Chuyên đề liên hệ giữa phép nhân – phép chia và phép khai phương

Tài liệu gồm 37 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương, liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Mời bạn đọc đón xem.

105 53 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Môn: Toán 9

Thông tin:

37 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
CHUYÊN ĐỀ
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN - PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
I. Với
0, 0AB
thì: ..AB A B và ngược lại ..AB AB
Đặc biệt, khi
0A
, ta có:

2
2
AAA.
II. Với
0, 0AB
thì
AA
B
B
và ngược lại
AA
B
B
III. Bổ sung
Với
12
, ,..., 0
n
AA A thì:
12 12
. ... . ...
nn
AA A AAA
Với
0; 0ab
thì: ab a b (dấu “=” xảy ra
0a
hoặc
0b
).
Với
0ab
thì: ab a b (dấu “=” xảy ra
ab
hoặc
0b
).
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Thực hiện phép tính
Ví dụ minh họa 1. Tính:
a)
810.40
b)
24. 12. 0,5
c)
5
53
12
3.4
d)
180 : 5
200 : 8
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
810.40 81.100.4 81. 100. 4
222
9 . 10 . 2 9.10.2 180
. Vậy biểu thức có giá trị là: 180
b) Ta có:
2
24. 12. 0,5 24.12.0,5 144 12 12
.
c) Ta có:

5
555
2
53 53 53
3.4
12 3 .4
44
3.4 3.4 3.4

Vậy biểu thức có giá trị là: 4
d) Ta có
180 : 5 180 :5 36 6
1, 2
5
200 : 8 200 :8 25

Vậy biểu thức có giá trị là: 1,2
Ví dụ minh họa 2.
a) So sánh:
16 4
và
16 4
b) Với
0a
;
0b
. Chứng minh
ab a b
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
2.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
16 4 4 2 6 36

1
16 4 20 36

2
Từ

1
và

2
suy ra:
16 4 16 4
b) Với
0a
;
0b
, giả sử
22
abab
Để so sánh
ab
với
ab
ta so sánh

2
ab với

2
ab
Ta có:


2
2
2
ab ab
ab ab ab


Vì
2 ab nên suy ra

22
ab a b
Do đó
ab a b
Ví dụ minh họa 3. Thực hiện phép tính
a)

18 32 50 . 2A  b) 50 – 18 200 162B 
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép nhân các căn thức bậc hai của
các số không âm, ta có:

18 32 50 . 2A 
18. 2 32. 2 50. 2
18.2 32.2 50.2
36 64 100
6810
4
b) Sử dụng phép khai phương một tích của các số không âm, ta có:
50 – 18 200 162B 
25.2 9.2 100.2 81.2
25. 2 9. 2 100. 2 81. 2

2. 25 9 100 81

2. 5 3 10 9
32
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính:
a)
49.36.100 b)
0,45.0,3.6
c) 147.75 d)
4,9.1200.0,3
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
3.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
a)
5. 45 b) 13. 52 c)
12,5.0,2.0,1
d)
48, 4. 5. 0,5
Bài 3: Tính:
a)
45 : 80
b)
13 : 468
c)
336
:
15 45
d)
288 8
:
169 225
Bài 4: Thực hiện các phép tính sau:
a)
72
:8
9
b)

748 327 212:3
c)

125 245 5 : 5 d)
116
7:7
77





Bài 5: Thực hiện các phép tính sau:
a)
12 27 3
b)

12 2 75 3
c)
252 700 1008 448 d)

312 27 3
Bài 6: Thực hiện các phép tính sau:
a)
23 23
b)

13 213 2 
c)
2
35 35
d)
15 216 33 12 6
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
a) Biến đổi biểu thức:
49.36.100 49. 36. 100
22 2
7 . 6 . 10 7.6.10 420
b) Biến đổi biểu thức:
2
0, 45.0,3.6 0,81 0,9 0,9
c) Biến đổi biểu thức:
147.75 49.3.3.25
49.9.25 49. 9. 25 7.3.5 105
d) Biến đổi biểu thức:
4,9.1200.0,3 49.0,1.12.100.3.0,1
49.36 49. 36 7.6 42
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
a)
2
5. 45 5.45 225 15 15
b)
13. 52 13.52 676 26
c)
12,5. 0, 2. 0,1 12,5.0,2.0,1 0,25 0,5

d)
48, 4. 5. 0,5 48, 4.5.0,5 122 11

Bài 3: Tính:
a)
45 45 9 3
45 : 80
80 16 4
80

b)
13 13 1 1
13 : 468
468 36 6
468

4.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
c)
336 336 345 11
::.
15 45 15 45 15 36 4 2

d)
288 8 288 8 288 225
::.
169 225 169 225 169 8

36.225 36. 225 6.15 90
169 13 13
169

Bài 4: Thực hiện các phép tính sau:
a) Biến đổi biểu thức:
72 72 72 1
:8 :8 . 11
9998

Vậy biểu thức có giá trị là: 1
b) Biến đổi biểu thức:

748 327 212:3

28 3 9 3 4 3 : 3 33 3 : 3 33
Vậy biểu thức có giá trị là: 33
c) Biến đổi biểu thức:

125 245 5 : 5 5 5 7 5 5 : 5 11 5 : 5 11
Vậy biểu thức có giá trị là: 11
d) Biến đổi biểu thức:
116 747 47 4
7:7 7:7 :7
77 77 7 7





Vậy biểu thức có giá trị là:
4
7
Bài 5: Thực hiện các phép tính sau:
a) Ta có:
12 27 3

23 33 3 32 31 0
b) Ta có:

12 2 75 3 12. 3 2 75. 3
36 2 225 6 2.15 24 
c) Ta có:
252 700 1008 448
67 107 127

61012 7 87
d) Biến đổi biểu thức

312 27 3

323 33 3
3.4 3 3.4 12
Bài 6: Thực hiện các phép tính sau:
a) Biến đổi biểu thức
23 23
5.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com

22
31 31
423 423
22 2 2




22
31 31
31 31
2222



31 31 31 31
22 2


2
2
2

Vậy biểu thức có giá trị là:
2
b) Biến đổi biểu thức

13 213 2 
 
22
13 2 12332


 



4232223 
Vậy biểu thức có giá trị là:
223
c) Biến đổi biểu thức
2
35 35
22
35 235.35 35

35235.35 35
2
2
3523 535
6295 6410 
Vậy biểu thức có giá trị là: 10
d) Biến đổi biểu thức
15 216 33 12 6

22
15 6 6 33 12 6 3 6 3 2 6

15 6 6 3 2 6 3 6 2 6 3
6
Vậy biểu thức có giá trị là:
6
.
6.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Dạng 2. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức
Ví dụ minh họa 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
2
525 25aa
với
0a
b)
2
49 3aa
với
0a
c)
42
16 6aa
với a bất kì d)
63
39 6aa
với a bất kì.
Hướng dẫn giải:
a) Biểu thức
2
525 25 5.5 25aaaa
vì
0a
nên
50a
, do đó
55aa
.
Vậy

2
5 25 25 5. 5 25 25 25 50 .aa aa aa a
b) Biểu thức
2
49 3 7 3 .aaaa
Với
0a
nên
70a
, do đó
77aa
.
Vậy
2
49 3 7 3 10 .aaaaa
c) Biểu thức
42 2 2
16 6 4 6aa aa
Với mọi a ta đều có
2
40a
nên
22
44aa
Vậy
4222 2
16 6 4 6 10aaaa a
d) Biểu thức
63 33
3963.36aa aa
Nếu
0a
thì
3
30a
nên
22
33aa
, ta có:
63 332
3963.363aa aaa 
Nếu
0a
thì
3
30a
nên
22
33aa
, ta có:

63 3 3 2
39 6 3. 3 6 15aa a a a
.
Ví dụ minh họa 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
2
444xx x
với
2x
b)
2
396xxx
với
3x 
c)
69
9
xx
x

với
0
9
x
x
d)
2
44
2
xx
x

với
2x 
Hướng dẫn giải:
a) Biểu thức

2
2
4444242xx x x x xx
Vì
2x
nên
20x 
, do đó
22xx
.
Vậy

2
4444232xx x xx x
b) Biểu thức

2
2
396 3 3 33xxxxxxx
Vì
3x 
nên
30x
, do đó

33xx
Vậy

2
396 33 23xxxxxx
c) Biểu thức


2
3
69 3
9
3
33
x
xx x
x
x
xx



7.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
d) Biểu thức

2
2
2
2
44
222
x
x
xx
xxx



Với
2x 
thì
20x 
nên
22xx
.
Vậy
2
44 2
1
22
xx x
xx



Với
2x 
thì
20x 
nên

22xx
.
Vậy

2
2
44
1
22
x
xx
xx




BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Rút gọn các biểu thức:
a)
15 6
35 14
b)
10 15
812
c)
215 210 6 3
2521036


d)
236816
234


Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
xxy
yxy
với

0; 0xy
b)
1
aab bba
ab

với
0; 0
1
ab
ab

c)

2
xx yy
xy
xy

d)
21
21
xx
xx



0x
e)



2
4
21
1
1, 1, 0
1
1
yy
x
xyy
y
x


Bài 3: Rút gọn và tính:
a)
11
:
11
ab
ba


với
7,25; 3,25ab
b)
2
15 8 15 16aa
với
35
53
a 
c)
2
10 4 10 4aa

với
25
52
a 
d)
22 22
21 21aa aa
với 5a
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Rút gọn các biểu thức:
a) Biểu thức:


35 2
15 6 3 3
7
35 14 7
75 2

Biểu thức rút gọn là:
3
7
b) Biểu thức:


52 3
10 15 5
2
812
22 3

8.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Biểu thức rút gọn là:
5
2
c) Biểu thức:
215 210 6 3
25 210 3 6






25 3 2 3 2 3 25 3 2 3 3 2
2512 312 25312
 




25 3 3 2
25 3 1 2


32
12
Biểu thức rút gọn là:
32
12
d) Biểu thức:
236816
234


23684 232268
234 234
 

 
232 268
234 234


 
234 468
234 234


 

2234
112
234

 

Biểu thức rút gọn là:
12
Bài 2: Rút gọn các biểu thức:
a) Với

0; 0xy
thì


xx y
xxy
x
yxy y
yy x

Biểu thức rút gọn là:
x
y
b) Với
0; 0
1
ab
ab

thì
1
aab bba
ab





111
11 11
a ab b ab ab a b
ab ab ab ab


 
1
ab
ab
9.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Biểu thức rút gọn là:
1
ab
ab
c) Biểu thức

2
xx yy
xy
xy


33
2
xy
xxyy
xy



2
xyxxyy
xxyy
xy


2xxyyx xyy 
xy
Biểu thức rút gọn là:
xy
d) Với

0x
nên


2
2
1
11
21
21 1
1
1




x
xx
xx
xx x
x
x
Biểu thức rút gọn là:
1
1
x
x
e) Biểu thức



2
4
21
1
1, 1, 0
1
1
yy
x
xyy
y
x



 
2
42
1
1
11
.
11
11



y
y
xx
yy
xx
Nếu

0 y1 y10 y1 y1,
Thì



22
1
1
11 1
..
1
11
11





y
y
xx
x
yy
xx
Nếu

y1 y10 y1 y1,
Thì



22
1
1
111
..
1
11
11




y
y
xx
x
yy
xx
Bài 3: Rút gọn và tính:
a) Ta có
11
:
11
ab
ba




11
11 1
.
1
11
11
aa
aa a
b
bb
bb





10.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Với
7,25; 3,25ab
thay vào ta được
7,25 1 6,25 25 5
6, 25 1 2, 25 9 3

Vậy biểu thức có giá trị
5
3
.
b) Ta có

2
2
15 8 15 16 15 4 15 4aa a a
Với
35
53
a 
thay vào ta được
35
15 4 15 4
53
a





35
15. 15. 4 3 5 4 4
53

c) Ta có

2
2
10 4 10 4 10 2 10 2aa a a
Với
25
52
a

thay vào ta được
25
10 2 10 2
52
a





25
.10 .102 252 5
52

d) Ta có
22 22
21 21aa aa
 
22 22
1 2 11 1 2 11aa aa
22
22
11 11
aa

22
11 11aa
Với
5a thay vào ta được
22
11 11aa 
22
5 11 5 11 511 511    
41 41
21 21
31 2
11.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Dạng 3. Giải phương trình
Ví dụ minh họa 1. Giải các phương trình sau:
a)
2. 5 5x 
b)
730x 
c)

10 3 20x 
d)
2
32xx
Hướng dẫn giải:
a) Điều kiện xác định là
5
250
2
xx
Khi đó, phương trình được đưa về dạng:
25252 20 10xxx
thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
10x
.
b) Điều kiện xác định là
7x
.
730 7 3xx
với mọi
7x
ta có 70x  và
30
. Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Điều kiện xác định là
3x
Khi đó, phương trình được đưa về dạng:

10 3 20 3 2 5xxx
.
Vậy
5x
là nghiệm của phương trình.
d) Với
20 2xx
thì

2
22 22
323 23 44xx x x xx x

22
2220 220xx xx


2
130 13 130xxx
130 13
130 13
xx
xx




(thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là
13;13
xx
 
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
31 10x  b) 16 7 11x
c)
2
6936xx x
d)
2
44250xx x
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) Điều kiện có nghĩa:
1
310
3
xx
Khi đó, phương trình
3 1 10 3 1 10 3xxx
(thỏa điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là:
3x
.
b)
16 7 11x
Điều kiện có nghĩa:
16
16 7 0
7
xx
12.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Khi đó, phương trình
5
16 7 11 16 7 11
7
xxx
(thỏa điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là:
5
7
x
c)

2
2
6936 3 36 336xx x x x x x 
Vậy nghiệm của phương trình là:
d)


2
360
9
33 6
2
336 3
4
x
x
x
TM
xx
xx
xL






9
2
x

2
2
44250 2 25 225
x
xx x x x x


5
250
2
8
32 5
325
2
3
x
x
x
TM
xx
xx
x
L







13.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Dạng 4:Nâng cao phát triển tư duy
Ví dụ minh họa 1: Rút gọn các biểu thức sau:
222.48.222P 
.
Giải
Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng
ab
và
ab
nên ta
dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính.
Trình bày lời giải
222.48.222 222.222.48P 

42 2.422 2 2.2 2.2P 
42.2 2P 
.
Ví dụ minh họa 2:: Rút gọn biểu thức:
2342321123A 
Giải
Tìm cách giải. Với những bài toán có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số căn, bằng cách đưa
các căn ở phía trong về dạng
2ab
sau đó dùng hằng đẳng thức
2
AA
và giải như các ví dụ
trên.
Trình bày lời giải
Ta có
2342321123A 

2
23423 233 23423233 

2
234433 23 23 
2323 4

.
Suy ra
2A
.
Ví dụ minh họa 3: Rút gọn:
2 252 2 252C 
Giải
Tìm cách giải.
Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng

2
2ab xy .
Do vậy để rút gọn biểu thức dạng
Cxyxy
ta thường tính
2
C
sau đó nhận xét dấu của C,
từ đó tìm được C.
14.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Trình bày lời giải
Xét
2
2 2522 2522 2 2522 252C 
 
2
2
424252 42 51 42 51C   

2
2
625 51C  . Vì
0C
nên 15C  .
Ví dụ minh họa 4: Cho
, xy
thỏa mãn
22
11xxyy 
. Chứng minh rằng:
xy
.
Giải
Tìm cách giải. Nhận xét giả thiết x, y có vai trò như nhau. Phân tích từ kết luận để có
xy
, chúng ta cần
phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử

xy
.
Dễ thấy
22
xy
có chứa nhân tử

xy
, do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử

xy
chúng ta vận
dụng

ababab từ đó suy ra:
ab
ab
ab

. Lưu ý rằng mẫu số khác 0. Từ đó
chúng ra có lời giải sau:
Trình bày lời giải
Từ đề bài ta có điều kiện:
1; 1
xy
.
- Trường hợp 1: Xét
1; 1xy xy
.
- Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1. Ta có:
22
110xy x y


11
0
11
xy
xyxy
xy

 


1
0
11
xyxy
xy






Vì
1
00
11
xy xy x y
xy
 

.
Ví dụ minh họa 5: Cho
12
2
a
. Tính giá trị biểu thức
8
16 51aa
Giải
Tìm cách giải. Để thay giá trị trực tiếp
12
2
a
vào biểu thức thì khai triển dài dòng, dễ dẫn đến sai
lầm. Do vậy chúng ta nên tính từ từ, bằng cách tính
24
;aa và
8
a
bằng hằng đẳng thức. Bài toán sẽ đơn
giản và không dễ mắc sai lầm.
15.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Trình bày lời giải
2
21221 24 412aa aa  

24
4 14 121 2 3 22 16 9122 8 17122aa a
88
577 408 2
256 289 408 2 288 577 408 2 16
16
aa

Xét

8
51 1 2
577 408 2
16 51
16 2
aa

577 408 2 408 408 2 169
16 16


Vậy
8
169 13
16 51
16 4
aa

.
Ví dụ minh họa 6: Tính giá trị
77
11
S
ab

với
62 62
;
22
ab


.
Giải
Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài toán sẽ phức tạp, có thể dẫn
đến sai lầm. Bài toán có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính tổng và tích của a và b, sau đó dùng các
hằng đẳng thức để tính dần dần.
Trình bày lời giải
Từ đề bài suy ra:
6; 1
ab ab

Ta có:

2
22
24
ab ab ab

;
 
3
33
3663.1.636
a b ab abab

Xét


2233 523325 5522
abab aababb ababab 
55
4.3 6 1 6ab
Từ đó tính được:
55
11 6ab
Xét

2255 725527 772233
abab aababb ababab
 
Suy ra:
77 77
4.11 6 1.3 6 41 6ab ab 
77
77
11
41 6
Sba
ab

.
Ví dụ minh họa 7: Cho
0;
bab

. Chứng minh đẳng thức:
16.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
22
22
aab aab
ab
 

Giải
Đặt vế phải là:
22
22
aab aab
B
 

Ta có
0B
Xét
22
2 2
2
2
2. .
2222
aabaab
aab aab
B
 



22
22
2. ;
4
aab
Ba Bab

 
Vì
0B
nên
Bab
.
Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ minh họa 8: Cho các số thực
; xy
thỏa mãn:
22
21 232xx y y y
Chứng minh rằng:
33
31xy xy
Giải
Đặt
1yz
từ giả thiết ta có:

22
222* xx zz
Nhân hai vế với
2
2xx
ta được

22 2 2
2222xxzz xx

22 22
2222 221 zz x x zz x x   
Nhân hai vế của đẳng thức (*) với
2
2
zz
ta được

222 2
22 2 2xx z z z z
22
22 2 2xx z z

22
222 xx z z
Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được:
010 1xz xy xy
17.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Xét


33 22 22
333x y xy xyx xyy xyx xyy xy   

2
22
21
xxyyxy
Vậy
33
31xy xy . Điều phải chứng minh.
BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.
a)

35.35102A 
; b)

231 2 3B .
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a)
310 20 36 12
53
P

; b)
23684
234
Q


.
Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
a)

62632 62632
2
C

;
b)
962 6
3
D

.
Bài 4. Cho
32x . Tính giá trị
5432
3 3 6 20 2018Bx x x x x
.
Bài 5. Tính giá trị biểu thức
2
2002 2003Ax x
với
 
27 10 2 27 10 2 27 10 2 27 10 2
13 3 13 3 : 13 2
x


Bài 6. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:
22
11ab b a
Chứng minh rằng
22
1ab
.
b) Chứng minh rằng số
2222
2009 2009 .2010 2010
là số nguyên dương.
Bài 7. Cho
0;
bab
. Chứng minh đẳng thức:
2
2
ab ab aab

Bài 8. Cho
1
35x 
và
2
35x 
. Hãy tính:
22 33 55
12 1 2 1 2 1 2
. ; ; ;
AxxBx xCx xDx x
Bài 9. Rút gọn biểu thức:
75 75
322
7211
A


.
18.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 10. Cho
, xy
là các số thực thỏa mãn:
11xyyyxx 
.Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
32812Sx xy y y
.
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:
4 5 3 5 48 10 7 4 3P 
;

3 1 6 2 2. 3 2 12 18 128
Q

.
Bài 12. Rút gọn biểu thức:
a)
625 13 48
31
A

b)
23 3 13 48
62
T

Bài 13. Rút gọn biểu thức:
210 30 22 6 2
:
210 22 3 1
A


.
Bài 14. Biết
223 6323x 
.Tính giá trị biểu thức:
42
16Sx x
.
Bài 15. Cho




22
2019 2019 2020 2019 2019 2020 2020xx yy  .Tính giá trị của
Axy
.
Bài 16. Rút gọn biểu thức:

22
22
56 9 2
:2 1
3
329
xx x x x
A
x
xx x x



Bài 17. Cho biểu thức

2013 2012 2011 2013 2012 2011
811 811
Pa a a b b b 
. Tính giá trị biểu thức của P
với
45a  và 45b  .
Bài 18. Cho
33
;0
22
xx

và 32 32xxa.Tính giá trị của biểu thức
2
6294x
P
x

theo a.
Bài 19. Tính giá trị của biểu thức:
32
2342Ax x x
Với
55 55
22351
22
x


.
Bài 20. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau:
64 6 4 . Hỏi có tồn tại hay không
các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên.
HƯỚNG DẪN
Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.
19.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
a)

35.35102A 
;
b)

231 2 3B .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có
 
35.35.251 625.51.35A 

2
51. 51.3 5 51. 51.3 5


5 2 5 1.3 5 23 5.3 5 2.9 5 8 .
Vậy A là số tự nhiên.
b) Ta có
 
2
31.423 31. 31B  

31. 31 312B .
Vậy B là số tự nhiên.
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a)
310 20 36 12
53
P

;
b)
23684
234
Q


.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có:

10 3 2 6 3 2 3 2 10 6
53 53
P




32.253
32 2
53
P


.
b) Ta có

23412
232268
12
234 234
Q



 
.
Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
a)

62632 62632
2
C

;
b)
962 6
3
D

.
20.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Hướng dẫn giải – đáp số
a)
123222326 123222326
2
C
 


22
123 123
123123
22
C
 


22
2
2
C .
b)

3. 3 2 2 6
3. 2 2 2 1 6
33
D





2
3212
321 2
1
33






.
Bài 4. Cho
32x . Tính giá trị
5432
3 3 6 20 2018Bx x x x x
.
Hướng dẫn giải – đáp số
Từ
23x  , bình phương hai vế ta được:

22
443 410 *xx xx
Ta có

32 22 2
4 1 4 1 5 4 1 2013Bxx x xx x x x
Kết hợp với (*) ta có:
2013B
.
Bài 5. Tính giá trị biểu thức
2
2002 2003Ax x
với
 
27 10 2 27 10 2 27 10 2 27 10 2
13 3 13 3 : 13 2
x


Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:

2
27 10 2 5 2 5 2.

2
27 10 2 5 2 5 2
Tử số là:

22
52.52 52.52

52.2352.23462 .
Xét
13 3 13 3; 0aa
.
21.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com

2
13 3 13 3 2 13 3 13 3a

2
2134 2 132aa
.
Do đó

46 2
46
2132: 132
x 

.
Vậy giá trị biểu thức
2
46 2002.46 2003 92205A 
.
Bài 6. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:
22
11ab b a
Chứng minh rằng
22
1ab
.
b) Chứng minh rằng số
2222
2009 2009 .2010 2010
là số nguyên dương.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có
22
11aabb
.
Bình phương hai vế không âm, ta được:
222222 22
21 1 21 1 1 1aaa abbb baabb  
.
Bình phương hai vế không âm, ta được:

2222 4422
11 0a a b b abab

2222
10abab
Do a, b là hai số dương khác nhau nên
22
0ab
22
10ab
hay
22
1ab
. Điều phải chứng minh.
b) Đặt
2009a
, ta có:
 
22 2
22 24 32
11 2 1aaa a aa aa a  


2
2
42 2
211 1aaa a aa

22
1 2009 2009 1
aa
là số nguyên dương.
Bài 7. Cho
0;
bab
. Chứng minh đẳng thức:
2
2
ab ab aab

Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt
Aabab
ta có
0A
.
22.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Xét

2
2.Aa b a ba ba b
222 2
22 2.A a ab A a ab 
Vì
0A
nên
2
2
Aaab

. Suy ra điều phải chứng minh.
Bài 8. Cho
1
35x 
và
2
35x 
. Hãy tính:
22 33 55
12 1 2 1 2 1 2
. ; ; ;
AxxBx xCx xDx x
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:
12
.35.35952Axx
.
Ta có:
22
12
35356Bx x
.
Ta có:



22
121122
35 3562Cxxxxxx
C3535.4
C625625.2.2

51 51.22 410C .
Xét

2233 523335
1212 112122
xxxx xxxxxx

5522
121212
6.4 10 xxxxxx
55
12
24 10 4 3 5 3 5xx
55
12
24 10 6 2 5 6 2 5 .2. 2xx

55
12
24 10 5 1 5 1 .2 2xx
55
12
20 10Dx x
.
Bài 9. Rút gọn biểu thức:
75 75
322
7211
A


.
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét
75 75B 

2
752757575B
23.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
2
14 2 49 5 14 4 11B
Mà
0B
nên 14 4 11B  .
Từ đó suy ra:
 
2
14 4 11
21 2 21 1
7211
AA

.
Bài 10. Cho
, xy
là các số thực thỏa mãn:
11xyyyxx 
.Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
32812Sx xy y y
.
Hướng dẫn giải – đáp số
Tập xác định
1; 1xy
.
Trường hợp 1: Xét
1xy
suy ra:

22
1 3.1.1 2.1 8.1 12 6 1P 
Trường hợp 2: Xét ít nhất
1x
hoặc
1y
. Ta có:
110xx yy x y

11
.0
11
xy
xyxxyy
xy

 



.0
11
xyxy
xyxxyy
xy

 


.0
11
xy
xyxxyy
xy

 




Mà
1; 1xy
nên
0
11
xy
xxyy
xy


Suy ra
0xy xy
Ta có:
222
32812Sx x x x

2
2
2 8 12 2. 2 4 0
Sx x S x 
Dấu bằng xảy ra khi
2x
.
Do đó giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi

2 2x
.
Từ (1) và (2) vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi
2x
.
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:
4 5 3 5 48 10 7 4 3P 
;
24.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com

3 1 6 2 2. 3 2 12 18 128
Q

.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có:
453548104433P 

2
4535481023P 

4535481023P 
453528103P 
4 5 3 5 25 10 3 3P 

2
453553P 

453553P 
4532553 425 93
P
 
.
b)

3 1 6 2 2. 3 2 12 16 8 2 2
Q

 
2
31 622.3 2 12 4 2Q 

31 622.3 2 23 4 2
Q


31 6223 3231
Q

 
31 6223 31 31 6222 3Q  
  
31 62423 31 62 31Q  
 
31 423 31 31 2Q  
.
Bài 12. Rút gọn biểu thức:
25.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
a)
625 13 48
31
A

b)
23 3 13 48
62
T

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có:
625 12431
31
A


2
625 231
625231
31 31
A





2
62 31
623231
31 31
A





62 31
3231
31 31
A





2
31
31
1
31 31
A


.
b) Ta có

2
23 3 23 1
23 3 13 43
62 62
T






2
23 3 1
23 3 23 1 23 3 1
62 62
231
T





2. 2 3 4 2 3 3 1
1
31 31
31
T



.
Bài 13. Rút gọn biểu thức:
210 30 22 6 2
:
210 22 3 1
A


.
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:


10 2 3 2 2 3
31
.
2
210 2
A

26.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com


10 2 . 2 3
31
.
2
210 2
A

2331 42331
..
22 4 2
A



2
31
31 31 31 31 1
..
422242
A

.
Bài 14. Biết
223 6323x 
.Tính giá trị biểu thức:
42
16Sx x
.
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét
2
2 2 3632 322 2 3632 3x 

2
822 3 2342 3x
2
822 3 2633x
2
8223633x .
Bình phương hai vế ta được:

24
64 16 4 2 3 6 3 3 2 2 3 6 3 3xx




24
64 16 32xx
42
16 32xx
.
Bài 15. Cho




22
2019 2019 2020 2019 2019 2020 2020xx yy  .Tính giá trị của
Axy
.
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt
2019 ; 2019xayb
.
Đẳng thức đã cho có dạng:

22
2020 . 2020 2020 *aa bb
Nhân hai vế của đẳng thức (*) với
2
2020aa
, ta được:

222 2
2020 2020 2020 .2020aabb aa

22
2020 2020 1bb a a
27.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Nhân hai vế của đẳng thức (*) với
2
2020bb
, ta được:

222 2
2020 2020 2020. 2020aa b b b b

22
2020 2020 2aa b b
Từ (1) và (2) cộng vế với vế và rút gọn ta được:
0 2019 2019 0ab x y
Vậy
4038Axy
.
Bài 16. Rút gọn biểu thức:

22
22
56 9 2
:2 1
3
329
xx x x x
A
x
xx x x



Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:


23 33
32
:2
3
3233
xx x xx
xx
A
x
xxx x x



Điều kiện xác định
33x
,




32 33
3
:2
3
33 23
xx xxx
x
A
x
xx x x x


31 3 1
.
23 2
3
xx
A
x
x


.
Bài 17. Cho biểu thức

2013 2012 2011 2013 2012 2011
811 811Pa a a b b b 
. Tính giá trị biểu thức của P
với
45a  và 45b  .
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét
45a  bình phương hai vế ta được:
22
8165 8110aa aa
Xét
45b  bình phương hai vế ta được:
22
8165 8110bb bb
.

2011 2 2011 2
811 811
Pa a a b b b
0P
.
Bài 18. Cho
33
;0
22
xx

và 32 32xxa.
28.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Tính giá trị của biểu thức
2
6294x
P
x

theo a.
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:

32 2 32 32 32
xxxx
P
x


2
32 32
32 32
xx
xx
P
xx





32 32
44
32 32 32 32
xx
x
P
a
xx xxx x


 
.
Bài 19. Tính giá trị của biểu thức:
32
2342Ax x x
Với
55 55
22351
22
x


.
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt
55 55
22,0
22
aa


.
Xét

2
2
55
424 4 625 4 51 3 5
2
a
  
35
a
625 625
35 351 1
22
x


51 51
121
22



2
2
21 1 2 1 2 2 10xx xxx
.
Ta có:
32
2342Ax x x

22
221 2111Axxx xx
.
Bài 20. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau:
64 6 4 . Hỏi có tồn tại hay không
các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên.
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt số đó là
ab
. Theo đầu bài, ta có:
29.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
2
2ab a b ab a a b b
2
10 2 2 10aa ab a b
a chẵn. Đặt

222105aKK K b Kb
.
Do
9b
nên
0;1; 4;9b
.
Nếu
0510bKa
(loại)
Nếu
148bK a
Số đó là 81
Nếu
436bKa 
Số đó là 64 (đã cho)
Nếu
924bKa
Số đó là 49.
II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ CÁC DẠNG
Câu 1. Cho
a
là số không âm
b
,
c
là số dương. Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A.
aa
b
b
=
. B.
ab ab
c
c
=
. C.
aab
bc c
=
. D. Cả A, B đều đúng.
Câu 2. Cho
,ab
là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
ab a b=
. B.
ab ba=
. C.
.ab ab=
. D.
a
ab
b
=
.
Câu 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
2018 2019 2018 2019+= +
. B.
2018
2018.2019
2019
=
.
C.
2018. 2019 2018.2019=
. D.
2019
2018.2019
2018
=
.
Câu 4. Kết quả của phép tính
1, 2 5 . 5 1, 2
là?
A.
32
. B.
16
. C.
64
. D.
8
.
Câu 5. Kết quả của phép tính
2, 5. 14, 4
là?
A.
36
. B.
6
. C.
18
. D.
9
.
Câu 6. Kết quả của phép tính
81
169
là?
30.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
A.
9
13
. B.
9
169
. C.
3
13
. D.
13
9
.
Câu 7. Kết quả của phép tính
1, 2 1
576
là?
A.
1, 1
240
. B.
11
24
. C.
11
240
. D.
240
11
.
Câu 8. Kết quả phép tính:
625
729-
A.
25
27
. B.
25
27
- . C.
5
7
- . D. Không tồn tại.
Câu 9. Kết quả của phép tính
999
111
-
là?
A.
9
. B.
9-
. C.
3-
. D. Không tồn tại.
Câu 10. Phép tính
22
(12 . 11)-
có kết quả là?
A.
33-
. B.
132-
. C.
132
. D. Không tồn tại.
Câu 11. Rút gọn biểu thức
42
).(2 1aa-
với
1
2
a ³ ta được
A.
(2 1 )
aa-
. B.
2
(1 2 )aa-
. C.
2
(2 1 )aa-
. D.
(1 2 )
aa-
.
Câu 12. Rút gọn biểu thức
22
).(2 3aa-
với
3
0
2
a£< ta được
A.
(2 3)
aa-
. B.
2
(3 2 )aa-
. C.
2
(2 3)aa-
. D.
(3 2 )
aa-
.
Câu 13. Rút gọn biểu thức
2
0, 9.0, 1. 3()x-
với
3x >
A.
0, 3( 3)
x -
. B.
0, 3(3 )
x-
. C.
0, 9( 3)
x -
. D.
0, 1( 3)
x -
.
Câu 14. Giá trị biểu thức
2. 2
xx
-+
khi
29x =
là
A.
29
. B. 5 . C.
10
. D.
25
.
Câu 15. Rút gọn biểu thức
22
2( )
2
ab b
D
aabb
b
+
=
++
với
,0
ab>
ta được
A.
ab+
. B.
2
. C.
2
b
. D.
2 b
.
Câu 16. Rút gọn biểu thức
2
(
2
)
ab ab
E
ab
a
-
=
-
với
0 ab<<
ta được
31.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
A.
2
a
. B.
2
b
. C.
2
b-
. D.
ab
.
Câu 17. Rút gọn biểu thức
4
2
a
b
với
0b ¹
ta được
A.
2
a
b
. B.
a
b
. C.
2
a
b
-
. D.
2
a
b
.
Câu 18. Rút gọn biểu thức
2
2
364
8
9
mn
n
m
với
0; 0mn><
ta được:
A.
1
-
. B.
1
. C.
m
n
. D.
m
n
- .
Câu 19. Rút gọn biểu thức
2
410
121
.
11
a
ab
với
0ab ¹
ta được:
A.
5
1
b
. B.
5
1
b
. C.
5
b
. D.
5
11
b
.
Câu 20. Rút gọn biểu thức
42
84
9
4.ab
ab
với
0
ab ¹
ta được.
A.
2
a
b
. B.
12
. C.
6
. D.
36
.
Câu 21. Rút gọn biểu thức
32
2
2
xx
x
+
+
với
0
x >
ta được
A.
x
. B.
x
-
. C.
x
. D.
2
x
+
.
Câu 22. Rút gọn biểu thức
0
0
1
210
2
x
x
x
x
é
é
=
=
ê
ê
ê

ê
ê
ê
=
-=
ê
ë
ë
54
933
311
xx
x
+
+
với
0
x >
ta được:
A.
2
x
. B.
4
x
. C.
2
3x
. D.
311
x
+
.
Câu 23. Với
0x
>
cho biểu thức
2
212
6
xx
A
x
+
=
+
và
2
Bx=
. Có bao nhiêu
giá trị của
x
để
AB
=
.
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D. Vô số.
32.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 24. Với
5
x >
cho biểu thức
2
5
5
xx
A
x
-
=
-
Và
Bx
=
.
Có bao nhiêu giá trị của
x
để
AB=
.
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D. Vô số.
Câu 25. Với
,0;3
xy x y³¹
, rút gọn biểu thức
33
3
xxy
B
xy
-
=
-
ta được:
A.
3
3
x
xy-
. B.
1
3 xy-
. C.
3
3
x
xy+
. D.
3
3
x
xy+
.
Câu 26. Với ,0; ,xy x y³¹ rút gọn biểu thức
xxy
A
xy
-
=
-
ta được
A.
x
xy-
. B.
y
xy-
. C.
1
xy-
. D.
x
xy+
.
Câu 27. Giá trị của biểu thức
252 700 1008 448-+ -
là:
A.
7
. B. 0 . C.
47
. D.
57
.
Câu 28. Với
0, 0, ,
abab³³¹
rút gọn biểu thức
33
ab a b
ab
ab
-+
-
-
-
ta
được.
A.
ab
ab-
. B.
2ab b
ab
-
-
. C.
2
b
ab
-
. D.
2ab a
ab
-
-
.
Câu 29. Khẳng định nào sau đây đúng về nghiệm
0
x
của phương trình
97
75
75
x
x
x
-
=+
+
.
A.
0
5
x
<
. B.
0
8
x
>
. C.
0
9
x
>
. D.
0
57
x
<<
.
Câu 30. Nghiệm của phương trình
1
420 5 9454
3
xx x-+ -- -= là
A.
9
x =-
. B.
5x =
. C.
8
x =
. D.
9
x =
.
HƯỚNG DẪN
Câu 1. Đáp án D.
33.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Với số
a
không âm và số
b
dương , ta có
aa
b
b
=
Từ đó suy ra
ab ab
c
c
=
với
0c
>
Câu 2. Đáp án C.
Với hai số
,
ab
không âm, ta có
.ab a b=
Câu 3. Đáp án C.
Ta có
2018. 2019 2018.2019=
Câu 4. Đáp án D.
2
1, 2 5 . 5 1, 2 1, 25 . 5 1, 2 64 8 8====
.
Câu 5. Đáp án B.
2
2, 5. 14, 4 2, 5.14, 4 36 6 6====
.
Câu 6. Đáp án A.
2
2
81 81 9 9
169 13
169
13
===
.
Câu 7. Đáp án C.
2
2
1, 2 1 1, 1
1, 2 1 1, 1 1 1
576 24 240
576
24
====
.
Câu 8. Đáp án D.
Vì
625
729 0;625 0 0
729
-< > <
-
nên không tồn tại căn bậc hai của số âm.
Câu 9. Đáp án D.
Vì
999
999 0;111 0 0
111
-
-< > < nên không tồn tại căn bậc hai của số âm
Câu 10. Đáp án C.
22 2 2
() ()12 . 11 12 . 11 12 . 11 12.11 132||| |-= -= -= =
.
Câu 11. Đáp án C.
()
2
424 22 2
.(2 1) . (2 1) . (2 1)aa a a a a-= -= -
22
||().2 1 .2 1aa aa=-=-
∣∣
(vì
1
210
2
aa³ -³
2121
aa-=-
)
34.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 12. Đáp án D.
222 2
() ()|.2 3 . 2 3 .|| |23 .32()
aa a a a a a a
-= -= -= -
(vì
3
0 2302332
2
aa a a£< -£ -=- )
Câu 13. Đáp án A.
Ta có
22
0, 9.0,1. 3 0, 09. 3() ()
xx
-= -
2
() | |0, 09. 3 0, 3. 3
xx
=-=-
Mà
33 0xx>-<
||33
xx-=-
Nên
2
()0, 9.0, 1. 3 0, 3 ( ).3
xx
-= -
.
Câu 14. Đáp án B.
Ta có
2
2. 2 4xx x-+=-
với
2x ³
Thay
29
x =
(TMĐK)
Vào biểu thức ta được
()
2
2
4294x -= -
25 5
==
.
Câu 15. Đáp án B.
22
2( )
2
ab b
D
aabb
b
+
=
++
22 2
() ()
()
22
..
2
ab b ab b
bb
aabb ab
++
==
++ +
()22
..
)
2
(
||
ab b ab b
ab ab
bb
++
===
++
(vì
,0 0ab ab ab ab>+> +=+
)
Câu 16. Đáp án C.
2
()
2
ab ab
E
ab
a
-
=
-
2
.
..
()
||||
(
2
2
)
2
ab ab ab ab abb
ab ab
aa
ab
---
===
--
-
Mà
0 ab<<
nên
||()0
ab ab ab-< - =--
. Khi đó
2
()
()2
abb b
E
ab
--
==
--
Câu 17. Đáp án D
Ta có
()
2
2
2
44 2
2
22
a
a
aa a
b
bb
bb
== ==
Câu 18. Đáp án A.
35.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Ta có:
22
22
()364 3 8 3 8 3.8
.1
88 838.3
93
|| ( )
||
()
mn mn mn mn
nn nmnm
mm
-
====-
(vì
0; 0)
mn><
.
Câu 19. Đáp án A.
() ()
2222
25 5
410 2 2
25
121 11 11 1
.. .
11 11 11
.
.
.
aa a
ab b
ab
ab
===
Câu 20. Đáp án B.
42
84
9
4.ab
ab
42 42
84 8 4
93
4. 4.
.
ab ab
ab a b
==
() ()
42 42
42
22
42
12 12
12
.
.
ab ab
ab
ab
===
Câu 21. Đáp án A.
Ta có
32
2
2
xx
x
+
+
2
2
2
(2)
.2
22
xx
xx
xx
xx
+
+
== ==
++
mà
0
x >
nên
xx=
Từ đó
32
2
2
xx
x
x
+
=
+
.
Câu 22. Đáp án C.
Ta có
()
4
54 4
2
222
3(3 11)
933 3..311
3. 3. 3
311 311 311
xx
xx xx
xxx
xx x
+
++
== ===
++ +
Câu 23. Đáp án A.
2
212
6
xx
A
x
+
=
+
(6)
6
66
xx
xx
x
xx
+
+
== =
++
Để
AB=
()
22 0 2 10xx xx xx=-= -=
0
0
1
210
2
x
x
x
x
é
é
=
=
ê
ê
ê

ê
ê
ê
=
-=
ê
ë
ë
0( )
1
()
4
xL
xN
é
=
ê
ê
ê
=
ê
ë
Câu 24. Đáp án C.
2
5
5
xx
A
x
-
=
-
(5)
5
55
xx
xx
x
xx
-
-
== =
--
Để
AB=
36.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
()
0
00
010
1
1
10
x
xx
xx x x xx
x
x
x
é
é
é
=
==
ê
ê
ê
=-= -=
ê
ê
ê
=
=
ê
-=
ê
ê
ë
ë
ë
(loại vì
5
x >
)
Vậy không có giá trị nào của
x
thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 25. Đáp án C.
()
()()
()
()()
2
22
33. 33
33
3
3
3
33
3
xxy xxy
xxy
x
B
xy
xy
xy xy
xy
--
-
== = =
-
+
-+
-
Câu 26. Đáp án D.
()
() ()
()
()()
2
22
.xxy xxy
xxy
x
A
xy
xy
xyxy
xy
--
-
== = =
-
+
-+
-
.
Câu 27. Đáp án B.
252 700 1008 448-+ -
36.7 100.7 144.7 64.7=-+-
67 107 127 87 7(6 10 12 8) 0=- + -= -+-=
Câu 28. Đáp án B.
Ta có
33
ab a b
ab
ab
-+
-
-
-
()() ()
() ()
22
22
.aba ab b
ab
ab
ab
+-+
éù
êú
êú
ëû
-
-
-
-
()()
()()
abaabb
ab
ab
abab
+-+
-
=-
-
-+
2ab a ab b aba abb ab b
ab ab ab ab
--+--+- -
=- = =
-- - -
Câu 29. Đáp án D.
Điều kiện
5
750
7
xx+> >-
Với điều kiện trên ta có
97
75
75
x
x
x
-
=+
+
()
2
97 75xx-= +
9775xx-=+
212 6xx==
(TM)
Vậy nghiệm của phương trình là
00
65 7
xx
=< <
.
Câu 30. Đáp án D.
37.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Điều kiện
4 200 50
50 4( )50 50 5
9450 (950)
xx
xxxx
xx
ìì
ïï
-³ -³
ïï
ïï
ïï
-³ - ³ -³ ³
íí
ïï
ïï
-³ -³
ïï
ïï
îî
Với điều kiện trên ta có
1
420 5 9454.
3
xx x-+ -- -=
() ()
1
45 5 954
3
xx x-+-- -=
11
4.55.9.54255.3.5
33
42 54 52
xx x xx x
xx
-+-- -=-+-- -
= -= -=
2
52 54 9( )
xxxTM
-= -==
Vậy nghiệm của phương trình là
9
x =
.
------------------------- Toán Học Sơ Đồ -------------------------
| 1/37
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN - PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
I. Với A  0, B  0 thì: .
A B A. B và ngược lại A. B  . A B
Đặc biệt, khi A  0 , ta có:  2 2
A A A . A A A A
II. Với A  0, B  0 thì  và ngược lại  B B B B III. Bổ sung
 Với A , A ,..., A  0 thì: A . A ... A A .A ...A 1 2 n 1 2 n 1 2 n
 Với a  0;b  0 thì: a b a b (dấu “=” xảy ra  a  0 hoặc b  0).
 Với a b  0 thì: a b a b (dấu “=” xảy ra  a b hoặc b  0 ). B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Thực hiện phép tính
Ví dụ minh họa 1. Tính: 5 12 180 : 5 a) 810.40 b) 24. 12. 0,5 c) d) 5 3 3 .4 200 : 8 Hướng dẫn giải: a) Ta có:
810.40  81.100.4  81. 100. 4 2 2 2
 9 . 10 . 2  9.10.2 180 . Vậy biểu thức có giá trị là: 180 b) Ta có: 2
24. 12. 0,5  24.12.0,5  144  12  12 . 12 3.45 5 5 5 3 .4 c) Ta có: 2    4  4 5 3 5 3 5 3 3 .4 3 .4 3 .4
Vậy biểu thức có giá trị là: 4 180 : 5 180 : 5 36 6 d) Ta có    1, 2 200 : 8 200 : 8 25 5
Vậy biểu thức có giá trị là: 1,2 Ví dụ minh họa 2.
a) So sánh: 16  4 và 16  4 b) Với a  0 ; b  0 . Chứng minh a b a b Hướng dẫn giải: a) Ta có:
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
16  4  4  2  6  36   1 16  4  20  36 2 Từ  
1 và 2 suy ra: 16  4  16  4
b) Với a  0 ; b  0 , giả sử 2 2
a b a b
Để so sánh a b với a b ta so sánh   2 a b với   2 a b
ab2  ab Ta có: 
a b 2  a b  2 ab 2 2
Vì 2 ab nên suy ra  a b    a b
Do đó a b a b
Ví dụ minh họa 3. Thực hiện phép tính
a) A   18  32  50. 2
b) B  50 – 18  200  162 Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép nhân các căn thức bậc hai của các số không âm, ta có:
A   18  32  50. 2
 18. 2  32. 2  50. 2  18.2  32.2  50.2  36  64  100  6  8 10  4
b) Sử dụng phép khai phương một tích của các số không âm, ta có:
B  50 – 18  200  162
 25.2  9.2  100.2  81.2
 25. 2  9. 2  100. 2  81. 2
 2. 25  9  100  81
 2.5  3 10  9 3 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính: a) 49.36.100 b) 0, 45.0,3.6 c) 147.75 d) 4,9.1200.0,3
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com a) 5. 45 b) 13. 52 c) 12,5. 0, 2. 0,1 d) 48, 4. 5. 0,5 Bài 3: Tính: 3 36 288 8 a) 45 : 80 b) 13 : 468 c) : d) : 15 45 169 225
Bài 4: Thực hiện các phép tính sau: 72 a) : 8
b) 7 48  3 27  2 12: 3 9  1 16 
c)  125  245  5: 5 d)    7  : 7  7 7   
Bài 5: Thực hiện các phép tính sau: a) 12  27  3 b)  12  2 75 3
c) 252  700  1008  448 d) 3  12  27  3
Bài 6: Thực hiện các phép tính sau: a) 2  3  2  3
b) 1 3  21 3  2 c)     2 3 5 3 5 d) 15  216  33 12 6 HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
a) Biến đổi biểu thức: 49.36.100  49. 36. 100 2 2 2
 7 . 6 . 10  7.6.10  420
b) Biến đổi biểu thức: 2
0, 45.0,3.6  0,81  0,9  0,9
c) Biến đổi biểu thức: 147.75  49.3.3.25
 49.9.25  49. 9. 25  7.3.5  105
d) Biến đổi biểu thức: 4,9.1200.0,3  49.0,1.12.100.3.0,1
 49.36  49. 36  7.6  42
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau: a) 2
5. 45  5.45  225  15  15
b) 13. 52  13.52  676  26
c) 12,5. 0, 2. 0,1  12,5.0, 2.0,1  0, 25  0,5
d) 48, 4. 5. 0,5  48, 4.5.0,5  122  11 Bài 3: Tính: 45 45 9 3 a) 45 : 80     80 80 16 4 13 13 1 1 b) 13 : 468     468 468 36 6
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 3 36 3 36 3 45 1 1 c) :  :  .   15 45 15 45 15 36 4 2 288 8 288 8 288 225 d) :  :  . 169 225 169 225 169 8 36.225 36. 225 6.15 90     169 169 13 13
Bài 4: Thực hiện các phép tính sau: 72 72 72 1
a) Biến đổi biểu thức: : 8  :8  .  1  1 9 9 9 8
Vậy biểu thức có giá trị là: 1
b) Biến đổi biểu thức: 7 48  3 27  2 12: 3
 28 3 9 3  4 3: 3  33 3 : 3  33
Vậy biểu thức có giá trị là: 33
c) Biến đổi biểu thức:  125  245  5: 5  5 5  7 5  5: 5 11 5 : 5 11
Vậy biểu thức có giá trị là: 11  1 16   7 4 7  4 7 4
d) Biến đổi biểu thức:    7  : 7     7  : 7  : 7   7 7   7 7  7 7     4
Vậy biểu thức có giá trị là: 7
Bài 5: Thực hiện các phép tính sau: a) Ta có: 12  27  3
 2 3  3 3  3  3 2  3  1  0
b) Ta có:  12  2 75 3  12. 3  2 75. 3
 36  2 225  6  2.15  2  4
c) Ta có: 252  700  1008  448  6 7 10 7 12 7
 6 10 12 7  8 7
d) Biến đổi biểu thức 3  12  27  3  3 2 3 3 3  3  3.4 3  3.4 12
Bài 6: Thực hiện các phép tính sau:
a) Biến đổi biểu thức 2  3  2  3
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com   2     2 3 1 3 1 4 2 3 4 2 3     2 2 2 2   2   2 3 1 3 1 3 1 3 1    2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1    2 2 2 2   2 2
Vậy biểu thức có giá trị là: 2
b) Biến đổi biểu thức 1 3  21 3  2 
   2  2 1 3 2    
 1 2 3  3  2
 4  2 3  2  2  2 3
Vậy biểu thức có giá trị là: 2  2 3
c) Biến đổi biểu thức     2 3 5 3 5    2       2 3 5 2 3 5. 3 5 3 5
 3 5  2 3 5.3 5  3 5 2 2
 3  5  2 3  5  3  5
 6  2 9  5  6  4 10
Vậy biểu thức có giá trị là: 10
d) Biến đổi biểu thức 15  216  33 12 6        2    2 15 6 6 33 12 6 3 6 3 2 6
 15  6 6  3  2 6  3 62 6 3  6
Vậy biểu thức có giá trị là: 6 .
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 2. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức
Ví dụ minh họa 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) 2
5 25a  25a với a  0 b) 2
49a  3a với a  0 c) 4 2
16a  6a với a bất kì d) 6 3
3 9a  6a với a bất kì. Hướng dẫn giải: a) Biểu thức 2
5 25a  25a  5. 5a  25a vì a  0 nên 5a  0 , do đó 5a  5  a . Vậy 2
5 25a  25a  5. 5
a  25a  25
a  25a  50  . a b) Biểu thức 2
49a  3a  7a  3 . a
Với a  0 nên 7a  0 , do đó 7a  7a . Vậy 2
49a  3a  7a  3a  10 . a c) Biểu thức 4 2 2 2
16a  6a  4a  6a
Với mọi a ta đều có 2 4a  0 nên 2 2 4a  4a Vậy 4 2 2 2 2
16a  6a  4a  6a  10a d) Biểu thức 6 3 3 3
3 9a  6a  3. 3a  6a Nếu a  0 thì 3 3a  0 nên 2 2
3a  3a , ta có: 6 3 3 3 2
3 9a  6a  3.3a  6a  3a Nếu a  0 thì 3 3a  0 nên 2 2
3a  3a , ta có: 6 3 a a   3  a  3 2 3 9 6 3. 3  6a  1  5a .
Ví dụ minh họa 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) 2
4x x  4x  4 với x  2 b) 2
3x  9  6x x với x  3  x  6 x  9 x  0 2 x  4x  4 c) với  d) với x  2  x  9 x  9 x  2 Hướng dẫn giải:
a) Biểu thức x x x   x   x  2 2 4 4 4 4
2  4x x  2
Vì x  2 nên x  2  0 , do đó x  2  x  2 . Vậy 2
4x x  4x  4  4x   x  2  3x  2 b) Biểu thức x
x x x    x2 2 3 9 6 3 3
 3x  3 x Vì x  3
 nên 3 x  0, do đó 3 x  3 x Vậy 2
3x  9  6x x  3x  3 x  2x  3  x x x    2 3 6 9 x  3 c) Biểu thức   x  9
x 3 x 3 x 3
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com x  4x  4 x  2 2 2 x  2 d) Biểu thức   x  2 x  2 x  2 Với x  2
 thì x  2  0 nên x  2  x  2 . 2 x  4x  4 x  2 Vậy   1 x  2 x  2 Với x  2
 thì x  2  0 nên x  2  x  2 . 2 x  4x  4 x  2 Vậy   1  x  2 x  2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Rút gọn các biểu thức: 15  6 10  15 a) b) 35  14 8  12 2 15  2 10  6  3 2  3  6  8  16 c) d) 2 5  2 10  3  6 2  3  4
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: x xy
a a b b b a
a  0;b  0 a)
với  x  0; y  0 b) với  y xy ab 1 ab  1  x  2 x 1 c)    2 x x y y x y d)  x  0 x y x  2 x 1 y2 y x   2 1 1 e)
x  1, y  1, y  0 4   y 1 x  1
Bài 3: Rút gọn và tính: a 1 b 1 3 5 a) :
với a  7, 25;b  3, 25 b) 2
15a  8a 15 16 với a   b 1 a 1 5 3 2 5 c) 2
10a  4a 10  4 với a   d) 2 2 2 2
a  2 a 1  a  2 a 1 với a  5 5 2 HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Rút gọn các biểu thức: 3   5 2 15 6  3 3 a) Biểu thức:    35  14 7  5  2 7 7 3 Biểu thức rút gọn là: 7 5   2  3 10 15  5 b) Biểu thức:   8  12 2 2  3 2
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 5 Biểu thức rút gọn là: 2 2 15  2 10  6  3 c) Biểu thức: 2 5  2 10  3  6
2 5  3  2  3 2  3 2 5  3  2  3 3  2  
2 5 1 2  31 2 2 5 31 2 2 5 3 3 2   2 5  31 2 3  2  1 2 3  2 Biểu thức rút gọn là: 1 2 2  3  6  8  16 d) Biểu thức: 2  3  4 2  3  6  8  4
2  3  2  2  6  8   2  3  4 2  3  4 2  3  2 2  6  8   2  3  4 2  3  4 2  3  4 4  6  8   2  3  4 2  3  4 2  2  3  4  1 1 2 2  3  4
Biểu thức rút gọn là: 1 2
Bài 2: Rút gọn các biểu thức: x   x y x xyx
a) Với  x  0; y  0 thì   y xy
y y x y x Biểu thức rút gọn là: y
a  0;b  0
a a b b b a b) Với  thì ab  1 ab 1
a 1 ab  b 1 ab 1 ab a b     ab   1  ab   1
ab  1 ab  1 a bab 1
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com a b Biểu thức rút gọn là: ab 1  c) Biểu thức    2 x x y y x y x y 3 3 x y
 x  2 xy yx y
x yxxy y 
 x  2 xy yx y
x xy y x  2 xy y xy
Biểu thức rút gọn là: xy x x   x  2 1 x 1 x 1 2 1
d) Với  x  0 nên    x  2 x 1  x  2 1 x 1 x 1 x 1 Biểu thức rút gọn là: x 1 y2 y x   2 1 1 e) Biểu thức
x  1, y  1, y  0 4   y 1 x  1 x   y  2 1 y 1 1 x 1  . y 1 x  4 1
y 1 x  2 1
Nếu 0  y  1  y 1  0  y 1   y   1 , y 1 x 1
x 1   y   1 1 Thì .  .  
y 1 x  2 1
y 1  x  2 1 x 1
Nếu y  1 y 1  0  y 1   y   1 , y 1 x 1
x 1  y   1 1 Thì .  . 
y 1  x  2 1
y 1  x  2 1 x 1
Bài 3: Rút gọn và tính: a 1 b 1 a) Ta có : b 1 a 1
a  1 a a a    1 1 1 a 1  .   b 1 b 1
b  1 b  1 b1
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 7, 25 1 6, 25 25 5
Với a  7, 25;b  3, 25 thay vào ta được    6, 25 1 2, 25 9 3 5
Vậy biểu thức có giá trị . 3 b) Ta có a a    a  2 2 15 8 15 16 15 4  15a  4 3 5 Với a   thay vào ta được 5 3  3 5  15a  4  15     4  5 3    3 5  15.  15.  4  3  5  4  4 5 3 c) Ta có a a   a  2 2 10 4 10 4 10 2  a 10  2 2 5  2 5  Với a  
thay vào ta được a 10  2     10  2 5 2  5 2    2 5  . 10 
. 10  2  2  5  2  5 5 2 d) Ta có 2 2 2 2
a  2 a 1  a  2 a 1   2 a   2  a     2 a   2 1 2 1 1 1  2 a 1 1
  a   2   a   2 2 2 1 1 1 1 2 2
a 1 1  a 1 1
Với a  5 thay vào ta được 2 2
a 1 1  a 1 1 2 2  5 1 1 
5 1 1  5 1 1  5 1 1
 4 1  4 1  2 1  2 1  31  2
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 3. Giải phương trình
Ví dụ minh họa 1. Giải các phương trình sau: a) 2.x  5  5
b) x  7  3  0 c)
10 x  3  20 d) 2 3x x  2 Hướng dẫn giải: 5
a) Điều kiện xác định là 2x  5  0  x   2
Khi đó, phương trình được đưa về dạng:
2x  5  25  2x  20  x  10 thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  10 .
b) Điều kiện xác định là x  7 .
x  7  3  0  x  7  3 
với mọi x  7 ta có x  7  0 và 3
  0 . Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Điều kiện xác định là x  3
Khi đó, phương trình được đưa về dạng:
10 x  3  20  x  3  2  x  5 .
Vậy x  5 là nghiệm của phương trình.
d) Với x  2  0  x  2  thì
x x   x   x  2 2 2 2 2 3 2 3
2  3x x  4x  4   2 x x   2 2 2
2  0  x  2x  2  0  x  2
1  3  0  x 1 3x 1 3  0 x 1 3  0 x 1 3    (thỏa mãn điều kiện) x 1 3  0 x 1 3
Vậy nghiệm của phương trình là x  1 3; x  1 3 .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 3x 1  10 b) 16  7x  11 c) 2
x  6x  9  3x  6 d) 2
x  4x  4  2x  5  0 HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Giải các phương trình sau: 1
a) Điều kiện có nghĩa: 3x 1  0  x   3
Khi đó, phương trình 3x 1  10  3x 1  10  x  3 (thỏa điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là: x  3. b) 16  7x  11 16
Điều kiện có nghĩa: 16  7x  0  x  7
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 5
Khi đó, phương trình 16  7x  11  16  7x  11  x  (thỏa điều kiện) 7 5
Vậy nghiệm của phương trình là: x  7
c) x x   x    x  2 2 6 9 3 6
3  3x  6  x  3  3x  6 x  2 3  x  6  0  9 
x  TM
 x  3  3x  6    2   x 3 3x 6      3 
x  L   4 9
Vậy nghiệm của phương trình là: x  2
d) x x   x     x  2 2 4 4 2 5 0
2  2x  5  x  2  2x  5  5 x  2x  5  0  2   
 x  3  2x  5  x  8TM    x  3  2  x  5 2
x  L   3
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 4:Nâng cao phát triển tư duy
Ví dụ minh họa 1: Rút gọn các biểu thức sau: P  2  2  2 . 4  8. 2  2  2 . Giải
Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng a b và a b nên ta
dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính.
Trình bày lời giải
P  2  2  2 . 4  8. 2  2  2  2  2  2 . 2  2  2 . 4  8
P  4  2  2 . 4  2 2  2  2. 2  2. 2
P  4  2. 2  2 .
Ví dụ minh họa 2:: Rút gọn biểu thức: A  2  3  4  2 3  2112 3 Giải
Tìm cách giải. Với những bài toán có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số căn, bằng cách đưa
các căn ở phía trong về dạng a  2 b sau đó dùng hằng đẳng thức 2
A A và giải như các ví dụ trên.
Trình bày lời giải
Ta có A  2  3  4  2 3  2112 3        2 2 3 4 2 3 2 3 3
 2  3  4  2 3  2 3  3           2 2 3 4 4 3 3 2 3 2 3
 2  3  2  3  4 . Suy ra A  2 .
Ví dụ minh họa 3: Rút gọn: C  2  2 5  2  2  2 5  2 Giải
Tìm cách giải.
Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng a
b   x y 2 2 .
Do vậy để rút gọn biểu thức dạng C x y x y ta thường tính 2
C sau đó nhận xét dấu của C,
từ đó tìm được C.
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Trình bày lời giải Xét 2
C  2  2 5  2  2  2 5  2  2 2 2 5 22 2 5 2 C         2 2 4 2 4 2 5 2 4 2 5 1  4  2 5   1 C      2 2 6 2 5
5 1 . Vì C  0 nên C  1 5 .
Ví dụ minh họa 4: Cho x, y thỏa mãn 2 2
x 1  x y 1  y . Chứng minh rằng: x y . Giải
Tìm cách giải. Nhận xét giả thiết x, y có vai trò như nhau. Phân tích từ kết luận để có x y , chúng ta cần
phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử  x y . Dễ thấy 2 2
x y có chứa nhân tử  x y , do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử  x y chúng ta vận a b
dụng  a b  a b   a b từ đó suy ra: a b
. Lưu ý rằng mẫu số khác 0. Từ đó a b
chúng ra có lời giải sau:
Trình bày lời giải
Từ đề bài ta có điều kiện: x  1; y  1.
- Trường hợp 1: Xét x  1; y  1  x y .
- Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1. Ta có: 2 2
x y x 1  y 1  0    
x yx y x  1  y  1   0
x 1  y 1     x y 1  x y    0  x 1 y 1       1 Vì x y
 0  x y  0  x y .
x 1  y 1 1 2
Ví dụ minh họa 5: Cho a
. Tính giá trị biểu thức 8 16a  51a 2 Giải 1 2
Tìm cách giải. Để thay giá trị trực tiếp a
vào biểu thức thì khai triển dài dòng, dễ dẫn đến sai 2
lầm. Do vậy chúng ta nên tính từ từ, bằng cách tính 2 4 a ;a và 8
a bằng hằng đẳng thức. Bài toán sẽ đơn
giản và không dễ mắc sai lầm.
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Trình bày lời giải 2
2a  1 2  2a 1   2  4a  4a 1  2 2
a   a      4 4 1 4 1 2 1
2  3  2 2  16a  9 12 2  8  17 12 2 577  408 2 8 8
 256a  289  408 2  288  577  408 2  16a 16 51 1 2 577  408 2 8  
Xét 16a  51a   16 2
577  408 2  408  408 2 169   16 16 169 13 Vậy 8 16a  51a   . 16 4 1 1 6  2 6  2
Ví dụ minh họa 6: Tính giá trị S   với a  ; b  . 7 7 a b 2 2 Giải
Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài toán sẽ phức tạp, có thể dẫn
đến sai lầm. Bài toán có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính tổng và tích của a và b, sau đó dùng các
hằng đẳng thức để tính dần dần.
Trình bày lời giải
Từ đề bài suy ra: a b  6; ab  1
Ta có: a b  a b2 2 2  2ab  4 ;
a b  a b3 3 3
 3aba b  6 6  3.1. 6  3 6 Xét  2 2   3 3   5 2 3 3 2 5 5 5 2 2 a b a
b a a b a b b a b a b a b 5 5
4.3 6  a b 1 6 Từ đó tính được: 5 5
a b  11 6 Xét  2 2   5 5   7 2 5 5 2 7 7 7 2 2         3 3 a b a b a a b a b b a b a b a b  Suy ra: 7 7 7 7
4.11 6  a b 1.3 6  a b  41 6 1 1 7 7  S  
b a  41 6 . 7 7 a b
Ví dụ minh họa 7: Cho b  0; a b . Chứng minh đẳng thức:
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 2
a a b
a a b a b   2 2 Giải 2 2
a a b
a a b
Đặt vế phải là: B   2 2 Ta có B  0  2
a a b
a a b a a b
a a b 2  2   2 2  2 Xét B   2. .  2 2 2 2 2 a   2 a b 2  2 B a  2.
; B a b 4
Vì B  0 nên B a b .
Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ minh họa 8: Cho các số thực x; y thỏa mãn:  2
x x   2
2 y 1 y  2 y  3  2 Chứng minh rằng: 3 3
x y  3xy  1 Giải
Đặt y 1  z từ giả thiết ta có:  2
x x   2
2 z z  2   2 * Nhân hai vế với 2
x  2  x ta được  2 2
x   x  2
z z     2 2 2 2
x  2  x   2
z z     2x   x 2 2 2 2 2 2
z z  2  x  2  x   1
Nhân hai vế của đẳng thức (*) với 2
z  2  z ta được  2
x x   2 2
z   z    2 2 2 2
z  2  z   2
x x     2 2 2 2
z  2  z  2 2
x x  2  z  2  z 2
Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được:
x z  0  x y 1  0  x y  1
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Xét 3 3
x y xy   x y 2 2
x xy y  2 2 3
 3xy x xy y  3xy
x xy y  x y2 2 2 2  1 Vậy 3 3
x y  3xy  1. Điều phải chứng minh. BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.
a) A  3  5.3 5 10  2 ;
b) B  2  3   1  2 3  .
Bài 2. Rút gọn biểu thức: 3 10  20  3 6  12 2  3  6  8  4 a) P  ; b) Q  . 5  3 2  3  4
Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
6  2 6  3  2  6  2 6  3  2 a) C  ; 2 9  6 2  6 b) D  . 3
Bài 4. Cho x  3  2 . Tính giá trị 5 4 3 2
B x  3x  3x  6x  20x  2018 .
Bài 5. Tính giá trị biểu thức 2
A x  2002x  2003 với
2710 2 2710 2 2710 2 2710 2 x   13  3  13  3: 13  2
Bài 6. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn: 2 2
a b  1 b  1 a Chứng minh rằng 2 2 a b  1 . b) Chứng minh rằng số 2 2 2 2
2009  2009 .2010  2010 là số nguyên dương.
Bài 7. Cho b  0; a b . Chứng minh đẳng thức: a b a b   2
2 a a b
Bài 8. Cho x  3  5 và x  3  5 . Hãy tính: 2 2 3 3 5 5
A x .x ;
B x x ;
C x x ;
D x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 7  5  7  5
Bài 9. Rút gọn biểu thức: A   3  2 2 . 7  2 11
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 10. Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x 1  y y y 1  x x .Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
S x  3xy  2y  8y 12 .
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:
P  4  5 3  5 48 10 7  4 3 ; Q   3   1 6  2 2. 3  2  12  18  128 .
Bài 12. Rút gọn biểu thức: 6  2 5  13  48 2 3  3  13  48 a) A  b) T  3 1 6  2 2 10  30  2 2  6 2
Bài 13. Rút gọn biểu thức: A  : . 2 10  2 2 3 1
Bài 14. Biết x  2  2  3  6  3 2  3 .Tính giá trị biểu thức: 4 2
S x 16x .
Bài 15. Cho x   x  2 
y  y 2 2019 2019 2020 2019
2019  2020   2020.Tính giá trị của
A x y . 2 2
x  5x  6  x 9  x 2x
Bài 16. Rút gọn biểu thức: A  : 2 1 2
3x x   x  2 2 9  x 3  x
Bài 17. Cho biểu thức P   2013 2012 2011 aaa  2013 2012 2011 8 11 b  8b 11b
. Tính giá trị biểu thức của P
với a  4  5 và b  4  5 . 3 3 2 6  2 9  4x Bài 18. Cho
x  ; x  0 và 3  2x  3  2x a .Tính giá trị của biểu thức P  2 2 x theo a.
Bài 19. Tính giá trị của biểu thức: 3 2
A  2x  3x  4x  2 Với 5  5 5  5 x  2   2   3  5 1. 2 2
Bài 20. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64  6  4 . Hỏi có tồn tại hay không
các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên. HƯỚNG DẪN
Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a) A  3  5.3 5 10  2 ;
b) B  2  3   1  2 3  .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có A  3  5.3 5. 2  5   1  6  2 5. 5   1 .3 5 2   5   1 . 5  
1 .3 5   5   1 . 5   1 .3 5  5 2 5  
1 .3 5  23 5.3 5  2.9 5  8 .
Vậy A là số tự nhiên.
b) Ta có B            2 3 1 . 4 2 3 3 1 . 3 1  B   3   1 . 3   1  3 1  2 .
Vậy B là số tự nhiên.
Bài 2. Rút gọn biểu thức: 3 10  20  3 6  12 a) P  ; 5  3 2  3  6  8  4 b) Q  . 2  3  4
Hướng dẫn giải – đáp số
10 3 2  6 3 2 3 2 10  6 a) Ta có: P   5  3 5  3 3 2. 2 5 3 P   3 2  2 . 5  3       2  3 41 2 2 3 2 2 6 8  b) Ta có Q   1 2 . 2  3  4 2  3  4
Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
6  2 6  3  2  6  2 6  3  2 a) C  ; 2 9  6 2  6 b) D  . 3
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Hướng dẫn giải – đáp số
1 2  3  2 2  2 3  2 6  1 2  3  2 2  2 3  2 6 a) C  2
   2     2 1 2 3 1 2 3
1 2  3  1 2  3 C   2 2 2 2 C   2 . 2 3.3 2 2  6 3. 2  2 2 1  6 b) D   3 3     2  3 2 1  2  3    2 1 2    1  . 3 3
Bài 4. Cho x  3  2 . Tính giá trị 5 4 3 2
B x  3x  3x  6x  20x  2018 .
Hướng dẫn giải – đáp số
Từ x  2   3 , bình phương hai vế ta được: 2 2
x  4x  4  3  x  4x 1  0   * Ta có 3 B x  2 x x   2  x  2
x x     2 4 1 4 1
5 x  4x   1  2013
Kết hợp với (*) ta có: B  2013.
Bài 5. Tính giá trị biểu thức 2
A x  2002x  2003 với
2710 2 2710 2 2710 2 2710 2 x   13  3  13  3: 13  2
Hướng dẫn giải – đáp số Ta có:     2 27 10 2 5 2  5  2 .     2 27 10 2 5 2  5  2 2 2
Tử số là: 5 2 .5 2 5 2 .5 2
 5 2.235 2.23  46 2 . Xét a  13  3  13  3; 0 a  .
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2
a  13  3  13  3  2  13 3 13  3 2
a  2 13  4  a  2 13  2 . 46 2 Do đó x   .    46 2 13 2 : 13  2
Vậy giá trị biểu thức 2
A  46  2002.46  2003  92205 .
Bài 6. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn: 2 2
a b  1 b  1 a Chứng minh rằng 2 2 a b  1 . b) Chứng minh rằng số 2 2 2 2
2009  2009 .2010  2010 là số nguyên dương.
Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có 2 2
a  1 a b  1 b .
Bình phương hai vế không âm, ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2
a  2a 1 a 1 a b  2b 1 b 1 b a 1 a b 1 b .
Bình phương hai vế không âm, ta được: 2 a  2  a  2  b  2  b  4 4 2 2 1 1
a b a b  0   2 2 a b  2 2 a b   1  0
Do a, b là hai số dương khác nhau nên 2 2 a b  0 2 2
a b 1  0 hay 2 2
a b  1 . Điều phải chứng minh.
b) Đặt a  2009 , ta có:
a a a  2  a  2  a a a a  a  2 2 2 2 4 3 2 1 1 2 1
a a a    a    a a  2 2 4 2 2 2 1 1 1   2 a a   2
1  2009  2009 1 là số nguyên dương.
Bài 7. Cho b  0; a b . Chứng minh đẳng thức: a b a b   2
2 a a b
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt A a b a b ta có A  0 .
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Xét 2
A a b  2. a b a b   a b 2 2 2  A a
a b A   2 2 2
2. a a b
Vì A  0 nên A   2
2 a a b  . Suy ra điều phải chứng minh.
Bài 8. Cho x  3  5 và x  3  5 . Hãy tính: 2 2 3 3 5 5
A x .x ;
B x x ;
C x x ;
D x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: A x .x  3  5. 3  5  9  5  2 . 1 2 Ta có: 2 2
B x x  3  5  3  5  6 . 1 2
Ta có: C   x x  2 2
x x x x  3  5  3  5 6  2 1 2 1 1 2 2    
 C   3 5  3 5 .4
 C   6 2 5  62 5 .2. 2
C   5 1 5   1 .2 2  4 10 . Xét  2 2 x x  3 3 x x  5 2 3 3 3 5
x x x x x x 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 5 5 2 2
 6.4 10  x x x x x x 1 2 1 2  1 2  5 5
 24 10  x x  4 3  5  3  5 1 2   5 5
 24 10  x x  6  2 5  6  2 5 .2. 2 1 2   5 5
 24 10  x x  5 1 5 1 .2 2 1 2   5 5
D x x  20 10 . 1 2 7  5  7  5
Bài 9. Rút gọn biểu thức: A   3  2 2 . 7  2 11
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét B  7  5  7  5 2
B  7  5  2 7  57  5  7  5
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2
B  14  2 49  5 14  4 11
Mà B  0 nên B  14  4 11 . 2 14  4 11 Từ đó suy ra: A    2  
1  A  2   2   1  1. 7  2 11
Bài 10. Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x 1  y y y 1  x x .Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
S x  3xy  2y  8y 12 .
Hướng dẫn giải – đáp số
Tập xác định x  1; y  1.
 Trường hợp 1: Xét x y  1 suy ra: 2 2
P  1  3.1.1 2.1  8.112  6   1
 Trường hợp 2: Xét ít nhất x  1 hoặc y  1 . Ta có:
x x y y x 1  y 1  0     
x y  x xy yx 1 y 1 .   0
x 1  y 1    
x y  x xy y  x y  x y  .   0
x 1  y 1      x yx
y . x xy y    0  x 1 y 1       x y
Mà x  1; y  1 nên x xy y   0
x 1  y 1
Suy ra x y  0  x y Ta có: 2 2 2
S x  3x  2x  8x 12
S x x
S  x  2 2 2 8 12 2. 2  4  0
Dấu bằng xảy ra khi x  2 .
Do đó giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x   2 2 .
Từ (1) và (2) vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x  2 .
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:
P  4  5 3  5 48 10 7  4 3 ;
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Q   3   1 6  2 2. 3  2  12  18  128 .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có: P  4  5 3  5 48 10 4  4 3  3 P       2 4 5 3 5 48 10 2 3
P  4  5 3  5 48 102  3
P  4  5 3  5 28 10 3
P  4  5 3  5 25 10 3  3 P      2 4 5 3 5 5 3
P  4  5 3  55 3
P  4  5 3  25  5 3  4  25  9  3 . b) Q   3   1 6  2 2. 3  2  12  16  8 2  2 Q           2 3 1 6 2 2. 3 2 12 4 2 Q   3   1 6  2 2. 3  2  2 3  4  2 Q   3  
1 6  2 2 3  3  2 3 1 Q   3  
1 6  2 2 3  3 1   3   1 6  2 2 2  3 Q   3  
1 6  2 4  2 3   3   1 6  2 31 Q   3   1 4  2 3   3   1  3   1  2 .
Bài 12. Rút gọn biểu thức:
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 6  2 5  13  48 2 3  3  13  48 a) A  b) T  3 1 6  2
Hướng dẫn giải – đáp số 6  2 5  12  4 3 1 a) Ta có: A  3 1     2 6 2 5 2 3 1 6  2 5  2 3 1 A   3 1 3 1       2 6 2 3 1 6 2 3 2 3 1 A   3 1 3 1 6  2 3   1 3  2 3 1 A   3 1 3 1   2 3 1 3 1 A   1. 3 1 3 1        2 2 3 3 2 3 1 2 3 3 13 4 3 b) Ta có T   6  2 6  2       2 2 3 3 1 2 3 3 2 3 1 2 3  3 1 T    6  2 6  2 2  3   1 2. 2  3 4  2 3 3 1 T      . 3   1 1 3 1 3 1 2 10  30  2 2  6 2
Bài 13. Rút gọn biểu thức: A  : . 2 10  2 2 3 1
Hướng dẫn giải – đáp số
10 2  3  2 2  3 3 1 Ta có: A  2 10  2 . 2
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
 10  2.2 3 31 A  2 10  2 . 2 2  3 3 1 4  2 3 3 1 A  .  . 2 2 4 2   2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1 A  .  .   . 4 2 2 2 4 2
Bài 14. Biết x  2  2  3  6  3 2  3 .Tính giá trị biểu thức: 4 2
S x 16x .
Hướng dẫn giải – đáp số Xét 2
x  2  2  3  6  3 2  3  2 2 2 3 63 2 3  2
x  8  2 2  3  2 34  2  3 2
x  8  2 2  3  2 6  3 3 2
 8  x  2 2 3  63 3.
Bình phương hai vế ta được: 2 4 64 16x x 4 2 3 6 3 3 2 2 36 3 3              2 4
 64 16x x  32 4 2
x 16x  32 .
Bài 15. Cho x   x  2 
y  y 2 2019 2019 2020 2019
2019  2020   2020.Tính giá trị của
A x y .
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt x  2019  a; 2
y  019  b .
Đẳng thức đã cho có dạng:  2 a a    2
2020 . b b  2020   2020  *
Nhân hai vế của đẳng thức (*) với 2
a  2020  a , ta được:  2 2 a   a  2 b b   2 2020 2020
a  2020  a.2020 2 2
b b  2020  a  2020  a   1
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Nhân hai vế của đẳng thức (*) với 2
b  2020  b , ta được:  2 a a   2 2 b   b    2 2020 2020 2020.
b  2020  b 2 2
a a  2020  b  2020  b  2
Từ (1) và (2) cộng vế với vế và rút gọn ta được:
a b  0  x  2019  y  2019  0
Vậy A x y  4038 . 2 2
x  5x  6  x 9  x 2x
Bài 16. Rút gọn biểu thức: A  : 2 1 2
3x x   x  2 2 9  x 3  x
Hướng dẫn giải – đáp số
x  2x 3 x 3 x3 x 3  x  2x Ta có: A  : 2
x 3  x   x  2 3 x3 x 3  x Điều kiện xác định 3   x  3,
x  3  x  2 x  3  x 3 x  3  x A  3  x  : 2
x 3  x   x  2 x  3 3  x
x  3 1 3  x 1 A  .  .
3  x 2 3  x 2
Bài 17. Cho biểu thức P   2013 2012 2011 aaa  2013 2012 2011 8 11 b  8b 11b
. Tính giá trị biểu thức của P
với a  4  5 và b  4  5 .
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét a  4  5 bình phương hai vế ta được: 2 2
a  8a 16  5  a  8a 11  0
Xét b  4   5 bình phương hai vế ta được: 2 2
b  8b 16  5  b  8b 11  0 . 2011 P a
 2a a   2011  b  2 8 11
b  8b 1  1  P  0 . 3 3 Bài 18. Cho
x  ; x  0 và 3  2x  3  2x a . 2 2
27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 6  2 9  4x
Tính giá trị của biểu thức P  theo a. x
Hướng dẫn giải – đáp số
3  2x  2 3  2x3  2x  3  2x Ta có: P x
  x   x2 3 2 3 2
3  2x  3  2x P   x x
3 2x 3 2x 4x 4 P    .
x  3 2x  3 2x x 3 2x  3 2x a
Bài 19. Tính giá trị của biểu thức: 3 2
A  2x  3x  4x  2 Với 5  5 5  5 x  2   2   3  5 1. 2 2
Hướng dẫn giải – đáp số 5  5 5  5 Đặt a  2   2  , a  0 . 2 2 5  5
Xét a  4  2 4 
 4  6  2 5  4   5  2 2 1  3  5 2  a  3  5 6  2 5 6  2 5
x  3  5  3  5 1   1 2 2 5 1 5 1   1  2 1 2 2 x    x    x  2 2 2 1 1 2
1  2  x  2x 1  0 . Ta có: 3 2
A  2x  3x  4x  2 A x  2
x x     2 2 2 1 x  2x   1 1  1.
Bài 20. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64  6  4 . Hỏi có tồn tại hay không
các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên.
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt số đó là ab . Theo đầu bài, ta có:
28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2
ab a b ab a  2a b b 2
 10a a  2a b a  2 b 10
a chẵn. Đặt a  2K K   2K  2 b 10  K b  5 .
Do b  9 nên b  0;1; 4;9 .
 Nếu b  0  K  5  a 10 (loại)
 Nếu b 1 K  4  a  8  Số đó là 81
 Nếu b  4  K  3  a  6  Số đó là 64 (đã cho)
 Nếu b  9  K  2  a  4  Số đó là 49.
II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ CÁC DẠNG
Câu 1. Cho a là số không âm b , c là số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng? a a ab ab a ab A. = . B. = . C. = .
D. Cả A, B đều đúng. b b c c bc c
Câu 2. Cho a,b là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng? a
A. ab = a b .
B. a b = b a .
C. a . b = ab . D. ab = . b
Câu 3. Khẳng định nào sau đây là đúng? 2018
A. 2018 + 2019 = 2018 + 2019 . B. 2018.2019 = . 2019 2019
C. 2018. 2019 = 2018.2019 . D. 2018.2019 = . 2018
Câu 4. Kết quả của phép tính 1,25. 51,2 là? A. 32 . B. 16 . C. 64 . D. 8 .
Câu 5. Kết quả của phép tính 2, 5. 14, 4 là? A. 36 . B. 6 . C. 18 . D. 9 . 81
Câu 6. Kết quả của phép tính là? 169
29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 9 9 3 13 A. . B. . C. . D. . 13 169 13 9 1,21
Câu 7. Kết quả của phép tính là? 576 1,1 11 11 240 A. . B. . C. . D. . 240 24 240 11 625
Câu 8. Kết quả phép tính: -729 25 25 5 A. . B. -
. C. - . D. Không tồn tại. 27 27 7 -999
Câu 9. Kết quả của phép tính là? 111 A. 9 . B. -9 . C. -3 . D. Không tồn tại. Câu 10. Phép tính 2 2 12 .( 1 - 1) có kết quả là?
A. -33 . B. -132 . C. 132 . D. Không tồn tại. 1
Câu 11. Rút gọn biểu thức 4 2 a .(2a - )
1 với a ³ ta được 2
A. a(2a - 1) . B. 2 (1 - 2a)a . C. 2 (2a - 1)a .
D. (1 - 2a)a . 3
Câu 12. Rút gọn biểu thức 2 2 a .(2a - )
3 với 0 £ a < ta được 2
A. a(2a - 3) . B. 2 (3 - 2a)a . C. 2 (2a - 3)a .
D. (3 - 2a)a .
Câu 13. Rút gọn biểu thức 2 0, 9.0,1. 3
( - x) với x > 3 A. 0, 3(x - 3). B. 0, 3(3 - x). C. 0, 9(x - 3). D. 0,1(x - 3).
Câu 14. Giá trị biểu thức x - 2. x + 2 khi x = 29 là A. 29 . B. 5 . C. 10 . D. 25 . 2(a + b) b
Câu 15. Rút gọn biểu thức D =
với a,b > 0 ta được 2 2 b
a + 2ab + b b
A. a + b . B. 2 . C. . D. 2 b . 2 a -b ab
Câu 16. Rút gọn biểu thức E =
với 0 < a < b ta được 2 2 a (a -b)
30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com a b - b A. . B. . C. . D. a b . 2 2 2 4 a
Câu 17. Rút gọn biểu thức
với b ¹ 0 ta được 2 b 2 a a 2 a 2 a A. . B. . C. - . D. . b b b b 2 3m 64n
Câu 18. Rút gọn biểu thức
với m > 0;n < 0 ta được: 2 8n 9m m m A. -1 . B. 1 . C. . D. - . n n 2 a 121
Câu 19. Rút gọn biểu thức .
với ab ¹ 0 ta được: 4 10 11 a b 1 1 11 A. . B. . C. 5 b . D. . 5 b 5 b 5 b 9
Câu 20. Rút gọn biểu thức 4 2 4a b .
với ab ¹ 0 ta được. 8 4 a b 2 a A. . B. 12 . C. 6 . D. 36 . b 3 2 x + 2x
Câu 21. Rút gọn biểu thức
với x > 0 ta được x + 2 A. x . B. x - .
C. x . D. x + 2 . é é x = 0 x = 0 ê ê 5 4 9x + 33x
Câu 22. Rút gọn biểu thức  ê  ê 1 2 x - 1 = 0 ê ê x = ë ê 3x + 11 ë 2
với x > 0 ta được: A. 2 x . B. 4 x . C. 2 3x . D. 3x + 11 . 2 2x + 12x
Câu 23. Với x > 0 cho biểu thức A =
và B = 2x . Có bao nhiêu x + 6
giá trị của x để A = B . A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. Vô số.
31. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 x - 5x
Câu 24. Với x > 5 cho biểu thức A = Và B = x . x - 5
Có bao nhiêu giá trị của x để A = B . A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. Vô số. 3x - 3xy
Câu 25. Với x,y ³ 0; 3x ¹ y , rút gọn biểu thức B = ta được: 3x - y 3x 1 3x 3 x A. . B. . C. . D. . 3x - y 3 x - y 3x + y 3 x + y x - xy A =
Câu 26. Với x,y ³ 0;x ¹ ,
y rút gọn biểu thức
x - y ta được x y 1 x A. . B. . C. . D. . x - y x - y x - y x + y
Câu 27. Giá trị của biểu thức 252 - 700 + 1008 - 448 là: A. 7 . B. 0 .
C. 4 7 . D. 5 7 . 3 3 a -b a + b
Câu 28. Với a ³ 0,b ³ 0,a ¹ ,
b rút gọn biểu thức - ta a - b a -b được. ab ab - 2b 2b ab - 2a A. . B. . C. . D. . a - b a - b a - b a - b
Câu 29. Khẳng định nào sau đây đúng về nghiệm x của phương trình 0
9x - 7 = 7x + 5 . 7x + 5 A. x < 5 . B. x > 8 . C. x > 9 .
D. 5 < x < 7 . 0 0 0 0 1
Câu 30. Nghiệm của phương trình 4x - 20 + x - 5 - 9x - 45 = 4 là 3 A. x = -9 . B. x = 5 . C. x = 8 . D. x = 9 . HƯỚNG DẪN Câu 1. Đáp án D.
32. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com a a =
Với số a không âm và số b dương , ta có b b ab ab = c Từ đó suy ra c với c > 0 Câu 2. Đáp án C.
Với hai số a,b không âm, ta có ab = a . b Câu 3. Đáp án C. Ta có 2018. 2019 = 2018.2019 Câu 4. Đáp án D. 2
1,25. 51,2 = 1,25.51,2 = 64 = 8 = 8 . Câu 5. Đáp án B. 2
2, 5. 14, 4 = 2, 5.14, 4 = 36 = 6 = 6 . Câu 6. Đáp án A. 2 81 81 9 9 = = = . 2 169 13 169 13 Câu 7. Đáp án C. 2 1,21 1,21 1,1 1,1 11 = = = = . 2 576 576 24 240 24 Câu 8. Đáp án D. 625 -729 < 0;625 > 0  < 0 Vì -729
nên không tồn tại căn bậc hai của số âm. Câu 9. Đáp án D. -999 Vì -999 < 0;111 > 0 
< 0 nên không tồn tại căn bậc hai của số âm 111 Câu 10. Đáp án C. 2 2 2 2 12 .( 1 - ) 1 = 12 . (- ) 11 |
= 12 | . | -11 |= 12.11 = 132 . Câu 11. Đáp án C. a a - = a a - = (a )2 4 2 4 2 2 2 .(2 1) . (2 1) . (2a - 1) 2 2 = a ∣ .
∣| 2a - 1 |= a .(2a - ) 1 1 (vì a ³
 2a - 1 ³ 0  2a - 1 = 2a - 1) 2
33. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Câu 12. Đáp án D. 2 2 2 2 a .(2a - ) 3 = a . (2a - ) 3 |
= a | . | 2a - 3 |= a. 3 ( - 2a) 3 (vì 0 £ a <
 2a - 3 £ 0  2a - 3 = 3 - 2a ) 2 Câu 13. Đáp án A. 2 2 2 Ta có 0, 9.0,1. 3 ( - x) = 0, 09. 3
( - x) = 0,09. (3 -x) = 0,3. | 3 -x |
Mà x > 3  3 - x < 0 |
 3 - x |= x - 3 2 Nên 0,9.0,1 (
. 3 - x) = 0, 3.(x - ) 3 . Câu 14. Đáp án B. 2
Ta có x - 2. x + 2 = x - 4 với x ³ 2 Thay x = 29 (TMĐK) x - = ( )2 2 4 29 - 4
Vào biểu thức ta được = 25 = 5 . Câu 15. Đáp án B. 2(a + b) b ( 2 a + b) b ( 2 a + b) b D = = . = . 2 2 b
a + 2ab + b 2 2 2 b
a + 2ab + b b (a + b) ( 2 a + b) b 2(a + b) b = . = . = 2 b | a + b | b a + b
(vì a,b > 0  a + b > 0  a + b = a + b ) Câu 16. Đáp án C. a -b ab a -b ab a -b a . b (a -b) b E = = . = . = 2 2 a (a -b) 2 a a -b
a | a -b | | a -b | 2 ( 2 ) 2
Mà 0 < a < b nên a -b < 0 |  a - b |= (
- a - b) . Khi đó (a -b) b - b E = = -2(a -b) 2 Câu 17. Đáp án D (a )2 2 2 4 4 2 a a a a = = = = 2 2 2 b b b b b Ta có Câu 18. Đáp án A.
34. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 2 3m 64n 3m (8n) 3m | 8n | 3m.(-8n) Ta có: = = . = = -1 2 2 8n 9m 8n 3 ( m) 8n | 3m | 8n.3m
(vì m > 0;n < 0). Câu 19. Đáp án A. 2 2 2 2 a 121 a 11 a 11 1 . = . = . = 11 11 a . b (a ) . (b ) 2 5 5 4 10 2 2 11 2 5 a . b b Câu 20. Đáp án B. 9 4 2 4 2 4 2 9 3 12a b 12a b 4a b . 4 2 4 2 = 4a b . = 4a b . = = = 12 8 4 a b 8 4 8 4 a b a . b ( ) (b ) 4 2 2 2 4 2 a .b a . Câu 21. Đáp án A. 3 2 x + 2x 2 2 x (x + 2) x . x + 2 Ta có 2 = =
= x = x mà x > 0 nên x = x x + 2 x + 2 x +2 3 2 x + 2x Từ đó = x . x + 2 Câu 22. Đáp án C. 5 4 4 4 + + Ta có 9x 33x 3x (3x 11) 3. x . 3x + 11 = = = 3. (x )2 2 2 2 = 3. x = 3x 3x + 11 3x + 11 3x + 11 Câu 23. Đáp án A. 2 2x + 12x x(x + 6) x x + 6 A = = = = x x + 6 x + 6 x + 6 x é é = 0 x = 0 ê ê
Để A = B x = 2x  2x - x = 0  x (2 x - ) 1 = 0  ê  ê 1 2 x - 1 = 0 ê ê x = ë êë 2 x é = 0(L) ê  ê 1 x ê = (N) êë 4 Câu 24. Đáp án C. 2 x - 5x x(x - 5) x x - 5 A = = = = x x - 5 x - 5 x - 5 Để A = B
35. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com é é = = é = ê x x x x x ( x ) x 0 x 0 x 0 0 1 0 ê ê  =  - =  - =  ê   ê ê (loại vì x > 5 ) ê x - 1 = 0 ê x = 1 x = 1 ê ë ë ë
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 25. Đáp án C. -
( 3x)2 - 3x. y 3x ( 3 3 3 x - y x xy ) 3x B = = = = Câu 26. Đáp án D. 3x - y
( )2 -( )2 ( 3x - y)( 3 3 x + y x y ) 3x + y -
( x)2 - x. y x ( x - y x xy ) x A = = = = . x - y
( )2 -( )2 ( x - y)( x + y x y ) x + y Câu 27. Đáp án B.
252 - 700 + 1008 - 448 = 36.7 - 100.7 + 144.7 - 64.7
= 6 7 - 10 7 + 12 7 - 8 7 = 7(6 - 10 + 12 - 8) = 0 Câu 28. Đáp án B. 3 3 a -b a + b Ta có - a - b a -b ( é ù
a + b ) (ê a ê
)2 - a. b +( b)2ú -
( a + b)(a - ab +b a b ) a -b ú ë û - = - a - b ( a)2 -( b)2 a - b
( a - b)( a + b) a -b
a - ab + b
a -b - a + ab -b ab - 2b = - = = a - b a - b a - b a - b Câu 29. Đáp án D. 5
Điều kiện 7x + 5 > 0  x > - 7 9x - 7
Với điều kiện trên ta có
= 7x + 5  x - = ( x + )2 9 7 7 5 7x + 5
 9x - 7 = 7x + 5  2x = 12  x = 6 (TM)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 6  5 < x < 7 . 0 0 Câu 30. Đáp án D.
36. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 4 ìï x - 20 ³ 0 x ìï - 5 ³ 0 ï ï ï ï Điều kiện x ïí 5 0 4 ï - ³  í (x - )
5 ³ 0  x - 5 ³ 0  x ³ 5 ï ï 9 ïï x 45 0 ï - ³ ï ( 9 x - 5) ³ 0 ïî ïî
Với điều kiện trên ta có 1 1
4x - 20 + x - 5 - 9x - 45 = 4.  ( 4 x - ) 5 + x - 5 - ( 9 x - ) 5 = 4 3 3 1 1
 4. x - 5 + x - 5 - . 9. x - 5 = 4  2 x - 5 + x - 5 - .3. x - 5 3 3
= 4  2 x - 5 = 4  x - 5 = 2 2
x - 5 = 2  x - 5 = 4  x = 9(TM)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 9 .
------------------------- Toán Học Sơ Đồ -------------------------
37. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com