16 trang 32 lượt tải

Chuyên đề trắc nghiệm mở đầu về nguyên hàm Toán 12

64

Tài liệu gồm 16 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề mở đầu về nguyên hàm, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 3.

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/16
CHỦ ĐỀ 1: MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Vi phân của hàm số
Vi phân của hàm số
( )
y fx=
được ký hiệu là
dy
và cho bởi
(
)
( )
dy df x y dx f x dx
′′
= = =
II. Nguyên hàm
1. Định nghĩa
Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
K
. Hàm số
( )
Fx
được gọi là nguyên hàm của
( )
fx
trên
K
nếu
(
) (
)
Fx fx
′
=
với mọi
thuộc
K
.
2. Định lý
Định lý 1: Nếu
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
K
thì với mỗi hằng số
C
, hàm số
( ) ( )
Gx Fx C= +
cũng là một nguyên hàm của
(
)
fx
trên
K
.
Định lý 2: Nếu
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
K
thì mọi nguyên hàm của hàm số
( )
Fx
trên
K
đều có dạng
( )
Fx C+
với
C
là một hằng số.
3. Tính chất của nguyên hàm
Nếu
( )
fx
và
(
)
gx
là hai hàm số liên tục trên
K
thì
- Tính chất 1:
( ) ( )
f x dx f x C
′
= +
∫
- Tính chất 2:
( ) ( )
..k f x dx k f x dx=
∫∫
, với
là số thực khác 0.
- Tính chất 3:
( )
( )
( )
( )
f x g x dx f x dx g x dx
±= ±


∫ ∫∫
4. Bảng công thức nguyên hàm
Bảng công thức nguyên hàm thường gặp
Các công thức nguyên hàm
Công thức nguyên hàm của hàm hợp
1
1
n
n
x
x dx C
n
+
= +
+
∫
(
)
1
n ≠−
1
1
n
n
u
u dx C
n
+
= +
+
∫
( )
1n ≠−
sin cosxdx x C=−+
∫
sinu cosudu C=−+
∫
cos sinxdx x C= +
∫
cos sin
udu u C= +
∫
2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫
2
1
tan
cos
du u C
u
= +
∫
2
1
cot
sin
dx x C
x
=−+
∫
2
1
cot
sin
du u C
u
=−+
∫
1
lndx x C
x
= +
∫
1
lndu u C
u
= +
∫
xx
e dx e C= +
∫
uu
e du e C= +
∫
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
ln
u
u
a
a du C
a
= +
∫
Đặc biệt:
0dx C
=
∫
;
dx x C= +
∫
.
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ví dụ 1:
Tìm nguyên hàm của hàm số
(
)
33f x x cos x= +
A.
( )
3 1 sin 3xC++
. B.
2
3 sin 3
23
xx
C
++
. C.
2
3 sin 3
23
xx
C
−+
. D.
2
3 sin 3x xC++
.
Lời giải
Ta có:
( )
2
3 sin 3
33
23
xx
x co s x C+ =++
∫
. Chọn B.
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
xx
fx e= +
A.
2 ln 2
xx
eC++
. B.
2
ln 2
x
x
eC++
. C.
11
2
xx
eC
++
++
. D.
11
2
1
xx
e
C
x
++
+
+
+
.
Lời giải
Ta có:
( )
2
22
ln 2
x
xx x x x
e dx dx e dx e C+ = + = ++
∫ ∫∫
. Chọn B.
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số
(
)
2
3
2
1
.fx x x
x
= +
trên khoảng
( )
0; +∞
A.
7
3
2
3
7
x xC
++
. B.
7
3
71
23
x xC++
. C.
5
3
2
3
5
x xC++
. D.
5
3
51
23
x xC++
.
Lời giải
Với
( )
0;x ∈ +∞
ta có:
22
33
22
1
..
dx
x x dx x xdx
xx

+= +


∫ ∫∫
22
15
27
3
33
22
2
.3
7
x x dx x dx x dx x dx x x C
−−
= +=+=++
∫ ∫ ∫∫
. Chọn A.
Ví dụ 4: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
1
52
fx
x
=
−
A.
1
ln 5 2
5
xC−+
. B.
1
ln 5 2
2
xC− −+
. C.
5ln 5 2xC−+
. D.
ln 5 2xC−+
.
Lời giải
Ta có
( )
52
11 1
ln 5 2
52 5 52 5
dx
dx x C
xx
−
= = −+
−−
∫∫
. Chọn A.
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của hàm số
(
)
( )
2
sin 3 1fx x x
=++
A.
( )
3
31
33
cos x
x
C
+
++
. B.
( )
3
31
33
cos x
x
C
+
−+
.
C.
( )
2
3 3 31x cos x C+ ++
. D.
( )
3
3 31x cos x C− ++
.
Lời giải
Ta có:
(
)
( )
22
sin 3 1 sin 3 1x x dx x dx x dx

+ += + +

∫ ∫∫
( ) ( )
( )
33
31
1
sin31 31
33 3 3
cos x
xx
x dx C
+
= + + += − +
∫
. Chọn B.
Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
x
fx e
x
−
= +
A.
2
1
22
x
x
C
e
−+
. B.
2
1
22
x
x
C
e
++
. C.
2
1
2
2
x
xC
e
++
. D.
2
1
2
2
x
xC
e
−+
.
Lời giải
Ta có:
( ) (
)
22
1
22
2
2
xx
dx dx
fx edx ed x
xx
−−
=+=− −
∫ ∫∫ ∫ ∫
2
2
1
22
22
x
x
e
x Cx C
e
−
= − += − +
. Chọn D.
Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2019
21fx x= +
A.
( )
2020
21
2020
x
C
+
+
. B.
( )
2020
21
4040
x
C
+
+
. C.
( )
2020
21
1010
x
C
+
+
. D.
( )
2018
4038 2 1xC
++
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) (
) ( )
( ) ( )
2020 2020
2019 2019
21 21
11
21 21 21 .
2 2 2020 4040
xx
fxxdx xdx C C
++
= + = + += += +
∫∫ ∫
. Chọn B.
Ví dụ 8: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Nguyên hàm của hàm số
( )
3
fx x x= +
là:
A.
42
xxC++
. B.
2
31xC++
. C.
3
x xC++
. D.
42
11
42
x xC++
.
Lời giải
Ta có:
( )
3 42
11
42
f x dx x dx xdx x x C= + =++
∫ ∫∫
. Chọn D.
Ví dụ 9: Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
1
233
x
f x cos x
−
= −
thỏa mãn
( )
00F =
. Tìm
( )
Fx
A.
(
)
1
2sin 3 3 1
3 ln 3 3ln 3
x
x
Fx
−
= −+
. B.
(
)
1
2sin 3 3 1
3 ln 3 3ln 3
x
x
Fx
−
=− −+
.
C.
( )
2sin 3 3 1
3 ln 3 3ln 3
x
x
Fx= −+
. D.
( )
2sin 3 3 1
3 ln 3 3ln 3
x
x
Fx=− −+
.
Lời giải
Ta có:
(
) ( )
1
2sin 3 1 2sin 3 3
23 3 3
33 33ln3
x
xx
xx
F x f x dx cos xdx dx dx C
−
= = − = − == −+
∫∫ ∫ ∫
Mặt khác
( )
11
00 0
3ln 3 3ln 3
F CC= ⇒− + = ⇔ =
Vậy
( )
2sin 3 3 1
3 3ln 3 3ln 3
x
x
Fx= −+
. Chọn A.
Ví dụ 10: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
2
x
fx e x
= +
thỏa
mãn
( )
3
0
2
F =
. Tìm
( )
Fx
.
A.
(
)
2
3
2
x
Fx e x
=++
. B.
( )
2
1
2
2
x
Fx e x= +−
. C.
(
)
2
5
2
x
Fx e x=++
. D.
( )
2
1
2
x
Fx e x=++
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
2
2
xx
F x e x dx e x C= + =++
∫
Mà
( ) ( )
2
3 31 1
01
2 22 2
x
F C C Fx e x= ⇒+ = ⇒ = ⇒ = + +
. Chọn D.
Ví dụ 11: Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
1
\
2



và thỏa mãn
(
) (
)
2
, 01
21
fx f
x
′
= =
−
và
( )
12f =
.
Giá trị của biểu thức
( )
( )
13
ff−+
bằng:
A.
4 ln15+
. B.
2 ln15+
. C.
3 ln15+
. D.
ln15
.
Lời giải
Ta có:
( )
ln 2 1f x dx x C
′
= −+
∫
1
2
x

≠


. Hàm số gián đoạn tại điểm
1
2
x =
Nếu
( ) (
)
1
1
ln 2 1
2
xfxxC>⇒ = −+
mà
(
)
1
12 2fC=⇒=
Vậy
( )
( )
ln 2 1 2fx x= −+
khi
1
2
x >
Tương tự
( ) ( )
2
ln 2 1fx x C= −+
khi
1
2
x <
mà
( )
2
01 1
fC=⇒=
Do đó
( ) ( )
1 3 ln 3 1 ln 5 2 ln15 3ff− + = ++ + = +
. Chọn C.
Ví dụ 12: Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
{ }
\1−
và thỏa mãn
( )
( )
3
, 01
1
fx f
x
′
= =
+
và
(
) (
)
1 22ff+ −=
. Giá trị
( )
3f −
bằng:
A.
1 2 ln 2+
. B.
1 ln 2
−
. C. 1. D.
2 ln 2+
.
Lời giải
Ta có
( )
3ln 1f x dx x C
′
= ++
∫
( )
1x ≠−
Nếu
( ) ( )
1
1 3ln 1x fx x C>− ⇒ = + +
mà
( )
1
01 1fC=⇒=
Vậy
(
)
( )
3ln 1 1fx x= ++
khi
1
x >−
Tương tự
( ) ( )
2
3ln 1fx x C= −− +
khi
1x <−
Do
( ) ( )
22
1 2 2 3ln 2 1 2 1 3ln 2ff C C+ − = ⇒ ++ = ⇒ =−
Suy ra
(
)
3 3ln 2 1 3ln 2 1f − = +− =
. Chọn C.
Ví dụ 13: Biết rằng
( )
(
)
32 x
F x ax bx cx d e= + ++
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
32
2 9 25
x
fx x x x e
= + −+
. Tính
222 2
abcd+++
A. 244. B. 247. C. 245. D. 246.
Lời giải
Ta có:
(
)
(
) ( )
2 32
32
xx
F x ax bx c e ax bx cx d e
′
= + + + + ++
( ) ( )
32
32
x
ax abx bcxcde

= + + + + ++

Do đó
222 2
22
39 3
246
22 8
5 13
aa
ab b
abcd
bc c
cd d
= =


+= =

⇔ ⇒+++ =

+=− =−


+= =

. Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
31fx x= +
A.
3
xC+
B.
3
3
x
xC
++
C.
6xC+
D.
3
x xC
++
Câu 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
(
)
7
x
fx
=
A.
7 7 ln 7
xx
dx C
= +
∫
B.
1
77
xx
dx C
+
= +
∫
C.
7
7
ln 7
x
x
dx C
= +
∫
D.
1
7
7
1
x
x
dx C
x
+
= +
+
∫
Câu 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
3f x cos x=
A.
3 3sin 3cos xdx x C= +
∫
B.
sin 3
3
3
x
cos xdx C
= +
∫
C.
3 sin 3cos xdx x C= +
∫
D.
33cos xdx cos x C= +
∫
Câu 4: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2sinfx x=
A.
2sin 2cosxdx x C
= +
∫
B.
2
2sin sinxdx x C= +
∫
C.
2sin sin 2xdx x C= +
∫
D.
2sin 2 cosxdx x C=−+
∫
Câu 5: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Tìm nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
sin cos
fx x x= +
thỏa
mãn
2
2
F
π

=


A.
( )
cos sin 3Fx x x= −+
B.
(
)
cos sin 3Fx x x=−++
C.
( )
cos sin 1
Fx x x=−+−
D.
( )
cos sin 1Fx x x=−++
Câu 6: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho hàm số
( )
y fx=
thỏa mãn
( )
35f x sinx
′
= −
và
( )
0 10f =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
3 5cos 5fx x x=++
B.
(
)
3 5cos 2fx x x=++
C.
( )
3 5cos 2fx x x=−+
D.
( )
3 5cos 15fx x x=−+
Câu 7: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
x
fx e x= +
thỏa
mãn
( )
3
0
2
F =
. Tìm
( )
Fx
.
A.
( )
2
3
2
x
Fx e x
=++
B.
( )
2
1
2
2
x
Fx e x= +−
C.
( )
2
5
2
x
Fx e x=++
D.
( )
2
1
2
x
Fx e x=++
Câu 8: (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2018) Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
1
1
fx
x
=
−
và
( )
21F =
. Tính
( )
3
F
A.
( )
3 ln 2 1F = −
B.
( )
3 ln 2 1F = +
C.
( )
1
3
2
F =
D.
( )
7
3
4
F =
Câu 9: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh Cụm 1 năm 2017) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
x
fx x= +
A.
( )
2
1
ln 2
x
f x dx C=++
∫
B.
( )
2
2
2 ln 2
x
x
f x dx C
=++
∫
C.
( )
2
2 ln 2
2
x
x
f x dx C=++
∫
D.
( )
2
2
2
x
x
f x dx C= ++
∫
Câu 10: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Hàm số
( )
2sin 3cosFx x x= −
là một nguyên hàm
của hàm số nào sau đây?
A.
( )
2 cos 3sinfx x x= +
B.
( )
2 cos 3sinfx x x
=−+
C.
( )
2 cos 3sinfx x x
=−−
D.
(
)
2 cos 3sinfx x x
= −
Câu 11: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
(
)
1
sin
22
x
fx x

= +


A.
( )
2
1
42
x
f x dx x cos C=−+
∫
B.
( )
2
1
22
x
f x dx x cos C=++
∫
C.
( )
2
11
4 22
x
f x dx x cos C=−+
∫
D.
( )
2
11
4 42
x
f x dx x cos C=−+
∫
Câu 12: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Hàm số
( )
2sin 3cosFx x x= −
là một nguyên hàm
của hàm số nào sau đây?
A.
( )
2 cos 3sin
fx x x= +
B.
(
)
2 cos 3sin
fx x x
=−+
C.
( )
2 cos 3sinfx x x=−−
D.
( )
2 cos 3sinfx x x= −
Câu 13: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
1
21
fx
x
=
+
A.
( ) ( )
1
ln 2 1
2
f x dx x C= ++
∫
B.
(
)
( )
2
2
21
f x dx C
x
=−+
+
∫
C.
( )
ln 2 1
f x dx x C= ++
∫
D.
( )
1
ln 2 1
2
f x dx x C= ++
∫
Câu 14: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Cho
( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
. Với
0a ≠
, khẳng định
nào sau đây đúng?
A.
( ) ( )
f ax b dx F ax b C+ = ++
∫
B.
( ) ( )
f ax b dx aF ax b C+ = ++
∫
C.
( ) (
)
1
f ax b dx F ax b C
ax b
+ = ++
+
∫
D.
( ) ( )
1
f ax b dx F ax b C
a
+ = ++
∫
Câu 15: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Tìm nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
( )
2
13
xx
fx e e
−
= −
A.
( )
3
3
xx
Fx e e C
−
=−+
B.
( )
3
xx
Fx e e C
−
=++
C.
( )
3
xx
Fx e e C
−
=−+
D.
( )
2
3
xx
Fx e e C
−
=++
Câu 16: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Gọi
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
5 cosf x cos x x=
thỏa mãn
0
3
F
π

=


. Tính
6
F
π



.
A.
3
6 12
F
π

=


B.
0
6
F
π

=


C.
3
68
F
π

=


D.
3
66
F
π

=


Câu 17: (THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam năm 2017) Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
( )
1 4sin 2fx x
′
= −
và
( )
0 10f =
. Tính
4
f
π



A.
10
44
f
ππ

= +


B.
12
44
f
ππ

= +


C.
6
44
f
ππ

= +


D.
8
44
f
ππ

= +


Câu 18: (Sở GD & ĐT Hải Dương năm 2017) Cho hàm số
( )
2 sin 2cosfx x x x=++
. Tìm nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
fx
thỏa mãn
( )
01F =
A.
( )
2
cos 2sin 2Fx x x x=++ −
B.
( )
2 cos 2sin
Fx x x=++
C.
( )
2
cos 2sinFx x x x=−+
D.
( )
2
cos 2sin 2Fx x x x=−+ +
Câu 19: (Sở GD & ĐT TP Bình Dương năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm
( )
2
f x cos x=
A.
sin 2
24
xx
C−+
B.
2
24
x cos x
C−+
C.
2
24
x cos x
C++
D.
sin 2
24
xx
C++
Câu 20: (THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Ngãi lần 1 năm 2017) Biết
( )
Fx
là một nguyên
hàm của hàm
( )
4
x
fx=
thỏa mãn
( )
2
1
ln 2
F =
. Tìm
( )
2F
.
A.
( )
9
2
ln 2
F =
B.
( )
3
2
ln 2
F =
C.
( )
8
2
ln 2
F =
D.
( )
7
2
ln 2
F =
Câu 21: (THPT Chuyên Bến Tre năm 2017) Biết rằng
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm
( )
2x
fx e=
thỏa
mãn
( )
3
0
2
F =
. Tính
1
2
F



.
A.
11
2
22
Fe

= +


B.
11
1
22
Fe

= +


C.
111
222
Fe

= +


D.
1
21
2
Fe

= +


Câu 22: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh Cụm 1 năm 2017) Biết một nguyên hàm của hàm số
( )
y fx=
là
( )
2
41Fx x x=++
. Tính giá trị của hàm số
( )
y fx=
tại
3x =
A.
( )
36f =
B.
( )
3 10f =
C.
( )
3 22f =
D.
(
)
3 30
f =
Câu 23: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh Cụm 7 năm 2017) Cho biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm
số
( )
fx
. Tìm
( )
(
)
31I f x dx
= +
∫
A.
( )
31I Fx C= ++
B.
( )
31I xF x C= ++
C.
( )
3I xF x x C= ++
D.
( )
3I Fx x C= ++
Câu 24: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018) Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
1
\
2



thỏa mãn
( )
(
)
2
; 01
21
fx f
x
′
= =
−
và
( )
12f =
. Tính
( ) ( )
13Pf f= −+
A.
4 ln15P = +
B.
2 ln15P = +
C.
3 ln15P
= +
D.
ln15P =
Câu 25: Biết
( )
(
)
2
x
f x ax bx c e
−
= ++
là một nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
1
x
g x x xe
−
= −
. Tính
2 2015Sa b c=++
A.
2019
S
=
B.
2018
S =
C.
2017S = −
D.
2017
S =
Câu 26: Giả sử
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
41fx x= −
. Đồ thị hàm số
( )
y Fx=
và
( )
y fx=
cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tìm tọa độ điểm chung của hai đồ thị
( )
y Fx=
và
( )
y fx=
A.
(
)
0; 1−
và
5
;3
2



B.
(
)
0; 1
−
và
5
;8
2



C.
( )
0; 2−
và
8
;14
3



D.
(
)
0; 1−
và
5
;9
2



Câu 27: (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017) Cho hai hàm số
( ) ( ) ( )
32
21Fx ax abx abcx= + + + −+ +
và
( )
2
3 62
fx x x= ++
. Biết rằng
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
. Hãy tính tổng
S abc=++
A.
5S =
B.
4S =
C.
3S =
D.
2S =
Câu 28: Gọi
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
3
2fx x= −
thỏa mãn
( )
7
3
4
F =
. Tính giá trị của
biểu thức
( ) ( )
13 13
log 10 log 6
23
FF
T
−
= +
A.
2T =
B.
3T =
C.
5T =
D.
10T =
Câu 29: Gọi
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
1
21
fx
x
=
+
thỏa mãn
( )
00F =
. Biết phương trình
(
)
1
Fx x+=
có nghiệm duy nhất dạng
2
ab
x
+
=
, với
,
ab
nguyên dương. Tìm
ab+
A.
2ab+=
B.
7
ab
+=
C.
5ab+=
D.
6ab+=
Câu 30: (THPT Lương Đắc Bằng – Thanh Hóa năm 2017) Biết
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
31x
fx e
+
=
thỏa mãn
( )
1
0
3
F =
. Tính
( )
3
ln 3 1F


A.
( )
3
ln 3 1 64F =


B.
( )
3
ln 3 1 8F
= −


C.
( )
3
ln 3 1 81F =


D.
( )
3
ln 3 1 27F =


Câu 31: Tìm một nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
23
4 .2
xx
fx
+
=
thỏa mãn
( )
2
0
ln 2
F =
. Tính giá trị của
biểu thức
( )
3
10
ln 2 1
2
F
A =
A.
1A =
B.
8A
=
C.
16
A =
D.
32
A
=
Câu 32: Cho
( )
21fx x
′
= +
và
( )
15f =
. Phương trình
( )
15f =
có hai nghiệm
12
,xx
. Tính tổng
21 22
log logSx x
= +
A.
0S
=
B.
1S
=
C.
2S =
D.
3S =
Câu 33: Hàm số
(
)
Fx
là nguyên hàm của
( ) ( )
( )
2
1 ln 1fx x x=−+
. Hỏi hàm số
( )
Fx
có bao nhiêu điểm
cực trị?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 34: Hàm số
( )
Fx
là nguyên hàm của
( )
(
)
( )
2
11 2
f x x x co s x
= −− +
. Hỏi hàm số
( )
Fx
có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. Vô số B. 1 C. 2 D. 3
Câu 35: Hàm số
( )
Fx
là nguyên hàm của
( )
25 2017.5 2018
xx
fx=−+
. Hỏi hàm số
( )
Fx
có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 36: Hàm số
( )
Fx
là nguyên hàm của
( )
( )
23
log log 3fx x x x= −−
. Hỏi hàm số
( )
Fx
có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 37: (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017) Giả sử một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
2
3
1
1
1
x
fx
x
xx
= +
−
+
có dạng
3
1
1
B
Ax
x
−+
+
. Tìm
AB+
A.
2AB+=−
B.
8
3
AB
+=
C.
2AB+=
D.
8
3
AB
+=−
Câu 38: Gọi
(
)
(
)
32
x
F x ax bx cx d e= + ++
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
( )
32
2 9 25
x
fx x x x e= + −+
.
Tính
222 2
Tabcd=+++
A.
244T =
B.
247T
=
C.
245T =
D.
246T
=
Câu 39: (THPT Kim Liên – Hà Nội lần 2 năm học 2017) Biết
( )
( )
2 x
F x ax bx c e= ++
là một nguyên hàm
của hàm số
( )
2 x
f x xe=
. Tìm
,,
abc
A.
1, 2, 2ab c= = = −
B.
2, 1, 2a bc= = = −
C.
2, 2, 1
a bc
=−= =
D.
1, 2, 2ab c==−=
Câu 40: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) xác định hệ số
,,abc
để hàm số
(
)
( )
2
x
F x ax bx c e
−
= ++
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
32
x
fx x x e
−
= −+
.
A.
1, 1, 1a bc
=−==−
B.
1, 5, 7abc=−=−=−
C.
1, 3, 2
ab c==−=
D.
1, 1, 1ab c
= =−=
Câu 41: Gọi
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
2
1fx x= +
thỏa
( )
28
1
15
F =
. Tính giá trị của biểu
thức
( ) ( )
5 6 30 4 18TF F=−+
A.
8526T =
B.
1000T =
C.
7544T
=
D.
982
T =
Câu 42: Gọi
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2
23fx x= −
thỏa
(
)
1
0
3
F =
. Tính giá trị của biểu
thức
( ) ( )
2
log 3 1 2 2T FF= −


A.
2
T =
B.
4T
=
C.
10T =
D.
4T = −
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
( )
23
31x dx x x C
+ = ++
∫
. Chọn D.
Câu 2:
7
7
ln 7
x
x
dx C
= +
∫∫
. Chọn C.
Câu 3:
sin 3
3
3
x
cos xdx C= +
∫
. Chọn B.
Câu 4:
2sin 2 cosxdx x C
=−+
∫
. Chọn D.
Câu 5:
( ) ( )
sin cos cos sin 1 2 1
2
F x x x dx x x C F C C
π

= + =− + +⇒ =+=⇒=


∫
. Chọn D.
Câu 6:
(
) (
) ( )
3 5 3 5cos 0 5 10 5f x sinx dx x x C f C C= − = + +⇒ =+= ⇒=
∫
. Chọn A.
Câu 7:
( )
( )
( )
2
31
2 01
22
xx
F x e x dx e x C F C C= + = + +⇒ =+=⇒=
∫
. Chọn D.
Câu 8:
( ) (
) ( )
1
ln 1 2 1 3 1 ln 2
1
F x dx x C F C F
x
= = −+ ⇒ = =⇒ =+
−
∫
. Chọn B.
Câu 9:
(
)
2
2
2
2 ln 2
x
x
x
x dx C+ =++
∫
. Chọn B.
Câu 10:
(
)
2 cos 3sinFx x x
′
= +
. Chọn A.
Câu 11:
2
2
11 1
sin 2
2 2 22 2 4 2
x xx x
x dx cos C x cos C


+ = − += − +




∫
. Chọn A.
Câu 12:
( )
2 cos 3sinFx x x
′
= +
. Chọn A.
Câu 13:
11
ln 2 1
21 2
dx x C
x
= ++
+
∫
. Chọn D.
Câu 14:
( ) (
)
( ) ( )
11
ax b t
tb
f ax b dx I f t d f t dt f x dx
aa a
+=
−

+ → = = =


∫ ∫ ∫∫
( ) (
) (
) (
)
11
f ax b d ax b F ax b C F ax b C
aa
′
= + += ++ = ++


∫
. Chọn D.
Câu 15:
( )
( )
2
3
13
x xx
x
fx e e e
e
−
=−=−
( )
( )
( )
2
33
x xx
x
x
f x dx e d e e C
e
e
⇒ =− =++
∫∫
. Chọn B.
Câu 16:
( ) ( ) ( ) ( )
11
5 cos 5 6 4
22
f x cos x x x x cos x cos x= + −= +


( ) ( )
1 sin 6 1 sin 4
..
26 24
xx
F x f x dx C⇒= = + +
∫
3 33
0
3 16 16 6 8
F CC F
ππ
 
⇒=−+=⇒=⇒=
 
 
. Chọn C.
Câu 17:
(
) (
)
1 4sin 2 2 2f x x dx x cos x C=− =++
∫
mà
( )
0 10 8fC= ⇒=
Do đó ta có
8
44
f
ππ

= +


. Chọn D.
Câu 18:
( ) ( )
2
2 sin 2 cos cos 2sin
F x x x x dx x x x C= ++ =− + +
∫
. Chọn D.
Câu 19:
2
12 1
sin 2
2 24
cos x x
cos xdx dx x C
+
= =++
∫∫
. Chọn D.
Câu 20:
( )
4
4
ln 4
x
x
F x dx C= = +
∫
mà
( ) ( )
3 1 41
1
ln 2 ln 2 ln 4 ln 2
x
F C Fx= ⇒= ⇒ = +
Do đó suy ra
( )
2
419
2
ln 4 ln 2 ln 2
F =+=
. Chọn A.
Câu 21:
( )
22
1
2
xx
F x e dx e C= = +
∫
mà
( ) ( )
2
31
01 1
22
x
F C Fx e=⇒=⇒ = +
Do đó suy ra
11
1
22
Fe

= +


. Chọn B.
Câu 22:
( ) ( )
( )
( )
2 4 3 10f x Fx x F
′
= = +⇒ =
. Chọn B.
Câu 23:
( ) ( )
33I f x dx dx F x x C= + = ++
∫∫
. Chọn D.
Câu 24:
( )
2
ln 2 1
21
f x dx x C
x
= = −+
−
∫
Trên
( ) ( ) ( ) ( )
11
1
; ln 2 1 1 3 3 2 ln 5
2
fx x C f C f

+∞ ⇒ = − + ⇒ = = ⇒ = +


Trên
( ) ( ) ( ) ( )
22
1
; ln 1 2 0 1 1 1 ln 3 P 3 ln15
2
fx x C f C f

−∞ ⇒ = − + ⇒ = = ⇒ − = + ⇒ = +


. Chọn C.
Câu 25:
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( ) (
)
fx fx Fx
′
⇒=
Ta có
( ) (
)
( )
( )
22
22
xx
F x ax b e ax bx c e ax a b x b c e
−−
′

= +− ++ =−+−+−

Mà
( )
( )
2
11
21 1
01
x
aa
f x x xe a b b
bc c
−
−=− =


=− + → −=⇔ =


−= =

. Vậy
2018S =
. Chọn A.
Câu 26:
( ) ( ) (
)
2
41 2F x f x dx x dx x x C
= = − = −+
∫∫
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
;
( )
2
C
là
2
2 41x xC x−+ = −
2
2 5 10x xC⇔ − + +=
mà
( )
1
C
cắt
( )
2
C
tại điểm thuộc
01Oy x C→=⇒ =−
Do đó
(
)
2
0 01
2 50
55
9
22
xy
xx
xy
=→=−
−=⇔

=⇒=


. Vậy tọa độ cần tìm là
( )
0; 1−
và
5
;9
2



. Chọn D.
Câu 27:
( )
(
)
2 32
3 62 3 2f x dx x x dx x x x C
= ++ =+ ++
∫∫
Mà
( ) ( ) ( )
32
1
1; 3
21 2
2 2; 1
2
a
a ab
Fx ax abx abcx b
abc C
c
=
= +=
= + + + −+ +⇒ ⇔ =

−+= =
=
. Chọn A.
Câu 28:
( ) ( ) ( )
4
3
3
3
22
4
F x f x dx x dx x C= = − = −+
∫∫
mà
( )
7
31
4
FC
=→=
Khi đó
(
)
( )
4
3
3
21 5
4
Fx x T
= − +→ =
. Chọn C.
Câu 29:
(
) (
)
21
21
dx
F x f x dx x C
x
= = = ++
+
∫∫
mà
( )
00 1FC=→=−
Khi đó
( )
2 11Fx x= +−
nên
( )
1
15
11
5
22
a
ab
Fx x x x x
b
=
++
+=⇔= +⇔= = ⇒
=
Vậy tổng
6
ab+=
. Chọn D.
Câu 30:
( ) (
)
31 31
1
3
xx
F x f x dx e dx e C
++
= = = +
∫∫
mà
( )
1
00
3
FC=→=
Do đó
( )
( ) ( ) ( )
4
31 4 3 34
1
1 3 1 ln 3 1 ln 64
33
x
e
Fx e F F e F e
+
= →=⇒ =⇒ = =


. Chọn A.
Câu 31:
( ) ( )
43
2 23 43 43
2
2 .2 2 2
ln 2
x
xx x x
f x F x dx C
+
++ +
= =→= =+
∫
Mà
(
)
2
00
ln 2
FC= →=
. Do đó
( )
43 5
22
32
ln 2 ln 2
x
Fx A
+
= = ⇒=
Chọn D.
Câu 32:
(
) ( )
( )
2
21
f x f x dx x dx x x C
′
= = + = ++
∫∫
mà
( )
15 3
fC=⇒=
Do đó
( )
22
1
35 20
2
x
fxxx xx
x
=
= ++=⇔ +−=⇔
= −
. Vậy
1S =
. Chọn B.
Câu 33:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
10
1 ln 1
0
x
Fx fx x x
x
−=
′
= =− +⇔
=
Mà
( )
Fx
′
không đổi dấu khi đi qua
01xx=→=
là điểm cực trị. Chọn B.
Câu 34:
( ) ( )
( )
( )
2
15
15
2
11 2 0
2
21
2
x
x
F x f x x x cos x
cos x
x
±
±
=
=

′
= = −− + =⇔ ⇔

π

= −
=
Mà
( )
Fx
′
không đổi dấu khi đi qua
(
)
15
0
22
x Fx x
π±
′
= → =⇔=
.
Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị. Chọn C.
Câu 35:
( ) ( )
25 2017.5 2018
xx
Fx fx
′
==−+
có hai nghiệm phân biệt.
Hàm số
( )
Fx
có hai điểm cực trị. Chọn C.
Câu 36:
( ) ( ) ( )
2
0
. log 3.log 3
3 21
log
3
x
Fx fx x x x
x
>

′
= = − −⇔
±

=
Hệ phương trình trên có hai nghiệm
→
Hàm số
(
)
Fx
có hai điểm cực trị. Chọn C.
Câu 37: Vì
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( ) ( )
fx fx Fx
′
⇒=
Ta có
( )
( )
2
2
3
1
3
2
.1
1
xB
Fx A
x
xx

′
=− +−


−
+
mà
( )
( )
2
2
3
1
1
1
x
fx
x
xx
= +
−
+
Nên suy ra
1
31
3
1
2
2
A
A
B
B
−=
= −

⇔

−=

= −
. Vậy
18
2
33
AB
+ =−−=−
. Chọn D.
Câu 38: Vì
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( ) ( )
fx fx Fx
′
⇒=
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
32
32
x
Fx ax abx bcxde
′
= ++ +++
mà
( )
( )
32
2 9 25
x
fx x x x e= + −+
Nên suy ra
2;3 9 2; 3
2 2;5 8;5
a ab a b
bc d c d
= += = =

⇔

+=− = =− =

. Vậy
246T =
. Chọn D.
Câu 39: Vì
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( ) (
) (
)
fx fx Fx
′
⇒=
Ta có
(
) ( )
( )
( )
(
)
22
22
xx x
F x ax b e ax bx c e ax a b x b c e
′
= + + + + = + + ++
Mà
( )
2
11
20 2
02
x
aa
f x xe a b b
bc c
= =


= → +=⇔ =−


+= =

. Chọn D.
Câu 40: Vì
(
)
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( ) ( )
fx fx Fx
′
⇒=
Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
22
22
xx x
F x ax b e ax bx c e ax a b x b c e
−− −
′
= + − + + =− + − +−
Mà
( )
( )
2
11
32 2 3 1
21
x
aa
fx x x e ab b
bc c
−
−= =−


= − + → −=⇔ =


−= =−

. Chọn A.
Câu 41: Ta có
( ) ( )
( )
53
2
2
2
1
53
xx
F x f x dx x dx x C= = + = + ++
∫∫
mà
( )
28
10
15
FC= ⇒=
Do đó
(
)
( )
( )
53
3772
4
2
15
8526 2.3772 18 1000
8526
53
6
5
F
xx
Fx x T
F
=
= + +→ ⇒ = − + =
=
. Chọn B.
Câu 42:
( )
( )
( )
2
32
4
23 6 9
3
F x f x dx x dx x x x C
= = − = − ++
∫∫
Do đó
( )
(
)
( )
32
2
14
1
4 1 14
3
6 9 log 3. 2.5 2
33 3
25
F
Fx x x x T
F
=

= − + +→ ⇒= − =


=
. Chọn A.

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

CHỦ ĐỀ 1: MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Vi phân của hàm số
Vi phân của hàm số y = f (x) được ký hiệu là dy và cho bởi dy = df (x) = y dx
′ = f ′(x)dx II. Nguyên hàm 1. Định nghĩa
Cho hàm số f (x) xác định trên K . Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của f (x) trên K nếu
F′(x) = f (x) với mọi x thuộc K . 2. Định lý
Định lý 1: Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G (x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K .
Định lý 2: Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số
F (x) trên K đều có dạng F (x) + C với C là một hằng số.
3. Tính chất của nguyên hàm
Nếu f (x) và g (x) là hai hàm số liên tục trên K thì
- Tính chất 1: f ′
∫ (x)dx = f (x)+C
- Tính chất 2: k. f
∫ (x)dx = k. f
∫ (x)dx , với k là số thực khác 0.
- Tính chất 3: f
∫ (x)± g(x)dx = f
∫ (x)dx± g
∫ (x)dx
4. Bảng công thức nguyên hàm
Bảng công thức nguyên hàm thường gặp
Các công thức nguyên hàm
Công thức nguyên hàm của hàm hợp n 1 + n 1 + n x x dx = + C ∫ (n ≠ − ) 1 n u u dx = + C n ≠ − n ∫ ( )1 +1 n +1
sin xdx = −cos x + C ∫
sinu du = −cosu+ C ∫
cos xdx = sin x + C ∫
cosudu = sin u + C ∫
1 dx = tan x+C ∫
1 du = tanu +C 2 cos x ∫ 2 cos u
1 dx = −cot x+C ∫
1 du = −cotu +C 2 sin x ∫ 2 sin u
1 dx = ln x +C ∫
1 du = ln u +C x ∫ u x x
e dx = e + C ∫ u u
e du = e + C ∫ x u x a a dx = + C ∫ u a a du = + C ln a ∫ ln a
Đặc biệt: 0dx = C ∫
; dx = x + C ∫ .
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + cos3x 2 2
A. 3(1+ sin3x) + C . B. 3x sin 3x + + C . C. 3x sin 3x − + C . D. 2
3x + sin 3x + C . 2 3 2 3 Lời giải 2 Ta có: ∫( + ) 3x sin3 3 3 x x cos x = + + C . Chọn B. 2 3
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) = 2x x f x + e x x 1 + x 1 +
A. 2x ln 2 x + + e + C . B. 2 x + e + C . C. 1+ 1 2x x e + + + C . D. 2 e +C . ln 2 x +1 Lời giải x Ta có: ∫( x x + ) x x 2 2 = 2 x e dx dx + e dx = + e + C ∫ ∫ . Chọn B. ln 2
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2 1 = x . x + trên khoảng (0;+∞) 3 2 x A. 2 7 3
x + 3 x + C . B. 7 7 1 3 x + x + C . C. 2 5 3
x + 3 x + C . D. 5 5 1 3 x + x + C . 7 2 3 5 2 3 Lời giải  
Với x∈(0;+∞) ta có: 2 1 2 ∫ . +  = . dx x x dx x xdx + ∫ ∫ 3 2 3 2  x x 1 2 − 5 2 − 2 2 2 3 2 3 7 3
= x .x dx + x dx = x dx + x dx =
x + 3 x + C ∫ ∫ ∫ ∫ . Chọn A. 7
Ví dụ 4: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = 5x − 2
A. 1 ln 5x − 2 + C . B. 1
− ln 5x − 2 + C .
C. 5ln 5x − 2 + C .
D. ln 5x − 2 + C . 5 2 Lời giải 1 1 d (5x − 2) Ta có 1 dx =
= ln 5x − 2 + C ∫ 5x ∫ . Chọn A. − 2 5 5x − 2 5
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2
= x + sin (3x + ) 1 3 x cos(3x + ) 1 3 x cos(3x + ) 1 A. + + C . B. − + C . 3 3 3 3 C. 2
3x + 3cos(3x + ) 1 + C . D. 3
x − 3cos(3x + ) 1 + C . Lời giải Ta có: 2 x + ∫ ( x + ) 2 sin 3 1 dx  = x dx + sin ∫ ∫ (3x+ )1dx   3 3 x 1 x cos x + = + sin
∫ (3x+ )1d (3x+ ) (3 ) 1 1 = − + C . Chọn B. 3 3 3 3
Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1 2 − x f x = + e x A. x 1 − + C . B. x 1 + + C . C. 1 2 x + + C . D. 1 2 x − + C . 2 2 2 x e 2 2 2 x e 2 2 x e 2 2 x e Lời giải Ta có: f ∫ (x) dx 2 − x dx 1 2 = + e dx = 2 − x − e d ∫ ∫ ∫ ∫ ( 2 − x) x 2 x 2 2 − x e 1 = 2 x − + C = 2 x − + C . Chọn D. 2 2 2 x e
Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ( x + )2019 2 1 ( x + )2020 2 1 ( x + )2020 2 1 ( x + )2020 2 1 A. + C . B. + C . C. + C . D. ( x + )2018 4038 2 1 + C . 2020 4040 1010 Lời giải 2020 2020 1 1 2x +1 2x +1 Ta có: f
∫ (x) = ∫(2x+ )2019 1
dx = ∫(2x + )2019 1 d (2x + ) ( ) ( ) 1 = . + C = + C . Chọn B. 2 2 2020 4040
Ví dụ 8: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Nguyên hàm của hàm số ( ) 3
f x = x + x là: A. 4 2
x + x + C . B. 2 3x +1+ C . C. 3
x + x + C . D. 1 4 1 2
x + x + C . 4 2 Lời giải Ta có: f ∫ (x) 3 1 4 1 2
dx = x dx + xdx = x + x + C ∫ ∫ . Chọn D. 4 2
Ví dụ 9: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 2 3 3x f x cos x − = −
thỏa mãn F (0) = 0 . Tìm F (x) x 1 − x 1 −
A. F (x) 2sin3x 3 1 = − + . B. F (x) 2sin 3x 3 1 = − − + . 3 ln 3 3ln 3 3 ln 3 3ln 3 x x
C. F (x) 2sin3x 3 1 = − + . D. F (x) 2sin 3x 3 1 = − − + . 3 ln 3 3ln 3 3 ln 3 3ln 3 Lời giải x
Ta có: F (x) = f ∫ (x) x 1 − 2sin 3x 1 x 2sin 3x 3
dx = 2cos3xdx − 3 dx = − 3 dx = = − + C ∫ ∫ 3 3 ∫ 3 3ln 3 Mặt khác F ( ) 1 1 0 = 0 ⇒ − + C = 0 ⇔ C = 3ln 3 3ln 3 x
Vậy F (x) 2sin3x 3 1 = − + . Chọn A. 3 3ln 3 3ln 3
Ví dụ 10: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x = e + 2x thỏa mãn F ( ) 3
0 = . Tìm F (x) . 2 A. F (x) x 2 3
= e + x + . B. F (x) x 2 1 = 2e + x − . C. F (x) x 2 5
= e + x + . D. F (x) x 2 1 = e + x + . 2 2 2 2 Lời giải
Ta có F (x) = ∫( xe + x) x 2
2 dx = e + x + C Mà F ( ) 3 3 1
= ⇒ + C = ⇒ C = ⇒ F (x) x 2 1 0 1
= e + x + . Chọn D. 2 2 2 2
Ví dụ 11: Cho hàm số f (x) xác định trên 1 2  \  
và thỏa mãn f ′(x) =
, f (0) =1 và f ( ) 1 = 2 . 2   2x −1
Giá trị của biểu thức f (− ) 1 + f (3) bằng: A. 4 + ln15 . B. 2 + ln15 . C. 3+ ln15. D. ln15. Lời giải Ta có: f ′
∫ (x)dx = ln 2x−1 +C  1 x  ≠ 
. Hàm số gián đoạn tại điểm 1 x = 2    2 Nếu 1
x > ⇒ f (x) = ln (2x − ) 1 + C mà f ( ) 1 = 2 ⇒ C = 2 1 2 1
Vậy f (x) = ln (2x − ) 1 + 2 khi 1 x > 2
Tương tự f (x) = ln(2x − ) 1 + C khi 1
x < mà f (0) =1⇒ C =1 2 2 2 Do đó f (− )
1 + f (3) = ln 3+1+ ln 5+ 2 = ln15+ 3 . Chọn C.
Ví dụ 12: Cho hàm số f (x) xác định trên 3  \{ } 1
− và thỏa mãn f ′(x) = , f (0) =1 và x +1 f ( ) 1 + f ( 2
− ) = 2 . Giá trị f ( 3 − ) bằng: A. 1+ 2ln 2 . B. 1− ln 2 . C. 1. D. 2 + ln 2. Lời giải Ta có f ′
∫ (x)dx = 3ln x+1 +C (x ≠ − )1 Nếu x > 1
− ⇒ f (x) = 3ln (x + )
1 + C mà f (0) =1⇒ C =1 1 1
Vậy f (x) = 3ln (x + ) 1 +1 khi x > 1 −
Tương tự f (x) = 3ln(−x − )
1 + C khi x < 1 − 2 Do f ( ) 1 + f ( 2
− ) = 2 ⇒ 3ln 2 +1+ C = 2 ⇒ C =1− 3ln 2 2 2 Suy ra f ( 3
− ) = 3ln 2 +1− 3ln 2 =1. Chọn C.
Ví dụ 13: Biết rằng ( ) = ( 3 2 + + + ) x F x
ax bx cx d e là một nguyên hàm của hàm số ( ) = ( 3 2 2 + 9 − 2 + 5) x f x x x x e . Tính 2 2 2 2
a + b + c + d A. 244. B. 247. C. 245. D. 246. Lời giải Ta có: ′( ) = ( 2 + + ) + ( 3 2 3 2 x + + + ) x F x ax bx c e ax bx cx d e 3 =  + ( + ) 2 3 + (2 + ) x ax a b x
b c x + c + d e   a = 2 a = 2 3   a b 9 b  + =  = 3 Do đó 2 2 2 2  ⇔ 
⇒ a + b + c + d = 246 . Chọn D. 2b + c = 2 − c = 8 −   c + d = 5 d =13
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2 = 3x +1 3 A. 3 x + C
B. x + x + C
C. 6x + C D. 3
x + x + C 3
Câu 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 7x f x =
A. 7x = 7x dx ln 7 + C ∫ B. x x 1 7 dx 7 + = + C ∫ x x 1 + C. x 7 7 dx = + C ∫ D. x 7 7 dx = + C ln 7 ∫ x +1
Câu 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos3x
A. cos3xdx = 3sin 3x + C ∫ B. sin 3 3 x cos xdx = + C ∫ 3
C. cos3xdx = sin 3x + C ∫
D. cos3xdx = cos3x + C ∫
Câu 4: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2sin x
A. 2sin xdx = 2cos x + C ∫ B. 2
2sin xdx = sin x + C ∫
C. 2sin xdx = sin 2x + C ∫ D. 2sin xdx = 2 − cos x + C ∫
Câu 5: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x + cos x thỏa mãn F  π  =   2  2 
A. F (x) = cos x −sin x + 3
B. F (x) = −cos x + sin x + 3
C. F (x) = −cos x + sin x −1
D. F (x) = −cos x + sin x +1
Câu 6: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f ′(x) = 3−5sinx và
f (0) =10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f (x) = 3x + 5cos x + 5
B. f (x) = 3x + 5cos x + 2
C. f (x) = 3x −5cos x + 2
D. f (x) = 3x −5cos x +15
Câu 7: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x = e + 2x thỏa mãn F ( ) 3
0 = . Tìm F (x) . 2 A. F (x) x 2 3 = e + x + B. F (x) x 2 1 = 2e + x − 2 2 C. F (x) x 2 5 = e + x + D. F (x) x 2 1 = e + x + 2 2
Câu 8: (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2018) Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 1 =
và F (2) =1. Tính F (3) x −1
A. F (3) = ln 2 −1
B. F (3) = ln 2 +1 C. F ( ) 1 3 = D. F ( ) 7 3 = 2 4
Câu 9: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh Cụm 1 năm 2017) Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) = + 2x f x x x 2 x A. f ∫ (x) 2 dx =1+ + C B. f ∫ (x) x 2 dx = + + C ln 2 2 ln 2 2 2 C. ∫ ( ) x f x dx = + 2x ln 2 + C D. ∫ ( ) x f x dx = + 2x + C 2 2
Câu 10: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Hàm số F (x) = 2sin x −3cos x là một nguyên hàm
của hàm số nào sau đây?
A. f (x) = 2cos x + 3sin x
B. f (x) = 2
− cos x + 3sin x
C. f (x) = 2
− cos x − 3sin x
D. f (x) = 2cos x −3sin x
Câu 11: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1  sin x f x x  = + 2 2    A. ∫ ( ) 1 2 x
f x dx = x − cos + C B. ∫ ( ) 2 1 x
f x dx = x + cos + C 4 2 2 2 C. ∫ ( ) 1 2 1 x
f x dx = x − cos + C D. ∫ ( ) 1 2 1 x
f x dx = x − cos + C 4 2 2 4 4 2
Câu 12: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Hàm số F (x) = 2sin x −3cos x là một nguyên hàm
của hàm số nào sau đây?
A. f (x) = 2cos x + 3sin x
B. f (x) = 2
− cos x + 3sin x
C. f (x) = 2
− cos x − 3sin x
D. f (x) = 2cos x −3sin x
Câu 13: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = 2x +1 A. f ∫ (x) 1 dx = ln (2x + ) 1 + C B. f ∫ (x) 2 dx = − + C 2 (2x + )2 1 C. f
∫ (x)dx = ln 2x+1 +C D. f ∫ (x) 1
dx = ln 2x +1 + C 2
Câu 14: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Cho f
∫ (x)dx = F (x)+C . Với a ≠ 0, khẳng định nào sau đây đúng? A. f
∫ (ax+b)dx = F (ax+b)+C B. f
∫ (ax+b)dx = aF (ax+b)+C C. ∫ ( + ) 1 f ax b dx =
F (ax + b) + C D. ∫ ( + ) 1
f ax b dx = F (ax + b) + C ax + b a
Câu 15: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số ( ) x ( 2 1 3 x f x e e− = − ) A. ( ) x 3 = − 3 − x F x e e + C B. ( ) x = + 3 −x F x e e + C C. ( ) x = − 3 −x F x e e + C D. ( ) x 2 = + 3 − x F x e e + C
Câu 16: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số
f (x) = cos5xcos x thỏa mãn F  π  =     0 . Tính F π   .  3   6  A.   3 F π =        B. F π =   0 C. 3 F π = D. 3 F π = 6        12  6   6  8  6  6
Câu 17: (THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam năm 2017) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ′(x) =1− 4sin 2x
và f (0) =10. Tính f  π   4   
A. f  π  π = +         10 B. f π π = +   12 C. f π π = +   6 D. f π π = +   8  4  4  4  4  4  4  4  4
Câu 18: (Sở GD & ĐT Hải Dương năm 2017) Cho hàm số f (x) = 2x + sin x + 2cos x . Tìm nguyên hàm
F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn F (0) =1 A. F (x) 2
= x + cos x + 2sin x − 2
B. F (x) = 2 + cos x + 2sin x C. F (x) 2
= x − cos x + 2sin x D. F (x) 2
= x − cos x + 2sin x + 2
Câu 19: (Sở GD & ĐT TP Bình Dương năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm ( ) 2 f x = cos x
A. x sin 2x − + C
B. x cos2x − + C
C. x cos2x + + C
D. x sin 2x + + C 2 4 2 4 2 4 2 4
Câu 20: (THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Ngãi lần 1 năm 2017) Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm ( ) 4x
f x = thỏa mãn F ( ) 2 1 = . Tìm F (2). ln 2 A. F ( ) 9 2 = B. F ( ) 3 2 = C. F ( ) 8 2 = D. F ( ) 7 2 = ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
Câu 21: (THPT Chuyên Bến Tre năm 2017) Biết rằng F (x) là một nguyên hàm của hàm ( ) 2x f x = e thỏa mãn F ( ) 3 0 = . Tính 1 F   . 2  2   A.  1  1 F = e +         2 B. 1 1 F = e +   1 C. 1 1 1 F = e +   D. 1 F = 2e +   1  2  2  2  2  2  2 2  2 
Câu 22: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh Cụm 1 năm 2017) Biết một nguyên hàm của hàm số y = f (x) là F (x) 2
= x + 4x +1. Tính giá trị của hàm số y = f (x) tại x = 3 A. f (3) = 6 B. f (3) =10 C. f (3) = 22 D. f (3) = 30
Câu 23: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh Cụm 7 năm 2017) Cho biết F (x) là một nguyên hàm của hàm
số f (x) . Tìm I = (3 f (x) + ∫ )1dx
A. I = 3F (x) +1+ C
B. I = 3xF (x) +1+ C
C. I = 3xF (x) + x + C
D. I = 3F (x) + x + C
Câu 24: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018) Cho hàm số f (x) xác định trên 1  \   thỏa mãn 2   f ′(x) 2 =
; f (0) =1 và f ( )
1 = 2 . Tính P = f (− ) 1 + f (3) 2x −1 A. P = 4 + ln15 B. P = 2 + ln15 C. P = 3+ ln15 D. P = ln15 Câu 25: Biết ( ) ( 2 ) x f x ax bx c e− = + +
là một nguyên hàm của hàm số ( ) (1 ) x g x x x e− = − . Tính
S = a + 2b + 2015c A. S = 2019 B. S = 2018 C. S = 2017 − D. S = 2017
Câu 26: Giả sử F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x −1. Đồ thị hàm số y = F (x) và y = f (x)
cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tìm tọa độ điểm chung của hai đồ thị y = F (x) và y = f (x) A. (0; ) 1 − và  5 ;3        B. (0; ) 1 − và 5  ;8 C. (0; 2 − ) và 8  ;14 D. (0; ) 1 − và 5  ;9 2        2   3   2 
Câu 27: (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017) Cho hai hàm số F (x) 3
= ax + (a + b) 2
x + (2a −b + c) x +1 và f (x) 2
= 3x + 6x + 2. Biết rằng F (x) là một nguyên hàm của
f (x) . Hãy tính tổng S = a + b + c A. S = 5 B. S = 4 C. S = 3 D. S = 2
Câu 28: Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 3
= x − 2 thỏa mãn F ( ) 7 3 = . Tính giá trị của 4 biểu thức l 13 og F(10) l 13 og F( 6 − ) T = 2 + 3 A. T = 2 B. T = 3 C. T = 5 D. T =10
Câu 29: Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 1 =
thỏa mãn F (0) = 0 . Biết phương trình 2x +1
F (x) +1 = x có nghiệm duy nhất dạng a b x + =
, với a,b nguyên dương. Tìm a + b 2
A. a + b = 2
B. a + b = 7
C. a + b = 5
D. a + b = 6
Câu 30: (THPT Lương Đắc Bằng – Thanh Hóa năm 2017) Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 3x 1 e + = thỏa mãn F ( ) 1 0 = . Tính 3 ln 3F  ( ) 1  3  A. 3 ln 3F  ( ) 1  = 64  B. 3 ln 3F  ( ) 1  = 8 −  C. 3 ln 3F  ( ) 1  = 81  D. 3 ln 3F  ( ) 1  = 27 
Câu 31: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) x 2x+3 = 4 .2 thỏa mãn F ( ) 2 0 = . Tính giá trị của ln 2 ln 2F ( ) 3 1 biểu thức A = 10 2 A. A =1 B. A = 8 C. A =16 D. A = 32
Câu 32: Cho f ′(x) = 2x +1 và f ( )
1 = 5 . Phương trình f ( )
1 = 5 có hai nghiệm x , x . Tính tổng 1 2
S = log x + log x 2 1 2 2 A. S = 0 B. S =1 C. S = 2 D. S = 3
Câu 33: Hàm số F (x) là nguyên hàm của f (x) = ( − x) ( 2 1 ln x + )
1 . Hỏi hàm số F (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 34: Hàm số F (x) là nguyên hàm của f (x) = ( 2 x − x − )
1 (1+ cos2x) . Hỏi hàm số F (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. Vô số B. 1 C. 2 D. 3
Câu 35: Hàm số F (x) là nguyên hàm của ( ) 25x 2017.5x f x = −
+ 2018 . Hỏi hàm số F (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 36: Hàm số F (x) là nguyên hàm của f (x) = x( 2 3
log x − log x − 3) . Hỏi hàm số F (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 37: (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017) Giả sử một nguyên hàm của hàm số 2 f (x) x 1 = + có dạng 3 1 B A − x + . Tìm A + B 1− x x (1+ x)2 3 1+ x
A. A + B = 2 − B. 8 A + B =
C. A + B = 2 D. 8 A + B = − 3 3
Câu 38: Gọi ( ) = ( 3 2 + + + ) x F x
ax bx cx d e là một nguyên hàm của hàm số ( ) = ( 3 2 2 + 9 − 2 + 5) x f x x x x e . Tính 2 2 2 2
T = a + b + c + d A. T = 244 B. T = 247 C. T = 245 D. T = 246
Câu 39: (THPT Kim Liên – Hà Nội lần 2 năm học 2017) Biết ( ) = ( 2 + + ) x F x
ax bx c e là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x
f x = x e . Tìm a,b,c
A. a =1,b = 2,c = 2 −
B. a = 2,b =1,c = 2 − C. a = 2, − b = 2,c =1
D. a =1,b = 2 − ,c = 2
Câu 40: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) xác định hệ số a,b,c để hàm số ( ) ( 2 ) x F x ax bx c e− = + +
là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( 2 3 2) x f x x x e− = − + . A. a = 1, − b =1,c = 1 − B. a = 1, − b = 5 − ,c = 7 −
C. a =1,b = 3 − ,c = 2
D. a =1,b = 1, − c =1
Câu 41: Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + )2 2 1 thỏa F ( ) 28 1 =
. Tính giá trị của biểu 15
thức T = 5F (6) −30F (4) +18 A. T = 8526 B. T =1000 C. T = 7544 D. T = 982
Câu 42: Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ( x − )2 2 3 thỏa F ( ) 1
0 = . Tính giá trị của biểu 3
thức T = log 3F 1 − 2F 2  2  ( ) ( ) A. T = 2 B. T = 4 C. T =10 D. T = 4 −
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: ∫( 2x + ) 3 3
1 dx = x + x + C . Chọn D. x Câu 2: x 7 7 dx = + C ∫ ∫ . Chọn C. ln 7 Câu 3: sin 3 3 x cos xdx = + C ∫ . Chọn B. 3
Câu 4: 2sin xdx = 2 − cos x + C ∫ . Chọn D.
Câu 5: F (x) ∫(sin x cos x)dx cos x sin x C F  π  = + = − + + ⇒
= 1+ C = 2 ⇒ C =   1. Chọn D.  2 
Câu 6: f (x) = ∫(3−5sinx)dx = 3x +5cos x +C ⇒ f (0) = 5+C =10 ⇒ C = 5. Chọn A.
Câu 7: F (x) = ( xe + x) x 2
dx = e + x + C ⇒ F ( ) 3 1 2
0 =1+ C = ⇒ C = ∫ . Chọn D. 2 2
Câu 8: F (x) 1 =
dx = ln x −1 + C ⇒ F ∫
(2) = C =1⇒ F (3) =1+ ln 2 . Chọn B. x −1 x Câu 9: ∫( x x + ) 2 x 2 2 dx = + + C . Chọn B. 2 ln 2
Câu 10: F′(x) = 2cos x + 3sin x . Chọn A. 2     Câu 11: 1 x 1 x x 1 2 + ∫  sin =   − 2 x x dx
cos  + C = x − cos + C . Chọn A. 2  2  2  2 2  4 2
Câu 12: F′(x) = 2cos x + 3sin x . Chọn A. Câu 13: 1 1
dx = ln 2x +1 + C ∫ . Chọn D. 2x +1 2 Câu 14: f ∫ (ax+b) ax+b=t
dx → I = f
∫ (t)  t −b  1 d = f ∫ (t) 1 dt =   f ∫ (x)dxa a a = ∫ ( + ) ( + ) 1 =  ( + ) 1 f ax b d ax b
F ax b + C′ = F
(ax +b)+C . Chọn D. a a
Câu 15: f (x) x = e ( 2 − x − e ) x 3 1 3 = e − x e ⇒ f ∫ (x) x 3 x x 3 dx = e − d e = e + + C ∫ . Chọn B. 2 ( ) (e ) x x e
Câu 16: f (x) 1 = cos
( x + x) ( x − x) 1 5 cos 5  = 
(cos6x + cos4x) 2 2 ⇒ ( ) = ∫ ( ) 1 sin 6x 1 sin 4 = . + . x F x f x dx + C 2 6 2 4  π  3 3  π  3 ⇒ F = − +  C = 0 ⇒ C = ⇒ F =  . Chọn C. 3 16 16  6      8
Câu 17: f (x) = ∫(1−4sin2x)dx = x + 2cos2x +C mà f (0) =10 ⇒ C = 8
Do đó ta có f  π  π = +   8. Chọn D.  4  4
Câu 18: F (x) = ∫( x + x + x) 2 2 sin
2cos dx = x − cos x + 2sin x + C . Chọn D. Câu 19: 2 1+ cos2x x 1 cos xdx =
dx = + sin 2x + C ∫ ∫ . Chọn D. 2 2 4 x x
Câu 20: F (x) x 4 = 4 dx = + C ∫ mà F ( ) 3 1 = ⇒ C = ⇒ F (x) 4 1 1 = + ln 4 ln 2 ln 2 ln 4 ln 2 2 Do đó suy ra F ( ) 4 1 9 2 = + = . Chọn A. ln 4 ln 2 ln 2 Câu 21: ( ) 2x 1 2x
F x = e dx = e + C ∫ mà (0) 3 = ⇒ = 1⇒ ( ) 1 2x F C F x = e +1 2 2 2 Do đó suy ra  1  1 F = e +   1. Chọn B.  2  2
Câu 22: f (x) (F (x))′ =
= 2x + 4 ⇒ F (3) =10 . Chọn B.
Câu 23: I = 3 f
∫ (x)dx+ dx = 3F ∫
(x)+ x +C . Chọn D.
Câu 24: f (x) 2 =
dx = ln 2x −1 + C ∫ 2x −1 Trên  1 ; 
+∞ ⇒ f (x) = ln (2x − )
1 + C ⇒ f 1 = C = 3 ⇒ f 3 = 2 +   ln 5 1 ( ) 1 ( )  2  Trên  1 ;  −∞
⇒ f (x) = ln (1− 2x) + C ⇒ f 0 = C =1⇒ f 1 − = 1+ ln 3 ⇒ P = 3+   ln15 . Chọn C. 2 ( ) 2 ( )  2 
Câu 25: F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) ⇒ f (x) = F′(x) Ta có ′( ) = ( + ) − ( 2 + + ) −x 2 2 = − + (2 − ) − x F x ax b e ax bx c e ax
a b x + b − ce   −a = 1 − a =1 Mà f (x) ( 2 x x) −x e  2a b 1 b  = − + →
− = ⇔  =1. Vậy S = 2018 . Chọn A. bc 0  − = c =   1
Câu 26: F (x) = f
∫ (x)dx = ∫( x− ) 2
4 1 dx = 2x − x + C
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ; (C là 2
2x − x + C = 4x −1 2 ) 1 ) 2
⇔ 2x − 5x + C +1 = 0 mà (C cắt (C tại điểm thuộc Oy → x = 0 ⇒ C = 1 − 2 ) 1 )
x = 0 → y (0) = 1 − Do đó 2 2x 5x 0  − = ⇔    5  5
. Vậy tọa độ cần tìm là (0; ) 1 − và 5  ;9 . Chọn D. x = ⇒ y  =    9   2   2  2  Câu 27: f
∫ (x)dx = ∫( 2x + x+ ) 3 2 3 6
2 dx = x + 3x + 2x + C a =1
a =1;a + b = 3 Mà F (x) 3 ax (a b) 2
x (2a b c) x 1  b  = + + + − + + ⇒ ⇔  = 2. Chọn A.
2a − b + c = 2;C = 1 c =  2
Câu 28: F (x) = f ∫ (x) 3 dx = x − 2dx = ∫ (x − 2)4 3 3 + C mà F ( ) 7 3 = → C =1 4 4 Khi đó F (x) 3 = (x − 2)4 3
+1→ T = 5. Chọn C. 4 Câu 29: ( ) = ∫ ( ) dx F x f x dx = = 2x +1 + C ∫
mà F (0) = 0 → C = 1 − 2x +1 + a + ba =
Khi đó F (x) = 2x +1 −1 nên F (x) 1 5 1
+1 = x ⇔ x = x +1 ⇔ x = = ⇒ 2 2 b   = 5
Vậy tổng a + b = 6. Chọn D.
Câu 30: F (x) f ∫ (x) 3x 1 + 1 3x 1 dx e dx e + = = = + C ∫ mà F ( ) 1 0 = → C = 0 3 3 4 Do đó ( ) 1 3x 1+ = → ( ) 1 e F x e F = ⇒ 3F ( ) 4 3
1 = e ⇒ ln 3F  ( ) 3 4 1  = ln e = 64 3 3  . Chọn A. 4x+3
Câu 31: f (x) 2x 2x+3 4x+3 = = → F (x) 4x+3 2 2 .2 2 = 2 dx = + C ∫ ln 2 4x+3 5 Mà F ( ) 2 0 =
→ C = 0 . Do đó F (x) 2 2 = =
⇒ A = 32 Chọn D. ln 2 ln 2 ln 2
Câu 32: f (x) = f ′
∫ (x)dx = ∫( x+ ) 2
2 1 dx = x + x + C mà f ( ) 1 = 5 ⇒ C = 3 x =1 Do đó f (x) 2 2
= x + x + 3 = 5 ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ 
. Vậy S =1. Chọn B.x = 2 − 1  − x = 0
Câu 33: F′(x) = f (x) = (1− x)ln( 2 x + ) 1 ⇔  2 x = 0
Mà F′(x) không đổi dấu khi đi qua x = 0 → x =1 là điểm cực trị. Chọn B.  1± 5  1± 5 x =
Câu 34: F′(x) = f (x) = ( 2
x − x − )( + cos x) x =  2 1 1 2 = 0 ⇔  2 ⇔  cos2x 1 x π   = − =  2
Mà F′(x) không đổi dấu khi đi qua x π = → F′(x) 1± 5 = 0 ⇔ x = . 2 2
Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị. Chọn C.
Câu 35: ′( ) = ( ) = 25x − 2017.5x F x f x
+ 2018có hai nghiệm phân biệt.
Hàm số F (x) có hai điểm cực trị. Chọn C.x > 0
Câu 36: F′(x) = f (x) = .x (log x)2 −3.log x −3    ⇔  3±   21 log x =  3
Hệ phương trình trên có hai nghiệm → Hàm số F (x) có hai điểm cực trị. Chọn C.
Câu 37: Vì F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) ⇒ f (x) = F′(x) 2 2 Ta có F′(x) xB  1 = 3 − A + − x 1   mà f (x) = + . 1− x  2  2 x (1+ x)2 3 3 1− x x (1+ x)  3 − A =1  1  A = − Nên suy ra  B ⇔  3 . Vậy 1 8
A + B = − − 2 = − . Chọn D. − =  1 3 3  2 B = 2 −
Câu 38: Vì F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) ⇒ f (x) = F′(x) Ta có ′( ) = ( 3 + ( + ) 2 3 + (2 + ) + ) x F x ax a b x
b c x d e mà ( ) = ( 3 2 2 + 9 − 2 + 5) x f x x x x e
a = 2;3a + b = 9 a = 2;b = 3 Nên suy ra  ⇔
. Vậy T = 246 . Chọn D. 2b c 2;d 5  + = − = c = 8 − ;d = 5
Câu 39: Vì F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) ⇒ f (x) = F′(x) Ta có ′( ) = (
+ ) x + ( 2 + + ) x = ( 2 2 + (2 + ) + + ) x F x ax b e ax bx c e ax a b x b c e a = 1 a = 1 Mà f (x) 2 x x e  2a b 0 b  = → + = ⇔  = 2 − . Chọn D. bc 0  + = c =   2
Câu 40: Vì F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) ⇒ f (x) = F′(x) Ta có ′( ) = (
+ ) −x − ( 2 + + ) −x = ( 2 2 − + (2 − ) + − ) −x F x ax b e ax bx c e ax a b x b c e −a =1 a = 1 − Mà f (x) ( 2
x 3x 2) −x e  2a b 3 b  = − + →
− = ⇔  =1 . Chọn A. bc 2  − = c = 1 −  
Câu 41: Ta có ( ) = ∫ ( ) = ∫( + ) 5 3 2 2 x 2 1 x F x f x dx x dx = +
+ x + C mà F ( ) 28 1 = ⇒ C = 0 5 3 15  3772 = 5 3 F (4) 
Do đó F (x) x 2x  15 = + + x → 
⇒ T = 8526 − 2.3772 +18 =1000. Chọn B. 5 3 F (6) 8526 =  5
Câu 42: F (x) = f
∫ (x)dx = ∫(2x−3)2 4 3 2
dx = x − 6x + 9x + C 3  14 4 1 F 1 = Do đó F (x) ( ) 3 2  14 x 6x 9x  3 T log 3. 2.5 = − + + → ⇒ = − =  2 . Chọn A. 2 3 3 F  ( )  3 2 = 5 
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1

Tài liệu liên quan: