Chuyên đề liên hệ giữa cung và dây

LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định lí 1
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. 2. Định lí 2
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. 3. Bổ sung
a) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
b) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua
điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
c) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây
căng cung ấy và ngược lại.
II. BÀI TẬP MINH HỌA A.BÀI MINH HỌA
Phương pháp giải: Để giải các bài toán liên quan đến cung và dây, cần nắm chắc định nghĩa góc ở
tâm và kết hợp với sự liên hệ giữa cung và dây.
1. Chứng minh hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau.
2. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn 90°. Vẽ dây CD vuông góc
với AB và dây DE song song với AB. Chứng minh AC = BE.
3. Giả sử AB là một dây cung của đường tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy các điểm C và D sao cho   AC  D.
B Chứng minh AB và CD song song.
4. Giả sử ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn (O) tại D.
Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:
a) BC song song với DE;
b) Tứ giác BCED là hình thang cân.
5. Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O') đường kính AO. Các điểm C, D thuộc
đường tròn (O) sao cho B 
CD và BC < BD. Các dây AC và AD cắt đường tròn (O') theo thứ tự tại
E và F. Hãy so sánh:
a) Độ dài các đoạn thẳng OE và OF; b) Số đo các cung  E A và 
AF của đường tròn (O').
6. Cho đường tròn tâm o đường kính AB. Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao cho sđ  BM
< 90°. Vẽ dây MD song song với AB. Dây DN cắt AB tại £. Từ R vẽ một đường thẳng song song với
AM cắt đường thẳng DM tại C. Chứng minh:
a) AB  DN; b) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
7. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm chính giữa của nửa đường tròn. Trên các
cung CA và CB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho  
CM  BN. Chứng minh: a) AM = CN; b) MN = CA = CB.
8. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa đường tròn lấy hai điểm C, D. Kẻ CH vuông
góc với AB tại H, CH cắt (O) tại điểm thứ hai E. Kẻ AK vuông góc với CD tại K, AK cắt (O) tại
điểm thứ hai F. Chứng minh: a) Hai cung nhỏ  CF và  DB bằng nhau; b) Hai cung nhỏ  BF và  DE bằng nhau; c) DE = BF. HƯỚNG DẪN
1. Trường hợp 1: Tâm O ở giữa của hai dây.
Kẻ OM  AB suy ra OM  CD tại N. Ta chứng minh được  
AOM  BOM (1) Tương tự  
CON  DON (2) Từ (1), (2)    
 AOC  BOC  AC  BD
Trường hợp 2: Tâm O nằm ngoài khoảng hai dây. Kẻ OM  AB suy ra OM  CD tại N. Tương tự    
AOC  BOC  AC  BD 2. Ta chứng minh  
AD  BE , mà CD  AB nên . Từ đó suy ra . * Cách khác:Chứng minh  
AOC  BOE  ĐPCM.
3. Ta lấy K là điểm chính giữa cung nhỏ  AB Ta chứng minh được  
CK  KD . Từ đó ta có OK  CD, OK  AB  CD//AB. 4. a) HS tự chứng minh.
b) Ta chứng minh được  
BE  CD từ đó suy ra BE = CD và
tứ giác BDEC là hình thang cân. 5. 1
a) Ta chứng minh E là trung điểm của AC nên OE  BC. 2 1
Tương tự ta có OF  DB . 2
Mà BC < BD ta suy ra OE < OF
b) Chứng minh được AE2 = AO2 - OE2 và AF2 = AO2 - OF2 Từ đó ta có AE2 > AF2  AE > AF  sđ  AE sđ  AF 6. a) HS tự chứng minh
b) Ta chứng minh được tứ giác BCEN là hình bình hành  BC = EN. Do BCDE là hình bình hành  BC = ED; DE = EN  BA EN  BA  BC  BC là tiếp tuyến 7. a) HS tự chứng minh. b) Chứng minh được   
MN  CA  CB  ĐPCM.
8. a) HS tự chứng minh.
b) Từ giả thiết ta có AB là đường trung trực của    
CE  BC  BE  BF  DE
c) Sử dụng mối liên hệ cung và dây. B.BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho đường tròn O đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn 0 90 . Vẽ dây CD
vuông góc với AB và dây DE song song với AB Chứng minh:   AC  BE
Bài 2: Cho đường tròn  ;
O R có hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại I (C thuộc
cung nhỏ AB ). Kẻ đường kính BE của O . Chứng minh: a) AC  . DE b) 2 2 2 2 2
IA  IB  IC  ID  4R . c) 2 2 2 2
AB  CD  8R  4OI
Bài 3: Giả sử tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn O . Đường cao AH cắt
đường tròn O tại D . Kẻ đường kính AE của đường tròn O . Chứng minh:
a) BC song song với DE .
b) Tứ giác BCED là hình thang cân.
Bài 4: Trên dây cung AB của O , lấy 2 điểm C, D chia dây này thành 3 đoạn bằng nhau
AC  CD  DB . Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F . Chứng minh: a)   AE  FB b)   AE  EF
Bài 5: Cho đường tròn O đường kính AB . Trên cùng nửa đường tròn lấy hai điểm C, D . Kẻ CH
vuông góc với AB tại H , CH cắt (O) tại điểm thứ hai E . Kẻ AK vuông góc với CD tại K , AK
cắtO tại điểm thứ hai F . Chứng minh : a) Hai cung nhỏ  CF ,  DB bằng nhau. b) Hai cung nhỏ  BE ,  DE bằng nhau. c) DE  BF.
Bài 6: Cho đường tròn O đường kính AB . Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao cho số đo cung nhỏ  0
BM  90 . Vẽ dây MD song song với AB . Dây DN cắt AB tại E. Chứng minh: a)   BM  A .
D b) DN  AB . c) DE  EN
Bài 7: Cho đường tròn  ,
O R và dây AB . Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa các cung nhỏ
AB , cung lớn AB và P là trung điểm của dây cung AB .
a) Chứng minh bốn điểm M , N,O, P thẳng hàng.
b) Xác định số đo của cung nhỏ AB để tứ giác AMBO là hình thoi. HƯỚNG DẪN
Bài 1: Cho đường tròn O đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn 0 90 . Vẽ dây CD
vuông góc với AB và dây DE song song với AB Chứng minh:   AC  BE Giải C A B O E D
Ta có: CD  AB và AB  DE  CD  DE  CE là đường kính của O Chứng minh được: AOC  BOE  c g c  
. .  AC  BE
Bài 2: Cho đường tròn  ;
O R có hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại I (C thuộc
cung nhỏ AB ). Kẻ đường kính BE của O . Chứng minh: a) AC  . DE b) 2 2 2 2 2
IA  IB  IC  ID  4R . c) 2 2 2 2
AB  CD  8R  4OI Giải A E O C D I B a)
Dễ dàng chứng minh được: AC  . DE b) Gợi ý: 2 2 2
IA  IC  AC 2 2 2
IB  ID  BD Và AC  DE
Lại có: BD  DE  BE   R2 2 2 2 2 2  4R c) Gợi ý:
Lấy M ; N lần lượt là trung điểm của AB;CD Ta có: 2 2 2 2
AB  CD  AM  CN   2 2
R  OM    2 2 4 4 4 4 R  ON  ( Chú ý : 2 2 2
OM  ON  OI )
Bài 3: Giả sử tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn O . Đường cao AH cắt
đường tròn O tại D . Kẻ đường kính AE của đường tròn O . Chứng minh:
a) BC song song với DE .
b) Tứ giác BCED là hình thang cân. Giải A O H B C E D a) Chứng minh được:
AD  DE và AD  BC  DE  BC b) Ta có: DE  BC Chứng minh được:  
BE  CD  BE  CD  BDEC Là hình thang cân.
Bài 4: Trên dây cung AB của O , lấy 2 điểm C, D chia dây này thành 3 đoạn bằng nhau
AC  CD  DB . Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F . Chứng minh: a)   AE  FB b)   AE  EF Giải E F A B C D O AOC   B
 OD .cg.c a)    
 AOE  BOF  AE  BF b)
OC  OD  OC  D cân tại O  0  0
 OCD  90  ECD  90 Xét CD  E có:  
ECD  CED  ED  CD  ED  AC Xét AOC  và EOD  có: OA  OE OC  OD AC  ED    
 AOC  EOD  AE  EF
Bài 5: Cho đường tròn O đường kính AB . Trên cùng nửa đường tròn lấy hai điểm C, D . Kẻ CH
vuông góc với AB tại H , CH cắt (O) tại điểm thứ hai E . Kẻ AK vuông góc với CD tại K , AK
cắtO tại điểm thứ hai F . Chứng minh : a) Hai cung nhỏ  CF ,  DB bằng nhau. b) Hai cung nhỏ  BE ,  DE bằng nhau. c) DE  BF. Giải C D K A H B O F E C K D F B A H O E
Có thể dùng Hình 1 hoặc Hình 2:
Dưới đây là Chứng minh theo Hình 1:  
BF  CD  BC  DF a)      
 BC  CD  DF  CD  BD  CF b)
AB là đường trung trực của CE    
 BC  BE  BC  BE  DF  BE      
 BE  EF  DF  EF  BF  DE c)  
BF  DE  BF  DE
Bài 6: Cho đường tròn O đường kính AB . Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao cho số đo cung nhỏ  0
BM  90 . Vẽ dây MD song song với AB . Dây DN cắt AB tại E. Chứng minh: a)   BM  A . D b) DN  AB . c) DE  EN Giải D M A B E O N a) Ta có:  
MD  AB  MB  AD  
AM  BN  BM  AN b)  
 AD  AN  AD  AN  AO
Là trung trực của DN  AO  DN c)
DN  AB   
E  DE  DN
Bài 7: Cho đường tròn  ,
O R và dây AB . Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa các cung nhỏ
AB , cung lớn AB và P là trung điểm của dây cung AB .
a) Chứng minh bốn điểm M , N,O, P thẳng hàng.
b) Xác định số đo của cung nhỏ AB để tứ giác AMBO là hình thoi. Giải a) Ta có: M  
MA  MB  MA  MB   P
NA  NB  NA  NB A B Mặt khác: O
PA  PB;OA  OB
Nên 4 điểm: M , N,O, P thẳng hàng (vì cùng
nằm trên đường trung trực của AB ). N b)
Tứ giác AMBO là hình thoi
 OA  AM  MB  BO  AOM  đều  0  0
AOM  60  AOB  120  Sđ  0 AMB  120 .
------------------------- HẾT -------------------------