Chuyên đề trắc nghiệm nguyên hàm của hàm lượng giác Toán 12

Tài liệu gồm 16 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề nguyên hàm của hàm lượng giác, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 3.

64 32 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

16 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CHỦ ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
1. Một số công thức lượng giác cần nhớ
Hằng đẳng thức lượng giác:
22 2 2
22
11
sin x cos x 1; 1 cot x; 1 tan x
sin x cos x
+= =+ =+
- Công thức cộng:
( )
( )
( )
sin a b sin a.cos b sin b cosb
cos a b cos a.cos b sin a.cos b
tan a tan b
tan a b
1 tan a.tan b
±= ±
±=
±
±=
- Công thức nhân đôi:
22 2 2
sin 2a 2sin a cos a
cos 2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2sin a
=
= − = −=−
- Công thức hạ bậc:
22
1 cos 2a 1 cos 2a
sin a ;cos a
22
−+
= =
- Công thức nhân ba:
3
3
sin 3a 3sin a 4sin a
cos 3a 4 cos a 3cos a
= −
= −
- Công thức biến đổi tích thành tổng:
(
)
( )
1
cos a.cos b cos a b cos a b
2
= ++ −


( )
( )
( )
( )
11
sin.a sin b cos a b cos a b ;sin a.cos b sin a b sin a b
22
= −− + = ++ −


2. Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
3
4
2
5
2
6
7
2
8
2
9
2
I sin xdx cos x C
1
I sin ax dx cos ax C
a
I cos xdx sin x C
1
I cos ax dx sin ax C
a
1 cos2x x sin 2x
I sin xdx dx C
2 24
1 cos 2x x sin 2x
I cos xdx dx C
2 24
dx
I tan x C
cos x
dx 1
I tan ax C
cos ax a
dx
I
sin ax
= =−+
= =−+
= = +
= = +
−
= = =−+
+
= = =++
= = +
= = +
= =
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
( )
( )
10
2
11
12
2
13
2
2
14
2
cot x C
dx 1
I cot ax C
sin ax a
sin xdx
I tan xdx ln cos x C
cos x
cos xdx
I cot xdx ln sin x C
sin x
1
I tan xdx 1 dx tan x x C
cos x
1
I cot xdx 1 dx cot x x C
sin x
−+
= =−+
= = =−+
= = = +

= = − = −+



= = − = −+


∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
3. Các dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp
Dạng 1: Nguyên hàm
- TH1: Nếu
2k n
m 2k 1 I sin x.cos x.sin xdx= +⇒=
∫
( )
( )
k
2n
1 cos x .cos xd cos x=−− →
∫
Đặt
t cos x=
- TH2: Nếu
n 2k 1= +→
Đặt
t sinx=
- TH3: Nếu m,n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc
Chú ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng.
( ) ( ) ( )
I f sin x cos xdx f sin x d sin x= = →
∫∫
Đặt
t sinx=
( ) ( ) ( )
I f cos x sin xdx f cos x d cos x==−→
∫∫
Đặt
t cos x=
Dạng 2: Nguyên hàm
mn
dx
I
sin x.cos x
=
∫
- TH1: Nếu
(
)
(
)
k1
2k 2 n
2n
d cos x
sin xdx
m 2k 1 I
sin x.cos x
1 cos x .cos x
+
+
= +⇒= =−
−
∫∫
Khi đó ta đặt:
t cos x=
- TH2: Nếu
n 2k 1= +→
ta đặt
t sinx=
- TH3: Nếu m,n đều chẵn ta biến đổi
22
mn mn
1 sin x cos x
...
sin x.cos x sin x.cos x
+
=
Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx
Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx ta thường dùng các hằng đẳng thức
22
22
11
1 cot x; 1 tan x
sin x cos x
=+=+
Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx;
22
A sin x Bsin x cos Ccos x
++
thì ta chia cả tử số và mẫu số cho
2
cos x
Chú ý: Khi
( )
( )
(
)
2
tan
tan tan
cos
fx
I dx f x d x
x
= = →
∫∫
đặt t=tanx
Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
cos ax.cos bxdx cos a b x cos a b x dx
2
1
sin ax.sin bxdx cos a b x cos a b x dx
2
1
sin ax.cos bxdx sin a b x sin a b x dx
2
1
cos ax.sin bxdx sin a b x sin a b x dx
2
= ++ −


=− +− −


= ++ −


= +− −


∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
Dạng 5: Nguyên hàm
dx
I
a sin x b cos x c
=
++
∫
Ta có:
22 2 2
dx
I
xx x x x x
2a sin cos b cos sin c sin cos
22 2 2 2 2
=

+ −+ +


∫
22
22
x
t tan
2
2
dx dx
x xx x
x xx
m sin n sin cos p cos
cos m tan n tan p
2 22 2
2 22
dt
I
mt nt p
=
=

++
++


→ =
++
∫∫
∫
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:
a)
32
I sin x.cos xdx=
∫
b)
35
I sin x.cos xdx=
∫
c)
22
I sin x.cos xdx=
∫
d)
4
I sin xdx=
∫
Lời giải
a)
( )
( )
( )
32 22 2 2
I sin x.cos xdx sin x.cos xd cos x 1 cos x cos xd cos x= =− =−−
∫∫ ∫
( ) ( )
53 5 3
t cos x
2 2 42
t t cos x cos x
I t 1 t dt t t dt C C
53 5 3
=
→ = − = − = − + = − +
∫∫
b)
( )
( )
( )
35 25 2 5
I sin x.cos xdx sin x.cos xd cos x 1 cos x cos xd cos x= =− =−−
∫∫ ∫
( ) ( )
86 8 6
t cos x
2 5 75
t t cos x cos x
I t 1 t dt t t dt C C
86 8 6
=
→ = − = − = − + = − +
∫∫
c)
(
)
(
)
22
22
1
I sin x.cos xdx sinx.cosx dx sin 2x dx
4
= = =
∫∫ ∫
(
)
1 x sin 4x
1 cos 4x dx C
8 8 32
=− =−+
∫
d)
( )
2
2
42
1 cos 2x
I sin xdx sin x dx dx
2
−

= = =


∫∫ ∫
( )
( )
2
1 1 1 cos 4x
1 2 cos 2x cos 2x dx 1 2 cos 2x dx
4 42
1 3x sin 2x sin 4x
3 4 cos 2x cos 4x dx C
8 8 4 32
+

=−+ =−+


=− + =−++
∫∫
∫
Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:
a)
3
cos x
I dx
1 sin x
=
+
∫
b)
( )
2 cos x dx
I
sinx
+
=
∫
c)
2
dx
I
sin x.cos x
=
∫
d)
42
dx
I
sin x.cos x
=
∫
Lời giải
a)
(
)
( )
( )
( )
( )
2
2
32
1 sin x d sin x
cos xd sin x
cos x sin x
I dx 1 sin x d sin x sin x C
1 sin x 1 sin x 1 sin x 2
−
= = = =− =−+
++ +
∫∫ ∫ ∫
b)
( ) ( ) ( )
22
2 cos x dx d sin x 2d cos x
2dx cos xdx 2sin xdx
I ln sin x
sin x sin x sin x sin x sin x 1 cos x
cos x 1
ln sin x. C
cos x 1
+
= =+= + =− +
−
−
= +
+
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
c)
( )
( ) ( )
t cos x
2 22
2 2 22
22
d cos x
dx sin xdx dt
II
sin x.cos x sin x.cos x
1 cos x cos x t t 1
1 1 1 t 1 1 1 cos x 1 1
dt ln C ln C
t 1 t 2 t 1 t 2 cos x 1 cos x
=
= = = − → =
−−
−−

= − = ++ = + +

−+ +

∫∫ ∫ ∫
∫
d)
22
42 42 22 4
dx sin x cos x dx dx
I dx
sin x.cos x sin x cos x sin x.cos x sin x
+
= = = +
∫∫ ∫∫
( )
22 22
22 4
2
22 22
3
2
sin x cos x sin x cos x
dx dx
sin x cos x sin x
11 11
dx .cot x dx
cos x sin x sin x sin x
cot x
tan x 2 cot x cot xd cot x tan x 2cot x C
3
++
= +

= + ++


=−− =−−+
∫∫
∫∫
∫
Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau:
a)
4
I tan xdx=
∫
b)
4
tan x
I dx
cos 2x
=
∫
c)
I sin 2x cos3xdx=
∫
d)
2
I sin x cos3xdx=
∫
Lời giải
a)
4222
2
1
I tan xdx tan x tan xdx tan x 1 dx
cos x

= = = −


∫∫ ∫
( )
23
22
22
tan x 1 tan x
dx tan xdx tan xd tan x 1 dx tan x x C
cos x cos x 4

= − = − − = − ++


∫ ∫∫ ∫
b)
4
44 4
2
t tan x
22 2 2
tan x
tan x tan xdx t dt
cos x
I dx dx I
cos 2x cos x sin x 1 tan x 1 t
=
= = = → =
−− −
∫∫ ∫ ∫
43
2
22
3
t 11 1 t 1 t1
dt t 1 dt t ln C
1t t 1 3 2 t1
tan t 1 tan t 1
I tan t ln C
3 2 tan t 1
−+ −

= =− ++ =− −− +

−−+

−
⇒=− − − +
+
∫∫
c)
( )
1 cos 5x cosx
I sin 2x cos3xdx sin 5x sin x dx C
2 10 2
= = − =− ++
∫∫
d)
( )
1 cos 2x 1
I cos3xdx cos 3x cos 2x cos3x dx
22
−
= = −
∫∫
(
)
1 sin 3x 1 sin 3x 1 sin 3x sin 5x sinx
cos 2x cos 3xdx cos5x cos x dx C
2 3 2 6 4 6 20 4
= − = − + = − −+
∫∫
Ví dụ 4: Xét các mệnh đề sau:
(1).
dx cos x 1
ln C
sin x cos x 1
−
= +
+
∫
(2)
7
6
sin x
sin x cos xdx C
7
= +
∫
(3)
23
4
sin x tan x
dx C
cos x 3
= +
∫
(4)
3
3
sin x
cos xdx sin x C
3
=−+ +
∫
Số mệnh đề đúng là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
Ta có:
( )
22
d cos x
dx sin xdx 1 cosx 1
ln C
sinx sin x cos x 1 2 cos x 1
−
= = = +
−+
∫∫ ∫
( )
( )
( )
( )
( )
7
66
23
22
42
3
32 2
sin x
sin x cos xdx sin xd sin x C
7
sin x 1 tan x
dx tan x. dx tan xd tan x C
cos x cos x 3
sin x
cos xdx cos xd sin x 1 sin x d sin x sinx C
3
= = +
= = = +
= =− =−+
∫∫
∫∫ ∫
∫∫ ∫
Vậy có 2 mệnh đề đúng. Chọn B
Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) thỏa mãn
( )
f ' x x sin x sin 2x.
= +
Biết rằng f(0) = 2. Giá trị của
f
2
π



là:
A.
2
2
f
2 43
ππ

= +


B.
2
8
f
2 43
ππ

= +


C.
2
2
f
2 23
ππ

= +


D.
2
8
f
2 23
ππ

= +


Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( )
2223
22
xxx2sinx
f x f ' x dx 2sin x cos xdx 2 sin xd sin x C
2223
==+=+=++
∫∫ ∫
Lại có:
( )
2
8
f0 C 2 f
2 43
ππ

==⇒=+


. Chọn B
Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) thỏa mãn
(
)
3
5
sin x
f' x .
cos x
=
Biết rằng
f 2.
4
π

=


Tính giá trị của
f
3
π



A.
f0
3
π

=


B.
f 16
3
π

=


C.
f4
3
π

=


D.
f2
3
π

=


Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
34
3
32
sin x dx tan x
f x f ' x dx . tan xd tan x C
cos x cos x 4
= = = = +
∫∫ ∫
Lại có:
1 7 97
f 2 C2 C f 4
4 4 4 3 44
ππ
 
=⇒+=⇒=⇒ =+=
 
 
. Chọn C
Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm
( )
2
sin 2xdx
I
2 sinx
=
+
∫
A.
( )
4
I 2 ln 2 sin x C
2 sin x
= ++ +
+
B.
( )
2
I 2 ln 2 sin x C
2 sin x
= ++ +
+
C.
( )
2
I ln 2 sin x C
2 sin x
=++ +
+
D.
( )
4
I 2 ln 2 sin x C
2 sin x
=−+− +
+
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22 2
22
2sin xd sin x
sin 2xdx 2sin x cos xdx
I
2 sin x 2 sin x 2 sin x
2 2 sin x 4
24
d sin x d sin x
2 sin x
2 sin x 2 sin x
4
2 ln 2 sin x C
2 sin x
= = =
++ +

+−
= = −

+
++


= ++ +
+
∫∫ ∫
∫∫
(do 2 + sinx > 0). Chọn A
Ví dụ 8: Biết rằng
( )
2
sinxcos xdx
I a cos x b cos 2x ln 1 cos x C(a; b )
1 cos x
= = + −+ + ∈
+
∫
. Giá trị của a + b là
A.
3
ab
4
+=−
B.
5
ab
4
+=
C.
3
ab
4
+=
D.
5
ab
4
+=−
Lời giải
Ta có:
( )
2
2
t cos x
cos xd cos x
t dt 1
I t 1 dt
1 cos x 1 t t 1
=

= − → − = − + −

+ ++

∫ ∫∫
( )
( )
22
t cos x
t ln 1 t C cos x ln 1 cos x C
22
11
cos 2x cos x ln 1 cos x C
44
=− +− + + =− + − + +
=− + − + ++
Do đó:
13
a1,b ab .
44
−
= = ⇒+=
Chọn C
Ví dụ 9: Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
1
fx
2sin x 3cos x
=
+
và
( )
5
F0 .
6
=
Khi đó:
A.
( )
1
Fx 1
4 tan x 6
−
= +
+
B.
( )
12
Fx
4 tan x 6 3
= +
+
C.
( )
17
Fx
2 tan x 3 6
−
= +
+
D.
( )
11
Fx
2 tan x 3 2
= +
+
Lời giải
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 22
2
d tan x
dx dx 1
fx C
2 2 tan x 3
2sin x 3cos x cos x 2 tan x 3 2 tan x 3
= = = =−+
+
+ ++
∫∫ ∫
Do
( )
51 5
01
66 6
F CC
−
=⇒ +=⇒=
( )
1
Fx 1
4 tan x 6
−
⇒= +
+
. Chọn A
Ví dụ 10: Tính nguyên hàm
2
tanx
dx
cos x 1 cos x+
∫
A.
2
I tan x 2 C= ++
B.
2
I cos x 2 C= ++
C.
2
I tan x 1 C= ++
D.
2
I cos x 1 C= ++
Lời giải
Ta có:
t tan x
22 2
2
2
tan xdx tan xdx tdt
I
1
cos x tan x 2 2 t
cos x 1
cos x
=
= = →
++
+
∫∫ ∫
( )
2
22
2
dt 2
1
t 2C tanx2C.
2
t2
+
= = ++ = ++
+
∫
Chọn A
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
(
)
23
f x sin x.cos x
=
A.
35
11
sin x sin x C
35
−+
B.
53
11
sin x sin x C
53
−+
C.
35
sin x sin x C−+
D.
35
11
sin x sin x C
35
++
Câu 2: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số
( )
sin x
f x cos x.e=
A.
( )
sin x
Fx e=
B.
( )
cos x
Fx e=
C.
( )
sin x
Fx e
−
=
D.
( )
cos x
Fx e
−
=
Câu 3: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số
( )
23
f x sin 2x.cos 2x=
thỏa
F0
2
π

=


A.
( )
35
11
F x sin 2x sin 2x
6 10
= +
B.
( )
35
11
F x sin 2x sin 2x
6 10
= −
C.
( )
35
11 4
F x sin 2x sin 2x
6 10 15
=++
D.
( )
35
11 1
F x sin 2x sin 2x
6 10 15
=−+
Câu 4: Phát biểu nào sau đây là phát biểu đúng?
A.
6
5
sin x
cos x sin xdx C
6
= +
∫
B.
6
5
cos x
cos x sin xdx C
6
= +
∫
C.
6
5
cos x
cos x sin xdx C
6
=−+
∫
D.
6
5
sin x
cos x sin xdx C
6
=−+
∫
Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
20
cos x
fx
sin x
=
A.
19
1
C
19sin x
−+
B.
19
1
C
19sin x
+
C.
19
1
C
19cos x
−+
D.
19
1
C
19cos x
+
Câu 6: Hàm số
( )
5
f x sin x=
có 1 nguyên hàm F(x) thỏa
F0
2
π

=


. Tính
( )
F π
A.
(
)
15
F
16
π=−
B.
( )
8
F
15
π=
C.
( )
15
F
16
π=
D.
( )
8
F
15
π=−
Câu 7: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số
( )
5
f x cos x=
thỏa
7
F
2 15
π−

=


A.
( )
35
21
F x sin x sin x sin x 1
35
=−+−
B.
( )
35
21
F x cos x cos x cos x 1
35
=−+−
C.
( )
35
21
F x sin x sin x sin x 1
35
=−++
D.
( )
35
21
F x cos x cos x cos x
35
=++
Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
5
cos x
fx
1 sin x
=
−
A.
34
sin x cos x
cos x C
34
−− +
B.
34
sin 3x cos 4x
sin x C
34
−− +
C.
34
sin x cos x
sin x C
34
−− +
D.
34
sin x cos x
sin x C
94
−− +
Câu 9: Hàm số
( )
3
4sin x
fx
1 cos x
=
+
có 1 nguyên hàm là F(x) thỏa
3
F.
32
π

=


Tính
F
2
π



A.
2
F
23
π

=


B.
F1
2
π

=


C.
3
F
22
π

=


D.
F3
2
π

=


Câu 10: Hàm số
(
)
F x ln sinx 3cosx
= −
là 1 nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B,C,D dưới đây?
A.
( )
cos x 3sin x
fx
sin x 3cos x
+
=
−
B.
( )
f x cos x 3sin x= +
C.
( )
cos x 3sin x
fx
sin x 3cos x
−−
=
−
D.
(
)
sin x 3cos x
fx
cos x 3sin x
−
=
+
Câu 11: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số
( )
sinx cos x
fx
sin x cos x
−
=
+
thỏa
1
F ln 2
42
π

=


A.
( )
F x 2 ln sin x cos x=++
B.
( )
F x 2 ln sin x cos x=−+
C.
( )
F x 2 ln sin x cos x=−−
D.
(
)
F x ln sin x cos x 2= +−
Câu 12: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số
( )
( )
32
f x tan x tan x 1= +
thỏa
5
F
44
π

=


A.
( )
4
1
F x 4 tan x
4
= +
B.
(
)
4
tan x
Fx 1
4
= +
C.
( )
4
1
F x tan x
4
= −
D.
( )
4
tan x
Fx 1
4
= −
Câu 13: Hàm số
( )
1
fx
sin x
=
có nguyên hàm là F(x) thỏa
F0
3
π

=


. Tính
2
F
3
e
π



A.
2
F
3
1
e
3
π



=
B.
2
F
3
e2
π



=
C.
2
F
3
e3
π



=
D.
2
F
3
1
e
2
π



=
Câu 14: Hàm số
( )
f x cot x=
có nguyên hàm là F(x) thỏa
F0
4
π

=


. Tính
F
4
e
π

−


A.
F
4
1
e
2
π

−


=
B.
F
4
e2
π

−


=
C.
F
4
2
e
2
π

−


=
D.
F
4
e2
π

−


=
Câu 15: Hàm số
( )
f x tan x=
có nguyên hàm là F(x) thỏa
F ln 2
4
π

−=


. Tính
F
4
e
π



A.
F
4
e ln 2
π



=
B.
F
4
e2
π



=
C.
F
4
e2
π



=
D.
F
4
e 22
π



=
Câu 16: Biết F(x) là 1 nguyên hàm của
( )
sin x
f x ;F 2.
1 3cos x 2
π

= =

+

Tính F(0).
A.
1
ln 2 2
3
−+
B.
2
ln 2 2
3
−+
C.
2
ln 2 2
3
−−
D.
1
ln 2 2
3
−−
Câu 17: Cho
cos x sin x
I dx; J dx.
sin x cos x sin x cos x
= =
++
∫∫
Tìm T =4J – 2I
A.
T x 3ln sin x cos x C=− ++
B.
T x 3ln sin x cos x C
=+ ++
C.
T 3x ln sin x cos x C
=− ++
D.
T 2x ln sin x cos x C=− ++
Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số
(
)
2
f x cos x sinx=
A.
3
cos x C−+
B.
3
1
cos x C
3
−+
C.
3
1
cos x C
3
+
D.
3
cos x C+
Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
3
f x sin x=
A.
2
3sin x.cos x C
+
B.
3
cos x
cos x C
6
−+
C.
3
cos x
cos x C
3
−+
D.
3
cos x
cos x C
3
− −+
Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
3
f x cos x=
A.
3
sin x
sin x C
3
++
B.
3
sin x
sin x C
3
−+
C.
3
sin x
sin x C
3
−− +
D.
2
3sin x cos x C+
Câu 21: Tìm nguyên hàm của hàm số
(
)
4
f x sin x cos x=
A.
5
1
sin x C
5
−+
B.
5
sin x C+
C.
5
1
sin x C
5
+
D.
5
sin x C−+
Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
tan x
2
e
fx
cos x
=
A.
tan x
eC+
B.
tan x
eC
−
+
C.
tan x
tan x.e C+
D.
tan x
eC−+
Câu 23: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
fx
x cos x
=
A.
2
tan x C+
B.
2 tan x C+
C.
1
tan x C
2
+
D.
tan x C
+
Câu 24: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số
( )
2
sin 2x
fx
sin x 3
=
+
thỏa
( )
F0 0=
A.
2
ln 2 sin x
3
+
B.
2
sin x
ln 1
3
+
C.
2
ln 1 sin x+
D.
2
ln cos x
Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
1
fx
sin x cos x
=
A.
2
1
ln sin x ln 1 sin x C
2
−− +
B.
2
1
ln sin x ln 1 sin x C
2
+− +
C.
2
11
ln sin x ln 1 sin x C
22
−− +
D.
2
1
ln sin x ln 1 sin x C
2
− −− +
Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2sin x
f x tan x e cos x= +
A.
2sin x
cos x e C
−++
B.
2sin x
1
cos x e C
2
−− +
C.
2sin x
1
cos x e C
2
++
D.
2sin x
1
cos x e C
2
−+ +
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
( )
( )
( )
( )
23 22
2 2 24 3 5
sin x cos xdx sin x cos x cos xdx
11
sin x 1 sin x d sin x sin x sin x d sin x sin x sin x C
35
=
=−=−=−+
∫∫
∫∫
Chọn A
Câu 2:
( ) ( )
sin x sin x sin x
F x cos xe dx e d sin x e C= = = +
∫∫
. Chọn A
Câu 3:
(
)
( )
(
)
23 22 2 2
1
F x sin 2x cos 2xdx sin 2x cos 2x cos 2xdx sin 2x 1 sin
2x d sin 2x
2
= = = −
∫∫ ∫
(
)
( )
24 3 5
1 11
sin 2x sin 2x d sin 2x sin 2x sin 2x C
2 6 10
= − =−+
∫
Mà
( )
35
1 11 1
F 0 C F x sin 2x sin 2x
2 15 6 10 15
π

=⇒= ⇒ = − +


. Chọn D
Câu 4:
( )
55 6
1
cos x sin xdx cos xd cos x cos x C
6
=− =−+
∫∫
. Chọn C
Câu 5:
(
)
20 20 19
d sin x
cos x 1
dx C.
sin x sin x 19sin x
= =−+
∫∫
Chọn A
Câu 6:
( )
( )
( )
2
54 2
F x sin xdx sin x sin xdx 1 cos x d cos x= = =−−
∫∫ ∫
( )
( )
42 5 3
12
cos x 2 cos x 1 d cos x cos x cos x cos x C
53
=− − + =− + −+
∫
Mà
(
) (
)
53
1 2 15
F 0 C 0 F x cos x cos x cos x F .
2 5 3 16
π

= ⇒ = ⇒ =− + − ⇒ π=


Chọn C
Câu 7:
( )
(
)
( )
2
54 2
F x cos xdx cos x cos xdx 1 sin x d sin x= = = −
∫∫ ∫
( )
( )
42 5 3
12
sin x 2sin x 1 d sin x sin x sin x sin x C
53
= − + = − ++
∫
Mà
(
)
35
7 21
F C 1 F x sin x sin x sin x 1
2 15 3 5
π

=− ⇒ =−⇒ = − + −


. Chọn A
Câu 8:
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
2
2
54
2
32 4 3 2
2
2
42
33
3
1 sin x d sin x
cos x cos x cos xdx
dx 1 sin x 1 sin x d sin x
1 sin x 1 sin x 1 sin x
111
sin x sin x sin x 1 d sin x sin x sin x sin x sin x C
432
sin x 1
1 sin x 2sin x 1 1
sin x sin x C sin x sin x C
3 4 34
1
sin x sin
3
−
= = =+−
−− −
=− − ++ =− − + ++
−
−+
=−− +=−− +
= −
∫∫ ∫ ∫
∫
4
1
x cos x C
4
−+
Chọn C
Câu 9:
( )
( )
(
)
( )
(
)
2
32
22
1 cos x d cos x
4sin x sin x sin xdx
F x dx 4 4
1 cos x 1 cos x 1 cos x
1
4 cos x 1 d cos x 4 cos x cos x C 2cos x 4 cos x C
2
−
= = = −
++ +

= − = − += − +


∫∫ ∫
∫
Mà
(
)
2
3
F C 3 F x 2 cos x 4 cos x F 3
32 2
ππ
 
=⇒=⇒ = − ⇒ =
 
 
Chọn D
Câu 10:
( ) ( )
cos x 3sin x
f x F' x
sin x 3cos x
+
= =
−
. Chọn A
Câu 11:
( )
(
)
d sin x cos x
sin x cos x
F x dx ln sin x cos x C
sin x cos x sin x cos x
+
−
= =− =− ++
++
∫∫
Mà
( )
1
F ln 2 C 2 F x 2 ln sin x cos x
42
π

= ⇒= ⇒ = − +


. Chọn B
Câu 12:
( )
( )
(
)
32 3 3 4
2
dx 1
F x tan x tan x 1 dx tan x tan xd tan x tan x C
cos x 4
= += = = +
∫ ∫∫
. Chọn B
Câu 13:
( )
( )
22
d cos x
dx sin xdx 1 cos x 1
F x ln C
sin x sin x cos x 1 2 cos x 1
−
= = = = +
−+
∫∫ ∫
Mà
( )
2
F
3
1 1 cos x 1 1
F 0 C ln 3 F x ln ln 3 e 3.
3 2 2 cosx 1 2
π



π−

=⇒= ⇒ = + ⇒ =

+

Chọn C
Câu 14:
( )
( )
d sin x
cos xdx
F x cot xdx ln sin x C
sin x sin x
= = = = +
∫∫ ∫
Mà
( )
F
4
1
F 0 C ln 2 F x ln sin x ln 2 e
42
−π



π

=⇒= ⇒ = = ⇒ =


. Chọn A
Câu 15:
( )
( )
d cos x
sin xdx
F x tan xdx ln cos x C
cos x cos x
= = =− =−+
∫∫ ∫
Mà
( )
F
4
F ln 2 C 0 F x ln cos x e 2
4
π



π

− = ⇒=⇒ =− ⇒ =


. Chọn B
Câu 16:
( )
( )
d 1 3cos x
sinx 1 1
F x dx ln 1 3cos x C
1 3cos x 3 1 3cos x 3
+
−
= =− =++
++
∫∫
Mà
( )
( )
12
F 2 C 2 F x ln 1 3cos x 2 F 0 ln 2 2
23 3
π

=⇒ =⇒ =− + +⇒ =− +


. Chọn B
Câu 17: Ta có:
(
)
sin x cos x
I J dx dx x C
sin x cos x
d sin x cos x
cosx sinx
I J dx ln sin x cos x C
sin x cos x sin x cos x
+
+= = =+
+
+
−
−= = = + +
++
∫∫
∫∫
xlnsinxcosx
IC
2
T 4J 2I x 3ln sin x cos x C.
x ln sin x cos x
JC
2
+ +
= +
⇒ ⇒= − =− + +
−+
= +
Chọn A
Câu 18: Ta có:
( )
22 3
1
cos x sin xdx cos xd cos x cos x C.
3
=− =−+
∫∫
Chọn B
Câu 19:
( )
( )
32 2 3
1
sin xdx sin x sin xdx 1 cos x d cos x cos x cos x C.
3
= =−− = − +
∫∫ ∫
Chọn C
Câu 20:
( )
(
)
32 2 3
1
cos xdx cos x cos xdx 1 sin x d sin x sin x sin x C.
3
= =− =− ++
∫∫ ∫
Chọn B
Câu 21:
( )
44 5
1
sin x cos xdx sin xd sin x sin x C.
5
= = +
∫∫
Chọn C
Câu 22: Ta có
( )
tan x
tan x tan x
2
e
dx e d tan x e C.
cos x
= = +
∫∫
Chọn A
Câu 23:
22
1 dx
dx 2 2 tan x C.
x cos x cos x
= = +
∫∫
Chọn B
Câu 24: Ta có:
( )
( )
( )
2
2
2 2 22
d sin x 3
2sin xd sin x
sin 2x 2sin x cos xdx
F x dx ln sin x 3 C
sin x 3 sin x 3 sin x 3 sin x 3
+
= = = = = ++
+ + ++
∫∫ ∫ ∫
Mà
( ) ( )
2
2
sin x
F 0 0 C ln 3 F x ln sin x 3 ln 3 ln 1 .
3
=⇒ =− ⇒ = +− = +
Chọn B
Câu 25:
( )
( )
( )
2
2
2
2
d sin x
dx cos xdx
sin x cos x sin x cos x
sin x 1 sin x
111 1
d sin x ln sin x ln 1 sin x C.
sin x 2 1 sin x 2
= =
−

= − = −− +

−

∫∫ ∫
∫
Chọn A
Câu 26:
( )
( )
2sin x 2sin x
2sin x 2sin x
tan x e cos xdx sin xdx e cos xdx
11
sin xdx e d 2sin x cos x e C.
22
+=+
= + =−+ +
∫ ∫∫
∫∫
Chọn D
| 1/16
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT
1. Một số công thức lượng giác cần nhớ
Hằng đẳng thức lượng giác: 2 2 1 2 1 2 sin x + cos x =1; = 1+ cot x; = 1+ tan x 2 2 sin x cos x
sin (a ± b) = sin a.cos b ± sin bcosb
- Công thức cộng: cos(a ± b) = cosa.cos b  sin a.cos b ( ± ) tana ± tan b tan a b = 1tana.tanb s  in 2a = 2sin a cos a
- Công thức nhân đôi:  2 2 2 2
cos 2a = cos a − sin a = 2cos a −1 =1− 2sin a - Công thức hạ bậc: 2 1− cos 2a 2 1+ cos 2a sin a = ;cos a = 2 2 3 si  n3a = 3sin a − 4sin a - Công thức nhân ba:  3 cos3a = 4cos a − 3cosa
- Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cosa.cos b = cos  (a + b)+ cos(a − b) 2  1 =  ( − ) − ( + ) 1 sin.a sin b
cos a b cos a b ;sin a.cos b = sin   (a + b)+sin(a − b) 2 2 
2. Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản I = sin xdx = −cos x + C 1 ∫ 1 I = sin ax dx = − cos ax + C 2 ∫ ( ) ( ) a I = cos xdx = sin x + C 3 ∫ 1 I = cos ax dx = sin ax + C 4 ∫ ( ) ( ) a 2 1− cos 2x x sin 2x I = sin xdx = dx = − + C 5 ∫ ∫ 2 2 4 2 1+ cos 2x x sin 2x I = cos xdx = dx = + + C 6 ∫ ∫ 2 2 4 dx I = = tan x + C 7 ∫ 2 cos x dx 1 I = = tan ax + C 8 ∫ 2 cos (ax) ( ) a dx I = = − cot x + C 9 ∫ 2 sin (ax) dx 1 I = = − cot ax + C 10 ∫ 2 sin (ax) ( ) a sin xdx I = tan xdx = = − ln cos x + C 11 ∫ ∫ cosx cos xdx I = cot xdx = = ln sin x + C 12 ∫ ∫ sinx 2  1 I tan xdx 1 = = − dx = tan x − x + ∫ ∫  C 13 2  cos x  2  1 I cot xdx 1 = = − dx = cot x − x + ∫ ∫  C 14 2  sin x 
3. Các dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp Dạng 1: Nguyên hàm m n I = sin x.cos xdx ∫ - TH1: Nếu 2k n
m = 2k +1⇒ I = sin x.cos x.sin xdx ∫ = − ( − )k 2 n 1 cos x .cos xd(cos x) → ∫ Đặt t = cos x
- TH2: Nếu n = 2k +1→ Đặt t = sinx
- TH3: Nếu m,n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc
Chú ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng.
I = f (sin x)cos xdx = f (sin x)d(sin x) → ∫ ∫ Đặt t = sinx
I = f (cos x)sin xdx = − f (cos x)d(cos x) → ∫ ∫ Đặt t = cos x Dạng 2: Nguyên hàm dx I = ∫ m n sin x.cos x sin xdx d(cos x)
- TH1: Nếu m = 2k +1⇒ I = = − ∫ 2k+2 n sin x.cos x ∫ ( 2 1− cos x)k 1+ n .cos x Khi đó ta đặt: t = cos x
- TH2: Nếu n = 2k +1→ ta đặt t = sinx 2 2
- TH3: Nếu m,n đều chẵn ta biến đổi 1 sin x + cos x = ... m n m n sin x.cos x sin x.cos x
Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx
Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx ta thường dùng các hằng đẳng thức 1 2 1 2 =1+ cot x; =1+ tan x 2 2 sin x cos x
Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx; 2 2
Asin x + Bsin x cos+ Ccos x thì ta chia cả tử số và mẫu số cho 2 cos x f (tan x) Chú ý: Khi I =
dx = f tan x d tan x → ∫ ∫ đặt t=tanx 2 ( ) ( ) cos x
Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng 1 cosax.cos bxdx = cos ∫
∫ (a + b)x +cos(a −b)xdx 2  1 sin ax.sin bxdx = − cos ∫
∫ (a + b)x −cos(a −b)xdx 2  1 sin ax.cos bxdx = sin ∫
∫ (a + b)x +sin(a −b)xdx 2  1 cosax.sin bxdx = sin ∫
∫ (a + b)x −sin(a −b)xdx 2  Dạng 5: Nguyên hàm dx I = ∫ a sin x + bcos x + c Ta có: dx I = ∫ x x  2 x 2 x   2 x 2 x 2a sin cos bcos sin  csin cos  + − + + 2 2 2 2 2 2      dx dx = ∫ ∫ 2 x x x 2 x 2 x  2 x x msin n sin cos pcos cos  m tan n tan p + + + + 2 2 2 2 2 2 2    x t=tan dt 2 →I = ∫ 2 mt + nt + p B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau: a) 3 2 I = sin x.cos xdx ∫ b) 3 5 I = sin x.cos xdx ∫ c) 2 2 I = sin x.cos xdx ∫ d) 4 I = sin xdx ∫ Lời giải a) 3 2 2 2 = = − ( ) = − ( 2 − ∫ ∫ ∫ ) 2 I sin x.cos xdx sin x.cos xd cos x 1 cos x cos xd(cos x) = → = ∫( − ) = ∫( − ) 5 3 5 3 t cosx 2 2 4 2 t t cos x cos x I t 1 t dt t t dt = − + C = − + C 5 3 5 3 b) 3 5 2 5 = = − ( ) = − ( 2 − ∫ ∫ ∫ ) 5 I sin x.cos xdx sin x.cos xd cos x 1 cos x cos xd(cos x) = → = ∫( − ) = ∫( − ) 8 6 8 6 t cosx 2 5 7 5 t t cos x cos x I t 1 t dt t t dt = − + C = − + C 8 6 8 6 c) 2 2 = = ( )2 1 I sin x.cos xdx sinx.cosx dx = ∫ ∫ ∫(sin2x)2 dx 4 1 = ∫( − ) x sin 4x 1 cos 4x dx = − + C 8 8 32 d) ∫ ∫( ) 2 2 4 2 1− cos 2x I sin xdx sin x dx  = = = ∫  dx  2  1 ∫( 2 ) 1  1+ cos 4x 1 2cos 2x cos 2x dx ∫1 2cos2x dx  = − + = − + 4 4 2    1 = ∫( − + ) 3x sin 2x sin 4x 3 4cos 2x cos 4x dx = − + + C 8 8 4 32
Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau: 3 a) cos x I = dx ∫ 1+ sin x (2+ cosx)dx b) I = ∫ sinx c) dx I = ∫ 2 sin x.cos x d) dx I = ∫ 4 2 sin x.cos x Lời giải 3 2 cos x cos xd(sin x) ( 2 − ) ( ) 2 1 sin x d sin x a) = = = = ∫ ∫ ∫ ∫( − ) ( ) sin x I dx 1 sin x d sin x = sin x − + C 1+ sin x 1+ sin x 1+ sin x 2 (2+ cosx)dx 2dx cos xdx 2sin xdx d(sin x) 2d(cos x) I = = + = + = − + ln sin x ∫ ∫ ∫ ∫ 2 ∫ ∫ 2 b) sin x sin x sin x sin x sin x 1− cos x cos x −1 = ln sin x. + C cos x +1 dx sin xdx d(cos x) t=cosx dt I = = = − →I = ∫ 2 ∫ 2 2 sin x.cos x sin x.cos x ∫ ( ∫ 2 1− cos x) 2 2 cos x t ( 2t − ) 1 c)  1 1  1 t −1 1 1 cos x −1 1 = − dt = ln + + C = ln + + ∫  C 2 2  t −1 t  2 t +1 t 2 cos x +1 cos x 2 2 d) dx sin x + cos x dx dx I = = dx = + ∫ 4 2 ∫ 4 2 ∫ 2 2 ∫ 4 sin x.cos x sin x cos x sin x.cos x sin x 2 2 2 2 sin x + cos x sin x + cos x = dx + dx ∫ 2 2 ∫ 4 sin x cos x sin x  1 1   1 1 2 dx .cot x  = + + + ∫  ∫ dx 2 2 2 2  cos x sin x   sin x sin x  3 2 = − − ∫ ( ) cot x tan x 2cot x
cot xd cot x = tan x − 2cot x − + C 3
Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau: a) 4 I = tan xdx ∫ 4 b) tan x I = dx ∫ cos 2x c) I = sin 2x cos3xdx ∫ d) 2 I = sin x cos3xdx ∫ Lời giải a) 4 2 2 2  1 I tan xdx tan x tan xdx tan x 1 = = = − ∫ ∫ ∫  dx 2  cos x  2 3 tan x 2 2  1  tan x =
dx − tan xdx = tan xd tan x − −1 dx = − tan x + x + ∫ ∫ ∫ ∫  C 2 ( ) 2 cos x  cos x  4 4 tan x 4 4 4 2 b) tan x tan xdx cos x t=tan x t dt I = dx = = dx →I = ∫ ∫ 2 2 ∫ 2 ∫ 2 cos 2x cos x − sin x 1− tan x 1− t 4 3 t −1+1  2 1  t 1 t −1 = dt = − t +1+ dt = − − t − ln + ∫ ∫  C 2 2 1− t  t −1 3 2 t +1 3 tan t 1 tan t −1 ⇒ I = − − tan t − ln + C 3 2 tan t +1 c) 1 = = ∫ ∫( − ) cos5x cosx I sin 2x cos3xdx sin 5x sin x dx = − + + C 2 10 2 d) 1− cos 2x 1 I = cos3xdx = ∫ ∫(cos3x −cos2xcos3x)dx 2 2 1 sin 3x 1 sin 3x 1 = − = − ∫ ∫( + ) sin 3x sin 5x sinx cos 2x cos3xdx cos5x cos x dx = − − + C 2 3 2 6 4 6 20 4
Ví dụ 4: Xét các mệnh đề sau: (1). dx cos x −1 = ln + C ∫ sin x cos x +1 7 (2) 6 sin x sin x cos xdx = + C ∫ 7 2 3 (3) sin x tan x dx = + C ∫ 4 cos x 3 3 (4) 3 sin x cos xdx = −sin x + + C ∫ 3 Số mệnh đề đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải dx sin xdx d(cos x) Ta có: 1 cosx−1 = = = ln + C ∫ ∫ 2 ∫ 2 sinx sin x cos x −1 2 cos x +1 7 6 6 = ∫ ∫ ( ) sin x sin x cos xdx sin xd sin x = + C 7 2 3 sin x 2 1 2 tan x dx = tan x. dx = tan xd tan x = + C ∫ 4 ∫ 2 ∫ ( ) cos x cos x 3 3 3 2 = ∫ ∫ ( ) = ∫( 2 − ) ( ) sin x cos xdx cos xd sin x 1 sin x d sin x = sinx− + C 3
Vậy có 2 mệnh đề đúng. Chọn B
Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f '(x)  π
= x + sin x sin 2x. Biết rằng f(0) = 2. Giá trị của f   là: 2    2 2 2 2 A.  π  π 2 f  π  π  π  π  π  π = + 8 2 8  B. f = + C. f = + D. f = + 2          4 3  2  4 3  2  2 3  2  2 3 Lời giải 2 2 2 3 Ta có: ( ) = ∫ ( ) x 2 x 2 = + = + ∫ ∫ ( ) x 2sin x f x f ' x dx 2sin x cos xdx 2 sin xd sin x = + + C 2 2 2 3 2 Lại có: ( )  π  π 8 f 0 = C = 2 ⇒ f = +  . Chọn B 2    4 3 3
Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) thỏa mãn ( ) sin x f ' x  π  π = . Biết rằng f  = 
  2. Tính giá trị của f 5 cos x    4   3  A. f  π   π  π  π =      0 B. f =   16 C. f =   4 D. f =   2  3   3   3   3  Lời giải 3 4 Ta có: ( ) = ∫ ( ) sin x dx 3 tan x f x f ' x dx = . = tan xd tan x = + C ∫ 3 2 ∫ ( ) cos x cos x 4 Lại có:  π  1 7  π  9 7 f = 2 ⇒ + C = 2 ⇒ C = ⇒ f = + =     4 . Chọn C  4  4 4  3  4 4
Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm sin 2xdx I = ∫ (2+sinx)2 A. = ( + ) 4 I 2ln 2 sin x + + C B. = ( + ) 2 I 2ln 2 sin x + + C 2 + sin x 2 + sin x C. = ( + ) 2 I ln 2 sin x + + C D. = − ( + ) 4 I 2ln 2 sin x − + C 2 + sin x 2 + sin x Lời giải Ta có: sin 2xdx 2sin x cos xdx 2sin xd(sin x) I = = = ∫ ( ∫ ∫ 2 + sin x)2 (2+sin x)2 (2+sin x)2 2(2 + sin x) − 4  2 4  = d sin x =  −  d sin x ∫ 2 ( ) ∫ 2 ( ) (2+sin x) 2 + sin x (2 + sin x)    = ( + ) 4 2ln 2 sin x + + C 2 + sin x
(do 2 + sinx > 0). Chọn A 2
Ví dụ 8: Biết rằng sinxcos xdx I = = a cos x + bcos 2x − ln ∫
(1+ cosx)+ C(a;b∈) . Giá trị của a + b là 1+ cos x A. 3 a + b = − B. 5 a + b = C. 3 a + b = D. 5 a + b = − 4 4 4 4 Lời giải 2 cos xd(cos x) 2 Ta có: t=cosx t dt  1 I t 1  = − →− = − + − ∫ ∫ ∫ dt 1+ cos x 1+ t  t +1 2 2 t cos x
= − + t − ln 1+ t + C = − + cos x − ln (1+ cos x) + C 2 2 1 = − + − ( + ) 1 cos 2x cos x ln 1 cos x + C + 4 4 Do đó: 1 − 3 a =1,b = ⇒ a + b = . Chọn C 4 4
Ví dụ 9: Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 f x = và ( ) 5 F 0 = . Khi đó: (2sin x +3cosx)2 6 A. ( ) 1 F x − − = +1 B. ( ) 1 2 F x = + C. ( ) 1 7 F x = + D. ( ) 1 1 F x = + 4 tan x + 6 4 tan x + 6 3 2 tan x + 3 6 2 tan x + 3 2 Lời giải dx dx d(tan x) Ta có ( ) 1 f x = = = = − + C ∫ ( ∫ ∫ 2sin x + 3cos x)2 2 cos x (2 tan x + 3)2 (2tan x +3)2 2(2 tan x + 3) Do F ( ) 5 1 − 5 0 − = ⇒
+ C = ⇒ C = 1 ⇒ ( ) 1 F x = +1. Chọn A 6 6 6 4 tan x + 6
Ví dụ 10: Tính nguyên hàm tanx dx ∫ 2 cos x 1+ cos x A. 2 I = tan x + 2 + C B. 2 I = cos x + 2 + C C. 2 I = tan x +1 + C D. 2 I = cos x +1 + C Lời giải Ta có: tan xdx tan xdx t=tan x tdt I = = → ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 1 cos x tan x + 2 2 + t cos x +1 2 cos x 1 d( 2t + 2) 2 2 = = t + 2 + C = tan x + 2 + C. ∫ Chọn A 2 2 t + 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3 f x = sin x.cos x A. 1 3 1 5
sin x − sin x + C B. 1 5 1 3
sin x − sin x + C C. 3 5 sin x − sin x + C D. 1 3 1 5 sin x + sin x + C 3 5 5 3 3 5
Câu 2: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) sin x f x = cos x.e A. ( ) sin x F x = e B. ( ) cosx F x = e C. ( ) sin x F x e− = D. ( ) cosx F x e− =
Câu 3: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) 2 3 f x  π = sin 2x.cos 2x thỏa F  =   0  2  A. F(x) 1 3 1 5 = sin 2x + sin 2x B. F(x) 1 3 1 5 = sin 2x − sin 2x 6 10 6 10 C. ( ) 1 3 1 5 4 F x = sin 2x + sin 2x + D. ( ) 1 3 1 5 1 F x = sin 2x − sin 2x + 6 10 15 6 10 15
Câu 4: Phát biểu nào sau đây là phát biểu đúng? 6 6 A. 5 sin x cos x sin xdx = + C ∫ B. 5 cos x cos x sin xdx = + C 6 ∫ 6 6 6 C. 5 cos x cos x sin xdx = − + C ∫ D. 5 sin x cos x sin xdx = − + C 6 ∫ 6
Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) cos x f x = 20 sin x A. 1 − + C B. 1 + C C. 1 − + C D. 1 + C 19 19sin x 19 19sin x 19 19cos x 19 19cos x Câu 6: Hàm số ( ) 5 f x  π
= sin x có 1 nguyên hàm F(x) thỏa F  =   0 . Tính F(π)  2  A. (π) 15 F = − B. (π) 8 F = C. (π) 15 F = D. (π) 8 F = − 16 15 16 15
Câu 7: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) 5 f x  π  − = cos x thỏa 7 F =  2    15 A. F(x) 2 3 1 5
= sin x − sin x + sin x −1 B. F(x) 2 3 1 5
= cos x − cos x + cos x −1 3 5 3 5 C. F(x) 2 3 1 5 = sin x − sin x + sin x +1 D. F(x) 2 3 1 5 = cos x + cos x + cos x 3 5 3 5 5
Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) cos x f x = 1− sin x 3 4 3 4 A. sin x cos x cos x − − + C B. sin 3x cos 4x sin x − − + C 3 4 3 4 3 4 3 4 C. sin x cos x sin x − − + C D. sin x cos x sin x − − + C 3 4 9 4 3
Câu 9: Hàm số ( ) 4sin x f x  π  π =
có 1 nguyên hàm là F(x) thỏa  3 F =    . Tính F 1+ cos x    3  2  2  A.  π  2 F  π  π  π =     B. F =   1 C. 3 F = D. F =   3 2      3  2   2  2  2 
Câu 10: Hàm số F(x) = ln sinx−3cosx là 1 nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B,C,D dưới đây? A. ( ) cos x + 3sin x f x − − − =
B. f (x) = cos x + 3sin x C. ( ) cos x 3sin x f x = D. ( ) sin x 3cos x f x = sin x − 3cos x sin x − 3cos x cos x + 3sin x
Câu 11: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) sinx − cos x f x  π = thỏa  1 F =   ln 2 sin x + cos x  4  2
A. F(x) = 2 + ln sin x + cos x
B. F(x) = 2 − ln sin x + cos x
C. F(x) = 2 − ln sin x − cos x
D. F(x) = ln sin x + cos x − 2
Câu 12: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) 3  π = ( 2 f x tan x tan x + ) 1 thỏa  5 F =  4    4 4 4 A. ( ) 4 1
F x = 4 tan x + B. ( ) tan x F x = +1 C. ( ) 4 1 F x = tan x − D. ( ) tan x F x =1− 4 4 4 4  2 F π  Câu 13: Hàm số ( ) 1 f x  π =
có nguyên hàm là F(x) thỏa F  =     0 . Tính  3 e  sin x  3   2 F π   2 F π   2 F π   2 F π  A.  3          1 e = B.  3 e  = 2 C.  3 e  = 3 D.  3  1 e = 3 2 F π  −
Câu 14: Hàm số f (x)  π
= cot x có nguyên hàm là F(x) thỏa F  =     0 . Tính  4 e   4  F π   π  π  π − F  − F  − F  − A.  4         1 e = B.  4 e  = 2 C.  4 2 e = D.  4 e  = 2 2 2 F π 
Câu 15: Hàm số f (x)  π
= tan x có nguyên hàm là F(x) thỏa F  − =     ln 2 . Tính  4 e   4  F π  F π  F π  F π  A. 4 e          = ln 2 B.  4 e  = 2 C.  4 e  = 2 D. 4 e  = 2 2
Câu 16: Biết F(x) là 1 nguyên hàm của ( ) sin x f x ;F π  = =   2. Tính F(0). 1+ 3cos x  2  A. 1 − ln 2 + 2 B. 2 − ln 2 + 2 C. 2 − ln 2 − 2 D. 1 − ln 2 − 2 3 3 3 3 Câu 17: Cho cos x sin x I = dx;J = dx. ∫ sinx ∫ Tìm T =4J – 2I + cos x sin x + cos x
A. T = x − 3ln sin x + cos x + C
B. T = x + 3ln sin x + cos x + C
C. T = 3x − ln sin x + cos x + C
D. T = 2x − ln sin x + cos x + C
Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 f x = cos x sinx A. 3 − cos x + C B. 1 3 − cos x + C C. 1 3 cos x + C D. 3 cos x + C 3 3
Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 3 f x = sin x 3 3 3 A. 2 3sin x.cos x + C B. cos x − cos x + C C. cos x − cos x + C D. cos x − − cos x + C 6 3 3
Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 3 f x = cos x 3 3 3 A. sin x sin x + + C B. sin x sin x − + C C. sin x −sin x − + C D. 2 3sin x cos x + C 3 3 3
Câu 21: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 4 f x = sin x cos x A. 1 5 − sin x + C B. 5 sin x + C C. 1 5 sin x + C D. 5 −sin x + C 5 5 tan x
Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) e f x = 2 cos x A. tanx e + C B. −tanx e + C C. tan x tan x.e + C D. tanx −e + C
Câu 23: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1 f x = 2 x cos x A. 2 tan x + C B. 2 tan x + C C. 1 tan x + C D. tan x + C 2
Câu 24: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) sin 2x f x = thỏa F(0) = 0 2 sin x + 3 2 ln 2 + sin x 2 A. B. sin x ln 1+ C. 2 ln 1+ sin x D. 2 ln cos x 3 3
Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1 f x = sin x cos x A. 1 2
ln sin x − ln 1− sin x + C B. 1 2 ln sin x + ln 1− sin x + C 2 2 C. 1 1 2
ln sin x − ln 1− sin x + C D. 1 2
− ln sin x − ln 1− sin x + C 2 2 2
Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) = ( 2sin x f x tan x + e )cosx A. 2sin x − cos x + e + C B. 1 2sinx − cos x − e + C C. 1 2sinx cos x + e + C D. 1 2sinx − cos x + e + C 2 2 2
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: 2 3 2 2
sin x cos xdx = sin x cos x cos xdx ∫ ∫ 2 = sin x ∫ ( 2 1− sin x)d(sin x) = ∫( 2 4 sin x − sin x)d(sin x) 1 3 1 5 = sin x − sin x + C 3 5 Chọn A Câu 2: ( ) sin x sin x = = ∫ ∫ ( ) sinx F x cos xe dx e d sin x = e + C. Chọn A Câu 3: F(x) 2 3 2 2 1 2
= sin 2x cos 2xdx = sin 2x cos 2x cos 2xdx = sin 2x ∫ ∫ ∫ ( 2 1− sin 2x)d(sin 2x) 2 1 = ∫( 2 4
sin 2x − sin 2x)d(sin 2x) 1 3 1 5 = sin 2x − sin 2x + C 2 6 10 Mà  π  1 = ⇒ = ⇒  ( ) 1 3 1 5 1 F 0 C F x = sin 2x − sin 2x +  . Chọn D  2  15 6 10 15 Câu 4: 5 5 cos x sin xdx = − cos xd ∫ ∫ (cosx) 1 6
= − cos x + C . Chọn C 6 cos x d(sin x) Câu 5: 1 dx = = − + C. ∫ 20 ∫ Chọn A 20 19 sin x sin x 19sin x Câu 6: ( ) = = = − ( − ∫ ∫ ∫ )2 5 4 2 F x sin xdx sin x sin xdx 1 cos x d(cos x) = −∫( 4 2 cos x − 2cos x + ) 1 d(cos x) 1 5 2 3
= − cos x + cos x − cos x + C 5 3 Mà  π  = ⇒ = ⇒ ( ) 1 5 2 3 = − + − ⇒ (π) 15 F 0 C 0 F x cos x cos x cos x F =   . Chọn C  2  5 3 16 Câu 7: ( ) = = = ( − ∫ ∫ ∫ )2 5 4 2 F x cos xdx cos x cos xdx 1 sin x d(sin x) = ∫( 4 2 sin x − 2sin x + ) 1 d(sin x) 1 5 2 3 = sin x − sin x + sin x + C 5 3 Mà  π  7 F = − ⇒ C = 1 − ⇒ F(x) 2 3 1 5 = sin x − sin x + sin x −   1 . Chọn A  2  15 3 5 Câu 8: cos x cos x cos xdx (1−sin x)2 2 5 4 d(sin x) dx = = = ∫ ∫ ∫ ∫(1+sin x)( 2 1− sin x)d(sin x) 1− sin x 1− sin x 1− sin x = ∫( 3 2 −sin x − sin x + sin x + ) 1 d(sin x) 1 4 1 3 1 2
= − sin x − sin x + sin x + sin x + C 4 3 2 1 sin x − 2sin x +1 1 (sin x − )2 2 4 2 1 3 3 = sin x − sin x − + C = sin x − sin x − + C 3 4 3 4 1 3 = sin x − sin 1 4 x − cos x + C 3 4 Chọn C Câu 9: 4sin x sin x sin xdx ( 2 3 2 1− cos x)d(cos x) F(x) = dx = 4 = 4 − ∫1 ∫ ∫ + cos x 1+ cos x 1+ cos x
= 4∫(cosx − )1d(cosx)  1 2  2 = 4
cos x − cos x + C = 2cos x − 4cos x +   C  2  Mà  π  3 F C 3 F(x) 2 2cos x 4cos x F π  = ⇒ = ⇒ = − ⇒ =     3  3  2  2  Chọn D
Câu 10: ( ) = ( ) cos x + 3sin x f x F' x = . Chọn A sin x − 3cos x sin x − cos x d sin x + cos x Câu 11: F(x) ( ) = dx = − = − ln sin x + cos x + C ∫ sinx ∫ + cos x sin x + cos x Mà  π  1 F
= ln 2 ⇒ C = 2 ⇒ F(x) = 2 − ln sin x +   cos x . Chọn B  4  2 Câu 12: F(x) 3 = tan x ∫ ( 2 tan x + ) 3 dx 3 1 dx = tan x = tan xd ∫ ∫ (tan x) 1 4 = tan x + C . Chọn B 2 cos x 4 dx sin xdx d cos x Câu 13: ( ) ( ) 1 cosx −1 F x = = = = ln + C ∫ ∫ 2 ∫ 2 sin x sin x cos x −1 2 cos x +1  2 F π  Mà  π  1 F
= 0 ⇒ C = ln 3 ⇒ F(x) 1 cos x −1 1  3 = ln + ln 3 ⇒ e    =   3. Chọn C  3  2 2 cosx+1 2 cos xdx d sin x Câu 14: F(x) ( ) = cot xdx = = = ln sin x + C ∫ ∫ sinx ∫ sin x  −π  Mà  π  = ⇒ = ⇒  ( ) F 4    1 F 0 C ln 2 F x = ln sin x = ln 2 ⇒ e =  . Chọn A  4  2 sin xdx d cos x Câu 15: F(x) ( ) = tan xdx = = − = − ln cos x + C ∫ ∫ cosx ∫ cos x  π  Mà  π  − = ⇒ = ⇒ ( ) F 4 F ln 2 C 0 F x = −ln cos x ⇒ e    =   2 . Chọn B  4  sinx 1 d 1+ 3cos x Câu 16: ( ) ( ) 1 F x dx − = = − = ln 1+ 3cos x + C ∫1 ∫ + 3cos x 3 1+ 3cos x 3 Mà  π  = ⇒ = ⇒ ( ) 1 = − + + ⇒ ( ) 2 F 2 C 2 F x ln 1 3cos x 2 F 0 = − ln 2 +   2 . Chọn B  2  3 3  sin x + cos x I + J = dx = dx = x + C  ∫ ∫ Câu 17: Ta có:  sin x + cos x  cosx−  sinx d(sin x + cos x) I − J = dx = = ln sin x + cos x + C  ∫ ∫  sin x + cos x sin x + cos x  x + ln sin x + cos x I = + C  2 ⇒ 
⇒ T = 4J − 2I = x − 3ln sin x + cos x + C. Chọn A x − ln sin x +  cos x J = + C  2 Câu 18: Ta có: 2 2 cos x sin xdx = − cos xd ∫ ∫ (cosx) 1 3
= − cos x + C. Chọn B 3 Câu 19: 3 2 sin xdx = sin x sin xdx = − ∫ ∫ ∫( 2 1− cos x)d(cos x) 1 3
= cos x − cos x + C. Chọn C 3 Câu 20: 3 2 cos xdx = cos x cos xdx = ∫ ∫ ∫( 2 1− sin x)d(sin x) 1 3
= − sin x + sin x + C. Chọn B 3 Câu 21: 4 4 sin x cos xdx = sin xd ∫ ∫ (sin x) 1 5 = sin x + C. Chọn C 5 tan x Câu 22: Ta có e tan x dx = e d ∫ ∫ (tan x) tanx = e + C. Chọn A 2 cos x Câu 23: 1 d x dx = 2 = 2 tan x + C. ∫ ∫ Chọn B 2 2 x cos x cos x Câu 24: Ta có: 2 + F(x) sin 2x 2sin x cos xdx 2sin xd(sin x) d(sin x 3) 2 = dx = = = = ln sin x + 3 + C ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 sin x + 3 sin x + 3 sin x + 3 sin x + 3 2 Mà ( ) = ⇒ = − ⇒ ( ) 2 sin x F 0 0 C ln 3
F x = ln sin x + 3 − ln 3 = ln 1+ . Chọn B 3 Câu 25: dx cos xdx d(sin x) = = ∫ ∫ 2 sin x cos x sin x cos x ∫ sin x( 2 1− sin x)  1 1 1  = − d ∫ (sin x) 1 2 = ln sin x − ln 1− sin x +   C. 2  sin x 2 1− sin x  2 Chọn A Câu 26: ∫( 2sin x tan x + e ) 2sin x cos xdx = sin xdx + e cos xdx ∫ ∫ 1 2sin x = sin xdx + e d ∫ ∫ (2sin x) 1 2sinx = − cos x + e + C. 2 2 Chọn D
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1