36 trang 94 lượt tải

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Trọng Toán 12

187

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Trọng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/36
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!
BI 1: NGUYÊN HÀM ..................................................................................................................................... 1
▲_DẠNG 1. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN ....................................................... 1
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................... 2
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ............................................................................................................................. 2
▲_DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN...................................................................................................... 5
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................... 5
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ............................................................................................................................. 6
▲_DẠNG 3. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN ................................................................................................... 8
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................... 9
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 10
BÀI 2 - TÍCH PHÂN ....................................................................................................................................... 13
▲_DẠNG 1. TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT .................................................................. 13
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 13
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 14
▲_DẠNG 2. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ ..................................................................................................... 15
1. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 ........................................................................................................................ 15
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 16
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 17
2. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 ........................................................................................................................ 18
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 19
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 20
▲_DẠNG 3. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ...................................................................................................... 21
1. Dạng 1.
( )
sin
cos d





ax
ax
f x ax x
e
.................................................................................................................... 21
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 21
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 22
2. Dạng 2:
( )ln( )f x ax dx
......................................................................................................................... 23
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 23
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 25
3. Dạng 3:
sin
.



ax
ax
e dx
cosax
........................................................................................................................ 26
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 26
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 28
BI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC .................................................................. 29
▲_DẠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG. ..................................... 29
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 29
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 30
▲_DẠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH. ................................................................ 33
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 33
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 34
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 1
BI 1: NGUYÊN HÀM
▲_DẠNG 1. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT V NGUYÊN HM CƠ BẢN
PHƯƠNG PHÁP:
_ Sử dụng bảng nguyên hàm
Hàm sơ cấp
Hàm số hợp
( )
=u u x
.
d =+
x x C
.
d =+
u u C
.
( )
1
dd+=ax b x
a
.
1
d
1
+
=+
+
x
x x C
( )
1
−
.
1
d
1
+
=+
+
u
u u C
( )
1
−
( )
1
11
d ( )
1
+
+ = + +
+
a x b x ax b C
a
.
( )
d
ln 0= +
x
x C x
x
.
( )
( )
d
ln 0= +
u
u C u x
u
( )
d1
ln 0= + +
+
x
ax b C a
ax b a
.
cos d sin=+
x x x C
.
cos d sin=+
u u u C
1
cos( )d sin( )+ = + +
ax b x ax b C
a
.
sin d cos= − +
x x x C
.
sin d cos= − +
u u u C
1
sin( )d cos( )+ = − + +
ax b x ax b C
a
.
2
1
d tan
cos
=+
x x C
x
Với
2
+xk
.
2
1
d tan
cos
=+
u u C
u
Với
( )
2
+u x k
( )
( )
2
d1
tan
cos
= + +
+
x
ax b C
ax b a
.
2
1
d cot
sin
= − +
x x C
x
.
Với
xk
.
2
1
d cot
sin
= − +
u u C
u
Với
( )
u x k
( )
( )
2
d1
cot
sin
−
= + +
+
x
ax b C
ax b a
.
d =+
xx
e x e C
.
d =+
uu
e u e C
1
d
++
=+
ax b ax b
e x e C
a
.
d
ln
=+
x
x
a
a x C
a
( )
01a
.
d
ln
=+
u
u
a
a u C
a
( )
01a
1
d
.ln
++
=+
px q px q
a x a C
pa
( )
01a
_ Casio: Cho
( )d ( )=+
f x x F x C
. Tìm
()fx
hoặc
( )
Fx
• Nhấn SHIFT
( )
d
( ) ( )
d
=
−
xx
F x f x
x
• Nhấn phím CALC nhập
2.5=x
• Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0) thì đó là đáp án cần chọn.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 2
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tất cả nguyên hàm của hàm số
( )
1
23
=
+
fx
x
là
A.
1
ln 2 3
2
++xC
. B.
( )
1
ln 2 3
2
++xC
. C.
ln 2 3++xC
. D.
1
ln 2 3
ln2
++xC
.
Lời giải
Chọn A
( )
11
d d ln 2 3
2 3 2
= = + +
+

f x x x x C
x
.
Ví dụ 2. Nếu
( )
32
d4= + +
f x x x x C
thì hàm số
( )
fx
bằng
A.
( )
3
4
3
= + +
x
f x x Cx
. B.
( )
2
12 2= + +f x x x C
.
C.
( )
2
12 2=+f x x x
. D.
( )
3
4
3
=+
x
f x x
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
3 2 2
d 4 12 2
= = + + = +
f x f x x x x C x x
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( )
1
21
=
−
fx
x
với mọi
1
2
x
và
( )
11=F
. Khi đó
giá trị của
( )
5F
bằng
A.
ln 2
. B.
ln3
. C.
ln 2 1+
. D.
ln3 1+
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
11
d ln 2 1
2 1 2
= = − +
−
F x x x C
x
Mặt khác theo đề ra ta có:
( )
11=F
1
ln 2.1 1 1 1
2
− + = =CC
Nên
( )
1
ln 2 1 1
2
= − +F x x
Do vậy
( )
11
5 ln 2.5 1 1 ln9 1 ln3 1
22
= − + = + = +F
.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
3
1
=+f x x
x
A.
( )
2
2
1
d3= + +
f x x x C
x
. B.
( )
4
d ln
4
= + +
x
f x x x C
.
C.
( )
2
2
1
d3= − +
f x x x C
x
. D.
( )
4
d ln
4
= + +
x
f x x x C
.
Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
1
cos2 d sin2
2
=+
x x x C
. B.
1
d
1
+
=+
+
e
e
x
x x C
e
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 3
C.
1
d ln=+
x x C
x
. D.
1
d
1
+
=+
+
e
e
x
x x C
x
.
Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
3 sin=+f x x x
là
A.
3
cos++x x C
. B.
6 cos++x x C
.
C.
3
cos−+x x C
. D.
6 cos−+x x C
.
Câu 4. Tất cả nguyên hàm của hàm số
( )
1
23
=
+
fx
x
là
A.
1
ln 2 3
2
++xC
. B.
( )
1
ln 2 3
2
++xC
.
C.
ln 2 3++xC
. D.
1
ln 2 3
ln2
++xC
.
Câu 5. Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai?
A.
2
1
d tan
cos
=+
x x C
x
. B.
d =+
x x
e x e C
.
C.
1
ln d =+
x x c
x
. D.
sin d cos= − +
x x x C
.
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
22
=+
x
f x e x
là
A.
( )
23
23
= + +
x
ex
F x C
. B.
( )
23
= + +
x
F x e x C
.
C.
( )
2
22= + +
x
F x e x C
. D.
( )
3
2
3
= + +
x
x
F x e C
.
Câu 7. Nguyên hàm của hàm số
( )
3
32= + +f x x x
là hàm số nào trong các hàm số sau?
A.
( )
2
33= + +F x x x C
. B.
( )
4
2
32
3
= + + +
x
F x x x C
.
C.
( )
42
3
2
42
= + + +
xx
F x x C
. D.
( )
42
2
42
= + + +
xx
F x x C
.
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số
( ) e (3 e )
−
=+
xx
fx
là
A.
1
( ) 3e
e
= − +
x
x
F x C
. B.
( ) 3e= − +
x
F x x C
.
C.
( ) 3e e lne= + +
x x x
F x C
. D.
( ) 3e= + +
x
F x x C
.
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
e cos=+
x
f x x
là
A.
e sin−+
x
xC
. B.
1
1
e sin
1
+
++
+
x
xC
x
.C.
1
e sin
−
−+
x
x x C
. D.
e sin++
x
xC
.
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số
( )
3=+
x
f x x
là:
A.
( )
2
3
2 ln3
= + +
x
x
F x C
. B.
( )
3
1
ln3
= + +
x
F x C
.
C.
( )
2
3
2
= + +
x
x
F x C
. D.
( )
2
3 .ln3
2
= + +
x
x
F x C
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 4
Câu 11. Tìm nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
sin cos=+f x x x
thoả mãn
2
2

=


F
A.
( )
cos sin 3= − +F x x x
. B.
( )
cos sin 3= − + +F x x x
.
C.
( )
cos sin 1= − + −F x x x
. D.
( )
cos sin 1= − + +F x x x
.
Câu 12. Tìm nguyên hàm
22
cos2
d
sin cos
x
x
xx
A.
( )
cos sin= − − +F x x x C
. B.
( )
cos sin= + +F x x x C
.
C.
( )
cot tan= − +F x x x C
. D.
( )
cot tan= − − +F x x x C
.
Câu 13. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2
( ) 4 2=+
x
f x e x
thỏa mãn
( )
01=F
. Tìm
( )
Fx
.
A.
( )
22
43= + −
x
F x e x
. B.
( )
22
21= + −
x
F x e x
.
C.
( )
22
21= + +
x
F x e x
. D.
( )
22
21= − −
x
F x e x
.
Câu 14. Cho hàm số
( )
=y F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
=yx
. Biểu thức
( )
25
F
bằng
A.
125
. B.
625
. C.
5
. D.
25
.
Câu 15. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
=
+
x
fx
x
và
( )
01=F
. Tính
( )
1F
.
A.
( )
1 ln2 1=+F
. B.
( )
1
1 ln2 1
2
=+F
. C.
( )
10=F
. D.
( )
1 ln2 2=+F
.
Câu 16. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
22=+
x
f x x
thoả mãn
( )
00=F
. Ta có
( )
Fx
bằng
A.
2
21
ln2
−
+
x
x
. B.
2
12
ln2
−
+
x
x
. C.
( )
1 2 1 ln2+−
x
. D.
2
21+−
x
x
.
Câu 17. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
1
21
=
−
fx
x
. Biết
( )
12=F
. Giá trị của
( )
2F
là
A.
( )
1
2 ln3 2
2
=+F
. B.
( )
2 ln3 2=+F
. C.
( )
1
2 ln3 2
2
=−F
. D.
( )
2 2ln3 2=−F
.
Câu 18. Nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
2
1
2
sin
=+f x x
x
thỏa mãn
1
4

=−


F
là
A.
2
2
cot
16
− + −xx
. B.
2
2
cot
16
−+xx
. C.
2
cot 1− + −xx
. D.
2
2
cot
16
+−xx
.
Câu 19. Tìm nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( ) ( )
sin 2
=−f x x
thỏa mãn
1
2

=


F
.
A.
cos( 2 ) 1
()
22
−−
=+
x
Fx
. B.
cos( 2 ) 1
()
22
−
=+
x
Fx
.
C.
cos( 2 )
( ) 1
2
−
=+
x
Fx
. D.
cos( 2 ) 1
()
22
−
=−
x
Fx
.
Câu 20. Tìm
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
1=−
x
f x e
trên
( )
;− +
, biết
( )
02=F
.
A.
( )
ln 1= − −F x x x
. B.
( )
1= − −
x
F x e x
.
C.
( )
1
1= − +
x
F x x
e
. D.
( )
1= − +
x
F x e x
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 5
▲_DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
PHƯƠNG PHÁP:
_Tự luận
• Đặt
( )
=tx
, trong đó
( )
x
là hàm số mà ta chọn thích hợp.
• Tính vi phân hai vế:
( )
'
=dt x dx
.
• Biểu thị:
( ) ( )
( ) ' ( )

==


f x dx g x x dx g t dt
.
• Khi đó:
( ) ( ) ( )= = = +

I f x dx g t dt G t C
_ Casio: Cho
( )d ( )=+
f x x F x C
. Tìm
()fx
hoặc
( )
Fx
• Nhấn SHIFT
( )
d
( ) ( )
d
=
−
xx
F x f x
x
• Nhấn phím CALC nhập
2.5=x
• Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0) thì đó là đáp án cần chọn.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số
sin
()
1 3cos
=
+
x
fx
x
.
A.
1
( )d ln 1 3cos
3
= + +
f x x x C
. B.
( )d ln 1 3cos= + +
f x x x C
.
C.
( )d 3ln 1 3cos= + +
f x x x C
. D.
1
( )d ln 1 3cos
3
−
=++
f x x x C
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
1 3cos 3sin= + = −t x dt xdx
1 1 1 1
( )d ln | | ln 1 3cos
3 3 3
−
= − = − + = + +

f x x dt t C x C
t
.
Ví dụ 2. Tính nguyên hàm
1
d
ln 1
=
+
Ix
xx
.
A.
3
2
(ln 1)
3
= + +I x C
. B.
ln 1= + +I x C
.
C.
2
1
(ln 1)
2
= + +I x C
. D.
2 ln 1= + +I x C
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
2
1
ln 1 ln 1 2= + = + =t x t x tdt dx
x
1
d 2 2 2 ln 1
ln 1
= = = + = + +
+

I x dt t C x C
xx
.
Ví dụ 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
3
2
.1=+f x x x
?
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 6
A.
( )
4
2
3
3
( 1)
8
= − + +F x x C
. B.
( )
4
2
3
8
( 1)
3
= + +F x x C
.
C.
( )
3
2
4
3
( 1)
8
= + +F x x C
. D.
( )
4
2
3
3
( 1)
8
= + +F x x C
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
3
2 3 2 2
1 1 3 2= + = + =t x t x t dt xdx
4
3
2 3 4 2
3
3 3 3
. 1 ( 1)
2 8 8
+ = = + = + +

x x dx t dt t C x C
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 21. Tìm
ln
d
x
x
x
có kết quả là.
A.
ln ln +xC
. B.
2
ln
2
+
x
C
. C.
( )
2
ln 1
2
−+
x
xC
.
D.
2
1
ln
2
+xC
.
Câu 22. Nguyên hàm
1
d
1+
x
x
bằng.
A.
2 2ln| 1|− + +x x C
. B.
2 +xC
.
C.
2ln | 1|++xC
. D.
2 2ln| 1|− + +x x C
.
Câu 23. Cho hàm số
( )
2
2d=+
F x x x x
. Biết
( )
2
2
3
=F
, tính
( )
7F
.
A.
7
. B.
11
. C.
23
6
. D.
40
3
.
Câu 24. Biết
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
e=
x
fx
và
( )
3
0
2
=F
. Giá trị
1
2



F
là
A.
1
e2
2
+
. B.
2e 1+
. C.
1
e1
2
+
. D.
11
e
22
+
.
Câu 25. Tính nguyên hàm
1
d
23


+

x
x
.
A.
2ln 2 3++xC
. B.
1
ln 2 3
2
++xC
. C.
ln 2 3++xC
. D.
( )
1
ln 2 3
2
++xC
.
Câu 26. Xét
( )
5
34
43=−
I x x dx
. Bằng cách đặt
4
43=−ux
, khẳng định nào sau đây đúng.
A.
5
1
4
=
I u du
. B.
5
=
I u du
. C.
5
1
12
=
I u du
. D.
5
1
16
=
I u du
.
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
23
4=+f x x x
là
A.
( )
3
3
2
4
9
++xC
. B.
3
24++xC
. C.
( )
3
3
1
4
9
++xC
. D.
( )
3
3
24++xC
.
Câu 28. Nguyên hàm
( )
( )
10
12
2
d
1
−
+
x
x
x
bằng.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 7
A.
11
12
33 1
−

+

+

x
C
x
. B.
11
12
11 1
−

+

+

x
C
x
.
C.
11
12
31
−

+

+

x
C
x
. D.
11
12
11 1
−

−+

+

x
C
x
.
Câu 29. Nguyên hàm của hàm số
3
( ) sin .cos=f x x x
là
A.
3
1
cos
4
+xC
. B.
3
1
sin
4
+xC
.
C.
4
1
sin
4
+xC
. D.
4
1
sin cos
4
++x x C
.
Câu 30. Nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
23
sin 2 .cos 2=f x x x
thỏa
0
4

=


F
là
A.
( )
35
1 1 4
sin 2 sin 2
6 10 15
= + −F x x x
. B.
( )
35
1 1 1
sin 2 sin 2
6 10 15
= − +F x x x
.
C.
( )
35
1 1 1
sin 2 sin 2
6 10 15
= + −F x x x
. D.
( )
35
1 1 1
sin 2 sin 2
6 10 15
= − −F x x x
.
Câu 31. Nếu
( )
( )
2
1
d
23
+
=
++
x
F x x
xx
thì
A.
( )
2
1
ln
23
+
=+
++
x
F x C
xx
. B.
( )
( )
2
1
ln 2 3
2
= + + +F x x x C
.
C.
( )
2
23= + + +F x x x C
. D.
( )
2
1
23
2
= + + +F x x x C
.
Câu 32. Cho
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( )
ln
=
x
fx
x
. Tính
( ) ( )
e1−FF
A.
1
2
=I
. B.
1=I
. C.
1
e
=I
. D.
e=I
.
Câu 33. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
=
+
fx
x
?
A.
( )
1=+F x x
. B.
( )
41=+F x x
. C.
( )
21=+F x x
. D.
( )
1
1
=
+
Fx
x
.
Câu 34. Nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
==
+
x
x
e
y f x
e
là
A.
ln= + +I x x C
. B.
( )
ln 1= + + +
xx
I e e C
.
C.
ln= − +I x x C
.
D.
( )
1 ln 1= + − + +
xx
I e e C
.
Câu 35. Một nguyên hàm của hàm số
2
1=+y x x
là:
A.
(
)
6
2
1
1
3
+ x
. B.
(
)
3
2
1
1
3
+ x
. C.
(
)
2
2
2
1
2
+
x
x
. D.
(
)
2
3
2
1
2
+
x
x
.
Câu 36. Tìm nguyên hàm
d
1
=
+
x
x
I
e
.
A.
ln 1= − − + +
x
I x e C
. B.
ln 1= + + +
x
I x e C
.
C.
ln 1= − − +
x
I x e C
. D.
ln 1= − + +
x
I x e C
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 8
Câu 37. Cho
( ) ( ) ( )
6 8 7
2 3 2 d 3 2 3 2− = − + − +
x x x A x B x C
với
A
,
B
và
C
. Giá trị của biểu thức
12 7+AB
bằng
A.
23
252
. B.
241
252
. C.
52
9
. D.
7
9
.
Câu 38. Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
( )
3sin 2cos
d
3cos 2sin
−
=
+
xx
f x x
xx
.
A.
( )
d ln 3sin 2cos= − +
f x x x x C
. B.
( ) ( )
d ln 3cos 2sin= − + +
f x x x x C
.
C.
( )
d ln 3cos 2sin= + +
f x x x x C
. D.
( )
d ln 3cos 2sin= − − + +
f x x x x C
.
Câu 39. Khi tính nguyên hàm
3
d
1
−
+
x
x
x
, bằng cách đặt
1=+ux
ta được nguyên hàm nào?
A.
( )
2
2 4 d−
uu
. B.
( )
2
3d−
uu
. C.
( )
2
2 4 d−
u u u
. D.
( )
2
4d−
uu
.
Câu 40. Kết quả của phép tính
d
2. 1
−
−+
xx
x
ee
bằng
A.
11
ln
32
−
+
+
x
x
e
C
e
. B.
1
ln
2
−
+
+
x
x
e
C
e
.
C.
( )
ln 2 1
−
− + +
xx
e e C
. D.
11
ln
32
−
+
+
x
x
e
C
e
.
▲_DẠNG 3. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
PHƯƠNG PHÁP:
_ Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn
;ab
và có đạo hàm liên tục trên đoạn
;ab
.
Khi đó:
d d .=−

u v uv v u
( )
*
Để tính nguyên hàm
( )
d
f x x
bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1. Chọn
, uv
sao cho
( )
dd=f x x u v
(chú ý
( )
d ' d=v v x x
).
Sau đó tính
d=
vv
và
d '.d=u u x
.
Bước 2. Thay vào công thức
( )
*
và tính
d
vu
.
Chú ý: Cần phải lựa chọn và
dv
hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được
v
và tích phân
d
vu
dễ tính hơn
d
uv
.
Ta thường gặp các dạng sau:
⍟Dạng 1.
( )
sin
d
cos

=


x
I P x x
x
, trong đó
( )
Px
là đa thức.
u
Với dạng này, ta đặt
( )
sin
dd
cos
=

=


u P x
x
vx
x
.
⍟ Dạng 2.
( )
d
+
=
ax b
I P x e x
, trong đó
( )
Px
là đa thức.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 9
Với dạng này, ta đặt
( )
dd
+
=
=
ax b
u P x
v e x
.
⍟ Dạng 3.
( ) ( )
ln d=+
I P x mx n x
, trong đó
( )
Px
là đa thức.
Với dạng này, ta đặt
( )
( )
ln
dd
=+
=
u mx n
v P x x
.
_ Casio: Cho
( )d ( )=+
f x x F x C
. Tìm
()fx
hoặc
( )
Fx
• Nhấn SHIFT
( )
d
( ) ( )
d
=
−
xx
F x f x
x
• Nhấn phím CALC nhập
2.5=x
• Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0) thì đó là đáp án cần chọn.
Nguyên tắc chung để đặt
u
và
dv
: Tìm được
v
dễ dàng và
.
v du
tính được.
Nhấn mạnh: Thứ tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức,
hàm lượng giác, hàm mũ)
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
cos2=f x x x
là
A.
sin2 cos2
24
++
x x x
C
. B.
cos2
sin2
2
−+
x
x x C
.
C.
cos2
sin2
2
++
x
x x C
. D.
sin2 cos2
24
−+
x x x
C
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
dd
1
d cos2 d
sin 2
2
=
=

=
=
ux
ux
v x x
vx
.
Khi đó
1 1 1 1
sin2 sin2 d sin2 cos2
2 2 2 4
= − = + +
I x x x x x x x C
.
Ví dụ 2. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
ln2=f x x x
là
A.
2
1
ln2
22

−+


x
xC
. B.
2
2
ln2
2
−+
x
x x C
. C.
( )
2
ln2 1
2
−+
x
xC
. D.
2
2
ln2
2
−+
x
x x C
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
2
1
d
ln2
dd
2
=
=
→

=
=
u
ux
x
v x x
x
v
.
( ) ( )
22
1
d .ln2 . d
22
= = −

xx
F x f x x x x
x
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 10
2 2 2
1
ln2 ln2
2 4 2 2

= − + = − +


x x x
x C x C
.
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
.e=
x
f x x
.
A.
( )
2
11
e
22

= − +


x
F x x C
. B.
( ) ( )
2
2e 2= − +
x
F x x C
.
C.
( )
2
1
2e
2

= − +


x
F x x C
. D.
( ) ( )
2
1
e2
2
= − +
x
F x x C
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
2
.e=
x
F x x dx
.
Đặt
( )
2
2
2 2 2
d
1
e
2
1 1 1 1
e e d e
2 2 2 2
=
=

=
=

= − = − +


x
x
x x x
du x
ux
v
dv e dx
F x x x x C
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 41. Nguyên hàm của hàm số
( )
sinf x x x=
là
A.
– cos sin++x x x C
. B.
sin cos++x x x C
. C.
cos sin++x x x C
. D.
cos sin−+x x x C
.
Câu 42. Kết quả của
d
x
I xe x=
là
A.
2
2
= + +
xx
x
I e e C
. B.
= + +
xx
I e xe C
. C.
2
2
=+
x
x
I e C
. D.
= − +
xx
I xe e C
.
Câu 43. Tính
( ) sin 2F x x xdx=
. Chọn kết quả đúng?
A.
1
( ) (2 cos2 sin2 )
4
= + +F x x x x C
. B.
1
( ) (2 cos2 sin2 )
4
= − + +F x x x x C
.
C.
1
( ) (2 cos2 sin2 )
4
= − − +F x x x x C
. D.
1
( ) (2 cos2 sin2 )
4
= − +F x x x x C
.
Câu 44. Nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
1e
x
f x x=+
là
A.
e +
x
xC
. B.
( )
2e++
x
xC
. C.
( )
1e−+
x
xC
. D.
2e+
x
xC
.
Câu 45. Họ các nguyên hàm của
( )
lnf x x x=
là:
A.
2
2
1
ln
24
++
x
x x C
. B.
22
1
ln
2
−+x x x C
. C.
2
2
1
ln
24
−+
x
x x C
. D.
1
ln
2
++x x x C
Câu 46. Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
ln 2f x x x=+
.
A.
( ) ( )
22
4
d ln 2
22
+
= + − +
x x x
f x x x C
. B.
( ) ( )
22
44
d ln 2
22
−+
= + − +
x x x
f x x x C
.
C.
( ) ( )
22
4
d ln 2
24
+
= + − +
x x x
f x x x C
. D.
( ) ( )
22
44
d ln 2
24
−−
= + − +
x x x
f x x x C
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 11
Câu 47. Cho hàm số
sin 2 dy x x x=
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.
3
6 12


=


y
. B.
3
66


=


y
. C.
6 12


=


y
. D.
6 24


=


y
.
Câu 48. Gọi
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
e
x
f x x
−
=
. Tính
( )
Fx
biết
( )
01F =
.
A.
( ) ( )
1 e 2
−
= + +
x
F x x
. B.
( ) ( )
1 e 1
−
= − + +
x
F x x
.
C.
( ) ( )
1 e 2
−
= − + +
x
F x x
. D.
( ) ( )
1 e 1
−
= + +
x
F x x
.
Câu 49. Tìm họ nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
2
.e
x
f x x=
.
A.
( ) ( )
2
2e 2= − +
x
F x x C
. B.
( ) ( )
2
1
e2
2
= − +
x
F x x C
.
C.
( )
2
1
2e
2

= − +


x
F x x C
. D.
( )
2
11
e
22

= − +


x
F x x C
.
Câu 50. Cho
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
5 1 e
x
f x x=+
và
( )
03F =
. Tính
( )
1F
.
A.
( )
1 e 2=+F
. B.
( )
1 11e 3=−F
. C.
( )
1 e 3=+F
. D.
( )
1 e 7=+F
.
Câu 51. Kết quả của
ln d
xx
là
A.
ln ++x x x C
. B.
ln +x x C
. C.
ln −+x x x C
. D.
ln −x x x
.
Câu 52. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
ln=f x x x
.
A.
( ) ( )
3
2
2
d 3ln 2
9
= − +
f x x x x C
. B.
( ) ( )
3
2
1
d 3ln 2
9
= − +
f x x x x C
.
C.
( ) ( )
3
2
2
d 3ln 2
3
= − +
f x x x x C
. D.
( ) ( )
3
2
2
d 3ln 1
9
= − +
f x x x x C
.
Câu 53. Biết
cos2 d sin 2 cos2x x x ax x b x C= + +
với
a
,
b
là các số hữu tỉ. Tính tích
ab
?
A.
1
4
=−ab
. B.
1
8
=ab
. C.
1
4
=ab
. D.
1
8
=−ab
.
Câu 54. Biết
( )
2 2 2
d , .
x x x
xe x axe be C a b= + +
Tính tích
ab
.
A.
1
4
=ab
. B.
1
8
=−ab
. C.
1
8
=ab
. D.
1
4
=−ab
.
Câu 55. Biết
( )
2
2
0
3 1 d
x
I x e x a be= − = +
với
,ab
là các số nguyên. Tính
.S a b=+
A.
8=S
. B.
10=S
. C.
12=S
. D.
16=S
.
Câu 56. Ta có
( )
22
.d= + + +
xx
x e x x mx n e C
khi đó
.mn
bằng.
A.
0
. B.
4−
. C.
5
. D.
4
.
Câu 57. Nguyên hàm của hàm 2018
( )
2
.e
x
f x x=
là:
A.
( )
2
1
( ) e 2
2
= − +
x
F x x C
. B.
2
11
( ) e
22

= − +


x
F x x C
.
C.
2
1
( ) 2e
2

= − +


x
F x x C
. D.
( )
2
( ) 2e 2= − +
x
F x x C
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 12
Câu 58. Cho
( )
( )
22
e
x
F x ax bx c= + −
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
22
2018 3 1 e
x
f x x x= − +
trên
khoảng
( )
;− +
. Tính
24T a b c= + +
.
A.
1011=T
. B.
3035=−T
. C.
1007=T
. D.
5053=−T
.
Câu 59. Biết
( ) ( )
22
1
3 . d 2
xx
x e x e x n C
m
−−
+ = − + +
, với
,mn
. Khi đó tổng
22
S m n=+
có giá trị
bằng
A.
5
. B.
65
. C.
41
. D.
10
.
Câu 60. Tìm nguyên hàm
sin d
xx
.
A.
sin d 2cos 2sin= − + +
x x x x C
. B.
sin d cos= − +
x x x C
.
C.
sin d cos=+
x x x C
. D.
1
sin d cos
2
=+
x x x C
x
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 13
BÀI 2 - TÍCH PHÂN
▲_DẠNG 1. TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT
PHƯƠNG PHÁP:
1. Định nghĩa
( ) ( ) ( ) ( )
d = = −
b
b
a
a
f x x F x F b F a
2. Tính chất:
•
( )
d0=
a
a
f x x
•
( ) ( )
dd=−

ba
ab
f x x f x x
.
•
( ) ( ) ( ) ( )
d d d =


b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
. •
( ) ( ) ( )
d d d=+
b c b
a a c
f x x f x x f x x
•
( ) ( )
d . d=

bb
aa
kf x x k f x x
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Giá trị của
0
1
1
ed
+
−
x
x
bằng
A.
1e−
. B.
e1−
. C.
e−
. D.
e
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
0
1
1
ed
+
−
x
x
=
0
1
1
e
+
−
x
=
e1−
.
Ví dụ 1. Cho biết
( )
2
0
d3=
f x x
và
( )
2
0
d2=−
g x x
. Tính tích phân
( ) ( )
2
0
2 2 d= + −


I x f x g x x
.
A.
11=I
. B.
18=I
. C.
5=I
. D.
3=I
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( ) ( )
2
0
2 2 d= + −


I x f x g x x
( ) ( )
2 2 2
0 0 0
2 d d 2 d= + −
x x f x x g x x
( )
4 3 2. 2 11= + − − =
.
Ví dụ 3. Cho
( )
1
0
d2=−
f x x
và
( )
( )
5
1
2 d 6=
f x x
khi đó
( )
5
0
d
f x x
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Lời giải
Chọn A
( )
( )
( )
55
11
2 d 6 d 3= =

f x x f x x
( ) ( ) ( )
5 1 5
0 0 1
d d d 2 3 1= + = − + =
f x x f x x f x x
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 14
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
A.
( )
2
2
2
1
1
1d
2

+ = +


x
x x x
. B.
( )
2
2
cos d sin
=
x x x
.
C.
( )
2
2
3
3
1
d ln
−
−
−
−
=
xx
x
. D.
( )
3
3
1
1
d =
xx
e x e
.
Câu 2. Tích phân
( )
1
2
0
3d+
x x x
bằng
A. 2. B. 1. C.
4
7
. D.
7
4
.
Câu 3. Tính tích phân
3
0
d
2
=
+
x
I
x
.
A.
21
100
=−I
. B.
5
ln
2
=I
. C.
5
log
2
=I
. D.
4581
5000
=I
.
Câu 4. Cho hàm số
3
=yx
có một nguyên hàm là
( )
Fx
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
( ) ( )
2 0 16−=FF
. B.
( ) ( )
2 0 1−=FF
. C.
( ) ( )
2 0 8−=FF
. D.
( ) ( )
2 0 4−=FF
.
Câu 5. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên ,
( )
12− = −f
và
( )
32=f
. Tính
( )
3
1
'd
−
=
I f x x
A.
4=I
. B.
3=I
. C.
0=I
. D.
4=−I
.
Câu 6. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
fx
liên tục trên
;ab
,
( )
5=fb
và
( )
d1
=
b
a
fxx
, khi đó
( )
fa
bằng
A.
6−
. B.
6
. C.
4−
. D.
4
.
Câu 7. Nếu
( ) ( )
25
12
3, 1f x dx f x dx= = −

thì
( )
5
1
f x dx
bằng
A.
2
. B.
2−
. C.
3
. D.
4
.
Câu 8. Cho
( )
1
0
d2f x x =
và
( )
1
0
d5g x x =
, khi đó
( ) ( )
1
0
2df x g x x

