Chuyên đề trắc nghiệm tích phân đặc biệt và nâng cao Toán 12
Chuyên đề trắc nghiệm tích phân đặc biệt và nâng cao Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CHỦ ĐỀ 11: TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ NÂNG CAO
1) Một số dạng tích phân đặc biệt a a
Mệnh đề 1: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [−a;a]thì f (x)dx = 2 f (x)dx ∫ ∫ −a 0 a
Mệnh đề 2: Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [−a;a]thì f (x)dx = 0 ∫ −a a a f (x)
Mệnh đề 3: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [−a;a]thì dx = f (x)dx ∫ x ∫ + − m 1 a 0 π π 2 2
Mệnh đề 4: Nếu f(x) là hàm số liên tục trên [0; ]
1 thì f (sinx)dx = f (cos x)dx ∫ ∫ 0 0
Để chứng minh hoặc tính toán các tích phân đặc biệt trên, thông thường ta sử dụng các phương pháp đổi biến như sau: a Với I = f (x)dx ∫
ta có thể lựa chọn việc đặt x = −t −a π 2 π Với I = f (x)dx ∫
ta có thể lựa chọn việc đặt t = − x 2 0 π Với I = f (x)dx ∫
ta có thể lựa chọn việc đặt t = π − x 0 2π Với I = f (x)dx ∫
ta có thể lựa chọn việc đặt t = 2π − x 0 1 − 1
Ví dụ 1: Cho f(x) là hàm số lẻ liên tục trên đoạn [ 1; − ] 1 và f (x)dx =10 ∫ . Tính I = f (x)dx ∫ 0 0 A. I = 5 − B. I = 5 C. I = 10 − D. I =10 Lời giải 1 0 1
Do f(x) là hàm số lẻ nên f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = 0 ∫ ∫ ∫ 1 − 1 − 0 1 0 1 −
⇒ f (x)dx = − f (x)dx = f (x)dx =10 ∫ ∫ ∫ Chọn D. 0 1 − 0 0 3
Ví dụ 2: Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [ 3 − ; ] 3 và f (x)dx = 2 ∫ . Tính I = f (x)dx ∫ 3 − 3 − A. I = 2 B. I = 4 C. I = 2 − D. I = 4 − Lời giải 3 0 3
Do f(x) là hàm số chẵn nên I = f (x)dx = 2 f (x)dx = 2 f (x)dx = 2.2 = 4 ∫ ∫ ∫ . Chọn D. 3 − 3 − 0 π 2 2
Ví dụ 3: Giả sử tích phân x + cos x 3 I = dx = aπ + bπ + c ∫
, trong đó a,b,c∈ . Tính S = 8a + 4b + c x + π 1 3 − 2 A. 5 B. 4 C. 8 D. 2 3 3 3 3 Lời giải π π x = − ⇒ t =
Đặt t = −x ⇒ dt = −dx và đổi cận 2 2 π π x = ⇒ t = − 2 2 π π π − 2 2 2 2 2 2 Khi đó ( t − ) + cos( t − ) t + cost x + cosx I = − dt = dt = 3x dx ∫ − ∫ ∫ + + + π 1 3 t π 3t 1 π 1 3x − − 2 2 t 2 3 π π 2 3 2 3 2 1 x π 1
⇒ 2I = (x + cosx)dx ⇒ I = ∫ + sinx = +1⇒ a = ;b = 0;c =1 π 2 3 π 24 24 − − 2 2 Do đó 4 S = . Chọn B. 3 π
Ví dụ 4: Giả sử tích phân x sin xdx 2 I = = aπ + bπ + c ∫
, trong đó a,b,c∈ . Tính S = a + b − c 2 1+ cos x 0 A. 1 S − − = B. 1 S = C. 1 I = D. 1 I = 2 2 4 4 Lời giải π π π π Đặt x sin xdx (π − t)sin(π − t) (π − t)sint (π − x)sinx dx t = π − x ⇒ I = = (−dt) = dt = ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 1+ cos x 1+ cos (π − t) 1+ cos t 1+ cos x 0 0 0 0 π 1 − π π − 4 2 Khi đó sin xdx − d(cos x) du v=tan u 2I du π = π = π = −π →−π = ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 1 ∫ + cos x 1+ cos x 1+ u π 2 0 0 1 4 2 Do đó π 1 1 I =
⇒ a = ;b = c = 0 ⇒ S = . Chọn C. 4 4 4
2) Một số dạng tích phân vận dụng cao
Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:
(1) . u(x). f '(x) + u '(x).f(x) = h(x)
(2). u '(x). f (x) − u(x).f'(x) = h(x) 2 f (x) Phương pháp giải: '
Áp dụng các công thức: (uv)' −
= u 'v + v 'u và u u 'v v 'u = 2 v v
(1). Biến đổi: u(x). f '(x) + u '(x).f(x) = h(x) ⇔ [u(x). f (x)]' = h(x) ⇒ u(x). f (x) = h(x) ∫ dx ' −
(2). Biến đổi: u '(x). f (x) u(x).f'(x) u(x) u(x) = h(x) ⇔ = h(x) ⇒ = h(x)dx 2 f (x) ∫ f (x) f (x)
Dạng 2. Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:
(1) . f '(x) + f (x) = h(x)
2). f '(x) − f(x) = h(x) Phương pháp giải:
(1). Biến đổi: '( ) + ( ) = ( ) ⇒ ex . '( ) + x. ( ) = x f x f x h x f x e f x e .h(x) ⇔ x. ( ) ′
= x. ( ) ⇔ x. ( ) = x e f x e h x e f x e .h(x) ∫ dx (2). Biến đổi: '( ) ( ) ( ) e−x . '( ) − x . ( ) − − = ⇒ − = x f x f x h x f x e f x e .h(x) − ⇔ x. ( ) ′ − = x. ( ) − ⇔ x. ( ) − = x e f x e h x e f x e .h(x) ∫ dx
Dạng 3. Bài toán tổng quát: f '(x) + p(x). f (x) = h(x)
Phương pháp giải: Nhân 2 vế với ( ) ∫ p x dx e
ta được p(x)dx p(x)dx p(x) ∫ . '( ) ∫ . ( ). ( ) ∫ + = dx e f x e p x f x e .h(x) ′ p(x) ∫ dx p(x)dx p(x)dx p(x) e . f (x) h(x). ∫ ∫ e e . f (x) h(x). ∫ ⇔ = ⇒ = dx ∫ e dx
Tổng quát: p(x)dx p(x) ∫ . ( ) ( ). ∫ = ∫ dx e f x h x e dx
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn f (0) = 3 và 2
(2x + 3)f '(x) + 2f(x) = 4x − 3x . Tính f (2) bằng A. f (2) =1 B. 9 f (2) = C. 1 f (2) = D. 1 f (2) = 7 5 7 Lời giải Ta có: 2 + + = − ⇔ [ + ]′ 2 (2x 3)f '(x) 2f(x) 4x 3x (2x 3)f (x) = 4x − 3x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: 2 2 3
(2x + 3)f (x) = (4x − 3x )dx = 2x − x + C ∫
Do f (0) = 3 ⇒ 3f(0) = C ⇒ C = 9 Thay 9
x = 2 ⇒ 7f (2) = 8 −8 + 9 ⇒ f (2) = . Chọn B. 7
Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ] 3 thỏa mãn f (1) = 2 và 2 3
(x + x + 2)f '(x) + (2x +1)f (x) = 4x + 2x . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 2 < f (3) < 3
B. 3 < f (3) < 5 C. f (3) < 2 D. f (3) > 5 Lời giải Ta có: 2 3 2 ′ 3
(x + x + 2)f '(x) + (2x +1)f (x) = 4x + 2x ⇔ (x + x + 2)f (x) = 4x + 2x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: 2 3 4 2
(x + x + 2)f (x) = (4x + 2x)dx = x + x + C ∫
Do f (1) = 2 ⇒ 4f(1) = 2 + C ⇒ C = 6 Khi đó 2 4 2 48
(3 + 3+ 2)f (3) = 3 + 3 + 6 ⇒ f (3) = > 5 . Chọn D. 7
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4]thỏa mãn f (1) = 2 và 4 2
f(x) = x.f'(x) + 3x − 4x . Tính giá trị f (4) A. f (4) = 2 − B. f (4) = 196 − C. f (4) = 48 − D. f (4) = 193 − Lời giải Ta có 4 2 f (x) − x.f '(x) 2 f(x) = x.f'(x) + 3x − 4x ⇒ = 3x − 4 2 x xf '(x) − f (x) ′ 2 x x f x − ⇔ = 3x − + 4 (*). Mặt khác f( ) . '( ) f (x) = 2 x 2 x x
Lấy nguyên hàm 2 vế của (*) ta có: f(x) 3
= −x + 4x + C x Do f (1) 4 2 f (1) = 2 ⇒ = 1 − + 4 + C ⇒ C = 1
− ⇒ f (x) = −x + 4x − x 1 Khi đó f (4) = 196 − . Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên π . Biết rằng f = 0 và 4 sinx.f'(x) π
+ cos x.f (x) = sinx + cos x . Tính giá trị của f 2 A. π π π π f = 0 B. 1 f = C. f = 2 D. f = 1 2 2 2 2 2 Lời giải
Ta có: [sinx.f(x)]′ = sinx.f '(x) + cos x.f (x)
Từ giả thiết lấy nguyên hàm 2 vế ta được: sinx.f (x) = −cos x + sinx + C
Do f π = 0 ⇒ −cos π + sin π + C = 0 ⇔ C = 0 4 4 4 π π π Suy ra sinx.f (x) sinx cos x sin .f 1 f = − ⇒ = ⇒ = 1. Chọn D. 2 2 2
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn f '(x) + f(x) = x −1. Biết
f (0) = 9 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 2 f (2) 9e− = B. 2 f (2) = 9e C. 2 f (2) =1+ 9e D. 2 f (2) = 1 − + 9e Lời giải Ta có: x x x
f '(x) + f(x) = x −1 ⇔ e .f '(x) + e .f (x) = e (x −1) x ′ x x x
⇔ e .f (x) = e (x −1) ⇒ e .f (x) = e (x −1)dx ∫ u = x −1 du = dx Đặt x x x x ⇒
⇒ e (x −1)dx = (x −1)e − e dx = (x − 2)e + C ∫ ∫ x x dv = e dx v = e x Do đó x x (x − 2)e + C
e .f (x) = (x − 2)e + C ⇒ f (x) = x e x Lại có (x − 2)e + 9 9 f (0) = 2
− + C = 7 ⇒ C = 9 ⇒ f (x) = ⇒ f (2) = . Chọn A. x 2 e e
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên . Biết rằng f (0) = 3 và
f (x) − f '(x) = 2x +1. Giá trị của f ( ) 1 thuộc đoạn A. [0;2] B. [4;6] C. [2;4] D. [6;8] Lời giải Ta có : −x −x −x
f (x) − f '(x) = 2x +1 ⇔ e f (x) − e .f '(x) = e (2x +1) Mặt khác −x ′ −x −x
e .f (x) = e .f '(x) − e f (x)
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: −x −x −e .f (x) = e (2x +1)dx ∫ u = (2x +1)dx du = 2dx Đặt −x −x −x ⇒
⇒ e (2x +1)dx = −e (2x +1) + 2e dx ∫ ∫ −x −x dv = e dx v = −e −x −x −x −x
⇒ −e .f (x) = −e (2x + 3) + C ⇔ e .f(x) = e (2 x+ 3) + C Do f (0) = 4 nên 1 x
4 = 3+ C ⇒ C =1⇒ f (x) = 2x + 3+ = f (x) = 2x + 3+ e x e−
⇒ f (1) = 5 + e∈[6;8] . Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; ] 1 , biết rằng 13 f (0) = và 3 2 3
(x +1)f '(x) + xf (x) = x + 4x . Khi đó:
A. 0 < f (1) < 2
B. 2 < f (1) < 4
C. 4 < f (1) < 5 D. f (1) > 5 Lời giải 3 Ta có : 2 3 x x + 4x
(x +1)f '(x) + xf (x) = x + 4x ⇔ f '(x) + f (x) = 2 2 x +1 x +1 xdx 3 xdx
Áp dụng công thức nhanh Dạng 3 ta có ∫ x + 2 x ∫ x + 4 2 1 x 1 f (x).e = . + ∫ e dx (*) 2 x +1 xdx 1 2 Ta tính: ∫ 2 ln(x 1) + x 1 + 2 2 e = e = x +1 3 Do đó (*) 2 + 4 2 ⇔ +1. ( ) = +1 ∫ x x x f x x dx 2 x +1 2 x(x + 4) 1 2 3 2 1 2 3 2 = dx = ∫ ∫ x +1+ d(x +1) =
(x +1) + 3 x +1 + C 2 2 x +1 2 x +1 3 2 2 Do đó x +1 C x +10 ( ) = + 3+ = + C f x 2 2 3 x +1 3 x +1 Mặt khác 10 13 11 1 f (0) = + C = ⇒ C =1⇒ f (1) = +
⇒ 4 < f (1) < 5. Chọn C. 3 3 3 2
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [2;4] , biết rằng f (2) = 6 và 2 2
(x −1)f '(x) + f (x) = x + x . Tính f (4)
A. f (4) = 2 + 5
B. f (4) = 5 + 5
C. f (4) = 5 + 15 D. f (4) = 2 + 15 Lời giải Ta có: 2 2 f (x) x
(x −1)f '(x) + f (x) = x + x ⇔ f '(x) + = với x∈[2;4] 2 x −1 x −1 dx dx
Áp dụng công thức nhanh Dạng 3 ta có ∫ 2 x ∫ 2 x 1 − x 1 f (x).e = . − ∫ e dx (*) x −1 dx 1 x 1 − Lại có ∫ x − 2 ln x − x+ 1 1 2 1 e = e = x +1 2 Do đó (*) x −1 x x −1 xdx 1 d(x −1) 2 ⇔ f (x). = dx = = = x −1 + ∫ ∫ ∫ C 2 2 x +1 x −1 x +1 x −1 2 x −1 Suy ra x +1 3x + 3 f (x) = C
+ x +1⇒ f (2) = C 3 + 3 = 6 ⇒ f (x) = + x +1 x −1 x −1
Vậy f (4) = 5 + 5 . Chọn B.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [1;e] , thỏa mãn = [ ]2 4
xf '(x) x f (x) + 3f (x) + và f (1) = 3 − . Tính f (e) x A. 5 B. 5 − C. 5 − D. 5 2e 2 2e 2 Lời giải Ta có = [ ]2 4 + + ⇔ + = [ ]2 4 xf '(x) x f (x) 3f (x)
f (x) xf '(x) x f (x) + 4f (x) + x x ′ ⇔ [ ]′ 1 = [ + ]2 [xf(x)] 1 xf (x) xf (x) 2 ⇔ = x [xf(x) + 2]2 x
Đặt g(x) = xf (x) ta có: g '(x) 1 = suy ra g '(x)dx dx = [ ∫ ∫ g(x) + 2]2 x [g(x) + 2]2 x d[g(x)] 1 − 1 ln x C ln x C − ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = ln x + C ∫ [g(x) + 2]2 g(x) + 2 xf (x) + 2 Do − − − f (1) = 3
− nên 1 = C ⇔ C =1. Suy ra 1 5 = 2 ⇔ f (e) = . Chọn C. 1 − ef (e) + 2 2e
Ví dụ 10: Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm tại mọi x∈(0;+∞) , đồng thời thỏa mãn điều kiện 3π 2
f (x) = x (sinx + f '(x)) + cos x và ( )sin x = 4 − ∫ f x dx
. Khi đó, f (π ) nằm trong khoảng π 2 A. (6;7) B. (5;6) C. (12;13) D. (11;12) Lời giải
Ta có f (x) = x (sinx + f '(x)) + cos x ⇔ f (x) − xf '(x) = x sin x + cos x f (x) xf '(x) x sin x cos x f (x) ′ cos x ′ − + ⇔ = ⇔ − = − 2 2 x x x x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: f (x) cos x = + C ⇒ f (x) = cos x + Cx x x 3π 3π 2 2
Khi đó: f (x)sin xdx = (sin xcosx+Cxsinx)dx = 4 − ⇒ C = 2 ∫ ∫ π π 2 2
Suy ra f (x) = cos x + 2x ⇒ f ( ) π = 1
− + 2π∈(5;6) . Chọn B.
Ví dụ 11: Cho hàm số y = π
f(x) liên tục trên đoạn 0; . Biết rằng 3 π 3
f '(x).cos x f (x).sinx 1, x 0; π + = ∀ ∈
và f (0) =1. Tính tích phân I = f (x)dx 3 ∫ 0 A. 3 +1 π I − = B. 3 1 I = C. 1 I = D. 1 I = + 2 2 2 2 3 Lời giải f '(x).cos x f (x).sinx 1 f (x) ′ + 1
f '(x).cos x + f (x).sinx =1 ⇔ = ⇔ = 2 2 2 cos x cos x cos x cos x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: f (x) = tanx+ C . Theo giả thiết f (0) =1⇒ C =1 cos x π π π 3 3 3 π Khi đó 3 +1 I = f x dx = dx = + cosx dx = − x + 3 ( ) (tanx+1)cosx (sinx ) ( cos sinx) = ∫ ∫ ∫ 0 2 0 0 0 Chọn A.
Ví dụ 12: Cho hàm số y = π
f(x) liên tục và có đạo hàm tại mọi 0;
, đồng thời thỏa mãn hệ thức 2 x π π f (x) + tanx.f'(x) = . Biết rằng 3 f − f = aπ 3 +
bln 3 trong đó a,b∈ . Tính giá trị của 3 cos x 3 6
biểu thức P = a + b A. 14 P − − = B. 4 P = C. 7 P = D. 2 P = 9 9 9 9 Lời giải Ta có x x ′ x f (x) + tanx.f'(x) = ⇔ cos.f(x) + sin xf '(x) = ⇔ sinx.f (x) = 3 2 [ ] 2 cos x cos x cos x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: xdx sinx.f (x) = ∫ 2 cos x u = x du = dx Đặt xdx dx ⇒ ⇒ sin x.f (x) = = x tan x − tan xdx ∫ 2 ∫ dv = v = tan x cos x 2 cos x
⇒ sin x.f (x) = x tan x + ln cos x 3 π π f − f Do đó 3 6 π 1 π 3 5π 3 = 3 + ln − − ln = − ln 3 2 3 2 6 3 2 18 5 π π π a = Suy ra 5 3 4 3 f − f = − ln 3 − ⇒ 9 ⇒ a + b = . Chọn B. 3 6 9 9 b = 1 − 3
Ví dụ 13: Tính tích phân = min ∫ {ex;e−x I }dx 1 − A. 2 I = − 2 B. 2 I = + 2 C. 2 I = 2 − D. 2 I = e e e e Lời giải Xét phương trình x − x x 1 e = e ⇔ e = ⇔ x e =1 ⇔ x = 0 x e Suy ra trên [ 1;0] x − x 0 min{ x; − − → − < ⇒ x} = x e e e e e Và trên [1; ] 3 x − x 0
min{ x; −x} − → − > ⇒ = x e e e e e 0 3 Vậy x − x 2
I = e dx+ e dx = 2 − ∫ ∫ . Chọn C. e 1 − 0 3
Ví dụ 14: Tính tích phân I = max ∫ { 3 2 x ;4x − 3 } x dx 0 A. 117 I = B. 275 I = C. I =19 D. I = 27 2 12 Lời giải x = 0 Xét phương trình 3 2 3 2
x = 4x − 3x ⇔ x − 4x + 3x = 0 ⇔ x = 1; x = 3 Suy ra trên [ ] 3 2 → x − − x > ⇒ { 3 2 x − } 3 0;1 (4 x 3 ) 0 max ;4 x 3x = x Và trên [ ] 3 2
→ x − x − x < ⇒ { 3 2 x x − } 2 1;3 (4 3 ) 0 max ;4
3x = 4x − 3x 1 3 Vậy 3 2 275
I = x dx+ (4x − 3x)dx = ∫ ∫ . Chọn B. 12 0 1 π 2
Ví dụ 15: Tính tích phân I = min ∫ {sinx;cos } x dx 0 A. I = 2 − 2 B. I = 2 C. I = 2 + 2 D. I = 2 − 2 Lời giải Xét phương trình π π sinx cos x 0 sin − = ⇔ x − = 0 ⇔ x = 4 4 Suy ra trên π
0; → sinx − cos x < 0 ⇒ min{sinx;cos } x = sinx 4 Và trên π
0; → sinx − cos x > 0 ⇒ min{sinx;cos } x = cos x 4 π π 4 2
Vậy I = sinx dx+ cosxdx = 2 − 2 ∫ ∫ . Chọn D. 0 π 4
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và thỏa mãn f (x) + f (−x) = 2 + 2 os c 2x, x ∀ ∈ . Tính 3π 2 I = f (x)dx ∫ 3π − 2 A. I = 6 − B. I = 0 C. I = 2 − D. I = 6
Câu 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và thỏa mãn f (x) + f (−x) = 3− 2 os c x, x ∀ ∈ . Tính π 2 I = f (x)dx ∫ π − 2 A. π −1 π π π I + = B. I = + 2 C. 3 I = − 2 D. 1 I = 3 2 2 2 π 2
Câu 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và thỏa mãn f (−x) + 2 f (x) = os c x . Tính I = f (x)dx ∫ π − 2 A. 1 I = B. 4 I = C. 2 I = D. I =1 3 3 3 π 2
Câu 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và thỏa mãn f (x) + f (−x) = sin 2x . Tính I = f (x)dx ∫ π − 2 A. I = 0 B. 1 I = C. I = 2 D. I = 2 − 2 1
Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và thỏa mãn 3
2 f (−x) − f (x) = x . Tính I = f (x)dx ∫ 1 − A. I = 0 B. 4 I = C. 2 I = D. I =1 3 3 1 1
Câu 6: Cho f (x) dx = 4 ∫
, trong đó hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [ 1; − ]
1 . Tính I = f (x)dx ∫ + − 1 2x 1 1 − A. I = 2 B. I =16 C. I = 4 D. I = 8 2 2016
Câu 7: Tính tích phân x I = dx ∫ x + − e 1 2 2016 2018 2017 2018 A. 2 I = B. 2 I = C. 2 I = D. 2 I = 2017 2017 2017 2018
Câu 8: Cho hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [ 2;
− 2]. Tìm khẳng định luôn đúng? 2 2 2
A. f (x)dx = 2 f (x)dx ∫ ∫
B. f (x)dx = 0 ∫ 2 − 0 2 − 2 0 2 2
C. f (x)dx = 2 f (x)dx ∫ ∫
D. f (x)dx = 2 − f (x)dx ∫ ∫ 2 − 2 − 2 − 0 1 1
Câu 9: Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên thỏa f (x)dx = 2 ∫
. Tính f (x)dx ∫ 1 − 0 A. 1 B. 2 C. 1 D. 1 2 4 0
Câu 10: Cho f(x) là hàm số chẵn trên thỏa mãn f (x)dx = 2 ∫
. Chọn mệnh đề đúng? 3 − 3 3 3 0
A. f (x)dx = 2 ∫
B. f (x)dx = 4 ∫
C. f (x)dx = 2 − ∫
D. f (x)dx = 2 ∫ 3 − 3 − 0 3 1
Câu 11: Tính tích phân 2017 2 I = x x + 2017dx ∫ 1 − A. I = 0 B. I = 2 C. I = 2 − D. 1 I = 3 b b
Câu 12: Cho f là hàm số liên tục trên [a;b]thỏa f (x)dx = 7 ∫
. Tính I = f (a+ b− x)dx ∫ a a A. I = 7
B. I = a + b − 7
C. I = 7 − a − b
D. I = a + b + 7 2
Câu 13: Cho hàm số f(x) là hàm chẵn, có đạo hàm trên đoạn [ 6; − 6]. Biết rằng
f (x)dx = 8 ∫ và 1 − 3 6 f ( 2 − x)dx = 3 ∫
. Tính I = f (x)dx ∫ 1 1 − A. I =11 B. I = 5 C. I = 2 D. I =14 0
Câu 14: Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn f (x)dx = a ∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 − 2 2 2 2 −
A. f (x)dx = −a ∫
B. f (x)dx = 2a ∫
C. f (x)dx = 0 ∫
D. f (x)dx = a ∫ 0 2 − 2 − 0 0 2
Câu 15: Cho hàm số f(x) là hàm số lẻ f (x)dx = 2 ∫
. Tính tích phân I = f (x)dx ∫ 2 − 0 A. I = 2 B. I = 2 − C. I =1 D. I = 1 − 3
Câu 16: Cho hàm số f(x) là hàm chẵn và liên tục trên , thỏa mãn I = f (x)dx = 6 ∫ . Tính tích phân 0 π 2 J = cos .
x f (3sin x)dx ∫ π − 2 A. J = 0 B. J = 3 C. J = 6 D. J = 4 2
Câu 17: Cho tích phân I = f (x)dx = 5 ∫
trong đó f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [ 1; − 2]. Tính tích phân 1 −
2 f (1− x)dx ∫ 1 − A. 1 − B. 2 C. 5 D. 8 π 4
Câu 18: Biết = ln(1+ tanx) a I dx = ln c ∫ với a,b,c +
∈ và a là phân số tối giản. Giá trị a + 2b − c thuộc b b 0
khoảng nào trong các khoảng sau? A. (17;19) B. (25;27) C. (31;33) D. (41;43) π π
Câu 19: Biết xf(sin x)dx = 2π ∫ . Tính f(sin x)dx ∫ 0 0 A. 1 B. π C. 2π D. 4 π π Câu 20: Biết 2 f(sin x)dx = ∫ . Tính xf(sinx)dx 3 ∫ 0 0 A. π B. 2π C. 2 D. 2 3 3 3 5 2 x − 2 +1 Câu 21: Biết
dx = 4 + a ln 2 + bln 5 ∫ với a,b∈. Tính S=a+b x 1 A. S = 9 B. S =11 C. S = 3 − D. S = 5 4 Câu 22: Tích phân 2 x − 3 + 2 dx a x = ∫ với *
a,b∈ và a là phân số tối giản. Tính a+2b b − b 1 A. 22 B. 17 C. 23 D. 67 1 1
Câu 23: Cho các số thực m, n thỏa mãn (1− x)dx = m ∫
và (1− x)dx = n ∫
trong đó a, b là các số thực a b 1
a <1< b . Tính tích phân I = 1− x dx ∫ a
A. I = −m − n
B. I = n − m
C. I = m − n
D. I = m + n 4
Câu 24: Tính tích phân I = max{ 2 x +1;4x − ∫ }3dx 0 A. 80 I = B. 76 I = C. I = 24 D. 148 I = 3 3 3 4
Câu 25: Tính tích phân I = a m x{ 2 x ;4x − ∫ }3dx 2 A. 56 I = B. 58 I = C. I =18 D. 2 I = 3 3 3 2
Câu 26: Tính tích phân I = min ∫ { 2 x; x }dx 0 A. I = 9 B. 9 I = C. 11 I = D. 27 I = 2 6 2 2
Câu 27: Tính tích phân I = min ∫ { 2 1; x }dx 0 A. 8 I = B. I = 2 C. 2 I = D. 4 I = 3 3 3 2
Câu 28: Tính tích phân 3x −1 I max ∫ ;2 x dx = − x 1 + 0 A. 9 3 I = − 4ln B. 3 3 I = − 2ln C. 5 3 I = − 4ln D. 7 3 I = − 2ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Câu 29: Tính tích phân I = max ∫ { 2 ; x x }dx 0 A. 17 I = B. 2 I = C. 9 I = D. 8 I = 6 3 2 3 4
Câu 30: Tính tích phân I = max{ 2
x − 2x +1; x + ∫ }1dx 0 A. 83 I = B. 7 I = C. 7 I = − D. 83 I = − 6 6 6 6
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Lấy tích phân 2 vế của π π
f (x) + f (−x) = os c 2 x cận từ 3 3 − → ta có: 2 2 3π 3π 3π 3π 2 2 2 2 f (x)dx +
f (−x)dx = 2(1+ os
c 2x)dx = 2 os c x dx =12 ∫ ∫ ∫ ∫
(Sử dụng máy tính Casio) 3π 3π 3π 3π − − − − 2 2 2 2 3 − π 3π x = ⇒ t =
Đặt t = x ⇒ dt = −dx và đổi cận 2 2 3π 3 − π x = ⇒ t = 2 2 3π 3π 3π 3π 2 2 2 2 Khi đó
f (−x)dx = − f (t)dt = f (t)dt = f (x)dx ∫ ∫ ∫ ∫ 3π 3π 3π 3π − − − − 2 2 2 2 3π 3π 2 2 Suy ra f (x)dx +
f (− x)dx = 2I =12 ⇒ I = 6 ∫ ∫ . Chọn D. 3π 3π − − 2 2 π π π 2 2 2
Câu 2: Ta có f (x) + f (−x) = 3− 2 os c x ⇒
f (x)dx + f (−x)dx = (3− 2 os c x)dx ∫ ∫ ∫ (*) π π π − − − 2 2 2 π − π x = ⇒ t =
Đặt t = x ⇒ dt = −dx và đổi cận 2 2 π π x t − = ⇒ = 2 2 π π π π 2 2 2 2
Khi đó f (−x)dx = − f (t)dt =
f (t)dt = f (x)dx = I ∫ ∫ ∫ ∫ π π π π − − − − 2 2 2 2 π Do đó (*) 3π 2 ⇔ 2I = (3x− 2sinx) = π − ⇒ = − π 3 4 I 2. Chọn C. − 2 2 π π π 2 2 2
Câu 3: Ta có f (−x) + 2 f (x) = os c x ⇒
f (x)dx +2 f (−x)dx = os c xdx ∫ ∫ ∫ (*) π π π − − − 2 2 2 π − π x = ⇒ t =
Đặt t = x ⇒ dt = −dx và đổi cận 2 2 π π x t − = ⇒ = 2 2 π π π π − 2 2 2 2
Khi đó f (−x)dx = − f (t)dt =
f (t)dt = f (x)dx = I ∫ ∫ ∫ ∫ π π π π − − − 2 2 2 2 π Do đó (*) 2 2 ⇔ 3I = sinx = ⇒ = π 2 I . Chọn C. − 3 2 π π π 2 2 2
Câu 4: Ta có: f (x) + f (−x) = sin 2 x ⇒
f (x)dx + f (−x)dx = sin 2xdx ∫ ∫ ∫ (*) π π π − − − 2 2 2 π − π x = ⇒ t =
Đặt t = x ⇒ dt = −dx và đổi cận 2 2 π π x t − = ⇒ = 2 2 π π π π − 2 2 2 2
Khi đó f (−x)dx = − f (t)dt =
f (t)dt = f (x)dx = I ∫ ∫ ∫ ∫ π π π π − − − 2 2 2 2 π Do đó (*) − 2 cos 2 ⇔ 2 x I =
= 0 ⇒ I = 0 . Chọn A. 2 π − 2 1 1 1 Câu 5: Ta có 3 3
2 f (−x) − f (x) = x ⇒ 2 f (−x)dx − f (x)dx = x dx ∫ ∫ ∫ (*) 1 − 1 − 1 − x = 1 − ⇒ t =1
Đặt t = x ⇒ dt = −dx và đổi cận x =1⇒ t = 1 − 1 1 1 1
Khi đó f (−x)dx = − f (t)dt = f (t)dt = f (x)dx = I ∫ ∫ ∫ ∫ 1 − 1 − 1 − 1 − 1 4 Do đó (*) x ⇔ I =
= 0 ⇒ I = 0 . Chọn A. 4 1− x = 1 − ⇒ t =1
Câu 6: Đặt t = x ⇒ dt = −dx và đổi cận x =1⇒ t = 1 − 1 1 1 1 t 1 x Khi đó f (x) f ( t − ) f (t) 2 . f (t) 2 . f (x) K = dx = − dt = dt = dt = dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + + + + − 1 2x − 1 2−t 1 − − 1 2t − 1 2x 1 1 1 + 1 1 1 2t 1 x 1 1 1 Suy ra 2 . f (x) f (x) 2K = dx +
dx = f (x)dx ⇒ f (x)dx = 2K = 8 ∫ ∫ ∫ ∫ . Chọn D. + + − 1 2x − 1 2x 1 1 1 − 1 − x = 1 − ⇒ t =1
Câu 7: Đặt t = x ⇒ dt = −dx và đổi cận x =1⇒ t = 1 − 2 2016 2 2016 2 2016 2 2016 t 2 x 2016 Khi đó x t t t .e e .x I = dx = − dt = dt = dt = dx ∫ x ∫ ∫ ∫ ∫ + + + + − e 1 −t − e 1 1 t − − e 1 x − e 1 2 2 2 + 2 2 1 t e 2 2 x 2016 2 2016 2 2017 2017 Suy ra e .x x 2016 x 2.2 2I = dx + dx = x dx = = ∫ x ∫ ∫ + + − e 1 x − e 1 − 2017 2017 2 2 2 2 − 2017 Do đó 2 I = . Chọn C. 2017
Câu 8: Do f(x) là hàm lẻ thì f (−x) = − f (x) a a a −a a
Ta có f (x)dx = − f (−x)dx = f (−x)d(−x) t=−x
→ f (t)dt = − f (x)dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −a −a −a a −a a a
Do đó 2 f (x)dx = 0 ⇔ f (x)dx = 0 ∫ ∫ . Chọn B. −a −a
Câu 9: Do f(x) là hàm chẵn thì f (−x) = f (x) 0 0 0 0 a
Ta có: f (x)dx = − f (−x)d(−x) t=−x
→ − f (t)dt = − f (x)dx = f (x)dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −a −a a a 0 a 0 a a 0
Do đó f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = 2 f (x)dx = 2 f (x)dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −a −a 0 0 −a 1 1 1
Do đó f (x)dx = 2 f (x)dx ⇒ f (x)dx =1 ∫ ∫ ∫ . Chọn A. 1 − 0 0 3 3
Câu 10: Do f(x) là hàm chẵn trên nên f (x)dx = 2 f (x)dx = 4 ∫ ∫ . Chọn B. 3 − 0 1 Câu 11: Do 2017 2 f (x) = x
x + 2017 là hàm số lẻ trên nên 2017 2 I = x x + 2017dx = 0 ∫ 1 − Chọn A.
x = a ⇒ t = b
Câu 12: Đặt t = a + b − x ⇒ dt = −dx . Đổi cận
x = b ⇒ t = a b a b
Khi đó I = f (a + b − x)dx = − f (t)dt = f (x)dx = 7 ∫ ∫ ∫ . Chọn A. a b a 3 3 3
Câu 13: Do f(x) là hàm chẵn nên 1 f ( 2
− x)dx = f (2x)dx =
f (2x)d(2x) ∫ ∫ ∫ − 2 1 1 1 − 6 6 6 1 1 = f (t)dt =
f (x)dx = 3 ⇒ f (x)dx = 6 2 ∫ ∫ ∫ − 2 2 2 − 2 − 6 2 6
Khi đó I = f (t)dx = f (x)dx + f (x)dx = 8 + 6 =14 ∫ ∫ ∫ . Chọn D. 1 − 1 − 2
Câu 14: Hàm số f(x) là hàm chẵn thì f (−x) = f (x) 0 0 0 0 0
Ta có f (x)dx = − f (−x)d(−x) t=−x
→ − f (t)dt = − f (x)dx = f (x)dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −a −a a a a a 0 a a 0
Do đó f (x)dx = f (x)d(x) + f (x)dx = 2 f (x)dx = 2 f (x)dx = 2a ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Chọn B. −a −a 0 0 −a 2 0 2
Câu 15: Do f(x) là hàm số lẻ nên f (x)dx = 0 ⇔ f (x)dx + f (x)dx = 0 ∫ ∫ ∫ 2 − 2 − 0 2 0
Suy ra I = f (x)dx = − f (x)dx = 2 − ∫ ∫ . Chọn B. 0 2 − 3 3
Câu 16: Do f(x) là hàm chẵn nên f (x)dx = 2 f (x)dx ∫ ∫ 3 − 0 π π 2 2 3 3 1 t=3sin x 1 1 J = cos .
x f (3sin x)dx =
f (3sin x)d(3sin x) J → = f (t)dt = f (x)dx ∫ ∫ ∫ ∫ π 3 π 3 − 3 3 3 − − − 2 2 3 1 2
= .2 f (x)dx = .6 = 4 3 ∫ . Chọn D. 3 0 x = 1 − ⇒ t = 2
Câu 17: Đặt t =1− x ⇔ dt = −dx . Đổi cận x = 2 ⇒ t = 1 − 2 1 − 2
Khi đó I = f (1− x)dx = − f (t)dt = f (x)dx = 5 ∫ ∫ ∫ . Chọn C. 1 − 2 1 − π x = 0 → t = Câu 18: Đặt π
t = − x ⇔ dt = −dx và 4 4 π x = → t = 0 4 π 0 4 Do đó π π I ln 1 ∫ tan t ( dt) ln 1 ∫ tan x = + − − = + − dx π 4 4 0 4 π π 4 4 π Mà π 1− tan x 2 1 2 + tan − x = 1+ = suy ra I = ln
dx = ln 2dx −1 ⇔ I = ln 2 ∫ ∫ 4 1+ tan x 1+ tan x 1+ tan x 8 0 0 a = π Lại có a I .ln c b =
→ = 8 . Vậy a+2b-c=π +2.8-2∈(17;19) . Chọn A. b c = 2
x = 0 → t = π
Câu 19: Đặt t = π − x ⇔ dx = −dt và
x = π → t = 0 π 0 π
Do đó xf(sinx)dx = (π − t). f ∫ ∫
[sin(π −t)](−dt) = (π − x) f (sinx)dx ∫ 0 π 0 π π π 2 π
= π f(sinx)dx − x.f(sinx)dx ⇔ f(sinx)dx = . f(sinx)dx = 4 ∫ ∫ ∫ π ∫ . Chọn D. 0 0 0 0
x = 0 → t = π
Câu 20: Đặt t = π − x ⇔ dx = −dt và
x = π → t = 0 π 0 π
Do đó xf(sinx)dx = (π − t). f ∫ ∫
[sin(π −t)](−dt) = (π − x) f (sinx)dx ∫ 0 π 0 π π π π
= π f(sinx)dx − x.f(sinx)dx ⇔ 2. x.f(sinx)dx = π f(sinx)dx ∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 0 0 π Vậy π x.f(sinx)dx = ∫ . Chọn A. 3 0 2 5 2 5 2 x − 2 +1 2 x − 2 +1 Câu 21: Ta có 5 − 2x 2x − 3 I = dx+ dx = dx + dx =4 + 8ln 2 + 3ln 5 ∫ x ∫ x ∫ x ∫ x 1 2 1 2 a = 8 Mà I = 4 + . a ln 2 + . b ln 5 →
. Vậy S = a + b = 8 + 3 =11. Chọn B. b = 3 x =1
Câu 22: Xét phương trình 2
x − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 2 Do đó trên [− ] [ ] 2
1;1 , 2;4 → x − 3x + 2 > 0và [ ] 2
1;2 → x − 3x + 2 < 0 1 2 4 19 = 19 Vậy 2 2 2
= (x − 3 + 2)dx− (x − 3 + 2)dx+ (x − 3 + 2)dx = ⇒ ∫ ∫ ∫ a I x x x . Chọn C. b = − 2 2 1 1 2 1 b 1 b 1 1
Câu 23: Ta có I = 1− x dx+ 1− x dx = (1− x)dx − (1− x)dx = (1− x)dx + (1− x)dx = m + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ n a 1 a 1 a b Chọn D. Câu 24: Ta có 2 2 2
x +1− (4x − 3) = x − 4x + 4 = (x − 2) ≥ 0 → max{ 2 x +1;4x − } 2 3 = x +1 [0;4] 4 4 3 3 Suy ra 2 4 80 = ( +1)dx = ∫ x I x + x = + 4 = . Chọn A. 3 3 3 0 0 x =1
Câu 25: Xét phương trình 2 2
x = 4x − 3 ⇔ x − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 3 Suy ra trên [ ] 2
→ x − x + < ⇒ m { 2 2;3 4 3 0 ax x ;4x − } 3 = 4x − 3 Và trên [ ] 2
→ x − x + > ⇒ { 2x − } 2 3;4 4 3 0 max ;4 x 3 = x 3 4 Vậy 2 58
I = (4x − 3)dx+ x dx = ∫ ∫ . Chọn B. 3 2 3 x = 0
Câu 26: Xét phương trình 2
x = x ⇔ x(x −1) = 0 ⇔ x = 1 Suy ra trên [ ] 2
→ x − x < ⇒ { 2x} 2 0;1 0 min x; = x Và trên [ ] 2
→ x − x > ⇒ { 2 1;2 0 min x; x } = x 1 2 1 2 3 2 Vậy 2 11 = dx+ xdx = + = ∫ ∫ x x I x . Chọn C. 3 2 6 0 1 0 1 x =1
Câu 27: Xét phương trình 2 2
x =1 ⇔ x −1 = 0 ⇔ x = 1 − Suy ra trên [ ] 2 → x − < ⇒ { 2x} 2 0;1 1 0 min 1; = x Và trên [ ] 2 → x − > ⇒ { 2 1;2 1 0 min 1; x } =1 1 1 2 3 Vậy 2 2 1 4 = dx+ 1dx = + = +1 = ∫ ∫ x I x x . Chọn D. 1 3 3 3 0 1 0 3x −1 0 ≤ x ≤ 2
Câu 28: Xét phương trình = 2 − x ⇔ ⇔ x = 1 x +1
3x −1 = (x +1)(2 − x)
Suy ra trên [ ] 3x −1 3x −1 0;1 2 x 0 max ;2 → − + < ⇒
− x = 2 − x x +1 x +1 Và trên [ ] 3x −1 3x −1 3x −1 1;2 →
− 2 + x > 0 ⇒ max ;2 − x = x +1 x +1 x +1 1 2 Vậy 3 −1 9 3 = (2 − )dx+ dx = − 4ln ∫ ∫ x I x . Chọn A. x +1 2 2 0 1 x = 0
Câu 29: Xét phương trình 2
x = x ⇔ x(x −1) = 0 ⇔ x = 1 Suy ra trên [ ] 2
→ x − x < ⇒ { 2 0;1 0 max ; x x } = x Và trên [ ] 2
→ x − x > ⇒ { 2 x x } 2 1;2 0 max ; = x 1 2 1 2 2 3 Vậy 2 17 = dx+ dx = + = ∫ ∫ x x I x x . Chọn A. 2 3 6 0 1 0 1 x = 0
Câu 30: Xét phương trình 2
x − 2x +1 = x +1 ⇔ x = 3 Suy ra trên [ ] 2
→ x − x + − x + < ⇒ { 2 0;3 2 1 ( 1) 0
max x − 2x +1; x + } 1 = x +1 Và trên [ ] 2
→ x − x + − x + > ⇒
{ 2x − x+ x+ } 2 3;4 2 1 ( 1) 0 max 2 1; 1 = x − 2x +1 3 4 Vậy 2 83
I = (x +1)dx+ (x − 2x +1)dx = ∫ ∫ . Chọn A. 6 0 3
Document Outline
- ITMTTL~1
- IIBITP~1
- IIILIG~1