97 trang 5 lượt tải

Chuyên đề phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn Toán 9 KNTTVCS

9

Tài liệu gồm 97 trang, bao gồm kiến thức cần nắm, các dạng toán và bài tập chuyên đề phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn môn Toán 9 bộ sách Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (KNTTVCS).

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 9 129 tài liệu

Môn: Toán 9 3.5 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Linh Đan

1 tháng trước
Tải xuống Chia sẻ Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/97
CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Để giải phương trình tích
( )( ) 0ax b cx d+ +=
, ta giải hai phương trình
0ax b+=
và
0
cx d
+=
.
Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.
Ví dụ 1. Giải phương trình
(2 1)(3 1) 0
xx
+ −=
.
Ví dụ 2. Giải phương trình
2
22xx x
−=− +
.
Nhận xét. Trong Ví dụ 2, ta thực hiện việc giải phương trình theo hai bước:
Bước 1. Đưa phương trình vể phương trình tích
( )( ) 0ax b cx d+ +=
;
Bước 2. Giải phương trình tích tìm được.
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong
phương trình đều khác 0 và gọi đó là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a)
52
0
1
x
x
+
=
−
; b)
11
1
12xx
= +
+−
.
Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2. Quy đồng mấu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Buớc 3. Giải phương trình vừa tìm được.
Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn điều kiện xác
định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 4. Giải phương trình
. (3)
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
2.1. Giải các phương trình sau:
a)
( 2) 0
xx−=
; b)
(2 1)(3 2) 0
xx+ −=
.
2.2. Giải các phương trình sau:
a)
( )
2
4 ( 2) 0x xx−+ −=
; b)
22
(2 1) 9 0xx+− =
.
2.3. Giải các phương trình sau:
a)
21 3
2 1 1 (2 1)( 1)x x xx
+=
+ + ++
; b)
23
13
1 11
xx
x xx x
−=
+ −+ +
.
2.4. Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiểu dài
1 4 m
và chiểu rộng
12 m
. Bác dự định
xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phẩn diện tích đất để làm sân vườn như Hình 2.3. Biết diện
tích đất làm nhà là
2
100 m
. Hỏi
x
băng bao nhiêu mét?
2.5. Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ
thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa
thì xong công việc. Gọi
x
là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là
giờ,
0x >
).
a) Hãy biểu thị theo
x
:
- Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;
- Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ.
b) Hãy lập phương trình theo
x
và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mổi
người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.
C. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
( ) ( )
.0Ax Bx=
1. Phương pháp giải
- Giải hai phương trình
(
)
0Ax=
và
( )
0
Bx=
.
- Lấy tất cả các nghiệm thu được.
- Viết tập hợp nghiệm
S
.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
a)
( )( )
3 24 5 0xx− +=
; b)
( )( )
2,3 6,9 0,1 2 0xx− +=
;
c)
( )
(
)
2
42 10xx+ +=
; d)
(
)(
)(
)
2 7 55 1 0xx x+ − +=
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a)
( )
4 12 1
53 0
53
xx
x
−+

− −=


; b)
( )
( )
21
2 11
21 0
33 5
x
xx
x
+

−−

− − +=




.
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
1. Phương pháp giải:
- Chuyển tất cả các số hạng sang vế trái, vế phải bằng 0.
- Rút gọn rồi phân tích đa thức thu được ở vế trái thành nhân tử.
- Giải phương trình tích rồi kết luận.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:
a)
(
) (
)
2 35 30xx x−+ −=
; b)
( )
( )( )
2
4 232 0xx x−+− − =
;
c)
32
3 3 10xxx
− + −=
; d)
( )
2 7 4 14 0xx x−− +=
;
e)
( ) ( )
22
25 2 0xx− −+ =
; f)
( )
2
330xx x−− − =
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a)
( ) ( )
293 5x x xx−= −
; b)
( ) ( )( )
0,5 3 3 1,5 1xx x x−=− −
;
c)
( )
3 15 2 5x xx
−= −
; d)
( )
31
1 37
77
x xx−= −
.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
a)
(
)
2
2 1 40xx− + −=
; b)
2
22
xx x−=− +
;
c)
22
4 41
xx x
+ +=
; d)
2
5 60xx
− +=
.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
a)
3 22
26 3x xx x+=+
; b)
( )
( )
( )( )
2
31 2 31710
xx x x− += − −
.
DẠNG 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU
1. Phương pháp giải
- Tìm ĐKXĐ.
-Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu thức.
- Giải phương trình không chứa ẩn ở mẫu.
- Kiểm tra ĐKXĐ.
- Viết tập nghiệm.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình:
a)
25
3
5
x
x
−
=
+
; b)
2
63
2
x
x
x
−
= +
;
c)
( )
2
2 (3 6)
0
3
xx x
x
+−+
=
−
; d)
5
21
32
x
x
= −
+
.
Ví dụ 2. Giải các phương trình:
a)
21 1
1
11
x
xx
−
+=
−−
b)
56
1
22 1
x
xx
+=−
++
c)
2
2
11
xx
xx
+= +
d)
33
2
1
xx
xx
+−
+=
+
.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a)
13
3
22
x
xx
−
+=
−−
; b)
3 261
723
xx
xx
−+
=
+−
;
c)
2
1 14
11 1
xx
xx x
+−
−=
−+ −
; d)
2
2 42
2
3 37
xx
x
xx
−=+
++
.
Ví dụ 4.
a)
2
32
13 2
11 1
xx
x x xx
−=
− − ++
b)
32 1
( 1)( 2) ( 3)( 1) ( 2)( 3)xx x x x x
+=
−− −− − −
c)
3
1 12
1
28xx
+=
++
d)
13 1 6
( 3)(2 7) 2 7 ( 3)( 3)x x x xx
+=
− + + −+
.
Ví dụ 5. Giải phương trình:
a)
( )
2
11
2 21x
xx

+= + +


; b)
22
11
11xx
xx

++ = −−


;
DẠNG 4. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA A ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ BẰNG HẰNG SỐ K CHO TRƯỚC
1. Phương pháp giải
- Giả sử biểu thức chứa
a
là
( )
Aa
- Muốn tìm giá trị của
a
để biểu thức
( )
Aa
bằng k ta xem a như ẩn và giải phương trình
( )
Aa k=
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giá trị của
a
sao cho các biểu thức sau có giá trị bằng 2 :
a)
31 3
31 3
aa
aa
−−
+
++
b)
10 3 1 7 2
3 4 12 6 18
aa
aa
−+
−−
++
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Giải các phương trình:
a)
(
)( )
52 70xx+ −=
; b)
( )( )( )
15 9 3 21 0xxx
+ − +=
;
c)
( )
( )
2
1 30xx− +=
; d)
( )( )
22
1 440
x xx+ ++=
;
e)
2
60xx−−=
; g)
2
5 60xx+ +=
;
h)
2
12 0xx+− =
; i)
432
2 2 2 30xxxx+ − + −=
Câu 2. Giải các phương trình:
a)
(
)
(
)
23
1 5 2 10
x xx x
− + − − +=
; b)
( )( )
2
2 11 7 4xx x++ −=
;
c)
( )
3
1 10x xx− + +=
; d)
32
10xxx+ ++=
Câu 3. Giải các phương trình:
a)
2
7 60
xx− +=
; b)
2
2 3 50xx− +=
; c)
2
4 12 5 0xx− +=
Câu 4. Cho biểu thức:
( )( )
5 3 17 2 2
A xy xy
= −+ +−
.
a) Tìm
x
sao cho với
2y =
thì
0A =
. b) Tìm
y
sao cho với
2
x = −
thì
0
A =
Câu 5. Giải các phương trình :
a)
9 (3 7)(5 6) 0xx x− +=
; b)
41 83
1 30
37
xx+−

+ −=


Câu 6. Giải các phương trình :
a)
2
( 3)(2 11) 9xx x−+ − =
: b)
( )
23
( 2) 3 1 8x xx x− − + +=
.
Câu 7. Giải các phương trình :
a)
2
3 4 40xx− −=
: b)
3
3 20xx− +=
Câu 8. Cho biểu thức
(8 5 4)( 3 6) 0
P xy xy= + − −+=
.
a) Tìm các giá trị của
x
sao cho với
4
y =
thì
0P =
;
b) Tìm các giá trị của
y
sao cho với
x1= −
thì
P0=
.
Câu 9*. Cho phương trình :
( )
32
2 5 84 0 1x x xm
+ −− =
Biết
2x = −
là một nghiệm của phương trình (1). Tìm các nghiệm còn lại của phương trình đó.
Câu 10. Giải phương trình:
a)
2
48
0
21
x
x
−
=
+
; b)
2
6
0
3
xx
x
−−
=
−
c)
512 3
3 622 4
xx
xx
+−
−=
−−
d)
2
12 1 3 1 3
19 13 13
xx
x xx
−+
= −
− +−
.
Câu 11. Giải các phương trình:
a)
2
96 2 1 3 1
5
16 4 4
xx
xx x
−−
+=−
− +−
; b)
2
1 5 12
1
22 4
x
xx x
+
−= +
−+ −
;
c)
( )
22
42
11 3
11
1
xx
xx xx
xx x
+−
−=
++ −+
++
.
Câu 12. Giải các phương trình:
a)
2
51 8
1 3 43
xx
x x xx
++
= −
− − −+
; b)
2
1 5 12
1
22 4
x
xx x
+
−= +
−+ −
.
Câu 13. Với giá trị nào của
a
để các biểu thức sau có giá trị bằng 2 :
a)
29 3
2532
aa
aa
−
+
−−
b)
32 2
34 4
aa
aa
+−
+
++
.
Câu 14. Cho phương trình ẩn
x
:
a) Giải phương trình với
3
a
= −
. b) Giải phương trình với
1a =
.
c) Xác định
a
để phương trình có nghiệm
0,5
x
=
.
Câu 15. Định
a
và
b
để phương trình
( 1) (2 1) 2x a x bx−+ +=+
có tập nghiệm là
(vô số
nghiệm
)x
∈
.
Câu 16. Định
m
để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
21
.
1
xx
xm x
++
=
−−
Câu 17. Định
m
để phương trình sau vô nghiệm:
2
2
1
xm x
xx
+−
+=
+
Câu 18. Giải các phương trình sau :
a)
2
21 6
13 1
x
xx
−
=
−+
b)
1 1 10
3 1 ( 3)( 1)x x xx
+=
+ − +−
.
Câu 19. Giải các phương trình sau :
a)
2
23
1 4 21
1 11
x
x xx x
+
−=
+ −+ +
; b)
3 12 5 4
1
1 3 ( 1)( 3)
xx
x x xx
+−
−=−
+ − +−
.
Câu 20. Giải các phương trình sau :
a)
2
6 1 13
927(3)(27)x x xx
−=
− − +−
; b)
22
2( 5) 5
43 56
xx
xx xx
−−
=
++ ++
.
Câu 21. Cho phương trình
2
32
12 4
11 1
xm
x x xx
−
−=
+ + −+
.
Biết
0x =
là một nghiệm của phương trình. Tìm các nghiệm còn lại.
Câu 22*. Cho hai biểu thức
2
x 1 3x
A ;B
2x 3 x 4
+
= =
−−
, với giá trị nào của
x
thì hai biểu thức
A
và
B
có cùng một giá trị ?
BÀI 5. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. BẤT ĐẲNG THỨC
Nhắc lại thứ tự trên tập số thực:
Trên tập số thực, với hai số
a
và
b
có ba trường hợp sau:
a) Số
a
bằng số
b
, kí hiệu
ab=
;
b) Số
a
lớn hơn số
b
, kí hiệu
ab
>
;
c) Số a nhỏ hơn số
b
, kí hiệu
ab<
.
Số
a
lớn hơn hoặc bẳng số
b
, tức là
ab>
hoặc
ab=
, kí hiệu là
ab≥
.
Số
a
nhỏ hơn hoặc bằng số
b
, tức là
ab
<
hoặc
ab
=
, kí hiệu là
ab≤
.
Khái niệm bất đẳng thức
Ta gọi hệ thức dạng
ab>
(hay
,,ababab<≥≤
) là bất đẳng thức và gọi
a
là vế trái,
b
là vế
phải của bất đẳng thức.
Chú ý
Hai bất đẳng thức
12<
và
32− <−
(hay
63>
và
85>
) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiếu.
Hai bất đẳng thức
12<
và
23
− >−
(hay
63>
và
58<
) được gọi là hai bất đẳng thức ngược
chiếu.
Ví dụ 1. Xác định vế trái và vế phải của các bất đẳng thức sau:
a)
27− >−
; b)
2
10
a
+>
.
Ví dụ 2. Viết bất đẳng thức để mô tả mỗi tình huống sau:
a) Tuẩn tới, nhiệt độ
( )
Ct
°
tại Tokyo là trèn
5C
°
−
.
b) Nhiệt độ
( )
Ct
°
bảo quản của một loại sữa là dươii
4C
°
.
c) Để được điểu khiển xe máy điện thì số tuởi
x
của một người phải ít nhắt là 16 tuởi.
Bất đẳng thức có tính chất quan trọng sau:
Nếu
ab<
và
bc<
thì
ac<
(tính chất bắc cẩu của bất đẳng thức).
Chú ý. Tương tự, các thứ tự lớn hơn (>), lớn hơn hoặc bằng
( )
≥
nhỏ hơn hoặc bằng (
≤
) cũng có
tính chất bắc cầu.
Ví dụ 3. Chứng minh
2024 2021
2023 2022
>
.
II. LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG
Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với
bất đẳng thức đã cho.
Ví dụ 4. Không thực hiện phép tính, hãy so sánh
2023 ( 19)+−
và
2024 ( 19)+−
.
III. LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN
Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức đã cho.
- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thúc mới ngược
chiều với bất đẳng thức đã cho.
- Với ba số
,,abc
và
0c
>
, ta có:
Nếu
ab<
thì
ac bc<
; Nếu
ab≤
thì
ac bc≤
;
Nếu
ab>
thì
ac bc
>
; Nếu
ab≥
thì
ac bc≥
.
- Với ba số
, , abc
và
0
c <
, ta có:
Nếu
ab<
thì
ac bc>
; Nếu
ab≤
thì
ac bc≥
;
Nếu
ab>
thì
ac bc
<
; Nếu
ab≥
thì
ac bc
≤
.
Ví dụ 5. Thay ? trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp (<, >) để được khẳng định đúng.
a)
3(7) ? 3(5)⋅− ⋅−
b)
(3)(7) ? (3)(5)− ⋅− − ⋅−
.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
2.6. Dùng kí hiệu để viết bất đẳng thức tương ứng với mỗi trường hợp sau:
a)
x
nhỏ hơn hoặc bằng -2 ; b)
m
là số âm;
c)
y
là số dương; d)
p
lớn hơn hoặc bằng 2024.
2.7. Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau:
a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được phép lái ô tô;
b) Xe buýt chở được tối đa 45 người;
c) Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là 20000 đồng.
2.8. Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh:
a)
2 ( 7) 2023 2 ( 1) 2023⋅− + < ⋅− +
; b)
( 3) ( 8) 1975 ( 3) ( 7) 1975− ⋅− + >− ⋅− +
.
2.9. Cho
ab<
, hãy so sánh:
a)
57a +
và
57b +
; b)
39a−−
và
39b−−
.
2.10. So sánh hai số
a
và
b
, nếu:
a)
1954 1954ab+ <+
b)
22ab− >−
.
2.11. Chứng minh rằng:
a)
2023 2024
2024 2023
− >−
; b)
34 26
11 9
>
.
C. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TÍNH ĐÚNG SAI CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC
1. Phương pháp giải
- Vận dụng thứ tự trên tập hợp số.
- Vận dụng liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Mỗi bất đẳng thức sau đúng hay sai ?
a)
5 ( 8) 1+− <
; b)
(2)(7) (5)(3)− ⋅− >− ⋅−
.
Ví dụ 2. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ?
a)
2
( 7) 9 ( 10) ( 4)
− − ≤− ⋅−
;
b) Thương của
15 6và
−
nhỏ hơn thương của
12và4−
?
Ví dụ 3. Mỗi bất đẳng thức sau đúng hay sai ? Giải thích.
a)
2
x 33+≥
; b)
2
11x− +≤
; c)
2
( 2) 5 5
x
− + − ≤−
DẠNG 2. SO SÁNH HAI SỐ
1. Phương pháp giải
Vận dụng liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho
ab<
, hãy so sánh :
a)
3a −
và
3b −
b)
51
a−+
và
51b−+
Ví dụ 2. Cho số a bất kì, hãy so sánh :
a) a và
a4−
; b)
a7−
và
a5+
.
Ví dụ 3. Cho số
m
bất kì, hãy so sánh
2
m
với
m
.
DẠNG 3. CHỨNG MINH BẤT ĐÅ
NG THỨC
1. Phương pháp giải
Cách 1. Để chứng minh
AB>
ta chứng minh
AB0−>
.
Để chứng minh
AB<
ta chứng minh
AB0−<
.
Cách 2. Dùng phương pháp biến đổi tương đương :
A B C D M N. > ⇔ > ⇔…⇔ >
Nếu
MN
>
đúng thì
AB>
đúng.
Cách 3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức
Từ bất đẳng thức đã biết, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng
minh.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh bất đẳng thức
22
a b 2ab+≥
.
Ví dụ 2. Cho
a 0; b 0
>>
. Chứng minh rằng
ab
:2
ba
+≥
.
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (dấu "=" xảy ra khi và
chỉ khi
ab=
).
Ví dụ 3. Cho
ab0>>
. Chứng minh rằng
11
a b
<
.
Ví dụ 4. Cho
ab>
và
mn>
. Chứng minh rằng
ambn+ >+
.
Ví dụ 5. Cho
a, b,c 0>
. Chứng minh rằng :
ab bc ca
6
cab
+ ++
++≥
.
DẠNG 4. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC
1. Phương pháp giải
- Nếu
f(x) k(k≥
là hằng số) và dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
xa
=
thì giá trị nhỏ nhất của
f(x)
là
k
khi và chỉ khi
xa=
. Ta viết
min f (x) k=
khi và chỉ khi
xa=
.
- Nếu
f(x) k≤
(
k
là hằng số) và dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
xa=
thì giá trị lớn nhất của
f(x)
là
k
khi và chỉ khi
xa=
. Ta viết
max f (x) k=
khi và chỉ khi
xa=
.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
A x 6x 10=−+
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
B 5x 10x 3=−+
.
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
C x 5x 4=−+ −
.
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
D5x
x
=−−
với
x0>
.
Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
E 2x 8x y 10y 43= ++− +
.
Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
21
2
x
F
x
−
=
+
.
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Bất đẳng thức nào biểu thị đúng thứ tự các só ? Vì sao ?
a)
7 61− ≤− −
; b)
5( 3) 16− >−
;
c)
12 ( 3).5<−
; d)
4( 2) ( 7)( 2)− >− −
Câu 2.
a) So sánh
a1−
và
a; 2 b−
và
2 b 1
−+
.
b) Cho
ab<
so sánh
2a
và
2 b 1; 3 a+−
và
3 b 1−−
.
Câu 3.
a) Cho
a0≠
, hãy so sánh
2
a
và
2
0; a−
và 0 .
b) So sánh
2
a1+
và
2
0: a 3
−−
và 0 .
Câu 4. Cho
0 ab<<
, hãy so sánh :
a)
2
a
và
2
;ab b
và
ab
.
b)
2
a
và
23
;ba
và
3
b
.
Câu 5. So sánh
2 m
với
m
.
Câu 6. Cho
a3b3+>+
. Chứng minh rằng
2a 1 2 b 1− + <− +
.
Câu 7. Cho
0x >
và
0y
<
. Chứng minh rằng
22
0x y xy−<
.
Câu 8. Cho
a, b,c
là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
abc
a
2
++
<
.
Câu 9. Chứng minh các bất đẳng thức :
a)
2
()
4
ab
ab
+
≤
b)
222
3 2( )a b c abc+ + +≥ ++
.
Câu 10*. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức :
a)
2
2 28 101
Ax x=++
b)
2
(x 1)
B
x
+
=
với
x0>
.
Câu 11*. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức :
a)
2
5Cx x=−+
b)
2(1 )(2 1)D xx=−−
.
Câu 12. Cho
0ab>>
, chứng
11
minh
ab
<
.
Câu 13.
a) Cho
ab
<
và
cd<
, chứng minh
acbd+<+
.
b) a, b, c, d dương và
a b,c d<<
. Chứng minh
ac bd<
.
Câu 14. Chứng minh các bất đẳng thức :
a)
( )
2 22
( )2xy x y
+≤ +
b)
2 22
3 2( )x y z xyz+ + +≥ ++
c)
2
2 22
33
x y z xyz+ + ++

≥


Câu 15. Cho
a,b
cùng dấu, hãy so sánh hai số
(1 a )(1 b)++
và
1 ab++
Câu 16. Chứng minh rằng nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai
số đó bằng nhau. Áp dụng : Tìm giá trị lớn nhất của
A (1 x)(2 x)=−−
với
1
x1
2
<<
.
Câu 17. Chứng minh rằng : Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai
số đó bằng nhau. Áp dụng : Tìm giá trị nhỏ nhất của :
a)
2
( 1)
(
x
B
x
+
=
với
0)x
>
; b)
1
Cx (
x1
= +
−
với
x 1)>
.
Câu 18. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
2
43
1
x
D
x
+
=
+
.
BÀI 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình dạng
0
ax b
+<
(hoặc
0; 0; 0ax b ax b ax b+> +≤ +≥
) trong đó $a, b$ là hai số
đã cho,
0a ≠
được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn
x
.
Ví dụ 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn
x
?
a)
3 16 0x +≤
; b)
5 50
x− +>
; c)
2
40x −>
d)
30
x−<
.
Nghiệm của bất phương trình
- Số
0
x
là một nghiệm của bất phương trình
() ()Ax Bx<
nếu
( ) (
)
00
Ax Bx<
là khẳng định đúng.
- Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.
II. CÁCH GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình bậc nhất một ẩn
0( 0)ax b a+< ≠
được giải như sau:
0ax b+<
ax b⇔ <−
- Nếu
0
a >
thì
b
x
a
<−
. - Nếu
0a <
thì
b
x
a
>−
.
Chú ý. Các bất phương trình
0, 0, 0ax b ax b ax b+> +≤ +≥
được giải tương tự.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
2 40x− −>
.
Ví dụ 3. Bạn Thanh có 100 nghìn đồng. Bạn muốn mua một cái bút giá 18 nghìn đồng và một số
quyển vở, mỗi quyển vở giá 7 nghìn đồng. Hỏi bạn Thanh mua được nhiếu nhất bao nhiêu quyển
vơ?
Vì số vở là số tự nhiên nên Thanh có thể mua nhiều nhất 11 quyển vở.
Chú ý. Ta cũng có thể giải được các bất phương trình một ẩn đưa được vể dạng
0, 0, 0, 0
ax b ax b ax b ax b+< +> +≤ +≥
.
Ví dụ 4. Giải các bất phương trình:
a)
2 53 4xx
+< −
; b)
35 43xx− + ≥− +
.
Ví dụ 5. Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng là
7,4% /
năm. Bà Mai
dự kiến gửi một khoản tiển vào ngân hàng này và cả
n số tiển lãi hằng năm ît nhất là 60 triệu để chi
tiêu. Ho
i số tiến bà Mai cẩn gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
2.16. Giải các bất phương trình sau:
a)
50x −≥
; b)
50x +≤
;
c)
2 60x− −>
; d)
4 12 0x −<
.
2.17. Giải các bất phương trình sau:
a)
3223xx+> +
; b)
54 32xx+ <− −
.
2.18. Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kỉ hạn 1 tháng là
0, 4%
. Hỏi nếu muốn có
số tiển lãi hằng tháng ít nhất là 3 triệu đổng thì số tiển gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn
đến triệu đổng)?
2.19. Một hãng taxi có giá mở cửa là 15 nghìn đổng và giá 12 nghìn đổng cho mỗi kilômét tiếp
theo. Hői với 200 nghìn đổng thì hành khách có thể di chuyển được tối đa bao nhiêu kilômét (làm
tròn đến hàng đơn vị)?
2.20. Người ta dùng một loại xe tải để chở bia cho một nhà máy. Mỗi thùng bia 24 lon nặng trung
bình
6 , 7 k g
. Theo khuyến nghị, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có
thể chở) là 5,25 tấn. Hỏi xe có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng bia, biết bác lái xe nặng
65 kg
?
C. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. KIỂM TRA GIÁ TRỊ
xa=
CÓ PHẢI LÀ MỘT NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG
TRÌNH KHÔNG ?
1. Phương pháp giải
Thay
xa=
vào hai vế của bất phương trình rồi tính giá trị của hai vế.
- Nếu được một bất đẳng thức đúng thì
xa=
là một nghiệm.
- Nếu được một bất đẳng thức sai thì
xa=
không phải là nghiệm của bất phương trình.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Kiểm tra xem
5x
= −
có phải là nghiệm của các bất phương trình sau không ?
a)
2 7 13xx+ <−
b)
2
54
xx>−
Ví dụ 2. Cho tập hợp
{ 5; 4; ; 1; 0;1; ; 5}
M = − − …− …
.
Hãy cho biết những phần tử nào của tập hợp
M
là nghiệm của bất phương trình :
a)
||2x <
b)
||3x >
c)
| 4| 5x −≤
Ví dụ 3. Cho tập hợp
A {0;1;2;3;}= ±±±
.
Hãy cho biết những phần tử nào của tập hợp
A
vừa là nghiệm của bất phương trình (1), vừa là
nghiệm của bất phương trình (2) dưới đây :
2
9x <
(1)
2 31x +>
(2)
DẠNG 2. LẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH CỦA BÀI TOÁN
1. Phương pháp giải
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết.
- Lập bất phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Lập bất phương trình của bài toán sau : Quãng đường
AB
dài
150 km
. Một ô tô phải chạy
từ
A
đến
B
trong thời gian không quá 3 giờ. Hỏi ô tô phải chạy với vận tốc nào ?
Ví dụ 2. Năm nay ông 69 tuổi, cháu 9 tuổi. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa thì tỉ số giữa tuổi ông và
tuổi cháu nhỏ
hơn 5.
DẠNG 3. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
1. Phương pháp giải
Vận dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân đưa bất phương trình về dạng
ax m<
(hay
)ax m
>
.
Từ bất phương trình
ax m<
, suy
ra
:
* Nếu
a0=
thì bất phương trình
0x m<
:
- Có nghiệm là mọi
x
với
m0>
; Vô nghiệm với
m0≤
;
* Nếu
a0
>
thì bất phương trình có nghiệm
m
x
a
<
;
* Nếu
a0<
thì bất phương trình có
nghiệm
m
x
a
>
.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau :
a)
4 1 53
96
xx−−
<
; b)
2 54 3
18 10
xx−+
<
.
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau :
a)
5 24 3
54
xx+−
<
b)
(
)
32 1
3 13
1
20 10
x
x
+
+
+<
.
Ví dụ 3. Tìm nghiệm chung của hai bất phương trình :
( )
3 17 5 22
1
10 15
xx++
>
và
( )
4 2 27
12
30 24
xx−−
−>
Ví dụ 4. Tìm nghiệm nguyên âm của bất phương trình :
2 44 7 2 52 1
3 18 9 15
xx xx+− −−
−>−
Ví dụ 5. Giải bất phương trình :
31
2
3
x
x
−
>
+
.
D. BÀI TÂP TỰ LUYỆN
Câu 1. a) Tìm trong tập hợp
{ }
2;1,5;2;8−
số nào là nghiệm của bất phương trình
( )
5 2 16yy> −+
b) Tìm trong tập hợp
{ }
0;1;2;3; 4
số nào là nghiệm của bất phương trình
13 7 12 57xx+ <− +
.
Câu 2. Cho bất phương trình
( )
3 53 4xx+> +
.
a) Chứng tỏ rằng các giá trị
1; 0; 3−
đều không phải là nghiệm của bất phương trình.
b) Tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình.
Câu 3. Cho bất phương trình
(
)
2 12 3
xx+< +
.
a) Chứng tỏ rằng các giá trị
1; 1;1; 2; 2−−
đều là nghiệm của bất phương trình.
b) Tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình.
Câu 4. Giải các bất phương trình sau:
a)
53
x +>
; b)
27xx−<
; c)
7 2, 4 0, 4x −<
; d)
23 1
x− ≤−
Câu 5. Dựa vào liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, chứng tỏ rằng hai bất phương trình sau tương
đương
7 . 7. ( 0) 7 . 7. ( 0)
x xm m m x xm m m
>⇔ > > >⇔ < <
Câu 6. Hai bất phương trình sau có tương đương không? tại sao?
| | 0 và 5 6 5( 1)x xx< +< +
Câu 7. Bất phương trình
2
( 4) ( 12)
x xx−>−
có bao nhiêu nghiệm nguyên âm ?
Câu 8. Tìm số nguyên lớn nhất thoả mãn mỗi bất phương trình sau :
a)
9 5 1, 5x−>
; b)
3 17 5 1
20 15
xx−+
>
Câu 9. Tìm nghiệm nguyên chung của hai bất phương trình :
a)
15 4 8x −>
và
7 6 20x− >−
; b)
2
59
3
x +>
và
18
1
7
x
−
>
.
Câu 10. Tìm tập hợp các giá trị của
x
để biểu thức
32
5
x−
lớn hơn giá trị của biểu thức
14
10
x −
.
Câu 11. Cho phương trình
5 43 2xm−= +
(1) trong đó
x
là ẩn sớ,
m
là một số cho trước. Tìm giá
trị của
m
để phương trình (1) có nghiệm dương.
Câu 12. Giải các bất phương trình :
a)
3(2 1) 3 52
1
20 10
xx++
+>
b)
41619911
26 3
xx x−− −
+≤
.
Câu 13. Giải các bất phương trình sau:
a)
2 13 3
25
xx
x
−−
−≥
b)
51 1
52
xx
x
−+
+≤
c)
23 1
24
xx
x
+−
−≤
d)
12 3
2
28
zz
z
−+
− −≥
Câu 14. Với những số tự nhiên nào của a để:
a) Hiệu
(5 5 ) (3 3)aa−−−
dương? b) Tổng
( 25,5 5 ) (7,5 3 )aa− ++ −
âm?
Câu 15. Cho một hình chữ nhật có một cạnh là
8dm
, tìm cạnh thứ hai, biết rằng chu vi của hình
chữ nhật nhỏ hơn chu vi của hình vuông cạnh là
6dm
.
Câu 16.
1) Chứng minh rằng:
a)
2
35
0
2
xx++
>
với mọi giá trị của
x
.
b)
2
26
0
3
xx−+ −
<
với mọi giá trị của
x
.
2) Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức sau nếu có:
a)
2
4 45Mx x= ++
b)
2
63Nx x= −−
Câu 17*. Giải bất phương trình :
13 1
3
54
x
x
−
>
+
.
LUYỆN TẬP CHUNG
PHẦN 1. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
23
12
1 11
xx
x xx x
+
+=
− ++ −
. (1)
Ví dụ 2. Giải phương trình
2
2 26
33 9
xx
xx x
−−
−=
+− −
. (2)
Ví dụ 3. Cho
ab<
. Chứng minh rằng:
a)
2 12 2ab+< +
; b)
25 27ab− − >− −
.
B. BÀI TẬP
2.12. Giải các phương trình sau:
a)
2( 1) (5 1)( 1)x xx+= − +
; b)
(43) (25)
xx xx
−+ = +
.
2.13. Để loại bỏ
%x
một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí cẩn bỏ ra là
50
()
100
x
Cx
x
=
−
(triệu đồng), với
0 100. x≤<
Nếu bỏ ra 450 triệu đồng, người ta có thể loại bỏ
được bao nhiêu phẩn trăm loại tảo độc đó?
2.14. Giải các phương trình sau:
a)
23
12 4
2 24 8
x
x xx x
−
−=
+ −+ +
b)
2
2 3 12
4 4 16
xx
xx x
−
+=
−+ −
.
2.15. Cho
ab>
, chứng minh rằng:
a)
4 44 3
ab
+> +
; b)
13 33ab− <−
.
PHẦN 2. BÀI TẬP THÊM
Câu 1. Giải các phương trình sau
a)
2
5 60xx− +=
; b)
3
10x +=
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
1 ( { 1} )xS=−=−
Câu 2. Giải các phương trình sau:
1)
( 2)(3 2 ) 0xx+ −=
; 2)
(5 1)(1 ) 0xx
+ +=
3)
2
3 20xx
− +=
; 4)
32
10
xxx+ − −=
Câu 3. Giải phương trình có chứa ẩn số ở mẫu thức :
1)
2
35 15
1
5 2 7 10
x
x x xx
−= +
− − −+
2)
2
84
1
10 6 16 60
xx
x x xx
−
÷= −
− − −+
Câu 4. Giải các phương trình sau:
1)
22
12xn xn xn x
mn mn mn m n m
+− −
+=− +
+−+ −
2)
22
22
33 4a x x a ab b
ba ab a b
− −−
+=
−+ −
Câu 5. Giải các phương trình sau:
a)
2 2 32
7 8 37 9
1 21 1
x
x x x xxx
−
+=
− − + − −+
b)
2 22
1 43
(3 2 ) (3 2 ) 9 4x xx
−=
− +−
Câu 6. Giải các phương trình sau:
a)
2
4241,5 4
3 6 3 0, 5 3(2 1)
x xx
xx x
−
−= −
−− −
b)
2 23 2
1 45
21 2 22x x xxx xx
+=
++ + + +
Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình:
a)
23
24
xx
xx
−+
=
+−
b)
2
2
4(3 2 )
6 (6 )
yy
y yy y
−
=
−−
c)
85 9
2
yy
yy
−
=
+
.
Câu 8. Giải phương trình sau:
2
22
3 12 5 2334
.
9 33
ax ab b x b x a
a b ab b a
++ − −
= −
− +−
Câu 9. So sánh các biểu thức sau:
a)
3,06 2,05⋅
và
23,58: 4,5
11
)
35
b +
và
11
25
+
c)
1
16 4
8
−
và
1
15 4
8
−
Câu 10. Cho
ab<
. Hãy so sánh các số sau:
a và
1; 2ba
+−
và
;5ba
−
và
1; 5ba++
và
1b −
Câu 11. Cho bất đẳng thức
ab>
điền dấu > hoặc < vào các ô trống để được bất đẳng thức đúng:
a)
7,5a
−
7,5b
−
b)
0,12a
0,12 b
c)
ab
55
d)
1
a
4
−
1
4
b−
Câu 12. Xác định dấu của a ( a dương hoặc a âm) nếu ta có:
a)
5a 3a<
,
b)
85aa>
,
c)
19 19aa
−<
d)
2004 2003aa− >−
Câu 13. Chứng minh rằng
ab>
và
cd>
thì
acbd+>+
Câu 14. Chứng minh rằng nếu
ab>
và
cd>
và
a,b,c,d
đều là số dương thì ac > bd
Câu 15. Cho
a,b∈
. Chứng minh rằng:
( )
22 2
2 ()a b ab+ ≥+
Câu 16. Cho bốn số
a,b,c,d
. Chứng minh rằng:
(
)
( )
2 222 2
(. .)abcd acbd
+ ≤+ +
Câu 17. Cho ba số
a, b,c
thỏa mãn
1 a, b,c 4−≤ ≤
và
a 2 b 3c 4+ +≤
. Chứng minh rà
ng
2 22
a 2 b 3c 36+ +≤
.
Câu 18. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
222
2( ). a b c ab bc ca++< ++
Câu 19. Chứng minh bất đẳng thức :
11 4
yx xy
+≥
+
với
x,y 0>
.
Câu 20. Chứng minh bất đẳng thức
( )
222 2
3 ()a b c abc+ + ≥ ++
.

Tài liệu khác của Toán 9

Preview text:

CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Để giải phương trình tích (ax + b)(cx + d) = 0 , ta giải hai phương trình ax + b = 0 và cx + d = 0 .
Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.
Ví dụ 1. Giải phương trình (2x +1)(3x −1) = 0 .
Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x − x = 2 − x + 2.
Nhận xét. Trong Ví dụ 2, ta thực hiện việc giải phương trình theo hai bước:
Bước 1. Đưa phương trình vể phương trình tích (ax + b)(cx + d) = 0 ;
Bước 2. Giải phương trình tích tìm được.
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong
phương trình đều khác 0 và gọi đó là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau: 5x + 2 1 1 a) = 0 ; b) =1+ . x −1 x +1 x − 2
Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2. Quy đồng mấu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Buớc 3. Giải phương trình vừa tìm được.
Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn điều kiện xác
định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 4. Giải phương trình 2 1 3 + = . (3)
x +1 x − 2 (x + ) 1 (x − 2)
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
2.1. Giải các phương trình sau:
a) x(x − 2) = 0 ;
b) (2x +1)(3x − 2) = 0 .
2.2. Giải các phương trình sau: a) ( 2
x − 4) + x(x − 2) = 0; b) 2 2
(2x +1) − 9x = 0.
2.3. Giải các phương trình sau: 1 x 3 a) 2 1 3 + = ; b) x − = .
2x +1 x +1 (2x +1)(x +1) 2 3
x +1 x − x +1 x +1
2.4. Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiểu dài 14 m và chiểu rộng 12 m . Bác dự định
xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phẩn diện tích đất để làm sân vườn như Hình 2.3. Biết diện tích đất làm nhà là 2
100 m . Hỏi x băng bao nhiêu mét?
2.5. Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ
thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa
thì xong công việc. Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, x > 0 ).
a) Hãy biểu thị theo x :
- Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;
- Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ.
b) Hãy lập phương trình theo x và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mổi
người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó. C. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG A( x).B( x) = 0
1. Phương pháp giải
- Giải hai phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0.
- Lấy tất cả các nghiệm thu được.
- Viết tập hợp nghiệm S . 2. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
a) (3x − 2)(4x + 5) = 0 ;
b) (2,3x − 6,9)(0,1x + 2) = 0 ; c) ( x + )( 2 4 2 x + ) 1 = 0 ;
d) (2x + 7)(x −5)(5x + ) 1 = 0 .
Ví dụ 2: Giải phương trình:
 2x −1 1− x  2( x + ) 1 
a) ( x ) 4x −1 2x +1 5 3  − − =   0 ; b) − −   (2x + )1 =   0 .  5 3   3 3   5 
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
1. Phương pháp giải:
- Chuyển tất cả các số hạng sang vế trái, vế phải bằng 0.
- Rút gọn rồi phân tích đa thức thu được ở vế trái thành nhân tử.
- Giải phương trình tích rồi kết luận. 2. Ví dụ
Ví dụ 1. Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:
a) 2x(x − 3) + 5(x − 3) = 0; b) ( 2
x − 4) + (x − 2)(3− 2x) = 0 ; c) 3 2
x − 3x + 3x −1 = 0 ;
d) x(2x − 7) − 4x +14 = 0 ;
e) ( x − )2 −(x + )2 2 5 2 = 0 ; f) 2
x − x −(3x −3) = 0 .
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a) x(2x −9) = 3x(x − 5) ;
b) 0,5x(x − 3) = (x − 3)(1,5x − ) 1 ;
c) 3x −15 = 2x(x −5) ; d) 3 1
x −1 = x(3x − 7) . 7 7
Ví dụ 3: Giải phương trình: a) ( 2 x − 2x + ) 1 − 4 = 0 ; b) 2 x − x = 2 − x + 2 ; c) 2 2
4x + 4x +1 = x ; d) 2
x − 5x + 6 = 0 .
Ví dụ 4: Giải phương trình: a) 3 2 2
2x + 6x = x + 3x ; b) ( x − )( 2
3 1 x + 2) = (3x − ) 1 (7x −10) .
DẠNG 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU 1. Phương pháp giải - Tìm ĐKXĐ.
-Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu thức.
- Giải phương trình không chứa ẩn ở mẫu. - Kiểm tra ĐKXĐ. - Viết tập nghiệm. 2. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình: 2x − 5 2 − a) = 3; b) x 6 3 = x + ; x + 5 x 2
( 2x +2x)−(3x+6) 5 c) = 0 ; d) = 2x −1. x − 3 3x + 2
Ví dụ 2. Giải các phương trình: 2x −1 1 5x 6 a) +1 = b) +1 = − x −1 x −1 2x + 2 x +1 1 1 x + 3 x − 3 c) 2 x + = x + d) + = 2. 2 x x x +1 x
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: 1 3− 3x − 2 6x +1 a) + 3 x = ; b) = ; x − 2 x − 2 x + 7 2x −3 x +1 x −1 4 2 c) − = ; d) 2x 4x 2 2x − = + . 2
x −1 x +1 x −1 x + 3 x + 3 7 Ví dụ 4. 2 a) 1 3x 2x − = b) 3 2 1 + = 3 2
x −1 x −1 x + x +1
(x −1)(x − 2) (x − 3)(x −1) (x − 2)(x − 3) 1 12 c) 1+ = d) 13 1 6 + = . 3 x + 2 8 + x
(x − 3)(2x + 7) 2x + 7 (x − 3)(x + 3)
Ví dụ 5. Giải phương trình: 2 2 a)  1   1  1   1 2 2  + = + ( 2x +     )1; b) x +1+ = x −1−     ;  x   x   x   x
DẠNG 4. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA A ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ BẰNG HẰNG SỐ K CHO TRƯỚC
1. Phương pháp giải
- Giả sử biểu thức chứa a là A(a)
- Muốn tìm giá trị của a để biểu thức A(a) bằng k ta xem a như ẩn và giải phương trình A(a) = k 2. Ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giá trị của a sao cho các biểu thức sau có giá trị bằng 2 : 3a −1 a − 3 10 3a −1 7a + 2 a) + b) − − 3a +1 a + 3 3 4a +12 6a +18 D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Giải các phương trình:
a) (5x + 2)(x − 7) = 0 ;
b) 15(x + 9)(x −3)(x + ) 21 = 0; c) ( 2 x − ) 1 (x + 3) = 0 ; d) ( 2 x + )( 2
1 x + 4x + 4) = 0 ; e) 2
x − x − 6 = 0 ; g) 2
x + 5x + 6 = 0 ; h) 2
x + x −12 = 0 ; i) 4 3 2
x + 2x − 2x + 2x − 3 = 0
Câu 2. Giải các phương trình: a) (x − )( 2 x + x − ) 3 1 5 2 − x +1 = 0 ; b) 2
x + (x + 2)(11x − 7) = 4 ; c) 3
x − x(x + ) 1 +1= 0 ; d) 3 2
x + x + x +1 = 0
Câu 3. Giải các phương trình: a) 2
x − 7x + 6 = 0 ; b) 2
2x − 3x + 5 = 0 ; c) 2
4x −12x + 5 = 0
Câu 4. Cho biểu thức: A = (5x −3y + )
1 (7x + 2y − 2).
a) Tìm x sao cho với y = 2 thì A = 0 .
b) Tìm y sao cho với x = 2 − thì A = 0
Câu 5. Giải các phương trình : a) 9  +  −
x(3x − 7)(5x + 6) = 0 ; b) 4x 1 8x 3 1 3 + − =    0  3  7 
Câu 6. Giải các phương trình : a) 2
x − (x + 3)(2x −11) = 9 : b) x − ( 2 x − x + ) 3 ( 2) 3 1 + 8 = x .
Câu 7. Giải các phương trình : a) 2
3x − 4x − 4 = 0 : b) 3
x − 3x + 2 = 0
Câu 8. Cho biểu thức P = (8x + 5y − 4)(x − 3y + 6) = 0 .
a) Tìm các giá trị của x sao cho với y = 4 thì P = 0 ;
b) Tìm các giá trị của y sao cho với x = 1 − thì P = 0.
Câu 9*. Cho phương trình : 3 2
2x + 5x −8x − 4m = 0 ( )1 Biết x = 2
− là một nghiệm của phương trình (1). Tìm các nghiệm còn lại của phương trình đó.
Câu 10. Giải phương trình: 4x −8 2 − − a) = 0; b) x x 6 = 0 2 2x +1 x − 3 x + 5 1 2x − 3 12 1− 3x 1+ 3 c) − = d) x = − .
3x − 6 2 2x − 4 2 1− 9x 1+ 3x 1− 3x
Câu 11. Giải các phương trình: 96 2x −1 3x −1 x +1 5 12 a) 5 + = − ; b) − = +1; 2 x −16 x + 4 4 − x 2
x − 2 x + 2 x − 4 + − c) x 1 x 1 3 − = . 2 2
x + x +1 x − x +1 x( 4 2 x + x + ) 1
Câu 12. Giải các phương trình: x + 5 x +1 8 x +1 5 12 a) = − ; b) − = +1. 2
x −1 x − 3 x − 4x + 3 2
x − 2 x + 2 x − 4
Câu 13. Với giá trị nào của a để các biểu thức sau có giá trị bằng 2 : 2a − 9 3 3a + 2 a − 2 a) a + b) + .
2a − 5 3a − 2 3a + 4 a + 4
Câu 14. Cho phương trình ẩn x :
a) Giải phương trình với a = 3 − .
b) Giải phương trình với a =1.
c) Xác định a để phương trình có nghiệm x = 0,5.
Câu 15. Định a và b để phương trình (x −1)a + (2x +1)b = x + 2 có tập nghiệm là  (vô số nghiệm x∈). + + Câu 16. x 2 x 1
Định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: = . x − m x −1 + − Câu 17. x m x 2
Định m để phương trình sau vô nghiệm: + = 2 x +1 x
Câu 18. Giải các phương trình sau : 2x −1 6 a) = b) 1 1 10 + = . 2 x −1 3x +1
x + 3 x −1 (x + 3)(x −1)
Câu 19. Giải các phương trình sau : 2 + + − a) 1 4 2x 1 − = ; b) 3x 1 2x 5 4 − =1− . 2 3
x +1 x − x +1 x +1 x +1 x − 3 (x +1)(x − 3)
Câu 20. Giải các phương trình sau : 2(x − 5) x − 5 a) 6 1 13 − = ; b) = . 2
x − 9 2x − 7 (x + 3)(2x − 7) 2 2
x + 4x + 3 x + 5x + 6 2 −
Câu 21. Cho phương trình 1 2x m 4 − = . 3 2 x +1 x +1 x − x +1
Biết x = 0 là một nghiệm của phương trình. Tìm các nghiệm còn lại. + Câu 22*. x 1 3x Cho hai biểu thức A = ;B =
, với giá trị nào của x thì hai biểu thức A và B 2 2x − 3 x − 4 có cùng một giá trị ?
BÀI 5. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. BẤT ĐẲNG THỨC
Nhắc lại thứ tự trên tập số thực:
Trên tập số thực, với hai số a và b có ba trường hợp sau:
a) Số a bằng số b , kí hiệu a = b ;
b) Số a lớn hơn số b , kí hiệu a > b ;
c) Số a nhỏ hơn số b , kí hiệu a < b .
Số a lớn hơn hoặc bẳng số b , tức là a > b hoặc a = b , kí hiệu là a ≥ b .
Số a nhỏ hơn hoặc bằng số b , tức là a < b hoặc a = b , kí hiệu là a ≤ b .
Khái niệm bất đẳng thức
Ta gọi hệ thức dạng a > b (hay a < , b a ≥ ,
b a ≤ b ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế
phải của bất đẳng thức. Chú ý
Hai bất đẳng thức 1< 2 và 3 − < 2
− (hay 6 > 3 và 8 > 5 ) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiếu.
Hai bất đẳng thức 1< 2 và 2 − > 3
− (hay 6 > 3 và 5 < 8 ) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiếu.
Ví dụ 1. Xác định vế trái và vế phải của các bất đẳng thức sau: a) 2 − > 7 − ; b) 2 a +1 > 0.
Ví dụ 2. Viết bất đẳng thức để mô tả mỗi tình huống sau:
a) Tuẩn tới, nhiệt độ t (°C) tại Tokyo là trèn 5° − C .
b) Nhiệt độ t ( °C) bảo quản của một loại sữa là dươii 4°C .
c) Để được điểu khiển xe máy điện thì số tuởi x của một người phải ít nhắt là 16 tuởi.
Bất đẳng thức có tính chất quan trọng sau:
Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cẩu của bất đẳng thức).
Chú ý. Tương tự, các thứ tự lớn hơn (>), lớn hơn hoặc bằng (≥)nhỏ hơn hoặc bằng ( ≤ ) cũng có tính chất bắc cầu. Ví dụ 3. 2024 2021 Chứng minh > . 2023 2022
II. LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG
Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với
bất đẳng thức đã cho.
Ví dụ 4. Không thực hiện phép tính, hãy so sánh 2023+ ( 19) − và 2024 + ( 19) − .
III. LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN
Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức đã cho.
- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thúc mới ngược
chiều với bất đẳng thức đã cho.
- Với ba số a,b,c và c > 0 , ta có:
Nếu a < b thì ac < bc ;
Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc ;
Nếu a > b thì ac > bc ;
Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc .
- Với ba số a, b, c và c < 0 , ta có:
Nếu a < b thì ac > bc ;
Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc ;
Nếu a > b thì ac < bc ;
Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc .
Ví dụ 5. Thay ? trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp (<, >) để được khẳng định đúng. a) 3⋅( 7 − ) ? 3⋅( 5 − ) b) ( 3 − )⋅( 7 − ) ? ( 3 − )⋅( 5 − ) .
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
2.6. Dùng kí hiệu để viết bất đẳng thức tương ứng với mỗi trường hợp sau:
a) x nhỏ hơn hoặc bằng -2 ; b) m là số âm;
c) y là số dương;
d) p lớn hơn hoặc bằng 2024.
2.7. Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau:
a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được phép lái ô tô;
b) Xe buýt chở được tối đa 45 người;
c) Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là 20000 đồng.
2.8. Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh: a) 2⋅( 7 − ) + 2023 < 2⋅( 1 − ) + 2023 ; b) ( 3 − )⋅( 8 − ) +1975 > ( 3 − )⋅( 7 − ) +1975.
2.9. Cho a < b , hãy so sánh:
a) 5a + 7 và 5b + 7 ; b) 3 − a − 9 và 3 − b − 9 .
2.10. So sánh hai số a và b , nếu:
a) a +1954 < b +1954 b) 2 − a > 2 − b .
2.11. Chứng minh rằng: 2023 2024 34 26 a) − > − ; b) > . 2024 2023 11 9 C. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TÍNH ĐÚNG SAI CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC 1. Phương pháp giải
- Vận dụng thứ tự trên tập hợp số.
- Vận dụng liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Mỗi bất đẳng thức sau đúng hay sai ? a) 5 + ( 8) − <1; b) ( 2 − )⋅( 7 − ) > ( 5 − )⋅( 3 − ) .
Ví dụ 2. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ? a) 2 ( 7 − ) − 9 ≤ ( 10) − ⋅( 4) − ;
b) Thương của 15và − 6 nhỏ hơn thương của 1 − 2và4 ?
Ví dụ 3. Mỗi bất đẳng thức sau đúng hay sai ? Giải thích. a) 2 x + 3 ≥ 3 ; b) 2 −x +1≤1; c) 2 −(x + 2) − 5 ≤ 5 −
DẠNG 2. SO SÁNH HAI SỐ 1. Phương pháp giải
Vận dụng liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho a < b , hãy so sánh :
a) a − 3 và b − 3 b) 5 − a +1 và 5 − b +1
Ví dụ 2. Cho số a bất kì, hãy so sánh : a) a và a − 4 ; b) a − 7 và a + 5 .
Ví dụ 3. Cho số m bất kì, hãy so sánh 2 m với m .
DẠNG 3. CHỨNG MINH BẤT ĐÅ̉NG THỨC 1. Phương pháp giải
Cách 1. Để chứng minh A > B ta chứng minh A − B > 0 .
Để chứng minh A < B ta chứng minh A − B < 0 .
Cách 2. Dùng phương pháp biến đổi tương đương : A > B ⇔ C > D ⇔ … ⇔ M > N.
Nếu M > N đúng thì A > B đúng.
Cách 3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức
Từ bất đẳng thức đã biết, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh bất đẳng thức 2 2 a + b ≥ 2ab . Ví dụ 2. a b
Cho a > 0;b > 0 . Chứng minh rằng : + ≥ 2 . b a
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b ). Ví dụ 3. 1 1
Cho a > b > 0 . Chứng minh rằng < . a b
Ví dụ 4. Cho a > b và m > n . Chứng minh rằng a + m > b + n . + + + Ví dụ 5 a b b c c a
. Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng : + + ≥ 6. c a b
DẠNG 4. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 1. Phương pháp giải
- Nếu f (x) ≥ k(k là hằng số) và dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = a thì giá trị nhỏ nhất của f (x) là
k khi và chỉ khi x = a . Ta viết min f (x) = k khi và chỉ khi x = a .
- Nếu f (x) ≤ k ( k là hằng số) và dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = a thì giá trị lớn nhất của f (x)
là k khi và chỉ khi x = a . Ta viết max f (x) = k khi và chỉ khi x = a . 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 A = x − 6x +10
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 B = 5x −10x + 3.
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 C = −x + 5x − 4 . Ví dụ 4. 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = 5 − x − với x > 0 . x
Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 E = 2x + 8x + y −10y + 43. − Ví dụ 6. 2x 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = . 2 x + 2
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Bất đẳng thức nào biểu thị đúng thứ tự các só ? Vì sao ? a) 7 − ≤ 6 − −1; b) 5( 3) − > 1 − 6; c) 12 < ( 3 − ).5; d) 4( 2) − > ( 7 − )( 2) − Câu 2. a) So sánh a −1 và a; 2 − b và 2 − b +1.
b) Cho a < b so sánh 2a và 2 b +1; 3 − a và 3 − b −1. Câu 3.
a) Cho a ≠ 0 , hãy so sánh 2 a và 2 0;−a và 0 . b) So sánh 2 a +1 và 2 0 : −a − 3 và 0 .
Câu 4. Cho 0 < a < b , hãy so sánh : a) 2 a và 2 ; ab b và ab . b) 2 a và 2 3 b ;a và 3 b .
Câu 5. So sánh 2 m với m .
Câu 6. Cho a + 3 > b + 3 . Chứng minh rằng 2a − +1< 2 − b +1.
Câu 7. Cho x > 0 và y < 0. Chứng minh rằng 2 2
x y − xy < 0 . + + Câu 8. a b c
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a < . 2
Câu 9. Chứng minh các bất đẳng thức : 2 a) (a b) ab + ≤ b) 2 2 2
a + b + c + 3 ≥ 2(a + b + c) . 4
Câu 10*. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức : 2 + a) 2
A = 2x + 28x +101 b) (x 1) B = với x > 0. x
Câu 11*. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : a) 2
C = −x + 5x
b) D = 2(1− x)(2x −1) . Câu 12. 1 1
Cho a > b > 0 , chứng minh < . a b Câu 13.
a) Cho a < b và c < d , chứng minh a + c < b + d .
b) a, b, c, d dương và a < b,c < d . Chứng minh ac < bd .
Câu 14. Chứng minh các bất đẳng thức : a) 2 x + y ≤ ( 2 2 ( ) 2 x + y ) b) 2 2 2
x + y + z + 3 ≥ 2(x + y + z) 2 2 2 2 + +  + + c) x y z x y z  ≥ 3  3   
Câu 15. Cho a,b cùng dấu, hãy so sánh hai số (1+ a)(1+ b) và 1+ a + b
Câu 16. Chứng minh rằng nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai 1
số đó bằng nhau. Áp dụng : Tìm giá trị lớn nhất của A = (1− x)(2 − x) với < x <1. 2
Câu 17. Chứng minh rằng : Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai
số đó bằng nhau. Áp dụng : Tìm giá trị nhỏ nhất của : 2 + 1 a) (x 1) B = ( với x > 0) ; b) C = x + ( với x >1). x x −1 + Câu 18. 4x 3
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của D = . 2 x +1
BÀI 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0;ax + b ≤ 0;ax + b ≥ 0 ) trong đó $a, b$ là hai số
đã cho, a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn x .
Ví dụ 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn x ? a) 3x +16 ≤ 0; b) 5 − x + 5 > 0; c) 2 x − 4 > 0 d) 3 − x < 0 .
Nghiệm của bất phương trình
- Số x là một nghiệm của bất phương trình (
A x) < B(x) nếu A(x < B x là khẳng định đúng. 0 ) ( 0) 0
- Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.
II. CÁCH GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình bậc nhất một ẩn ax + b < 0(a ≠ 0) được giải như sau: ax + b < 0 ⇔ ax < b − - Nếu a > 0 thì b x < − . - Nếu a < 0 thì b x > − . a a
Chú ý. Các bất phương trình ax + b > 0,ax + b ≤ 0,ax + b ≥ 0 được giải tương tự.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình 2 − x − 4 > 0 .
Ví dụ 3. Bạn Thanh có 100 nghìn đồng. Bạn muốn mua một cái bút giá 18 nghìn đồng và một số
quyển vở, mỗi quyển vở giá 7 nghìn đồng. Hỏi bạn Thanh mua được nhiếu nhất bao nhiêu quyển vơ?
Vì số vở là số tự nhiên nên Thanh có thể mua nhiều nhất 11 quyển vở.
Chú ý. Ta cũng có thể giải được các bất phương trình một ẩn đưa được vể dạng ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0.
Ví dụ 4. Giải các bất phương trình:
a) 2x + 5 < 3x − 4 ; b) 3 − x + 5 ≥ 4 − x + 3.
Ví dụ 5. Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng là 7,4% / năm. Bà Mai
dự kiến gửi một khoản tiển vào ngân hàng này và cả̉n số tiển lãi hằng năm ît nhất là 60 triệu để chi
tiêu. Ho̊i số tiến bà Mai cẩn gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
2.16. Giải các bất phương trình sau: a) x − 5 ≥ 0; b) x + 5 ≤ 0 ; c) 2 − x − 6 > 0 ; d) 4x −12 < 0 .
2.17. Giải các bất phương trình sau:
a) 3x + 2 > 2x + 3; b) 5x + 4 < 3 − x − 2 .
2.18. Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kỉ hạn 1 tháng là 0,4% . Hỏi nếu muốn có
số tiển lãi hằng tháng ít nhất là 3 triệu đổng thì số tiển gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đổng)?
2.19. Một hãng taxi có giá mở cửa là 15 nghìn đổng và giá 12 nghìn đổng cho mỗi kilômét tiếp
theo. Hői với 200 nghìn đổng thì hành khách có thể di chuyển được tối đa bao nhiêu kilômét (làm
tròn đến hàng đơn vị)?
2.20. Người ta dùng một loại xe tải để chở bia cho một nhà máy. Mỗi thùng bia 24 lon nặng trung
bình 6,7 kg . Theo khuyến nghị, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có
thể chở) là 5,25 tấn. Hỏi xe có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng bia, biết bác lái xe nặng 65 kg ? C. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. KIỂM TRA GIÁ TRỊ x = a CÓ PHẢI LÀ MỘT NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG ? 1. Phương pháp giải
Thay x = a vào hai vế của bất phương trình rồi tính giá trị của hai vế.
- Nếu được một bất đẳng thức đúng thì x = a là một nghiệm.
- Nếu được một bất đẳng thức sai thì x = a không phải là nghiệm của bất phương trình. 2. Ví dụ
Ví dụ 1. Kiểm tra xem x = 5
− có phải là nghiệm của các bất phương trình sau không ?
a) 2x + 7 <1− 3x b) 2
x > 5 − 4x
Ví dụ 2. Cho tập hợp M = { 5 − ; 4 − ; ; … 1; − 0;1;…;5}.
Hãy cho biết những phần tử nào của tập hợp M là nghiệm của bất phương trình : a) | x |< 2 b) | x |> 3 c) | x − 4 |≤ 5
Ví dụ 3. Cho tập hợp A = {0; 1 ± ; 2 ± ; 3 ± ;}.
Hãy cho biết những phần tử nào của tập hợp A vừa là nghiệm của bất phương trình (1), vừa là
nghiệm của bất phương trình (2) dưới đây : 2 x < 9(1) 2x + 3 >1 (2)
DẠNG 2. LẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH CỦA BÀI TOÁN 1. Phương pháp giải
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết.
- Lập bất phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Lập bất phương trình của bài toán sau : Quãng đường AB dài 150 km . Một ô tô phải chạy
từ A đến B trong thời gian không quá 3 giờ. Hỏi ô tô phải chạy với vận tốc nào ?
Ví dụ 2. Năm nay ông 69 tuổi, cháu 9 tuổi. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa thì tỉ số giữa tuổi ông và tuổi cháu nhỏ hơn 5.
DẠNG 3. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH. 1. Phương pháp giải
Vận dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân đưa bất phương trình về dạng ax < m (hay ax > m) .
Từ bất phương trình ax < m , suy ra :
* Nếu a = 0 thì bất phương trình 0x < m :
- Có nghiệm là mọi x với m > 0 ; Vô nghiệm với m ≤ 0 ;
* Nếu a > 0 thì bất phương trình có nghiệm m x < ; a
* Nếu a < 0 thì bất phương trình có́ nghiệm m x > . a 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau :
a) 4x −1 5 − 3x − + < ; b) 2x 5 4x 3 < . 9 6 18 10
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau : 3(2x + ) 1 +
a) 5x + 2 4x − 3 3x 13 < b) +1< . 5 4 20 10
Ví dụ 3. Tìm nghiệm chung của hai bất phương trình : 3x +17 5x + 22 > ( )1 và 10 15 x − 4 2x − 27 −1 > (2) 30 24
Ví dụ 4. Tìm nghiệm nguyên âm của bất phương trình : 2x + 4 4x − 7 2x − 5 2x −1 − > − 3 18 9 15
Ví dụ 5. Giải bất phương trình : 3x −1 > 2 . x + 3 D. BÀI TÂP TỰ LUYỆN
Câu 1. a) Tìm trong tập hợp { 2; − 1,5;2; }
8 số nào là nghiệm của bất phương trình 5y > 2( y − ) 1 + 6
b) Tìm trong tập hợp {0;1;2;3; }
4 số nào là nghiệm của bất phương trình 13x + 7 < 12 − x + 57 .
Câu 2. Cho bất phương trình 3x + 5 > 3(x + 4).
a) Chứng tỏ rằng các giá trị 1;
− 0;3 đều không phải là nghiệm của bất phương trình.
b) Tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình.
Câu 3. Cho bất phương trình 2x +1< 2(x + 3) .
a) Chứng tỏ rằng các giá trị 1; − 1;
− 1;2; 2 đều là nghiệm của bất phương trình.
b) Tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình.
Câu 4. Giải các bất phương trình sau:
a) x + 5 > 3; b) 2x − 7 < x ; c) 7x − 2,4 < 0,4 ; d) 2 − 3x ≤ 1 −
Câu 5. Dựa vào liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, chứng tỏ rằng hai bất phương trình sau tương đương x > 7 ⇔ .
x m > 7.m(m > 0) x > 7 ⇔ .
x m < 7.m(m < 0)
Câu 6. Hai bất phương trình sau có tương đương không? tại sao?| x |< 0 và 5x + 6 < 5(x +1)
Câu 7. Bất phương trình 2
(x − 4) > x(x −12) có bao nhiêu nghiệm nguyên âm ?
Câu 8. Tìm số nguyên lớn nhất thoả mãn mỗi bất phương trình sau : a) 9 − 5x >1,5;
b) 3x −17 5x +1 > 20 15
Câu 9. Tìm nghiệm nguyên chung của hai bất phương trình : a) 15x x −
− 4 > 8 và 7 − 6x > 20 − ; b) 2 x + 5 > 9 và 18 >1. 3 7
Câu 10. Tìm tập hợp các giá trị của x để biểu thức 3− 2x lớn hơn giá trị của biểu thức x −14 . 5 10
Câu 11. Cho phương trình 5x − 4 = 3m + 2 (1) trong đó x là ẩn sớ, m là một số cho trước. Tìm giá
trị của m để phương trình (1) có nghiệm dương.
Câu 12. Giải các bất phương trình : a) 3(2x +1) 3x + 52 − − − +1 >
b) 4x 1 6x 19 9x 11 + ≤ . 20 10 2 6 3
Câu 13. Giải các bất phương trình sau:
a) 2x −1 3x − 3 − + − ≥ x b) 5x 1 x 1 + ≤ x 2 5 5 2 c) 2x 3 x 1 x + − − + − ≤ d) z 1 2z 3 − − z ≥ 2 2 4 2 8
Câu 14. Với những số tự nhiên nào của a để:
a) Hiệu (5 − 5a) − (3a − 3) dương? b) Tổng ( 25
− ,5 + 5a) + (7,5 − 3a) âm?
Câu 15. Cho một hình chữ nhật có một cạnh là 8dm , tìm cạnh thứ hai, biết rằng chu vi của hình
chữ nhật nhỏ hơn chu vi của hình vuông cạnh là 6dm . Câu 16.
1) Chứng minh rằng: 2 + +
a) x 3x 5 > 0 với mọi giá trị của x . 2 2 − + − b) x
2x 6 < 0 với mọi giá trị của x. 3
2) Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức sau nếu có: a) 2
M = 4x + 4x + 5 b) 2
N = 6x − 3− x
Câu 17*. Giải bất phương trình : 13x −1 > 3. 5x + 4 LUYỆN TẬP CHUNG
PHẦN 1. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 2 Ví dụ 1. + Giải phương trình 1 2 x x + = . (1) 2 3
x −1 x + x +1 x −1
Ví dụ 2. Giải phương trình x 2 2 − x − 6 − = . (2) 2 x + 3 x − 3 x − 9
Ví dụ 3. Cho a < b . Chứng minh rằng:
a) 2a +1< 2b + 2 ; b) 2 − a − 5 > 2 − b − 7 . B. BÀI TẬP
2.12. Giải các phương trình sau:
a) 2(x +1) = (5x −1)(x +1) ; b) ( 4
− x + 3)x = (2x + 5)x .
2.13. Để loại bỏ x% một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí cẩn bỏ ra là 50 ( ) x C x =
(triệu đồng), với 0 ≤ x <100. Nếu bỏ ra 450 triệu đồng, người ta có thể loại bỏ 100 − x
được bao nhiêu phẩn trăm loại tảo độc đó?
2.14. Giải các phương trình sau: a) 1 2 x − 4 − − = b) 2x 3 x 12 + = . 2 3
x + 2 x − 2x + 4 x + 8 2
x − 4 x + 4 x −16
2.15. Cho a > b , chứng minh rằng:
a) 4a + 4 > 4b + 3;
b) 1− 3a < 3− 3b .
PHẦN 2. BÀI TẬP THÊM
Câu 1. Giải các phương trình sau a) 2
x − 5x + 6 = 0 ; b) 3 x +1 = 0
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1 − (S = { 1 − })
Câu 2. Giải các phương trình sau:
1) (x + 2)(3− 2x) = 0 ;
2) (5x +1)(1+ x) = 0 3) 2
x − 3x + 2 = 0 ; 4) 3 2
x + x − x −1 = 0
Câu 3. Giải phương trình có chứa ẩn số ở mẫu thức : 1) x 35 15 − − = +1 2) x 8 4x ÷ = −1 2
x − 5 x − 2 x − 7x +10 2
x −10 x − 6 x −16x + 60
Câu 4. Giải các phương trình sau: 2 2 − − −
1) x + n x − n 1 x − n 2x a x 3x 3a ab 4b + = − + 2) + = 2 2
m + n m − n m + n m − n m 2 2
b − a a + b a − b
Câu 5. Giải các phương trình sau: a) 7 8 37 − 9x 1 4 3 + = b) − = 2 2 3 2
x −1 x − 2x +1 x − x − x +1 2 2 2 (3− 2x) (3+ 2x) 9 − 4x
Câu 6. Giải các phương trình sau: 2 a) 4 − 2x 4 1,5x 4x − = − b) 1 4 5 + = 3
6x − 3 x − 0,5 3(2x −1) 2 2 3 2
x + 2x +1 x + 2x + x 2x + 2x
Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình: 2 − a) x − 2 x + 3 y 4(3− 2y) y y = b) = c) 8 5 9 = . x + 2 x − 4 2 y − 6y y(6 − y) y y + 2 2 Câu 8. + + − −
Giải phương trình sau: 3ax 12ab 5b
2x 3b 3x 4a = − . 2 2 9a − b 3a + b b − 3a
Câu 9. So sánh các biểu thức sau: a) 3,06⋅2,05 và 23,58: 4,5 1 1 b) + và 1 1 + 3 5 2 5 c) 1 16 − 4 và 1 15 − 4 8 8
Câu 10. Cho a < b . Hãy so sánh các số sau:
a và b +1; a − 2 và ;
b a − 5 và b +1; a + 5 và b −1
Câu 11. Cho bất đẳng thức a > b điền dấu > hoặc < vào các ô trống để được bất đẳng thức đúng: a) 7, − 5a 7, − 5b b) 0,12a 0,12 b c) a b 5 5 d) 1 − a 1 − b 4 4
Câu 12. Xác định dấu của a ( a dương hoặc a âm) nếu ta có: a) 5a < 3a , b) 8a > 5a , c) 19 − a <19a d) 2004 − a > 2003 − a
Câu 13. Chứng minh rằng a > b và c > d thì a + c > b + d
Câu 14. Chứng minh rằng nếu a > b và c > d và a,b,c,d đều là số dương thì ac > bd
Câu 15. Cho a,b∈ . Chứng minh rằng: ( 2 2 a + b ) 2 2 ≥ (a + b)
Câu 16. Cho bốn số a,b,c,d . Chứng minh rằng: 2
a b + c d ≤ ( 2 2 a + c )( 2 2 ( . . ) b + d )
Câu 17. Cho ba số a,b,c thỏa mãn 1
− ≤ a,b,c ≤ 4 và a + 2 b + 3c ≤ 4 . Chứng minh rà̀ng 2 2 2 a + 2 b + 3c ≤ 36 .
Câu 18. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 2 2
a + b + c < 2(ab + bc + ca).
Câu 19. Chứng minh bất đẳng thức : 1 1 4 + ≥ với x, y > 0 . x y x + y
Câu 20. Chứng minh bất đẳng thức ( 2 2 2
a + b + c ) 2 3
≥ (a + b + c) .

Tài liệu liên quan: