134 trang 34 lượt tải

Chuyên đề trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số Toán 12

68

Tài liệu gồm 134 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề tính đơn điệu của hàm số, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 1.

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 375 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/134
CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1) Quy tắc xét dấu biểu thức
Để xét dấu cho biểu thức
( )
( )
( )
=
px
gx
qx
ta làm như sau:
- Bước 1: Điều kiện:
( )
0≠
qx
.
Tìm tất cả các nghiệm của
( ) ( )
; px qx
và sắp xếp các nghiệm đó theo thứ tự tăng dần và điền vào trục số
Ox.
- Bước 2: Cho
→ +∞x
để xác định dấu cùa
(
)
gx
khi
→ +∞x
.
- Bước 3: Xác định dấu của các khoảng còn lại dựa vào quy tắc sau:
Chú ý: Qua nghiệm bội lẻ thì
( )
gx
đổi dấu còn qua nghiệm bội chẵn thì
( )
gx
không đổi dấu (chẵn giữ
nguyên, lẻ đổi dấu).
Ví dụ: Xét dấu của biểu thức
( )
( ) ( )
( )( )
4
2
4. 5
21
−−
=
++
xx
fx
xx
.
Bước 1: Ta thấy nghiệm của biểu thức trên là
sắp xếp thứ tự tăng dần trên trục số.
Bước 2: Khi
→ +∞x
(ví dụ cho x = 10000) ta thấy
( )
fx
nhận giá trị dương.
Bước 3: Xác định dấu cùa các khoảng còn lại. Do
( )
4
5−x
mũ chẵn (nghiệm bội chẵn) nên qua 5 biểu
thức không đổi dấu. Do
( )
1
4−x
mũ lẻ (nghiệm bội lẻ) nên qua 4 biểu thức đổi dấu ...
Ta được bảng xét dấu cùa
( )
fx
như sau:
x
−∞
2−
1−
4
5
+∞
( )
fx
+ 0
−
0
−
0 + 0 +
Kết luận:
( ) ( ) ( ) ( )
0 ; 2 4; 5 5;> ⇔ ∈ −∞ − ∪ ∪ +∞fx x
và
( ) ( ) (
)
0 2; 1 1; 4
< ⇔ ∈− − ∪−fx x
.
2) Tính đơn điệu của hàm số
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
( )
=v fx
xác định trên K.
■ Hàm số
( )
=y fx
đồng biến (tăng) nếu với mọi cặp
12
; xx
thuộc K mà thì
( ) ( )
12
<fx fx
tức là
( ) ( )
12 1 2
<⇔ <x x fx fx
.
■ Hàm số
( )
=y fx
nghịch biến (giảm) nếu với mọi cặp
12
; xx
thuộc K mà
12
<xx
thì
( ) ( )
12
>fx fx
tức là
( ) ( )
12 1 2
<⇔ >x x fx fx
.
Ví dụ 1: Xét hàm số
( )
21= = +y fx x
Xét
( ) ( )
12 1 2 1 2 1 2
2 2 2 12 1< ⇔ < ⇒ +< +⇒ <x x x x x x fx fx
suy ra hàm số
( )
21= = +y fx x
là một
hàm số đồng biến trên
.
Ví dụ 2: Hàm số
(
)
72= =−+
y fx x
nghịch biến trên
, vì: Giả sử
12
<xx
, ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 21 1 2
77 7 0− =− + = − >⇒ >fx fx x x x x fx fx
suy ra hàm số
( )
72= =−+y fx x
là một
hàm số đồng biến trên
.
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:
12
; ∀∈xx K
và
12
≠
xx
, thì hàm số
( )
fx
đồng biến trên K
( ) ( )
21
21
0
−
⇔>
−
fx fx
xx
( )
fx
nghịch biến trên K
( )
(
)
21
21
0
−
⇔<
−
fx fx
xx
Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi
xuống từ trái sang phải.
ĐỊNH LÝ: Cho hàm số
( )
=y fx
có đạo hàm trên K.
a) Nếu
(
)
0
′
>fx
với mọi x thuộc K thì hàm số
( )
fx
đồng biến trên K.
b) Nếu
( )
0
′
<
fx
với mọi x thuộc K thì hàm số
( )
fx
nghịch biến trên K.
Tóm lại xét trên K
(
) ( )
:0
′
>⇒Kf x fx
đồng biến;
( ) ( )
0
′
<⇒f x fx
nghịch biến.
Chú ý: Nếu
( ) ( )
0
′
= ∀∈fx xK
thì hàm số
( )
=y fx
là hàm số không đổi trên K.
ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG
Giả sử hàm số
(
)
=y fx
có đạo hàm trên K. Nếu
( ) ( )
( )
0 0 ,
′′
≥ ≤ ∀∈fx fx xK
và
( )
0
′
=
fx
chỉ tại một
số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
Ví dụ: Xét hàm số
32
3 3 10=− ++yx x x
thì
( )
2
2
3 6 33 1 0
′
= − += − ≥yxx x
, dấu bằng xảy ra chỉ tại điểm
1=x
do đó hàm số đã cho đồng biến trên
.
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
Loại 1: Tìm các khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên) cùa hàm số
( )
=y fx
dựa vào bảng
xét dấu
′
y
.
Phương pháp giải.
■ Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm
( )
′′
=y fx
.
■ Bước 2. Tìm các điểm tại đó
( )
0
′
=fx
hoặc
( )
′
fx
không xác định.
■ Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của
′
y
.
Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho
′
y
.
■ Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của
′
y
.
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a)
32
32=−+yx x
b)
42
2= −yx x
Lời giải
a) TXĐ:
= D
Ta có:
2
0
36
2
=
′
= −⇔
=
x
yxx
x
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
0 2
+∞
′
y
+ 0
−
0 +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;0
−∞
và
( )
2; +∞
, nghịch biến trên khoảng
( )
0; 2
.
b) TXĐ:
= D
Ta có:
3
0
44
1
=
′
= −⇔
= ±
x
yxx
x
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
−1
0 1
+∞
′
y
−
0 + 0
−
0 +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
1; 0−
và
( )
1; +∞
, nghịch biến trên khoảng
(
)
;1−∞ −
và
( )
0;1
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a)
3
32
=−+ −yx x
b)
43
42=−+yx x
Lời giải
a) TXĐ:
= D
Ta có:
2
1
3 30
1
= −
′
=− +=⇔
=
x
yx
x
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
−1
1
+∞
′
y
−
0 + 0
−
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
1;1−
và nghịch biến trên khoảng
( )
;1−∞ −
và
( )
1; +∞
.
b) TXĐ:
= D
Ta có:
( )
3 22
4 12 4 3
′
=−= −y x x xx
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
0 3
+∞
′
y
−
0
−
0 +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
3; +∞
, nghịch biến trên khoảng
( )
;3−∞
.
Ví dụ 3: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a)
3
1
+
=
−
x
y
x
. b)
31
1
+
=
+
x
y
x
.
Lời giải
a) TXĐ:
{ }
\1= D
Ta có:
( )
( )
2
4
0
1
−
′
= < ∀∈
−
y xD
x
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
1
+∞
′
y
−
−
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;1−∞
và
( )
1;
+∞
.
b) TXĐ:
{ }
\1= −D
Ta có:
( )
( )
2
2
0
1
′
= > ∀∈
+
y xD
x
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
−1
+∞
′
y
+ +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
(
)
;1−∞ −
và
( )
1;− +∞
.
Ví dụ 4: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a)
4
= +yx
x
. b)
2
9
1
−+
=
−
xx
y
x
.
Lời giải
a) TXĐ:
{
}
\0
=
D
. Ta có:
2
2
4
10
2
=
′
=−=⇔
= −
x
y
x
x
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
−2
0 2
+∞
′
y
+ 0
−
−
0 +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;2−∞ −
và
( )
2; +∞
, hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
2; 0−
và
( )
0; 2
.
b) TXĐ:
{ }
\1=
D
Ta có:
(
)( )
( )
(
) (
)
2
2
22
21 1 9
2
28
0
4
11
− − − −+
= −
−−
′
= = = ⇔
=
−−
x x xx
x
xx
y
x
xx
.
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
−2
1 4
+∞
′
y
+ 0
−
−
0 +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;2
−∞ −
và
( )
4; +∞
, hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
2;1−
và
( )
1; 4
.
Ví dụ 5: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a)
2
16= −
yx
b)
2
6
= −y xx
Lời giải
a) TXĐ:
[ ]
4; 4= −D
. Ta có:
2
2
00
2 16
−
′
= =⇔=
−
x
yx
x
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
−4
0 4
+∞
′
y
+ 0
−
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
( )
4; 0−
và hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
0; 4
.
b) TXĐ:
[ ]
0; 6=D
Ta có:
2
62
0 3
26
−
′
= = ⇔=
−
x
yx
xx
.
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
0 3 6
+∞
′
y
+ 0
−
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
0;3
, hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
3; 6
.
Ví dụ 6: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a)
2
4= −yx x
b)
2
8 12= −+yxx
Lời giải
a) TXĐ:
(
] [
)
; 0 4;= −∞ ∪ +∞
D
. Ta có:
2
24
02
24
−
′
= =⇔=
−
x
yx
xx
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
0 2 4
+∞
′
y
−
0 +
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
( )
4; +∞
, hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;0−∞
.
b) TXĐ:
(
] [
)
; 2 6;= −∞ ∪ +∞D
Ta có:
2
28
0 4
2 8 12
−
′
= = ⇔=
−+
x
yx
xx
.
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
2 4 6
+∞
′
y
−
0 +
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
( )
6; +∞
, hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;2−∞
.
Ví dụ 7: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a)
2
12 3 3= +− + +
yx x x
b)
2
21 2 8= +− −yx x
Lời giải
a) TXĐ:
=
D
Ta có:
( )
(
)
2
2
22
223 2323
1 0 2323
2 23 23
+ + +− +
′
=− = =⇔ + += +
++ ++
x xx x
y xx x
xx xx
22
23
2 30
1
1
234 129
2
≥−
+≥
⇔ ⇔ ⇔=−
= −

+ += + +
= −
x
x
x
x
xx x x
x
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
−1
+∞
′
y
−
0 +
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
1;− +∞
và nghịch biến trên khoảng
( )
;1−∞ −
.
b) TXĐ:
(
]
[
)
; 2 2;
= −∞ − ∪ +∞
D
Ta có:
2
2
22
22
0
4 22 8 2
2 0 2 82
2 84
228 28
≥
−−
′
=− = =⇔ −= ⇔
−=
−−
x
x xx
y xx
xx
xx
(vô nghiệm).
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
−2
2
+∞
′
y
+
+
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;2−∞ −
và
( )
2; +∞
.
Ví dụ 8: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a)
( )
=y fx
biết
( ) (
)
(
)
23
1 3 ,
′
= − + ∀∈
f x xx x x
.
b)
( )
=y gx
biết
( )
( )
( )( )
2018
2
1 2 3 ,
′
= − − + ∀∈
gx x x x x
.
Lời giải
a) Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
−3
0 1
+∞
′
y
+ 0
−
0 + 0 +
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;3−∞ −
và
( )
0; +∞
, hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
3; 0−
.
b) Ta có:
( )
( )
( )( ) ( ) ( )( )( )
2018 2018
2
12 3 3 211
′
=−− + =+ + +−gx x x x x x x x
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
−3
−2
−1
1
+∞
′
y
−
0
−
0 + 0
−
0 +
Hàm số đồng biến trên các khoảng
(
)
2; 1
−−
và
( )
1;
+∞
, hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;2
−∞ −
và
( )
1;1−
.
Ví dụ 9: Cho hàm số
( )
=y fx
có bảng xét dấu đạo hàm sau:
x
−∞
−2
0 2
+∞
′
y
+ 0
−
−
0 +
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2; 0−
. B. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;0−∞
.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
0; 2
. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;2−∞ −
.
Lời giải
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
(
)
2; 0−
;
( )
0; 2
.
Và đồng biến trên các khoảng
(
)
;2
−∞ −
và
(
)
2; +∞
. Chọn C.
Ví dụ 10: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số
2
21
2
−+ −
=
+
xx
y
x
.
A.
( )
5; 2−−
và
( )
2;1−
B.
( )
5; 2−−
và
( )
1; +∞
C.
( )
;2−∞ −
và
( )
2;1−
D.
( )
;2−∞ −
và
( )
1; +∞
Lời giải
Ta có:
( )( )
( )
( ) ( )
2
2
22
2 2 2 21
1
45
0
5
22
− + + −− + −
=
−− +
′
= = = ⇔
= −
++
x x xx
x
xx
y
x
xx
.
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
−5
−2
1
+∞
′
y
−
0 + + 0
−
Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
5; 2−−
và
( )
2;1−
. Chọn A.
Ví dụ 11: Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số
32
3 24 1=−− + +yx x x
.
A.
( )
4; 2−
B.
( )
4; 0−
và
( )
2; +∞
C.
( )
;4−∞ −
và
( )
0; 2
D.
( )
;4−∞ −
và
( )
2; +∞
Lời giải
Ta có:
2
4
3 6 24 0
2
= −
′
=− −+=⇔
=
x
y xx
x
.
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
−4
2
+∞
′
y
−
0 + 0
−
Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
;4−∞ −
và
( )
2; +∞
. Chọn D.
Ví dụ 12: Hàm số
2
2= −
yx x
A. Đồng biến trên
( )
2; +∞
và nghịch biến trên
( )
;0−∞
.
B. Đồng biến trên
( )
;0−∞
và nghịch biến trên
( )
2;
+∞
.
C. Đồng biến trên
( )
1; +∞
và nghịch biến trên
( )
;1−∞
.
D. Đồng biến trên
( )
1; 2
và nghịch biến trên
( )
0;1
.
Lời giải
TXĐ:
(
] [
)
; 0 2;= −∞ ∪ +∞D
. Ta có:
2
22
02
22
−
′
= =⇔=
−
x
yx
xx
Bảng biến thiên (xét dấu
′
y
):
x
−∞
0 1 2
+∞
′
y
−
0 +
Do vậy hàm số đồng biến trên
(
)
2;
+∞
và nghịch biến trên
( )
;0−∞
. Chọn A.
Ví dụ 13: Hàm số
2
1
= −
yx x
A. Đồng biến trên các khoảng
2
1;
2

−



và
2
;1
2




và nghịch biến trên
22
;
22

−



.
B. Đồng biến trên
22
;
22

−



và nghịch biến trên các khoảng
2
1;
2

−



và
2
;1
2




.
C. Đồng biến trên
22
;
22

−



và nghịch biến trên các khoảng
2
;
2

−∞ −



và
2
;
2

+∞



.
D. Đồng biến trên
22
;
22

−



và nghịch biến trên các khoảng
( )
;1−∞ −
và
( )
1; +∞
.
Lời giải
TXĐ:
[
]
1;1
= −
D
.
Ta có:
22
2
22
12
1
11
−
′
=−− =
−−
xx
yx
xx
.
Lập bảng xét dấu
′
y
:
x
−∞
−1
2
2
−
2
2
1
+∞
′
y
−
0 + 0
−
Do đó hàm số đồng biến trên
22
;
22

−



và nghịch biến trên các khoảng
2
1;
2

−



và
2
;1
2




.
Chọn B.
Ví dụ 14: Hàm số
2
2
1
−
=
++
x
y
xx
đồng biến trên:
A.
. B.
( )
;2 7−∞ −
và
( )
2 7;+ +∞
C.
( )
2 7;2 7−+
D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên
.
Lời giải
TXĐ:
= D
.
Ta có:
(
)
2
2
2
2
43
0 4 30 2 7 2 7
1
−+ +
′
= >⇔ − −<⇔− <<+
++
xx
y xx x
xx
. Chọn C.
Ví dụ 15: Cho hàm số
( )
2
21
1
−
=
−
x
y
x
. Hàm số đã cho:
A. Đồng biến trên các khoảng
( )
;0−∞
và
( )
1; +∞
và nghịch biến trên khoảng
( )
0;1
.
B. Đồng biến trên khoảng
( )
0;1
và nghịch biến trên các khoảng
( )
;0−∞
và
( )
1; +∞
.
C. Đồng biến trên khoảng
(
)
;0−∞
và nghịch biến trên khoảng
( )
1; +∞
.
D. Đồng biến trên khoảng
( )
1; +∞
và nghịch biến trên khoảng
( )
;0−∞
.
Lời giải
TXĐ:
{ }
\1= D
.
Ta có:
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
4 33
21212121221
2
1 11
− − − − −− −
−
′
= = =
− −−
x xx x x
x
y
x xx
.
Lập bảng xét dấu của
′
y
:
x
−∞
0 1
+∞
′
y
−
0 +
−
Do vậy hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
0;1
và nghịch biến trên các khoảng
( )
;0−∞
và
( )
1; +∞
. Chọn B.
Ví dụ 16: Cho hàm số
(
)
2
32
2
−
=
−
x
y
x
. Hàm số đã cho:
A. Đồng biến trên các khoảng
2
;
3
−

−∞


và
( )
2; +∞
và nghịch biến trên khoảng
2
;2
3
−



.
B. Đồng biến trên khoảng
2
;2
3
−



và nghịch biến trên các khoảng
2
;
3

−∞ −


và
( )
2; +∞
.
C. Đồng biến trên khoảng
2
;
3

−∞ −


và nghịch biến trên khoảng
( )
2; +∞
.
D. Đồng biến trên khoảng
( )
2; +∞
và nghịch biến trên khoảng
2
;
3
−

−∞


.
Lời giải
TXĐ:
{ }
\2= D
.
Ta có:
(
) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
4 33
3 2 2 232 3 2232
32
2 22
− − − − −− −
−−
′
= = =
− −−
x xx x x
x
y
x xx
.
Lập bảng xét dấu
′
y
:
x
−∞
2
3
−
2
+∞
′
y
−
0 +
−
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
2
;2
3
−



và nghịch biến trên các khoảng
2
;
3

−∞ −


và
( )
2; +∞
.
Chọn B.
Ví dụ 17: Cho hàm số
3= −yx x
nghịch biến trên khoảng:
A.
( )
;3−∞
. B.
( )
;2−∞
. C.
( )
2;3
. D.
( )
2; +∞
.
Lời giải
TXĐ:
(
]
;3= −∞D
.
Ta có:
1 62 63
3. 0 2
23 23 23
− −− −
′
= −+ = = =⇔=
−−−
xx x
y xx x
xxx
.
Lập bảng xét dấu
′
y
:
x
−∞
2 3
+∞
′
y
+ 0
−
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
2;3
. Chọn C.
Loại 2: Tìm các khoảng đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số dựa vào đồ thị và bảng biến
thiên
Phương pháp giải:
Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị
đi xuống từ trái sang phải.
Chú ý tập xác định của hàm số.
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
=y fx
có bảng biến thiên như hình vẽ
x
−∞
−1
1
+∞
′
y
+ 0
−
0 +
y
2
+∞
−∞
0
Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
;2−∞
. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1; 0
−
.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
0; 2
. D. Hàm số đồng biến trên
.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1;1−
và đồng biến trên các khoảng
( )
;1
−∞ −
và
( )
1;
+∞
⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1; 0−
. Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
=y fx
có bảng biến thiên như hình vẽ
x
−∞
−2
0
1
+∞
′
y
+ 0
−
0 + 0
−
y
−2
0
+∞
−∞
−3
+∞
Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
;2
−∞ −
và
( )
3; 0−
. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
3; 2−−
.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0;1
. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
0; +∞
.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;2
−∞
và
( )
0;1
.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
2; 0−
và
( )
1; +∞
. Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số
( )
=
y fx
có bảng biến thiên như hình vẽ
x
−∞
1 3
+∞
′
y
+ + 0
−
y
+∞
2
5 0
−∞
Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;3−∞
. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
2; +∞
.
C. Hàm số đồng biến trên
( ) ( )
;1 1; 3
−∞ ∪
. D. Hàm số đồng biến trên
( )
;1−∞
và
( )
1; 3
.
Lời giải
Hàm số xác định trên tập
{ }
\1
.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;1−∞
và
( )
1; 3
. Hàm số nghịch biến
trên khoảng
( )
3; +∞
. Chọn D.
Ví dụ 4: Cho hàm số
( )
=y fx
có bảng biến thiên như hình vẽ
x
−∞
−1
2 4
+∞
′
y
+ 0
−
−
y
0
+∞
−∞
−3
1
Khẳng định nào sau đây đúng.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;2−∞
.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
2; +∞
.
C. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
2; 4
và
( )
4; +∞
.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
;0
−∞
.
Lời giải
Tập xác định của hàm số là:
( )
{ }
1; \ 4− +∞
.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1; 2−
và nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
2; 4
và
( )
4; +∞
. Chọn C.
Ví dụ 5: Cho hàm số
( )
=y fx
có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng.
A.
( )
1;1−
B.
( )
;2−∞ −
C.
( )
1; +∞
D.
( )
2;1−
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;1−
và nghịch biến trên các khoảng
( )
;1−∞ −
và
( )
1; +∞
. Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số
(
)
=y fx
có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng.
A.
( )
2; 2−
.
B.
(
)
2; 2−
.
C.
( )
1; 3
.
D.
( )
0; 2
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( ) ( )
; 2 , 0; 2−∞ −
và nghịch biến trên các
khoảng
( )
2;0−
và
( )
2;+∞
. Chọn D.
DẠNG 2: BÀI TOÁN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM CÓ THAM SỐ
Loại 1: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba chứa tham số
Phương pháp giải:
Xét tam thức bậc 2:
( )
2
0= ++ ≠y ax bx c a
ta đã biết ở lớp 10
( ) ( )
2
0
0 0
Δ0
>
≥ ∀∈ ⇔ + + ≥ ∀∈ ⇔
≤

a
y x ax bx c x
.
(
) ( )
2
0
0 0
Δ0
<
≤ ∀∈ ⇔ + + ≤ ∀∈ ⇔
≤

a
y x ax bx c x
.
Xét bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
( )
2
0= ++ ≠y ax bx c a
đồng biến hoặc
nghịch biến trên
.
Ta có:
- Hàm số đồng biến trên
( ) (
)
2
30
0 3 2 0
0
′
>
′
⇔ ≥ ∀∈ ⇔ + + ≥ ∀∈ ⇔
′
≤

y
a
y x ax bx c x
∆
.
- Hàm số đồng biến trên
( ) ( )
2
30
0 3 2 0
0
′
<
′
⇔ ≤ ∀∈ ⇔ + + ≤ ∀∈ ⇔
′
≤

y
a
y x ax bx c x
∆
.
Chú ý:
Trong trường hợp hệ số a có chứa tham số m ví dụ:
( )
32
1 23=− + +−y m x mx x
ta cần xét
0=a
trước.
Số giá trị nguyên trên đoạn
[ ]
;ab
bằng
1−+ba
.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
32
23 6 2=− ++
y x mx mx
đồng biến trên
.
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải
Ta có:
2
66 6
′
=−+y x mx m
.
Hàm số đồng biến trên
( )
2
60
0 0 4
Δ 9 36 0
= >
′
⇔ ≥ ∀∈ ⇔ ⇔ ≤ ≤
′
=−≤
a
yx m
mm
.
Kết hợp
∈
m
⇒ có 5 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.
Ví dụ 2: [Trích đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho hàm số
( )
32
49 5=−− + + +y x mx m x
với m là tham số.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;−∞ +∞
?
A. 4. B. 6. C. 7. D. 5.
Lời giải
Ta có:
2
3 2 49
′
=−− ++y x mx m
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;−∞ +∞
( )
0
′
⇔ ≤ ∀∈yx
.
( )
2
30
93
Δ 34 9 0
′
′
=−<
⇔ ⇔− ≤ ≤−
′
= + +≤
y
y
a
m
mm
.
Kết hợp
∈
m
⇒ có 7 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số
( )
32
1
2 32
3
= + ++ +yx xm x
. Số giá trị nguyên của tham số
[ ]
20; 20∈−m
để hàm số
đã cho đồng biến trên
là:
A. 20. B. 19. C. 21. D. 23.
Lời giải
Ta có:
2
43
′
= + ++y x xm
.
Hàm số đồng biến trên
( )
( )
10
0 1
Δ 4 30
′
= >
′
⇔ ≥ ∀∈ ⇔ ⇔ ≥
′
=− +<
y
a
yx m
m
.
Kết hợp
[ ]
20; 20
∈
∈−
m
m
⇒ có 20 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn A.
Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m đề hàm số
( )
32
2 6 3 24 2=−− + + +y x m x mx
nghịch biến trên
là:
A. Vô số. B. 11. C. 7. D. 9.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
22
6 12 3 24 6 2 3 4
′

=− − + + = −− ++

y x mxm x m m
.
Hàm số nghịch biến trên
( )
( )
2
10
0
Δ 340
=−<
′
⇔ ≤ ∀∈ ⇔
′
=++≤
a
yx
mm
.
2
10 9 0 9 1⇔ + + ≤ ⇔− ≤ ≤−mm m
Kết hợp
∈
m
⇒ có 9 giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài. Chọn D.
Ví dụ 5: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
( )
32
1
2 2 62
3
−
= + − ++y x mx m x
nghịch biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S.
A. 4. B. 3. C. 0. D. 2.
Lời giải
Ta có:
2
4 2 12
′
=−+ + +y x mx m
.
Hàm số nghịch biến trên
( )
2
10
3
0 2
2
Δ 4 2 12 0
=−<
′
⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ⇔− ≤ ≤
′
= − −≤
a
yx m
mm
.
Kết hợp
{
}
1; 0; 1; 2
∈ ⇒ ∈−
mm
⇒ Tổng các phần tử của tập hợp S là 2. Chọn D.
Ví dụ 6: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
( )
32
3 2 12 1=− − ++
yx m x x
đồng
biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S là:
A. 5. B. 10. C. 15. D. 6.
Lời giải
Ta có:
(
)
2
3 6 2 12
′
=− −+yx m x
.
Hàm số đồng biến trên
( )
( )
2
30
0 0 4
Δ 9 2 36 0
′
= >
′
⇔ ≥ ∀∈ ⇔ ⇔ ≤ ≤
′
= − −≤
y
a
yx m
m
.
Kết hợp
{ }
0;1; 2; 3; 4∈⇒∈mm
⇒ Tổng các phần tử của tập hợp S là 10. Chọn B.
Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
3
2
43
3
=+ ++
x
y mx x
luôn tăng trên
. Số phần tử của tập hợp S là:
A. 0. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải
Ta có:
2
24
′
=++y x mx
.
Hàm số đồng biến trên
( )
2
10
0 2 2
Δ 40
′
= >
′
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ⇔− ≤ ≤
′
= −≤
y
a
yx m
m
.
Kết hợp
{ }
2; 1; 0; 1; 2∈ ⇒ ∈− −mm
⇒ Số phần tử của tập hợp S là 5. Chọn D.
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
(
)
( ) (
)
32 2
1
2 2 81
3
= + −+ +− +−y mxmxmxm
luôn nghịch biến trên
.
A.
21−< <m
. B.
2<−
m
. C.
1≤m
. D.
2≤−m
.
Lời giải
Với
2= −m
ta có
10 3=−+yx
(hàm số này luôn nghịch biến trên
).
Với
2≠−m
ta có
( ) ( )
2
2 22 8
′
= + − + +−
ymx mxm
.
Hàm số nghịch biến trên
( )
( ) ( )( )
2
20
0
Δ 2 2 80
′
+<
′
⇔ ≤ ∀∈ ⇔
′
= + − + −≤
y
m
yx
m mm
.
( )( )
2
2
29 0
<−
⇔ ⇔ <−
+ −≤
m
m
mm
Kết hợp cả hai trường hợp. Chọn D.
Ví dụ 9: [Đề thi tham khảo Bộ GD&ĐT năm 2017] Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
( )
(
)
23 2
1 14
= − + − −+ym x m xx
nghịch biến trên khoảng
( )
;−∞ +∞
?
A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Lời giải
Với
14=⇒ =−+m yx
hàm số nghịch biến trên
( )
;−∞ +∞
.
Với
2
1 24=−⇒ =− − +m y xx
không thỏa mãn nghịch biến trên
( )
;−∞ +∞
.
Với
( )
( )
22
1 3 1 2 11
′
≠±⇒= −+−−m y m x mx
nghịch biến trên
( )
;−∞ +∞
(
)
( )
( )
(
)
2
2
2
10
0
Δ 1 3 10
′
−<
′
⇔ ≤ ∀∈ ⇔
′
= − + −≤
y
m
yx
mm
( )
( )
11
1
1
2 12 1 0
2
−< <
⇔ ⇔− ≤ ≤
− +≤
m
m
mm
Kết hợp
0, 1
∈⇒ = =m mm
. Chọn A.
Ví dụ 10: Hàm số
( )
32
23
3
= − ++ +
m
y x x m xm
luôn đồng biến trên
thì giá trị m nhỏ nhất là
A.
1=m
. B.
2= −m
. C.
4= −m
. D.
0=m
.
Lời giải
Xét hàm số
( )
32
23
3
= − ++ +
m
y x x m xm
với
∈x
, ta có
2
43
′
= − ++y mx x m
.
Để hàm số luôn đồng biến trên
( )
0
0
0; 1
Δ0
4 30
′
>
= >
′
⇔ ≥ ∀∈ ⇔ ⇔ ⇔ ≥

′
≤
− +≤
y
m
am
yx m
mm
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 1. Chọn A.
Xét bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
( )
;=y f xm
đồng biến hoặc nghịch biến trên
D (trong đó D là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng, nửa đoạn).
Phương pháp giải:
Xét hàm số
( )
;f xm
ta tính
( )
;
′′
=y f xm
.
Hàm số đồng biến trên D ⇔
( )
0
′
≥ ∀∈y xD
.
Hàm số nghịch biến trên D ⇔
( )
0
′
≤ ∀∈
y xD
.
Cô lập tham số m và đưa bất phương trình
0
′
≥y
hoặc
0
′
≤y
về dạng
( )
≥m fx
hoặc
( )
≤m fx
.
Sử dụng tính chất:
Bất phương trình:
( ) ( )
≥ ∀∈ ⇔ ≥
D
m fx x D m Maxfx
.
Bất phương trình:
( ) (
)
≤ ∀∈ ⇔ ≤
D
m fx x D m Minfx
.
Chú ý: Với hàm số
(
)
32
0= + ++ ≠y ax bx cx d a
liên tục trên
nên hàm số đồng biến hoặc nghịch biến
trên khoảng
( )
;ab
thì nó đồng biến trên đoạn
[ ]
;ab
.
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số các bạn xem chủ đề GTLN, GTNN của hàm số.
Lưu ý bất đẳng thức Cosi (AM – GM): Cho các số thực không âm
12
, ,...,
n
aa a
thì ta có:
1 2 12
... ...+ ++ >
n
nn
a a a n aa a
.
Dấu bằng xảy ra
12
...
⇔===
n
aa a
.
Với hàm số lượng giác
(
)
F x a sinx bcos x c=++
thì
( )
( )
22
22
= ++
=− ++
MaxF x a b c
MinF x a b c
.
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
32
31=− ++
y x x mx
đồng biến trên khoảng
( )
0; +∞
.
Lời giải
Ta có:
2
36
′
= −+y x xm
.
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2; +∞
( )
2
3 6 0 0;
′
⇔ = − + ≥ ∀ ∈ +∞y x xm x
( ) ( )
( )
( )
( )
2
0;
3 6 0; max
+∞
⇔≥− + = ∀∈ +∞⇔≥m x x gx x m gx
Mặt khác
( )
6 60 1
′
=− +=⇔=gx x x
. Ta có
( ) ( ) (
)
0
lim 0; lim ; 1 3
→ →+∞
= = −∞ =
xx
gx gx g
.
Do vậy
( )
( )
0;
max
+∞
= +∞gx
. Do đó
3≥m
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
32
33 1y x x mx=−+ + −
. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho
nghịch biến trên khoảng
( )
0; +∞
.
Lời giải
Ta có:
2
3 63y x xm
′
=− ++
.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
0; +∞
( )
0 0;
′
⇔ ≤ ∀ ⊂ +∞yx
( ) ( )
( )
( )
2
0;
2 0; minm x x gx x m gx
+∞
⇔≤− = ∀∈ +∞⇔≤
Xét
( ) ( )
( )
2
2 0;gx x xx= − ∈ +∞
ta có:
( )
2 20 1gx x x
′
= −=⇔=
( ) ( ) (
)
0
lim 0; lim ; 1 1
xx
gx gx g
→ →+∞
= = +∞ = −
nên
( )
( )
0;
min 1gx
+∞
= −
Do đó
1m ≤−
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số
32
1
1
3
y x x mx= +− +
. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho
nghịch biến trên đoạn
[ ]
2; 0−
.
Lời giải
Ta có:
2
2y x xm
′
=+−
.
Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn
[ ]
2; 0−
[
]
(
)
0 2; 0
yx
′
⇔ ≤ ∀∈−
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
2
2;0
2 2; 0 maxm x x gx x m gx
−
⇔≥+ = ∀∈− ⇔≥
Mặt khác
( )
2 20 1gx x x
′
= +=⇔=−
Lại có
( ) (
)
( )
2 0; 0 0; 1 1g gg
−= = −=−
. Do vậy
[ ]
( )
2;0
max 0gx
−
=
Vậy
0m
≥
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: [Đề thi tham khảo của Bộ GD&ĐT năm 2019]: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm
số
( )
32
6 49 4
yx x m x=−− + − +
nghịch biến trên khoảng
( )
;1−∞ −
là
A.
(
]
;0
−∞
. B.
. C.
3
;
4

−∞ −

. D.
[
)
0; +∞
.
Lời giải
Ta có:
2
3 12 4 9y x xm
′
=−− +−
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;1−∞ −
( )
( )
2
3 12 4 9 0 ; 1y x xm x
′
⇔ = − − + − ≤ ∀ ∈ −∞ −
(
)
(
)
( )
( )
( )
22
4
4 3 12 9 ;1 4 3 ;1 *
3
m
mx x x x x x
⇔ ≤ + + ∀ ∈ −∞ − ⇔ ≤ + + ∀ ∈ −∞ −
Xét
( )
2
43gx x x=++
trên khoảng
( )
;1−∞ −
ta có:
( )
2 40 2gx x x
′
= +=⇔=−
.
Ta tìm được
( )
( ) ( )
( )
;1
43
min 2 1 * 1
34
m
gx g m
−∞ −
= − =− ⇒ ⇔ ≤− ⇔ ≤−
. Chọn C.
Ví dụ 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
( )
( )
32
1
2 23
3
= −− + +y xm x m x
nghịch biế
n trên
khoảng
( )
0;3
?
Lời giải
Ta có:
(
)
2
2 2 23yx m x m
′
=+ − ++
Hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
0;3
[ ]
( )
0 0;3yx
′
⇔ ≤ ∀∈
(Do hàm số liên tục trên
nên ta mở rộng
ra đoạn
[
]
0;3
).
( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
2
2
43
4 3 2 1 0; 3 2 0;3
1
xx
x x mx x m gx x
x
−+ −
⇔ − + ≤− + ∀∈ ⇔ ≤ = ∀∈
+
[ ]
( )
0;3
2 minm gx⇔≤
Ta có:
( )
( )
[ ]
2
0;3
2
77
0 1 22
1
x
xx
gx x
x
∈
−− +
′
= = → = − +
+
Mặt khác
( )
(
)
( )
2 2 1 6 4 2, 0 3, 3 0g gg−=− =− =
.
Do đó
[
]
( )
0;3
3
min 3 2 3
2
gx m m=− ⇒ ≤− ⇔ ≤−
.
Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 20 để hàm số
( )
32 2
62
y x x m xm=+ ++ +
đồng biến trên khoảng
( )
1;− +∞
.
A. 13. B. 14. C. 15. D. 16.
Lời giải
Ta có:
2
3 12 2y x xm
′
= + ++
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
[
)
( )
1; 0 1;yx
′
− +∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ − +∞
(Do hàm số đã cho liên tục trên
nên
ta có thể lấy
[
)
1;x ∈ − +∞
).
( )
[
)
( )
[
)
( ) ( )
2
1;
3 1 2 2 1; mi n *gx x x m x gx m
− +∞
⇔ = + + ≥− ∀ ∈ − +∞ ⇔ ≥−
Ta có:
( )
[
)
( )
( )
6 1 2 0 1; , 1 7gx x x g
′
= + > ∀ ∈ − +∞ − = −
.
Suy ra
( )
*7 7mm⇔− ≥− ⇔ ≥
.
Kết hợp
20
m
m
<
∈
⇒ có 13 giá trị của tham số m. Chọn A.
Ví dụ 7: Tìm tham số m để hàm số sau đồng biến trên
(
)
3
1
0; :
3
y x mx
x
+∞ = + −
.
A.
1m ≤
B.
0m ≤
C.
1
m ≥−
D.
2m ≥−
Lời giải
Ta có:
2
2
1
3
3
y xm
x
′
= ++
Hàm số đồng biến trên
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
1
0; 0 0; 3 0;
3
y x gx x m x
x
′
+∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ = + ≥ − ∀ ∈ +∞
.
( )
( ) ( )
0;
min *gx m
+∞
⇔ ≥−
.
Theo BĐT AM – GM ta có:
22
22
11
3 23 . 2
33
xx
xx
+≥ =
Do đó
(
)
*2 2
mm
⇔ ≥− ⇔ ≥−
. Chọn D.
Ví dụ 8: Tập hợp các giá trị của -m để hàm số
32
32y mx x x m=− + − +−
nghịch biến trên
( )
3; 0
−
là
A.
1
;
3

− +∞

. B.
. C.
1
;
3

−∞ −


. D.
1
;0
3

−

.
Lời giải
Ta có:
( )
32 2
3 2 3 23y mx x x m mx x
′
′
=− + − +− =− + −
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
23
0
3 2 30
3
3; 0
3; 0
3; 0
3; 0
x
y
m fx
mx x
x
x
x
x
−
′
≤
≥=
− + −≤

−⇔ ⇔ ⇔

∈−
∈−
∈−
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
23
23
23
0 3; 0
33
x
x
f x x fx
xx
′
−
−

′
= = > ∀∈− ⇒


đồng biến trên khoảng
( )
3; 0−
.
Do đó
( )
( )
( )
( )
( )
3;0
1 11
3 3; 0 ;
3 33
fx f x m m
−

< − = − ∀ ∈ − ⇒ ≥ − ⇔ ∈ − +∞

. Chọn A.
Ví dụ 9: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
( ) ( )
32
1
1 3 2017
3
y xmxm x m= −− −− +
đồng biến trên các khoảng
( )
3; 1−−
và
( )
0;3
là đoạn
[ ]
;T ab=
.
Tính
22
ab+
.
A.
22
10ab+=
. B.
22
13ab+=
. C.
22
8ab+=
. D.
22
5ab+=
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
2
21 3yx m xm
′
=− − −−
Để hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
3; 1−−
và
( )
0;3
thì
0y
′
≥
với mọi
( )
3; 1x ∈− −
và
( )
0;3x ∈
.
Hay
( )
( ) ( )
2
22
23
2 1 30 23 21
21
xx
x m x m x x mx m
x
++
− − − − ≥⇔ + +≥ + ⇔ ≥
+
với mọi
( )
0;3
x ∈
và
2
23
21
xx
m
x
++
≤
+
với
( )
3; 1x ∈− −
.
Xét
( )
( )( )
( )
( )
2
2
1
21 2
23
0
2
21
21
x
xx
xx
fx fx
x
x
x
′
=
−+

++
′′
= = →=⇔

= −
+
+

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
( )
fx
, để
( )
fx
đồng biến trên
( )
0;3
thì
2m ≤
, để
( )
fx
đồng biến
trên
( )
3; 1−−
thì
[ ]
22
1 1; 2 5m m ab≥− ⇒ ∈ − ⇒ + =
. Chọn D.
Ví dụ 10: Để hàm số
( ) ( )
3
2
1 34
3
x
y axa x
=−+− ++ −
đồng biến trên khoảng
( )
0;3
thì giá trị cần tìm của
tham số a là
A.
3a <−
. B.
3a >−
. C.
12
3
7
a−< <
. D.
12
7
a
≥
.
Lời giải
Ta có:
( )
2
21 3y x a xa
′
=− + − ++
Để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0;3
thì
( )
( )
0 0; 3yx
′
≥ ∀∈
( ) ( )
( )
2
2 1 3 0 0; 3x a xa x⇔− + − + + ≥ ∀ ∈
( )
( )( )
2
2
0;3
23
2 2 3 max *
21
xx
ax a x x a a f x
x
+−
⇔ +≥ + −⇔≥ ⇔≥
+
.
Xét hàm số
( )
2
23
21
xx
fx
x
+−
=
+
trên
(
)
0;3
.
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 28
0 0; 3
21
xx
f x x fx
x
++
′
= > ∀∈ ⇒
+
đồng biến trên khoảng
( )
0;3
.
Vậy
(
)
( )
12
3
7
fx f<=
. Do đó
( )
12
*
7
a⇔≥
. Chọn D.
Ví dụ 11: Giá trị của tham số m sao cho hàm số
( )
32
2 11
y x mx m x=− −+ +
nghịch biến trên khoảng
( )
0; 2
là
A.
1
m ≥−
. B.
11
9
m ≤
. C.
11
9
m ≥
. D.
1
m ≤−
.
Lời giải
Ta có:
2
34 1y x mx m
′
= − −−
Hàm số nghịch biến biến trên khoảng
( )
[ ]
( )
2
0; 2 3 4 1 0 0; 2x mx m x⇔ − − −≤ ∀∈
( ) ( )
( )
[ ]
( )
2
2
31
3 1 4 1 0; 2 0; 2
41
−
⇔ −≤ + ∀∈ ⇔ ≤ ∀∈
+
x
x mx x m x
x
.
Xét hàm số
( )
[ ]
( )
2
31
0; 2
41
x
gx x
x
−
= ∈
+
.
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
[ ]
( )
2
2
22
6 4 1 43 1
12 6 4
0 0; 2
41 41
xx x
xx
gx x
xx
+− −
++
′
= = > ∀∈
++
(
)
gx⇒
đồng biến trên đoạn
[ ]
0; 2
Ta có:
( )
[
]
( )
( )
2
3 1 11
m 0; 2 2
41 9
x
gx x m g
x
−
= ≤ ∀∈ ⇔ ≥ =
+
. Chọn C.
Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
32
22
y x mx x=−+
đồng biến trên khoảng
( )
2; 0−
.
A.
23m ≥−
. B.
23m ≤
. C.
13
2
m ≥−
. D.
13
2
m
≥
.
Lời giải
Cách 1: Ta có:
2
62 2y x mx
′
=−+
Hàm số đồng biến trên khoảng
( ) ( )
( )
2; 0 0 2; 0yx
′
− ⇔ ≥ ∀∈−
.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2;0
1
3 1 2; 0 3 2; 0 maxmxxxmxxmfx
x
−
⇔ ≤ + ∀∈− ⇔ ≥ + ∀∈− ⇔ ≥
Xét
( )
( )
( )
1
3 2; 0fx x x
x
= + ∈−
ta có
( )
( )
2
1
1
3
30
1
3
x loai
fx
x
x
=
′
=−=⇔
= −
Lại có
( )
( )
( )
0
2
13 1
lim ; lim , 2 3
2
3
x
x
fx fx f
+
→
→−
−

= −∞ = − = −


Vậy
23m ≥−
. Chọn A.
Cách 2:
( ) ( )
(
)
( )
( )
2;0
11
3 3 23 max 23fx x x fx
xx
−

= + =− − + ≤− ⇒ =−

−

khi
1
3
x = −
.
Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số
3
5
1
5
y x mx
x
=+−
đồng biế
n trên
khoảng
( )
0; +∞
?
A. 5. B. 3. C. 0. D. 4.
Lời giải
Ta có:
2
6
1
3y xm
x
′
= ++
Để hàm số đồng biến trên khoảng
( ) ( )
( )
0; 0 0;yx
′
+∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
6
0;
1
3 0; min *gx x m x gx m
x
+∞
⇔ = + ≥− ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥−
Lại có:
( )
2 2 2 2 222
4
6 66
1 11
3 4 ... 4gx x x x x xxx
x xx
= + =+++ ≥ =
(Bất đẳng thức AM – GM)
Do đó
( )
* 44mm⇔− ≤ ⇔ ≥−
.
Theo bài ta có
{ }
4;3;2;1m ∈−−−−
. Chọn D.
Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
( )
42
21 2
yx m x m= − − +−
đồng biến trên
khoảng
( )
1; 3
.
A.
1m ≤
. B.
1m <
. C.
2m ≤
. D.
2m <
.
Lời giải
Ta có:
(
)
3
44 1yx mx
′
=−−
Hàm số đồng biến trên khoảng
(
) (
)
[
]
( )
3
1; 3 4 4 1 0 1; 3x mx x⇔ − − ≥ ∀∈
(Do hàm số đã cho liên tục trên
nên ta có thể lấy x trên đoạn
[ ]
1; 3
)
(
)
[ ]
(
)
[ ]
(
)
2
1;3
1 1; 3 mi n 1 1 1 2
gx x m x gx m m m⇔ = ≥− ∀∈ ⇔ ≥−⇔≥−⇔≤
. Chọn C.
Ví dụ 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
4 22
y x mx m=−+
đồng biến trên khoảng
(
)
0; 4
.
A.
( )
2; 2m ∈−
. B.
(
)
0; 2
m
∈
. C.
m ∈∅
. D.
{ }
0m ∈
.
Lời giải
Ta có:
32
42y x mx
′
= −
Do hàm số đã cho liên tục trên
nên nó đồng biến trên khoảng
( )
[ ]
( )
0; 4 0 0; 4yx
′
⇔ ≥ ∀∈
[ ]
( )
[ ]
( )
3 2 22 2
4 2 0 0; 4 2 0; 4 0 0
x mx x x m x m m⇔ − ≥ ∀∈ ⇔ ≥ ∀∈ ⇔ ≤ ⇔ =
. Chọn D.
Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
( )
( )
3 22
2
23 2 3 1
3
y x m x m mx=−− + − +
nghịch biến trên khoảng
( )
1; 3
?
A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
22
2 22 3 2 3 2 3 0 3y x m x m m xm x m m xm
′
= − − + − = − − − <⇔ −<<


Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1; 3 3 1 3 3 4m mm⇔ −≤≤≤ ⇔ ≤ ≤
.
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số
{ }
3; 4m =
. Chọn C.
Ví dụ 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
( )
( )
32
2
21 2 1
32
xx
y m mm x= − − + −− +
nghịch biến trên khoảng
( )
1; 2
.
A. 0. B. 1. C. Vô số. D. 3.
Lời giải
Ta có
(
)
(
) (
)
22
21 2 2 1
yx m xmm xm xm
′
=− − +−−=−− −+


.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
(
) (
) (
)
( )
1; 2 0, 1; 2 2 1 0y x xm xm
′
⇔≤∀∈ ⇔−− −+≤


.
21m xm⇔ −≤≤ +
Với
( )
1 21 3
1; 2 1 3
2 12 1
xm m
xm
xm m
≥⇒ −≤⇔ ≤
∈ ⇒ ⇒≤ ≤
≤ ⇒ +≥ ⇔ ≥
.
Suy ra có ba giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1; 2
. Chọn D.
Ví dụ 18: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
(
)
22
443f x x mx m
=+++
nghịch biế
n trên
khoảng
( )
;2−∞
.
A.
1m ≤−
. B.
1
m
>−
. C.
2m ≤
. D.
2m >
.
Lời giải
Hàm số xác định
(
)
2
22
4 4 30 2 30
x mxm xm
⇔ + + +≥⇔ + +≥
(Luôn đúng).
Ta có
( )
(
)
22
22
2
443
443
xm
f x x mx m
x mx m
′
+
′
= + + +=
+++
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
;2−∞
, khi đó
( )
( )
( )
( )
22
2
0 ;2 0 ;2
443
xm
yx x
x mx m
+
′
≤ ∀ ∈ −∞ ⇔ ≤ ∀ ∈ −∞
+++
Suy ra
( )
(
)
(
)
( )
2
2 0 ;2 ;2 1
22
x
xmxmxm
−
+ ≤ ∀ ∈ −∞ ⇔ ≤ − ∀ ∈ −∞ ⇔ ≤ = −
. Chọn A.
Ví dụ 19: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
( )
32
3 32 1 1y x mx m x=− + −+
nghịch biến trên
đoạn có độ dài bằng 2?
A.
0, 2mm= =
. B.
1m =
. C.
0m
=
. D.
2m =
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
32 2
3 32 1 1 3 6 32 1y x mx m x x mx m
′
′

=−+−+=−+−

.
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ⇔ PT
0y
′
=
là hai nghiệm
12
, xx
thỏa mãn
12
2xx−=
.
Hàm số có hai cực trị, khi đó
(
) ( )
( )
2
2
Δ 0 9 92 1 0 1 0 1y mm m m
′′
>⇔ − − >⇔ − >⇔ ≠
.
Khi đó
(
)
2
12
12 12
12
+ 2
24
. 21
xx m
xx xx
xx m
=
⇒−=⇔ − =
= −
(
) ( )
2
22
1 2 12
0
4. 44 42144 8 0
2
m
x x xx m m m m
m
=
⇔+− =⇔− −=⇔−=⇔
=
. Chọn A.
Ví dụ 20: Tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện để hàm số
(
)
32
1
32
3
y x mx m x m
= − +− +
nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng
25
là:
A.
2T =
. B.
2
T = −
. C.
4
T = −
. D.
4T
=
.
Lời giải
Ta có:
2
2 32y x mx m
′
= − +−
.
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng
25
khi phương trình
( )
2
2 3 2 0*x mx m− +− =
có 2
nghiệm phân biệt thỏa mãn
12
25xx−=
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi
2
Δ 2 30mm
′
= + −>
Theo định lí Vi-et ta có:
12
12
2
. 32
xx m
xx m
+=
= −
Ta có:
( ) ( ) ( )
22
2
12 12 12 12
2 5 20 4 20 4 8 12 20 /xx xx xx xx m m tm−= ⇔− =⇔+ − =⇔ +−=
4
2
2
m
T
m
= −
⇔ ⇒=−
=
. Chọn B.
Ví dụ 21: Xác định giá trị của b để hàm số
( )
sinf x x bx c= −+
nghịch biến trên toàn trục số.
A.
1
b ≤
. B.
1b <
. C.
1b >
. D.
1b
≥
.
Lời giải
Ta có:
cosy xb
′
= −
. Hàm số nghịch biến trên
cos 0 cos 1xbxbxxb⇔ − ≤ ∀∈ ⇔ ≥ ∀∈ ⇔ ≥
.
Chọn D.
Ví dụ 22: : Xác định giá trị của m để hàm số
( )
sin 2f x x mx c= ++
đồng biến trên
.
A.
2m
≥
. B.
22
m−≤ ≤
. C.
2m
>
. D.
2m
≥−
.
Lời giải
Ta có:
2cos 2
y xm
′
= +
.
Hàm số đồng biến trên
( )
0 min 2 0 2
′′
⇔ ≥ ∀∈ ⇔ =−+ ≥ ⇔ ≥
yx y mm
. Chọn A.
Ví dụ 23: Xác định giá trị của m để hàm số
( )
sin cos 1ym x x m x= + ++
đồng biến trên
.
A.
0m ≥
. B.
11m−≤ ≤
. C.
1m >
. D.
1m ≥−
.
Lời giải
Ta có:
cos sin 1y m x xm
′
= − ++
.Hàm số đồng biến trên
( )
0yx
′
⇔ ≥ ∀∈
.
22
22
1
min 1 1 0 1 1
21 1
≥−
′
⇔ =− ++ +≥ ⇔ +≥ +⇔
+ +≥ +
m
ymm m m
mm m
0
m⇔≥
. Chọn A.
Ví dụ 24: Xác định giá trị của tham số m để hàm số
( ) ( )
3 2 1 cosym x m x=−− +
luôn nghịch biến trên
.
A.
2
4
3
m−≤ ≤
. B.
43
m−≤ ≤
. C.
2
1
3
m
−≤ ≤
. D.
13
m−≤ ≤
.
Lời giải
Ta có:
(
)
3 2 1 sinym m x
′
= −+ +
. Hàm số nghịch biến trên
( )
0yx
′
⇔ ≤ ∀∈
( ) (
)
22
2
3
3
max 32103 21
3 10 8 0
3 21
≤
≤
′
⇔ = −+ +≤ ⇔− ≥ +⇔ ⇔

+ −≤
−≥+
m
m
ym m m m
mm
mm
2
4
3
m⇔− ≤ ≤
. Chọn A.
Ví dụ 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
( )
( )
3 22 2
3 6 3 12=− + + + +−y x m x m mx m m
nghịch biến trên đoạn
[
]
1; 3
.
A.
01
m≤≤
. B.
1
0
m
m
≥
≤
. C.
11m−≤ ≤
. D.
1
1
m
m
≥
≤−
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( )
( )
22
3 6 2 3 4 3 4 ; 0
4
xm
y x m x m m xmxm y
xm
=
′′
= − + + + = − −− =⇔
= +
.
Do đó phương trình
0y
′
=
luôn có 2 nghiệm phân biệt
Bảng biến thiên
x
−∞
m m + 4
+∞
y
′
+ 0
−
0 +
y
Để hàm số nghịch biến trên
[ ]
1; 3
thì
11
11
43 1
mm
m
mm
≤≤

⇔ ⇔− ≤ ≤

+ ≥ ≥−

. Chọn C.
Ví dụ 26: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
(
)
32 2
6 12 3 3y x mx m x m
= − + − ++
nghịch biến
trên đoạn
[ ]
0;1
.
A.
11
m−≤ ≤
. B.
1
1
m
m
≥
≤−
. C.
1
2
0
m
m
≥
≤
. D.
1
0
2
m
≤≤
.
Lời giải
Ta có:
(
)(
)
22
21
3 12 12 3 3 2 1 2 1 ; 0
21
xm
y x mx m xm xm y
xm
= +
′′
= − + −= −+ −− =⇔
= −
.
Do đó phương trình
0
y
′
=
luôn có 2 nghiệm phân biệt
Bảng biến thiên
x
−∞
2m – 1 2m + 1
+∞
y
′
+ 0
−
0 +
y
Để hàm số nghịch biến trên
[ ]
0;1
thì
1
2 10
1
0
2
2 11
2
0
m
m
m
m
m
−≤
≤
⇔ ⇔≤ ≤

+≥
≥
. Chọn D.
Ví dụ 27: Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[ ]
20; 20−
để hàm số
(
)
( )
3 22
3 1 9 6 21y x m x m mx m
=− − − − ++
nghịch biến trên khoảng
( )
2; 4
là:
A. 17. B. 36. C. 19. D. 41.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 6 1 3323 32 0y x m x mm xmx m
′
= − − − −= + − − <


Để hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
2; 4
thì:
TH1:
2
243 2 2
2
m
mm m
m
≥−
−≤<≤ −⇔ ⇔ ≥
≥
.
TH2:
4
3 224 4
4
3
m
mm m
m
≤−
− ≤ < ≤− ⇔ ⇔ ≤−
≤
.
Kết hợp
[ ]
20; 20
m
m
∈
⇒
∈−
có 36 giá trị nguyên của m. Chọn B.
Ví dụ 28: Cho hàm số
( )
32
23 1 6y x m x mx=−++
. Số giá trị nguyên dương của m để hàm số đã cho đồng
biến trên khoảng
( )
2; +∞
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Yêu cầu bài toán
( )
( )
( )
( )
2
6 1 0 2;y x mx x m x
′
⇔ = − + + ≥ ∀ ∈ +∞
( )( ) ( )
( )
( )
( )
1 0 2; 2; 2x xm x x m x m⇔ − − ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥
.
Kết hợp
{
}
1; 2mm
+
∈ ⇒=
. Chọn B.
Ví dụ 29: Cho hàm số
( )
32
2 3 2 12 1y x m x mx=−+ + +
. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của
[ ]
10;10m ∈−
để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
3; +∞
. Số phần tử của tập hợp S là
A. 13. B. 14. C. 15. D. 16.
Lời giải
Ta có:
(
)
( )
22
66 2120 2 20
′
=− ++ ≥⇔−++≥
yx mxm xmxm
.
Giả thiết
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 0 3 0 3 3 3xmx x xm x x m x m⇔ − − ≥ ∀> ⇔ − ≥ ∀> ⇔ ≥ ∀> ⇔ ≥
.
Kết hợp
[ ]
10;10
m
m
∈
⇒
∈−
có 14 giá trị của m. Chọn B.
Ví dụ 30: Cho hàm số
(
)
32 2
3 3 11y x mx m x=− + −+
. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của
[ ]
20; 20m ∈−
để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
0; +∞
. Số phần tử của tập hợp S là
A. 22. B. 19. C. 21. D. 20.
Lời giải
Ta có:
( )
22
36 3 1
y x mx m
′
=−+ −
. Ta có:
(
)
22
0 2 10
y x mx m
′
≥⇔ − + −≥
( )( )
1
1 10
1
xm
xm xm
xm
≥+
⇔ −− −+≥⇔
≤−
.
Do vậy hàm số đồng biến trên
(
]
;1m−∞ −
và
[
)
1;m + +∞
Để hàm số đã cho đồng biến trên
( )
0; 1 0 1mm+∞ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ −
Kết hợp
[ ]
20; 20
m
m
∈
⇒
∈−
có 20 giá trị nguyên của m. Chọn D.
Ví dụ 31: Cho hàm số
( )
42
43 2 2 1yx m x m=−+ − + +
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc
đoạn
[ ]
20; 20−
để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;2−∞ −
A. 22. B. 23. C. 21. D. 20.
Lời giải
Ta có:
( )
3
4 83 2y x mx
′
=−+ −
. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;2−∞ −
.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
32
4 8 3 2 0 ; 2 2 3 2 0 ; 2x mx x x m x⇔ − + − ≥ ∀ ∈ −∞ − ⇔ − − ≥ ∀ ∈ −∞ −
(Do
( )
( )
4 0 ; 2xx− ≥ ∀ ∈ −∞ −
)
( ) ( )
( )
(
)
( )
22
;2
4
232 ;2 232min 4322
3
m xx m x m m
−∞ −
⇔ −≤ ∀∈−∞− ⇔ −≤ =⇔ −≤⇔≤
.
Kết hợp
[
]
20; 20
m
m
∈
⇒
∈−
có 22 giá trị của m. Chọn A.
Ví dụ 32: Cho hàm số
( )
42
22 3 1yx m x m= − + +−
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[ ]
10;10
−
để hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
0;3
.
A. 8. B. 7. C. 6. D. 5.
Lời giải
Ta có:
( )
3
4 42 3yx mx
′
=−+
. Hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
0;3
.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
32
4 4 2 3 0 0;3 2 3 0 0; 3x mx x x m x⇔ − + ≤ ∀∈ ⇔ − + ≤ ∀∈
( )
( )
2
23 0;3 239 3xm x m m⇔ ≤ + ∀∈ ⇔ + ≥ ⇔ ≥
Kết hợp
[
]
10;10
m
m
∈
⇒
∈−
có 8 giá trị của m. Chọn A.
Ví dụ 33: Cho hàm số
( )
4 22
8 5 31yx m x m=− − +−
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc
đoạn
[ ]
10;10−
để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
3;
+∞
.
A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.
Lời giải
Ta có:
( )
32
48 5yx m x
′
=−−
. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
3; +∞
.
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
32 2 2
4 8 5 0 3; 2 5 0 3;xmx x xm x
⇔ − − ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ − − ≥ ∀ ∈ +∞
.
( )
( )
( )
(
)
22 2 2
19
25 3; 259
2
m xx m m⇔ −≤ ∀∈+∞⇔ −≤⇔ ≤
.
Kết hợp
{ }
0;1;2;3mm∈ ⇒ = ±±±
. Chọn D.
Loại 2: Tính đồng biến nghịch biến của hàm số phân thức chứa tham số.
Xét hàm số
+
=
+
ax b
y
cx d
. TXĐ:
\
−

=


d
D
c
.
Ta có
( )
2
+−
′
= ⇒=
+
+
ax b ad bc
yy
cx d
cx d
.
Nếu
=ad bc
thì hàm số đã cho suy biến thành hàm hằng. Do đó:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
0⇔ −>ad bc
.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó
0⇔ −<
ad bc
.
Hàm số đồng biến trên miền
( )
(
)
(
)
0
; 0 ;
;
−>
′
= ⇔ > ∀∈ ⇔
−
∉
ad bc
D ij y x ij
d
ij
c
.
Hàm số nghịch biến trên miền
( ) ( )
( )
0
; 0 ;
;
−<
′
= ⇔ < ∀∈ ⇔
−
∉
ad bc
D ij y x ij
d
ij
c
.
Ví dụ 1: Cho hàm số
1
2
x
y
xm
+
=
−
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
; 10−∞ −
.
Lời giải
a) TXĐ:
{
}
\2Dm=
. Ta có:
( )
2
21
2
m
y
xm
−−
′
=
−
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi
(
)
0 2 1 0
y xD m
′
> ∀ ∈ ⇔− − >
1
21
2
mm⇔− > ⇔ <−
.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1
1
; 10 5
2
2
2 10
m
m
m
<−
−∞ − ⇔ ⇔ − ≤ < −
≥−
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2xm
y
xm
+−
=
−
a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
5; +∞
.
Lời giải
a) TXĐ:
{ }
\Dm=
. Ta có:
( ) ( )
22
2 22mm m
y
xm xm
−−+ − +
′
= =
−−
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi
2 20 2 2 1m mm− +<⇔ >⇔ >
b) Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1
5; 1 5
5
m
m
m
>
+∞ ⇔ ⇔ < ≤
≤
.
Ví dụ 3: Cho hàm số
4mx m
y
xm
+
=
+
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để
hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.
A. 5. B. 4. C. Vô số. D. 3.
Lời giải
Ta có:
(
)
2
2
4mm
y
xm
−
′
=
+
. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định
(
)
0
y xm
′
⇔ < ∀ ≠−
2
4 0 0 4 1, 2, 3
m
mm m m m m
∈
⇔ − < ⇔ < < → = = =
. Chọn D.
Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số
16
mx
y
xm
−
=
−
đồng biến trên các khoảng xác định là
A. 8. B. 7. C. 6. D. 5.
Lời giải
TXĐ:
{ }
\Dm=
. Ta có:
( )
2
2
16m
y
xm
−+
′
=
−
. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
( )
( )
2
0 16 0 4 4
y xD m x D m
′
⇔>∀∈⇔+>∀⊂⇔−<<
.
Kết hợp
{ }
3; 2; 1; 0;1; 2; 3
mm∈ ⇒ ∈− − − ⇒
có 7 giá trị của tham số m. Chọn B.
Ví dụ 5: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số
4
2
mx
y
xm
−
=
−
đồng biến trên các khoảng xác định là
A. 4. B. 7. C. 6. D. 5.
Lời giải
TXĐ:
\
2
m
D

=


. Ta có:
( )
2
2
8
2
−+
′
=
−
m
y
xm
. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
( )
2
0 8 0 2 2 2 2.
′
⇔ > ∀ ∈ ⇔ + > ⇔− < <y xD m m
Kết hợp
{ }
2; 1; 0;1; 2∈ ⇒ ∈− − ⇒mm
có 5 giá trị của tham số m. Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hàm số
( )
1 20mx
y
xm
++
=
+
. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Số phần tử của tập hợp S là:
A. 8. B. 9. C. 10. D. 11.
Lời giải
TXĐ:
{ }
\Dm= −
. Ta có:
( )
( )
2
1 20mm
y
xm
+−
′
=
+
.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
( )
2
0 20 0 5 4y xD m m m
′
⇔ > ∀ ∈ ⇔ + − > ⇔− < <
.
Kết hợp
{ }
4; 3; 2; 1; 0;1; 2; 3mm∈⇒ ∈−−−− ⇒
có 8 giá trị của tham số m. Chọn A.
Ví dụ 7: Cho hàm số
54mx m
y
xm
−− +
=
+
. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số
[ ]
10;10m ∈−
để
hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Tổng các phần tử của tập hợp S là:
A. 16. B. −10. C. −15. D. 15.
Lời giải
TXĐ:
{ }
\Dm=
. Ta có:
( )
2
2
54mm
y
xm
−+ −
′
=
−
.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
(
)
2
4
0 5 4 0
1
m
y xD m m
m
>
′
⇔ < ∀ ∈ ⇔− + − < ⇔
<
.
Kết hợp
{
} { }
10; 9;...;0 5;6;7;8;9;10
∈ ⇒ ∈− − ∪
mm
.
Tổng các phần tử của tập hợp S bằng
4321 10−−− −=−
. Chọn B.
Ví dụ 8: Số giá trị nguyên của tham số
[ ]
10;10m
∈−
để hàm số
1
2
mx
y
mx
+
=
−
nghịch biến trên từng khoảng
xác định là:
A. 10. B. 11. C. 12. D. 13.
Lời giải
Với
1
0
2
my
−
=⇒=
không thỏa mãn yêu cầu.
Với
0m ≠
. TXĐ:
2
\D
m

=


. Ta có:
( )
2
3
2
m
y
mx
−
′
=
−
.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
0 3 0 0
′
⇔ < ∀ ∈ ⇔− < ⇔ >y xD m m
.
Vậy có 10 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu. Chọn A.
Ví dụ 9: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số
1
2
xm
y
mx
++
=
+
đồng biến trên từng khoảng xác định.
A. 2. B. 3. C. 4. D. Vô số.
Lời giải
Với
1
0
2
x
my
+
=⇒=
(thỏa mãn đồng biến trên khoảng xác định).
Với
0m ≠
khi đó TXĐ:
2
\D
m
−

=


. Ta có:
( )
( )
2
21
2
mm
y
mx
−+
′
=
+
.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định
( )
2
0 2 0 2 1y xD m m m
′
⇔ > ∀ ∈ ⇔− − + > ⇔− < <
.
Kết hợp
{ }
1; 0mm∈⇒ =−
. Chọn A.
Ví dụ 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
2
5
x
y
xm
+
=
+
đồng biến trên khoảng
(
)
; 10
−∞ −
?
A. 3. B. Vô số. C. 1. D. 3.
Lời giải
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
; 10−∞ −
( )
( )
( )
2
52
0
5
; 10
5 10
m
y
xm
x
m
−
′
= >
+
⇔ ∀ ∈ −∞ −
− ≥−
2
2
5
m
⇔<≤
. Kết hợp
{ }
1; 2mm∈⇒ =
.
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
6
5
x
y
xm
+
=
+
nghịch biến trên khoảng
( )
10; +∞
?
A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5.
Lời giải
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
10; +∞
( )
( )
( )
2
56
0
5
10;
5 10
m
y
xm
x
m
−
′
= <
+
⇔ ∀ ∈ +∞
−≤
6
2
5
m
⇔− < ≤
. Kết hợp
{ }
2; 1; 0;1mm∈ ⇒ =−−
.
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
Ví dụ 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
( )
1 12
mx
y
xm
++
=
+
nghịch biến trên khoảng
( )
;0−∞
?
A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5.
Lời giải
Ta có:
( )
2
2
12mm
y
xm
−−
′
=
+
. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
( )
2
12 0
;0
;0
mm
m
−− <
−∞ ⇔
− ∉ −∞
34
30
0
m
m
m
−< <
⇔ ⇔− < ≤
−≥
. Kết hợp
{ }
2; 1; 0mm∈ ⇒ =−−
.
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
20
1
mx
y
xm
+
=
+−
nghịch biến trên khoảng
( )
0; +∞
?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải
Ta có:
( )
2
2
20
1
mm
y
xm
−−
′
=
+−
. Hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
( ) ( )
2
20 0
0;
1 0;
mm
m
−− <
+∞ ⇔
− ∉ +∞
45
15
10
m
m
m
−< <
⇔ ⇔≤ <
−≤
. Kết hợp
{ }
1;2;3;4mm∈⇒ =
.
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Ví dụ 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
27x
y
xm
+
=
−
nghịch biến trên khoảng
( )
2; +∞
?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải
Ta có:
( )
2
27m
y
xm
−−
′
=
−
. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
( )
2 70
2;
2;
m
m
− −<
+∞ ⇔
∉ +∞
7
7
2
2
2
2
m
m
m
−
>
−
⇔ ⇔ <≤
≤
.
Kết hợp
{ }
3; 2; 1; 0; 1; 2mm
∈ ⇒ =−−−
⇒
có 6 giá trị nguyên của tham số m. Chọn D.
Ví dụ 15: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số
2
5
21
mx
y
mx
+
=
+
nghịch biế
n trên
khoảng
( )
3; +∞
?
A. 55. B. 35. C. 40. D. 45.
Lời giải
HD: Điều kiện:
1
2
x
m
≠−
. Ta có:
( )
2
2
10
21
mm
y
mx
−
′
=
+
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
2
0 10
0
10 0
0
3; 0 10
1
61
3
0
1
2
2
6
m
y
mm
m
m
m
m
m
m
<<
′
<
−<
>

+∞ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <

+
−≤
≥

≤−
Mà
{ }
1; 2; 3; 4; 5;6;7;8;9mm∈⇒∈ ⇒
Tổng các số nguyên là 45. Chọn D.
DẠNG 3: BÀI TOÁN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HỢP
Loại 1: Đổi biến số
Xét bài toán: Tìm m để hàm số
(
)
y f ux
=


đồng biến hoặc nghịch biến trên
( )
;D ab=
.
Phương pháp giải:
Cách 1: Đặt ẩn phụ: Đặt
(
) (
)
(
)
(
)
,
x a t ua
t ux t u x
x b t ub
= ⇒=
′′
= ⇒=
=⇒=
Nếu
( ) ( )
0 t ux x D
′′
= > ∀∈
thì bài toán đồng (nghịch) biến trở thành bài toán tìm m để hàm số
( )
y ft
=
đồng (nghịch) biến trên
(
) (
)
( )
;
t
D ua ub
=
.
Nếu
( ) ( )
0 t ux x D
′′
= < ∀∈
thì bài toán đồng (nghịch) biến trở thành bài toán tìm m để hàm số
( )
y ft
=
nghịch (đồng) biến trên
( ) ( )
(
)
;
t
D ua ub=
.
Cách 2: Tính trực tiếp đạo hàm. Chú ý công thức đạo hàm của hàm hợp:
( ) ( )
.y f uu x
′′ ′
=
.
Ví dụ 1: [Đề minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số
tan 1
tan
x
y
xm
−
=
−
đồng biến trên khoảng
0;
4
π



.
A.
0
12
m
m
≤
≤<
. B.
0m ≤
. C.
12m≤<
. D.
2m
≥
.
Lời giải
Cách 1: ĐK:
tan xm≠
.
Khi đó
( )
2
2
21
.
cos
tan
m
y
x
xm
−+
′
=
−
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2
2
tan
21
0; 0;
.0
44
cos
tan
xm
m
x
x
xm
ππ
≠

 
−+
⇔ ∀∈
 

>
 

−
.
0
0
1
12
20
m
m
m
m
m
≤
≤
⇔⇔
≥
≤<
−+>
. Chọn A.
Cách 2: [Đặt ẩn phụ] Đặt
2
1
tan 0 0;
cos 4
t xt x
x
π


′
= ⇒ = > ∀∈




; với
( )
0; 0;1
4
xt
π

∈ ⇒∈


.
Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số
( )
2t
ft
tm
−
=
−
đồng biến trên khoảng
( )
0;1
( )
( )
( )
( )
2
1
0
2
0 0;1
0
12
2
mt
m
m
m
ft t
m
m
tm
m
≠
≥
⇔
≤
−+

′
= > ∀∈ ⇔ ⇔
≤
≤<
−
<
. Chọn A.
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
cos 2
2cos
mx
y
xm
−
=
−
nghịch biến trên khoảng
;
32
ππ



.
A.
20m−< ≤
hoặc
12m
≤<
. B.
12m≤<
.
C.
20m
−< ≤
. D.
2m ≥
.
Lời giải
Ta có:
( )
(
)
( )
( )
2
2
22
4 sin
4
. sin
2cos 2cos
mx
m
yx
xm xm
−
−+
′
= −=
−−
Hàm số đã cho nghịch biến trên
2
40
; 0 ;
32 32
2cos ;
32
m
yx
xm x
ππ ππ
ππ
−<

 
′
⇔ < ∀∈ ⇔


 

≠ ∀∈
 





(
)
22
20
0;1
12
−< <
−< ≤
⇔⇔

∉
≤<
m
m
m
m
. Chọn A.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
cos 2
cos
x
y
xm
−
=
−
nghịch biến trên khoảng
;0
2
π

−


.
A.
0m ≤
hoặc
12
m
≤<
. B.
0m ≤
.
C.
12m≤<
D.
2m
≥
.
Lời giải
Ta có:
(
)
2
2
.sin
cos 1
m
yx
mx
−+
′
=
−
. Do đó
sin 0 ;0
2
xx
π
−

< ∀∈




.
Hàm số nghịch biến trên
( )
2
20
0
;0
1
0;1
12
2
0
m
m
m
m
m
m
m
π
<
−+>
≤
−


⇔ ⇔⇔
≥


∉
≤<

≤
. Chọn A.
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số
2cos 3
2cos
x
y
xm
+
=
−
nghịch biến trên khoảng
0;
3
π



.
A.
3m >−
. B.
3
2
m
m
≤−
≥
. C.
3m <−
. D.
31
2
m
m
−< ≤
≥
.
Lời giải
Ta có:
(
)
(
)
2
2 6 sin
2cos 3
2cos
2cos
mx
x
y
xm
xm
′
+
+

′
= =

−

−
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
2 6 sin 0
0
0;
0;
3
0;
3
3
mx
y
x
x
π
π
π
′
+<
<


⇒⇒




∈
∈






2 60 3mm⇔ + < ⇔ <−
.
Mặt khác
(
)
2cos 0 2cos
1; 2 3
1
0; cos ;1
32
xm m x
mm
xx
π
−≠ ≠


⇔ ⇔ ∉ − ⇒ <−


∈ ∈−




. Chọn C.
Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
cot 1
cot 1
x
y
mx
−
=
−
đồng biến trên khoảng
;
42
ππ



.
A.
(
) ( )
; 0 1;m ∈ −∞ ∪ +∞
. B.
( )
1;m ∈ +∞
. C.
( )
;0m ∈ −∞
. D.
( )
;1m
∈ −∞
.
Lời giải
Ta có:
( )
2
2
11
.
sin
cot 1
m
y
x
mx
−+

′
= −


−
+ Với
2
1
0 1 cot 0
sin
m y xy
x
′
=⇒=− ⇒ = >⇒
Hàm số đồng biến trên khoảng
;
42
ππ



.
+ Với
0m ≠
, hàm số đồng biến trên khoảng
0
;;
1
42 42
cot
y
x
x
m
ππ ππ
′
>

 
⇔ ∀∈
 

≠
 

( )
1
10
1
1
0
1
0
0;1
1
1
m
m
m
m
m
m
m
<
−>
<
≤
⇔ ⇔⇔

≠
∉

≥
.
Kết hợp 2 trường hợp suy ra
1m <
là giá trị cần tìm. Chọn D.
Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số
2
2
sin 16
cos 1
mx
y
xm
−
=
+−
nghịch biến trên khoảng
0;
2
π



.
A. 5. B. 8. C. 7. D. 6.
Lời giải
Ta có:
( )
22
22
22
sin 16 sin 16
Do cos 1 sin
cos 1 sin
mx mx
y xx
xm xm
−−
= = −=−
+− − +
Khi đó
(
)
( )
( )
22
2
22
22
16 16
. sin .2sin cos
sin sin
mm
y x xx
xm xm
−−
′
′
= =
−+ −+
Do
2sin cos 0 0;
2
xx x
π


> ∀∈




do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
2
2
16 0
44
0;
0;1
2
sin 0;
2
m
m
m
xm x
π
π
−<
−< <


⇔⇔




∉
≠ ∀∈





.
Kết hợp
m ∈⇒
có 7 giá trị của m. Chọn C.
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
14
1
mx
y
xm
−−
=
−−
đồng biến trên khoảng
( )
0;1
.
A.
2
2
m
m
<−
>
. B.
22
m
−< <
. C.
20
12
m
m
−< ≤
≤<
. D.
20
12
m
m
−< <
<<
.
Lời giải
Đặt
( )
( )
1
1 0 0;1
21
t xt x
x
−
′
= − ⇒ = < ∀∈
−
với
( )
( )
0;1 0;1xt
∈ ⇒∈
Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số
( )
4mt
ft
tm
−
=
−
nghịch biến trên khoảng
( )
0;1
.
( )
( )
( )
( )
2
2
1
0
2
0;1
4
0
2
2
2
m
mt
m
m
t
m
ft
m
m
tm
m
≥
≠
≤
>

⇔ ∀∈ ⇔ ⇔
−+

′
= <
<−
>

−
<−
. Chọn A.
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
15 2
15
x
y
xm
−−
=
−−
nghịch biến trên khoảng
1
0;
5



.
A.
m0
1m2
≤
≤<
B.
m0≤
C.
1m2≤<
D.
m2>
Lời giải
Đặt
51
1 5 0 0;
5
21 5
t xt x
x
−

′
= − ⇒ = < ∀∈


−


với
( )
1
0; 0;1
5
xt

∈ ⇒∈


Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số
( )
2t
ft
tm
−
=
−
đồng biến trên khoảng
( )
0;1
.
(
)
(
)
( )
(
)
2
1
0
2
0;1
0
0
12
2
mt
m
m
m
t
m
ft
m
tm
m
≠
≥
≤

−+
⇔ ∀∈ ⇔ ⇔
≤

′
= >
≤<

−
<
. Chọn A.
Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số
(
)
( )
2
4
2 33
3
y mx x x x x
= − − − −−
luôn
đồng biến trên tập xác định.
A.
2
3
m
≥
. B.
1
2
m
≥
. C.
4
3
m
≥
. D.
3
2
m
≥
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( )
2
4
2 3 3 2 1 2 3 1; 3
3
y mx x x x x y mx x x
′
= − − − −−→ = − − −− ∀≥
Đặt
( )
2
1
30 0 3 3
23
t x t x xt
x
′
= − ≥ ⇒ = > ∀> ⇔ = +
−
, khi đó
( )
( )
2
2 2 21y f t mt t
′
= = +−−
.
Để hàm số đồng biến trên tập xác định
(
)
(
)
2
0; 0 2 2 2 1; 0
f t t mt t t> ∀≥ ⇔ + ≥ + ∀≥
.
[
)
(
)
2
0;
21
2 ; 0 2 max
2
t
m t m gt
t
+∞
+
⇔ ≥ ∀≥ ⇒ ≥
+
với hàm số
( )
2
21
2
t
gt
t
+
=
+
Mặt khác
( )
( )
( )
[
)
( )
2
22
0;
1
21
1 1 0 1 max 1
22
t
t
gt gt gt
tt
+∞
−
+
−= −=− ≤ ⇔ ≤⇒ =
++
Vậy
1
21
2
mm≥⇔ ≥
là giá trị cần tìm. Chọn B.
Loại 2: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho trực tiếp
Phương pháp giải:
Công thức đạo hàm của hàm hợp
( ) ( )
.fu f uu
′
′′
=


.
Lập bảng xét dấu
y
′
của hàm số đã cho và kết luận.
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( ) ( ) ( )( )
2
121 1fx x x x
′
=− −+
trên
.
a) Tìm khoảng đồng biến của hàm số
(
) ( )
12gx f x= −
.
b) Tìm khoảng nghịch biến của hàm số
( ) ( )
3hx f x= +
.
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
12 12 .12 212 1 212 112 1gx f x f x x x x x
′
′
′′
= − = − − =−−− − − −+


( ) ( )( ) ( )( )
22
8 1 4 2 2 16 4 1 1gx x x x x x x
′
⇒ =− − −=− − −
Bảng xét dấu cho
( )
gx
′
.
x
−∞
0
1
4
1
+∞
( )
gx
′
−
0
−
0 + 0
−
Vậy hàm số
(
)
gx
đồng biến trên khoảng
1
;1
4



.
b) Ta có:
( ) ( ) (
) (
)
( )
( ) ( )
2
3 3. 3 3 1 2 3 1 3 1hx fx f x x x x x
′
′
′′
= + = + + = +− + − ++


(
) (
)
( )
( )
2
225 40hx x x x
′
⇒ =+ + +<
Bảng xét dấu cho
( )
hx
′
x
−∞
−4
5
2
−
−2
+∞
( )
hx
′
+ 0
−
0 + 0 +
Vậy hàm số
( )
hx
nghịch biến trên khoảng
5
4;
2
−

−


.
Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
y fx
=
có đạo hàm trên
và
( ) ( )( )
12fx x x
′
=+−
.
a) Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
( )
(
)
2
2
gx f x= −
.
b) Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
( ) ( )
2
3
1 51
2
x
hx f x x= −+ −+
.
Lời giải
a) Ta có:
(
)
(
) (
)
( )
(
)(
)
2 2 2 22
2. 2 2. 2 1 2 2 2. 1 4
g x xf x xx x xx x
′′
= − = −+ −− = − −
.
Bảng xét dấu cho
( )
gx
′
.
x
−∞
−2
−1
1 2
+∞
( )
gx
′
+ 0
−
0 + 0
−
0 +
Vậy hàm số
( )
gx
đồng biến trên các khoảng
( )
;2−∞ −
;
( )
1;1
và
( )
2; +∞
. Vậy hàm số
( )
gx
nghịch biến
trên các khoảng
( )
2; 1−−
và
( )
1; 2
.
b) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 35 1 35 1 11 235hxfxx fxx x x x
′′ ′
= − + −=− − + −=− −+ −− + −


(
)( ) ( )
2
2 1 3 5 4 3 1 ( 3)x xx xx x x= − −− + − =− + − =− − −
.
Bảng xét dấu cho
( )
hx
′
x
−∞
1 3
+∞
(
)
hx
′
−
0 + 0
−
Vậy hàm số
(
)
hx
đồng biến trên khoảng
( )
1; 3
và nghịch biến trên các khoảng
( )
;1−∞
và
( )
3; +∞
.
Ví dụ 3: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm trên
và
( )
2
fx x x
′
= −
.
a) Tìm .khoảng đơn điệu của hàm số
(
) (
)
2 1 12gx f x x= +−
.
b) Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
( )
(
)
3
2
16
16 2
3
x
hx f x x
= + −+
.
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 1 12 2. 2 1 2 1 12gx f x x x

′′
= +− = + − + −

( )
( )( )
2
24 26423 1xx x x= +−= + −
Bảng xét dấu cho
( )
gx
′
.
x
−∞
3
2
−
1
+∞
( )
hx
′
+ 0
−
0 +
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
3
;
2

−∞ −


và
(
)
1; +∞
, hàm số nghịch biến trên khoảng
3
;1
2

−


.
b) Ta có:
( )
(
) (
) (
) (
)( )
2 4 2 2 32 2 2 3
2 . 2 ( ) 16 16 2 1 16 1 2 1 8
h x xf x xx x x x x x x x
′′
= = − + − = −+ −= − +
Bảng xét dấu cho
( )
hx
′
.
x
−∞
−2
−1
1
+∞
( )
gx
′
−
0 + 0
−
0 +
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2; 1−−
và
( )
1; +∞
, hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;2−∞ −
và
( )
1;1−
.
Ví dụ 4: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( ) ( )(
)
2 2 5 fx x x x
′
= − − ∀∈
. Tìm khoảng đồng biến của
hàm số
( )
24
1
22
2
y fx x= +− +
A.
( )
1;1−
. B.
( )
0; 2
. C.
( )
1; +∞
. D.
( )
3; 0−
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 4 2 3 22 3
1
2 2 2. 2 2 2. 2 4 5 2
2
y f x x y x f x x xx x x
′′
= +− +⇒= +− = +−−
( )
( )( )
32 3
22 24 1 1x x xx x= −= − +
.
Bảng xét dấu cho
y
′
.
x
−∞
−1
0 1
+∞
y
′
−
0 + 0
−
0 +
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1; +∞
. Chọn C.
Ví dụ 5: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( ) (
) (
)
2
3
121fx xx x
′
=−−
trên
và hàm số
(
) (
)
2gx f x
= +
. Hàm số
( )
gx
nghịch biến trên khoảng nào sau đây:
A.
( )
;2−∞ −
. B.
3
2;
2

−−


. C.
3
2;
2



. D.
3
;
2

+∞


.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) (
)
( )
( )
32
2 2 21 2 2 1gx fx x x x
′
′
= + = + +− + −


( )
( ) ( ) ( )( )
32
3
2 1.230 2230 2
2
= + + + <⇔ + + <⇔−<<−
xx x x x x
.
Suy ra hàm số
(
)
gx
nghịch biến trên khoảng
3
2;
2

−−


. Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( )
( )
( )
2
2
2fx x xx
′
=+−
trên
và hàm số
( )
( )
2
1
gx f x
= −
.
Hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng nào sau đây:
A.
( )
1; 0−
. B.
( )
0;1
. C.
( )
2; 1−−
. D.
( )
1;1−
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( ) ( )( )
22
2
2 12f x x x x xx x
′
=+ −= + −
Khi đó
( )
( )
( ) (
)
2 22
1 1. 1gx fx x f x
′
′

′′
= −=− −

( ) ( ) ( )
2
2 22 2
1
2 1. 1 2 0 1 0
10
x
xx x x xx
x
>

= − −− >⇔ − >⇔

−< <
Suy ra hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
1; 0−
. Chọn A.
Ví dụ 7: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục và xác định trên
, biết rằng
( )
2
fx x x
′
= +
, hàm số
( )
2
1y fx= −
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
(
)
1; 2
. B.
( )
1;1−
. C.
( )
0;1
. D.
( )
;1−∞ −
.
Lời giải
Ta có công thức đạo hàm của hàm hợp
(
) ( ) ( )
.fu f uu x
′
′′
=


.
Do đó
( )
( )
(
)
2 2 23
1 1 .2 2 1
fx f x x x x
′

′
−= − = −

.
Vẽ bảng xét dấu ta có:
( )
2
1
10
10
x
fx
x
>
′

− >⇔

−< <
.
Do đó hàm số
( )
2
1y fx
= −
đồng biến trên khoảng
( )
1; 0−
và
( )
1; +∞
. Chọn A.
Ví dụ 8: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( ) ( ) ( )
2
12f x xx x
′
=−−
. Hỏi hàm số
2
5
4
x
yf
x

=

+

đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;2−∞ −
. B.
( )
0; 2
. C.
( )
2; 4
. D.
( )
2;1−
.
Lời giải
Ta có:
(
)
( )
22 2
22
2
22
5 42 4
5. 5.
4
44
x xx x
x
xx
′
+− −

= =

+

++
.
Xét hàm số:
(
)
2
2
2
2 22 2
2
5 4 55 5
5. . 1 2 0
4 44 4
4
x x xx x
yf y
x xx x
x
−

′
= ⇒= − −>

+ ++ +

+
( ) ( )
(
)
( )
22 2
4 .52 80 2(2)2 580x x x x x xx x x
⇔ − − − >⇔ + − − + >
( )
2
2 ( 2) 0
20
x
x xx
x
>
⇔ + − >⇔
−< <
.
Vậy hàm số
2
5
4
x
yf
x

=

+

đồng biến trên khoảng
( )
2;
+∞
nên nó đồng biến trên khoảng
( )
2; 4
.
Chọn C.
Ví dụ 9: Cho hàm số
( )
y fx
=
có đạo hàm
( )
2
2 fx x x x
′
= + − ∀∈
. Tìm khoảng nghịch biến của hàm
số
(
)
22
18 2y fx x
= −+
A.
( )
0;1
. B.
( )
2; 0−
. C.
( )
1; 3
. D.
( )
2; +∞
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
22 2 2
18 2 2 . 36 2 . 18y fx x y xfx x xfx

′′ ′
= − +⇒ = − = −

( ) ( )( )
42 2 2
2 2 18 2 4 5xx x xx x⇔ + −− = − +
.
Bảng xét dấu cho
y
′
x
−∞
−2
0 2
+∞
y
′
−
0 + 0
−
0 +
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
0; 2
. Chọn A.
Ví dụ 10: Cho hàm số
( )
y fx
=
có đạo hàm
( ) ( )
( )
22
14
fx xx x
′
=−−
. Hàm số
( )
2yf x= −
đồng biến
trên khoảng nào?
A.
(
)
;0
−∞
. B.
(
)
0;1
. C.
( )
2; +∞
. D.
( )
1; 4
.
Lời giải
Ta có:
( )
(
)
(
)
( )
(
)(
)
2 22
1 4 122fx xx x xx x x
′
= − −= − − +
.
Khi đó:
( ) ( )
(
)(
)( ) ( ) ( )( )
22
2 2 1 4 2 1 40
y f x y x x x x x xx x
′
= −⇒=−− − − −=− − −>
( )( )
4
1 40
01
x
xx x
x
>
⇔ − − >⇔
<<
.
Vậy hàm số
(
)
2yf x
= −
đồng biến trên khoảng
( )
0;1
. Chọn B.
Ví dụ 11: Cho hàm số
(
)
y fx=
có đạo hàm
(
) (
)
( )
2
3fx x x x
′
=++
. Hàm s
ố
(
)
( )
4
2 32
2 22
2
x
gx f x x x x
= + ++ +
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
2; 1−−
. B.
( )
1; 0
−
. C.
(
)
0;1
. D.
( )
4; 3−−
.
Lời giải
Ta có:
(
) (
)
( )
( ) (
)
(
)
2 2 32
3 ; 2 2. 2 2 6 4fxx xxgx x fxxxxx
′ ′′
=+ + =+ ++++
( )
( )( )( ) ( )
2 22 2
2 1 23 2 212 32x xx xxxx xxx= + ++ + +++ ++
(
)
(
)
( )( )
22
2 1 2 2 3 2 11xx x xx xx

= + + ++ +++

Do
( ) ( )
2
2
2 1 1 0 xx x x+ + = + ≥ ∀∈
nên
( )( )
( )
22
2 3 2 1 1 0 xx xx x++ +++> ∀∈
Do đó
( ) ( )( )
0
0 1 20
21
x
g x xx x
x
>
′
>⇔ + + >⇔
− < <−
.
Vậy
(
)
gx
đồng biến trên khoảng
( )
2; 1−−
và
( )
1; +∞
. Chọn A.
Ví dụ : Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm cấp 2 xác định và liên tục trên
thỏa mãn
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
2
1 2,f x f x f x xx x x
′ ′′
+ = − − ∀∈
. Hàm số
( ) ( ) ( )
.gx f x f x
′
=
đồng biến trên khoảng nào?
A.
( )
0; 2
. B.
( )
;0−∞
. C.
( )
2; +∞
. D.
(
)
1; 2
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2'
x1
g x f x .f x f x .f x f x x x 1 x 2 0
0x1
>
′
′ ′ ′′
= = + = − − >⇔


<<
.
Do đó hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
1; +∞
nên nó đồng biến trên khoảng
( )
2; +∞
. Chọn C.
Ví dụ : Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục và có đạo hàm
( )
(
)
(
)
2
2
1 16f x x x x mx
′
= − ++
. Có bao nhiêu số
nguyên dương của tham số m để hàm số
( )
4yf x= −
đồng biến trên khoảng
( )
4;
+∞
?
A. 6. B. 8. C. 5. D. 7.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )( )
( )
2
2
4 4 3 16y f x y x x t mt
′
= −⇒=−− − + +
với
4 , 4 0t xx t= − > ⇒<
.
Hàm số đồng biến trên khoảng
( ) ( )( ) ( )
( )
2
2
4; 4 3 16 0 4;x x t mt x

+∞ ⇔ − − + + ≥ ∀ ∈ +∞

( ) ( ) ( )
22
16
16 0 0 16 0 0t mt t t mt t t m t
t
−
⇔ + + ≥ ∀< ⇔ + ≥− ∀< ⇔−+ ≥ ∀<
( )
( )
;0
min
gt m
−∞
⇔≥
, với
( )
16
gt t
t
=−−
Mặt khác theo BĐT AM – GM ta có:
( )
16
2. 8 8gt t m
t
−

≥ − =⇒≤


là giá trị cần tìm.
Kết hợp
m
+
∈⇒
có 8 giá trị nguyên dương của m. Chọn B.
Loại 3: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho qua bảng biến thiên hoặc đồ thị.
Phương pháp giải:
Giả sử giả thiết bài toán cho đồ thị hàm
(
)
′
fx
với mọi
∈
x
như hình vẽ dưới đây.
Đối với bài toán tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số
( )
=y fx
ta dựa đồ thị
( )
′
fx
như hình
vẽ để tìm khoảng đồng biến nghịch biến.
Đối với bài toán tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm hợp
( )
=y fu
ta làm như sau:
Ta thấy
( )
′
fx
đổi dấu qua các điểm
, , = = =x bx cx d
và
( )
′
fx
bằng không nhưng không đổi dấu tại
các điểm
, = =
x ax e
nên ta có thể thiết lập biểu thức đạo hàm:
(
)
(
)
(
)
(
)(
)(
)
22
′
=− −−− −
f x kxa xbxcxd xe
Trong đó hệ số
0>k
nếu
(
)
lim 0
→+∞
′
>
x
fx
và
0
<
k
nếu
( )
lim 0
→+∞
′
<
x
fx
.
Trong hình vẽ trên ta thấy
0>k
(vì khi
→ +∞x
thì
( )
0
′
>fx
nên ta có thể giả sử:
( ) ( ) ( )( )(
)
( )
22
′
=− −−− −f x xa xbxcxd xe
từ đó suy ra đạo hàm của hàm hợp
( )
( )
.
′
′′
=


fu uf u
. Từ
đó lập bảng xét dấu và kết luận.
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
y fx=
. Hàm số
( )
y fx
′
=
có đồ thị như
hình bên. Hỏi hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
0; 2
.
B.
( )
1; 3
.
C.
( )
1;1
−
.
D.
( )
;2−∞
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
ta thấy
13x<<
thì đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
nằm ở dưới trục hoành
nên
( )
0
fx
′
<⇒
hàm số
( )
y fx=
nghịch biến trên khoảng
( )
1; 3
. Chọn B.
Ví dụ 2: [Đề thi minh họa của Bộ GD&ĐT năm 2018]
Cho hàm số
(
)
y fx
=
. Hàm số
( )
y fx
′
=
có đồ thị như
hình bên. Hỏi hàm số
( )
2yf x= −
đồng biến trên khoảng
nào sau đây?
A.
( )
1; 3
. B.
( )
2; +∞
.
C.
( )
2;1−
. D.
(
)
;2−∞ −
.
Lời giải
Cách 1: Giả sử
( ) ( )( )( )
114fx x x x
′
=+−−
ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 .2fx f x x
′
′
′
−= − −


( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
2 2 12 12 4 3 1 2 0
f x x x x x xx
′
=− − =− −+ −− −− = − − + >
.
Bảng xét dấu
( )
2
fx
′
−


x
−∞
−2
1 3
+∞
y
′
−
0 + 0
−
0 +
Vậy hàm số đồng biến trên
( )
2;1−
và
(
)
3;
+∞
.
Cách 2: Ta có:
( ) (
) (
)
( )
( )
2 2 .2 2 0 2 0
′
′
′ ′′
− = − − =− − >⇔ − <


fxfx xfx fx
Dựa vào đồ thị ta có:
( )
21 3
20
124 21
xx
fx
xx
− <− >

′
− <⇔ ⇔

<−< −<<

.
Vậy hàm số đồng biến trên
(
)
2;1
−
. Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng xét dấu như sau:
x
−∞
−2
0 2
+∞
y
′
+ 0
−
0 + 0
−
Hàm số
(
)
2
2
y fx
= −
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
(
)
2; 0−
. B.
( )
2; +∞
. C.
( )
0; 2
. D.
( )
;2−∞ −
.
Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu ta có thể giả sử
( ) ( )
( )
22f x x xx
′
=−+ −
(Chú ý: Do
( )
lim 0
x
fx
→+∞
′
<
nên ta chọn
1k = −
).
Khi đó
( ) (
)( )
2 22 2
2 2. 2 4 0
y f x y xx x x
′
= −⇒=− − −<
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2 20 0 2
22
x
x x xx x x
x
>
⇔ + + − − >⇔ <<
− < <−
.
Vậy hàm số
(
)
2
2y fx= −
nghịch biến trên khoảng
( )
2; +∞
. Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số
(
)
y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:
x
−∞
−1
3
+∞
y
′
+ 0
−
0 +
Hàm số
( )
3yf x= −
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;0−∞
. B.
( )
4; 6
. C.
( )
1; 5−
. D.
( )
0; 4
.
Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu ta giả sử
( ) ( )( )
13
fx x x
′
=+−
.
Khi đó
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
3 3 13 3 4 0 4 0 0 4
′
= − ⇒ =− −+ −− =− − − >⇔ − <⇔<<y f x y x x x x xx x
.
Do đó hàm số
( )
3yf x= −
đồng biến trên khoảng
(
)
0; 4
. Chọn D.
Ví dụ 5: Cho hàm số
( )
y fx=
. Biết rằng hàm số
( )
y fx
′
=
có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số
( )
2
3yf x= −
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
0;1
.
B.
( )
1; 0−
.
C.
( )
2;3
.
D.
( )
2; 1−−
.
Lời giải
Giả sử
( ) ( )( )( )
612fx x x x
′
=+ +−
, ta có:
( ) ( )
22
3 2. 3y f x y xf x
′′
= − ⇒=− −
.
( )( )( )
( )( )( )
2 2 2 222
2.3631322 941x x x x xx x x
=− −+ −+ −−= − − −
Bảng xét dấu cho
y
′
:
x
−∞
−3
−2
−1
0 1 2 3
+∞
y
′
−
0 + 0
−
0 + 0
−
0 + 0
−
0 +
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1; 0−
. Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hàm số
(
)
y fx
=
. Biết rằng hàm số
( )
y fx
′
=
có đồ thị như hình bên. Hàm số
(
) ( )
12gx f x= −
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
(
)
1; 0−
.
B.
(
)
;0−∞
.
C.
(
)
0;1
.
D.
( )
1; +∞
.
Lời giải
Giả sử
( ) ( )( )(
)
( )
2
112 4fx x x x x
′
=+−− −
Suy ra
( ) ( ) ( ) (
)
( )
(
)(
) ( )
2
12 .12 22 2 12 32 . 2 0gx f x x x x x x
′
′′
=− −=−−−−−− −>
( ) ( )
1
1 210
1
1
2
x
x xx
x
>
⇔ − + >⇔ ⇒
−<<
hàm số
( ) ( )
12
gx f x= −
đồng biến trên khoảng
( )
1; +∞
.
Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hàm số
(
)
y fx=
. Biết rằng hàm số
( )
y fx
′
=
có đồ thị như hình bên. Hàm số
( ) ( )
32gx f x= −
nghịch
biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
0; 2
.
B.
(
)
1; 3
.
C.
( )
;1−∞ −
.
D.
( )
1;− +∞
.
Lời giải
Giả sử
(
) ( )
( )( )
225fx x x x
′
=+−−
Ta có
( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
32 .32 52 12 22 . 2 0gx f x x x x x
′
′′
= − − = − − −− − <
.
( )(
)( )
1
2 52 1 1 0
15
22
x
x xx
x
<−
⇔ − − + <⇔ ⇒
<<
hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;1−∞ −
. Chọn C.
Ví dụ 8: Cho hàm số
( )
y fx
′
=
liên tục trên
có đồ thị
như hình bên. Hàm số
( )
2
23y fx x= −+
nghịch biến trên
khoảng nào sau đây?
A.
( )
;0−∞
.
B.
( )
2; +∞
.
C.
( )
1; 2
.
D.
( )
;2−∞
.
Lời giải
Giả sử
( ) (
)( )
2
23fx xx x
′
=−−−
Ta có
( )
(
)
( )
22
23 22. 23
′

′
−+ = − −+

fxx x fxx
.
( )
( ) ( )
(
)
(
)
( )
2
2 22
2
22 23. 21. 2 0 22 20
01
x
x xx xx xx xxx
x
>
⇔− − −+ −+ − <⇔ − −<
<<
.
Do đó hàm số
( )
2
23
y fx x
= −+
nghịch biến trên khoảng
( )
2; +∞
. Chọn B.
Ví dụ 9: Cho hàm số
( )
y fx
′
=
liên tục trên
có đồ thị như hình bên.
Hàm số
( ) ( )
2
2 42gx f x x x= −+−
đồng biến trên khoảng nào sau
đây?
A.
( )
;1−∞ −
,
( )
1; 2
.
B.
( )
1;1−
,
( )
2; +∞
.
C.
( )
1; 2
−
.
D.
( )
;1−∞ −
,
( )
2; +∞
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( )
2 2 40 2gx fx x fx x
′′ ′
= − +>⇔ >−
.
Vẽ đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
và
2yx= −
trên cùng hệ trục tọa độ
Oxy, ta thấy với
2x >
hoặc
11x−< <
thì đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
nằm trên đường thẳng
2yx= −
.
Vậy nên
( )
2
2
11
x
fx x
x
>
′
>−⇔
−< <
.
Do đó hàm số
( )
gx
đồng biến trên các khoảng
( )
1;1−
,
( )
2; +∞
.Chọn B.
Ví dụ 10: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2019] Cho hàm số
( )
fx
có bảng xét dấu của đạo hàm như
sau:
x
−∞
1 2 3 4
+∞
( )
fx
′
−
0 + 0 + 0
−
0 +
Hàm số
( )
3
32 3y fx x x
= +−+
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
1; +∞
. B.
( )
;1−∞ −
. C.
( )
1; 0−
. D.
( )
0; 2
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
22
3 2 3 3; 0 2 1 *
y fx x y fx x
′′ ′ ′
= +− + =⇔ +=−
Đặt
2tx= +
, khi đó
(
) ( ) ( )
2
2
* 2 1 43ft t t t
′
⇔ = − −= − +
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
( ) ( )
1; 2 0t ft
′
∈ → >
Và
( )
2
4 3 0; 1; 2tt t
− + < ∀∈
suy ra
( )
2
43 1 2ft t t t
′
> − +⇔<<
.
Do đó
0 1 22 1 0yx x
′
>⇔<+<⇔−<<
. Vậy hàm số đồng biến trên
( )
1; 0−
. Chọn C.
Ví dụ 11: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
, đạo hàm
( )
fx
′
có bảng xét dấu như sau:
x
−∞
1 2 3 4
+∞
( )
fx
′
+ 0
−
0
−
0 + 0
−
Hàm số
( )
3
1
3
x
y fx x= +− +
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
2;3
. B.
( )
1; 2
. C.
( )
3; 4
. D.
( )
0;1
.
Lời giải
Ta có:
( )
2
11
y fx x
′′
= +− +
.
Đặt
1tx= +
, khi đó
( ) ( ) ( )
2
2
11 2y ft t ft t t
′′ ′
= − − += − +
.
Để hàm số nghịch biến thì
0y
′
<
Ta chọn t sao cho:
( )
( )
( ) ( )
2
0
0
2; 3 1; 2
2
20
0
ft
ft
tx
t
tt
t
′
<
′
<
⇔ ⇔∈ ⇒ ∈
>

−+ <
<
.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1; 2
.Chọn B.
Ví dụ 12: Cho hàm số
( )
y fx=
có đồ thị đạo hàm
( )
fx
′
trên
như hình bên dưới và hàm số
( )
( )
2
2gx f x x= ++
. Hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
1; 0−
.
B.
( )
0;1
.
C.
1
2;
2

−−


.
D.
( )
4; 2−−
.
Lời giải
Giả sử
(
)
(
)
(
)
(
)
221
fx x x x
′
=+−+
Khi đó
( )
( ) ( ) ( )
2 22
2 2. 2gx fxx xx fxx
′
′

′′
= ++ = ++ ++

( )
( )( )
(
)
(
) (
)
2 22
0
21 4 30 21 10
1
1
2
x
x xx xxxx x xx
x
>
= + ++ + ++ >⇔ + + >⇔
− < <−
.
Suy ra hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
0;1
. Chọn B.
Ví dụ : Cho hàm số
( )
y fx=
có đồ thị đạo hàm
( )
fx
′
như hình vẽ. Xét hàm số
( )
( )
32
133
342
gx x x x f x= + −−
. Khẳng định nào
sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
3; 1−−
.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1; 3
.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1; 0−
.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2; 0−
.
Lời giải
Khẳng định 1 đúng. Ta có:
( )
(
)
2
33
0
22
gx x x f x

′′
= + −− =


Parabol
(
)
2
33
22
y x x hx
= + −=
đi qua 3 điểm
( ) ( )
3; 3 , 1; 2−−
và
( )
1;1
.
Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị ta có:
( ) ( ) ( )
3
01
1
x
g x hx f x x
x
= −
′′
= − =⇔=−
=
.
Khi
x
→ +∞
thì
( )
(
)
2
33
'0
22
′
< + −⇒ >fx x x gx
do đó ta có bảng xét dấu.
x
−∞
−3
−1
1
+∞
( )
fx
′
−
0 + 0
−
0 +
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1;1−
nên hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1; 0−
. Chọn C.
Ví dụ 14: Cho hàm số
( )
y fx=
có đồ thị đạo hàm
( )
fx
′
như hình vẽ.
Hàm số
( ) ( )
3
1
2018
3
gx f x x= −+
nghịch biến trên
khoảng nào sau đây.
A.
( )
1;1−
.
B.
(
)
1; 0−
.
C.
( )
0; 2
.
D.
( )
2; 1−−
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
2
gx f x x
′′
= −
, parabol
2
yx
=
cũng đi qua các điểm
(
)
( )
(
)
1;1 , 0; 0 , 1; 1
−
nằm trên đồ thị
(Parabol
2
yx
=
có đồ thị đậm hơn trong hình vẽ dưới).
Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị ta có
( )
( )
22
1
0 0,
1
x
fx x x x fx x
x
= −
′′
− = ⇔ = → −∞ ⇒ <
=
.
Từ đó, ta có bảng xét dấu cho
( )
gx
′
như sau:
x
−∞
−1
0 1
+∞
( )
gx
′
+ 0
−
0 + 0
−
Do đó hàm số
( )
gx
nghịch biến trên khoảng
( )
1; 0−
.
Ví dụ 15: Cho hàm số
(
)
y fx=
có đồ thị đạo hàm
( )
fx
′
như
hình vẽ. Hàm số
( )
( )
32
1
3
gx f x x x x= − +−
nghịch biến trên
khoảng nào sau đây.
A.
( )
0;1
.
B.
( )
1; 2
.
C.
( )
1;1−
.
D.
( )
2; +∞
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
(
)
2
2
2 10 1gx fx x x fx x
′′ ′
= − + −= ⇔ = −
.
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
và Parabol
(
)
2
1yx
= −
ta có:
( ) ( )
2
0
11
2
x
fx x x
x
=
′
=−⇔=
=
. Từ đó ta có bảng xét dấu của
( )
gx
′
như sau:
x
−∞
0 1 2
+∞
( )
gx
′
−
0 + 0
−
0 +
Do đó hàm số
( )
gx
nghịch biến trên khoảng
( )
1; 2
. Chọn B.
Ví dụ 16: Cho hàm số
( )
y fx=
có đồ thị như hình vẽ
Hàm số
(
)
2
2 1 2018
y fx x= − ++
giảm trên khoảng
A.
(
)
;1−∞
. B.
( )
2; +∞
. C.
( )
0;1
. D.
( )
1; 2
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số
( ) ( )
y fx f x
′
= ⇒
đổi dấu khi qua các điểm
1; 1xx=−=
.
Giả sử
( )
( )
(
) ( )
1 1 , lim 0 0
x
f x kx x f x k
→+∞
′
= + − >⇒>
ta có:
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
2 2 22
2 1 2018 2 2 . 2 1 2 2 2 2 2
yfxx y x fxx kx xx xx
′′
= −++ ⇒= − −+= − −+ −
(
) (
) (
)
( )( )
2
12
2 1 2. 1 1 0 1 2 0
0
x
kx xx x xx x
x
<<

= − − − + <⇔ − − <⇔

<
.
Do đó hàm số giảm trên khoảng
( )
1; 2
. Chọn D.
Ví dụ 17: Cho hàm số
(
)
y fx
=
có đồ thị đạo hàm
( )
y fx
′
=
như hình vẽ. Hàm số
(
) ( ) (
)
2
21gx f x x
= ++
đồng biến trên khoảng nào sau đây.
A.
( )
3;1
−
.
B.
(
)
1; 3
.
C.
( )
;3−∞
.
D.
( )
3; +∞
.
Lời giải
Ta có:
( ) (
)
( )
( ) (
) (
)
2 2 12 1 0 1
gx fx x fx x fx x
′′ ′ ′
= + + = −−− > ⇔ >−−


.
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
và
1yx=−−
ta có
( )
3
11
3
x
fx x x
x
= −
′
=−−⇔ =
=
.
Dễ thấy khi
x → +∞
thì
( ) ( )
10x f x gx
′′
−−> ⇒ <
ta có bảng xét dấu
( )
gx
′
x
−∞
−3
1 3
+∞
(
)
gx
′
+ 0
−
0 + 0
−
Hàm số
(
)
y gx
=
đồng biến trên khoảng
( )
;3−∞
và
( )
1; 3
. Chọn B.
Ví dụ 18: Cho hàm số
( )
y fx=
có đồ thị đạo hàm
( )
y fx
′
=
như hình vẽ. Đặt
( ) ( )
2
2hx f x x= −
. Hàm số
( )
y hx
=
đồng biến trên khoảng nào sau đây.
A.
( )
;2−∞ −
.
B.
( )
2; 4
.
C.
( )
2; 2−
.
D.
( )
2; +∞
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
2 22 0hx fx x fx x fx x
′′ ′ ′
= − = − >⇔ >


Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
và
yx
=
ta có
( )
2
2
4
x
fx x x
x
= −
′
=⇔=
=
.
Lập bảng xét dấu cho
( )
hx
′
x
−∞
−2
2 4
+∞
( )
hx
′
−
0 + 0
−
0 +
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số
( )
y hx
=
đồng biến trên khoảng
( )
2; 2
−
. Chọn C.
Ví dụ 19: Cho hàm số
( )
y fx
=
có đồ thị đạo hàm
( )
y fx
′
=
là
Parabol như hình vẽ bên. Hàm số
( )
22
16yf x x= −+
đồng biến
trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
;1−∞ −
. B.
( )
2;+∞
.
C.
( )
2;0−
. D.
( )
1; 2
.
Lời giải
Giả sử
( ) ( )( )
12f x kx x
′
=−−
, do
( ) ( ) ( )( )
02 1 1 2f k fx x x
′′
=⇒=⇒ = − −
.
Khi đó:
( ) ( )( )
22 2 2
1 6 2 1 1 1 2 12yf x x y x x x x
′
= − + ⇒=− −− −−+
( ) ( )(
)
22 2 2
2 16 2 3 2xx x xx x

=− −− =− − +

Bảng xét dấu
x
−∞
3−
0
3
+∞
y
′
+ 0
−
0 + 0
−
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0; 3
và
( )
;3−∞ −
. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1; 2
. Chọn D.
Ví dụ 20: Cho hàm số
( )
y fx=
. Hàm số
( )
y fx
′
=
có bảng biến thiên như sau:
x
−∞
-1 1
+∞
( )
fx
′
2
+∞
−∞
−2
Bất phương trình
( )
32
3fx x x x m>−−+
đúng với mọi
( )
1;1x ∈−
khi và chỉ khi
A.
( )
11mf< −−
. B.
(
)
11
< −−
mf
. C.
( )
13mf≤+
. D.
( )
13mf<+
.
Lời giải
Bất phương trình
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
32 32
3 3 1; 1fx x x x m fx x x x m x>−−+⇔ − −− > ∀∈−
.
Xét
( ) (
)
(
)
( ) ( )
( )
32 2
3 3 23gxfxxx x gxfx x x
′′
= − −− ⇒ = − −−
Do Parabol
2
3 23yx x= −−
đi qua 2 điểm
( )
1; 2−
và
( )
1; 2−
nên ta thấy
(
)
( )
(
)
2
3 2 3 1;1fx x x x
′
≥ − − ∀−
suy ra hàm số
( ) ( )
( )
32
3gx f x x x x
= − −−
đồng biến trên khoảng
( )
1;1−
nên
( ) ( ) ( )
( )
1 1; 1gx g x> − ∀−
.
Suy ra
( )
11mf≤ −−
là giá trị cần tìm. Chọn B.
Ví dụ 21: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho hai hàm
số
( )
y fx=
và
( )
y gx=
. Hai hàm số
( )
y fx
′
=
và
( )
y gx
′
=
có đồ thị như hình vẽ dưới đây, trong đó
đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số
( )
y gx
′
=
. Hàm
số
( ) ( )
5
62
2
hx f x g x

= +− +


đồng biến trên khoảng
nào dưới đây?
A.
21
;
5

+∞


. B.
1
;1
4



.
C.
21
3;
5



. D.
17
4;
4



.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
5
62 2 0
2
hx f x g x

′′ ′
= +− + >


Trên đoạn
[ ]
3; 8
, ta được
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
3;8
3;8
min 3 10; max 8 5f x f gx g
′′
= = = =
.
Do đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 0 2 ; 3; 8f x gx f x gx x
′′ ′′
− > ⇔ > ∀∈
Nếu
3 68
1
2
5
4
32 8
2
x
x
x
<+<
⇒<<
< +<
thì
( ) ( )
5
622 0
2
f x g x hx

′′ ′
+> + ⇒ >


trên khoảng
1
;2
4



.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
1
;2
4



. Chọn B.
Ví dụ 22: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho hai hàm số
( )
y fx
=
và
( )
y gx=
. Hai hàm số
( )
y fx
′
=
và
( )
y gx
′
=
có đồ thị như
hình vẽ dưới đây, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số
( )
y gx
′
=
. Hàm số
( ) ( )
7
32
2
hx f x g x

= +− −


đồng biến trên
khoảng nào dưới đây?
A.
13
;4
4



. B.
29
7;
4



. C.
36
6;
5



. D.
36
;
5

+∞


Lời giải
Ta có:
( ) ( )
7
32 2 0
2

′′ ′
= +− − >


hx f x g x
Trên đoạn
[ ]
3; 8
, ta được
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
3;8
3;8
min 3 10; max 8 5f x f gx g
′′
= = = =
.
Do đó
(
) (
) ( )
( ) (
)
2 0 2 ; 3; 8
f x gx f x gx x
′′ ′′
− > ⇔ > ∀∈
Nếu
3 38
13
5
7
4
32 8
2
x
x
x
<+<
⇒ <<
< −<
thì
( ) ( )
7
32 2 0
2
f x g x hx

′′ ′
+> − ⇒ >


trên khoảng
13
;5
4



.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
13
;4
4



. Chọn A.
DẠNG 4: ỨNG DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ TRONG BÀI TOÁN
VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài toán 1: Giải phương trình
( ) ( )
=hx gx
Biến đổi và vận dụng kết quả: Nếu hàm số
( )
ft
luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì phương trình
( )
0=ft
có tối đa một nghiệm và với mọi
, ∈
uv D
thì
( ) ( )
= ⇔=fu fv u v
.
Bài toán 2: Giải bất phương trình
(
) ( )
<hx gx
Biến đổi bất phương trình về dạng
( ) ( )
<fu fv
và sử dụng kết quả:
Hàm số
( )
ft
đồng biến trên D thì
, ∈uv D
ta có
( ) ( )
< ⇔<fu fv u v
.
Hàm số
(
)
ft
nghịch biến trên D thì
, ∈uv D
ta có
( ) (
)
< ⇔>fu fv u v
.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a)
32
2 3 6 11 5 2 3xx x x− + + − −=
.
b)
(
)
2
2 1 23 73 0
x xx x++ − − − =
.
Lời giải
a) Điều kiện
( )
32
2 3 6 11 0
5
xxx
D
x
− + +≥
≤
.
Xét hàm số
( )
( )
32
2 3 6 11 5 ; fx x x x xx D= − ++− − ∈
.
Ta có:
( ) ( )
2
32
3 33 1
0,
25
2 3 6 11
xx
fx x D
x
xxx
−+
′
= + > ∀∈
−
− ++
nên hàm số đồng biến trên D.
Phương trình đã cho trở thành
(
) (
)
23 2 2fx f x
= = ⇒=
. Thử lại thu được nghiệm duy nhất
2x =
.
b) Điều kiện
3x ≤
. Phương trình đã cho tương đương với
( ) ( )
( )
33
2 7 2 3 2 23 3 3 1xx x x xx x x x+= − −⇔ += − −+ −
Xét hàm số
(
)
( )
32
2 ; 6 1 0, ft t tt f t t t
′
= + ∈ ⇒ = + > ∀∈
, vậy hàm số liên tục và đồng biến.
Khi đó
( ) ( )
( )
2
03
13 1
1 33
2
30
x
fx f x x x x
xx
≤≤
−
⇔ = − ⇔= −⇔ ⇔=
+−=
.
Kết luận phương trình để bài có nghiệm duy nhất
13 1
2
x
−
=
.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)
68
6
32xx
+=
−−
.
b)
3
3
5 1 21 4x xx−+ −+ =
.
Lời giải
a) Điều kiện
2x <
. Xét hàm số
( )
( )
68
6, ; 2
32
fx x
xx
= + − ∈ −∞
−−
, ta có:
( )
( )
( )
( )
22
33 42
0, ; 2
3628
xx
fx x
xx
−−
′
= + > ∀ ∈ −∞
−−
.
Suy ra hàm số
( )
fx
liên tục và đồng biến trên miền
( )
;2−∞
.
Mặt khác
3
0
2
f

=


nên phương trình
( )
0fx=
có duy nhất nghiệm
3
2
x =
. Kết luận
3
2
S

=


.
b) Điều kiện
3
51x ≥
.
Xét hàm số
( )
3
3
3
1
5 1 2 1 ; ;
5
f x x x xx

= −+ −+ ∈ +∞

.
Ta có
( )
( )
2
3
32
3
15 2 1
0, ;
5
25 1
32 1
x
fx x
x
x

′
= + > ∀ ∈ +∞
−

−
nên hàm số đồng biến trên
3
1
;
5

+∞

.
Bài toán trở thành
( ) ( )
11
fx f x= ⇔=
. Kết luận tập nghiệm
{ }
1S =
.
Ví dụ 3: Giải phương trình
a)
3
32 32
6 12 7 9 19 11
xx x xx x−+−=−+−+
.
b)
( )
32
3 4 2 3 23 1xxx x x+ + += + +
.
Lời giải
a) Điều kiện
x ∈
.
Phương trình đã cho tương đương với
( )
3
32 32 32
3 3 1 2 1 9 19 11 2 9 19 11xxx x xx x xx x⇔ − + −+ +=−+ − ++ −+ − +
( ) ( ) ( )
3
3
32 32
1 2 1 9 19 11 2 9 19 11 *x x xx x xx x⇔ − + −=−+ − ++ −+ − +
Xét hàm số
( )
3
2ft t t= +
ta có
( )
2
3 2 0, ft t t
′
= + > ∀∈
.
Do vậy hàm số
( )
ft
liên tục và đồng biến trên
. Khi đó
( ) ( )
(
)
33
32 32
* 1 9 19 11 1 9 19 11fx f xx x x xx x⇔ −= −+ − + ⇔−=−+ − +
( )( )( )
32 32 32
3 3 1 9 19 11 6 11 6 0 1 2 3 0xxx xx x xx x x x x⇔− +−=−+ − +⇔− + −=⇔− − −=
{ }
1; 2; 3x⇒∈
.
Kết luận tập hợp nghiệm
{ }
1; 2; 3S =
.
b) Điều kiện
1
3
x ≥−
. Phương trình đã cho tương đương với
( )
( ) ( )
3
32
3 31 131131 1 13131 31xxxxx x xxxx x+ + ++ += ++ + ⇔ + + += + ++ +
Xét hàm số
( ) (
)
32
, 3 1 0,
ft t tt f t t t
′
= + ∈ ⇒ = + > ∀∈
, hàm số liên tục và đồng biến trên
.
Thu được
( )
( )
{ }
2
1
1 31 1 31 0;1
2 13 1
x
fx f x x x x
xx x
≥−
+ = + ⇔ += +⇔ ⇔ ∈
+ += +
Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm
0; 1
xx
= =
.
Ví dụ 4: Giải phương trình
( )
( )
2
34
2 2 32
2 12
xx
xx
x
+−
= + +−
++
trên tập số thực.
Lời giải
Điều kiện
2 10
1
30
2
x
x
x
+≥
⇔ ≥−
+≥
, ta có phương trình đã cho
( )
( )
( )( )
( )
( )
(
)
1
1 4 12 2
4 22
*
2 12 32
2 12 32
x
xx x x
xx
xx
xx
=
−+ − +
⇔= ⇔
++
=
++ ++
++ + +
Giải phương trình (*), chúng ta có
(
) (
)
(
)
(
)
( )
31 2 11
* 31 32 211 212
2 12 32
xx
xx x x
xx
++ ++
⇔ = ⇔ ++ + + = ++ ++
++ + +
( ) ( ) ( ) ( )
32 3 2
3 2 3 3 21 221 21x xx x x x⇔ + + + + += + + + + +
Xét hàm số
( )
32
2ft t t t=++
, với điều kiện
0t
≥
vì
30
2 10
x
x
+≥
+≥
, có
( )
2
3 4 1 0, 0ft t t t
′
= + + > ∀≥
do đó
( )
ft
là hàm số đồng biến và liên tục trên
[
)
0; +∞
nên suy ra
( )
( )
3 21 3 21 2fx f x x x x+ = + ⇔ += +⇔ =
.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
1; 2
xx= =
.
Ví dụ 5: Giải phương trình
( )
( )
2
2
68
3 1
22
xx
xx x
xx
++
= +− ∈
−+
Lời giải
Điều kiện
3x ≥−
. Phương trình đã cho tương đương với
( )( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
24 2
4
1
22
31
31
11
x
x x xx
x
x
xx
x
x
x
= −
++ +
+
= ⇔
=
−+
++
++
−+
Đặt
3 ; 1x ux v
+ = −=
ta thu được
( )
2
32 32
2
11
1
11
uv
u u uv v v
vu
++
⇔ = ⇔ + += + +
++
.
Xét hàm số
( ) ( )
32 2
; 3 2 1 0, ft t t tt f t t t t
′
= + + ∈ ⇒ = + + > ∀∈
.
Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên
( ) ( )
22
11
3 17
31
2
3 2 1 3 20
xx
fu fv u v x x x
x xx xx
≥≥

+
= ⇔=⇔ +=−⇔ ⇔ ⇔=

+= − + − −=

.
Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất
3 17
2
x
+
=
.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình
( )
( )
( )
2
22
4 1 3 52 0
,
4 23 4 7
x xy y
xy
xy x
+ +− − =
∈
++ − =
Lời giải
Điều kiện
35
,
42
xy≤≤
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương
( )
(
)
( )
2
4 12 52 1 52 1xx y y
+ =−+ −
Khi đó phương trình (1) có dạng:
( )
(
)
2 52
fx f y
= −
với
( )
(
)
(
)
23
1
f t t t t tt
=+=+∈
Ta có:
(
)
( )
(
)
2
3 1 0
f t t t ft
′
= + > ∀∈ ⇒
đồng biến trên
.
Do đó
( )
2
0
1 2 52
54
2
x
xy
x
y
≥
⇔=−⇔
−
=
Thế vào phương trình (2) ta được:
(
)
2
22
5
4 2 2 3 4 7 0 3
2
xx x

+ − + − −=


Do
3
0;
4
xx= =
không phải là nghiệm của phương trình
Xét hàm số
(
)
2
22
5
4 2 23 4 7
2
gx x x x

= +− + −−


trên khoảng
3
0;
4



.
Ta có:
( )
(
)
( )
(
)
22
44
8 8 52 4 4 3 0
34 34
g x x x x x x gx
xx
′
= − − − = − − <⇒
−−
nghịch biến.
Mặt khác
( )
1
03
2
g

= ⇒


có nghiệm duy nhất
1
2
2
xy
=⇒=
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
1
;2
2



Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau:
2
20 6 17 5 3 6 3 5 0
2 2 5 3 3 2 11 6 13
x yx xy y
xy x y x x
−− −− −+ −=
+++ + + = + +
Lời giải
Điều kiện:
6; 5; 2 5 0; 3 2 11 0x y xy x y≤ ≤ ++≥ + + ≥
.
Khi đó:
( )
(
) (
)
1 20 3 6 17 3 5
PT x x y y⇔ − −= − −
(
)
( )
( )
6 36 2 5 35 2
x x yy⇔ − −+ = − −+


Xét hàm
( )
( )
( )
2
32 6 5 1ft t t t x y y x= + ∈ ⇒ −= −⇔=−
Thế vào PT(2) ta có:
2
2 3 4 3 5 9 6 13
x x xx++ += + +
.
( )
2
23
10
23 4 2 4 35 9 3 9
xx
xx xx

⇔ + + +=

++ + ++ +

.
Do
4
; 6 0; 1
3
x xx

∈− ⇒ = =−


.
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm
( ) ( )
0;1; 1;2− −−
.
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình sau:
( ) ( )( )
( )
( )
2
2
2 11
1
2 2 14 1
x
x y xy
x
xx y x
+ =+ ++
+
− − += +
Lời giải
Điều kiện:
1
1
y
x
≥−
>−
. Ta có:
(
)
( )
( )
2
1 21
1 11
xx
PT y y
x xx
⇔ + =++
+ ++
(
)
( )
( )
3
32
3
21 1 1
11 1 1
xxx x x
yy y y
xx x x
++

⇔ = + +⇔ + = + + +

++ + +

Xét hàm số:
( ) ( )
3
f t t tt=+∈
đồng biến trên
.
Ta có:
( )
( )( )
1 11
1
x
f fy x x y
x

= + ⇔= + +

+

thế vào PT(2) ta có:
( )
( ) ( ) ( )
2
3
22
41 2 141 10
1
xx x
x x xx x x
x
−−
= + ⇔ − + − + +=
+
Đặt
1zx= +
ta có:
3 23
2 40 2x xz z x z+ − =⇔=
2
0
2 1 2 22 3
44
x
xx x y
xx
≥
⇔= +⇔ ⇔=± ⇒=
= +
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( )
( )
; 2 2 2;3xy = ±
.
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau:
22
22
2 2 1 22 3 2 1
22 2
xx x yy y
x y xy
+++ += ++ +
+ − +=
Lời giải
Điều kiện:
1
2;
2
xy
≥− ≥−
. Khi đó ta có:
( ) ( )
12−
ta có:
22
4 3 24 4 2 1xx x yy y+ ++ + = + + +
( )
( )
22
2 221 21x xy y
⇔ + + += + + +
. Xét hàm số
( )
2
ft t t= +
đồng biến trên
( )
0; +∞
.
Khi đó ta có:
( )
( )
2 2 1 12fx f y x y+ = + ⇔ +=
thế vào PT(2) ta có:
( ) ( )
2
22
1; 1
21 2 221 2 6 710
12
;
63
yx
y y y y yy
yx
= =
− + − − + = ⇔ − += ⇔
= = −
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
( )
21
1;1 ; ;
36

−


.
Ví dụ 10: [Đề thi tham khảo của Bộ GD&ĐT năm 2018] Có bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số m để
phương trình
3
3
3 3sin sinmm x x++ =
có nghiệm thực?
A. 5. B. 7. C. 3. D. 2.
Lời giải
Đặt
3
3sin ; sinm x a xb+= =
ta có:
3
3
3
3
33
3
3
mab mab
m ba
m ba
+= +=

⇔

+=
+=
( ) (
)
( )
( )
( )
33 22 22
3 30a b b a b a b ba a b a b ba a⇒ −=−=− ++ ⇔− +++=
Do
( )
22 3 3 3
3 0 3sin sin sin 3sin 3b ab a a b m x x m x x b b f b+ + +>⇒=⇒ + = ⇔ = − = − =
.
Xét
(
)
[
]
(
)
3
3 1;1f b b bb
= − ∈−
ta có:
( )
[
]
( )
2
3 3 0 1; 1
′
= − ≤ ∀ ∈−fb b b
.
Do đó hàm số
( )
fb
nghịch biến trên
[ ]
1;1−
.
Vậy
(
)
( )
( )
[
]
1 ; 1 2; 2fb f f∈ −=−


. Do đó PT đã cho có nghiệm
[ ]
2; 2m⇔ ∈−
.
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn A.
Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số m để phương trình
2 2sin sinmm x x
++ =
có
nghiệm thực?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
Điều kiện:
sin 0x
≥
Đặt
( ) ( )
2
22
2
sin
22
,0 2
2 2sin
2
2
ux
mvu mvu
uv v u u v
vm x
m uv
m uv
=
+= +=

≥⇒ ⇔ ⇒ −=−

= +
+=
+=
( ) ( )( ) ( )( )
( )
2 2 0 *vu uvuv uvuv⇔ −=− +⇔− ++=
Do
, 0uv≥
nên
(
)
2
*2
uv mu u⇔=⇒ = −
với
[ ]
(
)
sin 0;1u xu
= ∈
.
Xét
( )
[
]
( )
2
2 0;1
fu u u u
=−∈
ta có
( )
2 20fu u
′
= −≤
.
Suy ra hàm số
( )
fu
nghịch biến trên đoạn
[ ]
0;1
.
Mặt khác
( ) ( )
0 0; 1 1ff= =−⇒
Phương trình có nghiệm khi
[ ]
1; 0m ∈−
.
Kết hợp
0
1
m
m
m
=
∈⇒
= −
. Chọn C.
Ví dụ 12: Cho phương trình
( )
( )
12 5 4 1xx x m x x+ + = −+ −
(m là tham số thực). Gọi
( )
{ }
1
Am= ∈
coù nghieäm
. Số phần tử của tập hợp A là?
A. 12. B. 4. C. 21. D. 0.
Lời giải
Điều kiện
04x≤≤
. Khi đó
12
54
xx x
PT m
xx
++
⇔=
−+ −
Xét hàm số
( ) ( ) ( )
.f x gx hx=
trong đó
( )
( )
1
12;
54
gx x x x hx
xx
= ++ =
−+ −
Ta có:
( ) ( )
[
]
( )
0; 0 0; 4gx hx x> > ∀∈
Mặt khác
( )
( )
( )
2
11
31
25 24
0; 0
2
2 12
54
xx
gx x hx
x
xx
+
−−
′′
=+ >= >
+
−+ −
Do đó 2 hàm số
(
)
gx
và
( )
hx
luôn dương và đồng biến do đó hàm số
( ) ( ) ( )
.f x gx hx=
cũng luôn
dương và đồng biến trên
[ ]
0; 4
,
(
)
(
) (
)
23
0 ; 4 12 1
25
ff= = ⇒
+
có nghiệm khi và chỉ khi
23
;12
25
m

∈

+

. Do đó
( )
{ }
1Am
= ∈ coù nghieäm
có 12 phần tử. Chọn A.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Hàm số
4
21= +yx
nghịch biến trên khoảng nào?
A.
1
;.
2
−

−∞


B. (0; +∞) C.
1
;.
2
−

+∞


D. (-∞; 0).
Câu 2: Cho hàm số
32
21= − ++yx x x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
1
;1 .
3



B. Hàm số đồng biến trên khoảng
1
;1 .
3



C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
1
;.
3

−∞


D. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1; .+∞
Câu 3: Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
+
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +∞).
Câu 4: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?
A.
3
3 32yx x= +−
B.
3
2 5 1.yx x= −+
C.
42
3yx x= +
. D.
2
1
x
y
x
−
=
+
.
Câu 5: Cho hàm số
3
32yx x=++
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Câu 6: Hàm số
2
2
1
y
x
=
+
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (0; +∞). B. (-1; 1). C. (-∞; +∞). D. (-∞; 0).
Câu 7: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?
A.
1
3
x
y
x
+
=
+
. B.
3
yx x= +
. C.
1
2
x
y
x
−
=
−
. D.
3
3yxx=−−
.
Câu 8: Cho hàm số
32
3= −yx x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0).
Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm
( )
2
xx ,xf’ 1= + ∀∈
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).
Câu 10: Cho hàm số
42
y x 2x= −
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -2). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).
Câu 11: Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x
-∞ -2 0 2 +∞
y'
+ 0 -
- 0 +
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2; 0). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 2).
Câu 12: Cho hàm số
2
21yx= +
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
Câu 13: Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-∞; 2). B. (2; +∞). C. (0; 2). D. (-∞; 0).
Câu 14: Tìm khoảng đồng biến của hàm số
32
1
2 24.
3
yxx= −+
A. (-∞; 0). B. (0; 4) và (-∞; 0).
C. (2; +∞). D. (-∞; 0) và (4; +∞).
Câu 15: Hàm số
42
1
82
4
yxx= −+
đồng biến trên các khoảng
A. (-∞; -4) và (-4; 0). B. (-4; 0) và (0; 4).
C. (-4; 0) và (4; +∞). D. (-∞; -2) và (-2; 0).
Câu 16: Hàm số
2
y xx= −
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
1
;1 .
2



B.
1
0; .
2



C.
( )
;0 .−∞
D.
( )
1; .+∞
Câu 17: Hàm số
2
2
1
xx
y
x
−
=
−
đồng biến trên khoảng
A. (-∞; 1) ∪ (1; +∞). B. (-∞; 1) và (1; +∞). C. R\{1}. D. (-∞; +∞).
Câu 18: Hàm số
2
1
1
xx
y
x
− +−
=
−
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. (0; 1). B. (0; 1) ∪ (1; 2). C. (-∞; 1). D. (-∞; 1), (2; +∞).
Câu 19: Hàm số
2
44
1
xx
y
x
−+
=
−
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (0; 1) và (1; 2). B. (-∞; 0) và (2; +∞). C. (-∞; 0) và (1; 2) D. (0; 1) ∪ (1; 2).
Câu 20: Hàm số
2
3
1
xx
y
x
+−
=
+
đồng biến trên các khoảng (các khoảng) nào sau đây?
A. (-2; 1). B. (-∞; +∞).
C. (-∞; -1) và (-1; +∞). D. (-∞; +∞)\{-1}.
Câu 21: Trên các khoảng nghịch biến của hàm số
2
31
2
xx
y
x
−−
=
+
có chứa bao nhiêu số nguyên âm?
A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 22: Cho hàm số
32
32=−+yx x
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) và (6; +∞).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 6).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
Câu 23: Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?
A. y = x
3
– 2x – 2. B. y = x
2019
+ x
2021
– 2.
C. y = -x
3
+ x + 3. D. y = x
2018
+ x
2020
– 2.
Câu 24: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó.
A.
1
3
x
y
x
+
=
+
. B.
4
3.yx
= +
C.
3
.yx x= +
D.
2
1
.
1
y
x
=
+
Câu 25: Biết hàm số
33yx x= ++ −
nghịch biến trên tập K. Hỏi trên tập K có thể chứa bao nhiêu số
nguyên.
A. 2. B. 5. C. 3. D. 4.
Câu 26: Trong các hàm số sau, hàm số nào có khoảng đơn điệu khác so với các hàm số còn lại?
A.
1
2
x
y
x
+
=
+
. B.
31
2
x
y
x
+
=
+
. C.
5
2
x
y
x
−
=
+
. D.
25
2
x
y
x
+
=
+
.
Câu 27: Cho các hàm số sau:
( )
2
2
201 211 2 3 2 3
(1).y ; (2).y ; (3). ;
2 1222 1
22
(4). ; (5). 1119 1117 2023 .
2019 1
x xx
y
xx x
xx
y y xx
x
− −−
= = =
+− −
−+
= =−+
−
Trong các hàm số nói trên có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định của nó?
A.1. B. 2. C. 0. D. 3.
Câu 28: Cho các hàm số sau:
2
3
(1).y 2; (3).y 2 2; (5). 2;
(2). 2016 1; (4). ; (6).y 3 .
x x x y xx
y x y xx x x
=+ =+=−
=+=+ =+
Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số luôn đồng biến trên
?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 29: Cho các hàm số sau:
( )
2017
3
(1).y 3 2; (3).y 2018 ; (5). 2020;
(2). sin 2 ; (4). 2010; (6).y 2 3 .
x x x yx
y x x y x xx
= + = + =−+
=+ =− =−−
Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của chúng?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 30: Cho các hàm số sau:
2
32 42
21 2 1
(1).y ; (2).y ;
22
1
(3). 10 ; (4). 2999 10 .
3
xx
xx
yx x y x x
−−
= =
++
=−=+
Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm có khoảng đơn điệu chứa hữu hạn số nguyên?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 31: Cho các hàm số sau:
32
32 3 4 2
22
(1).y ; (2).y ; (3). 3 ;
15
(2). 3 2; (5). 2 ; (6).y 1999 2019 .
xx
yx x
xx
yx x y x x x x
−+
= = = +
−+
= − − =−− = +
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định của nó trong các hàm số trên?
A. 0. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 32: Cho hàm số
()y fx
=
có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ 2 0 2 +∞
y'
+ 0 - 0 + 0 -
Y
3 3
-∞ -1 -∞
Hàm số
()y fx=
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-2; 0). B. (-∞; -2). C. (0; 2). D. (0; +∞).
Câu 33: Cho hàm số
()y fx
=
có bảng biến thiên như sau:
X
-∞ -1 0 1 +∞
y'
- 0 + 0 - 0 +
Y
+∞ 3 +∞
-2 -2
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (0; 1). B. (-∞; 0). C. (1; +∞). D. (-1; 0).
Câu 34: Cho hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên như sau:
X
-∞ -1 1 +∞
y'
+ 0 - 0 +
y
3 +∞
-∞ -2
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-1; +∞). B. (1; +∞). C. (-1; 1). D. (-∞; 1).
Câu 35: Cho hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ -1 0 1 +∞
y'
+ 0 - 0 + 0 -
y
-1 -1
-∞ -2 -∞
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-1; 0). B. (1; +∞). C. (-∞; 1). D. (0; 1).
Câu 36: Cho hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ -2 3 +∞
y'
- 0 + 0 - 0
y
+∞ 4
1 -∞
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-2; +∞). B. (-2; 3). C. (3; +∞). D. (-∞; -2).
Câu 37: Hàm số
()
y fx=
xác định trên
và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
x
-∞ 0
4
3
+∞
y'
+ 0 - 0 +
y
1 +∞
-∞
5
27
−
Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-∞; 1). B.
5
;1 .
27

−


C.
4
0; .
3



D.
4
;.
3

+∞


Câu 38: Hàm số
()y fx
=
liên tục trên
{ }
\ 1; 0
và có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ -1 0 4 +∞
y'
+
-
- 0 +
y
+
∞
-∞
+
∞
-∞
+
∞
+
∞
0
Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây?
A. (-∞; -1) ∪ (0; +∞). B. (-∞; -1) , (4; +∞).
C. (-∞; +∞). D. (-∞; +∞)\{-1;0}.
Câu 39: Hàm số
()y fx
=
xác định trên
{ }
\1
và có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ 1 +∞
y'
+
+
y
+∞
2
2
-∞
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1) ∪ (1; +∞).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
D. Hàm số đồng biến trên
{ }
\1
.
Câu 40: Hàm số
()y fx=
xác định trên
{ }
\2−
và có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ -2 +∞
y'
-
-
y
-2
-∞
+∞
-2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2), (-2; +∞).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)\{2}.
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -2), (-2; +∞).
D. Hàm số nghịch biến trên
.
Câu 41: Cho hàm số
()
y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
x
-∞ -2 2 +∞
y'
+ 0 - 0 +
y
4 2
1 -4
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 4), (-4; 2).
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2), (2; +∞).
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-4; 4).
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (1; 4), (-4; 2).
Câu 42: Hàm số
()
y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
x
-∞ -1 0 3 +∞
y’
- 0 +
+ 0 -
y
1 2
-1
5
2 4
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-2; 1), (1; 3).
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 2), (2; 5).
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1; 1), (4; 5).
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1), (3; +∞).
Câu 43: Hàm số
()y fx=
liên tục trên đoạn [2; 4] và có bảng biến thiên sau:
x
2 3 4
y'
+ 0 -
y
2
2
2
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; 3). B. (2; 4). C. (3; 4). D. (2; 3).
Câu 44: Hàm số
()
y fx=
có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ -1 0 1 +∞
y'
- 0 + 0 - 0 +
y
+∞ 2 +∞
1 1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
( ) 1, .fx x R≥ ∀∈
B.
1
(0).
2
ff

<


C.
(1) (0).ff>
D.
(1) (2).ff−< −
Câu 45: Hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ -2 0 2 +∞
y'
- 0 + 0 - 0 +
y
+∞ 3 +∞
0 0
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên (-∞; -2) và (0; 2). B. Hàm số đồng biến trên (-2; 0) và (2; +∞).
C.
( ) 0, .≥ ∀∈fx x
D. Hàm số đồng biến trên (0; 3) và (0; +∞).
Câu 46: Cho hàm số
()
y fx=
có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ -1 3 +∞
y'
+ 0 - 0 +
y
4 +∞
-∞ -2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
( ) 2, .≥− ∀ ∈fx x
B.
( )
2 ( 1).ff−< −
C.
(3) (4).ff<
D.
1
2.
2
f

− >−


Câu 47: Hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ -3 0 3 +∞
y'
- 0 + 0 - 0 +
y
+∞ 2 +∞
-3 -3
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên (-∞; -3) và (0; 3). B.
( ) 3, .
≥− ∀ ∈
fx x
C. Hàm số đồng biến trên (-3; +∞). D.
(2) 2 0.f −<
Câu 48: Cho hàm số
()
y fx=
có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ 1 3 +∞
y'
+ 0 - 0 +
y
4
3
+∞
-∞ 0
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
( )
2
16
2.
9
f <


B.
( )
3 ( 2).ff−< −
C.
(4) 0.f >
D.
(
)
2 (3).ff<
Câu 49: Hàm số
()y fx
=
có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ 0 2 +∞
y’
-
+ 0 -
y
+∞
-1
3
-1 -∞
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0). B.
( ) 1, .>− ∀ ∈fx x
C. Hàm số đồng biến trên (-1; 3). D.
(1) (2) 0.ff−>
Câu 50: Hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
x
-∞ -3 -2 -1 +∞
y’
+ 0 -
- 0 +
y
-6
-∞ -∞
+∞ +∞
-2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên (-3; -1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -6) và (-2; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -3) và (-1; +∞).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3; -1)\{-2}.
Câu 51: Hàm số
()
y fx=
có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ -5 -3 -1 +∞
y’
+ 0 -
- 0 +
y
-9
-∞ -∞
+∞ +∞
-1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
{
}
( ) 9, \ 3 .
≤− ∀ ∈ −
fx x
B.
( )
0 (1).ff>
C.
(2) (1).ff−< −
D.
( )
4 ( 5).
ff−< −
Câu 52: Cho hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ 0 2 +∞
y'
+ 0 - 0 +
y
2 +∞
-∞ -2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Với mọi số thực a, b ∈ (0;2) mà a < b ⇒ f(a) > f(b).
B. Với mọi số thực a, b ∈ (0;2) mà a < b ⇒ f(a) < f(b).
C. Với mọi số thực a, b ∈ (2; +∞) mà a > b ⇒ f(a) < f(b).
D. Với mọi số thực a, b ∈ (-∞; 0) mà a < b ⇒ f(a) > f(b).
Câu 53: Hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên như sau:
x
-
∞
-2 -1 0 +
∞
y’
+ 0 -
- 0 +
y
-2
-∞ -∞
+∞ +∞
-2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Với mọi số thực a, b ∈ (-2; 2)\{-1} mà a < b ⇒ f(a) > f(b).
B. Với mọi số thực a, b ∈ (1; 2) mà a < b ⇒ f(a) < f(b).
C. Với mọi số thực a, b ∈ (-∞; 2) ∪ (0; +∞) mà a < b ⇒ f(a) < f(b).
D. Với mọi số thực a, b ∈ (-2; -1) mà a < b ⇒ f(a) < f(b).
Câu 54: Cho hàm số
()
y fx=
có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ 0 2 +∞
y'
+ 0 - 0 +
y
1 +∞
-∞ -1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Với mọi số thực
( ) ( )
2
1; 2 1 .x fx∈⇒ <


B. Với mọi số thực
( )
2;3 ( ) 1.x fx∈ ⇒ >−
C. Với mọi số thực
( )
( )
2
2;3 1.x fx∈⇒ >


D. Với mọi số thực
( )
3; 2 ( ) 1.x fx∈− − ⇒ >
Câu 55: Cho hàm số
()y fx
=
xác định trên
có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
x
-∞ 0
4
3
+∞
y'
+ 0 - 0 +
y
1 +∞
-∞
5
27
−
Hỏi hàm số
( ) ( 1)gx f x= −
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
4
0;
3



B.
7
1;
3



C.
7
;
3

+∞


D.
4
;
3

+∞


Câu 56: Cho hàm số
()
y fx=
xác định trên
{ }
\0
và có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ 0 2 +∞
y'
+ 0 - 0 +
y
1 +∞
-∞ -1
Hỏi hàm số
2
() ( ) 1gx f x= +
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2; +∞). B. (-2; 1). C. (1; 2). D. (-∞; 0).
Câu 57: Hàm số
()y fx=
liên tục trên
{ }
\ 1; 0−
và có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ -1 0 1 +∞
y'
- 0 + 0 - 0 +
y
+
∞
0 +
∞
-2 -2
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số
2
( ) ( 1) 2
gx f x= +−
?
A. (0; +∞). B. (-∞; +∞). C. (-∞; -1). D. (-∞; 0).
Câu 58: Hàm số
()y fx=
liên tục trên
{
}
\ 1; 0−
và có bảng biến thiên như sau:
x
-∞ -1 3 +∞
y'
- 0 + 0 -
y
+∞ 4
-1 -∞
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số
( )
() 1gx f x= +
?
A. (2; +∞). B. (-1; +∞). C. (-∞; 1). D. (-∞; -4).
Câu 59: Hàm số bậc ba
()y fx
=
xác định trên
và đồ thị như vẽ. Hỏi hàm số
đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây?
A. (-1; 1)
B. (-2; +∞)
C. (-∞; 3), (-1; +∞)
D. (-∞; -1), (1; +∞)
Câu 60: Hàm số bậc ba
()y fx=
xác định trên
và đồ thị như vẽ. Hỏi hàm số
đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây?
A. (-∞; -1) ∪ (2; +∞)
B. (-∞; -1), (2; +∞)
C. (-1; 0) ∪ (0; 2)
D. (-∞; -4), (2; +∞)
Câu 61: Hàm số bậc bốn
()y fx=
xác định trên
và đồ thị như vẽ. Hỏi hàm
số đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây?
A. (-1; 2), (1; +∞)
B. (-∞; -1)
C. (-1; 0), (1; +∞)
D. (2; +∞)
Câu 62: Hàm số bậc ba
()y fx=
xác định trên
và đồ thị như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên (-3; 1)
B. Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1), (1; +∞)
C. Hàm số nghịch biến trên (-1; 1)
D. Hàm số đồng biến trên (-3; 1)
Câu 63: Hàm số bậc ba
()y fx
=
xác định trên
và đồ thị như vẽ.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên (-∞; 1)
B. Hàm số nghịch biến trên (1; +∞)
C. Hàm số nghịch biến trên (1; 3)
D. Hàm số đồng biến trên (1; 5)
Câu 64: Hàm số bậc ba
()y fx
=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
( ) ( 1)gx f x= +
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (0; 2)
B. (2; 4)
C. (-∞; 0)
D. (2; +∞)
Câu 65: Hàm số bậc bốn
()y fx=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
() ( )
gx f x= −
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
;2−∞ −
B.
(
)
2;− +∞
C.
( )
0; +∞
D.
( )
;0−∞
Câu 66: Hàm số bậc ba
()
y fx=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
( ) (3 )gx f x= −
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-1;2)
B. (-∞; 1), (4; +∞)
C. (1; 4)
D. (-6; -3)
Câu 67: Cho hàm số bậc hai
()y fx=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
2
( ) ( 5)gx f x
= −
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-2; 0)
B. (0; 2)
C. (-∞; -2)
D. (-1; +∞)
Câu 68: Hàm số bậc ba
()y fx
=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
2
() ( 2)gx f x x= +
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
1; 1 2 .− −+
B.
( )
1 2; 1 2−− −+
C.
( )
1 2;− − +∞
D.
( )
1 2; 1 2−− −+
Câu 69: Hàm số bậc bốn
()y fx=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai khi nói về tính đơn điệu của hàm
số
2
( ) ( 2 2)
y gx f x= =−+
?
A. Hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng (2; 5).
B. Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng (2; +∞).
C. Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng (-1; 0).
D. Hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng (-∞; -2).
Câu 70: Hàm số bậc ba
()y fx=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
2
( ) ( 4 6)gx f x x= −+
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (0; 1)
B. (1; 3)
C. (3; +∞)
D. (2; 3)
Câu 71: Hàm số
( )
y f’ x=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (-1; 0).
B. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (1; +∞).
C. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞; 0).
D. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Câu 72: Hàm số
( )
y f’ x=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
()
y fx=
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-1; +∞)
B. (-1; 1)
C. (-∞; -1), (1; 2)
D. (0; 1)
Câu 73: Hàm số
(
)
y f’ x=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
()y fx=
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-∞; 4), (1; +∞)
B. (-∞; -1), (1; +∞)
C. (-2; 4), (1; +∞)
D. (-2; +∞)
Câu 74: Hàm số
( )
y f’ x=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
()y fx=
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-1; 2), (1; +∞)
B. (-∞; +∞)
C. (-1; 2), (1; +∞)
D. (2; +∞)
Câu 75: Hàm số
(
)
y f’ x=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
()
y fx=
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (0; 2)
B. (-∞; 3)
C. (-∞; 0)
D. (-4; 0), (2; 3)
Câu 76: Hàm số bậc hai
( )
y f’ x=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số
()y fx=
?
A. (-∞; 1) ∪ (3; +∞)
B. (-∞; 1), (3; +∞)
C. (1; 3)
D. (-∞; 2)
Câu 77: Hàm số bậc ba
( )
y f’ x=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Tìm khoảng đồng biến của hàm số
( ) ( 2)gx f x= +
?
A. (-∞; 0)
B. (-∞; -1), (1; +∞)
C. (-∞; -4)
D. (-∞; -2)
Câu 78: Hàm số bậc ba
( )
y f’ x
=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Tìm khoảng đồng biến của hàm số
( ) ( 1)
gx f x= −
?
A. (3; +∞)
B. (0; 3)
C. (-∞; 0), (3; +∞)
D. (2; +∞)
Câu 79: Hàm số bậc ba
( )
y f’ x=
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ
bên
cạnh. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số
(2 )= −yf x
?
A. (1; +∞)
B. (-∞; -1)
C. (-1; 1)
D. (-∞; 1)
Câu 80: Cho hàm số bậc ba
( )
y f’ x=
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ
bên cạnh và hàm số
( )
2
: ( 3 ).
Cyf x= −+
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-∞; 0), (2; +∞)
B. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (0; 1)
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (1; 2)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-2; -1)
Câu 81: Cho hàm số
( )
y f’ x=
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ bên
cạnh và hàm số
( )
2
: ( 1).C y fx= +
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-1,0)
B. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-∞; -1).
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (2; +∞)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (0:1)
Câu 82: Hàm số bậc ba
( )
y f’ x=
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Tìm khoảng nghịch biến
của hàm số
( )
2
4yf x= −
?
A. (-∞; -1), (0; 1)
B. (-∞; 0), (2; +∞)
C. (-∞; -2), (1; 2)
D. (-1; 0), (1; +∞)
Câu 83: Hàm số
( )
y f’ x=
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
2
( 2 3)y fx x= −+
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-∞; 0)
B. (2; +∞)
C. (1; 2)
D. (-∞; 2)
Câu 84: Hàm số
( )
y f’ x=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Có bao nhiêu số nguyên dương thuộc khoảng đồng biến của hàm số
(2 )yf x= −
?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 85: Hàm số
( )
y f’ x=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số
( )
2
y fx
=
?
A. (-∞; 1)
B. (-∞; 0)
C. (-∞; -1)
D. (0; 1)
Câu 86: Hàm số
( )
y f’ x=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Có bao nhiêu số nguyên dương thuộc khoảng nghịch biến của hàm số
( )
2
9y fx= −
?
A. 4
B. 1
C. 0
D. 3
Câu 87: Cho hàm số
()
y fx
=
có đạo hàm
( )
22
'( ) 1 .= − ∀∈fx x x x
. Hỏi hàm số
()y fx
=
đồng biến trên
khoảng nào dưới đây?
A. (-1; 0) B. (1; +∞) C. (-1; 0) D. (0; 1)
Câu 88: Cho hàm số
()y fx=
có đạo hàm
( )
2019 2020
'( ) 1 .= − ∀∈
fx x x x
. Hỏi hàm số
()y fx=
nghịch
biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (0; 1) B. (-∞; 0) C. (-1; 1) D. (1; +∞)
Câu 89: Cho hàm số
()
y fx=
có đạo hàm
( )
( )
2
'( ) 2 4 .= − − ∀∈fx x x x
. Hỏi hàm số
( ) ( ) 2019gx f x= +
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-2; +∞). B. (2; +∞). C. (-∞; -2). D. (1; +∞).
Câu 90: Cho hàm số
()
y fx=
có đạo hàm
(
)
(
)
2
'( ) 3 1 .= − − ∀∈
fx xx x
. Hỏi hàm số
2
() () 1gx f x x= −−
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-∞; 1). B. (3; +∞). C. (-1; 0). D. (1; 2).
Câu 91: Cho hàm số
()y fx
=
có đạo hàm
( )
( )
22
'( ) 3 9 3 ,= + − − ∀∈fx x x x x
. Đặt
3
() () 1gx f x x= +−
khẳng định nào sau đây đúng?
A.
(0) (1).gg<
B.
(3) (4).gg<
C.
(2) (3).gg−< −
D.
( 3) (3).gg−<
Câu 92: Cho hàm số
()
y fx
=
có đạo hàm
2
'( ) 4 2019,= − + ∀∈
fx x x x
. Đặt
( ) ( ) 2019gx f x x= −
khẳng
định nào sau đây đúng?
A.
(0) (1).gg<
B.
(3) (4).gg>
C.
(4) (5).gg>
D.
( 3) (0).
gg−>
Câu 93: Cho hàm số
()y fx
=
có đạo hàm
3
'( ) 12 2,=− + + ∀∈fx x x x
. Tìm tất cả các tham số thực m để
hàm số
() () 1g x f x mx= −+
đồng biến trên khoảng (1; 4).
A. m ≤ -14. B. m < -14. C. m < -10. D. m ≤ -10.
Câu 94: Cho hàm số
()y fx
=
có đạo hàm
2
4
'( ) ,
1
= ∀∈
+
fx x
x
. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
( )
() () 2 2gx f x m x= −− +
nghịch biến trên khoảng (-1; 2)?
A.
42m ≥+
B.
2m
≥
C.
0m ≥
D.
2m ≥−
Câu 95: Cho hàm số
()y fx=
có đạo hàm
2
4
'( ) ,
1
= ∀∈
+
fx x
x
. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng
(-20; 20) để hàm số
() () 3g x f x mx
= −+
nghịch biến trên
.
A. 16. B. 19. C. 17. D. 18.
Câu 96: Cho hàm số
()y fx=
có đạo hàm
2
'( ) cos 2sin 2,= + + ∀∈fx x x x
. Có bao nhiêu số nguyên m
thuộc khoảng (-20; 20) để hàm số
2
() () 3gx f x mx= −+
nghịch biến trên R.
A. 33. B. 34. C. 35. D. 36.
Câu 97: Cho hàm số
()y fx=
có đạo hàm
{
}
1
'( ) , \ 0
= + ∀∈
fx x x
x
. Có bao nhiêu số nguyên dương m để
hàm số
( )
( ) ( ) 1 2019gx f x m x= −− +
đồng biến trên khoảng (2; +∞).
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 98: Cho hàm số
()y fx=
có đạo hàm
2
3
'( ) ,
1
+
= ∀∈
+
x
fx x
x
. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc
khoảng (-20; 20) để hàm số
() () 2 1g x f x mx
= ++
nghịch biến trên R?
A. 18. B. 19. C. 16. D. 17.
Câu 99: Cho hàm số
()y fx
=
có đạo hàm
2
'( ) 2 ,= + ∀∈fx x x x
. Hỏi hàm số
( ) ( 1) 3 1gx f x x= −− +
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-∞; 1). B. (2; 4). C. (1; +∞). D. (-1; 0).
Câu 100: Cho hàm số
()y fx=
có đạo hàm
( )
2
'( ) 1 ,= + ∀∈fx x x x
. Hỏi hàm số
2
() ( ) 2gx f x= +
nghịch
biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-1; 1). B. (-2; 0). C. (2; 3). D. (3; +∞).
Câu 101: Cho hàm số
()
fx
có đạo hàm
2
'( ) 1,= + ∀∈fx x x
. Hỏi hàm số
( ) ( 1) 2 x 3
gx f x
= +− +
nghịch
biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-3; -2). B. (-2; -1). C. (-1; 2). D. (2; +∞).
Câu 102: Cho hàm số
()
y fx
=
có đạo hàm
{ }
2
3
'( ) , \ 1
1
+
= ∀∈
−
x
fx x
x
. Có bao nhiêu số nguyên dương m
để hàm số
( )
() () 3 3gx f x m x
= −− +
đồng biến trên khoảng [2; 4]?
A. 9 B. 8 C. 10 D. 11
Câu 103: Cho hàm số
()y fx=
có đạo hàm
{ }
2
2
'( ) , \ 0= + ∀∈fx x x
x
. Tìm các giá trị của m để hàm số
() () 3g x f x mx= −+
đồng biến trên khoảng (0; +∞)?
A. m ≤ 3. B. m ≤ 1. C. m ≥ -3. D. -2 ≤ m ≤ 10.
Câu 104: Cho hàm số
23mx m
y
xm
−−
=
−
, m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để
hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.
A. 5 B. 4 C. Vô số D. 3
Câu 105: Cho hàm số
4mx m
y
xm
+
=
+
, m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm
số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.
A. 5 B. 4 C. Vô số D. 3
Câu 106: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
2
5
x
y
xm
+
=
+
đồng biến trên khoảng (-∞; -10)
A. 2 B. Vô số C. 1 D. 3
Câu 107: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
6
5
x
y
xm
+
=
+
nghịch biến trên khoảng
(10; +∞)
A. 3 B. Vô số C. 4 D. 5
Câu 108: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
1
3
x
y
xm
+
=
+
nghịch biến trên khoảng (6; +∞)
A. 3 B. Vô số C. 0 D. 6
Câu 109: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
1
3
x
y
xm
+
=
+
đồng biến trên khoảng (-∞; -6)
A. 2 B. 6 C. Vô số D. 1
Câu 110: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
1mx
y
xm
+
=
+
đồng biến trên từng khoảng xác định
của nó.
A. m < -2 ∨ m > 2. B. m < -1 ∨ m > 1. C. -2 < m < 2. D. -2 < m < 1.
Câu 111: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
34mx x
y
xm
++
=
+
đồng biến trên từng khoảng xác
định của nó.
A. m < -4 ∨ m > 1. B. m < -1 ∨ m > 1. C. -3 < m < 2. D. -4 < m < 6.
Câu 112: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
2
20
1
mx m
y
x
−−
=
−
đồng biến trên khoảng xác định của nó?
A. 5 B. 8 C. 10 D. 6
Câu 113: Trong khoảng (-100;100) chứa bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số
2
31
2
mx m
y
x
−+
=
−
nghịch biến trên khoảng xác định của nó?
A. 197 B. 186 C. 187 D. 198
Câu 114: Biết rằng khoảng (a; b) chứa tất cả các giá trị m thỏa mãn điều kiện hàm số
3mx
y
xm
+
=
+
nghịch
biến trên khoảng (-∞; -2). Tính giá trị b – a
A.
2.
ba−=
B.
2 2.ba
−=
C.
2 3.
ba−=
D.
2 3.ba−=−
Câu 115: Đặt S = {m ∈ Z: -100 < m < 100}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác xuất để số m được
chọn thỏa mãn điều kiện hàm số
32mx m
y
xm
+−
=
+
đồng biến trên khoảng (2; +∞).
A.
100
199
B.
101
199
C.
102
199
D.
103
199
Câu 116: Tìm tất cả các tham số m để hàm số
23 2xm
y
xm
−−
=
−
nghịch biến trên khoảng (1; 2).
A. m < 0 B. m > -5 C. m < -4 D. m < -2
Câu 117: Biết rằng tập [a; b) chứa tất cả các tham số m thỏa mãn điều kiện hàm số
4
xm
y
xm
+
=
+
đồng biến
trên khoảng
1
;
2

− +∞


. Tính giá trị b – a
A.
1
.
2
ba
−=
B.
3
.
2
ba−=
C.
2
.
3
ba
−=
D.
1
.
3
ba
−=
Câu 118: Đặt S là tập hợp tất cả các số nguyên âm m thỏa thỏa mãn điều kiện hàm số
3
16mx
y
xm
+
=
+
đồng
biến trên khoảng (5; +∞). Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là số lẻ
A.
1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
1
4
Câu 119: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số
2
2
8
xm
y
x
−
=
−
đồng biến trên từng
khoảng xác định của nó
A. 2 B. -2 C. 0 D. -1
Câu 120: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số
5
2
mx
y
xm
−
=
−+
nghịch biến trên
khoảng (-∞; -1)
A. 3 B. -2 C. 1 D. 0
Câu 121: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số
2
5
21
mx
y
mx
+
=
+
nghịch biến trên khoảng
(3; +∞)
A. 55 B. 35 C. 40 D. 45
Câu 122: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số
23xm
y
xm
−+
=
−
nghịch biến trên nửa
khoảng [7; +∞)
A. 22 B. 18 C. 10 D. 11
Câu 123: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số
23
32
xm
y
xm
+−
=
−+
đồng biến trên
khoảng (-∞; -14)
A. -5 B. -6 C. -9 D. -10
Câu 124: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
2
239
2
mx m
y
xm
++
=
+
nghịch biến trên từng khoảng xác định
của nó
A. 1 B. 4 C. 5 D. 2
Câu 125: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số
2
239
2
mx m
y
xm
++
=
+
nghịch biến trên từng khoảng xác
định của nó
A. 2 B. 4 C. 1 D. 3
Câu 126: Tìm tất cả các tham số m để hàm số
1x
y
xm
+
=
+
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
A. m < 1 B. m > 1 C. m < -2 D. m ≥ 1
Câu 127: Biết rằng khoảng (a; b) chứa tất cả các giá trị m thỏa mãn điều kiện hàm số
2
3
mx
y
xm
−
=
+−
nghịch
biến trên từng khoảng xác định của nó. Tính giá trị biểu thức P = a – b
A. P = -1 B. P = -2 C. P = 1 D. P = -3
Câu 128: Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số
9
mx
y
xm
−
=
−
đồng biến trên từng khoảng xác
định của nó
A. 5 B. Vô số C. 4 D. 3
Câu 129: Cho hàm số
( )
42
42 1 4 1yx m x m=+ − ++
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[-20; 20] để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; +∞).
A. 17 B. 19 C. 21 D. 20
Câu 130: Cho hàm số
( )
42
1 21yxmx m=−+ − + +
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[-20; 20] để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; 2).
A. 4 B. 29 C. 24 D. 30
Câu 131: Cho hàm số
( )
42
21 2yx m x m= − − +−
với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m thuộc [-10; 10] để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; 3)?
A. 5 B. 7 C. 15 D. 13
Câu 132: Cho hàm số
( )
4 22
2 41yx m x=− −+
với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số m thuộc [-10; 10] để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2; 6)?
A. 10 B. 2 C. 8 D. 14
Câu 133: Tổng các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn hàm số
( )
( )
3 22
3 1 3 23yx m x m m x=− + + +−
nghịch biến trên khoảng (1; 2) là:
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 134: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
( )
32 2
3 3 11y x mx m x
=− + −−
đồng
biến trên khoảng (3; +∞)
A. 4 B. 2 C. 5 D. 3
Câu 135: Cho hàm số
( )
4 22
22 1y x m xm=−+ − − +
với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -5).
A. 16 B. 27 C. 2 D. Vô số
Câu 136: Cho hàm số
( ) ( )
2 4 22
24 4y m mx m m x
=− +− −
. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)?
A. 0. B. Vô số. C. 2. D. 3.
Câu 137: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
( )
4 22
21 3
yx m x m
= − − +−
đồng
biến trên khoảng (4; 6)?
A. 9 B. 10 C. 7 D. 8
Câu 138: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (-6; 6) của tham số m để hàm số
( )
4 22
2 1 43yx m x m=− + +−
đồng biến trên khoảng (2; 5)?
A. 1 B. 0 C. 3 D. 2
Câu 139: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
( )
42
24 1 3 1yx mx m=−+ − + +
đồng biến trên
khoảng (1; 4).
A.
17
4
m >
B.
1 17
24
m<<
C.
17
4
m ≥
D.
1 17
24
m≤≤
Câu 140: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
( )
42
2 1 43yx mx m=−− − + −
nghịch biến
trên khoảng (1; 5).
A. m ≥ 4 B. m ≥ 0 C. 0 < m < 4 D. 0 ≤ m ≤ 4
Câu 141: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số
2 1 cos
cos
mx
y
xm
+−
=
−
đồng biến trên khoảng
0;
2
π



A. 11 B. 10 C. 12 D. 13
Câu 142: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-20; 20] để hàm số
2 2 cot
2 cot 1
mx
y
xm
++
=
−+
đồng biến trên khoảng
0;
4
π



.
A. 19 B. 18 C. 5 D. 6
Câu 143: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
sin 2
2sin 1
xm
y
xm
−+
=
−−
nghịch biến trên
khoảng
0;
6
π



.
A. 3 B. 6 C. 5 D. 4
Câu 144: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
2
tan
tan 5 6
xm
y
xm
−
=
+−
nghịch biến trên
khoảng
0;
4
π



.
A. 6 B. 8 C. 5 D. 7
Câu 145: Cho hàm số
cos 4
cos
mx
y
xm
−
=
−
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên
khoảng
;
32
ππ



.
A. m > 2 B. m < -2 C.
2
.
2
m
m
>
<−
D.
2
.
2
m
m
≥
≤−
Câu 146: Cho hàm số
( )
1 sin 2mx
y
sinx m
−−
=
−
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên
khoảng
0;
2
π



.
A. -1 < m < 2 B.
1
2
m
m
<−
>
C.
1
2
m
m
≤−
≥
D.
0
1
m
m
≤
≥
Câu 147: Cho hàm số
2sin 1
sin
x
y
xm
−−
=
−
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên
khoảng
0;
2
π



.
A.
1
2
m ≥−
B.
1
0
2
1
m
m
−< <
>
C.
1
0
2
1
m
m
−< ≤
≥
D.
1
2
m >−
Câu 148: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (-5; 5) của tham số m để hàm số
sin 2
2sin 1
xm
y
xm
−
=
+−
đồng biến trên khoảng
0;
6
π



.
A. 1 B. 0 C. 4 D. 2
Câu 149: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
2
cos
cos 5 4
xm
y
xm
−
=
−+
đồng biến trên
khoảng
0;
3
π



.
A. 2 B. 4 C. 1 D. 0
Câu 150: Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số
2
2
msin 16
cos 1
x
y
xm
−
=
+−
nghịch biến trên khoảng
0;
2
π



.
A. 5 B. 8 C. 7 D. 6
Câu 151: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (-20; 20) để hàm số
cot 2 1
cot
xm
y
xm
−+
=
−
đồng biến trên khoảng
;
42
ππ



.
A. 20 B. 19 C. 18 D. 11
Câu 152: Trong khoảng (-100; 100) chứa bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn hàm số
m cos 2
2 cos
x
y
xm
−
=
−
nghịch
biến trên khoảng
0;
2
π



.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 153: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
( ) ( )
32
2 32 1 6 1 1yx mxmmx=− + + ++
nghịch biến trên khoảng (-1; 0).
A. 3 B. 5 C. 1 D. 2
Câu 154: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
2
21
2 13 4
xm
y
xm
−+
=
−− +
đồng biến trên
khoảng (1; 5).
A. 6 B. 4 C. 5 D. 3
Câu 155: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
2
31
3 14 5
xm
y
xm
+−
=
++ −
nghịch biến trên
khoảng (1; 5).
A. 7 B. 5 C. 6 D. 4
Câu 156: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số
42
41
mx
y
xm
−+
=
−+ −
đồng biến trên khoảng
(
)
;4−∞
.
A. 8 B. 1 C. 9 D. 2
Câu 157: Hàm số
( )
y f’ x=
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hỏi hàm số
( ) 2019y fx x= ++
đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào sau
đây?
A. (-1; +∞)
B. (-1; 1)
C. (-∞; -1), (1; 2)
D. (0; 1)
Câu 158: Hàm số
( )
y f’ x=
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
() () 2 1gx f x x= −−
nghịch biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây?
A. (-3; +∞)
B. (-∞; -1), (2; +∞)
C. (-∞; 3)
D. (-2; +∞)
Câu 159: Hàm số
( )
y f’ x
=
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
() () 2
gx f x x= +−
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-1; 2)
B. (-∞; -2)
C. (1; +∞)
D. (-2; +∞)
Câu 160: Hàm số
(
)
y f’ x
=
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số
() 2 () 4 7
gx f x x= −+
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; 2) ∪ (3; +∞)
B. (-∞; 1), (2; 3)
C. (1; 2), (3; +∞)
D. (-∞; 1) ∪ (2; 3)
Câu 161: Hàm số
( )
y f’ x=
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên
cạnh.
Hàm số
() () 3 24
gx f x x= ++
nghịch biến trên khoảng (các khoảng)
nào dưới đây?
A. (0; 2)
B. (-2; -1), (1; 2)
C. (-∞; 0)
D. (-4; 0), (2; 3)
Câu 162: Hàm số
(
)
y f’ x=
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên
cạnh.
Hàm số
2
() 2 () 4 2
gx f x x x= −−−
nghịch biến trên khoảng (các khoảng)
nào dưới đây?
A. (-∞; -2), (0; 2)
B. (-∞; 0), (2; +∞)
C. (-∞; -1), (0; 2)
D. (-∞; 0), (1; 2)
Câu 163: Hàm số
( )
y f’ x=
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên
cạnh.
Hàm số
2
() 2 () 4 2gx f x x x= −+−
đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới
đây?
A. (-∞; -1), (1; 2)
B. (-1; 1), (2; +∞)
C. (-1; 2)
D. (-∞; 1), (2; +∞)
Câu 164: Hàm số
( )
y f’ x=
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên
cạnh.
Hàm số
() 2 () 6 3gx f x x
= −+
đồng biến trên khoảng (các khoảng)
nào dưới đây?
A. (-1; 1)
B. (0; 1)
C. (-2; -1), (2; +∞)
D. (1; 2)
Câu 165: Hàm số
( )
y f’ x=
có đồ thị trên đoạn [-4; 4] như hình vẽ
bên cạnh. Hàm số
2
1
() () 2
2
gx f x x x
= + +−
nghịch biến trên khoảng
nào sau đây?
A. (-3; -1)
B. (-1; 1)
C. (1; 4)
D. (-3; -2)
Câu 166: Hàm số
( )
y f’ x=
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên
cạnh. Hàm số
2
2 ( ) 2 2019
= ++−y fx x x
đồng biến trên khoảng nào sau
đây?
A. (0; 1)
B. (1; 3)
C. (-3; 0)
D. (-∞; -1)
Câu 167: Hàm Hàm số
( )
y f’ x=
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ
bên cạnh và hàm số
(
)
2
: () () 2
2
x
C gx f x
= −+
. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng?
A. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (1; 2).
B. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-∞; -1)
C. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-1; 2)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (1; +∞)
Câu 168: Hàm số
( )
y f’ x=
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ bên
cạnh.
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số
( )
2
() 2 () 1gx f x x= ++
.
A. (-3; 0), (1; 3)
B. (-∞; -3), (-2; 3)
C. (-1; 2), (3; +∞)
D. (-3; 1), (3; +∞)
Câu 169: (THPT Quốc gia 2017). Cho hàm số
( )
y f x=
. Đồ thị hàm số
( )
y f’ x=
như hình vẽ. Đặt
2
() 2 ()hx f x x= −
. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
(2) (4) ( 2).hhh> >−
B.
(2) ( 2) (4).hh h
>−>
C.
(4) ( 2) (2).hh h=−>
D.
(4) ( 2) (2).hh h=−<
Câu 170: (THPT Quốc gia 2017). Cho hàm số
( )
y f x=
. Đồ thị hàm số
( )
y f’ x=
như hình bên. Đặt
( )
2
g() 2 () 1x fx x= −+
. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
g(3) ( 3) (1).gg> −>
B.
g( 3) (3) (1).gg−> >
C.
g(1) ( 3) (3).gg> −>
D.
g(1) (3) ( 3).gg
> >−
Câu 171: (THPT Quốc gia 2017). Cho hàm số
( )
y f x
=
. Đồ thị hàm số
( )
y f’ x=
như hình vẽ. Đặt
2
g() 2 ()x fx x= +
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
g(3) ( 3) (1).gg< −<
B.
g(1) (3) ( 3).gg< <−
C.
g(1) ( 3) (3).
gg< −<
D.
g( 3) (3) (1).gg
−< <
Câu 172: (THPT Quốc gia 2017). Cho hàm số
( )
y f x=
. Đồ thị hàm số
( )
y f’ x=
như hình bên. Đặt
( )
2
g() 2 () 1
x fx x= ++
. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
g(1) (3) ( 3).
gg< <−
B.
g(1) ( 3) (3).gg< −<
C.
g(3) ( 3) (1).gg= −<
D.
g(3) ( 3) (1).gg= −>
Câu 173: (Bộ GD & ĐT, Đề tham khảo, Lần 1, 2018). Cho hàm số
( )
y f x=
. Hàm số
( )
y f’ x
=
có đồ thị như hình bên. Hàm số
( )
2
yf x= −
đồng biến trên khoảng
A. (1; 3)
B. (2; +∞)
C. (-2; 1)
D. (-∞; 2)
Câu 174: (THPT Quốc gia 2018). Cho hai hàm số
(
)
y f x
=
và
( )
y g x=
. Hai hàm số
( )
y f ' x=
và
( )
y g' x=
có đồ thị như hình
vẽ dưới đây, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số
( )
y g' x=
. Hàm số
( )
9
h(x) f x 7 g 2x
2

= +− +


đồng biến trên
khoảng nào dưới đây?
A.
16
2;
5



. B.
3
;0
4

−


.
C.
16
;
5

+∞


. D.
13
3;
4



.
Câu 175: Hàm số
( )
y f’ x=
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh
và hàm số
( )
2
1
: () 1
2
C y fx x= −−
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
sai?
A. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (0; 2).
B. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-∞; -2)
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (2; 4)
D. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-4; -3)
Câu 176: Hàm số
( )
y f’ x=
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh
và hàm số
( ) ( )
2
: 2 () 1C y fx x= −+
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
sai?
A. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (0; 1).
B. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-3; 0)
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-∞; -3)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (3; +∞)
Câu 177: Hàm số bậc ba
( )
y f' x=
liên tục trên
có đồ thị như hình và
hàm số
(
)
32
11
: () 2 3
32
C y fx x x x= + + −−
. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định sai?
A. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-3; 0).
B. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (1; +∞)
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-∞; -3)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (0; 1)
Câu 178: Hàm số
( )
y f’ x=
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh
và hàm số
( )
32
1 11
: () 1
2 32
Cyfxx xx= − + +−
. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng?
A. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-1; 0).
B. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (2; 3)
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-5; -2)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-2; 2)
Câu 179: Hàm số
( )
y f’ x
=
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh
và hàm số
( )
32
11
: ()
32
C y fx x x x= −−+
. Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng?
A. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-∞; -1).
B. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-1; 0)
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-2; 1)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (0; 1)
Câu 180: Hàm số
( )
y f’ x=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Trong
khoảng (-1000; 1000) có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng đồng biến
của hàm số
2
1
( ) ( 2) 3 1
2
gx f x x x= ++ ++
?
A. 997
B. 994
C. 996
D. 995
Câu 181: Hàm số
( )
y f’ x=
có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số
2
() 2 () 2gx f x x= +−
A. (-∞; -1), (0; 2)
B. (-1; 0), (1; 2)
C. (-1; 1), (2; +∞)
D. (-1; 2)
Câu 182: Hàm số
( )
y f’ x
=
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ bên
cạnh. Hỏi hàm số
2
()2(1) 21gx f x x x= −+− +
nghịch biến trên khoảng
nào sau đây?
A. (-3; 1)
B. (-2; 0)
C.
3
1;
2

−


D. (1; 3)
Câu 183: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị của hàm số
( )
y f’ x=
như hình vẽ bên. Hàm số
2
2 (2 )=− −+y f xx
nghịch biến trên khoảng
A. (-3; -2)
B. (-2; -1)
C. (-1; 0)
D. (0; 2)
Câu 184: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm trên
thỏa mãn
( )
y f’ x=
và đồ thị hàm số
(2) ( 2) 1ff= −=
như hình vẽ bên cạnh ( đồ
thị hàm số
( )
y f’ x
=
cắt trục hoành tại ba điểm
2, 1, 2x xx=−==
). Hàm số
(
)
2
1y fx
= −


nghịch biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (1; 2).
B. (-2; 2).
C. (2; +∞).
D. (-2; -1).
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
3
80 0
′
= <⇔<yx x
Hàm số nghịch biến trên
(
)
;0
−∞
. Chọn D.
Câu 2:
2
1
3 4 10 1
3
yx x x
′
= − +< ⇔ < <
Hàm số nghịch biến trên khoảng
1
;1
3



. Chọn A.
Câu 3:
( )
2
3
0, 1
1
yx
x
′
= > ∀ ≠−
+
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;1−∞ −
. Chọn B.
Câu 4: Ta có A đúng vì
2
9 3 0,yx x
′
= + > ∀∈
. Chọn A.
Câu 5:
2
3 3 0,yx x
′
= + > ∀∈
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;−∞ +∞
. Chọn C.
Câu 6:
( )
2
2
2
.2 0 0
1
y xx
x
′
=− <⇔>
+
. Chọn A.
Câu 7: Ta có B đúng vì
2
3 1 0,yx x
′
= + > ∀∈
. Chọn B.
Câu 8: Ta có
2
36
2
0
0
00 2
yxx
x
y
x
yx
′
= −
>
′
>⇔
<
′
<⇔<<
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
0; 2
. Chọn A.
Câu 9: Ta có
(
)
0,fx x
′
> ∀∈
.
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;−∞ +∞
. Chọn D.
Câu 10: Ta có
3
0
4 40
1
x
yxx
x
=
′
= −=⇔
= ±
x
−∞
–1
0
1
+∞
y
′
–
0
+
0
–
0
+
y
+∞
–1
0
–1
+∞
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;1−∞ −
nên nghịch biến trên khoảng
( )
;2−∞ −
. Chọn C.
Câu 11: Ta có hàm số đồng biến trên khoảng
( ) ( )
; 2 , 2;−∞ − +∞
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( ) ( )
2; 0 , 0; 2−
. Chọn C.
Câu 12:
2
4
0 0; 0 0
22 1
x
y xy x
x
′′
= >⇔> <⇔<
+
Hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
0;
+∞
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;0−∞
. Chọn B.
Câu 13:
2
3 600 2yx x x
′
= − <⇔<<
. Chọn C.
Câu 14:
2
4
40
0
x
yx x
x
>
′
= − >⇔
<
. Chọn D.
Câu 15:
3
4
16 0
40
x
yx x
x
>
′
= − >⇔
−< <
. Chọn C.
Câu 16:
2
2
01
0
12 1
00
1
2
12 0
2
2
x
xx
x
yx
x
x
xx
<<
−>
−
′
= <⇔ ⇔ ⇔<<

<
−>
−
. Chọn B.
Câu 17:
( )
( )
2
2
11
11
1 1 0, 1
11
1
x
y xy x
xx
x
−−
′
= = −− ⇒ =+ > ∀≠
−−
−
. Chọn B.
Câu 18:
( )
( )
2
2
1
1
11
10
02
1
11
1
x
x
yx y
x
x
x
x
≠
≠
′
=−− ⇒ =−+ > ⇔ ⇔

<<
−
−<
−
. Chọn A.
Câu 19:
( )
( )
(
)
(
)
2
2
2
22
02
2 41 4 4
20
2
0
1
1
11
x
x xx x
xx
xx
y
x
x
xx
<<
− −+−+
−+ >
−+
′
= = >⇔ ⇔

≠
≠
−−
. Chọn A.
Câu 20:
( )
2
33
1 0, 1
1
1
′
= − ⇒ = + > ∀ ≠−
+
+
yx y x
x
x
. Chọn C.
Câu 21:
( )( )
( )
( ) ( )
2
2
22
2
2 32 3 1
2
45
0
4 50
22
x xx x
x
xx
y
xx
xx
− +− −−
≠−
+−
′
= = <⇔
+ −<
++
{
}
2
4;3;1
51
x
x
x
≠−
⇔ ⇒∈−−−
−< <
. Chọn D.
Câu 22:
2
3 600 2yx x x
′
= − <⇔<<
. Chọn C.
Câu 23: Ta có B đúng vì
2018 2010
2019 2021 0,yx x x
′
= + ≥ ∀∈
. Chọn B.
Câu 24: Ta có C đúng vì TXĐ
2
, 3 1 0,D yx x y
′
= = + > ∀∈ ⇒
đồng biến trên
. Chọn C.
Câu 25:
{ }
33 33
11
0 0 3 1; 2
3 30
2 3 23
xx
y xx
xx x
xx
−< < −< <

′
= − <⇔ ⇔ ⇔<<⇒∈

−<+ >
+−

. Chọn A.
Câu 26: Lần lượt tính đạo hàm
(
)
( )
(
)
(
)
222 2
157 1
0, 2; 0, 2; 0, 2; 0, 2
222 2
xxx x
xxx x
> ∀ ≠− > ∀ ≠− > ∀ ≠− − < ∀ ≠−
+++ +
. Chọn D.
Câu 27: Ta loại ngay (1), (2), (3), (4) vì đây là các hàm phân thức.
Hàm (5) có
( )
(
)
2023
1119 1117 .2 2023 0
2 1119 1117
y xx
′
= − + > ⇔ >−
−
Hàm số có TXĐ là
. Chọn C.
Câu 28: Loại (1), (5), (4) vì TXĐ
[
)
[
)
[
)
2; , 2; , 0;− +∞ +∞ +∞
(3) có
2
2
22
4 42
2 2 . 0,
22222
xx
yx x x
xx
+
′
= + + = > ∀∈
++
.
(2) có
2016 0,yx
′
= > ∀∈
.
(6) có
2
3 3 0,yx x
′
= + > ∀∈
. Chọn B.
Câu 29: Ta có ngay (1), (4) đúng và (5) sai.
(3) có
2016
2017 2018 0,yx x
′
= + > ∀∈
.
(2) có
cos 2 0,yx x
′
= + > ∀∈
.
(6) có
( )
2
3 2 3 1 0,y xx
′
= − −< ∀∈
. Chọn C.
Câu 30: Lần lượt tính đạo hàm
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 2 22
422 24
5 28
; ; 20 20
2 2 22
xx x xx
xx
x x xx
x x xx
+− +
+
= = −=−
+ + ++
( )
32
4 2999 20 4 5 2999x xx x+= +
Do đó (1), (4) không thỏa mãn còn (2), (3) thỏa mãn.
Hàm (2) nghịch biến
{ }
40
3; 1
2
x
x
x
−< <
⇔ ⇒ ∈− −
≠−
Hàm (3) nghịch biến
{ }
0 20 1; 2;3;...;19xx⇔<< ⇒∈
. Chọn B.
Câu 31: Ta loại (1), (2) vì đây là hàm phân thức.
Loại (6) vì đây là hàm trùng phương.
Lần lượt tính đạo hàm các hàm số còn lại
2
2
2
0
3 60
2
2
3 60
0
3 2 0,
x
xx
x
x
xx
x
xx
>
+ >⇔
<−
>
− >⇔
<
− − < ∀∈
. Chọn A.
Câu 32: Hàm số
( )
fx
nghịch biến trên khoảng
( )
2; 0−
và
( )
2; +∞
. Chọn A.
Câu 33: Hàm số
( )
fx
nghịch biến trên khoảng
( )
;1−∞ −
và
( )
0;1
. Chọn A.
Câu 34: Hàm số
(
)
fx
đồng biến trên khoảng
( )
;1
−∞ −
và
( )
1; +∞
. Chọn B.
Câu 35: Hàm số
( )
fx
đồng biến trên khoảng
(
)
;1−∞ −
và
( )
0;1
. Chọn D.
Câu 36: Hàm số
( )
fx
đồng biến trên khoảng
(
)
2;3−
. Chọn B.
Câu 37: Hàm số
( )
fx
nghịch biến trên khoảng
4
0;
3



. Chọn C.
Câu 38: Hàm số
( )
fx
đồng biến trên khoảng
( )
;1−∞ −
và
( )
4; +∞
. Chọn B.
Câu 39: Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;1−∞ −
và
( )
1; +∞
. Chọn C.
Câu 40: Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;2−∞ −
,
( )
2;− +∞
. Chọn C.
Câu 41: Hàm số đồng biến trên các khoảng
(
)
;2−∞ −
,
( )
2; +∞
. Chọn B.
Câu 42: Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
;1−∞ −
,
( )
3; +∞
. Chọn D.
Câu 43: Hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
2;3
. Chọn D.
Câu 44: Ta có
(
) ( )
10ff
<
nên đáp án C sai. Chọn C.
Câu 45: Chọn D.
Câu 46: Chọn A.
Câu 47: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
;3−∞ −
và
(
)
0;3
• Tập giá trị của hàm số
( )
[
)
: 3;xTf = − +∞
• Hàm số nghịch biến trên khoảng
( ) ( )
( ) ( )
0; 2 0 2 2 2ff f⇒>⇒<
Chọn C.
Câu 48: Điền các điểm x ở đáp án vào bảng biến thiên, ta được
( ) ( )
23f f>
. Chọn D.
Câu 49: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
• Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;0−∞
• Tập giá trị của hàm số
( ) ( )
:;fx T= −∞ +∞
• Hàm số bị gián đoạn trên
( )
1; 3−
nên không đồng biến trên
( )
1; 3−
• Hàm số đồng biến trên khoảng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1; 2 2 21 01f f ff⇒< ⇒− <
Chọn A.
Câu 50: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
• Hàm số
( )
y fx=
đồng biến trên các khoảng
( )
;3−∞ −
và
( )
1;− +∞
• Hàm số
( )
y fx=
nghịch biến trên các khoảng
( )
3; 2
−−
và
(
)
2; 1
−−
Chọn C.
Câu 51: Điền các điểm x ở đáp án vào bảng biến thiên, ta được
( ) (
)
45ff−< −
. Chọn D.
Câu 52: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
• Với
( )
, 0, 2ab∈
mà hàm số nghịch biến trên
(
)
0, 2
nên
( ) ( )
a b fa fb<⇒ >
.
• Với
( )
, 2;ab∈ +∞
mà hàm số đồng biến trên
( )
2; +∞
nên
( ) ( )
a b fa fb>⇒ >
.
• Với
( )
0, ;ab∈ −∞
mà hàm số đồng biến trên
( )
;0−∞
nên
( ) ( )
a b fa fb<⇒ <
.
Chọn A.
Câu 53: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
• Với
(
)
(
)
, 2,
1; 21
ab
∈− −
∪−
mà
( )
( )
a b fa fb
<⇒ >
hoặc
( ) ( )
fa fb<
.
• Với
( )
, 1, 2ab∈
mà hàm số đồng biến trên
( )
1, 2
nên
( ) ( )
a b fa fb<⇒ <
.
• Với
( ) ( )
, ,2 0;ab∈ −∞ − ∪ +∞
mà
ab<
nên nếu
( )
( )
;2
0;
a
b
∈ −∞ −
∈ +∞
thì không so sánh được hai
giá trị
( )
(
)
,
fa fb
.
• Với
(
)
, 2, 1
ab
∈− −
mà hàm số nghịch biến trên
( )
2, 1−−
nên
( ) ( )
a b fa fb<⇒ >
.
Chọn B.
Câu 54: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
•
(
) ( )
2
11 1f x fx< ⇔− < <
suy ra
02
x< < →
A đúng
•
( ) ( ) ( )
2 0 21x f x fx f
′
> ⇒ > ⇒ > = − →
B đúng
•
( )
(
)
( )
2
1
1
1
fx
fx
fx
>
>⇔
<−
suy ra
1
2
2
0
xx
xx
>>
→
<<
C đúng
•
( )
32 1x fx− < < − ⇒ < →
D sai
Chọn D
Câu 55: Dựa vào hình vẽ, ta có
( ) ( ) ( )
( )( )
3 4 1 13 7fx xx fx x x
′′
= − ⇒ −= − −
Do đó
( ) ( ) ( )( ) (
)
1
1 1 3 7 ; 0
7
3
x
gx f x x x gx
x
=
′′ ′
= −= − − =⇔
=
Vẽ bảng biến thiên hàm số
( )
gx
trên các nghiệm
7
1;
3
xx= =
Suy ra hàm số
( )
gx
nghịch biến trên khoảng
7
1;
3



. Chọn B.
Câu 56: Dựa vào hình vẽ, ta có
( )
(
)
(
) (
)
2 22
22f x xx f x
x
x
′′
= −⇒ = −
Do đó
2 32
0
() 2. ( ) 2 ( 2); () 0
2
x
gx xf x x x gx
x
=
′′ ′
= =−=⇔
= ±
Vẽ bảng biến thiên hàm số
( )
gx
trên các nghiệm
0; 2xx= = ±
Suy ra hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
2;0−
và
( )
2;+∞
. Chọn A.
Câu 57: Dựa vào hình vẽ, ta có
( )
(
)(
)
(
)
2
11 1f x xx x xx
′
= − += −
( ) ( )
( ) ( )( )
2
2 2 2 2 42
1 1 11 1 2fx x x x x x

′
⇒ += + + −= + +


Do đó
( )
( ) ( )( ) ( )( )
2 242222
2. 12 122 12gxxfx xxxxxxx
′′
= += ++= ++
Phương trình
( )
00gx x
′
=⇔=
nên hàm số
( )
gx
nghịch biến trên
( )
;0−∞
. Chọn D.
Câu 58: Dựa vào hình vẽ, ta có
( ) ( )( )
13fx x x
′
=−+ −
(
)
( )
( ) ( )( )
1 11 13 113 1fx x x x x
′
⇒ + =− ++ +− = ++ − +
Do đó
( )
( )
( )
( )
1
1. 1 . 1 1 3 1
1
x
gx x f x x x
x
+
′
′′
= + + = ++ − +
+
Suy ra
( )
( )
( )
2
0 1.3 1 0
41
x
gx x x
x
>
′
<⇔ + −+ <⇔
− < <−
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
2; +∞
và
( )
4; 1−−
. Chọn A.
Câu 59: Hàm số đồng biến trên
(
)
;1−∞ −
,
(
)
1; +∞
. Chọn D.
Câu 60: Hàm số đồng biến trên
( )
;1−∞ −
,
( )
1; +∞
. Chọn B.
Câu 61: Hàm số đồng biến trên
(
)
1; 0−
,
( )
1; +∞
. Chọn C.
Câu 62: Hàm số đồng biến trên
( )
1;1−
, nghịch biến trên
( )
;1−∞ −
và
( )
1; +∞
. Chọn B.
Câu 63: Hàm số đồng biến trên
( )
;1−∞
và
( )
3; +∞
, nghịch biến trên
( )
1; 3
. Chọn D.
Câu 64: Hàm số
( )
gx
nghịch biến khi
1 13 0 2xx< +< ⇒ < <
. Chọn A.
Câu 65: Ta có
( ) ( ) ( )
0 0 00gx fx fx x x
′′ ′
=− − ≤⇒ − ≥⇒−<⇒>
. Vậy hàm số
(
)
gx
nghịch biến trên
khoảng
( )
0; +∞
. Chọn C.
Câu 66: Hàm số
(
)
gx
đồng biến khi
31 4
32 1
xx
xx
− <− >

⇔

−> <

. Chọn B.
Câu 67: Hàm số
(
)
gx
đồng biến khi
22
2
51 4
2
x
xx
x
>
− >− ⇔ > ⇔
<−
Chọn C
Câu 68: Hàm số
( )
gx
đồng biến khi
2
2
2
2 10
1 21 12 12
2 10
xx
xx x
xx
+ +>
−< + < ⇔ ⇔−− < <−+
+ −<
.
Chọn B.
Câu 69: Hàm số
( )
gx
đồng biến khi
22
1
2 20 1
1
x
xx
x
>
− +< ⇔ >⇔
<−
Do đó hàm số
( )
gx
nghịch biến khi
11x
−< <
nên đáp án B sai. Chọn B.
Câu 70: Hàm số
(
)
gx
đồng biến khi
( )
2
2
2
2
4 50
4 61 3
1
4 63
4 30
xx l
xx x
x
xx
xx
− +<
− +< >
⇔⇔
<
− +>
− +>
. Chọn C.
Câu 71: Ta có hàm số đồng biến trên
( )
1; 0−
,
( )
1; +∞
.
Hàm số nghịch biến trên
( )
0;1
,
( )
;1−∞ −
. Chọn B.
Câu 72: Ta có
(
)
1
0
12
x
fx
x
<−
′
<⇔
<<
. Chọn C.
Câu 73: Ta có
( )
02fx x
′
≥ ⇔ ≥−
. Chọn D.
Câu 74: Ta có trên
( )
2; +∞
thì
( ) ( )
0f x fx
′
>⇒
đồng biến trên
( )
2; +∞
. Chọn D.
Câu 75: Ta có
(
)
03fx x
′
≤⇔≤
. Chọn B.
Câu 76: Ta có
( )
1
0
3
x
fx
x
<
′
<⇔
>
. Chọn B.
Câu 77: Ta có
( ) ( )
20 2 2 4gx f x x x
′′
= + > ⇔ + <− ⇔ <−
. Chọn C.
Câu 78: Ta có
( ) ( )
1 0 12 3gx f x x x
′′
= − > ⇔ −> ⇔ >
. Chọn A.
Câu 79: Ta có
(
) (
)
2 0 2 02 3 1
yfx fx x x
′′ ′
=− − <⇔ − >⇔−>⇔<−
. Chọn B.
Câu 80: Ta có
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
0
0
30
32
1
2. 3 0
10
0
0
32
30
x
x
fx
x
x
y xf x
x
x
x
x
fx
>
>
′
−>
− >−
>

′′
= − >⇔ ⇔ ⇔
−< <
<
<

− <−
′
−<
Khi đó
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
0
0
30
32
01
2. 3 0
1
0
0
32
30
x
x
fx
x
x
y xf x
x
x
x
x
fx
>
>
′
−<
− <−
<<

′′
= − <⇔ ⇔ ⇔
<−
<
<

− >−
′
−>
Hàm số đồng biến trên
( ) ( )
1; , 1; 0+∞ −
và nghịch biến trên
( ) ( )
; 1 , 0;1−∞ −
. Chọn B.
Câu 81: Ta có
( )
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
0
0
1 10
10
1 12
2. 1 0 0 1
0
0
10
0 11
x
x
x
fx
x
y xf x x
x
x
fx
x
>
>
−< +<
′
+>
′′
< +<
= + >⇔ ⇔ ⇔<<
<
<
′
+<
< +<
Khi đó
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
0
0
1 10
10
1 12
2. 1 0 1 0
0
0
10
0 11
x
x
x
fx
x
y xf x x
x
x
fx
x
<
<
−< +<
′
+>
′′
< +<
= + < ⇔ ⇔ ⇔− < <
>
>
′
+<
< +<
Hàm số đồng biến trên
(
)
0;1
và nghịch biến trên
( )
1; 0−
. Chọn D.
Câu 82:
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
0
0
40
43
1
2. 4 0
10
0
0
43
40
x
x
fx
x
x
y xf x
x
x
x
x
fx
>
>
′
−>
−<
>

′′
=− − <⇔ ⇔ ⇔
−< <
<
<

−>
′
−<
. Chọn D.
Câu 83:
( )
( )
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2 30
230
0 2 32
2
2 2. 2 3 0
2 33
01
1
230
1
2 2 33
x
x
xx
fx x
xx
x
y x fx x
xx
x
x
fx x
x
xx
>
>
− +<
′
− +<
< − +<
>
′′
= − − + <⇔ ⇔ ⇔
− +>
<<
<
′
−+>
<
< − +<
Chọn B.
Câu 84:
( ) (
)
12 1 1 3
20 20 2
22 0
xx
yfx fx x
xx
−<−< <<

′′ ′
=− − >⇔ − <⇔ ⇔ ⇒=

−> <

. Chọn A.
Câu 85:
( )
( )
(
)
2
2
2
2
2
0
0
0
1
0
2. 0
10
0
1
0
1
x
x
x
fx
x
x
y xf x
x
x
x
fx
x
>
>
∈∅
′
<
<−
<
′′
= <⇔ ⇔ ⇔
−< <
<
>
′
>
<
. Chọn C.
Câu 86:
( )
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
0
0
2 90
73
90
0
2. 9 0 3
0
90
70
90
92
x
x
x
x
fx
x
y xf x x
x
x
x
fx
x
>
>
−< − <
<<
′
−<
′′
<
= − < ⇔ ⇔ ⇔ <−
<
−>
− <<
′
−>
− <−
Do đó không có giá trị x thỏa mãn bài toán. Chọn C.
Câu 87:
( )
( )
22 2
1
0 1 0 10
1
x
fx xx x
x
>
′
>⇔ − >⇔ −>⇔
<−
Do đó hàm số
( )
y fx=
đồng biến trên khoảng
( )
1; +∞
và
( )
1−∞ −
. Chọn B.
Câu 88:
(
)
(
)
2019 2020
0 10
′
<⇔ −<fx x x
TH1: Với
( )
2020
0 0 10 1 1
x fx x x
′
>⇒ <⇔ −<⇔−<<
. Ta được
01x<<
.
TH2: Với
(
)
2020 2020
0 0 10 1 1x fx x x x
′
<⇒ <⇔ −>⇒ >⇒<−
.
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
0;1
và
( )
1−∞ −
.
Cách 2: Ta có
( )
0
0
1
x
fx
x
=
′
= ⇔
= ±
. Lập bảng xét dấu cho
(
)
fx
′
ta có:
x
−∞
–1
0
1
+∞
y
′
–
0
+
0
–
0
+
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
0;1
và
(
)
;1
−∞ −
. Chọn A.
Câu 89:
( ) ( )
( )
( )
(
) ( )
2
2
0240220 2gx f x x x x x x
′′
= <⇔ − − <⇔ − + <⇔<−
.
Do đó hàm số
(
)
gx
nghịch biến trên khoảng
(
)
;2−∞ −
. Chọn C.
Câu 90:
( ) (
) ( ) ( )
( )
( )( )
( )
22
1 23 1223 1 1gxfxx fxxxx xxxxx
′
′′

= −−= −=− −+−=− − +

Lập bảng xét dấu cho
( )
gx
′
:
x
−∞
–1
1
3
+∞
y
′
+
0
–
0
+
0
–
Suy ra
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
1; 3
nên nó đồng biến trên khoảng
( )
1; 2
. Chọn D.
Câu 91: Tính chất:
■ Nếu hàm số
( )
fx
đồng biến trên
[
]
;D ab=
thì với
12
,xx D∈
và
12
xx>
ta có
( ) ( )
12
fx fx>
.
■ Nếu hàm số
( )
fx
nghịch biến trên
[ ]
;D ab=
thì với
12
,xx D∈
và
12
xx>
ta có
( ) ( )
12
fx fx<
.
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
22
3 39 3 3 0= 3g fx x x x xx xx
′′
= +=+ − ≥+ − ⇔≤
.
Do đó hàm số
( )
gx
đồng biến trên nửa khoảng
(
]
;3−∞
và nghịch biến trên nửa khoảng
[
)
3; +∞
.
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 , 3 4 , 31 2g gg g g g< > −> −
. Chọn A.
Câu 92:
(
) (
)
2
4
2019 4 0
0
x
gx f x x x
x
≥
′′
= − = − ≥⇔
≤
Do đó hàm số
( )
gx
đồng biến trên nửa khoảng
(
]
;0−∞
và
[
)
4; +∞
, hàm số
( )
gx
nghịch biến trên đoạn
[
]
0; 4
.
Vậy
(
) (
)
34gg
>
. Chọn B.
Câu 93:
( ) ( )
3
12 2
gx f x m x x m
′′
= − =− + +−
Hàm số
(
)
gx
đồng biến trên khoảng
(
) (
)
[ ]
( )
1; 4 0 1; 4gx x
′
⇔ ≥ ∀∈
(mở rộng ra đoạn do hàm số
( )
gx
liên
tục trên đoạn
[ ]
1; 4
)
[
]
( )
[ ]
(
)
( )
33
12 2 0 1; 4 12 2 1; 4 *xxm x xx mx⇔− + + − ≥ ∀ ∈ ⇔− + + ≥ ∀ ∈
Xét hàm số
( )
3
12 2hx x x=−+ +
trên khoảng
[ ]
1; 4
ta có:
( )
( )
1;4
2
3 12 0 2
x
hx x x
∈
′
= − + = → =
Mặt khác
( ) ( ) ( )
1 13, 2 18, 4 14hh h= = = −
Khi đó
( )
[ ]
( )
1;4
* min 14 14hx m m m⇔ ≥⇔−≥⇔≤−
. Chọn A.
Câu 94:
( ) ( )
2
4
22
1
gx f x m m
x
′′
= −+ = −+
+
Hàm số
( )
gx
nghịch biến trên khoảng
( )
[ ]
( )
2
4
1; 2 2 0 1; 2
1
mx
x
− ⇔ − + ≤ ∀∈−
+
(Do hàm số liên tục nên ta mở rộng ra đoạn)
[ ]
( )
( )
2
4
2 1; 2 *
1
mx
x
⇔ − ≥ ∀∈−
+
.
Xét hàm số
(
) ( )
2
4
1
hx f x
x
′
= =
+
trên đoạn
[ ]
( )
( )
2
2
8
1; 2 0 0
1
x
hx x
x
−
′
− ⇒ = =⇔=
+
Mặt khác
( ) ( )
( ) (
)
[ ]
( )
1;2
4
1 2, 0 4, 2 * 2 max 2 4 4 2
5
h h h m hx m m
−
−= = =⇒ ⇔− ≥ ⇔− ≥⇔≥+
.
Chọn A.
Câu 95: : Hàm số
( )
gx
nghịch biến trên
( ) ( ) ( )
0gx f x m x
′′
⇔ = − ≤ ∀∈
( )( ) ( )
maxm fx x m fx
′′
⇔≥ ∀∈ ⇔≥
Mặt khác
( ) ( )
22
44
4 max 4
10 1
fx fx
x
′′
=≤=⇒ =
++
.
Do đó
4m ≥
là giá trị cần tìm.
Kết hợp
( )
20; 20
m
m
∈−
⇒
∈
có 16 giá trị của tham số m. Chọn A.
Câu 96:
( ) ( )
22 2
cos 2sin 2gx f x m x x m
′′
= − = + +−
Hàm số
( )
gx
nghịch biến trên
( ) ( )
0gx x
′
⇔ ≤ ∀∈
( )
22
cos 2 sin 2 0
x xm x⇔ + + − ≤ ∀∈
( )
22 2
cos 2sin 2 3 sin 2sin
m xx xxx⇔ ≥ + + = − + ∀∈
(
) (
)
2
22
2
4 sin 1 4
2
m
m xx m
m
≥
⇔≥− −∀∈⇔≥⇔
≤−
Kết hợp
( )
20; 20m
m
∈−
⇒
∈
có 36 giá trị của tham số m. Chọn D.
Câu 97: Hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( ) ( ) (
)
( )
[
)
( )
2; 1 0 2;gx f x m x
′′
+∞ ⇔ = − − ≥ ∀ ∈ +∞
( )
[
)
( )
( )
1
1 1 2; *fx m x m x
x
′
⇔ ≥−⇔+≥−∀∈ +∞
Xét hàm số
(
)
1
hx x
x
= +
trên nửa khoảng
[
)
2; +∞
ta có:
( )
[
)
( )
2
22
11
1 0 2;
x
hx x
xx
−
′
= − = > ∀ ∈ +∞
Do đó hàm số
( )
hx
đồng biến trên nửa khoảng
[
)
[
)
( ) ( )
2;
5
2; min 2
2
hx h
+∞
+∞ ⇒ = =
Khi đó
( )
[
)
( ) ( )
2;
57
* min 1 2 1 1
22
hxmhm mm
+∞
⇔ ≥ −⇔ ≥ −⇔ ≥ −⇔ ≤
Kết hợp
{ }
1; 2; 3mm
+
∈ ⇒=
. Chọn C.
Câu 98: Hàm số
(
)
gx
nghịch biến trên
( )
( ) (
)
20gx f x m x
′′
⇔ = + ≤ ∀∈
( )( )
2
3
2*
1
x
mx
x
+
⇔− ≥ ∀ ∈
+
.
Xét hàm số
( ) ( )
2
3
1
x
hx f x
x
+
′
= =
+
trên
ta có:
( )
( )
( )
2
2
2
3
2
3
1
13 1
1
0
13
1
xx
x
x
x
hx x
x
x
+
+−
−
+
′
= = =⇔=
+
+
Lại có:
( ) ( ) ( )
1
10, lim 1, lim 1, max 10
3
xx
h hx hx hx
→−∞ →+∞

= =− =⇒=


Do đó
( ) ( )
10
* 2 max 2 10
2
m hx m m
−
⇔− ≥ ⇔− ≥ ⇔ ≤
Kết hợp
( )
20; 20
m
m
∈−
⇒
∈
có 18 giá trị của tham số m. Chọn A.
Câu 99:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1 3 13 1 2 13 4gx fx f x x x x
′
′′
= − −= − −= − + − −= −


Do đó
( ) (
)
2
0
2
x
g x gx
x
>
′
>⇔ ⇒
<−
đồng biến trên khoảng
(
)
2;
+∞
và
( )
;2−∞ −
.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2; 4
. Chọn B.
Câu 100:
( )
( ) ( ) ( )
2 2 42
2. 2. 1 0 0g x f x x f x xx x x
′

′′
= = = + <⇔<

Do đó hàm số
( )
gx
nghịch biến trên khoảng
( )
;0
−∞ ⇒
hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
2; 0−
. Chọn B.
Câu 101:
(
) ( ) (
)
2
2
1 2 1 12 2gx fx x x x
′
′
= + −= + +−= +


Khi đó
( )
( )
02 0g x x gx
′
< ⇔− < < ⇒
nghịch biến trên khoảng
( )
2; 0−
nên hàm số nghịch biến trên
khoảng
( )
2; 1
−−
. Chọn B.
Câu 102: Hàm số
(
)
gx
đồng biến trên đoạn
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
2; 4 3 0 2; 4gx f x m x
′′
⇔ = − − ≥ ∀∈
(
) ( )
[
]
( )
(
)
3 2; 4 *
fx m x
′
⇔ ≥ − ∀∈
Xét
( ) ( )
2
3
1
x
hx f x
x
+
′
= =
−
trên đoạn
[ ]
2; 4
ta có:
( )
( )
(
) ( )
2
2
22
21 3
23
11
xx x
xx
hx
xx
−− −
−−
′
= =
−−
Với
[ ]
( )
2; 4 0 3x hx x
′
∈ ⇒ =⇔=
.
Lại có:
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
2;4
19
2 7, 3 6, 4 min 6
4
h h h hx
===⇒=
.
Ta có:
( )
[ ]
( )
2;4
* min 3 6 3 9⇔ ≥ −⇔≥ −⇔ ≤hx m m m
.
Kết hợp
m
+
∈⇒
có 9 giá trị của tham số m. Chọn A.
Câu 103: Hàm số
(
)
gx
đồng biến trên khoảng
( ) (
) ( ) ( )
( )
0; 0 0;
gx f x m x
′′
+∞ ⇔ = − ≥ ∀ ∈ +∞
( ) ( )
( )
( )
0; *fx m x
′
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
Xét
(
) (
)
2
2
hx f x x
x
′
= = +
trên khoảng
(
)
0; +∞
ta có:
( )
2
2
2 01hx x x
x
′
= − =⇔=
Mặt khác
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
0;
0
lim , 1 3, lim min 1 3
x
x
hx h hx hx h
+
→+∞ +∞
→
= +∞ = = +∞ ⇒ = =
Hoặc áp dụng BĐT AM -GM ta có:
( )
22 2
3
2 1 1 11
3 .. 3hx x x x
x x x xx
= += ++≥ =
.
Suy ra
( )
( )
0;
min 3hx
+∞
=
. Do đó
( )
*3m⇔≥
. Chọn A.
Câu 104:
( ) ( )
( )
(
)
2
22
. 1. 2 3
23
;
mm m
mm
y xm
xm xm
−−−−
−+ +
′
= = ∀≠
−−
Yêu cầu bài toán
2
0 2 30 1 3y mm m
′
⇔ > ⇔− + + > ⇔− < <
Kết hợp với
{ }
0;1; 3mm∈ → =
là các giá trị cần tìm. Chọn D.
Câu 105:
( ) ( )
2
22
. 1.4 4
;
mm m m m
y xm
xm xm
−−
′
= = ∀ ≠−
++
Yêu cầu bài toán
2
0 4 00 4
y mm m
′
⇔ <⇔ − <⇔< <
Kết hợp với
{
}
1; 2; 3mm∈ → =
là các giá trị cần tìm. Chọn D.
Câu 106:
( )
( )
22
1.5 1.2 5 2
;5
55
mm
y xm
xm xm
−−
′
= = ∀ ≠−
++
Yêu cầu bài toán
( )
( )
5 20
2
0; ; 10 2
5 ; 10
5
m
yx m
xm
−>
′
⇔ > ∀ ∈ −∞ − ⇔ ⇔ < ≤
= − ∉ −∞ −
Kết hợp với
{ }
1; 2mm∈ → =
là các giá trị cần tìm. Chọn A.
Câu 107:
( )
(
)
22
1.5 1.6 5 6
;5
55
mm
y xm
xm xm
−−
′
= = ∀ ≠−
++
Yêu cầu bài toán
( )
( )
5 60
6
0; 10; 2
5 10;
5
−<
′
⇔ < ∀ ∈ +∞ ⇔ ⇔ − ≤ <
= − ∉ +∞
m
yx m
xm
Kết hợp với
{ }
2; 1; 0;1mm∈ → = − −
là các giá trị cần tìm. Chọn C.
Câu 108:
(
)
(
)
22
1.3 1.1 3 1
;3
33
mm
y xm
xm xm
−−
′
= = ∀ ≠−
++
Yêu cầu bài toán
( )
( )
3 10
1
0; 6; 2
3 6;
3
m
yx m
xm
−<
′
⇔ < ∀ ∈ +∞ ⇔ ⇔ − ≤ <
= − ∉ +∞
Kết hợp với
{ }
2; 1; 0mm∈ → = − −
là các giá trị cần tìm. Chọn A.
Câu 109:
( )
( )
22
1.3 1.1 3 1
;3
33
mm
y xm
xm xm
−−
′
= = ∀ ≠−
++
Yêu cầu bài toán
( )
( )
3 10
1
0; ; 6 2
3 ;6
3
m
yx m
xm
−>
′
⇔ > ∀ ∈ −∞ − ⇔ ⇔ < ≤
= − ∉ −∞ −
Kết hợp với
{ }
1; 2mm∈ → =
là các giá trị cần tìm. Chọn A.
Câu 110:
( ) ( )
2
22
. 1.1 1
;
mm m
y xm
xm xm
−−
′
= = ∀ ≠−
++
Yêu cầu bài toán
2
1
0 10
1
m
ym
m
>
′
⇔ >⇔ −>⇔
<−
. Chọn B.
Câu 111:
( )
( ) ( )
2
22
. 3 1.4
34
;
mm
mm
y xm
xm xm
+−
+−
′
= = ∀ ≠−
++
Yêu cầu bài toán
2
1
0 3 40
4
m
y mm
m
>
′
⇔ >⇔ + −>⇔
<−
. Chọn A.
Câu 112:
(
)
( )
( )
(
)
2
2
22
. 1 1. 20
20
;1
11
mm
mm
yx
xx
−− −−
− ++
′
= = ∀≠
−−
Yêu cầu bài toán
2
0 20 0 4 5y mm m
′
⇔ > ⇔− + + > ⇔− < <
Kết hợp với
m
∈ →
có 8 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn B.
Câu 113:
( ) ( )
( )
( )
2
2
22
.2 1.3 1
2 31
;2
22
mm
mm
yx
xx
−− − +
− +−
′
= = ∀≠
−−
Yêu cầu bài toán
2
1
0 2 3 10
1
2
m
y mm
m
>
′
⇔ <⇔− + −<⇔
<
Kết hợp với
100 100m
m
− <<
∈ →
có
98 100 198+=
giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.
Câu 114:
( ) ( )
2
22
. 1.3 3
;
mm m
y xm
xm xm
−−
′
= = ∀ ≠−
++
Yêu cầu bài toán
(
)
( )
2
30
0; ; 2 3 3
;2
m
yx m
xm
−<
′
⇔ < ∀ ∈ −∞ − ⇔ ⇔ − < <
= − ∉ −∞ −
Vậy
( )
3; 3m∈−
là giá trị cần tìm
3
23
3
a
ba
b
= −
⇔ ⇒−=
=
. Chọn C.
Câu 115:
( ) ( )
( ) ( )
2
22
3 . 1. 2
32
;
mm
mm
y xm
xm xm
+ −−
++
′
= = ∀ ≠−
++
Yêu cầu bài toán
( )
(
)
2
1
3 20
0; 2; 1
2
2;
2
m
mm
yx m
m
xm
m
>−
+ +>

′
⇔ > ∀ ∈ +∞ ⇔ ⇔ ⇔ > −
<−

= − ∉ +∞
≥−
Kết hợp với
100 100m
m
− <<
∈ →
có 100 giá trị nguyên m cần tìm.
Vậy xác suất cần tính là
100
199
P =
. Chọn A.
Câu 116:
( ) ( )
( ) ( )
22
2. 1. 3 2
2
;
mm
m
y xm
xm xm
−−−−
+
′
= = ∀≠
−−
Yêu cầu bài toán
( )
( )
2
20
0; 1; 2 2
2
1; 2
1
m
m
yx m
m
xm
m
<−
+<

′
⇔ < ∀ ∈ ⇔ ⇔ ⇔ <−
≥

= ∉
≤
. Chọn D.
Câu 117:
( )
( )
44
22
1. 1.
;
m m mm
y xm
xm xm
−−
′
= = ∀ ≠−
++
Yêu cầu bài toán
4
0
01
11
0; ; 1
1
1
22
;
2
2
mm
m
yx m
m
xm
−>
<<


′
⇔ > ∀ ∈ +∞ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <



≥−
= − ∉ +∞




Vậy
1
;1
2
m

∈−

là giá trị cần tìm
13
;1
22
a b ba
⇒=− =⇒−=
. Chọn B.
Câu 118:
( ) ( )
( )( )
( )
22
34
22 2
44
. 1.16 16
;
mm
mm m
y xm
xm xm xm
−+
−−
′
= = = ∀ ≠−
++ +
Yêu cầu bài toán
( )
( )
2
2
40
2
0; 5;
2
52
5;
5
m
m
m
yx
m
m
xm
m
>
−>
>

′
⇔ > ∀ ∈ +∞ ⇔ ⇔ ⇔
<−

− ≤ <−
= − ∉ +∞
≥−
Kết hợp với
{ }
5;4;3mm
−
∈ → = − − −
là các giá trị cần tìm.
Vậy xác suất cần tính là
2
3
P =
. Chọn C.
Câu 119:
( )
( )
( ) ( )
2
2
22
2.8 1 .
16
;8
88
m
m
yx
xx
−− −
−
′
= = ∀≠
−−
Yêu cầu bài toán
2
0 16 0 4 4ym m
′
⇔ >⇔ − >⇔−< <
Kết hợp với
{ }
3; 2; 1; 0;1; 2; 3mm∈ → = − − −
là các giá trị cần tìm.
Vậy
0m =
∑
. Chọn C.
Câu 120:
( ) ( )
( )
( )
2
22
. 2. 5
10
;
2
22
−− −
−
′
= = ∀≠
−+ −
mm
mm
yx
xm xm
Yêu cầu bài toán
( )
( )
2
10 0
0; ; 1 2 10
;1
2
m
yx m
m
x
−<
′
⇔ < ∀ ∈ −∞ − ⇔ ⇔ − ≤ <
= ∉ −∞ −
Kết hợp với
{ }
2; 1; 0;1; 2; 3mm∈ → = − −
là các giá trị cần tìm.
Vậy
3m =
∑
. Chọn A.
Câu 121: Với
0m =
, ta được
50ym= → =
loại.
Với
0
m ≠
. Ta có
( )
( )
22
22
.1 2 .5 10 1
;
2
21 21
m mm m
yx
m
mx mx
−−
′
= = ∀ ≠−
++
Yêu cầu bài toán
(
)
(
)
2
10 0
0; 3; 0 10
1
3;
2
−<
′
⇔ < ∀ ∈ +∞ ⇔ ⇔ < <
= − ∉ +∞
mm
yx m
x
m
Kết hợp với
{ }
1; 2;3;...;9mm∈ → =
là các giá trị cần tìm.
Vậy
1 2 3 ... 9 45m =+++ +=
∑
. Chọn D.
Câu 122:
( ) ( )
( )
( )
22
2. 1. 3
3
;
mm
m
y xm
xm xm
− − −+
−−
′
= = ∀≠
−−
Yêu cầu bài toán
[
)
[
)
30
3
0; 7; 3 7
7;
7
m
m
yx m
xm
m
−−<
>−
′
⇔ < ∀ ∈ +∞ ⇔ ⇔ ⇔ − < <

= ∉ +∞
<
Kết hợp với
{ }
2; 1;0;...;6mm∈ → = − −
là các giá trị cần tìm.
Vậy
18m =
∑
. Chọn B.
Câu 123:
( ) ( )
( ) ( )
22
1. 3 2 1. 2 3
55
; 32
32 32
mm
m
y xm
xm xm
− +− −
−+
′
= = ∀≠ −
−+ −+
Yêu cầu bài toán
( )
( )
5 50
0; ; 14 4 1
3 2 ; 14
m
yx m
xm
− +>
′
⇔ > ∀ ∈ −∞ − ⇔ ⇔ − ≤ <
= − ∉ −∞ −
Kết hợp với
{ }
4;3;2;1;0mm∈→ =−−−−
là các giá trị cần tìm.
Vậy
10m = −
∑
. Chọn D.
Câu 124:
( )
( ) ( )
2
2
22
2 .2 1 3 9
9
;2
22
mm m
m
y xm
xm xm
−+
−
′
= = ∀ ≠−
++
Yêu cầu bài toán
2
0 90 3 3ym m
′
⇔ <⇔ −<⇔−< <
Kết hợp với
{ }
2; 1; 0;1; 2mm∈ → = − −
là các giá trị cần tìm. Chọn C.
Câu 125:
( )
( ) ( )
2
2
22
2 .2 1 3 9
9
;2
22
mm m
m
y xm
xm xm
−+
−
′
= = ∀ ≠−
++
Yêu cầu bài toán
2
0 90 3 3ym m
′
⇔ <⇔ −<⇔−< <
Kết hợp với
{ }
1; 2mm
+
∈ → =
là các giá trị cần tìm. Chọn A.
Câu 126:
( ) ( )
22
1. 1.1 1
;
mm
y xm
xm xm
−−
′
= = ∀≠
++
Yêu cầu bài toán
0 10 1ym m
′
⇔ >⇔ −>⇔ >
. Chọn B.
Câu 127:
( ) (
)
( )
( )
2
22
. 3 1. 2
32
;3
33
mm
mm
y xm
xm xm
−−−
−+
′
= = ∀≠ −
+− +−
Yêu cầu bài toán
2
0 3 20 1 2y mm m
′
⇔ <⇔ − +>⇔< <
.
Do đó
1; 2 1
a b P ab= = → = − = −
. Chọn A.
Câu 128:
( ) ( )
( )
( )
2
22
. 19
9
;
mm
m
y xm
xm xm
− −−
−
′
= = ∀≠
−−
Yêu cầu bài toán
2
09 0 3 3ym m
′
⇔ >⇔− >⇔−< <
Kết hợp với
m
∈ →
có 5 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn A.
Câu 129:
( )
3
4 82 1
yx mx
′
=+−
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
[
)
( )
1; 0 1;yx
′
+∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
( )
[
)
(
)
( )
[
)
( )
32
4 8 2 1 0 1; 2 2 1 0 1;x mx x x m x
⇔ + − ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ + − ≥ ∀ ∈ +∞
[
)
( )
2
1;
1
min 2 2 1 0 1 4 2 0
4
xm m m
+∞

⇔ + − ≥⇔+ −≥⇔ ≥

Kết hợp
[
]
20; 20
m
m
∈
⇒
∈−
có 20 giá trị của tham số m. Chọn D.
Câu 130:
( )
3
42 1y x mx
′
=−+ −
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
1; 2 ⇔
nó nghịch biến trên đoạn
[ ]
1; 2
[ ]
( )
( )
[ ]
(
)
( )
[ ]
( )
32
0 1; 2 4 2 1 0 1; 2 4 2 1 0 1; 2yxxmxxxmx
′
⇔ ≤ ∀∈ ⇔− + − ≤ ∀∈ ⇔− + − ≤ ∀∈
[
]
(
) ( )
2
1;2
max42104210 3

⇔ − + − ≤⇔−+ − ≤⇔ ≤

xm m m
Kết hợp
[ ]
20; 20
m
m
∈
⇒
∈−
có 24 giá trị của tham số m. Chọn C.
Câu 131:
(
) ( )
32
2
0
4 4 1 4 1; 0
1
x
y x m x xx m y
xm
=
′′

= − − = −− =⇔

= −
TH1. Nếu
10 1 0m my
′
− ≤ ⇔ ≤ → =
có một nghiệm
0x
=
và
y
′
đổi dấu từ – sang + khi qua điểm
0x =
. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0; +∞
, tức là đồng biến trên khoảng
( )
1; 3
.
TH2. Nếu
0
10 1 0 1
1
x
m m y xm
xm
=
′
− > ⇔ > → = ⇔ = − −
= −
Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán
11 2mm⇔ −≤⇔ ≤
. Do đó
12m<≤
.
Kết hợp 2 trường hợp. ta được
2m
≤
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Mà
[ ]
10;10m ∈−
và
m ∈ →
có 13 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.
Câu 132:
( )
( )
3 2 22
22
0
4 4 4 4 4; 0
4
x
y x m x xx m y
xm
=

′′
=− −= −− =⇔

= −
TH1. Nếu
2
40 2 2 0m my
′
− ≤ ⇔ − ≤ ≤ → =
có một nghiệm
0x =
và
y
′
đổi dấu từ – sang + khi qua
điểm
0x =
. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0; +∞
tức là không nghịch biến trên khoảng
(
)
2; 6
.
TH2. Nếu
( ) ( )
2 22
2
4 0 0; 2; 6 4 0; 2; 6
2
m
m y x xm x
m
>
′
− > ⇔ → ≤ ∀∈ ⇔ − + ≤ ∀∈
<−
( )
22 22 2
2 10
4; 2; 6 6 4 40 40 0
2 10
m
mx x m m
m
≥
⇔≥+∀∈ ⇔≥+=⇔−≥⇔
≤−
Kết hợp 2 trường hợp, ta được
2 10
2 10
m
m
≥
≤−
là giá trị cần tìm.
Mà
[ ]
10;10m ∈−
và
m
∈ →
có
448
+=
giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.
Câu 133:
( ) ( )( )
2
36 13 1 3yx mxm m
′
=− ++ − +
( ) ( )
3 1 30 1 3xm xm m xm= −− −+ <⇔−<<+


Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
1; 3mm−+
Để hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
32
1; 2 1 2
11
m
m
m
+≥
⇔ ⇔≤ ≤
−≤
Kết hợp
{ }
1; 2 3mm m∈⇒ = ⇒ =
∑
. Chọn A.
Câu 134:
( )
2 2 22
1
3 6 3 1; 0 2 1 0
1
xm
y x mx m y x mx m
xm
= −
′′
= − + − = ⇔ − + −= ⇔
= +
Dễ thấy
1 1;mmm− ≠ + ∀ ∈ →
Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
Vì hệ số
0a >
suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;1m−∞ −
và
( )
1;m + +∞
.
Yêu cầu bài toán
( ) ( )
3; 1; 1 3 2m mm⇔ +∞ ⊂ + +∞ → + ≤ ⇔ ≤
.
Kết hợp với
{ }
1; 2
mm
+
∈ → =
là giá trị cần tìm. Chọn B.
Câu 135:
( )
( )
32
2
0
4 4 2 4 2; 0
2
x
y x m x xx m y
xm
=
′′
=− + − = −+− =⇔
= −
TH1. Nếu
20 2 0m my
′
− ≤ ⇔ ≤ → =
có một nghiệm
0x =
và
y
′
đổi dấu từ – sang + khi qua điểm
0x =
. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;0−∞
, tức là đồng biến trên khoảng
( )
;5
−∞ −
.
TH2. Nếu
( )
(
)
( )
2
2 0 2 0; ; 5 4 2 0; ; 5m m y x xx m x
′
− > ⇔ > → ≥ ∀ ∈ −∞ − ⇔ − + − ≥ ∀ ∈ −∞ −
( ) (
)
( )
{ }
2 22
;5
2 0; ; 5 2; ; 5 min 2 27
−∞ −
⇔ − + − ≤ ∀ ∈ −∞ − ⇔ ≤ + ∀ ∈ −∞ − ⇔ ≤ + −xmxmxxmx
Kết hợp 2 trường hợp, ta được
27
m ≤
là giá trị cần tìm.
Mà
m
+
∈ →
có 27 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn B.
Câu 136: Ta xét hai trường hợp sau:
• Hệ số
2
2
04
20
2 44
my
am m
m yx
= → = −
=−=⇔
= → = −
. Hàm số
2
44yx= −
có đồ thị là một parabol nghịch
biến trên khoảng
(
)
;0
−∞
, đồng biến trên khoảng
( )
0; 2m+ ∞ → =
thỏa mãn bài toán.
• Hệ số
{ }
2
2 0 0; 2
am m m= − ≠⇔ ≠
Yêu cầu bài toán
2
2
0 0 20
24
00
40
a a mm
m
ab b
mm
> > −>

⇔ ⇔ ⇔ ⇔< ≤

≥≥
−≥

Kết hợp 2 trường hợp, ta được
{ }
2 4 2; 3; 4
m
mm
∈
≤ ≤ → =
. Chọn D.
Câu 137:
( )
( ) ( )
3 2 22
4 4 1 0, 4; 6 1, 4; 6y x m x x xm x
′
= − − ≥ ∀∈ ⇔ ≥ − ∀∈
Với
( ) ( )
{ }
22
4; 6 16;36 1 16 17 17 4; 3; 2; 1;0x x m mm∈ ⇒ ∈ → −≤ ⇔− ≤ ≤ ⇒ ∈±±±±
Chọn A.
Câu 138:
( )
( ) ( )
3 2 22
4 4 1 0, 2;5 1, 2;5y x m x x xm x
′
= − + ≤ ∀∈ ⇔ ≤ + ∀∈
Với
( ) ( )
22
26
2;5 4; 25 1 25 5
26
m
xx m m
m
≥
∈ ⇒ ∈ → + ≥ ⇔ → = ±
≤−
. Chọn D.
Câu 139:
( ) ( ) ( )
32
4 4 4 1 0, 1; 4 4 1 , 1; 4
′
=− + − ≥ ∀∈ ⇔ −≥ ∀∈
y x m x x m xx
Với
( )
( )
2
17
1; 4 1;1 6 4 1 1 6
4
xx m m∈ ⇒ ∈ → − ≥ ⇔ ≥
. Chọn C.
Câu 140:
( ) ( ) ( )
32
4 4 1 0, 1; 5 1 , 1; 5y x m x x mx x
′
=− − − ≤ ∀∈ ⇔ − ≤ ∀∈
Với
( ) ( )
2
1; 5 1; 25 1 1 0x x mm∈ ⇒ ∈ → − ≤ ⇔ ≥
. Chọn B.
Câu 141:
( )
( )
( )
22
cos 2 1 2 1 1
. sin .sin
cos
cos cos
xm mm m
y y xx
xm
xm xm
− ++ −− +
′
= ⇒= − =
−
−−
Do
sin 0 0;
2
xx
π

>∀∈


nên hàm số đồng biến trên
( )
1
1
1
0;
1
0;1
10
2
0
π
>−
>−
≥


⇔ ⇔⇔
≥


∉
−< ≤

≤
m
m
m
m
m
m
m
Kết hợp
[ ]
10;10
m
m
∈
⇒
∈−
có 11 giá trị của tham số m. Chọn A.
Câu 142:
( )
( )
22
22
cot 2 2 1 4 4 1 5 3 1
..
2cot 1 sin sin
2 cot 1 2 cot 1
+ + − +− − − +
′
= ⇒= =
−+
−+ −+
xm m m m
yy
xm x x
xm xm
Hàm số đồng biến trên
5 30
0;
1
cot 0;
4
24
m
m
xx
π
π
+>

⇔
−


∉ ∀∈





( )
33
3
22
3
11
2
1; 1
22
mm
m
mm

>− >−


⇔ ⇔ ⇔− < ≤

−−

∉ +∞ ≤


Kết hợp
[ ]
20; 20
m
m
∈
⇒
∈−
có 5 giá trị của tham số m. Chọn C.
Câu 143:
( )
( )
2
12 4 5
.cos .cos
2sin 1
2sin 1
mm m
y xx
xm
xm
− −+ − −
′
= =
−−
−−
Hàm số nghịch biến trên khoảng
5
5
50
11
25
0;
2
11
22
0;
1
6
11
22
0
2
m
m
m
m
m
m
m
m
mm
π
<
<
−<
−
≤<


≥
⇔ ⇔ ⇔⇔
≥
−



∉
≤



−≤

≤
Kết hợp
{
}
1;2;3;4
mm
+
∈ ⇒= ⇒
có 4 giá trị của tham số m. Chọn D.
Câu 144:
( ) ( )
22
22
2
56 1 56
. 0, 0; 0, 0;
cos 4 4
tan 5 6 tan 5 6
m m mm
yx x
x
xm xm
ππ
−+ + −
 
′
= < ∀∈ ⇔ < ∀∈
 
 
+− +−
Với
( )
2
61
5 60
1
0; tan 0;1
65 1
4
6
65 0
5
m
mm
m
xx
m
m
m
π
−< <
+ −<
≤

∈ ⇒ ∈ → ⇔
−≥




≥
−≤
{ }
6 1 5;4;3;2;1;0
mm⇔−< <⇒ ∈−−−−−
. Chọn A.
Câu 145: Đặt
costx=
do
1
; 0;
32 2
xt
ππ

∈ ⇒∈


. Khi đó hàm số trở thành
4mt
y
tm
−
=
−
Ta có
( )
2
2
4 m
y
tm
−
′
=
−
. Để hàm số đồng biến trên
1
0;
2



thì
2
2
40
2
2
0
0
2
1
1
2
2
m
m
m
m
m
m
m
m
m
>
−>
<−
>

≤
⇔⇔

≤
<−

≥

≥
Chọn C.
Câu 146: Đặt
sintx=
do
(
)
0; 0;1
2
xt
π

∈ ⇒∈


. Khi đó hàm số trở thành
( )
12mt
y
tm
−−
=
−
Ta có
( )
2
2
2
2
mm
y
t
− ++
′
=
−
. Để hàm số đồng biến trên
( )
0;1
thì
2
2
20
1
1
1
2
1
0
0
m
mm
m
m
m
m
m
m
m
>
− + +<
<−
≤−

⇔⇔
≥

>
≥

≤
≤
Chọn B.
Câu 147: Đặt
sintx=
do
(
)
0; 0;1
2
xt
π

∈ ⇒∈


. Khi đó hàm số trở thành
21−−
=
−
t
y
tm
Ta có
(
)
2
21m
y
tm
+
′
=
−
. Để hàm số đồng biến trên
( )
0;1
thì
1
2 10
1
2
0
1
2
1
1
0
0
+>
>−
−< ≤

⇔⇔
≥

≥

≥
≤
≤
m
m
m
m
m
m
m
m
Chọn C.
Câu 148:
( ) (
)
22
14 5 1
.cos 0, 0; 0, 0;
66
2sin 1 2sin 1
ππ
−+ −
 
′
= > ∀∈ ⇔ > ∀∈
 
 
+− +−
mm m
y xx x
xm xm
Với
{ }
5 10
1
11
5
1
0; sin 0; 1 1; 2; 3; 4
22
0
62
1
1
0
2
m
m
m
x x mm
m
m
m
π
−>
>
−

≥
∈ ⇒ ∈ → ⇔ ⇔ ≥ ⇒ ∈


≤


−

≥
≤
Chọn C.
Câu 149:
( )
( )
( )
22
22
54 54
. sin 0, 0; 0, 0;
33
cos 5 4 cos 5 4
m m mm
y xx x
xm xm
ππ
− ++ − +
 
′
= − > ∀∈ ⇔ < ∀∈
 
 
−+ −+
Với
{
}
2
14
5 40
1
1
5 41
0; cos ;1 1 4 2; 3
32
9
1
54
10
2
m
mm
m
m
x x mm
m
m
π
<<
− +<
≥


−≥
∈ ⇒ ∈ → ⇔ ⇔ < < ⇒ ∈




≤
−≤

Chọn A.
Câu 150:
22
22
sin 16 sin 16
cos 1 sin
mx mx
y
xm xm
−−
= =
+− − +
(Do
22
cos 1 sinxx−=−
)
Khi đó
(
)
( )
(
)
22
2
22
22
16 16
. sin .2sin cos
sin sin
mm
y x xx
xm xm
−−
′
′
= =
−+ −+
Do
2 sin cos 0 0;
2
xx x
π


> ∀∈




do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
(
)
2
2
16 0
44
0;
0;1
2
sin 0;
2
m
m
m
xm x
π
π
−<
−< <


⇔⇔




∉
≠ ∀∈





Kết hợp
m ∈⇒
có 7 giá trị của m. Chọn C.
Câu 151:
( )
( )
( )
22
22
1
21 1 1
..
sin sin
cot cot
−−
−+ −
′
= −=
−−
m
mm
y
xx
xm xm
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
10
1
;0
cot ; 0;1
42
42
m
m
m
xm x m
ππ
ππ
−<
<


⇔ ⇔ ⇔≤




≠ ∀∈ ∉





Kết hợp
( )
20; 20∈−
⇒
∈
m
m
có 20 giá trị của tham số m. Chọn A.
Câu 152:
( )
( )
( )
22
22
44
. sin .sin
2 cos 2 cos
mm
y xx
xm xm
−+ −
′
= −=
−−
Do
sin 0 0;
2
xx
π


> ∀∈




nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
0;
2
π



( )
2
40
22
20
0;1
cos 0;
2
22
m
m
m
m
m
xx
π
−<
−< <

⇔ ⇔ ⇔− < ≤



∉
≠ ∀∈





Kết hợp
( )
{ }
100;100
0; 1
∈−
⇒= −
∈
m
m
m
có 2 giá trị của tham số m. Chọn C.
Câu 153:
( ) ( ) ( ) ( )
22
6 621 6 1; 0 21 10y x m x mm y x m x mm
′′
= − ++ + =⇔− ++ +=
( )
2
22
0
2
11
−= =

⇔ − + =−⇔ − =−⇔ ⇔

−= =+

xm x m
x mxm xm xm xm
xm x m
Vì hệ số
0a
>
suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;1mm
+
Yêu cầu bài toán
1
10 1 1
1
m
mm m
m
≤−
⇔ ≤− < ≤ + ⇔ ⇔ =−
≥−
. Chọn C.
Câu 154:
( )
( )
( )
( )
22
22
34 1 34
. 0, 1; 5 0, 1; 5
21
2 13 4 2 13 4
m m mm
y xx
x
xm xm
− +− + −
′
= > ∀∈ ⇔ < ∀∈
−
−− + −− +
Với
( ) ( )
2
41
3 40
7
1; 5 2 1 1; 3 4 1
3 43
3
5
3 41
3
m
mm
m
xx m
m
m
m
−< <
+ −<
≥
∈ ⇒ − ∈ → ⇔ ⇔ − < <
−≥


−≤
≤
. Chọn B.
Câu 155:
( )
( )
( )
( )
22
22
45 1 45
. 0, 1; 5 0, 1; 5
23 1
3 14 5 3 14 5
m m mm
y xx
x
xm xm
−+ + −
′
= < ∀∈ ⇔ < ∀∈
+
++ − ++ −
Với
( )
( )
2
51
1
4 50
5
1
4
1; 5 3 1 2; 4
54 4
4
3
1
3
54 2
4
4
m
mm
m
m
xx
m
m
m
m
−< <
+ −<
−< ≤
≤
∈ ⇒ + ∈ → ⇔ ⇔
−≥


≤<
−≤
≥
. Chọn B.
Câu 156: Đặt
( )
( )
1
4 0 ;4
24
t xt x
x
−
′
= − ⇒ = < ∀ ∈ −∞
−
Với
( ) ( )
; 4 0;xt∈ −∞ ⇒ ∈ +∞
Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số
( )
2
1
mt
ft
tm
+
=
+−
nghịch biến trên khoảng
( )
0; +∞
Ta có:
( )
2
2
2
1
mm
y
tm
−−
′
=
+−
. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
( ) ( )
2
20
0;
1 0;
mm
m
− −<
+∞ ⇔
− ∉ +∞
12
12
10
m
m
m
−< <
⇔ ⇔≤ <
−≤
Kết hợp
{ }
1mm∈⇒ =
suy ra có 1 giá trị. Chọn B.
Câu 157: Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
2019 1 0 1 1ygx fx x y fx fx x
′′ ′
= = + + ⇒ = += ⇔ =−⇔ =±
Khi
x → +∞
ta thấy
( )
1y fx
′
= <−
từ đó ta có bảng xét dấu cho
( )
gx
như sau:
x
−∞
–1
1
+∞
y
′
–
0
+
0
–
Do đó hàm số
( )
y gx
=
đồng biến trên khoảng
(
)
1;1−
. Chọn B.
Câu 158: Ta có
( ) ( ) ( )
20 2gx fx fx
′′ ′
= −≤⇔ ≤
Dựa vào đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
ta thấy
( )
32x fx
′
>− ⇒ ≤
(dấu bằng chỉ xảy ra tại điểm
0x =
).
Do đó hàm số
( )
y gx=
nghịch biến trên khoảng
(
)
3;− +∞
. Chọn A.
Câu 159: Ta có
( )
( ) ( )
10 1gx fx fx
′′ ′
= + ≥ ⇔ ≥−
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
( )
21x fx
′
>− ⇒ ≥−
(dấu bằng chỉ xảy ra tại điểm
1x =
).
Do đó hàm số
( )
y gx=
nghịch biến trên khoảng
( )
2;− +∞
. Chọn D.
Câu 160: Đặt
( ) ( ) ( )
1
2 42 2 0 2
3
x
gx fx fx x
x
=
′′ ′
= −= − =⇔ =


=
Khi
( ) ( )
20x f x gx
′′
→ +∞ ⇒ > ⇒ >
từ đó ta có bảng xét dấu cho
( )
gx
′
như sau:
x
−∞
1
2
3
+∞
y
′
–
0
+
0
–
0
+
Suy ra hàm số
(
)
gx
′
đồng biến trên khoảng
( )
1; 2
và
( )
3; +∞
. Chọn C.
Câu 161: Ta có
( ) ( )
2
1
30
1
2
x
x
gx f x
x
x
= −
= −
′′
= +=⇔
=
=
Khi
( ) ( )
30
x f x gx
′′
→ +∞ ⇒ > − ⇒ >
từ đó ta có bảng xét dấu cho
( )
gx
′
như sau:
x
−∞
–2
–1
1
2
+∞
y
′
+
0
–
0
+
0
–
0
+
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
2; 1−−
và
( )
1; 2
. Chọn B.
Câu 162:
( ) ( ) (
) ( )
2 2 42 2gx fx x fx x
′′ ′
= − −= − +


Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
và
đường thẳng
2yx
= +
ta thấy
( )
2
00
2
x
gx x
x
= −
′
=⇔=
=
Khi
( ) ( )
20x f x x gx
′′
→ +∞ ⇒ > + ⇒ >
nên ta có bảng xét
dấu cho
( )
gx
′
như sau:
x
−∞
–2
0
2
+∞
y
′
–
0
+
0
–
0
+
Suy ra hàm số
( )
y gx
=
nghịch biến trên các khoảng
( )
;2−∞ −
và
( )
0; 2
. Chọn A.
Câu 163: Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 42 2gx fx x fx x
′′ ′
= − += − −


Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
và đường thẳng
2yx
= −
(Đường thẳng này đi qua
các điểm
( ) ( ) ( )
1; 3 , 1; 1 , 2; 0−− −
trên hình vẽ) ta có:
( ) ( )
( )
1
0 20 1
2
x
gx f x x x
x
= −
′′
=⇔ −−=⇔ =
=
Khi
( ) ( )
20x f x x gx
′′
→ +∞ ⇒ > − ⇒ >
(Vì đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
nằm trên đường thẳng
2yx= −
).
Ta có bảng xét dấu cho
( )
gx
′
như sau:
x
−∞
–1
1
2
+∞
y
′
–
0
+
0
–
0
+
Suy ra hàm số
( )
gx
đồng biến trên các khoảng
( )
1;1−
và
( )
2; +∞
. Chọn B.
Câu 164: Ta có
( ) (
) (
)
2
1
2 62 3 0
1
2
x
x
gx fx fx
x
x
= −
= −
′′ ′
= −= − =⇔


=
=
Khi
( ) ( )
30
′′
→ +∞ ⇒ < − ⇒ <x f x gx
từ đó ta có bảng xét dấu cho
( )
gx
′
như sau:
x
−∞
–2
–1
1
2
+∞
y
′
–
0
+
0
–
0
+
0
–
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
2; 1−−
và
( )
1; 2
. Chọn C.
Câu 165: Ta có
( ) ( ) ( ) (
)
11gx fx x fx x
′′ ′
= + + = −− −
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
và đường thẳng
1
yx=−−
(Đường thẳng này đi qua
các điểm
( ) ( ) ( )
3; 2 , 1; 0 , 1; 2−− −
trên hình vẽ) ta có:
( ) ( ) ( )
3
0 10 1
1
x
gx f x x x
x
= −
′′
= ⇔ −− − = ⇔ =−
=
Khi
( ) ( )
10x f x x gx
′′
→ +∞ ⇒ > − − ⇒ >
(Vì đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
nằm trên đường thẳng
1yx=−−
).
Ta có bảng xét dấu cho
( )
gx
′
như sau:
x
−∞
–3
–1
1
+∞
y
′
–
0
+
0
–
0
+
Suy ra hàm số
( )
gx
nghịch biến trên các khoảng
( )
;3
−∞ −
và
( )
1;1−
. Chọn B.
Câu 166: Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 12 1gx fx x fx x
′′ ′
= + + = −− −


Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
và đường thẳng
1
yx=−−
(Đường thẳng này đi qua
các điểm
( ) ( ) ( )
3;2,1; 2,3; 4− −−
trên hình vẽ) ta có:
( ) ( ) ( )
3
0 10 1
3
x
gx f x x x
x
= −
′′
= ⇔ −− − = ⇔ =
=
Khi
( ) ( )
10x f x x gx
′′
→ +∞ ⇒ < − − ⇒ <
(Vì đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
nằm dưới đường thẳng
1yx=−−
).
Ta có bảng xét dấu cho
( )
gx
′
như sau:
x
−∞
–3
1
3
+∞
y
′
+
0
–
0
+
0
–
Suy ra hàm số
( )
gx
đồng biến trên các khoảng
( )
;3−∞ −
và
( )
1; 3
. Chọn B.
Câu 167: Ta có
(
) ( )
gx f x x
′′
= −
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
(
)
y fx
′
=
và đường thẳng
yx=
(Đường thẳng này đi qua các
điểm
( ) ( ) ( )
1; 1,1;1, 2;2−−
trên hình vẽ) ta có:
( ) ( )
1
0 01
2
x
gx f x x x
x
= −
′′
=⇔ −=⇔ =
=
Khi
( ) ( )
0x f x x gx
′′
→ +∞ ⇒ > ⇒ >
(Vì đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
nằm trên đường thẳng
yx
=
). Ta có
bảng xét dấu cho
( )
gx
′
như sau:
x
−∞
–1
1
2
+∞
y
′
+
0
+
0
–
0
+
Chú ý qua điểm
1x = −
thì đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
vẫn nằm trên đường thẳng
yx=
(quan sát đồ thị) điều
đó chứng tỏ
1x = −
là nghiệm kép của phương trình
( )
0gx
′
=
hay
yx=
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
tại điểm
1x = −
.
Suy ra hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
(
)
;1
−∞
và
( )
2;
+∞
, hàm số
(
)
gx
nghịch biến trên khoảng
( )
1; 2
. Chọn A.
Câu 168: Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 12 1gx f x x x xf
′′
= + + = −−−
′


Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
và đường thẳng
1yx=−−
(Đường thẳng này đi qua
các điểm
( ) ( ) ( )
3;2,1; 2,3; 4− −−
trên hình vẽ) ta có:
( ) ( ) ( )
3
0 10 1
3
x
gx f x x x
x
= −
′′
= ⇔ −− − = ⇔ =
=
Khi
( ) (
)
10
x f x x gx
′′
→ +∞ ⇒ < − − ⇒ <
(Vì đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
nằm dưới đường thẳng
1yx=−−
).
Ta có bảng xét dấu cho
( )
gx
′
như sau:
x
−∞
–3
1
3
+∞
y
′
+
0
–
0
+
0
–
Suy ra hàm số
( )
gx
nghịch biến trên khoảng
( )
3;1−
và
( )
3; +∞
. Chọn D.
Câu 169: Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2; 0hx f x xhx f x x
′′ ′ ′
= − =⇔=
. Nghiệm
phương trình
( )
0hx
′
=
chính là nghiệm của
( )
x
fx
′
=
, cũng là hoành độ
giao điểm của hai đồ thị
( )
y fx
′
=
và đường thẳng
yx=
Dựa vào hình vẽ, ta được
( )
0 2; 2; 4hx x x x
′
=⇔=− = =
Gọi
1
S
,
2
S
là diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đường thẳng
yx=
như hình vẽ
•
(
) ( ) ( ) ( )
22
1
22
2 2 2 20S f x x dx h x dx h h
−−
′′
= − = = −−>


∫∫
•
( ) (
) (
)
( )
44
2
22
2 2 2 40S x f x dx h x dx h h
′′
= − =− =−>


∫∫
Từ đồ thị
( ) (
)
( ) ( ) ( ) ( )
12
22 2 2 2 4 2 4SShh hh h h> ⇒ −−> − ⇒ −<
Vậy
( ) ( ) (
)
24 2
hhh
> >−
. Chọn A.
Câu 170: Ta có
( ) (
)
( )
( )
( )
2 2 1; 0 1
gx f x x gx f x x
′′ ′ ′
= −+ =⇔ =+
. Nghiệm phương trình
( )
0gx
′
=
chính là nghiệm của
( )
1fx x
′
= +
, cũng là hoành độ giao điểm của
hai đồ thị
(
)
y fx
′
=
và đường thẳng
1
yx
= +
. Dựa vào hình vẽ, ta
được
(
)
0 3; 1; 3gx x x x
′
=⇔=− = =
Gọi
1
S
,
2
S
là diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
( )
y fx
′
=
và đường thẳng
1yx
= +
như hình vẽ
•
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11
1
33
2 2 1 1 30S f x x dx g x dx g g
−−
′′
= − + = = − −>


∫∫
•
( ) ( ) (
) ( ) ( )
33
2
11
2 2 1 1 30S x f x dx g x dx g g
′′
= +− =− = − >


∫∫
Từ đồ thị
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
22 1 3 1 3 3 3SSgg gg g g> ⇒ − −> − ⇒ −<
Vậy
( ) ( ) ( )
13 3gg g> >−
. Chọn D.
Câu 171: Ta có
( ) ( )
( ) ( )
2 2; 0gx f x xgx f x x
′′ ′ ′
= + =⇔=−
. Nghiệm phương trình
( )
0gx
′
=
chính là
nghiệm của
( )
fx x
′
= −
, cũng là hoành độ giao điểm của hai đồ thị
( )
y fx
′
=
và đường thẳng
yx= −
. Dựa
vào hình vẽ, ta được
( )
0 3; 1; 3gx x x x
′
=⇔=− = =
Gọi
1
S
,
2
S
là diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
( )
y fx
′
=
và đường thẳng
yx= −
như hình vẽ
•
( ) ( ) ( )
( )
11
1
33
2 2 3 10S x f x dx g x dx g g
−−
′′
= −− =− = − − >


∫∫
•
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33
2
11
2 2 3 10S f x x dx g x dx g g
′′
= −− = = − >


∫∫
Từ đồ thị
( )
(
) ( ) ( ) ( ) ( )
12
22 31 31 3 3SSg ggg g g> ⇒−− > − ⇒−>
Vậy
( ) ( ) (
)
331g gg−> >
. Chọn B.
Câu 172: Ta có
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2; 0 1gx f x x gx f x x
′′ ′ ′
= + + = ⇔ =−−
. Nghiệm phương trình
( )
0
gx
′
=
chính
là nghiệm của
( )
1fx x
′
=−−
, cũng là hoành độ giao điểm của hai đồ thị
( )
y fx
′
=
và đường thẳng
1yx=−−
. Dựa vào hình vẽ, ta được
( )
0 3; 1; 3gx x x x
′
=⇔=− = =
Gọi
1
S
,
2
S
là diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
( )
y fx
′
=
và đường thẳng
1
yx=−−
như hình vẽ
•
( ) ( ) ( ) ( )
11
1
33
2 2 1 3 10S x f x dx g x dx g g
−−
′′
= −−− =− = − − >


∫∫
•
( ) ( ) (
) ( ) ( )
33
2
11
2 2 1 3 10S f x x dx g x dx g g
′′
= −− − = = − >


∫∫
Từ đồ thị
(
) ( ) (
) (
) (
)
( )
12
22 31 31 3 3
SSg ggg g g
> ⇒−− > − ⇒−>
Vậy
( )
( ) ( )
331g gg−> >
. Chọn A.
Câu 173: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng
( ) ( )( )( )
114fx x x x
′
=+−−
Ta có
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
2 31 2 213yf x xx xx xx
′′
=− −=−− − −−=+ − −
Do đó
0 2; 1; 3
y x xx
′
=⇔=− = =
. Lập bảng biến thiên
3
'0
21
x
y
x
>
>⇔
−< <
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
2;1−
. Chọn C.
Câu 174: Ta có
( ) ( )
9
72 2 0
2
hx f x g x

′′ ′
= +− + >


Trên đoạn
[
]
3; 8
, ta được
[ ]
( ) ( )
[
]
( ) ( )
3;8
3;8
min 3 10; max 8 5f x f gx g
′′
= = = =
Do đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 0 2 ; 3; 8f x gx f x gx x
′′ ′′
− > ⇔ > ∀∈
Nếu
3 78
3
1
9
4
32 8
2
x
x
x
<+<
⇒− < <
< +<
thì
( ) ( )
9
722 0
2
f x g x hx

′′ ′
+> + ⇒ >


trên khoảng
3
;1
4

−


Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
3
;0
4

−


. Chọn B.
Câu 175: Ta có
( ) ( )
2
1
1
2
′′
= − −⇒ = −y fx x y f x x
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
và đường thẳng
yx
=
(đường thẳng này đi qua các
điểm
( ) ( ) ( )
2; 2 , 2; 2 , 4; 4−−
trên hình vẽ) ta có:
( )
2
02
4
x
fx x x
x
= −
′
−=⇔ =
=
Khi
( )
x fx x
′
→ +∞ ⇒ >
(Do đồ thị
( )
fx
′
nằm phía trên đường thẳng
yx=
) ta có bảng xét dấu:
x
−∞
–2
2
4
+∞
y
′
–
0
+
0
–
0
+
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
2; 2−
và
( )
4; +∞
, nghịch biến trên các khoảng
( )
;2−∞ −
và
( )
2; 4
. Khẳng định sai là B. Chọn B.
Câu 176: Ta có
( ) (
) (
) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 12 11
y fx y f x x xx
fx
′′ ′
= ⇒= −− +=
+ −+


Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
và đường thẳng
1yx= +
(đường thẳng này đi qua các
điểm
( ) ( ) ( )
3; 2,1;2,3;4−−
trên hình vẽ) ta có:
( )
3
01
3
x
fx x x
x
= −
′
−=⇔ =
=
Mặt khác
( )
1x fx x
′
→ +∞ ⇒ > +
(Do đồ thị hàm số
( )
fx
′
nằm phía trên đường thẳng
1yx= +
) ta có
bảng xét dấu:
x
−∞
–3
1
3
+∞
y
′
–
0
+
0
–
0
+
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
3;1−
và
(
)
3; +∞
, nghịch biến trên các khoảng
( )
;3−∞ −
và
( )
1; 3
.
Khẳng định sai là B. Chọn B.
Câu 177:
( ) ( )
( )
22
22y fx x x fx x x
′′ ′
= + + − = −− − +
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
(
)
y fx
′
=
và Parabol:
( )
2
2y xx P=− −+
(hình vẽ) ta có:
2
00
1
x
yx
x
= −
′
=⇔=
=
Mặt khác khi
(
)
2
2x fx x x
′
→ +∞ ⇒ > − − +
(Do đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
nằm phía trên Parabol
( )
P
nên
0y
′
>
ta có bảng xét dấu:
x
−∞
–2
0
1
+∞
y
′
–
0
+
0
–
0
+
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
2; 0−
và
( )
1; +∞
, hàm số nghịch biến trên các khoảng
(
)
;2−∞ −
và
( )
0;1
. Khẳng định sai là A. Chọn A.
Câu 178:
( )
( )
( )
22
1
1 2 22
22
fx
y x x fx x x
′

′′
= − ++= − − −

Dựa vào sự tương giao giữa đồ thị hàm số
( )
y fx
′
=
và Parabol:
2
2 22xxy −−
=
(hình vẽ) ta có:
( )
( )
2
1
1
00
2
2
2 22
x
y fx x
x
xx
= −

−
′′
= − =⇔=

=
−
Mặt khác khi
( )
2
2 22x fx xx
′
→ +∞ ⇒ < −−
nên
0y
′
<
ta có bảng xét dấu:
x
−∞
–1
0
2
+∞
y
′
+
0
–
0
+
0
–
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;1−∞ −
và
( )
0; 2
, hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
1; 0−
và
( )
2; +∞
. Chọn A.
Câu 179:
( )
(
)
(
)
22
11
y fx x x fx x x
′′ ′
= − −+= − +−
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
và Parabol:
2
1y xx= +−
(hình vẽ) ta có:
( )
( )
2
1
2
00
1
x
fx x
x
xx
= −
′
− =⇔=
=
+−
Mặt khác khi
( )
2
1x fx xx
′
→+ < +∞ −⇒
nên
0
y
′
<
ta có bảng xét dấu:
x
−∞
–2
0
1
+∞
y
′
+
0
–
0
+
0
–
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;2
−∞ −
và
( )
0;1
, hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
2; 0−
và
( )
1; +∞
. Chọn D.
Câu 180:
( )
23y fx x
′′
= + ++
. Đặt
( )
( )
21
′′
= + ⇒ = −−−t x y ft t
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
(
)
y
t
f
′
=
và đường thẳng
1yt=−−
(đường thẳng này đi qua các
điểm
( ) ( )
( )
3;2,1; 2,3; 4− −−
trên hình vẽ) ta có:
( ) ( )
3
10 1
3
t
ft t t
t
= −
′
−−− = ⇔ =
=
23 5
21 1
23 1
xx
xx
xx
+=− =−


⇔ += ⇔ =−


+= =

Mặt khác
(
)
1x fx x
′
→ +∞ ⇒ < − −
(Do đồ thị hàm số
( )
fx
′
nằm phía dưới đường thẳng
1
yx=−−
) ta có
bảng xét dấu:
x
−∞
–5
–1
1
+∞
y
′
+
0
–
0
+
0
–
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;5−∞ −
và
( )
1;1−
⇒
Có 995 số nguyên thuộc khoảng đồng biến
của hàm số. Chọn D.
Câu 181:
( ) ( ) (
) (
)
2 22
gx fx x fx x
′′ ′
= + = −−


.
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
( )
y xf
′
=
và đường thẳng
yx= −
(đường thẳng này đi qua các
điểm
(
)
( )
( )
(
)
1;1,0;0,1; 1,2; 2− −−
trên hình vẽ) ta có:
(
)
1
0
0
1
2
x
x
fx x
x
x
= −
=
′
−=⇔
=
=
Khi
( )
x fx x
′
→ +∞ ⇒ > −
(Do đồ thị
( )
fx
′
nằm phía trên đường thẳng
yx= −
) ta có bảng xét dấu:
x
−∞
–1
0
1
2
+∞
y
′
+
0
–
0
+
0
–
0
+
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
1; 0−
và
( )
1; 2
. Chọn D.
Câu 182:
(
) (
) (
)
2 '1 2 2 2 1 1
′′
=− −+ −=− −+−


gx f x x f x x
. Đặt
( ) ( )
( )
12t x gx ft t
′′
= − ⇒ =− −−


Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số
( )
y tf
′
=
và đường thẳng
yt= −
(đường thẳng này đi qua các
điểm
( ) ( ) (
)
3; 3 , 1; 1 , 3; 3− −−
trên hình vẽ) ta có:
( ) ( )
3
01
3
t
ft t t
t
= −
′
−− = ⇔ =
=
Khi
( ) ( )
0t ft t gx
′′
→ +∞ ⇒ < − ⇒ >
ta có bảng xét dấu:
t
−∞
–3
1
3
+∞
y
′
-
0
+
0
–
0
+
Do đó
( )
31 3 4
0
1 3 11 3 2 0
t xx
gt
t xx
<− − <− >

′
<⇔ ⇔ ⇔

<< <− < −< <

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
2; 0−
. Chọn B.
Câu 183:
( ) ( )
2
22 2 2 2y f xx y f x x
′′
=− −+⇒= −+
Đặt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 ' 22 2 2 0 2
′′ ′
= − ⇒ = + − = − − < ⇔− >


t x y ft t ft t t ft
Vẽ đường thẳng
2yt
= −
trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số
( )
y ft
′
=
Dựa vào hình vẽ ta thấy
( )
2t ft
′
−>
khi
2 3 22 3 1 0
5 25 3
t xx
t xx
<< <−< −<<

⇒⇔

> − < <−

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1; 0−
. Chọn C.
Câu 184: Ta có bảng biến thiên của
( )
fx
như sau:
x
−∞
–2
–1
2
+∞
y
′
+
0
–
0
+
0
–
y
1
1
Do đó
( )
(
) ( )
1 10fx fx x≤ ⇒ −≤ ∀∈
Đặt
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
1 2 1.
y gx fx gx fx f x
′′
= = −⇒ = −
 
 
Do
( ) ( )
10fx x−≤ ∀∈
nên hàm số
( )
2
1y fx= −


nghịch biến khi
( )
2
0
12
x
fx
x
<−
′
>⇔
<<
Chọn A.

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1) Quy tắc xét dấu biểu thức p x
Để xét dấu cho biểu thức g (x) ( ) = ta làm như sau: q(x)
- Bước 1: Điều kiện: q(x) ≠ 0 .
Tìm tất cả các nghiệm của p(x); q(x) và sắp xếp các nghiệm đó theo thứ tự tăng dần và điền vào trục số Ox.
- Bước 2: Cho x → +∞ để xác định dấu cùa g (x) khi x → +∞ .
- Bước 3: Xác định dấu của các khoảng còn lại dựa vào quy tắc sau:
Chú ý: Qua nghiệm bội lẻ thì g (x) đổi dấu còn qua nghiệm bội chẵn thì g (x) không đổi dấu (chẵn giữ nguyên, lẻ đổi dấu). 4
x − 4 . x − 5
Ví dụ: Xét dấu của biểu thức f (x) ( ) ( ) = . (x + 2)(x + )2 1
Bước 1: Ta thấy nghiệm của biểu thức trên là 2; − 1
− ;4;5 sắp xếp thứ tự tăng dần trên trục số.
Bước 2: Khi x → +∞ (ví dụ cho x = 10000) ta thấy f (x) nhận giá trị dương.
Bước 3: Xác định dấu cùa các khoảng còn lại. Do (x − )4
5 mũ chẵn (nghiệm bội chẵn) nên qua 5 biểu
thức không đổi dấu. Do (x − )1
4 mũ lẻ (nghiệm bội lẻ) nên qua 4 biểu thức đổi dấu ...
Ta được bảng xét dấu cùa f (x) như sau: x −∞ 2 − 1 − 4 5 +∞ f (x) + 0 − 0 − 0 + 0 +
Kết luận: f (x) > 0 ⇔ x∈( ; −∞ 2
− ) ∪(4;5) ∪(5;+∞) và f (x) < 0 ⇔ x∈( 2 − ;− ) 1 ∪( 1; − 4) .
2) Tính đơn điệu của hàm số
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số v = f (x) xác định trên K.
■ Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) nếu với mọi cặp x ; x thuộc K mà thì f (x < f x tức là 1 ) ( 2) 1 2
x < x ⇔ f x < f x . 1 2 ( 1) ( 2)
■ Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) nếu với mọi cặp x ; x thuộc K mà x < x thì f (x > f x 1 ) ( 2) 1 2 1 2
tức là x < x ⇔ f x > f x . 1 2 ( 1) ( 2)
Ví dụ 1: Xét hàm số y = f (x) = 2x +1
Xét x < x ⇔ 2x < 2x ⇒ 2x +1< 2x +1⇒ f x < f x suy ra hàm số y = f (x) = 2x +1 là một 1 2 1 2 1 2 ( 1) ( 2)
hàm số đồng biến trên  .
Ví dụ 2: Hàm số y = f (x) = 7
− x + 2 nghịch biến trên  , vì: Giả sử x < x , ta có: 1 2
f (x − f x = 7
− x + 7x = 7 x − x > 0 ⇒ f x > f x suy ra hàm số y = f (x) = 7 − x + 2 là một 1 ) ( 2) 1 2 ( 2 1) ( 1) ( 2)
hàm số đồng biến trên  .
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: ∀x ; x ∈ K và x ≠ x , thì hàm số 1 2 1 2
f (x − f x 2 ) ( 1)
f (x) đồng biến trên K ⇔ > 0 x − x 2 1
f (x − f x 2 ) ( 1)
f (x) nghịch biến trên K ⇔ < 0 x − x 2 1
Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi
xuống từ trái sang phải.
ĐỊNH LÝ: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f ′(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f (x) đồng biến trên K.
b) Nếu f ′(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.
Tóm lại xét trên K K : f ′(x) > 0 ⇒ f (x) đồng biến; f ′(x) < 0 ⇒ f (x) nghịch biến.
Chú ý: Nếu f ′(x) = 0 (∀x∈ K ) thì hàm số y = f (x) là hàm số không đổi trên K. ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG
Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K. Nếu f ′(x) ≥ 0( f ′(x) ≤ 0), ∀x∈ K và f ′(x) = 0chỉ tại một
số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
Ví dụ: Xét hàm số 3 2
y = x − 3x + 3x +10 thì 2
y′ = 3x − 6x + 3 = 3(x − )2
1 ≥ 0 , dấu bằng xảy ra chỉ tại điểm
x =1 do đó hàm số đã cho đồng biến trên  .
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
Loại 1: Tìm các khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên) cùa hàm số y = f ( x) dựa vào bảng
xét dấu y′. Phương pháp giải.
■ Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm y′ = f ′(x).
■ Bước 2. Tìm các điểm tại đó f ′(x) = 0 hoặc f ′(x) không xác định.
■ Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y′.
Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y′.
■ Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y′.
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) 3 2
y = x − 3x + 2 b) 4 2
y = x − 2x Lời giải a) TXĐ: D =  x = 0 Ta có: 2
y′ = 3x − 6x ⇔  x = 2
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ 0 2 +∞ y′ + 0 − 0 +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;0
−∞ ) và (2;+∞) , nghịch biến trên khoảng (0;2) . b) TXĐ: D =  x = 0 Ta có: 3
y′ = 4x − 4x ⇔  x = 1 ±
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ −1 0 1 +∞ y′ − 0 + 0 − 0 +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1;
− 0) và (1;+∞), nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 và (0; ) 1
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) 3
y = −x + 3x − 2 b) 4 3
y = x − 4x + 2 Lời giải a) TXĐ: D =  x = 1 − Ta có: 2 y′ = 3 − x + 3 = 0 ⇔  x = 1
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ −1 1 +∞ y′ − 0 + 0 −
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1; − )
1 và nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 và (1;+∞). b) TXĐ: D =  Ta có: 3 2 2
y′ = 4x −12x = 4x (x −3)
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ 0 3 +∞ y′ − 0 − 0 +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (3;+∞) , nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ 3) .
Ví dụ 3: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) x + 3 y x + = . b) 3 1 y = . x −1 x +1 Lời giải a) TXĐ: D =  \{ } 1 Ta có: 4 − y′ =
< 0 ∀x ∈ D 2 ( ) (x − ) 1
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ 1 +∞ y′ − −
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ;1 −∞ và (1;+∞).
b) TXĐ: D =  \{− } 1 Ta có: 2 y′ =
> 0 ∀x ∈ D 2 ( ) (x + ) 1
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ −1 +∞ y′ + +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ − ) 1 và ( 1; − +∞) .
Ví dụ 4: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau 2 a) 4 y x − x + = x + . b) 9 y = . x x −1 Lời giải 4 x = 2 a) TXĐ: D =  \{ } 0 . Ta có: y′ =1− = 0 ⇔ 2  xx = 2 −
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ −2 0 2 +∞ y′ + 0 − − 0 +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 2
− ) và (2;+∞) , hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; − 0) và (0;2). b) TXĐ: D =  \{ } 1 (2x − ) 1 (x − ) 1 − ( 2 x − x + 9) 2 x − 2x −8 x = 2 − Ta có: y′ = = = 0 ⇔ . (x − )2  1 (x − )2 1 x = 4
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ −2 1 4 +∞ y′ + 0 − − 0 +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 2
− ) và (4;+∞) , hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 2; − ) 1 và (1;4) .
Ví dụ 5: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) 2 y = 16 − x b) 2
y = 6x − x Lời giải a) TXĐ: D − = [ 4; − 4] . Ta có: 2 ′ = x y = 0 ⇔ x = 0 2 2 16 − x
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ −4 0 4 +∞ y′ + 0 −
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 4;
− 0) và hàm số nghịch biến trên khoảng (0;4) . b) TXĐ: D = [0;6] Ta có: 6 − 2 ′ = x y = 0 3 ⇔ x = . 2 2 6x − x
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ 0 3 6 +∞ y′ + 0 −
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;3), hàm số nghịch biến trên khoảng (3;6).
Ví dụ 6: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) 2
y = x − 4x b) 2
y = x −8x +12 Lời giải a) TXĐ: D x − = ( ;
−∞ 0]∪[4;+∞) . Ta có: 2 4 y′ = = 0 ⇔ x = 2 2 2 x − 4x
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ 0 2 4 +∞ y′ − 0 +
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (4;+∞) , hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0 −∞ ). b) TXĐ: D = ( ; −∞ 2]∪[6;+∞) Ta có: 2x −8 y′ = = 0 4 ⇔ x = . 2 2 x −8x +12
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ 2 4 6 +∞ y′ − 0 +
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (6;+∞), hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2 −∞ ) .
Ví dụ 7: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) 2
y = x +1− 2 x + 3x + 3 b) 2
y = 2x +1− 2x −8 Lời giải a) TXĐ: D =  2(2x + 3) 2
x + 2x + 3 − (2x + 3) Ta có: 2 y′ =1− =
= 0 ⇔ x + 2x + 3 = 2x + 3 2 2 2 x + 2x + 3 x + 2x + 3 2x ≥ 3 − 2x + 3 ≥ 0  ⇔  ⇔ x = 1 − ⇔ x = 1 − 2 2
x + 2x + 3 = 4x +12x + 9  x = 2 −
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ −1 +∞ y′ − 0 +
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;
− +∞) và nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 . b) TXĐ: D = ( ; −∞ 2 − ]∪[2;+∞) 2 4x 2 2x −8 − 2xx ≥ 0 Ta có: 2 y′ = 2 − =
= 0 ⇔ 2x −8 = 2x ⇔  (vô nghiệm). 2 2 2 2 2 2x −8 2x −8 2x − 8 = 4x
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ −2 2 +∞ y′ + +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 2 − ) và (2;+∞) .
Ví dụ 8: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a) y = f (x) biết f ′(x) = x(x − )2 (x + )3 1 3 , ∀x∈ .
b) y = g (x) biết g′(x) = ( 2 x − )
1 (x − 2)(x + 3)2018 , ∀x∈ . Lời giải
a) Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ −3 0 1 +∞ y′ + 0 − 0 + 0 +
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 3
− ) và (0;+∞), hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3 − ;0) .
b) Ta có: g′(x) = ( 2 x − )
1 (x − 2)(x + 3)2018 = (x + 3)2018 (x + 2)(x + ) 1 (x − ) 1
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ −3 −2 −1 1 +∞ y′ − 0 − 0 + 0 − 0 +
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2; − − )
1 và (1;+∞), hàm số nghịch biến trên khoảng( ; −∞ 2 − ) và ( 1; − ) 1 .
Ví dụ 9: Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau: x −∞ −2 0 2 +∞ y′ + 0 − − 0 +
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; − 0) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0 −∞ ).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ 2 − ) . Lời giải
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 2; − 0) ; (0;2) .
Và đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 2
− ) và (2;+∞) . Chọn C. 2
Ví dụ 10: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số −x + 2x −1 y = . x + 2 A. ( 5; − 2 − ) và ( 2; − ) 1 B. ( 5; − 2 − ) và (1;+∞) C. ( ; −∞ 2 − ) và ( 2; − ) 1 D. ( ; −∞ 2 − ) và (1;+∞) Lời giải ( 2
− x + 2)(x + 2) − ( 2 −x + 2x − ) 2 1 −x − 4x + 5 x =1 Ta có: y′ = = = 0 ⇔ . (  x + 2)2 (x + 2)2 x = 5 −
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ −5 −2 1 +∞ y′ − 0 + + 0 −
Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng ( 5; − 2 − ) và ( 2; − ) 1 . Chọn A.
Ví dụ 11: Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số 3 2
y = −x − 3x + 24x +1. A. ( 4; − 2) B. ( 4; − 0) và (2;+∞) C. ( ; −∞ 4 − ) và (0;2) D. ( ; −∞ 4 − ) và (2;+∞) Lời giảix = 4 − Ta có: 2 y′ = 3
− x − 6x + 24 = 0 ⇔  . x = 2
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ −4 2 +∞ y′ − 0 + 0 −
Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; −∞ 4
− ) và (2;+∞) . Chọn D. Ví dụ 12: Hàm số 2
y = x − 2x
A. Đồng biến trên (2;+∞) và nghịch biến trên ( ;0 −∞ ).
B. Đồng biến trên ( ;0
−∞ ) và nghịch biến trên (2;+∞) .
C. Đồng biến trên (1;+∞) và nghịch biến trên ( ) ;1 −∞ .
D. Đồng biến trên (1;2) và nghịch biến trên (0; ) 1 . Lời giải TXĐ: D x − = ( ;
−∞ 0]∪[2;+∞) . Ta có: 2 2 y′ = = 0 ⇔ x = 2 2 2 x − 2x
Bảng biến thiên (xét dấu y′): x −∞ 0 1 2 +∞ y′ − 0 +
Do vậy hàm số đồng biến trên (2;+∞) và nghịch biến trên ( ;0 −∞ ). Chọn A. Ví dụ 13: Hàm số 2
y = x 1− x      − 
A. Đồng biến trên các khoảng 2  1; − và 2  ;1 và nghịch biến trên 2 2  ; . 2            2   2 2    −     
B. Đồng biến trên 2 2  ;
và nghịch biến trên các khoảng 2  1; − và 2  ;1 . 2 2            2   2    −     
C. Đồng biến trên 2 2  ;
và nghịch biến trên các khoảng 2  ; −∞ − và 2  ;+∞ . 2 2            2   2    − 
D. Đồng biến trên 2 2  ;
và nghịch biến trên các khoảng ( ; −∞ − ) 1 và (1;+∞). 2 2      Lời giải TXĐ: D = [ 1; − ] 1 . 2 2 Ta có: 2 x 1− 2 ′ = 1− − = x y x . 2 2 1− x 1− x
Lập bảng xét dấu y′: x − −∞ −1 2 2 1 +∞ 2 2 y′ − 0 + 0 −  −     
Do đó hàm số đồng biến trên 2 2  ;
và nghịch biến trên các khoảng 2  1; − và 2  ;1 . 2 2            2   2   Chọn B. Ví dụ 14: Hàm số x − 2 y = đồng biến trên: 2 x + x +1 A.  . B. ( ;2
−∞ − 7 ) và (2+ 7;+∞) C. (2− 7;2+ 7)
D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên  . Lời giải TXĐ: D =  . 2 Ta có: −x + 4x + 3 2 y′ = ( x x x . Chọn C.
x + x + ) > 0 ⇔ − 4 −3 < 0 ⇔ 2 − 7 < < 2 + 7 2 2 1
Ví dụ 15: Cho hàm số 2x −1 y = . Hàm số đã cho: (x − )2 1
A. Đồng biến trên các khoảng ( ;0
−∞ ) và (1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (0; ) 1 .
B. Đồng biến trên khoảng (0; )
1 và nghịch biến trên các khoảng ( ;0 −∞ ) và (1;+∞).
C. Đồng biến trên khoảng ( ;0
−∞ ) và nghịch biến trên khoảng (1;+∞).
D. Đồng biến trên khoảng (1;+∞) và nghịch biến trên khoảng ( ;0 −∞ ). Lời giải TXĐ: D =  \{ } 1 . 2(x − )2 1 − 2(x − ) 1 (2x − ) 1 2(x − ) 1 − 2(2x − ) 1 Ta có: 2 − ′ = = = x y . (x − )4 1 (x − )3 1 (x − )3 1
Lập bảng xét dấu của y′: x −∞ 0 1 +∞ y′ − 0 + −
Do vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; )
1 và nghịch biến trên các khoảng ( ;0
−∞ ) và (1;+∞). Chọn B.
Ví dụ 16: Cho hàm số 3x − 2 y = . Hàm số đã cho: (x − 2)2
A. Đồng biến trên các khoảng  2 ; −   − −∞  
và (2;+∞) và nghịch biến trên khoảng 2  ;2 . 3      3 
B. Đồng biến trên khoảng  2 − ;2   
và nghịch biến trên các khoảng 2  ; −∞ − và (2;+∞) . 3      3 
C. Đồng biến trên khoảng  2 ;  −∞ − 
và nghịch biến trên khoảng (2;+∞) . 3   
D. Đồng biến trên khoảng (2;  −
+∞) và nghịch biến trên khoảng 2 ;  −∞  . 3    Lời giải TXĐ: D =  \{ } 2 .
3(x − 2)2 − 2(x − 2)(3x − 2) 3(x − 2) − 2(3x − 2) Ta có: 3 − x − 2 y′ = = = . (x − 2)4 (x − 2)3 (x − 2)3
Lập bảng xét dấu y′: x −∞ 2 − 2 +∞ 3 y′ − 0 + −
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng  2 − ;2   
và nghịch biến trên các khoảng 2  ; −∞ − và (2;+∞) . 3      3  Chọn B.
Ví dụ 17: Cho hàm số y = x 3− x nghịch biến trên khoảng: A. ( ; −∞ 3) . B. ( ;2 −∞ ) . C. (2;3). D. (2;+∞) . Lời giải TXĐ: D = ( ; −∞ ] 3 . Ta có: 1 − 6 − 2x − x 6 − 3 ′ = 3− + . = = x y x x = 0 ⇔ x = 2 . 2 3− x 2 3− x 2 3− x
Lập bảng xét dấu y′: x −∞ 2 3 +∞ y′ + 0 −
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2;3). Chọn C.
Loại 2: Tìm các khoảng đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số dựa vào đồ thị và bảng biến thiên
Phương pháp giải:
Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị
đi xuống từ trái sang phải.
Chú ý tập xác định của hàm số.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ x −∞ −1 1 +∞ y′ + 0 − 0 + 2 +∞ y −∞ 0
Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;2 −∞ ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; − 0) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) .
D. Hàm số đồng biến trên  . Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; − )
1 và đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ − )
1 và (1;+∞) ⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; − 0) . Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ x −∞ −2 0 1 +∞ y′ + 0 − 0 + 0 − −2 0 +∞ y −∞ −3 +∞
Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ 2 − ) và( 3
− ;0). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3 − ; 2 − ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) 1 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞). Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;2 −∞ ) và (0; ) 1 .
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 2;
− 0) và (1;+∞). Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ x −∞ 1 3 +∞ y′ + + 0 − +∞ 2 y 5 0 −∞
Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ 3) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) .
C. Hàm số đồng biến trên ( ; −∞ ) 1 ∪(1;3) .
D. Hàm số đồng biến trên ( ) ;1 −∞ và (1;3). Lời giải
Hàm số xác định trên tập  \{ } 1 .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ;1
−∞ và (1;3). Hàm số nghịch biến
trên khoảng (3;+∞) . Chọn D.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ x −∞ −1 2 4 +∞ y′ + 0 − − 0 +∞ y −∞ −3 1
Khẳng định nào sau đây đúng.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;2 −∞ ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) .
C. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (2;4) và (4;+∞) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0 −∞ ). Lời giải
Tập xác định của hàm số là: ( 1; − +∞) \{ } 4 .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;
− 2) và nghịch biến trên mỗi khoảng
(2;4) và (4;+∞) . Chọn C.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng. A. ( 1; − ) 1 B. ( ; −∞ 2 − ) C. (1;+∞) D. ( 2; − ) 1 Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; − )
1 và nghịch biến trên các khoảng ( ; −∞ − )
1 và (1;+∞). Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng. A. (− 2; 2). B. ( 2; − 2) . C. (1;3). D. (0; 2). Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( ;
−∞ − 2),(0; 2) và nghịch biến trên các
khoảng (− 2;0) và ( 2;+∞) . Chọn D.
DẠNG 2: BÀI TOÁN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM CÓ THAM SỐ
Loại 1: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba chứa tham số
Phương pháp giải: Xét tam thức bậc 2: 2
y = ax + bx + c(a ≠ 0) ta đã biết ở lớp 10 a
y ≥ (∀x∈)  > 0 2
⇔ ax + bx + c ≥ (∀x∈) 0 0 ⇔  . Δ ≤ 0 a
y ≤ (∀x∈)  < 0 2
⇔ ax + bx + c ≤ (∀x∈) 0 0 ⇔  . Δ ≤ 0
Xét bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số 2
y = ax + bx + c(a ≠ 0) đồng biến hoặc nghịch biến trên  . Ta có: 3  a > 0
- Hàm số đồng biến trên  ⇔ y′ ≥ (∀x∈) 2 0 3
⇔ ax + 2bx + c ≥ (∀x∈) 0 ⇔ ∆′ . ≤ y′ 0  3  a < 0
- Hàm số đồng biến trên  ⇔ y′ ≤ (∀x∈) 2 0 3
⇔ ax + 2bx + c ≤ (∀x∈) 0 ⇔  . ∆′ ≤ y′ 0  Chú ý:
 Trong trường hợp hệ số a có chứa tham số m ví dụ: y = (m − ) 3 2
1 x + mx + 2x − 3 ta cần xét a = 0 trước.
 Số giá trị nguyên trên đoạn [ ;
a b] bằng b − a +1.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2
y = 2x − 3mx + 6mx + 2 đồng biến trên  . A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Ta có: 2
y′ = 6x − 6mx + 6m . a = 6 > 0
Hàm số đồng biến trên  ⇔ y′ ≥ (∀x∈) 0 0 ⇔  ⇔ ≤ m ≤ 4 . 2
Δ′ = 9m − 36m ≤ 0
Kết hợp m∈ ⇒ có 5 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.
Ví dụ 2: [Trích đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho hàm số 3 2
y = −x − mx + (4m + 9) x + 5 với m là tham số.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ +∞) ? A. 4. B. 6. C. 7. D. 5. Lời giải Ta có: 2 y′ = 3
− x − 2mx + 4m + 9 .
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;
−∞ +∞) ⇔ y′ ≤ 0 (∀x∈). a = − <  y′ 3 0 ⇔  ⇔ 9 − ≤ m ≤ 3 − . 2 Δ′ = m + m + ≤ y′ 3  (4 9) 0
Kết hợp m∈ ⇒ có 7 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số 1 3 2
y = x + 2x + (m + 3) x + 2. Số giá trị nguyên của tham số m∈[ 20 − ;20] để hàm số 3
đã cho đồng biến trên  là: A. 20. B. 19. C. 21. D. 23. Lời giải Ta có: 2
y′ = x + 4x + m + 3. a =  1 > 0
Hàm số đồng biến trên  ⇔ y′ ≥ (∀x∈) ⇔  ⇔ m ≥ . ′  = − m + < y′  ( ) 0 1 Δ 4 3 0 m∈  Kết hợp 
⇒ có 20 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn A. m∈  [ 20 − ;20]
Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m đề hàm số 3
y = − x − (m + ) 2 2 6
3 x + 24mx + 2 nghịch biến trên  là: A. Vô số. B. 11. C. 7. D. 9. Lời giải Ta có: 2
y′ = − x − (m + ) 2 6 12
3 x + 24m = 6 −x − 2(m + 3) + 4m   . a = 1 − < 0
Hàm số nghịch biến trên 
 ⇔ y′ ≤ 0 (∀x ∈) ⇔  . Δ′ = 
(m +3)2 + 4m ≤ 0 2
⇔ m +10m + 9 ≤ 0 ⇔ 9 − ≤ m ≤ 1 −
Kết hợp m∈ ⇒ có 9 giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài. Chọn D.
Ví dụ 5: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số 1 − 3 2 y =
x + 2mx − 2(m + 6) x + 2 3
nghịch biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S. A. 4. B. 3. C. 0. D. 2. Lời giải Ta có: 2
y′ = −x + 4mx + 2m +12 . a = 1 − < 0
Hàm số nghịch biến trên 3
 ⇔ y′ ≤ (∀x∈) 0 2 ⇔  ⇔ − ≤ m ≤ . 2
Δ′ = 4m − 2m −12 ≤ 0 2
Kết hợp m∈ ⇒ m∈{ 1; − 0;1; }
2 ⇒ Tổng các phần tử của tập hợp S là 2. Chọn D.
Ví dụ 6: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3
y = x − (m − ) 2 3
2 x +12x +1 đồng
biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 5. B. 10. C. 15. D. 6. Lời giải Ta có: 2
y′ = 3x − 6(m − 2) x +12. a = 3 > 0
Hàm số đồng biến trên 
 ⇔ y′ ≥ (∀x∈) ⇔  ⇔ ≤ m ≤ . ′  = m − − ≤ y′  ( )2 0 0 4 Δ 9 2 36 0
Kết hợp m∈ ⇒ m∈{0;1;2;3; }
4 ⇒ Tổng các phần tử của tập hợp S là 10. Chọn B. 3
Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số x 2 y =
+ mx + 4x + 3 luôn tăng trên 3
 . Số phần tử của tập hợp S là: A. 0. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Ta có: 2
y′ = x + 2mx + 4. a =  1 > 0
Hàm số đồng biến trên  ⇔ y′ ≥ (∀x∈) 0 2 ⇔  ⇔ − ≤ m ≤ 2 . 2 Δ′ = m − ≤ y′ 4 0 
Kết hợp m∈ ⇒ m∈{ 2 − ; 1; − 0;1; }
2 ⇒ Số phần tử của tập hợp S là 5. Chọn D.
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 y = (m + 2) 3 x − (m + 2) 2 x + (m −8) 2 x + m −1 3
luôn nghịch biến trên  . A. 2 − < m <1. B. m < 2 − . C. m ≤1. D. m ≤ 2 − . Lời giải Với m = 2 − ta có y = 10
− x + 3 (hàm số này luôn nghịch biến trên  ). Với m ≠ 2
− ta có y′ = (m + ) 2
2 x − 2(m + 2) x + m −8. m + 2 < 0
Hàm số nghịch biến trên 
 ⇔ y′ ≤ 0 (∀x ∈) ⇔  . Δ′ = m + − m + m − ≤ y′  ( 2)2 ( 2)( 8) 0 m <  2 − ⇔ ( mm +  )( − m) ⇔ < 2 − 2 9 ≤ 0
Kết hợp cả hai trường hợp. Chọn D.
Ví dụ 9: [Đề thi tham khảo Bộ GD&ĐT năm 2017] Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = ( 2 m − ) 3 x + (m − ) 2 1
1 x − x + 4 nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ +∞) ? A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải
Với m =1⇒ y = −x + 4 hàm số nghịch biến trên ( ; −∞ +∞) . Với 2 m = 1 − ⇒ y = 2
− x − x + 4 không thỏa mãn nghịch biến trên ( ; −∞ +∞) .
Với m ≠ ± ⇒ y′ = ( 2 m − ) 2 1 3 1 x + 2(m − )
1 x −1 nghịch biến trên ( ; −∞ +∞) ( 2  m −  )1 < 0
⇔ y′ ≤ 0 (∀x∈) ⇔  Δ′ = m − + m − ≤ y′ ( )2 1 3  ( 2 )1 0  1 − < m <1 1 ⇔  m
 (m − )( m + ) ⇔ − ≤ ≤ 1 2 1 2 1 ≤ 0 2
Kết hợp m∈ ⇒ m = 0, 1 m = . Chọn A. Ví dụ 10: Hàm số m 3 2
y = x − 2x + (m + 3) x + m luôn đồng biến trên  thì giá trị m nhỏ nhất là 3 A. m =1. B. m = 2 − . C. m = 4 − . D. m = 0. Lời giải Xét hàm số m 3 2
y = x − 2x + (m + 3) x + m với x∈ , ta có 2
y′ = mx − 4x + m + 3. 3 a = m > 0 m >  0
Để hàm số luôn đồng biến trên  ⇔ y′ ≥ 0;∀x∈ ⇔  ⇔  ⇔ m ≥ . ′ ≤ y′   −  m(m + ) 1 Δ 0 4 3 ≤ 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 1. Chọn A.
Xét bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f ( ;
x m) đồng biến hoặc nghịch biến trên
D (trong đó D là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng, nửa đoạn). Phương pháp giải: Xét hàm số f ( ;
x m) ta tính y′ = f ′( ; x m).
Hàm số đồng biến trên D ⇔ y′ ≥ 0 (∀x∈ D) .
Hàm số nghịch biến trên D ⇔ y′ ≤ 0 (∀x∈ D) .
Cô lập tham số m và đưa bất phương trình y′ ≥ 0 hoặc y′ ≤ 0 về dạng m ≥ f (x) hoặc m ≤ f (x) . Sử dụng tính chất:
 Bất phương trình: m ≥ f ( x) ∀x ∈ D ⇔ m ≥ Max f ( x) . D
 Bất phương trình: m ≤ f ( x) ∀x ∈ D ⇔ m ≤ Min f ( x) . D
Chú ý: Với hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d ( 0
a ≠ ) liên tục trên  nên hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng ( ;
a b) thì nó đồng biến trên đoạn [a;b].
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số các bạn xem chủ đề GTLN, GTNN của hàm số.
Lưu ý bất đẳng thức Cosi (AM – GM): Cho các số thực không âm a , ,
a ...,a thì ta có: 1 2 n
a + a +...+ a > n n a a a . n ... 1 2 1 2 n
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = a = ... = a . 1 2 n MaxF (x) 2 2
= a + b + c
Với hàm số lượng giác F(x) = a sinx+ bcos x + c thì  . MinF (x) 2 2
= − a + b + c
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y = x − 3x + mx +1 đồng biến trên khoảng (0;+∞). Lời giải Ta có: 2
y′ = 3x − 6x + m .
Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞) 2
⇔ y′ = 3x − 6x + m ≥ 0 ∀x ∈( 0;+∞) 2 ⇔ m ≥ 3
− x + 6x = g (x)(∀x∈(0;+∞)) ⇔ m ≥ max g (x) (0;+∞)
Mặt khác g′(x) = 6
− x + 6 = 0 ⇔ x =1. Ta có lim g (x) = 0; lim g (x) = ; −∞ g ( ) 1 = 3. x→0 x→+∞
Do vậy max g (x) = +∞ . Do đó m ≥ 3 là giá trị cần tìm. (0;+∞)
Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2
y = −x + 3x + 3mx −1. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho
nghịch biến trên khoảng (0;+∞). Lời giải Ta có: 2 y′ = 3
− x + 6x + 3m .
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;+∞) ⇔ y′ ≤ 0 ∀x ⊂ ( 0;+∞) 2
⇔ m ≤ x − 2x = g (x) x ∀ ∈(
0;+∞) ⇔ m ≤ min g (x) (0;+∞) Xét g (x) 2
= x − 2x(x∈(0;+∞)) ta có: g′(x) = 2x − 2 = 0 ⇔ x =1
lim g (x) = 0; lim g (x) = ; +∞ g ( ) 1 = 1
− nên min g (x) = 1 − x→0 x→+∞ (0;+∞) Do đó m ≤ 1
− là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số 1 3 2
y = x + x − mx +1. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho 3
nghịch biến trên đoạn [ 2; − 0]. Lời giải Ta có: 2
y′ = x + 2x − m .
Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn [ 2;
− 0] ⇔ y′ ≤ 0 ( x ∀ ∈[ 2; − 0]) 2
⇔ m ≥ x + 2x = g (x)( x ∀ ∈[ 2;
− 0]) ⇔ m ≥ max g (x) [ 2 − ;0]
Mặt khác g′(x) = 2x + 2 = 0 ⇔ x = 1 − Lại có g ( 2 − ) = 0; g ( 0) = 0; g ( − ) 1 = 1
− . Do vậy max g (x) = 0 [ 2 − ;0]
Vậy m ≥ 0 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: [Đề thi tham khảo của Bộ GD&ĐT năm 2019]: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y = −x − 6x + (4m − 9) x + 4 nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 là A. ( ;0 −∞ ] . B.  3 ;  − +∞    . C. 3 ; −∞ −  . D. [0;+∞) .  4   4   Lời giải Ta có: 2 y′ = 3
− x −12x + 4m − 9.
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 2 ⇔ y′ = 3
− x −12x + 4m − 9 ≤ 0 ( x ∀ ∈( ; −∞ − ) 1 ) 2
⇔ 4m ≤ 3x +12x + 9( x ∀ ∈( ; −∞ − ) 1 ) 4m 2 ⇔
≤ x + 4x + 3( x ∀ ∈( ; −∞ − ) 1 )(*) 3 Xét g (x) 2
= x + 4x + 3 trên khoảng ( ; −∞ − )
1 ta có: g′(x) = 2x + 4 = 0 ⇔ x = 2 − . Ta tìm được
g (x) = g (− ) = − ⇒ ( ) 4m 3 min 2 1 * ⇔ ≤ 1
− ⇔ m ≤ − . Chọn C. (−∞;− )1 3 4
Ví dụ 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3
y = x − (m − 2) 2
x + (2m + 3) x nghịch biến trên 3 khoảng (0;3)? Lời giải Ta có: 2
y′ = x + 2(m − 2) x + 2m + 3
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;3) ⇔ y′ ≤ 0( x ∀ ∈[0; ]
3 ) (Do hàm số liên tục trên  nên ta mở rộng ra đoạn [0; ] 3 ). 2 2
⇔ x − x + ≤ − m(x + )( x ∀ ∈[ ]) −x + 4x − 3 4 3 2 1 0;3 ⇔ 2m ≤
= g (x)( x ∀ ∈[0; ] 3 ) x +1
⇔ 2m ≤ min g (x) [0; ]3 2
Ta có: g′(x) −x − 7x + 7 x [ ∈ 0; ] 3 = = 0 → x = 1 − + 2 2 (x + )2 1
Mặt khác g (2 2 − )1 = 6− 4 2, g ( 0) = 3 − , g ( 3) = 0. Do đó g (x) 3 min = 3 − ⇒ 2m ≤ 3 − ⇔ m ≤ − . [0; ]3 2
Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 20 để hàm số 3 2
y = x + x + (m + ) 2 6 2 x + m
đồng biến trên khoảng ( 1; − +∞). A. 13. B. 14. C. 15. D. 16. Lời giải Ta có: 2
y′ = 3x +12x + m + 2
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;
− +∞) ⇔ y′ ≥ 0( x ∀ ∈[ 1;
− +∞)) (Do hàm số đã cho liên tục trên  nên
ta có thể lấy x∈[ 1; − +∞) ). ⇔ g (x) 2
= 3x +12x + 2 ≥ −m( x ∀ ∈[ 1;
− +∞)) ⇔ min g (x) ≥ −m(*) [ 1 − ;+∞)
Ta có: g′(x) = 6x +12 > 0( x ∀ ∈[ 1; − +∞)), g (− ) 1 = 7 − . Suy ra (*) ⇔ 7
− ≥ −m ⇔ m ≥ 7 . m < 20 Kết hợp 
⇒ có 13 giá trị của tham số m. Chọn A. m∈
Ví dụ 7: Tìm tham số m để hàm số sau đồng biến trên ( +∞) 3 1 0;
: y = x + mx − . 3x A. m ≤1 B. m ≤ 0 C. m ≥ 1 − D. m ≥ 2 − Lời giải Ta có: 2 1
y′ = 3x + m + 2 3x
Hàm số đồng biến trên ( +∞) ⇔ y′ ≥ ( x
∀ ∈( +∞)) ⇔ g (x) 2 1 0; 0 0; = 3x + ≥ −m x ∀ ∈ 0;+∞ . 2 ( ( )) 3x
⇔ min g (x) ≥ −m(*) . (0;+∞) Theo BĐT AM – GM ta có: 2 1 2 1 3x + ≥ 2 3x . = 2 2 2 3x 3x
Do đó (*) ⇔ 2 ≥ −m ⇔ m ≥ 2 − . Chọn D.
Ví dụ 8: Tập hợp các giá trị của -m để hàm số 3 2
y = −mx + x − 3x + m − 2 nghịch biến trên ( 3 − ;0) là A.  1 ;  − +∞        . B. 1 − ;+∞   . C. 1 ; −∞ −   . D. 1 − ;0   .  3    3   3   3  Lời giải Ta có: y′ = ( 3 2
−mx + x − x + m − )′ 2 3 2 = 3
− mx + 2x − 3  − 2 2x 3 y′ ≤ 0  3
− mx + 2x − 3 ≤ 0 m ≥ = f x 2 ( )
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3 − ;0) ⇔   ∈  ( ⇔  ⇔  x x 3 − ;0) x ∈  ( 3 − ;0) 3 x∈  ( 3 − ;0)
 2x − 3 ′ 2 3 − x Ta có f ′(x) ( ) = = > 0 x ∀ ∈ 3 − ;0 ⇒  
f x đồng biến trên khoảng ( 3 − ;0) . 2 3 ( ( )) ( )  3x  3x
Do đó f (x) f ( ) 1 ( x ( )) 1  1 3 3;0 m m ;  < − = − ∀ ∈ − ⇒ ≥ − ⇔ ∈ − +∞   . Chọn A. ( 3 − ;0) 3 3  3 
Ví dụ 9: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3
y = x − (m − ) 2
1 x − (m −3) x + 2017m đồng biến trên các khoảng ( 3 − ;− )
1 và (0;3) là đoạn T = [a;b]. 3 Tính 2 2 a + b . A. 2 2 a + b =10. B. 2 2 a + b =13. C. 2 2 a + b = 8 . D. 2 2 a + b = 5. Lời giải Ta có 2
y′ = x − 2(m − )
1 x − (m −3)
Để hàm số đồng biến trên các khoảng ( 3 − ;− )
1 và (0;3) thì y′ ≥ 0 với mọi x∈( 3 − ;− ) 1 và x∈(0;3) . 2 Hay 2
x − (m − ) x − (m − ) 2
≥ ⇔ x + x + ≥ m( x + ) x + 2x + 3 2 1 3 0 2 3 2 1 ⇔
≥ m với mọi x ∈(0;3) và 2x +1 2
x + 2x + 3 ≤ m với x∈( 3 − ;− ) 1 . 2x +1 2
x + 2x + 3 ′ 2 x −1 x + 2 x =1 Xét f ′(x) ( )( ) =   =
→ f ′ x = 0 ⇔ 2 ( )  2x +1  (2x + )1  x = 2 −
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f (x) , để f (x) đồng biến trên (0;3) thì m ≤ 2, để f (x) đồng biến trên ( 3 − ;− )
1 thì m ≥ − ⇒ m∈[− ] 2 2 1
1;2 ⇒ a + b = 5. Chọn D. 3
Ví dụ 10: Để hàm số x y = − + (a − ) 2
1 x + (a + 3) x − 4 đồng biến trên khoảng (0;3) thì giá trị cần tìm của 3 tham số a là A. a < 3 − . B. a > 3 − . C. 12 3 − < a < . D. 12 a ≥ . 7 7 Lời giải Ta có: 2
y′ = −x + 2(a − ) 1 x + a + 3
Để hàm số đồng biến trên khoảng (0;3) thì y′ ≥ 0 ( x ∀ ∈( 0;3)) 2
⇔ −x + 2(a − )
1 x + a + 3 ≥ 0 ( x ∀ ∈( 0;3)) 2 2 x + 2x − 3
⇔ 2ax + a ≥ x + 2x − 3 ⇔ a ≥
⇔ a ≥ max f (x)(*) . + (0;3) 2x 1 2
Xét hàm số f (x) x + 2x −3 = trên (0;3). 2x +1 2
Ta có: f ′(x) 2x + 2x +8 = > 0 0; x ∀ ∈
3 ⇒ f x đồng biến trên khoảng (0;3). 2 ( ( )) ( ) (2x + ) 1
Vậy f (x) < f ( ) 12 3 = . Do đó ( ) 12 * ⇔ a ≥ . Chọn D. 7 7
Ví dụ 11: Giá trị của tham số m sao cho hàm số 3 2
y = x − 2mx − (m + )
1 x +1 nghịch biến trên khoảng (0;2) là A. m ≥ 1 − . B. 11 m ≤ . C. 11 m ≥ . D. m ≤ 1 − . 9 9 Lời giải Ta có: 2
y′ = 3x − 4mx − m −1
Hàm số nghịch biến biến trên khoảng ( ) 2
0;2 ⇔ 3x − 4mx − m −1≤ 0 ( x ∀ ∈[ 0;2]) 2 2
⇔ x − ≤ m( x + ) (∀x∈( )) 3x −1 3 1 4 1 0;2 ⇔
≤ m(∀x∈[0;2]) . 4x +1 2
Xét hàm số g (x) 3x −1 = (x∈[ 0;2]). 4x +1 6x(4x + ) 1 − 4( 2 3x − ) 2 1 Ta có: g′(x) 12x + 6x + 4 = = > 0 x ∀ ∈ 0;2 2 2 ( [ ]) (4x + ) 1 (4x + ) 1
⇒ g (x) đồng biến trên đoạn [0;2] 2
Ta có: g (x) 3x −1 = ≤ ( x ∀ ∈[
]) ⇔ m ≥ g( ) 11 m 0;2 2 = . Chọn C. 4x +1 9
Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y = 2x − mx + 2x đồng biến trên khoảng ( 2; − 0) . A. m ≥ 2 − 3 . B. m ≤ 2 3 . C. 13 m ≥ − . D. 13 m ≥ . 2 2 Lời giải Cách 1: Ta có: 2
y′ = 6x − 2mx + 2
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;
− 0) ⇔ y′ ≥ 0 ( x ∀ ∈( 2; − 0)) . 2
⇔ mx ≤ x + ( x ∀ ∈(− )) 1 3
1 2;0 ⇔ m ≥ 3x + ( x ∀ ∈( 2;
− 0)) ⇔ m ≥ max f (x) ( 2;0) x −  1 x = (loai)  Xét f (x) 1 = 3x + (x∈( 2;
− 0)) ta có f ′(x) 1 3 = 3− = 0 ⇔  x 2 x  1 x = −  3 Lại có f (x) f (x) 13 −  1 lim ; lim , f  = −∞ = − = 2 −   3 x 0 x ( 2)+ → → − 2  3  Vậy m ≥ 2 − 3 . Chọn A.  
Cách 2: f (x) 1
= x + = −  (−x) 1 3 3 +  ≤ − ⇒ = − khi 1 x = − . x  (−x) 2 3 max f (x) 2 3 ( 2 − ;0)  3
Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 3 1
y = x + mx − đồng biến trên 5 5x khoảng (0;+∞)? A. 5. B. 3. C. 0. D. 4. Lời giải Ta có: 2 1
y′ = 3x + m + 6 x
Để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) ⇔ y′ ≥ 0 ( x ∀ ∈( 0;+∞)) ⇔ g (x) 2 1 = 3x + ≥ −m 0; x ∀ ∈
+∞ ⇔ min g x ≥ −m * 6 ( ( )) ( ) ( ) (0; ) x +∞ Lại có: g (x) 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 = + = + + + ≥ 4 3x x x x
4 x .x .x .
= 4 (Bất đẳng thức AM – GM) 6 6 6 x x x
Do đó (*) ⇔ −m ≤ 4 ⇔ m ≥ 4 − .
Theo bài ta có m∈{ 4 − ; 3 − ; 2 − ;− } 1 . Chọn D.
Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4
y = x − (m − ) 2 2
1 x + m − 2 đồng biến trên khoảng (1;3). A. m ≤1. B. m <1. C. m ≤ 2. D. m < 2. Lời giải Ta có: 3
y′ = 4x − 4(m − ) 1 x
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 3
1;3 ⇔ 4x − 4(m − ) 1 x ≥ 0 ( x ∀ ∈[ 1; ]
3 ) (Do hàm số đã cho liên tục trên
 nên ta có thể lấy x trên đoạn [1; ] 3 ) ⇔ g (x) 2
= x ≥ m −1 ( x ∀ ∈[ 1; ]
3 ) ⇔ min g (x) ≥ m −1⇔1≥ m −1⇔ m ≤ 2. Chọn C. [1; ]3
Ví dụ 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 2 2
y = x − m x + m đồng biến trên khoảng (0;4). A. m∈( 2; − 2) . B. m∈(0;2). C. m∈∅ . D. m∈{ } 0 . Lời giải Ta có: 3 2
y′ = 4x − 2m x
Do hàm số đã cho liên tục trên  nên nó đồng biến trên khoảng (0;4) ⇔ y′ ≥ 0 ( x ∀ ∈[ 0;4]) 3 2
⇔ x − m x ≥ ( x ∀ ∈[ ]) 2 2
⇔ x ≥ m ( x ∀ ∈[ ]) 2 4 2 0 0;4 2
0;4 ⇔ m ≤ 0 ⇔ m = 0 . Chọn D.
Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2 3
y = x − (2m − 3) 2 x + 2( 2
m − 3m) x +1 3
nghịch biến trên khoảng (1;3)? A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Ta có: 2
y′ = x − ( m − ) x + ( 2 2 2 2 3
2 m − 3m) = 2(x − m)x − 
(m −3) < 0 ⇔ m −3 < x < m
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) ⇔ m −3 ≤1≤ 3 ≤ m ⇔ 3 ≤ m ≤ 4 .
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m = {3; } 4 . Chọn C. 3 2
Ví dụ 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x = − ( − ) x y m + ( 2 2 1
m − m − 2) x +1 3 2
nghịch biến trên khoảng (1;2) . A. 0. B. 1. C. Vô số. D. 3. Lời giải Ta có 2
y′ = x − ( m − ) 2 2
1 x + m − m − 2 = x − (m − 2) x −(m + ) 1      .
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) ⇔ y′ ≤ 0, x ∀ ∈( 1;2) ⇔ x − 
(m − 2) x −   (m + ) 1  ≤ 0  .
⇔ m − 2 ≤ x ≤ m +1
x ≥ ⇒ m − ≤ ⇔ m ≤ Với x∈( ) 1 2 1 3 1;2 ⇒  ⇒1≤ m ≤ 3 .
x ≤ 2 ⇒ m +1 ≥ 2 ⇔ m ≥1
Suy ra có ba giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) . Chọn D.
Ví dụ 18: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f (x) 2 2
= x + 4mx + 4m + 3 nghịch biến trên khoảng ( ;2 −∞ ) . A. m ≤ 1 − . B. m > 1 − . C. m ≤ 2. D. m > 2 . Lời giải Hàm số xác định 2 2
⇔ x + 4mx + 4m + 3 ≥ 0 ⇔ (x + 2m)2 + 3 ≥ 0 (Luôn đúng). ′ Ta có ′( ) = ( 2 2 + + + ) x + 2 4 4 3 m f x x mx m = . 2 2
x + 4mx + 4m + 3
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2 −∞ ) , khi đó ′ ≤ (∀ ∈(−∞ )) x + 2 0 ;2 m y x ⇔ ≤ ( x ∀ ∈( 0 ; −∞ 2)) 2 2
x + 4mx + 4m + 3 Suy ra ( ( )) x x m x m ( x ( )) 2 2 0 ;2 ;2 m − + ≤ ∀ ∈ −∞ ⇔ ≤ − ∀ ∈ −∞ ⇔ ≤ = 1 − . Chọn A. 2 2
Ví dụ 19: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y = x − 3mx + 3(2m − )
1 x +1 nghịch biến trên
đoạn có độ dài bằng 2? A. m = 0, 2 m = . B. m =1. C. m = 0. D. m = 2 . Lời giải Ta có 3 2
y′ = x − mx + ( m − ) ′ 2 3 3 2
1 x +1 = 3x − 6mx + 3(2m − ) 1   .
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ⇔ PT y′ = 0 là hai nghiệm x , x thỏa mãn x − x = 2 . 1 2 1 2
Hàm số có hai cực trị, khi đó ′( y′) 2 Δ
> 0 ⇔ 9m − 9(2m − ) 1 > 0 ⇔ (m − )2 1 > 0 ⇔ m ≠ 1. x + 2 x = m Khi đó 1 2 
⇒ x − x = 2 ⇔ x − x = 4 1 2 ( 1 2)2
x .x = 2m −  1 1 2 ⇔ (  = x + x )2 m 0 2
− 4x .x = 4 ⇔ 4m − 4(2m − ) 2
1 = 4 ⇔ 4m −8m = 0 ⇔ . Chọn A. 1 2 1 2  m = 2
Ví dụ 20: Tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện để hàm số 1 3 2
y = x − mx + (3− 2m) x + m 3
nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 5 là: A. T = 2. B. T = 2 − . C. T = 4 − . D. T = 4. Lời giải Ta có: 2
y′ = x − 2mx + 3− 2m .
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 5 khi phương trình 2
x − 2mx + 3− 2m = 0(*) có 2
nghiệm phân biệt thỏa mãn x − x = 2 5 1 2
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi 2
Δ′ = m + 2m − 3 > 0
x + x = 2m
Theo định lí Vi-et ta có: 1 2  x .x = 3−  2m 1 2
Ta có: x − x = 2 5 ⇔ (x − x )2 = 20 ⇔ (x + x )2 2
− 4x x = 20 ⇔ 4m + 8m −12 = 20 t / m 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) m = 4 − ⇔ ⇒ T = 2 −  . Chọn B. m = 2
Ví dụ 21: Xác định giá trị của b để hàm số f (x) = sin x −bx + c nghịch biến trên toàn trục số. A. b ≤1. B. b <1. C. b >1. D. b ≥1. Lời giải
Ta có: y′ = cos x − b . Hàm số nghịch biến trên  ⇔ cos x −b ≤ 0 x
∀ ∈  ⇔ b ≥ cos x x
∀ ∈  ⇔ b ≥1. Chọn D.
Ví dụ 22: : Xác định giá trị của m để hàm số f (x) = sin 2x + mx + c đồng biến trên  . A. m ≥ 2. B. 2 − ≤ m ≤ 2 . C. m > 2 . D. m ≥ 2 − . Lời giải
Ta có: y′ = 2cos 2x + m .
Hàm số đồng biến trên  ⇔ y′ ≥ 0(∀x∈) ⇔ min y′ = 2
− + m ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 . Chọn A.
Ví dụ 23: Xác định giá trị của m để hàm số y = msin x + cos x + (m + )
1 x đồng biến trên  . A. m ≥ 0 . B. 1 − ≤ m ≤1. C. m >1. D. m ≥ 1 − . Lời giải
Ta có: y′ = mcos x − sin x + m +1.Hàm số đồng biến trên  ⇔ y′ ≥ 0( x ∀ ∈ ). m ≥ 1 − 2 2
⇔ min y′ = − m +1 + m +1≥ 0 ⇔ m +1≥ m +1 ⇔  2 2 
m + 2m +1 ≥ m +1
⇔ m ≥ 0 . Chọn A.
Ví dụ 24: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = (m −3) x −(2m + )
1 cos x luôn nghịch biến trên  . A. 2 4 − ≤ m ≤ . B. 4 − ≤ m ≤ 3. C. 2 1 − ≤ m ≤ . D. 1 − ≤ m ≤ 3. 3 3 Lời giải
Ta có: y′ = m − 3+ (2m + )
1 sin x . Hàm số nghịch biến trên  ⇔ y′ ≤ 0( x ∀ ∈ ) m ≤ 3  m ≤ 3
⇔ max y′ = m − 3+ 2m +1 ≤ 0 ⇔ 3− m ≥ 2m +1 ⇔  (  ⇔   3 −  m)2 ≥ (2m + )2 2 1 3
m +10m − 8 ≤ 0 2 ⇔ 4
− ≤ m ≤ . Chọn A. 3
Ví dụ 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3
y = x − ( m + ) 2 x + ( 2 m + m) 2 3 6 3
12 x + m − m
nghịch biến trên đoạn [1; ] 3 . m ≥1 m ≥1
A. 0 ≤ m ≤1. B.  . C. 1 − ≤ m ≤1. D.  . m ≤ 0 m ≤ 1 − Lời giảix = m Ta có: 2
y′ = x − (m + ) x + ( 2 3 6 2
3 m + 4m) = 3(x − m)(x − m − 4); y′ = 0 ⇔  . x = m + 4
Do đó phương trình y′ = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt Bảng biến thiên x −∞ m m + 4 +∞ y′ + 0 − 0 + y m ≤1 m ≤1
Để hàm số nghịch biến trên [1; ] 3 thì  ⇔  ⇔ 1
− ≤ m ≤1. Chọn C. m + 4 ≥ 3 m ≥ 1 −
Ví dụ 26: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y = x − mx + ( 2 6
12m − 3) x + m + 3 nghịch biến trên đoạn [0; ] 1 .  1 m ≥ 1 ≥ A. m 1 − ≤ m ≤1. B.  . C.  2 . D. 1 0 ≤ m ≤ . m ≤ 1 −  2 m ≤ 0 Lời giảix = 2m +1 Ta có: 2 2
y′ = 3x −12mx +12m − 3 = 3(x − 2m + )
1 (x − 2m − ) 1 ; y′ = 0 ⇔  . x = 2m −1
Do đó phương trình y′ = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt Bảng biến thiên x −∞ 2m – 1 2m + 1 +∞ y′ + 0 − 0 + y  1 2m −1 ≤ 0 m ≤
Để hàm số nghịch biến trên [0; ] 1 thì 1  ⇔ 
2 ⇔ 0 ≤ m ≤ . Chọn D. 2m +1 ≥ 1 2 m ≥ 0
Ví dụ 27: Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 20 − ;20] để hàm số 3
y = x − (m − ) 2 x − ( 2 3 1
9m − 6m) x + 2m +1 nghịch biến trên khoảng (2;4) là: A. 17. B. 36. C. 19. D. 41. Lời giải Ta có: 2
y′ = 3x − 6(m − )
1 x − 3m(3m − 2) = 3(x + m) x −  (3m − 2) < 0 
Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2;4) thì: m ≥ 2 −
TH1: −m ≤ 2 < 4 ≤ 3m − 2 ⇔  ⇔ m ≥ 2 . m ≥ 2 m ≤ 4 − TH2: 3m 2 2 4 m  − ≤ < ≤ − ⇔  4 ⇔ m ≤ 4 − . m ≤  3 m∈ Kết hợp 
⇒ có 36 giá trị nguyên của m. Chọn B. m∈  [ 20 − ;20]
Ví dụ 28: Cho hàm số 3
y = x − (m + ) 2 2 3
1 x + 6mx . Số giá trị nguyên dương của m để hàm số đã cho đồng
biến trên khoảng (2;+∞) là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải
Yêu cầu bài toán ⇔ y′ = ( 2
6 x − m(x + )
1 x + m) ≥ 0 ( x ∀ ∈( 2;+∞)) ⇔ (x − )
1 (x − m) ≥ 0 ( x ∀ ∈(
2;+∞)) ⇔ x ≥ m ( x ∀ ∈(
2;+∞)) ⇔ 2 ≥ m . Kết hợp m + ∈ ⇒ m = {1; } 2 . Chọn B.
Ví dụ 29: Cho hàm số 3
y = x − (m + ) 2 2 3
2 x +12mx +1. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m∈[ 10
− ;10] để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;+∞) . Số phần tử của tập hợp S là A. 13. B. 14. C. 15. D. 16. Lời giải Ta có: 2
y′ = x − (m + ) 2 6 6
2 x +12m ≥ 0 ⇔ x − (
m + 2) x + 2m ≥ 0.
Giả thiết ⇔ (x − m)(x − 2) ≥ ( 0 3 x
∀ > ) ⇔ x − m ≥ ( 0 3 x
∀ > ) ⇔ x ≥ m ( 3 x
∀ > ) ⇔ 3 ≥ m . m∈ Kết hợp 
⇒ có 14 giá trị của m. Chọn B. m∈  [ 10 − ;10]
Ví dụ 30: Cho hàm số 3 2
y = x − mx + ( 2 3 3 m − )
1 x +1. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m∈[ 20 − ;20]
để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;+∞). Số phần tử của tập hợp S là A. 22. B. 19. C. 21. D. 20. Lời giải Ta có: 2
y′ = x − mx + ( 2 3 6 3 m − ) 1 . Ta có: 2
y′ ≥ ⇔ x − mx + ( 2 0 2 m − ) 1 ≥ 0 ⇔ (  ≥ +
x − m − )(x − m + ) x m 1 1 1 ≥ 0 ⇔  . x ≤ m −1
Do vậy hàm số đồng biến trên ( ; −∞ m − ] 1 và [m +1;+∞)
Để hàm số đã cho đồng biến trên (0;+∞) ⇔ m +1≤ 0 ⇔ m ≤ 1 − m∈ Kết hợp 
⇒ có 20 giá trị nguyên của m. Chọn D. m∈  [ 20 − ;20]
Ví dụ 31: Cho hàm số 4
y = −x + ( m − ) 2 4 3
2 x + 2m +1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 20
− ;20] để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ 2 − ) A. 22. B. 23. C. 21. D. 20. Lời giải Ta có: 3 y′ = 4
− x + 8(3m − 2) x . Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ 2 − ) . 3
⇔ − x + ( m − ) x ≥ ( x ∀ ∈(−∞ − )) 2 4 8 3 2
0 ; 2 ⇔ x − 2(3m − 2) ≥ ( x ∀ ∈( 0 ; −∞ 2 − )) (Do 4 − x ≥ ( x ∀ ∈( 0 ; −∞ 2 − ))) ⇔ ( m − ) 2 ≤ x ( x
∀ ∈(−∞ − )) ⇔ ( m − ) 2 4 2 3 2 ; 2 2 3
2 ≤ min x = 4 ⇔ 3m − 2 ≤ 2 ⇔ m ≤ . (−∞; 2 − ) 3 m∈ Kết hợp 
⇒ có 22 giá trị của m. Chọn A. m∈  [ 20 − ;20]
Ví dụ 32: Cho hàm số 4
y = x − ( m + ) 2 2 2
3 x + m −1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 10
− ;10] để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;3). A. 8. B. 7. C. 6. D. 5. Lời giải Ta có: 3
y′ = 4x − 4(2m + 3) x . Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;3). 3
⇔ x − ( m + ) x ≤ ( x ∀ ∈( )) 2 4 4 2 3
0 0;3 ⇔ x − (2m + 3) ≤ 0 ( x ∀ ∈( 0;3)) 2
⇔ x ≤ 2m + 3 ( x
∀ ∈(0;3)) ⇔ 2m + 3 ≥ 9 ⇔ m ≥ 3 m∈ Kết hợp 
⇒ có 8 giá trị của m. Chọn A. m∈  [ 10 − ;10]
Ví dụ 33: Cho hàm số 4 y = x − ( 2 m − ) 2 8
5 x + 3m −1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 10
− ;10] để hàm số đồng biến trên khoảng (3;+∞) . A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. Lời giải Ta có: 3 y′ = x − ( 2 4
8 m − 5) x . Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+∞) . 3 ⇔ x − ( 2
m − ) x ≥ ( x ∀ ∈( +∞)) 2 ⇔ x − ( 2 4 8 5 0 3;
2 m − 5) ≥ 0 ( x ∀ ∈( 3;+∞)) . ⇔ ( 2 m − ) 2 ≤ x ( x ∀ ∈( +∞)) ⇔ ( 2 m − ) 2 19 2 5 3; 2 5 ≤ 9 ⇔ m ≤ . 2
Kết hợp m∈ ⇒ m = {0; 1 ± ; 2 ± ;± } 3 . Chọn D.
Loại 2: Tính đồng biến nghịch biến của hàm số phân thức chứa tham số. Xét hàm số ax + = b y . TXĐ: d D  \ −  = . cx + d    c  Ta có ax + b ad − = ⇒ ′ = bc y y . cx + d (cx + d )2
Nếu ad = bc thì hàm số đã cho suy biến thành hàm hằng. Do đó:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ⇔ ad − bc > 0 .
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó ⇔ ad − bc < 0 .
ad − bc > 0
Hàm số đồng biến trên miền D = (i; j) ⇔ y > ∀x∈( 0 ;i j)  ′ ⇔ −d . ∉  (i; j)  c
ad − bc < 0
Hàm số nghịch biến trên miền D = (i; j) ⇔ y < ∀x∈( 0 ;i j)  ′ ⇔ −d . ∉  (i; j)  c
Ví dụ 1: Cho hàm số x +1 y = x − 2m
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ 10 − ) . Lời giải a) TXĐ: D − − = 2m 1  \{2 }
m . Ta có: y′ = (x − 2m)2
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi y′ > ( x ∀ ∈ D) 0 2 ⇔ − m −1 > 0 1 ⇔ 2
− m >1 ⇔ m < − . 2  1 m < −
b) Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ − ) 1 ; 10 ⇔  2 ⇔ 5 − ≤ m < − . 2 2m ≥ 10 −
Ví dụ 2: Cho hàm số x + m − 2 y = x − m
a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (5;+∞) . Lời giải a) TXĐ: D − − + − + = m m 2 2m 2  \{ }
m . Ta có: y′ = = (x − m)2 (x − m)2
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi 2
− m + 2 < 0 ⇔ 2m > 2 ⇔ m >1 m >
b) Hàm số đồng biến trên khoảng ( +∞) 1 5; ⇔  ⇔ 1< m ≤ 5. m ≤ 5
Ví dụ 3: Cho hàm số mx + 4m y =
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để x + m
hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S. A. 5. B. 4. C. Vô số. D. 3. Lời giải 2 Ta có: m − 4m y′ =
. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định ⇔ y′ < 0 ( x ∀ ≠ −m) (x + m)2 2 4 0 0 4 m m m m ∈ ⇔ − < ⇔ < <  →m =1, m = 2,
m = 3 . Chọn D.
Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số mx −16 y =
đồng biến trên các khoảng xác định là x − m A. 8. B. 7. C. 6. D. 5. Lời giải 2 TXĐ: D − + = m 16  \{ }
m . Ta có: y′ =
. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định (x − m)2
⇔ y′ > ( x ∀ ∈ D) 2 0
⇔ m +16 > ( x ∀ ⊂ D) 0 4
⇔ − < m < 4 .
Kết hợp m∈ ⇒ m∈{ 3 − ; 2; − 1 − ;0;1;2; }
3 ⇒ có 7 giá trị của tham số m. Chọn B.
Ví dụ 5: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số mx − 4 y =
đồng biến trên các khoảng xác định là 2x − m A. 4. B. 7. C. 6. D. 5. Lời giải 2 TXĐ: −m + 8  \ m D   =  . Ta có: y′ =
. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định 2    (2x − m)2
⇔ y′ > (∀x∈ D) 2 0 ⇔ m + 8 > 0 2
⇔ − 2 < m < 2 2.
Kết hợp m∈ ⇒ m∈{ 2 − ; 1; − 0;1; }
2 ⇒ có 5 giá trị của tham số m. Chọn D. (m + ) 1 x + 20
Ví dụ 6: Cho hàm số y =
. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số x + m
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Số phần tử của tập hợp S là: A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. Lời giải m(m + ) 1 − 20 TXĐ: D =  \{− }
m . Ta có: y′ = . (x + m)2
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ > ( x ∀ ∈ D) 2 0 20 ⇔ m + m − > 0 ⇔ 5 − < m < 4 .
Kết hợp m∈ ⇒ m∈{ 4; − 3 − ; 2; − 1 − ;0;1;2; }
3 ⇒ có 8 giá trị của tham số m. Chọn A.
Ví dụ 7: Cho hàm số −mx − 5m + 4 y =
. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m∈[ 10 − ;10] để x + m
hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 16. B. −10. C. −15. D. 15. Lời giải 2 TXĐ: D − + − = m 5m 4  \{ }
m . Ta có: y′ = . (x − m)2 m > 4
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ < ( x ∀ ∈ D) 2 0
⇔ −m + 5m − 4 < 0 ⇔  . m < 1
Kết hợp m∈ ⇒ m∈{ 10 − ; 9 − ;...; } 0 ∪{5;6;7;8;9; } 10 .
Tổng các phần tử của tập hợp S bằng 4 − − 3− 2 −1 = 1 − 0. Chọn B.
Ví dụ 8: Số giá trị nguyên của tham số m + ∈[ 10 − ;10] để hàm số mx 1 y =
nghịch biến trên từng khoảng mx − 2 xác định là: A. 10. B. 11. C. 12. D. 13. Lời giải Với 1 m 0 y − = ⇒ =
không thỏa mãn yêu cầu. 2 Với − m ≠ 0 . TXĐ:  2 D 3m  \  =  . Ta có: y′ = . m   (mx − 2)2
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ < 0 3
∀x ∈ D ⇔ − m < 0 ⇔ m > 0 .
Vậy có 10 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu. Chọn A.
Ví dụ 9: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số x + m +1 y =
đồng biến trên từng khoảng xác định. mx + 2 A. 2. B. 3. C. 4. D. Vô số. Lời giải Với x 1 m 0 y + = ⇒ =
(thỏa mãn đồng biến trên khoảng xác định). 2 2 − m(m + ) 1 Với − m ≠ 0 khi đó TXĐ: 2 D  \  =  . Ta có: y′ = . m    (mx + 2)2
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ > ( x ∀ ∈ D) 2 0 2
⇔ −m − m + > 0 ⇔ 2 − < m <1.
Kết hợp m∈ ⇒ m = { 1; − } 0 . Chọn A.
Ví dụ 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x + 2 y =
đồng biến trên khoảng x + 5m ( ; −∞ 10 − ) ? A. 3. B. Vô số. C. 1. D. 3. Lời giải  5m − 2 y′ = > 0
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ; −∞ 10 − )  ⇔  (x +5m)2 ( x ∀ ∈( ; −∞ 10 − ))   5 − m ≥ 10 − 2
⇔ < m ≤ 2 . Kết hợp m∈ ⇒ m = {1; } 2 . 5
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x + 6 y =
nghịch biến trên khoảng x + 5m (10;+∞)? A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5. Lời giải  5m − 6 y′ = < 0
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (10;+∞)  ⇔  (x +5m)2 ( x ∀ ∈(10;+∞))   5 − m ≤10 6 ⇔ 2
− < m ≤ . Kết hợp m∈ ⇒ m = { 2; − 1 − ;0; } 1 . 5
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. (m + )1 x +12
Ví dụ 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
nghịch biến trên khoảng x + m ( ;0 −∞ )? A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5. Lời giải 2 2
m − m −12 < 0 Ta có: m − m −12 y′ =
. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0 −∞ ) ⇔ (  x + m)2 −m∉  ( ;0 −∞ )  3 − < m < 4 ⇔  ⇔ 3
− < m ≤ 0 . Kết hợp m∈ ⇒ m = { 2 − ; 1; − } 0 . −m ≥ 0
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số mx + 20 y =
nghịch biến trên khoảng x + m −1 (0;+∞)? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải 2 2
m − m − 20 < 0 Ta có: m − m − 20 y′ =
. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞) ⇔ (  x + m − )2 1 (  1− m  )∉(0;+∞)  4 − < m < 5 ⇔ 
⇔ 1≤ m < 5 . Kết hợp m∈ ⇒ m = {1;2;3 } ;4 . 1  − m ≤ 0
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Ví dụ 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2x + 7 y =
nghịch biến trên khoảng x − m (2;+∞) ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải  2 − m − 7 < 0 Ta có: 2 − m − 7 y′ =
. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) ⇔ (  x − m)2 m∉  (2;+∞)  7 m − > 7 − ⇔  2 ⇔ < m ≤ 2 . 2 m ≤ 2
Kết hợp m∈ ⇒ m = { 3 − ; 2 − ; 1; − 0;1; }
2 ⇒ có 6 giá trị nguyên của tham số m. Chọn D. 2
Ví dụ 15: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số m x + 5 y = nghịch biến trên 2mx +1 khoảng (3;+∞) ? A. 55. B. 35. C. 40. D. 45. Lời giải 2 HD: Điều kiện: 1 − x ≠ − . Ta có: m 10m y′ = . 2m (2mx + )2 1 0 < m <10 2 y′ < 0
m −10m < 0 
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( +∞)   m > 0 3; ⇔  1 ⇔ 6m +1 ⇔  ⇔ 0 < m <10 3 0  − ≤ ≥    1  2m  2mm ≤ −  6
Mà m∈ ⇒ m∈{1;2;3;4;5;6;7;8; }
9 ⇒ Tổng các số nguyên là 45. Chọn D.
DẠNG 3: BÀI TOÁN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HỢP
Loại 1: Đổi biến số
Xét bài toán: Tìm m để hàm số y = f u (x) 
 đồng biến hoặc nghịch biến trên D = (a;b) . Phương pháp giải:
x = a ⇒ t = u(a)
Cách 1: Đặt ẩn phụ: Đặt t = u (x) ⇒ t′ = u′(x),
x = b ⇒ t = u  (b)
 Nếu t′ = u′( x) > 0 ( x
∀ ∈ D) thì bài toán đồng (nghịch) biến trở thành bài toán tìm m để hàm số
y = f (t) đồng (nghịch) biến trên D = u a u b . t ( ( ); ( ))
 Nếu t′ = u′( x) < 0 ( x
∀ ∈ D) thì bài toán đồng (nghịch) biến trở thành bài toán tìm m để hàm số
y = f (t) nghịch (đồng) biến trên D = u a u b . t ( ( ); ( ))
Cách 2: Tính trực tiếp đạo hàm. Chú ý công thức đạo hàm của hàm hợp: y′ = f ′(u).u′(x).
Ví dụ 1: [Đề minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số tan x −1 y = tan x − m
đồng biến trên khoảng  π 0;   . 4    m ≤ 0 A. . B. m ≤ 0 .
C. 1≤ m < 2 . D. m ≥ 2. 1   ≤ m < 2 Lời giải
Cách 1: ĐK: tan x ≠ m . Khi đó −m + 2 1 y′ = . (tan x − m)2 2 cos x tan x ≠ m  π     π
Hàm số đồng biến trên khoảng 0; ⇔   −m + 2 1  x ∀ ∈0;  . 4 . 0  >   
(tan x − m)2 2   4 cos x  m ≤ 0  m ≤ 0 ⇔ m ≥1 ⇔ . Chọn A. 1    ≤ m < 2 −m + 2 > 0
Cách 2: [Đặt ẩn phụ] Đặt 1   π  π
t = tan x ⇒ t′ = > 0 0;   x  ∀ ∈ ; với x∈ 0; ⇒ t ∈   (0; )1 . 2 cos x   4     4 
Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số f (t) t − 2 =
đồng biến trên khoảng (0; ) 1 t − mm ≠ t   m ≥1 ⇔  − +   ≤ . Chọn A. f ′  (t) m 2 m 0 = > 0 t
∀ ∈ 0;1 ⇔ m ≤ 0 ⇔ 2 ( ( )) (t − m) 1     ≤ m < 2  m < 2
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số mcos x − 2 y =
nghịch biến trên khoảng 2cos x − m  π π ;   . 3 2    A. 2
− < m ≤ 0 hoặc 1≤ m < 2 .
B. 1≤ m < 2 . C. 2 − < m ≤ 0 . D. m ≥ 2. Lời giải −m + 4 ( 2 2 m − 4)sin x Ta có: y′ = . −sin x = 2 ( ) (2cos x − m) (2cos x − m)2 2 m − 4 < 0
Hàm số đã cho nghịch biến trên  π π    π π  ; ⇔  y′ < 0 ;  x   ∀ ∈ ⇔  3 2     3 2     π π 
2cos x ≠ mx ∀ ∈ ;     3 2    2 − < m < 2  2 − < m ≤ 0 ⇔  . Chọn A. m ( ⇔ 0; ) 1 1  ∉  ≤ m < 2
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số cos x − 2 y =
nghịch biến trên khoảng cos x − m  π ;0 −  . 2   
A. m ≤ 0 hoặc 1≤ m < 2 . B. m ≤ 0 .
C. 1≤ m < 2 D. m ≥ 2. Lời giải Ta có: −m + 2   π −  y′ =
.sin x . Do đó sin x < 0 x ∀ ∈ ;0 . (  mcos x  − )2 1   2  m < 2  π −  −  m + 2 > 0  m ≤ 0
Hàm số nghịch biến trên  ;0 ⇔   ⇔ m ≥ ⇔ . Chọn A.  2  m  ( ) 1 0;1  1  ∉  ≤ m < 2 m ≤ 0
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số 2cos x + 3 y =
nghịch biến trên khoảng 2cos x − m  π 0;   . 3    m ≤ 3 −  3 − < m ≤1 A. m > 3 − . B.  . C. m < 3 − . D.  . m ≥ 2 m ≥ 2 Lời giải
 2cos x + 3 ′ (2m + 6)sin x Ta có: y′ = =  .  2cos x m  −  (2cos x − m)2 y′ < 0 (
 2m + 6)sin x < 0  π
Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;    ⇒    π  ⇒  3  x  0;   π  x 0;  ∈ ∈   3    3 
⇔ 2m + 6 < 0 ⇔ m < 3 − .
2cos x − m ≠ 0 m ≠ 2cos x Mặt khác     π  ⇔   1  ⇔ m∉( 1; − 2) ⇒ m < 3 − . Chọn C. x ∈ 0; cos x∈ −      ;1   3    2 
Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số cot x −1 y =
đồng biến trên khoảng mcot x −1  π π ;   . 4 2    A. m∈( ;
−∞ 0) ∪(1;+∞) . B. m∈(1;+∞) . C. m∈( ;0 −∞ ) . D. m∈(−∞ ) ;1 . Lời giải Ta có: 1 − + m  1 y .  ′ = − (   mcot x − )2 2 1  sin x  + Với 1  π π
m = 0 ⇒ y =1− cot x ⇒ y′ =
> 0 ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng  ; . 2 sin x 4 2    y′ > 0 + Với  π π     π π 
m ≠ 0 , hàm số đồng biến trên khoảng  ; ⇔   1  x ∀ ∈ ;  4 2  cot x   4 2  ≠   m  m <1 1  m 0  − >  1   ≤ 0 m <1 ⇔  1 ⇔  . ∉  (  ⇔ 0; ) 1 m    m ≠ 0 m  1  ≥1  m
Kết hợp 2 trường hợp suy ra m <1 là giá trị cần tìm. Chọn D. 2
Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên  π m để hàm số msin x −16 y =
nghịch biến trên khoảng 0; . 2 cos x + m −1 2    A. 5. B. 8. C. 7. D. 6. Lời giải 2 2 Ta có:
msin x −16 msin x −16 y = = ( 2 2
Do cos x −1 = −sin x 2 2 )
cos x + m −1 −sin x + m 2 2 Khi đó m −16 y′ = ( 2 ′ m −16 . sin x = .2sin xcos x 2 ) (−sin x+m) (−sin x+m)2 2 2 Do   π
2sin xcos x > 0  x
∀ ∈0;  do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  2    2 m −16 < 0  π    4 − < m < 4 0; ⇔      ⇔ . 2  2 π  s  in 
x ≠ mx ∀ ∈0;  m∉  (0; ) 1    2 
Kết hợp m∈ ⇒ có 7 giá trị của m. Chọn C.
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số m 1− x − 4 y =
đồng biến trên khoảng 1− x − m (0; )1 . m < 2 −  2 − < m ≤ 0  2 − < m < 0 A.  . B. 2 − < m < 2 . C.  . D.  . m > 2 1  ≤ m < 2 1  < m < 2 Lời giải Đặt 1
t = 1− x ⇒ t − ′ = < 0 ( x ∀ ∈( 0; ) 1 ) với x∈(0; ) 1 ⇒ t ∈(0; ) 1 2 1− x
Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số f (t) mt − 4 =
nghịch biến trên khoảng (0; ) 1 . t − m m ≥1 m ≠ t   m ≤ 0 m > 2 2 ⇔  − + ∀ ∈ ⇔  ⇔ f (t) m 4 ( t (0; )1) 0  ′ . = < Chọn A.   (  >  < − t − m)2 m 2 m 2  m < 2 −
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 1− 5x − 2 y =
nghịch biến trên khoảng 1− 5x − m  1 0;   . 5    m ≤ 0 A. B. m ≤ 0 C. 1≤ m < 2 D. m > 2 1   ≤ m < 2 Lời giải Đặt 5 −   1 
t = 1− 5x ⇒ t′ = < 0 0;  1   x ∀ ∈ với x∈ 0; ⇒ t ∈   (0; )1 2 1 5x   5  −    5 
Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số f (t) t − 2 =
đồng biến trên khoảng (0; ) 1 . t − mm ≠ t m ≥1   m ≤ 0
⇔  f ′(t) −m+2 ( t ∀ ∈(0; ) 1 ) ⇔ m ≤ 0 = > 0 ⇔  . Chọn A.   (   ≤ < t − m)2 1 m 2 m < 2
Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y = m( 2 x − x) 4
2 − (x −3) x −3 − x luôn 3
đồng biến trên tập xác định. A. 2 m ≥ . B. 1 m ≥ . C. 4 m ≥ . D. 3 m ≥ . 3 2 3 2 Lời giải Ta có: y = m( 2 x − x) 4
2 − (x −3) x −3 − x → y′ = 2m(x − ) 1 − 2 x − 3 −1; 3 x ∀ ≥ 3 Đặt 1
t = x − 3 ≥ 0 ⇒ t′ = > 0( x ∀ > 3) 2
⇔ x = t + 3, khi đó y′ = f (t) = m( 2
2 t + 2) − 2t −1. 2 x − 3
Để hàm số đồng biến trên tập xác định f (t) > t ∀ ≥ ⇔ m( 2 0; 0
2 t + 2) ≥ 2t +1; 0 t ∀ ≥ . 2t +1 + ⇔ 2m ≥ ; 0 t
∀ ≥ ⇒ 2m ≥ max g t với hàm số g (t) 2t 1 = 2 ( ) + [0;+∞) t 2 2 t + 2 2 2t +1 t −1
Mặt khác g (t) ( ) −1 = −1 = −
≤ 0 ⇔ g t ≤1⇒ max g t =1 2 2 ( ) ( ) + + [0;+∞) t 2 t 2 Vậy 1
2m ≥1 ⇔ m ≥ là giá trị cần tìm. Chọn B. 2
Loại 2: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho trực tiếp
Phương pháp giải:
Công thức đạo hàm của hàm hợp  f  (u) ′  = f ′  (u).u′ .
Lập bảng xét dấu y′ của hàm số đã cho và kết luận.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = (x − )2 1 (2x − ) 1 (x + ) 1 trên  .
a) Tìm khoảng đồng biến của hàm số g (x) = f (1− 2x) .
b) Tìm khoảng nghịch biến của hàm số h(x) = f (x + 3) . Lời giải
a) Ta có: g (x) =  f ( − x) ′ = f ( − x) ( − x)′ ′ ′ = − ( − x − )2 1 2 1 2 . 1 2
2 1 2 1 2(1− 2x) −1     (1− 2x + ) 1 ⇒ g′(x) 2
= − x ( − x)( − x) 2 8 1 4 2 2 = 16 − x (4x − ) 1 (x − ) 1
Bảng xét dấu cho g′(x) . 1 x −∞ 0 1 +∞ 4 g′(x) − 0 − 0 + 0 −
Vậy hàm số g (x) đồng biến trên khoảng  1 ;1  . 4   
b) Ta có: h (x) =  f (x + ) ′ = f (x + ) (x + )′ ′ ′ = (x + − )2 3 3 . 3 3 1 2(x + 3) −1     ( x + 3 + ) 1
⇒ h′(x) = (x + )2
2 (2x + 5)(x + 4) < 0
Bảng xét dấu cho h′(x) 5 − x −∞ −4 −2 +∞ 2 h′(x) + 0 − 0 + 0 +
Vậy hàm số h(x) nghịch biến trên khoảng  5 4; −  −  . 2   
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên  và f ′(x) = (x + ) 1 (x − 2) .
a) Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số g (x) = f ( 2 x − 2) . 2
b) Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số ( ) = ( − ) 3 1 x h x f x + − 5x +1. 2 Lời giải
a) Ta có: g′(x) = x f ′( 2 x − ) = x ( 2 x − + )( 2
x − − ) = x ( 2 x − )( 2 2 . 2 2 . 2 1 2 2 2 . 1 x − 4).
Bảng xét dấu cho g′(x) . x −∞ −2 −1 1 2 +∞ g′(x) + 0 − 0 + 0 − 0 +
Vậy hàm số g (x) đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 2 − ) ; (1; )
1 và (2;+∞) . Vậy hàm số g (x) nghịch biến trên các khoảng ( 2; − − ) 1 và (1;2) .
b) Ta có: h′(x) =  f ′
 (1− x) + 3x − 5 = − f ′ 
(1− x)+3x −5 = −(1− x + )
1 (1− x − 2) + 3x −5
= (x − )(− − x) 2 2 1
+ 3x − 5 = −x + 4x − 3 = −(x − ) 1 (x − 3) .
Bảng xét dấu cho h′(x) x −∞ 1 3 +∞ h′(x) − 0 + 0 −
Vậy hàm số h(x) đồng biến trên khoảng (1;3) và nghịch biến trên các khoảng ( ) ;1 −∞ và (3;+∞) .
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên  và ′( ) 2
f x = x − x .
a) Tìm .khoảng đơn điệu của hàm số g (x) = f (2x + ) 1 −12x .
b) Tìm khoảng đơn điệu của hàm số ( ) = ( ) 3 2 16x h x f x + −16x + 2 . 3 Lời giải
a) Ta có: g′(x) = f ′( x + ) − = ( x + )2 2
2 1 12 2. 2 1 − (2x + ) 1  −12   = ( 2
2 4x + 2x − 6) = 4(2x + 3)(x − ) 1
Bảng xét dấu cho g′(x) . 3 x −∞ − 1 +∞ 2 h′(x) + 0 − 0 +
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  3 ;  −∞ −   
và (1;+∞), hàm số nghịch biến trên khoảng 3 −  ;1 . 2      2 
b) Ta có: h′(x) = x f ′( 2 x ) 4 2 2 3
= x x − x + x − = x ( 2 x − ) + ( 2 x − ) = ( 2 x − )( 3 2 . 2 ( ) 16 16 2 1 16 1 2 1 x + 8)
Bảng xét dấu cho h′(x). x −∞ −2 −1 1 +∞ g′(x) − 0 + 0 − 0 +
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; − − )
1 và (1;+∞), hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ 2 − ) và ( 1; − ) 1 .
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = (x − 2)(2x −5) x
∀ ∈  . Tìm khoảng đồng biến của
hàm số y = f ( 2 x + 2) 1 4 − x + 2 2 A. ( 1; − ) 1 . B. (0;2) . C. (1;+∞). D. ( 3 − ;0) . Lời giải
Ta có: y = f ( 2 x + 2) 1 4
− x + 2 ⇒ y′ = 2 . x f ′( 2 x + 2) 3 2 − 2x = 2 . x x ( 2 2x + 4 − 5) 3 − 2x 2 3 = x ( 2 x − ) 3 2 2 2 = 4x (x − ) 1 (x + ) 1 .
Bảng xét dấu cho y′. x −∞ −1 0 1 +∞ y′ − 0 + 0 − 0 +
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞). Chọn C.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) 3 = x (x − )2 1 (2x − ) 1 trên  và hàm số
g (x) = f (x + 2) . Hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng nào sau đây: A. ( ; −∞ 2 − ) . B.  3 2;  − −      . C. 3  2; . D. 3  ;+∞ . 2       2   2  Lời giải
Ta có: g (x)  f (x ) ′ ′ =
+  = (x + )3 (x + − )2 2 2 2 1 2(x + 2) −1    
= (x + )3 (x + )2 ( x + ) < ⇔ (x + )( x + ) 3 2 1 . 2 3 0 2 2 3 < 0 ⇔ 2 − < x < − . 2
Suy ra hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng  3 2;  − −  . Chọn B. 2   
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = ( 2
x + x)(x − 2)2 trên  và hàm số g (x) = f ( 2 x − ) 1 .
Hàm số g (x) đồng biến trên khoảng nào sau đây: A. ( 1; − 0) . B. (0; ) 1 . C. ( 2; − − ) 1 . D. ( 1; − ) 1 . Lời giải
Ta có: f ′(x) = ( 2
x + x)(x − 2)2 = x(x + ) 1 (x − 2)2
Khi đó g′(x) = f ( 2 x − ) ′ = ( 2 x − )′   f ′( 2 1 1 . x −   )1 x > = 2x(x − )
1 .x (x − ) 2 1 2 2 2 1 − 2 > 0 ⇔ x
( 2x − )1 > 0 ⇔   1 − < x < 0
Suy ra hàm số g (x) đồng biến trên khoảng ( 1; − 0) . Chọn A.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f (x) liên tục và xác định trên  , biết rằng ′( ) 2
f x = x + x , hàm số y = f ( 2 x − )
1 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (1;2) . B. ( 1; − ) 1 . C. (0; ) 1 . D. ( ; −∞ − ) 1 . Lời giải
Ta có công thức đạo hàm của hàm hợp  f  (u) ′  = f ′ 
(u).u′(x). Do đó f ( 2 x − ) ′ 
 = f ′( 2x − ) x = ( 2x −   ) 3 1 1 .2 2 1 x . ′ x >1
Vẽ bảng xét dấu ta có:  f  ( 2 x − ) 1  > 0 ⇔   .  1 − < x < 0
Do đó hàm số y = f ( 2 x − )
1 đồng biến trên khoảng ( 1;
− 0) và (1;+∞). Chọn A.
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = x(x − )2
1 (x − 2). Hỏi hàm số  5x y f  =  đồng 2  x 4  + 
biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ; −∞ 2 − ) . B. (0;2) . C. (2;4). D. ( 2; − ) 1 . Lời giải ′ 2 2 2 Ta có:  5x x + 4 − 2x 4 = 5. =   5. − x . 2  x + 4  ( 2x +4)2 ( 2x +4)2 2 2 Xét hàm số:  5x  4 − x 5x  5x   5 = ⇒ = 5. . −1 x y f y − 2 ′ >       0 2  x + 4  (x +4)2 2 2 2 2 x + 4  x + 4   x + 4  ⇔ ( 2 − x ) x ( 2
x − x − ) > ⇔ (x + ) x x − ( 2 4 . 5 2 8 0 2 (
2) 2x − 5x + 8) > 0 ⇔ (  > x + ) x 2
2 x(x − 2) > 0 ⇔  .  2 − < x < 0 Vậy hàm số  5x y f  = 
đồng biến trên khoảng (2;+∞) nên nó đồng biến trên khoảng (2;4). 2  x 4  +  Chọn C.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) 2
= x + x − 2 x
∀ ∈  . Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = f ( 2 x ) 2 −18x + 2 A. (0; ) 1 . B. ( 2; − 0) . C. (1;3). D. (2;+∞) . Lời giải
Ta có: y = f ( 2 x ) 2
− x + ⇒ y′ = x f ′( 2
x ) − x = x f ′  ( 2 18 2 2 . 36 2 . x ) −18 ⇔ x( 4 2
x + x − − ) = x( 2 x − )( 2 2 2 18 2 4 x + 5) .
Bảng xét dấu cho y′ x −∞ −2 0 2 +∞ y′ − 0 + 0 − 0 +
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) . Chọn A.
Ví dụ 10: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) 2 = x (x − )( 2
1 x − 4). Hàm số y = f (2 − x) đồng biến trên khoảng nào? A. ( ;0 −∞ ). B. (0; ) 1 . C. (2;+∞) . D. (1;4) . Lời giải Ta có: f ′(x) 2 = x (x − )( 2 x − ) 2 1 4 = x (x − )
1 (x − 2)(x + 2) .
Khi đó: y = f ( − x) ⇒ y′ = −( − x)2 ( − x)(−x)( − x) = (x − )2 2 2 1 4 2 x(x − ) 1 (x − 4) > 0  >
⇔ x(x − )(x − ) x 4 1 4 > 0 ⇔  . 0 < x < 1
Vậy hàm số y = f (2 − x) đồng biến trên khoảng (0; ) 1 . Chọn B.
Ví dụ 11: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = (x + )( 2
3 x + x) . Hàm số
g (x) = f (x + x) 4 2 x 3 2 2 +
+ 2x + 2x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 2 A. ( 2; − − ) 1 . B. ( 1; − 0) . C. (0; ) 1 . D. ( 4; − 3 − ) . Lời giải
Ta có: f ′(x) = (x + )( 2
x + x) g′(x) = ( x + ) f ′( 2 x + x) 3 2 3 ; 2 2 .
2 + 2x + 6x + 4x = (x + )( 2 x + x + )( 2 x + x)( 2
x + x + ) + x( 2 2 1 2 3 2
2 1 2 x + 3x + 2)
= x(x + )(x + ) ( 2x + x + )( 2 2 1 2 2 3 x + 2x + ) 1 +1 Do 2
x + 2x +1 = (x + )2 1 ≥ 0 ( x ∀ ∈ ) nên ( 2 x + x + )( 2 2 3 x + 2x + ) 1 +1 > 0 ( x ∀ ∈ ) x >
Do đó g′(x) > ⇔ x(x + )(x + ) 0 0 1 2 > 0 ⇔  .  2 − < x < 1 −
Vậy g (x) đồng biến trên khoảng ( 2; − − )
1 và (1;+∞). Chọn A.
Ví dụ : Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp 2 xác định và liên tục trên  thỏa mãn
( f ′(x))2 + f (x) f ′′(x) = x(x − )1(x −2), x
∀ ∈  . Hàm số g (x) = f (x). f ′(x) đồng biến trên khoảng nào? A. (0;2) . B. ( ;0 −∞ ). C. (2;+∞) . D. (1;2) . Lời giải ′ x >1 Ta có: g′(x) = f  (x).f ′(x) = f  (x).f′′(x) 2' + f (x) = x (x − ) 1 (x − 2) > 0 ⇔  . 0 < x < 1
Do đó hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (1;+∞) nên nó đồng biến trên khoảng (2;+∞) . Chọn C.
Ví dụ : Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm f ′(x) = x(x − )2 ( 2
1 x + mx +16). Có bao nhiêu số
nguyên dương của tham số m để hàm số y = f (4 − x) đồng biến trên khoảng (4;+∞) ? A. 6. B. 8. C. 5. D. 7. Lời giải
Ta có: y = f ( − x) ⇒ y′ = −( − x)( − x)2 ( 2 4 4 3
t + mt +16) với t = 4 − x,
x > 4 ⇒ t < 0 .
Hàm số đồng biến trên khoảng ( +∞) ⇔ (x − )(x − )2 2 4; 4
3 t + mt +16 ≥ 0   ( x ∀ ∈(4;+∞)) 2 t mt ( t ) 2 t mt ( t ) 16 16 0 0 16 0 t − ⇔ + + ≥ ∀ < ⇔ + ≥ − ∀ < ⇔ − + ≥ m ( 0 t ∀ < ) t
⇔ min g (t) ≥ m, với ( ) 16 g t = t − − (−∞;0) t
Mặt khác theo BĐT AM – GM ta có: g (t)  16 2 t. −  ≥ − = 8 ⇒ m ≤   8 là giá trị cần tìm.  t  Kết hợp m +
∈ ⇒ có 8 giá trị nguyên dương của m. Chọn B.
Loại 3: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho qua bảng biến thiên hoặc đồ thị.
Phương pháp giải:
Giả sử giả thiết bài toán cho đồ thị hàm f ′(x) với mọi x∈ như hình vẽ dưới đây.
 Đối với bài toán tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y = f ( x) ta dựa đồ thị f ′( x) như hình
vẽ để tìm khoảng đồng biến nghịch biến.
 Đối với bài toán tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm hợp y = f (u) ta làm như sau:
Ta thấy f ′(x) đổi dấu qua các điểm x = b, x = c,
x = d và f ′(x) bằng không nhưng không đổi dấu tại
các điểm x = a, x = e nên ta có thể thiết lập biểu thức đạo hàm:
f (x) k (x a)2 (x b)(x c)(x d )(x e)2 ′ = − − − − −
Trong đó hệ số k > 0 nếu lim f ′(x) > 0 và k < 0 nếu lim f ′(x) < 0 . x→+∞ x→+∞
Trong hình vẽ trên ta thấy k > 0 (vì khi x → +∞ thì f ′(x) > 0 nên ta có thể giả sử:
f (x) (x a)2 (x b)(x c)(x d )(x e)2 ′ = − − − − −
từ đó suy ra đạo hàm của hàm hợp  f (u) ′ = u .′f ′  (u). Từ
đó lập bảng xét dấu và kết luận.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như
hình bên. Hỏi hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (0;2) . B. (1;3). C. ( 1; − ) 1 . D. ( ;2 −∞ ) . Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′(x) ta thấy 1< x < 3 thì đồ thị hàm số y = f ′(x) nằm ở dưới trục hoành
nên f ′(x) < 0 ⇒ hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (1;3). Chọn B.
Ví dụ 2: [Đề thi minh họa của Bộ GD&ĐT năm 2018]
Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như
hình bên. Hỏi hàm số y = f (2 − x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (1;3). B. (2;+∞) . C. ( 2; − ) 1 . D. ( ; −∞ 2 − ) . Lời giải
Cách 1: Giả sử f ′(x) = (x + ) 1 (x − )
1 (x − 4) ta có:  f  (2 − x) ′  = f
(2− x).(2− x)′ ′
= − f ′(2 − x) = −(2 − x + ) 1 (2 − x − )
1 (2 − x − 4) = (x −3)(x − ) 1 (x + 2) > 0 .
Bảng xét dấu  f (2 x) ′ −    x −∞ −2 1 3 +∞ y′ − 0 + 0 − 0 +
Vậy hàm số đồng biến trên ( 2; − ) 1 và (3;+∞) .
Cách 2: Ta có:  f (2− x) ′ = 
f (2 − x).(2 − x)′ ′
= − f ′(2 − x) > 0 ⇔ f ′(2 − x) < 0  − x < − x >
Dựa vào đồ thị ta có: f ′( − x) 2 1 3 2 < 0 ⇔ ⇔ . 1   2 x 4  < − <  2 − < x <1
Vậy hàm số đồng biến trên ( 2; − ) 1 . Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu như sau: x −∞ −2 0 2 +∞ y′ + 0 − 0 + 0 −
Hàm số y = f ( 2
x − 2) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 2; − 0) . B. (2;+∞) . C. (0;2) . D. ( ; −∞ 2 − ) . Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu ta có thể giả sử f ′(x) = −(x + 2) x(x − 2)
(Chú ý: Do lim f ′(x) < 0 nên ta chọn k = 1 − ). x→+∞
Khi đó y = f ( 2 x − ) 2
⇒ y′ = − x x ( 2 x − )( 2 2 2 . 2 x − 4) < 0 x > 2 ( 
⇔ x + 2)(x + 2) x(x − 2)(x − 2) > 0 ⇔ 0 < x <  2 .  2 − < x < −  2
Vậy hàm số y = f ( 2
x − 2) nghịch biến trên khoảng (2;+∞) . Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: x −∞ −1 3 +∞ y′ + 0 − 0 +
Hàm số y = f (3− x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ;0 −∞ ). B. (4;6) . C. ( 1; − 5). D. (0;4) . Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu ta giả sử f ′(x) = (x + ) 1 (x −3) .
Khi đó y = f (3− x) ⇒ y′ = −(3− x + )
1 (3− x −3) = −(4 − x)(−x) > 0 ⇔ x(x − 4) < 0 ⇔ 0 < x < 4.
Do đó hàm số y = f (3− x) đồng biến trên khoảng (0;4) . Chọn D.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f (x) . Biết rằng hàm số
y = f ′(x) có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số y = f ( 2
3− x ) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (0; ) 1 . B. ( 1; − 0) . C. (2;3). D. ( 2; − − ) 1 . Lời giải
Giả sử f ′(x) = (x + 6)(x + )
1 (x − 2), ta có: y = f ( 2
− x ) ⇒ y′ = − x f ′( 2 3 2 . 3− x ) . = − x ( 2 − x + )( 2 − x + )( 2
− x − ) = x( 2 x − )( 2 x − )( 2 2 . 3 6 3 1 3 2 2 9 4 x − ) 1
Bảng xét dấu cho y′: x −∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 +∞ y′ − 0 + 0 − 0 + 0 − 0 + 0 − 0 +
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; − 0) . Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f (x) . Biết rằng hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số
g (x) = f (1− 2x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( 1; − 0) . B. ( ;0 −∞ ). C. (0; ) 1 . D. (1;+∞). Lời giải
Giả sử f ′(x) = (x + )(x − )(x − )(x − )2 1 1 2 4
Suy ra g (x) = f ( − x) ( − x)′ ′ ′
= ( − x)(− x)(− − x)(− − x)2 1 2 . 1 2 2 2 2 1 2 3 2 .( 2 − ) > 0 x >1 (x ) 1 x(2x ) 1 0  ⇔ − + > ⇔ 1
⇒ hàm số g (x) = f (1− 2x) đồng biến trên khoảng (1;+∞). − < x <1  2 Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f (x) . Biết rằng hàm số y = f ′(x)
có đồ thị như hình bên. Hàm số g (x) = f (3− 2x) nghịch
biến trên khoảng nào sau đây? A. (0;2) . B. (1;3). C. ( ; −∞ − ) 1 . D. ( 1; − +∞). Lời giải
Giả sử f ′(x) = (x + 2)(x − 2)(x −5)
Ta có g (x) = f (3− 2x).(3− 2x)′ ′ ′
= (5 − 2x)(1− 2x)( 2 − − 2x).( 2 − ) < 0 . x < 1 − (2x 5)(2x ) 1 (x ) 1 0  ⇔ − − + < ⇔ 1
5 ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 . Chọn C.  < x < 2 2
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ′(x) liên tục trên  có đồ thị
như hình bên. Hàm số y = f ( 2
x − 2x + 3) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ;0 −∞ ). B. (2;+∞) . C. (1;2) . D. ( ;2 −∞ ) . Lời giải
Giả sử f ′(x) 2
= −x (x − 2)(x − 3)
Ta có  f ( 2x − x + ) ′ 
 = ( x − ) f ′  ( 2 2 3 2 2 . x − 2x + 3). ⇔ −( x >
2x − 2)(x − 2x + 3)2 2 2 .( 2 x − 2x + ) 1 .( 2
x − 2x) < 0 ⇔ (2x − 2) x(x − 2) < 0 . 0 < x < 1
Do đó hàm số y = f ( 2
x − 2x + 3) nghịch biến trên khoảng (2;+∞) . Chọn B.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ′(x) liên tục trên  có đồ thị như hình bên.
Hàm số g (x) = f (x) 2 2
− x + 4x − 2 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ; −∞ − ) 1 , (1;2) . B. ( 1; − ) 1 , (2;+∞) . C. ( 1; − 2) . D. ( ; −∞ − ) 1 ,(2;+∞) . Lời giải
Ta có: g′(x) = 2 f ′(x) − 2x + 4 > 0 ⇔ f ′(x) > x − 2 .
Vẽ đồ thị hàm số y = f ′(x) và y = x − 2 trên cùng hệ trục tọa độ
Oxy, ta thấy với x > 2 hoặc 1
− < x <1 thì đồ thị hàm số
y = f ′(x) nằm trên đường thẳng y = x − 2. x >
Vậy nên f ′(x) 2 > x − 2 ⇔  .  1 − < x <1
Do đó hàm số g (x) đồng biến trên các khoảng ( 1; − ) 1 , (2;+∞) .Chọn B.
Ví dụ 10: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2019] Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: x −∞ 1 2 3 4 +∞ f ′(x) − 0 + 0 + 0 − 0 +
Hàm số y = f (x + ) 3 3
2 − x + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1;+∞). B. ( ; −∞ − ) 1 . C. ( 1; − 0) . D. (0;2) . Lời giải
Ta có: y′ = f ′(x + ) 2
− x + y′ = ⇔ f ′(x + ) 2 3 2 3 3; 0 2 = x −1(*)
Đặt t = x + 2, khi đó ( ) ⇔ f ′(t) = (t − )2 2 *
2 −1 = t − 4t + 3
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy t ∈(1;2) 
→ f ′(t) > 0
Và 2t − 4t + 3 < 0; t
∀ ∈(1;2) suy ra f ′(t) 2
> t − 4t + 3 ⇔ 1< t < 2 .
Do đó y′ > 0 ⇔ 1< x + 2 < 2 ⇔ 1
− < x < 0 . Vậy hàm số đồng biến trên ( 1; − 0) . Chọn C.
Ví dụ 11: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  , đạo hàm f ′(x) có bảng xét dấu như sau: x −∞ 1 2 3 4 +∞ f ′(x) + 0 − 0 − 0 + 0 − 3 Hàm số = ( + ) 1 x y f x −
+ x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 A. (2;3). B. (1;2) . C. (3;4). D. (0; ) 1 . Lời giải
Ta có: y′ = f ′(x + ) 2 1 − x +1.
Đặt t = x +1, khi đó y′ = f ′(t) −(t − )2 + = f ′(t) 2 1 1 − t + 2t .
Để hàm số nghịch biến thì y′ < 0  ′ <  f ′(t) f (t) 0 < 0 Ta chọn t sao cho:   ⇔ t > 2
⇔ t ∈(2;3) ⇒ x∈(1;2). 2  t − + 2t < 0  t < 0
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) .Chọn B.
Ví dụ 12: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đạo hàm f ′(x) trên  như hình bên dưới và hàm số
g (x) = f ( 2
x + x + 2) . Hàm số g (x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( 1; − 0) . B. (0; ) 1 . C.  1 2;  − −  . 2    D. ( 4; − 2 − ). Lời giải
Giả sử f ′(x) = (x + 2)(x − 2)(x + ) 1
Khi đó g′(x) = f  ( 2 x + x + ) ′ =  ( 2x + x+ )′   f ′( 2 2 2 . x + x + 2) x > 0 (2x ) 1 ( 2 x x 4)( 2 x x)( 2 x x 3) 0 (2x ) 1 x(x ) 1 0  = + + + + + + > ⇔ + + > ⇔ 1 .  1 − < x < −  2
Suy ra hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (0; ) 1 . Chọn B.
Ví dụ : Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đạo hàm
f ′(x) như hình vẽ. Xét hàm số g (x) 1 3 3 2 3
= x + x − x − f (x) . Khẳng định nào 3 4 2 sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3 − ;− ) 1 .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; − 0) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; − 0) . Lời giải
Khẳng định 1 đúng. Ta có: g (x)  2 3 3 = x + x  ′ − − f ′(x) =   0  2 2  Parabol 2 3 3
y = x + x − = h(x) đi qua 3 điểm ( 3 − ;3), ( 1; − 2) và (1; ) 1 . 2 2 x = 3 −
Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị ta có: g (x) = h(x) − f (x) = 0  ′ ′ ⇔ x = 1 −  . x =  1
Khi x → +∞ thì f ′(x) 2 3 3
< x + x − ⇒ g '(x) > 0 do đó ta có bảng xét dấu. 2 2 x −∞ −3 −1 1 +∞ f ′(x) − 0 + 0 − 0 +
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; − )
1 nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; − 0) . Chọn C.
Ví dụ 14: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đạo hàm
f ′(x) như hình vẽ.
Hàm số g (x) = f (x) 1 3
− x + 2018 nghịch biến trên 3 khoảng nào sau đây. A. ( 1; − ) 1 . B. ( 1; − 0) . C. (0;2) . D. ( 2; − − ) 1 . Lời giải Ta có: ′( ) = ′( ) 2 g x
f x − x , parabol 2
y = x cũng đi qua các điểm ( 1; − ) 1 , ( 0;0), ( 1; ) 1 nằm trên đồ thị (Parabol 2
y = x có đồ thị đậm hơn trong hình vẽ dưới). x = 1 −
Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị ta có f (x) 2 − x = 0  ′
⇔ x = 0 , x → −∞ ⇒ f ′(x) 2 < x  . x =  1
Từ đó, ta có bảng xét dấu cho g′(x) như sau: x −∞ −1 0 1 +∞ g′(x) + 0 − 0 + 0 −
Do đó hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng ( 1; − 0) .
Ví dụ 15: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đạo hàm f ′(x) như
hình vẽ. Hàm số g (x) = f (x) 1 3 2
− x + x − x nghịch biến trên 3 khoảng nào sau đây. A. (0; ) 1 . B. (1;2) . C. ( 1; − ) 1 . D. (2;+∞) . Lời giải
Ta có: g′(x) = f ′(x) 2
− x + 2x −1 = 0 ⇔ f ′(x) = (x − )2 1 .
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(x) và Parabol y = (x − )2 1 ta có: x = 0
f (x) (x )2 1  ′ = − ⇔ x =1 
. Từ đó ta có bảng xét dấu của g′(x) như sau: x =  2 x −∞ 0 1 2 +∞ g′(x) − 0 + 0 − 0 +
Do đó hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng (1;2) . Chọn B.
Ví dụ 16: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ
Hàm số y = f ( 2 x − 2x + )
1 + 2018 giảm trên khoảng A. ( ) ;1 −∞ . B. (2;+∞) . C. (0; ) 1 . D. (1;2) . Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) ⇒ f ′(x) đổi dấu khi qua các điểm x = 1; − 1 x = .
Giả sử f ′(x) = k (x + ) 1 (x − )
1 , lim f (x) > 0 ⇒ k > 0 ta có: x→+∞ y = f ( 2 x − x + ) +
⇒ y′ = ( x − ) f ′( 2
x − x + ) = k ( x − )( 2 x − x + )( 2 2 1 2018 2 2 . 2 1 2 2 2 2 x − 2x)  < <
= k (x − ) x(x − ) (x − )2 +  < ⇔ x(x − )(x − ) 1 x 2 2 1 2 . 1 1 0 1 2 < 0 ⇔    . x < 0
Do đó hàm số giảm trên khoảng (1;2) . Chọn D.
Ví dụ 17: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đạo hàm
y = f ′(x) như hình vẽ. Hàm số g (x) = f (x) + (x + )2 2 1
đồng biến trên khoảng nào sau đây. A. ( 3 − ; ) 1 . B. (1;3). C. ( ; −∞ 3) . D. (3;+∞) . Lời giải
Ta có: g′(x) = 2 f ′(x) + 2(x + ) 1 = 2  f ′
 ( x) − (−x − ) 1  > 0 ⇔ f ′ 
(x) > −x −1. x = 3 −
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(x) và y = −x −1 ta có f (x) x 1  ′ = − − ⇔ x =1  . x =  3
Dễ thấy khi x → +∞ thì −x −1 > f ′(x) ⇒ g′(x) < 0 ta có bảng xét dấu g′(x) x −∞ −3 1 3 +∞ g′(x) + 0 − 0 + 0 −
Hàm số y = g (x) đồng biến trên khoảng ( ;
−∞ 3) và (1;3) . Chọn B.
Ví dụ 18: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đạo hàm
y = f ′(x) như hình vẽ. Đặt h(x) = f (x) 2 2 − x . Hàm số
y = h(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây. A. ( ; −∞ 2 − ) . B. (2;4). C. ( 2; − 2) . D. (2;+∞) . Lời giải
Ta có: h′(x) = 2 f ′(x) − 2x = 2  f ′
 ( x) − x > 0 ⇔ f ′  (x) > xx = 2 −
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(x) và y = x ta có f (x) x  ′ = ⇔ x = 2  . x =  4
Lập bảng xét dấu cho h′(x) x −∞ −2 2 4 +∞ h′(x) − 0 + 0 − 0 +
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số y = h(x) đồng biến trên khoảng ( 2; − 2) . Chọn C.
Ví dụ 19: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đạo hàm y = f ′(x) là
Parabol như hình vẽ bên. Hàm số y = f ( 2 − x ) 2 1 + 6x đồng biến
trên khoảng nào sau đây? A. ( ; −∞ − ) 1 . B. ( 2;+∞) . C. (− 2;0). D. (1; 2). Lời giải
Giả sử f ′(x) = k (x − )
1 (x − 2) , do f ′(0) = 2 ⇒ k =1⇒ f ′(x) = (x − ) 1 (x − 2) .
Khi đó: y = f ( 2 − x ) 2
+ x ⇒ y′ = − x( 2 − x − )( 2 1 6 2 1
1 1− x − 2) +12x 2 = − x x  ( 2
x − ) −  = − x  ( 2x − )( 2 2 1 6 2 3 x + 2) Bảng xét dấu x −∞ − 3 0 3 +∞ y′ + 0 − 0 + 0 −
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3) và ( ;
−∞ − 3) . Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2). Chọn D.
Ví dụ 20: Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f ′(x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ -1 1 +∞ 2 +∞ f ′(x) −∞ −2
Bất phương trình f (x) 3 2
> x − x − 3x + m đúng với mọi x ∈( 1; − ) 1 khi và chỉ khi
A. m < f (− ) 1 −1.
B. m < f (− ) 1 −1.
C. m ≤ f ( ) 1 + 3.
D. m < f ( ) 1 + 3. Lời giải
Bất phương trình f (x) 3 2
> x − x − x + m ⇔ f (x) − ( 3 2 3
x − x − 3x) > m ( x ∀ ∈( 1; − ) 1 ) .
Xét g (x) = f (x) −( 3 2
x − x − x) ⇒ g′(x) = f ′(x) −( 2 3
3x − 2x − 3) Do Parabol 2
y = 3x − 2x − 3 đi qua 2 điểm ( 1; − 2) và (1; 2 − ) nên ta thấy f ′(x) 2
≥ 3x − 2x − 3 ( x ∀ ( 1; − )
1 ) suy ra hàm số g (x) = f (x) −( 3 2
x − x − 3x) đồng biến trên khoảng ( 1; − )
1 nên g (x) > g (− ) 1 ( x ∀ ( 1; − ) 1 ) .
Suy ra m ≤ f (− )
1 −1 là giá trị cần tìm. Chọn B.
Ví dụ 21: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho hai hàm
số y = f (x) và y = g (x) . Hai hàm số y = f ′(x) và
y = g′(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây, trong đó
đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số y = g′(x) . Hàm
số h(x) f (x )  5 6 g 2x  = + − + 
đồng biến trên khoảng 2    nào dưới đây? A.  21;  +∞    . B. 1  ;1 . 5      4  C.  21 3;     . D. 17  4; . 5      4  Lời giải
Ta có: h (x) = f (x + )  5 6 − 2g 2x  ′ ′ ′ + >   0  2 
Trên đoạn [3;8], ta được min f ′(x) = f (3) =10;max g′(x) = g (8) = 5. [3;8] [3;8]
Do đó f ′(x) − 2g′(x) > 0 ⇔ f ′(x) > 2g′(x); x ∀ ∈(3;8) 3  < x + 6 < 8 Nếu  1  5     5
⇒ < x < 2 thì f ′(x + 6) > 2g′ 2x + ⇒ h′(x) >   0 trên khoảng 1  ;2 . 3 < 2x + <   8 4  2   4   2
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  1 ;2  . Chọn B. 4   
Ví dụ 22: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho hai hàm số y = f (x)
và y = g (x) . Hai hàm số y = f ′(x) và y = g′(x) có đồ thị như
hình vẽ dưới đây, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số
y = g′(x) . Hàm số h(x) f (x )  7 3 g 2x  = + − −  đồng biến trên 2    khoảng nào dưới đây? A. 13;4        . B. 29 7; . C. 36 6; . D. 36  ;+∞ 4        4   5   5  Lời giải
Ta có: h (x) = f (x + )  7 3 − 2g 2  ′ ′ ′ x − >   0  2 
Trên đoạn [3;8], ta được min f ′(x) = f (3) =10;max g′(x) = g (8) = 5. [3;8] [3;8]
Do đó f ′(x) − 2g′(x) > 0 ⇔ f ′(x) > 2g′(x); x ∀ ∈(3;8) 3  < x + 3 < 8 Nếu  13  7     7 ⇒
< x < 5 thì f ′(x + 3) > 2g′ 2x − ⇒ h′(x) >   0 trên khoảng 13  ;5 . 3 < 2x − <   8 4  2   4   2
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 13;4  . Chọn A. 4   
DẠNG 4: ỨNG DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ TRONG BÀI TOÁN
VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài toán 1: Giải phương trình h( x) = g ( x)
Biến đổi và vận dụng kết quả: Nếu hàm số f (t) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì phương trình
f (t) = 0 có tối đa một nghiệm và với mọi u,v∈ D thì f (u) = f (v) ⇔ u = v .
Bài toán 2: Giải bất phương trình h( x) < g ( x)
Biến đổi bất phương trình về dạng f (u) < f (v) và sử dụng kết quả:
Hàm số f (t) đồng biến trên D thì u,v∈ D ta có f (u) < f (v) ⇔ u < v .
Hàm số f (t) nghịch biến trên D thì u,v∈ D ta có f (u) < f (v) ⇔ u > v .
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 3 2
2x − 3x + 6x +11 − 5 − x = 2 3 . b) ( 2
2x +1+ 2 3− x ) x −7 3− x = 0 . Lời giải 3 2  − + + ≥
a) Điều kiện 2x 3x 6x 11 0  (D). x ≤ 5
Xét hàm số f (x) 3 2
= 2x − 3x + 6x +11 − 5 − x; x ∈(D). 2 Ta có: f ′(x) 3x − 3x + 3 1 = + > 0, x
∀ ∈(D) nên hàm số đồng biến trên D. 3 2
2x − 3x + 6x +11 2 5 − x
Phương trình đã cho trở thành f (x) = 2 3 = f (2) ⇒ x = 2 . Thử lại thu được nghiệm duy nhất x = 2 .
b) Điều kiện x ≤ 3. Phương trình đã cho tương đương với 3
x + x = ( − x) 3 2 7 2
3− x ⇔ 2x + x = 2(3− x) 3− x + 3− x ( ) 1
Xét hàm số f (t) 3
= t + t t ∈ ⇒ f ′(t) 2 2 ; = 6t +1 > 0, t
∀ ∈  , vậy hàm số liên tục và đồng biến. 0 ≤ x ≤ 3
Khi đó ( ) ⇔ f (x) = f ( − x) 13 −1 1 3
⇔ x = 3− x ⇔  ⇔ x = . 2
x + x − 3 = 0 2
Kết luận phương trình để bài có nghiệm duy nhất 13 1 x − = . 2
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau a) 6 8 + = 6 . 3− x 2 − x b) 3 3
5x −1 + 2x −1 + x = 4 . Lời giải a) Điều kiện x 6 8
< 2 . Xét hàm số f (x) = + − 6, x ∈( ; −∞ 2) , ta có: 3− x 2 − x ′( ) 3 3− x 4 2 − x f x = + > 0, ; x ∀ ∈ −∞ 2 . 2 2 ( )
(3− x) 6 (2− x) 8
Suy ra hàm số f (x) liên tục và đồng biến trên miền ( ;2 −∞ ) . Mặt khác 3 f   =
  0 nên phương trình f ( x) = 0 có duy nhất nghiệm 3 x = . Kết luận 3 S   =  .  2  2 2 b) Điều kiện 3 5x ≥1.  
Xét hàm số f (x) 3 3 1 = − + − + ∈ 3 5x 1 2x 1 ; ; x x  +∞ . 5    2     Ta có f ′(x) 15x 2 1 = + > ∀ ∈ 1 3 0, ; x
+∞ nên hàm số đồng biến trên 3  ;+∞ . 3 2 5x 1 3 (2  −  x − )2 3 5 1   5  
Bài toán trở thành f (x) = f ( )
1 ⇔ x =1. Kết luận tập nghiệm S = { } 1 .
Ví dụ 3: Giải phương trình a) 3 2 3 3 2
x − 6x +12x − 7 = −x + 9x −19x +11 . b) 3 2
x + 3x + 4x + 2 = (3x + 2) 3x +1 . Lời giải
a) Điều kiện x∈ .
Phương trình đã cho tương đương với 3 2
⇔ x − x + x − + (x + ) 3 2 3 3 2 3 3 1 2
1 = −x + 9x −19x +11+ 2 −x + 9x −19x +11
⇔ (x − )3 + (x − ) 3 2 3 3 2 1 2
1 = −x + 9x −19x +11+ 2 −x + 9x −19x +11 (*)
Xét hàm số f (t) 3
= t + 2t ta có f ′(t) 2
= 3t + 2 > 0, t ∀ ∈  .
Do vậy hàm số f (t) liên tục và đồng biến trên  . Khi đó
( ) ⇔ f (x − ) = f (3 3 2
−x + x − x + ) 3 3 2 * 1 9
19 11 ⇔ x −1 = −x + 9x −19x +11 3 2 3 2 3 2
⇔ x − 3x + 3x −1 = −x + 9x −19x +11 ⇔ x − 6x +11x − 6 = 0 ⇔ (x − )
1 (x − 2)(x −3) = 0 ⇒ x ∈{1;2; } 3 .
Kết luận tập hợp nghiệm S = {1;2; } 3 . b) Điều kiện 1
x ≥ − . Phương trình đã cho tương đương với 3 3 2
x + 3x + 3x +1+ x +1 = (3x +1+ )
1 3x +1 ⇔ (x + )3
1 + x +1 = (3x + ) 1 3x +1 + 3x +1
Xét hàm số f (t) 3
= t + t t ∈ ⇒ f ′(t) 2 , = 3t +1 > 0, t
∀ ∈  , hàm số liên tục và đồng biến trên  . x ≥ 1 −
Thu được f (x + )
1 = f ( 3x +1) ⇔ x +1= 3x +1 ⇔  ⇔ x ∈{0; } 1 2
x + 2x +1 = 3x +1
Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0; 1 x = . 2
Ví dụ 4: Giải phương trình x + 3x − 4 = (2x + 2)( x +3 − 2) trên tập số thực. 2x +1 + 2 Lời giải 2x +1 ≥ 0 Điều kiện 1 
⇔ x ≥ − , ta có phương trình đã cho x + 3 ≥ 0 2 (  =
x − )(x + ) (x − )( x + ) x 1 1 4 1 2 2  ⇔ = ⇔ (x + 4) (2x + 2) 2x +1 + 2 x + 3 + 2  = (*)  2x +1 + 2 x + 3 + 2
Giải phương trình (*), chúng ta có ( ) x + 3+1 2x +1+1 * ⇔ = ⇔ (x + 3+ )
1 ( x +3 + 2) = (2x +1+ )1( 2x +1+ 2) 2x +1 + 2 x + 3 + 2
⇔ ( x + )3 + ( x + )2 + x + = ( x + )3 + ( x + )2 3 2 3 3 2 1 2 2 1 + 2x +1  x + 3 ≥ 0
Xét hàm số f (t) 3 2
= t + 2t + t , với điều kiện t ≥ 0 vì  , có  2x +1 ≥ 0 f ′(t) 2
= 3t + 4t +1 > 0, 0 t
∀ ≥ do đó f (t) là hàm số đồng biến và liên tục trên [0;+∞) nên suy ra
f ( x +3) = f ( 2x +1) ⇔ x +3 = 2x +1 ⇔ x = 2 .
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x =1; 2 x = . 2
Ví dụ 5: Giải phương trình x + 6x + 8 = x x + 3 −1 x∈ 2 ( ) ( ) x − 2x + 2 Lời giải Điều kiện x ≥ 3
− . Phương trình đã cho tương đương với x = 2 −
(x + 2)(x + 4) x(x + 2)  = ⇔ (x + 4) x 2 x − 2x + 2 x + 3 +1  = 1 2 ( )
(x− )1 +1 x+3 +1 2 Đặt + + x + 3 = u; 1
x − = v ta thu được ( ) u 1 v 1 3 2 3 2 1 ⇔ =
⇔ u + u + u = v + v + v . 2 v +1 u +1
Xét hàm số f (t) 3 2
= t + t + t t ∈ ⇒ f ′(t) 2 ; 3
= t + 2t +1 > 0, t ∀ ∈  .
Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên  ≥  ≥
f (u) = f (v) x 1 x 1 3+ 17
⇔ u = v ⇔ x + 3 = x −1 ⇔  ⇔  ⇔ x = . 2 2
x + 3 = x − 2x +1
x − 3x − 2 = 0 2
Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất 3 17 x + = . 2 ( 2
 4x + )1 x +( y −3) 5− 2y =  0
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình  (x, y∈) 2 2
4x + y + 2 3− 4x = 7 Lời giải Điều kiện 3 5 x ≤ , y ≤ . 4 2
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương ( 2 4x + )
1 2x = (5 − 2y + ) 1 5 − 2y ( ) 1
Khi đó phương trình (1) có dạng: f (2x) = f ( 5− 2y ) với f (t) = ( 2t + ) 3
1 t = t + t (t ∈) Ta có: f ′(t) 2
= 3t +1 > 0 ( t
∀ ∈ ) ⇒ f (t) đồng biến trên  . x ≥ 0 Do đó ( )  2
1 ⇔ 2x = 5 − 2y ⇔  5 − 4x y =  2 2
Thế vào phương trình (2) ta được: 2  5 2 4x 2x  + − + 2 3− 4x − 7 =   0 (3)  2  Do 3
x = 0; x = không phải là nghiệm của phương trình 4 2
Xét hàm số g (x) 2  5 2 4x 2x  = + − + 2 3− 4x −     7 trên khoảng 3 0; .  2   4 
Ta có: g′(x) = x − x( 2 − x ) 4 − = x( 2 x − ) 4 8 8 5 2 4 4 3 −
< 0 ⇒ g (x) nghịch biến. 3− 4x 3− 4x Mặt khác 1 g   = 0 ⇒   (3) có nghiệm duy nhất 1 x = ⇒ y = 2 .  2  2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là  1 ;2  2   
20 6− x −17 5− y −3x 6− x +3y 5− y = 0
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau:  2
2 2x + y + 5 + 3 3x + 2y +11 = x + 6x +13 Lời giải
Điều kiện: x ≤ 6; y ≤ 5; 2x + y + 5 ≥ 0; 3x + 2y +11≥ 0 . Khi đó: PT ( )
1 ⇔ (20 −3x) 6 − x = (17 −3y) 5 − y
⇔ ( 6− x)3(6− x) + 2 = 5− y 3(5− y) + 2    
Xét hàm f (t) = t ( 2
3t + 2)(t ∈) ⇒ 6 − x = 5− y ⇔ y = x −1 Thế vào PT(2) ta có: 2
2 3x + 4 + 3 5x + 9 = x + 6x +13 . ( 2x x) 2 3 1 ⇔ + + + =   0 .
 2 3x + 4 + 2x + 4 3 5x + 9 + 3x + 9  Do  4 x ;6 ∈ − ⇒ x = 0; x = 1 −  . 3   
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (0;− ) 1 ;( 1 − ; 2 − ) .  2 x x +
= ( y + 2) (x + ) 1 ( y +  )1
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình sau: x +  1 ( 2
x − 2x − 2  ) y +1 = 4(x+ )1 Lời giảiy ≥ 1 − 2 Điều kiện: x x  . Ta có: PT ( ) 1 ⇔ + = ( y + 2) y +1 x > 1 − x +1 (x + ) 1 x +1 3 3 2 x + x + x ⇔ = ( + 2) +1  x x y y ⇔ + =   ( y+1)3 + + ( x + ) y 1 1 x +1  x +1  x +1 Xét hàm số: ( ) 3
f t = t + t (t ∈) đồng biến trên  . Ta có:  x f
 = f ( y+1)⇔ x = (x+ )1(y+   )1 thế vào PT(2) ta có:  x +1  x( 2
x − 2x − 2) = 4(x+ ) 3
1 ⇔ x − 2x(x + ) 1 − 4(x + ) 1 x +1 = 0 x +1
Đặt z = x +1 ta có: 3 2 3
x + 2xz − 4z = 0 ⇔ x = 2z x ≥ 0
⇔ x = 2 x +1 ⇔ 
⇔ x = 2 ± 2 2 ⇒ y = 3 . 2 x = 4x + 4
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (2± 2 2;3). 2 2
2x + 2x +1+ x + 2 = 2y + 3y + 2y +1
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau:  2 2
x + 2y − 2x + y = 2 Lời giải Điều kiện: 1 x ≥ 2;
− y ≥ − . Khi đó ta có: ( ) 1 − (2) ta có: 2 2
x + 4x + 3+ x + 2 = 4y + 4y + 2y +1 2
⇔ (x + )2 + x + = ( y + )2 2 2 2
1 + 2y +1 . Xét hàm số ( ) 2
f t = t + t đồng biến trên (0;+∞).
Khi đó ta có: f (x + 2) = f ( 2y +1) ⇔ x +1= 2y thế vào PT(2) ta có:  y =1; 1 x = (2y )2 2 1 2y 2(2y ) 2 1 y 2 6y 7y 1 0  − + − − + = ⇔ − + = ⇔ 1 2 .
y = ; x = −  6 3
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( )  2 1 1;1 ; ;  −  . 3 6   
Ví dụ 10: [Đề thi tham khảo của Bộ GD&ĐT năm 2018] Có bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số m để phương trình 3 3
m + 3 m + 3sin x = sin x có nghiệm thực? A. 5. B. 7. C. 3. D. 2. Lời giải 3 3
 m + 3a = b
m + 3a = b
Đặt 3 m + 3sin x = a; sin x = b ta có:  ⇔  3 3
 m + 3b = a
m + 3b = a ⇒ (a − b) 3 3
= b − a = (b − a)( 2 2
b + ba + a ) ⇔ (b − a)( 2 2 3
b + ba + a + 3) = 0 Do 2 2 3 3 3
b + ab + a + 3 > 0 ⇒ a = b ⇒ m + 3sin x = sin x ⇔ m = sin x − 3sin x = b − 3b = f (b) . Xét f (b) 3
= b − 3b(b∈[ 1; − ]
1 ) ta có: f ′(b) 2
= 3b − 3 ≤ 0(∀b∈[ 1; − ] 1 ) .
Do đó hàm số f (b) nghịch biến trên [ 1; − ] 1 .
Vậy f (b)∈  f  ( ) 1 ; f (− ) 1  =  [ 2;
− 2] . Do đó PT đã cho có nghiệm ⇔ m∈[ 2; − 2] .
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn A.
Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số m để phương trình m + 2 m + 2sin x = sin x có nghiệm thực? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải
Điều kiện: sin x ≥ 0 2 u  =  sin x
 m + 2v = u
m + 2v = u Đặt 
(u,v ≥ 0) ⇒  ⇔  ⇒ 2(v − u) 2 2 = u − v 2
v = 2 m + 2sin x
 m + 2u = v
m + 2u = v
⇔ 2(v − u) = (u − v)(u + v) ⇔ (u − v)(u + v + 2) = 0 (*) Do u, v ≥ 0 nên ( ) 2
* ⇔ u = v ⇒ m = u − 2u với u = sin x (u ∈[0 ] ;1 ) . Xét f (u) 2
= u − 2u (u ∈[ 0; ]
1 ) ta có f ′(u) = 2u − 2 ≤ 0.
Suy ra hàm số f (u) nghịch biến trên đoạn [0; ] 1 .
Mặt khác f (0) = 0; f ( ) 1 = 1
− ⇒ Phương trình có nghiệm khi m∈[ 1; − 0]. m = 0
Kết hợp m∈ ⇒  . Chọn C. m = 1 −
Ví dụ 12: Cho phương trình x x + x +12 = m( 5− x + 4− x)( )1 (m là tham số thực). Gọi A = {m∈ ( ) 1 coù nghieä }
m . Số phần tử của tập hợp A là? A. 12. B. 4. C. 21. D. 0. Lời giải Điều kiện 0 + + ≤ x ≤ 4. Khi đó x x x 12 PT ⇔ m =
5 − x + 4 − x
Xét hàm số f (x) = g (x).h(x) trong đó g (x) = x x + x + h(x) 1 12; =
5 − x + 4 − x
Ta có: g (x) > 0;h(x) > 0( x ∀ ∈[0;4]) 1 1 + Mặt khác ′( ) 3 1 = + > ′( ) 2 5− x 2 4 0; − x g x x h x = > 2 2 x +12
( 5−x + 4−x) 0 2
Do đó 2 hàm số g (x) và h(x) luôn dương và đồng biến do đó hàm số f (x) = g (x).h(x) cũng luôn
dương và đồng biến trên [0;4] , f ( ) 2 3 0 = ; f (4) =12 ⇒ ( )
1 có nghiệm khi và chỉ khi 2 + 5  2 3  m∈ 
;12 . Do đó A = {m∈ ( ) 1 coù nghieä }
m có 12 phần tử. Chọn A. 2 +  5 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Hàm số 4
y = 2x +1 nghịch biến trên khoảng nào? A.  1 ; −   − −∞   . B. (0; +∞) C. 1;+∞  . D. (-∞; 0).  2   2  Câu 2: Cho hàm số 3 2
y = x − 2x + x +1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1 ;1    .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1  ;1.  3   3 
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1 ;  −∞  .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞).  3  Câu 3: Cho hàm số x − 2 y =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x +1
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +∞).
Câu 4: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)? A. 3 −
y = 3x + 3x − 2 B. 3
y = 2x − 5x +1. C. 4 2
y = x + 3x . D. x 2 y = . x +1 Câu 5: Cho hàm số 3
y = x + 3x + 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞). Câu 6: Hàm số 2 y =
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 2 x +1 A. (0; +∞). B. (-1; 1). C. (-∞; +∞). D. (-∞; 0).
Câu 7: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)? A. x +1 y − = . B. 3
y = x + x . C. x 1 y = . D. 3
y = −x − 3x . x + 3 x − 2 Câu 8: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0).
Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f’(x) 2 = x + ,1 x
∀ ∈  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞). Câu 10: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -2).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).
Câu 11: Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x -∞ -2 0 2 +∞ y' + 0 - - 0 +
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2; 0).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 2). Câu 12: Cho hàm số 2
y = 2x +1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
Câu 13: Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (-∞; 2). B. (2; +∞). C. (0; 2). D. (-∞; 0).
Câu 14: Tìm khoảng đồng biến của hàm số 1 3 2
y = x − 2x + 24. 3 A. (-∞; 0).
B. (0; 4) và (-∞; 0). C. (2; +∞).
D. (-∞; 0) và (4; +∞). Câu 15: Hàm số 1 4 2
y = x −8x + 2 đồng biến trên các khoảng 4
A. (-∞; -4) và (-4; 0). B. (-4; 0) và (0; 4).
C. (-4; 0) và (4; +∞).
D. (-∞; -2) và (-2; 0). Câu 16: Hàm số 2
y = x − x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  1 ;1    . B. 1 0; . C. ( ;0 −∞ ). D. (1;+∞).  2   2  2 Câu 17: Hàm số x − 2x y =
đồng biến trên khoảng x −1
A. (-∞; 1) ∪ (1; +∞).
B. (-∞; 1) và (1; +∞). C. R\{1}. D. (-∞; +∞). 2 Câu 18: Hàm số −x + x −1 y =
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? x −1 A. (0; 1). B. (0; 1) ∪ (1; 2). C. (-∞; 1).
D. (-∞; 1), (2; +∞). 2 Câu 19: Hàm số x − 4x + 4 y =
đồng biến trên khoảng nào sau đây? 1− x A. (0; 1) và (1; 2).
B. (-∞; 0) và (2; +∞).
C. (-∞; 0) và (1; 2) D. (0; 1) ∪ (1; 2). 2 Câu 20: Hàm số x + x − 3 y =
đồng biến trên các khoảng (các khoảng) nào sau đây? x +1 A. (-2; 1). B. (-∞; +∞).
C. (-∞; -1) và (-1; +∞). D. (-∞; +∞)\{-1}. 2
Câu 21: Trên các khoảng nghịch biến của hàm số x − 3x −1 y =
có chứa bao nhiêu số nguyên âm? 2 + x A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. Câu 22: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) và (6; +∞).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 6).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
Câu 23: Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?
A. y = x3 – 2x – 2.
B. y = x2019 + x2021 – 2. C. y = -x3 + x + 3.
D. y = x2018 + x2020 – 2.
Câu 24: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó. A. x +1 y = . B. 4 y = x + 3. C. 3 y = x + . x D. 1 y = . x + 3 2 x +1
Câu 25: Biết hàm số y = x + 3 + 3− x nghịch biến trên tập K. Hỏi trên tập K có thể chứa bao nhiêu số nguyên. A. 2. B. 5. C. 3. D. 4.
Câu 26: Trong các hàm số sau, hàm số nào có khoảng đơn điệu khác so với các hàm số còn lại? A. x +1 y + − + = . B. 3x 1 y = . C. x 5 y = . D. 2x 5 y = . x + 2 2 + x x + 2 2 + x
Câu 27: Cho các hàm số sau: 201x − 211 2x − 3 2x − 3 (1).y = ; (2).y = ; (3).y = ; x + 2 x −1222 x −1 2 x − 2x + 2 (4).y = ;
(5).y = ( 1119 − 1117) 2x + 2023 .x 2019x −1
Trong các hàm số nói trên có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định của nó? A.1. B. 2. C. 0. D. 3.
Câu 28: Cho các hàm số sau: 2 (1).y = x + 2;
(3).y = x 2x + 2;
(5).y = x x − 2; 3
(2).y = 2016x +1; (4).y = x + ; x (6).y = x + 3 .x
Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số luôn đồng biến trên  ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 29: Cho các hàm số sau: 2017 (1).y = 3x + 2; (3).y = x + 2018 ; x
(5).y = −x + 2020;
(2).y = sin x + 2 ; x
(4).y = x − 2010;
(6).y = ( 2 − 3) 3x − .x
Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của chúng? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 30: Cho các hàm số sau: 2 2x −1 2x −1 (1).y = ; (2).y = ; x + 2 x + 2 1 3 2 4 2
(3).y = x −10x ;
(4).y = 2999x +10x . 3
Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm có khoảng đơn điệu chứa hữu hạn số nguyên? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 31: Cho các hàm số sau: x − 2 x + 2 3 2 (1).y = ; (2).y = ;
(3).y = x + 3x ; x −1 x + 5 3 2 3 4 2
(2).y = x − 3x − 2;
(5).y = −x − 2 ; x
(6).y = 1999x + 2019x .
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định của nó trong các hàm số trên? A. 0. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 32: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ 2 0 2 +∞ y' + 0 - 0 + 0 - Y 3 3 -∞ -1 -∞
Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (-2; 0). B. (-∞; -2). C. (0; 2). D. (0; +∞).
Câu 33: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: X -∞ -1 0 1 +∞ y' - 0 + 0 - 0 + Y +∞ 3 +∞ -2 -2
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (0; 1). B. (-∞; 0). C. (1; +∞). D. (-1; 0).
Câu 34: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: X -∞ -1 1 +∞ y' + 0 - 0 + y 3 +∞ -∞ -2
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (-1; +∞). B. (1; +∞). C. (-1; 1). D. (-∞; 1).
Câu 35: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ -1 0 1 +∞ y' + 0 - 0 + 0 - y -1 -1 -∞ -2 -∞
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (-1; 0). B. (1; +∞). C. (-∞; 1). D. (0; 1).
Câu 36: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ -2 3 +∞ y' - 0 + 0 - 0 y +∞ 4 1 -∞
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (-2; +∞). B. (-2; 3). C. (3; +∞). D. (-∞; -2).
Câu 37: Hàm số y = f (x) xác định trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ sau: x -∞ 0 4 +∞ 3 y' + 0 - 0 + y 1 +∞ -∞ 5 − 27
Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (-∞; 1). B.  5 ;1 −      . C. 4 0; . D. 4 ;+∞  .  27   3   3 
Câu 38: Hàm số y = f (x) liên tục trên  \{1; }
0 và có bảng biến thiên như sau: x -∞ -1 0 4 +∞ y' + - - 0 + y +∞ +∞ +∞ +∞ -∞ -∞ 0
Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây?
A. (-∞; -1) ∪ (0; +∞).
B. (-∞; -1) , (4; +∞). C. (-∞; +∞).
D. (-∞; +∞)\{-1;0}.
Câu 39: Hàm số y = f (x) xác định trên  \{ }
1 và có bảng biến thiên như sau: x -∞ 1 +∞ y' + + y +∞ 2 2 -∞
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1) ∪ (1; +∞).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
D. Hàm số đồng biến trên  \{ } 1 .
Câu 40: Hàm số y = f (x) xác định trên  \{ } 2
− và có bảng biến thiên như sau: x -∞ -2 +∞ y' - - y -2 +∞ -∞ -2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2), (-2; +∞).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)\{2}.
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -2), (-2; +∞).
D. Hàm số nghịch biến trên  .
Câu 41: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau: x -∞ -2 2 +∞ y' + 0 - 0 + y 4 2 1 -4
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 4), (-4; 2).
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2), (2; +∞).
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-4; 4).
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (1; 4), (-4; 2).
Câu 42: Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau: x -∞ -1 0 3 +∞ y’ - 0 + + 0 - y 1 2 5 -1 2 4
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-2; 1), (1; 3).
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 2), (2; 5).
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1; 1), (4; 5).
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1), (3; +∞).
Câu 43: Hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [2; 4] và có bảng biến thiên sau: x 2 3 4 y' + 0 - y 2 2 2
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; 3). B. (2; 4). C. (3; 4). D. (2; 3).
Câu 44: Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ -1 0 1 +∞ y' - 0 + 0 - 0 + y +∞ 2 +∞ 1 1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. f (x) ≥1, x ∀ ∈ . R B.  1 f  <   f (0).
C. f (1) > f (0). D. f ( 1 − ) < f ( 2 − ).  2 
Câu 45: Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ -2 0 2 +∞ y' - 0 + 0 - 0 + y +∞ 3 +∞ 0 0
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên (-∞; -2) và (0; 2).
B. Hàm số đồng biến trên (-2; 0) và (2; +∞).
C. f (x) ≥ 0,∀x∈ . 
D. Hàm số đồng biến trên (0; 3) và (0; +∞).
Câu 46: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ -1 3 +∞ y' + 0 - 0 + y 4 +∞ -∞ -2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. f (x) ≥ 2, − ∀x ∈ .  B. f ( 2 − ) < f ( 1) − .
C. f (3) < f (4). D. 1 f   − >  2. −   2 
Câu 47: Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ -3 0 3 +∞ y' - 0 + 0 - 0 + y +∞ 2 +∞ -3 -3
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên (-∞; -3) và (0; 3).
B. f (x) ≥ 3, − ∀x ∈ . 
C. Hàm số đồng biến trên (-3; +∞).
D. f (2) − 2 < 0.
Câu 48: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ 1 3 +∞ y' + 0 - 0 + y 4 +∞ 3 -∞ 0
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A.f  ( ) 2 16 2  < .  B. f ( 3 − ) < f ( 2 − ).
C. f (4) > 0.
D. f (2) < f (3). 9
Câu 49: Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ 0 2 +∞ y’ - + 0 - y +∞ 3 -1 -1 -∞
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0).
B. f (x) > 1, − ∀x ∈ . 
C. Hàm số đồng biến trên (-1; 3).
D. f (1) − f (2) > 0.
Câu 50: Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau: x -∞ -3 -2 -1 +∞ y’ + 0 - - 0 + y -6 +∞ +∞ -∞ -∞ -2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên (-3; -1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -6) và (-2; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -3) và (-1; +∞).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3; -1)\{-2}.
Câu 51: Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ -5 -3 -1 +∞ y’ + 0 - - 0 + y -9 +∞ +∞ -∞ -∞ -1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. f (x) ≤ 9, − ∀x ∈ \{− } 3 .
B. f (0) > f (1). C. f ( 2 − ) < f ( 1 − ). D. f ( 4 − ) < f ( 5) − .
Câu 52: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ 0 2 +∞ y' + 0 - 0 + y 2 +∞ -∞ -2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Với mọi số thực a, b ∈ (0;2) mà a < b ⇒ f(a) > f(b).
B. Với mọi số thực a, b ∈ (0;2) mà a < b ⇒ f(a) < f(b).
C. Với mọi số thực a, b ∈ (2; +∞) mà a > b ⇒ f(a) < f(b).
D. Với mọi số thực a, b ∈ (-∞; 0) mà a < b ⇒ f(a) > f(b).
Câu 53: Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ -2 -1 0 +∞ y’ + 0 - - 0 + y -2 +∞ +∞ -∞ -∞ -2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Với mọi số thực a, b ∈ (-2; 2)\{-1} mà a < b ⇒ f(a) > f(b).
B. Với mọi số thực a, b ∈ (1; 2) mà a < b ⇒ f(a) < f(b).
C. Với mọi số thực a, b ∈ (-∞; 2) ∪ (0; +∞) mà a < b ⇒ f(a) < f(b).
D. Với mọi số thực a, b ∈ (-2; -1) mà a < b ⇒ f(a) < f(b).
Câu 54: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ 0 2 +∞ y' + 0 - 0 + y 1 +∞ -∞ -1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Với mọi số thực x∈( ) ⇒  f  ( x) 2 1;2  <1. 
B. Với mọi số thực x∈(2;3) ⇒ f (x) > 1 − .
C. Với mọi số thực x∈( ) ⇒  f  ( x) 2 2;3  >1. 
D. Với mọi số thực x∈( 3 − ; 2
− ) ⇒ f (x) >1.
Câu 55: Cho hàm số y = f (x) xác định trên  có bảng biến thiên như hình vẽ sau: x -∞ 0 4 +∞ 3 y' + 0 - 0 + y 1 +∞ -∞ 5 − 27
Hỏi hàm số g(x) = f (x −1) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  4 0;         B. 7 1; C. 7  ;+∞ D. 4  ;+∞ 3        3   3   3 
Câu 56: Cho hàm số y = f (x) xác định trên  \{ }
0 và có bảng biến thiên như sau: x -∞ 0 2 +∞ y' + 0 - 0 + y 1 +∞ -∞ -1 Hỏi hàm số 2
g(x) = f (x ) +1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (2; +∞). B. (-2; 1). C. (1; 2). D. (-∞; 0).
Câu 57: Hàm số y = f (x) liên tục trên  \{ 1; − }
0 và có bảng biến thiên như sau: x -∞ -1 0 1 +∞ y' - 0 + 0 - 0 + y +∞ 0 +∞ -2 -2
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số 2
g(x) = f (x +1) − 2 ? A. (0; +∞). B. (-∞; +∞). C. (-∞; -1). D. (-∞; 0).
Câu 58: Hàm số y = f (x) liên tục trên  \{ 1; − }
0 và có bảng biến thiên như sau: x -∞ -1 3 +∞ y' - 0 + 0 - y +∞ 4 -1 -∞
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số g(x) = f ( x +1)? A. (2; +∞). B. (-1; +∞). C. (-∞; 1). D. (-∞; -4).
Câu 59: Hàm số bậc ba y = f (x) xác định trên  và đồ thị như vẽ. Hỏi hàm số
đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây? A. (-1; 1) B. (-2; +∞)
C. (-∞; 3), (-1; +∞)
D. (-∞; -1), (1; +∞)
Câu 60: Hàm số bậc ba y = f (x) xác định trên  và đồ thị như vẽ. Hỏi hàm số
đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây?
A. (-∞; -1) ∪ (2; +∞)
B. (-∞; -1), (2; +∞) C. (-1; 0) ∪ (0; 2)
D. (-∞; -4), (2; +∞)
Câu 61: Hàm số bậc bốn y = f (x) xác định trên  và đồ thị như vẽ. Hỏi hàm
số đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây? A. (-1; 2), (1; +∞) B. (-∞; -1) C. (-1; 0), (1; +∞) D. (2; +∞)
Câu 62: Hàm số bậc ba y = f (x) xác định trên  và đồ thị như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên (-3; 1)
B. Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1), (1; +∞)
C. Hàm số nghịch biến trên (-1; 1)
D. Hàm số đồng biến trên (-3; 1)
Câu 63: Hàm số bậc ba y = f (x) xác định trên  và đồ thị như vẽ.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên (-∞; 1)
B. Hàm số nghịch biến trên (1; +∞)
C. Hàm số nghịch biến trên (1; 3)
D. Hàm số đồng biến trên (1; 5)
Câu 64: Hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số g(x) = f (x +1) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 2) B. (2; 4) C. (-∞; 0) D. (2; +∞)
Câu 65: Hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số g(x) = f (−x) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ; −∞ − 2) B. (− 2;+∞) C. (0;+∞) D. ( ;0 −∞ )
Câu 66: Hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số g(x) = f (3− x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (-1;2)
B. (-∞; 1), (4; +∞) C. (1; 4) D. (-6; -3)
Câu 67: Cho hàm số bậc hai y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Hàm số 2
g(x) = f (x − 5) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (-2; 0) B. (0; 2) C. (-∞; -2) D. (-1; +∞)
Câu 68: Hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Hàm số 2
g(x) = f (x + 2x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( 1; − 1 − + 2). B. ( 1 − − 2; 1 − + 2) C. ( 1 − − 2;+∞) D. ( 1 − − 2; 1 − + 2)
Câu 69: Hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai khi nói về tính đơn điệu của hàm số 2
y = g(x) = f ( 2 − x + 2) ?
A. Hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng (2; 5).
B. Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng (2; +∞).
C. Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng (-1; 0).
D. Hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng (-∞; -2).
Câu 70: Hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Hàm số 2
g(x) = f (x − 4x + 6) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (0; 1) B. (1; 3) C. (3; +∞) D. (2; 3)
Câu 71: Hàm số y = f’(x)có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (-1; 0).
B. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (1; +∞).
C. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞; 0).
D. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Câu 72: Hàm số y = f’(x)có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (-1; +∞) B. (-1; 1) C. (-∞; -1), (1; 2) D. (0; 1)
Câu 73: Hàm số y = f’(x)có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-∞; 4), (1; +∞)
B. (-∞; -1), (1; +∞) C. (-2; 4), (1; +∞) D. (-2; +∞)
Câu 74: Hàm số y = f’(x)có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (-1; 2), (1; +∞) B. (-∞; +∞) C. (-1; 2), (1; +∞) D. (2; +∞)
Câu 75: Hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (0; 2) B. (-∞; 3) C. (-∞; 0) D. (-4; 0), (2; 3)
Câu 76: Hàm số bậc hai y = f’(x)có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = f (x) ?
A. (-∞; 1) ∪ (3; +∞)
B. (-∞; 1), (3; +∞) C. (1; 3) D. (-∞; 2)
Câu 77: Hàm số bậc ba y = f’(x)có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Tìm khoảng đồng biến của hàm số g(x) = f (x + 2) ? A. (-∞; 0)
B. (-∞; -1), (1; +∞) C. (-∞; -4) D. (-∞; -2)
Câu 78: Hàm số bậc ba y = f’(x)có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Tìm khoảng đồng biến của hàm số g(x) = f (x −1) ? A. (3; +∞) B. (0; 3)
C. (-∞; 0), (3; +∞) D. (2; +∞)
Câu 79: Hàm số bậc ba y = f’(x)liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên
cạnh. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = f (2 − x) ? A. (1; +∞) B. (-∞; -1) C. (-1; 1) D. (-∞; 1)
Câu 80: Cho hàm số bậc ba y = f’(x)liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ
bên cạnh và hàm số (C) 2 : y = f ( 3 − + x ).
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-∞; 0), (2; +∞)
B. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (0; 1)
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (1; 2)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-2; -1)
Câu 81: Cho hàm số y = f’(x)liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên
cạnh và hàm số (C) 2
: y = f (x +1).
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-1,0)
B. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-∞; -1).
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (2; +∞)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (0:1)
Câu 82: Hàm số bậc ba y = f’(x)liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Tìm khoảng nghịch biến
của hàm số y = f ( 2 4 − x ) ? A. (-∞; -1), (0; 1)
B. (-∞; 0), (2; +∞) C. (-∞; -2), (1; 2) D. (-1; 0), (1; +∞)
Câu 83: Hàm số y = f’(x)liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Hàm số 2
y = f (x − 2x + 3) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (-∞; 0) B. (2; +∞) C. (1; 2) D. (-∞; 2)
Câu 84: Hàm số y = f’(x)có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Có bao nhiêu số nguyên dương thuộc khoảng đồng biến của hàm số
y = f (2 − x) ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Câu 85: Hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số = ( 2 y f x ) ? A. (-∞; 1) B. (-∞; 0) C. (-∞; -1) D. (0; 1)
Câu 86: Hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Có bao nhiêu số nguyên dương thuộc khoảng nghịch biến của hàm số y = f ( 2 x − 9)? A. 4 B. 1 C. 0 D. 3
Câu 87: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 2 f x = x ( 2 '( ) x − )
1 .∀x ∈ . Hỏi hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (-1; 0) B. (1; +∞) C. (-1; 0) D. (0; 1)
Câu 88: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 2019 f x = x ( 2020 '( ) x − )
1 .∀x∈ . Hỏi hàm số y = f (x) nghịch
biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 1) B. (-∞; 0) C. (-1; 1) D. (1; +∞)
Câu 89: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f x = (x − )( 2 '( )
2 x − 4).∀x∈ . Hỏi hàm số g(x) = f (x) + 2019
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (-2; +∞). B. (2; +∞). C. (-∞; -2). D. (1; +∞).
Câu 90: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f x = ( − x)( 2 '( ) 3 x − )
1 .∀x∈ . Hỏi hàm số 2
g(x) = f (x) − x −1
đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (-∞; 1). B. (3; +∞). C. (-1; 0). D. (1; 2).
Câu 91: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f x = (x + )( 2 − x ) 2 '( ) 3 9
− 3x ,∀x ∈  . Đặt 3
g(x) = f (x) + x −1
khẳng định nào sau đây đúng?
A. g(0) < g(1).
B. g(3) < g(4). C. g( 2 − ) < g( 3 − ). D. g( 3) − < g(3).
Câu 92: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 2
f '(x) = x − 4x + 2019,∀x ∈ . Đặt g(x) = f (x) − 2019x khẳng
định nào sau đây đúng?
A. g(0) < g(1).
B. g(3) > g(4).
C. g(4) > g(5). D. g( 3) − > g(0).
Câu 93: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 3
f '(x) = −x +12x + 2,∀x ∈ . Tìm tất cả các tham số thực m để
hàm số g(x) = f (x) − mx +1 đồng biến trên khoảng (1; 4). A. m ≤ -14. B. m < -14. C. m < -10. D. m ≤ -10.
Câu 94: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 4 f '(x) =
,∀x∈ . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 2 x +1
g(x) = f (x) − (m − 2) x + 2 nghịch biến trên khoảng (-1; 2)? A. m ≥ 4 + 2 B. m ≥ 2 C. m ≥ 0 D. m ≥ − 2
Câu 95: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 4 f '(x) =
,∀x∈ . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng 2 x +1
(-20; 20) để hàm số g(x) = f (x) − mx + 3 nghịch biến trên  . A. 16. B. 19. C. 17. D. 18.
Câu 96: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 2
f '(x) = cos x + 2sin x + 2,∀x ∈ . Có bao nhiêu số nguyên m
thuộc khoảng (-20; 20) để hàm số 2
g(x) = f (x) − m x + 3 nghịch biến trên R. A. 33. B. 34. C. 35. D. 36.
Câu 97: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 1
f '(x) = x + ,∀x ∈ \{ }
0 . Có bao nhiêu số nguyên dương m để x
hàm số g(x) = f (x) − (m − )
1 x + 2019 đồng biến trên khoảng (2; +∞). A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 98: Cho hàm số x +
y = f (x) có đạo hàm 3 f '(x) =
,∀x∈ . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc 2 x +1
khoảng (-20; 20) để hàm số g(x) = f (x) + 2mx +1 nghịch biến trên R? A. 18. B. 19. C. 16. D. 17.
Câu 99: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 2
f '(x) = x + 2x,∀x ∈ . Hỏi hàm số g(x) = f (x −1) −3x +1
đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (-∞; 1). B. (2; 4). C. (1; +∞). D. (-1; 0).
Câu 100: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 2
f '(x) = x (x + )
1 ,∀x∈ . Hỏi hàm số 2
g(x) = f (x ) + 2 nghịch
biến trên khoảng nào dưới đây? A. (-1; 1). B. (-2; 0). C. (2; 3). D. (3; +∞).
Câu 101: Cho hàm số f (x) có đạo hàm 2
f '(x) = x +1,∀x ∈ . Hỏi hàm số g(x) = f (x +1) − 2 x+ 3 nghịch
biến trên khoảng nào dưới đây? A. (-3; -2). B. (-2; -1). C. (-1; 2). D. (2; +∞). 2
Câu 102: Cho hàm số x +
y = f (x) có đạo hàm 3 f '(x) = ,∀x∈ \{ }
1 . Có bao nhiêu số nguyên dương m x −1
để hàm số g(x) = f (x) − (m −3) x + 3 đồng biến trên khoảng [2; 4]? A. 9 B. 8 C. 10 D. 11
Câu 103: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 2 2
f '(x) = x + ,∀x ∈ \{ }
0 . Tìm các giá trị của m để hàm số x
g(x) = f (x) − mx + 3 đồng biến trên khoảng (0; +∞)? A. m ≤ 3. B. m ≤ 1. C. m ≥ -3. D. -2 ≤ m ≤ 10.
Câu 104: Cho hàm số mx − 2m − 3 y =
, m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để x − m
hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S. A. 5 B. 4 C. Vô số D. 3
Câu 105: Cho hàm số mx + 4m y =
, m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm x + m
số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S. A. 5 B. 4 C. Vô số D. 3
Câu 106: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x + 2 y =
đồng biến trên khoảng (-∞; -10) x + 5m A. 2 B. Vô số C. 1 D. 3
Câu 107: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x + 6 y =
nghịch biến trên khoảng x + 5m (10; +∞) A. 3 B. Vô số C. 4 D. 5
Câu 108: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x +1 y =
nghịch biến trên khoảng (6; +∞) x + 3m A. 3 B. Vô số C. 0 D. 6
Câu 109: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x +1 y =
đồng biến trên khoảng (-∞; -6) x + 3m A. 2 B. 6 C. Vô số D. 1
Câu 110: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số mx +1 y =
đồng biến trên từng khoảng xác định x + m của nó.
A. m < -2 ∨ m > 2.
B. m < -1 ∨ m > 1. C. -2 < m < 2. D. -2 < m < 1.
Câu 111: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số mx + 3x + 4 y =
đồng biến trên từng khoảng xác x + m định của nó.
A. m < -4 ∨ m > 1.
B. m < -1 ∨ m > 1. C. -3 < m < 2. D. -4 < m < 6. 2
Câu 112: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số m x − m − 20 y =
đồng biến trên khoảng xác định của nó? x −1 A. 5 B. 8 C. 10 D. 6
Câu 113: Trong khoảng (-100;100) chứa bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số 2 m x − 3m +1 y =
nghịch biến trên khoảng xác định của nó? x − 2 A. 197 B. 186 C. 187 D. 198
Câu 114: Biết rằng khoảng (a; b) chứa tất cả các giá trị m thỏa mãn điều kiện hàm số mx + 3 y = nghịch x + m
biến trên khoảng (-∞; -2). Tính giá trị b – a
A. b − a = 2.
B. b − a = 2 2.
C. b − a = 2 3.
D. b − a = 2 − 3.
Câu 115: Đặt S = {m ∈ Z: -100 < m < 100}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác xuất để số m được
chọn thỏa mãn điều kiện hàm số mx + 3m − 2 y =
đồng biến trên khoảng (2; +∞). x + m A. 100 B. 101 C. 102 D. 103 199 199 199 199
Câu 116: Tìm tất cả các tham số m để hàm số 2x − 3m − 2 y =
nghịch biến trên khoảng (1; 2). x − m A. m < 0 B. m > -5 C. m < -4 D. m < -2 4
Câu 117: Biết rằng tập [a; b) chứa tất cả các tham số m thỏa mãn điều kiện hàm số x + m y = đồng biến x + m trên khoảng  1 ;  − +∞  . Tính giá trị b – a 2    A. 1 b − a = . B. 3 b − a = . C. 2 b − a = . D. 1 b − a = . 2 2 3 3 3
Câu 118: Đặt S là tập hợp tất cả các số nguyên âm m thỏa thỏa mãn điều kiện hàm số m x +16 y = đồng x + m
biến trên khoảng (5; +∞). Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là số lẻ A. 1 B. 1 C. 2 D. 1 3 2 3 4 2
Câu 119: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số 2x − m y = đồng biến trên từng 8 − x
khoảng xác định của nó A. 2 B. -2 C. 0 D. -1
Câu 120: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số mx − 5 y = nghịch biến trên 2 − x + m khoảng (-∞; -1) A. 3 B. -2 C. 1 D. 0 2
Câu 121: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số m x + 5 y =
nghịch biến trên khoảng 2mx +1 (3; +∞) A. 55 B. 35 C. 40 D. 45
Câu 122: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số 2x − m + 3 y = nghịch biến trên nửa x − m khoảng [7; +∞) A. 22 B. 18 C. 10 D. 11
Câu 123: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số x + 2m − 3 y = đồng biến trên x − 3m + 2 khoảng (-∞; -14) A. -5 B. -6 C. -9 D. -10 2
Câu 124: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số 2mx + 3m + 9 y =
nghịch biến trên từng khoảng xác định x + 2m của nó A. 1 B. 4 C. 5 D. 2 2
Câu 125: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số 2mx + 3m + 9 y =
nghịch biến trên từng khoảng xác x + 2m định của nó A. 2 B. 4 C. 1 D. 3
Câu 126: Tìm tất cả các tham số m để hàm số x +1 y =
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. x + m A. m < 1 B. m > 1 C. m < -2 D. m ≥ 1
Câu 127: Biết rằng khoảng (a; b) chứa tất cả các giá trị m thỏa mãn điều kiện hàm số mx − 2 y = nghịch x + m − 3
biến trên từng khoảng xác định của nó. Tính giá trị biểu thức P = a – b A. P = -1 B. P = -2 C. P = 1 D. P = -3
Câu 128: Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số mx − 9 y =
đồng biến trên từng khoảng xác x − m định của nó A. 5 B. Vô số C. 4 D. 3
Câu 129: Cho hàm số 4
y = x + ( m − ) 2 4 2
1 x + 4m +1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[-20; 20] để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; +∞). A. 17 B. 19 C. 21 D. 20
Câu 130: Cho hàm số 4
y = −x + (m − ) 2
1 x + 2m +1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[-20; 20] để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; 2). A. 4 B. 29 C. 24 D. 30
Câu 131: Cho hàm số 4
y = x − (m − ) 2 2
1 x + m − 2 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m thuộc [-10; 10] để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; 3)? A. 5 B. 7 C. 15 D. 13
Câu 132: Cho hàm số 4 y = x − ( 2 m − ) 2 2
4 x +1 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số m thuộc [-10; 10] để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2; 6)? A. 10 B. 2 C. 8 D. 14
Câu 133: Tổng các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn hàm số 3
y = x − (m + ) 2 x + ( 2 3 1
3 m + 2m − 3) x
nghịch biến trên khoảng (1; 2) là: A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 134: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số 3 2
y = x − mx + ( 2 3 3 m − ) 1 x −1 đồng
biến trên khoảng (3; +∞) A. 4 B. 2 C. 5 D. 3
Câu 135: Cho hàm số 4
y = −x + (m − ) 2 2 2
2 x − m +1 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -5). A. 16 B. 27 C. 2 D. Vô số
Câu 136: Cho hàm số y = ( 2 m − m) 4 x + ( 2 m − m ) 2 2 4
x − 4. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)? A. 0. B. Vô số. C. 2. D. 3.
Câu 137: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4 y = x − ( 2 m − ) 2 2
1 x + m − 3 đồng biến trên khoảng (4; 6)? A. 9 B. 10 C. 7 D. 8
Câu 138: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (-6; 6) của tham số m để hàm số 4 y = x − ( 2 m + ) 2 2
1 x + 4m − 3 đồng biến trên khoảng (2; 5)? A. 1 B. 0 C. 3 D. 2
Câu 139: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4
y = −x + ( m − ) 2 2 4
1 x + 3m +1 đồng biến trên khoảng (1; 4). A. 17 m > B. 1 17 < m < C. 17 m ≥ D. 1 17 ≤ m ≤ 4 2 4 4 2 4
Câu 140: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4
y = −x − (m − ) 2 2
1 x + 4m − 3 nghịch biến trên khoảng (1; 5). A. m ≥ 4 B. m ≥ 0 C. 0 < m < 4 D. 0 ≤ m ≤ 4
Câu 141: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số 2m +1− cos x y = cos x − m
đồng biến trên khoảng  π 0;   2    A. 11 B. 10 C. 12 D. 13
Câu 142: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-20; 20] để hàm số 2m + 2 + cot x y = 2cot x − m +1
đồng biến trên khoảng  π 0;   . 4    A. 19 B. 18 C. 5 D. 6
Câu 143: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số sin x − m + 2 y = nghịch biến trên
2sin x − m −1 khoảng  π 0;   . 6    A. 3 B. 6 C. 5 D. 4 2
Câu 144: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số tan x − m y = nghịch biến trên tan x + 5m − 6 khoảng  π 0;   . 4    A. 6 B. 8 C. 5 D. 7
Câu 145: Cho hàm số mcos x − 4 y =
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên cos x − m khoảng  π π ;   . 3 2    A. m > 2 B. m < -2 C.m > 2 . m ≥  D. 2 . m < 2 − m ≤ 2 −
(m − )1sin x − 2
Câu 146: Cho hàm số y =
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên sinx − m khoảng  π 0;   . 2    A. -1 < m < 2 B.m < 1 − m ≤ − m ≤  C. 1 D. 0 m > 2 m ≥ 2 m ≥1
Câu 147: Cho hàm số 2 − sin x −1 y =
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên sin x − m khoảng  π 0;   . 2     1  1 A. 1 m ≥ −
B. − < m < 0 
C. − < m ≤ 0  D. 1 m > − 2 2  2  2 m > 1 m ≥ 1
Câu 148: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (-5; 5) của tham số m để hàm số sin x − 2m  π y =
đồng biến trên khoảng 0; . 2sin x + m −1 6    A. 1 B. 0 C. 4 D. 2 2
Câu 149: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số cos x − m y = đồng biến trên cos x − 5m + 4 khoảng  π 0;   . 3    A. 2 B. 4 C. 1 D. 0 2
Câu 150: Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số msin x −16  π y =
nghịch biến trên khoảng 0; . 2 cos x + m −1 2    A. 5 B. 8 C. 7 D. 6
Câu 151: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (-20; 20) để hàm số cot x − 2m +1 y = cot x − m
đồng biến trên khoảng  π π ;   . 4 2    A. 20 B. 19 C. 18 D. 11
Câu 152: Trong khoảng (-100; 100) chứa bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn hàm số mcos x − 2 y = nghịch 2cos x − m biến trên khoảng  π 0;   . 2    A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 153: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3
y = x − ( m + ) 2 2 3 2
1 x + 6m(m + )
1 x +1 nghịch biến trên khoảng (-1; 0). A. 3 B. 5 C. 1 D. 2 2
Câu 154: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2x −1 + m y = đồng biến trên
2x −1 − 3m + 4 khoảng (1; 5). A. 6 B. 4 C. 5 D. 3 2
Câu 155: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3x +1 − m y = nghịch biến trên 3x +1 + 4m − 5 khoảng (1; 5). A. 7 B. 5 C. 6 D. 4
Câu 156: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số m 4 − x + 2 y = 4 − x + m −1
đồng biến trên khoảng ( ;4 −∞ ) . A. 8 B. 1 C. 9 D. 2
Câu 157: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hỏi hàm số y = f (x) + x + 2019 đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào sau đây? A. (-1; +∞) B. (-1; 1) C. (-∞; -1), (1; 2) D. (0; 1)
Câu 158: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số g(x) = f (x) − 2x −1 nghịch biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây? A. (-3; +∞)
B. (-∞; -1), (2; +∞) C. (-∞; 3) D. (-2; +∞)
Câu 159: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số g(x) = f (x) + x − 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (-1; 2) B. (-∞; -2) C. (1; +∞) D. (-2; +∞)
Câu 160: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số g(x) = 2 f (x) − 4x + 7 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; 2) ∪ (3; +∞) B. (-∞; 1), (2; 3) C. (1; 2), (3; +∞)
D. (-∞; 1) ∪ (2; 3)
Câu 161: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số g(x) = f (x) + 3x + 24 nghịch biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây? A. (0; 2) B. (-2; -1), (1; 2) C. (-∞; 0) D. (-4; 0), (2; 3)
Câu 162: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Hàm số 2
g(x) = 2 f (x) − x − 4x − 2 nghịch biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây? A. (-∞; -2), (0; 2)
B. (-∞; 0), (2; +∞) C. (-∞; -1), (0; 2) D. (-∞; 0), (1; 2)
Câu 163: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Hàm số 2
g(x) = 2 f (x) − x + 4x − 2 đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây? A. (-∞; -1), (1; 2) B. (-1; 1), (2; +∞) C. (-1; 2)
D. (-∞; 1), (2; +∞)
Câu 164: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số g(x) = 2 f (x) − 6x + 3 đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây? A. (-1; 1) B. (0; 1) C. (-2; -1), (2; +∞) D. (1; 2)
Câu 165: Hàm số y = f’(x) có đồ thị trên đoạn [-4; 4] như hình vẽ bên cạnh. Hàm số 1 2
g(x) = f (x) + x + x − 2 nghịch biến trên khoảng 2 nào sau đây? A. (-3; -1) B. (-1; 1) C. (1; 4) D. (-3; -2)
Câu 166: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Hàm số 2
y = 2 f (x) + x + 2x − 2019 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (0; 1) B. (1; 3) C. (-3; 0) D. (-∞; -1)
Câu 167: Hàm Hàm số y = f’(x) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ 2
bên cạnh và hàm số ( ) : ( ) = ( ) x C g x f x −
+ 2 . Khẳng định nào sau đây là 2
khẳng định đúng?
A. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (1; 2).
B. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-∞; -1)
C. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-1; 2)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (1; +∞)
Câu 168: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số g x = f x + (x + )2 ( ) 2 ( ) 1 . A. (-3; 0), (1; 3) B. (-∞; -3), (-2; 3) C. (-1; 2), (3; +∞) D. (-3; 1), (3; +∞)
Câu 169: (THPT Quốc gia 2017). Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số
y = f’(x)như hình vẽ. Đặt 2
h(x) = 2 f (x) − x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. h(2) > h(4) > h( 2) − .
B. h(2) > h( 2) − > h(4).
C. h(4) = h( 2) − > h(2).
D. h(4) = h( 2) − < h(2).
Câu 170: (THPT Quốc gia 2017). Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số
y = f’(x)như hình bên. Đặt x = f x −(x + )2 g( ) 2 ( )
1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(3) > g( 3) − > g(1). B. g( 3)
− > g(3) > g(1).
C. g(1) > g( 3) − > g(3).
D. g(1) > g(3) > g( 3) − .
Câu 171: (THPT Quốc gia 2017). Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số
y = f’(x)như hình vẽ. Đặt 2
g(x) = 2 f (x) + x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(3) < g( 3) − < g(1).
B. g(1) < g(3) < g( 3) − .
C. g(1) < g( 3) − < g(3). D. g( 3)
− < g(3) < g(1).
Câu 172: (THPT Quốc gia 2017). Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số
y = f’(x)như hình bên. Đặt x = f x + (x + )2 g( ) 2 ( )
1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(1) < g(3) < g( 3) − .
B. g(1) < g( 3) − < g(3). C. g(3) = g( 3) − < g(1). D. g(3) = g( 3) − > g(1).
Câu 173: (Bộ GD & ĐT, Đề tham khảo, Lần 1, 2018). Cho hàm số
y = f (x) . Hàm số y = f’(x)có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f (2 − x) đồng biến trên khoảng A. (1; 3) B. (2; +∞) C. (-2; 1) D. (-∞; 2)
Câu 174: (THPT Quốc gia 2018). Cho hai hàm số y = f (x) và
y = g(x). Hai hàm số y = f '(x) và y = g'(x) có đồ thị như hình
vẽ dưới đây, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số y = g'(x) . Hàm số ( )  9 h(x) f x 7 g 2x  = + − +  đồng biến trên 2    khoảng nào dưới đây? A.  16 2;     . B. 3 −  ;0 . 5      4  C. 16 ;  +∞    . D. 13 3; . 5      4 
Câu 175: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên cạnh và hàm số (C) 1 2
: y = f (x) − x −1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định 2 sai?
A. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (0; 2).
B. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-∞; -2)
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (2; 4)
D. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-4; -3)
Câu 176: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên cạnh
và hàm số (C) y = f x −(x + )2 : 2 ( )
1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (0; 1).
B. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-3; 0)
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-∞; -3)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (3; +∞)
Câu 177: Hàm số bậc ba y = f'(x) liên tục trên  có đồ thị như hình và hàm số (C) 1 3 1 2
: y = f (x) + x + x − 2x − 3. Khẳng định nào sau đây là 3 2 khẳng định sai?
A. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-3; 0).
B. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (1; +∞)
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-∞; -3)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (0; 1)
Câu 178: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên cạnh và hàm số (C) 1 1 3 1 2
: y = f (x) − x + x + x −1. Khẳng định nào sau đây là 2 3 2
khẳng định đúng?
A. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-1; 0).
B. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (2; 3)
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-5; -2)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-2; 2)
Câu 179: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên cạnh và hàm số (C) 1 3 1 2
: y = f (x) − x − x + x . Khẳng định nào sau đây là khẳng 3 2 định đúng?
A. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-∞; -1).
B. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-1; 0)
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (-2; 1)
D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (0; 1)
Câu 180: Hàm số y = f’(x)có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Trong
khoảng (-1000; 1000) có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng đồng biến của hàm số 1 2
g(x) = f (x + 2) + x + 3x +1? 2 A. 997 B. 994 C. 996 D. 995
Câu 181: Hàm số y = f’(x)có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số 2
g(x) = 2 f (x) + x − 2 A. (-∞; -1), (0; 2) B. (-1; 0), (1; 2) C. (-1; 1), (2; +∞) D. (-1; 2)
Câu 182: Hàm số y = f’(x) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Hỏi hàm số 2
g(x) = 2 f (1− x) + x − 2x +1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (-3; 1) B. (-2; 0) C.  3 1;  −  2    D. (1; 3)
Câu 183: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị của hàm số y = f’(x)như hình vẽ bên. Hàm số 2 y = 2
− f (2 − x) + x nghịch biến trên khoảng A. (-3; -2) B. (-2; -1) C. (-1; 0) D. (0; 2)
Câu 184: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên  thỏa mãn
y = f’(x)và đồ thị hàm số f (2) = f ( 2)
− = 1 như hình vẽ bên cạnh ( đồ
thị hàm số y = f’(x)cắt trục hoành tại ba điểm x = 2
− , x =1, x = 2 ). Hàm số y =  f (x) 2 −1   nghịch biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (1; 2). B. (-2; 2). C. (2; +∞). D. (-2; -1).
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: 3
y′ = 8x < 0 ⇔ x < 0
Hàm số nghịch biến trên ( ;0 −∞ ). Chọn D. Câu 2: 2 1
y′ = 3x − 4x +1< 0 ⇔ < x <1 3
Hàm số nghịch biến trên khoảng  1 ;1  . Chọn A. 3    Câu 3: 3 y′ = > 0, x ∀ ≠ 1 − (x + )2 1
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 . Chọn B.
Câu 4: Ta có A đúng vì 2
y′ = 9x + 3 > 0, x
∀ ∈  . Chọn A. Câu 5: 2
y′ = 3x + 3 > 0, x ∀ ∈ 
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;
−∞ +∞) . Chọn C. Câu 6: 2 y′ = − (
< ⇔ > . Chọn A. x + ) .2x 0 x 0 2 2 1
Câu 7: Ta có B đúng vì 2
y′ = 3x +1 > 0, x
∀ ∈  . Chọn B. 2
y′ = 3x − 6x   x > 2
Câu 8: Ta có y′ > 0 ⇔   x < 0
y′ < 0 ⇔ 0 < x < 2 
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) . Chọn A.
Câu 9: Ta có f ′(x) > 0, x ∀ ∈  .
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;
−∞ +∞) . Chọn D.x = 0 Câu 10: Ta có 3
y′ = 4x − 4x = 0 ⇔  x = 1 ± x −∞ –1 0 1 +∞ y′ – 0 + 0 – 0 + +∞ 0 +∞ y –1 –1
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ − )
1 nên nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ 2 − ) . Chọn C.
Câu 11: Ta có hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ 2 − ),(2;+∞) .
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;
− 0),(0;2) . Chọn C. Câu 12: 4x y′ =
> 0 ⇔ x > 0; y′ < 0 ⇔ x < 0 2 2 2x +1
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0 −∞ ). Chọn B. Câu 13: 2
y′ = 3x − 6x < 0 ⇔ 0 < x < 2 . Chọn C.x > 4 Câu 14: 2
y′ = x − 4x > 0 ⇔  . Chọn D.x < 0 x > 4 Câu 15: 3
y′ = x −16x > 0 ⇔  . Chọn C.  4 − < x < 0 2 0 < x <1 −  − > Câu 16: 1 2x x x 0  1 y′ = < 0 ⇔  ⇔  1
⇔ 0 < x < . Chọn B. 2 2 x − x 1  − 2x > 0 x < 2  2 (x − )2 1 −1 Câu 17: 1 1 y = = x −1− ⇒ y′ =1+ > 0, x ∀ ≠ 1 . Chọn B. x −1 x −1 (x − )2 1 x ≠ 1 1 1  x ≠ 1
Câu 18: y = −x − ⇒ y′ = 1 − + > 0 ⇔  ⇔ . Chọn A. x −1 (  x − )2 1 (  x −  )2 1 <1 0 < x < 2
(2x − 4)(1− x) 2 2 2
+ x − 4x + 4 −x + 2x
−x + 2x > 0 0 < x < 2 Câu 19: y′ = = > 0 ⇔  ⇔ . Chọn A. (  1− x)2 (x − )2 1 x ≠ 1 x ≠ 1 Câu 20: 3 3 y = x − ⇒ y′ =1+ > 0,∀x ≠ 1 − . Chọn C. x +1 (x + )2 1
(2x −3)(2+ x)−( 2x −3x − ) 2 1 x + 4x − 5 x ≠ 2 − Câu 21: y′ = = < 0 ⇔ (  2 + x)2 (2+ x)2 2
x + 4x − 5 < 0 x ≠ 2 − ⇔  ⇒ x ∈{ 4 − ; 3 − ;− } 1 . Chọn D.  5 − < x <1 Câu 22: 2
y′ = 3x − 6x < 0 ⇔ 0 < x < 2 . Chọn C.
Câu 23: Ta có B đúng vì 2018 2010 y′ = 2019x + 2021x ≥ 0, x
∀ ∈  . Chọn B.
Câu 24: Ta có C đúng vì TXĐ 2
D = , y′ = 3x +1 > 0, x
∀ ∈  ⇒ y đồng biến trên  . Chọn C. 1 1  3 − < x < 3  3 − < x < 3 Câu 25: y′ = − < 0 ⇔  ⇔ 
⇔ 0 < x < 3 ⇒ x ∈{1; } 2 . Chọn A. 2 x + 3 2 3− x 3
 − x < x + 3 x > 0
Câu 26: Lần lượt tính đạo hàm 1 5 7 1 > 0, x ∀ ≠ 2 − ; > 0, x ∀ ≠ 2 − ; > 0, x ∀ ≠ 2 − ;− < 0, x ∀ ≠ 2 − . Chọn D. (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2
Câu 27: Ta loại ngay (1), (2), (3), (4) vì đây là các hàm phân thức. Hàm (5) có y′ = ( − ) 2023 1119
1117 .2x + 2023 > 0 ⇔ x > − 2( 1119 − 1117)
Hàm số có TXĐ là  . Chọn C.
Câu 28: Loại (1), (5), (4) vì TXĐ [ 2; − +∞),[2;+∞),[0;+∞) 2 (3) có 2 4x 4x + 2
y′ = 2x + 2 + . x = > 0, x ∀ ∈  . 2 2 2 2x + 2 2x + 2
(2) có y′ = 2016 > 0, x ∀ ∈  . (6) có 2
y′ = 3x + 3 > 0, x
∀ ∈  . Chọn B.
Câu 29: Ta có ngay (1), (4) đúng và (5) sai. (3) có 2016 y′ = 2017x + 2018 > 0, x ∀ ∈  .
(2) có y′ = cos x + 2 > 0, x ∀ ∈  .
(6) có y′ = ( − ) 2 3 2
3 x −1< 0, x
∀ ∈  . Chọn C.
Câu 30: Lần lượt tính đạo hàm 5 4x(x + 2) 2 2 − 2x
2x + 8x 2x(x + 4) 2 ; = =
; x − 20x = x x − 20 2 2 2 2 ( ) (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2) 3
x + x = x( 2 4 2999 20 4 5 + x 2999)
Do đó (1), (4) không thỏa mãn còn (2), (3) thỏa mãn.  4 − < x < 0
Hàm (2) nghịch biến ⇔  ⇒ x ∈{ 3 − ;− } 1 x ≠ 2 −
Hàm (3) nghịch biến ⇔ 0 < x < 20 ⇒ x∈{1;2;3;...; } 19 . Chọn B.
Câu 31: Ta loại (1), (2) vì đây là hàm phân thức.
Loại (6) vì đây là hàm trùng phương.  x > 0 2 3
x + 6x > 0 ⇔   x < 2 −  x > 2
Lần lượt tính đạo hàm các hàm số còn lại 2 3
x − 6x > 0 ⇔  . Chọn A.  x < 0  2 3
− x − 2 < 0, x ∀ ∈   
Câu 32: Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng ( 2;
− 0) và (2;+∞) . Chọn A.
Câu 33: Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 và (0; ) 1 . Chọn A.
Câu 34: Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng ( ; −∞ − )
1 và (1;+∞). Chọn B.
Câu 35: Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 và (0; ) 1 . Chọn D.
Câu 36: Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng ( 2; − 3) . Chọn B.
Câu 37: Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng  4 0;   . Chọn C. 3   
Câu 38: Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng ( ; −∞ − )
1 và (4;+∞) . Chọn B.
Câu 39: Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ − )
1 và (1;+∞). Chọn C.
Câu 40: Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ 2 − ) , ( 2; − +∞) . Chọn C.
Câu 41: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 2
− ) , (2;+∞) . Chọn B.
Câu 42: Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; −∞ − )
1 , (3;+∞) . Chọn D.
Câu 43: Hàm số đồng biến trên khoảng (2;3). Chọn D.
Câu 44: Ta có f ( )
1 < f (0) nên đáp án C sai. Chọn C.
Câu 45: Chọn D.
Câu 46: Chọn A.
Câu 47: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; −∞ 3 − ) và (0;3)
• Tập giá trị của hàm số f (x) :T = [ 3 − ;+∞)
• Hàm số nghịch biến trên khoảng(0;2) ⇒ f (0) > f (2) ⇒ f (2) < 2 Chọn C.
Câu 48: Điền các điểm x ở đáp án vào bảng biến thiên, ta được f (2) > f (3). Chọn D.
Câu 49: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
• Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0 −∞ )
• Tập giá trị của hàm số f (x) :T = ( ; −∞ +∞)
• Hàm số bị gián đoạn trên ( 1;
− 3) nên không đồng biến trên ( 1; − 3)
• Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) ⇒ f ( )
1 < f (2) ⇒ f ( ) 1 − f (2) < 0 Chọn A.
Câu 50: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
• Hàm số y = f (x) đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 3 − ) và ( 1; − +∞)
• Hàm số y = f (x) nghịch biến trên các khoảng ( 3 − ; 2 − ) và ( 2; − − ) 1 Chọn C.
Câu 51: Điền các điểm x ở đáp án vào bảng biến thiên, ta được f ( 4 − ) < f ( 5 − ) . Chọn D.
Câu 52: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
• Với a,b∈(0,2) mà hàm số nghịch biến trên (0,2) nên a < b ⇒ f (a) > f (b) .
• Với a,b∈(2;+∞) mà hàm số đồng biến trên (2;+∞) nên a > b ⇒ f (a) > f (b).
• Với a,b∈( ;
−∞ 0) mà hàm số đồng biến trên ( ;0
−∞ ) nên a < b ⇒ f (a) < f (b) . Chọn A.
Câu 53: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
• Với a,b∈( 2, − − ) 1 ∪( 1;
− 2) mà a < b ⇒ f (a) > f (b) hoặc f (a) < f (b) .
• Với a,b∈(1,2) mà hàm số đồng biến trên (1,2) nên a < b ⇒ f (a) < f (b) . a∈( ; −∞ 2 − )
• Với a,b∈(−∞, 2
− ) ∪(0;+∞) mà a < b nên nếu 
thì không so sánh được hai b  ∈  (0;+∞)
giá trị f (a), f (b) .
• Với a,b∈( 2, − − )
1 mà hàm số nghịch biến trên ( 2, − − )
1 nên a < b ⇒ f (a) > f (b) . Chọn B.
Câu 54: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng • 2
f (x) <1 ⇔ 1
− < f (x) <1 suy ra 0 < x < 2  → A đúng
• x > 2 ⇒ f ′(x) > 0 ⇒ f (x) > f (2) = 1 −  → B đúngf (x) >1
x > x > 2 • 2
f (x) >1 ⇔  suy ra 1  →  C đúng f  ( x) < 1 − x < x <  0 2 • 3 − < x < 2
− ⇒ f (x) <1 → D sai Chọn D
Câu 55: Dựa vào hình vẽ, ta có f ′(x) = x(3x − 4) ⇒ f ′(x − ) 1 = (x − ) 1 (3x − 7) x =1
Do đó g′(x) = f ′(x − ) 1 = (x − )
1 (3x − 7) g′(x) ; =0  ⇔ 7 x =  3
Vẽ bảng biến thiên hàm số g (x) trên các nghiệm 7 x =1; x = 3
Suy ra hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng  7 1;   . Chọn B. 3   
Câu 56: Dựa vào hình vẽ, ta có f ′(x) = x(x − ) ⇒ f ′( 2 x ) 2 = x ( 2 2 x − 2) x = 0 Do đó 2 3 2 g (′x) = 2 .
x f (′x ) = 2x (x − 2); g (′x) = 0 ⇔  x = ± 2
Vẽ bảng biến thiên hàm số g (x) trên các nghiệm x = 0; x = ± 2
Suy ra hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (− 2;0) và ( 2;+∞) . Chọn A.
Câu 57: Dựa vào hình vẽ, ta có f ′(x) = x(x − )(x + ) = x( 2 1 1 x − ) 1
⇒ f (x + ) = (x + )(x + )2 2 2 2  ′ − = ( 2 x + )( 4 2 1 1 1 1 1 x + 2x )   
Do đó g′(x) = x f ′( 2 x + ) = x( 2 x + )( 4 2 x + x ) 2 = x ( 2 x + )( 2 2 . 1 2 1 2 2 1 x + 2)
Phương trình g′(x) = 0 ⇔ x = 0 nên hàm số g (x) nghịch biến trên ( ;0 −∞ ). Chọn D.
Câu 58: Dựa vào hình vẽ, ta có f ′(x) = −(x + ) 1 (x −3)
⇒ f ′( x +1) = −( x +1 + )
1 ( x +1 −3) = ( x +1 + ) 1 (3− x +1)
Do đó g′(x) = x +
f ′( x + ) x + ′ 1 1 . 1 = .( x +1 + ) 1 (3− x +1) x +1 x >
Suy ra g′(x) < ⇔ (x + ) ( − x + ) 2 0 1 . 3 1 < 0 ⇔   4 − < x < 1 −
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và ( 4; − − ) 1 . Chọn A.
Câu 59: Hàm số đồng biến trên ( ; −∞ − )
1 , (1;+∞). Chọn D.
Câu 60: Hàm số đồng biến trên ( ; −∞ − )
1 , (1;+∞). Chọn B.
Câu 61: Hàm số đồng biến trên ( 1;
− 0) , (1;+∞). Chọn C.
Câu 62: Hàm số đồng biến trên ( 1; − ) 1 , nghịch biến trên ( ; −∞ − )
1 và (1;+∞). Chọn B.
Câu 63: Hàm số đồng biến trên ( ) ;1
−∞ và (3;+∞) , nghịch biến trên (1;3) . Chọn D.
Câu 64: Hàm số g (x) nghịch biến khi 1< x +1< 3 ⇒ 0 < x < 2. Chọn A.
Câu 65: Ta có g′(x) = − f ′(−x) ≤ 0 ⇒ f ′(−x) ≥ 0 ⇒ −x < 0 ⇒ x > 0 . Vậy hàm số g (x) nghịch biến trên
khoảng (0;+∞). Chọn C. 3 − x < 1 − x > 4
Câu 66: Hàm số g (x) đồng biến khi ⇔  . Chọn B. 3 x 2  − > x < 1 x > 2
Câu 67: Hàm số g (x) đồng biến khi 2 2 x − 5 > 1
− ⇔ x > 4 ⇔  Chọn C x < 2 − 2
x + 2x +1> 0
Câu 68: Hàm số g (x) đồng biến khi 2 1
− < x + 2x <1 ⇔  ⇔ 1 − − 2 < x < 1 − + 2 . 2
x + 2x −1< 0 Chọn B.x >1
Câu 69: Hàm số g (x) đồng biến khi 2 2 2
− x + 2 < 0 ⇔ x >1 ⇔  x < 1 −
Do đó hàm số g (x) nghịch biến khi 1
− < x <1 nên đáp án B sai. Chọn B. 2 2
x − 4x + 6 <1
x − 4x + 5 < 0(l) x > 3
Câu 70: Hàm số g (x) đồng biến khi  ⇔  ⇔ . Chọn C. 2 2
x − 4x + 6 > 3 
x − 4x + 3 > 0 x < 1
Câu 71: Ta có hàm số đồng biến trên ( 1; − 0) , (1;+∞).
Hàm số nghịch biến trên (0; ) 1 , ( ; −∞ − ) 1 . Chọn B.x < −
Câu 72: Ta có f ′(x) 1 < 0 ⇔ . Chọn C. 1   < x < 2
Câu 73: Ta có f ′(x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 − . Chọn D.
Câu 74: Ta có trên (2;+∞) thì f ′(x) > 0 ⇒ f (x) đồng biến trên (2;+∞) . Chọn D.
Câu 75: Ta có f ′(x) ≤ 0 ⇔ x ≤ 3 . Chọn B.x <
Câu 76: Ta có f ′(x) 1 < 0 ⇔  . Chọn B.x > 3
Câu 77: Ta có g′(x) = f ′(x + 2) > 0 ⇔ x + 2 < 2 − ⇔ x < 4 − . Chọn C.
Câu 78: Ta có g′(x) = f ′(x − )
1 > 0 ⇔ x −1 > 2 ⇔ x > 3. Chọn A.
Câu 79: Ta có y′ = − f ′(2 − x) < 0 ⇔ f ′(2 − x) > 0 ⇔ 2 − x > 3 ⇔ x < 1 − . Chọn B. x > 0  x > 0   f  ( 2 x − 3)  ′ 2 > 0 x − 3 > 2 − x >1
Câu 80: Ta có y′ = 2 .x f ′( 2 x − 3) > 0 ⇔  ⇔ ⇔ x < 0 x < 0    1 − < x < 0     f ′  ( 2 x − 3) 2 < 0 x −3 < 2 − x > 0  x > 0   f  ( 2 x − 3)  ′ 2 < 0 x − 3 < 2 − 0 < x <1
Khi đó y′ = 2 .x f ′( 2 x − 3) < 0 ⇔  ⇔ ⇔ x < 0 x < 0   x < 1 −     f ′  ( 2 x − 3) 2 > 0 x −3 > 2 −
Hàm số đồng biến trên (1;+∞),( 1;
− 0) và nghịch biến trên ( ; −∞ − ) 1 ,(0; ) 1 . Chọn B. x > 0 x > 0     f ′  ( x + ) 2 2  1 − < x +1< 0 1 > 0 
Câu 81: Ta có y′ = 2 .x f ′( 2 x + ) 2 1 > 0 ⇔ 
⇔  1< x +1< 2 ⇔ 0 < x <1 x < 0     <  f ′  ( x 0 2 x + ) 1 < 0  2
0 < x +1<1 x < 0 x < 0     f ′  ( x + ) 2 2  1 − < x +1< 0 1 > 0 
Khi đó y′ = 2 .x f ′( 2 x + ) 2 1 < 0 ⇔ 
⇔  1< x +1< 2 ⇔ 1 − < x < 0 x > 0     >  f ′  ( x 0 2 x + ) 1 < 0  2
0 < x +1<1
Hàm số đồng biến trên (0; )
1 và nghịch biến trên ( 1; − 0) . Chọn D. x > 0  x > 0   f  ( 2 4 − x )  ′ 2 > 0 4 − x < 3 x >1
Câu 82: y′ = 2 − . x f ′( 2
4 − x ) < 0 ⇔  ⇔ ⇔ . Chọn D. x < 0 x < 0    1 − < x < 0     f ′  ( 2 4 − x ) 2 < 0 4− x > 3 x >1  2 x >1  
 x − 2x + 3 < 0   f ′  ( 2 x − 2x + 3)  2 < 0
0 < x − 2x + 3 < 2 x > 2
Câu 83: y′ = (2x − 2). f ′( 2
x − 2x + 3) < 0 ⇔  ⇔ ⇔  2 x < 1
x − 2x + 3 > 3    0 < x < 1    f ′  ( 2
x − 2x + 3) > 0 x <1  2
2 < x − 2x + 3 < 3 Chọn B. − < − x <  < x <
Câu 84: y′ = − f ′( − x) > ⇔ f ′( − x) 1 2 1 1 3 2 0 2 < 0 ⇔ ⇔ ⇒ x =   2 . Chọn A. 2 − x > 2 x < 0 x > 0 x > 0    ′  ∈∅  f  ( x 2 x ) < 0 x < 1 −
Câu 85: y′ = 2 .x f ′( 2 x ) < 0  ⇔  ⇔ x < 0 ⇔ . Chọn C. x < 0     1 − < x < 0 2    >  f ′  ( x 1 2 x ) > 0  2 x <1 x > 0 x > 0    − < − <  f ′  ( x − ) 2 2 2 x 9 0  7 < x < 3 9 < 0  
Câu 86: y′ = 2 .x f ′( 2 x − 9) < 0 ⇔  ⇔ x < 0 ⇔  x < 3 − x < 0   2     − > − < <  f ′  ( x 9 0  7 x 0 2 x − 9) > 0  2
x −9 < 2 −
Do đó không có giá trị x thỏa mãn bài toán. Chọn C.x >1
Câu 87: f ′(x) 2 > 0 ⇔ x ( 2 x − ) 2
1 > 0 ⇔ x −1 > 0 ⇔  x < 1 −
Do đó hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (1;+∞) và (−∞ − ) 1 . Chọn B.
Câu 88: f ′(x) 2019 < ⇔ x ( 2020 0 x − ) 1 < 0
TH1: Với x > ⇒ f ′(x) 2020 0 < 0 ⇔ x −1< 0 ⇔ 1
− < x <1. Ta được 0 < x <1.
TH2: Với x < ⇒ f ′(x) 2020 2020 0 < 0 ⇔ x −1 > 0 ⇒ x > 1⇒ x < 1 − .
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ) 1 và (−∞ − ) 1 . x =
Cách 2: Ta có f ′(x) 0 = 0 ⇔ 
. Lập bảng xét dấu cho f ′(x) ta có: x = 1 ± x −∞ –1 0 1 +∞ y′ – 0 + 0 – 0 +
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ) 1 và ( ; −∞ − ) 1 . Chọn A.
Câu 89: g′(x) = f ′(x) < ⇔ (x − )( 2 0
2 x − 4) < 0 ⇔ (x − 2)2 (x + 2) < 0 ⇔ x < 2 − .
Do đó hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ 2 − ) . Chọn C.
Câu 90: g (x) =  f (x) 2 − x ′ ′
−  = f ′(x) − x = ( − x)   ( 2 1 2 3 x − )
1 + 2x − 2x = (3− x)(x − ) 1 (x + ) 1
Lập bảng xét dấu cho g′(x) : x −∞ –1 1 3 +∞ y′ + 0 – 0 + 0 –
Suy ra g (x) đồng biến trên khoảng (1;3) nên nó đồng biến trên khoảng (1;2) . Chọn D. Câu 91: Tính chất:
■ Nếu hàm số f (x) đồng biến trên D = [a;b] thì với x , x ∈ D và x > x ta có f (x > f x . 1 ) ( 2) 1 2 1 2
■ Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên D = [a;b] thì với x , x ∈ D và x > x ta có f (x < f x . 1 ) ( 2) 1 2 1 2
Ta có: g′(x) = f ′(x) 2 + x = (x + )( 2 3
3 9 − x )=(x + 3)2 (3− x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 .
Do đó hàm số g (x) đồng biến trên nửa khoảng ( ; −∞ ]
3 và nghịch biến trên nửa khoảng [3;+∞) .
Suy ra g (0) < g ( ) 1 , g (
3) > g (4), g ( 2 − ) > g ( 3 − ) . Chọn A. x ≥ 4
Câu 92: g′(x) = f ′(x) 2
− 2019 = x − 4x ≥ 0 ⇔  x ≤ 0
Do đó hàm số g (x) đồng biến trên nửa khoảng ( ;0
−∞ ] và [4;+∞) , hàm số g (x) nghịch biến trên đoạn [0;4].
Vậy g (3) > g (4). Chọn B.
Câu 93: g′(x) = f ′(x) 3
− m = −x +12x + 2 − m
Hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (1;4) ⇔ g′(x) ≥ 0( x
∀ ∈[1;4]) (mở rộng ra đoạn do hàm số g (x) liên tục trên đoạn [1;4]) 3
⇔ −x + x + − m ≥ ( x ∀ ∈[ ]) 3 12 2 0
1;4 ⇔ −x +12x + 2 ≥ m( x ∀ ∈[1;4])(*)
Xét hàm số h(x) 3
= −x +12x + 2 trên khoảng [1;4] ta có: h′(x) 2 x ( ∈ 1;4) = 3
− x +12 = 0 → x = 2 Mặt khác h( )
1 =13,h(2) =18,h(4) = 14 −
Khi đó (*) ⇔ min h(x) ≥ m ⇔ 14
− ≥ m ⇔ m ≤ 14 − . Chọn A. [1;4]
Câu 94: g′(x) = f ′(x) 4 − m + 2 = − m + 2 2 x +1
Hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng (− ) 4 1;2 ⇔
− m + 2 ≤ 0 x ∀ ∈ 1; − 2 2 ( [ ]) x +1
(Do hàm số liên tục nên ta mở rộng ra đoạn) 4 ⇔ m − 2 ≥ x ∀ ∈ 1; − 2 * . 2 ( [ ])( ) x +1
Xét hàm số h(x) − = f ′(x) 4 =
trên đoạn [− ] ⇒ ′( ) 8 1;2 x h x = = 0 ⇔ x = 0 2 x +1 (x + )2 2 1
Mặt khác h(− ) = h( ) = h( ) 4 1 2, 0
4, 2 = ⇒ (*) ⇔ m − 2 ≥ max h(x) ⇔ m − 2 ≥ 4 ⇔ m ≥ 4 + 2 . [ 1 − ;2] 5 Chọn A.
Câu 95: : Hàm số g (x) nghịch biến trên  ⇔ g′(x) = f ′(x) − m ≤ 0( x ∀ ∈ )
⇔ m ≥ f ′(x)( x
∀ ∈ ) ⇔ m ≥ max f ′(x) 
Mặt khác f ′(x) 4 4 = ≤
= 4 ⇒ max f ′ x = 4 . 2 2 ( ) x +1 0 +1 
Do đó m ≥ 4 là giá trị cần tìm. m∈( 20 − ;20) Kết hợp 
⇒ có 16 giá trị của tham số m. Chọn A. m∈
Câu 96: g′(x) = f ′(x) 2 2 2
− m = cos x + 2sin x + 2 − m
Hàm số g (x) nghịch biến trên  ⇔ g′(x) ≤ 0( x ∀ ∈ ) 2 2
⇔ cos x + 2sin x + 2 − m ≤ 0( x ∀ ∈ ) 2 2 2
⇔ m ≥ cos x + 2sin x + 2 = 3− sin x + 2sin x( x ∀ ∈ ) m ≥ 2 2
⇔ m ≥ 4 − (sin x − )2 1 ( x ∀ ∈ ) 2 ⇔ m ≥ 4 ⇔  m ≤ 2 − m∈( 20 − ;20) Kết hợp 
⇒ có 36 giá trị của tham số m. Chọn D. m∈
Câu 97: Hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (2;+∞) ⇔ g′(x) = f ′(x) −(m − ) 1 ≥ 0( x ∀ ∈[2;+∞)) ⇔ f ′(x) 1
≥ m −1 ⇔ x + ≥ m −1( x ∀ ∈[2;+∞))(*) x 2 Xét hàm số ( ) 1 −
h x = x + trên nửa khoảng [2;+∞) ta có: h′(x) 1 x 1 = 1− = > 0 x ∀ ∈ 2;+∞ 2 2 ( [ )) x x x
Do đó hàm số h(x) đồng biến trên nửa khoảng [ +∞) ⇒
h(x) = h( ) 5 2; min 2 = [2;+∞) 2 Khi đó ( ) ⇔
h(x) ≥ m − ⇔ h( ) 5 7 * min 1
2 ≥ m −1 ⇔ ≥ m −1 ⇔ m ≤ [2;+∞) 2 2 Kết hợp m + ∈ ⇒ m = {1;2; } 3 . Chọn C.
Câu 98: Hàm số g (x) nghịch biến trên  ⇔ g′(x) = f ′(x) + 2m ≤ 0( x ∀ ∈ ) x + 3 ⇔ 2 − m ≥ ( x ∀ ∈ )(*) . 2 x +1
Xét hàm số h(x) = f ′(x) x + 3 = trên  ta có: 2 x +1 x x + 3 2 ( ) x +1 − h′(x) 2 x +1 1− 3x 1 = = = 0 ⇔ x = 2 x +1 (x + )3 2 3 1 Lại có:  1
h  = 10, lim h(x) = 1
− , lim h(x) =1,⇒ max h(x) =   10  3 x→−∞ x→+∞   Do đó ( ) m h(x) 10 * 2 max 2m 10 m − ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤  2 m∈( 20 − ;20) Kết hợp 
⇒ có 18 giá trị của tham số m. Chọn A. m∈
Câu 99: g (x) =  f  ( x − ) ′ ′  − = f ′ 
(x − )− = (x − )2 + (x − ) 2 1 3 1 3 1 2 1 − 3 = x − 4 x > 2
Do đó g′(x) > 0 ⇔ ⇒ 
g (x) đồng biến trên khoảng (2;+∞) và ( ; −∞ 2 − ) . x < 2 −
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (2;4). Chọn B.
Câu 100: g′(x) = f  ( 2 x ) ′   = x f ′  ( 2x) 4 = x x ( 2 2 . 2 . x + ) 1 < 0 ⇔ x < 0
Do đó hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng ( ;0
−∞ ) ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; − 0) . Chọn B.
Câu 101: g (x)  f  ( x ) ′ ′ = +  − =  (x + )2 2 1 2
1 +1− 2 = x + 2x
Khi đó g′(x) < 0 ⇔ 2
− < x < 0 ⇒ g (x) nghịch biến trên khoảng ( 2;
− 0) nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; − − ) 1 . Chọn B.
Câu 102: Hàm số g (x) đồng biến trên đoạn [2;4] ⇔ g′(x) = f ′(x) −(m −3) ≥ 0( x ∀ ∈[2;4])
⇔ f ′(x) ≥ (m − 3)( x ∀ ∈[2;4])(*) 2 2 2
2x x −1 − x − 3 Xét h(x) − −
= f ′(x) x + 3 =
trên đoạn [2;4] ta có: h′(x) ( ) x 2x 3 = = x −1 (x − )2 1 (x − )2 1
Với x ∈[2;4] ⇒ h′(x) = 0 ⇔ x = 3.
Lại có: h( ) = h( ) = h( ) 19 2 7, 3 6, 4 =
⇒ min h(x) = 6 . [2;4] 4
Ta có: (*) ⇔ min h(x) ≥ m −3 ⇔ 6 ≥ m −3 ⇔ m ≤ 9 . [2;4] Kết hợp m +
∈ ⇒ có 9 giá trị của tham số m. Chọn A.
Câu 103: Hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (0;+∞) ⇔ g′(x) = f ′(x) − m ≥ 0( x ∀ ∈(0;+∞))
⇔ f ′(x) ≥ m( x ∀ ∈(0;+∞))(*) Xét ( ) = ′( ) 2 2 h x
f x = x + trên khoảng (0;+∞) ta có: h′(x) 2 = 2x − = 0 ⇔ x =1 x 2 x
Mặt khác lim h(x) = +∞,h( )
1 = 3, lim h(x) = +∞ ⇒ min h(x) = h( ) 1 = 3 x→0+ x→+∞ (0;+∞)
Hoặc áp dụng BĐT AM -GM ta có: h(x) 2 2 2 1 1 2 1 1 = + = + + ≥ 3 x x 3 x . . = 3 . x x x x x
Suy ra min h(x) = 3 . Do đó (*) ⇔ 3 ≥ m . Chọn A. (0;+∞) .
m (−m) −1.( 2 − m − 3) 2 Câu 104: −m + 2m + 3 y′ = = ; x ∀ ≠ m (x − m)2 (x − m)2 Yêu cầu bài toán 2
⇔ y′ > 0 ⇔ −m + 2m + 3 > 0 ⇔ 1 − < m < 3
Kết hợp với m∈  →m = {0;1; }
3 là các giá trị cần tìm. Chọn D. 2 Câu 105: .
m m −1.4m m − 4m y′ = = ; x ∀ ≠ −m (x + m)2 (x + m)2 Yêu cầu bài toán 2
⇔ y′ < 0 ⇔ m − 4m < 0 ⇔ 0 < m < 4
Kết hợp với m∈  → m = {1;2; }
3 là các giá trị cần tìm. Chọn D. Câu 106: 1.5m −1.2 5m − 2 y′ = = ; x ∀ ≠ 5 − m
(x +5m)2 (x +5m)2 5  m − 2 > 0
Yêu cầu bài toán ⇔ y′ > x ∀ ∈(−∞ − ) 2 0; ; 10 ⇔  ⇔ < ≤ x = − m∉  (−∞ − ) m 2 5 ; 10 5
Kết hợp với m∈  →m = {1; }
2 là các giá trị cần tìm. Chọn A. Câu 107: 1.5m −1.6 5m − 6 y′ = = ; x ∀ ≠ 5 − m
(x +5m)2 (x +5m)2 5  m −  6 < 0
Yêu cầu bài toán ⇔ y′ < ∀x∈( +∞) 6 0; 10; ⇔  mx = − m∉  ( +∞) ⇔ 2 − ≤ < 5 10; 5
Kết hợp với m∈  →m = { 2; − 1 − ;0; }
1 là các giá trị cần tìm. Chọn C. Câu 108: 1.3m −1.1 3m −1 y′ = = ; x ∀ ≠ 3 − m
(x +3m)2 (x +3m)2 3  m −1< 0
Yêu cầu bài toán ⇔ y′ < x ∀ ∈( +∞) 1 0; 6; ⇔  ⇔ − ≤ <  = − m∉  ( +∞) 2 m x 3 6; 3
Kết hợp với m∈  →m = { 2 − ; 1; − }
0 là các giá trị cần tìm. Chọn A. Câu 109: 1.3m −1.1 3m −1 y′ = = ; x ∀ ≠ 3 − m
(x +3m)2 (x +3m)2 3  m −1 > 0
Yêu cầu bài toán ⇔ y′ > x ∀ ∈(−∞ − ) 1 0; ; 6 ⇔  ⇔ < ≤ x = − m∉  (−∞ − ) m 2 3 ; 6 3
Kết hợp với m∈  → m = {1; }
2 là các giá trị cần tìm. Chọn A. 2 Câu 110: . m m −1.1 m −1 y′ = = ; x ∀ ≠ −m
(x + m)2 (x + m)2 m >1 Yêu cầu bài toán 2
⇔ y′ > 0 ⇔ m −1 > 0 ⇔  . Chọn B.m < 1 − . m (m + 3) 2 −1.4 Câu 111: m + 3m − 4 y′ = = ; x ∀ ≠ −m (x + m)2 (x + m)2 m >1 Yêu cầu bài toán 2
⇔ y′ > 0 ⇔ m + 3m − 4 > 0 ⇔  . Chọn A.m < 4 − 2 m .(− ) 1 −1.(−m − 20) 2 Câu 112: −m + m + 20 y′ = = ; x ∀ ≠ 1 (x − )2 1 (x − )2 1 Yêu cầu bài toán 2
⇔ y′ > 0 ⇔ −m + m + 20 > 0 ⇔ 4 − < m < 5
Kết hợp với m∈ 
→ có 8 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn B. 2 m .( 2 − ) −1.( 3 − m + ) 2 1 Câu 113: 2 − m + 3m −1 y′ = = ; x ∀ ≠ 2 (x − 2)2 (x − 2)2 m >1 Yêu cầu bài toán 2 ⇔ y′ < 0 ⇔ 2
− m + 3m −1< 0  ⇔ 1 m <  2 Kết hợp với 100 m 100 m − < < ∈ 
→ có 98 +100 =198 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D. 2 Câu 114: . m m −1.3 m − 3 y′ = = ; x ∀ ≠ −m
(x + m)2 (x + m)2 2 m −3 < 0
Yêu cầu bài toán ⇔ y′ < 0; x ∀ ∈( ; −∞ 2 − ) ⇔  ⇔ − < < x = −m∉  (−∞ − ) 3 m 3 ; 2 a = − 3
Vậy m∈(− 3; 3) là giá trị cần tìm ⇔ 
⇒ b − a = 2 3 . Chọn C. b  = 3
(m +3).m −1.( 2 − ) 2 Câu 115: m + 3m + 2 y′ = = ; x ∀ ≠ −m (x + m)2 (x + m)2 m > 1 − 2
m + 3m + 2 > 0
Yêu cầu bài toán ⇔ y > 0; x ∀ ∈(2;+∞)  ′ ⇔ 
⇔  < − ⇔ > − x = −m∉  ( m m 2;+∞) 2 1  m ≥ 2 − Kết hợp với 100 m 100 m − < < ∈ 
→ có 100 giá trị nguyên m cần tìm.
Vậy xác suất cần tính là 100 P = . Chọn A. 199 2.(−m) −1.( 3 − m − 2) Câu 116: m + 2 y′ = = ; x ∀ ≠ m (x − m)2 (x − m)2 m < 2 − m + 2 < 0
Yêu cầu bài toán ⇔ y < 0; x ∀ ∈(1;2)  ′ ⇔ 
⇔  ≥ ⇔ < − . Chọn D.x = m∉  ( m m 1;2) 2 2  m ≤ 1 4 4 Câu 117: 1.m −1.m m − m y′ = = ; x ∀ ≠ −m
(x + m)2 (x + m)2 4
m − m > 0 0 < m <1 Yêu cầu bài toán  1    1
⇔ y′ > 0; x ∀ ∈ ;+∞ ⇔    1 ⇔   1 ⇔ − ≤ m <1  2 
x = −m∉ ;+∞ m ≥ − 2   2   2 Vậy 1 m  ;1 ∈ −  là giá trị cần tìm 1 3
⇒ a = − ;b =1⇒ b − a = . Chọn B.  2  2 2 m .m −1.16 m −16 ( 2 m − 4)( 2 3 4 m + 4) Câu 118: y′ = = = ; x ∀ ≠ −m (x + m)2 (x + m)2 (x + m)2 m > 2 2 m − 4 > 0  m > 2
Yêu cầu bài toán ⇔ y′ > 0; x ∀ ∈(5;+∞) ⇔  ⇔  < − ⇔ x = −m∉  ( m 5;+∞) 2    5 − ≤ m < 2 − m ≥ 5 − Kết hợp với m − ∈  →m = { 5 − ; 4 − ;− }
3 là các giá trị cần tìm.
Vậy xác suất cần tính là 2 P = . Chọn C. 3 2.8 − (− ) 1 .( 2 −m ) 2 Câu 119: 16 − m y′ = = ; x ∀ ≠ 8 (x −8)2 (x −8)2 Yêu cầu bài toán 2
⇔ y′ > 0 ⇔ 16 − m > 0 ⇔ 4 − < m < 4
Kết hợp với m∈  →m = { 3 − ; 2; − 1 − ;0;1;2; }
3 là các giá trị cần tìm.
Vậy ∑m = 0 . Chọn C. . m m − ( 2 − ).( 5 − ) 2 Câu 120: m −10 ′ = = ;∀ ≠ m y x ( 2 − x + m)2 (2x − m)2 2 2 m −10 < 0
Yêu cầu bài toán ⇔ y < 0; x ∀ ∈( ; −∞ − ) 1  ′ ⇔  m ⇔ − ≤ < x = ∉(−∞ −  ) 2 m 10 ; 1  2
Kết hợp với m∈  →m = { 2; − 1 − ;0;1;2; }
3 là các giá trị cần tìm.
Vậy ∑m = 3. Chọn A.
Câu 121: Với m = 0, ta được y = 5  → m = 0 loại. 2 2 Với − − m m .1 2 .5 m m 10m 1 ≠ 0 . Ta có y′ = = ; x ∀ ≠ − (2mx + )2 1 (2mx + )2 1 2m 2
m −10m < 0
Yêu cầu bài toán ⇔ y < 0;∀x∈(3;+∞)  ′ ⇔  1 ⇔ < m < x = − ∉(3;+∞  ) 0 10  2m
Kết hợp với m∈  →m = {1;2;3;...; }
9 là các giá trị cần tìm.
Vậy ∑m =1+ 2+3+...+9 = 45. Chọn D.
2.(−m) −1.(−m + 3) Câu 122: −m − 3 y′ = = ; x ∀ ≠ m (x − m)2 (x − m)2 −  m − 3 < 0 m > 3 −
Yêu cầu bài toán ⇔ y′ < 0; x ∀ ∈[7;+∞) ⇔  ⇔  ⇔ − < < x = m∉  [ +∞) 3 m 7 7; m < 7
Kết hợp với m∈  →m = { 2 − ; 1 − ;0;...; }
6 là các giá trị cần tìm.
Vậy ∑m =18. Chọn B. 1.( 3
− m + 2) −1.(2m − 3) Câu 123: 5 − m + 5 y′ = = ; x ∀ ≠ 3m − 2 (x −3m + 2)2 (x −3m + 2)2  5 − m + 5 > 0
Yêu cầu bài toán ⇔ y′ > 0; x ∀ ∈( ; −∞ 1 − 4) ⇔  ⇔ − ≤ < x = m − ∉  (−∞ − ) 4 m 1 3 2 ; 14
Kết hợp với m∈  →m = { 4 − ; 3 − ; 2 − ; 1 − ; }
0 là các giá trị cần tìm. Vậy ∑m = 10 − . Chọn D. 2 .2 m m −1( 2 3m + 9) 2 Câu 124: m − 9 y′ = = ; x ∀ ≠ 2 − m (x + 2m)2 (x + 2m)2 Yêu cầu bài toán 2
⇔ y′ < 0 ⇔ m − 9 < 0 ⇔ 3 − < m < 3
Kết hợp với m∈  →m = { 2 − ; 1; − 0;1; }
2 là các giá trị cần tìm. Chọn C. 2 .2 m m −1( 2 3m + 9) 2 Câu 125: m − 9 y′ = = ; x ∀ ≠ 2 − m (x + 2m)2 (x + 2m)2 Yêu cầu bài toán 2
⇔ y′ < 0 ⇔ m − 9 < 0 ⇔ 3 − < m < 3 Kết hợp với m + ∈  →m = {1; }
2 là các giá trị cần tìm. Chọn A. Câu 126: 1.m −1.1 m −1 y′ = = ; x ∀ ≠ m
(x + m)2 (x + m)2
Yêu cầu bài toán ⇔ y′ > 0 ⇔ m −1 > 0 ⇔ m >1. Chọn B. .
m (m − 3) −1.( 2 − ) 2 Câu 127: m − 3m + 2 y′ = = ; x ∀ ≠ 3− m (x + m −3)2 (x + m −3)2 Yêu cầu bài toán 2
⇔ y′ < 0 ⇔ m − 3m + 2 > 0 ⇔ 1< m < 2 .
Do đó a =1;b = 2 
→ P = a − b = 1 − . Chọn A. . m (−m) −1( 9 − ) 2 Câu 128: 9 − m y′ = = ; x ∀ ≠ m (x − m)2 (x − m)2 Yêu cầu bài toán 2
⇔ y′ > 0 ⇔ 9 − m > 0 ⇔ 3 − < m < 3
Kết hợp với m∈ 
→ có 5 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn A. Câu 129: 3
y′ = 4x + 8(2m − ) 1 x
Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞) ⇔ y′ ≥ 0( x ∀ ∈[1;+∞)) 3
⇔ x + ( m − ) x ≥ ( x ∀ ∈[ +∞)) 2 4 8 2 1 0 1;
⇔ x + 2(2m − ) 1 ≥ 0( x ∀ ∈[1;+∞)) 2 ⇔ x + ( m − ) 1 min 2 2
1  ≥ 0 ⇔ 1+ 4m − 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ [1;   +∞) 4 m∈ Kết hợp 
⇒ có 20 giá trị của tham số m. Chọn D.m∈  [ 20 − ;20] Câu 130: 3 y′ = 4
− x + 2(m − ) 1 x
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;2) ⇔ nó nghịch biến trên đoạn [1;2] ⇔ y′ ≤ ( x ∀ ∈[ ]) 3
⇔ − x + (m − ) x ≤ ( x ∀ ∈[ ]) 2 0 1;2 4 2 1 0 1;2 ⇔ 4
− x + 2(m − ) 1 ≤ 0( x ∀ ∈[1;2]) 2 ⇔ max  4
− x + 2(m − ) 1  ≤ 0 ⇔ 4 − + 2(m − ) 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ 3 [1;2]   m∈ Kết hợp 
⇒ có 24 giá trị của tham số m. Chọn C.m∈  [ 20 − ;20] x = 0 Câu 131: 3
y′ = 4x − 4(m − ) 2
1 x = 4x x − (m − ) 1 ; y′ = 0 ⇔    2 x = m −1
TH1. Nếu m −1≤ 0 ⇔ m ≤1
→ y′ = 0 có một nghiệm x = 0 và y′ đổi dấu từ – sang + khi qua điểm
x = 0 . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞), tức là đồng biến trên khoảng (1;3). x = 0 
TH2. Nếu m −1 > 0 ⇔ m >1
→ y′ = 0 ⇔ x = − m −  1 x = m−  1
Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán ⇔ m −1 ≤1 ⇔ m ≤ 2 . Do đó 1< m ≤ 2 .
Kết hợp 2 trường hợp. ta được m ≤ 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Mà m∈[ 10
− ;10] và m∈ 
→ có 13 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.x = 0 Câu 132: 3
y′ = 4x − 4( 2 m − 4) 2
x = 4x x −  ( 2
m − 4); y′ = 0 ⇔   2 2 x = m − 4 TH1. Nếu 2 m − 4 ≤ 0 ⇔ 2 − ≤ m ≤ 2 
→ y′ = 0 có một nghiệm x = 0 và y′ đổi dấu từ – sang + khi qua
điểm x = 0 . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) tức là không nghịch biến trên khoảng (2;6) . m > 2 TH2. Nếu 2 m − 4 > 0 ⇔ 
→ y′ ≤ 0; x ∀ ∈(2;6) 2 2
⇔ x − m + 4 ≤ 0; x ∀ ∈  (2;6) m < 2 − m ≥ 2 10 2 2
⇔ m ≥ x + 4; x ∀ ∈(2;6) 2 2 2
⇔ m ≥ 6 + 4 = 40 ⇔ m − 40 ≥ 0 ⇔  m ≤ 2 − 10 m ≥ 2 10
Kết hợp 2 trường hợp, ta được  là giá trị cần tìm. m ≤ 2 − 10 Mà m∈[ 10
− ;10] và m∈ 
→ có 4 + 4 = 8 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C. Câu 133: 2
y′ = 3x − 6(m + ) 1 x + 3(m − ) 1 (m + 3) = 3x −  (m − ) 1  x −  
(m +3) < 0 ⇔ m −1< x < m +3 
Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (m −1;m + 3) m + ≥
Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 3 2 1;2 ⇔  ⇔ 1≤ m ≤ 2 m −1 ≤ 1
Kết hợp m∈ ⇒ m = {1; }
2 ⇒ ∑m = 3. Chọn A. x = m −1 Câu 134: 2
y′ = 3x − 6mx + 3( 2 m − ) 2 2
1 ; y′ = 0 ⇔ x − 2mx + m −1 = 0 ⇔  x = m +1
Dễ thấy m −1 ≠ m +1; m ∀ ∈  
→ Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
Vì hệ số a > 0 suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ m − ) 1 và (m +1;+∞) .
Yêu cầu bài toán ⇔ (3;+∞) ⊂ (m +1;+∞) 
→m +1≤ 3 ⇔ m ≤ 2 . Kết hợp với m + ∈  →m = {1; }
2 là giá trị cần tìm. Chọn B.x = 0 Câu 135: 3 y′ = 4
− x + 4(m − 2) x = 4x( 2
−x + m − 2); y′ = 0 ⇔  2 x = m − 2
TH1. Nếu m − 2 ≤ 0 ⇔ m ≤ 2 
→ y′ = 0 có một nghiệm x = 0 và y′ đổi dấu từ – sang + khi qua điểm
x = 0 . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0
−∞ ), tức là đồng biến trên khoảng ( ; −∞ 5 − ) .
TH2. Nếu m − > ⇔ m >  → y′ ≥ x
∀ ∈(−∞ − ) ⇔ x( 2 2 0 2 0; ; 5
4 −x + m − 2) ≥ 0; x ∀ ∈( ; −∞ 5 − ) 2
⇔ −x + m − 2 ≤ 0;∀x ∈( ; −∞ 5 − ) 2
⇔ m ≤ x + 2;∀x ∈( ; −∞ 5 − ) ⇔ m ≤ min { 2 x + } 2 − 27 (−∞; 5 − )
Kết hợp 2 trường hợp, ta được m ≤ 27 là giá trị cần tìm. Mà m + ∈ 
→ có 27 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn B.
Câu 136: Ta xét hai trường hợp sau: m = 0  → y = 4 − • Hệ số 2
a = m − 2m = 0 ⇔  . Hàm số 2
y = 4x − 4 có đồ thị là một parabol nghịch 2 m = 2  → y = 4x − 4 biến trên khoảng ( ;0
−∞ ), đồng biến trên khoảng (0;+∞) 
→m = 2 thỏa mãn bài toán. • Hệ số 2
a = m − 2m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; } 2 2 a > 0 a > 0
m − 2m > 0 Yêu cầu bài toán ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ 2 < m ≤ 4 2 ab ≥ 0 b  ≥ 0
4m − m ≥ 0
Kết hợp 2 trường hợp, ta được 2 4 m m ∈ ≤ ≤  →m = {2;3; } 4 . Chọn D. Câu 137: 3 y′ = x − ( 2 m − ) x ≥ x ∀ ∈( ) 2 2 4 4 1 0,
4;6 ⇔ x ≥ m −1, x ∀ ∈(4;6) Với x∈( ) 2 ⇒ x ∈( ) 2 4;6 16;36 
→ m −1≤16 ⇔ − 17 ≤ m ≤ 17 ⇒ m∈{ 4 ± ; 3 ± ; 2 ± ; 1 ± ; } 0 Chọn A. Câu 138: 3 y′ = x − ( 2 m + ) x ≤ x ∀ ∈( ) 2 2 4 4 1 0,
2;5 ⇔ x ≤ m +1, x ∀ ∈(2;5) m ≥ 2 6 Với x∈(2;5) 2 ⇒ x ∈(4;25) 2  →m +1≥ 25 ⇔   → m = 5 ± . Chọn D. m ≤ 2 − 6 Câu 139: 3
y′ = − x + ( m − ) x ≥ ∀x∈( ) 2 4 4 4 1 0,
1;4 ⇔ 4m −1≥ x ,∀x∈(1;4) Với x∈( ) 2 ⇒ x ∈( ) 17 1;4 1;16 
→ 4m −1≥16 ⇔ m ≥ . Chọn C. 4 Câu 140: 3
y′ = − x − (m − ) x ≤ x ∀ ∈( ) 2 4 4 1 0,
1;5 ⇔ 1− m ≤ x , x ∀ ∈(1;5) Với x∈( ) 2
1;5 ⇒ x ∈(1;25) 
→1− m ≤1 ⇔ m ≥ 0. Chọn B. Câu 141:
− cos x + 2m +1 m − 2m −1 m +1 y = ⇒ y′ = . −sin x = .sin x 2 ( ) cos x − m (cos x − m) (cos x − m)2 m > 1 −  π  m >  1 −  m ≥1 Do  π sin x 0 x 0;  > ∀ ∈
nên hàm số đồng biến trên 0; ⇔   ⇔ m ≥1 ⇔ 2     2  m (0; ) 1  ∉   1 − < m ≤ 0 m ≤ 0 m∈ Kết hợp 
⇒ có 11 giá trị của tham số m. Chọn A.m∈  [ 10 − ;10] Câu 142: cot x + 2m + 2
−m +1− 4m − 4 1 − 5m + 3 1 y = ⇒ y′ = . = . 2cot x − m +1
(2cot x − m + )2 2
1 sin x (2cot x − m + )2 2 1 sin x 5  m + 3 > 0  π
Hàm số đồng biến trên 0;   ⇔   m −1  π   4  cot x∉   x ∀ ∈0;  2   4    3  3 m > − m > −  2    2 3 ⇔  ⇔  ⇔ − < m ≤ 3 m −1  ( ) m −1 2 1;  ∉ +∞ ≤ 1  2  2 m∈ Kết hợp 
⇒ có 5 giá trị của tham số m. Chọn C.m∈  [ 20 − ;20] Câu 143:
−m −1+ 2m − 4 m − 5 y′ = .cos x = .cos x
(2sin x − m − )2 1
(2sin x − m − ) 1
Hàm số nghịch biến trên khoảng m < 5 m − 5 < 0  m < 5 m −1 1  π    ≥  2 ≤ m < 5 0; ⇔ 
m −1  1  ⇔   2 2 ⇔ m ≥ 2 ⇔  6   0;  ∉     m ≤ 1  2  2  m −1 m ≤1  ≤ 0   2 Kết hợp m + ∈ ⇒ m = {1;2;3 }
;4 ⇒ có 4 giá trị của tham số m. Chọn D. 2 2 Câu 144: 5m − 6 + m 1  π  m + 5m − 6  π y . 0, x 0;  0, x 0;  ′ = < ∀ ∈ ⇔ < ∀ ∈ (tan  x + 5m − 6)2 2 cos x  4 
(tan x +5m −6)2  4  − < < 2 6 m 1
m + 5m − 6 < 0  π  Với x  ∈ ⇒   x ∈( )  m ≤1 0; tan 0;1  →6 − 5m ≥1 ⇔ 4      6 6 − 5m ≤ 0 m ≥  5 ⇔ 6
− < m <1⇒ m∈{ 5 − ; 4 − ; 3 − ; 2 − ; 1 − ; } 0 . Chọn A. Câu 145: Đặt  π π t − = cos x do   1 x ; mtt 0;  ∈ ⇒ ∈ 
. Khi đó hàm số trở thành 4 y = 3 2 2      t − m m > 2 2 4 − m > 0   m < 2 − 2 m ≤ 0  m > 2 Ta có 4 − m y′ =
. Để hàm số đồng biến trên  1 0;  thì  ⇔  ⇔ (   m ≤ 0 t  − m)2  2   1  m < 2 − m  ≥ 1  2 m ≥  2 Chọn C. (m − )1t − 2 Câu 146: Đặt  π
t = sin x do x 0;  ∈ ⇒ t ∈   (0; )
1 . Khi đó hàm số trở thành y =  2  t − m m > 2 2
−m + m + 2 < 0  2   m < 1 − m ≤ 1 − Ta có −m + m + 2 y′ =
. Để hàm số đồng biến trên (0; ) 1 thì  ≥ ⇔  ⇔ ( m 1 t − 2)2  m ≥ 1  m > 2 m ≤ 0  m ≤ 0 Chọn B. Câu 147: Đặt  π − t −
t = sin x do x 0;  ∈ ⇒ t ∈   (0; )
1 . Khi đó hàm số trở thành 2 1 y =  2  t − m  1 2m +1 > 0 m > −   1   2 − < m ≤ 0 Ta có 2m +1 y′ =
. Để hàm số đồng biến trên (0; ) 1 thì m ≥1  ⇔  ⇔ ( 2 t − m)2 m ≥1   m ≤ 0  m ≥ 1 m ≤ 0 Chọn C. Câu 148: m − + m  π  m −  π 1 4 5 1 y
.cos x 0, x 0;  0, x 0;  ′ = > ∀ ∈ ⇔ > ∀ ∈
(2sin x + m − )2 1 6
(2sin x + m − )2 1 6      5  m −1 > 0  1 1−m 1 m >  π   1    ≥  5 Với x ∈0; ⇒  sin x ∈0;  →    2 2 ⇔ 
⇔ m ≥1⇒ m∈{1;2;3; } 4  6   2   m ≤ 0 1 m  −  ≤ 0  m ≥1   2 Chọn C. 2 2 Câu 149: − + +  π  − +  π 5m 4 m m 5m 4 y . sin x 0, x 0;  0, x 0;  ′ = − > ∀ ∈ ⇔ < ∀ ∈ 2 ( ) (cos  x − 5m + 4)  3 
(cos x −5m + 4)2  3  2
m − 5m + 4 < 0 1  < m < 4   Với  π   1  5m − 4 ≥1 m ≥1 x ∈0; ⇒  cos x∈ ;1  →   ⇔ 
⇔ 1< m < 4 ⇒ m∈{2; } 3 3 2       1   9 5m − 4 ≤ m ≤  2  10 Chọn A. 2 2 Câu 150:
msin x −16 msin x −16 y = = (Do 2 2
cos x −1 = −sin x ) 2 2
cos x + m −1 −sin x + m 2 2 Khi đó m −16 y′ = ( 2 ′ m −16 . sin x = .2sin xcos x 2 ) (−sin x+m) (−sin x+m)2 2 2 Do   π
2sin xcos x > 0 x
∀ ∈0;  do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  2    2 m −16 < 0  π    4 − < m < 4 0; ⇔      ⇔ 2  2 π  s  in 
x ≠ mx ∀ ∈0;  m∉  (0; )1    2 
Kết hợp m∈ ⇒ có 7 giá trị của m. Chọn C. −m + 2m −1 1 −(m − ) 1 Câu 151: 1 y′ = .− = . (cot x − m)2 2
sin x (cot x − m)2 2 sin xm −1 < 0  π π   m <1
Hàm số đồng biến trên khoảng  ; ⇔     π π  ⇔  ⇔ m ≤  4 2  x ≠ m   x ∀ ∈  m∉  ( ) 0 cot ; 0;1    4 2  m∈( 20 − ;20) Kết hợp 
⇒ có 20 giá trị của tham số m. Chọn A. m∈ 2 2 Câu 152: −m + 4 m − 4 y′ = . −sin x = .sin x 2 ( ) (2cos x − m) (2cos x − m)2 Do   π sin  π x > 0   x
∀ ∈0;  nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;   2     2  2 m − 4 < 0  2 − < m < 2   ⇔  m   π  ⇔ m ⇔ − < m ≤ cos x ≠  x ∀ ∈0; ∉   ( ) 2 0 0;1  2   2   2 m∈( 100 − ;100) Kết hợp  ⇒ m = {0;− }
1 có 2 giá trị của tham số m. Chọn C. m∈ Câu 153: 2
y′ = x − ( m + ) x + m(m + ) 2 6 6 2 1 6
1 ; y′ = 0 ⇔ x − (2m + )
1 x + m(m + ) 1 = 0 x − m = 0 x = m 2 2
⇔ x − 2mx + m = x − m ⇔ (x − m)2 = x − m ⇔ ⇔  x m 1  − = x = m +1
Vì hệ số a > 0 suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; m m + ) 1 m ≤ 1 −
Yêu cầu bài toán ⇔ m ≤ 1
− < 0 ≤ m +1 ⇔  ⇔ m = 1 − . Chọn C.m ≥ 1 − 2 2 Câu 154: 3 − m + 4 − m 1 m + 3m − 4 y′ = ( > ∀ ∈ ⇔ < ∀ ∈ x m ) . 0, x 1;5 0, x 1;5 2 ( ) 2x − − − + 1 2 1 3 4
( 2x−1−3m+4)2 ( )  4 − < m <1 2
m + 3m − 4 < 0  7  
Với ∈(1;5) ⇒ 2 −1∈(1;3)  →3m − 4 ≥ 3 m x x ≥ ⇔   3 ⇔ 4
− < m <1 . Chọn B.   3m 4 1  − ≤  5  m ≤   3 2 2 Câu 155: 4m − 5 + m 1 m + 4m − 5 y′ = ( < ∀ ∈ ⇔ < ∀ ∈ x m ) . 0, x 1;5 0, x 1;5 2 ( ) 2 3x + + + − 1 3 1 4 5 ( 3x+1+4m−5)2 ( )  5 − < m <1 2  + − <   1 m 4m 5 0  1 5 − < m ≤    Với x∈( ) ⇒ x + ∈( ) m ≤ 4 1;5 3 1 2;4  →5 − 4m ≥ 4 ⇔   4 ⇔  . Chọn B.    3 5 − 4m ≤ 2  3 ≤ m <1  m ≥ 4   4 Câu 156: Đặt 1
t = 4 − x ⇒ t − ′ = < 0( x ∀ ∈( ;4 −∞ )) 2 4 − x Với x∈( ;
−∞ 4) ⇒ t ∈(0;+∞)
Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số f (t) mt + 2 =
nghịch biến trên khoảng (0;+∞) t + m −1 2 2
m − m − 2 < 0 Ta có: m − m − 2 y′ =
. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞) ⇔ (  t + m − )2 1 (  1− m  )∉(0;+∞)  1 − < m < 2 ⇔  ⇔ 1≤ m < 2 1  − m ≤ 0
Kết hợp m∈ ⇒ m = { }
1 suy ra có 1 giá trị. Chọn B.
Câu 157: Đặt y = g (x) = f (x) + x + 2019 ⇒ y′ = f ′(x) +1= 0 ⇔ f ′(x) = 1 − ⇔ x = 1 ±
Khi x → +∞ ta thấy y = f ′(x) < 1
− từ đó ta có bảng xét dấu cho g (x) như sau: x −∞ –1 1 +∞ y′ – 0 + 0 –
Do đó hàm số y = g (x) đồng biến trên khoảng ( 1; − ) 1 . Chọn B.
Câu 158: Ta có g′(x) = f ′(x) − 2 ≤ 0 ⇔ f ′(x) ≤ 2
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′(x) ta thấy x > 3
− ⇒ f ′(x) ≤ 2 (dấu bằng chỉ xảy ra tại điểm x = 0 ).
Do đó hàm số y = g (x) nghịch biến trên khoảng ( 3 − ;+∞) . Chọn A.
Câu 159: Ta có g′(x) = f ′(x) +1≥ 0 ⇔ f ′(x) ≥ 1 −
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy x > 2
− ⇒ f ′(x) ≥ 1
− (dấu bằng chỉ xảy ra tại điểm x =1).
Do đó hàm số y = g (x) nghịch biến trên khoảng ( 2; − +∞) . Chọn D.x =1
Câu 160: Đặt g (x) = 2 f (x) − 4 = 2 f  ( x) − 2 = 0  ′ ′ ′ ⇔ x = 2   x =  3
Khi x → +∞ ⇒ f ′(x) > 2 ⇒ g′(x) > 0 từ đó ta có bảng xét dấu cho g′(x) như sau: x −∞ 1 2 3 +∞ y′ – 0 + 0 – 0 +
Suy ra hàm số g′(x) đồng biến trên khoảng (1;2) và (3;+∞) . Chọn C.x = 2 − x = 1 −
Câu 161: Ta có g′(x) = f ′(x) + 3 = 0 ⇔  x =1  x = 2
Khi x → +∞ ⇒ f ′(x) > 3
− ⇒ g′(x) > 0 từ đó ta có bảng xét dấu cho g′(x) như sau: x −∞ –2 –1 1 2 +∞ y′ + 0 – 0 + 0 – 0 +
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 2; − − )
1 và (1;2) . Chọn B.
Câu 162: g′(x) = 2 f ′(x) − 2x − 4 = 2 f ′(x) −(x + 2)  
Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị hàm số y = f ′(x) và x = 2 −
đường thẳng y = x + 2 ta thấy g (x) 0  ′ = ⇔ x = 0  x =  2
Khi x → +∞ ⇒ f ′(x) > x + 2 ⇒ g′(x) > 0 nên ta có bảng xét
dấu cho g′(x) như sau: x −∞ –2 0 2 +∞ y′ – 0 + 0 – 0 +
Suy ra hàm số y = g (x) nghịch biến trên các khoảng ( ; −∞ 2
− ) và (0;2) . Chọn A.
Câu 163: Ta có g′(x) = 2 f ′(x) − 2x + 4 = 2 f ′(x) −(x − 2)  
Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị hàm số y = f ′(x) và đường thẳng y = x − 2 (Đường thẳng này đi qua x = 1 − các điểm ( 1; − 3 − ),(1;− )
1 ,(2;0) trên hình vẽ) ta có: g (x) = 0 ⇔ f (x) −(x − 2) = 0  ′ ′ ⇔ x =1  x =  2
Khi x → +∞ ⇒ f ′(x) > x − 2 ⇒ g′(x) > 0 (Vì đồ thị hàm số y = f ′(x) nằm trên đường thẳng y = x − 2).
Ta có bảng xét dấu cho g′(x) như sau: x −∞ –1 1 2 +∞ y′ – 0 + 0 – 0 +
Suy ra hàm số g (x) đồng biến trên các khoảng ( 1; − )
1 và (2;+∞) . Chọn B.x = 2 − x = 1 −
Câu 164: Ta có g′(x) = 2 f ′(x) − 6 = 2 f ′
 ( x) − 3 = 0 ⇔   x =1  x = 2
Khi x → +∞ ⇒ f ′(x) < 3
− ⇒ g′(x) < 0 từ đó ta có bảng xét dấu cho g′(x) như sau: x −∞ –2 –1 1 2 +∞ y′ – 0 + 0 – 0 + 0 –
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2; − − )
1 và (1;2) . Chọn C.
Câu 165: Ta có g′(x) = f ′(x) + x +1= f ′(x) −(−x − ) 1
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(x) và đường thẳng y = −x −1 (Đường thẳng này đi qua x = 3 − các điểm ( 3 − ;2),( 1; − 0),(1; 2
− ) trên hình vẽ) ta có: g (x) = 0 ⇔ f (x) − (−x − ) 1 = 0  ′ ′ ⇔ x = 1 −  x =  1
Khi x → +∞ ⇒ f ′(x) > −x −1⇒ g′(x) > 0 (Vì đồ thị hàm số y = f ′(x) nằm trên đường thẳng y = −x −1).
Ta có bảng xét dấu cho g′(x) như sau: x −∞ –3 –1 1 +∞ y′ – 0 + 0 – 0 +
Suy ra hàm số g (x) nghịch biến trên các khoảng ( ; −∞ 3 − ) và ( 1; − ) 1 . Chọn B.
Câu 166: Ta có g′(x) = 2 f ′(x) + 2(x + )
1 = 2  f ′(x) −(−x − ) 1   
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(x) và đường thẳng y = −x −1 (Đường thẳng này đi qua x = 3 − các điểm ( 3 − ;2),(1; 2 − ),(3; 4
− ) trên hình vẽ) ta có: g (x) = 0 ⇔ f (x) − (−x − ) 1 = 0  ′ ′ ⇔ x =1  x =  3
Khi x → +∞ ⇒ f ′(x) < −x −1⇒ g′(x) < 0 (Vì đồ thị hàm số y = f ′(x) nằm dưới đường thẳng y = −x −1).
Ta có bảng xét dấu cho g′(x) như sau: x −∞ –3 1 3 +∞ y′ + 0 – 0 + 0 –
Suy ra hàm số g (x) đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 3
− ) và (1;3). Chọn B.
Câu 167: Ta có g′(x) = f ′(x) − x
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(x) và đường thẳng y = x (Đường thẳng này đi qua các x = 1 − điểm ( 1 − ;− ) 1 ,(1; )
1 ,(2;2) trên hình vẽ) ta có: g (x) = 0 ⇔ f (x) − x = 0  ′ ′ ⇔ x =1  x =  2
Khi x → +∞ ⇒ f ′(x) > x ⇒ g′(x) > 0 (Vì đồ thị hàm số y = f ′(x) nằm trên đường thẳng y = x ). Ta có
bảng xét dấu cho g′(x) như sau: x −∞ –1 1 2 +∞ y′ + 0 + 0 – 0 +
Chú ý qua điểm x = 1
− thì đồ thị hàm số y = f ′(x) vẫn nằm trên đường thẳng y = x (quan sát đồ thị) điều đó chứng tỏ x = 1
− là nghiệm kép của phương trình g′(x) = 0 hay y = x là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = f ′(x) tại điểm x = 1 − .
Suy ra hàm số g (x) đồng biến trên khoảng ( ) ;1
−∞ và (2;+∞) , hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng (1;2). Chọn A.
Câu 168: Ta có g′(x) = 2 f ′(x) + 2(x + )
1 = 2  f ′(x) −(−x − ) 1   
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(x) và đường thẳng y = −x −1 (Đường thẳng này đi qua x = 3 − các điểm ( 3 − ;2),(1; 2 − ),(3; 4
− ) trên hình vẽ) ta có: g (x) = 0 ⇔ f (x) − (−x − ) 1 = 0  ′ ′ ⇔ x =1  x =  3
Khi x → +∞ ⇒ f ′(x) < −x −1⇒ g′(x) < 0 (Vì đồ thị hàm số y = f ′(x) nằm dưới đường thẳng y = −x −1).
Ta có bảng xét dấu cho g′(x) như sau: x −∞ –3 1 3 +∞ y′ + 0 – 0 + 0 –
Suy ra hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng ( 3 − ; )
1 và (3;+∞) . Chọn D.
Câu 169: Ta có h′(x) = 2 f ′(x) − 2 ;
x h′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = x . Nghiệm
phương trình h′(x) = 0 chính là nghiệm của f ′(x) = x , cũng là hoành độ
giao điểm của hai đồ thị y = f ′(x) và đường thẳng y = x
Dựa vào hình vẽ, ta được h′(x) = 0 ⇔ x = 2;
− x = 2; x = 4
Gọi S , S là diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ′(x) và đường thẳng y = x 1 2 như hình vẽ 2 2
• 2S = 2  f ′ x − xdx = h′ x dx = h 2 − h 2 − > 0 1 ∫  ( )  ∫ ( ) ( ) ( ) 2 − 2 − 4 4
• 2S = 2 x − f ′ x dx = − h′ x dx = h 2 − h 4 > 0 2 ∫  ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2
Từ đồ thị 2S > 2S ⇒ h 2 − h 2
− > h 2 − h 4 ⇒ h 2 − < h 4 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Vậy h(2) > h(4) > h( 2 − ) . Chọn A.
Câu 170: Ta có g′(x) = 2 f ′(x) − 2(x + )
1 ; g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = x +1. Nghiệm phương trình g′(x) = 0
chính là nghiệm của f ′(x) = x +1, cũng là hoành độ giao điểm của
hai đồ thị y = f ′(x) và đường thẳng y = x +1. Dựa vào hình vẽ, ta
được g′(x) = 0 ⇔ x = 3
− ; x =1; x = 3
Gọi S , S là diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 1 2
số y = f ′(x) và đường thẳng y = x +1 như hình vẽ 1 1
• 2S = 2  f ′ x − x +1  dx = g′ x dx = g 1 − g 3 − > 0 1 ∫  ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 3 − 3 − 3 3
• 2S = 2  x +1 − f ′ x dx = − g′ x dx = g 1 − g 3 > 0 2 ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1
Từ đồ thị 2S > 2S ⇒ g 1 − g 3
− > g 1 − g 3 ⇒ g 3 − < g 3 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy g ( )
1 > g (3) > g ( 3 − ). Chọn D.
Câu 171: Ta có g′(x) = 2 f ′(x) + 2 ;
x g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = −x . Nghiệm phương trình g′(x) = 0 chính là
nghiệm của f ′(x) = −x , cũng là hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = f ′(x) và đường thẳng y = −x . Dựa
vào hình vẽ, ta được g′(x) = 0 ⇔ x = 3
− ; x =1; x = 3
Gọi S , S là diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 1 2
số y = f ′(x) và đường thẳng y = −x như hình vẽ 1 1
• 2S = 2 −x − f ′ x dx = − g′ x dx = g 3 − − g 1 > 0 1 ∫  ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 3 − 3 − 3 3
• 2S = 2  f ′ x − −x dx = g′ x dx = g 3 − g 1 > 0 2 ∫  ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1
Từ đồ thị 2S > 2S ⇒ g 3
− − g 1 > g 3 − g 1 ⇒ g 3 − > g 3 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy g ( 3
− ) > g (3) > g ( ) 1 . Chọn B.
Câu 172: Ta có g′(x) = 2 f ′(x) + 2x + 2; g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = −x −1. Nghiệm phương trình g′(x) = 0 chính
là nghiệm của f ′(x) = −x −1, cũng là hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = f ′(x) và đường thẳng
y = −x −1. Dựa vào hình vẽ, ta được g′(x) = 0 ⇔ x = 3
− ; x =1; x = 3
Gọi S , S là diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 1 2
số y = f ′(x) và đường thẳng y = −x −1 như hình vẽ 1 1
• 2S = 2 −x −1− f ′ x dx = − g′ x dx = g 3 − − g 1 > 0 1 ∫  ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 3 − 3 − 3 3
• 2S = 2  f ′ x − −x −1  dx = g′ x dx = g 3 − g 1 > 0 2 ∫  ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1
Từ đồ thị 2S > 2S ⇒ g 3
− − g 1 > g 3 − g 1 ⇒ g 3 − > g 3 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy g ( 3
− ) > g (3) > g ( ) 1 . Chọn A.
Câu 173: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng f ′(x) = (x + ) 1 (x − ) 1 (x − 4)
Ta có y′ = − f ′(2 − x) = −(3− x)(1− x)( 2
− − x) = (x + 2)(x − ) 1 (x −3) x > 3
Do đó y′ = 0 ⇔ x = 2
− ; x =1; x = 3. Lập bảng biến thiên y ' > 0 ⇔   2 − < x <1
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 2; − ) 1 . Chọn C.
Câu 174: Ta có h (x) = f (x + )  9 7 − 2g 2x  ′ ′ ′ + >   0  2 
Trên đoạn [3;8], ta được min f ′(x) = f (3) =10;max g′(x) = g (8) = 5 [3;8] [3;8]
Do đó f ′(x) − 2g′(x) > 0 ⇔ f ′(x) > 2g′(x); x ∀ ∈(3;8) 3  < x + 7 < 8 Nếu  3  9     9
⇒ − < x <1 thì f ′(x + 7) > 2g′ 2x + ⇒ h′(x) >   0 trên khoảng 3 −  ;1 3 < 2x + <   8 4  2   4   2
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  3 ;0 −  . Chọn B. 4   
Câu 175: Ta có y = f (x) 1 2
− x −1⇒ y′ = f ′(x) − x 2
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(x) và đường thẳng y = x (đường thẳng này đi qua các x = 2 − điểm ( 2; − 2
− ),(2;2),(4;4) trên hình vẽ) ta có: f (x) x 0  ′ − = ⇔ x = 2  x =  4
Khi x → +∞ ⇒ f ′(x) > x (Do đồ thị f ′(x) nằm phía trên đường thẳng y = x ) ta có bảng xét dấu: x −∞ –2 2 4 +∞ y′ – 0 + 0 – 0 +
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2;
− 2) và (4;+∞) , nghịch biến trên các khoảng ( ; −∞ 2 − ) và
(2;4). Khẳng định sai là B. Chọn B.
Câu 176: Ta có y = f (x) −(x + )2 2
1 ⇒ y′ = 2 f ′(x) − 2(x + )
1 = 2  f ′(x) −(x + ) 1   
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(x) và đường thẳng y = x +1 (đường thẳng này đi qua các x = 3 − điểm ( 3 − ; 2
− ),(1;2),(3;4) trên hình vẽ) ta có: f (x) x 0  ′ − = ⇔ x =1  x =  3
Mặt khác x → +∞ ⇒ f ′(x) > x +1 (Do đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía trên đường thẳng y = x +1) ta có bảng xét dấu: x −∞ –3 1 3 +∞ y′ – 0 + 0 – 0 +
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng ( 3 − ; )
1 và (3;+∞) , nghịch biến trên các khoảng ( ; −∞ 3 − ) và (1;3) .
Khẳng định sai là B. Chọn B.
Câu 177: y′ = f ′(x) 2
+ x + x − = f ′(x) − ( 2 2 −x − x + 2)
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(x) và Parabol: 2
y = −x − x + 2(P) (hình vẽ) ta có: x = 2 − y 0  ′ = ⇔ x = 0  x =  1
Mặt khác khi x → +∞ ⇒ f ′(x) 2
> −x − x + 2 (Do đồ thị hàm số y = f ′(x) nằm phía trên Parabol (P) nên
y′ > 0 ta có bảng xét dấu: x −∞ –2 0 1 +∞ y′ – 0 + 0 – 0 +
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2;
− 0) và (1;+∞), hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; −∞ 2 − ) và (0; )
1 . Khẳng định sai là A. Chọn A. f ′(x) Câu 178: 2 1 y′ =
− x + x +1 =  f ′(x) −  ( 2
2x − 2x − 2) 2 2 
Dựa vào sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = f ′(x) và Parabol: 2
y = 2x − 2x − 2 (hình vẽ) ta có: x = 1 − 1 y′ = f ′(x) −  ( 2
2x − 2x − 2) = 0    ⇔ x = 0 2   x =  2
Mặt khác khi x → +∞ ⇒ f ′(x) 2
< 2x − 2x − 2 nên y′ < 0 ta có bảng xét dấu: x −∞ –1 0 2 +∞ y′ + 0 – 0 + 0 –
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ − )
1 và (0;2) , hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 1; − 0) và (2;+∞) . Chọn A.
Câu 179: y′ = f ′(x) 2
− x − x + = f ′(x) − ( 2 1 x + x − ) 1
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(x) và Parabol: 2
y = x + x −1 (hình vẽ) ta có: x = 2 − f (x) ( 2 x + x − ) 1 0  ′ − = ⇔ x = 0  x =  1
Mặt khác khi x → +∞ ⇒ f ′(x) 2
< x + x −1 nên y′ < 0 ta có bảng xét dấu: x −∞ –2 0 1 +∞ y′ + 0 – 0 + 0 –
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 2 − ) và (0; )
1 , hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 2; − 0) và (1;+∞). Chọn D.
Câu 180: y′ = f ′(x + 2) + x + 3 . Đặt t = x + 2 ⇒ y′ = f ′(t) −(−t − ) 1
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(t) và đường thẳng y = t
− −1 (đường thẳng này đi qua các t = 3 − điểm ( 3 − ;2),(1; 2 − ),(3; 4
− ) trên hình vẽ) ta có: f (t) ( t ) 1 0  ′ − − − = ⇔ t =1  t =  3 x + 2 = 3 − x = 5 − x 2 1  ⇔ + = ⇔ x = 1 −   x + 2 = 3 x =   1
Mặt khác x → +∞ ⇒ f ′(x) < −x −1 (Do đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía dưới đường thẳng y = −x −1) ta có bảng xét dấu: x −∞ –5 –1 1 +∞ y′ + 0 – 0 + 0 –
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 5 − ) và ( 1; − )
1 ⇒ Có 995 số nguyên thuộc khoảng đồng biến
của hàm số. Chọn D.
Câu 181: g′(x) = 2 f ′(x) + 2x = 2 f ′(x) −(−x)   .
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(x) và đường thẳng y = −x (đường thẳng này đi qua các x = 1 − x = 0 điểm ( 1 − ; ) 1 ,(0;0),(1;− ) 1 ,(2; 2
− ) trên hình vẽ) ta có: f ′(x) − x = 0 ⇔  x =1  x = 2
Khi x → +∞ ⇒ f ′(x) > −x (Do đồ thị f ′(x) nằm phía trên đường thẳng y = −x ) ta có bảng xét dấu: x −∞ –1 0 1 2 +∞ y′ + 0 – 0 + 0 – 0 +
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 1;
− 0) và (1;2) . Chọn D.
Câu 182: g′(x) = 2
− f '(1− x) + 2x − 2 = 2
−  f ′(1− x) +1− x 
 . Đặt t = 1− x ⇒ g′( x) = 2
−  f ′(t) − ( t − )  
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′(t) và đường thẳng y = t
− (đường thẳng này đi qua các t = 3 − điểm ( 3 − ;3),(1;− ) 1 ,(3; 3
− ) trên hình vẽ) ta có: f (t) ( t) 0  ′ − − = ⇔ t =1  t =  3
Khi t → +∞ ⇒ f ′(t) < t
− ⇒ g′(x) > 0 ta có bảng xét dấu: t −∞ –3 1 3 +∞ y′ - 0 + 0 – 0 + t < −  − x < − x > Do đó g′(t) 3 1 3 4 < 0 ⇔ ⇔ ⇔ 1   t 3 1   1 x 3  < < < − <  2 − < x < 0
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; − 0) . Chọn B.
Câu 183: y = − f ( − x) 2 2 2
+ x ⇒ y′ = 2 f ′(2 − x) + 2x
Đặt t = 2 − x ⇒ y′ = 2 f '(t) + 2(2 −t) = 2 f ′
 (t) − (t − 2) < 0 ⇔ t − 2 > f ′  (t)
Vẽ đường thẳng y = t − 2 trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y = f ′(t) 2 < t < 3
2 < 2 − x < 3  1 − < x < 0
Dựa vào hình vẽ ta thấy t − 2 > f ′(t) khi ⇒ ⇔  t 5  2 x 5  > − < x < 3 −
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; − 0) . Chọn C.
Câu 184: Ta có bảng biến thiên của f (x) như sau: x −∞ –2 –1 2 +∞ y′ + 0 – 0 + 0 – y 1 1
Do đó f (x) ≤1⇒ f (x) −1≤ 0( x ∀ ∈ )
Đặt y = g (x) =  f  ( x) 2 −1 ⇒ g′  (x) = 2 f
 ( x) −1. f ′  (x) x < −
Do f (x) −1≤ 0( x
∀ ∈ ) nên hàm số y =  f (x) 2 −1 
 nghịch biến khi f ′( x) 2 > 0 ⇔ 1   < x < 2 Chọn A.
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1

Tài liệu liên quan: