ phƣơng trình: y  yz  z  4 trong đó x,y,z  0 z  zx  x  9  Lời giải
Hệ đã cho tƣơng đƣơng với 2
 (x 1)(y 1)(z 1)  100 (  x  1)(y 1)  2         (  y  1)(z  1)  5 (x 1)(y 1) 2        (z  1)(x  1)  10 (y 1)(z 1) 5  (z1)(x 1)   10 (
 x  1)(y  1)(z  1)  10  (Do x,y,z > 0) (  x  1)(y  1)  2  (y1)(z1)  5  (  z 1)(x 1)   10 z  1  5 x  1    x  1  2  y  0   y  1  1  z  4 
Vậy hệ đã cho có nghiệm l|: x; y; z  1;0; 4 2 2 2 2 2 x
 (y  z)  (3x  x 1)y z 
Thí dụ 8. Giải hệ phƣơng trình 2 2 2 2 2
y (z  x)  (4y  y  1)z x  2 2 2 2 2
z (x  y)  (5z  z  1)x y  Lời giải
Nếu chia hai vế của mỗi phƣơng trình cho 2 2 2
x y z thì ta đƣợc hệ mới đơn giản hơn. y  0 z  0
TH 1. xyz  0 . Nếu x  0 thì hệ 2 2  y z  0   hoặc  z  t, t   y  t, t  
- Tƣơng tự với y  0 và z  0 ta thu đƣợc các nghiệm là
(0;0;t), (0;t;0), (t;0;0), t
- TH 2. xyz  0 . Chia hai vế của mỗi pt trong hệ cho 2 2 2 x y z ta đƣợc THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 57  2  1 1  1 1     3  (1)  2  z y  x x  2   1 1  1 1    4   (2)   . 2  x z   y y  2   1 1  1 1      5   (3) 2  y x   z z 
Cộng vế 3 phƣơng trình của hệ ta đƣợc : 2 2 2  1 1   1 1   1 1  1 1 1 1 1 1        
    12       2 2 2  z y   x z   y x  x y z x y z 1 1 1 2    4 (4)   1 1 1   1 1 1  x y z
         12  0    x y z   x y z  1 1 1    3  (5)  x y z 2  1  1 1 9 9 - Từ (4) và (1) ta có 4   3     13  x    2  x  x x x 13 3 9 - Tứ (4) và (2) ta có y 
. Từ (4) và (3) ta có z  4 11 5 5 -
Tƣơng tự, từ (5), (1), (2), (3) ta có x   , y  1  , z   . 6 4 -
Vậy hệ có tập nghiệm là   9 3 9   5 5   S = (
 t;0;0); (0; t;0); (0;0; t);  ; ; ;   ; 1  ;  , t     13 4 11  6 4   THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 58
CHỦ ĐỀ 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Dạng 1. Biện luận về nghiệm của phƣơng trình  mx  4y  20 (1)
Thí dụ 1. Cho hệ phƣơng trình:  (m l| tham số) x  my   10 (2)
Với gi{ trị n|o của m hệ đã cho: a) Vô nghiệm b) Có nghiệm duy nhất c) Vô số nghiệm Lời giải x  10
Cách 1. Với m = 0 hệ có nghiệm duy nhất:  y   5  m y  x  5 (a) 
Với m  0 hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với: 4  1  10 y  x  (b)  m m
Dễ thấy (a) v| (b) l| hai đƣờng thẳng trong hệ tọa độ Oxy, số nghiệm của hệ l| số
giao điểm của hai đƣờng thẳng (a) v| (b).
a) Hệ phƣơng trình đã cho vô nghiệm khi (a) v| (b) song song tức l|: m 1    4 m   m  2  10  5   m
Vậy m = - 2 thì hệ đã cho vô nghiệm.
b) Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi v| chỉ khi (a) v| (b) cắt nhau tức l|: m 1    m  2  4 m
c) Hệ đã cho có vô số nghiệm khi v| chỉ khi (a) v| (b) trùng nhau tức l|: m 1    4 m   m  2 10  5   m
Vậy khi m = 2 hệ đã cho có vô số nghiệm.
Cách 2. từ PT(2) suy ra: x = 10 – my thay v|o (1) ta đƣợc: 2 y(4  m )  20 10m (3)
Ta có số nghiệm của hệ đã cho chính l| số nghiệm của Phƣơng trình (3) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 59 20 10m  0  m  2
a) Hệ đã cho vô nghiệm khi:     m  2  2 4  m  0 m  2   
Vậy với m = - 2 thì hệ đã cho vô nghiệm.
b) Hệ có nghiệm duy nhất khi: 2 4  m  0  m  2  20 10m  0
c) Hệ đã cho vô số nghiệm khi:   m  2 2 4  m   0 x  y  2m  1
Thí dụ 2. Cho hệ phƣơng trình: 
, với m l| tham số. 2 2 2
x y  y x  2m  m 1
a) Giải hệ phƣơng trình với m =2.
b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi m.
(Trích đề Chuyên Phú Yên năm 2012-2013) Lời giải
a) Giải hệ phƣơng trình với m =2
Với m = 2, hệ phƣơng trình l|: x  y  5 x  y  5 x  y  5      . 2 2 x y  y x  5 xy(x  y)  5  xy  1
Do đó, x, y l| nghiệm của phƣơng trình X2-5X +1= 0 5  21 5  21 Giải ra ra đƣợc X  , X  . 1 2 2 2
 5 21 5 21   5 21 5 21 
Vậy hpt có hai nghiệm:  ;  , ;   . 2 2   2 2     
b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi m x  y  2m 1
Hệ đã cho viết lại là: xy(x y) (2m 1)(m   1) 1 x  y  0 xR (1) Nếu m   thì hệ trở thành:   x  y  0   . 2 xy(x  y)  0 y     x Hệ có vô số nghiệm. 1 x  y  2m  1 (2) Nếu m   thì hệ trở thành:  2 xy  m   1
Nên x,y là nghiệm phƣơng trình: 2
X (2m  1)X  m 1  0 (*). P/t (*) có 2 2
=(2m+1)  4(m 1)  4m  5  0, m  nên luôn có nghiệm.
Vậy hệ phƣơng trình luôn có nghiệm với mọi m. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 60 2 2x  xy  1
Thí dụ 3. Cho hệ phƣơng trình 
, trong đó m là tham số và 2 2 4x  4xy  y  m
x, y là các ẩn số.
a) Giải hệ phƣơng trình với m  7 .
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phƣơng trình có nghiệm.
(Trích đề vào lớp 10 Chuyên Vĩnh Phúc năm 2017-2018) Lời giải
a) Giải hệ phƣơng trình với m  7 . 2   2 2x 1 2x  xy  1   y Với m = 7 ta có:    x
(do x  0 không thỏa mãn). 2 2 4x  4xy  y  7  2 2 4x  4xy  y   7 2 2 2     2 2x 1 2x 1  4x  4x     7 x  x        2   4 2 2 2 2 4 2        2   2 1 4x 4x 2x 1 2x 1 7x 8x 7x 1 0 x 1 x     0  8  2  x  1  x  1  . Với x  1  y  1 . Với x  1   y  1
 . Vậy hệ phƣơng trình có hai nghiệm x; y   1  ; 1  ,1;1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phƣơng trình có nghiệm.
Ta có x  0 không thỏa mãn suy ra x  0.
Rút y từ PT thứ nhất rồi thế vào PT thứ hai ta có: 2 2 2
2x 1  2x 1  2 4x  4x     m xx
Hệ có nghiệm  x x x     x  2 4 2 2 2 2 4 4 2 1 2 1
mx có nghiệm khác 0. 4 2
 8x mx 1 0 có nghiệm kh{c 0. Đặt 2
t x ,t  0. Thay v|o phƣơng trình trên ta đƣợc 2
8t mt 1  0 (1). Nhƣ vậy yêu cầu bài toán    1 có nghiệm dƣơng.
Dễ thấy phƣơng trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu do ac  0 suy ra (1) luôn có
một nghiệm dƣơng. Do đó với mọi số thực m hệ phƣơng trình luôn có nghiệm.
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để nghiệm của hệ thỏa mãn một điều kiện cho trƣớc THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 61 (
 m 1)x  y  3m  4 (1)
Thí dụ 4. Cho hệ phƣơng trình:  x(m1)y   m (2)
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = 2. Lời giải
Bƣớc 1. Tìm điều kiện để hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
Từ (2) suy ra: x = m - (m - 1)y. Thế v|o x = m - (m - 1)y v|o (1) ta đƣợc:
(m – 1)(m – (m – 1)y) = 3m – 1  2 2 y(m  2m)  m  4m  3 (3)
Hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất khi v| chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất tức l|: m  0 2 m  2m  0   (*) m   2
Bƣớc 2. Tìm m thỏa mãn điều kiện x + y = 2.  3m  2 x  
Với điều kiện m  0 và m  2 hệ đã cho có nghiệm duy nhất l|: m  m  2 y  .  m 3m  2 m  2
Với điều kiện x + y = 2 ta có: 
 2  4m  4  2m  m  2 (**) m m
Từ (*) v| (**) suy ra không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu b|i to{n. mx  y  1 
Thí dụ 5. Cho hệ phƣơng trình: x y    m.
Tìm m để phƣơng trình có nghiệm duy nhất (x, y) thỏa mãn: 2 y x Lời giải
Từ phƣơng trình thứ 2 suy ra: y = - m – x . Thế v|o phƣơng trình thứ nhất ta đƣợc:
mx – m – x = -1  x(m - 1) = m – 1 (*)
Hệ có nghiệm duy nhất phƣơng trình (*) phải có nghiệm duy nhất tức l| m  1.  x  1
Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất l| y  m   1 Ta có: y = 2 x  m  1  1  m  2 
Vậy m = - 2 l| gi{ trị cần tìm. 2x  3y  2  a
Thí dụ 6. Tìm nghiệm nguyên a để hệ phƣơng trình x2y  3a  1 y
Có nghiệm (x y) sao cho T = l| số nguyên. x
(Trích đề tuyển sinh lớp 10 Chuyên Tây Ninh năm 2014-2015) Lời giải THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 62 2x  3y  2  a x  a  1 Ta có: 
hệ đã cho có nghiệm (x, y) với  x  2y  3a   1 y   a y a 1 Mà T = = = 1  x a  1 a  1 a  1  1 a  0
Vì a nguyên, để T nguyên thì điều kiện l|  hay  a  1  1   a  2   3 2 2 2 2
x y  2x y  x y  2xy  3x  3  0
Thí dụ 7. Cho hệ phƣơng trình  . 2 2017 y  x  y  3m
Tìm c{c gi{ trị của m để hệ phƣơng trình có hai nghiệm ph}n biệt x ; y và 1 1 
x ;y thỏa mãn điều kiện x y x y 3  0 . 1 2   2 1  2 2 
(Trích đề thi HSG tỉnh Hải Phòng năm học 2016-2017) Lời giải Ta có: 3 2 2 2 2
x y  2x y  x y  2xy  3x  3  0 (1)  2 2017 y  x  y  3m (2) Ta có 3 2 2 2 2
(1)  x y  x y  2x y  2xy  3x  3  0  (x 1) 2 2 x y  2xy  3  0 x  1
 xy 21 20 V« lý
Thay x = 1 v|o phƣơng trình (2) ta đƣợc 2 y  y  3m  1  0 (3)
Để phƣơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt thì:       1
1 4 3m 1  0  12m  3  0  m  4 Theo đề bài: x y
x  y  3  0  4  y  y  y y  0 (4) 1 2   2 1  1 2 1 2 do x  x  1. 1 2 1 Với m 
theo hệ thức Vi-ét cho phƣơng trình (3) ta có : 4 y  y  1 1 2 
thay vào (4) ta có: 5  1 3m  0  m  2(thỏa mãn) y y  1  3m 1 2 Kết luận: m = 2. mx  y  2
Thí dụ 8. Cho hệ phƣơng trình: 3xmy   5 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 63
a) Giải hệ phƣơng trình khi m  2 .
b) Tìm gi{ trị của m để hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm (x y) thỏa mãn hệ 2 m thức x  y  1  . 2 m  3
(Trích đề vào lớp 10 Chuyên Quảng Nam năm 2008-2009) Lời giải  2x  y  2
a) Khi m = 2 ta có hệ phƣơng trình 3x 2y 5   2 2  5 2 2  5    2x  2y  2 2  x x       5 5   3x  2y  5   5 2  6 y  2x   2 y   5 2m  5 5m  6 b) Giải tìm đƣợc: x  ; y  2 2 m  3 m  3 2 m 2 2m  5 5m  6 m
Thay vào hệ thức x  y  1  ta đƣợc   1 2 m  3 2 2 2 m  3 m  3 m  3 4 Giải tìm đƣợc m  7
mx  2y m 1
Thí dụ 9. Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên 2xmy  2m1 Lời giải mx  2y  m 1 2mx  4y  2m  2    2x  my  2m   1 2 2 2mx  m y  2m  m 2 2   (
 m  4)y  2m  3m  2  (m  2)(2m 1)  2x  my  2m 1
Để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4  0 hay m   2
Vậy với m   2 hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất  (m  2)(2m  1) 2m  1 3 y    2   2  m  4 m  2 m  2  m  1 3 x   1  m  2 m  2
Để x, y là những số nguyên thì m + 2  Ƣ(3) = 1; 1  ; 3;   3
Vậy: m + 2 =  1,  3 => m = -1; -3; 1; -5 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 64
BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP x  x  y 2  y  4y 1  0
Câu 1. Giải hệ phƣơng trình  . y  x  y2 2  2x  7y  2
(Trích đề HSG huyện Hạ Hòa năm 2015-2016) 2 y  2xy  4  2x   5y
Câu 2. Giải hệ phƣơng trình  . 2 4
5x  7y 18  x  4
(Trích đề Chuyên Bắc Ninh năm 2019-2020)  1 8xy  22y  12x  25  
Câu 3. Giải hệ phƣơng trình 3  x .  3 y  3y   x5 x2
(Trích đề Chuyên Đà Nẵng năm 2019-2020)
x y2  xy3y1 (1) 
Câu 4. Giải hệ phƣơng trình  2 x  y  1 x  y  (2) 2  1  x
(Trích đề Chuyên Hưng Yên năm 2019-2020) x  y  4
Câu 5. Giải hệ phƣơng trình:  3 3 2 2
x  y  4x  4y 12
(Trích đề Chuyên Lâm Đồng năm 2019-2020) 2 (
 x  y)  4  3y  5x  2 (x 1)(y 1) 
Câu 6. Giải hệ phƣơng trình 3xy  5y  6x  11   5 3  x  1
(Trích đề Chuyên Nam Định năm 2019-2020)
 x y 3  2x 3y 1
Câu 7. Giải hệ phƣơng trình:  .
xy  
1  4 x y  54  0
(Trích đề Chuyên PTNK Hồ Chí Minh năm 2019-2020) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 65
x  6y 13 
Câu 8. Giải hệ phƣơng trình:  2 2x  
x  2y 32 x
(Trích đề Chuyên Quảng Trị năm 2019-2020)
3xy 1 y1 3x1 y 3xy
Câu 9. Giải hệ phƣơng trình:  2 2 x  y  5
(Trích đề Chuyên Tiền Giang năm 2019-2020)
x  3y  2  y(x  y 1) x  0 
Câu 10. Giải hệ phƣơng trình  4y 2 3 8  x   x 14y  8.  y  1  1 
(Trích đề Chuyên Nam Định năm 2018-2019) xy  x  y  5  
Câu 11. Giải hệ phƣơng trình:  1 1 2    2 2 x  2x y   2y 3
(Trích đề Chuyên Hà Tĩnh năm 2018-2019)  4 4 x  y    3  x y
Câu 12. Giải hệ phƣơng trình:  6 x  y   5   x   y
(Trích đề Chuyên Bình Định năm 2018-2019)  1 1   1  2 2
Câu 13. Giải hệ phƣơng trình : x y   2 2
x  1  y  1  xy  2 
(Trích đề Chuyên Lam Sơn năm 2018-2019) 2 2
x  y  x  y  x 1y 1 
Câu 14. Giải hệ phƣơng trình 2 2  x   y        1  y  1    x  1 
(Trích đề Chuyên Hưng Yên năm 2018-2019)
Câu 15. (Trích đề Chuyên Hƣng Yên năm 2018-2019) x  2y  m  3 Cho hệ phƣơng trình  (I) (m là tham số) 2x  3y   m
a) Giải hệ phƣơng trình (1) khi m  1
b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm x; y sao cho   2 2
P 98 x  y   4m đạt giá trị nhỏ nhất
(Trích đề Chuyên Hưng Yên năm 2018-2019) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 2 2 x  y  5
Câu 16. Giải hệ phƣơng trình : xyxy  5
(Trích đề Chuyên Vĩnh Phúc năm 2018-2019)
Câu 17. (Trích đề Chuyên Bến Tre năm 2018-2019) 2 2 x  4y  2
Giải hệ phƣơng trình: x2y  12xy   4
(Trích đề Chuyên Bến Tre năm 2018-2019) 3 3 2
x  y  3x  6x  3y  4  0
Câu 18. Giải hệ phƣơng trình :  2 2 x  y  3x  1
(Trích đề Chuyên Thái Bình năm 2018-2019) 2 2
x  y  x  y  18
Câu 19. Giải hệ phƣơng trình: xy(x1)(y1) 72
(Trích đề Chuyên Lâm Đồng năm 2018-2019) 2 x  xy  6
Câu 20. Giải hệ phƣơng trình:  x,y  2 2 3x  2xy  3y  30
(Trích đề Chuyên Đồng Nai năm 2018-2019) 2 2
x  x  y  y  0
Câu 21. Giải hệ phƣơng trình  . 2 2
2x  y  x  y  3  0
(Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2018-2019) 2
3x  xy  4x  2y  2
Câu 22. Giải hệ phƣơng trình x  x   1  y y  1   4
(Trích đề Chuyên Hải Dương năm 2018-2019) x3 
x1  y2x3
Câu 23. Giải hệ phƣơng trình x1 
 y 5y8  y22 2
(Trích đề Chuyên PTNK Hồ Chí Minh năm 2018-2019) 2
x  2x  2y  3  0
Câu 24. Tìm nghiệm nguyên của hệ phƣơng trình :  2 2 4 1
 6x  8xy  y  2y  4  0
(Trích đề Chuyên Tuyên Quang năm 2018-2019) 2 2 x  y  3  4x
Câu 25. Giải hệ phƣơng trình :  3 3 2
x 12x  y  6x  9
(Trích đề Chuyên Thái Nguyên năm 2018-2019) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 67  2
 x  x  2x  2  1 2 y  y  1  1 
Câu 26. Giải hệ phƣơng trình: 2 2 x  3xy  y   3
(Trích đề Chuyên Hải Dương năm 2016-2017) 2 2
2x  xy  y  5x  y  2  0
Câu 27. Giải hệ phƣơng trình  . 2 2
x  y  x  y  4  0
(Trích đề Chuyên Quốc Học Huế năm 2018-2019) 2
 2x  y 9  36  x  0
Câu 28. Giải hệ phƣơng trình  2  y  xy  9  0
(Trích đề Chuyên Vĩnh Long năm 2018-2019) 2 3 x  y  1 (1)
Câu 29. Giải hệ phƣơng trình:  2 5 3 2 x  y  x  y (2)
(Trích đề Chuyên PTNK Hồ Chí Minh năm 2018-2019) 2
x  xy  x  3y 6  0
Câu 30. Giải hệ phƣơng trình  2
 5x  6  16  3y  2x  2x  y  4. 
(Trích đề Chuyên Bắc Giang năm 2018-2019)  3 27 8x   18  3  y
Câu 31. Giải hệ phƣơng trình  2 4x 6x   1 2  y  y
(Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2018-2019) 2 x  2y  xy  2x
Câu 32. Giải hệ phƣơng trình:  xy  xy2 
(Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2018-2019)
x  3y  2  yx y1 x  0 
Câu 33. Giải hệ phƣơng trình:  4y 2 3 8  x   x 14y   8  y  1  1 
(Trích đề Chuyên Nam Định năm 2018-2019) x  2y  xy  2
Câu 34. Giải hệ phƣơng trình  2 2 x  4y  . 4
(Trích đề Chuyên Quảng Ngãi năm 2018-2019) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 68  x 16 xy - =  y 3
Câu 35. Giải hệ phƣơng trình:  .  y 9 xy - =  x 2
(Trích đề Chuyên Quảng Ngãi năm 2018-2019) 4 x  2  2 3 
x  4  3yy   1 10
Câu 36. Giải hệ phƣơng trình: x23  x y   2y  12
(Trích đề Chuyên Đà Nẵng năm 2018-2019) 2 2 x  4y  2
Câu 37. Giải hệ phƣơng trình:   x  2y  12xy   4
(Trích đề Chuyên Bến Tre năm 2018-2019)  2    2 x 1 y  1   10
Câu 38. Giải hệ phƣơng trình : xy  xy1  3
(Trích đề Chuyên Bình Phước năm 2018-2019) 2 2
2x  y xy  x  y  0
Câu 39. Giải hệ phƣơng trình  2xy2 22x  0. 
(Trích đề Chuyên Nam Định năm 2016-2017) 2 2 x  y  2y 1
Câu 40. Giải hệ phƣơng trình:  . xy  x 1
(Trích đề Chuyên Trà Vinh năm 2018-2019) 2 2
2x  xy  y  3y  2
Câu 41. Giải hệ phƣơng trình  2 2 x  y  3
(Trích đề Chuyên Tiền Giang năm 2018-2019)
x y2  xy 3y1 
Câu 42. Giải hệ phƣơng trình  2 x  y  1 . x  y  2  1  x
(Trích đề Chuyên Hưng Yên năm 2018-2019)  3 x  4y  3 y  16x
Câu 43. Giải hệ phƣơng trình 1 2y  5(1  2 x )
(Trích đề Chuyên Ninh Bình năm 2015-2016) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 69   1  x  2 x  xy  2  2y (1)
Câu 44. Giải hệ phƣơng trình  x y
 x3 y1 2x 3x  3 (2)
(Trích đề Chuyên Bình Phước năm 2015-2016) 4 x 1  2 xy y  4   0 1
Câu 45. Giải hệ phƣơng trình :  2x  2 xy  1  3 x  1  2  xy 2.
(Trích đề Chuyên Bình Phước năm 2017-2018)    1  1 x y  4   0  x y
Câu 46. Giải hệ phƣơng trình :   1  x xy  y  - 4 = 0  xy y x
(Trích đề Chuyên Quốc Học Huế năm 2010-2011)  2
x  2xy  x  2y  3  0
Câu 47. Giải hệ phƣơng trình:  2y  2x 2xy2x2   0.
(Trích đề Chuyên Phan Bội Châu năm 2012-2013)
x(x  4)(4x  y)  6
Câu 48. Giải hệ phƣơng trình: x 8xy    2 5
(Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2015-2016) x  y  2a 1
Câu 49. Cho hệ phƣơng trình: 
(với a l| tham số). 2 2 2
x  y  2a  4a 1 1. Giải hệ khi a  1 .
2. Tìm a để hệ đã cho có nghiệm (x; y) thoả mãn tích x.y đạt gi{ trị nhỏ nhất
(Trích đề Chuyên Lam Sơn năm 2011-2012) 2 2 x  xy  2y  0
Câu 50. Giải hệ phƣơng trình  . 2 xy  3y  x  3
(Trích đề Chuyên Quảng Ninh năm 2017-2018) (
 m 1)x (m 1)y  4m
Câu 51. Cho hệ phƣơng trình  , với mR x  (m  2)y   2
a. Giải hệ đã cho khi m  –3
b. Tìm điều kiện của m để phƣơng trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.
(Trích đề Chuyên Gia Lai năm 2012-2013) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 70  x  y  3  1
Câu 52. Giải hệ phƣơng trình :  y x   3 
(Trích đề Chuyên Đồng Nai năm 2012-2013) m 1x y  2
Câu 53. Cho hệ phƣơng trình:  (m l| tham số) mx  y  m 1
1. Giải hệ phƣơng trình khi m  2 ;
2. Chứng minh rằng với mọi gi{ trị của m thì hệ phƣơng trình luôn có nghiệm duy nhất
(x ; y ) thoả mãn: 2 x + y  3 .
(Trích đề Chuyên Thái Bình năm 2009-2010) x + y + z = 1
Câu 54. Giải hệ phƣơng trình:  . 2 2x + 2y - 2xy + z = 1
(Trích đề Chuyên Phú Yên năm 2009-2010) 3 2 x  x  x y  y 
Câu 55. Giải hệ phƣơng trình:  2 4x  1 5 x  y 2   0 
(Trích đề Chuyên Hải Dương năm 2009-2010) x  y  z  1
Câu 56. Giải hệ phƣơng trình:  2
2x  2y  2xy  z  1
(Trích đề Chuyên Tuyên Quang năm 2012-2013) x  y  3 xy
Câu 57. Giải hệ phƣơng trình  . 2 2 x  y  18
(Trích đề Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu năm 2016-2017) 2 2 3x  8y 12xy  23
Câu 58. Giải hệ phƣơng trình:  2 2 x  y  2.
(Trích đề Chuyên KHTN Hà Nội năm 2010-2011)  2  x+ x +2012  2 y+ y +2012   2012
Câu 59. Giải hệ phƣơng trình  . 2 2 x + z - 4(y+z)+8  0
(Trích đề Chuyên Hải Dương năm 2012-2013)
Câu 60. Giải hệ phƣơng trình: 2 2 x  y  xy  3  2  xy  3x  4
(Trích đề Chuyên Hải Dương năm 2009-2010) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 71  1 x  
x2  xy  2y2 (1)
Câu 61. Giải hệ phƣơng trình  x y (
x 3  y)(1 x2 3x)  3 (2) 
(Trích đề Chuyên Bình Phước năm 2015-2016) (
 x  2y  2)(2x  y)  2x(5y  2)  2y
Câu 62. Giải hệ phƣơng trình:  2 x 7y  3 
(Trích đề Chuyên Bình Phước năm 2013-2014) mx  y  2
Câu 63. Cho hệ phƣơng trình: 3xmy   5
a) Giải hệ phƣơng trình khi m  2 .
b) Tìm gi{ trị của m để hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm (x y) thỏa mãn hệ thức 2 m x  y  1  . 2 m  3
(Trích đề Chuyên Quảng Ninh năm 2008-2009)  2  x  9  y  9
Câu 64. Giải hệ phƣơng trình  2  y  9  x  9 
(Trích đề Chuyên Phú Yên năm 2011-2012) 2xy  x  2y  20 
Câu 65. Giải hệ phƣơng trình  1 2 4     y x 3
(Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2013-2014) x  y   13
Câu 66. Giải hệ phƣơng trình  x3  y7  5. 
(Trích đề Chuyên Đà Nẵng năm 2009-2010) 2 2
x  2y  3  y  4x
Câu 67. Giải hệ phƣơng trình  2 2 x  y  5
(Trích đề Chuyên Bình Phước năm 2012-2013) 2 x  xy  4x  6 
Câu 68. Giải hệ phƣơng trình:  2 y  xy  1 
(Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2012-2013) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 72  3 6 x   2  y
Câu 69. Giải hệ phƣơng trình:  8 3x   2.  3  y
(Trích đề HSG tỉnh Điện Biên năm 2018-2019)
  2   2 x 1 y 3  1
Câu 70. Giải hệ phƣơng trình: x  1y3xy  3  .
3 (Trích đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2018-2019) Câu 71. x  y  m  1
1) Cho (x, y) là nghiệm của hệ phƣơng trình 
(với m là tham số thực). 2x  3y  m   3 Tìm m để biểu thức 2
P  x  8y đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 x  y  1
2) Giải hệ phƣơng trình  (với x, y thuộc R). 3 3 x  y  1 
(Trích đề HSG tỉnh Đồng Nai năm 2018-2019)  2 x  x  1  2y  1
Câu 72. Giải hệ phƣơng trình:  2 y  y  1  2x  1 
(Trích đề HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) xy  2x  y  6 
Câu 73. Giải hệ phƣơng trình: x  2 1  y  22   8
(Trích đề HSG tỉnh Bình Phước năm 2018-2019) 3 2 x  2xy 12y  0
Câu 74. Giải hệ phƣơng trình:  2 2 8y  x  12
(Trích đề HSG tỉnh Sơn La năm 2018-2019) 2 (
 y  2x)(1 y  x)  2x   x
Câu 75. Giải hệ phƣơng trình:  2 3 x(y 1)  x  y  2 
(Trích đề HSG tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019)
x y2 1 2x y1    4 
Câu 76. Giải hệ phƣơng trình:  xy x  y .  2
4x  5y  x  y 1  6 x  13 
(Trích đề HSG tỉnh Nam Định năm 2018-2019) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 73
 2x  y 1  3y 1  x  x  2y
Câu 77. Giải hệ phƣơng trình:  3 3 2
x  3x  2  2y  y
(Trích đề HSG tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019)  xy2     
Câu 78. Giải hệ phƣơng trình: 2x 1 2y 1  2 
 3x  2yy  1 2  4  x
(Trích đề HSG tỉnh Hưng Yên năm 2017-2018) 2 2 2 (
 x  y) (8x  8y  4xy 13)  5  0 
Câu 79. Giải hệ phƣơng trình:  1 2x   1  x   y
(Trích đề HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2017-2018)   m   1 x y  2
Câu 80. Cho hệ phƣơng trình 
(với m là tham số và ,
x y là ẩn số).
x  2y  2
Tìm các giá trị m nguyên để hệ phƣơng trình có nghiệm  x, y nguyên.
(Trích đề HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm 2017-2018) 2 2 x  y  xy  2
Câu 81. Giải hệ phƣơng trình:  3 x  x  y
(Trích đề HSG tỉnh Hải Dương năm 2017-2018) 2 2 x  2  xy
Câu 82. Giải hệ phƣơng trình:  2 2 y  2  x y
(Trích đề HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2016-2017) 2 2 3  x  xy  xy  y  0 
Câu 83. Giải hệ phƣơng trình 2   2 x  
1  3 x y  1  y  0.
(Trích đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2016-2017) 2 xy  2x  4y  1 
Câu 84. Giải hệ phƣơng trình  2 3 2
x y  2xy  4x  3y  2
(Trích đề HSG tỉnh Quảng Nam năm 2016-2017) x y12 2  xy  x  1
Câu 85. Giải hệ phƣơng trình  . 3 2x  x  y 1
(Trích đề HSG tỉnh Hải Dương năm 2016-2017) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 74 2 2
y 2x1  3  5y  6x 3
Câu 86. Giải hệ phƣơng trình  4 2y   2 5x  17x  6  6   15x
(Trích đề HSG tỉnh Hưng Yên năm 2016-2017) xy 1  y x  1  6
Câu 87. Giải hệ phƣơng trình x  1y 1 1
(Trích đề HSG TP. Hồ Chí Minh năm 2016-2017) 2 2 x  4y  3  4x
Câu 88. Giải hệ phƣơng trình  3 3 2
x 12x  8y  6x  9
(Trích đề HSG tỉnh Hải Dương năm 2015-2016) 2 2 4x 1  y  4x
Câu 89. Giải hệ phƣơng trình  2 2 x  xy  y  1
(Trích đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2015-2016) 3 3
x  y  44x  y
Câu 90. Giải hệ phƣơng trình  . 2 2 y  5x  4
(Trích đề HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2015-2016) 2 2
2x  y  3xy  4x  3y  2   0
Câu 91. Giải hệ phƣơng trình  2
 x  y  3  y  x  1  2 
(Trích đề HSG tỉnh Hưng Yên năm 2015-2016) 2 2
2x  y  xy  y  5x  2  0
Câu 92. Giải hệ phƣơng trình  2 2
x  y  x  y  4  0
(Trích đề HSG tỉnh Phú Thọ năm 2015-2016)  2 y  y   x11 x1 0
Câu 93. Giải hệ phƣơng trình  2 2 x  y  7x  3   0.
(Trích đề HSG tỉnh Nam Định năm 2015-2016) x  5y  2  0 
Câu 94. Giải hệ phƣơng trình 1x 
12x13x  13y   2 1  3y  2x 
(Trích đề HSG tỉnh Đắc Lắc năm 2015-2016) 2 2
5x  2y  2xy  2x  4y  24
Câu 95. Giải hệ phƣơng trình 3x 
2x y1xy1   11
(Trích đề HSG tỉnh Vĩnh Long năm 2015-2016) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 75 x  y  z  3  1 1 1 1
Câu 96. Giải hệ phƣơng trình     x y z 3   2 2 2 x  y  z   17
(Trích đề HSG TP Hà Nội năm 2015-2016) 2 x  xy  zx  48 
Câu 97. Giải hệ phƣơng trình 2 y  xy  yz  12  2 z  zx  yz  84 
(Trích đề HSG tỉnh Đà Nẵng năm 2015-2016) 3 3 x  y 1  5y 14  3 2 2y  x
Câu 99. Giải hệ phƣơng trình  3  4x  6xy  15x  3  0
(Trích đề HSG tỉnh Hưng Yên năm 2014-2015) 2 2 x  y  xy  2
Câu 100. Giải hệ phƣơng trình  3 3 x  y  2x  4y
(Trích đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2014-2015)  2  x  1y 2 y  1x  2xy 1
Câu 101. Giải hệ phƣơng trình  2 2
4x  y  2x  y  6  0
(Trích đề HSG tỉnh Phú Thọ năm 2014-2015) 2 2 2 2 x  y  2x y
Câu 102. Giải hệ phƣơng trình  2 2 (
 x  y)(1 xy)  4x y
(Trích đề HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2014-2015) Câu 103. mx  2y  2 Cho hệ phƣơng trình 
(với m là tham số). 2x  my   5
a) Giải hệ phƣơng trình khi m  10;
b) Tìm m để hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm x; y thỏa mãn 2 2  015m 14m  8056 x  y  2014  . 2 m  4
(Trích đề HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm 2014-2015) 2
3x  xy  4x  2y  2
Câu 104. Giải hệ phƣơng trình x  x   1  y y  1   4
(Trích đề HSG tỉnh Hải Dương năm 2014-2015) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 76
 x 1  x  2  x  3  y 1  y  2  y  3
Câu 105. Giải hệ phƣơng trình  . 2 2 x  y  10
(Trích đề HSG tỉnh Khánh Hòa năm 2014-2015) 3 x  2x  y
Câu 106. Giải hệ phƣơng trình  3 y  2y  x
(Trích đề HSG tỉnh Hải Dương năm 2014-2015) 3 3  4x  y  x  2y
Câu 107. Giải hệ phƣơng trình  2 2
52x  82xy  21y  9 
(Trích đề HSG tỉnh Hưng Yên năm 2014-2015) 2 2
3x  2y  4xy  x  8y  4  0
Câu 108. Giải hệ phƣơng trình  2 2
 x  y  2x  y  3  0.
(Trích đề HSG tỉnh Phú Thọ năm 2014-2015) HƢỚNG DẪN GIẢI Câu 1.
Thay y  0 vào hệ phƣơng trình ta thấy không thỏa mãn. Với y  0 ta có: 2  x 1     2 x y 4  x
  x y 2
y  4y 1  0
x 1 y y x  4y   y       2 2 y 2
  x y2 2
 2x  7y  2
y x y  2 
x  1  7y    x y2 x 1  2  7  y 2 x 1 Đặt u
, v x y y u   v  4 u   4  v
v  3, u 1
Hệ phƣơng trình trở th|nh:      . 2 2 v   2u  7 v   2v 15  0 v  5  , u  9 
Với v  3, u 1 ta có hệ phƣơng trình 2 2 x 1  y
x x  2  0
x 1, y  2      .
x y  3 y  3 xx  2  , y  5  Với v  5
 , u  9 ta có hệ phƣơng trình 2 2 2 x 1  9yx 1 9y
x  9x  46  0      (vô nghiệm).
x y  5   y  5   xy  5   x THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 77
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm  ; x y   1;2;  2  ;5. Câu 2. 2
y  2xy  4  2x  5y  1  2 4 5x  7y 18  x  4  2 ĐK: x, y  .   y  1 2
1  y  y  2xy  
1  41 y  0  y 1y  2x  4  0  y  4  2x
Với y  1 thay vào 2 ta đƣợc  2 11 x  2 4 5x  11  x  4   5  4 2 24x  110x  117   0   2 55 217 55 217  x   x   . 24 24
Với y  4  2x thay vào 2 ta đƣợc 2 4
5x  28 14x 18  x  4
  2     2    2      2 x 2x 2 x 2x 2 x 2x 2 6 x  2x  2  0  2 2
x  2x  2  2 x  2x  2 2    x  2x  2  4 2 x  2x  2 2 2  x  2x  2  3  x  2x   2  5  7 2  2 7 x   y  2       3 3 3x 10x 6 0  . 5  7 2  2 7 x   y   3 3
Vậy hệ phƣơng trình có bốn nghiệm l|:         55  217 55  217 5 7 2 2 7  5 7 2  2 7   ;1 ;   ;1 ;  ;  ; ;  .  24          24   3 3   3 3   Câu 3. Điều kiện: x  2  ;x  0  1 8xy  22y  12x  25   1 3    x  3 y  3y   x5 x2 2 Xét pt (2) ta có: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 78 3
y  3y  x  2 x  2  3 x  2  y   x  23 3  3y  x  2  0  y  x  2 2
y  y x  2  x  2  3  0  y  x  2
Thay y  x  2 y  0 v|o (1) ta đƣợc: 1
8x x  2  22 x  2  12x  25  3 x          1 8 x 2
x 2 12 x 2  6 x  2  1  3 x     3 3  1   2 x 2 1     x  1  2 x  2  1  x
Từ đó suy ra 0  x 1 ta có phƣơng trình trên tƣơng đƣơng 2x x  2  1  x
 4x x  2  1 x2 2
 x 12 4x 1  0 1  x  4 1 3  y   2  (thỏa đk) 4 2  
Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất   1 3 x; y   ;   4 2  Câu 4.
Dễ thấy y  0 không là nghiệm của (1). Với y  0 , ta có: 2 2
x  y 1  4y  xy  y 2 2
(1)  x  xy  y  3y  1   2 2
x 1  3y  xy  y 2 x  y  1 y(4  x  y) x  y  4    (3) 2 x  1 y(3  x  y) x  y  3 x  y  4
Từ (2) và (3)  x  y  (4) x  y  3
Đặt x  y  a . Phƣơng trình (4) trở th|nh: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 79 a  4 2 2 a 
 a  3a  a  4  a  4a  4  0 a  3 2
 (a  2)  0  a  2
 x  y  2  y  2  x
Thay y  2  x v|o (2) đƣợc: 2 x  2  x  1 2 2 2 2 
 2  2x  x  x  3  x  x 1  0 2 1  x 1   5 5 5  x   y  2 2  1   5 5  5   1   5 5  5  Thử lại ta thấy  ;   và  ;
 l| c{c nghiệm của hệ đã cho. 2 2      2 2   Vậy … Câu 5.
Biến đổi đƣợc phƣơng trình 3 3 2 2
x  y  4x  4y 12 về dạng: 2 2 2 2 2 2 2 2
(x  y)(x  y  xy)  4x  4y 12  4(x  y  xy)  4x  4y 12 Suy ra đƣợc: xy = 3
Qui việc tìm x, y về giải phƣơng trình: 2 t  4t  3  0
Tìm đƣợc 2 cặp nghiệm: (x = 1 y = 3) (x = 3 y = 1) Câu 6. 2 (
 x  y)  4  3y  5x  2 (x 1)(y 1) (1)  3xy  5y  6x 11   5 (2) 3  x  1 ĐK: x  1  ; y  1
Đặt x  1  a , y 1  b a  0,b  0 2 2  x  a 1; y  b 1
Phƣơng trình (1) trở th|nh: 2 2 2 2 2
(a  b  2)  4  3(b  1)  5(a  1)  2ab 2 2 2 2 2
 (a  b  2)  4  3b  5a  8  2ab  0 2 2 2 2 2 2 2
 (a  b  2)  4  4(a  b  2)  a  b  2ab  0 2 2 2 2
 (a  b )  (a  b)  0 2 2
 (a  b) [(a  b) 1]  0 2  (a  b)  0  a  b
 x 1  y 1  y  x  2 (3) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 80 3
(2)  3xy  5y  6x  11  5 x  1 (4) Thay (3) v|o (4) đƣợc: 3
3x(x  2)  5(x  2)  6x  11  5 x  1 2 3
 3x  6x  5x 10  6x 11  5 x 1 2 3
 3x  5x  1  5 x  1 2 2
 3(x  x  1)  2(x 1)  5 x 1 x  x 1  0   2
3 x  x  1  x  1 2
x  x  1  2 x  1  0 2
 x  x  1  2 x  1  0 2
 x  x  1  4(x 1) 2  x  5x  3  0 5  37  x  (TMĐK) 2 5  37 9  37 Với x   y  2 2
Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình l|
   5 37 9 37   5 37 9 37  x; y    ; ; ;   . 2 2   2 2       Câu 7.
Điều kiện: x y  3  0 và 2x  3y 1  0 .
Từ phƣơng trình thứ nhất của hệ, ta có x y  3  2x  3y 1, tức x  2  2y .
Từ đ}y v| c{c điều kiện x y  3  0, 2x  3y 1 0 , ta phải có 5  2y  0 và 5  y  0 , tức 5 y  . 2
Bây giờ, thay x  2  2y v|o phƣơng trình thứ hai của hệ, ta đƣợc:
22y y  
1  42  y  54  0 hay 2
  y  4 y 6  0. 5
Do y  nên từ đ}y, ta có y  4
 (tƣơng ứng x 10 ). Vậy hệ phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm duy nhất  , x y  10, 4  . Câu 8.  13  x y
x  6y 13    6    . 2 2x  
x  2y 32 x  13  x  2
2x x  2.  3  2  x   6  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 81  13  x y    13  x  6 y      6 . 2   2 4  x  2     2x x 1  3   Vậy nghiệm  ;
x y của hệ phƣơng trình l|:   7 1; 2 , 1  ; .    3  Câu 9.
3xy 1 y13x1 y 3xy (1)  2 2 x  y  5 (2)
Điều kiện 3x  y  0; y  0 (1)   3x  y   1  y 1  
1  3x  y  y 1  2  0  3x  y 1  0 (3)
  3xy  y120 (4) 
(3)  y  3x 1 thế v|o (2), ta đƣợc x  1  y  2    2 2 2 x
3x 1  5  10x  6x  4  0   2 11 x    y    5 5   Loại nghiệm   2 11 x; y   ;     5 5    3  y 4  3x  y   0 5 2  y  1
Từ (2), ta có: y  5  3  3  y  0  5 vô nghiệm Vậy tập nghiệm S    1;2 Câu 10.
Điều kiện x  8; y  1  ;x  y  0.
x  3y  2  (x  y)(y 1)  0 (1) 
Hệ đã cho tƣơng đƣơng  4y 2 3 8  x   x 14y  8 (2)  y  1  1  Nhận xét: y  1
 và y  0 không thỏa mãn, do đó x  y x  y x  y (1)    2  0   1  x  2y 1 y  1 y  1 y 
. Thế v|o (2) ta đƣợc phƣơng 1 trình THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 82 2
4 y  1  3 7  2y  4y 10y 11  0
         2 4 y 1 2 3
7 2y 1  4y 10y  6  0     2 3  y 3    2y  1  0. (3)  y 1 2 7 2y 1        7 2 2 2 3 3 Với 1   y  thì  ;  ; 2y 1  1  2 y  1  2 3  2 2 7  2y  1 4 2 3    2y  1  0 . y  1  2 7  2y  1
Do đó (3)  y  3  0  y  3.
 x  7 thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của hệ là(x; y)  (7;3). Câu 11. x  0; x  2
Điều kiện x{c định : y  0; y   2 xy  x  y  5   x  1 y   1  4 
Từ phƣơng trình (1) ta có: 2 2 x  2x  a 1 x 1  a  2 2       Đặt y 2y b 1 y  1   b ab  4   1 1 2 1 1 2      2 2 2 2 x  2x y  2y 3 a  1 b  1 3 2 2 2 2 a  b  2 2 a  b  2 2     2 2 2 2 2 2 a b  a  b  1 3 17  a  b 3  3 2 2
a  b   6  34  2 2 2 a  b 
 a  b  8  a  b2 2 2  2ab  8
 a  b  8  2ab  8  2 4    0 2
 b  a  2a  8  a  2 a   2  x  1  TH1 :    b  2 y    3 a   2 x  3 TH2 :    b  2  y  1     1  ; 3 3; 1 
Vậy nghiệm của hệ đã cho l| và Câu 12. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 83  4S 2 S   3 S  5S  6  0  8   S  2  ;P 
Đặt S = x + y  0; P = xy  0, ta có: P  (2)     4S  5 6  P   S   5    S  3  ;P  2 S 3  S 8 Khi đó: S = 2 P 
khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phƣơng trình: 2 8 t  2t   0 vô 5 5 3  nghiệm ( '   0 ) 5
S = – 3; P = 2 khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phƣơng trinh: 2
t  3t  2  0  t  1  ; t  2  1 2
Vai trò của x, y trong hệ (2) nhƣ nhau, do vậy hệ (2) có hai nghiệm: (x = – 1; y = – 2), (x = – 2; y = – 1) Câu 13. 2 x 1  0 2   x  1 2 y 1  0  Điều kiện x{c định : 2   y  1 xy  2   0 xy  2  x,y   0 
Hệ đã cho tƣơng đƣơng với  1 1 2 2 2 2   1 x  y  x y (1)  2 2  x y    2 2 x  y  2  2  2 x  1 2 y  1  xy    2(2) 2 2 
x  1  y  1  xy  2   2 2 2 2 2 2
 (2)  x y  2  2 x y  x  y 1  xy  2
 x y  xy  2  xy2 2 2  xy  2  0 xy  1      x  y  1  x y2 2 2        1  (ktm) xy 2 (tm) xy 2 xy 1  0     xy  1  (tm) xy  2   x  y  4   x y2 2 2  8 xy   2  x  y  2  2 x  y   2     xy  2 x  y  2   x  y  2 2
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm x; y thỏa mãn  2; 2 ; 2;  2  Câu 14. Điều kiện: x  1  ; y  1  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 84  x y 2 2
x  y  x  y  x 1y 1 x(x 1) y(y 1)  (x 1)(y 1)    1   y  1 x  1  2 2 2 2             x y x y  2 2       1        1   x   y   y  1    x  1   y  1    x  1        1  y1    x  1  x y Đặt a  ; b 
. Khi đó hệ phƣơng trình trở thành: y  1 x  1 b  1a a   b  1 b  1a b  1 a        a  0 2 2 2 a    b  1 2a  2a 1  1 2a(a 1)  0 a   1  x   0 y 1   a   0 x   0  y    1  b  1   y  1 x 1     (tm)   a   1  x x  1     1     b  0  y  1    y  0   y   0  x  1
Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình l| (x; y)  (1; 0) hoặc (x; y)  (0;1) Câu 15.
Thay giá trị m  1 vào hệ phƣơng trình ta có:   x2y  4 x  2 I     2x  3y  1 y    1
Vậy với m  1 thì hệ phƣơng trình có nghiệm x; y  2;1 1 2 a) Ta có 
 I luôn có nghiệm (x;y) với mọi m 2 3 
  2x4y  2m 6 x  m 32y I     2x  3y  m 7y  m    6  5m  9 x  m  3  2y x     7   m  6   y  m  6   y 7   7 Theo đề bài ta có:   2 2 P 98 x  y   4m THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 85  5m 92 m 62     P  98.    4m  49 49    2
 2(26m  102m  117)  4m 2  52m  208m  234  52 2
m  4m  4  234  52.2
 52m  22  26  26  MinP  26
Dấu “=” xảy ra  m  2  0  m  2  Vậy m  2
 thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 16. u  x  y Đặt   2 DK : u  4v v   xy 2 2 2 u  2v  5
25 10v  v  2v  5 v 12v  20  0       u  v  5 u  5  v u  5  v u  3 v  10  (tm)  v  2 x  1; y  2  v  2      u  5  x  2; y  1 u  5  v  (ktm) v  10
Vậy tập nghiệm của hệ đã cho l| 1; 2;2;  1 Câu 17. 2 2 2 2 x  4y  2
x 4xy  4y  212xy
x2y2  2.12xy       x  2y  12xy  4 x2y  12xy  4 x2y  .12xy  4 a   x  2y Đặt 
.Khi đó ta có hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng: b  1   2xy 2  a    2 b a   2b  a   2 2       2 a  b  4  a b  2 a.  4  2 x  1 x  2y  2 x  2  2y x  2  2y          1  2xy  2      2 1 1 2 2 2y y  2 4y  4y 1  0 y    2   
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất   1 x; y  1;   2  Câu 18. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 86 3 3 2 3 3
x y  3x  6x  3y  4  0  [(x 1)  y ]  3(x 1)  3y  0 2 2
(x 1 y)[(x 1)  (x 1) y y  3]  0  y x 1 x  0 2 2 
Với y x 1 thế vào x y  3x  1 ta có 2
2x x  0  1 x   2  
Vậy hệ có hai nghiệm là   1 3 0;1 ;  ;   2 2  Câu 19.        2 2 2 x y x y 18
x y  2xy  (x  y)  18   
xy(x 1)(y 1)  72
xy(xy  x  y 1)  72
Đặt x  y  a,xy  b ta có hệ đã cho trở thành: 2  a  a  18 b  (1) 2 a   a  2b  18  2    2 2 b(a  b 1)  72 a  a  18  a  a  18   a   1  72(2)  2   2  (2)   2 a  a  18 2 a  3a  16  288
  2a  2a 17a 1.   2
a  2a  17   a  1  288 
 a  2a 172 a 12 2  288 4 3 2 2 2
 a  4a  4a  68a  34a  289  a  2a 1  288 4  a  4 3 2
a  31a  70a  288  288  a 3 2
a  4a  31a  70  0  a 3 2 2
a  5a  9a  45a  14a  70  0  aa  5 2 a  9a  14  0 a  0  b  9       a  5  b  6 a a 5 a 2 a 7 0        a  2   b  8  a  7   b  12 a   0 +) Với  ta có hai số ,
x y là nghiệm của phƣơng trình b  9   X  3 2
X  0X  9  0  X  3  
Vậy ta đƣợc hai nghiệm của hệ phƣơng trình x; y  
 3; 3; 3;3 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 87 a   5 X  2 +)Với  ta có hai số ,
x y là nghiệm của phƣơng trình 2 X  5X  6  0   b   6 X   3
Vậy ta đƣợc hai nghiệm của hệ phƣơng trình   3;2;2;3 a   2  +)Với 
ta có hai số x, y là nghiệm của phƣơng trình b  8   X  2 2
X  2X  8  0  X  4  
Vậy ta đƣợc hai nghiệm của hệ phƣơng trình   4;  2;2; 4   a   7  +)Với 
ta có hai số x, y là nghiệm của phƣơng trình b   12 X  3  2
X  7X  12  0  X   4
Vậy ta đƣợc hai nghiệm của hệ phƣơng trình x; y    3; 4; 4;  3  
Vậy ta hai nghiệm của hệ phƣơng trình x;y   3  ; 4  ; 4  ; 3  ; 4  ;2;2; 4
 ;3;2;2;3;3; 3  ; 3  ;3 Câu 20.
Xét x  0 không là nghiệm của hệ đã cho
Xét x  0 ta có phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với : 2 6 6 x  xy  6  x  y   x   y x x
Thay v|o phƣơng trình (2) ta đƣợc: 2     2 6 6 3x  2x x   3 x       30  x   x  2 2 2 108
 3x  2x 12  3x  36   30  0 4 x 4 2  2x  6x 108  0   2 x  9 2 x  6  0 2 2  x  9  0 (Vi x  6  0) x  3  y  1  x  3   y    1
Vậy hệ đã cho có c{c nghiệm là 3;  1 ;  3  ;   1 Câu 21. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 88 2 2
x  x  y  y  0  (x  y)(x  y 1)  0  x  y hoặc x  y 1  0
+ Với x  y thay v|o pt thứ hai ta đƣợc: 2
x  2x  3  0  x  1 hoặc x  3  .
Suy ra đƣợc: (x; y)  (1;1) hoặc (x; y)  ( 3  ; 3  )
+ Với x  y 1  0  y  1 x thay v|o pt thứ hai ta đƣợc: 2
x  2x  3  0  x  1 hoặc x  3  .
Suy ra đƣợc: (x; y)  (1; 0) hoặc (x; y)  ( 3  ;4)
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có 4 nghiệm: (1;1),( 3  ; 3  ),(1;0),( 3  ;4). Câu 22. 2
3x  xy  4x  2y  2
Ta có hệ phƣơng trình x(x1)y(y1)  4 2 2 2
3x  xy  4x  2y  2
x  x  y  y  4 (1)     2 2 2 2
x  x  y  y  4
2x  y  xy  5x  y  2  (*)  * 2
 2x  xy  5  2 y  y  2  0 **
Coi đ}y l| phƣơng trình bậc hai ẩn x và y là tham số:     2   2    2 2 y 5 4.2 y
y 2  9y 18y  9  9(y 1)  0 y   5  y  3y  1 2  2y y  1 x   
Phƣơng trình (**) có hai nghiệm:  4 4 2 
5  y  3y  1 8  4y x    2  y  4 4 2 y  1     )x   1 y 1 y 1 2    y  y    4 2  2  2 2 2
 y  2y  1 2y  2  4y  4y 16  0 2  5y  8y 13  0 y  1  x  1   1  3 4  y   x   5 5
) x  2  y  1  2  y2 2  2  y  y  y  4 2 2
 4  4y  y  2  y  y  y  4  0 2  2y  4y  2  0  y  1  x  2 1  1    
Vậy các nghiệm của hệ đã cho l|   13 4 1;1 ;  ;   5 5  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 89 Câu 23. x3 
x1  y2x3(1) x1 
 y 5y8  y22 2 (2)
          x  3  0 x  3  1 x 3 x 1 y 2   0      x  1  y  2 x  y    1 +) Với x  3
thay v|o phƣơng trình 2 ta có:       2 2 4 y 5y 8 y 2
(vô nghiệm vì VT  0; VP  0)
+) Với x  y 1 thay v|o phƣơng trình (2) ta có:      
y  2 y  5y  8  y  2 y 2 0 y 2 (3) 2 2   2
 y  5y  8  y  2 (4) 
(3)  x  y  1  2  1  1  x; y  1; 2   y2  0 y  2 4    
 x  4 1  3  x; y  3; 4 2 2    
y  5y  8  y  4y  4 y  4 (tm)
Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình l| : x; y    1;2;3;4 Câu 24. Ta có: 2 2
x  2x  2y  3  0
x  2x 1  4  2y    2 4 2 2 4 16
 x  8xy  y  2y  4  0 16
 x  8xy  y  4  2y 2 2 2 4
 x  2x  1  16x  8xy  y  x 12   2 4x  y 2 2  y  1    2 x x  1  4x  y 3     2 2 x 1  y  4x  y  1 x   5 2 y  1 TH1: x  3 2  2 4 2 y    1 y 2y 1     2y  3  0 9 3 4 2 2
 y  2y  1 6y  6  18y  27  0 4 2
 y  8y  18y  20  0  y  2 3 2
y  2y  4y  10  0  y  2  x  1 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 2 y  1 TH2: x  5 4 2 2 y  2y  1 2(y  1)    2y  3  0 25 5 4 2 2
 y  2y  110y 10  50y 75  0 4 2
 y  8y  50y  84  0  y  2 3 2
y  2y  4y  42  0  y  2  x  1
Vậy nghiệm nguyên duy nhất của hệ đã cho l| 1; 2 Câu 25.
Ta có phƣơng trình (2) tƣơng đƣơng với:         3 3 2 3 3 x 6x 12x 8 y 1 x 2  y  1 Hệ đã cho trở thành:  x  y  3  4x x22 2 2 2  y  1    3 3 2
x 12x  y  6x  9 x2  3 3  y  1
y  z  1 yz2 2 2  2yz   1
Đặt x  2  z ta có:  3 3
y  z  1  y  z   2 2
y  yz  z   y  z1 yz  1 a   y  z Đặt  ta có hệ phƣơng trình: b   yz 2  a  1 2 2 b      2 a 1 a 1 a   2b  1  2 b  b         a  1 b 2 2 2   1  a  1        2  2 a 1 1 2a  a  1  2 a   2a  1  0   2  2  a  1 b  a   1 y  z  1   2     b  0 yz     0 a   1 y  0  x  0 z  1  x  3
 y,z là hai nghiệm của phƣơng trình : 2 x  x  0    x 1   y  1  z  0  x  2
Vậy hệ phƣơng trình có tập nghiệm 3;0;2;1 Câu 26. Ta có:   2  
   2    2      2 (1) x x 2x 2 1 y 1 y y 1 y y  1  y THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 91 (Do 2
y  1  y  0 với mọi y) 2 2
 x 1 (x 1) 1  y  y 1 2 2 (x  1)  y  x  y 1  0 2 2 (x  1)  1  y  1   x  1  y  (x  y  1)1   0  2 2 (x 1) 1 y 1        x  y  1  0   2 2
 (x  1)  1  (x  1)  y  1  y  0 (3)  Do 2
(x  1)  1  x  1  x  1, x  và 2 y  1  y  y, y  nên (3) vô nghiệm. x  1 
Thay y = - x - 1 v|o (2) tìm đƣợc nghiệm 4 x    3 4 1  4 1 
Với x = 1  y = -2; x =   y 
. Vậy hệ có nghiệm (1 -2),   ;  . 3 3  3 3  Câu 27. Ta có: 2 2 2           2 2x xy y 5x y 2 0 y
x 1 y  2x  5x  2  0    x  1 x 2 2 1 2  y     2x  5x  2  0    2   4    2 2 2 2  x  1 9x  18x  9  x  1  3x  3   y    0  y          0  2  4  2   2   x  1 3x  3  x  1 3x  3   y   y       0  2 2  2 2 
        y  2x 1  0 y  2x 1 y 2x 1 y x 2  0     . y  x  2  0 y  2    x
 Trƣờng hợp y  2x 1, thay v|o phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc: x  1 x 2x 2 2 2 1 x 2x 1 4 0 5x x 4 0              . 4 x    5  
Trƣờng hợp này hệ đã cho có hai nghiệm:        4 13 x; y 1;1 , x; y   ;   .  5 5 
 Trƣờng hợp y  2  x, thay v|o phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 92    2 2 2 x
2 x  x  2  x  4  0  2x  4x  2  0  x  1.
Trƣờng hợp này hệ đã cho có một nghiệm: x; y  1;  1 .  
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:        4 13 x; y 1;1 , x; y   ;   .  5 5  Câu 28. 2
 2x  y 9  36  x  0 (1)
Điều kiện 2x  y  9  0 , ta có  2  y  xy  9  0 (2) Phƣơng trình (2)    2 2 2y x  x  36     Suy ra (1)       2 2x y 9 0 2x y 9 2y x  0   2yx   0 x  6    x 6 
thỏa điều kiện. Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm  . y   3 y   3 Câu 29.
Lấy phƣơng trình (2) trừ đi phƣơng trình (1) ta đƣợc: 5 3 3 2 y  y  x  y  1 3  y . 2 y  1   2 y  1 3  x   2 y  1. 3 y  1 3  x   2 1  y  3 1  y  3  x (*) Mà từ (1) 2 3  x  1 y 2 3 x  1 y
Kết hợp với (1) v| (*) ta đƣợc:  2 x  1 y THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 93 1  1y 2 2 3  1 y
 1 y2 .1 y2  1 y 2 1  y  y 
1 y.1 y2 1 y 2 1 y y          0    1 y. 2 3 2
1  y  y  y  1  y  y   0  1 y. 2 3 2  y  y   0  1 y 2 .y . 2   y  0 x  0 y   1 y  1   x  1  y  0     y  0 y  2   y  2    x  3  
Vậy hệ phƣơng trình có tập nghiệm S    2;  3  ;0;1;1;0 Câu 30. 6 16 + ) Điều kiện x  , y  5 3   +) 2
x  xy  x  3y  6  0  x  3x  y  2  x 3 0  y  x  2
+) Với x  3 thay v|o phƣơng trình 2
5x  6  16  3y  2x  2x  y  4 , ta đƣợc 2 y 13y  9  0 1  3  133 16  3y  y  5    y  . y  5  2
+) y  x  2 thay v|o phƣơng trình 2
5x  6  16  3y  2x  2x  y  4 , ta đƣợc 2               2 5x 6 10 3x 2x x 2 5x 6 2 10 3x 2  2x  x  6 5x  2 3x  2  
 x  22x  3  0 5x  6  2 10  3x  2    5 3   x 2    2x  3  0  5x  6  2 10  3x  2  x  2   5 3    2x  3  0  5x 6  2 10  3x  2
+) Với x  2  y  4 (thỏa mãn) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 94 6 10 5 5 5 +) Vì  x   5x  6  2  2     3  0 5 3 5x  6  2 2 5x  6  2 6 10 3  x     2x  0 5 3 10  3x  2 5 3 Do đó phƣơng trình 
 2x  3  0 vô nghiệm 5x  6  2 10  3x  2      
Vậy hệ phƣơng trình có tập nghiệm l|    13 133 2; 4 ;  3;   2     Câu 31.  3    3 27 8x   18  3 3 (  2x)     18 3  y   y     . 2 4x 6x      1 3 3      2  2x. 2x 3 y  y y   y  3 3 3 a   b  18 a   b  3 Đặt a  2 ; x b = . Ta có   ...   y a  b(a  b)  3 a  b  1  3  5 3  5   3  5 3  5 
Giải tìm đƣợc a  ; b    hoặc a  ; b   2 2      2 2    3 5 6   3 5 6 
Tìm đƣợc nghiệm x; y của hệ là  ; ;  ;   4    3  5 4 3     5  Câu 32.
ĐKXĐ: x  y  0.Từ phƣơng trình thứ nhất ta đƣợc: 2 x  2y  xy  2x
 xx  2  y2  x  0       x  2 x 2 x y  0  x   y
2  y  2y 22 2 4y  9y  2  0
 x  2  2  y  2y  2      y  2 y  1 y  1 2 2 y  2 y  2 2
x  y  2y  y  2      x  y  2 4 2 2y  y  4y  4 y2     3 2 y  2y  2  0
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 2; 2 Câu 33. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 y(x  y 1)  x  0 x  8  
Điều kiện: 8  x  0  y  1    y  1  0 y
 x  y 1  x   0
x  3y  2  y(x  y 1)  x  0 (1)   4y 2 3 8  x   x 14y  8 (2)  y  1  1  Ta có:   1  yx  y  
1  x  x  3y  2 2
 xy  y  y  x  x  3y  2
  x  yy 1  x  3y  2 (*)
Đặt *  t(x  y)  k(y  1)  x  3y  2
 tx  k  ty  k  x  3y  2 t  1  t  1  k  t  3   k  2    k  2  
 (*)  x  yy 1  x  y 2y 1
 x  y  2y 1  x  yy 1  0 (**) +)TH1: y  1   * *  x  1  4 1  Khi đó 2    3 8  1    2      1 14.( 1) 8 1  1  1  3.3 4  7 (vô lý)
+)TH2: Chia cả 2 vế của phƣơng trình (**) cho y  1ta đƣợc:  x  y   2 1 (tm)    xy  x  y  y  1 x  1 * *     2   0 
 x  y  y  1  y    y  1  y  1  2 x y   2  (ktm)  y 1  Khi đó ta có: x  1   4.  2 x 1 2 2  3 8  x   x 14.  8 x  1 2  1  1 2 2 x  1 2  3 8  x   x  7x  1  0 x  1 1 2 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 2 x   1 Đặt 2 f(x)  3 8  x   x  7x  1 x  1 1 2 Ta có: f( 1  )  6 ; f(8)  1  1 2  f( 1  ).f(8)  6  6  36 2  0
 3 có ít nhất một nghiệm trong đoạn  1  ;8   7  1
Lại có: f(7)  0  x  7 là nghiệm của (3)  y   3 2
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm x; y  7; 3 Câu 34. x2y  xy  2
Hệ viết lại th|nh    2 x 2y  4xy  4 a   x  2y a   b  2 Đặt  khi đó ta có hệ  b   xy 2 a    4b  4
Giải hệ phƣơng trình ta đƣợc a = 2 v| b = 0. a   2 x  2y  2  x  0 x  2 Với        b  0 xy  0 y  1  y      0 Câu 35. ĐK: x  0; y  0 .  x 16  x 16 xy   xy   (1)  y 3  y 3 Ta có     y 9 y  x 5 xy     (2)  x 2    x y 6 Giải (2) 2 2
 6y 6x  5xy  (2x  3y)(3x  2y)  0 . 3y 
* Nếu 2x  3y  0  x  . 2 3y  3 16 Thay v|o (1) ta đƣợc y.   . 2 2 3 2 3y  23  
(phƣơng trình vô nghiệm). 2 6 2y
* Nếu 3x  2y  0  x  . 3 Thay v|o (1) ta đƣợc 2 y  9  y  3  .
+ Với y  3  x  2 (TM). + Với y  3   x  2  (TM). THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 97
Vậy hệ phƣơng trình có hai nghiệm: x; y  2; 3;x; y   2  ; 3  . Câu 36.
Điều kiện x{c định: x  2 
Phƣơng trình (2) tƣơng đƣơng với:
 x  23  x  2 3  y  y  x  2  y 2 x  4x  4  y  x2 2  y  1  0  2      x 3    x y 2 
 y  1  x  22 1    0  2  4    2  x 3     x  y  2  0do
 y  1  x  22 1    1   2 4      y  x  2
Thay v|o phƣơng trình   1 ta đƣợc:     2
4 y 2 3 y 2  3y  3y  10 Áp dụng BĐT Co si ta có
VT  2 2y.2  2 3y  2  2y  2  3  y  2  3y  7
VP  3y  3y  10  3y  7  3y  6y  3  3y 12 2 2  0
Nhƣ vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất
 y 1  0  y  1 x  y 2  12  1  (tm)
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm x; y   1  ;1 Câu 37. 2 2 x  4y  2 2 2 x  4y  2    x  2y  12xy   4 x2y  24xy   8 2 2 x  4y   2  x2y     2 2 x  4y  4xy  8 2 2 x  4y  2  2 2    2      x 4y 2 8y 8y 2 0       x  2y  3  8 x  22y x  2  2y  1 y     2 x   1 Câu 38. Ta có: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 98  2  x 1 2 y  1   2 2 10
x  y  xy2 1  10     x  y  xy1  3 (  x  y)(xy 1)  3
x y2 2xyxy2 1 10
 (xy)(xy1)3 x  y  u Đặt 
thì hệ phƣơng trình trên: xy  1   v      2     2 2 2 u v 10 u v 2uv 10 u v  16       uv  3 uv  3 uv  3 u  v  4 u  1,v  3 u  v  4    uv  3 u  3, v  1   u  v  4      u  v  4  u  1  ,v  3  uv  3   uv  3 u  3  ,v  1  x  y  1 x  y  1   VN xy  1  3 xy    4  x  2; y  1 x  2; y    1  x  y  3 x  y  3      x  1; y  2   x  1; y  2  xy 1  1 xy  2       x 1; y 2   
 x  1; y  2   x  y  1  x  y  1     x  2  ; y   1 x  2  ; y    1   xy 1  3   xy  2   x  0; y  3   x  0; y  3  x  y  3  x  y  3   x  3;  y  0 x  3;  y  0    xy  1  1  xy    0
Vậy hệ phƣơng trình có tập nghiệm S    1;2;2;1;1; 2  ;  2;  1; 0;3;  3  ;0  Câu 39. 2 2
2x  y  xy  x  y  0  1
 2xy2 22x 0  2
Điều kiện: 2x  y  2
(1)  x  y2x  y  x  y  0  x  y2x  y   1  0
 x  y vì 2x  y 1  0 do 2x  y  2 .
Thế y  x v|o (2) ta đƣợc 3x  2  2x  2 x  1    x  2. 2 4x 11x  6  0
Với x  2  y  2 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y  2; 2 . THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 99 Câu 40. 2 2 x  y  2y 1 (1)  xy  x 1 (2)
Với x  0 , phƣơng trình (2) trở th|nh 0  1 (vô lí). Với x  0 , ta có: 2 2 2 2          2 2 x y 2y 1 2 x (y 1) 2 x  y  2y 1      1   1 xy  x 1 y  1 y 1   x  x 2   2 1 4 2  x 
 2  x  1  2x (do x    0)  x   x 12 2 2
 0  x 1  0  x  1  1
Với x  1  y  1  y  2 1 1 Với x  1   y  1  y  0 1 
Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình là (x, y)(1; 2),( 1  ;  0) . Câu 41. 2 2 2x  xy  y  3y   2 1  2 2 x  y   3  2
Từ (1) ta có 2     2 y
y x 3  2  2x  0 . Ta xem l| phƣơng trình bậc hai theo biến y (x là tham số).
    2   
          2 2 2 2 2 x 3 4 2 2x x 6x 9 8 8x 9x 6x 1 3x 1  0 . x  3  3x  1
Suy ra phƣơng trình có 2 nghiệm là y   2x  2 và 2 x  3  3x  1 y   x 1. 2
+ Nếu y  2x  2 . Thay v|o phƣơng trình (2) ta đƣợc   2 2 2 2 2 x
2x 2  3  x  4x  8x  4  3  3x 
8x 7  0 (phƣơng trình vô nghiệm).
+ Nếu y  x  1 . Thay v|o phƣơng trình (2) ta đƣợc   2 2 x
x 1  3  2x 1  3  x  2  y  1  . Vậy tập nghiệm S    2; 1. Câu 42. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 100
Điều kiện xác định của hệ phƣơng trình là xR; y R . Biến đổi hệ phƣơng trình đã cho ta đƣợc
x y2  xy3y1 x y2 2 2  1  xy  3y
x  xy  y  3y 1  0     2    x y 1 y    y x  y  x  y   1 x  y 1  2 2 2  1  x  1  x  1  x        2
x 1 yx  y  3 y x y 3 y x y 1 2  0 1    0 1    0   2  2 x  1 x  1   y     x  y 1   y  y 2   x  y  1  x  y  1 1 x   2  2  1  x  1  x y
Đặt a  x  y  1; b 
, khi đó ta thu đƣợc hệ phƣơng trình 2 1 x            2 1 b a 2 0 1 a a 2  0 a   2a 1  0       a  b  1 a    b a    b a    b
Đến đ}y ta có hệ phƣơng trình  1   5 5  5 x  y 1  1 x  ; y   y  2  x y  2  x        2 2 y 2 2   1 y  x 1 x  x 1  0  1   5 5  5 2 1 x x  ; y   2 2
Vậy phƣơng trình đã cho có các nghiệm là    1   5 5  5   1   5 5  5  x; y   ;  , ;   2 2   2 2       3 x  4y  3 y  16x Câu 43.  (I) 1 2 y  5(1   2 x ) 4y  3 y
– Xét x = 0, hệ (I) trở thành   y  2  2 y   4 y – Xét x ≠ 0, đặt
 t  y  xt . Hệ (I) trở thành x  3 x  4xt  3 3 x t  16x  3 3 x (t 1)  4xt 16x  3 3 x (t 1)  4x(t  4)(1)      1 2 2 x t  5(1   2 x )  2 2 x (t  5)   4 4  2 2 x (t   5)(2)
Nhân từng vế của (1) v| (2), ta đƣợc phƣơng trình hệ quả THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 101 3 3 4x (t  1)  3 4x (t  2 4)(t  5)  3 t  1  3 t  2 4t  5t  20 (Do x  0) 2
<=>4t  5t  21  0 t  3   t  7  4
+ Với t = – 3, thay v|o (2) đƣợc x2 = 1 ⇔ x = ±1.
x = 1 thì y = –3, thử lại (1;–3) là một nghiệm của (I)
x = –1 thì y = 3, thử lại (–1;3) là một nghiệm của (I) 7 64 + Với t = , thay v|o (2) đƣợc 2 x   (loại) 4 31
Vậy hệ (I) có các nghiệm (0;2), (0;–2), (1;–3), (–1;3). Câu 44. x  0  y  0 x  0 Điều kiện:    x  3  0 y    0 x  3x   2 0 y     x         1 (1) (x y)(x 2y) (x y) x 2y   0  x    y y x  y x  1 do x  2y   0,x,y  0 y x
Thay y = x v|o phƣơng trình (2) ta đƣợc:    2     2   3 ( x 3 x)(1 x 3x) 3 1 x 3x x  3  x  1 2
x  3x  x  3  x  x  3. x  x  3  x  1  0
 ( x  1 1)( x 1)  0  x  3  1 x      2(L)   x  y  1   x    1(tm) x 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;1) Câu 45. x  1 Điều kiện 
, kết hợp với phƣơng trình   1 , ta có y  0. x  xy  1   2 2 0 Từ   1 , ta có   2 4 x 1 xy y  4  0    2 4 x 1 xy y  4 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 102      2 2  2 16 x 1
x y y  4   4  2  2 y 4y x 16x 16  0 . 4 4
Giải phƣơng trình theo ẩn x ta đƣợc x  hoặc x   0 ( loại). 2 y 2 y  4 4 Với x   2
xy  4 thế v|o phƣơng trình 2 , ta đƣợc : 2 x  3  3 x 1  4 2 y
Điều kiện x  3 , ta có 2 x  3  3 x 1  4   2 x  3   1  3 x 1   1  0 2 x  4 3x  2    0 2 x  3  1 x  1  1     x    2  3 x 2    0 2   x  3  1 x  1  1  x   2 3 x  2  0 ( vì   0 )  x  2. 2 x  3  1 x  1  1  2 y  2 Với x  2 ta có 
 y  2 . Kết hợp với điều kiện trên, hệ phƣơng trình có y   0 nghiệm 2; 2  . Câu 46.
Điều kiện : x  0; y  0 .  1   1   x      y    4   x   y 
Viết lại hệ :   1  1  x    . y    4   x   y  u  v  4 Đặt :   1 u x ;   1 v y , ta có hệ :  x y uv   4
Giải ra đƣợc : u  2 ; v  2 .
Giải ra đƣợc : x = 1 ; y = 1. Hệ đã cho có nghiệm : (x y) = (1 ; 1). Câu 47.  2
x  2xy  x  2y  3  0 (1)  2
2x  4xy  2x  4y  6  0     2 y  2 x  2xy  2x  2   0 (2)  2 y  2 x  2xy  2x  2   0  2  2 x
y  2xy  4x  4y  4  0 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 103     2 x y 2  0
 y  x  2 . Thay v|o pt (1) ta đƣợc 5  2      21 x 5x 1 0 x 2  5 21 1   21 5  21 1  21
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) là  ;  ,  ;      .  2 2   2 2  Câu 48.
Hệ đã cho tƣơng đƣơng với
 2x 4x.4xy   6  2x  
4x  4x  y  5 Suy ra 2
x + 4x và 4x + y là 2 nghiệm của phƣơng trình t  2 2
t  5x  6  0  (t  2)(t  3)  0  t    3  2 x  4x  2  2 x  4x  3
Vậy hệ đã cho tƣơng đƣơng với  (I) hoặc  (II) 4x  y    3 4x  y    2
x  2  2  y  3 4x  5 4 2 Giải (I): 2 x  4x  2  (x  2
2)  2  x  2 2  y  34x  5  4 2
x  1 y  2  4x  2 Giải (II): 2
x  4x  3  0  (x  1)(x  3)  x  3 y  24x   10
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm 2  2;5 4 2,2  2;5  4 2 ,1;2,3;10 x  1  x  y  3 x  y  3 y  2
Câu 49. a) Khi a  1 , hệ trở th|nh:     2 2  x  y  5 xy  2 x  2  y  1 4  a    k  4  2  3k  6  k  8  x 1 x  2 Vậy với   3  4k  4   2    4 a   240   a  16   2k  4     4  2  12k  6  3 32k  4 
, hệ đã cho có 2 nghiệm  ;  y  2 y 1 x  y  2a 1(1) b) 
Từ (1) ta có: y  2a  1 x 2 2 2
x  y  2a  4a 1(2)
Thay vào (2) ta có: 2     2 x 2a 1 x  a  1  0 (3) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 104
Hệ có nghiệm  (3) có nghiệm    3 0  4a  3  0  a  . 4 3 Với a 
hệ đã cho có nghiệm. Khi đó, từ hệ đã cho ta có: 4 2 xy  a  1 3 Vì a  nên 2 25 a  1  . Dấu “=” xảy ra  3 a  . 4 16 4 25 Vậy min(xy)  16 Câu 50. 2 2
x  xy  2y  0 (1) Ta có:  2
xy  3y  x  3 (2) Phƣơng trình (1)   2 2
x  y   yx  y  0  x  yx  2y  0 ,
ta đƣợc x = y hoặc x = -2y 3
* Với x = y, từ (2) ta có: 2
4x  x  3  0 , ta đƣợc x  1  ,x  . 1 2 4 3 Khi đó, x  y  1  ,x  y  . 1 1 2 2 4
* Với x = -2y, từ (2) ta có 2
y  2y  3  0 , ta đƣợc y  1  ,y  3 1 2 Nếu y  1
  x  2. Nếu y  3  x  6  .  3 3 
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm (x y) l|: (-1; -1); ;   ; (2; -1); (-6; 3).  4 4  Câu 51.
a. Giải hệ đã cho khi m  –3  2  x  2y  1  2 x  y  6  x  7
Ta đƣợc hệ phƣơng trình      x  5y   2 x  5y  2 y 1
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm x; y với 7  ;1
b. Điều kiện có nghiệm của phƣơng trình m  1 m   1   m  
1 m  2  m   1 1 m  2  m  
1 m  2  m   1  0  m   1 m   1  0 m 1  0     m 1    m  1   0 m   1
Vậy phƣơng trình có nghiệm khi m  1  và m  1 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 105 (
 m 1)x (m 1)y  4m m  1 
Giải hệ phƣơng trình  khi  x  (m  2)y   2 m   1     4m 4m   4m 2  (
 m 1)x (m 1)y  4m x  y  x y  x       m  1 m 1   m 1   . x  (m  2)y   2  2  2  x  (m  2)y   2 y     y  m  1  m  1  4m  2 2  
Vậy hệ có nghiệm (x y) với  ;   m  1 m  1  Câu 52.
Từ y  x  3  y  3  x  y  3  0  y  3  y  3  1               x   x y 3 1 x y 3 1 x y 4  2 x  1  2          (nhận) y  x  3 y  x  3 y  x  3 y  x        3 7   y   2  1 7   1 7 
Vậy hệ phƣơng trình có 2 nghiệm (x y): ; ,     ;   2 2   2 2  x  y  2
Câu 53. 1. Khi m = 2 ta có hệ phƣơng trình: 2x y   3    x 1 x y   2    x 1 y   1 x  1
Vậy với m = 2 hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất: y   1 m 1x y  2 2. Ta có hệ:  mx  y  m 1 x  m  1 2  mx y  m  1 x  m   1  y  m  m 1m  1 x  m 1   2 y  m  2m 1
Vậy với mọi gi{ trị của m, hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 106 x  m 1  2 y  m  2m 1 Khi đó: 2x + y = m2 + 4m  1
= 3  (m  2)2  3 đúng m vì (m  2)2  0
Vậy với mọi gi{ trị của m, hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất (x y) thoả mãn 2x + y  3. Câu 54. Ta có hệ phƣơng trình : x + y + z=1 x + y = 1 - z    2 2 2x + 2y - 2xy + z =1 2xy = z + 2(x + y) - 1 x + y = 1 - z   2 2
2xy = z - 2z + 1 = (1- z) 2  2xy = (x + y)  2 2
x + y = 0  x = y = 0  z = 1.
Vậy hệ phƣơng trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1). Câu 55. Điều kiện : y  0 . x  y (1)  x  y 2 x   1  0   . x  1   +/Nếu x  1
 thay v|o phƣơng trình (2) ta có : y 1  0  y  1 . +/Nếu x  y  0 Khi đó (2)   4 2 x   1  4 x  2  0 (3) do  4   4 2 2 x 1  2.2 x .1  4x   4 2 x   1  2 x  2x . nên      2 VT(3) 2(x - 2 x 1) 2 x 1  0. 4 x  1 Do đó Pt (3)    x  1  y  1 .  x 1  0 x  1 x  1 
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm  ;  y  1 y    1 Câu 56. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 107 x  y  1 z   2
2xy  z  2(x  y) 1 x  y  1 z   2 2
2xy  z  2z 1  (1 z)  2xy = (x + y)2  x2 + y2 = 0  x = y = 0; z =1
Hệ pt có nghiệm duy nhất: (x,y,z)=(0,0,1) Câu 57.
Điều kiện: xy  0 a  3  b
Đặt a x y, b
xy b  0 . Ta có hệ  2 2
a  2b 18
Thế a  3  b v|o phƣơng trình còn lại ta đƣợc:   b2 2 3  2b 18 2
b  6b  9  0  b  3 x y  6  Do đó  ;
a b  6;3 . Ta đƣợc hệ  xy  3  x y  6 x  3    
(thỏa mãn điều kiện).Vậy hệ có nghiệm  ; x y  3;3 xy  9 y  3
Câu 58. Cộng theo vế hai phƣơng trình của hệ ta đƣợc: (2x + 3y)2 = 25 Ta có 2 hệ: 2x  3y  5 2x  3y  5    2 2  và x  y  2 2 2 x  y  2 Giải ra v| kết luận Câu 59. .  2 2 (
 x+ x +2012)(y+ y +2012)  2012 (1)  2 2 x + z - 4(y+z)+8=0 (2)  2    2    2     2 (1) x x 2012 y y 2012 y 2012 y 2012 y  2012  y (Do 2 y  2012  y  0 y  ) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108  2
x  x  2012 2012  2012 2 y  2012  y 2 2
 x  x  2012  y  2012  y 2 2
 x  y  y  2012  x  2012  2 2
y  2012  x  2012  2 2 y  2012  x  2012   x  y  2 2 y  2012  x  2012 2 2 2 2 y  x
y  2012  y  x  2012  x  x  y   (x  y)  0 2 2 2 2 y  2012  x  2012 y  2012  x  2012 2 y 2012 |y| y y       Do 2 2
  y  2012  y  x  2012  x  0  y  x 2 x  2012 |  x| x x   Thay y = -x vào(2) 2 2 2 2
 x  z  4x  4z  8  0  (x  2) (z  2)  0 2 (  x  2)  0 x  2       y  x  2 2 (  z  2)  0 z  2
Vậy hệ có nghiệm (x y z)=(-2;2;2). Câu 60. 2 2 x  y  xy  3 (1)  2 xy  3x  4 (2) 2 4  3x
Từ (2)  x  0. Từ đó y  , thay vào (1) ta có: x 2 2 2     2 4 3x 4 3x x     x.  3  x  x  4 2 7x  23x  16  0 Giải ra ta đƣợc 2 x  1 hoặc 2 16 x = 7 Từ 2 x  1  x  1   y  1  ; 2 16 4 7 5 7 x   x    y  7 7 7  4 7 5  7   4  7 5 7 
Vậy hệ có nghiệm (x y) l| (1 1) (-1; -1);  ;   ;  ;  7 7      7 7   Câu 61. x  0 ĐK:   (*) y   0 y  x  1  
Từ pt (1) suy ra (y  x) x  2y    0  1   x  2y   0  y x   y x THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 109
+) Với y  x thay v|o (2) ta đƣợc 2 2
( x  3  x)(1 x  3x)  3  1 x  3x  x  3  x  ( x  3 1)( x 1)  0
( nh}n hai vế pt với x  3  x ) ( Ta cũng có thể đặt t  x  3  x rồi bình phƣơng hai vế )  x  3  1 x  2  (L)        x  1  y  1 x 1 1
+) Vì x  0; y  0 nên x  2y   0 vô nghiệm y x
Vậy nghiệm của hpt l|: x; y  1;  1 . Câu 62. +) Ta có 2 2
PT(1)  2x  xy  4xy  2y  4x  2y  10xy  4x  2y 2 2       2   2 2x 5xy 2y 0 2x
4xy  (2y  xy)  0  2x(x  2y)  y(x  2y)  0 x  2y  0 x  2y
 (x  2y)(2x  y)  0     2x  y  0 y    2x x  2y
+) Trƣờng hợp 1: x  2y , kết hợp với phƣơng trình (2) ta có hệ  2 x 7y  3  x  1  x  2y y   2  x  2y x  1       3   2 x  4y 7y  3  0  3    4 x     4  3   y   2 y  2x
+) Trƣờng hợp 2: y  2x , kết hợp với phƣơng trình (2) ta có hệ  2 x 7y  3  x  7  46 x  2y  y  2x    y  14  2 46      x  7  46   2 x 14x  3  0   x  7  46  x  7  46   y  14  2 46
+) Kết luận: Hệ phƣơng trình có 4 nghiệm: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 110  3 x  x  1        4 x 7 46 x 7 46  ,  ,  ;  . y   2 3         y  y 14 2 46 y 14 2 46  2 Câu 63.  2x  y  2
a) Khi m = 2 ta có hệ phƣơng trình 3x 2y  5  2 2  5 2x  2y  2 2 x      5 3x  2y  5 y  2x  2  2 2  5 x   5   5 2 6 y   5 2m  5 5m  6 b) Giải tìm đƣợc: x  ; y  2 2 m  3 m  3 2 m 2 2m  5 5m  6 m
Thay v|o hệ thức x  y  1 ta đƣợc   1 2 m  3 2 2 2 m  3 m  3 m  3 4 Giải tìm đƣợc m  7 Câu 64. 2 2
x  9  (9  y) (1)
Với điều kiện x, y  9 , hệ đã cho l|:  2 2
y  9  (9  x) (2) x  y
Lấy (1) trừ (2) theo vế ta đƣợc: (x  y)(x  y  9)  0   . y  9   x
+ Với x = y, thế v|o (1) ta đƣợc: 18x -72 = 0  x  y  4 .
+ Với y = 9 – x, thế v|o (2) thì phƣơng trình vô nghiệm.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất : (x;y)= (4;4). Câu 65. 2xy (x  2y) 20  Hệ phƣơng trình   x  2y 4  ( Đk x ≠ 0 y ≠ 0 )   xy 3 u  2v  20
Đặt u = x + 2y v = xy ≠ 0 Hê phƣơng trình có dạng  3u   4v THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 111 u  8     x 2y 8 (1) 
Khi đó có hệ phƣơng trình  v   6 xy   6 (2)
Rút x từ (1) thay v|o (2) đƣợc y = 1 hoặc y = 3
Kết luận hệ phƣơng trình có 2 nghiệm (x;y) = ( 6 ; 1) ; ( 2 ; 3) Câu 66.
Điều kiện: x  3 v| y  7
Đặt u  x  3  0 , v  y  7  0  x = u2 +3, y = v27 2 2 u  v  17 u.v  4
Ta có hệ phƣơng trình    u  v  5 u  v   5
 u, v l| nghiệm phƣơng trình X2  5X + 4 = 0  X = 1 hoặc X = 4
 (u v) = (1 4) hoặc (u v) = (4 1)
Kết luận: (x y) = (4 ) (x y) = (1 6) Câu 67.
x  2y  3  y  4x
x22 y12 2 2  0
xy1x y3  0      2 2 2 2 2 2 x  y  5 x  y  5 x  y  5 x  y 1  0 x  y  3  0     2 2 2 2 x  y  5 x  y  5 + TH1: 2 x  y 1  0 x  x  2  0 x  1  x  2        2 2 x  y  5 y  x 1 y  2  y  1 + TH1: 2 x  y  3  0 x  3x  2  0 x  1 x  2        2 2 x  y  5 y  x  3 y  2 y  1
+ Kết luận: hệ pt có nghiệm (x y) l|: (-1;-2), (2;1), (1;2). Câu 68. 2 x  xy  4x  6  (1) Ta có:  2 y  xy  1  (2)
Nếu (x y) l| nghiệm của (2) thì y ≠ 0. 2 y 1 Do đó: (2)  x  (3) y
Thay (3) v|o (1) v| biến đổi, ta đƣợc: 4y3 + 7y2 + 4y + 1 = 0 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 112
 (y + 1)(4y2 + 3y + 1) = 0 (thí sinh có thể bỏ qua bƣớc n|y)  y = – 1 y = – 1  x = 2
Vậy hệ có một nghiệm: (x y) = (2 −1).
Câu 69.  3 6 x   2 (1)  y  ĐK: y  0 8 3x   2  (2) 3  y
Công PT (1) với PT (2) ta đƣợc        3 8 6 2 2 2x 4  x 
   3x    0  x   x    3  0 3 2  y   y   y  y  y  2 TH1: x 
thay v|o phƣơng trình (1) ta đƣợc: y 8 6 3 2 2
  2  2y  6y  8  0  (y 1)(y  2)  0 3 y y y  1  x  2 ; y  2   x  1   2x 4   2x 1  1 TH2: 2 2  x    3  0  x      3  0 2 2 2 y  y y   y  y 2  1  1  x    3  0   ( PT vô nghiệm) 2  y y
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm (x;y) = (2;1), (-1;-2) Câu 70.
Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với   x   1 2  y   3 2  1    x   1 y   3  x   1  y   3  1
Đặt a x  ;
1 b y  3 Ta đƣợc hệ phƣơng trình  2 a  2 b  1 
a b2  2ab  1   
ab a b 1
ab a b 1
Đặt S a  ; b P a ,
b điều kiện S 2  4P . Hệ trên trở thành  2 S  2P  1 S  1 S  3   
(thỏa mãn) hoặc  (loại) P S 1 P  0 P  4 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 113 a  1  S  1
a b  1 b  0     P  0 ab    0 a   0  b  1 a  1 x 1  1 x  0 +)      b  0 y  3  0 y  3 a  0 x 1  0 x  1 +)      b  1 y  3  1 y  2
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là (0;3), (1;2) Câu 71. x  y  m  1
3) Cho (x, y) là nghiệm của hệ phƣơng trình 
(với m là tham số thực). 2x  3y  m   3 Tìm m để biểu thức 2
P  x  8y đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 x  y  1
4) Giải hệ phƣơng trình  (với x, y thuộc R). 3 3 x  y  1 
(Trích đề HSG tỉnh Đồng Nai năm 2018-2019) Lời giải x  y  1 xy2 2 2  2xy  1 1) Giải:    3 3 3 x  y  1  (  x  y)  3xy  xy  1  x  y  S Đặt xy   P 2  1  S 2      2 P 1 S S  2P  1  P 2  Ta có:      2 3 2 S  3SP  1    3 1 S  3 3 S  3S.  1 
2S  3S  3S  2  0  2 2 2 2  1  S  1  S  1  S P  P  P    2   2   2  3 5S  3S  2   0 S 1   2 5S  5S  2  0 S1   2 5S  5S  2  0 2  1  S x  0 P    2         P 0 x y 1 y 1       S  1  0       S 1 xy 0 y  0  2  
5S  5S  2  0 (vn) x  1  Câu 72.
Trừ theo vế c{c phƣơng trình (1) v| (2) ta đƣợc: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 114    x y 2 2 x 1 
y 1  3x y  0  x y  3  0  2 2  x 1  y 1     x y
x y  0 hoặc  3  0 (*) 2 2 x 1  y 1
Trƣờng hợp 1: x y  0  x y . Thay y x v|o (1) ta đƣợc phƣơng trình:
x 1 x  2 2 2 1
x 1  x 1   x  1 
Giải hệ ta đƣợc: x  0  x y  0 . x y Trƣờng hợp 2:  3  0 . 2 2 x 1  y 1   2
3 x 1  x   2 3 y 1  y x y  Xét A   3  . 2 2 2 2 x 1  y 1 x 1  y 1 Ta có: 2 2
3 x 1  x  3 x x  3 x x  2 x   x x  0 . Tƣơng tự: 2
3 y 1  y  0
Suy ra: A  0 . Trƣờng hợp 2 không xảy ra.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x y  0 . Cách 2 : 2 2 x x 1 2 y 1     
x 1  2y x 1    2 2
y y 1  2x 1
y 1  2x y 1  
2y x 1  1 (1)
2x y 11 (2)    2 2 2
x 1  4 y  4 y 1 4xy  2x x (3)   2 2 2
y 1  4x  4x 1 4xy  2y y (4)
Trừ theo vế c{c phƣơng trình (3) v| (4) ta đƣợc phƣơng trình : xy4
 x y  6  0  x y hoặc 4 x y  6  0 :   
Cộng theo vế các bất phƣơng trình (1) v| (2) ta đƣợc : x y  0 , suy ra trƣờng hợp
4 x y  6  0 không xảy ra.
Trƣờng hợp x y , thay v|o (3) ta đƣợc: x y  0 . Câu 73.
xy  2x y  6 x
  y  2  y  2  4   x    1  y  2  4 Ta có      * 2 2     x   
1   y  2  8   x   2
1   y  22  8   x   2
1   y  22  8
Đặt a x 1;b y  2 ta có hệ phƣơng trình. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 115         . a b 4 . a b 4 . a b 4   *       a b  8   a b  2 2ab  8   a b  2 2 2 16  . a b  4 a  2 x 1  2 x 1  . a b  4     
a b  4 b   2 y  2  2 y  4
 a b  4     .    . a b 4 a 2 x 1 2        x  3 
a b  4     
a b  4   b   2  y  2  2  y  0
Nghiệm của hệ phƣơng trình S    1;4; 3  ;0
3. Phƣơng trình ho|nh độ giao điểm của d  và  P là 2
x  2x m 1 hay 2
x  2x m 1  0   1
d  và P cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi   1 có hai nghiệm phân
biệt   ' 1 m   1  0  m  0 Do ,
A B thuộc  P nên 2 2
y x ; y x 1 1 2 2 . Theo đề bài ta có x x
y .y x .x  12   x .x 2 . 4 1 2
x .x 12  0  1 2 1 2 1 2 1 2 x .x  3   1 2 x x  2
Theo hệ thức Viet ta có : 1 2
x .x  m1  1 2 Nếu x .x  4 m
 1 4  m  3  1 2 thì (loại). Nếu x .x  3  m  1 3   m  4 m  4 1 2 thì (nhận). Vậy là giá trị cần tìm. Câu 74. 3 2
x  2xy 12y  0 (1)
Giải hệ phƣơng trình:  2 2 8
 y x 12 (2)
Thế (2) v|o PT(1) ta đƣợc 3 2 2 3
x x y  2xy  8y  0
Nếu y  0 thì từ (1) suy ra x  0 không thỏa mãn PT (2). 3 2  x   x x Xét y  0 PT (3)    2.  8  0      y   y y x Đặt  t ta đƣợc 3 2
t t  2t  8  0 y   t   t  2 2 0 2
t t  4  0   t  2   2
t t  4  0 Với t  2   x  2
y , thay v|o (2) đƣợc 2
y 1  y 1 y  1 
Với y 1 x  2  y  1   x  2 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 116
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm  2  ;  1 ; 2;  1 .
Câu 75. Ta có: 2
(y  2x)(1 y  x)  2x  x    1  2 3
x(y 1)  x  y  2  2
 1  (y 2x)(1 y)  x(y 2x) x(2x 1)  0
                 y 1 y 2x 1 y x y 1 0 1 y y x  0   . y  x
Với y  1, thay v|o (2) đƣợc: 3 2 2
x 1  2  x 1  8  x  3  .
Với y  x , thay v|o (2) đƣợc:    3 2 2 3 2
x x 1  x  x  2  x  x  x  x  2  0. Đặt 3 2 t 
x  x , phƣơng trình trở thành: t 1 3 2
t  t  2  0  (t 1)(t  t  2)  0   . 2 t  t  2  0  3
Phƣơng trình 3 có   7   0 nên vô nghiệm. 1 5 Do đó 2 2
t  1  x  x  1  x  x 1  0  x  . 2 1 5 1 5   Với x   y  1 5 1 5 . Với x   y  . 2 2 2 2
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có 4 nghiệm:    
     1 5 1 5  1 5 1 5  x; y 3;1 , 3;1 , ; , ;  2 2 2 2      Câu 76.xy  0 
Điều kiện: x y  1 * . x  0  2 2 x y 1 2 x y 1 x y
1 2 x y 1 Phƣơng trình           1   4   0    0 xy x y xy x y
x y  x y  
x y    2 2 1 1 2 1
x y x y  
 0  x y   1  0 xy x y
xy x y
x y 1 0  y 1 x (vì với ,
x y thỏa mãn đk (*) ta có 2 2
x y x y  0 )
Thay y 1 x v|o phƣơng trình thứ (2) của hệ pt ta thu đƣợc pt 2
x    x 2 4 5 1
13 6 x  0  4x  5x 8  6 x  0 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 117
x x   x
x    x     x  2 2 2 4 4 1 6 9 2 1 3
2x 1 x 3 2x  2  x    
2x 1 3  x
4  2x x  2 7  1 
+) 2x  2  x x   x   0  
(phƣơng trình vô nghiệm vì x  0 ). 4  2  x  2         17  33 4 2x 0 x 2 x  17  33
+) 4  2x x       8  x  .    4  2x  2 2  x
4x 17x 16  0 8   17 33 x   8 17  33 33  9 Với x   y
thỏa mãn điều kiện (*). 8 8 17  33 33 9 
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm ; x y là:  ; .   8 8   Câu 77.
 2x  y 1  3y 1  x  x  2y 2.  3 3 2 x  3x  2  2y   y  * 2x  y 1  0 x 2y  0  Điều kiện: x  0  1 y    3 Nhận xét: x  0
2x  y  1  x  0     . Không thỏa mãn điều kiện. y 1  2 x   3
3y  1  x  2y  0   *
. Không thỏa mãn phƣơng trình . 1 y    3
Do đó, ta có 2x  y 1  3y  1  x  x  2y
 2x  y 1  x  3y 1  x  2y  0 x  y  1 x  y  1    0 2x  y  1  x 3y  1  x  2y  1 1   (x  y 1)    0  2x y 1 x 3y 1 x 2y          THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 118 y  x 1
  2xy1 x  3y1 x2y 
Với y  x 1 thay v|o phƣơng trình * ta có x  1 2 3 2 2
(x  1) (x  2)  2(x  1)  (x  1)  (x  1) (x  5)  0  x   5
x  1  y  0; x  5  y  4
Với 2x  y 1  x  3y  1  x  2y
 2x  y 1  3y 1  x  x  2y
Ta có  2xy1 x  3y1 x2y  x  1
Cộng vế với vế hai phƣơng trình ta đƣợc x  3y  1  y  3 3 1 2 Thay vào * ta đƣợc 2 2 (x  1) (x  2)  x 1  x 1 27 9 2
 (x 1) (25x  59)  0  x  1 do (x  0) .
Vậy hệ có các nghiệm (x; y)  (1; 0);(5; 4) .
Cách 2: Bình phƣơng hai vế PT thứ nhất
PT thứ nhất  2x  y   1 3y   1  xx  2y 2 2
 x  4xy  3y  2x  4y 1  0  x  y   1 x  3y 1  0 . Câu 78. 1
ĐKXĐ x, y   2
Ta có  x y y   2 3 2 1  4  x 2 2
 3xy  3x  2y  2y x  4  0  x x y  
1  2 y x y  
1  4  x y   1  0
 x  2y  4x y   1  0. 1
Vì x, y   nên x  2 y  4  0 v| do đó phƣơng trình  x y 1  0  y  1 x 2
Thay v|o phƣơng trình đầu ta đƣợc 2 4x  4x  1
2x  1  3  2x  2 1 3
Với ĐKXĐ   x  . Đặt 2 2 2
2x  1  3  2x t  0  t  4  2 2x   1 3  2x 2 2 2 2 4 2 t  4  t 1 4x  4x  1 t  8t 2 2  4
x  4x  3   4
x  4x 1   4      2  2  2 8 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 119 4 2 t  8t
Do đó ta có phƣơng trình t
t  3t 8t 8  0  t t  2 2t  2t  4  0 8
Vì t  0 nên t  2 hoặc t  5 1  3 1 x   y    2 2 Xét t  2 ta có 2 4
x  4x  3  0  2x   3 2x   1  0   1 3
x    y   2 2 5 1  2 2  2
Xét t  5 1 ta có 2 4
x  4x  3   4
x  4x  3  1 5  0 (Vô lí) 2
Đối chiếu ĐKXĐ của hệ phƣơng trình ta có hệ phƣơng trình có 2 nghiệm  1 3   3 1   ; ; ;       2 2   2 2  Câu 79.
ĐKXĐ: x y  0  5 2 2
8(x y )  4xy  13  2  (x y) Chia phƣơng trình (1) cho 2
(x y) ta đƣợc hệ  1 2x  1  x y 2   1     2 2 1 2 5
 (x y) 
 3(x y) 13   5  x y
 3(x y)  23 2     (x y)    x y        1    1  x y
 (x y)  1   x y
 (x y)  1      x y    x y   2 2 1 5
u  3v  23 (3)
Đặt u x y
, v x y (ĐK: | u | 2 ), ta có hệ  x y u   v 1 (4)
Từ (4) rút u  1 v , thế v|o (3) ta đƣợc 2 2 2
5u  3(1 u)  23  4u  3u 10  0  u  5 2 hoặc u   . 4 5
Trƣờng hợp u   loại vì u  2. 4  1 x y   2
Với u  2  v  1
 (thỏa mãn). Khi đó ta có hệ  x y
xy  1 
Giải hệ trên bằng cách thế x  1
  y v|o phƣơng trình đầu ta đƣợc 1 2 y 1
 2  y 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( , x y)  (0;1). 2 y 1 Câu 80.
Từ phƣơng trình thứ hai ta có: x 2 2 y thế v|o phƣơng trình thứ nhất đƣợc: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 120
( m 1)( 2 2 y ) y 2
( 2m 3 )y 2m 4 (3)
Hệ có nghiệm x, y là các số nguyên  ( 3 ) có nghiệm y là số nguyên. 2m 4 Với m
2m 3 0 ( 3 ) có nghiệm y 2m3 1
12m3
2m 3 1 y
 2m31 m 2  m1
Vậy có 2 giá trị m thoả mãn là 1; 2.
Câu 81. Ta có: 3 3
x x y  2x  2 x y 3  2x   2 2
x y xy x y 3 3 3 3 3
2x x y x y x y Thế v|o phƣơng trình 2 2 2
x y xy  2  x  2  x   2  y   2
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm  , x y  
 2; 2; 2; 2
Câu 82. 2 2
x  2  xy (1) Giải hệ :  2 2
y  2  x y (2)
- Trừ từng vế hai phƣơng trình của hệ ta đƣợc ; x y (3) 2 2 2 2
x y xy x y  (x y)(xy x y)  0   xy x y  0 (4)
- Thay y = x từ (3) v|o (1) ta đƣợc phƣơng trình :  x  1   2 3 2
x  2  x  (x  1)(x  2x  2)  0  x  1  2  x 1 2 
Vậy ta đƣợc c{c nghiệm (x y) l| : ( 1  ; 1
 ); (1 2;1 2); (1 2;1 2) x - Từ (4) suy ra y
( vì x = -1 không phải l| nghiệm của (4)). Thay y v|o (2), ta x  1 2 3 xx 4 3 2         có : 2 x x x 4x 2 0 2 (x 1) x 1 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 121 2 2 2
 (x  2x  2)(x x 1)  0  x x 1 0 2 2
(Vì x  2x  2  (x 1) 1  0 ) x 1 5
 x 1 5 5 1
- Với x  1 5  y   3
  5 . Ta đƣợc x y     l| 2  ( ; ) (1 5; 3 5) 5 nghiệm của hệ.  5 1
- Với x  1  5  y   3
  5 . Ta đƣợc x y     l| 2  ( ; ) (1 5; 3 5) 5 nghiệm của hệ.
Vậy hệ đã cho có 5 nghiệm : ( 1  ; 1
 ); (1 2;1 2); (1 2;1 2) ; (1 5; 3   5) ; (1 5; 3   5) Câu 83. 2 2 3  x  xy  xy  y  0    1  ĐK: x  0 2   2 x   1  3 x  y   1  y  02  x  y  0 (1)  x  y 2 x  y   0   2 x  y  0 TH1: 2
x  y  0, suy ra x  y  0 không thỏa mãn hệ.
TH2: x - y = 0 hay y = x thế v|o (2) ta đƣợc :  2 2 x   1  3 x x   1  x  0 2
 2x  3x x  x  3 x  2  0
  x  22 x   1 x  x   1  0  x  2  x  4     1 1  x  x  .  2  4  
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm : x; y  4;4 và   1 1 x; y  ; .    4 4  Câu 84. 2
xy  2x  4y  1  2
xy  (2x 1)  4y    (*) 2 3 2
x y  2xy  4x  3y  2 2 2
(x y  2xy 1)y  2(2x 1)  2  y
(lưu : không nhất thiết biến đối đưa vế phải của pt thứ hai về 2  y , có thể 3  y ) x   - Xét y  2 1 0 1
0 thay v|o hệ (*) ta đƣợc:   x    2  (2x 1)  0 2 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 122  1 x   Suy ra 
2 l| một nghiệm của hệ. y  0
- Xét y  0 , hệ phƣơng trình (*) tƣơng đƣơng với hệ:  2x 1  2x 1 xy   4 (xy 1)   5   y y      (**)  2x 1  2x 1  2 2  2
x y  2xy 1 2  2  (xy 1)  2  2       y       y  2x 1 a b  5
Đặt a xy 1,b
khi đó hệ phƣơng trình (**) trở th|nh:  (***) 2 2
a  2b  2 
a  2 a  4 
+ Giải hệ (***) tìm đƣợc:  ,  . b   3 b   9   2x 1      3  xy 1 2 x 1 x   a  2        3  x  1  2 * Với  ta có 2x 1     hoặc  b   3  3   2x 1 y  1 2   y y y     3  3   2x 1        xy 1 4 x 5 a  4        9  * Với  ta có 2x 1   (vô nghiệm) b   9  9   2x 1  y y   9   3 1    x x   x  1  2
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có ba nghiệm:  2 ,  ,  .  y  1 2 y  0  y    3 Cách khác: 2 2
xy  2x  4y  1 
xy  (2x 1)  4y    2 3 2 2 3 2
x y  2xy  4x  3y  2
x y  2xy  (4x  2)  3  y 2
2xy  (4x  2)  8y 2 3 2  
x y xy  5y  0 2 3 2
x y  2xy  (4x  2)  3  yy  0   xy  1  xy  5   + Với y  1 0 . Suy ra đƣợc ( ; x y)  ( ;0) . 2
+ Với xy  1. Suy ra đƣợc ( ; x y)  3 2 (1;1) hoặc ( ;
x y)  ( ;  ) . 2 3 + Với xy  5
 . Trƣờng hợp n|y không tồn tại cặp ( ; x y) . THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 123   3 1    x x   x  1  2
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có ba nghiệm:  2 ,  ,  .  y  1 2 y  0  y    3 Câu 85.
x   y  2 2 2 2 1
xy x 1          I xy  1 x y  1 1   II  3 3
2x x y 1
2x x y 1
Đặt t y 1 ta có hệ 2 2 2 2              II x t xt 1 x t xt 1 x t 1       . 2 2x   x t   2 2
x t x x tx t  1 
Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình l|  ;
x y  1;0; 1  ; 2  .
Câu 86. 1 Điều kiện: x 
. Phƣơng trình thứ hai tƣơng đƣơng với 2  2 x  4 
2y 5x  2x  3  32  5x  5x  2 4 2y  x33  0  5   4 2y  x33  0 3 3 Với 4
2y x  3  3  0 ta đƣợc 4 2 y   y  , khi đó thế v|o phƣơng 6  2x 6  2x 3 3
trình thứ nhất ta đƣợc . 2x  1  3  5  6x  3 hay 6  2x 6  2x
6x  3  36  2x  5 3  6x  36  2x
Với phƣơng trình trên ta nhận thấy có c{c hƣớng xử lý nhƣ sau
+ Hƣớng 1. Đặt ẩn phụ a  6x  3  0; b  3 6  2x  0 . Khi đó ta đƣợc hệ phƣơng trình 2 2 a   b  15  a    b  15 3a  b2 2 2  45  6ab  ab     a  b  5 3    3  a  bab 15  3  a  b 15ab  3 2 2
Từ hệ trên ta đƣợc 45  6ab  15 ab  ab  36ab 180  0 .
Chú ý là ab  0 nên từ phƣơng trình trên ta đƣợc ab  6 và ab  30 .
Với ab  30 ta đƣợc a  b  5  3 , loại
Với ab  6 ta đƣợc a  b  3 3 suy ra a  2 3; b  3 hoặc a  3; b  2 3 .  6x  3   2 3 5
Từ a  2 3; b  3 ta đƣợc     36  2x x  3 2  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 124  6x  3   3
Từ a  2 3; b  3 ta đƣợc   x  1  36  2x  2 3 
Đ}y l| hệ phƣơng trình đối xứng nên ta có thể giải đƣợc hệ trên.
+ Hƣớng 2. Nhận thấy phƣơng trình có một nghiệm x  1 nên ta sử dụng đại lƣợng liên hợp
6x  3  36  2x  5 3  6x  36  2x
 6x  3  3  36  2x 2  2 3  2 3  12  x  42x 18 2 6x  6 6  6x 12x  42x  30    6x  3  3 36  2x 2  2 3 2 3  12  x  42x 18       1 1 2x  5 6x 6       6x  3  3 36  2x 0 2  2 3 2 3  12  x  42x 18    1 1 2x  5 Xét phƣơng trình    0 . 6x  3  3 36  2x 2  2 3 2 3  1  2x  42x 18
Phƣơng trình trên đƣợc viết lại thành. 1 1 2x  5    0 2 2x  1  1 6  2x  2 2  4  x  14x  6
6  2x  2  2x  1  1 5  2x    
2x  1  1 2x 1 1 0 2 2  4  x  14x  6
6  2x  1  2  2x  1 5  2x    
2x  1  1 2x 1 1 0 2 2  4  x  14x  6 5  2x 5  2x  6  2x  1 2  2x  1 5  2x    
2x  1  1 2x 1 1 0 2 2  4  x  14x  6  1 1         6  2x  1 2  2x  1 1 5 5 2x     0  x   2x       2      2 1 1 2x 1 1 2 4x 14x 6    
Từ các kết quả trên ta tìm đƣợc nghiệm của hệ phƣơng trình l|          x; y 3 3 5 5 4 4  1;  ,1;  , ; 3 , ;    3   2   2   2   2      Câu 87.
Cả hai phƣơng trình đều có hạng tử xy nên ta sẽ tìm cách triệt tiêu, lúc này bài toán
có thể giải đƣợc. Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 125 2xy  x  y  6 2xy  x  y  6 2   
 3y  3x  2  y   x xy  y  x  2 2xy  2y  2x    4 3 2   Thế y 
 x v|o phƣơng trình thứ nhất ta đƣợc 2 2 8 4 x  x   0  x 2  ;  3 3 3  3      
Vậy hệ phƣơng trình có hai nghiệm là   4 4 x; y  2   ;  , ; 2  3   3  Câu 88. 2 2
x  4y  3  4x (1)
Giải hệ phƣơng trình:  . 3 3 2
x 12x 8y  6x + 9 (2) Ta có: (1)  2 2
9  12x  3x 12y , thế v|o phƣơng trình (2) v| thu gọn ta đƣợc: 3 3 2 2 2 2
x  8y  3(x  4 y )  (x  2 y)(x  2xy  4 y  3x  6 y)  0    . x 2 y 0   2 2
x  2xy  4y  3x  6y  0 x
*) TH1: x  2y  0  y
, thế v|o phƣơng trình (1) ta đƣợc 2 2 2
2x  3  4x  2x  4x  3  0 , phƣơng trình vô nghiệm. *) TH2: 2 2
x  2xy  4y  3x  6y  0 , trừ vế theo vế của phƣơng n|y với phƣơng trình (1) ta đƣợc: x  3
2xy 3x 6 y 3 4x 2xy x 6 y 3 0 (x 3)(2 y 1) 0                  1  y   2
+ Nếu x =3 thay v|o phƣơng trình (1) ta đƣợc: 4y2 = 0  y = 0, cặp (x;y) = (3;0)
thoả mãn phƣơng trình (2). 1 + Nếu y
, thay v|o phƣơng trình (1) ta đƣợc: (x - 2)2 = 0  x = 2, cặp (x;y) = 2  1  2; 
 thoả mãn phƣơng trình (2).  2 
Vậy nghiệm của hệ đã cho l| (x y) = (3 0) v| (x y) = (2 1). 2 2 4x 1  y  4x
Câu 89. Giải hệ phƣơng trình  2 2 x  xy  y  1
28(Trích đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2015-2016) Lời giải   2x  2 2 1  yy  2  x 1 Hệ phƣơng trình     2 2 2 2    
x xy y 1 x xy y 1 y  2x 1 y  2x 1  Xét hệ:   
x xy y 1 x x  2x   1  2x  2 2 2 2 1 1 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 126 y  2x 1  5     x y  2x 1     x  0 x   7     0  hoặc  2 
7x  5x  0  5    y 1 3  x      y  7  7 y  2  x 1 y  2  x 1  Xét hệ:   
x xy y 1 x x  2x   1  2x  2 2 2 2 1 1 y  2  x 1 y  2  x 1  x  0 x  1     x  0   hoặc  2 3
x  3x  0  y  1  y 1 x  1   5 3 
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm (x;y) là: (0;1),  ;    , (0;-1), (-1;1)  7 7  Câu 90.
Thay (2) v|o (1) ta đƣợc 3 3
x y   2 2
y y  x y 3 2 2 5 4
 21x 5x y  4xy  0  x  0  x x y  x y 4 7 4 3 0       x y  7  yx    3
- Với x  0 thay v|o (2) ta đƣợc y  2  4 31 - Với x
y thay v|o (2) ta đƣợc 2 
y  4 phƣơng trình vô nghiệm 7 49 y - Với x   thay v|o (2) ta đƣợc 2
y  9  y  3  3
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm
 ;x y  0;2;0;2; 1  ;3;1;3 Câu 91. 2 2
2x y  3xy  4x  3y  2  0    1 2
x y  3  0  Điều kiện  2
x y  3  y x 1  2  2
y x 1 0   2
y  x   2 1 3
1 y  2x  4x  2  0    2 y x 1
Tính    x   1   
1  y  2x2
Với y x 1 thay v|o (2) ta đƣợc x  0  y  1  tm 2 2
x x  4  2  x x  0     x 1 x  0  tm
Với y  2x  2 thay v|o (2) ta đƣợc THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 127 x x   x    x  2 2 2 5 1 2 1  4  x 1  2 Ta có  x  2 1  4  x 1  2
Dấu “=” xảy ra  x 1 y  0tm
Vậy hệ phƣơng trình có c{c nghiệm  ;
x y  0;   1 ;1;0 Câu 92. 2 2 x  2
y xy y  5x  2  0 ) 1 (
Xét hệ phƣơng trình  2x  2y xy 4  0 (2) PT ) 1 (  2 2 2
x y xy y  5x  2  0 2
y  x   1 y  2 2
x  5x  2  0 Ta có '   x  2 1   2
4  2x  5x  2 2
 9x 18x  9   9 x  2 1  x  1   3 x   1 y  Khi đó PT ) 1 (   2  x  1   3 x   1 y   2
y  x   2  y  2x 1
Với y  x  2 , thay vào PT ( ) 2 ta đƣợc 2 2
x  4x  2  0  x  1  y  1 x  1
Với y  2x 1, thay vào PT ( ) 2 ta đƣợc  5 2
x x  4  0  x   4  5 4 13
*) x  1 y  1
*) x    y   5 5  4 13
Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình l|   1 ; 1 và   ;   5 5  Câu 93.
Điều kiện x  1, y  2
y y x    2 1 1 
x 1  0  y y
x 1 y  
1  0   y  
1  y x 1  0  y  1   .  y x 1
Với y  1, thay v|o (2) ta đƣợc 2 2 2 2 4 2 2
x 1 7x  3  0  x 1  7x  3  x  2x 1  7x  3 2 x 1 x 1 4 2
x  5x  4  0    
(do điều kiện của x) 2 x  4 x  2 Với y
x 1 , thay v|o (2) ta đƣợc 2 2
x x 1  7x  3  0 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 128   2
x  4   x 1   1   2 7x  3  5  0   x x x
x  2 x  2 2 7  2 2    0 2 x 1 1 7x  3  5 x  2   1 7 x  2 x  2    0 2  x 1 1 7x  3  5
Với x  2 suy ra y  1. 1 7 x  2  7  1 Ta có x  2  
 x  21   2 2 x 1 1 7x  3  5  7x  3  5  x 1 1     x   2 7x 3 2 1 2  2 7x  3  5 x 1 1 7x  3  2
Với x  1 thì 7x  3  2  0   x  2 2 2  0 2 7x  3  5 7x  3  2 1 Suy ra  x  2 2   0 2 7x  3  5 x 1 1
Vậy hệ phƣơng trình có c{c nghiệm 1;  1 ,2;  1 . Câu 94.
Từ phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc x  5y  20 . Thế v|o phƣơng trình thứ hai ta đƣợc
5y 1910y 3915y 59 1 3y 1 3y 25y 202           3 2 3 2
 750y  8725y  33830y  34719  150y 1141y  2006y  801 3 2
 600y  7584y  31824y  44520  0  y  5 2 75y  573y  1113  0 Dễ thấy phƣơng trình 2
75y  573y  1113  0 vô nghiệm
Do đó từ phƣơng trình trên ta đƣợc y  5  0  y  5 nên x  5 .
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất là 5; 5 .
Cách khác: Khi thực hiện phép thế x  5y  20 v|o phƣơng trình thứ hai thì ta đƣợc
phƣơng trình một ẩn, tuy nhiên phƣơng trình khó ph}n tích. Do đó ta có thể tìm
c{ch ph}n tích phƣơng trình thứ hai thành tích. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 129
1x12x13x  13y 2 1  3y  2x    2
2x  3x  13x  1  1 3y 2 1  3y  2x 
 3x 12  2x 3x 1  1 3y2 2 2  2x 3y 1   
 3x  y2  3x  y x y 0 2  2x   0     2  3  x y 2  2x   0
Đến đ}y ta kết hợp với phƣơng trình thứ nhất để tìm nghiệm.
Trong hai cách trên thì cách thực hiện phép thế dễ thấy hơn nhƣng c{ch ph}n
tích phƣơng trình thứ hai thành tích cho lời giải đơn giản hơn.
Câu 95.
Đặt a  2x  y 1; b  x  y  1. Khi đó hệ phƣơng trình viết đƣợc lại thành 2 2      a b 26 a
  b  2ab  2ab  26 a  b2 2 2  2 1  1  a  b  26       a    b  ab  11 a  b  11  a  b a  b  11  a  b
a  b2 2a  b48  0 a  b  8  ;ab  19     a  b  11  a  b a  b  6;ab  5 a   b  8  + Với 
, hệ vô nghiệm do   2 a b  4ab . ab   19 a   b  6 a  1; b  5 + Với    . ab  5 a  5; b    1       Khi a  1; b  2x y 1 1 x 2 5 ta có    . x  y  1  5 y  2          Khi a  5; b  2x y 1 5 x 2 1 ta có    . x  y  1  1 y    2
Vậy phƣơng trình đã cho có c{c nghiệm là 2; 2  ,2;2 .
Chú ý. Khi hai phƣơng trình của hệ đều không thể ph}n tích đƣợc thành tích thì ta
nhân một trong hai phƣơng trình với một số k rồi cộng theo vế hai phƣơng trình thì
đƣợc một phƣơng trình bậc hai. Ta cần tìm hằng số k để phƣơng trình ph}n tích
đƣợc thành tích. Chẳng hạn ta viết lại hệ phƣơng trình nhƣ 2 2 2 2
5x  2y  2xy  2x  4y  24
5x  2y  2xy  2x  4y  24  0    3x  
2x y 1xy1 2 2  11
2x  y  xy  4x  2y  xy 12  0
Khi đó ta thấy nếu nh}n phƣơng trình thứ hai với k  2 rồi cộng hai phƣơng
trình thì ta thu đƣợc phƣơng trình 2 9x  6x  48  0 .
Câu 96. Từ x  y  z  1 1 1 1 3 và    1 1 1 1 ta đƣợc    . Khi đó ta đƣợc x y z 3 x y z x  y  z THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 130 1 1 1 1 x  y x  y     0          0 x y z x y z xy z x y z  x  y 2
xy  zx  yz  z   0  x  yy  zz  x  0
+ Xét trƣờng hợp x  y  0 , khi đó từ x  y  z  3 ta đƣợc z  3 .
Cũng từ x  y  0 ta đƣợc x  y . Thế vào 2 2 2
x  y  z  17 ta đƣợc 2 2x  8  x  2  .
Từ đó ta đƣợc hai bộ số x; y; z thỏa mãn là 2; 2;  3, 2;  2; 3 .
+ Giải c{c trƣờng hợp y  z  0 và z  x  0 ta đƣợc các bộ số là hoán vị của hai bộ số trên.
Vậy các bộ số x; y; z cần tìm là 2; 2  ; 3, 2  ; 2; 3,2;3; 2  , 2  ; 3; 2,3;2; 2  ,3; 2  ; 2 . Câu 97. 2 x  xy  zx  48 xx  y  z  48  
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình ta đƣợc 2
y  xy  yz  12  yx  y  z  12  2  z  zx  yz  84 z   x  y  z   84
Mặt khác cộng theo vế c{c phƣơng trình của hệ ta đƣợc    2 x y z
 144  x  y  z  1  2 . + Với x  y  z  1
 2 , thế v|o phƣơng trình trên ta đƣợc x; y;z   4;  1  ; 7  .
+ Với x  y  z  12 , thế v|o phƣơng trình trên ta đƣợc x; y; z  4;1;7 .
Thử vào hệ phƣơng trình đã cho ta đƣợc các nghiệm của hệ là
x;y;z  4;1;7, 4  ; 1  ; 7  . 3 3 x y 1
 5y 14  3 2 2 y x   1 Câu 99. Ta có:  3 
4x  6xy 15x  3  0  2
Ở phƣơng trình (1) ta có: 3 3 x y 1
 5y 14  3 2 2 y x 3 3 2
x  3x y 15y  6y 14 3 3 2
x  3x y  6y 12y  8  3y  6
x  3x   y  23 2  3 y  2
x y  2 (*)
Từ (2) v| (*) ta có hệ phƣơng trình: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 131  x y  2  x  2  y    3 3
4x  6xy 15x  3  0 4x  6x  
x  215x 3  0  x  2  yx  2  y     3 2 3 2
4x  6x  3x  3  0 8
x 12x  6x  6  0 3  1   5   x   2x  3 1  5   2     3
 x  2  y  5   5 y   2 3 3  1   5 5   5 
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm l|  ;    2 2   Câu 100. 2 2 2 2
x y xy  2
x y xy  2  2xy    
x y 2  2xy  2x  4y 3 3
x y  2x  4yx y     2 2
x y xy     2x  4yy  0 2 2
x y xy y  0  y  2 x xy   1  0   2
x xy 1  0
Với y  0  x   2 Với 2 2 2 2
x xy 1  0  x xy  1
  y  3  y   3  x  3x 1 0 phƣơng trình vô nghiệm
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm  ;
x y   2;0; 2;0
Câu 101.
 2x  1y  2y  1x  2xy  1; )1 (  4 2 x  2
y  2x y  6  ; 0 ( ) 2 2 x y  2
xy  (x y)  ( 2 xy  )
1  0  (x y)(xy  ) 1  ( 2 xy  ) 1  0 từ PT (1) ta có : y  2   x (x y  )( 2 xy  )
1  0  xy 1
thay vào PT (2) giải ra có 5 nghiệm (xy)     3 1    3 1    4 14    1 ; 1 ; 2 ; 5 , 0   ; ; 3  1 ; 1 ;  3 ; ;        2   2   5 5    Câu 102.
Với x = y = 0 là nghiệm của hệ phƣơng trình
Nhận thấy nếu x  0 thì y  0 v| ngƣợc lại
Xét x  0 ; y  0 hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 132  1 1  1 1   2   2  (1) 2 2  2 2  x yx y    1 1 1 1 1 2 ( )(1 ) 4 (      )(2  ) ( 8 2)  x y xy    x y xy 1 1 Thay (1) v|o (2) ta đƣợc 3 (  )  8 x y 1 1   2 x y  
x y  1 1  1  xy
Vậy hệ có nghiệm (x ; y) là (0 ; 0) ; (1 ; 1) Câu 103.  15 x  1
 0x  2y  2 1
 0x  2y  2  52
a) Khi m 10 hệ phƣơng trình có dạng     
2x 10y  5 1
 0x  50y  25 23 y   52  
Vậy khi m 10 thì hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất  x y 15 23 ;  ;    52 52   mx  2  mx  2 y
mx  2y  2 y   2 b) Ta có:    2  
2x my  5 mx  2
2x my  5 2x m  5  2  2m 10  mx  2 x y   2   m  4  2      2  m   mx 2 4 x  2m 10 y    2  2m 10 x   2  m  4
Vậy hệ phƣơng trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất  mx  2 y   2 2 2
 015m 14m 8056
Thay vào hệ thức x y  2014  . 2 m  4 2 2 2
 014m  7m 8050 2
 015m 14m 8056 Ta đƣợc 2 
m  7m  6  0 2 2 m  4 m  4    
m  m   m 1 1
6  0  m  6
Đối chiếu với điều kiện đề b|i ta đƣợc m 1;m  6.
Câu 104. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 133 2 3
 x xy  4x  2y  2  x   x   1 + y  y   1 = 4 2 2 2 3
 x xy  4x  2y  2  0
2x xy y 5x y  2  0     2 2 2 2
x + y  x y  4  0
x + y  x y  4  0 Ta có: 2 2
2x xy y  5x y  2  0   y x  2 y  2x   1  0
y  2  x hoặc y  2x 1
Với y  2  x thay v|o (2) ta đƣợc: x2 – 2x +1 = 0 suy ra x = 1 Ta đƣợc nghiệm (1;1)  y  2x  4
1 thay v|o (2) ta đƣợc: 5x2 – x – 4 = 0 , suy ra x = 1; x  5 4  1  3
Ta đƣợc nghiệm (1;1) và ( ; ) 5 5 4  1  3
Vậy hệ có nghiệm (1;1) và ( ; ) 5 5 Câu 105. Điều kiện x  1
 , y  3. Ta xét c{c trƣờng hợp
Trƣờng hợp 1: x 1  y  3  y  x  4
Khi đó, x 1  x  2  x  3  y 1  y  2  y  3 Suy ra hệ vô nghiệm
Trƣờng hợp 2: x 1  y  3  y  x  4
Khi đó, x 1  x  2  x  3  y 1  y  2  y  3 Suy ra hệ vô nghiệm
Trƣờng hợp 3: x 1  y  3  y  x  4
Thay v|o phƣơng trình thứ hai của hệ đã cho, ta đƣợc 2
2x  8x  6  0  x  1   x  3 
So điều kiện ta đƣợc x  1
  y  3. Vậy x;y   1  ; 3 . Câu 106. Từ hệ ta có 3 3 2 2 x
y x y
x y x y  2 2 (2 ) (2 ) (
) 2xy x y   0 x y 3
 (x y) (x y)  0  x y
* Với x = y ta tìm đƣợc (x ; y) = (0; 0); ( 3; 3 );(  3;  3 )
* Với x = - y ta tìm đƣợc (x ; y) = (0; 0); (1; 1  );( 1  ;1)
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm
(x ; y) = (0; 0); 3; 3 );(  3;  3 );( 1  ;1);(1; 1  )
Câu 107. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134  4 3 x  3
y x  2 y ) 1 (
Giải hệ 52 2x 82xy  21 2y  9 ( )2
Nhân vế trái của (1) với vế phải của (2) và nhân vế phải của (1) với vế trái của (2) ta có: ( )( 9 4 3 3
x y )  (x  2y 52 )( 2
x  82xy  21 2 y )  ( )( 9 4 3 3
x y )  (x  2y 52 )( 2
x  82xy  21 2 y )  0  8 3 x  2 2 x y 13 2 xy  3 3 y  0  8 ( 3 x  8 2 xy )  (2 2 x y  2 2 xy )  3 ( 3 y  3 2 y x)  0  8x( 2 2
x y )  2xy(x y)  3 2
y (x y)  0  2 2
(x y)(8x 10xy  3y )  0
Biến đổi nhận đƣợc phƣơng trình: (x y)(4x y)(2x  3y)  0
Với x y tìm đƣợc ( ; x y)  ) 0 ; 0 (
( thử vào hệ không thỏa mãn) ( ; x y)  ); 1 ; 1 ( ( ; 1  )
1 ( thử vào hệ thấy thỏa mãn)
Với y  4x tìm đƣợc ( ; x y)  ) 0 ; 0 (
( thử vào hệ không thỏa mãn)  2 Với y x tìm đƣợc ( ; x y)  ) 0 ; 0 (
( thử vào hệ không thỏa mãn) 3 Vậy hệ có nghiệm ( ; x y)  ); 1 ; 1 ( ( ; 1  ) 1
Câu 108.
Nhân cả hai vế của (2) với 2 ta có hệ phƣơng trình 2 2 3
x  2y  4xy x  8y  4  0 (1)  2 2
2x  2y  4x  2y  6  0 (2)
Lấy (1) trừ (2) theo vế với vế ta có
x xyy  xy   xy2 2 2 4 4 3 2 2 0 2
 3x  2y  2  0
 x  2y  
1  x  2y  2  0  x  2y 1 hoặc x  2y  2.
+) Với x  2y 1, thế vào (2) và rút gọn ta có y y  3  0  y  0 hoặc y  3. 
Suy ra x  1, y  0 hoặc x  5  , y  3  .  
+) Với x  2y  2 , thế vào (2) và rút gọn ta có 2 13 109
3y 13y  5  0  y  6 1  3  109 hoặc y  . 6 7   109 1  3  109     Suy ra x  , y  7 109 13 109 hoặc x  , y  . 3 6 3 6
Vậy hệ có 4 nghiệm x  1, y  0 ; x  5  , y  3  ; 7   109 1  3  109     x  , y  7 109 13 109 ; x  , y  . 3 6 3 6 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC