Chuyên đề trắc nghiệm công thức từng phần tính tích phân Toán 12

Tài liệu gồm 20 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề công thức từng phần tính tích phân, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 3.

68 34 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

20 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CHỦ ĐỀ 9: CÔNG THỨC TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Công thức tích phân từng phần: Nếu
( )
u ux=
và
( )
v vx
=
là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
thì
(
) (
)
( ) ( )
( ) ( )
bb
b
a
aa
uxv xdx uxvx u xvxdx
′′
= −


∫∫
Hay
bb
b
a
aa
udv uv vdu= −
∫∫
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần
Ví dụ 1: Cho tích phân
2
0
cosI x xdx
π
=
∫
và
2
; cosu x dv xdx= =
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
0
0
sin sinI x x x xdx
π
π
= −
∫
. B.
.
C.
2
0
0
sin 2 sin
I x x x xdx
π
π
= +
∫
. D.
2
0
0
sin 2 sinI x x x xdx
π
π
= −
∫
.
Lời giải
Ta có
2
2
0
0
2
sin 2 sin
sin
cos
du xdx
ux
I x x x xdx
vx
dv xdx
π
π
=
=
⇒ ⇒= −

=
=
∫
. Chọn D.
Ví dụ 2: Cho tích phân
( )
2
2
0
21
x
x e dx ae be c
+ = ++
∫
( )
,,abc∈
. Tính
222
Sabc=++
A.
13S =
. B.
10S =
. C.
5S
=
. D.
8S =
.
Lời giải
Đặt
( ) ( ) ( )
22
22
2
00
00
21 2
21 21 21 3 1
x xx x
xx
u x du dx
x e dx x e e dx x e e
du e dx v e
=+=

⇒ ⇒+ =+ − =− =+

= =

∫∫
Suy ra
222
3; 0; 1 10a b c Sabc= = =⇒= + + =
. Chọn B.
Ví dụ 3: Cho tích phân
( )
2
22
0
1 sinI x xdx a b c
π
= + = π + π+
∫
với
,,abc∈
. Tính
222
Tabc=++
A.
9T =
. B.
12
T =
. C.
2T =
. D.
10T =
.
Lời giải
Đặt
2
2
1
cos
sin
du xdx
ux
vx
dv xdx
=
= +
⇔

= −
=
Khi đó
( )
22
2
2
0
00
1 cos 2 cos 1 2 cosI x x x xdx x xdx
ππ
π
=− + + −+
∫∫
Xét tích phân
2
0
cos
J x xdx
π
=
∫
, ta đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =

⇔

= =

Khi đó
2
2
2
0
0
0
sin sin cos 1
22
J x x xdx x
π
π
π
ππ
= − =+=−
∫
Vậy
0
11 2
1
a
I bT
c
=
=π− ⇒ = ⇒ =
= −
. Chọn C.
Ví dụ 4: Cho tích phân
(
)
3
2
2
3 1 ln ln 3 ln 2
I x xdx a b c= + =++
∫
với
,,abc∈
. Khẳng định nào dưới đây là
khẳng định đúng?
A.
3ab=
. B.
3ab= −
. C.
40ab+=
. D.
20ab−=
.
Lời giải
Đặt
( )
( )
( )
3
3
32
2
2
3
2
ln
ln 1
31
dx
ux
du
I xx x x
x
dv x dx
vx x
=
=

⇔ ⇒= + − +

= +
= +
∫
3
3
2
22
30ln 3 10 ln 2 30ln 3 10 ln 2 30; 10; 3
33
x
x a b cb

=−−+=−−⇒==−=−


. Chọn B.
Ví dụ 5: Cho
( )
4
1
ln 1
.ln 3 .ln 2
x
I dx a b c
x
+
= =++
∫
, với
,,
abc∈
, tổng
abc++
bằng
A. 8. B. 4. C. 12. D. 0.
Lời giải
Đặt
( )
( )
( )
ln 1
21
21
dx
ux
du
xx
dx
v
vx
x
= +
=
+
⇔

=

= +
, khi đó
( ) ( )
4
4
1
1
2 1 ln 1
dx
Ix x
x
= + +−
∫
( ) ( )
4
4
1
1
6
2 1 ln 1 2 6.ln 3 4.ln 2 2 .ln 3 .ln 2 4
2
a
x x x a b cb
c
=
= + + − = − −= + +⇒ =−
= −
Vậy tổng
6420abc++=−−=
. Chọn D.
Ví dụ 6: Cho tích phân
( )
2
2
0
sin
1 cos
xx a
I dx c
b
x
π
= = π−
+
∫
với
,,abc∈
và
a
b
là phân số tối giản. Khẳng định
nào sau đây là đúng?
A.
3ab c+=
. B.
2a bc+=
. C.
2
ab c+=
. D.
23abc+=
.
Lời giải
Đặt
( )
2
2
2
0
0
sin
1
1 cos 1 cos
1 cos
1 cos
ux
du dx
x dx
xx
I
dv dx
xx
v
x
x
π
π
=
=

⇒ ⇒= −

=
++
=

+
+
∫
2
2
2
0
0
1 11
tan 1 1; 2; 1
2 2 22
2 cos
2
dx x
ab c
x
π
π
= π− = π− = π− ⇒ = = =
∫
Do đó
3ab c+=
. Chọn A.
Dạng 2: Tích phân từng phần với hàm ẩn
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
1
0
1 ' 10x f x dx
+=
∫
và
( ) ( )
21 0 2
ff−=
. Tính tích phân
( )
1
0
f x dx
∫
A.
12
I = −
. B.
8I =
. C.
12I =
. D.
8
I = −
.
Lời giải
Đặt
(
) ( )
1
u x du dx
dv f x dx v f x
=+=


⇔

′
= =


, khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
11
00
0
1' 1x f x dx x f x f x dx+ =+−
∫∫
( ) ( ) ( ) ( )
10 2 1 0 2 1 0 10 2 10 8ffIIff⇔= − −⇔= − −=−=−
. Chọn D.
Ví dụ 2: Cho
( ) (
) (
) ( )
2
0
1 2 3 2 0 2016x f x dx f f
′
− = +=
∫
. Tích phân
( )
1
0
2f x dx
∫
bằng:
A. 4032. B. 1008. C. 0. D. 2016.
Lời giải
Xét tích phân
(
) ( )
2
0
12x f x dx
′
−
∫
Đặt
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
0
0
12 2
12 2
u x du dx
I xfx fxdx
dv f x dx v f x
=−=−


⇒ ⇒= − +

′
= =


∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 22
0 00
3 2 0 2 2016 2016 2 2016
f f f x dx f x dx f x dx=++⇒=−+⇒=
∫ ∫∫
Xét
( )
1
0
2J f x dx=
∫
, đặt
22
t x dt dx= ⇒=
, đổi cận suy ra
( )
( )
22
00
1
. 1008
22
dt
J f t f x dx= = =
∫∫
. Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số
( )
y fx=
thỏa mãn điều kiện
( )
1
0
1
1
fx
dx
x
′
=
+
∫
và
( ) ( )
120 2ff−=
. Tính tích phân
( )
( )
1
2
0
1
fx
dx
x +
∫
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt
( )
(
)
(
)
2
1
1
1
u
dx
x
du
x
dv f x dx
v fx
=
+
⇔=−

+

′
=
=
, khi đó
( ) ( ) ( )
( )
1
11
2
00
0
11
1
f x fx fx
dx dx
xx
x
′
= +
++
+
∫∫
Suy ra
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
0
1
11
1 1 01 1201.20
1 22 2
fx f
II f f f
x

= +⇒=− − =− − =− =



+

. Chọn A.
Ví dụ 4: Cho
( )
23
lnFx x x= +
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
x
. Tính tích phân
( )
1
ln
e
f x xdx
′
∫
A.
2
3
Ie e
= +
. B.
2
3Ie= +
. C.
2
I ee=−+
. D.
2
4Ie
= +
.
Lời giải
Đặt
( )
( )
( )
( )
1
1
1
ln
ln .
e
e
ux
du dx
fx
x
I x f x dx
dv f x dx
x
v fx
=
=

⇒ ⇒= −

′
=
=
∫
( ) ( ) ( )
23 2 2
1
ln ln 2 2
e
I xfx x x fe e fe e

⇒= − − = − −+= −

Mặt khác
(
) ( )
( )
2
2
3ln
2 23
x
fxxFxxx fe e
x

′
= =+ ⇒=+


Do đó
2
3Ie= +
. Chọn B.
Ví dụ 5: Cho
( )
32x
F x xe= +
là một nguyên hàm của hàm số
( )
3
.
x
f xe
. Tính tích phân
( )
1
3
0
.
x
I f x e dx
′
=
∫
A.
Ie=
. B.
1Ie= +
. C.
1
Ie=−+
. D.
Ie= −
.
Lời giải
Đặt
( ) ( )
33
3
xx
u e du e dx
dv f x dx v f x

= =

⇒

′
= =


( ) ( )
(
)
(
)
1
1
1
3 3 3 3 23
0
0
0
33
xxx x
I efx efxdx efx x x e

⇒= − = − +

∫
Trong đó
( )
( )
( )
32
1
32
32
0
42
22
x
xx
Fx
xxx
fx I e x x x e
ee
′
++
= = ⇒= − + + =
. Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số
( )
fx
liên tục và luôn dương trên
. Biết rằng
( )
( )
1
0
1 2, ln 2
xdx
f
fx
= =
∫
. Tính tích
phân
( )
( )
2
1
2
0
.
xf x
I dx
fx
′
=
∫
A.
2 ln 2I = +
. B.
1
ln 2
2
I
=−+
. C.
1
ln 2
2
I
=−−
. D.
2 ln 2
I
=−+
.
Lời giải
Đặt
(
)
(
)
( )
2
2
2
1
ux
du xdx
fx
v
dv dx
fx
fx
=
=
⇒
′

= −
=

( )
( )
( )
1
1
2
0
0
11
2 2 ln 2 ln 2
12
xx
I
fx fx f
−−
⇒= + = + =−+
∫
. Chọn B.
Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức tích phân
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm, liên tục trên đoạn
[ ]
0;1
thỏa mãn
(
)
16
f =
,
( )
1
2
0
5
2
f x dx
′
=


∫
và
( )
1
0
5
.
2
x f x dx =
∫
. Tích phân
( )
1
0
f x dx
∫
bằng
A.
23
4
B.
5
4
C.
5
2
D.
19
4
Lời giải
Đặt
( )
( )
2
2
du f x dx
u fx
x
dv xdx
v
′
=
=

⇒

=
=
, khi đó
( )
( )
(
)
1
11
22
00
0
...
22
xx
x f x dx f x f x dx
′
= −
∫∫
Suy ra
( )
( ) ( )
11
2
2
00
1
5
. .1
22 2
f
x
f x dx x f x dx
′′
=− ⇒=
∫∫
Ta chọn k sao cho:
( ) ( ) ( )
1 1 11
2
2
2 2 24
0 0 00
20f x kx dx f x dx k f x x dx k x dx
′ ′′

+= + +=



∫ ∫ ∫∫
( ) ( )
( )
1
23
2
22
0
5
52 0 5 5 0 5
23
kx
k k fx x dx fx x fx C
′′

= + + = ⇒ =−⇒ − = ⇒ = ⇒ = +

∫
Do
( ) (
)
( )
1
3
0
13 5 13 19
16
3 33 4
x
f C fx fxdx=⇒= ⇒ = + ⇒ =
∫
. Chọn D.
Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm, liên tục trên đoạn
[ ]
0;1
thỏa mãn
( )
11f =
,
( )
1
2
0
9
5
f x dx
′
=


∫
và
( )
1
0
1
.
5
x f x dx
=
∫
. Tích phân
( )
1
0
I f x dx=
∫
bằng
A.
3
5
I
=
. B.
1
4
I
=
. C.
3
4
I =
. D.
1
5
I
=
.
Lời giải
Đặt
( )
(
)
2
2
du f x dx
u fx
x
dv xdx
v
′
=
=

⇒

=
=
Do đó
( ) ( )
( )
( )
1
1 11
2
22
0 00
0
1 11 1
.. .
2 2 22 5
x
x f x dx f x x f x dx x f x dx
′′
=− =−=
∫ ∫∫
Suy ra
( )
11
24
00
31
.;
55
x f x dx x dx
′
= =
∫∫
Chọn k sao cho:
( )
1
2
2
2
0
96
03
55 5
kk
f x kx dx k
′

+ =+ + =⇒=−

∫
Như vậy
( )
( ) (
)
1
2
2 23
0
30 3fx x dx fx x fx x C
′′

− =⇒ =⇒=+

∫
Do
( )
( )
11
3
00
1
11 0
4
f C I f x dx x dx=⇒ =⇒= = =
∫∫
. Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm, liên tục trên đoạn
[ ]
0;1
thỏa mãn
( )
3
1
5
f =
,
( )
1
2
0
4
9
f x dx
′
=


∫
và
( )
1
3
0
37
180
x f x dx =
∫
. Tích phân
( )
1
0
1
I f x dx= −


∫
bằng
A.
1
15
. B.
1
15
−
. C.
1
10
−
. D.
1
10
.
Lời giải
Đặt
( )
( )
4
3
'
4
du f x dx
u fx
x
dv x dx
v
=
=

⇒

=
=
Do đó
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
4
1 1 11
44
34
0 0 00
0
32
..
4 4 20 4 9
xf x
xx
x f x dx f x f x dx dx x f x dx
′
′′
=− =−⇒=−
∫ ∫ ∫∫
Lại có:
1
8
0
1
9
x dx
=
∫
ta chọn k sao cho:
( )
1
2
4
0
42
2. 0 2
9 99
k
f x kx dx k k
−
′

+ =+ + =⇒=

∫
Như vậy
(
)
( ) ( )
1
5
44
0
2
20 2
5
x
fx xdx fx x fx C
−
′′

+ =⇒ =−⇒ = +

∫
Do
(
)
(
)
(
)
1
5
0
33 2 2 1
1 11 1
5 5 5 5 15
f C C fx x fx dx
− −−
= ⇒ = + ⇔ =⇔ −= ⇒ − =


∫
. Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm, liên tục trên đoạn
[
]
0;3
thỏa mãn
(
)
31
f
=
,
( )
3
2
0
1
27
f x dx
′
=


∫
và
( )
3
3
0
42
5
x f x dx =
∫
. Tích phân
( )
3
0
I f x dx
=
∫
bằng
A.
5
2
. B.
3
2
. C.
7
2
. D.
4
.
Lời giải
Đặt
( )
( )
4
3
'
4
du f x dx
u fx
x
dv x dx
v
=
=

⇒

=
=
khi đó
(
) ( )
( )
3
13
44
3
00
0
.
44
xx
x f x dx f x f x dx
′
= −
∫∫
Suy ra
( )
( ) ( )
33
4
4
00
81 3
45
.9
24 4
f
x
f x dx x f x dx
′′
=− ⇒=−
∫∫
Ta chọn k sao cho:
( ) ( ) ( )
3 3 33
2
2
4 4 28
0 0 00
2f x kx dx f x dx k f x x dx k x dx
′ ′′

+= + +



∫ ∫ ∫∫
( ) ( )
(
)
3
5
24
0
1 1 1 67
2.9 2187 0
27 243 243 1215 5 2
x
k k k f x x fx fxdx
−
′
= − + =⇒= ⇒ =− ⇒ = +⇒ =
∫
. Chọn C.
Ví dụ 5: [Đề tham khảo Bộ Giáo Dục và Đào Tạo 2018] Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm, liên tục trên
đoạn
[ ]
0;1
thỏa mãn
( )
10f =
,
( )
1
2
0
7f x dx
′
=


∫
và
( )
1
2
0
1
3
x f x dx =
∫
. Tích phân
( )
1
0
f x dx
∫
bằng
A.
7
5
. B.
1
. C.
7
4
. D.
4
.
Lời giải
Đặt
( ) ( )
23
3
u f x du x dx
dv x dx v x
′
= =

⇒

= =


, khi đó
( ) ( ) ( )
11
1
23 3
0
00
3 ..x f x dx x f x x f x dx
′
= −
∫∫
Suy ra
( ) (
) ( ) ( )
11 1
33 3
00 0
1. .114.7I f x f x dx x f x dx x f x dx
′′ ′
= − ⇒ =−⇔ =−
∫∫ ∫
. Mà
1
6
0
49 7x dx =
∫
suy ra
( ) ( ) ( )
111 1
2
2
36 3
000 0
7 49 0 7 0f x dx x f x dx x dx f x x dx
′′ ′

+ +=⇔+=



∫∫∫ ∫
Vậy
( ) ( )
34
7
70
4
f x x fx x C
′
+=⇒ =− +
Mà lại có:
(
) (
)
(
)
(
)
1
4
0
77
10 1
45
f fx x fxdx=⇒ = −⇒ =
∫
. Chọn A.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Với
u
và
v
là các hàm số xác định và liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
. Công thức biểu diễn tích phân từng
phần được cho bởi công thức nào sau đây?
A.
bb
b
a
aa
udv uv udv
= −
∫∫
B.
bb
b
a
aa
udv uv vdu= −
∫∫
C.
bb
b
a
aa
udv uv udv= +
∫∫
D.
bb
b
a
aa
udv uv vdu= −
∫∫
Câu 2: Cho tích phân
3
2
ln
I xdx=
∫
, biểu thức nào sau đây thể hiện đúng cách tính
I
theo công thức tích
phân từng phần
A.
( )
3
3
2
2
lnI x x dx= −
∫
B.
( )
3
3
2
2
lnI x x xdx= +
∫
C.
( )
3
3
2
2
ln lnI x x xdx= −
∫
D.
( )
3
3
2
2
ln lnI x x xd x= +
∫
Câu 3: Khi tính tích phân
sin 2
b
a
x xdx
∫
thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng
phần?
A.
sin 2ux
dv xdx
=
=
B.
sin 2
ux
dv xdx
=
=
C.
sin 2ux
dv x
=
=
D.
sin
ux
dv x
=
=
Câu 4: Khi tính tích phân
ln
b
a
x xdx
∫
thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng phần?
A.
ln
ux
dv xdx
=
=
B.
ln
ux
dv x
=
=
C.
lnux
dv xdx
=
=
D.
ln
ux
dv x
=
=
Câu 5: Khi tính tích phân
sin 2
b
a
x xdx
∫
thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng
phần?
A.
sin
ux
dv x
=
=
B.
sin 2ux
dv xdx
=
=
C.
sin 2ux
vx
=
=
D.
sin 2
ux
dv xdx
=
=
Câu 6: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân
2
0
2xcos xdx
π
∫
A.
22
00
sin 2 cos 2
24
xx x
I
ππ
= +
B.
22
00
sin 2 cos 2
22
xx x
I
ππ
= +
C.
22
00
sin 2 cos 2
44
xx x
I
ππ
= +
D.
22
00
sin 2 cos 2
4
xx x
I
x
ππ
= −
Câu 7: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân
2
0
sin 2
I x xdx
π
=
∫
A.
22
00
1
2 sin 2
24
x
I cos x x
ππ
= −
B.
22
00
1
2 sin 2
24
x
I cos x x
ππ
=−+
C.
22
00
1
2 sin 2
22
x
I cos x x
ππ
=−+
D.
22
00
1
2 sin 2
24
x
I cos x x
ππ
=−−
Câu 8: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân
4
2
0
x
dx
cos x
π
∫
A.
( ) ( )
44
00
tan ln cosI xx x
ππ
=−+
B.
( )
(
)
44
00
tan ln cosIxx x
ππ
= −
C.
( ) ( )
44
00
tan ln cosIxx x
ππ
= +
D.
( ) ( )
44
00
tan ln cosI xx x
ππ
=−−
Câu 9: Cho tích phân
2
1
ln
e
I x xdx=
∫
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
22
1
1
1
ln ln
2
e
e
I x x x xdx
= +
∫
B.
22
1
1
ln ln
e
e
I x x x xdx= +
∫
C.
22
1
1
ln ln
e
e
I x x x xdx= −
∫
D.
22
1
1
1
ln ln
2
e
e
x x x xdx−
∫
Câu 10: Cho tích phân
( )
4
0
1 sin 2x xdx
π
−
∫
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
4
4
0
0
1
12 2
2
I x cos x cos xdx
π
π
=−− +
∫
B.
( )
4
0
12 2I x cos x cos xdx
π
=−− −
∫
C.
( )
4
4
0
0
11
12 2
22
I x co s x cos xdx
π
π
=−+
∫
D.
( )
4
4
0
0
11
12 2
22
I x co s x cos xdx
π
π
=−−
∫
Câu 11: Cho tích phân
( )
2
0
2 sinx xdx
π
−
∫
và đặt
2 , sinu x dv xdx=−=
. Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( )
2
2
0
0
2I x cosx cos xdx
π
π
=−− −
∫
B.
( )
2
2
0
0
2I x cosx cos xdx
π
π
=−− −
∫
C.
(
)
2
2
0
0
2I x cosx cosxdx
π
π
=−+
∫
D.
(
)
2
2
0
0
2
I x cosxdx
π
π
=−+
∫
Câu 12: Biết rằng
( )
1
0
ln 1 ln
x dx a b
+=+
∫
với
,
ab
là các số nguyên. Tính
(
)
3
b
a
+
A. 25 B.
1
7
C. 16 D.
1
9
Câu 13: Biết
( )
2
1
1 ln
e
ac
x xdx e
bd
+=+
∫
với
a
b
và
c
d
là hai phân số tối giản. Tính
ac
bd
+
A.
3
2
B.
5
4
C.
1
2
D.
5
2
Câu 14: Biết
( )
2
2
0
31
x
x e dx a be−=+
∫
với
,
ab
là các số nguyên. Tính
S ab= +
A.
12S
=
B.
16S =
C.
8S =
D.
10S =
Câu 15: Biết
23
1
x ln
e
ac
xdx e
bd
= +
∫
với
a
b
và
c
d
là hai phân số tối giản. Tính
ac
bd
+
A.
1
9
ac
bd
+=−
B.
1
9
ac
bd
+=
C.
1
3
ac
bd
+=−
D.
1
3
ac
bd
+=−
Câu 16: Biết
(
)
2
0
4 1 ln
e
x x dx ae b+=+
∫
với
,ab
là các số nguyên. Tính
( )
4M ab a b=++
A.
5M = −
B.
2M = −
C.
5M =
D.
6M
= −
Câu 17: Biết
2
2
1
ln
ln 2
xb
dx a
xc
= +
∫
với
a
∈
và
c
d
là hai phân số tối giản. Tính
23a bc
++
A. 4 B.
6
−
C. 6 D. 5
Câu 18: Biết
4
2
0
1
ln 4
x
dx
cos x a b
π
π
= +
∫
với
,ab
là các số thực khác
0
. Tính
P ab
= +
A.
2P =
B.
6P =
C.
0P =
D.
8P =
Câu 19: Biết
1
22
0
3
x
ac
xe dx e
bd
= +
∫
với
a
b
và
c
d
là hai phân số tối giản. Tính
ac
bd
+
A.
3
2
B.
3
4
C.
5
4
D.
7
2
Câu 20: Biết
( )
1
2
0
x ln 1 ln 2
a
x dx c
b
+ =−+
∫
với
,,abc∈
và
a
b
là phân số tối giản
A. 9 B. 6 C. 15 D. 12
Câu 21: Biết
( )
1
0
ln 3 1 ln 2x dx a b+= +
∫
với
,
ab∈
. Tính
3S ab= −
A.
7
S
=
B.
11S =
C.
8S =
D.
9
S
=
Câu 22: Biết
3
2
0
ln 2
x
dx a
cos x
π
= π−
∫
với
a
∈
. Hỏi phần nguyên của
1a −
là bao nhiêu?
A. 1 B.
2
−
C.
0
D.
1−
Câu 23: Biết
2
2
4
ln 2
sin
x
dx m n
x
π
π
= π+
∫
với
,mn∈
. Tính
2P mn= +
A.
1P =
B.
0, 75P
=
C.
0, 25P
=
D.
0
P =
Câu 24: Biết
( )
2
1
ln 1 ln 3 ln 2
x dx a b c
+= + +
∫
với
,,abc∈
. Tính
S abc=++
A.
1S
=
B.
0S =
C.
2S =
D.
2S = −
Câu 25: Cho hàm số
( )
y fx
=
thỏa mãn
(
)
( )
1
0
1 10x f x dx
′
+=
∫
và
(
) ( )
21 0 2
ff−=
. Tính
( )
1
0
f x dx
∫
A.
12I
= −
B.
8I =
C.
1I =
D.
8I = −
Câu 26: Cho hàm số
( )
y fx
=
thỏa mãn
( )
11f =
và
( )
1
0
1
3
f t dt =
∫
. Tính
(
)
2
0
sin 2 . sin
x f x dx
π
′
∫
A.
4
3
I =
B.
2
3
I =
C.
1
3
I =
D.
2
3
I
−
=
Câu 27: Cho hàm số
( )
fx
có nguyên hàm là
( )
Fx
trên đoạn
[ ]
1; 2
,
( )
21F =
và
( )
2
1
5F x dx =
∫
. Tính
( )
( )
2
1
1x f x dx−
∫
A.
3I = −
B.
6I =
C.
4I = −
D.
1
I =
Câu 28: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên
[
]
1; 2
thỏa mãn
( ) (
)
1 0, 2 2ff= =
và
(
)
2
1
1f x dx
=
∫
. Tính
( )
2
1
.x f x dx
′
∫
A.
2I =
B.
1I =
C.
3I =
D.
8I =
Câu 29: Cho
( )
fx
liên tục trên
và
( )
( )
2
0
2 16, 4f f x dx= =
∫
. Tính
( )
1
0
.2x f x dx
′
∫
A.
13
I =
B.
12I
=
C.
20
I =
D.
7
I =
Câu 30: Giả sử hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
0;1
và thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
1
0
1 6, . 5f x f x dx
′
= =
∫
. Tính
( )
1
0
I f x dx=
∫
A.
1I =
B.
1I = −
C.
11I =
D.
3I
=
Câu 31: Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
( )
1
2
0
12x f x dx
′′
=
∫
và
( )
( )
21 1 2
ff
′
−=−
. Tính
(
)
1
0
I f x dx
=
∫
A.
10I
=
B.
14I =
C.
8I =
D.
5I =
Câu 32: Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
( )
( )
3
1
.8
fx
x f x e dx
′
=
∫
và
( )
3 ln 3f =
. Tính
( )
3
0
fx
I e dx=
∫
A.
1I =
B.
11I =
C.
8 ln 3I = −
D.
8 ln 3I = +
Câu 33: Cho hàm số
( )
2
0
x
G x cos tdt=
∫
. Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( )
2
G x xcos x
′
=
B.
( )
2 cosGx x x
′
=
C.
( )
cosGx x x
′
=
D.
( )
2 sinGx x x
′
=
Câu 34: Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
(
)
2
0
3
f x dx =
∫
và
( )
22f
=
. Tính
( )
4
0
I f x dx
′
=
∫
A.
2I =
B.
3I =
C.
5I
=
D.
1I =
Câu 35: Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
( )
.4
b
a
x f x dx
′′
=
∫
và
,ab
là các số thực dương, đồng thời
( )
( )
2; 3fa fb
′′
=−=
và
( ) ( )
fa fb=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
49
3 12 3
ab
P
ba
= +
++
A.
23
min
20
P =
B.
min 2P =
C.
784
min
391
P =
D.
5
min
2
P
=
Câu 36: Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
( ) ( )
2
1
ln 1f x f x dx
′
=


∫
và
(
)
( )
1 1, 2 1
ff= >
. Tính
( )
2f
A.
( )
22f =
B.
( )
23f
=
C.
( )
2fe=
D.
( )
2
2fe=
Câu 37: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm, liên tục trên đoạn
[ ]
0; 2
thỏa mãn
( )
23f =
,
( )
2
2
0
2
7
f x dx
′
=


∫
và
( )
2
2
0
152
21
x f x dx =
∫
. Tích phân
( )
2
0
I f x dx=
∫
bằng
A.
2I =
B.
23
5
I =
C.
26
5
I =
D.
2
5
I =
Câu 38: Cho hàm số
(
)
fx
có đạo hàm, liên tục trên đoạn
[ ]
0;3
thỏa mãn
( )
36f =
,
( )
3
2
0
3
f x dx
′
=


∫
và
(
)
3
3
0
567
4
x f x dx
=
∫
. Tích phân
(
)
3
0
I f x dx=
∫
bằng
A.
2
5
B.
45
2
C.
5
4
D. 2
Câu 39: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm, liên tục trên đoạn
[ ]
0;1
thỏa mãn
(
)
11f
=
,
(
)
1
2
0
1
5
f x dx
′
=


∫
và
( )
1
0
2
.
5
x f x dx =
∫
. Tích phân
( )
1
0
I f x dx=
∫
bằng
A.
5
4
I =
B.
7
9
I =
C.
1
4
I =
D.
4
5
I =
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm, liên tục trên đoạn
[
]
0; 2
thỏa mãn
( )
27f =
,
( )
2
2
0
14
f x dx
′
=


∫
và
(
)
2
2
0
40
3
x f x dx =
∫
. Tích phân
( )
2
0
I f x dx=
∫
bằng
A.
19
5
I =
B.
6
5
I =
C.
42
5
I =
D.
29
5
I =
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Ta có
bb
b
a
aa
udv uv vdu
= −
∫∫
. Chọn D.
Câu 2:
( )
33 3
33
22
22 2
ln ln ln lnI xdx x x xd x x x dx==−=−
∫∫ ∫
. Chọn A.
Câu 3: Đặt
sin 2
ux
dv xdx
=
=
. Chọn B.
Câu 4: Đặt
lnux
dv xdx
=
=
. Chọn C.
Câu 5: Đặt
sin 2
ux
dv xdx
=
=
. Chọn D.
Câu 6: Ta có
( )
22 2
2
22
00
0
00 0
1 11 11
2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2
2 22 24
xcos xdx xd x x x xdx x x x
ππ π
π
ππ
= =−=+
∫∫ ∫
. Chọn A.
Câu 7:
( )
22 2
2 22
0 00
00 0
1 11 1
sin 2 2 2 2 2 sin 2
2 2 2 24
x
x xdx xd cos x xcos x cos xdx cos x x
ππ π
π ππ
=− =− + =−+
∫∫ ∫
. Chọn B.
Câu 8:
( )
( )
( )
44 4
44
4
2
0
00
00 0
tan tan tan tan ln cos
x
dx xd x x x xdx x x x
cos x
ππ π
ππ
π
= =−= −
∫∫ ∫
. Chọn C.
Câu 9:
( )
( )
2 2 2 22 2 2 22
11
11 1 1
11 1
ln ln ln ln ln ln
22 2
ee
ee e e
x xdx xd x x x x d x x x x xdx= =−=−
∫∫ ∫ ∫
. Chọn D.
Câu 10:
(
)
( )
( ) ( )
44 4
4
0
00 0
1 11
1 sin 2 1 2 1 2 2
2 22
x xdx x d cos x x cos x cos xdx
ππ π
π
− =−− =− +
∫∫ ∫
. Chọn C.
Câu 11: Ta có
( )
( )
( ) ( )
22 2
2
0
00 0
2 sin 2 cos 2
x xdx x d x x cosx cosxdx
ππ π
π
− =− =−−
∫∫ ∫
. Chọn A.
Câu 12: Đặt
( )
( ) ( )
1 11
1
0
0 00
ln 1
1
ln 1 ln 1 ln 2 1
11
ux
xdx
x dx x x dx dx
xx
dv dx
= +

⇒ + = +− = −−

++
=

∫ ∫∫
1
0
ln 2 ln 1 1 ln 4xx
= − + =−+

. Do đó suy ra
( )
4
1, 4 3 2 16
b
ab a=− =⇒+ ==
. Chọn C.
Câu 13:
( )
( )
( )
( )
22
11 1
1
11
1 ln ln 2 2 ln 2
22
e
ee e
x xdx xd x x x x x x dx+ = += + − + =
∫∫ ∫
22
2 22
1
2 11 2 1 5 5 1
2
2 22 2 4 4 4 4
e
ee ee
x x ee e
++

= − + = − + +=+


51 3
,
44 2
a c ac
b d bd
⇒= =⇒+=
. Chọn A.
Câu 14:
( ) (
) (
)
1
2
22 2
2 2 22 2
00 0
0
0
31 231 231 6 10212
x x xx x
x e dx x d e x e e dx e e

− = − = − − = +−


∫∫ ∫
10 2 12 12 14 2 14, 2 12e e e a b ab= + − + = − ⇒ = =−⇒ + =
. Chọn A.
Câu 15:
( )
2 33 2 3333 3
11
11 1
1 1 1 11 11112
x ln ln ln x
3 3 3 39 39999
ee
ee e
xdx xd x x x d x e x e e e= = − = − = − +=+
∫∫ ∫
Do đó suy ra
12 1
,
99 3
a c ac
b d bd
= =⇒+=
. Chọn C.
Câu 16:
( ) ( )
( )
( )
22 2 2
11
00 0
4 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 4 2
ee e
ee
x x dx x d x x x xdx e x+ = + = + − = −−
∫∫ ∫
( )
22 2
4 2 1 3 1 3; 1 4 5e e e a b M ab a b= − − += −⇒ = =−⇒ = + + =
. Chọn C.
Câu 17:
22
22 2
22
11
11 1
ln 1 ln ln 2 1 1 1
ln ln 2
2 22
x x dx
dx xd
x xxx x

=− =− + =− −=−


∫∫ ∫
Do đó suy ra
1
,1, 223 4
2
a b c a bc
=− = =⇒ + +=
. Chọn A.
Câu 18:
(
)
2
44
4
4
2
0
0
00 1
21
tan tan tan ln cos ln ln 4
4 4 2 44
x
dx xd x x x xdx x
cos x
ππ
π
π
π ππ
= = − =+ =+=−
∫∫ ∫
Do đó suy ra
4, 4 0a b P ab= =−⇒ = + =
. Chọn C.
Câu 19:
( )
11
11 1
2 2 2 2 22 22 2
00
00 0
3 3 3 33 33333
3
2 2 2 24 24444
x xx x x
xe dx xd e xe e dx e e e e e= = − = − = − += +
∫∫ ∫
Do đó suy ra
33 3
,
44 2
a c ac
b d bd
= =⇒+=
Chọn A.
Câu 20:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
11 1
2 22 2 2
00 0
0
1 11
x ln 1 ln 1 1 1 ln 1 2
2 22
x dx x d x x x xdx+ = + += + + −
∫∫ ∫
1
2
0
11
ln 2 ln 2 1, 2, 1 6
22
x a b c S a b c abc
= − =− ⇒ = = =⇒ =+++ =
. Chọn B.
Câu 21: Đặt
( )
( )
1
1
0
0
3
ln 3 1
31
31
ln 3 1
13 1
3
33
dx
du
ux
x
x
I x dx
x
dv dx
vx
=
= +
+

+
⇒ ⇒= + −

+
=
=+=
∫
8
8
ln 2 1 3 9
3
3
1
a
S ab
b
=
= −⇒ ⇒ = − =
= −
. Chọn D.
Câu 22: Đặt
( )
33
3
0
00
2
cos
3
tan tan
tan
3
ux
du dx
dx
I x x xdx
dx
vx
cosx
dv
cos x
ππ
π
=
=
⇒ ⇒ = − = π+

=
=
∫∫
3
0
3 3 13 3
ln cos ln ln 2
3 3 23 3
xa
π
= π+ = π+ = π− ⇒ = ⇒
phần nguyên của
1a
−
là
1−
. Chọn D.
Câu 23: Đặt
(
)
22
2
4
2
44
sin
cos
cot
cos
sin 4 sin
cot
sin sin
u x du dx
dx
x
I x x dx
dx x
xx
dv v x
xx
ππ
π
π
ππ
= =

π

⇒ ⇒=− + = +
−

= =−=


∫∫
2
4
1 1 11
ln sin ln ln 2 ;
4 4 42 4 2
2
x mn
π
π
π ππ
=+ =− =+ ⇒= =
Do đó
21P mn= +=
Chọn A
Câu 24: Đặt
( )
( ) ( )
2
2
1
1
ln 1
1 ln 1
1
1
dx
ux
du
I x x dx
x
dv dx
vx
= +
=

⇒ ⇒= + + −
+

=
= +
∫
3ln 3 2 ln 2 1 3; 2; 1 0
a b c S abc= − −⇒ = =− =−⇒ = + + =
. Chọn B.
Câu 25: Đặt
(
) ( )
1u x du dx
dv f x dx v f x
=+=


⇒

′′
= =


, khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
( )
11
1
0
00
11x f x dx x f x f x dx
′
+ =+−
∫∫
( ) ( )
( ) ( )
10 2 1 0 2 1 0 10 2 10 8ffIIff⇔= − −⇔= − −=−=−
. Chọn D.
Câu 26: Ta có
(
) ( )
11
00
1
3
f x dx f t dt
= =
∫∫
Lại có:
( ) ( ) ( ) ( )
22 2
00 0
sin 2 . sin 2 sin .cosx. sin 2 sin . sin sinxf xdx x f xdx xf xd x
ππ π
′ ′′
= =
∫∫ ∫
(
)
(
)
22
sin
00
2. 2. 2
ux
u f u du x f x dx I
ππ
=
′′
→ = =
∫∫
Đặt
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
0
0
12
.1
33
u x du dx
I xfx fxdx f
dv f x dx v f x
= =


⇒ ⇒= − = −=

′
= =


∫
Do đó
( )
2
0
4
sin 2 . sin
3
x f x dx
π
′
=
∫
. Chọn A.
Câu 27: Theo giả thiết ta có
( ) ( )
Fx fx
′
=
Đặt
( ) ( )
(
) ( ) ( ) ( )
2
2
1
1
1
1 25 4
u x du dx
I x Fx Fx F
dv f x dx v F x
=−=


⇒ ⇒= − − = −=−

= =


∫
. Chọn C.
Câu 28: Đặt
(
) ( )
u x du dx
dv f x dx v f x
= =


⇒

′
= =


( ) ( ) ( )
(
)
2
2
1
1
. 2 2 1 1 401 3I xfx fxdx f f
⇒ = − = − −= −−=
∫
. Chọn C.
Câu 29:
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
1 1 22
2
0 0 00
1 11
.2 2.2 2 . .
4 44
tx
I x f x dx x f x d x t f t dt x f x dx
=
′ ′ ′′
= = → =
∫ ∫ ∫∫
Đặt
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
0
0
1 1 11
. 2 .4
4 4 24
u x du dx
I xfx fxdx f
dv f x dx v f x
= =


⇒ ⇒= − = −

′
= =


∫
1
.16 1 7
2
= −=
. Chọn D.
Câu 30: Đặt
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
11
1
0
00
.. 1
u x du dx
x f x dx x f x f x dx f I
dv f x dx v f x
= =


′
⇒ ⇒ =−=−

′
= =


∫∫
Suy ra
( ) ( )
1
0
1 . 651I f x f x dx
′
= − =−=
∫
. Chọn A.
Câu 31: Đặt
( )
( )
( ) ( )
( )
2
11
1
22
0
00
2
. 2.
du xdx
ux
x f x dx x f x x f x dx
v fx
dv f x dx
=
=

′′ ′ ′
⇒⇒ =−

′
=
′′
=
∫∫
( ) (
) ( )
( )
22
00
1 12
1 2 . 12 .
2
f
f x f x dx x f x dx
′
−
′′ ′
=− =⇒=
∫∫
Đặt
( )
( )
( ) ( ) ( ) (
) ( )
2
1 11
1
0
0 00
2
.. 1
du xdx
ux
x f x dx x f x f x dx f f x dx
v fx
dv f x dx
=
=

′
⇒ ⇒ =−=−

=
′
=
∫ ∫∫
Khi đó
( )
(
) ( ) ( ) (
)
( ) ( ) (
)
11
00
1 12 1 12 2 1 1 12
11
2 22
f f ff
f f x dx f x dx f
′ ′′
− − −+
=−⇒=− =
∫∫
2 12
5
2
−+
= =
. Chọn D.
Câu 32: Ta có
( ) ( )
( )
.
fx fx
e e fx
′

′
=

Đặt
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
33
3
0
11
.
fx fx fx
fx
fx
ux
du dx
x f x e dx xe e dx
dv f x e dx
ve
=
=

′
⇒⇒ =−

′
=
=
∫∫
( )
3
ln 3
83 3 9 1
f
e e I II⇒= = −=−⇒=
. Chọn A.
Câu 33: Giả sử
( )
( )
F t cos tdt F t cos t
′
= ⇒=
∫
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 22
0
0 2.
x
G x cos tdt F x F G x F x x F x
′

′′
= = −⇒ = =

∫
2
2. 2x cos x xcos x= =
. Chọn A.
Câu 34: Đặt
2
2
t x t x dx tdt= ⇔=⇔ =
và
01
42
xt
xt
= →=
= →=
Do đó
( )
2
0
2.I t f t dt
′
=
∫
. Đặt
( )
( )
u t du dt
dv f t dt v f t
= =


⇔

′
= =


(
)
(
) ( ) ( )
22
2
0
00
. 2 2 2.2 3 1 2
2
I
t f t f t dt f f x dx I
⇒ = − = − = −=⇒=
∫∫
. Chọn A.
Câu 35: Đặt
( ) (
)
(
) (
)
(
)
..
bb
b
a
aa
u x du dx
x f x dx x f x f x dx
dv f x dx v f x
= =


′′ ′ ′
⇒⇒ =−

′′ ′
= =


∫∫
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
. . 3 2 234 4
b
a
bf b af a f x b a f b f a a b u v
′′
= − − = −− − − = + = ⇔ + =


Ta có
(
) (
) ( )
22 2
22 2
23
4
2
3 1 2 3 1 3 4 44
a b uv
uv
P
b a v u uv
+
= + =+≥ ==
+ + + + ++ +
. Vậy
min 2P =
. Chọn B.
Câu 36: Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
ln
fx
du dx
u fx
fx
dv f x dx
v fx
′
=
=


⇔

′
=
=
Suy ra
( ) ( )
( ) (
) ( )
22
2
1
11
ln .lnI f x fx dx fx fx f xdx
′′
= = −
 
 
∫∫
( )
( ) (
) ( ) (
) (
) ( )
( ) ( )
2 .ln 2 1 . ln 1 2 1 2 .ln 2 2 1f ff f fff ff= − − − = −+
 
 
Mà
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 .ln 2 2 0 2I f f f fe=→ −=⇔=


. Chọn C.
Câu 37: Đặt
( )
( )
3
2
3
du f x dx
u fx
x
dv x dx
v
′
=
=

⇒

=
=
, khi đó
( ) (
)
(
)
2
22
33
2
00
0
..
33
xx
x f x dx f x f x dx
′
= −
∫∫
Suy ra
( )
( ) ( )
22
3
3
00
152 8 16
2. .
21 3 3 7
x
f f x dx x f x dx
′′
=− ⇒=
∫∫
Ta chọn k sao cho:
( ) ( ) (
)
2 2 22
2
2
3 3 26
0 0 00
20f x kx dx f x dx k f x x dx k x dx
′ ′′

+= + +=



∫ ∫ ∫∫
( ) ( ) ( )
2
1
2 34
3
0
2 32 128 1 1
00
7 7 7 8 8 8 32
k xx
k k fx x dx fx fx C
−

′′
=+ + =⇒= ⇒ − =⇒ = ⇒ = +


∫
Do
( ) ( ) ( )
2
4
0
5 5 26
23
2 32 2 5
x
f C fx fxdx=⇒=⇒ = +⇒ =
∫
. Chọn C.
Câu 38: Đặt
(
)
( )
4
3
4
du f x dx
u fx
x
dv x dx
v
′
=
=

⇒

=
=
, khi đó
(
)
(
)
( )
3
33
44
3
00
0
..
44
xx
x f x dx f x f x dx
′
= −
∫∫
Suy ra
( )
(
)
( )
33
4
4
00
81 3
567
. . 81
44 4
f
x
f x dx x f x dx
′′
=− ⇒=−
∫∫
Ta có:
( )
( ) ( )
3 3 33
2
2
4 4 28
0 0 00
2f x kx dx f x dx k f x x dx k x dx
′ ′′

+= + +



∫ ∫ ∫∫
( )
( )
( )
3
5
24
0
1 1 39 45
3 2.81 2187 0
27 27 135 5 2
x
k k k f x x fx fxdx
−
′
− + =⇒= ⇒ =− ⇒ = + ⇒ =
∫
. Chọn B.
Câu 39: Đặt
( )
( )
2
2
du f x dx
u fx
x
dv xdx
v
′
=
=

⇒

=
=
, khi đó
( ) ( ) ( )
1
11
22
00
0
...
22
xx
x f x dx f x f x dx
′
= −
∫∫
Suy ra
( )
( ) ( )
11
2
2
00
1
21
..
52 2 5
f
x
f x dx x f x dx
′′
=− ⇒=
∫∫
Ta chọn k sao cho:
( ) (
) ( )
1 1 11
2
2
2 2 24
0 0 00
20f x kx dx f x dx k f x x dx k x dx
′ ′′

+= + +=



∫ ∫ ∫∫
( )
( ) ( )
1
23
2
22
0
12
01 0
55 5 3
kx
k k fx x dx fx x fx C
′′

= + + = ⇒ =−⇒ − = ⇒ = ⇒ = +

∫
Do
( )
( )
( )
1
3
0
2 27
11
3 33 9
x
f C fx fxdx=⇒=⇒ = +⇒ =
∫
. Chọn B.
Câu 40: Đặt
( )
( )
3
2
3
du f x dx
u fx
x
dv x dx
v
′
=
=

⇒

=
=
, khi đó
( ) ( )
( )
2
22
33
2
00
0
..
33
xx
x f x dx f x f x dx
′
= −
∫∫
Suy ra
( ) ( ) (
)
22
3
3
00
40 8
2 . . 16
33 3
x
f f x dx x f x dx
′′
=− ⇒=
∫∫
Ta chọn k sao cho:
( ) ( )
( )
2 2 22
2
2
3 3 26
0 0 00
20f x kx dx f x dx k f x x dx k x dx
′ ′′

+= + +=



∫ ∫ ∫∫
( ) ( ) ( )
2
1
2 34
3
0
128 7 7 7 7
14 32 0 0
7 8 8 8 32
k xx
k k fx x dx fx fx C
−

′′
= + + =⇒= ⇒ − =⇒ = ⇒ = +


∫
Do
( ) ( )
( )
2
4
0
7 7 7 42
27
2 32 2 5
x
f C fx fxdx=⇒=⇒ = +⇒ =
∫
. Chọn C.
| 1/20
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ 9: CÔNG THỨC TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Công thức tích phân từng phần: Nếu u = u (x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn b b [ ;ab] thì u
∫ (x)v′(x)dx = u(x)v(x) b − u′ 
∫ (x)v(x)dx a a a b b Hay b
udv = uv − vdu ∫ ∫ a a a
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần π
Ví dụ 1: Cho tích phân 2
I = x cos xdx ∫ và 2
u = x ; dv = cos xdx . Khẳng định nào sau đây đúng? 0 π π A. 2 I x sin x π = − xsin xdx ∫ . B. 2 I x sin x π = + xsin xdx ∫ . 0 0 0 0 π π C. 2 I x sin x π = + 2 xsin xdx ∫ . D. 2 I x sin x π = − 2 xsin xdx ∫ . 0 0 0 0 Lời giải 2 u  = xdu = 2xdx π Ta có 2  ⇒ 
⇒ I = x sin x π − 2 xsin xdx ∫ . Chọn D. 0 dv = cos xdxv = sin x 0 2
Ví dụ 2: Cho tích phân ∫(2 + ) 2 1 x x
e dx = ae + be + c (a,b,c∈) . Tính 2 2 2
S = a + b + c 0 A. S =13. B. S =10 . C. S = 5. D. S = 8. Lời giải 2 2 u  = 2x +1 du = 2dx Đặt  ⇒ 
⇒ ∫(2x + )1 xedx = (2x + ) 2 1 x x e − e dx = ∫ (2x − ) 2 x 2 1 e = 3e +1 x x 0 0 du = e dxv = e 0 0 Suy ra 2 2 2
a = 3;b = 0;c =1⇒ S = a + b + c =10 . Chọn B. π 2
Ví dụ 3: Cho tích phân I = ∫( 2x + ) 2
1 sin xdx = aπ + bπ + c với a,b,c∈ . Tính 2 2 2
T = a + b + c 0 A. T = 9 . B. T =12 . C. T = 2. D. T =10 . Lời giải 2 u  = x +1 du = 2xdx Đặt  ⇔  dv = sin xdxv = − cos x π π π
Khi đó I = −(x + ) 2 2 2 2
1 cos x + 2 xcos xdx −1+ 2 xcos xdx ∫ ∫ 0 0 0 π 2 u  = xdu = dx
Xét tích phân J = xcos xdx ∫ , ta đặt  ⇔ dv cos xdx  = v = sin x 0 π π π 2 Khi đó π 2 π = 2
J xsin x − sin xdx = + cos x = −1 ∫ 0 2 2 0 0 a = 0 Vậy I 1 b
= π − ⇒  =1 ⇒ T = 2 . Chọn C.c = 1 −  3
Ví dụ 4: Cho tích phân I = ∫( 2 3x + )
1 ln xdx = a ln 3+ bln 2 + c với a,b,c∈ . Khẳng định nào dưới đây là 2 khẳng định đúng?
A. a = 3b . B. a = 3 − b .
C. a + b = 40 .
D. a − b = 20. Lời giảidx  = 3 u ln x  du = Đặt 3  ⇔  ⇒ = + − + dv = ∫  ( x I x x x x 3x +  ) ( 3 )ln ( 2 1 2 ) 2 1 dx  3 2
v = x + x 3 3  x  22
= 30ln 3−10ln 2 −  + x = 30ln3−10ln 2 −
⇒ a = 30;b = 10 − ;c = 3
− b . Chọn B.  3  3 2 4 ln ( x + ) 1
Ví dụ 5: Cho I = dx = . a ln 3+ . b ln 2 + c ∫
, với a,b,c∈ , tổng a + b + c bằng 1 x A. 8. B. 4. C. 12. D. 0. Lời giải  = ln( + )1  dx u x du =   Đặt  2 x ( x +  ⇔ )1 dx  , khi đó = 2( + )1ln( + ) 4 4 1 dx I x x − ∫ v =  1 1 x x v = 2( x +   )1 a = 6 2( x )1ln( x ) 4 4 1 2 x 6.ln 3 4.ln 2 2 . a ln 3 . b ln 2 c b  = + + − = − − = + + ⇒  = 4 − 1 1 c = 2 − 
Vậy tổng a + b + c = 6 − 4 − 2 = 0. Chọn D. π 2
Ví dụ 6: Cho tích phân xsin x a I = dx = π − c ∫
với a,b,c∈
là phân số tối giản. Khẳng định (  và a 1+ cos x)2 b b 0 nào sau đây là đúng?
A. a + b = 3c .
B. a + 2b = c .
C. a + b = 2c .
D. a + 2b = 3c . Lời giải u  = xdu = dx π π 2 Đặt 2   sin  x dx x x ⇒  1 ⇒ I dv = dx = − ∫   ( v = + x + x 1+ cos x)2 1 cos 1 cos 0 0  1+ cos x π π 2 2 1 dx 1 x 1 = π − = π − tan
= π −1⇒ a =1;b = 2;c =1 2 ∫ 2 x 2 2 2 0 0 2cos 2
Do đó a + b = 3c . Chọn A.
Dạng 2: Tích phân từng phần với hàm ẩn 1
Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện ∫(x + )1 f '(x)dx =10 và 2 f ( )1− f (0) = 2. Tính tích phân 0 1 f (x)dx ∫ 0 A. I = 12 − . B. I = 8 . C. I =12. D. I = 8 − . Lời giải u  =  x +1 du = dx 1 1 1 Đặt  ⇔
, khi đó ∫(x + )1 f '(x)dx = (x + )1 f (x) − f ∫ (x)dxdv = f  (x)dx  ′ v = f  (x) 0 0 0 ⇔ 10 = 2 f ( )
1 − f (0) − I ⇔ I = 2 f ( )
1 − f (0) −10 = 2 −10 = 8 − . Chọn D. 2 1
Ví dụ 2: Cho ∫(1−2x) f ′(x)dx = 3f (2)+ f (0) = 2016. Tích phân f (2x)dx ∫ bằng: 0 0 A. 4032. B. 1008. C. 0. D. 2016. Lời giải 2
Xét tích phân ∫(1−2x) f ′(x)dx 0 2 u  =  1− 2x du = 2 − dx Đặt 2  ⇒  ⇒ = − + ∫ dv = f ′ 
(x)dx v = f  (x)
I (1 2x) f (x) 2 f (x)dx 0 0 2 2 2
= 3 f (2) + f (0) + 2 f
∫ (x)dx ⇒ 2016 = 2016 − + 2 f
∫ (x)dx ⇒ f
∫ (x)dx = 2016 0 0 0 1 2 2 Xét J = f
∫ (2x)dx , đặt t dt 1
= 2x ⇒ dt = 2dx , đổi cận suy ra J = f ∫ (t). = f
∫ (x)dx =1008. Chọn B. 2 2 0 0 0 1 f ′(x)
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn điều kiện dx =1 ∫ và f ( )
1 − 2 f (0) = 2. Tính tích phân x +1 0 1 f (x) dx ∫ (x + )2 0 1 A. B. C. D. Lời giải   1  u 1  =  1 f ′(x) f (x) 1 f (x) Đặt  +1 dx x ⇔ du = − , khi đó dx = + dx ∫ ∫ 2 dv = f ′ x +1 x +1 0 x +1 0 0 ( )  (x)  (x + )2 1 dxv = f  (x) f (x) 1  f ( ) 1  Suy ra =
+ I ⇒ I = −  − f ( ) 1  = −  f  ( ) − f ( ) 1 1 1 0 1
1 2 0  =1− .2 = 0 . Chọn A. x 1 2 2  +   2 0 f (x) e
Ví dụ 4: Cho F (x) 2 3
= x + ln x là một nguyên hàm của hàm số
. Tính tích phân f ′ ∫ (x)ln xdx x 1 A. 2
I = e + 3e . B. 2 I = e + 3 . C. 2
I = −e + e . D. 2 I = e + 4 . Lời giải  1 u  =  ln e xdu = dx f x Đặt e  ∫  = ′  ( ) ⇒  x ⇒ I = ln . x f (x) ( ) − dx dv f x dxv = f  (x) 1 x 1 ⇒ = ln ( ) 2 3 − − ln e I xf x x
x = f (e) 2
− e − 2 + 2 = f (e) 2 − e   1 2   Mặt khác ( ) = ′( ) 3ln = 2 x f x xF x x x +  ⇒ f (e) 2 = 2e + 3  x  Do đó 2
I = e + 3 . Chọn B. 1 Ví dụ 5: Cho = ( 3 2 + ) x F x
x e là một nguyên hàm của hàm số ( ) 3 . x
f x e . Tính tích phân = ′ ∫ ( ) 3 . x I f x e dx 0
A. I = e .
B. I = e +1.
C. I = −e +1.
D. I = −e . Lời giải 3x 3  =  = 3 x u e du e dx Đặt  ⇒  dv = f ′ 
(x)dx v = f  (x) 1 1 x ⇒ = ( )1 3 3 − 3 x ∫ ( ) 3x =  ( )−3( 3 2 +  ) 3x I e f x e f x dx e f x x x e  0  0 0 3 2 F′ x Trong đó f (x)
( ) x + 4x + 2x x = =
⇒ I = e − x + x + x = e . Chọn A. x x ( 2 2 )1 3 2 3 2 0 e e 1
Ví dụ 6: Cho hàm số f (x) liên tục và luôn dương trên xdx
 . Biết rằng f ( ) 1 = 2, = ln 2 ∫ . Tính tích f x 0 ( ) 1 2
x . f ′(x) phân I = dx ∫ 2 f x 0 ( )
A. I = 2 + ln 2. B. 1 I = − + ln 2. C. 1 I = − − ln 2 . D. I = 2 − + ln 2 . 2 2 Lời giải 2 u  = xdu = 2xdx Đặt    f ′(x) ⇒  1 dv = dx v = −  2 f  (x)  f  (x) 1 2 1 −x x 1 − 1 ⇒ I = + = + = − + f (x) 2 2ln 2 ln 2 ∫ . Chọn B. f x f 1 2 0 ( ) ( ) 0
Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức tích phân 1
Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0; ] 1 thỏa mãn f ( ) 1 = 6,  f ′ ∫ (x) 2 5  dx =  và 2 0 1 1 x f (x) 5 . dx = ∫ . Tích phân f
∫ (x)dx bằng 2 0 0 A. 23 B. 5 C. 5 D. 19 4 4 2 4 Lời giải  = ( )
du = f ′(x)dx u f x 1 1 2 1 2 Đặt  x x  ⇒ 2  x , khi đó .x f
∫ (x)dx = .f (x) − . f ′ ∫ (x)dx dv = xdxv = 2 2  2 0 0 0 5 f ( ) 1 2 1 1 Suy ra x = − . f ′ ∫ (x) 2
dx ⇒ x . f ′ ∫ (x)dx =1 2 2 2 0 0 1 1 1 1
Ta chọn k sao cho:  f ′ ∫ (x) 2
+ kx dx =  f ′   ∫ (x) 2 2
dx + 2k f ′  ∫ (x) 2 2 4
x dx + k x dx = 0 ∫ 0 0 0 0 2 1 3 k = + + = ⇒ = − ⇒  ′ ∫ ( ) 2 2 −  = ⇒ ′( ) 2 = ⇒ ( ) 5 5 2 0 5 5 0 5 x k k f x x dx f x x f x = + C 2   3 0 3 1 Do f ( ) 13 = ⇒ C =
⇒ f (x) 5x 13 = + ⇒ f ∫ (x) 19 1 6 dx = . Chọn D. 3 3 3 4 0 1
Ví dụ 2: Cho hàm số f (x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0; ] 1 thỏa mãn f ( ) 1 =1,  f ′ ∫ (x) 2 9  dx =  và 5 0 1 1 x f (x) 1 . dx = ∫
. Tích phân I = f
∫ (x)dx bằng 5 0 0 A. 3 I = . B. 1 I = . C. 3 I = . D. 1 I = . 5 4 4 5 Lời giải  = ( )
du = f ′(x)dx u f x Đặt   ⇒ 2  x dv = xdxv =  2 1 1 2 1 1 Do đó ( ) x x f x dx = f (x) 1 2 − x f ′ ∫ (x) 1 1 2 dx = − x f ′ ∫ (x) 1 . . . dx = ∫ 2 2 2 2 5 0 0 0 0 1 1 Suy ra 2 x f ′(x) 3 4 1 . dx = ; x dx = ∫ 5 ∫ 5 0 0 1 2 Chọn k sao cho:  ′ ∫ ( ) 2 2 9 6k k
f x + kx dx = + + = 0 ⇒ k = 3 −   5 5 5 0 1 Như vậy  f ′ ∫ (x) 2 2
− 3x dx = 0 ⇒ f ′(x) 2
= 3x ⇒ f (x) 3 = x + C   0 1 1
Do f ( ) = ⇒ C = ⇒ I = f (x) 3 1 1 1 0 dx = x dx = ∫ ∫ . Chọn B. 4 0 0 1
Ví dụ 3: Cho hàm số f (x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0; ] 1 thỏa mãn f ( ) 3 1 = ,  f ′ ∫ (x) 2 4  dx = và 5  9 0 1 1 3 x f (x) 37 dx = ∫
. Tích phân I =  f
∫ (x)−1 dx  bằng 180  0 0 A. 1 . B. 1 − . C. 1 − . D. 1 . 15 15 10 10 Lời giải  = ( )
du = f '(x)dx u f x Đặt   ⇒ 4  3 x dv = x dxv =  4 1 1 4 1 4 1 4 1 x x x f ′ x Do đó 3
x f (x)dx = f (x) − f ′ ∫ (x) 3 ( ) 4 dx = − dx ⇒ x f ′ ∫ ∫ (x) 2 . . dx = − ∫ 4 4 20 4 9 0 0 0 0 0 1 1 2 Lại có: 8 1 x dx − = ∫ ta chọn k sao cho:  ′ ∫ ( ) 4 4 2 +  = + 2 . k f x kx dx k + = 0 ⇒ k = 2 9   9 9 9 0 0 1 5 Như vậy  ′ ∫ ( ) 4 +  = ⇒ ′( ) 4 = − ⇒ ( ) 2 2 0 2 − x f x x dx f x x f x = + C   5 0 1 Do f ( ) 3 3 2 − C C f (x) 2 − 5 xf ∫ (x) 1 1 1 1 1 dx − = ⇒ = + ⇔ = ⇔ − = ⇒ − = . Chọn B. 5 5 5 5  15 0 3
Ví dụ 4: Cho hàm số f (x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0; ]
3 thỏa mãn f (3) =1,  f ′ ∫ (x) 2 1  dx =  27 0 3 3 và 3 x f (x) 42 dx = ∫
. Tích phân I = f
∫ (x)dx bằng 5 0 0 A. 5 . B. 3 . C. 7 . D. 4 . 2 2 2 Lời giải  = ( )
du = f '(x)dx u f x 3 1 4 3 4 Đặt  x x  ⇒ 4  khi đó 3 x f
∫ (x)dx = .f (x) − f ′ ∫ (x)dx 3 x dv = x dxv = 4 4  4 0 0 0 45 81f (3) 3 4 3 Suy ra x = − . f ′ ∫ (x) 4 dx ⇒ x f ′ ∫ (x)dx = 9 − 2 4 4 0 0 3 3 3 3
Ta chọn k sao cho:  f ′ ∫ (x) 2
+ kx dx =  f ′   ∫ (x) 2 4
dx + 2k f ′  ∫ (x) 4 2 8 x dx + k x dx ∫ 0 0 0 0 5 3 1 2 1 = − k + k = ⇒ k = ⇒ f ′(x) 1 4 = −
x ⇒ f (x) −x 6 = + ⇒ f ∫ (x) 7 2.9 2187 0
dx = . Chọn C. 27 243 243 1215 5 2 0
Ví dụ 5: [Đề tham khảo Bộ Giáo Dục và Đào Tạo 2018] Cho hàm số f (x) có đạo hàm, liên tục trên 1 1 1 đoạn [0; ] 1 thỏa mãn f ( ) 1 = 0,  f ′ ∫ 1  ( x) 2  dx = 7  và 2
x f (x)dx = ∫ . Tích phân f
∫ (x)dx bằng 3 0 0 0 A. 7 . B. 1. C. 7 . D. 4 . 5 4 Lời giải u  = f (x) du ′ = (x)dx 1 1 Đặt 1  ⇒  , khi đó 2 3x f ∫ (x) 3
dx = x . f (x) 3 − x . f ′ ∫ (x)dx 2 3 dv = 3x dx v = x 0 0 0 1 1 1 1 Suy ra I = f ( ) 3
1 − x . f ′(x) 3
dx ⇒ x . f ′(x) 3 dx = 1
− ⇔ 14x . f ′(x)dx = 7 − ∫ ∫ ∫ . Mà 6 49x dx = 7 ∫ suy ra 0 0 0 0 1 1 1 1  f ′ ∫ (x) 2 3
dx + 7x f ′  ∫ (x) 6
dx + 49x dx = 0 ⇔  f ′ ∫ ∫ (x) 2 3 + 7x dx = 0   0 0 0 0 Vậy f ′(x) 3
+ 7x = 0 ⇒ f (x) 7 4 = − x + C 4 1
Mà lại có: f ( ) = ⇒ f (x) 7 = ( 4 − x ) ⇒ f ∫ (x) 7 1 0 1
dx = . Chọn A. 4 5 0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Với u và v là các hàm số xác định và liên tục trên đoạn [ ;
a b]. Công thức biểu diễn tích phân từng
phần được cho bởi công thức nào sau đây? b b b b A. b
udv = uv − udv ∫ ∫ B. b
udv = uv − vdu ∫ ∫ a a a a a a b b b b C. b
udv = uv + udv ∫ ∫ D. b
udv = uv − vdu ∫ ∫ a a a a a a 3
Câu 2: Cho tích phân I = ln xdx ∫
, biểu thức nào sau đây thể hiện đúng cách tính I theo công thức tích 2 phân từng phần 3 3
A. I = (xln x) 3 − dx ∫
B. I = (xln x) 3 + xdx ∫ 2 2 2 2 3 3
C. I = (xln x) 3 − ln xdx ∫
D. I = (xln x) 3 + ln xdx ∫ 2 2 2 2 b
Câu 3: Khi tính tích phân xsin 2xdx ∫
thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng a phần? u  = sin 2x u  = x u  = sin 2x u  = x A.B.C.D.  dv = xdxdv = sin 2xdxdv = xdv = sin x b
Câu 4: Khi tính tích phân xln xdx ∫
thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng phần? a u  = x u  = ln x u  = ln x u  = x A.B.C.D.  dv = ln xdxdv = xdv = xdxdv = ln x b
Câu 5: Khi tính tích phân xsin 2xdx ∫
thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng a phần? u  = x u  = sin 2x u  = sin 2x u  = x A.B.C.D.  dv = sin xdv = xdxv = xdv = sin 2xdx π 2
Câu 6: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân xcos2xdx ∫ 0 π π π π A. 2 2 xsin 2x cos 2x I = + B. 2 2 xsin 2x cos 2x I = + 2 4 2 2 0 0 0 0 π π π π C. 2 2 xsin 2x cos 2x I = + D. 2 2 xsin 2x cos 2x I = − 4 4 x 4 0 0 0 0 π 2
Câu 7: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân I = xsin 2xdx ∫ 0 π π π π A. 2 2 x 1
I = cos2x − sin 2x B. 2 2 x 1
I = − cos2x + sin 2x 2 4 2 4 0 0 0 0 π π π π C. 2 2 x 1
I = − cos2x + sin 2x D. 2 2 x 1
I = − cos2x − sin 2x 2 2 2 4 0 0 0 0 π 4
Câu 8: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân x dx ∫ 2 cos x 0 π π π π
A. I = −(x tan x) 4 + ln(cos x) 4
B. I = (x tan x) 4 − ln(cos x) 4 0 0 0 0 π π π π
C. I = (x tan x) 4 + ln(cos x) 4
D. I = −(x tan x) 4 − ln(cos x) 4 0 0 0 0 e
Câu 9: Cho tích phân 2
I = x ln xdx ∫
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 e e e A. 1 2 2
I = x ln x + x ln xdx = ln e I x
x + x ln xdx 2 ∫ B. 2 2 ∫ 1 1 1 1 e e e C. 2 2 = ln e I x
x − x ln xdx ∫ D. 1 2 2
x ln x − x ln xdx ∫ 1 2 1 1 1 π 4
Câu 10: Cho tích phân (x − ∫ )
1 sin 2xdx . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 π π π 4 4
A. I = −(x − ) 1 4 1 cos2x + cos2xdx ∫
B. I = −(x − )
1 cos2x − cos2xdx ∫ 0 2 0 0 π π π π 4 4 C. 1 I = ( − x) 4 1 1 cos2x + cos2xdx 4 1 1
I = 1− x cos2x − cos2xdx 2 2 ∫ D. ( ) 2 2 ∫ 0 0 0 0 π 2
Câu 11: Cho tích phân ∫(2− x)sin xdx và đặt u = 2− x, dv = sin xdx . Hỏi khẳng định nào sau đây đúng? 0 π π π 2 π 2
A. I = −(2 − x) 2 cosx − cosxdx ∫
B. I = −(2 − x) 2 cosx − cosxdx ∫ 0 0 0 0 π π π 2 π 2
C. I = (2 − x) 2 cosx + cosxdx ∫
D. I = (2 − x) 2 + cosxdx ∫ 0 0 0 0 1
Câu 12: Biết rằng ln
∫ (x+ )1dx = a +lnb với a,b là các số nguyên. Tính ( 3)b a + 0 A. 25 B. 1 C. 16 D. 1 7 9 e
Câu 13: Biết ∫(x + ) a c 2
1 ln xdx = + e với a và c là hai phân số tối giản. Tính a c + b d b d b d 1 A. 3 B. 5 C. 1 D. 5 2 4 2 2 2 x
Câu 14: Biết ∫(3x − ) 2
1 e dx = a + be với a,b là các số nguyên. Tính S = a + b 0 A. S =12 B. S =16 C. S = 8 D. S =10 e Câu 15: Biết 2 a 3 x ln c xdx = e + ∫
với a và c là hai phân số tối giản. Tính a c + b d b d b d 1 A. a c 1 + = − B. a c 1 + = C. a c 1 + = − D. a c 1 + = − b d 9 b d 9 b d 3 b d 3 e
Câu 16: Biết 4 x ∫ (1+ln x) 2
dx = ae + b với a,b là các số nguyên. Tính M = ab + 4(a + b) 0 A. M = 5 − B. M = 2 − C. M = 5 D. M = 6 − 2
Câu 17: Biết ln x b dx = + a ln 2 ∫
với a ∈ và c là hai phân số tối giản. Tính 2a + 3b + c 2 x c d 1 A. 4 B. 6 − C. 6 D. 5 π 4 Câu 18: Biết x π 1 dx = + ln 4 ∫
với a,b là các số thực khác 0 . Tính P = a + b 2 cos x a b 0 A. P = 2 B. P = 6 C. P = 0 D. P = 8 1 Câu 19: Biết 2 2 3 x a c xe dx = + e ∫
với a và c là hai phân số tối giản. Tính a c + b d b d b d 0 A. 3 B. 3 C. 5 D. 7 2 4 4 2 1 Câu 20: Biết x ln ∫ ( 2 1+ ) a
x dx = − + c ln 2 với a,b,c ∈ và a là phân số tối giản b b 0 A. 9 B. 6 C. 15 D. 12 1 Câu 21: Biết ln
∫ (3x+ )1dx = aln2+b với a,b∈. Tính S = 3a −b 0 A. S = 7 B. S =11 C. S = 8 D. S = 9 π 3 Câu 22: Biết x dx = aπ−ln2 ∫
với a ∈ . Hỏi phần nguyên của a −1 là bao nhiêu? 2 cos x 0 A. 1 B. 2 − C. 0 D. 1 − π 2 Câu 23: Biết
x dx = mπ+nln2 ∫ với ,
m n∈ . Tính P = 2m + n 2 π sin x 4 A. P =1 B. P = 0,75 C. P = 0,25 D. P = 0 2 Câu 24: Biết ln
∫ (x+ )1dx = aln3+bln2+c với a,b,c∈ . Tính S = a +b+c 1 A. S =1 B. S = 0 C. S = 2 D. S = 2 − 1 1
Câu 25: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn ∫(x + )1 f ′(x)dx =10 và 2 f ( )1− f (0) = 2. Tính f (x)dx ∫ 0 0 A. I = 12 − B. I = 8 C. I =1 D. I = 8 − π 1 2
Câu 26: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f ( ) 1 =1 và f (t) 1 dt = ∫ . Tính sin 2 .x f ′ ∫ (sin x)dx 3 0 0 A. 4 I = B. 2 I = C. 1 I = D. 2 I − = 3 3 3 3 2
Câu 27: Cho hàm số f (x) có nguyên hàm là F (x) trên đoạn [1;2], F (2) =1 và F
∫ (x)dx = 5. Tính 1 2 (x− ∫ )
1 f (x)dx 1 A. I = 3 − B. I = 6 C. I = 4 − D. I =1 2
Câu 28: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [1;2] thỏa mãn f ( )
1 = 0, f (2) = 2 và f
∫ (x)dx =1. Tính 1 2 .xf ′ ∫ (x)dx 1 A. I = 2 B. I =1 C. I = 3 D. I = 8 2 1
Câu 29: Cho f (x) liên tục trên  và f (2) =16, f
∫ (x)dx = 4. Tính .xf ′ ∫ (2x)dx 0 0 A. I =13 B. I =12 C. I = 20 D. I = 7
Câu 30: Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; ]
1 và thỏa mãn điều kiện 1 1 f ( ) 1 = 6, .x f ′ ∫
(x)dx = 5 . Tính I = f ∫ (x)dx 0 0 A. I =1 B. I = 1 − C. I =11 D. I = 3 1 1
Câu 31: Cho hàm số f (x) thỏa mãn 2 x f ′′ ∫
(x)dx =12 và 2 f ( ) 1 − f ′( ) 1 = 2
− . Tính I = f ∫ (x)dx 0 0 A. I =10 B. I =14 C. I = 8 D. I = 5 3 3
Câu 32: Cho hàm số f (x) thỏa mãn .x f ′ ∫ (x) f(x)
e dx = 8 và f (3) = ln 3 . Tính f (x) I = e dx ∫ 1 0 A. I =1 B. I =11
C. I = 8 − ln 3 D. I = 8 + ln 3 2 x
Câu 33: Cho hàm số G(x) = cos tdt ∫
. Hỏi khẳng định nào sau đây đúng? 0
A. G′(x) = 2xcos x
B. G′(x) = 2xcos x
C. G′(x) = xcos x
D. G′(x) = 2xsin x 2 4
Câu 34: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f
∫ (x)dx = 3 và f (2) = 2 . Tính I = f ′ ∫ ( x)dx 0 0 A. I = 2 B. I = 3
C. I = 5 D. I =1 b
Câu 35: Cho hàm số f (x) thỏa mãn .x f ′′ ∫
(x)dx = 4 và a,b là các số thực dương, đồng thời a 2 2 f ′(a) = 2;
− f ′(b) = 3 và f (a) = f (b) . Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a 9b P = + 3b +1 2a + 3 A. 23 min P = B. min P = 2 C. 784 min P = D. 5 min P = 20 391 2 2
Câu 36: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ′
∫ (x)ln  f (x)dx =1  và f ( )
1 =1, f (2) >1. Tính f (2) 1 A. f (2) = 2 B. f (2) = 3
C. f (2) = e D. f ( ) 2 2 = e 2
Câu 37: Cho hàm số f (x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn f (2) = 3,  f ′ ∫ (x) 2 2  dx =  và 7 0 2 2 2 x f (x) 152 dx = ∫
. Tích phân I = f
∫ (x)dx bằng 21 0 0 A. I = 2 B. 23 I = C. 26 I = D. 2 I = 5 5 5 3
Câu 38: Cho hàm số f (x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0; ]
3 thỏa mãn f (3) = 6 ,  f ′
∫ (x) 2 dx = 3  và 0 3 3 3 x f (x) 567 dx = ∫
. Tích phân I = f
∫ (x)dx bằng 4 0 0 A. 2 B. 45 C. 5 D. 2 5 2 4 1
Câu 39: Cho hàm số f (x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0; ] 1 thỏa mãn f ( ) 1 =1,  f ′ ∫ (x) 2 1  dx =  và 5 0 1 1 x f (x) 2 . dx = ∫
. Tích phân I = f
∫ (x)dx bằng 5 0 0 A. 5 I = B. 7 I = C. 1 I = D. 4 I = 4 9 4 5 2
Câu 40: Cho hàm số f (x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn f (2) = 7 ,  f ′
∫ (x) 2 dx =14  và 0 2 2 2 x f (x) 40 dx = ∫
. Tích phân I = f
∫ (x)dx bằng 3 0 0 A. 19 I = B. 6 I = C. 42 I = D. 29 I = 5 5 5 5
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN b b Câu 1: Ta có b
udv = uv − vdu ∫ ∫ . Chọn D. a a a 3 3 3 Câu 2: 3
I = ln xdx = x ln x − xd ∫ ∫ (ln x) 3
= x ln x − dx ∫ . Chọn A. 2 2 2 2 2 u  = x Câu 3: Đặt  . Chọn B.dv = sin 2xdx u  = ln x Câu 4: Đặt  . Chọn C.dv = xdx u  = x Câu 5: Đặt  . Chọn D.dv = sin 2xdx π π π π 2 2 2 π π Câu 6: Ta có 1 xcos2xdx = xd ∫ ∫ (sin2x) 2 1 1 1 1 = − = 2 + 2 xsin 2x sin 2xdx xsin 2x cos 2x ∫ . Chọn A. 0 0 2 2 2 2 4 0 0 0 0 π π π π π π 2 2 2 Câu 7: 1 x xdx = − xd ∫ ∫ (cos x) 2 2 2 1 1 x 1 sin 2 2 = − xcos2x +
cos2xdx = − cos2x + sin 2x 2 2 2 ∫ . Chọn B. 2 4 0 0 0 0 0 0 π π π 4 4 π 4 π π Câu 8: x dx = xd ∫ ∫ (tan x) = 4
x tan x − tan xdx = x tan x − ln cos x . Chọn C. 2 ∫ ( ) 4 ( ) 4 0 0 0 cos x 0 0 0 e e e e e e Câu 9: 2 1 2 x ln xdx = ln xd ∫ ∫ ( 2x) 1 2 2 2
= x ln x − x d ∫ ( 2 ln x) 1 2 2
= x ln x − x ln xdx 2 2 2 ∫ . Chọn D. 1 1 1 1 1 1 π π π π 4 4 4
Câu 10: ∫(x − ) 1
xdx = − ∫(x − )d (cos x) 1 = ( − x) 4 1 1 sin 2 1 2 1 cos2x + cos2xdx 2 2 2 ∫ . Chọn C. 0 0 0 0 π π π 2 2 π 2
Câu 11: Ta có ∫(2− x)sin xdx = ∫(x −2)d (cos x) = (x −2) 2 cosx − cosxdx ∫ . Chọn A. 0 0 0 0 u  = ln (x + ) 1 1 1 1 Câu 12: Đặt 
∫ (x )dx x (x )1 xdx  1 ln 1 ln 1 dx ln 2 ∫ ∫1  ⇒ + = + − = − −  dx 0 dv = dx x +1  x +1 0 0 0  1
= ln 2 x − ln x +1 = 1 − + ln 4 b  
. Do đó suy ra a = − b = ⇒ (a + ) 4 1, 4 3 = 2 =16 . Chọn C. 0 e e e e
Câu 13: (x + ) xdx = xd ( 2 x + x) 1 = ( 2 x + x) 1 1 ln ln 2
2 ln x − ∫(x + 2)dx = ∫ ∫ 2 2 1 1 1 1 2 e 2 e + 2e 1  1 2  e + 2e  1 2  5 5 1 2 = − x + 2x = − e + e + = +     e 2 2  2  2  4  4 4 4 1 a 5 c 1 a c 3
⇒ = , = ⇒ + = . Chọn A. b 4 d 4 b d 2 1 2 2 x 2 x x 2 x x  
Câu 14: ∫(3x − ) 2
1 e dx = 2∫(3x − ) 2
1 d e  = 2(3x − ) 2 2 2
1 e − 6 e dx =10e + 2 −12e ∫ 0 0   0 0 0
= 10e + 2 −12e +12 =14 − 2e ⇒ a =14,b = 2
− ⇒ a + b =12 . Chọn A. e e e e e Câu 15: 2 1 x ln xdx = ln xd ∫ ∫ ( 3x) 1 3 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1 2 3 = x ln x −
x dx = e − x = e − e + = + e 3 3 3 ∫ 3 9 3 9 9 9 9 1 1 1 1 1
Do đó suy ra a 1 c 2 a c 1
= , = ⇒ + = . Chọn C. b 9 d 9 b d 3 e e e
Câu 16: 4∫ (1+ln ) = 2∫(1+ln ) ( 2) 2 = 2 (1+ ln ) e 2 2 − 2 = 4 − 2 e x x dx x d x x x xdx e − x ∫ 1 1 0 0 0 2 2 2
= 4e − 2 − e +1 = 3e −1⇒ a = 3;b = 1
− ⇒ M = ab + 4(a + b) = 5 . Chọn C. 2 2 2 2 2 Câu 17: ln x  1  ln x dx ln 2 1 1 1 dx = − ln xd = − + = − − = − ∫ ∫   ln 2 2 ∫ 2 xx x x 2 x 2 2 1 1 1 1 1 Do đó suy ra 1
a = − ,b =1,c = 2 ⇒ 2a + 3b + c = 4 . Chọn A. 2 π π 4 4 π 2 π Câu 18: x π π 2 π 1
dx = xd tan x = x tan x − tan xdx = + ln cos x = + ln = − ln 4 ∫ 2 ∫ ( ) 4 4 ∫ 0 0 cos x 4 4 2 4 4 0 0 1
Do đó suy ra a = 4,b = 4
− ⇒ P = a + b = 0. Chọn C. 1 1 1 Câu 19: 2x 3 xe dx = xd ∫ ( 2x e ) 1 1 3 2x 3 2x 3 2 3 2x 3 2 3 2 3 3 2 3 3 = xe −
e dx = e − e
= e − e + = e + ∫ 2 2 2 ∫ 2 4 2 4 4 4 4 0 0 0 0 0
Do đó suy ra a 3 c 3 a c 3
= , = ⇒ + = Chọn A. b 4 d 4 b d 2 1 1 1 1 Câu 20: ∫ ( 2 + x ) 1 dx = ∫ ( 2 + x )d ( 2 x + ) 1 = ( 2 x + ) ( 2 x + ) 1 x ln 1 ln 1 1 1 ln 1 − 2xdx 2 2 2 ∫ 0 0 0 0 1 1 2 1
= ln 2 − x = − ln 2 ⇒ a =1,b = 2,c =1⇒ S = a + b + c + abc = 6 . Chọn B. 2 2 0  3dx u  = ln (3x + ) du = 1 1 1  Câu 21: Đặt  3x +1 3x +1  ⇒  ⇒ I = ln (3x + ) 1 − dx ∫ dv = dx 1 3x +1 3  0 0 v = x + =  3 3  8 8 a = = ln 2 −1⇒ 
3 ⇒ S = 3a − b = 9 . Chọn D. 3 b  = 1 − u  = x π π π 3 3  du = dx 3 d (cos x) Câu 22: Đặt  ⇒  ⇒ = 3 dx
I x tan x − tan xdx = π + ∫ ∫ 0 dv = v = tan x 3 cosx 2 0 0  cos x 3 π 3 1 3 3 3 = π + ln cos x = π + ln = π − ln 2 ⇒ a =
⇒ phần nguyên của a −1 là 1 − . Chọn D. 0 3 3 2 3 3 u  = xdu = dx π π π 2 2   cos x π d (sin x) Câu 23: Đặt 2  dx ⇒ 
− cos x ⇒ I = −x cot x + = + π dx ∫ ∫ dv = v = −cot x =   π sin x 4 π sin x 2 4  sin x  sin x 4 4 π π π 1 π 1 1 1 2 = + ln sin x = − = + ⇒ = = π ln ln 2 m ;n 4 4 2 4 2 4 2 4
Do đó P = 2m + n =1Chọn A u  = ln (x + )  dx 2 1  = Câu 24: du Đặt  ⇒ 
x +1 ⇒ I = (x + ) 1 ln (x + ) 2 1 − dx ∫ 1 dv = dx  1 v = x +1
= 3ln 3− 2ln 2 −1⇒ a = 3;b = 2 − ;c = 1
− ⇒ S = a + b + c = 0 . Chọn B. u  =  x +1 du = dx 1 1 Câu 25: Đặt 1  ⇒
, khi đó ∫(x + )1 f ′(x)dx = (x + )1 f (x) − f ∫ (x)dx dv = f  (x)dx  ′ v = f ′  (x) 0 0 0 ⇔ 10 = 2 f ( )
1 − f (0) − I ⇔ I = 2 f ( )
1 − f (0) −10 = 2 −10 = 8 − . Chọn D. 1 1
Câu 26: Ta có f (x)dx = f (t) 1 dt = ∫ ∫ 3 0 0 π π π 2 2 2
Lại có: sin 2 .x f ′ ∫
(sin x)dx = 2 sin .xcosx.f ′ ∫
(sin x)dx = 2 sin .xf ′ ∫
(sin x)d (sin x) 0 0 0 π π 2 2 u=sin x → 2 . u f ′ ∫
(u)du = 2 .xf ′ ∫
(x)dx = 2I 0 0 1 u  =  x du = dx Đặt 1 1 2  ⇒  ⇒ = − = − = ∫ dv = f ′ 
(x)dx v = f
(x) I .xf (x)
f (x)dx f ( ) 1 0 3 3 0 π 2 Do đó x f ′( x) 4 sin 2 . sin dx = ∫ . Chọn A. 3 0
Câu 27: Theo giả thiết ta có F′(x) = f (x) 2 u  =  x −1 du = dx Đặt 2  ⇒  ⇒ = − − = − = − ∫ . Chọn C.dv = f
(x)dx v = F
(x) I (x ) 1 F (x)
F (x) F (2) 5 4 1 1 u  =  x du = dx Câu 28: Đặt  ⇒ dv = f  (x)dx  ′ v = f  (x) 2 ⇒ I = .
x f (x) 2 − f
∫ (x)dx = 2 f (2)− f ( )1−1= 4−0−1= 3. Chọn C. 1 1 1 1 2 2
Câu 29: I = x f ′ ∫ ( x) 1 dx = x f ′ ∫
( x)d ( x) t=2x 1  → t f ′ ∫ (t) 1 . 2 2 . 2 2 . dt = .x f ′ ∫ (x)dx 4 4 4 0 0 0 0 2 2 u  =  x du = dx Đặt 1 1 1 1  ⇒  ⇒ = − = − ∫ dv = f ′ 
(x)dx v = f  (x) I .x f (x) f (x)dx f (2) .4 4 4 2 4 0 0 1
= .16 −1 = 7 . Chọn D. 2 1 1 u  =  x du = dx Câu 30: Đặt 1  ⇒  ⇒ ′ = − = − ∫ ∫ dv = f ′ 
(x)dx v = f  (x)
.x f (x)dx .x f (x)
f (x)dx f ( ) 1 I 0 0 0 1 Suy ra I = f ( ) 1 − .x f ′ ∫
(x)dx = 6−5 =1. Chọn A. 0 2 1 1 u  = x du = 2xdx Câu 31: Đặt 1 2 2  ⇒  ⇒ ′′ = ′ − ′ ∫ ∫ dv = f ′′ 
(x)dx v = f ′  (x)
x f (x)dx x . f (x)
2 .x f (x)dx 0 0 0 2 2 ′ −
= f ′( ) − x f ′(x)dx = ⇒ x f ′(x) f ( ) 1 12 1 2 . 12 . dx = ∫ ∫ 2 0 0 2 1 1 1 u  = x du = 2xdx Đặt 1  ⇒  ⇒ ′ = − = − ∫ ∫ ∫ dv = f ′ 
(x)dx v = f  (x)
.x f (x)dx .x f (x)
f (x)dx f ( ) 1 f (x)dx 0 0 0 0 f ′( ) 1 1 1 −12
f ′ 1 −12 2 f 1 − f ′ 1 +12 Khi đó = f ( ) 1 − f
∫ (x)dx ⇒ f
∫ (x)dx = f ( ) ( ) ( ) ( ) 1 − = 2 2 2 0 0 2 − +12 = = 5. Chọn D. 2
Câu 32: Ta có f (x) ′ f (x)
e  = e . f ′(x)   3 3 u  =  x du = dx Đặt  ⇒  ⇒
.x f ′ x e dx = xe − e dx f x ∫ ( ) f(x) f (x) 3 f (x) ∫ dv = f ′  (x) ( ) f (x) 0 e dx v = e 1 1 f (3) ln3 ⇒ 8 = 3e
= 3e − I = 9 − I ⇒ I =1. Chọn A.
Câu 33: Giả sử F (t) = cos tdt ⇒ F′ ∫ (t) = cos t 2 x
Ta có: G (x) = cos tdt = F ∫
( 2x)− F (0)⇒ G′(x) = F  ( 2 x ) ′   = 2 .xF′  ( 2x) 0 2 = 2 .
x cos x = 2xcos x . Chọn A.
x = 0 → t =1 Câu 34: Đặt 2
t = x ⇔ t = x ⇔ dx = 2tdt và 
x = 4 → t = 2 2 u  =  t du = dt
Do đó I = 2t. f ′ ∫
(t)dt . Đặt  ⇔ dv = f  (t)dt  ′ v = f  (t) 0 2 2 I
⇒ = t. f (t) 2 − f
∫ (t)dt = 2 f (2)− f
∫ (x)dx = 2.2−3 =1⇒ I = 2. Chọn A. 0 2 0 0 b b u  =  x du = dx Câu 35: Đặt b  ⇒  ⇒ ′′ = ′ − ′ ∫ ∫ dv = f ′′ 
(x)dx v = f ′  (x)
.x f (x)dx .x f (x) f (x)dx a a a = . b f ′(b) − .
a f ′(a) − f (x) b = 3b − ( 2 − a) −  f
 (b) − f (a) = 2a + 3b = 4 ⇔ u + v = 4 a ( a)2 ( b)2 u v (u + v)2 2 2 2 2 3 Ta có 4 P = + = + ≥ =
= 2 . Vậy min P = 2. Chọn B.
3b +1 2a + 3 v +1 u + 3 u + v + 4 4 + 4  f ′ x u  =  ln  f  ( x) ( )  du = dx Câu 36: Ta có  ⇔  f (x) dv = f ′ 
(x)dx v = f  (x) 2 2 Suy ra I = f ′
∫ (x)ln  f (x)dx = f  (x).ln  f  ( x) 2  − f ′  ∫ (x)dx 1 1 1 = f (2).ln  f  (2) − f  ( ) 1 .ln f  ( ) 1  −  f   (2) − f ( ) 1  = f  (2).ln  f  (2) − f  (2)+1
Mà I =1→ f (2).ln  f  (2) − f
(2) = 0 ⇔ f (2) = e . Chọn C.  = ( )
du = f ′(x)dx u f x 2 2 3 2 3 Câu 37: Đặt  x x  ⇒ 3  , khi đó 2 x f
∫ (x)dx = .f (x) − . f ′ ∫ (x)dx 2 x dv = x dxv = 3 3  3 0 0 0 2 3 2 Suy ra 152 8 = ( ) x f − f ′ ∫ (x) 3 dx ⇒ x f ′ ∫ (x) 16 2 . . dx = 21 3 3 7 0 0 2 2 2 2
Ta chọn k sao cho:  f ′ ∫ (x) 2
+ kx dx =  f ′   ∫ (x) 2 3
dx + 2k f ′  ∫ (x) 3 2 6
x dx + k x dx = 0 ∫ 0 0 0 0 2 1 2 3 4 2 32 128k 1 = + + = 0 −  ⇒ = ⇒ ∫ ( ) 1 3 ′ − = 0 ⇒ ′( ) x = ⇒ ( ) x k k f x x dx f x f x = + C 7 7 7 8  8    8 32 0 4 2 Do f ( ) 5
= ⇒ C = ⇒ f (x) x 5 = + ⇒ f ∫ (x) 26 2 3 dx = . Chọn C. 2 32 2 5 0  = ( )
du = f ′(x)dx u f x 3 3 4 3 4 Câu 38: Đặt  x x  ⇒ 4  , khi đó 3 x f
∫ (x)dx = .f (x) − . f ′ ∫ (x)dx 3 x dv = x dxv = 4 4  4 0 0 0 567 81f (3) 3 4 3 Suy ra x = − . f ′ ∫ (x) 4
dx ⇒ x . f ′ ∫ (x)dx = 81 − 4 4 4 0 0 3 3 3 3 Ta có:  f ′ ∫ (x) 2
+ kx dx =  f ′   ∫ (x) 2 4
dx + 2k f ′  ∫ (x) 4 2 8 x dx + k x dx ∫ 0 0 0 0 5 3 2 1 − k + k = ⇒ k = ⇒ f ′(x) 1 4 = −
x ⇒ f (x) −x 39 = + ⇒ f ∫ (x) 45 3 2.81 2187 0 dx = 27 27 135 5 2 0 . Chọn B.  = ( )
du = f ′(x)dx u f x 1 1 2 1 2 Câu 39: Đặt  x x  ⇒ 2  x , khi đó .x f
∫ (x)dx = .f (x) − . f ′ ∫ (x)dx dv = xdxv = 2 2  2 0 0 0 2 f ( ) 1 2 1 1 Suy ra x = − f ′ ∫ (x) 2 dx ⇒ x f ′ ∫ (x) 1 . . dx = 5 2 2 5 0 0 1 1 1 1
Ta chọn k sao cho:  f ′ ∫ (x) 2
+ kx dx =  f ′   ∫ (x) 2 2
dx + 2k f ′  ∫ (x) 2 2 4
x dx + k x dx = 0 ∫ 0 0 0 0 2 1 3 1 2 k = + + = 0 ⇒ = 1 − ⇒  ′ ∫ ( ) 2 2 −  = 0 ⇒ ′( ) 2 = ⇒ ( ) x k k f x x dx f x x f x = + C 5 5 5   3 0 3 1 Do f ( ) 2
= ⇒ C = ⇒ f (x) x 2 = + ⇒ f ∫ (x) 7 1 1
dx = . Chọn B. 3 3 3 9 0  = ( )
du = f ′(x)dx u f x 2 2 3 2 3 Câu 40: Đặt  x x  ⇒ 3  , khi đó 2 x f
∫ (x)dx = .f (x) − . f ′ ∫ (x)dx 2 x dv = x dxv = 3 3  3 0 0 0 2 3 2 Suy ra 40 8 = (2) x f − . f ′ ∫ (x) 3
dx ⇒ x . f ′ ∫ (x)dx =16 3 3 3 0 0 2 2 2 2
Ta chọn k sao cho:  f ′ ∫ (x) 2
+ kx dx =  f ′   ∫ (x) 2 3
dx + 2k f ′  ∫ (x) 3 2 6
x dx + k x dx = 0 ∫ 0 0 0 0 2 1 2 3 4 128k 7 −  = + + = ⇒ = ⇒ ∫ ( ) 7 3 ′ − = ⇒ ′( ) 7x = ⇒ ( ) 7 14 32 0 0 x k k f x x dx f x f x = + C 7 8  8    8 32 0 4 2 Do f ( ) 7
= ⇒ C = ⇒ f (x) 7x 7 = + ⇒ f ∫ (x) 42 2 7 dx = . Chọn C. 2 32 2 5 0
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1