+

bằng
A.
3−
. B.
8−
. C.
12
. D.
1
.
Câu 9. Cho hàm số
()fx
liên tục trên tập và thỏa mãn
( )
2
1
d3=
f x x
,
( )
2
0
d5=−
f x x
. Giá trị của biểu
thức
( )
1
0
d
f x x
bằng
A.
8
. B.
11−
. C.
8−
. D.
2−
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 15
Câu 10. Biết
( )
5
2
d3=
f x x
,
( )
5
2
d 9.=
g x x
Tích phân
( ) ( )
5
2
d+


f x g x x
bằng
A.
10
. B.
3
. C.
6
. D.
12
.
Câu 11. Cho
02
20
( )d 2, ( )d 2
−
==

f x x f x x
. Tích phân
2
2
( )d
−
f x x
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
6
. D.
1
.
Câu 12. Cho biết
1
0
13
d ln
22
−
=+
+
x
x a b
x
, với
a
,
b
là các số nguyên. Giá trị của biểu thức
2−ab
bằng
A.
6
. B.
3
. C.
5−
. D.
7
.
Câu 13. Tìm số thực
0a
thỏa mãn
( )
3
1
875
6d
4
−=
a
x x x
.
A.
4=−a
. B.
5=−a
. C.
6=−a
. D.
3=−a
.
Câu 14. Giá trị của tích phân
2
1
d
25+
x
x
là
1
ln
b
ac
,. Tổng
++abc
bằng
A. 18. B. 14. C. 16. D. 10.
Câu 15. Biết
1
2
0
21
d ln3 ln2
1
−
= + +
+
x
x a b c
x
(
,,abc
là các số nguyên). Giá trị
+−a b c
bằng
A.
2
. B.
4−
. C.
3
. D.
1−
.
Câu 16. Cho biết
( )
2
0
4 sin d
− = +
x x a b
, với
,ab
là các số nguyên. Giá trị của biểu thức
+ab
bằng
A.
4−
. B.
6
. C.
1
. D.
1
.
Câu 17. Với
,ab
là các tham số thực. Giá trị tích phân
( )
2
0
3 2 1 d−−
b
x ax x
bằng
A.
32
−−b b a b
. B.
32
++b b a b
. C.
23
−−b ba b
. D.
2
3 2 1−−b ab
.
Câu 18. Cho
1
0
d ln
1
= = −
+
x
I x a b
x
với
, ab
là các số nguyên dương. Giá trị
+ab
bằng
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Câu 19. Có bao nhiêu số thực
(
0;2πa
sao cho
( )
1
2
0
11
cos d
24
=+
ax x
a
.
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
1
.
Câu 20. Biết
3
1
2
d ln
+
= = +
x
I x a b c
x
, với
a
,
b
,
c
,
9c
. Tính tổng
= + +S a b c
.
A.
7=S
. B.
5=S
. C.
8=S
. D.
6=S
.
▲_DẠNG 2. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
1. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
PHƯƠNG PHÁP:
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 16
Để tính tích phân:
( )
d=
b
a
I g x x
ta thực hiện các bước:
Bước 1. Biến đổi để chọn phép đặt
( )
=t u x
( )d
=dt u x x
Bước 2. Thực hiện phép đổi cận:
Với
=xa
thì
( )
=t u a
.
Với
=xb
thì
( )
=t u b
. (Nhớ: đổi biến phải đổi cận)
Bước 3. Đưa về dạng
()
()
( )d=
ub
ua
I f t t
đơn giản và dễ tính hơn.
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
Dấu hiệu
Có thể đặt
1.
Có
( )
fx
()=t f x
2.
Có
()+
n
ax b
=+t ax b
3.
Có
()fx
a
()=t f x
4.
Có
d
ln
x
và x
x
ln=tx
hoặc biểu thức chứa
ln x
5.
Có
x
e dx
=
x
te
hoặc biểu thức chứa
x
e
6.
Có
sin dxx
cos=tx
7.
Có
cos dxx
sin d=t x x
8.
Có
2
d
cos
x
x
tan=tx
9.
Có
2
d
sin
x
x
cot=tx
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
24
0
(1 ) d=+
I x x x
:
A.
16
5
=I
. B.
31
10
=I
. C.
1
10
=I
. D.
1
10
=−I
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
2
1 d 2 d= + =t x t x x
.
Đổi cận
01= =xt
;
12= =xt
Nên
2
2
45
1
1
31
d
2 10 10
= = =
tt
It
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
1
2 1d=−
I x x x
bằng cách đặt
2
1=−ux
, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
0
2d=
I u u
. B.
2
1
d=
I u u
. C.
3
0
d=
I u u
. D.
2
1
1
d
2
=
I u u
Lời giải
Chọn C
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 17
2
2
1
2 1d=−
I x x x
Đặt
2
1 d 2 d= − =u x u x x
.
Đổi cận
10= =xu
;
23= =xu
Nên
3
0
d=
I u u
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
3
0
cos .sin dI x x x
=
.
A.
4
1
4
I
=−
. B.
4
I
=−
. C.
0I =
. D.
1
4
I =−
Lời giải
Chọn C
Ta có:
3
0
cos .sin
=
I x xdx
.
Đặt
cos sin sin= = − − =t x dt xdx dt xdx
Đổi cận: với
01= =xt
;
với
1
= = −xt
.
Vậy
( )
1
4
11
44
33
11
1
1
1
0
4 4 4
−
−
−
−
= − = = = − =

t
I t dt t dt
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1. Tính tích phân
1
25
0
( 2) (2 1)d= + + +
I x x x x
chọn cách đổi biến hợp lí nhất
A.
25
( ) d=+t x x x
. B.
21=+tx
.
C.
25
( ) (2 1)= + +t x x x
. D.
2
2= + +t x x
.
Câu 2. Tính tích phân
1
5 3 4 2
0
1(5 3 )= + + +
I x x x x dx
chọn cách đổi biến hợp lí nhất
A.
53
( )d=+t x x x
. B.
42
53=+t x x
. C.
53
1= + +t x x
. D.
53
d=+t x x x
.
Câu 3. Tính tích phân
5
1
1
ln d=
e
I x x
x
chọn cách đổi biến hợp lí nhất
A.
1
=t
x
. B.
ln=tx
.
C.
5
ln=tx
. D.
d
=
x
t
x
.
Câu 4. Tính tích phân
2
1
0
(2x 1)d
+
=+
xx
I e x
chọn cách đổi biến hợp lí nhất
A.
2
31= + +t x x
. B.
21=+tx
. C.
2
=+t x x
. D.
2
(2 1)
+
=+
xx
t e x
.
Câu 5. Tính tích phân
3
1
2
0
3 (3 1)d
+
=+
xx
I x x
chọn cách đổi biến hợp lí nhất
A.
32
3=+t x x
. B.
2
3=+t x x
. C.
3
=+t x x
. D.
3
2
3 (3x 1)
+
=+
xx
t
.
Câu 6. Tính tích phân
6
2
0
cos .sin d
=
I x x x
chọn cách đổi biến hợp lí nhất
A.
6
os=t c x
. B.
sin=tx
. C.
cos=tx
. D.
6
os .sin=t c x x
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 18
Câu 7. Tính tích phân
6
4
2
0
1
tan . d
cos
=
I x x
x
chọn cách đổi biến hợp lí nhất
A.
6
tan=tx
. B.
tan=tx
. C.
cos=tx
. D.
2
cos=tx
.
Câu 8. Tích phân
2
2
0
d
3+
x
x
x
1
ln
2
=
a
b
khi đó
+ab
bằng
A. 6. B. 8. C. 9. D. 10.
Câu 9. Cho
1
2
0
d
1
=
+
x
Ix
x
,với cách đặt
2
1=+tx
thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào sau đây?
A.
2
0
d
tt
. B.
2
2
0
1
d
2
tt
. C.
2
2
0
d
tt
. D.
2
1
d
t
.
Câu 10. Tích phân
2
0
cos .sin d
x x x
bằng
A.
3
2
−
. B.
2
3
. C.
2
3
−
. D.
3
2
.
Câu 11. Cho
f
là hàm số liên tục thỏa
( )
1
0
d7=
f x x
. Tính
( )
2
0
cos . sin d
=
I x f x x
.
A.
1
. B.
9
. C.
3
. D.
7
.
Câu 12. Cho
4
0
( )d 2018=
f x x
. Tính tích phân
2
0
(2 ) (4 2 ) d= + −
I f x f x x
A.
0=I
. B.
2018=I
. C.
4036=I
. D.
1009=I
.
Câu 13. Cho tích phân
( )
4
0
d 32.==
I f x x
Tính tích phân
( )
2
0
2 d .=
J f x x
A.
32=J
. B.
64=J
. C.
8=J
. D.
16=J
.
Câu 14. Cho
2
1
1
0
d
−
=
x
I xe x
. Biết rằng
2
−
=
ae b
I
. Khi đó
+ab
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
4
.
Câu 15. Với cách đổi biến
1 3ln=+ux
thì tích phân
1
ln
d
1 3ln+
e
x
x
xx
trở thành
A.
( )
2
2
1
2
1d
3
−
uu
. B.
( )
2
2
1
2
1d
9
−
uu
. C.
( )
2
2
1
2 1 d−
uu
. D.
2
2
1
21
d
9
−
u
u
u
.
2. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
Để tính tích phân:
( )
d=
b
a
I f x x
, mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
1.
22
−ax
: đặt
| |sin ; ;
22


= −


x a t t
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 19
2.
22
−xa
: đặt
||
; ; \{0}
sin 2 2


= −


a
xt
t
3.
22
+xa
:
| | tan ; ;
22


= −


x a t t
4.
+
−
ax
ax
hoặc
−
+
ax
ax
: đặt
.cos2=x a t
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với
x
mũ chẵn.
Ví dụ, để tính tích phân
3
2
2
0
1
=
+
x dx
I
x
thì phải đổi biến dạng 2.
Còn với tích phân
3
3
2
0
1
=
+
x dx
I
x
thì nên đổi biến dạng 1.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tính tích phân sau:
1
2
0
1d=−
I x x
.
A.
4
. B. 1. C. 0. D.
4
−
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
sin=xt
ta có
d cos d=x t t
Đổi cận:
0 0; 1
2
= = = =x t x t
.
Vậy
1
22
22
0 0 0
1 d | cos |cos d cos d

= − = =
I x x t t t t t
2
0
1 cos2
d
24
+
==
t
t
.
Ví dụ 2. Tính tích phân sau:
1
2
0
d
1
=
+
x
I
x
A.
4
. B.
12
. C.
6
. D.
3
64
−
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
tan ,=xt
ta có
( )
2
d 1 tan d=+x t t
.
Đổi cận:
00
1
4
= → =
= → =
xt
xt
.
Vậy
1
4
4
2
0
00
d
d
14
= = = =
+

x
I t t
x
.
Ví dụ 3. Khi đổi biến
5 tan=xt
thì tích phân
5
2
0
d
5
=
+
x
I
x
trở thành tích phân nào sau đây?
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 20
A.
4
0
5d
=
It
. B.
4
0
5
d
5
=
It
. C.
6
0
5d
=
I t t
. D.
6
0
1
d
=
It
t
.
Lời giải
Chọn B
Đổi biến số
( )
2
5 tan d 5 1 tan d= = +x t x t t
Đổi cận.
5
4
= =xt
;
00= =xt
( ) ( )
( )
22
444
2
2
000
5 1 tan d 5 1 tan d
5d
5tan 5 5
5 tan 1

++
===
+
+

t t t t
t
I
t
t
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 16. Tính tích phân
4
2
0
d
16
=
+
x
I
x
chọn cách đổi biến hợp lí nhất
A.
2
16=+tx
. B.
4sin=tx
. C.
4tan=xt
. D.
2
4=+xt
.
Câu 17. Tính tích phân
5
2
0
d
25
=
+
x
I
x
chọn cách đổi biến hợp lí nhất
A.
2
25=+tx
. B.
2
5=+xt
. C.
5sin=tx
. D.
5tan=xt
.
Câu 18. Tính tích phân
2
2
0
4 d ,=−
I x x
chọn cách đổi biến hợp lí nhất
A.
2tan=xt
. B.
2
4=−tx
. C.
2sin=xt
. D.
2sin=tx
.
Câu 19. Đổi biến số
4sin=xt
của tích phân
8
2
0
16 d−
xx
ta được:
A.
4
2
0
16 cos d
=−
I t t
. B.
( )
4
0
8 1 cos2 d
=+
I t t
. C.
4
2
0
16 sin d
=
I t t
. D.
( )
4
0
8 1 cos2 d
=−
I t t
.
Câu 20. Tích phân
3
5
2
3
5
d
9
25
+
x
x
bằng
A.
4
6
3
d
5
t
. B.
4
6
5
d
3
t
. C.
4
6
3
d
5
−
t
. D.
4
6
5
d
3
−
t
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 21
▲_DẠNG 3. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Dạng 1.
( )
sin
cos d





ax
ax
f x ax x
e
PHƯƠNG PHÁP:
Đặt:
( ) ( )
d ' d
sin sin
cos d cos d
==




==



ax ax
u f x u f x x
ax ax
dv ax x v ax x
ee
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tính tích phân
2
1
d=
x
I xe x
.
A.
2
=Ie
. B.
2
=−Ie
. C.
=Ie
. D.
2
32=−I e e
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
dd
dd
==


==

xx
u x u x
v e x v e
22
2 2 2
11
11
d d 2= = − = − −

x x x x
I xe x xe e x e e e
( )
2 2 2
2= − − − =e e e e e
Ví dụ 2. Tính tích phân
1
2
0
( 2) d=−
x
I x e x
.
A.
2
53
4
−
=
e
I
. B.
2
53
4
−
=
e
I
. C.
2
53
4
−
=
e
I
. D.
2
53
4
−
=
e
I
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
2
2
dd
2
1
2
=
=−

=
=
x
x
ux
ux
ve
dv e dx
(chọn
0=C
)
1
1
2
22
0
0
1 1 5 3
( 2) d
2 2 4
−
= − − =
xx
e
I x e e x
.
Ví dụ 3. Tích phân
( )
2
0
3 2 cos d
+
x x x
bằng
A.
2
3
4

−
. B.
2
3
4

+
. C.
2
1
4

+
. D.
2
1
4

−
.
Lời giải
Chọn B
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 22
Đặt
( )
2
0
3 2 cos d
=+
I x x x
. Ta có:
( )( )
0
1
3 2 1 cos2 d
2
= + +
x x x
( ) ( ) ( )
12
00
11
3 2 d 3 2 cos2 d
22


= + + + = +



x x x x x I I
.
( )
1
0
3 2 d
= + =
I x x
22
0
33
22
22


+ = +


xx
.
( )
2
0
3 2 cos2 d
=+
I x x x
. Dùng tích phân từng phần
Đặt
d 3d
32
1
d cos2 d
sin 2
2
=
=+

=
=
ux
ux
v x x
vx
.
Khi đó
( )
2
0
0
13
3 2 sin2 sin2 d
22
= + −
I x x x x
( )
0
3
0 cos2 0
4
= + =x
.
Vậy
22
1 3 3
2
2 2 4

= + = +


I
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1. Tính tích phân
( )
4
0
2 1 cos d
=−
I x x x
A.
2
−
.
B.
3
−
. C.
1
−
. D.
4
−
.
Câu 2. Tính tích phân
( )
6
0
2 sin3 d
=−
I x x x
A.
4
9
. B.
7
9
. C.
8
9
. D.
5
9
.
Câu 3. Tính tích phân
2
x
8
1
I (2x 1)e dx=−
A.
2
ee−
. B.
2
1ee++
.
C.
2
ee+
.
D.
2
1ee+−
.
Câu 4. Tính tích phân
( )
1
3x
0
I x 1 e dx=−
A.
2
4
9
e−
. B.
3
4
9
e+
. C.
3
42
9
e−
.
D.
3
4
9
e−
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 23
Câu 5. Cho
( )
1
0
21
x
I x e dx=+
. Đặt
21
x
ux
dv e dx
=+
=
. Chọn khẳng định đúng.
A.
1
0
3 1 2
x
I e e dx= − +
. B.
1
0
3 1 2
x
I e e dx= − −
. C.
1
0
32
x
I e e dx=+
. D.
1
0
32
x
I e e dx=−
.
Câu 6. Biết tích phân
( )
1
0
3
x
x e dx a be− = +
với
,.ab
Tìm tổng a+b.
A.
1.ab+=
B.
25.ab+=
C.
43.a b e+ = −
D.
1ab+ = −
.
Câu 7. Cho biết tích phân
42
2
1
..
(2 ln )
4
e
a e b e c
I x x x dx
++
= + =
với
,,abc
là các ước nguyên của 4.
Tính tổng:
abc++
A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 8. Cho
( )
1
0
1 '( ) x 2x f x d+=
và
2 (1) (0) 1ff−=
. Tính
1
0
( ) x ?f x d =
A.
1=−I
. B.
1=I
. C.
2=−I
. D.
2=I
.
Câu 9. Biết
1
0
( 2020) .+ = +
x
x e dx a e b
. Với
, ab
. Tính
=+T a b
A.
1=T
. B.
2=T
. C.
3=T
. D.
4=T
.
Câu 10. Tính
2
1
ed
x
I x x=
.
A.
2
eI =
. B.
2
eI =−
. C.
2
3e 2eI =−
. D.
eI =
.
2. Dạng 2:
( )ln( )f x ax dx
PHƯƠNG PHÁP:
Đặt:
ln( )
()
()
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx
=
=

=
=
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho
e
1
ln dI x x x=
2
.eab
c
+
=
với
a
,
b
,
c
. Tính
T a b c= + +
.
A.
5
. B.
3
. C.
4
. D.
6
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
ln
dd
ux
v x x
=
=
nên
2
1
dd
2
ux
x
x
v
=
=
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 24
e
1
ln dI x x x=
e
e
2
1
1
1
ln d
22
x
x x x=−
2
e1
4
+
=
.
1
1
4
a
b
c
=
=
=
.
Vậy
T a b c= + +
6=
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
( ) ( )
5
4
1 ln 3 d= + −
I x x x
?
A.
10ln2
. B.
19
10ln2
4
+
. C.
19
10ln2
4
−
. D.
19
10ln2
4
−
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
( )
2
1
dd
ln 3
3
1
d1
2
=
=−

−

=+
=+
ux
ux
x
vx
v x x
.
( )
2
5
2
4
1
5
1
2
ln 3 d
4
23
+

= + − −

−

xx
I x x x x
x
55
2
44
35 1 9 9 3 3
ln2
2 2 3 3
− + − +
= − −
−−

xx
dx dx
xx
( )
35 1 9
ln2 3 9ln2 1 3ln2
2 2 2

= − + + − +


19
10ln2
4
=−
.
Ví dụ 3. Biết
( )
2
0
2 ln 1 d .lnx x x a b+=
, với
*
,ab
,
b
là số nguyên tố. Tính
67ab+
.
A.
33
. B.
25
. C.
42
. D.
39
.
Lời giải
Chọn D
Xét
( )
2
0
2 ln 1 dI x x x=+
6=
.
Đặt
( )
ln 1
d 2 d
ux
v x x
= +
=
2
1
dd
1
1
ux
x
vx
=
+
=−
.
Ta có:
( )
( )
2
2
2
2
0
0
1
1 ln 1 d
1
x
I x x x
x
−
= − + −
+
( )
2
0
3ln3 1 dxx= − −
2
2
0
3ln3 3ln3
2
x
x

= − − =


.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 25
Vậy
3a =
,
3b =
6 7 39ab + =
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 11. Tính tích phân
1
( 2)ln d=+
e
I x x x
:
A.
1
2
I =
. B.
2
2
2
e
I
−
=
. C.
2
1
4
e
I
+
=
. D.
2
1
4
e
I
−
=
.
Câu 12. Nếu đặt
( )
ln
d 2 1 d
=
=+
ux
v x x
thì tích phân
( )
1
2 1 ln d=+
e
I x x x
trở thành
A.
( )
( )
2
1
1
1d= + − +
e
e
I x x x x
. B.
( )
2
1
1
ln 1 d= − +
e
e
I x x x x
.
C.
2
1
1
ln d=+
e
e
I x x x x
. D.
( )
( )
2
1
1
ln 1 d= + + +
e
e
I x x x x x
.
Câu 13. Tính tích phân
2
0
ln(x 1)J x dx=+
A.
4
ln3
3
J =
. B.
5
ln3
3
J =
. C.
3
ln3
2
J =
. D.
3
ln3
4
J =
.
Câu 14. Biết
( )
2
0
2 ln 1 d .ln+=
x x x a b
, với
*
, ab
,
b
là số nguyên tố. Tính
34+ab
.
A.
42
. B.
21
. C.
12
. D.
32
.
Câu 15. Biết
3
2
ln( 1) ln2− = +
x dx a b
với
,ab
là các số nguyên. Khi đó,
+ab
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Câu 16. Tích Phân
3
2
2
ln( )=−
I x x dx
là :
A.
3ln3
.
B.
2ln 2
. C.
3ln3 2−
.
D.
2 3ln3−
.
Câu 17. Tích phân
2
2
1
ln
=
x
I dx
x
bằng:
A.
( )
1
1 ln2
2
+
.
B.
( )
1
1 ln2
2
−
.
C.
( )
1
ln2 1
2
−
.
D.
( )
1
1 ln2
4
+
.
Câu 18. Tích phân
2
1
(2 1)ln=−
K x xdx
bằng:
A.
1
3ln2
2
=+K
.
B.
1
2
=K
.
C.
3ln2=K
.
D.
1
2ln2
2
=−K
.
Câu 19. Cho
3
1
31
ln d
e
a
e
x x x
b
+
=
với
,ab
. Tổng
ab+
bằng
A.
20
. B.
10
. C.
17
. D.
12
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 26
Câu 20. Biết
( )
2
0
2 ln 1 dx lnx x a b+=
, với
*
,ab
,
b
là số nguyên tố. Tính
67ab+
.
A.
33
. B.
25
. C.
42
. D.
39
.
3. Dạng 3:
sin
.



ax
ax
e dx
cosax
PHƯƠNG PHÁP:
Đặt:
os
sin
sin
cos
1


=

=
−





=
=
ax
ax
ac ax
ax
du dx
u
a ax
ax
ve
dv e dx
a
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tính tích phân
2
0
cos . d
=
x
I x e x
.
A.
2
e2
2
+
. B.
2
e2
2
−
. C.
2
e1
2
+
. D.
2
e1
2
−
.
Lời giải
Chọn D
2
0
cos . d
=
x
I x e x
Đặt:
sin
ee
= = −


==

xx
u cosx du xdx
dv dx v
22
2
0
00
. sin . 1 sin . (*)

= + = − +

x x x
I cosx e x e dx x e dx
2
0
sin . d
=
x
J x e x
Đặt:
sin
ee
==


==

xx
u x du cosxdx
dv dx v
22
2
2
0
00
2
sin . cos . cos .
(2*)

= − = −
=−

x x x
J x e x e dx e x e dx
eI
Thay (2*) vào (*) ta có:
2
1
2
−
=
e
I
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 27
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
0
sin . d
−
=
x
I x e x
.
A.
2
-e 2
2
−
+
. B.
2
-e 2
2
−
−
. C.
2
-e 1
2
−
+
. D.
2
-e 1
2
−
−
.
Lời giải
Chọn D
2
0
sin . d
−
=
x
I x e x
Đặt:
sin
ee
−−
==


= = −

xx
u x du cosxdx
dv dx v
2
2
2
0
0
sin . cos . e (*)
−
−−
= − + = − +
xx
I x e x e dx J
2
0
cos . d
−
=
x
J x e x
Đặt:
sin
ee
−
= = −


= = −

xx
u cosx du xdx
dv dx v
2
2
0
0
s . sin .
1 (2*)
−−
= − −
=−
xx
J co x e x e dx
I
Thay (2*) vào (*) ta có:
2
1
2
−
−+
=
e
I
.
Ví dụ 3.
2
sinx
0
.sin 2
=
I e xdx
A.
1
. B.
2
. C.
1−
. D.
2−
.
Lời giải
Chọn B
inx
I e x xdx
2
s
0
2 .sin cos
=
.
Đặt
xx
u x du xdx
dv e xdx v e
sin sin
sin cos
cos

==

==

2
sin sin
2
0
0
sin
2
0
2sin .cos
2 2 2
= −
= − =
xx
x
I xe e xdx
ee
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 28
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 21. Tính tích phân
4
0
e cos2
=
x
I xdx
:
A.
4
1
5
−
=
e
I
. B.
4
2
5
−
=
e
I
. C.
4
3
5
−
=
e
I
. D.
4
4
5
−
=
e
I
.
Câu 22. Tính tích phân
4
0
e cos2
−
=
x
I xdx
:
A.
4
12
3
−
−
=
e
I
. B.
4
22
3
−
−
=
e
I
. C.
4
32
3
−
−
=
e
I
. D.
4
42
3
−
−
=
e
I
.
Câu 23. Tính tích phân
2
0
e sin
=
x
x xI d
.
A.
2
2
=+Ie
. B.
2
1
=+Ie
. C.
2
3
=+Ie
. D.
2
1
2
=+Ie
.
Câu 24. Tính tích phân
4
0
e sin 2
=
x
I xdx
.
A.
4
3
5
+
=
e
I
. B.
4
1
5
+
=
e
I
. C.
4
2
5
+
=
e
I
. D.
4
4
5
+
=
e
I
.
Câu 25. Tính tích phân
6
0
e sin3
=
x
I xdx
A.
6
1
7
+
=
e
I
. B.
6
1
8
+
=
e
I
. C.
6
1
9
+
=
e
I
. D.
6
1
10
+
=
e
I
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 29
BI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
▲_DẠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG.
PHƯƠNG PHÁP:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
()=y f x
liên tục trên đoạn
;ab
, trục hoành
và hai đường thẳng
=xa
,
=xb
được xác định:
( ) d=
b
a
S f x x
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
()=y f x
,
()=y g x
liên tục trên đoạn
;ab
và
hai đường thẳng
=xa
,
=xb
được xác định:
( ) ( ) d=−
b
a
S f x g x x
Chú ý:
- Nếu trên đoạn
[ ; ]ab
, hàm số
()fx
không đổi dấu thì:
( ) ( )d=

bb
aa
f x dx f x x
.
- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
()=x g y
,
()=x h y
và hai đường thẳng
=yc
,
=yd
được xác định:
( ) ( ) d=−
d
c
S g y h y y
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
2=−yx
và
.=yx
A.
9
2
. B.
7
. C.
5
. D.
11
2
.
Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
22
2
2 2 0 .
1
=−
− = + − =
=
x
x x x x
x
Diện tích của hình phẳng cần tìm là
=
=
=
=
()
()
y f x
y0
H
xa
xb
a
1
c
2
c
= ()y f x
y
O
x
3
c
b
( ) d
b
a
S f x x=
=
=
=
=
11
22
( ): ( )
( ): ( )
()
C y f x
C y f x
H
xa
xb
1
()C
2
()C
12
( ) ( ) d
b
a
S f x f x x=−
a
1
c
y
O
b
x
2
c
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 30
2
y = -
1
3
x+
4
3
y =
x
2
1
4
1
y
O
x
1
11
32
22
22
2
9
2 ( 2) 2
3 2 2
−−
−

= − − + = − − + = − − + =



xx
S x x dx x x dx x
.
Ví dụ 2.
Gọi
S
là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
ln
=
x
y
x
,
0=y
,
1=x
,
e=x
. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A.
e
2
1
ln
d
=
x
Sx
x
. B.
e
2
1
ln
d=
x
Sx
x
. C.
2
e
2
1
ln
d

=


x
Sx
x
. D.
2
e
2
1
ln
d

=


x
Sx
x
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
e
2
1
ln
d=
x
Sx
x
.
Vì
e
22
1
ln ln
[1;e], ln 0 0 d =
xx
x x S x
xx
.
Ví dụ 3.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
yx
,
14
33
yx
và trục hoành như hình
vẽ.
A.
7
3
. B.
56
3
. C.
39
2
. D.
11
6
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị ta có:
Diện tích hình phẳng cần tìm là
4
1
14
2
23
0
01
1
1 4 1 4 1 8 7 11
3 3 3 6 3 3 3 6 6


= + − + = + − + = + − =





x
S x dx x dx x x
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1. Diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
( )
3
2
( ) ( ) d
−
−
f x g x x
. B.
( )
3
2
( ) ( )
−
−
g x f x dx
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 31
C.
( ) ( )
03
20
( ) ( ) d g( ) ( ) d
−
− + −

f x g x x x f x x
. D.
( ) ( )
03
20
( ) ( ) ( ) ( )
−
− + −

g x f x dx f x g x dx
.
Câu 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
3
11 6= + −y x x
và
2
6=yx
là
A.
52
. B.
14
. C.
1
4
. D.
1
2
.
Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
; 0; 1; 2= = = =y x y x x
bằng
A.
7
3
. B.
4
3
. C.
8
3
. D.
1
.
Câu 4. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
( )
2
2
1
2 2 4 d
−
++
x x x
. B.
( )
2
2
1
2 2 4 d
−
+−
x x x
.
C.
( )
2
2
1
2 2 4 d
−
− + +
x x x
. D.
( )
2
2
1
2 2 4 d
−
− − +
x x x
.
Câu 5. Tính diện tích
S
của hình phẳng
()H
giới hạn bởi các đường cong
3
12= − +y x x
và
2
=−yx
.
A.
937
12
=S
. B.
343
12
=S
. C.
793
4
=S
. D.
397
4
=S
.
Câu 6. Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
1
:
1
−
=
+
x
Hy
x
và các trục tọa độ. Khi đó
giá trị của
S
bằng
A.
2ln2 1=−S
. B.
ln2 1=+S
. C.
ln2 1=−S
. D.
2ln2 1=+S
.
Câu 7. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
( )
3
2
1
4 3 d− + −
x x x
. B.
( )
3
2
1
2 11 d− + +
x x x
.
C.
( )
3
2
1
2 11 d−−
x x x
. D.
( )
3
2
1
4 3 d−+
x x x
.
Câu 8. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 32
A.
( )
3
32
1
5 9 7 d− + −
x x x x
. B.
( )
3
32
1
5 9 7 d− + − +
x x x x
.
C.
( )
3
32
1
9 9 d− + + −
x x x x
. D.
( )
3
32
1
9 9 d− − +
x x x x
.
Câu 9. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
( )
1
2
2
5 8 d
−
−
−
xx
. B.
( )
1
2
2
2
2 5 2 d
−
−
++
x x x
.
C.
( )
1
2
2
5 8 d
−
−
−−
xx
. D.
( )
1
2
2
2
2 5 2 d
−
−
− − −
x x x
.
Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
3
=yx
và
5
=yx
?
A.
1=S
. B.
2=S
. C.
1
6
=S
. D.
1
3
=S
.
Câu 11. Tính diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
2=−y x x
,
0=y
,
10=−x
,
10=x
.
A.
2000
3
=S
. B.
2008=S
. C.
2000=S
. D.
2008
3
=S
.
Câu 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
4=−y x x
và trục
Ox
.
A.
11
. B.
34
3
. C.
31
3
. D.
32
3
.
Câu 13. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số
2x
ye=
, trục
,Ox Oy
và đường thẳng
2=x
.
Tính
S
hình phẳng trên.
A.
4
1e −
. B.
( )
4
1
1
2
e −
. C.
4
1
2
e
. D.
( )
4
1
1
2
e +
.
Câu 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
( )
( )
2
1
: y 8 7
3
= − − +P x x
,
( )
7
:
3
−
=
−
x
Hy
x
.
A.
3,455
. B.
9 8ln2−
. C.
3 ln4−
. D.
161
4ln3 8ln2
9
++
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 33
Câu 15. Tính diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
2=−y x x
,
0=y
,
10=−x
,
10=x
.
A.
2000
3
=S
. B.
2008=S
. C.
2000=S
. D.
2008
3
=S
.
▲_DẠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH.
PHƯƠNG PHÁP:
1. Bài toán1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền
( )
D
giới hạn bởi
( )
=y f x
;
0=y
và
, ==x a x b
khi quay quanh trục
Ox
.
* Phương pháp giải: Áp dụng công thức:
2
d
=
b
a
V y x
2. Bài toán 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi:
( )
=y f x
;
( )
=y g x
quay
quanh trục
Ox
.
* Phương pháp giải:
• Giải phương trình:
( ) ( )
=f x g x
có nghiệm
, ==x a x b
• Khi đó thể tích cần tìm:
( ) ( )
22
d
=−
b
a
V f x g x x
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hình phẳng
D
giới hạn với đường cong
2
1=+yx
, trục hoành và các đường thẳng
0, 1==xx
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
D
quanh trục hoành có thể tích
V
bằng bao nhiêu?
A.
4
3
=V
. B.
2
=V
. C.
4
3
=V
. D.
2=V
.
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:
(
)
( )
1
11
3
2
22
00
0
4
1 d 1 d
33

= + = + = + =



x
V x x x x x
.
Ví dụ 2. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số
32
2, 2= − + + =y x x y
.
A.
12
35
. B.
3564
35
. C.
3654
35
. D.
729
35
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
32
0
22
1
=
− + + =
=
x
xx
x
Thể tích:
( )
1
2
3 2 2
0
12
2 2 d .
35

= − + + − =
V x x x
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 34
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 16. Cho hàm số
( )
=y f x
liên tục trên đoạn
;ab
. Gọi
D
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
=y f x
, trục hoành và hai đường thẳng
=xa
,
=xb
( )
ab
. Thể tích khối tròn xoay tạo thành
khi quay
D
quanh trục hoành được tính theo công thức
A.
( )
2
d
=
b
a
V f x x
. B.
( )
2
2d
=
b
a
V f x x
. C.
( )
22
d
=
b
a
V f x x
. D.
( )
2
d
=
b
a
V f x x
.
Câu 17. Gọi
( )
H
là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
sin=yx
;
Ox
;
0=x
;
=x
. Quay
( )
H
xung
quanh trục
Ox
ta được khối tròn xoay có thể tích là
A.
2
2
. B.
2
. C.
. D.
2
.
Câu 18. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol
( )
2
: =P y x
và đường thẳng
:2=d y x
quay quanh trục
Ox
bằng
A.
22
24
00
4x x

−

dx x d
. B.
( )
2
2
2
0
2x
−
x dx
. C.
22
24
00
4x x

+

dx x d
.D.
( )
2
2
0
2x
−
x dx
.
Câu 19. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi
ln=yx
, trục
Ox
và đường thẳng
2=x
quay xung quanh trục
Ox
.
A.
2ln2 1+
. B.
2 ln2

+
. C.
2 ln2

−
. D.
2ln2 1−
.
Câu 20. Cho hình phẳng
D
giới hạn bởi đường cong
2 sin=+yx
, trục hoành và các đường thẳng
0=x
,
=x
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
D
quay quanh trục hoành có thể tích
V
bằng bao nhiêu?
A.
2
2
=V
. B.
( )
21

=+V
. C.
2
=V
. D.
( )
21
=+V
.
Câu 21. Cho hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi các đường
2
3=+yx
,
0=y
,
0=x
,
2=x
. Gọi
V
là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay
( )
H
xung quanh trục
Ox
. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
( )
2
2
2
0
3
=+
V x dx
. B.
( )
2
2
0
3
=+
V x dx
. C.
( )
2
2
2
0
3=+
V x dx
. D.
( )
2
2
0
3=+
V x dx
.
Câu 22. Cho hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi các đường thẳng
2
2, 0, 1, 2= + = = =y x y x x
. Gọi
V
là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay
( )
H
xung quanh trục
Ox
. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
( )
2
2
2
1
2d
=+
V x x
. B.
( )
2
2
2
1
2d=+
V x x
. C.
( )
2
2
1
2d
=+
V x x
. D.
( )
2
2
1
2d=+
V x x
.
Câu 23. Viết công thức tính thể tích
V
của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn
bởi đồ thị hàm số
( )
=y f x
, trục
Ox
và hai đường thẳng
( )
,= = x a x b a b
, xung quanh trục
Ox
.
A.
( )
2
=
b
a
V f x dx
. B.
( )
2
=
b
a
V f x dx
. C.
( )
=
b
a
V f x dx
. D.
( )
=
b
a
V f x dx
.
Câu 24. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số
2
3 , 0= − =y x x y
.
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 35
A.
16
15
. B.
16
15
. C.
81
10
. D.
16
15
.
Câu 25. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số
23
2,==y x y x
.
A.
1536
π
35
. B.
256
π
35
. C.
1536
35
. D.
265
35
.
Câu 26. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số
3
, 0, 1= = =y x y x
.
A.
4
. B.
4
7
. C.
2
. D.
7
.
Câu 27. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số
2
2 3; 1; 2; 0= − = = =y x y y x
.
A.
8
. B.
2
. C.
9
4
. D.
206
15
.
Câu 28. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số
9, 0, 1, 3= = = =xy y x x
.
A.
54
. B.
6
. C.
12
. D.
6
.
Câu 29. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số
2ln , 0, 1,= = = =y x y x x e
.
A.
. B.
2−e
. C.
( )
2
−e
. D.
( )
42
−e
.
Câu 30. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số
3
; 0; 1= = =y x y x
.
A.
56
5
. B.
2
5
. C.
93
5
. D.
7
.

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
BÀI 1: NGUYÊN HÀM ..................................................................................................................................... 1
▲_DẠNG 1. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN ....................................................... 1
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................... 2
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ............................................................................................................................. 2
▲_DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN...................................................................................................... 5
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................... 5
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ............................................................................................................................. 6
▲_DẠNG 3. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN ................................................................................................... 8
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................... 9
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 10
BÀI 2 - TÍCH PHÂN ....................................................................................................................................... 13
▲_DẠNG 1. TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT .................................................................. 13
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 13
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 14
▲_DẠNG 2. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ ..................................................................................................... 15
1. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 ........................................................................................................................ 15
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 16
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 17
2. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 ........................................................................................................................ 18
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 19
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 20
▲_DẠNG 3. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ...................................................................................................... 21 sin ax    
1. Dạng 1.  f (x) cosax d 
x .................................................................................................................... 21   ax  e
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 21
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 22 
2. Dạng 2: f (x) ln(ax)dx
......................................................................................................................... 23 
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 23
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 25  sin ax 3. Dạng 3: e .  ax
dx ........................................................................................................................ 26  cosax
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 26
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 28
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC .................................................................. 29
▲_DẠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG. ..................................... 29
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 29
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 30
▲_DẠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH. ................................................................ 33
A. VÍ DỤ MINH HỌA: ............................................................................................................................. 33
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ........................................................................................................................... 34
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM
▲_DẠNG 1. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP:
_ Sử dụng bảng nguyên hàm Hàm sơ cấp
Hàm số hợp u = u ( x) Thường gặp . d = +  x x C . d = +  u u C . . Vi phân (ax +b) 1 d = dx a  1 +  1 + ..   d = +  x x x  = +  C . d  u u u C +1  +1 (ax b) 1 1  1 dx (ax ) + + =  + b + C (  − ) a  + 1 (  − ) 1 1 d d d 1 . = ln +  x x
C ( x  0) . = ln +  u u
C (u ( x)  0) . = ln + +  x ax b C (a  0) x u ax + b a. cos d = sin +  x x x C . cos d = sin +  u u u C 1 . cos( + )d = sin( + ) +  ax b x ax b C a. sin d = − cos +  x x x C . sin d = − cos +  u u u C 1 . sin( + )d = − cos( + ) +  ax b x ax b C a 1 1 d 1 . d = tan +  x x C . d = tan +  u u C . = tan ( + ) +  x ax b C 2 cos x 2 cos u 2 cos (ax + b) a   Với x  +  k
Với u (x)  +  k 2 2 1 1 d 1 − . d = − cot +  x x C . . d = − cot +  u u C . = cot ( + ) +  x ax b C 2 sin x 2 sin u 2 sin (ax + b) a Với x   k
Với u ( x)  k . d = +  x x e x e C . d = +  u u e u e C + 1 . d + = +  ax b ax b e x e C a x a u a + 1  + . x a dx = +  C. u a du = +  C. d = +  px q px q a x a C ln a ln a . p ln a (0  a  ) 1 (0  a  ) 1 (0  a  ) 1 _ Casio: Cho ( )d = ( ) +
f x x F x C . Tìm f (x) hoặc F (x) • d Nhấn SHIFT
(F(x)) − f (x) dx x=x
• Nhấn phím CALC nhập x = 2.5
• Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0) thì đó là đáp án cần chọn.
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 1
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tất cả nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = là 2x + 3 1 1 1 A. ln 2x + 3 + C . B. ln (2x + ) 3 + C .
C. ln 2x + 3 + C . D. ln 2x + 3 + C . 2 2 ln 2 Lời giải Chọn A f (x) 1 1 dx = dx = ln 2x + 3 +  C . 2x + 3 2 Ví dụ 2. Nếu ( ) 3 2 d = 4 + +
f x x x x C thì hàm số f (x) bằng x A. f ( x) 3 4 = x + + Cx . B. f ( x) 2
=12x + 2x + C . 3 C. f ( x) 2 =12x + 2x . D. ( ) 3 4 = + x f x x . 3 Lời giải Chọn C  
Ta có: f ( x) = ( f (x) x) = ( 3 2
x + x + C ) 2 d 4 =12x + 2x .
Ví dụ 3. Cho hàm số F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = với mọi 1 x  và F ( ) 1 = 1. Khi đó 2x −1 2
giá trị của F (5) bằng A. ln 2 . B. ln 3 . C. ln 2 +1. D. ln 3 +1. Lời giải Chọn D Ta có F ( x) 1 1 = dx = ln 2x −1 +  C 2x −1 2
Mặt khác theo đề ra ta có: 1 F ( ) 1 = 1 
ln 2.1−1 + C = 1  C = 1 2 Nên F ( x) 1 = ln 2x −1 +1 2 Do vậy F ( ) 1 1 5 = ln 2.5 −1 +1 = ln 9 +1 = ln 3 +1. 2 2
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1 Câu 1.
Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 3 = x + x 1 A. ( ) 2 d = 3 + +  f x x x C . B. ( ) 4 d = + ln +  x f x x x C . 2 x 4 1 C. ( ) 2 d = 3 − +  f x x x C . D. ( ) 4 d = + ln +  x f x x x C . 2 x 4 Câu 2.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 e 1 + x A. cos 2 d = sin 2 +  x x x C . B. e x dx = +  C . 2 e +1
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 2
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 e 1 + x C. d = ln +  x x C . D. e x dx = +  C . x x +1 Câu 3.
Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= 3x + sin x là A. 3
x + cos x + C .
B. 6x + cos x + C . C. 3
x − cos x + C .
D. 6x − cos x + C . Câu 4.
Tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = là 2x + 3 1 1 A. ln 2x + 3 + C . B. ln (2x + ) 3 + C . 2 2 1
C. ln 2x + 3 + C . D. ln 2x + 3 + C . ln 2 Câu 5.
Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai? 1 A. d = tan +  x x C . B. d = +  x x e x e C . 2 cos x 1 C. ln d = +  x x c . D. sin d = − cos +  x x x C . x Câu 6.
Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 x 2
= e + x là x e x A. F ( x) 2 3 = + + C . B. F ( x) 2 x 3
= e + x + C . 2 3 x C. ( ) 2 = 2 x F x e + 2x + C . D. F ( x) 3 2 = x e + + C . 3 Câu 7.
Nguyên hàm của hàm số f ( x) 3
= x + 3x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau? x A. F ( x) 2
= 3x + 3x + C . B. F ( x) 4 2 =
+ 3x + 2x + C . 3 x x x x C. F ( x) 4 2 3 = + + 2x + C . D. F ( x) 4 2 = + + 2x + C . 4 2 4 2 Câu 8.
Họ nguyên hàm của hàm số ( ) ex (3 e− = + x f x ) là x 1
A. F(x) = 3e − + C . B. ( ) = 3ex F x − x + C . ex C.
( ) = 3ex + ex ln ex F x + C . D. ( ) = 3ex F x + x + C . Câu 9.
Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = ex f x + cos x là 1
A. ex − sin x + C . B. x 1 x−
e + + sin x + C .C. 1 e x
− sin x + C . D. ex + sin x + C . x +1
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số ( ) = +3x f x x là: x x x A. F ( x) 2 3 = + + C . B. F ( x) 3 =1+ + C . 2 ln 3 ln 3 x x C. F ( x) 2 = + 3x + C . D. F ( x) 2 = + 3 .xln 3+ C . 2 2
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 3
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG   
Câu 11. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x + cos x thoả mãn F = 2    2 
A. F ( x) = cos x − sin x + 3 .
B. F ( x) = − cos x + sin x + 3 .
C. F ( x) = − cos x + sin x −1.
D. F ( x) = − cos x + sin x +1. cos 2
Câu 12. Tìm nguyên hàm d  x x 2 2 sin x cos x
A. F ( x) = − cos x − sin x + C .
B. F ( x) = cos x + sin x + C .
C. F ( x) = cot x − tan x + C .
D. F ( x) = − cot x − tan x + C .
Câu 13. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số 2 ( ) = 4 x f x e
+ 2x thỏa mãn F (0) =1. Tìm F ( x) . A. F ( x) 2 x 2
= 4e + x − 3 . B. F ( x) 2 x 2 = 2e + x −1. C. F ( x) 2 x 2
= 2e + x +1 . D. F ( x) 2 x 2
= 2e − x −1.
Câu 14. Cho hàm số y = F ( x) là một nguyên hàm của hàm số 2
y = x . Biểu thức F(25) bằng A. 125 . B. 625 . C. 5 . D. 25 . x
Câu 15. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
và F (0) = 1. Tính F ( ) 1 . 2 x +1 A. F ( ) 1 = ln 2 +1 . B. F ( ) 1 1 = ln 2 +1. C. F ( ) 1 = 0 . D. F ( ) 1 = ln 2 + 2 . 2
Câu 16. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) = 2 + 2x f x x
thoả mãn F (0) = 0 . Ta có F ( x) bằng 2x −1 1− 2x A. 2 x + . B. 2 x + . C. 1+ (2x − ) 1 ln 2 . D. 2 + 2x x −1. ln 2 ln 2
Câu 17. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = . Biết F ( )
1 = 2 . Giá trị của F (2) là 2x −1 A. F ( ) 1 2 = ln 3 + 2 .
B. F (2) = ln 3 + 2 . C. F ( ) 1 2 =
ln 3 − 2 . D. F (2) = 2 ln 3 − 2 . 2 2 1   
Câu 18. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2x + thỏa mãn F = 1 −   là 2 sin x  4  2  2  2  A. 2 −cot x + x − . B. 2 cot x − x + . C. 2
−cot x + x −1. D. 2 cot x + x − . 16 16 16   
Câu 19. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin ( − 2x) thỏa mãn F = 1   .  2  −cos( − 2x) 1 cos( − 2x) 1 A. F(x) = + . B. F(x) = + . 2 2 2 2 cos( − 2x) cos( − 2x) 1 C. F(x) = +1. D. F(x) = − . 2 2 2
Câu 20. Tìm F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) = x f x e −1 trên ( ;
− +) , biết F (0) = 2 .
A. F ( x) = ln x − x −1 . B. ( ) = x F x e − x −1 . C. F ( x) 1 = − x +1. D. ( ) = x F x e − x +1. x e
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 4
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
▲_DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN PHƯƠNG PHÁP: _Tự luận
• Đặt t =  ( x) , trong đó  ( x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
• Tính vi phân hai vế: dt =  '( x) dx .
• Biểu thị: f (x)dx = g   (x) '
 ( x)dx = g(t)dt .
• Khi đó: I = f (x)dx = g(t)dt = G(t) +   C _ Casio: Cho ( )d = ( ) +
f x x F x C . Tìm f (x) hoặc F (x) • d Nhấn SHIFT
(F(x)) − f (x) dx x=x
• Nhấn phím CALC nhập x = 2.5
• Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0) thì đó là đáp án cần chọn.
A. VÍ DỤ MINH HỌA: x
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sin f (x) = . 1+ 3cos x 1 A. ( ) d = ln 1+ 3cos +  f x x x C . B. ( ) d = ln 1+ 3cos +  f x x x C . 3 1 − C. ( ) d = 3ln 1+ 3cos +  f x x x C . D. ( ) d = ln 1+ 3cos +  f x x x C . 3 Lời giải Chọn D
Đặt t =1+ 3cos x dt = 3 − sin xdx 1 1 1 1 −
f (x) dx = −
dt = − ln | t | +C = ln 1+ 3cos x +   C . 3 t 3 3 1
Ví dụ 2. Tính nguyên hàm I = d  x . x ln x +1 2 A. 3 I = (ln x +1) + C .
B. I = ln x +1 + C . 3 1 C. 2 I = (ln x +1) + C .
D. I = 2 ln x +1 + C . 2 Lời giải Chọn D Đặt 1 2
t = ln x +1  t = ln x +1 2tdt = dx x 1 I =
dx = 2 dt = 2t + C = 2 ln x +1 +   C . x ln x +1
Ví dụ 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 2 = . x x +1 ?
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 5
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 4 3 4 8 A. F ( x) 2 3
= − (x +1) + C . B. F ( x) 2 3 = (x +1) + C . 8 3 3 3 4 3 C. F ( x) 2 4 = (x +1) + C . D. F ( x) 2 3 = (x +1) + C . 8 8 Lời giải Chọn D Đặt 3 2 3 2 2 t =
x +1  t = x +1  3t dt = 2xdx 4 3 3 3 3 2 3 4 2 3 . x x +1dx =
t dt = t + C = (x +1) +   C . 2 8 8
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ln Câu 21. Tìm d
x x có kết quả là. x 2 x 2 x 1
A. ln ln x + C . B. ln + C . C. (ln x − ) 1 + C . D. 2 ln x + C . 2 2 2 1 Câu 22. Nguyên hàm d  x bằng. 1+ x
A. 2 x − 2ln | x +1| +C .
B. 2 x + C .
C. 2ln | x +1| +C .
D. 2 x − 2ln | x +1 | +C .
Câu 23. Cho hàm số F ( x) 2 = x x + 2d  x . Biết F ( ) 2 2 = , tính F ( 7). 3 23 40 A. 7 . B. 11. C. . D. . 6 3  
Câu 24. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 = e x f x và F ( ) 3 0 = . Giá trị 1 F   là 2  2  1 1 1 1 A. e + 2 . B. 2e +1. C. e +1 . D. e + . 2 2 2 2  1 
Câu 25. Tính nguyên hàm d   x .  2x + 3  1 1
A. 2 ln 2x + 3 + C . B. ln 2x + 3 + C .
C. ln 2x + 3 + C . D. ln (2x + ) 3 + C . 2 2
Câu 26. Xét I = x ( x −  )5 3 4 4
3 dx . Bằng cách đặt 4
u = 4x − 3 , khẳng định nào sau đây đúng. 1 1 1 A. 5 I = u du . B. 5 I =  u du . C. 5 I = u du. D. 5 I = u du. 4 12 16
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 3
= x 4 + x là 2 1 A. (4+ x )3 3 + C . B. 3 2 4 + x + C . C. (4+ x )3 3 + C . D. ( x )3 3 2 4 + + C . 9 9 ( − 2)10
Câu 28. Nguyên hàm  x ( x bằng. x + ) d 12 1
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 6
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 11 11 1  x − 2  1  x − 2  A.   + C . B.   + C . 33  x +1  11  x +1  11 11 1  x − 2  1  x − 2  C.   + C . D. −   + C . 3  x +1  11  x +1 
Câu 29. Nguyên hàm của hàm số 3 f (x) = sin .
x cos x là 1 1 1 1 A. 3 cos x + C . B. 3 sin x + C . C. 4 sin x + C . D. 4
sin x + cos x + C . 4 4 4 4   
Câu 30. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 2 3 = sin 2 .
x cos 2x thỏa F = 0   là  4  1 1 4 1 1 1 A. F ( x) 3 5 = sin 2x + sin 2x − . B. F ( x) 3 5 = sin 2x − sin 2x + . 6 10 15 6 10 15 1 1 1 1 1 1 C. F ( x) 3 5 = sin 2x + sin 2x − . D. F ( x) 3 5 = sin 2x − sin 2x − . 6 10 15 6 10 15 +1 Câu 31. Nếu ( ) ( ) = d  x F x x thì 2 x + 2x + 3 x +1 1
A. F ( x) = ln + C .
B. F ( x) = ln ( 2
x + 2x + 3) + C . 2 x + 2x + 3 2 1 C. F ( x) 2
= x + 2x + 3 + C . D. F ( x) 2 =
x + 2x + 3 + C . 2
Câu 32. Cho F ( x) là nguyên hàm của hàm số ( ) ln = x f x
. Tính F (e) − F ( ) 1 x 1 1 A. I = . B. I = 1. C. I = . D. I = e . 2 e
Câu 33. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = ? x +1
A. F ( x) = x +1.
B. F ( x) = 4 x +1 .
C. F ( x) = 2 x +1 . D. F ( x) 1 = . x +1 x e
Câu 34. Nguyên hàm của hàm số y = f ( x) 2 = là x e +1
A. I = x + ln x + C .
B. = x + ln ( x I e e + ) 1 + C .
C. I = x − ln x + C .
D. = x +1− ln ( x I e e + ) 1 + C .
Câu 35. Một nguyên hàm của hàm số 2
y = x 1+ x là: 1 1 2 2 x 2 3 x A. ( 1+ x )6 2 . B. ( 1+ x )3 2 . C. ( 2 1+ x ) . D. ( 2 1+ x ) . 3 3 2 2 dx
Câu 36. Tìm nguyên hàm I =  . 1+ x e
A. = − − ln 1+ x I x e + C . B. = + ln 1+ x I x e + C .
C. = − ln 1− x I x e + C . D. = − ln 1+ x I x e + C .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 7
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 6 8 7
Câu 37. Cho 2 (3 − 2) d = (3 − 2) + (3 − 2) +  x x x A x B x
C với A , B  và C
. Giá trị của biểu thức
12A + 7B bằng 23 241 52 7 A. . B. . C. . D. . 252 252 9 9 −
Câu 38. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: ( ) 3sin 2cos = d  x x f x x . 3cos x + 2sin x A. ( )d = ln 3sin − 2cos +  f x x x x C . B. ( )d = −ln (3cos + 2sin ) +  f x x x x C . C. ( )d = ln 3cos + 2sin +  f x x x x C . D. ( )d = −ln 3 − cos + 2sin +  f x x x x C . −3
Câu 39. Khi tính nguyên hàm d  x
x , bằng cách đặt u =
x +1 ta được nguyên hàm nào? x +1 A.  ( 2 2 u − 4)du . B. ( 2 u − 3)du . C. u ( 2 2 u − 4)du . D. ( 2 u − 4)du . x
Câu 40. Kết quả của phép tính d  bằng x e 2. − − x e +1 1 x e −1 x e −1 A. ln + C . B. ln + C . 3 x e + 2 x e + 2 1 x e −1 C. ln ( x 2 − − x e e + ) 1 + C . D. ln + C . 3 x e + 2
▲_DẠNG 3. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHƯƠNG PHÁP:
_ Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn a;b và có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b . Khi đó: d u v = uv − d v .   u (*) Để tính nguyên hàm ( )d
f x x bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1. Chọn u, v sao cho f ( x)dx = udv (chú ý dv = v '( x)dx ). Sau đó tính v = d
v và du =u'.dx.
Bước 2. Thay vào công thức (*) và tính d v u.
Chú ý: Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân d
v u dễ tính hơn d u v .
Ta thường gặp các dạng sau:  x
⍟Dạng 1. I =  P(x) sin d 
x , trong đó P( x) là đa thức. u cos x
u = P(x) 
Với dạng này, ta đặt  sin x  . dv = d    x  cos x ⍟ ax+ Dạng 2. =  ( ) b I P x e
dx , trong đó P ( x) là đa thức.
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 8
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
u = P(x)
Với dạng này, ta đặt  . d ax+ v = b e dx
⍟ Dạng 3. I = P ( x) ln (mx + 
n) dx , trong đó P ( x) là đa thức. u = ln  (mx + n)
Với dạng này, ta đặt  . dv =  P ( x) dx _ Casio: Cho ( )d = ( ) +
f x x F x C . Tìm f (x) hoặc F (x) • d Nhấn SHIFT
(F(x)) − f (x) dx x=x
• Nhấn phím CALC nhập x = 2.5
• Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0) thì đó là đáp án cần chọn.
Nguyên tắc chung để đặt u và dv : Tìm được v dễ dàng và .
v du tính được.
Nhấn mạnh: Thứ tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức,
hàm lượng giác, hàm mũ)
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x cos 2x là x sin 2x cos 2x cos 2x A. + + C .
B. x sin 2x − + C . 2 4 2 cos 2x x sin 2x cos 2x
C. x sin 2x + + C . D. − + C . 2 2 4 Lời giải Chọn A du = d  =  x u x Đặt    1 . dv = cos 2 d x x v = sin 2  x  2 Khi đó 1 1 1 1 I = x sin 2x − sin 2 d x x = x sin 2x + cos 2x +  C . 2 2 2 4
Ví dụ 2. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x ln 2x là 2 x  1  2 x 2 x 2 x A. ln 2x − +   C . B. 2 x ln 2x − + C . C. (ln2x − ) 1 + C . D. 2
ln 2x − x + C . 2  2  2 2 2 Lời giải Chọn A  1 du = u = ln 2  x  Đặt  →  x . 2 dv = d x xv = x  2 ( ) =  ( ) 2 2 x 1 x F x f x dx = .ln 2x − . d  x 2 x 2
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 9
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2 2 2 x x x  1  = ln 2x − + C = ln 2x − +   C . 2 4 2  2 
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 = .e x f x x . 1 x  1  A. F ( x) 2 = e x − +   C . B. ( ) 2 = 2e x F x (x − 2)+C . 2  2  1 x  1  C. F ( x) 2 = 2e x − +   C . D. ( ) 2 = e x F x (x −2)+C .  2  2 Lời giải Chọn A Ta có: ( ) 2 = .e  x F x x dx . Đặt du = d  =  x u x    1 2 x 2 dv = e dx v = e  x  2 F (x) 1 x 1 x 1 x  1  2 2 2 = e x − e dx = e x − +    C 2 2 2  2 
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 41. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x sin x là
A. –x cos x + sin x + C . B. x sin x + cos x + C . C. x cos x + sin x + C . D. x cos x − sin x + C .
Câu 42. Kết quả của x I = xe dx  là 2 x 2 x A. I = x e + x e + C . B. = x + x I e xe + C . C. I = x e + C . D. = x − x I xe e + C . 2 2
Câu 43. Tính F (x) = x sin 2xdx
. Chọn kết quả đúng? 1 1 A. F(x) =
(2x cos 2x + sin 2x) + C .
B. F(x) = − (2x cos 2x + sin 2 ) x + C . 4 4 1 1
C. F(x) = − (2x cos 2x − sin 2x) + C . D. F(x) =
(2x cos 2x − sin 2x) + C . 4 4
Câu 44. Nguyên hàm của hàm số ( ) = ( + ) 1 ex f x x là A. ex x + C . B. ( + 2) ex x + C . C. ( − ) 1 ex x + C . D. 2 ex x + C .
Câu 45. Họ các nguyên hàm của f ( x) = x ln x là: 2 x 1 1 2 x 1 1 A. 2 ln x + x + C . B. 2 2 x ln x −
x + C . C. 2 ln x −
x + C . D. x ln x + x + C 2 4 2 2 4 2
Câu 46. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x ln ( x + 2) . 2 2 + 4 2 2 − 4 + 4 A. ( )d = ln( + 2)− +  x x x f x x x C . B. ( )d = ln ( + 2) − +  x x x f x x x C . 2 2 2 2 2 2 + 4 2 2 − 4 − 4 C. ( )d = ln( + 2)− +  x x x f x x x C . D. ( )d = ln ( + 2) − +  x x x f x x x C . 2 4 2 4
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 10
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 47. Cho hàm số y = x sin 2 d x x
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:     3     3         A. y =   . B. y =   . C. y =   . D. y =   .  6  12  6  6  6  12  6  24
Câu 48. Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) e x f x x − =
. Tính F ( x) biết F (0) = 1. − − A. ( ) = ( + ) 1 e x F x x + 2 . B. ( ) = −( + ) 1 e x F x x +1. − − C. ( ) = −( + ) 1 e x F x x + 2 . D. ( ) = ( + ) 1 e x F x x +1.
Câu 49. Tìm họ nguyên hàm F ( x) của hàm số ( ) 2 = .e x f x x . 1 A. ( ) 2 = 2e x F x
(x − 2)+C . B. ( ) 2 = e x F x
(x −2)+C . 2 1 x  1  x  1  C. F ( x) 2 = 2e x − +   C . D. F ( x) 2 = e x − +   C .  2  2  2 
Câu 50. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) = (5 + )1ex f x x
và F (0) = 3. Tính F ( ) 1 . A. F ( ) 1 = e + 2 . B. F ( ) 1 = 11e − 3 . C. F ( ) 1 = e + 3 . D. F ( ) 1 = e + 7 .
Câu 51. Kết quả của ln d  x x là
A. x ln x + x + C .
B. x ln x + C .
C. x ln x − x + C .
D. x ln x − x .
Câu 52. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x ln x . 3 2 3 1 A. ( ) 2 d = (3ln −2)+  f x x x x C . B. ( ) 2 d = (3ln −2)+  f x x x x C . 9 9 3 2 3 2 C. ( ) 2 d = (3ln −2)+  f x x x x C . D. ( ) 2 d = (3ln − ) 1 +  f x x x x C . 3 9
Câu 53. Biết x cos 2 d
x x = ax sin 2x + b cos 2x + C
với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 1 1 1 A. ab = − . B. ab = . C. ab = . D. ab = − . 4 8 4 8 Câu 54. Biết 2 x 2 x 2 d x xe x = axe
+ be + C (a, b  ). Tính tích ab . 1 1 1 1 A. ab = . B. ab = − . C. ab = . D. ab = − . 4 8 8 4 2 x
Câu 55. Biết I = (3x − ) 2
1 e dx = a + be với a,b là các số nguyên. Tính S = a + . b 0 A. S = 8. B. S = 10 . C. S = 12 . D. S = 16 . Câu 56. Ta có 2 ( 2 . d = + + ) +  x x x e x x mx n e C khi đó . m n bằng. A. 0 . B. −4 . C. 5 . D. 4 .
Câu 57. Nguyên hàm của hàm 2018 ( ) 2 = .e x f x x là: 1 1 x  1  A. 2 ( ) = e x F x (x −2)+C . B. 2 F (x) = e x − +   C . 2 2  2  x  1  C. 2 F (x) = 2e x − +   C . D. 2 ( ) = 2e x F x (x − 2)+C .  2 
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 11
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 58. Cho ( ) = ( 2 + − ) 2ex F x ax bx c
là một nguyên hàm của hàm số ( ) = ( 2 − + ) 2 2018 3 1 e x f x x x trên khoảng ( ;
− +) . Tính T = a + 2b + 4c . A. T = 1011. B. T = 3035 − . C. T = 1007 . D. T = 5053 − . − x 1
Câu 59. Biết ( + 3) 2 2 . d − x x e x = − e
(2x + n) + C, với , m n  . Khi đó tổng 2 2
S = m + n có giá trị m bằng A. 5 . B. 65 . C. 41 . D. 10 .
Câu 60. Tìm nguyên hàm sin d  x x . A. sin d = 2 − cos + 2sin +  x x x x C . B. sin d = − cos +  x x x C . 1 C. sin d = cos +  x x x C . D. sin d = cos +  x x x C . 2 x
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 12
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG BÀI 2 - TÍCH PHÂN
▲_DẠNG 1. TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT PHƯƠNG PHÁP: 1. Định nghĩa b f ( x) b
dx = F ( x) = F (b) −  F (a) a a 2. Tính chất: a b a
• f (x)dx = 0
• f ( x)dx = − 
f (x)dx . a a b b b b b c b •
 f (x) g(x)dx = 
f (x)dx  g(x)dx.
• f ( x)dx = f (x)dx +  
f (x)dx a a a a a c b b
• kf (x)dx = k. f (x)dx . a a
A. VÍ DỤ MINH HỌA: 0
Ví dụ 1. Giá trị của 1 e + d  x x bằng 1 − A. 1− e . B. e −1. C. −e . D. e . Lời giải Chọn B 0 + 0 Ta có 1 e d  x x = x 1 e + = e −1. 1 − 1 − 2 2 2
Ví dụ 1. Cho biết  f (x)dx = 3 và ( )d = 2 −  g x x
. Tính tích phân I = 2x + 
f ( x) − 2g ( x) d    x . 0 0 0 A. I = 11. B. I = 18 . C. I = 5 . D. I = 3 . Lời giải Chọn A 2 2 2 2
Ta có I = 2x + 
f ( x) − 2g ( x) d    x = 2 d x x + 
f (x)dx−2 g(x)dx = 4+3−2.( 2 − ) =11. 0 0 0 0 1 5 5 Ví dụ 3. Cho ( )d = 2 −  f x x
và (2 f (x))dx = 6 khi đó ( )d
f x x bằng 0 1 0 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn A 5 ( 5
2 f ( x))dx = 6   f (x)dx = 3 1 1 5 1 5
f (x)dx =  f (x)dx+  f (x)dx = 2 − + 3 =1. 0 0 1
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 13
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 1.
Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? 2 2 2   x  2 2 A. (x + ) 1 dx =  + x . B. cos d =
x x (sin x) .  2   1  1 2 − 1 3 2 − 3 C. d =
x (ln x) . D. d =  x ( x e x e ) . 3 − x 1 3 − 1 1 Câu 2. Tích phân  x( 2
x + 3)dx bằng 0 4 7 A. 2. B. 1. C. . D. . 7 4 3 d Câu 3.
Tính tích phân =  x I . x + 2 0 21 5 5 4581 A. I = − . B. I = ln . C. I = log . D. I = . 100 2 2 5000 Câu 4. Cho hàm số 3
y = x có một nguyên hàm là F ( x) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. F (2) − F (0) = 16 . B. F (2) − F (0) = 1. C. F (2) − F (0) = 8 . D. F (2) − F (0) = 4 . 3 Câu 5.
Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên , f (− ) 1 = 2
− và f (3) = 2 . Tính I = f '
 (x)dx −1 A. I = 4 . B. I = 3 . C. I = 0 . D. I = 4 − . b Câu 6.
Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) liên tục trên a;b, f (b) = 5 và f
 (x)dx =1, khi đó a
f (a) bằng A. 6 − . B. 6 . C. −4 . D. 4 . 2 5 5 Câu 7.
Nếu f ( x) dx = 3, f ( x) dx = 1 −   thì f ( x) dx  bằng 1 2 1 A. 2 . B. −2 . C. 3 . D. 4 . 1 1 1 Câu 8. Cho f
 (x)dx = 2 và g
 (x)dx = 5, khi đó  f
 (x)+ 2g(x)dx  bằng 0 0 0 A. 3 − . B. 8 − . C. 12 . D. 1. 2 2 Câu 9.
Cho hàm số f (x) liên tục trên tập
và thỏa mãn  f (x)dx = 3, ( )d = 5 −  f x x . Giá trị của biểu 1 0 1 thức ( )d
f x x bằng 0 A. 8 . B. −11. C. 8 − . D. −2 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 14
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 5 5 5
Câu 10. Biết  f (x)dx = 3,  g (x)dx = 9. Tích phân 
 f (x)+ g(x)d  x bằng 2 2 2 A. 10 . B. 3 . C. 6 . D. 12 . 0 2 2 Câu 11. Cho
f (x)dx = 2, f (x)dx = 2   . Tích phân ( )d
f x x bằng 2 − 0 2 − A. 4 . B. 3 . C. 6 . D. 1. 1 −1 3 Câu 12. Cho biết d = + ln  x x a b
, với a , b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức a − 2b bằng x + 2 2 0 A. 6 . B. 3 . C. 5 − . D. 7 . a 875
Câu 13. Tìm số thực a  0 thỏa mãn ( 3
x − 6x)dx =  . 4 1 A. a = 4 − . B. a = 5 − . C. a = 6 − . D. a = 3 − . 2 d 1 b
Câu 14. Giá trị của tích phân  x là ln
,. Tổng a + b + c bằng 2x + 5 a c 1 A. 18. B. 14. C. 16. D. 10. 1 2 2 −1 Câu 15. Biết d = ln 3 + ln 2 +  x x a b c ( a, ,
b c là các số nguyên). Giá trị a + b − c bằng x +1 0 A. 2 . B. −4 . C. 3 . D. 1 − .  2
Câu 16. Cho biết (4 − sin ) d =  +  x x a
b , với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức a + b bằng 0 A. −4 . B. 6 . C. 1. D. 1. b
Câu 17. Với a,b là các tham số thực. Giá trị tích phân ( 2 3x − 2ax −  )1dx bằng 0 A. 3 2
b − b a − b . B. 3 2
b + b a + b . C. 3 2
b − ba − b . D. 2
3b − 2ab −1. 1 Câu 18. Cho = d = − ln  x I x a b với ,
a b là các số nguyên dương. Giá trị a + b bằng 0 x +1 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . 1 1 1
Câu 19. Có bao nhiêu số thực a  (0; 2π sao cho 2 cos ( )d = +  ax x . 2 4a 0 A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1. 3 + 2 Câu 20. Biết = d = + ln  x I x a b
c , với a , b , c
, c  9 . Tính tổng S = a + b + c . x 1 A. S = 7 . B. S = 5. C. S = 8 . D. S = 6 .
▲_DẠNG 2. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
1. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 PHƯƠNG PHÁP:
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 15
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG b
Để tính tích phân: I =  g (x)dx ta thực hiện các bước: a
 Bước 1. Biến đổi để chọn phép đặt t = u ( x)  dt = u (x)dx
 Bước 2. Thực hiện phép đổi cận:
Với x = a thì t = u (a) .
Với x = b thì t = u (b) . (Nhớ: đổi biến phải đổi cận) u (b)
 Bước 3. Đưa về dạng I = f (t)d 
t đơn giản và dễ tính hơn. u (a)
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt 1. Có f ( x) t = f (x) 2. Có ( + )n ax b
t = ax + b 3. Có f (x) a t = f (x) dx 4. Có
và ln x t = ln x hoặc biểu thức chứa ln x x 5. Có x e dx = x t
e hoặc biểu thức chứa x e 6. Có sin d x x t = cos x 7. Có cos d x x t = sin d x x dx 8. Có t = x 2 tan cos x dx 9. Có t = x 2 cot sin x
A. VÍ DỤ MINH HỌA: 1
Ví dụ 1. Tính tích phân 2 4
I = x(1+ x ) d  x : 0 16 31 1 1 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = − . 5 10 10 10 Lời giải Chọn B Đặt 2
t = 1+ x  dt = 2 d x x .
Đổi cận x = 0  t =1; x =1 t = 2 2 2 4 5 31 Nên = d = =  t t I t . 2 10 10 1 1 2
Ví dụ 2. Tính tích phân 2 I = 2x x −1d  x bằng cách đặt 2
u = x −1, mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 2 3 2 1 A. I = 2 ud  u . B. I = ud  u . C. I = ud  u . D. I = ud  u 2 0 1 0 1 Lời giải Chọn C
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 16
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2 2 I = 2x x −1d  x 1 Đặt 2
u = x −1  du = 2 d x x .
Đổi cận x =1 u = 0 ; x = 2  u = 3 3 Nên I = ud  u . 0 
Ví dụ 3. Tính tích phân 3 I = cos . x sin d x x  . 0 1 1 A. 4 I = −  . B. 4 I =  − . C. I = 0 . D. I = − 4 4 Lời giải Chọn C  Ta có: 3 I = cos . x sin  xdx . 0
Đặt t = cos x dt = −sin xdx  −dt = sin xdx
Đổi cận: với x = 0  t =1;
với x =   t = 1 − . 1 − 1 1 − 3 3 ( )4 1 1 4 4 Vậy = − = = = − = 0   t I t dt t dt . 4 4 4 1 1 − 1 −
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1 Câu 1. Tính tích phân 2 5 I =
(x + x + 2) (2x +1)d 
x chọn cách đổi biến hợp lí nhất 0 A. 2 5
t = (x + x) dx .
B. t = 2x +1. C. 2 5
t = (x + x) (2x +1) . D. 2
t = x + x + 2 . 1 Câu 2. Tính tích phân 5 3 4 2 I =
x + x +1(5x + 3x ) 
dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất 0 A. 5 3
t = (x + x )dx . B. 4 2
t = 5x + 3x . C. 5 3 t = x + x +1 . D. 5 3 t =
x + x dx . 1 Câu 3. Tính tích phân 5 = ln d e I
x x chọn cách đổi biến hợp lí nhất 1 x 1 d A. t = .
B. t = ln x . C. 5 t = ln x . D. = x t . x x 1 2 Câu 4. Tính tích phân + = (2x +1)d  x x I e
x chọn cách đổi biến hợp lí nhất 0 2 x + A. 2
t = x + 3x +1 .
B. t = 2x +1. C. 2
t = x + x . D. = x t e (2x +1) . 3 + 1 Câu 5. Tính tích phân 2 = 3 (3 +1)d  x x I x
x chọn cách đổi biến hợp lí nhất 0 3 x + A. 3 2
t = x + 3x . B. 2
t = 3x + x . C. 3
t = x + x . D. x 2 t = 3 (3x +1) .  Câu 6. Tính tích phân 6 2 I = cos . x sin d 
x x chọn cách đổi biến hợp lí nhất 0 A. 6 t = os c x .
B. t = sin x .
C. t = cos x . D. 6 t = o c s . x sin x .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 17
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  1 Câu 7. Tính tích phân 6 4 I = tan . x d 
x chọn cách đổi biến hợp lí nhất 2 0 cos x A. 6 t = tan x .
B. t = tan x .
C. t = cos x . D. 2 t = cos x . 2 1 Câu 8. Tích phân d  x x = a ln
khi đó a + b bằng 2 x + 3 2 b 0 A. 6. B. 8. C. 9. D. 10. 1 Câu 9. Cho = d  x I x ,với cách đặt 2 t =
x +1 thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào sau đây? 2 x + 0 1 2 2 1 2 2 A. d  t t . B. 2d  t t . C. 2d  t t . D. d  t . 2 0 0 0 1  Câu 10. Tích phân 2 cos .sin d  x x x bằng 0 3 2 2 3 A. − . B. . C. − . D. . 2 3 3 2  1 2
Câu 11. Cho f là hàm số liên tục thỏa  f (x)dx = 7 . Tính I = cos .
x f (sin x)dx . 0 0 A. 1. B. 9 . C. 3 . D. 7 . 4 2 Câu 12. Cho ( )d = 2018  f x x
. Tính tích phân I =  f (2x) + f (4 − 2x)dx 0 0 A. I = 0 . B. I = 2018 . C. I = 4036 . D. I = 1009 . 4 2
Câu 13. Cho tích phân I =  f (x)dx = 32. Tính tích phân J =  f (2x)d .x 0 0 A. J = 32 . B. J = 64 . C. J = 8. D. J = 16 . 1 − 2 Câu 14. Cho 1− = d  x I xe
x . Biết rằng = ae b I
. Khi đó a + b bằng 2 0 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 . e ln x
Câu 15. Với cách đổi biến u = 1+ 3ln x thì tích phân d  x trở thành x 1+ 3ln x 1 2 2 2 2 2 2 2 2 −1 A. ( 2 −  u )1du . B. ( 2 −  u )1du . C. 2 ( 2 −  u )1du . D. d  u u . 3 9 9 u 1 1 1 1
2. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 b
Để tính tích phân: I =  f (x)dx , mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng: a     1. 2 2
a − x : đặt x |
= a | sin t; t  − ;    2 2 
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 18
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG a     2. 2 2
x − a : đặt | | x = ; t  − ; \ {0}   sin t  2 2      3. 2 2
x + a : x |
= a | tan t; t  − ;    2 2  a + x a − x 4. hoặc : đặt x = . a cos 2t a − x a + x
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. 3 2
Ví dụ, để tính tích phân =  x dx I
thì phải đổi biến dạng 2. 2 x + 0 1 3 3 Còn với tích phân =  x dx I
thì nên đổi biến dạng 1. 0 2 x +1
A. VÍ DỤ MINH HỌA: 1
Ví dụ 1. Tính tích phân sau: 2 I = 1− x d  x . 0   A. . B. 1. C. 0. D. − . 4 4 Lời giải Chọn A
Đặt x = sin t ta có dx = cos d t t
Đổi cận: x = 0  t = 0; x =1 t = . 2   1 2 2  +  Vậy 1 cos 2 2 2 I =
1− x dx = | cos t |cos d t t = cos d    t t 2 = d =  t t . 0 2 4 0 0 0 1 d
Ví dụ 2. Tính tích phân sau: =  x I 2 1+ x 0     3 A. . B. . C. . D. − . 4 12 6 6 4 Lời giải Chọn A
Đặt x = tan t, ta có x = ( 2 d 1+ tan t )dt .
x = 0 → t = 0  Đổi cận:   . x = 1 → t =  4  1 4  x  Vậy d I = = t = 4 d t =   . 2 0 1+ x 4 0 0 5 d
Ví dụ 3. Khi đổi biến x = 5 tan t thì tích phân =  x I
trở thành tích phân nào sau đây? 2 x + 5 0
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 19
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG     4 4 5 6 6 1 A. I = 5d  t . B. I = d  t . C. I = 5td  t . D. I = d  t . 5 t 0 0 0 0 Lời giải Chọn B Đổi biến số x = t x = ( 2 5 tan d 5 1+ tan t )dt Đổi cận.  x = 5  t =
; x = 0  t = 0 4    5 ( 2 1+ tan t )dt 5 ( 2 4 4 1+ tan t ) 4 dt 5d = = =    t I . 2 5 tan t + 5 5( 2 tan t +1 5 0 0 ) 0
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 4 d
Câu 16. Tính tích phân =  x I
chọn cách đổi biến hợp lí nhất 2 x +16 0 A. 2 t = x +16 .
B. t = 4sin x .
C. x = 4 tan t . D. 2 x = t + 4 . 5 d
Câu 17. Tính tích phân =  x I
chọn cách đổi biến hợp lí nhất 2 x + 25 0 A. 2 t = x + 25. B. 2 x = t + 5 .
C. t = 5sin x .
D. x = 5 tan t . 2
Câu 18. Tính tích phân 2 I = 4 − x dx, 
chọn cách đổi biến hợp lí nhất 0
A. x = 2 tan t . B. 2 t = 4 − x .
C. x = 2sin t .
D. t = 2sin x . 8
Câu 19. Đổi biến số x = 4sin t của tích phân 2 16 − d  x x ta được: 0     4 4 4 4 A. 2 I = 1 − 6 cos d  t t .
B. I = 8 (1+ cos 2t)dt . C. 2 I = 16 sin d  t t .
D. I = 8 (1− cos 2t)dt . 0 0 0 0 3 5 d
Câu 20. Tích phân  x bằng 9 2 3 + x 5 25     4 3 4 5 4 3 4 5 A. d  t . B. d  t . C. − d  t . D. − d  t . 5  3  5  3  6 6 6 6
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 20
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
▲_DẠNG 3. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN sin ax    
1. Dạng 1. f (x) cosax d   x   ax  ePHƯƠNG PHÁP:
u = f (x)
du = f '(x)dx    sin ax   sin ax  Đặt:       
dv = cos ax dx v = cos ax d       x   ax    ax   e   e
A. VÍ DỤ MINH HỌA: 2
Ví dụ 1. Tính tích phân = d  x I xe x . 1 A. 2 I = e . B. 2 I = −e .
C. I = e . D. 2
I = 3e − 2e . Lời giải Chọn A u = x du = dx Đặt    dv = x e dxv = x e 2 2 x x 2 x 2 x 2
I = xe dx = xe
− e dx = 2e − e −   e 1 1 1 1 2
= e − e − ( 2 e − e) 2 2 = e 1
Ví dụ 2. Tính tích phân 2 = ( − 2) d  x I x e x . 0 2 5 − 3 2 5 − 3 2 5 − 3 2 5 − 3 A. = e I . B. = e I . C. = e I . D. = e I . 4 4 4 4 Lời giải Chọn B du = d  = − x u x 2  Đặt    1 (chọn C = 0 ) 2 x 2 dv = e dx v =  x e  2 1 1 2 1 e x 1 x 5 − 3 2 2
I = (x − 2) e − e dx =  . 2 2 4 0 0 
Ví dụ 3. Tích phân (3x + 2) 2
cos x dx bằng 0 3 3 1 1 A. 2  − . B. 2  + . C. 2  + . D. 2  − . 4 4 4 4 Lời giải Chọn B
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 21
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Đặt I = (3x + 2) 2
cos x dx . Ta có: 0  1
= (3x + 2)(1+cos2x)dx 2 0   1 
= ( x + ) x + ( x + )  1 3 2 d 3
2 cos 2x dx = ( I + I . 1 2 ) 2 2 0 0     3  3 I = 3x + 2 dx =  2 2 x + 2x =  + 2 . 1 ( )    2  2 0 0  I = 3x + 2 cos 2x d 
x . Dùng tích phân từng phần 2 ( ) 0 du = 3d  = x u 3x + 2  Đặt    1 .
dv = cos 2x dx v = sin 2  x  2 Khi đó   1 3 I =
3x + 2 sin 2x − sin 2x d  x 2 ( ) 2 2 0 0  3 = 0 + (cos 2x) = 0 . 4 0   Vậy 1 3 3 2 2 I =  + 2 =  +   . 2  2  4
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:  4 Câu 1.
Tính tích phân I = (2x −  ) 1 cos d x x 0 A.  − 2 . B.  − 3 . C.  −1 . D.  − 4 .  6 Câu 2.
Tính tích phân I = (2 −  x)sin 3 d x x 0 4 7 8 5 A. . B. . C. . D. . 9 9 9 9 2 Câu 3. Tính tích phân x I = (2x −1)e dx  8 1 A. 2 e − e . B. 2 e + e +1. C. 2 e + e . D. 2 e + e −1. 1 Câu 4. Tính tích phân I = (x −  ) 3x 1 e dx 0 2 4 − e 3 4 + e 3 4 − 2e 3 4 − e A. . B. . C. D. . 9 9 9 . 9
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 22
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 u = 2x +1 Câu 5. Cho = (2 +  )1 x I x e dx . Đặt 
. Chọn khẳng định đúng. xdv = e dx 0 1 1 1 1 A. = 3 −1+ 2 x I e e dx  . B. = 3 −1− 2 x I e e dx  . C. = 3 + 2 x I e e dx  . D. = 3 − 2 x I e e dx  . 0 0 0 0 1 Câu 6.
Biết tích phân  ( − 3) x x
e dx = a + be với ,
a b  . Tìm tổng a+b. 0
A. a + b = 1.
B. a + b = 25.
C. a + b = 4 − 3 . e
D. a + b = 1 − . e 4 2 . a e + . b e + c Câu 7. Cho biết tích phân 2
I = x(2x + ln x)dx =  với a, ,
b c là các ước nguyên của 4. 4 1
Tính tổng: a + b + c A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. 1 1 Câu 8. Cho (x + ) 1 f '(x) x
d = 2 và 2 f (1) − f (0) = 1. Tính f (x) x d = ?  0 0 A. I = 1 − . B. I = 1. C. I = 2 − . D. I = 2 . 1 Câu 9. Biết ( + 2020) = . +  x x e dx a e b . Với , a b
. Tính T = a + b 0 A. T = 1. B. T = 2 . C. T = 3. D. T = 4 . 2 Câu 10. Tính = ex I x dx  . 1 A. 2 I = e . B. 2 I = − e . C. 2 I = 3e − 2 e . D. I = e .  2. Dạng 2:
f (x) ln(ax)dx PHƯƠNG PHÁP: dx  = ln( ) du u ax =  Đặt:   x
dv = f (x)dx
v = f (x)dx  
A. VÍ DỤ MINH HỌA: e 2 .e a + b
Ví dụ 1. Cho I = x ln d x x  =
với a , b , c
. Tính T = a + b + c . c 1 A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn D  1 du = dx u  = ln x  x Ta có:  nên  . dv = d x x 2 xv =  2
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 23
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG e e 2 e x 1 2 e + 1 I = x ln d x x  = ln x − d x x  = . 2 2 4 1 1 1 a = 1   b  = 1 . c = 4 
Vậy T = a + b + c = 6 . 5
Ví dụ 2. Tính tích phân I = (x + )
1 ln ( x − 3) dx ? 4 19 19 19 A. 10ln 2 . B. 10ln 2 + . C. −10ln 2 . D. 10ln 2 − . 4 4 4 Lời giải Chọn D  1  = (x − ) du = dx u ln 3  x − Đặt 3    . dv = x +1 1 2 v = x +  x  2 1 2 5 x +  x 1  5 2 I = x +  x  ( x − ) 2 ln 3 − d  x  2  4 x − 3 4 5 2 5 35 1 x − 9 + 9 x − 3 + 3 = ln 2 − dx −   dx 2 2 x − 3 x − 3 4 4 35 1  9  = ln 2 − + 3+ 9ln 2 −   (1+ 3ln 2) 2 2  2  19 =10ln 2 − . 4 2
Ví dụ 3. Biết 2x ln  (x + ) 1 dx = . a ln b , với * a, b
, b là số nguyên tố. Tính 6a + 7b . 0 A. 33 . B. 25 . C. 42 . D. 39 . Lời giải Chọn D 2
Xét I = 2x ln ( x +  ) 1 dx = 6 . 0   1 u = ln ( x + ) 1 du = dx Đặt    x +1 . dv = 2 d x x 2
v = x −1 Ta có: = ( − ) 2 x − I x 1 ln ( x + ) 2 2 1 2 1 − dx  0 x +1 0 2 2 2   = x 3ln 3 − ( x −  ) 1 dx = 3ln 3 −  − x = 3ln3.  2  0 0
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 24
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Vậy a = 3, b = 3  6a + 7b = 39 .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: e
Câu 11. Tính tích phân I = (x + 2) ln x d  x : 1 1 2 e − 2 2 e +1 2 e −1 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 4 4  u = ln x e
Câu 12. Nếu đặt 
thì tích phân I = (2x +  )
1 ln x dx trở thành dv = (2x +  ) 1 dx 1 e e e e A. I = ( 2
x + x) − ( x +  ) 1 dx . B. 2
I = x ln x − ( x +  ) 1 dx . 1 1 1 1 e e e e C. 2
I = x ln x + x d  x . D. I = ( 2
x + x)ln x + ( x +  ) 1 dx . 1 1 1 1 2
Câu 13. Tính tích phân J = x ln(x+1) dx 0 4 5 3 3 A. J = ln 3 . B. J = ln 3. C. J = ln 3 . D. J = ln 3 . 3 3 2 4 2 Câu 14. Biết 2 ln
x (1+ x)dx = .alnb, với * a, b
, b là số nguyên tố. Tính 3a + 4b . 0 A. 42 . B. 21 . C. 12 . D. 32 . 3
Câu 15. Biết ln( −1) = ln 2 +  x dx a
b với a,b là các số nguyên. Khi đó, a + b bằng 2 A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 . 3
Câu 16. Tích Phân 2
I = ln(x − x) 
dx là : 2 A. 3ln 3 . B. 2 ln 2 . C. 3ln 3 − 2 . D. 2 − 3ln 3 . 2 ln
Câu 17. Tích phân =  x I dx bằng: 2 x 1 1 1 1 1 A. (1+ln2) . B. (1−ln2) . C. (ln 2 − ) 1 . D. (1+ ln 2) . 2 2 2 4 2
Câu 18. Tích phân K = (2x −1) ln  xdx bằng: 1 1 1 1 A. K = 3ln 2 + . B. K = . C. K = 3ln 2 . D. K = 2ln 2 − . 2 2 2 e 3 a e +1 Câu 19. Cho 3 x ln d x x =  với , a b
. Tổng a + b bằng b 1 A. 20 . B. 10 . C. 17 . D. 12 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 25
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2
Câu 20. Biết 2x ln  (x + )
1 dx = a ln b , với * a, b
, b là số nguyên tố. Tính 6a + 7b . 0 A. 33 . B. 25 . C. 42 . D. 39 .  sin ax3. Dạng 3: e .  ax  dx  cosaxPHƯƠNG PHÁP:   a os c ax   sin ax  du =  =   dx u    − Đặ a sin ax t:  cos ax    ax  1 dv = e dx v = axea
A. VÍ DỤ MINH HỌA:  2
Ví dụ 1. Tính tích phân = cos . d  x I x e x . 0     2 e + 2 2 e − 2 2 e +1 2 e −1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D  2 = cos . d  x I x e x 0 u = cosx
du = −sin xdx Đặt:    dv = exdxv = ex    2 2 x 2 = . + sin . x = 1 − + sin . x I cosx e x e dx x e dx (*)   0 0 0  2 = sin . d  x J x e x 0 u = sin xdu = cosxdx Đặt:    dv = exdxv = ex    2  2 x 2 x 2 = sin . − cos . = − cos .   x J x e x e dx e x e dx 0 0 0  2 = e − I (2*)  2 −1
Thay (2*) vào (*) ta có: = e I . 2
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 26
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  2
Ví dụ 2. Tính tích phân sin . − = d  x I x e x . 0  −   − − − 2 -e + 2 2 -e − 2 2 -e +1 2 -e −1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D  2 sin . − = d  x I x e x 0 u = sin xdu = cosxdx Đặt:    dv = e−xdxv = −e−x   2  − −x − 2 x 2 I = − sin . x e + cos . x e dx = −e +J (*)  0 0  2 cos . − = d  x J x e x 0 u = cosx
du = −sin xdx Đặt:    dv = e−xdxv = −ex   2 − x − 2 = − s . − sin .  x J co x e x e dx 0 0 =1− I (2*)  − 2 − +1
Thay (2*) vào (*) ta có: = e I . 2  2 Ví dụ 3. sinx I = e .sin 2  xdx 0 A. 1. B. 2 . C. 1 − . D. −2 . Lời giải Chọn B  2 sinx I = 2 e .sin x cos xdx  . 0 u = sin xdu = cos xdx Đặt  sin x   sin x dv = e cos xdxv = e   2 sin x sin 2  I = 2sin xe − x e .cos  xdx 0 0  sin x 2 = 2e − 2e = 2 0
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 27
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:  4
Câu 21. Tính tích phân = e cos2  x I xdx : 0     4 −1 4 − 2 4 − 3 4 − 4 A. = e I . B. = e I . C. = e I . D. = e I . 5 5 5 5  4
Câu 22. Tính tích phân e− = cos2  x I xdx : 0     − − − − 4 1− 2 4 2 − 2 4 3 − 2 4 4 − 2 A. = e I . B. = e I . C. = e I . D. = e I . 3 3 3 3  2
Câu 23. Tính tích phân I = e sin  x x x d . 0     1 A. 2 I = e + 2 . B. 2 I = e +1. C. 2 I = e + 3 . D. 2 I = e + . 2  4
Câu 24. Tính tích phân = e sin 2  x I xdx . 0     4 + 3 4 +1 4 + 2 4 + 4 A. = e I . B. = e I . C. = e I . D. = e I . 5 5 5 5  6
Câu 25. Tính tích phân = e sin 3  x I xdx 0     6 +1 6 +1 6 +1 6 +1 A. = e I . B. = e I . C. = e I . D. = e I . 7 8 9 10
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 28
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
▲_DẠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG. PHƯƠNG PHÁP:
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn a;b , trục hoành b
và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S = f (x) d  x . y a y = f (x)
y = f (x)  by = 0 (H) S =
f ( x) dx   x =  a a O a c c c b x 1 2 3  x = b
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , y = g(x) liên tục trên đoạn a;b và b
hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S =
f (x) − g(x) d  x a y
(C ) : y f (x) = (C ) 1  1 1
(C ) : y = f (x) (H) 2 2 x = a (C ) 2 x = b Chú ý: b = − S
f ( x)
f ( x) dx a c O c 1 b x 2  1 2 a b b - Nếu trên đoạn [ ;
a b] , hàm số f (x) không đổi dấu thì:
f (x) dx = f (x)d   x . a a
- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g( y) , x = h( y) và hai đường thẳng y = c , d
y = d được xác định: S =
g( y) − h( y) d  y . c
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 2 − x và y = . x 9 11 A. . B. 7 . C. 5 . D. . 2 2 Lời giải Chọn A x = 2 −
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: 2 2
2 − x = x x + x − 2 = 0  .  x =1
Diện tích của hình phẳng cần tìm là
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 29
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 1 1 3 2   9 2 2 = − − + 2 = (− − + 2) =   x x S x x dx x x dx  − − + 2x  = .  3 2  2 2 − 2 − 2 − ln
Ví dụ 2. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường = x y
, y = 0 , x =1 , x = e . Mệnh đề 2 x
nào dưới đây đúng? e e 2 e 2 ln e ln  ln  ln A. =  d  x S x . B. = d  x S x . C. = d  x S   x . D.    = d  x S   x . 2 x 2 x 2  x  2  x  1 1 1 1 Lời giải Chọn B e ln Ta có = d  x S x . 2 x 1 e ln x ln x
Vì x [1; e], ln x  0   0  S = d  x . 2 2 x x 1 1 4
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 y x , y x và trục hoành như hình y 3 3 vẽ. y = x2 2 1 4 1 y = - x+ 3 3 x O 4 1 7 56 39 11 A. . B. . C. . D. 3 3 2 6 Lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị ta có:
Diện tích hình phẳng cần tìm là 4 1 4 1 2  1 4  1  4  1 8 7 11 2 3 = + − x + dx = x +   x S x dx   − + x = + − = .  3 3  3  6 3  3 3 6 6 0 1 0 1
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 1.
Diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây? 3 3
A.  ( f (x) − g(x))dx .
B.  (g(x) − f (x))dx . 2 − 2 −
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 30
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 0 3 0 3
C.  ( f (x) − g(x))dx + (g(x) − f (x))dx .
D.  (g(x) − f (x))dx + ( f (x) − g(x))dx . 2 − 0 2 − 0 Câu 2.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 3
y = x +11x − 6 và 2 y = 6x là 1 1 A. 52 . B. 14 . C. . D. . 4 2 Câu 3.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
y = x ; y = 0; x = 1; x = 2 bằng 7 4 8 A. . B. . C. . D. 1. 3 3 3 Câu 4.
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 A.  ( 2
2x + 2x + 4)dx . B.  ( 2
2x + 2x − 4)dx . 1 − 1 − 2 2 C.  ( 2 2
− x + 2x + 4)dx . D.  ( 2 2
− x − 2x + 4)dx . 1 − 1 − Câu 5.
Tính diện tích S của hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường cong 3
y = −x +12x và 2 y = −x . 937 343 793 397 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 12 12 4 4 x − Câu 6.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H ) 1 : y =
và các trục tọa độ. Khi đó x +1
giá trị của S bằng A. S = 2ln 2 −1. B. S = ln 2 +1.
C. S = ln 2 −1.
D. S = 2ln 2 +1. Câu 7.
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 3 3 A. ( 2
−x + 4x − 3)dx . B. ( 2 −x + 2x +1 ) 1 dx . 1 1 3 3 C. ( 2 − 2 −  x x ) 11 dx . D. ( 2
x − 4x + 3)dx . 1 1 Câu 8.
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 31
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 3 3 A. ( 3 2
x − 5x + 9x − 7)dx . B. ( 3 2
−x + 5x − 9x + 7)dx . 1 1 3 3 C. ( 3 2
−x + x + 9x − 9)dx . D. ( 3 2
x − x − 9x + 9)dx . 1 1 Câu 9.
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 1 − 1 − 2 2
A.  (5x −8)dx . B.  ( 2
2x + 5x + 2)dx . −2 2 − 1 − 1 − 2 2
C.  (−5x −8)dx . D.  ( 2 2
− x − 5x − 2)dx . −2 2 −
Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 3 y = x và 5 y = x ? 1 1 A. S = 1. B. S = 2 . C. S = . D. S = . 6 3
Câu 11. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x − 2x , y = 0 , x = 10 − , x =10 . 2000 2008 A. S = . B. S = 2008 . C. S = 2000 . D. S = . 3 3
Câu 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 4x − x và trục Ox . 34 31 32 A. 11. B. . C. . D. . 3 3 3
Câu 13. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 x
y = e , trục O ,
x Oy và đường thẳng x = 2 .
Tính S hình phẳng trên. 1 1 1 A. 4 e −1. B. ( 4e − )1. C. 4 e . D. ( 4e + )1. 2 2 2 1 x −
Câu 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (P) : y = − ( 2
x − 8x + 7) , (H ) 7 : y = . 3 3 − x 161 A. 3, 455 . B. 9 − 8ln 2 . C. 3 − ln 4 . D. + 4ln3+8ln 2 . 9
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 32
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 15. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x − 2x , y = 0 , x = 10 − , x =10 . 2000 2008 A. S = . B. S = 2008 . C. S = 2000 . D. S = . 3 3
▲_DẠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH. PHƯƠNG PHÁP:
1. Bài toán1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền ( D) giới hạn bởi y = f ( x) ; y = 0và x = a, x = b
khi quay quanh trục Ox . b
* Phương pháp giải: Áp dụng công thức: 2 V =  y d  x a
2. Bài toán 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y = f ( x) ; y = g ( x) quay quanh trục Ox . * Phương pháp giải:
• Giải phương trình: f ( x) = g ( x) có nghiệm x = a, x = b b
• Khi đó thể tích cần tìm: 2 V =  f ( x) 2 − 
g ( x)dx a
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong 2 y =
x +1 , trục hoành và các đường thẳng
x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 4 4 A. V = .
B. V = 2 . C. V = .
D. V = 2 . 3 3 Lời giải Chọn A
Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức: V = (  x    x +1) 1 1 1
dx =  (x + ) 3 2 4 2 2 1 dx =   + x = .  3  3 0 0 0
Ví dụ 2. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số 3 2
y = −x + x + 2, y = 2 . 12 3564 3654 729 A.  . B.  . C.  . D. . 35 35 35 35 Lời giải Chọn A x = 0 Ta có: 3 2
−x + x + 2 = 2   x = 1 1
Thể tích: V =   (−x + x + 2)2 12 3 2 2 − 2 dx = . 35 0
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 33
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 16. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn a ;b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b (a b) . Thể tích khối tròn xoay tạo thành
khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức b b b b A. 2
V =   f (x)dx . B. 2
V = 2  f (x)dx . C. 2 2
V =   f (x)dx . D. 2
V =   f (x)dx . a a a a
Câu 17. Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = sin x ; Ox ; x = 0 ; x =  . Quay ( H ) xung
quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là 2   A. . B. . C.  . D. 2  . 2 2
Câu 18. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol ( P) 2
: y = x và đường thẳng
d : y = 2x quay quanh trục Ox bằng 2 2 2 2 2 2 2 A. 2 4
 4x dx − x x 
d . B. ( 2x −2x) dx . C. 2 4
 4x dx + x x 
d .D. ( 2x −2x)dx . 0 0 0 0 0 0
Câu 19. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y = ln x , trục Ox và đường thẳng
x = 2 quay xung quanh trục Ox . A. 2 ln 2 +1 . B. 2 ln 2 +  . C. 2 ln 2 − . D. 2 ln 2 −1 .
Câu 20. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + sin x , trục hoành và các đường thẳng x = 0 ,
x =  . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. 2 V = 2 .
B. V = 2 ( + ) 1 . C. V = 2 . D. V = 2( + ) 1 .
Câu 21. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường 2
y = x + 3 , y = 0 , x = 0 , x = 2 . Gọi V là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 2 2
A. V =  ( 2
x + 3) dx . B. V =  ( 2
x + 3) dx . C. V = ( 2
x + 3) dx . D. V = ( 2 x + 3) dx . 0 0 0 0
Câu 22. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường thẳng 2
y = x + 2, y = 0, x = 1, x = 2 . Gọi V là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 2 2
A. V =  ( 2
x + 2) dx . B. V = ( 2
x + 2) dx . C. V =  ( 2
x + 2)dx . D. V = ( 2 x + 2)dx . 1 1 1 1
Câu 23. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b(a b) , xung quanh trục Ox . b b b b A. 2
V =   f (x)dx . B. 2
V =  f (x)dx .
C. V =   f (x)dx .
D. V =  f (x)dx . a a a a
Câu 24. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số 2
y = 3x − x , y = 0 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 34
GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 16 16 81 16 A. . B.  . C.  . D. 15 15 10 15 .
Câu 25. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số 2 3
y = 2x , y = x . 1536 256 1536 265 A. π . B. π . C. . D. . 35 35 35 35
Câu 26. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số 3
y = x , y = 0, x = 1.  4   A. . B. . C. . D. . 4 7 2 7
Câu 27. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số 2
y = 2x − 3; y = 1; y = 2; x = 0 .  9 206 A. 8 . B. . C. . D. . 2 4 15
Câu 28. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số xy = 9, y = 0, x =1, x = 3 . A. 54 . B. 6 . C. 12 . D. 6 .
Câu 29. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số y = 2ln ,
x y = 0, x = 1, x = e . A.  . B. e − 2 .
C.  (e − 2) .
D. 4 (e − 2) .
Câu 30. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số 3
y = x ; y = 0; x = 1. 56 2 93  A. . B. . C. . D. . 5 5 5 7
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 35

Tài liệu liên quan: