Chuyên đề trắc nghiệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12

Tài liệu gồm 48 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 1.

22 11 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

48 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
▪ Định nghĩa 1: Cho hàm số
( )
y fx=
xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng
( )
;a
+∞
;
(
)
;
b
−∞
hoặc
( )
;
−∞ +∞
). Đường thẳng
0
yy=
là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị
hàm số
( )
y fx=
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
00
lim ; lim .
xx
yy yy
→+∞ →−∞
= =
▪ Định nghĩa 2: Đường thẳng
0
xx=
là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
( )
y fx=
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
0
lim .
xx
y
−
→
= −∞
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số
Phương pháp giải:
Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
(
)
y fx
=
ta thực hiện các bước sau:
▪ Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) của hàm số
(
)
y fx=
▪ Bước 2: Tìm giới hạn của
( )
fx
khi x tiến đến biên của miền xác định.
▪ Bước 3: Từ các giới hạn và định nghĩa tiệm cận suy ra phương trình các đường tiệm cận.
Đặc biệt: Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
( )
( )
fx
y
gx
=
ta có thể làm như sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định D.
- Bước 2:
+) Tìm tiệm cận ngang: Ta tính các giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
→+∞ →−∞
và kết luận tiệm cận ngang
+) Tìm tiệm cận đứng: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp hoặc phân tính nhân tử để đơn giản biểu thức
(
)
( )
fx
gx
về dạng tối giản nhất có thể từ đó kết luận về tiệm cận đứng.
Chú ý:
- Nếu bậc của
( )
fx
nhỏ hơn hoặc bằng bậc của
(
)
gx
thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
- Nếu bậc của
( )
fx
lớn hơn bậc của thì
( )
gx
đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:
a)
( )
2
2
.
1
x
yC
x
−
=
−
b)
( )
2
2
2 51
.
54
xx
yC
xx
++
=
−+
Lời giải
a) TXĐ:
{ }
\ 1;1D = −
. Ta có:
22
2
2
21
2
lim lim lim 0 0
1
1
1
xx x
x
xx
yy
x
x
→±∞ →±∞ →±∞
−
−
= = =⇒=
−
−
là tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số.
Mặt khác
1
lim
x
y
→
= ∞
và
( )
1
lim
x
y
→−
= ∞
nên
1x =
và
1x = −
là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
b) TXĐ:
{ }
\ 1; 4D =
.
Ta có:
(
)(
)
2
11
2 51
lim lim
14
++
→→
++
= = −∞
−−
xx
xx
y
xx
(hoặc
(
)(
)
2
11
2 51
lim lim
14
xx
xx
y
xx
−−
→→
++
= = +∞
−−
) nên đường thẳng
1x =
là
tiệm cận đứng của (C).
Tương tự đường thẳng
4x =
cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Lại có:
2
2
2
2
51
2
2 51
lim lim lim 2
54
54
1
xx x
xx
xx
y
xx
xx
→±∞ →±∞ →±∞
++
++
= = =
−+
−+
nên đường thẳng
2y =
là tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số đã cho.
Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau
a)
2
32
.
1
xx
y
x
+−
=
−
b)
2
2
43
.
74
xx
y
x
−+
=
+−
Lời giải
a) TXĐ:
[
) { }
3; \ 1 .D = − +∞ ±
Ta có:
2
32
lim lim 0 0
1
xx
xx
yy
x
→+∞ →+∞
+−
= =⇒=
−
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Mặt khác
( )( )
( )( )
( )( )
2
2
11 1 1
1 34
34
32
32 32
lim lim lim lim
11 11
1
xx x x
xx
xx
xx
xx xx
y
xx xx
x
→→ → →
−+
+−
+−
++ ++
= = =
−+ −+
−
( )
( )
1
34 7
lim 1
8
1 32
x
x
x
xxx
→
+
= − =−⇒=
+ ++
không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có:
( ) ( )
2
11
32
lim lim 1
1
xx
xx
yx
x
→− →−
+−
= =∞⇒ =−
−
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
b) TXĐ:
.D =
Ta có:
2
2
43
lim lim
74
xx
xx
y
x
→±∞ →±∞
−+
= = +∞ ⇒
+−
Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Lại có:
( )( )
(
)
(
)( )
(
)(
)
(
)
( )
22
2
2
74 1 3 74 1
13
33 3
7 16
74
xxxxx
xx
y
xx x
x
x
++ − − ++ −
−−
= = =
−+ +
+−
++
Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
3.x = −
Ví dụ 3: Cho hàm số
(
)
y fx=
có
(
)
0
lim
x
fx
+
→
= −∞
và
( )
2
lim
x
fx
+
→
= −∞
. Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng
0y =
và
2.
y =
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng
0
x =
và
2.
x =
Lời giải
Ta có
( )
0
lim
x
fx
+
→
= −∞ ⇒
đồ thị hàm số đã cho có TCĐ
0x =
Lại có
( )
2
lim
x
fx
+
→
= −∞ ⇒
đồ thị hàm số đã cho có TCĐ
2x =
. Chọn D.
Ví dụ 4: Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
21
.
1
x
y
x
−
=
+
A.
1
1, .
2
xy
=−=
B.
1, 2.xy=−=
C.
1, 2.xy
= = −
D.
1
, 1.
2
xy= = −
Lời giải
TXĐ:
{ }
\1D = −
.
Ta có:
( )
1
lim 1
x
yx
→−
=∞⇒ =−
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Mặt khác
21
lim lim 2 2
1
xx
x
yy
x
→∞ →∞
−
= =⇒=
+
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.
Ví dụ 5: Trong các hàm số được nêu trong các phương án A, B, C, D đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng
2x =
và
1y
=
là các đường tiệm cận?
A.
22
.
1
x
y
x
+
=
−
B.
2
.
1
x
y
x
−
=
−
C.
2
1
.
2
y
xx
=
−−
D.
1
.
2
x
y
x
+
=
−
Lời giải
Đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
với
0ad bc−≠
nhận
d
x
c
= −
là tiệm cận đứng và
a
y
c
=
là tiệm cận ngang.
Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hàm số
2
2
2 32
23
xx
y
xx
−+
=
−−
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
1
2
y =
.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
2y =
.
C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
1; 3.xx=−=
Lời giải
TXĐ:
{ }
\ 1; 3 .
D = −
Ta có
2
2
2
2
32
2
2 32
lim lim lim 2 2
23
23
1
xx x
xx
x
x
yy
xx
x
x
→∞ →∞ →∞
−+
−+
= = =⇒=
−−
−−
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Lại có:
( )
( )
13
lim , lim
xx
yy
→− →
=∞=∞
do đó
1; 3xx=−=
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A.
Ví dụ 7: Đồ thị nào sau đây không có tiệm cận ngang?
A.
2
1
.
1
x
y
x
+
=
−
B.
2
1
.
1
x
y
x
−
=
+
C.
1
.
2
x
y
x
−
=
+
D.
1
.
1
y
x
=
+
Lời giải
Ta có
2
1
1
lim lim lim lim
1
1
1
xx x x
x
x
x
yx
x
x
→∞ →∞ →∞ →∞
+
+
= = = =∞⇒
−
−
đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Chọn A.
Ví dụ 8: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
2
34
16
xx
y
x
−−
=
−
.
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Lời giải
TXĐ:
{ }
\4D = ±
. Khi đó:
( )( )
( )( )
2
2
14
34 1
.
44 4
16
xx
xx x
y
xx x
x
+−
−+ +
= = =
−+ +
−
Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là
4.x = −
Chọn D.
Ví dụ 9: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2
54
.
1
xx
y
x
−+
=
−
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Lời giải
TXĐ:
{ }
\1D = ±
. Khi đó
( )( )
( )( )
( )
2
2
1
lim 1
41
54 4
lim
11 1
1
x
x
y
xx
xx x
y
y
xx x
x
→∞
→−
=
−−
−+ −
= = = ⇒
= ∞
−+ +
−
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1
x = −
và tiệm cận ngang
1y =
. Chọn A.
Ví dụ 10: [Đề thi THPT QG 2017] Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
93
x
y
xx
++
=
+
là:
A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
Lời giải
TXĐ:
[
) { }
9; \ 0; 1 .D = − +∞ −
.
Khi đó:
( )
( )
( )
2
99
93 1
93
1
1 93
+−
++
++
= = =
++
+ ++
x
x
x
y
x x xx
xx
Suy ra
( ) ( )
( )
(
)
11
1
lim lim
1 93
xx
y
xx
→− →−
= ⇒
+ ++
Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là
1.x = −
Chọn D.
Ví dụ 11: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
23
1
xx x
y
x
− +−
=
−
.
A.
2.
y
=
B.
1.x =
C.
2y = −
và
0.y =
D.
1.y
=
Lời giải
Ta có
2
2
2
2
23
11
23
lim lim lim 0
1
1
1
23
11
23
lim lim lim 2
1
1
1
xx x
xx x
xx x
x
x
y
x
x
xx x
x
x
y
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
→−∞ →−∞ →−∞
−+ −
− +−
= = =
−
−
⇒
− −+ −
− +−
= = = −
−
−
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm
cận ngang là
2y =
và
0y =
. Chọn C.
Ví dụ 12: [Đề thi tham khảo năm 2018] Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?
A.
2
32
.
1
xx
y
x
−+
=
−
B.
2
2
.
1
x
y
x
=
+
C.
2
1.yx
= −
D.
.
1
x
y
x
=
+
Lời giải
Phân tích các đáp án:
Đáp án A. Ta có
(
)(
)
2
12
32
2
11
xx
xx
yx
xx
−−
−+
= = = −
−−
nên hàm số không có tiệm cận đứng.
Đáp án B. Phương trình
2
10
x
+=
vô nghiệm nên hàm số không có tiệm cận đứng.
Đáp án C. Đồ thị hàm số
2
1yx= −
không có tiệm cận đứng.
Đáp án D. Đồ thị hàm số
1
x
y
x
=
+
có tiệm cận đứng là
1x = −
.Chọn D.
Ví dụ 13: Cho hàm số
2
4
1
x
y
x
−
=
−
. Đồ thị hàm số có mấy đường tiệm cận?
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Lời giải
Tập xác định của hàm số là
(
]
[
)
; 2 2; .
D = −∞ ∪ +∞
Ta thấy rằng
1xD=∉⇒
đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
Và
2
2
4
1
lim 1
4
lim lim lim lim 1; 1
1
lim 1
1
1
x
xx x x
x
x
y
x
x
x
y yy
y
xx
x
x
→+∞
→∞ →∞ →∞ →∞
→−∞
−
=
−
= = = ⇒ ⇒ = =−⇒
= −
−

−


đồ thị hàm số có
hai đường tiệm cận ngang. Chọn C.
Ví dụ 14: Đồ thị hàm số
2
1xx
y
x
++
=
có bao nhiêu tiệm cận?
A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.
Lời giải
TXĐ:
{ }
\ 0.D =
2
2
11
1
lim 1
1
lim lim lim
lim 1
x
xx x
x
x
y
xx
x
x
y
y
xx
→−∞
→∞ →∞ →∞
→+∞
++
= −
++
= = ⇒⇒
=
đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
Và
2
00
1
lim lim 0
xx
xx
yx
x
→→
++
= =∞⇒ =
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A.
Ví dụ 15: Đồ thị hàm số
2
4
4
x
y
x
+
=
−
có bao nhiêu tiệm cận?
A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải
TXĐ:
{ }
\ 2.D
= ±
Ta có:
2
2
4
lim lim 1
4
4
lim lim 1
4
xx
xx
x
y
x
x
y
x
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞
+
= =
−
⇒
+
= = −
−
Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là
1y
= ±
.
2
lim
x
y
→±
=∞⇒
Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là
2.x = ±
.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận. Chọn D.
Ví dụ 16: Đồ thị hàm số
( )
2
21
43
x
y
xx x
−−
=
−+
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Lời giải
Hàm số có tập xác định:
(
]
{ }
; 2 \ 0;1D = −∞
Khi đó
( )
(
)( )
(
)
( )
( )
2
21 1 1
43
1 32 1 32 1
xx
y
xx x
xx x x xx x
−− −
= = = −
−+
− − −+ − −+
.
Suy ra
( )
( )
3 2 10 0xx x x
− −+ =⇔=
. Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng. Chọn D.
Ví dụ 17: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
2
21 3
56
x xx
y
xx
−− + +
=
−+
.
A.
3; 2.xx=−=−
B.
3.x = −
C.
3; 2.xx= =
D.
3.
x =
Lời giải
Hàm số có tập xác định
{ }
\ 2;3D =
.
Ta có:
( )
( )
( )( )
(
)
( )
( )
(
)
2
2
2
2
22
21 3
31
3 52
56
2 32 1 3 32 1 3
x xx
x
xx
y
xx
x x x xx x x xx
− − ++
+
−−
= = =
−+
− − −+ + + − −+ + +
Do vậy chỉ có đường thẳng
3x =
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn D.
Ví dụ 18: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2
32
1
x
y
x
+−
=
−
.
A.
1, 0.xy=±=
B.
1, 1.xy=±=
C.
0.y =
D.
1.x = ±
Lời giải
Hàm số có tập xác định
{ }
\1D = ±
.
Ta có
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
( )
22
22
2
2
22 22
32 32
32 1 1
.
1
32
32 1 32 1
xx
xx
y
x
x
xx xx
+− ++
+− −
= = = =
−
++
++ − ++ −
Khi đó
2
1
lim lim 0
32
xx
y
x
→∞ →∞
= = ⇒
++
Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang
0
y =
. Chọn C.
Ví dụ 19: Số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị
22
2
4 13 2xx
y
xx
−+ +
=
−
là
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Lời giải
Tập xác định của hàm số là
{ }
11
; ; \1
22
D

= −∞ − ∪ +∞


.
Khi đó
22
2
22
2
4 13 2
lim lim 3
4 13 2
lim lim 3
xx
xx
xx
y
xx
xx
y
xx
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞
−+ +
= =
−
⇒
−+ +
= =
−
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
3
y
=
.
Lại có:
1
lim
x
y
→
=∞⇒
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1x =
.
Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. Chọn A.
Ví dụ 20: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
31 3
23
xx
y
xx
−− +
=
+−
A.
3x = −
. B.
1x = −
và
3x =
. C.
1x =
và
3.
x = −
D.
3x =
Lời giải
Hàm số có tập xác định
( ) { }
3; \ 1 .D = − +∞
Khi đó
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
22
31 3
31 3 9 7 2
23
2 33 1 3 2 33 1 3
xx
x x xx
y
xx
xx x x xx x x
− −+
−− + − −
= = =
+−
+ − −+ + + − −+ +
( )
( )
92
33 1 3
x
y
xxx
+
⇔=
+ −+ +
Ta thấy
( )
( )
33 1 3 0 3xxx x+ −+ + = ⇔ =−⇒
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
3x = −
. Chọn A.
Ví dụ 21: Cho hàm số
2
2323
43
xx
y
xx
+− +
=
−+
. Hãy chọn mệnh đề đúng.
A. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là
1
y =
và
3
y =
.
B. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là
1y
=
và
3
y =
.
C. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là đường thẳng
1x =
.
D. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là
1x
=
và
3x
=
.
Lời giải
Ta có:
{
}
3
; \ 1; 3
2
D

= − +∞

.
Khi đó
( )
(
)( )
( )
(
)(
)
2
2
2 32 3
12 3
2 32 3
43
2 32 3 1 3
xx
xx
xx
y
xx
x xxx
+− −
−−
++ −
= =
−+
++ − − −
( )
( )
12
2 32 3 1
x
x xx
−
=
++ − −
. Suy ra
1
lim
x
y
→
= ∞
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1x =
.
Lại có:
lim 0
x
y
→+∞
=
nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
0
y
=
.
Ví dụ 22: Cho hàm số
2
23
23
x
y
xx
−
=
−−
. Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Lời giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi
2
3
2 30
1
x
xx
x
>
− −>⇔
<−
Ta có
2
2
3
2
lim 2
23
lim lim lim
lim 2
23
23
1
x
xx x
x
x
y
x
x
y
y
xx
x
xx
→+∞
→∞ →∞ →∞
→−∞

−
=

−

= = ⇒⇒
= −
−−
−−
đồ thị hàm số có hai TCN.
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của hệ phương trình
2
3
2 30
1
2 30
x
xx
x
x
=
− −=
⇔
= −
−≠
⇒
đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận. Chọn C.
Ví dụ 23: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
2
12
.
2
x xx
y
xx
+− + +
=
+−
A.
2.x =
B.
2.x = −
C.
2x = −
và
1.x = −
D.
2x =
và
1.x =
Lời giải
TXĐ:
{ }
\ 2;1D = −
. Khi đó:
(
)
(
)
(
)
( )
2
2
2
2
2
12
12
12
2 12
x xx
x xx
x xx
y
xx x x
+ − ++
+− + +
++ + +
= =
++ − +
(
)
( )( )
( )
(
)
22
11
1212212
x
x xx x x x x xx
−
= =
++ + + − + + ++ + +
và
Ta có:
( )
2
lim 2
x
yx
→−
=∞⇒ =−
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn B.
Ví dụ 24: Đồ thị hàm số
( )
24
2
31 2
32
−− + +
=
−+
x xx
fx
xx
có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là
A. Tiệm cận đứng
2, 1xx= =
; tiệm cận ngang
2y
=
.
B. Tiệm cận đứng
2x =
; tiệm cận ngang
2y =
.
C. Tiệm cận đứng
2, 1xx= =
; tiệm cận ngang
2, 3yy= =
.
D. Tiệm cận đứng
2x =
; tiệm cận ngang
2, 3yy= =
.
Lời giải
TXĐ:
{ }
\ 1; 2D =
.
Ta có
(
)
24
2
31 2
lim lim 2
32
xx
x xx
fx
xx
→∞ →∞
−− + +
= = ⇒
−+
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
2
y =
.
Mặt khác
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
24 24
24
2
2 24
31 231 2
31 2
32
3 23 1 2
x xx x xx
x xx
fx
xx
x x x xx
−− + + −+ + +
−− + +
= =
−+
− + −+ + +
( )
( )
(
)
( )
( )
( )( )
(
)
32
4
2 24 24
18 8 8 1
8 71
3231 2 1 231 2
x xxx
xx
fx
x x x xx x x x xx
− + ++
−−
⇔= =
− + −+ + + − − −+ + +
( )
( )
(
)
32
24
8 8 81
23 1 2
xxx
fx
x x xx
+ ++
⇔=
− −+ + +
Suy ra
( )
2
lim
x
fx
→
=∞⇒
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
2x =
. Chọn B.
Dạng 2: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên
Phương pháp giải:
▪ Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên tìm tập xác định của hàm số.
▪ Bước 2: Quan sát bảng biến thiên để suy ra giới hạn khi x đến beien của miền xác định.
▪ Bước 3: Kết luận.
Chú ý: Đồ thị hàm số
( )
( )
fx
y
gx
=
nhận đường thẳng
xa=
là tiệm cận đứng khi hàm số xác định tại
xa=
và
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
( )
.
.
n
m
f x x a hx
y
gx
x a kx
−
= =
−
trong đó
mn>
và
( ) ( )
,hx kx
không có nghiệm
xa=
.
(Tức là số lần lặp lại nghiệm
xa=
của
( )
gx
nhiều hơn số lần lặp lại nghiệm
xa=
của
( )
fx
).
Ví dụ 1: [Đề thi tham khảo năm 2019]
Cho hàm số
(
)
y fx=
có bảng biến thiên như sau:
x
−∞
1
+∞
f(x)
+∞
5
2
3
Tổng số tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.
Lời giải
Ta có
(
)
(
)
( )
1
lim 2 : 2
lim 5 : 5
lim : 1
x
x
x
f x TCN y
f x TCN y
fx x
−
→−∞
→+∞
→
=⇒=
=⇒=⇒
= +∞ ⇒ =
TC§
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
y fx
=
là hàm số xác định trên
{ }
\1
, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có
bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x
−∞
0
1
+∞
y’
+
0
−
+
y
2
5
0
−∞
3
A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là
0
y =
,
5
y =
và tiệm cận đứng là
1x =
.
B. Giá trị cực tiểu của hàm số là
3
CT
y =
.
C. Giá trị cực đại của hàm số là
5
CD
y =
.
D. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Lời giải
Do
lim 0; lim 5
xx→−∞ →+∞
= =
nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là
0
y =
,
5
y =
và tiệm cận đứng là
1x =
.
Chọn A.
Ví dụ 3: [Đề thi tham khảo năm 2017] Cho hàm số
(
)
y fx
=
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
x
−∞
2−
0
+∞
y’
+
−
y
+∞
1
−∞
0
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
( )
( )
( )
0
2
lim
0, 2
lim
x
x
fx
xx
fx
−
+
→
→−
= +∞
⇒= =−
= −∞
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Mặt khác:
(
)
lim 0 0
x
fx y
→+∞
=⇒=
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị đã cho có 3 tiệm cận. Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số
( )
y fx=
xác định trên khoảng
(
)
1;
− +∞
và có bảng biến thiên như hình vẽ
x
−∞
1−
2
4
+∞
y’
+
−
0
+
−
y
0
+∞
−∞
3−
1
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
( )
y fx=
là:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
( )
( )
1
lim
x
fx
+
→−
= −∞
và
( )
4
lim
x
fx
+
→
= +∞
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là
1; 4.xx=−=
Lại có:
( )
lim 1 1
x
fx y
→+∞
=⇒=
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.
Ví dụ 5: Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
x
−∞
2−
3
+∞
y’
+
−
0
+
y
+∞
4
+∞
5
0
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
(
)
y fx
=
là:
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
( )
2
lim 2
x
yx
−
→−
= +∞ ⇒ = −
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Lại có:
lim 5 5
x
yy
→−∞
=⇒=
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
{ }
\1
có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm
cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )
y fx=
là
x
−∞
1−
1
+∞
y’
−
0
+
+
y
1
+∞
1−
2−
−∞
A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Lời giải
Ta có:
( )
1
lim 1
x
fx x
→
=∞⇒ =
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Lại có
( ) ( )
lim 1, lim 1 1
xx
fx fx y
→+∞ →−∞
=− =⇒=±
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
x
−∞
1−
1
+∞
y’
+
+
0
-
y
+∞
0
1
−∞
3
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
( )
4
2
y
fx
=
+
là:
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải
Ta có phương trình
( )
2fx= −
có 2 nghiệm phân biệt suy ra đồ thị hàm số
( )
4
2
y
fx
=
+
có 2 đường
tiệm cận đứng.
Khi
4
44
32
xy y
→ +∞ ⇒ → = − ⇒ =
−+
là một đường tiệm cận ngang.
Khi
44 4
12 3 3
xy y
→ −∞ ⇒ → = ⇒ =
+
là một đường tiệm cận ngang.
Do đó đồ thị hàm số
(
)
4
2
y
fx
=
+
có 4 đường tiệm cận. Chọn C.
Ví dụ 8:
Cho hàm số
( )
y fx
=
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
x
−∞
1
−
1
+∞
y’
+
−
0
+
y
+∞
+∞
5
5
3
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
( )
2
2018
y
fx
=
−
là:
A. 4. B. 2. C. 5. D. 3.
Lời giải
Ta có phương trình
(
)
2018fx=
có 2 nghiệm phân biệt
Suy ra đồ thị hàm số
( )
2
2018
y
fx
=
−
có 2 đường tiệm cận đứng.
Khi
( )
( )
22
5
2018 2013
x fx y
fx
→ −∞ ⇒ → ⇒ = →
−−
Khi
( )
( )
22
5
2018 2013
x fx
fx
→ +∞ ⇒ → ⇒ →
−−
Vậy đồ thị hàm số
( )
2
2018
y
fx
=
−
có 1 tiệm cận ngang. Chọn D.
Ví dụ 9: Cho hàm số
( )
y fx=
xác định trên
{ }
\1
và có bảng biến thiên như hình vẽ.
x
−∞
1
2
+∞
y’
+
−
0
+
y
+∞
+∞
+∞
2
1
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
( )
2
2
54
x
y
f x fx
−
=
−+
là:
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải
Ta có:
( )
(
)
( )
(
)
2
4
54
1
fx
f x fx
fx
=
− +⇔
=
Phương trình
(
)
4
fx
=
có 3 nghiệm phân biệt khác 2.
Phương trình
( )
1fx=
có 1 nghiệm kép
2
x =
(do vậy mẫu số có dạng
(
)
2
2
x
−
) nên
2
x
=
vẫn là TCĐ
của đồ thị hàm số.
Suy ra đồ thị hàm số
( ) ( )
2
2
54
x
y
f x fx
−
=
−+
có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.
Ví dụ 10: Cho hàm số
( )
y fx=
xác định trên
{ }
\ 1; 2
−
và có bảng biến thiên như hình vẽ.
x
−∞
1−
1
2
+∞
y’
+
−
0
+
−
y
9
0
5
2
−∞
3−
2
Biết số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
( )
y fx
=
và
( )
1
1
y
fx
=
+
lần lượt là m và n. Khi đó tổng
mn+
bằng
A. 6. B. 7. C. 4. D. 5.
Lời giải
Tiệm cận đồ thị
(
)
y fx=
: Ta có:
đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang
( )
1
lim
x
y
+
→−
= +∞ ⇒
đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng
2m⇒=
.
Mặt khác
( )
1fx
= −
có 2 nghiệm phân biệt và
( )
11
lim
13
x
fx
→∞
= ⇒
+
đồ thị hàm số
( )
1
1
y
fx
=
+
có 1
đường tiệm cận ngang và 2 đường tiệm cận đứng.
Vậy
2; 3 5m n mn= =⇒ +=
. Chọn D.
Dạng 3: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hàm số
Phương pháp giải:
▪ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định nghiệm của mẫu số và tử số từ đó suy ra các đường tiệm cận đứng
của đồ thị hàm số.
▪ Tìm các giới hạn
lim
x
y
→±∞
để tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số
(
)
y fx
=
như hình vẽ bên. Số đường tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số
( )
2
3
x
y
fx
−
=
+
là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình
( ) ( )
30 3fx fx+=⇔ =−
có nghiệm kép
2x =
và một
nghiệm
0xa
= <
.
Do đó
( )
( ) (
)
2
22
3
.2
xx
y
fx
kx a x
−−
= = ⇒
+
−−
Đồ thị hàm số
( )
2
3
x
y
fx
−
=
+
có 2 đường tiệm cận đứng là
xa=
và
2
x =
. Chọn B.
Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số
32
y ax bx cx d= + ++
như hình vẽ bên. Tổng số đường
tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số
( )
2
2
2
xx
y
fx
+
=
+
là
A. 1. B. 2.
C. 3. D. 4.
Lời giải
Dựa vào đồ thị dễ thấy hàm số
32
y ax bx cx d= + ++
có
0a ≠
.
Ta có:
( )
2
4
lim 0 0
2
x
x
y
fx
→∞
−
=⇒=
+
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Phương trình
( )
2
fx= −
có nghiệm kép
2x = −
và một nghiệm
0x >
Phương trình
2
2
20
0
x
xx
x
= −
+=⇔
=
do đó đồ thị hàm số
( )
2
2
2
xx
y
fx
+
=
+
có 2 đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2ax
y
cx b
+
=
+
có đồ thị (C) như hình vẽ bên.
Tính tổng
23Ta b c=++
.
A.
0.T =
B.
1.T = −
C.
3.T =
D.
2.T
=
Lời giải
Từ hình vẽ, ta có nhận xét sau:
Đường thẳng
2x
=
là tiệm cận đứng của đồ thị
(
)
2 2.
b
Cx b c
c
⇒=−=⇔=−
Đường thẳng
1
y
=
là tiệm cận ngang của đồ thị
( )
1
a
C x ac
c
⇒= =⇔=
.
Điểm
( )
( )
0; 1MC
−∈
suy ra
( )
2
01 1 2yb
b
=−⇔ =−⇔ =−
.
Suy ra
( )
1
2
2 2 3 1 2. 2 3 0
22
1
a
a
b
b Ta b c
bc
c
=
= −
⇔ =−⇒ = + + =+ − + =

=−=−
=
. Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số
(
)
( )
2
2
32
xx
y
f x fx
−
=
−+
là:
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Điều kiện:
( )
( )
10
.
20
fx
fx
−≠
−≠
Ta có:
( )
( ) ( )
1
12
xx
y
fx fx
−
=
−−


Phương trình
( )
10fx
−=
có nghiệm kép
1x =
và
1
0xx= <⇒
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1
1,x xx= =
.
Phương trình
( )
20fx−=
có nghiệm
0x
=
và
23
0; 1xx xx=<=>
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận
đứng
2
xx=
và
3
xx=
.
Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.
Ví dụ 5: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số
( )
(
)
(
)
22
2
1
2
x xx
y
xf x fx
−+
=

−

là:
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Điều kiện:
( ) ( )
2
1
0.
20
x
x
f x fx
≥−
<
−≠
Ta có:
( )
(
) (
)
( )( )
(
) (
)
22
2
1
11
1
.
2
2
x xx
xx
x
y
x
fx fx
xf x fx
−+
−+
+
= =
−

−


Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
0x =
.
Phương trình
(
)
0fx=
có nghiệm kép
1x =
và
1
1xx= <−
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1x =
và
1
xx=
.
Phương trình
( )
20fx−=
có 3 nghiệm phân biệt trong đó
( )
2
3
4
1
1; 0
1
x
x
x
= −
∈−
>
do đó đồ thị hàm số có tiệm cận
đứng
4
xx
=
.
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
( ) ( )
22
2
32xx xx
y
f x fx
−+ −
=
−
là:
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Điều kiện:
(
)
( )
2
1
0
0
x
x
f x fx
≥
≤
−≠
và
( )
(
) ( )
( )
( )
12 1
1
x x xx
y
fx fx
−− −
=
−


Phương trình
(
)
0
fx
=
có nghiệm
0x =
và nghiệm kép
2x =
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
0, 2xx= =
.
Phương trình
(
)
10
fx
−=
có 3 nghiệm đơn
( )
1
2
0;1
1
2
xx
x
xx
= ∈
=
= >
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
2
xx
=
.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng. Chọn A.
Dạng 4: Các bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số
Một số mẫu toán thường gặp:
Mẫu 1: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
với
0c
≠
.
- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi
0
ad bc−≠
.
Mẫu 2: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
0
ax bx c
y
xx
++
=
−
với
0a
≠
.
- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi
( )
2
0g x ax bx c= + +=
không có nghiệm
( )
00
0x x gx=⇔≠
.
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi
( )
2
0g x ax bx c= + +=
có nghiệm
( )
00
0x x gx=⇔=
.
Mẫu 3: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
0
2
xx
yC
ax bx c
−
=
++
với
0a
≠
.
- Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi
( )
2
0g x ax bx c= + +=
có hai nghiệm phân biệt khác
( )
0
0
0
0
x
gx
∆>
⇔
≠
.
- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi
( )
0gx=
có nghiệm kép
0⇔∆=
.
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi
( )
0gx=
vô nghiệm
0⇔∆<
.
Mẫu 4: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )( )
( )
2
12
ax bx c
yC
xx xx
++
=
−−
với
12
0,
a xx≠≠
.
- Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi phương trình
( )
2
0g x ax bx c= + +=
không nhận
12
,xx
là
nghiệm
( )
( )
1
2
0
0
gx
gx
≠
⇔
≠
.
- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi phương trình
( )
2
0g x ax bx c
= + +=
có nghiệm
1
xx=
hoặc
( )
( )
1
2
2
0
0
gx
xx
gx
=
= ⇒
=
(Chú ý hai điều kiện này không đồng thời xảy ra).
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi
( )
2
0g x ax bx c= + +=
nhận
1
xx=
và
2
xx=
là nghiệm
(
)
(
)
1
2
0
.
0
gx
gx
=
⇔
=
Mẫu 5: Biện luận số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )
( )
fx
y
gx
=
.
- Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc của mẫu số lớn hơn hoặc bậc của mẫu số và phải tồn tại các giới
hạn
lim
x
y
→+∞
hoặc
lim
x
y
→−∞
.
Ví dụ 1: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017]: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ
thị của hàm số:
2
1
1
x
y
mx
+
=
+
có 2 tiệm cận ngang.
A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
B.
0m <
C.
0m =
D.
0m >
Lời giải
Với
0m >
ta có:
2
2
1
1
1 11
lim lim
1
1
xx
x
x
y
mm
mx
m
x
→+∞ →+∞
+
+
= = ⇒=
+
+
là một tiệm cận ngang.
22
2
11
11
1 11
lim lim
1
11
xx
x
xx
y
mm
mx mx
m
x
x
→−∞ →−∞
−− −−
+ −−
= = = ⇒=
++
+
−
là một tiệm cận ngang.
Khi đó đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.
Với
0m =
suy ra
1
1
x
y
+
=
đồ thị hàm số không có hai tiệm cận ngang.
Với
0m <
đồ thị hàm số cũng không có tiệm cận ngang vì không tồn tại
lim
x
y
→∞
. Chọn D.
Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số
2
21
44 1
x
y
x mx
−
=
++
có đúng một đường tiệm cận là
A.
[ ]
1;1−
B.
(
)
(
)
; 1 1; .
−∞ − ∪ +∞
C.
(
] [
)
; 1 1; .−∞ − ∪ +∞
D.
(
)
1;1
−
Lời giải
Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cậ ngang
0
y
=
.
Để đồ thị hàm số có một tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Khi đó phương trình
2
4 4 10x mx+ +=
vô nghiệm.
( )
2
0 4 4 0 1 1 1;1mm m m
′
⇔∆ < ⇔ − < ⇔− < < ⇔ ∈ −
. Chọn D.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số
2
23x xm
y
xm
−+
=
−
không có tiệm
cận đứng.
A.
1m >
. B.
0.
m ≠
C.
1.m =
D.
1m =
và
0
m
=
.
Lời giải
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
xm=
thì là nghiệm của
( )
2
23px x x m
= −+
( )
22
0
2 3 02 2 02 10 .
1
m
mmmmmmm
m
=
⇔−+=⇔−=⇔ −=⇔
=
Chọn D.
Ví dụ 4: Tìm tất cả giá trị thực của m để đồ thị hàm số
2
1x
y
x mx m
−
=
−+
có đúng một tiệm cận đứng.
A.
0.m =
B.
0.m ≤
C.
{ }
0; 4m ∈
D.
4.m
≥
Lời giải
Xét phương trình
( )
2
0g x x mx m= − +=
Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận
có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 hoặc
( )
0
gx=
có nghiệm kép khác 1
( )
( )
2
2
40
10
4
0
40
10
mm
g
m
m
mm
g
∆= − >
=
=
⇔⇔
=
∆= − =
≠
. Chọn C.
Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số
2
2
2
2
xx
y
x xm
+−
=
−+
có hai tiệm cận đứng.
A.
1
.
8
m
m
≠
≠−
B.
1
.
8
m
m
>−
≠
C.
1
8
m
m
=
= −
D.
1
8
m
m
<
≠−
Lời giải
Ta có
( )
( )
2
22
12
2
22
xx
xx
y
x xm x xm
−+
+−
= =
−+ −+
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi PT
( )
2
20fx x x m= − +=
có hai nghiệm phân biệt
thỏa mãn
(
)
( )
0
10
11
1 0 10
28
80
20
m
xm
fm
xm
m
f
′
∆>
−>
≠<

⇔ ≠ ⇔ −≠ ⇔

≠− ≠−


+≠
−≠
. Chọn D.
Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
1
xm
y
x
−
=
−
có đúng hai đường
tiệm cận.
A.
( )
{ }
; \1−∞ +∞
. B.
( ) { }
; \ 1; 0
−∞ +∞ −
C.
( )
;−∞ +∞
D.
( ) { }
; \0−∞ +∞
Lời giải
Ta có:
( )
0;D = +∞
Khi đó
lim lim 0
1
xx
xm
y
x
→+∞ →+∞
−
= =
−
nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
0
y =
.
Chú ý: Với
1
11
1
1
11
1
x
x
x
my
xx
x
−
−
+
=⇒= = =
−−
+
khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Với
1m ≠
đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Do đó để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng thì
1m ≠
. Chọn A.
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
2
1
mx
y
x
+
=
−
có tiệm cận đứng.
A.
2m ≠
B.
2m <
C.
2m ≤−
D.
2
m ≠−
Lời giải
Đồ thị hàm số có TCĐ
( )
20g x mx⇔ = +=
không có nghiệm
( )
1 1 0 2.xg m= ⇔ ≠ ⇔ ≠−
. Chọn D.
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số
2
2
32
xm
y
xx
+
=
−+
có đúng một tiệm cận đứng.
A.
{ }
1; 4 .m ∈− −
B.
1m = −
C.
4.m =
D.
{
}
1; 4m ∈
Lời giải
Ta có
( )(
)
22
2
32 1 2
xm xm
y
xx x x
++
= =
−+ − −
, đặt
( )
2
fx x m= +
.
Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi
(
)
(
)
10
10
40
20
f
m
m
f
=
+=
⇔
+=
=
{ }
1
1; 4
4
m
m
m
= −
⇔ ⇔ ∈− −
= −
. Chọn A.
Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2
4
x
y
xm
−
=
+
có 3 tiệm cận
A.
0
16
m
m
=
= −
B.
16
0
4
m
m
m
= −
=
=
C.
16
8
m
m
= −
= −
D.
0
16
m
m
=
=
Lời giải
Ta có:
22
44
11
lim lim 1; lim lim 1
11
xx xx
xx
yy
mm
xx
→+∞ →+∞ →−∞ →−∞
−−
= = = = −
+ −+
nên đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang.
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó có 1 tiệm cận đứng
( )
2
gx x m⇔=+
có nghiệm kép hoặc có 2
nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm
0
4
16
m
x
m
=
= ⇔
= −
. Chọn A.
Ví dụ 10: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số
( )
22
12
1
m xx
y
x
− ++
=
+
có đúng một
tiệm cận ngang.
A.
1m
<
hoặc
1.m >
B.
0.m >
C.
1.
m = ±
D. Với mọi giá trị m
Lời giải
Ta có
( )
( )
2
22
2
2
2
22
2
2
12
1
12
lim lim lim 1
1
1
1
12
1
12
lim lim lim 1
1
1
1
xx x
xx x
m
m xx
xx
ym
x
x
m
m xx
xx
ym
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
→−∞ →−∞ →−∞
−+ +
− ++
= = = −
+
+
−+ +
− ++
= =− =−−
+
+
. (Với
( )
2
10m −≥
)
Đồ thị hàm số có một TCN khi và chỉ khi
22
lim lim 1 1 1
xx
y ym m m
→+∞ →−∞
= ⇔ −=− −⇔ =±
.
Chọn C.
Ví dụ 11: Cho hàm số
( )
2
2 33
2
m x x mx
y
x
+ −− −
=
−
có đồ thị (C). Đồ thị (C) có 3 đường tiệm cận khi
tham số thực m thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A.
( ) ( )
2; 2 2;− ∪ +∞
B.
( )
2; 2−
C.
( )
2; +∞
D.
( )
3; 1−−
Lời giải
Với
2m
<−
đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang vì không tồn tại
lim ; lim
xx
yy
→+∞ →−∞
(không t/mãn)
Với
36
2
2
xx
my
x
− −−
=−⇒ =
−
đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang (không t/mãn)
Với
2m >−
đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang do
lim 2 1; lim 1 2 1;
xx
ym y m
→+∞ →−∞
= +− = ++
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó phải có thêm 1 tiệm cận đứng.
Khi đó tử số không có nghiệm
2x =
và
( ) ( )
2
2 33fx m x x m= + −−
xác định tại
2x
=
.
Khi đó
( ) ( )
( )
2 4 2 63 0
20
2
2
220
2 20
fm m
m
m
m
m
f
= + −− ≥
+≥
≥−

⇔⇔

≠
+−≥
−≠
Do đó
2; 2
mm
>− ≠
là giá trị cần tìm. Chọn A.
Ví dụ 12: Tập hợp các giá trị thức của m để đồ thị hàm số
( )( )
22
21
2 14 4 1
x
y
mx x x mx
−
=
−+ + +
có đúng một
đường tiệm cận là
A.
{ }
0
B.
( ) { } ( )
; 1 0 1;−∞ − ∪ ∪ +∞
C.
( ) ( )
; 1 1;−∞ − ∪ +∞
D.
∅
Lời giải
Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang
0
y
=
.
Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
TH1: Phương trình:
( )( )
22
2 14 4 1 0mx x x mx− + + +=
vô nghiệm
2
10
1
11
4 40
m
m
m
m
m
−<
>
⇔ ⇔ ⇒ ∈∅

−< <
−<
TH2: Phương trình
2
4 4 10x mx+ +=
vô nghiệm, phương trình:
( )
2
2 10*mx x− +=
có đúng 1 nghiệm
đơn
( )
2
4 40
11
1
0
1
0
2
0 * 2 10
2
m
m
xm
m
m xx
−<
−< <
=⇔ ⇔ ⇒=

<
= ⇒ ⇔ −= ⇔ =
.
Kết hợp 2 trường hợp suy ra
0m =
. Chọn A.
Ví dụ 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số
( ) ( )
2
2
2
42
x
x
xm m
y
x
−−
=
−−
có tiệm
cận đứng.
A.
4.m ≠
B.
m ∈
C.
2m ≠
D.
{ }
2; 4m ≠
Lời giải
Hàm số có tập xác định
[
]
{ }
0; 4 \ 2D
=
.
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
(
)
( )
2
2
2
2
2
2 42
2
2
42
xx
x
x
xm m x
xm m
y
x
x
− − −+
−−
= = −
−
−−
Với
( )
(
)
2
2 224 2xx
my x=⇒=− − − + ⇒
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Với
( )
(
)
2
2
244 2
4
2
xxx
my
x
− −+
=⇒=− ⇒
−
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng .
Với
{
}
2; 4
m ≠
đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
2x =
.
Suy ra để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì
2m ≠
. Chọn C.
Ví dụ 14: Tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
2
2017 1
3
x
y
x mx m
++
=
−−
có hai đường tiệm cận đứng
là:
A.
11
;
42



B.
1
0; .
2


C.
(
)
0; +∞
D.
( ) ( )
; 12 0;−∞ − ∪ +∞
Lời giải
Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng
2
30xxm m⇔− − =
có hai nghiệm phân biệt
12
,1xx≥−
.
( )( )
( ) ( )
2
2
12 12
12 1 2
12
43 0
0 12 0
1
2 2 2 0;
2
12 0
10
1 10
mm
mm
xx xx m m
m
xx x x
xx
∆= − − − >
∆> + >

⇔ + ≥− ⇔ + ≥− ⇔ ≥− ⇔ ∈



−≥
+ + +≥
+ +≥
. Chọn B.
Ví dụ 15: Cho hàm số
2
2xxym x= +−
. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận
ngang.
A.
1.m =
B.
{
}
2; 2m∈−
C.
{
}
1;1m ∈−
D.
0m >
Lời giải
Ta có:
( )
2
22
22
12
2
22
x
xx
xx xx
mx
mx
y
mxmx
−+
−+
= =
++ ++
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử bé hơn bậc của mẫu và tồn tại
0
1.
10
m
m
m
>
⇔ ⇔=
−=
Chọn A.
Ví dụ 16: Điều kiện cần và đủ của tham số thực m để đồ thị hàm số
2
1
24
x
y
x mx
−
=
++
có đúng 1 tiệm cận
ngang là
A.
4m =
B.
04
m≤≤
C.
0.m =
D.
0m
=
hoặc
4m =
.
Lời giải
+) Với
0
m =
, ta có
1 11
lim
22 2 2
x
x
y yy
x
→∞
−
= ⇒ =⇒=
+
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+) Với
0m <
đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang vì không tồn tại
lim
x
y
→∞
.
+) Với
0m
>
, ta có
2
2
1
1
lim
1
1
2
1
4
24
lim
2
2
xx
x
x
x
y
x
x
m
x
y
m
y
xm
x
m
→+∞
→−∞

=
−

−
+

= = ⇒
++
=
++
−
Để hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang thì
1
lim
2
x
y
m
→−∞
= = ∞
−
Cho
2 0 4 lim
x
mm y
→−∞
− =⇔=⇒ =∞
. Vậy
0m =
hoặc
4m =
là giá trị cần tìm. Chọn D.
Ví dụ 17: Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số
2
2 11
y x mx x
= + −++
có tiệm cận ngang.
A.
4m =
B.
4m = −
C.
2m =
D.
0m =
Lời giải
Ta có:
(
)
( )
( )
22
2
2
22
4 41 1
45
21 1
21 1 21 1
x x mx x
mx x
y x mx x
x mx x x mx x
+ +− − +
−+
= + + −+= =
+− − + +− − +
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử số bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu số và
0
0
lim 4
40
x
m
yy m
m
→∞
>
= ⇔ ⇔=
−=
. Chọn A.
Ví dụ 18: Biết đồ thị
( )
2
2
21a b x bx
y
x xb
− ++
=
+−
có đường tiệm cận đứng là
1x =
và đường tiệm cận ngang là
0y =
. Tính
2ab+
.
A. 6. B. 7. C. 8. D. 10.
Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
2
1: 0x PT x x b=⇒ +−=
có nghiệm
1
x =
và
( )
2
2 10a b x bx− + +=
không có nghiệm
11 0 2
1
2 10 1
bb
x
a bb a
+− = =

=⇒⇔

− ++≠ ≠

. Hàm số có dạng
( )
2
2
4 21
2
axx
y
xx
− ++
=
+−
.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
( )
2
2
4 21
0 lim 0 lim 0
2
xx
axx
yy
xx
→∞ →∞
− ++
=⇔=⇔ =
+−
( )
2
2
21
4
4
lim lim 0 4 0 4 2 8
12
1
1
xx
a
a
xx
a a ab
xx
→∞ →∞
− ++
−
⇔ = =⇔−=⇒=⇒+ =
+−
. Chọn C.
Ví dụ 19: Biết đồ thị
(
)
2
2
31a b x bx
y
x ax a
− +−
=
+−
có đường tiệm cận đứng là
2x =
và đường tiệm cận ngang là
1y =
. Tính
ab+
.
A. 5. B. 3. C. D.
Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
2x = ⇒
PT:
2
0
x ax a+ −=
có nghiệm
2x =
42 0 4aa a⇒+ −=⇒=−
Hàm số có tiệm cận ngang
31
1 lim 1 1 3 1 1
13
x
ab a
y y ab b
→∞
−+
=−⇔ =−⇔ =−⇔ − =−⇔ = =−
Khi đó
2
2
1
44
xx
y
xx
− −−
=
−+
có tiệm cận đứng
2
x =
và tiệm cận ngang
1y = −
Vậy
5ab+=−
. Chọn C.
Ví dụ 20: Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
, có đồ thị (C). Gọi P, Q là hai điểm phân biệt nằm trên (C) sao cho tổng
khoảng cách từ P hoặc Q đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Độ dài đoạn thẳng PQ là:
A.
42
B.
52
C. 4 D.
22
Lời giải
Đồ thị hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
có tiệm cận đứng
2x =
, tiệm cận ngang
1y =
.
Gọi
( )
0
0
0
2
;
2
x
Px C
x

+
∈

−

khi đó tổng khoảng cách từ P đến hai đường tiệm cận là:
( ) ( )
0
00
00
2
4
,2 ,1 2 1 2
22
x
d dPx dPy x x
xx
+
= = + = = −+ −= −+
−−
.
Áp dụng bất đẳng thức Cosi
( )
AM GM
−
ta có:
0
0
4
2 2. 4
2
dx
x
≥− =
−
.
Dấu bằng xảy ra khi
( )
2
0
00
0
0
43
4
2 24
01
2
xy
xx
xy
x
=⇒=
−= ⇔ − =⇔
=⇒=−
−
Khi đó
( )
( )
4;3 , 0; 1 4 2
P Q PQ−⇒ =
. Chọn A.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
2
34
.
16
xx
y
x
−−
=
−
A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
Câu 2: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
+
=
−
là
A.
2.y =
B.
2.
x =
C.
2.x =
D.
1.y =
Câu 3: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
3
2
32
32
xx
y
xx
−−
=
++
là đường thẳng:
A.
2.
x = −
B. Không có tiệm cận đứng.
C.
1; 2.xx=−=−
D.
1.x = −
Câu 4: Cho hàm số
21
2
x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C). Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị (C).
A.
( )
2; 2 .I −
B.
( )
2; 2 .I
C.
( )
2; 2 .I −
D.
( )
2; 2 .I −−
Câu 5: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
5
1
y
x
=
−
là đường thẳng có phương trình?
A.
5.y =
B.
0.x =
C.
1.x
=
D.
0.
y =
Câu 6: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
14
21
x
y
x
−
=
−
.
A.
2.y =
B.
4.y =
C.
1
.
2
y =
D.
2.
y = −
Câu 7: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng.
A.
2
.
1
x
y
x
+
=
−
B.
3
2
.
2
x
y
x
=
+
C.
2
1.yx= +
D.
2
56
.
2
xx
y
x
−+
=
−
Câu 8: Đồ thị của hàm số
2
1
x
y
x
−
=
+
có đường tiệm cận đứng là
A.
1.y = −
B.
1.x = −
C.
1.x =
D.
1.y
=
Câu 9: Đường thẳng
1x =
là tiệm cận đứng có đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây?
A.
23
.
1
x
y
x
−
=
−
B.
32
.
31
x
y
x
+
=
−
C.
3
.
1
x
y
x
+
=
+
D.
2
.
1
x
y
x
=
+
Câu 10: Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?
A.
2.
x
y =
B.
2
log .yx=
C.
2
2
.
1
x
y
x
=
+
D.
2
43
.
1
xx
y
x
−+
=
−
Câu 11: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
2
32
4
xx
y
x
−+
=
−
.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 12: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2
45
32
xx
y
xx
−−
=
−+
.
A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 13: Đồ thị hàm số nào dưới đây có hai tiệm cận đứng?
A.
2
21
2 31
x
y
xx
+
=
−+
B.
2
2
4
23
x
y
xx
−
=
−−
C.
2
1x
y
xx
+
=
+
D.
2
2
43
56
xx
y
xx
−+
=
−+
Câu 14: Đồ thị hàm số
11x
y
x
−−
=
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
A. 2. B. 0. C. 3. D. 1.
Câu 15: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang?
A.
( )
3
x
fx=
B.
( )
3
loggx x=
C.
( )
1
1
hx
x
=
+
D.
( )
2
1
23
x
kx
x
+
=
+
Câu 16: Đồ thị hàm số
2
2
9
x
y
x
−
=
−
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 4 B. 1 C. 3 D. 2
Câu 17: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2
76
1
xx
y
x
−+
=
−
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 18: Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?
A.
12
1
x
y
x
−
=
+
B.
2
1
4
y
x
=
−
C.
3
31
x
y
x
+
=
−
D.
2
9
x
y
xx
=
−+
Câu 19: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
=
+
?
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
Câu 20: Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận?
A.
2
1
9
x
y
x
+
=
−
. B.
2
.
1
x
y
x
+
=
−
C.
2
2
36
x
y
xx
+
=
++
. D.
2
1
48
x
y
xx
+
=
++
Câu 21: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số được cho dưới đây không có tiệm cận ngang?
A.
2
2
.
1
x
y
x
+
=
+
B.
2
.
1
x
y
x
+
=
+
C.
2
1
.
2
x
y
x
−
=
+
D.
1
.
2
y
x
=
+
Câu 22: Đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 23: Đồ thị hàm số
2
2
2 41
23
xx
y
xx
+−
=
+−
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 24: Đồ thị của hàm số
2
2
3 72
2 52
xx
y
xx
−+
=
−+
có bao nhiêu tiệm cận đứng?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 25: Đồ thị hàm số
( )
22
1
43
fx
x xx
=
−− −
có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
A. 3 B. 1 C. 4 D. 2
Câu 26: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
21
4
x
y
x
+
=
−
là
A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.
Câu 27: Đồ thị hàm số
2
2
6
34
x
y
xx
−
=
+−
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Câu 28: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2
4
56
x
y
xx
−
=
−+
là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 29: Hỏi đồ thị hàm số
2
2
1
2
x
y
xx
−
=
−
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Câu 30: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
22
2
4 13 2xx
y
xx
−+ +
=
−
là
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Câu 31: Số đường tiệm cận của hàm số
2
1
2
x
y
x
+
=
−
là
A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 32: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
1
1
x
y
x
+
=
−
là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 33: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2
1
2
x
y
xx
−
=
−−
là
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 34: Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
2
52
1
x
y
x
−−
=
−
là
A. 0. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 35: Cho hàm số
2
43
23
xx
y
x
+−
=
+
(C). Gọi m là số tiệm cận của đồ thị hàm số (C) và n là giá trị của
hàm số (C) tại
1x =
thì tích
.mn
là:
A.
6
5
B.
14
5
C.
3
5
D.
2
15
Câu 36: Hỏi đồ thị hàm số
1
2
x
y
xx
−
=
−+
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 37: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận ngang?
A.
31
1
x
y
x
+
=
−
B.
32
2 32yx x x=− ++
C.
2
1
x
y
x
=
−
D.
2
1
2
xx
y
x
++
=
−
Câu 38: Cho hàm số
( )
y fx=
xác định trên
{ }
\1
liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
thiên sau.
x
−∞
1
2
+∞
(
)
fx
′
−
−
0 +
( )
fx
3
+∞
5
−∞
2−
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 2.
Câu 39: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
{
}
\1
và có bảng biến thiên như sau:
x
−∞
2−
1
2
+∞
y’
−
0
+
+
0
−
y
+∞
+∞
3
2
−∞
−∞
Đồ thị hàm số
( )
1
25
y
fx
=
−
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 0 B. 4 C. 2 D. 1
Câu 40: Đồ thị hàm số
22
4 43 4 1y xx x= + +− +
có bao nhiêu tiệm cận ngang?
A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
Câu 41: Số đường tiệm cận đưng của đồ thị hàm số
( )
2
3
3 2 sin
4
xx x
y
xx
−+
=
−
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 42: Cho đồ thị hàm số
( )
31
1
x
y fx
x
−
= =
−
. Khi đó đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận đứng của
đồ thị hàm số
( )
1
2
y
fx
=
−
?
A.
1.x
=
B.
2.x = −
C.
1.x = −
D.
2.x
=
Câu 43: Cho đường cong
(
)
23
:
1
x
Cy
x
+
=
−
và M là một điểm nằm trên (C). Giả sử
12
,dd
tương ứng là các
khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C), khi đó
12
.dd
bằng:
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 44: Gọi (H) là đồ thị hàm số
23
1
x
y
x
+
=
+
. Điểm
(
)
00
;Mx y
thuộc (H) có tổng khoảng cách đến hai
đường tiệm cận là nhỏ nhất, với
0
0x <
khi đó
00
xy
+
bằng?
A.
2−
. B.
1.−
C. 0. D. 3.
Câu 45: Cho hàm số
1
23
x
y
x
−
=
−
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I
đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng
A.
1
.
2
d =
B.
1.d =
C.
2.
d =
D.
5.
d =
Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
( )
2
1
14
x
y
mx
+
=
−+
có hai tiệm cận đứng
A.
0m <
B.
0m =
C.
0
1
m
m
<
≠−
D.
1m
<
Câu 47: Cho hàm số
2
1
23
x
y
mx x
−
=
−+
. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
A.
0
1.
1
5
m
m
m
≠
≠−
<
B.
0
1.
1
3
m
m
m
≠
≠−
<
C.
0
.
1
3
m
m
≠
<
D.
0
.
1
5
m
m
≠
<
Câu 48: Cho hàm số
2
1
24
x
y
x mx
+
=
−+
có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị
(C) có đúng 3 đường tiệm cận?
A.
2
.
5
2
m
m
<−
≠−
B.
2.m >
C.
2
2
5
2
m
m
m
>
<−
≠−
D.
2
2
m
m
<−
>
Câu 49: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2
2
1
x
y
x mx
−
=
−+
có đúng 3 đường tiệm cận.
A.
2
.
5
2
2
m
m
m
>
≠
<−
B.
2
2
5
2
m
m
m
>
<−
≠−
C.
2
.
2
m
m
>
<−
D.
2 2.m−< <
Câu 50: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
22
1
2
x mx m
y
x
+ −−
=
+
có tiệm cận
đứng.
A.
{ }
\ 1; 3 .−
B.
C.
2
\ 1;
3

−


D.
3
\ 1;
2

−


Câu 51: Tập hợp các giá trị của m để đồ thị của hàm số
( )
( )
22
21
2 14 4 1
x
y
mx x x m
−
=
−+ + +
có đúng một tiệm
cận là
A.
{ }
0
. B.
( )
( )
; 1 1;−∞ − ∪ +∞
.
C.
( ) { } ( )
; 1 0 1;
−∞ − ∪ ∪ +∞
. D.
∅
Câu 52: Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số
2
2
1
32
mx
y
xx
−
=
−+
có đúng 2 đường tiệm cận?
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 53: Tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số
( )( )
22
21
2 14 4 1
x
y
mx x x m
−
=
−+ + +
có đúng 1 đường tiệm
cận là
A.
( ) { } ( )
; 1 0 1; .−∞ − ∪ ∪ +∞
B.
∅
C.
{ } ( )
0 1; .∪ +∞
D.
( ) ( )
; 1 1;−∞ − ∪ +∞
Câu 54: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
2
11
3
x
y
x mx m
++
=
−−
có đúng hai tiệm
cận đứng.
A.
1
0; .
2


B.
( )
0; +∞
C.
11
;.
42



D.
1
0; .
2



Câu 55: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
( )
2
11
12
x
y
x mx m
++
=
−− +
có hai tiệm
cận đứng?
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 56: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số
2
59
2 28
x
y
x mx m
−
=
+ ++
có đúng hai
đường tiệm cận.
A.
2 4.m−< <
B.
2 5.
m−< <
C.
1 5.m−< <
D.
1 4.m−< <
Câu 57: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
2
1
22 1
x
y
x xmx
−
=
− − −−
có đúng bốn đường
tiệm cận.
A.
[ ]
{
}
5; 4 \ 4m ∈− −
B.
[ ]
5; 4m ∈−
C.
( ) { }
5; 4 \ 4m ∈− −
D.
(
]
{ }
5; 4 \ 4m ∈− −
Câu 58: Cho đồ thị hàm bậc ba
( )
y fx=
như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
(
)
( ) ( )
22
2
43
2
x x xx
y
xf x fx
++ +
=

−

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 6 B. 3
C. 2 D. 4
Câu 59: Cho hàm số
32
y ax bx cx d= + ++
,
( )
0a ≠
có đồ thị như hình bên.
Hỏi đồ thị hàm số
( )
( )
( )
( )
2
2
1 43
fx
gx
x xx
=
+ −+
có bao nhiêu đường tiệm cận
đứng?
A. 2 B. 1
C. 3 D. 4
Câu 60: Cho hàm số bậc ba
( )
32
f x ax bx cx d= + ++
có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm
số
( )
( )
( )
( )
2
42
3 22 1
5 4.
xx x
gx
x x fx
−+ +
=
−+
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
x
−∞
1
2
+∞
( )
fx
′
+ 0
−
0 +
( )
fx
5
+∞
−∞
0
A. 4 B. 3 C. 2 D. 6
Câu 61: Cho hàm bậc bốn
( )
y fx=
có bảng biến thiên như sau
x
−∞
0
3
5
1
5
3
2
+∞
( )
fx
′
−
0 + 0
−
0
+
( )
fx
+∞
+∞
1
4
0
0
1
2
−
0
Hỏi đồ thị hàm số
(
)
(
) (
)
( )
22
2 54 3 2
2 2 10 5 8 4
fxx x
y
f x fx x x x x x
+
=

− +− − ++

có bao nhiêu tiệm cận đứng và
ngang?
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
Câu 62: Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tiếp tuyến
của (C) cắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B. Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp
tam giác IAB bằng.
A.
42
π
B.
8
π
C.
2
π
D.
4
π
Câu 63: Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều
ABI có hai đỉnh A,B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng
A.
6
B.
23
C. 2 D.
22
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
(
)(
)
(
)(
)
41
1
44 4
xx
x
y
xx x
−+
+
= = ⇒
−+ +
TCĐ:
4
x = −
. Chọn C.
Câu 2: Ta có tiệm cận đứng
2
x =
. Chọn B.
Câu 3:
( )
( )
( )( )
2
2
12
2
12 2
x xx
xx
y
xx x
+ −−
−−
= = ⇒
++ +
TCĐ:
2
x = −
. Chọn A.
Câu 4: Ta có tiệm cận đứng
2
x = −
.
Lại có
(
)
21
lim lim 2 : 2
2
2; 2
21
lim lim 2 : 2
2
xx
xx
x
y TCN y
x
I
x
y TCN y
x
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞
−
= =⇒=
+
⇒−
−
= =⇒=
+
. Chọn A.
Câu 5: Ta có
5
lim lim 0 : 0
1
.
5
lim lim 0 : 0
1
xx
xx
y TCN y
x
y TCN y
x
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞
= =⇒=
−
= =⇒=
−
Chọn D.
Câu 6: Ta có
14
lim lim 2 : 2
21
.
14
lim lim 2 : 2
21
xx
xx
x
y TCN y
x
x
y TCN y
x
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞
−
= =−⇒ =−
−
−
= =−⇒ =−
−
Chọn D.
Câu 7: Đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
có TCĐ
1x =
. Chọn A.
Câu 8: Ta có tiệm cận đứng
1x = −
. Chọn B.
Câu 9: Đồ thị hàm số
23
1
x
y
x
−
=
−
có TCĐ
1x =
. Chọn A.
Câu 10: Dễ thấy đồ thị hàm số
2
logyx=
có TCĐ
0x
=
. Chọn B.
Câu 11:
( )( )
( )( )
12
1
22 2
xx
x
y
xx x
−−
−
= = ⇒
−+ +
TCĐ:
2x = −
. Chọn A.
Câu 12:
( )( )
( )(
)
15
12
xx
y
xx
+−
= ⇒
−−
TCĐ:
1; 2.xx= =
Mặt khác
lim 1 : 1
lim 1 : 1
x
x
y TCN y
y TCN y
→+∞
→−∞
=⇒=
=⇒=
. Chọn C.
Câu 13: Đồ thị hàm số
2
2
43
56
xx
y
xx
−+
=
−+
có hai tiệm cận đứng là
2, 3xx
= =
. Chọn D.
Câu 14:
11 1
11
x
y
x
x
−−
= = ⇒
+−
đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
0
y =
. Chọn D.
Câu 15: Đồ thị hàm số
3
log x
không có tiệm cận ngang. Chọn B.
Câu 16: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
3
x
=
và
3x
= −
, tiệm cận ngang
0
y
=
. Chọn C.
Câu 17:
2
2
76 6
11
xx x
y
xx
−+ −
= =
−+
có tiệm cận đứng là
1x
= −
, tiệm cận ngang là
1y =
. Chọn B.
Câu 18: Đồ thị hàm số
12
1
x
y
x
−
=
+
có 2 đường tiệm cận.
Đồ thị hàm số
2
1
4
y
x
=
−
có 2 đường tiệm cận đứng là
2x = ±
. Mặt khác
2
1
lim 0 0
4
x
y
x
→∞
=⇒=
−
là tiệm cận
ngang của đồ thị hàm số.
Do đó đồ thị hàm số
2
1
4
y
x
=
−
có 3 đường tiệm cận. Chọn B.
Câu 19: TXĐ:
D
=
.
Ta có:
22
22
11
lim lim lim 1, lim lim lim 1
11
11
11
xx x xx x
xx
yy
xx
xx
→+∞ →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →−∞
= = = = = = −
++
+ −+
Suy ra đồ thị có hai đường tiệm cận ngang
1y = ±
và không có tiệm cận đứng. Chọn B.
Câu 20: Xét hàm số
( )( )
2
11
9 33
xx
y
x xx
++
= = ⇒
− −−
Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng
3x = ±
.
Mặt khác
2
1
lim lim 0
9
xx
x
y
x
→∞ →∞
+
= = ⇒
−
Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang
0
y =
.
Vậy đồ thị hàm số
2
1
9
x
y
x
+
=
−
có 3 đường tiệm cận. Chọn A.
Câu 21: Hàm số
2
1
2
x
y
x
−
=
+
có bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số nên đồ thị của nó không có tiệm cận
ngang. Chọn C.
Câu 22: TXĐ:
D =
.
Ta có:
1 11
lim lim 1, lim lim lim 1
1 11
xx xx x
x xx
yy
x xx
→+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →−∞
− −−
= = = = = −
+ + −+
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là
1
y = ±
. Chọn C.
Câu 23: TXĐ:
{ }
\ 1; 3D = −
.
Khi đó:
( )(
)
2
13
2x 4x 1
lim , lim
13
xx
y yy
xx
→ →−
+−
= ⇒ =∞ =∞⇒
−+
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là
1, 3xx= = −
.
Mặt khác
2
2
2
2
41
2
2 41
lim lim lim 2 2
23
23
1
xx x
xx
xx
yy
xx
xx
→∞ →∞ →∞
+−
+−
− = =⇒=
+−
+−
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn A.
Câu 24: TXĐ:
1
\ ;2
2
D

=


.
Khi đó:
( )( )
(
)( )
2
2
31 2
3 7 2 31
2 52 21 2 21
xx
xx x
y
xx x x x
−−
−+ −
= = = ⇒
−+ − − −
Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là
1
.
2
x =
Chọn A.
Câu 25: Ta có:
( )
( )
22 22
22
22
1 43 43
34
43
43
x xx x xx
fx
x
x xx
x xx
−+ − −+ −
= = =
−
−− −
−− −
Khi đó
22
2
43
11
43 2 2
lim lim lim
4
34 3 3
3
xx x
x xx
xx
yy
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
− +−
−+ − − −
= = = ⇒=
−
−
là tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số.
Mặt khác
22
2
43
11
43 2 2
lim lim lim
4
34 3 3
3
xx x
x xx
xx
yy
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
−− −−
−+ − − −
= = = ⇒=
−
−
là tiệm cận ngang của
đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang. Chọn D.
Câu 26: TXĐ:
[ ]
2; 2D
= −
. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Mặt khác
( )
( )
22
21
lim lim
22
xx
x
y
xx
−−
→→
+
= = +∞
+−
và
( ) ( )
( )( )
22
21
lim lim
22
xx
x
y
xx
++
→− →−
+
= = −∞
+−
.
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng
2x = ±
. Chọn A.
Câu 27: TXĐ:
{ }
6; 6 \ 1D

= −

. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Mặt khác
( )( )
2
11
6
lim lim
14
xx
x
y
xx
→→
−
= =∞⇒
−+
Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng
1x =
. Chọn D.
Câu 28: TXĐ:
[
)
2; 2
D = −
. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Mặt khác
( )( )
( )( )
2
2
22 2 2
22
4 21
lim lim lim lim .
56 2 3 3
2
xx x x
xx
xx
y
xx x x x
x
−− − −
→→ → →
−+
−+
= = = = +∞
−+ − − −
−−
2x⇒=
là tiệm cận đứng
của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là
2x =
. Chọn B.
Câu 29: TXĐ:
[ ]
{ }
1;1 \ 0D = −
.
Lại có:
( )
2
00
1
lim lim 0
2
xx
x
yx
xx
→→
−
= =∞⇒ =
+
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Không tồn tại giới hạn
( )
2
lim
x
y
→−
.
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng. Chọn D.
Câu 30: Tập xác định của hàm số là
{
}
11
; ; \1
22
D

= −∞ − ∪ +∞


.
Khi đó
22
2
22
2
4 13 2
lim lim 3
4 13 2
lim lim 3
xx
xx
xx
y
xx
xx
y
xx
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞
−+ +
= =
−
⇒
−+ +
= =
−
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
3.
y =
Lại có:
1
lim
x
y
→
=∞⇒
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1
x =
.
Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. Chọn A.
Câu 31: TXĐ:
{ }
\2.
D
=
Ta có:
22
22
11
11
11
lim lim lim 1, lim lim lim 1.
22
22
11
xx x xx x
xx
xx
yy
xx
xx
→+∞ →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →−∞
++
++
= − == =−=−
−−
−−
Suy ra
1y = ±
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Mặt khác
2
22
1
lim lim 2
2
xx
x
yx
x
→→
+
= =∞⇒ =
−
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn C.
Câu 32: TXĐ:
( )
1;1D = −
. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
( )(
)
2
111
1
11
1
xxx
y
x
xx
x
+++
= = = ⇒
−
−+
−
Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng
1x =
. Chọn A.
Câu 33: TXĐ:
( )
2;1 .
D = −
Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Ta có:
( )
( )
11
2
12
xx
y
x
xx
−−
= =−⇒
+
−+
Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng
2
x = −
. Chọn D.
Câu 34: TXĐ:
{ }
5 ; 5 \ 1;1
D

=−−

. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Mặt khác
( )
(
)
( )
(
)
22
2
2222
54 1 1
52
15 2 15 2
xx
y
x
xxxx
−− −
= = =−⇒
−+
− −+ − −+
Đồ thị hàm số không có
tiệm cận đứng. Chọn A.
Câu 35: TXĐ:
33 3
; ;\
22 2
D


= −∞ − ∪ +∞ −






. Ta có:
( )
11 2
1.
55
ny
+
= = =
Mặt khác
2
2
3
14
43 3
lim lim lim .
3
23 2
2
xx x
xx
x
y
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
+−
+−
= = =
+
+
2
2
3
14
43 1
lim lim lim
3
23 2
2
xx x
xx
x
y
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
−−
+− −
= = = ⇒
+
+
Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.
Lại có:
3
2
3
lim
2
x
yx

→


=∞⇒ =−
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy
26
3, .
55
m n mn==⇒=
. Chọn A.
Câu 36: TXĐ:
[
) { }
2; \ 2D = − +∞
.
Ta có:
2
1
1
1
lim lim lim 1 1
2 12
1
xx x
x
x
yy
xx
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
−
−
= = =⇒=
−+
−+
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Mặt khác
22
1
lim lim
2
xx
x
y
xx
→→
−
= =∞⇒
−+
đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là
2x =
. Vậy đồ thị hàm
số có 2 đường tiệm cận. Chọn C.
Câu 37: Đồ thị hàm số
31
1
x
y
x
+
=
−
có tiệm cận ngang là
3y =
. Chọn A.
Câu 38: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
lim 3, lim 5 3, 5
xx
y y yy
→−∞ →+∞
= =⇒= =
là 2 đường tiệm cận ngang của
đồ thị hàm số.
Mặt khác
1
lim 1
x
yx
→
=∞⇒ =
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn A.
Câu 39: Xét phương trình
( )
( )
5
2 50 .
2
fx fx−=⇔ =
Dựa vào BBT suy ra phương trình
( )
5
2
fx=
có 4 nghiệm phân biệt.
Do đó đồ thị hàm số
( )
1
25
y
fx
=
−
có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.
Câu 40: TXĐ:
D =
Ta có:
( )
22
2222
4 4 34 1
42
4 43 4 1 4 43 4 1
xx x
x
y
xx x xx x
+ +− +
+
= =
+ ++ + + ++ +
Khi đó:
22 22
22
44
lim lim 1, lim lim 1
43 1 43 1
44 44
xx xx
xx
yy
xx
xx xx
→+∞ →+∞ →−∞ →−∞
++
= = = = −
++ + + − ++ − +
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là
1.y = ±
Chọn A.
Câu 41: TXĐ:
{ }
\ 2; 0D = ±
Khi đó:
( )( )
( )( )
(
)
(
)
1 2 sin 1 sin
22 2
x x xx x
y
x xx xx
−− −
= =
−+ +
Ta có:
( )
2 00
1 sin 1 1
lim , lim lim . .1 .
2 22
x xx
xx
yy
xx
→− → →
−
=∞ = =−=−
+
Do đó đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là
2x = −
. Chọn A.
Câu 42:
(
)
1 11
1
31
21
2
1
x
yx
x
fx x
x
−
= = = ⇒=−
−
−+
−
−
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
1
2
y
fx
=
−
.
Chọn C.
Câu 43: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng
( )
1
1
x = ∆
và tiệm cận ngang
( )
2
2y = ∆
.
Gọi
( )
( )
23
;1
1
a
Ma C a
a
+

∈≠

−

ta có:
(
)
11
;1
d dM a= ∆= −
và
( )
22
23 5
; 2.
11
a
d dM
aa
+
= ∆= −=
−−
Khi đó
12
5
. 1. 5
1
dd a
a
=−=
−
. Chọn C.
Câu 44: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng
( )
1
1x =−∆
và tiệm cận ngang
( )
2
2y = ∆
.
Gọi
(
)( )
23
;1
1
a
Ma C a
a
+

∈ ≠−

+

ta có:
( )
11
;1
d dM a= ∆= +
và
( )
22
23 5
; 2.
11
a
d dM
aa
+
= ∆= −=
++
Theo bất đẳng thức Cosi ta có:
12
1
1 2 1 . 2.
1
dd a a
a
+ = +≥ + =
+
Dấu bằng xảy ra
( )
( )
( )
2
0;3
0
1
1 11 .
2
1
2;1
M
a
aa
a
a
M
=
⇔ += ⇔ + =⇔ ⇔
= −
+
−
Do
0
0x <
nên
( )
00
2;1 2 1 1.M xy− ⇒ + =−+=−
Chọn B.
Câu 45: Gọi
13
;
23 2
a
Ma a
a
−

≠

−

là điểm thuộc đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến tại M là:
( )
( ) ( )
2
11
23
23
a
y xa d
a
a
−−
= −+
−
−
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
3
2
x =
, tiệm cận ngang
1 31
;
2 22
yI

= ⇒


.
Khi đó
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
( )
2
2
2 22
3
11
2
12 32 2
22 3
23
22 3
1
;
1 11
1 1 23
23 23 23
a
a
aa
a
a
a
d Id
a
a aa
−
−
−+
− ++ −
−
−
−
= = =
+ + +−
− −−
Do
( )
( )
( )
( )
22
22
11 1
23 2 .23 2 .
2
23 23
a ad
aa
+ − ≥ − =⇒≤
−−
Vậy
max
1
2
d =
. Chọn A.
Câu 46: Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi phương trình
(
) (
)
2
14gx mx
= −+
có 2 nghiệm phân biệt
khác
( )
0
0
1.
1 4 40
1
m
m
gm
m
<
<
−⇔ ⇔

−− +≠
≠−
Chọn C.
Câu 47: Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang của mọi m.
Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận
⇔
Phương trình
( )
2
2 30g x mx x
= − +=
có 2 nghiệm phân biệt khác
1
( )
00
13 0 1
1
1 10
3
mm
mm
gm
m
≠≠
⇔ ∆= − > ⇔ ≠−


= +≠
<
. Chọn B.
Câu 48: Do
2
1
lim lim 0 0
24
xx
x
yy
x mx
→∞ →∞
+
= =⇒=
−+
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị (C) có đúng 3 đường tiệm cận thì có phải có 2 đường tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng
( )
2
2 40g x x mx⇔ = − +=
có 2 nghiệm phân biệt khác
1−
.
( )
2
2
40
2
.
1 52 0
5
2
m
m
m
gm
m
>
′
∆= − >

<−
⇔⇔

−=+ ≠
≠−
Chọn C.
Câu 49: Do
2
2
lim lim 0 0
1
xx
x
yy
x mx
→∞ →∞
−
= =⇒=
−+
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị (C) có đúng 3 đường tiệm cận thì nó phải có 2 đường tiệm cận đứng.
Đồ thi hàm số có 2 tiệm cận đứng
( )
2
10g x x mx⇔ = − +=
có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
( )
2
2
40
2
.
1 52 0
5
2
m
m
m
gm
m
>
′
∆= − >

<−
⇔⇔

−=− ≠
≠
Chọn A.
Câu 50: TXĐ:
{ }
\2D = −
.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
⇔
Phương trình
( )
22
10g x x mx m= + − −=
không nhận
2x = −
là
nghiệm
(
)
2
1
2 42 10
3
2
m
g mm
m
≠
⇔ − = − − −≠ ⇔
≠−
. Chọn D.
Câu 51: Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang
0y =
.
Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
TH1:
0m ≠
và phương trình:
( )( )
22
2 14 4 1 0mx x x mx− + + +=
vô nghiệm
2
10
1
11
4 40
m
m
m
m
m
−<
>
⇔ ⇔ ⇒ ∈∅

−< <
−<
.
TH2: Phương trình:
2
4 4 10
x mx+ +=
vô nghiệm. Phương trình:
( )
2
2 1 0*mx x− +=
có đúng 1 nghiệm
đơn
( )
2
4 40
11
1
0
1
0
2
0 * 2 10
2
m
m
xm
m
m xx
−<
−< <
=⇔ ⇔ ⇒=

=
= ⇒ ⇔ −= ⇔ =
.
Kết hợp 2 trường hợp suy ra
0m =
. Chọn A.
Câu 52: Ta có:
2
2
2
2
1
1
lim lim lim
32
32
1
xx x
m
mx
x
ym
xx
x
x
→∞ →∞ →∞
−
−
= = = ⇒
−+
−+
Đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang
là đường thẳng
ym=
. Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi nó có một tiệm cận khi nó có một
tiệm cận đứng. Ta có:
( )( )
22
2
11
12
32
mx mx
y
xx
xx
−−
= =
−−
−+
, đặt
( )
2
1f x mx= −
.
Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi
( )
( )
10
10
4 10
20
f
m
m
f
=
−=
⇔
−=
=
.
1
1
1;
1
4
4
m
m
m
=

⇔ ⇔∈

=

. Chọn B.
Câu 53: Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang
0y =
.
Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
TH1:
0m ≠
và phương trình:
( )( )
22
2 14 4 1 0mx x x m− + + +=
vô nghiệm
1
10
1
1
4 10
4
m
m
m
m
m
>
−<
⇔ ⇔ ⇒>

+>
>−
.
TH2: Phương trình:
2
4 4 10xm+ +=
vô nghiệm. Phương trình:
( )
2
2 1 0*mx x− +=
có đúng 1 nghiệm đơn
(
)
4 10
1
0
1
2
0 * 2 10
2
m
xm
m xx
+>
=⇔ ⇔=
= ⇒ ⇔ −= ⇔ =
.
Kết hợp 2 trường hợp suy ra
{ } ( )
0 1;m ∈ ∪ +∞
. Chọn C.
Câu 54: Ta thấy
( )
1 10 1
xx+ + > ∀ ≥−
. Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng
2
30x mx m⇔−− =
có hai nghiệm phân biệt
12
,1xx≥−
.
( )( )
(
) (
)
2
2
12 12
12 1 2
12
43 0
0 12 0
1
2 2 2 0; .
2
12 0
10
1 10
mm
mm
xx xx m m
m
xx x x
xx
∆= − − − >
∆> + >

⇔ + ≥− ⇔ + ≥− ⇔ ≥− ⇔ ∈



−≥
+ + +≥
+ +≥
Chọn A.
Câu 55: Ta thấy
(
)
1 10 1xx+ + > ∀ ≥−
. Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng
( )
2
1 20x mx m⇔ −− + =
có hai nghiệm phân biệt
12
,1
xx≥−
.
( )( )
( )
( )
2
2
12 12
12 1 2
12
180
0 10 1 0
2 2 1 2 5 62 2
10
2 1 10
1 10
mm
mm
xx xx m m
xx x x
mm
xx
∆= − − >
∆> − + >
⇔ + ≥− ⇔ + ≥− ⇔ − ≥− ⇔ − ≥ ≥−


+ + +≥
+ − +≥
+ +≥
.
Kết hợp
{ }
2, 1, 0mm∈ ⇒ =−−
. Chọn C.
Câu 56: Ta có
2
2
9
5
59
lim lim lim 5
2 28
2 28
1
xx x
x
x
y
mm
x mx m
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
−
−
= = =
+
+ ++
++
.
Mặt khác
2
2
9
5
59
lim lim lim 5
2 28
2 28
1
xx x
x
x
y
mm
x mx m
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
−
−
= = = −
+
+ ++
−+ +
Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang
5y = ±
.
Để đồ thị hàm số có đứng hai đường tiệm cận thì nó phải không có tiệm cận đứng.
Khi đó phương trình
2
2 2 80x mx m+ + +=
vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
TH1: Phương trình
2
2 2 80x mx m+ + +=
vô nghiệm
2
8 0 2 4.mm m
′
⇔∆ = − − < ⇔− < <
TH2: Phương trình
2
2 2 80x mx m+ + +=
có nghiệm kép
2
0
9
99
5
2. 2 8 0
55
x
mm
∆=
= ⇔
 
+ + +=
 
 
(hệ
phương trình này vô nghiệm).
Vậy
24m−< <
là giá trị cần tìm. Chọn A.
Câu 57: Ta có
2
2
1
1
11
lim lim lim
2 1 21
22 1
21
xx x
x
x
y
m
x xm x
xx
x
→+∞ →+∞ →+∞
−
−
= = =
−
− − −−
− − −−
2
2
1
1
11
lim lim lim
2 1 21
22 1
21
xx x
x
x
y
m
x xm x
xx
x
→−∞ →−∞ →−∞
−
−−
= = =
−
− − −−
− − − −−
Do đó đồ thị hàm số luôn có 2 đường tiệm cận ngang.
Để độ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì phương trình
( )
( )
22
2
2
2
1
1
22 10 22 1
4 10
22 1
x
x
x xm x x xm x
gx x x m
x xm x
≥
≥−

−−−−=⇔ −−=+⇔ ⇔

= − − −=
− −= +
có 2 nghiệm phân biệt khác 1
( )
gx⇔
có nghiệm
12
1xx⇔ > ≥−
và
.
( )( )
( )
( )
(
]
{
}
12
12
12 1 2
4 10
5
5
1 10
60
60
5; 4 \ 4
1 10
10
15 0
4
14 0
4
m
m
m
xx
m
xx
xx x x
m
m
gm
m
′
∆= + + >
>−
>−
++ +>
<
>

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈− −

+ +≥
+ + +≥
− −+ ≥


≠−
=−− ≠
≠−
. Chọn D.
Câu 58: Hàm số xác định khi
( ) ( )
( ) ( )
2
0
0
1
. . 20
. 20
x
xx
x
xfx fx
fx fx
>
+≥
≤−
⇔

−≠


−≠


( )( )
( ) ( )
13
1
.
2
xx
x
y
x
fx fx
++
+
=
−


Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Phương trình
( )
0fx=
có nghiệm kép
3x = −
và nghiệm
( )
1
1; 0xx= ∈−
.
Phương trình
( )
2fx=
có một nghiệm
1x = −
và 2 nghiệm
23
,1xx<−
.
Do đó đồ thị hàm số có các đường tiệm cận
23
0, 3, ,x x xxxx= =−= =
. Chọn D.
Câu 59: Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
(
) ( ) ( )
2
1. 2f x ax x=+−
trong đó
0a >
.
Do đó
(
)
( )
( )
( )
( ) ( )( )
( )( )
22
2
. 1. 2
.2
1. 1 3
1 43 1 1 3
fx
ax x
ax
gx
xxx
x xx x x x
+−
−
= = =
+−−
+ −+ + − −
Khi đó tập xác định của hàm số là
[
) { }
2; \ 3D = +∞
.
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là
3
x =
. Chọn B.
Câu 60: Ta có
( )
( )( )
( )
22
3 2 3 1 23 32f x ax bx c a x x a x x
′
= + += − − = − +
Đồng nhất 2 vế ta có:
( )
32
9
2 9, 6 6
2
a
b a c a f x ax x ax d
=− =⇒ =− ++
Mặt khác
( )
( )
10
9
15
65
19
2
20
20
8 18 12 0
19
a
f
a a ad
f
a a ad
d
=
=
+ + +=

⇒⇒

−
=

− + +=
=
Giải phương trình
( )
1
0
2
2
x
fx
x
=
= ⇔
=
.
Hàm số có tập xác định là
11
; \ ;1; 2
22
D

= − +∞


Khi đó:
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( ) ( )
2
42 2 2
3 22 1
1 22 1
21
1 2.
5 4. 1 4.
xx x
xx x
x
gx
x x fx
x x fx x x fx
−+ +
−− +
+
= = =
++
−+ − −
Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là
1
,2
2
xx= =
. Chọn C.
Câu 61: Dựa vào BBT ta có:
( ) ( )( )
2
12f x ax x x= +−
Ta có:
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
2 22
22 22
. 12
2 4 12 1 2 4 12 1
fxxx axx x xx
y
fx x x x fx x x x
+ +− +
= =
− −−+ − −−+
 
 
( ) ( )( )( )
22
2 2 12 1
ax x x
fx x x x
+
=
−+− +


Dựa vào BBT suy ra phương trình
( )
2fx
=
có 2 nghiệm
xa
xb
=
=
trong đó
0
.
2
a
b
<
>
Với điều kiện
2
0xx+≥
thì phương trình
( ) ( )( )( )
2
1
2 2 12 1 0
x
x
fx x x x
xa
xb
= −
=
− + − +=⇔


=
=
Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng.
Mặc khác bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là
0y =
.
Do đó đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận. Chọn C.
Câu 62: Đồ thị hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
có tiệm cận đứng là
2x =
và tiệm cận ngang là
( )
1 2;1yI= ⇒
.
Gọi
( )
2
;
2
a
Ma C
a
+

∈

−

với
2
a ≠
suy ra phương trình tiếp tuyến tại M là:
(
)
( )
( )
2
42
.
2
2
a
y xa d
a
a
−+
= −+
−
−
Ta có:
(
)
(
)
2
2
6
42
2 2;
2
2
2
x
a
a
dx A
y
a
a
a xa
=
+

−+
∩=⇒ ⇒

= +
−

−
−−
(
)
( )
( )
2
1
426
1 2 2;1
2;
22
2
y
aa
d y Ba
yA
aa
a xa
=
−+ +
∩=⇒ ⇒ −

= +⇒

−−

−−
Khi đó
68
1 ,24.16
22
a
IA IB a IA IB
aa
+
= −= = − ⇒ =
−−
Do
IAB
∆
vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là
22
22
AB IA IB
R
+
= =
Mặt khác
22
32
2 . 32 2 2
2
IA IB IA IB R+ ≥ = ⇒≥ =
.
Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng:
min min
2 42CR
ππ
= =
. Chọn A.
Câu 63: Giao điểm của 2 đường tiệm cận là
( )
2;1I −
là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Hàm số đã cho là hàm đồng biến, có 2 trục đối xứng là 2 đường phân giác của các đường tiệm cận có
phương trình là
yx=
và
yx= −
.
Do tính chất đối xứng nên:
::
AB d y x AB y x m⊥ =−⇒ = +
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và AB là:
( ) ( )
2
2
1
1 2 10
2
x
x
xm
gx x m x m
x
≠−
−
=+⇔
= + + + +=
+
Điều kiện để AB cắt (C) tại 2 điểm phân biệt là:
( ) ( )
( )
2
1 42 1 0
20
mm
g
∆= + − + >
−≠
Khi đó gọi
( ) ( )
11 2 2
; ;;Ax x m Bx x m++
, theo Viet ta có:
12
12
1
21
xx m
xx m
+ =−−
= +
Tam giác ABC luôn cân tại I suy ra nó đều khi
( )
33
;
22
IH AB d I AB AB=⇔=
( ) ( ) ( )
( )
22 2
2
1 2 1 2 12
3
3
2 3 3 4 3 2 18 4
2
2
m
x x m x x xx m m m
−

⇔ = − ⇔ − = + − = + +− −

( )
22
6 9 2 6 3 23mm AB mm⇔ − =⇒ = − −=
. Chọn B.
| 1/48
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
▪ Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( ; a +∞) ; ( ; −∞ b) hoặc ( ;
−∞ +∞) ). Đường thẳng y = y là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị 0
hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim y = y ; lim y = y . 0 0 x→+∞ x→−∞
▪ Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số 0
y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim y = ; +∞ lim y = ; +∞ lim y = ; −∞ lim y = . −∞ x + → − + − 0 x x→ 0 x x→ 0 x x→ 0 x
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số Phương pháp giải:
Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y = f (x) ta thực hiện các bước sau:
▪ Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) của hàm số y = f (x)
▪ Bước 2: Tìm giới hạn của f (x) khi x tiến đến biên của miền xác định.
▪ Bước 3: Từ các giới hạn và định nghĩa tiệm cận suy ra phương trình các đường tiệm cận. f (x)
Đặc biệt: Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = ta có thể làm như sau: g (x)
- Bước 1: Tìm tập xác định D. - Bước 2:
+) Tìm tiệm cận ngang: Ta tính các giới hạn: lim y; lim y và kết luận tiệm cận ngang x→+∞ x→−∞
+) Tìm tiệm cận đứng: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp hoặc phân tính nhân tử để đơn giản biểu thức
f (x) về dạng tối giản nhất có thể từ đó kết luận về tiệm cận đứng. g (x) Chú ý:
- Nếu bậc của f (x) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của g (x) thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
- Nếu bậc của f (x) lớn hơn bậc của thì g (x) đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau: 2 a) 2 − x + + y = C . b) 2x 5x 1 y = C . 2 ( ) 2 ( ) 1− x x − 5x + 4 Lời giải 2 1 − a) 2 2 TXĐ: D − = 2 x  \{ 1; − } 1 . Ta có: lim = lim = lim x x y
= 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ 2 x→±∞ x→±∞ 1 x − x →±∞ 1 2 x −1 thị hàm số.
Mặt khác lim y = ∞ và lim y = ∞ nên x =1 và x = 1
− là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. x 1 → x→(− ) 1
b) TXĐ: D =  \{1; } 4 . 2 2 Ta có: 2x + 5x +1 lim y + + = lim = −∞ (hoặc 2x 5x 1 lim y = lim
= +∞ ) nên đường thẳng x =1 là x 1+ x 1+ → → (x − ) 1 (x − 4) x 1− x 1− → → (x − ) 1 (x − 4)
tiệm cận đứng của (C).
Tương tự đường thẳng x = 4 cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. 5 1 2 2 + + 2 Lại có: 2x + 5x +1 lim = lim = lim x x y
= 2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ 2 x→±∞
x→±∞ x − 5x + 4 x→±∞ 5 4 1− + 2 x x thị hàm số đã cho.
Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau 2 a) x + 3 − 2x − + y = . b) x 4x 3 y = . 2 x −1 2 x + 7 − 4 Lời giải a) TXĐ: D = [ 3 − ;+∞) \ {± } 1 . Ta có: x + 3 − 2 lim = lim x y
= 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2 x→+∞ x→+∞ x −1 2 x + 3 − 4x (1− x)(3+ 4x) Mặt khác x + 3 − 2x x + 3 + 2x x + 3 + 2 lim = lim = lim = lim x y 2 x 1 → x 1 → x 1 x −1 → ( x − ) 1 (x + ) x 1 1 → (x − ) 1 (x + ) 1 3 + 4x 7 = lim−
= − ⇒ x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 1 → (x + ) 1 ( x + 3 + 2x) 8 Ta có: x + 3 − 2 lim = lim x y = ∞ ⇒ x = 1
− là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x→(− ) x→(− ) 2 1 1 x −1 2 b) TXĐ: − + D x 4x 3 = .  Ta có: lim y = lim
= +∞ ⇒ Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. x→±∞ x→±∞ 2 x + 7 − 4
(x )(x ) ( 2x + 7 + 4)(x − )1(x − 3) ( 2x + 7 + 4)(x − − − ) 1 1 3 Lại có: y = = = 2 x + 7 −16 (x − 3)(x + 3) x + 3 2 x + 7 + 4
Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3. −
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f (x) có lim f (x) = −∞ và lim f (x) = −∞ . Khẳng định nào sau đây là khẳng x 0+ → x 2+ → định đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng y = 0 và y = 2.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 0 và x = 2. Lời giải
Ta có lim f (x) = −∞ ⇒ đồ thị hàm số đã cho có TCĐ x = 0 x 0+ →
Lại có lim f (x) = −∞ ⇒ đồ thị hàm số đã cho có TCĐ x = 2 . Chọn D. x 2+ →
Ví dụ 4: Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2x −1 y = . x +1 A. 1 x = 1, − y = . B. x = 1, − y = 2.
C. x = 1, y = 2 − . D. 1 x = , y = 1. − 2 2 Lời giải TXĐ: D =  \ {− } 1 .
Ta có: lim y = ∞ ⇒ x = 1
− là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x→(− ) 1 Mặt khác 2x −1 lim y = lim
= 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B. x→∞ x→∞ x +1
Ví dụ 5: Trong các hàm số được nêu trong các phương án A, B, C, D đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng
x = 2 và y = 1 là các đường tiệm cận? A. 2x + 2 y − + = . B. x 2 y = . C. 1 y = . D. x 1 y = . x −1 x −1 2 x − x − 2 x − 2 Lời giải Đồ thị hàm số ax + b y =
với ad − bc ≠ 0 nhận d
x = − là tiệm cận đứng và a
y = là tiệm cận ngang. cx + d c c Chọn D. 2
Ví dụ 6: Cho hàm số 2x − 3x + 2 y =
. Khẳng định nào sau đây sai? 2 x − 2x − 3
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là 1 y = . 2
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2.
C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1; − x = 3. Lời giải TXĐ: D =  \ { 1; − } 3 . 3 2 2 2 − + 2 Ta có 2x − 3x + 2 lim = lim = lim x x y
= 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2 x→∞
x→∞ x − 2x − 3 x→∞ 2 3 1− − 2 x x
Lại có: lim y = ∞, lim y = ∞ do đó x = 1;
− x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A. x→(− ) 1 x→(3)
Ví dụ 7: Đồ thị nào sau đây không có tiệm cận ngang? 2 A. x +1 y − − = . B. x 1 y = . C. x 1 y = . D. 1 y = . x −1 2 x +1 x + 2 x +1 Lời giải 1 2 x + Ta có x +1 lim = lim = lim x y
= lim x = ∞ ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Chọn A. x→∞ x→∞ x −1 x→∞ 1 1 x→∞ − x 2
Ví dụ 8: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x − 3x − 4 y = . 2 x −16 A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Lời giải 2
x − 3x + 4 (x + ) 1 (x − 4) TXĐ: + D = x 1  \ {± } 4 . Khi đó: y = = = . 2 x −16
(x − 4)(x + 4) x + 4
Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là x = 4. − Chọn D. 2
Ví dụ 9: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số x − 5x + 4 y = . 2 x −1 A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Lời giải 2
x − 5x + 4 (x − )(x − ) lim y = 1 4 1 TXĐ: D − = x 4   \ {± } 1 . Khi đó x y →∞ = = = ⇒ 2 x −1 (x − ) 1 (x + ) 1 x +1  lim y = ∞ x→(− )1
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1
− và tiệm cận ngang y = 1. Chọn A.
Ví dụ 10: [Đề thi THPT QG 2017] Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x + 9 + 3 y = là: 2 x + x A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải TXĐ: D = [ 9; − +∞) \ {0;− } 1 .. x + 9 − 9 Khi đó: x + 9 + 3 x + 9 + 3 1 y = = = 2 x + x x(x + ) 1 (x + ) 1 ( x +9 +3) Suy ra 1 lim y = lim
⇒ Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là x = 1. − x→(− ) 1 x→(− ) 1 (x + ) 1 ( x + 9 + 3) Chọn D. 2
Ví dụ 11: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x − 2x + 3 − x y = . x −1 A. y = 2. B. x = 1. C. y = 2 − và y = 0. D. y = 1. Lời giải  2 3  − + − 2 1 1 2 x − 2x + 3  lim = lim − x = lim x x y = 0 x→+∞ x→+∞  x −1 x→+∞ 1 1−  Ta có  x
⇒ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm  2 3 − − + − 2 1 1  2 x − 2x + 3  lim = lim − x = lim x x y = −2 x→−∞ x→−∞ x −  1 x→−∞ 1 1−  x
cận ngang là y = 2 và y = 0. Chọn C.
Ví dụ 12: [Đề thi tham khảo năm 2018] Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng? 2 2 A. x − 3x + 2 y = . B. x y = . C. 2 y = x −1. D. x y = . x −1 2 x +1 x +1 Lời giải Phân tích các đáp án: 2
x − 3x + 2 (x − ) 1 (x − 2)
Đáp án A. Ta có y = =
= x − 2 nên hàm số không có tiệm cận đứng. x −1 x −1
Đáp án B. Phương trình 2
x +1 = 0 vô nghiệm nên hàm số không có tiệm cận đứng.
Đáp án C. Đồ thị hàm số 2
y = x −1 không có tiệm cận đứng.
Đáp án D. Đồ thị hàm số x y =
có tiệm cận đứng là x = 1 − .Chọn D. x +1 2
Ví dụ 13: Cho hàm số x − 4 y =
. Đồ thị hàm số có mấy đường tiệm cận? x −1 A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Lời giải
Tập xác định của hàm số là D = ( ; −∞ 2] ∪[2;+∞).
Ta thấy rằng x = 1∉ D ⇒ đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng. 4 − 2 x 1 2  lim y = 1 x − x x Và 4 lim y = lim = lim = lim x→+∞ ⇒  ⇒ y = 1; y = 1
− ⇒ đồ thị hàm số có x→∞ x→∞ x −1 x→∞  1 x→∞  x lim y = 1 x1 −  − x→−∞ x   
hai đường tiệm cận ngang. Chọn C. 2
Ví dụ 14: Đồ thị hàm số x + x +1 y = có bao nhiêu tiệm cận? x A. 3. B. 1. C. 0. D. 2. Lời giải TXĐ: D =  \ { } 0 . 1 1 + + 2 x 1 2  lim y = 1 x + x +1 − lim y = lim = lim x xx→−∞ ⇒ 
⇒ đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. x→∞ x→∞ x x →∞ x lim y = 1 x→+∞ 2 Và x + x +1 lim y = lim
= ∞ ⇒ x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A. x→0 x→0 x
Ví dụ 15: Đồ thị hàm số x + 4 y = có bao nhiêu tiệm cận? 2 x − 4 A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải TXĐ: D =  \ {± } 2 .  x + 4 lim y = lim = 1 x→+∞ x→+∞ 2 Ta có:  x − 4 
⇒ Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y = 1 ± . x + 4  lim y = lim = 1 − x→−∞ x→−∞ 2  x − 4
lim y = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x = 2. ± . x→ 2 ±
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận. Chọn D.
Ví dụ 16: Đồ thị hàm số 2 − x −1 y =
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? x( 2 x − 4x + 3) A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. Lời giải
Hàm số có tập xác định: D = ( ; −∞ 2] \ {0; } 1 Khi đó 2 − x −1 1− x 1 y = = = − . x( 2
x − 4x + 3) x(x − )
1 (x − 3)( 2 − x + )1
x(x − 3)( 2 − x + ) 1
Suy ra x(x − 3)( 2 − x + )1 = 0 ⇔ x = 0 . Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng. Chọn D. 2
Ví dụ 17: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2x −1− x + x + 3 y = . 2 x − 5x + 6 A. x = 3 − ; x = 2 − . B. x = 3. −
C. x = 3; x = 2. D. x = 3. Lời giải
Hàm số có tập xác định D =  \{2; } 3 . (2x − )2 1 − ( 2 x + x + 3) 2 3x − 5x − 2 (3x + ) 1 Ta có: y = = = 2 x − 5x + 6
(x − 2)(x −3)( 2
2x −1+ x + x + 3) (x −3)( 2
2x −1+ x + x + 3)
Do vậy chỉ có đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn D. 2
Ví dụ 18: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số x + 3 − 2 y = . 2 x −1 A. x = 1, ± y = 0. B. x = 1, ± y =1. C. y = 0. D. x = 1. ± Lời giải
Hàm số có tập xác định D =  \{± } 1 . x + − ( 2x +3−2)( 2 2 x + 3 + 2 3 2 ) 2 Ta có x −1 1 y = = = = . 2 x −1
( 2x +3+2)( 2x − )1 ( 2x +3+2)( 2x − ) 2 1 x + 3 + 2 Khi đó 1 lim y = lim
= 0 ⇒ Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y = 0 . Chọn C. x→∞ x→∞ 2 x + 3 + 2 2 2
Ví dụ 19: Số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị 4x −1 + 3x + 2 y = là 2 x − x A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Lời giải
Tập xác định của hàm số là 1   1 D  ; ;  = −∞ − ∪ +∞     \{ } 1 .  2   2   2 2 4x −1 + 3x + 2  lim y = lim = 3 2 Khi đó x→+∞ x→+∞ x − x
⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3. 2 2  4x −1 + 3x + 2 lim y = lim = 3  2 x→−∞ x→−∞  x − x
Lại có: lim y = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1. x 1 →
Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. Chọn A.
Ví dụ 20: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 3x −1− x + 3 y = 2 x + 2x − 3 A. x = 3 − . B. x = 1 − và x = 3.
C. x =1 và x = 3. − D. x = 3 Lời giải
Hàm số có tập xác định D = ( 3 − ;+∞) \{ } 1 . 3x −1− x + 3 (3x − )2 1 − (x + 3) 2 Khi đó 9x − 7x − 2 y = = = 2 x + 2x − 3
( 2x +2x−3)(3x−1+ x+3) ( 2x +2x−3)(3x−1+ x+3) 9x + 2 ⇔ y =
(x +3)(3x−1+ x+3)
Ta thấy (x + 3)(3x −1+ x +3) = 0 ⇔ x = 3
− ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3 − . Chọn A.
Ví dụ 21: Cho hàm số
2x + 3 − 2x + 3 y =
. Hãy chọn mệnh đề đúng. 2 x − 4x + 3
A. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là y =1 và y = 3.
B. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là y =1 và y = 3 .
C. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là đường thẳng x =1 .
D. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là x =1 và x = 3. Lời giải Ta có: 3 D  ;  = − +∞   \{1; } 3 .  2 
2x + 3− (2x −3)2 2x 3 2x 3 (1− 2x)(x − + + − 3) Khi đó y = = 2 x − 4x + 3
( 2x+3+2x−3)(x− )1(x−3) 1− 2x = (
. Suy ra lim y = ∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1.
2x + 3 + 2x − 3)(x − )1 x 1 →
Lại có: lim y = 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0. x→+∞
Ví dụ 22: Cho hàm số 2x − 3 y =
. Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận? 2 x − 2x − 3 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giảix > 3
Hàm số xác định khi và chỉ khi 2
x − 2x − 3 > 0 ⇔  x < 1 −  3 x2  −   lim y = 2 Ta có 2x − 3 lim y = lim = lim  x x→+∞ ⇒ 
⇒ đồ thị hàm số có hai TCN. x→∞ x→∞ 2
x − 2x − 3 x→∞ 2 3  lim y = 2 − x 1− − x→−∞ 2 x x 2
x − 2x − 3 = 0 x = 3
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của hệ phương trình  ⇔ 2x − 3 ≠ 0  x = 1 −
⇒ đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận. Chọn C. 2
Ví dụ 23: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x +1− x + x + 2 y = . 2 x + x − 2 A. x = 2. B. x = 2. − C. x = 2 − và x = 1. −
D. x = 2 và x =1. Lời giải (x + )2 1 − ( 2 x + x + 2) 2 2 TXĐ: D + − + + = x 1 x x 2  \{ 2; − } 1 . Khi đó:
x +1+ x + x + 2 y = = 2 x + x + 2 (x − ) 1 (x + 2) x −1 1 = ( = và 2
x +1+ x + x + 2)(x − )1(x + 2) (x + 2)( 2
x +1+ x + x + 2)
Ta có: lim y = ∞ ⇒ x = 2
− là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn B. x→( 2 − ) 2 4
Ví dụ 24: Đồ thị hàm số f (x) 3x −1− x + x + 2 =
có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 2 x − 3x + 2
A. Tiệm cận đứng x = 2, x =1; tiệm cận ngang y = 2 .
B. Tiệm cận đứng x = 2 ; tiệm cận ngang y = 2 .
C. Tiệm cận đứng x = 2, x =1; tiệm cận ngang y = 2, y = 3.
D. Tiệm cận đứng x = 2 ; tiệm cận ngang y = 2, y = 3. Lời giải TXĐ: D =  \{1; } 2 . 2 4 Ta có f (x)
3x −1− x + x + 2 lim = lim
= 2 ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 . 2 x→∞ x→∞ x − 3x + 2
x − − x + x + ( 2 4
3x −1− x + x + 2)( 2 4 2 4
3x −1+ x + x + 2 3 1 2 )
Mặt khác f (x) = = 2 x − 3x + 2 ( 2x −3x+2)( 2 4
3x −1+ x + x + 2) 8x − 7x −1 (x − )1( 3 2 4
8x + 8x + 8x + ) ⇔ f (x) 1 = ( = 2 x − 3x + 2)( 2 4
3x −1+ x + x + 2) (x − )1(x −2)( 2 4
3x −1+ x + x + 2) 3 2 ⇔ f (x)
8x + 8x + 8x +1 = (x − 2)( 2 4
3x −1+ x + x + 2)
Suy ra lim f (x) = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2 . Chọn B. x→2
Dạng 2: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên Phương pháp giải:
▪ Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên tìm tập xác định của hàm số.
▪ Bước 2: Quan sát bảng biến thiên để suy ra giới hạn khi x đến beien của miền xác định.
▪ Bước 3: Kết luận. f (x)
Chú ý: Đồ thị hàm số y =
nhận đường thẳng x = a là tiệm cận đứng khi hàm số xác định tại x = a g (x)
f (x) (x − a)n .h(x) và y = =
trong đó m > n và h(x), k (x) không có nghiệm x = a .
g (x) (x − a)m .k (x)
(Tức là số lần lặp lại nghiệm x = a của g (x) nhiều hơn số lần lặp lại nghiệm x = a của f (x) ).
Ví dụ 1: [Đề thi tham khảo năm 2019] Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ 1 +∞ +∞ 5 f(x) 2 3
Tổng số tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải
 lim f (x) = 2 ⇒ TCN : y = 2 x→−∞
Ta có  lim f (x) = 5 ⇒ TCN : y = 5 ⇒ Chọn C. x→+∞ 
lim f ( x) = +∞ ⇒ : x =1  TC§ x 1− →
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x) là hàm số xác định trên  \{ }
1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có
bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x −∞ 0 1 +∞ y’ + 0 − + 2 5 y 0 −∞ 3
A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 0, y = 5 và tiệm cận đứng là x =1.
B. Giá trị cực tiểu của hàm số là y = . CT 3
C. Giá trị cực đại của hàm số là y = . CD 5
D. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. Lời giải
Do lim = 0; lim = 5 nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 0, y = 5 và tiệm cận đứng là x =1. x→−∞ x→+∞ Chọn A.
Ví dụ 3: [Đề thi tham khảo năm 2017] Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? x −∞ 2 − 0 +∞ y’ + − +∞ 1 y −∞ 0 A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 Lời giải
lim f (x) = +∞ −
Dựa vào bảng biến thiên ta có: x→0  ⇒ =
= − là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. f (x) x 0, x 2 lim = −∞ x→( 2−)+
Mặt khác: lim f (x) = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x→+∞
Vậy đồ thị đã cho có 3 tiệm cận. Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng ( 1;
− +∞) và có bảng biến thiên như hình vẽ x −∞ 1 − 2 4 +∞ y’ + − 0 + − 0 +∞ y −∞ 3 − 1
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f (x) là: A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy lim f (x) = −∞ và lim f (x) = +∞ x ( ) 1 + → − x 4+ →
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = 1; − x = 4.
Lại có: lim f (x) =1⇒ y =1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B. x→+∞
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. x −∞ 2 − 3 +∞ y’ + − 0 + +∞ 4 +∞ y 5 0
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f (x) là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: lim y = +∞ ⇒ x = 2
− là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x ( 2)− → −
Lại có: lim y = 5 ⇒ y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x→−∞
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  \{ }
1 có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm
cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x) là x −∞ 1 − 1 +∞ y’ − 0 + + 1 +∞ 1 − y − 2 −∞ A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải
Ta có: lim f (x) = ∞ ⇒ x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 1 →
Lại có lim f (x) = 1
− , lim f (x) =1⇒ y = 1
± là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x→+∞ x→−∞
Do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. x −∞ 1 − 1 +∞ y’ + + 0 - +∞ 0 y 1 −∞ 3
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 4 y = là: f (x) + 2 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải
Ta có phương trình f (x) = 2
− có 2 nghiệm phân biệt suy ra đồ thị hàm số 4 y = có 2 đường f (x) + 2 tiệm cận đứng. Khi 4
x → +∞ ⇒ y → = 4
− ⇒ y = 4 là một đường tiệm cận ngang. 3 − + 2 Khi 4 4 4
x → −∞ ⇒ y →
= ⇒ y = là một đường tiệm cận ngang. 1+ 2 3 3 Do đó đồ thị hàm số 4 y =
có 4 đường tiệm cận. Chọn C. f (x) + 2
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. x −∞ 1 − 1 +∞ y’ + − 0 + +∞ +∞ 5 y 5 3
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 y = là: f (x) − 2018 A. 4. B. 2. C. 5. D. 3. Lời giải
Ta có phương trình f (x) = 2018 có 2 nghiệm phân biệt Suy ra đồ thị hàm số 2 y =
có 2 đường tiệm cận đứng. f (x) − 2018
Khi x → −∞ ⇒ f (x) 2 2 → 5 ⇒ y = → f (x) − 2018 2013 −
Khi x → +∞ ⇒ f (x) 2 2 → 5 ⇒ → f (x) − 2018 2013 − Vậy đồ thị hàm số 2 y =
có 1 tiệm cận ngang. Chọn D. f (x) − 2018
Ví dụ 9: Cho hàm số y = f (x) xác định trên  \{ }
1 và có bảng biến thiên như hình vẽ. x −∞ 1 2 +∞ y’ + − 0 + +∞ +∞ +∞ y 2 1
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x − 2 y = là: 2
f (x) −5 f (x) + 4 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giảif (x) = 4 Ta có: 2
f (x) − 5 f (x) + 4 ⇔   f  ( x) = 1
Phương trình f (x) = 4 có 3 nghiệm phân biệt khác 2.
Phương trình f (x) =1 có 1 nghiệm kép x = 2 (do vậy mẫu số có dạng (x − )2
2 ) nên x = 2 vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số. Suy ra đồ thị hàm số x − 2 y =
có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B. 2
f (x) −5 f (x) + 4
Ví dụ 10: Cho hàm số y = f (x) xác định trên  \{ 1; − }
2 và có bảng biến thiên như hình vẽ. x −∞ 1 − 1 2 +∞ y’ + − 0 + − 9 0 5 y 2 −∞ 3 − 2
Biết số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f (x) và 1 y =
lần lượt là m và n. Khi đó tổng m + n f (x) +1 bằng A. 6. B. 7. C. 4. D. 5. Lời giải
Tiệm cận đồ thị y = f (x) : Ta có: lim y = 2 ⇒ đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang x→∞
lim y = +∞ ⇒ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng ⇒ m = 2 . x ( ) 1 + → −
Mặt khác f (x) = 1
− có 2 nghiệm phân biệt và 1 1 lim = ⇒ đồ thị hàm số 1 y = có 1
x→∞ f ( x) +1 3 f (x) +1
đường tiệm cận ngang và 2 đường tiệm cận đứng.
Vậy m = 2; n = 3 ⇒ m + n = 5 . Chọn D.
Dạng 3: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hàm số Phương pháp giải:
▪ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định nghiệm của mẫu số và tử số từ đó suy ra các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
▪ Tìm các giới hạn lim y để tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x→±∞
Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số y = f (x) như hình vẽ bên. Số đường tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số x − 2 y = là: f (x) + 3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình f (x) + 3 = 0 ⇔ f (x) = 3
− có nghiệm kép x = 2 và một
nghiệm x = a < 0 . Do đó x − 2 x − 2 − y = = ⇒ Đồ thị hàm số x 2 y =
có 2 đường tiệm cận đứng là
f (x) + 3 k (x − a).(x − 2)2 f (x) + 3
x = a và x = 2 . Chọn B.
Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d như hình vẽ bên. Tổng số đường 2
tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số x + 2x y = là f (x) + 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải
Dựa vào đồ thị dễ thấy hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d có a ≠ 0 . 2 Ta có: x − 4 lim
= ⇒ y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x→∞ f ( x) 0 0 + 2
Phương trình f (x) = 2
− có nghiệm kép x = 2
− và một nghiệm x > 0 x = 2 − 2 Phương trình 2 + x + 2x = 0 ⇔ x 2x
do đó đồ thị hàm số y =
có 2 đường tiệm cận đứng. x = 0 f (x) + 2
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số ax + 2 y =
có đồ thị (C) như hình vẽ bên. cx + b
Tính tổng T = a + 2b + 3c . A. T = 0. B. T = 1. − C. T = 3. D. T = 2. Lời giải
Từ hình vẽ, ta có nhận xét sau:
Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị ( ) b
C ⇒ x = − = 2 ⇔ b = 2 − . c c
Đường thẳng y =1 là tiệm cận ngang của đồ thị ( ) a
C ⇒ x = =1 ⇔ a = c . c Điểm M (0;− )
1 ∈(C) suy ra y( ) 2 0 = 1 − ⇔ = 1 − ⇔ b = 2 − . ba =1 b  = 2 − Suy ra  b  ⇔  = 2
− ⇒ T = a + 2b + 3c =1+ 2.( 2
− ) + 3 = 0 . Chọn A. b  = 2 − c = 2 − ac =  1
Ví dụ 4: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận 2
đứng của đồ thị hàm số x − x y = là: 2
f (x) − 3 f (x) + 2 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải
 f (x) −1≠ 0 x(x − ) 1 Điều kiện:  Ta có: y =  f  ( x) . − 2 ≠ 0
f (x) −1  f (x) − 2    
Phương trình f (x) −1 = 0 có nghiệm kép x =1 và x = x < 0 ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 1
x =1, x = x . 1
Phương trình f (x) − 2 = 0 có nghiệm x = 0 và x = x < 0; x = x >1 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận 2 3
đứng x = x và x = x . 2 3
Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.
Ví dụ 5: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận ( 2x − ) 2 1 x + x
đứng của đồ thị hàm số y = là: 2
x f (x) − 2 f (x)   A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giảix ≥ 1 − 
Điều kiện: x < 0 .  2 f
(x)− 2 f (x) ≠ 0 ( 2x − ) 2 1 x + x x +1 (x − ) 1 (x + ) 1 Ta có: y = = . 2
x f (x) − 2 f (x)
x f (x)  f    ( x) − 2
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0 .
Phương trình f (x) = 0 có nghiệm kép x =1 và x = x < 1
− suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1 1 và x = x . 1 x = 1 − 2
Phương trình f (x) − 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt trong đó x ∈ 1; − 0 
do đó đồ thị hàm số có tiệm cận 3 ( ) x >  1 4 đứng x = x . 4
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( 2x −3x +2) 2x − x y = là: 2
f (x) − f (x) A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giảix ≥1  (x − )
1 (x − 2) x(x − ) 1
Điều kiện: x ≤ 0 và y = 
f (x)  f  ( x) −1 2 f  
(x)− f (x) ≠ 0
Phương trình f (x) = 0 có nghiệm x = 0 và nghiệm kép x = 2 nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0, x = 2. x = x ∈ 0;1 1 ( ) Phương trình 
f (x) −1 = 0 có 3 nghiệm đơn x =  1
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x . 2 x = x > 2  2
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng. Chọn A.
Dạng 4: Các bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số
Một số mẫu toán thường gặp: +
Mẫu 1: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ax b y = với c ≠ 0 . cx + d
- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi ad − bc ≠ 0 . 2
ax + bx + c
Mẫu 2: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = với a ≠ 0 . x − x0
- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi g (x) 2
= ax + bx + c = 0 không có nghiệm x = x ⇔ g x ≠ 0. 0 ( 0)
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi g (x) 2
= ax + bx + c = 0 có nghiệm x = x ⇔ g x = 0 . 0 ( 0) x − x
Mẫu 3: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 0 y =
C với a ≠ 0 . 2 ( )
ax + bx + c
- Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi g (x) 2
= ax + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt khác ∆ >  0 x ⇔ . 0  g  ( x ≠ 0 0 )
- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi g (x) = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0 .
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi g (x) = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 . 2
ax + bx + c
Mẫu 4: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = (
C với a ≠ 0, x ≠ x .
x − x x − x 1 2 1 ) ( 2 ) ( )
- Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi phương trình g (x) 2
= ax + bx + c = 0 không nhận x , x là 1 2 g (x ≠ 0 1 ) nghiệm ⇔  . g  ( x ≠ 0 2 )
- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi phương trình g (x) 2
= ax + bx + c = 0 có nghiệm x = x hoặc 1 g (x = 0 1 ) x = x ⇒
(Chú ý hai điều kiện này không đồng thời xảy ra). 2  g  ( x = 0 2 )
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi g (x) 2
= ax + bx + c = 0 nhận x = x và x = x là nghiệm 1 2 g (x = 0 1 ) ⇔  g  ( . x = 0 2 ) f (x)
Mẫu 5: Biện luận số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . g (x)
- Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc của mẫu số lớn hơn hoặc bậc của mẫu số và phải tồn tại các giới
hạn lim y hoặc lim y . x→+∞ x→−∞
Ví dụ 1: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017]: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số: x +1 y = có 2 tiệm cận ngang. 2 mx +1
A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. B. m < 0 C. m = 0 D. m > 0 Lời giải 1 1 x 1 + + x 1 1
 Với m > 0 ta có: lim = lim = ⇒ y =
là một tiệm cận ngang. x→+∞ 2 mx +1 x→+∞ 1 m m m + 2 x 1 1 1 − − 1 x 1 − − + x x 1 − 1 lim lim y − = = = ⇒ =
là một tiệm cận ngang. x→−∞ 2 x→−∞ 2 mx +1 mx +1 1 m m m + 2 −x x
Khi đó đồ thị hàm số có 2 tiệm cận. x  Với m = 0 suy ra 1 y + =
đồ thị hàm số không có hai tiệm cận ngang. 1
 Với m < 0 đồ thị hàm số cũng không có tiệm cận ngang vì không tồn tại lim y . Chọn D. x→∞
Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số 2x −1 y =
có đúng một đường tiệm cận là 2 4x + 4mx +1 A. [ 1; − ] 1 B. ( ; −∞ − ) 1 ∪(1;+∞). C. ( ; −∞ − ] 1 ∪[1;+∞). D. ( 1; − ) 1 Lời giải
Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cậ ngang y = 0.
Để đồ thị hàm số có một tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Khi đó phương trình 2
4x + 4mx +1 = 0 vô nghiệm. 2
⇔ ∆′ < 0 ⇔ 4m − 4m < 0 ⇔ 1
− < m <1 ⇔ m∈( 1; − ) 1 . Chọn D. 2
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số
2x − 3x + m y = không có tiệm x − m cận đứng. A. m >1. B. m ≠ 0. C. m =1.
D. m =1 và m = 0. Lời giải
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng x = m thì là nghiệm của p(x) 2
= 2x − 3x + m m = 0 2 2
⇔ 2m − 3m + m = 0 ⇔ 2m − 2m = 0 ⇔ 2m(m − ) 1 = 0 ⇔  . Chọn D.m = 1
Ví dụ 4: Tìm tất cả giá trị thực của m để đồ thị hàm số x −1 y =
có đúng một tiệm cận đứng. 2
x − mx + m A. m = 0. B. m ≤ 0. C. m∈{0; } 4 D. m ≥ 4. Lời giải
Xét phương trình g (x) 2
= x − mx + m = 0
Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ⇔ g (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 hoặc 2
∆ = m − 4m > 0  g  ( ) 1 = 0 m = 4
g (x) = 0 có nghiệm kép khác 1 ⇔ ⇔   . Chọn C. 2 
∆ = m − 4m = 0 m = 0   g  ( ) 1 ≠ 0 2
Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số x + x − 2 y =
có hai tiệm cận đứng. 2
x − 2x + mm ≠ 1 m > 1 − m =1 m <1 A.  . B.  . C.D.  m ≠ 8 − m ≠ 8 m = 8 − m ≠ 8 − Lời giải 2 x + x − 2 (x − ) 1 (x + 2) Ta có y = = 2 2
x − 2x + m
x − 2x + m
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi PT f (x) 2
= x − 2x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt ∆′ > 0 1  − m > 0 x ≠ 1   m <1 thỏa mãn  ⇔  f ( )
1 ≠ 0 ⇔ m −1≠ 0 ⇔ . Chọn D. x 2  ≠ −   m ≠ 8 − f  ( 2 − ) ≠ 0 m + 8 ≠ 0
Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số x − m y = có đúng hai đường x −1 tiệm cận. A. ( ; −∞ +∞) \{ } 1 . B. ( ; −∞ +∞) \{ 1; − } 0 C. ( ; −∞ +∞) D. ( ; −∞ +∞) \{ } 0 Lời giải Ta có: D = (0;+∞)
Khi đó lim = lim x − m y
= 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 . x→+∞ x→+∞ x −1 x −1 Chú ý: Với x −1 x +1 1 m =1⇒ y = = =
khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. x −1 x −1 x +1
Với m ≠ 1 đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Do đó để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng thì m ≠ 1. Chọn A.
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số mx + 2 y = có tiệm cận đứng. x −1 A. m ≠ 2 B. m < 2 C. m ≤ 2 − D. m ≠ 2 − Lời giải
Đồ thị hàm số có TCĐ ⇔ g (x) = mx + 2 = 0 không có nghiệm x =1 ⇔ g ( ) 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2. − . Chọn D. 2
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số x + m y =
có đúng một tiệm cận đứng. 2 x − 3x + 2 A. m∈{ 1; − − } 4 . B. m = 1 − C. m = 4. D. m∈{1; } 4 Lời giải 2 2 Ta có x + m x + m y = = , đặt ( ) 2
f x = x + m . 2
x − 3x + 2 (x − ) 1 (x − 2)  f ( ) 1 = 0 m +1 = 0
Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi  ⇔  f  (2) = 0  m + 4 = 0 m = 1 − ⇔ ⇔ m∈{ 1; − −  } 4 . Chọn A. m = 4 −
Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số x − 4 y = có 3 tiệm cận 2 x + mm = 16 − m = 0 m = 16 − m = 0 A.   B. m = 0 C.D.  m = 16 −  m = 8 − m = 16 m =  4 Lời giải 4 4 1− 1− Ta có: lim = lim x =1; lim = lim x y y = 1
− nên đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang. x→+∞ x→+∞ x→−∞ x→−∞ 1 m + − 1 m + 2 2 x x
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó có 1 tiệm cận đứng ⇔ ( ) 2
g x = x + m có nghiệm kép hoặc có 2 m = 0
nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm x = 4 ⇔  . Chọn A.m = 16 − ( 2 m − ) 2 1 x + x + 2
Ví dụ 10: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = có đúng một x +1 tiệm cận ngang.
A. m <1 hoặc m >1. B. m > 0. C. m = 1. ±
D. Với mọi giá trị m Lời giải   (m − ) 2 1 2 2 2 + + m −1 1 x x 2 + + 2 x x 2  lim y = lim = lim = m −1 x→+∞ x→+∞  x +1 x→+∞ 1 1+  Ta có x  . (Với ( 2 m − ) 1 ≥ 0 )   (m ) 2 1 2 2 2 m −1 1 x x 2 + + − + + 2 x x 2  lim y = lim = lim − = − m −1 x→−∞ x→−∞ x +1 x→−∞ 1  1+  x
Đồ thị hàm số có một TCN khi và chỉ khi 2 2
lim y = lim y ⇔ m −1 = − m −1 ⇔ m = 1 ± . x→+∞ x→−∞ Chọn C. (m + ) 2
2 x − 3x − 3m − x
Ví dụ 11: Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Đồ thị (C) có 3 đường tiệm cận khi x − 2
tham số thực m thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. ( 2; − 2) ∪(2;+∞) B. ( 2; − 2) C. (2;+∞) D. ( 3 − ;− ) 1 Lời giải Với m < 2
− đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang vì không tồn tại lim y; lim y (không t/mãn) x→+∞ x→−∞ 3
− x − 6 − x Với m = 2 − ⇒ y =
đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang (không t/mãn) x − 2 Với m > 2
− đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang do lim y = m + 2 −1; lim y =1 m + 2 +1; x→+∞ x→−∞
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó phải có thêm 1 tiệm cận đứng.
Khi đó tử số không có nghiệm x = 2 và f (x) = (m + ) 2
2 x − 3x − 3m xác định tại x = 2 .
f (2) = 4(m + 2) − 6 − 3m ≥ 0  m + 2 ≥ 0 m ≥ 2 − Khi đó  ⇔  ⇔   f (2) − 2 ≠ 0    m + 2 − 2 ≥ 0 m ≠ 2 Do đó m > 2;
− m ≠ 2 là giá trị cần tìm. Chọn A.
Ví dụ 12: Tập hợp các giá trị thức của m để đồ thị hàm số 2x −1 y = ( có đúng một 2 mx − 2x + ) 1 ( 2 4x + 4mx + ) 1 đường tiệm cận là A. { } 0 B. ( ; −∞ − ) 1 ∪{ } 0 ∪(1;+∞) C. ( ; −∞ − ) 1 ∪(1;+∞) D. ∅ Lời giải
Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 0.
Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
TH1: Phương trình: ( 2 mx − x + )( 2 2 1 4x + 4mx + ) 1 = 0 vô nghiệm 1  − m < 0 m > 1 ⇔  ⇔  ⇒ m∈∅ 2 4m − 4 < 0  1 − < m <1 TH2: Phương trình 2
4x + 4mx +1 = 0 vô nghiệm, phương trình: 2
mx − 2x +1 = 0 (*) có đúng 1 nghiệm 2 4m − 4 < 0 1   1 − < m <1 đơn x = ⇔  ⇔  ⇒ m = . 2 m = 0 ⇒ (*) 1 0
⇔ 2x −1 = 0 ⇔ x = m < 0  2
Kết hợp 2 trường hợp suy ra m = 0 . Chọn A.
(x − m)2 (2x − m)
Ví dụ 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = có tiệm 2 4x − x − 2 cận đứng. A. m ≠ 4. B. m∈ C. m ≠ 2 D. m ≠ {2; } 4 Lời giải
Hàm số có tập xác định D = [0;4]\{ } 2 .
(x − m) ( x − m)
(x − m)2 (2x − m)( 2 2 4x − x + 2 2 ) Ta có: y = = − 4x − x − 2 (x − 2)2 2
Với m = ⇒ y = −( x − )( 2 2 2 2
4x − x + 2) ⇒ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng (x − )2 ( 2 2 4 4x − x + 2)
Với m = 4 ⇒ y = −
⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng . x − 2 Với m ≠ {2; }
4 đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2 .
Suy ra để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì m ≠ 2 . Chọn C.
Ví dụ 14: Tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số 2017 + x +1 y =
có hai đường tiệm cận đứng 2
x − mx − 3m là: A. 1 1 ;     B. 1 0; . C. (0;+∞) D. ( ; −∞ 1 − 2) ∪(0;+∞) 4 2   2   Lời giải
Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng 2
⇔ x − mx − 3m = 0 có hai nghiệm phân biệt x , x ≥ 1 − . 1 2 ∆ > 0
∆ = (−m)2 − 4( 3 − m) 2 > 0 m +12m > 0     1 x x 2 x x 2 m 2 m 0;  ⇔ + ≥ − ⇔ + ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ∈ . Chọn B. 1 2 1 2  (     2 x +1 x +1 ≥ 0
x x + x + x +1≥ 0 1− 2m ≥ 0  1 )( 2 ) 1 2 1 2   
Ví dụ 15: Cho hàm số 2
y = mx + 2x − x . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang. A. m =1. B. m∈{ 2; − } 2 C. m∈{ 1; − } 1 D. m > 0 Lời giải 2 2
mx − x + 2x (m − ) 2 1 x + 2 Ta có: x y = = 2 2
mx + 2x + x
mx + 2x + x
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử bé hơn bậc của mẫu và tồn tại m > 0 ⇔ 
⇔ m =1. Chọn A. m −1 = 0
Ví dụ 16: Điều kiện cần và đủ của tham số thực m để đồ thị hàm số x −1 y = có đúng 1 tiệm cận 2 2x + mx + 4 ngang là A. m = 4
B. 0 ≤ m ≤ 4 C. m = 0.
D. m = 0 hoặc m = 4 . Lời giải +) Với − m = 0, ta có x 1 1 1 y =
⇒ lim y = ⇒ y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2x + 2 x→∞ 2 2
+) Với m < 0 đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang vì không tồn tại lim y . x→∞  1   1 x1− lim y =  x→+∞ +) Với − m > 0 , ta có x 1  x  2 + m y = = ⇒  2 2x + mx + 4 4  1 2x + x m + lim y = 2 x x →−∞  2 − m
Để hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang thì 1 lim y = = ∞ x→−∞ 2 − m
Cho 2 − m = 0 ⇔ m = 4 ⇒ lim y = ∞ . Vậy m = 0 hoặc m = 4 là giá trị cần tìm. Chọn D. x→−∞
Ví dụ 17: Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số 2
y = 2x + mx − x +1 +1 có tiệm cận ngang. A. m = 4 B. m = 4 − C. m = 2 D. m = 0 Lời giải 2
4x + 4x +1− mx − x +1 4 − m x + 5x 2 ( 2 ) ( ) 2
Ta có: y = (2x + )
1 + mx − x +1 = = 2 2
2x +1− mx − x +1
2x +1− mx − x +1
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử số bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu số và m > 0
lim y = y ⇔ 
⇔ m = 4 . Chọn A. 0 x→∞ 4 − m = 0
(a − 2b) 2x +bx +1
Ví dụ 18: Biết đồ thị y =
có đường tiệm cận đứng là x =1 và đường tiệm cận ngang là 2
x + x − b
y = 0. Tính a + 2b . A. 6. B. 7. C. 8. D. 10. Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 2
x =1⇒ PT : x + x − b = 0 có nghiệm x =1 và (a − b) 2 2 x + bx +1 = 0 1  +1− b = 0 b  = 2
(a − 4) 2x + 2x +1
không có nghiệm x =1⇒  ⇔
. Hàm số có dạng y = . a 2b b 1 0  − + + ≠ a ≠ 1 2 x + x − 2
(a − 4) 2x + 2x +1
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0 ⇔ lim y = 0 ⇔ lim = 0 2 x→∞ x→∞ x + x − 2 (a − ) 2 1 4 + + 2 x x a − 4 ⇔ lim = lim
= 0 ⇔ a − 4 = 0 ⇒ a = 4 ⇒ a + 2b = 8. Chọn C. x→∞ 1 2 x→∞ 1 1+ − 2 x x
(a −3b) 2x +bx −1
Ví dụ 19: Biết đồ thị y =
có đường tiệm cận đứng là x = 2 và đường tiệm cận ngang là 2
x + ax − a
y =1 . Tính a + b . A. 5. B. 3. C. D. Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2 ⇒ PT: 2
x + ax − a = 0 có nghiệm x = 2
⇒ 4 + 2a − a = 0 ⇒ a = 4 −
Hàm số có tiệm cận ngang a − 3b a +1 y = 1 − ⇔ lim y = 1 − ⇔ = 1
− ⇔ a − 3b = 1 − ⇔ b = = 1 − x→∞ 1 3 2 Khi đó −x − x −1 y =
có tiệm cận đứng x = 2 và tiệm cận ngang y = 1 − 2 x − 4x + 4 Vậy a + b = 5 − . Chọn C.
Ví dụ 20: Cho hàm số x + 2 y =
, có đồ thị (C). Gọi P, Q là hai điểm phân biệt nằm trên (C) sao cho tổng x − 2
khoảng cách từ P hoặc Q đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Độ dài đoạn thẳng PQ là: A. 4 2 B. 5 2 C. 4 D. 2 2 Lời giải Đồ thị hàm số x + 2 y =
có tiệm cận đứng x = 2 , tiệm cận ngang y =1 . x − 2  +  Gọi x 2 0 Px ;
∈ C khi đó tổng khoảng cách từ P đến hai đường tiệm cận là: 0 ( ) x −  2 0  +
d = d (P, x = 2) + d (P, y = ) x 2 4 0 1 = x − 2 + −1 = x − 2 + . 0 0 x − 2 x − 2 0 0
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ( AM −GM ) ta có: 4
d ≥ 2 x − 2 . = 4. 0 x − 2 0 4
x = 4 ⇒ y = 3
Dấu bằng xảy ra khi x − 2 = ⇔ (x − 2)2 0 = 4 ⇔ 0 0 x − 2 
x = 0 ⇒ y = 1 − 0 0
Khi đó P(4;3), Q(0;− )
1 ⇒ PQ = 4 2 . Chọn A.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2
Câu 1: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x − 3x − 4 y = . 2 x −16 A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
Câu 2: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x +1 y = là x − 2 A. y = 2. B. x = 2. C. x = 2. D. y =1. 3
Câu 3: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x − 3x − 2 y = là đường thẳng: 2 x + 3x + 2 A. x = 2. −
B. Không có tiệm cận đứng. C. x = 1; − x = 2 − . D. x = 1. − Câu 4: Cho hàm số 2x −1 y =
có đồ thị (C). Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị (C). x + 2 A. I ( 2; − 2). B. I (2;2). C. I (2; 2 − ). D. I ( 2; − 2 − ).
Câu 5: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 5 y =
là đường thẳng có phương trình? x −1 A. y = 5. B. x = 0. C. x =1. D. y = 0.
Câu 6: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1− 4x y = . 2x −1 A. y = 2. B. y = 4. C. 1 y = . D. y = 2. − 2
Câu 7: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng. 3 2 A. x + 2 y − + = . B. x y = . C. 2 y = x +1. D. x 5x 6 y = . x −1 2 x + 2 x − 2
Câu 8: Đồ thị của hàm số x − 2 y =
có đường tiệm cận đứng là x +1 A. y = 1. − B. x = 1. − C. x =1. D. y =1.
Câu 9: Đường thẳng x =1 là tiệm cận đứng có đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây? A. 2x − 3 y + + = . B. 3x 2 y = . C. x 3 y = . D. x y = . x −1 3x −1 x +1 2 x +1
Câu 10: Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng? 2 2 A. 2x y − + = .
B. y = log .x C. x y = . D. x 4x 3 y = . 2 2 x +1 x −1 2
Câu 11: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x − 3x + 2 y = . 2 x − 4 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2
Câu 12: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số x − 4x − 5 y = . 2 x − 3x + 2 A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 13: Đồ thị hàm số nào dưới đây có hai tiệm cận đứng? 2 2 A. 2x +1 − − + y + = B. 4 x y = C. x 1 y = D. x 4x 3 y = 2 2x − 3x +1 2 x − 2x − 3 2 x + x 2 x − 5x + 6
Câu 14: Đồ thị hàm số 1− 1− x y =
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang x A. 2. B. 0. C. 3. D. 1.
Câu 15: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang? 2 A. ( ) 3x f x + =
B. g (x) = log x C. h(x) 1 = D. k (x) x 1 = 3 1+ x 2x + 3
Câu 16: Đồ thị hàm số x − 2 y =
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x − 9 A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 2
Câu 17: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số x − 7x + 6 y = 2 x −1 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 18: Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận? A. 1− 2x y + = B. 1 y = C. x 3 y = D. x y = 1+ x 2 4 − x 3x −1 2 x − x + 9
Câu 19: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số x y = ? 2 x +1 A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
Câu 20: Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận? A. x +1 y + + + = . B. x 2 y = . C. x 2 y = . D. x 1 y = 2 x − 9 x −1 2 x + 3x + 6 2 x + 4x + 8
Câu 21: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số được cho dưới đây không có tiệm cận ngang? 2 A. x + 2 − y + = . B. x 2 y = . C. x 1 y = . D. 1 y = . 2 x +1 x +1 x + 2 x + 2
Câu 22: Đồ thị hàm số x −1 y =
có bao nhiêu đường tiệm cận? x +1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2
Câu 23: Đồ thị hàm số 2x + 4x −1 y =
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x + 2x − 3 A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. 2
Câu 24: Đồ thị của hàm số 3x − 7x + 2 y =
có bao nhiêu tiệm cận đứng? 2 2x − 5x + 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 25: Đồ thị hàm số f (x) 1 =
có bao nhiêu đường tiệm cận ngang? 2 2
x − 4 − x − 3x A. 3 B. 1 C. 4 D. 2
Câu 26: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2x +1 y = là 2 4 − x A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 2
Câu 27: Đồ thị hàm số 6 − x y =
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x + 3x − 4 A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. 2
Câu 28: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 4 − x y = là 2 x − 5x + 6 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2
Câu 29: Hỏi đồ thị hàm số 1− x y =
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 x − 2x A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. 2 2
Câu 30: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 4x −1 + 3x + 2 y = là 2 x − x A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. 2
Câu 31: Số đường tiệm cận của hàm số x +1 y = là x − 2 A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 32: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x +1 y = là 2 1− x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 33: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số x −1 y = là 2 2 − x − x A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. 2
Câu 34: Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 5 − x − 2 y = là 2 x −1 A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. 2 Câu 35: Cho hàm số x + 4x − 3 y =
(C). Gọi m là số tiệm cận của đồ thị hàm số (C) và n là giá trị của 2x + 3
hàm số (C) tại x =1 thì tích . m n là: A. 6 B. 14 C. 3 D. 2 5 5 5 15
Câu 36: Hỏi đồ thị hàm số x −1 y =
có bao nhiêu đường tiệm cận? x − x + 2 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 37: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận ngang? A. 3x +1 y = B. 3 2
y = x − 2x + 3x + 2 x −1 2 C. x y + + = D. x x 1 y = 2 1− x x − 2
Câu 38: Cho hàm số y = f (x) xác định trên  \{ }
1 liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau. x −∞ 1 2 +∞ f ′(x) − − 0 + 3 +∞ 5 f (x) −∞ 2 −
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 3. B. 4. C. 5. D. 2.
Câu 39: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  \{ }
1 và có bảng biến thiên như sau: x −∞ 2 − 1 2 +∞ y’ − 0 + + 0 − +∞ +∞ 3 y 2 −∞ −∞ Đồ thị hàm số 1 y =
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f (x) −5 A. 0 B. 4 C. 2 D. 1
Câu 40: Đồ thị hàm số 2 2
y = 4x + 4x + 3 − 4x +1 có bao nhiêu tiệm cận ngang? A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
( 2x −3x+2)sin x
Câu 41: Số đường tiệm cận đưng của đồ thị hàm số y = là: 3 x − 4x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 42: Cho đồ thị hàm số y = f (x) 3x −1 =
. Khi đó đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận đứng của x −1 đồ thị hàm số 1 y = ? f (x) − 2 A. x =1. B. x = 2. − C. x = 1. − D. x = 2.
Câu 43: Cho đường cong (C) 2x + 3 : y =
và M là một điểm nằm trên (C). Giả sử d ,d tương ứng là các x −1 1 2
khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C), khi đó d .d bằng: 1 2 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 44: Gọi (H) là đồ thị hàm số 2x + 3 y =
. Điểm M (x ; y thuộc (H) có tổng khoảng cách đến hai 0 0 ) x +1
đường tiệm cận là nhỏ nhất, với x < 0 khi đó x + y bằng? 0 0 0 A. 2 − . B. 1. − C. 0. D. 3. Câu 45: Cho hàm số x −1 y =
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I 2x − 3
đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng A. 1 d = . B. d =1. C. d = 2. D. d = 5. 2
Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số x +1 y = có hai tiệm cận đứng m(x − )2 1 + 4 m < 0 A. m < 0 B. m = 0 C.D. m <1 m ≠ 1 − Câu 47: Cho hàm số x −1 y =
. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận. 2 mx − 2x + 3   m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0   A.   m ≠ 1. − B.m ≠ 1. − C.  1. D.  1.  m < m < 1  m < 1 m <  3  5  5  3 Câu 48: Cho hàm số x +1 y =
có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị 2 x − 2mx + 4
(C) có đúng 3 đường tiệm cận? m > 2 m < 2 −  m < 2 − A.  m < 2 −  5 . B. m > 2. C.D. m ≠ −   m > 2  2  5 m ≠ −  2
Câu 49: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số x − 2 y =
có đúng 3 đường tiệm cận. 2 x − mx +1 m > 2 m > 2  5 .  m > 2 A.m  < − ≠ m 2  B.  C.  . D. 2 − < m < 2.  2  5 m < 2 −  m ≠ − m < 2 −  2 2 2
Câu 50: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
x + m x − m −1 y = có tiệm cận x + 2 đứng. A.  \{1;− } 3 . B.C.  2  \ 1;     − D. 3  \ 1;  − 3     2
Câu 51: Tập hợp các giá trị của m để đồ thị của hàm số 2x −1 y = ( có đúng một tiệm 2 mx − 2x + ) 1 ( 2 4x + 4m + ) 1 cận là A. { } 0 . B. ( ; −∞ − ) 1 ∪(1;+∞) . C. ( ; −∞ − ) 1 ∪{ } 0 ∪(1;+∞) . D. ∅ 2
Câu 52: Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số mx −1 y =
có đúng 2 đường tiệm cận? 2 x − 3x + 2 A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 53: Tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số 2x −1 y = (
có đúng 1 đường tiệm 2 mx − 2x + ) 1 ( 2 4x + 4m + ) 1 cận là A. ( ; −∞ − ) 1 ∪{ } 0 ∪(1;+∞). B. ∅ C. { } 0 ∪(1;+∞). D. ( ; −∞ − ) 1 ∪(1;+∞)
Câu 54: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 1+ x +1 y = có đúng hai tiệm 2
x − mx − 3m cận đứng. A.  1 0;       . B. (0;+∞) C. 1 1 ; . D. 1 0; . 2   4 2    2 
Câu 55: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số + +
m để đồ thị hàm số 1 x 1 y = có hai tiệm 2
x − (1− m) x + 2m cận đứng? A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 56: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số 5x − 9 y = có đúng hai 2
x + 2mx + 2m + 8 đường tiệm cận. A. 2 − < m < 4. B. 2 − < m < 5. C. 1 − < m < 5. D. 1 − < m < 4.
Câu 57: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số x −1 y = có đúng bốn đường 2
2x − 2x − m − x −1 tiệm cận. A. m∈[ 5; − 4] \{− } 4 B. m∈[ 5; − 4] C. m∈( 5; − 4) \{− } 4 D. m∈( 5; − 4] \{− } 4
Câu 58: Cho đồ thị hàm bậc ba y = f (x) như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
( 2x +4x+3) 2x + x y =
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2
x f (x) − 2 f (x)   A. 6 B. 3 C. 2 D. 4 Câu 59: Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d , (a ≠ 0) có đồ thị như hình bên. f x
Hỏi đồ thị hàm số g (x) ( ) =
có bao nhiêu đường tiệm cận (x + )2 ( 2 1 x − 4x + 3) đứng? A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
Câu 60: Cho hàm số bậc ba ( ) 3 2
f x = ax + bx + cx + d có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm
( 2x −3x+2) 2x+1 số g (x) = (
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 4 2
x − 5x + 4). f (x) x −∞ 1 2 +∞
f ′(x) + 0 − 0 + 5 +∞ f (x) −∞ 0 A. 4 B. 3 C. 2 D. 6
Câu 61: Cho hàm bậc bốn y = f (x) có bảng biến thiên như sau 3 5 x −∞ 0 1 2 +∞ 5 3
f ′(x) − 0 + 0 − 0 + +∞ +∞ 1 f (x) 4 0 1 0 − 0 2 2 f (x) 2 x + x
Hỏi đồ thị hàm số y =
có bao nhiêu tiệm cận đứng và 2
f (x) − f (x)   ( 5 4 3 2 2
2x + x −10x − 5x + 8x + 4) ngang? A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 Câu 62: Cho hàm số x + 2 y =
có đồ thị (C) . Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tiếp tuyến x − 2
của (C) cắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B. Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng. A. 4 2π B. 8π C. 2π D. 4π Câu 63: Cho hàm số x −1 y =
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều x + 2
ABI có hai đỉnh A,B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng A. 6 B. 2 3 C. 2 D. 2 2
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN (x − 4)(x + ) 1 Câu 1: x +1 y = ( = ⇒ TCĐ: x = 4 − . Chọn C.
x − 4)(x + 4) x + 4
Câu 2: Ta có tiệm cận đứng x = 2 . Chọn B.
(x + )( 2x − x − ) 2 1 2 Câu 3: x − x − 2 y = ( = ⇒ TCĐ: x = 2 − . Chọn A. x + ) 1 (x + 2) x + 2
Câu 4: Ta có tiệm cận đứng x = 2 − .  2x −1 lim y = lim
= 2 ⇒ TCN : y = 2  Lại có x→+∞ x→+∞ x + 2  ⇒ I ( 2; − 2) . Chọn A. 2x −1  lim y = lim
= 2 ⇒ TCN : y = 2 x→−∞ x→−∞  x + 2  5 lim y = lim
= 0 ⇒ TCN : y = 0 
Câu 5: Ta có x→+∞ x→+∞ x −1  . Chọn D. 5  lim y = lim
= 0 ⇒ TCN : y = 0 x→−∞ x→−∞  x −1  1− 4 lim = lim x y = 2
− ⇒ TCN : y = 2 − 
Câu 6: Ta có x→+∞ x→+∞ 2x −1  . Chọn D. 1− 4  lim = lim x y = 2
− ⇒ TCN : y = 2 − x→−∞ x→−∞  2x −1
Câu 7: Đồ thị hàm số x + 2 y =
có TCĐ x =1. Chọn A. x −1
Câu 8: Ta có tiệm cận đứng x = 1 − . Chọn B.
Câu 9: Đồ thị hàm số 2x − 3 y =
có TCĐ x =1. Chọn A. x −1
Câu 10: Dễ thấy đồ thị hàm số y = log x có TCĐ x = 0 . Chọn B. 2 (x − ) 1 (x − 2) Câu 11: x −1 y = ( = ⇒ TCĐ: x = 2 − . Chọn A.
x − 2)(x + 2) x + 2 (x + ) 1 (x −5) Câu 12: y = (
⇒ TCĐ: x =1; x = 2. x − ) 1 (x − 2)
 lim y =1⇒ TCN : y =1 Mặt khác x→+∞  . Chọn C.
lim y =1⇒ TCN : y =1 x→−∞ 2
Câu 13: Đồ thị hàm số x − 4x + 3 y =
có hai tiệm cận đứng là x = 2, x = 3. Chọn D. 2 x − 5x + 6 Câu 14: 1− 1− x 1 y = =
⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0. Chọn D. x 1+ 1− x
Câu 15: Đồ thị hàm số log x không có tiệm cận ngang. Chọn B. 3
Câu 16: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3 và x = 3
− , tiệm cận ngang y = 0. Chọn C. 2 Câu 17:
x − 7x + 6 x − 6 y = =
có tiệm cận đứng là x = 1
− , tiệm cận ngang là y =1. Chọn B. 2 x −1 x +1
Câu 18: Đồ thị hàm số 1− 2x y =
có 2 đường tiệm cận. 1+ x Đồ thị hàm số 1 y =
có 2 đường tiệm cận đứng là x = 2 ± . Mặt khác 1 lim
= 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận 2 4 − x 2 x→∞ 4 − x
ngang của đồ thị hàm số. Do đó đồ thị hàm số 1 y =
có 3 đường tiệm cận. Chọn B. 2 4 − x
Câu 19: TXĐ: D =  . Ta có: x 1 x 1 lim y = lim = lim = 1, lim y = lim = lim = 1 − x→+∞ x→+∞ 2 x→+∞ x→−∞ x→−∞ 2 x +1 1 x +1 x→−∞ 1 1+ − 1+ 2 2 x x
Suy ra đồ thị có hai đường tiệm cận ngang y = 1
± và không có tiệm cận đứng. Chọn B.
Câu 20: Xét hàm số x +1 x +1 y = =
⇒ Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng x = 3 ± . 2
x − 9 (x − 3)(x − 3) Mặt khác x +1 lim y = lim
= 0 ⇒ Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y = 0. 2 x→∞ x→∞ x − 9 Vậy đồ thị hàm số x +1 y =
có 3 đường tiệm cận. Chọn A. 2 x − 9 2 Câu 21: Hàm số x −1 y =
có bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số nên đồ thị của nó không có tiệm cận x + 2 ngang. Chọn C.
Câu 22: TXĐ: D =  . Ta có: x −1 x −1 x −1 lim y = lim = 1, lim y = lim = lim = 1 − x→+∞ x→+∞ x +1 x→−∞
x→−∞ x +1 x→−∞ −x +1
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = 1 ± . Chọn C.
Câu 23: TXĐ: D =  \{1;− } 3 . 2 Khi đó: 2x + 4x −1 y = (
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là − ) ⇒ y = ∞ y = ∞ ⇒ x 1 (x + 3) lim , lim x 1 → x→ 3 − x =1, x = 3 − . 4 1 2 2 + − 2 Mặt khác 2x + 4x −1 lim − lim = lim x x y
= 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2 x→∞
x→∞ x + 2x − 3 x→∞ 2 3 1+ − 2 x x
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn A. Câu 24: TXĐ: 1 D  \ ;2 =  . 2    2
3x − 7x + 2 (3x − ) 1 (x − 2) Khi đó: 3x −1 y = = =
⇒ Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là 1 x = . 2
2x − 5x + 2 (2x − )
1 (x − 2) 2x −1 2 Chọn A. 2 2 2 2 Câu 25: Ta có: ( ) 1
x − 4 + x − 3x
x − 4 + x − 3x f x = = = 2 2 2
x − 4 − x − 3x x − 4 − ( 2 x − 3x) 3x − 4 4 3 2 2 1− + 1− 2 Khi đó
x − 4 + x − 3x x x 2 − 2 lim y lim lim y − = = = ⇒ =
là tiệm cận ngang của đồ thị x→+∞ x→+∞ 3x − 4 x→+∞ 4 3 3 3− x hàm số. 4 3 2 2 − 1− − 1− 2 Mặt khác
x − 4 + x − 3x x x 2 − 2 lim y lim lim y − = = = ⇒ = là tiệm cận ngang của x→−∞ x→−∞ 3x − 4 x→−∞ 4 3 3 3− x đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang. Chọn D.
Câu 26: TXĐ: D = [ 2;
− 2] . Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Mặt khác 2x +1 lim y + = lim = +∞ và 2x 1 lim y = lim = −∞ . x 2− x 2− → → (x + 2)(2− x) x ( 2)+ x ( 2)+ → − → − (x + 2)(2− x)
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng x = 2 ± . Chọn A.
Câu 27: TXĐ: D = − 6; 6 \{ } 1  
. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. 2 Mặt khác 6 lim = lim − x y
= ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x =1. Chọn D. x 1 → x 1 → ( x − ) 1 (x + 4)
Câu 28: TXĐ: D = [ 2;
− 2). Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. 2 4 − x (2− x)(x + 2) Mặt khác x + 2 1 lim y = lim = lim = lim .
= +∞ ⇒ x = 2 là tiệm cận đứng − − 2 x 2 x 2 − + x 2 x 5x 6 −
(x − 2)(x −3) x 2− → → → → − 2 − x x − 3 của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = 2 . Chọn B.
Câu 29: TXĐ: D = [ 1; − ] 1 \{ } 0 . 2 Lại có: 1 lim = lim − x y
= ∞ ⇒ x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x→0
x→0 x ( x + 2)
Không tồn tại giới hạn lim y . x→( 2 − )
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng. Chọn D.
Câu 30: Tập xác định của hàm số là 1   1 D  ; ;  = −∞ − ∪ +∞     \{ } 1 .  2   2   2 2 4x −1 + 3x + 2  lim y = lim = 3 2 Khi đó x→+∞ x→+∞ x − x
⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3. 2 2  4x −1 + 3x + 2 lim y = lim = 3  2 x→−∞ x→−∞  x − x
Lại có: lim y = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1. x 1 →
Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. Chọn A.
Câu 31: TXĐ: D =  \{ } 2 . 1 1 + + 2 1 1 2 2 2 Ta có: x +1 x x +1 lim = lim − lim = 1, lim = lim = lim x y y − = 1 − . x→+∞ x→+∞ x − 2 x→+∞ 2 x→−∞ x→−∞ x − 2 x→−∞ 2 1− 1− x x Suy ra y = 1
± là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2 Mặt khác x +1 lim y = lim
= ∞ ⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x→2 x→2 x − 2
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn C.
Câu 32: TXĐ: D = ( 1; − )
1 . Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. x +1 x +1 x +1 y = = =
⇒ Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng x = 1. Chọn A. 2 1− x (1− x)(x + )1 1− x
Câu 33: TXĐ: D = ( 2; − )
1 . Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Ta có: x −1 1− x y = = −
⇒ Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng x = 2 − . Chọn D. (1− x)(x + 2) x + 2
Câu 34: TXĐ: D = − 5; 5 \ { 1; − } 1  
. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. 2 2 Mặt khác 5 − x − 4 1− x 1 y = = = −
⇒ Đồ thị hàm số không có ( 2x − )1( 2
5 − x + 2) ( 2x − )1( 2 5 − x + 2) 2 5 − x + 2
tiệm cận đứng. Chọn A.     Câu 35: TXĐ: 3 3  3 + D  ;   ;  \  = −∞ − ∪ +∞ − 
. Ta có: n = y( ) 1 1 2 1 = = . 2 2       2 5 5 3 + − 2 1 4 2 Mặt khác x + 4x − 3 x 3 lim y = lim = lim = . x→+∞ x→+∞ 2x + 3 x→+∞ 3 2 2 + x 3 − − 2 1 4 2 x + 4x − 3 x 1 lim y lim lim − = = =
⇒ Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang. x→−∞ x→−∞ 2x + 3 x→−∞ 3 2 2 + x Lại có: 3
lim y = ∞ ⇒ x = − là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.  3 x  →  2  2  Vậy 2 6 m = 3, n = ⇒ .
m n = . Chọn A. 5 5
Câu 36: TXĐ: D = [ 2; − +∞) \ { } 2 . 1 1− Ta có: x −1 lim = lim = lim x y
= 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x→+∞
x→+∞ x − x + 2 x→+∞ 1 2 1− + 2 x x Mặt khác x −1 lim y = lim
= ∞ ⇒ đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là x = 2 . Vậy đồ thị hàm x→2
x→2 x − x + 2
số có 2 đường tiệm cận. Chọn C.
Câu 37: Đồ thị hàm số 3x +1 y =
có tiệm cận ngang là y = 3 . Chọn A. x −1
Câu 38: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy lim y = 3, lim y = 5 ⇒ y = 3, y = 5 là 2 đường tiệm cận ngang của x→−∞ x→+∞ đồ thị hàm số.
Mặt khác lim y = ∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 1 →
Do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn A.
Câu 39: Xét phương trình f (x) − = ⇔ f (x) 5 2 5 0 = . 2
Dựa vào BBT suy ra phương trình f (x) 5
= có 4 nghiệm phân biệt. 2 Do đó đồ thị hàm số 1 y =
có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B. 2 f (x) − 5
Câu 40: TXĐ: D =  2
4x + 4x + 3 − ( 2 4x + ) 1 Ta có: 4x + 2 y = = 2 2 2 2
4x + 4x + 3 + 4x +1
4x + 4x + 3 + 4x +1 2 2 4 + 4 + Khi đó: lim = lim x = 1, lim = lim x y y = 1 − x→+∞ x→+∞ 4 3 1 x→−∞ x→−∞ 4 3 1 4 + + + 4 + − 4 + + − 4 + 2 2 2 2 x x x x x x
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = 1. ± Chọn A.
Câu 41: TXĐ: D =  \ { 2; ± } 0
(x − )1(x − 2)sin x (x − )1sin x Khi đó: y = ( =
x − 2)(x + 2) x (x + 2) x Ta có: x −1 sin x 1 1
lim y = ∞, lim y = lim . = − .1 = − . x→( 2 − ) x→0 x→0 x + 2 x 2 2
Do đó đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là x = 2 − . Chọn A. Câu 42: 1 1 x −1 y = = =
⇒ = − là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1 y = . f (x) x 1 − 2 3x −1 x +1 − 2 f (x) − 2 x −1 Chọn C.
Câu 43: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng x = 1(∆ và tiệm cận ngang y = 2(∆ . 2 ) 1 ) Gọi  2a + 3 + M ; a  ∈(C)(a ≠ 2a 3 5   )
1 ta có: d = d M ;∆ = a −1 và d = d M ;∆ = − 2 = . 2 ( 2 ) 1 ( 1 )  a −1  a −1 a −1 Khi đó 5
d .d = a −1 . = 5 . Chọn C. 1 2 a −1
Câu 44: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng x = 1
− (∆ và tiệm cận ngang y = 2(∆ . 2 ) 1 ) Gọi  2a + 3 + M ; a
 ∈(C)(a ≠ − 2a 3 5   )
1 ta có: d = d M ;∆ = a +1 và d = d M ;∆ = − 2 = . 2 ( 2 ) 1 ( 1 )  a +1  a +1 a +1
Theo bất đẳng thức Cosi ta có: 1
d + d = a +1 ≥ 2 a +1 . = 2. 1 2 a +1 1 a = 0 M 0;3 2 ( )
Dấu bằng xảy ra ⇔ a +1 = ⇔ (a + ) 1 = 1 ⇔ ⇔   a +1 a = − M  ( 2; − ). 2 1
Do x < 0 nên M ( 2; − ) 1 ⇒ x + y = 2 − +1 = 1 − . Chọn B. 0 0 0 Câu 45: Gọi  a −1  3 M ; a  a  ≠ 
là điểm thuộc đồ thị hàm số.  2a 3  2  − 
Phương trình tiếp tuyến tại M là: 1 y − =
(x − a) a −1 + (d ) (2a − 3)2 2a − 3
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 3
x = , tiệm cận ngang 1 3 1 y I  ;  = ⇒ . 2 2 2 2    3 a − 2 1 a −1 − + (2a − 3)2
1− 2a + 3 + 2a − 2 2 2a − 3 2(2a − 3)
Khi đó d (I d ) 1 ; = = = 1 1 1 +1 +1 + (2a − 3)2 (2a − 3)2 (2a − 3)2 (2a − 3)2 Do 1 + ( a − )2 1 ≥ ( a − )2 1 2 3 2 . 2 3 = 2 ⇒ d ≤ . (2a − 3)2 (2a − 3)2 2 Vậy 1 d = . Chọn A. max 2
Câu 46: Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi phương trình g (x) = m(x − )2
1 + 4 có 2 nghiệm phân biệt m < 0 m < 0 khác 1 − ⇔  ⇔ Chọn C.g  (− )  . 1 − 4m + 4 ≠ 0 m ≠ 1 −
Câu 47: Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang của mọi m.
Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận ⇔ Phương trình g (x) 2
= mx − 2x + 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác  m ≠ 0 m ≠ 0  
1 ⇔ ∆ = 1− 3m > 0 ⇔ m ≠ 1 − . Chọn B.g  ( ) 1 m 1 0  = + ≠ 1 m <  3 Câu 48: Do x +1 lim y = lim
= 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2 x→∞
x→∞ x − 2mx + 4
Để đồ thị (C) có đúng 3 đường tiệm cận thì có phải có 2 đường tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng ⇔ g (x) 2
= x − 2mx + 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 − . m > 2 2
∆′ = m − 4 > 0  m < 2 − ⇔  ⇔  Chọn C.g  (− ) . 1 = 5 + 2m ≠ 0  5 m ≠ −  2 Câu 49: Do x − 2 lim y = lim
= 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2 x→∞
x→∞ x − mx +1
Để đồ thị (C) có đúng 3 đường tiệm cận thì nó phải có 2 đường tiệm cận đứng.
Đồ thi hàm số có 2 tiệm cận đứng ⇔ g (x) 2
= x − mx +1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2. m > 2 2
∆′ = m − 4 > 0  m < 2 − ⇔  ⇔  Chọn A.g  (− ) . 1 = 5 − 2m ≠ 0  5 m ≠  2
Câu 50: TXĐ: D =  \ {− } 2 .
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ⇔ Phương trình g (x) 2 2
= x + m x − m −1 = 0 không nhận x = 2 − là m ≠ 1 nghiệm g ( 2) 2 4 2m m 1 0  ⇔ − = − − − ≠ ⇔  3 . Chọn D. m ≠ −  2
Câu 51: Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 0 .
Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
TH1: m ≠ 0 và phương trình: ( 2 mx − x + )( 2 2 1 4x + 4mx + ) 1 = 0 vô nghiệm 1  − m < 0 m > 1 ⇔  ⇔  ⇒ m ∈∅ . 2 4m − 4 < 0  1 − < m < 1 TH2: Phương trình: 2
4x + 4mx +1 = 0 vô nghiệm. Phương trình: 2
mx − 2x +1 = 0 (*) có đúng 1 nghiệm 2 4m − 4 < 0 1   1 − < m < 1 đơn x = ⇔  ⇔  ⇒ m = . 2 m = 0 ⇒ (*) 1 0
⇔ 2x −1 = 0 ⇔ x = m = 0  2
Kết hợp 2 trường hợp suy ra m = 0 . Chọn A. 1 2 m − 2 Câu 52: Ta có: mx −1 lim = lim = lim x y
= m ⇒ Đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang 2 x→∞
x→∞ x − 3x + 2 x→∞ 3 2 1− + 2 x x
là đường thẳng y = m . Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi nó có một tiệm cận khi nó có một 2 2 tiệm cận đứng. Ta có: mx −1 mx −1 y = = , đặt f (x) 2 = mx −1. 2
x − 3x + 2 (x − ) 1 (x − 2)  f ( ) 1 = 0 m −1 = 0
Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi  ⇔ .  f  (2) = 0  4m −1 = 0 m = 1  1   ⇔ 1 ⇔ m ∈ 1;   . Chọn B.m =  4  4
Câu 53: Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 0 .
Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
TH1: m ≠ 0 và phương trình: ( 2 mx − x + )( 2 2 1 4x + 4m + ) 1 = 0 vô nghiệm m > 1 1  − m < 0  ⇔  ⇔  1 ⇒ m > 1. 4m +1 > 0 m > −  4 TH2: Phương trình: 2
4x + 4m +1 = 0 vô nghiệm. Phương trình: 2
mx − 2x +1 = 0 (*) có đúng 1 nghiệm đơn 4m +1 > 0 1 x  = ⇔  ⇔ m = . 2 m = 0 ⇒ (*) 1 0
⇔ 2x −1 = 0 ⇔ x =  2
Kết hợp 2 trường hợp suy ra m ∈{ }
0 ∪ (1;+∞) . Chọn C.
Câu 54: Ta thấy 1+ x +1 > 0(∀ x ≥ − )
1 . Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng 2
⇔ x − mx − 3m = 0 có hai nghiệm phân biệt x , x ≥ 1 − . 1 2 ∆ > 0
∆ = (−m)2 − 4( 3 − m) 2 > 0 m +12m > 0     1 x x 2 x x 2 m 2 m 0;  ⇔ + ≥ − ⇔ + ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ∈ . Chọn A. 1 2 1 2  (     2 x +1 x +1 ≥ 0
x x + x + x +1 ≥ 0 1− 2m ≥ 0  1 )( 2 ) 1 2 1 2   
Câu 55: Ta thấy 1+ x +1 > 0 ( x ∀ ≥ − )
1 . Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng 2
⇔ x − (1− m) x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x , x ≥ 1 − . 1 2 ∆ > 0 ∆ = (m − )2 2 1 − 8m > 0
m −10m +1 > 0   x x 2  ⇔ + ≥ −
⇔ x + x ≥ 2 − ⇔ 1   − m ≥ 2 −
⇔ 5 − 6 2 ≥ m ≥ 2 − . 1 2 1 2 (
x +1 x +1 ≥ 0 x x x x 1 0  + + + ≥
2m + 1− m +1 ≥ 0  1 )( 2 ) 1 2 1 2   ( )
Kết hợp m ∈  ⇒ m = { 2 − , 1, − } 0 . Chọn C. 9 5 − Câu 56: Ta có 5x − 9 lim = lim = lim x y = 5 . x→+∞ x→+∞ 2
x + 2mx + 2m + 8 x→+∞ 2m 2m + 8 1+ + 2 x x 9 5 − Mặt khác 5x − 9 lim = lim = lim x y = 5 − x→−∞ x→−∞ 2
x + 2mx + 2m + 8 x→−∞ 2m 2m + 8 − 1+ + 2 x x
Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang y = 5 ± .
Để đồ thị hàm số có đứng hai đường tiệm cận thì nó phải không có tiệm cận đứng. Khi đó phương trình 2
x + 2mx + 2m + 8 = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. TH1: Phương trình 2
x + 2mx + 2m + 8 = 0 vô nghiệm 2
⇔ ∆′ = m − m − 8 < 0 ⇔ 2 − < m < 4. ∆ = 0 TH2: Phương trình 2
x + 2mx + 2m + 8 = 0 có nghiệm kép 9  2 x = ⇔  9   9 (hệ 5  2 . m  + + 2m + 8 =     0   5   5 
phương trình này vô nghiệm). Vậy 2
− < m < 4 là giá trị cần tìm. Chọn A. 1 1− Câu 57: Ta có x −1 x 1 lim y = lim = lim = x→+∞ x→+∞ 2
2x − 2x − m − x −1 x→+∞ 2 m 1 2 −1 2 − − −1− 2 x x x 1 1 x 1 − − x 1 lim y lim lim − = = = x→−∞ x→−∞ 2
2x − 2x − m − x −1 x→−∞ 2 m 1 2 −1 − 2 − − −1− 2 x x x
Do đó đồ thị hàm số luôn có 2 đường tiệm cận ngang.
Để độ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì phương trình x ≥ 1  x ≥ 1 − 2 2
2x − 2x − m − x −1 = 0 ⇔ 2x − 2x − m = x +1 ⇔  ⇔  2
2x − 2x − m =  (x + )2 1 g  ( x) 2
= x − 4x − m −1 = 0
có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ g (x) có nghiệm ⇔ x > x ≥ 1
− và ⇔ x ; x ≠ 1. 1 2 1 2
∆′ = 4 + m +1 > 0 m > 5 − m > 5 − x 1 x 1 0   + + + >  1 2 6 < 0 6 > 0 ⇔ ( ⇔  ⇔  ⇔ m ∈ 5; − 4 \ 4 − . Chọn D. x +1 x +1 ≥ 0  1 )( 2 )
x x + x + x +1 ≥ 0 −m −1+ 5 ≥ 0  1 2 ( 1 2 ) ( ] { }  g  ( ) 1 = 4 − − m ≠ 0 m ≠ 4  − m ≠ 4 − x > 0 2
x + x ≥ 0 
Câu 58: Hàm số xác định khi   ⇔ x ≤ 1 −  .
x f (x). f   ( x) − 2 ≠ 0 
f (x). f   ( x) − 2 ≠ 0  (x + ) 1 (x + 3) x +1 y =
f (x)  f  ( x) . − 2 x
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Phương trình f (x) = 0 có nghiệm kép x = 3
− và nghiệm x = x ∈ 1; − 0 . 1 ( )
Phương trình f (x) = 2 có một nghiệm x = 1
− và 2 nghiệm x , x < 1 − . 2 3
Do đó đồ thị hàm số có các đường tiệm cận x = 0, x = 3,
− x = x , x = x . Chọn D. 2 3
Câu 59: Dựa vào đồ thị hàm số ta có: f (x) = a(x + )2
1 .(x − 2) trong đó a > 0 . f (x)
a. x +1 . x − 2 Do đó g (x) a. x − 2 = = = (x + )2 1 ( 2
x − 4x + 3) (x + )2 1 (x − ) 1 (x − 3) x +1 .(x − ) 1 (x − 3)
Khi đó tập xác định của hàm số là D = [2;+∞) \ { } 3 .
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = 3 . Chọn B.
Câu 60: Ta có f ′(x) 2
= ax + bx + c = a(x − )(x − ) = a( 2 3 2 3 1 2 3 x − 3x + 2)
Đồng nhất 2 vế ta có: 2b = 9
− a,c = 6a ⇒ f (x) 3 9a 2 = ax −
x + 6ax + d 2  10  ( )  9 1 = 5  + + 6 + = 5 a f a a a d =  Mặt khác  19  ⇒  ⇒   f  (2) 2 = 0 20 8
 a −18a +12a + d = 0 d − =  19  1 x =
Giải phương trình f (x) 0  = ⇔ 2 .  x = 2
Hàm số có tập xác định là 1  1 D  ;   \  ;1;2 = − +∞  2  2  
( 2x −3x + 2) 2x +1 (x − )1(x − 2) 2x +1 Khi đó: g (x) 2x +1 = ( = = 4 2
x − 5x + 4). f (x) ( 2 x − ) 1 ( 2
x − 4). f (x) (x + )
1 (x + 2). f (x)
Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là 1
x = , x = 2 . Chọn C. 2
Câu 61: Dựa vào BBT ta có: f (x) 2 = ax (x + ) 1 (x − 2) f (x) 2 2 . x + x ax (x + ) 1 (x − 2) 2 x + x Ta có: y = =
f (x) − 2( 2 x − 4)( 2 x − ) 1 (2x + ) 1
f (x) − 2     ( 2 x − 4)( 2 x − ) 1 (2x + ) 1 2 2 ax x + x =
f (x) − 2 
 ( x + 2)( x − ) 1 (2x + ) 1 x = aa < 0
Dựa vào BBT suy ra phương trình f (x) = 2 có 2 nghiệm  trong đó  . x = b b  > 2 x = 2 − x =1 Với điều kiện 2
x + x ≥ 0 thì phương trình  f (x) − 2 
 ( x + 2)( x − ) 1 (2x + ) 1 = 0 ⇔  x = a  x = b
Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng.
Mặc khác bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 0 .
Do đó đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận. Chọn C.
Câu 62: Đồ thị hàm số x + 2 y =
có tiệm cận đứng là x = 2 và tiệm cận ngang là y = 1 ⇒ I (2; ) 1 . x − 2 Gọi  a + 2 M ; a  ∈ 
 (C) với a ≠ 2 suy ra phương trình tiếp tuyến tại M là:  a − 2  4 y − =
(x − a) a + 2 + (d ). (a − 2)2 a − 2 x = 2 Ta có:   a + 6
d ∩ x = 2 ⇒  4 − a + 2 ⇒ A2;  y  = +   (  a −
a − 2)2 (x − a) 2 a − 2  y = 1 d ∩ y = 1  ⇒  4 − a + 2
a + 6  ⇒ B(2a − 2; ) 1 y = + ⇒ A  2;  (  
a − 2)2 (x − a) a − 2  a − 2  Khi đó a + 6 8 IA = −1 =
, IB = 2a − 4 ⇒ . IA IB = 16 a − 2 a − 2 2 2 Do IA
∆ B vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là AB IA IB R + = = 2 2 Mặt khác 2 2 32 IA + IB ≥ 2 .
IA IB = 32 ⇒ R ≥ = 2 2 . 2
Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng: C = 2π R = 4π 2 . Chọn A. min min
Câu 63: Giao điểm của 2 đường tiệm cận là I ( 2; − )
1 là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Hàm số đã cho là hàm đồng biến, có 2 trục đối xứng là 2 đường phân giác của các đường tiệm cận có
phương trình là y = x và y = −x .
Do tính chất đối xứng nên: AB ⊥ d : y = −x ⇒ AB : y = x + m x −1 x ≠ 2 −
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và AB là: = x + m ⇔ x + 2  g  ( x) 2 = x + (m + ) 1 x + 2m +1 = 0 ∆ = (m + )2 1 − 4(2m + ) 1 > 0
Điều kiện để AB cắt (C) tại 2 điểm phân biệt là:  g  ( 2 − ) ≠ 0
x + x = −m −1
Khi đó gọi A(x ; x + m ; B x ; x + m , theo Viet ta có: 1 2 1 1 ) ( 2 2 ) x x = 2m +  1 1 2
Tam giác ABC luôn cân tại I suy ra nó đều khi 3 IH =
AB ⇔ d (I AB) 3 ; = AB 2 2 m − 3 3 ⇔ =
2(x − x )2 ⇔ (m − 3)2 = 3(x + x )2 − 4x x  = 3( 2
m + 2m +1− 8m − 4 1 2 1 2 1 2 ) 2 2   2
⇔ m − m = ⇒ AB = ( 2 6 9
2 m − 6m − 3) = 2 3 . Chọn B.
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1