Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số – Hoàng Xuân Nhàn Toán 12
Tài liệu gồm 52 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Hoàng Xuân Nhàn, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số trong chương trình Giải tích 12 chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
1 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
§1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa tính đơn điệu:
Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập K.
Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu x
∀ , x ∈ K, x < x ⇒ f (x ) < f (x ) . 1 2 1 2 1 2
Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x
∀ , x ∈ K, x < x ⇒ f (x ) > f (x ) . 1 2 1 2 1 2
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì được gọi là đơn điệu trên K .
Nhận xét: Trong chương trình lớp 10, để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm f (x) , ta hay dùng tỉ số :
f (x ) − f (x ) 1 2 T = , x
∀ ≠ x và x , x ∈ K . Cụ thể là: 1 2 x − x 1 2 1 2
• Nếu T > 0 thì hàm f (x) đồng biến trên K. (Tức là f (x ) − f (x ) cùng dấu với x − x ). 1 2 1 2
• Nếu T < 0 thì hàm f (x) nghịch biến trên K. (Tức là f (x ) − f (x ) trái dấu với x − x ). 1 2 1 2
2. Định lí (tính đơn điệu và dấu của đạo hàm):
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K.
Nếu f (′x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm f (x) đồng biến trên K .
Nếu f (′x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm f (x) nghịch biến trên K . Chú ý:
• Định lí trên được mở rộng với f (′x) ≥ 0 (hay f (′x) ≤ 0 ) trong trường hợp f (′x) = 0 tại
một số hữu hạn điểm; khi đó kết luận hàm số đồng biến (hay nghịch biến) vẫn đúng.
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 1
2 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
• Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [ ;
a b] và có đạo hàm f (′x) > 0, x ∀ ∈( ; a b) thì hàm số
đồng biến trên [a;b]. (Tương tự cho trường hợp hàm số nghịch biến trên [ ; a b]). Dạng toán 1
Sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số
Bài toán 1: Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và suy ra tính đơn điệu hàm số. Phương pháp:
o Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.
o Bước 2: Tính y′ = f (′x) ; cho y′ = 0 Tìm nghieäm
x , x ... (nếu có). 1 2
o Bước 3: Lập bảng biến thiên.
o Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các
khoảng của tập xác định. Lưu ý:
o Khi lập bảng biến thiên, việc xét đúng dấu cho đạo hàm là bước quyết định, nên học
sinh phải tuyệt đối chính xác.
o Ở lớp 10, khi các em xét dấu cho tam thức bậc hai, học sinh đã quen với thuật ngữ
“trong trái ngoài cùng” . Nghĩa là: Khu vực bên trong hai nghiệm thì biểu thức trái
dấu a , khu vực ngoài hai nghiệm thì biểu thức cùng dấu a . Tuy nhiên nếu đạo hàm
không có dạng bậc hai, thì thuật ngữ “trong trái ngoài cùng” sẽ không thể áp dụng. Vậy
có quy tắc nào chung cho việc xét dấu mọi bài toán?
Quy tắc chung để xét dấu đạo hàm:
o Để xét dấu đạo hàm y′ trên một khoảng (α;β) nào đó, ta chọn một giá trị x ∈(α;β) 0
rồi thay vào y′, từ đó suy ra được dấu của y′ trên (α;β ) .
o Với quy tắc này, mọi hàm số có đạo hàm phức tạp ta đều có thể được xét dấu chính xác
sau khi ta tìm được nghiệm của đạo hàm.
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 2
3 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 1. Cho hàm số 3 2
y = x + 3x − 9x +15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3 − ; )
1 . B. Hàm số đồng biến trên ( 9; − 5 − ) .
C. Hàm số đồng biến trên .
D. Hàm số đồng biến trên (5;+∞) . Lời giải:
Tập xác định: D = . x =1 Ta có 2
y′ = 3x + 6x − 9 ; y′ = 0 ⇔ . x = 3 − Bảng biến thiên: x −∞ 3 − 1 +∞ y′ + 0 − 0 + 42 +∞ y −∞ 10
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: ( ; −∞ 3
− ), (1;+∞). Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3 − ; ) 1 . Ch
oïn→ C
Ví dụ 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số 4 2
y = −x + 2x − 4 là A. ( 1; − 0) và (1;+∞). B. ( ;
−∞ 1) và (1;+∞). C. ( 1; − 0) và (0;1). D. ( ; −∞ 1) − và (0;1). Lời giải:
Tập xác định: D = . x = 0 Ta có: 3 y′ = 4x − + 4x ; y′ = 0 ⇔ . x = 1 ± Bảng biến thiên: x −∞ 1 − 0 1 +∞ y′ + 0 − 0 + 0 − 3 − 3 − y −∞ 4 − −∞
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: ( ; −∞ − ) 1 , (0; )
1 . Hàm số nghịch biến trên các khoảng: ( 1; − 0), (1;+∞). Ch
oïn→ A
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 3
4 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 3. Chọn mệnh đề đúng về hàm số 2x −1 y = . x + 2
A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
B. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó. Lời giải:
Tập xác định: D = \{− } 2 . 5 Ta có: y′ = > 0, x ∀ ≠ 2
− . Nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. (x + 2)2
Bảng biến thiên: x −∞ 2 − +∞ y′ + + +∞ 2 y 2 −∞ Ch
oïn→ C
Ví dụ 4. Cho hàm số 2
y = 3x − x . Hàm số đồng biến trên khoảng nào? A. 3 0; . B. ( 0;3 ) . C. 3 ;3 . D. 3 ; −∞ . 2 2 2 Lời giải:
Tập xác định: D = [0; ] 3 . ( 2 3x x )′ − 3− 2x Ta có: y′ = = ; 3
y′ = 0 ⇔ x = (nhận). 2 2 2 3x − x 2 3x − x 2 Bảng biến thiên: x 0 3 3 2 y′ + 0 − 3 y 2 0 0
Kết luận: Hàm số đồng biến trên 3 0; , nghịch biến trên 3 ;3 . Ch
oïn→ A 2 2
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 4
5 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 5. Cho hàm số y = x + 3+ 2 2 − x . Khẳng định nào sau đây là khẳng đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ 2) − −
và nghịch biến trên khoảng ( 2;2).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;
−∞ 1) và nghịch biến trên khoảng (1;2).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ 2) − −
và đồng biến trên khoảng ( 2;2).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;
−∞ 1) và đồng biến trên khoảng (1;2) . Lời giải:
Tập xác định: D = ( ;2 −∞ ]. − x − Đạo hàm: 1 2 1 y′ =1− =
; y′ = 0 ⇔ 2 − x =1 ⇔ x =1⇒ y = 6. 2 − x 2 − x Bảng biến thiên: x −∞ 1 2 +∞ y′ + − 6 y 5 −∞
Vậy ta hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ) ;1
−∞ và nghịch biến trên khoảng (1;2) . Ch
oïn→ B
Ví dụ 6. Cho hàm số x 2
y = + sin x, với x∈[0;π ]. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2
A. Hàm số đồng biến trên [0;π ].
B. Hàm số nghịch biến trên [0;π ].
C. Hàm số nghịch biến trên 7π π π 0; .
D. Hàm số nghịch biến trên 7 11 ; . 12 12 12 Lời giải:
Tập xác định: D = ( ;2 −∞ ]. Đạo hàm: 1 1
y′ = + 2sin xcos x = + sin 2x ; 1
y′ = 0 ⇔ sin 2x = − . 2 2 2 π 2 π π x = − + k2π x = − + kπ 11 x = 6 12 x∈[0;π ] 12 ⇔ ⇔ (k ∈) . Do ⇒ . 7π 7π ∈ π 2x = + k2π x = + kπ k 7 x = 6 12 12
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 5
6 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bảng biến thiên: 7π x 0 π 12 11π 12 y′ + 0 − 0 + y π π
Ta thấy mệnh đề đúng là: Hàm số đã cho nghịch biến trên 7 11 ; Choïn
. → D 12 12 Ví dụ 7. Hàm số 2
y = 2x − 3x − 5 đồng biến trên khoảng nào ? A. ( ; −∞ − ) 1 và 3 5 ; B. 5 1; − . 4 2 2 C. 5 ; −∞ . D. 3 1; − và 5 ;+∞ . 2 4 2 Lời giải:
Tập xác định: D = ( ;2 −∞ ]. 2 u ′ ′ 2 ′ 2 . u u′ . u u′
(2x −3x−5)(4x−3)
Áp dụng công thức ( u ) = ( 2 u ) ( ) = = = , ta có: y′ = . 2 2 u 2 u u 2
2 2x − 3x − 5 3 1 − ≤ x ≤ ( 4 3 2 − − )( − ) ≥ 1 2 3 5 4 3 0 − < x x x x ≤ Xét ′ 5 4 y ≥ 0 ⇔ ⇔ x ≥ ⇔ . 2
2x − 3x − 5 ≠ 0 2 5 x > 5 2 x ≠ 1 − ∧ x ≠ 2
Ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng: 3 1; − và 5 ;+∞ . Ch
oïn→ D 4 2
Bài toán 2: Xét dấu đạo hàm cho sẵn để kết luận về tính đơn điệu hàm số
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN LƯU Ý:
Cho hàm số f x, gx cùng có đạo hàm trên tập D. Khi đó: k. f ′
(x) ′ = k.f ′
(x) với k là hằng số f
( x) ± g ( x) = f ′
(x)± g′(x) f (x) ′
f ′(x).g (x) − f (x).g′(x) f
( x).g ( x) ′ = f ′
(x).g (x)+ f (x).g′(x) = g ( x) g ( x) 2
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 6
7 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ f Thay x bôûi u (u) ′
= u .′ f ′ (u)
y = f (x) y = f (u)
Ví dụ 8. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên là f ′(x) 2 = x (x − )
1 . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng: A. (1;+∞). B. ( ; −∞ +∞) . C. (0; ) 1 . D. ( ) ;1 −∞ . Lời giải:
Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu: x = 0
Ta có f '( x) 2
= 0 ⇔ x (x − ) 1 = 0 ⇔ . x =1 Bảng biến thiên: x −∞ 0 1 +∞ y′ − 0 − 0 + +∞ +∞ y
Ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞) . Ch
oïn→ A
Cách 2: Giải bất phương trình (cách này thuận lợi hơn trong trắc nghiệm).
Ta có: f ( x) 2 ' = x (x − )
1 ≥ 0 ⇔ x −1≥ 0 (do 2 x ≥ 0, x
∀ ∈ ) ⇔ x ≥1.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞) .
Ví dụ 9. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đạo hàm f ′(x) = (x + )(x − )2018 (x − )2019 2 1 2 .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm x =1 và đạt cực tiểu tại các điểm x = 2 ± .
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoả
ng (1;2) và (2;+ ∞) .
C. Hàm số có ba điểm cực trị.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; − 2) . Lời giải:
Ta có f ′( x) = ( x + )( x − )2018 ( x − )2019 = ( x + )( x − )2018 ( x − )2018 2 1 2 2 1 2 (x − 2) = ( 2
x − 4)(x − )2018 1 (x − 2)2018.
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 7
8 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ( x − )2018 1 ≥ 0
Xét f ′( x) ≥ ⇔ ( 2
x − )(x − )2018 (x − )2018 2 0 4 1 2
≥ 0 ⇔ x − 4 ≥ 0 (do , x ∀ ∈ ) ( x − 2 )2018 ≥ 0 x ≤ 2 − ⇔
. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 2
− ), (2;+∞) ; hàm số nghịch biến trên x ≥ 2 khoảng ( 2; − 2). Ch
oïn→ D
Ví dụ 10. Cho y = f (x) có đạo hàm f (x) 2 '
= −x + 5x − 6, x
∀ ∈ . Hàm số y = 5
− f (x) nghịch biến trên khoảng nào? A. ( ;2
−∞ ) và (3;+∞) . B. (3;+∞) . C. (2;+∞) . D. (2;3). Lời giải:
Đặt g ( x) = 5
− f (x), x
∀ ∈ . Ta có g′(x) = 5
− f ′(x) mà f (x) 2 '
= −x + 5x − 6, x ∀ ∈ nên
g′(x) = − ( 2 −x + x − ) 2 5 5
6 = 5x − 25x + 30 ;
Xét g′( x) 2
≤ 0 ⇔ 5x − 25x + 30 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3. Do đó hàm số g (x) nghịch biến trên (2;3). Ch
oïn→ D
Ví dụ 11. Cho hàm số y = f (x) 2
có đạo hàm f ′(x) = (3− x)(x − ) 1 + 2x, x ∀ ∈ . Hỏi hàm số
g (x) = f (x) 2
− x −1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây ? A. (3;+ ∞). B. (−∞ ) ;1 . C. (1;2). D. ( 1; − 0) . Lời giải:
Ta có: g′( x) = f ′( x) − x = ( − x)( 2
x − ) + x − x = ( − x)( 2 2 3 1 2 2 3 x − ) 1 ; ′( ) x =
f x = 0 ⇔ (3− x)( 3 2 x − ) 1 = 0 ⇔ . x = 1 ± Bảng biến thiên: x −∞ 1 − 1 3 +∞ y′ + 0 − 0 + 0 − y ơ Choïn
Ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ − )
1 , (1;3) . → C
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 8
9 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 12. Cho hàm số y = f (x) xác định trên và có đạo hàm y = f '(x) thỏa mãn
f '(x) = (1− x)(x + 2) g (x) + 2021 trong đó g (x) > 0, x ∀ ∈ .
Hàm số y = f (1− x) + 2021x + 2020 nghịch biến trên khoảng nào? A. (0;3). B. ( ; −∞ 3) . C. (1;+∞). D. (3;+∞) . Lời giải:
Đặt h( x) = f (1− x) + 2021x + 2020 ⇒ h ( x) = (1− x)′ ′
. f ′(1− x) + 2021= − f ′(1− x) + 2021.
Theo đề f ′( x) = (1− x)( x + 2) g ( x) + 2021⇒ f ′(1− x) = x(3− x) g (1− x) + 2021.
Thay x bởi 1 – x
Do đó h′( x) = − x
(3 − x) g (1− x) + 2021 + 2021 = x
(x −3) g (1− x) .
Mặt khác g (x) > 0, x
∀ ∈ ⇒ g (1− x) > 0, x ∀ ∈ .
Do đó h′( x) ≤ 0 ⇔ x( x − 3) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 3. Ch
oïn→ A
Ví dụ 13. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên và f ′(x) = x(2x + )
1 .g (x) +1 trong đó
g (x) > 0, x
∀ ∈ . Hàm số y = f (2 − x) + x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 5 2; . B. ( ; −∞ ) 1 . C. 3 1; . D. (0; ) 1 . 2 2 Lời giải:
Đặt h( x) = f (2 − x) + x , suy ra h ( x) = (2 − x)′ ′
f ′(2 − x) + x′ = − f ′(2 − x) +1.
Ta có f ′( x) = x(2x + ) 1 .g (x) +1
⇒ f ′(2 − x) = (2 − x) 2
(2 − x) +1 g
(2 − x) +1 = (2 − x)(5 − 2x) g (2 − x) +1.
Do đó: h′(x) = − (2− x)(5− 2x) g (2− x)+1 +1=
(x − 2)(5− 2x) g (2− x) .
Theo đề, g ( x) > 0, x
∀ ∈ ⇒ g (2 − x) > 0, x ∀ ∈ , do đó:
h′(x) ≥ ⇔ (x − )( − x) 5 0
2 5 2 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ . 2
Vậy hàm số y = f (2 − x) + x đồng biến trên 5 2; . Ch
oïn→ A 2
Bài toán 3: Dựa vào bảng biến thiên có sẵn để kết luận về tính đơn điệu
Phương pháp chung:
o Đặt g (x) là hàm số cần xét, ta tính đạo hàm g′(x) .
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 9
10 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
o Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức để có được bảng xét
dấu cho g′(x) .
o Dựa vào bảng xét dấu của g′(x) để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức: f (x) g (x)
f (x).g (x)
f (x) : g (x)
f (x) + g (x) Chưa biết Chưa biết
Ví dụ 14. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số y = 2018. − f (x) đồng
biến trên khoảng nào dưới đây? x 1 y y 0 0 A.( ;0 −∞ ). B.(1;+∞). C.(0;+∞). D. (−∞ ) ;1 . Lời giải:
Đặt g ( x) = 2018. −
f (x) , ta có: g′(x) = 2018. − f ′(x) .
Xét g′( x) = 2018. −
f ′(x) ≥ 0 ⇔ f ′(x) ≤ 0 ⇔ x ≥1.
Vậy hàm số y = 2018. −
f (x) đồng biến trên khoảng (1;+∞). Ch
oïn→ B
Ví dụ 15. Cho hàm số f (x). Hàm số y = f (′x) có bảng xét dấu như sau: x −∞ 2 − 1 3 +∞ f (′x) − 0 + 0 + 0 −
Hàm số y = f (x2 + 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; ) 1 . B. ( 2; − − ) 1 . C. ( 2; − ) 1 . D. ( 4; − 3 − ) . Lời giải:
Đặt g ( x) = f ( 2
x + x) ⇒ g (x) = ( 2 x + x)′ ′ f ′( 2
x + x) = ( x + ) f ′( 2 2 2 . 2 2 2 . x + 2x). 2x + 2 ≥ 0 2x + 2 ≤ 0
Xét g ( x) ≤ 0 ⇔ (2x + 2). f ′( 2
x + 2x) ≤ 0 ⇔ ∨ f ′ ( (1) (2) 2 x + 2x) ≤ 0 f ′ ( 2 x + 2x) ≥ 0
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 10
11 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x ≥ 1 − x ≥ 1 − 2x 2 0 + ≥ x ∈∅ Giải (1), ta có: ⇔ + ≤ − ⇔ ⇔ ≥ . (*) f ′ ( x x x x + 2x) 2 2 2 1 2 ≤ 0 x ≤ −3 2 x 2x 3 + ≥ x ≥ 1 x ≤ 1 − x ≤ 1 2x + 2 ≤ 0 −
Giải (2), ta có: ′ . (**) (
⇔ x + x ≥ − ⇔ x∈ ⇔ − ≤ x ≤ − f x + 2x) 2 2 2 3 1 2 ≥ 0 2 x + 2x ≤ 3 3 − ≤ x ≤1
Hợp hai kết quả (*), (**), ta được: x ∈ S = [ 3 − ;− ] 1 ∪[1;+∞) . Ta thấy ( 2; − − ) 1 ⊂ S , do đó x ∀ ∈( 2; − − )
1 thì hàm số y = f (x2 + 2x) nghịch biến. Ch
oïn→ B
Giải thích (): t ≤ −
o Từ bảng biến thiên, ta dễ dàng có được: f ′(t) 2 ≤ 0 ⇔ . t ≥ 3 2 x + 2x ≤ 2 − o Thay t bởi 2 x + 2x , ta có: 2
f ′ x + 2x ≤ 0 t ⇔ . 2 t x + 2x ≥ 3 t
Ví dụ 16. Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau x 4 1 2 4 f ( ) x 0 0 0 0 Hàm số 2 2
y = f (2x +1) + x −8x + 5 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? 3 A. ( 1; − 7) . B. (1;+ ∞) . C. 1 1; − .
D. (−∞;− 2) . 2 Lời giải: 2 4 2
Đặt g ( x) 2
= f (2x +1) + x −8x + 5 ⇒ g′(x) = 2 f (′2x +1) + x −8 = 2 f (′2x +1) + x − 4 . 3 3 3 5 1 5 ≤ − 4 − ≤ 2 +1≤ 2 − ≤ x x ≤ x Xét 2 2
f (′2x +1) ≤ 0 ⇔ ⇔ 2
; do đó f (′2x +1) ≥ 0 ⇔ . 2x +1 ≥ 4 3 x ≥ 1 3 ≤ x ≤ 2 2 2
Xét 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 6. 3
Ta có bảng xét dấu tạm thời như sau:
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 11
12 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x 5 1 3 6 2 2 2 f (′2x +1) 0 0 0 2 x4 0 3 2 Chưa Chưa Chưa
f (′2x +1) + x − 4 biết biết biết 3 dấu dấu dấu
Từ bảng trên, ta thấy hàm số g ( x) chắc chắn nghịch biến trên các khoảng: 5 1 3 − ; , ;6 . 2 2 2
Do đó chỉ có đáp án C thỏa mãn vì 1 5 1 1; ; − ⊂ − . Ch
oïn→ C 2 2 2
Đúc kết: Qua bài trên, ta thấy việc xét dấu tổng, hiệu các biểu thức vốn là bài toán không quen
thuộc của đa số học sinh (các em chỉ quen xét dấu tích, thương các đa thức mà thôi). Vì vậy, ta cần
rút ra thuật toán cho loại toán này.
Bài toán: Xét dấu g′(x) = k. f ′(x) + h(x) khi đã biết bảng xét dấu của f ′(x) , k là hằng số.
o Cho h(x) = 0 để tìm các nghiệm x , x ...(nếu có). 1 2
o Lập bảng xét dấu với mỗi hàng lần lượt dành cho x, k. f ′(x), h(x), kf ′(x) + h(x) theo quy
tắc: Tổng hai số dương là một số dương, tổng hai số âm là một số âm, tổng hai số trái dấu thì
chưa xác định được dấu.
Ví dụ 17. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau x 1 1 2 5 f ( ) x 0 0 0 0
Hàm số y = f (−x + ) 3 2 3
2 + x + 3x −9x + 2018 nghịch biến trên khoảng nào dưới đấy? 3 A. 3 ; −∞ − . B. 3 0; . C. (2;+∞) . D. − ;1 . 2 2 2 Lời giải:
Đặt g ( x) = f (−x + ) 3 2 3
2 + x + 3x − 9x + 2018; đạo hàm: g′(x) = − f ′(−x + ) 2 3
2 + 3x + 6x − 9 . − ≤ −x + ≤ − ≤ −x ≤ − ≥ x ≥
Xét − f ′(−x + ) ≥ ⇔ f ′(−x + ) 1 2 1 3 1 3 1 3 2 0 2 ≤ 0 ⇔ ⇔ ⇔ . x 2 5 x 3 − + ≥ − ≥ x ≤ 3 − − ≤ x ≤
Do đó − f ′(−x + ) 3 1 3 2 ≤ 0 ⇔ . x ≥ 3 x =1 Xét 2
3x + 6x − 9 = 0 ⇔ . x = 3 −
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 12
13 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bảng xét dấu tạm thời như sau: x 3 1 3 3
− f ′(−x + 2) 0 0 0 2 3x + 6x − 9 0 0 3
− f ′(−x + 2) Chưa + g′( x) 0 0 biết 2
3x + 6x − 9 dấu 3
Ta thấy hàm số g ( x) chắc chắn nghịch biến trên ( 3 − ; ) 1 mà − ;1 ⊂ ( 3 − )
;1 nên hàm g (x) 2
nghịch biến trên 3 ;1 − . Ch
oïn→ D 2 Dạng toán 2
Tìm tham số thỏa mãn tính đơn điệu của hàm số
Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d đơn điệu trên . Phương pháp:
o Bước 1: Tập xác định: D = .
o Bước 2: Đạo hàm 2
y′ = 3ax + 2bx + c .
o Bước 3: Điều kiện đơn điệu (khi a ≠ 0 ). a > y 0
Hàm số đồng biến trên ⇔ y′ ≥ 0, x ′ ∀ ∈ ⇔ Giaûi tìm . m ∆ ≤ y′ 0 a < y 0
Hàm số nghịch biến trên ⇔ y′ ≤ 0, x ′ ∀ ∈ ⇔ Giaûi tìm . m ∆ ≤ y′ 0
Lưu ý: Nếu hàm bậc ba 3 2
y = ax + bx + cx + d có a chứa tham số thì ta cần xét a = 0 để kiểm tra
xem hàm số có đơn điệu trên hay không. +
Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số ax b y =
( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) đơn điệu trên mỗi
cx + d
khoảng xác định của nó. Phương pháp: o Tập xác định: \ d D = − . c o Đạo hàm: ad − bc y′ = . 2 (cx + d)
o Điều kiện đơn điệu: Giaûi tìm
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ > 0, x
∀ ∈ D ⇔ ad − bc > 0 m.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ < 0, x
∀ ∈ D ⇔ ad − bc < 0 Giaûi tìm m .
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 13
14 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ +
Lưu ý: Nếu hàm số ax b y =
có c chứa tham số thì ta nên xét c = 0 để kiểm tra xem hàm số có cx + d
đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó hay không. 2
ax + bx + c
Bài toán 3: Tìm tham số m để hàm số y =
(ad ≠ 0 ) đơn điệu trên mỗi khoảng
dx + e
xác định của nó. Phương pháp: o Tập xác định: \ e D = − . d 2 a b a c b c o Đạo hàm:
Ax + Bx + C y′ = với A = ≠ 0 , B = 2 , C = . 2 (dx + e) 0 d 0 e d e
o Điều kiện đơn điệu:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ ≥ 0, x ∀ ∈ D A > 0 2
⇔ Ax + Bx + C ≥ 0, x ∀ ∈ ⇔ Giaûi tìm m . ∆ ≤ 0
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ < 0, x ∀ ∈ D A < 0 2
⇔ Ax + Bx + C ≤ 0, x ∀ ∈ ⇔ Giaûi tìm m . ∆ ≤ 0 Lưu ý: 2 + +
Nếu gặp câu hỏi tương tự dành cho hàm số ax bx c y =
thì ta cũng làm theo phương 2
dx + ex + f pháp nêu trên.
Một điều khác nhau mà học sinh cần phân biệt giữa bài toán 2, bài toán 3 là: Đối với bài
toán 2, đạo hàm y′chỉ lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 chứ không được cho y′ ≥ 0, y′ ≤ 0. Lý do
là nếu ta cho y′ = 0 thì sẽ có vô số giá trị x thỏa mãn (mà định nghĩa nêu rõ y′ = 0 tại một
số hữu hạn điểm x mà thôi).
Ví dụ 18. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số 1 3 2
y = x − mx + (8 − 2m) x + m + 3 đồng biến 3 trên . A. m = 2 . B. m = 2 − . C. m = 4 . D. m = 4 − . Lời giải: Ta có 2
y′ = x − 2mx + (8 − 2m) . Nhận thấy a =1 ≠ 0 . a > 0 1 ≥ 0
Hàm số đồng biến trên ⇔ y′ ≥ 0, x ∀ ∈ ⇔ ⇔ ⇔ 4 − ≤ m ≤ 2. 2 ∆′ ≤ 0
m − 8 + 2m ≤ 0
Ta thấy m = 2 thỏa mãn đề bài. Ch
oïn→ A
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 14
15 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 19. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = (m − ) 3 x + (m − ) 2 1 1 x − (2m + ) 1 x + 5 nghịch
biến trên tập xác định. A. 5 − ≤ m ≤1. B. 2 − ≤ m <1. C. 7 − ≤ m <1. D. 2 − ≤ m ≤1. 4 7 2 7 Lời giải:
Ta có: y′ = (m − ) 2 3 1 x + 2(m − ) 1 x − (2m + ) 1 .
Xét m −1 = 0 ⇔ m = 1, ta có: y′ = 3 − < 0, x
∀ ∈ nên hàm số đã cho nghịch biến trên . Do đó m =1 thỏa mãn. (*)
Xét m −1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1. Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi: m −1 < 0 m <1 2 . (**) ∆′ = ( ⇔ ⇔ − ≤ < m − ) m 1 2 1 + 3(m − ) 1 (2m + ) 2 1 ≤ 0
7m − 5m − 2 ≤ 0 7
Hợp các kết quả của (*) và (**), ta có 2
− ≤ m ≤1 thỏa mãn đề bài. Ch
oïn→ D 7
Nhận xét: Hai ví dụ trên có sự khác nhau về lời giải bởi một trường hợp thì a luôn khác 0; trường
hợp còn lại thì a chứa tham số m, khi đó ta phải xét thêm a = 0 để kiểm tra xem đạo hàm có luôn mang
một dấu thỏa mãn đề bài không. 2
Ví dụ 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x + m y = đồng biến trên từng x + 4
khoảng xác định của nó? A. 5. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải: 2 4 − m
Tập xác định: D = \{− } 4 . Đạo hàm: y′ = . (x + 4)2
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y′ > 0, x ∀ ≠ 4 − 2 2
⇔ 4 − m > 0 ⇔ m < 4 ⇔ m∈( 2;
− 2) . Vì m∈ ⇒ m∈{ 1; − 0; } 1 .
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn. Ch
oïn→ C
Ví dụ 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 9x + m y = nghịch biến trên từng mx +1
khoảng xác định của nó? A. 5. B. Vô số. C. 7 . D. 3. Lời giải:
Nhận thấy c = m chưa chắc khác 0 nên ta xét c = m = 0 trước. Khi đó y = 9x có y′ = 9 > 0
(không thỏa mãn đề bài).
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 15
16 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 9 − m
Xét c = m ≠ 0 , ta có y′ =
. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định (mx + )2 1 1 m < 3 − 2
⇔ y′ < 0, x ∀ ≠ − ⇔ 9 − m < 0 ⇔
. Vì m nguyên nên có vô số giá trị m thỏa mãn đề m m > 3 bài. Ch
oïn→ B 2 x + (m + ) 1 x −1
Ví dụ 22. Hàm số y =
( m là tham số) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó 2 − x
khi các giá trị của m là A. m ≥1. B. m = 1 − . C. 5 m ≤ − . D. 1 − < m <1. 2 Lời giải: 2
−x + 4x + 2m +1 g (x)
Tập xác định: D = \{ } 2 . Đạo hàm: y′ = = . (2− x)2 (2− x)2
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y′ ≤ 0, x ∀ ∈ D
(Dấu " = "chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên D ) ⇔ g (x) 2
= −x + 4x + 2m +1≤ 0, x ∀ ∈ D ⇔ ∆′ ≤ ⇔ − −
m + ≤ ⇔ m + ≤ ⇔ m ≤ − . Ch
oïn→ C g ( ) ( ) 5 0 4 1 . 2 1 0 2 5 0 2
Bài toán 4: Tìm tham số m để hàm số lượng giác đơn điệu trên . Phương pháp:
Cách giải 1: Cô lập m về một vế.
o Tính đạo hàm y′ = f ′(x), cho y′ = f ′(x) ≥ 0 nếu đề bài yêu cầu hàm số đồng biến trên .
Ngược lại: y′ = f ′(x) ≤ 0 nếu đề bài yêu cầu hàm số nghịch biến trên .
o Cô lập m để có được dạng g (m) ≥ h(x) (hoặc g (m) > h(x); g (m) ≤ h(x); g (m) < h(x) ).
o Tìm Max-Min cho hàm số h(x) trên .
(Hoặc lập bảng biến thiên cho hàm h( x) ).
o Dựa vào giá trị Max-Min hoặc bảng biến thiên để kết luận về điều kiện của m.
Cách giải 2: Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất
o Đặt t = sin x (hoặc t = cos x ) với điều kiện t ∈[ 1; − ] 1 . .1 a + b ≥ 0
o Bất phương trình: asin x + b ≥ 0, x
∀ ∈ ⇔ at + b ≥ 0, t ∀ ∈[ 1 − ] ;1 ⇔ . − + ≥ = . a 1 b 0 t sin x ( ) .1 a + b < 0
o Hoàn toàn tương tự: acos x + b < 0, x
∀ ∈ ⇔ at + b < 0, t ∀ ∈[ 1; − ] 1 ⇔ . − + < = . a 1 b 0 t cos x ( )
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 16
17 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Nhận xét: Ý tưởng của cách giải 2 là tận dụng tính chất của hàm số y = ax + b . Vì đạo hàm của
nó không đổi dấu trên [α;β ] bất kì nên chỉ cần y(α) ≥ 0, y(β) ≥ 0 thì y ≥ 0, x ∀ ∈[α;β ]; tương y(α ) < 0 . aα + b < 0
tự như thế: y = ax + b < 0, x ∀ ∈(α;β ) ⇔ ⇔ y (β ) . < 0 . a β + b < 0
Ví dụ 23. Tìm tất cả các giá trị của m∈ để hàm số y = sin x + cosx + mx đồng biến trên .
A. − 2 ≤ m ≤ 2 . B. − 2 < m < 2 . C. m ≥ 2 . D. m ≥ 2 . Lời giải:
Ta có: y′ = cosx − sinx + m .
Hàm đồng biến trên ⇔ y′ ≥ 0, x
∀ ∈ ⇔ cosx −sinx + m ≥ 0, x ∀ ∈ π
m sinx cosx, x m 2 sin x ≥ − ∀ ∈ ⇔ ≥ − , x ∀ ∈ . (*) 4 π
Ta thấy giá trị lớn nhất của 2 sin x −
bằng 2 nên (*) ⇔ m ≥ 2. Ch
oïn→ C 4 Ghi nhớ:
o Giả sử hàm g (x) tồn tại Max-Min trên . Ta có:
m ≥ g (x), x
∀ ∈ ⇔ m ≥ Max g (x)
m > g (x), x
∀ ∈ ⇔ m > Max g (x)
m ≤ g (x), x
∀ ∈ ⇔ m ≤ Min g (x)
m < g (x), x
∀ ∈ ⇔ m < Min g (x)
o Nếu hàm g (x) không tồn tại Max-Min trên , tuy nhiên thông qua bảng biến thiên ta tìm
được điều kiện bị chặn: M < g x < M , khi đó: 1 ( ) 2
m ≥ g (x), x
∀ ∈ ⇔ m ≥ M
m > g (x), x
∀ ∈ ⇔ m ≥ M 2 2
m ≤ g (x), x
∀ ∈ ⇔ m ≤ M
m < g (x), x
∀ ∈ ⇔ m ≤ M 1 1
Ví dụ 24. Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số y = 3sin 2x + cos2x −(2m − )
1 x + 2021 đồng biến trên tập xác định . A. 5 m ≤ . B. 5 m < . C. 5 m ≥ . D. 3 m ≤ − . 2 2 2 2 Lời giải:
Ta có: y′ = 2 3 sin 2x − 2cos 2x − (2m − )
1 . Hàm số đồng biến trên ⇔ y′ ≥ 0, x ∀ ∈
⇔ 2 3 sin 2x − 2cos 2x − (2m − ) 1 ≥ 0, x ∀ ∈ 3 1 π 2m 1 4 sin 2x cos 2x, x 2m 1 4sin 2x ⇔ − ≤ − ∀ ∈ ⇔ − ≤ − , x ∀ ∈ (*) 2 2 6
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 17
18 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ π
Ta thấy giá trị nhỏ nhất của 4sin 2x − bằng 4 − nên 3 (*) ⇔ 2m −1≤ 4 − ⇔ m ≤ − . 6 2 Ch
oïn→ D
Ví dụ 25. Cho hàm số y = (2m +1)sin x + (3− m)x . Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số đã cho đồng biến trên . A. 1 m = − . B. 1 2 m ; ∈ − . C. 2 m ∈ 4; − . D. 1 m ∈ 4; − − . 2 2 3 3 2 Lời giải:
Đạo hàm: y′ = (2m +1)cos x + 3 − m .
Hàm số đồng biến trên ⇔ y′ ≥ 0, x
∀ ∈ ⇔ (2m +1)cos x + 3− m ≥ 0, x ∀ ∈ (*)
Đặt t = cos x, t ∈[ 1; − ]
1 . (*) được viết lại: (2m +1)t + 3− m ≥ 0, t ∀ ∈[ 1; − ] 1 g (t) 2 g( 1) − ≥ 0 2
− m −1+ 3− m ≥ 0 m ≤ ⇔ ⇔ ⇔ 3 . Vậy 2 m ∈ 4; − thỏa mãn đề bài. g(1) ≥ 0
2m +1+ 3 − m ≥ 0 3 m ≥ 4 − Ch
oïn→ C
ax + b
Bài toán 5: Tìm tham số m để hàm số nhất biến y =
(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) đơn điệu trên
cx + d
một khoảng K cho trước (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng). Phương pháp:
o Bước 1: Tập xác định: \ d D = − . c
o Bước 2: Đạo hàm ad − bc y′ = . 2 (cx + d)
o Bước 3: Điều kiện đơn điệu: y′ > 0
ad − bc > 0
Hàm số đồng biến trên K ⇔ d ⇔ Giaûi tìm m . ≠ − , d x x ∀ ∈ K − ∉ K c c y′ < 0
ad − bc < 0
Hàm số nghịch biến trên K ⇔ d ⇔ Giaûi tìm m . ≠ − , d x x ∀ ∈ K − ∉ K c c
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 18
19 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
a.u( x) + b
Mở rộng Bài toán 5: Tìm tham số m để hàm số y =
c ≠ ad − bc ≠ đơn điệu
c.u( x) ( 0, 0) + d
trên khoảng K cho trước.
Cách tính nhanh đạo hàm loại này
Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai
vế phải của (1) và (2).
Đặt t = u (x) ⇒ t′ = u′(x) (1) ad − bc y′ = .u′ x + − 2 ( ) ( ) at b = ⇒ ′( ) ad bc f t f t = (2) .
c u (x) + d ct + d (ct + d )2
Nếu học sinh thực hiện cách tính như trên vài lần thì những bài sau đó các em có thể nhẩm
được đạo hàm rất nhanh chóng và chính xác.
(m + )1cos x − m
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y =
. Ta thực hiện như bảng sau: 2cos x + m
Đạo hàm của hàm số đã
cho là tích hai vế phải của (1) và (2).
Đặt t = cos x ⇒ t′ = −sin x (1) 2 m + 3m 2
m +1 t − m
m m +1 − 2 −m m + 3m y′ = . −sin x 2 ( ) f (t) ( ) = ⇒ f ′(t) ( ) ( ) = = (2) 2 2 (2cos x + m) 2t + m (2t + m) (2t + m)
Ví dụ 26. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x + 6 y =
nghịch biến trên khoảng x + 5m (10;+∞)? A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5. Lời giải:
Tập xác định : D = \{ 5 − } m . 5m − 6 Ta có y′ =
. Hàm số nghịch biến trên khoảng (10;+∞) ⇔ y′ < 0, x ∀ ∈(10;+∞) (x +5m)2 6 5 m − 6 < 0 m < 6 ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ m < 5 − m∉ (10;+∞) 5 2 . 5 5 − m ≤10
Do m∈ ⇒ m∈{ 2; − 1 − ; 0; } 1 . Ch
oïn→ C
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 19
20 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 27. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số mx − 4 y =
nghịch biến trên khoảng m − x ( 3 − ; ) 1 ? A. 2 . B. 3. C. 1. D. 4 . Lời giải: 2 m − 4
Tập xác định: D = \{ } m ; y′ = . (m − x)2
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3 − ; )
1 ⇔ y′ < 0, x ∀ ∈( 3 − ; ) 1 2 − < m < 2 2 m − 4 < 0 ⇔ ⇔ m ≤ 3 − ⇔ 1 ≤ m < 2 . m ∉ ( 3 − ; ) 1 m ≥ 1
Do m ∈ nên m =1. Vậy có một giá trị m thỏa mãn đề bài. Ch
oïn→ C
Ví dụ 28. (Đề Minh họa lần 1, 2017, BGD) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số tan x − 2 y = tan x − m π đồng biến trên 0; . 4 A. m < 2.
B. m ≤ 0 hoặc 1≤ m < 2 .
C. 1≤ m < 2 . D. m ≤ 0 . Lời giải: π π
Điều kiện: tan x − m ≠ 0, x ∀ ∈ 0;
⇔ m ≠ tan x, x ∀ ∈ 0; 4 4 ≤ ⇔ m ≠ x ∀
x∈( ) ⇔ m∉( ) m 0 tan , tan 0;1 0;1 ⇔ . (*) m ≥1
Tính đạo hàm nhanh bằng phương pháp sau:
Đạo hàm của hàm số đã cho là
tích hai vế phải của (1) và (2). Đặt 1
t = tan x ⇒ t′ = (1) 2 cos x −m + 2 1 y′ = .
(tan x − m)2 2 cos x t − 2 −m + 2 + f (t) = ⇒ f ′(t) = (2) + t − m (t − m)2 π
Ta có y′ > 0, x ∀ ∈ 0;
⇒ −m + 2 > 0 ⇒ m < 2 . (**) 4 m ≤ 0 Từ (*) và (**) suy ra . Ch
oïn→ B 1 ≤ m < 2
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 20
21 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 29. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sin 2x −1 π − π y = đồng biến trên ; . sin 2x + m 12 4 A. m ≥ 1 − . B. m > 1 − . C. 1 m ≥ . D. m >1. 2 Lời giải: π − π π − π − Ta có: < x < ⇒ < 2x < 1 ⇒
< sin 2x <1. Học sinh 12 4 6 2 2
dùng đường tròn lượng giác để kiểm chứng. π − π
Điều kiện: sin 2x + m ≠ 0, x ∀ ∈ ; 12 4 1 1 1 −m ≤ − m ≥
m sin 2x, sin 2x ;1 2 ⇔ − ≠ ∀ ∈ − ⇔ ⇔ 2 (*) 2 −m ≥ 1 m ≤ 1 − Đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số đã cho là
tích hai vế phải của (1) và (2).
Đặt t = sin 2x ⇒ t′ = 2cos 2x (1) m +1 y′ = .2cos 2x t −1 m +1
(sin 2x + m)2 + f (t) = ⇒ f ′(t) = (2) t + m (t + m)2 +
Ta có: m +1 > 0 ⇒ m > 1
− (**). Từ (*) và (**) ta có 1
m ≥ thỏa mãn đề bài. 2 Ch
oïn→ C
Bài toán 6: Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn,… đơn điệu trên tập K cho trước (với
K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng). Phương pháp:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm y f ( ) x .
Bước 2: Điều kiện đơn điệu:
Hàm số đồng biến trên K y 0, x K .
Hàm số nghịch biến trên K y 0, x K . Bước 3: Cách 1:
Biến đổi theo dạng m g( ),
x x K (hoặc m g( ),
x x K ).
Lập bảng biến thiên của hàm số g( )
x với mọi x K .
Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số . m Cách 2:
Tìm nghiệm (đẹp) của phương trình y 0 (x phụ thuộc m).
Áp dụng điều kiện nghiệm cho tam thức bậc hai (bảng xét dấu đạo hàm).
Bài toán mở rộng: Tìm tham số m để hàm số 3 2
y ax bx cx d đơn điệu trên một
khoảng có độ dài p.
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 21
22 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Phương pháp:
o Bước 1: Đạo hàm 2
y 3ax 2bx c . o Bước 2:
Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài p y có hai nghiệm a 0
phân biệt x , x thỏa mãn x x p . 1 2 1 2 y p a y x x 1 x 2 y 0 + 0
Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài p y có hai nghiệm a 0
phân biệt x , x thỏa mãn x x p . 1 2 1 2 y p a y x x 1 x 2 y + 0 0 + Lưu ý:
o Dạng này không cần điều kiện a 0, 0 vì điều kiện p đã bao hàm hai ý trên. a
o Điều kiện x x p có thể được xử lý theo hai cách chính: 1 2
Một là sử dụng định lí Vi-ét: 2 2 2
x x p x 2x x x p 1 2 1 1 2 2 2 b c 2 2
(x x ) 4x x p 0 2
4 p 0 . 1 2 1 2 a a
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 22
23 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hai là tự chế công thức: b , b x x 1 2 2a 2a
b b 2 x x
(công thức này rất tiện lợi cho trắc 1 2 2a a a nghiệm).
o Các câu hỏi: “đồng biến (nghịch biến) trên khoảng có độ dài > p, ≥ p, < p, ≤ p ” ta cũng sẽ làm tương tự.
Ví dụ 30. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y = x − 6x + mx + 3 đồng biến trên khoảng (0;+∞). A. m ≤12 . B. m ≥ 0 . C. m ≤ 0 . D. m ≥12 . Lời giải: Ta có: 2
y′ = 3x −12x + m
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;+∞) khi và chỉ khi y′ ≥ 0 , x ∀ ∈(0;+∞) 2
⇔ x − x + m ≥ x ∀ ∈( +∞) 2 3 12 0, 0; ⇔ m ≥ 3
− x +12x , x ∀ ∈(0;+∞) . Xét 2 f (x) = 3
− x +12x với x > 0 .
Ta có f (′x) = 6
− x +12 ; f (′x) = 0 ⇔ x = 2 . Bảng biến thiên: x −∞ 2 +∞ f ′(x) + 0 − 12 f (x) −∞ −∞
Dựa vào bảng biến thiên, ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m ≥ 12 . Ch
oïn→ D
Ví dụ 31. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 4
y = x − (m − ) 2 2
1 x + m − 2 đồng biến trên khoảng (1;5) là: A. m < 2.
B. 1< m < 2 . C. m ≤ 2.
D. 1≤ m ≤ 2 . Lời giải: 3
y′ = x − m − x = x( 2 4 4( 1) 4 x − m + ) 1 .
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 23
24 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1;5) khi và chỉ khi y′ ≥ 0 , x ∀ ∈(1;5)
⇔ x( 2x − m + ) 2 2 4 1 ≥ 0, x
∀ ∈(1;5) ⇔ x − m +1≥ 0, x
∀ ∈(1;5) ⇔ m ≤ x +1, x ∀ ∈(1;5) . + Xét 2
f (x) = x +1 với 1< x < 5 . Ta có: f (′x) = 2x = 0 ⇒ x = 0 (loại). Bảng biến thiên: x −∞ 1 5 +∞ f ′(x) + 26 f (x) 2
Do đó giá trị m thỏa mãn yêu cầu của bài toán là m ≤ 2 . Ch
oïn→ C 3
Ví dụ 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số mx 2 y
7mx 14xm 2 3
nghịch biến trên nửa khoảng 1;? A. 14 ; − ∞ − . B. 14 − ;+ ∞ . C. 14 2; . D. 14 ; . 15 15 15 15 Lời giải: Ta có 2
y′ = mx +14mx +14 . Điều kiện đề bài tương đương với tìm m để: 2
y′ = mx + mx + ≤ x ∀ ∈[ + ∞) 2 14 14 0, 1;
⇔ m x +14x ≤ 14 − , x ∀ ∈[1;+ ∞) + 14 ⇔ m ≤ − , x
∀ ∈ 1;+ ∞ . Đến đây, ta có hai cách đánh giá hàm số vế phải. 2 [ ) x +14x + Cách 1: 2 x ≥1 Ta có: , x ∀ ∈[1;+ ∞) 2
⇒ x +14x ≥15, x ∀ ∈[1;+ ∞) 14 x ≥14 14 14 14 14 ⇒ ≤ , x ∀ ∈ 1;+ ∞ ⇒ − ≥ − , x ∀ ∈ 1;+ ∞ . 2 [ ) 2 [ ) x +14x 15 x +14x 15 14 14 Khi đó: m ≤ − , x
∀ ∈ 1;+ ∞ ⇔ m ≤ − . Ch
oïn→ D 2 [ ) x +14x 15 Cách 2: 14 28 x + 7
Xét hàm g ( x) = − có g′(x) ( ) = > 0, x ∀ ≥ 1. 2 x +14x 2 x (x +14)2
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 24
25 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 14 14 14
Vậy g ( x) ≥ g ( ) 1 = − , x
∀ ∈[1;+∞). Vậy m ≤ − , x
∀ ∈ 1;+ ∞ ⇔ m ≤ − . 2 [ ) 15 x +14x 15 Ví dụ 33. Hàm số 4 π 3 2
y sin 2x 2cos 2x 2
m 3msin 2x1 nghịch biến trên khoảng 0; khi 3 4 và chỉ khi: A. 3 5 m hoặc 3 5 m .
B. m 3 hoặc m 0. 2 2 C. 3 m 0. D. 3 5 3 5 m . 2 2 Lời giải: 4 Ta có : 3
y sin 2x 2 2 1sin 2x 2
m 3msin 2x1. 3 4 π
Đặt t = sin 2x , ta có 3 2
y = t − 2t − ( 2
m + 3m)t +1. Với x∈0; thì t ∈(0; ) 1 . 3 4 π 4
Hàm số nghịch biến trên 0; khi và chỉ khi hàm số 3 2
y = t − 2t − ( 2
m + 3m)t +1 4 3
nghịch biến trên khoảng (0; ) 1 2
⇔ y′ = t − t − ( 2 4 4
m + 3m) ≤ 0, t ∀ ∈(0; ) 1 2 2
⇔ 4t − 4t ≤ m + 3 , m t ∀ ∈(0 ) ;1 .
Xét hàm g (t) 2
= 4t − 4t, t ∈(0 )
;1 .Ta có: g′(t) 1
= 8t − 4 = 0 ⇒ t = (nhận). 2 Bảng biến thiên: x −∞ 0 1 1 +∞ 2 g′(t) − 0 + 0 0 g (t) 1 − m 3
Dựa vào bảng trên, ta có: 2
m 3m 0 Choïn
. → B m 0
Nhận xét: Trong cả ba ví dụ trên, ta đều cô lập được m về một vế khi xét dấu đạo hàm. Vì vậy
mà việc còn lại chỉ là khảo sát hàm số thuộc vế còn lại để đưa ra kết luận về điều kiện của m. Tuy
nhiên, trong quá trình giải toán hàm số, các em học sinh cũng sẽ gặp nhiều bài toán mà khi xét dấu
đạo hàm thì không thể cô lập được m, khi đó, ta dùng cách 2 trong mục phương pháp để xử lý. Ta xét vài ví dụ sau:
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 25
26 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng ( 1000 − ;1000) để hàm số 3
y = x − ( m + ) 2 2 3 2
1 x + 6m(m + )
1 x +1 đồng biến trên khoảng (2;+∞) ? A. 1 998. B. 1 999. C. 998. D. 1001. Lời giải: Ta có 2
y′ = 6x − 6(2m + )
1 x + 6m(m +1) x ∀ ∈(2;+∞) . Xét 2
y′ = x − ( m + ) 2 6 6 2
1 x + 6m(m +1) = 0 ⇔ x −(2m + )
1 x + m(m + ) 1 = 0 2 2
∆ = 4m + 4m +1− 4m − 4m =1 > 0; ta tìm được hai nghiệm là x = , m x = m +1 1 2 . Bảng biến thiên: x m m 1 2 y 0 0 y
Để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞) thì m +1≤ 2 ⇔ m ≤1.
Mặt khác m nguyên và thuộc( 1000 − ;1000) nên m∈{ 999 − ; 998 − ;...0;...; } 999 ⇒Số các
giá trị m là: 999 − ( 999 − )+1=1 999. Ch
oïn→ B
Mẹo nhỏ: Để tìm nghiệm đẹp trong phương trình bậc hai, bậc ba có chứa tham số, ta nhập vào máy
tính chức năng giải phương trình bậc hai, bậc ba với việc thay m =100 . Nghiệm tìm được ta sẽ liên
hệ với 100 để đưa về dạng x phụ thuộc m.
Chẳng hạn, trong bài này, ta giải: 2 x − (2m + )
1 x + m(m + ) 1 = 0 .
Nhập vào máy chức năng giải phương trình bậc hai với a =1, b = − 2. 100 +1 , c = 100 100 + 1 . m m m
Máy tính hiển thị kết quả: X =100 = ;
m X =101 =100 +1 = m +1 1 2 . Lưu ý: b − ± ∆(m)
• Nếu phương trình bậc hai, ba không cho ra nghiệm đẹp theo m, mà có dạng x = 1,2 2a
thì phương pháp tính nhanh ở trên không được sử dụng, thay vào đó ta sẽ nghĩ đến cách giải
khác (đó là các quy tắc dấu bậc hai có sử dụng Định lí Vi-ét, hoặc có thể sử dụng phương pháp đồ thị v.v…).
• Nếu m là số nguyên thuộc [ ;
a b] với a, b∈ thì số các giá trị m là: b − a +1 .
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 26
27 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 35. Tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 3
y = x − (m + ) 2 1 x + ( 2
m + 2m) x −3 nghịch biến trên khoảng ( 1; − ) 1 là: 3 A. S = . ∅ B. S = [0; ] 1 . C. S = [ 1; − 0]. D. S = {− } 1 . Lời giải: Ta có: 2
y′ = x − (m + ) 2 2 1 + m + 2m x = m + 2 2
y ' = 0 ⇔ x − 2(m + ) 2
1 x + m + 2m = 0 ⇔
(xem mục Mẹo nhỏ ở phần trên). x = m
Vì m + 2 > m , m
∀ ∈ nên ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau: x m 1 2 m 2 y 0 0 y
Qua bảng biến thiên ta nhận thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 1; − ) 1 khi và m ≤ 1 − m ≤ 1 −
chỉ khi ta có: m ≤ 1
− <1≤ m + 2 ⇔ ⇔ ⇔ m = 1 − . m + 2 ≥1 m ≥ 1 − Vậy: S = {− } 1 . Ch
oïn→ D
Ví dụ 36. Cho hàm số 3 2
y (x m) 7(x m) 5 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên
của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (2;1) . A. 2 . B. 5. C. 4 . D. 3. Lời giải: Ta có: 2
y ' 3(x m) 14(x m) (x m)(3x 3m14). 14 3m Khi đó phương trình '
y 0 có hai nghiệm phân biệt là x m 1 và x 2 3 Ta thấy: 14 − 3m 14 x = = −m +
> −m = x . Ta có bảng biến thiên sau: 2 1 3 3 x − 14 3m −∞ −m 2 − 1 +∞ 3 y′ + 0 − 0 + +∞ y −∞
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 27
28 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2
− ;1) ⇔ y′ ≤ 0, x ∀ ∈( 2 − ;1) −m ≤ 2 − m ≥ 2 11
⇔ 14 −3m ⇔ 11 ⇔ 2 ≤ m ≤ . 1≤ m ≤ 3 3 3
Do m nguyên nên m∈{2; }
3 . Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Ch
oïn→ A
Ví dụ 37. Cho hàm số 1 3
y x m 2 1 x 2 m 3m 4
x m 1. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên 3
âm của m để hàm số đã cho đồng biến trên (2;+∞) ? A. 2 . B. 3. C. 4 . D. Vô số. Bình luận: • Hàm số có đạo hàm 2
y x m 2 2
1 x m 3m . Ta có: y 0, x 2; 2
x m 2 2
1 x m 3m 0 (*), x 2; .
gx
• Với bất phương trình (*), ta không thể cô lập m về một vế, cũng không thể tìm được nghiệm đẹp
trong phương trình gx 0 . Thật may mắn rằng hệ số a không phụ thuộc m , vì vậy ta vẫn sử
dụng được bảng xét dấu tạm thời, kết hợp định lí Vi-ét để xử lý dạng toán này. Lời giải: Ta có: 2
y x m 2 2
1 x m 3m . Nhận thấy a 1 0.
Trường hợp 1: Đạo hàm không đổi dấu trên (tức là y 0, x ), khi ấy hàm số đã cho
đồng biến trên , suy ra nó cũng đồng biến trên 2;. 1 Ta có: m m m m m y 2 1 2 3 0 5 1 0 . 5
Trường hợp 2: Đạo hàm đổi dấu hai lần trên tập xác định, tức là 1 . Ta có 0 m (1) y 5
bảng xét dấu tạm thời như sau (giả sử x x 1
2 là hai nghiệm phân biệt của y 0 ). x −∞ x x 1 2 2 +∞ y′ + 0 − 0 + +∞ y −∞
Từ bảng trên, ta có: x + x b − 2 − m +1 1 2 ( ) −m −1 < 2 < 2 = < 2 2 2a 2.1 ⇔ ⇔ 2 ⇔ m > 3 − (2) m + m + 8 > 0 . y′ (2) > 2 0 2 + 2 (m + ) 2
1 .2 + m − 3m > 0 +
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 28
29 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Từ (1) và (2) suy ra 1 m . 5
Kết hợp cả hai trường hợp trên ta có được m . Mặt khác m nguyên âm nên có vô số
giá trị m thỏa mãn đề bài. Ch
oïn→ D
Ví dụ 38. Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số 3 2
y = x + (m +1)x + 4x + 7 có độ dài khoảng nghịch biến đúng bằng 4 . 3 m = 5 − m =1 m = 5 − m = 2 A. . B. . C. . D. . m = 3 m = 3 m =1 m = 4 − Lời giải: Đạo hàm 2
y′ = 3x + 2(m +1)x + 4 .
Hàm số có độ dài khoảng nghịch biến đúng bằng 2 5 ⇔ y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt a = 3 > 0 2 + − thỏa mãn 2 m 2m 11 4
x − x = 2 5 ⇔ ∆′ ⇔ = 1 2 2 4 = 3 3 a 3 m = 3 2 2
⇔ m + 2m −11 = 2 ⇔ m + 2m −15 = 0 ⇔ . Ch
oïn→ A m = 5 −
Ví dụ 39. Cho hàm số 3 2
y = −x + 3x + (m −1)x + 2m −3 . Với m thuộc khoảng nào sau đây thì hàm
số đã cho đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1? A. m∈( 2; − +∞). B. m∈( ; −∞ 2 − ). C. 5 m ; ∈ − +∞ . D. 5 m ∈ ; −∞ − . 4 4 Lời giải: Đạo hàm: 2 y′ = 3
− x + 6x + m −1.
Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 ⇔ y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt a = 3 − < 0 2 9 + 3(m −1)
thỏa x − x >1 ⇔ 2 ∆′ ⇔
>1 ⇔ 2 3m + 6 > 3 1 2 >1 3 − a 5
⇔ 4(3m + 6) > 9 ⇔ m > − . Vậy 5
m > − thỏa mãn đề bài. Ch
oïn→ C 4 4
Bài toán 7: Bài toán tham số đối với những dạng hàm số khác. Phương pháp:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm y f ( ) x .
Bước 2: Điều kiện đơn điệu:
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 29
30 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hàm số đồng biến trên K y 0, x K .
Hàm số nghịch biến trên K y 0, x K . Bước 3:
Biến đổi theo dạng m g( ),
x x K (hoặc m g( ),
x x K ).
Lập bảng biến thiên của hàm số g( )
x với mọi x K .
Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số . m
Ví dụ 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 1 4 3
y = x + mx − đồng biến 4 2x trên khoảng (0;+∞). A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải: 3 Ta có: 3
y′ = x + m + 2 2x
Hàm số đã cho đồng biến trên (0;+∞) ⇔ y′ ≥ 0, x ∀ ∈( 0;+∞) 3 3 ⇔ x + m + ≥ 0, 0; x ∀ ∈ +∞ 3 3 ⇔ x + ≥ − , m 0; x ∀ ∈ +∞ . (*) 2 ( ) 2 ( ) 2x 2x 3
Xét hàm số f ( x) 3 = x + trên (0;+∞). 2 2x 3 3( 5 x −1 2 )
Ta có: f ′(x) = 3x − =
; f ′(x) = 0 ⇔ x =1 (nhận). 3 3 x x Bảng biến thiên: x −∞ 0 1 +∞ f ′(x) − 0 + +∞ +∞ f (x) 5 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta có ( ) 5 5 * m m − ⇔ − ≤ ⇔ ≥
; ta lại có m là số nguyên âm 2 2 ⇒ m∈{ 2; − − }
1 . Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn. Ch
oïn→ A
Ví dụ 41. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 2
y = x + ( − m) 1 5 2 x − − 3 đồng biến trên x +1 ( 1; − + ∞) . A. m ∀ ∈ . B. m ≤ 6 . C. m ≥ 3 − . D. m ≤ 3 . Lời giải:
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 30
31 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1
Tập xác định: D = \{− }
1 . Ta có: y′ = 2x + 5 − 2m + . (x + )2 1
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 1;
− + ∞) khi và chỉ khi y′ ≥ 0 , x ∀ ∈( 1; − +∞) 1
⇔ 2x + 5 − 2m + ≥ 0, x ∀ ∈( 1; − + ∞) 1 ⇔ 2x + 5 + ≥ 2m , x ∀ ∈( 1; − + ∞) . (x + )2 1 (x + )2 1 1
Ta xét hàm số g ( x) = 2x + 5 + trên khoảng ( 1; − + ∞) . (x + )2 1 3 2 2
2x + 6x + 6x
Đạo hàm: g′( x) = 2 − = ; g′(x) 3 2
= 0 ⇒ 2x + 6x + 6x = 0 ⇔ x = 0. (x + )3 1 (x + )3 1 Bảng biến thiên: x −∞ 1 − 0 +∞ g′(x) − 0 + +∞ +∞ g (x) 6
Ta có 2m ≤ g ( x), x ∀ ∈( 1;
− + ∞) ⇔ 2m ≤ 6 ⇔ m ≤ 3. Ch
oïn→ A
Ví dụ 42. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau đồng biến trên : f (x) 1 2 5 1 3 2
= m x − mx +10x − ( 2
m − m − 20) x . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S 5 3 bằng 5 1 3 A. . B. 2 − . C. . D. . 2 2 2 Lời giải:
Ta có f ′( x) 2 4 2
= m x − mx + x − ( 2 20 m − m − 20) 2 = m ( 4 x − ) − m( 2 1 x − ) 1 + 20(x + ) 1 (x ) 2 m (x )( 2 1 1 x )1 m(x )1 20 = + − + − − + = ( x + ) 1 .g (x) . g(x)
Hàm số đồng biến trên ⇔ f ′( x) ≥ 0, x
∀ ∈ suy ra g (x) = 0 có nghiệm x = 1 − . m = 2 − Do đó: g ( ) 2 1 0 4m 2m 20 0 − = ⇔ − + + = ⇔ 5 . m = 2 Với m = 2
− thì f ′(x) = (x + ) (x − ) ( 2 1 4 1 x + ) 1 + 2(x − ) 1 + 20 = (x + )( 3 2
x − x + x + ) = (x + )2 ( 2 1 4 4 6 14
1 4x −8x +14).
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 31
32 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ( x + )2 1 ≥ 0 Nhận thấy: , x
∀ ∈ ⇒ f ′(x) ≥ 0 x ∀ ∈ ⇒ m = 2 − thỏa mãn. 2
4x −80x +14 > 0 5 25 5
Với m = thì f ′( x) = ( x + ) 1 (x − ) 1
( 2x + )1− (x− )1+20 2 4 2
= (x + ) 25 3 25 2 15 65 5 1 x − x + x + = (x + )2 1 ( 2 5x −10x + 13). 4 4 4 4 4 ( x + )2 1 ≥ 0 5 Nhận thấy: , x
∀ ∈ ⇒ f ′(x) ≥ 0, x
∀ ∈ ⇒ m = thỏa mãn. 2 5
x −10x +13 > 0 2 5 1
Vậy tổng các phần tử thuộc S bằng 2 − + = . Ch
oïn→ C 2 2
Ví dụ 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[ 2018 − ;2018] để hàm số 2
y = x +1 − mx −1 đồng biến trên ( ; −∞ +∞) . A. 2018 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2017 . Lời giải: x
Tập xác định: D = ; đạo hàm: y′ = − m . 2 x +1 x x Ta có: y′ = − m ≥ 0, x ∀ ∈ ⇔ m ≤ , x ∀ ∈ . (*) 2 x +1 2 x +1 x 1 lim g (x) =1
Xét hàm g ( x) = ; g′(x) = > 0, x
∀ ∈ . Mặt khác: x→+∞ . 2 x +1 2 x +1( 2 x + ) 1 lim g (x) = 1 − x→−∞ Bảng biến thiên: x −∞ +∞ g′(x) + 1 g (x) 1
Vậy (*) ⇔ m ≤ 1
− , mà m nguyên thuộc [ 2018 −
;2018] suy ra m∈{ 2018 − ; 2017 − ;...;− } 1 Do đó có tất cả: 1 − − ( 2018 −
)+1= 2018 giá trị m thỏa mãn. Ch
oïn→ A
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 32
33 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 44. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2
y = (m −3)sin x − tan x nghịch biến trên π π ; − . 2 2 A. 5. B. 1. C. 3. D. 4 . Lời giải: 1 Ta có: 2
y′ = (m − 3)cos x − . 2 cos x π π
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng − ; 2 2 2 1 π π π π (m 3)cos x 0, x 1 ; ⇔ − − ≤ ∀ ∈ − 2 ⇔ m − 3 ≤ , x ∀ ∈ − ; . 2 cos x 2 2 3 cos x 2 2 π π 1 π π
Ta biết rằng 0 < cos x ≤ 1, x ∀ ∈ − ; ⇒ ≥ 1, x ∀ ∈ − ; . 3 2 2 cos x 2 2 Do đó yêu cầu đề bài 2 ⇔ m − 3 ≤1 ⇔ 2
− ≤ m ≤ 2. Vì m nguyên nên m∈{ 2 − ; 1; − 0;1; } 2 . Ch
oïn→ A
Ví dụ 45. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số m − sin x y = nghịch biến 2 cos x trên khoảng π 0; ? 6 A.1. B.0. C.3. D.Vô số. Lời giải:
m − sin x m − sin x sin x − m Hàm số y = = = 2 2 2 cos x
1− sin x sin x −1
Đạo hàm của hàm số đã
cho là tích hai vế phải của (1) và (2).
Đặt t = sin x ⇒ t′ = cos x (1) 2 t − + 2mt −1 2 t − m t − + 2mt −1 y′ = f t = ⇒ f ′ t = (2) 2 2 − 2 ( ( ) ( ) t − ) .cos x 2 2 1 + t 1 (t − )1 π π
Hàm số nghịch biến trên 0; ⇔ y′ ≤ 0, x ∀ ∈0; ⇔ 2 1 t
− + 2mt −1≤ 0, t ∀ ∈0; . 6 6 2 a < 0 1 − < 0 ⇔ ⇔ ⇔ 1
− ≤ m ≤1. Vì m nguyên nên m∈{ 1; − 0; } 1 . 2 ∆′ ≤ 0 m −1 ≤ 0 Ch
oïn→ A
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 33
34 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 46. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số f (x) 3 2
= x − mx + 2m +1 đồng biến trên khoảng (1;2). A. 3 2
− ≤ m ≤ . B. 3 0 ≤ m ≤ .
C. 0 ≤ m ≤1 . D. 3 0 ≤ m < . 2 2 2 Lời giải: 2 u ′ ′ ′ . u u′
Tập xác định: D = .
Áp dụng công thức ( u ) = ( 2 u ) ( ) = = . 2 2 u u ( 3 2
x − mx + 2m + ) 1 ( 2 3x − 2mx)
Ta có: f ′(x) = ≥ 0, x ∀ ∈(1;2). 3 2
x − mx + 2m +1 g (x) 3 2
= x − mx + 2m +1≥ 0
Trường hợp 1: , x
∀ ∈(1;2) (*) . Do g′(x) ≥ 0 nên hàm số g′ ( x) 2
= 3x − 2mx ≥ 0
g (x) đồng biến trên (1;2) , vì vậy g (x) ≥ 0 ⇔ g ( ) 1 ≥ 0.
Từ lý luận trên, ta có: g ( ) 3 2 m ≥ 2 − m ≥ 2 1 =1 − .1 m + 2m +1≥ 0 − (*) , x (1;2) ⇔ ∀ ∈ ⇔ 3 , x ∀ ∈(1;2) ⇔ 3 . 3
x − 2m ≥ 0 m ≤ x m ≤ 2 2 g (x) 3 2
= x − mx + 2m +1≤ 0
Trường hợp 2: , x
∀ ∈(1;2) (**) . Xét giá trị x = 2 ∈ 1;2 0 ( ) g′ ( x) 2
= 3x − 2mx ≤ 0
với g ( 2) = 2 2 − 2m + 2m +1≤ 0 ⇔ 2 2 +1≤ 0 (vô lý), vì vậy trường hợp này không thể xảy ra.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ) 3 1;2 ⇔ 2 − ≤ m ≤ . Ch
oïn→ A 2
Ví dụ 47. (Chuyên Đại học Vinh – Lần 2 năm 2020) Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham
số m sao cho hàm số 4 3 2 2
y = −x + mx + 2m x + m −1 đồng biến trên (1;+∞). Tính tổng tất cả phần tử của S. A. 2 − . B. 1 − . C. 0 . D. 2 . Lời giải:
Tập xác định: D = . ( 4 3 2 2
−x + mx + 2m x + m − ) 1 ( 3 2 2 4
− x + 3mx + 4m x) Ta có: y′ = ≥ 0, x ∀ ∈(1;+∞) . 4 3 2 2
−x + mx + 2m x + m −1 4 3 2 2
g (x) = −x + mx + 2m x + m −1≥ 0
Trường hợp 1: , x ∀ ∈(1;+∞). g′ ( x) 3 2 2 = 4
− x + 3mx + 4m x ≥ 0
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 34
35 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vì lim g (x) = −∞ nên tồn tại x ∈ 1;+∞ để g (x < 0 , do đó không thể có 0 ) 0 ( ) x→+∞
g (x) ≥ 0, x
∀ ∈(1;+∞) . Vậy trường hợp 1 không thể xảy ra. g (x) 4 3 2 2
= −x + mx + 2m x + m −1≤ 0
Trường hợp 2: , x ∀ ∈(1;+∞). g′ ( x) 3 2 2 = 4
− x + 3mx + 4m x ≤ 0
Ta thấy g′(x) ≤ 0 nên hàm g (x) nghịch biến x
∀ ∈(1;+∞), khi đó g (x) ≤ 0, x ∀ ∈(1;+∞) g ( ) 3 2 2 2 1 − − 5 1 − + 5 1 ≤ 0 ⇔ 1 − + .1
m + 2m .1 + m −1≤ 0 ⇔ 2m + 2m − 2 ≤ 0 ⇔ ≤ m ≤ . 2 2 1 ≈− ,62 ≈0,62
Vì m nguyên nên m = 1 − ∨ m = 0 . • Thay m = 1
− vào g′( x) ≤ 0, x ∀ ∈(1;+∞) , ta được: 3 2 4
− x − 3x + 4x ≤ 0, x ∀ ∈(1;+∞) 2 ⇔ 4
− x − 3x + 4 ≤ 0, x
∀ ∈(1;+∞) . Điều này hoàn toàn đúng nếu ta lập bảng xét dấu cho biểu thức 2 4
− x − 3x + 4 . Do đó m = 1 − thỏa mãn.
• Thay m = 0 vào g′(x) ≤ 0, x
∀ ∈(1;+∞) , ta được: 3 4 − x ≤ 0, x
∀ ∈(1;+∞) ⇔ x ≥ 0, x
∀ ∈(1;+∞) (đúng). Do đó m = 0 thỏa mãn. Vậy S = { 1; − } 0 . Tổng các phần tử: 1 − + 0 = 1. − Ch
oïn→ B
Ví dụ 48. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đạo hàm f ′(x) 2 = x ( x − )( 2
2 x − 6x + m) với
mọi x∈ . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [ 2019 −
;2019] để hàm số g (x) = f (1− x)
nghịch biến trên khoảng (−∞;− ) 1 ? A. 2012 . B. 2009 . C. 2011. D. 2010 . Lời giải:
g′( x) = − f ′( − x) = −( − x)2 (−x − ) ( − x)2 1 1 1 1
− 6(1− x) + m
= (x − )2 (x + )( 2 1
1 x + 4x + m − 5) .
Hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng (−∞;− )
1 ⇔ g′(x) ≤ 0, ∀x < 1
− (∗) , (dấu " = " xảy
ra tại hữu hạn điểm). Với x < 1 − thì (x − )2
1 > 0 và x +1< 0 nên (∗) ⇔ 2
x + 4x + m −5 ≥ 0, ∀x < 1 − 2
⇔ m ≥ −x − 4x + 5, ∀x < 1 − .
Xét hàm số h( x) 2
= −x − 4x + 5 trên khoảng (−∞;− )1, h′(x) = 2
− x − 4 = 0 ⇒ x = 2 − . Ta có bảng biến thiên: x 2 1 h x 0 9
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 35
36 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ h x 8 [
Do đó: ⇔ m ≥ h( x), x ∀ < 1 − ⇔ m ≥ 9
Kết hợp với m thuộc đoạn [ 2019 −
;2019] và m nguyên nên m∈{9;10;11;...; } 2019 .
Vậy có 2019 − 9 +1 = 2011 số nguyên m thỏa mãn đề bài. Ch
oïn→ C
Ví dụ 49. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên là f ′(x) = (x − )
1 (x + 3) . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 10
− ;20] để hàm số y = f ( 2
x + 3x − m) đồng biến trên khoảng (0;2)? A.18 . B.17 . C.16 . D. 20 . Lời giải:
Bảng biến thiên của hàm số f ( x) : x −∞ 3 − 1 +∞ f (′x) + 0 − 0 +
Đặt g ( x) = f ( 2
x + 3x − m). Theo đề: g′(x) = ( x + ) f ′( 2 2 3
x + 3x − m) ≥ 0, x ∀ ∈(0;2) . ⇔ f ′( 2
x + 3x − m) ≥ 0, x
∀ ∈(0;2) (do 2x + 3 > 0, x ∀ ∈(0;2) ). 2
m ≥ x + 3x + 3 (1) 2
x + 3x − m ≤ 3 − ⇔ , x ∀ ∈(0;2) h(x) ⇔ , x ∀ ∈(0;2) 2 2
x + 3x − m ≥ 1
m ≤ x + 3x −1 (2) u(x)
Xét hàm h( x) 2
= x + 3x + 3 , x ∈(0;2) . Ta có: h′(x) = 2x + 3 > 0, x ∀ ∈(0;2) .
Suy ra h(x) < h(2) =13 . Do đó ( ) 1 ⇔ m ≥13.
Xét hàm u ( x) 2
= x + 3x −1, x
∀ ∈(0;2). Ta có: u′(x) = 2x + 3 > 0, x ∀ ∈(0;2).
Suy ra u (x) > u (0) = 1
− . Do đó (2) ⇔ m ≤ 1. − m ≤ 1 −
Hợp nghiệm vừa tìm được, ta có:
. Vì m nguyên thuộc đoạn [ 10 − ;20] nên m ≥13 m∈{ 10 − ; 9 − ;...−1;13;14;...; }
20 . Vậy có 18 giá trị m thỏa mãn. Ch
oïn→ A
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 36
37 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng toán 3
Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số
Bài toán 1: Đánh giá các bất đẳng thức f (x) 0, x a ;b
hoặc f(x) g x, x
a;b . Phương pháp:
Bước 0: Chuyển vế để đưa bất đẳng thức về dạng f (x) ≥ 0, x ∀ ∈[ ; a b].
Bước 1: Tính đạo hàm f (′x) và chứng minh đạo hàm chỉ mang một dấu (âm hoặc dương).
Bước 2: Vận dụng tính chất đơn điệu:
Nếu hàm f (x) đồng biến trên [ ; a b] thì x ∀ ∈[ ;
a b], 0 ≤ f (a) ≤ f (x) ≤ f (b).
Ngược lại nếu hàm f (x) nghịch biến trên [ ; a b] thì x ∀ ∈[ ;
a b], f (a) ≥ f (x) ≥ f (b) ≥ 0.
Bài toán 2: Giải phương trình dạng f (u) f (v) với u, v D . Phương pháp:
Bước 1: Nhận diện hàm đặc trưng để đưa phương trình về dạng f (u) = f (v) với u, v ∈ D .
Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng f (t) đơn điệu trên D ( f (′t) luôn âm hoặc luôn dương trên D ).
f u f v
Bước 3: Giải phương trình: ( ) ( )
u v . f ( ) t ñôn ñieäu
Bài toán 3: Giải phương trình dạng f (x) g(x) với có nghiệm duy nhất x x . 0 Phương pháp:
Bước 1: Tìm một nghiệm x = x0 của phương trình (bằng tính nhẩm hoặc nhân lượng liên hợp v.v…).
Bước 2: Tính đạo hàm f (′x) và chứng minh đạo hàm chỉ mang một dấu (tức là hàm f (x)
đơn điệu trên miền xác định).
Bước 3: Chứng minh hàm số g(x) là hàm hằng hoặc đơn điệu (ngược lại hàm f (x) ). Từ đó
khẳng định phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = x .0
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 37
38 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 50. Cho hàm y = f (x) số có f ′(x) < 0, x
∀ ∈ . Tìm tất cả các giá trị thực của x để 1 f > f (2) . x A. 1 0; . B. (−∞ ) 1 ;0 ∪ ;+∞ . 2 2 C. 1 ; −∞ . D. (−∞ ) 1 ;0 ∪0; . 2 2 Lời giải:
Ta có: f ′( x) < 0, x
∀ ∈ nên hàm số y = f (x) nghịch biến trên . 1 1 1− 2x 1 Do đó: f Choïn f (2) 2 0 x ( ;0) ; > ⇔ < ⇔ < ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞
. → D x x x 2 Ví dụ 51. Cho π x 0; ∈
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 2
A. tan x > .x
B. tan x > x +1.
C. tan x ≤ .x
D. tan x < x +1. Lời giải: π π
Xét hàm số f (x) = tan x − x, x
∀ ∈0; . Ta cần chứng minh f (x) > 0, x ∀ ∈0; . 2 2 1 π Ta có: 2 2 f (′x) =
−1 =1+ tan x −1 = tan x ⇒ f (′x) > 0, x ∀ ∈0; , do đó hàm số 2 cos x 2
f (x) đồng biến trên khoảng π 0 . 2 π π
Hơn nữa, f (0) = 0 . Vậy x ∀ ∈0;
thì f (x) > f (0) = 0. Vậy tan x − x > 0, x ∀ ∈0; . 2 2 Ch
oïn→ A Ví dụ 52. 5
Tìm tập nghiệm của bất phương trình 3 3− 2x + − 2x ≤ 6 là: 2x −1 A. . ∅ B. 3 1; . C. 3 1; . D. 1 3 ; . 2 2 2 2 Lời giải:
Xét hàm số f ( x) 5 = 3 3− 2x + − 2x với 1 3 x ∈ ; . 2x −1 2 2
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 38
39 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 3 5 1 3
Ta có: f ′( x) = − − − < x ∀ ∈ x ∈
Do đó hàm f (x) 3 2x (2x ) 2 0, ; . 1 2x 1 2 2 − − − nghịch biến trên 1 3 x ; ∈ . Ta lại có f ( ) 1 = 6. 2 2
f (x) ≤ f ( ) 1 x ≥1 5 3
Do đó: 3 3 − 2x + − 2x ≤ 6 ⇔ 1 3 ⇔ 1 3 ⇔ 1≤ x ≤ . 2x −1 < x ≤ < x ≤ 2 2 2 2 2 Vậy 3 S = 1; . Choïn
→ C 2
Ví dụ 53. Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình 6x − 4
2x + 4 − 2 2 − x ≥
là [a;b]. Khi đó 2 5 x +1
giá trị của biểu thức P = 3a − 2b bằng: A. 2 B. 4 C. 2 − D. 1 Lời giải: Điều kiện: 2 − ≤ x ≤ 2 . 6x − 4
2x + 4 − 4(2 − x) 6x − 4
Ta có: 2x + 4 − 2 2 − x ≥ ⇔ − ≥ 0 2 2 5 x +1
2x + 4 + 2 2 − x 5 x +1 ( ⇔ x − ) 1 1 6 4 − ≥ 0 2
2x + 4 + 2 2 − x 5 x +1 (6x 4) 2
5 x 1 ( 2x 4 2 2 x) ⇔ − + − + + − ≥ 0 ( ) 1
Xét hàm số f ( x) = 2x + 4 + 2 2 − x với 2 − ≤ x ≤ 2 Ta có 2 f ′(x) 1 1 2 = −
= 0 ⇔ x = − . Do đó f − = 2 6; f ( 2 − ) = 4; f (2) = 2 2 2x + 4 2 − x 3 3
Suy ra 2 2 ≤ f ( x) ≤ 2 6 < 5 mà 2 5 x +1 ≥ 5 nên 2
5 x +1 −( 2x + 4 + 2 2− x) > 0 . Vậy ( ) 2
1 ⇔ 6x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ . Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm là 2 S = ;2 3 3 Do đó: 2
a = , b = 2 suy ra P = 3a − 2b = 2 − . Ch
oïn→ C 3
Ví dụ 54. Khi giải phương trình: + 3 4x a b
x (x 1) 2x 1 0, ta tìm được nghiệm có dạng , b − a
với a, b là các số nguyên. Hãy tính 2 2 a + b . A. 2 2
a + b =13. B. 2 2
a + b = 9. C. 2 2
a + b = 41. D. 2 2 a + b = 26. Nhận xét:
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 39
40 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 t −1 Sau khi chuyển vế: 3
4x + x = (x +1) 2x +1 . Ta thử đặt t = 2x +1 ⇒ = x . 2 2 2 3 t −1 t +1 + Vế phải: = +1. = . t t VP t t = . 2 2 2 3 t + t Với mối liên hệ 3 3 3 3 3 4x + x =
⇔ 8x + 2x = t + t ⇔ (2x) + (2x) = t + t . Vậy hàm đặc 2 trưng đã xuất hiện: 3
f (t) = t + t. Thêm vào đó 2
f (′t) = 3t +1 > 0, t
∀ ∈ nên việc chọn
hàm đặc trưng như thế là đã phù hợp. Lời giải: Điều kiện: 1 x ≥ − . 2 Phương trình 3 3
4x + x = (x +1) 2x +1 ⇔ 8x + 2x = (2x + 2) 2x +1 x x ( x )2 ⇔ + = + +
x + ⇔ x + x = (*) ( x+ )3 3 3 (2 ) (2 ) 2 1 1 2 1 (2 ) (2 ) 2 1 + 2x +1 Chọn 3
f (t) = t + t với t ≥ 0 . Ta có 2
f (′t) = 3t +1 > 0, t
∀ ≥ 0 . Vậy hàm số f (t) đồng biến trên [0;+∞) .
f (2 )x f 2x 1
Phương trình (*) được viết:
2x 2x 1 f ( )
x ñoàng bieán treân 0; 2x ≥ 0 1+ 5 ⇔
Cần nhớ: Phương trình A = B ⇔ x = . 2 2x +1 = 4x 4 B ≥ 0
được giải: A = B ⇔ 2 A = B 1+ 5 a + b a = 1
Với định dạng x = = ⇒ . Do đó: 2 2 a + b = 26. 4 b − a b = 5 Ch
oïn→ D
Ví dụ 55. Cho phương trình: 3 2 3 3 3 2
2x − x + 2x − 3x +1 = 3x +1+ x + 2 . Biết rằng phương trình trên
có tập nghiệm là S . Tính tổng các phần tử của S. A. 1 . B. 5. C. 1. D. 1 . 4 2 Lời giải: Phương trình 3 3 3 2 3 2
⇔ 2x − 3x + 2x − 3x +1 = x +1+ x + 2 3 3 3 2 3 2
⇔ (2x − 3x +1) + 2x − 3x +1 = (x + 2) + x + 2 (*)
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 40
41 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 1 − 1 Xét hàm đặc trưng: 3
f (t) = t + t, t ∀ ≥ 2 . Ta có 3
f (′t) =1+ t =1+ > 0, t ∀ ≥ 2 . 3 2 3 3 t 3 2
f (2x 3x 1) f (x 2)
Vậy phương trình (*) được viết: 3 2
f t ñoàng bieán treân
2x 3x 1 x 2 ( ) 2; 1 x = − 2 ± ⇔
. Vậy tập nghiệm của phương trình 1 1 5 S = − ; . 1± 5 2 2 x = 2 + −
Tổng các nghiệm của phương trình: 1 1 5 1 5 1 − + + = . Ch
oïn→ D 2 2 2 2
Ví dụ 56. Cho phương trình: x x + x +12 =12( 5− x + 4 − x). Hỏi phương trình đã cho có bao
nhiêu nghiệm thực? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải:
x ≥ 0, x ≥ 1 − 2 Điều kiện: ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 .
x ≤ 5, x ≤ 4
Ta nhận thấy x = 4 là một nghiệm của phương trình. (1) 1 1
Xét vế trái: Hàm f (x) = x x + x +12 ; f (′x) = x + . x + > 0, x ∀ ∈[0;4]. 2 x 2 x +12
Dó đó hàm f (x) đồng biến trên [0;4]. (2)
Xét vế phải: Hàm g(x) = 12( 5− x + 4 − x ). 1 − 1 − 1 1 g (x) 12 6 ′ = + = − + < 0, x ∀ ∈ [0;4]. Do đó hàm số
2 5 − x 2 4 − x 5 − x 4 − x
g(x) nghịch biến trên [0;4]. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra tập nghiệm của phương trình là S = { } 4 . Ch
oïn→ D
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1. Cho hàm số 3
y = x − 3 .x Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ − )
1 và nghịch biến trên khoảng (1;+∞).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ +∞) .
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 41
42 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ − )
1 và đồng biến trên khoảng (1;+∞).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; − ) 1 .
Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên ? A. 2x −1 y = . B. 4 2
y = x − 2x .
C. y = 3x + 2 . D. 2
y = x + 2x −1. x + 3
Câu 3. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập số thực
A. y = sin x .
B. y = 1− x . C. 1 y = . D. 3 y =1− x . x Câu 4. Hàm số 4
y = 2x +1 đồng biến trên khoảng nào ? A. (0;+∞). B. 1 ; −∞ − . C. 1 − ;+∞ . D. ( ;0 −∞ ). 2 2
Câu 5. Các khoảng nghịch biến của hàm số 4 2
y = −x + 2x − 4 là A. ( 1; − 0) và (1;+∞). B. ( ; −∞ 1) và (1;+∞). C. ( 1; − 0) và (0;1). D. ( ; −∞ 1) − và (0;1). Câu 6. Cho hàm số x −1 y =
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? x + 2
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên \{− 2}.
D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng của miền xác định. Câu 7. Cho hàm số x +1 y =
. Khẳng định nào sau đây là đúng? x −1
A. Hàm số nghịch biến trên .
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ;1 −∞ và (1;+∞).
C. Hàm số nghịch biến trên \{ } 1 .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ;1
−∞ và nghịch biến trên khoảng (1;+∞). Câu 8. Cho hàm số 3 2
y = x − 2x + x +1. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 42
43 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 . 3
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1
. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ; −∞ . 3 3 Câu 9. Cho hàm số 2
y = 3x − x . Hàm số đồng biến trên khoảng nào? A. 3 0; . B. ( 0;3 ) . C. 3 ;3 . D. 3 ; −∞ . 2 2 2
Câu 10. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên là f ′(x) 2 = x (x − )
1 . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng A. (1;+∞). B. ( ; −∞ +∞) . C. (0; ) 1 . D. ( ) ;1 −∞ .
Câu 11. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) = (x + )2 (x − )3 1
1 (2 − x). Hàm số f (x) đồng biến trên
khoảng nào, trong các khoảng dưới đây? A. ( 1; − ) 1 . B. (1;2) . C. ( ; −∞ − ) 1 . D. (2;+∞) .
Câu 12. Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (0; 3) có tính chất f ′(x) ≥ 0, x ∀ ∈( 0;3) và
f ′(x) = 0, x ∀ ∈(
1;2) . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (0;2) .
B. Hàm số f (x) có giá trị không đổi trên khoảng (1;2) .
C. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (1;3).
D. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (0;3).
Câu 13. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đạo hàm f ′(x) = (x + )(x − )2018 (x − )2019 2 1 2 . Khẳng định nào sau đâ y đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm x =1 và đạt cực tiểu tại các điểm x = 2 ± .
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (1;2) và (2;+ ∞) .
C. Hàm số có ba điểm cực trị.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; − 2) . Câu 14. Hàm số x y =
đồng biến trên khoảng nào sau đây? 2 x +1
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 43
44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. ( ; −∞ − ) 1 . B. ( 1; − ) 1 . C. ( ; −∞ +∞) . D. (0;+∞). Câu 15. Hàm số 1 3 2
y = x − mx + (2m +15)x + 7 đồng biến trên khi và chỉ khi 3 m ≥ 5 m > 5 A. 3 − ≤ m ≤ 5 . B. . C. 3 − < m < 5 . D. . m ≤ 3 − m < 3 − Câu 16. Cho hàm số 2
y = x −1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0 −∞ ).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ +∞) . Câu 17. Hàm số 2
y = x − x nghịch biến trên khoảng A. 1 ; −∞ . B. (0; ) 1 . C. ( ;0 −∞ ). D. (1;+∞). 2 Câu 18. Cho hàm số 2 2019
f (x) = (1− x )
. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên R .
B. Hàm số đồng biến trên ( ; −∞ 0).
C. Hàm số nghịch biến trên ( ; −∞ 0).
D. Hàm số nghịch biến trên R .
Câu 19. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số x + 2 − m y =
nghịch biến trên các khoảng mà nó x +1 xác định? A. m ≤1. B. m ≤ 3 − . C. m < 3 − . D. m <1.
Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số x + m m để hàm số 9 y =
đồng biến trên từng khoảng mx +1 xác định của nó? A. 5. B. Vô số. C. 7 . D. 3.
Câu 21. Tìm các giá trị của tham số x − m
m để hàm số y =
đồng biến trên các khoảng xác định của nó. x +1 A. m∈[ 1; − +∞) . B. m∈( ; −∞ − ) 1 . C. m∈( 1; − +∞). D. m∈( ; −∞ − ] 1 .
Câu 22. Biết hàm số 4 2
y = ax + bx + c ( 0
a ≠ ) đồng biến trên (0;+∞), mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a < 0;b ≤ 0. B. ab < 0.
C. a > 0;b ≥ 0. D. ab ≥ 0.
Câu 23. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 44
45 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;
− 3) . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;2 −∞ ) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; − )
1 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) .
Câu 24. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ − 2 0 2 +∞ f (′x) − 0 + 0 − 0 + +∞ 2 +∞ f (x) 2 − 2 −
Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 2; − +∞) . B. ( ; −∞ 2 − ) . C. ( 1; − 0) . D. ( 2; − 2) .
Câu 25. Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào? x 2 y 1 y 1 A. x +1 y + + − = . B. x 3 y = . C. 2x 1 y = . D. x 1 y = . x − 2 2 + x x − 2 2x + 2
Câu 26. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên.Hàm số y = 2018. −
f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? x 1 y y 0 0 A.( ;0 −∞ ). B.(1;+∞). C.(0;+∞). D. (−∞ ) ;1 .
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 45
46 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 27. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. ( ; −∞ 0). B. (0;2) . C. ( 2; − 0) . D. (2;+∞) .
Câu 28. Tìm m để hàm số y = (1− m)x +8 nghịch biến trên . A. m ≥1. B. m >1. C. m <1. D. m ≠ 1.
Câu 29. Tìm m để hàm số 3
y = −x + mx nghịch biến trên . A. m ≤ 0 . B. m > 0. C. m < 0 . D. m ≥ 0 . Câu 30. Cho hàm số 3 2
y = −x − mx + (4m + 9) x + 5 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m để hàm số nghịch biến trên ? A. 0 . B. 6 . C. 5. D. 7 .
Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 1 m để hàm số 3 2
y = x − 2mx + 4x − 5 đồng biến trên 3 . A. 1 − ≤ m ≤1. B. 1 − < m <1.
C. 0 ≤ m ≤1.
D. 0 < m <1.
Câu 32. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2
y = x − 2mx + 4x − 5 đồng biến trên . 3 A. 1 − < m <1. B. 1 − ≤ m ≤1.
C. 0 ≤ m ≤1.
D. 0 < m <1.
Câu 33. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = ( 2 m − ) 3 x + (m − ) 2 1
1 x − x + 4 nghịch biến trên ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Câu 34. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m 1 1 để hàm số 3 2
y = x − mx + 2mx − 3m + 4 3 2 nghịch
biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Tính tổng tất cả phần tử của S. A. 9. B. 1 − . C. 8 − . D. 8 . C 1
âu 35. Biết hàm số 3
y = x − (m − 2) 2
x + (3m − 2) x + 2019 nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3
11 khi m nhận các giá trị m ,m T = m + m 1 2 . Tính tổng 1 2 .
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 46
47 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. 13 T = B. T = 6 C. T = 7 D. T = 9 2
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mx + m để hàm số 9 y =
nghịch biến trên khoảng x + m (1;+∞)? A. 5. B. 3. C. 2 . D. 4 .
Câu 37. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của x + m để hàm số 3 y =
nghịch biến trên khoảng (2;+∞) x + 4m . A. 1. B. 3. C. vô số. D. 2 .
Câu 38. Tìm m để hàm số x −1 y =
đồng biến trên khoảng (2;+∞) . x + m
A. m∈[ −1;+∞) B. m∈(2;+∞) C. m∈( ; −∞ 2 − ) D. m∈( 1; − +∞) Câu 39. Cho hàm số mx 2 y
, m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham 2x m
số m để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;
1 . Tìm số phần tử của S . A. 1 B. 5 C. 2 D. 3
Câu 40. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 2x + m +1 y =
nghịch biến trên mỗi khoảng x + m −1 ( ; −∞ 4 − ) và (11;+∞) ? A. 13 B. 12 C. Vô số D. 14
Câu 41. Tập hợp các giá trị thực của mx − m để hàm số 8 y = ( )
1 đồng biến trên khoảng (3;+∞) là x − 2m A. [ 2; − 2]. B. ( 2; − 2) . C. 3 2; − . D. 3 2; − . 2 2
Câu 42. Tìm tât cả các giá trị của tham số m để hàm số mx +1 y =
đồng biến trên khoảng (2;+∞). x + m A. 2 − ≤ m < 1 − hoặc m >1. B. m < 1 − hoặc m >1. . C. 1 − < m <1. D. m < 1 − hoặc m >1.
C âu 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số x + m để hàm số 6 y =
nghịch biến trên khoảng x + 5m (10;+∞)?
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 47
48 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5.
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = cos 2x + mx đồng biến trên . A. m ≥ 2 − .
B. m ≥ 2. C. 2
− ≤ m ≤ 2 . D. m ≤ 2 − .
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của m∈ để hàm số y = sin x + cosx + mx đồng biến trên .
A. − 2 ≤ m ≤ 2 . B. − 2 < m < 2 . C. m ≥ 2 . D. m ≥ 2 . Câu 46. Tìm x − π m để hàm số cos 2 y =
nghịch biến trên khoảng (0; ) . cos x − m 2 m > 2 m ≤ 0 A. .
B. m > 2. C. . D. 1 − < m <1. m < 2 − 1 ≤ m < 2
Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số x + m để hàm số 2cos 3 y =
nghịch biến trên khoảng 2cos x − m π 0; . 3 A. m∈( 3 − ; ] 1 ∪[2;+∞) . B. m∈( 3 − ;+∞) . C. m∈( ; −∞ 3 − ) . D. m∈( ; −∞ − ] 3 ∪[2;+∞).
Câu 48. Tìm tất cả các giá trị của x − π m để hàm số tan 2 y = đồng biến trên 0; . tan x − m 4 A. m < 2.
B. m ≤ 0 hoặc 1≤ m < 2 .
C. 1≤ m < 2 . D. m ≤ 0 .
Câu 49. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈( 10 − ;10) để hàm số 1− 2sin x y = đồng biến trên 2sin x + m khoảng π ;π . 2 A. 11. B. 9. C. 10. D. 18.
Câu 50. Tìm các giá trị của tham số x − π − π m để hàm số sin 2 1 y = đồng biến trên ; . sin 2x + m 12 4 A. m ≥ 1 − . B. m > 1 − . C. 1 m ≥ . D. m >1. 2
Câu 51. Giá trị của x − π π m để hàm số cot 2 y = nghịch biến trên ; là cot x − m 4 2
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 48
49 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ m ≤ 0 A. .
B. 1≤ m < 2 . C. m ≤ 0 . D. m > 2 . 1 ≤ m < 2
Câu 52. Tìm m để hàm số cos x − 2 π y =
đồng biến trên khoảng 0; cos x − m 2 m ≥ 2 m ≤ 0 A. B. m > 2 C. D. 1 − < m < 1 m ≤ 2 − 1 ≤ m < 2
Câu 53. Tìm m để hàm số 2cot x +1 π π y =
đồng biến trên khoảng ; ? cot x + m 4 2 A. m∈( ; −∞ 2 − ). B. m ( ] 1 ; 1 0; ∈ −∞ − ∪ . 2 C. m∈( 2; − +∞). D. 1 m ; ∈ +∞ . 2
Câu 54. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y = sin x − 3cos x − msin x −1 đồng biến trên 3π π ; 2 A. m ≥ 3 . B. m ≥ 0 . C. m ≤ 3 . D. m ≤ 0 .
Câu 55. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 3 2 π
y = sin 2x + 2 cos 2x − ( 2
m + 3m )sin 2x − 1 nghịch biến trên khoảng 0; . 3 4 A. 3 − − 5 − + m ≤ hoặc 3 5 m ≥ . B. m ≤ 3 − hoặc m ≥ 0. 2 2 − − − + C. 3 − ≤ m ≤ 0. D. 3 5 3 5 ≤ m ≤ . 2 2
Câu 56. Tìm tất cả các giá trị của tham số 1 m để hàm số 3
y = − x + (m − ) 2
1 x + (m + 3) x − 4 đồng biến 3 trên khoảng (0;3) . A. 1 m ≥ B. 4 m ≥ C. 8 m ≥ D. 12 m ≥ 7 7 7 7
Câu 57. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm sô f (x) 3 2 = x + x − ( 2 3
m − 3m + 2)x + 5 đồng biến trên khoảng (0;2) .
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 49
50 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. m <1,m > 2
B. 1< m < 2
C. m ≤1,m ≥ 2 D. 1≤ m ≤ 2
Câu 58. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y = x − 6x + mx + 3 đồng biến trên khoảng (0;+∞). A. m ≤12 . B. m ≥ 0 . C. m ≤ 0 . D. m ≥12 .
Câu 59. Tập hợp S tất cả các giá trị của tham số 1 m để hàm số 3
y = x − (m + ) 2 1 x + ( 2
m + 2m) x −3 3
nghịch biến trên khoảng ( 1; − ) 1 là: A. S = . ∅ B. S = [0; ] 1 . C. S = [ 1; − 0]. D. S = {− } 1 . Câu 60. Cho hàm số 3 2 2 2
y = 2x −3(3m +1)x + 6(2m + m)x −12m + 3m +1. Tính tổng tất cả giá trị nguyên
dương của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) . A. 0 . B. 3. C. 1. D. 2 .
Câu 61. Cho y = f (x) có đạo hàm f (x) 2 '
= −x + 5x − 6, x
∀ ∈ . Hàm số y = 5
− f (x) nghịch biến trên khoảng nào? A. ( ;2 −∞ ) và (3;+∞) B. (3;+∞)
C. (2;+∞) D. (2;3)
Câu 62. Cho hàm số y = f (x) 2
có đạo hàm f '(x) = (3− x)(x − ) 1 + 2x, x ∀ ∈ . Hỏi hàm số
g (x) = f (x) 2
− x −1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây ? A. (3;+ ∞). B. (−∞ ) ;1 . C. (1;2). D. ( 1; − 0) .
Câu 63. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên và f ′(x) = x(2x + )
1 .g (x) +1 trong đó
g (x) > 0 x
∀ ∈ . Hàm số y = f (2 − x) + x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 5 2; . B. ( ; −∞ ) 1 . C. 3 1; . D. (0; ) 1 . 2 2
Câu 64. Cho hàm số y = f (x) xác định trên và có đạo hàm y = f '(x) thỏa mãn
f '(x) = (1− x)(x + 2) g (x) + 2019 trong đó g (x) > 0, x ∀ ∈ .
Hàm số y = f (1− x) + 2019x + 2018 nghịch biến trên khoảng nào? A. (0;3). B. ( ; −∞ 3) . C. (1;+∞). D. (3;+∞) .
C âu 65. Cho hàm số f (x) . Hàm số y = f ′(x) có bảng xét dấu như sau
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 50
51 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hàm số y = f ( 2
x + 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0 ) ;1 . B. ( 2; − − ) 1 . C. ( 2 − ) ;1 . D. ( 4; − − 3) .
Câu 66. Cho hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ x −∞ 1 2 +∞ f (′x) + 0 − 0 +
Hàm số y = f ( 2
2 − x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. ( ;0 −∞ ). B. (0; ) 1 . C. (1;2) . D. (0;+∞).
Câu 67. Cho hàm số y f x. Biết đồ thị hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y f 2
3 x 2018 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? x −∞ 6 − 1 − 2 +∞ f (′x) − 0 + 0 − 0 + A. 1; 0 B. 2; 3 C. 2; 1 D. 0; 1
Câu 68. Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số '
y = f (x) như hình bên dưới. Hàm số g (x) = f ( 3− x )
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? x −∞ 1 − 1 4 +∞ f (′x) − 0 + 0 − 0 + A. (4;7) . B. (2;3). C. ( ; −∞ − ) 1 . D. ( 1; − 2) .
Câu 69. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên . Biết hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình
vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m∈[ 5
− ;5] để hàm số g (x) = f (x + m) nghịch biến
trên khoảng (1;2). Hỏi S có bao nhiêu phần tử? x −∞ 1 − 1 3 +∞ f (′x) − 0 + 0 − 0 + A. 4 . B. 3. C. 6 . D. 5.
Câu 70. Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 51
52 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x −∞ 1 2 3 4 +∞ f ′(x) − 0 + 0 + 0 − 0 +
Hàm số y = f (x + ) 3 3
2 − x + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1;+∞). B. ( ; −∞ − ) 1 . C. ( 1; − 0). D. (0;2).
ĐÁP ÁN BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1D 2C 3D 4A 5A 6D 7B 8C 9A 10A 11B 12B 13D 14B 15A 16C 17C 18B 19D 20A 21C 22C 23D 24C 25A 26B 27B 28B 29A 30D 31A 32B 33B 34D 35C 36D 37A 38D 39C 40A 41C 42A 43C 44B 45C 46C 47A 48B 49C 50C 51A 52C 53B 54B 55B 56D 57D 58D 59D 60C 61A 62C 63A 64A 65B 66B 67A 68D 69D 70C
Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 52
Document Outline
- Bài 1-Tính đơn điệu-Full