Chuyên đề tích phân – Phạm Thanh Phương Toán 12

Chuyên đề tích phân – Phạm Thanh Phương Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

46 23 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

54 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -1 -
Tác giả: PHẠM THANH PHƢƠNG (Đà Nẵng) Biên tập: Lê Bá Bảo (Huế)
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
Chủ đề 2:
I. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
1. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số
f
liên tục trên
K
và
,ab
là hai số thực bất kì thuộc
K
. Nếu
F
là một
nguyên hàm của
f
trên
K
thì hiệu số
F b F a
gọi là tích phân của
f
từ
a
đến
b
, ký hiệu
d
b
a
f x x
. Nếu
ab
thì
gọi là tích phân của
f
trên đoạn
;ab

.
Hiệu số
F b F a
còn được ký hiệu là
b
Fx
a
, do đó nếu
F
là một nguyên hàm của
f
trên
K
thì
d
b
a
b
f x x F x F b F a
a
.
Vì
d()f x x
là một nguyên hàm bất kỳ của
f
nên ta có
d()
b
a
b
f x dx f x x
a

.
Ta gọi
a
là cận dưới,
b
là cận trên,
x
là biến lấy tích phân,
f
là hàm số dưới dấu tích
phân,
df x x
là biểu thức dưới dấu tích phân.
Tích phân chỉ phụ thuộc vào 2 cận tích phân và biểu thức dưới dấu tích phân, nó không
phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là:
d d d
b b b
a a a
f x x f t t f u u F b F a
Ví dụ 1:
d
3
2
1
3
1 1 1 1 1
4 2 ln 2 1 18 ln 5 2 ln1 16 ln 5
1
2 1 2 2 2 2
I x x x x
x
.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -2 -
Ví dụ 2:
d d d
2
3 3 3
22
1 1 1
1
3
2 1 1
2 2 ln
1
2
x
x x x
I x x x x x x
x x x





91
6 ln 3 2 ln1 ln 3
22
.
Ví dụ 3:
d
2
4
32
1
2
2
2 2ln
1
4
y
I y y y y y
y






1 27
4 4 2ln 2 1 2ln1 2ln 2
44



Ví dụ 4:
d
2
0
cos2 1 1
2cos sin 2 2 sin 2 0 1
2
2 2 2
0
t
I t t t t
.
Ví dụ 5:
dd
44
22
22
4
4 cot 3 1 cot 3 cot
2
I s s s s s s



3 3 3 4
10
4 2 4
.
2. TÍNH CHẤT
Với 2 hàm số
,fg
liên tục trên
K
và
,,a b c
là 3 số thực bất kỳ thuộc
K
, ta có:
d 0
a
a
f x x
dd
ba
ab
f x x f x x

d d d
b c c
a b a
f x x f x x f x x
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x


dd. . ,
bb
aa
k f x x k f x x k

.
Dùng định nghĩa tích phân, ta chứng minh được 2 tính chất sau:
Nếu
0fx
trên
;ab

thì
d 0
b
a
f x x
.
Nếu
f x g x
trên
;ab

thì
dd
bb
aa
f x x g x x

.
II. PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, ĐƢA VỀ TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
- Phương pháp này tính được các tính phân hàm đa thức, hàm có chứa dấu trị tuyệt đối,
1 số hàm lượng giác đơn giản.
- Để tính tích phân theo phương pháp này, cần phải nắm định nghĩa tích phân, các tính
chất tích phân và thuộc bảng nguyên hàm để có thể biến đổi hàm dưới dấu tích phân về các
hàm thường gặp. Từ đó, học sinh có thể linh hoạt đưa bài toán mới về những bài toán cơ bản.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -3 -
Ví dụ 1: Tính
d
1
2
0
1
x
Ix
x
.
Gợi ý: Đặt
22
,1
1
11
x A B
x
x
xx

22
1
,1
11
A x B
x
x
xx


,1x Ax A B x
11
01
AA
A B B



. Do đó
22
11
1
11
x
x
xx


.
Khi đó:
d
1
2
0
1
1 1 1 1
ln 1 ln 2 .
0
1 1 2
1
I x x
xx
x








Ta tìm ra
,AB
như trên bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ngoài ra ta có thể phân tích và biến đổi
trực tiếp như sau:
2 2 2
1 1 1 1
1
1 1 1
xx
x
x x x

, cách này hiệu quả hơn.
Ví dụ 2: Tính
d
1
2
0
1
4
xx
Ix
x
.
Gợi ý: Với mọi
0;1x

, ta có:
22
2 2 2 2 2
1
4 4 1 2 4
1.
2
4 4 4 4 4
xx
x x x x x
x x x x x
.
Lúc đó:
d d d d
1 1 1 1
2 2 2 2
0 0 0 0
1 2 4 1 2 4
1.
22
4 4 4 4
xx
I x x x x
x x x x



d
dd
2
1 1 1
2
0 0 0
4
22
1
2
22
4
x
xx
xx
xx
x

d
dd
2
1 1 1
2
0 0 0
4
1 1 1
2 2 2
4
x
xx
xx
x




2
1 1 1
1 2 1 3 1
ln 4 ln 1 ln ln
0 0 0
2 2 2 4 3
x
xx
x
.
Ví dụ 3: Tính
d
2
2
2
1I x x

.
Gợi ý: Ta có:
khi
khi
22
2
22
1, 1 0
1
1 , 1 0
xx
x
xx

khi
khi
2
2
1, , 1 1,
1 , 1,1
xx
xx
 


Khi đó:
d d d
1 1 2
2 2 2
2 1 1
1 1 1I x x x x x x

d d d
1 1 2
2 2 2
2 1 1
1 1 1x x x x x x

3 3 3
1 1 2
4
2 1 1
3 3 3
x x x
x x x

.
Ví dụ 4: Tính
d
4
0
cosI x x
.
Gợi ý: Dùng công thức lượng giác:
2
2
2
42
1 cos2 cos 2 2cos2 1
cos cos
24
x x x
xx


Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -4 -
1 cos 4
2cos 2 1
cos4 4cos2 3
2
48
x
x
xx



Khi đó :
d
0
1 1 sin 4 3
cos4 4cos2 3 2sin 2 3
0
8 8 4 8
x
I x x x x x



.
Ví dụ 5: Tính
d
6
0
sin .cos 5I x x x
.
Gợi ý: Dùng công thức lượng giác:
1
sin .cos5 sin 6 sin4
2
x x x x
Ta có:
d
6
0
1 1 cos6 cos 4 1
sin6 sin 4
6
2 2 6 4 48
0
xx
I x x x



.
Bài tập tƣơng tự:
Bài tập 1. Tính
d
2
2
1
21
44
x
Ix
xx

. Bài tập 2. Tính
d
2
2
2
0
31
9
x
Ix
x
.
Bài tập 3. Tính
d
3
0
1I x x
. Bài tập 4. Tính
d
4
2
0
sinI x x
.
Bài tập 5. Tính
d
4
42
0
4cos 3cosI x x x

.
2. PHƢƠNG PHÁP DÙNG VI PHÂN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
- Một số bài toán đơn giản không cần phải đưa ra biến mới, tức là không cần đặt
()t t x
,
biến lấy tích phân vẫn là biến
x
, cận lấy tích phân không đổi. Nói cách khác, ta có thể trình bày
gọn bằng công thức vi phân
d d
/
t x t x x
. Cách làm này ngắn gọn, hiệu quả trong rất
nhiều bài toán tích phân.
- Nếu
Fx
là một nguyên hàm của
fx
và
t t x
là một hàm của biến
x
thì
d
b
a
b
t x t x F t x
a
f
.
Chẳng hạn với
t
là hàm bậc nhất
0t t x x
thì
d d
11
.
bb
aa
b
f x x f x x F x
a


.
Ví dụ 1: Tính
d
4
0
tanI x x
Gợi ý:
d
dd
4 4 4
0 0 0
cos
sin 2
tan ln cos ln ln 2
4
cos cos 2
0
x
x
I x x x x
xx

.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -5 -
Ví dụ 2: Tính
d
l
0
1
x
x
I
e
Gợi ý:
d
d
d d d d
l l l l l l
0 0 0 0 0 0
11
1 1 1 1
x x x
x
x x x x
e e e
xe
I x x x x
e e e e
11
2
ln 1 1 ln( 1) ln 2 ln
00
1
x
e
x e e
e
Ví dụ 3: Tính
sin
d
sin
2
4
0
12
12
x
Ix
x
Gợi ý:
d sin
cos
d
sin sin
44
00
12
2 1 1 1
ln 1 sin 2 ln 2
4
1 2 2 1 2 2 2
0
x
x
I x x
xx



.
Ví dụ 4: Tính
d
3
1
23I x x
Gợi ý:
d
33
3
1
22
2
1
2 3 2 3
33
1 1 27 5 5
2 3 2 3 .
3
11
2 2 3 3
2
xx
I x x

.
Ví dụ 5: Tính
d
ln3
3
0
1
x
x
ex
I
e
Gợi ý:
d
d
1
2
ln3 ln3
3
2
3
00
1
ln 3 ln 3
2
1 1 2 1
1
00
1
1
2
x
x
xx
x
x
e
ex
I e e
e
e

.
Bài tập tƣơng tự:
Bài tập 1. Tính
d
4
0
cotI x x
. Bài tập 2. Tính
d
3
3
2
0
2 tan
cos
x
Ix
x
.
Bài tập 3. Tính
d
sin
2
6
0
2cos 1
32
x
Ix
x
. Bài tập 4. Tính
d
3
2
2
43
2 3 1
x
Ix
xx

.
Bài tập 5. Tính
d
ln6
0
3
xx
I e e x
.
3. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
- Cho các hàm số
,u x v x
có đạo hàm liên tục trên
K
và hai số thực
,ab
thuộc
K
, ta
có:
dd
//
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
bb
aa
b
u x v x x u x v x v x u x x
a


. Viết gọn:
dd
bb
aa
b
u v uv v u
a


.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -6 -
- Nếu hàm số
fx
là tích của 2 trong 4 hàm: hàm lũy thừa
yx
, hàm số mũ
,
xx
y a y e
, hàm lôgarit
log , ln
a
y x y x
, hàm lượng giác
sin , cosy x y x
thì ta sử dụng
phương pháp tích phân từng phần, tức là biến đổi
df x x
về dạng
d
/
( ) ( )u x v x x
.
- Việc lựa chọn
u
và
dv
phải thỏa mãn các điều kiện sau:
du
đơn giản,
v
dễ tìm, tích
phân mới
d
b
a
vu
đơn giản hơn tích phân ban đầu
d
b
a
uv
. Chọn hàm để đặt bằng
u
theo thứ tự ưu
tiên giảm dần như sau: hàm lôgarit, hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm lƣợng giác.
Ví dụ 1: Tính
d
1
2
0
.ln 1I x x x
.
Gợi ý: Đặt
dd
2
ln 1 ,u x v x x
, ta có:
dd
2
2
1
x
ux
x
, chọn
2
2
x
v
.
Khi đó:
dd
11
23
2
22
00
1
ln 2
ln 1
0
22
11
x x x
I x x x x
xx





2
2
1
ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1
ln(1 ) ln 2
0
2 2 2 2 2 2 2
x
x






Ví dụ 2: Tính
d
1
2
0
.
x
I x e x
.
Gợi ý: Đặt
dd
2
,
x
u x v e x

, ta có:
dd2u x x
, chọn
x
ve

.
Khi đó:
d
1
2
0
1
1
. 2 . 2
0
xx
I e x x e x K
e

, với
d
1
0
.
x
K x e x
.
Tính K: Đặt
dd,
x
u x v e x

, ta có:
ddux
, chọn
x
ve

.
Khi đó:
d
1
0
11
1 1 1 2
11
00
x x x
K xe e x e
e e e e



.
Vậy
5
2I
e
.
Ví dụ 3: Tính
d
2
3
1
ln x
Ix
x
Gợi ý: Đặt
lnux
,
d
d
3
x
v
x
, ta có
d
d
x
u
x
, chọn
2
1
2
v
x

.
Khi đó:
d
2
2 3 2
1
22
ln ln 2 1 3 2ln 2
11
8 16
2 2 4
xx
I
x x x
.
Ví dụ 4: Tính
d
2
2
11
ln
ln
e
e
Ix
x
x




Gợi ý:
dd
22
22
1 ln
1 ln
ln .ln
ee
ee
xx
x
I x x
x x x


Đặt
1 lnu x x
,
dd
2
1
.ln
vx
xx
, ta có
ddlnu x x
, chọn
1
ln
v
x

.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -7 -
Khi đó:
d
2
2
22
2
ln 1
ln 2 2
e
e
xx
e
ee
I x e e e
x
e
.
Ví dụ 5: Tính
d
3
2
1
3 ln
( 1)
x
Ix
x
Gợi ý: Đặt
3 lnux
,
d
d
2
1
x
v
x
, ta có
d
d
x
u
x
, chọn
1
1
v
x

. Khi đó:
d
d
33
11
3
3 ln 3 1 27
ln 3 ln
1
4 1 4 16
3
3 ln 3 ln 3 3 1 1
1
1 4 2 1
1
x
x
xx
Ix
x x x
xx








.
Bài tập tƣơng tự:
Bài tập 1. Tính
d
1
0
.ln 1I x x x
. Bài tập 2. Tính
d
2
2
1
1
x
I x x e x
.
Bài tập 3. Tính
d
2
0
.sinI x x x
. Bài tập 4. Tính
d
2
0
.
x
I x e x
.
Bài tập 5. Tính
d
1
ln
e
I x x
.
4. PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
- Đặt
()t t x
, với
x
là biến ban đầu,
t
là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.
- Cho hàm số
t t x
có đạo hàm liên tục trên
K
, hàm số
y g t
liên tục và hàm hợp
()g t x

xác định trên
K
,
a
và
b
là 2 số thuộc
K
, ta có
d d
/
()
()
.
tb
b
a t a
g t x t x x g t t



.
- Các bước thực hiện phép đổi biến số dạng 1 để tính tích phân
d
b
a
I f x x
:
+ Bước 1: Đặt
t t x
, suy ra
dd
/
t t x x
.
Đổi cận:
,x a t t a x b t t b

.
+ Bước 2: Biến đổi
df x x
thành
dg t t
.
+ Bước 3: Khi đó
d
2
2
1
lnx x x a C
xa
(đơn giản hơn tích phân đã
cho). Giả sử
Gt
là một nguyên hàm của
gt
thì
I G t
.
Ví dụ 1: Tính
d
22
4
0
tan 3 tan 2 cos
x
x x x
I

.
Gợi ý: Đặt
tantx
2
dd
cos
1
tx
x

. Đổi cận:
0 0, 1
4
x t x t
.
Lúc đó:
d d d
1 1 1
2
0 0 0
21
11
1 2 1 2
32
tt
I t t t
t t t t
tt

Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -8 -
d
1
0
1
1 1 1 4
ln ln
0
1 2 2 3
t
t
t t t


.
Ví dụ 2: Tính
d
2
1
11
x
Ix
x

Gợi ý: Đặt
1tx
dd
2
12x t x t t
. Đổi cận:
1 0, 2 1x t x t
.
Lúc đó:
d d d
1 1 1
23
2
0 0 0
12
2 2 2 2
1 1 1
t t t
I t t t t t t
t t t


32
1
11
2 2 2ln 1 4ln 2
0
3 2 3
tt
tt



.
Ví dụ 3: Tính
d
2
5
0
sinI x x
Gợi ý:
dd
22
2
42
00
sin .sin 1 cos .sinI x x x x x x


Đặt
costx
ddsint x x
. Đổi cận:
0 1, 0
2
x t x t
.
Khi đó:
dd
01
35
2
2 2 4
10
1
28
1 1 2 .
0
3 5 15
tt
I t t t t t t




Ví dụ 4: Tính
d
2
0
1
4sin 3cos 5
Ix
xx

Gợi ý: Đặt
tan
2
x
t
, ta có
d d d d
22
2
1 1 1 1
. 1 tan 1
2 2 2 2
cos
2
x
t x x t x
x



d
d
2
2
1
t
x
t

.
Ta có:
2
22
21
sin , cos
11
tt
xx
tt


. Đổi cận:
0 0, 1
2
x t x t
.
Khi đó:
dd
11
2
22
00
1
2 1 1 1
.
0
26
8 3 1 5 1
2
I t t
t
t t t
t

Ví dụ 5: Tính
d
8
2
3
1
x
I
xx
Gợi ý:
d
8
22
3
1
xx
I
xx
, đặt
2
1tx
, ta có
22
1tx
d d d d22t t x x x x t t
.
Đổi cận:
3 2, 8 3x t x t
.
Khi đó:
d
d
d
3 3 3
2
2 2 2
3
1 1 1 1 1 1 3
ln ln .
2
2 1 1 2 1 2 2
11
1
tt
tt
It
t t t
tt
tt



Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -9 -
Bài tập tƣơng tự:
Bài tập 1. Tính
d
1
7
0
1I x x
. Bài tập 2. Tính
d
2
0
1
2
x
x
ex
Ix
xe
.
Bài tập 3. Tính
d
1
10
0
21I x x x
. Bài tập 4. Tính
sin d
2
2
3
2 .cosI x x x
.
Bài tập 5. Tính
d
8
0
1
x
Ix
x
.
5. PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
- Đặt
x x t
, với
x
là biến ban đầu,
t
là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.
- Cách này áp dụng cho 1 số bài toán đặc thù mà không thể hoặc gặp khó khăn khi áp
dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến dạng 1 hoặc tích phân từng phần. Sau đây
là một số gợi ý cho các trường hợp cụ thể:
Nếu
fx
chứa
2
1 x
, đặt
sinxt
,
;
22
t





hoặc
cosxt
,
0,t

.
22
ax
0a
, đặt
sinx a t
hoặc
cosx a t
.
2
2
ax


;
0a
, đặt
sinx a t


hoặc
cosx a t


.
Nếu
fx
chứa
2
1x
, đặt
; \ 0
22
1
,
sin
xt
t





hoặc
0; \
2
1
,
cos
xt
t






22
xa
0a
, đặt
sin
a
x
t
hoặc
cos
a
x
t
.
2
2
xa


;
0a
, đặt
sin
a
x
t


hoặc
cos
a
x
t


.
Nếu
2
1
1
fx
x
hoặc
fx
chứa
2
1x
, đặt
tan , ,
22
x t t




.
22
1
fx
xa
hoặc
fx
chứa
22
xa
0a
, đặt
tanx a t
.
2
2
1
fx
xa


hoặc
fx
chứa
2
2
xa


;
0
, đặt
tanx a t


.
Các bước thực hiện phép đổi biến số dạng 2 để tính tích phân
d
b
a
I f x x
:
+ Bước 1: Đặt
x x t
, suy ra
dd
/
x x t t
.
Đổi cận:
,x a t x b t

.
+ Bước 2: Biến đổi
df x x
thành
dg t t
.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -10 -
+ Bước 3: Khi đó
d
2
2
1
lnx x x a C
xa
(đơn giản hơn tích phân đã
cho). Giả sử
Gt
là một nguyên hàm của
gt
thì
I G t
.
Ví dụ 1: Tính
d
2
2
2
2
0
1
x
Ix
x
Gợi ý: Đặt
sinxt
,
;
22
t





, ta có:
ddcosx t t
,
2 2 2
1 1 sin cos cosx t t t
.
Đổi cận:
2
0 0,
24
x t x t
.
Khi đó:
d
dd
2
4 4 4
2
0 0 0
sin .cos
1 1 1 1
sin 1 cos2 sin 2 .
4
cos 2 2 2 8 4
0
t t t
I t t t t t t
t



Ví dụ 2: Tính
d
2
22
1
4I x x x
Gợi ý: Đặt
2sin , ;
22
x t t




, ta có
dd2cosx t t
. Đổi cận:
1 , 2
62
x t x t

.
Ta có:
2 2 2
4 4 4sin 2 cos 2 cos 2cos .x t t t t
Khi đó:
d d d
2 2 2
22
6 6 6
sin 4
2
2
4
6
23
4sin .2 cos .2cos 4 sin 2 2 1 cos 4
34
t
tI t t t t t t t t




.
Ví dụ 3: Tính
d
2
3
2
1
1
x
I
x
Gợi ý: Đặt
1
,;
sin 2 2
xt
t




dd
2
cos
sin
t
xt
t

. Đổi cận:
2
1,
23
3
x t x t

.
Ta có:
2
2
1 cos
11
sin
sin
t
x
t
t
. Khi đó:
d
d
3
2
2
23
cos
sin
cos
sin
sin
t
t
t
t
I
t
t
t


. Ta có 2 cách sau:
Cách 1:
d
dd
2 2 2
2
3 3 3
tan
2
11
2
ln tan ln 3
2 2 2
sin cos tan cos tan
2 2 2 2 2
3
t
t t t
I
t t t t t



.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -11 -
Cách 2: Đặt
d
d d d d
22
2
1 1 2
tan 1 tan 1
2 2 2 2
1
t t u
u u t u t t
u



,
2
2
sin
1
u
t
u
. Khi đó:
dd
11
11
33
1
2
ln ln 3
1
2
3
uu
Iu
uu

.
Ví dụ 4: Tính
d
1
2
0
1
1
Ix
x
Gợi ý: Đặt
tan , ;
22
x t t




, ta có:
d d d
2
2
1
1 tan
cos
x t t t
t
.
Đổi cận:
0 0, 1
4
x t x t
. Khi đó:
d
d
2
44
2
00
1 tan
.
4
1 tan
tt
It
t


Ví dụ 5:
d
1
2
3
1
6 13
Ix
xx

Gợi ý:
d
1
2
3
1
34
Ix
x

. Đặt
3 2 tan , ,
22
x t t




, ta có
dd
2
2 1 tanx t t
.
Đổi cận:
3 0, 1
4
x t x t
. Khi đó:
dd
2
44
2
00
2 1 tan
1
28
4 tan 4
t
I t t
t


.
Bài tập tƣơng tự:
Bài tập 1. Tính
d
1
2
0
1I x x
. Bài tập 2. Tính
d
3
42
0
9I x x x
.
Bài tập 3. Tính
d
0
2
1
2
1
x
I
x
. Bài tập 4. Tính
d
2
1
1 ln
e
x
I
xx
.
Bài tập 5. Tính
d
0
2
1
32
x
I
xx

.
6. MỘT SỐ LƢU Ý VỀ PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
- Các phép đổi biến sau đây có thể xem là đổi biến dạng 1, cũng có thể xem là đổi biến
dạng 2, cách đặt
()t t x
hoặc
()x x t
rất đơn giản, chẳng hạn:
, , ,...
2
t x t x t x
Các
biến đổi thường gặp:
Đổi biến với
I
để có
.
1
I I I

với
, , 1

.
Đổi biến với
I
, ta có
1
2
2
I I I K I K
, với
K
là tích phân đơn giản.
Biến đổi
I
thành tổng
, thực hiện phép đổi biến đối với
1
I
hay
2
I
ta được
12
II
hay
12
I I K
, với
K
là tích phân đơn giản.
- Học sinh cần đặc biệt chú ý đến tính chẵn, lẻ của hàm
fx
. Ta xét 3 loại tích phân sau:
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -12 -
* Loại 1: Tích phân
d
a
a
I f x x
, với
0a
,
fx
là hàm lẻ trên đoạn
;aa

, tức là
f x f x
,
;x a a

.
Cách giải:
Cách 1: (Phân tích thành 2 tích phân)
dd
0
12
0
a
a
I f x x f x x I I

.
Với
1
I
: đặt
tx
d
0
1
a
I f t t
dd
2
00
aa
f t t f x x I

0I
.
Cách 2: (Tính trực tiếp) Đặt
tx
dt dt dt
a a a
a a a
I f t f t f t I

.
2 0 0II
.
Ví dụ: Tính
d
1
10
1
sinI x x x
Gợi ý:
Cách 1:
dd
01
10 10
12
10
sin sinI x x x x x x I I

, trong đó
d
0
10
1
1
sinI x x x
,
d
1
10
2
0
sinI x x x
. Đối với
1
I
: đặt
tx
, ta có
ddtx
,
10 10
sin sin ,x t x t
.
Đổi cận:
1 1, 0 0x t x t
.
Khi đó:
d d d
0 1 1
10 10 10
12
1 0 0
.sin .sin .sinI t t t t t t x x x I

. Suy ra
0I
.
Cách 2: Đặt
tx
, ta có
ddtx
,
10 10
sin sin ,x t x t
.
Đổi cận:
1 1, 1 1x t x t
.
Khi đó:
dd
11
10 10
11
.sin .sinI t t t t t t I

. Suy ra
2 0 0II
.
* Loại 2: Tích phân
d
1
a
x
a
fx
Ix
k
, với
0a
,
k
,
fx
là hàm chẵn trên đoạn
;aa

, tức là
f x f x
,
;x a a

.
Cách giải:
Cách 1: (tách thành 2 tích phân)
dd
0
12
0
11
a
xx
a
f x f x
I x x I I
kk


.
Với
1
I
: đặt
tx
d d d d
0
1
0 0 0
..
1
1 1 1
1
a a a
a
tx
t t x
t
f t f t k f t k f x
I t t t x
k k k
k
d d d
12
0 0 0
.
11
a a a
x
xx
k f x f x
I I I x x f x x
kk

.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -13 -
Cách 2: Đặt
tx
d d d d
..
1
1 1 1
1
a a a a
a a a a
tx
t t x
t
f t f t k f t k f x
I t t t x
k k k
k
Khi đó:
dd
.
2
11
a a a
x
a a a
x
x
f x k f x
I I I I x x f x dx
kk

d
1
2
a
a
I f x x

.
Ví dụ:
d
1
1
cos
1
x
xx
I
e
Gợi ý:
Cách 1:
dd
01
12
10
cos cos
11
xx
x x x x
I I I
ee


, trong đó
d
0
1
1
cos
1
x
xx
I
e
,
d
1
2
0
cos
1
x
xx
I
e
Đối với
1
I
, đặt
tx
, ta có
ddtx
,
cos cosxt
. Đổi cận:
1 1,xt
00xt
.
Khi đó:
d d d d
0 1 1 1
1
1 0 0 0
cos cos .cos .cos
1
1 1 1
1
tx
t t x
t
t t t t e t t e x x
I
e e e
e
.
Suy ra:
d
dd
d
1 1 1 1
0 0 0 0
1 cos
1
.cos cos
cos sin sin1
0
1 1 1
x
x
x x x
e x x
e x x x x
I x x x
e e e
.
Cách 2: Đặt
tx
, ta có
ddtx
,
cos cosxt
. Đổi cận:
1 1,xt
11xt
.
Khi đó:
d d d d
1 1 1 1
1 1 1 1
cos cos .cos .cos
1
1 1 1
1
tx
t t x
t
t t t t e t t e x x
I
e e e
e
Suy ra:
dd
d
1 1 1
1 1 1
1
cos .cos
2 cos sin 2sin1
1
11
x
xx
x x e x x
I I I x x x
ee

sin1I
.
* Loại 3: Tích phân
d
0
a
I f x x
, với
, ,...
2
a
và
fx
có chứa các hàm lượng giác
Cách giải: Ta thử đặt
t a x
, khi biến đổi hàm
fx
về hàm
gt
phải chú ý các cung có liên
quan đặc biệt (hai cung bù nhau, phụ nhau,…). Chú ý tính chất của tích phân:
dd
bb
aa
f x x f t t

.
Ví dụ:
d
4
2
44
0
cos
cos sin
x
Ix
xx
Đặt
2
tx

, ta có
ddtx
, đổi cận:
0 , 0
22
x t x t

. Khi đó:
d d d
4
0
44
22
4 4 4 4
44
00
2
cos
2
sin sin
sin cos sin cos
cos sin
22
t
tx
I t t x
t t x x
tt






.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -14 -
Suy ra:
d d d
44
2 2 2
4 4 4 4
0 0 0
cos sin
2
2
cos sin cos sin
xx
I I I x x x
x x x x

. Vậy
4
I
.
Kết quả:
d
2
0
cos
4
cos sin
n
nn
x
Ix
xx

, với mọi số tự nhiên
0n
.
Bài tập tƣơng tự:
Bài tập 1.
7 5 3
4
4
4
cos
x x x x
I dx
x
Gợi ý: đặt
tx
Đáp án:
0I
Bài tập 2.
4
0
ln 1 tanI x dx

Gợi ý: đặt
4
tx

Đáp án:
.ln 2
8
I
Bài tập 3.
1
2
2
1
2
1
.ln
1
x
I x dx
x
Gợi ý: đặt
tx
Đáp án:
0I
Bài tập 4.
1
2
1
11
x
dx
I
ex

Gợi ý: đặt
tx
Đáp án:
4
I
Bài tập 5.
2
1
1
ln 1
1
x
x
I dx
e
Gợi ý: đặt
tx
Đáp án:
ln 2 2
2
I
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
1. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
Bài toán 1:
d
2
1
Ix
mx nx p

, với
2
0;m mx nx p
vô nghiệm.
Ta biến đổi:
d
2
11
Ix
m
x r s

,
0s
. Đặt
.tanx r s t
,
;
22
t





.
Ta có:
d
dd
2
2
. . 1 tan
cos
t
x s s t t
t
và
2
2
. 1 tanx r s s t
.
Khi đó:
d
d
2
21
2
22
11
. 1 tan
1 1 1
. 1 tan
t
tt
t
s t t
I t t t
m
st
m s m s

.
Ví dụ:
d
1
2
1
1
25
Ix
xx

d
1
2
1
1
14
x
x

, đặt
1 2 tan , ;
22
x t t




dd
2
2 1 tanx t t
,
1 0, 1
4
x t x t
;
d
d
2
4
2
0
4
0
2 1 tan
1
28
4 tan 4
tt
It
t

.
Bài toán 2:
d
2
ax b
Ix
mx nx p

, với
2
0;m mx nx p
vô nghiệm.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -15 -
Ta chú ý
/
2
2mx nx p mx n
và biến đổi:
dd
22
21
22
a mx n an
I x b x
mm
mx nx p mx nx p





2
.ln .
22
a an
mx nx p b K
mm



, với
d
2
1
Kx
mx nx p

(xem Bài toán 1).
Ví dụ:
d
1
2
1
34
25
x
Ix
xx

d
1
2
1
3( 1) 1
25
x
x
xx


dd
11
22
11
3 2 2 1
2
2 5 2 5
x
xx
x x x x



d
1
2
2
1
1
31
ln 2 5
1
2
25
x x x
xx

(xem thêm ví dụ của Bài toán 1)
Lưu ý: Trong Bài toán 1 và Bài toán 2,
fx
là phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn 2. Nếu tử là
đa thức
Px
có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta biến đổi
2
.P x Q x px qx r R x
(nói
đơn gián: chia tử cho mẫu để tìm thương
Qx
và phần dư
Rx
), suy ra
22
P x R x
Qx
px qx r px qx r

, với
Rx
có bậc nhỏ hơn 2.
Bài toán 3:
d
2
1
k
Ix
mx nx p

, với
k
nguyên,
2k
,
2
mx nx p
vô nghiệm.
Ta biến đổi:
d
2
1
. ( )
k
k
Ix
m x r s



,
0s
. Đặt
.tanx r s t
,
;
22
t





.
Ta có:
dd
2
. 1 tanx s t t
và
2
2
. 1 tan
k
k
k
x r s s t



.
Khi đó:
d
d
d
2
22
22
2 2 2
1 1 1
1
. 1 tan
1
cos
..
. 1 tan 1 tan
k
k k k k k k k
k
t t t
t t t
s t t
s t s
I t t
m m s m s
s t t

.
(xem thêm Bài toán 8 sau đây về phương pháp tính tích phân của hàm
cos
n
t
).
Ví dụ:
d
1
2
2
1
1
25
Ix
xx

d
1
2
2
1
1
14
x
x




.
Đặt
1 2 tan , ;
22
x t t




dd
2
2 1 tanx t t
. Đổi cận:
1 0, 1
4
x t x t
;
d
d
d
2
44
2
22
2
00
44
00
2 1 tan
1 1 1 1 sin 2
cos 1 cos 2
4
8 8 16 16 2
tan 1
4 tan 4
0
tt
tt
I t t t dt t
t
t




.
Bài toán 4:
d
2
k
ax b
Ix
mx nx p

, với
k
nguyên,
2k
,
2
0;m mx nx p
vô nghiệm.
Ta chú ý
/
2
2mx nx p mx n
và biến đổi như sau:
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -16 -
dd
22
21
..
2 2 2 2
kk
a mx n an a an
I x b x K b L
m m m m
mx nx p mx nx p



- Với
d
2
2
k
mx n
Kx
mx nx p

, dùng vi phân hoặc đổi biến
2
t mx nx p
.
- Với
d
2
1
k
Lx
mx nx p

: xem Bài toán 3.
Lưu ý: Trường hợp tử là đa thức
Px
có bậc lớn hơn hoặc bằng 2, ta dùng phương pháp đồng
nhất thức (xem Bài toán 6) để đưa về dạng như Bài toán 3 và Bài toán 4.
Bài toán 5:
d
()
.
ki
Px
Ix
ax b cx d

, với
,ik
là các số nguyên dương, bậc của đa thức
()Px
nhỏ hơn bậc của mẫu.
Đặt
1 2 1 2
22
( ) ... ...
ki
k
i
AB
A A B B
fx
ax b cx d
ax b cx d cx d
ax b

, với mọi
,
bd
xx
ac
. Đồng nhất thức để tìm
1 2 1 2
, ,..., , , ,...,
ik
A A A B B B
. Ngoài ra có thể dùng phương
pháp hệ số bất định để tìm
1 2 1 2
, ,..., , , ,...,
ik
A A A B B B
.
Bài toán 6:
d
22
()
.
ki
Px
Ix
mx nx p qx rx s
, với
,ik
là các số nguyên dương,
2
mx nx p
và
2
qx rx s
vô nghiệm, bậc của đa thức
()Px
nhỏ hơn bậc của mẫu. Đặt
1 1 2 2 1 1 2 2
22
22
( ) ... ...
__
_
_
i i k k
i
k
A x B C x D
A x B A x B C x D C x D
fx
mx nx p qx rx s

,
x
,
fx
là hàm dưới dấu tích phân. Đồng nhất thức hoặc dùng phương pháp hệ số bất định để tìm các
số
, , ,
i i i i
A B C D
ở tử các phân thức.
* Lưu ý:
- Ở đây ta không xét tích phân của hàm hữu tỉ
()
()
Px
fx
Qx
với
/
( ) ( )P x Q x
, vì nó đơn
giản, chỉ cần đặt
()t Q x
dd()t P x x
hoặc dùng vi phân.
- Nếu phân thức hữu tỉ
()
()
Px
Qx
có bậc
()Px
lớn hơn hoặc bằng bậc
()Qx
thì thực hiện phép
chia
()Px
cho
()Qx
ta được
1
()
()
()
( ) ( )
Px
Px
Rx
Q x Q x

, trong đó bậc
1
()Px
bé hơn bậc
()Qx
.
- Đa thức
Qx
khác 0 với hệ số thực có duy nhất 1 cách phân tích thành tích các nhị
thức bậc nhất và tam thức bậc hai với biệt thức
0
. Bài toán 5 và Bài toán 6 đã xét
( ) .
ki
Q x ax b cx d
và
22
( ) .
ki
Q x mx nx p qx rx s
. Cách làm tương tự đối với đa
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -17 -
thức
22
( ) . . .
hk
ij
Q x ax b cx d mx nx p qx rx s
trong đó
, , ,i j k h
là các số nguyên
dương, hai tam thức
2
mx nx p
và
2
qx rx s
vô nghiệm. Cụ thể, ta đặt
1 2 1 2
22
( ) ... ...
j
i
ii
B
A
A A B B
fx
ax b cx d
ax b cx d
ax b cx d



2
22
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2
22
... ...
kh
k k h h
mx nx p qx rx s
mx nx p mx nx p qx rx s qx rx s
C x D E x F
C x D C x D E x F E x F

với mọi
,
bd
xx
ac
. Đồng nhất thức hoặc dùng phương pháp hệ số bất định để tìm các số ở
tử các phân thức.
Ví dụ:
d
3
42
5 4 3 2
2
32
1
xxx
Ix
x x x x x
Ta có:
5 4 3 2 2 2
1 1 1 1x x x x x x x x x x
d
3
42
22
2
32
1 1 1
xxx
Ix
x x x x x

Đặt
42
22
22
32
,1
1
11
1 1 1
x x x A Bx C Dx E
x
x
x x x x
x x x x x
Quy đồng, rút gọn 2 mẫu, đồng nhất các hệ số ở 2 vế ta được hệ 5 phương trìn 5 ẩn, tính được
2A
,
1, 1, 0, 1B C D E
.
Khi đó:
dd
33
2 2 2 2
22
11
21
2 1 1 2 1
22
11
1 1 1 1
x
x
I x x
xx
x x x x x x x x











dd
dd
3 3 3 3
2 2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 1
1 2 2
1 1 1
x x x
xx
x
x x x x x x
dd
33
2
22
22
3
11
2ln 1 ln 1
2
22
1 3 1 3
2 4 2 4
xx
x x x
xx




Với
d
3
1
2
2
13
24
x
I
x




, đặt
13
tan , ;
2 2 2 2
x t t




.
Với
d
3
2
2
2
13
24
x
I
x




, đặt
13
tan , ;
2 2 2 2
x t t




.
Bài toán 7: (Một số kỹ thuật khác dùng trong tích phân hàm hữu tỉ)
* Thứ nhất, kỹ thuật giảm chênh lệch giữa bậc tử và bậc mẫu:
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -18 -
Ví dụ 1:
d
2
4
1
1
x
I
x
(Nhiều tài liệu gọi đây là kỹ thuật “Nhảy tầng lầu”)
d d d
22
2 2 2
22
4 4 4
1 1 1
11
1 1 1 1 1
2 2 2
1 1 1
xx
xx
I x x x
x x x

dd
22
22
22
11
22
11
11
11
11
22
xx
xx
xx
xx




d
22
22
11
11
11
22
11
22
x d x
xx
xx
xx



dd
35
22
22
02
11
22
22
tu
tu



.
Ví dụ 2:
d
2
6
1
1
x
I
x
(Kỹ thuật “Nhảy tầng lầu” đơn giản chỉ là kỹ thuật phân tích – rút gọn)
dd
4 4 4 2 2 2 2
22
2 4 2 2 4 2
11
1 1 1 1 1
11
22
1 1 1 1
x x x x x x x
I x x
x x x x x x


d
dd
d d d
23
2 2 2 2 2 2
2
2
2 6 4 2 2 2
3
2
1 1 1 1 1 1
2
1
1
1
1 1 1
1
2 2 3
1 1 1 1
1
1
x
x x x
x x x x
x
x x x x x
x
x
x














d
d
d
3
2 2 2
2 2 2
3
1 1 1
1
11
23
1
1
1
3
x
x
x
x
x
x
x
x














, lần lượt đặt
tanxt
,
3
tanxt
,
1
ux
x

.
* Thứ hai, kỹ thuật phân tích tử thức để rút gọn mẫu thức:
Ví dụ 3:
d
2
5
1
5 20
x
I
xx
d
dd
44
2 2 2
3
4
44
1 1 1
4
1 1 1 1
5 20 20
4
44
xx
xx
xx
x
x
x x x x





.
Ví dụ 4:
d
2
1
1 7 8
x
I
x x x x
d
2
1
7 1 8
1
8
1 7 8
x x x x
x
x x x x
d
2
1
1 1 1
8
1 8 7
x
x x x x





* Thứ ba, làm xuất hiện đạo hàm ở tử thức rồi đặt ẩn phụ:
Ví dụ 5:
d
22
2
63
1
1 2 1
14 1
x x x
Ix
xx

Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -19 -
Chia tử và mẫu cho
3
x
ta được:
d
d
22
2
3
3
11
3
1 1 1 1
1 2 2
1
11
14
3 14
x x x
x x x
x
Ix
x
xx
x
xx






.
Đặt
1
tx
x

, ta được:
dd
33
22
3
2
00
22
3 14
2 2 7
tt
I t t
tt
t t t




.
Ví dụ 6:
d
2
2
4
1
1
1
x
Ix
x
Chia tử và mẫu cho
2
x
ta được:
d
d
22
2
2
2
11
2
1
1
1
1
1
2
x
x
x
Ix
x
x
x
x









d
2
2
1
2
t
t
(với
1
tx
x

)
* Thứ tƣ, đặt ẩn phụ
ax b
t
cx d
d
2
()
ad bc
t
cx d

(còn gọi “chồng chất nhị thức”)
Ví dụ 7:
d
10
2
12
1
35
2
x
Ix
x
d
10
2
2
1
35
.
2
2
xx
x
x


Đặt
35
2
x
t
x
dd
2
11
2
tx
x

dd
2
11
2
xt
x

. Khi đó
d
1
4
10
8
1
11
I t t
.
Ví dụ 8:
d
2
73
1
1
3 2 3 4
Ix
xx

d
d
22
7 7 8 2
10
11
1 1 1
..
3 4 3 4
3 2 3 2
. 3 4
3 4 3 4
x
x
xx
xx
x
xx




Đặt
32
34
x
t
x
dd
2
18
34
tx
x

dd
2
18
34
xt
x

.
Ta có:
3 2 6
1
3 4 3 4
x
t
xx

11
3 4 6
t
x

. Khi đó:
d
2
8
5
8
1
7
1
1
..
18
6
t
t
I
t
2. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC
Bài toán 8:
d
4
0
cosI x x
(Ví dụ 4 phần II.1): dùng công thức, đưa về
cos2 , cos4xx
.
d
2
5
0
sinI x x
(Ví dụ 3 phần II.4): đổi biến dạng 1 với cách đặt
costx
.
Tương tự đối với các hàm:
2 4 6
sin , sin , sin ,...x x x
,
2 4 6
cos , cos , cos ,...x x x
(số mũ chẵn).
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -20 -
3 5 7
sin , sin , sin ,...x x x
,
3 5 7
cos , cos , cos ,...x x x
(số mũ lẻ).
Bài toán 9:
d
1
sin cos
Ix
d x e x f

Đặt
tan
2
x
t
, ta có:
d
d d d d
22
2
1 1 2
1 tan 1
2 2 2
1
xt
t x t x x
t



. Ta có:
2
2
sin
1
t
x
t
,
2
2
1
cos
1
t
x
t
và
22
2
2 . 1 . 1 .
sin cos
1
t d t e t f
d x e x f
t
2
2
1
mt nt p
t

.
Đổi cận:
12
tan , tan
22
x t t x t t


.
Khi đó:
d
2
1
2
2
t
t
t
I
mt nt p

(xem Bài toán 1 nếu mẫu vô nghiệm hoặc Bài toán 5 nếu mẫu có
nghiệm).
Bài toán 10:
d
sin cos
sin cos
a x b x c
Ix
d x e x f


Đặt
sin cos cos sin
.
sin cos sin cos sin cos
a x b x c d x e x C
AB
d x e x f d x e x f d x e x f
,
xD
(TXĐ)
sin cos sin cos cos sina x b x c A d x e x f B d x e x C
,
xD
Đồng nhất các hệ số của
sin , cosxx
và hệ số tự do để tìm
,,A B C
.
Khi đó:
d
d
cos sin
.
sin cos sin cos
Cx
d x e x
I A B x
d x e x f d x e x f






.ln sin cos .Ax B d x e x f C K
,
trong đó
d
sin cos
x
K
d x e x f

(xem Bài toán 9)
Ví dụ:
d
2
0
sin 7 cos 6
4sin 3cos 5
xx
Ix
xx


Đặt
sin 7 cos 6 4sin 3cos 5 4cos 3sin ,x x A x x B x x C x
sin 7 cos 6 4 3 sin 3 4 cos 5 ,x x A B x A B x A C x
4 3 1 1
3 4 7 1
5 6 1
A B A
A B B
A C C




,
Khi đó:
d
2
0
4cos 3sin 1
1
4sin 3cos 5 4sin 3cos 5
xx
Ix
x x x x


d
2
0
1
ln 4 sin 3cos 5
2
4sin 3cos 5
0
x x x x
xx

Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -21 -
d
2
0
91
ln
2 8 4sin 3cos 5
x
xx

9
ln
28
K
, với
d
2
0
1
4sin 3cos 5
Kx
xx

.
Đặt
tan
2
x
t
22
11
1 tan 1
2 2 2
x
dt dx t dx



2
2
1
dt
dx
t

,
2
22
21
sin , cos
11
tt
xx
tt


.
Đổi cận:
0 0, 1
2
x t x t
, do đó
dd
11
2
22
00
2 1 1
6
8 3 1 5 1
2
K t t
t t t
t

.
Vậy
91
ln .
2 8 6
I
Lưu ý: Nếu
0b c f
hoặc
0a c f
thì có thể phân tích tử số
Px
để tìm nhanh các số
,AB
thỏa mãn:
. sin cos . cos sin
()
sin cos sin cos
A d x e x B d x e x
Px
d x e x d x e x

, việc này khá đơn giản
(Kỹ thuật thêm bớt).
3. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
Bài toán 11:
d
1
2
1
11
x
I
xx
Đặt
2
2
2 2 2
1
1 1 1
2
t
t x x t x x t x x x
t
dd
2
2
1
2
t
xt
t

.
Đổi cận:
1 2 1, 1 2 1x t x t
.
Khi đó:
d
d
2
2 1 2 1
22
2 1 2 1
1
21
1 1 1 1 2 1 1
ln 2ln 1
2 2 1 2
1
21
tt
I t t t
t t t
t t t



1 2 1 2 2 1 1
2 ln 2ln 2 2 ln 2 1 2ln 2 1 .2 1
2 2 2
2 1 2








Chú ý: với cách đặt
2
t mx mx nx p
có thể giải được 1 số bài toán đặc thù.
Bài toán 12:
d
2
22
0
4I x x x
Đặt
2
4
ux
dv x x dx

, ta có
dd
3
2 2 2
2
11
1 1 1
33
ux
v x x x
Khi đó:
d
2
2 2 2 2
0
2
11
4 4 4 4
0
33
I x x x x x x
dd
22
2 2 2
00
32 2 1 4
44
3 3 3
x x x x x

d
2
2
0
32 2 1 4
.4
3 3 3
I x x
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -22 -
Suy ra:
d
2
2
0
8 2 4I x x
22
2
8 2 . 4 2.ln 4
0
2
x
x x x






8 2 2 2 2ln 1 2 6 2 2ln 1 2 .



Tổng quát:
d
22
,0I x x a x a
Cách giải: (phương pháp tích phân từng phần) Đặt
dd
2
,u x v x x a x
.
Bài toán 13:
d
1
2
0
1I x x
Cách 1: Đặt
tan , ,
22
x t t




dd
2
1
cos
xt
t

,
dd
d
4 4 4
3 4 2
2
0 0 0
cos cos
cos cos
1 sin
t t t t
t
I
tt
t
Đặt
sinut
ddcosu t t
,
d
d
44
2 2 2 2
00
1 1 1 1 1
4 1 1
1 1 1 1
u
Iu
uu
u u u u







1 1 1 1 1
ln 2 ln 1 2
4
4 1 1 1 2
0
u
u u u





Cách 2: Đặt
2
1t x x
2
2
1t x x
2
1
2
t
x
t

,
dd
2
2
1
2
t
xt
t

và
22
2
11
1
22
tt
xt
tt

.
Đổi cận:
01xt
,
1 1 2xt
.
Khi đó:
dd
1 2 1 2
2 2 2
2 3 2
11
ln
1 1 1 1 1
12
.
2 4 2 8 2
2 4 8
1
x
t t t t
I t t
tt
t t t








1
2 ln 1 2
2



Cách 3: (Tích phân từng phần) Đặt
dd
2
1,u x v x
, ta có
d
d
2
,
1
xx
u v x
x

.
Khi đó:
d
1
2
2
2
0
1
. 1 2
0
1
x
I x x x K
x
, với
d
1
2
2
0
1
x
Kx
x
.
Ta có:
d d d
1 1 1
2
2
22
0 0 0
1 1 1
1
11
x
K x x x x
xx


2
1
ln 1 ln 1 2
0
I x x I
Suy ra:
1
2 ln 1 2 2 ln 1 2
2
I I I
.
* Một số công thức nguyên hàm cần chú ý:
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -23 -
Vì
/
2
2
x
xa
xa




nên
22
ln
22
xa
I x a x x a C
,
0a
. (1)
Nếu không chứng minh công thức (1) bằng đạo hàm, có thể biến đổi như sau:
d
dd
2
2
2 2 2
2
22
xa
xx
x x x a C
x a x a x a
.
Vì
/
2
2
1
ln x x a
xa



nên
d
2
2
1
lnx x x a C
xa
,
0a
. (2)
Nếu không chứng minh công thức (2) bằng đạo hàm, có thể biến đổi như sau:
d
dd
2
2
2
2 2 2
1
1
ln
x
x x a
xa
x x x x a C
x a x x a x x a

.
Mở rộng công thức (2), ta có:
2
2
11
.lndx x x a C
xa


.
Vì
/
2 2 2
ln
22
xa
x a x x a x a



nên
d
2 2 2
ln
22
xa
x a x x a x x a C
,
0a
. (3)
Nếu không chứng minh công thức (3) bằng đạo hàm, ta thực hiện như sau:
Đặt
d
2
I x a x
và
dd
2
,u x a v x
, ta được:
dddd
d
2
2
2
22
2 2 2
22
22
2
ln
a
x a x x
xa
x x a I
x x a a
I x x a x x x a x x x a
x a x a
a
x x x a I a x x a C
xa







Suy ra:
22
ln
22
xa
I x a x x a C
.
Bài toán 14:
d
2
1
Ix
mx nx p

Đặt
2
4n mp
. (Ta không xét
0
, đơn giản)
– Nếu
0
và
0m
thì
d
2
1
.
Ix
m x r s

,
0s
. Đặt
tanx r s t
hoặc xem thêm công
thức (2) nói trên.
– Nếu
0
và
0m
thì
d
2
1
.
Ix
m x r s

d
12
11
x
m
x x x x

,
0s
.
Đặt
sin
s
xr
t

hoặc đặt
12
t x x x x
hoặc xem thêm công thức (2) nói trên.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -24 -
– Nếu
0
và
0m
thì
d
2
1
.
Ix
m s x r
,
0s
. Đặt
sinx r s t
.
Sau đây là 3 ví dụ ứng với 3 trường hợp trên.
Ví dụ 1: Tính
d
2
2
1
1
22
Ix
xx

.
Ta có:
d
2
2
1
1
22
Ix
xx

d
2
2
1
1
11
x
x

.
Cách 1: Đặt
1 tan ,
22
x t t

, ta có
d
d
2
cos
t
x
t
,
1 0, 2
4
x t x t
.
Ta có:
2
2
2
11
1 1 tan 1
cos
cos
xt
t
t
.
Khi đó:
d
dd
4 4 4
22
0 0 0
cos cos
cos
cos 1 sin
t t t
I t t
t
tt
.
Đặt
sinut
, ta được:
d
d
22
22
2
00
2
1 1 1 1 1
ln ln 1 2 .
2
2 1 1 2 1
1
0
uu
Iu
u u u
u



Cách 2:
2
2
ln 1 1 1 ln 1 2
1
I x x
.
Ví dụ 2: Tính
d
3
2
1
.
10 9
x
I
xx

Cách 1:
d
3
2
1
5 16
x
I
x

Đặt
4
5 , ,
sin 2 2
xt
t




, ta có
dd
2
4cos
sin
t
xt
t
,
1 , 3
26
x t x t

.
Ta có:
2
2
22
16 16cos 4cos
5 16 16
sin
sin sin
tt
x
t
tt
Khi đó:
d
dd
d
6
2 2 2
2
22
2 6 6 6
4cos
sin sin
sin
4cos
sin
1 cos cos 1
sin
t
t
t t t t
t
t
I
t
t
tt
t

Đặt
cosut
, ta được:
d
d
00
2
33
22
0
1 1 1 1 1
ln ln 2 3
3
2 1 1 2 1
1
2
uu
Iu
u u u
u



Cách 2:
d
3
1
19
x
I
xx

Đặt
19t x x
d
d d d
1 1 1 9
2 1 2 9
2 1 9 2 1 9
tx
xx
t x x
xx
x x x x




Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -25 -
Suy ra:
dd2
19
xt
t
xx

,
1 2 2, 3 2 2 3x t x t
.
Khi đó:
d
2 2 3
22
2 2 3
2
2 1 3
2ln 2ln ln 2 3
2
2
t
It
t
.
Cách 3:
d
3
2
1
5 16
x
I
x

2
3
8 4 3
ln 5 5 16 ln ln 2 3
1
4
xx
.
Ví dụ 3:
d
1
2
0
23
x
I
xx
d
1
2
0
41
x
x

Đặt
1 2sin ,
22
x t t

, ta có:
dd2cosx t t
. Đổi cận:
0 , 1 0
6
x t x t
Ta có:
2
22
4 1 4 4sin 2 cos 2cosx t t t
. Khi đó:
d
d
00
66
2cos
2cos 6
tt
It
t



.
Bài toán 15:
d
2
ax b
Ix
mx nx p

Ta chú ý
/
2
2mx nx p mx n
và biến đổi như sau (Kỹ thuật thêm bớt):
d
d
22
2
. . . .
2 2 2 2
a mx n an x a an
I x b K b L
m m m m
mx nx p mx nx p



- Với
d
2
2mx n
Kx
mx nx p

: đặt
2
t mx nx p
,
d
2
1
2
1
2
t
t
t
t
Kt
t
t

.
- Với
d
2
x
L
mx nx p

: xem Bài toán 14 nói trên.
Ví dụ:
d
2
2
1
1
22
x
Ix
xx

d
2
2
1
1
2 2 2
2
22
x
x
xx


d
d
22
22
11
22
2.
2 2 2 2 2
xx
x
x x x x


Bài toán 16:
d
2
2
ax bx c
Ix
mx nx p


Ta biến đổi:
d
2
2
. . 2A mx nx p B mx n C
Ix
mx nx p

d
dd
2
22
2
. . .
mx n x
A mx nx p x B x C
mx nx p mx nx p
- Với
d
2
K mx nx p x
: đổi biến dạng 2 hoặc dùng công thức (3) nói trên.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -26 -
- Với
d
2
2mx n
Lx
mx nx p

, dùng vi phân:
2
2L mx nx p
.
- Với
d
2
x
M
mx nx p

: xem Bài toán 14 nói trên.
Ví dụ:
d
1
2
2
0
25
23
xx
Ix
xx

d
2
1
2
0
2 3 8
23
xx
x
xx
dd
11
2
2
00
8
23
23
x x x x
xx

d
d
11
2
2
00
4 1 8. ...
41
x
xx
x


IV. BÀI TẬP TỰ LUẬN
1. BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA
Bài tập 1. Tính tích phân
d
2
2
0
43I x x x
.
HD giải: Ta có:
2
1
4 3 0
3
x
xx
x

.
Bảng xét dấu:
Khi đó:
dd
12
22
01
4 3 4 3I x x x x x x

dd
12
22
01
4 3 4 3x x x x x x

33
22
12
2 3 2 3 2
01
33
xx
x x x x
.
Bài tập 2. Tính tích phân
d
2
32
0
I x x x
.
HD giải: Ta có:
3 2 2
1x x x x
.
Bảng xét dấu:
Khi đó:
dd
12
3 2 3 2
01
I x x x x x x

4 3 4 3
12
3
01
4 3 4 3 2
x x x x
.
Bài tập 3. Tính tích phân
d
1
1
1
x
I e x

.
x
0 1 2
2
43xx
0
x
0 1 2
32
xx
0
0
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -27 -
HD giải: Ta có:
1 0 0
x
ex
.
Bảng xét dấu:
Khi đó:
dd
01
10
11
xx
I e x e x

01
1
2
10
xx
e x e x e
e
.
Bài tập 4. Tính tích phân
d
1
2
0
1
56
Ix
xx

.
HD giải:
dd
11
2
00
1
1 1 1 3 3 4
ln ln 2 ln ln
0
( 2)( 3) 3 2 2 2 3
x
I x x
x x x x x



.
Bài tập 5. Tính tích phân
d
0
2
2
1
88
13
x
Ix
xx

.
HD giải: Đặt
2
22
88
, 1;0
13
( 1)
13
x A B C
x
xx
x
xx



22
22
8 8 ( 1)( 3) ( 3) ( 1)
, 1;0
1 3 1 3
x A x x B x C x
x
x x x x

8 (*)
22
8 ( 1)( 3) ( 3) ( 1) , 1;0x A x x B x C x x

Thay
1x
vào (*) ta được:
16 4 4BB
.
Thay
3x
vào (*) ta được:
80 16 5CC
Thay
0x
vào (*) ta được:
38
8 3 3 3
3
BC
A B C A

Khi đó:
d
0
2
1
0
3 4 5 4
3ln 1 5ln 3
1
1 3 1
1
I x x x
x x x
x







2 5ln3 2ln2
.
Bài tập 6. Tính tích phân
d
4
3
0
tanI x x
HD giải:
d d d
4 4 4
32
0 0 0
tan tan tan tan tan 1 tanI x x x x x x x x x
d d
2
44
00
sin tan 1 2 1 ln 2
tan tan ln cos ln
44
cos 2 2 2 2
00
xx
x x x x
x



.
Bài tập 7. Tính tích phân
d
2
0
1
1 sin
Ix
x
x
1
0 1
1
x
e
0
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -28 -
HD giải:
d
d d d
cos
2 2 2 2
22
0 0 0 0
42
1 1 1 1
1 sin 2
1 cos cos
2 4 2 4 2
x
I x x x
x
xx
x



tan tan 1
2
4 2 4
0
x




.
Bài tập 8. Tính tích phân
d
2
sin
0
cos cos
x
I e x x x

HD giải:
d d d
2 2 2
sin sin 2
0 0 0
cos cos .cos cos
xx
I e x x x e x x x x
dd
2
0
2
sin sin
0
1 cos 2 sin 2
sin 1
22
2 2 4 4
00
.
xx
x x x
x x eee





Bài tập 9. Tính tích phân
d
4
0
cos2
sin cos 2
x
Ix
xx

HD giải:
dd
22
44
00
cos sin cos sin
cos sin
sin cos 2 sin cos 2
x x x x
xx
I x x
x x x x




Đặt
sin cos 2t x x
ddcos sint x x x
.
Đổi cận:
03xt
,
22
4
xt
.
Lúc đó:
dd
2 2 2 2
33
2 2 3
22
1 2ln 2 1 2ln
3
22
t
I t t t t
tt




.
Bài tập 10. Tính tích phân
d
6
2
0
tan
cos sin cos
x
Ix
x x x
HD giải:
d
6
2
0
tan
cos 1 tan
x
Ix
xx
. Đặt
d
d
2
tan
cos
x
t x t
x
.
Đổi cận:
1
0 0,
6
3
x t x t
.
Khi đó:
dd
11
33
00
1
1 1 3 1
1 ln 1 ln
3
11
33
0
t
I t t t t
tt






.
Bài tập 11. Tính tích phân
d
1
3
2
0
1
x
Ix
xx

Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -29 -
HD giải:
d d d d
32
1 1 1 1
3 2 3 2 4
22
0 0 0 0
1
. 1 1
11
x x x
I x x x x x x x x x x
x x x x

.
dd
11
3 2 2 2
1
00
1 1.I x x x x x x x

.
Đặt
dd
2 2 2
11t x t x t t x x
. Đổi cận:
0 1, 1 2x t x t
.
Khi đó:
dd
22
53
2 4 2
1
11
2 2 2
2
1 . .
5 3 15
1
tt
I t t t t t t t




.
d
1
5
4
2
0
1
1
0
55
x
I x x
.
Vậy
12
2 2 2 1 2 2 1
15 5 15
I I I

.
Bài tập 12. Tính tích phân
d
1
2
0
1 6 3I x x x
HD giải:
d
1
2
0
4 3 1I x x
.
Đặt
3 1 2 sin , ;
22
x t t




thì
dd
2
cos
3
x t t
.
Đổi cận:
0 , 1 0
3
x t x t
.
Khi đó:
d cos d cos2 d
0 0 0
22
3 3 3
2 4 2
4 4 sin .cos 1
3 3 3
I t t t t t t t
.
0
2 sin 2 2 1
22
3 3 3
3
t
t



.
Bài tập 13. Tính tích phân
ln8
ln3
1
x
dx
I
e
.
HD giải:
d
ln8
ln3
1
x
xx
ex
I
ee
.
Đặt
d
d1
21
x
x
x
ex
t e t
e
và
2
1
x
et
. Đổi cận:
ln3 2, ln8 3x t x t
.
Khi đó:
dd
3 3 3
2
2 2 2
3
22
1 1 1 3
ln ln
2
1 1 1 2
11
1
tt
t
I dt
t t t
tt
t



.
Bài tập 14. Tính tích phân
d
1
2
0
1
xx
Ix
ee
.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -30 -
HD giải:
d d d
1 1 1 1
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
1
1 1 1
1
x x x
x x x x x x
xx
e e e
I x x x dx
e e e e e e
ee


d
d
11
00
1
1
11
1 ln 1 ln
0
2
1
x
x x x
x
e
e
e x e x e
e
e




.
Bài tập 15. Tính tích phân
d
2
1
ln
e
I x x
HD giải: Đặt
dd
2
ln ,u x v x
, ta có:
dd
2
lnu x x
x
, chọn
vx
.
Khi đó:
2
1
.ln 2 ln 2
1
e
e
I x x x dx e K
, với
d
1
ln
e
K x x
.
Tính
K
: đặt
ddln ,u x v x
, ta có:
dd
1
ux
x
, chọn
vx
.
Khi đó:
d
1
.ln 1 1
1
e
e
K x x x e e
.
Vậy
2Ie
.
Bài tập 16. Tính tích phân
d
2
0
.cos 3
x
I e x x
HD giải: Đặt
dd, cos3
x
u e v x x

, ta có:
dd
x
u e x

, chọn
1
sin 3
3
vx
.
Khi đó:
d
2
2
0
1 1 1 1
.sin 3 .sin 3
2
3 3 3 3
0
xx
I e x e x x e K




, trong đó
d
2
0
.sin 3
x
K e x x
.
Tính
K
: đặt
dd, sin3
x
u e v x x

, ta có
dd
x
u e x

, chọn
1
cos3
3
vx
.
Khi đó:
d
2
0
1 1 1 1
.cos 3 .cos 3
2
3 3 3 3
0
xx
K e x e x x I




Vậy
2
1 1 1 1
3 3 3 3
I e I



, suy ra
2
13
10
e
I
.
Bài tập 17. Tính tích phân
d
3
1
2
1
3 ln
1
x
Ix
x
HD giải: Đặt
dd
2
1
3 ln ,
1
u x v x
x
, ta có
dd
1
ux
x
, chọn
1
1
11
x
v
xx

.
Lúc đó:
d
3
1
1
3 ln
33
1 3 3ln 3 3 3ln 3
ln 1 ln2.
11
1 1 4 4
xx
I x x
xx


Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -31 -
(Chú ý cách chọn
dvv
sao cho tích phân
d
3
1
vu
đơn giản. Ta nói
1C
là hệ số điều chỉnh
trong tích phân từng phần).
Bài tập 18. Tính tích phân
d
6
6
2 1 cos
x
x
I
x
.
HD giải: Đặt
tx
, ta có
ddtx
..
Đổi cận:
66
xt

,
66
xt

.
Khi đó:
d d d d
6 6 6 6
6 6 6 6
22
1
2 1 cos 1 2 cos 1 2 cos
1 cos
2
tx
t t x
t
t t t x
I
t t x
t



Suy ra:
d
2d
dd
6 6 6 6
6 6 6 6
12
2
cos
2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos
x
x
x x x
x
x
xx
I I I
x
x x x
dd
66
2
66
cos cos
1 sin 1 sin
cos
x x x x
xx
x






Đặt
ddsin cosu x u x x
. Đổi cận:
11
,
6 2 6 2
x u x u

.
Khi đó:
d
d
11
22
11
22
1
1 1 1 1 1 1 1
2
2 ln ln 3 ln ln 3
1
2 1 1 2 1 2 3
11
2
uu
Iu
u u u
uu



.
Vậy
1
ln 3
2
I
.
Bài tập 19. Tính tích phân
d
1
2
0
ln 1I x x
.
HD giải: Đặt
dd
2
ln 1 ,u x v x
, ta có:
dd
2
2
1
x
ux
x
, chọn
vx
.
Khi đó:
d
dd
1 1 1
2
2
2 2 2
0 0 0
1
22
.ln 1 ln 2 2 ln 2 2 2
0
1 1 1
xx
I x x x x
x x x





.
Với
d
1
2
0
1
x
K
x
, đặt
tanxt
,
;
22
t





, ta có
dd
2
1 tanx t t
.
Đổi cận:
00xt
,
1
4
xt
. Ta được:
dd
2
44
2
00
1 tan
4
tan 1
t
K t t
t


.
Vậy
ln 2 2 2 ln2 2
2
IK
.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -32 -
Bài tập 20. Tính tích phân
d
2
3
2
0
.ln 1
1
x x x
Ix
x

.
HD giải: Đặt
d
d
2
2
ln 1 ,
1
xx
u x x v
x
, ta có :
d d d
2
22
1
1
1
11
x
x
u x x
x x x

, chọn
2
1vx
.
Khi đó:
d
3
22
0
3
1.ln 1 2ln 3 2 3
0
I x x x x



.
2. BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN
Tính các tích phân sau:
1)
d
3
2
3
1I x x

2)
d
2
2
sinI x x
3)
d
2
2
0
43I x x x
4)
d
2
2
2
1
3 2 1xx
Ix
x

5)
d
1
3
42
0
32
x
Ix
xx

6)
d
2
1
2
0
1
1
x
Ix
x
7)
d
4
2
0
sin 4
1 cos
x
Ix
x
8)
d
2
0
sin 2 sin
1 3cos
xx
Ix
x
9)
d
2
22
0
sin 2
cos 4 sin
x
Ix
xx
10)
d
2
1
11
x
Ix
x

11)
d
0
3
1
11
11
x
Ix
x


12)
d
1
2
1
25
x
I
xx

13)
d
2
3
0
1
32
x
Ix
x
14)
d
1
0
31
x
I
xx
15)
d
23
2
5
4
x
I
xx
16)
d
3
2
0
1 sin
cos
xx
Ix
x
17)
d
1
3
2 ln
e
I x x x
x




18)
d
3
1
1
x
x
I
e
19)
d
ln2
0
2
x
x
I
e
20)
d
2
0
.cos 3
x
I e x x
.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -33 -
V. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1. Tích phân
d
4
2
1
32I x x x
bằng
A.
16
3
. B.
5
6
. C.
19
2
. D.
55
6
.
HD giải:
khi
khi
2
2
2
3 2, ,1 2,
32
3 2 , 1; 2
x x x
xx
x x x
 


Do đó:
d d d
1 2 4
2 2 2
1 1 2
3 2 3 2 3 2I x x x x x x x x x
3 2 3 2 3 2
1 2 4
3 3 3 19
2 2 2 .
1 1 2
3 2 3 2 3 2 2
x x x x x x
x x x
Lựa chọn đáp án C.
Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT):
Bước 1: Gán các giá trị kết quả ở các đáp án cho các biến A, B, C, D.
Bước 2: Nhập vào máy
d
4
2
1
3 2 ?X X X X
Lần lượt thay X bởi A, B, C, D. Nhận đáp án
đúng khi màn hình máy tính hiện kết quả 0 hoặc xấp xỉ 0.
Lựa chọn đáp án C.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -34 -
Lưu ý: Tổ hợp phím gán:
16
3
q J z (gán cho A)
Câu 2. Với giá trị nào của tham số
m
thì tích phân
d
2
0
sin
m
I x x x
bằng
2
48
32


?
A.
1m
. B.
6
m
. C.
3
m
. D.
4
m
.
HD giải:
d d d
2
0 0 0
1 cos 2 1 cos2
sin
2 2 2
m m m
xx
I x x x x x x x
22
0
2 2 sin 2 2 2 sin 2
44
m
x x x m m m




. Lần lượt thay các giá trị
m
ở các phương án A, B, C,
D ta thấy
4
m
thỏa mãn. Lựa chọn đáp án D.
Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT):
Bước 1: Nhập vào máy tính biểu thức
d
2
2
0
48
sin
32
Y
X X X



. Nhấn r
Bước 2: Nhập vào lần lượt
1, , ,
6 3 4
Y Y Y Y

(không nhập X khi máy hỏi) Đáp án nhận
khi màn hình hiện 0 hoặc xấp xĩ 0.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -35 -
Lựa chọn đáp án D.
Câu 3. Tích phân
d
2
1
2
1
11
n
Ix
x
bằng
A.
5
. B.
5
2
. C.
2
. D.
1
.
HD giải:
d d d d
2
2 2 1 2
22
2 2 2 2
1 1 1
1
2 2 2
1
1 1 1
1
x
xx
I x x x x
x x x x

dd
12
22
1
1
2
1
2
1 1 1 1
1 1 1
1
1
2
x x x x
xx
xx

.
Lựa chọn đáp án D.
Câu 4. Tích phân
d
1
5
2
0
1
x
Ix
x
bằng
A.
11
ln 2
24
. B.
1
ln 2
2
. C.
. D.
ln2
.
HD giải:
d
1
4
2
0
.
1
xx
Ix
x
. Đặt
dd
2
2t x t x x
. Đổi cận:
0 0, 1 1x t x t
.
Khi đó:
dd
11
22
00
1
1 1 1 1 1 1
1 ln 1 ln 2
0
2 1 2 1 2 2 2 4
tt
I t t t t t
tt








.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 5. Tích phân
d
4
44
0
cos2 cos sinI x x x x

bằng
A.
5
6
. B.
5
24
. C.
7
12
. D.
5
12
.
HD giải: Ta có:
2
4 4 2 2 2 2 2
1
sin cos sin cos 2sin cos 1 sin 2
2
x x x x x x x
.
Khi đó:
d
4
2
0
1
cos2 1 sin 2
2
I x x x




.
Đặt
sin2tx
, ta có
dd2cos2t x x
, đổi cận:
0 0, 1
4
x t x t
.
Do đó:
d
1
3
2
0
1
1 1 1 5
1.
0
2 2 2 6 12
t
I t t t






Lựa chọn đáp án D.
Câu 6. Tích phân
d
2
0
sin xxI
bằng
A.
2
. B.
2
. C.
22
. D.
2
.
HD giải: Đặt
2 d d
2
t x t x t t x
. Đổi cận :
2
0 0,x t x t

.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -36 -
Khi đó:
d
0
2 sinI t t t
. Đặt
dd2 , sinu t v t t
, ta có
dd2ut
, chọn
cosvt
.
Ta có:
d
0
2 .cos 2 cos 2 .cos 2 sin 2
0 0 0
I t t t t t t t
.
Lựa chọn đáp án D.
Câu 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
dd
22
00
sin cosx x x x


. B.
dd
22
22
00
sin cosx x x x


.
C.
dd
22
2
00
sin sinx x x x


. D.
dd
22
2
00
cos cosx x x x


.
HD giải:
d
2
0
sin cos 1
2
0
x x x
.
dd
22
2
00
1 1 sin 2
sin 1 cos 2
2
2 2 2 4
0
x
x x x x x





.
d
2
0
cos sin 1
2
0
x x x

.
dd
22
2
00
1 1 sin 2
cos 1 cos 2
2
2 2 2 4
0
x
x x x x x





.
Các khẳng định A, B, C đúng, khẳng định D sai.
Lựa chọn đáp án D.
Câu 8. Tập hợp các số thực
a
thuộc
;
22




thỏa mãn
d
2
0
2 tan
1
cos
a
x
x
x
là
A.
;
33




. B.
;
44




. C.
;
66




. D.
4



.
HD giải: Đặt
tantx
d
d
2
cos
x
t
x

. Đổi cận:
0 0, tanx t x a t a
.
Khi đó:
dd
tan
22
2
00
tan
2 tan
2 tan
0
cos
aa
a
x
x t t t a
x

. Vì
2
; , tan 1
22
aa




nên
4
a

.
Lựa chọn đáp án B.
Câu 9. Tích phân
d
2
0
cos
cos sin
x
Ix
xx
bằng
A.
. B. 0. C.
2
. D.
4
.
HD giải: Đặt
2
tx

ddtx
, đổi cận:
0 , 0
22
x t x t

.
Khi đó:
d d d
0
22
00
2
cos
2
sin sin
sin cos sin cos
cos sin
22
t
tx
I t t x
t t x x
tt






.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -37 -
Suy ra:
d d d d
2 2 2 2
0 0 0 0
cos sin cos sin
2
cos sin cos sin cos sin 2
x x x x
I I I x x x x
x x x x x x
.
Vậy
4
I
. Lựa chọn đáp án D.
Câu 10. Tích phân
d
2
2
1
ln
1
x
Ix
x
bằng
A.
ln 2 4
ln
33
. B.
ln 2 ln 4
33
. C.
ln 2 ln 4
3
. D.
ln 2 3
ln
34

.
HD giải: Đặt
d
d
2
ln ,
1
x
u x v
x

, ta có
d
d ,
x
u
x
chọn
1
1
11
x
v
xx

. Khi đó:
d
2
1
22
ln 2ln 2 2 ln 2 2ln 2 2
ln 1 ln 3 ln 2 ln
11
1 1 3 3 3 3
x x x
Ix
xx

.
Lựa chọn đáp án B.
Câu 11. Tích phân
d
3
22
0
9I x x x
bằng
A.
4
. B.
81
16
. C.
81
8
. D.
81 4
16
.
HD giải: Đặt
3sin ,
22
x t t

dd3cosx t t
. Đổi cận:
0 0, 3
2
x t x t
.
Ta có:
2 2 2
9 9 9sin 3 cos 3 cos 3cosx t t t t
.
d d d
2 2 2
22
0 0 0
81 81
9sin .3cos .3cos sin 2 1 cos4
48
I t t t t t t t t
81 sin 4 81
2
8 4 16
0
t
t



.
Lựa chọn đáp án B.
Câu 12. Tích phân
d
1
4
1
21
x
x
Ix
bằng
A.
1
5
. B. 4. C. 1. D.
2
5
.
HD giải: Đặt
ddt x t x
. Đổi cận:
1 1, 1 1x t x t
.
Ta có:
4 4 4 4
.2
1
2 1 2 1 1 2
1
2
t
tt
t
x
x t t t
d d d
1 1 1
4 4 4
1 1 1
.2 .2 .2
1 2 1 2 1 2
t t x
t t x
t t x
I t t x



.
Khi đó:
d d d d
4
1 1 1 1
4 4 5
4
1 1 1 1
. 1 2
1
.2 2
2
1
55
2 1 2 1 2 1
x
x
x x x
x
x x x
I I I x x x x x
1
5
I
.
Lựa chọn đáp án A.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -38 -
Câu 13. Cho hàm số
fx
liên tục trên
0;a

thỏa mãn
d
0
a
f x x M
. Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào sai?
A.
d
0
a
f x x M
. B.
dd
0
0
0
a
a
f x x f x x

.
C.
d
2
0
22
a
xM
fx



. D.
d
3
0
3
3
a
x
f x M



.
HD giải: Các khẳng định A, B đúng.
(C): Đặt
d
d
22
xx
tt
. Đổi cận:
0 0, 2x t x a t a
.
Khi đó:
dd
2
00
22
2
aa
x
f x f t t M





. Khẳng định C sai.
(D): Đổi biến với cách đặt
3
x
t
ta được:
d
3
0
3
3
a
x
f x M



. Khẳng định D đúng.
Lựa chọn đáp án C.
Câu 14. Đặt
d
1
32
0
1I x x x
và
2
1tx
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
d
2
42
1
I t t t
. B.
d
1
42
0
I t t t
.
C.
d
2
3
1
I t t t
. D.
d
4
42
1
I t t t
.
HD giải:
d
1
22
0
.1I x x x x
. Đặt
dd
2 2 2
11t x t x t t x x
.
Đổi cận:
0 1, 1 2x t x t
,
dd
22
2 4 2
11
1 . .I t t t t t t t

.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 15. Với giá trị nào của tham số
m
thì tích phân
d
4
2
2
1
xm
Ix
x
bằng
4 ln9
?
A.
0m
. B.
1m 
. C.
4m 
. D.
3m 
.
HD giải:
d
4
2
4
2
2 2 2 ln 1 4 2 ln 3
2
1
m
I x x m x m
x




.
4 ln9 4 2ln3I
khi và chỉ khi
2 2 4mm
.
Lựa chọn đáp án C.
Câu 16. Một ô tô đang chuyển động với vận tốc
0
v
thì bắt đầu hãm phanh và từ thời điểm đó
nó chuyển động chậm dần đều với gia tốc
2
6/a m s
, sau 2 giây nó đi được
20
mét. Vận tốc
0
v
lúc bắt đầu hãm phanh và vận tốc sau khi hãm phanh 2 giây của ô tô lần lượt bằng
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -39 -
A.
6/ms
và
18 /ms
. B.
32 /ms
và
20 /ms
.
C.
và
6/ms
. D.
16 /ms
và
4/ms
.
HD giải:
Gia tốc
at
, vận tốc
và quãng đường đi
st
thỏa mãn
' , 's t v t v t a t
.
Vận tốc:
dd66v t a t t t t C

. Với
0t
thì
0
0v v C
. Do đó
0
6v t t v
.
Quãng đường đi được sau 2 giây:
dd
22
2
0 0 0
00
2
6 3 . 2 12
0
s v t t t v t t v t v

.
Theo giả thiết:
00
20 2 12 20 16 /s v v m s
. Do đó
6 16v t t
.
Vận tốc tại thời điểm
2t
giây là
2 6.2 16 4 /v m s
.
Lựa chọn đáp án D.
Câu 17. Một ô tô đang chuyển động trên đoạn đường phẳng với vận tốc
5/ms
thì bắt đầu
xuống dốc và từ thời điểm đó nó chuyển động nhanh dần đều,
5
giây sau đạt vận tốc
20 /ms
.
Đến hết đoạn dốc ô tô đạt vận tốc
32 /ms
. Tính độ dài đoạn dốc nói trên.
A.
62,5 m
. B.
160 m
. C.
166,5 m
. D.
162,5 m
.
HD giải:
Hàm vận tốc:
0v t at b a
; vì
0 5, 5 20vv
nên
3, 5ab
, vậy
35v t t
.
Cách khác:
51v t mt
; vì
5 20v
nên
3
5
m
, vậy
35v t t
.
Gọi
T
là thời gian ô tô đi hết đoạn dốc, ta có:
32 9v T T s
.
Độ dài đoạn dốc:
dd
9
2
00
9
3
3 5 5 166,5
0
2
T
t
s v t t t t t m




.
Lựa chọn đáp án C.
Câu 18. Một túi nilon đựng một lượng nước có trọng lượng 5
N
được nâng từ mặt đất lên
không trung với tốc độ cố định. Bao nilon thủng khi bắt đầu nâng và nước rỉ ra với tốc độ
không đổi. Khi nâng đến độ cao 50 mét thì trong bao nilon không còn nước. Bỏ qua trọng lượng
túi nilon, hỏi công sinh ra khi nâng bao nước từ mặt đất đến độ cao 50 mét bằng bao nhiêu?
A.
150 J
. B.
50 J
. C.
250 J
. D.
125 J
.
HD giải:
Lực
Fx
dùng để nâng bao nước chính bằng trọng lượng của nước. Từ giả thiết suy ra
Fx
là hàm bậc nhất theo độ cao
x
của bao nước:
50
55
50 10
xx
F x N


.
Công sinh ra:
dd
50 50
2
00
50
5 5 125 . 125
0
10 20
xx
A F x x x x N m J







.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -40 -
Lựa chọn đáp án D.
Câu 19. Khi mài một thanh kim loại, một mảnh kim loại từ mặt đất bay lên theo chiều thẳng
đứng với vận tốc
15 /v m s
. Biết gia tốc trọng trường là
2
9,8 /g m s
và bỏ qua lực cản
không khí, hỏi sau
1
giây mảnh kim loại đã di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu?
A.
19,9 m
. B.
5,2 m
. C.
10,1 m
. D.
15 m
.
HD giải:
Mảnh kim loại chịu tác động của trọng lực (ngược chiều với hướng di chuyển) nên gia
tốc của mảnh kim loại là
2
9,8 /a g m s
. Do đó vận tốc của mảnh kim loại tại thời điểm
t
giây là:
dd9,8 9,8v t a t t t C

.
Theo đề bài, với
0t
thì
15 /v m s
nên
15C
. Suy ra:
9,8 15 /v t t m s
.
Quãng đường di chuyển của mảnh kim loại sau 1 giây:
dd
11
2
00
1
9,8 15 4,9 15 10,1
0
s t v t t t t t t m

.
Lựa chọn đáp án C.
Câu 20. Một lò xo có chiều dài tự nhiên
30cm
, để nén lò xo xuống còn
20cm
ta cần dùng một
lực
40 N
. Nếu ta tiếp tục nén lò xo nói trên từ
20cm
xuống còn
15cm
thì công sinh ra bằng
bao nhiêu?
A.
2,5 J
. B.
6,5 J
. C.
2 J
. D.
0,5 J
.
HD giải: Độ nén của lò xo:
0,3 0,2 0,1xm
,
40FN
.
Vì
.F k x
, với
k
là độ cứng của lò xo, suy ra
40
400 /
0,1
k N m
. Do đó lực nén là
400Fx
.
Tiếp tục nén lò xo, độ nén:
1
0,3 0,2 0,1xm
và
2
0,3 0,15 0,15xm
.
Công sinh ra khi ta tiếp tục nén lò xo từ
20cm
xuống còn
15cm
:
dd
2
1
0,15
2
0,1
0,15
400 200 2,5 . 2,5
0,1
x
x
A F x x x x x N m J

.
Lựa chọn đáp án A.
2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Câu 1. Tính tích phân
2
2
3
1
1
d
x
Ix
x
.
A.
ln2I
. B.
11
ln2
8
I 
. C.
5
ln2
8
I 
. D.
1 ln2I
.
Câu 2. Tính tích phân
4
1
3 2 5
d
xx
Ix
xx

.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -41 -
A.
8 6ln2I
. B.
6ln2I
. C.
10ln2I
. D.
6ln2 8I 
.
Câu 3. Tính tích phân
4
1
1
2dI x x
x
.
A.
8
3
I
. B.
20
3
I
. C.
14
3
I
. D.
2I
.
Câu 4. Tính tích phân
1
3
0
1dI x x x
.
A.
24 2 4
35
I
. B.
24 2
35
I
. C.
4 24 2
35
I
. D.
4 24 2
35
I
.
Câu 5. Tính tích phân
3
2
2
d
1
x
I
xx
.
A.
14
ln
23
I 
. B.
1
2
I
. C.
14
ln
23
I
. D.
1 3 4
ln ln
2 2 3
I
.
Câu 6. Tính tích phân
2
2
1
d
1
x
I
xx
.
A.
13
ln
24
I 
. B.
14
ln
23
I
. C.
13
ln
24
I
. D.
13
ln
24
I
.
Câu 7. Tìm các số thực dương
x
thỏa mãn
1
1 ln
d 18
x
e
t
t
t
A.
75
,x e x e
. B.
7
5
1
,x x e
e

.
C.
5
7
1
,x x e
e

. D.
75
,x e x e


.
Câu 8. Tính tích phân
3
2
dI f x x
, biết rằng
2
21
'
1
x
fx
xx

.
A.
120
8281
I 
. B.
120
8281
I
. C.
13
ln
7
I
. D.
7
ln
13
I
.
Câu 9. Tích phân
1
ln d
e
x x x
bằng
A.
2
1
.
4
e
B.
2
.
4
e
C.
2
1
.
4
e
D.
2
2
.
4
e
Câu 10. Tích phân

2
32
1
3 2 dx x x x
bằng
A.
31
4
. B.
8.
C.
33
.
4
D.
34
.
4
Câu 11. Tích phân
2
2
2
0
1dxx
bằng
A.
2
.
8
B.
1
.
8
C.
1
.
8
D.
2
.
8
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -42 -
Câu 12. Tích phân

1
2
1
21
d
1
x
x
xx
bằng
A.
2 3 1
. B.
2 3.
C.
2 3 1
. D.
2 3 2
.
Câu 13. Tích phân

6
2
4
56
d
3
xx
x
x
bằng
A.
7.
B.
6.
C.
5.
D.
4.
Câu 14. Cho
, d 7, d 8.
bc
aa
a b c f x x f x x

Tính
d.
c
b
f x x
A.
d 1.
c
b
f x x
B.
d 15.
c
b
f x x
C.
d 1.
c
b
f x x 
D.
d 15.
c
b
f x x 
Câu 15. Tính tích phân
2
3
1
d
1
x
I
xx
.
A.
21
2ln
32
I 
. B.
31
ln
28
I 
. C.
41
ln
38
I 
. D.
41
ln
32
I
.
Câu 16. Tính tích phân
2
2
1
d
21
x
I
xx
.
A.
31
2ln
22
I 
. B.
3
ln 1
2
I 
. C.
3
1 ln
2
I
. D.
31
ln ln2
22
I
.
Câu 17. Tính tích phân
1
2
0
23
d
2
xx
Ix
x

.
A.
3
13ln 4
2
I 
. B.
31
3ln
22
I 
. C.
3
3ln 4
2
I
. D.
31
ln
22
I 
.
Câu 18. Tính tích phân
1
4
0
d
1
x
Ix
x
.
A.
1
ln2
2
I
. B.
1
ln2
12
I 
. C.
1
12
I
. D.
1
ln2
12
I 
.
Câu 19. Tính tích phân
1
2
0
23
d
44
x
Ix
xx

.
A.
37
ln
23
I 
. B.
37
2ln
26
I 
. C.
37
2ln
23
I 
. D.
37
2ln
26
I 
.
Câu 20. Tính tích phân
2
2
1
d
1
x
I
xx
.
A.
18
ln
25
I 
. B.
. C.
8
ln
5
I
. D.
18
ln
25
I 
.
Câu 21. Tính tích phân
2
4
1
3
d
2
x
I
xx
.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -43 -
A.
13
ln
62
I 
. B.
31
2ln
26
I 
. C.
3
2ln
2
I
. D.
13
ln
62
I
.
Câu 22. Biết rằng
fx
liên tục trên
và
6
2
d 7,f x x
tính tích phân
12
4
d.
2
x
I f x


A.
7
.
2
I
B.
7.I
C.
14.I
D.
28.I
Câu 23. Cho hàm số
fx
có
'fx
liên tục trên
và
3
,
22
ππ
f



4
2
7
' d .
2
π
π
π
f x x
Tính
4.f π
A.
4.f ππ
B.
4 2 .f ππ
C.
5
4.
2
π
f π
D.
4 5 .f ππ
Câu 24. Xét tích phân
1
0
1dI x x x
và đặt
1.tx
Trong các khẳng định sau, khẳng định
nào sai?
A.
d 2 d .x t t
B.
1
22
0
2 t 1 d .I t t
C.
2
42
0
2 d .I t t t
D.
4
2 1 .
15
I 
Câu 25. Xét tích phân
33
2
0
d
9
x
I
x
và đặt
3tan .xt
Trong các khẳng định sau, khẳng định
nào sai?
A.
2
3
d d .
cos
xt
t
B.
3
0
d.
3
π
t
It
C.
2
2
9
9.
cos
x
t

D.
.
9
π
I
Câu 26. Xét tích phân
7
3
3
0
1
d.
31
x
Ix
x
Nếu đặt
3
31tx
thì khẳng định nào trong các
khẳng định sau là sai?
A.
2
d dt.xt
B.
2
4
1
2
d.
3
tt
It
C.
2
22
2
1
1 2 2 1
d.
3
t t t
It
D.
46
.
5
I
Câu 27. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
22
22
cos 2 cos
d d .
2 1 2 1
ππ
x
xx
ππ
xx
xx



B.
22
22
cos 2 cos
d d .
2 1 2 1
ππ
x
xx
ππ
xx
xx



Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -44 -
C.
22
22
cos 2 cos
d d .
2 1 2 1
ππ
x
xx
ππ
xx
xx



D.
22
22
cos 2 cos
d 2 d .
2 1 2 1
ππ
x
xx
ππ
xx
xx



Câu 28. Đặt
1
2
0
d
4
x
I
x
và
2sin , ; .
22
ππ
x t t




Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
đúng?
A.
d 2cos d .x t t
B.
6
2
0
cos d
.
1 cos
π
tt
I
t
C.
6
0
d.
π
It
D.
.
3
π
I
Câu 29. Tính tích phân
1
3
0
4d
21
xx
I
x
.
A.
13
9
I
. B.
2
9
I
. C.
1
9
I
. D.
1
3
I
.
Câu 30. Tính tích phân
3
2
1
4 4 dI x x x
.
A.
2I
. B.
2I 
. C.
3I 
. D.
1I
.
Câu 31. Tính tích phân
1
2
0
49
d
4 4 1
x
Ix
xx

.
A.
11
ln3
3
I 
. B.
11
ln3
3
I 
. C.
11
2ln3
3
I 
. D.
11
ln3
3
I
.
Câu 32. Tính tích phân
2
3
1
1
d
2
Ix
xx
.
A.
1
ln2
4
I
. B.
1
ln3
2
I
. C.
1
ln3
4
I
. D.
12
ln
49
I
.
Câu 33. Tính tích phân
2
3
1
d
2
x
I
xx
.
A.
ln2 7I
. B.
1
ln 7
2
I
. C.
7
ln
2
I
. D.
1
ln 7 ln2
2
I 
.
Câu 34. Cho các hàm số
32
3 4 1f x x x x
và
32
2 3 1g x x x x
. Tính tích phân
2
1
dI f x g x x
.
A.
1
2
I
. B.
1
2
I 
. C.
5
12
I 
. D.
5
12
I
.
Câu 35. Tính tích phân
3
3
2
23
d
32
x
Ix
xx

.
A.
1 7 8
ln
6 9 5
I
. B.
1 7 4
ln
6 9 5
I
.
C.
1 7 4
ln
2 9 5
I
. D.
1 7 8
ln
2 9 5
I 
.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -45 -
Câu 36. Đặt
4
sin cos d ,
t
f t x x x t
. Nghiệm của phương trình
0ft
là
A.
,.
6
π
tkπk
B.
, .
4
π
tkπk
C.
, .
3
π
tkπk
D.
, .
2
π
tkπk
Câu 37. Biết tích phân
ln10
3
ln3
d;
2
x
x
ea
x
b
e
trong đó
, ab
là hai số nguyên dương và
a
b
là phân số
tối giản. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
2 7 .ab
B.
4.
32

ab
C.
22
85ab
D.
7.ab
Câu 38. Tính tích phân
2
*
4
1 cos 2 sin 2 d , .
π
n
π
I x x x n
A.
1
.
21
I
n
B.
1
.
2
I
n
C.
1
.
21
I
n
D.
1
.
22
I
n
Câu 39. Giá trị nào sau đây của
n
thỏa mãn
2
21
0
1
cos sin d
8
π
n
x x x
?
A.
1.n
B.
2.n
C.
3.n
D.
4.n
Câu 40. Biết
5
2
3
55
d ln
2
1
a
x
b
x
, trong đó
, ab
là hai số nguyên dương và
a
b
là phân số tối giản.
Hãy tính
.ab
A.
3.ab
B.
9.ab
C.
12.ab
D.
144.ab
Câu 41. Cho
7
3
11
d ln
2 5 2
a
x
x x b




trong đó
, ab
là hai số nguyên dương và
a
b
là phân số
tối giản. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
3
8.ab
B.
10.
35
ab

C.
32.ab
D.
22
754.ab
Câu 42. Tính
0
sin d
a
I x x x
0a
theo
a
.
A.
cos sin .I a a a
B.
cos sin .I a a a
C.
2
cos .
2
a
Ia
D.
2
cos .
2
a
Ia
Câu 43. Tính tích phân
1
2
23
0
1dI x x x
.
A.
7
9
I 
. B.
7
9
I
. C.
8
9
I
. D.
1I
.
Câu 44. Tính tích phân
ln2
3
2
0
1d
xx
I e e x
.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -46 -
A.
519
20
I
. B.
617
20
I
. C.
142
5
I
. D.
519
5
I
.
Câu 45. Tính tích phân
1
5
2
3
0
d
1
x
Ix
x
.
A.
1
ln2
3
I
. B.
11
ln2
36
I 
. C.
11
ln2
36
I 
. D.
1
ln2
6
I
.
Câu 46. Tính tích phân
2
1
1 ln
d
e
x
Ix
x
.
A.
7
3
I
. B.
5
3
I
. C.
10
3
I
. D.
8
3
I
.
Câu 47. Tính tích phân
2
3
d
ln
e
e
x
I
xx
.
A.
1
2ln2
I
. B.
1
2ln2
I 
. C.
3
8
I 
. D.
3
8
I
.
Câu 48. Tính tích phân
2
1
ln d
ln 2ln 1
e
xx
I
x x x

.
A.
ln 2I
. B.
1
ln2
2
I 
. C.
1
ln2
2
I
. D.
1
ln2
2
I 
.
Câu 49. Tính tích phân
3
2
0
d
1
xx
I
x
.
A.
2I
. B.
1I
. C.
3I
. D.
31I 
.
Câu 50. Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị bằng tích phân
π
2
0
cos d
n
xx
, với
n
nguyên dương?
A.
π
2
0
sin d .
n
xx
B.
π
2
0
sin d .
n
xx
C.
π
0
sin d .
n
xx
D.
π
0
sin d .
n
xx
Câu 51. Tính tích phân
d
ln
b
a
e
e
x
I
xx
0ba
theo
a
và
b
.
A.
ln .I ab
B.
ln .I a b
C.
ln .
b
I
a
D.
ln .I b a
Câu 52. Tính tích phân
12
4
d
21
x
I
xx
được kết quả là
ln6 ln2I a b
. Giá trị của biểu thức
22
3a ab b
bằng
A.
1.
B.
1.
C.
19.
D.
29.
Câu 53. Tính tích phân
0
d
a
xx
xx
ee
Ix
ee
theo
a
.
A.
.Ia
B.
ln .
4
aa
ee
I
C.
ln .
2
aa
ee
I
D.
ln .
aa
I e e

Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -47 -
Câu 54. Để tính tích phân
5
2
0
9dI x x
, một học sinh làm như sau:
Bước 1:
35
22
03
9 d 9 d .I x x x x

Bước 2:
35
22
03
9 d 9 d .I x x x x

Bước 3:
35
33
03
10 98
9 9 18 0 18 .
3 3 3 3
xx
I x x










Hỏi lời giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Lời giải đúng. B. Sai từ bước 1.
C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.
Câu 55. Cho
fx
là hàm số liên tục trên đoạn
0;1


. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
đúng?
A.
π
π
2
00
sin d sin d .f x x f x x

B.
π
π
2
00
sin d 2 sin d .f x x f x x

C.
π
π
2
00
sin d 3 sin d .f x x f x x

D.
π
π
2
00
sin d 4 sin d .f x x f x x

Câu 56. Tìm số thực
n
biết
0
3 5 d 16.
n
xx
A.
16
; 2.
3
nn
B.
16 4
;.
33
nn
C.
16
; 2; 1.
3
n n n
D.
16
; 2.
3
nn
Câu 57. Tính tích phân
ln3
0
1d
xx
I e e x
.
A.
2
8 2 2
3
I 
. B.
4
3
I
.
C.
2 4 2
3
I
. D.
4 4 3
3
I
.
Câu 58. Tính tích phân
2
1
d
4 ln
e
x
I
xx
.
A.
1
ln2
4
I
. B.
1
ln3
4
I
. C.
1
ln4
2
I
. D.
2ln2I
.
Câu 59. Tính tích phân
ln2
0
d
23
x x
x
I
ee

.
A.
3
2ln
4
I
. B.
3
2ln
2
I
. C.
9
ln
8
I
. D.
3
ln
4
I
.
Câu 60. Tính tích phân
3
3
2
0
d
11
xx
I
x

.
A.
1
2
I
. B.
3
4
I
. C.
5
6
I
. D.
1
6
I
.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -48 -
Câu 61. Tính tích phân
4
6
sin 4
d
sin
x
Ix
x
.
A.
4 2 5I 
. B.
42
3
I
. C.
4 2 2
3
I
. D.
4 2 5
3
I
.
Câu 62. Tính tích phân
4
24
0
sin cos dI x x x
.
A.
1
43
I

. B.
1
64 192
I

. C.
1
64 48
I

. D.
1
64
I
.
Câu 63. Tính tích phân
3
2
0
cos
d
1 sin
x
Ix
x
.
A.
1
2
I
. B.
1
3
I
. C.
1I
. D.
1
2
I 
.
Câu 64. Cho
3π
2
0
d7f x x
. Khi đó tích phân
3π
2
0
2 3cos df x x x



bằng
A.
11.
B.
9π
14 .
2
C.
23.
D.
9π
14 .
2
Câu 65. Đặt
0
sin2 d ,
t
f t x x t
. Nghiệm của phương trình
0ft
là
A.
π, .t k k
B.
π
π, .
4
t k k
C.
π
π, .
4
t k k
D.
2π, .t k k
Câu 66. Cho hàm số
fx
liên tục trên
thỏa mãn
6
0
d8f x x
. Khi đó tích phân
3
0
2df x x
bằng
A.
2.
B.
4.
C.
8.
D.
16
.
Câu 67. Nếu
d
0
2
2
42
x
I e x K e



thì giá trị của
K
là
A. 11. B. 9. C.
25
.
2
D. 10.
Câu 68. Cho
()fx
là hàm số liên tục trên
;ab

. Đẳng thức nào sau đây sai?
A.
dd.
ba
ab
f x x f x x

B.
d ; .
b
a
k x k b a k
C.
d d d ; ; .
b c b
a a c
f x x f x x f x x c a b

D.

.
ba
ab
f x x f x xdd
Câu 69. Giả sử
d
5
1
1
ln
21
xA
x
, giá trị của
A
là
A. 3. B. 9. C. 81. D. 8.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -49 -
Câu 70. Giá trị của tích phân
d
3
2
0
2x x x
là
A. 4. B. 5. C. 3. D.
31
.
6
Câu 71. Giả sử
d d d
1 4 4
0 1 0
2; 3; 4f x x f x x g x x
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

44
00
.f x x g x xdd
B.
d
4
0
1.f x g x x



C.
d
4
0
9.f x g x x



D.
dd
44
00
.f x x g x x

Câu 72. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu
( ) 0, ;f x x a b

thì
d( ) 0
b
a
f x x
.
B. Nếu
,;f x f x x a a

thì
d 0
a
a
f x x
.
C.


..
b b b
a a a
f x g x x f x x x xd d g d
, với mọi
,f x g x
liên tục trên
;ab
.
D. Nếu

f x x F x Cd
thì
d
2
1
21
1
,0
x
x
f ax b x F ax b F ax b a
a


.
Câu 73. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
d
3
2
3
0.xx
B.
d
3
2
3
1 0.xx

C.
3
3
3
0.xxd
D.
d
3
2
3
0.x x x

Câu 74. Nếu hàm số
y f x
xác định, liên tục và không đổi dấu trên
;ab

thì đẳng thức nào
sau đây là đúng?
A.
dd.
ba
ab
f x x f x x

B.
dd.
ba
ab
f x x f x x

C.
dd.
ba
ab
f x x f x x

D.

.
ba
ab
f x x f x xdd
Câu 75. Tích phân
d
2
4
1
x
I
x
bằng
A.
31
.
5
B.
31
.
5
C.
7
24
. D.
7
24
.
Câu 76. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
3
3
sin 0.xxd
B.
3
3
cos 0.xxd
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -50 -
C.
3
2
3
sin 0.xxd
D.
3
2
3
cos 0.xxd
Câu 77. Nếu các hàm số
fx
và
gx
đều xác định, liên tục và cùng không đổi dấu trên
;ab

thì đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
. d d d..
b a a
a b b
f x g x x f x x g x x


B.
d
d
d
.
a
b
b
a
a
b
f x x
fx
x
gx
g x x
C.
d d d .
b a a
a b b
f x g x x f x x g x x
D.



.
ba
ab
f x g x x f x g x xdd
Câu 78. Tích phân
d
2
3
1
x
I
x
bằng
A.
22
. B.
22
. C.
2
2
. D.
2
.
Câu 79. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.


22
00
sin cos .x x x xdd
B.
dd
22
00
sin tan .x x x x


C.
dd
22
00
sin cos .x x x x



D.
dd
22
00
sin tan .x x x x



Câu 80. Tích phân
d
2
sin
0
cos
x
I xe x m

thì
m
thỏa mãn phương trình
A.
ln 1.x
B.
ln 1 0.x 
C.
ln 1 0.x 
D.
ln 1 1.x
Câu 81. Giả sử
d d
56
00
5, 8.f x x f x x

Khi đó
d
6
5
f x x
bằng
A. 3. B.
3.
C.
13.
D.
13.
Câu 82. Tập hợp các giá trị của số thực
b
sao cho
d
0
2 4 5
b
xx
là
A.
5.
B.
5; 1 .
C.
4.
D.
4; 1 .
Câu 83. Nếu
d
5
1
f x x a
,
d
5
4
f x x b
thì
d
4
1
f x x
bằng
A.
ab
. B.
.ba
C.
.ab
D.
4.ab
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -51 -
Câu 84. Cho
d
0
5
a
f x x
và
fx
là hàm số chẵn. Khi đó
d
0
a
f x x
bằng
A. 0. B. 5. C.
5
. D.
10.
Câu 85. Cho tích phân
d
6
2
32
9
x
I
xx
và đặt
3
.
cos
x
t
Trong các khẳng định sau, khẳng định
nào sai?
A.
dd
2
3sin
.
cos
t
xt
t
B.
.
36
I
C.
d
3
4
sin
.
3cos tan
tt
I
tt
D.
2
sin
.
3tan
9
tt
x
t
xx
d
d
Câu 86. Cho tích phân

2
2
1
21I x x xd
và đặt

2
1ux
. Trong các khẳng định sau, khẳng định
nào sai?
A.
2u x xdd
. B.
2 3.I
C.
2
0
.I u ud
D.
3
3
2
0
2
.
3
Iu
Câu 87. Cho
d
6
0
1
sin cos
64
m
I x x x

. Khi đó
m
bằng
A. 6. B. 5. C. 4. D. 3.
Câu 88. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.
dd
4
00
sin sin
44
x x x x


.
B.
dd
00
sin cos
44
x x x x



.
C.

3
4
3
00
4
sin sin sin
4 4 4
x x x x x xd d d
.
D.
dd
4
00
sin 2 sin
44
x x x x


.
Câu 89. Giá trị
d
1
1
0
x
xe x
bằng
A.
1.e
B.
2e
. C.
1e
. D.
2 e
.
Câu 90. Giải phương trình ẩn
t
sau đây

d
0
cos 0
t
x x t
.
A.
 ,.
3
t k k
B.
2 , .
3
t k k
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -52 -
C.
2 , .
6
t k k
D.
,.t k k
Câu 91. Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định
sau:
A.
dd
11
00
1
ln 1
1
x
x x x
e


. B.
dd
44
2
00
sin sin 2x x x x


.
C.
dd
2
11
00
1
1
x
x
e x x
x



. D.


23
11
00
xx
xxe d e d
.
Câu 92. Tính tích phân
d
0
2
a
x
I
a ax
, với
a
là số thực dương.
A.
2Ia
. B.
2 2 2Ia
.
C.
2 2 2I
. D.
22I
.
Câu 93. Tính tích phân

2
0
1 cos sin
n
I x x xd
.
A.
1
.
2
I
n
B.
1
.
1
I
n
C.
1
.
1
I
n
D.
1
.
21
I
n
Câu 94. Tích phân nào dưới đây có kết quả bằng
4
?
A.
d
0
2
1
.
2
x
x
B.
d
1
2
0
.
2
x
x
C.
1
2
0
.
1
x
x
d
D.
d
4
2
0
.
1
x
x
Câu 95. Cho
1
0
,
x
I tx e x td
. Tất cả các giá trị
t
để
1Ie
là
A.
4.te
B.
4 1.te
C.
2.te
D.
2 2.te
Câu 96. Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc
160 10 /v t t m s
. Quãng đường vật di
chuyển được tính từ thời điểm
0ts
đến thời điểm vật dừng lại bằng
A.
1280 .m
B.
C.
3840 .m
D.
2560 .m
Câu 97. Một vật đang di chuyển với vận tốc
10 /ms
thì bắt đầu tăng tốc chuyển động nhanh
dần đều và 3 giây sau nó đạt vận tốc
16 /ms
. Tính quãng đường vật di chuyển tính từ lúc vật
bắt đầu tăng tốc đến khi nó đạt vận tốc
24 /ms
.
A.
119 m
. B.
21 m
. C.
168 m
. D.
94,5 m
.
Câu 98. Một túi nước có trọng lượng 10
N
được nâng từ mặt đất lên không trung với tốc độ
cố định. Nước trong túi bị rỉ ra ngoài với tốc độ rỉ nước không đổi. Khi nâng đến độ cao 20 mét
thì trong túi không còn nước. Bỏ qua trọng lượng túi, tính công sinh ra khi nâng túi nước nói
trên từ độ cao 5 mét đến độ cao 10 mét.
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -53 -
A.
18,75 J
. B.
75 J
. C.
31,25 J
. D.
25 J
.
Câu 99. Phóng một vật từ mặt đất lên cao theo chiều thẳng đứng với vận tốc
49 /v m s
. Biết
gia tốc trọng trường là
2
9,8 /g m s
và bỏ qua lực cản không khí, tính độ cao của vật nói trên
khi vật dừng lại trên không trung.
A.
245 m
. B.
122,5 m
. C.
102,9 m
. D.
147 m
.
Câu 100. Một lò xo có chiều dài tự nhiên
10cm
, để nén lò xo xuống còn
8cm
ta cần dùng một
lực
20 N
. Tính công sinh ra khi nén lò xo nói trên từ chiều dài tự nhiên xuống còn
7cm
.
A.
0,2 J
. B.
10 J
. C.
0,05 J
. D.
0,45 J
.
……………. HẾT…………….
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -54 -
3. ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Đáp án
Câu
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Đáp án
Câu
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Đáp án
Câu
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Đáp án
Câu
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Đáp án
Câu
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Đáp án
Câu
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
Đáp án
Câu
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
Đáp án
Câu
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
Đáp án
Câu
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Đáp án
Trong phần câu hỏi trắc nghiệm tự luyện, tác giả có sử dụng một số câu hỏi của
Thầy Lê Bá Bảo, Cô Nguyễn Thu Hà (CLB Giáo viên trẻ TP Huế) và sách trắc nghiệm
2007. Dù biên soạn rất kỹ, song chắc chắn không tránh khỏi sai sót. Mong bạn đọc phản
hồi để cùng tác giả hoàn thiện nội dung trên. Xin cảm ơn! Xin tặng các Thầy Cô và các
em học sinh chuyên đề này!
Tác giả: PHẠM THANH PHƢƠNG_THPT KHAI TRÍ_ĐÀ NẴNG
Địa chỉ: (đƣờng Nam Cao) HÒA KHÁNH – ĐÀ NẴNG
Facebook: baalphadanang Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ
| 1/54
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Tác giả: PHẠM THANH PHƢƠNG (Đà Nẵng)
Biên tập: Lê Bá Bảo (Huế)
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
Chủ đề 2:
I. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số thực bất kì thuộc K . Nếu F là một
nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b  F a gọi là tích phân của f từ a đến b , ký hiệu b b
f xdx
. Nếu a b thì f xdx
gọi là tích phân của f trên đoạn a; b   . a a
Hiệu số F b  F a còn được ký hiệu là   b F x
, do đó nếu F là một nguyên hàm của f a b b trên K thì f
 xdx Fx  FbFa . a a b b Vì f (x d ) x
là một nguyên hàm bất kỳ của f nên ta có f xdx  
f(x d)x   . a a
Ta gọi a là cận dưới, b là cận trên, x là biến lấy tích phân, f là hàm số dưới dấu tích
phân, f xdx là biểu thức dưới dấu tích phân.
Tích phân chỉ phụ thuộc vào 2 cận tích phân và biểu thức dưới dấu tích phân, nó không
phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là: b f  xb b dx f
 tdt f
 udu FbFaa a a 3  1   1  3  1   1  1
Ví dụ 1: I  4x  d 2
x  2x  ln 2x  1
 18  ln 5  2  ln1  16          ln 5 .  2x  1   2  1  2   2  2 1
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 1 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 x 2 3 3 2 3 2 1 x  2x  1  1   x  3
Ví dụ 2: I  dx  dx    x2 d  x  
 2x  ln x x xx   2  1 1 1 1  9   1    6  ln 3   2  ln1      ln 3 .  2   2  2 4  2   y  2 Ví dụ 3: 3
I   y  2y  d 2 y  
y  2ln y   y   4 1 1        1  27 4 4 2 ln 2   1 2ln1     2 ln 2  4  4   2  cos 2t   1   1 
Ví dụ 4: I  2cost  sin 2tdt  2sint  2  2   0         1 .  2   2   2  0 0    4 4
Ví dụ 5: I   2 
sds   2  
s ds   s s 4 4 cot 3 1 cot 3 cot    2 2 2  3   3  3    4  1   0      .  4   2  4 2. TÍNH CHẤT
Với 2 hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là 3 số thực bất kỳ thuộc K , ta có: a b af
 xdx  0  f
 xdx   f  xdx a a b b c c b b bf
 xdxf
 xdx f  xdx   f
 x gxdx f
 xdx g  xdx a b a a a a b b  .
k f xdx k. f xdx, k     . a a
Dùng định nghĩa tích phân, ta chứng minh được 2 tính chất sau: b
 Nếu f x  0 trên a; b   thì f
 xdx  0 . a b b
 Nếu f x  gx trên a; b   thì f
 xdx g  xdx. a a
II. PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, ĐƢA VỀ TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
- Phương pháp này tính được các tính phân hàm đa thức, hàm có chứa dấu trị tuyệt đối,
1 số hàm lượng giác đơn giản.
- Để tính tích phân theo phương pháp này, cần phải nắm định nghĩa tích phân, các tính
chất tích phân và thuộc bảng nguyên hàm để có thể biến đổi hàm dưới dấu tích phân về các
hàm thường gặp. Từ đó, học sinh có thể linh hoạt đưa bài toán mới về những bài toán cơ bản.
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 2 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 1 x
Ví dụ 1: Tính I    . x   dx 2 0 1 x A B x Ax   1  B Gợi ý: Đặt            , x 1 2 2 x  , x 1 2 x   1 1 x 2 1 x 1 x 1      A A x 1 1
x Ax A  , B x   1  1 1     . Do đó   . A B  0 B  1    x 2 x  1 1 x 2 1 1   1 1  1  1 1 Khi đó: I     x x       
x 1 x   d ln 1 ln 2 . 2   x  1 0 2 0 1 
Ta tìm ra A, B như trên bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ngoài ra ta có thể phân tích và biến đổi x x  1 1 1 1
trực tiếp như sau:    
, cách này hiệu quả hơn. x
2 x 2 x   1 1 1 x 2 1 1 xx   1
Ví dụ 2: Tính I  dx  . 2 x  4 0 xx   2 2 1 x x
x  4  x  4 1 2x 4
Gợi ý: Với mọi x  0;1   , ta có:    1 .  . 2 2 2 2 2 x  4 x  4 x  4 2 x  4 x  4 1 1 1 1  1 2x 4  1 2x 4
Lúc đó: I  1 .  d  x  dx  dx  dx    2 2 2 2  2 x  4 x  4  2 x  4 x  4 0 0 0 0 d 1  2 1 1
x  4 1 x  2  x  2  dx   x    2 2 x  4 x  2 x  2 0 0 0    d d  2 1 1 x  4 1  1 1 1   dx    d     x 2 2 x  4
x  2 x  2  0 0 0 1 1 1 x  2 1 1 3 1 2
x  ln x  4  ln  1 ln  ln . 0 2 0 x  2 0 2 4 3 2
Ví dụ 3: Tính 2 I x  1 dx  . 2  2 x 1, 2 khi 2 x  1  0
x 1, khi x, 1    1  ,     Gợi ý: Ta có: 2 x  1     2 1    x , khi 2 x  1  0 2
1 x , khi x   1  ,1    1  1 2 1  1 2 Khi đó: 2 I x  1 d 2 x x  1 d 2
x x  1 dx      2 x   1 dx   2
1 x dx   2 x     1dx 2  1  1 2  1  1 3 3 3  x  1   x  1  x  2    x   x  
   x  4 . 3 2  3 1       3  1 
Ví dụ 4: Tính 4 I  cos d x x  . 0   x x x
Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: x   x 2 2 2 4 2 1 cos 2 cos 2 2 cos 2 1 cos cos      2  4
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 3 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
1 cos 4x  2cos2x1 cos4x4cos2x3 2   4 8  1 1  sin 4x   3
Khi đó : I  cos4x  4cos2x  3dx
 2sin 2x  3x    . 8 8  4  0 8 0  6
Ví dụ 5: Tính I  sin .
x cos 5x dx  . 0 1
Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: sin .
x cos 5x  sin 6x  sin 4x 2   6 1 1  cos 6x cos 4x  1 Ta có: I
sin6xsin4xdx    6     . 2 2  6 4  48 0 0
Bài tập tƣơng tự: 2 2x  1 2 2 3x  1
Bài tập 1. Tính I  dx  .
Bài tập 2. Tính I  dx  . 2 x  4x  4 2 x  9 1 0  3 4
Bài tập 3. Tính I  1  x dx  . Bài tập 4. Tính 2
I  sin x dx  . 0 0  4
Bài tập 5. Tính I   4 2
4 cos x  3cos xdx . 0
2. PHƢƠNG PHÁP DÙNG VI PHÂN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
- Một số bài toán đơn giản không cần phải đưa ra biến mới, tức là không cần đặt t t(x) ,
biến lấy tích phân vẫn là biến x , cận lấy tích phân không đổi. Nói cách khác, ta có thể trình bày
gọn bằng công thức vi phân d   /
t x t xdx . Cách làm này ngắn gọn, hiệu quả trong rất
nhiều bài toán tích phân.
- Nếu F x là một nguyên hàm của f x và t t x là một hàm của biến x thì b b f
 txdtx  Ftx . a a
Chẳng hạn với t là hàm bậc nhất t t x  x     0 thì b      1 b 1 b f x dx f
 x  dx    .Fx     . a a a  4
Ví dụ 1: Tính I  tan x dx 0     4 4 4 d sin x cosx 2 Gợi ý: I  tan d x x  dx    ln cos x    4   ln  ln 2 . cos x cos x 2 0 0 0 0
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 4 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 l dx
Ví dụ 2: Tính I   x e  1 0 l l  x e   x l l  x l l 1 e d x d e x e   1 Gợi ý: I   dx  dx  dx  dx        x e  1 x e  1 x e  1 x e  1 0 0 0 0 0 0 1 1 x 2e
x  ln e  1
 1 ln(e  1)  ln 2  ln 0 0 1 e  4 1 s 2 in2x
Ví dụ 3: Tính I  dx  1sin2x 0    4 cos 4 d 2x 1 1sin2x 1 1 Gợi ý: I  dx   ln 1 sin 2x   4  ln 2 . 1  sin2x 2 1  sin2x 2 2 0 0 0 3
Ví dụ 4: Tính I  2x  3 dx 1 3 3 3 1 2 2 1 1 2x  3 3 2x  3 3 27  5 5 Gợi ý: I
2x32 2x3     d  .    . 2 2 3 1 3 1 3 1 2 ln 3 x e dx
Ví dụ 5: Tính I    xe 3 0 1 1  ln 3 x ln 3 3 x 2 d  1  e e x ln 3  x x 2 ln 3 Gợi ý: I   
 1e  2 d1e       2 1.   3 1 0 x x  0 0 0  1 1 e e 2
Bài tập tƣơng tự:   4 3 3 2  tan x
Bài tập 1. Tính I  cot x dx  .
Bài tập 2. Tính I  dx  . 2 cos x 0 0  6 2 2 cos x  1 3 4x  3
Bài tập 3. Tính I  dx  .
Bài tập 4. Tính I  dx  . 3  sin2x 2 2x  3x  1 0 2 ln 6 Bài tập 5. Tính x x I e e  3 dx  . 0
3. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
- Cho các hàm số ux , vx có đạo hàm liên tục trên K và hai số thực a, b thuộc K , ta b b b b b b có: / u x v x d / ( ) ( ) x   ( u x) ( v x)  ( v x)u ( ) x dx     . Viết gọn: d
u v  uv  d v u     . a a a a a a
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 5 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
- Nếu hàm số f x là tích của 2 trong 4 hàm: hàm lũy thừa y x , hàm số mũ x  , x y a
y e , hàm lôgarit y  log x, y  ln x , hàm lượng giác y  sin x, y  cos x thì ta sử dụng a
phương pháp tích phân từng phần, tức là biến đổi f xdx về dạng / ( u ) x v (x d ) x .
- Việc lựa chọn u và dv phải thỏa mãn các điều kiện sau: du đơn giản, v dễ tìm, tích b b phân mới d v u
đơn giản hơn tích phân ban đầu d u v
. Chọn hàm để đặt bằng u theo thứ tự ưu a a
tiên giảm dần như sau: hàm lôgarit, hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm lƣợng giác. 1
Ví dụ 1: Tính I  . x ln   2 1  x dx . 0 2x 2 x
Gợi ý: Đặt u   2
ln 1 x  , dv xdx , ta có: du
dx , chọn v  . 2 1  x 2 2 1 3 1 x 1 x ln 2  x  Khi đó: I  ln  2 1 x   dx    x d  x 2 2 2 0 1 x 2  1 x  0 0 2 ln 2  x 1  1   2 ln 2 1 ln 2 1 
   ln(1 x )         ln 2 2  2 2  0 2  2 2  2 1
Ví dụ 2: Tính 2  . x I x e dx  . 0 Gợi ý: Đặt 2  , d x u x
v e dx , ta có: du  2 d x x , chọn x v e   . 1 1  1 xx 1 Khi đó: I   2
e .x   2 .xe dx    2K  , với  . x K x e dx  . 0 e 0 0 Tính K: Đặt  , d x u x
v e dx , ta có: du  dx , chọn x v e   . 1  1   xx 1  1 x 1 1 2
Khi đó: K  xe   e dx    e    1       1. 0 e 0 e ee 0 5
Vậy I    2 . e 2 ln x
Ví dụ 3: Tính I  dx  3x 1 dx dx 1
Gợi ý: Đặt u  ln x , dv  , ta có du  , chọn v   . 3 x x 2 2x 2 ln x 2 dx ln 2 1 2 3  2 ln 2 Khi đó: I         . 2 3 2 2x 1 2x 8 4x 1 16 1 2 e  1 1 
Ví dụ 4: Tính I   d   x 2
 ln x ln x e 2 2 e 1 ln e x x1 ln xGợi ý: I  dx  dx   2 2 ln x . x ln x e e 1 1
Đặt u x1 ln x , dv
dx , ta có du   ln x dx , chọn v   . 2 . x ln x ln x
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 6 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 xln x   2 2 e 2 2 1 e e e Khi đó: I   dx
  2e e  e   . ln x e 2 2 e 3 3  ln x
Ví dụ 5: Tính I  dx  2 (x  1) 1 dx dx 1
Gợi ý: Đặt u  3  ln x , dv      , ta có du , chọn v . Khi đó: x  2 1 x x  1 3 3  ln x 3 d 3 x 3  ln 3 3  1 1  3  ln 3 x 3 1  27  I         x   ln     3  ln   . x  1 1 x x  1 4 2  x x  1 4 x  1 1 4  16  1   d 1
Bài tập tƣơng tự: 1 2
Bài tập 1. Tính I  . x ln  x1dx .
Bài tập 2. Tính   2    1 x I x x e dx . 0 1  2 2
Bài tập 3. Tính I  .
x sin x dx  . Bài tập 4. Tính  . x I x e dx  . 0 0 e
Bài tập 5. Tính I  ln x dx  . 1
4. PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
- Đặt t t(x) , với x là biến ban đầu, t là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.
- Cho hàm số t t x có đạo hàm liên tục trên K , hàm số y gt liên tục và hàm hợp b t(b)
g t(x) 
 xác định trên K , a và b là 2 số thuộc K , ta có g t   x / .t
 xdx g  tdt . a t(a) b
- Các bước thực hiện phép đổi biến số dạng 1 để tính tích phân I f  xdx : a
+ Bước 1: Đặt t t x , suy ra d /
t t xdx .
Đổi cận: x a t t a   , x b t t b   .
+ Bước 2: Biến đổi f xdx thành g tdt . 1 + Bước 3: Khi đó d 2
x  ln x x a C
(đơn giản hơn tích phân đã 2 x a
cho). Giả sử G t là một nguyên hàm của g t thì I G t  .  4 dx
Ví dụ 1: Tính I   .
tan x  3 tan x  2 cos x 0  2  2 1 
Gợi ý: Đặt t  tan x  dt
dx . Đổi cận: x  0  t  0, x   t  1. 2 cos x 4 1 1 1 1 1
t 2t  1 Lúc đó: I  dt t t    2 t  3t  2 t  1 t  2 t  1 t  2 0 0    d 0    d
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 7 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 1  1 1  t  1 1 4   dt  ln    ln .
t  1 t  2  t  2 0 3 0 2 x
Ví dụ 2: Tính I  dx    1 1 x 1
Gợi ý: Đặt t x  1 2
x t 1 dx  2 d
t t . Đổi cận: x  1  t  0, x  2  t  1. 1 2 1 3 1 t  1 t t  2  Lúc đó: I  2tdt  2 d 2 t  2  
t t 2 d  t 1 t 1 t  1 t  0 0 0 3 2  t t  1 11
 2   2t  2ln 1 t    4ln 2 .  3 2  0 3  2
Ví dụ 3: Tính 5
I  sin x dx 0   2 2 2 Gợi ý: 4 I  sin .
x sin x dx    2 1 cos x .sin d x x 0 0 
Đặt t  cos x  dt  sin d
x x . Đổi cận: x  0  t  1, x   t  0 . 2 0 1 3 5 2  2t t  1 8
Khi đó: I   2
1 t  dt   2 4
1 2t t dt  t     .  3 5  0 15 1 0  2 1
Ví dụ 4: Tính I  dx
 4sinx3cosx5 0 x 1 1 1  x  1 2dt
Gợi ý: Đặt t  tan , ta có dt  . d 2 x  1 tan dx   2 1  
t dx  dx  . 2 2 2  2 x 2  2  2 1 t cos 2 2 2t 1 t  Ta có: sin x  , cos x
. Đổi cận: x  0 t  0, x   t  1 . 2 2 1 t 1 t 2 1 1 2 1 1 1 1 Khi đó: I t t      8t  3 . 2 1 t   5 2 1 tt  2 0 6 0 d 0 t 2 d 2 8 dx
Ví dụ 5: Tính I   2  3 x x 1 8 x dx
Gợi ý: I   , đặt 2
t x  1 , ta có 2 2
t x  1  2 d t t  2 d x x d x x  d t t . 2 2  3 x x 1
Đổi cận: x  3  t  2, x  8  t  3 . 3 t d 3 t d 3 t 1  1 1  1 t  1 3 1 3 Khi đó: I       t  ln     ln . 2 t  1 t t  1 t  1
2  t 1 t  1  2 t  1 2 2 2 2  2    d 2
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 8 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Bài tập tƣơng tự: 1 2 x e 1 x 7
Bài tập 1. Tính I  1 x dx.
Bài tập 2. Tính I  dx  . 2 xxe 0 0  1 2 10
Bài tập 3. Tính I x 2x   1 dx.
Bài tập 4. Tính I  sin 2 2 .
x cos x dx  . 0  3 8 x
Bài tập 5. Tính I  dx  .  0 1 x
5. PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
- Đặt x xt , với x là biến ban đầu, t là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.
- Cách này áp dụng cho 1 số bài toán đặc thù mà không thể hoặc gặp khó khăn khi áp
dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến dạng 1 hoặc tích phân từng phần. Sau đây
là một số gợi ý cho các trường hợp cụ thể:    
 Nếu f x chứa 2
1 x , đặt x  sint , t   ; 
 hoặc x  cost , t  0,    .  2 2  2 2 a x
a  0, đặt x asint hoặc x acost .     2 2 a x
; a  0 , đặt x    asint hoặc x    acost .        1 1
Nếu f x chứa 2
x  1 , đặt x  , t   ;    \  0 hoặc x  , t  0; \     sin t  2 2  cost  2  2 2 a a
x a a  0 , đặt x  hoặc x  . sin t cos t   2 2 a a x
a ; a  0, đặt x   
hoặc  x    . sin t cost      1
Nếu f x 
hoặc f x chứa 2
x  1 , đặt x  tan t, t    ,  . 2 x  1  2 2    1 f x
hoặc f x chứa 2 2 x a
a  0, đặt x atant . 2 2 x a   1 f x            
hoặc f x chứa  2 2 x a ; 0 , đặt x a tant . x   2 2  a b
Các bước thực hiện phép đổi biến số dạng 2 để tính tích phân I f  xdx : a
+ Bước 1: Đặt x xt , suy ra d /
x x tdt .
Đổi cận: x a t   , x b t   .
+ Bước 2: Biến đổi f xdx thành g tdt .
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 9 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 1 + Bước 3: Khi đó d 2
x  ln x x a C
(đơn giản hơn tích phân đã 2 x a
cho). Giả sử G t là một nguyên hàm của g t thì I Gt  . 2 2 2 x
Ví dụ 1: Tính I  dx  2  0 1 x    
Gợi ý: Đặt x  sint , t   ; 
 , ta có: dx  cost dt , 2 2 2
1 x  1 sin t  cos t  cost .  2 2  2 
Đổi cận: x  0  t  0, x   t  . 2 4     4 2 sin t.cos t d 4 4 t 1 1  1   1 Khi đó: 2 I   sin t dt   
1cos2tdt t  sin2t 4     . cost 2 2  2  8 4 0 0 0 0 2
Ví dụ 2: Tính 2 2 I x 4  x dx 1      
Gợi ý: Đặt x  2 sin t, t   ; 
 , ta có dx  2cost dt . Đổi cận: x  1  t  , x  2  t  .  2 2  6 2 Ta có: 2 2 2
4  x  4  4 sin t  2 cos t  2 cost  2 cos . t Khi đó:     2 2 2    2 sin 4t 2 3
I  4 sin t.2 cos t.2 cos t d 2
t  4 sin 2t dt  2   1cos4td 2 t  2 t      .       4 3 4 6 6 6 6 2 3 dx
Ví dụ 3: Tính I   2  1 x 1 1     cost  2 
Gợi ý: Đặt x  , t   ;    dx
dt . Đổi cận: x  1  t  , x   t  . sin t  2 2  2 sin t 2 3 3  cos t  3 dt 1 cost 2 2 dt Ta có: 2 x  1  1  . Khi đó: sin t I      . Ta có 2 cách sau: 2 sin t sin t cos t   sin t 2 3 sin t     t   d  tan  2 1 d 2 t 1 d 2 t  2  t Cách 1: 2 I     ln tan  ln 3    . 2 t t   2 t  2 t t  2 sin cos tan cos tan 3 3 3 2 2 2 2 2 3
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 10 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 t 1  t  1 2 u 2u Cách 2: Đặt 2
u  tan  u  1 tan t   2 1 u  d d d dt  dt    , sin t  . Khi đó: 2 2 2  2  2 1 u 2 1  u 1 1 2d 1 u du I    lnu   1  ln 3 . 2u u 1 1 3 3 3 1 1
Ví dụ 4: Tính I  dx  2 1  x 0     1
Gợi ý: Đặt x  tan t, t    ;  , ta có: dx  dt   2 1 tan t t . 2 d  2 2  cos t     2 4 1  tan td 4 t
Đổi cận: x  0  t  0, x  1  t  . Khi đó: I   dt  .   4 2 1  tan t 4 0 0 1  1
Ví dụ 5: I  dx  2    x 6x 13 3 1  1    
Gợi ý: I  
. Đặt x  3  2 tan t, t   
,  , ta có dx   2
2 1 tan tdt .   x x  3 d 2   2 2  3 4    2  2 4 1  tan t 4 1  Đổi cận: x  3
  t  0, x  1
  t  . Khi đó: I  dt  dt    . 4 2 4 tan t  4 2 8 0 0
Bài tập tƣơng tự: 1 3 Bài tập 1. Tính 2 I  1  x dx  . Bài tập 2. Tính 4 2 I x 9  x dx  . 0 0 0 dx e dx
Bài tập 3. Tính I   .
Bài tập 4. Tính I   . 2 x  2  1 1 ln x 1 1  x 2 0 dx
Bài tập 5. Tính I   . 2   1  3 x 2x
6. MỘT SỐ LƢU Ý VỀ PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
- Các phép đổi biến sau đây có thể xem là đổi biến dạng 1, cũng có thể xem là đổi biến 
dạng 2, cách đặt t t(x) hoặc x  (
x t) rất đơn giản, chẳng hạn: t  x, t
x, t    x,... Các 2
biến đổi thường gặp: 
 Đổi biến với I để có I    .I I
với  ,  ,   1. 1   1
Đổi biến với I , ta có 2I I I K I K , với K là tích phân đơn giản. 2
 Biến đổi I thành tổng I I I , thực hiện phép đổi biến đối với I hay I ta được 1 2 1 2
I  I hay I I K , với K là tích phân đơn giản. 1 2 1 2
- Học sinh cần đặc biệt chú ý đến tính chẵn, lẻ của hàm f x . Ta xét 3 loại tích phân sau:
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 11 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 a
* Loại 1: Tích phân I f
 xdx , với a  0, f x là hàm lẻ trên đoạn a;a   , tức làa
f x   f x, x    ; a a   . Cách giải: 0 a
Cách 1: (Phân tích thành 2 tích phân) I f
 xdxf
 xdx I I . 1 2 a 0 0 a a
Với I : đặt t  x I   f tt    f
 tdt   f
 xdx  I I  0. 1  d 1 2 a 0 0 a a a
Cách 2: (Tính trực tiếp) Đặt t  x I   f
  tdt   f
 tdt   f
 tdt  I . aaa
 2I  0  I  0. 1 Ví dụ: Tính 10 I x sin d x x 1 Gợi ý: 0 1 0 1 Cách 1: 10 I x sin d 10 x x x sin d
x x I I   , trong đó 10 I x sin d x x  , 10 I x sin d x x  . Đối với 1 2 1 2 1  0 1  0
I : đặt t  x , ta có dt  d  x , 10 10
sin x  sint, x t . 1 Đổi cận: x  1
  t  1, x  0  t  0. 0 1 1 Khi đó: 10
I t .sin t d 10
t   t .sin t d 10
t   x .sin x dx  I    . Suy ra I  0 . 1 2 1 0 0
Cách 2: Đặt t  x , ta có dt  d  x , 10 10
sin x  sint, x t . Đổi cận: x  1
  t  1, x  1 t  1  . 1  1 Khi đó: 10
I t .sin t d 10
t   t .sin t dt  I  
. Suy ra 2I  0  I  0 . 1 1  a f x
* Loại 2: Tích phân I  dx
, với a  0 , k   , f x là hàm chẵn trên đoạn a; ax    , tức làk 1 a
f x  f x, x    ; a a   . Cách giải: 0 f xa f x
Cách 1: (tách thành 2 tích phân) I  dx
dx I I   . x x 1 2    k 1 k 1 a 0 0 f t   a f ta t
k . f ta x
k . f x
Với I : đặt t  x I   dt  dt  dt  dx     1 1 t k  1 1 1 tk 1 xk a 0 0 0  1 t k a x
k . f xa f xa
I I I  dx  dx f x x    . x x  d 1 2 1 k k  1 0 0 0
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 12 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 a f t   a f ta t
k . f ta x
k . f x
Cách 2: Đặt t  x I   dt  dt  dt  dx      t k  1 1     1 t k  1 x k a a  1 a a t k a f xa x
k . f xa 1 a
Khi đó: 2I I I I  dx  dx f x dx     I f  xdx. x x      k 1  1 k 2 a aaa 1 cos d x x
Ví dụ: I   x   e 1 1 Gợi ý: 0 cos d 1 x x cos d x x 0 cos d x x 1 cos d x x Cách 1: I    I I   , trong đó I   , I   x x 1 2   1 x  2 x   e 1 e 1  e 1 e 1 1 0 1 0
Đối với I , đặt t  x , ta có dt  d
x , cosx  cost . Đổi cận: x  1
  t  1, x  0  t  0 . 1 0 cost d 1 t cost d 1 t t e .cost d 1 x t
e .cos x dx Khi đó: I          . 1 t e  1 1 1 te 1 xe 1 0 0 0  1 t e 1 1 1 x x .cos cos
e  1cosxd d d 1 x e x x x x 1 Suy ra: I   
 cos xdx  sin x  sin1     . 1 x xe e  1 x e  1 0 0 0 0 0
Cách 2: Đặt t  x , ta có dt  d
x , cosx  cost . Đổi cận: x  1
  t  1, x  1 t  1  . 1  cost d 1 t cost d 1 t t e .cost d 1 x t
e .cos x dx Khi đó: I          t e  1 1     1 t e  1 x e 1 1 1 1  1 t e 1 cos xd 1 x x e .cos x d 1 x 1
Suy ra: 2I I I  
 cos xdx  sin x  2sin1     I  sin1. x     e 1  1 x e 1 1 1 1  a
* Loại 3: Tích phân I f
 xdx , với a , ,... và f x có chứa các hàm lượng giác 2 0
Cách giải: Ta thử đặt t a x , khi biến đổi hàm f x về hàm g t phải chú ý các cung có liên
quan đặc biệt (hai cung bù nhau, phụ nhau,…). Chú ý tính chất của tích phân: b f  xb dx f  tdt . a a  2 4 cos x
Ví dụ: I  dx  4 4 cos x  sin x 0    Đặt t
x , ta có dt  d
x , đổi cận: x  0  t  , x   t  0 . Khi đó: 2 2 2    4 cos   t   0  2 4 2 4  2  sin t sin x I   dt  dt  dx    . 4 4 4 4          4 4 sin t cos t sin x cos x 0 0 cos  t  sin     t  2  2   2 
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 13 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017    2 4 2 4 2 cos x sin x  
Suy ra: 2I I I  dx  dx  dx     . Vậy I  . 4 4 4 4 cos x  sin x cos x  sin x 2 4 0 0 0  2 cosn x
Kết quả: I  dx  
, với mọi số tự nhiên n  0 .
cosn x  sinn x 4 0
Bài tập tƣơng tự:  4 7 5 3
x x x x Bài tập 1. I dx
Gợi ý: đặt t  x Đáp án: I  0 4  cos x 4  4   Bài tập 2. I  ln
 1tanxdx
Gợi ý: đặt t
x Đáp án: I  .ln 2 4 8 0 1 2 1  x Bài tập 3. 2 I x .ln dx
Gợi ý: đặt t  x Đáp án: I  0   1 x 1 2 1 dx  Bài tập 4. I  
Gợi ý: đặt t  x Đáp án: I    x e   2  4 1 1 x 1 ln  2 1 x  1  Bài tập 5. I dx
Gợi ý: đặt t  x
Đáp án: I  ln 2  2  x   e 1 2 1
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
1. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ   1
Bài toán 1: I  dx  , với m  2
0; mx nx p vô nghiệm. 2
mx nx p  1 1     Ta biến đổi: I  
, s  0 . Đặt x r s.tant , t    ;  .
m  x r dx 2  s  2 2  dt 2
Ta có: dx s.  s. 2 1 tan t
t và x r  s s  2 . 1 tan t . 2 d cos t 2 t s. 2 1 tan t 1 td 2 t 1 1 Khi đó: I   t t t   . mt . s 1 tan t m s m s 1  2  d  2 1 1 t 1 1 1 1    
Ví dụ: I  dx   x
, đặt x  1  2 tan t, t    ;  2   2  x 2x 5    2 2  1   x 1 d 1 4    2  2 4 1  tan td 4 t   1 dx   2
2 1 tan tdt , x  1
  t  0, x  1  t  ; I   dt    . 4 2 4 tan t  4 2 8 0 0    ax b
Bài toán 2: I  dx  , với m  2
0; mx nx p vô nghiệm. 2
mx nx p
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 14 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Ta chú ý mx nx p/ 2
 2mx n và biến đổi:   a 2mx nan  1 a   an I  dx   b  d  x  2 
.ln mx nx pb   .K , với 2 2 2m
mx nx p
2m  mx nx p 2m  2m   1 K  dx  (xem Bài toán 1). 2
mx nx p 1 3x  4 1 3(x  1)  1 1 1 3 2x  2 1
Ví dụ: I  dx   dx   dx  dx   2   2   2 2      x 2x 5  x 2x 5 2  x 2x 5  x 2x 5 1 1 1 1 1 3 1 1 2
 ln x  2x  5  dx
(xem thêm ví dụ của Bài toán 1) 2 2 1     x 2x 5 1
Lưu ý: Trong Bài toán 1 và Bài toán 2, f x là phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn 2. Nếu tử là
đa thức P x có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta biến đổi Px  Qx  2
. px qx r  Rx (nói
đơn gián: chia tử cho mẫu để tìm thương Q x và phần dư Rx ), suy ra P x  QxRx 
, với Rx có bậc nhỏ hơn 2. 2 2
px qx r
px qx r   1
Bài toán 3: I  
, với k nguyên, k  2 , 2
mx nx p vô nghiệm.
 mx nx p dx k 2  1     Ta biến đổi: I  dx
, s  0 . Đặt x r s.tant , t    ; . kk 2  m . (
x r)  s  2 2    k 2 k Ta có:   dx s  2
. 1 tan tdt và    k x r ss    2 . 1 tan t  . 2 t s. 2 1  tan t t 1 td 2 t s d 2 t s 2k2 Khi đó: I    cost t    . k k k k k 1  k k   k m m .s m .s   1 t s . 2 1 tan t 1 t  2 1 tan t d 1 t
(xem thêm Bài toán 8 sau đây về phương pháp tính tích phân của hàm cosn t ). 1 1 1 1
Ví dụ: I    dx  . 2   x
x  2x  5 d 2 2 2   1 1  x 1 4       
Đặt x  1  2 tan t, t    ;   dx   2
2 1 tan tdt . Đổi cận: x  1
  t  0, x  1  t  ;  2 2  4      2 2 4 1  tan td 4 t 1 d 4 4 t 1   2 1 1 sin 2t I    cos t dt  1 cos 2t dt t        4 . 2 2   8 tan t  1 8 16 16   2  0  2 4 tan t 4 0 0 0 0    ax b
Bài toán 4: I  
, với k nguyên, k  2 , m  2
0; mx nx p vô nghiệm.
 mx nx p dx k 2
Ta chú ý mx nx p/ 2
 2mx n và biến đổi như sau:
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 15 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017   a 2mx nan  1 aan I x b x K b        L 2m      d k  2m      d . . k 2 2 2m  2m mx nx p mx nx p   2mx n - Với K  
, dùng vi phân hoặc đổi biến 2
t mx nx p .
 mx nx p dx k 2  1 - Với L   : xem Bài toán 3.
 mx nx p dx k 2
Lưu ý: Trường hợp tử là đa thức P x có bậc lớn hơn hoặc bằng 2, ta dùng phương pháp đồng
nhất thức (xem Bài toán 6) để đưa về dạng như Bài toán 3 và Bài toán 4.   ( P x)
Bài toán 5: I  
, với i, k là các số nguyên dương, bậc của đa thức ( P x)
 ax bx i k
.cx d d nhỏ hơn bậc của mẫu. A A A B B B Đặt 1 2 i 1 2 f (x)         , với mọi ax b   ... ... k 2
axbi cx  d ax bcxd2
cxdk b d
x   , x   . Đồng nhất thức để tìm A , A ,..., A , B , B ,..., B . Ngoài ra có thể dùng phương a c 1 2 i 1 2 k
pháp hệ số bất định để tìm A , A ,..., A , B , B ,..., B . 1 2 i 1 2 k   ( P x) Bài toán 6: I  
, với i, k là các số nguyên dương,
 mx nx px i k
.qx rx s d 2 2 2
mx nx p và 2
qx rx s vô nghiệm, bậc của đa thức (
P x) nhỏ hơn bậc của mẫu. Đặt A x B A x B A x B C x D C x D C x D 1 1 2 2 i i 1 1 2 2 f (x)    ...    ... k k  , x
 , f x 2
mx nx pi k _2 _ 2
qx rx s _2 _
là hàm dưới dấu tích phân. Đồng nhất thức hoặc dùng phương pháp hệ số bất định để tìm các
số A , B , C , D ở tử các phân thức. i i i i * Lưu ý: P x
- Ở đây ta không xét tích phân của hàm hữu tỉ f x ( )  với / ( P ) x Q ( ) x , vì nó đơn ( Q x)
giản, chỉ cần đặt t  ( Q ) x  dt  ( P )
x dx hoặc dùng vi phân. P(x)
- Nếu phân thức hữu tỉ có bậc (
P x) lớn hơn hoặc bằng bậc (
Q x) thì thực hiện phép ( Q x) ( P x) P (x) chia ( P x) cho ( Q x) ta được 1  ( R x) 
, trong đó bậc P (x) bé hơn bậc ( Q x) . ( Q x) ( Q x) 1
- Đa thức Q x khác 0 với hệ số thực có duy nhất 1 cách phân tích thành tích các nhị
thức bậc nhất và tam thức bậc hai với biệt thức   0 . Bài toán 5 và Bài toán 6 đã xét i k i k ( Q )
x  ax b .cx d và Q x   2
mx nx p  2 ( )
. qx rx s . Cách làm tương tự đối với đa
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 16 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 i j k h
thức Q x  ax b cx d  2
mx nx p  2 ( ) . .
. qx rx s trong đó i, j, k, h là các số nguyên dương, hai tam thức 2
mx nx p và 2
qx rx s
vô nghiệm. Cụ thể, ta đặt A A A B B B 1 2 1 2 f (x)         ax b   ... ... j i 2
axbi cx  d ax bcxd2
cxdi C x D C x D C x D E x F E x F E x F 1 1 2 2 k k 1 1 2 2    ...     ... h h  2
mx nx p  2  k 2 2 h 2 2 qx rx      s mx nx p mx nx p  2
qx rx s  2
qx rx sb d
với mọi x   , x   . Đồng nhất thức hoặc dùng phương pháp hệ số bất định để tìm các số ở a c tử các phân thức. 3 4 2
3x x x  2
Ví dụ: I  dx  5 4 3 2
x x x x x  1 2 Ta có: 5 4 3 2
x x x x x   x   2
x x   2 1 1
1 x x   1 3 4 2
3x x x  2
I      x x 1  2 x x   1  2   2 x x d 1 4 2
3x x x  2 A Bx C Dx E Đặt       x   x 1  , 1 2 x x   1  2 x x   2 2 1
x  1 x x  1 x x  1
Quy đồng, rút gọn 2 mẫu, đồng nhất các hệ số ở 2 vế ta được hệ 5 phương trìn 5 ẩn, tính được
A  2 , B  1, C  1
 , D  0, E  1.  1 1  3 3     2x 1 2 x 1 1 2 1  Khi đó: I    d 2 2   x     dx 2 2 2 2
x 1 x x  1 x x  1   x 1 x x  1 x x  1 2 2      3 3 3 2 1 2x  1 1 d 3 x dx  dx  dx       2 2 2 x  1 2 x x  1 2 x x  1 x x  1 2 2 2 2   x x  2lnx   1 1  ln  3 2 x x   3 1 d 3 d 1       2 2  2  2 2     2 1 3 2 1 3 x   x        2  4  2  4 3 dx 1 3     Với I   , đặt x   tan t, t    ; . 1  2   2 2  2 2  2 1 3 x      2  4 3 dx 1 3     Với I   , đặt x   tan t, t    ; . 2  2   2 2  2 2  2 1 3 x      2  4
Bài toán 7: (Một số kỹ thuật khác dùng trong tích phân hàm hữu tỉ)
* Thứ nhất, kỹ thuật giảm chênh lệch giữa bậc tử và bậc mẫu:
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 17 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 2 dx
Ví dụ 1: I  
(Nhiều tài liệu gọi đây là kỹ thuật “Nhảy tầng lầu”) 4 x  1 1  1 1 2 x   1   2   2 x   2 2 2 2 1 1 1 1 1 x  1 1 x  1 2 2 2 2 1 1 I  dx  dx  dx    x  d x x  dx   4 4 4 2 x  1 2 x  1 2 x  1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 x x  2 2 x x  1   1  d  x   d x  3 5 2 2  1  x  1  x  2 2     1 dt 1 du     . 2 2 2   2   2 2
2 t  2 2 u  2 1 1 1 1 x   2 x   0 2     2  x   x  2 dx
Ví dụ 2: I  
(Kỹ thuật “Nhảy tầng lầu” đơn giản chỉ là kỹ thuật phân tích – rút gọn) 6 x  1 1
 4x  1 4x  1  4 2 x x   2 1  x   2 x   1  2 2 2 x   1 1 1 I x x   2  2 x   1  4 2
x x   d 1 2  2x  1 4 2   1 1 x x  d 1   1      1   x  2  2x 1 1 x 1 1  3 2 2 2 2 2 x x x x x  d d d d d d 2 2  x                  2 6 4 2 2 2  x  1 x  1 x x  1 2  x  1 3     x 2 3 2 1 1 1 1 1 1  1 1 x 1  2  x        x     1  x 1  1 3 2 2 x  d d d 2  x      1   
, lần lượt đặt x  tant , 3
x  tant , u x  . 2 2 x 1 3     x 2 2 3    x 1 1 1 1 1 x     3    x  
* Thứ hai, kỹ thuật phân tích tử thức để rút gọn mẫu thức: 2 4 4 2 d 2 x  4 1 1  dx 2  3 x x 1  1 x
Ví dụ 3: I     dx      dx . 5 5x  20x 5 x 4 x  4 20 x  4 x  4 20  x x  4 1 1  4 1 1  2 dx
Ví dụ 4: I   x x1 x7 x8 1     2
1 xx  7  x   1 x  8 2 1  1 1   x      x  8
x x  1 x  7 x  8
8  x  1 x  8 x x  7  1       d 1     d 
* Thứ ba, làm xuất hiện đạo hàm ở tử thức rồi đặt ẩn phụ:  2x  1 2 2 x  2x   1
Ví dụ 5: I  dx  6 3 x  14x  1 1
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 18 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017  1  1   1   1  1  x   2  x   2 d   x  2  2 2  x  x   x   x  Chia tử và mẫu cho 3
x ta được: I  dx    . 3  1      1 3 1 1 1  x    14     3  x  3 x  14  x   x   x  3 3 1 2 2 t  2 t  2
Đặt t x  , ta được: I  dt  dt   . x 3 t  3t  14
t 2 2   0 0 t 2t 7 2 2 x  1
Ví dụ 6: I  dx  4x 1 1  1 1   d  x  2 1 2  2 2  x t 1 Chia tử và mẫu cho 2 x ta được: x I  dx    d  
(với t x  ) 2 2  2 1   t 2 x 1 1  1 x 1 2 x     2 xx ax b ad bc
* Thứ tƣ, đặt ẩn phụ t   dt
(còn gọi “chồng chất nhị thức”) cx d 2 (cx d) 3x510 2 10 2  3x  5  dx
Ví dụ 7: I       . 2     x x  2 d 12  x 2   1 x 2 1 1 3x  5 11 dx dt 4 1 Đặt t   dt  dx   . Khi đó 10 I t dt  . x  2  2 x  22 x  11 2 11 8  2 1
Ví dụ 8: I    x
3x  27 3x  4 d 3 1 2 2 1 1 1 dx  dx  . .   7 7 8 2         1 3x 2 x x x .3x    410 1 3 2 3 4 3 4    3x  4   3x  4  3x  2 18 dx dt Đặt t   dt  dx   . 3x  4  2 3x  42  x  18 3 4 2 8 3x  2 6 1 1 t
5 1 1 t dt Ta có: t   1   . Khi đó: I  . .  3x  4 3x  4 3x  4 6 8 t 6 18 1 7
2. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC   Bài toán 8: 4 I  cos d x x
(Ví dụ 4 phần II.1): dùng công thức, đưa về cos 2x, cos 4x . 0  2 5
I  sin x dx
(Ví dụ 3 phần II.4): đổi biến dạng 1 với cách đặt t  cos x . 0
Tương tự đối với các hàm: 2 4 6
sin x, sin x, sin x,... , 2 4 6
cos x, cos x, cos x,... (số mũ chẵn).
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 19 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 3 5 7
sin x, sin x, sin x,... , 3 5 7
cos x, cos x, cos x,... (số mũ lẻ).   1
Bài toán 9: I  dx     d sin x e cos x f x 1  x  1 2 t 2t
Đặt t  tan , ta có: 2 t  1 tan x   2 1 t  d d d dx  dx    . Ta có: sin x  , 2 2 2  2  2 1 t 2 1  t 2 2t.d   2
1 t .e   2 1 t  1  t . f 2
mt nt p cos x
và d sin x e cos x f   . 2 1 t 2 1 t 2 1 t  
Đổi cận: x    t  tan
t , x    t  tan  t . 1 2 2 2 t2 2 dt Khi đó: I  
(xem Bài toán 1 nếu mẫu vô nghiệm hoặc Bài toán 5 nếu mẫu có 2
mt nt p 1 t nghiệm).    
a sin x b cos x c Bài toán 10: I  dx     d sin x e cos x f
a sin x b cos x c
d cos x e sin x C Đặt  A  . B  , x  D (TXĐ)
d sin x e cos x f
d sin x e cos x f
d sin x e cos x f
asin x bcos x c Adsinx ecosx f  Bdcosx esinxC , x  D
Đồng nhất các hệ số của sin x, cos x và hệ số tự do để tìm A, B, C .   
d cos x e sin x C dx
Khi đó: I   A  . B dx        
d sin x e cos x f   d sin x e cos x f    Ax  .
B ln d sin x e cos x f   C.K  ,  dx trong đó K   (xem Bài toán 9)    d sin x e cos x f  2
sin x  7 cos x  6
Ví dụ: I  dx
 4sinx3cosx5 0
Đặt sin x  7 cos x  6  A4sin x  3cos x  5  B4cos x  3sin x C, x  
 sin x  7 cos x  6  4A 3Bsinx 3A 4Bcosx  5AC, x  
4A  3B  1 A  1  
 3A  4B  7  B  1 ,   5A C  6 C  1    2 
4 cos x  3sin x 1 
Khi đó: I  1  d  x
4 sin x  3cos x  5
4 sin x  3cos x  5  0    x x x   2 1 ln 4 sin 3cos 5 2  dx
 4sinx3cosx5 0 0
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 20 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017   2  9 1  2   1 ln  dx  9
  ln  K , với K  dx  . 2 8
4 sin x  3cos x  5 2 8
4 sin x  3cos x  5 0 0 x 1  x  1 2dt 2 2t 1 t Đặt t  tan 2  dt  1 tan dx   2 1  
t dx dx  , sin x  , cos x  . 2 2  2  2 2 1  t 2 2 1 t 1 t
Đổi cận: x  0 t  0, x   t  1 , do đó 2 1 1 2 1 1 K t t    . 8t  3 2 1  t   5 2 1  t  6 0 d 0 t 2 d 2  9 1 Vậy I   ln  . 2 8 6
Lưu ý: Nếu b c f  0 hoặc a c f  0 thì có thể phân tích tử số P x để tìm nhanh các số ( P x) .
A dsin x e cos x  .
B dcos x e sin x
A, B thỏa mãn: 
, việc này khá đơn giản
d sin x e cos x
d sin x e cos x
(Kỹ thuật thêm bớt).
3. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 1  dx Bài toán 11: I   2    1  1 x 1 x t  2 t  1
Đặt t x
x t x
x  t x 2 2 2 2 2 1 1 1
 1 x x   dx  dt . 2t 2 2t Đổi cận: x  1
  t  2 1, x  1 t  2 1.   1  2 2 1 t   1 d 2 1 t 1  1 1 2  1  1  2  1 Khi đó: I     t
  ln t  2ln t       1  2 2 t        1 t d 2 2 t t t 1 2 t  2 1 2 1  2 1 1  2  1 2  2  1           1 2 ln 2 ln 2 2 ln 2 1 2 ln 2 1           .2  1 2   2 1 2 2   2 
Chú ý: với cách đặt 2
t mx mx nx p có thể giải được 1 số bài toán đặc thù. 2  Bài toán 12: 2 2 I x x  4 dx 0   u   du dxx  Đặt  , ta có 3  1 1 2
dv x x  4 dxv   2 x  1   2 x  1 2 2 x  1  3 3 2 1 2 1
Khi đó: I x 2 x  4 2 x  4
  2x  4 2x  4 dx 3 0 3 0 2 2 32 2 1 2 2 4   x x  4 d 2 x x  4 dx   3 3 3 0 0 2 32 2 1 4 2   .I x  4dx  3 3 3 0
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 21 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 2  x   2 Suy ra: 2 I  8 2  x  4 dx  2 2
 8 2  . x  4  2.ln x x  4     2   0 0 8 2 2 2 2 ln  1 2      6 2  2ln  1 2.  Tổng quát: 2 2 I x
x a dx,  a  0 
Cách giải: (phương pháp tích phân từng phần) Đặt u x d 2
, v x x a dx . 1  Bài toán 13: 2 I x  1 dx 0        1 4 d 4 t cost d 4 t cost dt
Cách 1: Đặt x  tan t, t    ,   dx  dt , I        2 2  2 cos t 3 4 cos t cos t 1sin t2 2 0 0 0     4 d 4 u 1 1 1 1 1
Đặt u  sint  du  cost dt , I           uu
2 u 2 4  u1  u 2 u    1 1 1 1 u1 d 2  0 0   1  u  1 1 1  1 ln      4  2  ln       1   2  4
u 1 u 1 u 1  2  0 2 t  1
Cách 2: Đặt 2
t x x  1  t x2 2
x 1  x  , 2t 2 t  1 2 2    t t dx  dt và 2 1 1
x  1  t   . 2 2t 2t 2t
Đổi cận: x  0  t  1, x  1  t  1 2 . 1 2 2 2 1 2 2 t  1 t  1  t 1 1   t ln x 1  1 2 Khi đó: I  . dt    dt          2 3 2 2t 2t 4 2t 4t  8 2 8t    1 1 1   1  2 ln  1 2    2  x dx
Cách 3: (Tích phân từng phần) Đặt 2
u x  1, dv  dx , ta có du  , v x . 2 x  1 1 2 1 x 1 2 x Khi đó: 2 I  . x x  1  dx  2  K  , với K  dx  . 2 0  2  0 x 1 0 x 1 1 2 1 1 x  1 1 1 Ta có: K  d 2 x x  1 dx  dx    2 2   0 x 1 0 0 x 1  I  ln 1 2
x x  1  I ln1 2 0 1 Suy ra: I 2 I ln  1 2 I  2 ln   1 2           2  .
* Một số công thức nguyên hàm cần chú ý:
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 22 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 /  x x a Vì  2 x a             nên 2 2 I x a ln x x a C , a   0 . (1) 2 x a 2 2
Nếu không chứng minh công thức (1) bằng đạo hàm, có thể biến đổi như sau: d 2  2x a x x  dx  d 2 x
x a C    . 2 2 2 x a 2 x a 2 x a    1 1 Vì ln    
 x x a  / 2    nên d 2 x ln x x a C  , a   0 . (2) 2 x a 2 x a
Nếu không chứng minh công thức (2) bằng đạo hàm, có thể biến đổi như sau: x 1  d   1   2 2 x x a x a  dx  d 2 x
 ln x x a C    . 2 2 2 x a
x x a
x x a 1 1
Mở rộng công thức (2), ta có: dx  .ln  x    
x  2 a C .  
x   2  a    x a Vì x a  
xx a / 2 2 2 ln  x a  nên  2 2  2 x a x a d 2 2 x x a
ln x x a C  , a   0 . (3) 2 2
Nếu không chứng minh công thức (3) bằng đạo hàm, ta thực hiện như sau: Đặt 2 I
x a dx  và 2
u x a , dv  dx , ta được: 2 2     2 x x a a a
I x x a  d 2
x x x a  d 2 2
x x x a    
x a dx  dx    2 2 2 x a x ax a  Suy ra: a 2
x x a I  d 2 2
x x x a I a ln x x a C  2x a x 2 a 2 I x a
ln x x a C . 2 2   1 Bài toán 14: I  dx  2 
mx nx p Đặt 2
  n  4mp. (Ta không xét   0, đơn giản)  1
– Nếu   0 và m  0 thì I  dx
, s  0 . Đặt x r s tant hoặc xem thêm công 
m. x r2  s thức (2) nói trên.   1 1 1
– Nếu   0 và m  0 thì I  dx   x  , s  0 . 
m. x r2  s
m  x x x x  d 1 2 s
Đặt x r
hoặc đặt t x x x x hoặc xem thêm công thức (2) nói trên. sin t 1 2
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 23 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017  1
– Nếu   0 và m  0 thì I  dx
, s  0 . Đặt x r s sint . 
m. s  x r2
Sau đây là 3 ví dụ ứng với 3 trường hợp trên. 2 1
Ví dụ 1: Tính I  dx  . 2   1 x 2x 2 2 1 2 1 Ta có: I  dx   dx  . 2   2 1 x 2x 2 1 x 1 1   dt
Cách 1: Đặt x  1  tan t, 
t  , ta có dx
, x  1  t  0, x  2  t  . 2 2 2 cos t 4 1 1 Ta có: x  2 2
1  1  tan t  1   . 2 cos t cost    4 d 4 4 t cost cost Khi đó: I   dt  dt    . 2 2 cost cos t 1 sin t 0 0 0 2 2 2 2 d 2 u 1  1 1  1 u  1
Đặt u  sint , ta được: I    du  ln  ln 1     2 . 2 2   1  u 2
u  1 u 1  2 u  1 0 0 0 2 2
Cách 2: I  ln x  1 x   1  1  ln1 2. 1 3 dx
Ví dụ 2: Tính I  .  2   1  x 10x 9 3 dx
Cách 1: I   x 2 1 5  16 4     4  cost   Đặt x  5  , t   ,   , ta có dx  dt , x  1
  t  , x  3  t  . sin t  2 2  2 sin t 2 6 16 16 cos t 4 cost Ta có: x  5 2 2 16  16   2 2 sin t sin t sin t  4  cost    6 dt 2 d 2 t sin t d 2 2 t sint dt Khi đó: sin t I         2 2 4 cos t     sin t  1 cos t  cos t 1 2 6 6 6 sin t 0 0 d 0 u 1  1 1  1 u  1
Đặt u  cost , ta được: I    du  ln  ln 2      3 2 3   u  1 2
u 1 u  1  2 u  1 3 3 2 2 2 3 dx
Cách 2: I     1 
x 1x 9  1 1 
x  1  x  9 t dx
Đặt t x  1  x  9  dt   d   x x
 2 x  1 2 x  9 
2 x  1x  9 d
2 x  1x  9
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 24 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 dx 2dt Suy ra:           , x 1 t 2 2 , x 3 t 2 2 3 .   1   9 t x x 22 3 2dt 2  2 3 1 3 Khi đó: I   2ln t  2ln  ln  2 3. t 2 2 2 2 2 3 dx 2 3 8  4 3
Cách 3: I  
 ln x  5  x  5 16  ln  ln2 3  .  x 2 1 4 1 5  16 1 dx 1 dx
Ví dụ 3: I     2    2 0 x 2x 3 0 4  x   1   
Đặt x  1  2 sin t, 
t  , ta có: dx  2cost dt . Đổi cận: x  0  t   , x  1 t  0 2 2 6 0 2cost d 0 t  Ta có: x  2 2 2 4 1
 4  4sin t  2 cos t  2cost . Khi đó: I   dt    .  2 cos t  6   6 6    ax b
Bài toán 15: I  dx  2 
mx nx p
Ta chú ý mx nx p/ 2
 2mx n và biến đổi như sau (Kỹ thuật thêm bớt):   a 2mx nan  dx aan I  . dx b  .  .K b       .L 2 2 2m     2m     2m  2m mx nx p mx nx p   t 2mx n 2 dt t - Với K  dx  : đặt 2
t mx nx p , 2 K   2 t  . 2 
mx nx p t t t 1 1  dx - Với L  
: xem Bài toán 14 nói trên. 2 
mx nx p 1 2 2x2 2  2 x  1 2 2 2x  2 x
Ví dụ: I  dx  2  dx  d  dx  2.   2   2   2 2     1 x 2x 2 1 x 2x 2 1 2 x 2x 2 1 x 2x 2  2    ax bx c
Bài toán 16: I  dx  2 
mx nx p  . A  2
mx nx p  .
B 2mx n  C Ta biến đổi: I  dx  2 
mx nx p    2mx n d 2 x  . A
mx nx p dx  . B dx C.    2 2  
mx nx p
mx nx p  - Với 2 K
mx nx p dx
: đổi biến dạng 2 hoặc dùng công thức (3) nói trên. 
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 25 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017  2mx n  - Với L  dx  , dùng vi phân: 2
L  2 mx nx p . 2  
mx nx p  dx - Với M  
: xem Bài toán 14 nói trên. 2 
mx nx p 1 2  2 1
x  2x  3 x  2x  5  8
Ví dụ: I  dx   dx  2    2    0 x 2x 3 0 x 2x 3 1 1 1 1 2 8    2 dx
x  2x  3 dx  dx     4  
x 1 dx8.  ...  2    2 0 0 x 2x 3 0 0 4  x   1 IV. BÀI TẬP TỰ LUẬN
1. BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA 2
Bài tập 1. Tính tích phân 2
I x  4x  3 dx  . 0 x  1
HD giải: Ta có: 2
x  4x  3  0   . x   3 Bảng xét dấu: x 0 1 2 2 x  4x  3  0 1 2 1 2 Khi đó: 2
I x  4x  3 d 2
x x  4x  3 dx  
  2x 4x 3dx  2x 4x 3dx 0 1 0 1 3 3  x  1  x  2 2 2
   2x  3x   2x  3x  2.  3  0  3  1 2
Bài tập 2. Tính tích phân 3 2
I x x dx  . 0
HD giải: Ta có: 3 2 2
x x x x  1 . Bảng xét dấu: x 0 1 2 3 2 x x 0  0  1 2 4 3 4 3  x x  1  x x  2 3
Khi đó: I   3 2
x x dx   3 2
x x dx          .  4 3  0  4 3  1 2 0 1 1
Bài tập 3. Tính tích phân x I e  1 dx  . 1 
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 26 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
HD giải: Ta có: x
e 1  0  x  0 . Bảng xét dấu: x 1  0 1 x e  1  0  Khi đó: 0    0 1 x   1 x x 1 1 d   x I e x e   
1dx  e x e x  e2 1  . 0 e 1  0 1 1
Bài tập 4. Tính tích phân I  dx  . 2 x  5x  6 0 1 1 1  1 1  x  3 1 3 4
HD giải: I  dx   dx  ln  ln 2  ln     ln . 2
(x  2)(x  3)
x  3 x  2  x  2 0 2 3 0 0 0 2 8x  8
Bài tập 5. Tính tích phân I   .  x   x 2  1 1 x 3 d 2 8x  8 A B C
HD giải: Đặt           x   , x 1; 0 2 1 x  3 2
x  1 (x  1) x  3 2 2 8x  8 (
A x  1)(x  3)  (
B x  3)  C(x  1)          x   , x 1; 0 2 1 x  3 x 2 1 x  3  8 2 2 x  8  (
A x 1)(x  3)  ( B x  3)  ( C x  1) , x   1  ;0 (*)  
Thay x  1 vào (*) ta được: 16  4B B  4 . Thay x  3
 vào (*) ta được: 80  16C C  5 3B C  8
Thay x  0 vào (*) ta được: 8  3
A  3B C A   3 3 0   3 4 5  4  0 Khi đó: I      x x    x               x 1  x  d 3ln 1 5ln 3 2 x 3 x 1 1 1 1   2  5ln3 2ln2.  4
Bài tập 6. Tính tích phân 3
I  tan x dx 0    4 4 4
HD giải: I   3
tan x  tan x  tan xdx  tan x   2
tan x  1dx  tan d x x  0 0 0     4 4 2 sin x tan x 1 2 1  ln 2
 tan xdtan x  dx  4  ln cos x 4   ln    . cos x 2 2 2 2 0 0 0 0  2 1
Bài tập 7. Tính tích phân I  dx  1sinx 0
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 27 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017       x  d    2 2 2 2 1 1 1 1  4 2 
HD giải: I  dx  dx  dx       1  sin x    2   x    x  0 0 1 cos 0 2 0 2  x cos  cos         2   4 2   4 2     x     tan  2  tan    1.  4 2  4 0  2
Bài tập 8. Tính tích phân   sinx I e
 cos xcosxdx 0    2 2 2
HD giải:   sinx  cos cos d sin x I e x x x e .cos x d 2
x  cos x dx   0 0 0     2 2     x 1 cos 2x x x sin 2x sin  e d  sinx d sin x e  2     2  e  1 . 2  2 4  4 0 0 0 0  4 cos 2x
Bài tập 9. Tính tích phân I  dx
 sinxcosx2 0   4 2 2 4 cos x  sin x
cosxsinxcosxsinx
HD giải: I  dx  dx  
sin x  cos x  2
sin x  cos x  2 0 0
Đặt t  sin x  cos x  2  dt  cos x  sin xdx . 
Đổi cận: x  0  t  3 , x   t  2  2 . 4 2 2 2 2 t  2  2  2  2 3 Lúc đó: I  dt  1 dt    t2ln t   2 1   2 ln . tt   3 3 3 2 2  6 tan x
Bài tập 10. Tính tích phân I  dx  2
cos x  sin x cos x 0  6 tan x dx
HD giải: I x
. Đặt t  tan x  dt  . 2
cos x 1  tan x 2 cos x 0   d  1
Đổi cận: x  0  t  0, x   t  . 6 3 1 1 1 3 3 t  1  1 3  1 Khi đó: I  dt  1   dt   t   ln 1 t      3      ln . 1  t  1  t  0 0 3 3 0 1 3 x
Bài tập 11. Tính tích phân I  dx  2   0 x 1 x
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 28 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 3 x  2 1 x  1  x 1 1 1
HD giải: I    x x .
x  1  x x x
x  1 x x x    . 2
x  1  x 2 0
x  1  x d 3  2 d 3 2 d 4d 0 0 0 1 1  3 2 I x x  1 d 2 2 x x
x  1.x dx   . 1 0 0 Đặt 2 2 2
t x  1  t x  1  t dt x dx . Đổi cận: x  0  t  1, x  1  t  2 . 2 2 5 3  t t  2 2 2  2
Khi đó: I    2t  
1 .t.t dt    4 2 t t t      . 1 d  5 3 1 15 1 1 1 5  x 1 4 1
I x dx    . 2 5 0 5 0 2 2  2 1 2 2  1
Vậy I I I    . 1 2 15 5 15 1
Bài tập 12. Tính tích phân 2 I
1 6x  3x dx 0 1 2
HD giải: I  4  3x   1 dx. 0     2 Đặt 3 x  
1  2 sin t, t   ;   thì dx  costdt .  2 2  3 
Đổi cận: x  0  t  
, x  1  t  0 . 3 0 0 0 2 4 2 Khi đó: 2 I
4  4 sin t .cost dt  cos2t dt   
 1cos2tdt. 3  3  3     3 3 3 0 2  sin 2t  2 1  t       . 3  2   3 3 2 3 ln 8 dx
Bài tập 13. Tính tích phân I   . x  ln 3 e 1 ln 8 x e dx
HD giải: I   . x x  ln 3 e e 1 x e dx Đặt x
t e  1  dt  và x 2
e t 1 . Đổi cận: x  ln 3  t  2, x  ln 8  t  3 . 2 x e  1 3 2d 3 t 2 d 3 t  1 1  t  1 3 3 Khi đó: I     dt  ln      ln . 2 t  1 t  1 t  1
t 1 t  1 t  1 2 2 2 2    2 1 1
Bài tập 14. Tính tích phân I  dx  . 2x x e e 0
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 29 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 1 1 1 x x 1 1  1 1 
 1 e 1 e   1 x e
HD giải: I x      x   
x   1 dx x x e e  1 x xe e  1 x x   e e  1 x x   e e  1 0  d d d 0 0 0  1     e   1 d  x e x 1  1 x x e 1 1 1 dx
 e x  ln e      . x   1 ln e 1   0 2 e 0 0 e
Bài tập 15. Tính tích phân 2
I  ln x dx 1 2
HD giải: Đặt 2
u  ln x, dv  dx , ta có: du
ln x dx , chọn v x . x e e e Khi đó: I   2 .
x ln x  2 ln xdx e  2K
, với K  ln x dx  . 1 1 1 1
Tính K : đặt u  ln x, dv  dx , ta có: du
dx , chọn v x . x e e Khi đó: K   .
x ln x  dx e   e  1 1. 1 1
Vậy I e  2 .  2
Bài tập 16. Tính tích phân x
I e .cos 3x dx 0 1
HD giải: Đặt x
u e , dv  cos 3x dx , ta có: d x
u  e dx , chọn v  sin 3x . 3    2  1    2 x 1 x 1 1 Khi đó: I e .sin 3x  2  e .sin 3x d 2 x   e    K  , trong đó x
K e .sin 3x dx  .  3  3 3 3 0 0 0 1 Tính K : đặt x
u e , dv  sin 3x dx , ta có d x
u  e dx , chọn v   cos 3x . 3   2  1   x 1 x 1 1
Khi đó: K   e .cos 3x 2 
e .cos 3x dx     I   3  3 3 3 0 0   1   1  1 1  2 1  3 e Vậy 2 I   e   
I , suy ra I  . 3 3  3 3  10 3 3  ln x
Bài tập 17. Tính tích phân I x  1 x  d 2 1 1 1 1 1 x
HD giải: Đặt u  3  ln x, dv        , ta có du dx , chọn v 1 . x   dx 2 1 x x  1 x  1
x3  ln x 3 3 1 3  3ln 3 3 3  3ln 3 Lúc đó: I   dx   ln x  1   ln 2.  1 x  1 1 x  1 4 1 4 1
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 30 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 3
(Chú ý cách chọn v  dv  sao cho tích phân d v u
đơn giản. Ta nói C  1 là hệ số điều chỉnh 1
trong tích phân từng phần).  6 dx
Bài tập 18. Tính tích phân I   .     2x 1cos x 6
HD giải: Đặt t  x , ta có dt  d  x ..     Đổi cận: x  
t  , x   t   . 6 6 6 6      6 d 6 t d 6 t 2t d 6 t 2x dx Khi đó: I               2 t 1cost  1      
1 2tcost  1 2xcosx  1cost 6 6 t 6 6  2      6 x d 6 x 6 x 12 d 2 d 6 x x dx
Suy ra: 2I I I               2x 1cos x    2x 1cos x   2x 1cos x  cos x  6 6 6 6   6 cos x d 6 x cos x dx     2    cos x  1
sin x1 sin x   6 6  1  1
Đặt u  sin x  du  cos x dx . Đổi cận: x  
u   , x   u  . 6 2 6 2 1 1 1 2 d 2 u 1  1 1  1 1  u 2 1  1  Khi đó: 2I    u  ln  ln 3  ln        ln 3. 1  u 1  u 2
 1 u 1 u  2 1  u 1 2  3  1    d 1    2 2 2 1 Vậy I  ln 3 . 2 1
Bài tập 19. Tính tích phân I  ln  2 x   1dx. 0 2x
HD giải: Đặt u   2 ln x  
1 , dv  dx , ta có: du
dx , chọn v x . 2 x  1 1 2 1 1 1 2x  2  x Khi đó: I   . x ln   2x   d 1   dx  ln 2  2  dx  ln 2  2      2 . 2 2 2 0 x  1  x  1  x  1 0 0 0 1 dx     Với K  
, đặt x  tant , t    ;  , ta có dx   2
1 tan tdt . 2 x  1  2 2  0    4 2 4 1  tan t
Đổi cận: x  0  t  0 , x  1  t  . Ta được: K  dt  dt    . 4 2 tan t  1 4 0 0 
Vậy I  ln 2  2  2K  ln 2  2  . 2
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 31 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 . x ln  2 3 x x  1
Bài tập 20. Tính tích phân I  dx  . 2  0 x 1 x 1  x x 2 x  1 1
HD giải: Đặt u  ln  2 x x  1 d , dv  , ta có : du  dx  dx , chọn 2 x  1 2 2 x x  1 x  1 2 v x  1 . 3   3 Khi đó: 2 I x  1.ln   2 x x  1  dx  2ln   32 3   . 0 0
2. BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN Tính các tích phân sau:  3 2 1) 2 I x  1 dx  2) I  sin x dx  3    2 2 2 2 3x  2x  1 3) 2
I x  4x  3 dx  4) I  dx  2 x 0 1 2 1 3 x 1 x   1 5) I  dx  6) I  dx  4 2 x  3x  2 2 x  1 0 0   4 sin 4x
2 sin 2x  sin x 7) I  dx  8) I  dx  2 1  cos x  0 0 1 3 cos x  2 sin 2x 2 x 9) I  dx  10) I  dx  2 2    0 cos x 4 sin x 1 1 x 1 0 1 x  1 1 dx 11) I  dx  12) I   3   2   1  1 x 1 1  x 2x 5 2 x  1 1 dx 13) I  dx  14) I   3     0 3x 2 0 x 3 x 1  2 3 dx 3 1 x sin x 15) I   16) I  dx  2  2 cos x 5 x x 4 0 e  3  3 dx 17) I  2x   ln xdx 18) I    x x e  1 1 1  ln 2 dx 2 19) I   20) x
I e .cos 3x dx  . x  0 e 2 0
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 32 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
V. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MINH HỌA 4 Câu 1. Tích phân 2 I
x  3x  2 dx  bằng 1  16 5 19 55 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 6 2
x  3x  2, khi x  ,12,    HD giải: 2
x  3x  2     2
x  3x  2 , khi x 1  ; 2    1 2 4
Do đó: I    2
x  3x  2dx   2
x  3x  2dx   2
x  3x  2dx 1  1 2 3 2 3 2 3 2  x 3x  1  x 3x  2  x 3x  4 19     2x     2x     2x  . 3 2 1     3 2  1  3 2  2 2
Lựa chọn đáp án C.
Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT):
Bước 1: Gán các giá trị kết quả ở các đáp án cho các biến A, B, C, D. 4
Bước 2: Nhập vào máy 2
X  3X  2 dX X ? 
Lần lượt thay X bởi A, B, C, D. Nhận đáp án 1 
đúng khi màn hình máy tính hiện kết quả 0 hoặc xấp xỉ 0.
Lựa chọn đáp án C.
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 33 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 16
Lưu ý: Tổ hợp phím gán: q J z (gán cho A) 3 m 2   4  8
Câu 2. Với giá trị nào của tham số m thì tích phân I   2
x  sin xdx bằng ? 32 0    A. m  1. B. m  . C. m  . D. m  . 6 3 4 HD giải: m   m m      2  x 1 cos 2x 1 cos 2x I x sin
dx   x  d  x    x d  x  2   2 2  0 0 0 m 2 2
 2x  2x  sin 2x
2m  2m  sin 2m    
. Lần lượt thay các giá trị m ở các phương án A, B, C,  4  4 0  D ta thấy m
thỏa mãn. Lựa chọn đáp án D. 4
Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT): Y 2   4  8
Bước 1: Nhập vào máy tính biểu thức  2
X  sin XdX   . Nhấn r 32 0   
Bước 2: Nhập vào lần lượt Y  1, Y  , Y  , Y
(không nhập X khi máy hỏi) Đáp án nhận 6 3 4
khi màn hình hiện 0 hoặc xấp xĩ 0.
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 34 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Lựa chọn đáp án D. n 1
Câu 3. Tích phân I  1  dx  1  bằng 2 x 1 2 5 A. 5 . B. . C. 2 . D. 1 . 2 2 2 2 1  2 2 2 x 1 1 x  1 x  1
HD giải: I  1 dx  dx   dx  dx     2 2 2 2 x x x x 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1  1   1   1   1  2   1 dx  1 dx   x   x           1 . 2 2 1  x   x   x   x  1 1 1 2 2
Lựa chọn đáp án D. 1 5 x
Câu 4. Tích phân I  dx  bằng 2 x  1 0 1 1 1 1 A. ln 2  . B. ln 2  . C.   ln 2 . D. ln 2 . 2 4 2 4 1 4 x .x
HD giải: I  dx  . Đặt 2
t x  dt  2x dx . Đổi cận: x  0  t  0, x  1  t  1. 2 x  1 0 1 2 1 2 1 t 1  1  1  t  1 1 1 Khi đó: I  dt   t 1 d
t    t  ln t  1   ln 2  . 2 t  1 2  t  1  2  2  0 2 4 0 0
Lựa chọn đáp án A.  4
Câu 5. Tích phân I  cos 2x   4 4
cos x  sin xdx bằng 0 5 5 7 5 A. . B. . C. . D. . 6 24 12 12 1
HD giải: Ta có: sin x  cos x  sin x  cos x2 4 4 2 2 2 2 2
 2sin xcos x  1 sin 2x . 2  4  1  Khi đó: 2
I  cos 2x 1   sin 2x d  x .  2  0 
Đặt t  sin 2x , ta có dt  2cos 2x dx , đổi cận: x  0  t  0, x   t  1. 4 1 3 1  1  1  t  1 5 Do đó: 2 I  1 t d
t  t   
. Lựa chọn đáp án D. 2  2  2  6  0 12 0 2 
Câu 6. Tích phân I  sin x dx  bằng 0 A. 2  . B. 2 . C. 2  2 . D. 2 .
HD giải: Đặt 2
t x t x  2t dt  dx . Đổi cận : 2
x  0  t  0, x    t   .
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 35 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Khi đó: I  2t sin t dt
. Đặt u  2t, dv  sint dt , ta có du  d
2 t , chọn v  cost . 0     Ta có: I   2
t.cost  2 cost dt    2
t.cost  2sint  2 . 0 0 0 0
Lựa chọn đáp án D.
Câu 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?     2 2 2 2
A. sin x dx  cos x dx   . B. 2 sin x d 2
x  cos x dx   . 0 0 0 0     2 2 2 2 C. sin x d 2
x  sin x dx   . D. cos x d 2
x  cos x dx   . 0 0 0 0 HD giải:      2 2 2     1 1 sin 2x
sin x dx   cos x  2  1.  2 sin x dx  
1cos2xdx x 2    . 2 2  2  4 0 0 0 0 0      2 2 2     1 1 sin 2x
cos x dx  sin x  2  1 .  2 cos x dx  
1cos2xdx x 2    . 2 2  2  4 0 0 0 0 0
Các khẳng định A, B, C đúng, khẳng định D sai.
Lựa chọn đáp án D.     a 2 tan x
Câu 8. Tập hợp các số thực a thuộc   ;  thỏa mãn dx  1  là  2 2  2 cos x 0               A.  ;  . B.  ;  . C.  ;  . D.   .  3 3   4 4   6 6   4  x
HD giải: Đặt t  d tan x  dt
. Đổi cận: x  0  t  0, x a t  tan a . 2 cos x a tan 2 tan a x tan a      Khi đó: dx  2t d 2 2 t t  tan a   . Vì 2 a   ; , tan a    1 nên a   . 2 cos x 0  2 2  4 0 0
Lựa chọn đáp án B.  2 cos x
Câu 9. Tích phân I  dx  bằng cos x  sin x 0   A.  . B. 0. C. . D. . 2 4   
HD giải: Đặt t
x  dt  d
x, đổi cận: x  0  t  , x   t  0 . 2 2 2    cos   t   0  2 2  2  sin t sin x Khi đó: I   dt  dt  dx    .          sin t cos t sin x cos x 0 0 cos  t  sin     t  2  2   2 
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 36 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017     2 2 2 2 cos x sin x cos x  sin x
Suy ra: 2I I I  dx  dx  dx  dx      . cos x  sin x cos x  sin x cos x  sin x 2 0 0 0 0  Vậy I
. Lựa chọn đáp án D. 4 2 ln x
Câu 10. Tích phân I    bằng x   dx 2 1 1 ln 2 4 ln 2 ln 4 ln 2  ln 4 ln 2 3 A.  ln . B.  . C. . D.   ln . 3 3 3 3 3 3 4 dx dx 1 x
HD giải: Đặt u  ln x, dv        , ta có du , chọn v 1 . Khi đó: x  2 1 x x  1 x  1 2 x ln x 2 dx 2 ln 2 2 2 ln 2 2 ln 2 2 I     ln x 1   ln 3  ln 2   ln  . x  1 1 x  1 3 1 3 3 3 1
Lựa chọn đáp án B. 3 Câu 11. Tích phân 2 2 I x 9  x dx  bằng 0  81 81 81  4 A. . B. . C. . D. . 4 16 8 16   
HD giải: Đặt x  3sin t, 
t   dx  3cost dt . Đổi cận: x  0  t  0, x  3  t  . 2 2 2 Ta có: 2 2 2
9  x  9  9 sin t  3 cos t  3 cost  3cost .     2 2 2    2 81 81 81 sin 4t 81
I  9 sin t.3cost.3cost d 2 t  sin 2t dt   
1cos4tdt t  2    . 4 8 8  4  16 0 0 0 0
Lựa chọn đáp án B. 1 4 x
Câu 12. Tích phân I  dx  bằng   2x 1 1 1 2 A. . B. 4. C. 1. D. . 5 5
HD giải: Đặt t  x  dt  d
x. Đổi cận: x  1
  t  1, x  1 t  1  . 4 4 4 4  x t t t .2t 1 4 t 1 4 t 1 4 t .2 t .2 x .2x Ta có:     I   dt  dt  dx    . 2x  1 2t  1 1 1  2t t t x  1 2    1 2  1 2 1 1 1 1 2t 4 1 4 1 4 x 1 x . x x x .2 12  1 5 x 1 2
Khi đó: 2I I I  dx  dx  d 4
x x dx       1  I  .      2x 1  2x 1  2x 1  5 1 5 5 1 1 1 1
Lựa chọn đáp án A.
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 37 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 a
Câu 13. Cho hàm số f x liên tục trên 0; a 
 thỏa mãn f xdx M  
 . Trong các khẳng định 0
sau, khẳng định nào sai? 0 a 0 A. f
 xdx  M . B. f
 xdxf
 xdx  0 . a 0 a 2ax M 3ax  C. f dx     . D. f dx     3M .  2  2  3  0 0
HD giải: Các khẳng định A, B đúng. x dx (C): Đặt t   dt
. Đổi cận: x  0  t  0, x  2a t a . 2 2 2a ax  Khi đó: f dx  2 f
 tdt   
2M . Khẳng định C sai.  2  0 0 x 3ax
(D): Đổi biến với cách đặt t  ta được: f dx    
3M . Khẳng định D đúng. 3  3  0
Lựa chọn đáp án C. 1 Câu 14. Đặt 3 2 I x x  1 dx  và 2
t x  1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 0 2 1 A. I    4 2
t t dt . B. I   4 2
t t dt . 1 0 2 4
C. I    3t tdt . D. I   4 2
t t dt . 1 1 1
HD giải: 2 2
I x .x x  1 dx  . Đặt 2 2 2
t x  1  t x  1  t dt x dx . 0 2 2
Đổi cận: x  0  t  1, x  1  t  2 , I    2t  
1 .t.t dt    4 2
t t dt . 1 1
Lựa chọn đáp án A. 4 2x m
Câu 15. Với giá trị nào của tham số m thì tích phân I  dx  bằng 4  ln 9 ? x  1 2 A. m  0 . B. m  1  . C. m  4  . D. m  3  . 4  2  m 4
HD giải: I  2  dx  2x    
2mln x1  4  2 mln3.  x  1  2 2
I  4  ln9  4  2ln 3 khi và chỉ khi 2  m  2   m  4  .
Lựa chọn đáp án C.
Câu 16. Một ô tô đang chuyển động với vận tốc v thì bắt đầu hãm phanh và từ thời điểm đó 0
nó chuyển động chậm dần đều với gia tốc a    2
6 m / s  , sau 2 giây nó đi được 20 mét. Vận tốc
v lúc bắt đầu hãm phanh và vận tốc sau khi hãm phanh 2 giây của ô tô lần lượt bằng 0
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 38 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
A. 6m / s và 18m / s .
B. 32 m / s và 20m / s .
C. 18m / s và 6m / s .
D. 16m / s và 4m / s . HD giải:
Gia tốc a t , vận tốc  và quãng đường đi st thỏa mãn s't  vt , v't  at .
Vận tốc: vt  a
 tdt  6  dt  6  t C
. Với t  0 thì v v 0  C . Do đó 0   vt  6  t v . 0 2 2 2
Quãng đường đi được sau 2 giây: s v
 tdt   6
t v dt   2 3
t v .t  2v 12 . 0 0  0 0 0 0
Theo giả thiết: s  20  2v 12  20  v  16 m / s . Do đó vt  6  t 16 . 0 0  
Vận tốc tại thời điểm t  2 giây là v2  6
 .2 16  4 m/ s.
Lựa chọn đáp án D.
Câu 17. Một ô tô đang chuyển động trên đoạn đường phẳng với vận tốc 5 m / s thì bắt đầu
xuống dốc và từ thời điểm đó nó chuyển động nhanh dần đều, 5 giây sau đạt vận tốc 20 m / s .
Đến hết đoạn dốc ô tô đạt vận tốc 32 m / s . Tính độ dài đoạn dốc nói trên. A. 62,5 m . B. 160 m. C. 166,5 m . D. 162,5 m . HD giải:
Hàm vận tốc: vt  at b a  0 ; vì v0  5, v5  20 nên a  3, b  5 , vậy vt  3t  5 . 3
Cách khác: vt  51 mt ; vì v5  20 nên m  , vậy vt  3t  5 . 5
Gọi T là thời gian ô tô đi hết đoạn dốc, ta có: vT  32  T  9s . T 9 2  3t  9
Độ dài đoạn dốc: s v
 tdt  3t 5dt   5t 166,5 m.  2  0 0 0
Lựa chọn đáp án C.
Câu 18. Một túi nilon đựng một lượng nước có trọng lượng 5 N  được nâng từ mặt đất lên
không trung với tốc độ cố định. Bao nilon thủng khi bắt đầu nâng và nước rỉ ra với tốc độ
không đổi. Khi nâng đến độ cao 50 mét thì trong bao nilon không còn nước. Bỏ qua trọng lượng
túi nilon, hỏi công sinh ra khi nâng bao nước từ mặt đất đến độ cao 50 mét bằng bao nhiêu? A. 150  J . B. 50  J . C. 250  J . D. 125  J . HD giải:
Lực F x dùng để nâng bao nước chính bằng trọng lượng của nước. Từ giả thiết suy ra
F x là hàm bậc nhất theo độ cao x của bao nước:    50xx F x  5  5    N.  50  10 50 50 2  x   x  50
Công sinh ra: A F
 xdx   5 d
x   5x  
 125N.m  125J.  10   20  0 0 0
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 39 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Lựa chọn đáp án D.
Câu 19. Khi mài một thanh kim loại, một mảnh kim loại từ mặt đất bay lên theo chiều thẳng
đứng với vận tốc v  15m / s . Biết gia tốc trọng trường là g   2
9,8 m / s  và bỏ qua lực cản
không khí, hỏi sau 1 giây mảnh kim loại đã di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu? A. 19,9 m . B. 5, 2 m . C. 10,1 m . D. 15 m . HD giải:
Mảnh kim loại chịu tác động của trọng lực (ngược chiều với hướng di chuyển) nên gia
tốc của mảnh kim loại là a  g    2
9,8 m / s  . Do đó vận tốc của mảnh kim loại tại thời điểm t giây là:
vt  adt  9  ,8dt  9  ,8t C   .
Theo đề bài, với t  0 thì v  15m / s nên C  15. Suy ra: vt  9
 ,8t 15 m / s.
Quãng đường di chuyển của mảnh kim loại sau 1 giây: st 1  v  t 1 1 dt   9
 ,8t 15dt   2 4
 ,9t 15t  10,1 m. 0 0 0
Lựa chọn đáp án C.
Câu 20. Một lò xo có chiều dài tự nhiên 30 cm, để nén lò xo xuống còn 20 cm ta cần dùng một
lực 40N . Nếu ta tiếp tục nén lò xo nói trên từ 20cm xuống còn 15cm thì công sinh ra bằng bao nhiêu? A. 2, 5 J . B. 6, 5 J . C. 2  J . D. 0, 5 J .
HD giải: Độ nén của lò xo: x  0,3  0,2  0,1 m, F  40N . 40 Vì F  .
k x , với k là độ cứng của lò xo, suy ra k
 400N / m . Do đó lực nén là 0,1 F  400x .
Tiếp tục nén lò xo, độ nén: x  0,3  0,2  0,1m và x  0,3  0,15  0,15 m . 1 2
Công sinh ra khi ta tiếp tục nén lò xo từ 20 cm xuống còn 15cm : 2 x A F  x 0,15 0,15 dx  400x d 2 x  200x  2,5 
N.m  2,5J. 0,1 1 x 0,1
Lựa chọn đáp án A.
2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆNx  2 2 1
Câu 1. Tính tích phân I  dx  . 3 x 1 11 5 A. I  ln 2 . B. I  ln 2  . C. I  ln 2  . D. I  1   ln 2 . 8 8
4 3 x  2  5x
Câu 2. Tính tích phân I  dx  . x x 1
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 40 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 A. I  8   6ln 2 . B. I  6ln 2 . C. I 10ln 2 . D. I  6ln 2  8 . 4 1
Câu 3. Tính tích phân I x   2 dx  . x 1 8 20 14 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  2 . 3 3 3 1
Câu 4. Tính tích phân I x x   3 1 dx . 0 24 2  4 24 2 4  24 2 4  24 2 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 35 35 35 35 3 dx
Câu 5. Tính tích phân I   . x  2 x 1 2  1 4 1 1 4 1 3 4 A. I   ln . B. I  . C. I    ln .
D. I   ln  ln . 2 3 2 2 3 2 2 3 2 dx
Câu 6. Tính tích phân I   . 2 x x 1 1   1 3 1 4 1 3 1 3 A. I   ln . B. I    ln . C. I    ln . D. I  ln . 2 4 2 3 2 4 2 4 x 1 ln t
Câu 7. Tìm các số thực dương x thỏa mãn dt  18  t 1 e 1 A. 7 5
x e , x e . B. 7 x  , x e . 5 e 1 C. 5 x  , x e . D. 7  5 x e , x e   . 7 e 3 2x 1
Câu 8. Tính tích phân I f
 xdx , biết rằng f ' x . 2 x x 1 2 120 120 13 7 A. I   . B. I  . C. I  ln . D. I  ln . 8281 8281 7 13 e
Câu 9. Tích phân  xln xdx bằng 1 2 e  1 2 e 2 e  1 2 e  2 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 2
Câu 10. Tích phân  3 x  2 3x   2xdx bằng 1 31 33 34 A. . B. 8. C. . D. . 4 4 4 2 2 Câu 11. Tích phân 1   2 x dx bằng 0   2  1   1   2 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 41 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 1 2x  1
Câu 12. Tích phân  dx bằng 2 1 x x  1 A. 2 3   1 . B. 2 3. C. 2 3   1 . D. 2 3  2. 6 2 x  5x  6
Câu 13. Tích phân  bằng  dx x 3 4 A. 7. B. 6. C. 5. D. 4. b c c
Câu 14. Cho a b c, f    x dx  7, f   
x dx  8. Tính f xd . xa a b c c A. f    x dx  1. B. f    x dx  15. b b c c C. f    x dx  1  . D. f    x dx  1  5. b b 2 dx
Câu 15. Tính tích phân I   . 3 x x 1 1   2 1 3 1 4 1 4 1 A. I  2ln  . B. I  ln  . C. I  ln  . D. I   ln  . 3 2 2 8 3 8 3 2 2 dx
Câu 16. Tính tích phân I   . 2 x 2x 1 1   3 1 3 3 3 1 A. I  2ln  . B. I  ln 1. C. I  1   ln .
D. I  ln  ln 2  . 2 2 2 2 2 2 1 2 2x x  3
Câu 17. Tính tích phân I  dx  . x  2 0 3 3 1 3 3 1 A. I  13ln  4 . B. I  3ln  . C. I  3  ln  4 . D. I  ln  . 2 2 2 2 2 2 1 x
Câu 18. Tính tích phân I    . x   dx 4 1 0 1 1 1 1 A. I  ln 2 . B. I   ln 2 . C. I  . D. I   ln 2 . 2 12 12 12 1 2x  3
Câu 19. Tính tích phân I  dx  . 2 x  4x  4 0 3 7 3 7 3 7 3 7 A. I  ln  . B. I  2ln  . C. I  2ln  . D. I  2ln  . 2 3 2 6 2 3 2 6 2 dx
Câu 20. Tính tích phân I   . x  2 x 1 1  1 8 1 8 8 1 8 A. I   ln . B. I  ln . C. I  ln . D. I   ln . 2 5 2 5 5 2 5 3 2 dx
Câu 21. Tính tích phân I   . 4 x  2x 1
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 42 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 1 3 3 1 3 1 3 A. I   ln . B. I  2ln  . C. I  2 ln . D. I  ln . 6 2 2 6 2 6 2 6 12 x
Câu 22. Biết rằng f x liên tục trên  và f   
x dx  7, tính tích phân I f     d .x   2   2  4  7 A. I  . B. I  7. C. I  14. D. I  28. 2  4π π   3π 7π
Câu 23. Cho hàm số f x có f 'x liên tục trên  và f     , f '      x dx  . Tính 2    2 2 π 2 f 4  π . π A. f 4  π  . π B. f 4  π  2 . π C. f   5 4π  . D. f 4  π  5 . π 2 1
Câu 24. Xét tích phân I x x 1 dx
và đặt t x 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định 0 nào sai? 1 A. dx  2 d t . t B. 2 I  2 t  2 t   1dt. 0 2 4 C. I  2  4 2
t t dt. D. I   2  1. 15 0 3 3 dx
Câu 25. Xét tích phân I  
và đặt x  3tan .
t Trong các khẳng định sau, khẳng định 2 x  9 0 nào sai? π 3 3 t A. dx  dt. B. I  dt.  2 cos t 3 0 9 π C. 2 9  x  . D. I  . 2 cos t 9 7 3 x 1
Câu 26. Xét tích phân I  d . x  Nếu đặt 3
t  3x 1 thì khẳng định nào trong các 3 3x 1 0
khẳng định sau là sai? 2 4 t  2t A. 2 dx t dt. B. I  dt.  3 1 2 t  2 2 2
1 2t  2t 1 46 C. I  dt.  D. I  . 3 5 1
Câu 27. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? π π π π 2 2 cos x 2x cos x 2 2 cos x 2x cos x A. dx  d . x   B. dx  d . x   2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 π π   π π   2 2 2 2
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 43 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 π π π π 2 2 cos x 2x cos x 2 2 cos x 2x cos x C. dx  d . x   D. dx  2 d . x   2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 π π   π π   2 2 2 2 1 dxπ π
Câu 28. Đặt I  
và x  2 sin t, t   ;  . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào 2   2 2    0 4 x đúng? π cos d t t A. dx 2  costd .t B. 6 I  . 0 2 1cos t π π C. 6 I  dt.  D. I  . 0 3 1 4x dx
Câu 29. Tính tích phân I    . 2x  3 1 0 13 2 1 1 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 9 9 9 3 3
Câu 30. Tính tích phân 2 I
x  4x  4 dx  . 1 A. I  2 . B. I  2  . C. I  3  . D. I  1. 1 4x  9
Câu 31. Tính tích phân I  dx  . 2 4x  4x 1 0 11 11 11 11 A. I   ln 3. B. I   ln 3. C. I   2ln 3. D. I    ln 3. 3 3 3 3 2 1
Câu 32. Tính tích phân I  dx  . 3 x  2x 1 1 1 1 1 2 A. I  ln 2 . B. I  ln 3. C. I  ln 3 . D. I  ln . 4 2 4 4 9 2 dx
Câu 33. Tính tích phân I   . 3 2x x 1 1 7 1 A. I  ln 2 7 . B. I  ln 7 . C. I  ln .
D. I  ln 7  ln 2 . 2 2 2
Câu 34. Cho các hàm số f x 3 2
 3x x  4x 1 và g x 3 2
 2x x 3x 1. Tính tích phân 2 I f
 x gx dx . 1 1 1 5 5 A. I  . B. I   . C. I   . D. I  . 2 2 12 12 3 2x  3
Câu 35. Tính tích phân I  dx  . 3 x  3x  2 2 1 7 8 1 7 4 A. I    ln . B. I    ln . 6 9 5 6 9 5 1 7 4 1 7 8 C. I    ln . D. I   ln . 2 9 5 2 9 5
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 44 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 t
Câu 36. Đặt f t   sin x  cos xdx, t  
 . Nghiệm của phương trình f t  0 là  4 π π A. t   kπ, k  .  B. t   kπ, k  .  6 4 π π C. t   kπ, k  .  D. t   kπ, k  .  3 2 ln10 x e a a
Câu 37. Biết tích phân dx  ; 
trong đó a, b là hai số nguyên dương và là phân số 3 x e b b ln 3 2
tối giản. Khẳng định nào sau đây là sai? a b A. 2a  7 . b B.   4. C. 2 2 a b  85 D. ab  7. 3 2 π 2 n
Câu 38. Tính tích phân I   1cos2x * sin 2 d x x, n   . π 4 1 1 1 1 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2n1 2n 2n 1 2n  2 π 2 n 1
Câu 39. Giá trị nào sau đây của n thỏa mãn 2 1 cos x sin d x x   ? 8 0 A. n  1. B. n  2. C. n  3. D. n  4. 5 5 5 a a Câu 40. Biết dx  ln 
, trong đó a, b là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. 2 x 1 2 b b 3 Hãy tính . ab A. ab  3. B. ab  9. C. ab  12. D. ab  144. 7  1 1    a a Câu 41. Cho    dx  ln  
trong đó a, b là hai số nguyên dương và là phân số
2x5 x  2 b b 3
tối giản. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? a b
A. 3 a b  8. B.   10.
C. a b  32. D. 2 2 a b  754. 3 5 a
Câu 42. Tính I
x sin x dx  a  0 theo a . 0 A. I a  cosasin . a
B. I acos asin . a 2 a 2 a C. I   cos . a D. I  cos . a 2 2 1 2
Câu 43. Tính tích phân 2 I x  3 x   1 dx . 0 7 7 8 A. I   . B. I  . C. I  . D. I  1. 9 9 9 ln 2 3
Câu 44. Tính tích phân 2 x   x I e e   1 dx. 0
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 45 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 519 617 142 519 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 20 20 5 5 1 5 x
Câu 45. Tính tích phân I    . x   dx 2 3 0 1 1 1 1 1 1 1 A. I  ln 2 . B. I  ln 2  . C. I  ln 2  . D. I  ln 2 . 3 3 6 3 6 6
e 1 ln x2
Câu 46. Tính tích phân I  dx  . x 1 7 5 10 8 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 3 3 3 3 2 e dx
Câu 47. Tính tích phân I   . 3 x ln x e 1 1 3 3 A. I  . B. I   . C. I   . D. I  . 2 ln 2 2 ln 2 8 8 e ln x dx
Câu 48. Tính tích phân I   . x  2
ln x  2 ln x 1 1  1 1 1 A. I  ln 2 . B. I   ln 2 .
C. I    ln 2 . D. I   ln 2 . 2 2 2 3 x dx
Câu 49. Tính tích phân I   . 2  0 x 1 A. I  2 . B. I  1. C. I  3 . D. I  3 1. π 2
Câu 50. Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị bằng tích phân cosn d x x  , với n 0 nguyên dương? π π π π A. 2  sinn d x . x  B. 2 sinn d x . x  C.  sinn d x . x  D. sinn d x . x  0 0 0 0 b e dx
Câu 51. Tính tích phân I   ba 
0 theo a và b . x x a ln e b
A. I  lna b .
B. I  lna   b . C. I  ln .
D. I  lnb  a . a 12 dx
Câu 52. Tính tích phân I  
được kết quả là I aln6 bln 2 . Giá trị của biểu thức x 2x 1 4 2 2
a 3ab b bằng A. 1. B. 1.  C. 19. D. 29. a xx e e
Câu 53. Tính tích phân I  dx  theo a . xx e e 0 aa e e aa e e A. I  . a B. I  ln . C. I  ln . D. ln a a I e e   . 4 2
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 46 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 5
Câu 54. Để tính tích phân 2 I x 9 dx
, một học sinh làm như sau: 0 3 5 Bước 1: 2 2 I x 9 dx x 9 d . x   0 3 3 5
Bước 2: I    2
x 9dx  2 x 9d . x 0 3 3 5  3   3 xx   10            98 Bước 3: I 9x   9x      1  80   18  .       3  3   3  3 0 3
Hỏi lời giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào? A. Lời giải đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.
Câu 55. Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn 0;1 
 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? π π π π A. f  sin  2 x dx f  sin  x d . x B. f  sin  2 x dx  2 f  sin  x d . x 0 0 0 0 π π π π C. f  sin  2 x dx  3 f  sin  x d . x D. f  sin  2 x dx  4 f  sin  x d . x 0 0 0 0 n
Câu 56. Tìm số thực n biết  3x  5 dx  16. 0 16 16 4 A. n   ; n  2  . B. n  ; n  . 3 3 3 16 16 C. n  
; n  2; n  1  . D. n   ; n  2. 3 3 ln 3
Câu 57. Tính tích phân x x I e e 1 dx  . 0 2 4
A. I  8  2 2 . B. I  . 3 3 2  4 2 4  4 3 C. I  . D. I  . 3 3 e dx
Câu 58. Tính tích phân I   . x  2 4  ln x 1  1 1 1 A. I  ln 2 . B. I  ln 3. C. I  ln 4 . D. I  2ln 2 . 4 4 2 ln 2 dx
Câu 59. Tính tích phân I   . xe  2 x e  3 0 3 3 9 3 A. I  2 ln . B. I  2 ln . C. I  ln . D. I  ln . 4 2 8 4 3 3 x dx
Câu 60. Tính tích phân I   . 2   0 x 1 1 1 3 5 1 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 4 6 6
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 47 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017  4 sin 4x
Câu 61. Tính tích phân I  dx  .  sin x 6 4 2 4 2  2 4 2  5 A. I  4 2  5 . B. I  . C. I  . D. I  . 3 3 3  4
Câu 62. Tính tích phân 2 4
I  sin x cos x dx  . 0  1  1  1  1 A. I   . B. I   . C. I   . D. I  . 4 3 64 192 64 48 64  2 3 cos x
Câu 63. Tính tích phân I  dx  . 1 sin x 0 1 1 1 A. I  . B. I  . C. I  1. D. I   . 2 3 2 3π 3π Câu 64. Cho 2 f   
x dx  7 . Khi đó tích phân 2 2 f     x 3cos x  dx   bằng 0 0 9π 9π A. 11. B. 14  . C. 23. D. 14  . 2 2 t
Câu 65. Đặt f t 
sin 2xdx, t  
. Nghiệm của phương trình f t 0 là 0 π A. t  π k , k  .  B. t   π k , k  .  4 π C. t    π k , k  . 
D. t k2π, k  .  4 6
Câu 66. Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn f   
x dx  8 . Khi đó tích phân 0 3 f 2  x dx  bằng 0 A. 2. B. 4. C. 8. D. 16 . 0 x    Câu 67. Nếu 2
I   4  e dx K  2e thì giá trị của K là 2    25 A. 11. B. 9. C. . D. 10. 2
Câu 68. Cho f (x) là hàm số liên tục trên a; b 
 . Đẳng thức nào sau đây sai? b a b A. f
 xdx   f  xd .x
B. kdx k
ba; k   .  a b a b c b b a C. f
 xdx f
 xdxf
 xdx; ca;b 
. D. f xx d  
f xd .x a a c a b 5 1 Câu 69. Giả sử dx  ln A
, giá trị của A là 2x  1 1 A. 3. B. 9. C. 81. D. 8.
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 48 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 3
Câu 70. Giá trị của tích phân 2
x x  2 dx  là 0 31 A. 4. B. 5. C. 3. D. . 6 1 4 4 Câu 71. Giả sử f
 xdx  2; f
 xdx  3; g
 xdx  4. Khẳng định nào sau đây là sai? 0 1 0 4 4 4 A.
f xx d  
gxd .x B.  f
 x gx dx 1.  0 0 0 4 4 4 C.  f
 x gx dx  9.  D. f
 xdx g  xd .x 0 0 0
Câu 72. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? b A. Nếu f ( ) x  0, x   ; a b   thì f (x d ) x  0  . a a
B. Nếu f x   f x , x   ; a a   thì f
 xdx  0. a b b b C. 
f x.gx x d   
f xx
d . gxx
d , với mọi f x, g x liên tục trên  ; a b . a a a x2 1 D. Nếu  d   
f x x F x C thì f
 axbdx  F
 ax b F ax b  , a  0 . 2   1  a x1
Câu 73. Đẳng thức nào sau đây là đúng? 3 3 A. 2 x dx  0.  B.   2 x   1 dx  0. 3  3  3 3 C. 3 x x d   0. D.   2
x xdx  0. 3 3 
Câu 74. Nếu hàm số y f x xác định, liên tục và không đổi dấu trên a; b   thì đẳng thức nào sau đây là đúng? b a b a A. f
 xdx f  x d .x B. f
 xdx   f  x d .x a b a b b a b a C. f
 xdx   f  x d .x D.
f xx d  
f xx d . a b a b 2 dx
Câu 75. Tích phân I   bằng 4 x 1 31 31 7 7 A. . B.  . C. . D.  . 5 5 24 24
Câu 76. Đẳng thức nào sau đây là đúng?   3 3 A. sin x x d   0. B. cos x x d   0.     3 3
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 49 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017   3 3 C. 2 sin x x d   0. D. 2 cos x x d   0.     3 3
Câu 77. Nếu các hàm số f x và g x đều xác định, liên tục và cùng không đổi dấu trên a; b  
thì đẳng thức nào sau đây là đúng? b a a     A.  f
 x.gxdx   f
 xdx. g
 xdx.     ab   ba f x xb f x  d B. 
gxd b x . a a g  xdx b b a a C. f
 x gx dx f
 xdx g  xdx . a b b b a
D.  f x  gxx d    f x 
g x x d . a b 2 dx
Câu 78. Tích phân I   bằng 3 1 x 2 A. 2  2 . B. 2  2 . C. . D. 2 . 2
Câu 79. Đẳng thức nào sau đây là đúng?     2 2 2 2 A. sin x x d   cosxd .x B. sin d x x  tan d x . x   0 0 0 0     2 2 2 2 C. sin d x x   cos d x . x   D. sin d x x   tan d x . x   0 0 0 0  2 Câu 80. Tích phân sin  cos x I xe dx m
thì m thỏa mãn phương trình 0 A. ln x  1. B. ln x   1  0. C. ln x   1  0. D. ln x   1  1. 5 6 6
Câu 81. Giả sử f
 xdx  5, f
 xdx  8. Khi đó f xdx  bằng 0 0 5 A. 3. B. 3.  C. 13. D. 13.  b
Câu 82. Tập hợp các giá trị của số thực b sao cho 2x  4dx  5 là 0 A.   5 . B. 5;   1 . C.   4 . D. 4;   1 . 5 5 4 Câu 83. Nếu f
 xdx a, f
 xdx b thì f xdx  bằng 1 4 1 A. a b . B. b  . a C. a  . b D. a  4 . b
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 50 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 aa Câu 84. Cho f
 xdx  5 và f x là hàm số chẵn. Khi đó f
 xdx bằng 0 0 A. 0. B. 5. C. 5  . D. 10. 6 dx 3
Câu 85. Cho tích phân I   và đặt x
. Trong các khẳng định sau, khẳng định 2  cos t 3 2 x x 9 nào sai? 3sin t  A. dx  dt. B. I  . 2 cos t 36  3 sin tdt x d sin t t d C. I  .  D.  .
 3 cos t tan t 2  3 tan 9 t x x 4 2
Câu 86. Cho tích phân I  2 2x x   1 x d và đặt u  2
x  1. Trong các khẳng định sau, khẳng định 1 nào sai? 3 2 3 2 A. u d  2x x d . B. I  2 3. C. I   u . u d D. 2 I u . 3 0 0  6 m 1
Câu 87. Cho I  sin x cos d x x   . Khi đó m bằng 64 0 A. 6. B. 5. C. 4. D. 3.
Câu 88. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:   4       A. sin  x d  x  sin  x d  x .  4   4  0 0         B. sin  x d  x  cos  x d  x .  4   4  0 0 3  4           C. sin x x d  sin x x d  sin x           x d . 4 4 4 0   0   3   4   4       D. sin  x d  x  2 sin  x d  x .  4   4  0 0 1 Câu 89. Giá trị 1x xe dx  bằng 0 A. 1 . e B. e  2. C. e 1. D. 2  e . t
Câu 90. Giải phương trình ẩn t sau đây cos x dx  0 t    . 0   A. t k , k  . B. t   k  2 , k . 3 3
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 51 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017  C. t   k  2 , k . D. t   k , k . 6
Câu 91. Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:   1 1 x 1 4 4 A. ln
 1 xdx  dx  . B. 2 sin d x x  sin 2 d x x   . e  1 0 0 0 0 2 1 1 1 1     x 1 x 2 3 C. e dx  d    x . D. x  e d    x x e x d .  1 x  0 0 0 0 0 dx
Câu 92. Tính tích phân I  
, với a là số thực dương. 2   a a ax A. I  2 a . B. I   2   2 2 a.
C. I  2  2 2 . D. I  2  2 .  2 n
Câu 93. Tính tích phân I  1
 cosx sinx x d . 0 1 1 1 A. I  1 . B. I  . C. I  . D. I  . 2n n  1 n  1 2n  1 
Câu 94. Tích phân nào dưới đây có kết quả bằng ? 4  0 dx 1 dx 1 x d 4 dx A. .  B. .  C.  . D. .  2  2  1  2 2   2 x 2 x x 1 x 1 0 0 0 1
Câu 95. Cho    x I tx e x d , t  
 . Tất cả các giá trị t để I  1 e là 0 A. t  4 . e
B. t  4e  1. C. t  2 . e
D. t  2e  2.
Câu 96. Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc vt  160 10t m / s . Quãng đường vật di
chuyển được tính từ thời điểm t  0 s đến thời điểm vật dừng lại bằng A. 1280 m. B. 640 m. C. 3840 m. D. 2560 m.
Câu 97. Một vật đang di chuyển với vận tốc 10 m / s thì bắt đầu tăng tốc chuyển động nhanh
dần đều và 3 giây sau nó đạt vận tốc 16 m / s . Tính quãng đường vật di chuyển tính từ lúc vật
bắt đầu tăng tốc đến khi nó đạt vận tốc 24 m / s . A. 119 m . B. 21 m . C. 168 m . D. 94,5 m .
Câu 98. Một túi nước có trọng lượng 10  N  được nâng từ mặt đất lên không trung với tốc độ
cố định. Nước trong túi bị rỉ ra ngoài với tốc độ rỉ nước không đổi. Khi nâng đến độ cao 20 mét
thì trong túi không còn nước. Bỏ qua trọng lượng túi, tính công sinh ra khi nâng túi nước nói
trên từ độ cao 5 mét đến độ cao 10 mét.
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 52 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017 A. 18,75  J  . B. 75  J  . C. 31, 25  J  . D. 25  J  .
Câu 99. Phóng một vật từ mặt đất lên cao theo chiều thẳng đứng với vận tốc v  49m / s . Biết
gia tốc trọng trường là g   2
9,8 m / s  và bỏ qua lực cản không khí, tính độ cao của vật nói trên
khi vật dừng lại trên không trung. A. 245 m . B. 122,5 m . C. 102,9 m . D. 147 m .
Câu 100. Một lò xo có chiều dài tự nhiên 10cm , để nén lò xo xuống còn 8cm ta cần dùng một
lực 20 N  . Tính công sinh ra khi nén lò xo nói trên từ chiều dài tự nhiên xuống còn 7 cm . A. 0, 2 J  . B. 10  J  . C. 0, 05  J  . D. 0, 45  J  .
……………. HẾT…………….
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 53 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
3. ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Đáp án Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Đáp án Câu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Đáp án Câu 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Đáp án Câu 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 Đáp án Câu 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Đáp án Câu 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 Đáp án Câu 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Đáp án
Trong phần câu hỏi trắc nghiệm tự luyện, tác giả có sử dụng một số câu hỏi của
Thầy Lê Bá Bảo, Cô Nguyễn Thu Hà (CLB Giáo viên trẻ TP Huế) và sách trắc nghiệm
2007. Dù biên soạn rất kỹ, song chắc chắn không tránh khỏi sai sót. Mong bạn đọc phản
hồi để cùng tác giả hoàn thiện nội dung trên. Xin cảm ơn! Xin tặng các Thầy Cô và các
em học sinh chuyên đề này!
Tác giả: PHẠM THANH PHƢƠNG_THPT KHAI TRÍ_ĐÀ NẴNG
Địa chỉ: (đƣờng Nam Cao) HÒA KHÁNH – ĐÀ NẴNG
Facebook: baalphadanang
Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 54 -